FLEXIÓN PLANA I: (Cálculo de tensiones) - OCW-UMA

Resistencia de Materiales

FLEXIÓN PLANA I:(Cálculo de tensiones)

Resistencia de Materiales

FLEXIÓN PLANA I:(Cálculo de tensiones)

1. Introducción. Leyes y diagramas en vigas isostáticas

2. Tensiones en la barra sometida a flexión pura

3. Tensiones en la barra sometida a flexión simple

4. Tensiones principales en la barra debidas a flexión simple

5. Dimensionamiento de barras sometidas a flexión simple

6. Esfuerzos cortantes en elementos de pared delgada.

Flexión Plana I (Tensiones)

Castillo López, G. García Sánchez, F. López Taboada, C . Pedraza Rodríguez, C. (2014) Resistencia de Materia les. OCW-Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es Bajo licencia Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Spai n

IntroducciónLeyes y diagramas en vigas isostáticas



Isla en el Mur. Graz, Austria

Puente del Alamillo, Sevilla

Cubierta de la terminal T4Aeropuerto de Barajas, Madrid




( )

( ) ( ) 0x

A x

N x dA xσ= =∫

( )

( ) ( ) 0y xy

A x

V x dA xσ= ≠∫

( )

( ) ( ) 0z xz

A x

V x dA xσ= ≠∫( )

( ) ( ) 0y x

A x

M x z dA xσ= ≠∫

( )

( ) ( ) 0z x

A x

M x y dA xσ= ≠∫

0)x(dA)zy()x(M)x(A

xyxzx =σ−σ= ∫


FlexiónSimple



( )q x

x

y

z

IntroducciónLeyes y diagramasen vigas isostáticas

Flexión plana

•La barra prismática es plana

•La carga y la deformación están en el mismo plano



( )q x

x

y

z

x

y

z


Flexión plana

2x1x



( )q x

x

y

z

1( )yV x

1( )zM x2( )yV x

2( )zM x

y

zx


Flexión plana

2x1x



( )q x

x

y

z

1( )yV x

1( )zM x2( )yV x

2( )zM x

y

z

0yF =∑2

1

1 2( ) ( ) ( ) 0x

y y

x

V x V x q x dx− − =∫2

1

2 1( ) ( ) ( )x

y y

x

V x V x q x dx= − ∫

x


Flexión plana

2x1x



( )q x

x

y

z

1( )yV x

1( )zM x2( )yV x

2( )zM x x

y

z


Flexión plana

2

1

2 1( ) ( ) ( )x

y y

x


2x1x



( )q x

x

y

z

1( )yV x

1( )zM x2( )yV x

2( )zM x x

y

z

ξ

( )q ξ dξ


Flexión plana

2

1

2 1( ) ( ) ( )x

y y

x


20z x

M =∑

2

1

2 1 1 2 1 2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0x

z z y

x

M x M x V x x x q x d− − − + ξ − ξ ξ =∫

2x1x

2x1x



( )q x

x

y

z

1( )yV x

1( )zM x2( )yV x

2( )zM x

y

z

2

1

2 1( ) ( ) ( )x

y y

x

V x V x q x dx= − ∫x


Flexión plana

2x1x

2

1

2 1 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )x

z z y

x

M x M x V x x x q x x d= + − − ξ − − ξ ξ∫

ξ

( )q ξ dξ

20z x

M =∑

2

1

2 1 1 2 1 2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0x

z z y

x

M x M x V x x x q x d− − − + ξ − ξ ξ =∫

2x1x



q

x

z


Flexión plana

y

A B

yAR

xARq

yBR

xBR

0 0x xA xBF R R= ⇒ + =∑

0 ( ) 0l N x∆ = ⇒ = ⇒

0xA xBR R⇒ = =L



q

x

z


Flexión plana

y

A B

yAR

xARq

yBR

xBR

0 0x xA xBF R R= ⇒ + =∑

0 ( ) 0l N x∆ = ⇒ = ⇒

0xA xBR R⇒ = =

0yF =∑ yA yBR R q L+ =

0zAM =∑ 212 0yBR L q L− =

12yA yBR R q L= =⇒

L



q

x

zFlexión plana

y

A B

12 qL

q

12 qL

q

x

y

( )yV x

( )zM x

12 qL

L




q

x

zFlexión plana

y

A B

12 qL

q

12 qL

q

x

y

( )yV x

( )zM x0yF =∑

12 qL

0zM =∑

( )12( )zM x qx L x⇒ = −

21 12 2( ) 0zM x qx qLx+ − = ⇒

( )12 2( )y

LV x qL q x q x= − = −

Ley de flectores

Ley de cortantes

L




q

x

zFlexión plana

y

A B

12 qL

q

12 qL

q

x

y

( )yV x

( )zM x0yF =∑

12 qL

0zM =∑

( )12( )zM x qx L x⇒ = −

21 12 2( ) 0zM x qx qLx+ − = ⇒

( )12 2( )y

LV x qL q x q x= − = −

Ley de flectores

Ley de cortantes

( )( )z

y

dM xV x

dx= ( )

( )ydV xq x

dx= −

Obsérvese

Cuidadocon los signos!!!

L




Efectivamente

( )y yV x dV+

( )z zM x dM+

( )yV x

( )zM x( )q x

x dx

0yF =∑

0zM =∑

( )( )z

y

dM xV x

dx=

( )( )ydV x

q xdx

= −

( ) ( )* 0y y yV dV q x dx V+ + − =

( ) ( )* * * 02y y z

dxV dV dx q x dx dM+ + − =

Despreciando los diferencialesde orden superior



q

x

z


Flexión plana

y

q

12 qL 1

2 qL

( )12 q L x−

xy

12 qL

12 qL

( )12 qx L x−

xy

218 qL

0zM =¡¡¡ !!!0zM =¡¡¡ !!!( )1

2( )zM x qx L x= −

( )2( )yLV x q x= −

Sólo equilibrioISOSTÁTICA

L q

x

y

( )yV x

( )zM x

12 qL x



q

x

zFlexión plana

y

q

12 qL 1

2 qL

( )12 q L x−

xy

12 qL

12 qL

( )12 qx L x−

xy

218 qL

0zM =¡¡¡ !!!0zM =¡¡¡ !!!( )1

2( )zM x qx L x= −

( )2( )yLV x q x= −

Ley de flectores

Ley de cortantes

L




Flexión Pura

0y zV M c t e= ⇒ =

Hipótesis

1.- σmax<σe

2.- Las secciones se mantienen planas (Hipótesis de Bernoulli)

3.- Pequeñas deformaciones.

Fibras extremas

� más deformadas

� tensiones más elevadas (material homogéneo).



Fibras con ∆L>0Fibras con ∆L<0

Alguna fibra ∆L=0(fibra neutra)

Deformada CIRCULAR(será demostrado posteriormente)

Flexión Pura Tensiones en la barrasometida a flexión pura

x

y

SecciónA’

SecciónB’P

Q

zMzM

ρ

O

SecciónA

SecciónB

0y zV M cte= ⇒ =

∆L=0∆L<0

∆L>0



Sección A==Sección A’

Sección B

SecciónB’

y

a

bc

x

dx

P Qx

y

SecciónA

SecciónB

SecciónA’ Sección

B’P

Q

Hipótesis desecciones planas

(Hipótesis de Bernoulli)ρ

O

ρ

abc OPQ�

y L

dx

∆=ρ

ab OP

cb PQ= y

L dx

ρ=∆

x

Eyσ =

ρ( )( )

0

0

x

x

traccion

compresion

ε >

ε <x= ε x

E

σ=

Ley de Hooke

Flexión Pura 0y zV M cte= ⇒ = Tensiones en la barrasometida a flexión pura



xσ

x

z

y

zds

y

zM

( ) ( )

0 ( )x x

A x A x

EN x dA ydA= = σ = −

ρ∫ ∫

0xF =∑

0zM =∑

( )

z x

A x

M ydA= σ∫

Flexión Pura

0y zV M cte= ⇒ =

Tensiones en la barrasometida a flexión pura



Sección A==Sección A’

Sección B

SecciónB’

y

a

bc

x

dx

P Q

x

y

SecciónA

SecciónB

SecciónA’ Sección

B’P

Q

( ) ( )

0 ( )x x

A x A x

EN x dA ydA= = σ = −

ρ∫ ∫


(Hipótesis de Bernoulli)ρ

O

Fibraneutra = c.d.g.( )

0A x

y dA =∫

ρ

0xF =∑

0zM =∑

2

( )A x

Ey dA= −

ρ ∫

Inercia

Ley de Navier

( )( , )

( )z

xz

M xx y y

I xσ = −

zM

( )

z x

A x

M ydA= σ∫ z

EI= −

ρx

zIy

σ= −




y

x

y

x

( )( , )

( )z

xz

M xx y y

I xσ = − ( )

( , )( )z

xz

M xx y y

I xσ = −

Ley de Navier

=

( )zM x ( )zM x( )x xσ ( )x xσ

x

y




Forma racional de las secciones rectas de vigas flectadas

La tensión máxima (puntos más alejados del eje neutro) no debe superar latensión admisible σADM.

El área próxima al eje neutro apenas contribuyen a soportar el momento flector.

� El resto de fibras trabaja por debajo de sus posibilidades.

� Los esfuerzos σ.dA provocan momentos pequeños si “y” es pequeña.

Perfil óptimo � Área lo más lejos del eje neutro

Perfil óptimo � Viga en doble T.

Rectángulo

Viga doble T

2

max

.0,167. .

6zI b h

A hy

= = =

max

0,32. .zIA h

y= =

A igualdad de sección yaltura, perfil doble Tsoporta un momentoflector doble.




queda comprometida

FlexiónSimple

( ) 0 ( )y zV x M x cte≠ ⇒ ≠( )( ) ( )z ydM x dx V x=

Tensiones en la barrasometida a flexión simple

( )yV x

El reparto de tensiones de cizalladura no puede ser constanteen la sección (Principio de reciprocidad de las tensiones deCizalladura).

max

.

( , ) 0 0xy xy xy

xy xy

G

x y

τ = γ

τ − = ⇒ γ =

0 0xy xyτ = ⇒ γ =

( ) ( )max maxxy xyxy xyτ = τ ⇒ γ = γ

X



El cortante provocaNECESARIAMENTE

el alabeo de la sección

Vy (x)tensiones normalespara compatibilizar

Alabeo diferentepara diferentes x


queda comprometida

La ley de Navierqueda comprometida

Barras “largas”vs.

Barras “cortas”(L<10h aprox.)

(L>10h aprox.) Este efecto PUEDE DESPRECIARSE

Este efecto DEBE CONSIDERARSE

FlexiónSimple





“Barras” cortas

Ley de Navier

Barras largas

Ley de Navier




0xF =∑

( ) ( )

( ) . . ( ) 0x x x xy

A y A y

dA d dA dx b yσ − σ + σ + τ =∫ ∫

FlexiónSimple


( , )x x yσ ( , ) ( , )x xx y d x yσ + σ

( , )xy x yτx

y

z

dx

( )b y

xyτx

y

zy

( )zM x

( )yV x

( )A y

Si suponemos que la se mantieneconstante para una “y” determinada (*):

(*) Como veremos más adelante esto no es estrictamente cierto y la fórmula deColignon-Jourawski no es mas que una aproximación.

( , )xy x yτ

( )

1. .

( )x

xy

A y

ddA

b y dx

στ = ∫

dx




( )

( )1.

( ) ( )z

zA y

M xddA

b y dx I x

= ξ

∫

( )

( )1.

( )z

z A y

dM xdA

I b y dx= ξ∫

( )

1( , )

( )x

xy

A y

dx y dA

b y dx

στ = ∫

Momento estático Sz(y) del área A(y) conrespecto al eje z (de flexión)

FlexiónSimple

( ) 0 ( )y zV x M x cte≠ ⇒ ≠

( )

( ) ( ). ( )

( ) ( )y z

yz zA y

V x S ydA V x

I b y I b yτ= ξ =∫

( , )xy x yτ( )

( )y xy

A y

V x dA= τ∫( )yV x

Nota: Si en vez de quedarnos con la parte superior nos hubiéramos quedado con la parteinferior, hubiéramos obtenido el mismo valor pero con el signo contrario.

además

Suponiendo que la Ley de Navier sigue siendo válida para el cálculo de σ.

( ) ( )( , )

( ) ( )z z

xz z

M x M xx

I x I xσ ξ = − ξ = ξEl módulo de será:( )x xσ

( )( , )

( )z

xz

M xx

I xσ ξ = − ξ

( )( )z

y

dM xV x

dx=




( )( , )

( )z

xz

M xx y y

I xσ = ( )

( , )( )z

xz

M xx y y

I xσ =

Ley de Navier

Ley de Colignon-Jourawski

y

x

x

y

( )yV x( , )xy x yτ

( )zM x

( , )x x yσ

( , )x x yσ

( , )xy x yτ( ) ( ), ( )

( )z

xy yz

S yx y V x

I b yτ =



Prontuario

A = área de la secciónSx = Momento estático de media sección, respecto a X.Ix = Momento de inercia de la sección, respecto a X.Wx = 2Ix/h. Módulo resistente de la sección, respecto a X.ix = (Ix/A)1/2. Radio de giro de la sección, respecto a XIy = Momento de inercia de la sección, respecto a Y.Wy = 2Iy/b. Módulo resistente de la sección, respecto a Y.iy = (Iy/A)1/2 . Radio de giro de la sección, respecto a YIt = Módulo de torsión de la sección.Ia = Módulo de alabeo de la sección.

u = Perímetro de la sección.a = Diámetro del agujero del roblón normal.w = Gramil, distancia entre ejes de agujeros.h1 = Altura de la parte plana del alma.e2 =Espesor del ala en el eje del agujero.p = Peso por metro.



Sección Rectangular

b

h V(x)

( )( ).( , ). .

( )xyz

V x dxx y b dx S y

I xτ =

( )( ).( , )

. ( )xyz

V x S yx y

b I xτ = ( ) ( )

222 . .

2 4

h

y

b hS y b d y

= ξ ξ = −

∫

y

( , )xy x yτ

y ξ

dξ

( )2

2

22

3 3

( ).6.2 4

( , ). . 4

.12

xy

b hV x y

V x hx y y

b h b hb

−

τ = = −

x

( ) ( ) 23. 2., . 1

2. .xy

V x yx y

b h h

τ = −

Ejemplo de Aplicación



Notas:• varía parabólicamente.• El valor máximo ocurre para y=0 (en la mitad de la altura) y su valor

es , un 50% superior a si consideramos la tensión de

cizalladura repartida uniformemente

• Un estudio riguroso utilizando la teoría de la elasticidad muestraque la tensión de cizalladura en una fibra situada a una distancia y deleje neutro, no es constante, siendo máximo en los extremos:

siendo α un coeficiente mayor que uno y que depende de la relaciónb/h y del coeficiente de Poisson.

( , )xy x yτ

( ) ( )3.,

2. .xy

V xx y

b hτ =

( ) ( )3.,

2. .xy

V xx y

b hτ = α

h/b

2 1 0,5

α 1,033 1,126 1,396( )b y

xyτ

x



Si comparamos los valores máximos de ambas tensiones, en el caso de una viga trabajandoa flexión simple, de sección rectangular, simplemente apoyada y con una carga puntual enel centro de la misma:

02468

1012

0 1/20 1/10 3/20 1/5 1/4

τmax

/σm

ax(%

)

h/LEste resultado hace que el cálculo de la resistencia en flexión simple se haga, sino se trata de perfiles delgados, teniendo en cuenta solamente las tensionesnormales debidas al momento flector y no tomando en consideración lastangenciales debidas al esfuerzo cortante.

/ 2L / 2L

P



a/10

a/10

a/10

a

a

a

a/10

a

a/2

a/2

a/5

-6

-4

-2

0

2

4

6

a=10

2 29

2 25

aa y −

2 227

20 20

aa y −

( )2 29 25500

aa y−

2 29

2 200

aa y −

S(y)




-6

-4

-2

0

2

4

6

a/10

a/10

a/10

a

a

a

a/10

a

a/2

a/2

a/5

S(y)

a=10

b(y)



-6

-4

-2

0

2

4

6

a/10

a/10

a/10

a

a

a

a/10

a

a/2

a/2

a/5

S(y)b(y) Iz

a=10




a/10

a/10

a/10

a

a

a

4207*

3000z

aI =

q

2P L

2P

P

2P L

2P

P

xy 2

P

2P

( )12 P L x−

12 Px

xy

0zM =¡¡¡ !!!0zM =¡¡¡ !!!

14 Pl

max

max 2

M L

V=



maxmax 3

1800

207

M

aσ =

maxmax 2

225

23

V

aτ =

max

max

92

207

L

a

σ =τ

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

0 5 10 15 20 25

σm

ax/τ

max

L/H



Nota sobre la TEORÍA DE COLIGNON:

τxy

τty

Principio de Reciprocidad

Teoría de Colignon es aproximada.

Aproximación suficientemente buena

τn



( , )x x yσ

( , )xy x yτ

x

y

x

y

( , )x x yσ( , )xy x yτ

( , )x x yσ

Ox

Oy

θ( , )I x yσ

( , )III x yσ

( , )xy x yτ

( , )xy x yτ

/ 2θ

( , )I x yσ

( , )III x yσ

( , )( )

zx

z

Mx y y

I xσ = −( , )

( )z

xz

Mx y y

I xσ = −

Ley de Navier

( )( , ) ( )

( )z

xy yz

S yx y V x

I b yτ = ( )

( , ) ( )( )

zxy y

z

S yx y V x

I b yτ =

Ley de Colignon-Jourawski

Tensiones principales en la

barra debidas a flexión simple



Esfuerzos cortantes en elementos de pared delgada.

Sea un perfil como el de la figura, sometido a una fuerza cortante Vy. Si cortamos el alaen la sección A´B´, vemos que en la sección de corte nos aparece una fuerza dN:

( )..yV S y

dN dxIz

=

En el caso de secciones de pared delgada,podemos considerar que esa fuerza decizalladura se reparte uniformemente en elespesor:

( ).. . y

zx

V S ydN e dx dx

Iz= τ =

Al término se le denomina flujo decorte (debido a la analogía hidrodinámica).

Dado que Iz y Vy son constantes para unasección situada en x, el flujo de corte qúnicamente depende de S(y) el momentoestático de la sección A’A con respecto al ejeneutro.

.zxq e= τ



Se denomina flujo de corte por su similitud con el flujo de un líquido y al igual que este,no puede tener variaciones súbitas.

Así, en la sección en doble T, vemos que elflujo de corte en el alma será la suma de losflujos de corte en las alas.

zx xzτ = τ

xy yxτ = τ


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