MAURO FABRIZIO - CLAUDIO GIORGI (**) deI | 'Un ivers i tb di Fe r r a r a

L A S U P E R C O N D U T T I V I T A ' C O M E T E O R I A N O N L O C . ~ L E (*)

(Conferenza tenut~ il s moKzo 1#83 dal Tyro/. Pabrizio)

S U N T O . - - Viene presentata una nuova teoria matematica della supercon- duttivit~ ehe unifica )e teorie fenomenologiche di London e dl Pippard e c h e

risulta completamente indipendente da quella dei conduttori perfetti. Tale teoria, basata sulle relazioni costitutive (.), permette di descrivere le principali carat- teristiche elettromagnetiche dei superconduttori, cio~ l'effetto Meissner e l'as- senza di resistenza elettrica alle basse frequenze, e nel caso di campi armonici consente di determinate una relazione non locale t ra corrente e campo magnetico simile a quella proposta da Pippard.

INTRODUZIONF~

I n ques t a r i c e r c a vog l i am o p r o v a r e come la s u p e r c o n d u t t i v i t ~ pos sa e s se re ben i n t e r p r e t a t a e d e s e r i t t a da un p u n t o di v i s t a f eno-

menolog ico senza f a r e a lcun uso di cons ide raz ion i sugl i s t a t i quan t i c i e su l la t e o r i a B.C.S. [1] . E ' ben no to c h e l a t e o r i a di L o n d o n [2] , [3] cos t i tu isce gi~ u n a b u o n a r a p p r e s e n t a z i o n e m a c r o s c o p i c a de) f eno- m e n o ; essa si a v v a l e o l t r e che delle equaz ioni di Maxwe l l anche delle re laz ioni cos t i t u t i ve di L o n d o n :

8 (1) 8-~ (A J) ---- E

(2) v X ( A Z ) = --A

dove A ~ m / n r 2 essendo m, e r i s p e t t i v a m e n t e la m a s s a e la c a r i c a

de l l ' e le t t rone , n ~ la dens i t~ e le t t ron ica . Ques te equaz ioni sono in

(*) Lavoro eseguito nell'ambito delle attivit~ del G.N.F.M. del C.N.R. (**) Indirizzo autori - Istituto Matematico, Universita~ di Ferrara.

1 9 6 M. F A B R I Z I 0 - C. GIORGI

grado di spiegare, la pr ima la completa assenza di resistenza eler t r ica e quindi la conducibilit~ perfet ta , la seconda l 'effet to Meissner, cio~ l 'annullarsi del campo B all ' interno del conduttore con l'esclu- sione di uno s trato superficiale in cui l 'eventuale campo esterno ent ra di una q u a n t i ~ chiamata lunghezza di penetrazione.

La teoria di London non consente per5 una completa e soddi- sfacente spiegazione di tut t i i fenomeni connessi agli effet t i di super- conduttivit~. Ad esempio la lunghezza di penetrazione, al var iare dell 'orientamento, calcolata sperimentalmente non ~ in accordo con quella calcolata teoricamente da (1), (2). Inoltre si ~ osservata una for te variazione della lunghezza di penetrazione in material i conte- nenti impurezze in percentuale cosi bassa da non al terare le al tre proprietor fisiche.

P ippard [4] per spiegare questi effet t i utilizza una relazione non locale f ra J ed H del tipo di quella usata per l 'effet to pelle anomalo e cio~:

(3) J ( r ) ~ 3ne2~o m .f r(r.A(r))rt e-'/~ dv

dove A (r) ~ il potenziale vet tore di H, cio~ H ~ ~7 X A, ment re ~o un paramet ro carat ter is t ico del materiale e ~ ~ un altro paramet ro

legato a ~o e al libero cammino medio. Pur t roppo l'equazione (3) di P ippard si inserisce nella teoria di

London senza sostituirla, non rappresentando cosi un nuovo modello matematico della superconduttivit~, ma soltanto un corret t ivo hello sviluppo della teoria rappresenta ta ancora daUe equazioni (1), (2).

Inoltre l 'equazione (3) presenta carenze nella interpretazione del- l 'effet to Meissner, infat t i si d imostra [4] c h e l a lunghezza di pene- trazione non pub essere f in i ta se la lunghezza ~o ~ f ini ta (vedi anche [4"1, 15]).

In un recente lavoro [6J abbiamo proposto una teoria che con- sente di unificare, e sot-to un certo aspet to di semplificare, quella di London e quella di Pippard. Abbiamo infat t i costruito la teoria mediante la sola equazione

(4) v • A J = - - B ( H , J )

Questo ci ha consentito, mantenendo la semplicit~ della teoria di London, da un lato di d imostrare come f r a J e H esista sempre una relazione non locale come richiesto da Pippard e dall 'altro di spie- gare ancora con l 'equazione (4) la mancanza di resistenza elettrica,

LA SUPERCONDUTTIVIT~ COME TEORIA NON LOCALE 197

che London dimostrava mediante (1). Quest'ultima equazione, in grado di studiare la conducibilit~ perfetta, risulta del tutto superflua ed anzi in contrasto con la superconduttivitA, poich~ la natura di quest'ultimo fenomeno ~ completamente diversa dalla conducibilit~ perfetta.

E' opportuno ricordare come in ogni libro sulla Supercondut- tivit~ si pervenga, come conseguenza delle equazioni di London alla relazione :

(5) J'(x) ---- - - A -1 A (~)

essendo A quel potenziale tale che V X A ---- B , V �9 A - ~ 0 e A . n ~ 0, sulla frontiera del superconduttore. La relazione (5) porta impro- priamente ad affermare (vedi ad esempio [5]) come la teoria di London sia locale, ciob il vettore corrente elettrica nel punto z di- pende dat valore di A in x.

Dimostreremo come tale conclusione sia completamente errata e come la teoria basata sulle equazioni di London:

v x (a J) = -- ~H

sia anch'essa non locale.

1. - Sia ~ un corpo rigido di punti materiali x, y, z . . . . che occupa un dominio f~ dello spazio euclideo tridimensionale ~.

Identifichiamo ciascun punto materiale X con il corrispondente punto geometrico x ~ ( x ~ , x2, xs)occupate nello spazio ~,, mentre I --~{ t; t 6 (0, T) } rappresenta l'intervallo della variabilit~ tempo- rale t.

Per descrivere i fenomeni elettromagnetici alrinterno del corpo c~, noi utilizzeremo le seguenti funzioni vettoriali definite sul do- minio Q = . O X (0, T): il campo elettrico E, lo spostamento elet- trico D, il campo magnetico H, l'induzione magnetica B, Ia corrente elettrica J.

Per qualsiasi tipo di mezzo queste funzioni devono verificare le leggi di Faraday e Amp6re che per campi sufficientemente regolari si possono esprimere mediante le equazioni di Maxwell:

a B (6 ) V X E = - - @~

0D (7) v x H - - at §

198 M. FKBRIZlO - C. GIORGI

E' anche noto come le caratteristiche del materiale siano pre- cisate da nuove relazioni f ra tall campi che possono essere di tipo funzionale o di tipo pii~ complesso rappresentate ad esempio da equa- zioni differenziali. A1 primo gruppo appartongono i normali dielet- trici che sono descritti mediante funzioni, oppure i materiali con memoria dove ora le funzioni sono sostituite da equazioni funzionali.

Non molto studiati risultano invece matoriali, come i conduttori perfetti o i superconduttori, per cui le relazioni costitutive risultano appunto espresse mediante equazioni differenziali. Consideriamo ora questi ultimi due particolari materiali mediante uno studio compa- rato assai utile per mettere in evidenza le profonde differenze esi- stenti nel modello matematico al di 1~ di alcune analogie fisiche.

2. - CONDUTTORX ~ x .

Come gi~ osservato le equazioni di Maxwell (6), (7) sono alla base di qualsiasi teoria elettromagnetica e quindi anche per i con- duttori perfetti. Poich~ per5 per pervenire ad un equilibrio fra le equazioni e le variabili indipendenti occorre opportunamento intro- durre ulteriori relazioni, si perviene, mediante anche considerazioni di tipo microscopico, alle seguenti equazioni, che caratterizzano il particolare materiale:

( 8 ) a

8---/(;J(z, t)) = E(~, t)

(9) B(x, 0 ~ ~(~)tt(x, 0

(Z0) D(z, 0 ~ e (x)g(z , 0

dove 2 > 0 ~ un opportuno parametro costante nel tempo caratteri- stico del conduttore. Se scegliamo come variabili indipendenti E, H, J, il sistoma risulta possibile tonendo conto delle tre equazioni dif- ferenziali (6), (7), (8). Per impostare il problema della �9 correttezza >> e quindi della unicit~ della soluzione occorre assegnare le condizioni iniziali e al contorno. Con considerazioni sulla superficie di separa- zione fra due mezzi possiamo ritenere che la condizione al contorno

espressa da

(11) E X n = 0 su a m X ( 0 , T)

Ricordiamo il teorema di Poynting che esprime il principio di con- servazione dell'energia elettromagnetica:

LA SUPERCONDUTTMT~k COME TEORL% NON IA)CAL~ 199

(12) - - t E • s ' " ~~ . - ~ . + - ~ . E + 3.E a% Q

esso si t rasforma utilizzando le relazioni (8), (9), (10)

f d 1 j " (13) - - . E X H . n do - - dt 2 (/~HS + rE~ "{- ~'p) dx

Si vede cosi che renergia elettromagnetica espressa da:

(14) f(/,H ~ + ~E u + ~J~)d~

si conserva nel tempo. Da cui segue immediatamente l'unicit& del problema.

II~ine possiamo provare che la relazione ~ J = E porta ad un legame locale f ra J ed E poich~ da (8) si ha :

t

= f + o) o

3. - SUPERCONDUTTORI.

Alla base di ogni teoria della superconduttivit& vi ~ ripotesi che la corrente elettrica sia costituita da due fluidi [2-6], questo com- porta che il vettore corrente elettrica J risulta dalla composizione di due termini J , , J , . I1 primo A definite mediante la legge di Ohm:

(15) J . = oE

dove o ~ la conducibilitb del materiMe, mentre il secondo J, rappre- senta le correnti di superconduttivit& ed ~ caratterizzato, secondo la teoria di London, dalle equazioni (1), (2). In questo nostro studio supporremo trascurabile l 'effetto della corrente J , solo per sempli- cit~ nel calcolo, in quanto un suo studio complete non comporte- rebbe nessuna difficolt& concettuale. Pertanto in seguito risulter~: 3 ---~ 3, .

La nostra teoria dei materiali superconduttori si avvale delle equazioni costitutive:

(16) V • (r J) = - - B

(17) D ~--- D(E)

(18) B = B(H,

2 0 0 M. FABRIZIO - C. GIORGI

con 7 > 0 parametro caratteristico del materiale che supporremo costante.

In particolare supporremo la dipendenza di B da H e / d e l tipo:

(19) B ~ p H + ~,J

dove anche~ risulta un parametro costante. Quindi (18) si scriver~:

(20) V X (~J) ---- -- #H-- ~)

Allorquando ~ ~ 0 ritroviamo la seconda equazione di London (2). E' noto come il fenomeno della Superconduttivit~ sia caratte-

rizzato dalla completa assenza di resistenza elettrica e dall'annul- larsi del vettore B aU'interno del conduttore (~ esclusa da questo fenomeno quella parte del conduttore situata in prossimit~ della superficie fino ad una data lunghezza di penetrazione); questo se- condo fenomeno, anche chiamato impropriamente �9 diamagnetismo perfetto ~, va sotto il nome di effetto Meissner.

Per campi statici si ha da (20) e daUa seconda equazione di Maxwell:

v X (~J) = --~H (21)

vxH~J

Pertanto

(22) 7VXVXH ~--~H

quindi randamento del campo magnetico in un semispazio ~ del tipo:

/

Se 7 ~ A - ~ - m / n e ~, si ritrova una ]unghezza di penetrazione = 10 -~ cm in buon accordo con moire osservazioni sperimentali.

Ci vogliamo ora soffermare~ per comprendere meglio la nostra analisi, su due errori interpretativi della teoria di London descritta daIle equazioni (1), (2). Come gi~ osservato nell'Introduzione, poich~ V .B ~ 0, ~ possibile determinare un potenziale vettore A(~) tale che:

(28) vxA ~-B su /2

LA SUPERCONDUTTIVIT~ COME TEORIA NON LOCALE 201

Inoltre per una unica determinazione di A ~ necessario in t rodurre anche le condizioni:

(24 ) v-A ~--- 0 s u P-

(25) A . n ~ - 0 su a ~

Mentre dalla seconda equazione di London (7) e da (23) abbiamo:

~ ' V X J ~ - - B = ~ v x A

vx(rJ+ A) = o

Per6 in base alle condizioni (24), (25) si pus provare:

(28 ) V 2 r = 0 s u Q

a ~ _ 0 s u a 9 (29) an

pertanto

(30) 7Y(z) ~ A(z ) z E

Questo risultato por ta erroneamente a considerare [3], [5] la teoria di London come una teoria locale. In verit~ la formula (30) 6 sol- tanto una banale identitY, in fa t t i cosi come alla determinazione del

(26 )

quindi

(27)

potenziale A si perviene mediante le equazioni:

(3t) V X A ---- B

(32) v . A ---- o

(33) A . n ~ - 0

anche il campo vettoriale J verifica le equazioni:

7 V X J ~ - - B

V ' J ~ 0

J .n~- - - -O

s u

s u ~Q

s u a ~

s u

s u

s u a ~

2 0 2 M. FABRIZIO - C, GIORGI

e quindi natur~lmente, sussistendo un teorema di unicitb per (31), (32), (33), r isulta A ~--- 7J.

Proviamo ora come l'assenza di dissipazione elettrica sia conse- guenza dell'equazione 7 V X Y = - - B . Se deriviamo la (16) ri- spetto al tempo e s f ru t t iamo requazione di Maxwell (6) abbiamo:

(M) v x a ~ , , l = v x E

da cui se ~ ~ una arb i t ra r ia quantitZ scalare suff ic ientemente re- golare:

( 3 5 ) a

Proviamo ora come l'assenza di dissipazione elettrica sia eonseguenza de]la equazione ? X (T J) = - - p H . Utilizzando ancora il teorema di Poynt ing (12) abbiamo:

aB aD a(3) Y. v ~ ) dx (36) - - fE x U'nd~ =.f(-a-t'H +-a~ "E +J at am D

Nelripotesi di assenza di cariche elettriche libere all ' interno di ~ (1), cio~ V . J = 0 e in base alla condizione al eontorno J . n = 0, si vede che r in tegra le :

/

( 3 7 ) v ~ = =

af2

Quindi il termine !" J . E dz, che rappresenta la dissipazione elettr ica

si pug porre nella fol~-na:

Questo porta ad a f f e rmare che la corrente elettrica si conserva non presentandosi alcun effet to di dissipazione.

(1) Ipotesi questa assunta in tutte le ricerche sulla teoria della supercon- duttivitA.

LA SUPERCONDUTTIVIT~ COMIB TEORIA NON LOCALE 203

4. - E ' possibile ora provare come dalle equazioni (16), (17), (18) si possa stabilire una relazione non locale f r a J ed H.

Consideriamo pr ima il caso statico o di London (~ ~ 0), cio~:

(39) 7 V X J ~ pH

(4O) V . J = 0 su .(2

insieme con la condizione al contorno:

1 (41) J = -~-n X H su a ~

che contiene la condizione J . n - ~ O su aS2 e che descrive bene l'an- damento della corrente in funzione del campo magnetico in prossi- mit& della superficie quando il raggio di curva tura ~ r grande �9 in rapporto alla lunghezza di penetrazione.

Possiamo ora in relazione al problema (39), (40), (41) pervenire ad una espressione (vedi [6]) per J in funzione del campo H. Innan- zitutto sussiste per tale problema un teorema di unicitb, infat t i il problema si riduce a provare l 'unicit~ per il s is tema:

V • V . J ~ 0 s u ~ , Y ~ 0 s u O #

Per la pr ima equazione deve esistere una funzione scalare ~o tale che Y ~ V ~, mentre per la seconda V ~ ~ - - - 0 con la condizione V ~ ~ 0 su a~ , quindi ~ risulta costante e Y ~ 0 su /2.

Utilizzando il potenziale vet tore K tale che V X K ~--J, la cui esistenza ~ conseguenza di (40), possiamo esprimere il s is tema (39), (40), (41) nella fo rma :

1 (42) V X V X K = - - - ~ - H su .0

1 (43) V x K - - n x H su a ~

Dalla identit& di Green f r a K(x ' ) ed un tensore r(x, ~') deft- nito su 1R 8 • 11~ s, si ha:

(44)

[ [ (n x v x ~3 . r + n x K. (~Z X r)] do' = a #

~/(V X V X K.r--K.V X V X r)dm" [3

2 0 4 M . F h B l i I Z l O - C, GIOBGI

Se poniamo/" ~ GI, dove I ~ il tensore unitario e G ~ 1/4 a l x - x' l sohzione del probhma:

(45) A ~ ( l : r - - x ' I) = - - , ~ ( x - - x ' )

lim G ( I x - - x ' l ) ----- 0

essendo 8 la funzione di Dirac, allora da (44) abbiamo:

(46)

1 f G H d x ' + 1 K(x) = - - ~ - . ~-~ .f GHt do" - -

f f - - ~ K . V ' V ' G o d x ' - - t ( n X m . ~ 7 ' • GoIdo"

~'~

dove H, ~ (n X H) X n. Ricordando la posizione J ~ V X K ab- biamo da (46) :

(47)

' f 1; d(x) -= - - ~ . V G x H dx" + ~ - V G x Htdo" +

~2 a

--(K.VxV'V'Gdx'--j (- x ~ . v X V ' X Gld~ ' a g

Utilizzando le condizioni (45) si pus provare che gli ultimi due inte- grali in (47) si annullano. Pertanto la equazione (47) ci fornisce una relazione non locale f ra J ed H nel caso statico o di London.

Molto interessante risulta lo studio della relazione esistente f ra d e d H nel caso dinamico retto daUa relazione costitutiva (20). I n h t t i proveremo come da tale equazione costitutiva si pervenga, in presenza di campi periodici, ad una relazione non locale molto simile a quella di Pippard rappresentata dana equazione (3).

Infatti nella ipotesi di campi periodici di pulsazione oJ abbiamo da (20)e (41):

1 (48) V X d 4- io l ~ ~ a--F H su

(49) V . J = 0 su /~

1 (50) J = ~ n • s u ~

LA SUPERCONDUTTIVIT~ COME TEORIA NON LOCALE 205

dove o----e)l 2 - - )' . P e r questo prob lema, u t i l izzando a n c o r a la tec-

nica della funz ione di Green r si o t t i ene (vedi [6] ) la seguen te re la- zione su ~9:

(51) l (x) = l~-.f H (x').r(x, x') dx ' - - l . / 'H , (x ' ) . r (x , x') do"

dove il t enso re F(x , z ' ) v e r i f i c a le re laz ion i :

(52) V X ir + i o r : - - $ I su 1R 3

(53) lim F ( z , x ' ) = 0 ix-xq .o~

Se i n t r oduc i amo il po tenz ia le v e t t o r e A ta le che V X A : H e V .A 1 0 e cons ide r i amo come domin io ~2 ~ IR 3, ab b i am o :

(54) j(x) = 1 ./A(x')" VX r(x, x')dx' Q

Poich~ una soluzione del p r o b l e m a (52), (53) pub essere e sp ressa nel modo seguen te :

[ , ] / '(Z, X') ---- - - • X (G1 I) d- io I -F ~ V ' V G~

dove G1 : ( 1 ~ 4 n i x - - x ' I) e -~ . Al lora

VXF------vvGI+vGII+iovGIxI = F(lz--z'[)e -"i~-*'I

1 dove F ha un andamento de] tipo ix_ x, I . Pertanto otteniamo la

relazione

5/ ~ J ( x ) = A ( x ' ) . F ( I x - - x' l) e dx '

che r i su l ta del t ipo di quella p ropos t a da P i p p a r d (3).

(*)

SUMMARY. - - Assuming the constitutive relations

v x (rY) --: - - B

B = --~tt--~j

2 0 6 M. F,t.BRIZIO - C. G I O l ~ I

we formulate a new mathematical theory of superconductivity which unifies London's and Pippard's ones. Indeed, this new macroscopic theory fully describes the Meissner effect, the zero-resistance phenomenon at low frequencies and for harmonic fields leads to a non-local current-field relation such as Pippard's one.

B I B L I O G R A F I A

[1] B~,mF,~N J., COOPER L. N., Scmt t~F~ J. R., Phys. Rev. 180, 1175 (1957).

[2] LONDON F., LONDON H., Physica, ~, 341 (1985).

[8] LO~mON F., Superfluids, vol. 1, Wiley, New York, 1950.

[4] PIPPARD A. B., Proc. Roy: Soc. (London), A, 1#I, 385 (1947).

[5] BARDF~N J., Theory of Superconductivity, Handbueh der Physlk, vol. XV, S. Flitgge ed., Springer, Berlin, 1956.

[6] FABRIZIO M., GIORGI C., Macroscopic Theory of Superconductivity. In Press.