INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Capítulo I

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Capítulo I

INTRODUCCION A LA INVESTIGACION DE OPERACIONES

ACTIVIDAD 1: Definición de investigación de operaciones.

La investigación de operaciones es la aplicación, por grupos interdisciplinarios, del método científico aproblemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas (hombre−maquina) a fin de que seproduzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de toda la organización.

ACTIVIDAD 2: La investigación de operaciones en la toma de decisiones.

El tamaño de las empresas modernas implica que la decisiones administrativas pueden tener efectos sobregrandes cantidades de capital y un gran numero de personas. Los errores pueden ser tremendamente costososy una sola decisión equivocada puede requerir años para rectificarse, mas aun, el ritmo de la empresa modernaes tal que las decisiones se requieren mas rápidamente que nunca, simplemente posponer la acción puede daruna decidida ventaja a un competidor.

No es sorprendente que el aumento de la dificultad de tomar decisiones ha requerido de esfuerzos para dar aesta actividad una base mas objetiva y rutinaria.

La investigación de operaciones esta en pleno desarrollo y depende ampliamente de los métodos que handemostrado tener éxito en la ciencia, desde el punto de vista de la investigación de operaciones, una decisiónes una recomendación de que se lleva a cabo un curso de acción que se espera produzca los mejores resultadosen términos de los objetivos generales de la organización, de la cual el sistema es una parte. Se puede decir,también, que quien toma una decisión intenta hacer que el sistema sea mas efectivo para alcanzar las metas dela organización.

ACTIVIDAD 3: Reseña histórica de la investigación de operaciones.

Los inicios de lo que hoy se conoce como investigación de operaciones se remonta a los años 1759 cuando eleconomista QUESNAY, empieza a utilizar modelos primitivos de programación matemática, mas tarde ,WALRAS, hace uso, en 1874, de técnicas similares.

Los modelos lineales de investigación de operaciones, tienen como precursores a JORDAN en 1873, en 1896y a FARKAS en 1903.

Los modelos dinámicos probabilisticos tienen su origen con MARKOV a fines del siglo pasado. El desarrollode los modelos de inventarios, asi como el de tiempos y movimientos, se lleva a cabo por los años 20'S delsiglo pasado, mientras que los modelos, de lineas de espera se originan con los estudios de ERLANG, aprincipios del siglo XX. VON NEWMAN cimienta en 1937 lo que años mas tarde culminara como la teoriade juegos. Hay que hacer notar que los modelos matemáticos de la ivestigacion de operacines que utilizaronestos precursores, estaban basados en el calculo diferencial e integral (NEWTON, LAGRANGE,LAPLACE, LESBEQUE, LEIBNITZ, REIMMAN, STIELTJEN, por mencionar algunos), la probabilidady estadística(BERNOULLI, POISSON, GAUSS, BAYES, GOSSET, SINEDECOR, ETC.).

No fue sino hasta la segunda guerra mundial, cuando la investigación de operaciones empezó a tomar auge,primero se le utilizo en la logística estratégica para vencer al enemigo(teoría de juegos) y, mas tarde al

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finalizar la guerra, en la logística de distribución de todos los recursos militares de los aliados dispersos portodo el mundo, fue debido precisamente a este ultimo problema, que la fuerza aérea norteamericana, a travezde su centro de investigación RAND CORPORATION, comisiono a un grupo de matemáticos para queresolviera este problema que estaba consumiendo tantos recursos humanos, financieros y materiales. Fue eldoctor GEORGE DANTZIG, el que en 1947, resumiendo el trabajo de muchos de sus precursores, inventarael método simplex, con lo cual dio inicio a la programación lineal. Con el avance de las computadorasdigitales se empezó a extender la I.O. , durante los 50'S en las áreas de:

Programación dinámica (BELLMAN), programación no lineal (KUHH Y TUCKER), programaciónentera(GOMORY), redes de optimización (FORD Y FOLKERSON), simulación(MARKOWITZ),inventarios(AAROW, KARLIN, WHITIN), análisis de decisiones (RAIFFA) y procesos markovianos dedecisión (HOWARD).

ACTIVIDAD 4: Beneficios de un proyecto de Investigación de Operaciones.

En la practica, la instrumentación de un proyecto de I.O. en la solucion de un problema real en unaorganización, acarrea los siguientes beneficios:

1).− Incrementa la posibilidad de tomar mejores decisiones: antes de la aplicación de la I.O. en unaorganización, las decisiones que se toman son generalmente de carácter intuitivo, ignorando la mayoría de lasinterrelaciones que existen entre las componentes del sistema. El ser humano, sin la ayuda de una tecnologíamas sofisticada( como la I.O.) y de la herramienta mas moderna(como son las computadoras electrónicas), nopuede visualizar, mucho menos analizar todas las posibles alternativas generadas por los millares deinteracciones que existen. Imaginemos a PEMEX que debe controlar el reparto de combustible a toda larepublica a fin de satisfacer la demanda en todos los centros de consumo buscando siempre el menor costo deembarque.

2).− Mejora la coordinación entre las múltiples componentes de la organización: en otras palabras, la I.O.genera un mayor nivel de ordenación, es decir de que sirve que se incrementen las exportaciones de México almundo exterior, cuando la capacidad de maniobras de nuestros puertos permanecen estancadas. El sistemaeconómico trata de equilibrar la balanza de pagos, la otra parte tiende a crear cuellos de botella de mercancíaque tienen que esperar en el puerto hasta que se le embarquen, muchas veces a la interperie, con riesgo dedeteriorase. El tiempo de demora del cliente aumenta, su apatismo para comerciar con México se incrementa,a corto plazo, se empiezan a sentir otra vez los efectos negativos en la balanza de pagos. En este caso lapresidencia de la republica debe coordinar esfuerzos con la secretarias de comercio, hacienda,comunicaciones, marina y de obras publicas.

Aquí el papel de la I.O es integrar en su estudio el mecanismo de coordinación, para evitar que lascomponentes del sistema se desmembrasen y actúen independientemente una de otras.

3).−Logra el Control del Sistema: al instituir procedimientos sistemáticos que supervisan por un lado lasoperaciones que se llevan acabo en la organización y por el otro lado, evita al regreso a un sistema peor. Porejemplo, existe una liberación de las gentes dedicadas a actividades de tipo tedioso y rutinario, permitiendolos accesos a una nueva variedad de las mismas además, estos procedimientos sistemáticos permiten señalardecisiones que pueden conducir a resultados muy peligrosos para estabilidad y buen funcionamiento delsistema.

4).−Logra un mejor sistema: al hacer que este opere con costos mas bajos, con interacciones mas fluidas,eliminando cuellos de botella y logrando una mejor combinación entre los elementos mas importantes de todoel sistema.

ACTIVIDAD 5: Aplicación de la Investigación de Operaciones en los Sectores Privados y Públicos.

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Actualmente la Investigación de operaciones no solo se aplica en el sector privado como son industrias,sistemas de comercialización, sistemas financieros, transportes, sistemas de salud, etc. Sino también el sectorde los servicios públicos, tanto como los en los países desarrollados como a los países de tercer mundo.Precisamente en México la I.O. se utiliza dentro del sector de servicios públicos entre otros: la Secretaria deAgricultura, de Comunicaciones, de la Presidencia, Petróleos Mexicanos, Comisión Federal de Electricidad,Instituto Mexicano del Seguro Social, Departamento del D.F., ETC.

ACTIVIDAD 6 : Construcción de modelos

En la I.O. existen tres clases de modelos: icónicos, analógicos y simbólicos.

Los Modelos Icónicos: son imágenes a escala del sistema cuyo problema se requiere resolver, por ejemplo,las fotografias,las maquetas, dibujos y modelos a escala de barcos automóviles, aviones, canales. ETC.

Modelos Analógicos: Se basan en la representación de las propiedades de un sistema cuyos problemas serequieren resolver utilizando otro sistema cuyas propiedades son equivalentes. Por ejemplo, las propiedadesde un sistema hidráulico son equivalentes a las de un sistema eléctrico o inclusive, económico.

Los Modelos Simbólicos: son conceptualizaciones abstractas del problema real a base de letras, números,variables y ecuaciones. Estos tipos de modelos son fáciles de manipular y se pueden hacer con ellos un grannumero de experimentos. De las tres clases de modelos los simbólicos son los mas económicos de construir yoperar. En este trabajo serán los modelos simbólicos los que se usen para la solución de problemas deprogramación lineal.

Capitulo II

PROGRAMACION LINEAL

ACTIVIDAD 7: Programación Lineal

Introducción: La programación lineal es una técnica matemática ampliamente utilizada, diseñada para ayudara los administradores de producción y operaciones en la planeación y toma de decisiones relativas a lanegociación necesaria para asignar recursos.

Aplicación : a partir de 1950 se inicia un fuerte desarrollo en la programación lineal apoyada por una granvariedad de aplicaciones practicas en la economía y la administración industrial.

Principales problemas: Algunos de los principales problemas que han sido establecidos en base a laprogramación lineal, así como sus áreas de aplicación son los siguientes:

1).− La selección de la mezcla de productos es una fabrica para tomar el mejor uso de las horas disponibles dela maquinaria y mano de obra, mientras se maximiza la utilidad de la empresa.

2).− La selección de diferentes mezclas de materias primas en los molinos de comida para producircombinaciones de alimentos terminados al mínimo costo.

3).− Otros como pueden ser de relaciones ínter indústriales ( modelos de Lentieff, análisis económico),problemas de transito ( industria de transportes y aviación) ETC.

La programación lineal resuelve los problemas en términos de un conjunto de ecuaciones lineales y unaecuación también lineal llamada función objetivo , que cuantifica el beneficio proporcionado por la solucióndel conjunto de ecuaciones lineales que corresponden a las restricciones .

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Definición: La programación lineal es una herramienta matemática que sirve para resolver de la mejor maneraposible sistema de Asignación en los que la problemática consiste en asignar recursos escasos y limitadosentre actividades competitivas y cuando desde el punto de vista matemático las relaciones entre los elementosdel sistema sean estrictamente lineales.

ACTIVIDAD 8: fase para la solución de problemas de programación lineal

FASE I.− Formación del Problema: Es una de las fases más importantes en la aplicación de laprogramación lineal; es decir, la representación matemática del problema que se desea resolver, una guía útilen la formulación del problema es:

a)Determinar el objeto del problema, el cual puede ser:

Maximizar.− utilidades, producción, publicidad, audiencia, etc.

Minimizar.− costo, tiempo, distancia, desperdicios, etc.

b)Definir las variables del problema, así cual es el sistema de medicina a

utilizar números de artículos, horas−hombres, horas−maquina, etc.

c) Establecer las restricciones del problema, en cuanto a materia prima, tiempo,

recursos financieros, requerimientos de producción, etc.

FASE II.− Construcción del Modelo del Problema: cuando la función objetivo a optimizar (maximizar óminimizar), así como las restricciones son funciones lineales, entonces el problema es completamente lineal ysu forma general queda establecida de la siguiente manera dada las j variables X1, X2,... Xj, llamadasvariables de decisión, determinar que valor de cada una de ellas hacen máxima ó mínima una función objetivoZ, es decir, que sea óptima, considerando que una función es óptima, si primero es factible y su formulacióngeneral es:

a)Función objetivo: Max ó Min Z= C1, X1, + C2 X2 + . . . +Cj Xj

b)Sujeta a las restricciones:

a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1 jXj < = > b1

a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2 jXj < = > b2

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

ai1 X1 + ai2 X2 + . . . + aij Xj < = > bj

c) No−negatividad: X j 0 ; j = 1, 2, 3, ... n

DONDE: Z = Objetivo del problema (maximizar ó minimizar)

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Xj = Variables de decisión ( j = 1, 2, 3.... n )

Cj = Contribución por unidad de la variable de decisión.

aij = Coeficiente Tecnológico(i =1,2,3,...,m ; j =1,2,3, . . . ,n)

bj = Recurso Disponible.

NOTA: El coeficiente Tecnológico (aij) es la cantidad que se emplea del recurso

disponible bj para elaborar el producto Xj (dato técnico).

El recurso disponible bj, en algunos casos representa la capacidad, (cantidad

que no se puede sobrepasar y se representa como menor e igual

matemáticamente ); en otros casos puede representar el requerimiento

(cantidad que puede usarse por lo menos y se representa matemáticamente

como mayor e igual ) y en algunos casos este recurso deberá ser exactamente

su valor( cantidad que matemáticamente se representa como una igualdad =).

PROBLEMA DE AUTOEVALUACION:

Una compañía puede producir tablones para la construcción o laminas para puertas, la cantidad máxima de lafabrica es de 400 unidades, de las cuales necesariamente 100 unidades deben ser tablones y 150 laminas, parasatisfacer la necesidades de los clientes, si la utilidad por tablón es de $200 y de $300 pesos por lamina.Determine el numero de tablones y laminas que se deben producir para obtener la máxima utilidad.(Formular y construir el modelo del problema).

Solución:

Fase 1: Formulación del Problema.

a).− Determinar el objetivo del problema: Maximizar utilidades.

b).− Definir las Variables del problema: Z = utilidad

X1 = numero de tablones a producir ; C1 = $200/Tablón.

X2 = numero de laminas a producir ; C2= $300/Lamina.

c).− Establecer las restricciones del problema:

Capacidad máxima de producción: 400 unidades.• Requerimientos de producción de pro lo menos 100 tablones y 150 laminas.•

Fase II: Construcción del modelo del problema.

a).− Función objetivo: Max Z = 200X1 + 300X2

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b).− Sujeta a las restricciones:

1).− Capacidad de producción: X1 + X2 400

2).− Requerimientos Mínimos: X1 100

X2 150

C).− No negatividad: X1 0 y X2 0

PROBLEMAS PROPUESTOS:

Formular y construir los modelos de los siguientes problemas de programación lineal:

1).− Un agente esta arreglando un viaje en esquís, puede llevar un máximo de 10 personas y ha decidido quedeberán ir por lo menos 4 hombres y 3 mujeres. Su ganancia será de 10 pesos por cada mujer y 15 pesos porcada hombre. ¿ Cuantos hombres y cuantas mujeres le producen la mayor ganancia?

2).− Un sastre tiene las siguientes materias primas a su disposición: 16 m2 de algodón, 11 m2 de seda y 15m2de lana. Un traje requiere: 2 m2 de algodón, 1m2 de seda y 1 m2 de lana. Una túnica requiere: 1m2 dealgodón, 2m2 de seda y 3m2 de lana. Si el traje se vende en $300 y una túnica en $500. ¿Cuántas piezas decada confección debe hacer el sastre para obtener la máxima cantidad de dinero?.

3).− Mueblería MARY elabora dos productos, mesas y sillas que se deben procesar a través de losdepartamentos de ensamble y acabado. Ensamble tiene 60 hrs. disponibles, acabado puede manejar hasta 40hrs. de trabajo. La fabricación de una mesa requiere de 4 hrs. de ensamble y 2 hrs. de acabado, mientras queuna silla requiere de 2 hrs. de ensamble y 2 hrs. de acabado. Si la utilidad es de $80 por mesa y $60 por silla.¿Cuál es la mejor combinación posible de mesas y sillas a producir y vender para obtener la máximaganancia?

4).− Una firma corredora de bolsa ofrece dos tipos de inversiones que producen ingresos a razón de 4% y 5%respectivamente. Un cliente desea invertir un máximo de $10000 y que su ingreso anual sea por lo menos de$4500. insiste en que por lo menos ¾ del total debe ser invertido al 5%. El corredor recibe el 1% de losingresos de la inversión al 5% y 2% de la inversión del 4%. ¿Cuánto invertirá el corredor a cada tasa para quesus honorarios sean máximos?.

5).− Una compañía de carga aérea desea maximizar los ingresos que obtiene por la carga que transporta lacompañía tiene un solo avión diseñado para transportar dos clases de carga. Carga normal y carga frágil. Lacompañía no recibe pago extra por transportar carga frágil; sin embargo para asegurar ciertos contratos denegocios, la compañía ha acordado transportar cuando menos 5 toneladas de carga frágil. Este tipo de cargadebe llevarse en una cabina presurizada. La capacidad de la cabina principal es de 20 toneladas de carga. Lacabina presurizada no puede llevar mas de 10 toneladas de carga. El avión tiene restricción de peso que leimpide llevar mas de 20 toneladas de carga, para mantener en equilibrio el peso, la carga de la cabinapresurizada debe ser menor o igual que dos tercios del peso de la cabina principal, mas una tonelada, lacompañía recibe $1000 por tonelada de los dos tipos de carga que transporta.

6).− Un inversionista tiene $10000 que quisiera produjeran tanto dinero como sea posible; quiere invertirparte en acciones, parte en bonos y colocar el resto en una cuenta de ahorro. El inversionista cree poder ganar8% con el dinero que invierta en acciones y el 7% que invierte en bonos. El banco paga el 5% de interés sobrelas cuentas de ahorros. Como las acciones son una inversión con cierto riesgo, decide no invertir en accionesmas de lo que ponga en la cuenta de ahorro. El inversionista se quedara con al menos $2000 en la cuenta deahorros por si necesita dinero en efectivo de inmediato.¿Cuánto dinero deberá invertir en cada tipo?

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7).− Una mujer quiere diseñar un programa de ejercicios semanales, incluyendo caminata, bicicleta ynatación. Para variar los ejercicios planea invertir al menos tanto tiempo en bicicleta como la combinación decaminata y natación. Además, quiere nadar al menos dos hrs a la semana, por que le gusta mas nadar que losotros ejercicios. La caminata consume 600 calorías por hora, en la bicicleta usa 300 calorías por hora nadandogasta 300 calorías por hora. Quiere quemar al menos 3000 calorías a la semana por medio de los ejercicios.¿Cuántas horas debe dedicar a cada tipo de ejercicio si quiere minimizar el numero de horas invertidas.?

8).− Cierta compañía tiene una filial que le provee de las latas que necesita para comercializar su producto, endicha filial que produce latas de aluminio contiene las tapaderas a partir de hojas metálicas rectangulares. Lasdimensiones de estas hojas son de 6cms x 15cms Se requieren dos tamaños diferentes de tapas, el diámetro delas pequeñas es de 3cms y el de las grandes de 6 cms. El programa de producción en un día determinado es de20000 tapas chicas y 5000 tapas grandes. ¿Cuál es el programa que minimice el numero total de hojasmetálicas usadas de tal manera de obtener la mejor combinación de tapas de los diferente tamaños que puedenser cortadas?

9).− General Motors que vende el carro mas compacto desea hacer publicidad para este modelo a través decanal 13 de televisión, la publicidad consistirá en pequeños comerciales de duración variable que seintercalaran en un programa semanal de 60 min. En el cual se presentaran los mejores cantantes del continentey un cómico de la localidad. General Motors insiste en tener al menos 5 min. De comerciales y el reglamentode la televisora requiere cuando mucho los comerciales consuman 18 min en programas de 60 min., y quenunca sea mayor el tiempo de los comerciales de actuación de los cantantes, los cantantes no quieren trabajarmas de 30 min. De los 60 que dura el programa, de manera que el cómico se utiliza para cualquier lapso detiempo en el cual no habrá comerciales o cuando no estén trabajando los cantantes. Por experiencia de laempresa televisora, se sabe que por cada min. Que los cantantes estén en el aire 6000 televidentes mas estaránviendo el programa, por cada minuto que el comico este trabajando 3000 televidentes estarán viendo elprograma, en cambio por cada min de comerciales se pierden 500 televidentes.

El cómico cobra $200 por minuto, los cantantes cobran $1000 por min y los comerciales $50 por min. Si enGeneral Motors desea:

1).− Maximizar el numero de televidentes al finalizar el programa de 60 min.

2).− producir el programa un mínimo costo. ¿Cuál es el medelo a utilizar para cada situación?

10).− La compañía HOLSA de México quiere minimizar los desperdicios de lamina, para lo cual encarga asu departamento de producción que optimice el costo de las laminas de acuerdo a los requisitos de losconsumidores. En particular se hará con el consumidor mas importante al cual se le surten tres tamaños delaminas a saber: tipo 1:30 cms x 60 cms y espesor de 8 mm; tipo 2:30cmsx 70 cms y espesor de 8 mm tipo3:30cms x 50 cms y espesor de 8 mm. Las cantidades necesarias son 10000, 15000 y 5000 por mesrespectivamente. Si las laminas que produce la compañía son de dimensiones de 30 cms x 180 cms conespesor de 8 mm. ¿Cuál es el modelo para optimizar los desperdicios?.

11).− Una compañía de zapatos puede producir tres tipos de zapatos a su máxima capacidad: zapatos de vestir,de trabajo y de deporte, la utilidad neta es de $1000. $800 y $400 respectivamente. El mercado de zapatos habajado como consecuencia de las dificultades económicas existentes en el pais de tal manera que hay unacapacidad excesiva de 550,650 y 300 unidades por dia.

En las plantas existen dificultades de almacenamiento causado por el decremento de las ventas. Las tresplantas tienen: 10000, 8500 y 4000 metros cuadrados de espacio disponibles respectivamente. Los zapatos devestir requieren de .50 metros cuadrados para almacén , de .75 metros cuadrados para los de trabajo y .40metros cuadrados para los de deporte. La compañía ha pronosticado que las ventas serán de 700, 850 y 750unidades respectivamente para los zapatos de vestir, trabajo y deporte. ¿cuál es el modelo que maximiza la

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utilidad neta?.

12).− E n un salón de Banquetes se tienen programados banquetes durante los siguientes

cinco días, los requisitos de manteles por banquete son :

Banquete : 1 2 3 4 5

Numero de manteles : 80 60 100 130 200

El problema del administrador es que se requieren manteles diferentes a los que el usa, por lo que tendrá quecomprar ese tipo de manteles; el costo de cada mantel es de $40 y el costo de mandarlo a la lavandería bajoservicio urgente para tenerlo listo a los dos días es de $10 por mantel.

¿cuál es el modelo que le permitirá al administrador cumplir con sus requisitos y además minimizar el costototal?

13).−Un inversionista dispone de $ 5000 los cuales desea invertir, se le presentan dos opciones; A y B. El planA le garantiza que cada peso invertido producirá $ 0.50 en un año, mientras que el plan B le garantiza quecada peso invertido le producirá $1.50 en dos años. ¿cómo debe invertir dicha persona con el fin demaximizar sus ganancias al final de tres años?

14).− Una compañía fabrica tres productos: volantes, juntas y ejes, el gerente enfrenta el problema de decidircual debe ser el mejor programa de producción para el siguiente mes. Se ha determinado que hay disponiblescuando mas 1620 horas de tiempo de producción para el mes siguiente . no hay limite para el abastecimientode metal para estos tres productos, cada hora de tiempo de producción cuesta $ 7.00 y cada unidad de metalcuesta $2.20. todas las ventas son efectivo y todos los costos deben pagarse en efectivo durante el siguientemes los costos fijos para el siguiente mes son de $ 2,200 y se requiere un flujo de efectivo de $800 debido acompromisos previos. El saldo de efectivo a principios de mes es de $ 28,425.

TABLA DE DATOS TÉCNICOS.

PRODUCTO

HORAS DETIEMPO DEPRODUCCIÓNPOR UNIDADFABRICADA

UNIDADES DEMETALNECESARIASPOR UNIDADFABRICADA

PRECIOUNITARIO ALCLIENTE (EN $)

DEMANDAPRONOSTICADA DELOS CLIENTES (ENUNIDADES).

VOLANTES 4.5 3.25 $50.65 300

JUNTAS 1.8 4.70 $38.94 550

EJES 3.6 5.00 $50.20 320

La producción puede realizarse con velocidad suficiente para permitir su distribución dentro del mismo mes. ¿cual debe ser el programa de producción para el próximo mes, a fin de maximizar las utilidades?.

FASE III: METODOS DE SOLUCION DEL PROBLEMA.

I).− Método grafico: El presentar el método grafico para la solución de problemas de programación lineal,tiene como finalidad introducir una serie de conceptos que permiten una mejor comprensión del problema yque además son fundamental para una interpretación del método algebraico de solución. Este método espractico y sencillo cuando utiliza solo dos variables de decisión, además requiere de dibujos a escala muyprecisa.

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Procedimiento de calculo:

I).− Formular el problema. (Fase I).

II).− Construir el modelo del problema (Fase II).

III).−Convertir el sistema de restricciones en un sistema de ecuaciones (en forma directa).

IV).− Para cada ecuación, encontrar los puntos vértices P( X1,X2); considerando la no

productividad, es decir, primero no producimos a X1 (X1 = 0) y segundo no

producimos a X2 (X2= 0).

Una restricción con dos variables de decisión tendrá dos puntos vértices mientras

que si solo contiene una sola variable de decisión. Solo tendrá un punto vértice

considerando con valor cero a la variable que no contenga, los puntos obtenidos se

enumeran en forma progresiva.

V).− Se elige una escala (trabajable) para trazar cada una de las restricciones por sus respectivos puntosvértices y enumerar los puntos de intersección originados por el cruce de las rectas.

VI).− Limitar de acuerdo a cada restricción, es decir, si es limita hacia la izquierda o hacia abajo, = limita enambos sentidos ya que una igualdad es un producto de dos desigualdades y limita hacia la derecha o haciaarriba como se muestra en las graficas.

X2

X2

Requerimiento Mínimo

P1 Capacidad Máxima

P1 aij Xjbj

aij Xj bj

0 P2 X1 0 X1

P2

X2

Uso Total

P1

aij Xj = bj

9

0 P2 X1

VII).− Encontrar el área o las áreas de solución, definidas por el conjunto convexo* y las situaciones que sepueden presentar son:

1).− SOLUCION ACOTADA

X2

P1

aijXj bj

P3 P6

AREA aijXj bj

X1

0 P5 P2 P4

2).− SOLUCION ILIMITADA.

X2

P1

aijXj bj

P3 P6

aij Xj bj

P5 P2 P4 X1

0

3).− SOLUCION MULTIPLE.

X2 aij xjbj

P1 aij xjbj

P10 P11

P15 aij xj bj

AR

P16 AR p13 p12 aij xj bj

P9

10

P7 p4 AR p14

P7 p5 p6 p2 X1

aij xj bj

aij xj bj

4).− SIN SOLUCION: Es el caso de no encontrar área.

*Conjunto Convexo: Espacio donde convergen el sistema de restricciones.

VIII).− Tomar los puntos vértices del area de solucion y sustituir los valores de X1 y X2 , en la funciónobjetivo (Max o Min) = C1 X1 + C2 X2 y se elige la opción que optimiza el valor de Z ( solucion optima).

IX).− Probar factibilidad, es decir, sustituir los valores de X1 y X2 que optimizan Z , en cada una de lasrestricciones del problema, recordando que la función Z es optima, si primero es factible.

X).− CONCLUSIÓN.

I).− METODO GRAFICO:


El director de servicio de agua de una ciudad encuentra una forma de proporcionar al menos 10 millones delitros de agua potable al dia (10mld). El suministro puede ser proporcionado por el deposito local o por mediode unas tuberías desde una ciudad vecina (por bombeo). El deposito local tiene un rendimiento diario de 5millones de litros de agua diarios (5mld), que no puede ser sobrepasado. La tubería no puede abastecer mas de10 millones de litros diarios (10mld), debido a su diámetro. Por otra parte. Por acuerdo contractual, sebombearía como mínimo 6 millones de litros diarios (6mld). Finalmente el agua del deposito cuesta $ 300 pormillón de litros de agua (ml) y $ 500 por tubería (por bombeo). ¿cómo podrá el director minimizar los costosde suministro diario de agua?.

SOLUCION:

I).− Formular el Problema (Fase I).

a).− Determinar el objetivo del Problema : minimizar los costos.

b).− Definir las variables del Problema:

Z = Costos

X1 = Cantidad de litros de agua abastecidos por el deposito local:

C1 = $300 / millón de litros

X2 = Cantidad de litros de agua abastecidos por tubería (bombeo):

C2 = $ 500/ Millon de litros.

c).− Establecer restricciones del problema:

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1).− Requerimiento mínimo de abastecimiento de 10 millones de litros de agua diarios.

2).− Capacidad máxima del deposito local de 5 millones de litros de agua diarios.

3).− Capacidad máxima de tubería de 10 millones de litro de agua diarios.

4).− Requerimiento mínimo por contrato de la tubería de 6 millones de litros de agua diarios.

II).− Construir el modelo del problema (Fase II).

a).− Función Objetivo : Min Z = 300X1 + 500X2.

b).− Sujeta a las Restricciones:

X1 + X2 10 mld (Para satisfacer el requerimiento mínimo de litros de•

agua de la ciudad).

X1 5 mld ( Capacidad del deposito).• X2 10 mld ( Capacidad de la tubería)• X2 6 mld (Requerimiento de suministro de la tubería).•

c).− No − negatividad: X1 0 ; X2 0.

III).− Convertir el sistema de restricciones a un sistema de ecuaciones (en forma directa).

SISTEMA DE RESTRICCIONES SISTEMA DE ECUACIONES

X1 + X2 10 1. X1 + X2 = 10• X1 5 2. X1 = 5• X210 3. X2 = 10• X2 6 4. X2 = 6• X1 0 ; X2 0•

IV).− Encontrar los puntos vértices P( X1, X2), de cada ecuación.

X1 + X2 = 10•

Si X1 = 0 por lo tanto X2 = 10 : P1 (0, 10).

Si X2 = 0 por lo tanto X1 = 10 : P2 (10, 0).

X1 = 5 por lo tanto X2 = 0 : P3 (5, 0)• X2 = 10 por lo tanto X1 = 0 : P4 (0, 10)• X2 = 6 por lo tanto X1 = 0 : P5 (0, 6).•

V) Eligiendo una escala, trazar cada una de las restricciones (1/2 CMS =1 unidad)

VI) Limitar de acuerdo al tipo de restricción.

VII) Encontrar el área de solución, definida por el conjunto convexo.

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Como podemos observar en las graficas, el área 1, es en la que es en la que converge todas las flechas(conjunto convexo).

VIII) Sustituir los puntos vértices del área de solución en la función objetivo.

De acuerdo a la grafica, los puntos vértices del área de solución son:

P1(0 , 10) ; P8(4 , 6) ; P9(5 , 6) y P10(5 , 10)

P(X1 , X2) ; Min Z = 300 X1+500X2

P1(0 , 10) ; Z1 = 300(0)+500(10) = 0+5000 Z1=$5000

P8(4 , 6) ; Z8 = 300(4)+500(6) = 1200+3000 Z8=$4200 Optimo mínimo

P9(5 , 6) ; Z9 = 300(5)+500(6) = 1500+3000 Z9=$4500

P10(5 , 10) ; Z10 = 300(5)+500(10) = 1500+5000 Z1=$6500

Como podemos observar el punto P8(4 , 6), arroja el valor mínimo de Z = $4200

Solución optima: X1 = 4 mld ; X2 = 6 mld y Z Min= $4200

IX)Probar factibilidad: Si X1=4 y X2=6

1.− X1+X210 3.− X210 5.− X10 y X20

4 + 6 10 610 (Cumple) 40 y 60 (Cumple)

1010 (Cumple)

2.− X15 4.− X26

45 (Cumple) 66 (Cumple)

X)Conclusión: El director deberá suministrar 4 millones de litros de agua diarios a través del depositolocal y 6 millones de litros de agua diarios a través de las tuberías (Por bombeo); para satisfacer elrequerimiento mínimo de 10 millones de litros de agua diarios a un costo mínimo de $4200.

I).− METODO GRAFICO:

Problemas Propuestos:

1).− Una compañía elabora dos productos. Mesas y sillas y se deben procesar a través de los departamentos deensamble y acabado. Ensamble tiene 60 horas disponibles, acabado puede manejar hasta 48 horas de trabajo.La fabricación de una mesa requiere 4 horas de ensamble y 2 horas de acabado. Si la utilidad es de $80 pormesa y $60 por silla, ¿ cual es la mejor combinación posible de mesas y sillas para producir y vender yobtener la máxima ganancia?

2).− Una compañía esta tratando de encontrar la mejor manera de cortar platos de papel de rollo estándar.Tiene dos pedidos de platos: uno por 100,000 platos de 9 pulgadas. El otro por 178,000 platos de 7 pulgadas.Se han propuesto dos métodos de corte. El corte A rinde 5 platos de 9 pulgadas y 10 platos de 7 pulgadas, mas

13

4 pulgadas de desperdicio por cada rollo de material. El corte B rinde 8 platos de 9 pulgadas y 5 platos de 7pulgadas, mas 6 pulgadas de desperdicios por cada rollo de material. ¿ Cuantos cortes de cada tipo debenhacerse para minimizar el desperdicio?.

3).− Un expendio de carnes de la ciudad acostumbrada ha preparar carnes para albondigon con unacombinación de carne molida de res y carne molida de cerdo, la carne de res contiene 80% de carne y 20% degrasa y le cuesta a la tienda $40 el kilo, la carne de cerdo contiene 68% de carne y 32% de grasa y cuesta $30por kilo. ¿ Que cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda en cada kilo de albondigon, si deseaminimizar el costo y mantener el contenido de grasa no mayor del 25%?.

II).− MÉTODO SIMPLEX:

La mayoría de los problemas reales de programación lineal tienen mas de dos variables y son por endedemasiado grandes para su solución grafica. Un procedimiento llamado método simplex desarrollado en 1947por el norteamericano George B. Dantzia puede ser utilizado para encontrar la solución óptica de losproblemas con multivariables. El Método Simplex es en realidad un algoritmo ( ó un conjunto deinstrucciones) con el que se examinan los puntos vértices (esquinas) de una manera metódica hasta conseguirla mejor solución: la máxima utilidad ó el mínimo costo, por ejemplo.

TIPOS DE SOLUCIÓN:

Solución Factible: Es un valor del conjunto de variables (vector solución) para el cual todas las restriccionesse cumplen, incluyendo las de no−negatividad.

Solución Optima: Es una solución factible que optimiza la función objetivo z.

Solución Básica: En un sistema de ecuaciones con n variables (n , m). Una solución es aquella se obtiene defijar (n , m) variables del sistema iguales a cero y resolver el sistema en función de las m restantes, a estasvariables se les llaman Variables Básicas.

Solución Básica Factible: Es aquella solución básica en que todas las variables básicas son no−negativo.

TIPOS DE VARIABLES:

Variables de Decisión: Son aquellas variables que determinan la solución del problema y se denotan por Xj.

Variables Base: Son aquellas variables que se agregan al sistema de restricciones como de holgura yartificiales y pertenecen a la columna Vb.

Variables de Holgura: La variable de holgura se denota por Hi y Hj, cuya ecuación es:

1)Al introducirla a la restricción, la convierte en ecuación.

2)Forma parte de la matriz identidad y su costo es cero.

3)En la tabla simplex, en renglón representa el sobrante del recurso y en la

columna representa el sobrante de la contribución.

Variable Artificial: Esta variable se denota por Ai y Aj, cuya función es:

1)Sirve como variable basica inicial, carece de sentido en el problema, solo en un

14

artificio.

2)Forma parte de la matriz identidad y su costo es M, tan grande cuando Z se

minimiza y tan pequeña cuando Z se maximiza, para garantizar valore negativos y

positivos, respectivamente

3)Tiene preferencias de entrar a la tabla simplex inicial.

PROPIEDADES:

1)El conjunto de soluciones factibles es un conjunto convexo.

2)Si existe una solución factible, existirá una solución básica factible,

correspondiente a un punto vértice del conjunto de soluciones factibles (conjunto

convexo).

3)Existe un número finito de soluciones básicas factibles (puntos vértices del

conjunto convexo).

4)Si la función objetivo posee un óptimo finito. Entonces dicho óptimo estará dado

por una ó mas soluciones básicas factibles.

PROCEDIMIENTO DE CALCULO:

I)Formación del problema (fase I).

II)Construccion del modelo del problema (fase II).

III)Convertir el sistema de restricciones en un sistema de ecuaciones; agregando variables de holgura yartificiales, según sea el tipo de restricción:

TIPO DE

RESTRINCCIONSE AGREGA FUNCION OBJETIVO

Hi Max ó Min Z= 0 Hj

= Ai Max Z = −MAj ó Min Z= Maj

−Hi + Ai Max Z=0Hj−MAj ó Min Z=0Hj+MAj

NOTA: La variables artificial Ai, tiene preferencia de entrar a la columna base Vb.

IV)Construir la nueva función objetivo, incluyendo las variables de holgura primero y segundo las variablesartificiales, con sus respectivos costos (0 y +M ó −M)

V)Construir el sistema de ecuaciones, incluyendo las variables de holgura primero y segundo las artificiales,la variable que no contenga la ecuación, se agregará con coeficiente cero.

15

VI)Construir la tabla simplex inicial (tabla N°1):

1)Definir una columna−renglón Cj que contenga en renglón los coeficientes de la función objetivo y encolumna los coeficientes de las variables básicas (holgura y artificiales)

2)Definir una columna que contenga las variables básicas Vb ( de holgura y artificiales).

3)Definir una columna que contenga los recursos disponibles bj (columna solucion).

4)Definir la matriz de cuerpo que contiene las columnas de las variables de decisión Xi

y sus coeficientes tecnológicos aij.

5)Definir la matriz identidad que contiene las columnas de las variables básicas (primero las de holgura ydespués las artificiales), con sus respectivos coeficientes técnicos +− 1.

6)Definir el renglón Zj, empleando las expresión : Zj = ( columna Cj ) ( columnas aj) ; es decir, la suma de losproductos de los elementos correspondientes de la columna Cj con cada columna aj.

7)Definir el renglón Cj− Zj ; el cual se obtiene restando los elementos del renglón Zj, de los elementoscorrespondientes del renglón Cj.

TABLA SIMPLEX INICIAL (Tabla N° 1)

MATRIZ DE CUERPO MATRIZ IDENTIDAD

VII).− Resolver la tabla simplex (proceso iterativo).

1)Determinar la variable de entrada : la determina el valor mayor positivo del renglón

Cj− Zj, si el objetivo es Max Z o el valor mayor negativo si el objetivo es Min Z,

definiéndose así, la columna seleccionada aj.

2)Determinar la variable de salida : esta variable se determina empleando la ecuación

matricial : Vb = bj/aj ; es decir, el menor valor positivo de dividir cada elemento de la

columna recursos bj entre sus correspondientes elementos de la columna seleccionada

aj, definiendo así, el renglón seleccionado Rs. (posteriormente renglón pivote).

3)Obtener el numero pivote np, el cual se obtiene por la intersección del renglón y

columna seleccionados y se encierra en un circulo.

4)Obtener los elementos del renglón pivote (R.P.) , el cual se obtiene multiplicando los

elementos del renglón seleccionado Rs por el inverso multiplicativo del numero

16

pivote np, es decir : R.P. = Rs y se introduce a las siguiente tabla

5)Calcular los valores de los renglones restantes aplicando la expresión NE.

NE

e introducirlos a la siguiente tabla:

6)Calcular los renglones Zj y Cj − Zj, e introducirlos a la siguiente tabla.

VIII) Verificar optimalidad : si el objetivo es Max Z; Cj − Cj " 0. en todos sus elementos y si el objetivo esMin Z; Cj− Zj " 0, en todos sus elementos , de no cumplirse, repetir el paso VII.

IX)Obtener la solución optima del problema, empleando la ecuación matricial : Vb = bj.

X)Verificar la factibilidad. Sustituyendo los valores óptimos de las variables de decisión Xi encadarestricción, incluyendo las de no− negatividad.

XI)Conclusión.

II) Método Simplex :

Problema de Auto evaluación.

Una compañía manufacturera puede producir dos productos A y B. La producción esta organizada en tresdepartamentos : fabricación, ensamble y pintura, con capacidades semanales de 72 hora, 30 horas y 40 horaspara los tres departamentos, respectivamente. Cada unidad del producto A requiere dos horas de tiempo defabricación, una hora de ensamble y dos horas de pintura. Las condiciones en las ganancias son de $ 8 y $ 10por unidad del producto A y B, respectivamente. La compañía es capaz de vender cualquier cantidad de losdos productos, determine:

a).− la solución optima, empleando el método simplex; b) ¿qué departamento tiene exceso de capacidad? Y c)si a la compañía le ofrecen pintura en oferta a $ 2/litro. ¿debería comprarla?.

SOLUCION:

a). Obtener solución optima, empleando simplex.

I) Formulación del problema (fase I).

a) Determinar el objetivo : maximizar la ganancia.

b) Definir variables : Z= ganancia

X1 = Nª de productos tipo A a producir ; C1 = $ 8 / producto.

X2 = Nª de productos tipo B a producir : C2 = $ 10 / producto.

c). Establecer restricciones : 1). Tiempo

Departamento de Fabricación : 72 horas semanales⋅ Departamento de ensamble : 30 horas semanales.⋅

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Departamento de pintura : 40 horas semanales.⋅

II) Construcción del modelo del problema (fase II).

a). Funcion objetivo : Max Z = 8X1 + 10 X2

b). Sujeta a las restricciones :

Departamento de Fabricación : 2X1 + 3X2 " 72⋅ Departamento de ensamble : X1 + X2 " 30⋅ Departamento de pintura : X1 + 2X2 " 40⋅

c). No − Negatividad : X1 " 0; X2 " 0

III) Convertir el sistema de restricciones a un sistema de ecuaciones, agregando variables de holgura y/oartificiales, según el tipo de restricción, en este problema, podemos observar las tres restricciones son " , porlo tanto a ambas se les agrega variable de holgura Hi.

Sistema de Restricciones Sistema de Ecuaciones

2X1 + 3X2 " 72 2X1 + 3X2 + H1 = 72

X1 + X2 " 30 X1 + X2 + H2 = 30

X1 + 2X2 " 40 X1 + 2X2 + H3 = 40

H1 ; H2 y H3, Con costo cero

IV). Construir nueva Función Objetivo : Max Z = 8X1 + 10X2 + 0H1 + 0H2 + 0H3

V). Construir el sistema de ecuaciones : 2X1 + 3X2 + H1 + 0H2 + 0H3 = 72

X1 + X2 + 0H1 + H2 + 0H3 = 30

X1 + 2X2 + 0H1 + 0H2 + H3 = 40

No − Negatividad : X1 "0 ; X2"0 ; H1"0 ; H2"0 ; H3"0.

VI). Construir la tabla simplex inicial ( tabla n° 1).

Tabla N°1: Entra X2 (a2:seleccionada). Función objetivo.

Cj 8 10 0 0 0

Vb bj X1 X2 H1 H2 H3

0 H1 72 2 3 1 0 0

0 H2 30 1 1 0 1 0

0 H3 40 1 2 0 0 1 Sale H3 (R3 seleccionado)

18

Zj 0 0 0 0 0 0

Cj−Zj 8 10 0 0 0

Zj = (Columna Cj) (columna aj) Cj−Zj = renglón Cj − renglón Zj

Zjbj = 0 (72) + 0 (30) + (40) = 0 Cj − Zj X1 = 8−0 = 8

ZjX1= 0(2) + 0 (1) + 0 (1) = 0 Cj − ZjX2 = 10 −0 = 10

ZjX2= 0(3) + 0 (1) + 0 (2) = 0 Cj − ZjH1 = 0−0 = 0

ZjH1= 0(1) + (0) + 0 (0) = 0 Cj − ZjH2 = 0−0 = 0

ZjH2= 0(0) + 0(1) + 0 (0) = 0 Cj − ZjH3 = 0−0 = 0

ZjH3= 0(0) + 0(0) + 0(1) = 0

VII). Resolver la tabla N°1 (Primera iteración)

1)Determinar la variable de entrada : como el objetivo es Max Z; la determina el mayor valor positivo de Cj −Zj = 10 , entonces X2 debe entrar a la base Vb, definiendo asi la columna seleccionada a2 =

2)Determinar la variable de salida empleando la ecuación matricial Vb = bj/a2

(menor valor positivo)

Vb = bj/a2 ; Siendo 20 el menor valor positivo, entonces H3 debe salir de la base Vb, definiendo asi, elrenglon seleccionado R3.

3)Obtener el numero pivote np, de acuerdo a la tabla N°1 , np = 2

4)Obtener los elementos del renglón pivote, empleando la ecuación : R.p. = 1/2R3, e introducirlo a la tablasiguiente ; es decir, tabla N° 2.

R.P. = ½ (40 1 2 0 0 1) = 20 ½ 1 0 0 ½

Tabla N°2: Entra X1 (a1:seleccionada). Función objetivo.

Cj 8 10 0 0 0


0 H1 12 1/2 0 1 0 −3/2

0 H2 10 1/2 0 0 1 −1/2 Sale H2 (R2 seleccionado)

10 X2 20 1/2 1 0 0 1/2

Zj 200 5 10 0 0 5

Cj−Zj 3 0 0 0 −5

19

5)Obtener los valores de los renglones restantes R1 y R2 ; empleando la expresión NE, e introducirlos a lasiguiente tabla (Tabla Nª 2 )

NR1=R1−3 R.P. NR2=R2−1 R.P.

R1 72 2 3 1 0 0 R2 30 1 1 0 1 0

−3 R.P. −3(20 ½ 1 0 0 ½) −1 R.P. −1(20 ½ 1 0 0 ½)

72 2 3 1 0 0 30 1 1 0 1 0

−60 −3/2 −3 0 0 −3/2 −20 −1/2 −1 0 0 −1/2

NR1 12 ½ 0 1 0 −3/2 NR2 10 ½ 0 0 1 −1/2

6)Calcular los renglones Zj y Cj−Zj e introducirlos a la siguiente tabla.(Tabla Nª 2).

Zjbj = 0 (12) + 0 (10) + 10 (20) = 200 Cj − ZjX1 = 8−5 = 3

ZjX1= 0 (1/2) + 0 (1/2) + 10 (1/2) = 5 Cj − ZjX2 = 10 −10 = 0

ZX2 = 0 (0) + 0 (0) + 10 (1) = 10 Cj − ZjH1 = 0−0 = 0

ZjH1 = 0 (1) + 0 (0) + 10 (0) = 0 Cj − ZjH2 = 0−0 = 0

ZjH2 = 0 (0) + 0 (1) + 10 (0) = 0 Cj − ZjH3 = 0−5 = −5

ZjH3 = 0 (−3/2) + 0 (−1/2) + 10 (1/2) = 5

VIII).− Verificar optimalidad: como el objetivo Max Z ; Cj − Zj " 0, en todos sus elementos, ya que C1− Z1 =3 " 0 ; no cumple, repetir el paso VII.

VII).− Resolver tabla N° 2 (segunda iteración).

1).− Se determina la variable de entrada ; como el objetivo es Max Z, la determina el valor mayor positivo deCj − Zj = 3, entonces X1, debe entrar a la base Vb, definiendo asi la columna seleccionada a1 =

2).−Se determina la variable de salida empleando la ecuación matricial : Vb bj/a1 (menor valor positivo), esdecir:

; Siendo 20 el menor valor positivo,

entonces H2 debe salir de la base Vb, definiendo el renglón seleccionado R2.

3).− Obtener el numero pivote np, de acuerdo a la tabla N°2, np= ½

4).− Obtener los elementos del renglón pivote R.P., empleando la ecuación R.P.= 2R2; e introducirlo a lasiguiente ; es decir, tabla N°3.

R.P. = 2 (10 ½ 0 0 1 −1/2) = 20 1 0 0 2 −1

Tabla N°2:

20

Cj 8 10 0 0 0


0 H1 2 0 0 1 −1 −1

8 X1 20 1 0 0 2 −1

10 X2 10 0 1 0 −1 1

Zj 260 8 10 0 6 2

Cj−Zj 0 0 0 −6 −2

5).− Calcular los valores de los renglones restantes R1 y R3, empleando la expresión NE, e introducirlos a lasiguiente tabla (Tabla N° 3).

NR1=R1−1/2 R.P. NR3=R3−1 R.P.

R1 12 ½ 0 1 0 −3/2 R3 20 ½ 1 0 0 ½

−1/2 R.P. −1/2(20 1 0 0 2 −1) −1/2 R.P. −1(20 ½ 1 0 0 ½)

12 ½ 0 1 0 −3/2 20 ½ 1 0 0 ½

−10 −½ 0 0 −1 ½ −20 −1/2 −1 0 0 −1/2

NR1 12 ½ 0 1 0 −3/2 NR3 10 ½ 0 0 1 −1/2

6).− Calcular los renglones Zj y Cj− Zj, e introducirlos a la siguiente tabla ( Tabla Nª 3)

Zjbj = 0(2) + 8(20) + 10(10) = 0+160+100=260 Cj−Zj X1= 8−8 = 0

Zj X1= 0(0) + 8(1) + 10(0) = 0+8+0 = 8 Cj−Zj X2 = 10−10 = 0

Zj X2= 0(0)+ 8(0) + 10(1) = 0+0+10 = 10 Cj−Zj H1= 0−0 = 0

Zj H1= 0(1) + 8(0) + 10(0) = 0+0+0 = 0 Cj−Zj H2 = 0−6 = −6

Zj H2= 0(−1) + 8(2) + 10(−1) = 0+16−10 = 6 Cj−Zj H3 = 0−2 = −2

Zj H3= 08−1) + 8(−1) + 10(1) = 0−8+10 = 2

VIII).− Verificar optimalidad como el objetivo es Max Z, Cj−Zj " 0, en todos sus elementos, de acuerdo a latabla N° 3, todos cumplen, por lo tanto, la tabla N° 3, es optima.

IX).− Obtener la solución optima, empleando la ecuación matricial : Vb = bj ; es decir:

; por lo tanto ;

X).− Verificar Factibilidad : sustituyendo X1=20 y X2=10; en el sistema de restricciones del problema:

21

2X1 + 3X2 " 72 X1 + X2 " 30 X1 + 2X2" 40

2(20) + 3(60) " 72 20 + 10 " 30 20 + 2(10)" 40

40 + 30 " 72 (cumple) 30" 30 (cumple) 40 " 40 (cumple)

IX).− Conclusión : La compañía deberá elaborar 20 productos tipo A y 10 productos tipo B ; para obtener laMáxima utilidad de $ 260, a la semana.

b).− ¿ Que departamento o departamentos tiene exceso de capacidad?

Revisando la tabla N° 3 (optima), el valor de las variables de holgura en renglón: H1=2 ; H2=0 y H3=0,entonces. Si H1=2, esto indica que el departamento de fabricación es el que tiene exceso de capacidad de 2horas semanales.

c).− Si a la compañía le ofrecen pintura en oferta de $2/litro, ¿debería comprarla? Revisando la tablaN°3 (optima), es el valor absoluto de las variables de holgura en columna H1=$0, H2=$6 y H3=$2; comopodemos observar H3= $2 ; por lo tanto la compañía deberá comprar la pintura de oferta.

II).− METODO SIMPLEX:

Problemas Propuestos:

1).− En un taller José esta tratando de decidir cuantos ganchos para trailer debe hacer para usar un metal dedesperdicio ; tiene dos tipos de metal y puede hacer cualquiera de dos tipos de ganchos : en la tabla siguientese proporcionan los datos necesarios:

METAL RECURRIDO PARA DISPONIBLE

Gancho Tipo I Gancho Tipo II

Hierro Acanalado 5 5 35

Hierro Plano 6 9 54

a) Jose gana $ 13 por cada gancho tipo I y $ 16 por cada tipo II, ya prometió hacer dos ganchos tipo II.

b) A José le ofrecen hierro acanalado adicional a $2 / unidad. ¿deberá comprarlo?

2).− Un inversionista tiene $ 10000 que quisiera produjeran tanto dinero como sea posible, quiere invertirparte en acciones, parte en bonos y colocar el resto en una cuenta de ahorro. El inversionista cree poder ganar8 % con el dinero que invierte en acciones el 7 % que invierte en bonos. El banco el 5 % de intereses sobre lacuenta de ahorro.

Como las acciones son una inversión con cierto riesgo, decide no invertir en acciones mas de lo que ponga enla cuenta de ahorros. El inversionista se quedara con al menos $ 2000 en la cuenta de ahorros por si necesitadinero en efectivo de inmediato .¿ cuanto dinero deberá invertir en cada tipo?

3).− Una mujer quiere diseñar un programa de ejercicios semanales, incluyendo caminata bicicleta y natación.Para variar los ejercicios, planea invertir al menos: tanto tiempo en bicicleta como la combinación decaminata y natación .Además quiere nadar al menos dos horas ala semana, por que le gusta mas nadar que losotros ejercicios. La caminata consume 66 calorías por hora , en la bicicleta consume 300 calorías por hora,quiere quemar al menos 300 por hora y nadando gasta 300 ,quiere al menos 3000 calorías a la semana pormedio de los ejercicios.¿Cuantas horas debe dedicar a cada tipo de ejercicio si quiere minimizar el numero dehojas invertidas? .

22

4).− Cierta compañía tiene un filial que le provee las latas que necesita para comercializar su producto, endicha filial que produce las latas de aluminio obtiene las tapaderas, a partir de hojas metálicas rectangulares,las dimensiones de estas hojas son de : 6 centímetros * 15 centímetros se requieren dos tamaños diferentes detapas, el diámetro de las pecunias es de 3 centímetros y el de las grandes de 6 centímetros. El programa deproducción de un dia determinado es de 20000 tapa . chicas y 5000 tapas grandes.

a) Formular construir el modelo de programación lineal correspondiente que minimice el numero total dehojas metálicas usadas de tal manera de obtener la mejor combinación de tapas de los diferentes tamaños quepueden ser cortadas.

b) Obtenga la solución optima, empleando el Método Simplex

III)Método Dual: Asociado a cualquier problema de programación lineal (primal), hay otro problemarelacionado llamado Dual. Aunque la idea de dualidad es esencialmente en Matemáticas, veremos en estasección que la dualidad tiene importantes interpretaciones económicas que pueden ayudar a los gerentes aresponder preguntas sobre recursos alternativos de acción y sus valores relativos, es decir, el método dual es labase del análisis de sensibilidad.

Este método se recomienda utilizarlo, cuando el numero de restricción es mayor al

número de variables de decisión Xj, requiere un cambio de variable de Xj a Yj.

Este método los problemas de maximización, los resuelve minimizando y los de

minimización los resuelve maximizando.

Procedimiento de calculo:

I)Formular el problema (fase I)

II)Construir el modelo del problema (fase II)

III)Construir el problema primal cuando el objetivo es MAX Z, todas sus restricciones deben quedarexpresadas con menor e igual ("), y cuando el objetivo es MIN Z, todas sus restricciones deben quedar conmayor e igual ("); es decir.

Problema primal (caso I). Cambio de variable

a).− Función objetivo: MAX = c1x1 + c2x2 + + cjxj para el dual

b).− Sujeta a las restricciones: a11X1 + a12X2 + + a1jxj " b1 y1

a21X1 + a22X2 + + a2jxj " b2 y2

: : : : : : :

ai1X1 + ai2X2 + + aijxj " bj yj

c).− No−Negatividad : xj " Ø ; j = 1,2,3, , n.

Problema primal (caso II). Cambio de variable

23

a).− Función objetivo: Min = c1x1 + c2x2 + + cj xj para el dual

b).− Sujeta a las restricciones: a11X1 + a12X2 + + a1jxj " b1 y1

a21X1 + a22X2 + + a2jxj " b2 y2

: : : : : : :

ai1X1 + ai2X2 + + aijxj " bj yj

c).− No Negatividad : xj " Ø ; j = 1,2,3, , n.

IV)Construir el problema dual, a partir del problema primal haciendo cambio de variable y tomando losvalores de los recursos bj y la nueva variable Yj, se construye la función objetivo del problema dual y lasrestricciones se establecen tomando coeficientes tecnológicos aij de las columnas del primal, para convertirlasen región para el dual, restringiéndolas a la contribución Cj de las variables de decisión Xj, sin olvidar que siel objetivo del primal es Max Z, el dual lo resuelve Min Z, con sus restricciones mayor e igual, pero si elobjetivo del primal es Min Z, el dual lo resuelve Max Z, con sus restricciones mayor e igual.

Problema primal (caso I)

Max Z = c1x1 + c2x2 + + cjxj

Sujeta a:

a11x1 + a12x2 + + a1jxj " b1

a21x1 + a22x2 + + a2jxj " b2

: : : : :

ai1X1 + ai2X2 + + aijxj " bj

Xj " Ø : j = 1,2,3, , n

Problema Dual (caso I)

Min Z = b1y1 + b2y2 + + bjyj

Sujeta a:

a11y1 + a21y2 + + a�yj " c1

a21x1 + a22x2 + + a�yj " c2

: : : : :

a1jy1 + a2jy2 + + aijyj " cj

Yj " Ø : j = 1,2,3, , n

Problema primal (caso II)

24

Min Z = c1x1 + c2x2 + + cjxj

Sujeta a:

a11x1 + a12x2 + + a1jxj " b1

a21x1 + a22x2 + + a2jxj " b2

: : : : :

ai1X1 + ai2X2 + + aijxj " bj

yj " Ø : j = 1,2,3, , n

Problema Dual (caso II)

Max Z = b1y1 + b2y2 + + bjyjj

Sujeta a:

a11y1 + a21y2 + + ai1yj " c1

a12y1 + a22y2 + + ai2yj " c2

: : : : :

a1jy1 + a2jy2 + + aijyj " cj

yj " Ø : j = 1,2,3, , n

V)Resolver el problema dual, empleando el método SIMPLEX con el siguiente procedimiento:

1)Convertir el sistema de restricciones en un sistema de ecuaciones, agregando

variables de holgura y artificiales, según el tipo de restricción.

2)Establecer la nueva función objeto, que incluya todas las variables

3)Establecer el nuevo sistema de ecuaciones, que incluya todas las variables.

4)construir la tabla SIMPLEX inicial (tabla N°1).

5)Resolver tabla número 1 (proceso iterativo):

Obtener: a)Variable de entrada; b)Variable de salida; c)Numero pivote; d)Elementos

de región pivote; e)Elementos de los regionales restantes y f)Elementos de

las regiones zj y cj−zj.

6)Revisar optimalidad, de no cumplirse repetir el paso V.

25

VI)Obtener la solución optima: de la tabla SIMPLEX optima, se obtienen los valores absolutos de Cj − Zj, delas variables holgura Hj, cuyos valores corresponden a las variables de Xj, es decir, Xj = Hj y para obtener elvalor optimo de Z, se sustituyen los valores de Xj en la función de objetivo del problema original (fase II).

VII)Se verifica la factibilidad; sustituyendo los valores de Yj en el sistema de restricciones del sistemaoriginal (fase II).

VIII)Conclusión.

III)Método Dual:

Problema de auto evaluación:

En una determinada empresa, uno de los productos finales que se fabrican, tienen una especificación de pesoigual a 150 gramos. Las dos materias primas que se utilizan son A, con un costo unitario de $20 y B con uncosto unitario de $80; se deben usar por lo menos 14 unidades de B y no mas de 20 unidades de A. cadaunidad A pesa 5 gramos y las de B pesan 10 gramos. ¿Cuánto debe usar de cada tipo de material por unidadde producto final si se desea minimizar los costos? Resuelva empleando el método dual.

Solución:

I)Formular el problema (fase I)

Determinar el objetivo: minimizar los costos• Definir las variables:•

Z = costos

X1 = numero de unidades a utilizar del producto A; c1=$20/producto

X2 = numero de unidades a utilizar del producto B; c1=$80/producto

Establecer restricciones: 1.−Peso del producto final = 150 gramos•

2.−Requerimiento mínimo de 14 unidades del producto B

3.−Requerimiento máximo de 20 unidades del producto A

II)Construir el método del problema (fase II)

Función objetivo: Min Z = 20X1 + 80X2• Sujeta a las restricciones:• Peso del producto final: 5X1 + 10X2 = 150• Requerimiento mínimo: X2 " 14• Requerimiento máximo X1 " 20• No−negatividad: X1 " Ø ; X2 " Ø•

Nota: cuando una restricción esta definida para una igualdad, esta debe expresarse como dos desigualdades,es decir: 5x1 + 10x2 = 150; debe expresarse:

5x1 + 10x2 " 150

26

5x1 + 10x2 " 150

III)Construir el problema primal: como el objetivo es Min Z, todas sus restricciones deben quedar expresadascon mayor e igual ", es decir:

Problema primal (caso II)

Min Z = 20x1 + 80x2

Sujeta a: Cambio de variable para dual

5x1 + 10x2 " 150 y1

−5x1 − 10x2 " −150 y2

Øx1 + x2 " 14 y3

− x1 + Øx2 −20 y4

x1 " Ø; x2 Ø

IV)construir el problema dual: si el objetivo del primal es Min Z (caso II); entonces el problema dual, loresuelve Max Z, cuyas restricciones deben quedar expresadas como menor e igual ", es decir:

Problema primal (caso II) Problema dual (caso II)

MIN Z = 20x1 + 80x2 Max Z = 150y1 − 150y2 + 14y3 − 20y4

Sujeta a: Sujeta a:

5x1 + 10x2 " 150 5y1 − 5y2 + Øy3 − y4 " 20

−5x1 − 10x2 " −150 10y1 − 10y2 + 4y3 + Øy4 80

Øx1 + x2 " 14 y1; y2; y3; y4 Ø

− x1 + Øx2 −20

x1 " Ø;x2 Ø

V)Resolver el problema dual, empleando el método SIMPLEX.

1)Convertir el sistema de restricciones en un sistema de ecuaciones: esto se logra agregando variables deholgura y artificiales, según el tipo de estricción; en nuestro problema queda así:

Restricciones: 5y1 − 5y2 + Øy3 − y4 " 20

10y1 − 10y2 + 4y3 + Øy4 80

Ecuaciones: 5y1 − 5y2 + Øy3 − y4 + H1 = 20

10y1 − 10y2 + 4y3 + Øy4 + H2 = 80

27

2)Función objetivo: Max Z = 150y1 − 150y2 +14y3 −20y4 + ØH1 + ØH2

3)Sistema de ecuaciones: 5y1 − 5y2 + Øy3 − y4 + H1 + ØH2 = 20

10y1 − 10y2 + y3 + Øy4 + ØH1 + H2 = 80

y1; y2; y3; y4; " Ø; H1; H2 Ø

4)Construir la tabla SIMPLEX inicial (tabla 1)

Tabla N°1: Entra Y1 (a1:seleccionada). Función objetivo.

Cj 150 −150 14 −20 0 0

Vb bj Y2 Y3 Y4 H1 H2

0 H1 20 5 −5 0 −1 1 0

0 H2 80 10 −10 1 0 0 1

Zj 0 0 0 0 0 0 0

Cj−Zj 150 −150 14 −20 0 0

5)Resolver tabla No 1 (primera iteración)

a)Determinar variable de entrada: como el objetivo es Max Z, la defina Cj−Zj mayor positivo; es decir:C1−Z1=150 ; por lo que Y1, debe entrar la base Vb (a1 seleccionada)

b)Determinar variable de salida: empleando la ecuación matricial Vb = bj/a1

(Menor valor positivo; es decir:

== ; Siendo 4 el menor valor positivo, H1 debe salir

de la base Vb. (R1 seleccionado).

c)Obtener el numero pivote np: de acuerdo a la tabla N°1 ; np = 5.

d)Calcular los elementos del renglón pivote R.P. , empleando la ecuación. R.P.= 1/5 R1 ; e introducirlo a lasiguiente tabla, es decir, tabla N°2.

R.P. = 1/5 = 4 1 −1 0 −1/5 1/5 0


Cj 150 −150 14 −20 0 0

Vb bj Y1 Y2 Y3 Y4 H1 H2

150 Y1 4 1 −1 0 −1/5 1/5 0

28

0 H2 40 0 0 1 2 −2 1

Zj 600 150 −150 0 −30 30 0

Cj−Zj 0 0 14 10 −30 0

e)Calcular renglón restante R2, empleando la ecuación NE, e introducirlo a la tabla N°2.

NR2 = R2−10 R.P.

R2 80 10 −10 1 0 0 1

−10R.P. −10( 4 1 −1 0 −1/5 1/5 0 )

80 10 −10 1 0 0 1 sumar

−40 −10 10 0 2 −2 0

NR2 40 0 0 1 2 −2 1

f)Calcular los renglones Zj y Cj−Zj

Zj bj = 150(4)+0(40) = 600+0 = 600 Cj−Zj Y1 = 150−150 =0

Zj Y1 = 150(1)+0(40) = 150+0 = 150 Cj−Zj Y2 = −150−(−150) = −150+150 = 0

Zj Y2 = 150(−1)+0(0)= −150+0 Cj−Zj Y3 = 14−0 = 14

Zj Y3 = 150(0)+0(1)= 0+0 = 0 Cj−Zj Y4 = −20−(−30) = −20+30 = 10

Zj Y4 = 150(−1/5)+0(2) = −30+0 = −30 Cj−Zj H1 = 0−30 = −30

Zj H1 = 150(1/5)+0(−2) = 30+0 = 30 Cj−Zj H2 = 0−0 = 0

Zj H2 = 150(0)+0(0) = 0+0 = 0

6)Verificar optimalidad: cuando el objeto es Max Z; Cj−Zj0, en todos sus valores, de acuerdo a la tabla N°2:C3−Z3=14 > 0 ; C4−Z4=10 > 0 ; no cumplen, por lo tanto se repite el paso N°5.

5)Resolver tabla N°2 (Segunda iteración).

a)Determinar variable de entrada: Cuando el objetivo es Max Z, la define Cj−Zj mayor valor positivo ; esdecir: C3−Z3= 14, por lo tanto Y3 debe entrar a la base Vb:(a3:seleccionada)

b)Determinar variable de salida: Empleando la ecuación matricial Vb = bj/a3 (menor valor positivo); es decir:

===; Siendo 40 el valor menor positivo, entonces H2 debe salir de la base Vb (R2 seleccionado).

c)Obtener el numero pivote np. De acuerdo a la tabla N°2. np = 1

d)Calcular los elementos del renglón pivote: R.P.= 1R2; e introducirlo a la siguiente tabla, es decir a la tablaN°3:

29

R.P.= 1= 40 0 0 1 2 −2 1

Tabla N°3: Función objetivo.

Cj 150 −150 14 −20 0 0

Vb bj Y1 Y2 Y3 Y4 H1 H2

150 Y1 4 1 −1 0 −1/5 1/5 0

14 Y3 40 0 0 1 2 −2 1

Zj 1160 150 −150 14 −2 2 14

Cj−Zj 0 0 0 −18 −2 −14

e)Calcular renglón restante R1, empleando la ecuación NE, e introducirlo a la tabla N°3.

NR1 = R1−0 R.P.

R1 4 1 −1 0 −1/5 1/5 0

−10R.P. 0( 40 0 0 1 2 −2 1 )

4 1 −1 0 −1/5 1/5 0 sumar

0 0 0 0 0 0 0

NR2 4 1 −1 0 −1/5 1/5 0

f)Calcular los renglones Zj y Cj−Zj , e introducirlos a la tabla N°3.

Zj bj = 150(4)+14(40) = 600+560 = 1160 Cj−Zj Y1 = 150−150 =0

Zj Y1 = 150(1)+14(0) = 150+0 = 150 Cj−Zj Y2 = −150−(−150) = −150+150 = 0

Zj Y2 = 150(−1)+14(0)= −150+0 Cj−Zj Y3 = −20−(−2) = −20+2 = −18

Zj Y3 = 150(−1/5)+14(2)= −30+28 = −2 Cj−Zj Y4 = 14−14 = 0

Zj Y4 = 150(0)+14(1) = 0+14 = 14 Cj−Zj H1 = 0−2 = −2

Zj H1 = 150(1/5)+14(−2) = 30−28 = 2 Cj−Zj H2 = 0−14 = −14

Zj H2 = 150(0)+14(1) = 0+14 = 14

6)Revisar optimalidad: Como el objeto es Max Z; Cj−Zj0, en todos sus elementos revisando la tabla N°3: secumple Cj−Zj 0 ; por lo tanto la tabla N°3, es optima.

VI)De la tabla optima, obtenemos los valores absolutos de las contribuciones de las variables de holgura Hj,es decir: H1=2 y H2=14 ; valores que corresponden a X1 y X2, respectivamente, por lo tanto: Z min =20(2)+80(14) = 40+1120 = $1160.

30

La X1=2

Solución X2=14

Optima Z Min = $1160.

VII)Verificar factibilidad: Sustituir los valores X1=2 y X2=14, en el sistema de restricciones del problemaoriginal.

1.− 5X1+10X2 = 150 2.− X2 14 3.− X120

5(2)+10(14)=150 14 14 (cumple) 2 20 (cumple)

10 + 140 =150

150 = 150 (cumple)

VIII)Conclusión: La empresa deberá usar 2 unidades del producto A y 14 unidades del producto B, paraobtener un producto final de peso igual a 150 gramos a un costo mínimo de $1160.

III)METODO DUAL

Problemas Propuestos.

1)Una compañía mueblera manufactura dos clases de camas hechas de madera prensada, la cama tipo Arequiere 5 minutos para corte y 10 minutos para ensamble. La cama tipo B requiere 8 minutos para corte y 8minutos para ensamble. El beneficio de cama tipo A es de $50 y de $60 para tipo B. ¿Cuántas camas de cadaclase se deben producir para obtener la máxima ganancia, si existe un compromiso de producción de cuandomenos 10 del tipo A y 10 del tipo B? Resuelva empleando el método dual.

2)Una compañía fabrica y vende dos tipos de bombas hidráulicas: normal y extra grande. El proceso demanufactura asociado con la fabricación de las bombas implica tres actividades: ensamblado, pintado ycontrol de calidad. Los requerimientos de recursos para ensamble, pintura y control de calidad de las bombasse muestran en la tabla. La contribución a las utilidades por la venta de una bomba normal es $50 en tanto quela utilidad por una bomba extra grande es de $75. Existen disponibles por semana 4800 horas de tiempo paraensamble,1980 horas de tiempo de pintura y 400 horas de tiempo de control de calidad. Las experienciasanteriores de ventas señalan que la compañía puede esperar vender cuando menos 300 bombas normales y 180de las extra grandes por semana. A la compañía le gustaría determinar la cantidad de cada tipo de bomba quedebe fabricar semanalmente con el objeto de maximizar sus: utilidades. Resuelva empleando el método Dual.

Tabla de datos técnicos:

Tipo de bomba Tiempo de ensamblé Tiempo de pinturaTiempo de control decalidad

Normal 3.6 1.6 0.6

Extra grande 4.8 1.8 0.6

Actividad 9: Aplicando la Fase III: Resolver

Problema de Auto evaluación:

31

Cierta compañía tiene una fabrica situada a los alrededores de una ciudad. Su producción se limita a dosproductos industriales A y B. El departamento de contabilidad ha calculado las contribuciones de cadaproducto en $10 para A y de $12 para B. Cada producto pasa por tres departamentos de la fabrica. Losrequerimientos de tiempo para cada producto y el total de tiempo disponible en cada departamento, se citan enla tabla.

¿Qué cantidad de cada producto debe fabricarse, para obtener el máximo beneficio? Resolver aplicando losmétodos: Grafico, simplex y dual.

Tabla de Datos Técnicos:

Departamentos

Productos

A BHoras disponibles (semanales)

Ensamble 2 3 1500

Acabado 3 2 1500

Inspección 1 1 600

Solución:

Aplicando el Método Grafico:

I)Formular el problema (Fase I).

a)Determinar el objetivo del problema: Maximizar la ganancia.

b)Definir las variables del problema:

Z = Ganancia

X1 = Numero de unidades a producir del producto A; c1=$10/producto.

X2 = Numero de unidades a producir del producto B; c1=$12/producto.

c)Establecer las restricciones del problema: 1)Capacidad de tiempo semanal.

Departamento de ensamble: 1500 Horas

Departamento de acabado: 1500 Horas

Departamento de inspección: 600 Horas


a)Función objetivo: Max Z = 10X1+12X2

b)Restricciones: 3X1+3X21500 (departamento de ensamble)

3X1+2X21500 (departamento de acabado)

X1+ X2600 (departamento de inspección)

32

c)No−negatividad: X10 ; X20

III)Convertir el sistema de restricciones en un sistema de ecuaciones (en forma directa).

Sistema de restricciones: Sistema de ecuaciones:

1.− 2X1+3X21500 1.− 2X1+3X2 = 1500

2.− 3X1+2X21500 2.− 3X1+2X2 = 1500

3.− X1+ X2600 3.− X1+ X2 = 600

X10 ; X20

IV) 1.− 2X1+3X2 =1500 2.− 3X1+2X2 = 1500 3.− X1+X2 = 600

1°) Si X1= 0 1°) Si X1= 0 1°) Si X1= 0

2(0)+3X2=1500 3(0)+2X2=1500 0+X2=600

3X2=1500 2X2=1500 X2=600

X2=500 X2=750 P5(0 , 600)

P1(0 , 500) P3(0 , 750) 2°) Si X2 = 0

2°) Si X2 = 0 2°) Si X2 = 0 X1+0 = 600

2X1+3(0) = 1500 3X1+2(0) = 1500 X1=600

2X1=1500 3X1=1500 P6(600 , 0)

X1=750 X1=500

P2(750 , 0) P4(500 , 0)

V) Eligiendo una escala, trazar cada una de las restricciones (1 CMS =100 unidades)

VI) Limitar de acuerdo al tipo de restricción.

VII) Encontrar el área o áreas de solución definida por el conjunto convexo, como podemos observar en lagrafica, el área 4, es en la que convergen todas las fichas (Conjunto convexo).

VIII ) Sustituir cada uno de los puntos vértices del área de solución en la función objetivo, para obtener lasolución optima.

P(X1 , X2) ; Max Z = 10X1+12X2

P1 (0 , 500) ; Z1 = 10 (0)+12(500) = 0+6000 = 6000

P4 (500 , 0) ; Z4 = 10 (500)+12(0) = 5000+0 = 5000

33

P7 (0 , 0) ; Z7 = 10 (0)+12(0) = 0+0 = 0

P8 (300 , 300) ; Z8 = 10 (300)+12(300) = 3000+3600 = 6600 Optimo máximo

Como podemos observar el punto P8(300 , 300), arroja el valor máximo de Z; entonces:

La solución optima es : X1 = 300 ; X2=300 y Z Max = $6,600.

IX) Verificar factibilidad; sustituyendo X1=300 y X2=300 ; en el sistema de restricciones:

1.− 2X1+3X2 1500 2.− 3X1+2X2 1500 3.− X1+X2 600

2(300)+3(300)1500 3(300)+2(300)1500 300+300600

600+9001500 900+6001500 600600(Cumple)

15001500 (Cumple) 15001500 (Cumple)

X)Conclusión: La compañía deberá elaborar 300 productos tipo A y 300 productos tipo B; para obtener lamáxima ganancia de $6,600 en la semana.

Solución:

Aplicando el método simplex.

I) Formular el problema (Fase I).

a) Determinar el objetivo del problema: Maximizar la ganancia.

b) Definir las variables del problema:

Z = Ganancia



c) Establecer las restricciones del problema: 1) Capacidad de tiempo semanal.





a) Función objetivo: Max Z = 10X1+12X2

b) Restricciones: 3X1+3X21500 (departamento de ensamble)

3X1+2X21500 (departamento de acabado)

34


c) No−negatividad: X10 ; X20

III) Convertir el sistema de restricciones en un sistema de ecuaciones, agregando variables base. Es decir, deholgura y artificiales, según el tipo de restricción, de acuerdo al sistema de restricciones, se agregar variablede holgura Hi, por ser del tipo , entonces:


2X1+3X21500 2X1+3X2 +H1 = 1500 ; H10

3X1+2X21500 3X1+2X2 +H2= 1500 ; H20

X1+ X2600 X1+ X2 +H3= 600 ; H30

H1 ; H2 ; H3 ; Con Costo Cero

IV) Función objetivo: Max Z = 10X1+12X2+0H1+0H2+0H3

V) Sistema de ecuaciones: 2X1+3X2+ H1+0H2+0H3 = 1500

3X1+2X2+0H1+ H2+0H3 = 1500

X1+ X2+0H1+0H2+ H3 = 600

VI)Constituir la tabla simplex inicial (Tabla N°1).

Tabla N°1 Entra X2 (a2:seleccionada).

Cj 10 12 0 0 0


0 H1 1500 2 3 1 0 0

0 H2 1500 3 2 0 1 0

0 H3 600 1 1 0 0 1

Zj 0 0 0 0 0 0

Cj−Zj 10 12 0 0 0

Zj = (Columna Cj) (Columna aj) y Cj−Zj = Renglón Cj−Renglón Zj

VII) Resover tabla N°1 (primera iteración)

1)Determinar la variable de entrtada: como el objetivo es Max Z, la determina el mayor valor positivode Cj−Zj, es decir, C2−Z2=12 ; por lo tanto X2, debe entrar a la base Vb.

(a2 seleccionada).

35

2)Determine la variable de salida: empleando la ecuación matricial.

Vb = bj/a2 (Menor valor positivo).

; Siendo 500 el menor valor positivo,

entonces H1 debe slir de la base Vb. (R1:seleccionado)

3)Obtener el numero pivote np ; de acuerdo a la tabla N°1 ; Np = 3

4)Obtener los elementos del renglón pivote R.P. ; empleando la ecuación. R.P.=1/3 R1 ; e

introducirlo a la siguiente tabla ; es decir, a la tabla N°2.

R.P. = 1/3 (1500 2 3 1 0 0) = 500 2/3 1 1/3 0 0

Tabla N°1 Entra X1 (a1:seleccionada).

Cj 10 12 0 0 0


12 X2 500 2/3 1 1/3 0 0

0 H2 500 5/3 0 −2/3 1 0

0 H3 100 1/3 0 −1/3 0 1

Zj 6000 8 12 4 0 0

Cj−Zj 2 0 −4 0 0

5)Obtener los valores de los renglones restantes ; empleando la expresión NE, e

introducirlos a la tabla N°2; es decir,

NR2 = R2−2 R.P. NR3 = R3−1 R.P.

R2 1500 3 2 0 1 0 R3 600 1 1 0 0 1

−2 R.P. −2(500 2/3 1 1/3 0 0) −1 R.P. −1(20 ½ 1 0 0 ½)

500 3 2 0 1 0 600 1 1 0 0 1

−1000 −4/2 −2 −2/3 0 0 −500 −2/3 −1 −1/3 0 0

NR2 500 5/3 0 −2/3 1 0 NR3 100 1/3 0 −1/3 0 1

6)Calcular los renglones Zj y Cj−Zj e introducirlos a la siguiente tabla.(Tabla Nª 2).

Zj bj = 12 (500) + 0 (500) + 0 (100) = 6000+0+0 = 6000 Cj − Zj X1 = 10−8 = 2

36

Zj X1= 12 (2/3) + 0 (5/3) + 0 (1/3) = 8+0+0 = 8 Cj − Zj X2 = 12 −12 = 0

Zj X2 = 12 (1) + 0 (0) + 0 (0) = 12+0+0 = 12 Cj − Zj H1 = 0−4 = −4

Zj H1 = 12 (1/3) + 0 (−2/3) + 0 (−1/3) = 4+0+0 = 4 Cj − Zj H2 = 0−0 = 0

Zj H2 = 12 (0) + 0 (1) + 0 (0) = 0+0+0 = 0 Cj − Zj H3 = 0−0 = 0

Zj H3 = 12 (0) + 0 (0) + 0 (1) = 0+0+0 = 0

VIII).− Verificar optimalidad: Cuando el objetivo es Max Z ; Cj − Zj " 0, en todos sus elementos, de acuerdoa la tabla N°2; C1− Z1 = 2 " 0 ; no cumple, repetir el paso VII.

VII).− Resolver tabla Nª 2 (segunda iteración).

1).− Determina la variable de entrada ; Cuando el objetivo es Max Z, la determina el valor mayor positivo deCj−Zj; es decir, C1−Z1 = 2, entonces X1, debe entrar a la base Vb.

(a1 seleccionada)

2).−Se determina la variable de salida: empleando la ecuación matricial : Vb bj/a1 (menor valor positivo), esdecir:

; Siendo 300 el menor valor positivo, entonces H2 debe salir de la base Vb, definiendo el renglónseleccionado R2.

3).− Obtener el numero pivote np, de acuerdo a la tabla N°2, np= 5/3

4).− Obtener los elementos del renglón pivote R.P., empleando la ecuación R.P.= 3/5R2; e introducirlo a lasiguiente ; es decir, tabla N°3.

R.P. = 3/5 (500 5/3 0 −2/3 1 0) = 300 1 0 −2/5 3/5 0

Tabla N°2:

Cj 10 12 0 0 0


12 X2 300 0 1 3/5 −2/5 0

10 X1 300 1 0 −2/5 3/5 0

0 H3 0 0 0 −1/5 −1/5 1

Zj 6600 10 12 16/5 6/5 0

Cj−Zj 0 0 −16/5 −6/5 0

5).− Calcular los valores de los renglones restantes, empleando la expresión NE, e introducirlos a la siguientetabla (Tabla N° 3).

37

NR1 = R1−2/3 R.P. NR3 = R3−1/3 R.P.

R1 500 2/3 1 1/3 0 0 R3 100 1/3 0 −1/3 0 1

−2/3 R.P.=−2/3(300 1 0 −2/5 3/5 0) −1/3 R.P. −1/3(300 1 0 −2/5 3/5 0)

500 2/3 1 1/3 0 0 100 1/3 0 −1/3 0 1

−200 −2/3 0 4/15 −2/5 0 100 −1/3 0 2/15 −1/5 0

NR1 300 0 1 3/5 −2/5 0 NR3 0 0 0 −1/5 −1/5 1

6).−Obtener los elementos de los renglones Zj y Cj− Zj, e introducirlos a la tabla(Tabla N°3)

Zj bj = 12 (300) + 10 (300) + 0 (0) = 3600+3600+0 = 6600 Cj − Zj X1 = 10−10 = 0

Zj X1= 12 (0) + 10 (1) + 0 (0) = 0+10+0 = 10 Cj − Zj X2 = 12 −12 = 0

Zj X2 = 12 (1) + 10 (0) + 0 (0) = 12+0+0 = 12 Cj − Zj H1 = 0−16/5 = −16/5

Zj H1 = 12 (3/5) + 10 (−2/5) + 0 (−1/5) = 36/5−20/5+0 = 16/5 Cj − Zj H2 = 0−6/5 = −6/5

Zj H2 = 12 (−2/5) + 10 (3/5) + 0 (−1/5) =−24/5+30/5+0 = 6/5 Cj − Zj H3 = 0−0 = 0

Zj H3 = 12 (0) + 10 (0) + 0 (1) = 0+0+0 = 0

VIII).− Verificar optimalidad como el objetivo es Max Z, Cj−Zj " 0, en todos sus elementos, de acuerdo a latabla N° 3, todos cumplen, por lo tanto, la tabla N° 3, es optima.

IX).− Obtener la solución optima, empleando la ecuación matricial : Vb = bj ; es decir:

; por lo tanto ;

X).− Verificar Factibilidad : sustituyendo X1=300 y X2=300; en el sistema de restricciones, es decir :

1.− 2X1 + 3X2 " 1500 2.− 3X1 + 2X2 " 1500 3.− X1 + X2" 600

2(300) + 3(300) " 1500 3(300)+2(300) " 1500 300 + (300)" 40

600 + 900 " 1500 900+600" 1500 600 " 600 (cumple)

1500 " 1500 (cumple) 1500" 1500 (cumple)

IX).− Conclusión : La compañía deberá elaborar 300 productos tipo A y 300 productos tipo B ; para obtenerla Máxima ganancia de $6600 a la semana.

Solución:

Aplicando el método Dual

I) Formular el problema (Fase I).

38

a) Determinar el objetivo del problema: Maximizar la ganancia.

b) Definir las variables del problema:

Z = Ganancia



c) Establecer las restricciones del problema: 1) Capacidad de tiempo semanal.





a) Función objetivo: Max Z = 10X1+12X2

b) Restricciones: 3X1+3X2 1500 (departamento de ensamble)

3X1+2X2 1500 (departamento de acabado)


c) No−negatividad: X10 ; X20

III) Construir el problema primal; cundo el objetivo es Max Z ; todas sus restricciones deben quedarexpresadas con menor e igual ; es decir:

Problema Primal (Caso I)

Max Z = 10X1+ 12X2 Cambio de variable

Sujeta a: para Dual

2X1+3X21500 Y1

3X1+2X21500 Y2

X1+ X2600 Y3

X10 ; X20

IV)Construir el problema dual: si el objetivo del primal es MAX Z (caso 1); entonces el objetivo del dual esMIN Z, cuyas restricciones serán mayor e igual ;es decir.

Problema primal (caso 1) problema dual (caso 1)

39

Max Z = 10X1+12X2 Min Z = 1500Y1+1500Y2+600Y3

Sujeta a: Sujeta a:

2X1+3X21500 2Y1+3Y2+Y310

3X1+2X21500 3Y1+2Y2+Y312

X1+ X2600 Y1; Y2; Y3 0

X10; X20

V)Resolver el problema Dual, empleando el método simplex.

1)Convertir el sistema de restricciones en un sistema de ecuaciones, agregando variables de holgura yartificiales, de acuerdo al tipo de restricción; es decir:

Restricciones: 2Y1+3Y2+Y310 ; Ecuaciones: 2Y1+3Y2+Y3 −H1+A1=10

3Y1+2Y2+Y312 3Y1+2Y2+Y3 −H2+A2=12

H1 y H2 con costo cero, A1 y A2 con costo M

2)Función objetivo: Min Z=1500Y1+1500Y2+600Y3+0H1+0H2+MA1+MA2

3)Sistema de ecuaciones: 2Y1+3Y2+Y3−H1+0H2+A1+0A2=10

3Y1+2Y2+Y3+0H1−H2+0A1+A2=12

Y1; Y2; Y3; H1; H2; A1; A20

4)Construir la tabla simplex inicial (Tabla N°1)


Cj 1500 1500 600 0 0 M M

Vb bj Y2 Y3 H1 H2 A1 A2

M A1 10 2 3 1 −1 0 1 0

M 12 3 2 1 0 −1 0 1 Sale A2

R2:selec.

Zj 22M 5M 5M 2M −M −M M M

Cj−Zj 1500−5M 1500−5M 600−2M M M 0 0

−3500 −3500 −1400 100 100

NOTA: M=1000

40

Zj bj = M(10)+M(12) = 10M+12M = 22M Cj−Zj Y1 = 1500−5M = 1500−5M

Zj Y1 = M(2)+M(3) = 2M+3M = 5M Cj−Zj Y2 = 1500−5M = 1500−5M

Zj Y2 = M(3)+M(2) = 3M+2M = 5M Cj−Zj Y3 = 600−2M = 600−2M

Zj Y3 = M(1)+M(1) = M+M = 2M Cj−Zj H1 = 0−(−M) = M

Zj H1 = M(−1)+M(0) = −M+0 = −M Cj−Zj H2 = 0−(−M) = M

Zj H2 = M(0)+M(−1) = 0−M = −M Cj−Zj A1 =M−M = 0

Zj A1 = M(1)+M(0) = M+0 = M Cj−Zj A2 = M−M = 0

Zj A2 = M(0)+M(1) = 0+M = M

5)Resolver tabla N°1 (Primera iteración).

a)Determinar variables de entrada: cuando el onjetivo es Min Z; la define el mayor valor negativo de Cj−Zj;es decir C1−Z1=−3500, por lo tanto Y1 debe entrar a la base Vb: (a1:seleccionada).

b)Determinar variable de salida: empleando la ecuación matrricial Vb = bj/a1(Menor valor positivo);

=== ; Siendo 4 el menor valor positivo; por lo tanto A2, sale de la base Vb (R2:seleccionado).

c)Obtener el numero pivote np; de acuerdo a la tabla N°1; np=3.

d)Calcular los elementos del renglón pivote R.P., con la ecuación: R.P. = 1/3R2, e introducirlo a la siguientetabla, es decir, a la tabla N°2.

R.P. = 1/3 = 4 1 2/3 1/3 0 −1/3 0 1/3


Cj 1500 1500 600 0 0 M M

Vb bj Y1 Y3 H1 H2 A1 A2

Sale A1

M A1 2 0 5/3 1/3 −1 2/3 1 −2/3 R1:selec.

1500 Y1 4 1 2/3 1/3 0 −1/3 0 1/3

Zj 2M+600 1500 5/3M+1000 1/3M+500 −M 2/3M−500 M −2/3+500

Cj−Zj 0 500−5/3M 100−1/3M M 500−2/3M 0 5/3M−500

−1166.7 −233.33 1000 −166.7 1166.7

M=1000

41

e)Calcular región restante R1, empleando la ecuación NE,e introducirlo a la tabla N°2

NR1=R1−2R.P.

R1 10 2 3 1 −1 0 1 0

−2R.P. −2( 4 1 2/3 1/3 0 −1/3 0 1/3)

10 2 3 1 −1 0 1 0 sumar

−8 −2 −4/3 −2/3 0 2/3 0 −2/3

NR1 2 0 5/3 1/3 −1 2/3 1 −2/3

f)Calcular los renglones Zj y Cj−Zj e introducirlos a la tabla N°2.

Zj bj = M(2)+1500(4)=2M+600 Cj−Zj Y1 = 1500−1500 =0

Zj Y1 = M(0)+1500(1)=1500 Cj−Zj Y2=1500−(5/3M+1000)=1500−5/3M−1000=500−5/3M

Zj Y2 = M(5/3)+1500(2/3)=5/3M+100 Cj−Zj Y3=600−(1/3M+500)=600−1/3M−500=100−1/3

Zj Y3 = M(1/3)+1500(1/3)=1/3M+500 Cj−Zj H1=0−(−M) = M

Zj H1 = M(−1)+1500(0) = −M Cj−Zj H2 = 0−(2/3M−500) = 500−2/3M

Zj H2 = M(2/3)+1500(−1/3)=2/3M−500 Cj−Zj A1 =M−M = 0

Zj A1 = M(1)+1500(0) = M Cj−Zj A2=M−(−2/3M+500)=M+2/3M−500=5/3M−500

Zj A2 = M(−2/3)+1500(1/3)=−2/3M+500

6)Verificar optimalidad: cuando el objeto es Min Z; Cj−Zj0, en todos sus valores, revisando la tabla N°2,C3−Z3 = 14 > 0 y C4−Z4 = 10 > 0 ; no cumplen, por lo tanto se repite el paso N°5.

5)Resolver tabla N°2 (Segunda iteración).

a)Determinar variable de entrada: Como el objetivo es Max Z, la define Cj − Zj mayor valor positivo; esdecir: C3−Z3 = 14 ; por lo tanto Y3 debe entrar a la base Vb,(a3:seleccionada).

b)Determinar variable de salida: Empleando la ecuación matricial Vb = bj/a3 (menor valor positivo) ; esdecir:

===; Siendo 40 el menor, por lo tanto A1 debe salir de la base Vb (R1 seleccionado).

c)Obtener el numero pivote np. De acuerdo a la tabla N°2. np=5/3

d)Calcular los elementos del renglón pivote R.P. empleando la ecuación: R.P.=3/5R1; e introducirlo a lasiguiente tabla, es decir a la tabla N°3:

R.P.= 3/5= 6/5 0 1 1/5 −3/5 2/5 3/5 −2/5

42

Tabla N°3: Función objetivo.

Cj 1500 1500 600 0 0 M M

Vb bj Y1 Y2 Y3 H1 H2 A1 A2

1500 Y2 6/5 0 1 1/5 −3/5 2/5 3/5 −2/5 R.P.

1500 Y1 16/5 1 0 1/5 2/5 −3/5 −2/5 3/5 NR2

Zj 6600 1500 1500 600 −300 −300 300 300

Cj−Zj 0 0 0 300 300 M−300 M−300

M=1000

e)Calcular región restante R2, empleando la ecuación NE, e introducirlo a la tabla N°3.

NR2 = R2−2/3R.P.

R2 4 1 2/3 1/3 0 −1/3 0 1/3

−2/3R.P. −2/3 (6/5 0 1 1/5 −3/5 2/5 3/5 −2/5

4 1 2/3 1/3 0 −1/3 0 1/3 sumar

−4/5 0 −2/3 −2/15 2/5 −4/15 −2/5 4/5

NR1 16/5 1 0 1/5 2/5 −3/5 −2/5 3/5

f)Calcular los renglones Zj y Cj−Zj, e introducirlos a la tabla N°3.

Zj bj = 1500(6/5)+1500(16/5) = 1800+4800 = 6600

Zj Y1 = 1500(0)+1500(1)=0+1500=1500 ; Cj−Zj Y1 = 1500−1500 =0

Zj Y2 =1500(1)+1500(0)=1500+0=1500 ; Cj−Zj Y2=1500−1500=0

Zj Y3 =1500(1/5)+1500(1/5)=300+300=600 ; Cj−Zj Y3=600−600=0

Zj H1 =1500(−3/5)+1500(2/5)=−900+600=−300 ; Cj−Zj H1=0−(−300) = 300

Zj H2 =1500(2/5)+1500(−3/5)=600−900=−300 ; Cj−Zj H2 = 0−(−300) = 300

Zj A1 = 1500(3/5)+1500(−2/3)=900−600=300 ; Cj−Zj A1 =M−300 = M−300

Zj A2 =1500(−2/5)+1500(3/5)=−600+900=300 ; Cj−Zj A2=M−300=M−300

6)Verificar optimalidad: Cuando el objetivo es Min Z; Cj−Zj0; en todos sus elementos; de acuerdo a la tablaN°3; todos cumplen; por lo tanto la tabla N°3, es optima.

VI)De la tabla optima, obtener los valores absolutos de las contribuciones de las variables de holgura (Hj).

43

Es decir: H1=300 y H2=300; valores que corresponden a X1 y X2, respectivamente, por lo tanto: X1=300 yX2=300; sustituyéndolos en la funcion objetivo del problema original, para obtener el valor de Z, entonces:ZMax = 10X1+12X2= 10(300)+12(300) = $6600.

SOLUCION X1=300 , H1=0

OPTIMA X2=300 , H2=0

ZMax=6600 , H3=0

VII)Verificar factibilidad: sustituyendo X1=300 y X2=300; en el sistema de restricciones del problemaoriginal, es decir:

1) 2X1+3X21500 2) 3X1+2X21500 3) X1+X2600

2(300)+3(300)= 1500 3(300)+2(300) 1500 300+300600

600+9001500 900+6001500 600600 (cumple)

15001500 (cumple) 15001500(cumple)

VIII) Conclusión: La compañía devera elaborar 300 productos tipo A y 300 productos tipo B; para obtener lamáxima ganancia de $6600 a la semana.

NOTA: Como podemos observar la solución del problema es igual, independientemente del método desolución, lo único que cambia es el de cada uno de ellos.

Actividad 10: aplicando la fase III; Resolver los problemas de programación lineal.

1)Aplicando los métodos: grafico, simplex y dual, resolver los problemas propuestos: 1, 2, 3, 4, y 5 de laactividad 8 y del método grafico los problemas propuestos 1, 2, y 3.

2)Aplicando el método simplex, resolver los problemas propuestos: 6, 7, 8, 9 y 14 de la actividad 8; delmétodo dual los problemas propuestos 1 y 2.

3)Aplicando el método dual, resolver los problemas propuestos: 1, 2, 3 y 4 del método simplex.

Capitulo III

ANALISIS DE SENSIBILIDAD

Actividad 11: análisis de sensibilidad:

Introducción: El análisis de sensibilidad concierne al estudio de posibles cambios en la solución optimadisponible como resultado de hacer cambios en el modelo original. Al alterarse nuestra situación actual yproporcionar nuevos datos, sobre estos podemos hacernos la pregunta ¿Cómo puede alterar cada situaciónla solución optima actual?, con cierta reflexión, sus respuestas podrán contestarse en alguna de las doscategorías siguientes:

1)La solución actual puede volverse infactible y

2)La solución actual puede volverse no optima.

44

Las categorías están basadas en los cálculos primales duales, de los cuales observamos los siguientes:

I)La infactibilidad de la solución puede ocurrir solo si:

1)Se altera la disponibilidad de los recursos bj y

2)Se agregan nuevas restricciones Xn

II)La no optimalidad de la solución actual puede ocurrir solo si:

1)Se cambia la contribución Cj;

2)Se cambia los coeficientes tecnológicos aij y

3)Se añaden nuevas actividades Xj

Procedimiento general: Con base en lo antes propuesto, el procedimiento general para realizar el análisis desensibilidad se puede resumir de la manera siguiente:

1)Empleando el método simplex, resolver el modelo de programación lineal y obtener su tabla simplexoptima.

Cj C1 C2 . . . Cj 0 0 . . . 0 Función objetivo

Vj bj X1 X2 . . . Xj H1 H2 . . . Hj

C1 X1 m1

C2 X2 m2

. . .

. . . B−1A B−1

. . .

Cj Xj mj

Zj CBXB CBB−1A−Cj CBB−1

Cj−Zj

Donde: B−1 = Matriz inversa (comprendida solo por las variables de holgura Hj)

CBB−1 = Vector dual (comprendido solo por las variables de holgura Hj)

2)Para el o los cambios propuestos en el modelo original, volver a determinar los nuevos elementos de la tablaoptima actual mediante el uso de los cálculos primales duales. Estos consisten en restablecer la tabla simplexoptima del problema original e introducirle los cambios del nuevo problema.

3)Si la nueva tabla no es optima, ir al paso #4, si es infactible, ir al paso #5, de lo contrario anotar la soluciónen la nueva tabla como el nuevo optimo.

45

4)Aplicar el método simplex a la nueva tabla para obtener una nueva solución optima.

5)Aplicar el método dual a la nueva tabla para recobrar la factibilidad.

Actividad 12: I)Cambios que afectan la factibilidad.

1)Cambios en los recursos disponibles bj: Sabemos por calculos primales duales que los cambios en lossegundos miembros de las restricciones solo pueden afectar a la columna bj de la tabla optima, es decir solopueden afectar la factibilidad. Por lo tanto, todo lo que tenemos que hacer es volver a calcular la columna bjde la tabla original.

Supongamos que el problema original es ; Ahora si cambiamos a bj por(bj+bj); el nuevo problema es:

Max Z = CjXj Max Z = CjXj

Sujeta a: Sujeta a:

Axjbj Axj(bj+bj)

Xj0 Xj0

Procedimiento de análisis:

1)Obtener la solución optima del problema original, empleando el método simplex.

2)Se incrementa bj, quedando como: bj+bj.

3)Se establece el nuevo problema (en forma primal)

4)Se extrae la matriz inversa B−1, de la tabla simplex optima.

5)Se calcula la nueva solución optima XB; empleando la ecuación matricial:

XB =B−1(bj+bj) donde XB es la matriz columna formada por las variables de la columna

base Vb.

5.1)Si XB0, en todos sus elementos; la nueva solución XB, es factible y el nuevo valor

de Z, se calcula sustituyendo los valores de Xi en la función objetivo y después ir al

paso N°8.

5.2)Si XB < 0, en alguno de sus elementos, la nueva solución XB es infactible; cuando esto

ocurre, ir al paso N°6.

6)Aplicando el método dual, restablecer la tabla simplex optima, introduciéndole los valores de XB en lacolumna Vb y calcular los renglones Zj y Zj−Cj.

7)Aplicando el método simplex, resolver la tabla restablecida, bajo el siguiente procedimiento:

46

A)Sacar de la columna Vb las variables de valor negativo (infactible).

B)Introducir la variable que hace positivo a la variable de salida (siendo el cociente de

menor valor positivo).

C)Obtener el numero pivote np (intersección de renglón y columna seleccionada).

D)Calcular los elementos del renglón pivote R.P., con la ecuación: R.P.= Rs, e

introducirlo a la siguiente tabla (nueva).

E)Calcular los nuevos elementos de los renglones restantes, aplicando la ecuación NE

e introducirlos a la nueva tabla.

F)Calcular los elementos de los renglones Zj y Cj−Zj, e introducirlos a la nueva tabla.

G)Calcular la nueva solución optima, aplicando la ecuación matricial: Vb=bj.

H)Verificar factibilidad; sustituyendo los nuevos valores de Xi en el nuevo problema.

8)Conclusión.

2)Agregar nueva restricciones Xn: Agregar nuevas variables Xn; crea nuevos términos Zj−Cj y nuevascolumnas Yj en la tabla. Si asociado a la nueva actividad Xn se conoce su contribución Cj y su vector decoeficientes tecnológicos aij el procedimiento de análisis que debe seguirse es:


2)Establecer el nuevo problema (en forma primal).

3)El agregar una nueva restricción Xn, puede dar origen a dos situaciones:

3.1)La nueva restricción Xn, la satisface la solución optima, si esto ocurre, la solución

optima no sufre cambios, ir al paso N°7.

3.2)La solución optima, no satisface a la nueva restricción Xn, por lo tanto se volverá de

enlace (debe entrar a la columna Vb), ir al paso N°4.

4)Aplicando el método dual, restablecer la tabla simplex optima, bajo el siguiente procedimiento.

a)Agregar una nueva variable de holgura Hi, a la nueva restricción.

b)Calcular el valor de la nueva variable de holgura, aplicando procedimiento algebraico

entre renglones, basándonos en la nueva restricción y la tabla simplex optima.

c)Calcular los valores del renglón de la nueva variable de holgura, basándonos en el

47

procedimiento algebraico entre renglones.

d)Los valores de la columna de la nueva variable de holgura, son todos igual a cero en

cada uno de los renglones, excepto el ultimo renglón, el cual debe ser la unidad.

e)Construir la nueva tabla, agregando renglón y columna que corresponden a la nueva

variable de holgura.

f)Calcular los elementos de los renglones Zj y Zj−Cj, e introducirlo a la nueva tabla.

5)Empleando el metodo simplex, se resuelve la tabla restablecida, bajo el siguiente procedimiento.

a)Sacar de columna Vb, la variable de valor negativo (infactible).

b)Introducir la variable que hace positiva a la variable de salida, siendo el cociente de

menor valor positivo.

c)Obtener el numero pivote np.

d)Calcular los elementos del renglón pivote R.P., empleando la ecuación: R.P.=Rs , e

introducirlo a la siguiente tabla.

e)Calcular los nuevos elementos de los renglones restantes, empleando la ecuación NE

e introducirlos a la siguiente tabla.

f)Calcular los elementos de los renglones Zj y Zj−Cj, e introducirlo a la nueva tabla.

6)Obtener la nueva solucion optima, empleando la ecuación matricial Vb = bj.

7)Conclusión.

Actividad 13: I)Cambios que afectan la factibilidad.


En una carpintería se fabrican mesas y sillas, la carpintería cuenta con dos departamentos en paralelo concapacidad de 40 horas semanales respectivamente. Cada mesa deja una ganancia de $150 y requiere de 4horas de trabajo en el departamento I y 2 horas en el departamento II. Mientras que una silla deja ganancia de$200 y requiere 2 horas de trabajo del departamento I y 4 horas del departamento II. Obtener:

a)La solución optima, empleando el método simplex.

b)Si la capacidad de los departamentos cambian ambos de 40 a 48 horas semanales.

¿afecta a la solución optima el cambio de los recursos?

c)Si la capacidad del departamento I cambia de 40 a 24 horas semanales y la capacidad del

48

departamento II, cambia de 40 a 60 horas semanales. ¿afecta a la solución optima el

cambio de los recursos disponibles?

d)En una de las semanas en la misma empresa un cliente importante pidió a la carpintería

que fabricara mínimo 4 sillas. ¿puede la carpintería satisfacer el pedido del cliente?, en

caso de que no, ¿qué debe de hacer la carpintería para poder satisfacer la orden del

cliente?.

e)Supongamos que en una de las semanas el cliente pidió la producción mínima de 7 sillas.

¿podría la carpintería satisfacer la petición del cliente? En caso de que no. ¿qué debe

hacer la carpintería para satisfacer la orden del cliente?.

SOLUCION:

A)Obtener la solución optima, empleando el método simplex.

I)Formulación del problema (fase I).



Z = ganancia

X1 = numero de mesas a producir; C1=$150/mesas

X2 = numero de sillas a producir; C2 = $200/sillas

c)Establecer las restricciones del problema: 1)capacidad de tiempo semanal

*Departamento I: 40 horas

*Departamento II: 40 horas

II)Construcción del modelo del problema (fase II).


b)Restricciones: 4X1+2X240 (departamento I)

2X1+4X240 (departamento II)


III)Convertir el sistema de restricciones en un sistema de ecuaciones

49


4X1+2X240 4X1+2X2+H1=40 ; H10

2X1+4X240 2X1+4X2+H2=40 ; H20

IV)Función objetivo: Max Z = 150X1+200X2+0H1+0H2

V)Sistema de ecuaciones:

Depto. I: 4X1+2X2+H1+0H2 =40

Depto. II: 2X1+4X2+0H1+H2 =40

VI)Construir tabla simplex inicial (tabla N°1)

Tabla N°1: Entra X1 (a2:seleccionada).

Cj 150 200 0 0 Función objetivo.

Vb bj X1 X2 H1 H2

0 H1 40 4 2 1 0

0 40 2 4 0 1 Sale A2 (R2:seleccionado).

Zj 0 0 0 0 0

Cj−Zj 150 200 0 0

VII)Resolver tabla N°1 (primera iteración).

1)Determinar variable de entrada: cuando el objetivo es Max Z, la define el mayor valor positivo de Cj−Zj, esdecir: C2−Z2 = 200, entonces X2 debe entrar a la base Vb: a2 seleccionada.

2)Determinar variable de salida: empleando la ecuación matricial Vb = bj/a2 (menor valor positivo).

=== ; siendo 10, el menor valor positivo, entonces H2, debe salir de la base Vb (R2:seleccionado).

3)Obtener el numero pivote: np = 4.

4)Calcular los elementos del renglón pivote: R.P.=R2 ; e introducirlo a la siguiente tabla (tabla N°2). R.P. = =10 1/2 1 0 1/4



Vb bj X1 X2 H1 H2

0 H1 20 3 0 1 −1/2 Sale H1 (R1:seleccionado).

50

NR1

200 X2 10 1/2 1 0 1/4

R.P.

Zj 200 100 200 0 50

Cj−Zj 50 0 0 −50

5)Calcular los nuevos elementos del renglón restante R1, aplicando la ecuación NE, introducirlo a la tablaN°2 ; NR1 = R1−2R.P.

R1 40 4 2 1 0

−2R.P. −2

40 4 2 1 0 sumar

−20 −1 −2 0 −1/2

NR1 20 3 0 1 −1/2

6)Calcular los elementos de los renglones Zj y Zj−Cj, e introducirlos a la tabla N°2.

Zj bj = 0(20)+200(10) = 0+2000 = 2000

Zj X1 = 0(3)+200(1/2) = 0+100 = 100 ; Cj−Zj X1 = 150−100 = 50

Zj X2 = 0(0)+200(1) = 0+200 = 200 ; Cj−Zj X2 = 200−200 = 0

Zj H1 = 0(1)+200(0) = 0+0 =0 ; Cj−Zj H1 = 0−0 = 0

Zj H2 = 0(−1/2)+200(1/4) = 0+50 = 50 ; Cj−Zj H2 = 0−(−300) = 300

VIII)Verificar optimalidad: cuando el objeto es Maz Z, Cj−Zj0, en todos sus elementos, de acuerdo a la tablaN°2, C1−Z1 = 50 no cumple, por la tanto repetir el paso VII.

VII)Resolver tabla simplex N°2 (segunda iteración).

1)Determinar variable de entrada: como el objetivo es Max Z, la determina el valor mayor positivo de Cj−Zj,es decir: C1−Z1 = 50, por lo tanto X1 debe entrar a la base Vb.(a1 seleccionada).

2)Determinar variable de salida: empleando la ecuación matricial Vb = bj/a1 (menor valor positivo).

=== ; siendo 20/3, el menor valor positivo, entonces H1, debe entrar de la base Vb (R1:seleccionado).

3)Obtener el numero pivote: np = 3.

4)Calcular los elementos del renglón pivote: R.P.=R1 ; e introducirlo a la siguiente tabla (tabla N°3). R.P. = =20/3 1 0 1/3 −1/6

51

Tabla N°3: (optima)

Cj 150 200 0 0

Vb bj X1 X2 H1 H2

150 X1 20/3 1 0 1/3 −1/6

200 X2 20/3 0 1 −1/6 1/3

Zj 700/3 150 200 50/3 125/3

Cj−Zj 0 0 −50/3 −125/3

5)Calcular los nuevos elementos del renglón restante R2, aplicando la ecuación NE, introducirlo a la tablaN°3 ; NR2 = R2−1/2R.P.

R2 10 1/2 1 0 1/4

−1/2R.P. −1/2

10 1/2 1 0 1/4 sumar

−10/3 −1/2 0 −1/6 1/12

NR2 20/3 0 1 −1/6 1/3


Zj bj = 150(20/3)+200(20/3) = 3000/3+4000 = 7000/3

Zj X1 = 150(1)+200(0) =150+0 = 150 ; Cj−Zj X1 = 150−150 = 0

Zj X2 = 150(0)+200(1) = 0+200 = 200 ; Cj−Zj X2 = 200−200 = 0

Zj H1 = 150(1/3)+200(−1/6) = 150/3−100/3 = 50/3 ; Cj−Zj H1 = 0−50/3 = −50/3

Zj H2 = 150(−1/6)+200(1/3) = −75/3+200/3 = 125/3 ; Cj−Zj H2 = 0−125/3 = −125/3

VIII)Verificar optimalidad: cuando el objetivo es Max Z, Cj−Zj0, en todos sus elementos, de acuerdo a latabla N°3, todos los elementos cumplen, por lo tanto, la tabla simplex N°3 es optima.

IX)obtener solucion optima. Vb = bj ; = Esto es igual a:

X1= 20/3 (6.67)

X2= 20/3 (6.67)

Zmax = $7000/3 ($2333.33)

X)Verificar factibilidad: Sustituyendo X1=20/3 ; X2=20/3 en el sistema de restricciones.

52

4X1+2X240 2X1+4X240

4(20/3)+2(20/3)40 2(20/3)+4(20/3)40

120/340 120/340

4040 (cumple). 4040 (cumple).

XI)Conclusión: La carpintería deberá fabricar 20/3 mesas y 20/3 sillas, para obtener la máxima ganancia de$7000/3.

B)Si la capacidad de los departamentos cambian ambos de 40 a 48 horas semanas.¿afecta la solución optimael cambio de los recursos?

Procedimiento de calculo: (cambio de recursos bj )

1)Obtener solución optima del problema original , empleando el método simplex.

Problema original Solución óptima

Max Z = 150X1+200X2 X1=20/3 (6.67) mesas ; H1=0

Sujeta A: X2=20/3(6.67) sillas ;H2=0

4X1+2X240 Zmax = $7000/3 = $ 2333.33

2X1+4X240

X10 ; X20

2)Se incrementa bj ; es decir : bj = ; cambia a (bj + bj )=.

3)Se establece el numero problema:

Max Z = 150X1+200X2

Sujeta a :

4X1+2X248

2X1+4X248

X10 ; X20

4)Extraer la matriz inversa B−1, de la tabla simplex optima.

Cj 150 200 0 0

Vb bj X1 X2 H1 H2

150 X1 20/3 1 0 1/3 −1/6

53

B−1 B−1= (1/3 −1/6)

200 X2 20/3 0 1 −1/6 1/3 2x2 (−1/6 1/3)

Zj 700/3 150 200 50/3 125/3

Cj−Zj 0 0 −50/3 −125/3

5)Se calcula la nueva solución optima XB , empleando la ecuación matricial: XB = B−1 (bj+bj).

XB=B−1(bj+bj) ; ====

=

5.1)Como XB== > 0 ; en todos sus elementos, la nueva solución es factible, entonces Zmax = 150(8)+200(8)= 1200+1600 = $2800.

8)Conclusión: El cambio de los recursos de a ; trae cambios en la producción de mesas de 20/3(6.67) a 8 y de20/3(6.67) a 8 sillas, mientras que la ganancia se incrementa de $7000/3($2333.33) a $2800.

C)Si la capacidad del departamento I, cambia de 40 a 24 horas semanales y la capacidad del departamento II,cambia de 40 a 60 horas semanales. ¿Afecta a la solución optima el cambio en los recursos disponibles?

Procedimiento de calculo (Cambio de los recursos bj).

1)obtener la solución optima del problema original, empleando el método simplex.


Max Z = 150X1+200X2 X1=20/3=6.67 mesas ; H1=0

Sujeta A: X2=20/3=6.67 sillas ;H2=0

4X1+2X240 Zmax = $7000/3 = $ 2333.33

2X1+4X240

X10 ; X20

2)Se incrementa bj ; es decir : bj = ; cambia a (bj + bj )=.

3)Se establece el numero problema:

Max Z = 150X1+200X2

Sujeta a :

4X1+2X224

2X1+4X260

X10 ; X20

54

4)Extraer la matriz inversa B−1, de la tabla simplex optima.

Cj 150 200 0 0

Vb bj X1 X2 H1 H2

150 X1 20/3 1 0 1/3 −1/6

B−1 B−1= (1/3 −1/6)

200 X2 20/3 0 1 −1/6 1/3 2x2 (−1/6 1/3)

Zj 700/3 150 200 50/3 125/3

Cj−Zj 0 0 −50/3 −125/3

5)Se calcula la nueva solución optima XB , empleando la ecuación matricial: XB = B−1 (bj+bj).

XB=B−1(bj+bj) ; ====

=

5.2)Como XB== < 0 ; en uno de sus elementos, la nueva solución optima es infactible, ir al paso 6.

6)Aplica el metodo dual, restablecer la tabla simplex optima.

Cj 150 200 0 0

Función objetivo.

Vb bj X1 X2 H1 H2

150 X1 −2 1 0 1/3 −1/6

200 X2 16 0 1 −1/6 1/3

Zj 2900 150 200 50/3 125/3

Cj−Zj 0 0 50/3 125/3

7)Aplicando el método simplex restablecida, de acuerdo el siguiente procedimiento:

a)Sacar de la columna Vb, las variables de valor negativo, en este caso X1=−2,

definiendo asi el renglón seleccionado R1.

b)Introducir la variable que hece positiva a la variable de salida X1 , siendo el cociente menor positivo, eneste caso seria H2 ,definido asi la columna seleccionada a4.

c)Obtener el numero pivote: np = −1/6.

d)Calcular los elementos del renglón pivote: R.P. = R1 , e introducirlo a la nueva tabla R.P. = −6 = 12 −6 0 −2

55

1

Nueva tabla simplex

Cj 150 200 0 0

Función objetivo.

Vb bj X1 X2 H1 H2

0 H1 12 −6 0 −2 1 R.P.

200 X2 12 2 1 1/2 0 NR2

Zj 2400 400 200 100 0

Cj−Zj −250 0 −100 0

e) Calcular los nuevos elementos del renglón restante R2, aplicando la ecuación NE, introducirlo a la tabla ;NR2 = R2−1/3R.P.

R2 16 0 1 −1/6 1/3

−1/3R.P. −1/3

16 0 1 −1/6 1/3 sumar

−4 2 0 2/3 −1/3

NR2 12 2 1 ½ 0

f) Calcular los elementos de los renglones Zj y Zj−Cj, e introducirlos a la nueva tabla.

Zj bj = 0(12)+200(12) = 0+2400 = 2400

Zj X1 = 0(−6)+200(2) = 0+400 = 400 ; Cj−Zj X1 = 150−400 = −250

Zj X2 = 0(0)+200(1) = 0+200 = 200 ; Cj−Zj X2 = 200−200 = 0

Zj H1 = 0(−2)+200(1/2) = 0+100 = 100 ; Cj−Zj H1 = 0−100 = −100

Zj H2 = 0(1)+200(0) = 0+0 = 0 ; Cj−Zj H2 = 0−0 = 0

g)Calcular la solución optima, empleando la ecuación Vb = bj.

Vb = bj ; = ; Nueva solución optima; X1=0 ; X2=12 ; Zmax= $2400.

h)Verificar factibilidad, sustituyendo X1=0 y X2 , en el sistema de restricciones del nuevo problema.

4X1+2X224 2X1+4X224

4(0)+2(12) 24 2(0)+4(12) 24

56

2424 (cumple) 4860 (cumple)

8)Conclusión : El cambio de los recursos disponibles en los departamentos dea;

la producción sufre cambios: El numero de mesas disminuye de 20/3 = 6.667 a cero, mientras que laproducción de sillas se incrementa de 20/3 = 6.67 a 12 y la contribución se incrementa de $7000/3 = $2333.33a $2400.

D) En una de las semanas en la misma empresa un cliente importante pidió a la carpintería

que fabricara mínimo 4 sillas. ¿puede la carpintería satisfacer el pedido del cliente?, en

caso de que no, ¿qué debe de hacer la carpintería para poder satisfacer la orden del

cliente?.

Procedimiento de calculo (agregar nuevas restricciones Xn)

1)Obtener solución optima del problema original , empleando el método simplex.


Max Z = 150X1+200X2 X1=20/3 (6.67) mesas ; H1=0


4X1+2X240 Zmax = $7000/3 = $ 2333.33

2X1+4X240

X10 ; X20

2)Establecer el nuevo problema (En forma primal).

Nuevo problema Forma primal.

Max Z = 150X1+200X2 Max Z = 150X1+200X2

Sujeta A: Sujeta A:

4X1+2X240 4X1+2X240

X1+4X240 2X1+4X240

X24 −X2−4

X10 ; X20 X10 ; X20

3)Situaciones.

3.1)La nueva restricción X24 ; la satisface la solución optima actual X2=6.67 es decir, la nueva restricción, noproduce cambios en la solución optima, ir al paso 7.

57

7)Conclusión: Debido a que la nueva restricción X24 , la satisface la solución optima, entonces la soluciónoptima no sufre cambios.

E)Supongamos que en una de las semanas el cliente pidió la producción mínima de 7 sillas.

¿podría la carpintería satisfacer la petición del cliente? En caso de que no. ¿qué debe

hacer la carpintería para satisfacer la orden del cliente?.

Procedimiento de calculo (agregar nuevas restricciones Xn)

1) Obtener solución optima del problema original , empleando el método simplex.


Max Z = 150X1+200X2 X1=20/3 (6.67) mesas ; H1=0


4X1+2X240 Zmax = $7000/3 = $ 2333.33

2X1+4X240

X10 ; X20

2)Establecer el nuevo problema (En forma primal).

Nuevo problema Forma primal.

Max Z = 150X1+200X2 Max Z = 150X1+200X2

Sujeta A: Sujeta A:

4X1+2X240 4X1+2X240

X1+4X240 2X1+4X240

X27 −X2−7

X10 ; X20 X10 ; X20

3)Situaciones.

3.1)La solución optima, no satisface a la nueva restricción, es decir: X2= 6.67 < 7, ir al

paso 4.

4)Aplicando el método dual, restablecer la tabla simplex optima, bajo el siguiente

procedimiento:

a)Agregar una variable de holgura H3 a la nueva restricción: −X2 + H3 = −7.

58

b)Calcular valor de la nueva variable de holgura H3 ,aplicando procedimiento algebraico entre, renglones,basándonos en la nueva restricción y la tabla simplex optima.

Cj 150 200 0 0 Función Objetivo.

Vb bj X1 X2 H1 H2

150 X1 20/3 1 0 1/3 −1/6

200 X2 20/3 0 1 −1/6 1/3

Zj 700/3 150 200 50/3 125/3

Cj−Zj 0 0 −50/3 −125/3

Procedimiento algebraico entre renglones.

Renglón de la nueva restricción del problema

−X2+H3 = −7 −−−−−−− 1

Renglón de la nueva restricción de la tabla optima

0X1+X2−1/6H1+1/3H2 = 20/3 −−−−−−− 2

De la solución optima X2 = 20/3 , sustituirlo en − 1

−20/3+H3 = −7 ; H3 =−7/1+20/3 = H3 =−1/3 (infactible).

c)Calcular los valores del renglón de la nueva variable de holgura H3, aplicando procedimiento algebraicoentre renglones.

−X2 + H3 = −7

0X1 + X2 − 1/6H1 + 1/3H2 = 20/3

0X1 + H3 − 1/6H1 + 1/3H2 = −1/3

Nuevo renglon para H3

H3: 0X1 + 0X2 − 1/6H1 + 1/3H2 = −1/3

d)Valores de la columna H3 todos ceros, excepto el ultimo, el cual corresponde a la unidad.

e)Construir nueva tabla y restablecer.

Entra H1 (a3 seleccionada)

Cj 150 200 0 0 0 Función Objetivo.


59

150 X1 20/3 1 0 1/3 −1/6 0

200 X2 20/3 0 1 −1/6 1/3 0

0 H3 −1/3 0 0 −1/6 1/3 1 Sale H3 (R3 seleccionado)

Zj 700/3 150 200 50/3 125/3 0

Cj−Zj 0 0 50/3 125/3 0

f)Calcular los renglones Zj y Zj−Cj, e introducirlos a la nueva tabla.

5)Aplicando el metodo simplex, resolver nueva tabla (restablecida), bajo el siguiente

procedimiento:

a)Sacar H3 = −1/3 (infactible), de calumna Vb, definiendo asi, renglon seleccionado R3.

b)Introducir H1 que hace positiva la variable de Salida H3, definiendo así, la columna seleccionada a4.

c)Obtener numero pivote np = −1/6.

d)Calcular los elementos del renglón pivote R.P. , aplicando la ecuación R.P. = R3 , e introducirlo a lasiguiente tabla: R.P.= −6(−1/3 0 0 −1/6 1/3 1)= 2 0 0 1 −2 −6

Cj 150 200 0 0 0 Función Objetivo.


150 X1 6 1 0 0 1/2 2 NR1

200 X2 7 0 1 0 0 −1 NR2

0 H2 2 0 0 1 −2 −6 R.P.

Zj 2300 150 200 0 75 100

Cj−Zj 0 0 0 −75 −100

e)Calcular los nuevos elementos de los renglones restantes, aplicando la ecuación NE, e introducirlos a lanueva tabla: NR1 = R1−1/3R.P.

R1 20/3 1 0 1/3 −1/6 0

−1/3R.P. −1/3

20/3 1 0 1/3 −1/6 0 sumar

−2/3 0 0 −1/3 2/3 2

NR1 6 1 0 0 ½ 2

60

NR2 = R2+1/6R2

R2 20/3 0 1 −1/6 1/3 0

−1/3R.P. 1/6

20/3 0 1 −1/6 1/3 0 sumar

1/3 0 0 1/6 −1/3 −1

NR2 7 0 1 0 0 −1

f) Calcular los elementos de los renglones Zj y Zj−Cj, e introducirlos a la nueva tabla.

Zj bj = 150(6)+200(7)+0(2) = 900+1400+0 = 2300

Zj X1 = 150(1)+200(0)+0(0) =150+0+0 = 150 ; Cj−Zj X1 = 150−150 = 0

Zj X2 = 150(0)+200(1)+0(0) = 0+200+0 = 200 ; Cj−Zj X2 = 200−200 = 0

Zj H1 = 150(0)+200(0)+(1) = 0+0+0 = 0 ; Cj−Zj H1 = 0−0 = 0

Zj H2 = 150(1/2)+200(0)+0(−2) = 75+0+0 = 75 ; Cj−Zj H2 = 0−75 = −75

Zj H3 = 150(2)+200(−1)+0(−6) = 300−200+0 = 100 ; Cj−Zj H2 = 0−100 = −100

g)Verificar optimalidad: cuando el objetivo es MaxZ ; Cj−Zj0; en todos sus elementos, de acuerdo a la nuevatabla, todos cumplen, por lo tanto es optima.

6)Obtener nueva solución optima, empleando la ecuación matricial Vb = bj.

Vb = bj ; = X1=6 ; X2=7 ; H3=2 ; Zmax=2300

H1=0 ; H2=0

7)Conclusión: La carpintería para poder cumplir el pedido del cliente de cuando menos 7 sillas, deberáreducir la producción de mesas de 20/3 = 6.67 a 6 y aumentar l producción de sillas de 20/3 = 6.67 a 7,aceptando una disminución en la contribución de $7000/3 = $2333.333 a $2300

Actividad 14: Cambios que afectan la optimalidad

1)Cambios en la contribución Cj.



2)Se cambia el vector Cj por (Cj+Cj); entonces el renglón Zj−Cj, cambia a Zj−(Cj+Cj).

3)Se establece el nuevo problema (en forma primal).

4)Se extrae de la tabla simplex optima el vector dual CBB−1

61

5)Se calcula el valor de Zj−(Cj+Cj), empleando la ecuación matricial: Zj−(Cj+Cj) =

CBB−1aj − (Cj+Cj).

6)Si Zj−(Cj+Cj) > 0; en alguno de sus elementos, restablecer la tabla simplex optima,

empleando el método dual.

7)Revisar condiciones de optimalidad.

7.1)Si se cumplen las dos condiciones de optimalidad.

1)Zj−(Cj+Cj)0 ; para toda columna aj de A y no de B y

2)Zj−Cj0; en todos sus elementos.

7.2)Si no se cumplen las dos condiciones anteriores, ir al paso 9.

8)Obtener nueva solución optima de la tabla simplex restablecida, relacionando las

columnas base Vb y de recursos bj, es decir, Vb = bj, ir al paso 10.

9)Aplicando el método simplex, para resolver la tabla simplex restablecida, hasta cumplir

Cj−Zj0, bajo el siguiente procedimiento.

a)Introducir a la base Vb, la variable que tenga el mayor valor negativo de Zj−Cj.

b)Extraer de la base Vb, la variable de menor valor positivo de dividir la columna

recursos bj entre la columna seleccionada aj.

c)Obtener el numero pivote.

d)Calcular los elementos del renglón pivote R.P., empleando la ecuación R.P.=Rs, e

introducirlo a la siguiente tabla.

e)Calcular los nuevos elementos de los renglones restantes, aplicando la ecuación NE, e

introducirlo a la nueva tabla.

f)Calcular los elementos de los renglones Zj y Cj−Zj, e introducirlos a la nueva tabla.

g)Verificar optimalidad.

h)obtener nueva solución optima, con la relación, Vb = bj.

10)conclusión.

2)Cambios en los coeficientes tecnológicos aij

62



2)Se modifica el vector de coeficientes tecnológicos aij por áj.

3)Se establece el nuevo problema (en forma primal).

4)Extraer de la tabla simplex, la matriz inversa B−1 y el vector dual CBB−1.

5)Calcular los elementos del renglón Zj−Cj, con la expresión: Zj−Cj = CBB−1áj−cj.

5.1)Si Zj−Cj > 0, en todos sus elementos, la solución optima no sufre cambios, ir al paso 10

5.2)Si Zj−Cj < 0, en alguno de sus elementos, ir al paso 6.

6)Aplicando el método dual, restablecer la tabla optima, introduciéndole el vector Yj en la

columna aj que sufre cambios, el cual se obtiene con la ecuación matricial: Yj = B−1áj.

7)Aplicando el método simplex, resolver la tabla simples restablecida, bajo el siguiente

procedimiento:

a)Introducir variable a la base Vb: la cual esta determinada por el valor mayor negativo

de Zj−Cj.

b)Extraer variable de la base Vb : determinada por la ecuación matricial Vb = bj/aj

(menor valor positivo).

c)Obtener numero pivote np.

d)Calcular los valores del renglón pivote R.P., empleando la ecuación: Rs, e

introducirlo a la nueva tabla.

e)Calcular los nuevos elementos de los renglones Zj y Cj−Zj, e introducirlos a la nueva

tabla.

8)Verificar optimalidad.

9)Obtener nueva solucion optima, relacionado la columna base Vb y la columna recursos

bj; es decir: Vb = bj.

10)Conclusión.

3)Añadir nueva avtividad Xj

63



2)Establecer el nuevo problema (en forma primal).

3)Extraer de la tabla simplex optima, la matriz inversa B−1 y el vector dual CBB−1.

4)Calcular el valor de Zj−Cj de la nueva actividad Xj, con la expresión: Zj−Cj = CBB−1áj−cj.

4.1)Si Zj−Cj > 0, en todos sus elementos, la nueva actividad Xj no debe entrar al sistema,

su valor es cero y la solución optima no sufre cambios, ir al paso 9.

4.2)Si Cj−Zj < 0, en alguno de sus elementos, ir al paso 5.

5)Empleando el método dual, restablecer la tabla simplex optima, introduciendo el nuevo

vector Yj = B−1aj en la columna que corresponde a la nueva actividad Xj.

6)Empleando el método simplex, resolver la tabla simplex restablecida, bajo el siguiente

procedimiento:

a)Introducir a la base Vb, la variable cuyo valor de Zj−Cj sea el mayor negativo,

definiendo asi la columna seleccionada aj.

b)Extraer de la bae Vb, la variable determinada por la ecuación matricial XB = bj/aj (valor

menor positivo),definiendo asi el renglón seleccionado Rs.

c)Obtener el numero pivote np (intersección de Rs y aj).

d)Se calculan los elementos del renglón pivote R.P., empleando la ecuación: Rs.

e)Calcular los elementos de los renglones restantes, empleando la ecuación NE

f)Calcular los elementos de los renglones Zj y Cj−Zj.

7)Verificar optimalidad.

8)Obtener la nueva solución optima, relacionando las columnas Vb y bj, es decir: Vb = bj.

9)Conclusión.

Actividad 15: Cambios que afectan la optimalidad

Problemas de autoevaluación.

1)Una empresa desea producir un volumen X de un producto químico A que se vende a $5 por litro y otrovolumen Y de un producto químico B que se vende a $3 por litro. Dos tipos de restricciones se consideran en

64

este problema: personal y costos de producción, en lo que se refiere a la primera restricción se tiene unmáximo de 15 personas, mientras que en el segundo se tiene un máximo de $10 por hora de trabajo. Loscoeficientes tecnológicos están dados por:

Productos químicos A B

Personales 3 5

Costos de producción 5 2

A)Obtenga la solución optima, empleando el método simplex.

B)Suponga que el precio del producto químico B, se reduce de $3 a $1. ¿Afecta a la

solución optima?.

C)Suponga que el precio de ambos productos químicos se reduce de $5 a $1 y de $3 a $1,

A y B, respectivamente, ¿Afecta a la solución optima esta reducción de precios?

Solucion:

A)Empleando el método simples, obtener la solución optima.




Z = ganancia

X1 = numero de litros del producto químico A; C1= $5/litros

X2 = numero de litros del producto químico B ; C2 = $3/litros

c)Establecer las restricciones:

1)Personal: Capacidad máxima 15 personas

2)Costo de producción: Capacidad máxima $10/hora.



b)Restricciones: 3X1+5X215 (Personal)

5X1+2X210 (Costos de producción)



65


3X1+5X215 3X1+5X2+H1=15

5X1+2X210 5X1+2X2+H2=10



Personal: 4X1+2X2+H1+0H2 =15

Costos de producción: 5X1+2X2+0H1+H2 =10

X1 ; X2 ; H1 ; H2 0




Vb bj X1 X2 H1 H2

0 H1 15 3 5 1 0

0 10 5 2 0 1 Sale H2 (R2:seleccionado).

Zj 0 0 0 0 0

Cj−Zj 5 3 0 0


1)Determinar variable de entrada: como el objetivo es Max Z, la determina el valor mayor positivo de Cj−Zj,es decir: C1−Z1 = 5, por lo tanto X1 debe entrar a la base Vb, siendo a1 columna seleccionada.

2)Determinar variable de salida: empleando la ecuación matricial Vb = bj/aj (menor valor positivo); es decir:Vb = bj/a1.

=== ; siendo 2, el menor valor positivo, entonces H2, debe salir de la base Vb, siendo (R2:seleccionado).

3)Obtener el numero pivote np; de cuerdo a la tabla N°1; np=5.

4)Obtener elementos del renglón pivote: R.P.=R2 ; e introducirlo a la siguiente tabla (tabla N°2). R.P. = = 2 12/5 0 1/5



Vb bj X1 X2 H1 H2

66

0 H1 9 3 19/5 1 −3/5 NR1

5 X1 2 1 2/5 0 1/5 R.P.

Zj 10 5 2 0 1

Cj−Zj 0 1 0 −1

5)Calcular los nuevos elementos del renglón restante R1, aplicando la ecuación NE, introducirlo a la tablaN°2 ; NR1 = R1−2R.P.

R1 15 3 5 1 0

−3R.P. −3

15 3 5 1 0 sumar

−6 −3 −6/5 0 −3/5

NR1 9 0 19/5 1 −3/5


Zj bj = 0(9)+5(10) = 0+10 = 10

Zj X1 = 0(0)+5(1) = 0+5 = 5 ; Cj−Zj X1 = 5−5 = 0

Zj X2 = 0(19/5)+5(2/5) = 0+2 = 2 ; Cj−Zj X2 = 3−2 = 1

Zj H1 = 0(1)+5(0) = 0+0 =0 ; Cj−Zj H1 = 0−0 = 0

Zj H2 = 0(−3/5)+5(1/5) = 0+1 = 1 ; Cj−Zj H2 = 0−1 = −1

VIII)Verificar optimalidad: cuando el objeto es Maz Z, Cj−Zj0, en todos sus elementos, de acuerdo a la tablaN°2, C2−Z2 = 1, no cumple, por la tanto repetir el paso VII.

VII)Resolver tabla simplex N°2 (segunda iteración).

1)Determinar variable de entrada: como el objetivo es Max Z, la determina el valor mayor positivo de Cj−Zj,es decir: C2−Z2 = 1, por lo tanto X2 debe entrar a la base Vb.(a2 seleccionada).

2)Determinar variable de salida: empleando la ecuación matricial Vb = bj/a2

=== ; siendo 45/19, el menor valor positivo, entonces H1, debe salir de la base Vb (R1:seleccionado).

3)Obtener el numero pivote: np = 19/5.

4)Calcular los elementos del renglón pivote: R.P.=R1 ; e introducirlo a la siguiente tabla (tabla N°3). R.P. = =45/19 0 1 5/19 −3/19

Tabla N°3: (optima)

67

Cj 5 3 0 0

Función Objetivo

Vb bj X1 X2 H1 H2

3 X2 45/19 0 1 5/19 −3/19

5 X1 20/19 1 0 −2/19 5/19

Zj 235/19 5 3 5/19 16/19

Cj−Zj 0 0 −50/19 −16/19

5)Obtener elementos del renglón restante, es decir NR2, empleando la ecuación NE, e introducirlo a la tablaN°3; por lo tanto NR2 = R2−2/5R.P.

R2 2 1 2/5 0 1/5

−2/5R.P. −2/5

2 1 2/5 0 1/5 sumar

−18/19 0 −2/5 −2/19 6/95

NR2 20/19 1 0 −2/19 5/19


Zj bj = 3(45/19)+5(20/19) = 135/19+100/19 = 235/19

Zj X1 = 3(0)+5(1) = 0+5 = 5 ; Cj−Zj X1 = 5−5 = 0

Zj X2 = 3(1)+5(0) = 3+0 = 3 ; Cj−Zj X2 = 3−3 = 0

Zj H1 = 3(5/19)+5(−2/19) = 15/19−10/19 = 5/19 ; Cj−Zj H1 = 0−5/19 = −5/19

Zj H2 = 3(−3/19)+5(5/19) = −9/19+25/19 = 16/19 ; Cj−Zj H2 = 0−16/19 = −16/19

VIII)Verificar optimalidad: cuando el objetivo es Max Z, Cj−Zj0, en todos sus elementos, de acuerdo a latabla N°3, todos los elementos cumplen, por lo tanto, la tabla simplex N°3 es optima.

IX)obtener solucion optima. Vb = bj ; = Esto es igual a:

X1= 20/19 ; H1=0

X2= 45/19 ; H2=0

Zmax = $235/19

X)Verificar factibilidad: Sustituyendo X1=20/19 ; X2=45/19 en el sistema de restricciones.

68

3X1+5X215 5X1+2X210

3(20/19)+5(45/19)15 5(20/19)+2(45/19)10

285/1915 190/1910

1515 (cumple). 1010 (cumple).

XI)Conclusión: La empresa deberá producir 20/19 = 1.05 litros del liquido A y

45/19 = 2.37 litritos del producto químico B, para obtener la ganancia de $235/19 = $12.37.

B)Suponga que el precio del producto químico B, se reduce de $3 a $1. ¿Afecta a la

solución optima?

Procedimiento de calculo (Cambio en la contribución Cj).


Problema original Solución optima

Max Z=5X1+3X2 X1=20/19 = 1.05 ; H1=0

Sujeta a : X2=45/19 = 2.37 ; H2=0

3X1+5X215 Zmax = 235/19 = 12.37

5X1+2X210

X10 ; X20

2)Si cambia C2= $3 a (C2+C2) = $1 ; entonces Z2−C2, cambia Z2−(C2+C2)

3)Establecer el nuevo problema(en forma primal)

Max Z = 5X1+1X2

Sujeta a :

3X1+5X215

5X1+2X210

X10 ; X20

4)Extraer la tabla simplex optima, el vector dual CBB−1

Tabla simplex optima.

Cj 5 3 0 0

69

Vb bj X1 X2 H1 H2

3 X2 45/19 0 1 5/19 −3/19

5 X1 20/19 1 0 −2/19 5/19

Zj 235/19 5 3 5/19 16/19 CBB−1 = (5/19 , 16/19)

Vector Dual

Cj−Zj 0 0 −5/19 −16/19

5)Calcular el valor de Z2−(C2+C2) = CBB−1 a2 − (C2+C2)

Z2−(C2+C2) = (5/19 16/19)−1 = 25/19+32/19−1 = 57/19−1 = 3−1 = 2

6)Como Z2−(C2+C2) = 2 > 0;Se restablece la tabla simples optima, empleando el método dual.

Tabla simplex optima (restablecer)

Cj 5 1 0 0

Función objetivo

Vb bj X1 X2 H1 H2

1 X2 45/19 0 1 5/19 −3/19 Sale X2 (R1:Seleccionada)

5 X1 20/19 1 0 −2/19 5/19

Zj 65/19 5 1 −5/19 22/19

Cj−Zj 0 0 −5/19 22/19

7)Revisar las condiciones de optimalidad: 1)Zj− (C2+C2)0 ; en aj de A y 2)Zj−Cj 0

.− Z3−C3 = −5/19 < 0 (no cumple).

1) Z2− (C2+C2) = 2 > 0 ; (Cumple) .− Z4−C4 = 22/19 > 0 (cumple).

7.2)Las condiciones no se cumplen, ir al paso 9.

9)Aplicando el método simplex, resolver la tabla simplex optima restablecida.

a)Determinar variable de entrada: La define el mayor valor negativo de Zj−Cj, es decir:

Z3−C3 = −5/19 ; por lo tanto H1 debe entrar a la base Vb (a3: seleccionada).

b)Determinar variable de salida: Empleando la ecuación matricial: Vb = Bj/a3(menor valor

positivo) Vb = bj/a3 ; ====

70

Siendo 9 el menor valor positivo, entonces X2, debe salir de la base Vb.(R1:Seleccionado).

c)Obtener el numero pivote np; es decir np=5/19

d)Calcular los elementos del renglón pivote R.P., empleando la ecuación: R.P.=R1 , e introducirlo a la nuevatabla: R.P.=19/5(45/19 0 1 5/19 −3/19) = 9 0 19/5 1 −3/5

Nueva tabla

Cj 5 1 0 0

Función Objetivo

Vb bj X1 X2 H1 H2

0 H1 9 0 19/5 1 −3/5 R.P.

5 X1 2 1 2/5 0 1/5 NR2

Zj 10 5 2 0 1

Cj−Zj 0 −1 0 −1

e)Calcular los nuevos elementos del renglón, empleando la ecuación NE, es decir:

NR2 = R2+2/19R.P. e introducirla a la nueva tabla.

R2 20/19 1 0 −2/19 5/19

2/19R.P. 2/19

20/19 1 0 −2/19 5/19 sumar

18/19 0 2/5 2/19 −6/95

NR2 2 1 2/5 0 1/5


Zj bj = 0(9)+5(2) = 0+10 = 10

Zj X1 = 0(0)+5(1) = 0+5 = 5 ; Cj−Zj X1 = 5−5 = 0

Zj X2 = 0(19/5)+5(2/5) = 0+2 = 2 ; Cj−Zj X2 = 1−2 = −1

Zj H1 = 0(1)+5(0) = 0+0 = 0 ; Cj−Zj H1 = 0−0 = 0

Zj H2 = 0(−3/5)+5(1/5) = 0+1 = 1 ; Cj−Zj H2 = 0−1 = −1

g)Verificar optimalidad: cuando el objeto es Max Z, Cj−Zj0; en todos sus elementos, de acuerdo a la nuevatabla, todos los elementos cumplen, por lo tanto, la nueva tabla es optima.

71

h)Obtener nueva solución optima, empleando la ecuación matricial: Vb = bj.

=; por lo tanto X1=2 ; X2=0 ; Zmax= $10 ; Hi=9 ; H2=0 ; ir al paso 10.

10)Conclusión: El cambio en el precio del producto químico B, de $3 a $1, trae como consecuencia, unincremento en la elaboración del producto químico A de 20/19 = 1.05 litros a 2 litros, pero el productoquímico B, disminuye su elaboración de 45/19= 2.37 litros a cero litros, además la ganancia disminuye de$235/19 = $12.37 a $10.

C)Suponga que el precio de ambos productos químicos se reducen de $5 a $1 y $3 a

$1, A y B, respectivamente. ¿Afecta a la solución optima esta reducción de precios?

Procedimiento de calculo (Cambio en la contribución Cj)



Max Z=5X1+3X2 X1=20/19 = 1.05 ; H1=0

Sujeta a : X2=45/19 = 2.37 ; H2=0

3X1+5X215 Zmax = 235/19 = 12.37

5X1+2X210

X10 ; X20

2)Si cambia C1= $5 a (C1+C1) = $1 ; y se cambia C2 = $3 a (C2+C2) = $1; entonces:

Z1−C1, cambia Z1−(C1+C1) y Z2−C2 a Z2−(C2+C2).


Max Z = 1X1+1X2

Sujeta a :

3X1+5X215

5X1+2X210

X10 ; X20

4)Extraer la tabla simplex optima, el vector dual CBB−1


Cj 5 3 0 0

Vb bj X1 X2 H1 H2

72

3 X2 45/19 0 1 5/19 −3/19

5 X1 20/19 1 0 −2/19 5/19

Zj 235/19 5 3 5/19 16/19 CBB−1 = (5/19 , 16/19)

Vector Dual

Cj−Zj 0 0 −5/19 −16/19

5)Calcular Z1−(C1+C1) = CBB−1 a1 − (C1+C1) = (5/19 6/19)−1 = 15/19+80/19−1 = 95/19−1 = 5−1 = 4

Calcular Z2−(C2+C2) = CBB−1 a2 − (C2+C2) = (5/19 6/19)−1 = 25/19+32/19−1 = 57/19−1 = 3−1 = 2

6)Como Z1−(C1+C1) = 4 > 0 y Z2−(C2+C2) = 2 > 0; Se restablece la tabla simplex

optima, empleando el método dual.


Cj 1 1 0 0

Función objetivo

Vb bj X1 X2 H1 H2

1 X2 45/19 0 1 5/19 −3/19

1 X1 20/19 1 0 −2/19 5/19

Zj 65/19 1 1 3/19 2/19

Cj−Zj 0 0 3/19 2/19

7)Revisar las condiciones de optimalidad: 1)Zj− (Cj+Cj)>0; en A y no en B y 2)Zj−Cj 0

1) Z1− (C1+C1) = 4 > 0 ; (Cumple) 2) Z3−C3 = 3/19 > 0 ( cumple).

Z2− (C2+C2) = 2 > 0 ; (Cumple) Z4−C4 = 2/19 > 0 (cumple).

7.1)Las condiciones si cumplen, ir al paso 8.

8) Obtener nueva solución optima de la tabla simplex restablecida, empleando la ecuación matricial: Vb = bj.

=; por lo tanto X1=1.05 ; X2=2.37; Zmax=$3.42; Hi=0 ; H2=0 ; ir al paso 10.

10)Conclusión: La reducción de los precios de los productos A de $5 a $1 y B de $3 a $1, no producecambios en las cantidades a elaborar de los productos, es decir A se producen 1.05 litros y de B, 2.37 litros,aproximadamente, pero si se reduce considerablemente la ganancia de $12.37 a $3.42.

2)Una compañía cuenta con 4 unidades de madera y 18 unidades de plástico; para elaborar dos productos A yB, con una ganancia de $ 3 y $ 5, respectivamente. El producto A requiere de una unidad de madera y 3

73

unidades de plástico, mientras que el producto B, solo requiere de 2 unidades de plástico. ¿ Cuantos productosde cada tipo, debe elaborar la compañía?.

A) Obtener la solución optima, empleando el método simplex.

B) Suponga que los requerimientos del producto A, cambian de una unidad de madera a dos unidades y que de3 unidades de plástico, se reduce a 2 unidades. ¿Afectan estos cambios a la solución optima?.

C) Suponga que los requerimientos del producto A, cambian de una unidad de madera a 10 unidades y que de3 unidades de plástico, se reduce a una unidad. ¿Afectan estos cambios a la solución optima?.

D)¿Conviene producir un nuevo producto C, cuya ganancia es de $ 7, cuyos requerimientos son de una unidadde madera y 2 unidades de plástico?

E)¿Conviene producir un nuevo producto C, cuya ganancia es de $ 4, cuyos requerimientos son de 10unidades de madera y 4 unidades de plástico?.

Solución:

A)Obtener la solución optima, empleando el método simplex.


a)Definir el objetivo: Maximizar la ganancia.


Z = Ganancia

X1 = numero de unidades a elaborar del producto A; C1= $3/unidad.

X2 = numero de unidades a elaborar del producto B; C2= $5/unidad.

c)Establecer las restricciones del problema: 1)Materia prima

Madera : Capacidad máxima de 4 unidades.

Plástico : Capacidad máxima de 18 unidades.


Función objetivo: Max Z = 3X1+5X2

Sujeta a las Restricciones:

Madera: X1 4

Plastico: 3X1 + 2X2 18

No−negatividad: X10 ; X20


74


X1 4 X1 +H1=15

3X1 + 2X218 3X1+2X2+H2=18



X1+0X2+H1+0H2 = 4 (Madera)

3X1+2X2+0H1+H2 =18 (Plástico)

X1 ; X2 ; H1 ; H2 0




Vb bj X1 X2 H1 H2

0 H1 4 1 0 1 0

0 18 3 2 0 1 Sale H2 (R2:seleccionado).

Zj 0 0 0 0 0

Cj−Zj 3 5 0 0


1)Determinar variable de entrada: como el objetivo es Max Z, la determina el valor mayor positivo de Cj−Zj,es decir: C2−Z2 = 5, por lo tanto X2 debe entrar a la base Vb. (a2: seleccionada).

2)Determinar variable de salida: empleando la ecuación matricial Vb = bj/a2 (menor valor positivo); es decir:

=== ; siendo 9, el menor valor positivo, entonces H2, debe salir de la base Vb, siendo (R2:seleccionado).

3)Obtener el numero pivote np; de cuerdo a la tabla N°1; np=2.

4)Obtener elementos del renglón pivote: R.P.=R2 ; e introducirlo a la siguiente tabla

(tabla N°2). R.P. = = 9 3/2 1 0 1/2

Tabla N°2:


Vb bj X1 X2 H1 H2

75

0 H1 4 1 0 1 0 NR1

5 X2 9 3/2 1 0 1/2 R.P.

Zj 45 15/2 5 0 5/2

Cj−Zj −9/2 0 0 −5/2

5)Calcular los nuevos elementos del renglón restante R1, aplicando la ecuación NE, introducirlo a la nuevatabla (tabla N°2), es decir ; NR1 = R1−0 (R.P.) = R1

NR1 = 4 1 0 1 0


Zj bj = 0(4)+5(9) = 0+45 = 45

Zj X1 = 0(1)+5(3/2) = 0+15/2 = 15/2 ; Cj−Zj X1 = 3−15/2 = −9/2

Zj X2 = 0(0)+5(1) = 0+5 = 5 ; Cj−Zj X2 = 5−5 = 0

Zj H1 = 0(1)+5(0) = 0+0 =0 ; Cj−Zj H1 = 0−0 = 0

Zj H2 = 0(0)+5(1/2) = 0+5/2 = 5/2 ; Cj−Zj H2 = 0−5/2 = −5/2

VIII)Verificar optimalidad: cuando el objetivo es Maz Z, Cj−Zj0, en todos sus elementos, de acuerdo a latabla N°2, todos cumplen, por la tanto, la tabla N°2 es optima.

IX)Obtener solución optima, empleando la ecuación matricial: Vb = bj ; es decir: = Esto es igual a: X1= 0 ;H1=4 ; X2= 9; H2=0 ; Zmax = $45

X)Verificar factibilidad: Sustituyendo X1=0 ; X2=9 en el sistema de restricciones.

X1 4 3X1+2X218

04 (Cumple) 3(0)+2(9)18

1818 (Cumple).

XI)Conclusión: La compañía no deberá elaborar el producto A, solo deberá elaborar 9 productos tipos B,logrando una ganancia máxima de $45.

B) Suponga que los requerimientos del producto A, cambian de una unidad de

madera a 2 unidades y que de 3 unidades de plástico, se reduce a 2 unidades.

¿Afectan estos cambios a la solución optima?.

Procedimiento de calculo (Cambios en los coeficientes tecnológicos aij).


76


Max Z=3X1+5X2 X1= 0 ; H1= 4

Sujeta a : X2= 9 ; H2= 0

X1 4 Zmax = 45

3X1+2X218

X10 ; X20

2)Se modifica el vector de coeficientes tecnológicos de: a1= a ä1=


Max Z = 3X1+5X2 Función Objetivo

Sujeta a las restricciones:

2X1 4 Madera

2X1+2X218 Plástico

X10 ; X20 No−negatividad

4)Extraer de la tabla simplex optima, la matriz inversa B−1 y el vector dual CBB−1


Cj 3 5 0 0

Vb bj X1 X2 H1 H2

0 H1 4 1 0 1 0 B−1 =

2x2 Matriz inversa

5 X2 9 3/2 1 0 1/2

Zj 45 15/2 5 0 5/2 CBB−1 = ( 0 5/2 )

1x2 Vector Dual

Cj−Zj −9/2 0 0 −5/2

5)Calcular los elementos del renglón Zj−Cj, con la expresión: Zj−Cj = CBB−1äj−Cj ; en este caso: Z1−C1=C1) = CBB−1ä1−C1 = (0 5/2)−3 = 0(2)+5/2(2)−3 = 5−3 = 2

5.1)Como Z1−C1 = 2 > 0, la solución optima no sufre cambios; ir al paso 10.

10)Conclusión: Los cambios en los coeficientes tecnológicos de la columna de X1; no produce cambios en la

77

solución optima del problema original.

C) Suponga que los requerimientos del producto A, cambian de una unidad de

madera a 10 unidades y que de 3 unidades de plástico, se reduce a una unidad.

¿Afectan estos cambios a la solución optima?.

Procedimiento de calculo (Cambios en los coeficientes tecnológicos aij)



Max Z=3X1+ 5X2 X1 = 0 ; H1 = 4

Sujeta a : X2 = 9 ; H2 = 0

X1 4 Zmax = $45

3X1+2X218

X10 ; X20

2)Se modifica el vector de coeficientes tecnológicos de a1 = a ä1 = .


Max Z = 3X1 + 5X2 Función Objetivo

Sujeta a restricciones:

10X1 4 Madera

1X1+2X218 Plástico

X10 ; X20 No−Negatividad

4)Extraer la tabla simplex optima, la matriz inversa B−1 y el vector dual CBB−1


Cj 3 5 0 0

Vb bj X1 X2 H1 H2

0 H1 4 1 0 1 0

Matriz Inversa:

5 X2 9 3/2 1 0 1/2 B−1 =

78

Zj 45 15/2 5 0 5/2 CBB−1 = (0 , 5/2)

1x2 Vector Dual

Cj−Zj −9/2 0 0 −5/2

5)Calcular los elementos del renglón: Zj − Cj = CBB−1äj−Cj ; en este caso:

Z1−C1 = CBB−1ä1−C1 = (0 5/2) −3 = 0 (10) + 5/2 (1) − 3 = 5/2 − 3 = −1/2

5.2)Como: Z1−C1 = −1/2 < 0 ; ir al paso 6.

6)Aplicando el metodo dual, restablecer la tabla simplex optima, introduciéndole el vector

Y1 = B−1ä1 en la columna a1, la cual sufre cambios; es decir:

Y1 = = =


Entra X1 (a1:seleccionada).


Vb bj X1 X2 H1 H2

0 H1 4 10 0 1 0 Sale H1 (R1:seleccionado).

5 X2 5 1/2 1 0 1/2

Zj 45 5/2 5 0 5/2

Cj−Zj −1/2 0 0 5/2

7)Aplicando el método simplex, resolver la tabla simplex restablecida, bajo el siguiente

procedimiento:

a)Determinar variable de entrada: La define el mayor valor negativo de Zj−Cj; de acuerdo a la tabla simplexrestablecida; Z1−C1 = −1/2 (Mayor negativo); por lo tanto X1 debe entrar a la base Vb (a1 : seleccionada).

b)Determinar variable de salida: Empleando la ecuación matricial:

Vb = bj/a1(menor valor positivo) ; es decir:

=== ; Siendo 2/5 el menor valor positivo, entonces H1, debe salir de la base Vb.(R1:Seleccionado).

c)Obtener el numero pivote np; es decir np=10

d)Calcular los elementos del renglón pivote R.P., empleando la ecuación: R.P.=R1 , e introducirlo a la nuevatabla: R.P.=1/10 (4 10 0 1 0) = 2/5 1 0 1/10 0

79

Nueva tabla simplex

Cj 3 5 0 0

Función Objetivo

Vb bj X1 X2 H1 H2

3 X1 2/5 1 0 1/10 0 R.P.

5 X2 44/5 0 1 −1/20 1/2 NR2

Zj 226/5 3 5 1/20 5/2

Cj−Zj 0 0 −1/20 −5/2

e)Calcular los nuevos elementos del renglón restante, empleando la ecuación NE, es decir: NR2 = R2 − ½R.P. e introducirla a la nueva tabla.

R2 9 1/2 1 0 1/2

−1/2R.P. −1/2

9 1/2 1 0 1/2 sumar

−1/5 −1/2 0 −1/20 0

NR2 44/5 0 1 −1/20 1/2


Zj bj = 3(2/5)+5(44/5) = 6/5+220/5 = $226/5 = $45.2

Zj X1 = 3(1)+5(0) = 3+0 = 3 ; Cj−Zj X1 = 3−3 = 0

Zj X2 = 3(0)+5(1) = 0+5 = 5 ; Cj−Zj X2 = 5−5 = 0

Zj H1 = 3(1/10)+5(−1/20) = −3/10−5/20 = 1/20 ; Cj−Zj H1 = 0−1/20 = −1/20

Zj H2 = 3(0)+5(1/2) = 0+5/2 = 5/2 ; Cj−Zj H2 = 0−5/2 = −5/2

8)Verificar optimalidad: cuando el objetivo es Max Z; Cj−Zj0; en todos sus elementos, de acuerdo a la nuevatabla simplex, todos los elementos cumplen, por lo tanto, es optima.

9) Obtener nueva solución optima , empleando la ecuación matricial: Vb = bj.

=; por lo tanto X1=0.4 ; X2=8.8; Zmax=$45.2; Hi=0 ; H2=0

10)Conclusión: Los cambios en los coeficientes tecnológicos de X1; se manifiestan los cambios en laelaboración del producto A, un incremento de cero unidades a 0.4 unidades, una disminución del producto B,de nueve a 8.8; pero la ganancia se ve incrementada de $45 a $45.2.

80

D)¿Conviene producir un nuevo producto C, cuya ganancia es de $ 7, cuyos requerimientos son de unaunidad de madera y 2 unidades de plástico?

Procedimiento de calculo (Añadir una nueva actividad Xj)



Max Z=3X1+ 5X2 X1 = 0 ; H1 = 4

Sujeta a : X2 = 9 ; H2 = 0

X1 4 Zmax = $45

3X1+2X218

X10 ; X20


Max Z = 3X1 + 5X2 +7X3 Función Objetivo


X1 +1X3 4 Madera

3X1+2X2+2X3 18 Plástico

X10 ; X20 ; X30 No−Negatividad

3)Extraer la tabla simplex optima, la matriz inversa B−1 y el vector dual CBB−1


Cj 3 5 0 0

Vb bj X1 X2 H1 H2

0 H1 4 1 0 1 0

Matriz Inversa:

5 X2 9 3/2 1 0 1/2 B−1 =

Zj 45 15/2 5 0 5/2 CBB−1 = (0 , 5/2)

1x2 Vector Dual

Cj−Zj −9/2 0 0 −5/2

4)Calcular el valor de Z3−C3 ; empleando la ecuación: Z3−C3 = CBB−1 a3−C3 ; es decir:

81

Z3−C3 = (0 5/2) −7 = 0 (1) + 5/2 (2) − 7 = 5 − 7 = −2

4.2)Como: Z3−C3 = −2 < 0 ; ir al paso 5.

5)Aplicando el método dual, restablecer la tabla simplex optima, introduciendo el nuevo vector Yj =B−1aj, en la columna aj ; es decir Y3 = B−1a3 ; en a3 entonces:

Y1 = B−1ä1 en la columna a1, la cual sufre cambios; es decir:

Y3 = = =

Tabla simplex (restablecer)

Entra X3 (a3:seleccionada).

Cj 3 5 7 0 0 Función objetivo.

Vb bj X1 X2 X3 H1 H2

0 H1 4 1 0 1 1 0 Sale H1(R1:seleccionado).

5 X2 9 3/2 1 1 0 1/2

Zj 45 15/2 5 5 0 5/2

Cj−Zj 9/2 0 −2 0 5/2

6)Empleando el método simplex, resolver la tabla simplex restablecida, bajo el siguiente

procedimiento:

a)Determinar variable de entrada: La cual es determinada por el mayor valor negativo de Zj−Cj; de acuerdo ala tabla restablecida; Z3−C3 = −2 (Mayor negativo); por lo tanto X3 debe entrar a la base Vb (a3 :seleccionada).

b)Determinar variable de salida: Empleando la ecuación matricial:

Vb = bj/a3(menor valor positivo) ; es decir:

== = ; Siendo 4 el menor valor positivo, entonces H1, debe salir de la base Vb.(R1:Seleccionado).

c)Obtener el numero pivote np; es decir np=1

d)Calcular los elementos del renglón pivote R.P., empleando la ecuación: R.P.=R1 , e introducirlo a la nuevatabla simplex : R.P.=(4 1 0 1 1 0) = 4 1 0 1 1 0

Nueva tabla simplex

Cj 3 5 7 0 0

Función Objetivo

82

Vb bj X1 X2 X3 H1 H2

7 X3 4 1 0 1 1 0 R.P.

5 X2 5 1/2 1 0 −1 1/2 NR2

Zj 53 19/2 5 7 2 5/2

Cj−Zj −13/2 0 0 −2 −5/2

e)Calcular los nuevos elementos del renglón restante R2, aplicando la ecuación NE, es decir: NR2 = R2 − 1R.P. e introducirla a la nueva tabla simplex .

R2 9 3/2 1 1 0 1/2

−1 R.P. −1

9 3/2 1 1 0 1/2 sumar

−4 −1 0 −1 −1 0

NR2 5 1/2 1 0 −1 1/2


Zj bj = 7(4)+5(5) = 28+25 = $53

Zj X1 = 7(1)+5(1/2) = 7+5/2 = 19/2 ; Cj−Zj X1 = 3−19/2 = −13/2

Zj X2 = 7(0)+5(1) = 0+5 = 5 ; Cj−Zj X2 = 5−5 = 0

Zj X3 = 7(1)+5(0) = 7+0 = 7 ; Cj−Zj X3 = 7−7 = 0

Zj H1 = 7(1)+5(−1) = 7−5 = 2 ; Cj−Zj H1 = 0−2 = −2

Zj H2 = 7(0)+5(1/2) = 0+5/2 = 5/2 ; Cj−Zj H2 = 0−5/2 = −5/2

7)Verificar optimalidad: cuando el objetivo es Max Z; Cj−Zj0; en todos sus elementos, de acuerdo a la nuevatabla simplex, todos los elementos cumplen, por lo tanto, es optima.

8) Obtener nueva solución optima , empleando la ecuación matricial: Vb = bj.

=; por lo tanto X1= 0 ; X2 = 5; X3 = 4 ; Zmax=$53; Hi=0 ; H2=0

9)Conclusión: Si es conveniente elaborar el producto C, ya que permite incrementar la ganancia de $45a $53, mientras que el producto A, no conviene elaborarse, la elaboración del producto B, disminuye de9 a 5 unidades y el producto C, deben de elaborarse 4 unidades.

E)¿Conviene producir un nuevo producto C, cuya ganancia es de $ 4, cuyos requerimientos son de 10unidades de madera y 4 unidades de plástico?.

Procedimiento de calculo (Añadir una nueva actividad Xj)

83



Max Z=3X1+ 5X2 X1 = 0 ; H1 = 4

Sujeta a : X2 = 9 ; H2 = 0

X1 4 Zmax = $45

3X1+2X218

X10 ; X20


Max Z = 3X1 + 5X2 +4X3 Función Objetivo


X1 +10X3 4 Madera

3X1+2X2+ 4X3 18 Plástico

X10 ; X20 ; X30 No−Negatividad

3)Extraer de la tabla simplex optima, la matriz inversa B−1 y el vector dual CBB−1


Cj 3 5 0 0

Vb bj X1 X2 H1 H2

0 H1 4 1 0 1 0

Matriz Inversa:

5 X2 9 3/2 1 0 1/2 B−1 =

Zj 45 15/2 5 0 5/2 CBB−1 = (0 , 5/2)

1x2 Vector Dual

Cj−Zj −9/2 0 0 −5/2

4)Calcular el valor de Z3−C3 ; empleando la ecuación: Z3−C3 = CBB−1 a3−C3

Z3−C3 = (0 5/2) −4 = 0 (10) + 5/2 (4) − 4 = 10 − 4 = 6

4.2)Como Z3−C3 = 6 > 0 ; por lo tanto, X3 no debe entrar a la base Vb y su valor es igual a cero. Ir al paso 9.

84

9)Conclusión: Como la nueva actividad no se acepta, no es conveniente elaborar el producto C, por lotanto la solución optima no sufre cambios.

Actividad 16: ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

Problemas propuestos:

1)Una companía de metal, fabrica un tipo especial de molde que debe contener cuando menos 20% dehierro forjado y 5% de plomo. La compañía tiene dos tipos de mineral a partir del cual puede fabricarlos moldes. Los contenidos de hierro forjado y plomo (Expresados en porcentaje por libra), de los dosminerales que aparecen tabulados enseguida. El costo por tonelada del mineral I es $260 y del mineralII es $80.

Tabla:

Contenido

MineralHierro forjado plomo

Mineral I 60 % 10 %

Mineral II 13 % 3 %

a)Encuentre la solución optima, empleando el método simplex.

b)Suponga que el requerimiento mínimo de hierro forjado se aumenta de 20% a 21%.

c)Suponga que el plomo mínimo que se requiere se aumenta de 5% a 6%. ¿Cómo se

afectaría el costo de la mezcla?.

2)Un fabricante de juguetes que esta preparando un programa de producción para dos artículosMaravilla y fantástico, debe utilizar la información respecto a sus tiempos de construcción que seproporciona en la tabla. La maquina A dispone de 70 horas semanales, la maquina B, de 40 horassemanales y para terminado, 40 horas semanales. Si las utilidades de cada juguete maravilla yfantástico son de $4 y $6, respectivamente.

a)Encontrar la solución optima, empleando el método simplex.

b)Si la disponibilidad de las maquinas A, B, y C, cambian a 60 horas, 50 horas y 40 horas semanales,respectivamente. ¿ Como se afectaría la solución optima ?

Tabla:

Maquina

ArticuloA B C

Maravilla 2 Horas 1 Hora 1 Hora

Fantastico 1 Hora 1 Hora 3 Horas

3) Casa consuelo quiere gastar $ 1,000 en publicidad local. El objetivo global es alcanzar la máximaaudiencia posible al mismo tiempo que llegar hasta 6,000 niños por lo menos. Se dispone a tres medios;su costo y la audiencia que tiene se dan en la tabla que sigue.

85

Tabla:

Medios

Costo y AudienciaPeriódico Radio T.V.

Costos por paquete $200 $150 $400

Audiencia Total 20,000 14,000 36,000

Audiencia de niños 1,000 1,000 3,000

a)Obtener solución optima empleando el método simplex.

b)Una revista local a ofrecido garantizar una audiencia de 12,000 con 2,000 niños por un costo de $ 300.¿ Debe considerarse esta oferta?

c)Un amigo comenta a casa consuelo que las abuelas compran muchos juguetes. Ahora quiere estarsegura que la publicidad llega por lo menos a 1,000 abuelas por paquete comercial, respectivamente. ¿Cambiaría la solución optima con esta nueva restricción ?.

ACTIVIDAD 17: MODELO DE TRANSPORTACIÓN

OBJETIVO: El objetivo del modelo de transportación es determinar el mejor patrón de embarquedesde varios puntos de suministros. Si (fuentes) a varios puntos de demanda dj (destinos), a fin dereducir los costos de transportación. Generalmente, existe una capacidad determinada de bienes paracada fuente y también, un requerimiento de bienes para cada destino. Cada empresa con una red deabasto y puntos de demanda se encara con éste problema. Para reducir éste tipo de problemas se handesarrollado algoritmos de propósitos especiales, mas específicos, para la aplicación del transporte, éstemodelo se aplica de igual manera que el método de programación lineal, primero encuentra unasolución factible inicial, y luego hace un mejoramiento paso a paso hasta que se alcanza una soluciónóptima. Contrariamente el método simplex de programación lineal, el método de transportación esrelativamente fácil de calcular.

PROPÓSITO: El propósito del método de transportación es encontrar los medios menos costosos paraembarcar abastos desde varios orígenes hacia varios destinos. Los puntos de origen (fuentes) pueden serfábricas, almacenes o cualquier otro de los puntos desde donde se embarcan los bienes. Los destinos soncualquiera de los puntos que reciben bienes. Para utilizar el modelo de transportación, es necesario tener:

Los puntos de origen y la capacidad de abasto por período, para cada uno.• Los puntos de destino y la demanda por período para cada uno.• El costo de embarque por unidad desde cada origen hacia cada destino y• Establecer una matriz de transportación, la cual tiene como propósitos: es el de resumir en formaconveniente y concisa todos los datos relevantes y continuar los cálculos del algoritmo.

•

Matriz de Transportación

DESTINO

ORIGENCOSTO POR UNIDAD DISTRIBUIDA

RECURSO OSUMINISTRO

1 2 3 ... n

1 C11 C12 C13 ... C1n S1

2 C21 C22 C23 ... C2n S2

86

... ... ... ... ... ... ...

m Cm1 Cm2 Cm3 ... Cmn Sm

DEMANDA dj(REQUERIMIENTOS)

d1 d2 d3 ... dn"Si

"dj

Para aplicar cualquier método de transporte , es necesario equilibrar la matriz de transportación, es decir,cuando la capacidad de suministro es diferente a la capacidad de requerimientos.

CARACTERÍSTICAS: El problema general de transportación se refiere (literal ó figuradamente) a ladistribución de cualquier bien desde cualquier grupo de centros de abastecimiento, llamados orígenes, acualquier grupo de centros de recepción llamados destinos, de tal manera que se minimicen los costos totalesde distribución.

Sea Z el costo total de distribución y Xij (i = 1, 2, ... m, y j = 1, 2, ... n ) el número de unidades que sedistribuyen del origen i al destino j, la formulación de programación lineal para este problema es:

Min Z = " " Cij Xij Función Objetivo

Sujeta a las Restricciones

" Xij = Si ; para i = 1, 2, ..., m

" Xij = dj ; para j = 1, 2, ..., n

X ij >= 0; para todo i y j

Donde: Z = Costos.

Cij = Contribución por unidad.

Xij = Número de unidades enviadas del origen i al destino j.

Si = Suministro desde el origen i.

dj = Requerimiento del destino j.

ACTIVIDAD 18: METODOS DE TRANSPORTE PARA MINIMIZAR.

I) Esquina Noroeste: Es un método sistemático, el cual es necesario principiar el cuadro superiorizquierdo (ó esquina noroeste de la matriz de transportación equilibrada) y asignar unidades a las rutasde embarque, entendiéndose que éste método no da la mejor solución.

Por ejemplo: Cuando la capacidad de suministro es menor a la capacidad de requerimientos. "Si < "dj,entonces debe crearse un origen ficticio Sm+1, con capacidad equivalente a la diferencia de "dj − "Si, cuyoscostos de embarque Cij son de cero unidad. Y cuando la capacidad de suministro sea mayor a la capacidad derequerimientos "Si > "dj; entonces debe crearse un destino ficticio dn+1, con capacidad equivalente a ladiferencia de "Si − "dj, cuyos costos de embarque Cij, deben ser de cero unidad.

Procedimiento de cálculo (Método Esquina Noroeste)

Estructurar la matriz de transportación equilibrada ("Si = "dj).•

87

Iniciar envíos en la esquina noroeste (superior izquierda de la matriz).• Terminar el abasto (capacidad del origen) de cada renglón antes de moverse hacia abajo, al siguienterenglón.

•

Terminar los requerimientos (destinos) de cada columna antes de moverse a la siguiente columna, hacia laderecha.

•

Verificar que todos los abastos y las demandas se hayan cumplido.•

Calcular el valor de Z, empleando la ecuación Min Z = " " Cij Xij•

Hacer un reporte.•

II) Mutuamente Preferido: Con éste método todas las rutas que tienen el costo más bajo, tanto en renglonescomo en columnas, se emplean en la solución inicial, siendo estas rutas las que se prefieren por sus costosbajos, entonces serán mutuamente preferidas para la solución inicial. Este método no da la mejor solución, porlo que tan solo puede ser útil obtener una solución inicial.

Procedimiento de cálculo. (Método Mutuamente Preferido)

Estructurar la matriz de transportación equilibrada ("Si = "dj).• Preparar una nueva matriz de transportación, en las cuales se remuevan las rutas preferidas (sin considerarla ficticia, en caso de existir), por lo que se hace eliminando los renglones ó columnas que tengan lascantidades limitadas y empleando el método esquina noroeste, se continua removiendo las rutas preferidas,hasta agotar capacidad del renglón y hasta satisfacer la demanda de cada columna.

•

Verificar que todos los abastos y las demandas de hayan cumplido.•

Calcular el valor de Z, empleando la ecuación: Min Z = " " Cij Xij•

5)Hacer un reporte.

III) Cruce del Arroyo: En su solución inicial, el método del cruce del arroyo puede aprovechar la regla de laesquina noroeste y la inspección, a fin de obtener el valor del costo más bajo de transporte, basado en ciertasrutas de envíos. La regla de la esquina noroeste exige que las cantidades enviadas de los orígenes a losdestinos deben comenzar en la esquina superior izquierda. Esa ruta puede ser utilizada por completa, es decir,que la capacidad de los orígenes ó los requerimientos de los destinos se utilizan por completo, dependiendo deque número sea mas bajo. La holgura (suministro ó demanda ficticio), se asigna después, es decir, al final. Lainspección significa que las cantidades que vayan a enviarse se colocan en cuadro de acuerdo con la regla dela esquina noroeste, a fin de que muchos de los costos de transporte mas bajos se asocian con los cuadrosllenos, esto quiere decir hay que mover las columnas ó renglones.

Requisitos: Para emplear el método de cruce del arroyo, es necesario cumplir con los siguientes requisitos:

Tener una solución inicial, generada por los métodos esquina noroeste y la inspección,• Un proceso iterativo no degenerado, de lo contrario, hace imposible el trazo de una ruta cerrada,entendiéndose por degeneración, el no cumplir con el número adecuado de rutas. La prueba de ladegeneración m+n−1; (donde m representa en número de renglones y n el número de columnas de la matrizde transacción equilibrada). Si m+n−1 = Cuadros llenos (asignaciones); el problema no está degenerado,pero si m+n−1 " cuadros llenos (asignaciones) ; el problema está degenerado . Cuando esto ocurra, esnecesario agregar artificios !, cuyo valor es de cero unidades a los cuadros vacíos (no ocupados), tantoscomo sean necesarios para cumplir con m+n−1 = cuadros llenos (asignaciones), evitando formar circuitoscerrados.

•

Tomar en cuenta las rutas prohibidas, cuando esto ocurra en el problema, debe asignarse M a ese cuadro Cijde envío, cuyo valor debe ser muy alto, cuando el objetivo sea minimizar Z ó muy bajo, si el objetivo es

•

88

maximizar Z, esto con el fin de garantizar costos muy altos ó ganancias muy bajas, de tal manera que seconsideren prohibidos para el objetivo Z.

Técnica: Consiste en moverse desde una solución factible inicial hacia una solución óptima. El método crucedel arroyo (piedra que rueda) se utiliza para evaluar la efectividad del costo al enviar bienes por medio derutas de transportación, que no se encuentren actualmente en la solución (cuadros vacíos). Se prueba cadacuadro no utilizado (vacío) en la tabla de transportación, hasta encontrar la mejor asignación que optimice elobjetivo Z.

Procedimiento de cálculo: (Método Cruce del Arroyo)

Seleccionar un cuadro no utilizado (vacío) para evaluar.• A partir de éste cuadro, trazar una ruta cerrada de regreso al cuadro original, a través de cuadros que seestén utilizando actualmente (únicamente se permiten movimientos horizontales y verticales). Sin embargose puede pasar un cuadro vacío ú ocupado, es decir, sólo se permiten dos cuadros en cada movimiento, yaque los movimientos, siempre deben sumar cantidades pares, en cuánto al número de cuadros a utilizar.

•

Comenzando con signo positivo (+) en el cuadro no utilizado, poner signos positivo y negativo, en formaalternada en cada cuadro de la ruta recién trazada.

•

Calcular el índice de mejoramiento mediante la suma de los costos unitarios de cada cuadro que tenga unsigno positivo, y después restar los costos unitarios de cada cuadro que tenga un signo negativo.

•

Repetir los pasos 1 al 4 hasta que se calcule un índice de mejoramiento para todos los cuadros no utilizados.Si todos los índices calculados son mayores ó iguales a cero , se ha alcanzado una solución óptima. Si no,es posible mejorar la solución actual y reducir costos totales de envíos.

•

Verificar que todos los abastos y demandas se hayan cumplido.•

Calcular el valor de Z, empleando la ecuación Min Z = " " Cij Xij• Hacer un reporte.•

ACTIVIDAD 19: MÉTODOS DE TRANSPORTE PARA MINIMIZAR

Problema de Autoevaluación

Una empresa desea minimizar los costos de embarque, según la matriz mostrada. Resuelva, empleando losmétodos:

Esquina noroeste• Mutuamente preferido• Cruce del arroyo•

DESTINO

ORIGEN1 2 3

SUMINISTRO

Si

A $ 5 $ 7 $ 4 150

B $ 6 $ 3 $ 5 300

DEMANDA dj 100 250450

450Solución

1) Empleando la Esquina Noroeste.

Procedimiento de cálculo

89

Estructurar la matriz de transportación equilibrada ("Si = "dj)•

En nuestro problema "Si = 450 y "dj = 450; como ("Si = "dj, no es necesario agregar un origen ni destinoficticio.

Matriz de Transportación Equilibrada

DESTINO

ORIGEN1 2 3

SUMINISTRO

Si

A5

100

7

504 15/0 5/0 0

B 63

200

5

10030/0 10/0 0

DEMANDA dj 10/0 0 25/0 20/0 0450

450

Iniciar envíos en la esquina noroeste•

Terminar el abasto (capacidad del origen) de cada renglón antes de moverse hacia abajo al siguienterenglón.

•

Desde el origen A enviamos 100 unidades al destino 1, como aún queda capacidad de 150 − 100 = 50;entonces el origen A enviará 50 unidades al destino 2, en ese momento, el origen A agota su capacidad,cuando esto ocurre, se mueve hacia abajo, al siguiente renglón, es decir, al origen B, para satisfacer lasdemandas restantes.

Desde el origen B enviamos 200 unidades al destino 2, para satisfacer demanda, quedando capacidad de 300 −200 = 100; entonces B, envía 100 unidades al destino 3, satisfaciendo su demanda, en ese momento el origenB, agota su capacidad.

Cada requerimiento (demanda) se fue satisfaciendo de izquierda a derecha, una a una.• Como podemos observar, todos los abastos y las demandas se han cumplido (hasta llegar al valor de cero).• Calcular valor de Z, empleando la ecuación: Min Z = " " Cij Xij donde Z = Costos•

Z Min = 5 (100) + 7 (50) + 3 (200) + 5 (100 ) =

Z Min = 500 + 350 + 600 + 500 = $1950

Hacer un reporte:•

Para que los costos de embarque sean mínimos en un total de $1950, debemos enviar:

100 unidades del origen A, al destino 1, con un costo de $5/unidad = $500• 50 unidades del origen A, al destino 2, con un costo de $7/unidad = $350• 200 unidades del origen B, al destino 2, con un costo de $3/unidad = $600• 100 unidades del origen B, al destino 3, con un costo de $5/unidad = $500•

Costo Total = $1950

90

2) Empleando Mutuamente preferido (Inspección)

Procedimiento de cálculo.

Estructurar la matriz de transportación equilibrada (" Si = "dj )•

En nuestro problema "Si = 450 y "dj = 450; como "Si = "dj; no es necesario agregar ni origen ni destinoficticio.

Matriz de Transportación Equilibrada

DESTINO

ORIGEN1 2 3

SUMINISTRO

Si

A 5 7 4 150

B 6 3 5 300


450

Preparar una nueva matriz de transportación, en este caso vamos a elegir las columnas para removerlas ydejar los renglones en la posición mostrada en la matriz de transportación.

•

Nueva Matriz de Transportación

DESTINO

ORIGEN3 1 2

SUMINISTRO

Si

A4

100

5

507 15/0 5/0 0

B 56

50

3

25030/0 25/0 0

DEMANDA dj 10/0 0 10/0 5/0 0450

450

Con la ayuda de la técnica de esquina noroeste, empezamos los envíos, eligiendo el origen A, hasta agotar sucapacidad, considerando primero el destino que más prefiere, con el objetivo de minimizar los costos, es porello que prefiere enviar: al destino 3 primero, es decir, del origen A enviar 100 unidades al destino 3,satisfaciendo así su demanda, como aún le queda capacidad de 150 − 100 = 50, ahora elige al destino másbarato de los que quedan, es decir, elige al destino A, entonces el origen 1 envía 50 unidades al destino 1, enese momento agota su capacidad, entonces pasamos al renglón dos, para seguir satisfaciendo las demandasrestantes, con el mismo criterio de seguir prefiriendo los destinos más económicos, es decir, del origen B,enviar 50 unidades al destino 1, satisfaciendo su demanda, quedando con capacidad des 300 − 50 = 250; porlo tanto, el origen B enviará 250 unidades al destino2, satisfaciendo su demanda y en ese momento agota sucapacidad

Como podemos observar todos los abastos y demandas se han cumplido (hasta llegar a valor cero)• Calcular el valor de Z, empleando la ecuación: Min Z = " " Cij Xij•

91

Z Min = 4 (100) + 5 (50) + 6 (50) + 3 (250)

Z Min = 400 + 250 + 300 750

Z Min = $1700


Para minimizar los costos de envíos en un total de $1700, debemos enviar:

Del origen A, 100 unidades al destino 3, con un costo de $4/unidad = $400♦ Del origen A, 50 unidades al destino 1, con un costo de $5/unidad = $250♦ Del origen B, 50 unidades al destino 1, con un costo de $6/unidad = $300♦ Del origen B, 250 unidades al destino 2, con un costo de $3/unidad = $750♦

Costo Total = 1700

3) Empleando Cruce del Arroyo.

Procedimiento de cálculo:

Primero: Debemos revisar los requisitos

Tener una solución inicial: Podemos aprovechar la solución de esquina noroeste y mutuamente preferido(inspección), antes aplicado.

•

DESTINO

ORIGEN3 1 2

SUMINISTRO

Si

A4

100

5

507 150

B 56

50

3

250300


450Un proceso iterativo no degenerado: Si m=2 y n=3; entonces m+n−1= 2+3−1= 4.•

Si el número de cuadros llenos son 4; entonces m+n−1= cuadros llenos, es decir: 4=4; entonces el problemano está degenerado.

No existen rutas preferidas.•

Segundo: Debemos aplicar el procedimiento iterativo (Técnica)

Seleccionar un cuadro no utilizado (vacío) para evaluar: en la tabla los cuadros serían A2 y B3.• A partir de estos cuadros, trazar rutas cerradas de regreso al cuadro original, a través de cuadros utilizados(permitiendo movimiento horizontal y vertical).

•

Comenzando con un signo positivo (+) en el cuadro no utilizado, alternando los signos.• Calcular el índice de mejoramiento , es decir:•

92

A2 = 7 − 3 + 6 − 5 = 13−8= 5

B3 = 5 − 4 + 5 − 6 = 10−10 = 0

Como no existen valores (índices) negativos, la solución del problema es óptima.• Como podemos observar los abastos y las demandas se han cumplido (hasta llegar a un valor cero)• Calcular el valor de Z, empleando la ecuación: Min Z = " " Cij Xij•


Para minimizar los costos de embarque en un total de $1700, debemos enviar:

Del origen A, enviar 100 unidades al destino 3,con un costo de $4/unidad=$400♦ Del origen A, enviar 50 unidades al destino 1, con un costo de $5/unidad=$250♦ Del origen B, enviar 50 unidades al destino 1, con un costo de $6/unidad=$300♦ Del origen B, enviar 250 unidades al destino 2, con un costo de $3/unidad=$750♦

ACTIVIDAD 20: MÉTODOS DE TRANSPORTE PARA MINIMIZAR.


Una compañía tiene actualmente un programa de embarques que la administración superior no consideracomo óptimo. La empresa tiene tres fábricas y cinco bodegas. A continuación se dan datos necesarios entérminos de costos de transporte, capacidades de fábrica y requerimientos de bodegas. Empleando losmétodos: 1.Esquina noroeste, 2. Mutuamente preferido y 3. Cruce de arroyo; encontrar el costo mínimo deembarque de la compañía.

•


FABRICA

BODEGAA B C DEMANDA dj

1 $5 $4 $8 400

2 $8 $7 $4 400

3 $6 $7 $6 500

4 $6 $6 $6 400

5 $3 $5 $4 800

SUMINISTRO

Si800 600

2500

2500

Una compañía que renta autos tiene problemas de distribución, debido a que los acuerdos de renta permitenque los autos se entreguen en lugares diferentes a aquellos que originalmente fueron rentados, por elmomento, hay dos lugares (orígenes) con 15 y 13 autos de exceso, respectivamente, los costos unitarios deenvío entre los lugares se citan en la matriz. La compañía desea minimizar los costos, resuelva empleandolos métodos: 1. Esquina noroeste, 2. Mutuamente preferido y 3. Cruce de arroyo.

•


DESTINO 1 2 3 4 SUMINISTRO

93

ORIGEN Si

A $45 $17 $21 $30 15

B $14 $18 $19 $31 13

DEMANDA dj 9 6 728

31

Una empresa distribuidora desea minimizar los costos de embarque de cada bodega a cada uno de losalmacenes. En la matriz se dan los datos de capacidad, demanda y costos. Resuelva empleando losmétodos: 1.Esquina noroeste, 2.Mutuamente preferido y 3.Cruce de arroyo.

•

ALMACEN

FABRICA1 2 3 4

SUMINISTRO

Si

A $7 $3 $8 $8 100

B $5 $5 $6 $8 200

C $7 $4 $9 $10 200

DEMANDA dj 150 150 120600

500Una compañía tiene dos almacenes que surten cinco bodegas de mayoreo. Los almacenes operan al 100%de su capacidad. La compañía planea abrir un tercer almacén para proveer el 50% esperado de aumento enlas ventas en cada depósito durante los próximos tres años. La situación actual es:

•

ALMACEN CAPACIDAD DEPOSITO DEMANDA

A 120 1 50

B 160 2 100

3 30

4 40

5 60

COSTOS DE TRANSPORTE

DEA

1 2 3 4 5

A $5 $8 $4 $6 $2

B $3 $4 $9 $5 $2

Se están considerando dos localizaciones para el nuevo almacén. Los costos de transporte a cada depósito sonlos siguientes:

DEA

1 2 3 4 5

L1 $7 $5 $3 $8 $2

L2 $2 $8 $3 $7 $2

Suponiendo que los costos de transporte son el único factor, ¿Qué localización debe elegir la compañía parasu nuevo almacén? (No olvide el 50% en las ventas), resuelva empleando los métodos: 1.Esquina noroeste, 2.Mutuamente preferido y 3. Cruce de arroyo.

94

ACTIVIDAD 21: METODO DE TRANSPORTE HÚNGARO PARA MAXIMIZAR.

Introducción: El método de transporte está diseñado para problemas de minimización, sin embargo, habráveces que se tenga un problema de transporte que se requiera maximización. Por ejemplo si las rutasalternativas incluyen una función de rendimiento, debe maximizar ese rendimiento o ganancia.

Técnica: Una de las técnicas más usuales que utiliza el método húngaro es Minimización del costo deoportunidad. Si se está maximizando, entonces las ganancias altas son buenas y las pequeñas son malas. Se lepuede dar la vuelta al problema encontrando el cuadro con la mayor ganancia y restando de éste, todas lasganancias de todos los cuadros (sin incluir lo ficticio). Estas diferencias son los costos de oportunidad por nousar los cuadros de ganancias altas. Se incluyen estos costos de oportunidad en la matriz de transportación yse aplican los métodos de transporte para minimizar y así encontrar la solución óptima.

Procedimiento de Cálculo: (Método Húngaro)

Estructurar la matriz de transportación equilibrada ("Si = "dj).• Preparar una matriz de transportación que incluya costos de oportunidad.• Aplicar el método cruce de arroyo con la ayuda de la regla de la esquina noroeste, para encontrar unasolución óptima.

•

Colocar las asignaciones en la matriz de transportación equilibrada.• Verificar que los abastos y demandas se hayan cumplido.•

Calcular el valor de Z, empleando la ecuación Max Z = " " Cij Xij• Hacer un reporte.•

ACTIVIDAD 22: MÉTODO DE TRANSPORTE HÚNGARO PARA MAXIMIZAR.

Problema de Autoevaluación.

Una compañía tiene tres plantas cada una de las cuales puede fabricar los tres productos de la compañía. Losprecios de venta son independientes de la planta de origen, pero los costos variables difieren debido a lasdistintas edades de la maquinaria ya que los costos de mano de obra también difieren. La compañía quieresaber que cantidad de cada producto debe fabricar en cada planta, las capacidades semanales y las demandasde ventas se dan enseguida.

PLANTA CAPACIDAD PRODUCTO DEMANDA

A 500 Estándar 1500

B 3000 De Lujo 2000

C 3500 Plus 2500

7000 6000

La contribución neta (Ganancia = precio−costo variable) para cada planta y la combinación de productos enpesos/unidad son:

PRODUCTOS

PLANTA ESTÁNDAR DE LUJO PLUS

A $4 $1 $5

B $6 $8 $7

C $5 $4 $4

95

a) Encuentre el plan que maximice la ganancia.

b) ¿Cuál es la ganancia máxima?

Solución:

Procedimiento de cálculo.

Estructurar la matriz de transportación equilibrada ("Si = "dj)•

En este problema nos damos cuanta que la capacidad es mayor que la demanda "Si>"dj; por lo que esnecesario agregar una demanda ficticia d4, cuya capacidad de requerimiento es "Si − "dj, es decir:7000−6000; cuya contribución de producción debe de ser de cero unidad.

Matriz de Transportación (Ganancias)

PRODUCTOS

PLANTAESTÁNDAR

DELUJO

PLUS FICTICIOSUMINISTRO

Si

A 4 1 5 0 500

B 6 8 7 0 3000

C 5 4 4 0 3500

DEMANDA dj 2000 25007000

7000

Preparar una nueva matriz de transportación que incluya costos de oportunidad, para ello debemos localizarla ganancia más alta, que de acuerdo a la matriz es 8, debemos restar de 8 cada una de las ganancias , paraconvertirlos en costos de oportunidad.

•

Matriz de Transportación (Costos de Oportunidad)

PRODUCTOS

PLANTAESTÁNDAR

DELUJO


Si

A4

5007 3 0 50/0 0

B2

1000

0

20001 0 30/00 20/00 0

C 34

0

4

2500

0

100035/00 10/00 0

DEMANDA dj 15/00 0/00 0 20/00 0 25/00 07000

7000

Aplicar el método Cruce del Arroyo.•

96

Primero: debemos encontrar una solución inicial, empleando la regla esquina noroeste, el cual consiste enconsiderar cada origen hasta agotar capacidad, satisfaciendo demandas de la planta A, producir 500 unidadesestándar, agotando así su capacidad, en ese momento nos bajamos al siguiente renglón, es decir, la planta B, lacual debe producir 1000 unidades estándar y 2000 unidades de lujo, agotando así su capacidad, entoncespasamos al siguiente renglón, es decir, la planta C, la cual debe producir cero unidades de lujo, 2500 unidadesplus y 1000 unidades ficticias, agitando así su capacidad, quedando cubierta cada una de las demandas.

Segundo: Debemos tener un proceso iterativo no degenerado: Si m=3, n=4; entonces m+n−1= Cuadrosllenos. 3+4−1=6 = 6 cuadros llenos, entonces el problema no esta degenerado.

Tercero: Debemos aplicar el proceso iterativo (Técnica cruce del arroyo)

Seleccionamos los cuadros no utilizados, para obtener su valor (índice)

A De Lujo = 7−0+2−4= 9−4= 5

A Plus = 3−4+4−0+2= 9−8= 1

A Ficticio= 0−0+4−0+2−4= 6−4= 2

B Plus = 1−4+4−0= 5−4= 1

B Ficticio= 0−0+4−0= 4

* C Estándar= 3−2+0−4= −3

Al encontrar valores negativos, debemos elegir el de mayor valor y asignar valores a ese cuadro.

B Estándar B De Lujo

C Estándar C De Lujo

B Estándar B De Lujo

C Estándar C De Lujo

Entonces la matriz de transportación (De costos de oportunidad) se modifica:

PRODUCTOS

PLANTAESTÁNDAR

DELUJO


Si

A4

5007 3 0 500

B2

1000

0

20001 0 3000

C3

04

4

2500

0

10003500

DEMANDA dj 1500 2000 2500 7000

97

7000

Requisitos para continuar:

Z Min= 4 (500)+ 2(1000) + 0 (200) + 3 (0) + 4 (2500) + 0 (1000)

Z Min= $14000 (No mejoró)

m+n−1= 3+4−1= 6; No Degenerado

Seleccionar cuadros no utilizados y encontrar su valor (índice)

A De Lujo = 7−0+2−4= 9−4= 5

A Plus = 3−4+3−4= 6−8 = −2

A Ficticio= 0−0+3−4= 3−4= −1

* B Plus = 1−4+3−2= 4−6= −2

B Ficticio= 0−0+3−2= 3−2= 1

C De Lujo= 4−3+2−0= 6−3=3

B Estándar B Plus B Estándar B Plus

C Estándar C Plus C Estándar C Plus

Revisando los cuadros negativos 1000 es la cantidad menor de ellos, por lo tanto, cada cuadro negativo (−)enviará 1000 unidades a un cuadro positivo (+).

PRODUCTOS

PLANTAESTÁNDAR

DELUJO


Si

A4

5007 3 0 500

B 20

2000

1

10000 3000

C3

10004

4

1500

0

10003500

DEMANDA dj 1500 2000 25007000

7000


Z Min= 4 (500) + 0 (2000) + 1 (1000) + 3 (1000) + 4 (1500)+ 0 (1000)

98

Z Min= $12000 (Mejoró)


Seleccionar los cuadros no utilizados y calcular su valor (índice)

A De Lujo = 7−0+1−4+3−4= 11−8= 3

* A Plus = 3−4+3−4=6−8= −2

A Ficticio= 0−0+3−4= −1

B Estándar = 2−1+4−3= 6−4= 2 A Estándar A Plus A Estándar A Plus

B Ficticio= 0−0+4−1= 3

C De Lujo= 4−0+1−4= 5−4=1

C Estándar C Plus C Estándar C Plus

La menor cantidad de los negativos es 500, por lo tanto cada cuadro negativo (−), enviará esa cantidad a cadacuadro positivo (+).

Matriz de transportación (costos de oportunidad) óptima

PRODUCTOS

PLANTAESTÁNDAR

DELUJO


Si

A 4 73

5000 500

B 20

2000

1

10000 3000

C3

15004

4

1000

0

10003500

DEMANDA dj 1500 2000 25007000

7000


Z Min= 3 (500) + 0 (2000) + 1 (1000) + 3 (1500) + 4 (1000)+ 0 (1000)

Z Min= $11000 (Mejoró)


Seleccionar los cuadros no utilizados y calcular su valor (índice)

99

A Estándar = 4−3+4−3= 8−6= 2

A De Lujo = 7−3+1−0= 8−3= 5

A Ficticio= 0−0+4−3= 4−3= 1

B Estándar = 2−1+4−3= 6−4= 2

B Ficticio= 0−0+4−1= 4−1= 3

C De Lujo= 4−0+1−4= 5−4=1

Colocar las asignaciones en la matriz de transportación equilibrada.•

a)Matriz de transportación(Ganancias) óptima

PRODUCTOS

PLANTAESTÁNDAR

DELUJO


Si

A 4 15

5000 50/0 0

B 68

2000

7

10000 30/00 0

C5

15004

4

1000

0

100035/00 0

DEMANDA dj 15/00 0 20/00 0 25/00 07000

7000

Como podemos observar los abastos y las demandas se han cumplido (Hasta llegar a valor cero).• Calcular el valor Z, empleando la ecuación Max Z = " " Cij Xij•

Z Max = 5(500) + 8(2000) + 7(1000) + 5(1500) + 4(1000) + 0(1000)

Z Max = 2500 + 1600 + 7000 + 7500 + 4000 + 0

b) Z Max = $37,000


La planta A, 500 productos Plus, con una ganancia de $5/producto = $2500.00• La planta B, 2000 productos De Lujo, con una ganancia de $8/producto = $1600.00• La planta B, 1000 productos Plus, con una ganancia de $7/producto = $7000.00• La planta C, 1500 productos Estándar, con una ganancia de $5/producto = $7500.00• La planta C, 1000 productos Plus, con una ganancia de $4/producto = $4000.00•

Ganancia Total = $37,000.00

100

ACTIVIDAD 23: MÉTODO DE TRANSPORTE HÚNGARO PARA MAXIMIZAR


Una corporación tiene tres fábricas manufactureras, las cuales fabrican dos productos principales, unamesa estándar y otra de lujo. Se introducirá otra nueva mesa plus, que se considerará en términos deprecio de venta y de costos. El tiempo requerido para la fabricación de las mesas es el siguiente: MesaEstándar, 2.5 horas; Mesa de Lujo, 2.8 horas y Mesa Plus, 3 horas. Los precios de ventas son lossiguientes: Mesa Estándar, $14.95; Mesa de Lujo, 18.95 y Mesa Plus, 21.95. La corporación deseaobtener la mayor ganancia.

•

Matriz de Costos

PRODUCTOS

FABRICA

MESAESTANDAR

MESA DELUJO

MESA PLUSSUMINISTRO

Si

A $8.00 $8.50 $9.25 800

B $7.95 $8.60 $9.20 600

C $8.10 $8.45 $9.30 700

DEMANDA dj 450 10502100

2100

Resuélvase el siguiente problema de maximización, empleando el método de transporte húngaro.Nótese que hay dos rutas prohibidas. (Las ganancias se dan en pesos/unidad).

•

DESTINO

ORIGEN1 2 3

SUMINISTRO

Si

A −−− $12 $10 100

B $11 $13 $12 600

C $10 −−− $9 700


1200

Coordenadas (gráficamente)

P1 (0,10) P7 (5,5)

P2 (10,0) P8 (4,6)

P3 (5,0) P9 (5,6)

P4 (0,10) P10 (5,10)

P5 (6,10)

P6 (0,0)

101

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

P1

X2>=0

P10

P9

P7

P8

P5

P3

P2

P6

P4

0

1

2

3

4

102

5

6

7

8

9

10

X2>=6

X2>=0

X1<=5

X1 + X2>=10

X1>=0

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

P1

X2>=0

P10

P9

P7

103

P8

P5

P3

P2

P6

P4

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

X2>=6

X2>=0

X1<=5

X1 + X2>=10

X1>=0

()

()

()

(

104

)

(

)

(

)

(

AS

P7

P3

P5

P1

P4

P6

P2

X1>=0

2x1+3x2<=1500

P8(300,300)

X1+x2<=600

3x1+2x2<=1500

x2>=0

800

700

600

500

400

300

105

200

100

800

700

600

500

400

300

200

100

0

P7

P3

P5

P1

P4

P6

P2

X1>=0

2x1+3x2<=1500

P8(300,300)

X1+x2<=600

3x1+2x2<=1500

x2>=0

800

700

106

600

500

400

300

200

100

800

700

600

500

400

300

200

100

0

H2

H1

Y1

X1=20 H1=2

X2=10 H2=0

Z Max = $260 H3=0

sumar

sumar

NR1

NR2

R.P.

107

Función Objetivo

sumar

sumar

NR1

NR2

R.P.

*Poner tabla después de paso 6

P9 (5,6)

P8 (4,6)

P10 (5,10)

P1 (0,10)

AREA DE SOLUCION

)

(

)

(

)

(

)

(

)

AREA DE

SOLUCION

P1(0,500)

P8(300,300)

P4(500,0)

108

P7(0,0)

Sale H1 (R1 seleccionado)

Sale H2 (R2 seleccionado)

R.P.

NR2

Función objetivo.

Sale H1(R1:Seleccionado)

Y1

R.P.

NR2

NR3

X1=300 H1=

X2=300 H2=0

Z Max = $6600 H3=0

Función objetivo.

Sale H2(R2:Seleccionado)

sumar

sumar

Función Objetivo

NR1

N.P.

RN3

sumar

sumar

3

A2

109

Y2

H2

H2

H2

2

n

m

j = 1

i = 1

m

i = 1

n

j = 1

n

m

j = 1

i = 1

m

n

j = 1

i = 1

n

m

j = 1

i = 1

100

110

10/0 0

N

O

E

S

m

n

i = 1

j = 1

100

25/0 0

n

m

j = 1

i = 1

250

m

n

i = 1

j = 1

1100

9

80

n

m

j = 1

111

i = 1

1500

1000

10/00 0

La mecánica consiste en encontrar la menor

cantidad de los cuadros negativos, siendo

esa cantidad la que envíe cada cuadro con

signo (−) a un cuadro con signo (+), en este

caso 0 es la cantidad menor, por lo tanto se

enviará 0 unidades, en esta ocasión al

cuadro C estándar se le debe enviar.

+

−

2000

1000

+

−

0

Recibe

2000

1000

0

1000

Podemos observar que contamos con más de una opción, es decir, la mayor cantidad negativa es −2,ocurre dos ocasiones, siempre debemos elegir el cuadro de menor costo, en este caso corresponde a BPlus, Cuado haya empate la decisión es indiferente.

+

112

−

1500

1000

1000

Recibe

1000

−

+

2500

0

1000

Siendo −2, el mayor negativo, entonces el cuadro A plus se le debe enviar.

Recibe

−

+

2500

0

Recibe

1000

+

−

0

1000

2500

1000

Al no encontrar valores negativos, se dice que, la solución es óptima.

113

10/00 0

m

n

i=1

j=1

600

500

114

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Capítulo I

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