Facoltà di Studi Umanistici

Corso di Laurea Triennale in Filosofia

LOGICISMO E METODO ASSIOMATICO

IN CARNAP

Relatore:

Prof. Silvio BOZZI

Elaborato di Laurea di:

Luca TOCCO

Matricola 807105

Anno Accademico 2013 - 2014

INDICE

INTRODUZIONE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 5

I. CONCETTI PROPRI E CONCETTI IMPROPRI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 8

1. Concetti propri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 12

1.1. Concetti reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 15

1.2. Concetti formali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 16

2. Concetti impropri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 23

2.1. Definizioni implicite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 23

2.2. Le interpretazioni di un sistema di assiomi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 25

2.3. Monomorfia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 27

2.4. L’indeterminatezza dei concetti impropri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 30

2.5. I concetti impropri sono variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 33

3. La relazione tra concetti reali e concetti impropri nel Sistema della Conoscenza . . . . . . . . . . . . . . . p. 33

II. IL LOGICISMO DI CARNAP: LA FONDAZIONE DELLA MATEMATICA DA UN PUNTO DI

VISTA FISICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 35

2

III. L’ASSIOMATICA GENERALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 41

1. Definizione e scopo dell’assiomatica generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .p. 44

2. I concetti della Disciplina di Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 49

2.1. La teoria delle relazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .p. 49

2.2. La teoria dei tipi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 50

2.3. Isomorfia e proprietà astratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 52

2.4. Proprietà assolute e proprietà costruttive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 55

IV. PROPRIETÀ GENERALI DI UN SISTEMA DI ASSIOMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 58

1. Il sistema di assiomi come funzione proposizionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 59

2. Isomorfia di ordine superiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 64

3. Assiomi formali e assiomi materiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 66

V. MONOMORFIA E RAMIFICABILITÀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 68

1. I tre significati di completezza di un sistema di assiomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 69

2. Il teorema di ramificabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 71

CONCLUSIONI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 78

BIBLIOGRAFIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 82

3

INTRODUZIONE

4

La ricerca che viene qui presentata ha come oggetto alcuni lavori di Rudolf Carnap che si collocano grossomodo

nell’arco di un decennio, tra la fine degli anni ’20 e i primi anni ’30 del ‘900. In particolare l’articolo Concetti propri e

impropri del 1927, la Relazione sulle ricerche sull’assiomatica generale del 1930, l’articolo Sugli assiomi estremali

scritto in collaborazione con Friedrich Bachmann nel 1936 ma soprattutto le Ricerche sull’assiomatica generale che

però verranno pubblicate postume nel 2000.

Tali lavori mettono in luce il carattere innovativo della prospettiva carnapiana che rappresenta un esempio

emblematico del tentativo di coniugare due tradizioni – sorte dalle disamine sui fondamenti della matematica – che fino

ad allora si trovavano piuttosto distanti tra loro: il logicismo ed il metodo assiomatico hilbertiano. La peculiarità di

questi lavori di Carnap risiede proprio in ciò, nell’intento di mettere in relazione tali prospettive. Nel nostro autore,

dunque, all’impostazione logicista, ereditata dalla sua formazione accademica con Frege, si affianca la consapevolezza

della validità epistemologica del metodo assiomatico moderno, che trova riscontro non solamente negli ambiti consueti

delle scienze formali (matematica, geometria), dove da sempre trova largo impiego, ma anche in quelle empiriche (in

particolare in fisica).

I lavori menzionati costituiscono, dunque, una valida testimonianza della presa di consapevolezza da parte di

Carnap del fatto che diventa possibile definire i concetti di strutture matematiche, piuttosto che di altre teorie di ambiti

diversi, non soltanto come il metodo logicista aveva mostrato, cioè ridefinendo in termini logici gli enti primitivi e le

relazioni della teoria in questione, ma anche attraverso una modalità differente, vale a dire definendo i concetti

mediante assiomi. Il metodo assiomatico moderno, infatti, consente di caratterizzare gli universi descritti dalle teorie in

termini strutturali, dando per così dire una descrizione globale ma senza fare riferimento ai singoli oggetti specifici. Le

conseguenze di ciò sono molteplici e di vasta portata; su tutte possiamo sottolineare il fatto che tale metodo, in misura

del tutto maggiore rispetto all’approccio logicista, consente di intraprendere e sviluppare uno studio metateorico delle

varie teorie. Questo anche perché mentre nel logicismo abbiamo a che fare solamente con definizioni esplicite, cioè

definizioni della forma «definito» = «definiente», (a = b), dove il definito è un nuovo simbolo e il definiente una

formula ove compaiono segni noti (e nel caso del logicismo solamente costanti logiche) – definendo così oggetti o

relazioni singolarmente –, col metodo assiomatico si ha la possibilità di caratterizzare i concetti di una teoria

implicitamente. Le definizioni che così si ottengono risultano più astratte, poiché un sistema assiomatico non definirà

mai un singolo concetto, ma proprio perché fissa, mediante gli assiomi, determinate condizioni formali che la teoria

deve soddisfare, esso definirà una molteplicità di interpretazioni. In questo senso si dice che il sistema assiomatico isola

una classe di interpretazioni.

Le Ricerche sull’assiomatica generale rappresentano un esempio significativo del tentativo di accostare

logicismo e metodo assiomatico. Esse infatti si pongono come un progetto generale di studio delle teorie all’interno di

5

un contesto formale, definito da Carnap Disciplina di Base o Disciplina Fondamentale (Grunddisziplin). L’intento è

quello di tradurre le varie teorie nel linguaggio della Disciplina di Base che è quello della teoria dei tipi semplici con

l’aggiunta dell’assioma dell’infinito ed eventualmente di altri. È importante sottolineare almeno due aspetti di questo

progetto. In primo luogo, il fatto che l’analisi di Carnap si realizza in maniera limitata, nel senso che il nostro autore

presenta le proprie ricerche in termini programmatici, non dando sviluppi specifici di singole analisi. Proprio per questo

non viene presentato un vero e proprio sistema formale dove siano indicati espressamente ed in modo del tutto chiaro il

linguaggio, la grammatica e gli assiomi della Disciplina di Base. Molto spesso, la trattazione di Carnap accenna

solamente, dando per scontate alcune questioni o senza precisare dettagli. In secondo luogo, un altro punto di

particolare importanza è dato dal fatto che le Ricerche si basano sul presupposto che la logica della Disciplina di Base

sia una logica contenutistica, ovvero che tutti i concetti delle varie teorie, come le nozioni o proprietà metateoriche,

possono trovare una corrispettiva formulazione nel linguaggio assunto per condurre la loro analisi generale.

La traduzione di una teoria all’interno del linguaggio della Disciplina di Base avviene considerando gli assiomi

delle teorie come funzioni proposizionali e i vari sistemi assiomatici come congiunzione dei loro assiomi (funzioni

proposizionali). Le costanti, sia individuali che predicative, vengono sostituite con opportune variabili. Inoltre, la

quantificazione non si realizza semplicemente su due livelli, per gli individui e per i predicati, ma avviene anche per i

modelli dei vari sistemi assiomatici; vengono infatti introdotte delle variabili per modelli (Modellvariable). Questo

aspetto, come si vedrà nell’ultimo capitolo, gioca un ruolo fondamentale nel teorema di ramificabilità.

L’apporto teorico principale delle Ricerche è dato dal fatto che Carnap, servendosi anche dei contributi di lavori

precedenti presenti nella letteratura, mostra come i tre differenti modi attraverso cui una teoria può caratterizzare il

proprio ambito, gli enti di cui tratta. I termini utilizzati da Carnap per caratterizzare queste nozioni sono quelli di

monomorfia (Monomorphie), corrispondente alla categoricità, non-ramificabilità (Nicht-Gabelbarkeit), corrispondente

alla proprietà della completezza semantica, e decidibilità (Eintscheidungdefintheit), che però, a differenza degli altri

casi dove risulta possibile trovare una correlazione con una odierna proprietà metateorica, non si può equiparare alla

completezza sintattica.

Lo scopo delle Ricerche è quello di dimostrare l’equivalenza tra queste nozioni, in particolare tra monomorfia e

non ramificabilità. È questo il noto teorema di ramificabilità (Gabelbarkeitssatz), che costituisce il risultato principale

delle Ricerche. Tale teorema vuole stabilire l’equivalenza tra categoricità e completezza semantica, ovvero porre che la

categoricità di una teoria è condizione sufficiente affinché si possa affermarne anche la completezza semantica, e

viceversa. Tuttavia, sebbene non vi siano problemi per affermare la prima implicazione, non possiamo dire lo stesso per

il viceversa. Il nodo problematico del teorema si stringe su questo punto, ovvero se la completezza semantica sia

condizione sufficiente per affermare la categoricità di una teoria. Come si vedrà, tale affermazione si basa su alcuni

6

presupposti su cui è possibile sollevare qualche riserva, in particolare il fatto che, secondo la prospettiva carnapiana,

ogni concetto sia definibile all’interno della Disciplina di Base e pertanto che sia possibile definire – nei termini del

linguaggio della Disciplina di Base – un modello per ogni sistema assiomatico che sia soddisfacibile. È questo quello

che in letteratura viene definito come presupposto di definibilità (o presupposto del logicismo)1. Proprio a causa di ciò il

teorema non può considerarsi valido da un punto di vista generale, tuttavia a Carnap rimane il merito di aver sollevato

una questione che ancora oggi suscita non semplicemente motivo di interesse ma che richiede anche necessità di

giungere a una soluzione.

1 Cfr. SCHIEMER, G. (2010).

7

CAPITOLO PRIMO

CONCETTI PROPRI E CONCETTI IMPROPRI

8

Prima di passare all’oggetto vero e proprio del presente lavoro, le Ricerche sull’assiomatica generale di Carnap,

può essere utile soffermarsi su un precedente lavoro (Eigentliche und uneigentliche Begriffe, 1927)2, in cui Carnap

descrive differenti tipologie di concetti. Come vedremo, le distinzioni che Carnap pone saranno determinanti in quanto

porranno in luce il differente statuto logico e ontologico che sussiste tra i due concetti e, pertanto, permetteranno di

chiarire le diverse modalità di definire un concetto realizzando un tipo di indagine che, a partire dall’ultimo decennio

del XIX secolo, si sarebbe costituito come uno degli ambiti più fecondi della ricerca logica, sebbene anche come uno

degli ambiti dove vigeva ancora scarsa uniformità metodologica e concettuale. Si sta parlando delle ricerche di carattere

metamatematico volte a costruire, almeno per quel che riguarda Carnap, uno studio assiomatico generale capace di

rendere conto delle proprietà formali delle diverse teorie assiomatiche specifiche, in particolar modo della completezza,

sia semantica che sintattica, della categoricità e dei rapporti che sussistono tra di esse. È in questo contesto che acquista

rilevanza la distinzione, che Carnap espone nell’articolo citato, tra concetti propri e concetti impropri ed è solo

mediante essa, cioè mediante la rivalutazione delle definizioni implicite che si renderà possibile la trattazione di un

sistema assiomatico come un ente logico. Di ciò si renderà conto in modo più dettagliato in seguito. Ora, preme chiarire

la distinzione tra concetti propri e impropri cui Carnap fa riferimento.

La presentazione di queste due differenti tipologie di concetti, che compare in Eigentliche und uneigentliche

Begriffe (Concetti propri e impropri), costituisce già un buon esempio degli interessi di Carnap rispetto ai temi della

assiomatica generale. È proprio sul finire degli anni Venti, infatti, che vedono la luce i primi lavori del filosofo tedesco

intorno a tali tematiche. Questi lavori confluiranno nel «Bericht über Untersuchungen zur allgemeinen

Axiomatik» («Relazione sulle ricerche sull’assiomatica generale»)3 del 1930, mentre il manoscritto delle

Untersuchungen zur allgemeine Axiomatik (Ricerche sull’assiomatica generale) non verrà mai pubblicato durante la vita

del filosofo tedesco. Tale opera, che si presenta secondo le intenzioni dell’autore come un testo di appunti da rivedere e

sistemare, vedrà la luce solamente nel 2000.

Tuttavia, è opportuno sottolineare come per Carnap l’interesse e la consapevolezza dell’importanza

dell’assiomatica moderna, inaugurata da Hilbert con le Grundlagen der Geometrie del 1899, sia stata sempre presente.

A prova di ciò si ricordi che la prima tesi di dottorato scritta da Carnap – tesi che venne respinta sia dal dipartimento di

fisica in quanto considerata «troppo filosofica», sia dal dipartimento di filosofia in quanto considerata «eccessivamente

di carattere fisico», dagli allora docenti di Carnap a Jena Max Wien e Bruno Bauch – fu un tentativo di costruire un

sistema di assiomi per una teoria fisica dello spazio-tempo, dal titolo: «Fondamenti assiomatici della cinematica». Oltre

a ciò, studiosi contemporanei quali S. Awodey e A. W. Carus hanno messo in luce come:

2 CARNAP, R. (1927).3 CARNAP, R. (1930).

9

«There is no question that, throughout this period, Carnap fully understood the power of “axiomatic thinking” for unifying

science and showing how various parts of human knowledge fit together – not just formal science, but empirical science as well»4.

A tutto ciò, si deve aggiungere che fin dai tempi de La costruzione logica del mondo (Der Logische Aufbau der

Welt) – della quale, sebbene pubblicata nel 1928, c’era già una prima redazione nel 19255 – è ammessa, entro certi

termini, la possibilità di definire un determinato ente implicitamente, ovvero mediante un insieme di assiomi6. Scrive,

infatti, Carnap:

«La descrizione di proprietà indica quali proprietà appartengono ai singoli oggetti del campo; la descrizione di rapporto

indica quali rapporti sussistono tra gli oggetti, senza dir nulla per sé intorno ai singoli oggetti. Quindi la descrizione di proprietà

fornisce indicazioni individuali e in un certo senso assolute, mentre la descrizione di rapporto fornisce indicazioni relative. […]

Sebbene ognuno dei due modi di descrizione possa includere a sua volta una molteplicità di forme, tuttavia essi sono tra loro diversi

per principio»7.

Questa distinzione tra differenti modalità di descrizione, descrizione di proprietà e descrizione di rapporto, però

non è propriamente quella che in seguito verrà riformulata da Carnap sancendo la distinzione tra definizioni esplicite

(concetti propri) e definizioni implicite (concetti impropri). In ogni caso, essa mostra come per Carnap sia stata presente

fin dalle sue prime ricerche la possibilità di caratterizzare gli oggetti di una determinata teoria mediante una

caratterizzazione di tipo strutturale. Pertanto, è possibile comprendere come egli fosse del tutto consapevole

dell’innovazione e del carattere fondamentale del metodo assiomatico per le scienze in generale, e per la matematica in

particolare. Tutto ciò dovrebbe portare a una certa cautela se ci si vuole esprimere rispetto alle posizioni in questione

assunte dal filosofo. Poiché, se è vero che da un lato Carnap avrebbe abbracciato le tesi del logicismo e riconosciuto lo

straordinario valore metodologico della logica simbolica per la filosofia (e le scienze)8, dall’altro lato è assodato che

egli non fece alcuna professione di fede rispetto a tale indirizzo, ma, al contrario, cercò di mantenere una proficua

apertura di orizzonti, e si prodigò per un dialogo fruttuoso tra le diverse concezioni (soprattutto per quel che riguarda le

questioni sui fondamenti della matematica).

4 AWODAY S., CARUS A. W. (2001): p. 4.5 Cfr. SCHLIPP, A. P. (1963): p. 19.6 CARNAP, R. (1927): p. 359: «This method of definition often prove to be fruitful, particularly in various mathematical disciplines».7 Cfr. CARNAP, R. (1928).8 SCHLIPP, A. P. (1963): p. 13: (citando da Russell [Our Knowledge of the External World, as a Field For Scientific Method in Philosophy]) «Lo studio della logica diventa lo studio più importante della filosofia; esso offre il metodo di ricerca della filosofia, come la matematica quello della fisica... si deve spezzar via il complesso della supposta conoscenza dei sistemi e si deve effettuare un nuovo inizio… Ma su uno stuolo grande e ancora crescente di uomini impegnati nella ricerca scientifica. Il metodo nuovo, […], dovrebbe esercitare un richiamo che i tradizionali metodi non hanno affatto avuto… L’unica condizione, credo, necessaria per assicurare alla filosofia nel prossimo futuro un superamento di tutte le teorie finora stabilite dai filosofi, è la creazione di una scuola di uomini provvisti di educazione scientifica e di interesse filosofico, svincolati dalle tradizioni passate e non sviati dai metodi letterari di coloro che copiano gli antichi in tutto, eccetto che nei meriti».

10

Se si vuole comprendere quale sia il collegamento che sussiste tra le indagini dalla Aufbau e le ricerche intorno

all’assiomatica generale, bisogna tenere presente tutto ciò. Ed è proprio nel tentativo di comprendere tale passaggio9

che si è cercato di mostrare quale fosse per Carnap la relazione tra la creazione di un Sistema10 generale e unificato della

conoscenza, capace di comprendere in modo coerente la totalità delle varie e differenti discipline scientifiche – quale

voleva essere la Costruzione logica del mondo – e lo studio sulle teorie, diremmo noi oggi di carattere metateorico.

Come rilevano S. Awoday e A. W. Carus:

«What was the connection between the Aufbau program and the Axiomatcs? He [Carnap] answers this question in his paper

“Eigentlich und Uneigentlich Begriffe” (“Proper and Improper concepts”; Carnap 1927), written at almost exactly the time of this

transition. The constitution system of the Aufbau, he writes, requires explicit definition; only by means of explicit definitions can all

the concepts of the special sciences (the Realbegriffe or empirical concepts) – “the most important sort of concepts, for the sake of

which in the end all science is pursued” – be brought into a genuine deductive interrelation [Ableitungszusammenhang], i.e. “they can

be derived from one another using definitions [definitorisch auseinder abgeleitet]” and thus find their place whitin a single

constitution system for the whole of science [Gesamtwissenschaft]. (ibid. p. 357). Explicitly defined concepts are eigentliche Begriffe

or “proper” concepts (ibid. p. 355), in contrast to those defined by an axiom system (defined implicitly), which are uneigentliche

Begriffe – “improper” concepts»11.

Tuttavia, nonostante il riconoscimento della validità che assumono le definizioni mediante assiomi (definizioni

implicite), sembrerebbe per Carnap, almeno nella fase in cui fu redatta la Aufbau, preclusa la possibilità di ammetterle

nel sistema globale della scienza12. È lo stesso Carnap a sottolineare la non totale coincidenza tra definizioni implicite e

caratterizzazione strutturale:

9 AWODAY S., CARUS A. W. (2001): p. 1: «In 1929 he [Carnap] published the textbook Abriß der Logistik, and in 1930 a summary of proof of what he called the Gabelbarkeitssatz, which says, roughly, that a consistent set of axioms is categorical just if it is complete. This not only sounds false, but raises further questions: What flaw in Carnap’s concpetual framwork enabled him to arrive at such result? Why did the logicians to whom he showed it – among them Fraenkel, Zermelo, Gödel – not see what had gone wrong? And why did Carnap get interested in completeness and categoricity in the first place?».10 Quali siano state le influenze che pesarono sul pensiero di Carnap nel giungere alla determinazione di un Sistema generale della conoscenza risulta difficile da accertare con precisione. Tuttavia, è legittimo pensare che un’influenza diretta da parte di Frege sia esistita. È un dato di fatto, come afferma lo stesso Carnap nella sua Autobiografia, in SCHLIPP, A. P. (1963): p. 6, ch’egli abbia seguito il corso di Frege del 1914, Logik in der Mathematik. E proprio nel saggio di Frege, scritto in quello stesso anno, si rivelano del tutto significative alcune affermazioni: «La scienza esige che sia dimostrato tutto quel che è dimostrabile. Essa deve tendere a ridurre il più possibile il numero delle verità primitive indimostrabili. […] Se immaginiamo di essere riusciti a scoprire queste verità primitive e di aver sviluppato da esse la matematica, questa si presenterà come un sistema di verità connesse fra loro da inferenze logiche. […] Vediamo che i matematici lavorano ciascuno per conto proprio a una parte; ma queste parti non si connettono in un sistema, anzi l’idea di sistema sembra quasi andata perduta. E tuttavia il tendere verso il sistema è legittimo. La frammentarietà oggi imperante non può appagare durevolmente. Solo col sistema si può creare ordine. Ma per la costituzione del sistema è necessario che si proceda consapevolmente attraverso inferenze logiche»; e ancora, più avanti: «La storia della scienza si trova così in conflitto con le esigenze della logica. Si deve sempre fare distinzione fra la storia e il sistema della scienza. Nella storia v’è evoluzione, nel sistema rigidità. Il sistema può essere esteso. Una volta che è stato edificato, però, deve rimanere, oppure l’intero sistema deve essere demolito, affinché se ne possa costruire uno nuovo. Solo nel sistema la scienza viene a compimento. Non si deve mai rinunciare al sistema. Solo attraverso il sistema si può fare piena chiarezza e ordine.» in La logica nella matematica, pp. 335-336 e 381; in G. FREGE (1969).11 Cfr. AWODAY S., CARUS A. W. (2001): p. 3.12 AWODAY S., CARUS A. W. (2001): p. 4: «Carnap did not regard implicitly defined concepts as proper concepts, because of their inherent ambiguity. They could not be employed in a constitution system of the concepts of science».

11

«La caratterizzazione puramente strutturale, che è stata descritta, è affine alla definizione implicita, quale è stata usata da

Hilbert per la sua assiomatica della geometria [Grundlagen] e quale è stata esposta da Schlick [Erkenntnis], 29 ss., nel suo metodo

generale e nel suo significato scientifico. La definizione implicita o definizione mediante assiomi consiste nel fatto che uno o più

concetti sono determinati proprio dalla decisione che certi assiomi abbiano a valere per essi. Dagli assiomi non si richiede nient’altro

che non si trovino tra loro in contraddizione; una proprietà logico-formale, questa, che può essere controllata mediante un’indagine

puramente logica. Gli asserti che poi vengono formulati intorno ad un oggetto, che è stato così implicitamente definito, risultano

deduttivamente dagli assiomi, e dunque, anche qui, mediante un processo puramente logico. Propriamente, non è un oggetto

determinato (concetto), che viene definito implicitamente mediante gli assiomi, ma una classe di tali oggetti, o se si vuole, un oggetto

indeterminato o «concetto inautentico».

A differenza della definizione implicita, la caratterizzazione strutturale caratterizza (o definisce) soltanto un singolo oggetto,

e precisamente un oggetto di un campo empirico, estralogico […]. Dunque, per la validità di una tale caratterizzazione, non si

richiede semplicemente l’assenza di contraddizione tra gli asserti strutturali che operano la caratterizzazione, ma, oltre a ciò, si

richiede anche la circostanza empirica che nel campo in questione ci sia almeno un oggetto della specie caratterizzata, e che non ce

ne sia più di uno. Gli asserti ulteriori intorno all’oggetto così caratterizzato non sono quindi, come nel caso dell’oggetto definito

implicitamente, interamente analitici, e cioè deducibili dagli asserti che operano la definizione, ma sono in parte anche sintetici, e

cioè una ricognizione empirica del campo di oggetti considerato»13.

Occorre allora vedere più da vicino in che cosa consiste tale distinzione tra concetti propri e impropri, vale a dire

comprendere per mezzo di quale criterio viene posta la distinzione tra questi due tipi di concetti. O, detto in altri

termini, cogliere secondo quale senso si parla di concetti «propri» e «impropri». E, infine, quale funzione svolgono nel

Sistema della conoscenza.

In ogni caso, ciò che qui preme sottolineare maggiormente è la netta distinzione logica che sussiste tra tali generi

di concetti, i quali differiscono proprio per le modalità con cui vengono definiti.

1. Concetti propri

Partiamo dal primo punto: in che cosa consiste la distinzione tra concetti propri e impropri? Iniziamo cercando di

determinare positivamente il primo tipo di concetti: i concetti propri. Nell’articolo del 1927 Carnap afferma fin da

subito che un concetto proprio determina in modo del tutto netto e rigoroso (univocamente) la propria estensione, vale a

13 CARNAP, R. (1928): pp. 134-135.

12

dire che, per ogni concetto (proprio) è in linea di principio determinato, per ogni oggetto, se questo cade o meno sotto il

suddetto concetto, (la terminologia è di Frege)14. Scrive Carnap:

«The essential feature of a concept is that it holds for certain objects and does not hold for others. (We shall find exception to

this for the improper concepts below). The question of wheter or not a particular object falls under a concept (or several objects, in

the case of relational concepts) is thus meaningful and uniquely determined [sinnvoll und eindeutig]»15.

È chiaro dunque che per i concetti propri vale la legge del terzo escluso, ed anzi, è proprio perché vale tale legge

che è possibile una determinazione univoca del concetto, priva di ambiguità. Infatti, se quel che ci muove sono finalità

scientifiche, allora risulta impossibile l’assunzione di concetti ambigui, contraddittori, o di concetti apparenti16, ossia

concetti che non denotano nulla (utilizzando sempre la terminologia di Frege: concetti che hanno un senso [sinn] ma

non un significato [bedeutung])17.

Da un punto di vista logico, quindi, un concetto proprio corrisponde o ad una proprietà, un predicato

monoargomentale P(x), o ad una relazione a più argomenti, cioè un predicato n-adico: P(x1,…,xn); per le quali deve

sempre essere possibile stabilire se, per ogni individuo x, x appartiene o meno a P.

In simboli: ∀P ∀x [(x ∈ P) ∨ (x ∉ P)]18.

Oltre a ciò, cioè oltre alla determinazione univoca di cui devono godere i concetti propri, questi si caratterizzano

per essere assunti come concetti irriducibili, o detto in altri termini come concetti-base. Prerogativa dei concetti propri,

infatti, è quella di essere assunti come fondamentali, cioè non derivabili da altri concetti differenti. I concetti propri

sono dunque quei concetti primitivi, che costituiscono i fondamenti, la base appunto, di una data disciplina: sono

pertanto indefinibili. Tali concetti consentono di derivarne altri di più complessi, i quali vengono determinati mediante

l’ausilio dei primi. In questo senso i concetti propri costituiscono ciò che, facendo sempre riferimento a Frege, viene

definito come «logicamente semplice»:

14 FREGE, G. (1884): p. 314: «Tutto ciò che la logica, in vista del rigore dei propri ragionamenti, può pretendere da un concetto, è la sua esatta delimitazione; e cioè che, per ogni oggetto, risulti perfettamente determinato se esso cada o no sotto quel concetto». Si veda anche: FREGE, G. (1892b).15 CARNAP, R. (1927): p. 355.16 FREGE, G. (1891): p. 17: «L’imperativo del rigore scientifico esige che vengano prese precauzioni affinché un’espressione non risulti mai priva di significato e non si calcoli mai inavvertitamente con segni vuoti, nella convinzione di avere a che fare con oggetti».17 FREGE, G. (1892a): p. 40: «Il tendere alla verità è dunque ciò che ovunque ci spinge ad avanzare dal senso al significato».18 FREGE, G. (1891): p. 17: «Per i concetti abbiamo formulato il requisito che per ogni argomento abbiano un valore di verità, che per ogni oggetto sia determinato se esso cade sotto il concetto oppure no. In altre parole, per i concetti v’è il requisito che abbiano confini netti, senza il cui soddisfacimento sarebbe impossibile formulare leggi logiche che li riguardano. […] Il requisito della delimitazione dei concetti si applica in generale anche alle funzioni, che devono pertanto avere un valore di verità per ogni argomento».

13

«Quel che è semplice non può essere scomposto ulteriormente e quel che è logicamente semplice non può, in senso stretto,

essere definito. Il logicamente semplice, al pari della maggior parte degli elementi chimici, non è affatto dato in partenza, ma viene

attinto soltanto attraverso l’indagine scientifica»19.

I concetti propri sono dunque individuati da costanti logiche (precisamente costanti predicative), le quali, in

quanto tali, hanno un significato che, una volta che è stato loro assegnato, è fisso e stabilito. Scrive infatti Carnap:

«The concepts of any discipline [Gebeit], such as geometry or economics, can be organized in such a way that certain

concepts are set up initially [an den Anfang gestellt] as undefinied, and the other ones are then defined with the help of those “basic

concepts”. [...] and with their help derive all of the other concepts of the discipline»20.

Tuttavia, occorre precisare che sebbene in un progetto di costruzione logica (o, se si preferisce, di derivazione),

quale voleva essere quello della Aufbau, si utilizzano concetti propri per dare luogo ad altri nuovi concetti più

complessi, con ciò non si deve perdere di vista la differenza sussistente tra costruzione e definizione. I due momenti, per

quanto entrambi riguardano i concetti propri (e si servano di questi), non vanno confusi tra loro. La citazione riportata di

seguito ha lo scopo di specificare meglio cosa intende Carnap per «costruzione», e come sia implicata in riferimento ad

Husserl e Meinong:

«I concetti devono essere invece gradualmente derivati, «costituiti» da certi concetti fondamentali, onde risulti un albero

genealogico dei concetti, in cui ognuno di essi trovi il suo posto determinato. Che una tale derivazione di tutti i concetti da alcuni

pochi concetti fondamentali sia possibile, è la tesi capitale della teoria della costituzione, ed è appunto mediante essa che tale teoria si

differenzia massimamente dalle altre teorie dell’oggetto. […]

Col termine «sistema di costituzione» intendiamo un ordine graduale di oggetti, in cui gli oggetti di ogni grado sono costituiti

da quelli dei gradi inferiori. A causa della transitività della riducibilità, tutti gli oggetti del sistema di costituzione restano pertanto

indirettamente costituiti dagli oggetti di primo grado; questi «oggetti fondamentali» formano la «base» del sistema»21.

È la possibilità teorica di una tale riconduzione di tutti i concetti a quei pochi concetti di base che garantisce

l’organicità del Sistema, vale a dire l’unità di esso, nonché la coerenza tra le sue parti. L’unità del Sistema, infatti, è

data dalla possibilità di esprimere la totalità dei concetti mediante le medesime costanti. Pertanto, è la possibilità di

utilizzare il medesimo linguaggio, a prescindere dalla disciplina o teoria che si sta considerando, che garantisce circa la

19 Cfr. FREGE, G. (1892b): p. 59.20 CARNAP, R. (1927): p. 355.21 CARNAP, R. (1928): pp. 113-114.

14

possibilità di considerare il Sistema come unico. La coerenza tra le parti del Sistema, invece, è data dal fatto che ogni

concetto, poiché riformulabile mediante i suddetti concetti di base, va a collocarsi in un posto preciso dell’apparato

deduttivo, andando a realizzare esatte relazioni con il Sistema nel suo complesso. In altri termini, occorre comprendere,

per ogni concetto, a che livello questo si collochi all’interno della derivazione concettuale. Così Carnap:

«The concepts of the higher disciplines, e.g., of the history of religion or of sociology, in turn can be constituited from the

psychological ones; and the psychological concepts that we took above as basic can in turn be reduced to more foundamental ones.

Ultimately, it can be shown that the constitution system of all scientific concepts is constructible on the basis of just a very few

concepts»22.

1.1. Concetti reali

Considerando i concetti propri, Carnap distingue ulteriormente tra concetti reali (Realbegriffe) e concetti formali

(Formalbegriffe). È una distinzione fondamentale che ci spiega in che senso Carnap si ricolleghi al logicismo. I concetti

reali, infatti, costituiscono l’oggetto proprio della scienza23. Essi, come si è visto in precedenza, possono essere

organizzati in un Sistema di derivazione che consenta la possibilità di una loro riduzione ad una base comune di concetti

non ulteriormente definibili. I concetti reali pertanto sono i concetti propri delle scienze empiriche, riguardano cioè

oggetti o fatti del mondo fisico.

Tuttavia, non viene esclusa la possibilità di ammettere oggetti «irreali», a patto che anch’essi abbiano una certa

«realtà» («effettività»). Scrive Carnap:

«Strictly speaking, the real concepts also include the concepts of things that are not real, but are like real [wirklichkeitsartige]

things»24.

Riprendendo la distinzione avanzata da Dilthey, i concetti reali vengono suddivisi in due ambiti: quello delle

scienze che riguardano la natura e quello delle scienze e delle discipline che si occupano della cultura. Anche quando

concetti di ambiti differenti si occupano del medesimo oggetto o fenomeno, ciò accade da punti di vista così distanti che

una loro comparazione sembrerebbe del tutto impossibile. L’esempio che porta Carnap riguarda il concetto di «bovino»

22 CARNAP, R. (1927): p. 358.23 CARNAP, R. (1927): p. 373: «The real concepts make up the proper object of science. They can be organized into a uniform system by the reduction of each one to others, and ultimately of all such to a small foundation of basic concepts».24 CARNAP, R. (1927): p. 356.

15

analizzato da un punto di vista zoologico e da un punto di vista economico: per quanto lo zoologo possa esaminare

ampiamente l’animale, dal proprio punto di vista non riuscirà mai a determinarne il prezzo25. Tuttavia, se si è compreso

quanto detto in precedenza circa la derivabilità di tutti i concetti da quelli di base, allora dovrebbe risultare chiara la loro

possibilità effettiva.

Più avanti, Carnap esplicita apertamente quale sia il criterio che consente di assumere i concetti di base come

tali. Senza scendere eccessivamente nel dettaglio rispetto ai temi del fenomenismo adottato inizialmente da Carnap,

vengono assunti come dati i concetti della percezione fisica (des Wahrnehmbar-Physischen) (forma, dimensione,

posizione, colore, durezza, ecc.) e viene mostrato che i concetti delle altre discipline possono essere costituiti sulla base

di questi, o meglio possono essere riformulati in tali termini. È chiaro che non tutti i concetti delle varie discipline

consentono di essere definiti interamente per mezzo di concetti inerenti alla percezione sensibile. Ad esempio, concetti

biologici quali «organismo», «riproduzione», «metabolismo», e simili, chiaramente non sono concetti fisici. Tuttavia,

per rendere legittimi tutti i concetti delle varie scienze, questi devono poter essere ritradotti mediante concetti fisici, e

dunque devono sottostare ad un criterio di tipo percettivo. L’esempio che è stato fatto per la biologia vale, e questo

dovrebbe essere chiaro, anche per tutte le altre scienze: psicologia, sociologia, ecc.

Carnap è consapevole che una tale costituzione dei concetti mediante il criterio esposto sopra, non esaurisce il

significato dei concetti, le cui proprietà devono essere indagate mediante indagini empiriche e presentate nelle teorie

della disciplina entro cui esso si trova. Semplicemente, una tale riduzione attraverso il criterio della percezione fisica,

consente la collocazione della totalità dei concetti scientifici all’interno del Sistema della conoscenza. Così come le

coordinate geografiche di un determinato luogo ci consentono di localizzarlo sulla superficie terrestre; sebbene poi

queste da sole chiaramente non risultino sufficienti per la sua conoscenza, di certo ci consentono di individuare il posto

che questo occupa (l’esempio è di Carnap).

1.2. Concetti formali

I concetti reali da soli non bastano però a costituire il Sistema del sapere. Per realizzare una derivazione tra

concetti di grado e genere diversi occorrono infatti i concetti formali, i quali non trovano corrispondenza con oggetti del

mondo fisico (non si riferiscono cioè ad alcunché di sperimentabile), tuttavia consentono di formare proposizioni. I

25 Cfr. CARNAP, R. (1927): p. 357.

16

concetti formali, dunque, costituiscono l’intelaiatura logico-formale che rende possibile la consequenzialità logica tra i

concetti differenti, e più in generale tra le parti del Sistema del sapere26.

Tali concetti sono i concetti logici di base della logica dei predicati al secondo ordine o della teoria dei tipi:

connettivi logici (‘¬’, ‘∧’, ‘∨’, ‘→’, ‘↔’), quantificatori (‘∀’, ‘∃’), costanti individuali (a1, a2, a3,…), costanti

predicative (A¹1, A¹2, A¹3,…,A²1, A²2,…A³1,…), variabili individuali (x1, x2, x3,…), variabili predicative (P¹1, Q¹2, R¹3,…,

X²1, Y²2,…Z³1,…).

Oltre ai concetti logici di base, rientrano nei concetti formali i concetti di base dell’aritmetica, quali numeri,

relazioni e operazioni; ed infine anche i concetti di base della teoria degli insiemi.

Secondo quanto detto finora, risulta chiaro che i concetti propri realizzano definizioni esplicite, cioè

caratterizzano univocamente un determinato oggetto logico, il quale, per quanto complesso possa risultare, si

caratterizza come singolo individuo. Questo punto è di fondamentale importanza se si vuole comprendere la differenza

intrinseca tra definizioni esplicite (concetti propri) e definizioni implicite (concetti impropri).

Un esempio aiuterà a comprendere meglio tutto ciò. Consideriamo la fondazione che dà Frege dell’aritmetica

(Carnap definisce i numeri naturali come numeri di Russell [Russellchen Zahlen]27 ma nella sostanza si tratta della

medesima caratterizzazione datane da Frege).

I numeri naturali di Russell:

Per dimostrare che l’aritmetica è riconducibile alla logica, cioè che tutti i concetti aritmetici fondamentali sono

formulabili secondo nozioni logiche e che tutte le proposizioni aritmetiche sono proposizioni analitiche, ovvero

tautologie, Frege si serve essenzialmente di un linguaggio della logica del secondo ordine con identità e simboli di

funzione, di alcuni assiomi logici, di alcune regole di inferenza (rese esplicite all’inizio del calcolo logico), della

nozione di classe (in realtà Frege parla di estensione di un concetto, che secondo l’equiparazione, fatta da lui medesimo,

del concetto ad una particolare tipo di funzione, può anche essere definita come decorso di valori di una funzione) e

della relazione di equinumerosità (gleichzahlig). Occorre precisare che, per quanto riguarda gli assiomi, nella

fondazione delle Grundlagen der Arithmetik (1884), comunque condotta in termini non formali, viene utilizzato

solamente ed esclusivamente il principio di Hume (da qui in avanti PH), il quale afferma che il numero che spetta a due

26 CARNAP, R. (1927): pp. 358-359: «To give a derivation of a real concept from others, or a proposition about real concepts, we need in addition to the words for those concepts other intermediate signs which themselves do not stand for real concepts [...]. They do of course contribute to expressing something about reality, but nothing in reality actually correspond to them; they only form proposition. Although they have no indipendent meaning, it is still customary to speak of the “concepts” that they stand for; these “logical concepts” or “formal concepts” are, however, [...] of a completely different kind than the real concepts».27 CARNAP, R. (1927): pp. 359 ss.

17

concetti è il medesimo se e solo se le estensioni dei due concetti sono equinumerose, vale a dire se e solo se è possibile

istituire una corrispondenza biunivoca tra i due concetti, o in altri termini se esiste una biiezione tra le estensioni di tali

concetti28; in simboli:

(PH) ‘∀P ∀Q (#P = #Q) ↔ (P ≈ Q)’29.

Invece, nella fondazione più tarda dei Grundgesetze der Arithmetik (1893-1903) vengono posti sei assiomi

logici, tra i quali il noto principio di comprensione per concetti (che nel sistema fregeano corrisponde al quinto

assioma), il quale stabilisce che ogni predicato ammette un’estensione che è un oggetto; in simboli:

(PCC) ‘∀P ∃x ∀y (Py ↔ y ∈ x)’.

Tale principio risulta responsabile della contraddittorietà del sistema fregeano (antinomia di Russell).

Riportiamo di seguito gli assiomi esposti nel sistema dei Grundgesetze:

I) ζ → (ξ → ζ);

IIa) ∀x ζ(x) → ζ(a); IIb) ∀F ζ(F) → ζ(G);

III) g(x = y) → g(∀F (F(x) → F(y)));

IV) ¬(ζ = ¬ξ) → (ζ = ξ);

V) (ŷζ(y) = ŷξ(y)) ↔ ∀y (ζ(y) ↔ ξ(y));

VI) x = \ŷ(x = y).

Alcuni matematici e filosofi contemporanei hanno sottolineato come il programma presentato nelle Grundlagen,

a differenza di quello dei Grundgesteze, non conduca ad alcuna antinomia in quanto si basa solamente su PH30,

principio molto più debole rispetto a PCC e, proprio per questo, non sufficiente per invalidare l’intera costruzione logica

dell’aritmetica. Da cosa è motivata allora la scelta di Frege di passare dal sistema dei Fondamenti a quello dei Principi?

Uno dei principali problemi, lasciati aperti nell’opera del 1884, è legato alla definizione che viene data di

«numero naturale». Per mezzo di PH, infatti, è possibile stabilire solamente che se a due concetti spetta lo stesso

28 FREGE, G. (1884): p. 300: «“Se due numeri si trovano combinati fra loro, in modo tale che ad ogni unità dell’uno corrisponda sempre un’unità dell’altro, allora affermiamo che essi sono uguali”».29 Si pone il simbolo « ≈ » per indicare la suddetta relazione di equinumerosità.30 Si veda in particolare BOOLOS, G. (1987) «The consistency of Frege’s Foundations of Arithmetic. On Being and Saying: Essays in Honour of Richard Cartwright», a cura di Judith, MIT Press, Cambridge, pp. 3-20, in PEDEFERRI, A. (2005): pp. 83-101.

18

numero, allora questi sono equipotenti (o equinumerosi). Tuttavia, una questione resta irrisolta. Risulta problematico

determinare come sia possibile attribuire ad un concetto un numero. Ovvero: come è possibile passare da una proprietà

(P), cioè da un concetto di primo livello, al numero che spetta a tale proprietà (#P), cioè ad un concetto di secondo

livello? O ancora, più semplicemente: a quali concetti è possibile attribuire un numero? Si tratta del noto problema di

Giulio Cesare, sottolineato già da Frege:

«Innanzi tutto salta agli occhi una difficoltà insita nell’ultima definizione. In essa si fa uso dell’espressione “al concetto G

spetta il numero n”; però il senso di queste parole ci è, a rigore, altrettanto sconosciuto quanto il senso dell’espressione “al concetto F

spetta il numero (n+1)”. Per mezzo di essa e delle precedenti definizioni, noi possiamo, senza dubbio, spiegare che cosa significhi

l’asserto “Al concetto F spetta il numero 1+1” e poi partendo da quest’ultimo, possiamo spiegare il senso dell’espressione “Al

concetto F spetta il numero 1+1+1” ecc. Non possiamo però decidere – tanto per fare un esempio assai grossolano ma chiaro – se a

qualche concetto o no spetti il numero “Giulio Cesare”, cioè non possiamo decidere se questo famoso conquistatore delle Gallie sia o

no un numero»31.

Il problema, per quanto singolare possa apparire in questa formulazione, è legato al fatto che, nell’ottica

fregeana, volta ad intendere la logica come un unico sistema universale, ogni concetto deve essere totalmente definito.

Ciò sta a significare non solo che per ogni concetto risulta chiaramente determinata la propria estensione, bensì che tale

estensione viene determinata in riferimento alla totalità degli oggetti dell’universo. Van Heijenoort chiarisce molto bene

che cosa intende Frege per logica, intesa come sistema universale:

«The universality of logic expresses itself in an important feature of Frege’s system. In that system the quantifiers binding

individual variables range over all objects. [For Boole and de Morgan, the] universe of discourse comprehends only what we agree to

consider at a certain time, in a certain context. For Frege it cannot be a question of changing universes. One could not even say that

he restricts himself to one universe. His universe is the universe, not necessarily the physical universe, of course, because for Frege

some objects are not physical. Frege’s universe consists of all there is, and it is fixed... This conception has several important

consequences for logic. One, for instance, is that functions (hence, as a special case, concepts) must be defined for all objects...»32.

Anche Anthony Kenny a proposito rileva che:

«D’altra parte, deve essere considerato un grave difetto per una definizione di questo genere l’applicarsi anche a cose che non

cadono sotto il concetto che si intendeva definire. È stato osservato molto tempo fa che «bipede implume» non è una definizione

31 FREGE, G. (1884): p. 293.32 AWODAY S., CARUS A. W. (2001): p. 11.

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adeguata di «umano», dal momento che in base a questa definizione anche un pollo spennato sarebbe giudicato un essere umano.

Pertanto, non è una questione di poco conto se la definizione di numero non consente di escludere che Giulio Cesare sia un numero,

anche se sappiamo intuitivamente che questa non è una possibilità reale bensì una semplice assurdità»33.

Il nodo della questione risiede dunque nel fatto che da un lato i numeri vengono considerati in quanto «applicati

esclusivamente ai concetti»34, dall’altro lato si parla di essi come oggetti autonomi35. Scrive Kenny:

«La caratteristica cruciale di un oggetto, secondo Frege, è il fatto di essere qualcosa che possiede un’identità la quale ne

consenta ogni volta il riconoscimento. Quindi, l’argomento più importante per sostenere che i numeri sono oggetti è la constatazione

che essi possono essere i soggetti di equazioni come «1+1 = 2». Per Frege un’equazione è un asserto di identità: le espressioni ai lati

del segno «=» devono essere considerate due nomi del medesimo oggetto. […] Anche nell’enunciato «il numero delle lune di Giove

è quattro», l’espressione «è» va presa come segno d’identità, equivalente al segno « = ». Di tutte le forme preposizionali, le equazioni

o identità sono per eccellenza quelle tipiche dell’aritmetica. Il fatto che i numeri compaiono nelle equazioni è ciò che, a giudizio di

Frege, mostra meglio di ogni altra cosa che essi sono oggetti autosussistenti.

Se i numeri sono oggetti autosussistenti, e possono figurare nelle equazioni, devono potere esistere proposizioni mediante le

quali esprimiamo la nostra capacità di riconoscere un numero come lo stesso numero»36.

È questo il motivo per cui si rende necessario il ricorso al principio di comprensione. Evidentemente, risulta

comunque fondamentale, per Frege, stabilire un criterio che consenta di determinare l’uguaglianza tra due numeri.

Chiaramente, ciò è reso possibile da PH, poiché ai fini proposti della fondazione dell’aritmetica basta questo; in quanto

se il numero che spetta a un concetto F (poniamo a) è lo stesso che spetta al concetto G (poniamo b), allora possiamo

concludere a = b.

A questo punto, risulta possibile definire il concetto di numero nei termini di identità numerica: «“Il numero che

spetta al concetto F non è altro che l’estensione del concetto ‘ugualmente numeroso ad F’.”»37. La definizione che dà

Frege dei numeri naturali è, quindi, una definizione per astrazione, in quanto considerando le estensioni di alcuni

concetti, queste vengono ripartite in modo tale da dare origine a classi di equivalenza tali che ogni membro di una data

classe risulti equinueroso ad ogni altro membro della stessa. Seguendo l’esempio che pone Frege:

33 KENNY, A. (2003): p. 83.34 FREGE, G. (1884): pp. 284-285.35 FREGE, G. (1884): p. 294: «nell’asserto “Al concetto F spetta il numero 0”, il termine 0 costituisce soltanto una parte del predicato quando si riguardi il concetto F come soggetto effettivo. È perciò che ho evitato di asserire che un numero, come 0, 1, 2, costituisca una proprietà di un concetto. Il singolo numero, proprio perché è una parte dell’affermazione, pare piuttosto un oggetto a sé».36 KENNY, A. (2003): p. 88.37 FREGE, G. (1884): pp. 306.

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«Il giudizio: “La retta a è parallela alla retta b”, in simboli a // b, può venir concepito come un’uguaglianza. Ciò facendo,

otteniamo il concetto di direzione, e possiamo affermare: “La direzione della retta a è uguale a quella della retta b”. Sostituiamo così

il segno di // con quello, più generale, di =, e ripartiamo il contenuto particolare del primo sui due numeri a e b. In altre parole: ne

suddividiamo il contenuto in modo diverso da quello primitivo, e otteniamo in tal modo un nuovo concetto»38.

Da tale punto di vista, quindi, i numeri dell’aritmetica sono classi di classi equinumerose ad una data classe,

ovvero all’estensione di un dato concetto. In questo modo, non solo il concetto «numero naturale» è definito

univocamente, bensì ogni singolo numero è determinato come un oggetto logico39 ben preciso. Avremo quindi che ogni

oggetto potrà appartenere alla classe dei cardinali se e solo se esiste una proprietà P, della quale tale oggetto ne

costituisce il cardinale. In simboli: ∀x (x ∈ Card ↔ ∃P x = #P).

Il ricorso al principio di comprensione nei Grundgesetze è motivato dal fatto che a Frege, come detto sopra, per

ragioni filosofiche, non basta stabilire, semplicemente, che, se le estensioni di due concetti sono in corrispondenza

biunivoca tra loro, allora a tali concetti è possibile attribuire lo stesso numero. Per mezzo del quinto assioma, infatti, si

afferma qualcosa di più forte rispetto a PH. Consideriamo l’enunciato:

(V) ‘(ŷζ(y) = ŷξ(y)) ↔ ∀y (ζ(y) ↔ ξ(y))’.

Da un lato, esso afferma che se l’estensione del concetto ζ è uguale a quella di ξ allora sotto tali concetti cadono

esattamente gli stessi oggetti; dall’altro lato, viene affermato che se sotto due concetti cadono gli stessi oggetti, allora

tali concetti hanno la medesima estensione. Ma è proprio in questo verso che l’antinomia di Russell mostra la

contraddittorietà dell’enunciato. Infatti, se consideriamo la classe W definita come «classe di tutte le classi che non

contengono se stesse come elemento», da ciò segue che per ogni classe x appartenente a W, x appartiene a W se e solo

se x non appartiene a W. In simboli: x ∈ W ↔ x ∉ W. Ora, se sostituiamo W alla variabile x, otteniamo che W appartiene

a W se e solo se W non appartiene a W. In simboli: W ∈ W ↔ W ∉ W.

Grazie al quinto assioma si ha, quindi, che ogni predicato ammette un’estensione e che ogni concetto definisce

un oggetto. Si ha, cioè, una definizione esplicita di quello che è il cardinale che spetta all’estensione di un concetto. Il

carattere problematico di tale assioma risiede nel fatto che le estensioni vengono assunte come individui e, oltre a ciò,

che non sempre le estensioni danno luogo a molteplicità coerenti (o omogenee), in particolare non sempre è possibile

escludere che una classe assuma se stessa come proprio membro.

38 FREGE, G. (1884): p. 301.39 FREGE, G. (1884): p. 292: «Ogni singolo numero è un oggetto a sé».

21

Tutto ciò però, ovviamente, ancora non basta. I numeri naturali non sono stati ancora definiti, in quanto deve

essere individuato un primo elemento, che non risulti generato dagli altri, lo zero, inoltre, deve essere isolata la classe N

dei numeri naturali (cardinali finiti) e, infine, si deve dimostrare che per tali oggetti valga il principio di induzione.

Frege individua tale classe come sottoclasse della classe-Card dei cardinali. Lo 0 viene definito come il numero

spettante a qualunque concetto contraddittorio40, ovvero come il cardinale della classe nulla (poiché sotto un concetto

contraddittorio non cade alcun oggetto). L’1 come il numero che spetta al concetto «uguale a 0»41, in quanto esiste un

solo oggetto, lo «zero» appunto, che cade sotto il concetto «uguale a zero». Resta ora da definire il concetto più

generale di «seguire in una successione», ovvero la funzione di immediato successore (+1), che viene definito per

mezzo della relazione ancestrale:

«il successore del numero di una data classe α è il numero della classe formata da α assieme con un elemento x che non

appartiene ad α»42;

o nei termini in cui si esprime Frege:

«“Esistono un concetto F e un oggetto x, che cade sotto F, per i quali valgono le seguenti proposizioni: n è il numero che

spetta a F, e m invece è il numero che spetta al concetto ‘ciò che cade sotto F ma è diverso da x’.”»43.

Quello che Frege introduce qui è il concetto di essere un membro della successione dei naturali che termina con

n44. Servendosi di tale concetto, che ricalca quello di catena utilizzato da Dedekind45, Frege dimostra facilmente questi

fatti, sui quali non ci si soffermerà ulteriormente:

(1) ‘0 ∈ Ν ⊂ Card’;

(2) ‘∀x (x ∈ Ν → x' ∈ Ν’46 ;

(3) ‘∀x ∀y (x, y ∈ Ν ∧ x' = y') → x = y ’ ;

(4) ‘∀x ¬(x' = 0)’;

40 FREGE, G. (1884): p. 315: « § 75. A UN CONCETTO SOTTO CUI NON CADE ALCUN OGGETTO, SPETTA SEMPRE IL NUMERO ZERO. SE IL NUMERO SPETTANTE A UN CONCETTO È LO ZERO, SOTTO QUESTO CONCETTO NON CADE ALCUN OGGETTO ». In simboli: [∀P (#P = 0) ↔ (¬∃x Px)].41 FREGE, G. (1884): p. 317: «Se diamo ora la seguente definizione: “1 è il numero naturale che spetta al concetto ‘uguale a 0’ ”, potremo esprimere la precedente conclusione dicendo: “1 segue immediatamente a 0 nella successione dei numeri naturali”.».42 MANGIONE, C., BOZZI, S. (1993): p. 354.43 FREGE, G. (1884): p. 316.44 Cfr. FREGE, G. (1884): p. 319.45 Cfr. DEDEKIND, R, (1888).46 Viene rappresentata col simbolo « ' » la funzione di successore.

22

(5) ‘∀P [P0 ∧ ∀x (P(x) → P(x')] → ∀x (N(x) → P(x'))’.

Tutto quanto detto sopra ci dà un esempio significativo di ciò che Frege e Carnap intendono per definizione

esplicita su base puramente logica. In questo modo, infatti, i numeri naturali vengono definiti singolarmente, utilizzando

solamente ed esclusivamente concetti di natura logica (proposizioni, concetti, estensioni di concetti, relazioni, ecc.); nel

sistema fregeano infatti non viene fatto riferimento ad alcun concetto matematico e non è presente alcun assioma che

riguarda concetti prettamente matematici. È proprio in questo senso che è possibile sostenere la tesi logicista secondo la

quale l’aritmetica non sarebbe altro che una branca della logica. In questa prospettiva, infatti, tutte le definizioni

dell’aritmetica seguono dalla logica, e, sulla base di ciò, tutte le proposizioni aritmetiche possono essere formulate in

base a tali concetti logici e quindi possono essere considerate enunciati puramente logici. In questo modo, Frege,

costruendo i singoli numeri uno per uno, come oggetti logici, esibisce un modello della struttura dei naturali. Nella

concezione fregeana, però, non è ammessa la possibilità che possano esistere altri modelli, in quanto è stato mostrato

che esistono degli specifici oggetti logici (cardinali finiti) che godono delle proprietà che spettano ai numeri naturali.

L’accento del discorso fregeano verte sulla dimostrazione dell’esistenza di tali oggetti. Questo però non consente a

Frege di dimostrare che tutte le verità dell’aritmetica derivino dalla definizione di numero naturale che ha dato. Tutto

ciò, inoltre, è stato fatto presupponendo che il concetto di numero naturale sia determinato dal concetto di cardinale: si

assume che i numeri naturali siano un tipo particolare di cardinali (cardinali finiti). La giustificazione di tale assunzione,

però, è qualcosa che non riguarda la matematica o la logica ma richiama argomenti che sono di natura puramente

filosofica. In base a quali ragioni infatti dovrebbe imporsi come interpretazione privilegiata quella che considera i

numeri naturali come cardinali e non piuttosto come ordinali? Frege non dà una risposta a tale domanda. Anzi, più

semplicemente, non solleva nemmeno un quesito del genere. Nella concezione di Frege i numeri naturali sono cardinali.

2. Concetti impropri

2.1. Definizioni implicite

Di contro alla possibilità di definire un concetto esplicitamente sta l’idea di definire un determinato concetto

mediante un insieme di assiomi, dando così una definizione implicita. Come già affermato sopra, tale modalità

definitoria risulta per Carnap particolarmente fruttuosa in matematica. Cerchiamo di comprendere per quali motivi.

23

Oltre alla scelta dei concetti primitivi, individuati dalle costanti, è possibile individuare delle proposizioni

fondamentali (assiomi) dalle quali vengono derivate, mediante l’applicazioni di opportune regole di derivazione rese

note fin da principio, tutte le altre proposizioni (i teoremi della teoria). Tali proposizioni di base sanciscono le proprietà

formali che caratterizzano la struttura che si sta descrivendo, e quindi solamente implicitamente gli oggetti (se vi sono)

che soddisfano tale gruppo di assiomi47. È chiaro dunque che per mezzo di una definizione mediante assiomi non viene

detto nulla circa la natura specifica degli oggetti che li soddisfano. È sufficiente che questi oggetti godano delle

proprietà stabilite dagli assiomi, affinché possano considerarsi definiti per loro mezzo.

Ancora una volta un esempio potrà chiarire meglio le cose. Consideriamo gli assiomi formulati da Peano per

l’aritmetica.

I numeri naturali di Peano:

A1: ‘1 ∈ N’;

A2: ‘se a, b ∈ N allora [(a = b) se e solo se (b = a)]’;

A3: ‘se a, b, c ∈ N allora [se (a = b) e (b = c) allora (a = c)]’;

A4: ‘se a = b e a ∈ N allora b ∈ N’;

A5: ‘se a ∈ N allora a + 1∈ N’;

A6: ‘se a, b ∈ N allora [(a = b) se e solo se (a + 1= b + 1)]’;

A7: ‘se a ∈ N allora a + 1 ≠ 1’;

A8: ‘se k è una classe tale che 1 appartiene a k e inoltre per ogni numero x se x appartiene a k allora anche x + 1

appartiene a k, allora k contiene la classe degli N’.

Tali condizioni sono chiaramente equivalenti a quelle poste da Dedekind:

α. f(S) ⊆ S;

β. S = 10;

γ. L’elemento 1 non è contenuto in f(S);

δ. La trasformazione f è inniettiva.

47 CARNAP, R. (1927): p. 361: «In contrast to the determination of a concept by explicit definition, […], here the new concepts are not connected to old ones, but are specified by the formal characteristcs [Beschaffenheit] they inherently possess; hence the terminology “implicit definition” for the determination of a concept by an AS».

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Carnap sottolinea come in generale nelle definizioni implicite e nelle fondazioni di sistemi assiomatici si possa

procedere in due modi differenti. Si può pensare che le costanti (extra-logiche) che compaiono negli assiomi abbiano un

significato già determinato. In questo caso, gli assiomi sancirebbero i fatti fondamentali dei numeri naturali e in questo

modo risulterebbe possibile derivare da questi tutti gli altri fatti (teoremi) che li riguardano.

Un altro modo di procedere, invece, è quello di considerare i concetti primitivi come se fossero privi di un

significato già stabilito. In questo modo gli assiomi, individuando le proprietà formali, cioè quelle proprietà che

caratterizzano la struttura, consentono così di isolare una classe determinata di interpretazioni, con precise proprietà. La

differenza fondamentale rispetto alle definizioni esplicite sta proprio in questo: non viene determinato il singolo oggetto

logico, ma solamente la classe entro cui questo si trova. Chiaramente, dal fatto che viene isolata una classe di

interpretazioni, segue che i membri di tale classe siano a loro volta delle classi anch’essi. In questo modo è del tutto

doveroso distinguere tra: da un lato, le diverse interpretazioni (strutture), le quali sono definite univocamente, avendo

posto, grazie agli assiomi, quali sono le condizioni da rispettare; dall’altro lato, i singoli oggetti che appartengono alle

diverse interpretazioni i quali rimangono totalmente indeterminati. Ciò significa che non viene detto nulla circa la

natura degli oggetti che soddisfano un determinato gruppo di assiomi. Tutto ciò che si può fare, rispetto al singolo

oggetto, è domandarsi se esso appartiene o meno alla classe (interpretazione) che è stata individuata; di più non si può

dire. Più precisamente, seguendo il testo di Carnap:

«we take the words “number” and “successor” as new terms that have not yet been given a meaning, and we stipulate that

they are to stand for those concepts that have the character [Beschaffenheit] specified by the AS. Thus here the AS does not

presuppose anything [setzt noch nichts voraus], but rather only through it a class is determined, wich will then be called “the

numbers”, and a relation, which will be be called “successor”»48.

2.2. Le interpretazioni di un sistema di assiomi

Si potrebbe dubitare della legittimità delle definizioni implicite per il fatto che queste, a seconda delle

interpretazioni che vengono date al sistema di assiomi, si applicano a sistemi diversi. Occorre precisare, tuttavia, che la

possibilità di dare una molteplicità di interpretazioni rispetto ad un dato gruppo di assiomi costituisce uno svantaggio

solo se la finalità che ci muove è quella di caratterizzare univocamente una determinata teoria, ossia se lo scopo che si

persegue è quello di trovare un sistema di assiomi sufficientemente forti in modo da individuare un solo «modello

standard». Viceversa, però, vi sono molte teorie (per esempio: le teorie dell’ordinamento, la teoria dei gruppi, ecc.) per 48 CARNAP, R. (1927): p. 361.

25

le quali avere una sola interpretazione costituirebbe un limite. In questi casi, infatti, fissate alcune proprietà

fondamentali attraverso gli assiomi di partenza, l’obbiettivo primario è quello di analizzare cosa segue da questi e

valutare cosa succede; per tali teorie avere differenti modelli è vitale poiché ciò consente, ovviamente, di avere un

ambito di applicazioni del tutto superiore rispetto a quelle teorie che hanno un unico modello. A questo punto, però, è

opportuno distinguere tra interpretazioni che vengono date a teorie che impiegano concetti reali: realizzazioni e

interpretazioni assegnate a teorie che si servono esclusivamente di concetti formali: modelli formali.

Tornando, infatti, all’esempio precedente degli assiomi di Peano, questi, caratterizzano non solamente ed

esclusivamente la struttura N dei numeri naturali, N = {N, 0, s}, bensì tutte quelle strutture che: hanno un insieme

infinito di elementi senza ripetizioni, generate da un elemento di base, e una funzione f che sia iniettiva e che non

assuma come membro il primo elemento (ossia, tale che gli elementi di tale struttura risultino «raggiungibili» dal primo

applicando la funzione f).

La sequenza dei numeri cardinali pertanto è solo una tra le infinite interpretazioni che possono essere assegnate

agli assiomi in questione. Nella teoria delle relazioni sequenze con queste proprietà sono chiamate progressioni o

successioni 49. Infatti potremmo interpretare gli assiomi in questione come segue:

N ' = < N', a', f ' >, con: a' = 0, f ' = +2, N' = { 0, 2, 4, …};

N '' = < N'', a'', f '' >, con: a'' = 100, f '' = + 1, N'' = { 100, 101, 102, …};

N ''' = < N''', a''', f '''>, con: a''' = 1, f ''' = x/2, N''' = {1, ½, ¼, …}; e così via.

49 La stessa critica è contenuta in RUSSELL, B. (1903): pp. 197-199: «Il Peano fa notare (loc. cit ) che altre classi oltre gli interi finiti soddisfano le cinque preposizioni suddette. Egli scrive: «Vi è un’infinità di sistemi che soddisfano tutte le anzidette proposizioni primitive. Esse risultano per es. verificate quando si sostituiscono numero e 0 con numero diverso da 0 e 1. Tutti i sistemi che soddisfano tali proposizioni primitive hanno corrispondenza uno-uno coi numeri. Il numero è ciò che si ottiene per astrazione da tutti questi sistemi; in altre parole, il numero è il sistema che ha tutte le proprietà enunciate nelle preposizioni primitive, e soltanto quelle». Questa osservazione mi sembra palesemente priva di correttezza logica. In primo luogo sorge la domanda: come si distinguono tra loro i vari sistemi che concordano nel soddisfare le proposizioni primitive? Per esempio come si soddisfa il sistema che comincia con 1 da quello che comincia con 0? […] L’altra risposta alla domanda consiste nel considerare 0, numero, e successione come una classe di tre appartenente a una certa classe di terne definite dalle cinque proposizioni primitive. È molto facile in questo modo stabilire che le cinque proposizioni primitive si trasformano in una definizione nominale di una certa classe di terne. Allora non vi sono più indefinibili o indimostrabili nella nostra teoria, che è diventata semplicemente una parte della logica; 0, numero e successione diventano però variabili, dato che sono determinati soltanto come una classe di terne: inoltre il teorema di esistenza diventa ora dubbio, dato che non possiamo conoscere se esistano tali terne salvo che mediante la scoperta di almeno una effettiva terna di questa classe. Una terna effettiva sarebbe tuttavia una costante, e così noi avremmo bisogno di qualche metodo per dare un valore costante a 0, numero e successione. Ciò che possiamo dimostrare è che se esiste una terna, ne esistono infinite; ed infatti, togliendo il primo termine da qualunque classe che soddisfi le condizioni poste per i numeri, otteniamo sempre una classe che di nuovo soddisfa tali condizioni. Ma anche questo enunciato, dato che il significato di numero è ancora in questione, deve venire espresso diversamente se si vuole evitare un circolo vizioso. Inoltre dobbiamo chiederci: è logicamente possibile un qualunque processo di estrazione sul tipo di quello contemplato dal Peano da tutti i sistemi che soddisfano i cinque assiomi? Ogni elemento di una classe è l’elemento che è, e soddisfa qualche proposizione che diventa falsa quando si sostituisse ad esso un altro elemento della classe. Perciò non vi è nessun termine di una classe che abbia semplicemente le proprietà definienti la classe e non altre. Ciò che veramente si ottiene dal processo di estrazione del Peano, è la considerazione della classe e degli elementi variabili di essa, con l’esclusione degli elementi costanti. Ed infatti soltanto un elemento variabile della classe avrà unicamente le proprietà mediante le quali la classe è definita. Dunque il Peano non riesce a stabilire nessun significato costante per 0, numero e successione, né a dimostrare che qualche significato costante sia possibile, poiché il teorema di esistenza non viene da lui dimostrato. Il suo unico metodo consiste perciò nel dire che uno almeno di tali significati costanti può essere immediatamente percepito, pur non essendo definibile. Questo metodo non è logicamente privo di fondamento, ma è del tutto differente dall’astrazione, impossibile, che il Peano suggerisce. Quanto poi alla prova della mutua indipendenza delle sue cinque proposizioni primitive, essa è soltanto necessaria allo scopo di dimostrare che la definizione della classe di terne da esse determinata non è ridondante; la prolissità però non è un errore logico, ma semplicemente un difetto di ciò che si può chiamare stile. Il mio intento, nella spiegazione data dei numeri cardinali, è stato invece quello di mostrare, a partire dalla logica generale, che esiste un significato costante dovrebbe chiamarsi numero, o meglio numero cardinale finito».

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La definizione implicita data dagli assiomi di Peano, quindi, non determina univocamente la sequenza dei

numeri naturali, ma caratterizza in modo univoco solamente la classe delle successioni (a0, a1, a2, …), alla quale

appartiene la sequenza dei naturali50. I membri della successione dei cardinali (i numeri naturali) sono appunto definiti

implicitamente. Pertanto, le definizioni implicite, rispetto a quelle esplicite, definiscono un concetto che è di ordine

superiore. Le prime, infatti, caratterizzano strutture, le seconde definiscono particolari oggetti determinati.

A questo punto, si pone la questione se un sistema di assiomi abbia o meno un modello formale che lo soddisfi, e

se sì, se ne abbia un unico o molti. In questo senso l’esistenza logica e la consistenza sono considerati come termini

sinonimi51. Tutto ciò, però, non può valere dal punto di vista intuizionista di Weyl e di Brouwer per i quali l’esistenza

può essere asserita solamente nel caso in cui il modello sia esibito costruttivamente, o per il quale sia almeno possibile

dare un metodo per la sua costruzione. Da questo punto di vista, pertanto, un modello esiste se e solo se è possibile

esibirlo, o costruirlo.

2.3. Monomorfia

L’unicità dei modelli della teoria ci porta al concetto di monomorfia. Con tale termine Carnap si riferisce alla

categoricità, ovverosia, esprimendosi in termini non rigorosi, a quella proprietà di cui godono quei sistemi assiomatici

che presentano tutti i modelli isomorfi tra loro. Questi sistemi di assiomi caratterizzano i loro modelli a meno di

isomorfismo. Dunque, una teoria è detta monomorfa (categorica) se caratterizza tutti i suoi modelli secondo un’unica

struttura (cioè se si presenta sotto un’unica forma), e quindi caratterizza strutture che da un punto di vista formale, cioè

prescindendo dalla natura degli oggetti di cui si occupano, sono sostanzialmente identiche. Nelle teorie che presentano

tale proprietà si avrà pertanto che l’insieme di enunciati Γ che compone la teoria (cioè il sistema di assiomi) è

categorico se e solo se per ogni coppia di modelli A e B di Γ, A e B sono isomorfi tra loro.

Carnap propone come esempio una teoria come la seguente, che rimanda ad un dominio D, con una relazione

binaria R su di esso, e i seguenti assiomi strutturali:

SA I:

A1: il campo di R ha tre elementi: C ‘ R ∈ 3 ’;

A2: R è irriflessiva: ∀x ¬(xRx);

50 Cfr. CARNAP, R. (1927): p. 362.51 Cfr. CARNAP, R. (1927): p. 363.

27

A3: R è intransitiva: ∀x ∀y ∀z ¬(xRy ∧ yRz → xRz).

Tali assiomi possono dare luogo ad almeno due modelli formali strutturalmente differenti; in un caso si ha un

modello in cui gli individui sono ordinati nel modo seguente:

A) x y z

nell’altro caso si ha un modello del genere:

y

B) x

z

Considerando tutto ciò è facile comprendere come gli assiomi non stabiliscono se la relazione R sia del tipo

«uno-uno» oppure «uno-molti», al punto che i due modelli dimostrano la possibilità, per la suddetta relazione, di

realizzarsi in tutti e due i modi. Questo significa che esistono proposizioni, come ad esempio «R è una relazione

“uno-uno”», che non possono essere né derivate né refutate dagli assiomi; pertanto vi sono proprietà (poniamo: Q è

la proprietà che stabilisce che «R è una relazione “uno-uno”») per le quali non vale la legge del terzo escluso.

Proseguendo con l’esempio Carnap propone un ulteriore sistema assiomatico:

SA II:

A1, A2, A3 come sopra;

A4: c’è solo un elemento nel dominio di R.

A questo punto, è chiaro che solo il secondo modello (B) può soddisfare SA II; ed anzi, tutti i suoi modelli

risulteranno tra loro isomorfi. Pertanto, dal momento che il presente sistema di assiomi caratterizza modelli che

presentano la medesima struttura formale esso verrà definito monomorfo (ovvero categorico).

Tuttavia, prima di procedere oltre, seguendo più da vicino l’articolo di Carnap, è doveroso fare alcune

precisazioni. L’uso che fa il nostro autore di certe nozioni, infatti, si rivela piuttosto ambiguo in alcuni casi52, come ad

esempio per la completezza. La situazione all’epoca delle Ricerche era piuttosto fluida, il riferimento alla completezza

52 Cfr. CARNAP, R. (1927): p. 364.

28

semantica piuttosto che a quella sintattica era piuttosto ambiguo e spesso si tendeva a confondere le due nozioni. Questo

perché le nozioni di conseguenza logica così come quella di derivabilità non erano state ancora definite chiaramente.

Per evitare fraintendimenti, richiamiamo qui brevemente alcune delle proprietà fondamentali delle teorie

elementari53 che utilizza Carnap, definendole però secondo l’accezione che assumono oggigiorno nella logica

matematica:

1. Completezza semantica. È la proprietà per cui è un teorema di una teoria ogni formula ben formata chiusa che è

conseguenza logica degli assiomi della teoria. Pertanto, una teoria è semanticamente completa se per ogni

proposizione del suo linguaggio risulta univocamente determinato se tale proposizione è conseguenza logica

degli assiomi della teoria o no; ovvero per ogni proposizione φ vale che o T |= φ oppure T |= ¬φ. In altri termini

si può affermare che una teoria è semanticamente completa se per ogni coppia di modelli M e N di T, M e N sono

equivalenti, il che significa che entrambi rendono vere le stesse formule. Ciò significa che per ogni proposizione

φ e per ogni modello M e N di T, se M |= φ allora N |= φ.

2. Completezza sintattica. Questa proprietà stabilisce che una teoria è sintatticamente completa se e solo se,

comunque data una formula ben formata chiusa φ del suo linguaggio, o φ o la sua negazione (non-φ) è un

teorema della teoria. Avremo pertanto che per ogni formula ben formata chiusa φ, o φ o non-φ è derivabile dalla

teoria: o T |– φ o T |– ¬φ . Detto in altri termini: la teoria T è sintatticamente completa se non esiste nessun

enunciato indecidibile in T;

3. Decidibilità. È la proprietà che sancisce che una teoria elementare T è decidibile se e solo se esiste un algoritmo

che consente di stabilire in un numero finito di passi se una formula ben formata del linguaggio di T è o non è

teorema di T.

A questo punto Carnap prosegue enunciando, seppur in termini non rigorosi il teorema di ramificabilità54, su cui,

come vedremo, ritornerà in maniera più diffusa nelle Ricerche e che vorrebbe dare una risposta definitiva al problema

della caratterizzazione linguistica dei concetti matematici. Il teorema afferma che se un sistema di assiomi è monomorfo

53 Si ricorda che vengono dette teorie elementari tutte quelle teorie che si possono formalizzare mediante l’apparato della logica dei predicati del primo ordine con identità.54 Nelle Ricerche il teorema verrà enunciato nel terzo capitolo, nel paragrafo 3.4, secondo accezioni differenti. Si legge, infatti, in CARNAP, R. (2014): p. 79 e ss: «Teorema 3.4.5. (Teorema di ramificabilità [Gabelbarkeitssatz]) I concetti “polimorfo” e “ramificabile” sono equivalenti. […] Teorema 3.4.8. Ogni sistema di assiomi monomorfo è non ramificabile. […] Teorema 3.4.9. Ogni sistema di assiomi non ramificabile è monomorfo. […] Teorema 3.4.10. I concetti “monomorfo” e “non ramificabile” sono equivalenti».

29

allora è anche completo, e viceversa. Ovvero, i concetti di «categoricità» e «completezza» sono equivalenti55. Se ci

muoviamo entro il secondo ordine, l’indiscernibilità linguistica coincide con quella strutturale; la dimostrazione si

svolge, all’incirca, come segue. Consideriamola, dapprima, secondo il senso: se un sistema è monomorfo, allora è

semanticamente completo.

Come afferma Carnap, se un sistema di assiomi, poniamo SA I, ha un modello ma non è completo, ciò significa

che esiste una proposizione s, su un concetto di SA I, che non può seguire dagli assiomi del sistema né come vera né

come falsa (ovvero non è possibile determinare come conseguenza degli assiomi né s né la sua negazione s'). È

possibile quindi aggiungere a SA I da un lato s, dall’altro lato s', ottenendo così due sistemi consistenti: SA IIa ed SA

IIb. In questo caso si dice che il sistema di assiomi SA I biforca su s56. L’assioma s è contenuto in SA IIa, mentre la sua

negazione s' appartiene a SA IIb. I due modelli così differiscono per una proprietà formale, quindi non possono essere

isomorfi. Tuttavia, entrambi i modelli soddisfano SA I dal momento che gli assiomi di SA I appartengono sia a SA IIa

che a SA IIb. Pertanto, SA I ha due modelli non isomorfi; quindi il sistema di assiomi SA I non è monomorfo ma

polimorfo.

Centrale per Carnap è però il viceversa: se un sistema è completo allora è categorico. Infatti, se un sistema di

assiomi non è monomorfo, segue che esistono almeno due suoi modelli non isomorfi tra loro. Come dimostrazione,

Carnap si limita ad assumere che ciò significa che esiste almeno una proprietà formale che è vera per un modello ma

non per un altro; e, quindi, un enunciato contenente solamente concetti del sistema assiomatico che appartiene ad un

modello ma non all’altro. Né questa proposizione né la sua negazione può essere dedotta dagli assiomi, dal momento

che nel primo caso risulterebbe impossibile il secondo modello; nel secondo caso, risulterebbe impossibile il primo

modello. Il sistema assiomatico non è, pertanto, semanticamente completo. Una risposta apparentemente immediata

che, come vedremo esaminando le Ricerche, non può non suscitare perplessità.

2.4. L’indeterminatezza dei concetti impropri

L’importanza del teorema di ramificabilità, nel caso fosse vero, risulta chiara se riferito alla natura dei concetti

impiegati. Come osserva Carnap, la fondamentale differenza logica sussistente tra concetti definiti esplicitamente e

55 Cfr. CARNAP, R. (1927): pp. 364-365.56 Allo stesso modo, solamente per fare un esempio, si può dire che il sistema di assiomi della geometria euclidea senza il quinto postulato, forca proprio sull’assioma delle parallele. Poiché, da un lato, è possibile costruire un sistema assiomatico che ammette i primi quattro assiomi più quello in questione (geometria euclidea), mentre, dall’altro lato, si pone un sistema di assiomi che ai primi quattro aggiunge la negazione del quinto postulato di Euclide (geometrie non-euclidee).

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concetti definiti implicitamente potrebbe far dubitare della legittimità di questi ultimi. Tuttavia, il loro largo utilizzo,

soprattutto in matematica, mostra che anch’essi possono essere considerati come concetti legittimi.

Una differenza già incontrata in precedenza, è quella relativa alla legge del terzo escluso che si applica ai

concetti propri ma non ai concetti impropri. Un’altra differenza è data dal fatto che per un concetto proprio è sempre

possibile, in linea di principio, assumere come determinato (entscheidbar) se ogni oggetto cade o meno sotto tale

concetto. Ad esempio, preso un qualunque concetto reale, poniamo il concetto «cavallo», e qualsiasi oggetto dato,

risulta univocamente determinata la questione se l’oggetto soddisfi o meno il suddetto concetto. Cioè risulta

chiaramente determinabile se l’oggetto sia un cavallo o meno, nonostante il fatto che tale concetto comprenda oggetti

notevolmente distinti tra loro (l’esempio è di Carnap)57. Per un concetto improprio, invece, la questione se un oggetto

cada o meno sotto di esso58 non è decidibile in generale; cioè non è possibile stabilire se un dato oggetto appartiene o

meno a tale concetto. Tale questione è senza senso59. Si considerino, ad esempio, come realizzazioni degli assiomi di

Peano dei punti nel tempo (o nello spazio), e si domandi se un dato punto di una delle suddette realizzazioni sia un

numero. Chiaramente la domanda è senza senso, poiché come si è visto il concetto di «numero naturale» definito dagli

assiomi di Peano è definito solo implicitamente; tali assiomi definiscono esplicitamente solamente la struttura, non la

natura degli elementi. Il singolo oggetto, appartenente alla struttura, e la struttura stessa sono oggetti che si situano su

un livello diverso dell’universo logico; pertanto, non ha senso domandarsi, se una proprietà che spetta al concetto

superiore di struttura spetti anche al singolo oggetto, o viceversa. Infine, riformulando la questione, ha senso chiedersi

se le realizzazioni siano o no delle successioni ma non se un dato punto particolare sia un numero. La ragione della

differenza sta nel fatto che nelle definizioni assiomatiche si considera come ente l’intero, la struttura, e non il singolo

elemento appartenente ad essa. Come spiega Carnap:

«Thus we see that the question of whether the AS is satisfied and the sequence can therefore be treated is a numbers

sequence, in other words, whether it is a progression, has sense only for a whole sequence of spheres. The (Peano) number concept is

an improper concept, but the concept of a progression is proper. This concept is defined by the Peano AS, not implicitely, but

explicitely (namely, as the class determined by propositional function that is the logical product of the AS). In this way, every AS not

only introduce one or more improper concept, namely by implicit definition, but also a certain proper concept, namely by explicit

definition. But this cannot be used in place of the implicit concepts. For unlike those, it does not occour in the AS, and thus also not

in the theorems of the theory based on that AS (in the Peano AS and in the theorems of arithmetic “numbers” occour, but not

“progressions”)»60.

57 Cfr. CARNAP, R. (1927):p. 367.58 AWODAY S., CARUS A. W. (2001): p. 5: «we need to know how to distinguish the objects (in the physical or conceptual world) that fall under the concepts implicitly defined by the axiom system from those which do not».59 CARNAP, R. (1927): p. 368: «the question whether a particular given sphere is a number has no sense, and is not uniquely decidable».60 CARNAP, R. (1927): p. 368.

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Da ciò si può concludere che il concetto proprio è sempre di un livello più alto del più alto livello di un concetto

improprio contenuto in un sistema di assiomi61.

L’indeterminatezza dei concetti impropri è, dunque, differente dall’indeterminatezza che riguarda ogni concetto

in generale (cioè il fatto che sotto ogni concetto cadano oggetti distinti e, per certi aspetti, dissimili). Ciò è dato dal fatto

che un concetto definito implicitamente da un sistema di assiomi si presta a più interpretazioni e in particolare dal fatto

che ogni interpretazione può essere assunta come quella caratteristica62. Inoltre, l’indeterminatezza dei concetti impropri

risulta perfino peggiore nel caso in cui vi sia un pluralità di concetti ad essere definita dal sistema assiomatico. Gli

assiomi di Peano, infatti, possono essere visti come un sistema assiomatico che introduce (anche se implicitamente) un

solo concetto; quello di numero naturale, chiaramente (oltre alla relazione che lo riguarda di «successore immediato»).

Tuttavia, vi sono altri sistemi assiomatici che introducono una pluralità di concetti; un esempio ben conosciuto sono i

gruppi di assiomi per la geometria presentati da Hilbert nelle sue Grundlagen63. In questo caso, infatti, non viene

definito un singolo ente ma diversi e, oltre ad essi, i rapporti che li riguardano. Hilbert, infatti, assume come enti

fondamentali il concetto di punto, di retta e di piano; e, assieme a questi, pone le relazioni di congruenza (tra segmenti

e tra angoli), giacere su ed essere tra. Il significato che tali enti primitivi, e le relazioni che li riguardano, vanno ad

assumere è determinato dalle mutue relazioni, di tipo puramente logico, che gli assiomi sanciscono. È solo la specifica

interpretazione che viene data all’intero sistema di assiomi che consente di dare significato ai concetti primitivi e alle

relazioni che sono state introdotte. Gli assiomi determinano le relazioni fondamentali dei concetti primitivi, ed è proprio

per questo motivo che vengono raggruppati in gruppi diversi (assiomi di collegamento, di ordinamento, di congruenza,

di parallelismo e di continuità), che regolano le differenti situazioni che si possono verificare nello spazio. Sulla base di

ciò, infatti, se al posto di punto, retta, piano, congruenza, giacere su, essere tra, venissero utilizzati altri termini, le

proprietà che li riguardano e le loro mutue relazioni non muterebbero. Da questo punto di vista, qualunque sistema di

enti che soddisfa gli assiomi ha lo stesso diritto di essere chiamato e inteso come costituito da punti, rette, piani, ecc.

Infatti, sono gli assiomi che determinano il significato delle nozioni primitive e non il loro riferimento intuitivo. Le

definizioni implicite date dagli assiomi, pertanto, forniscono la base per dimostrare i teoremi veri sui concetti primitivi

della teoria. Dunque, è proprio per questo che il significato di uno specifico ente del sistema è dipendente dal significato

che viene assegnato agli altri enti e alle relazioni che compaiono in esso. Tali concetti impropri, infatti, vengono

chiamati dipendenti.

61 Cfr. CARNAP, R. (1927): p. 368.62 CARNAP, R. (1927): p. 368: «For the concept number, on the other hand, the realization is also undetermined; there is more than one class of actual objects that can be regarded as the class of numbers. (Moreover, each of the many realizations is to be regarded as the class of all numbers, not as a subclass of the class of numbers; [...])».63 Si deve precisare, tuttavia, che Hilbert non usa mai l’espressioni «definizione implicita», che, invece, viene usata dai matematici italiani della scuola di Peano (in particolare, oltre allo stesso Peano, A. Padoa e M. Pieri).

32

2.5. I concetti impropri sono variabili

Distinguendo tra concetti propri da un lato e concetti impropri dall’altro, non è stata ancora messa a fuoco la

differenza determinante, vale a dire che i concetti propri sono costanti mentre i concetti impropri sono variabili. I primi,

pertanto, hanno un significato determinato, in quanto, una volta che è stato stabilito, questo rimane fisso; essi

riguardano pertanto un ambito determinato. I secondi, all’opposto, non hanno un significato determinato, sono cioè

concepiti come:

«oggetti e rapporti indeterminati di un ambito indeterminato, rispetto ai quali si stabilisce solo che si pongono uno rispetto

all’altro nel modo specificato dagli assiomi. […] Essi non hanno […] alcun significato fisso, ma a seconda dell’applicazione possono

essere riferiti a oggetti diversi. I simboli primitivi sono quindi variabili, e i singoli assiomi, così come tutto il sistema di assiomi,

sono funzioni proposizionali, non proposizioni. Per una proposizione è essenziale essere o vera o falsa; mentre di una funzione

preposizionale non si può dire se sia vera o falsa, ma solo che in un caso sia valida e in un altro no. E lo stesso vale con un sistema di

assiomi; non è in sé né vero né falso, ma può essere o non essere valido in una determinata applicazione»64.

A questo punto, sorge spontanea la domanda su come leggere gli assiomi di Peano piuttosto che di Hilbert: tali

assiomi sono enunciati o funzioni preposizionali? Da quanto detto fino ad ora, risulta chiaro che non sono enunciati veri

e propri bensì funzioni preposizionali. Ciò sta a significare che il significato assegnato ai concetti introdotti dagli

assiomi è legato all’interpretazione con cui questi vengono soddisfatti. Il significato di un concetto improprio, pertanto,

deve sempre far riferimento ad un certo sistema di assiomi. Il simbolo di un concetto improprio è un simbolo di

variabile che fa riferimento a un dato interpretato dal sistema assiomatico in modo tale che l’espressione, ove compare

tale simbolo, sia completata in uno specifico modo mediante un’interpretazione al fine di produrre un enunciato vero e

proprio.

Al di là degli esempi utilizzati, il problema che rimane riguarda allora come leggere un sistema assiomatico. Di

che cosa parla una teoria che introduce concetti come variabili?

3. La relazione tra concetti reali e concetti impropri nel Sistema della Conoscenza

64 CARNAP, R. (2014): pp. 31-32.

33

Alla luce di tutto quanto detto finora si potrebbe domandare: quale è il posto che i concetti impropri occupano

nel Sistema generale della Conoscenza? Da un lato vi sono i concetti propri, per i quali non sembra porsi la domanda. I

concetti reali (o concetti empirici) infatti si trovano in relazione diretta col mondo. Essi descrivono un certo ambito di

realtà, parlano di alcuni fatti, o, se si preferisce, fenomeni, del mondo. I concetti formali invece costituiscono

l’impalcatura logica-deduttiva del Sistema. Questi consentono così l’interrelazione tra i vari concetti empirici, dando

luogo ad una consequenzialità logica tra i concetti e stabilendo una certa propedeutica tra le varie discipline. Dall’altro

lato, invece, vi sono i concetti impropri i quali non intrattengono nessuna relazione diretta con l’universo: propriamente

non costituiscono alcuna teoria (almeno nel senso in cui si diceva sopra). Tuttavia, se l’articolo che stiamo considerando

rappresenta un tentativo di rivalutare positivamente tali concetti, allora si è legittimati ad interrogarsi su quale sia il

compito che viene loro attribuito. Secondo Carnap, infatti, tali concetti non realizzerebbero altro che degli schemi di

teoria, o detto diversamente delle teorie-schema, che di per sé non riguardano alcunché. Semplicemente, i concetti

introdotti dai sistemi assiomatici non sarebbero altro che dei «modelli vuoti» che attendono di essere interpretati con

qualsiasi concetto reale che risulti idoneo ad essere spiegato per mezzo di tale modello. Scrive Carnap:

«The axioms of this AS, and the theorems deduced from them, do not constitute a proper theory (since they do not concern

anything in particular), but only a theory schema, the empty form of a possibile theory. But if in the system of knowledge a real

concept occurs that empirically turns out to have the formal characteristcs of the improper concept specified by the AS, then the AS

has found a realization; in place of the improper concept, which is after all a variable, the real concept at issue can now be

substituted»65.

In questo modo, seppure indirettamente, anche i concetti impropri si garantiscono un contatto col mondo; questo,

infatti, è dato dal fatto che essi costituiscono una possibile realizzazione di una teoria che riguarda concetti empirici.

Così Carnap:

«Through the contact between the real concept and the axioms (by the former satisfying the latter), in a single stroke, a

connection is also established to the entire theory schema resting on the AS. [...] Setting up improper concept and deriving their valid

theorems thus represents the production of empty theories in reserve, for latter application. The fruitfulness of this procedure rests on

the fact that the theory schemata produced can be used more than once; the same schema can be connected to different places in the

system of real concepts. Moreover, since there is some flexibility in the formation of real concept, it is sometimes possible to form a

65 CARNAP, R. (1927): p. 372.

34

concept in such a way that a connection to an AS (which is particularly simple or has already been constructed for other concepts)

results»66.

CAPITOLO SECONDO

IL LOGICISMO DI CARNAP: LA FONDAZIONE DELLA MATEMATICA DA UN

PUNTO DI VISTA FISICO

66 CARNAP, R. (1927): p. 373.

35

Il pieno riconoscimento che Carnap dà al metodo assiomatico, come si è potuto vedere nel capitolo precedente,

consente di sollevare qualche riserva circa la legittimità della sua affiliazione all’indirizzo logicista. In altri termini: si

può considerare appropriatamente il pensiero di Carnap una forma di logicismo? Se sì, entro quali termini?

Da un lato, è chiaro che se si considera la visione di Carnap sui fondamenti della matematica come logicista,

allora questa rappresenta uno sviluppo, un progresso, rispetto alle forme originarie date da Frege e Russell (anche se è

opportuno rimarcare che non vi è piena coincidenza tra i due: l’aspetto più importante, forse, sta nel fatto che per Frege

non risulta possibile una fondazione logica della geometria, mentre per Russell è possibile), in vista del pieno

riconoscimento del metodo assiomatico e dell’accettazione di alcuni tratti propri dell’intuizionismo, di cui si

specificherà meglio in seguito. Dall’altro lato, sulla base di quanto detto sopra, si è portati a chiedersi che versione dia

Carnap del logicismo; dal momento che vengono accettati elementi che sono estranei a tale indirizzo, in che misura è

possibile definire ancora il punto di vista di Carnap logicista?

Innanzitutto, ciò che per prima cosa si deve sottolineare in ogni caso è il carattere non ortodosso del punto di

vista logicista di Carnap. Questi, difatti, non è intenzionato in alcun modo a far prevalere il logicismo rispetto alle altre

«scuole» (formalista o intuizionista)67. Carnap procede secondo un atteggiamento scientifico: individuato e circoscritto

un problema, quello dei fondamenti della matematica appunto, considera, interpella, valuta i diversi punti di vista che

tentano di dare una soluzione positiva alla suddetta questione. In questo modo, apprezzando le idee di fondo, i metodi e

gli strumenti di cui si servono gli altri indirizzi Carnap non preclude in modo pregiudizievole il proprio orizzonte

teorico, bensì cerca di cogliere quanto di buono ogni corrente può apportare, al fine di trovare una soluzione che sia

definitiva e condivisa. In questo senso ciò che Carnap propone vuole essere un superamento rispetto alle divisioni di

scuola. Come scrive in «La fondazione logicista della matematica» («Die logizistische Grundlegung der

Mathematik»)68, trascrizione dell’intervento realizzato a Königsberg nel 1930 in occasione del Congresso di

gnoseologia delle Scienze esatte:

67 CARNAP, R. (1931): p. 279: «Dovendo qui presentarVi a grandi linee i tratti principali della costruzione logicista della matematica, ritengo mio compito mostrarVi non solo le parti del sistema nelle quali l’esecuzione riesce bene o almeno in certa misura bene; voglio invece senz’altro richiamare l’attenzione anche sulle particolari difficoltà in cui la costruzione logicista si imbatte».68 CARNAP, R. (1931).

36

«Il logicismo, nella forma qui difesa, ha qualche tratto in comune con ognuna delle altre due correnti. All’intuizionismo lo

unisce la tendenza costruttivistica nella formazione dei concetti, […]: un concetto non lo si può introdurre assiomaticamente: lo si

deve invece costruire passo per passo con definizioni esplicite a partire dai concetti primitivi, presupposti senza definizione. […]

Proprio come gli intuizionisti, noi non annoveriamo fra le proprietà solo quelle espressioni (più precisamente: espressioni della forma

di una proposizione con variabile libera) che siano costruite secondo certe regole di costruzione, in un numero finito di passi, a

partire dalle proprietà primitive comprese nel dominio di cui si parla. Ma la differenza sta nel fatto che noi non consideriamo valide

solo le regole di costruzione applicate dagli intuizionisti (si tratta del cosiddetto «calcolo funzionale ristretto»), ma oltre a queste

anche l’uso dell’espressione «per tutte le proprietà» (le operazioni del cosiddetto «calcolo funzionale allargato»).

Anche col formalismo sussiste un’affinità metodologica. Il logicismo si pone il compito di costruire il sistema logico-

matematico in modo tale che la stipulazione delle formule iniziali e delle prescrizioni operative avvenga sì con riguardo al significato

dei concetti primitivi, ma che all’interno del sistema la catena delle deduzioni e quella delle definizioni siano condotte innanzi

formalisticamente, in modo puramente calcolistico, cioè senza far riferimento al significato dei concetti primitivi»69.

Malgrado questo, quello che in ogni caso può risultare chiaro è che Carnap, seppure con aperture e integrazioni

di diverso genere, nei termini essenziali condivide davvero l’indirizzo logicista. Tale adesione non riguarda solamente

la fondazione della matematica ma si estende fino al tentativo di dare una fondazione assoluta alla scienza considerata

globalmente. Infatti, la questione dell’unità delle varie scienze, empiriche (naturali e sociali) come formali, entro un

unico Sistema di Conoscenza risulta possibile in quanto viene individuata una base concettuale comune, vale a dire un

linguaggio comune (costituito da termini e regole di formazione di enunciati identici per tutte le discipline), a cui

ricondurre i vari sistemi concettuali dei differenti ambiti disciplinari. Solo se si ammette la possibilità di assumere per i

vari rami della scienza una base linguistica unica, o quanto meno la possibilità teorica di una traduzione dei diversi

sistemi concettuali in uno solo, le varie scienze possono essere considerate come unificate in unico Sistema. Vale a dire:

solo sulla base di un linguaggio che consente di esprimere diversi concetti e che risulti ineccepibile dal punto di vista

formale, risulta possibile pensare alla scienza, a prescindere dai differenti campi di ricerca, come un unico Sistema

unificato.

Ciò che muove Carnap verso i fondamenti della matematica e la logica, infatti, sono interessi epistemologici70

non puramente formali. Il vero scopo risulta essere:

«chiarire la funzione della logica e della matematica in quanto applicate alle scienze empiriche»71.

69 CARNAP, R. (1931): pp. 293-294.70 AWODAY S., CARUS A. W. (2001): p. 8: «Carnap’s plunge into the philosophy of mathematics was motivated by epistemological problems arising from the Aufbau program».71 CARNAP, R. (1939): p. 4.

37

Come chiarirà nei Foundation of logic and mathematics del 1939:

«La funzione principale di un calcolo logico in quanto applicato alla scienza non è quello di fornire teoremi logici, cioè

enunciati L-veri, bensì quello di dirigere la deduzione di conseguenze fattuali da premesse fattuali»72.

Carnap, quindi, condivide pienamente l’idea che un concetto debba essere definito rigorosamente cioè che sia

nettamente stabilito a quali oggetti può applicarsi; e, come già si è visto nel capitolo precedente, l’univocità di tali

concetti può realizzarsi sia costruendo singolarmente gli oggetti di cui si sta trattando73, come mostrato da Frege o

Russell, sia caratterizzando univocamente le strutture matematiche74 in un modo opportuno, come esibito da Hilbert.

Tutto ciò però è fatto in vista del carattere puramente strumentale che svolgono la logica per la matematica e la

matematica per la scienza. Per Carnap infatti il carattere fondamentale della conoscenza scientifica è dato dalla realtà

empirica, in particolar modo dalla fisica. La logica e la matematica all’interno di tale complesso costituiscono un utile

strumento di deduzione, non sono un oggetto di studio autonomo: è grazie all’apparato logico-matematico che nella

scienza viene garantito il rigore della consequenzialità logica. A riguardo, ancora scrive Carnap nel testo del 1939:

«L’applicazione dei calcoli matematici nella scienza empirica non è essenzialmente diversa da quella dei calcoli logici.

Poiché gli enunciati matematici nella loro interpretazione abituale sono L-determinati, essi non possono avere contenuto fattuale: non

forniscono alcuna informazione intorno a fatti che dovrebbero venir presi in esame oltre quelli descritti nella scienza empirica. La

funzione della matematica nella scienza empirica consiste in primo luogo nel fornire forme di espressione più brevi e più efficaci che

non le forme linguistiche non-matematiche, e in secondo luogo nel fornire modi di deduzione logica più brevi e più efficaci che non

quelli della logica elementare. […] La derivazione logico-matematica non fa altro che esplicitare ciò che è già implicito nelle

premesse. […] Così, considerato dal punto di vista della sua applicazione nella scienza empirica, un teorema logico o matematico è

un accorgimento o uno strumento che ci permette di percorrere, per così dire, in un solo balzo una complessissima e assai lunga

catena di applicazione delle regole del calcolo. In se stesso il teorema, anche se interpretato, non è un’asserzione fattuale ma uno

strumento che facilita operazioni su asserzioni fattuali, e precisamente la deduzione di una conclusione fattuale da premesse fattuali.

Il servizio reso dalla matematica alla scienza empirica consiste nel fornire strumenti; il matematico non soltanto li produce per ogni

72 CARNAP, R. (1939): p. 61.73 CARNAP, R. (1931): pp. 282-283: «L’essenziale dell’accennato metodo logicista di introdurre i numeri reali è che in esso tali numeri non sono «postulati», ma «costruiti». Non si pone mediante postulati o assiomi l’esistenza di conformazioni che abbiano le proprietà dei numeri reali, ma si costruiscono mediante definizioni esplicite delle conformazioni logiche, le quali in base a tali definizioni hanno quelle proprietà che si sogliono includere nell’aritmetica dei numeri reali. La formazione di un concetto non è una creazione ma solo l’attribuzione di un nome a qualcosa che deve essere già posto innanzi come dato; «definizioni creative» non ne esistono. Questa concezione «costruttivistica» appartiene alla tendenza di fondo del logicismo».74 Uno degli esempi eminenti di definizioni in termini strutturali (definizione implicita) è dato dalla geometria. Come rileva Carnap in CARNAP, R. (1939): pp. 83-85: «La geometria deve venir trattata a parte. Certamente, se si prescinde dalla loro interpretazione, i calcoli geometrici non hanno un carattere fondamentalmente diverso dagli altri calcoli: e inoltre sono in stretta relazione con i calcoli matematici. Questa è la ragione per cui anch’essi sono stati svolti dai matematici. Ma le interpretazioni abituali dei calcoli geometrici sono descrittive quelle dei calcoli matematici sono logiche. Un calcolo geometrico viene di solito costruito come sistema di assiomi, cioè come un calcolo specifico presupponente un calcolo logico (con l’interpretazione normale). Un tale calcolo descrive una struttura i cui elementi sono lasciati indeterminati fin quando non se ne dia un’interpretazione. I calcoli geometrici descrivono parecchie strutture diverse. […] Per un calcolo geometrico si dànno molte interpretazioni, molte interpretazioni affatto diverse e assai interessanti, alcune delle quali sono logiche, altre descrittive».

38

caso di applicazione particolare ma, per così dire, li tiene in magazzino pronti per ogni occorrenza. […] se consideriamo la

matematica interpretata come uno strumento di deduzione entro il campo della conoscenza empirica anziché come sistema di

informazione, la maggior parte dei problemi controversi appare consistere di questioni non di verità ma di opportunità tecnica»75.

Carnap qualifica la sua prospettiva come quella del fisico76 e questo perché, soprattutto in fisica, la costruzione

logica dei concetti fondamentali non può avvenire considerando i singoli oggetti ma solamente da un punto di vista

globale, strutturale, definendo perciò i vari concetti per mezzo di un sistema di assiomi. Da questo punto di vista, infatti,

è determinante individuare quelle interpretazioni che sono in grado di soddisfare le condizioni stabilite dagli assiomi.

Anche se, in misura ancor maggiore, l’accento della questione non cade tanto sulla realizzazione concreta che soddisfa

il gruppo di assiomi, quanto sulle proprietà formali che vengono descritte dal sistema assiomatico. In questo modo viene

meno la richiesta di una conoscenza di tipo intuitivo utile alla comprensione di un particolare ambito fenomenico; la

conoscenza scientifica si volge sempre più ad indagare quelle che sono le proprietà formali di una data teoria, i rapporti

reciproci tra tali proprietà e le condizioni che queste richiedono. Sempre meno viene richiesto un «correlato intuitivo»

capace di spiegare punto per punto il fenomeno in questione: ciò che consente l’assiomatica moderna è la possibilità di

utilizzare un linguaggio non interpretato, cioè passibile di molteplici interpretazioni mediante le quali risulti possibile

descrivere realtà differenti. Diversamente dall’assiomatica classica, nella quale i termini primitivi hanno un significato

fisso, nell’assiomatica moderna la semantica è concepita in tutt’altra maniera: non viene posto alcun vincolo, di

carattere intuitivo, a quali siano i caratteri che deve possedere una data interpretazione; ci si muove su di un piano

formale, vale a dire che si astrae dalla natura particolare degli oggetti che si stanno considerando. Il fisico, o più in

generale lo scienziato, vanno alla ricerca di strutture matematiche che possano applicarsi al fenomeno (o ambito di

realtà) in questione. Attraverso questa costituzione, proprio a tale riguardo, Carnap sottolinea come:

«Lo sviluppo della Fisica negli ultimi secoli, e specialmente negli ultimi decenni, ha condotto sempre più a quel metodo di

costruzione, prova ed applicazione delle teorie fisiche che chiamiamo formalizzazione, cioè costruzione di un calcolo con l’aggiunta

di un’interpretazione. È stato il progresso della conoscenza e la particolare struttura della materia studiata che ha suggerito e reso

praticamente possibile questa formalizzazione. Di conseguenza è divenuto sempre più possibile il rinunziare ad una “comprensione

intuitiva” dei termini astratti e degli assiomi e teoremi formulati mediante questi. Per molto tempo non ci si era resi conto della

possibilità ed anzi necessità di abbandonare la ricerca di una comprensione di quel genere. Quando venivano proposte come nuovi

assiomi formule astratte, non-intuitive, come per esempio le equazioni di Maxwell per l’elettromagnetismo, i fisici cercavano di

renderle “intuitive” costruendo un “modello”, cioè un modo di rappresentare i microprocessi elettromagnetici per analogia di

macroprocessi noti, p. es. di movimenti di cose visibili. In questa direzione si sono fatti molti tentativi, ma senza risultati

75 CARNAP, R. (1939): pp. 73-74, 77, 78, 83.76 Cfr. AWODAY S., CARUS A. W. (2001): p. 9.

39

soddisfacenti. È importante rendersi conto che la scoperta di un modello non ha altro valore che estetico o didattico o nella migliore

delle ipotesi euristico, ma non è affatto essenziale ad una riuscita applicazione della teoria fisica. La domanda di una comprensione

intuitiva degli assiomi è stata sempre meno soddisfatta a mano a mano che il progresso ha condotto alla teoria della Relatività ed alla

meccanica quantistica, che implicano la funzione d’onda. […] È vero che una teoria non deve essere un “mero calcolo” ma deve

possedere un’interpretazione sulla base della quale possa venir applicata ai fatti della natura: ma, come abbiamo visto, è sufficiente

rendere tale interpretazione esplicita per i termini elementari, e poi l’interpretazione degli altri termini resta determinata

indirettamente dalle formule del calcolo, siano esse definizioni oppure leggi, che li connettono con i termini elementari. […]

“comprendere” un’espressione, un enunciato o una teoria significa la capacità di usarla per la descrizione di fatti noti o la predizione

di fatti nuovi. Una “comprensione intuitiva” o una traduzione diretta […] in termini riferentesi a proprietà osservabili non è né

necessaria né possibile. […] Qualsiasi teoria fisica, e analogamente l’intera fisica, in questo modo può presentarsi nella forma di un

sistema interpretato, consistente di un calcolo specifico (sistema di assiomi) e di un sistema di regole semantiche per l’interpretazione

di questo; il sistema di assiomi è, tacitamente o implicitamente, fondato sopra un calcolo matematico nell’interpretazione abituale.

Ovviamente dal punto di vista logico è possibile applicare lo stesso metodo a qualsivoglia altro ramo della scienza»77.

77 CARNAP, R. (1939): pp. 105, 106, 107, 95.

40

CAPITOLO TERZO

L’ASSIOMATICA GENERALE

41

Come è noto, i lavori sull’assiomatica generale degli anni ’20, che oltre a Carnap vedono anche come

protagonisti Langford e soprattutto Tarski, costituiscono di certo un orizzonte innovativo della ricerca logica e

matematica che si inserisce all’interno di una tradizione significativa che trova le proprie origini almeno a partire

dall’opera di Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen?, del 1888.

La prospettiva assiomatica riceve nei primi due decenni del Novecento notevoli impulsi e gli esiti a cui giungono

i ricercatori che studiano le teorie assiomatiche e le strutture matematiche che le riguardano costituiscono risultati di

grande valore. Tuttavia, vista la natura eterogenea delle finalità e dei metodi adottati dagli studiosi che si occupano di

assiomatica, il discorso risulta non del tutto semplice.

Ad ogni modo, nonostante tutto ciò e semplificando all’estremo il discorso, è comunque possibile individuare

differenti gruppi di studiosi con caratteri e finalità proprie. Senza dubbio non si può non fare riferimento ai lavori di

Hilbert, oltre che al gruppo di ricercatori che si riconducono alla sua scuola, i quali rivoluzionano l’assiomatica dando

origine all’assiomatica moderna. Tuttavia, visto il carattere specifico della prospettiva hilbertiana, che si caratterizza sia

per l’approccio sintattico con cui conduce le proprie indagini, sia per la ricerca di metodi finitari e sia per l’attenzione

posta alla proprietà della coerenza e alle regole deduttive di una teoria, non ci occuperemo di tale prospettiva. Più

direttamente rilevanti ai fini di una comprensione del progetto carnapiano di una assiomatica generale sono i lavori

assiomatici legati a due gruppi di ricerca: Peano e il gruppo di ricercatori che collaborano con lui (in particolare Padoa e

Pieri) e i cosiddetti Postulazionisti americani dei primi anni del ‘900, tra i quali si distinguono in particolar modo E. V.

Huntington ed O. Veblen.

Per comprendere dove sta l’elemento innovativo introdotto da Carnap occorre considerare cosa accomuna e cosa

distingue i lavori dei ricercatori a cui si è fatto cenno sopra e le indagini del filosofo tedesco.

Al di là delle differenze di ambito e di prospettiva che le caratterizzano, le ricerche di questo periodo sono

accomunate da un nuovo modo di intendere la semantica. In tali ricerche infatti non si presuppone che i termini

primitivi, ovvero i simboli extra-logici, di una data teoria abbiano un significato che è già stabilito in modo immutabile.

In questo senso, ad esempio, nozioni come quella di «punto», «retta», «piano», piuttosto che «numero», «successore», e

così via, non denotano nulla che sia stato già precedentemente stabilito. Il loro significato è dato dalle mutue relazioni

logiche che tali enti intrattengono tra loro78. Ciò sta a significare che i logici, come i matematici, di questo periodo (e

78 CARNAP, R. (2014): p. xv: «l’assiomatica moderna presuppone un linguaggio non interpretato, cioè passibile di molteplici interpretazioni e con cui si possono descrivere realtà differenti, diversamente dall’assiomatica classica in cui i termini primitivi hanno un significato fisso».

42

forse il discorso potrebbe estendersi anche ai fisici, visti i risultati di quegli anni su relatività e fisica dei quanti) tendono

sempre più ad abbandonare una semantica naturale, ovvero si è sempre meno portati ad interpretare le nozioni di cui si

servono con il significato usuale che assumono nel linguaggio comune o, in altri termini, linguaggio naturale.

Questo diverso modo di intendere la semantica comporta un’ulteriore notevole distinzione rispetto

all’assiomatica classica. Mentre per questa lo scopo principale è quello di caratterizzare una determinata disciplina,

come ad esempio la teoria degli insiemi, lo spazio euclideo, l’aritmetica dei reali e così via, per l’assiomatica moderna il

vero scopo è quello di isolare una classe di interpretazioni che soddisfino alle condizioni poste dagli assiomi:

«l’obbiettivo che si pone l’assiomatica moderna non è più rigorizzare e strutturare una data disciplina individuando il livello

fondamentale degli assiomi e derivando da essi le loro conseguenze, come nell’assiomatica classica, ma caratterizzare

linguisticamente una classe di interpretazioni, di selezionare cioè tra tutte le interpretazioni del linguaggio quelle descrivibili

attraverso la teoria assiomatica stessa»79.

Se questo cambio di prospettiva è ciò che in qualche modo accomuna i diversi ricercatori, dall’altro lato non si

può fare a meno di considerare che le differenze tra loro sono molte e profonde. Senza dilungarsi eccessivamente ciò

che più preme rimarcare è che mentre per Peano e la sua scuola così come per i Postulazionisti americani le ricerche

sono condotte mendiante il linguaggio naturale con l’aggiunta di qualche simbolo logico o extra-logico, diversamente,

nei lavori di Carnap, Tarski e Langford, si utilizza un linguaggio formale vero e proprio (si vedrà in seguito quale

linguaggio), con una grammatica logica ed un alfabeto ben determinati.

Appare naturale pertanto interrogarsi sulle motivazioni che conducono a tale novità: perché i ricercatori che si

occupano di assiomatica, i quali fino ad allora avevano operato solamente attraverso il linguaggio naturale, avvertono la

necessità di ricorrere ai linguaggi simbolici della logica matematica?

Sebbene la tendenza dominante oggigiorno da parte di storici e filosofi della logica sia quella di considerare

l’adozione dei linguaggi formali come un processo acritico ed immediato, in vista del maggior rigore deduttivo che

questi garantiscono, vi è chi conserva un certo scetticismo rispetto alla plausibilità di tale motivazione. Come rilevano i

curatori dell’edizione italiana alle Ricerche, infatti, tale adesione non sarebbe dettata in vista del maggior rigore che

garantiscono i linguaggi formali, quanto dallo sviluppo e dalla maggiore complessità delle ricerche matematiche del

tempo. Da un lato, infatti, i nuovi tipi di strutture algebriche, che in quegli anni i matematici introducono, impongono

una maggiore astrattezza e pertanto appare naturale una trattazione assiomatica generale, cioè svincolata dalla natura

specifica degli oggetti delle teorie in questione:

79 CARNAP, R. (2014): p. xv.

43

«parlando di insiemi di funzioni, di relazioni qualunque ci si liberava da ogni vincolo rispetto alla natura dei domini e alle

modalità di definizione dell’interpretazione delle costanti. […] L’interesse per gruppi, campi, insiemi ordinati ecc. era nato infatti da

esempi specifici (gruppi di permutazioni, campi numerici, la struttura ordinata dei reali o razionali ecc.) e quando si rese necessario il

passaggio ad una visione più astratta ed unitaria che considerasse queste strutture in generale la presentazione assiomatica si rivelò

essenziale permettendo di sviluppare le corrispondenti teorie astratte in cui i modelli erano sistemi matematici come quelli di sopra,

senza vincoli sulla natura dei domini, delle relazioni e delle operazioni che non fossero quelli fissati dagli assiomi»80.

Dall’altro, accanto alle nuove strutture algebriche astratte, comparivano altre strutture (spazi metrici, spazi

topologici, spazi di funzioni, ecc.) che presentavano le corrispondenti teorie assiomatiche molto più complesse rispetto

a quelle presentate fino ad allora e che pertanto richiedevano l’adozione di un linguaggio meno ambiguo. È quindi

l’introduzione di oggetti più astratti e più complessi a rendere insufficiente l’utilizzo del linguaggio naturale e non il

perseguimento dell’ideale di un maggior rigore.

L’adesione ai linguaggi formali, in particolar modo a quello della teoria dei tipi semplici (si vedrà più avanti

perché proprio questo linguaggio), comporta due fatti importanti. In primo luogo, le diverse teorie assiomatiche

vengono studiate ed organizzate all’interno di un contesto formale unitario, il quale rende più semplice un approccio

formale. In secondo luogo, la maggiore astrattezza comporta una messa in secondo piano della natura specifica degli

oggetti delle teorie:

«Se a contare erano solo proprietà astratte dei sistemi modello degli assiomi, le teorie dovevano interessarsi solo delle

proprietà invarianti rispetto all’isomorfismo»81.

Tutto ciò fa sì che diventi possibile separare tra proprietà specifiche e proprietà strutturali (o astratte). Le

ricerche sull’assiomatica generale pertanto consentono l’avvio di quello studio volto ad indagare i rapporti tra

linguaggio e teorie, studio che per certi versi anticipa la teoria dei modelli.

1. Definizione e scopo dell’assiomatica generale

La distinzione tra concetti propri e impropri su cui ci siamo soffermati nel primo capitolo, così come i caratteri

specifici della posizione «logicista» di Carnap non sono questioni che rimangono fini a se stesse, slegate dalle

80 CARNAP, R. (2014): pp. xlii-xliv.81 CARNAP, R. (2014): p. xlviii.

44

problematiche poste dalle Ricerche sull’assiomatica generale, anzi, ne costituiscono le premesse, almeno da un punto di

vista filosofico. È proprio la possibilità di considerare un sistema assiomatico come un ente determinato, cioè come uno

specifico oggetto logico, per Carnap, come una funzione proposizionale, che permette di analizzare le caratteristiche

formali, ovverossia le caratteristiche strutturali, di una data teoria e non il contenuto «materiale» di cui si occupa. Ciò

che conta, in un approccio del genere, infatti, non sono tanto i risultati che emergono all’interno della teoria quanto più

ciò che si può dire su di essa: passa in secondo piano ciò su cui verte la teoria, poiché rilevante diviene la teoria stessa,

il modo in cui si configura, le proprietà che le appartengono, i modelli a cui dà luogo, le proprietà che acquisisce o

perde a seconda del linguaggio in cui vengono espressi i concetti che la riguardano e così via. Ma cosa significa

considerare un sistema di assiomi come una funzione proposizionale? Seguendo i curatori dell’edizione italiana delle

Ricerche:

«Prendiamo un sistema finito A di m assiomi, in cui compaiono n termini primitivi:

A = {a1(t1,…,tn),…, am(t1,…,tn)}.

L’idea di fondo è riflettere sul piano sintattico la variabilità semantica che caratterizza i termini primitivi di un SA

moderno e quindi sostituire gli n termini con altrettante variabili r1,…,rn:

A = {a1(r1,…,rn),…, am(r1,…,rn)}.

A questo punto, se si congiungono gli m assiomi tra di loro, ciò che si ottiene è la funzione proposizionale in n

variabili

fA (r1,…,rn) =Df a1(r1,…,rn) ∧…∧ am(r1,…,rn),

in cui la n-pla di variabili (r1,…,rn) può essere eventualmente sostituita da un’unica variabile R :

R =Df (r1,…,rn);

fA (R) = fA (r1,…,rn).

È importante rimarcare due aspetti. Innanzitutto è essenziale che il numero di assiomi sia finito perché si possa

tradurre un dato SA in una funzione proposizionale; secondo, il sistema di assiomi A e la funzione proposizionale ad esso

associata, fA, coincidono dal punto di vista semantico: l’insieme degli oggetti che soddisfano fA coincide con la classe di

45

interpretazioni che soddisfano A. L’estensione di fA, infatti, non è formata da oggetti semplici, bensì da successioni di n

oggetti, ovvero da quelle successioni in cui l’i-esima variabile di cui si compone la variabile R; in altre parole godono di fA

quegli insiemi di cose che, presi come interpretazioni dei termini primitivi del sistema, rendono veri gli assiomi. Tradurre un

SA finito in una funzione proposizionale ha però una sua utilità nello schema generale dei concetti carnapiano, poiché fA, in

quanto funzione proposizionale, definisce esplicitamente un concetto proprio; se tale concetto dal punto di vista estensionale

è costituito proprio dalla classe di interpretazioni che soddisfano gli assiomi, dal punto di vista intensionale coincide con la

struttura formale descritta dagli assiomi e dalle loro conseguenze logiche»82.

Tutto ciò, chiaramente, risulterebbe impossibile se venissero considerati come non legittimi i concetti impropri,

vale a dire quei concetti definiti implicitamente, ovvero quei concetti che vengono definiti individuando le proprietà

formali che sanciscono le condizioni di una classe di interpretazioni; ed è proprio l’accettazione di tale modalità

definitoria, e quindi del pieno riconoscimento della validità epistemologica del metodo assiomatico moderno, che

permette di rivalutare la posizione di Carnap, per quello che riguarda la logica e i fondamenti della matematica, come

un logicismo sui generis.

Dunque, il tentativo di costituire una Disciplina di Base (Grunddisziplin), vale a dire una teoria volta ad indagare

le proprietà generali, logico-formali, dei differenti sistemi di assiomi particolari, si realizza nel momento in cui

divengono oggetto di ricerca non i specifici campi d’indagine delle varie teorie (come ad esempio: lo spazio euclideo,

gli insiemi e le operazioni su questi, i numeri naturali, piuttosto che i numeri reali, e le operazioni che li riguardano e

così via) ma le teorie stesse. Scopo dell’indagine dell’assiomatica generale diviene pertanto quello di individuare le

proprietà generali comuni a più sistemi assiomatici (quali possono essere la completezza, la categoricità, la decidibilità,

la coerenza, ecc.) nonché di considerare i problemi legati alle condizioni necessarie per possedere tali proprietà e i

rapporti reciproci tra di esse. Si tratta quindi di indagare quella dialettica sussistente tra proprietà astratte e sistemi

assiomatici. Pertanto, è alla luce di tutto ciò che si può considerare l’assiomatica generale in contrapposizione alle varie

assiomatiche specifiche.

Al fine di perseguire un’indagine riguardo tali proprietà generali ciò che si richiede, per prima cosa, è di

«stabilire esplicitamente il fondamento logico usato di volta in volta» e, in secondo luogo, di «dare definizioni più

precise dei concetti sulla base di tale fondamento»83. Gli scopi che persegue l’assiomatica generale, pertanto, possono

considerarsi raggiunti nel momento in cui, da un lato, vengono fornite definizioni rigorose di quelle proprietà formali

generali a cui si faceva riferimento in precedenza; dall’altro lato, fornendo dimostrazioni dei teoremi che stabiliscono i

rapporti sussistenti tra le proprietà prese in esame. La vera ragion d’essere dell’assiomatica generale si realizza col

82 CARNAP, R. (2014): pp. x-xi.83 CARNAP, R. (2014): p. 5.

46

teorema di ramificabilità (Gabelbarkeitssatz) presentato da Carnap, che ne costituisce il risultato principale. Nel

teorema, infatti, Carnap mette in relazioni le nozioni di completezza e categoricità, definite nelle tre accezioni di

monomorfia (Monomorphie), non-ramificabilità (Nichtgabelbarkeit) e decidibilità (Eintscheidungsdefinitheit),

affermandone la loro equivalenza.

Nella realizzazione di tutto ciò si impiegano gli strumenti messi a disposizione dalla logica matematica ed in

particolare della Disciplina di Base. L’aspetto più rilevante di tutto ciò sta nel fatto che l’analisi delle proprietà che si

applicano ai diversi sistemi assiomatici si realizza come ricostruzione all’interno di un determinato contesto formale,

vale a dire appunto la Disciplina di Base, che si realizza pertanto come un sistema logico generale.

Ciò che Carnap sottolinea fin da subito può essere sintetizzato in due punti. Da un lato viene rilevata la necessità

di una Disciplina di Base, affermando che ogni assiomatica presuppone un’assiomatica generale in quanto qualunque

sistema di assiomi è costituito da concetti logici, insiemistici e aritmetici e, conseguentemente, per realizzarsi si serve

dei teoremi che riguardano tali concetti. Come scrive Carnap:

«Tutte le diverse correnti in contrapposizione fra loro sulla questione dei fondamenti della matematica concorderanno sul

fatto che nella disciplina di base devono trovare spazio gli usuali concetti aritmetici, gli usuali concetti insiemistici, ed inoltre anche i

concetti logici»84.

Dall’altro lato, viene sottolineato il carattere contenutistico della Logica85 utilizzata. La Disciplina di Base si

realizza pertanto come:

«una disciplina contenutistica, i cui concetti abbiano cioè un significato determinato. […] per poter servire come fondamento

per l’assiomatica»86.

Tutto ciò rimanda alla distinzione a cui si faceva riferimento tra concetti propri e impropri. La lettura dell’opera

di Carnap specifica meglio di qualsiasi altra spiegazione la distinzione sussistente tra concetti con significato

determinato, quali sono quelli impiegati dalla Disciplina di Base, e concetti con significato indeterminato, propri delle

differenti assiomatiche specifiche che nella Disciplina di Base vengono ordinati:

84 CARNAP, R. (2014): p. 7.85 Carnap utilizza il termine «Logica» indicando con esso non solo i concetti logici, appunto, impiegati dalla Disciplina di Base, ma estendendolo anche ai concetti di tipo insiemistico e di tipo aritmetico. L’utilizzo del termine secondo questa accezione è motivato dalla necessità di distinguere tra i concetti impiegati dalla Disciplina di Base («teoria degli insiemi assoluta», «aritmetica assoluta») e i concetti corrispettivi impiegati nelle assiomatiche specifiche. Come rileva lo stesso Carnap in CARNAP, R. (2014): p. 7: «I concetti aritmetici e insiemistici della disciplina di base devono essere distinti nettamente dai corrispondenti concetti, omonimi il più delle volte, di un’aritmetica assiomatica e di una teoria degli insiemi assiomatica, rispettivamente».86 CARNAP, R. (2014): p. 6.

47

«A differenza dei simboli logici, i “simboli primitivi”, i simboli dei “concetti primitivi” di un sistema di assiomi, non hanno

alcun significato determinato. Ma è proprio questa l’essenza di un sistema di assiomi, di non essere legato ad un ambito di

applicazione fissato, di non riguardare oggetti che siano già decisi in sé, bensì qualcosa di indeterminato, la cui unica determinazione

è quella che acquisisce attraverso il sistema di assiomi. Ne segue quindi che il sistema di enunciati logici di cui abbiamo richiesto la

determinazione preliminare per ogni assiomatica non può essere esso stesso un sistema di assiomi nel senso spiegato qui. È vero che

si è soliti parlare di assiomi logici, noi preferiamo chiamarli “enunciati fondamentali” logici, per sottolineare il loro carattere del tutto

differente dagli assiomi»87.

Carnap sottolinea inoltre il carattere imprescindibile della logica in quanto i concetti insiemistici ed aritmetici da

soli non permetterebbero alcuna derivazione. È il calcolo logico, infatti, che consente (attraverso le regole di deduzione

che vengono esplicitate) la manipolazione di enunciati:

«Ma essa [la Disciplina di Base] non può contenere solo concetti del tipo ricordato sopra [concetti insiemistici e aritmetici] e

teoremi che riguardano tali concetti, perché esclusivamente con tali concetti non si può stabilire alcuna regola di deduzione, di

trasformazione di enunciati in altri enunciati. Per questo sono necessari specificatamente concetti logici, come: implicazione, e, o,

tutti, esiste. E, in effetti, anche tutte le teorie dell’assiomatica sono solite affermare, a proposito di questi concetti, che il loro utilizzo

è ammissibile e anzi necessario. Ma per poter utilizzare questi concetti logici, dobbiamo avere in mano degli enunciati che li

riguardino, più precisamente teoremi logici. La determinazione preliminare di una teoria degli insiemi assoluta o di un’aritmetica

assoluta non è quindi sufficiente. La disciplina di base deve contenere teoremi che riguardino concetti logici, insiemistici e

aritmetici»88.

In altre parole, i risultati dell’assiomatica generale devono avere un significato assoluto che è formato solo dal

carattere contenutistico e non formale della Disciplina di Base.

Prima di passare oltre e considerare nel dettaglio quali siano i concetti logici impiegati dalla Disciplina di Base,

risulta doveroso sottolineare come le ricerche sull’assiomatica generale, in Carnap, non siano legate, sebbene di certo

risultino influenzate, da un determinato indirizzo di filosofia della matematica (logicismo, formalismo, intuizionismo)89.

Tali ricerche, per Carnap devono costituire un campo di ricerca scientifica a tutti gli effetti; in tale ambito infatti si

avanzano ipotesi, si prosegue mediante dimostrazioni, le quali corroborano o smentiscono determinati enunciati. Questo

fa sì che gli studi sull’assiomatica generale non siano da intendere come lo specifico punto di vista di un particolare

indirizzo rispetto alle teorie assiomatiche.

87 CARNAP, R. (2014): p. 6.88 CARNAP, R. (2014): p. 6.89 Cfr. CARNAP, R. (2014): p. 7.

48

2. I concetti della Disciplina di Base

2.1. La teoria delle relazioni

I concetti fondamentali dell’assiomatica generale, come si è detto, sono le relazioni90, in quanto i concetti

primitivi di un sistema assiomatico, sia i singoli assiomi che gli stessi sistemi di assiomi, si caratterizzano in termini di

relazioni vere e proprie.

Per relazione Carnap intende di fatto una funzione proposizionale, considerata dal punto di vista estensionale.

Ciò significa che si prescinde dalle determinazioni contenutistiche della funzione, prendendo in considerazione

solamente la sua estensione. Detto in altri termini: ci si interessa più degli oggetti che soddisfano una data relazione

piuttosto che del suo significato; ciò che conta, infatti, è l’insieme degli argomenti da cui la funzione è soddisfatta.

Pertanto, dal momento che le relazioni sono considerate dal punto di vista estensionale è sufficiente indicare la loro

costituzione (Bestand), ovvero le n-ple di membri che le soddisfano in una data interpretazione, quella che noi oggi

chiamiamo estensione. Ciò può avvenire in due modi differenti: direttamente o indirettamente.

Occorre ora vedere come classificare le relazioni. A seconda del numero di argomenti si distingue tra relazioni

unarie, del tipo P(x), dette più comunemente classi, relazioni binarie G(x, y), relazioni ternarie H(x, y, z), e più in

generale relazioni n-arie. L’insieme dei valori che soddisfano la relazione è detto sistema di valori che soddisfa la

relazione; ad esempio, avremo che se vale P(a, b, c) allora (a, b, c) è un sistema di valori che soddisfa P. Un sistema di

valori che soddisfa una relazione n-aria si chiama una n-pla della relazione.

Oltre che per l’arietà, le relazioni possono differenziarsi in base al numero di valori che le soddisfano. Relazioni

a nessun valore si definiscono vuote (o non-soddisfacibili), le altre vengono dette soddisfacibili. Se una relazione ha m

sistemi di valori che la soddisfano si dice che è una relazione a m valori.

Per capire bene la distinzione, è opportuno precisare le nozioni di argomento e membro di una data relazione.

L’argomento indica, per così dire, il «numero di posti» che la relazione prevede. A tale riguardo si deve ricordare che

nella teoria delle relazioni vengono prese in considerazione solo relazioni con un numero finito di argomenti. I membri

(o sistemi di membri) sono gli oggetti che di volta in volta vanno a soddisfare la relazione. A differenza degli

argomenti, il numero di membri non ammette restrizioni e può quindi essere finito o infinito; dando luogo,

rispettivamente, a relazioni finite o infinite. A proposito della distinzione sussistente tra argomenti e membri di una

90 Cfr. CARNAP, R. (2014): p. 9.

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relazione, Carnap sottolinea che la successione delle n-ple è indifferente per la relazione, mentre non può essere così per

la successione dei membri delle singole n-ple. Questo è del tutto chiaro poiché se una relazione risulta soddisfatta da più

sistemi di valori, poniamo P = {x'y'z, f'g'h, i'j'k}, è indifferente l’ordine con cui si considerano tali n-ple; cioè, sempre

rifacendosi all’esempio di prima, se la relazione viene intesa come sopra o no: P = {i'j'k, x'y'z, f'g'h}. Tuttavia, se a

cambiare risulta l’ordine interno di una singola n-pla, poniamo {k'i'j} invece di {i'j'k}, allora ciò che si ottiene è una

nuova n-pla, che non è detto possa soddisfare la relazione in questione.

Carnap si sofferma a lungo sulla presentazione dei diversi tipi di relazione, introducendo concetti come quello di

sottorelazione, grafo di una funzione, funzione iniettiva91, e così via. Si tratta di classificazioni standard oggigiorno e

pertanto non ci soffermeremo su di esse.

2.2 La teoria dei tipi

Come si è cercato di spiegare fino ad ora, l’analisi delle proprietà astratte dei diversi sistemi assiomatici condotta

da Carnap confluisce nella traduzione delle varie teorie all’interno di un unico contesto formale, quale vuole essere la

Grunddisziplin. Per realizzare il progetto si pone la questione di quale linguaggio utilizzare, ovvero: come vanno

espressi i risultati dell’analisi delle proprietà e dei rapporti tra i vari sistemi di assiomi?

All’epoca in cui il nostro autore compone le Ricerche i linguaggi logici che venivano utilizzati erano linguaggi

infinitari, ereditati dall’algebra della logica, i linguaggi della logica del primo ordine e la teoria dei tipi nella versione

ramificata russelliana. Il linguaggio che viene assunto per la Disciplina di Base è quello della teoria dei tipi semplici.

Come viene fatto notare dai curatori dell’edizione italiana delle Ricerche:

«Il suo nucleo fondamentale è una teoria dei tipi semplici, con l’aggiunta dell’assioma dell’infinito; dal punto di vista

odierno, questa teoria coincide sostanzialmente con quella che viene definita “logica di ordine superiore” (pure higher-order logic),

cioè con la teoria logica di linguaggi privi di simboli extra-logici (in altre parole, con una segnatura vuota) e che ammette variabili

che variano (oltre che su individui) su insiemi, relazioni n-arie (n ≥ 2), funzioni n-arie (n ≥ 1), insiemi di insiemi e così via, e la

possibilità di quantificare su tali variabili»92.

91 Più specificatamente, Carnap stipula che una funzione f da A a B, f: A → B, è iniettiva se e solo se ogni elemento di B è immagine di al più un elemento di A; cioè se ad elementi diversi (di A) corrispondono elementi diversi (di B); in altre parole non accade mai che a due elementi di A corrisponda uno stesso elemento di B. In simboli: ∀x ∀y ((x, y ∈ A ∧ x ≠ y) → f(x) ≠ f(y)).Mentre una funzione f da A a B, f: A → B, è detta suriettiva quando ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A.In simboli: ∀y ∈ B ∃x ∈ A : f(x) = y.92 CARNAP, R. (2014): p. xxii.

50

Quali sono state le ragioni che conducono l’autore ad assumere tale linguaggio, dovrebbe essere ormai chiaro se

teniamo presente quanto detto in precedenza circa il fatto che la logica della Disciplina di Base si caratterizza come una

«logica assoluta», vale a dire come un linguaggio «definitivo», nel senso che si tratta di un linguaggio pienamente

interpretato entro il quale risulta possibile definire univocamente i molteplici significati dei concetti delle varie teorie

assiomatiche e per mezzo del quale controllare ogni nesso deduttivo. In questo senso emerge il retaggio

dell’impostazione logicista propria di Carnap, volta alla ricerca di in un unico sistema formale (la cosiddetta Grande

Logica) in cui ricostruire le diverse teorie matematiche. È proprio per questo motivo, infatti, che la scelta di Carnap si

orienta verso linguaggi potenti come quello dei tipi.

La teoria dei tipi diventa, allora, il linguaggio in cui tradurre le varie teorie assiomatiche che matematica e fisica

presentano. Come ben si sa, in tale teoria, l’universo logico viene gerarchizzato, in modo tale da evitare che vi siano

totalità che assumano se stesse come proprio elemento (che siano cioè auto-referenziali). In Russell, lo scopo era stato

chiaramente quello di evitare i paradossi e le antinomie che erano sorte a cavallo tra ‘800 e ‘900. Ecco quindi che

l’universo logico si trova suddiviso in tipi. È del tutto chiaro che in tale teoria l’espressione «la classe di tutte le classi»

è completamente priva di senso; questo perché la quantificazione segue la stratificazione dell’universo logico e pertanto

non può estendersi indebitamente da un tipo all’altro, può fare riferimento ad un solo ed unico tipo determinato.

All’espressione di prima saremo costretti a sostituirvi «la classe di tutte le classi di tipo n»93.

Diverso il senso che la teoria assume in Carnap, e negli stessi anni in Tarski. L’idea di fondo è che quello dei tipi

è essenzialmente un linguaggio che riflette una concezione gerarchizzata degli enti logici. Al livello più basso, livello o

ordine 0, stanno gli individui, dove si noti la nozione di individuo non è assoluta, semplicemente si considerano come

oggetti dati quelli non costruibili da altri oggetti più semplici ma che in altri contesti potrebbero esserlo. A partire dagli

enti assunti come individui si costituisce l’universo degli oggetti di ordine e di tipo superiore, ad esempio gli insiemi di

individui saranno oggetti di ordine 1, gli insiemi di insiemi di individui saranno oggetti di ordine 2, e così via. Ma non

basta. Carnap, diversamente da Tarski, assume come primitivo il concetto di relazione senza ridurla a quello di insieme,

così tra gli oggetti di ordine superiore dovremo trovare le relazioni binarie tra individui, le relazioni ternarie tra insiemi

di relazioni binarie, ecc. L’articolazione dell’universo è variegata e occorre, per descriverla, introdurre accanto al

concetto di ordine anche quello di tipo, così una relazione binaria tra individui avrà il tipo [0,0], un insieme di relazioni

binarie [[0,0]], ecc. Un tipo quindi ci dice se abbiamo a che fare con relazioni o insiemi e con relazioni di quale arietà,

specificando nel contempo l’ordine degli oggetti che consideriamo.

Analizzata con la nozione di tipo la complessità degli oggetti dell’universo logico, Carnap chiarisce subito quale

è lo scopo dell’analisi in termini di tipi, formulando la cosiddetta regola dei tipi, in due diverse diciture:

93 Segue da quanto detto in precedenza che tale classe sarà di tipo n+1.

51

a) «i valori ammissibili per un argomento di una data funzione proposizionale, così come i valori ammissibili per un

argomento di una data relazione, devono essere isotipi»;94

b) «una proprietà che può essere predicata in maniera sensata (in altre parole, in maniera vera o falsa) di certi oggetti, non

può essere predicata in maniera sensata di una proprietà (classe) di questi oggetti o di un rapporto (relazione) tra questi oggetti»95.

In questo senso l’isotipia viene a significare la sostitutività in contesti sensati, quella sostitutività che non altera

la significatività dei contesti.

Alla caratterizzazione in termini di ordini e tipi della complessità dell’universo degli oggetti logici corrisponde,

sul piano linguistico, nella formulazione della Disciplina di Base, la costituzione del linguaggio TT dei tipi, che Carnap

non presenta in dettaglio ma che sostanzialmente si basa sull’idea di assumere variabili di ogni tipo e dando regole di

formazione per termini e formule utilizzando accanto alle variabili connettivi e quantificatori.

Sul piano linguistico, da quanto detto fino ad ora, seguono tre importanti conseguenze: i) tutti gli elementi di una

classe sono dello stesso tipo; ii) l’appartenenza o meno di una classe a se stessa non può essere predicata in maniera

sensata; iii) solo tra classi dello stesso tipo sono ammesse unione e intersezione96.

2.3. Isomorfia e proprietà astratte

Come vedremo ora ma già avevamo anticipato, negli studi sull’assiomatica generale centrale si rivela la nozione

di isomorfia; è, infatti, proprio grazie a tale nozione che risulta possibile stabilire quando due o più modelli della

medesima teoria hanno la stessa struttura formale, ovvero quando due modelli risultano strutturalmente identici e

quindi una teoria è in grado di descrivere in maniera completa un universo matematico.

È del tutto chiaro, infatti, che se una delle proprietà fondamentali per l’assiomatica generale è la nozione di

categoricità allora non si può fare a meno della nozione di isomorfia, poiché è proprio grazie a quest’ultima che viene

posta la prima; appunto perché una teoria è categorica se e solo se per ogni coppia di modelli A e B della teoria, A e B

sono isomorfi tra loro.

Per comprendere quando due modelli di una data teoria sono simili, cioè hanno la stessa struttura, occorre

chiarire prima di tutto che cosa è un modello. Negli anni ’20, quando scrive Carnap, la cosa era stata chiarita, per i 94 CARNAP, R. (2014): p. 15.95 CARNAP, R. (2014): p. 15.96 Cfr. CARNAP, R. (2014): pp. 15-16.

52

linguaggi del primo ordine e per alcuni casi del secondo ordine, dai postulazionisti americani, in particolar modo da

Huntington. Dato un linguaggio L comprendente simboli di relazione, simboli di funzione e simboli per costanti, in

modo tale da poter indicare, nel caso in cui L sia un insieme finito di simboli: L={P0,…,Pn, F0,…,Fm, c0,…,cq}, un

modello per L è dato da una coppia ⟨A, I⟩, dove A è un insieme non vuoto detto universo, o dominio del discorso, in cui

ad ogni P n-aria corrisponde una relazione n-aria R ⊂ An su A, ad ogni F m-aria corrisponde una funzione m-aria G:

Am→A su A, e ad ogni simbolo di costante c corrisponde una costante x ∈ A. Questa corrispondenza viene stabilita per

mezzo di una funzione di interpretazione I, che rappresenta i simboli di L sulle appropriate relazioni, funzioni e costanti

di A. In sintesi per indicare che A è un modello scriviamo A = ⟨A, I⟩. Detto ciò, occorre comprendere come viene

caratterizzata la nozione di isomorfia. Si dice che due modelli A e A′ della teoria T sono isomorfi tra loro se e solo se

esiste una corrispondenza biunivoca φ tra i loro domini (che quindi risultano, evidentemente, equipotenti) che conserva

gli elementi dei domini su cui sono interpretate le costanti, e i predicati e le funzioni su cui sono interpretate le costanti

predicative e funzionali della teoria T. Si può anche dire che due modelli della stessa teoria sono isomorfi tra loro se

esiste una corrispondenza biunivoca tra i loro domini che associa elementi che si comportano allo stesso modo rispetto

ai domini delle costanti dell’alfabeto della teoria; pertanto, due modelli isomorfi presentano la stessa struttura, mentre

differiscono per la natura degli elementi dei loro domini. In altre parole, ad esempio, deve valere che se nel modello A

della teoria T, per ogni a e b appartenenti ad A, se vale a < b allora, in un altro modello A′, ma isomorfo ad A, si dovrà

verificare f(a) < f(b). Detto diversamente, la corrispondenza biunivoca φ (o, come viene definita da Carnap nelle

Ricerche, il correlatore di isomorfia) deve conservare l’ordine. In termini più rigorosi, due modelli A e A′ per un

linguaggio L si dicono isomorfi se e solo se esiste una funzione biunivoca φ che rappresenta A su A′, soddisfacendo alle

seguenti condizioni:

a) per ogni relazione n-aria R di A e la corrispondente relazione R′ di A′,

R(x1,…,xn) se e solo se R′(f(x1)…f(xn))

per tutte le n-ple x1,…,xn di elementi appartenenti ad A.

b) Per ogni funzione m-aria G di A e la corrispondente funzione G′ di A′,

f(G(x1,…,xm)) = G′(f(x1)…(xm)),

per tutte le n-ple x1,…,xm di elementi appartenenti ad A.

c) Per ogni costante x di A e la corrispondente costante x′ di A′,

53

f(x) = x′.97

Il contributo specifico di Carnap nelle Ricerche è il tentativo di fornire un’interpretazione anche per teorie

formulate in frammenti del linguaggio dei tipi, eventualmente arricchito con costanti extra-logiche. L’idea intuitiva

approfondisce quella sviluppata per il primo ordine. Un’interpretazione partirà da un dominio di individui e ad ogni

costante extra-logica assegnerà un oggetto di tipo opportuno costruito su questo dominio. Vedremo come Carnap dia

una veste precisa all’idea intuitiva mostrando come tradurre ogni teoria all’interno della Disciplina di Base ed

identificando le interpretazioni come successioni di valori per delle variabili che prendono il posto delle costanti extra-

logiche. Il problema è quello di definire un opportuno concetto di isomorfia in quanto qui gli oggetti possono avere tipo

diverso e la biiezione che un isomorfismo stabilisce deve rispettare tipi ed ordine. Su questo terreno Carnap aveva come

precedenti accanto al lavoro degli assiomatici quello di Dedekind.

L’idea di fondo da cui Dedekind partiva nel suo saggio del 1888 era quella di concepire le interpretazioni

isomorfe, nel suo caso quelle modello dei suoi assiomi di ordine superiore per i numeri naturali, come realizzazioni

diverse per la materia di un’unica struttura formale. Scopo della nozione di ismorfismo era appunto quella di mostrare

cosa volesse dire che due interpretazioni fossero realizzazioni della stessa struttura. È grazie a tale nozione infatti che,

nel già citato lavoro di Dedekind del 1888 sui numeri naturali, si afferma (teorema 132) che:

«Tutti i sistemi semplicemente infiniti sono simili alla serie numerica N, e quindi […] sono simili anche tra loro»98.

In altre parole, Dedekind dimostrava la categoricità del suo sistema di assiomi, stabilendo che presi due modelli

qualunque di tale sistema questi risultavano fra loro isomorfi. La strada seguita da Dedekind è nota. L’importante è la

prospettiva in cui egli si poneva.

Da questo punto di vista strutturale era sufficiente che fossero rispettate le condizioni formali di cui si diceva

sopra affinché risultasse caratterizzato ciò che è fondamentale per la teoria dei numeri naturali. Ciò significa che tutte le

strutture così caratterizzate, prescindendo dalla natura specifica degli oggetti che li riguardano, costituivano l’oggetto

proprio dell’aritmetica. È proprio per tale motivo, infatti, che Dedekind poteva affermare (nella proposizione 73) che:

«Se in un sistema N semplicemente infinito e ordinato da una rappresentazione φ si prescinde dalla particolare natura dei suoi

elementi, tenendo ferma soltanto la loro distinguibilità, e si considerano esclusivamente le relazioni reciproche determinate dalla

rappresentazione ordinante φ, allora questi elementi sono detti numeri naturali o numeri ordinali o senz’altro numeri, e l’elemento

97 Cfr. CHANG, C. C., KEISLER, H. J. (1973).98 DEDEKIND, R. (1888): p. 115.

54

fondamentale 1 è chiamato il numero fondamentale della serie numerica N. In considerazione di quest’atto di eliminare dagli

elementi ogni altro contenuto (astrazione), i numeri si possono giustamente chiamare una libera creazione dello spirito umano.

L’oggetto immediato della scienza dei numeri o aritmetica è costituito dalle relazioni o dalle leggi che si derivano unicamente dalle

condizioni α, β, γ, δ [in 71], e che perciò sono sempre le stesse in tutti i sistemi ordinati semplicemente infiniti, quali che siano i nomi

con cui sono indicati i singoli elementi»99.

Gli assiomi, dunque, definiscono (o isolano) una classe100 di interpretazioni degli assiomi per i naturali che vale

per ogni sistema semplicemente infinito; pertanto, qualunque teorema che si dimostra valido in un modello vale anche

negli altri:

«è evidente che ogni teorema sui numeri (cioè sugli elementi n del sistema semplicemente infinito N ordinato mediante la

rappresentazione φ) in cui si prescinda interamente dalla particolare natura degli elementi n e in cui siano menzionati soltanto

concetti che nascono dall’ordinamento φ, ogni siffatto teorema vale in generale per ogni altro sistema semplicemente infinito Ω

ordinato mediante una rappresentazione θ, e per i suoi elementi ν. Il passaggio da N a Ω […] avviene per mezzo della

rappresentazione ψ […], la quale trasforma ogni elemento di n di N in un elemento ν di Ω, ossia ψ(n). Questo elemento ν si può

chiamare l’n-simo elemento di Ω; il numero n stesso è allora l’ n-simo numero della serie numerica N. Il medesimo ruolo che ha la

rappresentazione φ per le leggi del dominio N in quanto in esso ogni elemento n è seguito da un determinato φ(n) = n′, quel

medesimo ruolo viene ad avere, dopo la trasformazione operata da ψ, la rappresentazione θ per le medesime leggi del dominio Ω in

quanto in essa l’elemento ν = ψ(n) che risulta dalla trasformazione di n è seguito dall’elemento θ(ν) = ψ(n′) che risulta dalla

trasformazione n′»101.

2.4. Proprietà assolute e proprietà costruttive

Nell’esposizione che si è fatto fino ad ora non si è tenuto conto di una importante distinzione a cui Carnap fa

spesso riferimento nelle Ricerche e che causa a volte non poche ambiguità. I concetti che vengono definiti nelle

Ricerche, così come i teoremi che vi vengono enunciati, sono presentati in due formulazioni che riflettono concezioni

distinte. Tali concezioni corrispondono al punto di vista assoluto e al punto di vista costruttivo. Tuttavia, nonostante la

99 DEDEKIND, R. (1888): p. 101.100 DEDEKIND, R. (1888): p. 117: «tutti i sistemi semplicemente infiniti formano una classe».101 DEDEKIND, R. (1888): p. 117.

55

presente distinzione, Carnap sottolinea come le Ricerche si pongono in maniera neutrale rispetto alle due concezioni102;

anche se lo stesso Carnap non nasconde la propria predilezione per il punto di vista costruttivo103.

La distinzione sostanziale tra concetti assoluti e concetti costruttivi (da ora in avanti, seguendo la terminologia

carnapiana, rispettivamente, a-concetti e c-concetti) si basa sul fatto che mentre con i primi viene fatto riferimento

all’esistenza di particolari enti o proprietà senza indicarne concretamente le modalità effettive per mezzo delle quali

determinarli, cioè senza indicarne nello specifico i modi mediante cui vengono costituiti; con i secondi, viceversa, viene

fatto esplicito riferimento a tali modalità: l’esistenza di un ente determinato, piuttosto che di una proprietà, può darsi se

e solo se vengono posti dei criteri e dei metodi tali che possano effettivamente dimostrare l’esistenza dell’ente o

proprietà in questione. A riguardo scrive Carnap:

«Un a-concetto non fa alcun riferimento alla conoscibilità, alla rappresentabilità, presuppone in un certo senso un intelletto

onnisciente. Il corrispondente c-concetto, invece, si riferisce ad una costruzione che o può essere effettuata o della quale deve essere

almeno noto che è effettuabile attraverso una procedura data in un numero finito di passi»104.

È importante sottolineare come tali concezioni distinte alle volte possano condurre a differenze sostanziali

rispetto alla determinazione concettuale. Seguendo l’esempio che pone Carnap è possibile cogliere tutto ciò. Si

consideri una certa proprietà P (scritta come funzione proposizionale: f x) considerata dal punto di vista assoluto: a-f; si

consideri anche la classe di tutti gli elementi che godono dell’anzidetta proprietà; si consideri ora la classe

complementare costituita da tutti e soli gli oggetti che non godono della proprietà in questione: a-non-f (la negazione

assoluta di f). È chiaro che tali classi si completano a vicenda in modo tale da formare una disgiunzione completa. In

altre parole, l’universo degli individui può essere ripartito in due classi esaustive e disgiunte tali che per ogni oggetto

dell’universo è determinato se esso appartiene alla classe degli oggetti che godono della proprietà o alla classe

complementare degli oggetti che non godono della proprietà. Per quello che riguarda il medesimo concetto considerato

dal punto di vista costruttivo, invece, non può dirsi lo stesso, ovvero l’universo degli individui non può essere ripartito

in due classi esaustive e disgiunte. Tale ripartizione infatti darà luogo non a due classi ma a tre: oltre alle classi degli

oggetti che godono della proprietà in questione, c-f, e alla classe degli oggetti che non godono di tale proprietà, c-non-f,

vi è anche la classe di quegli oggetti per i quali non risulta possibile stabilire effettivamente se per essi valga o meno la

proprietà in questione. Tale classe determina quegli oggetti per i quali risulta indeterminato se essi godano o meno della

102 Cfr. CARNAP, R. (2014): p. 26.103 CARNAP, R. (2014): p. 26: «Il punto di vista assoluto, al momento attuale, dovrebbe essere probabilmente quello assunto dalla maggior parte dei matematici; tuttavia, quello costruttivo ci sembra essere (su basi logiche e di teoria della conoscenza che non verranno discusse qui) quello corretto».104 CARNAP, R. (2014): pp. 23-24.

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proprietà c-f. È chiaro dunque che non sempre le estensioni dei concetti definiti assolutamente possano coincidere con

quelle dei concetti definiti in termini costruttivi.

Le definizioni cui danno luogo le due diverse concezioni, dunque, sono differenti, sebbene il concetto che si sta

considerando sia il medesimo. A cosa è dovuto tutto ciò? In parte si è già risposto a tale domanda: le definizioni

assolute fanno riferimento all’esistenza senza specificarne le modalità effettive per mezzo delle quali dimostrare

l’esistenza dell’ente o della proprietà. Nel tentativo di caratterizzare la differenza, scrive Carnap:

«Il concetto di “esiste” può essere utilizzato in maniera incondizionata all’interno della definizione di una proprietà. Se una

proprietà sia o meno verificabile per l’intelletto umano, che ragiona in modo discorsivo e che quindi effettua solo un numero finito di

passi in un tempo finito, non è una questione logica, bensì pratica. […] non è che il senso della proprietà dipenda da questa

verificabilità. Gli a-concetti sono perciò sensati.

[…] Un enunciato-“esiste” non è un enunciato proprio, bensì l’astrazione di un enunciato. Un enunciato del tipo “esiste un x

con la proprietà f”, ha in quindi senso solo se è derivato (astratto) da un enunciato come “b ha la proprietà f” (dove b si riferisce a un

determinato oggetto), oppure se viene fornito un metodo attraverso cui un b di questo tipo può essere trovato con certezza in un

numero finito di passi. Se nella definizione di una proprietà viene usato il concetto di “esiste” senza che la condizione illustrata venga

soddisfatta, la proprietà non avrà assolutamente alcun senso; una questione che non può essere decisa in alcun modo, quindi, è priva

di senso. Perciò gli a-concetti sono privi di senso (ad eccezione dei casi in cui a-concetto e c-concetto coincidono); solo i c-concetti

hanno senso»105.

La contrapposizione fra le due prospettive pervade le Ricerche e diventerà particolarmente rilevante quando

Carnap introdurrà il concetto di decidibilità. Per il resto, dato il carattere provvisorio delle Ricerche, va detto che molte

cose rimangono poco chiare e un fondo di ambiguità pervade tutta la trattazione.

105 CARNAP, R. (2014) : pp. 26-27.

57

CAPITOLO QUARTO

PROPRIETÀ GENERALI DI UN SISTEMA ASSIOMATICO

58

Prima di giungere al nucleo centrale della nostra trattazione, vale a dire l’analisi di come un sistema assiomatico

possa caratterizzare univocamente delle nozioni matematiche, occorre soffermarsi su un aspetto generale dei sistemi

assiomatici che per Carnap è centrale. Si tratta della possibilità e dell’opportunità di vedere un sistema finitamente

assiomatizzato come una funzione proposizionale e di conseguenza di considerare i suoi concetti, ed i suoi assiomi

appunto come variabili.

1. Il sistema di assiomi come funzione proposizionale

Come già veniva annunciato nell’articolo del ‘27, Carnap distingue tra due diversi modi di intendere un sistema

assiomatico. Se da un lato si possono considerare i simboli dei concetti primitivi del sistema come dotati di un

significato determinato di un ambito ben preciso, dall’altro lato:

«si possono intendere i concetti primitivi come oggetti e rapporti indeterminati di un ambito indeterminato»106;

Vale a dire si ammette che le interpretazioni di dominio, proprietà, relazioni e funzioni cui si riferiscono gli

assiomi possano variare dando origine a modelli diversi.

È chiaro dunque che stando alla prima concezione un dato sistema di assiomi, sebbene possa avere differenti e

molteplici applicazioni, si rivela come uno strumento che permette di caratterizzare una determinata realtà.

Essendo gli assiomi di una data teoria, e i concetti che in essi compaiono, relativi ad un ambito determinato, tale

sistema assiomatico non potrà che rimanere vincolato alla realtà che specifica. Il secondo modo di intendere un sistema

di assiomi, invece, trattando i concetti che vi compaiono come simboli privi di un significato univocamente determinato

non ha la benché minima necessità di vincolarsi ad un ambito specifico, ad una realtà determinata. Secondo questa

prospettiva la teoria non si occupa di alcunché di determinato, nel senso che non riguarda alcun ambito empirico

specifico, non spiega nessun fenomeno di alcun genere ma questo avviene solo una volta che risulti applicata e

vincolata a particolari universi di interpretazioni nella loro globalità.

Il significato di questa seconda concezione, deriva dal fatto che non si pone alcun vincolo ad una realtà specifica,

si può esprimere dicendo che si indagano solamente ed esclusivamente le proprietà formali che caratterizzano il sistema

106 CARNAP, R. (2014): p. 31.

59

assiomatico a prescindere dalle specifiche realizzazioni di queste proprietà. D’altra parte, è lo stesso Carnap a

sottolineare che:

«Le due concezioni non sono in contraddizione reciproca, anzi sono entrambe legittime. Ma solo la seconda conduce a quella

variabilità di applicazione del metodo assiomatico e dei singoli sistemi di assiomi a cui si deve l’utilità del metodo»107.

In merito alla distinzione Carnap chiarisce che qualora in un sistema assiomatico compaia un simbolo extra-

logico, questo denota, evidentemente, un concetto empirico (definito «simbolo esterno» di un «concetto esterno» del

sistema di assiomi). Carnap intende come costanti logiche solo i simboli della logica in senso stretto (connettivi,

quantificatori, ecc.), i simboli aritmetici (numeri, simboli di operazione, ecc.) e le nozioni insiemistiche fondamentali.

Sono queste le nozioni proprie della Grunddisziplin, anche se Carnap non si sofferma a darne una descrizione definita.

Per concretizzare possiamo immaginare che la Disciplina di Base includa la teoria dei tipi semplici con assiomi come

quello dell’infinito (che permette di costruire i naturali e i reali). Le costanti non-logiche, dunque, sono simboli che

denotano concetti empirici, sono concetti relativi ad un ambito specifico, cioè extra-logico. A tale riguardo, scrive

Carnap:

«Con la presenza di un concetto esterno di un sistema di assiomi, in generale, il sistema di assiomi è vincolato a un

determinato ambito»108.

Da ciò, e da quanto detto in precedenza, segue che il linguaggio della Disciplina di Base risulterà essere un

linguaggio «vuoto», che non fa riferimento ad alcunché di empirico, ossia che non esprime proposizioni riguardanti

alcun ambito determinato del reale, ma fornisce schemi e si realizza mediante funzioni proposizionali che possono

essere interpretate, sostituendo costanti alle variabili in modo diverso109.

Questo riflette l’idea che, nelle ricerche sull’assiomatica generale, concetti primitivi, assiomi, sistemi assiomatici

devono essere analizzati in termini di funzioni proposizionali. Non si tratta, quindi, di enunciati e pertanto non è

possibile assegnare loro un valore di verità in sé e per sé. Tali funzioni proposizionali possono essere al più considerate

come valide o meno in ogni interpretazione ma, dal momento che non esprimono alcun contenuto specifico, ma

solamente formale, il loro significato non può essere considerato vero o falso ma esprime solo una possibilità formale

che diventi vero o falso a seconda dei valori che si assegnano alle variabili.

107 CARNAP, R. (2014): p. 32.108 CARNAP, R. (2014): p. 33.109 CARNAP, R. (2014): p. 33: «Le presenti ricerche concernono, com’è usuale in matematica, solo sistemi di assiomi senza concetti esterni».

60

Resta ora da chiarire come questa prospettiva ci permetta di considerare sistemi di assiomi in cui compaiono

costanti, con un significato fisso e stabilito. È questo il passo decisivo dell’analisi di Carnap, consideriamo una data

teoria formalizzata in cui vengono esplicitate o no le regole di inferenza e in cui viene presentato il linguaggio logico, L,

della teoria, specificato dall’alfabeto logico (i simboli che compaiono), la grammatica (le regole di formazione che

chiariscono quali formule sono da considerarsi formule ben formate, fbf, e in che modo risulta possibile generare tali

formule) e che questo linguaggio sia un frammento della teoria dei tipi come ad esempio i linguaggi del primo e del

secondo ordine. In tale linguaggio gli assiomi della teoria {A1, A2,…Am} hanno la forma logica: A(P1…Pk, a1…an), dove

abbiamo messo in rilievo le costanti che denotano i concetti primitivi usati. Il corrispettivo, tradotto nel linguaggio della

Disciplina di Base, LTT, si otterrà sostituendo alle costanti, predicative ed individuali, le variabili, predicative ed

individuali di tipo e di ordine opportuno. Pertanto, si otterrà una funzione proposizionale della forma: A(X1…Xk, y1…yn).

In base a quanto detto sopra, ogni singolo assioma diventerà così una funzione proposizionale e lo stesso per

ogni enunciato del linguaggio ed ogni sistema assiomatico sarà la congiunzione di più funzioni proposizionali.

Lo scopo della traduzione nella Disciplina di Base è quello di considerare i possibili contenuti che a questa

forma possono essere dati. L’importante è che i teoremi vengono anch’essi considerati come funzioni proposizionali

nelle stesse variabili degli assiomi ed è proprio per questo motivo che vengono definiti conseguenze del sistema

assiomatico e non teoremi.

Tradotto con il linguaggio è possibile chiarire a questo punto classiche nozioni semantiche, come la

soddisfacibilità, la conseguenza logica e la verità in un modello, all’interno della Disciplina di Base. È in questo senso

che la Grunddisziplin costituisce lo sfondo in cui analizzare l’esistenza o meno di contenuti e teorie, i loro rapporti e la

loro univocità.

Data una teoria T e la formula A nel linguaggio della teoria, l’analisi di Carnap mostra quando A è vera in ogni

interpretazione che rende vera T, cioè quando A è sua conseguenza. Secondo lo schema che abbiamo illustrato sopra,

questo avverrà qualora – se indichiamo con T* la congiunzione degli assiomi di T e con A* la formula ove si sia

sostituito alle costanti opportune variabili – sia teorema della Disciplina di Base la forma implicativa

[Implikationsaussage]:

∀x1...xn (T*(x1...xn) → A*(x1...xn)) ;

dove le x indicano le variabili di tipo opportuno che prendono il posto delle costanti nella teoria originaria.

Per chiarire maggiormente il senso della traduzione di una teoria all’interno della Disciplina di Base,

consideriamo ad esempio la teoria T degli ordini lineari con un primo elemento. La teoria avrà nel suo linguaggio una

61

costante individuale «0» per indicare il primo elemento («zero») ed una costante relazionale R per indicare la relazione

d’ordine minore-uguale «≤».

Gli assiomi della teoria saranno:

A1: ∀x R(0, x) ;

A2: ∀x ∀y [R(x, y) ∧ R(y, x)] → x = y ;

A3: ∀x R(x, x) ;

A4: ∀x ∀y ∀z [R(x, y) ∧ R(y, z)] → R(x, z) ;

Infine l’assioma di linearità :

A5: ∀x ∀y R(x, y) ∨ R(y, x).

Indichiamo ora con B(R, 0) la congiunzione finita degli assiomi dove abbiamo indicato le costanti che compaiono.

B*(X, y) sarà la traduzione della formula nel linguaggio della Disciplina di Base, dove X prende il posto della relazione di

minore-uguale R e y il posto del primo elemento 0. Come si vede B* è una formula con variabili libere, ovvero una

funzione proposizionale che non contiene costanti extra-logiche. A questo punto potremo definire che la teoria T è

soddisfacibile (nel linguaggio di Carnap, T non è vacua) se all’interno della Disciplina di Base possiamo provare

l’enunciato:

∃X ∃y B*(X, y)

che afferma che esiste nell’universo una relazione binaria R ed un elemento 0 nel suo dominio che danno origine

a un’interpretazione della teoria che sarà un insieme ordinato. Si noti che come giustamente è stato sottolineato da

Georg Schiemer110 quando si tratta di dimostrare nella Disciplina di Base l’enunciato di sopra, questo avviene

costruendo di fatto, sulla base degli assiomi insiemistici della teoria della Disciplina, la relazione, il suo dominio e

l’elemento del suo dominio che deve costituire l’elemento minimo. Sono queste costruzioni, vale a dire queste

definizioni, che ci permettono di dimostrare la formula esistenziale di sopra.

110 Cfr. SCHIEMER, G. (2010).

62

Discorso analogo nel caso della nozione semantica di conseguenza logica. La nozione «A è conseguenza logica

della teoria T» (T |= A) viene analizzata sostituendo ad A, nel modo di sopra, la sua forma A* e considerando la forma

implicativa (Implikationsaussage) 111:

∀X ∀y [B*(X, y) → A*(X, y)].

Che afferma che in ogni interpretazione la soddisfacibilità degli assiomi implica quella di A. Per brevità

possiamo indicare con una sola variabile R e dire con Carnap che:

«ogni proposizione che viene dimostrata ha la forma f → g, ovvero (R) (f(R) → g(R)); questo però non è un teorema di un

qualche ambito determinato, ma un teorema della Logica, perché compaiono esclusivamente costanti logiche e variabili vincolate»112.

In altre parole: dire che A è conseguenza di T non è altro che affermare che la forma implicativa di sopra è

teorema della Disciplina di Base. Intuitivamente la formula, se è dimostrabile all’interno della Disciplina di Base,

asserisce che ogni modello di B è anche modello di A, dove modello va inteso come interpretazione delle variabili che

soddisfano la funzione proposizionale: un termine che sta per X e un termine che sta per y; dove i termini sono

espressioni ottenute sfruttando le operazioni insiemistiche garantite dagli assiomi della teoria; questo nel caso si parli di

modelli astratti in cui i modelli coincidono con i costrutti logici della tradizione logicista. Per quello che riguarda i

modelli delle teorie empiriche, che Carnap chiama realizzazioni, dove compaiono costanti extra-logiche corrispondenti

ai rispettivi concetti empirici (di uno specifico ambito) della teoria, Carnap cerca di ricondurre tali realizzazioni ai

corrispettivi modelli formali affermando che a ogni realizzazione corrisponde un modello, più precisamente che per

ogni realizzazione esiste un modello con la medesima struttura. Ciò avviene stabilendo una biiezione tra l’insieme totale

e l’insieme dei numeri reali.

In conclusione, leggendo «conseguenza» al posto di «derivabilità»:

«la disciplina deve “sorreggere” contenutisticamente la derivazione dei teoremi che appartengono alle varie teorie

assiomatiche, a partire dai rispettivi gruppi di assiomi. […] Il luogo di derivabilità dei teoremi delle teorie particolari è quindi la

111 CARNAP, R. (2014): p. xxv: «I teoremi delle teorie particolari, visto che in realtà non sono proposizioni ma funzioni proposizionali, non possono essere dedotti in questo senso, ma sono solo conseguenze dei rispettivi gruppi di assiomi attraverso le forme implicative. Ora, le forme implicative sono a tutti gli effetti proposizioni, deducibili quindi nella disciplina attraverso le sue regole di inferenza; d’altra parte, però, non viene mai chiarita la vera natura delle regole di inferenza con cui si dimostrano i teoremi della disciplina. Ciò si riflette nell’ambiguità del concetto di “valere” (gelten), che Carnap usa quando afferma che una certa proposizione vale all’interno della disciplina. È da intendere semanticamente o sintatticamente? Il testo mostra in questo caso, come in altri, tutta la sua provvisorietà e il suo essere sostanzialmente una serie di appunti da sistemare e rifinire».112 CARNAP, R. (2014): p. 37.

63

stessa disciplina di base, perché solo essa può fornire un principio guida cognitivo al nostro operare sui simboli del linguaggio. Da

questo punto di vista, le teorie si devono appoggiare alla metateoria al fine da costituirsi in insiemi di teoremi»113

Torneremo più avanti sulla confusione che il passo citato mostra tra «conseguenza» e «derivabilità»; per ora ci

basta ricordare che, dopo aver definito queste nozioni semantiche fondamentali, Carnap enuncia alcuni teoremi logici

importanti che mettono in relazioni le nozioni introdotte, in particolare quelle di soddosfacibilità e coerenza; dove la

soddisfacibiità di f è espressa dall’enunciato: ∃R f(R); e la coerenza (intesa semanticamente) dall’enunciato:

¬∃g ∀R (f(R) → (g(R) ∧ ¬g(R)).

Carnap prova l’equivalenza delle due nozioni ponendo in luce la base logica del metodo dei contromodelli.

2. Isomorfia di ordine superiore

L’acme delle Ricerche è però costituito dall’analisi di come una teoria può caratterizzare un universo matematico

e al centro di questa analisi sta il concetto di isomorfia.

Se come abbiamo ricordato i postulazionisti americani avevano chiarito il concetto nel caso di interpretazioni del

primo ordine e anche per alcune del secondo, come l’aritmetica e la geometria elementare, rimaneva aperto il problema

di dare una caratterizzazione generale del concetto per teorie in linguaggi più ricchi, che fossero frammenti del

linguaggio della teoria dei tipi. È quello che Carnap cerca di fare nel secondo capitolo delle Ricerche dedicato appunto a

questo tema. La proposta di Carnap non è sviluppata in dettaglio ma si basa su alcune idee che in quegli stessi anni

anche Tarski avrebbe sviluppato. Supponiamo di avere due interpretazioni A e A′ di una stessa teoria in un linguaggio

potente come quello dei tipi, secondo Carnap per dare una definizione adeguata di cosa possa voler dire isomorfia tra A

e A′ occorrono due cose:

(i) stabilire una corrispondenza biunivoca tra il dominio di A e quello di A′. Questo comporta un primo problema.

A priori non è detto che gli individui di A siano dello stesso ordine degli individui di A′. Per Carnap infatti la nozione di

individuo è relativa, nel senso che in certi casi possiamo assumere come individui i numeri naturali, mentre in altri

possiamo ricostruirli sulla base di un concetto assoluto di individuo per cui diventano cardinali di insiemi di individui.

Poiché la definizione e l’analisi di un’eventuale isomorfia da A ad A′ deve avvenire all’interno della Disciplina di Base

e questa utilizza per definire le funzioni predicati che hanno un tipo preciso, la difficoltà che si presenta è che caso per

caso, fissata la corrispondenza in termini intuitivi, potremmo esprime nella Disciplina di Base la sua definizione ma non

113 CARNAP, R. (2014): pp. xxiv-xxv.

64

potremmo darla in generale perché ogni possibile definizione dovrà, proprio perché l’ambiente è quello della

Grunddizsplin, utilizzare una specifica tipizzazione.

Questo problema si porrà negli stessi anni anche a Tarski e Carnap, assieme a Bachmann, lo affronterà

nell’articolo del ’36 sugli assiomi estremali.

(ii) Il secondo problema riguarda invece il modo con cui connettere la biiezione tra gli individui delle due

interpretazioni e quelle che devono collegare gli oggetti di tipo superiore. È chiaro infatti ad esempio che se x è una

relazione n-aria tra individui in A, l’isomorfismo dovrà associarle una relazione n-aria tra individui in A′ in modo tale

che si abbia che R vale tra a1,…,an se e solo se R′ vale tra le immagini di a1,…,an e lo stesso per tipi superiori. L’idea

quindi, che risulta diretta nel caso in cui entrambi i modelli abbiano come individui gli individui assoluti, è di definire le

biiezioni tra oggetti di ogni tipo finito induttivamente, a partire dalle biiezioni tra individui. Limitandosi al caso delle

classi, e quindi delle relazioni unarie, come farà Tarski, una via per fare ciò è la seguente. Posto che f stabilisca una

biiezione f : I → I, dove I è l’insieme degli individui assoluti tale che tutti gli individui di A vanno su individui di A′ e

indicata con fn la biiezione fn : Vn (a) → Vn (a′). La biiezione indotta da f tra gli oggetti di tipo n di A e A′, basterà porre

per n+1, se x ⊆ Vn (a) allora fn+1(x) = {fn a | a ∈ x}.

Le difficoltà cominciano se gli individui di A e A′ non sono dello stesso tipo. È a questo scopo che Carnap

introduce il concetto di isomorfia al q-esimo ordine, dove q è un numero naturale. Come egli dimostra è sempre

possibile, nel caso di strutture omogenee, cioè tra oggetti dello stesso tipo, trovare un correlatore (una relazione

funzionale) per cui le due strutture A e A′ sono isomorfe rispetto ad una biiezione indotta da una biiezione su opportuni

domini assunti come domini di individui, in modo che entrambe le strutture siano di q-esimo ordine.

Si giunge così alla seguente definizione, che ammette due formulazioni:

«Definizione 2.8.1. Prima formulazione: siano R 1 e R2 modelli ammissibili per il sistema di assiomi fR, la cui variabile per

modelli R sia di q-esimo ordine; allora, R 1 e R2 si definiscono “isomorfi al q-esimo ordine” se esiste un correlatore al q-esimo ordine

tra R 1 e R2.

Seconda formulazione: siano (P1, Q1,…) e (P2, Q2,…) modelli ammissibili per il sistema di assiomi f(P, Q, R); sia p il

maggiore tra i numeri di ordine della relazioni primitive P, Q,…; allora (P1, Q1,…) e (P2, Q2,…) si definiscono “isomorfi al p + 1-

esimo ordine” se c’è una relazione biunivoca A del seguente tipo: per ogni relazione primitiva R del sistema di assiomi il cui numero

d’ordine è r e il cui valore è R1 nel primo modello e R2 nel secondo, c’è una relazione B che è sopttorelazione di A e che è un

correlatore al r-esimo ordine tra R1 e R2»114.

114 CARNAP, R. (2014): pp. 53-54.

65

La cosa importante è che Carnap è perfettamente consapevole che in questo modo la nozione data di isomorfia

non cattura in modo adeguato quella intuitiva, una volta che non si ponga già nella definizione di relazione funzionale

un vincolo sul tipo di argomenti e valori, come ad esempio per la teoria assiomatica degli insiemi di Zermelo. La

definizione di isomorfia che egli può dare è sempre relativa ad un tipo specifico, che dipende dalle interpretazioni in

oggetto. Pertanto, due strutture saranno isomorfe se e solo se saranno isomorfe al q-esimo ordine, per un qualche q.

Detto questo, Carnap afferma che si può dimostrare che anche l’isomorfia di ordine superiore è una relazione di

equivalenza, ovvero che per essa valgono le proprietà della riflessività, della simmetria e della transitività.

3. Assiomi formali e assiomi materiali

A questo punto, la nozione di isomorfia di ordine superiore, illustrata precedente, ci consente di fondare una

distinzione che Carnap aveva già utilizzato e che può precisare formalmente, quella tra assiomi formali e assiomi

materiali. Intuitivamente, un assioma è formale se coglie una proprietà strutturale e quindi può essere soddisfatto dai

modelli diversi per contenuto ma «strutturalmente» identici. All’opposto si dice che un assioma è materiale se esprime

una proprietà contenutistica, specifica di un dato modello, e che quindi proprio per ciò risulta valido in certi modelli ma

non in altri, per strutture simili.

Come rendere utilizzabile l’idea intuitiva? Carnap, seguendo in questo Huntington, risponde utilizzando la

nozione di isomorfismo: formali sono le proprietà la cui soddisfacibilità viene preservata passando da

un’interpretazione ad un’altra isomorfa. In termini generali:

«Un assioma fR, la cui variabile per modelli sia di q-esimo ordine, si definisce “formale” se ogni modello ammissibile A che

sia isomorfo al q-esimo ordine a un modello B di f è anche modello di f. Quindi, che fR è formale si esprime in formule nel seguente

modo, se indichiamo il numero d’ordine di R con q:

(P,Q) [(fP & Ismq (Q ,P) → fQ]»115.

Mentre per quel che riguarda la nozione di assioma (o sistema di assiomi) materiale:

«Se fR non è formale, si definisce “materiale”; quindi, che fR è materiale si esprime così (dove, come prima, la proposizione

universale negata viene trasformata in una proposizione esistenziale):

(∃P,Q) [Ismq(P,Q) & fP & ¬ fQ].

115 CARNAP, R. (2014): p. 66.

66

In altre parole: un sistema di assiomi fR con una variabile per modelli di q-esimo ordine si definisce “materiale” se ci sono

un modello P e un non modello Q isomorfi al q-esimo ordine»116.

116 CARNAP, R. (2014): pp. 66-67.

67

CAPITOLO QUINTO

MONOMORFIA E RAMIFICABILITÀ

Eccoci giunti, finalmente, al nucleo centrale delle Ricerche. Tutta la trattazione che è stata svolta fino ad ora

mirava già dall’inizio a questo punto. Le questioni teoriche più importanti affrontate nelle Ricerche, infatti, sono, da un

68

lato, i tre diversi modi di definire la proprietà della completezza di una teoria finitamente assiomatizzata117 e, dall’altro

lato, l’analisi dei rapporti tra queste definizioni; in particolar modo i legami che sussistono tra monomorfia e non-

ramificabilità, in termini moderni tra categoricità e completezza semantica.

L’affermazione della coincidenza delle estensioni di tali concetti, vale a dire la loro equivalenza logica, è quanto

enunciato dal Teorema di ramificabilità (Gabelbarkeitssatz), il risultato centrale delle ricerche.

1. I tre significati della nozione di completezza di un sistema di assiomi

Prima di esaminare i tre modi di definire la completezza che Carnap propone è importante ricordare che egli non

era il primo a proporre tali definizioni. La stessa terminologia, infatti, era dovuta ad A. A. Fraenkel che la introduce

nella sua Einleitung in die Mengenlehre del 1919. Tuttavia, Carnap ha senz’altro il merito di presentare tali definizioni e

lo studio dei loro rapporti in termini generali.

È opportuno precisare, tuttavia, che la questione circa la completezza semantica delle teorie formalizzate era un

tema dominante nel periodo in questione (anni ’20 – ’30). C’è un punto fondamentale da tenere presente se vogliamo

comprendere le ambiguità che il discorso di Carnap presenta rispetto alle prospettive della logica attuale. Come già

abbiamo ricordato, Carnap spesso confonde conseguenza con derivabilità, così come molti dei suoi contemporanei e

spesso la sua nozione di dimostrabilità oscilla tra il «poter provare in qualche modo che», e questo accade soprattutto

quando parla della decidibilità, e «provabile», nel senso hilbertiano, all’interno di uno specifico sistema deduttivo.

Questa confusione si riflette anche nei rapporti tra i concetti di non-ramificabilità e decidibilità in quanto a volte Carnap

considera tali nozioni come se fossero la stessa cosa, almeno in una prospettiva assoluta, dando così per scontata

l’equivalenza tra conseguenza e dimostrabilità. Se intendiamo la dimostrabilità nel senso hilbertiano, come

dimostrabilità entro uno specifico sistema deduttivo, non c’è a priori nessuna garanzia che questo sia vero ed il

problema era già stato posto da Hilbert ed Ackermann nella loro opera del 1928 Grundzuge der teoretischen Logik:

«Se il sistema di assiomi sia completo nel senso che da esso tutte le formule universalmente valide per ogni dominio di

individui possono essere derivate è ancora un problema non risolto»118.

117 A tale proposito Carnap parla di «tre strade diverse» per definire tale nozione, in CARNAP, R. (2014): p. 69.118 LOLLI, G. (2011): p. 111.

69

Nel 1929 Gödel dimostrerà che l’equivalenza c’era nel caso delle teorie al primo ordine ma il suo teorema di

incompletezza del 1932 avrebbe provato che non c’era d’aspettarsi un risultato simile né per le teorie al secondo ordine

né per quelle espresse nel linguaggio della teoria dei tipi.

Altro è l’orizzonte di Carnap nelle Ricerche. Il problema in gioco è legato al modo in cui una teoria caratterizza

i propri concetti, ovvero gli oggetti, le relazioni e le operazioni che la riguardano. La constatazione di partenza, infatti, è

che un insieme di assiomi può caratterizzare una determinata struttura in diversi modi. Non si prenderà in

considerazione il caso in cui tale caratterizzazione non avviene, vale a dire quando tale insieme non caratterizza alcuna

struttura. Questo caso, infatti, sta a significare che il sistema di assiomi è contraddittorio e dunque, sul piano semantico,

non è soddisfacibile, il che significa che la teoria formalizzata, a cui il sistema di assiomi fa riferimento, non ha alcun

modello che la soddisfi.

La caratterizzazione più forte a cui può dare luogo una teoria è quella in cui tutti i suoi modelli si dimostrano tra

loro isomorfi. Chiaramente, è questo il caso della categoricità, indicata da Carnap col termine monomorfia

(Monomorphie), che sta ad indicare il caso in cui una teoria caratterizzi un solo modello a meno di isomorfismo. La

definizione che ne dà Carnap è la seguente:

«Un sistema di assiomi si definisce “monomorfo” se gli appartiene un’unica struttura»119;

in termini formali: ∃f ∀P ∀Q ((fP ∧ fQ) → Ism(P,Q)), dove f rappresenta un sistema di assiomi e P e Q sono suoi

modelli.

Più debole della categoricità, o monomorfia, è la completezza semantica chiamata da Carnap non ramificabilità

(Nicht-Gabelbarkeit). La completezza semantica è una proprietà metateorica fondamentale in quanto dà informazioni

importanti sulla «capacità descrittiva» della teoria. Secondo questa proprietà, infatti, una teoria è semanticamente

completa se per ogni formula del linguaggio della teoria essa, o la sua negazione, è conseguenza degli assiomi della

teoria, equivalentemente se tutti i suoi modelli rendono vere le stesse formule. La completezza semantica rivela la

completa adeguatezza della scelta degli assiomi allo scopo, ovvero quello di avere come conseguenze tutte le possibili

formule che risultino vere in un’interpretazione della teoria. Se una teoria, infatti, è completa tutte le interpretazioni

renderanno vere o la formula o la sua negazione. La definizione che dà Carnap è la seguente:

«un sistema di assiomi si definisce “non ramificabile” se non è possibile una ramificazione»120.

119 CARNAP, R. (2014): p. 69.120 CARNAP, R. (2014): p. 69.

70

Esempio di una teoria ramificabile è, ad esempio, la geometria euclidea senza l’assioma delle paralle (V

postulato di Euclide) la quale ammette sia modelli con tale assioma (la geometria euclidea appunto), sia modelli con la

negazione di tale assioma (le geometrie non-euclidee). A tale riguardo, in particolare, Carnap porta la definizione

formale di ramificabilità:

«diciamo che fR è “ramificabile in” gR se f è compatibile con g e con ¬g, e g è formale.

[…] Definiamo fR “ramificabile” se esiste un gR tale che f è ramificabile in g. Il criterio positivo per la c-ramificabilità

consiste quindi nell’esibire una siffatta g»121.

Si considera infine il corrispettivo sintattico della nozione precedente, ovvero la completezza sintattica (o

completezza deduttiva), indicata da Carnap col termine Eintscheidungsdefintheit e corrispondente all’italiano

«decidibilità». Tuttavia, è opportuno precisare che mentre per le precedenti definizioni una corrispondenza con le

nozioni contemporanee risulta non solo possibile ma pienamente legittima, lo stesso non può dirsi per questo caso.

Sebbene Carnap sia consapevole della distinzione tra piano sintattico e semantico, non sono rari i casi in cui, come già

detto in precedenza, egli utilizzi il termine con una certa ambiguità, vale a dire attribuendogli una valenza semantica,

cioè facendo riferimento alla completezza semantica (non ramificabilità). Detto ciò, la completezza deduttiva afferma

che una teoria è sintatticamente completa se dai suoi assiomi è derivabile, per ogni formula φ nel linguaggio della

teoria, o φ o la sua negazione, ¬φ. La definizione che dà Carnap è la seguente:

«un sistema di assiomi è “decidibile” se, per ogni funzione proposizionale nelle stesse variabili, vale che o essa stessa o la sua

negazione è una conseguenza del sistema di assiomi»122.

2. Il teorema di ramificabilità

Dopo aver indicato le tre differenti modalità attraverso le quali una teoria può caratterizzare i propri modelli,

risulta possibile considerare i rapporti che sussistono tra tali definizioni.

Il teorema di ramificabilità costituisce, o meglio vorrebbe costituire, l’affermazione dell’equivalenza logica di

monomorfia e non ramificabilità:

121 CARNAP, R. (2014): pp. 73-74.122 CARNAP, R. (2014): pp. 73-74.

71

« Terema 3.4.10. I concetti “monomorfo” e “non ramificabile” sono equivalenti»123;

in termini moderni, come è già stata ripetuto più volte, il teorema afferma l’equivalenza delle corrispondenti

nozioni odierne di categoricità e completezza semantica.

Tale equivalenza si spezza quindi in altri due enunciati: da un lato l’affermazione che ogni sistema assiomatico

che sia categorico sia anche semanticamente completo (teorema 3.4.8.); dall’altro lato che ogni sistema di assiomi

completo dal punto di vista semantico sia anche categorico (teorema 3.4.9.). La lettura secondo questo verso della

doppia implicazione che afferma l’equivalenza delle due nozioni è quella che viene riconosciuta in letteratura col nome

di congettura Fraenkel-Carnap.

Il primo dei due enunciati stabilisce un fatto assodato della logica odierna per ampie classi di teorie al primo

ordine, al secondo ordine e nella teoria dei tipi, e cioè che ogni teoria categorica è anche semanticamente completa;

questo perché la caratterizzazione che garantisce la categoricità – ovvero l’identità strutturale di tutti i modelli della

teoria – è molto più stringente di quella realizzata dalla completezza semantica – vale a dire l’equivalenza dei modelli di

una data teoria, ovvero il fatto che dall’insieme di enunciati che stanno alla base di una determinata teoria seguono

logicamente le medesime proposizioni –. Diverso è il caso per l’implicazione inversa per cui è sufficiente che una teoria

finitamente assiomatizzata sia semanticamente completa per essere categorica. In termini intuitivi, se fosse vero ciò,

equivarrebbe ad affermare che è sufficiente che due ambiti di realtà risultino «descrivibili» negli stessi termini per

affermare che sono strutturalmente indiscernibili. La validità della congettura Fraenkel–Carnap è vincolata a certi

aspetti. Già al tempo di Carnap, infatti, si sapeva che una teoria, espressa al primo ordine, semanticamente completa se

ha un modello finito allora è anche categorica, ma che se ha almeno un modello infinito avrà modelli di cardinalità

differenti e quindi non isomorfi tra loro. L’equivalenza tra le due definizioni di completezza è pertanto falsa. Perché

Carnap giunge allora ad affermarla per le teorie di ordine superiore? Su quali presupposti teorici si basa? E perché è

così importante per Carnap?

Come è già stato detto più volte in precedenza l’intento che muove Carnap, retaggio della sua formazione

avvenuta con Frege a Jena e quindi della conseguente permanenza di un «residuo logicista» nella sua impostazione, è

quello di caratterizzare univocamente concetti e ovviamente, come già si è visto, tale strada può percorrersi lungo due

vie: definendo esplicitamente singoli concetti oppure procedendo in termini strutturali, vale a dire definendo

strutturalmente i concetti che stanno alla base di una data teoria, cioè isolando una classe di interpretazioni124. Va da sé

che Carnap risulta interessato al modo più forte che si ha di caratterizzare una teoria, ovvero quando questa si dimostra

123 CARNAP, R. (2014): p. 80.124 Come già è stato rilevato in precedenza le due modalità di dare definizioni, caratterizzano concetti che non risultano equiparabili tra loro, in quanto i concetti definiti mediante un sistema assiomatico corrispondono a concetti di ordine superiore rispetto a quelli definiti esplicitamente.

72

categorica; appunto perché secondo l’impostazione dell’autore delle Ricerche ciò che conta è definire concetti in

termini rigorosi. A tale proposito rileva Schiemer che:

«The principle objective [of the Untersuchungen] is to provide formal explications, i. e. “precise definitions for the concepts”

used in axiomatics in formal framework and not a Fregean reduction»125;

e più avanti:

«The generalized account of logical concepts is almost per definition conceptually tied to a logicist and thus reductive

approach. The whole idea of classying mathematical terms like ‘number’, ‘succsessor’, ‘point’, ‘between’ etc. as logical notions as

Carnap grounded on the idea that they can be defined in proper logic.

[...]

It is precisely this condition of logical concepts that also seems to underlie Carnap’s conception of the “basic discipline” in

Untersuchungen: according to it, a sign is logical if is primitively (or genuinely) logically or can be defined in terms of genuinely

logical expressions»126.

È per tale ragione, quindi, che Carnap è così fortemente interessato a quali siano le condizioni necessarie

affinché una teoria possa dirsi categorica. Resta da considerare ora su quali basi sia possibile affermare l’equivalenza

delle nozioni in questione. L’argomentazione di Carnap muove dal seguente teorema:

«Teorema 3.4.1. Prima parte. Ogni sistema di assiomi polimorfo è ramificabile»127.

Supponiamo che esistono due modelli R1 ed R2 del sistema assiomatico f che non sono isomorfi tra loro. In base

al teorema deve esistere una proprietà strutturale (o formale) che si applica ad uno dei modelli ma non all’altro e perciò

il sistema di assiomi f ramifica in riferimento ad una data proprietà e quindi in un dato assioma g.

Senza soffermarsi, per il momento, sui problemi lasciati aperti da tale teorema, Carnap prosegue dimostrando

l’implicazione nell’altro verso, che – come abbiamo sottolineato sopra – è del tutto plausibile:

«Teorema 3.4.3. Seconda parte. Ogni sistema di assiomi ramificabile è polimorfo »128.

125 SCHIEMER, G. (2010): p. 34.126 SCHIEMER, G. (2010): pp. 39, 40.127 CARNAP, R. (2014): p. 75.128 CARNAP, R. (2014): p. 77.

73

Anche in questo caso la dimostrazione si basa sul fatto che esiste una funzione proposizionale g nelle stesse

variabili tale che sia formale e che il sistema di assiomi f sia compatibile sia con g che con ¬g, ossia tale che risultino

soddisfacibili sia f ∧ g che f ∧ ¬g. Dal momento che, presi due modelli qualsiasi di f R1 ed R2, g si applica ad un

modello ma non all’altro, questi risulteranno tra loro non isomorfi e quindi si avrà dimostrato che il sistema di assiomi f

è polimorfo.

Dai teoremi sopraccitati (3.4.1. e 3.4.3.) segue:

«Teorema 3.4.5. (Teorema di ramificabilità [Gabelbarkeitssatz]) I concetti “polimorfo” e “ramificabile” sono

equivalenti»129.

A questo punto Carnap può affermare, per contrapposizione, che:

a) «Teorema 3.4.8. Ogni sistema di assiomi monomorfo è non ramificabile»130;

b) «Teorema 3.4.9. Ogni sistema di assiomi non ramificabile è monomorfo »131;

Anche in questo caso, da questi due enunciati segue il teorema 3.4.10. di cui si diceva all’inizio di questo

paragrafo.

Ciò che più preme sottolineare è che in tutte queste dimostrazioni, il ruolo principale è svolto dalla nozione di

funzione proposizionale g la quale, essendo formale, ha il compito di cogliere la struttura di un dato modello del sistema

di assiomi f. Affermare che f è polimorfo è equivalente a dire che esiste una tale funzione proposizionale g che consente

di ramificare e di ottenere i due modelli che si stanno cercando R1 ed R2, non isomorfi tra loro. All’opposto, affermare

che il sistema di assiomi f non è polimorfo (cioè che f è monomorfo) equivale a dire che tale funzione proposizionale g

non esiste.

La validità del teorema dipende dalla possibilità di indicare una proprietà di questo tipo. Tale proprietà viene

caratterizzata da Carnap come quella di:

«possedere la struttura di R1»132,

129 CARNAP, R. (2014): p. 79.130 CARNAP, R. (2014): p. 79.131 CARNAP, R. (2014): p. 79.132 CARNAP, R. (2014): p. 76.

74

dove R1 rappresenta una variabile per modelli; o anche in questa seconda formulazione:

«essere isomorfo a R1»133.

In termini formali:

(D) gR =Df Ismq(R, R1).

Il nodo problematico del teorema di ramificabilità è dato dal fatto che si passa indebitamente dall’affermare che

un dato sistema assiomatico f presenti modelli non isomorfi – cioè che sia polimorfo – all’affermazione che questi

modelli non saranno equivalenti, affermazione che di fato presuppone l’esistenza nel linguaggio di proprietà che

esprimono l’identità strutturale.

Come è stato rilevato da diversi studiosi, Carnap assume implicitamente che tale proprietà, come ogni proprietà

del resto, sia definibile nella logica della Disciplina di Base:

«Carnap implicitly assumes that, for any model M, “being isomorphic to M” is expressible in the simple theory of types. This

assumes that any model M is definible in simply type theory, which is not true as became clear after Carnap’s work»134.

Tale assunzione, che viene intesa come ipotesi del logicismo (il termine è di Hasso Härlen135) o presupposto di

definibilità (definibility assumption), stabilisce che tutti i modelli di un qualunque sistema assiomatico sono definibili

nel linguaggio della Disciplina di Base:

«(DA) All models of a given axiom system are expressible in the “basic discipline” in the sense that all constitutive parts

(sets, relations, and individual constants) of a model are named by constant expression of STT. These constants are (i) either

conventionally fixed to be part of basic vocabulary or are (ii) introduce via explicative definitions in pure STT»136.

Affermare l’esistenza di un dato modello R che presenti la proprietà «essere isomorfo a R1» ci costringe a

domandarci che cosa sia modello per Carnap. La concezione che egli ha diverge da quella odierna, per Carnap infatti le

interpretazioni di un insieme di assiomi f(R) sono i valori assegnabili alla variabile R . Essendo R la congiunzione di

133 CARNAP, R. (2014): p. 76.134 SCHIEMER, G. (2010): p. 27.135 SCHIEMER, G. (2010): p. 26: «The existence of a cases of application [is here] equivalent to the sentences of models. This claim is hypotetical; I would like to name it hypotesis of logicism: that no structure can be described axiomatically if it is not already describable in logic».136 SCHIEMER, G. (2010): p. 41.

75

più variabili (r1,…,rn), un’interpretazione R1 sarà una n-pla di relazioni del tipo (R1,…,Rn), in cui ogni Ri sarà un valore

possibile della variabile r. In altre parole, le interpretazioni vengono descritte come insiemi di costanti.

Resta da capire a questo punto cosa intende Carnap per costante logica? Anche in questo caso la nozione che

egli presenta diverge da quella odierna. Scrive infatti Carnap nel secondo capitolo delle Ricerche:

«Oltre alle variabili, in un sistema di assiomi compaiono però anche costanti, cioè simboli con un significato determinato.

Precisamente possono comparire sia costanti logiche che non logiche. Con “costanti logiche” intendiamo tutti i simboli della

disciplina di base, quindi sia i simboli della logica in senso stretto (per esempio: &, →, ∃ ecc.) che i simboli aritmetici (per esempio:

1, 2, + ecc.). Le costanti non logiche sono simboli per concetti empirici, concetti di un ambito specifico (extra-logico) (per esempio:

cavallo, punto dello spazio, grande ecc)»137.

Per Carnap si intendono come costanti logiche sia i simboli logici, sia i simboli aritmetici, sia i simboli della

teoria degli insiemi e, infine, sia i simboli che denotano variabili per relazioni138. In questo modo la classe dei possibili

modelli di una teoria viene ristretta a quei modelli che risultano esprimibili nel linguaggio della Disciplina di Base139;

ed è proprio in questo modo che risulta possibile presentare un tale funzione proposizionale g definita come sopra.

È sulla base di queste considerazioni, pertanto, che risulta legittimo sollevare dei dubbi circa la validità della

dimostrazione che dà Carnap: davvero il nostro autore riesce a dimostrare ciò che si proponeva? Stando a quanto detto

prima non sembrerebbe, in quanto la costruzione di una funzione proposizionale g con le caratteristiche indicate in

precedenza risulta possibile solo sulla base di quel presupposto di definibilità che Carnap assume, oppure in una lettura

dei quantificatori ∀, ∃ che li limita ad oggetti che sono in qualche modo definibili. In questo senso c’è una circolarità

dal momento che viene già assunto ciò che si vuole dimostrare.

Da quanto detto fino ad ora possiamo concludere che il teorema non può considerarsi valido in generale e quindi

non offre una soluzione positiva circa la chiarificazione del rapporto sussistente tra categoricità e completezza

semantica. Come scrive Marco Varasi nell’introduzione dell’edizione italiana delle Ricerche, riproponendo la tesi di

Schiemer:

«La debolezza della dimostrazione del teorema di ramificabilità sta dunque nel suo fondarsi sulla particolare semantica delle

teorie assiomatiche assunta da Carnap. Tale dimostrazione sfrutta, nella costruzione della funzione proposizionale in cui un sistema

di assiomi polimorfo ramifica, l’ipotesi aggiuntiva che le possibili interpretazioni di un SA ricondotto alla metalogica siano esse

137 CARNAP, R. (2014): p. 33.138 SCHIEMER, G. (2010): pp. 37-38.139 SCHIEMER, G. (2010): p. 40: «It effectively restricts the class of possible model of a theory to those expressible in his background logic. [...] The real impact of (DA) is thus not on the level of concrete model construction (“Modellaufweis”) but on the more general level when the class of models of an axiom system is discussed».

76

stesse interpretazioni logiche. Il teorema non è quindi valido in generale e non può essere considerato una risposta conclusiva al

problema dei rapporti tra categoricità e completezza semantica nella logica di ordine superiore; tuttavia si pone storicamente come il

risultato pionieristico a cui si è ispirato un filone di ricerche, che ha mostrato un rinnovato interesse verso queste tematiche e che ha

cercato almeno in parte di precisare e di riflettere sulla questione nei termini della logica odierna»140.

140 CARNAP, R. (2014): p. xxxv.

77

CONCLUSIONI

78

Scopo della presente ricerca era, oltre ad analizzare gli aspetti più tecnici delle Ricerche sull’assiomatica

generale di Carnap, quello di far emergere la peculiarità di quest’opera come tentativo di sintesi tra approccio logicista

e metodo assiomatico moderno. Da questo punto di vista, più che concentrarsi sulle risposte a cui si è giunti, conviene,

forse, porre maggiormente attenzione agli interrogativi, o meglio ai problemi, che stanno alla base del lavoro

considerato, nella consapevolezza che nelle scienze come in filosofia sono le domande, le questioni che non hanno

trovato ancora risposta, che permettono di dare nuova spinta al pensiero ed alla ricerca. Proprio per questa ragione, in

conclusione del nostro discorso, ci è sembrato maggiormente proficuo riflettere sui problemi da cui è partito Carnap

nelle proprie Ricerche.

Su tutti, senza dubbio una posizione di rilievo ha la questione della definibilità. La distinzione tra concetti propri

ed impropri, ossia tra definizioni esplicite e definizioni implicite, riportata dapprima nell’articolo del 1927 ma presente

anche nelle Ricerche, mostra come Carnap fosse consapevole della possibilità di definire i concetti in un modo diverso

rispetto a quello indicato dal logicismo. La questione che pertanto soggiace a tale distinzione è legata alle modalità di

definizione. Cosa significa definire? Espressa in questi termini, la questione può apparire decisamente troppo generica,

tuttavia, in relazione alla presentazione di una teoria deduttiva, essa riflette due questioni fondamentali che in qualche

modo sono collegate tra loro: il problema della definibilità e della mutua indipendenza dei concetti, ovvero la

definizione e la scelta dei concetti primitivi di una teoria, e il problema della completezza dei concetti, ossia la

questione legata alla completezza di una teoria. Ciò che muove Carnap è la caratterizzazione univoca dei concetti,

poiché uno degli aspetti che contraddistingue una trattazione scientifica è quello di servirsi di definizioni chiaramente

determinate, ossia il riferimento a concetti che non siano ambigui. Come si è visto, tale obbiettivo può realizzarsi,

secondo Carnap, lungo due vie. Da un lato, per quello che riguarda i singoli concetti, definendoli esplicitamente entro la

teoria in cui ci si muove, vale a dire ponendo un nuovo segno (definiendum) accanto ad altri già noti (definiens).

Nell’impostazione logicista, l’idea è di definire tutti i concetti in termini logici, individuando nella logica (intesa come

unico sistema all’interno del quale si svolgono tutte le deduzioni) il livello di giustificazione più saldo. Dall’altro lato,

per quello che riguarda le definizioni implicite, ovvero le definizioni mediante assiomi, emerge il problema di

individuare quelle condizioni formali, stabilite appunto dagli assiomi, che risultino necessarie e sufficienti al fine di

caratterizzare una classe di interpretazioni capace di soddisfare gli assiomi della teoria. In entrambi i casi, come si

diceva prima, ciò che conta è la caratterizzazione univoca che si realizza, per i concetti, definendo univocamente la loro

estensione, mentre per i sistemi assiomatici (cioè per la teorie) individuando il numero minimo di condizioni formali

necessarie e sufficienti per caratterizzare l’universo matematico che la teoria deve descrivere. Nel primo caso, per i

concetti, risulta chiaramente determinato se per ogni oggetto esso appartiene o meno al concetto in questione, mentre

nel secondo caso, cioè per i sistemi assiomatici completi, risulta chiaramente determinato se ogni enunciato nel

79

linguaggio della teoria è conseguenza o meno dei suoi assiomi e se questi assiomi determinano univocamente l’universo

inteso. Oltre alla completezza (semantica), Carnap considera anche la caratterizzazione più forte, vale a dire la

categoricità, ossia quando una teoria caratterizza un solo modello a meno di isomorfismo, ed indaga i rapporti tra tali

nozioni.

Inoltre, il tentativo di condurre un’analisi delle diverse teorie ponendosi da un punto di vista generalissimo,

prescindendo così dall’indagine sui contenuti specifici (materiali) propri di ogni teoria per limitarsi solamente ai loro

aspetti strutturali (formali), consente di dare risposte a questioni relative alle teorie stesse, questioni che noi oggi

possiamo definire meta-teoriche. Stando a questa prospettiva non vi è teoria assiomatica che possa sottrarsi a questa

analisi, ed è proprio in ciò che emerge la validità filosofica della ricerca carnapiana. Se consideriamo la filosofia come

quella disciplina volta a fornire spiegazioni che siano quanto più generali, o meglio universali – poiché a causa della

generalità da cui muove le proprie argomentazioni giunge ad un livello fondamentale, necessario (in quanto implicato

da ogni prospettiva) – allora alle Ricerche può a buon diritto essere assegnata una valenza filosofica.

Le Ricerche, nelle intenzioni di Carnap, devono sviluppare un’indagine sulle teorie considerate in termini

generali. Come abbiamo potuto vedere, infatti, la traduzione di una specifica teoria assiomatica nel linguaggio della

Disciplina di Base avveniva sostituendo alle costanti extra-logiche della teoria, le opportune variabili nel linguaggio

della Disciplina Fondamentale. Ciò aveva la conseguenza che il sistema assiomatico non si limitava più all’ambito

specifico cui faceva riferimento prima della traduzione, divenendo per così dire uno schema di teoria. Chiaramente

emergeva qui la questione legata a come intendere una teoria. Il problema in questo senso non era prerogativa di

Carnap. Risulta difficile infatti, a tale riguardo, non fare riferimento alla comunicazione realizzata da Alessandro Padoa

al Congresso internazionale di filosofia di Parigi del 1900, Essai d’une théorie algébrique des nombres intiers, précédé

d’une introduction logique à une théorie déductive quelconque. Già in questa relazione possiamo trovare traccia di

questo nuovo modo di intendere le teorie. Ciò che conta sottolineare di questa nuova lettura sta nel fatto che gli aspetti

logici acquistano indipendenza nei confronti di altri aspetti, come ad esempio questioni di carattere empirico o

psicologico legate alla teoria, al punto che risulta possibile soffermarsi solamente su primi.

Non da ultimo si devono riconoscere i meriti più diretti delle Ricerche, ovvero lo studio dei rapporti tra

completezza (semantica) e categoricità. Ai tre differenti modi di definire la completezza (completezza semantica,

categoricità, decidibilità), per Carnap, dà una risposta il teorema di ramificabilità, la cui rilevanza nasce dal fatto che,

come abbiamo cercato di far emergere dalla nostra trattazione, esso permetterebbe di dimostrare come, sia che si parta

dalle formule dimostrabili, sia che si consideri l’indiscernibilità delle strutture dal punto di vista linguistico o strutturale,

i criteri di descrizione univoca sono sempre equivalenti tra loro, purché si usino linguaggi sufficientemente potenti,

come quello dei tipi. Da questo punto di vista il teorema di ramificabilità costituirebbe la prova della capacità della

80

teoria dei tipi – vista come logica generale – di considerare quando una teoria caratterizza o meno il suo universo di

discorso.

81

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