BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Pengetahuan tentang arah kiblat yang benar sangat

penting bagi ummat Islam. Kiblat berasal dari bahasa

arab “Qiblata” yang artinya adalah arah yang merujuk ke

suatu tempat dimana bangunan Ka’bah di Masjidil

Haram, Makkah, Arab Saudi berada. Sedangkan maksud

kata arah di sini ialah jarak terdekat menghadap ke

suatu tempat. Menghadap arah kiblat merupakan suatu

masalah yang penting dalam syari’at islam. Menurut

hukum syari’at, menghadap ke arah kiblat diartikan

sebagai seluruh tubuh atau badan seseorang menghadap

ke arah Ka’bah yang terletak di Makkah yang merupakan

pusat tumpuan umat islam bagi menyempurnakan ibadah-

ibadah tertentu. Ketika ummat Islam melaksanakan

ibadah shalat, terdapat sebuah kewajiban untuk

menghadap kiblat. Allah SWT berfirman :

“Dan dari mana saja engkau keluar (untuk mengerjakan shalat)

hadapkanlah mukamu ke arah Masjidil Haram (Ka’bah). Sesungguhnya

perintah berkiblat ke Ka’bah itu benar dari Allah (Tuhanmu) dan

ingatlah bahwa Allah tidak sekali-kali lalai akan segala apa yang kamu

lakukan.” (Q.S Al Baqarah : 149).

Pentingnya mengukur arah kiblat ini sangat

berpengaruh terhadap sahnya ibadah shalat kita dan

1

ketika menentukan lokasi pembangunan Masjid atau

Mushala. Walaupun saat ini sudah ada kompas kiblat

dan sudah beredarnya perhitungan yang di terbitkan

oleh Departemen Agama untuk beberapa lokasi, alangkah

baiknya kita mengetahui cara dan bagaimana menentukan

arah kiblat yang sebenarnya. Cara yang akan

dikenalkan dalam makalah ini adalah dengan

memanfaatkan ilmu matematika yakni menggunakan rumus

cosines segitiga bola (spherical trigonometric).

Karena bumi kita ini berbentuk bola maka rumus ini

dianggap sangat representative untuk menjawab

permasalahan dalam menentukan arah kiblat. Dengan

menggunakan cara ini kita dapat memahami bahwa

matematika bukan hanya sekedar ilmu abstrak. Selama

ini banyak yang beranggapan bahwa matematika hanyalah

ilmu yang abstrak, bersifat teoritis, dan hanya

berbicara tentang rumus-rumus saja. Padahal

matematika merupakan suatu ilmu yang sangat dekat

dengan realita kehidupan. Artinya, banyak sekali

penerapan konsep matematika dalam kehidupan sehari-

hari. Contohnya saja matematika bisa digunakan untuk

menentukan Arah kiblat dari suatu lokasi tertentu.

B. Pembatasan Masalah

Dalam menentukan arah kiblat ada beberapa cara

yang dapat digunakan. Namun dalam makalah ini penulis

2

hanya membatasi menentukan arah kiblat dengan aturan

cosinus segitiga bola.

C. Rumusan Masalah

Adapun masalah yang akan dibahas dalam makalah

ini adalah:

1. Bagaimana aturan cosines dalam segitiga bola?

2. Bagaimana prosedur penentuan arah kiblat dengan

aturan cosinus segitiga bola?

D. Tujuan Penulisan

Adapun tujuan dari penulisan makalah ini adalah

untuk :

1. Mengetahui cara menentukan arah kiblat dengan

menggunakan aturan cosines pada segitiga bola

2. Sebagai bahan seminar untuk diseminarkan dan

sekaligus sebagai syarat untuk mengikuti mata

kuliah Seminar Matematika

3. Menambah dan meningkatkan wawasan berfikir tentang

matematika.

3

BAB II

MATERI PENDUKUNG

A. Pengertian Trigonometri

Trigonometri berasal dari bahasa Yunani

trigonon yang berarti tiga sudut dan metro artinya

mengukur. Oleh karena itu trigonometri adalah

cabang dari ilmu matematika yang berhadapan dengan

sudut segi tiga dan fungsi trigonometrik seperti

sinus, cosinus, dan tangen. Sedangkan definisi

dari trigonometri menurut Kamus Besar Bahasa

Indonesia (KBBI) adalah ilmu ukur mengenai sudut

dan sepadan dengan segitiga (digunakan dalam

astronomi). (Susheri:2012)

Konsep dasar dari trigonometri tidak pernah

lepas dari bangun datar segitiga siku-siku.

Segitiga siku-siku didefinisikan sebagai segitiga

yang memiliki satu sudut siku-siku dan dua sudut

lancip pelengkap. Sisi dihadapan sudut siku-siku

merupakan sisi terpanjang yang disebut dengan sisi

miring (hipotenusa), sedangkan sisi-sisi di

hadapan sudut lancip disebut kaki (leg) segitiga

itu (E-book Algebra 2 & Trigonometri). Dalam

trigonometri, dikenal istilah-istilah sinus,

cosines, tangent, dan lain-lain. Untuk lebih

jelasnya adalah sebagai berikut :

4

a. Sinus.

Sinus (sin) adalah perbandingan sisi segitiga

yang ada di depan sudut dengan sisi miring

(dengan catatan bahwa segitiga itu adalah

segitiga siku-siku)

C c a

b

A c B

Sin B = ba

b. Cosines

Cosines (cos) adalah perbandingan sisi segitiga

yang terletak di sudut dengan sisi miring (pada

segitiga siku-siku)

C a

b

A c B

Cos B = ca

Adapun hukum cosines pada trigonometri bidang

datar adalah :

a2 = b2 + c2 – 2bc.CosA

b2 = a2 + c2 – 2ac.CosB

c2 = a2 + b2 – 2ab.CosC

5

c. Tangent

Tangent adalah perbandingan sisi segitiga yang

ada di depan sudut dengan sisi segitiga yang

terletak di sudut (pada segitiga siku-siku)

C a

b

A c B

Tan B = bc atau bisa juga tanθ=sinθ

cosθ

Hukum tangent yang cukup sering dipakai dalam

segitiga bola adalah tan2ɵ + 1 = sec2ɵ

B. Geometri bola

Menurut Izzudin dalam Susheri (2012) geometri

bola menunjukkan bentuk geometri pada permukaan

sebuah bola, yaitu sebuah geometri dua dimensi.

Geometri sebuah bola terdiri dari lingkaran

besar (great circle), lingkaran kecil (small circle)

dipermukaan. Dimana lingkaran besar merupakan

sebuah irisan permukaan bola yang melewati

pusat bola sementara lingkaran kecil yang tidak

melewati pusat bola. Untuk lebih jelasnya,

dapat dilihat perbedaan dari lingkaran besar

dan lingkaran kecil pada gambar anatomi bangun

ruang bola di bawah ini.

6

Gambar 1.1 Anatomi bangun ruang bola

Pada geometri bola, dikenal juga konsep

trigonometri bola atau segitiga bola. Untuk

memahami permasalahan perhitungan arah kiblat,

maka diperlukan pemahaman dasar mengenai konsep

Trigonometri Segitiga Bola atau sering disebut

Segitiga Bola. Segitiga bola merupakan sebuah

segitiga pada permukaan bola yang sisi-sisinya

merupakan bagian dari lingkaran besar

(Nurwendaya : 2010). Lingkaran besar ditentukan

oleh dua titik pada bola, misalkan titik A dan

titik B yang titik pusatnya adalah P. Dan terdiri

dari dua busur, yakni busur AB dan busur BA. Busur

terpendek AB (besarnya kurang dari 180º) dinamakan

jarak sferis antara A dan B (Koesdiono : 2002)

seperti yang terlihat pada gambar di bawah ini.

7

Gambar 1.2 Jarak sferis antara A dan B

Jarak-jarak sferis inilah yang nantinya akan

membentuk segitiga bola. Jarak sferis dari setiap

titik pada lingkaran besar ke kutubnya semuanya

sama, yakni sebesar 90º atau ½ ᴨ (Koesdiono :

2002). Untuk lebih jelasnya, lihat gambar di bawah

ini.

Gambar 1.3 Jarak sferis antara A dan B

Berbeda dengan segitiga pada bangun datar,

segitiga bola memiliki tiga sudut dalam satuan

derajat busur dan tiga sisi berbentuk garis yang

berdimensi panjang seperti meter atau centimeter,

8

sehingga segitiga bola seluruh elemennya hanya

dalam satuan derajat busur, karena hanya tiga

sudut dan tiga sisi berbentuk busur atau

lengkungan bagian dari bola langit atau bola bumi

(Toyyib : 2009). Lihat gambar berikut:

Gambar 1.4 Sisi dan sudut pada segitiga

bangun datar dan segitiga bola

BAB III

PEMBAHASAN

A. Aturan Cosines Pada Segitiga Bola

Pada segitiga bola, aturan cosinusnya

didapatkan menggunakan aturan cosines pada

segitiga bidang datar. Dibawah ini akan

dijabarkan bagaimana aturan cosines pada

segitiga bola didapatkan.

A

9

c

c B B’

O b a b a

C

C’

Pandang sebuah bola dengan radius satu satuan

panjang beserta segitiga bola ABC pada permukaan,

sudut-sudut BOC, AOC dan AOB masing-masing

besarnya a, b dan c karena berhadapan dengan sisi-

sisi a,b dan c. Dari A dibuat garis-garis singgung

pada busur AC dan AB, yang masing-masing memotong

OC di C’ dan OB di B’, menurut rumus cosinus dari

segi tiga bidang datar didapat:

(B’C’)2 = (OB’)2 + (OC’)2 – 2(OB’)(OC’)Cos(a) . . .

. . (I)

(B’C’)2 = (AB’)2 + (AC’)2 – 2(AB’)(AC’)Cos(A) . . .

. . (II)

Karena radius dianggap = 1, dan titik segitiga

bola (sferis) tegak lurus degan titik pusat bola

(O), maka dapat diterapkan aturan trigonometri

segitiga siku-siku pada bidang datar, sehingga

diperoleh :

Cos b = 1/OC’

OC’ = 1/Cos b = sec b

Cos c = 1/OB’ . . . . . . . . (III)

10

OB’ = 1/Cos c = sec c

Tan b = AC’

Tan c = AB’

Kemudian substitusikan persamaan (III) ke

persamaan (I) dan (II), sehingga diperoleh :

(B’C’)2 = sec2b + sec2c – 2secb.secc.cos(a)

= tan2b + tan2c – 2tanb.tanc.cos(A)

Lalu pindah ruas tan2b dan tan2c ke kiri menjadi :

sec2b – tan2b + sec2c – tan2c - 2secb.secc.cos(a) =

- 2tanb.tanc.cos(A)

2-2secb.secc.cos(a) = -2tanb.tanc.cos(A)

-2secb.secc.cos(a) = -2-2tanb.tanc.cos(A)

(dikali -1/2)

secb.secc.cos(a) = 1+ tanb.tanc.cos(A)

cosa=1+tanb.tanc.cos(A)secb.secc

cosa=1

seca.secb + tanb.tanc.cos(A)

secb.seccSehingga diperoleh :

cosa=cosb.cosc+sinb.sinc.cosA

Dengan cara yang sama, namun pengambilan sudut

yang berbeda nantinya akan dihasilkan pula :

cosb=cosa.cosc+sina.sinc.cosB

cosc=cosa.cosb+sina.sinb.cosC

11

B. Prosedur Penentuan Arah Kiblat dengan Segitiga

Bola

Suatu tempat yang berada pada permukaan bumi

dapat digambarkan dengan titik-titik. Titik

tersebut didefinisikan oleh dua koordinat yaitu

bujur dan lintang. Semua titik yang memiliki bujur

nol terletak pada garis meridian Greenwich

(setengah lingkaran besar yang menghubungkan kutub

utara dan selatan dan melewati Greenwich).

Sementara itu semua titik yang memiliki lintang

nol terletak pada garis ekuator (khatulistiwa).

Persoalan arah Qiblat erat kaitannya dengan garis

lintang (φ) dan garis bujur (λ) tempat yang akan

diukur. (Jamil : 2009)

Lintang tempat (φ) diukur dari garis

khatulistiwa ke arah kutub bumi (dari khatulistiwa

sampai ke suatu tempat). Lintang yang berada

disebelah utara khatulistiwa disebut Lintang Utara

diberi tanda positif (+), sedang yang berada di

sebelah selatan disebut Lintang Selatan dan diberi

tanda negative (-). Bujur tempat (λ) biasanya

diukur dari meridian Greenwich di Inggris sebagai

titik pusat garis bujur. Garis bujur dari kota

Greenwich ke arah barat disebut Bujur Barat dan

bertanda negatif (-) dari 0° sampai 180°.

Sebaliknya garis bujur dari dari kota Greenwich ke

12

arah timur disebut Bujur Timur yang diberi tanda

positif (+). Jadi garis bujur diukur dari 0° sampa

180°, baik ke arah barat maupun ke arah timur.Untuk lebih jelasnya, dibawah ini disajikan gambar

segitiga bola dimana titik A merupakan titik kota

Mekah, titik B adalah lokasi yang akan ditentukan

arah Qiblatnya, dan titik C adalah titik utara

sejati (Kutub Utara)

Gambar 1.5 Segitiga bola

Dari Gambar di atas, segitiga bola ABC

menghubungkan titik A (kota Mekah), titik B

(lokasi) dan titik C (Kutub Utara). Titik A

memiliki koordinat bujur λA dan lintang φA. Titik

B memiliki koordinat bujur λB dan lintang φB.

Titik C memiliki lintang 90º. Busur a adalah

panjang busur yang menghubungkan titik B dan C.

Busur b adalah panjang busur yang menghubungkan

titik A dan C. Busur c adalah panjang busur yang

menghubungkan titik A dan B. Sudut C (sudut ACB)

tidak lain adalah selisih antara bujur λA dan

bujur λB. Jadi sudut C = λA – λB. Jadi arah kiblat

dari titik B dapat diketahui dengan menentukan

13

besar sudut B (sudut CBA). Selanjutnya, jari-jari

bumi dianggap sama dengan 1. Sudut yang

menghubungkan titik di khatulistiwa, pusat bumi

dan kutub utara adalah 90 derajat. Karena lintang

titik A adalah La, maka busur b sama dengan 90 –

La. Karena lintang titik B adalah Lb, maka busur a

sama dengan 90 – Lb.

1. Data dan Rumus Arah kiblat

a. Data yang digunakan

Untuk perhitungan arah kiblat hanya

diperlukan dua data tempat, yaitu data

lintang dan bujur ka’bah (Makkah) φ = 21,25°

LU dan λ = 39,50° BT dan data lintang dan

bujur tempat yang dicari arah kiblatnya

Tabel 1.1 Daftar Lintang dan Bujur Beberapa Tempatdi Indonesia

No.

Nama Kota Lintang Bujur° ‘ U/

S° ‘ B/

T1 Pekanbaru 0 33 U 10

126 T

2 Rengat 0 23 S 102

32 T

3 Bangkinang 0 21 U 101

7 T

4 Tembilahan 0 24 S 103

2 T

5 Bengkalis 1 29 U 102

4 T

6 Tanjung Pinang

0 54 U 104

27 T

7 Pasir 0 51 U 10 17 T

14

Pangarayan 08 Selat Panjang 0 58 U 10

242 T

9 Dabo Singkap 0 29 S 104

33 T

10 Tj. Balai Karimun

0 59 U 103

25 T

11 Dumai 1 39 U 101

26 T

12 Tarempa 3 12 U 106

12 T

13 Batam 1 7 U 104

2 T

14 Natuna 3 56 U 108

22 T

15 Pangkalan Kerinci

0 2 U 101

56 T

b. Rumus yang digunakan

Adapun rumus yang digunakan untuk menentukan

arah kiblat ini adalah dengan berpatokan pada

rumus cosines segitiga bola, yaitu :

cosb=cosa.cosc+sina.sinc.cosB

Sehingga untuk mencari sudut B rumus diatas

dapat diubah menjadi :

cosB=cosb−cosa.coscsina.sinc

sudut B adalah :

B=cos−1BUntuk menentukan arah kiblat (azimuth), sudut

tersebut digunakan 360°- B

15

Contoh :

1. Tentukan arah kiblat kota Pekanbaru, jika

diketahui letak kota Pekanbaru adalah 0,33° LU

101,26° BT dan lintang Ka’bah adalah 39,5° B T

21,25° LU

Penyelesaian :

Diketahui :

a = 90°- 0,33° = 89,67°

b = 90°- 21,25° = 68,35°

C = 101,26°-39,5° = 61,76°

Ditanya :

Sudut B = . . . ?

Jawab :

cosB=cosb−cosa.coscsina.sinc

Untuk mencari rumus diatas, terlebih

dahulu dicari nilai c dengan cara : cosc=cosa.cosb+sina.sinb.cosC

cosc=cos89,67.cos68,35+sin89,97.sin68,35.cos61,76

= 0,44190398192

c = cos−10,44190398192

= 63,77°

16

Maka cosB=cos68,35−cos89,67.cos63,77

sin89,67.sin63,77 = 0,40845622204

B = 65,89°

Selanjutnya didapatkan arahnya dengan cara

mengurangkan satu lingkaran penuh dengan sudut B,

yakni :

360°-65,89° = 294,11°

Jadi, arah kiblat (azimuth) kota Pekanbaru

adalah 294,11° UTSB (diukur dari utara kompas ke

barat)

2. Tentukan arah kiblat kota Tembilahan, jika

diketahui letak kota Pekanbaru adalah 0,24° LS

103,02° BT dan lintang Ka’bah adalah 39,5° B T

21,25° LU

Penyelesaian :

Diketahui :

Karena Kota Tembilahan terletak di

Lintang selatan, maka bernilai negative,

sehimgga:

a = 90° + 0,24° = 90,24°

b = 90°- 21,25° = 68,35°

C = 103,2°-39,5° = 63,7°

Ditanya :

Sudut B = . . . ?

Jawab :

17

cosB=cosb−cosa.cosc

sina.sincUntuk mencari rumus diatas, terlebih

dahulu dicari nilai c dengan cara : cosc=cosa.cosb+sina.sinb.cosC

cosc=cos90,24.cos68,35+sin90,24.sin68,35.cos63,7

= 0,4102656787

c = cos−10,4102656787

= 65,78°

Maka cosB=cos68,35−cos90,24.cos65,78

sin90,24.sin65,78 = 0,40643291372

B = 66,02°

Selanjutnya didapatkan arahnya dengan cara

mengurangkan satu lingkaran penuh dengan sudut B,

yakni :

360°-66,02° = 293,98°

Jadi, arah kiblat (azimuth) kota Tembilahan

adalah 293,98° UTSB (diukur dari utara kompas ke

barat).

18

BAB IV

PENUTUP

A. KESIMPULAN

Pengetahuan tentang arah kiblat yang benar

sangat penting bagi ummat Islam. Salah satu

cara yang dapat digunakan dalam menentukan ara

kiblat adalah dengan memanfaatkan ilmu

matematika, yaitu dengan menggunakan aturan

cosinus pada segitiga bola. Sedikit berbeda

dengan aturan cosinus pada segitiga bidang

datar, pada segitiga bola aturan cosinusnya

adalah :

cosa=cosb.cosc+sinb.sinc.cosA

cosb=cosa.cosc+sina.sinc.cosB

cosc=cosa.cosb+sina.sinb.cosC

Untuk menentukan arah kiblat, diperlukan 3 buah

titik, A merupakan titik kota Mekah, titik B

adalah lokasi yang akan ditentukan arah

Qiblatnya, dan titik C adalah titik utara sejati

(Kutub Utara). Jadi arah kiblat dari titik B

dapat diketahui dengan menentukan besar sudut B

(sudut CBA). Dengan menggunakan aturan cosinus

diatas, sudut B dapat dicari dengan :

19

cosB=cosb−cosa.cosc

sina.sincsudut B adalah :

B=cos−1BUntuk menentukan arah kiblat (azimuth), sudut

tersebut digunakan 360°- B

B. SARAN

Sebagai ummat islam, sudah selayaknya kita

mengetahui arah kiblat kita. Walaupun saat ini

sudah ada kompas kiblat dan sudah beredarnya

perhitungan yang di terbitkan oleh Departemen

Agama untuk beberapa lokasi, alangkah baiknya

kita mengetahui cara dan bagaimana menentukan

arah kiblat yang sebenarnya. Sebagai mahasiswa

jurusan pendidikan matematika, kita dapat

memanfaatkan ilmu matematika untuk menentukan

arah kiblat yakni dengan menggunakan rumus

cosines segitiga bola (spherical

trigonometric). Karena bumi kita ini berbentuk

bola maka rumus ini dianggap sangat

representative untuk menjawab permasalahan

dalam menentukan arah kiblat. Dengan

menggunakan cara ini kita dapat memahami bahwa

matematika bukan hanya sekedar ilmu abstrak.

Selama ini banyak yang beranggapan bahwa

20

matematika hanyalah ilmu yang abstrak, bersifat

teoritis, dan hanya berbicara tentang rumus-

rumus saja. Padahal matematika merupakan suatu

ilmu yang sangat dekat dengan realita kehidupan

21

DAFTAR PUSTAKA

Ahmad Izzan, 2013, Studi Ilmu Falak, Banten : Pustaka

Aufa Media

22