TEOBIJ I D E L L A E L h S T I C I T A ' ;

DEL PROF,

ENRICO BETTI.

t .

D e f o r m a z i o a e d~ u n corpo.

I eorpi solidi non sono perfettamente rigidi come si eon- 8iderano nella .Meceaniea rationale, ma tutti sotto i 'azione di certe forze, senza rompere la Ioro'connessione, possono mutate entre certi limiti di tbrma e di estensione, e quindi possono variare le distanze dei lore punti inflnitameute vicini, cio~ le grau dezze dei lore elementi lineari. Limitiamoei a considerate queste deformazioni ne[ case iu eui i rapporti tra le ,~ariazioni degli elementi lineari e gli elemcnti stessi "siano quautitb, tahnente piccolo cho si possano traseurare le potenze di ordine superiore di fronte a quelle di ordine inferiore.

Sin S lo spazio oecupato da.un data eorpo, e siano x , y , z

lo coordinate di uno dei suoi puati. II quadrate dell' elemento lineare che ha uu'estremitfi, nel punto ( x , y , z) e r altra nel pnnto ( x .4- d x , y ~. d y , z -4- d z ) , sarfi:

ds ~ : d x ~ -4- dy" + d z I ,

e Ia sua variazione:

ds ~ds ~=: d x d ~ x -+- d y d ~ y + d z d ~ z .

6

Poniamo :.

Le u, v, w saranno funzioni di x, y, z ehe supporremo finite e continue insieme colic lore derivate in tutto 1o spazio S.

Sostituendo ed effettuando le differenziazioni, avremo :

ds ~ds = dx" .4- ~ d~" §

.+. , ~ + d , ] ~' \ ~ x

Pongo : du dv dw ~ a = b ~ c dx ' ~ " dz

O)

dto dz'

dv dw dw du ----_ 2 g du dv

ed o t t e n g o :

ds dx ~ dy ~ dz ~ ds = a - ~ -r b -~s; --~ c - ~ -~.

dy dz dz d x ~ dy § 2 f "~s ~ s ' e fi g d-s -J'~ + 2 h a s gs "

Le qnantith dx d!] dz d s ' d"s' d-8 sono uguali ai coseni degli an-

gull c he l a direzione dell' elemento ds fa con i tre assi; il pri- mo membro della equazione (2) deve essere per la supposizione fatta talmente piccolo c h e s e ne possaao trascurare ]e potenze superiori di fronte nile inferiori, qualunque sia Ia direzione det- l'elemento ds, quindi anche le sei grandezze a, b,c, h, f, g rich- bone essere dello stesso ordine di piccolezza.

Se l' elemento ~ parallelo all'asse delle x, abbiamo:

$ ds d'-7-'-" a

7

se all' asse delle St:

s e a queUo delle z :

ds ds :=" b

ds ds

Quindi a, b, c non sono altro the i rapporti dogli atlungam~nti. degli elementi paralleli agli assi, agli elementi stessi, cio~ i coel~cienti di allungamenlo neile direzioni degli assi.

Moltiplichiamo per dx, dy la equazione :

du dv = - - §

d-'-~ ay

ed integriamo a tutta la superflcie di un rettangolo che giace in un piano parallelo al piano xy , con i lati paralleli agli assi delle x e delle y e di [unghezze ~, n che denoteremo ordinata- mente con ~ . , v~, ~l, ,72 ; avremo per un noto teorema di aualisi:

" " du dv

Poniamo :

-~ u d z - - v dy

[ , , u' ~ / u dx

J ~

u"--fu dx,

~v' = f v d y

~ v n ~ j ~ t ~ d V

h' , =. f / ' h dy

8

a v r e M o : U e - - t l / ~s ~ V~

2 h ' ~:= -t-

Se il rettangolo ~ infinitesimo h ~ costante in tutta l'aren, e quindi h ' ~ h.

Ora denotiamo con ~/, r / , ~ ' , r~' le lunghezze dei lati ~J, 'h , ~ , , ~ dopo la deformazione., poich~ il rettangolo ~ in- flnitesimo, avremo :

~,'=(t~a)~, ~,'=(t§

e quindi trascurando le quantit5 di ordine superiore:

Dunque il rettangolo ~ parallelogrammo anche dopo la defor- mazione.

Sia ora ct r angolo chela dirczione di ~',' fa coll'asse delle x, e .B I' angolo the la dirczione di ,7,' fa coll'asse delle y; avremo:

v ' - v" = ~,' cos ( ~ - ~) = ~ , ' sen ~ .

Ora poich~ c~ e..B sono inflnitesimi, abbiamo :

e qu iad i :

t l n ~ U ' ~ ' ~ ~ f

9

ed h rappresenta la semisomma degli angoli che ~' fa coll'asse delle x, e ~' Cell' asse delle y, ossia la meth dell" angolo cho bisogna togliere da un angolo retto per aver 1' angolo del pa- rallelogrammo. La quantit/~ h rappresenta anche la semisomma dei rapporti delle lunghezze delle quail hanno seorso l'uno ri- spetto all' altro i lati opposti del rettangolo, alle lore distanze; 6 percib ehe si chiama coe~ciente di scorrimento nella direzione del piano xy ; analogamente g e f sono i coefticienti di scorri- monte nolle direzioni dei piani x z e zy.

Poniamo :

du dv dw | -~- a .+. b -+. c . -~-~ "+" dy -~" d-zz

moltipliehiamo questa equaziooe per l'elemento dS dello spazio e integriamo ad una porzione qualuoque S~ dello spazio oecu- pate dal corpo, avremo :

2o ? dv dw~ dS .~ -~- ~y -4- ~-~1 dS ~ u~ -+- vfl -4- w7) d~

St $, q

denotando con ~,fl, y i eoseni degll angoli ehe la normale alia auperfioie ~ ohe forma il oontorno di S, fa eogli assi.

Ora (uo:-~-vfl "-~w7)tla 6 il volume dei prisma generate dal mote dell'elemento d ~ positive se il movimento 6 verso 1" esterno di S,, negative se verso l'interno di S,; quindi Fin- tegrale esteso a tutta la superficie 6 la misura dell' aumento di volume della porzione Sj del corpo. Se consideriamo una por- zione inflnitesima dei corpo, 0 6 costante e abbiamo :

0 5 S,

ossia (9 6 il rapporto dell 'aumento di volume di ua elemonto, del eorpo al volume dell'elemento stesso e si r il coeff/- eienle di dilalazione.

Tracciamq nel eorpo una curva chiusa e piaua s il oui piano S sia parallelo al piano xy : avremo per uu teorema di analisi :

f(,'. ) J( ) d v dx ~ dy �9 a s = a s . $ �9

10

du dv Se, s ~ tma eireonfereaza inflaiteslma, u, v e si pos-

dy dx sono ritefiere eostanti, e denotand:o c e n t la componefite detlo spostamento nella direzione delia tangerine, con r il raggio de~ eerehio, avremo :

2z

du dv S--~--- r d O ~ - - 2 ~ r r .

0

Poniamo r - - r o avremo:

du dv dy dx

t (du dv) r Ouindi ~ ~yy ~x denota

m ~ - - 2 t o .

augolo di cui ha rotate I'ele-

mento eircolarc interne al sue centre. Analogamente ~ ~z ~ '

(dw du~ 2 ~ ~ z / sono gli angoli di eui hanno rotate gli elementi

plani eireolari paralleli ai piani yz, xz interne ai lore eentri. Le funzioni u, v, w sono determinate in tatto lo spazio S

oeeupato dal eorpo~e qaindi ~ r l.a deformazione del eor- po stesso, quaado sono dat i :

t. ~ le fmazioni as b, e, f, g, h ossia i eoefiieienti di allun- gamea~O l~ella, dh'e~ioae deg|i assi, e i eoeffiei~nti di seorrimeato patallelamente ai piani eoordieati in tutto 1o spazio S ;

2.0 i vaiori di u, v, w, e lxe relazi~ai di primo grade tra le aei du du dv di~ dw dw

derivate d-y' d~ ' ~ x ' d 'z ' d-~' dyy' in un sol punto di S.

Infatti, supponiamo ehe esistano due sistemi differenti di funzioni u', v ' , w' e u", v", w" the sodisfaeeiano ad ambedue ]e eondizioni preeedenti, eio~ ehe sodisfaeeiaao alle medesime eqtm- zioni (1), e in ua punto, che potr/t prendersi per origine delle coorditrate, prendano i medesimi valori, e le lore derivate so- disfaeeiano a:lle medesime relazioni lineari.

Poniamo :

u' u" = U , V ' ~ V" - - " V t /Y - - w " = ~ W �9

! !

Sottraendo le equazioni corrispondenti avremo :

dU dV d W (3) d x o , d y O, dz ~ o

dU dV dV dW dW dU : ~ ~ = = = 0 + ~ 0 -+ - =ffi 0

(I~) dy ' d x ' ~ ~ " ~

dalle quali si deduce faciimente :

d*U dlU d'-U dy ~ - - d~ z : ~ - ~ - o

dtV dIV dlV

etx' = - J U = d-g-d-x - ~

dtW d tW dIW u ~ " = ~-y ' - a x d----~ - o

e quindi:

U ~ Ao + A , y - ~ A~z

V ~ B o "+- BX -~- Bzz

W----- Co -t- C z "+- C,y

dove Ao, A l . . . sono eoStanti. Sostilue~ido nelle (~) si r ieava:

A t - - - - - - B , At~ - - -~ - - -C , Ci ~ " - B ,

e quindi :

U ~ Ao - + - A ~ y - - Cz

V ~ B o - - A~x -+- B~z

W----- Co + C x - - B~y. Ma per

dovendo essere :

t i i ,== t t ' , ~ , ~ 1)ff # ~)r =:= lOtt

e lutte le derivate prime di u' , v ' ,w ' dovendo essere pure ri- spettivamente uguali alle derivate prime di u", v"~ w" sar~t

U = V - - ~ W - - o

e le derivate prime di U, V, W saranno tutte uguali a zero, e quindi :

Ao ~ Be ~ Co ~ A t - - - C ~ B~ ~ o.

Dunque in tutto 1o spazio S :

U == o, V ~ o , W---~ o~ e quindi :

come volevamo dimostrare. Consideriamo era il case in cui a, b~ c, f, 9, h siano eostanti

in tutto 1o spazio S, e che nell' origine delle coordinate sia:

(5) u - ~ v -~ w = o

du dv dw dv du dw (6) dy ax -~ -~ d y d z = ~ dz d z = ~

Avremo la deformazione che i sigg. Thompson e Tait hanno chiamato deformazione omogenea, nella lore Opera intitolata Natural Philosophy.

Per il teorema preeedente un sol sistema di fanzioni sod|- sfarh a queste condizioni.

Prendiamo :

u ~--- A -4- A~x -+- A~y --4- A~z

(7) v ~ B -+- B~x -+- B2y "4- B~z

w = C -4- C~x -4-- C~y + C~z

dove le A, B. C sono costanti.

Sostituiamo nelle (t), e awremo:

A, ~ Bt ~--- 2 h

A~ -4-- Ci "-'- 2 g

B~ -1'- Cs ~ 2 f

t3

Ponendo x - - y ~ z == o, le equa,.ioni (7) e quelle otte-

nute daile (3) e (~,) sostituendo in esse i valori (7), danno:

A f f i ~ B . = C - - - - - o

A t - - B a ~ o ~ A I ~ C , = o , B s ~ C ~ = = o

ondc :

e quindi :

AI ~ BI = I~ , A~ =f C , ' - ' g , B I ~ C I ~ f

u = a x ~ hy §

v ~ h x -4- by -4- f z

w = g x § fy -+- cz

e denotando con x ' , y ' , z' le coordinate del punto (x, It, s) do-

po la deformazione: dF

x' == ( i .+ a) z -4- hy -4- gz ~ d'~

dF y' =~ h = § (t + b) y § fz = d--~

dF z ' = g x + f y + ( i § z == d"-z

essendo :

(8 ) ~ F ==ffi ( t -}-a)x'-I-( t -p b )y'- i-( I -~c)~.' § 2 f yz -i- 2 gzx ~ ~ h ~ .

Determiniamo il luogo dei punti che avanti la deforma-

zione si trovano sopra la re t ta-

avremo :

x - - x o ~ / - - y , z - - z ,

Xo [( t + a)~ -4- h j3 § g ~] p

~' - - yo' = [h ~ § (S -+- b) B § f 't] p

Z t * - - s0' ~ [ g ~, .4- f.B § (! -+. c) ~,] ~,

i I~unti in linen retla avanti la deformazione Dunq~O 8 o n e

in linr rctta auoho dopo, e la dire~i~,pe di q~esta retta dipcn- de soltanto dalla direzione di quella, e quindi i punti ehe si trovano sopra retie pargllele +ava#ti la d+d'ormazione, sono sopra retie parallele anehe dopo.

Amnc'h6 la direzione di una retta non muti celia deforma- zione dovr~ essere :

le quail equazioni danno le direzioni dei tre assi prineipali del- l' ellissoide che ha per equazione la (8).

l)anqtlo v! sono in ogni punto soJtanto tre direzioni orto- gonali rra lore nelle quail le rette non mutano direzione nella deformazione.

Se riferiamo l'ellissoide (8) a questi assi awremo :

2 F = Ax ~ -+- By ~ -+- Cz ~

e la trasformazione ehe di~ la deformaziot~e diviene :

x' , ~ A,~'

y' ~ By

2.

Polenziale delte forze elasttchr

Una deformaz'~ae ~odotta,~a.un, corpo soJido~lastico, se non oltrepassa cergi limiLi, d~ origine a forze interne che tendoao a riportare il corpo nello state primitive s le quali si dicono .forze elastiche. So durante la deformazione e il ritorno del corpo nile state primiti~p Ja temperatura mS i" mi~ntiene cpstante, il lavoro meccanico fatt9 dalle +forze esterne nel prodnrre ia deformazioae

uguale al lavoro meccanico fa[to d~lle f o r ~ elastiche nei ri- condurre il .c0~po nile s tate primitive, lnfatti abbiamo in questo

t.5

r un ciclo chiuso in~ertihile di tr~formazioni, o per i l se- condo principle della Termodinamica, se Q 6 il calore asset- bite o emesso dal corpo durable la deformafione, Q' quello omesso o assorbito net ritornare allo state primitive e T l a ~amperatura eostanto alia quale avvengono le trasformazioni,

avrunio : Q Q'

~- 0 T T

onde :

Q ~ QI e

Dunque non si ha n~ produzione n6 consume di calore, e quiu. d i i l lavoro consumato dev'essere uguale ai lavoro prodotto (i). e ra il lavoro ratto dalle forte elastiche per ricondurre il eorpo the ha rieevuto una data deforma~ione allo state primitive ann pub dipendere dagli staff intermedi per i quali 6 passato nel prendere quelia deformazione, dunque anche il lavoro .uguale faro dalle forte esterae per deformare il corpo sara indipen- dente dagli stati intermedi per i quail esse fanno passare il corpo, e dipender/~ soltanto dallo state iniziale e dallo state finale del corpo, e sara funtione a un sol valore, flnita e coatintra de|le sole quantita che determinano questi due stati. Questa funzione presa negativamente non ~ altro che ii poteaziale delle forte elastiche del corpo, poich6 il potenziale di un sistema soggetto a forte the dipendono solo dalla posizione relativa dei suoi elementi 6 il lavoro meccanico fatto da queste forte nel passaggio del si- sterna da uno state fisso allo state attuale, e quella funzione esprime invece il lavoro cousumato in questo passaggio.

Per avere ii potenziale del corpo baster~, decomporlo in elementi it~finitesimi, determinaro il potentiate di eiaseuno e in- tee'are, D~eo~aponiamo it c.oqpo in elcmenti i~r.a|l~Ic.pipadi, e qaesti ueUo state ~li equilibrio siano r~ttangoli cor J IttL p~- ralteli ai tre as6i, e con i lati di lungheaza ~,. ~, ~ . lla .ur el~.

men~ iafiuitesimo si possono coasiderare r le sei quan- tith O, b, e, f. 9,h ehe de~erminano in u~a defo~;ma~ione iaQni-

(1) Qso~Lo t~re~a-6 d ~ t o o W, ~hemCs~m Y, : ~ f l y ~rmrnal of Mathematics Vol. 1.

46 tesima qualunque la variazione deli'elemento lineare, quind| l 'elemento dope una deformazione qualunque avrA sempre la forma di un parallelepipedo, e la sua forma sarh determinata da sei quantit~ che possono essere i tre lati e i tre angoli di un angolo solido, e il potenziale sar'~ una funzione di queste sei quantit,~ finita, Continua e a uu sol valore insieme colle sue de- rivate. Dope una deformazione determinata dai coemcienti di allungameato e di scorrimento: a, b, e, f, g, h, i tre lati saranno :

~( l+a) , ~(t+b), ~(1+0) e gli angoli :

: , r

f, 72--g, ,~--h

e quindi il potenziale denotandolo con P sarA:

l, ffiF ~ ( t + a ) , ~ ( t + b ) , ~ O + e ) , ~ - - f , ~ - - g , ~ - - ,

Ora alla fanzione F potendosi per valori piccolissimi di a~, b~.. .~applicare il teorema di Taylor, avremo :

P=F ,~,~, ~ , ~ ,

dF dF �9 "l'-~-~ ~ a + N ~ b + . . .

t d~F a' 4, + ~ , + . . .

" ~ �9 �9 �9 . �9

II primo termine esprimendo il potenziale nelIo state di equi- librio del corpo, che ~ quello da cui il potenziale stesso si con- ta, sarh uguale a zero�9 Nolle state di equilibrio poi dovondo ia -r prima del potenzialo essere uguale a zero, sara uguale a zero anehe la parte che contiene iinearmente 1~ a, b, c~ f,, g, h. Dovendo poi essere ua massimo il valore del potenziale amachd 1" equilibrio sia stabile dovrA la variazione seeonda essere sem- pre negativa. Quiudi il potenzial~ delle forze elastiche ~ date

t7

da una forma negativa dl seeondo grado omogeuea delle quaa- titb :

a , b , e , f , 9 , h .

Ponendo:

(9) a ~ X a , b -~- .T, I ~ C ~ X s

f =x,, 9~x~, h==x.

avremo per il potenziale di un elemento:

Se i l corpo ~ omogeneo i coefiieienti A~s sararmo evidentemente costanti in tutto il corpo.

Se i l eorpo ~ isotropo, eio/~ se le forze elastiehe sono uguali in tutte le direzioni, il potenziale delle forze elastieha di un ele- mento avr~. uguali i eoeflleienti delle variabili eorrispondenti quaodo sia riferito a due differenti sistemi di assi eoordinati. Quindi se prendiamo inveee degli assi x, y, z altri tre assi or- togonali x ' , y , : , tali the e 9' eoincidano con x e y e z ' abbia la direzione

t i p

e per conseguenza ([t~'

d r '

Xs' ~ dy'

dw'

X~' , ~ d z ' - -

d o ' ## t ' ~ ~ "t"

d x '

dw'

dN

dx--~ ~ ' i e 2. Fol. V I I . V I I I ,

opposta a z , sar'h per ua puato qualunque:

U ~ 10' ~ 'U, tO r e : = ~ 'tO

d t l

d x

do

d w

d z ~ x s '

dw' dv dw -dy' dr, d y x6

dtt' dw du -~-z''-- d x dz ~ - - z ,

do' du d v

18

e quindi :

~ Ars xr x~ ~ ~ Y. --t-- Ar~ x / x 8'

dove si deve prendere il segno negativo sol tanto quando uno solo

dei due indici r ed s /~ uguale a uao dei due numeri ,t e 5. Do-

vendo essere ugua[i i r dei prodott i delle variabili cor-

r ispondenfi , av remo �9

A,4 : A . = A3~ ~ - A . : o

A,. === AI~ ~ A . ~--- Acl == o.

Mutando la direzione al solo asse delle y si t rova a o a l o -

8 a m e n t e .

A,6 ~=- A,~ ~ A~, - - A36 ~ o

e mutando la di rezione del solo asse delle x si t r o v a :

A . ~ o .

Quindi r imane :

p ,:~ At, X, I -4- Art X~ t "--t- A:s X~ i -.4- A . X, ~ t As, Xs I "% A , , X, ~

�9 "t- 2 A,~ XtXl -+" 2 A~ s X l X 5 -4-- o A5 . X , X ~ .

Idutando x in y e y in x si t rova :

h~, = h . . A,~ = A,s

As~ == A6~

e mutando y in =. e z in y :

onde :

P ~-- A,, (x , ~ -4- x , ' -~ x~') -+- A . ( x , ' --e x , ' § x , ' )

-e- 2 A,t (X, Xl --I- Xl X3 "+- X: Z,)

e ponendo :

A,~'= A, A,, - - h~ I ~ B, h . , : = C

P = A (x, -4- x~ -4- xj)* § B (Xo ~ ~ x , ' --I-- x~')

�9 + - C ( x , * + x , ~ 4 x , ' )

e sostitueudo i valori (9) delle x :

(tO)

19

Faceiamo o r a la seguente trasformazione di coordinate:

x ' = x cos .r -I- y sen ~ u ---- n ' cos .~ - - v' Seh

y ' ~ - - ~ x s e n ~ 4 - y cos<~ v ~ u ' s e n ~ - b vieOs ~ ' , r

~ , = : = ~," i f ) = = =

avremo :

du du' cos' r ";" dr' ~.. (d~_.~ .~L d " ~ d-~ = dx -~ ~ , sen' ~ - ~,av' ~-.~t ~ea ~; ~ s $

d-y -~- dx"'~' sen' ~ "~ "dy " "~ L-~Y' ~" dx ' ]

dw dw '. d z dz '

o n d e :

du dv dw du' do' dw'

d-~ + ~ + u~ = d%-' + ~ + ~..'--7

du I dr" dw = du 'l d r " dw 's [du' d r " 1

dy'" a~." x~;' §

/dt~ ", j, - , ,.

Abbiamo in~ltre :

du du' sen @ cos @ - - dr ' du' , d~,' dy - - dx ' ~ sen @ cos @ + dy---~ cos <P-- ~ -~ sen'cp

d v du' dr' du' , dr ' d x - - ~-~ sen ~ cos <p "t- ~ sen ~ cos ~ - - ~y, sen ~ .-~ ~-~ sent~

~0

du dv (du' dv' (du' dv' )

du du' dr' ~ . ~ , ~-: cos r - - ~ sen

dw dw' dw ' ~ - - cos~ sen

d-'-zq''d-xx-~-'dz ' ~ x ' ) c~ ~ - - (d~ -'r d" dy'/

dv du' do' d z -~ dz' sen q~ 4- ~ cos

dw dw' dw' d"y = d-x -~ sen ~ -4- ~ cos.

d~ d,o = / a : dw' (d~' + d w; ~ + ~ kEE,'i-EE')sen~'+~ "; a , , / c o s r �9

Sostituendo i valori trovati nella equazioae (10), abbiamo :

At, d,' d,,' d,o.~' P ~= \ d x , -t- -~-~ -4- ct z, ]

_/du ' t dr' s dw'%

-l-C -t-dy'/ "4" \dz ' ; ' l 'dx'/ J

-4-2B du' -t- d x ' /

.4_(C_2B)~(du' dv'x / d , , ' dv 'x . . ~ ' -;---~]senfcosg--l--r=-+--;-,l(cos C--sen 9)

t Xdx ay / \ a y ' a x / )

la quale avrh la stessa forma cho oel primitivo sistema di coor- diaate soltanto quaado aia s

C ~ 2 B

ossi& :

P ~ AO ..b B A I

essendo :

6) =~ a .+. b . . l - r

A ~ - - a ~ "4- b" .4- c ~ - t- 2 f ~ "F ~g~ "q" 2h~.

Come abbiamo veduto O 6 il coefliciente di dilatazione. Vediamo era the eosa significa A ~.

Prendiamo per origine il centre di gravitY, e per assi gli assi principali d'inerzia del|'elemento avanti la deformazione, denotando con x ' , y', z' le coordinate di un punto dope la do- formazione, a,cremo :

s - - (1 '-b a) x 4 , hy "4- 9z

y' ~ h x .at- (t Or. b ) y . + f z

z ' - . - - - - g x ~ f y + ( I + c ) z

e s a r / ~ :

fo, s / - - 0 ~ S ~ o , . ~ d S f f i = o

Se 1" elemento avanti la deformazione si 6 preso in mode r siauo uguali i tre integrali �9

e quindi uguali i tre momenti d' inerzia the denoteremo con 2m, avremo :

dS

~ . (a~-l-- b ~ -4- e ~ "l- '~ f ' "t" 2g ~ .-t- 2 h ' ) m .

Ossia :

/ [ ~ x ' - - x)" .4- (y' ~ y)" + (~' - - ~-)'] dS A ~ t

m

eio6 uguale al rapporto tra la somma dei quadrati degli spo- stamenti di tutti i suoi punti alia met~ del momeato d'inerzia dell' elemetato rispetto ad uno degli assi.

(Continua)