....... J., L,K.

1 No . /Vl555_:3 . ..... . ; •• No 1 ; .. ma No ...................... ,., .. , .. 1

• l. - - --- ---•--Gezgin Anten Dizilimi Kestirimi *

Hakan A. t, Yücel Türker ve Erdinç Çekli t Üniversitesi, Elektrik-Elektronik Bölümü

:j: Üniversitesi, Elektronik Bölümü 34850

{hcirpan, yucelt, erdinc}@istanbul.edu. tr

Özetçe

Mobil radyo sistemlerinin radyo anten dizilimine ait yön-lendirme matrisi ve iletilen sembol dizilerinin ortak kestirimi için en büyük olabilirlik kestirim yöntemi bu bildiride Bu amaçla, ortak kanal ve Gauss gürültüsünün

anten diziliminde sinyalin, Markov zinciri öne ve Markov zin-ciri parametrelerinin kestirimi için ortaya en iyileme probleminin etkin çözümü Baum-Welch

ile elde Önerilen kestirimcinin Cramer-Rao hesa-planarak ve bilgisayar benzetim örnekleri

1

Telsiz sistemlerinin hizmetlere (ses ve veri iletimi, mesaj hizmeti v.b.) gösterilen ilgi son Bu hizmetlerin ve faydalanan kap-asitesi radyo izgesi Bundan gelecekteki telsiz sistemleri için izge en aza indirirken veri yeni

günümüzde bir çok konu [l]. Bu amaca yönelik olarak mevcut radyo izgesiyle kapasitesini bir hücre boyut-

küçültmek olabilir. Ancak bu yeni baz maliyetlerinin neden olur [1], [2]. radyo izgesine ihtiyaç duymadan kapa--sitesini bir ise, baz anten dizilimi kullanarak uzamsal sinyal

olabilir [2], [3]. Baz istasyonu ile telsiz cihaz kanal, yüksek ve guvenilir

önemli engeller ortaya Bu yüzden ortak kanal ve gürültüden, istenilen elde edilmesi için sinyal tekniklerine ihtiyaç Bununla birlikte, gözü çözümler göz önüne problem daha içeriklidir [2].

Mobil radyo sistemlerinin baz istasyonunda anten dizilimi kullanarak hücresel kapasitesini 1?,eraber, anten ve sembol dizisinin gözü

kestirimi de önemli bir problem olarak ortaya Bu problemin çözümü için rasgele olmayan en büyük olabilirlik kestirim üzerinde daha önceden [2], [3]. Ancak bu yöntemlere, en büyüle olabilirlik kestirimcisi güçlü bir alternatif

Bundan bu bildiride, baz istasyonundaki anten dizilimine modüleli sinyallerin senaryosu göz önüne gözü en büyüle olabilirlik kestirimcisi

Gözü Anten kestirimcisi bütün gönderilen sinyal için gerekir ve bu ifadenin en büyütmesinin hesaplama oldukça Bundan en büyütme probleminin etkin çözümü için

en büyük olabilirlik kestirimcisi, Baum-Welch bu bildiride [4]. Böylece hesaplama

"Bu Üniversitesi Fonunca Proje No:1407 / 05052000.

Ortak Kanal Sinyal Modeli

d sinyallerin baz istasyonuna, çoklu ve bir telsiz bu bildiride gözönüne Bu durumda m bir anten diziliminin i'inci temelband

d

Yc,i(t) = L Pkai,kSc,k(t) + Vc,i(t) (1) k=l

gösterilir. Burada Pk, sinyalin ai,k, i'inci anten bit dizisine sc,k iletilen temelband ve Vc,i(t) ise toplamsal beyaz Gauss gürültüsünü göstermektedir.

kiplenimli bir sistem sc,k(t)'nin

N

Sc,k(t) = L Wk(n)gc,t,. (t - (2) n=l

ifade edilebilir. (2)'de wk(n) sonlu alfabeden alan kiplenimli simgesi ilintili evre (BPSK) veya dördün genlik kiplenimli (QAM)), 9c,t,. vericinin izge

biçimleme süzgeci, T8 simge peryodu ve N bilgi dizisindeki simge m bir vektöre toplarsak,{l)'deki sinyal modeli

yeniden d

Yc(t) = L Pkaksc,k(t) + vc(t) . (3) k=l

Burada ak= ... , ak,mf, sinyale ait dizilim ve benzer olarak Ye sinyal vektörünü ifade etmektedir. uyumlu süzgeç ve örneklemeden sonra, sinyal

d

y(n) = LPkakwk(n) + v(n) (4) k=l

olup bu ifadede v{n) = v(t) lt=nT,. sinyal modelini matris formunda düzenlersek:

y(n) = Aw(n) + v(n), n = 1, · · ·, N, (5)

Burada A = (p1a 1, · · · ,pdad] dizilime ait yönlendirme matrisi ve w(n) = [w1(n), • • · ,wd(n)]T. Bildirinin bundan sonraki için {5)'deki sinyal modeline Vl: wk(n) sonlu alfabeden alan dizidir. V2: v(n) ortak matrisi o-21 olan toplamsal beyaz Gauss gürültüsüdür. Sonuç olarak bu bildiride ilgilenilen temel problem, (5) sinyal modeli ve Vl, V2

kullanarak, anten dizilimi cevab matrisi ve iletilen simge dizisinin en büyük olabilirlik yöntemi ile ortak kestir imidir.

3 Markov Zinciri

Vl bilgi sinyal vektörü w(n), durum vektörü s(n) = [w1(n), • • •, wd(n)]T ile Markov zincirinin özel bir hali olarak modellenebilir. ortak kanal sinyalleri ve Gauss gürültüsünün

anten dizisinde sinyal, Markov sonlu durum süreç (Markov zinciri olarak nitelendirilebilir. Ancak, bu durumda Markov süreci sadece olarak gözlenebilir. w(n) 'nin her ikili ±1 evre kiplenim (BPSK) durumu gözönüne Markov zinciri w(n)'nin M = 2d durumu ki bu durumlar,

s(n) ES= {sk, k = 1, ... ,M} (6)

olarak y(n) Markov zincirinin bir nitelendirilebilir:

i) Durum aiJ = Pr(s(n + 1) = Sj I s(n) = si), A = (aiJ), 1 S i,j S M bir durum matrisi Burada aiJ O ve bütün i'ler için I:;J';1 aiJ =

ii) durum vektörü -ir(0) = (O),···, ird(0)] Burada vektörün her bir iri(0) = Pr(s(O) = Si) olarak

iii) sinyalin verilen herhangi bir durum için fi(y(n))) = f(y(n) 1 s(n) = si), b = · · · , !d(y(n)] vektörünü Markov zinciri parame-trelerinin kestirimi problemi, gözlemlenen y = (n), ... , Ym(n)] dizisi en büyük

Markov modelini >. = (A, -ir(0), b) parametrelerine ihtiyaç duyar. Bununla birlikte Markov zinciri bu model için tektürel A ve 1r(0) 11 gibi

yeniden belirlememizi . i) Bütün izin verilebilir durum sahiptir, öyleki, Si durumundan s/ye

geçiliyorsa aiJ = Pr(s(n + 1) = Sj I s(n) = si) = olur. Aksi taktirde Pr(s(n + 1) = SJ I s(n) = si) = O ifade edilir.

ii) bitlerinde bir durum bütün durumlar için 7l-(0) = if · .

Geriye model parametrelerinden b'nin kestirimi V2 f (y(n) 1 s(n) = si) gibi

{ ll y (n) - rJill2 } f (y(n) 1 s(n) = si) = exp - a 2 where rJi = ASi . (7)

Markov zinciri model parametreleri>.= (A, 1r{0) , b), yeniden >.(0) = (A, 1r(0), b(0)) Burada 0 = [A, a] kestirilecek olan parametre vektörüdür. Bu bildiride özyineli

Baum-Welch kestirim Markov modelinin parametresini kestirmek üzere veya bir 0 ve iletilen simge dizisinin ortak kestirimi için

4 Özyineli Baum-Welch Kestirim

Baum-Welch olabilirlik yerine Kullback-Leibler bilgi ölçütüyle ilintili bir fonksiyonun özyineli olarak en büyük bulur. bu bildiride öncelikle eldeki probleme ait fonksiyon ifadesi daha sonra Baum-Welch anten ve sembol dizisinin ortak kestirimi için Baum-Wekh iki parametre kümesi ile

0(01,82) = Lf0/Y,s)log(f92 (y,s)) (8) sES

Burada s = {s(n)}~=l durum dizisinin bütün Bu problem için

A (i) / (i) { / 2} '2 0(0 , 0) = C + 'k (n) a'2 lly(n) - A ski! + log(a ) . (9)

olarak Burada ,ki) (n) =fi/il (y, s(n) = sk) , n sk durumunda olan verinin ortak Ortak Buna

sadece veri N ile olarak artan, ,ii) ( n) 'nin için özyineli (ileri ve geri olarak yordamlar

Özyineli kestirim formüllerini, 'v A' 0 = O, 'v 0 = O gibi bulunur: v

N 2d

'v A'0 = L L ,ii)(n) {y*(n) -A*sk}sI a i=l k=l

(10)

N 2d !

v7 u'20 = - 2:,2 + 2~,4 ~,?; 1t\n)lly(n) - Askll2 (11)

Burada * matris veya vektörün göstermektedir. Bu sonuçlara olarak önerilen algoritma içerecektir:

Parametrelere ilk 9(0) = ( A (O), a-2(0)).

1: ve geri hesaplanarak ,t) (n) bulunur. 2: bulmak için v7 A'0 = O çözülür. 3: bulmak için (ll)'den v'u'20 = O çözülür.

V V

4: IIÔ(i+l) - Ô(i) il <. € kadar l'den 3'e kadar tekrar edilir. Burada €

önceden belirlenen bir tolerans parametresidir. 5: Algoritma Ô durumdaki ,'lar sembol dizisi kestirilir.

en büyük olabilirlik kestirimcisinin veri için ikinci derece alt uzay yöntemlere (ESPIRJT ve MUSIC) göre daha yüksek

bilinmektedir.

5 Cramer-Rao

Önerilen en büyük olabilirlik için bu bildiride performans ölçütü olan, Cramer-Rao (CRS) kestirici için göz önüne

Cramer-Rao Fisher bilgi matrisinin (logaritmik olabilirlik ortak matrisi)

(12)

tersine V2 w üzerinden sonra fo(Y) = Ew[f o(ylw)] olabilirlik hesaplanabilir. Burada

!, ( ) = E [ 1 {- lly(n) - Aw(n) ll 2 }] 0 Y w (1ro-2)mN exp a-2 (13)

elde edilebilir. Cramer-Rao (13)'den Fisher bilgi matrisinin elde edilmesi gerekir. Ancak, (13)'in Fisher bilgi matrisinin analitik olarak elde edilmesi zordur. Geçerli bir yinede olabilirlik /o(ylw) 'dan bulunabilir--. Logaritmik içbükey Jensen

kullanarak log[fo(y)] Ew[logfo(ylw)] olarak elde edilir:

l [N-1 l log[fo(y)] -mNlog(1ro-2) - 2o-2 Ew E lly(n) - Aw(n) ll 2 (14)

Sonuç olarak alt matris J(A), kolay olan daha bir için (14)'den elde edilir: ··

l N-1 J(A) = 2 L Ew [w(n)w*(n)]

o- n=O (15)

6 Benzetim

Bu bölümde önerilen yöntemin göstermek için benzetim Bu amaçla, 6 düzgün anten diziliminin enine olarak [-5, 20, -10, 30 ] gelen güçlü 4 BPSK sinyali göz önüne Önerilen yöntem (SML) sinyal gürültü oranlan (SGO) için test Her SGO degerinde 10 elde edilen dizilim

matrisine ait kestirim normu Önerilen algoritma, [3]'deki Özyineli En Kücük Kareler Yöntemi (ILSP) ile l'de önerilen SML ve ILSP

ait ortalama hata ile birlikte SGO'na göre

Sonuç Bu bildiride Markov modeline gözü en büyük olabilirlik (SML) anten dizilim cevab matrisi ve simge dizisi kestirim sunuldu. Önerilen algoritma için maliyet

gönderilen tüm sembol dizileri üzerinden elde yüksek SGO için bu maliyet sadece bir terimin

olarak ifade edilebilir [2): {16)

Burada wi, yüksek SGO gönderilen sembol dizilerinden göstermektedir. Bundan önerilen algoritmaya ait maliyet ILSP durumundakine ve benzer bir performans gösterir. Benzetim sonuçlanda bunu hesaplanan CRS nedenden yüksek SGO

Kaynakça

Performans Testi

LSP

SML ·-·- ·- · - ·

CRS

- - -- - ·- - ---... .

,0-2 r------- ' '

,o• SGO

1: Kestirim ve CRS 'nin SGO'na -

[l] T. Rappaport, Wireless Communications: Principles and Practice, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 1996.

[2] A. Paulraj and C.B. Papadias, "Space-time processing for wireless communications," IEEE Signal Processing Magazine, 1997.

[3] S. Talwar, M. Viberg and A. Paulraj,"Blind estimation of multiple co-channel digital signals using an antenna array," IEEE Signal Proceesing Letters, vol. 1, No. 2, pp. 29-31, Feb. 1994.

[4] L. E. Baum, T. Petrie, G. Soules and N. Weiss, "A maximization technique occurring in the statis-tical analysis of probabilistic functions of Markov chains", The Annals of Mathematical Statistics, vol. 41, no. 1, pp. 164-171, 1970.

_. EE siu-2·000 . .-. -- VE r -

., ,.

ALARI KURULT

DÜZENLEYENLER AYDIN AKAN . EMIRTUFAN

HAKANA. ÇIRP AN

ERICSSON i5

12-14 2000 BELEK,ANTALYA