Mechanical Characteristics of Historical Beams of Picea Abies Wood. Assessment by Static Bending.

Investigación e IIM Ingeniería de la Madera Volumen 11 Número 2 Agosto, 2015 Revista del Laboratorio de Mecánica de la Madera

División de Estudios de Posgrado

Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera

Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo ISSN: 2395-9320 Análisis estructural de edificaciones antiguas de madera. Consideraciones generales. Javier Ramón Sotomayor Castellanos Variación del módulo de elasticidad dinámico de la madera según la técnica de evaluación. Javier Ramón Sotomayor Castellanos Mechanical Characteristics of Historical Beams of Picea Abies Wood. Assessment by Static Bending. Javier Ramón Sotomayor Castellanos

Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 11, Número 2, Agosto 2015

2

Investigación e Ingeniería de la Madera, Volumen 11, No. 2, mayo-agosto 2015. Publicación cuatrimestral editada por la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, Av. Francisco J. Mújica, s/n. Ciudad Universitaria. Código Postal 58030. Teléfono y Fax (443) 322-3500. www.investigacioneingenieriadelamadera.umich.mx, [email protected]. Editor: Javier Ramón Sotomayor Castellanos. Reserva de Derechos al Uso Exclusivo No. 04-2014-103117440700-203. ISSN: 2395-9320. Ambos otorgados por el Instituto Nacional del Derecho de Autor. Responsable de la última actualización de este número, Laboratorio de Mecánica de la Madera, División de Estudios de Posgrado, Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera, Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, Javier Ramón Sotomayor Castellanos. Av. Francisco J. Mújica, s/n. Ciudad Universitaria. C.P. 58030. Teléfono y Fax (443) 322-3500, fecha de la última modificación: 31 de agosto de 2015. Diseño y formación: Laboratorio de Mecánica de la Madera, División de Estudios de Posgrado, Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera. Portada: Joel Benancio Olguín Cerón y Javier Ramón Sotomayor Castellanos. Publicado digitalmente en Morelia, Michoacán, México. Agosto de 2015. Consulta electrónica: www.academia.edu, www.researchgate.net, http://laboratoriodemecanicadelamadera.weebly.com/ y http://www.investigacioneingenieriadelamadera.umich.mx/index.php/madera/index. Derechos reservados: ©Laboratorio de Mecánica de la Madera, División de Estudios de Posgrado, Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera y ©Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo. Editor de la revista: Javier Ramón Sotomayor Castellanos Comité editorial: Luz Elena Alfonsina Ávila Calderón Marco Antonio Herrera Ferreyra David Raya González

mailto:[email protected]

http://www.academia.edu/


3

Contenido

Análisis estructural de edificaciones antiguas de madera.

Consideraciones generales.

Javier Ramón Sotomayor Castellanos ............................................................. 4

Variación del módulo de elasticidad dinámico de la madera

según la técnica de evaluación.


Mechanical Characteristics of Historical Beams of Picea Abies Wood.

Assessment by Static Bending.



4

Análisis estructural de edificaciones antiguas de madera.

Consideraciones generales.

Javier Ramón Sotomayor Castellanos1

Resumen

Se presentan las consideraciones generales para aplicar el enfoque probabilístico

al análisis de estructuras de madera, el cual, con la actualización de los valores de

las características materiales y de las acciones sobre una estructura en servicio,

puede ser usado en el análisis estructural de edificaciones antiguas de madera. Se

describen los criterios de comportamiento estructural de confiabilidad y de servicio,

así como las funciones de estado límite correspondientes. Además, se detallan las

características materiales básicas y complementarias, las funciones de modificación

para resistencia y rigidez, así como los criterios de actualización de acciones y de

características materiales.

Palabras clave: enfoque probabilístico, características materiales, confiabilidad

estructural.

Abstract

The general considerations to apply the probabilistic approach to the analysis of wood

structures are presented, which, by updating the values of the material characteristics and

the actions on a structure in service, can be used in the structural analysis of old wood

constructions. Structural performance criteria of reliability and of service, as well as the

corresponding limit state functions, are described. In addition, basic and supplementary

material characteristics, modification functions for strength and stiffness, as well as the

upgrade actions and material characteristics criteria are detailed.

Key words: probabilistic approach, material characteristics, structural reliability.

1 Profesor, Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera, UMSNH. [email protected]


5

Introducción

La propuesta aquí discutida está basada en la información publicada en el Código

Europeo EC5 (European Committee for Standardization, 2004) y en el Código del

Modelo Probabilístico de la Comisión Mixta en Seguridad Estructural (Joint

Committee On Structural Safety, 2006). Las ideas de este proyecto han sido

analizadas por varios autores: Foschi et al. (1989), Diamantidis (2001), Köhler et al.

(2007) y Dietsch y Köhler (2010).

Criterios de comportamiento estructural

Los criterios de comportamiento estructural de confiabilidad y de servicio son

establecidos de acuerdo a las siguientes desigualdades:

Confiabilidad: Resistencia > Efecto de carga

Servicio: Deflexión límite > Deflexión

Estos criterios pueden ser asimismo definidos por las funciones de estado límite:

Confiabilidad: gc = Resistencia - Efecto de carga aplicada

Servicio: gs = Deflexión límite – Deflexión real

Características materiales básicas

Las características materiales básicas de la madera estructural son:

rm,s : Resistencia al momento en flexión (MPa)

moem,s : Módulo de elasticidad en flexión (MPa)

ρden,s : Densidad (kg/m3)


6

Características materiales complementarias

Las características materiales complementarias de la madera estructural son:

rt,0 : Resistencia al esfuerzo de tensión paralela a la fibra (MPa)

rt,90 : Resistencia al esfuerzo de tensión perpendicular a la fibra (MPa)

moet.0 : Módulo de elasticidad paralela a la fibra (MPa)

moet,90 : Módulo de elasticidad perpendicular a la fibra (MPa)

rc,0 : Resistencia al esfuerzo de compresión paralela a fibra (MPa)

rc,90 : Resistencia al esfuerzo de compresión perpendicular a fibra (MPa)

rv : Resistencia al esfuerzo cortante (MPa)

mogv : Módulo de rigidez en cortante (MPa)

Las características materiales complementarias son estimadas a partir de las

características materiales básicas. Las expresiones de las previsiones para los

valores esperados se presentan en la Tabla 1.

Tabla 1. Relaciones entre las características de referencia y las complementarias.

Característica Valor estimado E[X] Coeficiente de variación COV

rt,0 E[Rt,0] = 0.6 E[Rm] COV[Rt,0] = 1.2 COV[Rm]

rt,90 E[Rt,90] = 0.015 E[Pden] COV[Rt,90] = 2.5 COV[Pden]

moet.0 E[MOEt,0] = 1.0 E[MOEm] COV[MOEt,0] = 1.0 COV[MOEm]

moet,90 E[MOEt,90] = 0.033 E[MOEden] COV[MOEt,90] = 1.0 COV[MOEm]

rc,0 E[Rc,0] = 5 E[Rm]0.45 COV[Rc,0] = 0.8 COV[Rm]

rc,90 E[Rc,90] = 0.008 E[Pden] COV[Rc,90] = 1.0 COV[Pden]

rv E[Rv] = 0.2 E[Rm]0.8 COV[Rv] = 1.0 COV[Rm]

mogv E[MOGv] = 0.063 E[MPGm] COV[MOGv] = 1.0 COV[MOEm]

Estado límite último

Un Estado Límite Último gu es un estado el cual al ser rebasado, la estructura

completa o una parte de la misma puede colapsar al superar su capacidad

resistente. La ecuación del estado límite último se escribe:

gu = zd R XM - Σi(Si) (1)


7

Donde: zd es el valor de diseño de la variable, por ejemplo, el área de la sección

transversal, R es la resistencia mecánica, por ejemplo, la resistencia al esfuerzo de

tensión, XM es el nivel de incertidumbre del modelo y ∑(Si) es la suma de todos los

efectos (i) de carga posibles, por ejemplo, el esfuerzo axial.

Estado límite de servicio

Un Estado Límite de Servicio gt es un tipo de estado que, de ser rebasado, produce

una pérdida de funcionalidad o deterioro de la estructura, pero no un riesgo

inminente a corto plazo. La ecuación del Estado Límite de Servicio cuando la

curvatura o deflexión real de un elemento estructural excede la deflexión límite

permisible δL, se escribe:

gt = δL - WΔ[Σ ( Si, MOEm, t)] XM (2)

Donde: WΔ[ ∑( Si, MOEm, t)] es la deflexión al tiempo t, dependiente de los efectos

de carga ∑ Si y del módulo de elasticidad MOEm.

Modelo probabilístico

En el caso general para cualquier función del estado límite de la forma: g(X), donde

X es un vector de variables aleatorias, la probabilidad de falla es:

Pf = ∫ fx(x) dx

g(x) ≤ 0

(3)

Si el estado adverso de falla F se define por: F = {x | g1(x) ≤ 0}, la probabilidad de

falla puede ser calculada por:

Pf = P (R - S ≤ 0) = ∫ FR(s) fs(s) ds

∞

-∞

(4)


8

Donde: Pf es la probabilidad de falla objetivo, P es la probabilidad, R es la resistencia

correspondiente a FR, FR (s) es la función de distribución de probabilidad para R, S

es efecto de carga aplicada correspondiente a fs y fs (s) es la función de distribución

de probabilidad S.

Cuando R y S son representadas como variables independientes con una

distribución aleatoria y normal, la probabilidad de falla Pf puede ser calculada por:

Pf = Φ [ − (μR − μS) √σR2 + σS

2⁄ ] (5)

Donde: Φ es el operador estándar, μR es la media estadística de la resistencia, μS

es la media estadística del efecto de la carga, σR es la desviación estándar de la

resistencia y σS es la desviación estándar del efecto de la carga aplicada.

El tipo de distribución y el coeficiente de variación para las características materiales

básicas y complementarias para maderas de especies gimnospermas se presentan

en las Tabla 2. Los coeficientes de variación de las características complementarias

son determinados empleando la información dada en la Tabla 1.

Tabla 2. Modelos probabilísticos para características materiales de referencia.

Características básicas Distribución Coeficiente de variación Resistencia a la flexión Rm = Rm,s Log Normal 0.25 Módulo de elasticidad en flexión MOEm = MOEm,s Log Normal 0.13 Densidad Pden = Pden,s Normal 0.10

Característica complementarias Distribución Resistencia al esfuerzo de tensión en la dirección paralela a la fibra Rt,0 Log Normal Resistencia al esfuerzo de tensión en la dirección perpendicular a la fibra Rt,90 Weibull Módulo de elasticidad en la dirección paralela a la fibra MOEt,0 Log Normal Módulo de elasticidad en la dirección perpendicular a la fibra MOEt,90 Log Normal Resistencia al esfuerzo de compresión en la dirección paralela a fibra Rc,0 Log Normal Resistencia al esfuerzo de compresión en la dirección perpendicular a fibra Rc,90 Normal Resistencia al esfuerzo cortante Rv Log Normal Módulo de rigidez MOGv Log Normal


9

Actualización de acciones y características materiales

Las características materiales son sensibles a las condiciones de servicio de la

estructura. Por lo tanto es necesario ajustarlas con un factor de sensibilidad α: s:

cargas; ω: humedad; T: temperatura; y t: tiempo.

La capacidad para resistir el momento de flexión in-situ, rm,α :

rm,α = α(Ex( s, ω, T, t )) rm (6)

El módulo de elasticidad en flexión in-situ, moem,α:

moem,α = moem,0 [1+ δ(Ex( s, ω, T, t ))]⁄ (7)

La densidad in-situ ρden,α:

ρden,α

= ρ (8)

La actualización de los efectos permanentes de las acciones puede ser modelada

con diferentes tipos de distribuciones: normal, de Gumbel o Log Normal. Las

excepciones son la densidad y la resistencia en compresión perpendicular a la fibra,

las cuales pueden ser modeladas como una variable con una distribución

normalmente distribuida al azar. La resistencia a la tensión perpendicular a la fibra

puede ser modelada como una variable con una distribución al azar de Weibull.

El valor actualizado de una distribución normalmente distribuida de los efectos de

las acciones Ed, act y de las propiedades materiales de resistencia y/o de rigidez

Rd, act puede ser calculado por:

Ed, act = Eμ,act (1+ αE β0 νE,act) (9)


10

Rd, act = Rμ,act (1+ αR β0 νR,act) (10)

Con:

β0 ≤ -Φ

-1 (Pf) (11)

De acuerdo con una distribución Log-Normal puede ser calculado por:

Ed, act = Eμ,act e(αE β0 δE - 0.5 δE

2 ) (12)

Rd, act = Rμ,act e(αR β0 δR - 0.5 δR

2 ) (13)

Con:

δE2 = ln (νE,act

2 + 1) (14) δR2 = ln (νR,act

2 + 1) (15)

Donde: αE es el factor de sensibilidad para efecto actualizado de acciones, αR es el

factor de sensibilidad para resistencia o rigidez actualizadas, δE es un parámetro de

la distribución Log-Normal para acciones actualizadas, δR es un parámetro de la

distribución Log-Normal para la rigidez actualizada, νE,act es el coeficiente de

variación de efecto de acciones actualizado y vR,act es el coeficiente de variación de

resistencia o rigidez actualizado. β0 es equivalente al índice objetivo de

confiabilidad, función de la probabilidad de falla Pf y derivado de los valores

propuestos en la Tabla 3, empleando la ecuación (4).

Tabla 3. Relaciones entre β0 y Pf.

Pf 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-7 β0 1.3 2.3 3.1 3.7 4.2 4.7 5.2


11

El valor actualizado de los efectos de acciones Ed, act de acuerdo con una

distribución de tipo Gumbel puede ser calculado por:

Ed, act = Eμ,act [1- νE,act (0.45 + 0.78 ln {- ln[Φ(αE β0)]})] (16)

Donde Φ es el operador normal de falla, Para el caso de que los factores de

sensibilidad α que no son actualizados empleando el método de confiabilidad de

primer orden, los valores simplificados de estos factores pueden ser:

Factor de sensibilidad para efecto de acciones principales αE = 0.7

Factor de sensibilidad para efecto de acciones acompañantes αE = 0.3

Factor de sensibilidad para resistencia importante para seguridad αR = -0.8

Factor de sensibilidad para resistencia minúscula para seguridad αR = -0.3

Actualización del comportamiento de la estructura

A partir de la desigualdad del estado límite: Ed, act ≤ Rd,act (17)

El grado de eficiencia GE se define por: GE = Rd,act Ed,act⁄ ≥ 1 (18)

Sí GE < 1, la estructura debe ser reforzada o las cargas deben ser reducidas.

Los valores para las funciones modificación para la resistencia α(Ex(·)) y para las

funciones modificación para la rigidez δ(Ex(·)), para riesgos de la estructura a las

acciones s, ω y T durante el intervalo [0,t], se presentan en la Tabla 4 para diferentes

contenidos de humedad de la madera (ω).


12

Tabla 4. Funciones modificación para la resistencia y la rigidez.

Clase de servicio

Permanente Largo término Medio término Corto

término Instantáneo

Resistencia t > 10 años 0.5 < t >10

años 0.25 < t < 6

meses t < 1

semana t ≈ 0

1: ω =12% α = 0.60 α =0.70 α =0.80 α = 0.90 α = 1.10 2: ω =20% α = 0.60 α = 0.70 α = 0.80 α = 0.90 α = 1.10 3: ω =20% α = 0.5 α = 0.55 α = 0.65 α = 0.70 α = 0.90

Clase de servicio

Permanente Largo término Medio término Corto

término Instantáneo

Rigidez t > 10 años 0.5 < t >10

años 0.25 < t < 6

meses t < 1

semana t ≈ 0

1: ω =12% δ = 0.60 δ = 0.50 δ = 0.25 δ = 0.0 δ = 0.0 2: ω =20% δ = 0.80 δ = 0.50 δ = 0.25 δ = 0.0 δ = 0.0 3: ω =20% δ = 2.00 δ = 1.50 δ = 0.75 δ = 0.30 δ = 0.0

Conclusiones

Los principios del análisis estructural en Ingeniería son de aplicación universal. Su

adaptación a las condiciones de México depende del empleo de las características

materiales propias de las especies de maderas mexicanas y del ajuste de las

condiciones de servicio de las estructuras en el país. La fiabilidad de un sistema

estructural es la probabilidad de que su rendimiento sea el esperado en una

situación dada. El análisis de un sistema está normalmente controlado por la

intervención de diferentes variables, algunas representando las propiedades

mecánicas y geométricas de la estructura y otras caracterizando los requerimientos

y/o cargas. Normalmente estas variables son inciertas y aleatorias y solamente

pueden ser descritas en términos estadísticos y de probabilidad.

Aclaración

Una versión preliminar de este artículo se publicó como: Sotomayor Castellanos,

J.R. 2012. Análisis estructural de edificaciones antiguas de madera. En: Memorias

del 7º Congreso Estatal de Ciencia, Tecnología e Innovación. Consejo Estatal de

Ciencia, Tecnología e Innovación. México.


13

Referencias

Diamantidis, D. (2001). Probabilistic Assessment of Existing Structures. A

Publication of the Joint Committee on Structural Safety (JCSS). RILEM Publications.

S.A.R.L. The Publishing Company of RILEM.

Dietsch, P., Köhler, J. (2010). Assessment of Timber Structures. COST Action E55.

Modelling of the Performance of Timber Structures. European Science Foundation.

Shaker Verlag. Deutschland.

European Committee for Standardization. (2004). Eurocode 5. EN 1995-1-1: Design

of timber structures. Part 1-1: general-common rules and rules for buildings.

Foschi, R.O., Folz, B.R., Yao, F.Z. (1989). Reliability Bases Design of Wood

Structures. Structural Research Series 34. University of British Columbia. Canada.

Joint Committee On Structural Safety. (2006). Probabilistic model code. Part 3.5-

Timber. Joint Committee on Structural Safety.

Köhler, J., Sørensen, J.D., Faber, M.H. (2007). Probabilistic modeling of timber

structures. Structural Safety. 29(4):255-267.


14

Variación del módulo de elasticidad dinámico de la madera

según la técnica de evaluación.


Resumen

Los valores experimentales del módulo de elasticidad dinámico de la madera

determinados en un mismo grupo de especímenes, varían según la técnica

empleada. Se efectuaron pruebas de ultrasonido, ondas de esfuerzo y vibraciones

transversales y se determinaron los módulos de elasticidad de la madera de Cedrela

odorata y Platymiscium dimorphandrum correspondientes. Los resultados

mostraron diversidad entre especies y métodos de prueba. Se concluye que los

módulos son diferentes conforme a la técnica experimental empleada. Se proponen

como causas, la variabilidad de la madera, el contenido de humedad, la anisotropía

material y el tipo de solicitación mecánica en cada una de las pruebas.

Palabras clave: ultrasonido, ondas de esfuerzo, vibraciones transversales, módulo

de elasticidad.

Abstract

The experimental values of the dynamic modulus of elasticity of wood determined within the

same group of specimens, vary according to the technique used. Ultrasound, stress waves

and transverse vibrations tests were performed, and the wood modulus of elasticity

corresponding to Cedrela odorata and Platymiscium dimorphandrum were determined. The

results showed diversity among species and test methods. It is concluded that the moduli

are different according to the experimental technique used. The causes proposed are the

variability of wood, the moisture content, the material anisotropy and the type of mechanical

solicitation in each of the test.

Key words: ultrasound, stress waves, transverse vibrations, modulus of elasticity.



15

Introducción

La madera de especies mexicanas presenta una diversidad en sus características

mecánicas que permite su empleo en una amplia gama de productos utilitarios. En

México, ha sido recopilada información sobre las características mecánicas

estáticas de especies de maderas (Silva-Guzmán et al. 2010). Respecto a

información de módulos de elasticidad determinados por métodos no destructivos,

la literatura es escasa, con excepción de Sotomayor-Castellanos et al. (2010).

Los métodos de evaluación no destructivos de ultrasonido, ondas de esfuerzo y

vibraciones transversales se caracterizan principalmente por su rapidez, bajo costo

y por no afectar la estructura física del material en estudio. Estas técnicas, han

demostrado su efectividad para determinar la velocidad de onda y el módulo de

elasticidad dinámico de la madera, parámetro de referencia para el diseño de

productos y de estructuras de madera funcionando en condiciones dinámicas

Kawamoto y Williams (2002). Igualmente, la velocidad de onda y la frecuencia

natural de piezas de madera, son propiedades empleadas en el diseño de productos

de madera con vocación para aplicaciones acústicas (Spycher et al. 2008; Wegst,

2008).

Objetivo

Determinar los módulos de elasticidad dinámicos de la madera de Cedrela odorata

(Cedro rojo) y Platymiscium dimorphandrum (Hormiguillo) y analizar las posibles

causas de su variación.

Materiales y métodos

El material experimental consistió en madera de Cedrela odorata (52 probetas) y

Platymiscium dimorphandrum (34 probetas), recolectada en el Estado de


16

Michoacán. Se prepararon probetas con dimensiones de 20 mm x 20 mm x 320 mm,

orientadas en las direcciones radial, tangencial y longitudinal de acuerdo a las

recomendaciones de la norma de la Organización Internacional para la

Estandarización (International Organization for Standardization, 2012).

El contenido de humedad (H en %) se determinó por el método de diferencia de

pesos con grupos complementarios de probetas. Para cada espécimen, se calculó

la densidad (ρH en kg/m3) correspondiente al contenido de humedad de la madera

en el momento de las pruebas. Se midieron las velocidades de onda (v en m/s) y

las frecuencias naturales (fvt en Hz) necesarias para el cálculo de los módulos de

elasticidad (E en Pa) por ultrasonido (us), ondas de esfuerzo (oe) y vibraciones

transversales (vt).

Las pruebas por ultrasonido y de ondas de esfuerzo consistieron en medir el tiempo

de transmisión de la onda a través de la probeta (Figura 1). Se calculó la velocidad

y se determinó el módulo de elasticidad con la fórmula (1):

E = v 2 ρH (1)

Figura 1. Dispositivos para pruebas de ultrasonido y ondas de esfuerzo.

Las pruebas de vibraciones transversales consistieron en medir la frecuencia natural

de vibración perpendicular a la dirección longitudinal de la probeta (Figura 2). El

módulo de elasticidad en vibraciones transversales fue calculado con la fórmula (2):


17

Evt = 4 π2 Lvt

4 fvt

2 ρ

H

m4 r2 (1 +

r2

lvt2

K) (2)

Donde:

Evt = Módulo de elasticidad en vibraciones transversales (Pa)

Lvt = Largo de la probeta (m)

lvt = Distancia entre apoyos (m)

fvt = Frecuencia natural de la probeta (Hz)

ρH = Densidad de la madera a un contenido de humedad H (kg/m3)

m, K = Constantes adimensionales

r = Radio de giro de la sección transversal de la probeta (m2)

Figura 2. Dispositivo para pruebas de vibraciones transversales.

Resultados y discusión

La Tabla 1 muestra los resultados de las pruebas de ultrasonido, ondas de esfuerzo

y vibraciones transversales.

Los valores dinámicos determinados son proporcionales a los datos para maderas

de densidades similares presentados por Sotomayor et al. (2010). Sin embargo, el

contenido de humedad experimental fue ligeramente inferior al indicado en las

bases de datos empleadas usualmente en ingeniería de la madera, el cual es del

12%. Respecto a los coeficientes de variación de los parámetros determinados, sus


18

magnitudes son congruentes con los reportados en la bibliografía (Hernández

Maldonado, 2010). La Figura 3 presenta las nubes de dispersión de los datos

experimentales para cada especie y según las diferentes pruebas realizadas.

Tabla 1. Resultados de las pruebas dinámicas.

Especie

(Nombre común)

Características

físicas Ultrasonido

Ondas de

esfuerzo

Vibraciones

transversales

ρH H Vus Eus Voe Eoe fvt Evt

(kg/m3) (%) (m/s) (MPa) m/s (MPa) (Hz) MPa

Cedrela odorata

(Cedro rojo)

x̅ 566 10.63 3,385 6,513 4,208 10,037 873 9,795

σ 51 0.57 230 1,018 262 1,355 89 1,262

CV 0.09 0.05 0.07 0.16 0.06 0.13 0.10 0.13

Platymiscium

dimorphandrum

(Hormiguillo)

x̅ 866 9.48 3,301 9,476 4,670 18,965 823 14,077

σ 33 0.35 172 1,179 221 2,191 40 1,637

CV 0.04 0.04 0.05 0.12 0.05 0.12 0.05 0.12

A manera de comparación con valores estimados para condiciones estáticas, los

modelos propuestos por Hernández-Maldonado (2010) para especies

angiospermas: Est = 22,370 ρ12

, donde: Est es el módulo de elasticidad de la

madera con H = 12% y ρ12 (kg/m3) es la densidad de la madera con un contenido

de humedad del 12%, resultan en valores mayores que los valores dinámicos, tal

como se muestra en la Figura 3.

Los datos estimados por este modelo, se refieren a solicitaciones en la dirección

longitudinal, las cuales coinciden con las aplicadas en las pruebas de ultrasonido y

ondas de esfuerzo.

Por su parte el modelo FITECMA para estimación de características mecánicas de

maderas mexicanas: MOE = 191,045 ρH1.02 (Sotomayor-Castellanos, 2005),

produce valores para módulos de elasticidad en flexión. Dichos valores, se

confunden con los experimentales, particularmente con los de las pruebas de

vibraciones transversales. En estas pruebas de flexión, las solicitaciones son

compuestas y se pueden considerar como equivalentes, donde la velocidad de


19

deformación varía de casi nula, como es el caso en flexión estática, hasta la

frecuencia de vibración de alrededor de 850 Hz en las pruebas de vibraciones

transversales.

Estos modelos de predicción, consideran un contenido de humedad de la madera

del 12%, valor diferente en un 2% al de la muestra experimental.

Los resultados denotan, por una parte, la influencia de la variabilidad de la madera,

del contenido de humedad y de las propiedades de anisotropía material de la

madera. Por otra, la velocidad y la orientación de la solicitación mecánica en cada

una de las pruebas parece influir en la magnitud de los módulos de elasticidad

dinámicos de la madera de C. odorata y P. dimorphandrum.

Figura 3. Dispersión de los datos experimentales para cada especie y según las

diferentes pruebas realizadas.

4,000

8,000

12,000

16,000

20,000

24,000

28,000

500 600 700 800 900 1,000

Módulo

de e

lasticid

ad

(MP

a)

ρH (kg/m3)

ModeloFITECMA Ondas de

esfuerzo

VibracionesTransversales

Ultrasonido

Modeloelástico

Cedrela odorata

Platymiscium dimorphandrum


20

Conclusiones

Los valores de los módulos de elasticidad por los tres métodos, fueron

proporcionales a la densidad de la madera de P. dimorphandrum.

Excepcionalmente, C. odorata presenta valores equitativamente menores para su

densidad.

Con el objeto de estandarizar valores útiles en el diseño y cálculo de productos y

estructuras de madera, es necesario ajustar valores experimentales medidos con

un contenido de humedad diferente al que se presenta usualmente en métodos

normalizados, que es del 12%. Particularmente, la densidad y la velocidad de onda.

Agradecimientos

La investigación estuvo patrocinada por la Coordinación de la Investigación

Científica, de la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo. Se agradece

al alumno Emerson Cárdenas Casas por recolectar y donar el material experimental,

así como a los alumnos de la Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera,

de la UMSNH, por su colaboración en los trabajos de laboratorio.

Aclaración

Una versión preliminar de este artículo se publicó como: Sotomayor-Castellanos,

J.R. 2013. Variación del módulo de elasticidad dinámico de la madera según la

técnica de evaluación. En: Memorias del VIII Congreso Estatal de Ciencia,

Tecnología e Innovación. CECTI. México.


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Referencias

International Organization for Standardization. (2012). ISO 3129:2012. Wood -

Sampling methods and general requirements for physical and mechanical tests. ISO

Catalog 79 Wood technology; 79.040 Wood, sawlogs and saw timber. International

Organization for Standardization. Brussels, Belgium.

Silva-Guzmán, J.A., Fuentes Talavera, F.J., Rodríguez Anda R., Torres Andrade,

P.A., Lomelí Ramírez, M.A., Ramos Quirarte, J., Waitkus, C., Richter, H.G. (2010).

Fichas de propiedades tecnológicas y usos de maderas nativas se México e

importadas. Universidad de Guadalajara y Comisión Nacional Forestal. México.

Sotomayor-Castellanos, J.R. (2005). Características mecánicas y clasificación de

150 especies de maderas Mexicanas. Investigación e Ingeniería de la Madera.

1(1):3-22.

Sotomayor-Castellanos, J.R.; Guridi-Gómez, L.I.; García-Moreno, T. (2010).

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23

Mechanical Characteristics of Historical Beams of Picea Abies Wood.

Assessment by Static Bending.


Abstract

Five historical full-size structural beams of Picea abies wood were tested in static

bending. The modulus of elasticity and the modulus of rupture were computed

according to the European Standard EN 408. Beams 1 and 5 have similar behavior

and beams 2 and 3 also behaved in a comparable way. Only beam 4 presented a

different response. According to the European Standard EN 384 and depending in

their stiffness properties, the beams classify in the following order: beam 1: C24;

beams 2 and 3: C16; beam 4: C14; and beam 5: C22. The static bending tests were

useful to assess of the modulus of elasticity and the modulus of rupture in full-size

beams of Picea abies wood. Considering the prudent adjustments according to the

conditions of every particular case study, the methodology here developed can be

applied to the assessment of other wooden structures.

Key words: Modulus of elasticity, modulus of rupture, old wood constructions

Resumen

Cinco vigas estructurales de tamaño real históricas de madera de Picea abies se

ensayaron en flexión estática. El módulo de elasticidad y el módulo de ruptura fueron

calculados de acuerdo con la norma europea EN 408. Las vigas 1 y 5 tienen un

comportamiento similar y las vigas 2 y 3 también se comportaron de un modo

comparable. Solo la viga 4 presenta una respuesta diferente. De acuerdo con la



24

norma europea EN 384 y en función de sus propiedades de rigidez, las vigas se

clasifican en el orden siguiente: viga 1: C24; vigas 2 y 3: C16; viga 4: C14; y la viga

5: C22. Los ensayos de flexión estática fueron útiles para evaluar el módulo de

elasticidad y el módulo de ruptura en las vigas de tamaño real de madera de Picea

abies. Teniendo en cuenta los ajustes prudentes de acuerdo con las condiciones de

cada estudio de caso particular, la metodología aquí desarrollada se puede aplicar

a la evaluación de otras estructuras de madera.

Palabras clave: Módulo de elasticidad, módulo de ruptura, edificaciones antiguas

de madera.

Introduction

The structural analysis of historical wooden constructions involves the authenticity

criteria, the principles of minimum intrusion and reversibility of any intervention, as

well as an appropriate scientific approach. The wooden beams analyzed in this work

showed a valuable cultural significance. Therefore, a methodological assessment of

their mechanical proprieties was employed. This case study was an exceptional

opportunity to analyze historic material in laboratory conditions. In spite of the beams

being already dismantled, the beams being considered as an irreplaceable fabric.

The wood that shapes historical buildings has a singular quality and sometimes its

technological condition suffers from the influence of the time and work conditions.

This frequently found scenario reduces the magnitude of the nominal proprieties of

the element, compared to its actual mechanical characteristics. This circumstance

suggests that it is necessary to search for reliable information of mechanical

properties related to the wood currently used in historical buildings, Bonamini and

Noferi (2004).

Arnold and Steiger (2006) and Olsson et al. (2012) have tested full-size structural

timber of P. abies wood applying the 4-point static bending method. Recently,


25

Calderoni, et al. (2006) and Faggiano et al. (2011) using the same approach, studied

ancient full-size structural members of Castanea sativa wood.

The procedures and configuration of static bending tests are well established for

timber and full-size wooden elements, as shown by the European Standard EN 408

(2003) and the European Standard EN 384 (2004). However, in the context of

structural analysis of old wooden structures it is challenging to apply directly this

approach. These material parameters originated from that technique are considered

as material parameters of reference for structural design and in numerical modeling,

and sometimes, as a reference to in-situ inspection and nondestructive tests

evaluation.

This article presents the modulus of elasticity and the modulus of rupture in static

bending of historical beams of Picea abies wood. The beams had an antiquity

estimated of 100 years performing as structural elements of the wooden roof of the

Prague Masaryk Railway Station, Czech Republic. In 2011, the roof was renewed

and the old beams were removed from their original function. A sample of five beams

was selected to be used in this research.

Methodology

The procedure of the static bending tests adapted the protocol recommended by

Yamasaki and Sasaki (2010) and the European Standard EN 408 (2003). The

specimens were simply supported and the span distance between the support points

was 3000 mm, 11.3 times the depth of the specimens. The distance between the

load points was 1000 mm and the specimen overhang was 250 mm, the

displacement rate was of 2 mm/min (Figure 1).


26

Figure 1. Static bending test configuration. P: Load (N); y: bending deformation (m);

Other magnitudes in millimetres.

The bending load was recorded with a load cell with a capacity of 300 kN (Rukov

Rumbuk®) attached to the tester. The deformation of the beams was measured in

the middle of the bending span with two potentiometers, each one placed in the

middle of the central point of the opposite edgewise direction of the beam, that’s to

say, at the initial neutral axis of the beam (Figure 1). The deformation used in further

analysis represents the average of both measurements. All the data were acquired

and treated using a dynamic switchboard Dewe-5000 (TRADMARK data logger

system©). The modulus was calculated within the elastic interval representing a

stress of environing at 20% of the maximum stress supported by the beams.

The global modulus of elasticity (MOE) determined by static bending in the edgewise

position of the beams was computed with the formula:

MOE = ΔP

Δy

( 3 a Lst 2 - 4 a 3 )

48 I

Where: ΔP: load interval in the elastic domain (N); Δy: middle-ordinate of the span

in pure bending (m); Lst: span between supports of the beam in static bending (m);

250

1000 1000

1500

250

1500

1000

P/2 P/2

y


27

a: distance from one support to the load point (m); I: centroidal area moment of inertia

of the beam (m4).

The modulus of rupture (MOR) was computed with the formula:

MOR = 3 a Pr

b h2

Where: Pr: load to the rupture (N); a: distance from one support to the point load (m);

b: thickness of the beam (m); h: height of the beam (Hz).

Results and discussion

Table 1 shows the results for the five beams studied. Figures 2 and 3 show the load-

deformation diagrams from the static bending tests.

The average values of the modulus of elasticity from the five beams (Table 1) are

around 11 % lower comparing to results from Olsson et al. [3] who studied timber of

P. abies wood with a density of 472 kg/m3 and a moisture content of 13.6 %. Their

values of modulus of elasticity are around 10600 MPa. This difference can be

explained by the poor general condition and the presence of cracks of the historical

beams, and differences in the wood density. Moreover, the difference in specimen

size and the presence of natural growth particularities can reduce the mechanical

properties of full size specimens of wood compared with small and clear wood

specimens. For instance, the average modulus of elasticity of the ancient beams is

34 % lower compared to the results of Sonderegger et al. (2008) who tested small,

clear and standard specimens of P. abies wood with a density of 469 kg/m3 and a

moisture content of 12 %.


28

Table 1: Values of moisture content, density, modulus of elasticity and modulus of

rupture from the five historical beams settings

Beam MC

(%)

ρH

(kg/m3)

MOE

(MPa)

MOR

(MPa)

1 13.14 448 11,505 32.37

2 11.08 414 8,516 33.94

3 11.79 449 8,940 31.42

4 11.41 366 7,557 16.66

5 12.16 433 10,402 31.47

Mean 11.92 422 9,384 29.18

SD 0.80 34.37 1,570 7.07

COV (%) 6.67 8.15 16.70 24.23

The data presented in Table 1, suggests that the beams can be grouped according

to their modulus of elasticity and their behavior in the static bending tests: beams 1

and 5 have similar behavior and beams 2 and 3 also behaved in a comparable way.

Only beam 4 presented a different response.

In spite of the figures, beam 4 influences the average values and the coefficient of

variation of the sample, the variation of the results is comparable to that found usually

in wood research. If beam 4 is not considered in the analysis, the modulus of

elasticity increases 14 %.


29

Figure 2: Load-deformation diagram for beams 2, 3 and 4

Figure 3: Load-deformation diagram for beams 1 and 5

The modulus of elasticity computed represents the global response of the beams in

a four points loading set up. Maintaining the geometry of this configuration constant,,

the apparent modulus is calculated analyzing the load-displacement relationship.

Therefore, a global modulus is assessed. This displacement intrinsically contains the

deformation caused by the shear stress present in at least two thirds of the bending

span.


30

The ratio span/depth of the beams was around 13, a figure smaller that the

recommended to disregard the effect of the shear stress in the bending deformation.

Therefore, the shear stress should be considered in regarding the results. In a

deflected load-bearing beam, there are shear stresses. That´s to say, besides

modulus of rupture and modulus of elasticity, tolerable shear stresses also are of

high importance for wood structural applications. Shear strength becomes a critical

factor, especially in short deep beams. Therefore, even if the four point configuration

includes a section of pure bending in the beam, the deformations measured included

also a shear deformation, at least in the span sectors where shear effect was

present. This effect can be the cause of the higher values of the local modulus of

elasticity comparing with the global modulus.

From another point of view, the data obtained in the static bending tests should be

compared with a standardized strength system. In this case, the values of modulus

of rupture (MOR) showed in Table 1 represent the mechanical strength. According

to the European Standard EN 338 (1997) and depending on their stiffness

properties, the beams classify in the follow order: beam 1: C24; beams 2 and 3: C16;

beam 4: C14; and beam 5: C22.

The behavior of the beams during the static bending tests can be analyzed in two

parts: the quasi-linear and elastic domain and the non-linear and plastic domain.

These regions correspond to the load-deformation relationship that, for this analysis,

is assumed to represent the apparent stiffness of the beams.

The beams behaves in a linear way up to a load of approximately 45 kN, with the

exception of beam 4: 25 kN. After this point, the linearity is altered towards a plastic

region as far as a first rupture appears. At this moment, a loss of strength happens

and immediately the beam recovers its load capacity until another rupture appears

but in a higher load and consequently in a larger deformation. This behavior in static

bending had been observed in old full-size structural members of Castanea sativa

wood by Calderoni et al. (2006) and Faggiano et al. (2011).


31

With a general point of view, beams 1, 2 and 3 showed, even before a first initial

point of rupture, a local failure in the compression region and face of the transversal

section, that is to say in the upper face or region of the edgewise position of the

beams (Figure 2). This fact was associated to the presence of knots, sometimes

near the lateral guides and supports of the beams. After this point of the process

load-deformation, the beams developed failures in tension associated to the lowest

region and faces until they totally failed.

Beams 4 and 5 behaved differently. From the beginning of the tests, they presented

wide displacements in the plane perpendicular to the direction of the load located

almost in the middle of the section in the layer associated with the lines of cracks

present in all the beams (Figure 3). Finally, it seems that theses beams failed by an

important amount of shear stress developed during the tests.

These diversity in the behavior patterns can be explained in by the variety of wood

features owned by each beam, for example the out-of-plane orientation of the

orthotropic axes of the beams, the presence of knots, the global and general grain

deviations, but above all, the presence of the cracks along the length of the beams.

Moreover, concerning the setup of the tests, as the beams presented some amount

of geometrical twist, with the purpose of avoiding their sliding from the supports,

lateral guides were added near the beams supports. It is possible that once the

beams are deformed, an out-of-plane displacement appears. This fact could force

the specimens to lean, and in that way, to modify the measurements and the

behavior when the beams were loaded near the rupture limit.

Conclusions

The beams presented the attributes currently found in historical wood structural

elements: heterogeneity of the wood tissues, misalignment of the geometry

respecting the orthotropic axis of wood, presence of cracks and knots, and traces of

weathering. Besides this, the beams were mechanically tested with satisfactory

results.


32

The static bending tests were useful to the evaluation of the modulus of elasticity

and the modulus of rupture in full-size beams of Picea abies wood. The methodology

developed in this investigation can be applied to the assessment of other old wood

structures if the prudent adjustments of the particular study are considered.

The computed values of the modulus of elasticity and the modulus of rupture had

the usual peculiarities that other wood mechanical characteristics present:

anisotropic nature, variability among specimens, and different figures depending of

the experimental configuration or technique applied. Considering the particularities

of each test and the directions for which every modulus was computed, they can be

used as a reference to assess and model historical wood structures.

Acknowledgement

Thanks to the Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, México, and to

the SAHC Consortium, Portugal-Spain-Italy-Czech Republic.

A preliminary version of this article was published as Sotomayor Castellanos, J.R.

2014. Mechanical Characteristics of Historical Beams of Picea Abies Wood.

Assessment by Static Bending. 2014 World Conference on Timber Engineering.

Canada.

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Laboratorio de Mecánica de la Madera División de Estudios de Posgrado

Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera El laboratorio de Mecánica de la Madera tiene por misión realizar investigaciones sobre el comportamiento mecánico de árboles, estructuras de madera, madera aserrada y de productos compuestos de madera. En el laboratorio se realizan las prácticas de la materia Física de la madera de la Maestría en Ciencias y Tecnología de la Madera y sirve también de laboratorio en la preparación de tesis de Licenciatura y de Maestría de la Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera. Entre otros servicios, el laboratorio realiza estudios de caracterización mecánica por métodos no destructivos de materiales de ingeniería y de productos forestales. Además se cuenta con la experiencia para practicar trabajos In-Situ de inspección y de evaluación de estructuras de madera. El laboratorio tiene el equipo y el personal especializado para efectuar estudios de análisis de calidad de la madera en medio ambiente industrial. El equipo principal de investigación con que cuenta el laboratorio es: - Maquina universal de pruebas mecánicas Tinius Olsen®. - Equipo de ondas de esfuerzo Metriguard®. - Equipo de ondas de esfuerzo Fakopp®. - Equipo de ultrasonido Sylvatest®. Los proyectos de investigación recientes en los cuales el laboratorio ha participado son: - Caracterización del comportamiento al fuego de siete maderas mexicanas con potencial de uso como elementos estructurales en Ingeniería. 2015-2016. - Densificado higro-termo-mecánico de madera. 2014-2015. - Características mecánicas de elementos estructurales de maderas tropicales. 2013-2014. - Características acústicas de maderas para instrumentos musicales. 2009-2011. - Selección de arbolado por métodos no destructivos. 2007-2009. - Evaluación con métodos no destructivos de madera en edificios antiguos. 2003-2007. - Evaluación mecánica de materiales compuestos de madera. 2002-2004. La producción del Laboratorio se divulga en: - http://www.academia.edu/ - http://www.researchgate.net/ - http://laboratoriodemecanicadelamadera.weebly.com/

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