Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional

Unidad Distrito Federal

Departamento de Matemática Educativa

La construcción de la idea de área a través detratamientos cualitativos y cuantitativos: el

caso de alumnos de bachillerato

Tesis que presenta

Jorge Alonso Santos Mellado

para obtener el grado de

Maestro en Ciencias

en la especialidad de

Matemática Educativa

Directora de tesis

Dra. Claudia Margarita Acuña Soto

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México, Distrito Federal octubre de 2012

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RESUMENEl presente trabajo de investigación, parte de la necesidad deconsiderar la naturaleza cualitativa y cuantitativa del área parasu adecuado aprendizaje. Es decir, parte de haber detectado que sibien dentro de las construcciones conceptuales relacionadas con lageometría, las concernientes al área de las figuras planas hansido ampliamente investigadas, casi siempre se estudia el tema sinconsiderar sus aspectos cualitativos y cuantitativossimultáneamente.

Para llevar a cabo nuestra investigación, partimos de una revisiónde las investigaciones que se han hecho en torno al concepto deárea. Dado que trabajamos con estudiantes de nivel medio superiordel Instituto de Educación Media Superior del Distrito Federal,hacemos una descripción de la institución y revisamos sus librosde texto en lo referente al tema que nos interesa.

Por otro lado, debido a que en nuestra investigación se tomaron encuenta tanto aspectos cualitativos como cuantitativos del conceptode área, un punto fundamental fue indagar sobre los elementos quepodrían posibilitar a los estudiantes un adecuado aprendizaje delárea. Es por esto que dentro de los elementos teóricos, que dansustento a nuestra investigación, está la visualización. Damos unpanorama general de la visualización de figuras geométricas en elsentido establecido por Duval (2003). El siguiente elementoteórico que discutimos es el de los conceptos figurales, dibujo yfigura.Posteriormente, hacemos ver que el saber reconocer loselementos o propiedades relevantes de las figuras es un procesoque se aprende y se enriquece con la mediación de artefactos ymanipulables (Clements y Battista, 1999).

A partir de los elementos teóricos anteriores establecemos comoobjetivo para nuestra investigación el cerrar la brecha entre elenfoque cualitativo y el cuantitativo del concepto de área.Partimos de la hipótesis de investigación de que los estudiantesrequieren desarrollar habilidades específicas para tratarfiguralmente las representaciones gráficas de los objetosgeométricos.

Además proponemos como hipótesis de trabajo que una propuesta,para un adecuado aprendizaje del concepto de área, debe tomar encuenta tanto elementos cualitativos, como cuantitativos y debe

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integrar aspectos de transformación-conservación de área(comparación); de cálculo y medición de áreas y de deducción-utilización de fórmulas de áreas.

Diseñamos un instrumento de investigación, el cual consiste de unaserie de actividades expresamente diseñadas sobre el concepto deárea, que inicialmente ofrece diversas estrategias (cuantitativasy cualitativas) para cuantificar y comparar el área de figuras apartir de tres estrategias básicas. Posteriormente propone elproblema de comparar el área de dos figuras. Dicho problema decomparación gradualmente se transforma en un problema de mediciónde áreas. La actividad muestra cómo el medir es un refinamientodel comparar y que puntos cruciales para poder transitar de la unaa la otra son: el establecer una unidad de área y el desarrollarestrategias que permitan comparar la unidad de área con el área deuna figura dada.

Nuestras conclusiones son:

La unión de materiales manipulables y tareas problemáticaspueden proveer ricas estructuras de validación a losestudiantes.

Las estrategias básicas de comparación de áreas, pueden seruna herramienta útil para aprender el concepto del área,tanto en sus aspectos cuantitativos, como en loscualitativos.

El proceso de idealización de las estrategias básicas decomparación de áreas puede derivar en consideracionesequivocadas.

Es posible cerrar la brecha entre el enfoque cuantitativo yel cualitativo e incorporarlos en un solo concepto de área.

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ABSTRACTThis research, part of the need to consider the qualitative andquantitative nature of the area for proper learning. That is, somehave detected that while within the conceptual constructs relatedto geometry, concerning the area of plane figures have been widelyinvestigated, almost always studied the issue without consideringthe qualitative and quantitative aspects simultaneously.

To perform our research, we begin with a review of the researchthat has been done on the concept of area. Since we work withsenior high students of Institute High School Education of theFederal District, is a description of the institution and reviewtheir textbooks regarding the topic of interest.

Furthermore, because in our research were taken into account bothqualitative and quantitative aspects of the concept of area, a keypoint was to inquire into the elements that could enable studentsproper training area. That is why within the theoretical elementsthat sustain our research, is the display. We give an overview ofthe visualization of geometric figures within the meaningestablished by Duval (2003). The next element is discussedtheoretical concepts figural, and figure drawing. Later, we seethat knowing or recognizing the elements relevant properties ofthe figures is a learned process and is enriched with themediation of artefacts and manipulatives (Clements and Battista,1999).

From the previous theoretical elements establish as an objectivefor our research on bridging the gap between qualitative andquantitative approach to the concept of area. We hypothesize thatresearch students develop specific skills required to treatfiguralmente graphical representations of geometrical objects.

Furthermore, we propose as a working hypothesis that a proposalfor a suitable area concept learning must take into account bothqualitative elements and quantitative and must integrate aspectsof transformation-conservation area (comparison) calculation andmeasurement of areas and deduction-use area formulas.

We design a research instrument, which consists of a series ofactivities designed expressly for the concept of area, whichinitially provides various strategies (quantitative and

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qualitative) to quantify and compare the area of figures based onthree basic strategies. Then proposes the problem of comparing thearea of two figures. This problem becomes gradually comparison ameasurement problem areas. The activity shows how the measure is arefinement of the comparison and crucial points to move from oneto the other are: establishing a unit area and develop strategiesto compare the unit area to the area of a given figure.

Our conclusions are:

The union of manipulatives and problematic tasks can providerich validation structures students.

The basic strategies of comparing areas, can be a useful toolfor learning the concept of the area, both in terms ofquantity as in quality

The process of idealization of the basic strategies ofcomparing areas can lead to erroneous considerations.

Is possible to close the gap between quantitative andqualitative approach and incorporate them into a singleconcept of area.

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Agradezco al Consejo Nacional de Ciencias yTecnología por el

apoyo económico proporcionado para larealización de mis estudios de maestría.

Becario 373224

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AGRADECIMIENTOSExpreso mis sinceros agradecimientos a:

México por permitirme vivir y desarrollarme como mexicano.

Mis abuelitos Carmen y Santos y a mi mamá Bertha por el apoyo queme han brindado a lo largo de mi vida.

Toda mi familia, sin excepciones, por pertenecer a ella.Especialmente quiero agradecer a Sandra por permitirme ser sucompañero y por todo el amor y apoyo que me ha dado.

Todos los doctores del Departamento de Matemática Educativa pordarme la oportunidad de desarrollarme profesionalmente.Especialmente quiero agradecer a la doctora Claudia MargaritaAcuña Soto por todo el apoyo que me ha ofrecido y por todas lasenseñanzas que he recibido de su parte.

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ÍNDICE

1. INTRODUCCIÓN.................................................10

2. ANTECEDENTES.................................................12

2.1. DESCRIPCIÓN DE LAS INVESTIGACIONES REALIZADAS EN TORNO AL CONCEPTO DE ÁREA. .122.2. CONTEXTO DEL IEMS-DF..............................................14

2.2.1. Proceso educativo de la modalidad escolarizada....................................................152.2.2. Proceso educativo de la modalidad semiescolarizada............................................162.2.3. Plan de estudios.............................................................................................................. 172.2.4. Libros de texto................................................................................................................. 17

2.3. EL LIBRO DE TEXTO DE MATEMÁTICAS I DEL IEMS-DF.......................172.4. COMENTARIOS Y APORTACIONES AL LIBRO DE TEXTO DEL IEMS-DF................24

3. MARCO TEÓRICO................................................27

3.1. VISUALIZACIÓN MATEMÁTICA............................................273.1.1. Visualización fuera de las matemáticas o icónica...................................................293.1.2. Visualización en matemáticas o matemática...........................................................293.1.3. Reconocimiento de unidades figurales, variabilidad dimensional intrafigural, y articulación referencial del discurso matemático....................................................................303.1.4. Las transformaciones heurísticas de la figura inicial en otras y la articulación inferencial del discurso matemático...........................................................................................303.1.5. Producción instrumental de las figuras, dificultades de tamaño y geométricas

313.1.6. Aprehensión perceptiva.................................................................................................313.1.7. Aprehensión discursiva..................................................................................................323.1.8. Aprehensión operatoria................................................................................................323.1.9. Aprehensión secuencial.................................................................................................32

3.2. CONCEPTOS FIGURALES, DIBUJO Y FIGURA..................................333.2.1. Conceptos figurales........................................................................................................333.2.2. Dibujo y figura................................................................................................................. 34

3.3. EL CONCEPTO DE LA FORMA EN NIÑOS PEQUEÑOS.............................353.4. EL CONCEPTO DE CONSERVACIÓN DE ÁREA...................................373.5. UTILIZACIÓN DE ARTEFACTOS...........................................393.6. LOS MANIPULABLES...................................................40

4. OBJETIVO, HIPÓTESIS Y PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN.............44

4.2. OBJETIVO DE INVESTIGACIÓN...........................................444.3. HIPÓTESIS DE INVESTIGACIÓN..........................................444.4. HIPÓTESIS DE TRABAJO...............................................444.5. PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN..........................................45

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5. METODOLOGÍA..................................................46

5.2. POBLACIÓN DE ESTUDIO...............................................465.3. INSTRUMENTO DE INVESTIGACIÓN (DISEÑO DEL TALLER)........................46

5.3.1. Primera etapa................................................................................................................. 475.3.2. Segunda etapa................................................................................................................ 47

6. PUESTA EN MARCHA DE LA ACTIVIDAD, DATOS Y COMENTARIOS........52

6.2. PRIMERA FASE......................................................526.2.1. Primera sesión................................................................................................................. 526.2.2. Segunda sesión............................................................................................................... 616.2.3. Tercera sesión................................................................................................................. 64

6.3. SEGUNDA FASE......................................................656.3.1. Cuarta sesión................................................................................................................... 65

7. CONSIDERACIONES, CONCLUSIONES Y RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS DEINVESTIGACIÓN...................................................69

7.1. CONSIDERACIONES....................................................697.1.1. Sobre el objetivo de investigación...............................................................................697.1.2. Sobre las hipótesis de trabajo......................................................................................707.1.3. Sobre el uso de manipulables.......................................................................................70

7.2. CONCLUSIONES......................................................717.3. RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN............................72

7.3.1. Con respecto a la pregunta: ¿Cuál es la idea de área que tienen nuestros estudiantes al iniciar el proceso de trabajo?.............................................................................727.3.2. Con respecto a la pregunta: ¿Cómo conciben los estudiantes la relación área-unidad de área?............................................................................................................................... 727.3.3. Con respecto a la pregunta: ¿Qué tipo de generalizaciones realizan los estudiantes al trabajar con las estrategias básicas de comparación de áreas?................73

8. ANEXOS.......................................................76

8.1. ESTRATEGIAS DE CUANTIFICACIÓN DE ÁREA.................................768.2. SECUENCIAS DE CONSERVACIÓN DE ÁREA....................................78

9. REFERENCIAS..................................................84

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1. Introducción.El presente trabajo de investigación, parte de la necesidad deconsiderar la naturaleza cualitativa y cuantitativa del área parasu adecuado aprendizaje. Es decir, parte de haber detectado que sibien dentro de las construcciones conceptuales relacionadas con lageometría, las concernientes al área de las figuras planas fueronde las primeras en ser investigadas (Corberán, 1996), casi siemprese aborda el tema sin considerar sus aspectos cualitativos ycuantitativos simultáneamente.

Una de las críticas que más han reportado los investigadores conrespecto al tema, es justo el hecho de que frecuentemente se ve elárea de manera aislada, es decir, se toman en cuenta sólo uno oalgunos aspectos relacionados con ella. En este sentido, Kordaki(2003) menciona que generalmente el tema del área se aborda demanera aislada y casi siempre cuantitativamente. Agrega que esnecesario que los alumnos integren aspectos de conservación deárea, de medición de áreas y de fórmulas en un solo proceso máselaborado y esencial tanto para estudiantes de grados iniciales,como para los de grados más avanzados.

En educación básica, en ocasiones, los estudiantes trabajaninmediatamente con operaciones y fórmulas para calcular áreas.Esto ocasiona que sus principales dificultades, con respecto a lanoción de área, estén relacionadas con la incapacidad para cerrarla brecha entre la aproximación tradicional (expresada en el usode fórmulas) y la aproximación cualitativa, en la cual semanipulan áreas sin el uso de números (Kordaki, 2003).

Para llevar a cabo nuestra investigación, partimos de una revisiónde las investigaciones que se han hecho en torno al concepto deárea. Hacemos un breve recorrido cronológico, así como unaclasificación de los tipos de investigaciones realizadas. Dado quetrabajamos con estudiantes de nivel medio superior del Institutode Educación Media Superior del Distrito Federal (IEMS-DF),hacemos una descripción de la institución y revisamos sus librosde texto en lo referente al tema que nos interesa.

Por otro lado, debido a que en nuestra investigación se tomaron encuenta tanto aspectos cualitativos como cuantitativos del conceptode área, un punto fundamental fue indagar sobre los elementos quepodrían posibilitar a los estudiantes un adecuado aprendizaje delárea. Es por esto que dentro de los elementos teóricos, que dan

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sustento a nuestra investigación, está la visualización. Ella esla base de un adecuado entendimiento de la noción de área. Unaspecto con especial interés con relación al área, es el de lavisualización debido a las dificultades perceptuales que entraña(Kospentaris, Spyrou, y Lappas, 2011).Damos un panorama general de la visualización de figurasgeométricas en el sentido establecido por Duval (2003). Estapostura sobre visualización nos permite explicarla a partir dediferentes tipos de aprehensión.

El siguiente elemento teórico que discutimos es el de losconceptos figurales, dibujo y figura. Definimos conceptosfigurales a partir de los componentes figurales y conceptuales queposeen las figuras geométricas y establecemos la diferencia entredibujo y figura en el sentido establecido por Laborde y Capponi(1994), esta manera nos permite enfocamos en los procedimientosque podrían construir aproximaciones cualitativas y cuantitativasdel área.

Posteriormente, hacemos ver que el saber reconocer los elementos opropiedades relevantes de las figuras es un proceso que se aprendey se enriquece con la mediación de artefactos y manipulables(Clements y Battista, 1999). Esto a su vez nos permite hablar delos manipulables como instrumentos de mediación semiótica quepermiten formular y resolver problemas, es decir, no como merosmedios de expresión sino que son instrumentos para el trabajomatemático.

A partir de los elementos teóricos anteriores establecemos comoobjetivo para nuestra investigación el cerrar la brecha entre elenfoque cualitativo y el cuantitativo del concepto de área.Partimos de la hipótesis de investigación de que los estudiantesrequieren desarrollar habilidades específicas para tratarfiguralmente las representaciones gráficas de los objetosgeométricos.

Además proponemos como hipótesis de trabajo que una propuesta,para un adecuado aprendizaje del concepto de área, debe tomar encuenta tanto elementos cualitativos, como cuantitativos y debeintegrar aspectos de transformación-conservación de área(comparación); de cálculo y medición de áreas y de deducción-utilización de fórmulas de áreas.

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Diseñamos un instrumento de investigación, el cual consiste de unaserie de actividades expresamente diseñadas sobre el concepto deárea, que inicialmente ofrece diversas estrategias (cuantitativasy cualitativas) para cuantificar y comparar el área de figuras apartir de tres estrategias básicas. Posteriormente propone elproblema de comparar el área de dos figuras. Dicho problema decomparación gradualmente se transforma en un problema de mediciónde áreas. La actividad muestra cómo el medir es un refinamientodel comparar y que puntos cruciales para poder transitar de la unaa la otra son: el establecer una unidad de área y el desarrollarestrategias que permitan comparar la unidad de área con el área deuna figura dada.Planteamos como preguntas de investigación: (1) ¿Cuál es la ideade área que tienen nuestros estudiantes al iniciar el proceso detrabajo?; (2) ¿Cómo conciben los estudiantes la relación área-unidad de área? y (3) ¿Qué tipo de generalizaciones realizan losestudiantes al trabajar con las estrategias básicas de comparaciónde áreas?

Como consecuencia de la puesta en marcha de las actividadesdiseñadas y de los datos recolectados, hacemos algunasconsideraciones, establecemos nuestras conclusiones y respondemoslas preguntas de investigación: (1) La mayoría de los estudiantestienen una idea cuantitativa, asociada a fórmulas, mediciones,perímetro. (2) Los alumnos tienen una concepción del área de unafigura como el número de unidades completas de área que caben enella y no sólo eso, sino que persisten en tal concepción. (3) Losalumnos hacen generalizaciones incorrectas, basadas en casosparticulares, al aplicar las estrategias básicas de comparación deáreas.

Nuestras conclusiones son:

La unión de materiales manipulables y tareas problemáticaspueden proveer ricas estructuras de validación a losestudiantes.

Las estrategias básicas de comparación de áreas, pueden seruna herramienta útil para aprender el concepto del área,tanto en sus aspectos cuantitativos, como en loscualitativos.

El proceso de idealización de las estrategias básicas decomparación de áreas puede derivar en consideracionesequivocadas.

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Es posible cerrar la brecha entre el enfoque cuantitativo yel cualitativo e incorporarlos en un solo concepto de área.

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2. Antecedentes2.1. Descripción de las investigaciones

realizadas en torno al concepto de áreaEl propósito de esta sección es proporcionar un panorama generalde las diversas investigaciones y estudios que se han realizado entorno a la enseñanza y aprendizaje del concepto de área. Para talefecto, recurrimos a la tesis doctoral Análisis del concepto de área desuperficies planas. Estudio de su comprensión por los estudiantes desde primaria a launiversidad (Corberán, 1996). En dicho trabajo se hace una revisiónminuciosa de la literatura hasta ese momento. Complementamos conel trabajo de D’ Amore y Fandiño Pinillas (2007), el cual reportatrabajos más recientes.

La inmensa mayoría de los trabajos realizados en relación con elconcepto de área han sido realizados con niños entre 7 y 14 añosde edad. Unos pocos han considerado a alumnos de nivel medio y, demanera excepcional, se ha trabajado con profesores de educaciónbásica, con adultos de escuelas preuniversitarias y con futurosprofesores (Corberán, 1996).

Dentro de las construcciones conceptuales relacionadas con laGeometría, las concernientes al área de las figuras planas fueronde las primeras en ser investigadas (Corberán, 1996). Piaget, apartir de los años treinta del siglo XX, estableció los diferentesestadios de desarrollo de la comprensión, por parte de los niños,de los conceptos de longitud, superficie y volumen. Cabe destacarque dichos trabajos influyeron fuertemente en las investigacionesposteriores relacionadas con el área. Hasta la década de losochenta, existía una línea de investigación basada en estudioscríticos de los diferentes estadios definidos por Piaget. En lamayoría de las investigaciones posteriores a la década de losochenta, la componente psicológica desaparece y sus objetivos sediversifican.

En los años 50 y 60, alumnos de Piaget realizaron estudios basadosen las mismas certezas que su maestro. En 1983, un estudio repitelos famosos experimentos de Piaget. Estudios de este tipo, queahora son clásicos, influyeron muchos años en los análisis dedicho tema, los cuales se centraban principalmente en los fracasosde los alumnos de determinadas edades. En particular, se

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estudiaron con mucha atención las ideas de longitud y desuperficie. Esto evidenció la gran dificultad que los alumnostienen para apropiarse de la idea de superficie. Lasinvestigaciones hicieron ver cómo, al variar la forma, el jovenestudiante tiende a no ser capaz de aceptar la inmutabilidad de lamedida de la superficie (D’ Amore y Fandiño Pinilla, 2007).

A estos estudios clásicos, comenta Corberán (1996), siguieron unsinfín de investigaciones, tantas que no es fácil ceñirlas adeterminadas líneas de investigación, es decir, se puede apreciarque no existe una línea de investigación común a todas ellas. Ensu mayoría son estudios puntuales, esto hace difícil estableceruna evolución en la enseñanza y aprendizaje del concepto de área.Otro aspecto que comparten muchas de ellas es que utilizan comoantecedentes trabajos realizados por investigadores de un mismopaís. Esto origina que frecuentemente haya estudios de diferentespaíses pero con contenidos muy similares, de los cuales se puedenextraer conclusiones que pueden ser generales a nivelinternacional.

Corberán (1996), agrupa, según el tipo de objetivos planteados,las investigaciones en tres categorías distintas:

1) Estudios teóricos sobre el concepto de área que abordan elanálisis didáctico de este concepto en su globalidad desdedistintos marcos teóricos.Corberán (1996), consigna tres trabajos que han hecho unestudio teórico del concepto con teorías didácticasdistintas: Freudenthal en 1983, Héraud en 1989 y Perrin-Glorian en 1992.Existen diferencias en el tipo de estudio desarrollado porestos tres investigadores: Freudenthal realiza un estudioteórico sin concretar ninguna propuesta curricular. Héraud yPerrin-Glorian sí conducen sus investigaciones a unasecuencia didáctica del área y en el caso de Perrin-Glorian,con actividades específicas. Por otra parte, el trabajo dePerrin-Glorian tiene un carácter general y es aplicable alárea de cualquier tipo de superficie, mientras que el deHéraud se restringe al estudio del área del rectángulo y laextiende a la de los polígonos.

2) Investigaciones cuyo objetivo es determinar el grado decomprensión de los alumnos de aspectos relacionados con elárea: concepciones del área; la unidad de área; la relaciónárea-perímetro; conservación de área; procedimientos de

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comparación; utilización de fórmulas en el cálculo de áreas.Justo por su naturaleza de atender sólo algunos aspectos, sonestudios parciales. Los podemos agrupar en dos categorías:

a) Trabajos que se han realizado con muestras importantes yque normalmente forman parte de investigaciones conobjetivos más amplios o de carácter nacional. Susresultados proceden del análisis de las respuestas dadaspor los alumnos a un test, el cual es diseñadoespecíficamente para cada investigación.

b) Trabajos que utilizaron un número de estudiantessignificativamente menor que los mencionados en elapartado anterior. Ellos constituyen la mayor parte delas investigaciones que se han llevado a cabo a nivelinternacional. La metodología de investigación ha sidodiversa y fundamentalmente se basa en entrevistasclínicas, en experiencias en clase con grupos reducidosy en administración de tests.

3) Estudios cuyo único objetivo ha sido el de proponeractividades concretas o secuencias de tareas para laenseñanza de uno o varios aspectos relacionados con el área yque no son resultado de una investigación previa.Corberán (1996), ejemplifica este tipo de investigaciones contrabajos que contienen tareas sobre: unidad de área yfórmulas; comparación; relación entre área y perímetro de unrectángulo; estimación de áreas de figuras irregulares; elgeoplano como vehículo para el estudio del área de figuraspoligonales sometidas a diversas transformaciones.

Por su parte, D’ Amore y Fandiño Pinillas (2007), hacen unrecorrido cronológico de las investigaciones que hacen referenciaespecíficamente a las dificultades en el aprendizaje del perímetroy del área. Reseñan 17 investigaciones comprendidas entre 1979 y2005. Mencionamos, brevemente, algunas de ellas:

Gentener (1983, citado por D’Amore y Fandiño Pinillas, 2007),sugiere el uso de materiales concretos sencillos para las primerasaproximaciones a la geometría, en general, y al estudio de lassuperficies, en particular.

Un discurso general fue propuesto por Speranza (1987, citado porD’ Amore y Fandiño Pinillas, 2007). En éste se demuestra cómo lasdificultades conceptuales relacionadas con el área y el perímetro,en escuela primaria, permanecen en alumnos avanzados, incluso enla universidad.

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Un estudio, considerado un clásico por muchos investigadores, esel de Rouche (1992, citado por D’ Amore y Fandiño Pinillas, 2007).En éste se demuestra cómo el rectángulo constituye el punto departida más importante para la adquisición del concepto desuperficie. Tal figura es la más adecuada para este fin, dado queen ella concurren, figuralmente hablando, casi todas las otrafiguras. Esto se debe a que es posible determinar el área de unrectángulo como el producto de dos números, es decir, el productode los lados distintos del rectángulo.

El estudio de Montis, Mallocci y Polo (2003, citado por D’ Amore yFandiño, 2007), confirma que los alumnos de entre 6 y 8 años deedad, identifican la figura de mayor área con la de mayorperímetro o con la más alta.

Por último, a manera de conclusión de esta sección, señalamos queel interés que despierta el concepto de área en la investigaciónde educación matemática es claro no sólo por el elevado número detrabajos que se han realizado sobre este concepto, sino tambiénpor las investigaciones en las que si bien su objetivo no espropiamente el estudio del área, ésta es utilizada como contextoen el que se enmarcan otros estudios. Esto concuerda con el hechode que en la práctica docente el área se emplea como base demodelos para la enseñanza de otros conceptos matemáticos queaplican el área en distintas parcelas matemáticas. Como ejemplode lo anterior, Corberán (1996) comenta investigaciones en las quese estudia el uso del número racional en tareas de comparación deáreas; se analiza si el modelo de Van Hiele puede suministrar unmarco para valorar el nivel de razonamiento de niños sobreconceptos de área y perímetro; se utiliza el área para darsignificado geométrico a expresiones algebraicas.

2.2. Contexto del IEMS-DFLa presente investigación fue desarrollada con alumnos delInstituto de Educación Media Superior del Distrito Federal (IEMS-DF). Es por esto que consideramos pertinente dar un breve panoramageneral de dicha institución, así como de los contenidoscurriculares asociados al tratamiento del área tanto en losprogramas como en los textos usados en los cursos. Hacemos laaclaración que toda la información que presentamos en esta secciónpuede ser consultada en el portal electrónico oficial del IEMS-DF.

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La intención de incluirla en el presente trabajo es justo paratener un trabajo autosuficiente.

El Instituto de Educación Media Superior del Distrito Federal fuecreado el 30 de marzo de 2000 como parte del Sistema EducativoNacional. Tiene como objetivo impartir e impulsar la educación detipo medio superior en la Ciudad de México, especialmente enaquellas zonas en las que la atención a la demanda educativa seainsuficiente o así lo requiera el interés colectivo. La educaciónque imparta el Instituto será gratuita, democrática, promoverá ellibre examen y discusión de las ideas y estará orientada asatisfacer las necesidades de la población de la capital del país.Entre las atribuciones que el IEMSDF tiene están:

Desarrollar, instrumentar y ejecutar modelos alternativos deeducación media superior en el Distrito Federal, así como susplanes y programas de estudio.

Establecer, organizar, mantener y administrar planteles deeducación media superior en el Distrito Federal los cualesconstituirán el Sistema de Bachillerato del Gobierno delDistrito Federal, dando prioridad a las zonas donde losservicios educativos sean insuficientes o lo dicte el interéspúblico.

Impartir educación media superior a través de las modalidadesescolar y extraescolar, cuidando en todo tiempo de llevarla alos sectores sociales más desfavorecidos y de acuerdo con elmodelo educativo desarrollado por el Instituto.

Expedir certificados de estudio y otorgar diplomas y títulosacadémicos correspondientes al nivel medio superior.

Otorgar o retirar reconocimiento de validez a estudiosrealizados en planteles particulares que impartan el mismomodelo de enseñanza.

Auspiciar el establecimiento de planteles particulares en losque se impartan los modelos educativos diseñados por elInstituto.

El IEMSDF cuenta con dos modalidades escolares: SistemaEscolarizado y el Semiescolarizado. Para cada una de estasmodalidades existe el diseño oficial de su proceso educativo.

2.2.1. Proceso educativo de la modalidad escolarizada.

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Como se puede corroborar el la página electrónica oficial delIEMS-DF, su modalidad escolarizada cuenta con distintos espaciosde trabajo académico: trabajo grupal, tutoría, laboratorio, horasde estudio y prácticas.

Trabajo grupal: Se le conoce comúnmente como “trabajo de clase”.Se lleva a cabo grupalmente a través de sesiones de una hora uhora y media de duración, en las que un grupo de aproximadamente30 estudiantes trabaja con un docente-tutor. En estas sesiones, eldocente busca motivar a los estudiantes, darles guías yorientación para el estudio de los temas correspondientes.

Tutoría: En este espacio, el docente brinda atención personalizadaal estudiante, con el fin de prevenir posibles situaciones deabandono o atraso escolar. Para ello, en el trabajo de tutoría, eldocente orienta a cada estudiante en el desarrollo del proceso deaprendizaje, resuelve sus dudas y fortalece los conocimientosrelacionados con la asignatura. En el IEMSDF esta labor es llamada“asesoría académica”. El docente da un seguimiento más amplio aaproximadamente 15 estudiantes asignados. Esto consiste enidentificar sus necesidades y situaciones particulares relativas afactores sociales, económicos, culturales, emocionales,psicológicos, físicos, etc.

Laboratorio: Espacio en el que los estudiantes, a través deexperimentos y ejercicios, construyen explicaciones respecto afenómenos naturales. Es un lugar propicio para el desarrollo de lareflexión, imaginación y creatividad.

Horas de estudio: Espacio de mayor flexibilidad y recreación parael aprendizaje, donde el estudiante –de forma individual ocolectiva– elabora trabajos concretos a través de los quedesarrolla y fortalece los conocimientos promovidos por eldocente.

Prácticas: tiempo para reforzar habilidades adquiridas durante elaprendizaje.

En el IEMS-DF la evaluación del aprendizaje se constituye en trestipos distintos, congruentes con el proceso formativo:

Evaluación diagnóstica: Recupera la información sobre losconocimientos que un estudiante posee antes de iniciar un curso.

Evaluación formativa: Se realiza a lo largo de cada curso. En éstael docente debe observar qué, cómo y a través de qué, el

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estudiante aprende, lo que permite la retroalimentación para ellogro del aprendizaje.

Evaluación compendiada: Valora logros alcanzados en el proceso deaprendizaje al finalizar el semestre.

En el IEMSDF, al docente se le conoce como Docente-Tutor-Investigador (DTI) porque es el profesional encargado de convocaral saber en los distintos espacios de trabajo académico. Esresponsable del seguimiento de los estudiantes y de lasistematización del desarrollo de diversos saberes que seconstruyen en cada disciplina.

2.2.2. Proceso educativo de la modalidad semiescolarizada

Esta modalidad se diseñó en el año de 2007 para ampliar ydiversificar la oferta educativa del IEMSDF. Se denomina asíporque combina dos formas de trabajo académico: sesiones tipoclase (típicas de los sistemas escolarizados) y el estudioindependiente (que promueven los sistemas abiertos).

Por las características de operación de la modalidad, sólo sepuede ofrecer una oportunidad por asignatura para recibir el apoyode un asesor, y en períodos de sesiones tipo clase de dos a treshoras cada una. Para las asesorías, los horarios de los grupos sonde las 8 a las 20 horas, pero en una jornada diaria un estudiantetendrá, como máximo, de seis a siete horas de asesoría, tanto ensesiones sabatinas como en las que se programan de martes aviernes o en sesiones diarias.

La Modalidad Semiescolar tiene la flexibilidad para que organicestu carga académica de acuerdo con tus necesidades, de tal maneraque optes por inscribirte a las asesorías tipo clase o comoestudiante independiente y presentes evaluaciones globales en losperiodos establecidos.

El trabajo académico se organiza a partir de cuatro elementosbásicos: asesoría académica, materiales de apoyo al estudio, horasde estudio individual y evaluación del aprendizaje con fines decertificación de estudios.

Asesoría académica: Se trabaja en sesiones tipo clase dirigidas agrupos de 25 a 30 estudiantes, todos los sábados y de martes a

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viernes, según los espacios disponibles en los planteles delIEMSDF. También estas asesorías se dan a pequeños grupos.

Materiales de apoyo: Al inicio de las actividades académicas seproporciona gratuitamente un material de apoyo al estudio por cadauna de las asignaturas. Estos materiales son un elemento académicofundamental para esta modalidad, pues vinculan con losconocimientos de cada asignatura e indican qué hacer en términosde conocimientos, habilidades, destrezas y actitudes. Asimismo, seindican ejercicios para la aplicación y consolidación delaprendizaje y sugieren actividades para poder estudiar, consultar,repasar y ejercitar lo propio del temario de cada asignatura.

Horas de estudio individual: En toda modalidad educativa serequiere dedicar algunas horas de estudio individual para el logrode los aprendizajes necesarios, pero, específicamente, en lamodalidad semiescolar del IEMSDF este tiempo es fundamental.Independientemente de la asistencia, dedicación y participación enlas sesiones de asesoría, el avance académico quedará demostradoal momento de la evaluación.

La evaluación del aprendizaje aporta los elementos que respaldanel avance académico en términos de asignaturas cubiertas (C),respecto al total que conforman el plan de estudios. El procesoestá a cargo, en primera instancia, de los asesores, quienes a lolargo de las sesiones de asesoría realizan evaluacionesformativas, con las que recaban evidencias necesarias paradeterminar si se cubre (C) o no se cubre (NC) la asignaturacorrespondiente.

Los asesores de la modalidad semiescolarizada son profesionistasformados en las disciplinas del plan de estudios y tienen a sucargo la conducción del proceso de aprendizaje en los distintosgrupos. Con apoyo del material de estudio, organizan el trabajoacadémico y asignan tareas. Además, realizan evaluacionesdiagnósticas y formativas durante las sesiones de asesoría paraque, a partir de los resultados, reorienten ellos mismos susestrategias y definan las actividades que favorezcan elaprendizaje.

2.2.3. Plan de estudios.El plan de estudios del IEMS-DF es el siguiente:

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Primer semestre: Matemáticas I, Física I, Lengua y Literatura I,Filosofía I, Planeación y Organización del Estudio I y ComputaciónI.

Segundo semestre: Matemáticas II, Física II, Lengua y LiteraturaII, Filosofía II, Planeación y Organización del Estudio II yComputación II.

Tercer semestre: Matemáticas III, Química I, Lengua y LiteraturaIII, Filosofía III, Historia I y Artes Plásticas I.

Cuarto semestre: Matemáticas IV, Química II, Lengua y LiteraturaIV, Filosofía IV, Historia II, Artes Plásticas II e Inglés I.

Quinto semestre: Biología I, Historia III, Matemáticas V, MúsicaI, Inglés II, Optativa del área de ciencias y Optativa del área dehumanidades y arte.

Sexto semestre: Biología II, Historia IV, Música II, Inglés III,Optativa del área de humanidades, de artes o de ciencias yProblema eje.

2.2.4. Libros de textoEl IEMS cuenta con libros de texto propios para cada una de lasmaterias. Estos libros son propuestos como materiales de apoyopara las modalidades escolar y semiescolar. Todos los materialesestán disponibles, sólo para alumnos y profesores, en formatoelectrónico en la página web del Instituto. En el presentetrabajo, estamos interesados sólo en el libro donde se expone elconcepto del área, es decir, en el libro de Matemáticas I.

2.3. El libro de texto de Matemáticas I delIEMS-DF

Dado que decidimos realizar nuestra investigación en el IEMS-DF,nuestro antecedente didáctico o, dicho de otro modo, la propuestadidáctica que tomamos como antecedente directo es la expuesta en

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el libro de Matemáticas I del IEMS-DF concerniente al concepto deárea.

El tema relacionado con la noción de área de figuras geométricas,es abordado en el curso de Matemáticas I. El libro de texto, omaterial de apoyo, de dicha asignatura tiene cinco temasprincipales:

1. Lenguaje simbólico.2. Números naturales.3. Números enteros.4. Álgebra.5. Geometría.

Al inicio del libro de Matemáticas I, se declara explícitamenteque:

Este programa de Matemáticas no se parece a los convencionales, a los típicos quese enseñan en la mayoría de las preparatorias, ya que difiere tanto en el contenidocomo en la manera de enseñar y evaluar. Se pretende que tú construyas laMatemática, descubras, inventes, propongas y discutas para que de esta maneraformes un método de razonamiento y de análisis, desarrollando creatividad yaprendiendo a explicar tus razonamientos (p.4).

El tema de Geometría se compone de cinco subtemas: Nocionesbásicas, Construcciones básicas, Polígonos, Superficies yVolúmenes. Es el subtema de Superficies es el que nos interesa.

La sección de Superficies inicia como sigue:

Propósito: El estudiante desarrollará su habilidad para medir los elementosgeométricos (líneas y área de superficies). Sabrá qué medir y cómo realizarlo(p.273).

A continuación describiremos y comentaremos los puntos sustantivosde la sección de Superficies del libro Matemáticas I. Nosenfocamos en lo referente al área en general y su unidad enparticular con el fin de hacer algunas observaciones que seránconsideradas en el diseño de las actividades experimentales delpresente trabajo.

Se define superficie de una figura:

La superficie (o área) de una figura geométrica plana es la magnitud del espaciode dos dimensiones, que se encuentra dentro de las líneas que lo componen.

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Nota- Frecuentemente se usan las palabras área y superficie para referirse almismo concepto: la medida o magnitud de un objeto plano. Por “superficie”entendemos la magnitud de un cuerpo de dos dimensiones, aunque en ocasionesserá el espacio ocupado por el cuerpo geométrico (p. 274).

Se inicia propiamente el tema:

Como hemos hecho al abordar un nuevo tema, comencemos por medir lasuperficie de las figuras geométricas más sencillas. Estas son: los cuadrados y losrectángulos (p. 275).

Se introduce la noción de unidad cuadrada de área a través de unejemplo:

¿Has visto las rejas de refrescos cuando los camiones repartidores o distribuidoreslos están entregando en las misceláneas?, ¿Sabes cuántos refrescos contiene unareja? La reja está construida con 4 hileras de 6 casillas cada una o bien, con 6hileras de 4 casillas cada una (p. 276).

La reja tiene forma rectangular. Si consideramos que cada casilla ocupa, en la plantillade la reja, un espacio de una unidad por cada uno de sus lados, entonces ocupa unaunidad cuadrada, que dibujando todo esto se ve de esta forma:

Si ahora consideramos sólo la plantilla, sin los orificios para los refrescos, tenemos:

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una unidad CUADRADA. Por convención se escribe 1u2, o simplemente u2. Entoncesnuestra plantilla tiene: 24 u2 (p. 277).

De manera que la superficie de un rectángulo está dada por la longitud de su ladocorto por la longitud de su lado largo o lo que es lo mismo, y así lo has leído: lasuperficie de un rectángulo se obtiene multiplicando la longitud de su base por lalongitud de su altura.

La superficie del rectángulo es igual a base por altura (p. 278).

Se recurre al hecho de que un cuadrado es un rectángulo paraestablecer la superficie de aquél como lado al cuadrado.

El siguiente paso es calcular la superficie de un paralelogramo.

Calculemos ahora la superficie de un paralelogramo (p. 279).

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Para calcularla es necesario convertir nuestra figura en una más simple. En unrectángulo. ¿Se podrá? Intentémoslo.

Si al paralelogramo le quitamos la sección iluminada en azul más intenso y lallevamos hasta el otro extremo.

Obtenemos finalmente ¡un rectángulo!

Y para encontrar la superficie se multiplica, igual que en el rectángulo, la longitudde la base por la longitud de la altura. En corto: la superficie del paralelogramo esigual a base por altura (en unidades cuadradas).

El perímetro está dado por 2 veces la base más 2 veces el lado (no la altura, tencuidado).

Otro ejemplo (p. 280):

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Para construir con este paralelogramo un rectángulo, cortémoslo como hicimos enel ejercicio anterior, en perpendicular al extremo a la derecha de la longitud de labase, esto es:

Obtenemos,

Ahora, si la figura en tono claro la colocamos hasta el extremo del vérticeizquierdo del triángulo en tono oscuro, nuestro recorte toma la siguiente forma:

Si cortamos de nueva cuenta en perpendicular al extremo a la derecha de lalongitud de la base, marcamos, cortamos

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y obtenemos:

A continuación, se hace otra vez el procedimiento, a manera deejercicio, con otro paralelogramo (p. 282):

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El siguiente paso en el procedimiento que se propone, es calcularel área de un triángulo.

¿Cómo calculamos la superficie de un triángulo? (p. 283).

Utilizando parte de lo que hicimos con el paralelogramo, tenemos:

Sabemos que la superficie del paralelogramo se calcula como base por altura y eslo que tenemos después de nuestra última construcción. Pero de este últimonúmero, sólo necesitamos “la mitad”. ¿Qué hacemos?, pues muy fácil, al productode la base por la altura lo dividimos por dos y tendremos la superficie deltriángulo. La superficie de un triángulo es igual a base por altura sobre dos.

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Después de esto, se calcula el área del rombo, romboide, trapecioisósceles, pentágono y hexágono regulares. Las dos primerasfiguras las inscriben en rectángulos y de esa manera calculan elárea. La tercera la transforman en rectángulo. Las dos últimas lasdescomponen en triángulos para determinar su área. Nosotros noprofundizaremos en cómo hacen lo anterior, pues lo ya expuesto eslo que nos interesa analizar, es decir, nos interesa analizar cómose plantea el tema de conservación de área como una estrategia quepermite calcular el área.

2.4. Comentarios y aportaciones al libro detexto del IEMS-DF

El propósito de esta sección no sólo es hacer comentarios delcontenido temático y de la forma de tratar el tema en el libro detexto de Matemáticas I del IEMS-DF sino, fundamentalmente,reflexionar sobre la forma en que sería posible tomar en cuentadiversos aspectos del concepto de área.

Como ya se mencionó, en el libro de texto del IEMS-DF se declaraque el propósito del subtema de superficies es que el alumnodesarrolle habilidad para medir elementos geométricos. Semenciona, además, que el alumno sabrá qué medir y cómo realizarlo.

Del mismo modo, hemos mencionado que Corberán (1996), clasificacomo estudios parciales aquellos en los que sólo se abordanalgunos aspectos relacionados con el área. Ella pone como ejemplode los aspectos que se han abordado: unidad de área; conservaciónde área; utilización de fórmulas para calcular áreas. Por otraparte, una de las críticas que más han reportado losinvestigadores con respecto al tema, es justo el hecho de quefrecuentemente se ve el área de manera aislada, es decir, se tomanen cuenta sólo uno o algunos aspectos relacionados con ella. Eneste sentido, Kordaki (2003) menciona que generalmente el tema delárea se estudia de manera aislada y casi siempre

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cuantitativamente. Agrega que es necesario que los alumnosintegren aspectos de conservación de área, de medición de áreas yde fórmulas en un solo proceso más elaborado y esencial tanto paraestudiantes de grados iniciales como para los de grados másavanzados.

Estas consideraciones nos permiten formular nuestra primerahipótesis de investigación: La construcción de la idea de áreadebe considerar tanto aspectos cuantitativos, como cualitativosasociados a ella. En el primer caso el área se debe calcular ymedir. En el segundo, se debe conservar en independencia de suforma.

Entonces tenemos que la propuesta del libro de texto del IEMS-DF,la cual se centra en deducir, de manera intuitiva, las fórmulaspara calcular el área de los principales polígonos regulares esuna propuesta parcial pues el objetivo es que el alumno aprenda autilizar las fórmulas.

Como ya vimos, en el libro de Matemáticas I, transforman unparalelogramo en un rectángulo y concluyen que por tanto el áreade aquél es base por altura. Con respecto a esto, hacemos un parde acotaciones: Por un lado, no llaman la atención o no hacenexplícita la conservación de área al hacer tal transformación comouna propiedad distintiva del área.

Sostenemos (justo una parte de nuestra propuesta se centra enfomentar tales habilidades) que los no todos los alumnos tienenlos elementos que les permitan entender que al hacer taltransformación, el área se conserva. Aunado a esto, latransformación, que se expone en el texto, carece de indicacionessobre la conservación de la misma base y de la misma altura, asícomo la participación que el paralelismo tiene durante laactividad de corte, las cuales son justificaciones matemáticas delprocedimiento.

Por otro lado, cuando convierten un paralelogramo en unrectángulo, lo hacen con la intención de justificar que el área deaquél es base por altura y no con la intención de mostrar que dosfiguras pueden tener igual área aunque no tengan la misma forma.Al hacer esto evitan, aunque no intencionalmente, el tema deconservación de área.

Por último, en la propuesta del libro de Matemáticas I, no seestablece de manera clara cuál es la función, utilidad y finalidad

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de la unidad de área. Únicamente la presentan y calculan áreas entérminos de ella.

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3. Marco teóricoEn esta sección estableceremos los elementos teóricos que dansustento a nuestra investigación. A continuación describimosbrevemente los temas que abordaremos con objeto de sustentarla.

Dado que el tema que trabajamos se relaciona con la interpretacióncualitativa y cuantitativa de la idea de área, debemos considerarlas cualidades visuales de las representaciones geométricas.Debido a esto, iniciamos con un panorama general de lavisualización de figuras geométricas en el sentido establecido porDuval, (2003). Esta postura sobre la visualización nos permiteexplicarla a partir de diferentes tipos de aprehensión. Aclaramosque, particularmente, estamos interesados en establecer cómoentendemos la aprehensión operatoria de la figuras, pero damos unpanorama general de la visualización para mostrar el contexto enel cual está inserta la aprehensión operatoria de la figuras,especialmente en el uso de la reconfiguración.

El siguiente punto que discutimos es el de los conceptos figuralesdibujo y figura. Definimos conceptos figurales a partir de loscomponentes figurales y conceptuales que poseen las figurasgeométricas y establecemos la diferencia entre dibujo y figura enel sentido establecido por Laborde y Capponi (1994), esta maneranos permite enfocarnos en los procedimientos que podrían construiraproximaciones cualitativas y cuantitativas del área.

El tercer punto que discutimos es el del concepto de la forma delos niños pequeños. Aquí lo que nos interesa es establecer que elsaber reconocer los elementos o propiedades relevantes de lasfiguras es un proceso que se aprende y se enriquece con lamediación de artefactos y manipulables (Clements et al, 1999),resultados que apuntan en la dirección de reconocer un periodo deformación de relaciones figurales que pueden o no estar presentesen las ideas de nuestros estudiantes. Esto a su vez, nos permitehablar de los manipulables como instrumentos de mediaciónsemiótica que permiten formular y resolver problemas, es decir, noson meros medios de expresión sino que son instrumentos para eltrabajo matemático.

3.1. Visualización matemáticaEs indiscutible que ese modo de conocimiento que consiste en<<ver>>, tanto por los sentidos, la imaginación como por la

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inteligencia, tiene un papel importante en el desarrollo delpensamiento y en el trabajo matemático. Sin embargo, <<ver>> enmatemáticas no es algo natural sino, más bien, “<<ver>> enmatemáticas requiere un aprendizaje específico” (Duval, 2003).

Debemos, entonces, saber qué es <<ver>> en matemáticas, para talefecto, distinguiremos, al igual que Duval (2003), visión devisualización.

La visión es una aprehensión simultánea, inmediata y directa detodo lo que es accesible en el campo de la percepción. Laaprehensión visual simultánea da la posibilidad de percibir juntosy en un solo acto todos los elementos del campo perceptivo, asícomo sus relaciones. La aprehensión visual inmediata permitediscriminar e identificar casi al instante los elementos del campoy sus relaciones. En otras palabras, <<ver>> es reconocer algoinmediatamente (de golpe o al primer vistazo) de manera noconsciente gracias a todo lo que está almacenado en la memoria. Laaprehensión visual es directa pues es la que da acceso a losobjetos mismos al verlos. Es por este carácter directo queadquiere el valor epistemológico de intuición o de evidencia.

Por otro lado, la visión tiene dos limitaciones. La primera es deperspectiva, pues es siempre relativa a la posición del queobserva. Si bien la visión es global (al percibir todo el campovisual), ningún objeto se ve simultáneamente completo. La segundaes de dirección intencionada o enfoque. Designamos como mirada aesa visión dirigida intencionalmente que se centra o se enfoca enuna pequeña parte del campo visual. Por lo tanto, la visión es unacto local y selectivo. Estas limitaciones pueden ser compensadascon el movimiento del observador o del objeto, para cambiar deperspectiva, y con un continuo cambio en los lugares en que seenfoca la mirada.

Visualizar es crear una representación bidimensional (en papel, enun lienzo, en una pantalla de computadora) de lo aprehendidomediante la visión. Esta representación también permite unaaprehensión simultánea e inmediata pero no directa, pues no se ve(en la representación) al objeto mismo, sino una representación deél.

Se pueden mencionar dos diferencias entre visión y visualización.La primera es que aquélla sucede en tres dimensiones y ésta endos. Si bien es posible visualizar objetos de tres dimensiones,tal visualización se elabora en un medio bidimensional. La segunda

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es que la visualización nos permite <<ver>> objetos que enrealidad no existen o que mediante la visión no es posibleaprehender, como una sirena o el sistema solar.

La visualización debe permitir que la representación creada através de ella, pueda ser aprehendida simultánea e inmediatamente.Esto quiere decir que uno debe poder identificar y discriminar lasformas y figuras (así como sus relaciones y la configuraciónglobal) plasmadas en una imagen o dibujo con la suficiente rapidezpara que uno pueda reconocer al instante lo que la representaciónvisualiza. Así, a través de la visualización, se pueden movilizarprocesos propios de la visión.

Muchas veces podemos utilizar una visualización (dibujo, imagen)en lugar de todo un discurso escrito, descripción o explicacióndebido a que ésta cubre las funciones cognoscitivas deilustración, de economía y de identificación, con lo que,aparentemente, la visualización se vuelve más potente para lacomprensión. Esto plantea la cuestión de qué diferencias hayentre la escritura y un dibujo. Queda claro que ambos sonrepresentaciones, sin embargo, cognoscitivamente, lasrepresentaciones discursivas (frases de un enunciado, cálculoalgebraico) no se aprehenden visualmente de la misma manera quelas representaciones no discursivas (imágenes, figuras). Debemostener en cuenta la aprehensión sucesiva y la aprehensiónsimultánea.

El acto de leer (aprehensión de una representación discursiva)implica prioritariamente una aprehensión sucesiva, debido a sucarácter lineal. Por otro lado, la percepción de una figuraimplica inicialmente una aprehensión simultánea la cual originauna primera identificación pero, a pesar de esto, debe haberaprehensiones sucesivas que se precisen y enriquezcan a través dela exploración. Tal exploración puede considerarse como el análogode <<lectura>>.

La forma en que leemos un escrito no es la misma en que leemos unafigura, pues en ésta última no hay un orden de entrada, como sí lohay en la primera, además, las focalizaciones sucesivas puedensituarse en diversos lugares de la figura. Hay más libertar parasegmentar en subfiguras.

La visualización de dibujos y figuras genera aprehensiónsimultánea e inmediata pero no directa, pues no dan acceso a losobjetos mismos -como sí lo hace la visión-. Esto ocasiona que la

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visualización no tenga el carácter de intuición o evidencia queposee la visión, sin embargo, está la excepción de las figurasgeométricas, pues al tener atributos topológicos, afines ymétricos, en ocasiones se les trata como si fueran el objeto mismoy no una representación de él. Así, se entiende por qué a veces seles concede a las figuras geométricas el valor epistemológico deintuición.

Con lo expuesto en el párrafo anterior, vemos que no es lo mismovisualizar una imagen (fotografía, pintura, pues se sabe que sóloes una representación y no el objeto mismo) que una figurageométrica (triángulo, círculo, pues se les considera como elobjeto mismo), es decir, hay una visualización fuera de lasmatemáticas y otra dentro de ellas.

3.1.1. Visualización fuera de las matemáticas o icónica

Para poder decir que algo producido en un material bidimensionales en verdad una visualización intencional y explícitamenteproducida es necesario que una relación de <<similitud>> seimponga entre ella y lo representado. Esta relación puede seresencialmente de dos tipos. La primera es una simple relación desemejanza entre la representación y lo representado. Sólo hay unfactor de escala entre ellos. La segunda es una relación deconservación de estructuras topológicas (se conserva el arreglo,configuración y las relaciones de los elementos del objetorepresentado), por ejemplo, una cara se puede representar con uncuadrado grande para la cara y cuadrados pequeños para los ojos,nariz y boca. A las visualizaciones que funcionan a partir de lasrelaciones de <<similitud>> anteriores se les llama icónicas.

3.1.2. Visualización en matemáticas o matemática

En este tipo de visualización los criterios de similitud entre larepresentación y lo representado no son pertinentes. Para poderdelinear qué es la visualización matemática, necesitamosestablecer dos diferencias entre ella y la icónica.

Mientras que una visualización icónica deja ver el parecido entrela representación y lo representado, la visualización matemáticalo que permite ver son las propiedades, el comportamiento, o lasrelaciones que hay en los elementos (o entre ellos) de lorepresentado. Esto significa que dos visualizaciones matemáticasdel mismo objeto pueden ser distintas en su aspecto o en términos

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visuales y en su discurso explicativo, pero deben permitir ver laspropiedades, el comportamiento y las relaciones de dicho objeto.

Mientras que la visualización icónica no implica la capacidad deproducirla para estar en condiciones de saber lo que representa,la matemática sí la implica. En otras palabras, no es necesariosaber dibujar una mesa para poder reconocerla en un dibujo. Encambio, es requisito saber construir una figura geométrica o unagráfica para saber lo que representa.

Por lo tanto, si una visualización lo que nos deja ver son laspropiedades, el comportamiento y las relaciones de lo representadoy si es necesario saber construirla para poder reconocerla,entonces, tal visualización es matemática.

Con esto, vemos que las visualizaciones icónicas tienen un altogrado de naturalidad o espontaneidad para las personas, puesúnicamente hay que notar el parecido que hay entre un círculo yuna llanta de automóvil para poder decir que aquél es unarepresentación de ésta. Por otra parte, las visualizacionesmatemáticas no son naturales o espontáneas debido a que tienenrequisitos. De hecho, en las primeras iniciaciones escolares, lasfiguras geométricas elementales tienen un valor icónico para losestudiantes. Un alumno, inicialmente, visualiza una figurageométrica icónicamente pues no conoce sus propiedades y no escapaz de construirla (sólo es capaz de asociarla con las formasque le rodean) pero progresivamente puede ir aprendiendo avisualizarla matemáticamente. La visualización matemática seaprende y se perfecciona. Hay un largo camino para lograrvisualizar matemáticamente las figuras en geometría. Abordaremosdos grandes factores que intervienen en dicho camino. Primero: lashabilidades que deben ser desarrolladas para alcanzar lavisualización matemática. Segundo: los tipos de aprehensión queesas habilidades fomentan en la figuras geométricas.

De acuerdo con Duval (2003), las habilidades que deben serdesarrolladas forman tres grupos:

3.1.3. Reconocimiento de unidades figurales, variabilidaddimensional intrafigural, y articulación referencialdel discurso matemático

El reconocimiento de unidades figurales tiene que ver con lacapacidad de distinguir en las figuras geométricas, incluso en lasmás simples, tantas subfiguras o unidades figurales como sea

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posible. Una figura es una configuración de diversas unidadesfigurales y nunca una sola unidad figural. Por ejemplo, la figurade un cuadrado (unidad figural bidimensional o 2D), debe ser vistacomo una configuración en la cual se pueden distinguir subfiguras:el cuadrado mismo, cuatro segmentos (unidades figuralesmonodimensionales o 1D), cuatro puntos (unidades figuralesadimensionales o 0D).

La variabilidad dimensional intrafigural se refiere a la capacidadde distinguir unidades figurales de distintas dimensiones en lafigura.

Estas dos habilidades están íntimamente relacionadas debido a queser capaz de variar dimensionalmente dentro de la figura permitedistinguir sus unidades figurales y a su vez, esta sinergiapromueve la articulación referencial entre la figura y el discursomatemático: permite distinguir a qué unidad figural específica serefiere cada parte del discurso (descripción, explicación,razonamiento deductivo) matemático que acompaña a esa figura.

Cabe aclarar que en una figura se pueden reconocer diversassubfiguras y que no todas ellas facilitan la obtención deresultados matemáticamente importantes. Algunas ayudan más queotras a descubrirlos. Incluso algunas los obstaculizan.

3.1.4. Las transformaciones heurísticas de la figurainicial en otras y la articulación inferencial deldiscurso matemático

A una figura inicial siempre es posible hacerle transformacionespara encontrar la respuesta a alguna cuestión. Decimos que<<enriquecemos>> la figura inicial al añadir nuevos trazos(rectas, segmentos, círculos), al girarla, desplazarla, hacer unreacomodo de sus unidades figurales. Todo esto dentro de la propiafigura o saliéndonos de ella. Las transformaciones heurísticas dela figura inicial se refieren a transformarla en otra que laconserva como subfigura o como sobrefigura para indagar sobre unresultado o el porqué de dicho resultado.

Al igual que en el punto anterior, cabe aclarar que una figura sepuede trasformar en otra de diversas maneras y no todas ellasfacilitan la obtención de resultados. Hay figuras que ayudan másque otras a descubrirlos. Incluso algunas los obstaculizan. Uno delos conflictos que enfrentamos al hacer tratamientos figurales, enla búsqueda de solución al problema propuesto, es que no hay un

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camino, sino muchos para realizar tal inspección. En general nosguiamos por la experiencia que hemos obtenido al enfrentarsituaciones semejantes.

La exploración más productiva es aquella que se apoya en conceptosy razonamientos matemáticos, sin embargo, no es el único elementoque determina la solución del problema debido a que tambiénparticipan la imaginación y la orientación espacial, además, defunciones cognitivas como la Gestalt y la perspectiva.

Cuando hemos desentrañado la solución del problema podemosrecapitularla en términos de los conceptos y razonamientosmatemáticos. Es en este sentido que se establece una articulacióninferencial o deductiva entre la figura y el discurso matemático:los conceptos y razonamientos justifican ciertas transformacionesa la figura y la nueva figura, a su vez, facilita inferencias paraobtener el resultado.

3.1.5. Producción instrumental de las figuras,dificultades de tamaño y geométricas

Hemos dicho que un requisito de la visualización matemática essaber construir la figura para ser capaces de reconocerla. SegúnDuval (2003), una persona, dependiendo de su grado deconocimientos y de los instrumentos a su alcance, puede construiral menos en tres distintos niveles una figura geométrica, esdecir, podemos distinguir tres tipos de producción instrumental.

A mano alzada: los únicos instrumentos que se utilizan sonel lápiz y el papel. Se reproducen las propiedades másostensivas de las figuras. Este tipo de producción es untanto icónica pues plasma las propiedades visibles ydepende en gran medida de la habilidad para dibujar o pararespetar los trazos de la persona que construye la figura,pero al mismo tiempo, hay consideraciones matemáticas comocolinealidad, concurrencia, perpendicularidad.

A mano y con instrumentos (regla, compás, escuadra): alutilizar instrumentos se le da más importancia a laspropiedades matemáticas y menos a la capacidad dereproducir icónicamente, pues ahora el énfasis está en lacapacidad técnica (manipular con precisión losinstrumentos) del que realiza la construcción.

Con un sistema informático (software geométrico): en estetipo de producción instrumental se aprecia con mayornitidez que para visualizar matemáticamente una figura es

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necesario saber construirla y conocer las propiedades quela generan. Un software geométrico (Cabri, GeoGebra) tieneunas cuantas instrucciones geométricas básicas. Paraconstruir una figura es necesario elaborar una secuenciade instrucciones que respeten un orden matemático deconstrucción establecido por el programa. Si no se conoceeste orden, las propiedades de las instrucciones y lo quepueden generar, no es posible construir la figuraadecuadamente.

Por otro lado, al producir una figura geométrica debe tenerse encuenta que sus formas y sus unidades figurales son independientesde su dimensión pero, al mismo tiempo, deben respetarse lasproporciones que la figura guarda entre sus distintas unidadesfigurales, pues de otro modo no se obtendrán las propiedades(colinealidad, concurrencia) que se desean construir y, por lotanto esa figura, no servirá como modelo de tal propiedadmatemática.

Ahora describiremos los tipos de aprehensiones, desde el punto devista de Duval (2003), que podemos hacer de las figurasgeométricas y, posteriormente, las relacionaremos con las treshabilidades que acabamos de describir.

3.1.6. Aprehensión perceptiva

Es la más elemental, la primera en ser usada en el transcurso dela etapa educativa y la primera que se desarrolla en la evolucióncognitiva. Se refiere a la capacidad de reconocer formas ya sea endos o en tres dimensiones. Por ejemplo, un alumno al ver uncírculo reconocerá una llanta o una tapa redonda. Este tipo deaprehensión, implica la capacidad de nombrar las figuras y dereconocer en una figura algunas de sus subfiguras (Deliyianni,Gagatsis, Monoyiou, Michael, Kalogirou y Kuzniak, 2009). Tambiénpuede ser llamada aprehensión icónica

3.1.7. Aprehensión discursiva

Es el proceso de relacionar las figuras geométricas con susdiscursos y propiedades matemáticos e inversamente. Estárelacionada con el hecho de que las propiedades matemáticasrepresentadas en una figura no pueden ser determinadas a través dela aprehensión perceptiva, por ejemplo, al aprehenderdiscursivamente el dibujo de un triángulo no sólo se le reconocepor su forma y se es capaz de nombrarlo, sino que también se

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perciben todas sus propiedades y se puede establecer un discursocon ellas. Este tipo de aprehensión implica conocer laspropiedades de las figuras y saber que el aspecto perceptible deuna figura depende de sus propiedades matemáticas (Deliyianni etal, 2009).

3.1.8. Aprehensión operatoria

La aprehensión operatoria se produce cuando el sujeto es capaz dellevar a cabo alguna modificación a la configuración inicial, pararesolver un problema geométrico. Se añaden o quitan elementos, semanipulan la figura y sus componentes. Elia, Gagatsis,Deliyianni, Monoyiou y Michael (2009), mencionan diversasmodificaciones posibles. Por ejemplo, cuando a la figura inicialse le añaden trazos, cuando la figura se divide en partes y éstasse reconfiguran (modificación mereológica), cuando se hace unafigura de mayor o menor tamaño (modificación óptica), cuando lafigura se rota o se cambia de orientación (modificación de lugar).Todo esto, conservando las propiedades de la figura. Todas estasmodificaciones pueden ser llevadas a cabo mental o físicamente através de varias operaciones.

3.1.9. Aprehensión secuencial

La aprehensión operatoria se produce cuando el sujeto es capaz deelaborar una secuencia de instrucciones relativas al uso deinstrumentos que permitan construir (o explicar cómo se construyó)una figura desde su inicio y no sólo secuenciar instrucciones paramodificar una figura ya existente. En otras palabras, se producecuando se tiene la capacidad de crear y no sólo de modificar.

Hemos mencionado que las visualizaciones icónicas tienen un altogrado de naturalidad para las personas. Podemos precisar que estose debe a que sólo es necesario aprehender perceptivamente lafigura. Sin embargo, para visualizar matemáticamente hay que tomaren cuenta la multifuncionalidad de las figuras en geometría. Paratal fin, es menester articular la aprehensión perceptiva conalguna de las otras aprehensiones.

La habilidad de reconocer unidades figurales favorece que unapersona articule la aprehensión perceptiva y la discursiva, lo queimplica que el sujeto es capaz de variar dimensionalmente en lafigura. La habilidad de hacer transformaciones heurísticas permitearticular la aprehensión perceptiva y la operatoria, lo queimplica que el sujeto es capaz de transformar la figura. La

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habilidad de producir instrumentalmente las figuras, permitearticular la aprehensión perceptiva y la secuencial, lo queimplica que el sujeto es capaz de secuenciar instrucciones quepermitan crear figuras.

En este momento, es pertinente hacer una aclaración: un sujeto alvisualizar una figura geométrica no está obligado a aprehenderlade todas las formas que acabamos de describir. El tipo deaprehensión que haga de ella, dependerá de la función que lafigura esté desempeñando en ese momento. Por ejemplo: si unafigura funciona como ilustración, debe aprehendersediscursivamente; si tiene función heurística o inferencial, debeaprehenderse operatoriamente; si tiene función de modelo, unaaprehensión secuencial es adecuada. Por supuesto que habrámomentos o tareas que requieran más de un tipo de aprehensión o sucoordinación.

Con lo anterior, vemos que para funcionar como figura geométrica,un dibujo debe provocar aprehensión perceptiva y al menos una delas otras tres (Deliyianni et al, 2009), cada una de las cualestiene leyes específicas para organizar y procesar el conjunto deestímulos visuales.

Por lo tanto:

Visualizar figuras en geometría es algo que se aprende através de desarrollar habilidades específicas que permitenaprehender las figuras de diversas maneras.

El tipo de aprehensión que se hace de una figura estádeterminado por la función que desempeña en ese momento.

Hasta aquí, hemos detallado qué es la visualización matemática delas figuras geométricas y también hemos comentado que laaprehensión operatoria de ellas es especialmente útil pararesolver problemas. Investigaciones recientes ponen especialinterés en este tipo de aprehensión y detallan las habilidades yprocesos para conseguirla (Elia et al, 2009; Deliyianni et al,2009).

Para que los alumnos logren aprehender operatoriamente las figurasdeben promoverse los tres tipos de modificaciones –mereológica,óptica y de lugar-. Esto dotará a las figuras geométricas de sufunción heurística. Los alumnos, al enfrentarse a tareas donde esnecesario modificar figuras geométricas, tienen rendimientossimilares con las modificaciones ópticas o las de lugar pero su

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rendimiento es significativamente menor cuando de modificacionesmereológicas se trata (Elia et al, 2009). Esto puede deberse a quepara tales modificaciones se necesitan procesos figurales máscomplejos que los requeridos en las otras modificaciones y, en esesentido, son necesarias actividades que desarrollen lashabilidades de los estudiantes para modificar figuras.

3.2. Conceptos figurales, dibujo y figuraHemos dicho que la visualización de dibujos y figuras no generanaprehensión directa (en el dibujo de una mesa no vemos a la mesamisma, sino una representación de ella) salvo la de figurasgeométricas, a las que a veces se les trata como el objeto mismo yno una representación de él. Es por esto que es preciso abordarlos temas de cuál es la naturaleza de las figuras geométricas y dequé maneras pueden ser entendidas por los alumnos. Las figurasgeométricas tienen, básicamente, dos componentes: el figural y elconceptual (Fischbein, 1993). Éstos, al estar íntimamente ligadosentre sí hacen necesario distinguir entre figuras y dibujos(Laborde y Capponi, 1994).

3.2.1. Conceptos figurales

Debido a que no es posible acceder directamente a los objetosgeométricos o figuras geométricas,1 que son conceptos abstractos,es que tenemos la necesidad de representarlas para poder trabajarcon ello. Como señala Fischbein (1993), la geometría trata conentidades abstractas llamadas figuras geométricas, las cualesposeen simultáneamente características figurales y conceptuales.

Las características figurales de una figura geométrica son susatributos espaciales específicos: forma, posición, tamaño, color,grosor de sus trazos. Cabe aclarar que cuando utilizamos unafigura en procesos heurísticos, algunas de sus característicasfigurales son irrelevantes como el color o el grosor de sustrazos, mientras que otras (forma, posición, tamaño) puedenfavorecer u obstaculizar dichos procesos. Las característicasfigurales se deben a la representación concreta que hacemos de unafigura geométrica.1 Note que Fischbein llama figuras geométricas a la idea abstracta de la figura geométrica y nosotros hasta este momento nos hemos referido a la figura como a la representación de ésta.

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Las características conceptuales de una figura geométrica son lasque no dependen de la representación concreta que hagamos deellas: idealidad, abstracción, generalidad y perfección. En otraspalabras, son las que están determinadas por las propiedades delobjeto geométrico que representan.

Un concepto figural es una figura geométrica en la cual sontomados en cuenta, simultáneamente, sus características figuralesy conceptuales.

Enfatizar las dos formas como puede ser pensada una figurageométrica, como concepto y como objeto, atiende a la importanciade establecer la naturaleza de los objetos con los que se trabaja.Además esta diferencia es muy importante en la enseñanza debido aque los estudiantes suelen considerar que el objeto definido esrealmente el objeto representado y no logran percibir el papelilustrativo de éste.

3.2.2. Dibujo y figura

Como contribución a la noción de conceptos figurales, y para hacervisible la dualidad de las figuras geométricas, se establece ladiferencia entre dibujo y figura.

El dibujo es en sí la representación concreta y tangible (que sehace con trazos en un papel o con pixeles en una pantalla) de unobjeto geométrico ideal. El dibujo hace referencia al objetogeométrico. Se resaltan las características figurales mencionadas:forma, posición, tamaño, color, grosor de sus trazos.

La figura es un representante de una clase de objetos, en la cual,todos sus elementos comparten un conjunto de propiedadesgeométricas que la definen, de ahí su carácter ilustrativo. Alpensar con una figura no se piensa en un dibujo específico, másbien, se piensa en cualquiera que represente al objeto geométricoy en todas las propiedades que lo definen. La figura es unamancuerna formada por el objeto geométrico ideal (con todas suspropiedades) y todos los dibujos que representan a dicho objetogeométrico (Laborde y Capponi, 1994).

Un software geométrico permite apreciar la noción de figura en lostérminos mencionados. Hemos comentado que en ellos las figuras seconstruyen a partir de unas cuantas instrucciones básicas: elusuario le especifica al software las relaciones subyacentes(determinadas por los objetos matemáticos) y éste preserva sólo

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esas relaciones mientras que deja las característicassuperficiales (el dibujo) completamente maleables (Larios, 2006).

Por otro lado, al trabajar con figuras geométricas debemosreconocer que es posible realizar diversos procesos con ellas.Cuando un profesor dibuja un rectángulo en el pizarrón, habla deél como si en realidad fuera un rectángulo y espera que susalumnos lo interpreten de manera similar. Sin embargo, sin nosfijáramos cuidadosamente, podríamos ver que en realidad no esexactamente un rectángulo. Es evidente que el profesor espera quelos alumnos realicen un proceso de idealización (en el sentido deconsiderar el rectángulo como un concepto figural dotado deidealidad). En otras palabras, para el profesor, el rectángulo,implícita o explícitamente es una figura ideal (Malaspina y Font,2010) alrededor de la cual él y sus alumnos producen discursos.

El rectángulo, dibujado en el pizarrón o en una hoja de papel, esconcreto y ostensivo (en el sentido de que está hecho con gis otinta y que es observable) y como resultado de un proceso deidealización, adquiere el carácter de objeto no ostensivo (en elsentido de que es un objeto matemático que no puede ser presentadodirectamente). Por otro lado, este objeto no ostensivo esparticular. Este tipo de objeto individualizado se llama objetoextensivo (Malaspina y Font, 2010). Por lo tanto, como resultadodel proceso de idealización, se ha pasado de un objeto ostensivoextensivo a uno no ostensivo que sigue siendo extensivo. Así elproceso de idealización duplica entidades. Además del objetoostensivo, el cual existe en el mundo de las percepcionessensoriales, se crea un objeto idealizado no ostensivo.

Además del proceso de idealización, existe otro proceso degeneralización que permite ver el rectángulo como un casoparticular de cualquier figura con una forma similar. A ese tipode objeto se le llama objeto intensivo. En ese sentido, el procesode generalización permite ver lo general en lo particular. Permiteapreciar que el rectángulo es un elemento de un conjunto en elcual sus elementos tienen ciertas características en común. Es asíque, a través de un doble proceso de idealización ygeneralización, una figura puede transitar de ser ostensivoextensivo a ser no ostensivo intensivo, pasando por no ostensivoextensivo.

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3.3. El concepto de la forma en niños pequeños

Una vez aclarada la diferencia entre dibujo y figura y recordandoque para lograr trabajar eficientemente en geometría se debearticular la aprehensión perceptiva con alguna de las otras tres,debemos reflexionar sobre el tema de qué tan natural o espontáneaes la aprehensión perceptiva para un alumno, al menos en susprimeros años escolares.

Con respecto a esto, podemos decir que diversas evaluaciones delaprendizaje de las matemáticas indican que los estudiantes deprimaria no están en condiciones de aprender los conceptos básicosde geometría ni de resolver problemas geométricos, debido, no sóloa que su aprendizaje geométrico anterior ha sido memorístico, sinotambién a que con frecuencia no reconocen componentes, propiedadesy las relaciones entre ellos. Uno de los principios de laenseñanza para una adecuada comprensión es que se debe construirsobre las ideas existentes que tiene un niño. Por lo tanto, esimportante conocer qué criterios utilizan los niños pequeños paraclasificar o distinguir unas figuras de otras (Clements yBatistta, 1999).

Las líneas de investigación referentes a las concepcionesgeométricas de los niños, han ofrecido fundamentos útiles perotambién han dejado vacíos que obstaculizan el mejoramiento de losplanes de estudio y enseñanza. Las tres principales líneas deinvestigación se han basado en la teorías de Piaget, de van Hieley de los psicólogos cognitivos. Una de las principalesaportaciones de Piaget e Inhelder (1967), sobre las concepcionesde los niños acerca del espacio, es que las representacionesespaciales se construyen a través de la progresiva organizaciónde las acciones motrices que el niño interioriza. En este sentido,la fuente de la construcción de las representaciones espaciales noestá en el pensamiento, sino en la manipulación directa delespacio.

De acuerdo con la teoría de van Hiele, el pensamiento geométricode los estudiantes se desarrolla, auxiliado por la instrucción, através de varios niveles de conocimiento (van Hiele, 1986). Elprimer nivel es el visual y hay otros cada vez más sofisticados:el descriptivo y analítico, el abstracto y de relación, el formaldeductivo y el matemáticamente riguroso.

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En el nivel visual, los estudiantes identifican formas de acuerdoa su apariencia, su reconocimiento es visual del tipo Gestalt.Utilizan prototipos visuales, dicen, por ejemplo, que una figuradada es un rectángulo porque "se ve como una puerta." Los niños eneste nivel no atienden a las propiedades geométricas o rasgos quecaracterizan a una figura. Clements y Battista (1992) sugieren unnivel anterior al visual, al que llamaron precognitivo. En estenivel, anterior al nivel visual, los niños pueden únicamentepercibir un subconjunto de las características visuales de unafigura y no son capaces de identificar muchas formas comunes odistinguir de entre las figuras de la misma clase. Del mismo modo,no son capaces de distinguir los círculos, triángulos y cuadradosde entre otras figuras menos comunes. Las personas en este nivelcomienzan a construir esquemas o redes de relaciones (basados enconceptos geométricos y patrones preestablecidos) que lespermitirán crear patrones de clasificación.

Muchos niños llaman a una figura cuadrado debido a que <<justo seve como uno>> (Clements, Swaminathan, Zeitler y Sarama, 1999).Otros, al decidir si una figura es un cuadrado, toman en cuentaatributos que para ellos son relevantes, como el tener cuatrolados y cuatro <<puntos>>, pero clasifican algunos rombos comocuadrados debido a que se apoyan en la apariencia general sinpercatarse de las propiedades que los definen. Estos niños, auncuando su prototipo, el cuadrado, tiene características deperpendicularidad, basan sus juicios en la similitud (es decir,está cerca de la perpendicularidad) en lugar de basarlos en laidentidad (perpendicularidad) y, por lo tanto, aceptan formas que<<están lo suficientemente cerca>>. El no considerar talesatributos relevantes (perpendicularidad) o el confiar en atributosirrelevantes ocasiona clasificaciones erróneas. Esta situación segenera debido a que los juicios se apoyan en la aparienciageneral.

Un acercamiento que haga clasificaciones enfatizando los atributosrelevantes de las figuras y que no preste atención, a losirrelevantes logra que los niños hagan un mayor número declasificaciones correctas. Por último, es indispensable que laspersonas sean capaces de hacer clasificaciones correctas, en elsentido descrito, para un alto desempeño con configuracionesgeométricas más complejas (Clements, Swaminathan, Zeitler ySarama, 1999). Por lo tanto, para que las personas puedan accedera todos los niveles de van Hiele y a una adecuada aprehensiónperceptiva de las figuras, es necesario que construyan de manera

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consiente los componentes y propiedades relevantes de las figurasgeométricas como objetos cognitivos. Este proceso requiere lamediación de artefactos y manipulables en las tareas deconstrucción física.

Ayudar a los niños a transitar a través de los niveles de vanHiele puede ser tomado como un objetivo educativo fundamental.

La importancia de hacer clasificaciones de figuras de acuerdo consus atributos relevantes redunda en un tratamiento figuraladecuado para iniciarse en la visualización matemática. Hacer unuso adecuado de las definiciones que establecen las propiedades delas figuras estudiadas, es un trabajo que antecede a untratamiento figural prometedor para la solución de problemasmatemáticos. Por lo tanto, un punto esencial de la educación escrear actividades que resalten los atributos relevantes de lasfiguras, lo cual será el inicio de una adecuada visualizaciónmatemática de dichas figuras.

Hasta ahora hemos detallado lo que entendemos por visualizarfiguras geométricas, la noción de conceptos figurales, ladiferencia entre dibujo y figura y que para lograr adecuadasaprehensiones perceptivas es necesario aprender a reconocer losatributos relevantes de las figuras. Cualquiera de los puntosanteriores puede ser considerado como una meta a lograr por laeducación pero también, todas ellas en conjunto, pueden serconsideradas como un medio o prerrequisito para afrontarsatisfactoriamente el aprendizaje de la geometría. En particularestamos interesados en ligar la teoría expuesta con el conceptogeométrico de conservación de área, debido a que la visualizaciónestá en la base de su entendimiento. Kospentaris, Spyrou y Lappas(2011) mencionan que, con respecto a la investigación realizada enconservación de área, un aspecto con especial interés es el de lavisualización debido a las dificultades perceptuales que entraña.

Para hablar del concepto de conservación de área, debemos primeroestablecer un acuerdo acerca del área de una figura.

3.4. El concepto de conservación de áreaEl área, entendida como el espacio dentro de una figurabidimensional, y el concepto de conservación de área son ideasfundamentales para un adecuado entendimiento del área.

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El área es un atributo estable de las figuras. Puede ser definidacomo la porción de superficie plana, medible y definida, encerradapor una figura. Además el área puede permanecer inalteradamientras la figura cambia de forma. Entender la conservación delárea es entender que un área, la cual se compone de sub-áreas opartes acomodadas de cierta manera, puede permanecer invariante apesar de que sus partes o sub-áreas se reacomoden o reorganicen dediversas formas. Estos reacomodos implican la conservación tantoen las partes como en el área completa. La capacidad de entenderel área de la manera anterior es un prerrequisito indispensablepara comprender la medición de áreas, debido a que cuando medimosel área de una figura, asumimos que sus partes permaneceninalteradas y que se pueden acomodar de diversas formas sin que elárea total se modifique.

Conservación de área significa que el valor cuantitativo de unárea permanece inalterado, mientras que la figura puede sercualitativamente nueva (Piaget, Inhelder y Szeminska, 1981). Lacomprensión de este concepto es un proceso que da sentido a porquéel área de una figura se puede representar de manera numérica(cantidad de unidades cuadradas), visual (la región determinadapor una figura) y simbólica (fórmula).

Los significados que los estudiantes pueden dar al concepto de laconservación de área están muy relacionados con las herramientasque utilizan y las figuras con las que trabajan. El entendimientode conservación de área puede ser ampliado si se utilizanrepresentaciones visuales dinámicas de las figuras (Kordaki,2003).

Estudios anteriores relacionados con la conservación de área sehan basado en la obra de Piaget (Piaget, Inhelder y Szeminska,1981) y han investigado el pensamiento de los estudiantes conrespecto al concepto de conservación de área como un pasopreliminar para la medición de áreas. Este punto de vista semanifiesta en las herramientas propuestas a los estudiantes: papely tijeras en combinación con acciones sensoriales y motoras comocortar, mover y pegar las piezas de una figura para formar otrascon área equivalente. Este tipo de actividades permite comprenderque dos figuras distintas pueden tener la misma área pero noresalta el hecho de que tal transformación es una estrategia quepermite calcular numéricamente el área y establecer una fórmula.Vemos pues, que la conservación de área ha sido investigada enforma aislada de la medición de área y de las fórmulas de área. Es

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esencial que los alumnos, de educación básica y media, integrenestos tres conceptos, que se interrelacionan, en un solo conceptode área (Kordaki, 2003). La comprensión de todos estos conceptosen su conjunto es un proceso más elaborado, pero también esencialpara los estudiantes de grados iniciales de educación, así comopara los de grados más avanzados.

Aspectos esenciales en el entendimiento de conservación de áreason el de compensación, la relación parte-todo, reversibilidad ytransitividad (Kospentaris, Spyrou y Lappas, 2011). Losestudiantes pueden dominar estos aspectos a través de tareas queinvolucren materiales físicos, manipulables y dinámicos. Entenderel concepto de conservación de área a través de actividades comoestas, es un prerrequisito indispensable para entender el demedición de área. A pesar de esto, está noción ha sido pocoatendida (Kospentaris, Spyrou y Lappas, 2011).

Por otro lado, los estudiantes tienen problemas para entender quedos figuras con distinta forma pueden tener la misma área, asícomo para entender un área como la suma de sus partes. Además, elque tengan problemas con la noción de conservación de área estárelacionado con que sus conclusiones se basan solamente en suaprehensión perceptiva. Los estudiantes comparan el área de dosfiguras distintas centrando su atención en el hecho de que tienendistinta forma (que para ellos es lo que más domina) y, enconsecuencia, piensan que tendrán distinta área. Al hacerconclusiones, los estudiantes no pueden relacionar informaciónnumérica con información visual si no coincide (si numéricamentetienen igual área no pueden tener distinta forma). Adicionalmente,los estudiantes confunden las áreas con los perímetros y utilizanéstos últimos como alternativa para comparar. Esto ocasiona quepiensen que las áreas se conservan si los perímetros se conservane inversamente.

Otras dificultades, con respecto a la conservación del área, estánrelacionadas con el concepto de unidad de superficie. En algunoscasos, sólo cuentas unidades de área completas, mientras que enotros, cuentan partes que son más grandes que la mitad de launidad, como si fueran una unidad completa (Hart, 1989).

La comprensión del concepto de conservación de área también estárelacionada con el tipo de figuras que se conservan. La mayoría delas investigaciones se centran en el estudio de las dificultadescon figuras geométricas estándares como cuadrados, rectángulos,

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paralelogramos y triángulos. Sin embargo, no toman en cuenta quelos estudiantes entienden la conservación de área en cuadrados yparalelogramos pero enfrentan dificultades con los rectángulos ytriángulos (Johnson, 1986). También aparecen dificultades con lasfiguras irregulares. En estas figuras los estudiantes parecenperder las ideas fundamentales de conservación de área y de unidadde superficie. La idea de la conservación del área permite laconstrucción cualitativa de la idea de área.

Como hemos mencionado antes, un estudio, considerado un clásicopor muchos investigadores, es el de Rouche (1992), citado en (D’Amore y Fandiño Pinillas, 2007). En él se muestra que elrectángulo es la figura privilegiada en el aprendizaje delconcepto de superficie. Además se demuestra cómo el rectánguloconstituye el punto de partida más importante para la adquisicióndel concepto de superficie. Esta figura es el punto crucial quepuede ser considerada no sólo un prototipo, sino el paradigma porexcelencia, dado que es la figura mejor reconocida y en él sepuede medir y calcular el área de manera más sencilla, adiferencia de otras figuras que el alumno conocerá en la escuelaprimaria, como por ejemplo, el triángulo, paralelogramo, trapecio.

Consideramos que para hacer un tratamiento cualitativo ycuantitativo del área, en términos de establecer a la unidad deárea como el vínculo natural entre ellos, debemos arribar a laconstrucción de rectángulos de áreas conocidas para podercompararlos.

Así, bajo la consideración de que se puede determinar el área deun rectángulo como el producto de las medidas de dos segmentos,podemos perfilar la posibilidad de usarlo como un ejemplo del usode medidas indirectas. Este hecho, que nos permitirá hacer delrectángulo la base para la construcción de una idea adecuada deárea, al poder cuantificar de manera sencilla el área en unrectángulo, podremos relacionar áreas iguales en contenedores dedistinta forma. Para los alumnos, este hecho es difícil de aceptary, por tanto, de construir conceptualmente la relación de igualdadentre ellas.

Las dificultades relacionadas con la conservación de áreapermanecen a pesar de que los estudiantes avanzan escolarmente,incluso hasta que son adultos. Por otro lado, se ha observado queestas dificultades persisten, incluso, en personas que se preparancomo futuros profesores (Hart, 1989).

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A pesar de que la noción de conservación de área es importante, noes enfatizada debidamente en los planes de estudio de primaria ysecundaria. En tales instancias, los estudiantes trabajaninmediatamente con operaciones y fórmulas para calcular áreas.Esto ocasiona que muchas de las dificultades con respecto a laconservación de área estén relacionadas justo con la prematuraaproximación cuantitativa al área, la cual utiliza fórmulas, sintomar en cuenta una aproximación cualitativa, que enfatiza lanoción de conservación de área sin el uso de números (Johnson,1986). Una aproximación cualitativa reconoce la necesidad de quelos estudiantes comprendan el concepto de conservación de área, através, de dividir el área en partes y reorganizarlas para formarnuevas figuras equivalentes.

Por otro lado, las dificultades que los estudiantes enfrentan conla medición de áreas son atribuidas, primeramente, a la maneraaislada en que se estudia el área, sin una relación dinámica consu perímetro y, en segundo lugar, a la incapacidad para cerrar labrecha entre la aproximación tradicional (expresada en el uso defórmulas) y la aproximación cualitativa que manipula áreas sin eluso de números.

Vemos pues que para que haya un adecuado entendimiento de lanoción de conservación de área y, en consecuencia, del de mediciónde área, es necesario involucrar a los alumnos en tareas queintegren sus aspectos cualitativos y cuantitativos. También que unaspecto fundamental para lograr tal entendimiento es el uso deartefactos visuales, dinámicos y manipulables. Por tal motivo,debemos hablar de dichos temas.

3.5. Utilización de artefactosDe acuerdo con el marco teórico de mediación semiótica, conperspectiva vygotskyana, desarrollado por Bartolini Bussi yMariotti (2008), el ser humano, dentro de su esfera de práctica,utiliza artefactos en la consecución de sus logros que de otramanera habrían permanecido fuera de su alcance. Del mismo modo,sus actividades mentales son apoyadas y desarrolladas por medio designos, es decir, también en el terreno de la actividad mental elser humano utiliza artefactos en la consecución de sus logros. Deacuerdo con Vygotsky, los signos son producto de procesos deinternalización y son llamados herramientas psicológicas. En laperspectiva vygotskyana hay una profunda analogía entre signos yartefactos.

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La invención y el uso de signos como medio auxiliar en la soluciónde un problema psicológico determinado es análoga a la invención yel uso de herramientas en un aspecto psicológico. El signo actúacomo un instrumento en la actividad psicológica de la misma maneraque una herramienta lo hace en un trabajo específico (Vygotsky,1978).

Vygotsky distingue dos clases de instrumentos mediadores, enfunción del tipo de actividad que posibilitan: la herramienta y elsigno. Una herramienta modifica al entorno materialmente, mientrasque el signo es un constituyente de la cultura y actúa comomediador en nuestras acciones, de ahí el término acción mediada. Adiferencia de la herramienta, el signo no modifica materialmenteel mundo físico, sino que modifica la conciencia de la persona quelo utiliza como mediador y en definitiva, actúa sobre lainteracción de una persona con su entorno.

Por otro lado, si tomamos en cuenta el proceso de enseñanza-aprendizaje necesitamos considerar también los aspectoscognitivos. Para tal efecto, la distinción dada por Rabardel(1995) entre artefacto e instrumento es útil. Un artefacto en unobjeto material o simbólico per se. Un instrumento (que se distinguedel artefacto) es definido como una entidad híbrida compuestatanto por componentes tipo artefacto, como por componentesesquemáticos que son llamados esquemas de utilización. Losesquemas de utilización son progresivamente elaborados cuando unartefacto es utilizado para realizar una tarea específica. Por lotanto, un instrumento es una construcción individual.

Según Rabardel (1995), un esquema de utilización es una estructuraactiva en la que se incorporan experiencias del pasado yorganizada de tal manera que se convierta en una referencia parala interpretación de nuevos datos. Por lo tanto, un esquema deutilización es una estructura con una historia que cambia a medidaque se adapta a una amplia gama de situaciones y depende de lossignificados atribuidos a la situación por el individuo.

Cuando un artefacto es introducido en el proceso de resolver unatarea específica, se reconoce una doble relación semiótica: laprimera entre el artefacto y la tarea (en este sentido elartefacto es primario ya que se usa directamente en la solución) yla segunda entre el artefacto y una pieza de conocimiento (en estesentido el artefacto es secundario porque representa esquemas deutilización que pueden estar relacionados con la pieza de

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conocimiento). El objetivo es que los aspectos prácticos,representativos y teóricos sean incorporados (al menospotencialmente) en la actividad semiótica con el mismo artefacto.Cuando un profesor usa intencionalmente los artefactos comoinstrumentos de mediación semiótica (Bartolini Bussi y Mariotti2008), él se encarga de transformar los signos (discursos,movimientos, dibujos, etcétera) producidos por sus alumnos enconocimiento matemático.

Vygotsky, (1974) identifica varios sistemas semióticos incluidosel lenguaje, diversos sistemas de conteo, técnicas mnemotécnicas,sistemas de símbolos algebraicos, obras de arte, escritura,esquemas, diagramas, mapas, etcétera. Durante la solución de unatarea, otros sistemas entran en juego, tal como los gestos(entendidos en un sentido amplio como un movimiento físico de unaparte del cuerpo (por ejemplo, manos, brazos, ojos, cara).

Para detallar más el uso de artefactos en un salón de clase comoun instrumento semiótico con una intención didáctica, vale la penaabordar el tema de los materiales didácticos.

3.6. Los manipulablesEs común que en las reformas al currículo matemático se sugiera eluso de materiales didácticos (ábaco, dados, fichas, geoplano,tangram) como un factor importante para mejorar la calidadeducativa. Se suele argumentar que este tipo de materiales ayudana comprender tanto el significado de las ideas matemáticas comolas aplicaciones de éstas a situaciones del mundo real (Kennedy,1986). Sin embargo, es necesario profundizar sobre lo quesignifica utilizar recursos didácticos (porque no basta conmeramente utilizarlos) para mejorar la enseñanza de lasmatemáticas.

Un material didáctico es cualquier medio o recurso que se usa enla enseñanza y aprendizaje de las matemáticas (Godino, 1998). Cabedestacar que los materiales didácticos pueden ser de muy diversaíndole: desde libros de texto, software matemático, hasta los propiosdedos de las manos o piedrecitas. Distinguimos dos grupos:

Ayudas al estudio: Recursos didácticos que se asumen como parte de lafunción del profesor, es decir, propiamente el dar clases,presentación de problemas, ejercicios, conceptos. Se incluyen loslibros escolares.

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Instrumentos (semióticos) para el razonamiento matemático: Objetos físicostomados del entorno o específicamente preparados, así comomateriales gráficos, textos, palabras, los cuales pueden funcionarcomo medios de expresión, exploración y cálculo en el trabajomatemático.

Son justo los recursos didácticos del segundo grupo, a los quedenominamos manipulables y hacemos énfasis en su cualidad de objetosostensivos. Existen dos clases: manipulables tangibles: activan lapercepción táctil y los manipulables gráfico-textuales-verbales: participala percepción visual o auditiva.

Una vez aclarado lo que entendemos por manipulables, debemospreguntarnos cuál es la función que deben desempeñar en laenseñanza de las matemáticas. Esta pregunta la debemos planteardentro del marco del papel que los medios de expresión tienen enla actividad matemática. A su vez, esto se puede plantear dentrodel marco, más general, del estudio de las relaciones entrelenguaje y pensamiento (una situación o una entidad abstracta,cualquiera que sea su naturaleza, necesitan el lenguaje para sercomunicadas o pensadas). Los medios expresivos son fundamentalesen el triángulo epistemológico (signo, concepto, objeto) en susdistintas formulaciones y en las funciones que se establecen entresus elementos (Godino y Recio, 1998).

Con lo anterior vemos que los manipulables tangibles, junto con ellenguaje ordinario y los símbolos matemáticos, permiten formular yresolver problemas, es decir, no son meros medios de expresiónsino que son instrumentos para el trabajo matemático. En resumen:son instrumentos semióticos.

Como afirma Bosch (1994): “El sujeto humano piensa y actúamanipulando objetos sensibles -los ostensivos- que le vienen dadospor las instituciones o que él mismo crea deliberadamente [...]los materiales ostensivos son constitutivos de la construcciónconceptual y la determinan en gran medida”.

Una vez que hemos reconocido a los manipulables como instrumentossemióticos potenciales (porque no los son en sí mismos, sino quedepende del uso que se haga de ellos), debemos analizar qué taneficaz es un manipulable en términos de qué tan bien adaptado estáa la función requerida. Por ejemplo, un concepto matemático, comola circunferencia, no se puede plasmar o cristalizar mediante unmanipulable, lo que se dibuja es un objeto ostensivo que evoca osimboliza el objeto abstracto correspondiente.

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Los objetos matemáticos se construyen a partir de sistemas deprácticas que se llevan a cabo ante diversos tipos de tareas y conayuda de instrumentos semióticos, no por la mera abstracciónempírica de cualidades de objetos ostensivos (Godino y Batanero,1994). Consecuentemente, el uso irreflexivo de materialesmanipulables puede constituir un obstáculo para la apropiaciónefectiva del conocimiento matemático.

La transición de la acción directa sobre material tangible a laacción imaginada, apoyada en sistemas de signos, puede causarconflictos. En el caso de la circunferencia, un estudiante podríapensar que el dibujo hecho con un manipulable es en sí lacircunferencia. La circunferencia, como objeto geométrico, es unobjeto abstracto, controlada por su definición. Posee cualidadesconceptuales como idealidad, abstracción, generalidad yperfección. Las metáforas de <<manipular>> y <<ver>> los objetosmatemáticos son esenciales para la comprensión matemática, es poresto que los manipulables resultan útiles, pero también nos puedenhacer pensar que manipulamos y vemos los objetos matemáticos,siendo que éstos son intangibles e invisibles.

El lenguaje y la práctica escolar otorgan a los objetosmatemáticos connotaciones tangibles y visuales de las queprogresivamente los alumnos deben desprenderse en los nivelessuperiores de enseñanza. Al mismo tiempo, una enseñanzadesprovista de manipulación, es decir, acercamientos puramentesintácticos y formalistas, pueden ocasionar un aprendizajememorístico, rutinario y carente de sentido para los estudiantes.

El uso de manipulables debe permitir el planteamiento de problemassignificativos para los estudiantes, apropiados a su nivel y quepongan en juego los conceptos, procedimientos y actitudesbuscadas. Los manipulables no ofrecen experiencia matemática porsí mismos. Ésta la activan las personas al enfrentarse a tareasque les resultan problemáticas.

Ahora bien, no es suficiente que el material permita proponerproblemas ingeniosos resolubles mediante ideas brillantes alalcance de mentes privilegiadas. Hay que superar la ilusión de queel aprendizaje matemático se produce enfrentando al sujeto aproblemas aislados, atípicos e ingeniosos. El estudio matemáticose hace buscando las similitudes entre los problemas,reduciéndolos a otros más simples para los que tenemos técnicas de

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solución, y extendiendo las soluciones a otras situaciones ycontextos.

El aprendizaje matemático no es consecuencia directa y exclusivade la confrontación de los alumnos con tareas más o menosproblemáticas. Los problemas matemáticos propuestos en claseformarán parte de dispositivos más generales y complejos que sonlas situaciones didácticas (Brousseau, 1997). Estas situaciones debencontemplar no sólo los momentos de la acción- investigaciónpersonal de los alumnos con las tareas -fase para la cual elmaterial tangible puede desempeñar un papel crucial- sino quedeben diseñarse e implementarse, además, momentos de formulación-comunicación de las soluciones, justificación-discusión de lasmismas, institucionalización de los conocimientos pretendidos(compaginar las técnicas, el lenguaje y los conceptos puestos enjuego con la cultura matemática correspondiente).

Lo que se debe considerar como recurso didáctico no es el materialconcreto o visual, sino la situación didáctica integral queatiende tanto a las prácticas donde se actúa o interactúa como alas discursivas, de las que emergen las técnicas y estructurasconceptuales matemáticas.

Por último, podemos decir que el uso de materiales manipulablestangibles es adecuado siempre que tales materiales sirvan deapoyo para la reflexión matemática. Enfatizamos que se debe tenerprecaución con el uso ingenuo de los manipulables, pues como yadijimos, por sí mismos son objetos inertes.

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4. Objetivo, hipótesis y preguntas de investigación4.2. Objetivo de investigación

El objetivo de nuestra investigación es indagar la forma cómo esposible cerrar la brecha entre el enfoque cualitativo y elcuantitativo del concepto de área. Nos proponemos hacerlo a travésde un instrumento de investigación que pretende integrar losaspectos de transformación-conservación (comparación), medición yfórmulas en un solo concepto de área.

En esta investigación hemos considerado la importancia de launidad de área como un elemento central que articula el aspectocuantitativo con el cualitativo de la noción de área y por tantoimprescindible en la puesta en marcha de la presenteinvestigación.

El instrumento de investigación, inicialmente, ofrece diversasestrategias (cuantitativas y cualitativas) para cuantificar ycomparar el área de figuras a partir de tres estrategias básicas yde la unidad de área. Posteriormente propone el problema decomparar el área de dos figuras. Dicho problema de comparacióngradualmente transforma en un problema de medición de áreas. Laactividad muestra cómo el medir es un refinamiento del comparar yque puntos cruciales para poder transitar de la una a la otra son:el establecer una unidad de área y el desarrollar estrategias quepermitan comparar la unidad de área con el área de una figuradada.

4.3. Hipótesis de investigaciónEnlistamos a continuación nuestras hipótesis de investigación:

Primera hipótesis de investigación: La construcción de laidea de área debe considerar los aspectos cuantitativos ycualitativos asociados a ella. En el primer caso, el área dedebe calcular y medir. En el segundo, el área se debeconservar en independencia de su forma.

Segunda hipótesis de investigación: Los estudiantes requierendesarrollar habilidades específicas para tratar figuralmentelas representaciones gráficas de los objetos geométricos.

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Tercera hipótesis de investigación: Dadas dos figuras, esnecesario hacer reconfiguraciones, en las cuales un elementocentral es el rectángulo, para poder comparar el área tantocualitativa como cuantitativamente.

Cuarta hipótesis de investigación: El procedimiento detransformar figuras en rectángulos permite comparar y darsentido a las fórmulas de triángulos y paralelogramos. Ademásla unidad de área permite vincular las propiedadescualitativas con las cuantitativas a través de la comparaciónde rectángulos.

4.4. Hipótesis de trabajoEnlistamos enseguida nuestras hipótesis de trabajo:

Primera hipótesis de trabajo: Una propuesta que tome encuenta tanto elementos cualitativos como cuantitativos debeintegrar aspectos de transformación-conservación de área(comparación); de cálculo y medición de áreas y de deducción-utilización de fórmulas de áreas.

Segunda hipótesis de trabajo: Si los alumnos tienen lasherramientas necesarias, es decir, si previamente handesarrollado la visualización (en su modalidad de aprehensiónoperatoria) de la figuras, a través de actividadesexpresamente diseñadas que involucran fuertemente el uso deartefactos como mediadores semióticos (software geométrico,Geoplano, cortado de papel) y son capaces de reconocer loselementos o propiedades relevantes y significativos de lasfiguras, entonces estarían en condiciones de incorporar en unsolo concepto de área tanto sus aspectos cualitativos, comolos cuantitativos.

4.5. Preguntas de investigaciónDado que el tema principal de nuestra investigación es el conceptodel área y que tenemos por objetivo cerrar la brecha entre losenfoques cuantitativos y cualitativos de ella, es importantepreguntarnos acerca de las concepciones que los estudiantes tienende tal concepto. Además, como en nuestro instrumento deinvestigación, las estrategias de conservación de área son el

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principal elemento que posibilita construir la idea del áreacuantitativa y cualitativamente, entonces, también, debemospreguntarnos sobre cómo asimilan y utilizan tales estrategias.

Enlistamos enseguida nuestras preguntas de investigación:

¿Cuál es la idea de área que tienen nuestros estudiantes aliniciar el proceso de trabajo?

¿Cómo conciben los estudiantes la relación área-unidad deárea?

¿Qué tipo de generalizaciones realizan los estudiantes altrabajar con las estrategias básicas de comparación de áreas?

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5. MetodologíaLa finalidad de esta sección es presentar el contexto en el cualdesarrollamos nuestra investigación. Describiremos la poblaciónde estudio y las características del taller diseñado.

El taller se llevó cabo en cuatro sesiones durante la semana del12 al 16 de diciembre de 2011. Cada sesión tuvo una duración de 90minutos. En el taller se hizo uso del geoplano. Los alumnos lomanipularon al realizar las actividades de tipo cuantitativo.Además tuvieron el apoyo de un programa computacional que simulaun geoplano. Al realizar las actividades con enfoque cualitativo,se trabajó con el recortado de papel, como una forma derecomposición y conservación del área, con el apoyo del softwaregeométrico GeoGebra.

5.2. Población de estudioLa investigación la realizamos en el plantel Iztapalapa III delInstituto de Educación Media Superior del Distrito Federal (IEMS-DF), ubicado en la Colonia Miravalle de la delegación Iztapalapadel Distrito Federal.

Trabajamos con un grupo de primer semestre de preparatoria. Dichogrupo cursaba en ese momento la asignatura de Matemáticas I.Tuvimos a disposición el horario destinado a la asignaturamencionada para implementar nuestro instrumento de investigación.

Trabajamos con un grupo de entre diez y quince estudiantes porsesión, con edades entre los 15 y los 17 años.

5.3. Instrumento de investigación (Diseño del taller)

El instrumento de investigación consistió de un tallerexpresamente diseñado, el cual se llevó cabo en cuatro sesionesdurante una semana. Lo llamamos instrumento de investigacióndebido a que nos sirvió como medio para recolectar datos y conellos estudiar los efectos que nuestra propuesta produce. Cadasesión tuvo una duración de 90 minutos.

Durante la implementación del taller participaron el profesorasignado al curso, un asistente y el investigador encargado.

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El instrumento de investigación incluyó actividades, previamentediseñadas, que involucran tanto aspectos cualitativos comocuantitativos del concepto de área. Esto con el fin de cerrar labrecha entre el enfoque cualitativo y el cuantitativo con los quecomúnmente se trata el tema. Según hemos reportado en nuestromarco teórico y a través de una de nuestras hipótesis deinvestigación, una propuesta que tome en cuenta tanto elementoscualitativos como cuantitativos debe integrar aspectos detransformación-conservación de área (comparación); de cálculo ymedición de áreas y de deducción-utilización de fórmulas de áreas.

Ahora bien, según una de nuestras hipótesis de trabajo, si losalumnos tienen las herramientas necesarias, es decir, sipreviamente han desarrollado la visualización (en su modalidad deaprehensión operatoria) de la figuras, a través de actividadesexpresamente diseñadas que involucran fuertemente el uso deartefactos como mediadores semióticos (software geométrico,geoplano, cortado de papel) y son capaces de reconocer loselementos o propiedades relevantes y significativos de lasfiguras, entonces están en condiciones de incorporar en un soloconcepto de área tanto sus aspectos cualitativos como loscuantitativos.

El hecho de que nuestra hipótesis de trabajo requiera deactividades previas está respaldado por el marco teórico, pues conrespecto a la visualización, tenemos que visualizar figuras engeometría es algo que se aprende a través de desarrollarhabilidades específicas que permiten aprehender las figuras dediversas maneras (Duval, 1999). Por otra parte, es necesario quelas personas construyan de manera consiente los componentes ypropiedades relevantes de las figuras geométricas como objetoscognitivos. Este proceso requiere la mediación de artefactos ymanipulables en las tareas de construcción física. Es importanteaprender a hacer clasificaciones de figuras de acuerdo con susatributos relevantes y, por lo tanto, un punto esencial de laeducación es crear actividades que resalten los atributosrelevantes de las figuras, lo cual será el inicio de una adecuadavisualización matemática de dichas figuras (Clements, Swaminathan,Zeitler y Sarama, 1999). Este tipo de aprendizaje debió haberseconstruido en la infancia, aún así, debe ser reactivado para darpaso a un tratamiento figural.

Dado lo anterior, dividimos nuestro taller en dos etapas. En laprimera, se involucra a los estudiantes en actividades geométricas

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con las cuales desarrollen la aprehensión operatoria y aprendan areconocer los elementos relevantes de las figuras con respecto asu área. En tales actividades están presentes, en todo momento,los manipulables como elementos de mediación semiótica. La segundaetapa, basada en las habilidades y estrategias desarrolladas en laprimera, se integran tanto elementos cualitativos comocuantitativos en un solo concepto de área.

5.3.1. Primera etapaLa primera etapa consiste en actividades en las cuales los alumnosaprenden a calcular el área de figuras a través de familiarizarsecon dos métodos distintos, los cuales están basados en lasestrategias básicas de comparación y medición de áreas (dichasestrategias las presentamos en la siguiente sección).

En el primer método para calcular áreas los alumnos cuantifican elárea de un triángulo, en términos de la unidad cuadrada, a partirde inscribirlo en un rectángulo y aplicar las estrategias básicasde comparación de áreas. Se inicia con triángulos rectángulos enlos cuales es posible calcular directamente su área con sóloaplicar las estrategias básicas y posteriormente se cuantifica elárea de un triángulo cualquiera de forma indirecta, alinscribirlo en un rectángulo y aplicar varias veces las estrategiabásicas.

En el segundo método, los alumnos calculan el área de untriángulo. Primero obtienen a partir del triángulo, unparalelogramo con el doble de área. Luego el paralelogramo setransforma las veces que sea necesario en otro que conserva labase y la altura, y por lo tanto, el área del original.Posteriormente, el paralelogramo se transforma en un rectángulo deigual área, en el cual es posible cuantificar directamente su áreaen términos de la unidad de área. Finalmente para obtener el áreadel triángulo original, se divide por dos el área obtenida delrectángulo.

En ambos métodos, en todo momento se discuten las dificultades quelos alumnos enfrentan.

En los anexos del presente trabajo, se encuentran las secuenciascompletas y detalladas de las dos estrategias desarrolladas enesta etapa.

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5.3.2. Segunda etapaEsta segunda etapa consiste en una actividad que inicia con unproblema concreto de comparar el área de dos figuras geométricas(dos triángulos). Gradualmente este problema motiva la necesidadde medir el área de una figura en términos de una unidad. Esteproblema, a su vez, conduce a la aplicación de las estrategiasdesarrolladas en la primera etapa, lo cual simplifica la medicióndel área de una figura en términos de la unidad. Finalmente sehace ver que el medir áreas es consecuencia del comparar áreas através de una unidad y que la fórmula para calcular el área dedeterminado tipo de figuras, es consecuencia de que todas lasfiguras de ese tipo tienen propiedades o elementos en común. Sehace explícito que el comparar y medir áreas son procesos queestán íntimamente relacionados y que dos elementos que estánfuertemente involucrados en esa relación son la unidad y laconservación de área. Con esto se integran tanto aspectoscualitativos, como cuantitativos del área en esta actividad. Esimportante mencionar que esta actividad supone que los alumnosestán familiarizados con diversos elementos que fueron presentadosy desarrollados en la primera etapa.

Un esquema detallado de esta actividad es el siguiente:

1. Se presentan dos triángulos y se plantea la cuestión de quesi tienen igual área, es decir, se inicia con un problema decomparación de áreas. Dado que los alumnos ya desarrollaron diversas estrategias demedición de áreas en la primera etapa, se les pide que tratende hacerlo sin recurrir a ellas ni al uso de fórmulas (quecasi siempre conocen), sino solamente con comparacióndirecta.

2. Se intenta determinar si los triángulos tienen igual área porcomparación directa, es decir, se superpone uno en el otro.

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3. Se hace la observación de que, en general, dos figuras alsobreponerlas no empalman adecuadamente como para poderdeterminar si tienen igual área o si una tiene más que laotra. Se propone buscar una estrategia que permita responderla cuestión. Los alumnos, a partir de la primera etapa,tienen elementos que les permiten proponer <<recortar>> laspartes de una figura que no quedaron empalmadas ysobreponerlas en las partes de la otra que tampoco quedaronempalmadas.

4. Este paso se dedica a que los alumnos lleven a cabo laestrategia (si es necesario, con papel y tijeras). Laintención es que a partir de llevarla acabo, encuentren queno es una estrategia adecuada pues al recortar las figuras noempalmaran adecuadamente y será necesario recortar variasveces sin lograr determinar si tienen igual área.

5. Se pide a los alumnos que reflexionen acerca de porqué no esfácil comparar el área de los dos triángulos por comparacióndirecta.La intención es que perciban que la forma que tengan lasfiguras es determinante para poder comparar por simplecomparación directa área. Cabe aclarar que dados dostriángulos en general no siempre es posible comparar su áreapor superposición, aunque a veces sí lo sea. Lo que nosinteresa resaltar es que la superposición directa no funcionaen todos los casos y debido a ello es necesario otro tipo demétodo de comparación. Se plantea la cuestión de cómodeberían ser los triángulos para que pudieran ser comparadospor superposición directa. La intención es que los alumnosnoten que para que pudieran ser comparados por superposicióndirecta, deberían tener la “misma forma”, es decir, sersemejantes. Se explica que, en general, dos triángulos noson semejantes y por eso no funciona la estrategia elegida.Enseguida preguntamos qué clase de figuras sí pueden sercomparadas por superposición directa. La finalidad es hacerver que los cuadrados siempre pueden ser comparados

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directamente. Ahora bien, debemos mostrar que los cuadradostienen características o elementos que, en general, las demásfiguras no tienen, a saber: todos sus lados iguales y todossus ángulos rectos o de noventa grados.

6. Después de haber examinado bajo qué condiciones es posiblecomparar el área de dos figuras por comparación directa y deconcluir que tal estrategia no es útil en general, se proponetratar de establecer si los triángulos tienen igual área pormedio de la comparación indirecta. Explicamos quecompararemos cada uno de los triángulos con la unidad de áreaestablecida en la primera etapa. También explicamos que medirel área de una figura es compararla con otra, que previamentehemos establecido como unidad de área. Asimismo, el númeroque le asignamos a una figura (el cual depende de la unidadde área) al medirla, no es su área, sino solamente larepresenta numéricamente en términos de la unidad de área.Por último, consideramos importante explicitar el papel quejuega la unidad de área: La unidad de área permitecuantificar el área de las figuras y, por tanto, permitecomparar el área de dos figuras cuando no se les puedecomparar entre ellas directamente. Es decir, la unidad deárea es la que posibilita la comparación indirecta de áreas através de medirlas en términos de ella.

7. Este paso consiste en medir el área de los triángulos entérminos de la unidad. En la primera etapa se aprendieron dosestrategias para calcular el área de triángulos. Se discutióque la forma más eficiente de calcular el área de untriángulo, consiste en primero transformarlo en un triángulorectángulo con igual base e igual altura, lo cual ocasionaque todos los triángulos con igual base e igual altura tenganla misma área. Esta área a su vez es la mitad del área delrectángulo en el cual puede ser inscrito el triángulorectángulo obtenido. Con esto se hizo ver que la fórmula paracalcular el área de un triángulo se puede obtener conociendosu base y su altura. En resumen, en la primera etapa,desarrollamos todos los elementos que necesitamos en estemomento. Por lo tanto, en este paso sólo se retoma laprimera etapa y sus resultados.

8. Este paso consiste en hacer una reflexión sobre lo que se hahecho. Se inició con la comparación del área de dostriángulos. Al no poder hacerlo a través de la comparacióndirecta, se introdujo la unidad de área como el elemento quepermite hacer la comparación indirectamente. Esto propició

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medir el área en términos de la unidad. A su vez para lograrcuantificar de manera eficiente el área de una figura esnecesario tomar en cuenta propiedades cualitativas, enparticular, la conservación de área. Por último, se hizoexplícito que calcular el área a través de transformacionesde la figura que conservan el área, permite detectar loselementos relevantes en la cuantificación y, por tanto, leotorga sentido o significado a las fórmulas con las quecalcula el área de los triángulos y paralelogramos.

A manera de conclusión de la segunda etapa, señalamos queefectivamente es una propuesta que integra tanto aspectoscualitativos como cuantitativos. Incorpora tres elementos en unsolo concepto de área: transformación-conservación de área; decálculo y medición de áreas y de deducción-utilización de fórmulasde área para triángulos y paralelogramos. Afirmamos queactividades como la nuestra, contribuyen a cerrar la brecha entreel enfoque cualitativo y el cuantitativo con que comúnmente seestudia el tema.

A continuación mostramos las estrategias básicas de comparación deáreas, así como en un esquema de las estrategias desarrolladas enla primera etapa del taller.

El diagrama presenta las estrategias básicas de comparación deáreas, las cuales se pueden enunciar como sigue:

El área de cualquier triángulo es la mitad del área delcuadrado, rectángulo o paralelogramo que lo contenga de talforma que dos de sus lados sean lados de la figura y eltercero, sea una diagonal.

También muestra las estrategias puestas en funcionamiento tanto enel enfoque cuantitativo, del lado izquierdo, como en elcualitativo, a la derecha. Se exihibe que tales estrategias sonunificadas a partir de la idea de unidad de área.

Es importante señalar que el punto anterior incluye las tresestrategias básicas de compración de áreas, las cuales se refierena un cuadrado, a un rectángulo y a un paralelogramo. Cada una diceque si dividimos tal figura (el cuadrado, el rectángulo o elparalelogramo) en dos triángulos, al trazar cualquiera de susdiagonales, se obtienen dos triángulos de igual área.

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El objetivo de presentarlas como estrategias básicas es que losestudiantes, al resolver problemas de cálculo y de conservación deáreas, el elemento central fuera precisamente la aplicación detales estrategias básicas. En otras palabras, las llamamosestrategias básicas de comparación de áreas, debido a que a travésde ellas desarrollamos, a su vez, las estrategías quedesarrollamos en la primera etapa de nuestro instrumento deinvestigación. Así, en la primera etapa desarrollamos dosestrategias, una de tipo cuantitativo (en la cual para calcular elárea de un triángulo se le inscribe en un rectángulo y se aplicanlas estrategias basicas de comparación de áreas) y otra de tipocualitativo (en la cual para calcular el área de un triángulo,primero se obtiene un paralelogramo a partir de él, luego elparalelogramo se transforma en rectágulo y se aplican lasestrategias básicas para calcular el área del rectángulo y parahacer ver que las transformaciones del paralelogramo conservan elárea).

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Otra aclaración pertinente es que a su vez las estrategiasdesarrolladas en la primera etapa del instrumento de invetigacióntienen variantes. Por ejemplo, la estrategia cuantitativa ladividimos en tres momentos (como se explicará a detalle másadelante), según el triángulo tuviera dos de sus lados, uno oninguno, colocados en posición vertical u horizontal con respectoal geoplano.

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6. Puesta en marcha de la actividad, datos y comentarios6.2. Primera fase

6.2.1. Primera sesiónIniciamos la primera sesión con una breve presentación. Lesexplicamos a los alumnos que trabajaríamos con ellos una actividadde geometría relacionada con la noción del área de las figurasgeométricas. Se explicó también que en esta primera sesióntrabajaríamos con el geoplano y nos apoyaríamos de un software decomputadora que representa un geoplano, el cual estaba proyectadoen el pizarrón.

Les presentamos el geoplano, explicamos qué es y para qué se usa.Del mismo modo, explicamos en qué consistía el software en el quenos apoyamos para desarrollar el taller.

Inicialmente les pedimos que, de manera individual y por escrito,respondieran la siguiente pregunta:

¿Para ti, qué es el área de una figura geométrica, por ejemplo, deun triángulo o de un cuadrado?

La mayoría de las respuestas fueron del tipo cuantitativo, esdecir, involucran fórmulas, mediciones, perímetro, etcétera:

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Sin embargo, también algunos alumnos dieron respuestas del tipocualitativo:

“El área es el contenido de la figura”, en la primera respuesta o“El área de una figura es por lo cual uno se puede dar cuanta conqué tipo de figura contamos”, en la segunda.

Uno de los propósitos del taller es que los alumnos desarrollendiversas estrategias que les permita comparar y, en consecuencia,calcular el área de figuras geométricas, concretamente detriángulos y paralelogramos. Por lo tanto, iniciamos estableciendonuestra unidad de área o de superficie. Hicimos el convenio que enel geoplano, nuestra unidad de longitud sería la distancia entre

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dos puntos consecutivos verticales u horizontales y que nuestraunidad de área sería la superficie encerrada por un cuadrado cuyolado midiera la unidad. De esta manera nos alejamos de la unidadde área como el centímetro cuadrado, pero conservamos la acción decontar unidades de este tipo.

Como en esta primera sesión la intención es generar ideasintuitivas sobre cómo se comporta el área de las figurasgeométricas, trabajamos con el geoplano como un manipulable o unartefacto de mediación semiótica. Sin embargo, debemos tenerpresente que el geoplano tiene limitaciones específicas como lassiguientes: Si se colocan segmentos verticales u horizontales,éstos tienen una longitud entera de unidades. Tiene unacuadrícula fija de puntos. Esto implica que en ocasiones lasfiguras no puedan ser movilizadas o colocadas en la posición másconveniente y también propicia cierta tendencia a colocar lasfiguras en posiciones prototípicas (vertical u horizontal). Enparticular, en los cuadrados y rectángulos con lados verticales yhorizontales se simplifica obtener su área. Entre sus ventajastenemos que la manipulación es sencilla y da evidenciasperceptuales inmediatas.

Una vez establecida la unidad de área, les pedimos que calcularanel área de un cuadrado construido en el geoplano. Los alumnos notuvieron problema en decir que lo único que debían hacer eracontar cuántas unidades de área o <<cuadraditos>> cabían en él.

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En seguida les pedimos que calcularan en área de un rectángulo.Tampoco tuvieron problema para decir que sólo debían contarcuántas unidades de área cabían.

Explicamos que saber cuántas unidades de área caben en figurascomo las que les acabábamos de presentar, es decir, en cuadrados yrectángulos no representa mayor reto pues la tarea se reduce acontar, debido a la coincidencia del número entero de unidades ylas áreas consideradas. Además creamos el consenso de que el áreade una figura se puede representar numéricamente con el número deunidades cuadradas que caben en ella. No consideramos actividadesen las que se cambiase el tamaño de la unidad de área porqueconsideramos que eso daría un sesgo distinto al objetivo de laactividad.

El siguiente paso fue presentarles un triángulo con un ladocolocado horizontalmente.

Cuando les preguntamos a los alumnos, cuántas unidades de área o<<cuadraditos>> caben en el triángulo, ni siquiera nos permitieronterminar la pregunta, cuando algunos de ellos ya estabancontestando:

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La primera respuesta fue: “uno”.

Casi inmediatamente otro alumno dijo: “dos”.

Otros alumnos dijeron: “dos, dos”.

Esto nos lleva a suponer que los alumnos en ese momento estabanpensando en <<cuadraditos>> completos, es decir, ¿cuántos<<cuadraditos>> completos caben en el siguiente triángulo? Estonos hace considerar que para los alumnos el área de una figuraestá fuertemente asociada con las unidades de área y másespecíficamente al número de unidades completas, como cuadradosfísicos, que caben dentro de una figura. En este momento, si launidad de área no cabe completa, entonces no la toman en cuenta.

Les pedimos que construyeran en su geoplano el triángulo encuestión y que nos explicaran en él sus respuestas.

Una pareja de alumnos, al reproducir el triángulo en el geoplano,inicialmente volvió a decir que cabía uno pero justo como teníanel geoplano a su disposición pusieron el cuadrado que sí cabía conuna liga. Trataron después de poner otro cuadrado y vieron que nocabía completo. A partir de las ligas que ya habían puesto,empezaron a observar que los pedazos de cuadrados que sobraban lospodían <<cortar>> y acomodar en otra parte del triángulo. Estopermite sugerir que los alumnos con sólo ver el triánguloproyectado (primero les presentamos en triángulo a través delproyector, ellos sólo veían y escuchaban lo que hacíamos) nofueron capaces de percatarse que se pueden hacer reconfiguracionesa la unidad de área, pero al tener el manipulable lareconfiguración estuvo su alcance, lo cual es un argumento afavor del uso de manipulables.

La mayoría de los alumnos no logró asociar que el preguntarlescuántas unidades de área cabían en el triángulo, significaba medirsu área. No les preocupaba que cuando ya habían puesto la unidadde área que sí cabía completamente, aún sobraran regiones deltriángulo sin cubrir. Ellos pensaban que ya habían respondido. Espor lo anterior que explicamos que, por ejemplo, en el cuadradoque previamente les habíamos mostrado, el que cupieran 16 unidadesde área significaba que el cuadrado tenía un área de 16 unidades.Explicamos que al poner esas 16 unidades de área en el cuadrado lohabíamos cubierto totalmente.

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Desde el punto de vista de la construcción de sus creencias, launidad de área, como cuadrito, se sobrepone a la de superficie enun sentido más amplio. Además, hasta este momento, impera la ideade que el área es un número a final de cuentas y que encontrar elárea es encontrar cuántos cuadritos (completos) caben dentro de lafigura.

Por el contrario, en el triángulo al poner la unidad de área quesí cabía completamente, no habíamos cubierto el triángulo en sutotalidad. Esto significaba que el área era mayor a una unidad. Altratar de poner la siguiente unidad, teníamos dificultades porquela unidad no estaba totalmente contenida y, en consecuencia, nopodíamos ir contando con exactitud cuántas unidades de área cabíanen el triángulo.

Explicamos que en las figuras previas (el cuadrado y elrectángulo) no habíamos tenido problemas porque los cuadraditoscabían de manera exacta en las figuras pero que en el triánguloactual las unidades de área ya no quedaban contenidas de maneraexacta. El siguiente paso fue explicarles que justo lasactividades que desarrollaríamos nos permitirían calcular el áreade triángulos en términos de nuestra unidad de área. Continuamosexplicando que para lograr eso, nos apoyaríamos de una reglabásica de comparación de áreas. En ese momento, les presentamoslas estrategias básicas de comparación de áreas.

A partir de ese momento, calculamos el área de triángulos entérminos de la unidad de área. Trabajamos en tres momentos queincrementan su complejidad, lo cual debe llevarlos a adecuacionesque buscan una generalización.

Primer momento

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En el primer momento, les presentamos triángulos rectángulos concatetos verticales y horizontales. Esto porque en dichostriángulos, a través de una sola aplicación de una de lasestrategias básicas se puede determinar su área.

El primer triángulo que presentamos fue uno rectángulo con catetosiguales y de longitud la unidad. Les pedimos que lo reprodujeranen su geoplano y que utilizaran alguna o algunas de lasestrategias básicas de comparación de áreas para calcular su área.

Los alumnos, en general, tuvieron dificultades para poder utilizarlas estrategias en el problema que tenían. Las estrategiasestablecen que cuando se tiene un cuadrado o un rectángulo y se ledivide en dos triángulos al trazar una de sus diagonales, lostriángulos obtenidos tienen igual área que a su vez es la mitad dela del cuadrado o rectángulo correspondiente. Es decir, lasestrategias parten del hecho de tener un cuadrado o un rectángulopero los alumnos, en el problema actual, tenían un triángulo. Nofueron capaces, a partir del triángulo, de reconstruir el cuadradodel cual, el triángulo actual fuera su mitad.

Al pedir a los alumnos que reprodujeran el triángulo y queutilizaran la estrategia, les dimos tiempo para que trabajaran.Transcurrido un tiempo y debido a que nos percatamos que teníandificultades, sugerimos construir el cuadrado correspondiente parapoder aplicar la estrategia. Esta experiencia puede sugerir que,

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en efecto, algunos de los alumnos no poseen una aprehensiónoperatoria de las figuras geométricas que les permita resolverproblemas. Justo uno de los propósitos fundamentales de estassesiones de trabajo con los alumnos era fomentar la aprehensiónoperatoria.

Una vez que les sugerimos que construyeran, en el caso actual, elcuadrado del cual el triángulo que tenían era la mitad, notuvieron dificultades para decir que el triángulo tenía la mitadde área del cuadrado. Además, que como el cuadrado era la unidadde área, entonces el triángulo tenía media unidad de área.

Propusimos calcular el área de varios triángulos rectángulos.Varios alumnos aún no eran capaces de construir el rectángulo queles permitiera aplicar las estrategias básicas, sino que insistíanen cubrir el triangulo con unidades de área. Explicamos que sibien, tal estrategia no es errónea, sí es engorrosa y que, sobretodo, nos interesaba que fuera capaces de aplicar las estrategiasbásicas.

Trabajamos con varios triángulos rectángulos hasta que todos losalumnos fueron capaces de aplicar las estrategias.

Hicimos un cierre de este primer momento en el que volvimos aaclarar que el intentar cubrir los triángulos con unidades de áreano es una estrategia errónea pero sí más tardada y complicada.Acordamos que nuestro objetivo era aplicar las estrategiasbásicas.

Segundo momento

En el segundo momento, presentamos triángulos que tuvieransolamente uno de sus lados colocado horizontal o verticalmente.Esto debido a que en tales triángulos para calcular su área, en

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términos de la unidad de área, es suficiente con aplicar un par deveces las estrategias básicas.

Presentamos un triángulo como el que se muestra en la imagen y lespedimos que determinaran su área. Los alumnos no tuvierondificultad para construir el rectángulo que inscribe al triánguloen cuestión.

Un alumno, al preguntarle cuál era el área del triángulo,inmediatamente contestó:

“10”.

Al preguntarle el por qué:

“Porque es la mitad del rectángulo y éste tiene área de 20unidades”.

Su compañera inicialmente estuvo de acuerdo, pero al preguntarlesque si estaban seguros, ella dijo:

“No tiene área de 10 unidades”.

Aludió a la forma del triángulo, es decir, a que en el caso actualninguno de los lados del triángulo era diagonal del rectángulo y,en consecuencia, no se podían aplicar las estrategias básicas.Ella dijo que el triángulo no era la mitad a través de darsecuenta que no se podían aplicar las estrategias básicas.

La respuesta del alumno sugiere que él aplica las estrategiasbásicas, sin tomar en cuenta que no se puede aplicar de maneradirecta, es decir, generaliza el resultado que obtuvo con lostriángulos rectángulos. En ese caso concreto, el triángulo sítenía área igual a la mitad del rectángulo pero para poderdeterminarla era necesario aplicar dos veces la estrategia básica.

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El alumno dio una respuesta correcta pero su razonamiento no fueel adecuado.

En general, los alumnos tuvieron dificultades para lograr aplicarlas estrategias básicas en el triángulo. Se les permitió trabajarcierto tiempo y, al igual que en el primer momento, sugerimosestrategias.

Les propusimos que una vez que construyeran el rectángulo,calcularan su área. Enseguida que, en lugar de determinar el áreadel triangulo, determinaran el área de los dos triángulosrectángulos que quedaban fuera del triángulo, pero dentro delrectángulo. A este tipo de triángulos sí se les podía calcular elárea utilizando las estrategias básicas. Por último, paradeterminar el área que nos interesaba, bastaría con restarle alárea del rectángulo la de los dos triángulos rectángulos.

Explicamos lo anterior en el proyector y posteriormente lespedimos que practicaran la estrategia con otros triángulossimilares. En este segundo momento usamos una estrategia indirectapues, como se aprecia, no calculamos el área del triangulodirectamente sino que lo hicimos auxiliándonos de triángulosrectángulos.

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Hicimos un cierre de este momento. Explicamos que en este tipo detriángulos no basta con aplicar una sola vez las estrategiasbásicas y también que en realidad ya no se la aplicamos altriángulo que nos interesa sino a triángulos rectángulosconvenientes.

Tercer momento

En el tercer momento de la actividad, trabajamos con triángulosque no tenían ningún lado colocado vertical ni horizontalmente conreferencia al geoplano.

Los alumnos no tuvieron dificultad para construir el rectángulocorrespondiente ni para identificar los triángulos rectángulos quepermiten calcular el área. La estrategia que usaron escompletamente análoga a la trabajada en el segundo momento sóloque, en el caso actual, se requiere aplicar tres veces lasestrategias básicas.

Algunos alumnos persistieron en el razonamiento que habíanmostrado en el segundo momento. Decían, sin hacer razonamientos ocálculos, que el área del triángulo era la mitad del área delrectángulo.

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En el segundo momento, al trabajar con triángulos con un ladovertical u horizontal sí se cumple que el triángulo tiene la mitadde área de su rectángulo correspondiente, aunque no es posibledeterminarlo a través de una sola aplicación directa de lasestrategias básicas, sino que es preciso aplicarlas dos veces. Elque en los triángulos usados en el segundo momento sea válido elresultado se debe a que es posible trazar una de las alturas deltriángulo que lo divide en dos triángulos rectángulos y esa mismaaltura también divide al rectángulo en dos rectángulos. En lostriángulos del tercer momento y restringidos al geoplano, ya no esposible trazar una de sus alturas con las propiedades descritas.Esto ocasiona que el área del triángulo no sea la mitad delrectángulo en el cual está inscrito.

Por ejemplo, un equipo de tres alumnos que estaban trabajandojuntos, al determinar el área del triangulo mostrado en la imagen,tuvieron dificultades porque uno de ellos decía que el triángulotenía área de 10 unidades pues el rectángulo tenía 20 unidades deárea. Al realizar el procedimiento de restar el área de lostriángulos rectángulos a la del rectángulo, obtenían que eltriángulo debía tener área de 9 unidades. El alumno queinicialmente había dado el resultado de 10 unidades comentó:

“…yo tengo entendido que el área del rectángulo es 20 y la mitades equivalente al triángulo que está en medio”.

Idea que se generalizó de las situaciones antes trabajadas.Posteriormente calculamos el área de algunos triángulos sin ladosverticales u horizontales con dos propósitos: reforzar laestrategia y mostrar que en este tipo de triángulos no se cumpleque su área sea la mitad de la del rectángulo en el cual estáinscrito.

Como cierre del tercer momento, explicamos que para los triánguloscon los que habíamos trabajado era necesario aplicar tres veceslas estrategias básicas, sin embargo, la forma de hacer el cálculoera totalmente análoga a la utilizada en el segundo momento, esdecir, construir rectángulos adecuados para tomar sus mitades.

Otro punto que enfatizamos en este cierre es que no siempre que untriángulo esté inscrito en un rectángulo, tendrá la mitad de suárea. Puntualizamos que para los triángulos presentados en eltercer momento no se puede concluir en automático que tenga lamitad del área de su rectángulo correspondiente.

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Por último, como observación general de los tres momentos,explicamos que con las técnicas aprendidas somos capaces decalcular el área de cualquier triangulo que se pueda construir enel geoplano y, sobre todo, que en todo momento estuvimosutilizando las estrategias básicas.

6.2.2. Segunda sesiónIniciamos la segunda sesión con un recuento de lo realizado en laprimera. Les pedimos que calcularan el área de un triángulo paraejercitar lo aprendido.

Esta segunda sesión estuvo dedicada a presentar una estrategia quepermite transformar un paralelogramo en un rectángulo que conservael área. Trabajamos con el geoplano en todo momento.

Metodológicamente, el transformar un paralelogramo en unrectángulo para calcular su área, responde al hecho de quequeremos integrar en una sola estrategia elementos cualitativos ycuantitativos. Los elementos cualitativos están propiamente entransformar el paralelogramo en rectángulo. Tal transformación esla parte central de la estrategia y es la que muestra la propiedadque posee el área de permanecer constante en transformaciones deuna figuras que conservan el área. Los elementos cuantitativos deesta estrategia se hacen presentes al cuantificar el área delrectángulo a través de determinar cuántas unidades de área cabenen él. Los alumnos realizaban la cuantificación multiplicando laslongitudes de los lados distintos del rectángulo o contandodirectamente cuántas unidades de área cabían en él.

Al iniciar propiamente con la segunda sesión, presentamos latercera estrategia básica de comparación de áreas. Dice que si unparalelogramo es dividido en dos triángulos, al trazar cualquierade sus diagonales, entonces él área de éstos es la mitad del áreadel paralelogramo.

Dividimos la segunda sesión en dos momentos.

Primer momento

En el primer momento presentamos un paralelogramo como el que semuestra en la figura, es decir, uno en donde es posible trazardesde un vértice una altura de tal forma que interseca a la baseinferior del paralelogramo.

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Explicamos que este tipo de paralelogramos los podemosdescomponer, al trazar dos de sus alturas, en dos triángulosrectángulos y un rectángulo.

Posteriormente explicamos, con el apoyo visual del software, que unode los triángulos rectángulos lo podemos desplazar y colocarlojunto al otro triángulo rectángulo de tal forma que elparalelogramo se convirtiera en un rectángulo.

Los alumnos no tuvieron dificultad en asimilar la transformación.

Explicamos, además, que si queremos calcular el área delparalelogramo, una forma de hacerlo es transformarlo primero en unrectángulo que tiene exactamente la misma área y posteriormente,en lugar de calcular el área del paralelogramo, calcular la delrectángulo pues es más sencillo. Hicimos notar que elparalelogramo y el rectángulo en el que lo transformamos tenían lamisma base y la misma altura, esto con el fin de que fueranpercatándose de los elementos que la transformación no altera.

Desde la primera sesión habíamos creado el acuerdo de que a loscuadrados y a los rectángulos es sencillo calcularles el área entérminos de la unidad de área a través del conteo directo.Utilizamos este hecho para, en el caso actual, poder establecer

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que el área del rectángulo que se había obtenido era de ochounidades y, en consecuencia, el paralelogramo inicial tenía áreade ocho unidades.

El siguiente paso fue proponerles otro paralelogramo, pedirles quelo reprodujeran en su geoplano, construyeran un rectángulo con lamisma área y que, en consecuencia, obtuvieran el área delparalelogramo.

Los alumnos no tuvieron dificultades para realizar correctamentelo pedido. Hicimos un tercer ejercicio con otro paralelogramo.Insistimos frecuentemente en este momento, que el transformarprimero la figura en otra, en este caso en un rectángulo, a lacual es más fácil calcular el área, es una estrategia de cálculode áreas. Tal estrategia requiere que la transformación conserveel área.

Como cierre de este primer momento, hicimos notar que: Para podertransformar el paralelogramo tuvimos que descomponerlo en variassubfiguras y reorganizarlas de otro modo. Tal reorganización entodo momento conserva el área de la figura inicial pues no seañaden ni se quitan piezas. El objetivo de transformar elparalelogramo en un rectángulo es calcular el área de aquél demanera más sencilla. El paralelogramo inicial y el rectánguloobtenido tenían igual base e igual altura.

Segundo momento

El segundo momento estuvo dedicado a transformar paralelogramos,como el que se muestra en la figura, en rectángulos que tuvieranigual área. La característica de estos paralelogramos es que altrazar una de sus alturas, desde cualquier vértice, éstas nocortan a la base del paralelogramo opuesta al vértice desde elcual se traza la altura.

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Explicamos que, al trazar la diagonal menor, en este tipo deparalelogramos los podemos dividir en dos triángulos con igualárea.

Recordamos que nuestra tercera estrategia de conservación de áreasdice que si en un paralelogramo se traza una de sus diagonales, seoriginan dos triángulos de igual área. Explicamos que justo eso eslo que haríamos en el caso actual. Propusimos trazar la diagonalmenor del paralelogramo para dividirlo en dos triángulos. Luegodesplazar uno de los triángulos para formar un nuevoparalelogramo. En resumen, propusimos aplicar la secuencia quepermite transformar este tipo de paralelogramos en rectángulos

A los alumnos les costó trabajo llevar a cabo la transformación enel geoplano debido a que en él no se pueden trasladar figuras.También en el software que se estaba utilizando, al simular ungeoplano, no es posible trasladar las figuras que se hanconstruido. En este sentido tanto el geoplano, como el softwareutilizado no permiten mover figuras que es justo lo que serequiere hacer para poder asimilar la estrategia. Para presentarexitosamente esta estrategia se requieren manipulables dinámicos,asimismo, se requiere un software dinámico que permita mover delugar las piezas.

Trabajamos en el geoplano con algunos paralelogramos. Laestrategia fue dividir el paralelogramo en dos triángulos ydesplazar uno de ellos para transformar el paralelogramo en otro.Este proceso se debe repetir tantas veces como sea necesario,generalmente dos o tres, hasta que el paralelogramo se transformaen uno del tipo de los trabajados en el primer momento. Cuandoobtenían un paralelogramo de los del primer momento, debíantransformarlo en rectángulo con la técnica que habían aprendidopara esos paralelogramos.

Hicimos un cierre de esta segunda sesión. Explicamos que en estasesión habíamos aprendido que una figura se puede transformar enotra con la propiedad de que ambas tienen igual área. Explicamosque la transformación no es arbitraria en varios sentidos. No setransforma la figura en cualquier otra con igual área, sino que setransforma en otra para la cual es más sencillo calcularla. Elparalelogramo original y el rectángulo obtenido tienen la mismabase y la misma altura. Enfatizamos que esas propiedades esimportante resaltarlas. Concluimos que a diferencia de lasestrategias aprendidas en la primera sesión, en donde se trataba

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de calcular el área de varias figuras para obtener el área de laque nos interesaba, en ésta transformamos la figura parasimplificar el cálculo, es decir, en este caso nuestra estrategiatoma en cuenta aspectos cualitativos más que cuantitativos.

6.2.3. Tercera sesiónLa tercera sesión estuvo dedicada a que los alumnos llevaran acabo con papel la estrategia de transformar un paralelogramo en unrectángulo de igual área. También estuvo dedicada a mostrarles através de un software dinámico, Geogebra, tal transformación.

Por parejas les proporcionamos una hoja de papel que tenía impresoun paralelogramo. También les proporcionamos tijeras, reglas ycinta adhesiva para que pudieran realizar la actividad. Engeneral, los alumnos comprendieron bien la tarea y la llevaron acabo sin contratiempos.

Realizamos la actividad explicando cómo debían llevarla a cabo yutilizamos la movilidad del material para mostrar cómoreorganizábamos las subfiguras del paralelogramo para formar otro.

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Como cierre de esta tercera sesión discutimos que básicamentehabíamos hecho lo mismo que en la segunda, sólo que en estahabíamos tenido a nuestra disposición materiales que nospermitieron apreciar mejor las propiedades del área. Al igual queen la segunda sesión, enfatizamos que dos figuras distintas puedentener igual área; que transformar el paralelogramo en rectángulotiene la finalidad de calcular más fácilmente el área y que lafigura inicial y la final, tienen la misma base y la mismaaltura .

6.3. Segunda fase6.3.1. Cuarta sesión

La cuarta sesión estuvo dedicada a incorporar, en una actividadque transita de la comparación a la medición de áreas, lo que sehabía aprendido en las sesiones anteriores.

Inicialmente contrastamos y discutimos las técnicas cuantitativasy cualitativas que habíamos visto en las sesiones anteriores. Elobjetivo era mostrar que para calcular el área de una figura, engeneral, una estrategia que involucra aspectos cualitativos delárea es más eficiente.

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Argumentamos que, con la primera estrategia aprendida, paracalcular el área de un triángulo es necesario inscribirlo en unrectángulo, calcular el área de uno o varios triángulosrectángulos y la del rectángulo y hacer operaciones con los datosobtenidos. Hicimos ver que si bien, una vez aprendida laestrategia, no es difícil llevarla a cabo, en ocasiones resulta noser tan eficiente en cuanto a tiempo requerido y economía decálculos necesarios. En cambio, con la segunda estrategia,calcular el área de un triángulo resulta más eficiente pues, unavez aprendida, sabemos que un triángulo lo podemos transformar enun solo paso en un triángulo rectángulo de igual base e igualaltura. Con esto el cálculo de su área se reduce a aplicar unasola vez las estrategias básicas de comparación de áreas.

Al iniciar propiamente con la sesión, les presentamos dostriángulos y preguntamos si tenían igual área.

Enfatizamos que lo que nos interesaba en este momento no eracalcular su área sino únicamente comparar su área para poderdecidir si es igual.

Inicialmente les propusimos compararlos directamente a través deencimar uno en el otro. La intención era llegar al consenso de quela comparación directa, en general, no es una estrategia eficientepara comparar el área de dos figuras.

A partir de este momento, les propusimos utilizar las estrategiasque habían aprendido. Es decir, una vez que se acordó que paracomparar dos figuras, estrategias de comparación directa no sonlas adecuadas, recurrimos a estrategias de comparación indirecta.

En este momento de la actividad explicamos e hicimos ver que elmedir el área de una figura, en términos de la unidad cuadrada deárea, es una estrategia de comparación indirecta pues paracomparar dos figuras, primero las comparamos cada una con launidad de área para así obtener un número que representa su área.

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Enfatizamos el significado de la medición como un refinamiento dela comparación.

La estrategia de comparación indirecta que se propuso fuetransformar cada triángulo en uno rectángulo y calcular su área entérminos de la unidad de área. Con esto se obtuvieron dos númerosy, al compararlos, se concluyó que los triángulos tenían igualárea.

Al final de la cuarta sesión, les presentamos un triángulo y lespedimos que explicaran detalladamente cómo calcularían su área.Les pedimos que fueran lo más explícitos posible. Mostramos ycomentamos dos imágenes de sus respuestas. Resaltamos que losalumnos, después de haber discutido la medición como unrefinamiento de la comparación y las transformaciones de figurasque conservan el área, lograron integran tanto aspectoscuantitativos como cualitativos en sus respuestas.

Como se aprecia en la imagen, el alumno logra no sólo dar unaexplicación de cómo calcular el área del triángulo, sino que logracrear toda una secuencia que permite entender los pasos a seguir

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para hacer tal cálculo. Vemos que al inicio y al final de lasecuencia dibuja el mismo triángulo, lo cual muestra el resultadofinal es el área del triángulo inicial.

Al iniciar, dibuja otro triangulo a lado del original, lo que lepermite considerar el paralelogramo. Esto pone en evidencia que elalumno es capaz de aprehender operatoriamente la figura, es decir,es capaz de modificarla con el fin de resolver el problema.Adicionalmente, enfatiza las propiedades relevantes en ese momentodel paralelogramo: su base y su altura. Esto muestra que el alumnoreconoce los elementos relevantes en el problema a resolver. Eneste caso, la base y la altura son las magnitudes que permaneceráninvariantes.

Posteriormente, transforma el paralelogramo en otro en dosocasiones y finalmente en un cuadrado. Enfatiza en todo momentolos elementos invariantes (base y altura). Con esto, el alumnomuestra que es capaz de integrar aspectos cualitativos en laresolución del problema, es decir, utiliza la conservación de áreacomo estrategia que le permitirá calcular el área del triángulo.

Una vez obtenido el cuadrado, lo divide en unidades de área paracalcular su área en términos de ella. En este momento integraaspectos cuantitativos en la determinación del área del triángulo.Además integra la idea de unidad de área como medio para calcularnuméricamente el área del cuadrado. Enseguida, hace la divisiónnumérica del resultado obtenido por dos. Con esto muestra que escapaz de asociar aspectos aritméticos muy relacionados con el usode fórmulas, para obtener el resultado. Resaltamos que aunque nopuso explícitamente una fórmula (porque no era necesario), elalumno sí reconoce los elementos que deben aparecer en ella y sólohacer la división que tendría que hacer al sustituir lainformación del triangulo en la fórmula.

Por último, una vez obtenida el área del cuadrado, lo divide endos triángulos rectángulos y a cada uno le asigna la mitad de áreay hace referencia que cada uno de ellos tiene el área deltriángulo original.

Como comentario final. Esta imagen nos da elementos para asegurarque, con actividades como las que desarrollamos, es posibleintegrar tanto aspectos cualitativos como cuantitativos en un soloconcepto de área.

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En la respuesta que se muestra en esta imagen, el alumno explicaque hay dos formas de calcular el área del triángulo. Una escompletar el paralelogramo y transformarlo en rectángulo. La otra,explica el alumno, consiste en desplazar el vértice superior deltriángulo hasta que quede encima de uno de los vérticesinferiores. Hace referencia a que tal desplazamiento debe sersobre una línea paralela a la base. Con esto se logrará tener untriángulo rectángulo de la misma área al que es fácil calcularlesu área porque es la mitad de un rectángulo.

Vemos que este alumno desde el inicio destaca los elementosrelevantes del triángulo al marcar la base y la altura. Utiliza laconservación de área (aspectos cualitativos) como estrategia paraconvertir el triángulo original en un rectángulo con igual base.Calcula el área como base por altura entre dos porque es la mitaddel rectángulo (aspectos cuantitativos).

Al igual que en el caso anterior, respuestas como estas permitenver que es posible integrar los aspectos cualitativos y loscuantitativos en el concepto del área.

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7. Consideraciones, conclusiones y respuestas a las preguntas de investigación

7.1. ConsideracionesEn esta sección, presentamos las consideraciones hechas a partirde las indagaciones teóricas realizadas y de la implementación delinstrumento de investigación diseñado para el presente trabajo.Dividimos las consideraciones en tres bloques. En el primero,están las concernientes al objetivo de investigación. En elsegundo, las referentes las hipótesis de investigación. Porúltimo, en el tercer bloque de consideraciones, presentamos lasreferentes al uso de manipulables como artefactos de mediaciónsemiótica.

7.1.1. Sobre el objetivo de investigaciónHemos dicho que el objetivo del presente trabajo es llevar a cabouna investigación basada en el diseño e implementación de uninstrumento de investigación. Dicho instrumento es una actividadque integra aspectos cualitativos y cuantitativos del concepto deárea. La finalidad de la actividad es cerrar la brecha entre elenfoque cuantitativo y el cualitativo con que comúnmente seestudia el tema. Dado lo anterior, presentamos las siguientesconsideraciones:

Ofrecer a los estudiantes de diversas técnicas de comparacióny de cálculo de áreas, permite una mejor comprensión de lanoción del área de algunas de las figuras geométricas(triángulos, paralelogramos) tanto en sus aspectoscuantitativos, como en los cualitativos.

Establecer de manera clara cuál es la función, utilidad yfinalidad de una unidad de área es un elemento clave quefavorece el cierre de la brecha entre el enfoque cuantitativoy el cualitativo de la noción de área.

Un elemento que permite articular aspectos cualitativos conaspectos cuantitativos del concepto de área, es el utilizaruna estrategia de conservación de área no sólo para hacer ver

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que dos figuras de distinta forma pueden tener igual área,sino como una estrategia que permite transformar una figuraen otra en la cual se simplifica el cálculo de su área. Esdecir, la conservación de área también es una estrategia decálculo de áreas.Actividades basadas en conservación de área se han utilizadopara mostrar que dos figuras de forma distinta pueden tenerigual área. Conservación de área ha sido utilizada paramostrar que el área, como concepto matemático, tiene unapropiedad específica: el que una figura pueda alterar suforma y perímetro y mantener invariante su área.Conservación de área, no solo puede ser utilizada paramostrar la propiedad anterior, sino que también puede serutilizada como una poderosa estrategia del cálculo de áreas.Para ello se requiere que las transformaciones que apliquemosa las figuras no sólo se enfoquen a mantener el áreaconstante (como la mayoría de las investigaciones), o aalterar el perímetro y mantener el área. También esimportante que se enfoquen en la forma de la figuraresultante, es decir, que al transformar una figura en otra,conservando el área, la forma de la figura resultante,facilite el calcular el área en términos de la unidadcuadrada de área.Prestar atención no sólo a la conservación de área o a lamancuerna conservación de área y variabilidad del perímetro,sino también a la forma de las figuras resultantes es unelemento que posteriormente permite integrar la conservaciónde área con el cálculo de áreas en términos de una unidadcuadrada de área.

7.1.2. Sobre las hipótesis de trabajoEn las hipótesis de trabajo mencionamos que si los alumnospreviamente han desarrollado la visualización de la figuras y soncapaces de reconocer los elementos o propiedades relevantes ysignificativos de las figuras, entonces están en condiciones deincorporar en un solo concepto de área tanto sus aspectocualitativos, como los cuantitativos. También propusimos eldesarrollo de tales habilidades, a través, de actividadesexpresamente diseñadas que involucran fuertemente el uso deartefactos como mediadores semióticos (software geométrico,Geoplano, cortado de papel). Dado lo anterior, algunas

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consideraciones que podemos hacer, como consecuencia deimplementar tales actividades, son los siguientes:

Las estrategias cuantitativas desarrolladas promueven laaprehensión operatoria de las figuras y son un bueninstrumento que permite que los alumnos desarrollen yejerciten la visualización de algunas familias de figurasgeométricas. Es por esto que pensamos que actividades queinvolucran estrategias de este tipo son necesarias puesactivan y estimulan mecanismos cognitivos que posteriormentepermiten un mejor desempeño en tareas de visualización defiguras geométricas. Cabe aclarar que si bien en términos deestricto cálculo de áreas, este tipo de estrategia es menoseficiente que las cualitativas, su valor radica, como yadijimos, en la visualización de figuras geométricas quepropicia y estimula.

Las estrategias cualitativas desarrolladas permiten no sólocalcular el área de figuras de forma eficiente, sino quepermiten justificar el uso de fórmulas para calcular áreaspues muestran, por ejemplo en caso de los triángulos, que lasvariables que aparecen en determinada fórmula sonprecisamente los elementos relevantes y que permanecenconstantes al transformar la figura.

Los alumnos descubren que, en cuanto a comparar o mediráreas, una cualidad o propiedad relevante de las figuras esel ángulo recto. Ellos descubren que conviene transformar lafigura en otra que conserva el área pero que tienepropiedades en común con la unidad de área (un ángulo recto),pues esto permite medirlo muy fácilmente en términos de ella.Asimismo se percatan que es fácil medir el área de una figuracuando comparte una propiedad o elemento (el ángulo recto)con la unidad de área. Los alumnos incorporan la conservaciónde área como una estrategia de comparación y medición deáreas. De esta manera, para determinar un elementocuantitativo de una figura (su área, expresada en unidadescuadradas), recurren a propiedades cualitativas de la figura(la transforman en otra con igual área y con un ángulorecto).

7.1.3. Sobre el uso de manipulables

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Retomando el marco teórico, podemos comentar que dentro de losmanipulables u objetos ostensivos, existen dos clases: losmanipulables tangibles (activan la percepción táctil) y losmanipulables gráfico-textuales-verbales (participa la percepciónvisual o auditiva). Con respecto a los manipulables que utilizamosy al uso que los alumnos hicieron de ellos, resaltamos lassiguientes consideraciones:

Manipulables poco dinámicos les permiten a los alumnoscomprender adecuadamente aspectos cuantitativos del conceptode área. Con el uso de este tipo de manipulables, como elgeoplano y un software que simula un geoplano, es posiblecalcular el área de algunas familias de figuras geométricascon estrategias cuantitativas. Estas estrategias se llevarona cabo en la primera sesión de trabajo con los alumnos.Consisten en obtener el área de una figura a partir deobtener el área de algunos triángulos rectángulos y de unrectángulo y operar con ellas.

Los manipulables dinámicos permiten comprender adecuadamenteaspectos cualitativos del concepto de área. Con manipulablesdinámicos, como el cortado y pegado de papel y un softwaredinámico como Geogebra, es posible calcular el área defiguras geométricas a través de combinar estrategiascualitativas y cuantitativas. Este tipo de estrategias sedesarrollaron en la segunda sesión. Consisten en obtener elárea de una figura a partir de transformarla en otra alreconfigurarla y trasladar sus subfiguras.

Los alumnos fueron capaces de reconfigurar la unidad de áreaa través de manipular con el geoplano. No lo habían logradohacer cuando sólo veían y escuchaban en el software geométrico.Esto pone de manifiesto lo reportado en el marco teórico: losmanipulables tangibles, junto con el lenguaje ordinario y lossímbolos matemáticos, permiten formular y resolver problemas.Por lo tanto podemos decir que, efectivamente, losmanipulables no son meros medios de expresión, sino que soninstrumentos para el trabajo matemático y que utilizados enla situación adecuada, permiten percibir elementos que a suvez, posibilitan resolver determinados problemas.

7.2. Conclusiones

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Como conclusiones de nuestra investigación, presentamos las siguientes:

La unión de materiales manipulables y tareas problemáticaspueden proveer ricas estructuras de validación a losestudiantes. El geoplano aunado a la tarea de calcular elárea de un triángulo permiten crear argumentos para validarque no siempre que un triángulo esté inscrito en unrectángulo, tendrá la mitad de su área. El cortado de papelaunado a la tarea de calcular el área de un paralelogramopermiten validar la idea de que un paralelogramo tieneexactamente la misma área que un rectángulo de igual base eigual altura.

Las estrategias básicas de comparación de áreas proveen, alos estudiantes, herramientas que les permiten abordarsatisfactoriamente las tareas propuestas en el taller. Comoya se reportó en la sección anterior, los alumnos fueroncapaces de determinar el área de las figuras (cuantitativa ycualitativamente) a través de aplicar las estrategiasbásicas. Si bien, en algunos casos, inicialmente sepresentaron dificultades relacionadas con su adecuado uso(punto a tratar en la siguiente conclusión), se lograronsuperar. Es así que las estrategias básicas de comparación deáreas, pueden ser una herramienta útil para estudiar elconcepto del área, tanto en sus aspectos cuantitativos comoen los cualitativos.

El proceso de idealización de las estrategias básicas decomparación de áreas puede derivar en consideracionesequivocadas, como la realizada por algunos de nuestrosestudiantes: “El área de un triángulo inscrito en unrectángulo es la mitad de la de éste.”

Es posible cerrar la brecha entre el enfoque cuantitativo yel cualitativo e incorporarlos en un solo concepto de área.Esto, a través, de fomentar diversos procedimientos (unosenfatizan los aspectos cuantitativos y otros loscualitativos) que permiten calcular el área de figuras entérminos de la unidad de área. Evidencia de esto son algunasde las respuestas (mostradas en las imágenes de la secciónanterior) que los alumnos dieron cuando se les pidió queexplicaran cómo calcularían el área de un triangulo. En ellasse puede apreciar que los alumnos integran tanto elementoscuantitativos como cualitativos.

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7.3. Respuestas a las preguntas de investigación

7.3.1. Con respecto a la pregunta: ¿Cuál es laidea de área que tienen nuestros estudiantes al iniciar el proceso de trabajo?

Algunos de los alumnos tienen una idea cuantitativa del área de lafiguras. La asocian con las fórmulas a través de las cuales se le calcula; con mediciones a realizar en la figura; con el perímetro de la figura; por mencionar sólo algunas. Sin embargo, algunos estudiantes tienen ideas cualitativas con respecto al área de una figura, como por ejemplo que es el contenido de la figura o que espor lo cual uno se puede dar cuenta del tipo de figura con que se cuenta.

7.3.2. Con respecto a la pregunta: ¿Cómo conciben los estudiantes la relación área-unidad de área?

Los alumnos, inicialmente, al cuantificar el área de una figura entérminos de la unidad de área, sólo consideran el número deunidades de área completas que caben dentro de la figura. Estoconcuerda con lo reportado en el marco teórico, en donde hemosmencionado que, con respecto a la conservación del área, algunasdificultades están relacionadas con el concepto de unidad de área.A veces, sólo cuentan unidades completas o cuentan partes que sonmás grandes que la mitad de la unidad, como si fueran una unidadcompleta. De igual manera, inicialmente, persisten en calcular elárea de las figuras geométricas a través de cubrirlas con unidadesde área. Esta práctica la mantienen incluso después de conocerestrategias de cálculo de áreas. Esto puede sugerir que la nocióndel área como el número de unidades cuadradas que caben dentro dela figura es una noción fuertemente arraigada en los estudiantes.

A partir de lo anterior, podemos ver que, efectivamente, losalumnos tienen una concepción del área de una figura como elnúmero de unidades completas de área que caben en ella. Esto lopudimos constatar en la puesta en marcha de nuestro instrumento deinvestigación. Como ya lo reportamos (en la primera sesión de la

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primera fase de la aplicación del taller), los alumnos, alpreguntarles cuántas unidades cabían en un triángulo, contestaronque sólo cabía una o dos. Con esto vemos que inicialmente sóloconsideran unidades completas de área.

Adicionalmente, resaltamos que inicialmente los alumnos nolograron asociar que el preguntarles cuántas unidades de áreacabían en el triángulo, significaba medir su área. No lespreocupaba que cuando ya habían puesto la unidad de área que sícabía completamente, aún sobraran regiones del triángulo sincubrir. Ellos pensaban que ya habían respondido.

Desde el punto de vista de la construcción de sus creencias, launidad de área, como cuadrito, se sobrepone a la de superficie enun sentido más amplio. Además, la idea de que el área es un númeroa final de cuentas. Hasta este momento, impera la idea de queencontrar el área es encontrar cuantos cuadritos (completos) cabendentro de la figura.

Por otro lado, los alumnos no sólo tienen una idea del área de unafigura como el número de unidades que caben en ella, sino quepersisten en tal concepción. Como se reportó (en el primer momentode la primera sesión), a pesar de que ya contaban con lasestrategias básicas de comparación de áreas, al proponerlescalcular el área de varios triángulos rectángulos, varios alumnosaún no eran capaces de construir el rectángulo que les permitieraaplicar la estrategia básica, sino que insistían en cubrir eltriangulo con unidades de área. Esto da evidencia de que talconcepción está arraigada. De hecho, durante el desarrollo deltaller en donde más tiempo tuvimos que trabajar para lograr unadecuado entendimiento.

7.3.3. Con respecto a la pregunta: ¿Qué tipo de generalizaciones realizan los estudiantes al trabajar con las estrategias básicas de comparación de áreas?

Algunos alumnos hacen generalizaciones incorrectas al llevar acabo el proceso de idealización de las estrategias básicas decomparación de áreas. Al pasar de la figura en su forma ostensivoy extensivo a su forma no ostensivo e intensivo, toman en cuentaun caso particular de la figura como no ostensivo intensivo yconsideran sus propiedades, pero sólo en la figura presente. Al

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hacer esto, llegan a conclusiones erróneas debido a que no logranver las relaciones mereológicas de las figuras (Deliyianni et al,2009), que, en este caso, se componen de dos tareas cognitivascomplementarias pero distintas. La primera se forma con laseparación de los elementos que la conforman para poder detectar,por ejemplo, la disposición de los lados. En la segunda sedetectan dos triángulos que se unen por la hipotenusa o unrectángulo que tiene sobrepuesto un triángulo rectángulo.

Las actividades desarrolladas en el segundo y tercer momento de laprimera sesión, nos sugieren que perciben un triángulo inscrito enun rectángulo y no un rectángulo que es dividido en dos triángulospor una diagonal. En principio estas idealizaciones no sonincorrectas pero pueden ser articuladas de forma incorrecta comoen la siguiente asociación:

En las actividades del primer momento, un triángulo rectángulo seinscribe en un rectángulo. Esto origina dos triángulos iguales ycuya área es la mitad de la del rectángulo (primer renglón de laimagen).

En las actividades del segundo momento, se tiene un triángulo conun lado horizontal o vertical. En un proceso distinto al anterior,tenemos un triángulo que puede ser dividido en dos triángulosrectángulos si se considera una de sus alturas. Cada uno de ellosse inscribe, por separado, en un rectángulo (para poder aplicar laestrategia básica) y cuando se unen de nuevo, el triángulo queda

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AA

AA

AABAA

B AA

A

A A

A

inscrito en el rectángulo (segundo renglón de la imagen). Estoinspira la idea de que siempre que tenemos un triángulo inscritoéste tiene la mitad del área del rectángulo, idea errónea yencontrada entre nuestros estudiantes.

En el tercer momento, se tiene un triángulo cuyos lados no sonverticales ni horizontales. Los alumnos generalizan los resultadosobtenidos de los momentos y figuras anteriores. Concluyen enautomático, es decir, sin aplicar la estrategia básica que eltriángulo tiene la mitad del área que el rectángulo (tercerrenglón de la imagen).

Incluso algunos estudiantes mostraron la generalización incorrectaen las actividades del segundo momento. En automático concluíanque un triángulo, como el mostrado en el segundo renglón de laimagen, tenía la mitad de área que su rectángulo respectivo. Enese tipo de triángulos sí se cumple tal resultado, pero lo quedeseamos enfatizar es que daban su respuesta a partir de que veíanun triángulo inscrito en un rectángulo y no a partir de observarque tales triángulos se pueden descomponer en dos triángulosrectángulos a los cuales es posible aplicar la estrategia básica.

Fue en los triángulos del tercer momento donde los estudiantespudieron confrontar los resultados obtenidos con este tipo degeneralizaciones con los obtenidos a través de la aplicación delas estrategias básicas. A través de enfrentar tal conflicto, losalumnos descubren que las generalizaciones que habían hecho no soncorrectas y que en los triángulos del tercer momento es necesariodescomponer el triángulo en tres triángulos rectángulos (taldescomposición se muestra en los anexos en la sección deestrategias de cuantificación de áreas).

Encontramos que el proceso de idealización es complejo y que enél participan tanto los procesos de visualización como losprocesos lógicos que los alumnos desarrollan.

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8. Anexos

8.1. Estrategias de cuantificación de áreaA continuación presentamos las tres estrategias que sedesarrollaron en el taller para los estudiantes.

Primera estrategia: Triángulos rectángulos. Se requiereinscribir el triángulo en un rectángulo y aplicar una vez lasestrategias básicas de comparación de áreas.

Segunda estrategia: Triángulos con un lado colocado enposición vertical u horizontal. Se requiere inscribir eltriángulo en un rectángulo y aplicar dos veces lasestrategias básicas.

Tercera estrategia: Triángulos sin lados colocados enposición vertical u horizontal. Se requiere inscribir eltriángulo en un rectángulo y aplicar tres veces lasestrategias básicas.

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8.2. Secuencias de conservación de áreaA continuación presentamos dos secuencias que permitentransformar un paralelogramo en un rectángulo con igual área.

Primera secuencia: Esta secuencia es la que se utilizó en eldesarrollo del instrumento de investigación. A través de lareconfiguración se lleva a cabo la transformación. Se hacenotar que en todo momento, la altura y la base de las figuraspermanece constante y, por lo tanto, el área también.

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Segunda secuencia: Esta secuencia es la que se utiliza en ellibro de texto Matemáticas I del IEMS-DF. Como ya se reportóen los antecedentes, en dicho libro no se apoyan en trazosauxiliares (como el establecer una retícula), no se haceexplicita la conservación de la altura y la base de lasfiguras y, por lo tanto, del área. Estos elementos sí sontomados en cuenta en esta secuencia.

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