INVESTIGACION DE OPERACIONES

UNIVERSIDAD DEL ZULIANUCLEO PUNTO FIJO

PROGRAMA DE ADMINISTRACION Y CONTADURIA PÚBLICACARRERA CONTADURIA PÚBLICA

CATEDRA INVESTIGACION DE OPERACIONES

PROBLEMA DE TRANSPORTE Y PROBLEMA DEASIGNACION

INTEGRANTES

Lugo Franca V- 21.448.890Moran Eglis V- 6.295.331

Andrés Arévalo V- 20.796.786Luis López V-17.940.202

Punto Fijo, Junio 2013PROBLEMA DE TRANSPORTE

Es un caso particular de programación lineal en el cual se debeminimizar el coste de abastecimiento a una serie de puntos dedemanda a partir de un grupo de puntos de oferta, teniendo encuenta los distintos precios de envío de cada punto de oferta acada punto de demanda.

En este problema el administrador debe determinar cómo hacerllegar los productos de sus diversos almacenes a susconsumidores, con el objeto de satisfacer la demanda a costomínimo. Este modelo es importante debido a sus exitosasaplicaciones y porque se puede resolver en forma rápida yeficiente mediante algoritmos especiales.

A continuación la resolución paso a paso de un problema detransporte, mediante el uso de los métodos Esquina Noroeste yAproximación de Vogel.

METODO DE LA ESQUINA NOROESTE

La empresa VIT, C.A (Venezolana de Industria Tecnología)dispone de cuatro plantas ensambladora para satisfacer lademanda diaria en cuatro ciudades, Anzoátegui, Carabobo, Laray Zulia, que serán denominadas con los números 1, 2, 3, 4, ylas plantas serán denominadas con las letras A, B, C y D.

Las plantas A, B, C y D pueden satisfacer 400, 300, 500 y 800unidades al día respectivamente. Las necesidades de lasciudades de Anzoátegui, Carabobo, Lara y Zulia son de 300,400, 600 y 700 al día respectivamente. Los costos del transporte de una computadora desde cada planta

hasta cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla.

OrigenDestino

1 2 3 4

A 12 15 11 13B 9 10 7 11C 8 7 6 5D 15 8 2 3

Modelo de programación lineal que permite satisfacer lasnecesidades de todas las ciudades al tiempo que minimiza loscostos asociados al transporte.

SOLUCIÓN PASO A PASO

1 2 3 4 Oferta

A 300 400

B 300

C 500

D 800

Demanda 300 400 600 700

Esta es la esquina noroeste, aquí asignaremos el mayor numero de unidades posibles, en este caso es “300” dado que la demanda de Anzoátegui restringe un número mayor.

1 1 1 1

8

19 7

7

281

6

1

5

3

Ahora la cantidad asignada a la esquina noroeste es restada a lademanda de 1 y a la oferta de la planta “A “se le resta quedando100 unidades, en un procedimiento muy lógico. Dado que la demandade 1 una vez restada la cantidad asignada es cero (0), se procedea eliminar la columna.

El proceso de asignación nuevamente se repite.

1 2 3 4 Oferta

A 100 100

B 300

C 500

D 800

Demanda 400 600 700

1 2 3 4 Oferta

A

B 300300 0

C 500

D 800

Demanda 300 600 700

Esta es la nueva esquinaNoroeste, ahora la restricciónde la asignación es la oferta

Podemos observar como oferta y demanda presentan el mismo valor, este es asignado a la esquina Noroeste y una vez restada a la oferta y la demanda se eliminan arbitrariamente.

1 1 1

1 7 1

7 6 5

28 3

1 7 1

7 6 5

28 3

1 2 3 4 Oferta

A

B

C 500500 0

D 800

Demanda 600 700

1 2 3 4 Oferta

A

B

C 500500 0

D 100 7008007000

Demanda 600 700

6 5

2 3

En este caso a laesquina Noroeste nose le puede asignarvalores, por ende se

6 5

2 3

100

Una vez finalizada esta asignación, se elimina la planta “C” queya ha sido satisfecha con la asignación de 500 unidades, por lotanto nos queda una sola fila a la cual le asignamos las unidadesestrictamente requeridas y hemos finalizado el método.

1 2 3 4 Oferta

A

B

C

D 100 7008007000

Demanda 1000

7000

El cuadro de las asignaciones (que debemos desarrollarlo paralelamente) queda así:

1 2 3 4 Oferta

A 300 100 400

B 300 300

C 500 500

D 100 700 800

Demanda 300 400 600 700

Los costos asociados a la distribución son:

Variabl Activid Costo Contribuc

2 3

e deDecisió

n

ad dela

variable

porunidad

ión total

A1 300 12 3600A2 100 15 1500A3 0 11 0A4 0 13 0B1 0 9 0B2 300 10 3000B3 0 7 0B4 0 11 0C1 0 8 0C2 0 7 0C3 500 6 3000C4 0 5 0D1 0 15 0D2 0 8 0D3 100 2 200D4 700 3 2100

TOTAL 13400

METODO DE APROXIMACION DE VOGEL

El método por aproximación de Vogel usa la información de costosmediante el concepto del costo de oportunidad para determinar unasolución inicial factible.

La empresa VIT, C.A (Venezolana de Industria Tecnología)dispone de cuatro plantas ensambladora para satisfacer lademanda diaria en cuatro ciudades, Anzoátegui, Carabobo, Laray Zulia, que serán denominadas con los números 1, 2, 3, 4, ylas plantas serán denominadas con las letras A, B, C y D.Las plantas A, B, C y D pueden satisfacer 400, 300, 500 y 800unidades al día respectivamente. Las necesidades de lasciudades de Anzoátegui, Carabobo, Lara y Zulia son de 300,400, 600 y 700 al día respectivamente. Los costos del transporte de una computadora desde cada planta

hasta cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla.

OrigenDestino

1 2 3 4

A 12 15 11 13B 9 10 7 11C 8 7 6 5D 15 8 2 3

Modelo de programación lineal que permite satisfacer lasnecesidades de todas las ciudades al tiempo que minimice loscostos asociados al transporte.

SOLUCIÓN PASO A PASO

El primer paso es determinar las medidas de penalización yconsignarlas en el tabulador de costos, tal como se muestra acontinuación.

1 2 3 4 Oferta

Penalización

A 12 15 11 13 400 1

B 9 10 7 11 300 2

C 8 7 6 5 500 1

D 15 8 2 3 800 1

Demanda 300 400 600 700

Penalización

1 1 4 2

Restando todos los menores valores de cada fila y columna seobtiene la penalización de las mismas. El paso siguiente esescoger la mayor penalización, de esta manera:

1 2 3 4 Oferta

Penalización

Los dos menores valores de esta columna 8 y 9; estos valores se restan y así se obtiene la penalización de la misma, valor absoluto= 1.

Los dos menores valores de esta fila 11 y 12; estos valores se restan y así se obtiene la penalización de la misma, valor absoluto= 1.

A 12 15 11 13 400 1

B 9 10 7 11 300 2

C 8 7 6 5 500 1

D 15 8 2 3 800 1

Demanda 300 400 600 700

Penalización

1 1 4 2

El paso siguiente es escoger de esta columna el menor valor, y enuna tabla paralela se le asigna la mayor cantidad posible deunidades, podemos observar como el menor costo es "2" y que a esacelda se le pueden asignar como máximo 600 unidades que hay lacapacidad en la planta D ya que la demanda de esa ciudad es 600.

1 2 3 4 Oferta

Penalización

A 12 15 11 13 400 1

B 9 10 7 11 300 2

C 8 7 6 5 500 1

D 15 8 2 3 800 1

Demanda 300 400 600 700

Penalización

1 1 4 2

Este es el menor valor de la columnapenalizada, por ende se le asigna lamayor cantidad de unidades posibles,

En este paso escogemos la mayorpenalización “4” y procedemos a seleccionarla columna o fila a la cual corresponde.

CUADRO DE SOLUCION

1 2 3 4 Oferta

A 400

B 300

C 500

D 600 800200

Demanda 300 400 600 700

.

1 2 3 4 Oferta Penalización

A 12 15 11 13 400 1

B 9 10 7 11 300 2

C 8 7 6 5 500 1

D 15 8 2 3 200 1

Demanda 300 4006000 700

Penalización

1 1 0 2

Se procede a eliminarse la columna correspondiente a la ciudadque ha se le ha cumplido la demanda, además observemos como la

oferta de la planta “D” se modifica, ahora solo dispone de 200,dado que se le resta la cantidad ya asignada.

1 2 4 Oferta Penalización

A 12 15 13 400 1

B 9 10 11 300 2

C 8 7 5 500 1

D 15 8 3 200 1

Demanda 300 400 700

Penalización

1 1 2

Se ha llegado al final del ciclo, procedemos a repetir el proceso.

1 2 4 Oferta

Penalización

A 12 15 13 400 1

B 9 10 11 300 1

C 8 7 5 500 2

D 15 8 3 200 5

Demanda 300 400 700

2

Penalización

1 1

1 2 4 Oferta

Penalización

A 12 15 13 400 1

B 9 10 11 300 1

C 8 7 5 500 2

D 15 8 3 200 5

Demanda 300 400 700

Penalización

1 1 2

CUADRO DE SOLUCION

1 2 4 Oferta

A 400

B 300

C 500

Volvemos a escogemos la mayor penalización“5” y procedemos a seleccionar la columna ofila a la cual corresponde.

Este es el menor valor de la filapenalizada, se le asigna la mayorcantidad de unidades posibles, que en

D 200 200

Demanda 300 400

700500

Dado que la fila de la planta "D" ya ha asignado toda lacapacidad que le quedaba (200 unidades) esta debe desaparecer, ypodemos observar que la demanda de Zulia se modifica a 500unidades.


A 12 15 13 400 1

B 9 10 11 300 1

C 8 7 5 500 2

Demanda 300 400 500

Penalización

1 1 2

Volvemos a repetir el proceso, porque llegamos al final del ciclo.


A 12 15 13 400 1

B 9 10 11 300 1

C 8 7 5 500 2

Demanda 300 400 500

Penalización

1 3 6


A 12 15 13 400 1

B 9 10 11 300 1

C 8 7 5 500 2

Demanda 300 400 500

Penalización

1 3 6

Escogemos la mayor penalización “6” yprocedemos a seleccionar la columna o filaa la cual corresponde.

Menor valor de la fila penalizada,asignamos la mayor cantidad de unidadesposibles, que en este caso es 500

CUADRO DE SOLUCION

1 2 4 Oferta

A 400

B 300

C 500 500

Demanda 300 400 500

Dado que la fila de la planta "C" ya ha asignado toda la capacidad (500 unidades) esta debe desaparecer, así como la columna de la ciudad del Zulia, debido a que ya se cumplió su demanda.

1 2 Oferta

Penalización

A 12 15 400 1

B 9 10 300 1

Demanda 300 400

Penalización

1 3

Procedemos a repetir el proceso.

1 2 Oferta Penalización

A 12 15 400 3

B 9 10 300 1

Demanda 300 400

Penalización

3 5


A 12 15 400 3

B 9 10 300 1

Demanda 300 400

Penalización

3 5


A 12 15 400 3

B 9 10 300 1

Demanda 300 400

Penalización

3 5

CUADRO DE SOLUCION

1 2 Oferta

A 400

B 300 300

Demanda 300 400

1 2 Oferta

Penalización

A 12 15 400 3

B

Demanda 300 100

Penalización 3 5

Al finalizar este paso podemos observar como el tabulador queda una fila sin tachar y con valores positivos, por lo tanto asignamos las variables básicas y hemos concluido el método.

1 2 Oferta

A 12 15 400

B

Demanda 300 100

CUADRO DE SOLUCION

1 2 3 4 Oferta

A 300 100 400

B 300 300

C 500 500D 600 200 800

Demanda 300 400 600 700

Observamos como cada demanda es satisfecha sin superar los niveles establecidos por la oferta de cada planta.


Variable de

Decisión

Actividad dela

variable

Costopor

unidad

Contribución total

A1 300 12 3600A2 100 15 1500A3 0 11 0A4 0 13 0B1 0 9 00B2 300 10 3000B3 0 7 0B4 0 11 0C1 0 8 0C2 0 7 0C3 0 6 0C4 500 5 2500D1 0 15 0D2 0 8 0D3 600 2 1200D4 200 3 600

TOTAL 12400

El costo total obtenido en el método de la Esquina noroeste esevidentemente superior al obtenido mediante el Método deAproximación de Vogel, lo cual demuestra lo enunciado en ladescripción del algoritmo que cita que no obtiene siempre lamejor solución, sin embargo presenta un cumplimiento de todas lasrestricciones y una rapidez de elaboración, lo cual es unaventaja en problemas con innumerables fuentes y destinos en loscuales no nos importe más que satisfacer las restricciones.

A10

30 1Anzoáteg

ui

METODO DEL ESLABON

Resolvemos el ejercicio anteriormente, pero a través del Métododel Eslabón; considerando la explicación paso a paso quemanifiestan Gould y Eppen (1987):

1 2 3 4

A 12 15 11 13

B 9 10 7 11

30

50

60

20

2Carabobo

3Lara

4ZuliaD

C

B

C 8 7 6 5

D 15 8 2 3

SOLUCION PASO A PASO

Se busca el menor valor que en este caso es 2 y se le asigna lamayor cantidad posible que requiere la demanda.

1 2 3 4 Oferta

A 12 15 11 13 400

B 9 10 7 11 300

C 8 7 6 5 500

D 15 8 2 3 800

Demanda 300 400 600 700

1 2 3 4 Oferta

A 12 15 11 13 400

B 9 10 7 11 300

C 8 7 6 5 500

D 15 82

6003 200

Demanda 300 400 600 700

Luego esa cantidad asignada se resta a la demanda de Lara y a laoferta de la planta "D" queda en 200, dado que Lara se queda sindemanda esta columna desaparece, y se repite el primer proceso.

1 2 4 Oferta

A 12 15 13 400

B 9 10 11 300

C 8 7 5 500

D 15 8 3 200

Demanda 300 400 700

Nuevo proceso de asignación.

1 2 4 Oferta

A 12 15 13 400

B 9 10 11 300

C 8 7 5 500

D 15 83

200200

Demanda 300 400 700

Se elimina la fila de la planta D ya que quedo sin oferta.

1 2 4 Oferta

A 12 15 13 400

B 9 10 11 300

C 8 7 5 500

Demanda 300 400 500

El proceso de asignación se repetirá cada vez que se elimine unacolumna o fila.

1 2 4 Oferta

A 12 15 13 400

B 9 10 11 300

C 8 7 5 500

Demanda 300 400 500

Proseguimos con el menor valor y repetimos la operación.

1 2 4 Oferta

A 12 15 13 400

B 9 10 11 300

C 8 75

500

5000

Demanda 300 400 5000

1 2 Oferta

A 12 15 400

B 9 10 300

Demanda 300 400

Se elimina tanto fila como columna porque ambas han quedado sinoferta y demanda.

Proseguimos con el menor valor y repetimos la operación.

1 2 Oferta

A 12 15 400

B 9 10 300

Demanda 300 400

1 2 Oferta

A 12 15 400

B 9300 10 300

0

Demanda 3000

400

2 Oferta

A 15 400

Demanda 400Una vez finalizado el cuadro anterior podemos observar que solo queda una fila, por lo tanto asignamos las unidades y se ha terminado el método.

2 Oferta

A15

4004000

Demanda 4000

El cuadro de asignaciones queda así:

1 2 3 4 Oferta

A 400 400

B 300 300

C 500 500

D 600 200 800

Demanda 300 400 600 700


Variable de

Decisión

Actividad dela

variable

Costopor

unidad

Contribución total

A1 0 12 0A2 400 15 6000A3 0 11 0A4 0 13 0B1 300 9 2700B2 0 10 0B3 0 7 0B4 0 11 0C1 0 8 0C2 0 7 0

C3 0 6 0C4 500 5 2500D1 0 15 0D2 0 8 0D3 600 2 1200D4 200 3 600

TOTAL 13000Este método presenta un costo total superior al obtenido en elmétodo de aproximación Vogel, pero podemos observar que tiene unmejor rendimiento en cuanto a los resultados arrojados en elmétodo de la esquina norte.

PROBLEMA DE ASIGNACION

El problema de asignación es un problema de programación lineal,la estructura especial del problema de asignación permitedescubrir un algoritmo particularmente simple.

METODO HUNGARO

El enfoque general de este algoritmo consiste en “reducir” lamatriz de costo mediante una serie de operaciones aritméticas,estas reducciones se usan para establecer costos reducidos decero en la matriz de costo. La asignación óptima se logramediante selección de celdillas con un costo reducido de cero.Este método lo podemos resolver mediante 5 pasos.

La empresa VIT, C.A (Venezolana de Industria Tecnología) desearealizar una jornada de mantenimiento preventivo a sus cuatrosmáquinas principales 1, 2, 3 y 4. El tiempo que demandarealizar el mantenimiento de cada máquina es de 1 día, teniendoen cuenta que la compañía cuenta con cuatro proveedores de

servicios de mantenimiento Seriman C.A, Regarca C.A, Alto Torque,C.A y Multiservicios Jonas C.A, las cuales denominaremos A, B, Cy D respectivamente

Debe asignarle un equipo de mantenimiento a cada máquina parapoder cumplir con la realización del mantenimiento preventivo.

Teniendo en cuenta que según el grado de especialización de cadaequipo prestador de servicios de mantenimiento el costo de latarea varía para cada máquina en particular, debe de asignarse elequipo correcto a la máquina indicada con el objetivo deminimizar el costo total de la jornada.

Los costos asociados se pueden observar en la siguiente tabla:

Maquina 1 Maquina 2 Maquina 3 Maquina 4

Equipo demantenimien

to A7 6 5 2


to B10 9 8 5


to C9 8 6 3


to D6 4 4 7

PASO 1: Encontramos el menor elemento de cada fila

1 2 3 4

Elemento Menorde lafila

A 7 6 5 2 2B 10 9 8 5 5C 9 8 6 3 3D 6 4 4 7 4

PASO 2: Construimos una nueva matriz con las diferencias entrelos valores de la matriz original y el elemento menor de la filaa la cual corresponde.

1 2 3 4

A 7 6 5 2B 10 9 8 5C 9 8 6 3D 6 4 4 7

((7-2) (6-2) (5-2) (2-2))

((10-5) (9-5) (8-5) (5-5))

((9-3) (8-3) (6-3) (3-3))

((6-4) (4-4) (4-4) (7-4))

PASO 3: En la matriz construida en el paso anterior se procede aefectuar el paso 1 esta vez en relación a las columnas, por endeescogemos el elemento menor de cada columna. Igualmenteconstruimos una nueva matriz con la diferencia entre los valoresde la matriz 2 y el elemento menor de la columna a la cualcorresponde cada valor.

1 2 3 4A 5 4 3 0

B 5 4 3 0

C 6 5 3 0

D 2 0 0 3Elemento

menor de laColumna

2 0 0 0

MATRIZ DE COSTOS REDUCIDOS

1 2 3 4A 3 4 3 0

B 3 4 3 0

C 4 5 3 0

D 0 0 0 3PASO 4: En este paso trazaremos la menor cantidad decombinaciones de líneas horizontales y verticales con el objetivode cubrir todos los ceros de la matriz de costos reducidos.


1 2 3 4A 3 4 3 0

B 3 4 3 0

C 4 5 3 0

D 0 0 0 3

Como se puede observar el menor número de líneas horizontales y/overticales necesarias para cubrir los ceros de la matriz decostos reducidos es igual a 2, por lo tanto al ser menor que elnúmero de filas o columnas es necesario recurrir al paso 5.

PASO 5: En este paso seleccionamos el menor elemento de loselementos no subrayados.


1 2 3 4A 3 4 3 0

B 3 4 3 0

C 4 5 3 0

D 0 0 0 3

Menor de loselementos nosubrayados

3

Luego se procede a restarse de los elementos no subrayados y aadicionarse a los elementos ubicados en las intersecciones de laslíneas, en este caso existe una única intersección (3).


1 2 3 4A 0 1 0 0

B 0 1 0 0

C 1 2 0 0

D 0 0 0 6

Ahora ya efectuado este paso pasamos al paso 4.


Maquina 1 Maquina 2 Maquina 3 Maquina 4A 0 1 0 0

B 0 1 0 0

C 1 2 0 0

D 0 0 0 6

Ahora observamos cómo se hace necesario trazar tres líneas (lamisma cantidad de filas o columnas de la matriz) por lo tanto seha llegado al tabulado final, en el que por simple observación sedetermina las asignaciones óptimas.


Maquina 1 Maquina 2 Maquina 3 Maquina 4Equipo demantenimien

to 10 1 0 0


to 20 1 0 0


to 31 2 0 0


to 40 0 0 6

La asignación que representa el menor costo para la jornada demantenimiento preventivo determina que el Equipo 1 realice elmantenimiento de la Máquina 1, el Equipo 2 realice elmantenimiento de la Máquina 3, el Equipo 3 realice elmantenimiento de la Máquina 4, y el Equipo 4 realice elmantenimiento de la Maquina 2 jornada que tendrá un costo totalde 22 unidades monetarias.

Maquina 1 Maquina 2 Maquina 3 Maquina 4Equipo demantenimien

to 17


to 28


to 33


to 44

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