T00889.pdf - Gaziosmanpaşa Üniversitesi

T.C.

GAZİOSMANPAŞA ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

KENMOTSU MANİFOLDLARIN SLANT ALTMANİFOLDLARININ

GEOMETRİSİ ÜZERİNE

Ümit YILDIRIM

Yüksek Lisans Tezi

Matematik Anabilim Dalı

Doç. Dr. Mehmet ATÇEKEN

2010

Her hakkı saklıdır.

T.C.

GAZİOSMANPAŞA ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

YÜKSEK LİSANS TEZİ



Ümit YILDIRIM

TOKAT

2010

Her hakkı saklıdır

TEZ BEYANI

Tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu tezin yazılmasında bilimsel ahlak

kurallarına uyulduğunu, başkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda bilimsel

normlara uygun olarak atıfta bulunulduğunu, tezin içerdiği yenilik ve sonuçların başka

bir yerden alınmadığını, kullanılan verilerde herhangi bir tahrifat yapılmadığını, tezin

herhangi bir kısmının bu üniversite veya başka bir üniversitedeki başka bir tez çalışması

olarak sunulmadığını beyan ederim.

İmza

Ümit YILDIRIM

i

ÖZET

Yüksek Lisans Tezi



Ümit YILDIRIM

Gaziosmanpaşa Üniversitesi

Fen Bilimleri Enstitüsü

Matematik Anabilim Dalı

Danışman: Doç. Dr. Mehmet ATÇEKEN

Bu tezde Kenmotsu manifoldları, Ricci semi-simetrik Kenmotsu manifoldları, Kenmotsu manifoldların slant altmanifoldları ve Killing tensör alanına sahip Kenmotsu manifoldların slant altmanifoldlarını araştırdık. Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde araştırılan konunun güncelliği ve tez konumuzla ilgili yapılmış olan çalışmalar hakkında bilgi verdik. İkinci bölümde çalışmamız için gerekli olan bazı temel tanım ve teoremleri verdik. Üçüncü bölümde Kenmotsu manifoldunu, Kenmotsu manifold üzerindeki tensörün altmanifold üzerine indirgenen tensörü ve özelliklerini araştırdık. Bu bölümde Ricci semi-simetrik Kenmotsu manifoldunun Einstein manifoldu olduğunu gördük. Son bölüm tezimizin esas kısmını oluşturmaktadır. Bu bölümde Kenmotsu manifoldunun slant altmanifoldlarının karakterizasyonu üzerine bazı teoremler verip sonuçlarını inceledik. Daha sonra Killing tensör alanına sahip Kenmotsu manifoldların slant altmanifoldları üzerine bazı teoremler verip sonuçlarını inceledik. Sonra da slant altmanifold örnekleri ile konuyu açıklamaya çalıştık.

2010, 72 sayfa

Anahtar kelimeler: Kenmotsu manifoldları, slant açısı, slant altmanifold, Ricci- semi-simetrik, Killing tensör, invaryant altmanifold, anti-invaryant altmanifold.

ii

ABSTRACT

Undergreduate Thesis

ON THE GEOMETRY OF SLANT SUBMANIFOLDS

OF KENMOTSU MANIFOLDS

Ümit YILDIRIM

Gaziosmanpaşa University

Faculty of Arts Sciences

Department of Mathematics

Supervisor : Doç. Dr. Mehmet ATÇEKEN

In this thesis, we have investigated Kenmotsu manifolds, Ricci- semi-symmetric Kenmotsu manifolds, slant submanifolds of Kenmotsu manifolds and slant submanifolds of Kenmotsu manifolds which have Killing tensor field. This thesis consist of four chapter. In the first chapter , we have given inform about the research subject and thesis work. In the second chapter, we have given the some theorems and definitions which will be use the other chapters. In the third chapter, we have investigated Kenmotsu manifolds, the induced tensor field on submanifold of Kenmotsu manifold and it’s properties. This chapter, we see that Ricci semi-symmetric Kenmotsu manifold is a Einstein manifold.The last chapter consist of the main section of our thesis. In this chapter we have given some theorems on characterization of slant submanifolds of Kenmotsu manifolds and researched their results. After then we have given some theorems on slant submanifolds of Kenmotsu manifolds which have Killing tensor field and obtained some results. We have given examples to illustrate our results.

2010, 72 pages

Key words: Kenmotsu manifolds, Slant angle, Slant submanifolds, Ricci semi-symmetric manifold, Killing tensor, Invariant sunmanifold, Anti-invariant submanifold.

iii

TEŞEKKÜR

Bu tez çalışmasında, desteğini, ilgisini hiçbir zaman esirgemeyen ve her türlü sıkıntıda daima yanımda olan değerli hocam Doç. Dr. Mehmet ATÇEKEN’e en içten saygı ve sevgilerimi sunarım.

Ayrıca tez çalışmam boyunca fikirlerini ve zamanını esirgemeyen Yrd. Doç. Dr. Bahaddin BÜKCÜ hocama ve bölümdeki tüm hocalarıma teşekkür ederim.

Bu günlere gelmemde en büyük pay sahibi olan aileme teşekkürü bir borç bilirim.

Bu tez, 2009/65 nolu Bilimsel Araştırma Projesi olarak Gaziosmanpaşa Üniversitesi tarafından desteklenmiştir. Gaziosmanpaşa üniversitesine verdiği finansal destekten dolayı teşekür ederim.

iv

İÇİNDEKİLER

ÖZET ……………………………………………………………………………….......i

ABSTRACT …………………………………………………………………………...ii

TEŞEKKÜR …………………………………………………………………………..iii

1. GİRİŞ VE LİTERATÜR ÖZETİ ......……………………………………………..1

2. TEMEL KAVRAMLAR ……………………………………………………….......2

2. 1 Topolojik Kavramlar ……………………………………………………….....2

2. 2 Manifoldlar ……………………………………………………………….......4

2. 3 Altmanifoldlar ……………………………………………………………....16

3. KENMOTSU MANİFOLDLARI …………………………………………….....24

3. 1 Hemen hemen Kontak Metrik Manifoldlar ……………………………........24

3. 2 Kenmotsu Manifoldlar ……………………………………………………...26

3. 3 Ricci Semi-Simetrik Kenmotsu Manifoldları …………………………….....33

4. KENMOTSU MANİFOLDLARIN SLANT ALTMANİFOLDLARI ……........42

4. 1 Kenmotsu Manifoldların Slant Altmanifoldlarının Karakterizasyonu ….......43

4. 2 Killing Tensör Alanına Sahip Kenmotsu Manifoldların Altmanifoldları .......56

5. SONUÇ .....................................................................................................................68

KAYNAKLAR ............................................................................................................69

ÖZGEÇMİŞ ..................................................................................................................72

1

1. GİRİŞ VE LİTERATÜR ÖZETİ

İnvaryant ve anti-invaryant altmanifoldların bir genelleştirilmesi olan Slant

altmanifoldların geometrisi 1990 dan beri çalışılmaya devam edilmektedir. Bir hemen

hemen Hermitian manifoldun slant altmanifoldları konusu B. Y. Chen tarafından ortaya

atılmıştır (Chen, 1990). 2 ve 4 kompleks manifoldlarda slant altmanifoldlarının

örnekleri B. Y. Chen ve Y. Tazawa tarafından verilmiştir (Chen, 1990; Chen ve

Tazawa, 1991). İlk olarak hemen hemen Kontak Metrik Manifoldun slant

altmanifoldlarını tanımlayan ve inceleyen de A. Lotta’dır (Lotta, 1996). Lotta aynı

zamanda K-Kontak manifoldların 3-boyutlu anti-invaryant olmayan slant

altmanifoldlarının geometrisi üzerine çalışmalar yapmıştır (Lotta,1998). Daha Sonra, L.

Cabrerizo ve diğerleri bir Sasakian manifoldun slant altmanifoldlarını incelemişler ve

çok sayıda ilginç sonuç elde etmişlerdir (Cabrerizo ve ark., 2000). Atçeken, M. de

Riemanniann product, paracontact metrik manifold ve Kenmotsu manifoldlarında

(warped çarpım) Semi-slant altmanifoldların geometrisi üzerine çalışmalar yapmıştır.

(Atçeken, 2008, 2010). Kenmotsu manifoldlar kompleks manifoldların tek boyutlu

versiyonlarından biridir. Bir Hemen hemen kontak metrik manifold M ve M

üzerindeki Levi-civita konneksiyonu ∇ olmak üzere, M Hemen hemen kontak metrik

manifoldu eğer ( ) ( ) ( ),X Y g X Y Y Xϕ ϕ ξ η ϕ∇ = − şartını sağlarsa M manifoldu

Kenmotsu manifoldu olarak adlandırılır. M Kenmotsu manifoldunun bir alt manifoldu

M olmak üzere, M in slant altmanifold olmasının en önemli karakterizasyonu M

üzerine indirgenen ϕ -tensör alanı P endomorfizminin ( )2P Iλ η ξ= − − ⊗ şartını

sağlayacak şekilde bir [ ]0,1λ ∈ sabitinin olmasıdır. Bu tez çalışmasında, bir

altmanifoldun slant bir altmanifold olmasını karakterize eden başka teorem ve sonuçlara

yer verilmiştir. Daha sonra bir Killing tensör alanına sahip Kenmotsu manifoldların

altmanifoldları ve slant altmanifoldları incelenmiştir. Daha sonra da konu örneklerle

açıklanmaya çalışılmıştır.

2

2. TEMEL KAVRAMLAR

2. 1. Topolojik Kavramlar

Tanım 2.1.1: X bir küme ve τ da X in kuvvet kümesinin bir altkümesi olsun. Eğer

i. ,X τ∅∈

ii. τ da alınan sonlu sayıda elemanların birleşimi τ ya aittir.

Yani { }i i IA τ

∈∀ ⊂ ( I sonlu bir indis kümesi ) için ii I

A τ∈∪ ∈ dır.

iii. τ da alınan sonlu sayıda elemanların kesişimi τ ya aittir.

Yani { }i i JA τ

∈∀ ⊂ ( J sonlu indis kümesi ) için ii J

A τ∈∩ ∈ dır.

aksiyomları sağlanırsa, τ ya X üzerinde bir topoloji denir (Aslım, 1988).

Tanım 2.1.2: τ topolojisi ile donatılmış X kümesine veya ( ),X τ ikilisine topolojik

uzay denir.

Tanım 2.1.3: τ nın her elemanına, X üzerinde τ tarafından tanımlanan topolojiye

göre bir açık küme denir.

Tanım 2.1.4: X uzayına göre tümleyeni açık olan kümeye τ tarafından tanımlanan

topolojiye göre kapalı küme denir.

Tanım 2.1.5: ( ),X τ bir topolojik uzay ve X in bazı açık altkümelerinin sınıfı B

olsun. X in her açık altkümesi B nin elemanlarının herhangi bir birleşimi olarak

yazılabiliyor ise, B ye X uzayının bir bazı denir.

Tanım 2.1.6: ( ),X τ bir topolojik uzay ve A X⊂ olsun.

{ }'A G A G Gτ τ= = ∩ ∈

3

kümeler sınıfı A üzerinde bir topolojik yapıdır. A üzerinde τ tarafından türetilen Aτ

topolojisine, X uzayının indirgenen ( relatif, bünyesel ) topolojisi denir. Bu durumda,

( ), AA τ topolojik uzayına ( ),X τ uzayının alt uzayı denir (Aslım, 1988).

Tanım 2.1.7: X boştan farklı bir küme ve : xd X X → bir fonksiyon olsun. Eğer

Xzyx ∈∀ ,, için

i. ( ) için , 0x y d x y≠ > (2.1.1)

ii. ( ), 0d x y x y= ⇔ = (2.1.2)

iii. ( ) ( ), ,d x y d y x= (2.1.3)

iv. ( ) ( ) ( ), , ,d x y d x z d z y≤ + (2.1.4)

aksiyomları sağlanıyor ise d fonksiyonuna X üzerinde bir metrik denir (Aslım, 1988).

Tanım 2.1.8: X bir topolojik uzay, x X∈ olsun. x noktasını içeren bir U

altkümesinin her N üst kümesine x noktasının bir komşuluğu denir (Aslım, 1988)

Tanım 2.1.9: ( ),X τ ve ( )' ',X τ herhangi iki topolojik uzay, ':f X X→ bir fonksiyon

ve ox X∈ olsun. 'X uzayında ( )0f x ın her 'N komşuluğu için ( ) 'f N N⊂ olacak

şekilde, X uzayında 0x ın bir N komşuluğu varsa, f fonksiyonuna 0x noktasında τ

ve 'τ ye göre sürekli, 'τ τ− sürekli veya kısaca süreklidir denir (Aslım, 1988).

Tanım 2.1.10: X topolojik uzayının her farklı ,x y noktası için N M∩ =∅ olacak

şekilde x noktasının bir N komşuluğu ve y noktasının bir M komşuluğu varsa, X

topolojik uzayına Hausdorff uzayı ( kısaca H- uzayı ) denir (Aslım, 1988).

Tanım 2.1.11: ( ),X τ bir topolojik uzayının açık altkümelerinin sınıfı g olsun. Eğer

GUXgG∈

=

ise g sınıfına ( ),X τ uzayının bir açık örtüsü denir. Eğer g nin bir altkümesi X uzayını

örterse, bu altkümeye ( ),X τ nın bir açık alt örtüsü denir (Aslım, 1988).

4

Tanım 2.1.12: ( ),X τ topolojik uzayının her g açık örtüsünün sonlu bir alt örtüsü

varsa ( ),X τ uzayına kompakt uzay denir.

Tanım 2.1.13: X topolojik uzayının her x noktası X uzayında kompakt olan bir

komşuluğa sahip ise, X uzayına yerel kompakt uzay denir.

Kompakt bir uzay yerel kompakt uzaydır. Fakat tersi doğru değildir.

Tanım 2.1.14: ( ),X τ bir topoloji uzay ve A X⊂ olsun. ( ), AA τ uzayı kompakt ise, A

kümesine X uzayının kompakt altkümesi denir.

Tanım 2.1.15: ( ),X τ topolojik uzayı boş olmayan ayrık açık iki kümenin birleşimi

olarak yazılamıyorsa, ( ),X τ uzayına bağlantılıdır aksi halde bağlantısızdır denir.

Tanım 2.1.16: ( ),X τ bir topolojik uzay ve ( ),X τ topolojik uzayının açık örtüleri

sırasıyla { } IuU ∈= αα ve { }j

vV∈

=ββ olsun. Eğer V nin her bir açık kümesi U nun bir

açık kümesi içinde bulunuyorsa V ye U nun inceltilmişidir denir.

Tanım 2.1.17: Bir ( ),X τ topolojik uzayı Hausdorff ve her açık örtüsünün bir lokal

sonlu incelmesi varsa topolojik uzaya parakompakttır denir.

2. 2. Manifoldlar

Tanım 2.2.1: X ve 'X topolojik uzaylar arasındaki f fonksiyonu bijektif ( yani, 1-1

ve örten ) , sürekli ve 1f − tersi de sürekli ise, f fonksiyonuna bir homeomorfizma

(topolojik dönüşüm) denir. Bu halde X ve 'X uzaylarına homeomorfiktirler

(topolojik olarak eştirler) denir (Aslım, 1988).

Tanım 2.2.2: ,X Hausdorff uzayı olmak üzere herhangi bir U X⊂ açık kümesinden nV ⊂ bölgesine tanımlanan,

5

:U Vϕ →

homeomorfizmine, X de n − boyutlu koordinat sistemi veya harita, U açık kümesine

de, ϕ haritasının koordinat komşuluğu veya koordinat bölgesi denir. Harita ( ),U ϕ

şeklinde gösterilir (Hacısalihoğlu, 1980).

Eğer, x U∈ ise

( ) ( )1 ,..., n nx x xϕ = ∈

dir. Buradaki 1 ,..., nx x reel sayılarına ϕ haritasında x noktasının koordinatları denir.

Tanım 2.2.3: M bir topolojik uzay olsun. M nin her noktasının nE e veya nE in bir

U açık altkümesine homeomorf olan bir koordinat komşuluğu varsa, M ye n− boyutlu

topolojik manifold denir (Hacısalihoğlu, 1980).

Tanım 2.2.4: X Hausdorff uzayı ve k da 0k ≥ şartını sağlayan tamsayı olsun.

Aşağıdaki şartları sağlayan ( ){ }, : ,U A U Xα α αϕ α ∈ ⊂ lokal koordinat ailesine X

üzerinde kC sınıfından bir atlas denir.

i Lokal haritaların Uα bölgesi X i örter. Yani X , n − boyutlu topolojik

manifolddur.

ii. , Aα β∀ ∈ için, U Uα β∩ ≠ ∅ olacak biçimde , Aα β∀ ∈ için,

( ) ( )1 : U U U Uβ α α α β β α βϕ οϕ ϕ ϕ− ∩ → ∩

dönüşümü kC sınıfındandır (Hacısalihoğlu, 1980).

Tanım 2.2.5: M bir n − boyutlu topolojik manifold ve ( ){ },S Uα α αψ= de M nin bir

atlası olsun. Eğer S atlası aşağıdaki özelliğe sahip ise S ye , 1,rC r ≥ sınıfındandır

denir. U Uα β∩ ≠ ∅ olmak üzere, , Aα β∀ ∈ için

( ) ( )1 : U U U Uαβ α β β α β α α βφ ψ οψ ψ ψ−= ∩ → ∩ ve

( ) ( )1 : U U U Uβα β α α α β β α βφ ψ οψ ψ ψ−= ∩ → ∩

6

fonksiyonları rC sınıfındandır. Eğer S atlası M üzerinde rC sınıfından ise S ye M

üzerinde bir rC sınıfından diferensiyellenebilir yapı denir (Hacısalihoğlu, 1980).

Tanım 2.2.6: M bir n − boyutlu topolojik manifold ve M nin S atlası rC sınıfından

olsun. O zaman M ye n − boyutlu diferensiyellenebilir manifold denir (Hacısalihoğlu,

1980).

Tanım 2.2.7: : m nM Nφ → diferensiyellenebilir dönüşümünün tersi var ve tersi de

diferensiyellenebilir ise φ dönüşümüne diffeomorfizma adı verilir. M ve N

manifoldları verildiğinde, M den N ye giden bir diffeomorfizma var ise, M

manifoldu, N manifolduna diffeomorfiktir denir.

Tanım 2.2.8: M bir manifold ve p M∈ olsun. p − noktasındaki diferensiyellenebilir

fonksiyonların kümesi ( )C p olmak üzere, ( ):pV C p → dönüşümü

i. ( ) ( ) ( )p p pV af bg aV f bV g+ = + ( ), , ,f g C p a b∀ ∈ ∈ (2.2.1)

ii. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). .p p pV f g V f g p f p V g= + (2.2.2)

özelliklerini sağlıyorsa pV ye M nin p noktasındaki tanjant vektörü denir.

M nin p noktasındaki tanjant vektörlerin kümesi ( )MT p ile gösterilir. Buna göre

( ) ( ): , lineer ve leibnitzp pMT p V V C M

→ →∞⎧ ⎫= ⎯⎯⎯⎯⎯→⎨ ⎬

⎩ ⎭ ile gösterelim. Bu kümede iç ve dış

işlemler sırasıyla,

( ) ( ) ( ): xM M MT p T p T p⊕ →

( ), : ,p p p pV W V W C M→ → → →

∞⎛ ⎞ → ⊕ →⎜ ⎟⎝ ⎠

[ ] [ ] [ ]p pp pV W f V f W f

→ → → →⎛ ⎞⊕ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

ve

( ) ( ): x M MT p T p→

( ), : ,p pV V C Mλ λ→ →

∞⎛ ⎞ → →⎜ ⎟⎝ ⎠

7

[ ] [ ] ( ), ,p pV f V f f C Mλ λ

→ →∞⎛ ⎞ = ∀ ∈⎜ ⎟

⎝ ⎠

şeklinde tanımlanırlar. Bu işlemlere göre ( )MT p reel sayılar cismi üzerinde bir vektör

uzayıdır. Bu uzaya M nin p noktasındaki Tanjant uzayı denir (Hacısalihoğlu, 1980).

Tanım 2.2.9: M bir n− boyutlu manifold ve p M∈ noktasındaki tanjant uzay ( )MT p

olsun.

( ) ( ){ }: lineerM p p MT p W W T p∗ = ⎯⎯⎯→

uzayına ( )MT p nin p noktasındaki dual uzayı veya kotanjant uzay denir.

Tanım 2.2.10: M , n − boyutlu bir manifold ve M manifoldunun kotanjant uzayı

( )MT p∗ olsun. ( )W p ∈ ( )MT p∗ elemanına bir kovektör denir. Her bir W kovektörü ;

U , M nin bir koordinat komşuluğu olmak üzere

( ): Mp U

W U T p∗

∈→ ∪

( ) ( ): Mp W p T p→ →

şeklinde tanımlı bir lineer fonksiyon olup, M üzerinde bir 1 form− adını alır (O’Neill,

1983).

Tanım 2.2.11: Reel sayılar cismi üzerinde tanımlı bir vektör uzayı V ve *V ,V nin

duali olsun.

( )* :r sL V V+ ={ }( )*: x r s lineerr sf f V V +⎯⎯⎯⎯→

kümesinde iç ve dış işlemler sırasıyla

( )( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1,..., , ,..., ,..., , ,..., ,..., , ,...,r s r s r sf g f gα α β β α α β β α α β β⊕ = +

ve

( )( ) ( )1 1 1 1,..., , ,..., ,..., , ,...,r s r sf fλ α α β β λ α α β β=

8

şeklinde tanımlanırlar. Bu uzaya r . mertebeden kovaryant ve s . mertebeden

kontravaryant tensör uzayı denir. Bu uzayın elemanlarına da ( ,r s ) mertebeli tensör

denir (Boothby, 1986).

Tanım 2.2.12: M diferensiyellenebilir bir manifold ve M üzerindeki

diferensiyellenebilir fonksiyonların kümesi ( ),C M∞ olsun.

( ) ( ): , ,X C M C M∞ ∞→ dönüşümü

i. ( ) ( ) ( ) ( ) , , , ,X af bg aX f bX g f g C M a b∞+ = + ∀ ∈ ∈ (2.2.3)

ii. ( ) ( ) ( ). .X f g X f g fX g= + (2.2.4)

özelliklerini sağlıyorsa X e M üzerinde bir vektör alanı denir. M üzerindeki vektör

alanların cümlesi ( )Mχ ile gösterilir (Boothby, 1986).

Tanım 2.2.13: M bir manifold ve M üzerindeki vektör alanları cümlesi ( )Mχ olmak

üzere ( ),X Y Mχ∈ için

[ ] ( ) ( ) ( ), : xM M Mχ χ χ→ ( ),f C M∞∀ ∈

[ ] ( ) ( ),X Y X Yf Y Xf= −

ile tanımlanan fonksiyona ve X Y nin Lie ( bracket ) operatörü denir. Lie operatörü,

( ) ( ), , ve , ,f g C M X Y Z Mχ∞∀ ∈ ∀ ∈ olmak üzere,

i. [ ] ( ), ,X Y f C M∞∈ (2.2.5)

ii. [ ] [ ] [ ]( ) [ ]( ),fX gY fg X Y f X g Y g Y f X+ = + − (2.2.6)

iii. [ ] [ ], ,X Y Y X= − (2.2.7)

iv. [ ] [ ] [ ], , , , , , 0X Y Z Y Z X Z X Y⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (2.2.8)

özelliklerini sağlar (Yano ve Kon, 1984).

9

Tanım 2.2.14: M ve M m ve n boyutlu diferensiyellenebilir manifoldlar ve

:f M M→ fonksiyonu p noktasında diferensiyellenebilir bir fonksiyon olmak üzere,

( ) ( )( ): M Mf T p T f p∗ →

( ) [ ] [ ]( )1 ( ) ( ),...,p p p p f p p n f pV f V V f V f∗→ =

ile tanımlı f∗ dönüşümüne f nın türev dönüşümü denir. Eğer ( ),g C M∈ , ( )f p

nin komşuluğunda diferensiyellenebilir bir fonksiyon ise

( )( ) ( )p pf V g V gof∗ = (2.2.9)

dır (Hacısalihoğlu, 1980).

Teorem 2.2.1: Manifoldlar arasındaki türev dönüşümü lineerdir.

Tanım 2.2.15: M bir manifold ve g , M üzerinde ( )2,0 mertebeli tensör alanı olsun.

Eğer g tensör alanı her ( ),X Y Mχ∈ için

i. ( ) ( ), ,g X Y g Y X= (2.2.10)

ii. ( ) ( ), 0 ve , 0 0g X X g X X X≥ = ⇔ = (2.2.11)

şartları sağlanıyorsa g ye Riemann metriği denir. g Riemann metriği ile birlikte tanımlı

bir manifolda Riemann manifoldu denir. Bir M manifoldu üzerindeki g Riemann

metriği ( )MT p üzerinde iç çarpım ile tanımlanır.

{ }1 ,..., nx x M de lokal koordinat sistemi olsun. Burada g nin bu lokal koordinat

sistemine göre bileşenleri,

,iji j

g gx x

⎛ ⎞∂ ∂= ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

10

şeklindedir. Burada , 1Pi

i nx∂

≤ ≤∂

, ( )MT p nin bir bazıdır (O’Neill, 1983).

Tanım 2.2.16: M bir diferensiyellenebilir manifold ve M üzerindeki C∞ vektör

alanlarının cümlesi ( )Mχ olmak üzere;

( ) ( ) ( ): x bilineerM M Mχ χ χ∇ ⎯⎯⎯→

( ) ( ) , , XX Y X Y Y⎯⎯⎯→∇ = ∇

dönüşümü ( ) ( ), , ve , ,f g C M X Y Z Mχ∞∀ ∈ ∀ ∈ için,

i. ( )X X XY Z Y Z∇ + = ∇ +∇ (2.2.12)

ii. fX gY X YZ f Z g Z+∇ = ∇ + ∇ (2.2.13)

iii. ( ) ( )X XfY f Y X f Y∇ = ∇ + (2.2.14)

özelliklerini sağlıyorsa, ∇ ya M üzerinde bir afin konneksiyon, X∇ e de X e göre

kovaryant türev operatörü denir (Hacısalihoğlu, 1983).

Tanım 2.2.17: ( ),M g bir Riemann manifoldu ve ∇ da M üzerinde tanımlanan bir afin

konneksiyon olsun. O zaman ( ), ,X Y Z Mχ∀ ∈ olmak üzere ∇ dönüşümü ;

i. [ ],X YY X X Y∇ −∇ = ( Konneksiyonun sıfır torsiyon özeliği )

ii. ( ) ( ) ( ), , ,X XXg Y Z g Y Z g Y Z= ∇ + ∇ ( Konneksiyonun metrikle bağdaşma özeliği )

şartlarını sağlıyorsa ∇ ya M üzerinde sıfır torsiyonlu konneksiyon, (Riemann

konneksiyonu) veya Levi-Civita konneksiyonu denir (Hacısalihoğlu, 1983).

Tanım 2.2.18: ( ),M g , n − boyutlu Riemann manifoldu ve ∇ da M üzerinde

tanımlanan Levi-Civita konneksiyonu olmak üzere ( ), ,X Y Z Mχ∀ ∈ için,

( ) ( ) ( ) ( )2 , , , ,Xg Y Z Xg Y Z Yg Z X Zg X Y∇ = + −

[ ]( ) ( )( ) [ ]( ), , , , , ,g X Y Z g Y X Z g Z X Y− − + (2.2.15)

11

ile tanımlanan ifadeye Kozsul formülü adı verilir.

Tanım 2.2.19: U M⊂ üzerinde k

ijΓ fonksiyonları,

1

mk

i ijki iy y=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∇ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑Γ

olmak üzere k

ijΓ katsayılarına ∇ nın konneksiyon katsayıları (ya da Christoffel

sembolleri) denir.

Tanım 2.2.20: ( ),M g bir Riemann manifoldu , ∇ de M üzerinde Levi-civita

konneksiyonu olsun.

( ) ( ) ( ) ( ): x xR M M M Mχ χ χ χ→

( ) [ ],, X Y Y X X YR X Y Z Z Z Z= ∇ ∇ −∇ ∇ −∇ (2.2.16)

ile tanımlanan R fonksiyonu M üzerinde bir ( 3, 1 )- tipinde tensör alanıdır. Bu tensör

M nin Riemann eğrilik tensörü olarak adlandırılır (O’Neill, 1983).

( )W Mχ∀ ∈ için ( ) ( )( ), , , , ,K X Y Z W g R X Y Z W= tensörüne de M nin Riemann-

Christoffel eğrilik tensörü adı verilir (O’Neill, 1983).

( ), , , ,X Y Z V W Mχ∀ ∈ Riemann eğrilik tensörü aşağıdaki özelliklere sahiptir.

i. ( ) ( ), ,R X Y Z R Y X Z= − (2.2.17)

ii. ( )( ) ( )( ), , , ,g R X Y V W g R X Y W V= − (2.2.18)

iii. ( ) ( ) ( ), , , 0R X Y Z R Y Z X R Z X Y+ + = (2.2.19)

iv. ( )( ) ( )( ), , , ,g R X Y V W g R V W X Y= (2.2.20)

12

Tanım 2.2.21: ( ),M g , m - boyutlu Riemann manifoldu ve { } ( )1 2, ,..., ,me e e Mχ in bir

bazı olsun.

( ) ( ):Q M Mχ χ→

( ) ( )1

,m

i ii

X Q X QX R e X e=

→ = = −∑

biçiminde tanımlanan Q operatörüne M nin Ricci operatörü denir.

Tanım 2.2.22: ( ),M g , m − boyutlu bir Riemann manifoldu ve { }1 ,..., me e , ( )Mχ de

lokal ortonormal vektör alanları olsun.

( ) ( ) ( ): x ,S M M C Mχ χ ∞→

( ) ( ) ( )( )1

, , , ,m

i ii

X Y S X Y g R e X Y e=

→ = ∑ (2.2.21)

şeklinde tanımlı ( 2, 0 )- tipindeki tensör alanına M üzerinde Ricci eğrilik tensörü adı

verilir (Yano ve Kon, 1984).

Tanım 2.2.23: ( ),M g bir Riemann manifoldu olsun. ( )MT p tanjant uzayının iki

boyutlu alt uzayı Π olmak üzere ,V W ∈Π tanjant vekörleri için Q fonksiyonu ;

( ) ( ) ( ) ( )2, , , ,Q V W g V V g W W g V W= −

biçiminde tanımlansın. ( ), 0Q V W ≠ olmak üzere ;

( )( )( )( ), ,

,,

g R V W W VK V W

Q V W= (2.2.22)

olup buna Π nin kesit eğriliği denir ve ( )K Π ile gösterilir (O’Neill, 1983).

p M∀ ∈ ve ( ),p p MV W T p∈ için ( ),p pK V W sabit ise M ye sabit kesit eğrilikli uzay

veya reel uzay form denir.

13

Bu halde M Riemann manifoldu reel uzay form ise M nin R − Riemann eğrilik

tensörü

( ) ( ) ( ){ }, , ,R X Y Z c g Y Z X g X Z Y= − (2.2.23)

şeklindedir.

Tanım 2.2.24: ( ),M g , m − boyutlu bir Riemann manifoldu olsun. ,X Y M∀ ∈ için

( ) ( ), ,S X Y g X Yλ= (2.2.24)

olacak biçimde M üzerinde bir λ fonksiyonu varsa, yani M nin Ricci tensörü

S metrik tensör g nin bir katı ise M ye Einstein manifoldu adı verilir (O’Neill, 1983).

Tanım 2.2.25: ( ), ,M g m − boyutlu bir Riemann manifoldu ve { }1 ,..., me e lokal

ortonormal vektör alanları olmak üzere

( )1

,m

i ii

S e eτ=

= ∑ (2.2.25)

değerine M nin skaler eğriliği denir (O’Neill, 1983).

Tanım 2.2.26: ( ), 2 1M m + − boyutlu bir Riemann manifoldu olmak üzere

( ), ,X Y Z Mχ∀ ∈ için

( ) ( ) ( ) ( )1, , , ,2

P X Y Z R X Y Z S Y Z X S X Z Ym

= − −⎡ ⎤⎣ ⎦ (2.2.26)

ile tanımlı tensör alanına M manifoldunun Weyl projektif eğrilik tensör alanı denir

(Yano ve Kon, 1984).


( ), ,X Y Z Mχ∀ ∈ için

14

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1, , , , , ,2 1

C X Y Z R X Y Z S X Y Z S Y Z X g X Z QY g Y Z QXm

= + − + −⎡ ⎤⎣ ⎦+

( ) ( ) ( ), ,

2 2 1g X Z Y g Y Z X

m mτ

− −⎡ ⎤⎣ ⎦− (2.2.27)

ile tanımlı tensör alanına M manifoldunun Weyl conformal eğrilik tensör alanı denir


Tanım 2.2.28: 0C = ise M manifoldu Conformal flat olarak adlandırılır (Yano ve

Kon, 1984).


( ), ,X Y W Mχ∀ ∈ için

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,2 2 1

Z X Y W R X Y W g Y W X g X W Ym m

τ= − −⎡ ⎤⎣ ⎦−

(2.2.28)

ile tanımlı tensör alanına M manifoldunun Weyl concircular eğrilik tensör alanı denir


Tanım 2.2.30: M , m − boyutlu bir manifold olsun. M üzerinde,

( ): MD M T p→

( )p Mp D T p→ ⊂

ile tanımlı D dönüşümüne distribüsyon denir.

( )X Mχ∈ için, p pX D∈ ise X vektör alanı D ye aittir denir. Eğer her p noktası için

D ye ait r tane diferensiyellenebilir lineer bağımsız vektör alanı var ise D ye

diferensiyellenebilirdir denir (Bejancu, 1986).

,X Y D∀ ∈ için [ ],X Y D∈ ise D ye integrallenebilir denir (Yano ve Kon, 1984). N

bir C∞ manifold ve D , N üzerinde m − boyutlu distribüsyon ve M , N manifoldunun

bir altmanifoldu olsun. Eğer p M∀ ∈ için, ( )MT p ile pD bir birine eşit ise M ye D

nin integral manifoldu denir (Duggal ve Bejancu, 1996).

15

Yani,

:f M N→

bir imbedding olmak üzere,

p M∀ ∈ için ( )( )M pf T p D∗ =

dir. Eğer D nin M yi kapsayan başka bir integral manifoldu yoksa M ye D nin bir

maksimal integral manifoldu denir (Duggal ve Bejancu, 1996).

N bir C∞ manifold ve M , N manifoldunun bir altmanifoldu olsun. Eğer p M∀ ∈

için D nin p noktasını kapsayan bir maksimal integral manifoldu varsa D

distrübüsyonuna integrallenebilirdir denir.

N bir manifold ve ∇ , N üzerinde lineer konneksiyon olsun. Eğer,

( )X TN∈Γ , ( )Y D∈Γ için ( )X Y D∇ ∈Γ

ise D distrübüsyonu paraleldir denir (Duggal ve Bejancu, 1996).

Tanım 2.2.31: M bir reel diferensiyellenebilir manifold olsun. Eğer her p M∈

noktası için 2J I= − olacak biçimde ( )MT p tanjant uzayının bir J endomorfizmi

mevcut ise, M üzerindeki J tensör alanına bir hemen hemen kompleks yapı adı verilir.

Bir J hemen hemen kompleks yapısı ile verilen manifolda bir hemen hemen kompleks

manifold denir (Yano ve Kon, 1976).

Tanım 2.2.32: M diferensiyellenebilir bir manifold olmak üzere, M üzerinde ( )1,1 -

tipinde bir tensör alanı F olsun. ( ),X Y Mχ∀ ∈ için,

( ) [ ] [ ] [ ] [ ]2, , , , ,FN X Y F X Y FX FY F FX Y F X FY= + − − (2.2.29)

şeklinde tanımlı FN tensör alanına Nijenhuis torsiyon tensörü adı verilir. Burada F J=

olarak alınırsa,

16

( ) [ ] [ ] [ ] [ ]2, , , , ,JN X Y J X Y JX JY J JX Y J X JY= + − −

[ ] [ ] [ ] [ ], , , ,X Y JX JY J JX Y J X JY= − + − −

eşitliği yazılır (Yano ve Kon, 1976).

Tanım 2.2.33: ( ),M J , bir hemen hemen kompleks manifold olsun. Eğer, M üzerinde

0JN = ise M ye bir kompleks manifold denir (Yano ve Kon, 1976).

Tanım 2.2.34: ( ),M J , bir hemen hemen kompleks manifold olsun. M üzerinde

( ),X Y Mχ∀ ∈ için;

( ) ( ), ,g JX JY g X Y=

şeklinde verilen g Riemann metriğine Hermityan metrik denir (Yano ve Kon, 1976).

Hermityan metriği ile verilen hemen hemen kompleks manifolda hemen hemen

hermityan manifold adı verilir. Ayrıca, Hermityan metriği ile verilen kompleks

manifolda Hermityan manifold denir (Yano ve Kon, 1976).

2. 3. Altmanifoldlar

Tanım 2.3.1: , M M sırasıyla m ve n boyutlu Riemann manifoldlar olsun.

:f M M→ C∞ dönüşümü için, ( )( )( )Mboy f T p q∗ = ise f nin p M∈ noktasındaki

rankı q olup, ( )rank f q= ile gösterilir. Eğer ( ) ( )boy M rank f= ise f ye

immersiyon (daldırma) denir. Bu durumda M ye de M nin immersed altmanifoldu

denir.

f immersiyonu 1 1− ise f ye imbeding (gömme), M ye de M nin gömülen

altmanifoldu yada sadece altmanifoldu denir (Chen 1973).

17

Tanım 2.3.2: ( ),M g ve ( ),M g sırasıyla m ve n boyutlu Riemann manifoldları,

:f M M→ bir immerisyon olsun. ( ), MX Y T p∀ ∈ için

( ) ( ), ,p pg f X f Y g X Y∗ ∗ =

ise f ye izometrik immersiyon (metrik koruyan immersiyon) adı verilir (Chen 1973).

Tanım 2.3.3: M ve M sırasıyla m ve n boyutlu Riemann manifoldları olmak üzere M

manifoldunun bir altmanifoldu M olsun. ∇ ve ∇ sırası ile M ve M de kovaryant

türevler olsun. Böylece X ve Y , M üzerinde vektör alanları olmak üzere;

( ) ( ) ( ): xh M M Mχ χ χ⊥→

( ),X XY Y h X Y∇ = ∇ + (2.3.1)

biçiminde Gauss eşitliği elde edilir. Burada X Y∇ ve ( ),h X Y , X Y∇ nin sırasıyla teğet

ve normal bileşenleridir. Burada h ya M nin ikinci temel formu adı verilir. Eğer 0h =

ise M ye total geodeziktir denir (Chen, 1973).

Tanım 2.3.4: M ve M sırasıyla m ve n boyutlu Riemann manifoldları olmak üzere

M manifoldunun bir altmanifoldu M olsun. M ye normal birim vektör alanı N ve

X N∇ nin teğet ve normal bileşenleri sırası ile, NA X− ve X N⊥∇ olmak üzere,

( ) ( ) ( ): xA M M Mχ χ χ⊥ →

dönüşümü iyi tanımlıdır.

Böylece

X N XN A X N⊥∇ = − + ∇ (2.3.2)

biçiminde Weingarten eşitliği elde edilir. Burada NA ye şekil operatörü, ⊥∇ e de M

nin T M⊥ normal demetindeki (normal) konneksiyon adı verilir (Chen 1973).

18

Sonuç 2.3.1: M nin şekil operatörü NA ve ikinci temel formu h arasında

( ) ( )( ), , ,Ng A X Y g h X Y N= (2.3.3)

bağıntısı vardır. Burada g, ( )MT p deki Riemann metriğidir (Chen, 1973).

Ispat : ( ) ( ), , X Y M N Mχ χ⊥∈ ∈ için,

( ), 0g Y N =

( ), 0Xg Y N =

( ) ( ), , 0X Xg Y N g Y N∇ + ∇ =

( )( ) ( ), , , 0X N Xg Y h X Y N g Y A X N⊥∇ + + − +∇ =

( ) ( )( ) ( ) ( ), , , , , 0X N Xg Y N g h X Y N g Y A X g Y Y⊥∇ + + − + ∇ =

( )( ) ( ), , , 0Ng h X Y N g Y A X− = g ; simetrik olduğundan,

( ) ( )( ), , ,Ng A X Y g h X Y N=

eşitliğinin sağlandığı görülür.

Tanım 2.3.5: ( ),M g Riemann manifoldunun n − boyutlu bir altmanifoldu ( ),M g

olsun. M altmanifoldunun ikinci temel formu h nın kovaryant türevi h∇ ,

( )( ) ( ) ( ) ( ), , , ,X X X Xh Y Z h X Y h Y Z h Y Z⊥∇ = ∇ − ∇ − ∇ (2.3.4)

biçiminde tanımlanır. h ın kovaryant türevi h∇ ya M nin üçüncü temel formu adı

verilir (Chen, 1973).

Eğer, 0h∇ = ise M ye paralel ikinci temel formlu veya 1- paraleldir denir. Buradaki

∇ , M nin T M⊥ normal demetindeki tanımlanan normal konneksiyon olup buna van

der Waerden Bortolotti konneksiyonu denir (Chen, 1973).

19

Tanım 2.3.6: ( ),M g Riemann manifoldunun n − boyutlu bir altmanifoldu

( ),M g olsun. M nin eğrilik tensörü R , ( ), , ,X Y Z W Mχ∀ ∈ için,

( ) [ ],, X Y Y X X YR X Y Z Z Z Z= ∇ ∇ −∇ ∇ −∇ (2.3.5)

( ) ( )( ), , , , ,K X Y Z W g R X Y Z W= (2.3.6)

biçiminde tanımlanır. M nin eğrilik tensörü R ve M nin eğrilik tensörü R olmak

üzere, ( ), ,X Y Z Mχ∀ ∈ için, Gauss ve Weingarten eşitlikleri yardımıyla

( ) [ ],, X Y Y X X YR X Y Z Z Z Z= ∇ ∇ −∇ ∇ −∇

( )( ) ( )( ) [ ] [ ]( )( ),, , , ,X Y Y X X YZ h Y Z Z h X Z Z h X Y Z= ∇ ∇ + −∇ ∇ + − ∇ −

( ) ( )( ) ( ) ( ), ,X Y Y X X YZ h X Z h Y Z h Y Z h X Z= ∇ ∇ + ∇ + ∇ + ∇ − ∇

( ) [ ] [ ]( ) ( ) ( ), , ,, , ,Y X Y h Y Z h X Zh X Z Z h X Y Z A X A Y− ∇ −∇ − − +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), ,, , ,X Yh Y Z h X ZR X Y Z A X A Y h Y Z h X Z= − + + ∇ − ∇

eşitliği elde edilir. Bu eşitliğin her iki tarafına ( )W Mχ∈ ile çarptığımızda,

( ) ( ) ( ) ( )( ), , , , , , , , ,R X Y Z W R X Y Z W g h Y Z h X W= −

( ) ( )( ), , ,g h X Z h Y W+ (2.3.7)

eşitliği elde edilir. Bu eşitliğe Gauss denklemi adı verilir (Chen, 1973).

Gauss denkleminin teğet ve normal bileşenleri sırasıyla

( )( ) ( ) ( ) ( ), ,, ,T

h X Z h Y ZR X Y Z R X Y Z A Y A X= + − (2.3.8)

ve

( )( ) ( )( ) ( )( ), , ,X YR X Y Z h Y Z h X Z⊥= ∇ − ∇ (2.3.9)

20

biçiminde olup, (2.3.9) eşitliğine Codazzi denklemi adı verilir. Burada ∇ , M üzerinde

Riemann konneksiyonudur. Ayrıca M nin normal demetinin eğrilik tensörü,

( ),X Y Mχ∀ ∈ ve ( )V Mχ ⊥∈ olmak üzere;

( ) [ ],, X Y Y X X YR X Y Z V V V⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥= ∇ ∇ −∇ ∇ −∇ (2.3.10)

ile tanımlıdır. (2.3.10) eşitliğinde Gauss ve Weingarten eşitlikleri kullanılırsa,

( ) [ ],, X Y Y X X YR X Y Z V V V= ∇ ∇ −∇ ∇ −∇

( ) ( ) [ ] [ ]( ), ,X Y V Y X V VX YV A Y V A X V A X Y⊥ ⊥ ⊥= ∇ ∇ − −∇ ∇ − − ∇ −

( ),Y

X Y X V V X YVA X A Y h X A Y V⊥

⊥ ⊥ ⊥ ⊥∇

= ∇ ∇ − −∇ − −∇ ∇

( ) [ ] [ ],, ,X

Y V V VX YYA V A X h Y A X V A X Y⊥

⊥∇

+ −∇ + −∇ +

( ) ( ) ( ), , ,V V X V Y VR X Y V h X A Y h Y A X A Y A X⊥= − + −∇ +∇ (2.3.11)

eşitliği elde edilir. (2.3.11) eşitliğinin her iki tarafını ( )U Mχ⊥∈ ile çarptığımızda,

( )( ) ( )( ) ( ) ( ), , , , , ,V V U V U Vg h Y A X U g h X A Y U g A Y A X g A X A Y− = −

[ ]( ), , ,U Vg A A X Y= ; [ ],U V U V V UA A A A A A= −

dir. Buradan da,

( )( ) ( )( ) [ ]( ), , , , , ,U Vg R X Y V U g R X Y V U g A A X Y⊥= +

eşitliği elde edilir. Bu eşitliğe Ricci denklemi adı verilir.

Tanım 2.3.7: ( ),M g Riemann manifoldunun n boyutlu bir altmanifoldu ( ),M g , M

nin ikinci temel formu h , M nin Riemann eğrilik tensörü R olsun.

( ), , ,X Y Z W Mχ∀ ∈ için .R h ;

21

( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ), . , , , , ,R X Y h Z W R X Y h Z W h R X Y Z W⊥= −

( )( ), ,h Z R X Y W− (2.3.12)

ile tanımlıdır. Eğer M nin her noktasında

. 0R h =

ise M ye M nin semi-paralel altmanifoldu denir (Deprez, 1985).


olsun. Eğer 3n ≥ için M nin her noktasında .R h ve Q ( ),g h tensörleri lineer bağımlı

ise M ye M nın pseudoparalel altmanifoldu adı verilir.

Bu durumda M nin pseudoparalel olması için gerek ve yeter şart

( ){ }: Q , 0U p M g h= ∈ ≠ kümesi üzerinde;

( ). Q ,R h L g h=

olmasıdır. Burada L fonksiyonu, U kümesi üzerinde iyi tanımlıdır (Asperti ve ark. ,

1999).


olsun. Eğer 3n ≥ için M nin her noktasında .R h ve Q ( ),S h tensörleri lineer bağımlı

ise M ye M nın Ricci- genelleştirilmiş pseudoparalel altmanifoldu adı verilir. Bu

durumda M nin Ricci- genelleştirilmiş pseudoparalel olması için gerek ve yeter şart

( ){ }: Q , 0U p M S h= ∈ ≠ kümesi üzerinde

( ). Q ,R h L S h=

olmasıdır. Burada L fonksiyonu, U kümesi üzerinde iyi tanımlıdır.

Üçüncü temel form h∇ ın kovaryant türevi 2h∇ ,

( )( ) ( )( )2 , ; , ,X Yh Z W X Y h Z W∇ = ∇ ∇

22

( )( ) ( )( ), ,X Y Y Xh Z W h Z W⊥= ∇ ∇ − ∇ ∇

( )( ) ( )( ), ,XYX Yh Z W h Z W∇− ∇ ∇ − ∇ (2.3.13)

biçiminde tanımlıdır (Chen, 1973).

Eğer , 2 0h∇ = ise M ye paralel üçüncü temel formlu veya 2 – paraleldir denir.

Buradan, (2.3.12) ve (2.3.13) eşitlikleri yardımı ile,

( )( ) ( )( ) ( )( )( ), , , . ,X Y Y Xh Z W h Z W R X Y h Z W∇ ∇ − ∇ ∇ =

( ) ( ) ( )( ), , , ,R X Y h Z W h R X Y Z W⊥= −

( )( ), ,h Z R X Y W− (2.3.14)

olduğu görülmektedir (Chen, 1973).


olsun. ( ), , , ,X Y Z W U Mχ∀ ∈ için .R h∇ ,

( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ), . , , , , , , ,R X Y h Z U W R X Y h Z W h R X Y Z W U⊥∇ = ∇ − ∇

( ) ( )( ) ( ) ( )( ), , , , , ,h Z R X Y W U h Z W R X Y U− ∇ − ∇ (2.3.15)

ile tanımlanır (Chen, 1973).

Eğer M nin her noktasında . 0R h∇ = ise M ye 2 – semiparalel altmanifold denir

(Arslan ve ark. , 2000).


olsun. Eğer 3n ≥ için M nin her noktasında .R h∇ ve ( )Q ,g h∇ tensörleri lineer

bağımlı ise M ye M nin 2 – pseudoparalel altmanifoldu adı verilir (Sular, 2009).

Bu durumda M nin 2 – pseudoparalel olması için gerek ve yeter şart,

( ){ }: Q , 0U p M g h= ∈ ∇ ≠ kümesi üzerinde

23

( ). Q ,R h L g h∇ = ∇



olsun. Eğer 3n ≥ için M nin her noktasında .R h∇ ve ( )Q ,S h∇ tensörleri lineer

bağımlı ise M ye M nin Ricci genelleştirilmiş 2 – pseudoparalel altmanifoldu adı

verilir (Sular, 2009).

Bu durumda M nin Ricci – genelleştirilmiş 2 – pseudoparalel olması için gerek ve

yeter şart ( ){ }: Q , 0U p M g h= ∈ ∇ ≠ kümesi üzerinde;

( ). Q ,R h L S h∇ = ∇


Tanım 2.3.13: ( ),M g Riemann manifoldunun n boyutlu bir altmanifoldu ( ),M g

olsun. M üzerindeki bir x M∈ için ( )MT x nin lokal ortonormal { }1 2, ,..., ne e e bazını

alalım. M üzerinde

( )1

1 ,n

i ii

H h e en =

= ∑ (2.3.16)

biçiminde tanımlı vektöre M nin ortalama eğrilik vektörü denir (O’ Neill, 1983).

Eğer M

0H =

eşitliği sağlanıyorsa M ye minimal altmanifold denir (Pandey ve Gupta, 2008).

Eğer M üzerinde

0H∇ =

oluyorsa M ye paralel ortalama eğrilikli altmanifold denir (Chen, 1973).

24

Tanım 2.3.14: ( ),M g Riemann manifoldunun bir altmanifoldu M olsun.

( ),X Y TM∀ ∈Γ için,

( ) ( ), ,h X Y Hg X Y= (2.3.17)

ise M ye M nin umbilik altmanifoldu denir (Pandey ve Gupta, 2008).

Tanım 2.3.15: ( ),M g bir Riemann manifoldu, M − de M nin bir altmanifoldu olsun.

M nin ikinci teme formu h ve ortalama eğrilik vektörü H olmak

üzere, ( ),X Y TM∀ ∈Γ için

( )( ) ( ), , ,g h X Y H g X Yλ= (2.3.18)

ise M manifolduna , M manifoldunun pseudo- umbilik altmanifoldu denir (Pandey ve

Gupta, 2008).

3. KENMOTSU MANİFOLDLARI

Bu bölümde Hemen hemen kontak metrik manifoldlar yardımıyla Kenmotsu

manifoldları tanımlanarak, Kenmotsu manifoldlarının bazı temel özelliklerine yer

verilmiştir.

3. 1. Hemen hemen Kontak Metrik Manifoldlar

Tanım 3.1.1: ,M ( )2 1n + boyutlu diferensiyellenebilir bir manifold olsun. ϕ , M −

üzerinde ( 1, 1 ) tipinde bir tensör alanı, ξ bir vektör alanı, η , M üzerinde diferensiyel

1- form olmak üzere, ( )X Mχ∀ ∈ için { }, ,ϕ ξ η üçlüsü;

25

( ) ( ): lineerM Mϕ χ χ⎯⎯⎯→

( ) ( ).: ,dif bilirM C Mη χ ∞⎯⎯⎯→

( ) 1η ξ = ve ( )2 X X Xϕ η ξ= − + (3.1.1)

koşullarını sağlıyor ise bu üçlüye bir hemen hemen kontak yapı, { }, , ,M ϕ ξ η dörtlüsüne

de bir hemen hemen kontak manifoldu adı verilir (Yano ve Kon, 1984).

Tanım 3.1.2: M hemen hemen kontak manifoldu üzerinde X ξ≠ için

( ) 1η ξ = ve ( ), 0d Xη ξ =

olacak biçimde bir tek ( )Mξ χ∈ vektör alanı var ise ξ ye η kontak yapısının öz

vektör alanı (duali) denir (Blair, 2002).

Tanım 3.1.3: ( )2 1n + boyutlu M hemen hemen kontak manifoldu üzerinde,

( ),X Y Mχ∀ ∈ ve ( )Mξ χ∈ için,

( ) ( ),X g Xη ξ= (3.1.2)

ve

( ) ( ) ( ) ( ), ,g X Y g X Y X Yϕ ϕ η η= − (3.1.3)

koşullarını sağlayan bir g metriği var ise { }, , , gϕ ξ η dörtlüsüne bir hemen hemen

kontak metrik yapı, { }, , , ,M gϕ ξ η beşlisine de bir hemen hemen kontak metrik

manifold adı verilir. (Yano ve Kon, 1984)

Teorem 3.1.1: ( )2 1n + boyutlu M hemen hemen kontak metrik manifoldu üzerinde

( ),X Y Mχ∀ ∈ için,

( ) ( ) ( ) ( ), ,g X Y g X Y X Yϕ ϕ η η= −

olacak şekilde bir g Riemann metriği daima vardır (Yano ve Kon, 1984).

26

Sonuç 3.1.1: ( )2 1n + boyutlu M hemen hemen kontak metrik manifoldu verilmiş

olsun. ( ),X Y Mχ∀ ∈ için,

( ) ( ), ,g X Y g X Yϕ ϕ= − (3.1.4)

dir. Bu eşitlik de bize ϕ nin g ye göre anti-simetrik bir tensör alanı olduğunu gösterir


Teorem 3.1.2: ( )2 1n + − boyutlu M hemen hemen kontak manifoldu verilmiş olsun.

M üzerinde bir η kontak yapısı verildiğinde, ( ),X Y Mχ∀ ∈ için

( ) ( ): lineerM Mϕ χ χ⎯⎯⎯→

( ) ( ), ,g X Y X Yϕ φ=

olacak şekilde bir { }, , , gϕ ξ η Hemen hemen kontak metrik yapısı vardır (Yano ve

Kon, 1984).

Tanım 3.1.4: ( )2 1n + boyutlu diferensiyellenebilir M manifoldu üzerinde, bir

{ }, , , gϕ ξ η hemen hemen kontak metrik yapısı verilmiş olsun. ( ),X Y Mχ∀ ∈ için

( ) ( ), ,X Y g X Yφ ϕ= (3.1.5)

biçiminde tanımlı φ dönüşümüne { }, , , gϕ ξ η hemen hemen kontak metrik yapısının

temel 2 – formu denir (Yano ve Kon, 1984).

3. 2. Kenmotsu Manifoldlar

Bu bölümde Kenmotsu manifoldları ile ilgili genel kavramlar verilmiş olup, Kenmotsu

manifoldu örnekle incelenmiştir.

27

Tanım 3.2.1: M , { }, , , gϕ ξ η yapısı ile verilmiş ( )2 1n + − boyutlu bir hemen hemen

kontak metrik manifold olsun. Eğer M hemen hemen kontak metrik manifoldu

üzerinde

0dη = , 2dφ η φ= Λ

eşitlikleri sağlanıyorsa, M ye bir hemen hemen Kenmotsu manifoldu adı verilir (Pitiş,

2007).

Tanım 3.2.2: M , { }, , , gϕ ξ η yapısı ile verilmiş ( )2 1n + − boyutlu bir hemen hemen

kontak metrik manifoldu olsun. Eğer M hemen hemen Kenmotsu manifoldu üzerinde

( ),X Y Mχ∀ ∈ için;

( )2 X X Xϕ η ξ= − + , 0ϕξ= , ( ) 1η ξ = , ( ) 0Xη ϕ =

( ) ( ),X g Xη ξ= , ( ) ( ) ( ),X Y g X Y Y Xϕ ϕ ξ η ϕ∇ = − (3.2.1)

koşulları sağlanıyor ise, M ye Kenmotsu manifoldu adı verilir (Kenmotsu, 1972).

Bir M Kenmotsu manifoldu üzerinde ( ),X Y Mχ∀ ∈ için

( )X X Xξ η ξ∇ = − + ve (3.2.2)

( ) ( ) ( ) ( ),X Y g X Y X Yη η η∇ = − (3.2.3)

eşitliği sağlanmaktadır (Kenmotsu, 1972).

Bir Kenmotsu manifoldunun R eğrilik tensörünün, (2.2.15) denkleminde Z ξ= olarak

alındığında,

( ) [ ],, X Y Y X X YR X Y ξ ξ ξ ξ= ∇ ∇ −∇ ∇ −∇

( )( ) ( )( ) [ ]( ), ,X YY Y X X X g X Yη η ξ ξ= ∇ − + −∇ − + −

( )( ) ( )( ) [ ]( ), ,X X Y YY X X X g X Yη ξ η ξ ξ= −∇ +∇ +∇ −∇ −

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( ), , ,X YX Y X Y Y Y X X g X Yη ξ η ξ η ξ η ξ ξ= + + ∇ − − ∇ −

28

dir. Burada,

( ) ( ) ( ) ( ){ }, ,X Y Y X Xg Y Yg Xη ξ η ξ ξ ξ ξ− = −

( ) ( ) ( ) ( ){ }, , , ,X X Y Yg Y g Y g X g Xξ ξ ξ ξ ξ= ∇ + ∇ − ∇ − ∇

( ) ( ) ( )( ),X YY X g X X Yη ξ η ξ η ξ ξ= ∇ − ∇ + − +

( )( ),g Y Y Xη ξ ξ− − +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),X YY X g X Y X Yη ξ η ξ ξ η η ξ= ∇ − ∇ − +

( ) ( ) ( ),g Y X X Yξ η η ξ+ −

( ) ( )X YY Xη ξ η ξ= ∇ − ∇

eşitliği elde edilip yerine yazılırsa,

( ) [ ] ( ) ( )( ) ( ) ( )( ), ,R X Y X Y Y X X X Y Yξ η η ξ η η ξ= + − + − − +

( ) ( ) [ ] [ ]( )( ) + , ,X YY X X Y X Yη ξ η ξ η ξ∇ − ∇ − − +

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),X Y Y X X Y X Y X Yη η η ξ η η η ξ= − + + −

( ) ( ) [ ] [ ]( ), ,X YY X Y X X Yη ξ η ξ η ξ+ ∇ − ∇ + − (3.2.4)

eşitliği elde edilir.

(3.2.4) denkleminde gerekli sadeleştirmeler yapıldıktan sonra,

( ) ( ) ( ),R X Y X Y Y Xξ η η= − (3.2.5)

eşitliğini sağladığı görülmektedir (Kenmotsu, 1972).

29

Tanım 3.2.3: M bir Kenmotsu manifoldu olsun. Burada ( )MT p tanjant uzayında ξ

vektör alanına dik bir X birim vektör alanı, { },X Xϕ ortonormal olacak biçimde var

ise { },X Xϕ düzlemine ( )MT p nin ϕ − kesitseli denir.

Ayrıca

( ) ( )( ), , ,K X X g R X X X Xϕ ϕ ϕ= (3.2.6)

biçiminde tanımlanan ifadeye de M nin ϕ − kesitsel eğriliği denir (Kenmotsu, 1972).

Tanım 3.2.4: ( )2 1n + − boyutlu M Kenmotsu manifoldunun R eğrilik tensörü

( ), ,X Y Z Mχ∀ ∈ için,

( ) ( ) ( ) ( )3

, , ,4

cR X Y Z g Y Z X g X Z Y

−= −⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

, ,4

cX Z Y Y Z X Y g X Z X g Y Zη η η η η ξ η ξ

++ − + −⎡⎣

( ) ( ) ( ), Y-g , X+2g , Z g X Z Y Z X Yϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ⎤⎦ (3.2.7)

biçiminde ise M ye c = sabit ϕ − kesitsel eğriliğine sahip Kenmotsu uzay form adı

verilir (Kenmotsu, 1972).

Örnek 3.2.1: M , 3R deki ( ), ,x y z standart koordinatlar üzerinde 0z ≠ olacak

biçimde tanımlı, 3− boyutlu bir Riemann manifoldu olsun. M üzerinde her noktada

lineer bağımsız

1e zx∂

=∂

, 2e zy∂

=∂

, 3e zz∂

= −∂

baz vektörlerini alalım. M üzerindeki g Riemann metriğini

( )2 2 2

2

dx dy dzg

z

+ +=

ile tanımlayalım. Bu durumda,

30

( ) ( ) ( )1 3 1 2 2 3, , , 0g e e g e e g e e= = =

( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3, , , 1g e e g e e g e e= = =

olduğu görülmektedir.

Diğer taraftan ϕ ( 1, 1 )- tipinde tensör alanını, ξ vektör alanını, η , 1 – formunu

( )X Mχ∀ ∈ için,

( )1 2e eϕ = − , ( )2 1e eϕ = , ( )3 0eϕ =

3eξ = , ( ) ( )3,X g X eη =

biçiminde alalım. Buradan ϕ tensör alanı ve g metrik tensörünün lineerlik özelliklerini

kullandığımızda ( ),X Y Mχ∀ ∈ için;

( )3 1eη =

( )23X X X eϕ η= − +

ve

( ) ( ) ( ) ( ), ,g X Y g X Y X Yϕ ϕ η η= −

eşitliklerini sağlayarak { }, , , gϕ ξ η nin M üzerinde bir hemen hemen kontak metrik

yapı olduğu görülür.

Şimdi de M üzerindeki ∇ Levi – Civita konneksiyonunu alalım.

( )3 ,f C∈ olmak üzere,

[ ] ( )( ) ( )( )1 2 1 2 2 1,e e f e e f e e f= −

( ) ( )1 2y xe zf e zf= −

( ) ( ) ( ) ( ), 0,0 , , , 0, ,0 , , ,yx yy yz xx xy xzz zf zf zf z zf zf zf= ⟨ ⟩ − ⟨ ⟩

31

2 2 0yx xyz f z f= − = yani

[ ]1 2, 0e e =

[ ] ( )( ) ( )( )1 3 1 3 3 1,e e f e e f e e f= −

( ) ( )1 3z xe zf e zf= − −

( ) ( ) ( ) ( ),0,0 , , , 0,0, , , ,zx zy zz xx xy x xzz zf zf zf z zf zf f zf= ⟨ − − − ⟩ − ⟨ − + ⟩

2 2zx xz xz f z f zf= − + +

[ ] ( ) [ ]1 3 1 1 3 1, ,e e f e f e e e= ⇒ =

[ ] ( )( ) ( )( )2 3 2 3 3 2,e e f e e f e e f= −

( ) ( )2 3z ye zf e zf= − −

( ) ( ) ( ) ( )0, ,0 , , , 0,0, , , ,zx zy zz yx yy y yzz zf zf zf z zf zf f zf= ⟨ − − − ⟩ − ⟨ − + ⟩

2 2zy yz yz f z f zf= − + +

[ ] ( ) [ ]2 3 2 2 3 2, ,e e f e f e e e= ⇒ = dir.

Buradan

[ ]1 2, 0e e = , [ ]1 3 1,e e e= , [ ]2 3 2,e e e=

eşitlikleri elde edilir. Diğer taraftan M üzerindeki ortonormal { }1 2 3, ,e e e bazına göre,

1 1 1 2 3e e ae be ce∇ = + +

olarak yazılırsa burada,

( )1 1 1,ea g e e= ∇

32

( )1 1 2,eb g e e= ∇

( )1 1 3,ec g e e= ∇

dir. (2.2.15) deki kozsul formülü yardımıyla,

( )1 1 1, 0eg e e∇ = olduğundan 0a =

dir. Aynı şekilde,

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 12 , , , ,eg e e e g e e e g e e e g e e∇ = + −

[ ]( ) [ ]( ) [ ]( )1 1 2 1 1 2 2 1 1, , , , , ,g e e e g e e e g e e e− − +

dir. Burada [ ]1 2, 0e e = olduğundan,

( )1 1 2, 0eg e e∇ = ve buradan da 0b = dır.

Son olarak,

( ) ( ) ( ) ( )1 1 3 1 1 3 1 3 1 3 1 12 , , , ,eg e e e g e e e g e e e g e e∇ = + −

[ ]( ) [ ]( ) [ ]( )1 1 3 1 1 3 3 1 1, , , , , ,g e e e g e e e g e e e− − +

dir. Burada [ ]1 3 1,e e e= olduğundan,

( )1 1 3, 1eg e e∇ = − ve buradan da 1c = − dir.

1 1 3e e e∇ = − olarak hesaplanır.

Benzer şekilde Kozsul formülü yardımıyla,

1 2 0e e∇ = , 1 3 1e e e∇ = ,

2 1 0e e∇ = , 2 2 3e e e∇ = − ,

2 3 2e e e∇ =

ve

33

3 1 0e e∇ = , 3 2 0e e∇ = ,

3 3 0e e∇ =

dir.

Bu eşitlikler yardımıyla (3.2.2) denkleminin sağlandığı görülmektedir.

Şimdi, , , , , ,a b c a b c ∈ değerleri için,

1 2X ae be cξ= + + , 1 2Y ae be cξ= + +

vektör alanlarını alalım. Buradan,

( ) ( )1 2Y ae be cϕ ϕ ξ= + +

( ) ( )1 2a e b eϕ ϕ= +

1 2be ae= −

olup buradan da,

( )X X XY y Yϕ ϕ ϕ∇ = ∇ − ∇

( ) 2 1ba ab cae cbeξ= − + −

( ) ( ) ( ),g X Y Y Xϕ ξ η ϕ= −

olduğu görülür. Böylece (3.2.1) denklemi yardımı ile M hemen hemen metrik

manifoldunun bir Kenmotsu manifoldu olduğu görülür (De ve ark. , 2009).

3. 3. Ricci – Semi-simetrik Kenmotsu Manifoldları

1971 Yılında K. Kenmotsu (Kenmotsu, 1972) bazı özel koşulları yerine getiren bir dizi

kontak Riemann manifoldu üzerinde çalışmıştır. K. Kenmotsu , eğer bir Kenmotsu

manifoldunda R , ( )1,3 − tipinde bir eğrilik tensörünü ve ( ),R X Y de tanjant uzayının

34

her bir noktasındaki tensör cebirinin türevini ifade ederken, ( ), . 0R X Y R = koşulu

geçerli ise, manifoldun -1 kesit eğriliğinde olduğunu ispatlamıştır.

( ), . 0R X Y R = koşulunu yerine getiren bir Riemann Manifoldu Semi- simetrik olarak

adlandırılır. (Szabo, 1982). Benzer şekilde, bir Riemann manifoldu, S Ricci tensörü

iken ( ( ), 1,3C − tipinde Weyl Semi- simetrik eğriliği olmak üzere ), ( ), .R X Y S ise

( )( ), . 0R X Y C = Ricci Semi- Simetrik ( Weyl Semi- Simetrik ) olarak adlandırılır

(Verstraelen, 1933). Her ne kadar ( ), . 0R X Y R = durumu ( ), . 0R X Y S = durumunu

kapsıyor olsa da genellikle tersi doğru değildir. Bu bölümde Ricci Semi - simetrik

Kenmotsu manifoldunun bir Einstein manifoldu olduğu ispatlanacaktır.

Tanım 3.3.1: , 2M m ≥ boyutlu C∞ sınıfından bir Riemann manifoldu olsun. M

üzerinde tanımlı ( )0, 2 - tipinden metrik tensör alanı A olmak üzere, AΛ endomorfizmi

AΛ : ( ) ( ) ( ) ( )x xM M M Mχ χ χ χ→

( ) ( ) ( ), ,AX Y Z A Y Z X A X Z YΛ = − (3.3.1)

biçiminde tanımlanır. Eğer A g= alınırsa son denklem

( ) ( ) ( ), ,gX Y Z g Y Z X g X Z YΛ = − (3.3.2)

biçimine indirgenir.

M üzerinde ( )0,k - tipinde bir T tensör alanı ve ( )0, 2 - tipinde simetrik bir A tensör

alanı verildiğinde ( ). ve Q ,RT A T tensörleri sırası ile ;

( )( )( ) ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 3, , ,..., , , ,..., , , , ,...,k k kR X Y T X X X T R X Y X X X T X R X Y X X X= − −

( )( )1 2 1, ,..., , ,k kT X X X R X Y X−− (3.3.3)

ve

35

( )( )( ) ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 3, , ,..., , ,..., , , ,...,k g k g kQ A X Y T X X X T X Y X X X T X X Y X X X= − Λ − Λ

( )( )1 2 1, ,..., ,k g kT X X X X Y X−− Λ (3.3.4)

biçiminde tanımlanır.

Böylece (3.3.3) ve (3.3.4) denklemlerinde sırasıyla T R= ve A g= olarak alındığında

( )( )( ) ( )( ) ( )( )1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , , , , , ,R X Y R X X X R R X Y X X X R X R X Y X X= − −

( )( )1 2 3, , ,R X X R X Y X− (3.3.5)

ve

( )( )( ) ( )( ) ( )( )1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , , , ,g gQ g X Y R X X X R X Y X X X R X X Y X X= − Λ − Λ

( )( )1 2 3, , gR X X X Y X− Λ (3.3.6)

elde edilir.

(3.3.3) ve (3.3.4) denklemlerinde sırasıyla T C= ve A g= alındığında

( )( )( ) ( )( ) ( )( )1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , , , , , ,R X Y C X X X C R X Y X X X C X R X Y X X= − −

( )( )1 2 3, , ,C X X R X Y X− (3.3.7)

ve

( )( )( ) ( )( ) ( )( )1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , , , ,g gQ g X Y C X X X C X Y X X X C X X Y X X= − Λ − Λ

( )( )1 2 3, , gC X X X Y X− Λ (3.3.8)

dir.

Son olarak, (3.3.3) ve (3.3.4) denklemlerinde sırasıyla T S= ve A g= alındığında

36

( )( )( ) ( )( ) ( )( )1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , , , , , ,R X Y S X X X S R X Y X X X S X R X Y X X= − −

( )( )1 2 3, , ,S X X R X Y X− (3.3.9)

ve

( )( )( ) ( )( ) ( )( )1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , , , ,g gQ g X Y S X X X S X Y X X X S X X Y X X= − Λ − Λ

( )( )1 2 3, , gS X X X Y X− Λ (3.3.10)

elde edilir.

Tanım 3.3.2: ( ),M g , n − boyutlu Riemann manifoldu üzerinde ( )0,k − tipinden

( )1k ≥ bir tensör alanı olan T nin kovaryant türevi T∇ olsun. Eğer T tensör alanı,

1 1, , ,..., kX X Y X∀ ve ( )kY Mχ∈ için,

( )( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 1 1,..., ; ,..., ,..., ; ,...,k k k kT X X X T Y Y T Y Y X T X X∇ = ∇

koşulunu sağlıyorsa T ye Rekürent tensör alanı denir (Roter, 1982).

Burada ∇ , M Riemann manifoldu üzerinde Levi – Civita konneksiyonudur.

Tanım 3.3.3: ( ),M g n − boyutlu Riemann manifoldu üzerinde ( )0,k − tipinden

( )1k ≥ bir tensör alanı T nin kovaryant türevi T∇ olsun. Eğer T tensör alanı,

1 1, , ,..., kX X Y X∀ ve ( )kY Mχ∈ için;

( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 21 1 1 1,..., ; , ,..., ,..., ; , ,...,k k k kT X X X Y T Y Y T Y Y X Y T X X∇ = ∇

koşulunu sağlıyorsa T ye 2 – Rekürent tensör alanı adı verilir (Roter, 1982).

Burada ∇ , M Riemann manifoldu üzerinde Levi – Civita konneksiyonudur.

Tanım 3.3.4: ( ),M g n − boyutlu bir Riemann manifoldu olsun. M nin R eğrilik

tensörü ( ), , ,X Y Z W Mχ∀ ∈ için,

37

( ) ( ), 0X R Y Z W∇ =

koşulunu sağlıyorsa M ye lokal simetriktir denir (Chaki, 1987).

Tanım 3.3.5: ( ),M g n − boyutlu bir Riemann manifoldu olsun. M üzerinde bir U

teğet vektör alanını, 0,α ≠ 1 – formu yardımı ile

( ) ( ),g X U Xα=

biçiminde tanımlayalım. M nin eğrilik tensörü ( ), , , ,R X Y Z W Mχ∀ ∈ için;

( )( ) ( )( ), ,X R Y Z W X Y Z Wα∇ =

eşitliğini sağlıyorsa M ye Rekürenttir denir (Chaki, 1987).

Tanım 3.3.6: , 2M m ≥ boyutlu C∞ sınıfından bağlantılı bir Riemann manifoldu

olsun. Eğer M manifoldunun her bir p noktası için,

. 0R R = ise M manifolduna Semi-Simetriktir denir (Szabo, 1982).

. 0R S = ise M manifolduna Ricci Semi- Simetriktir denir (Szabo, 1982).

. 0R C = ise M manifolduna Weyl Semi- Simetriktir denir (Deszcz, 1992).

Tanım 3.3.7: 3m ≥ boyutlu bir ( ),M g Riemann manifoldu için eğer M

manifoldunun her bir noktasında .R R ve ( ),Q g R tensörleri lineer bağımlı ise M

manifolduna pseudosimetriktir denir (Deszcz, 1992).


manifoldunun her bir noktasında .R S ve ( ),Q g R tensörleri lineer bağımlı ise M

manifolduna Ricci- pseudosimetriktir denir (Deszcz, 1992).


manifoldunun her bir noktasında .R C ve ( ),Q g C tensörleri lineer bağımlı ise M

manifolduna Weyl- pseudosimetriktir denir (Deszcz, 1992).

38

Eğer M manifoldu, semi-simetrik olmayan fakat pseudosimetrik olan bir manifold ise

M manifolduna proper pseudosimetriktir, Ricci-semisimetrik olmayan fakat Ricci-

pseudosimetrik olan bir manifold ise M manifolduna proper Ricci- pseudosimetriktir,

Weyl- simetrik olmayan fakat Weyl- pseudosimetrik olan bir manifold ise M

manifolduna proper Weyl- pseudosimetriktir denir (Deszcz, 1992).

Tanım 3.3.10: Bir ( ), , 3M g m ≥ boyutlu diferensiyellenebilir manifoldu için eğer

( )( ) ( ) ( ), ,X S Y Z X S Y Zα∇ = (3.3.11)

olacak şekilde, α 1- formu var ise M manifolduna Ricci Rekürrent denir. Burada

( )( ),X S Y Z∇ = ( ) ( ) ( ) ( ), ,X S Y Z X g Y Zα β+ (3.3.12)

olacak şekilde α ve β 1− formları var ise M manifolduna Genelleştirilmiş Ricci

Rekürrent denir.

S nin kovaryant türevi

( )( ) ( ) ( ) ( ), , , ,X X X XS Y Z S Y Z S Y Z S Y Z∇ = ∇ − ∇ − ∇ (3.3.13)

biçiminde tanımlanıp, S∇ için,

( )( ) ( ) ( )( ), , , 0X Y ZS Y Z S X Z S X Y∇ +∇ + ∇ = (3.3.14)

eşitliği sağlanır. Burada S∇ = 0 ise M manifolduna Ricci paraleldir denir (De ve ark. ,

1995).

Önerme 3.3.1: ( ), , , ,nM gφ ξ η yapısı bir Kenmotsu manifoldu olmak üzere

, nX Y M∀ ∈ için,

( ) ( ) ( ), ,R X Y g X Y Y Xξ ξ η= − (3.3.15)

şartı sağlanır.

39

Ispat : , nX Y M∀ ∈ için (3.2.1) denkleminden,

( ) ( ) ( )2 2 2,X Y g X Y Y Xφ φ ξ η φ∇ = − (3.3.16)

( ) ( ) ( )2 2 2,Y X g Y X X Yφ φ ξ η φ∇ = − (3.3.17)

dir.

( ),XX Y YR X Yξ ξ ξ∇= ∇ ∇ −∇ (3.3.18)

(3.3.18) denkleminde (3.3.16) ve (3.3.17) eşitlikleri yerine yazılırsa

( ),R X Yξ = ( ) ( )2 2X XY Yφ φ∇ − − − ∇

( )2 2 2X X XY Y Yφ φ φ= − ∇ − ∇ + ∇

( )2X Yφ= − ∇ (3.3.19)

elde edilir.

Burada (3.3.16) denkleminden

( ) ( ) ( )2 2 2,X Y g X Y Y Xφ φ ξ η φ− ∇ = − +

( )( ) ( ) ( )( ),g X X Y Y X Xη ξ ξ η η ξ= − − + + − +

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ), ,g X Y g X Y Y X Y Xξ η ξ ξ η η η ξ= − − +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ,g X Y g X g Y Y X X Yξ ξ ξ ξ η η η ξ= − − +

( ) ( ),g X Y Y Xξ η= − (3.3.20)

elde edilir.

Önerme 3.3.2: ( ), , , ,nM gφ ξ η yapısı bir Kenmotsu manifoldu olmak üzere

, nX Y M∀ ∈ ve S Ricci tensörü ve Q Ricci operatörü iken,

40

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , 1S X Y S X Y n X Yφ φ η η= + − (3.3.21)

koşulu sağlanır.

Ispat : ( ) ( ), ,S X Y g QX Y= olduğundan Q Ricci operatörü iken

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , ve , 1g X Y g X Y Q Q S X n Xφ φ φ φ ξ η= − = = − −

( )2 X X Xφ η ξ= − + ve ( ) ( ),g X Xξ η= özellikleri kullanılırsa;

( ) ( ), ,S X Y g Q X Yφ φ φ φ=

( ),g QX Yφ φ= ( )2 ,g QX Yφ= − ( )2 ,g Q X Yφ= − ( )( )( ),g Q X X Yη ξ= − −

( ) ( )( ), ,g QX Y g QY Xη ξ= − ( ) ( )( ), ,g QX Y g QY g Xξ ξ= −

( ) ( ) ( ), , ,g QX Y g QY g Xξ ξ= − ( ) ( ) ( ), ,S X Y S Y Xξ η= −

( ) ( ) ( ) ( ), 1S X Y n Y Xη η= − − −⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( ), 1S X Y n X Yη η= + − (3.3.22)

dir.

Teorem 3.3.1: ( ), 0R X Y S = koşulunu yerine getiren n − boyutlu ( )2 1n m= +

Kenmotsu manifoldu Einstein manifoldudur.

Ispat : Kabul edelim ki ( ), 0R X Y S = koşulu yerine gelsin. O zaman,

( ) ( ) ( ),R X Y X Y Y Xξ η η= − (3.3.23)

şartı sağlanır. (3.3.23) eşitliğin her iki tarafın V ile çarparsak,

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,g R X Y V X g Y V Y g X Vξ η η= −

veya

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,g R X Y V X g Y V Y g X Vξ η η− = −

41

veya

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ,R X Y V Y g X V X g Y Vη η η= − (3.3.24)

elde edilir.

( ), 0R X Y S = koşulu yerine geldiğinden,

( )( )( ) ( )( ) ( )( ), , , , , , 0R X Y S U V S R X Y U V S U R X Y V= − − = (3.3.25)

elde edilir.

Buradan da,

( )( ) ( )( ), , , , 0S R X Y U V S U R X Y V+ = (3.3.26)

eşitliği elde edilir. Son eşitlikten de,

U ξ= alınırsa,

( )( ) ( )( ), , , , 0S R X Y V S R X Y Vξ ξ+ = (3.3.27)

elde edilir. Ayrıca,

( ) ( ) ( ), 1S X n Xξ η= − − (3.3.28)

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ,R X Y V Y g X V X g Y Vη η η= − (3.3.29)

dir. (3.2.5), (3.3.28) ve (3.3.29) denklemleri kullanıldığında,

( )( ) ( ) ( )( ), , ,S R X Y V S X Y Y X Vξ η η= −

( ) ( ) ( ) ( ), ,X S Y V Y S X Vη η= − (3.3.30)

ve

( )( ) ( ) ( )( ), , 1 ,S R X Y V n R X Y Vξ η= − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 , ,n Y g X V X g Y Vη η= − − − (3.3.31)

42

eşitlikleri elde edilir. (3.3.30) ve (3.3.31) eşitlikleri taraf tarafa toplanırsa,

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , ,S R X Y V S R X Y V X S Y V Y S X Vξ ξ η η+ = −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 , , 0n Y g X V X g Y Vη η− − − = (3.3.32)

dir.

Daha sonra (3.3.32) eşitliğinde, X ξ= alınıp, ( ) 1η ξ = ve (3.3.28) kullanılırsa,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), , 1 , , 0S Y V Y S V n Y g V g Y Vη ξ η ξ− − − − =

elde edilir. Burada ( ) ( ) ( ), 1S v n Vξ η= − − olduğundan,

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ), 1 1 1 , 0S Y V Y n V n Y V n g Y Vη η η η+ − − − − − =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ), 1 1 , 0S Y V n Y V Y V n g Y Vη η η η+ − − − − =

dir. Buradan da,

( ) ( ) ( ), 1 ,S Y V n g Y V= − (3.3.33)

elde edilir. Buna göre Bir Ricci Semi- Simetrik Kenmotsu manifoldu bir Einstein

manifoldudur.

4. KENMOTSU MANİFOLDLARIN SLANT ALTMANİFOLDLARI

Bu bölümde bir Kenmotsu manifoldunun Slant altmanifoldlarını karakterize eden tanım

teorem ve sonuçları incelenmiştir. Ayrıca konunun daha iyi anlaşılabilmesi için

örneklere yer verilmiştir.

43

4. 1. Kenmotsu Manifoldların Slant Altmanifoldlarının Karakterizasyonu

Tanım 4.1.1: M bir Kenmotsu manifoldu olmak üzere ∀ ( ), içinX Y TM∈Γ

( ) ( ) 0X YY Xϕ ϕ∇ + ∇ = (4.1.1)

ise ϕ ye Killing dir denir (Pandey ve Gupta, 2008).

M Kenmotsu manifoldunun bir immersed altmanifoldu M olsun. Bu halde M deki g

Riemann metriği M üzerine indirgenmiş olur.

Böylece ( ),M g de bir Riemann manifoldudur.

( ) T M⊥Γ M de M ye normal olan tüm vektör alanları cümlesini göstermek üzere,

( ) ( ) ve X TM N T M⊥∀ ∈Γ ∈Γ için,

ve X PX FX N tN fNϕ ϕ= + = + (4.1.2)

ifadeleri yazılabilir.

Burada PX ve FX sırasıyla Xϕ in teğet ve normal bileşenlerini, tN ve fN de

sırasıyla Nϕ nin teğet ve normal bileşenlerini göstermektedir.

Böylece bu tensörler,

( ) ( ) ( ) ( ): , : P TM TM F TM T M⊥Γ → Γ Γ → Γ (4.1.3)

( ) ( ) ( ) ( ) : ve : t T M TM f T M T M⊥ ⊥ ⊥Γ → Γ Γ → Γ (4.1.4)

şeklindeki lineer dönüşümlerdir.

Burada 0F = ise M ye invaryant, 0P = ise M ye anti-invaryant altmanifold denir

(Pandey ve Gupta, 2008).

44

Bundan sonraki bölümlerde M yi M Kenmotsu manifoldunun bir altmanifoldu ve ξ

vektör alanını M manifolduna teğet olarak kabul edeceğiz.

Dolayısıyla ninξ ( )TMΓ içerisindeki ortogonal distrübüsyonunu D ile gösterirsek

=TM D ξ⊕ ortogonal direkt toplamına sahibiz.

Tanım 4.1.2: xξ lineer bağımlı olmayan bir vektör X olsun. PX ile Xϕ arasındaki

açı olan ( )Xθ e slant açısı denir.

∀ x M∈ noktası ve ∀ ( ) { }xX TM ξ∈Γ − için ( )Xθ slant açısı sabit ise M ye M nin

slant altmanifoldu denir (Pandey ve Gupta 2008).

Tanım 4.1.3: Bir slant immersiyonun slant açısı θ , immersiyonun slant açısı olarak

adlandırılır. İnvaryant ve anti-invaryant immersiyonlar, slant açısı sırasıyla 0 ve 2π ye

eşit olan slant immersiyonlardır. Bir immersiyon ne invaryant ne de anti-invaryant ise

bu immersiyona proper slant immersiyon denir (Pandey ve Gupta, 2008).

Teorem 4.1.1: M Kenmotsu manifoldunun herhangi bir altmanifoldu M olsun. Bu

halde ( ), içinX Y TM∀ ∈Γ

( ) ( ) ( ) ( ), ,X FYP Y A X th X Y g Y PX Y PXξ η∇ = + + − (4.1.5)

( ) ( ) ( ) ( ), ,X F Y fh X Y h X PY Y FXη∇ = − − (4.1.6)

dır.

Ispat :

( ) ,X Y TM∀ ∈Γ için (3.2.1), (4.1.1), Gauss ve Weingarten formüllerinden

( )X X XY Y Yϕ ϕ ϕ∇ = ∇ − ∇

( )( ),X X XPY FY Y h X Yϕ= ∇ + ∇ − ∇ +

45

( ) ( ) ( ), ,X FY X X Xg X Y Y X PY h X PY A X FY P Y F Yϕ ξ η ϕ ⊥− = ∇ + − +∇ − ∇ − ∇

( ) ( ), ,th X Y fh X Y− −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,X FY Xg X Y Y PX X FY P Y A X th X Y Fϕ ξ η η− − = ∇ − − + ∇

( ) ( )+ , ,h X PY fh X Y− (4.1.7)

dir. Şimdi (4.1.7) denkleminin teğet ve normal bileşenleri eşitlenirse


( ) ( ) ( )( , ) ,X F Y fh X Y h X PY X FYη∇ = − − (4.1.9)

elde edilir.

Burada P ve F nin kovaryant türevleri,

( ) ( ) ve X X X X X XP Y PY P Y F Y FY F Y⊥∇ = ∇ − ∇ ∇ = ∇ − ∇ (4.1.10)

şeklinde tanımlanır.

Teorem 4.1.2: ,M hemen hemen Kontak metrik manifold ve ( )TMξ ∈Γ olacak şekilde

M nin bir altmanifoldu M olsun.

Bu durumda M slant altmanifold olması için gerek ve yeter şart (4.1.2) daki P

endomorfizminin

( )2P Iλ η ξ= − − ⊗ (4.1.11)

şartını sağlayacak şekilde bir [ ]0,1λ ∈ sabitinin olmasıdır. Burada θ , M nin slant

açısı ise o halde 2cosλ θ= dir (Pandey ve Gupta, 2008).

Ispat : Kabul edelim ki M slant altmanifold olsun.

( ) için ve arasındaki açı ise,X TM PX Xϕ θ∀ ∈Γ

46

sbt. , PX

cosX

θϕ

= =

( ) ( ) 2, , PX PXg PX X g PX PXcos

PX X PX X PX X Xϕ

θϕ ϕ ϕ ϕ

= = = = ,

PX PPX FPXϕ = +

PX X cosϕ θ=

( ) ( ) 2 g , ,PX PX g X X cosϕ ϕ θ⇒ =

dır.

( ) ( ) ( )2,, , g X P Xg X PX g X PXcos

X PX X PX X PXϕ ϕ

θϕ ϕ ϕ

= = − = −

( )2,cos X PX g X P Xθ ϕ = −

( )2,cos X X cos g X P Xθ ϕ ϕ θ = −

( ) ( )2 2, ,cos g X X g X P Xθ ϕ ϕ = −

( ) ( ) ( ){ } ( )2 2, ,cos g X X X X g P X Xθ η η− = −

( ) ( ) ( ){ } ( )2 2, , , ,cos g X X g X g X g P X Xθ ξ ξ− = −

( ) ( )( ){ } ( )2 2, , , ,cos g X X g g X X g P X Xθ ξ ξ− = −

( )( ) ( )2 2, , ,cos g X g X X g P X Xθ ξ ξ− = − ,

[ ]2 0,1cos θ λ= ∈

( )( ) ( )2 2, ,cos g X X X g P X Xθ η ξ− = −

( )( )2 2P X cos X Xθ η ξ− = −

47

( )2P Iλ η ξ= − − ⊗

dir.

Tersine kabul edelim ki ( )2P Iλ η ξ= − − ⊗ olsun. Bu durumda M slant altmanifold

olur mu?

( ) ( ) ( )( )2 , ,, g P X X g X X Xg PX Xcos

PX X PX X PX Xη ξϕ

θ λϕ ϕ ϕ

−= = − =

=( ) ( ) ( ) ( ), ,g X X X X g X X

PX X PX Xη η ϕ ϕ

λ λϕ ϕ

−=

=2

,X X

PX X PXϕ ϕ

λ λϕ

=

PX

cosX

θϕ

= ⇒ 21 =c cos oscos

θ λ λ θθ

= ⇒

dir. Burada λ sabit olduğundan θ sabittir. Yani M slant altmaniflolddur.

Sonuç 4.1.1: M hemen hemen kontak metrik manifoldunun bir slant altmanifoldu

M ve slant açısı θ olsun. O zaman ( ),X Y TM∀ ∈Γ için

( ) ( ) ( ) ( )( )2, cos ,g PX PY g X Y X Yθ η η= − (4.1.12)

ve

( ) ( ) ( ) ( )( )2, sin ,g FX FY g X Y X Yθ η η= − (4.1.13)

dir (Shahid ve ark. , 2004).

Ispat : ( ) ( )2, ,g PX PY g P X Y= − ; ( )2P Iλ η ξ= − − ⊗

( )( )( )2cos ,g X X Yθ η ξ= −

( )( )2cos ,g X X Yθ η ξ= −

48

( ) ( )( )( )2cos , ,g X Y g X Yθ η ξ= −

( ) ( ) ( )( )2cos , ,g X Y g Y Xθ ξ η= −

( ) ( ) ( )( )2cos ,g X Y X Yθ η η= −

dir. Buradan

( ) ( ) ( )2, 1 sin ,g PX PY g X Yθ ϕ ϕ= −

( ) ( ) ( )2, , sin ,g X Y g PX PY g X Yϕ ϕ θ ϕ ϕ− =

dir. (4.1.2) den

( ) ( ) ( )2, , sin ,g PX FX PY FY g PX PY g X Yθ ϕ ϕ+ + − =

( ) ( )2, sin ,g FX FY g X Yθ ϕ ϕ=

( ) ( ) ( ) ( )( )2, sin ,g FX FY g X Y X Yθ η η= −

elde edilir.

Teorem 4.1.3: M Kenmotsu manifoldunun bir altmanifoldu M olsun. O halde M in

slant olması için gerek ve yeter şart

(a) DQ endomorfizmi M nin her noktasında yalnızca bir özdeğere sahip ve

(b) ( ),X Y TM∀ ∈Γ için,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), 2X Q Y g X Y X Y Y Xλ ξ η η ξ η∇ = − + (4.1.14)

olmasıdır (Shahid ve ark. , 2004).

Teorem 4.1.4: M Kenmotsu manifoldunun slant bir altmanifoldu M olsun.

( )TMξ ∈ olmak üzere M in anti-invaryant altmanifold olması işin gerek ve yeter şart

0Q∇ = olmasıdır (Shahid ve ark. , 2004).

49

Ispat : Kabul edelim ki 0Q∇ = olsun.

( )2P Iλ η ξ= − − ⊗ ve ( )Q Iλ η ξ= − − ⊗ (4.1.15)

( )( )2 2cosP X X Xθ η ξ= − −

( )( )2cosQX X Xθ η ξ= − − ve ( )( )2cosQY Y Yθ η ξ= − − dir.

Buradan, ( ) ( )( )2cosX X XQY Y X Y Yθ η ξ η ξ∇ = − ∇ − − ∇ (4.1.16)

dır. Ayrıca,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,X X X XX Y Xg Y g Y g Y Y g Yη ξ ξ ξ η ξ ξ= = ∇ + ∇ = ∇ + ∇ (4.1.17)

dir. (4.1.17) eşitliği (4.1.16) de yerine yazılırsa

( ) ( ) ( )( )2cos ,X X X X XQY Y Y g Y Yθ η ξ ξ ξ η ξ∇ = − ∇ − ∇ − ∇ − ∇ (4.1.18)

elde edilir. (4.1.15) eşitliğinin her iki tarafına XY∇ uygulanırsa

( ) ( )( )2cosX X XQ Y Y Yθ η ξ∇ = − ∇ − ∇ (4.1.19)

olur. (4.1.18) ve (4.1.19) eşitlikleri taraf tarafa toplanırsa

( ) ( ) ( ) ( )( )2cos ,X X X X X X X XQY Q Y Y Y g Y Y Y Yθ η ξ ξ η ξ η ξ∇ − ∇ = − ∇ − ∇ − ∇ − ∇ −∇ + ∇

elde edilir. Burada (3.2.2) eşitliği son eşitlikte yerine yazılırsa,

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )2cos ,X Q Y g X X Y Y X Xθ η ξ ξ η η ξ∇ = − − − − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2cos ,g X Y X Y X Y Y Xθ ξ η η ξ η η ξ η= − − + + −

( ) ( ) ( ) ( )( )2cos , 2g X Y X Y Y Xθ ξ η η ξ η= − − + −

elde edilir. Hipotezden

( ) ( ) ( ) ( )( )2cos , 2 0g X Y X Y Y Xθ ξ η η ξ η− − + − =

50

dır. Burada

( ) ( ) ( ) ( ), 2 0g X Y X Y Y Xξ η η ξ η− + − = dır.

Bu eşitliğin her iki tarafı ξ ile çarpılırsa

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 2 0g X Y X Y X Yη η η η− + − =

elde edilir. Buradan da,

( ) ( ) ( ), 0g X Y X Yη η− + =

olup burada,

( ), 0g X Yϕ ϕ = ⇔ 0Xϕ = ve 0ϕ = olmalıdır. Bu mümkün değildir.

O zaman 2cos 0θ− = dır. Buradan 2πθ = dır. M nin anti-invaryant altmanifold

olduğu görülür.

Tersine kabul edelim ki M anti-invaryant altmanifold olsun. 0Q∇ = mı?

M nin anti invaryant olması 2πθ = olmasını gerektirir. O zaman da 0Q∇ = olur.

Lemma 4.1.1: M Hemen hemen kontak metrik manifoldunun bir slant altmanifoldu M ve slant açısı θ olsun. O zaman M nin her bir X noktasında DQ nin yalnızca bir

tek 21 cosλ θ= − özdeğeri vardır (Shahid ve ark. , 2004).

Ispat : 2Q P= , X D∈ için ( )QX Iλ η ξ= − − ⊗ dir.

( ) 0,Q Xλ+ = QX Xλ= − olur.

Buradan DQ nin, M nin her bir X noktasında yalnızca bir özdeğere sahip olduğunu

söyleriz.

Lemma 4.1.2: M hemen hemen kontak metrik manifoldunun θ slant açılı 3-boyutlu

bir altmanifoldu M olsun. ( )TMξ ∈Γ olmak üzere bir P M∈ noktasının

51

komşuluğunda M ye teğet 1 2ve e e vektör alanları vardır. Öyle ki 1, Mλ üzerinde

tanımlı bir fonksiyon iken { }1 2, ,e e ξ bazı

1 1 2Pe eλ= , 2 1 1Pe eλ= −

lokal ortonormal çatı oluşturacaktır. Eğer M , θ slant açısına sahip bir altmanifold ise

1 cosλ θ= alabiliriz (Shahid ve ark. , 2004).

Ispat : 1 1 1 2 2 3Pe e eλ λ λ ξ= + + eşitliğinde

( )1 1 1, 0g Pe eλ = = ; 1 1Pe e⊥

( ) ( )2 1 2 2 2 1 2, ,g Pe e e g Pe e eλ = = −

( )3 1 , 0g Peλ ξ= =

dir. Buradan,

( ) ( )1 1 2 2 1 2 2, ,Pe g Pe e e g e Pe e= = − (4.1.20)

dır. Aynı şekilde

2 1 1 2 2 3Pe e eμ μ μ ξ= + +

( )1 2 1 2,g Pe eμ λ= = −

( )2 2 2, 0e g Pe eμ = = ; 2 2Pe e⊥

( )3 2 , 0g Peμ ξ= =

dir. Buradan,

( )2 2 1 1,Pe g Pe e e= (4.1.21)

dir. Burada (4.1.20) ve (4.1.21) eşitlikleri { }1 2, ,e e ξ bazının lokal ortonormal çatı

oluşturduğunu bize gösterir. 1 2Pe eλ= ve 2 1Pe eλ= − olur.

52

Diğer taraftan 1Pe ve 1eϕ vektörleri arasındaki açıdan yola çıkarak;

( ) ( )1 1 1 1

1 1 1 1

, ,cos

g Pe e g Pe PePe e Pe e

ϕθ

ϕ ϕ= = (4.1.22)

burada, ( ) 21 1,g Pe Pe λ= ve ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1, , 1g e e g e e e eϕ ϕ η η= − = olduğudan

2

cos λθ λλ

= = olduğu görülür.

Teorem 4.1.5: M Kenmotsu manifoldunun 3-boyutlu bir altmanifoldu M olsun.

O zaman M manifoldunun slant altmanifold olması için gerek ve yeter şart P

endomorfizminin,

( ) ( ) ( ),X P Y Y PX g Y PXη ξ∇ = − + (4.1.23)

şartını sağlamasıdır (Shahid ve ark. , 2004).

Ispat : Kabul edelim ki ( ) ( ) ( ),X P Y Y PX g Y PXη ξ∇ = − + koşulu sağlansın. Bu

durumda M slant altmanifold olur mu?

Lemma 4.1.1 e göre DQ nin yalnızca bir 21λ− özdeğeri vardır.

Ayrıca ( )( )21QX X Xλ η ξ= − − yazılabilir.

P ve Q nun kovaryant türevleri sırasıyla;

( )X X XP Y PY P Y∇ = ∇ − ∇ (4.1.24)

( )X X XQ Y QY Q Y∇ = ∇ − ∇ şeklindedir. 2P Q= eşitliğinden

( ) . .X X XQ Y P PY P P Y∇ = ∇ − ∇

( ) ( ) ( ){ }X X X XP PY P PY P PY P Y= ∇ + ∇ − ∇ − ∇

( ) ( ) ( ) ( ){ } 2, x X XPY PX g PY PX P P Y P Y P Yη ξ= − + + ∇ + ∇ − ∇

53

( ) ( ) ( ){ }2, ,g Y P X P Y PX g Y PXξ η ξ= − + − +

( ) ( ) ( ),X Q Y g Y QX Y QXξ η∇ = − − (4.1.25 )

dir. Burada (4.1.24) ve (4.1.25) de Q nun, 21λ λ= − için Teorem 4.1.3 (b) deki

denklemi sağladığı sonucu çıkar.

( ) ( ) ( ),X P Y Y PX g Y PXη ξ∇ = − + ise Teorem 4.1.3, M nin slant olduğunu bize

gösterir.

Tersine kabul edelim ki M slant olsun. Bu halde ( ) ( ) ( ),X P Y Y PX g Y PXη ξ∇ = − +

koşulu sağlanır mı?

Lemma 4.1.2 de olduğu gibi { }1 2, , ,e e ξ P nin bir U komşuluğundaki ortonormal çatısı

olsun. , ji Mω ye teğet her X vektör alanı için,

( )

3

1

jX i i j

je X eω

=

∇ = ∑ (4.1.26)

tarafından tanımlanan 1-formlar olsun. Burada

( ) ( ) ( )( )3 3 3 3X X XP e Pe P e P X X e PXη∇ = ∇ − ∇ = − − = − ; 3 3Pe e⊥

dir. Benzer şekilde

( ) ( )31 2 3cosX P e X eθω∇ = ve (4.1.27)

( ) ( )32 1 3cosX P e X eθω∇ = − (4.1.28)

eşitliklerini elde ederiz. Diğer taraftan, ( )Y TM∀ ∈Γ için,

( ) ( ) ( )3 1 1 2 2, ,Y Y e g Y e e g Y e eη= + + (4.1.29)

yazarak (4.1.29) eşitliğinde her iki tarafının kovaryant türevini alırsak;

54

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 1 1 2 2, ,X X X XP Y P Y e P g Y e e P g Y e eη∇ = ∇ + ∇ + ∇ (4.1.30)

eşitliğini elde ederiz. Burada,

( ) ( ) ( ) ( )( )3 3 3X X XP Y e P Y e P Y eη η η∇ = ∇ − ∇

( ) ( )( )3 3XP X Y e Y eη η= − + ∇

( ) 3XP Y eη= − ∇

( ) ( )( )3P Y X X eη η= − −

( )Y PXη= − (4.1.31)

dir. Aynı şekilde,

( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 1 1 1 1, , ,X X XP g Y e e g Y e Pe P g Y e e∇ = ∇ − ∇

( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 1 1 1 1 1 1, , , ,X XXg Y e Pe g Y e Pe P Xg Y e e g Y e e= + ∇ − + ∇

( ) ( )1 1 1 1, ,X Xg Y e Pe g Y e P e= ∇ − ∇ (4.1.32)

ve

( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2, , ,X X XP g Y e e g Y e Pe P g Y e e∇ = ∇ − ∇

( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2, , , ,X XXg Y e Pe g Y e Pe P Xg Y e e g Y e e= + ∇ − + ∇

( ) ( )2 2 2 2, ,X Xg Y e Pe g Y e P e= ∇ − ∇ (4.1.33)

dir. Şimdi (4.1.31) , (4.1.32) ve (4.1.33) denklemleri taraf tarafa toplanırsa,

( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 1 1 2 2 2, ,X X X X XP Y Y PX g Y e Pe P e g Y e Pe P eη∇ = − + ∇ − ∇ + ∇ − ∇

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1 2 2, ,X XY PX g Y e P e g Y e P eη= − + ∇ + ∇ (3.1.34)

elde edilir. Burada (4.1.27) ve (4.1.28) eşitlikleri (4.1.34) denkleminde yerine yazılırsa,

55

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 31 2 3 2 1 3, cos , cosX P Y Y PX g Y e X e g Y e X eη θω θω∇ = − + − (4.1.35)

elde edilir. Diğer taraftan (4.1.26) den,

( ) ( ) ( )1 2 31 1 1 1 2 1 3X e X e X e X eω ω ω∇ = + + (4.1.36)

( ) ( ) ( )1 2 32 2 1 2 2 3 3X e X e X e X eω ω ω∇ = + + (4.1.37)

( ) ( ) ( )1 2 33 3 1 3 2 3 3X e X e X e X eω ω ω∇ = + + (4.1.38)

dir. Burada (4.1.38) ve (4.1.36) den

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3 22 3 3 2 3 2 2, , ,XX X g e e g X X e e g X eω ω η= − = − ∇ = − − = − (4.1.39)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )31 1 3 3 1 3 1 1, , , ,X XX g e e g e e g X X e e g X eω η= ∇ = − ∇ = − − = − (4.1.40)

dir. Ayrıca,

( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3, , ,X g X e e g X e e g X e e= + + (4.1.41)

( ) ( )1 1 2 2, ,PX g X e Pe g X e Pe= + (4.1.42)

eşitlikleri yazılıp (4.1.29) ile (4.1.41) den,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 2 1 2 1, , , , , ,g Y PX g Pe e g Y e g X e g X e g Y e= − (4.1.43)

eşitliği elde edilir. (4.1.39) ve (4.1.40) eşitlikleri (4.1.43) de yerine yazılırsa ve Lemma

4.1.2 den ( )1 2,g Pe e λ= olup,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 31 2 2 1, cos , cos ,g Y PX g Y e X g Y e Xθ ω θ ω= − (4.1.44)

elde edilir. (4.1.44) eşitliği de (4.1.35) de yerine yazılırsa

( ) ( ) ( ), ,g Y PX Y PX g Y PXη ξ= − +

elde edilir. Böylece teorem ıspatlanmış olur.

56

4. 2. Killing Tensör Alanına Sahip Kenmotsu Manifoldların Altmanifoldları

Bu bölümde, ϕ killing tensör alanına sahip bir Kenmotsu manifoldunun slant

altmanifoldları incelenmiştir.

Teorem 4.2.1: M , ϕ − killing tensör alanına sahip bir M Kenmotsu manifoldunun

3-boyutlu bir altmanifoldu olsun. O halde M in slant altmanifold olması için gerek ve

yeter şart ( ),X Y TM∀ ∈Γ için,

( ) ( ) 0 ve Y PX X PYη η+ = ( ) ( ) 0Y FX X FYη η+ = (4.2.1)

şartının sağlanmasıdır (Pandey ve Gupta, 2008).

Ispat : Kabul edelim ki M , ϕ Killing tensör alanına sahip M Kenmotsu

manifoldunun slant bir altmanifoldu olsun.

( ) ( ) 0 ve Y PX X PYη η+ = ( ) ( ) 0Y FX X FYη η+ =

şartı sağlanır mı? Gerçekten M Kenmotsu manifoldu olduğundan ( ),X Y TM∀ ∈Γ için

( ) ( ) ( ),X Y g Y X Y Xϕ ϕ ξ η ϕ∇ = − − (4.2.2)

dir. Burada ile X Y nin rollerini değiştirirsek ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , g , ,Y X g X Y X Y Y X g X Yϕ ϕ ξ η ϕ ϕ ξ ϕ ξ∇ = − − = − (4.2.3)

dir. (4.2.2) ve (4.2.3) denklemleri taraf tarafa toplanırsa,

( ) ( ) ( ) ( )X YY X Y X X Yϕ ϕ η ϕ η ϕ∇ + ∇ = − − (4.2.4)

elde edilir. Burada ϕ killing tensör alanı olduğundan,

( ) ( ) 0 X YY Xϕ ϕ∇ + ∇ = dır.

Buradan

57

( ) ( ) 0Y X X Yη ϕ η ϕ+ =

elde edilir. Burada (4.1.2) den,

( ) ( ) ( ) ( ) 0Y PX Y FX X PY X FYη η η η+ + + = (4.2.5)

dır. (4.2.5) denkleminde teğet ve normal bileşenlerinden

( ) ( ) 0Y PX X PYη η+ = ve ( ) ( ) 0Y FX X FYη η+ =

elde edilir.

Tersine kabul edelim ki ( ) ( ) 0Y PX X PYη η+ = ve ( ) ( ) 0Y FX X FYη η+ = olsun.

Bu durumda M slant olur mu?

Teorem 4.1.1 den

( ) ( ) ( ) ( ), ,X FYP Y A X th X Y g PX Y Y PXξ η∇ = + + −

dir. Burada ( ),FYA X th X Y+ ifadesi ( )Z TM∈Γ ile çarpılırsa;

( )( ) ( )( ) ( )( ), , , , , ,FYg A X th X Y Z g h X Z FY g th X Y Z+ = +

( ) ( )( ) ( ) ( )( ), , , , , ,X Xg Z Y g th X Y Z g FY Z g th X Y Z∇ + = − ∇ +

( ) ( )( ), , ,Xg FY F Y Z g th X Y Z⊥= − ∇ + ∇ +

( ) ( ) ( )( )( )( )

, , ,

, ,Xg fh X Y h X PY Y FX F Y Z

g th X Y Z

η= − − − + ∇

+

( ) ( )( ), , ,Xg F Y Z g th X Y Z= − ∇ +

( ) ( )( ), , ,Xg Y FZ g h X Y Zϕ= ∇ +

( )( ) ( )( ), , , , 0g h X Y FZ g h X Y FZ= − =

elde edilir. Buradan

58

( )( ), , 0FYg A X th X Y Z+ = ⇒ ( ), 0FYA X h X Y+ =

dır. Yani

( ) ( ) ( ), ,g Y PX Y PX g Y PXη ξ= − +

olur. Teroem 4.1.5 e göre M slant altmanifold olur.

Teorem 4.2.2: M , ϕ killing tensör alanına sahip bir Kenmotsu manifoldunun

3-boyutlu bir altmanifoldu olsun. ( )TMξ ∈Γ olmak üzere, M nin slant altmanifold

olması için gerek ve yeter şart

( ) ( ) 0X YP Y P X∇ + ∇ = (4.2.6)

olmasıdır. Yani P indirgenmiş tensör alanı da Killingtir (Pandey ve Gupta, 2008).

Ispat : Kabul edelim ki M slant olsun. Teorem 4.1.5 den ( ), içinX Y TM∀ ∈Γ

( ) ( ) ( ),X P Y Y PX g PY Xη ξ∇ = − − (4.2.7)

yazılır. Burada X ile Y nin rollerini değiştirirsek

( ) ( ) ( ),Y P X X PY g PX Yη ξ∇ = − − (4.2.8)

dir. Burada (4.2.7) ve (4.2.8) eşitliklerini taraf tarafa toplarsak, P anti-simetrik

olduğundan,

( ) ( ) ( ) ( )X YP Y P X Y PX X PYη η∇ + ∇ = − −

elde edilir. (4.2.1) den

( ) ( ) 0Y PX X PYη η+ =

oluğundan

( ) ( ) 0X YP Y P X∇ + ∇ =

olarak hesaplanır. Yani P indirgenmiş tensör alanını da Killingdir.

59

Tersine kabul edelim ki ( ) ( ) 0X YP Y P X∇ + ∇ = olsun.

Bu durumda M slant olur mu? Teorem 4.2.1 e göre M slant altmanifold olur.

Lemma 4.2.1: ,M ϕ Killing tensör alanına sahip bir M Kenmotsu manifoldunun

3-boyutlu bir altmanifoldu olsun. O halde, Her ( ),X Y TM∈Γ için,

( )2 , 0FY FXA X A Y th X Y+ + = (4.2.9)

dır (Pandey ve Gupta, 2008).

Ispat : Her ( ),X Y TM∈Γ için (4.1.5) den


dir. Burada X ile Y nin rollerini değiştirirsek,

( ) ( ) ( ) ( ), ,Y FXP X A Y th X Y g X PY X PYξ η∇ = + + − (4.2.11)

elde edilir. (4.2.10) ve (4.2.11) taraf tarafa toplarsak,

( ) ( ) ( ) ( )2 , ,X Y FY FXP Y P X A X A Y th X Y g Y PX ξ∇ + ∇ = + + +

( ) ( ) ( ),g X PY Y PX X PYξ η η+ − −

elde edilir. Buradan P anti-simetrik olduğundan

( ) ( ) ( )2 ,X Y FY FXP Y P X A X A Y th X Y∇ + ∇ = + +

dir. Bu eşitlikte P indirgenen tensörü de bir Killing tensör olduğundan

( ) ( ) 0X YP Y P X∇ + ∇ =

dır. Buradan

( )2 , 0FY FXA X A Y th X Y+ + =

elde edilir.

60

Teorem 4.2.3: M Kenmotsu manifoldunun 3-boyutlu bir altmanifoldu M olsun.

O halde

( ) ( ) ( )2 , , ,fh X Y h X PY h Y PX= + (4.2.12)

olması için gerek ve yeter şart

( ) ( ) 0X YF Y F X∇ + ∇ = (4.2.13)

koşulunun sağlanmasıdır (Pandey ve Gupta, 2008).

Ispat: Kabul edelim ki ( ) ( ) 0X YF Y F X∇ + ∇ = olsun. (4.1.6) dan

( ) ( ) ( )( , ) ,X F Y fh X Y h X PY Y FXη∇ = − − (4.2.14)

dır. Burada X ile Y nin rollerini değiştirirsek,

( ) ( ) ( )( , ) ,Y F X fh X Y h Y PX X FYη∇ = − − (4.2.15)

olur. (4.2.14) ve (4.2.15) taraf tarafa toplanırsa,

( ) ( )X YF Y F X∇ + ∇ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 , , ,fh X Y h X PY h Y PX Y FX X FYη η− − − −

elde edilir. Burada (4.2.1) den

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 , , ,X YF Y F X fh X Y h X PY h Y PX∇ + ∇ = − − (4.2.16)

denklemini elde ederiz. Böylece

( ) ( ) 0X YF Y F X∇ + ∇ = ⇒ ( ) ( ) ( )2 , , ,fh X Y h X PY h Y PX= +

dir.

Tersine;

( ) ( ) ( )2 , , ,fh X Y h X PY h Y PX= + ise ( ) ( ) 0X YF Y F X∇ + ∇ =

olduğu da (4.2.16) eşitliğinden görülür.

61

Teorem 4.2.4: 5- boyutlu M Kenmotsu manifoldunun 3-boyutlu bir altmanifoldu M

olsun. ( )TMξ ∈Γ olmak üzere nin,M M manifoldunun minimal proper slant

altmanifoldu olması için gerek ve yeter şart,

( ) ( )X F Y Y FXη∇ = − (4.2.17)

olmasıdır(Shahid ve ark. , 2004).

Teorem 4.2.5: ϕ Killing tensör alanına sahip 5- boyutlu M Kenmotsu manifoldunun

3- boyutlu bir altmanifoldu M olsun. ( )TMξ ∈Γ olmak üzere M minimal proper

slant altmanifold olması için gerek ve yeter şart

( ) ( ) 0X YF Y F X∇ + ∇ = (4.2.18)

olmasıdır (Pandey ve Gupta, 2008).

Ispat : Önce kabul edelim ki ( ) ( ) 0X YF Y F X∇ + ∇ = olsun. Bu durumda M minimal

proper slant altmanifold olur mu? Teorem 4.2.4 den

( ) ( )X F Y Y FXη∇ = − (4.2.19)

dir. Burada X ile Y nin rollerini değiştirirsek,

( ) ( )Y F X X FYη∇ = − (4.2.20)

olur. (4.2.19) ve (4.2.20) eşitliklerini taraf tarafa toplarsak,

( )X F Y∇ + ( ) ( ) ( )Y F X X FY Y FXη η∇ = − − (4.2.21)

elde edilir. Burada (4.2.1) den,

( ) ( ) 0X YF Y F X∇ + ∇ =

dir. Bu durumda M minimal proper slant altmanifold olur.

Tersine kabul edelim ki M minimal proper slant altmanifold olsun. Bu durumda

( ) ( ) 0X YF Y F X∇ + ∇ = olur mu? Bu kabulumüz (4.2.21) den görülür.

62

Örnek 4.2.1: M , 4 kompleks uzayında 0k > için,

( ) ( ), , , , , sin , sin , , , cos , cosx u v w z u v k w k z kw kz k w k z= (4.2.22)

kartezyen denklemi ile verilen, 1cos kθ −= slant açısına sahip bir Kaehler slant

altmanifolddur.

1k = için, slant açısı 0θ = olup, M , 4 kompleks uzayının invaryant bir

altmanifoldu olur. M in denklemi,

( ) ( ), , , , ,sin ,sin , , ,cos ,cosx u v w z u v w z w z w z=

biçimine dönüşür. Böylece M , 4 kompleks uzayının total geodezik olmayan bir

altmanifoldu olur. Burada (4.2.22) denkleminden,

( )1,0,0,0,0,0,0,0ux =

( )0,1,0,0,0,0,0,0vx =

( )0,0, cos ,0, ,0, sin ,0wx k w k k w= −

( )0,0,0, cos ,0, ,0, sinzx k z k k z= −

dir. 4 deki standart kompleks yapı ( ) ( ), , , , , ,J u v w z w z u v= − − olduğundan,

( )0,0,0,0,1,0,0,0uJx =

( )0,0,0,0,0,1,0,0vJx =

( ),0, ,0,0,0, cos ,0wJx k ksiznw k w= −

( )0, ,0, sin ,0,0,0, coszJx k k z k z= −

dir. Şimdi uJx , vJx , wJx , zJx vektörlerinin teğet ve normal bileşenleri hesaplayalım.

, , ,a b c d ∈ olmak üzere,

63

u u v w zJx ax bx cx dx= + + + için,

( )u ug Jx x a= ⇒ 0a =

( ),u wg Jx x b= ⇒ 0b =

( ) 1, .2u wg Jx x k c= ⇒ 1

2c =

( ) 1 .2u zg Jx x k d= ⇒ 0d =

olarak hesaplanır. Buradan,

12u wJx x=

dir. u u uJx Px Fx= + olduğundan, 12u w uJx x Fx= + olarak yazılabilir. Buradan da,

( ) ( ) 2, ,cos u uu u u u

u u u u u u u

Px Pxg Jx Px g Px PxPx Jx Px x Px x x

θ = = = =

olduğundan,

1 . 22cos

1

kkθ = =

dir. Buradan da 1cos kθ −= olarak hesaplanır.

Benzer şekilde 1 1 1 1, , ,a b c d ∈ olmak üzere,

1 1 1 1v u v w zJx a x b x c x d x= + + + için,

( ) 1 1, 0v ug Jx x a a= ⇒ =

( ) 1 1, 0v vg Jx x b b= ⇒ =

64

( ) 1 1, 2 . 0v wg Jx x k c c= ⇒ =

( ) 1 11, 2 .2v zg Jx x k d d= ⇒ =

dir. Buradan

12v zJx x=

dir. Buradan da,

12v z vJx x Fx= +

olarak yazılırsa, cos kθ = olarak hesaplanır. Buradan da 1cos kθ −= dir.

Aynı şekilde 2 2 2 2, , ,a b c d ∈ olmak üzere,

2 2 2 2w u v w zJx a x b x c x d x= + + + için,

( ) 2 2,w ug Jx x a a k= ⇒ = −

( ) 2 2, 0w vg Jx x b b= ⇒ =

( ) 2 2, 2 . 0w wg Jx x k c c= ⇒ =

( ) 2 2, 2 . 0w zg Jx x k d d= ⇒ =

dir. Buradan

w uJx kx= −

dir.

Buradan da

w u uJx kx Fx= − +

olarak yazılırsa, cos kθ = dir. Buradan da 1cos kθ −= olarak hesaplanır.

65

Son olarak 3 3 3 3, , ,a b c d ∈

3 3 3 3z u v w zJx a x b x c x d x= + + + için,

( ) 3 3, 0z ug Jx x a a= ⇒ =

( ) 3 3,z vg Jx x b b k= ⇒ = −

( ) 3 3, 0z wg Jx x c c= ⇒ =

( ) 3 3, 0z zg Jx x d d= ⇒ =

dir. Buradan

z vJx kx= −

dir. Buradan da

v v vJx kx Fx= − +

olarak yazılırsa, cos kθ = dir. Buradan da 1cos kθ −= olarak hesaplanır.

Kompleks yapının bütün bileşenleri için 1cos kθ −= olarak hesaplanmaktadır. Bu da

bize altmanifoldun slant açısının 1cos kθ −= olduğunu gösterir.

Örnek 4.2.2: ( ) ( ) ( )0 0 0,X Y g X Y Y Xϕ ϕ ξ η ϕ∇ = − , ( )X X Xξ η ξ∇ = −

şartını sağlayan 2 1n+ deki Hemen hemen kontak yapı { }0 , , , gϕ ξ η olsun.

2 1n+ deki Kenmotsu yapıyı da şu şekilde tanımlayalım:

2 1 xn n+ = üzerindeki kartezyen koordinatlar ( ), ,i ix y t olmak üzere,

dtη = , t

ξ ∂=∂

2

1

nt i i i i

ig e dx dx dy dyη η

=

⎛ ⎞= ⊗ + ⊗ + ⊗⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

66

01 1

n n

i i i ii i i ii i

X Y Z Y Xtx y x y

ϕ= =

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + = − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ ∑ (4.2.23)

olsun. Herhangi bir pozitif k sabiti için 3 - boyutlu minimal olmayan slat altmanifold

M ve slant açısı θ

( ) ( ), , , cos , , sin ,x u v w u k v v k v w=

tarafından ifade edilir. { }1 2, ,e e ξ ortonormal bazı için,

( )1 1,0,0,0,0e =

( )2 0, sin ,1, cos ,0e k v k v= −

( )3 0,0,0,0,1e =

(4.2.23) den,

( )1 0,0,1,0,0eϕ =

( )2 1, cos ,0, sine k v k vϕ = − − −

3 0eϕ =

olarak hesaplanır. Burada 3 0eϕ = olduğundan bileşeni yoktur.

, ,a b c∈ için,

( )1 1 2 3 0,0,1,0,0e ae be ceϕ = + + = olduğundan bileşeni yoktur.

Son olarak 1 1 1, ,a b c ∈ için,

2 1 1 1 2 1 3e a e b e c eϕ = + +

( )2 1 1 1, 1g e e a aϕ = ⇒ = −

( )2 2 1 1, 0g e e b bϕ = ⇒ =

67

( )2 3 1, 0 0g e e cϕ = ⇒ =

olarak hesaplanır. Burada 2 1e eϕ = − olup, 2 2 2e Pe Feϕ = + den,

2 1Pe e= −

dir. Buradan da,

2 1

22 2

1cos1

Pe ee e k

θ−

= = =+

olup, 1

2

1cos1 k

θ − ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

+⎝ ⎠ olarak hesaplanır.

68

5. SONUÇ

1990 yılından itibaren invaryant ve anti-invaryant altmanifoldların bir genelleştirilmesi

olan Slant altmanifoldların geometrisi üzerine bir çok çalışmalar yapıldı. Bu çalışma

Kenmotsu manifoldların slant altmanifoldları üzerinde daha detaylı çalışmalar

yapabilmesine katkı sağlamak üzere hazırlanmıştır. İlk iki bölümde konunun daha iyi

anlaşılabilmesi için gerekli tanım ve teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde Kenmotsu

manifoldları ve simetrik Kenmotsu manifoldları incelenmiştir. Dördüncü bölüm

tamamen Kenmotsu manifoldların slant altmanifoldlarına ayrılmıştır. Bu bölümde

Kenmotsu manifoldların slant altmanifoldlarını karakterize eden tanım, teorem ve

sonuçları ayrıntılı olarak incelenmişdir. Son olarak konunun daha iyi anlaşılabilmesi

için slant altmanifold örnekleri verilmiştir.

Sonuç olarak bu tez çalışması Kenmotsu manifoldların slant altmanifoldlarının

geometrisi üzerine çalışmalar yapacak olan her matematikçinin yararlanabileceği bir

Türkçe kaynak olarak literatüre sunulmuştur.

69

KAYNAKLAR

Aslım, G. , 1988. Genel Topoloji, Ege Ünv. Fen Fakültesi Yayınları. , No. 109, İzmir.

Arslan, K. , Lumiste, U. , Murathan, C. ve Özgür, C. , 2000. 2 – Semiparalel Surfaces in

Space Sorms, Two particular cases. Proc. Estonian Acad. Sci. Phys. Math. 49. ,

No. 3, 139 – 148.

Asperti, A. C. , Lobos, G. A. ve Mercuri, F. , 1999. Pseudo – Parallel Immersions in

Space Forms, 10th School on Differential Geometry ( Portuguese ) ( Belo

Horizonte, 1998 ) Mat. Contemp. 17, 59 – 70.

Atçeken, M. , 2008. Warped Product Semi-Slant Submanifolds in Locally Riemannian

Product Manifolds, Bulletin of the Astralian Matematical Society. 77, doi: 1017/

S0004972708000191.

Atçeken, M. , 2010. Slant Submanifolds of a Riemannian Product Manifold, Acta

Mathematica Scientie, 30B(1),215-224.

Atçeken, M. , 2010. Semi-Slant Submanifolds of an Almost Paracontact Metric

Manifold, Canad. Math. Bull., Vol. 53(2), 206 – 207.

Atçeken, M. , 2010. Warped Product Semi-Slant Submanifolds in Kenmotsu Manifolds,

Turk J. Math. , 34, 425-432.

Blair, D. E. , 2002. Riemannian Geometry of Contact and Symplectic Manifolds,

Progress in Mathematics, 203. Birkhauser Boston, Inc. , Boston, MA.

Boothby, W. M. , 1986. An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian

Geometry, Academic Press, Inc. London.

Cabrerizo, J. L. , Carriazo, A. ve Fernandez, L. M. , 2000. Slant Submanifolds in

Sasakian Manifolds, Glasgow Math. J. 42, 125-138.

Cabrerizo, J. L. , Carriazo, A. , Fernandez, L. M. ve Fernandez, M. , 2000. Structure on

a Slant Submanifolds of a Contact Manifold, Indian J. Pure and Appl. Math. 31

(7), 857-864.

Chaki, M. C. , 1987. On Pseudo Symmetric Manifolds, An. Stiint. Univ. Al. I. Cuzalasi

Sect. I a Mt. 33, No. 1, 53 – 58.

Chen, B. Y. , 1973. Geometry of Submanifolds, Pure and Applied Mathematics, No. 22.

Marcel Dekker, Inc. , New York.

Chen, B. Y. , 1990. Geometry of Slant Submanifolds, Katholieke Universiteit Leuven.

Chen, B. Y. , 1990. Slant Immersions, Bull. Australion Math. Soc. 41, 857-864.

70

Chen, B. Y. ve Tazawa, Y. , 1990. Slant Surfaces With Codimensions 2, Ann. Fac. Sci.

Toulouse Math. 11 (3) , 29-43.

Chen, B. Y. ve Tazawa, Y. , 1991. Slant Submanifolds in Complex Euclidean Spaces,

Tokyo J. Math. 14 (1), 101-120.

De, U. C. ve Guha, N. , 1991. On Generalised Recurrent Manifolds, Proc. Math. Soc. 7,

7–11.

De, U. C. , Guha, N. ve Kamilya, D. , 1995. On Generalized Ricci – Recurrent

Manifolds, Tensor ( NS ), 56, No. 3. , 312 – 317.

De, U. C. , Yıldız, A. ve Yalınız, A. F. , 2009. On ϕ -Recurrent Kenmotsu Manifolds,

Turkish Journal of Mathematics, 33. 17 – 25.

Deprez, J. , 1985. Semiparallel Surfaces in Euclidean Sapace, J. Geom. 25, No. 2, 192-

200.

Deszcz, R. , 1992. On Pseudosymmetric Spaces, Bull. Soc. Math. , Belg. Ser. A 44, No.

1. 1-34.

Duggal, K. L. ve Bejancu, A. , 1996. Lightlike Submanifolds of Semi – Riemannian

Manifold and Applications, Kluwer, Dordrecht.

Gupta, R. S. , Haider, S. M. K. ve Shahid, M. H. , 2004. Slant Submanifolds of a

Kenmotsu Manifold, Rodavi Matematıcki,Vol. 12, 205-204.

Hacısalihoğlu, H. H. , 1980. Yüksek Diferensiyel Geometriye Giriş, Fırat

Üniversitesi Fen Fakültesi Yayınları.

Hacısalihoğlu, H. H. , 1983. Diferensiyel Geometri, İnönü Üniversitesi Yayınları.

Jun, J. B. , De, U. C. Ve Pathak, G. , 2005. On Kenmotsu Manifolds, J. Korean Math.

Soc. 42, No. 3, pp. 434 – 445.

Kenmotsu, K. , 1972. A Class of Contact Riemannian Manifold, Tohoku Math. Jour. 24,

93 – 103.

Lotta, A. , 1996. Slant Submanifolds in Contact Geometry, Bull. Math. Soc.

Roumanie, 39, 183-198.

Lotta, A. , 1998. Three-Dimensional Slant Submanifolds of K-Contact manifolds,

Balkan J. Geom. Appl. 3 (1), 37-51.

O’Neill, B., 1983. Semi-Riemann Geometry With Applications to Relativity, Pure and

Applied Mathematics,103. Acedemic Press, Inc. Newyork.

Pandey, P. K. ve Gupta, R. S. , 2008. Characterization of a Slant Submanifold of a

Kenmotsu Manifold, Novı. Sad. J. Math, Vol. 38 (1), 97-102.

71

Pitiş, G. , 2007. Geometry of Kenmotsu Manifolds, Publishing House of Transilvania

University of Braşov.

Roter, W., 1982. On Conformally Recurrent Ricci – Recurrent Manifolds, Collog Math.

, 46, 45–57.

Sular, S. , 2009. Kenmotsu Manifoldlar ve Bunların Bazı Altmanifoldları. Doktora Tezi,

Balıkesir Ünv. Fen Bilimleri Enstitüsü, Balıkesir.

Szabo, Z. I. , 1982. Structure Theorem on Riemannian Spaces Satisfying R ( X,Y ).

R=0,The Local Version, J. Dierential Geom. 17, 531 – 582.

Verstraelen, L. , 1933. Comments on Pseudo – Symmetry in The Sence of R.Deszcz,

Geometry and Topology of Submanifolds VI, World scientific, 199 – 209.

Yano, K. ve Kon, M. , 1976. Anti – Invariant Submanifolds, Lecture Notes in Pure and

Applied Mathematics, No. 21. Marcel Dekker, Inc. , New York – Basel.

Yano, K. ve Kon, M. , 1984. Structures on Manifolds, Series in Pure Mathematics, 3.

World Scientific Publishing Co. , Singapore.

72

ÖZGEÇMİŞ

Kişisel Bilgiler

Adı Soyadı : Ümit YILDIRIM

Doğum Tarihi ve Yer : 03.02.1982 - Amasya

Yabancı Dili : İngilizce

Telefon : 0543 375 38 15

E-posta : [email protected] / [email protected]

Eğitim:

Derece Eğitim Birimi Mezuniyet Tarihi

Yüksek Lisans Tokat Gaziosmanpaşa Üniversitesi 2010

Lisans Atatürk Üniversitesi 2003

Lise Hamamözü Lisesi 1998

İş Deneyimi:

Yıl Yer Görev

2008- ... Tokat GOÜ Erbaa MYO Öğr. Gör.

2003-2008 MEB’e Bağlı Özel ve Resmi Eğitim Kurumları Mat. Öğrt.

T00889.pdf - Gaziosmanpaşa Üniversitesi

Documents

Transcript of T00889.pdf - Gaziosmanpaşa Üniversitesi