konsep Dasar Aljabar

konsep Dasar Aljabar

Pemecahan Masalah Matematika 2 – 1

KONSEP DASAR ALJABAR

Clara Ika Sari

Pendahuluan

ada unit ini kita akan mempelajari beberapa konsep dasar dalam aljabar

seperti

persamaan dan pertidaksamaan yang berbentuk linear dan kuadrat, serta

mengkaji sistem persamaan linear dengan dua peubah. Kompetensi yang

harus

dikuasai setelah Anda mempelajari konsep dasar aljabar adalah mampu

menggunakan konsep dasar aljabar dalam menyelesaikan masalah

matematika

maupun masalah pada bidang lain yang terkait dengan konsep tersebut.

Unit ini

terdiri dari tiga subunit yaitu persamaan, pertidaksamaan, dan sistem

persamaan

linear. Masing-masing subunit akan dilengkapi dengan latihan-latihan

sederhana

untuk membantu Anda dalam memahami konsep yang telah dipelajari. Media

yang

dapat Anda gunakan dalam mempelajari konsep dasar aljabar ini, selain

melalui

bahan ajar cetak, Anda juga dapat mempelajarinya dengan mengakses web

yang

telah disediakan. Unit ini merupakan salah satu prasyarat pengetahuan

yang harus

Anda kuasai untuk mengkaji dan memecahkan masalah matematika terutama

masalah matematika di bidang aljabar dalam kehidupan sehari-hari.

Kajilah materi dalam setiap subunit sampai tuntas. Kerjakanlah latihan

dan

tugas-tugas yang ada di setiap subunit. Setelah Anda selesai

mempelajari satu

subunit, kerjakanlah tes formatif untuk mengukur tingkat penguasaan

Anda. Cobalah

mengerjakan sendiri tes formatif tersebut agar Anda benar-benar

mengetahui

seberapa besar penguasaan Anda terhadap materi yang baru dipelajari.

Jika Anda

belum mencapai tingkat penguasaan yang disyaratkan, pelajari kembali

materi pada

subunit yang bersangkutan. Jangan segan untuk bertanya atau meminta

bantuan

kepada orang yang Anda anggap mampu atau kepada dosen pengampu mata

kuliah

ini. Anda bisa melakukan latihan menyelesaikan soal berulang-ulang

baik soal yang

tersedia dalam bahan ajar cetak maupun dalam bahan ajar web.

Selamat mempelajari unit ini, semoga Anda berhasil.

P

Unit 2

2 – 2 Unit 2

Subunit 1

Persamaan

ubunit 1 berisi bahasan mengenai persamaan linear dan kuadrat dan

bagaimana

menentukan penyelesaiannya. Persamaan merupakan salah satu konsep

matematika yang digunakan dalam menentukan suatu model matematika dan

penyelesaiannya terkait dengan pemecahan masalah matematika dalam

bidang

aljabar.

Sebelum kita membahas mengenai persamaan, terlebih dahulu akan dibahas

mengenai beberapa istilah yang dipakai dalam subunit ini. Istilah-

istilah tersebut

antara lain: variabel, koefisien, konstanta, dan suku. Selain istilah-

istilah tersebut

juga akan dibahas beberapa manipulasi aljabar yang akan digunakan

untuk

menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan. Pertama-tama kita akan

membahas

mengenai variabel. Variabel adalah sebuah lambang yang menyatakan atau

mewakili

sebarang bilangan real. Variabel biasa dinotasikan dengan huruf kecil,

seperti : x, y,

a, u, dan lain sebagainya. Jika beberapa variabel yang sama

dijumlahkan akan

diperoleh perkalian antara bilangan yang menyatakan banyaknya variabel

dan

variabel tersebut.

Contoh :

Jika 5 + 5 = 2 × 5 maka hal ini berlaku juga untuk a + a = 2 × a atau

disingkat

menjadi 2a. Demikian juga karena operasi perkalian mempunyai sifat

komutatif,

yaitu 2 × 3 = 3 × 2 maka sifat tersebut berlaku juga dalam perkalian

dengan variabel,

yaitu 2 × a = a × 2 = 2a.

Selanjutnya perhatikan contoh di atas. Pada 2a, bilangan 2 disini

menyatakan

banyaknya variabel a dan disebut koefisien dari variabel a. Hasil kali

2 × a = 2a

disebut suku atau lebih lengkapnya suku aljabar. Jika suku aljabar ini

tidak memuat

variabel, dengan kata lain hanya terdiri dari bilangan saja maka

bilangan tersebut

disebut konstanta. Jika suatu suku dikalikan dengan suatu bilangan

atau variabel baik

variabel yang sama maupun berbeda, hasil kalinya merupakan suku juga.

Contoh : Jika 4a × b maka diperoleh 4ab yang merupakan sebuah suku.

Sedangkan

koefisien dari ab adalah 4.

S


Jika dua suku yang sama dijumlahkan atau lebih maka akan diperoleh

perkalian

antara bilangan yang menyatakan banyaknya suku dengan suku tersebut.

Contoh : Jika 2y + 2y + 2y maka diperoleh 3 × 2y = 6y.

Jika dua suku yang memuat variabel sama atau lebih maka untuk

menyederhanakannya, kita dapat menggunakan aturan distributif.

Contoh : Jika 3m + 7m maka diperoleh (3 + 7)m = 10m.

Jadi kesimpulannya, dua suku atau lebih dapat dijumlahkan atau

dikurangkan jika

suku-suku tersebut memuat variabel yang sama. Sebaliknya, dua suku

atau lebih

tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika suku-suku tersebut

memuat variabel

yang berbeda.

Contoh : 4k – 3m, 2x + 7y dan lain sebagainya.

Pada setiap suku aljabar dapat dikenakan operasi perkalian dan

pembagian seperti

pada bilangan.

Contoh :

a. 3 × 6y = (3 × 6)y = 18y

b. 10t : 5 = (10 : 5)t = 2t

Sifat-sifat operasi hitung pada bilangan yang telah kita kenal adalah

sifat komutatif,

assosiatif dan distributif. Sifat-sifat tersebut juga berlaku pada

pengerjaan operasi

hitung pada suku aljabar.

Contoh :

a. u × v = v × u = uv

b. a × (b × c) = (a × b) × c

c. 2u (a + b) = (2u × a) + (2u × b) = 2au + 2bu

Sebelum Anda mempelajari materi lebih lanjut cobalah kerjakan latihan

berikut ini, untuk memperdalam materi mengenai variabel, koefisien,

konstanta, suku

aljabar dan manipulasi-manipulasi aljabar yang telah dipelajari di

atas.

1. Jika diberikan x2 y + 2xy + ab − 6 maka tentukanlah

a. koefisien dari x2 y dan xy

b. konstanta yang ada pada x2 y + 2xy + ab − 6

c. suku aljabar yang ke 3

2. Untuk soal-soal berikut, sederhanakanlah.

2 – 4 Unit 2

a. 3 × p

b. y × 10

c. m × 6

d. n × 1

e. 2a × 3b

f. 8ab + 6ba

g. 7gh + 12gl + 8hg – 4gl

Berikut ini pembahasan dari soal-soal latihan di atas.

1. a. Koefisien dari x2 y adalah 1 dan koefisien dari xy adalah 2.

a. Konstanta yang ada pada x2 y + 2xy + ab − 6 adalah 6.

c. Suku aljabar yang ke 3 dari x2 y + 2xy + ab − 6 adalah ab.

2. a. 3 × p = 3p

b. y × 10 = 10y

c. m × 6 = 6m

d. n × 1 = 1n = n

Perhatikan penyelesaian soal d. Setiap bilangan yang dikalikan dengan

1 akan

menghasilkan bilangan itu sendiri. Demikian juga berlaku bahwa setiap

variabel yang dikalikan dengan 1 akan menghasilkan variabel itu

sendiri.

e. 2a × 3b = (2 × a) × (3 × b)

= (2 × 3) × (a × b) Menggunakan sifat assosiatif

= 6ab

f. 8ab + 6ba = 8ab + 6ab Menggunakan sifat komutatif

= (8 + 6)ab Menggunakan sifat distributif

= 14ab

h. 7gh + 12gl + 8hg – 4gl = 7gh + 8gh +12gl – 4gl

= (7 + 8) gh + (12 – 4)gl

= 15gh + 8gl

Selanjutnya kita akan membahas persamaan. Pernyataan atau kalimat

matematika

tertutup yang menyatakan hubungan sama dengan disebut kesamaan.

Contoh : 5 + 10 = 15, 6 + 2 = 10 – 2, 2 × 5 = 8 + 2

Selanjutnya kita akan mempelajari penggunaan variabel dalam kesamaan.

Perhatikan salah satu contoh di atas yaitu 5 + 10 = 15. Jika variabel

x menyatakan


bilangan 5 pada kesamaan tersebut maka diperoleh x + 10 = 15. Jadi x +

10 = 15

menjadi kalimat matematika yang terbuka. Kalimat matematika x + 10 =

15 disebut

persamaan .

Jadi persamaan adalah suatu pernyataan atau kalimat matematika terbuka

yang menyatakan hubungan sama dengan antara ruas kiri dan ruas kanan

dan dibatasi

dengan tanda ”=”.

Persamaan x + 10 = 15 memuat variabel x dimana nilai x adalah 5 jika

kalimat terbuka tersebut diubah menjadi pernyataan yang benar. Nilai x

= 5 disebut

penyelesaian dari persamaan x + 10 = 15. Jadi menyelesaikan persamaan

berarti

menemukan bilangan di mana jika setiap variabel dalam persamaan

tersebut diganti

dengan bilangan itu maka diperoleh pernyataan yang bernilai benar.

Persamaan yang akan kita bahas dalam unit ini adalah persamaan linear

dan

kuadrat. Kita akan mengkaji dan menyelesaikan persamaan linear dan

kuadrat

tersebut.

Persamaan linear adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi pada

variabelnya adalah 1. Secara simbolik, persamaan linear adalah

persamaan yang

berbentuk ax + b = 0 dengan a,b ∈ Rdi mana R adalah himpunan bilangan

real dan

a ≠ 0 .

Contoh :

a. x + 5 = 9

b. 2x + 7 = 11

c. 7

3

x =

d. 7x – 4 = 4x + 17

e. 2(4x +1) = 18

Bagaimana menentukan nilai x yang memenuhi persamaan di atas?

Menentukan nilai

x dalam persamaan linear berarti menyelesaikan persamaan linear

tersebut. Untuk itu

terlebih dulu Anda harus memahami konsep berikut ini.

Jika kedua ruas dalam suatu persamaan dikurangi atau ditambah dengan

suatu

bilangan yang sama maka hal tersebut tidak akan merubah nilai

kebenaran dari

persamaan tersebut. Demikian juga jika kedua ruas dikalikan atau

dibagi dengan

suatu bilangan yang sama juga tidak akan merubah nilai kebenaran dari

persamaan

itu.

Bagaimana Saudara, apakah Anda telah paham dengan konsep tersebut?

Cobalah Anda membuat contoh untuk menjelaskan konsep ini. Kemudian

bandingkan dengan contoh berikut ini.

2 – 6 Unit 2

Contoh : Diberikan persamaan 2 × 5 = 10. Kedua ruas dari persamaan

tersebut kita

tambah dengan 3 sehingga diperoleh (2 × 5) + 3 = 10 + 3. Ruas kiri

jika diselesaikan

menghasilkan: (2 × 5) + 3 = 10 + 3 = 13, dan ruas kanan jika

diselesaikan

menghasilkan: 10 + 3 = 13. Jadi ruas kiri dan ruas kanan dari

persamaan

menghasilkan bilangan yang sama yaitu 13. Jadi jika kedua ruas

persamaan 2 × 5 =

10 kita tambah dengan bilangan 3 maka hasilnya tidak merubah nilai

kebenarannya.

Dengan demikian suatu persamaan tidak akan berubah penyelesaiannya

jika kedua

ruas persamaan tersebut diberi perlakuan berikut ini.

1. Ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama.

2. Dikali atau dibagi dengan bilangan yang sama asal bukan nol.

Persamaan baru yang diperoleh dengan persamaan aslinya dikatakan

ekuivalen dan

keduanya mempunyai penyelesaian yang sama.

Sekarang kita telah siap untuk menyelesaikan persamaan linear pada

contoh

yang telah diberikan di atas.

a. Penyelesaian persamaan linear x + 5 = 9 adalah sebagai berikut.

x + 5 – 5 = 9 – 5 Kedua ruas dikurangi dengan 5

x = 4

Jadi penyelesaian persamaan linear x + 5 = 9 adalah x = 4.

b. Selanjutnya kita akan menentukan penyelesaian persamaan linear 2x +

7 = 11.

2x + 7 – 7 = 11 – 7 Kedua ruas dikurangi dengan 7

2x = 4

2x : 2 = 4 : 2 Kedua ruas dibagi dengan 2

(2 : 2)x = 2

x = 2

Jadi penyelesaian persamaan linear 2x + 7 = 11 adalah x = 2.

Bagaimana Saudara, mudah bukan? Untuk contoh berikutnya cobalah Anda

selesaikan sendiri dan hasilnya dapat Anda cocokkan dengan

penyelesaian

persamaan linear berikut ini.

a. Penyelesaian persamaan linear 7

3

x = adalah sebagai berikut.

3

x × 3 = 7 × 3 Kedua ruas dikalikan 3

x = 21

Jadi penyelesaian persamaan linear 7

3

x = adalah x = 21.


b. Untuk contoh yang keempat, penyelesaian persamaan linear 7x – 4 =

4x + 17

adalah sebagai berikut.

7x – 4 = 4x + 17

7x – 4 + 4 = 4x + 17 + 4 Kedua ruas ditambah dengan 4

7x = 4x + 21

7x – 4x = 4x – 4x + 21 Kedua ruas dikurangi dengan 4x

(7 – 4 )x = 21

3x = 21


(3 : 3)x = 7

x = 7

c. Penyelesaian persamaan linear untuk contoh terakhir yaitu 2(4x + 1)

= 18 adalah

sebagai berikut.

2(4x + 1) = 18

8x + 2 = 18 Menggunakan aturan distributif

8x + 2 – 2 = 18 – 2 Kedua ruas dikurangi dengan 2

8x = 16


(8 : 8)x = 2

x = 2

Jadi penyelesaian persamaan linear 2(4x + 1) = 18 adalah x = 2.

Kita telah mempelajari persamaan linear dan berlatih untuk

menyelesaikan

persamaan linear. Selanjutnya kita akan mempelajari persamaan kuadrat

dan

penyelesaiannya. Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat

tertinggi

dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax2 +

bx + c = 0

dengan a,b,c ∈ R di mana R adalah himpunan bilangan real dan a ≠ 0 .

Contoh : x2 − 4 = 0 , x2 − 9x = 0 , x2 + 7x = 10 dan lain sebagainya.

Bagaimana cara menyelesaikan persamaan kuadrat di atas? Sebelum kita

mengkaji hal tersebut dan berlatih menyelesaikan persamaan kuadrat,

terlebih dahulu

kita akan membahas mengenai aturan faktor nol. Aturan faktor nol

menyatakan

bahwa hasil kali sebarang bilangan dengan bilangan nol adalah nol.

Misalkan 2 × 0 =

0, 0 × 9 = 0 atau 0 × 0 = 0. Jadi jika hasil kali dua bilangan sama

dengan nol maka

salah satu atau kedua bilangan tersebut adalah nol. Secara simbolik

dinyatakan

bahwa jika ab = 0 maka a = 0 atau b = 0 . Kata atau pada ” a = 0 atau

b = 0 ”

2 – 8 Unit 2

berarti bahwa salah satu dari a atau b sama dengan nol atau bisa jadi

kedua-duanya

sama dengan nol. Konsep mengenai hal ini akan Anda pelajari lebih

dalam pada unit

6. Aturan faktor ini akan kita pakai dalam menyelesaikan persamaan

kuadrat.

Contoh : Dengan menggunakan aturan faktor nol, tentukanlah

penyelesaian

persamaan kuadrat berikut ini.

a. 4×2 − 32x = 0

b. 7×2 = −84x

c. 24

3

2 2

x =

d. x2 + 5x + 6 = 0

Baiklah kita akan mencoba menyelesaikan persamaan kuadrat di atas.

a. Persamaan kuadrat 4×2 − 32x = 0 dapat diubah menjadi 4x(x − 8) = 0

dengan

menggunakan aturan distributif. Selanjutnya dengan menggunakan aturan

faktor

nol akan diperoleh

4x = 0 atau x − 8 = 0

Sehingga diperoleh x = 0 atau x = 8 . Jadi penyelesaian persamaan

kuadrat

4×2 − 32x = 0 adalah x = 0 atau x = 8

b. Dengan cara yang sama dengan a, maka penyelesaian persamaan kuadrat

7×2 = −84x sebagai berikut.

7×2 + 84x = −84x + 84x Kedua ruas ditambah dengan 84x

7x(x +12)= 0 Menggunakan sifat distributif

7x = 0 atau x +12 = 0 Menggunakan aturan faktor nol

Jadi penyelesaian persamaan 7×2 = −84x adalah x = 0 atau x = −12 .

Bagaimana saudara? Apakah cukup jelas? Cobalah anda menyelesaikan

persamaan

kuadrat berikutnya dan kemudian cocokkan jawaban Anda dengan

penyelesaian

berikut ini.

a. Penyelesaian persamaan kuadrat 24

3

2 2

x = adalah sebagai berikut.


3

2×2 × 3 = 24 × 3 Kedua ruas dikalikan dengan 3

2×2 = 72

2

72

2

2 2

x = Kedua ruas dibagi dengan 2

x2 = 36

x = −6 atau x = 6

Jadi penyelesaian persamaan kuadrat 24

3

2 2

x = adalah x = −6 atau x = 6 .

Perhatikan bahwa ada dua nilai x yang memenuhi persamaan x2 = 36 yaitu

x = −6

atau x = 6. Jadi ingatlah bahwa persamaan x2 = a akan mempunyai dua

nilai x yaitu

x = − a dan x = a . Penyelesaian persamaan linear seperti di atas

merupakan

penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan aturan akar kuadrat.

b. Sekarang bagaimana penyelesaian persamaan kuadrat x2 + 5x + 6 = 0 ?

Untuk

memahami penyelesaian persamaan kuadrat tersebut, kita akan

menggunakan alat

peraga berikut ini. Buatlah sebuah persegi dan persegi panjang seperti

gambar 1

berikut ini.

(a) (b) (c)

Gambar 2.1

Persegi (a) menyatakan banyaknya x2 , persegi panjang (b) menyatakan

banyaknya x dan persegi (c) menyatakan konstanta. Oleh karena itu

untuk

menyatakan persamaan x2 + 5x + 6 = 0 dibutuhkan 1 bangun (a), 5 bangun

(b)

dan 6 bangun (c) seperti berikut ini.

Gambar 2.2

2 – 1 0 Unit 2

Dari persegi dan persegi panjang tersebut, bentuklah sebuah persegi

panjang baru

seperti gambar 3 dengan ukuran luas yang sama dengan bangun pada

gambar 2.

Gambar 2.3

Persegi yang baru terbentuk mempunyai panjang dan lebar masing-masing

(x +

2) dan (x + 3), sehingga ukuran luasnya (x + 2)(x + 3). Jadi persamaan

kuadrat

x2 + 5x + 6 = 0 sama dengan persamaan (x + 2)(x + 3) = 0 . Dengan

demikian

untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tersebut akan lebih mudah.

Dengan

menggunakan aturan faktor nol diperoleh (x + 2) = 0 atau (x + 3) = 0 .

Jadi

penyelesaian persamaan kuadrat x2 + 5x + 6 = 0 adalah x = −2 atau x =

−3 .

Jadi secara umum, jika 1 x dan 2 x merupakan penyelesaian suatu

persamaan kuadrat

maka persamaan kuadrat tersebut adalah ( ) 0 1 2 1 2

x2 + x + x x + x x = . Cara

menyelesaikan persamaan kuadrat di atas disebut menyelesaikan

persamaan kuadrat

dengan cara menfaktorkan.

Jika suatu persamaan kuadrat yang berbentuk ax2 + bx + c = 0 tidak

dapat

diselesaikan dengan cara-cara di atas, kita dapat menggunakan rumus

berikut ini.

a

x b b ac

2

− ± 2 − 4

=

Contoh : Selesaikan persamaan kuadrat 2×2 − 7x − 6 = 0 dengan

menggunakan

rumus di atas.

Dari persamaan kuadrat 2×2 − 7x − 6 = 0 maka a = 2, b = -7 dan c = -6.

Nilai a, b

dan c ini dimasukkan ke dalam rumus, sehingga diperoleh


4,2122 atau 0,7122

4

atau 7 9,8489

4

7 9,8489

4

7 9,8489

4

7 97

4

7 49 48

2.2

( 7) ( 7)2 4.2.( 6)

= = −

−

=

+

=

±

=

±

=

± +

=

− − ± − − −

=

x x

x x

x

x

x

x

Jadi penyelesaian persamaan kuadrat 2×2 − 7x − 6 = 0 adalah x = 4,2122

atau x = -

0,7122.

2 – 1 2 Unit 2

Rangkuman

Tes Formatif 1

Kerjakanlah tes formatif ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda

terhadap materi persamaan dengan cara memberi tanda silang (X) pada

salah satu

jawaban yang Anda anggap benar.

1. Pengertian koefisien adalah …….

A. suku aljabar yang tidak memuat variabel

B. suku aljabar yang mempunyai pangkat tertinggi 1

C. bilangan yang menyatakan banyaknya suku aljabar

D. bilangan yang menyatakan banyaknya variabel

2. Jika diberikan persamaan 8 0

3

x2 + 2x − = maka koefisien dari x adalah …….

Variabel adalah suatu lambang yang menyatakan atau mewakili sebarang

bilangan real yang biasanya dinotasikan dengan huruf kecil. Koefisien

suatu variabel

merupakan bilangan yang menyatakan banyaknya variabel tersebut. Suku

aljabar

menyatakan setiap hasil kali variabel dengan bilangan, variabel dengan

variabel baik

yang sama maupun yang berbeda. Sebuah suku aljabar yang tidak memuat

variabel,

dengan kata lain hanya merupakan bilangan saja disebut konstanta.

Persamaan adalah suatu pernyataan atau kalimat matematika terbuka yang

menyatakan hubungan sama dengan antara ruas kiri dan ruas kanan dan

dibatasi

dengan tanda ”=”. Persamaan linear merupakan persamaan yang mempunyai

pangkat tertinggi 1 pada variabelnya. Manipulasi aljabar yang dapat

dilakukan untuk

menyelesaikan persamaan linear adalah sebagai berikut.

a. Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama

b. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang memiliki pangkat tertinggi

pada

variabelnya adalah 2. Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat,

dibutuhkan sebuah

aturan yang disebut aturan faktor nol. Cara penyelesaian persamaan

kuadrat adalah

sebagai berikut.

a. Dengan aturan faktor nol

b. Dengan menggunakan akar kuadrat

c. Dengan menfaktorkan

d. Dengan menggunakan rumus


A. -8

B.

3

2

C. 1

D. 8

3. Berikut ini yang merupakan contoh persamaan linear adalah …….

A. 2 + 5 = 7

B. 7 15

2

x + =

C. 5x(x −1) = 6

D. 2×2 − 2 = 0

4. Penyelesaian persamaan 15 − 2 = 3

x

adalah …….

A.

3

x = 1

B. x = 3

C.

3

x = 13

D. x = 6

5. Persamaan linear berikut ini yang mempunyai penyelesaian

3

x = − 1 adalah…….

A.

x x

2 + 3 = 1

B.

x x

2 − 3 = 1

C. 3

3

1− 1 =

x

D. 3

3

1+ 1 =

x

2 – 1 4 Unit 2

6. Perhatikan cara penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini.

x2 − 81 = 0

x2 = 81

x = −9 atau x = 9

Penyelesaian persamaan kuadrat di atas menggunakan …….

A. aturan faktor nol

B. akar kuadrat

C. cara memfaktorkan

D. rumus

7. Penyelesaian persamaan x(x −1)= 12 adalah …….

A. x = 12

B. x = 0 atau x = 1

C. x = −3 atau x = 4

D. x = 12 atau x = 13

8. Persamaan berikut ini yang mempunyai penyelesaian x = 2 adalah …….

A. x(x + 4) = −4

B. x(x − 4)= −4

C.

2

1 +1 = 1

x

D.

2

1 −1 = 1

x

9. Penyelesaian persamaan kuadrat 3 0

2

1

2

1 x2 + x − = adalah …….

A. x = −1 atau x = 6

B. x = 1 atau x = −6

C. x = −2 atau x = 3

D. x = 2 atau x = −3

10. Penyelesaian persamaan kuadrat x2 − 4x + 2 = 0 adalah …….

A. x = −1

B. x = −2 atau x = 2

C. x = 0 atau x = 4

D. x = 2 + 2 atau x = 2 − 2

Umpan Balik Dan Tindak Lanjut

Setelah mengerjakan tes formatif 1, bandingkan jawaban Anda dengan

kunci

jawaban yang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab

dengan benar

minimal 80%, Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan

Anda

mempelajari sub unit selanjutnya. Sebaliknya jika jawaban benar Anda

kurang dari

80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-

bagian yang belum

Anda kuasai dengan baik.


Subunit 2

Pertidaksamaan

ateri yang akan dibahas pada subunit 2 adalah pertidaksamaan dan

penyelesaiannya. Pertidaksamaan yang dibahas adalah pertidaksamaan

linear

dan kuadrat. Dalam subunit ini kita juga akan mempelajari bagaimana

menyatakan

penyelesaian pertidaksamaan dengan menggunakan garis bilangan.

Pertidaksamaan adalah suatu pernyataan atau kalimat matematika terbuka

yang menyatakan hubungan tidak sama dengan antara ruas kiri dan ruas

kanan.

Biasanya diantara ruas kiri dan ruas kanan diberi tanda ”>”, ”≥”, ”≤”

atau ”<”. Kita

akan mempelajari pertidaksamaan linear terlebih dahulu.

Analog dengan persamaan linear, pertidaksamaan linear adalah

pertidaksamaan yang pangkat tertinggi pada variabelnya sama dengan 1.

Contoh : x + 3 > 5 , 2x − 6 ≤ 11, dan lain sebagainya.

Selanjutnya kita akan mempelajari bagaimana cara menentukan

penyelesaian

pertidaksamaan linear. Tetapi terlebih dahulu kita akan memahami dan

mempelajari

konsep berikut ini. Perhatikanlah gambar di bawah.

Gambar 2.4

Jika keduanya dikurangi dengan 2, maka akan diperoleh

Gambar 2.5

Jadi jika kedua ruas pertidaksamaan 10 > 6

dikurangi dengan 2 maka diperoleh 10 – 2 = 8

M

2 – 1 6 Unit 2

dan 6 – 2 = 4 dimana 8 > 4. Secara umum, jika kedua ruas

pertidaksamaan dikurangi

dengan bilangan yang sama maka hal ini tidak akan mengubah tanda

pertidaksamaan

di antara ruas kiri dan ruas kanan. Demikian juga jika kedua ruas

ditambah dengan

bilangan yang sama.

Jika pada gambar 4, masing-masing dikalikan dengan 2 maka akan

diperoleh

Gambar 2.6

Jadi jika kedua ruas pertidaksamaan 10 > 6 dikalikan dengan 2 maka

diperoleh

10 × 2 = 20 dan 6 × 2 = 12 dimana 20 > 12. Secara umum, jika kedua

ruas

pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan positif yang sama maka hal

ini tidak akan

mengubah tanda pertidaksamaan di antara ruas kiri dan ruas kanan.

Bagaimana jika

kedua ruas pertidaksamaan tersebut dikalikan dengan bilangan -2?

Menurut Saudara,

apakah akan merubah tanda pertidaksamaan? Mari kita selidiki bersama-

sama.

Kedua ruas pertidaksamaan 10 > 6 dikalikan dengan -2 maka diperoleh

10 × (-2) = -20 dan 6 × (-2) = -12 dimana -20 < -12. Jadi ternyata

jika kedua ruas

pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif yang sama maka hal

ini akan

merubah tanda pertidaksamaan di antara ruas kiri dan ruas kanan.

Perubahan tersebut

dari ”<” menjadi ”>” dan sebaliknya serta dari ”≤” menjadi ”≥”.

Demikian juga

berlaku jika kedua ruas pertidaksamaan dibagi dengan bilangan negatif

yang sama,

akan merubah tanda pertidaksamaan di antara ruas kiri dan kanan dari

pertidaksamaan tersebut. Dengan cara yang sama seperti pada perkalian,

cobalah

Anda menjelaskan konsep ini.

Sekarang kita mengkaji dan membahas penyelesaian pertidaksamaan

linear.

Contoh : Tentukan penyelesaian pertidaksamaan

a. x + 3 > 7

b. x + 8 ≤ 6

c. 2

3

x ≤

d. 3 − 2(x − 4) > 2 + 3(x − 2)

Penyelesaian pertidaksamaan linear di atas adalah sebagai berikut.


a. Penyelesaian pertidaksamaan linear x + 3 > 7

x + 3 − 3 > 7 − 3 Kedua ruas dikurangi dengan 3

x > 4

Jadi penyelesaian pertidaksamaan x + 3 > 7 adalah semua bilangan yang

kurang

dari 4 yang dinotasikan dengan himpunan {x; x > 4}. Akan lebih jelas

jika

penyelesaian tersebut disajikan dengan garis bilangan berikut ini.

Gambar 2.7

Perhatikan lingkaran di nilai 4 pada garis bilangan. Daerah di dalam

lingkaran

tersebut tidak diarsir. Hal ini menyatakan bahwa nilai x yang memenuhi

pertidaksamaan x + 3 > 7 adalah semua bilangan yang lebih dari 4

tetapi tidak

sama dengan 4 (x ≠ 4).

b. Penyelesaian pertidaksamaan linear x + 8 ≤ 6 .

x + 8 − 8 ≤ 6 − 8 Kedua ruas dikurangi dengan 8

x ≤ −2

Jadi penyelesaian pertidaksamaan x + 8 ≤ 6 adalah {x; x ≤ −2}. Jika

penyelesaian

ini disajikan dalam bentuk garis bilangan, akan diperoleh

Gambar 2.8

Perhatikan lingkaran di nilai -2 pada garis bilangan. Daerah di dalam

lingkaran

diarsir. Hal ini menyatakan bahwa nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

x + 8 ≤ 6 adalah semua bilangan yang kurang dari -2 termasuk bilangan

-2 itu

sendiri.

c. Penyelesaian pertidaksamaan linear 2

3

x ≤ .

3

x × 3 ≤ 2 × 3 (Kedua ruas dikalikan dengan 3)

x ≤ 6

2 – 1 8 Unit 2

Jadi penyelesaian pertidaksamaan linear 2

3

x ≤ adalah {x; x ≤ 6}. Jika

penyelesaian ini disajikan dengan garis bilangan sebagai berikut.

Gambar 2.9

d. Penyelesaian pertidaksamaan linear 3 − 2(x − 4) > 2 + 3(x − 2) .

3 − 2x + 8 > 2 + 3x − 6 (Menggunakan sifat distributif)

11− 2x > 3x − 4

11−11− 2x > 3x − 4 −11 (Kedua ruas dikurangi dengan 11)

− 2x > 3x −15

− 2x − 3x > 3x − 3x −15 (Kedua ruas dikurangi dengan 3x)

− 5x > −15

5

15

5

5

−

−

<

−

− x (Kedua ruas dibagi dengan -5)

x < 3

Jadi penyelesaian pertidaksamaan linear 3 − 2(x − 4) > 2 + 3(x − 2)

adalah

{x; x < 3}.

Bahasan selanjutnya mengenai pertidaksamaan kuadrat. Pertidaksamaan

kuadrat adalah pertidaksamaan yang mempunyai pangkat tertinggi 2 pada

variabelnya.

Contoh : x2 + 6x + 5 > 0

Kita akan mencoba menyelesaikan pertidaksamaan pada contoh di atas.

Dengan memfaktorkan ruas kiri dari pertidaksamaan diperoleh

(x +1)(x + 5) > 0

Selanjutnya kita andaikan pertidaksamaan di atas merupakan persamaan

sehingga

diperoleh ( )( )05 1 = + + x x . Dengan menggunakan aturan faktor

diperoleh ( ) 0 1 = + x

atau (x + 5)= 0 sehingga x = −1 atau x = −5 . Jadi kita mempunyai 3

daerah pada

garis bilangan yang dibatasi oleh nilai x = −1 dan x = −5 seperti

gambar berikut ini.

Gambar 2.10


Selanjutnya kita akan menguji daerah mana yang memenuhi peridaksamaan

x2 + 6x + 5 > 0 dengan cara memasukkan sebarang bilangan yang terletak

pada

masing-masing daerah ke pertidaksamaan x2 + 6x + 5 > 0 .

Misalnya untuk bilangan -6 diperoleh (− 6)2 + 6(−6) + 5 = 5 maka semua

bilangan

yang terletak di daerah yang memuat bilangan -6, jika dimasukkan ke

dalam

pertidaksamaan x2 + 6x + 5 > 0 akan menghasilkan bilangan positif.

Selanjutnya

untuk bilangan -2 diperoleh (−2)2 + 6(−2) + 5 = −3 maka semua bilangan

yang

terletak di daerah yang memuat bilangan -2, jika dimasukkan ke dalam

pertidaksamaan x2 + 6x + 5 > 0 akan menghasilkan bilangan negatif.

Analog untuk

bilangan 0, akan menghasilkan bilangan positif. Jadi bilangan yang

memenuhi

pertidaksamaan x2 + 6x + 5 > 0 adalah semua bilangan yang terletak

pada daerah

yang memuat bilangan -6 atau 0. Dengan kata lain, penyelesaian

pertidaksamaan

x2 + 6x + 5 > 0 adalah himpunan {x; x < −5 atau x > −1}. Penyelesaian

tersebut

dapat disajikan dalam bentuk garis bilangan seperti berikut ini.

Gambar 2.11

2 – 2 0 Unit 2

Latihan

Berikut ini soal-soal yang berkaitan dengan penyelesaian

pertidaksamaan kuadrat.

Selesaikan soal-soal tersebut, kemudian cocokkan jawaban Anda dengan

pembahasan di bawahnya.

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut

ini yang

dinyatakan dengan menggunakan himpunan dan garis bilangan.

1. 2×2 > 8

2. − 2×2 + 32 ≤ 0

3. − x2 − 4x + 5 >0

4. x2 + 6x + 9 ≥0

Pedoman Jawaban Latihan

Bagaimana Saudara, apakah Anda mengalami kesulitan dalam menentukan

himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan di atas? Silahkan

Anda

mencocokkan jawaban Anda dengan pembahasan berikut ini.

1. Langkah pertama yang kita lakukan adalah membagi kedua ruas dengan

bilangan 2 sehingga diperoleh x2 > 4 . Kemudian kita anggap

pertidaksamaan tersebut adalah persamaan x2 > 4 sehingga dengan aturan

penarikan akar kuadrat diperoleh x = −2 dan x = 2 . Selanjutnya kita

uji

bilangan-bilanan yang menjadi anggota himpunan penyelesaian 2×2 > 8

dengan memasukkan bilangan x = −3 , x = 0, dan x = 3 ke pertidaksamaan

2×2 > 8 sebagai berikut.

18 8

2( 3) 8

2 8

2

2

>

− >

x >

Pernyataan benar

0 8

2(0) 8

2 8

2

2

>

>

x >

Pernyataan salah

18 8

2(3) 8

2 8

2

2

>

>

x >

Pernyataan benar

Berdasarkan uji coba di atas, maka bilangan yang memenuhi

pertidaksamaan

2×2 > 8 adalah semua bilangan yang kurang dari -2 atau lebih dari 2.

Dengan

kata lain himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2×2 > 8 adalah

{x ; x < −2 atau x > 2} dan penyajiannya dalam garis bilangan sebagai

berikut.


Gambar 2.12

Anda perhatikan lingkaran pada nilai x = −2 dan x = 2 berlubang. Hal

ini

menyatakan bahwa nilai x = −2 dan x = 2 tidak memenuhi pertidaksamaan

2×2 > 8.

2. Kedua ruas pertidaksamaan − 2×2 + 32 ≤ 0 dikurangi dengan bilangan

32

sehingga diperoleh − 2×2 ≤ −32 . Selanjutnya kedua ruas dibagi dengan

-2.

Ingat bahwa pembagian yang dilakukan pada kedua ruas pertidaksamaan

akan mengubah tanda pertidaksamaan. Jadi diperoleh x2 > 16.

Selanjutnya

pertidaksamaan x2 >16 dianggap persamaan x2 = 16 sehingga diperoleh

nilai x = −4 dan x = 4 . Pengujian akan dilakukan dengan memasukkan

nilai

x = −5 , x = 0, dan x = 5 sebagai berikut.

18 0

2( 5) 32 0

2 32 0

2

2

− ≤

− − + ≤

− x + ≤

Pernyataan benar

32 0

2(0) 32 0

2 32 0

2

2

≤

− + ≤

− x + ≤

Pernyataan salah

18 0

2(5) 32 0

2 32 0

2

2

− ≤

− + ≤

− x + ≤

Pernyataan benar

Berdasarkan pengujian di atas diperoleh himpunan penyelesaian

pertidaksamaan − 2×2 + 32 ≤0 adalah {x ; x ≤ −4 atau x ≥ 4} dan jika

dinyatakan dalam garis bilangan sebagai berikut.

Gambar 2.13

3. Pertidaksamaan − x2 − 4x + 5 >0 dianggap menjadi persamaan

− x2 − 4x + 5 = 0 sehingga dengan cara memfaktorkan diperoleh

( )( )

1 atau 5

1 atau 5

1 0 atau 5 0

1 5 0

2 4 5 0

= = −

− = − = −

− + = + =

− + + =

− − + =

x x

x x

x x

x x

x x

Selanjutnya kita lakukan pengujian dengan memasukkan nilai x = −6, x =

0,

dan x = 2 ke dalam pertidaksamaan − x2 − 4x + 5 > 0 sebagai berikut.

( ) ( )

7 0

36 24 5 0

6 4 6 5 0

4 5 0

2

2

− >

− + + >

− − − − + >

− x − x + >

( ) ( )

5 0

0 4 0 5 0

4 5 0

2

2

>

− − + >

− x − x + >

( ) ( )

7 0

4 8 5 0

2 4 2 5 0

4 5 0

2

2

− >

− − + >

− − + >

− x − x + >

2 – 2 2 Unit 2

Pernyataan salah Pernyataan benar Pernyataan salah

Berdasarkan pengujian di atas, maka himpunan penyelesaian

pertidaksamaan

− x2 − 4x + 5 > 0 adalah {x ; − 5 < x < 1} dan jika dinyatakan dalam

garis

bilangan sebagai berikut.

Gambar 2.14

4. Pertidaksamaan x2 + 6x + 9 ≥ 0 dianggap sebagai persamaan x2 + 6x +

9 = 0

sehingga dengan cara memfaktorkan diperoleh

( )( )

3

3 0

3 3 0

2 6 9 0

= −

+ =

+ + =

+ + =

x

x

x x

x x

Pengujian akan dilakukan cukup dengan cara memasukkan nilai x = 0 pada

pertidaksamaan x2 + 6x + 9 ≥ 0 sebagai berikut.

( )

Pernyataan benar

9 0

0 6 0 9 0

6 9 0

2

2

≥

+ + ≥

x + x + ≥

Berdasarkan pengujian diperoleh himpunan penyelesaian pertidaksamaan

x2 + 6x + 9 ≥ 0 adalah {x ; x ≥ −3} atau penyelesaian pertidaksamaan

x2 + 6x + 9 ≥ 0 dapat dinyatakan dengan diagram garis berikut ini.

Gambar 2.15

Kita sudah mempelajari pertidaksamaan linear dan kuadrat. Semoga apa

yang

disajikan dalam subunit ini dapat dipahami dengan baik. Selanjutnya

silahkan Anda

menguji tingkat penguasaan terhadap materi dengan mengerjakan tes

formatif pada

subunit ini. Selamat mengerjakan.


Rangkuman

Pertidaksamaan adalah suatu pernyataan atau kalimat matematika terbuka

yang menyatakan hubungan tidak sama dengan antara ruas kiri dan ruas

kanan.

Di antara ruas kiri dan ruas kanan diberi tanda ”<”, ”>”, ”≤”, atau

”≥”.

Pertidaksamaan linear merupakan pertidaksamaan yang memiliki pangkat

tertinggi 1 pada variabelnya. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan

linear dapat

dilakukan manipulasi-manipulasi aljabar seperti pada penyelesaian

persamaan

linear. Tetapi harus diingat bahwa jika kedua ruas pertidaksamaan

dikalikan

atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama maka akan merubah tanda

yang

ada di antara ruas kiri dan ruas kanan. Tanda ”<” berubah menjadi ”>”,

tanda

”≤” menjadi ”≥” dan sebaliknya. Penyelesaian pertidaksamaan linear

dapat

disajikan dengan garis bilangan atau dengan himpunan. Pertidaksamaan

kuadrat

adalah pertidaksamaan yang mempunyai pangkat tertinggi 2 pada

variabelnya.

Untuk mempermudah penyelesaian pertidaksamaan kuadrat, diandaikan

pertidaksamaan itu menjadi persamaan kuadrat sehingga kita dapat

menentukan

nilai x yang menjadi batas daerah pada garis bilangan. Selanjutnya

untuk

menentukan semua nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut,

dilakukan pengujian dengan cara memasukkan bilangan yang terletak pada

masing-masing daerah pada garis bilangan.

Tes Formatif 2

Kerjakanlah tes formatif berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan

Anda

terhadap materi pertidaksamaan dengan cara memberi tanda silang (X)

pada salah

satu jawaban yang Anda anggap benar.

1. Pertidaksamaan linear adalah …….

A. pertidaksamaan yang tidak memuat konstanta

B. pertidaksamaan yang memiliki 1 variabel

C. pertidaksamaan yang mempunyai pangkat tertinggi 1 pada

variabelnya

D. pertidaksamaan yang mempunyai pangkat tertinggi 2 pada

variabelnya

2 – 2 4 Unit 2

2. Berikut ini yang merupakan pertidaksamaan linear adalah …….

A.

x 5x

2

2 3 >

−

B.

2 5 ≤ 0

−

x

x

C.

6x(2x − 3)< 1

D.

x

x

x 3

2

3 ≥

−

−

3. Jika pertidaksamaan linear 1− 2x > 5 dikalikan dengan bilangan -3

maka

diperoleh pertidaksamaan …….

A. − 6x − 3 > −15

B. − 6x − 3 < −15

C. 6x − 3 > −15

D. 6x − 3 < −15

4. Berikut ini yang merupakan penyelesaian pertidaksamaan 7 6 ≤ 5

−

x

x

adalah …….

A. {x; x ≥ 3}

B. {x; x ≤ 3}

C.

⎭ ⎬ ⎫

⎩ ⎨ ⎧

≤ ≤

7

x; 0 x 11

D.

⎭ ⎬ ⎫

⎩ ⎨ ⎧ ≤

≥

7

x; x 0 atau x 11

5. Pertidaksamaan linear yang mempunyai penyelesaian yang ditunjukkan

oleh

garis bilangan berikut adalah …….

A. x − 8 < 4x +16 B. x − 8 > 4x +16

C. x − 8 ≥ 4x +16 D. x − 8 ≤ 4x +16

6. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3 1

2

7 1 < −

+ x x ditunjukkan oleh

……..

A.


B.

C.

D.

7. Penyelesaian pertidaksamaan 3×2 + 5x > 2 adalah …….

A.

⎭ ⎬ ⎫

⎩ ⎨ ⎧

− < <

3

x; 2 x 1

B.

⎭ ⎬ ⎫

⎩ ⎨ ⎧

< − >

3

x; x 2 atau x 1

C. {x; −1 < x < 2}

D. {x; x < −1 atau x > 2}

8. Pertidaksamaan kuadrat yang mempunyai himpunan penyelesaian yang

ditunjukkan oleh garis bilangan berikut adalah …….

A. ( )( )2 x − 5 x − 6 ≥ B. (x − 5)(x − 6) < 2

C. (x − 4)(x − 7)≤ 2 D. (x − 4)(x − 7) < 2

9. Garis bilangan berikut yang menyatakan penyelesaian pertidaksamaan

x2 −10x > 4x − 49 adalah …….

A.

B.

C.

D.

10. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x2 + 6x − 2 ≤ 0

adalah …….

A. {x ; – 3 − 11 ≤ x ≤ −3 + 11} C. {x ; x ≤ −3 − 11 atau x ≥ −3 + 11}

C. {x ; 3 − 22 ≤ x ≤ 3 + 22} D. {x ; x ≤ 3 − 22 atau x ≥ 3 + 22}

2 – 2 6 Unit 2



kunci


dengan benar


Anda

mempelajari sub unit selanjutnya. Sebaliknya jika jawaban benar Anda

kurang dari

80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-

bagian yang belum

Anda kuasai dengan baik.


Subunit 3

Sistem Persamaan Linear

alam subunit ini, kita akan mempelajari sistem persamaan linear yang

paling

sederhana yaitu sistem persamaan linear dengan dua variabel atau

peubah.

Sistem persamaan linear disebut juga persamaan linear simultan. Untuk

mempelajari

materi ini perhatikan contoh permasalahan dalam kehidupan sehari-hari

berikut ini.

Contoh :Diketahui Ari membeli 10 buku dan 5 pensil dengan harga Rp.

12.500,-.

Sedangkan Dita membeli 5 buku dan 2 pensil dengan harga Rp. 6.000,-.

Berapa

harga sebuah buku dan sebuah pensil? Untuk menyelesaikan permasalahan

di atas,

kita buat tabel berikut.

Tabel 2.1

Banyak buku Banyak pensil Harga

Ari 10 5 Rp. 12.500,-

Dita 5 2 Rp. 6.000,-

Misalkan x menyatakan harga sebuah buku dan y menyatakan harga sebuah

pensil.

Berdasarkan tabel dapat dibentuk persamaan-persamaan berikut.

5 2 6000

10 5 12500

+ =

+ =

x y

x y

Persamaan-persamaan di atas mempunyai dua variabel (yaitu x dan y) dan

pangkat

tertinggi pada variabel tersebut sama dengan satu, sehingga persamaan-

persamaan itu

disebut persamaan linear dengan dua variabel atau peubah. Dua

persamaan linear

yang diperoleh merupakan kalimat matematika yang menyatakan

permasalahan di

atas. Dengan kata lain kedua persamaan tersebut merupakan model

matematika dari

permasalahan yang diberikan. Materi mengenai model matematika akan

dipelajari

lebih lanjut di unit 8. Jadi nampak bahwa kedua persamaan tersebut

erat kaitannya,

sehingga kedua persamaan itu dinamakan sistem persamaan linear. Untuk

membedakan apakah sekumpulan persamaan linear merupakan suatu sistem

atau

bukan biasanya pada sekumpulan persamaan tersebut diberi tanda “{“.

Jadi dari

permasalahan di atas diperoleh sistem persamaan linear dengan dua

peubah yaitu

⎩ ⎨ ⎧

+ =

+ =

5 2 6000

10 5 12500

x y

x y

D

2 – 2 8 Unit 2

Bentuk umum sistem persamaan linear dengan dua peubah adalah sebagai

berikut.

⎩ ⎨ ⎧

+ =

+ =

2 2 2

1 1 1

a x b y c

a x b y c

dengan 1 2 1 2 1 2 a ,a ,b ,b ,c , dan c merupakan bilangan-bilangan

real. Setiap persamaan

dalam suatu sistem persamaan disebut ruas persamaan.

Pada contoh tadi, kita diminta menentukan harga sebuah buku dan sebuah

pensil. Hal

ini berarti kita menentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem

persamaan

⎩ ⎨ ⎧

+ =

+ =

5 2 6000

10 5 12500

x y

x y

Misalkan nilai x = p dan y = q yang memenuhi sistem persamaan linear

di atas,

artinya jika nilai x dan y pada sistem persamaan linear diganti dengan

p dan q maka

diperoleh pernyataan yang benar. Jika nilai x dan y tersebut ditulis

sebagai pasangan

berurutan (p,q), pasangan berurutan ini disebut penyelesaian sistem

persamaan

linear tersebut. Pada contoh di atas penyelesaian sistem persamaan

linear

⎩ ⎨ ⎧

+ =

+ =

5 2 6000

10 5 12500

x y

x y

adalah (1000,500). Kita akan menguji apakah (1000,500) merupakan

penyelesaian

dengan cara memasukkan nilai x = 1000 dan y = 500 ke dalam sistem

persamaan

linear sebagai berikut.

⎩ ⎨ ⎧

+ = + =

+ = + =

5(1000) 2(500) 5000 1000 6000 benar

10(1000) 5(500) 10000 2500 12500 benar

Ternyata dengan memasukkan nilai-nilai tersebut diperoleh pernyataan

yang benar,

maka (1000,500) merupakan penyelesaian persamaan tersebut. Jadi

menyelesaikan

sistem persamaan linear adalah bagaimana mencari nilai pengganti

variabel nilai x

dan y sehingga diperoleh pernyataan yang benar.

Ada tiga masalah dalam menyelesaikan sistem persamaan linear yaitu:

1. ada tidaknya penyelesaian

2. metode penyelesaian

3. deskripsi selengkapnya mengenai penyelesaian tersebut.

Dalam subunit ini, kita akan pelajari dua metode penyelesaian sistem

persamaan

linear yaitu metode substitusi dan eliminasi. Sebelumnya akan

dijelaskan bahwa

manipulasi aljabar berikut ini tidak akan mengubah ada tidaknya

penyelesaian sistem

persamaan.


1. Penambahan atau pengurangan ruas-ruas persamaan ke ruas-ruas

persamaan

lain dalam sistemnya.

2. Perkalian setiap ruas dengan sebarang bilangan yang bukan nol.

3. Pengubahan urutan persamaan dalam sistemnya.

Penjelasan mengenai hal ini langsung menggunakan contoh-contoh

penyelesaian

sistem persamaan linear yang akan dibahas selanjutnya.

Selanjutnya kita akan membahas penyelesaian sistem persamaan linear

dengan metode substitusi. Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear

dua peubah

dengan menggunakan metode substitusi, dilakukan dengan langkah-langkah

sebagai

berikut.

1. Dipilih salah satu persamaan linear yang sederhana, kemudian

nyatakan x

sebagai y atau sebaliknya.

2. Masukkan (substitusikan) x atau y yang diperoleh pada langkah satu

ke

persamaan yang lain sampai diperoleh nilai x dan y.

Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua peubah dengan

metode

substitusi, akan lebih jelas dengan mempelajari contoh-contoh berikut

ini.

Contoh : Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua peubah

berikut ini

dengan metode substitusi.

⎩ ⎨ ⎧

− = −

+ = −

2 1

8

x y

x y

Penyelesaian :

Kita pilih persamaan x + y = −8, kemudian kita nyatakan x sebagai y

sehingga

diperoleh x = −8− y. Persamaan x = −8 − y kita masukkan ke dalam

persamaan

2x − y = −1 sehingga diperoleh

5

3 15

3 1 16

16 2 1

2( 8 ) 1

2 1

= −

− =

− = − +

− − − = −

− − − = −

− = −

y

y

y

y y

y y

x y

Dari sini diperoleh

3

8 5

8 ( 5)

8

= −

= − +

= − − −

x = − − y

2 – 3 0 Unit 2

Jadi penyelesaian sistem persamaan linear

⎩ ⎨ ⎧

− = −

+ = −

2 1

8

x y

x y

adalah (-3,-5).

Latihan 1

Bagaimana Saudara, apakah Anda telah memahami cara menyelesaikan

sistem

persamaan linear dengan menggunakan metode substitusi? Silahkan Anda

berlatih

menyelesaikan sistem persamaan linear dua peubah pada soal-soal

berikut. Setelah

Anda selesai mengerjakannya, cocokkan jawaban Anda dengan pembahasan

yang

ada.

Tentukan penyelesaiann sistem persamaan linear berikut dengan metode

substitusi.

a.

⎩ ⎨ ⎧

+ =

− =

2 9

2 3 4

x y

x y

b.

⎩ ⎨ ⎧

− =

− =

3 7

2 3 7

x y

x y

Pedoman Jawaban Latihan 1

a. Dari persamaan x + 2y = 9 , variabel x dinyatakan dalam y sehingga

diperoleh

x = 9 − 2y . Persamaan x = 9 − 2y disubstitusikan ke dalam persamaan

2x − 3y = 4 sehingga diperoleh

2

7 14

7 4 18

18 4 3 4

2(9 2 ) 3 4

2 3 4

=

− = −

− = −

− − =

− − =

− =

y

y

y

y y

y y

x y

Selanjutnya nilai y = 2 disubstitusikan ke persamaan x = 9 − 2y

sehingga

diperoleh

5

9 4

9 2(2)

9 2

=

= −

= −

x = − y


⎩ ⎨ ⎧

+ =

− =

2 9

2 3 4

x y

x y

adalah (5,2) .


b. Dari persamaan 3x − y = 7 , variabel y dinyatakan dalam x diperoleh

y = 3x − 7 .

Persamaan y = 3x − 7 disubstitusikan ke persamaan 2x − 3y = 7 sehingga

diperoleh

2

7 14

7 7 21

2 9 21 7

2 3(3 7) 7

2 3 7

=

− = −

− = −

− + =

− − =

− =

x

x

x

x x

x x

x y

Selanjutnya nilai x = 2 disubstitusikan ke persamaan y = 3x − 7

diperoleh

1

6 7

3(2) 7

3 7

= −

= −

= −

y = x −


⎩ ⎨ ⎧

− =

− =

3 7

2 3 7

x y

x y

adalah (2,−1) .

Berikut akan dibahas bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan

linear

dua peubah dengan metode eliminasi. Menentukan penyelesaian sistem

persamaan

linear dengan metode eliminasi dilakukan dengan menggunakan langkah-

langkah

berikut ini.

1. Nilai x ditentukan dengan menghilangkan atau mengeliminasi variabel

y.

2. Nilai y ditentukan dengan menghilangkan atau mengeliminasi variabel

x.

Langkah-langkah ini akan lebih jelas dengan contoh berikut.

Contoh : Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua peubah

berikut dengan

metode eliminasi.

⎩ ⎨ ⎧

− = −

+ = −

2 1

8

x y

x y

Penyelesaian :

Berdasarkan persamaan-persamaan yang terdapat dalam sistem di atas,

kita akan

menghilangkan atau mengeliminasi variabel y terlebih dahulu sehingga

diperoleh

nilai x sebagai berikut.

2 – 3 2 Unit 2

+

= −

= −

− = −

+ = −

3

3 9

2 1

8

x

x

x y

x y

Untuk memperoleh nilai y kita akan mengeliminasi variabel x dengan

cara sebagai

berikut.

2 1

8

− = −

+ = −

x y

x y

1

2

×

×

Sehingga diperoleh

−

= −

= −

− = −

+ = −

5

3 15

2 1

2 2 16

y

y

x y

x y

Jadi penyelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah (-3,-5).

Latihan 2

Setelah Anda memahami penyelesaian sistem persamaan linear dua peubah

dengan

metode eliminasi, silahkan kerjakan soal-soal berikut kemudian

cocokkan jawaban

Anda dengan pembahasan yang ada.

Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua peubah berikut

dengan metode

eliminasi.

a.

⎩ ⎨ ⎧

+ =

+ =

4 3 6

2 3 2

x y

x y

b.

⎩ ⎨ ⎧

− − =

+ − =

2 6 0

2 4 5 0

x y

x y

c.

⎩ ⎨ ⎧

− = −

+ =

3 4 11

4 5 6

x y

x y

Pedoman Jawaban Latihan 2

a. Penyelesaian sistem persamaan linear

⎩ ⎨ ⎧

+ =

+ =

4 3 6

2 3 2

x y

x y


−

=

=

+ =

+ =

2

2 4

2 3 2

4 3 6

x

x

x y

x y

2 3 2

4 3 6

+ =

+ =

x y

x y

2

1

×

×


−

= −

− =

+ =

+ =

3

2

3 2

4 6 4

4 3 6

y

y

x y

x y


⎩ ⎨ ⎧

+ =

+ =

4 3 6

2 3 2

x y

x y

adalah ⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛ −

3

2, 2 .

b. Penyelesaian sistem persamaan linear

⎩ ⎨ ⎧

− − =

+ − =

2 6 0

2 4 5 0

x y

x y


2 6 0

2 4 5 0

− − =

+ − =

x y

x y

2

1

×

×

+

= − = −

= −

− − =

+ − =

4

4 1

4

17

4 17

2 4 12 0

2 4 5 0

x

x

x y

x y

2 6 0

2 4 5 0

− − =

+ − =

x y

x y

2

1

×

×

−

= −

= −

+ =

− − =

+ − =

8

7

8 7

8 7 0

2 4 12 0

2 4 5 0

y

y

y

x y

x y


⎩ ⎨ ⎧ −

−

=

+ − =

2 6 0

2 4 5 0

x y

x y

adalah ⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛ − −

8

, 7

4

41 .

c. Penyelesaian sistem persamaan linear

⎩ ⎨ ⎧

− = −

+ =

3 4 11

4 5 6

x y

x y


3 4 11

4 5 6

− = −

+ =

x y

x y

5

4

×

×

+

= −

= −

− = −

+ =

1

31 31

15 20 55

16 20 24

x

x

x y

x y

3 4 11

4 5 6

− = −

+ =

x y

x y

4

3

×

×

−

=

=

− = −

+ =

2

31 62

12 16 44

12 15 18

y

y

x y

x y


⎩ ⎨ ⎧

− = −

+ =

3 4 11

4 5 6

x y

x y

adalah (−1,2).

Dalam menyelesaikan suatu sistem persamaan linear biasanya kedua

metode

penyelesaian tersebut digunakan secara bersamaan. Berikut ini contoh

penggunaan

kedua metode dalam menyelesaikan sistem persamaan linear.

2 – 3 4 Unit 2

Contoh : Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear

⎩ ⎨ ⎧

− + = −

− =

2 3 4

3 2

x y

x y

.

Penyelesaian :

Langkah pertama menggunakan metode eliminasi, yaitu:

+

=

− = −

− + = −

− =

2

2

2 3 4

3 2

x

x

x y

x y

Nilai x = 2 disubstitusi ke ruas persamaan pertama diperoleh:

0

3 0

3 2 2

2 3 2

3 2

=

− =

− = −

− =

− =

y

y

y

y

x y


⎩ ⎨ ⎧

− + = −

− =

2 3 4

3 2

x y

x y

adalah (2,0).

Tidak semua sistem persamaan linear dua peubah mempunyai penyelesaian.

Contoh

berikut merupakan sistem persamaan yang dimaksud.

Contoh : Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear

⎩ ⎨ ⎧

+ =

+ =

2 6

2 4 5

x y

x y

.

Penyelesaian :

2 6

2 4 5

+ =

+ =

x y

x y

2

1

×

×

−

=

+ =

+ =

0 12

2 4 12

2 4 5

x y

x y

Dari pengerjaan di atas diperoleh pernyataan yang salah artinya tidak

ada nilai x dan

y yang memenuhi sistem persamaan linear tersebut. Jadi sistem

persamaan linear

⎩ ⎨ ⎧

+ =

+ =

2 6

2 4 5

x y

x y

tidak mempunyai penyelesaian.


Rangkuman

Persamaan yang mempunyai dua variabel dan pangkat tertinggi pada

variabel

tersebut sama dengan satu disebut persamaan linear dengan dua

variabel/ peubah.

Sistem persamaan linear merupakan sekumpulan persamaan linear yang

mempunyai

hubungan, misalnya sekumpulan persamaan tersebut merupakan kalimat

matematika

yang menyatakan suatu permasalahan matematis. Bentuk umum sistem

persamaan

linear dengan dua peubah adalah sebagai berikut.

⎩ ⎨ ⎧

+ =

+ =

2 2 2

1 1 1

a x b y c

a x b y c

dengan 1 2 1 2 1 2 a , a ,b ,b , c , dan c merupakan bilangan-bilangan

real. Setiap persamaan

dalam suatu sistem persamaan disebut ruas persamaan.

Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel adalah bagaimana

mencari nilai

pengganti untuk variabel nilai x dan y sehingga diperoleh pernyataan

yang benar.

Manipulasi aljabar berikut ini tidak akan mengubah ada tidaknya

penyelesaian sistem

persamaan.

1. Penambahan atau pengurangan ruas-ruas persamaan ke ruas-ruas

persamaan

lain dalam sistemnya.

2. Perkalian setiap ruas dengan sebarang bilangan yang bukan nol.

3. Pengubahan urutan persamaan dalam sistemnya.

Manipulasi aljabar tersebut digunakan dalam menyelesaikan sistem

persamaan linear

dua variabel.

Ada dua metode penyelesaian sistem persamaan linear yaitu metode

substitusi dan eliminasi. Terkadang kedua metode tersebut digunakan

sekaligus

dalam menyelesaikan sistem persamaan linear. Suatu sistem dikatakan

tidak

mempunyai penyelesaian jika tidak terdapat nilai x dan y yang memenuhi

sistem

persamaan linear tersebut.

2 – 3 6 Unit 2

Tes Formatif 3

Kerjakanlah tes formatif berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan

Anda

terhadap materi sistem persamaan linear dengan cara memberi tanda

silang (X) pada

salah satu jawaban yang Anda anggap benar.

1. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear

⎩ ⎨ ⎧

− =

+ =

9 2 2

3 6 4

x y

x y

dengan

menggunakan metode substitusi.


⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

− =

+ =

9 2 2

2 6 4

x y

x y

dengan

menggunakan metode eliminasi.


⎩ ⎨ ⎧

− =

− = −

1,5 0,8 7

0,5 0,6 2

x y

x y

dengan

menggunakan metode substitusi dan eliminasi sekaligus.


⎪ ⎪⎩

⎪ ⎪⎨

⎧

=

+

=

+

5

3

2

9

2

3

x y

x y

5. Jika diketahui sistem persamaan linear

⎩ ⎨ ⎧ =

+ + =

3 4 14

2 5 7

x y

x y

, maka tentukan nilai

4x + 7 y .



kunci


dengan benar


Anda

mempelajari materi pada unit selanjutnya. Sebaliknya jika jawaban

benar Anda

kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama

bagian-bagian

yang belum Anda kuasai dengan baik.


Kunci Tes Formatif

Kunci Tes Formatif 1

1. D. Koefisien merupakan bilangan yang melekat pada variabel sehingga

bilangan ini menyatakan banyaknya variabel.

2. B.

3. B. Perhatikan variabel x dimana variabel tersebut mempunyai pangkat

sama

dengan 1.

4. B. Kedua ruas persamaan 15 − 2 = 3

x

dikalikan dengan x sehingga diperoleh

3

15 5

15 3 2

15 2 3

=

=

= +

− =

x

x

x x

x x

5. A.

6. B.

7. C. Persamaan x(x −1) = 12 ekuivalen dengan persamaan x2 − x −12 = 0

sehingga dengan memfaktorkan persamaan tersebut diperoleh

( )( )

3 atau 4

3 0 atau 4 0

3 4 0

= − =

+ = − =

+ − =

x x

x x

x x

8. B. Jika x = 2 dimasukkan ke persamaan x(x − 4) = −4 akan diperoleh

pernyataan yang benar.

9. D. Persamaan 3 0

2

1

2

1 x2 + x − = ekuivalen dengan persamaan

x2 + x − 6 = 0 sehingga dengan memfaktorkan diperoleh

( )( )

3 atau 2

3 0 atau 2 0

3 2 0

= − =

+ = − =

+ − =

x x

x x

x x

10. D. Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat x2 − 4x + 2 = 0 digunakan

rumus sebagai berikut. Dari persamaan diperoleh a = 1, b = −4, dan

c = 2 sehingga diperoleh

2 – 3 8 Unit 2

2 2

8

2

2 1

2

4 16 8

2

( 4) ( 4) 4.1.2

2

4

2

2

= ±

= ±

± −

=

− − ± − −

=

− ± −

=

a

x b b ac

Jadi penyelesaian persamaan kuadrat tersebut adalah x = 2 + 2 atau

x = 2 − 2 .


11. C.

12. A. Pertidaksamaan x 5x

2

2 3 >

−

mempunyai variabel dengan pangkat

tertinggi sama dengan 1.

13. D.

14. B. Kedua ruas pertidaksamaan 7 6 ≤ 5

−

x

x dikalikan dengan x sehingga

diperoleh

3

2 6

7 5 6

7 6 5

≤

≤

− ≤

− ≤

x

x

x x

x x

15. C. Ambil bilangan -10 kemudian masukkan ke dalam pertidaksamaan

yang

terdapat pada pilihan.

18 ? 24

10 8 ? 4( 10) 16

8 ? 4 16

− −

− − − +

x − x +

Agar pernyataan yang diperoleh benar maka tanda yang harus diberikan

adalah “>” atau “ ≥ ”. Dengan melihat lingkaran pada bilangan -8 yaitu

diarsir penuh maka tanda yang memenuhi adalah “ ≥ ”. Jadi

pertidaksamaan dengan penyelesaian tersebut adalah x − 8 ≥ 4x +16 .


16. B. Kedua ruas pertidaksamaan 3 1

2

7 1 < −

+

x x dikalikan dengan bilangan 2

diperoleh

3

7 6 2 1

7 1 6 2

< −

− < − −

+ < −

x

x x

x x

17. B. Penyelesaian pertidaksamaan 3 x 2 + 5 x > 2 adalah:

( )( )0 3 1 2

3 5 2 0

3 5 2

2

2

− + >

+ − >

+ >

x x

x x

x x

Andaikan pertidaksamaan menjadi persamaan sehingga diperoleh

( )( )

2

3

1

3 1 2

3 1 0 2 0

3 1 2 0

= = −

= = −

− = + =

− + =

x atau x

x atau x

x atau x

x x

Selanjutnya selidiki daerah pada garis bilangan yang merupakan

penyelesaian dari pertidaksamaan 3 x 2 + 5 x > 2 sebagai berikut.

Ambil nilai x = −3 , x = 0 dan x = 1. Substitusikan nilai-nilai

tersebut

ke pertidaksamaan sehingga diperoleh

12 2

27 15 2

3( 3) 5( 3) 2

3 5 2

2

2

>

− >

− + − >

x + x >

Pernyataan benar

0 2

3.0 5.0 2

3 5 2

2

2

>

+ >

x + x >

Pernyataan salah

8 2

3 5 2

3.1 5.1 2

3 5 2

2

2

>

+ >

+ >

x + x >

Pernyataan benar

Dengan melihat hasil substitusi di atas maka himpunan penyelesaian

pertidaksamaan 3 x 2 + 5 x > 2 adalah himpunan

⎭ ⎬ ⎫

⎩ ⎨ ⎧

< − >

3

x; x 2 atau x 1 .

18. A. Pilihan C dan D tidak mungkin karena ruas kanan pertidaksamaan

tersebut bukan nol sehingga bilangan 4 dan 7 bukan merupakan

penyelesaian. Selanjutnya kita ambil bilangan nol, kemudian kita

masukkan ke dalam pertidaksamaan A dan B sebagai berikut.

A. B.

2 – 4 0 Unit 2

( )( )

30 2

( 5)( 6) 2

(0 5)(0 6) 2

5 6 2

≥

− − ≥

− − ≥

x − x − ≥

Pernyataan benar

( )( )

30 2

( 5)( 6) 2

(0 5)(0 6) 2

5 6 2

<

− − <

− − <

x − x − <

Pernyataan salah

Jadi pertidaksamaan A yang mempunyai penyelesaian seperti yang

ditunjukkan oleh garis bilangan.

19. D. Pertidaksamaan x2 −10x > 4x − 49 ekuivalen dengan x2 −14x + 49

> 0 .

Dengan menganggap pertidaksamaan tersebut sebagai persamaan, maka

diperoleh x2 −14x + 49 = 0 . Dengan memfaktorkan persamaan tersebut

diperoleh

( )( )

7

7 0

7 7 0

=

− =

− − =

x

x

x x

Selanjutnya kita lakukan pengujian dengan mengambil sebarang

bilangan sebelum dan sesudah bilangan 7, sebagai berikut.

Diambil x = 0 sehingga

0 49

2 10 4 49

> −

x − x > x −

Pernyataan benar

Diambil x = 8 sehingga

x2 −10x > 4x − 49

(8)2 −10(8) > 4(8) − 49

64 − 80 > 32 − 49

−16 > −17

Pernyataan benar

Jadi bilangan yang memenuhi pertidaksamaan x2 −10x > 4x − 49

adalah semua bilangan real kecuali 7. Mengapa 7 tidak termasuk ke

dalam penyelesaian? Hal ini disebabkan tanda pertidaksamaan tidak

menggunakan tanda sama dengan.

20. A. Dengan menganggap pertidaksamaan x2 + 6x − 2 ≤ 0 sebagai

persamaan

x2 + 6x − 2 = 0 diperoleh nilai x yang memenuhi persamaan dengan

menggunakan rumus sebagai berikut. Dari persamaan tersebut diperoleh

a = 1, b = 6 , dan c = −2 sehingga


3 11

44

2

3 1

2

6 36 8

2

6 6 4.1.( 2)

2

4

2

2

= − ±

= − ±

− ± +

=

− ± − −

=

− ± −

=

a

x b b ac

Dengan mengambil sebarang bilangan yang terletak di antara bilangan

− 3 + 11 dan − 3 − 11 , misalnya x = 2 yang disubstitusikan ke

pertidaksamaan x2 + 6x − 2 ≤ 0 diperoleh 14 ≤ 0 yang merupakan

pernyataan salah. Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut

adalah {x ; − 3 − 11 ≤ x ≤ −3 + 11}.


21. Dari persamaan 3x + 6y = 4, variabel x dinyatakan dalam y sehingga

diperoleh 3x = 4 − 6y . Persamaan tersebut disubstitusikan ke

persamaan

9x − 2y = 2 sehingga diperoleh

2

1

20

10

20 10

20 2 12

12 18 2 2

3(4 6 ) 2 2

3(3 ) 2 2

9 2 2

=

−

−

=

− = −

− = −

− − =

− − =

− =

− =

y

y

y

y y

y y

x y

x y

Selanjutnya

2

y = 1 disubstitusikan ke persamaan 3x = 4 − 6y sehingga

diperoleh

2 – 4 2 Unit 2

3

1

3 4 3

2

3 4 6 1

3 4 6

=

= −

⎟⎠

⎞

⎜⎝

= − ⎛

= −

x

x

x

x y


⎩ ⎨ ⎧

− =

+ =

9 2 2

3 6 4

x y

x y

adalah ⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛

2

, 1

3

1 .

22. Penyelesaian sistem persamaan linear

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

− =

+ =

9 2 2

2 6 4

x y

x y

dengan menggunakan

metode eliminasi adalah sebagai berikut. Pertama kita akan

mengeliminasi

variabel y agar diperoleh nilai x sebagai berikut.

9 2 2

2 6 4

− =

+ =

x y

x y

x 3

x 1

Diperoleh

+

= =

=

=

− =

+ =

2,9

10

29

29 10

29 10

27 6 6

2 6 4

x

x

x

x y

x y

9 2 2

2 6 4

− =

+ =

x y

x y

x 2

x 9

Diperoleh

−

=

=

=

− =

+ =

32

58

32 58

58 32

18 4 4

18 54 36

y

y

y

x y

x y


⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

− =

+ =

9 2 2

2 6 4

x y

x y

adalah ⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛

32

, 58

10

29 .


⎩ ⎨ ⎧

− =

− = −

1,5 0,8 7

0,5 0,6 2

x y

x y

dengan

menggunakan metode substitusi dan eliminasi sekaligus, sebagai

berikut.


Agar lebih mudah melakukan penghitungan, sistem persamaan linear di

atas

dikalikan dengan bilangan 10 sehingga diperoleh

⎩ ⎨ ⎧

− =

− = −

15 8 70

5 6 20

x y

x y

Dengan metode eliminasi diperoleh

−

= =

=

− =

− = −

5

113

25

290

25 290

45 24 210

20 24 80

x

x

x y

x y

Selanjutnya nilai

5

x = 113 disubstitusikan ke salah satu persamaan,

misalkan kita substitusikan ke persamaan 5x − 6y = −20 sehingga

diperoleh

13

6

78

6 78

6 20 58

58 6 20

6 20

5

5 58

5 6 20

=

−

−

=

− = −

− = − −

− = −

− = − ⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛

− = −

y

y

y

y

y

x y


⎩ ⎨ ⎧

− =

− = −

1,5 0,8 7

0,5 0,6 2

x y

x y

adalah

⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛ ,13

5

113 .

24. Penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode

eliminasi kemudian substitusi adalah sebagai berikut.

5

3

2

9

2

3

=

+

=

+

x y

x y

2

1

3

1

×

×

Diperoleh

Nilai y = 3 disubstitusi ke ruas

persamaan kedua, yaitu:

2 – 4 4 Unit 2

−

= =

−

=

− = −

=

+

=

+

3

2

6

2

6 5

6

2

3 5

6

2

6

3

2

5

6

2

3

6

3

y

y

y y

x y

x y

9

15 6

6 15

5

3

2(3)

5

3

2

=

= −

+ =

=

+

=

+

x

x

x

x

x y

Jadi penyelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah (9,3).


⎩ ⎨ ⎧

+ =

+ =

3 4 14

2 5 7

x y

x y

adalah sebagai

berikut.

3 4 14

2 5 7

+ =

+ =

x y

x y

5

4

×

×

Sehingga diperoleh

−

=

− = −

+ =

+ =

6

7 42

15 20 70

8 20 28

x

x

x y

x y

1

5 5

5 7 12

12 5 7

2(6) 5 7

2 5 7

= −

= −

= −

+ =

+ =

+ =

y

y

y

y

y

x y

Jadi penyelesaian sistem persamaan di atas adalah (6,−1), maka

17

24 7

4 7 4(6) 7( 1)

=

= −

x + y = + −


Daftar Pustaka

Roberts, D.M, et.all. 2005. Mathematics A. [Online]. Tersedia di:

http://regentsprep.org/Regents/math/math-a.cfm#a4 [20 Mei 2006]

________.2004. Aljabar. [Online}. Tersedia di:

http://www.p3gmatyo.go.id/download/SMP/ALJABAR.pdf [20 Januari 2007]

________.2005. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Peubah dengan

Metode Grafik dan Substitusi. [Online]. Tersedia di:

http://www.pustekkom.go.id/bahanajar/mat/pdf/mat16/01.pdf [14 Maret

2007]

________. 2005. Year 9 Interactive Maths-Second Edition. [Online].

Tersedia di:

http://www.mathsteacher.com.au/ [17 Oktober 2005]

2 – 4 6 Unit 2

Glosarium

Eliminasi : salah satu metode penyelesaian sistem persamaan

dengan cara menghilangkan salah satu variabel dalam

persamaan-persamaan

Kesamaan : pernyataan atau kalimat tertutup yang menyatakan

hubungan sama dengan

Konstanta : suku aljabar yang tidak memuat variabel

Koefisien : bilangan yang menyatakan banyaknya variabel

Persamaan : kalimat matematika terbuka yang menyatakan

hubungan sama dengan

Penyelesaian persamaan : suatu bilangan tertentu yang jika menggatikan

variabel

dalam suatu persamaan maka diperoleh pernyataan

yang benar

Persamaan linear : persamaan yang pangkat tertinggi pada variabelnya

adalah 1

Persamaan kuadrat : persamaan yang pangkat tertinggi pada variabelnya

adalah 2

Pertidaksamaan : kalimat matematika terbuka yang menyatakan

hubungan tidak sama dengan

Pertidaksamaan linear : pertidaksamaan yang pangkat tertinggi pada

variabelnya adalah 1

Pertidaksamaan kuadrat : pertidaksamaan yang pangkat tertinggi pada

variabelnya adalah 2

Sistem persamaan linear : sekumpulan persamaan linear yang terkait

satu sama

lain

Substitusi : salah satu metode dalam menyelesaikan sistem

persamaan dengan cara memasukkan salah satu

variabel dalam salah satu persamaan yang dinyatakan

dalam variabel lain ke persamaan yang lain

Suku aljabar : hasil kali variabel dengan bilangan atau variabel

dengan variabel

Variabel : sebuah lambang yang menyatakan atau mewakili

sebarang bilangan real

Dalam setiap kesempatan, pembelajaran matematika hendaknya dimulai

dengan pengenalan masalah yang sesuai dengan situasi (contextual problem).

Dengan mengajukan masalah kontekstual, peserta didik secara bertahap

dibimbing untuk menguasai konsep matematika. Untuk meningkatkan

keefektifan pembelajaran, sekolah diharapkan menggunakan teknologi

informasi dan komunikasi seperti komputer, alat peraga, atau media

lainnya. Selain itu, perlu ada pembahasan mengenai bagaimana

matematika banyak diterapkan dalam teknologi informasi sebagai

perluasan pengetahuan peserta didik.

.4 TAHAP-TAHAP PEMBELAJARAN BERBASIS MASALAH

Pembelajaran berbasis masalah terdiri dari 5 fase dan perilaku.Fase-fase dan perilaku tersebut merupakan tindakan berpola. Polaini diciptakan agar hasil pembelajaran dengan pengembanganpembelajaran berbasis masalah dapat diwujudkan.

Sintak pembelajaran berbasis masalah sebagai berikut:

FASE-FASE PERILAKUFase 1: memberikan orientasi tentang permasalahannya kepada peserta didik

Guru menyampaikan tujuan pembelajarannya mendeskripsikansebagai kebutuhan logistic penting dan memotivasi peserta didik untuk terlibat dalam kegiatan mengatasi masalah

Fase 2: mengorganisasikan peserta didik untuk meneliti

Guru membantu peserta didik mendefinisikan dan mengorganisasikan dengan tugas belajar terkait dengan permasalahannya.

Fase 3: membantu investigasi individu dan kelompok

Guru mendukung peserta didik untuk mendapatkan informasi yang tepat, melaksanakan

eksperimen, dan mencari permasalahan dan solusi.

Fase 4: mengembangkan dan mempresentasikan artefak dan exhibit

Guru membantu peserta didik dalam merencanakan dan menyiapkan artefak-artefak yangtepat, seperti laporan, rekamanvideo, dan model-model serta membantu mereka untuk menyampaikan kepada orang lain

Fase 5: menganalisisdan mengefaluasi prosesmengatasi masalah

Guru membantu peserta didik melakukan refleksi terhadapinvestigasinya dan proses-proses yang mereka gunakan.

PENERAPAN METODE PEMBELAJARAN BERBASIS MASALAH UNTUK MATERI PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL

fase pertama

1. Guru menjelaskan tujuan utama pembelajaran yang berbasispada masalah.

2. Peserta didik melakukan investigasi pelajaran, melontarkanpertanyaan dan mencari informasi.

3. peserta didik mengekspresikan ide-idenya secara bebas danterbuka.

fase kedua,

1. Guru menjelaskan bagaimana cara kerja siswa2. Guru membantu peserta didik dalam merencanakan dan

menginvestigasikan masalah secara bersama-sama.

fase ketiga,

Guru membantu peserta didik menentukan metode investigasi.

- Mencari informasi yang tepat tentang permasalahan

- Melaksanakan eksprimen

- Menentukan permasalahan dari materi kemudian mencarisolusinya.

fase keempat,

Peserta didik membuat artefak misalnya berupa laporantulisan yang berisi tentang masalah dan solusi materi yangdiberikan.

Peserta didik melakukan Exhibit yaitu pendemonstrasian atasartefak tersebut.

fase kelima,

Guru membantu peserta didik melakukan refleksi mengenai:

- Proses menganilisis permasalahan

- Prilaku perserta didik selama pembelajaranberlangsung.

- Metode berpikir yang digunakan dalam penyelesaianmasalah

Membuat rangkuman materi Pemberian tugas (PR)

http://lubisgrafura.wordpress.com/2007/09/19/pembelajaran-berbasis-masalah/

http://www.bpgdisdik-jabar.net/publikasi/voli.pdf

http://www.muhfida.com/problembasedlearning.pdf

http://digilib.unnes.ac.id/gsdl/collect/skripsi/archives/H5SHeb15/5f53a33e.dir/doc.pdf



http://www.muhfida.com/problembasedlearning.pdf

http://www.bpgdisdik-jabar.net/publikasi/voli.pdf



https://matematohir.files.wordpress.com/2014/06/buku-pegangan-guru-

matematika-smp-kelas-8-kurikulum-2013.pdf

https://matematohir.files.wordpress.com/2014/06/buku-pegangan-guru-

matematika-smp-kelas-7-kurikulum-2013-edisi-revisi-2014.pdf

https://matematohir.files.wordpress.com/2014/06/buku-pegangan-guru-matematika-smp-kelas-7-kurikulum-2013-edisi-revisi-2014.pdf

https://matematohir.files.wordpress.com/2014/06/buku-pegangan-guru-matematika-smp-kelas-7-kurikulum-2013-edisi-revisi-2014.pdf

https://matematohir.files.wordpress.com/2014/06/buku-pegangan-guru-matematika-smp-kelas-8-kurikulum-2013.pdf

https://matematohir.files.wordpress.com/2014/06/buku-pegangan-guru-matematika-smp-kelas-8-kurikulum-2013.pdf

konsep Dasar Aljabar

Documents

Transcript of konsep Dasar Aljabar