HỆ THỐNG TRỌNG TÂM

Dạng I

Cho hình chóp

SABC có đáy

ABC là tam giác

vuông tại B, SA

vuông (ABC)

Cho hình chóp SABC có

đáy ABC là tam giác

vuông tại B, hai mặt

phẳng (SAB) và (SAC)

cùng vuông góc với

(ABC).

Cho tam giác ABC vuông

tại B. Lấy điểm S nằm

ngoài (ABC) sao cho SA

vuông (ABC)

Cho tam giác ABC

vuông tại B, kẻ tia Ax

vuông góc (ABC). Lấy

điểm S trên tia Ax.

1. Góc hợp bởi

SB và mặt

phẳng (ABC)

Do 𝑆𝐴 ⊥ (𝐴𝐵𝐶) ⇒ AB là hình chiếu vuông góc của

SB lên (ABC) ⇒góc hợp bởi SB và (ABC) là góc

SBA

2. Góc hợp bởi

SC và mặt

phẳng (ABC)

Do 𝑆𝐴 ⊥ (𝐴𝐵𝐶) ⇒ AC là hình chiếu vuông góc của

SC lên (ABC) ⇒góc hợp bởi SB và (ABC) là góc

SCA

HỆ THỐNG TRỌNG TÂM

PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

http://hocmai.vn/?utm_source=tailieu&utm_medium=tailieu&utm_campaign=homehttp://hocmai.vn/

3. CMR: tam

giác SBC

vuông

BC ABBC SB

BC SA

(định lí ba đường vuông góc).

⇒ SBC vuông tại B.

4. Góc hợp bởi

SC và mặt

phẳng (SAB)

BC AB

BC SABBC SA

⇒ SB là hình chiếu vuông góc của SC lên (SAB)

⇒góc hợp bởi SC và (SAB) là góc CSB

5. Góc hợp bởi

SB và mặt

phẳng (SAC)

Gọi E là hình chiếu vuông góc của B lên AC

BE AC

BE SACBE SA

⇒ SE là hình chiếu vuông góc của SB lên (SAC)

⇒góc hợp bởi SB và (SAC) là góc BSE

6. Góc hợp bởi

(SBC) và mặt

phẳng (ABC)

SBC ABC

AB BC

SB BC

Góc hợp bởi (SBC) và (SAC) là góc tạo bởi hai

đường thẳng SB và AB là SBA

7. Tính thể tích

khối SABC

1 1. . .

3 6ABC ABCV SA S SA AB AC


8. Xác định tâm

và bán kính

mặt cầu đi

qua 4 điểm S,

A, B, C.

Cách 1.

Gọi I là trung điểm SC.

1SAC A IA IS IC

(dựa vào câu 3)

2SBC B IA IS IC

Từ (1) và (2) suy ra IA IS IB IC

I là tâm mặt cầu đi qua 4 điểm S, A, B, C. Với bán

kính 1

2R SC

Cách 2: (thực hiện 4 bước tổng quát)

9. Gọi M là

trung điểm

của SB, N là

điểm trên SC

sao cho

2NS NC .

Tính thể tích

khối AMNCB

Ta có: 1 2 1

. .2 3 3

SAMN

SABC

V SM SN

V SB SC

1 2

3 3SAMN SABC AMNCB SABCV V V V

10. Gọi G là

trọng tâm tam

giác SBC. Mặt

phẳng (P) đi

qua AG và

song song BC,

cắt SB, SC tại

M, N. Tính

thể tích khối

AMNCB.

Gọi K là trung điểm BC. G là trọng tâm của tam giác

SBC. Trong tam giác SBC qua G kẻ song song BC,

cắt SB tại M, SC tại N.

MN BC

2

3

SM SN SG

SB SC SI

Ta có: 4

.9

SAMN

SABC

V SM SN

V SB SC

4 5

9 9SAMN SABC AMNCB SABCV V V V


11. Gọi H, K

lần lượt là

hình chiếu

vuông góc của

A lên SB và

SC. Tính tỉ lệ

thể tích của

chóp SABC

được chia bởi

(AHK)

SAB vuông tại A.

2

2 2 2

.SH SH SB SA

SB SB SA AB

SAC vuông tại A.

2

2 2 2

.SK SK SC SA

SC SC SA AC

Ta có: .SAHK

SABC

V SH SK

V SB SC

SAHK SABCV V

AHKCB SABCV V

SAHK

AHKCB

V

V

12. Tính

;d A SBC

Cách 1:

Gọi H là hình chiếu của A lên SB

AH SB

BC SAB AH AH BC

;AH SBC d A SBC AH

Tính AH bằng các công thức sau:

2 2

2 2 2 2 2

1 1 1 .SA ABAH

AH SA AB SA AB

.

. .AB AC

AB AC AH BC AHBC

sin .sinAH

SBA AH AB SBAAB

Cách 2:

1

; .3

SABC ABCV d A SBC S


3. . .

;.

SABC

SBC

V SA AB ACd A SBC

S SB BC

13. Tính

;d C SAB

BC SBC (ý 3)

;d C SAB BC

14. Tính

;d B SAC

Gọi E là hình chiếu vuông góc của B lên AC.

BE AC

BE SACBE SA

;d B SAC BE

(tính BE như ý 12)

15. Tính

;d SA BC ;

AB SAd SA BC AB

AB B

16. Tính

;d SB AC

Gọi P sao cho PACB là hình bình hành

/ / ,AC BP BP SBP

; ; ;d AC SB d AC SBP d A SBP

Gọi K là hình chiếu của A lên BP, H là hình chiếu của

A lên SK

(1)AH AK

BP AK

BP SAK AHBP SA

(2)AH BP


Từ (1) và (2) ;AH SBP d A SBP AH

17. Tính

;d SC AB

Gọi P sao cho ABCP là hình bình hành.

Vì 090ABC ABCP là hình chữ nhật.

/ / ,AB CP CP SCP

; ; ;d AB SC d AB SCP d A SCP

Gọi H là hình chiếu của A lên SP.

AH SP (1)

CP AP

CP SAP AHCP SA

AH CP (2)

Từ (1), (2) ;AH SCP d A SCP AH

18. Tính

;d Q SBC Q

thuộc AB sao

cho AQ nQB

Ta có: QA SBC B

;

;

; . ;

d Q SBC QB

QAd A SBC

QBd Q SBC d A SBC

QA

Bài toán quay về ý 12.

19. Tính

;d G SBC .

G là trọng tâm

cùa tam giác

SAB

Gọi M là trung điểm của AB, G là trọng tâm của tam

giác SAB.

GM SBC S

; 2

3;

2; . ; (1)

3

d G SBC GS

MSd M SBC

d G SBC d M SBC


AM SBC B

;2

;

1; . ; (2)

2

d A SBC AB

MBd M SBC

d M SBC d A SBC

Từ (1), (2) suy ra 1

; . ;3

d G SBC d A SBC

Bài toán quay về ý 12.

Áp dụng thực tế

, 2, 3AB a BC a AB a

, 3AB BC a SB a

, 2AB a BC a , góc hợp bởi SB và (ABC) là 060

, 5,AB a AC a góc hợp bởi SC và (SAB) là 030

1

, 5, ;2

AB a AC a d A SBC a

Bài 2.

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông. ,SA ABCD O AC BD

Cột thứ 3 chỉ gợi ý. Các em phải nắm rõ bài 1 để trình bày và lý luận.


1. Góc hợp bởi SB và

mặt phẳng (ABCD) ;SB ABCD SBA

2. Góc hợp bởi SC và

mặt phẳng (ABCD) ;SC ABCD SCA

3. Góc hợp bởi SD và

mặt phẳng (ABCD) ;SD ABCD SDA


mặt phẳng (SAB) ;SC SAB CSB


mặt phẳng (SAD) ;SC SAD CSD

6. Góc hợp bởi mặt

phẳng (SBC) và mặt

phẳng (ABCD)

;SBC ABCD SBA


phẳng (SCD) và mặt

phẳng (ABCD)

;SCD ABCD SDA


phẳng (SBD) và mặt

phẳng (ABCD)

;SBD ABCD SOA



phẳng (SAB)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên

SB.

Cách 1:

SAB SBC SB

AH SB

BC SB

; ;SBC SAB AH BC

Cách 2:

AH SBC

AD SAB


; ;SBC SAB AH AD


phẳng (SCD) và mặt

phẳng (SAD)

Tương tự ý 9

; ; ;SBC SAB AH CD AH AB



phẳng (SCD)

Cách 1:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên

SC (khi đó H cũng là hình chiếu vuông

góc của D lên SC).

; ;SBC SCD BH DH

Cách 2:

Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông

góc của A lên SSB, SD.

; ;SBC SCD AM AN

12. Tính thể tích các

khối:…. 21 1

. . ;3 3

1

2

SABCD ABCD

SABC SABD SACD SDCB SABCD

V SA S SA AB

V V V V V

13. Xác định tâm và bán

kính mặt cầu ngoại

tiếp hình chóp SABCD

Gọi I là trung điểm của SC.

SAC vuông tại A 1IA IS IC

SBC vuông tại B 2IB IS IC

SCD vuông tại D 3ID IS IC

Từ (1), (2) và (3) suy ra IA IB IC IS


I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

SABCD với bán kính 1

2R SC

14. Tính ;d A SBC Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên

SB. ;d A SBC AH

15. Tính ;d A SCD Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên

SD. ;d A SCD AH

16. Tính ;d A SBD Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên

SO. ;d A SBD AH

17. Tính ;d B SCD Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên

SD.

Do / /AB SCD

; ;d B SCD d A SCD AH

18. Tính ;d M SCD với

M thuộc AB


SD.

Do / / ,AB SCD M AB

; ;d M SCD d A SCD AH


19. Tính ;d O SCD Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên

SD.

Do AO SCD C

;2

;

d A SCD AC

OCd O SCD

1

;2

d O SCD AH

20. Tính ;d P SCD với

P là trung điểm BO


SD.

Do PB SCD O

; 1

2;

d P SCD PO

BOd B SCD

1

; ;2

d P SCD d B SCD

Do / /AB SCD

; ;d A SCD d B SCD

Vậy: 1

; ;2

d P SCD d A SCD

21. Tính ;d G SCD với

G là trọng tâm của

tam giác SAB


SD. M là trung điểm AB.

2

; ;3

d G SCD d M SCD

; ;d M SCD d A SCD

2

;3

d G SCD AH


22. Tính ;d SB AD Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên

SB. ;d SB AD AH

23. Tính ;d AB SC Cách 1:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên

SC. ;d AB SC BH

Cách 2:

Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên

SD. / /AB SCD

; ;

;

d AB SC d AB SCD

d A SCD AK

24. Tính ;d BD SC Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên

SC. ;d BD SC OH

25. Tính ;d SC AD Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên

SB.

/ /AD SCB

; ; ;d AD SC d AD SCB d A SCB AH


26. Tính ;d SB CD ;d SB CD AD

27. Tính ;d BM CD . Với

M là trung điểm SC

Gọi K là trung điểm AB, H là hình chiếu

vuông góc của O lên AK.

/ /CD AB MAB

/ /CD MAB

; ; ;

1 1;

2 2

d CD BM d CD MAB d C MAB

d O MAB OH

28. Gọi H, I, K lần lượt là

hình chiếu vuông góc

của A lên SB, SC, SK.

CMR: A, H, I, K đồng

phẳng. Tính thể tích

khối chóp SAHIK

Gợi ý: SC AH

SC AHKSC AK

Mà ...AI SC AI AHK

Ta có: 2 2

2 2 2 2. .SAHI

SABC

V SH SI SA SA

V SB SC SA AB SA AC

2 2SAHI SABC SAHI SABC SAHIK SABCDV V V V V V

29. Gọi G là trọng tâm

tam giác SBD. (P) qua

AG song song BD cắt

SB, SC, SD tại M, N,

Q. Tính thể tích khối

chóp SAMNQ

1.

3

SAMN

SABC

V SM SN

V SB SC

1 12 .2

3 3

1

3

SAMN ABC SAMN SABC

SAMNQ SABCD

V V V V

V V



, 2AB a SB a

2AB a , góc hợp bởi của SC và mặt phẳng (ABCD) là 045

AB a , góc hợp bởi của mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (ABCD) là 030

AB a , góc hợp bởi của SC và mặt phẳng (SAB) là 060

Bài 3:

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. ,SA ABCD O AC BD

Cột thứ 3 chỉ gợi ý. Các em phải nắm rõ bài 1 để trình bày và lý luận.

1. Góc hợp bởi SB và mặt

phẳng (ABCD)

Hình tương tự

bài 2. ;SB ABCD SBA

2. Góc hợp bởi SC và mặt

phẳng (ABCD)

Hình tương tự

bài 2. ;SC ABCD SCA

3. Góc hợp bởi SD và mặt

phẳng (ABCD)

Hình tương tự

bài 2. ;SD ABCD SDA


phẳng (SAB)

Hình tương tự

bài 2. ;SC SAB CSB


phẳng (SAD)

Hình tương tự

bài 2. ;SC SAD CSD

6. Góc hợp bởi mặt phẳng

(SBC) và mặt phẳng

(ABCD)

Hình tương tự

bài 2. ;SBC ABCD SBA



(SCD) và mặt phẳng

(ABCD)

Hình tương tự

bài 2. ;SCD ABCD SDA


(SBD) và mặt phẳng

(ABCD)

Hình tương tự

bài 2. ;SBD ABCD SOA



(SAB)

Hình tương tự

bài 2.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB.

Cách 1:

SAB SBC SB

AH SB

BC SB

; ;SBC SAB AH BC

Cách 2:

AH SBC

AD SAB

; ;SBC SAB AH AD


(SCD) và mặt phẳng

(SAD)

Hình tương tự

bài 2.

Tương tự ý 9

; ; ;SBC SAB AH CD AH AB



(SCD)

Hình tương tự

bài 2.

Cách 1:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên SC (khi

đó H cũng là hình chiếu vuông góc của D lên

SC).

; ;SBC SCD BH DH

Cách 2:

Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A

lên SSB, SD.


; ;SBC SCD AM AN

12. Tính thể tích các

khối:….

21 1. . ;

3 3

1

2

SABCD ABCD

SABC SABD SACD SDCB SABCD

V SA S SA AB

V V V V V

13. Xác định tâm và bán

kính mặt cầu ngoại tiếp

hình chóp SABCD

Hình tương tự

bài 2.

Gọi I là trung điểm của SC.

SAC vuông tại A 1IA IS IC

SBC vuông tại B 2IB IS IC

SCD vuông tại D 3ID IS IC

Từ (1), (2) và (3) suy ra IA IB IC IS

I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD

với bán kính 1

2R SC

14. Tính ;d A SBC Hình tương tự

bài 2.


;d A SBC AH

15. Tính ;d A SCD Hình tương tự

bài 2.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SD.

;d A SCD AH

16. Tính ;d A SBD Hình tương tự

bài 2.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SO.

;d A SBD AH

17. Tính ;d B SCD Hình tương tự

bài 2.


Do / /AB SCD

; ;d B SCD d A SCD AH

18. Tính ;d M SCD với

M thuộc AB

Hình tương tự

bài 2.


Do / / ,AB SCD M AB

; ;d M SCD d A SCD AH


19. Tính ;d O SCD Hình tương tự

bài 2.


Do AO SCD C

;2

;

d A SCD AC

OCd O SCD

1

;2

d O SCD AH

20. Tính ;d P SCD với P

là trung điểm BO

Hình tương tự

bài 2.


Do PB SCD O

; 1

2;

d P SCD PO

BOd B SCD

1

; ;2

d P SCD d B SCD

Do / /AB SCD

; ;d A SCD d B SCD

Vậy: 1

; ;2

d P SCD d A SCD

21. Tính ;d G SCD với G

là trọng tâm của tam

giác SAB

Hình tương tự

bài 2.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SD. M

là trung điểm AB.

2

; ;3

d G SCD d M SCD

; ;d M SCD d A SCD

2

;3

d G SCD AH

22. Tính ;d SB AD Hình tương tự

bài 2.


;d SB AD AH


23. Tính ;d AB SC Hình tương tự

bài 2.

Cách 1:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên SC.

;d AB SC BH

Cách 2:

Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên SD.

/ /AB SCD

; ;

;

d AB SC d AB SCD

d A SCD AK

24. Tính ;d BD SC Hình tương tự

bài 2.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên SC.

;d BD SC OH

25. Tính ;d SC AD Hình tương tự

bài 2.


/ /AD SCB

; ; ;d AD SC d AD SCB d A SCB AH

26. Tính ;d SB CD Hình tương tự

bài 2.

;d SB CD AD

27. Tính ;d BM CD . Với

M là trung điểm SC

Hình tương tự

bài 2.

Gọi K là trung điểm AB, H là hình chiếu vuông

góc của O lên AK.

/ /CD AB MAB

/ /CD MAB

; ;

1 1; ;

2 2

d CD BM d CD MAB

d C MAB d O MAB OH

28. Gọi H, I, K lần lượt là

hình chiếu vuông góc

của A lên SB, SC, SK.

CMR: A, H, I, K đồng

Hình tương tự

bài 2. Gợi ý:

SC AHSC AHK

SC AK

Mà ...AI SC AI AHK


phẳng. Tính thể tích

khối chóp SAHIK Ta có:

2 2

2 2 2 2

.

.

SAHI

SABC

V SH SI

V SB SC

SA SA

SA AB SA AC

2 2SAHI SABC SAHI SABC

SAHIK SABCD

V V V V

V V

29. Gọi G là trọng tâm tam

giác SBD. (P) qua AG

song song BD cắt SB,

SC, SD tại M, N, Q.

Tính thể tích khối chóp

SAMNQ

Hình tương tự

bài 2.

1.

3

SAMN

SABC

V SM SN

V SB SC

1 12 .2

3 3

1

3

SAMN ABC SAMN SABC

SAMNQ SABCD

V V V V

V V


, 2AB a SB a

2 , 2AB a SB a , góc hợp bởi của SC và mặt phẳng (ABCD) là 045

, 2AB a SB a , góc hợp bởi của mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (ABCD) là 030

, 2AB a SB a , góc hợp bởi của SC và mặt phẳng (SAB) là 060

Bài 4:

Cho hình chóp tam giác đều SABC. M là trung điểm BC, O là tâm của tam giác ABC.

1. Góc hợp bởi

cạnh bên và

mặt đáy

;SA ABC SAO


2. Góc hợp bởi

mặt bên và

mặt đáy.

;SBC ABC SMA

3. Thể tích khối

chóp SABC 21 3

. .3 12

SABC ABCV SO S SO AB

4. Tính

;

;

;

d A SBC

d B SAC

d C SAB

Cách 1:

3

; SABC

SBC

Vd A SBC

S

Cách 2:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên

SM.

; 3 ; 3d A SBC d O SBC OH

5. Tính

;

;

;

d SA BC

d SB AC

d SC AB

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên

SA.

; ;d SA BC d M SA MH

6. Xác định tâm

và bán kính

mặt cầu ngoại

tiếp hình chóp

SABC

SO là trục của tam giác ABC. Gọi N là trung

điểm SA. Dựng mặt phẳng trung trực của SA

cắt SO tại I IA IB IC IS I là tâm

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC, bán

kính R IS

Cách 1:

IS NSNSI OSA

SA SO

2

2

SAR IS

SO

Cách 2:


cos

SNR IS

NSI


khối nón

ngoại tiếp khối

chóp SABC

Chóp SABC nội tiếp trong hình nón có bán

kính R OA ; chiều cao h SO và đường

sinh l SA

21. .

3nonV SO OA


khối trụ ngoại

tiếp chóp

SABC

Chóp SABC nội tiếp trong hình trụ có bán

kính R OA ; chiều cao h SO

2. .truV SO OA

9. Gọi E là trung

điểm AB. Tính

;d EC SB

Gọi P sao cho BECP là hình bình hành.

CE vuông AB nên BECP là hình chữ nhật.

Kẻ gọi K thuộc BP sao cho OK song song

EB.

Gọi H là hình chiếu của O lên SK.

; ;

; ;

d EC SB d EC SBP

d EC SBP d O SBP OH

10. Gọi E là trung

điểm AB. Tính

;d EC BC

Gọi F là trung điểm AC. K giao điểm AM

với EF. H là hình chiếu của O lên SK.

; ;

; 3 ; 3

d EC BC d BC SEF

d C CEF d O SEF OH



Cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a

Cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc là 060

Cạnh đáy bằng 2a, mặt bên hợp với mặt đáy một góc là 030

Cạnh đáy bằng 3a , mặt bên hợp với mặt đáy một góc là 030

Cạnh đáy bằng a, diện tích tam giác SAC bằng 24a

Cạnh đáy bằng 2a, khoảng cách từ A đến (SBC) là 3a

Bài 5:

Cho hình chóp tứ giác đều SABCD. M là trung điểm CD, O là tâm của ABCD.

1. Góc hợp bởi cạnh

bên và mặt đáy ;SA ABCD SAO


bên và mặt đáy. ;SBC ABCD SMO

3. Thể tích khối chóp

SABCD

21 1. .

3 3SABCD ABCDV SO S SO AB

4. Tính

;

;

;

;

...

d A SCD

d A SBC

d B SCD

d B SAD

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O

lên SM.

; 2 ; 2d A SCD d O SCD OH


5. Tính

;

;

;

;

...

d SA BC

d SA CD

d SB CD

d SB AD

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O

lên SM.

; ;

; 2 ; 2

d SB CD d SB SCD

d B SCD d O SCD OH

6. Xác định tâm và

bán kính của mặt

cầu ngoại tiếp hình

chóp SABCD

SO là trục của ABCD. Gọi N là

trung điểm của SA. Dựng mặt phẳng

trung trực của SA cắt SO tại I.

IA IB IC ID IS I là tâm

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

SABCD, bán kính R IS

Để tính IS ta dùng

Cách 1:

IS NSNSI OSA

SA SO

2

2

SAR IS

SO

Cách 2: cos

SNR IS

NSI

Cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a

Cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc là 060

Cạnh đáy bằng 2a, mặt bên hợp với mặt đáy một góc là 030

Bài 6:

Cho hình chóp OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau (tứ diện vuông OABC)


1. Góc hợp bởi:

; ; ; ; ; ;...AB OAB ABO AC OBC ACO BC OAB BCO

2. Góc hợp bởi (ABC)

và (OBC)

Gọi E là hình chiếu vuông góc của

O lên BC. ;ABC OBC AEO

3. Thể tích khối OABC 1 1. . .

3 6OABC OBCV OA S OAOB OC

4. Gọi H là hình chiếu

vuông góc của O lên

(ABC). Chứng minh

rằng H là trực tâm

của tam giác ABC

Kẻ AH cắt BC tại E. Do H là hình

chiếu vuông góc của O lên (ABC)

nên OH AE . Suy ra BC AH

nên AH là đường cao của tam giác

ABC.

Tương tự cho BH; CH.

Vậy H là trực tâm của tam giác

ABC.

Chú ý:

;d O ABC OH

2 2 2 2

1 1 1 1

OH OA OB OC

Áp dụng thực tế ; ;OA a OB b OC c


Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi. O là giao điểm AC và BD. Hình chiếu của S

lên (ABCD) là H thuộc AB sao cho 2AH BH

1. Tính thể tích khối chóp SABCD. 1

.3

SABCD ABCDV SH S

2. Tính

;

;

;

;

d H SCD

d A SCD

d B SCD

d M SCD

M AB

Gọi K là hình chiếu vuông góc của

H lên CD. J là hình chiếu vuông góc

của H lên SK.

;d H SCD HJ

3. Tính ;d O SCD Gọi K là hình chiếu vuông góc của

H lên CD. J là hình chiếu vuông góc

của H lên SK.

1 1

; ;2 2

d O SCD d B SCD OH


4. Tính ;d HC SD Kẻ đường thẳng d qua D song HC.

Gọi K là hình chiếu vuông góc của

H lên đường thẳng d. J là hình chiếu

vuông góc của H lên SK.

; ;

;

d HC SD d HC SKD

d H SKD HJ

BÀI TẬP HƯỚNG DẪN

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy ,

SA = a 2 .Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông.

a) CMR (SAC) (SBD) .

b) Tính góc giữa SC và mp ( SAB ) .

c) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SBD ) và ( ABCD)

d) Tính d(A, (SCD)) .

Giải

a) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông.

Ta có : ,SA ABCD SA AD SA AB

,SAD SAB vuông tại A.

Chứng minh SBC vuông :

Ta có : BC AB ( Hai cạnh kề của hình vuông ABCD )

BC SA ( vì SA ABCD )

BC SAB , mà SB SAB BC SB

SBC vuông tại B.

Chứng minh SCD vuông :

Ta có : CD AD ( Hai cạnh kề của hình vuông ABCD )

CD SA (Vì SA ABCD )

CD SAD , mà SD SAD CD SD

SCD vuông tại D.

b) CMR (SAC) (SBD) :

BD AC (Hai đường chéo của hình vuông ABCD )

BD SA ( Vì SA ABCD )

BD SAC , mà BD SBD SAC SBD .

c) Tính góc giữa SC và mp ( SAB ) :

O

a

a 2

A

B C

D

S

H


Do BC SAB tại B nên hình chiếu của C lên (SAB) là B.

Hình chiếu của SC lên (SAB) là SB.

, ,SC SAB SC SB CSB .

Trong SAB vuông tại A, ta có : 2

2 2 22 3SB SA AB a a a .

Trong SBC vuông tại B, ta có : 01tan 30

3 3

BC aCSB CSB

SB a .

Vậy 0, 30SC SAB .

d) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SBD ) và ( ABCD) :

Ta có : SBD ABCD BD .

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, O BD .

Theo chứng minh ở câu b) BD SAC , mà SO SAC SO BD .

Mặc khác, AO BD .

Vậy , ,SBD ABCD SO AO AOS (do AOS là góc nhọn).

2

22

aAC a AO .

Trong SAO vuông tại A, ta có : 2

tan 2 arctan 22

2

SA aAOS AOS

AO a .

, arctan 2SBD ABCD AOS .

Nhận xét : Để xác định góc giữa và ta có thể làm theo các cách sau :

Cách 1 : Tìm a, b sao cho , , ,a b a b .

Cách 2 : Nếu thì tìm O . Từ O, trong vẽ a tại O ;

trong vẽ b tại O. Suy ra , ,a b . (đã trình bày ở câu d) )

Cách 3 : Trong trường hợp tổng quát :

Tìm ;

Tìm sao cho ;

Tìm a , b ;

Kết luận : , ,a b .

Câu d) ta có thể trình bày cách 3 như sau :

Ta có : SBD ABCD BD ;


3a

a a 2

B

C

A

S

H

BD SAC (theo chứng minh câu b) )

SAC SBD SO , SAC ABCD AC ;

Vậy , ,SBD ABCD AC SO AOS ( Vì AOS là góc nhọn).

e) Tính d(A, (SCD)) :

Gọi H là hình chiếu của A lên SD.

Ta có : AH SD (1)

CD AD ( Hai cạnh kề của hình vuông ABCD) ;

CD SA (Vì SA ABCD ).

CD SAD , mà AH SAD CD AH (2)

Từ (1), (2) AH SCD tại H ,d A SCD AH .

Xét SAD vuông tại A có AH là đường cao :

Ta có :

22

22 2 2 2 2

1 1 1 1 1 3 2 2

2 3 32

a aAH AH

AH AS AD a aa

.

Vậy 2

,3

ad A SCD AH .

Bài 2. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C và SB (ABC), biết AC = a 2 ,

BC = a, SB = 3a.

a) Chứng minh: AC (SBC)

b) Gọi BH là đường cao của tam giác SBC. Chứng minh: SA BH.

c) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC)

Giải

a) Chứng minh : AC (SBC)

Ta có : AC BC (gt) ;

AC SB (Vì SB ABC ) ;

AC SBC .

b) Chứng minh : SA BH

Để chứng minh SA BH ta chứng minh BH SAC .

Ta có : BH SC (gt) (1)

Theo chứng minh trên , AC SBC mà BH SBC BH AC (2)

Từ (1) và (2) BH SAC , mà SA SAC BH SA .

c) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC)

Do SB ABC tại B nên hình chiếu của S lên (ABC) là B.

Hình chiếu của SA lên (ABC) là BA.

, ,SA ABC SA BA SAB .


M

B

AC

a

60°

a

a

a

H

O

AD

BC

S

Trong ABC vuông tại C, ta có : 2 2 2 22 3.AB BC AC a a a

Trong SBA vuông tại B, ta có : 03tan 3 60

3

SB aSAB SAB

AB a .

Vậy 0, 60SA ABC SAB .

Bài 3. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc BAD = 600

và SA=SB = SD = a.

a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD)

b) Chứng minh tam giác SAC vuông

c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)

Giải

a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD)

Gọi O là tâm của hình thoi ABCD.

Ta có : SBD cân tại S có O là trung điểm của BD nên SO BD ;

ABCD là hình thoi nên BD AC ;

BD SAC , mà BD ABCD SAC ABCD .

b) Chứng minh tam giác SAC vuông

Ta chứng minh SO = AO = OC.

Do ABD cân tại A có 060BAD ABD đều.

ABD đều cạnh a có AO là đường trung tuyến

3

2

aAO .

Xét SOD vuông tại O, ta có :

2 22 2 2 3 3

2 4 2

a a aSO SD OD a

.

3

2

aSO AO OC , mà SO là đường trung tuyến của SAC SAC vuông tại S.

Chú ý : Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến

ABC vuông tại A AM MB MC .

“Trong một tam giác vuông đường trung tuyến ứng với

cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền”

c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)

Xét hình chóp S.ABD :

Ta có : SA = SB = SD = a, AB = BD = DA = a nên S.ABD là hình chóp đều.

Gọi H là trọng tâm của ABD SH ABD (Theo tính chất của hình chóp đều).


a

Q

K

M

HO F

E

A

B C

D

S

P

SH ABCD tại H ,d S ABCD SH .

Vì H là trọng tâm ABD nên 2 2 3 3

.3 3 2 3

a aAH AO .

Trong SHA vuông tại H, ta có :

2 22

2 2 2 23 3 2 2

3 3 3 3

a a a aSH SA AH a a

.

2

,3

ad S ABCD SH .

Bài 4. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) là tam giác đều.

Gọi E, F là trung điểm của AB và CD.

a) Cho biết tam giác SCD vuông cân tại S. Chứng minh: SE (SCD) và SF (SAB).

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên EF. Chứng minh: SH AC

c) Tính góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (SAD)

Giải

a) Chứng minh SE (SCD) và SF (SAB).

Chứng minh SE (SCD) :

Do SCD cân tại S có F là trung điểm của CD CD SF

Mà CD EF (theo tính chất của hình vuông)

CD SEF , mà SE SEF SE CD (1)

Ta chứng minh SEF vuông tại S bằng cách

sử dụng định lý Pytago như sau :

SCD vuông tại S có SF là đường trung tuyến nên

1

2 2

aSF CD .

SAB đều cạnh a có SE là trung tuyến nên 3

2

aSE .

EF = a.

Ta có :

2 2 2 22 2 2 23 3

2 2 4 4

a a a aSE SF a EF

.

Vậy SEF vuông tại S SE SF (2)

Từ (1) và (2) SE SCD .

Chứng minh SF (SAB) :

Theo chứng minh trên, SF SE (3)

CD SEF , mà AB // CD AB SEF SF AB (4)

Từ (3) và (4) SF SAB .


b) Chứng minh SH AC

Ta có : CD SEF (theo chứng minh trên), mà SH SEF SH CD .

Hơn nữa, SH EF (gt) SH ABCD .

Mà AC ABCD SH AC .

c) Tính góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (SAD) (câu khó - các em học sinh đọc tham khảo).

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.

Theo tính chất của hình vuông ABCD, ta có AC, BD và EF đồng quy tại O.

Vì SE SF nên H thuộc đoạn OF.

Trong mặt phẳng (ABCD), qua H vẽ đường thẳng song song với CD cắt AD, OD lần lượt tại M và

K.

Vậy góc giữa BD và mặt phẳng (SAD) là góc giữa KD và (SAD). Ta đi tìm hình chiếu của K lên

(SAD).

Ta có : ,AD MH AD SH (do SH ABCD ) AD SHM SAD SHM .

SAD SHM SM .

Vẽ KP SM ( P SM ) KP SAD tại P.

Nhận xét : Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này

và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.

Hình chiếu của K lên (SAD) là P.

Hình chiếu của KD lên (SAD) là PD.

, , ,BD SAD KD SAD KD PD KDP .

Để tìm góc KDP ta đi tìm KD và KP.

SEF vuông tại S có SH là đường cao nên ta có : 2

2

2 2 2 22 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 4 4 16 3 3

3 3 3 16 434 422

a aSH SH

a aSH SE SF a a aaa

.

SEH vuông tại H nên ta có : 2 2 2

2 2 3 3 9 3

4 16 16 4

a a a aEH SE SH .

3

4 2 4 2 4 4

a a a a a aOH EH OE HF OF OH .

H là trung điểm của OF, mà HK // DF nên HK là đường trung bình của FOD .

K là trung điểm của OD 1 1 2 2

.2 2 2 4

a aKD OD . (do 2BD a ).

1 1

.2 2 2 4

a aHK DF ,

2 4 4

a a aMK MH HK K là trung điểm của MH.


2a

a

H

O

AD

B C

S

Trong (SHM), vẽ HQ SM (Q SM ), mà KP SM / /KP HQ mà K là trung điểm của MH nên

KP là đường trung bình của 1

2MHQ KP HQ .

SHM vuông tại H có HQ là đường cao, ta có : 2

2

2 2 2 22 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 16 4 28 3 3

3 3 3 28 2 7316 424

a aHQ HQ

a aHQ HS HM a a aaa

.

1 3 3.

2 2 7 4 7

a aKP .

Trong KPD vuông tại P, ta có : 0

3

34 7sin 27 35'

2 14

4

a

KPKDP KDP

KD a

Vậy 0, 27 35'BD SAD KDP .

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, ( )SA ABCD và SA = 2a.

a). Chứng minh ( ) ( )SAC SBD ; ( ) ( )SCD SAD

b). Tính góc giữa SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC);

c). Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC))

Giải

a) Chứng minh ( ) ( )SAC SBD ; ( ) ( )SCD SAD

Chứng minh SAC SBD :

Ta có : BD AC (Hai đường chéo của hình vuông ABCD) ;

BD SA (do SA ABCD ) ;

BD SAC , mà BD SBD SAC SBD .

Chứng minh SCD SAD :

Ta có : CD AD (Hai cạnh kề của hình vuông ABCD) ;

CD SA (do SA ABCD ;

CD SAD , mà CD SCD SCD SAD .

b) Tính góc giữa SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC).

Tính góc giữa SD và (ABCD).


Ta có : SA ABCD tại A nên hình chiếu của S lên mp (ABCD) là A.

Hình chiếu của SD lên mặt phẳng (ABCD) là AD.

, ,SD ABCD SD AD SDA .

Trong SAD vuông tại A, 2

tan 2 arctan 2.SA a

SDA SDAAD a

Vậy , arctan 2SD ABCD SDA .

Tính góc giữa SB và (SAD).

Ta có : ,BA SA BA AD BA SAD tại A nên hình chiếu của B lên (SAD) là A.

Hình chiếu của SB lên mặt phẳng (SAD) là SA.

, ,SB SAD SB SA BSA .

Trong SAB vuông tại A, 1 1

tan arctan .2 2 2

AB aBSA BSA

SA a

Vậy 1, arctan

2SB SAD BSA .

Tính góc giữa SB và (SAC).

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.

Theo chứng minh trên BD SAC tại O nên hình chiếu của B lên (SAC) là O.

Hình chiếu của SB lên (SAC) là SO.

, ,SB SAC SB SO BSO .

1 2

22 2

aBD a BO BD .

SAB vuông tại A nên 22 2 22 5SB SA AD a a a .

Trong SOB vuông tại O, ta có :

22 1 12sin arcsin

5 2 5 10 10

aBO

BSO BSOSB a

.

Vậy 1, arcsin

10SB SAC BSO .

c) Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC)).

Tính d(A, (SCD)).

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SD.

Ta có : AH SD .

Theo chứng minh ở câu a, CD SAD mà AH SAD AH CD .

AH SCD tại H ,d A SCD AH .


60°

2a

a

K

B

A

C

S

H

SAD vuông tại A có AH là đường cao, ta có : 2

2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 5 4 2

4 4 5 5

a aAH AH

AH AD AS a a a .

Vậy 2

,5

ad A SCD AH .

Nhận xét : Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này

và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.

Trong ý trên, do (SAD) (SCD) và có giao tuyến là SD nên khi kẽ AH SD thì AH SCD .

Tính d(B,(SAC)).

Theo chứng minh trên BD SAC tại O nên hình chiếu của B lên (SAC) là O.

2

,2

ad B SAC BO .

Bài 6. Hình chóp S.ABC. ABC vuông tại A, góc B = 600 , AB = a, hai mặt bên (SAB) và (SBC)

vuông góc với đáy; SB = 2a. Hạ BH SA (H SA); BK SC (K SC).

a) CM: SB (ABC)

b) CM: mp(BHK) SC.

c) CM: BHK vuông .

d) Tính cosin của góc tạo bởi SA và (BHK).

Nhận xét : Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có)

vuông góc với mặt phẳng đó, tức là :

Ta có :

;

dd

.

a) CM SB (ABC) :

Ta có :

;

SAB SBC SBSB ABC

SAB ABC SBC ABC

.

b) CM (BHK) SC :

SC BK (gt) (1)

AC AB ( ABC vuông tại A) ;

AC SB (do SB ABC ) AC SAB .


mà BH SAB BH AC , mặc khác BH SA (gt)

BH SAC mà SC SAC SC BH (2)

Từ (1) và (2) SC BHK .

c) CM BHK vuông :

Theo chứng minh ở câu b, BH SAC mà HK SAC BH HK .

Vậy BHK vuông tại H.

d) Tính cosin của góc tạo bởi SA và (BHK) :

Vì H SA nên , ,SA BHK SH BHK .

Theo chứng minh ở câu b, SC BHK tại K nên hình chiếu của S lên (BHK) là K.

Hình chiếu của SH lên (BHK) là KH.

, , , .SA BHK SH BHK SH KH SHK

SHK vuông tại K nên cosHK

SHKSH

. Ta có : HK AC

SHK SCASH SC

.

BAC vuông tại A, 0

0cos60 2

1cos60

2

AB AB aBC a

BC .

SBC vuông tại B nên 2 2 2 24 4 2 2SC BS BC a a a .

. 2 2 2 28 7AC BC AB a a a

7 7 14cos

42 2 2 2

HK AC aSHK

SH SC a .

Vậy 14cos , cos

4SA BHK SHK .

Bài 7. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2

5a. Gọi O là tâm của

hình vuông ABCD. Và M là trung điểm của SC.

a) Chứng minh: (MBD) (SAC)

b) Tính góc giữa SA và mp(ABCD) .

c) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( MBD) và (ABCD).

d) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và (ABCD)

Nhắc lại : Hình chóp đều là hình chóp có các cạnh bên bằng nhau và có đáy là đa giác đều. Do đó,

trong hình chóp đều, tâm của đa giác đáy trùng với hình chiếu của đỉnh S lên mặt đáy.

a) Chứng minh : (MBD) (SAC) :

Vì hình chóp S.ABCD đều nên SO ABCD ;


a 5

2

a

M

O

A D

B C

S

E

F

mà BD ABCD BD SO ;

Hơn nữa, BD AC (Hai đường chéo của hình vuông ABCD);

BD SAC mà BD MBD MBD SAC .

b) Tính góc giữa SA và mp(ABCD) :

Ta có : SO ABCD nên hình chiếu của S lên (ABCD) là O.

Hình chiếu của SA lên (ABCD) là OA.

, ,SA ABCD SA OA SAO .

5

2

aSA ;

22

2

aAC a AO

Trong SOA vuông tại O, ta có :

22 22cos cos

5 5 5

2

aAO

SAO SAO arcSA a

.

Vậy 2, cos

5SA ABCD SAO arc .

c) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( MBD) và (ABCD) :

Ta có : MBD ABCD BD ;

BD SAC ;

SAC ABCD AC ;

SAC MBD MO ;

, ,MBD ABCD AC MO COM ( Vì COM là góc nhọn )

Trong SOC vuông tại O có OM là đường trung tuyến nên 1 1 5 5

.2 2 2 4

a aOM SC .

2 1 5

;2 2 4

a aOC MC SC .

Áp dụng định lí cosin trong tam giác COM, ta có : 2 2 2 2 . .cosCM OM OC OM OC COM . 2 2 2

2 2 2

5 2 5 24 2 4 2 22cos arccos

2 . 5 2 5 5 52 .

4 2 2

a a a aOM OC CM

COM COMOM OC a a a

.

Vậy 2, arccos .

5MBD ABCD COM

Cách 2 :


Trong SOC vuông tại O có OM là đường trung tuyến nên 1 1 5 5

.2 2 2 4

a aOM SC CM .

COM cân tại M COM MCO .

Mặc khác, MCO SAO ( Vì SAC cân tại S) COM SAO . Theo câu b, 2

arccos5

SAO .

Từ đó suy ra 2, arccos .

5MBD ABCD COM

Nhận xét : Trong việc xác định góc giữa hai mặt phẳng ( MBD) và (ABCD) ta có thể dùng cách 2

như đã nói ở bài tập 1. Cách này không đơn giản vì tìm điểm thuộc BD để từ đó vẽ trong (ABCD)

và (MBD) hai đường thẳng lần lượt vuông góc với BD tại điểm đó là khó. Thực chất, người ta

thường dùng cách 3 để từ đó trình bày cách 2 cho đơn giản.

d) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và (ABCD) :

Ta có : SAB ABCD AB ;

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD.

;AB EF AB SO (do SO ABCD ) AB SEF .

SEF ABCD EF ;

SEF SAB SE ;

, ,SAB ABCD SE EF SEF ( Vì SEF là góc nhọn )

SOC vuông tại O nên

2 22 2

2 2 5 2 5 2 3

2 2 4 4 2

a a a a aSO SC OC

Trong SEO vuông tại O, ta có : 0

3

2tan 3 60

2

aSO

SEF SEFaOE

Vậy 0, 60SAB ABCD SEF .

Bài 8. Cho hình lăng trụ ABC.ABC có AA (ABC) và AA = a, đáy ABC là tam giác vuông

tại A có BC = 2a, AB = a 3 .a) Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (BCCB).

b) Tính khoảng cách từ A đến (ABC).

c) Chứng minh rằng AB (ACCA) và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC).

Giải

a) Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (BCCB).

Vì '/ / 'AA BB nên '/ / ' 'AA BCC B


a 3

2a

a

K

H'B'

O

C

A

C'

A'

BH ', ' ' , ' 'd AA BB C C d A BCC B .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC.

Từ H, vẽ đường thẳng song song với AA’ cắt B’C’ tại H’.

Do '/ / 'AA HH , ' ' 'AA ABC HH ABC HH AH .

Ta có : ' ''

AH BCAH BCC B

AH HH

tại H

, ' 'd A BCC B AH .

ABC vuông tại A nên 2 2 2 24 3AC BC AB a a a .

ABC vuông tại A có AH là đường cao nên 2

2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 4 3 3

3 3 4 2

a aAH AH

AH AC AB a a a .

3

', ' '2

ad AA BB C C AH .

b) Tính khoảng cách từ A đến (ABC).

'AB AA (do 'AA ABC ) ; AB AC (gt) ' ' 'AB A ACC AB A C .

Ta có : A’A = AC = a nên A’ACC’ là hình vuông.

Gọi O là tâm của hình vuông A’ACC’.

Do ' '

' ''

A C ACA C ABC

A C AB

mà ' ' ' 'A C A BC ABC A BC .

Hai mặt phẳng ' , 'A BC ABC có giao tuyến là OB .

Trong 'ABC kẻ 'AK OB K OB AK A BC tại K.

, 'd A A BC AK .

AOB vuông tại A có AK là đường cao nên 2

2

22 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 2 1 6 7 3 3

3 3 3 3 7 72

2

a aAK AK

AK AB AO a a a a aa

.

Vậy 3

, '7

ad A A BC AK .

Cách 2 :

Vì , ' ' ' 'BC AH BC AA BC AA H A BC AA H

Hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến A’H.

Trong mặt phẳng (AA’H), kẻ ' ' 'AI A H I A H AI A BC tại I.


, 'd A A BC AI .

'AA H vuông tại A có AI là đường cao nên

22 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 4 1 7 3

3' 3 3 7

4

aAI

aAI AH AA a a a a .

3

, '7

ad A A BC AI .

Nhận xét : Hai điểm I và K hiển nhiên trùng nhau.

c) Chứng minh rằng AB (ACCA) và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC).

Chứng minh rằng AB (ACCA) :

Ta có : , 'AB AC AB AA (do 'AA ABC ) ' 'AB ACC A .

Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC) :

Theo chứng minh trên, ' 'A C ABC tại O nên ', ' 'd A ABC A O .

Ta có : 2 2

' 2 ' ', '2 2

a aA C a A O d A ABC .

Nhận xét : Để tính khoảng cách từ M đến , nếu đề bài cho không xác định trực tiếp được hình

chiếu của M lên thì ta làm như sau :

Tìm mp đi qua M và ;

Tìm giao tuyến ;

Kẻ ,MH H MH d M MH .


HỆ THỐNG TRỌNG TÂM

Documents

Transcript of HỆ THỐNG TRỌNG TÂM