Integral Luas dan Volum

MEDIA PRESENTASI PEMBELAJARAN

Penggunaan IntegralPenggunaan Integral9

2xy

KompetensiPendahuluan

Luas daerahVolume benda putarLatihan

Referensi

Kompetensi Penggunaan IntegralPenggunaan Integral

Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar.

KompetensiKompetensi Dasar Dasar

Setelah pembelajaran siswa diharapkan dapat :

1. menggambarkan suatu daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva.

2. menentukan luas daerah dengan menggunakan limit jumlah.

3. merumuskan integral tentu untuk luas daerah dan menghitungnya.

4. merumuskan integral tentu untuk volume benda putar dari daerah yang diputar terhadap sumbu koordinat dan menghitungnya.

Indikator Hasil BelajarIndikator Hasil Belajar

Kompetensi

Pendahuluan

Luas daerah

Volume benda putarLatihan

Referensi

Readme

Author

Exit

Home

Referensi Penggunaan IntegralPenggunaan IntegralAbdul Karim, dkk, Geometri : Lingkaran, Semarang,

2005Edwin J. Purcell, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1,

Erlangga, Jakarta 1996Kastolan dkk, Kompetensi Matematika SMA Kelas XII Program IPA Jilid 3A, Yudhistira,

Jakarta 2005 _______, Kurikulum Berbasis Kompetensi (KBK)

Tahun 2004, Depdiknas, Jakarta 2004

________, Microsoft Encarta Encyclopedia________, Tutorial Maple 9.5________, Kitaro________, Bersyukur - Opickwww. mathdemos.gcsu.edu

www. curvebank.calstatela.eduwww. clem.mscd.edu

www.mathlearning.net

Kompetensi

Pendahuluan

Luas daerah


Referensi

Readme

Author

Exit

Home

http://mathdemos.gcsu.edu/

http://mathdemos.gcsu.edu/

http://curvebank.calstatela.edu/

http://clem.mscd.edu/

http://www.mathlearning.net/

Readme Penggunaan IntegralPenggunaan Integral

Media Presentasi Pembelajaran ini disusun untuk membantu guru dalam pembelajaran penggunaan integral untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar. Pembahasan luas daerah diawali dari luas sebagai limit jumlah, dilanjutkan dengan integral tentu, dan diakhiri penggunaan integral tentu untuk menghitung luas daerah. Pembahasan volume benda putar dikaji dari bentuk partisi setelah diputar yang meliputi bentuk : cakram, cincin, dan kulit tabung.

Agar dapat memahami keseluruhan materi, maka pembahasan harus dilakukan secara berurutan dimulai dari kompetensi, pendahuluan, luas daerah, dan volume benda putar. Di akhir kegiatan diberikan soal latihan. Sebaiknya dalam penggunaan media ini guru juga menyiapkan soal latihan untuk menambah pemahaman konsep dan melatih keterampilan siswa.

Untuk beberapa slide guru perlu menekan tombol klik kiri agar prosedur yang diinginkan dalam slide tersebut berjalan secara berurutan.

Kompetensi

Pendahuluan

Luas daerah


Referensi

Readme

Author

Exit

Home

Pendahuluan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral

Runtuhnya Jembatan Tacoma, Washington

Jembatan Tacoma yang panjangnya 1,8 km di buka pada 1Juli 1940. Empat bulan kemudian jembatan tersebut runtuh karena badai yang berkekuatan 68 km/jam.

NextBack


Pilar-pilar jembatan pada gambar di atas membentuk partisi-partisi yang akan kita temukan dalam pokok bahasan menghitung luas daerah dengan menggunakan integral.

NextBack

Kompetensi

Pendahuluan

Luas daerah


Referensi

Readme

Author

Exit

Home


Bola lampu di samping dapat dipandang sebagai benda putar jika kurva di atasnya diputar menurut garis horisontal. Pada pokok bahasan ini akan dipelajari juga penggunaan integral untuk menghitung volume benda putar. Back Next

Kompetensi

Pendahuluan

Luas daerah


Referensi

Readme

Author

Exit

Home

Luas sebagai limit jumlah Luas DaerahLuas Daerah

X

Y

xy sin

Menentukan luas daerah dengan limit jumlah dapat diilustrasikan oleh gambar di samping. Langkah utama yang dilakukan adalah memartisi, mengaproksimasi, menjumlahkan, dan menghitung limitnya.

Home NextBack1/19

Langkah menghitung luas daerah dengan limit jumlah adalah: 1. Bagilah interval menjadi selang yang sama panjang. 2. Partisilah daerah tersebut.3. Masing-masing partisi buatlah persegi panjang. 4. Perhatikan persegi panjang pada interval [xi-1 , xi].

y

ax

0

Li

xxi

)(xfy

)( ixf

Luas Sebagai Limit Jumlah Luas DaerahLuas Daerah

NextBack Home 2/19

Langkah menghitung luas daerah ( lanjutan ) :5. Tentukan luas persegi panjang ke-i (Li)6. Jumlahkah luas semua

persegi panjang 7. Hitung nilai limit jumlahnya

y

ax

0

Li

xxi

)(xfy

)( ixf

Luas sebuah persegi panjang: Li = f(xi) x

Jumlah luas persegi panjang :L f(xi) x

Limit jumlah : L = lim f(xi) x ( n ∞ )


NextBack Home 3/19

Tentukan luas daerah yag dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu X, dan garis x = 3 dengan menggunakan cara limit jumlah.

Contoh 1.Contoh 1.

Langkah penyelesaian:1. Bagilah interval [0, 3] menjadi

n buah selang yang sama panjang; yaitu 3/n.

2. Partisi daerah tersebut menurut persegi panjang luar.

3. Tentukan ukuran persegi panjang pada interval [xi , xi+1] dan hitunglah luasnya.x0 = 0x1 = 3/nx2 = (3/n) × 2 = 6/nJadi xi = 3i/n dan xi + 1 = 3(i +1)/n

y

0x

3

Li

3/n

21ix

2)( xxf

xi+1xix1 x2 x3

23i 127L in

nni

nix 32)1(3321iL


JawabJawab

NextBack Home 4/19

4. Jumlahkan luas semua partisi

1

02

3 127L n

ii

n

2223 ...2127L n

n

)12)(1(6127L 3 nnn

n

)2)(1(29L 11

nn

5. Tentukan limitnya

)2)(1(29L 11lim nnn

9)02)(01(29L

Jadi luas daerah = 9 satuan

6)12)(1(

12

nnnn

kk

0x

3

Li

3/n

21ix

2)( xxf

xi+1xix1 x2 x3

y


NextBack Home 5/19

Perhatikan gambar di bawah ini! Misalkan selang [a, b] dibagi

menjadi n bagian (lebar tidak harus sama) dengan lebar selang ke-i adalah xi = xi – xi-1. Pada

selang [xi-1, xi] diambil titik

sampel xk maka jumlah Riemann dituliskan sebagai :k

n

kk xxf Δ )(

1

y

ax

0 bxi-1 xixk

xi

Integral Tentu Luas DaerahLuas Daerah

NextBack Home

Selanjutnya didefinisikan bahwa:

kn

kkn

xxfdxxf Δ )( lim )(1

b

a

Bentukb

a )( dxxf disebut dengan integral tertentu

(Integral Riemann)6/19

=

= 2(2)3 –

2(2)2 – [2(-1)3 – 2(-1)2]

= 16 – 8 + 2

- 2 = 8

2

12 dx 46 xx 2123 22 xx

Integral Tentu Luas DaerahLuas Daerah

Hitunglah nilai dari

2

12 dx 46 xx

Contoh 2.Contoh 2.

JawabJawab

NextBack Home

Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a,

b] dan misalkan F adalah anti turunan dari f pada

selang tersebut, maka berlaku :

Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan

sebagai

Teorema Dasar KalkulusTeorema Dasar Kalkulus

)(F)(F )( abdxxfb

a

bax)(F

7/19

Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat

diartikan sebagai luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada

interval [a, b]. y

x0 a bx

y

ax

0 b

b

adxxf )(

Jumlah Luas Partisi

Berubah Menjadi

Integral

Tentukan limitnya n

)(xf

n

i ii xxf1

)(

)(xf

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah

in

ii

n

b

axxfdxxfL

1)()( lim

NextBack Home 8/19

Kegiatan pokok dalam menghitung luas daerah dengan integral tentu adalah: 1. Gambar daerahnya.2. Partisi daerahnya 3. Aproksimasi luas sebuah

partisi Li f(xi) xi

4. Jumlahkan luas partisi

L f(xi) xi

5. Ambil limitnya L = lim

f(xi) xi

6. Nyatakan dalam integral

x0

y)(xfy

a

xi

xi

)( ixfLi

a

dxxf0

)(L

Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah

NextBack Home 9/19

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x, dan garis x = 3

Contoh 3.Contoh 3.

Langkah penyelesaian :1. Gambarlah daerahnya2. Partisi daerahnya3. Aproksimasi luasnya Li

xi2 xi

4. Jumlahkan luasnya L xi

2 xi

5. Ambil limit jumlah luasnyaL = lim xi

2 xi

6. Nyatakan dalam integral dan hitung nilainya

y

0x

3

2)( xxf

dxx3

02L

90333

3

033L

x

Li

xi

xi

2ix


JawabJawab

NextBack Home 10/19

Langkah penyelesaian:1. Gambar dan Partisi daerahnya 2. Aproksimasi : Li (4xi - xi

2)xi

dan Aj -(4xj - xj2)xj

4. Jumlahkan : L (4xi - xi2)xi

dan A -(4xj - xj2)xj

5. Ambil limitnya L = lim (4xi - xi

2)xi dan A = lim -(4xj - xj

2)xj

6. Nyatakan dalam integral

y

0x54

24)( xxxf

dxxx 4

02)4(L dxxx

5

42)4(A

xi

Li

xi

xj

Aj

xj

24 ii xx

)4(0 2xx


Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2, sumbu x, dan garis x = 5

Contoh Contoh 44..

JawabJawab

NextBack Home 11/19

dxxx 4

02)4(L

dxxx 5

42)4(A

y

0x54

24)( xxxf

xi

Li

xi

xj

Aj

xj

24 ii xx

)4(0 2xx

4033122L xx

3643

312 320)4()4(2L

5433122A xx

33123

312 )4()4(2)5()5(2A

364

3125 3250A

18A 361

1832 daerah Luas 361

364

13 daerah Luas


NextBack Home 12/19

LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVAPerhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada selang [a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi, aproksimasi, jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat ditentukan luas daerah antara dua kurva tersebut.

Langkah penyelesaian:1. Partisi daerahnya2. Aproksimasi : Li [ f(x) –

g(x) ] x4. Jumlahkan : L [ f(x)

– g(x) ] x5. Ambil limitnya :

L = lim [ f(x) – g(x) ] x6. Nyatakan dalam integral

tertentu

y

ba

dxxgxfb

a )()(L

)(xfy

)(xgy

0x

Li

x

x

)()( xgxf


NextBack Home 13/19

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2 - x

Contoh 5.Contoh 5.

Langkah penyelesaian:1. Gambar daerahnya 2. Tentukan titik potong kedua kurva x2 = 2 – x x2 + x – 2 = 0 (x + 2)(x – 1) = 0 diperoleh x = -2 dan x = 13. Partisi daerahnya4. Aproksimasi luasnya

Li (2 - x - x2)x

4. Jumlahkan luasnya L (2 - x - x2)x

5. Tentukan limit jumlah luasnyaL = lim (2 - x - x2)x

6. Nyatakan dalam integral tertentu dxxx

1

22)2(L

0x

1 2-1

-2

-3

2xy

xy 2y

1

2

3

4

5

Li

x

x

2)2( xx


JawabJawab

NextBack Home 14/19

xy 2

dxxx

1

22)2(L

0x

1 2-1

-2

-3

2xy

xy 2y

1

2

3

4

5

Li

x

x

2)2( xx

1

233

22L

xxx

33)2(

22)2(

331

221 )2(2)1(2L

3831

21 242L

38

31

21 242L

21

21 45L


NextBack Home 15/19

Untuk kasus tertentu pemartisian secara vertikal menyebabkan ada dua bentuk integral. Akibatnya diperlukan waktu lebih lama untuk menghitungnya.

)(xfy y

a b

Lix

x

)()( xgxf

)(2 xf

Ai

0x

)(xgy

Luas daerah = a

dxxf0

)(2 b

adxxgxf )()(


NextBack Home 16/19

Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan diperoleh satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah tersebut. Sehingga penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari sebelumnya.

)()( yfxxfy y

0x

)()( ygxxgy

Luas daerah = d

cdyyfyg )()(

Li

y

c

d)()( yfyg


NextBack Home 17/19

Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6, dan sumbu x

Contoh Contoh 66..

Langkah penyelesaian:1. Gambar daerahnya 2. Tentukan titik potong kedua kurva y2 = 6 – y y2 + y – 6 = 0 (y

+ 3)(y – 2) = 0 diperoleh y = - 3 dan y = 23. Partisi daerahnya4. Aproksimasi luasnya

Li (6 - y - y2)y

4. Jumlahkan luasnya L (6 - y - y2)y

5. Tentukan limitnyaL = lim (6 - y - y2)y

6. Nyatakan dalam integral tertentu

Luas daerah = 2

026 dyyy

2yx

yx 6

2

y

6

x0

6

Li yy

2)6( yy


JawabJawab

NextBack Home 18/19

Luas daerah =

2

026 dyyy

2yx

yx 6

2

y

6

x0

6

Li yy

2)6( yy

Luas daerah = 2

033

26

yyy

Luas daerah = 0332

22)2(6

Luas daerah =

3

8112

Luas daerah = 325


Home Back Next19/19

Pendahuluan Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Suatu daerah jika di putar

mengelilingi garis tertentu

sejauh 360º, maka akan

terbentuk suatu benda putar.

Kegiatan pokok dalam

menghitung volume benda

putar dengan integral

adalah: partisi, aproksimasi,

penjumlahan, pengambilan limit,

dan menyatakan dalam integral

tentu.

Gb. 4

Home NextBack1/17

Pendahuluan Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dibagi menjadi :1. Metode cakram2. Metode cincin3. Metode kulit tabung

NextBack Home 2/17

y

0 x

y

xr = x

x

h = x2

0x

1 21 2

y

1

2

3

4

Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Metode cakram yang digunakan dalam

menentukan volume benda putar

dapat dianalogikan seperti

menentukan volume mentimun dengan

memotong-motongnya sehingga tiap

potongan berbentuk cakram.

NextBack Home 3/17


Bentuk cakram di samping dapat dianggap sebagai tabung dengan jari-jari r = f(x), tinggi h = x. Sehingga volumenya dapat diaproksimasi sebagai V r2h atau V f(x)2x.

Dengan cara jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam integral diperoleh: V f(x)2 x

V = lim f(x)2 xdxxf

a0

2)]([v

x

h=x

x

x

y

0 x

y

xa

)(xf

)(xfr

NextBack Home 4/17


Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 + 1, sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.

Contoh 7.Contoh 7.

Langkah penyelesaian:1. Gambarlah daerahnya 2. Buat sebuah partisi3. Tentukan ukuran dan

bentuk partisi 4. Aproksimasi volume

partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral.

y

2x

12 x

x12 xy

1

y

h=x

x

x

12 xr

x

JawabJawab

NextBack Home 5/17


y

h=x

x

x

12 xr

V r2h

V (x2 + 1)2 x

V (x2 + 1)2

x

V = lim (x2 +

1)2 x

dxxV 2

022 )1(

dxxxV 2

024 )12(

203325

51 xxxV

1511

316

532 13)02( V

NextBack Home 6/17


Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2, sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.

Contoh 8.Contoh 8.

Langkah penyelesaian:1. Gambarlah daerahnya 2. Buatlah sebuah partisi3. Tentukan ukuran dan bentuk

partisi 4. Aproksimasi volume partisi

yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral.

2

yy

2xy

x

y

y

x

yh=y

y

yr

JawabJawab

NextBack Home 7/17


V r2h

V (y)2 y

V y y

V = lim y y

dyyV 2

0

20221 yV

)04(21 V

x

y

h=y

y

yr

2

dyyV 2

0

2V

NextBack Home 8/17

Metode Cincin Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Metode cincin yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume bawang bombay dengan memotong-motongnya yang potongannya berbentuk cincin.

NextBack Home 9/17


Menghitung volume benda putar dengan menggunakan metode cincin dilakukan dengan memanfaatkan rumus volume cincin seperti gambar di samping, yaitu V= (R2 – r2)h

hr

R

Gb. 5

NextBack Home 10/17


Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.

Contoh 9.Contoh 9.

Langkah penyelesaian:1. Gambarlah daerahnya 2. Buat sebuah partisi 3. Tentukan ukuran dan

bentuk partisi 4. Aproksimasi volume

partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral.

4

y

y = 2x

2

2xy

x

x

x

x22x

y

x

JawabJawab

NextBack Home 11/17


y

x

4

y

y = 2x

2

2xy

x

x

x

r=x2R=2x

V (R2 – r2) h

V [ (2x)2 – (x2)2 ]

x

V (4x2 – x4) x

V (4x2 – x4)

x

V = lim (4x2 – x4)

x

dxxxV 2

042 )4(

205513

34 xxV

)( 532

332 V

)( 1596160V

1564V

NextBack Home 12/17

Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Metode kulit tabung yang

digunakan untuk menentukan volume

benda putar dapat dianalogikan

seperti menentukan volume roti

pada gambar disamping.

NextBack Home 13/17

Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Benda Putarr

r

h

h

2rΔr

V = 2rhΔr

NextBack Home 14/17


Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.

Contoh 10.Contoh 10.

Langkah penyelesaian:1. Gambarlah daerahnya 2. Buatlah sebuah partisi 3. Tentukan ukuran dan bentuk

partisi.4. Aproksimasi volume partisi

yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral.

0x

1 2x

x

2xy

x2

y

1

2

3

4

JawabJawab

NextBack Home 15/17


0x

1 2x

x

2xy

x2

y

1

2

3

4

r = xx

h = x2

0x

1 21 2

y

1

2

3

4

V 2rhx

V 2(x)(x2)x

V 2x3x

V = lim

2x3x

dxxV 2

032

20

4412 xV

8V

NextBack Home 16/17


Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi secara horisontal dan sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y, maka partisi tersebut membentuk cincin. Volume benda putar tersebut dihitung dengan metode cincin adalah sebagai berikut.

0x

1 2-2

-1

y

1

2

3

4

V (R2 – r2)y V (4 - x2)y V (4 – y)y V = lim (4 – y)y

dyyV 4

04

40

2214 yyV

)816( V

8V

0x

1 2x

2xy y

1

2

3

4

y r=x

R = 2

Home Back Next17/17

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral

Petunjuk : Kesempatan menjawab hanya 1 kali

Latihan (6 soal)

1/19 NextBack


Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk integral sebagai ....

0 X

Y 2xy

2

4dxx

2

02

dyy4

0

dxx4

02

dxx 2

02)4(

dxx 4

02)4(

Soal 1.Soal 1.

A

B

C

D

E

Back Next2/19



Soal 1.Soal 1.

0 X

Y 2xy

2

4dxx

2

02

dyy4

0

dxx4

02

dxx 2

02)4(

dxx 4

02)4(

A

B

C

D

E

L (4 – x2) x

L (4 – x2) x

L = lim (4 – x2) xdxx )4(L 2

02

( Jawaban D )

Jawaban Anda Benar

NextBack3/19



Soal 1.Soal 1.

dxx2

02

dyy4

0

dxx4

02

dxx 2

02)4(

dxx 4

02)4(

A

B

C

D

E

0 X

Y 2xy

2

4

x

x

4 - x2

L (4 – x2) x

L (4 – x2) x

L = lim (4 – x2) xdxx )4(L 2

02

( Jawaban D )

Jawaban Anda Salah

NextBack4/19


Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….

A

B

C

D

E

Soal 2.Soal 2.

4,5 satuan luas

6 satuan luas

7,5 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 2/3 satuan luas

0 X

Y

24 xy

Back Next5/19



A

B

C

D

E

Soal 2.Soal 2.

4,5 satuan luas

6 satuan luas

7,5 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 2/3 satuan luas

0 X

Y

24 xy

L (4 – x2) x

L (4 – x2) x

L = lim (4 – x2) x

dxx )4(L 2

22

( Jawaban E )

22

3314L

xx

)8()8(L 38

38

3210L

332

Jawaban Anda Benar

NextBack6/19



A

B

C

D

E

Soal 2.Soal 2.

4,5 satuan luas

6 satuan luas

7,5 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 2/3 satuan luas

0 X

Y

24 xy

2-2

x

x

L (4 – x2) x

L (4 – x2) x

L = lim (4 – x2) x

dxx )4(L 2

22

( Jawaban E )

22

3314L

xx

)8()8(L 38

38

3210L

332

Jawaban Anda Salah

NextBack7/19



A

B

C

D

E

Soal 3.Soal 3.

5 satuan luas

7 2/3 satuan luas

8 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 1/3 satuan luas

0 X

Y

28 xy

xy 2

Back Next8/19



A

B

C

D

E

Soal 3.Soal 3.

5 satuan luas

7 2/3 satuan luas

8 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 1/3 satuan luas

L (8 – x2 -

2x) x dxxx )28(L 2

02

( Jawaban D )319L

328

20

23318L xxx

416L 38

0 X

Y

28 xy

xy 2

2

Jawaban Anda Benar

NextBack9/19



A

B

C

D

E

Soal 3.Soal 3.

5 satuan luas

7 2/3 satuan luas

8 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 1/3 satuan luas

0 X

Y

28 xy

xy 2

2

L (8 – x2 -

2x) x dxxx )28(L 2

02

( Jawaban D )319L

328

20

23318L xxx

416L 38

Jawaban Anda Salah

NextBack10/19


Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2 adalah ….A

B

C

D

E

Soal 4.Soal 4.

2,5 satuan luas

4,5 satuan luas

6 satuan luas

10 2/3 satuan luas

20 5/6 satuan luas

Back Next11/19



B

C

D

E

Soal 4.Soal 4.

2,5 satuan luas

4,5 satuan luas

6 satuan luas

10 2/3 satuan luas

20 5/6 satuan luas

( Jawaban B )

L [(2 – y ) –

y2 ] y dyxy )2(L 1

22

5,429L

12

3312

212L

yyy

)24()2(L 38

31

21

0 X

Y

2yx yx 2

-2

1

Jawaban Anda Benar

NextBack12/19


( Jawaban B )

L [(2 – y ) –

y2 ] y dyxy )2(L 1

22

5,429L

12

3312

212L

yyy

)24()2(L 38

31

21


B

C

D

E

Soal 4.Soal 4.

2,5 satuan luas

4,5 satuan luas

6 satuan luas

10 2/3 satuan luas

20 5/6 satuan luas 0 X

Y

2yx yx 2

-2

1

Jawaban Anda Salah

NextBack13/19


Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut adalah ....A

B

C

D

E

Soal Soal 55..

4

0dxxv

4

02 dxxv

4

02 dxxxv

2

0)16(2 dyyv

2

0dyyv

0 X

Y

Xy

4

2

Back Next14/19



B

C

D

E

Soal Soal 55..

4

0dxxv

4

02 dxxv

4

02 dxxxv

2

0)16(2 dyyv

2

0dyyv

0 X

Y

Xy

4

2

( Jawaban D )

V 2xx x

dxxx4

02V

Jawaban Anda Benar

NextBack15/19


( Jawaban D )

V 2xx x

dxxx4

02V


B

C

D

E

Soal Soal 55..

4

0dxxv

4

02 dxxv

4

02 dxxxv

2

0)16(2 dyyv

2

0dyyv

0 X

Y

Xy

4

2

x

x

Jawaban Anda Salah

NextBack16/19


Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….A

B

C

D

E

Soal 6.Soal 6.

4 satuan volum

6 satuan volum

8 satuan volum

12 satuan volum

15 satuan volum

0 X

Y

Xy

4

2

Back Next17/19



B

C

D

E

Soal 6.Soal 6.

4 satuan volum

6 satuan volum

8 satuan volum

12 satuan volum

15 satuan volum

0 X

Y

Xy

4

2

( Jawaban C )

V (x)2 x

4

0V dxx

40221V x

8V

Jawaban Anda Benar

18/19 Home Back Next


( Jawaban C )

V (x)2 x

4

0V dxx

40221V x

8V


B

C

D

E

Soal 6.Soal 6.

4 satuan volum

6 satuan volum

8 satuan volum

12 satuan volum

15 satuan volum

0 X

Y

Xy

4

2

x

x

Jawaban Anda Salah

Home Back Next19/19

Integral Luas dan Volum

Documents

Transcript of Integral Luas dan Volum