MAKALAH KALKULUS DIFFERENSIAL

PENERAPAN KONSEP TURUNAN DAN NILAI MAKSIMUM

MINIMUM

Disusun untuk Memenuhi Tugas Proyek Pada Mata Kuliah Kalkulus Diferensial

Disusun oleh:

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2021

1. Aulia Fikri Takiyudin (K1321021)

2. Fakhrudin Nur Afif (K1321035)

3. Fani Aristawati (K1321037)

4. Friska Sabina Mahardini (K1321041)

5. Luthfita Larasati (K1321051)

6. Nindia Rizki Dwiherawati (K1321061)

7. Rachma Lutfiana (K1321063)

8. Regita Puspita Ayu (K1321069)

ii

DAFTAR ISI

HALAMAN SAMPUL................................................................................................................ i

DAFTAR ISI................................................................................................................................ ii

BAB I PENDAHULUAN ............................................................................................................ 1

A. Latar Belakang ............................................................................................................................... 1

B. Rumusan Masalah ......................................................................................................................... 1

C. Tujuan ............................................................................................................................................. 2

BAB II KAJIAN TEORI DAN PEMBAHASAN ..................................................................... 3

A. Kajian Teori ................................................................................................................................... 3

B. Pembahasan .................................................................................................................................... 10

BAB III PENUTUP ..................................................................................................................... 17

A. Simpulan ......................................................................................................................................... 17

B. Saran ............................................................................................................................................... 18

DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................................. iii

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan

teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin dan

memajukan daya pikir manusia. Perkembangan pesat di bidang teknologi

informasi dan komunikasi dewasa ini dilandasi oleh perkembangan

matematika di bidang teori bilangan, aljabar, analisis, teori peluang, dan

matematika diskrit.

Salah satu kemampuan yang harus dikuasai mahasiswa setelah belajar

matematika adalah pemecahan masalah. Kemampuan ini sangat diperlukan

mahasiswa terkait dengan kebutuhan dalam memecahkan masalah yang

dihadapinya dalam kehidupan sehari-hari dan pengembangan diri mereka

sendiri.

Turunan adalah salah satu cabang ilmu matematika yang digunakan untuk

menyatakan hubungan kompleks antara satu variabel tak bebas dengan satu

atau beberapa variabel bebas lainnya. Turunan juga merupakan suatu

pengukuran terhadap perubahan nilai input atau secara umum turunan

menunjukkan bagaimana suatu besaran berubah akibat besaran lainnya. Hal

ini juga dapat dimungkinkan penggunaan turunan pada saat belajar konsep

nilai maksimum atau minimum suatu fungsi. Namun, tidak dapat dipungkiri

bahwa menyelesaikan operasi turunan membutuhkan waktu yang cukup lama

karena harus menyelesaikan perhitungan-perhitungan yang cukup rumit dan

hasilnya pun belum tentu benar. Oleh karena itu, kita akan mencoba berbagai

contoh permasalahan yang mempelajari tentang konsep turunan dalam

kehidupan sehari-hari.

B. RUMUSAN MASALAH

1. Bagaimana penggunaan konsep turunan dalam pemecahan masalah

2. Bagaimana penggunaan konsep nilai maksimum dan minimum dalam

pemecahan masalah

2

C. TUJUAN

1. Mengetahui penggunaan konsep turunan dalam pemecahan masalah

2. Mengetahui penggunaan konsep nilai maksimum dan minimum dalam

pemecahan masalah

3

BAB II

KAJIAN TEORI DAN PEMBAHASAN

A. Landasan Teori

1. Turunan

1.1. Definisi turunan di suatu titik

Fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) dikatakan memiliki turunan di 𝛼 jika limit berikut

ada:

𝑓(𝑐) = limℎ→0

𝑓(𝑐 + ℎ) − 𝑓(𝑐)

ℎ

NB : Asalkan limit ini ada dan bukan ∞ 𝑎𝑡𝑎𝑢 − ∞. Turunan

fungsi 𝑓 di 𝑐 dinotasikan dengan 𝑓′(𝛼). Jika suatu fungsi

memiliki turunan di 𝑐, maka fungsi 𝑓 terdiferensial di 𝑐.

Pencarian turunan disebut diferensiasi.

Bentuk Ekuivalen

Jika 𝑥 = 𝛼 + ℎ sehingga Ketika ℎ → 0 berakibat 𝑥 → 𝑐, maka

turunan fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) dititik 𝑐 dinyatakan sebagai berikut:

𝑓′(𝑐) = lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐)

𝑥 − 𝑐

NB : Asalkan limit ini ada dan bukan ∞ atau −∞.

Contoh soal:

Misalkan 𝑓(𝑥) = 12𝑥 − 4. Carilah 𝑓′(2).

Pembahasan soal:

Misalkan 𝑐 = 2. Maka,

𝑓′(2) = limℎ→0

𝑓(2 + ℎ) − 𝑓(2)

ℎ

𝑓′(2) = limℎ→0

(12(2 + ℎ) − 4) − (12(2) − 4)

ℎ

𝑓′(2) = limℎ→0

12ℎ

ℎ

4

𝑓′(2) = limℎ→0

12

𝑓′(2) = 12

Menggunakan cara lain:

𝑓′(2) = lim𝑥→2

𝑓(𝑥) − 𝑓(2)

𝑥 − 2

= 𝑓′(2) = lim𝑥→4

(12(𝑥) − 4) − (12(2) − 4)

𝑥 − 2

= 𝑓′(2) = lim𝑥→4

(12(𝑥 − 2)

𝑥 − 2= 12

1.2. Aturan Pencarian Turunan

a. Aturan Fungsi Komstanta

Jika 𝑓(𝑥) = 𝑘, dengan 𝑘 suatu konstanta, maka untuk sebarang

𝑥, 𝑓(𝑥) = 0, yakni

𝐷𝑥(𝑘) = 0

Bukti:

Untuk 𝑓(𝑥) = 𝑘, maka

𝑓′(𝑥) = limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ= lim

ℎ→0

𝑘 − 𝑘

ℎ= lim

ℎ→00 = 0

Contoh:

𝑓(𝑥) = 5, maka 𝑓′(𝑥) = 0.

𝑔(𝑥) = 𝑦, maka 𝑔′(𝑥) = 0.

b. Aturan Fungsi Satuan

Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥, maka 𝑓′(𝑥) = 1, yakni

𝐷𝑥(𝑥) = 1

Contoh:

𝑓(𝑥) = 𝑥, maka 𝑓′(𝑥) = 1.

𝑔(𝑢) = 𝑢, maka 𝑔′(𝑥) = 1.

c. Aturan Kelipatan Konstanta

Jika 𝑘 suatu konstanta dan 𝑓 suatu fungsi yang

terdiferensiasikan, maka

(𝑘𝑓)′𝑥 = 𝑘. 𝑓′(𝑥)

5

Contoh:

𝑓(𝑥) = 4𝑥4, maka

𝑓′(𝑥) = 4(4𝑥4−1) = 16𝑥3

d. Aturan Jumlah

Jika 𝑓 dan 𝑔 adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka

(𝑓 + 𝑔)′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)

Contoh:

𝑓(𝑥) = 6𝑥2 + 4𝑥,

maka 𝑓′(𝑥) = 6 (2)𝑥2−1 + 4 (1)𝑥1−1 = 12𝑥 + 4

e. Aturan Selisih

Jika 𝑓 dan 𝑔 adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka

(𝑓 − 𝑔)′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥)

Contoh:

𝑓(𝑥) = 9𝑥2 − 7𝑥,

maka 𝑓′(𝑥) = 9(2)𝑥2−1 − 7(1)𝑥1−1 = 18𝑥 − 7

f. Aturan Kali

Jika 𝑓 dan 𝑔 adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka

(𝑓. 𝑔)′(𝑥) = 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)

Contoh soal:

Carilah turunan ℎ(𝑥) = (2𝑥2 − 4)(2𝑥3 − 𝑥)

Pembahasan soal:

Misalkan 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 4 maka 𝑓′(𝑥) = 4𝑥 dan 𝑔(𝑥) =

2𝑥3 − 𝑥 maka 𝑔′(𝑥) = 6𝑥3 − 1.

Sehingga, jika ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) . 𝑔(𝑥) maka

ℎ′(𝑥) = 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)

ℎ′(𝑥) = 4𝑥(2𝑥3 − 𝑥) + (2𝑥2 − 4)(6𝑥3 − 1)

ℎ′(𝑥) = 8𝑥5 − 4𝑥2 + 12𝑥5 − 2𝑥2 − 24𝑥3 + 4

ℎ′(𝑥) = 20𝑥5 − 24𝑥3 − 6𝑥2 + 4

6

g. Aturan Bagi

Jika 𝑓 dan 𝑔 adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka

(𝑓

𝑔)

′

(𝑥) =𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)

𝑔2

Contoh:

Carilah turunan ℎ(𝑥) =3𝑥−5

𝑥2+7

Pembahasan soal:

Misalkan 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 5 maka 𝑓′(𝑥) = 3 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 7

maka 𝑔′(𝑥) = 2𝑥, sehingga :

ℎ′(𝑥) =𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)

𝑔2(𝑥)

ℎ′(𝑥) =3(𝑥2 + 7) − (3𝑥 − 5)(2𝑥)

(𝑥2+7)2

ℎ′(𝑥) =3𝑥2 + 21 − 6𝑥2 + 10𝑥

(𝑥2+7)2

ℎ′(𝑥) =−3𝑥2 + 10𝑥 + 21

(𝑥2+7)2

1.3. Teorema Aturan Rantai.

Misal 𝑦 = 𝑓(𝑢) dan 𝑢 = 𝑔(𝑥). Jika 𝑔 terdiferensialkan di 𝑥 dan 𝑓

terdiferensialkan di 𝑢 = (𝑥), maka fungsi komposit 𝑓 ∘ 𝑔 yang

didefinisikan oleh (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)), adalah terdiferensialkan di

𝑥 dan

(𝑓 ∘ 𝑔)′(𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥)

Yakni

𝐷𝑥(𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥) atau 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑦

𝑑𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑥

Contoh soal:

Jika 𝑦 = (2𝑥2 − 4𝑥 + 1)60, tentukan turunan fungsi 𝑦.

Pembahasan soal:

Perhatikan bahwa fungsi 𝑦 berpangkat 60 untuk suatu fungsi 𝑥, yaitu

𝑦 = [𝑢(𝑥)]60 = 𝑢60(𝑥) dengan 𝑢(𝑥) = 2𝑥2 − 4𝑥 + 1

7

Fungsi luar adalah 𝑦 = 𝑓(𝑢) = 𝑢60 dan fungsi sebelah dalam adalah

𝑢(𝑥) = 2𝑥2 − 4𝑥 + 1.

Jadi,

𝑦′(𝑥) = 𝑓′(𝑢). 𝑢′(𝑥) = 60𝑢59. (4𝑥 − 4)

𝑦′(𝑥) = 60(2𝑥2 − 4𝑥 + 1)59(4𝑥 − 4)

𝑦′(𝑥) = (240𝑥 − 240)(2𝑥2 − 4𝑥 + 1)59

1.4. Diferensial

Misalkan 𝑦 = 𝑓(𝑥) fungsi terdiferensiasi dari variable bebas 𝑥.

a. ∆𝑥 adalah pertambahan sebarang dalam variable 𝑥.

b. 𝑑𝑥 adalah diferensial variable bebas 𝑥 sama dengan ∆𝑥.

c. ∆𝑦 adalah perubahan sebenarnya dalam variable 𝑦 Ketika 𝑥

berubah dari 𝑥 ke 𝑥 + ∆𝑥, yaitu 𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)

d. 𝑑𝑦 adalah diferensial variable tak-bebas 𝑦, didefinisikan oleh

𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥

e. Perhatikan bahwa 𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥, pembagian kedua ruas

dengan 𝑑𝑥 menghasilkan 𝑓′(𝑥) =𝑑𝑦

𝑑𝑥

2. Nilai Maksimum dan Minimum

2.1.Definisi Maksimum dan Minimum Fungsi

Misalkan 𝑆 adalah daerah asal 𝑓, mengandung titik 𝑐, kita katakana

bahwa:

a. 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum 𝑓 pada 𝑆 jika () ≥ () untuk

semua 𝑥 di 𝑆

8

b. 𝑓(𝑐) adalah nilai minimum 𝑓 pada 𝑆 jika () ≤ () untuk semua

𝑥 di 𝑆

c. 𝑓(𝑐) adalah nilai ekstrik 𝑓 pada 𝑆 jika ia adalah nilai

maksimum atau nilai minimum

d. Fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan adalah

fungsi objektif

2.2. Teorema Keberadaan Maksimum dan Minimum

Jika 𝑓 kontinu pada interval tertutup [𝑎, 𝑏], maka 𝑓 mencapai nilai

maksimum dan nilai minimum disana.

2.3. Teorema Titik Kritis

Misalkan 𝑓 didefinisikan pada interval I yang memuat 𝑐. Jika 𝑓(𝑐)

adalah nilai ekstrim, maka 𝑐 haruslah titik kritis, yakni:

a. Titik ujung dari I

b. Titik stationer dari 𝑓, yakni 𝑓′(𝑐) = 0

c. Titik singular dari 𝑓, yakni 𝑓′(𝑐) tidak ada

Langkah-langkah mencari nilai maksimum dan minimum dari suatu

fungsi di selang tutup:

a. Cari titik-titik kritis dari 𝑓 pada selang tutup yang diberikan.

b. Cari nilai 𝑓 pada titik-titik kritis.

c. Nilai yang paling besar pada langkah ke-2 menjadi nilai

maksimum dan yang paling kecil menjadi nilai minimum.

2.4. Definisi Kemonotonan

Misalkan 𝑓 didefinisikan pada interval I (buka, tutup, atau buka

keduanya). Dikatakan bahwa:

a. 𝑓 naik pada I jika untuk setiap pasangan bilangan 𝑥1 dan 𝑥2

dalam I

𝑥1 < 𝑥2 → 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2)

9

b. 𝑓 turun pada I jika untuk setiap pasangan bilangan 𝑥1 dan 𝑥2

dalam I.

𝑥1 < 𝑥2 → 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2)

c. 𝑓 monoton murni pada I jika 𝑓 naik pada I atau turun pada I.

2.5. Teorema Kemonotonan

Misal 𝑓 dapat didiferensialkan pada titik dalam selang I.

a. Jika 𝑓′(𝑥) > 0 untuk semua titik dalam 𝑥 dari I maka 𝑓 naik

pada I.

b. Jika 𝑓′(𝑥) < 0 untuk semua titik dalam 𝑥 dari I maka 𝑓 turun

pada I.

2.6. Definisi Kecekungan

Misal 𝑓 dapat didiferensialkan pada selang I.

a. Jika 𝑓′ naik pada I dikatakan 𝑓 cekung ke atas naik pada I.

b. Jika 𝑓′ turun pada I dikatakan 𝑓 cekung ke bawah naik pada I.

2.7. Teorema Kecekungan

Misal 𝑓 dapat didiferensialkan dua kali pada titik dalam selang I.

a. Jika 𝑓′′(𝑥) > 0 untuk semua titik dalam 𝑥 dari I maka 𝑓 cekung

ke atas pada I.

b. Jika 𝑓′′(𝑥) < 0 untuk semua titik dalam 𝑥 dari I maka 𝑓 cekung

ke bawah pada I.

2.8. Definisi Uji Ekstrim Lokal

Misal 𝑆 adalah daerah asal 𝑓 dan 𝑐 𝜖 𝑆. Dapat dikatakan bahwa :

a. 𝑓(𝑐) nilai maksimum lokal 𝑓 pada 𝑆 jika terdapat selang buka I

yang memuat 𝑐 sedemikian sehingga 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ Ι ⋂ 𝑆

b. 𝑓(𝑐) nilai maksimum lokal 𝑓 pada 𝑆 jika terdapat selang buka I

yang memuat 𝑐 sedemikian sehingga 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ Ι ⋂ 𝑆

10

c. 𝑓(𝑐) nilai ekstrim lokal 𝑓 pada 𝑆 jika 𝑓(𝑐) nilai maksimum lokal

atau nilai minimum lokal

2.9. Teorema Uji Pertama Ekstrim Lokal.

Misal 𝑓 dapat didiferensialkan pada selang buka (a,b)yang memuat

titik kritis 𝑐.

a. Jika 𝑓′(𝑥) > 0 untuk semua 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐) dan 𝑓′(𝑥) < 0 untuk

semua titik 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐), maka 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum local.

b. Jika 𝑓′(𝑥) < 0 untuk semua 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐) dan 𝑓′(𝑥) > 0 untuk

semua titik 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐), maka 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum lokal.

c. Jika 𝑓′(𝑥) bertanda sama untuk kedua belah pihak c, maka f (c)

bukan nilai ekstrim f

2.10. Teorema Uji Kedua Ekstrim Lokal.

Misal 𝑓 dan 𝑓′ dapat didiferensialkan pada selang buka (a,b) yang

memuat titik 𝑐 dengan 𝑓′(𝑐) = 0

a. Jika 𝑓(𝑐) > 0 maka 𝑓(𝑐) adalah nilai minimum lokal.

b. Jika 𝑓(𝑐) < 0 maka 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum lokal.

B. Pembahasan

1. Aplikasi Turunan

Tentukan ukuran silender lingkaran tegak lurus dari volume yang dapat

dibuat di dalam suatu kerucut lingkaran tegak lurus yang jari-jarinya 5 cm

dan tingginya 12 cm.

11

Pembahasan :

Diketahui :

Jari-jari kerucut = 5 𝑐𝑚

Tinggi kerucut = 12 𝑐𝑚

Tinggi tabung = 12 − 𝑡

Jari-jari tabung = 𝑟

Ditanyakan : Volume tabung...?

Jawab :

Langkah 1 : Karena bangun kerucut dan bangun tabung sebangun,

maka kita bisa menggunakan rumus perbandingan.

Langkah 2 : Mencari volume tabung dengan menyubsitusikan nilai t

terhadap rumus tabung.

Langkah 3 : Menurunkan persamaan

fungsi volume tabung terhadap jari-jari tabung.

12

Langkah 4 : Agar volume tabung maksimal, maka 𝑣′(𝑟) = 0

Langkah 5 : Untuk r = 0 maka akan diperoleh volume tabung.

Langkah 6 : Untuk r = 10

3 diperoleh volume tabung :

13

Langkah 7 : Karena nilai 𝑟 = 10

3 lebih maksimal, maka kita ambil

𝑟 = 10

3 untuk mencari tinggi tabung.

Jadi, volume tabung maksimal diperoleh saat 𝑟 =10

3 𝑐𝑚 dan 𝑡 = 4 𝑐𝑚

yaitu 139,55 𝑚2

2. Aplikasi Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi

2.1.Optimasi Ukuran Geometris

Masalah menentukan ukuran dan volume maksimum

14

Kotak segiempat akan dibuat dari selembar papan, panjang 24 𝑖𝑛𝑐𝑖

dan lebar 9 𝑖𝑛𝑐𝑖, dengan memotong segiempat identik pada keempat

pojok dan melipat ke atas sisi-sisinya. Kita cari ukuran kotak yang

volume maksimum dan berapa volume maksimumnya.

Pembahasan :

Misalkan 𝑥 adalah sisi segiempat yang harus dipotong dan 𝑉 adalah

volume kotak yang dihasilkan. Maka :

Panjang = 24 – 2𝑥

Lebar = 9 – 2𝑥

Tinggi = 𝑥

𝑉 = 𝑥 (9 – 2𝑥) (24 – 2𝑥) = 216𝑥 – 66𝑥2 + 4𝑥3

Batas = 9 – 2𝑥 9 = 2𝑥 4,5 = 𝑥 𝑥 = 4,5

Sekarang 𝑥 tidak dapat lebih kecil dari 0 ataupun lebih besar dari

4,5. Jadi masalah kita adalah memaksimumkan 𝑉 pada [0 ; 4,5].

Titik-titik stasioner ditemukan dengan menetapkan 𝑑𝑉

𝑑𝑥 sama dengan

nol dan menyelesaikan persamaan yang dihasilkan :

𝑉 = 𝑥 (9 – 2𝑥)(24 – 2𝑥) = 216𝑥 – 66𝑥2 + 4𝑥3

𝑑𝑉

𝑑𝑥 = 216 – 132𝑥 + 12𝑥2 = 12 (18 − 11 + 𝑥2)

15

= 12 (9 – 𝑥) (2 – 𝑥) = 0

Ini memberikan 𝑥 = 9 atau 𝑥 = 2, tetapi 9 tidak berada di dalam

interval [0 ; 4,5]. Maka, kita lihat bahwa hanya terdapat 3 titik kritis

yaitu 𝑥 = 0, 𝑥 = 2, dan 𝑥 = 4,5. Kita cari nilai 𝑉 :

𝑉 = 𝑥 (9 – 2𝑥)(24 – 2𝑥) = 216𝑥 – 66𝑥2 + 4𝑥3

𝑥 = 0 → 𝑉 = 0 (9 – 2 . 0)(24 – 2 . 0) = 0 . 9 . 24 = 0

𝑥 = 2 → 𝑉 = 2 (9 – 2 . 2)(24 – 2 . 2) = 2 . 5 . 20 = 200

𝑥 = 4,5 → 𝑉 = 4,5(9 – 2 . 4,5)(24 – 2 . 4,5)

= 4,5 . 0 . 15 = 0

Pada titik-titik ujung 𝑥 = 0 dan 𝑥 = 4,5 V = 0 sedangkan pada 2,

𝑉 = 200. Kalau kita gambarkan grafiknya sebagai berikut.

Lalu, kita cari ukuran kotaknya :

Panjang = 24 – 2𝑥 = 24 – 2 . 2 = 20

Lebar = 9 – 2𝑥 = 9 – 2 . 2 = 5

Tinggi = 𝑥 = 2

16

Kita dapatkan panjang = 20 𝑖𝑛𝑐𝑖, lebar = 5 𝑖𝑛𝑐𝑖, dan tinggi =

2 𝑖𝑛𝑐𝑖.

Jadi, kita simpulkan bahwa kotak mempunyai volume maksimum

200 inci kubik jika x = 2, yakni jika kotak berukuran panjang 20

inci, lebar 5 inci, dan tinggi 2 inci.

17

BAB 3

PENUTUP

A. Simpulan

Berdasarkan penulisan makalah diatas, dapat diambil kesimpulan bahwa :

1. Turunan adalah salah satu cabang ilmu matematika yang digunakan

untuk menyatakan hubungan kompleks antara satu variabel tak bebas

dengan satu atau beberapa variabel bebas lainnya.

2. Dapat dilihat diatas bahwa penggunaan turunan fungsi diaplikasikan

untuk mencari volume tabung ataupun volume maksimum pada sebuah

kotak.

3. Untuk pengaplikasian turunan kita gunakan dalam langkah langkah

yang digunakan untuk mencari volume tabung :

1. Gunakan rumus perbandingan

2. Penggunaan substitusi

3. Pengaplikasian turunan pada persamaan fungsi volume tabung

terhadap jari² tabung.

4. Lanjutan pengaplikasian turunan agar ditemukan volume

maksimumpadat tabung

4. Untuk pengaplikasian nilai maksimum/minimum pada volume kotak

kita gunakan langkah :

1. Ilustrasikan persoalan yang ada

2. Menemukan persoalan yang harus diselesaikan

3. Mencari titik titik persoalan kemudian temukan nilainya

4. Sehingga dapat ditemukan nilai maksimum ataupun

minimum yang dimaksud dari soal

18

B. Saran

Demikian makalah ini kami selesaikan sebagai salah satu tugas

perkuliahan pada semester 1 ini. Namun kami sebagai penyusun,

menyadari terdapat kekurangan maupun kekhilafan atau kesalahan, baik

dalam penyelesaian maupun pemaparan dari makalah kami ini. Dari itu,

kami sangat mengharap dari para pembaca sekalian, baik teman-teman

maupun dosen sebagai pembimbing dalam mata kuliah ini, untuk turut

serta dalam memberikan kritik yang membangun dan saran yang baik

tentunya agar kedepanya nanti kami akan dan bisa menjadi lebih maju dan

baik dari sebelumnya.

Adapun beberapa saran yang dapat bermanfaat sebagai acuan dan

membangun dalam proses pembuatan makalah selanjutnya adalah sebagai

berikut :

1. Kalkulus merupakan ilmu yang sangat sulit dipelajari, jadi diperlukan

ketelitian dalam perhitungannya agar tidak terjadi kesalahan.

2. Dengan banyaknya perbedaan dalam pelajaran kalkulus maka setiap

orang dituntut untuk lebih kreatif dan inovatif.

3. Dalam mempelajari kalkulus kita bisa juga mempelajari soal-soal yang

berhubungan dengan materi turunan, nilai maksimum dan minimum

serta pengaplikasiannya pada kehidupan sehari-hari agar kita lebih

paham.

4. Dosen harus memperhatikan karakteristik dari setiap mahasiswa

(terutama gaya kognitif), karena berbeda karakteristik maka berbeda

pula kesulitan yang dialaminya.

iii

DAFTAR PUSTAKA

Mulyati, T. (2016). Kemampuan pemecahan masalah matematis siswa sekolah dasar. Edu

Humaniora Jurnal Pendidikan Dasar Kampus Cibiru, 3(2).

Varberg, D., Purcell, E.J., dan Rigdon, S.E. 2010. Kalkulus Edisi Kesembilan Jilid 1 (I

Nyoman Susila, Terjemahan). Jakarta: Penerbit Erlangga