L a m a t e m á t i c am o d e r n ae n l a e n s e ñ a n z a

p r i m a r l a

Z. P. D IENES

GH00822

L A M A T E M A T I C A

M O D E R N A

E N L A E N S E Ñ A N Z AP R I M A R I A

L A M A T E M A T I C A

M O D E R N A

E N L A E N S E Ñ A N Z AP R I M A R I A

OKMATD I O I TA L i Z A D O

M O D E R N AEN LA ENSEÑANZA

P R I M A R I A

Tradiiccign y presentación

d e

ALVARO BUJ GIMENOAdjunto a la Cátedra de Pedagogía General de la Universidad de Níadrid

Jefe del Departamento de Manuales Escolares del C.E.D.O.D.E.P.

e d i t o r i a l T E I D E * B A R C E L O N A

Universidad dc Barcelona,a colección Enseñanza de la Matemática Moderna.

La maiemálica moderna en la Enseñanza PrimariaLos primeros pasos en maiemáíicas

1- Lógica y juegos lógicos2. Conjuntos, números y potencias3. Exploración del espacio y práctica de la medida P R E S E N T A C I Ó N

Titulo original:

1965 OCDL,«. TO Claude Berna,d, Part, j-

°" ' '8 - l!areel„,u,6

JUVEN.. Dcp- legal B. 14.124 ■ 1967Printed in Spain

La Matemática moderna en la enseñanza primaria es la parte general e introductoria de una colección de textos didácticos que aparecencon el epígrafe general de oLos primeros pasos en matemáticas» (1).

Es bien sabido que la escuela primaria extiende su misión cultural cimentándola en cuatro aspectos: la lengua hablada y oída, lalengua escrita, el lenguaje del esquema espacial y el de los números.Los cuatro podrían ser interpretados como ayudas formales para lainteligencia. El campo matemático trata de construir, a través de lacomplejidad de las vivencias del espacio y los números, un mundoúnico plenamente objetivado.

Contar, medir y construir fueron las primeras operaciones aritméticas de la humanidad. La matemática es ciencia de representaciones, de esquemas, de abstracciones. Nutriéndose de contenidosconceptuales, para manejarlos y relacionarlos con comodidad y rapidez, se vale de símbolos, es decir, de representaciones formalesde los mismos, y traduce los juicios lógicos que relacionan dichosconceptos mediante leye.^ formales entre sus símbolos representativos; y esto de tal fonna que, combinando con corrección talestransformaciones, acaba el matemático por olvidarse de los contenidos conceptuales. Descansando dichos contenidos en las reglas

®sta colección aparecerán traducidos al castellano, por EditorialIcidc: I. Lógica y juegos lógicos-, II. Conjuntos, ntímeros y potencias; III.Lxpioracton del espacio y práctica de ¡a medida.

V I HPRESENTACIÓN

im oicas que sabe le conducirán a resultados infalibles, por serIsycs del razonamiento matemático.^ proceso de condensación simbólica y formalización del

posible toda la progresión de ab.slraccio-hov V creciente que constituyen la matemática dey. LOS conceptos expresados mediante formas nuevas engendranv a s ^ " m e d i a t a m e n t e , n e c e s i t a n d e n u e -e indefinidamtnlT " '' '''""' también actual de la matemática como ciencia exigeresumir como b ' ^ctica de esta materia; se podríaq u e c o n d u c e a c o n c e p t o , e v o l u c i ó narte de enseñar primacía del arle de aprender sobre elmaria lleva de la°m^ rnatemática moderna en la Escuela Pri-tico, sino incluso "sideraciones no sólo de carácter didác-la necesidad de cons d' ^ ü ' científico. Se planteatemáticas y el de las campos: el de las estructuras ma-interesantes, a nuestro mentales. Las aportaciones másy profundos realizado P ' ceden de los esludios extensosquien, siguiendo la línea d° Psicólogo ginebrino Jean Piaget.génesis del conocimientrv . / . ""ocidas investigaciones sobre laestructuras matemática-; v'? us relaciones entre lasgencia. Se plantea la cupqh/ estructuras operatorias de la inteli-

"tutemática siiroí.' saber si las propiedades estructu-idades objetivas de bs descubrimiento de las cua-s os ültimos resultan como o si, por el contrario,e s t r u c t u r a s d e

o r igen "Pera to r ias de H ^ conc lus ión de queaquel lo grandes t ipos de manifiestan desde suc T w d c o r r e s p o n d e n a' de orden y ]"s 'f' ' estructuras algebrai-

es ructuras topológicas. Es evi-

P R E S E N I A C I O N I X

dente que, emitida esta tesis, se invierte el camino para llegar a unmétodo sólido en la enseñanza matemática. De aquí surge la necesidad de llegar a una serie de actividades en la enseñanza de estamateria, que faciliten el dinamismo de reversibilidad y de equivalencia; en el campo de la geometría se precisa la adquisición consciente de una serie de relaciones asociadas a una dinámica perceptiva y activa, realizada con el uso de instrumentos elementales.

Desde este punto de vista resulta errónea la programación clásica en compartimientos separados. En efecto, dicha presentaciónno tuvo en cuenta la génesis del pensamiento matemático de lahumanidad y la evolución genética en el pensamiento del niño,cuyo desarrollo es concéntrico y no radial. Hemos de admitir quese escamoteaba el proceso intuitivo e inductivo. También ha habidoun descuido de la captación de intereses del niño, tratando de suplir esta falta de intuición natural mediante el recurso de estímulos coactivos secundarios y extremadamente artificiosos.

Quizá mediante las reflexiones anteriores puede entenderse fácilmente la presentación actual del saber matemático, de la quees una muestra patente el texto que consideramos.

Desde otro punto de vista ocurre que las nuevas estructurasmatemáticas tienden a una mayor generalización, y el estudioso quereflexione sobre el particular no tardará en percatarse de que lasparcelas de la ciencia matemática estudiadas al modo tradicionalno son sino sectores muy concretos y casos particulares de estanueva estructuración. Fácil es comprenderlo cuando se aprecia elestudio de la numeración en las operaciones aritméticas elementales. así como en la presentación de los conocimientos geométricos. En el primer caso la numeración decimal, tradicional en eltratamiento de este sector, es un caso particular de la numeraciónen general que ahora se estudia en cualquier base; respecto a nociones geométricas, puede verse que. lejos de seguir las enseñanzasde Euclides, se comienza ahora por introducir propiedades tipológicas del espacio; es decir, en lugar de comenzar por el punto.

XPRESENTACIÓN

nocíone/ta? figuras geométricas planas, se habla de frontera y de^ y " e t r á s a n t e s y d e s -imes, y asi sucesivamente.

4e

mática actuals°uponee enseñanza de la mate-algunas consideracionpc - Escuela Primaria, cabeninteUgencia corr«tl I P ^ 'ndibles. por otra parte, para unaya desde la escuela ^ ejemplo, se admite hoy queuiática. El mundo del ocuparse de esta mateaos. y no solamente a exigirá a todos ciertos conocimicn-sino incluso también an a acceder a estudios superiores,estudios primarios Cuanf ^ pasen del certificado deluto, que existan reglas pretende afirmar, en abso-0 no aprender en estos dn! J: niño puededios ya realizados de cari años; sin embargo, los estu-conocer una serie de anivs P® \" ®utal, permiten al maestrocabMa, con carácter general lutivas a este sector que tienenEl texto sirve de IntmH,' primeras edades del niño.« rimeros pasos en rnatem-ír ' ' colección sobre

primero, sobre la adquisiril ^ ' comprende tres fascículos,or os niños; el segundo se n " terminadas relaciones lógicasfie las propiedades de coniuntn??"' número tratandobrevi„,elTf noción de poten-caDaí-"?!!" ''uaciones que"im r° aplicaciones prácticas dein?i"''empo. superficie v f' ™=bidas de longitud, peso,

debe di" " geometría. La ^^Potúendo unaPebdesarroUarse Paralelaiin'i ■aT,"''fonSdón " «'-cmra Ueva ÍoP i - e d o m i n a yahora la situación a mnos. En la clasede aprendizaje antes que la

P R E S E N T A C I O N X I

de enseñanza; la enseñanza frontal, que se dirige a toda la clase,deja paso a la enseñanza por pequeños grupos, facilitando la indiv idua l izac ión.

También se introduce el procedimiento de discusión entre losniños. Los errores cometidos por los niños deben ser descubiertospor los mismos piños; las reglas de este juego matemático sonfáciles y no habrá dificultad en que la verdad aflore de la discusión. Ete esta forma la verdad se admite por sí misma, más quepor el maestro encargado de arbitrarla. Sin embargo, esto no elimina, ni mucho menos, la acción del maestro, que ha de estar enpermanente vigilia para encauzar la actividad y actuar en el momento oportuno, siempre con una previsión detallada del desarrollode la clase. Sabemos que es tentador interponerse y facilitar inmediatamente el proceso, cuando los niños cometen un error, paradecirles en el acto cómo deben hacerlo. Se trata ahora de que elmaestro sepa conducir al niño hasta que descubra por sí mismola situación correcta; de esta forma los niños fijan mejor la solución que cuando es el maestro quien dice lo que deben hacer.

Esta metodología lleva implícita, como puede apreciarse, unaserie de condicionamientos desde el punto de vista de la auténticaactividad de los niños, y facilita realmente la verdadera autofor-m a c i ó n .

Quizá la contribución más costosa viene de parle del materialmanipulable que ha de ser manejado tanto por el maestro comopor el discípulo. Tiene dos explicaciones fundamentales: de unaparte el costo del material; de otra, y esto es altamente positivo,la necesidad de una organización perfecta. Antes de comenzar laclase el profe,sor necesitará hacer un esquema en la pizarra, dejandoconstancia de los nombres del grupo o de los niños que intervienen, al lado de los elementos del esquema, a fin de que toda laactividad quede bien organizada; de otra forma, hay caos, pérdidade tiempo y mediocres condiciones de estudio. También existe laexigencia de que el material tenga un lugar bien determinado. El

X I IPRESENTACIÓN

maestro pedirá a los niños que lo preparen antes de usarlo, loevuelvan después a su sitio, disponiéndolo en cajas ordenadas

en e armario, etc. Se desprende de esta consideración que el usoe material exige de por sí y «a priori» la necesidad de un hábitoperativo de orden que, por otra parte, tiene alta correlación con

actividades específicas del aprendizaje matemático.: ü : í ! t -

cias' dpTc?' reflexiones acerca de las exigen-dácticas estructura matemática y de las aplicaciones di-ñanza orimnr- °"sigo. La Matemática moderna en la ense-en el ámbitn 'h valiosa aportación al campo didácticoT e i d e ^ - S ^ a d e c e r a l a E d i t o r i a luna pauta indelehif" castellano de esta obra, que ha de marcarenseñanza de las m 5.actualización y perfeccionamiento de lalas matemáticas en el sector de la Escuela Primaria.

A . B . G .

P R E F A C I O

Este libro se propone hacer una demostración de cómo puede¡guiarse a los niños en el aprendizaje de la matemática amodernav;espero convencer así, al menos a algunos educadores, de que ¡arenovación actual en la enseñanza de la matemática debe comenzarya desde la escuela maternal, pues es a esta edad cuando producemayor efecto, si se propone a los niños experiencias entretenidasV se les aficiona a las actividades matemáticas. No se trata enmodo alguno de trampear, desnaturalizando el pensamiento matemático Kinodernor), sino de adaptarlo a las capacidades de cadaedad en particular.

Este libro hace referencia a William Hull, que fue el pionerodel empleo de los bloques lógicos, a Paul Rosenbloom y PatrickSuppes, que fueron los primeros en enseñar los conjuntos a losniños, y por último, a la obra del mismo autor, relativa a la Ífi-trodiicción explícita de las potencias y de los diversos sistemasde numeración. Las sugerencias presentadas aquí representan unensayo de síntesis de todas estas investigaciones: su formulaciónpráctica ha sido elaborada en Adelaida (Australia) en el curso delos años 1962-64, y prosigue todavía actualmente. Después de estosdos años de trabajo se ha visto que se pueden definir algunas

PREFACIO

Que se Esas aproximaciones y métodos son losque se consignan en este libro.

t o d o s c o m p r e n s i ó n c o m p l e t a d ede la escupJ l ldad matemática por todos los niñoszar tal Un tn resulta necesario decir que es difícil alean-Q condición Hp matemática universal puede obtenerse

no están concebidos nJo"d materiales descritos en este librosino que se trata d ' " ^ ^ racioness hechas por el maestro,para ser puestos en mvestigación y descubrimientona cantidad sufinilü!" ^ niños. En cada clase debe haber

ños. Favoreciendo el f h ° disposición de todos los ni-cl tiempo de manera Srupos y organizando el empleose den en todas las clase lecciones de matemática noel precio del equipo. ° Puede reducir notablemente

n el costo total del mpp'plena comprensión matemátirn obtener lan voluntad por parte dpj «, ' necesario introducir igualmentearnar una nnueva truxtemátiJ ^ ^ enseñar lo que se podría

ya considerada desde un nuT nos la (iantiguaj> matemá-v«ra en mC T ^^''Suo puntoyrendizaje de procesosZlca 'T" matemática como ele en mirar estos procesos cT 'r P""'°T j f V ' 1 ° " ^ " " « - í - e s t r t a t .Z Z ü u i / ' " m o s e n^OS en rit'' '" e n unaZT ""''""""'"e, cómo están^era ¡legar 'lustren concKt " '"' '"" ^elo colocán-' " ' o áe en ZZT''" stas estructuras.

^ maestro ha de cambiar

completamente de actitud. La arespuestan correcta pasa a segundoplano; la aptitud esencial consiste en saber encontrar el camino atroves de situaciones cada vez más complejas; hay que poner elacento en la actividad dinámica del investigador (buscar) más queen el aspecto estático de la tirespuestaj». La visión de la estructurade los procesos es más importante que el simbolismo formal quelos expresa.

La actividad investigadora de los niños, aislados o por pequeños grupos, predomina en adelante sobre la lección magistral dadapor el maestro frente a su clase; la discusión colectiva conduceu conclusiones debidamente registradas, a condición de que el maestro sepa respetar el dinamismo constructivo del pensamiento deln i ñ o .

Numerosos trabajos están actualmente en curso tanto desde elpunto de vista de la psicología teórica como desde el punto devista de la pedagogía práctica sobre los medios de realizar estacomprensión matemática universal. Éste es el fin que intentan alcanzar varios centros de enseñanza situados en distintos puntosdel globo y enlazados entre sí bastante débilmente por el organismo llamado aGrupo Internacional de Estudio para la Enseñanzae las Matemáticas-ü. El cuerpo docente y la administración entreos que están vinculados a este organismo que se ocupan de adoptar nuevos métodos o nuevos programas son invitados a tomarcontacto con el centro más próximo. Constantemente se van crean-o nuevos centros; aconsejamos, en caso de que interese su conoci

miento, la consulta de la lista puesta al día por el Secretariadoc Palo Alto. Estos centros aseguran la ejecución de la investigación, la formación del personal y la difusión de las más recientesmformaciones. Toda persona aislada puede adherirse al grupo deestudios mediante una cotización anual, recibiendo entonces el bo-

P R E F A C I O

feím trimestral, asi como toda información que pida al respecto,oy que esperar que este Grupo de Estudio continúe desarrollán-

y se convierta en un instrumento cada vez más eficaz al servi-e to os los que se interesan por la difusión de la comprensión

matemática.

Florence, 8 de enero de 1964.I . I N T R O D U C C I Ó N

El proceso para la adquisición de las nociones abstractas enmatemáticas se puede descomponer sumariamente en tres fases:

1. En una fase preliminar de tanteo, las reacciones en distintas situaciones se ensayan más o menos al azar, como en laactividad exploradora del niño. Esta fase puede llegar a ser unafase de maduración, si se eligen situaciones en las que la actividadlúdica se canalice en la forma de «juegos» con reglas definidas;lo cual puede dar como resultado una conciencia más clara de ladirección en que se preparan los nuevos descubrimientos.

2.* Después viene generalmente una fase intermedia más estructurada : se captan las reglas que ligan entre sí los procesos, se«juega» con estas reglas, y el pensamiento aparece más conscientey más dirigido. Se puede así acceder al instante del descubrimiento,instante en el que el esquema director aparece bruscamente en laorganización de conjunto.

3.' Al descubrimiento, una vez logrado, le sigue da necesidadirresistible de explotar el nuevo descubrimiento. Este aprovechamiento puede hacerse en una forma sabia examinando el contenido.¿hasta qué punto se ha comprendido por completo?, que es el procedimiento de marcha analitica; o bien, de forma más corriente.

0

i n t r o d u c c i ó n

n a r - e s d e s c u b r i m i e n t o p e r m i t a d o m inar. es el procedimiento práctico.

en el práctico el procedimiento analítico comocándelo en su lug dentrrHdescubrimiento clasifi-forma que se trama de nuestros conceptos, deel momento oportuL °<?°"r ~ ^ concepto adecuado ensuma o una resta?» Pregunta: «¿Hay que hacer unaclasificación no ha s'id ^ evidente que esta puesta en lugar osacrificado las nrim/»ra° izada, muy probablemente por haberseLa descn ióraZ^ hablábamos,los símbolos en el lo rn n el papel desempeñado porsímbolos no es simnlf Este problema de lostroducir los símbolos despSsd f aconsejan que es mejor in-en ciertos casos la introd,, • - el descubrimiento, puesentorpecer el proceso «óbolos pareceba comprobado que el emnler ?" contrario, see os descubrimientos. No nh símbolos acelera la aparición

1 ^ nuestras clases ahn^ afirmar con seguri-de experienciasexcesivamente de los súnbo-fuerzo °" símbolos es concatenadas, seguida de laaS eficaz que los es-®xperien * ^ ' °"e °- aprend " «significación» me-

" « a " ' í ' ' c o n u n a s e r i e d ecient "" amentos de la ? explicaciones,cientemente a i,„ uocion de ni ' .«,vista lógico mat número de trah ' ^que alguno¡ filosófico v tís* ^csde los puntos del^ussel. Piaget los nombres citar másl-hewer. Los refuis I""*"»' «.ureh,' <íc estos trabajos se intro-

I N T R O D U C C I Ó N 7

ducen progresivamente en los sistemas escolares del mundo entero.A lo largo de esta obra tendremos en cuenta los descubrimientosmás recientes, para sugerir posibles mejoras en las técnicas de enseñanza de las matemáticas, sobre todo en lo que concierne a losprimeros años de la escuela primaria. Puesto que todo conocimientose basa, en última instancia, en la experiencia, no es extraño queprefiramos recurrir a nuestra experiencia personal directa, y queencontremos en ella métodos de enseñanza más eficaces, especialmente en el caso de los niños.

A la luz de los problemas planteados en el curso de nuestrasinvestigaciones de laboratorio, sugerimos la introducción de unaserie de ejercicios ingeniosos susceptibles de guiar a los niños enel desarrollo lógico-matemático de los conceptos relacionados conla idea de número.

En lugar de dejar este desarrollo al azar, debemos ser capacesde construir un acercamiento racional en la adquisición del número,teniendo en cuenta el estado actual de nuestros conocimientos tantoen lo concerniente a la estructura del número como en el desarrollodel pensamiento en los niños. Esto no quiere decir que demos elproblema por definitivamente solucionado, ni mucho menos. Lassugerencias que se dan en este libro no representan sino un primerintento por reunir en un todo coherente y rápidamente utilizablenuestros conocimientos sobre lo que los niños pueden aprender enmatemáticas, y cómo pueden aprenderlo. Es muy cierto que seránposibles otras formas de aproximación y sin duda mejores. Pero elestado actual de Ja enseñanza de las matemáticas es hasta tal puntodefectuoso, que es urgente dar desde el principio a los profesoresun conjunto de sugerencias tan coherentes como sea posible.

El número es una abstracción. Los números no tienen existencia real. Los números son propiedades, pero se trata de propieda-

8INTRODUCCIÓN

nrnníl !r objetos, no a los objetos mismos. Lacarse a nh- vocablo odoss no podrá nunca apli-raleza «¡ín^ sucesos o entidades de cualquier natu-entidadcí p ^ conjuntos de tales objetos, sucesos otos V el <Íp mundo intermedio entre el de los obje-una éooca r<» saber el mundo de los conjuntos. Hastavidas en nue t " ntundo no formaba parte de situaciones vi-las Universidad cuelas, quedaba reservado a los estudiantes deden introducir los c • siguen explicarán cómo se pue-

mmate,,e paraTonl"lógico, mientras 001^ «conjuntos llevan a consideraciones de ordena consideraciones P*"opledades de los conjuntos nos conducent ^ r á l a ~un todo orgánico la ado» —experiencias que integrarán enlos conjuntos y de los númws conceptos de la lógica, de

n . L O S C O N J U N TO S Y L A S O P E R A a O N E SC O N L O S C O N J U N T O S

Los conjuntos están constituidos por elementos. El conjunto deniños de la clase de primer año tiene por elementos los niños de estaclase. Los conjuntos pueden estar formados por no importa quétipo de elementos: objetos, sucesos, ideas e incluso por otros conjuntos. La idea de pertenecer ay> o de aser un elemento den es unconcepto muy importante cuando se habla de conjuntos. Antes depoder decir que un conjunto está definido, importa precisar conclaridad no sólo de qué elementos está formado, sino también cuáles son todos los objetos (incluso aunque no existan más que enel pensamiento) que podrían ser elementos del conjunto en cuestión. Si consideramos, por ejemplo, el conjunto formado por niñosque tienen los ojos azules, suponemos implícitamente que ningúnadulto podrá pretender formar parte de este conjunto. Esto llevaconsigo el que debamos reconocer con certeza en qué momento unuiño deja de serlo para convertirse en adulto. Será necesario deluiismo modo precisar si pensamos en los niños de ojos azules quese encuentran en la clase, en la escuela, en el país o en el mundoe n t e r o .

Será necesario indicar el universo de los objetos susceptiblesde entrar en la constitución del conjunto, antes de poder decir

CONJUNTOS Y OPERACIONES CON CONJUNTOS

junto. ^ «niños de ojos azules» define un con-merando todm presenta si definimos nuestro conjunto enu-

u n o s í n o s p o n e m o s a h a b l a rconjunto dado Defi™ ° entidades que no pertenecen a unejemplo, Juan y conjunto formado por dos niños, porconjunto al one nn ¿cuáles son entonces los elementos delbemos incluir en ^ Alicia? ¿Qué elementos devest? Si no incluimos á «n él al monte Eve-verso está definido comJ*^T ^ niños? Si el uni-conjunto en cuestión e t á fainos de la clase, entonces elc l ase a excepc ión de n i ños de l aconjunto que tiene nnr Alicia. Este es el complemento delCuanto pre^: ^ AUcia.en una clase de niños H-, ™c ivo de discusiones apasionantes

scusiones ponemos los f?í!j ° participen en talesEl segundo punto a pensamiento lógico,entre el símbolo y lo que ^ 1^ distinción

Juan y Alicia dlzado. Tomemos un conjunto,P rentesis (mejor entre dos coLr?T° imágenes en unRentos de un coZtq ' P indicar que se trata desino los mismTnlo''" "I"® tata? No son las

sen niT'°' P''®<íe ofrecer"! "¡f ®°°a'fuyen los elementosa hac« a la ^í J"an de la ima-

bitiSan a est ®uanto acabaiM^ " Alicia. Nunca insisti-"u ae ttSl ® Si loa niños se ha-«tres.. Ea éfectr" lo qag se em ' 'H '"'®' "í"® ®í®"°®aon abstracciones L "'res» no''° ^• Cos signos son las im^ ®u "a realidad:

"uágenes destinadas a evocar

C O N J U N T O S Y O P E R A C I O N E S C O N C O N J U N T O S 1 1

las abstracciones en cuestión. El signo 2 no es realmente ados» dela misma forma que la palabra «verde» no es realmente verde.

Otro punto muy importante a discutir es la significación de laspalabras «lo mismo» e «igual». Está claro que se da a estas palabras sentidos muy distintos, según el género de cosas de que sehable. Tomemos dos ejemplares del mismo libro. Se les puede situar sobre una mesa y decir: «Dame ése; no el que está al ladode la lámpara, sino el que está más cerca de ti»; lo que implicaque estos dos libros no son idénticos. Otra vez se dirá que se tratadel «mismo libro», para expresar que su contenido es idéntico. Enel primer caso se trata de la identidad individual de los libros: losdos libros son diferentes, puesto que son objetos diferentes. En elsegundo caso el término «el mismo» no se aplica a los libros, sinoa su contenido impreso, dicho de otra forma a una cierta propiedadde estos libros. Cuando se dice viendo dos piezas de color verdeque son «la misma cosa», significa que tienen el mismo color, aunque su forma sea diferente. Del mismo modo dos piezas cuadradaspueden ser consideradas como «la misma cosa», incluso aunquetengan colores diferentes, porque en este caso es la forma la quees idéntica. En cada uno de estos casos se aisla una cierta propiedadtal como el contenido, el color o la forma, y la expresión «lomismo» se refiere a esta propiedad, no a los objetos en sí mismos.Un objeto no es idéntico más que a si mismo, pero la propiedadde un objeto puede ser idéntica a la propiedad de otro objeto.

La definición de conjuntos por sus atributos llevará rápidamente a los niños a concebir conjuntos desprovistos de elementos.Por ejemplo el conjunto de todos los objetos verdes situados sobrela mesa del profesor no tendrá elementos, si no se encuentra ningún objeto verde sobre la mesa. Se dirá de tales conjuntos que sonVacíos. Los niños se habituarán rápidamente a hablar de conjuntos

CONJUNTOS Y OPERACIONES CON CONJUNTOS

JCÍOS, lo que es una condición esencial para llegar a la noción deigualdad de coninnNA*'"'fi'° pertenencia a un conjunto, deabordar las operacioneí conjuntos vacíos, se puedenportantes. (conjuntos. Vamos a ver las más im-

fonnada por todos reunión de dos conjuntos estáconjunto, bien sea al pertenezcan bien sea a un

de la clase con eí nM ^ ^que tienen los oios azni^ castaño» con a los niñosn i ñ o s m , - a z u l e s » e s e l c o n i u n t n f r v r ^ « , i i « c

«cnicos de la clase con el n.i .1 ^ reunión de losque tienen los ojos azule castaño» con a los niñosuiños que tengan al men'* conjunto formado por todos lospelo de color castaño u propiedades enunciadas:reunión a todos los Se encontrará, pues, en estapelo de color castaño u propiedades enunciadas;reunión a todos los niños ®"<=ontrará, pues, en esta""oos que tienen el pelo de e i ® Ples, así como a todos losf r stqjuesto, a los que tienee"' «antaño, comprendiendo también,^Mo. Es necesario 1°^ ojos azules y el pelopona" y estudiar eiemT' «jemplos para ejercitar estaproceso nrultiplicar e!tr o °°JUntos distintos (oiiac^,.- reunir quede estos ejemplos, antes de aue el«<iisjunt;7r°'° ® otros ejempi;T°"'""*°®proceso h nrultiplicar e!tr o °°JUntos distintos (ocados por los ' Presentes en la ói«v e r s o p o r í ^ o r e i e m n i ° o b j e t o s f a b r i -i m á g e n e s d ° c ^ T u n i -®®os serán dT" Smesos y de niños d" ouales se dibujen«J"® tt i: y otros de pero entonces al-^e niños grueso J" ®e podrá "evará más

conjuntof® -tfias. Seráformar todas las

C O N J U N T O S Y O P E R A C I O N E S C O N C O N J U N T O S 1 3

agrupaciones posibles: hay seis si se asocian los conjuntos porp a r e s .

La reunión de {niños gruesos) y de (niños) (1) contendrá atodos los niños gruesos, tanto a los niños como a las niños, y naturalmente a todos los niños, es decir, a los niños gruesos y a losniños delgados. Así la reunión comprenderá: a todas las niñasgruesas, a todos los niños gruesos y a todos los niños delgados;todas las niños delgadas estarán excluidas. Ellas forman entoncesel conjunto complementario del precedente, puesto que representanlos elementos de nuestro universo que no pertenecen a la reunión.

Si se forma la reunión de (niños) y de (niños), se obtendrála totalidad de los niños; más aún, en esta operación no se constata ya la superposición o recubrimiento parcial como en el caso<le la reunión (niños gruesos) y (niños). Se llega así a la operación siguiente, es decir, la que consiste precisamente en encontrar la zona de recubrimiento.

b) Intersección de conjuntos. La intersección de dos conjuntos está constituida por todos los elementos que pertenecen a lavez a los dos conjuntos. En el caso de los niños de ojos azules yniños de pelo castaño la intersección está formada por niños deojos azules que tienen a la vez el pelo castaño. En el caso de conjuntos distintos (o disjuntos) la intersección será vacía.

Por ejemplo, no hay superposición entre las niños y los niños.Un niño o es niño o niño, nunca las dos cosas a la vez. De suerteque la intersección de conjuntos (niños) y (niños) es vacía. En elcaso de (niños gruesos) y (niños) está claro que da intersección

(O Para mantener una exposición más precisa en estos párrafos la i»-labra «niños» se referirá a ambos sexos, mientras que «niños» indicará sistemáticamente al sexo masculino y «niñas» al sexo femenino. (N. del R.)

^ operaciones con conjuntosla clase que se existen niños gruesos envacía igualmente. aiverso, esta intersección se encontrará

C O N J U N T O S Y o p e r a c i o n e s C O N C O N J U N T O S

c) Co *un conjunto dado está'fn ' 'íi ^ conjunto complementario

verso de que se habla one ° los elementos del uni-Plo. si el universo está fn Pertenecen a este conjunto. Por ejem-conjunto dado es el de Ioq n° Por los niños de la clase y si elcomplementario está formarf azules, entonces el conjuntoao henen los ojos azules. ° la clase que

1 complemento del conjunto"?conjunto {niñízs};universo Sruesos) es {niños delgados},de un conjunto vacío no vacío y el comple-

eiem ? ^P^rtanTe a ^"iverso.del cn°' de niños de^ • subconjunto. Por"iños de ot. subconjuntoos <le los niños'"""''' ' un su^on-oZ^Z V' Hay que di,:;;' -aiverso a todoses non ' ®lo®entos. El sulJ"^ maldadosamente los «sub-^ios aa elemem^"'''mamados ¿r.T' "«i erso coLÍ los niños desario distmeir aahnente y o está formado por niños

a otras confín ««'e est^d®» y «seretcétera. " "Ones relativas a la J conduciría másEsta nocida de . i, " 'os factores,"■"«■«os exige ua <«stincidn H .cantidad de eier. " ''® °oo'<Sn d®®J®«.c.os prdeticos. Los ni-

ños deberán entrenarse en cambiar de universo, de manera quesepan siempre exactamente sobre qué trata el juego. El juego sehace sobre los elementos del universo. Si se modiñca el universose cambia de juego, nos ponemos a hablar de otra cosa. Por ejemplo, supongamos que hay en una habitación tres perros, dos gatosy cuatro niños. Si se toma por universo el conjunto de los serespresentes en la habitación, entonces los niños forman un subconjunto del universo. Pero si se cambia de idea decidiendo hablarde grupos de criaturas de la misma especie, entonces los elementosdel universo serán: a) los grupos de niños; b) los grupos de perros ; c) los grupos de gatos. Anteriormente, al hablar de criatura,se podían formar conjuntos de criaturas; por ejemplo el conjuntode los niños, o el conjunto de niños y perros, o el conjunto deperros salvajes y de gatos moteados, o el conjunto formado porMaría, Juan, el perro más feroz y el gato negro. Cuando se defineque el conjunto está formado por seres de la misma especie, sólo©1 conjunto de niños pertenecen a este universo. He aquí otroselementos posibles que pertenecen a este universo:

A. (María, Juan y Susana} B. (María, Susana}C. (Los perros feroces} D. (Todos los perros}E. (Todos los gatos} F. (El gato negro}G. (Juan, etc.}

Los elementos F y G son conjuntos que comprenden un soloelemento. Importa no confundir el caso en que Juan es un elementodel universo con el caso del conjunto que comprende a Juan solamente, que pertenece a otro universo. Esto puede dar la impresiónde que se trata de hilar demasiado fino, pero si se abandonan estasdistinciones se desemboca en confusiones y contradicciones. Por

CONJUNTOS Y OPERACIONES CON CONJUNTOS

iKPíiwlc*universo formado por todos los conjuntoslos coniiim hablar y extraigamos de este universoque coinnrí»°!i solo elemento, o los conjuntoshre a cada ser" ®®uientos. Para más claridad demos un nom-

María, Susana, Miguel,roz) dulce), Tarzán (es feroz). Tigre (es muy fe-Gatos : Negro. Moteado.

de seres de la mism ° universo de los conjuntosnuación se halla ^ mucho más numeroso. A conti-eu cada conjunto. ° según el número de seres que figuran

1 criatura por conjunto (conjunto E d.( J u a n ) / M a n í 1 r ' c o n j u n t o s ) :{Tatón} {Ti'ire} "íN^ {Miguel} {Pluto}Uigre} {Negro} {Moteado}

ÍS. m L}'""'°-' por conjunto (couju„to E dWoan. Maria, Susanal n conjuntos):{Jnan. Susana. Miguel} fíf*'- ®- "'suel}' *0. Tatzán, Tigre} Miguel}

CONJUNTOS Y OPERACIONES CON CONJUNTOS 17

4 criaturas por conjunto (conjunto de conjuntos):(Juan, María, Susana, Miguel)

Naturalmente no hay ninguna razón para restringir el universoal conjunto de los conjuntos de criaturas de la misma especie. Sise admiten otros conjuntos de criaturas, se obtendrá un universotodavía más numeroso.

El universo estudiado acaba de ser descompuesto en cuatropartes. La primera parte contiene los elementos que pertenecen aconjuntos de una criatura cada uno, el segundo contiene elementosque pertenecen a conjuntos de dos criaturas, etc. El o número 1» esuna propiedad común a todos los elementos que pertenecen a laprimera parte, el «número 2r> es una propiedad común a todos loselementos que pertenecen a la segunda parte, y así sucesivamente.

El conjunto de los conjuntos del primer grupo, designado E ,tiene elementos que son por sí mismos conjuntos, y cada uno eestos conjuntos tiene la propiedad de no comprender por si mismosmás que un elemento, es decir, un solo ser. El conjunto de los conjuntos del segundo grupo, designado Ha, tiene también elemeifiosque son conjuntos, cada uno de estos conjuntos comprende doselementos, es decir, dos seres. El conjunto de los conjuntos etercer grupo, designado E„ tiene también elementos que son conjuntos, y cada uno de estos conjuntos posee la propiedad de tenertres elementos.

«Tener tres elementos» es una propiedad de los conjuntos quepermite aislar un cierto conjunto de conjuntos a partir del universofie los conjuntos, a saber, el conjunto de los conjuntos en los quecada conjunto-elemento posee precisamente tres elementos. Es unportante apercibirse de que «tener tres elementos», o «tres» paraabreviar, es una propiedad que concierne a los conjuntos y no a los

coNíimros v operacones con conjuntoselementos de losmuchacho», aser propiedades tales como «ser unelementos del universo de el pelo negro» se aplican a losconjunto de criaturas seres, no al universo de cualesquiera

cons igu i en te «se r un muchacho ; po rjunto de criaturas, sino aplicarse a ningún con-«tener tres elementos» no criatura. Inversamente elsmo solamente a un coniuntoti aplicarse a una criatura aislada,as adquisiciones del niño m a aisladas. No se facilitan«1 alumno cosas como esta:

• • • ° 1° que es peor todavíaa p r i m e r m - k I T I T ^-Sad d S"- coVuZ tr "d" °

idéntica » ^°ajunto. No se m, a ^®2uado miembro es una

® U n e o n i n n t ^ j ' » m i s m a ° ° i d é n t i c a«"■junto de tres objeté "í"" "ttes. no es idéntico"n cotl'' f ''o eonjuntoí. Extr

tiendo del coniimt ^^ferettcin un subconjuntoconjunto de niños"/® ojos aztíe"/"' °°juutos. Si par-JOS azules de la ci/ azules, queda ^ elerencia entre el co" * ujnnto de n*~ °°junto de niños dec muchachos de oí de niños de azules es la

>a no:«T^etaT: ^sustracción. Peración entre conjun-

C O N J U N T O S Y O P E R A C I O N E S C O N C O N J U N T O S 1 9

Es posible que el subconjunto sea idéntico al conjunto, porejemplo, es posible que no exista en la clase niña alguna de ojosazules. En este caso la diferencia es un conjunto vacío. Hay enesto una dificultad que no es preciso introducir desde el principio.Los subconjuntos que no son idénticos a los conjuntos de que forman parte se llaman subconjuntos en sentido estricto. Por ejemplo, el conjunto de los muchachos de una clase es un subconjuntoen sentido estricto del conjunto formado por todos los niños de laclase, si existen niñas en la clase, pero no en el caso de que la claseno comprenda más que a muchachos.

Las operaciones que acabamos de estudiar sobre conjuntos sonlos preliminares necesarios para el estudio de las operaciones sobre los números. Como ya hemos dicho los números son propiedades de los conjuntos. Cuando se habla de números, se habla depropiedades. El universo en que se aplican estas propiedades estáformado por conjuntos; los elementos de estos conjuntos son generalmente objetos o sucesos. A partir del universo de todos los conjuntos posibles, se pueden extraer aquellos que tienen la propiedad

comprender precisamente dos elementos. En efecto, ados» es lapropiedad común a todos los conjuntos posibles que comprendenúos elementos. De la misma forma que «creando» conjuntos a par-br de sus elementos creamos esta vez un nuevo universo, el de losnúmeros. No es necesario añadir que este proceso es ilimitado. El^rte del matemático consiste en la creación continua de nuevosUniversos y en la investigación de las propiedades en tomo a losCementos de estos universos. Los niños pueden desde la escuelapaternal entrar en el juego de estas creaciones, así como en el juego® examen de cada nueva especie de criaturas.

I I I . ATRIBUTOS Y OPERACIONES LÓGICAS

a) Descripción del material lógicoYa hemos hablado de las propiedades de los elementos de un

< onjunto. Dado un universo, una propiedad define un conjunto, acondición de ser lo suficientemente precisa, para que cualesquierapueda examinar los elementos del universo y decidir si este elemento posee o no el atributo en cuestión. Si se considera por ejemplo Un Universo de objetos coloreados en rojo, azul o amarillo, elatributo «azul» será suficientemente preciso, puesto que en estecaso no importa quién pueda decir si un objeto es azul o no. Pero,por el contrario, si los objetos del universo tienen tonalidades quepasan gradualmente del azul al violeta y después al rojo, el atri-l'uto «azul» no se presta ya a una distinción totalmente precisa. Sideseamos que los niños trabajen sobre los atributos, es esencialcolocarles en situaciones en que puedan efectuar discriminacionesVálidas.

Para trabajar sobre los atributos sugiero el empleo de un juegode piezas concebido en la forma siguiente (1):

Editorial Teide prepara una serie de ejercicios progresivos desti-Os a las escuelas maternales y las primeras clases de enseñanza pnm ia.J-os alumnos de las últimas clases que no han tenido ocasión de d cubrir" ^otos de la noción de conjunto en el primer grado tendrán gran

en hacer ejercicios de este tipo. (N. del E.)— mat. mod.

2 2atr ibutos y operaciones lógicas

^ Unas piezas serán rojas, otras azules y otras amarillas iUnas piezas serán de forma redonda, otras cuadradas, otrastriangulares (1) y otras rectangulares (1);

40 P zas serán gruesas y otras delgadas;ñas piezas serán grandes y otras pequeñas.

butos estén todas las combinaciones posibles de estos atriPoruna soiaT'* de las piezas, y cada unadiferentes (2\ Pcf * torma un universo de cuarenta y ocho piezassituado sobre °njunto, ordenado en una caja de cartón, sera«obre las mesas de los alumnos. !

^ bsoluto de inculrarl¿"°gf° ' •" usuIod y el «rectángulo», no se trataloa el nombri. conceptos. En una primera fase s® PEn una clase maternal en Parse Due?^ estos nomh" Puntiagudo y al rectángulo ®1 gltomanH Uamar al triángulo el Apelando al sombrero de Cadettonundo como referenTu rectángulo se le llamará barracoi? el coni2 chocolate. (Nota de la ed. francesa-)^-ubmar los atribulor¿S°° piezas diferentes, ya que resulte ti®IraS' " ■!= f'mraeC •

redo H ®ctangular *^uatro formas: redonda, cua«cnda roja gruesa g ide '' °"das pueden ser:» , , ° pequeña redonda azul gruesa grande» j , c e l g a d a g r a n d e » » d p e q u e ñ a' p e q u e ñ a ° » d e l g a d a g r a n d e

' ^ ^ ^ i c u d a a m a r i l l a " p e q u e ñ a» f i ^ a n d e» B aJ . pequeña

obtenemos do. • ' » " 'gada grandePiezas cuadradas -redondas h p ° Pequeña(NiSS'dT ' ®® uwr' K bucemos lo mismo con® traductor.) ° Por doce — °^cuemos también doce ñif®'- cuarenta y ocho piezas distintas-

atributos y operaciones lógicas

b) Juegos pre l iminares

Los niños comenzarán por jugar con estas piezas como con unjuego de construcción y tratarán de realizar conjuntos figurativos,después querrán emprender la clasificación de las piezas, conven aencaminarles en este sentido. Una pila de piezas rojas, otra e azules, otra de amarillas: he aquí la clasificación por colores. Se pueden hacer también cuatro montones según la forma, o dos segúnel espesor, o dos montones según la magnitud. Esto es el preliminar indispensable para clasificaciones de tipo más comp ejo,tales como las que hacen intervenir a la vez la forma y el co or,y así sucesivamente. Al cabo de cierto tiempo será corriente oírdecir a los niños: «Falta en mi caja el "triángulo azul gran e ygrueso"; ¿quién me lo ha cogido la última vez?». Los niños prenderán así a designar las piezas por sus cuatro atributos.encomendará que jueguen al «objeto escondido». Uno de los ninoniientras sus compañeros cierran los ojos, saca una de las piezasy la esconde; los demás niños deben identificar a continuaciónpieza que falta. Se puede imaginar también una variante del juegodel «retrato»: un niño piensa en una pieza, los otros deben a ivinesta pieza haciendo el menor número posible de preguntas.

Después de esto se pide a los niños que elijan dosexpliquen en cuántos aspectos se diferencian. Por ejemp o,«círculo grande delgado y rojo» difiere de un «rectángulo grpdelgado azuli) en dos aspectos, y así sucesivamente. Cuando se ayadquirido este concepto, se puede introducir un juego pa ogo«dominó»: se trata de formar una cadena de piezas, decada Una de ellas difiera de la precedente en un solo atri uen dos atributos, y así sucesivamente. Se da a este juego un ca

atributos y operaciones lógicascuadrado rojo _ cuadrado azul _ triángulo azultriángulo amanUo - círculo amarlUo — círculo rojo — círculo azul

rectángulo azul

triángul) rojo — rectángulo rojo

rectángulo amarillo —• cuadrado amarillo

A T R I B U T O S y o p e r a c i o n e s L O G I C A S

rácter de competición más apremiante, si se encadenan las piezasen una dirección perpendicular diferenciándose en dos atributos.Por ejemplo, si nos limitamos a las piezas gruesas y grandes (es<lecir, no haciendo variar más que la forma y el color) se llega aconfiguraciones como las representadas en la página 24.

Cada vez que hay una variación de un solo atributo se desplaza de izquierda a derecha, y cada vez que hay una variaciónde dos atributos se desplazan de arriba abajo (1).

En fin, se introducirá un «juego de negación» haciendo elegirn Un niño una pieza que tenga el «atributo contrario» de un atributo dado. Por ejemplo, si un niño toma las piezas amarillas, otrodeberá tomar las piezas que no son amarillas («no-amarillas»); sitin niño toma círculos rojos, otro deberá tomar piezas que no seancirciños rojos («no-círculos rojos»). Esto nos conducirá a un estudio más sistemático de la conexión que existe entre «y» y ano».

c) CONJtJNCIONESPara llegar a esta noción lo mejor es valerse de los diagramasc Venn de complejidad creciente. Se colocan o dibujan en el suelo

os círculos: uno que lleve, por ejemplo, la etiqueta «rojo» y otro^ etiqueta «cuadrado». Se sitúan las piezas rojas y solamente lasojas en el interior del círculo «rojo»; las piezas cuadradas y so-agente las cuadradas en el interior del círculo «cuadrado». Nin-fitin objeto rojo puede estar situado en la parte exterior del círculo®rojo», y ningún objeto cuadrado en el exterior del círculo «cua-fndo». Los cuadrados rojos estarán situados en la región de su

perposición de los dos círculos (es decir, en la intersección delCf. «Lógica y juegos lógicos» (en esta misma colección).

•(i7 -Sg) nopnnXsip usvCnipsuoD snb sojnqtjSOI »P sopiagsp sojnnruoo soi op uoiunsiopiüsjqo ojanfnoD ¡g 'zoa bi b sbsoo sop SBi o soiBpiguBjosj «§¿1 UB3S snb sBZOid sbi oBiranoj os opBjp oidraofo p uq iBAisnrotionis 'DAisnpxd S9 ou uppaniísip bi onb uoiq jBspojd onb íCbij *

•JBinSuBpM ojnqruB po ofoJ ojnquiB p uoiq o uBosod onb SBzoid sbi sBpoj jiunsj qg-sp BAIJimUI Buaoj Op sopa JSop 'SOlIBaiUIop ua SopBjpon-p sojoXbui üBJjüonono onb oooJBd sonm sog '«soAinwCsipj, som-uíB uoaopqo os «jBinguBjooi o ofoj» ooioo somqijjB opuBioosy

SHNOIDNnASlQ (p'sojnquw S3ái sp uua/^ op duidaSdiq -£ -gfj

inze ou apuejQ ouVinzB ou

OPUBJ0 ou

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U3 angop aidnjppno oinqu,® «a (i)so Bzoid npno ,p .9aq„.o„„ „ oflTOo ,p

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- '<£ -Sg) (SOÜB 6-R a T\SI 'P °S® °P""®' (I) o«mud i,p ® ''Psonad np„,s,,p o W ,0 .6,n,am8 iq.sod 53 "oiLL '" ,qO SBZOid SBI SBpO} X J0II3:X0 pSBPOJ oseo oyCno no -«otoi oa, nwnbpa q ^,OU . -r-- " --uujaxa p SSDBnire „ ' ' ™0IsBpoj oseo oyCno no -«otoi on, nwnbija n,.ninfo jod : sojnqiun sonnSin np doobSot « ™ 'oi«jannq X sopiqum soijo non cSsn'f'ouismr• opand os

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•«opBjpBno oinojiD» oiduiofo lod oiuoo *soidbasojunfuoo nougop sojnqpiB op sonoioBuiqmoD sBnnSiv 'oiuomopops on oun BpBO opoojduioo onb ojnnfaoo un osioAiun ojjsonn

svoiopi SaNOIDVH3dO A SOJJiaiULV

«5) 20A BI B SOTnOJTOsop SOI op joijnjxn p no npanonnnuund snpnjpnno m snfoa m n on onb snzoid snq («opBjpnno ojnnfnoo, pp í «ofoi oimfnoo»

SVDIOpi S3NOIDVBadO A SOXJiaiHXV

atributos y operaciones lógicas

rojas ni ®™Palniente del juego las piezas que no sean nisi se toma enei^ servando el diagrama se ve en seguida queconjunto una pieza que no es roja, será forzosa-

-rolo, yi d r a d a * c ; .

conduce a una imp'''

«ñ:r±; 7"-» «o.""■cuadrado, entonces rojoc) Implicaciones

gennen de l7 de ver la a-reúnen en im '* °° ®ientos» Pr f y ciones llevan en sí el« se toma dete*" '«a piezLlt"®'"' ™"S™emos 1"®<lebe ser una nie, una pieTj, redondas o azules;

toma r "° "eonjuntos disyunt¡v7°" - Una vez ''''® °°aaáiogo^ loa nmos han formado^ un grupo de niños que

A T R I B U T O S V O P E R A C I O N E S L Ó G I C A S 2 9

extraigan cada uno una pieza de tal conjunto, asegurándose deque esta pieza no posea uno de los atributos que deñnen la disyunción ; ellos se dan cuenta de que la pieza elegida posee entoncese otro atributo. En el caso de montón «redondo o azul» si se dice

os niños que cojan una pieza cualquiera que no sea redonda,^ a uno de ellos se apercibirá de que tiene en las manos unaP cza azul. Algunos podrán comprender entonces que decir: «re-

u o o azul» es tanto como decir: «si no es redonda, entoncessera azul».

a lo complicar el juego introduciendo negaciones. Se pidenmos que amontonen todas las piezas que no son azules o no«azuí °°^' forma de este modo la reunión del conjunto» con el conjunto «no-redondo». Después se dice a los niños

se piezas redondas en el montón así formado:cuenta de que son todas azules. Aparece así que el mon-ent o azul» es también el montón «si es redondo,form ^^ azul». El mismo montón puede ser descrito de dosUS distintas o llevar dos nombres diferentes (fig. 5).

a z u l

y r e d o n d o

a z u l

yn o - r e d o n d o

n o - r e d o n d oy no-azui

5. Reunión de conjuntos nazuh y *no-redondoT>.

/

"....auius y OPERACIONES LÓGICAS

las pie reston'f° del juego las no-azules. Todasque si se tom azules o no-redondas. Acabamos de veíazul; aún conjunto una pieza redonda, es forzosamenteredonda. De no-azul es forzosamente no-a dos implicaciones ^ disyuntivo estudiado conduce

Si es redondo, entonces es azul.

Impo ta ' entonces es no-redondo.una pieza azul noLT^ inverso no es verdadero: si se tomauo-redonda, no e«i ° °samente redonda; si se toma una pieza

L a n e g a c i ó n n o - a z u l .con los juegos de dis»0 sean azules o redo J *=°" 'gna «dame todas las piezas

"e la vez no-azules y j reunir las piezas que so®bres distintos pata Z una vez más, dos nom1 todas las oie ° tnontón. Del mismo modo el montoú

^ 1® ®®dondas y ai®'Piezas que "Jbién diciendo a los niños: «reunide l « t t o d u c i r l a ° u o - a z u l e s » .'®s PieS't """'dn «no-aSl'"" formando desde"a la Vez a de las tedn '®''°®doi. (es decir, la unión dpartir de este °®"'®dondoii y " ®o'onces la negación ser"Otacián Sbnw®®"'® que s¡ L ®"®®S'vuniente. Se percibirá ®los resultados ni?®' la cual "" Sente imaginar un modo d®

E® la ° Po^'We observar y discutir^^a8a : \»aterna,vene,_

A T R I B U T O S Y O P E R A C I O N E S L O G I C A S

la escuel ° Posible observar y discutir^de 5 a 8 a" "® temal v®1 Wtaciplo®®5 ®a° de escuela prnnari®'°''te trozos de I ?ear las palabras y, o, «o,c a r t o n , a s í ^ . « í i r e s

de los atributos. Para los niños que no saben todavía leer, algunosatributos podrán estar simbolizados por dibujos representando lasformas o por pequeñas manchas de pintura. Las nociones de grande, pequeño, grueso y delgado pueden en rigor representarse porsímbolos figurativos sin pretensión.

La dificultad comienza con los montones más complejos, paralos cuales el agrupamiento de los símbolos plantea problemas designificación. Así, en los símbolos siguientes:

No ( redondo y azu l )no quiere decir lo mismo que:

(No redondo) y (azul)io que hace necesario el uso de paréntesis o de dispositivos análo-§os. Esta dificultad ligada a la función de los símbolos puede sersalvada eligiendo distintos métodos convenidos para expresar lasconjunciones, las disyunciones y las negaciones. Estos métodos seescriben a continuación y pueden ser utilizados conoiiños de se

gundo curso de escuela primaria (8-9 años) (1).

O Simbolismo lógicoEl simbolismo comienza naturalmente por los atributos primi

fivos: color, forma, tamaño, grosor. Se designan los montones oconjuntos mediante nombres tales como el conjunto rojo, el conjunto cuadrado, el conjunto delgado, etc. Estas especificaciones particulares o valores de los atributos constituyen nombres valederospara los conjuntos. Después viene la negación. La letra mayúscu-a N puede situarse delante del nombre de un conjunto y esto cons-

^Presas ^ Pt^iucipio escuela priman» fu^uc simarse delante del nombre ae un cuujuu.^ jnofflbiS Tercer curso de escolaridad oblieatoria. cu España. (N. de. T.)

<

3 2 atributos y operaciones lógicas

ejemplo si am el del conjunto complementario. Porzas que no son ama representa todas las pie-relaciona únicamente i convendrá en que este símbolo N sepuesto que Nam es 1 ®°nibre que le sigue inmediatamente,que lo es NNam- un conjunto, de la misma formaverso que no perten conjunto de todas las piezas del uni-tiene el mismo sianifT J* conjunto «no-amarillob, pues NNamgico se corresponden con i negaciones en el plano ló-juntos; la negación de i °" Plementos en el plano de los conque el atributo primitivo negación de un atributo no es otra cosaconjunto no es otra eos/ °" PÍcniento del complemento de un

Podemos introducir complemento primitivo,xaciones. El símbolo 05 1??°*"® bolos para las con-tales como: mayúscula K con abreviaturas

az, r, ca, te, ro, gr, de, ge, pepara los once tipo dcoTd °°®° cnios en auri existen en nuestro universo deos nombres de conjuntos relaciona tínicamente

A s í : s i g u e n i n m e d i a t a m e n t e .

ATRIBUTOS Y OPERACIONES LÓGICAS

II I® "1 y cuadrado.En este último • no-azul y cuadrado»«íado; no'hay *=°n tedrad relacionay «no-azui y cua.S.S '"'' " P ible entrTTn T'

el pr¡,n„ 'no azul y cuadrado»debe escribirse N Kaz ca, d

segundo K Naz ca; en el primer caso K az ca es el nombre delconjunto que sigue inmediatamente a N, puesto que Kaz no esnombre de conjunto; en el segundo caso el nombre az es el nom-

del conjunto que sigue inmediatamente a N, y por consiguienteno se relaciona con ca. No hay pues necesidad de recargar la

escritura con paréntesis.Se puede naturalmente formar la conjunción de una conjunción

yn ormada y de otros atributos: esto lleva consigo el empleo de^ n segundo símbolo K. Por ejemplo: K de K Naz ca significa aaVez delgado y a la vez no azul y cuadrado», lo cual es lo mismoqne escribir:

Naz ca, es decir: «a la vez delgado, no-azul y cuadrado».

co Í"®So instructivo consiste en hacer imaginar nombres den. algunos niños y hacer formar estos conjuntos a otros

niñ ^ os pueden construir conjuntos, después otrosnombre. Hay que hacer notar que el mismo conjunto® tener varios nombres, como acabamos de ver.

conc ^ evidencia este hecho, se puede utilizar un juegod ff*- siguiente forma: se constituyen los cuatro conjun-K N por símbolos tales como, por ejemplo, K am <r>

estos N tr, K Nam N fr; se pueden poner de manifiestocerca dibujando un diagrama de Venn por medio de unaCada y poniendo el nombre correspondiente sobreletrascampos que se forman; después uno mezcla lasqne componen los símbolos. Pueden presentarse tres casos:

1 ° Túccir nueva composición no es un nombre de conjunto, esmen/ escritura no está de acuerdo con las reglas previa-

establecidas.

atributos y operaciones lógicas2 o T

conjunto combinación representa otro nombre del mismojunto. combinación representa el nombre de otro con-

y que °w?'que se parte del símbolo K Nam fnombres de conii ♦ Qne el símbolo K debe referirse a doscribe Kam tr N ta" ^ " dos inmediatamente tras él. Si se espuesto que la letra ®sponde a ningún nombre de conjunto,junto. Si se escribe K seguida de ningún nombre de conconjunto; pero si c.» ^ ctro nombre para el mismore de otro coniunto ^ ^ obtiene entonces ©1

el mismo diagrama dejunto; es el conjunto también un nombre de con-y triangulares, es decir la ' a la vez amarillasdas con el de las pieza. conjunto de piezas no-amafi-ami l i a r i zados s i es tán su f i c i en temc t i *®

«te conjunto es los niños reconocerá^lada/ (fig, - complemento del conjunto «ama-^oaalado con las líneas ondu-libre en 1 •Jefinido' * Wbuto N; el espacio cubierj"de los dol '™''° definido T' '""''"«0 Nam; el espaci®

pues definido por el atributo^ N am NA (i)

tt) El atributo A <t j^ se define en k •página 3#;

ATRIBUTOS Y OPERACIONES LÓGICAS 35

que es también claramente el complemento del tercer conjunto, esdecir, de aquel que se encuentra en el centro del diagrama, y otronombre para la reunión de los dos primeros conjuntos es pues:

N K a m A

Ésta es una de las reglas de De Morgan uniendo conjunciones,disyunciones y negaciones. Las otras tres se obtienen definiendo

Fig. 6

cs circuios originales por medio de la negación de atributos, esünn ' ejemplo: N am para uno y A para el otro, o am paray N A para el otro, o bien N am para uno y N A para el otro.

36 atributos y OPKRACIüNKS i.ügtcas

elación entre la lógica y los conjuntos (1)de maneiar^ se hacen mucho más fáciles de entender ylenauaie Hp'i establece la correspondencia siguiente entre el^ conjuntos y el lenguaje de la lógica:complementos de conjuntosintersecciones de conjuntosreuniones de conjuntos

< = >

negaciones de atributosconjunciones de atributosdisyunciones de atributos

« n o » , l a s l o s c o m p l e m e n t o s c o r r e s p o n d e«"sea.ones a ay.. la, reuniones a «en».h) E>®amoli.os ulterioreslas disyunciones ■ estr» introducir un símbolo pa'"f ha dicho, se conve T generalmente A. Como más arribalos dos nombres de símbolo A se relaciona conejemplo, A Nam re siguen inmediatamente.ao amarillas o rectanaulá ® cunir todas las piezas que soU«ti también repre eX""- teconocerá que esta consigntt, estén t™ it! P" N Kan, N re.t""= los jucl j P'' P°" cálculo propo.sicionaique corr" """'"logias» en el """ tión descansan sobre lo V"experim " cada tinl h ' ^ P"""" "" í"'®"t P c n n t e n t n , y v e z e n u n n i v e l

ít) Se ene ^ ^^nipuJación de las p'®de Cálculo proposicional en

matemática de O. C D. L.)

A I R i m i O S Y O I ' l R A t l O M S I C H i l C A S

zas representan un juego a nivel experimental, la combinación delos cartones que llevan los símbolos representa un juego a nivelSimbólico. Se pueden así introducir otros elementos del cálculoproposicional, por ejemplo traduciendo «si... luego» por un sím-® o de implicación: e.sle símbolo será normalmente C. Por ejemplo.

/ » A r az significa: «Si en este conjunto se toma un triángulo, serárzosamente azul»; se recordará que tal conjunto se puede formar

Siguiendo la notación A N ir az, es decir: «RcLinir todas las piezasQue son no triángulos o azules».

la misma forma se podrá introducir un símbolo para laQuivalencia, por ejemplo E. Entonces, E az tr significa: «Si setri ^ pieza azul, es forzosamente triangular y si se toma un^ ' UjjUlo es forzosamente azul». Es la conjunción de dos implica-Des C az fr y c tr az V por consicuiente la notación E az ir

a K C az ir az.

' -"AT.

IV. EL NÚMERO Y EL ORIGEN DE SU NOTAQÓN

El nivel de abstracción del númeroP l '

berse propiedad de los conjuntos. Después de ha-conjuntos, los niños no encuentran di-

dentro alguna cosa relativa a los conjuntos y en clasificarfieciri ™ísma clase todos los conjuntos de los que se puede^ niisnia cosa. Hay que percatarse de que cuando se pasaanive °°Í*íatos a los números se cambia de universo: se pasa delP opi ° objetos al de los conjuntos. «AmarillOD es unababland^ conjunto de objetos de los que hemos venidogados ojcmplo, al conjunto de los triángulos grandes del-PiedadT^ círculos pequeños y gruesos, a Dos» es una pro-grueso conjuntos tales como el de los círculos azulesana rectángulos amarillos pequeños. «Cuatro» es^ojos los conjuntos tales como el de los cuadradosomo ab triángulos azules. Se podrá emplear la letra N®njüat ®latura para designar «el número de los elementos del

más ' riesgo en confundirla con la N de la negación,aiisino * enseñar a los niños lo antes posible que elforana puede representar cosas distintas, de la mismatie símbolos distintos pueden significar la misma cosa. Im-

4 1 ) *número y origen de su notaciónporta dejr bien sentado que los símbolos no son en modo algunomnf H simbolizadas, sino simples convencionalismos destinados a evocar lo que se trata de simbolizar.

El símbolo N {círculos pequeños gruesos}""mero de los elementos que forman el conjunto

misma nror.* Pequeños gruesos. Encontramos que es lamisma propiedad que está representada porN (rectángulos pequeños delgados)

de igualdad no ° el signo = entre estos símbolos. Este sigu"conlapropieL'n conjuntos en cuestión. siflOen efecto, es utilÍ7aT de comün: su número. El símbolo 3,número de coniunt ° designar una propiedad común a un gi"a®memos. Esta tran i iÁ conjuntos formados por tres ele-abstracto de los ni'im " mundo de los conjuntos al mundo luastrabajo, destinados cilitada mediante instrumentos dede los que se encontra ° como a los profesores,del universo de los obJ dicación en las referencias. Sepiedades que permiten conjuntos, y las pro-sino números; hay en e t objetos no definen conjuntos? l e s e n c a n t a d a a b s t r a c c i ó n ,fruten las experiences °"dición de que se Iesabstracción. convenientes para fundamentar esta nueva

t i número de loe■"«•iMte la cifta «to ™7 ™ vacío se design»^ ««nbe simbólicamente

N Ú M E R O V O R I G E N D L S U N O T A C I Ó N 4 1

Por ejemplo, se tienen N (triángulos cuadrados) = O,porque

(triángulos cuadrados) = { )

i') La adición de númerossiguiente en el proceso de aprendizaje parece definida

uúme "tente, como la construcción de las operaciones sobre losde hab "uSen de las operaciones sobre conjuntos. DespuésIgualdad distinción entre números y conjuntos, laposible * números, los conjuntos vacíos y el número cero, esdo noción de adición sobre la noción de reuniónposeen ? ° presenta una dificultad: los conjuntos queresultad comunes, una vez reunidos, no dan el mismotienen el ' "" t'lco que los conjuntos del mismo número que nomentos comunes. Por ejemplo:

N (cuadrados grandes delgados) = 3N (cuadrados azules delgados) = 2

Sdosqu conjuntos está formada por cuadrados del-"tente- Iq Standes o azules, lo que da cuatro elementos sola-^ números «no se suman». Pero si se toman

grandes delgados) reunidos conse obtiene- (cuadrados grandes gruesos)^ "adrados grandes delgados)

- o — I

+ N (cuadrados grandes gruesos)-I- 3 = N (cuadrados grandes) = 6

4 2 numero y origen de su notación

de ad" los números «se adicionan». Por lo tanto la operaciónno íímp números reposa sobre la operación de conjuntos queSerán «r comunes, es decir, cuya intersección es vacía-noción nauchos ejercicios prácticos para comprender estade Suone °l ns formas de presentación, especialmente laconjuntos ó complicación eliminando la reunión demétodo p\ elementos comunes. Nosotros vemos en estemienzo un que los niños aprenden desde el code generalizació deben realizar en seguida un procesocuando esta últ pcder dominar la situación lógica completa.°luos tíenen md- Presenta. La experiencia hace pensar que losque en formarlo concepto ya formado.do de un concepto más general.<=) La sustracción de númerosjuntos lleva naturalm formar la diferencia de dos con-diferencia de dos núm ® 1 operación que permite encontrar 1conjunto se retira unod ' decir, la sustracción. Cuando de undiferencia entre el con' " conjuntos. se obtiene el conjunto-junto-diferencia y del conjunto. La reunión del confio del que se había ^ el conjunto primi'^ relación inversa entre anteriormente expuesto se ve..El conjunto de na' sustracción.os (situados en agun» 1°*"■ subconjunto de todos los

ou ' |U°°Íunto de nidos ejemplo, en la clase). Si seel conjunto.diferenca conjunto de todos los niSos.»n gruérorp' =°uiunt0 de niños de lujunto de niflos gruesos ®°*'° el conjunto liferencia couos se vuelve a encontrar el conjunto de

N Ú M E R O Y O R I G E N D E S U N O T A C I Ó N 4 3

tos los niños; no se ha hecho más que volver a reunir lo quecióu ^ simple hecho es la base de la sustrac-ración h uiientras que la diferencia entre conjuntos es una ope-ción h h la diferencia entre números es una opera-conjunr u sobre los números, los cuales son propiedades de los(el núm° acordemos que no hay que confundir una propiedadcambia d posee esta propiedad (el conjunto), pues se

precis a otro. En el lenguaje ordinario notiene el rie Pcrder de vista aquello de que se habla, lo queelacioni»r ^ ocurrir cuando se utilizan símbolos en los que las'Ones mutuas no son tan claras.

ULTIPLICACIÓN DE NÚMEROSntética de ^ nejón de conjuntos conducirá a la operación arit-embia de .'^ nción. Cuando se efectúa una multiplicación, seintroduce una '° sobre la marcha, y esto es precisamente lo que?ncto Uno de 1 a propósito de este concepto. En un pro-jttntos de con*° nctores se refiere a los conjuntos, el otro a con-^*®2ns de ^Pnremos por ejemplo nuestro universo de' 'dera en cuatro conjuntos:

dgr, Kge«6 g»*. K d pe, K g pen lugar d

ndera, podemo " '' ' ^ universo formado de 48 piezas de,°njUntos Haa ^ <2onsiderar el universo formado nor todos lost|cra, podemo taerar el universo formado de 48 piezas de

°njuutQ considerar el universo formado por todos los^ piezas; puedan extraer del primitivo universoUe perten° escrito anteriormente un conjunto de 4 ele-® conjuntQ ^ nuevo universo; cada elemento de

prende por sí mismo .12 elementos tomados del

4 4 número y origen dk su notación

Iicamentc ™''' ° objetos. Se puede escribir, pues, simbó-N {K d g, K g gr, K d p, K gr p} = 4

pe™ N{Kdgr) = u N (K =r g} = 12" p5 = 12 N {K d p} = 12

estos conrnr , """"IPlleación consiste en tomar el primero deun nivel „ cuatro elementos, después de «descender

universos de co aT ° ios conjiinlos de cosas a lospiedad del mn;, encontrar el número que es la"<1= nivel inferior»°tiene«""i'°'mnltiplicación de - n' mentos; esto es lo que expre.sa WPPnt'encm tan sencilla como esta:

4 X 12 = 48

nniverso, antes''de T] '1""'"' nrucha práctica en los cambios denivel. Incluso cuando procesos de descendimientouniverso, será necesarin Permanecen en el interior del mismohaciéndoles presente □„ rebordarles cuál es este universo,

Es asombroso vtr lo que están di-mente este aspecto tan ; mismos adultos olvidan fácil'í'ara adquirir '"Aportante.bre la marcha», es''r«esLf" «cambio de nivel .so-

Dod"' ' ^ innto a los blomi" decirlo, utilizar otros muchosr i ' " d e m a t r• el Posibles, grandes" ' oslará formado por todosP'™" universo de mantnl'

ura destacar la diferencia de na-

NÚMhRO "k' ORIGEN DE SU NOTACIÓN 4 5

conjunto.s. se Ies puede situar en platillos de car-m ° cualquier otra especie de recipiente. Por ejemplo, se for-cuatro conjuntos de tres manzanas cada uno;Elel ? es la propiedad de cada conjunto de manzanas esgj 3QU1 se trata de manzanas).

propiedad del conjunto de lo.s conjuntos deEl nl"er7 PdnÍ"nto.sles el p (r, propiedad del conjunto de todas las manzanasQUi So trata de nuevo de manzanas).

^ E NÚMI.ROS Y CONJUNTOS FORMADOS POR FSTOS P.ARFSlos conju t ^ relativo a los elementos del univer.so

c r e a d o l o s n ú m e r o s d e c s i a

U'Verso, y Imcer los elementos constitutivos de un nuevo^ eleiTientos i empezar enunciando las propiedades relativaspensar en los n' riucvo universo. Por ejemplo, se puede^ una unidar p P ^ en la propiedad de ser superiorescnto del nuevo i" encontramos que solamente un cle-. °'í//ínío de bnto posee esta propiedad: el número 7. Así

utdicatjQ j Q comn poseen la propiedad o el atributosimbol izar ^ e lemento, e l número 7; estode la manera siguiente:

5e pjj lomados e ^ otro universo considerando pares deoierto orden. Los elementos de este universos por pares tales como (1,4), (9,5), (0,3), (4,1),

{6 + l = ()} = {7}

4 6 numero y origen de su notación

^ deben ser consideradosun mismo'considerarlos como no formando más quepensando querría decir simplemente que entonces estamose que lo ni uiverso. Nunca se destacará lo suficiente el hechoenteramente dt T «diferente» o «lo mismo» dependeSiTquiet considerado.con relación al " os adquieran una experiencia concretalos pares ordennT T universos abstractos, tales como el deejemplo unas roiaQ ' darles una colección de fichas, porde ahora en adela J verdes, y decirles que el universo estarázar estas pilas se Por «pilas de fichas». Para simboh-mero de fichas verdp" ^ ^ ^ escribir desde el principio el ná-fichas rojas. Por eiem' i coma, y después el número demientras que f4n simboliza una ficha verde y 4 rojas,

- l e s v e r d e s y u n a fi c h a r o j a . E o -e aplicarse a este nup únaginen los atributos susceptibles«Í«mplo: «el número «stos atributos será, porfichas rojas da 6» • loc i reunido con el número de• ™ - r ,

roj más que verdes ejemplo: «hay dos fichasnjunto así definido: He aquí algunos elementos del( -2). (1.3). (2.4), (3 5^O c / I a o *

•ndo) y el segundo pot'EUaL™"''""" ® (abreviatura para d(abreviatura para ,dos rojas de más.):

N ú m e r o v o r i g e n d i : s u n o t a c i ó n 4 7

Venn^ pueden construir estas pilas y utilizar un diagrama desus confT relaciones mutuas entre estos conjuntos ymentó ejemplo, no habrá más que un solo ele:(2.4)- éste intersección de S y D, éste será el parPfiquen ® °ujunto definido y exige que los dos atributos setos de los 'co" mismo par. Si se designan los atributivamente la letras minúsculas s y d respecté® resolver un "^ define la intersección será K s d. Se trata

atributo s ecuaciones simultáneas, puesto queIf primera ecuación matemáticamente por una ecuación ;®signando por x p1 x + y 6 y la segunda: x -h 2 = y,^^ariUas, Un diagrama^ ^de la form. - de dos círculos distribuirá el uni-

Los niños ^Suiente (fig. 7);^ situarlas construir un gran número de pilas(5 9) campos convenientes del diagra-

í S ^ ^ ( ^ . 2 )* + U - 6

(aS ' "'b'(3.3) (4,2) (51-(6,0)

Ks N d

^ + 2=y(0,2) (1,3)(3.5) (4,G)(0.7) (6,8) (7.9)

(8,10) (9,11)(10,12)...

K N s d(147,149)...(999,1001)...

K Ns NdPig. 7

número y origen de su notaciónma , pueden hacer apuestas para situar correctamente las pilas quese les dan.

estadio más avanzado se aiunentará el número de atri-ormando un diagrama de Venn de tres círculos. Se puede,

nuevo como universo los números (y no lossunnn,» nmeros), y considerar los tres atributos siguientes (senos): «conceptos en cuestión son ya familiares a los alum-P: «es un número primo»,s: «es la suma de dos cuadrados»,^ «es Igual a un múltiplo de cuatro aumentado en una unidad»,

guienter^"™ niuestra 8 conjuntos simbolizados en la forma sí-

NÚMERO Y ORIGEN DE SU NOTACIÓN

Hay que hacer notar sobre estos ocho conjuntos que el quintoy el séptimo son vacíos. Esto no es una coincidencia, sino la consecuencia de un teorema matemático muy conocido sobre los números primos. Hay que hacer constar que la intersección de losconjuntos S Q es el mismo conjunto que la intersección de losconjuntos P Q; en el universo considerado los símbolos K p s y^ P q dan lugar al mismo conjunto: son símbolos equivalentes.Se puede enunciar este hecho escribiendo E K p s K p q abreviatura simbólica que quiere decir:«todo número primo que sea la suma de dos cuadrados es siemjeigual a un múltiplo de cuatro aumentado en una unidad, o to onúmero primo igual a un múltiplo de cuatro aumentado en unannidad es igual a la suma de dos cuadrados». Este tipo de ejercícios únicamente va dirigido a los niños mejor dotados. Si lo hemosúndo aquí es para mostrar hasta qué punto la lógica aprendí a pcs niños será más tarde aplicada por ellos. .

Guiando a los niños hasta la consecución de una concieexplícita de las componentes lógicas de enunciados

uios a sus adquisiciones matemáticas un valor de trans'íne convendrá a otras situaciones de la vida adulta tan ocampo cientíñco como en el de la vida corriente.

^ Introducción de potenciasAcabamos de esbozar los métodos gracias a los concep-

Ptieden adquirir sólidos fundamentos para sones sobre los números. Pero estos conceptos por ® quesuficientes, si no se acompañan de medios e vividas. Lapermitan expresar estos conceptos en las constantemente«formación relativa a los números debe circular consta

número y origen de su notación

de una persona a otra, y el código que permite esta transmisiónconsiste en un sistema de símbolos apropiados. En nuestra civüi-zación occidental este sistema se llama «numeración de posición» •el valor de cada símbolo depende no solamente de su forma, sinomás bien de su posición con relación a los otros; este valor ligadoa la posición se designará mediante la expresión «valor posicional».

yflor posicional mismo resulta de la noción de potencia; estanocion de potencia corresponde a la partición de los conjuntos ennjuntos que comprenden cada uno el mismo número de elemen-s, conjuntos que a su vez están divididos en conjuntos de igual

numero, y así sucesivamente.«dividir en 8 grupos de 8 ob-

coniiimnf primera cifra 8 hace relación al universo de losCuanHrt ' ®®8"nda cifra 8 se refiere al universo de los objetos,juntos «r nivel» pasando del conjunto de 8 con-

«í^^túa sobre los conjuntosmultiDlicacióiTH hemos visto, se funda I»d e 8 « o r 1 , l a s e g u n d a p o t e n c i auLv;rr,cr^"''''=''°juntos UeeamoQ conjuntos y del universo de los con-ssr t ■" -i-". s. .«d. »p~"«

i Mj!=<

= 6 4 ^

n ú m e r o y o r i g e n d e s u n o t a c i ó n 5 1

Consideremos ahora tres universos: los conjuntos, los conjuntosde conjuntos y los conjuntos de los conjuntos de conjuntos; se dirá<lue estos univd sos son respectivamente del primero, segundo y ter-r nivel. Tomemos 64 objetos; se pueden imaginar .16 conjuntos® 4 objetos cada uno en el primer nivel, es decir, en el nivel deOs conjuntos; la cifra 4 es un símbolo que hace referencia al universo de los conjuntos que se pueden extraer de los 64 objetos. Sepuede entonces cambiar de nivel y pensar en el umverso de losyoujuntos de conjuntos concebibles; se elegirá 4 entre los 16 conjuntos construidos y este número 4 hará referencia en adelante a

conjunto cuyos elementos son por sí mismos conjuntos (se trata® conjuntos de 4 objetos). Se puede cambiar de nivel una vez másy pensar en el tercer universo, aquel cuyos elementos son conjuntos® conjuntos: hay 4 conjuntos de esta especie; esta vez el nú-

®®ro 4 se refiere a un conjunto cuyos elementos son conjuntos deconjuntos. Volviendo a descender del tercero al primer nivel (el deluiverso de los conjuntos), se encuentra el número 64. que expresa^ propiedad del conjunto inferior, cuyos elementos son objetos.

64 es una propiedad del conjunto de los conjuntos y no de los°Jetos mismos. Se dirá que 64 es la tercera potencia de 4. puesto

han sido precisos 3 universos de niveles distintos para pasar® 4 a 64. Si se consideran conjuntos formados por 2 elementos en

^gar de 4. serán necesarios 6 universos antes de alcanzar os o jey se dirá que 64 es la sexta potencia de 2. i ni-^ Es posible e incluso absolutamente necesario facilitar a os

experiencias concretas para construir las situaciones Respondan a las potencias de los números. Se puede, r j°Qtar la historia de una escuela en la que el día e .

debe buscarse dos amigos; al día siguiente, quedía de clase propiamente dicho, todos los ninos

NÚMERO Y ORIGEN DE SU NOTACIÓN

cuela en grupos de a tres. Puede ocurrir que uno o dos alumnoslo hayan comprendido mal; entonces se extenderán sobre la mesavarias fichas y se dirá a los niños que estas fichas representan aos alumnos, pidiéndoles que formen los grupos que vienen a clase

primer día. El segundo día de clase cada uno de los gruposprimer día deberá venir acompañado de otros dos grupos análogos: estos son los grupos del segundo día. El tercer día, cada unode los grupos del segundo día deberá venir acompañado de otrosos grupos del segundo día; se forman así los grupos del tercer

aia, y asi sucesivamente. No hay necesidad de calcular la magnitudof ^ numeración decimal; bastará con escribir 3®.» 3 , 3 , diciendo;

úmero de personas por grupo el día de apertura es: 3° ó 1*ntímero de personas por grupo el primer día es: 3 ó 3-

es: 3= ó 9 y así

NÚMERO Y ORIGEN DE SU NOTACIÓN

detaUadas para su empleo; gracias a ellos se mejorará considerablemente la profundidad de la abstracción y la generalidad de losconceptos matemáticos correspondientes con relación a los métodospedagógicos tradicionales.

S) Proceso a seguir en el estudio de las potencias

Éste es el juego de los «agrupamientos» que servirá enlugar para la introducción de potencias. Lo mejor que puede ha-ccrse es agrupar a los niños en la clase. Supongamos por ejempoque hay treinta y un niños; se decide que éste sea el «día de aper-tura de la escuela», los niños se ponen a jugar y cada uno se busca¡ÍU compañero; el primer día de clase propiamente °US niños (puede ocurrir que excepto imo) deberán venir a uuela por pares, entonces se decide que ahora es ¿gtoy se forman los pares; se obtiene una distribución ana oga("grupos del primer día»):

de juegos con escuelas de dos, escuelasceden de Los grupos de niños que prunes. otros «diferentes pueden reunirse para hacer excursio-porte de miff «"ulifurse o adoptar distintos medios de trans-distintos sistemls Ü introduzcan adiciones y sustracciones ennoción de valor nof* lu cual contribuirá a formarde conjuntos oue e^nar tiempo en la construcciónun material preparTd^^^ distintas potencias, se puede u-tiliz^las diversas bases d ®P®uialmente imaginado para el manejo óartículos citados materiales se describen edo referencia, acompañados de instrucciones

U O 0 0 O O 0 0 0 0 o o

U O 0 0 o o o o 0 0 0 00 0 o

En el segundo día de clase cada par debe deben per-P^ra formar conjunto. Los pares que ya están ^e-uianecer agrupados. Se obtiene la distribución siguígundo día («grupos del segundo día»)-

0 0 0 0 0 0 o o 0 0 o oO o o o 0 0 0 0 0 0 o o

0 0 o

NUMERO Y ORIGEN DE SU NOTACION

En el tercer día cada grupo del segundo día debe asociarse aun grupo análogo y se obtendrá así los «grupos del tercer día» •

0 0 o0000 0000 0000 000000 0000 OOOO oo

y los del cuarto día:

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0

Se imaginan juegos similares con otras «bases»: en lugar deasociarse a un compañero, cada niño tomará dos y constituirá e

grupos de tres; el segundo día se formarán gruV cf i grupos se asociarán de tres en tres el tercer díay se tendrá la figura siguiente:ooo 000 000000 000 ooo ooo o000 000 000

Seso r,!" "i"®®"panúento se habiáT* ejemplo, en el juego de cuatro el agr"guiente: formado desde el segundo día de la forma

0000 0000000000 oooooo0 0 0 0

NÚMERO V ORIGEN DE SU NOTACIÓN

Un grupo del segundo día; tres grupos del primer día, el grupodel día de apertura (aislado).

En el juego de cinco, el agrupamiento será:o o o o o

0 0 0 0 0o o o o o

o o o o o o o o o o oo o o o o

y asi sucesivamente. Se puede también llegar hasta el juego de diezo que daría lugar a:

o o o o o o o o o

0 0 0 0 0 0 0 0 0

o o o o o o o o o

Estos juegos facilitan las primeras experiencias que intro ucen^ a noción matemática de potencia de una base dada. Hay iarEntonces a introducir un simbolismo, lo que puede hacerse etintas formas. Por ejemplo, uu tipo de simbolismo bastante «suave»Pndría ser el siguiente:

^ G r u p o sG r u p o s G r u p o s G r u p o s d e l d i a d edel 4 o día del 3." dia del 2.» dm del J. día apertura

j " e g o d e 2 1 1 1 1 ^d e 3 1 O 1 ^j u e g o d e 4 1 ^ 1

' n e g ó d e 5 1 1

l^go de 10tnego de u

NÚMERO Y ORIGEN DE SU NOTACIÓN

Un tipo de simbolismo más a enrevesado» consiste en utilizarlas cifras simultáneamente en varias formas distintas, puesto qu®para conocer el número de personas presentes en un grupo se tienenecesidad de saber dos cosas:

1." Cuál es el juego que se está practicando: de 2, de 5, de 4,etcétera.

2.® Qué día se ha formado el grupo: grupo del primer día»del segundo día, del tercer día, etc.

Se convendrá en describir la magnitud de un grupo escribiendolos dos datos anteriores: primero el número que caracteriza la naturaleza del juego, después en la parte superior derecha el númerodel día en que ha sido formado el grupo. Por ejemplo:

2 , significa; el número de personas en un grupo del 4.para un juego de 2.

4 , significa: el número de personas en un grupo del 2. dinpara un juego de 4.

Estos dos números valen 16; pero esto es un caso matemático; s®reconoce fácilmente que 2' (8) es diferente de 3= (9).

03 mismo número se escribe de dos formas distintas.niiT^ u Opinión del maestro el elegir el símbo oconvi/ introducir en primer lugar y decidir el momento enhacer : no tenemos seguridad a este respecto paraacer una indicación científicamente válida.númeroa« i?" .fl decide poner en práctica un juego, se elige nnes la base del ^ agrupamientos; este núm®'la base del juego. El juego de a 2 utiU¿ la base 2. el juego de

NÚMERO Y ORIGEN DE SU NOTACIÓN 57^ 3 la base 3, etc. La numeración ordinaria se funda en el agrupa-miento de diez, es decir, sobre la base diez; la forma de escribir®ste número (o la «figura» de este mí mero) es el símbolo 10, expresane en el juego de a 10 diez personas u objetos forman un grupo^ primer día (decena) y cero grupos del día de apertura (unida-®s), los grupos del segundo día o decenas de decenas forman lasantenas y así sucesivamente.

Ejercicios de contar en todas las bases

^ Eara consolidar los fundamentos matemáticos de la numera-es importante estimular los ejercicios, contar en todas las ba-posibles. Se pueden tomar objetos tales como fichas o alubias,

ca? dispone en una larga serie de montoncitos, de forma que^ Uno contenga un objeto más que el precedente, en ca antoncito se realizará el agrupamiento de acuerdo con las ras

obt según la base adoptada. Por ejemplo, en la base®ndrán las disposiciones de la página 58.p 1 ® necesario alinear los montoncitos en configuracionesiní''' sido simbolizados en el cuadroüso es mejor por diversas razones no hacerlo así. n

®ve objetos tiene siempre nueve objetos, bien ®st ®s os¿spuestos en cuadro o en montón dentro de un f ¿u;

ut i l i zar cub i le tes o ca jas de ar i tmé-ti ® distinta cuantía, o tomar el material e « yapando1 " ultibases» especialmente concebido para ®s natura-

representaciones concretas se alcanza más fac particula-del concepto estudiado; si no es a y sedes de la situación concreta toman cuerpo ¿ jante.

cada vez más difícil desprenderse de eUas en adelan

1 0 0

0 0 0 o

1 O 1

0 0 0 o

1 o 2

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

1 2 o

0 0 0 o o o

0 0 0 0 0 0 o

0 0 0 0 0 0

2 o 1

0 0 0 0 0

1 2 1

0 0 0 0 0 0 o

0 0 0 0 0 0 o

0 0 0 0 0 0 o

2 0 2

0 0 0 o o o o

000 000 o o0 0 0 0 0 0 o

2 1 1

0 0 0 o o o 0 0

000 000 00 o0 0 0 0 0 0 0 0

2 2 1

0 0 0 0 0 0 o o

0 0 0 0 0 0 o o

0 0 0 0 0 0 o

2 1 2

o o o o o o 0 0 o

0 0 0 0 0 0 0 0 o

o o o o o o D O

2 2 2

OOOOOOOOO oo o o o o o o o o

OOOOOOOOO o1 0 0 2

0 0 0 o 0 0 0 o0 0 0 o 0 0 0 o o0 0 0 o 0 0 0 o

1 1 0 ^

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 o0 0 0 0 0 o 0 0 0 0 0 o0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 2 1 1 2 2

0 0 0 0 0 o o o o 0 0 0 ol O O 0 0 0 o 0 0 0 0 0 0 o> 0 0 0 0 0 o 0 0 0 0 0 0 o

2 0 2 2 1 0

o o 0 0 0 0 0 0 0 0

o o 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 o o

1 2 2 2 0

> 0 o o o o o o o o o o

> 0 o o o o o o o o o o

) o o o o o o o o o o

2 2 1 0 0 0

o o o o o o o o o o o

o o o o o o o o o o

o o o o o o o o o o o

0 2 I 0 1 0 e t c .

5 9N Ú M E R O y O R I G E N D E S U N O TA C I O N

Parece ser que los niños encuentran más dificultades con labase 2 que con las otras bases. Las bases 3 y 4 son aparentementelas más fáciles. De todas formas, es importante que aprendan acontar en cualquier base, a fin de alcanzar en toda su generalidadel concepto de agrupamiento por potencias sucesivas de la base,y que ésta no aparezca nunca como una receta arbitraria paracomunicar las cantidades de una persona a otra.

Las «figuras numéricas» escritas bajo los montoncitos en eejemplo precedente son naturalmente las figuras escritas en ab e 3. Los niños deben aprender a escribir la figura correspondiente a un montoncito cualquiera e inversamente a encontrar emontón correspondiente a una figura dada. Se pueden organizarjnegos entre los niños; uno de ellos dirá: «Yo pienso en el montoncito dos cero dos, ¿dónde está?» y el adversario debe formarel montoncito conveniente. Después se cambian los papeles, yganador será aquel que dé más respuestas correctas sobre cioPreguntas. Esto se puede hacer tanto con montones de c as ccon los bloques «multibuses». Los grupos de una especie P"®ser alineados en correspondencia con los grupos de otra; as pa base 4 se pueden utilizar placas triangulares, puestotriángulos equiláteros forman un triángulo semejante más gcs -triángulos más pequeños representan las unidades ®apertura», los de la siguiente dimensión representan osprimer día, los de la magnitud siguiente los grupos wjjgu.la, y así sucesivamente. Se puede hacer una co ecci

ios, y hacerles corresponder un montón de fichas quetas fichas como unidades en triángulos hay.

Después de haber hecho ejercicios de enzar a aso-o al menos en un cierto número de ellas, se puciar la noción de cantidad con la de orden, n

Fig, 10

6 0 N U M E R O Y O R I G E N D E S U N O T A C I O N

lecciones como la que acabamos de ver, se pueden hacer preguntasa los niños. La pregunta más sencilla consiste en mostrar dos montones contiguos y preguntar: «¿cuántas unidades más contiene lacolección mayor que la pequeña?®. Los niños no siempre comprenden el sentido exacto de esta pregunta; esto es frecuente en lamanipulación de los bloques multibases, pues se corre el riesgo deolvidar que todas las piezas están construidas en última instanciapor medio de cubos unidades.

Una pregunta más difícil consiste en mostrar dos coleccionesseparadas por una colección intermedia y preguntar cuál contienemás unidades, después cuántas más contiene la mayor que la otra-Para los niños no es evidente que al pasar de una colección a lasiguiente el número aumenta en una unidad, que pasando de unacolección a la precedente el número disminuye en una unidad, q ^saltando una colección el número aumenta (o disminuye) en dosunidades. Para saber esto es necesario comprender que «uno demas y uno de más hacen dos de más»; es mucho más difícil decomprender que «uno y uno hacen dos».

Hay dos aspectos en la conexión entre la cantidad y el orden •1- «más» está ligado al hecho de que se avanza en la síguiente-y«menos» está ligado al hecho de que se retrocede-,2. cuando se pasa de una colección a otra, la cantidad aumentatantas unidades cuantos pasos se avanzan hacia delante.

El primer punto es un aspecto cualitativo, el segundo un aspectoantitativo de la conexión. En el primero se trata de una ecjui ' '

lencia lógica entre:

«la colección A contiene más unidades que la colección B»

61NÚMEilO Y ORIGEN DE SU NOTACIÓN

colección A está más lejos que la colección B avanzando en laserie» e inversamente, retrocediendo en la serie se encuentran me"OS unidades por colección. En el segundo aspecto se traía de una^S^taldad niateniútica entre:"ía cantidad que representa el exceso de unidades de la colección Asobre la colección B»."ol número de pasos que es necesario avanzar en la serie yen

B a A». Es probable que la relación lógica sea captada ant"0 la relación matemática correspondiente.

Cuando se plantean preguntas manipulando los bloques^ ses se puede preguntar, por ejemplo:® ¿Cuál es la colección que contiene una unidad más qne " ¿Cuál es la colección que contiene dos placas más que"sí sucesivamente.

Las series de cubos unidades, de barras, de placas,0"contrarse ante los niños, cuando se planteen estasiemplo en la base 4 se podrá construir la serie siguí

3; 10; 11; 12; 13; 20; 21; 22; 23; 0= p3; \fo';01; 102; 103; 110; 111; 112; 113; 130; 1- ' /T' • 220, etc.

133; 200; 201; 202; 203; 210; 211; -1-.c 1 I i m V n r e g u n t a n c l o . « ¿ Cbe puede comenzar mostrando el loj y f Es la co-la colección que contiene una barra más 0" puede nom-

Lcción que corresponde a la figura 113. de formal>rar la figura numérica, en lugar de objeto simboli-se establezca la ligazón entre el sím o o que 1"S

Es necesario no olvidar de una vez

NÚMERO Y ORIGEN DE SU NOTACIÓN

figuras numéricas se relacionan no con las colecciones reales, sinocon los nombres de las unidades contenidas en estas colecciones.

Las colecciones por sí mismas son conjuntos.Una propiedad de una colección es el número de unidades en

que se puede descomponer. La figura numérica de base 4 escritaal lado de esta colección representa bajo forma simbólica la propiedad del conjunto.

A través de estos ejercicios los niños deben familiarizarse cone echo de que un mismo número puede estar simbolizado poruna gran variedad de figuras-, los juegos que indicamos facilitanesta noción. El número treinta-y-uno es la propiedad del conjuntoformado por los niños de la clase.

oooooooooooooooooooooooooooooooPero la forma en que esta propiedad es expresada depende, entre

otras causas, de la forma en que se agrupen los elementos del con-junto Se expresará por 11111 en la base 2. por 1011 en la base 3,

of la base 5, por 31 en la base 10,por 29 en la base 11. etc.anotado que el juego de a diez comporta la escri-

nim o corriente. Todo el proceso de adquisiciónniño»! atnos de describir tiene por finalidad hacer capaces a lotemátirn 1 notación decimal corriente en el esquema ma-conjuntos'meH?" ^ ^ extenso, que es el agrupamiento en] ntos medidos por medio de las potencias de la misma base.

i) Awunas propiedades formales de las cifrasinteresante de contar en las diversas bases serág nos problemas y registrar ciertos hechos

NÚMERO V ORIGEN DE SU NOTACIÓN

relativos a las propiedades de las figuras numéricas y de las cifrasque sirven para escribirlas. He aquí algunos ejemplos destacab es

este tipo de propiedades:

Ln la base 3 las cifras de un número impar tienen por suma uúmero impar y las de un número par tiene por suma un nu-niero par.

E,n la base 3 todos los números divisibles por 3 no tienenuúes (es decir, que su última cifra es cero). ' 2 v laEn la base 4 la última cifra de un número par es ü ou tima cifra de un número impar es 1 ó 3. tienenEn la base 4 las cifras de un número divisible porpor sunia un número divisible por 3. números

. En la base 2 los números pares terminan en cero,Guipares en 1.

Los ejercicios de contar en las bases análogas,"tfiirán descubrir rápidamente estas propiedades y

Un ejercicio instructivo consiste en Para for-^0 2, lo que conduce al proceso de la mu tip i cada

el doble de un número escrito en la base Ata un lugar hacia la izquierda y se pone ^ clase seunidades. En el caso de los treinta y un nm

tiene;doble de 11111 = 11111® ^

^ puede así calcular los dobles en otras bases, pero 3aparecen ciertas dificultades. -n la base 2, se obtiene

Uuando se duplica un número ° creciente, cada ""na serie de pares de piezas de ""8"' ar. En I»®stá representada en adelante por un

NÚMERO Y ORIGEN DE SU NOTACIÓN

magnitudes se encontrarán dos veces, otras° primeras permanecerán invariables, pero será ne-ree? isíxiar los grupos de cuatro piezas y extraer tres, que seremplazaran por una pieza de la magnitud inmediatamente su-

j) Algunos aHEcnos. relativos a los números'l'arizarse con las nociones tales como «dos de más»,

«hechot! °mos deben desarrollar su experiencia de0 con men números», por ejemplo con juegos de cartascorresoonde surtos, en los cuales la elección de las cartasmostrar a lo simples, como 2 + 3. Por tanto será útUdoles resolver «hechos» bajo distintas formas, hacién-resolver pequeños problemas como el siguiente:

3 + 2 = 4 + ¿qué?qne intervienen en problemas tales como en la base

y 2 unidades de más = ¿qué?

distintas b¿ts eftnres* números pueden enseñarse en laspío en la base 3 se tiene P®^® entretiene. Por ejem-1 + 1= 2 1 + 2 = 10 9J.O--Hse lee: auno más uno - 1.1 y así sucesivamente, lo qu®u n o K ^ r o » , « d o s m á s d o ^ ^ ^dos más dos es igual a uno-uno», etc.

Será igualmente instructivo qpíIoiguntar al niño que diga cuánto u S^^dpo de objetos y pr®-Por ejemplo, un gruño di. • sucesivamente en varias bases,grupo de siete niños dirá:

NÚMERO V ORIGEN DE SU NOTACIÓN

«dos-uno niños» en la base 3 (2 grupos de 3 y uno suelto);«uno-uno-uno niños» en la base 2 (un grupo de 4, un grupo de 2y uno suelto);«Uno-tres niños» en la base 4 (un grupo de 4 y 3 sueltos);«Uno-dos niños» en la base 5 (un grupo de 5 y 2 aislados).

í uy pronto se oirá a los niños entablar conversaciones comola siguiente:«Yo he invitado uno-uno amigos para mi aniversario.» «Sí» ¿P®ro®n qué base?» — «¡Tú sabes muy bien que tres es mi número preferido!». Así es como un niño sabe expresar sin ambigüedad quebene cuatro invitados para su aniversario. ^

Hasta ahora hemos insistido sobre todo en esta sección so rejuegos a los que se entregan los niños, juegos cuyo objetivo®s hacer tomar conciencia de las relaciones que rigen a losy de las propiedades que los caracterizan. Se puede decir quetratado sobre todo de la fase inicial o fase de tanteo en e cde formación del concepto de número. Los juegos así sugerísido imaginados para acelerar el proceso de conceptualizacion,®1 momento en que pueda comenzar la segunda fase,aparece una actividad matemática conscientemente es r^ este estadio convienen muy particularmente lostemente estructurados, especialmente los bloques mu i®stos materiales constituyen útiles preciosos para ayu a®u el desarrollo de esta segunda fase de investigación _alcanzar al ñnal del proceso una visión de conjunpiedades de las operaciones elementales de los num

(1) El material multibases forma parte del Moratorw de mal(O.C.D.L.).

V- LA FASE ESTRUCTURADA: CONCEPTO DE VALORPOSICIONAL, ADICIÓN, SUSTRACCIÓN

Cambios en cantidades equivalentesAntes de introducir juegos más fuertemente estructurados res

pecto a las ideas desarrolladas en las secciones precedentes, e"IOS proceder a una revisión de las nociones ya

más importa es verificar que los niños son capaces e escolecciones mediante números y de indicar las colección

^respondientes a los nombres de números dados.Por ejemplo, en la base 4 una colección que compren a.

1 bloque, 3 placas, 2 barras y 3 unidades

6 8 CONCEPTO DE VALOR POSICIONAL

Pero dando por entendido que existen varias formas distintas deagrupar 1323 unidades, incluso con las piezas de la base 4:

6 placas, 6 barras y 3 unidadescontendrían el mismo número de unidades que anteriormente (acondición de utilizar la base 4 en los dos casos). Todas las formasposibles de reunir el mismo número de unidades constituyen loselementos de un conjunto; los elementos de estos conjuntos sonc os mismos también conjuntos, por ejemplo, los montones formados con 1323 unidades (base 4). Todos los elementos de estewnjunto tienen la propiedad en común de contener .1323 unidades

ase ). Esta propiedad define el conjunto de estos conjuntos, díS'mguiendolos entre el universo de las colecciones, de la misma forma que la propiedad rojo define un conjunto de piezas, cuando eunwerso está formado mediante las 48 piezas de la caja de mana ogico. Es ahora cuando el entrenamiento en el cambio de

umverso comienza a producir sus frutos; los niños se encontraránj formar el conjunto de todas las colecciones posiblescorrespondan a un número dado de unidades.

^ llegar a transformar un elemento de este con-

reDre«jpm ciertas piezas de madera por otrasdad deequivalentes. Esta posibilidad o imposibiU"por medin°H colección dada mediante un número limitadoque esta mi ^ la que permitirá en definitiva sabercada vez elemento del conjunto considerado,otra se sahrá^ Pueda transformar de este modo una colección enjunto Para colecciones pertenecen al mismo con-

obtener las menn transformar la colección hastaPor ejemplo, partiendo de

C O N C E P T O D E V A L O R P O S I C I O N A L

{6 placas, 6 barras, 3 unidades)se forma {7 placas, 2 barras, 3 unidades)y en fin {1 bloque, 3 placas, 2 barras, 3 unidades)lo que representa el mínimum de piezas: se cambian cada vez cuatro piezas de una especie por una pieza de la magnitud superior,y la operación ya no es posible una vez más; es pues cierto queel nombre del número de colecciones de este conjunto es (1. 3,

3) en la base 4. Es importante comprender que todas las colecciones del conjunto tienen el mismo nombre; por ejemplo lasdos colecciones

^ placas, 6 barras, 3 unidades:1 bloque, 3 placas, 2 barras, 3 unidades

contienen el mismo número de unidades y llevan el mismo nombrque se expresa por: 1323 en la base 4. Cualquier otra colección quecontuviese el mismo número de unidades (dicho de otra manera auiisma cantidad de madera) llevaría el mismo nombre,^í del universo de las colecciones al de los conjuntos eclones.

Será necesario practicar estos cambios durante bastante antes de que las distintas formas de composiciónles. Por ejemplo, se pedirá a dos niños exacta-con piezas de madera un edificio según su idea,uiente la misma cantidad de madera: los dos e i númerotalmente diferentes el uno del otro reuniendo e mi ,2ntidadestotal de unidades. Se verificará cambiando piezas po-®quivalentes, hasta que se obtengan con el minun mismosibles; en este momento los dos niños de eran

CONCEPTO DE VALOR POSICIONAL

número de piezas de cada especie. Por ejemplo, operando en labase 5,

uno de los niños habrá tomado 9 placas, 7 barras. 7 unidadesy 10 p lacas , 3 bar ras , 2 un idades.

I>espués de haber realizado los cambios hasta el mínimum de piezas, llegarán los dos a

2 bloques, ninguna placa, 3 barras. 2 unidadesy el número correspondiente se escribirá 2032 en la base 5,es el nombre que representa también a las dos colecciones primiO-v . Si los dos niños no hubieran Uegado al mismo nombre deumero, sería por no haber utilizado la misma cantidad de madera

b) Cambios con moneda

oíptÍc organizar un juego de cambios, dando premios a 15fueeuen ^ se dirá a los niñoscambian ^ donde las piezas de moneda spor colecciones de cinco. Se convendrá por ejemplo q»*

5 piezas rojas valen 1 pieza azul.5 piezas azules valen 1 pieza verde,

piezas verdes valen .1 pieza amarilla, y así sucesivamente.

convendrá aue ° <Jue fácilmente se pueden encontrar. ror? „ror/" '® c"bo de madera con unapuede comprar tiempo para comprender qu® ®comprar una barra con una pieza azul, una placa con «»»

CONCEPTO DE VALOR POSICIONAL

pieza verde y im bloque con una pieza amarilla. Un tercer niñodesempeñará el papel de banquero y hará el cambio de piezas demoneda por otras de valor equivalente. Por ejemplo, se da a cadauiño 4 piezas amarillas para empezar; ¿qué pasa si uno de ellosdesea comprar una placa?, ¿o dos barras?, ¿o una unidad? Pueden «razonar» como sigue:

5 placas valen tanto como un bloque de madera;5 piezas verdes valen una pieza amarilla;

" 1 bloque se compra con una pieza amarilla;

'uego (conclusión): una placa se compra con una pieza verde.Ue esta forma el niño presenta en la banca una pieza ama:

el banquero deberá darle a cambio 5 piezas verdes; el nmo iraentonces hacia el vendedor de madera (cuyo papel será desemuado por otro niño), pedirá una placa y pagará con una pieza

I spués de haber descubierto que se puede comprar unaon Una pieza verde, se repetirá el mismo proceso con barras yPués con las unidades. También se puede jugar a la®tuo recibe un montoncito de fichas rojas (se necesitarrepresentar la cantidad de madera citada anteriormente: essiado para que un niño pueda reconocerlo sin error).nuento se desarrolla entonces como sigue:

" 1 barra comprende 5 unidades;1 pieza azul vale 5 piezas rojas;1 unidad se compra con una pieza roja,

l«ego (conclusión): 1 barra se compra con en mo-Otra variante del juego consiste en compren

CONCEPTO DE VALOR POSICIONAL

n a de cada pieza de madera y que los niños descubran las relaciones entre las piezas de moneda. Por ejemplo se conviene que:1 unidad se compra con una pieza roja;1 barra se compra con una pieza azul;1 placa se compra con una pieza verde;1 bloque se compra con una pieza amarilla;

Se pregunta entonces al banquero cuántas piezas rojas vale unapieza azul, suponiendo que el vendedor de madera haga pagar siempre el mismo precio por unidad, cualquiera que sea la cantidad demadera vendida.El «razonamiento» se desarrolla como sigue:

— 1 barra comprende 5 unidades;1 barra se compra con una pieza azul;

— 1 umdad se compra con una pieza roja;^ ^ piezas rojas (ya que .1

rojas) comprar la misma cantidad de madera que 5 piezasciendr» juego de bloques y el juego de moneda ba-misrna j niños dos casas distintas que contengan laque sus do madera. Los niños no deben extrañarse al ver

S e ^ ^ l o r e n m o n e d a ,más Que la A ^ «i cual no se cambiamar cualouier ooi • a resolver consiste en transfor-femnr^roo "«a colección di-d e

nedas reales. P ^ to, este juego puede también utilizar tao-

C O N C E P T O D E V A L O R P O S I C I O N A L

(Píw-a las monedas inglesas)Si se dispone de bloques de base 2, la unidad costará 3 peni

ques, la pieza siguiente 6 peniques, la siguiente .1 chelín y así sucesivamente. Este sistema de moneda de base 2 permite una versiónSimplificada del juego anteriormente descrito.

Primer juego de valores posicionales (con bloques multi-bases)Todos los juegos precedentes conducen a los niños hacia el desrimiento de la noción de «valor posicional». Se puede introducirjuego con ayuda de un dado; tratándose de la base 2, por

jemplo, se escribirá sobre sus caras O y 1. Si se trata de la baseu rá dos ceros, dos unos y dos doses grabados sobre las carJPues sobre un cubo hay seis caras). Este juego lo pueden prac-Jar tres o cuatro niños, uno de ellos desempeñando el papel aBotar los puntos conseguidos cada vez que se tira el da °umera vuelta aporta el número de bloques de lamr. por ejemplo, supongamos que en un juego de base

más grandes sean las barras de bloques, la anotaciónaradas podrá entonces reunirse de esta forma:

, 5 0 v u e l t onombres

CONCEPTO DE VALOR POSICIONAL

El ganador es aquel que obtiene la mayor cantidad de maderay no el mayor número de piezas. En este caso, es evidente qu®Susana es la que ha ganado el juego, Miguel es el segundo y Pedroel tercero. La mayor parte de los niños, por el contrario, dirán aleer la tabla que es Pedro quien ha ganado. Esto prueba qtt®noción de valor posicional no ha sido asimilado todavía; ®s necesario comprender que la primera vuelta es la que tiene importancia decisiva. Se puede hacer jugar separadamente a dos gruposdiferentes y después cambiar los cuadros de anotaciones; ®grupo entonces debe decidir quién es el vencedor del otro grupo»sin más que leer la tabla. Si hay contestación, se reconstruyen lascolecciones a partir de los cuadros de anotación y se comparaexperimentahnente las cantidades en cuestión.

Este juego puede realizarse en todas las bases. Es necesariocomprobar antes de empezar que todos los jugadores tengan ®ala mano el dado conveniente. Las cifras grabadas sobre las carasdel dado no deben sobrepasar el número de la base disminuidouna unidad. En la base diez, es preciso utilizar dos dados a lu

d) Segxjndo juego de valores posicionales (con árboles)Otro tipo de juego a realizar paralelamente con el precedent®

es el juego del árbol (1). Sobre hojas de cartón o planchas de madera se dibujan árboles de base 2, de base 3, o de base 4. Véase ®ala figura 12 el dibujo de un árbol de base 2.

los que se haUa escrito en cada uno 1»inicial del nombre de uno de los jugadores se sitúan en la bas®

patio de teo o eficacia, si el árbol ha sido dibujado enp a r . o d e ^ S n d e r ^«naer. es decir, moverse sobre las líneas del dibujo.

C O N C E P TO D E VA L O R P O S I C I O N A L

del árbol. La primera tirada de dados permite a cada jugador trepar a la altura de las primeras ramas, cuyo emplazamiento está

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 ] ® ] °

iT oT 1Y oY iY oY iY oY Y «T Y ° 1 oT 1 o

1 o T i T o T 1 o í 1

Fig. 12

ff erminado por la tirada del dado. De esta acuerdobiendo un escalón por cada tirada hasta Uegar al vértice, de®on el gráfico de la figura 12:

MiguelSusanaI*edro

/ . « '■ n i v e l ?.o nivel

76C O N C E P TO D E VA L O R P O S I C I O N A L

estaSe explica a los niños que se trata <Je un árbol frutal queexpuesto al sol por su lado izquierdo, por lo tanto lasduran más de prisa cuanto más a la izquierda están situadas

" ' o o o 011011 oji oj 10H 01 1 07 1 0 5 1 orí 03 loí 1OJ' O' i ' * "

\ / \ / \ / u \ / \ / u v \ / \ / s /

w

{/

K /

''8- 13. Dibujo de un árbol de hase 3.

línea de hees püeg e l f ru to que es tá rnús a ¿c

tanto más J'T azúcar; cuanto más vamos 19«ene e, nn f" ^ los frutos; el ,«^1

hast'e, verde. El ganador serafruto más rico en azúcar. Así se ve eS

CONCEPTO DE VALOR POSICION.AL7 7

Susana la que ha ganado, seguida de Miguel, mientras que Pedrotiene el fruto más ácido.

Comparación dh dos juugos de valores posicionalesSe puede establecer una comparación entre los dos juegos pre

cedcnles: A cada tirada de dados corresponde de una parte unrecorrido ascendente a lo largo del árbol y de otra parte una colección de piezas de madera." Para que los dos juegos sean comparables, debe haber tantos niveles sobre el árbol como tiposrentes de piezas de magnitud sucesiva. En nuestro ejemplo, el jueel árbol tiene cuatro niveles (base 3) que corresponden a a u'zación de cuatro tipos de piezas: las barras de bloques, losties, las placas y las barras; o bien los bloques, las placas, arras y las unidades. El caso del árbol de cinco niveles as

eorresponde a un juego de bloques, que comprende cinco tiposp i e z a s d e m a g n i t u d s u c e s i v a . ,

El juego del árbol permite estudiar problemas de " ,o «uno de menos». Por ejemplo, en la base ° .de tiradas (1, 2. 2, 2). ¿Cuál es la serie de

3cer el adversario para desplazar al primero o tener u s' rbol? (Es visiblemente 2. O, O, 0.) Esta pregunta es d,"P°ne previamente una comprensión perfecta de «roble-^ Valor posicional. Se podrán plantear de la misma^as del tipo «dos de más» o «dos de menos».

Cuanto precede se puede comparar con la busquei ión que sobrepase en una unidad una colección

base 3:

1 bloque, 2 placas, 2 barras, 2 unida

7 8 C O N C E P T O D E V A L O R P O S I C Í O N A L

la colección buscada es: 2 bloques, que corresponde a la figuranumérica 2000. De esta forma se pueden familiarizar con la práctica de los nombres de los números que corresponden a diversassituaciones, y por otro lado a familiarizarse con la práctica de losrecorridos ascendentes a lo largo del árbol. Todavía más, aislandolos nombres de número, se estudia directamente la correspondenciaentre las colecciones de piezas de madera y los recorridos en dárbol. Un niño indicará un punto en el vértice del árbol, otro deberá formar la colección de piezas de madera que corresponde alrecorrido que conduce a este punto; inversamente, un niño formará una colección de piezas de madera, otro deberá encontrarrecorrido correspondiente sobre el árbol.

el

f ) A d i c i ó n

Tras haber encuadrado en su lugar el concepto de valor posicional por medio de los juegos que acabamos de describir, se puedeutilizar este concepto para introducir la adición y la sustracción ensu forma estructurada. Ya se han efectuado adiciones de númerospequeños, y ya se ha tenido ocasión de alcanzar esta operación deadición de conjuntos disjuntos. Se puede ahora formar la reuniónde dos conjuntos de piezas de madera correspondiente a dos tiposnuméricos distintos.Por ejemplo, tomemos las dos colecciones siguientes en la base 4-1 bloque, 2 placas. 3 barras, 2 unidades; nombre del número: 1232-1 bloque, 3 placas, 3 barras, 2 unidades; nombre del número: 1332-La reunion de estas dos colecciones contendrá:

bloques, 5 placas, 6 barras, 4 unidades; nombre del número ■

7 9CONCEPTO DE VALOR POSICIONAL

3230, ya que la colección así formada se puede transformar en otraque pertenezca a la misma clase numérica conteniendo.

3 bloques. 2 placas, 3 barras. O unidades.En efecto, reuniendo los dos conjuntos anteriormente citad

bloque, placa, placa, barra, barra, barra, unidad, .bloque, placa, placa, placa, barra, barra, barra, unidad, uní aobtiene un conjunto reunión, que contiene efectivam

2 bloques, 5 placas, 6 barras. 4 unidades.Este conjunto no es idéntico al que hemos descrito jguiendo

* 2. 3, 0), pero se puede transformar uno en e colec-teglas de cambio; así, aunque no sean idénticos,

Otones contienen el mismo número de unidades y perte-^quivalencia es la que permite saber que las os c 230 enJscen a la misma clase numérica designada porbase 4."

G r u p od e l

G r u p od e l

d í a

G r u p od e l

2." día

G r u p od e l

j er día

G r u p ode l

día de^jperíi^

— _ — ■0

1

Clase A 1 22

Clase B 1 10

Eeunión declases

1 0 10

8 0 CONCEPTO DE VALOR POSICIONAL

Se pueden también realizar adiciones según el mismo procesoen juegos de base 2, base 3, base 4, etc., en las situaciones de agru-pamiento de niños indicadas anteriormente (pág. 53). Dos clasese niños, agrupadas ambas según el juego de a 3 por ejemplo, sereúnen para una lección común. ¿Cómo se agruparán en esta reunion de tipo general? Se podrá operar según el cuadro anterior.

Se puede comparar esta operación con el ejercicio de adiciónco espondiente efectuado sobre los bloques asimilando los cubosunidades a los niños.

g) SustracciónYa en los casos elementales hemos asociado la sustracción óe

números con la operación correspondiente sobre conjuntos; la di'encía entre dos números corresponde a la diferencia entre dos

conjuntos. Parece fácil introducir el problema presentando al niñon oque y preguntándole lo que quedará, si se lleva una placa;íprincio será necesario reemplazar el bloque por el número con-

ptA después retirar una placa. Se complica la operase bloque una barra o incluso una unidad. Despuéssustraevanas piezas a la vez; finalmente se pueden efectuarsustracciones como ésta: De un bloque se retiran

2 placas, 1 barra, 3 unidades(base 4)

queda 1 placa, 2 barras, 1 unidad(base 4)

pío, partiéndoleProgresivamente los problemas, por ejem-paniendo de una colección que comprenda varias piezas, para

C O N C E P T O D E V A L O R P O S I C I O N A L

retirar otra colección. Nunca hay que perder de vista a lo largode este estudio que no se trata de quitar realmente madera a par-tir de un bloque, como podría hacerse con una sierra; se trata deformar la diferencia entre un conjunto equivalente al primer blo-u® y el conjunto equivalente a la colección que hay que sustraer.Así en un bloque el número de unidades es igual al número deunidades contenido en:

3 placas, 3 barras, 4 unidades;

y de este conjunto podemos retirar un subconjunto formado de:2 placas, 1 barra, 3 unidades.

La diferencia de los conjuntos contiene 1 placa, 2 barras, .1 idad.'Apresando el número de unidades mediante signos en la ase

resu l ta :

pa ra e l boque i n i c i a l 1000para el subconjunto a sustraer 213para el conjunto diferencia 121

Se puede invertir el problema y preguntar cuánto ay 5 número de unidades representado por 213 P ^ siemprenúmero de unidades representado por 1000 (bien en en * gl®n la base 4). Se encontrará la respuesta a esta bloque: se

conjunto 2 placas, 1 barra, 3 unidades al lado e paraVerá casi inmediatamente lo que falta en el formado porobtener tantas unidades como en el segundo conjUn bloque único.

CONCEPTO DE VALOR POSICIONAL

h) Agrupamientos utilizando varias basesTodos los problemas precedentes encuentran su gg.las situaciones relativas al agrupamiento de niños de u *ente

gún las reglas de los diversos juegos de agrupamiento. lerllegará ©1 momento en el transcurso de estos juegos en eniño pregunté por qué los grupos formados tienen siempre amagnitud: en efecto, esto no es absolutamente necesario y seden modiñcar voluntariamente las reglas de agrupamiento.ejemplo, se puede decir:

— el día de apertura todos los niños están aislados,— el primer día se forman grupos de doce (tantos como

posible);— el segundo día se forman grupos de 36... etc.

Si existen cincuenta alumnos en la clase, el agrupamientogundo día será el siguiente (1):

CONCEPTO DE VAl.OR POSÍCIONAL

gruposdel 2.® día

gruposdel 1.®' día

gruposdel día de aperto»

de un mismoconsideradas por los niños como aspectos patltcuiates necesarioesquema general, y no como datos independientes, quo terceraaprenderlos de memoria separadamente. Así se eg confir-y ultima fase del ciclo de formación del concepto. e* oción y el de la explotación.

Evidentemente se podrán introducir varias reglas correspontes a las medidas de peso, capacidad, moneda, etc. Así se asegu mediante este método que todas estas situaciones variadas s

(1) Para los países en que las medidas anglosajonas están enmos señalar que el problema corresponde exactamente al de la rcp®de 50 pulgadas; un grupo contendrá 36 pulgadas (o sea una yarda;,12 pulgadas (o sea un pie) y quedarán 2 pulgadas aisladas.

/

VI . APLICAaONES PRÁCnCASDE LOS AGRUPAMIENTOS

Al llegar a la escuela, los niños ya están familiarizados conparaciones como: «esto es más pesado que aquello», oniás lejos que aquello» o aesto es más caro que aquello». ° experiencias cualitativas de la desigualdad; aún serápetar mucho tiempo, antes de que los niños sean capacesestas diferencias. Se hará referencia a los ejercicios pre jantes sugeridos (pág. 80), en el curso de los cuales los

solamente decir si una colección es más - deevaluar la diferencia bajo la forma de una cantidad e ecubos unidades. Pero antes de abordar estos ejercicios los niños deben ante todo (por medio de juegos) an^linguir si dos colecciones contienen o no el mismo n y <lades. A este efecto se utilizarán las operaciones o jnar porproseguirán hasta el momento en que lossí mismos las determinaciones relativas a estas si ^ darse

Cuando se estudia la medida de longitude ' es jj gdida concuenta de que la unidad de medida es ^^" das, nna de lassiste en establecer la relación de dos longitu indiferente,cuales se llama «la longitud unidad». Es a o u unidad»'desde el punto de vista matemático, tomar po

7 - M AT. M O D .

APLICACIONES PRÁCTICAS DE LOS AGRUPAMIENTOS

el metro patrón, el centímetro, la yarda, el pie, la milla, el año-luz,o bien la longitud de un lápiz o de un cuaderno. ¿Cuántos lápicesse pueden colocar uno tras otro a lo largo del escritorio? Si elnúmero no es exacto, se puede contar con otras «medidas»: gomas,botones o cualquier otro objeto que tengamos a mano;dando por entendido que es necesario comprobar que todos los lápices sean de igual longitud, así como las gomas o los botones.Después de haber procedido a estas operaciones de medida, seraútil, en cada país, hacer saber a los niños que existen ciertos patrones oficiales de medida, tales como los centímetros, los pies,Será interesante comparar los sistemas de unidades en uso de unpaís con los utilizados en otros países, ipor ejemplo, el sistema decentímetros y metros con las pulgadas, yardas y pies. Así los niñosno correrán el riesgo de atribuir un carácter sagrado al sistemaoficial de su país.

Se provocarán asiíuaciones de longitudn facilitando a los niñosun gran número de reglas de madera de un centímetro, un decímetro y un metro; tendremos por ejemplo que;2 longitudes de un metro, 27 longitudes de un decímetro y 1°®'gitudes de un centímetro

miden la misma longitud que:3 longitudes de un metro, 15 longitudes de un decímetro y 34 loo*gitudes de un centímetro.

V l a s e r i e d e b o t e U a s e j e r c i c i o& Wri el menor nümero de piezas que permitan medir la mis®» ® siX'l o n g i t u d , o d i c h o « f v i ^ b o t e U a s d , , i / _ „ a r d e 1 p m t a , s e s e ^ e o c o n

u c p i e z a s q u e p e r m i t a n m e o i r l a

ontud, o dicho abreviadamente: (4, 8, 4).«if» t misma situación se puede encontrar respecto a los pesos-5>e tomará una balanza de platillo de modelo comente (o un m""

APLICACIONES PRÁCTICAS DE LOS AGRUPAMIENTOS

ñelo fabricado en el taller de la escuela) y se emplearán pesos señalados. Cuando el fiel está en equilibrio es que los dos platiUoscontienen el mismo peso.

Por ejemplo, se pondrá sobre un platillo 20 pesas de una ony 2 de una libra y sobre el otro platiUo 3 pesas de una libra y 4 deana onza; el equilibrio se ha realizado, ya que las dos coleccioneslenen pesos iguales. La segunda colección es la más simple posi e,Pnes el número de pesas será: 3 libras, 4 onzas para las dos colecciones.

Se efectuarán los mismos ejercicios con gramos, decigramo ,^ ^ tog ramos y k i l og ramos . ^ ,

Las medidas de capacidad (pintas, cuartos y galón) pue en -troducirse de la misma forma. Se establecerá lans volúmenes, y el nombre del volumen se facilitar me^ expresión más simple. (1) -rtmc v cen-. efectuarán los ejercicios en litros, hectolitros, deci i

Witros.Si se dispone de medidas escalonadas, los niños

U n d i s t i n t a s c a n t i d a d e s d e a g u a , l a srecipiente vacío situado sobre una balanza, y ® , eauilibxio,esas que sean necesarias añadir para -e descu-nndo el recipiente está lleno. En el sistema m «tamo,írá inmediatamente que un centímetro de agua p

MsnP Ejemplo para los países donde las pinta, 1V * V^^nando la serie de botellas ejercicio -g^a

ei sistema de numeración de base z. o» tratará de envas" -nn-5''Otena, de % púUa y 5 boteUas de J pinta, » fcoteUaa y f^ «ntidad di SI In el menor ndmMO .P~'W%tir. U»1 en la bam 2-Jttí: 1 de galk i de euarto, J de 'Á P-nta. «®ndo la Unidad la media pinta.

aplicaciones prácticas de los agrupamientos

o más rápidamente todavía que un litro de agua pesa un kilo. Enel sistema de medidas anglosajón las relaciones numéricas entrepesos y capacidades son más complejas: se necesitará mucho tiempo para que los niños se den cuenta de que existe una relación, ytodavía más tiempo para que establezcan esta relación.

Después de haber establecido las relaciones de equivalencia ent( s estas situaciones, se efectuarán operaciones prácticas de medidas. Se podrán comparar longitudes; se medirá especialmente lastallas de los niños y se les clasificará según su estatura; se verificará experimentalmente colocando a los niños en fila por el ordende su talla; si no ha habido error, se deberá ver cómo decrecenregularmente las tallas a lo largo de la fila.

Se calcularán las sumas y las diferencias entre longitudes, perosiempre en un contexto de situaciones reales, como por ejemplo ene ejercicio siguiente (que hace intervenir a la vez la adición ycomparación de longitud):

«Deseo situar este escritorio y esta mesa uno a continuación ó®otro a lo largo de esta pared; veamos cuál es la longitud de estapared y si esta longitud es suficiente, sin desplazar los muebles encuestión.»

Se pueden imaginar ejercicios análogos relativos a pesos:«Tomo el avión para Madrid y tengo derecho a 20 kilogramos

e equipaje. Mi maleta vacía pesa 1 kilo, las ropas que quieroevar pesan 7 kilos y además quiero llevar estos libros. ¿Me en-

contraré por encima del límite de los 20 kfios? ¿Si pasa de los20 kilos, qué libros deberé dejar?»

ejercicios sobre capacidades medianteo e as de leche destinadas a la escuela, haciendo interve-

APLICACIONES PRÁCTICAS DE LOS AGRUPAMIENTOS

a los alumnos ausentes, los recién llegados, etc. Conviene evitaros ejercicios artificiales, tales como los que se encuentran en losManuales escolares, y multiplicar en cambio los ejercicios prácticoso re situaciones concretas de la vida corriente, hasta que el proceso® confirmación de los conceptos esté terminado. (1)

(1) Sepasos en »ticas» ro.( , en esta misma colección

B I B L I O G R A F Í A

William Hull: Concept Work with young children, vol. n. 2 dBuUetin de I'l.S.G.M.L., abril 1963.

Armington, W. Hull, A. Mallet: Further ^years old, vol. 1, n.° 3, del Bulletin de I'LS.G.M.L., J"^ Rosembloom: Materials of the

^°i^et. University of Minnesota, Minneapolis, V el desarrollo(En este texto se encuentran historias y ejercicios tambiénlos conceptos de conjuntos y operaciones so re j gncias geo-

sobre los fundamentos de la idea de número y st é t r i c a s . ) ^ ^ 9 S A .4 t t 1 1 Á . 2 , 2 A , 3 ,Patrick Suppes: Sets and umbers. f',

W. Singer Company, New York, N.Y., EE- ' formación del(Contiene ejercicios graduados cuidadosamente formaciónconcepto de conjunto. Las operaciones sobre c ¿j alidad.)de los conceptos de números, fundados sobre iunior school,L. C3. W. Sealty: Creative use of Mathematics in tneBasil Blackwell, Oxford, 1960. Teacher»,Z. p. Dienes: Multibase Aritmetic, en «Grade Londres,Z. p. Dienes: Building up Mathematics, ¿^acMiUan, Mel-Z. p. Dienes: Mathematics in the PrimaryBourne, 1964.Sir F. Bartlett: Thinking, Londres, i960. Newhaven, Conn.,Allen Layman: Law Scholl, Yale UniversiEE.UU.

A n e x o A

Los bloques multibases se componen de las piezas siguientes.

base 3/ / /

/

/

/

b a r r a p l a c a b l o q u eu n i d a d

bloque largo placa grande

base 4-

í barra placau n i d a d b loque bloque largo

Según el mismo principio, existe en base 2, 5, 6, 7. 8, 9 ymaterial en hojas de plástico.

base 2

10 unidades-

base 4 l\

A n e x o B

í r . r , , , C e n t r o s a f i l i a d o s a l M a t e m á t i c a s )(Grupo Internacional de Estudio para la Enseñanza de las

Leicestershire Mathematics Project. ,, rod/viV/e,Secretario: L. G. W. Sealy, St. Helens Caltas . Worrens^^icesier. Gron Bretaña.

Q

Mathematics Research Group, . , nn/ Countycrctario: A. E. Adams, Surrey Coimiy Council. Educattot'"£íío/i-¡i/7o;i-r/i«mf3-, Surrey, Gran Bretaña.

'National Foundation for Educational Research for J* ¡¿j„dres, H'-'-Secretario y director: Dr. W. D., IFff//, 79, ' ,.„„c

«en Mathénwliq»" '■L.B.A.M., Centre d'Etudes du Processus

Secretario; R. Biemel, 65, rae Claude-Bernard,*asiitut de Psychologie de Florence, . , „ Colonna,

Secretario y director: Alberto Marzí, Via o aI ta l ia .

U. Recklinghausen, Républiquc fedéraleSecretario: Obcrstudicnrat Werner Boeddckcr.

Budapest Mathematics Project, _ Budapest Secretario: Tomás Varga, 6-5 Muzeum koru .

l a s

^^I'lippines Mathematics Research Group, CiO'Secretario: Ron Carlisle, Peace Corps.^dipinas.

A N E X O B

Adelaide Mathematics Project,Secretario: Zoltan P. Dienes, Educational Dept. University of Adelaida,S. A. Australia.

Hflo Mathematics Research Group,Secretaria: Mary Matayoshi, Book, Nook, Hilo, Hawai.

Minnesota School Mathematics Center,Secretario y director: Paul Rosenbloom, University of Minnesota, Minneapolis, Minnesota. EE.UU.

Madison Project,Secretario y director: Robert Davis, Webster College, St. Louis, Missour i , EE .UU.

Í N D I C E

Institute of mathematics in the Social Sciences,ornS°EEm^ ' Suppes, Stanford University, Stanford, Ca-

Australian Conncfl for Educational Research,Secretario: S. Dunn, Melbourne, Australia.

US Independent Schools Research Group,Secretario: William HuU, 40, Reservoir Street, Cambridge, Mass., EE.VÜ.

Université de Sherbrooke,Sherbrooke. Qiiébec. Canadá.

Education nouvelle,

etorio: Gontran Trotüar, 306 Es,, me Sherbrooke, Moniréol i»-Bureau central de I'ISGML:Central OfBce of ISGML:

'' senlacivn, por Alvaro Buj Gimeno . ■ ■ ■ ' '^ ' ' ^ f a c i o . . . - ■

I- íntroducciónLos CONJUNTOS Y LAS OPERACIONES CON LOS CONJXJNTOS

Reun ión de con jun tos . • • • ' '") Intersección de conjuntos . • • '^ Conjuntos complementarios • • ' ' .") Diferencia de dos conjuntos • • -

^11- Atributos y operaciones lógicas ■Descripción del material lógicoJ u e g o s p r e l i m i n a r e s . ■ • ■ . .C o n j u n c i o n e s . . • • '

^ D i s y u n c i o n e s . . - " . •Implicaciones

f ) S imbo l i smo l óg i co • •í?) Relación entre la lógica y los conj

D e s a r r o l l o s u l t e r i o r e s • • * "

El número y el origen de su notacióno) El nivel de abstracción del número

La ad ic ión de númerosc) La sustracción de númerosd) Multiplicación de números

Í N D I C E

é) Pares de números y conjuntos formados por estosp a r e s

/) Introducción de potenciasg) Proceso a seguir en el estudio de las potenciash) Ejercicios de contar en todas las basesi) Algunas propiedades formales de las cifras;) Algunos «hechos» relativos a los números

V. La fase estructurada: concepto de valor posicio-nal. adición, sustracciónu) Cambios en cantidades equivalentes . . - •b) Cambios con monedac) Primer juego de valores posicionales (con bloques

raultibases)d) Segundo juego de valores posicionales (con árboles)s) Comparación de dos juegos de valores posicionalesf) Adicióng) Sustracciónh) Agrupamientos utilizando varias bases

VI. Aplicaciones prácticas de los agrupamientos .BibliografíaA n e x o A ,A n e x o B . ,

índice .

4 54 95 3576264

6 7

6770

7 3747778808 2

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95

ne n s e ñ a n z a

d e l a

m a t e m á t i c a

I