EL WINPLOT COMO RECURSO DIDÁCTICO EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA

INDICE Introducción Capítulo 1. Enseñanza de la Matemática 1.1. Enseñanza de la Matemática Moderna ................................................................. 1.2. Impacto de la Tecnologías de la Información y de la Comunicación en la

Enseñanza de la Matemática .................................................................................... 1.2.1. Incorporación de las Tecnologías de la Información y de la

Comunicación en el Proceso de Enseñanza – Aprendizaje ...................... 1.2.2. Incorporación de las Tecnologías de la Información y la Comunicación

en la Administración Escolar y manejo de datos ...................................... 1.2.3. Incorporación de las Tecnologías de la Información y la Comunicación

en el Diseño Curricular Básico de Educación Secundaria de Menores – Área de Matemática ......................................................................................

1.3. Software educativo aplicado a la Enseñanza de la Matemática ....................... 1.2.1. Calculadora Gráfica .............................................................................. 1.2.2. Matlab ....................................................................................................... 1.2.3. Mathematica ............................................................................................ 1.2.4. Derive ....................................................................................................... 1.2.5. Cabri-geómetre ....................................................................................... 1.2.6. Graphmatica ............................................................................................ 1.2.7. Winplot ..................................................................................................... 1.2.8. Quiz Faber ...............................................................................................

Capítulo 2. Winplot: Descripción del Menú de Opciones 2.1. Comandos Básicos .................................................................................................... 2.1. Otros Comandos ....................................................................................................... 2.1. Guess: Adivina la Ecuación .................................................................................... Capítulo 3 Aplicación del Winplot en la Resolución de Ecuaciones e Inecuaciones ................................................................................................ 3.1. Preliminares .............................................................................................................. 3.2. Resolución de Ecuaciones de Primer Grado ........................................................ 3.3. Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado ..................................................... 3.4. Resolución de Inecuaciones de Primer Grado ..................................................... 3.5. Resolución de Inecuaciones de Segundo Grado ................................................ 3.6. Resolución de Inecuaciones Polinómicas de Grado Mayor que Dos ............... 3.7. Resolución de Ecuaciones con Raíz Cuadrada .................................................... 3.8. Resolución de Inecuaciones con Raíz Cuadrada ................................................. 3.9. Resolución de Ecuaciones con Valor Absoluto .................................................... 3.10. Resolución de Ecuaciones Trigonométricas ......................................................... 3.11. Resolución de Ecuaciones Exponenciales ............................................................. 3.12. Resolución de Ecuaciones Logarítmicas ............................................................... Recomendaciones Bibliografía

1 1 3

3

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6 6 6 6 7 7 7 7 8

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107 126

INTRODUCCIÓN Dado que la enseñanza de la matemática en la educación secundaria de menores sigue siendo - mayoritariamente - una enseñanza tradicional de carácter expositivo, es que se hace necesario e indispensable que los docentes de matemática incorporen las Tecnologías de la Información y de la Comunicación como recurso didáctico en el proceso de enseñanza-aprendizaje, en el marco de una metodología activa. No es difícil constatar que los profesores de matemática que optan por presentar los contenidos temáticos a través de la exposición oral de los mismos apoyados sólo por el texto escolar, la pizarra y la tiza, en muchos casos, no han tenido la oportunidad (por diferentes razones) de acceder al uso de recursos informáticos. Con el desarrollo de la Tecnología de la Información y de la Comunicación, la enseñanza de la matemática encuentra en los medios informáticos, por ejemplo los softwares educativos, recursos didácticos que favorecen un aprendizaje por descubrimiento y el trabajo en equipo. Hay que destacar la utilidad del software educativo como herramienta de verificación de resultados y como fuente de experimentación que permita al alumno elaborar sus conjeturas, constatarlas y avanzar en la resolución de un problema. Se propone el uso del Winplot (software libre) en la enseñanza de la matemática, ya que constituye una herramienta de apoyo efectiva en el proceso de enseñanza-aprendizaje. El profesor de matemática va a poder organizar y presentar mejor sus clases, lo cual implica ahorro de tiempo a la hora de presentar un tema, menos desgaste físico en cuanto a voz, integración de los materiales educativos ya existentes (libro o texto de trabajo, batería de ejercicios, etc); retroalimentación efectiva de los temas tratados así como una mejor estética al momento de presentar una clase. Al implementar el uso del Winplot en el aula, se va a propiciar en el alumno una participación activa en la construcción de su propio aprendizaje, una interacción con el computador, la posibilidad de una educación personalizada así como una retroalimentación inmediata de los temas tratados. El presente texto de trabajo invita a todos los profesores de educación secundaria de la especialidad de matemática a entrar en contacto con una herramienta adicional de trabajo en el aula, la cual le permita asumir su rol de orientador/facilitador en el proceso de enseñanza-aprendizaje y no ser un mero transmisor de información. El texto de trabajo consta de tres capítulos. En el primer capítulo se ha esbozado un marco teórico de referencia. En el segundo capítulo, se presenta una descripción del Menú de Opciones del Winplot. En el tercer capítulo, se propone la resolución de ecuaciones a través del Winplot. Finalmente, se plantean algunas recomendaciones a las cuales se ha llegado como resultado de la propuesta del Winplot en la enseñanza de la matemática.

CAPÍTULO 1

ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA 1.1 Enseñanza de la Matemática Moderna. Vivimos en una sociedad caracterizada por los cambios rápidos e incesantes que se producen en la ciencia y la tecnología. La Matemática, en la actualidad, ha extendido su campo de acción a disciplinas consideradas como no matemáticas, tales como la Biología, Administración, Economía, Medicina, Psicología, Geología, Lingüística, entre otras. Como consecuencia de ello, varios temas que no han sido considerados hasta ahora en la enseñanza de la Matemática en la educación secundaria, tales como el Análisis Combinatorio o la Programación Lineal, hacen su aparición en este nivel de enseñanza. Son muchas las áreas de la Matemática que vienen recibiendo en los últimos años importantes aportes obtenidos gracias al desarrollo de las Tecnologías de la Información y de la Comunicación. La cantidad de nuevos conocimientos necesarios en cada nivel es cada día creciente. Contenidos temáticos considerados, hasta hace un lustro, en la educación universitaria han pasado a la educación secundaria. En función a su edad, el alumno de educación secundaria debe aprender nuevos temas. El rigor matemático está en función de la edad del alumno.

Como los alumnos de hoy no son los mismos que los de ayer y las necesidades para poder actuar eficazmente en el mundo actual tampoco son las mismas, es natural que la educación matemática deba estar en continua evolución y que los educadores deban ir ajustando sin pausa la forma y el fondo de sus enseñanzas para mantener a la escuela acorde con la calle de manera que el alumno no encuentre demasiada discontinuidad entre lo que oye en el aula y lo que encuentra y ve en su casa y en la calle.1

El mundo de hoy tiene como característica el desarrollo y predominio de las Tecnologías de la Información y de la Comunicación, las cuales están produciendo transformaciones en diversos sectores de la sociedad: economía, industria, comercio, finanzas, ciencia, educación, etc. Resulta necesario un nuevo enfoque en la enseñanza de la Matemática que nos permita preservar las ventajas que la formación matemática aporta al educando. Una de las características de la Matemática como ciencia es su estructura coherente y sistematizada. A través de la Matemática, el alumno de educación secundaria debe enfrentarse a situaciones problemáticas, vinculadas o no a un contexto real, con una actitud crítica. El alumno no sólo debe aprender a razonar lo que debe hacer para obtener la solución a un determinado problema; además, debe aprender a valerse de los recursos que el mundo de hoy pone a su alcance para resolver dicho problema. Es decir, se debe enseñar a usar la Matemática y educar en el método matemático. Esta

1 Santaló, L.A. Matemática 2. Buenos Aires: Kapelusz, 1993, p. 1.

afirmación es cierta, por las características que presenta la labor matemática en donde la lógica y la rigurosidad permiten desarrollar un pensamiento crítico. Cuando se le presenta a un alumno la siguiente sucesión de números:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... y se le pregunta: ¿Qué número sigue?. Es probable que diga 29. Sin embargo, si le pedimos que nos exponga el criterio matemático que ha empleado para obtener dicho número es poco probable que nos dé la respuesta. Lo que el alumno en mención ha hecho es descubrir que la sucesión en mención está compuesta únicamente por números primos. Los estudiantes que tienen la posibilidad de descubrir, entendiendo el descubrir como razonar en forma adecuada, aprenden pensando. Se hace necesario un estudio detallado de las posibles implicancias en la enseñanza de la Matemática de las Tecnologías de la Información y de la Comunicación. Esta situación genera muchas expectativas en los profesores de matemática. Sin embargo, la tecnología no es una panacea. Las Tecnologías de la Información y de la Comunicación, por sí mismas, definitivamente, no van a dar respuesta a todas las interrogantes que genera la enseñanza de la Matemática. Debemos tener en cuenta siempre que un retraso en el ámbito educativo repercute en las actividades futuras - como ciudadanos - de los educandos. Lo que no aprendemos en la escuela; y peor aún, lo que se aprende mal, constituye un verdadero lastre para el futuro. Los cambios vertiginosos que se dan en el mundo de hoy hacen que también cambien, a su ritmo, los conocimientos necesarios de Matemática. A través de la enseñanza de la Matemática debemos propiciar en el educando un interés permanente por aprender una materia que le va a ser de utilidad en su futuro profesional o técnico, al concluir sus estudios. Más que preocuparnos en las limitaciones de las nuevas tecnologías, salvables por el desarrollo continuo de las mismas, debemos aprovechar todo el potencial que éstas aportan en el ámbito educativo. De lo que se trata es que las nuevas tecnologías favorezcan el desarrollo de capacidades propias de la labor matemática: rigurosidad, razonamiento lógico, capacidad de abstracción, etc.

El pensamiento matemático tiene una lógica que es aplicable a la aritmética, el álgebra, la geometría y a todas sus múltiples ramas. Comprender esta lógica es uno de los fines esenciales de la enseñanza de la matemática.2

Enseñar Matemática debe ser análogo a resolver situaciones problemáticas. Estudiar nociones o conceptos matemáticos debe ser equivalente a pensar en la solución de alguna situación problemática. Existe la necesidad de propiciar en el educando la capacidad de aprender por sí mismo, ya que una vez que el alumno ha culminado su período escolar, va a tener que seguir aprendiendo por su cuenta muchas cosas. El alumno de educación secundaria tiene que darse cuenta que vive en un mundo donde las Tecnologías de la Información y de la Comunicación tienen un gran predominio, y por lo tanto, debe adquirir los conocimientos necesarios para entenderla y dominarla. La educación permanente es una necesidad.

2 Fehr, Howard. Enseñanza de la Matemática. Buenos Aires: Librería del Colegio, 1970, p. 10.

En este contexto, la enseñanza de la Matemática en la educación secundaria debe propiciar el uso del lenguaje matemático en la comunicación de ideas; desarrollar el pensamiento deductivo e inductivo; desarrollar el pensamiento crítico así como enseñar a pensar. 1.2 Impacto de las Tecnologías de la Información y de la Comunicación en la Enseñanza de la Matemática. 1.2.1Incorporación de las Tecnologías de la Información y de la Comunicación en el Proceso de Enseñanza-Aprendizaje.

Las Tecnologías de la Información y de la Comunicación han propiciado una verdadera transformación en diversas profesiones y áreas laborales: en el comercio, la medicina, la investigación científica, las finanzas, la industria, la administración pública y, también, en la educación. Hay que tener en cuenta que la introducción de las Tecnologías de la Información y de la Comunicación en el sistema escolar generan en el profesor de matemática una serie de interrogantes: ¿De qué manera, en qué momento y cómo se van a introducir las nuevas tecnologías en el proceso de enseñanza- aprendizaje? ¿Existe material bibliográfico referente a las nuevas tecnologías? ¿Se cuenta con la infraestructura idónea? La introducción de las Tecnologías de la Información y de la Comunicación en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática se encuentra con una serie de resistencias naturales. Existe resistencia porque la tecnología perturba las formas acostumbradas de enseñanza organizada. Esta resistencia es comprensible dado que aún no se conocen del todo las posibilidades y limitaciones que conllevan el uso de las nuevas tecnologías cuando se colocan al servicio de la educación.

Mientras que los alumnos de hoy pertenecen a una era caracterizada por la tecnología y la electrónica, las instituciones educativas, a nivel global, continúan aferradas al pasado.3

Toda nueva tecnología es utilizada con dominio y naturalidad luego de un proceso de capacitación. El uso de las nuevas tecnologías como herramienta metodológica, implica el dominio instrumental de la misma por parte del profesor. Sin embargo, no deja de ser cierto que el dominio de una técnica no garantiza que ésta se use de la mejor manera. Se deben encontrar canales viables y productivos para integrar las nuevas tecnologías en el proceso de enseñanza- aprendizaje.

Se debe tener siempre presente que no se pretende que las Tecnologías de la Información y de la Comunicación reemplacen la labor del profesor de matemática en el aula; es decir, la presentación de conceptos, definiciones, propiedades y reglas básicas de los temas contenidos en el programa curricular seguirán bajo la responsabilidad del docente.

3 Mena, B. Didáctica y Nuevas Tecnologías en Educación. Madrid: Escuela Española, 1996, p. 82.

Se entiende el rol del profesor de matemática como orientador/facilitador del proceso de enseñanza-aprendizaje. Es decir, el profesor de matemática no se limita meramente a transmitir información al estudiante; más bien, el profesor de matemática propicia la adquisición de información por parte del estudiante a través de situaciones problemáticas, las cuales generan en el estudiante la curiosidad de conocer una situación novedosa. Las Tecnologías de la Información y de la Comunicación van a ser eficientes si se utilizan con el propósito de propiciar la participación activa tanto de los alumnos como del docente en el proceso de enseñanza-aprendizaje. La tecnología en sí misma no es una actividad educativa, es una herramienta, un medio para alcanzar un objetivo. No se debe olvidar que, a diferencia de otros procesos, en el proceso de enseñanza-aprendizaje están involucrados seres pensantes. El uso crítico de una técnica implica el conocimiento de su modo de operar y de sus restricciones. Las Tecnologías de la Información y de la Comunicación surgen, en este contexto, como instrumentos para ser usados libre y creativamente por profesores y alumnos en la realización de las actividades más diversas. Profesor y alumno pasan a ser actores de un mismo proceso de construcción del conocimiento. 1.2.2 Incorporación de las Tecnologías de la Información y la Comunicación en la Administración Escolar y manejo de datos. Las Tecnologías de la Información y de la Comunicación pueden ser usadas como una herramienta de trabajo en la administración escolar. Los programas de uso profesional – software utilitario – son de aprendizaje relativamente corto y nos permiten realizar diversas tareas. Por ejemplo, los procesadores de texto se han convertido en el lápiz y papel del mundo moderno. En vez de archivos, atiborrados de papeles, se usan bases de datos. Quienes no saben utilizar estas nuevas herramientas están en desventaja en las distintas áreas laborales del mundo actual. Existen motivos económicos y de gestión eficiente para introducir las Tecnologías de la Información y de la Comunicación en la administración escolar: matrícula de alumnos, horarios del personal docente, rol de evaluaciones académicas, pago de pensiones de estudio, pago del personal docente, registro y control de asistencia tanto del personal docente como administrativo, informes académicos de los alumnos (por ejemplo, consolidado de notas), evaluar costos de proyectos educativos, determinar los ingresos y egresos del centro educativo, entre otros. Asimismo la nueva tecnología puede propiciar la comunicación fluida entre personal administrativo, docentes y padres de familia. Por ejemplo, a través del correo electrónico.

La Internet crece a un ritmo exponencial: la World Wide Web, el uso del correo electrónico, y la cantidad de listas de correo, grupos nuevos, foros de debate y otros marcos para la interacción, así como la tasa de participación en ellos, atraen cada vez a un mayor número y variedad de personas de todo el mundo.4

Incorporar las Tecnologías de la Información y de la Comunicación a la administración escolar permite a los responsables académicos (director de estudio, responsable de un área, coordinador de una determinada materia, etc) centrar su labor en la propuesta y supervisión de proyectos o planes de trabajo que mejoren la gestión educativa. 1.2.3 Incorporación de las Tecnologías de la Información y de la Comunicación en el Diseño Curricular Básico de Educación Secundaria de Menores- Área de Matemática. Existe la necesidad de rediseñar el currículo de educación secundaria de menores con el fin de incorporar las Tecnologías de la Información y de la Comunicación en él.

La educación debe cambiar a fin de preparar debidamente a los

ciudadanos del futuro para funcionar en una sociedad en cambio

continuo. Por consiguiente, es necesario reemplazar el paradigma

actual de la educación (la producción masiva de ciudadanos con

conocimientos prefabricados y títulos que los habilitan para una larga

carrera) con modelos pedagógicos que doten a los ciudadanos de

aptitudes para aprender durante toda la vida en una sociedad en la cual

las tecnologías de la comunicación y la información son uno de los

pilares de la infraestructura.5

Integrar al currículo de educación secundaria de menores las nuevas tecnologías exige capacitar a los docentes en el uso de las mismas. Una revisión de los contenidos temáticos junto a una nueva propuesta metodológica va a permitir que el educando participe activamente en el desarrollo de nociones matemáticas que le permita realizar, a través de experiencias concretas, sus propias indagaciones en esta ciencia. Se propicia una nueva manera de interactuar entre el profesor y sus alumnos.

4 Burbules, N. y Callister, T. Riesgos y Promesas de las Nuevas Tecnologías de la Información. Barcelona: Juan García S.A., 2001, p. 119. 5De Moura Castro, C. La Educación en la Era de la Informática. New York: B.I.D., 1998, p. 121.

No se debe olvidar que las Tecnologías de la Información y de la Comunicación no han sido creadas y desarrolladas exclusivamente para el proceso educativo por lo que no siempre va a ser fácil integrarlas al currículo. En consecuencia, al incorporar las Tecnologías de la Información y de la Comunicación en el Diseño Curricular Básico se debe precisar:

-Los contenidos temáticos que pueden ser presentados y desarrollados con las Tecnologías de la Información y de la Comunicación.

-Las actividades metodológicas que acompañan la presentación de los contenidos temáticos: individual, grupal, asistida por el profesor, etc.

-La distribución del tiempo de trabajo al utilizar las Tecnologías de la Información y de la Comunicación en el aula. -La elección de la Tecnología de la Información y de la Comunicación pertinente: software educativo, material audiovisual, multimedia, internet, etc., siguiendo criterios específicos de selección.

La incorporación de las Tecnologías de la Información y de la Comunicación al Diseño Curricular Básico nos va a permitir organizar y administrar eficientemente las actividades propias del proceso de enseñanza aprendizaje. Las Tecnologías de la Información y de la Comunicación se convierten, de esta manera, en herramientas metodológicas integradas plenamente al quehacer educativo. La elección de una tecnología en particular dependerá de la actividad pedagógica que se haya diseñado así como del objetivo que se pretende alcanzar.

1.3 Software educativo aplicado a la Enseñanza de la Matemática A continuación, se presentan las características más relevantes de ocho programas (software) educativos relacionados con la enseñanza de la matemática.

1.3.1 Calculadora Gráfica

Es una calculadora que además de realizar gráficos puede ser programada para realizar una serie de cálculos numéricos y estadísticos. Dado su tamaño reducido, relativo bajo costo y fácil uso resulta ser apropiada para la mayoría de los estudiantes. La Calculadora Gráfica establece, a través de la pantalla, una relación entre la representación gráfica de una función y la representación simbólica (regla de correspondencia) de la misma.

1.3.2 Matlab

Es un programa de cálculo numérico que cuenta con un gran número de instrucciones que nos permiten resolver problemas científicos. Matlab (Matrix Laboratory) puede compararse con una potente calculadora científica programable. Entre sus aplicaciones a la Computación y las Matemáticas se

puede mencionar el desarrollo de algoritmos; el modelado y la simulación; la exploración, visualización y análisis de datos; la creación de gráficas científicas; entre otras.

1.3.3 Mathematica

Es un programa de aplicación numérico y simbólico, incorpora un lenguaje de programación completo, el cual permite integrar cálculos, gráficos y texto en un mismo documento electrónico llamado cuaderno. Este programa permite al usuario trabajar en diferentes niveles, permitiendo desarrollar actividades matemáticas en cada uno de ellos. Se puede distinguir en la estructura de este programa el Front-End (parte visible del programa, donde se encuentra el menú y los cuadernos) y el Kernel (donde se realizan los cálculos). En los cuadernos se pueden realizar cálculos numéricos y simbólicos; gráficas en dos y tres dimensiones; animaciones; ediciones de texto; programar funciones específicas; etc. En este programa existen paquetes de funciones y objetos ya programados así como una gama de formatos; esta variedad de formatos permiten al usuario leer paquetes y archivos automáticamente al abrir un cuaderno.

1.3.4 Derive

Es un programa de cálculo simbólico, capaz de calcular límites, derivadas, integrales, resolver toda clase de problemas numéricos y simbólicos cuyos resultados pueden representarse mediante gráficas de dos y tres dimensiones. Se puede afirmar que es un asistente matemático que tiene aplicación en la aritmética, álgebra, cálculo diferencial e integral, cálculo vectorial y matricial, programación de funciones recursivas e iteractivas, etc.

1.3.5 Cabri-géomètre

Es un programa que permite construir y explorar objetos geométricos en el plano y en el espacio; utiliza archivos de extensión fig (figuras) y extensión mac (macros). La pantalla de trabajo consta de una barra de menú de opciones, una barra de herramientas, la ventana de diseño y una ventana de ayuda. A través de la barra de herramientas se ejecuta la construcción y animación de los objetos geométricos; contiene las opciones: puntero (realiza la selección de objetos o transformaciones a mano alzada-mouse); puntos (para construir puntos); rectas (para construir objetos de lados rectos); curvas (para construir circunferencias, arcos y cónicas); construir (para realizar construcciones de geometría euclidiana); transformar (para hacer transformaciones geométricas); macro (para generar e incorporar archivos de extensión mac); comprobar (comprueba las construcciones geométricas realizadas); medir (para realizar mediciones y cálculos); ver (para realizar comentarios y animaciones); y, dibujo (para cambiar el aspecto de los objetos y para visualizar el sistema de coordenadas).

1.3.6 Graphmatica

Es un programa graficador, interactivo, de ecuaciones matemáticas. Permite comparar, simultáneamente, varias gráficas; calcular el área bajo una curva; trazar la tangente a un punto; resolver inecuaciones; determinar familias de curvas. Contiene un procesador de ecuaciones y una librería completa de funciones matemáticas. Los gráficos se pueden visualizar en coordenadas cartesianas, paramétricas, polares y campos de pendientes para ecuaciones diferenciales ordinarias (hasta de orden cuatro).Además, realiza cálculos numéricos y simbólicos: halla la derivada, la integral y puntos críticos de cualquier función en el plano cartesiano.

1.3.7 Winplot

Es un software gratuito. Es un programa graficador de dimensión 2 (ejes X, Y) y dimensión 3 (ejes X, Y, Z). Grafica curvas y superficies, las cuales se pueden visualizar en una variedad de formatos. Está compuesto de menús o ventanas, las cuales se pueden manejar sin dificultad. Cada menú tiene información detallada de las funciones que realiza. Se pueden analizar a partir de la gráfica, sin dificultad, funciones polinomiales, racionales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, paramétricas, implícitas. Calcular áreas, volúmenes. Determina gráficamente la derivada de una función así como las trayectorias de ecuaciones diferenciales. 1.3.8 Quiz Faber

Es un software gratuito para Windows que permite confeccionar pruebas (Quiz) multimedia, fácil y rápidamente, como documentos HTML, con la ventaja que no se necesita ningún conocimiento previo del formato HTML o Javascript. La elaboración de la prueba es hecha automáticamente por el programa. Una vez elaborada la prueba, ésta se encuentra lista para ser publicada en Internet, en una red local (con protocolo del Intranet) o en una PC local. Dado que tiene formato HTML se puede introducir en las pruebas objetos como imágenes, sonidos y videos; ya que es compatible con los formatos más extensos de Internet (JPEG, GIF, MEDIADOS DE, MP3, AVI, MPEG, flash de Macromedia, Apple Quick Time, Real Audio, plug-in del browser de Real Media, etc.).

CAPÍTULO 2

WINPLOT: DESCRIPCIÓN DEL MENÚ DE OPCIONES6 Para empezar a trabajar con Winplot, tenemos que abrir el programa. Hacemos doble clic en winplot, Figura 1, cuyo ícono es una curva en el plano cartesiano.

Fig.1

La pantalla toma un fondo verde, Figura 2, con dos ventanas en el Menú Principal: Window y About.

Fig.2

A continuación, seleccionamos Window y nos ubicamos en la primera opción de esta ventana: 2-dim F2 (Figura 3)

Fig.3

6 Basada en la versión compilada en el mes de Octubre del año 2001. Si se desea esta versión del Winplot, enviar un correo a forzaceleste@hotmail.com; Asunto: Winplot.

Luego hacemos clic sobre ésta (2-dim F2) y a continuación se verá, Figura 4, el siguiente recuadro:

Fig.4 Podemos observar que en la parte superior de la pantalla existen nueve ventanas, Figura 5, las cuales nos van a permitir trabajar en Winplot de acuerdo a nuestras necesidades.

Fig.5

2.1 COMANDOS BÁSICOS Dado que nosotros vamos a trabajar en el plano cartesiano, por una cuestión de referencia se pueden indicar tanto el eje X como el eje Y. Para realizar esta acción seleccionamos, Figura 6, la ventana View.

Fig.6 Una vez ubicados en esta ventana (View), seleccionamos la opción Grid Crtl+G (se encuentra después de Axes Crtl+A, observar que esta opción ya está activada: �). Aparecerá en pantalla, Figura 7, el siguiente recuadro7:

7 Sin pérdida de generalidad, podemos convenir que los recuadros, los cuales van a ir apareciendo durante el presente trabajo, establecen con nosotros y Winplot una suerte de diálogo.

Fig.7

Como se puede observar, se han identificado ambos ejes (parte superior) así como los cuatro cuadrantes (parte inferior). En la parte central seleccionamos scale para ambos ejes, Figura 8, la parte decimal es nula, es decir cero decimales (places) y se enumerará (freq) de uno en uno tanto en el eje X como en el eje Y (No seleccionar la opción pi).

Fig.8 Luego, seleccionamos la opción aplicar (apply) y aparecerá, Figura 9, el siguiente cuadro:

Fig.9 Para quedarnos sólo con el plano cartesiano, cerramos el recuadro obtenido al seleccionar Grid Crtl+G haciendo clic en el extremo superior derecho del mismo (�). Resultando, Figura 10, la siguiente presentación:

Fig.10 Luego, Figura 11, seleccionamos la ventana Equa y escogemos la opción y = f(x)

Fig.11 Después de seleccionar y = f(x), aparece, Figura 12, el siguiente cuadro:

Fig.12

Tener en cuenta que, por defecto, SIEMPRE aparece la función f(x) = x.sin(x) (Figura 13).

Fig.13

Como podemos observar en la Figura 13, tenemos las opciones anchura o grosor del gráfico (pen width) y color. Así como, a partir de la función a visualizar, la opción restringir el dominio (lock interval). Por defecto, Winplot grafica en el dominio natural de la función seleccionada. Por ejemplo, si queremos graficar la función cuadrática x2-2, en el recuadro y = f(x) al lado derecho de f(x) = escribimos la regla de correspondencia de la función a graficar, en nuestro caso escribimos x2 –2. Cabe recordar que para indicar el exponente de la variable x, Winplot utiliza el símbolo ^ (ALT+94); es decir, si queremos escribir x2 ponemos primero la letra x, luego presionamos ALT+94 y finalmente digitamos el número 2. Si queremos darle cierto grosor al gráfico, al lado derecho de la opción pen width ponemos el número 2. Y dado que no deseamos restringir el dominio, NO seleccionamos la opción lock interval (Figura 14).

Fig.14 A continuación, haciendo clic en OK, obtenemos el siguiente recuadro (Figura 15):

Fig.15

Observamos que aparece la gráfica junto con el recuadro inventory, el cual viene a ser un registro de lo que se va a realizar con la función que se ha ingresado (Figura 16).

Fig.16 Si queremos visualizar sólo el gráfico obtenido, hacemos clic en el extremo superior derecho de el recuadro inventory y nos quedamos, Figura 17, con la gráfica deseada.

Fig.17 Si optamos por restringir el dominio de la función dada, por ejemplo de –1 a 2, nos ubicamos en la ventana Equa, Figura 18, seleccionamos la opción Inventory Crtl+I, y

Fig.18

va a aparecer el recuadro de la Figura 16. Seleccionamos la opción editar función, haciendo clic sobre edit y aparece el recuadro y = f(x) (Ver Figura 14). Hacemos clic a la izquierda de lock interval (aparece un visto: �), Figura 19, y definimos nuestro extremo inferior (low x), en este caso –1, así como nuestro extremo superior (high x), en este caso 2.

Fig.19 A continuación, hacemos clic sobre OK y obtenemos, Figura 20, el siguiente recuadro:

Fig.20

Si queremos visualizar sólo la gráfica, cerramos el recuadro inventory haciendo clic en el extremo superior derecho del mismo y obtenemos la gráfica con dominio restringido (Figura 21).

Fig.21

Podemos afirmar, sin exagerar, que al activarse Inventory se activa el corazón de Winplot, de allí la importancia de familiarizarnos con este recuadro y las opciones que nos presenta. El recuadro inventory (Figura 16) es muy importante en nuestro trabajo a desarrollar dado que existe una gama de opciones para efectuar con la regla de correspondencia seleccionada en dicho recuadro. En la primera fila de inventory, las opciones que vamos a utilizar son edit (editar) y delete (borrar). De la segunda fila hide/show (ocultar/mostrar) vamos a utilizar,

optativamente, graph (gráfica) y equa (ecuación). Finalmente, de la tercera fila reflect in (reflejar) utilizaremos las cuatro opciones x-axis , y-axis , y = x y table, según nuestras necesidades. Por ejemplo, si queremos que aparezca la regla de correspondencia en la pantalla donde está la gráfica, lo que tenemos que hacer es ubicarnos en equa, hacer un clic sobre esta opción y aparecerá la regla de correspondencia en el extremo superior izquierdo de la pantalla (Figura 22). Un segundo clic sobre equa desactiva esta opción. Análoga es la secuencia para la opción graph, tener en cuenta que al hacer clic sobre graph NO se borra la gráfica, sólo se oculta. Un segundo clic sobre esta opción restablece la gráfica.

Fig.22 Si deseamos reflejar la gráfica obtenida, por ejemplo, respecto del eje X, lo que tenemos que hacer es seleccionar, en la tercera fila (reflect in), la opción x-axis. Es decir, hacemos clic sobre x-axis y obtenemos la gráfica inicial y su “reflejo” sobre el eje X (Fig. 23).

Fig. 23

Observar, Figura 24, que en el recuadro inventory se ha creado una segunda fila donde nos indica la acción que se ha ejecutado.

Fig.24

Finalmente, si seleccionamos la opción table va a aparecer en la pantalla un recuadro en donde se identifican los valores tabulados de la función, al menos para los primeros valores del dominio, tomando como valor central en el plano cartesiano el par ordenado (0; -2), el cual, en nuestro ejemplo, viene a ser un valor extremo (Figura 25).

Fig.25 Otras opciones de la ventana Equa (Figura 11), con las cuales vamos a tener la oportunidad de trabajar, son: la opción ax+by = c, la opción Segment y la opción Point. La opción ax+by = c, nos permite graficar rectas en la pantalla, dependiendo de los valores que le asignemos a los coeficientes a, b y c (Figura 26)

Fig.26

Por ejemplo, si deseamos graficar la recta vertical x = 2, asignamos los siguientes valores numéricos a los coeficientes (Figura 27),

Fig.27

hacemos clic sobre OK y podemos visualizar la gráfica en la pantalla (Figura 28). Observar que existen tres opciones (solid, dotted y dashed) para la presentación gráfica de la recta vertical.

Fig.28 Si queremos graficar la recta horizontal y = -1, asignamos los siguientes valores numéricos a los coeficientes (Figura 29),

Fig.29

hacemos clic sobre la opción OK y podemos visualizar la gráfica en la pantalla (Figura 30).

Fig.30

Si queremos graficar la recta y = 3-2x, asignamos los siguientes valores numéricos a los coeficientes (Figura 31),

Fig.31

hacemos clic sobre OK y podemos visualizar la gráfica en la pantalla (Figura 32)

Fig.32 La opción Segment y Point nos permiten graficar segmentos y puntos (entiéndase, pares ordenados) en la pantalla. Por ejemplo, si queremos graficar el segmento de extremos (-2; -1) y (2; 1), hacemos clic sobre Segment e introducimos los valores numéricos de los extremos (Figura 33),

Fig.33

luego hacemos clic sobre OK y aparece en pantalla la gráfica del segmento (Figura 34)

Fig.34 Observar que la gráfica, visualmente, no determina los extremos del segmento. Por una cuestión de presentación se pueden determinar los extremos haciendo clic sobre la opción Point y aparece el siguiente recuadro (Figura 35):

Fig.35 Asignamos los valores numéricos correspondientes para el extremo (-2; -1) como par ordenado de abscisa x y ordenada y (Figura 36);

Fig.36

luego, haciendo clic sobre OK, obtenemos la gráfica del punto en pantalla. Análogamente, se puede visualizar el extremo (2; 1). De esta manera, Figura 37, obtenemos la siguiente gráfica:

Fig.37 Si nos ubicamos en el recuadro inventory podemos ver, Figura 38, que se presenta la secuencia ordenada que hemos realizado para determinar gráficamente el segmento de extremos (-2; -1) y (2; 1).

Fig.38 En la medida que nos vayamos familiarizando con las opciones que nos presenta la ventana Equa, nos vamos a dar cuenta que existe más de una forma para realizar un determinado gráfico. Por ejemplo, otra manera de obtener la gráfica de la recta y = 3 –2x es seleccionando la primera opción de Equa: y = f(x), ver Figura 13, e introducir la regla de correspondencia pertinente, en nuestro caso: 3–2x (Figura 39). Haciendo clic sobre OK, podemos visualizar el gráfico de la Figura 32.

Fig.39

Otras opciones de la ventana View (Figura 6), que podemos utilizar, son las siguientes: Factor, Zoom out Crtl+E y Zoom in Crtl+S.

La opción Factor es la primera que debemos activar para poder ejecutar las opciones de Zoom out (alejar imagen) y Zoom in (acercar imágen), dado que esta opción nos permite elegir el factor o constante por el cual se va a alejar (la constante va a multiplicar los valores numéricos predeterminados tanto en el eje X como en el eje Y) o a acercar (los valores predeterminados se dividen por esta constante) la gráfica. Por ejemplo, si queremos introducir un factor o constante igual a 2, hacemos clic sobre la opción Factor y aparece, Figura 40, en la pantalla el recuadro input, digitamos el número 2 y luego OK.

Fig.40 Una vez establecido el factor o constante por el cual se va a multiplicar (Zoom out) o dividir (Zoom in) los valores numéricos predeterminados en ambos ejes, podemos ejecutar ambas opciones. Por ejemplo, a partir de la gráfica de la función f(x)= x2-2 (ver Figura 17), si seleccionamos la opción Zoom out Crtl+E, obtenemos el siguiente cuadro (Figura 41):

Fig.41

Si deseamos volver a la gráfica con los valores predeterminados inicialmente, hacemos clic sobre la opción Restore Crtl+R, la cual restablece los valore iniciales. Análogamente, si seleccionamos la opción Zoom in Crtl+S, obtenemos el siguiente cuadro (Figura 42):

Fig.42

Otras ventanas de utilidad (ver Figura 5) para nuestro trabajo, las cuales presentamos a continuación, son: One, Two y Anim. La ventana One , Figura 43, nos permite hacer trazos auxiliares a una gráfica (Slider), determinar interceptos con el eje X (Zeros) e identificar extremos locales (Extremes).

Fig.43 La opción Slider nos permite hacer trazos auxiliares a una gráfica como rectas secantes o rectas tangentes. Recordar que es necesario tener UN GRÁFICO en la pantalla. Por ejemplo, si queremos determinar rectas tangentes a la gráfica de la función f(x) = x2-2, hacemos clic sobre Slider y va aparecer, Figura 44, el recuadro slider,

Fig.44

seleccionamos tangent-line demonstration (�) y la flecha (�) orientada por el mouse está lista para identificar rectas tangentes a la gráfica a través de la barra deslizable (se encuentra al centro del recuadro slider). Esta barra se desplaza

horizontalmente. Las Figuras 45 y 46 son ejemplos de rectas tangentes a la gráfica presentada en pantalla.

Fig.45 Fig.46 A partir de los ejemplos, podemos observar que en el recuadro slider (Figura 44) al mover la barra deslizable a derecha o izquierda a través de la flecha o cursor, van cambiando los valores de la abscisa x así como de la ordenada y, lo cual nos permite identificar un punto de tangencia en particular. Si deseamos trazar rectas secantes a la gráfica de la función f(x) = x2–2, necesitamos determinar previamente un punto base (base point), el cual nos va a servir de referencia para trazar las rectas secantes a la gráfica. Dado que el proceso es similar al presentado para determinar rectas tangentes, hacemos clic sobre Slider y en el recuadro de la Figura 44 seleccionamos secant demonstration at (�), luego identificamos con el cursor, a través de la barra deslizable, un par ordenado que pertenezca a la gráfica y lo tomamos como punto base, por ejemplo el par ordenado (2; 2). Hacemos clic sobre base point y se va a determinar una recta que pasa por este par ordenado (Figura 47).

Fig. 47

Seguidamente, movemos la barra deslizable hacia la izquierda y podemos ver que se generan rectas secantes, Figuras 48 y 49, manteniéndose el punto base fijo.

Fig.48 Fig.49 La opción Zeros, nos permite determinar los números reales x tales que f(x) sea igual a 0, es decir los interceptos con el eje X. En nuestro ejemplo de la función cuadrática, cuya regla de correspondencia es f(x) = x2–2, si queremos saber para qué valores del eje X la función f es igual a cero, seleccionamos la opción Zeros y aparece, Figura 50, el recuadro x-intercepts.

Fig.50 En este caso, el recuadro de la Figura 50 nos identifica el número – 1,4142. De existir otro número real x tal que f(x) es igual a cero, hacemos clic sobre next y aparecerá, Figura 51, el siguiente valor.

Fig.51 La opción Extremes, nos permite identificar (como pares ordenados) extremos locales de la gráfica presentada en pantalla. En nuestro ejemplo, al hacer clic sobre Extremes, aparece el recuadro extreme values (Figura 52).

Fig.52

Si existiera otro extremo local, hacemos clic sobre next extreme of para visualizarlo en el recuadro de la Figura 52. Podemos observar que existe la posibilidad de identificar el valor extremo en la gráfica haciendo clic sobre mark pt (Figura 52). La ventana Two, nos va a servir para identificar las intersecciones (Meeting) entre dos gráficas así como para realizar operaciones básicas (Combinations) entre ellas. La opción Meeting nos permite identificar las intersecciones, si existen, entre dos gráficas dadas. Lo que tenemos que hacer, en primer lugar, es graficar dos funciones en pantalla (Figura 53).

Fig.53

Luego, seleccionamos la ventana Two y hacemos clic sobre Meeting. A continuación aparece el recuadro intersections (Figura 54).

Fig.54

Podemos observar en el recuadro de la Figura 54 que el par ordenado (-1; 1) es un elemento que pertenece a la gráfica de la función y = x 2 – 2 así como a la función y = x. Si existiera otro par ordenado común a ambas gráficas, hacemos clic sobre next intersection para visualizarlo en el recuadro de la Figura 54. También tenemos la posibilidad de determinar el par ordenado en la pantalla haciendo clic sobre mark point. La opción Combinations nos permite realizar operaciones básicas entre dos funciones cuyas gráficas se encuentran en pantalla (Figura 53). Si, por ejemplo, deseamos obtener gráficamente la suma de la función cuadrática y = x2–2 y la función lineal y = x, hacemos clic sobre Combinations y aparece, Figura 55, el recuadro combinations.

Fig.55 Hay que tener en cuenta que la primera regla de correspondencia que aparece en este recuadro es la función f y la segunda regla de correspondencia es la de la función g. En la parte inferior del recuadro combinations se puede visualizar las operaciones básicas que podemos realizar entre las funciones f y g. Dado que nuestra intención es obtener la suma de las funciones, hacemos clic sobre f+g y aparece en pantalla, Figura 56, la gráfica deseada. Si queremos obtener el producto de dichas funciones, hacemos clic sobre f*g y aparece en pantalla, Figura 57, la gráfica de dicho producto.

Fig.56 Fig.57 Finalmente, la ventana Anim (Animaciones), nos permite presentar las distintas posiciones o desplazamientos que se pueden realizar con una función cuya regla de correspondencia está expresada en su forma general. Por ejemplo, si deseamos ver las distintas posiciones que puede presentar en pantalla la función lineal f(x) = ax+b, donde los coeficientes a y b son números reales cualesquiera, nos ubicamos primero en la ventana Equa y seleccionamos la opción y = f(x). Luego escribimos la forma general de la función lineal y hacemos clic sobre OK. Se puede observar, Figura 58, que en la pantalla “no ha aparecido” gráfica alguna, esto se debe al hecho que, por defecto, Winplot ha asignado los valores a = 0 y b = 0 a dichos coeficientes.

Fig.58 A continuación, seleccionamos la ventana Anim (Figura 59).

Fig.59

Podemos observar, que esta opción nos presenta un listado de las letras del alfabeto a las cuales se les puede asignar un valor numérico, el cual puede modificarse a través de una barra deslizable, activando los recuadros respectivos para cada letra o parámetro. En nuestro ejemplo, dado que la regla de correspondencia de la función lineal tiene parámetros a y b, seleccionamos dichas letras (mayúsculas) en la ventana Anim. Una vez activados dichos recuadros (Figuras 60 y 61) se puede ver que, por defecto, los valores asignados para cada parámetro es igual a cero.

Fig.60 Fig.61 La barra deslizable que se encuentra al centro de cada recuadro activado, tiene valores predeterminados, los cuales van desde – 10 (extremo izquierdo) hasta 10 (extremo derecho). Los valores extremos se pueden modificar haciendo clic sobre set L o set R. Si, por ejemplo, movemos la barra deslizable hacia la derecha en el recuadro current value of A (Figura 60) hasta el valor a = 1 y luego, en el recuadro current value of B (Figura 61), movemos la barra deslizable hasta el valor b = - 2, obtenemos la siguiente gráfica, Figura 62, en la pantalla:

Fig.62

La ventana Anim, también tiene un modo automático (Winplot lee los valores predeterminados en la barra deslizable) para cada recuadro que se activa. Al seleccionar este modo Winplot presenta en pantalla la gráfica en movimiento. Por ejemplo, en la parte inferior del recuadro de la Figura 60 se puede leer autorev (modo reversa) y autocyc (modo cíclico). Dichos modos nos permiten ver lo que sucede con la gráfica presentada en su forma general, f(x) = ax + b, cuando cada parámetro toma los valores predeterminados en la barra deslizable. Se puede observar, Figura 63, que el parámetro seleccionado ha sido el del recuadro de la Figura 60.

Fig.63 En la parte superior izquierda de la pantalla se puede visualizar las tres acciones que se pueden realizar cuando se activan tanto autorever como autocyc: Q = quit (salir), S = slow (lento) y F = fast (rápido). A partir de lo expuesto en la presente sección, nos podemos dar cuenta que cada ventana descrita (ver Figura 5) nos permite realizar una serie de acciones, las cuales vamos a utilizar. 2.2 OTROS COMANDOS

Winplot nos permite, a través de las ventana Equa, graficar curvas en coordenadas polares: r = f(t), paramétricas: x = f(t), y = g(t) y en la forma general: f(x,y) = 0. También, se pueden graficar ecuaciones diferenciales de primer orden: Deq (dy/dx, dy/dt); así como, obtener la grafica de la derivada de una función dada (recuadro inventory, opción derive). Además, si se desea sombrear una región determinada del plano, a partir de una o más curvas dadas, seleccionamos la ventana Misc y una vez ubicados en esta ventana seleccionamos la opción Shading. A continuación, a manera de ejemplo, se presenta la aplicación del Winplot al cálculo infinitesimal elemental. Ejemplo 1: Si queremos calcular el área limitada por la curva y = x4 – 2x3 +2, para los valores de x comprendidos entre –1 y 2; primero, seleccionamos la ventana One, luego hacemos clic sobre la opción Integration y elegimos la opción Integrate. A continuación, Figura 1, aparece el recuadro integration.

Fig.1

En este recuadro, digitamos los límites inferior (lower limit) y superior (upper limit) y seleccionamos un método de integración (por ejemplo, trapezoidal) para obtener el valor del área limitada por la curva. Si, además, se desea ‘pintar’ la región en mención seleccionamos overlay y hacemos clic sobre definite.

Fig.2

Obsérvese que en la pantalla, Figura 2, aparece ‘cubierta’ o ‘pintada’ la región bajo la curva y en el recuadro integration aparece el valor aproximado del área: 5,10001. Si se opta por el cálculo infinitesimal, debemos hallar la integral definida de la función y = x4 – 2x3 +2, con límite inferior igual a –1 y límite superior igual a 2, es decir:

A(R) = )dx2 2x- (x2

1-

34� + = 5,1

En el caso de seleccionar la ventana Two para dar solución a este ejemplo, lo que debemos tener en cuenta es que necesitamos otra función más aparte de la función inicial (y = x4 –2x3 +2). Una manera natural de obtener la segunda función es definiendo la función y = 0 y nos da el mismo valor aproximado: 5,10001. Ejemplo 2: Si se desea bosquejar la gráfica del sólido de revolución generado al girar la curva y = x , en el plano, alrededor del eje Y; primero seleccionamos la ventana One, luego la opción Revolve surface... y aparece, Figura 3, el recuadro surface of revolution.

Fig.3

En este recuadro, hacemos clic sobre y-axis, luego sobre see surface y aparece en la pantalla del monitor la gráfica deseada (Figura 4).

Fig.4

Ejemplo 3: Supongamos que a partir de la curva y = x , x ∈ [0; 4], se desea calcular el área de la superficie del sólido de revolución que se genera al rotar esta curva alrededor del eje X, para los valores de x comprendidos entre 0 y 4. En primer lugar, para visualizar la superficie en cuestión tenemos en cuenta lo realizado en el ejemplo 2 y obtenemos el siguiente recuadro (Figura 5):

Fig.5

Luego, en la misma ventana One, hacemos clic sobre la opción Integration y seleccionamos la opción Surface area of rev... A continuación, Figura 6, aparece el recuadro area of revolution.

Fig.6

En este recuadro, seleccionamos x-axis, digitamos 0 en arc start y 4 en arc stop. Finalmente, para obtener el valor del área de la superficie de revolución, hacemos clic sobre value = y nos da el valor aproximado: 36,17481 (Figura 7).

Fig.7 Si, además, nos piden calcular el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar la curva y = x alrededor del eje X, para los valores de x comprendidos entre 0 y 4, Figura 5, lo que tenemos que hacer es seleccionar, en la ventana One, la opción Integration, luego Volume of revolution... y a continuación aparece, Figura 8, el recuadro volume of revolution.

Fig.8

En este recuadro, seleccionamos x-axis, digitamos 0 en arc start y 4 en arc stop. Finalmente, para hallar el volumen del sólido de revolución, hacemos clic sobre value = y nos da el valor aproximado: 25,13274 (Figura 9).

Fig.9

Si se opta por el cálculo infinitesimal, ya que nos piden calcular el área de la

superficie del sólido de revolución, necesitamos la derivada de la curva y (y’ = x2

1)

y luego hallar la siguiente integral definida:

A(S) = dx 4x1

1 . x 24

0

+�π ≈ 36,18.

Para calcular el volumen del sólido de revolución, necesitamos hallar la siguiente integral definida:

V(S) = �4

0

dx x π = 8π ≈ 25,13.

Ejemplo 4: Dada la curva y = x3/2, si nos piden hallar la longitud del arco de dicha curva, Figura 10, desde el par ordenado (1; 1) hasta el par ordenado (3; 33/2), ¿qué tenemos que hacer?

Fig.10

Primero, seleccionamos la ventana One, a continuación la opción Integration, luego Length of arc...y aparece, Figura 11, el recuadro length of curve.

Fig.11

En este recuadro, digitamos 1 en lower limit y 3 en upper limit. Finalmente, para obtener el valor de la longitud del arco de dicha curva, hacemos clic sobre length y nos da el valor aproximado: 4,65661 (Figura 12).

Fig.12

Si se desea verificar la respuesta, necesitamos la derivada de la curva y (y’ = 21/ x23

)

para calcular la siguiente integral definida:

L(C) = dx 4

9x1

3

1� + ≈ 4,66.

Recordar que todas las presentaciones gráficas se han realizado en el plano X-Y (2-dim), si queremos trabajar con los ejes coordenados X-Y-Z, seleccionamos en el Menú Principal la ventana Window y luego la opción 3-dim F3.

2.3 GUESS: ADIVINA LA ECUACIÓN A través de la opción Guess podemos realizar una serie de preguntas o adivinanzas en relación a la gráfica de una función y su respectiva regla de correspondencia. La opción Guess, Figura 1, se encuentra en la ventana Window del Menú Principal.

Fig.1

Hacemos clic sobre Guess y aparece, por defecto, la gráfica de una función cuadrática (Figura 2).

Fig.2

Podemos ver, Figura 3, que en la parte superior de la pantalla existen seis ventanas.

Fig.3

Al seleccionar la ventana Equa (Figura 4), aparecen seis opciones (New Example, Guess, Answer, Select, Select all y Reset) las cuales pasamos a comentar.

Fig.4

La opción Select, nos permite seleccionar el tipo de gráfica que vamos a proponer como ADIVINANZA. Haciendo clic sobre esta opción, Figura 5, aparece un recuadro con las distintas funciones que uno puede escoger: polinómicas, racionales, cuadráticas, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y valor absoluto.

Fig.5 Obsérvese que, por defecto, está activada (�) la función cuadrática. Además, todas las funciones están expresadas respecto de la variable x y por lo general los parámetros a, b, c, d y n son números enteros, los cuales pueden deducirse a partir de la gráfica propuesta. Tener en cuenta que en las funciones polinómicas (polynomial) y racionales (rational) el número máximo de factores es ocho. Si seleccionamos la opción Select all, activamos todos los tipos de funciones (Figura 6) y si seleccionamos la opción Reset, se vuelve a activar sólo la función cuadrática.

Fig.6

Por ejemplo, Figura 7, si queremos ADIVINAR solamente funciones polinomiales de grado uno y grado dos, hacemos clic sobre Select y seleccionamos polynomial (�). Debajo de esta opción, digitamos el grado menor del polinomio (lo deg) así como el grado mayor (hi deg). Luego, hacemos clic sobre OK.

Fig.7 A continuación, seleccionamos la opción New Example y aparece, Figura 8, la gráfica de una función polinómica de grado uno.

Fig.8

Obsérvese que en la parte superior izquierda de la pantalla, Figura 9, aparece la expresión guess my equation (“adivina mi ecuación”).

Fig.9 Luego, en la misma ventana Equa, seleccionamos la opción Guess y aparece el siguiente recuadro (Figura 10)

Fig.10

En este recuadro, escribimos la regla de correspondencia de la gráfica de la función en pantalla. Supongamos que escribimos x2 (x +ALT94 o x.x) y luego hacemos clic sobre OK, vemos que aparece en la pantalla OTRA GRÁFICA (Figura 11).

Fig.11

Obsérvese que en la parte superior izquierda de la pantalla, Figura 12, aparece la expresión try again? (“tratar de nuevo?”).

Fig.12 Entonces, volvemos a seleccionar Guess y aparece el recuadro de la Figura 10; luego, borramos la regla de correspondencia que hemos escrito (x2), escribimos la regla de correspondencia de la gráfica de la función polinomial de grado uno: (x/2) + 1 y hacemos clic sobre OK. Obsérvese que en la parte superior izquierda de la pantalla, Figura 13, aparece la expresión perfect! (“perfecto!”).

Fig.13

Si queremos verificar nuestra respuesta, seleccionamos la opción Answer y aparece, Figura 14, el siguiente recuadro:

Fig.14

Si deseamos ADIVINAR la ecuación de otra gráfica, lo que tenemos que hacer es seleccionar New Example. Finalmente, si deseamos realizar algunas modificaciones, por ejemplo, en el fondo de la pantalla, el color de la gráfica o de los ejes coordenados lo que tenemos que hacer es seleccionar la ventana Misc (ver Figura 3) y a trabajar!

CAPÍTULO 3

APLICACIÓN DEL WINPLOT EN LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES

3.1 PRELIMINARES En el presente capítulo, se va a presentar la resolución de ecuaciones e inecuaciones teniendo en cuenta que todo planteamiento de solución de una ecuación en el conjunto de los Números Reales (ℜℜℜℜ) necesita de una técnica (arreglo algebraico, cálculo numérico o un artificio en particular). Asimismo, se va a presentar un planteamiento de solución geométrico intuitivo a través del Winplot. Por ejemplo, si nos proponen RESOLVER la ecuación 2x = x2, nos están pidiendo hallar los números reales (raíces de la ecuación) que satisfagan tal igualdad. A partir de la gráfica de las dos funciones, Figura 1, no es difícil identificar dos de estas raíces: x = 2 y x = 4; además, es fácil ver que existe una raíz negativa: x = a, a < 0.

Fig.1 También podemos afirmar, haciendo h(x) = 2x y g(x) = x2, que:

Si x < a, entonces g(x) > h(x). Si a < x < 2, entonces h(x) > g(x).

Formalmente ¿cómo nos aseguramos que existe tal número real a negativo? Para responder esta pregunta, tenemos que hacer uso del Teorema del cero: Sea f una función continua en el intervalo cerrado [c; d]. Si f(c) y f(d) tienen signos opuestos, entonces existe un número real a perteneciente al intervalo abierto ]c; d[ tal que f(a) = 0. A partir de la ecuación dada, se puede definir la función f(x) = 2x – x2. De donde, resolver la ecuación 2x = x2 es equivalente a resolver f(x) = 0. Obsérvese, Figura 2, que la gráfica de la función f es continua, en particular, en el intervalo cerrado [-1; 0].

Fig.2

Se puede verificar que f(0) > 0 y f(-1) < 0, entonces por el Teorema del cero, existe un número real a perteneciente al intervalo abierto ]-1; 0[ tal que f(a) = 0. Con Winplot, podemos identificar los tres puntos de intersección de la Figura 1:

(-0,76666; 0,58777), (2; 4) y (4; 16)

Se puede observar que la raíz x ≈≈≈≈ -0,76666, Figura 3, NO ES EXACTA y las raíces x=2, Figura 4, y x = 4, Figura 5, SÍ SON EXACTAS.

Fig.3 Fig.4 Fig.5

Si se desea una mejor aproximación para la raíz NO EXACTA, seleccionamos la ventana Equa, luego hacemos clic sobre Inventory...CTRL+I y aparece, Figura 6, el siguiente recuadro:

Fig.6

En este recuadro, se puede determinar la aproximación de la raíz con 14 decimales: x ≈≈≈≈ -0,76666469596212 Rigurosamente, para obtener una buena aproximación de esta raíz NO EXACTA se tendría que apelar al Cálculo Numérico (Método de Aproximaciones Sucesivas).

3.2 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO. 3.2.1 Resolver: 2x–3 = 3–2x Solución algebraica: 2x–3 = 3–2x 2x+2x = 3+3 4x = 6 x = 3/2 C.S. = {3/2} Winplot: Graficamos las funciones f(x) = 2x–3 y g(x) = 3–2x. Luego identificamos el punto de intersección (Meeting) entre dichas gráficas, Figura 1, y obtenemos el par ordenado (1,5; 0), de donde f(x) = g(x) cuando x = 1,5.

Fig.1

3.2.2 Resolver: 3

2x − =

61x2 −

Solución algebraica: 2 (x–2) = 2x–1 2x–4 = 2x–1 4 = 1 (→ ←) C.S. = ∅

Winplot: Graficamos las funciones f(x) =3

2x − y g(x) =6

1x2 −. Observamos que se

han graficado, Figura 2, dos rectas paralelas (no existe intersección entre dichas gráficas). Por lo tanto, C.S.= ∅.

Fig. 2

3.2.3 Resolver: x–4 = 24–3x Solución algebraica: x+3x = 24+4 4x = 28 x = 7

C.S. = {7} Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x – 4 y g(x) = 24 – 3x. Tener en cuenta que debemos hacer un Zoom para poder visualizar la gráfica de la segunda función. A continuación, identificamos el punto de intersección entre dichas gráficas, Figura 3, y obtenemos el par ordenado (7; 3), de donde f(x) = g(x) cuando x = 7.

Fig.3

3.2.4 Resolver: 57

x = 3+0,4x

Solución algebraica: 7x = 15+2x 7x – 2x = 15 5x = 15 x = 3

C.S. = {3}

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = 57 x y g(x) = 3+0,4 x. Luego, identificamos

el punto de intersección entre dichas gráficas, Figura 4, y obtenemos el par ordenado (3; 4,2), de donde f(x) = g(x) cuando x = 3.

Fig.4

3.2.5 Resolver: 12

5x +=

4x7 −

Solución algebraica: 4x+20 = 84–12x 4x+12x = 84–20 16x = 64 x = 4

C.S. = {4}

Winplot: Graficamos las funciones f(x) =12

5x + y g(x) =4

x7 −. Luego, identificamos

el punto de intersección entre dichas gráficas, Figura 5, y obtenemos el par ordenado (4; 0,75), de donde f(x) = g(x) cuando x = 4.

Fig. 5

3.2.6 Resolver: 1,2x–3 = 53

(2x–5)

Solución algebraica: 1,2x–3 = 53

(2x–5)

6x–15 = 3(2x–5) 6x–15 = 6x–15 0 = 0

C.S. = ℜ

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = 1,2x–3 y g(x) =53 (2x–5). Observamos que

en pantalla, Figura 6, “aparece” una gráfica, en lugar de dos. Lo que sucede es que las gráficas, en este caso, se superponen dado que las reglas de correspondencia de las funciones dadas son IGUALES (f(x) = g(x)).

Fig.6

3.3 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. 3.3.1 Resolver: 3x2 +9x = 0 Solución algebraica: 3 x2 +9x = 0 3x (x+3) = 0 (3x = 0) v (x+3 = 0) x = 0 v x = -3

C.S. = {0; -3} Winplot: Graficamos las funciones f(x) = 3 x2 + 9x y g(x) = 0. Luego, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 1, y obtenemos los pares ordenados (-3; 0) y (0; 0); de donde f(x) = g(x) cuando x = -3 v x = 0.

Fig.1

3.3.2 Resolver: 4x2 +1 = 0 Solución algebraica: S1) 4x2 = -1

x2 = - 41

(→ ←)

C.S. = ∅ S2) � = b2 – 4ac = (0)2 – 4(4)(1) → � < 0 C. S. = ∅ Winplot: Graficamos las funciones f(x) = 4 x2 + 1 y g(x) = 0. Observamos, Figura 2, que no existe intersección entre dichas gráficas. Por lo tanto, C.S. = ∅

Fig.2

3.3.3 Resolver: 4x2 –1 = 0 Solución algebraica: 4x2 –1 = 0 (2x+1)(2x–1) = 0 2x+1 = 0 v 2x–1 = 0

x = - 21

v x = 21

C.S. = {- 21

; 21

}

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = 4x2 – 1 y g(x) = 0. A continuación, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 3, y obtenemos los pares ordenados (-0,5; 0) y (0,5; 0), de donde f(x) = g(x) cuando x = -0,5 v x = 0,5.

Fig.3 3.3.4 Resolver: 2x2 –5x–1 = 0 Solución algebraica: S1) 2x2 –5x–1 = 0

x2 -25

x-21

= 0

x2 -25

x +(45

)2 – (45

)2 -21

= 0

(x - 45

)2 - 1633

= 0

(x - 45

)2 –(433

)2 = 0

(x - 45

+433

) (x - 45

-433

) = 0

x = 4

335 − v x =

4335 +

C.S. = {4

335 −;

4335 +

}

S2) 2x2 –5x–1 = 0

x = 4

8255 +±

x = 4

335 + v x =

4335 −

C.S. = {4

335 + ;

4335 −

}

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = 2x2–5x–1 y g(x) = 0. Luego, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 4, y obtenemos los pares ordenados (-0,18614; 0) y (2,68614; 0), de donde f(x) = g(x) cuando x ≈ - 0,18614 v x ≈ 2,68614.

Fig.4 Observación: Winplot nos da valores aproximados (≈≈≈≈) para la abscisa x. Estos valores aproximados los podemos hallar al determinar la intersección (Meeting) entre las gráficas o al abrir el recuadro inventory. 3.3.5 Resolver: 2x2 –x+4 = 0 Solución algebraica: S1) 2x2 –x+4 = 0

x2 - 2x

+2 = 0

x2 - 2x

+(41

)2 – (41

)2 +2 = 0

(x - 41

) 2 +1631

= 0

(x - 41

)2 = - 1631

( → ← )

C.S. = ∅

S2) 2x2 –x+4 = 0 � = b2 – 4ac = 1 – 4(2)(4) → � < 0 C.S. = ∅ Winplot: Graficamos las funciones f(x) = 2 x2 –x+4 y g(x) = 0. Podemos observar, Figura 5, que no existe intersección entre dichas gráficas. Por lo tanto, C.S. = ∅.

Fig.5

3.3.6 Resolver: 4x2 +20x +25 = 0 Solución algebraica: 4x2 +20x+25 = 0 (2x+5)2 = 0 2x+5 = 0

x = - 25

C.S. = {- 25

}

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = 4x2 +20x+25 y g(x) = 0. Luego, identificamos el punto de intersección entre dichas gráficas, Figura 6, y obtenemos el par ordenado (-2,5; 0), de donde f(x) = g(x) cuando x = - 2,5.

Fig.6

3.3.7 Resolver: 2x2 –7x–15 = 0

Solución algebraica: 2x2 –7x–15 = 0 (2x+3)(x–5) = 0 x = -3/2 v x = 5

C.S.= {-3/2; 5} Winplot: Graficamos las funciones f(x) = 2 x2 – 7x – 15 y g(x) = 0. A continuación, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 7, y obtenemos los pares ordenados (-1,5; 0) y (5; 0), de donde f(x) = g(x) cuando x = -1,5 v x = 5.

Fig.7

3.3.8 Resolver: 1–9x2 = 0 Solución algebraica: 1–9x2 = 0 (1–3x)(1+3x) = 0 x = 1/3 v x = - 1/3

C.S. = {1/3; -1/3} Winplot: Graficamos las funciones f(x) = 1–9x2 y g(x) = 0. Luego, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 8, y obtenemos los pares ordenados (- 0,333...; 0) y (0,333...; 0), de donde f(x) = g(x) cuando x = -1/3 v x = 1/3.

Fig.8

Observación: Cuando identificamos a la abscisa x, Figura 9, con el número 0,33333 NO estamos afirmando que x sea igual a 33333/100000.

Fig.9

Una manera de verificar lo expresado es a través del recuadro inventory, Figura 10, en donde podemos identificar que las primeras componentes (abscisa x) de los pares ordenados son números decimales periódicos puros.

Fig.10

3.3.9 Resolver: x2 - πx = 0 Solución algebraica: x2 - πx = 0 x (x- π) = 0 x = 0 v x = π

C.S. = {0; π} Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x2 - ππππ x y g(x) = 0. Luego, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 11, y obtenemos los pares ordenados (0; 0) y (3,14159; 0), de donde f(x) = g(x) cuando x = 0 v x ≈ 3,14159.

Fig.11 Se puede observar que para escribir el número real ππππ, Winplot lo lee como tal sólo si escribimos pi; es decir, si queremos escribir ππππx, Figura 12, ponemos pi*x.

Fig.12

Recordar que toda secuencia de letras y números, Winplot lo lee de izquierda a derecha. Por ejemplo, si escribimos xpi, Winplot lo lee como x* pi, en cambio pix se lee como p*i*x . 3.4 RESOLUCIÓN DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO

3.4.1 Resolver: 2x+1,25 ≤ 2x

+0,5

Solución algebraica: 2x+1,25 ≤ 2x

+0,5

2x- 2x

≤ 0,5–1,25

23

x ≤ -0,75

x ≤ -0,5 C.S.= ]- ∞ ; -0,5]

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = 2x + 1,25 y g(x) = 2x + 0,5. A continuación,

identificamos el punto de intersección de dichas gráficas, Figura 1, y obtenemos el par ordenado (-0,5; 0,25), de donde f(x) ≤≤≤≤ g(x) cuando x ≤ -0,5.

Fig.1

3.4.2 Resolver: - πx ≥ πx–2π Solución algebraica: - πx ≥ πx–2π 2π ≥ πx+πx

2π ≥ 2πx 1 ≥ x

C.S.= ]- ∞ ; 1] Winplot: Graficamos las funciones f(x) = -ππππx y g(x) = ππππx–2ππππ. Luego, identificamos el punto de intersección de dichas gráficas, Figura 2, y obtenemos el par ordenado (1; 3,14159), de donde f(x) ≥≥≥≥ g(x) cuando x ≤ 1.

Fig.2

3.4.3 Resolver: - 1,75x–0,5 > 0,5x+1,75 Solución algebraica: - 1,75x–0,5 > 0,5x+1,75 - 0,5–1,75 > 0,5x +1,75x - 2,25 > 2,25x - 1 > x

C.S.= ]- ∞ ; -1[ Winplot: Graficamos las funciones f(x) = -1,75x–0,5 y g(x) = 0,5x+1,75. A continuación identificamos el punto de intersección de dichas gráficas, Figura 3, y obtenemos el par ordenado (-1; 1,25), de donde f(x) > g(x) cuando x < -1.

Fig.3

3.5 RESOLUCIÓN DE INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 3.5.1 Resolver: x2 –x–6 ≥ 0 Solución algebraica: x2 –x–6 ≥ 0 (x–3) (x+2) ≥ 0

+ | - | + -2 3 C.S. = ]- ∞ ; -2] U [3; ∞[ Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x2 – x – 6 y g(x) = 0. A continuación, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 1, y obtenemos los pares ordenados (-2; 0) y (3; 0), de donde f(x) ≥≥≥≥ g(x) cuando x ≤ -2 v x ≥ 3.

Fig.1

3.5.2 Resolver: x2 –x–6 ≤ 0 Solución algebraica: x2 –x–6 ≤ 0 (x–3) (x+2) ≤ 0 + | - | + -2 3 C.S: = [-2; 3] Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x2 – x – 6 y g(x) = 0. A continuación, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 1, y obtenemos los pares ordenados (-2; 0) y (3; 0), de donde f(x) ≤≤≤≤ g(x) cuando -2 ≤ x ≤ 3. 3.5.3 Resolver: x2 +x–2 > 0 Solución algebraica: x2 +x–2 > 0 (x+2) (x–1) > 0 + | - | + -2 1 C.S.= ]- ∞ ; -2[ U ]1 ; ∞[ Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x2 + x – 2 y g(x) = 0. A continuación, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 2, y obtenemos los pares ordenados (-2; 0) y (1; 0), de donde f(x) > g(x) cuando x < -2 v x > 1.

Fig.2

3.5.4 Resolver: x2 +x–2 < 0 Solución algebraica: x2 +x–2 < 0 (x+2) (x–1) < 0 + | - | + -2 1 C.S. = ]–2; 1[ Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x2 + x – 2 y g(x) = 0. A continuación, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 2, y obtenemos los pares ordenados (-2; 0) y (1; 0), de donde f(x) < g(x) cuando -2< x <1. 3.5.5 Resolver: x2 –2x+2 > 0 Solución algebraica: x2 –2x+2 > 0 x 2 –2x+1+1 > 0 (x–1)2 +1 > 0 C.S. = ℜ Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x2 – 2x + 2 y g(x) = 0. Observamos, Figura 3, que NO existe intersección entre dichas gráficas y SIEMPRE la función f está sobre la función g. Por lo tanto, C.S. = ℜ.

Fig.3 3.5.6 Resolver: x2 –2x+2 < 0 Solución algebraica: x2 –2x+2 < 0 x 2 –2x+1+1 < 0

(x–1)2 +1 < 0 ( → ← ) C.S. = ∅ Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x2 –2x+2 y g(x) = 0. Observamos, Figura 3, que NO existe intersección entre dichas gráficas y SIEMPRE la función f está sobre la función g. Por lo tanto, C.S. = ∅. 3.5.7 Resolver: x2 +2x–2 ≥ 0 Solución algebraica: x2 +2x–2 ≥ 0 x2 +2x+1–1–2 ≥ 0 (x+1)2 –3 ≥ 0 (x+1+ 3 ) (x+1- 3 ) ≥ 0 + | - | + -1 - 3 3 - 1 C.S. = ] - ∞ ; -1 - 3 ] U [ 3 - 1; ∞ [ Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x2 + 2x – 2 y g(x) = 0. A continuación, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 4, y obtenemos los pares ordenados (-2,73205; 0) y (0,73205; 0), de donde f(x) ≥≥≥≥ g(x) cuando x ≤ -2,73205 v x ≥ 0,73205.

Fig.4

3.5.8 Resolver: x2 +2x–2 ≤ 0 Solución algebraica : x2 +2x–2 ≤ 0 x2 +2x+1–1– 2 ≤ 0 (x+1)2 –3 ≤ 0 (x +1+ 3 ) (x+1- 3 ) ≤ 0 + | - | + -1 - 3 3 - 1 C.S. = [ -1 - 3 ; 3 - 1 ] Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x2 + 2x – 2 y g(x) = 0. A continuación, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 4, y obtenemos los

pares ordenados (-2,73205; 0) y (0,73205; 0), de donde f(x) ≤≤≤≤ g(x) cuando -2,73205 ≤ x ≤ 0,73205. 3.5.9 Resolver: 2–x– x2 > 0 Solución algebraica: S1) 2–x– x2 > 0 (1–x) (2+x) > 0 - | + | - - 2 1 C.S. = ] –2 ; 1 [ S2) 2–x– x2 > 0 x2 +x–2 < 0 (x+2) (x–1) < 0 + | - | + -2 1 C.S. = ]–2; 1[ Winplot: Graficamos las funciones f(x) = 2 – x – x2 y g(x) = 0. A continuación, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 5, y obtenemos los pares ordenados (-2; 0) y (1; 0), de donde f(x) > g(x) cuando - 2 < x < 1.

Fig.5

3.5.10 Resolver: - 41

- x2 < 0

Solución algebraica: - 41

- x2 < 0

x2 +41

> 0

C.S. = ℜ

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = - 41 - x2 y g(x) = 0. Observamos, Figura

6, que NO existe intersección entre dichas gráficas y SIEMPRE la función g está sobre la función f. Por lo tanto : C.S. = ℜ.

Fig.6

3.6 RESOLUCIÓN DE INECUACIONES POLINÓMICAS DE GRADO MAYOR QUE DOS. 3.6.1 Resolver: x3 –x2 –2x ≥ 0 Solución algebraica: x3 – x2 – 2x ≥ 0 x (x–2) (x+1) ≥ 0 - | + | - | + -1 0 2 C.S. = [-1; 0] U [2; ∞[ Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x3 – x2 – 2x y g(x) = 0. A continuación, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 1, y obtenemos los pares ordenados (-1; 0), (0; 0) y (2; 0), de donde f(x) ≥≥≥≥ g(x) cuando -1 ≤ x ≤ 0 v x ≥ 2.

Fig.1 3.6.2 Resolver: x3 – x2 – 2x < 0 Solución algebraica: x3 – x2 – 2x < 0 x (x–2) (x+1) < 0 - | + | - | + -1 0 2 C.S. = ]- ∞ ; -1[ U ]0; 2[

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x3 – x2 – 2x y g(x) = 0. A continuación, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 1, y obtenemos los pares ordenados (-1; 0), (0; 0) y (2; 0), de donde f(x) < g(x) cuando x < -1 v 0 < x < 2. 3.6.3 Resolver: x3 –2x ≤ 0 Solución algebraica: x3 –2x ≤ 0 x (x+ 2 ) (x– 2 ) ≤ 0 - | + | - | + - 2 0 2 C.S. = ]- ∞ ; - 2 ] U [0; 2 ] Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x3 – 2x y g(x) = 0. LA continuación, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 2, y obtenemos los pares ordenados (-1,41421; 0), (0; 0) y (1,41421; 0), de donde f(x) ≤≤≤≤ g(x) cuando x ≤ -1,41421 v 0 ≤ x ≤ 1,41421.

Fig.2

3.6.4 Resolver: x3 –2x > 0 Solución algebraica: x3 – 2x > 0 x (x+ 2 ) (x– 2 ) > 0 - | + | - | + - 2 0 2 C.S. = ]- 2 ; 0[ U ] 2 ; ∞[ Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x3 – 2x y g(x) = 0. Luego, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 2, y obtenemos los pares ordenados (-1,41421; 0), (0; 0) y (1,41421; 0), de donde f(x) > g(x) cuando -1,41421 < x < 0 v x >1,41421. 3.6.5 Resolver: x3 –2x2 –x+2 < 0 Solución algebraica: x3 –2x2 –x+2 < 0 (x+1) (x–1) (x–2) < 0

- | + | - | + -1 1 2 C.S. = ]- ∞ ; -1[ U ]1; 2[ Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x3 – 2 x2 – x + 2 y g(x) = 0. A continuación, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 3, y obtenemos los pares ordenados (-1; 0), (1; 0) y (2; 0), de donde f(x) < g(x) cuando x < -1 v 1 < x < 2.

Fig.3

3.6.6 Resolver: 2x3 +3x2 –2x ≥ 0 Solución algebraica: x3 +3x2 –2x ≥ 0 x (x+2) (2x–1) ≥ 0 - | + | - | + -2 0 1/2 C.S. = [-2; 0] U [1/2; ∞[ Winplot: Graficamos las funciones f(x) =2x3 +3x2 –2x y g(x) = 0. Luego, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 4, y obtenemos los pares ordenados (-2; 0), (0; 0) y (0,5; 0), de donde f(x) ≥≥≥≥ g(x) cuando -2 ≤ x ≤ 0 v x ≥ 0,5.

Fig.4

3.6.7 Resolver: x4 –3x2 +2 ≤ 0 Solución algebraica: x4 –3x2 +2 ≤ 0

(x2–2) (x2–1) ≤ 0 (x+ 2 ) (x– 2 ) (x+1) (x–1) ≤ 0 + | - | + | - | + - 2 -1 1 2 C.S. = [- 2 ; -1] U [1; 2 ] Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x4 – 3x2 + 2 y g(x) = 0. Luego, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 5, y obtenemos los pares ordenados (-1,41421; 0), (-1; 0), (1; 0) y (1,41421; 0), de donde f(x) ≤≤≤≤ g(x) cuando -1,41421 ≤ x ≤ 1 v 1 ≤ x ≤ 1,41421.

Fig.5

3.6.8 Resolver: x3 +7x2 +15x+9 ≥ 0 Solución algebraica: x3 +7x2 +15x+9 ≥ 0 (x+1) (x+3)2 ≥ 0 - | - | + -3 -1 C.S.= [-1; ∞[ U {-3} Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x3 + 7x2 + 15x + 9 y g(x) = 0. A continuación, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 6, y obtenemos los pares ordenados (-3; 0) y (-1; 0), de donde f(x) ≥≥≥≥ g(x) cuando x = -3 v x ≥ -1.

Fig.6

3.6.9 Resolver: x3 +7x2 +15x+9 < 0 Solución algebraica: x3 +7x2 +15x+9 < 0 (x+1) (x+3)2 < 0 - | - | + -3 -1 C.S. = ]- ∞ ; -1[ - {-3} Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x3 + 7x2 + 15x + 9 y g(x) = 0.Luego, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 6, y obtenemos los pares ordenados (-3; 0) y (-1; 0), de donde f(x) < g(x) cuando x < -1 ; x ≠ -3. 3.6.10 Resolver: x6 + x4 +x–1 ≤ 0 Solución: x6 + x4 + x–1 ≤ 0 (x6–1) + (x4+x) ≤ 0 (x3+1) (x3–1) + x (x3+1) ≤ 0 (x3+1) (x 3 + x – 1) ≤ 0 (x+1) (x2 – x + 1) (x3 + x –1) ≤ 0

* Sea p(x) = x2 – x + 1 = x2 – x + 41 -

41

+ 1 = (x-21

)2 + 43

� p(x) > 0.

* Sea q(x) = x3 + x – 1, se verifica que existe un número real a, 0< a <1, tal que q(a) = 0 (x +1)(x3 +x–1) ≤ 0 + | - | + -1 a C.S. = [-1; a] Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x6 + x4 +x–1 y g(x) = 0. Luego, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 7, y obtenemos los pares ordenados (-1; 0) y (0,68233; 0), de donde f(x) ≤≤≤≤ g(x) cuando -1 ≤ x ≤ 0,68233.

Fig.7

3.6.11 Resolver: x5 – x4 – x3 + x2 –2x+2 > 0 Solución algebraica: x5 – x4 – x3 + x2 –2x+2 > 0

x4 (x –1)– x2 (x–1) – 2 (x–1) > 0 (x–1) (x4–x2–2) > 0 (x–1) (x2–2) (x2+1) > 0 (x–1) (x2–2) > 0 (x–1) (x+ 2 ) (x- 2 ) > 0 - | + | - | + - 2 1 2 C.S. = ]- 2 ; 1[ U ] 2 ; ∞[ Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x 5 – x 4 – x 3 + x 2 – 2x + 2 y g(x) = 0. Luego, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 8, y obtenemos los pares ordenados (-1,41421; 0), (1; 0) y (1,41421; 0), de donde f(x) > g(x) cuando -1,41421< x < 1 v x > 1,41421.

Fig.8

3.6.12 Resolver: x8 + x4 –2 < 0 Solución algebraica: x8 + x4 – 2 < 0 (x4+2) (x4–1) < 0 (x4+2) (x2+1) (x+1) (x–1) < 0 (x+1) (x–1) < 0 + | - | + - 1 1 C.S. = ]–1; 1[ Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x8 + x4 – 2 y g(x) = 0. Luego, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 9, y obtenemos los pares ordenados (-1; 0) y ( 1; 0), de donde f(x) < g(x) cuando -1 < x < 1.

Fig.9

3.6.13 Resolver: x5 +x–1 ≤ 0 Solución: x5 + x–1 ≤ 0 x5 + x2 – x2 + x – 1 ≤ 0 x2 (x3+1) – (x2 –x+1) ≤ 0 x2 (x+1) (x2–x+1) – (x2–x+1) ≤ 0 (x2–x+1) (x3+x2 –1) ≤ 0

*Sea p(x) = x2–x+1 = x2–x + 41

-41

+ 1 = (x-21

)2 + 43

� p(x) > 0.

*Sea q(x) = x3+x2 –1, se verifica que existe un número real a, 0< a <1, tal que q(a) = 0. (x3+x2–1) ≤ 0 - | + a C.S. = ]- ∞ ; a] Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x5 + x – 1 y g(x) = 0. A continuación, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 10, y obtenemos el par ordenado (0,75488; 0), de donde f(x) ≤≤≤≤ g(x) cuando x ≤ 0,75488.

Fig.10 3.6.14 Resolver: 2x4+5x3– x2–5x+2 ≤ 0 Solución algebraica: 2x4+5x3– x2–5x+2 ≤ 0 (2x–1) (x+2) (x2+x-1) ≤ 0

* x 2 +x–1 = x 2 +x+41

- 41

-1 = (x+21

)2 - 45

= (x+21

) 2 - (25

) 2

(2x–1) (x+2) (x+25

21 + ) (x+

25

21 − ) ≤ 0

+ | - | + | - | +

-2 - 2

51+

21

2

15 −

C.S. = [-2; - 2

51+] U [

21

; 2

15 −]

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = 2x4 +5x3 –x2 –5x+2 y g(x) = 0. Luego, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 11, y obtenemos los pares ordenados (-2; 0), (-1,61803; 0), (0,5; 0) y (0,61803; 0), de donde f(x) ≤≤≤≤ g(x) cuando -2 ≤ x ≤ -1,61803 v 0,5 ≤ x ≤ 0,61803.

Fig.11

Observación: Si se desea visualizar mejor la gráfica de la función f, para valores de la abscisa x entre 0,5 y 0,61803 , seleccionamos la ventana VIEW y hacemos clic sobre Zoom In Crtl+S. Se puede ver que la gráfica de la función f se “acerca” cada vez que clikeamos sobre Zoom In. 3.6.15 Resolver: x5 +4x4 -10x2–x+6 > 0 Solución algebraica : x5 +4x4 -10x2–x+6 > 0 (x+1) (x+2) (x+3) (x–1)2 > 0 - | + | - | + | + -3 -2 -1 1 C.S. = ]-3; -2[ U ]-1; 1[ U ]1; ∞[ Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x 5 + 4 x 4 - 10 x 2 – x + 6 y g(x) = 0. Luego, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 12, y obtenemos los pares ordenados (-3; 0), (-2; 0), (-1; 0) y (1; 0), de donde f(x) > g(x) cuando -3 < x <-2 v -1 < x < 1 v x > 1.

Fig.12

3.6.16 Resolver: 1–x6 < 0 Solución algebraica: 1–x6 < 0 x6–1 > 0 (x3+1) (x3–1) > 0 (x+1) (x2–x+1) (x–1) (x2+x+1) > 0

*Sea p(x) = x 2 –x+1 = x2 –x+41

-41

+1 = (x- 21

)2 +43

� p(x) > 0.

*Sea q(x) = x 2 +x+1 = x2 +x+41

-41

+1 = (x+21

)2 +43

� q(x) > 0.

(x+1) (x–1) > 0 + | - | + - 1 1 C.S. = ]- ∞ ; -1[ U ]1; ∞ [ Winplot: Graficamos las funciones f(x) = 1–x6 y g(x) = 0. Luego, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 13, y obtenemos los pares ordenados (-1; 0) y (1; 0), de donde f(x) < g(x) cuando x < -1 v x > 1.

Fig.13

3.6.17 Resolver: x5 +x4 –2x3 –2x2 +x+1 ≤ 0 Solución algebraica: x5 +x4 –2x3 –2x2 +x+1 ≤ 0 x4 (x+1) – 2x2 (x+1) + (x+1) ≤ 0 (x+1) (x4 – 2x2+1) ≤ 0 (x+1) (x2–1)2 ≤ 0

(x+1) (x+1)2 (x–1)2 ≤ 0 (x+1)3 (x–1)2 ≤ 0 - | + | + - 1 1 C.S. = ]- ∞ ; -1] U {1} Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x5 +x4 –2x3 –2x2 +x+1 y g(x) = 0. Luego, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 14, y obtenemos los pares ordenados (-1; 0) y (1; 0), de donde f(x) ≤≤≤≤ g(x) cuando x ≤ -1 v x = 1.

Fig.14

3.7 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON RAÍZ CUADRADA. 3.7.1 Resolver: 1 x − = 7–3x Solución algebraica: 1 x − = 7–3x x–1 = (7–3x )2 ; 1 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 7/3 x–1 = 49–42x+9x2 9x2 –43x+50 = 0 (9x–25)(x–2) = 0 x = 25/9 v x = 2 C.S. = {2} Winplot*: Graficamos las funciones f(x) = 1 x − y g(x) = 7–3x. A continuación identificamos la intersección de dichas gráficas, Figura 1, y obtenemos el par ordenado (2; 1), de donde f(x) = g(x) cuando x = 2.

* Notación Winplot: x = sqr (x)

Fig.1

3.7.2 Resolver: 1x2 − = x Solución algebraica: 1x2 − = x 2x–1 = x2 ; x ≥≥≥≥ 1/2 x2 –2x–1 = 0 (x–1)2 = 0 x = 1 C.S. = {1} Winplot: Graficamos las funciones f(x) = 1x2 − y g(x) = x. Luego, identificamos la intersección de dichas gráficas, Figura 2, y obtenemos el par ordenado (1; 1), de donde f(x) = g(x) cuando x = 1.

Fig.2

3.7.3 Resolver: x = x–2 Solución algebraica: x = x–2 x = (x–2)2 ; x ≥≥≥≥ 2 x = x2 –4x+4 x2 –5x+4 = 0 (x- 4)(x–1) = 0 x = 4 v x = 1 C.S. = {4}

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x y g(x) = x–2. Luego, identificamos la intersección de dichas gráficas, Figura 3, y obtenemos el par ordenado (4; 2), de donde f(x) = g(x) cuando x = 4.

Fig.3

3.7.4 Resolver: x = 2–x Solución algebraica: x = 2–x x = (2–x)2 ; 0 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 2 x = 4–4x+x2 x2 –5x+4 = 0 (x-4)(x–1) = 0 x = 4 v x = 1

C.S. = {1}

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x y g(x) = 2–x. Luego, identificamos el punto de intersección de dichas gráficas, Figura 4, y obtenemos el par ordenado (1; 1), de donde f(x) = g(x) cuando x = 1.

Fig.4

3.7.5 Resolver: x2 − = x Solución algebraica: x2 − = x 2–x = x2 ; 0 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 2 x2 +x–2 = 0 (x+2)(x–1) = 0 x = - 2 v x = 1 C.S. = {1}

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x2 − y g(x) = x. Luego, identificamos el punto de intersección de dichas gráficas, Figura 5, y obtenemos el par ordenado (1; 1), de donde f(x) = g(x) cuando x = 1.

Fig.5

3.7.6 Resolver: 1x2 − = x – 2 Solución algebraica: 1x2 − = x–2 2x–1 = (x–2)2 ; x ≥≥≥≥ 2 2x–1 = x2 –4x+4 x2 –6x+5 = 0 (x–5)(x–1) = 0 x = 5 v x = 1 C.S. = {5} Winplot: Graficamos las funciones f(x) = 1x2 − y g(x) = x–2. A continuación, identificamos la intersección de dichas gráficas, Figura 6, y obtenemos el par ordenado (5; 3), de donde f(x) = g(x) cuando x = 5.

Fig.6 3.7.7 Resolver: x = x2 − Solución algebraica: x = x2 − x = 2-x ; 0 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 2 2x = 2 x = 1 C.S. = {1}

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x y g(x) = x2 − . A continuación, identificamos el punto de intersección de dichas gráficas, Figura 7, y obtenemos el par ordenado (1; 1), de donde f(x) = g(x) cuando x = 1.

Fig.7

3.7.8 Resolver: 1x − = 2x

Solución algebraica: 1x − = 2x

x–1 = 4

x 2

; x ≥≥≥≥ 1

4x–4 = x2 x2 –4x+4 = 0 (x–2)2 = 0 C.S. = {2}

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = 1x − y g(x) = 2x

. Luego, identificamos

la intersección de dichas gráficas, Figura 8, y obtenemos el par ordenado (2; 1), de donde f(x) = g(x) cuando x = 2.

Fig.8

3.7.9 Resolver: 3x + = 9–x Solución algebraica: 3x + = 9–x x+3 = (9–x)2 ; - 3 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 9

x+3 = 81–18x+x 2 x2 –19x–78 = 0 (x–13)(x–6) = 0 x = 13 v x = 6 C.S. = {6} Winplot: Graficamos las funciones f(x) = 3x + y g(x) = 9–x. Luego, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 9, y obtenemos el par ordenado (6; 3), de donde f(x) = g(x) cuando x = 6.

Fig.9

3.7.10 Resolver: x = x–1 Solución algebraica: x = x–1 x = (x–1)2 ; x ≥≥≥≥ 1 x = x2 –2x+1 x2 –3x+1 = 0

x = 2

493 −±

x = 2

53+ v x =

253−

C.S. = {2

53+}

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x y g(x) = x–1. A continuación, identificamos el punto de intersección de dichas gráficas, Figura 10, y obtenemos el par ordenado (2,61803; 1,61803), de donde f(x) = g(x) cuando x ≈ 2,61803.

Fig.10

3.7.11 Resolver: 1x 2 + = 2x4 −

Solución algebraica: 1x 2 + = 2x4 − ; - 2 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 2 x2 +1 = 4–x2 2x2 = 3

x2 = 23

x = - 23

v x = 23

C.S. = {-23

; 23

}

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = 1x 2 + y g(x) = 2x4 − . Luego, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 11, y obtenemos los pares ordenados (-1,22474; 1,58114) y (1,22474; 1,58114), de donde f(x) = g(x) cuando x ≈ - 1,22474 v x ≈ 1,22474.

Fig.11

3.7.12 Resolver: x2 +1 = 3x + Solución: x2 +1 = 3x + (x2 +1)2 = x+3 ; x ≥≥≥≥ - 3 x4 +2x2 +1 = x+3 x4 +2x2 –x–2 = 0 (x–1)( x3 +x2 +3x+2) = 0

(x = 1) v ( x3 +x2 +3x+2 = 0) *Sea g(x) = x3 +x2 +3x+2, se verifica que existe un número real a, -1< a < 0, tal que g(a) = 0. C.S = {1; a} Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x2 + 1 y g(x) = 3x + . A continuación, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 12, y obtenemos los pares ordenados (- 0,71523; 1,51155) y (1; 2), de donde f(x) = g(x) cuando x ≈ - 0,71523 v x = 1.

Fig.12 3.7.13 Resolver: x2 = 2 x + Solución: x2 = 2 x + x4 = x+2 ; x ≥≥≥≥ - 2 x4 –x–2 = 0 (x+1)(x3 –x2 +x–2) = 0 *Sea g(x) = x3 –x2 +x–2, se verifica que existe un número real a, 1< a < 2 tal que g(a) = 0 C.S. = {-1; a} Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x2 y g(x) = 2 x + . Luego, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 13, y obtenemos los pares ordenados (-1; 1) y (1,35321; 1,83118), de donde f(x) = g(x) cuando x = -1 v x ≈ 1,35321.

Fig.13 3.8 RESOLUCIÓN DE INECUACIONES CON RAÍZ CUADRADA.

3.8.1 Resolver: x1− ≤ x Solución algebraica: x1− ≤ x 1–x ≤ x2 ; 0 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 1

0 ≤ x2 +x–1

0 ≤ x2 +x +41

41 − -1

0 ≤ (x+21

)2 - 45

0 ≤ (x+ 25

21 + ) (x+

25

21 − )

+ | - | + ; 0 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 1

- (25

21 + )

215 −

C.S. = [ 2

15 − ; 1 ]

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x1− y g(x) = x. Luego, identificamos el punto de intersección entre dichas gráficas, Figura 1, y obtenemos el par ordenado (0,61803; 0,61803), de donde f(x) ≤≤≤≤ g(x) cuando x ≥ 0,61803. Dado que la función f está definida para x ≤≤≤≤ 1, entonces f(x) ≤≤≤≤ g(x) cuando 0,61803 ≤ x ≤ 1.

Fig.1 3.8.2 Resolver: x ≤ x1− Solución algebraica: Si x ≥≥≥≥ 0 ∧ (1-x ) ≥ 0: x ≤ x1− x2 ≤ 1-x x2 +x–1 ≤ 0

x2 +x+41

41 − -1 ≤ 0

(x+21

)2 - 45 ≤ 0

(x+25

21 + ) (x+

25

21 − ) ≤ 0

+ | - | + ; 0 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 1

- (25

21 + )

215 −

CS1 = [0; 2

15 −]

Si x < 0, entonces x1− ≥ 0: x ≤ x1− CS2 = ]-∞ ; 0 [

∴C.S. = CS1 U CS2 = ] - ∞ ; 2

15 −]

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x1− y g(x) = x. Luego, identificamos el punto de intersección entre dichas gráficas, Figura 1, y obtenemos el par ordenado (0,61803; 0,61803), de donde g(x) ≤≤≤≤ f(x) cuando x ≤ 0,61803. 3.8.3 Resolver: x < 2 x + Solución algebraica: Si x ≥≥≥≥ 0 ∧ (x + 2) ≥ 0: x < 2 x + x2 < x+2 x2 –x–2 < 0 (x–2) (x+1) < 0 + | - | + ; x ≥≥≥≥ 0 -1 2 CS1 = [ 0; 2 [ Si x < 0 ∧ (x + 2) ≥ 0: x < 2 x + CS2 = [-2; 0 [

∴ C.S. = CS1 U CS2 = [-2; 2 [

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x y g(x) = 2 x + . A continuación, identificamos el punto de intersección entre dichas gráficas, Figura 2, y obtenemos el par ordenado (2; 2), de donde f(x) < g(x) cuando -2 ≤ x < 2.

Fig.2

3.8.4 Resolver: 2 x + < x Solución algebraica: 2 x + < x x+2 < x2 ; x ≥ 0 x2 –x–2 > 0 (x+1) (x–2) > 0 + | - | + ; x ≥≥≥≥ 0 -1 2 C.S. = ] 2 ; ∞ [ Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x y g(x) = 2 x + . A continuación, identificamos el punto de intersección entre dichas gráficas, Figura 2, y obtenemos el par ordenado (2; 2), de donde g(x) < f(x) cuando x > 2. 3.8.5 Resolver: 2 x + ≤ x2 Solución: 2 x + ≤ x2 ; x ≥≥≥≥ -2 x+2 ≤ x4 x4 –x–2 ≥ 0 (x+1) (x3 –x2 +x–2) ≥ 0 *Sea f(x) = x3 –x2 +x–2, se verifica que existe un número real a, 1< a < 2, tal que f(a) = 0. + | - | + ; x ≥≥≥≥ -2 -1 a C.S. = [-2; -1] U [a; ∞ [ Winplot: Graficamos las funciones f(x) = 2 x + y g(x) = x2. Luego, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 3, y obtenemos los pares ordenados (-1; 1) y (1,35321; 1,83118), de donde g(x) ≥≥≥≥ f(x) cuando –2 ≤ x ≤ -1 v x ≥ 1,35321.

Fig.3

3.8.6 Resolver: x2 ≤ 2 x + Solución: x2 ≤ 2 x +

x4 ≤ x+2 ; x ≥≥≥≥ -2 x4 –x–2 ≤ 0 (x+1)(x3 –x2 +x–2) ≤ 0 *Sea f(x) = x3 –x2 +x–2, se verifica que existe un número real a, 1 < a < 2, tal que f(a) = 0. + | - | + ; x ≥≥≥≥ -2 -1 a CS = [-1; a ] ∴ C.S. = [-1; a] Winplot: Graficamos las funciones f(x) = 2 x + y g(x) = x2. Luego, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 3, y obtenemos los pares ordenados (-1; 1) y (1,35321; 1,83118), de donde g(x) ≤ f(x) cuando –1≤ x ≤ 1,35321.

3.8.7 Resolver: 2x1− < x2

Solución algebraica: 2x1− < x2 1–x2 < x4 ; –1 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 1 x4 +x2 –1 > 0 Sea p = x 2: p2 +p–1 > 0

p2 +p+41

41 − -1 > 0

(p+21

)2 - 45

> 0

(p + 25

21 + ) (p+

25

21 − ) > 0

(x2 +25

21 + ) (x2 +

25

21 − ) > 0

x2 +25

21 − > 0

x2 – (2

15 −) > 0

x2 – (2

15 −)2 > 0

(x+2

15 −)(x -

215 −

) > 0

+ | - | + ; -1 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 1.

- 2

15 −

215 −

C.S. = [-1; -2

15 −[ U ]

215 −

; 1 ]

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = 2x1− y g(x) = x2. A continuación, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 4, y obtenemos los pares ordenados (-0,78615; 0,61803) y (0,78615; 0,61803), de donde f(x) < g(x) cuando -1≤ x < -0,78615 v 0,78615 < x ≤ 1.

Fig.4

3.8.8 Resolver: x2 < 2x1− Solución algebraica: x2 < 2x1− x4 < 1–x2 ; –1 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 1 x4 +x2 –1 < 0 Sea p = x2: p2 +p–1 < 0

p2 +p+41

41 − -1 < 0

(p+21

)2 - 45

< 0

(p+25

21 + ) (p+

25

21 − ) < 0

(x2 +25

21 + ) (x2 +

25

21 − ) < 0

x2 +25

21 − < 0

x2 – (2

15 −) < 0

x2 – (2

15 −)2 < 0

(x+2

15 −)(x -

215 −

) < 0

+ | - | + ; -1 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 1.

- 2

15 −

215 −

C.S. = ]-2

15 −;

215 −

[

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = 2x1− y g(x) = x2. A continuación, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 4, y obtenemos los pares ordenados (-0,78615; 0,61803) y (0,78615; 0,61803), de donde g(x) < f(x) cuando -0,78615 < x < 0,78615. 3.8.9 Resolver: 2 x + ≤ 1 Solución algebraica: 2 x + ≤ 1 x+2 ≤ 1 ; x ≥≥≥≥ -2 x ≤ -1 C.S. = [-2; -1] Winplot: Graficamos las funciones f(x) = 2 x + y g(x) = 1. Luego, identificamos el punto de intersección entre dichas gráficas, Figura 5, y obtenemos el par ordenado (-1; 1), de donde f(x) ≤≤≤≤ g(x) cuando –2 ≤ x ≤ -1.

Fig.5

3.8.10 Resolver: 1 < 2x + Solución algebraica: 1 < 2 x + 1 < x+2 ; x ≥≥≥≥ -2 -1 < x C.S. = ]–1; ∞ [ Winplot: Graficamos las funciones f(x) = 2 x + y g(x) = 1. A continuación, identificamos el punto de intersección entre dichas gráficas, Figura 5, y obtenemos el par ordenado (-1; 1), de donde f(x) > g(x) cuando x > -1. 3.8.11 Resolver: x1− > 1 Solución algebraica: Si 0 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 1: x1− > 1 1–x > 1 -x > 0 x < 0 � CS1 = ∅

Si x < 0: x1 − > 1 � CS2 = ]-∞ ; 0[ C.S. = CS1 U CS2 = ]-∞ ; 0[ Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x1− y g(x) = 1. A continuación, identificamos el punto de intersección entre dichas gráficas, Figura 6, y obtenemos el par ordenado (0; 1), de donde f(x) > g(x) cuando x < 0.

Fig.6

3.8.12 Resolver: - x < x1− Solución algebraica: Si 0 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 1: - x < x1− � CS1 = [0; 1] Si x < 0: - x < x1− x2 < 1–x x2 +x–1 < 0

x2 +x +41

41 − -1 < 0

(x+21

)2 - 45

< 0

(x+25

21 + ) (x+

25

21 − ) < 0

+ | - | + ; x < 0

- (25

21 + )

215 −

CS2 = ]- (25

21 + ); 0[

∴ C.S. = CS1 U CS2 = ]- (25

21 + ); 1]

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = -x y g(x) = x1− . Luego identificamos el punto de intersección entre dichas gráficas, Figura 7, y obtenemos el par ordenado (-1,61803; 1,61803), de donde f(x) < g(x) cuando -1,61803 < x ≤ 1.

Fig.7

3.8.13 Resolver: x1− < - x Solución algebraica: Si 0 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 1: x1− < - x � CS1 = ∅ Si x < 0: x1 − < - x 1–x < x2

x2 +x–1 > 0

x2 +x+41

41 − -1 > 0

(x+21

)2 -45

> 0

(x+25

21 + ) (x+

25

21 − ) > 0

+ | - | + ; x < 0

- (25

21 + )

215 −

CS2 = ]-∞ ; - (25

21 + )[

∴ C.S. = CS1 U CS2 = ]-∞ ; - (25

21 + )[

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = -x y g(x) = x1− . Luego, identificamos el punto de intersección entre dichas gráficas, Figura 7, y obtenemos el par ordenado (-1,61803; 1,61803), de donde f(x) > g(x) cuando x < -1,61803. 3.8.14 Resolver: 2 x + < x+1 Solución algebraica: Si –2 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ -1: 2 x + < x+1 � CS1 = ∅ Si x > -1: 2 x + < x+1 x+2 < x2 +2x+1 0 < x2 +x–1

0 < x2 +x+41

41 − -1

0 < (x+21

)2 - 45

0 < (x+25

21 + ) (x+

25

21 − )

+ | - | + ; x > -1

- (25

21 + )

215 −

CS2 = ]2

15 −; ∞[

∴ C.S. = CS1 U CS2 = ]2

15 −; ∞[

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = 2 x + y g(x) = x+1. Luego, identificamos el punto de intersección entre dichas gráficas, Figura 8, y obtenemos el par ordenado (0,61803; 1,61803), de donde f(x) < g(x) cuando x > 0,61803.

Fig.8 3.8.15 Resolver: x+1 < 2 x + Solución algebraica: Si –2 ≤≤≤≤ x < -1: x+1 < 2 x + � CS1 = [-2; -1[ Si x ≥≥≥≥ -1: x+1 < 2 x + x2 +2x+1 < x+2 x2 +x–1 < 0

x2 +x+41

41 − -1 < 0

(x+21

)2 - 45

< 0

(x+25

21 + )( x+

25

21 − ) < 0

+ | - | + ; x ≥≥≥≥ -1

- (25

21 + )

215 −

CS2 = [-1; 2

15 −[

∴ C.S. = CS1 U CS2 = [-2; 2

15 −[

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = 2 x + y g(x) = x + 1. Luego, identificamos el punto de intersección entre dichas gráficas, Figura 8, y obtenemos el par ordenado (0,61803; 1,61803), de donde g(x) < f(x) cuando -2 ≤ x < 0,61803. 3.8.16 Resolver: x–1 ≤ 1 x + Solución algebraica: Si -1 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 1: x–1 ≤ 1 x + � CS1 = [-1; 1] Si x > 1: x–1 ≤ 1 x + x2 –2x+1 ≤ x+1 x2 –3x ≤ 0 x (x–3) ≤ 0

+ | - | + ; x > 1 0 3 CS2 = ]1; 3]

∴ C.S. = CS1 U CS2 = [-1; 3] Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x–1 y g(x) = 1 x + . A continuación, identificamos el punto de intersección entre dichas gráficas, Figura 9, y obtenemos el par ordenado (3; 2), de donde f(x) ≤≤≤≤ g(x) cuando -1 ≤ x ≤ 3.

Fig.9

3.8.17 Resolver: 1 x + ≤ x–1 Solución algebraica: Si -1 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 1: 1 x + ≤ x–1 � CS1 = ∅ Si x > 1: 1 x + ≤ x–1 x+1 ≤ x2 –2x+1 0 ≤ x2 –3x 0 ≤ x (x–3)

+ | - | + ; x > 1 0 3

CS2 = [3; ∞[ ∴ C.S. = CS1 U CS2 = [3; ∞[ Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x–1 y g(x) = 1 x + . Luego, identificamos el punto de intersección entre dichas gráficas, Figura 9, y obtenemos el par ordenado (3; 2), de donde g(x) ≤≤≤≤ f(x) cuando x ≥ 3.

3.8.18 Resolver: 1 x 2 + < x2 –1

Solución algebraica: 1x 2 + < x 2 – 1 x2 +1 < x4 –2x2 +1 0 < x4 –3x2 0 < x2 (x2 –3) 0 < x2 (x+ 3 ) (x- 3 ) + | - | - | + - 3 0 3 C.S. = ]-∞ ; - 3 [ U ] 3 ; ∞[

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = 1 x 2 + y g(x) = x2–1. Luego, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 10, y obtenemos los pares ordenados (-1,73205; 2) y (1,73205; 2), de donde f(x) < g(x) cuando x < -1,73205 v x > 1,73205.

Fig.10

3.8.19 Resolver: x2 –1 < 1 x 2 +

Solución algebraica: Si -1 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 1: x2 –1 < 1 x 2 + � CS1 = [-1; 1]

Si x < -1 v x > 1: x2 –1 < 1 x 2 + x4 –2x2 +1 < x2 +1 x4 –3x2 < 0 x2 (x2 –3) < 0 x2 (x+ 3 ) (x- 3 ) < 0 + | - | - | + - 3 0 3 CS2 = ]- 3 ; -1[ U ]1; 3 [ ∴ C.S. = ]- 3 ; 3 [

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = 1 x 2 + y g(x) = x2–1. Luego, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 10, y obtenemos los pares ordenados (-1,73205; 2) y (1,73205; 2), de donde g(x) < f(x) cuando -1,73205 < x < 1,73205. 3.8.20 Resolver: x2 < 1 x + Solución: x2 < 1 x + x4 < x+1 ; x ≥≥≥≥ -1 x4 –x–1 < 0 *Sea p(x) = x4 –x–1, se verifica que existen números reales a (-1< a < 0) y b (1< b <2) tales que p(a) = 0 y p(b) = 0.

+ | - | + ; x ≥≥≥≥ -1 a b

C.S. = ]a; b[ Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x2 y g(x) = 1 x + . A continuación, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 11, y obtenemos los pares ordenados (-0,72449; 0,52489) y (1,22074; 1,49022), de donde f(x) < g(x) cuando -0,72449 < x < 1,22074.

Fig.11 3.9 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 3.9.1 Resolver: | x | = 2 Solución Algebraica: | x | = 2 x = 2 v x = - 2

C.S.= {- 2 ; 2 } Winplot*: Graficamos las funciones f(x) = |||| x |||| y g(x) = 2 .Luego, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 1, y obtenemos los pares ordenados

* Notación Winplot: | x | = abs (x).

(-1,41421; 1,41421) y (1,41421; 1,41421), de donde f(x) = g(x) cuando x ≈ -1,41421 v x ≈ 1,41421.

Fig.1

3.9.2 Resolver: | x+2 | = 2 Solución Algebraica: | x+2 | = 2 x+2 = 2 v x+2 = -2 x = 0 v x = -4 C.S.= {0; -4} Winplot: Graficamos las funciones f(x) = |||| x+2 |||| y g(x) = 2. Luego, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 2, y obtenemos los pares ordenados (-4; 2) y (0; 2), de donde f(x) = g(x) cuando x = -4 v x = 0.

Fig.2

3.9.3 Resolver: | x-3 | = 1,5 Solución Algebraica: | x-3 | = 1,5 x-3 = 1,5 v x-3 = -1,5 x = 4,5 v x = 1,5 C.S.={4,5; 1,5} Winplot: Graficamos las funciones f(x) = |||| x-3 |||| y g(x) = 1,5. Luego, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 3, y obtenemos los pares ordenados (1,5; 1,5) y (4,5; 1,5), de donde f(x) = g(x) cuando x = 1,5 v x = 4,5.

Fig.3

3.9.4 Resolver: | x-1 | = -0,5 Solución Algebraica: | x-1 | = -0,5 Dado que | x-1 | ≥ 0, entonces C.S.= ∅ Winplot: Graficamos las funciones f(x) = |||| x-1 |||| y g(x) = -0,5. Observamos, Figura 4, que NO EXISTE intersección entre dichas gráficas. Por lo tanto, C.S.= ∅.

Fig.4

3.9.5 Resolver: 1- | x-1 | = - 3 Solución Algebraica: 1- | x-1 | = - 3

| x-1 | = 1+ 3 x-1 = 1+ 3 v x-1 = - (1+ 3 )

x = 2+ 3 v x = - 3 C.S.= {2+ 3 ; - 3 } Winplot: Graficamos las funciones f(x) = 1 - |||| x -1 |||| y g(x) = - 3 . A continuación, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 5, y obtenemos los pares ordenados (-1,73205; -1,73205) y (3,73205; -1,73205), de donde f(x) = g(x) cuando x ≈ -1,73205 v x ≈ 3,73205.

Fig.5

3.9.6 Resolver: | x | -2 = 0 Solución Algebraica: | x | -2 = 0 | x | = 2 x = 2 v x = -2

C.S.= {2; -2} Winplot: Graficamos las funciones f(x) = |||| x |||| -2 y g(x) = 0. Luego, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 6, y obtenemos los pares ordenados (-2; 0) y (2; 0), de donde f(x) = g(x) cuando x = -2 v x = 2.

Fig.6

3.9.7 Resolver: | x | -1 = 0,5x Solución Algebraica: | x | -1 = 0,5x | x | = 0,5x +1 x = 0,5x +1 v x = -0,5x –1 ; x ≥≥≥≥ -2. 0,5x = 1 v 1,5x = -1

x = 2 v x = -32

C.S.= {2; -32

}

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = |||| x |||| -1 y g(x) = 0,5x. Luego, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 7, y obtenemos los pares ordenados (-0,66667; -0,33333) y (2; 1), de donde f(x) = g(x) cuando x ≈ -0,66667 v x = 2.

Fig.7

3.9.8 Resolver: | x-1 | = | x+2 | Solución Algebraica: | x-1 | = | x+2 | x-1 = x+2 v x-1 = -x –2 -1 = 2 v 2x = -1 (→←) v x = -0,5 C.S.= {-0,5} Winplot: Graficamos las funciones f(x) = |||| x-1 |||| y g(x) = |||| x+2 ||||. Luego, identificamos el punto de intersección entre dichas gráficas, Figura 8, y obtenemos el par ordenado (-0,5; 1,5), de donde f(x) = g(x) cuando x = -0,5.

Fig.8

3.9.9 Resolver: | 2x-1 | = 2-x Solución Algebraica: | 2x-1 | = 2-x 2x-1 = 2-x v 2x-1 = - (2-x) ; x ≤≤≤≤ 2 x = 1 v x = -1 C.S.= {1; -1} Winplot: Graficamos las funciones f(x) = |||| 2x-1 |||| g(x) = 2-x. Luego, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 9, y obtenemos los pares ordenados (-1; 3) y (1; 1), de donde f(x) = g(x) cuando x = -1 v x = 1.

Fig.9

3.9.10 Resolver: | x-2 | = x Solución Algebraica: | x-2 | = x x-2 = x v x-2 = -x ; x ≥≥≥≥ 0 0 = 2 (→←) v x = 1 C.S.= {1} Winplot: Graficamos las funciones f(x) = |||| x-2 |||| y g(x) = x. Luego, identificamos el punto de intersección entre dichas gráficas, Figura 10, y obtenemos el par ordenado (1; 1), de donde f(x) = g(x) cuando x = 1.

Fig.10 3.9.11 Resolver: | x+1 | + | x+2 | = 2 Solución Algebraica: | x+1 | + | x+2 | = 2 Si x < -2: - (x+1) – (x+2) = 2 -x –1- x -2 = 2

x = -2,5 Si –2 ≤ x < -1: - (x+1) + (x+2) = 2 -x –1 + x+2 = 2 1 = 2 (→←) Si x ≥ -1: (x+1) + (x+2) = 2 x+1 + x+2 = 2 x = -0,5

C.S.= {-2,5; -0,5}

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = |||| x+1 |||| + |||| x+2 |||| y g(x) = 2. Luego, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 11, y obtenemos los pares ordenados (-2,5; 2) y (-0,5; 2), de donde f(x) = g(x) cuando x = -2,5 v x = -0,5.

Fig.11

3.9.12 Resolver: | x-1 | + | x+1 | = 3 Solución Algebraica: | x-1 | + | x+1 | = 3 Si x < -1: (1-x) – (x+1) = 3 1-x –x -1 = 3

x = -1,5 Si –1 ≤ x < 1: (1-x) + (x+1) = 3 1-x + x+1 = 3 2 = 3 (→←) Si x ≥ 1: (x-1) + (x+1) = 3 x-1 + x+1 = 3 x = 1,5 C.S.= {-1,5; 1,5} Winplot: Graficamos las funciones f(x) = |||| x-1 |||| + |||| x+1 |||| y g(x) = 3. Luego, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 12, y obtenemos los pares ordenados (-1,5; 3) y (1,5; 3), de donde f(x) = g(x) cuando x = -1,5 v x = 1,5.

Fig.12

3.9.13 Resolver: | x-2 | + | x-1 | = 2

Solución Algebraica: | x-2 | + | x-1 | = 2 Si x < 1: (2-x) + (1-x) = 2 2-x + 1-x = 2

x = 0,5 Si 1 ≤ x < 2: (2-x) + (x-1) = 2 2-x + x-1 = 2 1 = 2 (→←) Si x ≥ 2: (x-2) + (x-1) = 2 x-2 + x-1 = 2 x = 2,5 C.S.= {0,5; 2,5} Winplot: Graficamos las funciones f(x) = |||| x-2 |||| + |||| x-1 |||| y g(x) = 2. Luego, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 13, y obtenemos los pares ordenados (0,5; 2) y (2,5; 2), de donde f(x) = g(x) cuando x = 0,5 v x = 2,5.

Fig.13

3.9.14 Resolver: | x | + | x-1 | = 2 Solución Algebraica: | x | + | x-1 | = 2 Si x < 0: (-x) + (1-x) = 2 -x + 1-x = 2

x = -0,5 Si 0 ≤ x < 1: (x) + (1-x) = 2 x + 1-x = 2 1 = 2 (→←) Si x ≥ 1: (x) + (x-1) = 2 x + x-1= 2 x = 1,5 C.S.= {-0,5; 1,5} Winplot: Graficamos las funciones f(x) = |||| x |||| + |||| x-1 |||| y g(x) = 2. Luego, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 14, y obtenemos los pares ordenados (-0,5; 2) y (1,5; 2), de donde f(x) = g(x) cuando x = -0,5 v x = 1,5.

Fig.14

3.9.15 Resolver: | x | - | x-1 | = 2 Solución Algebraica: | x | - | x-1 | = 2 Si x < 0: (-x) - (1-x) = 2 -x – 1+x = 2

-1 = 2 (→←) Si 0 ≤ x < 1: (x) - (1-x) = 2 x – 1+x = 2 x = 1,5 ; 1,5 ∉[0;1[ Si x ≥ 1: (x) - (x-1) = 2 x – x+1= 2 1 = 2 (→←) C.S.= ∅ Winplot: Graficamos las funciones f(x) = |||| x |||| - |||| x-1 |||| y g(x) = 2. Observamos, Figura 15, que NO EXISTE intersección entre dichas gráficas. Por lo tanto, C.S.= ∅.

Fig.15

3.9.16 Resolver: | x | - | x-1 | = x-0,5 Solución Algebraica: | x | - | x-1 | = x-0,5 Si x < 0: (-x) - (1-x) = x-0,5 -x – 1+x = x-0,5

x = -0,5

Si 0 ≤ x < 1: (x) - (1-x) = x-0,5 x – 1+x = x-0,5 x = 0,5 Si x ≥ 1: (x) - (x-1) = x-0,5 x – x+1= x-0,5 x = 1,5 C.S.= {-0,5; 0,5; 1,5} Winplot: Graficamos las funciones f(x) = |||| x |||| - |||| x-1 |||| y g(x) = x-0,5. Luego, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 16, y obtenemos los pares ordenados (-0,5; -1),(0,5; 0) y (1,5; 1), de donde f(x) = g(x) cuando x = -0,5 v x = 0,5 v x = 1,5.

Fig.16

3.9.17 Resolver: | x+1 | = 2 - | x+2 | Solución Algebraica: | x+1 | = 2 - | x+2 | | x+1 | + | x+2 | = 2...... (ver ejemplo 3.9.11) C.S.= {-2,5; -0,5} Winplot: Graficamos las funciones f(x) = |||| x+1 |||| y g(x) = 2 - |||| x+2 ||||. A continuación, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 17, y obtenemos los pares ordenados (-2,5; 1,5) y (-0,5; 0,5), de donde f(x) = g(x) cuando x = -2,5 v x = -0,5.

Fig.17

3.9.18 Resolver: | x-1 | = 3 - | x+1 |

Solución Algebraica: | x-1 | = 3 - | x+1 | | x-1 | + | x+1 | = 3..... (ver ejemplo 3.9.12) C.S.= {-1,5; 1,5} Winplot: Graficamos las funciones f(x) = |||| x-1 |||| y g(x) = 3 - |||| x+1 ||||. Luego, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 18, y obtenemos los pares ordenados (-1,5; 2,5) y (1,5; 0,5), de donde f(x) = g(x) cuando x = -1,5 v x = 1,5.

Fig.18

3.9.19 Resolver: | x-2 | -1 = 1 - | x-1 | Solución Algebraica: | x-2 | -1 = 1 - | x-1 | | x-2 | + | x-1 | = 2..... (ver ejemplo 3.9.13) C.S.= {0,5; 2,5} Winplot: Graficamos las funciones f(x) = |||| x-2 |||| - 1 y g(x) = 1 - |||| x-1 ||||. Luego, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 19, y obtenemos los pares ordenados (0,5; 0,5) y (2,5; -0,5), de donde f(x) = g(x) cuando x = 0,5 v x = 2,5.

Fig.19

3.9.20 Resolver: | x | = 2 - | x-1 | Solución Algebraica: | x | = 2 - | x-1 | | x | + | x-1 | = 2..... (ver ejemplo 3.9.14) C.S.= {-0,5; 1,5}

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = |||| x |||| y g(x) = 2 - |||| x-1 ||||. Luego, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 20, y obtenemos los pares ordenados (-0,5; 0,5) y (1,5; 1,5), de donde f(x) = g(x) cuando x = -0,5 v x = 1,5.

Fig.20

3.9.21 Resolver: x + | x-1 | - | x | = 0,5 Solución Algebraica: x + | x-1 | - | x | = 0,5 | x | - | x-1 | = x-0,5..... (ver ejemplo 3.9.16) C.S.= {-0,5; 0,5; 1,5} Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x + |||| x-1 |||| - |||| x |||| y g(x) = 0,5. Luego, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 21, y obtenemos los pares ordenados (-0,5; 0,5), (0,5; 0,5) y (1,5; 0,5), de donde f(x) = g(x) cuando x = -0,5 v x = 0,5 v x = 1,5.

Fig.21 3.9.22 Resolver: | x2 -1 | = x Solución Algebraica: | x2 -1 | = x x2 –1 = x v x2 –1 = -x ; x ≥≥≥≥ 0. x2 –x –1 = 0 v x2 +x –1 = 0

x = 2

51 + v x =

25- 1

v x = 2

51- + v x =

25-1-

C.S.={2

51 +;

251- +

}

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = |||| x2 -1 |||| y g(x) = x. Luego, identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas, Figura 22, y obtenemos los pares ordenados (0,61803; 0,61803) y (1,61803; 1,61803), de donde f(x) = g(x) cuando x ≈ 0,61803 v x ≈ 1,61803.

Fig.22 3.10 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS En las siguientes ecuaciones trigonométricas, las soluciones se buscan en el intervalo [0; 2π[. Esta restricción implica que hagamos algunas modificaciones en la presentación gráfica (pantalla de Winplot) de la solución geométrica, las cuales pasamos a detallar. En primer lugar, vamos a presentar los ejes coordenados dando valores en radianes al eje X y valores enteros al eje Y. Para obtener esta presentación, nos vamos a la ventana View del menú de comandos de Winplot y seleccionamos la opción Grid (Figura 1).

Fig.1

A continuación, aparece el recuadro grid, Figura 2. Observamos que en la parte central de dicho recuadro se encuentran la abscisa x y la ordenada y.

Fig.2

Para la abscisa x, seleccionamos scale (�) y pi (�). Luego, modificamos la distancia entre las abscisas (interval) y la frecuencia (freq), poniendo pi/4 en interval y 2 en freq (Figura 3). Para la ordenada y, seleccionamos scale (�), NO seleccionamos pi y NO modificamos la distancia entre las ordenadas (interval) ni la frecuencia (freq).

Fig.3

Una vez realizada esta acción tanto en la abscisa x como en la ordenada y, hacemos clic sobre apply (aplicar) y aparece, Figura 4, el siguiente cuadro:

Fig.4

Dado que vamos a trabajar con un conjunto de valores acotado para la abscisa x, por lo general, de cero a 2pi (0 ≤ x < 2π), por cuestiones de presentación vamos a visualizar en pantalla este conjunto de valores para la abscisa x. Para ello nos ubicamos en la ventana View (Figura1) y seleccionamos la entrada View Crtl+V. Aparece a continuación un recuadro (Figura 5), que por defecto, ha centrado el eje de coordenadas (set center).

Fig.5 En el recuadro view, Figura 5, nos ubicamos en el extremo superior derecho y seleccionamos set corners (�). Luego, Figura 6, modificamos los valores tanto a derecha (right) como a izquierda (left) así como arriba (up) y abajo (down), poniendo –0.5 en left, 7 en right, -2.5 en down y 2.5 en up.

Fig.6 A continuación, hacemos clic sobre apply (aplicar) y aparece, Figura 7, el siguiente recuadro:

Fig.7

Si se desea volver a la presentación inicial (set center), lo que tenemos que hacer es restaurar los valores iniciales, es decir, seleccionamos la ventana View (Figura 1), y luego hacemos clic sobre la opción Restore Crtl+R. Asimismo, se sugiere, al introducir la regla de correspondencia de la función trigonométrica f en el recuadro y = f(x), seleccionar lock interval (�), Figura 8, y poner como cota inferior (low x) 0 y como cota superior (high x) 2pi. Sin mayor dilación, presentamos los ejemplos propuestos para esta sección.

Fig.8

3.10.1 Resolver: sen(x) = 0,5 Solución: Sabemos que la función seno es positiva en el primer y segundo cuadrante.

Para x1 =6π

, en el primer cuadrante, sen(x1) = 0,5. Haciendo x2 =6

5

6 -

πππ = , en el

segundo cuadrante, sen(x2) = 0,5. Por lo tanto, C.S. = {6π

;6

5π}.

Winplot*: Graficamos las funciones f(x) = sen(x) y g(x) = 0,5. Luego, identificamos los puntos de intersección entre las gráficas, Figura 9, y obtenemos los pares ordenados (0,52360; 0,5) y (2,61799; 0,5), de donde f(x) = g(x) cuando x ≈ 0,52360 v x ≈ 2,61799.

Fig.9

3.10.2 Resolver: cos(x) = 22

-

Solución: Sabemos que la función coseno es negativa en el segundo y tercer

cuadrante. Para x1 =4

- ππ =

43π

, en el segundo cuadrante, cos(x1) =22

- . En el tercer

cuadrante, haciendo x2 = ππ +4

=4

5π, cos(x2) =

22

- . Por lo tanto, C.S. = {4

3π;

45π

}.

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = cos(x) y g(x) =22

- . Luego, identificamos

los puntos de intersección entre las gráficas, Figura 10, y obtenemos los pares

* Notación Winplot: sen (x) = sin (x).

ordenados (2,35619; -0,70711) y (3,92699; -0,70711), de donde f(x) = g(x) cuando x ≈ 2,35619 v x ≈ 3,92699.

Fig.10

3.10.3 Resolver: tg(x) = -1 Solución: Sabemos que la función tangente es negativa en el segundo y cuarto

cuadrante. Para x1 =4

- ππ =

43π

, en el segundo cuadrante, tg(x1) = -1. En el cuarto

cuadrante, haciendo x2 = ππ +4

3=

47π

, tg(x2) = -1. Por lo tanto, C.S. = {4

3π;

47π

}.

Winplot*: Graficamos las funciones f(x) = tg(x) y g(x) = -1. Luego, identificamos los puntos de intersección entre las gráficas, Figura 11, y obtenemos los pares ordenados (2,35619; -1) y (5,49779; -1), de donde f(x) = g(x) cuando x ≈ 2,35619 v x ≈ 5,49779.

Fig.11

3.10.4 Resolver: cos(x) = 1,5 Solución: Sabemos que –1 ≤ cos(x) ≤ 1. Por lo tanto, C.S.= ∅. Winplot: Graficamos las funciones f(x) = cos(x) y g(x) = 1,5. Se observa (Figura 12) que NO EXISTE intersección entre dichas gráficas. Por lo tanto, C.S. = ∅.

* Notación Winplot: tg (x) = tan (x).

Fig.12

3.10.5 Resolver: cos(π - x) = 0,5 Solución: Sabemos que cos(π - x) = cos(π).cos(x) + sen(π).sen(x) = - cos(x), entonces cos(x) = - 0,5. Además, la función coseno es negativa en el segundo y tercer

cuadrante. Para x1 =3

- ππ =

32π

, en el segundo cuadrante, cos(x1) = - 0,5. En el tercer

cuadrante, haciendo x2 = ππ +3

=3

4π, cos(x2) = - 0,5. Por lo tanto, C.S. = {

32π

;3

4π}.

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = cos(ππππ - x) y g(x) = 0,5. Luego, identificamos los puntos de intersección entre las gráficas, Figura 13, y obtenemos los pares ordenados (2,09440; 0,5) y (4,18879; 0,5), de donde f(x) = g(x) cuando x ≈ 2,09440 v x ≈ 4,18879.

Fig.13 3.10.6 Resolver: sen(x) = cos(x)

Solución: Si sen(x) = cos(x), entonces cos(x)sen(x)

= 1; cos(x) ≠ 0. Se sabe que tg(x)

=cos(x)sen(x)

, entonces tg(x) = 1 en el primer cuadrante y en el tercer cuadrante. Para

x1 =4π

, tg(x1) = 1. Si x2 = 4

ππ + =

45π

, tg(x2) = 1. Por lo tanto, C.S. = {4π

;4

5π}.

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x). A continuación, identificamos los puntos de intersección entre las gráficas, Figura 14, y obtenemos los

pares ordenados (0,78540; 0,70711) y (3,92699; -0,70711), de donde f(x) = g(x) cuando x ≈ 0,78540 v x ≈ 3,92699.

Fig.14 3.10.7 Resolver: sen(2x) = cos(x) Solución: sen(2x) = cos(x) 2sen(x).cos(x) = cos(x) 2sen(x).cos(x) - cos(x) = 0 cos(x) [2sen(x) – 1] = 0 cos(x) = 0 v 2sen(x) – 1 = 0 cos(x) = 0 v sen(x) = 1/2

x = 2π

v x = 2

3πv x =

6π

v x = 6

5π

C.S.= {2π

;2

3π;

6π

;6

5π}

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = sen(2x) y g(x) = cos(x). A continuación, identificamos los puntos de intersección entre las gráficas, Figura 15, y obtenemos los pares ordenados (0,52360; 0,86603), (1,57080; 0), (2,61799; -0,86603) y (4,71239; 0) de donde f(x) = g(x) cuando x ≈ 0,52360 v x ≈ 1,57080 v x ≈ 2,61799 v x ≈ 4,71239.

Fig.15 3.10.8 Resolver: 3 sen(x) – cos(x) = 1 Solución: 3 sen(x) – cos(x) = 1

23

.sen(x) - 21

.cos(x) =21

cos(6π

).sen(x) - sen(6π

).cos(x) =21

sen(x - 6π

) =21

x - 6π

=6π

v x - 6π

=6

5π

x = 3π

v x = π

C.S.= {3π

;π }

Winplot:Graficamos las funciones f(x) = 3 sen(x) – cos(x) y g(x) = 1. A continuación, identificamos los puntos de intersección entre las gráficas, Figura 16, y obtenemos los pares ordenados (1,04720; 1) y (3,14159; 1), de donde f(x) = g(x) cuando x ≈ 1,04720 v x ≈ 3,14159.

Fig.16

3.10.9 Resolver: sen(x) – 3 cos(x) = -1 Solución: sen(x) – 3 cos(x) = -1

21

.sen(x) - 23

.cos(x) = -21

cos(3π

).sen(x) – sen(3π

).cos(x) = -21

sen(x - 3π

) = -21

x1 - 3π

= 6

7π v x2 -

3π

=6

11π

x1 = 6

7π+

3π

= 2

3π v x2 =

611π

+3π

=6

13π

Dado que x2 > 2π , entonces 6

13π- 2π =

6π

. Por lo tanto: C.S.= {2

3π;

6π

}

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = sen(x) – 3 cos(x) y g(x) = -1. Luego, identificamos los puntos de intersección entre las gráficas, Figura 17, y obtenemos los pares ordenados (0,52360; -1) y (4,71239; -1), de donde f(x) = g(x) cuando x ≈ 0,52360 v x ≈ 4,71239.

Fig.17

3.10.10 Resolver: cos(x).sen(x) = 2cos(x) Solución: cos(x).sen(x) = 2cos(x) cos(x).sen(x) - 2cos(x) = 0 cos(x) [sen(x) – 2] = 0 cos(x) = 0 v sen(x) – 2 = 0 cos(x) = 0 v sen(x) = 2...(→←)

x = 2π

v x = 2

3π

C.S.= {2π

;2

3π}

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = cos(x).sen(x) y g(x) = 2cos(x). Luego, identificamos los puntos de intersección entre las gráficas, Figura 18, y obtenemos los pares ordenados (1,57080; 0) y (4,71239; 0) de donde f(x) = g(x) cuando x ≈ 1,57080 v x ≈ 4,71239.

Fig.18 3.10.11 Resolver: 2cos2 (x) –1 = 0 Solución: 2cos2 (x) –1 = 0 [ 2 cos(x) + 1].[ 2 cos(x) – 1] = 0 2 cos(x) + 1= 0 v 2 cos(x) – 1 = 0

cos(x) = -2

1 v cos(x) =

21

x = 4

3π v x =

45π

v x = 4π

v x = 4

7π

C.S.= {4

3π;

45π

;4π

;4

7π}

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = 2 cos2 (x) –1 y g(x) = 0. Luego, identificamos los puntos de intersección entre las gráficas, Figura 19, y obtenemos los pares ordenados (0,78540; 0), (2,35619; 0), (3,92699; 0) y (5,49779; 0) de donde f(x) = g(x) cuando x ≈ 0,78540 v x ≈ 2,35619 v x ≈ 3,92699 v x ≈ 5,49779.

Fig.19

3.10.12 Resolver: 2sen2 (x) – sen(x) – 1 = 0 Solución: 2sen2 (x) – sen(x) – 1 = 0 [2sen(x) + 1].[sen(x) – 1] = 0 2sen(x) + 1 = 0 v sen(x) – 1 = 0 sen(x) = -1/2 v sen(x) = 1

x =6

7π v x =

611π

v x =2π

C.S.={6

7π;

611π

;2π

}

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = 2sen2 (x) – sen(x) -1 y g(x) = 0. Luego, identificamos los puntos de intersección entre las gráficas, Figura 20, y obtenemos los pares ordenados (1,57080; 0), (3,66519; 0) y (5,75959; 0) de donde f(x) = g(x) cuando x ≈ 1,57080 v x ≈ 3,66519 v x ≈ 5,75959.

Fig.20

3.10.13 Resolver: 2 sen2 (x) = sen(x) + 1 Solución: 2 sen2 (x) = sen(x) + 1 2 sen2 (x) - sen(x) – 1 = 0……..(ver ejemplo 3.10.12)

C.S.={6

7π;

611π

;2π

}

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = 2sen2 (x) y g(x) = sen(x) + 1. Luego, identificamos los puntos de intersección entre las gráficas, Figura 21, y obtenemos los pares ordenados (1,57080; 2), (3,66519; 0,5) y (5,75959; 0,5) de donde f(x) = g(x) cuando x ≈ 1,57080 v x ≈ 3,66519 v x ≈ 5,75959.

Fig.21

3.10.14 Resolver: 2cos (3x) = 1 Solución: 2cos (3x) = 1 cos(3x) = 1/2

3x = ππ2k

3+ v 3x = ππ

2k3

5 + ; k ∈ Z

x = 3

2k

9ππ + v x =

32k

95 ππ + ; k ∈ {0; 1; 2}

C.S.= {9

17;

913

;9

11;

97

;9

5;

9ππππππ

}

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = 2cos(3x) y g(x) = 1. A continuación, identificamos los puntos de intersección entre las gráficas, Figura 22, y obtenemos los pares ordenados (0,34907; 1), (1,74533; 1), (2,44346; 1), (3,83972; 1),(4,53786; 1) y

(5,93412; 1) de donde f(x) = g(x) cuando x ≈ 0,34907 v x ≈ 1,74533 v x ≈ 2,44346 v x ≈ 3,83972 v x ≈ 4,53786 v x ≈ 5,93412.

Fig.22

3.10.15 Resolver: cos(x).cos(3x) – sen(x).sen(3x) = 0 Solución: cos(x).cos(3x) – sen(x).sen(3x) = 0 cos(x + 3x) = 0 cos(4x) = 0

4x = ππ2k

23 + v 4x = ππ

2k 2

+ ; k ∈ Z

x = 2

k

83 ππ + v x =

2k

8

ππ + ; k ∈ {0; 1; 2; 3}

C.S.= {8

13;

89

;8

5;

8;

815

;8

11;

87

;8

3 ππππππππ}

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = cos(x).cos(3x) – sen(x).sen(3x) y g(x) = 0. A continuación, identificamos los puntos de intersección entre las gráficas, Figura 23, y obtenemos los pares ordenados (0,39270; 0), (1,17810; 0), (1,96350; 0), (2,74889; 0),(3,53429; 0), (4,31969; 0), (5,10509; 0) y (5,89049; 0) de donde f(x) = g(x) cuando x ≈ 0,39270 v x ≈ 1,17810 v x ≈ 1,96350 v x ≈ 2,74889 v x ≈ 3,53429 v x ≈ 4,31969 v x ≈ 5,10509 v x ≈ 5,89049.

Fig.23

3.10.16 Resolver: sen(2x).cos(x) + cos(2x).sen(x) = 23

Solución: sen(2x).cos(x) + cos(2x).sen(x) = 23

sen(2x + x) = 23

sen(3x) = 23

3x = ππ2k

3+ v 3x = ππ

2k3

2 + ; k ∈ Z

x = 3

2k

9ππ + v x =

32k

92 ππ + ; k ∈ {0; 1; 2}

C.S.= {9

14;

913

;9

8;

97

;9

2;

9ππππππ

}

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = sen(2x).cos(x) + cos(2x).sen(x) y g(x)

=23

. Luego, identificamos los puntos de intersección entre las gráficas, Figura 24, y

obtenemos los pares ordenados (0,34907; 0,86603), (0,69813; 0,86603), (2,44346; 0,86603), (2,79253; 0,86603),(4,53786; 0,86603) y (4,88692; 0,86603) de donde f(x) = g(x) cuando x ≈ 0,34907 v x ≈ 0,69813 v x ≈ 2,44346 v x ≈ 2,79253 v x ≈ 4,53786 v x ≈ 4,88692.

Fig.24

3.10.17 Resolver: sen(2x) + cos(x) = 0 Solución: sen(2x) + cos(x) = 0 2sen(x).cos(x) + cos(x) = 0 cos(x) [2sen(x) + 1] = 0 cos(x) = 0 v 2sen(x) + 1 = 0 cos(x) = 0 v sen(x) = -1/2

x =2π

v x =2

3π v x =

67π

v x =6

11π

C.S.= {2π

;2

3π;

67π

;6

11π}

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = sen(2x) + cos(x) y g(x) = 0. Luego, identificamos los puntos de intersección entre las gráficas, Figura 25, y obtenemos los pares ordenados (1,57080; 0), (3,66519; 0), (4,71239; 0) y (5,75959; 0) de donde f(x) = g(x) cuando x ≈ 1,57080 v x ≈ 3,66519 v x ≈ 4,71239 v x ≈ 5,75959.

Fig.25 3.10.18 Resolver: sen(2x) – cos(x) = 0 Solución: sen(2x) – cos(x) = 0 2sen(x).cos(x) - cos(x) = 0 cos(x) [2sen(x) – 1] = 0 cos(x) = 0 v 2sen(x) – 1 = 0 cos(x) = 0 v sen(x) = 1/2

x = 2π

v x = 2

3πv x =

6π

v x = 6

5π

C.S.= {2π

;2

3π;

6π

;6

5π}

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = sen(2x) – cos(x) y g(x) = 0.Luego, identificamos los puntos de intersección entre las gráficas, Figura 26, y obtenemos los pares ordenados (0,52360; 0), (1,57080; 0), (2,61799; 0) y (4,71239; 0) de donde f(x) = g(x) cuando x ≈ 0,52360 v x ≈ 1,57080 v x ≈ 2,61799 v x ≈ 4,71239.

Fig.26

3.11 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EXPONENCIALES. 3.11.1 Resolver: �x = 3 Solución algebraica: �x = 3 x = ln3 C.S.= {ln3}

Winplot*: Graficamos las funciones f(x) = �x y g(x) = 3. A continuación, identificamos el punto de intersección entre dichas gráficas, Figura 1, y obtenemos el par ordenado (1,09861; 3), de donde f(x) = g(x) cuando x ≈ 1,09861.

Fig.1 3.11.2 Resolver: �x+2 = 2 Solución algebraica: �x+2 = 2 x +2 = ln2 x = ln2–2 C.S.= {ln2–2} Winplot:Graficamos las funciones f(x) = �x+2 y g(x) = 2. A continuación, identificamos el punto de intersección entre dichas gráficas, Figura 2, y obtenemos el par ordenado (-1,30685; 2), de donde f(x) = g(x) cuando x ≈ -1,30685.

Fig.2

3.11.3 Resolver: 2�x -2 = 3 Solución algebraica: 2�x -2 = 3

�x –2 = 23

x–2 = ln (23

)

x = 2+ln (23

)

* Notación Winplot: �x = exp (x).

C.S.= {2+ln (23

)}

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = 2�x-2 y g(x) = 3.Luego, identificamos el punto de intersección entre dichas gráficas, Figura 3, y obtenemos el par ordenado (2,40547; 3), de donde f(x) = g(x) cuando x ≈ 2,40547.

Fig.3

3.11.4 Resolver: �1-x = 2 Solución algebraica: �1-x = 2 1–x = ln2 1–ln2 = x C.S.= {1-ln2} Winplot:Graficamos las funciones f(x) = �1-x y g(x) = 2. A continuación, identificamos el punto de intersección entre dichas gráficas, Figura 4, y obtenemos el par ordenado (0,30685; 2), de donde f(x) = g(x) cuando x ≈ 0,30685.

Fig.4

3.11.5 Resolver: �x = -x Solución: �x = -x �x + x = 0 *Sea E(x) = �x + x. Se verifica que: Si x ≤ -1, E(x) < 0. ∃ a ∈ ℜ, -1 < a < 0, tal que E(a) = 0. Si x ≥ 0, E(x) > 0. C.S.= {a}

Winplot: Graficamos las funciones f(x) = �x y g(x) = -x. A continuación, identificamos el punto de intersección entre dichas gráficas, Figura 5, y obtenemos el par ordenado (-0,56714; 0,56714), de donde f(x) = g(x) cuando x ≈ -0,56714.

Fig.5

3.11.6 Resolver: �-x = 2-x Solución: �

-x = 2-x �-x +x-2 = 0 *Sea E(x) = �-x +x–2. Se verifica que: Si x ≤ -2, E(x) > 0. ∃ a ∈ ℜ, -2 < a < -1, tal que E(a) = 0. Si –1 ≤ x ≤ 1, E(x) < 0. ∃ b ∈ ℜ, 1 < b < 2 , tal que E(b) = 0. Si x ≥ 2, E(x) > 0. C.S. = {a; b} Winplot: Graficamos las funciones f(x) = ��x y g(x) = 2-x. A continuación, identificamos los puntos de intersección entre las gráficas, Figura 6, y obtenemos los pares ordenados (-1,14619; 3,14619) y (1,84141; 0,15859), de donde f(x) = g(x) cuando x ≈ -1,14619 v x = 1,84141.

Fig.6 3.11.7 Resolver: 2- �–x = x Solución: 2- �–x = x 0 = x + �–x –2 *Sea E(x) = x + �–x –2. Se verifica que: Si x ≤ -2, E(x) > 0. ∃ a ∈ ℜ, -2 < a < -1, tal que E(a) = 0.

Si –1 ≤ x ≤ 1, E(x) < 0. ∃ b ∈ ℜ, 1 < b < 2 , tal que E(b) = 0. Si x ≥ 2, E(x) > 0. C.S.= {a; b} Winplot: Graficamos las funciones f(x) = 2 - ��x y g(x) = x. A continuación, identificamos los puntos de intersección entre las gráficas, Figura 7, y obtenemos los pares ordenados (-1,14619; -1,14619) y (1,84141; 1,84141), de donde f(x) = g(x) cuando x ≈ -1,14619 v x = 1,84141.

Fig.7 3.11.8 Resolver: �x = x2 Solución: �x = x2 �x –x2 = 0 *Sea E(x) = �x –x2. Se verifica que: Si x ≤ -1, E(x) < 0. ∃ a ∈ ℜ, -1 < a < 0, tal que E(a) = 0. Si x ≥ 0, E(x) > 0. C.S.= {a} Winplot: Graficamos las funciones f(x) = �x y g(x) = x2. A continuación, identificamos el punto de intersección entre dichas gráficas, Figura 8, y obtenemos el par ordenado (-0,70347; 0,49487), de donde f(x) = g(x) cuando x ≈ -0,70347.

Fig.8

3.11.9 Resolver: �-x = 1- x2 Solución: �-x = 1- x2

��-x + x2 -1 = 0 *Sea E(x) = �-x + x2 –1.Se verifica que: Si x < 0, E(x) > 0. E(0) = 0. ∃ a ∈ ℜ, 0 < a < 1, tal que E(a) = 0. Si x ≥ 1, E(x) > 0. C.S. = {0; a} Winplot: Graficamos las funciones f(x) = ��x y g(x)= 1-x2. Luego, identificamos los puntos de intersección entre las gráficas, Figura 9, y obtenemos los pares ordenados (0; 1) y (0,71456; 0,48941), de donde f(x) = g(x) cuando x ≈ 0,71456 v x = 0.

Fig.9 3.11.10 Resolver: - �1–x = x2 –3x Solución: - �1–x = x2 –3x 0 = x2 –3x + �1–x 0 = x (x-3)+ �1–x *Sea E(x) = x (x-3) + �1–x. Se verifica que: Si x ≤ 0 , E(x) > 0. ∃ a ∈ ℜ, 0 < a < 1, tal que E(a) = 0. Si 1 ≤ x ≤ 2 , E(x) < 0. ∃ b ∈ ℜ, 2 < b < 3 , tal que E(b) = 0. Si x ≥ 3 , E(x) > 0.

C.S. = {a; b} Winplot: Graficamos las funciones f(x) = - �1-x y g(x) = x2 -3x. Luego, identificamos los puntos de intersección entre las gráficas, Figura 10, y obtenemos los pares ordenados (0,61588; -1,46833) y (2,95189; -0,14200), de donde f(x) = g(x) cuando x ≈ 0,61588 v x ≈ 2,95189.

Fig.10

3.11.11 Resolver: �2x – 5�x +6 = 0 Solución algebraica: �2x – 5�x +6 = 0 (�x –2) (�x –3) = 0 �x = 2 v �x = 3 x = ln2 v x = ln3 C.S. = {ln2; ln3} Winplot: Graficamos las funciones f(x) = �2x –5�x +6 y g(x) = 0.Luego, identificamos los puntos de intersección entre las gráficas, Figura 11, y obtenemos los pares ordenados (0,69315; 0) y (1,09861; 0), de donde f(x) = g(x) cuando x ≈ 0,69315 v x ≈ 1,09861.

Fig.11

3.11.12 Resolver: �2x –3�x +2 = 0 Solución algebraica: �2x –3�x +2 = 0 (�x –2) (�x –1) = 0 �x = 2 v �x = 1 x = ln2 v x = 0 C.S. = {ln2; 0} Winplot: Graficamos las funciones f(x) = �2x –3�x +2 y g(x) = 0. Luego, identificamos los puntos de intersección entre las gráficas, Figura 12, y obtenemos los pares ordenados (0; 0) y (0,69315; 0), de donde f(x) = g(x) cuando x ≈ 0,69315 v x = 0.

Fig.12

3.11.13 Resolver: 2�2x + �x -1 = 0 Solución algebraica: 2�2x + �x -1 = 0 (2�x –1) (�x +1) = 0 �x = 1/2 v �x = -1 x = ln1/2 v x ∉ ℜ C.S. = {ln1/2} Winplot: Graficamos las funciones f(x) = 2�2x + �x –1 y g(x) = 0. Luego, identificamos el punto de intersección entre dichas gráficas, Figura 13, y obtenemos el par ordenado (-0,69315; 0), de donde f(x) = g(x) cuando x ≈ -0,69315.

Fig.13

3.11.14 Resolver: �2x – 4�x +3 = 0 Solución algebraica: �2x – 4�x +3 = 0 (�x –3) (�x –1) = 0 �x = 3 v �x = 1 x = ln3 v x = 0 C.S.= {ln3; 0} Winplot: Graficamos las funciones f(x) = �2x – 4�x +3 y g(x) = 0. Luego, identificamos los puntos de intersección entre las gráficas, Figura 14, y obtenemos los pares ordenados (0; 0) y (1,09861; 0), de donde f(x) = g(x) cuando x ≈ 1,09861 v x = 0.

Fig.14

3.11.15 Resolver: x�2x – 2x�x = 0

Solución algebraica: x�2x – 2x�x = 0 x�x (�x –2) = 0 x�x = 0 v �x –2 = 0 x = 0 v �x = 2 x = 0 v x = ln2 C.S. = {0; ln2} Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x�2x –2x� x y g(x) = 0. Luego, identificamos los puntos de intersección entre las gráficas, Figura 15, y obtenemos los pares ordenados (0; 0) y (0,69315; 0), de donde f(x) = g(x) cuando x = 0 v x ≈ 0,69315.

Fig.15

3.11.16 Resolver: x2 �

x –2�x = 0 Solución algebraica: x2

�x –2�x = 0

�x (x2 –2) = 0 x2 –2 = 0 (x+ 2 ) (x- 2 ) = 0 x+ 2 = 0 v x- 2 = 0 x = - 2 v x = 2 C.S. = {- 2 ; 2 } Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x2

�x –2�x y g(x) = 0. Luego,

identificamos los puntos de intersección entre las gráficas, Figura 16, y obtenemos los pares ordenados (-1,41421; 0) y (1,41421; 0), de donde f(x) = g(x) cuando x ≈ -1,41421 v x ≈ 1,41421.

Fig.16

3.11.17 Resolver: x3 �-x –x2 �-x = 0 Solución algebraica: x3 �-x –x2 �-x = 0 x2 �–x (x-1) = 0 x2 �–x = 0 v x-1 = 0 x2 = 0 v x = 1 x = 0 v x = 1 C.S.= {0; 1} Winplot:Graficamos las funciones f(x) = x3 �-x –x2 �-x y g(x) = 0. Luego, identificamos los puntos de intersección entre las gráficas, Figura 17, y obtenemos los pares ordenados (0; 0) y (1; 0), de donde f(x) = g(x) cuando x = 0 v x = 1.

Fig.17

3.11.18 Resolver: x2 �-x +x3 �-x = 0 Solución algebraica: x2 �-x +x3 �-x = 0 x2 �–x (1+x) = 0 x2 �–x = 0 v 1+x = 0 x2 = 0 v x = -1 x = 0 v x = -1 C.S. = {0; -1} Winplot:Graficamos las funciones f(x) = x2 �-x +x3 �-x y g(x) = 0. Luego, identificamos los puntos de intersección entre las gráficas, Figura 18, y obtenemos los pares ordenados (0; 0) y (-1; 0), de donde f(x) = g(x) cuando x = 0 v x = -1.

Fig.18

3.11.19 Resolver: 3x2 �x +x3 �x = 0 Solución algebraica: 3x2 �x +x3 �x = 0 x2 �x (3+x) = 0 x2 �x = 0 v 3+x = 0 x2 = 0 v x = -3 x = 0 v x = -3 C.S.= {0; -3} Winplot:Graficamos las funciones f(x) = 3x2 �x +x3

�x y g(x) = 0. Luego,

identificamos los puntos de intersección entre las gráficas, Figura 19, y obtenemos los pares ordenados (-3; 0) y (0; 0), de donde f(x) = g(x) cuando x = -3 v x = 0.

Fig.19 3.11.20 Resolver: 2x2 �x -x�x - �x = 0 Solución algebraica: 2x2 �x -x�x - �x = 0 �x (2x2-x-1) = 0 2x2-x-1 = 0 (2x+1) (x-1) = 0 x = -1/2 v x = 1 C.S.= {-1/2; 1} Winplot: Graficamos las funciones f(x) = 2x2

�x –x�x - �x y g(x) = 0. Luego,

identificamos los puntos de intersección entre las gráficas, Figura 20, y obtenemos los pares ordenados (-0,5; 0) y (1; 0), de donde f(x) = g(x) cuando x = -0,5 v x = 1.