EXAMÉN DE GRADO NIVEL LICENCIATURA

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS

FACULTAD TÉCNICA CARRERA DE TOPOGRAFÍA Y GEODESIA

EXAMÉN DE GRADO

NIVEL LICENCIATURA

“DISEÑO, OBSERVACIÓN, CÁLCULO Y AJUSTE PARA LA

OBTENCIÓN DE COORDENADAS UTILIZANDO UN CUADRILÁTERO

A PARTIR DE UNA BASE GEODÉSICA DE CUARTO ORDEN”

POSTULANTE : HERMO HUAYTA COPA

LA PAZ – BOLIVIA

2011

AGRADECIMIENTOS

En primer lugar deseo agradecer a toda mi familia, en

especial a mis queridos padres que gracias a ellos estoy

logrando una de las metas más importantes de mi vida.

También hago llegar mis agradecimientos a Lic. Daniel

Flores Vargas y Lic. Reynaldo Sirpa Ticona, Docentes de

la Carrera de Topografía y Geodesia, por sus valiosas

sugerencias para la realización del trabajo de campo y

elaboración del presente informe.

Agradecer a todo el plantel docente y administrativo de la

Carrera de Topografía y Geodesia por haberme acogido,

instruido y formado

RESUMEN

El presente informe de Trabajo de Aplicación, describe de manera detallada el diseño,

observación, cálculo y ajuste para la obtención de coordenadas utilizando un

cuadrilátero a partir de una base geodésica de cuarto orden, y para la determinación de

la tercera coordenada (altura sobre el nivel medio del mar H, y altura elipsoidal h)

utilizando nivelación trigonométrica reciproca.

El trabajo de aplicación en campo fué desarrollado en la ciudad de La Paz, tomando

como vértices del cuadrilátero cuatro puntos de la red Geodésica de la ciudad de La

Paz, que se encuentran en cuatro diferentes zonas, en el cual se eligió la base

geodésica a partir de las puntos P27 y P28.

Durante el trabajo de campo se realizó la observación y/o lectura de los ángulos

horizontales internos del cuadrilátero en posición directa e inversa y sus

correspondientes cierres angulares con un número de series igual a cuatro. La lectura

de ángulos zenitales se la realizó en posición directa e inversa con un número de

series igual a dos.

Con la información recopilada en campo se realiza el ajuste y corrección por mínimos

cuadrados para los ángulos horizontales, mientras que con los ángulos zenitales se

obtiene solo en promedio un valor angular.

Concluido el ajuste y corrección de los ángulos internos del cuadrilátero, se emplea el

teorema de Legendre para la obtención de ángulos esféricos a partir de ángulos planos

corregidos. Con los ángulos esféricos calculados se procede a determinar las

coordenadas geodésicas empleando el problema directo de la geodesia.

Mientras que para la determinación de la alturas (H y h) se realiza empleando fórmulas

de la nivelación trigonométrica recíproca tomando como referencia las alturas de los

puntos de la base geodésica.

ÍNDICE

CAPÍTULO I

GENERALIDADES

1.1. INTRODUCCIÓN 1

1.2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 1

1.3. JUSTIFICACIÓN 2

1.4. UBICACIÓN GEOGRÁFICA 2

1.5. OBJETIVOS 3

1.5.1. OBJETIVO GENERAL 3

1.5.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 3

CAPÍTULO II

MARCO TEÓRICO

2.1. GEODESIA 4

2.1.1. GEODESIA GEOMÉTRICA 4

2.1.2. GEODESIA FÍSICA 4

2.1.3. GEODÉSICA ASTRONÓMICA 4

2.1.4. GEODESIA ESPACIAL 4

2.2. SUPERFICIES DE REFERENCIA 5

2.2.1. SUPERFICIE TOPOGRÁFICA 5

2.2.2. SUPERFICIE FÍSICA 5

2.2.3. SUPERFICIE MATEMÁTICA 5

2.3. SISTEMAS GEODÉSICOS DE REFERENCIA 6

2.3.1. SISTEMAS DE REFERENCIA LOCALES 6

2.3.2. SISTEMA DE REFERENCIA GLOBAL 6

2.4. MARCOS DE REFERENCIA 6

2.4.1. MARCOS DE REFERENCIA LOCALES 6

2.4.2. MARCOS DE REFERENCIA GLOBALES 6

2.5. RED GEODÉSICA MUNICIPAL DE LA CIUDAD DE LA PAZ 7

2.5.1. CARACTERÍSTICAS 7

2.6. SISTEMA DE COORDENADAS GEODÉSICAS 7

2.6.1. LATITUD ( ) 7

2.6.2. LONGITUD ( ) 8

2.7. SISTEMA DE ALTURAS EN GEODESIA 8

2.7.1. ALTURA ELIPSOIDAL 9

2.7.2. ALTURA ORTOMÉTRICA 9

2.7.3. ALTURA GEOIDAL 9

2.8. TRIANGULACIÓN 9

2.8.1. FINALIDAD CIENTÍFICA 9

2.8.2. FINALIDAD PRÁCTICA 9

2.8.3. FUNDAMENTO MATEMÁTICO DE LA TRIANGULACIÓN 9

2.8.4. RECONOCIMIENTO DE TRIANGULACIÓN 10

2.8.5. CARACTERÍSTICAS DE LA TRIANGULACIÓN 10

2.8.6. FUERZA DE LA FIGURA “R” 11

2.9. TEOREMA DE LEGENDRE 12

2.10. PROBLEMA DIRECTO E INVERSO DE LA GEODESIA 12

2.10.1. PROBLEMA DIRECTO 12

2.10.2. PROBLEMA INVERSO 14

2.11. NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA 15

2.11.1. NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA RECÍPROCA 15

CAPÍTULO III

DESARROLLO DEL TRABAJO

3.1. RECOPILACIÓN DE INFORMACIÓN 17

3.2. PLANEAMIENTO 17

3.2.1. PERSONAL, INSTRUMENTOS, MATERIALES Y TRANSPORTE 17

3.2.1.1. PERSONAL 17

3.2.1.2. INSTRUMENTOS 17

3.2.1.3. MATERIALES 18

3.2.1.4. TRANSPORTE 18

3.3. RECONOCIMIENTO 18

3.4. DISEÑO DEL CUADRILÁTERO Y ELECCIÓN

DE LA BASE GEODÉSICA 18

3.5. CÁLCULO DE LA FUERZA DE LA FIGURA 19

3.6. TRABAJO DE CAMPO 22

3.6.1. LECTURA DE ÁNGULOS HORIZONTALES 22

3.6.2. LECTURA DE ÁNGULOS ZENITALES 24

3.7. TRABAJO DE GABINETE 25

3.7.1. REVISIÓN DATOS DE CAMPO 25

3.7.2. AJUSTE DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DEL CUADRILÁTERO 25

3.7.3. CÁLCULO DE COORDENADAS GEODÉSICAS

DE LOS PUNTOS “CALV” Y “MUNA” 29

3.7.4. CÁLCULO DE ALTURAS SOBRE EL NIVEL MEDIO

DEL MAR DE LOS PUNTOS “CALV” Y “MUNA” 34

3.7.5. CÁLCULO DE ALTURAS ELIPSOIDALES


3.7.6. RESULTADOS 40

3.7.7. VALIDACIÓN DEL PROYECTO 40

CAPÍTULO V

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

5.1. CONCLUSIONES 42

5.2. RECOMENDACIONES 42

BIBLIOGRAFÍA

ANEXOS

ANEXOS 1. CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES

ANEXOS 2. MONOGRAFÍA DE LOS PUNTOS DEL CUADRILÁTERO

ANEXOS 3. PLANILLA DE SERIES ÁNGULOS HORIZONTALES

ANEXOS 4. PLANILLA DE SERIES ÁNGULOS ZENITALES

BIBLIOGRAFÍA

APUNTES DE GEODESIA, INSTITUTO GEOGRÁFICO MILITAR, BOLIVIA 1966.

GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA, FERNANDO MARTIN ASÍN,

MADRID 1983.

TOPOGRAFÍA PARA INGENIEROS, PHILIP KISSAN, MADRID 1967.

TOPOGRAFÍA, LÓPEZ – CUERVO, MADRID 1993.

APUNTES DE GEODESIA GEOMÉTRICA I, M. EUGENIA MARIACA DE

PEINADO, LA PAZ 2008.

APUNTES DE GEODESIA GEOMÉTRICA II, PRESENTACIÓN GEODESIA

SATELITARIA, J. DANIEL FLORES VARGAS, LA PAZ, 2009.

AGRADECIMIENTOS

En primer lugar deseo agradecer a toda mi familia, en

especial a mis queridos padres que gracias a ellos estoy

logrando una de las metas más importantes de mi vida.

También hago llegar mis agradecimientos a Lic. Daniel

Flores Vargas y Lic. Reynaldo Sirpa Ticona, Docentes de

la Carrera de Topografía y Geodesia, por sus valiosas

sugerencias para la realización del trabajo de campo y

elaboración del presente informe.

Agradecer a todo el plantel docente y administrativo de la

Carrera de Topografía y Geodesia por haberme acogido,

instruido y formado

RESUMEN

El presente informe de Trabajo de Aplicación, describe de manera detallada el diseño,

observación, cálculo y ajuste para la obtención de coordenadas utilizando un

cuadrilátero a partir de una base geodésica de cuarto orden, y para la determinación de

la tercera coordenada (altura sobre el nivel medio del mar H, y altura elipsoidal h)

utilizando nivelación trigonométrica reciproca.

El trabajo de aplicación en campo fué desarrollado en la ciudad de La Paz, tomando

como vértices del cuadrilátero cuatro puntos de la red Geodésica de la ciudad de La

Paz, que se encuentran en cuatro diferentes zonas, en el cual se eligió la base

geodésica a partir de las puntos P27 y P28.

Durante el trabajo de campo se realizó la observación y/o lectura de los ángulos

horizontales internos del cuadrilátero en posición directa e inversa y sus

correspondientes cierres angulares con un número de series igual a cuatro. La lectura

de ángulos zenitales se la realizó en posición directa e inversa con un número de

series igual a dos.

Con la información recopilada en campo se realiza el ajuste y corrección por mínimos

cuadrados para los ángulos horizontales, mientras que con los ángulos zenitales se

obtiene solo en promedio un valor angular.

Concluido el ajuste y corrección de los ángulos internos del cuadrilátero, se emplea el

teorema de Legendre para la obtención de ángulos esféricos a partir de ángulos planos

corregidos. Con los ángulos esféricos calculados se procede a determinar las

coordenadas geodésicas empleando el problema directo de la geodesia.

Mientras que para la determinación de la alturas (H y h) se realiza empleando fórmulas

de la nivelación trigonométrica recíproca tomando como referencia las alturas de los

puntos de la base geodésica.

ÍNDICE

CAPÍTULO I

GENERALIDADES

1.1. INTRODUCCIÓN 1

1.2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 1

1.3. JUSTIFICACIÓN 2

1.4. UBICACIÓN GEOGRÁFICA 2

1.5. OBJETIVOS 3

1.5.1. OBJETIVO GENERAL 3

1.5.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 3

CAPÍTULO II

MARCO TEÓRICO

2.1. GEODESIA 4

2.1.1. GEODESIA GEOMÉTRICA 4

2.1.2. GEODESIA FÍSICA 4

2.1.3. GEODÉSICA ASTRONÓMICA 4

2.1.4. GEODESIA ESPACIAL 4

2.2. SUPERFICIES DE REFERENCIA 5

2.2.1. SUPERFICIE TOPOGRÁFICA 5

2.2.2. SUPERFICIE FÍSICA 5

2.2.3. SUPERFICIE MATEMÁTICA 5

2.3. SISTEMAS GEODÉSICOS DE REFERENCIA 6

2.3.1. SISTEMAS DE REFERENCIA LOCALES 6

2.3.2. SISTEMA DE REFERENCIA GLOBAL 6

2.4. MARCOS DE REFERENCIA 6

2.4.1. MARCOS DE REFERENCIA LOCALES 6

2.4.2. MARCOS DE REFERENCIA GLOBALES 6

2.5. RED GEODÉSICA MUNICIPAL DE LA CIUDAD DE LA PAZ 7

2.5.1. CARACTERÍSTICAS 7

2.6. SISTEMA DE COORDENADAS GEODÉSICAS 7

2.6.1. LATITUD ( ) 7

2.6.2. LONGITUD ( ) 8

2.7. SISTEMA DE ALTURAS EN GEODESIA 8

2.7.1. ALTURA ELIPSOIDAL 9

2.7.2. ALTURA ORTOMÉTRICA 9

2.7.3. ALTURA GEOIDAL 9

2.8. TRIANGULACIÓN 9

2.8.1. FINALIDAD CIENTÍFICA 9

2.8.2. FINALIDAD PRÁCTICA 9

2.8.3. FUNDAMENTO MATEMÁTICO DE LA TRIANGULACIÓN 9

2.8.4. RECONOCIMIENTO DE TRIANGULACIÓN 10

2.8.5. CARACTERÍSTICAS DE LA TRIANGULACIÓN 10

2.8.6. FUERZA DE LA FIGURA “R” 11

2.9. TEOREMA DE LEGENDRE 12

2.10. PROBLEMA DIRECTO E INVERSO DE LA GEODESIA 12

2.10.1. PROBLEMA DIRECTO 12

2.10.2. PROBLEMA INVERSO 14

2.11. NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA 15

2.11.1. NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA RECÍPROCA 15

CAPÍTULO III


3.1. RECOPILACIÓN DE INFORMACIÓN 17

3.2. PLANEAMIENTO 17

3.2.1. PERSONAL, INSTRUMENTOS, MATERIALES Y TRANSPORTE 17

3.2.1.1. PERSONAL 17

3.2.1.2. INSTRUMENTOS 17

3.2.1.3. MATERIALES 18

3.2.1.4. TRANSPORTE 18

3.3. RECONOCIMIENTO 18

3.4. DISEÑO DEL CUADRILÁTERO Y ELECCIÓN

DE LA BASE GEODÉSICA 18

3.5. CÁLCULO DE LA FUERZA DE LA FIGURA 19

3.6. TRABAJO DE CAMPO 22

3.6.1. LECTURA DE ÁNGULOS HORIZONTALES 22

3.6.2. LECTURA DE ÁNGULOS ZENITALES 24

3.7. TRABAJO DE GABINETE 25

3.7.1. REVISIÓN DATOS DE CAMPO 25

3.7.2. AJUSTE DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DEL CUADRILÁTERO 25

3.7.3. CÁLCULO DE COORDENADAS GEODÉSICAS


3.7.4. CÁLCULO DE ALTURAS SOBRE EL NIVEL MEDIO

DEL MAR DE LOS PUNTOS “CALV” Y “MUNA” 34

3.7.5. CÁLCULO DE ALTURAS ELIPSOIDALES


3.7.6. RESULTADOS 40

3.7.7. VALIDACIÓN DEL PROYECTO 40

CAPÍTULO V


5.1. CONCLUSIONES 42

5.2. RECOMENDACIONES 42

BIBLIOGRAFÍA

ANEXOS

ANEXOS 1. CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES

ANEXOS 2. MONOGRAFÍA DE LOS PUNTOS DEL CUADRILÁTERO

ANEXOS 3. PLANILLA DE SERIES ÁNGULOS HORIZONTALES

ANEXOS 4. PLANILLA DE SERIES ÁNGULOS ZENITALES

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD TÉCNICA CARRERA DE TOPOGRAFÍA Y GEODESIA

1

CAPÍTULO I

GENERALIDADES

1.1. INTRODUCCIÓN

El establecimiento de una red geodésica es uno de los objetivos principales que

persigue la geodesia, pues en ella se basarán una gran cantidad de estudios y trabajos

posteriores. Una red geodésica consiste en una serie de puntos distribuidos por la

superficie terrestre de un determinado lugar, formando una malla de triángulos

(triangulación), en los cuales tras un proceso de cálculos se conocen todos sus

elementos incluyendo las coordenadas de todos sus vértices, a los cuales se los

denominan vértices geodésicos.

La triangulación consiste en la medición de ángulos de una serie de triángulos con

equipos ópticos mecánicos y electrónicos como ser teodolitos, taquímetros, estaciones

totales, etc. Este método es empleado para la determinación de coordenadas de

vértices ubicados a distancias considerables, los mismos que sirven a su vez para ligar

diversos trabajos topográficos.

En general resultará conveniente establecer un cuadrilátero como red básica de

transporte de coordenadas, cuando el terreno presente puntos altos, distribuidos de

forma tal, que permitan establecer vértices formando triángulos próximos al equilátero y

cuya longitud de lado esté dentro de los órdenes recomendados y las visuales entre

vértices deberán estar libres de obstáculos.

1.2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

La necesidad de determinar y establecer coordenadas geodésicas es uno de los

objetivos que persigue la Geodesia para realizar diferentes planes, programas, y

proyectos en topografía, utilizando criterios de Geodesia Clásica se resuelve este

problema, tomando como base de un cuadrilátero de cuarto orden, realizando lectura

de ángulos horizontales y zenitales en campo por el método de series, para determinar

mediante cálculo las coordenadas sobre el elipsoide y sus correspondientes alturas por

el método de nivelación trigonométrica reciproca.


2

1.3. JUSTIFICACIÓN

Existen diversos métodos para la determinación de coordenadas geodésicas como por

ejemplo: triangulación, trilateración, posicionamiento satelital, etc., por lo expuesto, a

la fecha no se ha logrado realizar una comparación entre dos métodos para la

obtención de coordenadas, como la triangulación Geodésica y el Sistema de

Posicionamiento Global (GPS), el presente trabajo de aplicación trata

fundamentalmente en realizar una comparación entre coordenadas obtenidas a través

un cuadrilátero y sus respectivas alturas sobre el nivel medio del mar y sobre el

elipsoide, con puntos de la red Geodésicas de la ciudad de La Paz.

1.4. UBICACIÓN GEOGRÁFICA

El presente trabajo de aplicación se lo realizó en:

Departamento de La Paz.

Provincia Murillo.

Ciudad de La Paz.

Zonas: Pampahasi Alto, V. Armonía, V. Nueva Potosí y Alto Munaypata.

Figura 1 (Ubicación Geográfica del trabajo de aplicación)


3

1.5. OBJETIVOS

1.5.1. OBJETIVO GENERAL

Realizar el diseño, observación, cálculo y ajuste para la obtención de coordenadas

utilizando un cuadrilátero a partir de una base geodésica de cuarto orden.

1.5.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Obtener la altura sobre el nivel medio del mar y la altura elipsoidal de los vértices

“CALV” y MUNA”, mediante el método de nivelación trigonométrica recíproca.

Realizar la comparación de los vértices “CALV” y MUNA”, calculados y los datos de

la red geodésica de la ciudad de La Paz.


4

CAPÍTULO II

MARCO TEÓRICO

2.1. GEODESIA

Es la ciencia que se estudia la forma y dimensiones de la Tierra, y su campo de

gravedad. El campo que abarca la Geodesia es muy amplio, razón por la cual es

preciso dividirla en distintas ramas1:

2.1.1. GEODESIA GEOMÉTRICA

Es aquella rama de la geodesia en la que los datos de observación están constituidos

por las medidas de ángulos y distancias en la superficie terrestre, Estos datos son

referidos a un elipsoide de referencia para construir las triangulaciones.

2.1.2. GEODESIA FÍSICA

Estudia el campo gravitatorio de la Tierra, partiendo de mediciones del mismo

(mediante estaciones gravimétricas). Estudio de los problemas de reducción y de

desviación de la vertical.

2.1.3. GEODÉSICA ASTRONÓMICA

Estudia los métodos astronómicos que permiten determinar las coordenadas

geográficas sobre la superficie terrestre de una serie de puntos fundamentales

conocidos con el nombre de “Datum” o “Puntos astronómicos fundamentales” sobre los

cuales se basará el cálculo de las posteriores redes geodésicas.

2.1.4. GEODESIA ESPACIAL

Utiliza satélites artificiales para la determinación de posiciones. Esto se consigue

mediante el establecimiento de una red de puntos distribuidos por la superficie

terrestre, de los cuales se determinan sus coordenadas, así como su altura sobre el

nivel medio del mar con muy elevada precisión.

1 LOPEZ – CUERVO, S.: TOPOGRAFIA, MADRID, 1993.


5

2.2. SUPERFICIES DE REFERENCIA

Las superficies de referencia se pueden describir de la siguiente manera2:

Figura 2 (Superficies de Referencia)

2.2.1. SUPERFICIE TOPOGRÁFICA

Es la constitución materialmente por el terreno, que es sumamente irregular y además

es variable con el tiempo por acciones naturales y artificiales, en esta superficie se

realizan todas las mediciones geodesia o topográficas.

2.2.2. SUPERFICIE FÍSICA

Es el geoide, es una superficie ideal íntimamente ligado al campo de gravedad de la

Tierra, el geoide es una de las infinitas superficies equipotenciales del campo de

gravedad terrestre. Se entiende por superficie equipotencial de este campo, aquella en

la que el desplazamiento del vector gravedad no genera trabajo.

2.2.3. SUPERFICIE MATEMÁTICA

Es la de un elipsoide de revolución por ser la que mejor se adapta a la superficie física

(geoide), es la superficie donde se realizan los cálculos Geodésicos.

2 M. EUGENIA MARIACA DE PEINADO, APUNTES DE GEODESIA GEOMETRICA I, LA PAZ, 2008


6

2.3. SISTEMAS GEODÉSICOS DE REFERENCIA

Se definen a partir de consideraciones matemáticas y e involucran la especificación de

parámetros, puntos de origen, planos, ejes, etc3.

2.3.1. SISTEMAS DE REFERENCIA LOCALES

Denominación que expresa que su ámbito de aplicación es reducido, no universal.

Cada sistema de referencia horizontal, debe contar con un punto inicial conocido como

DATUM (punto donde la desviación de la vertical es cero), y un elipsoide de referencia

(el que mejor se adapte al geoide de la región o país).

2.3.2. SISTEMA DE REFERENCIA GLOBAL

Un sistema de referencia geocéntrico queda definido por los tres ejes cartesianos

directos XYZ, fijando el origen en el centro de masas de la Tierra, y de tal forma que el

plano XOZ contiene al meridiano origen, y el eje OZ es muy cercano al eje instantáneo

de rotación terrestre.

2.4. MARCOS DE REFERENCIA

Son puntos materializados en el terreno y ubicados con gran precisión de acuerdo a

alguno de los sistemas de referencia adoptados4.

2.4.1. MARCOS DE REFERENCIA LOCALES

Los marcos de referencia utilizados por los sistemas de referencia locales en su

componente horizontal, estan materializados por las redes de distintos órdenes

geodésicos de triangulación, trilateración, etc., establecidos por cada país.

2.4.2. MARCOS DE REFERENCIA GLOBALES

Son puntos materializados en el terreno con más alta y mejor precisión que los Marcos

de Referencia Locales, ya que son determinados con GPS (Sistema de

Posicionamiento Global), técnicas de VLBI (Veri Long Base Line Interferometry), SLR

(Satellite Laser Ranging), etc.

3 J. DANIEL FLORES VARGAS, PRESENTACION GEODESIA SATELITARIA, LA PAZ, 2009.



7

Constituido por un conjunto de coordenadas y velocidades geocéntricas con precisión

de 1 a 3 cm en coordenadas y de 2 a 5 mm/año en velocidades.

2.5. RED GEODÉSICA MUNICIPAL DE LA CIUDAD DE LA PAZ

Son puntos de control materializados en el terreno con mojones de concreto. Es una

valiosa herramienta para desarrollar y mantener en vigencia la cartografía urbana, de

manera que todos los levantamientos topográficos locales se refieran a ella. Está

monumentada con mojones de concreto para asegurar su permanencia, consiste en

vértices con valores X,Y,Z, en un sistema de coordenadas geodésicas y Universal

Transversa de Mercator (UTM), está ligada a la Red Geodésica Nacional referida a la

red MARGEN (WGS-84), con lo que será factible tener una continuidad cartográfica

con otros municipios y con el Estado5.

2.5.1. CARACTERÍSTICAS

Los Puntos de la Red Geodésica Municipal, en su control Horizontal, están vinculados

a la Red MARGEN de Bolivia (Marco de Referencia Geocéntrica Nacional) esta a su

vez se vincula a la red SIRGAS (Sistema de Referencia Geocéntrica para las

Américas) establecido en el sistema WGS - 84 (Sistema Geodésico Mundial del año

1984), en su control vertical, están nivelados con el método de nivelación geométrica

referidos al nivel medio del mar Datum Vertical Arica (República de Chile),con una

precisión correspondiente a una nivelación de tercer orden geodésico.

2.6. SISTEMA DE COORDENADAS GEODÉSICAS

La posición de un punto sobre el elipsoide terrestre queda determinada por la

intersección de un meridiano y un paralelo, constituyendo sus coordenadas geodésicas

Longitud y Latitud6.

2.6.1. LATITUD ( )

Ángulo formado por la normal que pasa por el elipsoide y el plano del Ecuador, se mide

de 0º a 90ºN para el hemisferio norte y de º0 a 90ºS para el hemisferio sur.

5 RED GEODESICA DE LA CIUDAD DE LA PAZ, 2005



8

2.6.2. LONGITUD ( )

Ángulo diedro formado entre plano del meridiano origen (Greenwich), y el plano del

meridiano de un punto dado, las longitudes se miden de 0º a 180º hacia el este u oeste

del meridiano origen.

Figura 3 (Sistemas de coordenadas Geodésicas)

2.7. SISTEMA DE ALTURAS EN GEODESIA

Las alturas que se consideran en geodesia básicamente son tres. Altura elipsoidal,

altura ortométrica y altura geoidal7.

Figura 4 (Sistema de alturas en Geodesia)


Z

X

Y

NORMAL

ELIPSOIDE

Z'

Y'

X'

P

N

MERIDIANO

ORIGEN


9

2.7.1. ALTURA ELIPSOIDAL

Es la separación entre la superficie topográfica y la superficie del elipsoide, y se mide a

lo largo de la normal al elipsoide y se la denota con la letra h.

2.7.2. ALTURA ORTOMÉTRICA

Es la distancia vertical entre la superficie física de la Tierra y la superficie del geoide.

Esta distancia se mide a lo largo de la línea de plomada, la cual es la curva que es

tangencial a la dirección de la gravedad en cualquier punto. La línea de plomada no es

una línea recta, ya que tiene una leve curvatura

2.7.3. ALTURA GEOIDAL

Represente la separación vertical entre el geoide y elipsoide.

2.8. TRIANGULACIÓN

Es uno de los procedimientos empleados en geodesia para la determinación de las

posiciones de puntos sobre la superficie de la Tierra a los efectos de ser utilizados con

fines científicos y prácticos7.

2.8.1. FINALIDAD CIENTÍFICA

Determinación de la forma y tamaño de la Tierra, el método usado por los antiguos

griegos con el fin de obtener elementos de juicio para la determinación del tamaño de

la Tierra, es básicamente usada para la determinación del elipsoide de revolución que

más se adapte al geoide.

2.8.2. FINALIDAD PRÁCTICA

Proporcionar el marco planimétrico que sirve de apoyo y control en levantamientos

topográficos.

2.8.3. FUNDAMENTO MATEMÁTICO DE LA TRIANGULACIÓN

El procedimiento de la triangulación fue idea por W. Snellius (1591-1626) basado en

teorema de trigonometría plana, midiendo los tres ángulos internos y conociendo un

lado puedo calcular los otros lados.

7 INSTITUTO GEOGRAFICO MILITAR, APUNTES DE GEODESIA, BOLIVIA, 1966.


10

A B

C

b a=base

c

senA

senBab *

senA

senCac *

Figura 5 (Fundamento matemático de la triangulación)

2.8.4. RECONOCIMIENTO DE TRIANGULACIÓN

El reconocimiento se ejecuta en cuadriláteros con dobles diagonales, ocupándose

simultáneamente los 4 vértices, de los cuales por lo general, dos ya han sido

reconocidos anteriormente, debiéndose reconocer los dos restantes.

Los observadores, uno en cada vértice del cuadrilátero a reconocer, se mantienen en

comunicación ya sea por radio o mediante señales luminosas. Los ángulos deben estar

en lo posible entre 30º y 120º (esto surge del hecho de que se considera al triangulo

equilátero como la forma mas favorable de trabajo).

2.8.5. CARACTERÍSTICAS DE LA TRIANGULACIÓN

Las triangulaciones geodésicas se las clasifican como 1er, 2do, 3er y 4to orden. En la

tabla siguiente se puede ver algunas de sus características:

Tabla 1 (Órdenes de Triangulación)

ORDEN LONGITUD

DE LADOS

CIERRE

ÁNGULAR

FUERZA DE

LA FIGURA

1er. 25 Km 1’’ 5015 21 RyR

2do. 12 Km 3’’ – 5’’ 8025 21 RyR

3er. 5 Km 5’’ – 10’’ 12025 21 RyR

4to. 5 Km 8’’ 12025 21 RyR


11

2.8.6. FUERZA DE LA FIGURA “R”

“R” es una medida de la bondad de la figura y es independiente de la precisión con que

los ángulos son medidos, cuanto mas pequeño R mas fuerte resulta la figura.

Si el valor de este factor es calculado para cada camino posible a través de la

triangulación, resultaría un valor mínimo R1 para la mejor cadena de triángulos; R2 para

el que sigue en bondad y valores R3, R4, etc., para los que siguen en orden decreciente

de precisión.

“R” se calcula mediante la siguiente expresión:

)*(* 22

BBAAD

CDR

Donde:

D =número de direcciones nuevas que intervienen en la figura

ClCac

Ca = número de ecuaciones angulares

1 plCa

l = número de líneas observadas en ambas direcciones (incluido el lado

conocido).

p = número de estaciones ocupadas.

Cl = número de condición de ecuaciones laterales.

3'2' plCl Cl

'l = número total de líneas (incluye el lado conocido).

'p = número total de estaciones.

BA , = diferencia por segundo en la sexta cifra de los logaritmos del seno del

valor angular en la cadena utilizada.

sensenBA log)''1(log,


12

2.9. TEOREMA DE LEGENDRE

Enunciado:

Los ángulos A,B,C de un triángulo esférico cuyos lados a,b,c son muy pequeños con

relación al radio de la esfera, son iguales a los lados correspondientes (A1,B1,C1) del

triangulo planos cuyos lados son también a,b,c aumentando a cada ángulo con el tercio

del exceso esférico del triangulo8.

aa

b b

cc

A A1

B B1

C C1

Figura 6 (Teorema de Legendre)

3

'';

3

'';

3

''111

CCBBAA

Donde:

''1*)1(**2

)*1(***''

2

222

1

senea

senesenAcb

2.10. PROBLEMA DIRECTO E INVERSO DE LA GEODESIA

Dados dos puntos P1 y P2 de un elipsoide revolución9.

2.10.1. PROBLEMA DIRECTO

Conocidas:

Las coordenadas ( 11 ) de P1

La longitud del arco geodésico (s) de P1 a P2

El azimut 1PA

8 INSTITUTO GEOGRAFICO MILITAR, APUNTES DE GEODESIA, BOLIVIA, 1966.

9 E. CALERO, GEOMETRIA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCION, 2DA PARTE, MARZO, 2005


13

Determinar:

Las coordenadas ( 22 ) de P2

El azimut 2PA

Donde:

a semieje mayor, b semieje menor.

2'e segunda excentricidad al cuadrado.

f achatamiento.

Procedimiento:

sssss

sssssss

sssssss

ss

s

PP

senee

sene

ma

senee

senee

m

sene

asenee

msene

a

sengsensensene

a

radianesb

s

sene

m

AgsenAPreducidaLatitud

a

bPreducidaLatitud

2444

11

34

2424

2

1

42

1

22

1

2

10

11

2

1

22

1

0

2

1

22

1

111100

111

cos8

'5cos

4

'

8

'3

cos32

'5cos

8

'cos

64

'13

64

'11

cos8

'5cos

2

'

4

'

2

'

cos2

'1

cos12

'1

coscoscoscos:

tantan:

0, 1 PAmeridianodeldiferenteArco

10

10101

2

coscoscoscot

.

0,

P

P

P

senAsen

AsensenL

anteriorfórmulaladenumerador

delelessignoelyAmeridianodearcoundetrataseCuando

0

0102

cos

coscot

sensengAP


14

sssss sen

ffmsen

fafL cos

4

3

4

3

2

3cos

22

1

2

10

2

22

2

0100

2

2

0012

costan

coscoscos

sen

senseng

gsensensensen

2.10.2. PROBLEMA INVERSO

Conocidas:

Las coordenadas geodésicas ( 11 ) de P1 y ( 22 ) de P2

Determinar:

La longitud del arco geodésico (s) de P1 a P2

El azimut 1PA

El azimut 2PA

Donde:

a semieje mayor, b semieje menor.

f achatamiento.

Procedimiento:

2

2112

2

2

2121

12

222

111

coscoscoscos

coscoscoscos

:

tantan:

tantan:

sensensensen

sensen

longitudesdeDiferencia

a

bPreducidaLatitud

a

bPreducidaLatitud

φ

φ

12

22 tantan b

a


15

2

121121 1;;

coscoscmsensena

sen

senc

φ

φφφφφ

φφ-φφ

2

2

cotcos42

5

csc2

222

1

22

1

2

fsenff

m

fsenf

aff

cL

2.11. NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA

Se utiliza para la determinación de la tercera coordenada o altura de los puntos

topográficos, la nivelación trigonométrica, se apoya en los puntos de triangulación,

basada en la medida de distancias zenitales10.

2.11.1. NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA RECÍPROCA

Debido a los efectos de la refracción atmosférica y curvatura de la Tierra, se emplea

este método de nivelación para eliminar estos dos efectos.

10J. DANIEL FLORES VARGAS, APUNTES DE GEODESIA GEOMETRICA II, LA PAZ, 2009

φφ-φφ-φφφ

φφφφφφ

φφφφ-φ

φφ-φφ

2

2

2

2

32222

2

1

222

11

22

1

222

1

22

1

2

cos8

cot2

cos1616

cos2

csc2

cos2

cot2

cos22

csc2

1

senff

senff

m

senff

masenf

a

fsen

ffffm

fsenffaff

bs

2

21121

cos

coscoscoscot

senL

LsensenAP

1

21122

cos

coscoscoscot

senL

senLsenAP


16

Figura 7 (Nivelación trigonométrica recíproca)

1. Reducción del ángulo de pendiente a la línea de unión.

AAA SZ

BBB SZ

Donde: ''1* senS

tT

A

AAA

;

''1* senS

tT

B

BBB

2. Cálculo de

mRdondeR

S6370000

3. Cálculo de R

BABA senNM

NMR

22 *cos*

*

4. Cálculo de H

22cos

2*

2*)(*2

AB

AB

ABAZZ

ZZsen

senHRH

SB

TB

tB

ZB

A

B

S

SA

HA

R

0

HB= HA + HtA

TA

ZA

R


17

CAPÍTULO III


3.1. RECOPILACIÓN DE INFORMACIÓN

Para el presente trabajo se recopiló información referente a:

Listado de coordenadas Geodésicas en formato digital de red Geodésica de la

ciudad de La Paz.

Para la elección de una base Geodésica se utilizó el plano de puntos

establecidos de la red Geodésica de la ciudad de La Paz.

3.2. PLANEAMIENTO

Antes del inicio del trabajo de campo y gabinete, el planeamiento se efectuó de

acuerdo a cronograma de actividades distribuidas en las siguientes etapas:

Reconocimiento.

Diseño del cuadrilátero y elección de la base geodésica.

Cálculo de la fuerza de la figura

Se planificó el trabajo de campo con el personal para coordinar los horarios y

desplazamiento para el cumplimiento de la misión. En esta etapa se realizó la

conformación de la brigada de trabajo de campo de la siguiente manera:

3.2.1. PERSONAL, INSTRUMENTOS, MATERIALES Y TRANSPORTE

3.2.1.1. PERSONAL

Operador.

Un record.

Cuatro alarifes.

3.2.1.2. INSTRUMENTOS

Cuatro GPS Navegadores.

Un trípode.

Tres jalones.


18

Estación Total marca SOKKIA modelo SET610, que cuenta con aumento del

anteojo de 32X y precisión angular de 1’’.

3.2.1.3. MATERIALES

Teléfonos celulares.

Cámaras fotográficas.

Tableros y planilla de series.

3.2.1.4. TRANSPORTE

Una vagoneta 4X4 NISSAN – PATROL.

Accesorios para el vehículo.

3.3. RECONOCIMIENTO

Con el listado de coordenadas de la red Geodésica de la ciudad de La Paz, se realizó

el reconocimiento de algunos puntos en campo con el empleo de un GPS navegador,

verificando que cuenten con su respectivo disco de bronce y su correspondiente

inscripción, además que exista intervisibilidad entre estaciones.

3.4. DISEÑO DEL CUADRILÁTERO Y ELECCIÓN DE LA BASE GEODÉSICA

Luego de realizar el reconocimiento en campo se optó por los puntos P27, P28, CALV

y MUNA como vértices para el diseño del cuadrilátero, y tomando como base

Geodésica los puntos P27 y P28.

Figura 8 (Cuadrilátero y Base Geodésica)


19

3.5. CÁLCULO DE LA FUERZA DE LA FIGURA

Con el empleo de Google Earth y un transportador se logró determinar

aproximadamente los ángulos internos del cuadrilátero con el fin de calcular la fuerza

de la figura, con la siguiente expresión:

)*(* 22

BBAAD

CDR

1. Cálculo de D

CD en el cuadrilátero

MUNA

CALV

P28

P27

Figura 16 (Direcciones nuevas en el cuadrilátero para el cálculo de “D”)

Donde:

10D

ClCaC

3'2'1 plplC

4C

Entonces:

6.010

410

D

CD


20

2. Cálculo de )*( 22 BBAA en ambos caminos en el cuadrilátero.

1er camino de cálculo:

MUNA

CALV

P28

P27

A

A

B

B

09º

110º

112º

26º

Figura 17 (1er camino de cálculo en el cuadrilátero)

En el triangulo P27, P28 y MUNA

3.1310*log)''1(log 6 senAAsenA

9.010*log)''1(log 6 senBBsenB

166* 22 BBA

En el triangulo P28, CALV y MUNA



16* 22 BBA

Entonces:

16661)*( 22 BBAA

821)*( 22 BBAA


21

2do camino de cálculo:

P27

P28

CALV

MUNA

A

A

B

B50º

31º

13º

85º

Figura 18 (2do camino de cálculo en el cuadrilátero)

En el triangulo P27, P28 y CALV



85* 22 BBAA

En el triangulo P27, CALV y MUNA



22* 22 BBAA

Entonces:

2258)*( 22 BBAA

107)*( 22 BBAA

Reemplazando los valores obtenidos del 1er y 2do camino de cálculo obtenemos dos

resistencias:


22

Para el 1er camino )*(* 22

1

BBAAD

CDR

182*6.01 R

Para el 2do camino )*(* 22

2

BBAAD

CDR

107*6.02 R

Por lo tanto se concluye que el mejor camino para cálculo de coordenadas geodésicas es el

2do camino debido a que adopta la forma más favorable de trabajo.

3.6. TRABAJO DE CAMPO

3.6.1. LECTURA DE ÁNGULOS HORIZONTALES

La lectura de ángulos horizontales se lo realizó por el método de series con un número

igual a 4, de acuerdo a las siguientes imposiciones:

Tabla 2 (Imposiciones para la lectura de ángulos horizontales)

SERIE IMPOSICIÓN

I 00º 00’ 40’’

II 225º 03’ 10’’

II 90º 05’ 40’’

IV 315º 08’ 10’’

Las mismas fueron obtenidas utilizando la siguiente relación:

SERIESNIMPOSICIÓN

180

PROCEDIMIENTO:

El equipo se estaciona en cada punto y/o vértice del cuadrilátero, en los otros

puntos se encuentran jalones debidamente marcadas para que exista una buena

visibilidad para la lectura de ángulos horizontales y zenitales.

1091 R

642 R


23

Luego de estacionar el equipo, se leen a los ángulos horizontales internos del

cuadrilátero con las imposiciones ya descritas anteriormente en posición directa e

inversa anotándolos en la planilla de series. (ANEXO 2).

El siguiente paso es realizar la lectura de los ángulos externos correspondiente en

cada estación con las mismas imposiciones calculadas.

La lectura de ángulos horizontales se muestra gráficamente en las siguientes

figuras:

a) Lectura de ángulos horizontales

en posición directa.

P-27

P-28

CALV

MUNA

Figura 9

b) Lectura de ángulos horizontales

en posición directa e inversa.

MUNA

CALV

P-28

P-27

Figura 10

c) Lectura de cierre angular en

posición directa (Punto MUNA).

MUNA

CALV

P-28

P-27

Figura 11

d) Lectura de cierre angular en

posición directa e inversa (Punto

MUNA).

P-27

P-28

CALV

MUNA

Figura 12


24

3.6.2. LECTURA DE ÁNGULOS ZENITALES

Luego de la lectura de ángulos horizontales se procedió a la lectura de ángulos

zenitales de acuerdo al siguiente procedimiento.

PROCEDIMIENTO:

Lectura en posición directa e inversa de ángulos zenitales desde cada estación

base hacia los vértices del cuadrilátero, de las cuales se desea conocer sus alturas,

anotándolos en planilla de series de ángulos zenitales. (ANEXO 3).

Inmediatamente terminado el anterior procedimiento se realiza el cambio de

estación desde los puntos de la base hacia los otros dos vértices del cuadrilátero.

P27

MUNA

SP27-MUNA

SP27

R

0

tP27

TP27

ZP27

HP-27

R

Figura 13. (Lectura del ángulo zenital 27PS desde una estación base).


25

ZMUNA

TMUNA

tMUNA

SMUNA

SP27-MUNA

R

0

HP-27

P27

MUNA

R

Figura 14. (Lectura del ángulo zenital MUNAS hacia una estación base)

3.7. TRABAJO DE GABINETE

3.7.1. REVISIÓN DATOS DE CAMPO

A la conclusión del trabajo de campo se verificaron los datos obtenidos en las planillas

referente a:

Número de series para la lectura de ángulos horizontales.

Número de series para la lectura de ángulos zenitales.

Altura del equipo, y altura de los jalones

3.7.2. AJUSTE DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DEL CUADRILÁTERO

Luego de realizar el trabajo de campo y el llenado de planillas de series de ángulos

horizontales se ajusta el cuadrilátero por mínimos cuadrados, de acuerdo a la siguiente

tabla y figura.


26

Tabla 4 (Ángulos internos sin corregir del cuadrilátero)

NRO.

1 81º 50’ 54’313’’

2 30º 56’ 32.125’’

3 26º 41’ 11.313’’

4 58º 36’ 46.375’’

5 98º 06’ 00.813’’

6 12º 51’ 07.563’’

7 08º 35’ 44.125’’

8 42º 21’ 41.813’’

. 359º 59’ 58.440’’

Error angular del cuadrilátero: ''560.01'00º00º360 E

Tolerancia angular para triangulación de 4to orden es 08’’.

Como la tolerancia es mayor de que el error angular el trabajo se acepta.

2

1

4

3

6

5

8

7

P-27

P-28

CALV

MUNA

Figura 15. (Ángulos internos sin corregir del cuadrilátero)


27

Aplicando logaritmos a los ángulos impares y pares, además tomando en cuenta un

segundo para la diferencia del logaritmo seno se obtiene las siguientes tablas:

PLANILLA DE CÁLCULOS LOGARÍTMICOS

Tabla 5 (Ángulos impares)

NRO. senlog sensendl log)''1(log

1 81º 50’ 54’313’’ -0.0044102498 0.302

3 26º 41’ 11.313’’ -0.3476490989 4.189

5 98º 06’ 00.813’’ -0.00435467095 -0.300

7 08º 35’ 44.125’’ -0.8254772183 13.929

. -1.181891238

Tabla 6 ((Ángulos pares)

NRO. senlog sensendl log)''1(log

2 30º 56’ 32.125’’ -0.2888899261 3.512

4 58º 36’ 46.375’’ -0.0687110491 1.285

6 12º 51’ 07.563’’ -0.6527966034 9.229

8 42º 21’ 41.813’’ -0.171461538 2.309

. -1.181861724

Empleando la siguiente ecuación matricial:

WBV

WBBBV TT 1)(

Donde:

8

7

6

5

4

3

2

1

87654321

V

V

V

V

V

V

V

V

;)8752(º180

)8653(º180

)6431(º180

;11010010

10110100

00101101

V

IMPARPAR

W

dldldldldldldldl

B


28

Reemplazando valores y calculando la ecuación matricial tenemos los residuales de los valores angulares:

309.2929.13229.9300.0285.1189.4512.3302.0

11010010

10110100

00101101

B

''514.29

''124.1

''502.1

''436.0

W ;

'0.441'-

'1.553'+

'0.860'-

'0.298'-

'0.543'+

'0.097'+

'0.310'+

'0.656'+

V

Finalmente corregimos los ángulos con los valores de los residuales:

Tabla 7

NRO. ANGULOS SIN

CORRECCION CORRECCION

ANGULOS

CORREGIDOS

1 81º 50’ 54’313’’ +0.656’’ 81º 50’ 54.969’’

2 30º 56’ 32.125’’ +0.310’’ 30º 56’ 32.435’’

3 26º 41’ 11.313’’ +0.097’’ 26º 41’ 11.410’’

4 58º 36’ 46.375’’ +0.543’’ 58º 36’ 46.918’’

5 98º 06’ 00.813’’ -0.298’’ 98º 06’ 00.515’’

6 12º 51’ 07.563’’ -0.860’’ 12º 51’ 06.703’’

7 08º 35’ 44.125’’ +1.553’’ 08º 35’45.678’’

8 42º 21’ 41.813’’ -0.441’’ 42º 21’ 41.372’’

. 359º 59’ 58.440’’ +1.560’’ 360º 00’ 00.000’’


29

3.7.3. CÁLCULO DE COORDENADAS GEODÉSICAS DE LOS PUNTOS “CALV” Y

“MUNA”

Cálculo CALV, en el triángulo P27, P28 Y CALV

1. Partimos de la base Geodésica seleccionada (P27 y P28), calculando su distancia

y azimuts Geodésicos, empleando fórmulas del problema inverso de la Geodesia.

W

SP

''819.25'06º68

''781.48'29º1627

:

W

SP

''494.20'06º68

''994.21'30º1628

Distancia Geodésica:

.108.03312827 mS PP

Azimuts Geodésicos

''048.27'12º1712827 PP

''536.25'12º3512728 PP

2. Cálculo de distancias P27-CALV y P28-CALV por fórmulas trigonométricas.

Distancia P27-CALV:

6̂

*)4̂3̂( 282727

sen

SsenS PP

CALVP

mS CALVP 000.629427

Distancia P28-CALV:

6̂

*1̂ 282728

sen

SsenS PP

CALVP

mS CALVP 696.597428


30

3. Cálculo del exceso esférico.

''1*)1(**2

)*1(*6̂**''

2

222

2827

senea

senesenSS MCALVPCALVP

''012.0''

4. Conversión de ángulos planos a esféricos.

CALV

P28

P27 P27

P28

CALV

12º 51' 06.703''

85º17'58.328''

81º50'54.969''

12º 51' 06.707''

85º17'58.332''

81º50'54.973''

N

Figura 19 (Triángulo plano y triángulo esférico)

Tabla 8 (Conversión de ángulos planos a esféricos)

Nro. PLANO 3''

ESF

1 81º 50’ 54.969’’ +0.004’’ 81º 50’ 54.973’’

3+4 85º 17’ 58.328’’ +0.004’’ 85º 17’ 58.332’’

6 12º 51’ 06.703’’ +0.004’’ 12º 51’ 06.707’’

5. Cálculo de los azimuts

Azimut P27- CALV:

1̂282727 ESFPPCALVP

''021.22'03º25327 CALVP

Azimut P28-CALV

)4̂3̂(272828 ESFPPCALVP

''204.27'54º26528 CALVP


31

6. Cálculo de coordenadas de “CALV” empleando fórmulas del problema directo de la

Geodesia.

SISTEMA DE REFERENCIA WGS - 84

Desde P27

W

SP

''819.25'06º68

''781.48'29º1627

''021.22'03º25327 CALVP

mS CALVP 000.629427

W

SCALV

''136.55'08º68

''652.32'30º16

Desde P28

W

SP

''494.20'06º68

''994.21'30º1628

''204.27'54º26528 CALVP

mS CALVP 696.597428

W

SCALV

''136.55'08º68

''652.32'30º16

Cálculo MUNA, en el triángulo P27, CALV y MUNA

1. Partimos de la nueva base Geodésica (P27 y CALV), calculando su distancia y

azimuts Geodésicos, con fórmulas del problema inverso de la Geodesia.

W

SP

''819.25'06º68

''781.48'29º1627

;

W

SCALV

''136.55'08º68

''652.32'30º16

Distancia Geodésica:

.986.628427 mS CALVP

Azimuts Geodésicos

''986.21'03º25327 CALVP

''402.04'04º7327 PCALV


32

2. Cálculo de distancias P27-MUNA y CALV-MUNA por fórmulas trigonométricas.

Distancias P27-MUNA:

)8̂7̂(

*5̂ 27

27

sen

SsenS CALVP

MUNAP

mS MUNAP 512.590027

Distancias CALV-MUNA

)8̂7̂(

*2̂ 27

sen

SsenS CALVP

MUNACALV

mS MUNACALV 470.3064

3. Calculo del exceso esférico.

''1*)1(**2

)*1(*)8̂7̂(**''

2

222

27

senea

senesenSS MMUNACALVMUNAP

''036.0''

4. Conversión de ángulos planos a esféricos.

30º 56' 32.435''

50º57'27.050''

MUNA

CALV

P27

98º 06' 00.515''

98º 06' 00.527''

P27

MUNA

50º57'27.062''

30º 56' 32.447''

CALV

N

Figura 20 (Triángulo plano y triángulo esférico)


33

Tabla 9 (Conversión de ángulos planos a esféricos)

Nro. PLANO 3''

ESF

2 30º 56’ 32.435’’ +0.012’’ 30º 56’ 32.447’’

5 98º 06’ 00.515’’ +0.012’’ 98º 06’ 00.527’’

7+8 50º 57’ 27.050’’ +0.012’’ 50º 57’ 27.062’’

5. Cálculo de los azimuts.

Azimut P27-MUNA:

2̂2727 ESFCALVPMUNAP

''433.54'59º28327 MUNAP

Azimut CALV-MUNA

5̂36027 ESFPCALVMUNACALV

''875.03'58º334MUNACALV

6. Cálculo de coordenadas de “MUNA” empleando fórmulas del problema directo de la

Geodesia.

SISTEMA DE REFERENCIA WGS – 84

Desde P27

W

SP

''819.25'06º68

''781.48'29º1627

''433.54'59º28327 MUNAP

mS MUNAP 512.590027

W

SMUNA

''855.38'09º68

''325.02'29º16

Desde CALV

W

SCALV

''136.55'08º68

''652.32'30º16

''875.03'58º334MUNACALV

mS MUNACALV 470.3064

W

SMUNA

''855.38'09º68

''325.02'29º16


34

ZCALV

ZP27

SCALV

TCALV

tCALV

LINEA DE UNION

ZCALV

P27

CALV

SP27-CALV

SP27

HP27

R

0

HCALV = HP27 + HtP27

TP27

ZP27

R

3.7.4. CÁLCULO DE ALTURAS SOBRE EL NIVEL MEDIO DEL MAR DE LOS

PUNTOS “CALV” Y “MUNA”

Con los ángulos zenitales obtenidos en campo calculamos las alturas de los puntos

“CALV” Y “MUNA”, mediante fórmulas la nivelación trigonométrica recíproca.

Cálculo de la altura de “CALV”

Desde P27

Datos:

SM ''11'30º16

''986.21'03º25327 CALVP

mHP 132.382827

mS CALVP 000.629427

''5.55'45º8827 PS

''75.05'16º91CALVS

mtP 325.127

mTP 000.227

mtCALV 492.1

mTCALV 000.2

Figura 21 (Visuales recíprocas desde P27 y CALV)


35


272727 PPP SZ

CALVCALVCALV SZ

Donde:

''08.30'00º0''1*27

272727

senS

tT

CALVP

PPP

''64.22'00º0''1*27

senS

tT

CALVP

CALVCALVCALV

''58.25'46º8827 PZ

''39.28'16º91CALVZ

2. Cálculo de

mRdondeR

S CALVP 637000027

''89.29'02º0

3. Cálculo de R

CALVPCALVP senNM

NMR

27

2

27

2 *cos*

*

Donde:

21

2223

22

2

)*1(;

)*1(

)1(*

MM sene

aN

sene

eaM

mR 941.5043766

4. Cálculo de H

22cos

2*

2*)(*2

27

27

2727

PCALV

PCALV

PCALVPZZ

ZZsen

senHRH

mH CALVP 201.10127


36

5. Altura CALV

H1

CALVPPCALVHHH 27271

mHCALV

333.39291

Desde P28

Datos:

SM ''28'30º16

''204.27'54º26528 CALVP

mHP 951.375728

mS CALVP 696.597428

''01'53º8728 PS

''25.41'09º92CALVS

mtP 241.128

mTP 000.228

mtCALV 492.1

mTCALV 000.2

Figura 22 (Visuales recíprocas desde P28 y CALV)

ZP28

TP28

tP28 HCALV = HP28 + H

0

R

HP28

SP28

SP28-CALV

CALV

P28

ZCALV

LINEA DE UNION

tCALV

TCALV

SCALV

ZP28

ZCALV

R


37


282828 PPP SZ

CALVCALVCALV SZ

Donde:

''05.34'00º0''1*28

282828

senS

tT

CALVP

PPP

''79.22'00º0''1*28

senS

tT

CALVP

CALVCALVCALV

''05.35'53º8728 PZ

''04.04'10º92CALVZ

2. Cálculo de

mRdondeR

S CALVP 637000028

''88.28'02º0

3. Cálculo de R

CALVPCALVP senNM

NMR

28

2

28

2 *cos*

*

Donde:

21

2223

22

2

)*1(;

)*1(

)1(*

MM sene

aN

sene

eaM

mR 075.3796606

4. Cálculo de H

22cos

2*

2*)(*2

28

28

2828

PCALV

PCALV

PCALVPZZ

ZZsen

senHRH

mH CALVP 956.17128


38

5. Altura CALV

H 2

CALVPPCALVHHH 28282

mHCALV

907.39292

Altura promedio de “CALV”

Calculamos con la ecuación de la media aritmética ponderada:

21

2211 **

PP

HPHPH CALVCALV

CALV

Donde:

228

22

227

21

60.4

1

)(

1

63.4

1

)(

1

KmSP

KmSP

CALVP

CALVP

Cálculo de la altura de “MUNA”

Para el cálculo de 28PH se sigue el procedimiento anterior considerando los

siguientes datos desde cada punto:

DESDE P27

Datos:

SM ''26'29º16

''433.54'59º28327 MUNAP

mHP 132.382827

mS MUNAP 512.590027

''43'43º8727 PS

''25.47'18º92MUNAS

mtP 325.127

mTP 000.227

mtMUNA 370.1

mTMUNA 000.2

594.23627 MUNAPH

mHMUNA

726.40641

mH CALV 622.3929


39

DESDE P28

Datos:

SM ''42'29º16

''210.38'35º29228 MUNAP

mHP 951.375728

mS MUNAP 286.637228

''20'15º8728 PS

''05'46º92MUNAS

mtP 271.128

mTP 000.228

mtMUNA 370.1

mTMUNA 000.2

112.30728 MUNAPH

mHMUNA

063.40652

Finalmente:

3.7.5. CÁLCULO DE ALTURAS ELIPSOIDALES DE LOS PUNTOS “CALV” Y

“MUNA”

Todos los datos y fórmulas empleados en el anterior punto para el cálculo de alturas

sobre el nivel medio del mar, también son validos para el cálculo de alturas

elipsoidales, con la diferencia de tomar como referencia las alturas elipsoidales de la

base los puntos “P27” y “P28”.

Por lo tanto los resultados de las alturas son:

mH MUNA 882.4064

mhCALV 771.3977

mhMUNA 221.4113


40

3.7.6. RESULTADOS.

Realizado el trabajo de campo y en gabinete se obtuvo los siguientes resultados

que se muestran en las siguientes tablas:

COORDENADAS OBTENIDAS EN GABINETE

Tabla 10

PUNTO LATITUD

LONGITUD

CALV 16º30’32.652’’ 68º08’55.136’’

MUNA 16º29’02.325’’ 68º09’38.855’’

ALTURAS OBTENIDAS MEDIANTE

LA NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA RECÍPROCA

Tabla 11

PUNTO ALTURA

s.n.m.m.

ALTURA

ELIPSOIDAL

CALV 3929.622 m. 3977.771 m.

MUNA 4064.882 m. 4113.032 m.

3.7.7. VALIDACIÓN DEL PROYECTO

Realizando la comparación entre los datos obtenidos en gabinete y los datos de

la red geodésica de la ciudad de La Paz mostrados en las tablas 15 y 16, se

puede observar que en las coordenadas horizontales existe una variación de

0.000’’ y 0.004’’ en latitud y longitud respectivamente para el punto “CALV” y de

de 0.002’’ y 0.004’’ en latitud y longitud para el punto “MUNA”.

También comparando resultados entre las alturas sobre el nivel medio del mar

obtenidas, con los de la red geodésica, existe una diferencia de 0.520 m para el

punto “CALV” y 0.593 m para el punto “MUNA”.


41

De la misma manera realizando la comparación para las alturas elipsoidales,

existe una diferencia de 0.324 m para el punto “CALV” y 0.135 m para el punto

“MUNA”.

Considerando el número de series realizado en campo, el equipo empleado, los

resultados obtenidos son de muy buena aproximación con relación a los datos

de la red geodésica de la ciudad de La Paz.

COMPARACIÓN DE DATOS PUNTO CALV

Tabla 12

PUNTO LATITUD

LONGITUD

ALTURA

s.n.m.m.

ALTURA

ELIPSOIDAL

Obtenidos

en gabinete 16º30’32.652’’ 68º08’55.136’’ 3929.622 m. 3977.771 m.

Red

geodésica 16º30’32.652’’ 68º08’55.140’’ 3929.102 m. 3977.447 m.

Variación 00º00’00.000’’ 00º00’00.004’’ 0.520 m. 0.324 m.

COMPARACIÓN DE DATOS PUNTO MUNA

Tabla 13

PUNTO LATITUD

LONGITUD

ALTURA

s.n.m.m.

ALTURA

ELIPSOIDAL

Obtenidos

en gabinete 16º29’02.325’’ 68º09’38.855’’ 4064.882 m. 4113.032 m.

Red

geodésica 16º29’02.323’’ 68º09’38.859’’ 4064.289 m. 4112.897 m.

Variación 00º00’00.002’’ 00º00’00.004’’ 0.593 m. 0.135 m.


42

CAPÍTULO V


5.1. CONCLUSIONES

Se cumplió satisfactoriamente realizar el diseño, observación, cálculo y ajuste para la

obtención de coordenadas utilizando un cuadrilátero a partir de una base geodésica de

cuarto orden en el presente trabajo, obteniéndose coordenadas que se muestran en

los resultados.

También se logró obtener las alturas sobre el nivel medio del mar y las alturas

elipsoidales de los puntos “CALV” y “MUNA” empleando el método de nivelación

trigonométrica recíproca.

De la misma manera se logró realizar la comparación de entre los datos obtenidos en

gabinete y datos de la red geodésica de la ciudad de la Paz, tal como se muestran en

la tabla 13, pudiendo observarse variaciones mínimas en latitud y longitud, y

variaciones considerables en alturas.

Por lo tanto realizado el trabajo de campo, cálculo de gabinete y comparación entre las

coordenadas obtenidas y coordenadas de la red geodésica de La ciudad de La Paz,

de los puntos “CALV” y “MUNA”, se confirma que la triangulación mantiene su precisión

actualmente.

Por lo contrario para la determinación de alturas empleando la nivelación

trigonométrica recíproca no son lo suficientemente precisas para requerimientos

geodésicos.

5.2. RECOMENDACIONES

Se recomienda desarrollar este tipo de trabajos donde los vértices del cuadrilátero

tengan una excelente visibilidad entre si, y que cumplan con las condiciones

geométricas de triangulación, que en lo posible los valores angulares no sean menores

a 30º ni mayores a 120º.


43

Para obtener una mayor precisión en la obtención de coordenadas geodésicas y

alturas, se recomienda realizar un número de series mayores a 4, además de emplear

equipos de mayor precisión para la lectura de ángulos horizontales y zenitales como

los equipos ópticos mecánicos T3 y T2.

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD TECNICA CARRERA DE TOPOGRAFIA Y GEODESIA

CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES

DISEÑO, OBSERVACION, CÁLCULO Y AJUSTE PARA LA OBTENCION DE COORDENADAS

UTILIZANDO UN CUADRILATERO A PARTIR DE UNA BASE GEODESICA DE CUARTO ORDEN

NRO. ACTIVIDADES

DESARROLLADAS DURACION

EN DIAS

MES DE NOVIEMBRE

SEMANA 1 SEMANA 2 SEMANA 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

1

RECOPILACION DE INFORMACION Y PLANEAMIENTO

3 X X X X

2 RECONOCIMIENTO DE CAMPO

1 X

3

DISEÑO DEL CUADRILATERO Y ELECCION DE LA BASE GEODESICA

1 X

4 TRABAJO DE CAMPO

1 X

5 TRABAJO DE GABINETE

12 X X X X X X X X X X X X


DESCRIPCIÓN DEL

PUNTO P27

DATOS GENERALES

NOMBRE DEL PUNTO: P27

DEPARTAMENTO: LA PAZ

PROVINCIA: MURILLO

CIUDAD: LA PAZ

ZONA: PAMPAHASI ALTO

COORDENADAS DEL PUNTO

LATITUD: 16º 29’ 48.781’’ S

LONGITUD: 68º 06’ 25.819’’ W

ALTURA snmm: 3 828.132 m

ALTURA ELIPSOIDAL: 3876.274 m

MONOGRAFÍA DEL PUNTO Para llegar al punto se debe partir desde el cruce de Villa San Antonio Alto, Seguir por la avenida Octavio Campero que conduce a la zona de Pampahasi, llegando a esta zona se debe continuar por la avenida Ciudad del Niño hasta llegar a la planta de de Aguas del Illimani, luego girar a la izquierda por la avenida circunvalación seguir en forma directa hasta el borde de la planicie, donde se encuentra un poste de alta tensión sobre la avenida, y el parque mirador que en su interior se encuentra una cruz de concreto. La estación se

encuentra al oeste de esta cruz de concreto a una distancia aproximada de 2 metros materializado por un monumento de concreto y lleva empotrado un disco de bronce de 10cm de diámetro.

FOTOGRAFÍA DEL PUNTO

FOTOGRAFÍA PANORÁMICA

CROQUIS DE UBICACIÓN


DESCRIPCIÓN DEL

PUNTO P28

DATOS GENERALES

NOMBRE DEL PUNTO: P28


PROVINCIA: MURILLO

CIUDAD: LA PAZ

ZONA: VILLA ARMONIA


LATITUD: 16º 30’ 21.994’’ S

LONGITUD: 68º 06’ 20.494’’ W

ALTURA snmm: 3 757.951 m


MONOGRAFÍA DEL PUNTO El punto P28 se encuentra en la zona Villa Armonía,, para ocupar este punto se debe llegar primero a la zona de Pampahasi Bajo que se encuentra al este de la ciudad de La Paz, durante el trayecto tomando como referencia el cruce de Alto San Antonio, se debe continuar por el camino de asfalto hacia Pampahasi una distancia aproximada de 500 metros hasta llegar a la primera curva para posteriormente seguir por la calle Itenez, donde s encuentra la llave de paso de Aguas del Illimani, seguir la misma hasta encontrar la cruz de Villa Armonía. La estación se encuentra a una distancia aproximada de 6 metros hacia el sur de la cruz y se encuentra materializada por concreto y lleva un disco de bronce de aproximadamente 5 cm de diámetro.





DESCRIPCIÓN DEL

PUNTO CALV

DATOS GENERALES

NOMBRE DEL PUNTO: CALV


PROVINCIA: MURILLO

CIUDAD: LA PAZ

ZONA: VILLA NUEVA POTOSI


LATITUD: 16º 30’ 32.652’’ S

LONGITUD: 68º 08’ 55.140’’ W

ALTURA snmm: 3929.102 m


MONOGRAFÍA DEL PUNTO El punto CALV se encuentra cerca del mirador de la zona Villa Nueva Potosí, para llegar a esta estación se debe partir desde el Puente Topater, continuar por la venida ) de abril que con dirección al faro murillo de la Ceja de El Alto, hasta arribar a la intersección con la avenida final Alcoreza, continuar por esta avenida hasta llegar a un desvió a mano derecha a la calle Tocopilla, con recorrido de 150 meros, continuar por la calle Tocopilla hasta llegar al mirador de la zona Villa Nueva Potosí, donde s e encuentra la parada d minibús 241, la estación se encuentra a una distancia aproximada de 5 metros hacia el este de la cruz del mirador, y esta materializado por un disco de bronce que se encuentra empotrado sobre el piso de cemento.





DESCRIPCIÓN DEL

PUNTO MUNA

DATOS GENERALES

NOMBRE DEL PUNTO: MUNA


PROVINCIA: MURILLO

CIUDAD: LA PAZ

ZONA: ALTO MUNAYPATA


LATITUD: 16º 29’ 02.323’’ S

LONGITUD: 68º 09’ 38.859’’ W

ALTURA snmm: 4064.289 m


MONOGRAFÍA DEL PUNTO El punto MUNA se encuentra en la ex riel y la autopista La Paz – El Alto cerca del mirador de la zona de Alto Munaypata, para ocupar este punto se debe partir desde la plaza Ballivián seguir la avenida que va desde la plaza Ballivián hasta la avenida Kollasuyo, seguir el trayecto una distancia aproximada de 800 metros, donde se encuentra un desvió con la denominación de la Apacheta, seguir el camino que este desvió una distancia de aproximadamente 1200 metros por camino de ripio, hasta llegar a la altura del mirador de Alto Munaypata, en donde se encuentra una elevación a la derecha de la ex riel esta materializado por un monumento de concreto que sobre sale de la superficie 20 cm y que lleva un disco de bronce de 10m cm de diámetro.





PLANILLA DE SERIES ESTACION: P27 FECHA: 04/11/11 HOJA: 1/8 OPERADOR: Hermo Huayta Copa INSTRUMENTO: SOKKIA MODELO SET610

ESTACION NUMERO DE SERIE

PTO. OBS

LECTURA LECTURA REDUCIDA PROMEDIO SERIE

DIRECTA INVERSA DIRECTA INVERSA

GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG

P-27

I

P28 0 0 40 180 0 35 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00

CALV 81 51 34 261 51 26 81 50 54 81 50 51 81 50 52.50

MUNA 112 48 10 292 48 4 112 47 30 112 47 29 112 47 29.50

II

P28 225 3 10 45 3 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00

CALV 306 54 6 126 54 4 81 50 56 81 50 52 81 50 54.00

MUNA 337 50 36 157 50 40 112 47 26 112 47 28 112 47 27.00

III

P28 90 5 40 270 5 42 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00

CALV 171 56 35 351 56 36 81 50 55 81 50 54 81 50 54.50

MUNA 202 53 9 22 53 8 112 47 29 112 47 26 112 47 27.50

IV

P28 315 8 10 135 8 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00

CALV 36 59 9 216 59 15 81 50 59 81 51 0 81 50 59.50

MUNA 67 55 48 247 55 40 112 47 18 112 47 25 112 47 21.50




PTO. OBS




P27

I

MUNA 0 0 40 180 0 44 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00

P28 247 13 11 67 13 17 247 12 31 247 12 33 247 12 32.00

CALV 329 4 10 149 4 6 329 3 30 329 3 22 329 3 26.00

II

MUNA 225 3 10 45 3 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00

P28 112 15 45 292 15 55 247 12 35 247 12 35 247 12 35.00

CALV 194 6 39 14 6 46 329 3 29 329 3 26 329 3 27.50

III

MUNA 90 5 40 270 5 31 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00

P28 337 18 18 157 17 58 247 12 38 247 12 27 247 12 32.50

CALV 59 9 8 239 8 50 329 3 28 329 3 19 329 3 23.50

IV

MUNA 315 8 10 135 8 21 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00

P28 202 20 47 22 20 54 247 12 37 247 12 33 247 12 34.50

CALV 284 11 43 104 11 50 329 3 33 329 3 29 329 3 31.00


RESUMEN DE ANGULOS DE LA ESTACION P-27

ANGULOS INTERNOS ANGULOS EXTERNOS

ESTACION PTO. OBS. PROMEDIO ESTACION


P27

P28 00º 00’ 00’’

P27

MUNA 00º 00’ 00’’

CALV 81º 50 ’55.125’’ P28 247º 12’ 33.500’’

MUNA 112º 47’ 26.375’’ CALV 329º 03’ 27.000’’

PROMEDIO DE ANGULOS INTERNOS Y EXTERNOS

''313.54'50º812

''125.55'50º81''500.53'50º811̂

''125.32'56º302

''250.31'56º30''000.33'56º302̂




PTO. OBS




P28

I

CALV 0 0 40 180 0 41 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00

MUNA 26 41 54 206 41 47 26 41 14 26 41 6 26 41 10.00

P27 85 18 35 265 18 45 85 17 55 85 18 4 85 17 59.50

II

CALV 225 3 10 45 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00

MUNA 215 44 26 71 44 18 26 41 16 26 41 17 26 41 16.50

P27 310 21 5 130 21 3 85 17 55 85 18 2 85 17 58.50

III

CALV 90 5 40 270 5 36 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00

MUNA 116 46 55 296 46 52 26 41 15 26 41 16 26 41 15.50

P27 175 23 34 355 23 40 85 17 54 85 18 4 85 17 59.00

IV

CALV 315 8 10 135 8 21 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00

MUNA 341 49 16 161 49 36 26 41 6 26 41 15 26 41 10.50

P27 40 26 3 220 26 21 85 17 53 85 18 0 85 17 56.50


PLANILLA DE SERIES

ESTACION: P28 FECHA: 04/11/11 HOJA: 4/8 OPERADOR: Hermo Huayta Copa INSTRUMENTO: SOKKIA MODELO SET610


PTO. OBS




P28

I

P27 0 0 40 180 0 37 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00

CALV 274 42 47 94 42 36 274 42 7 274 41 58 274 42 2.50

MUNA 301 23 57 121 23 48 301 23 17 301 23 11 301 23 14.00

II

P27 225 3 10 45 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00

CALV 139 45 18 319 45 0 274 42 8 274 41 59 274 42 3.50

MUNA 166 26 30 346 26 10 301 23 20 301 23 9 301 23 14.50

III

P27 90 5 40 270 5 45 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00

CALV 4 47 50 184 47 38 274 42 10 274 41 53 274 42 1.50

MUNA 31 28 56 211 28 50 301 23 16 301 23 5 301 23 11.50

IV

P27 315 8 10 135 8 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00

CALV 229 50 16 49 50 6 274 42 6 274 42 3 274 42 4.50

MUNA 256 31 28 76 31 5 301 23 18 301 23 2 301 23 10.00


RESUMEN DE ANGULOS DE LA ESTACION P-28




P28

CALV 00º 00’ 00’’

P28

P27 00º 00’ 00’’

MUNA 26º 41’ 13.125’’ CALV 274º 42’ 03.000’’

P27 85º 17’ 58.375’’ MUNA 301º 23’ 12.500’’


''313.11'41º262

''500.09'41º26''125.13'41º263̂

''375.46'36º582

''250.45'36º58''500.47'36º584̂


PLANILLA DE SERIES ESTACION: CALV FECHA: 04/11/11 HOJA: 5/8 OPERADOR: Hermo Huayta Copa INSTRUMENTO: SOKKIA MODELO SET610


PTO. OBS




CALV

I

MUNA 0 0 40 180 0 32 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00

P27 98 6 50 278 6 26 98 6 10 98 5 56 98 6 3.00

P28 110 57 55 290 57 34 110 57 15 110 57 2 110 57 8.50

II

MUNA 225 3 10 45 3 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00

P27 323 9 16 143 9 5 98 6 6 98 6 0 98 6 3.00

P28 336 0 23 156 0 8 110 57 13 110 57 3 110 57 8.00

III

MUNA 90 5 40 270 5 34 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00

P27 188 11 48 8 11 31 98 6 8 98 5 57 98 6 2.50

P28 201 2 57 21 2 35 110 57 17 110 57 1 110 57 9.00

IV

MUNA 315 8 10 135 8 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00

P27 53 14 7 233 14 0 98 6 7 98 5 55 98 6 1.00

P28 66 5 22 246 5 5 110 57 12 110 57 0 110 57 6.00




PTO. OBS




CALV

I

P28 0 0 40 180 0 34 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00

MUNA 249 3 36 69 3 22 249 2 56 249 2 48 249 2 52.00

P27 347 9 33 167 9 25 347 8 53 347 8 51 347 8 52.00

II

P28 225 3 10 45 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00

MUNA 114 6 10 294 5 48 249 3 0 249 2 45 249 2 52.50

P27 212 12 2 32 11 51 347 8 52 347 8 48 347 8 50.00

III

P28 90 5 40 270 5 32 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00

MUNA 339 8 41 159 8 14 249 3 1 249 2 42 249 2 51.50

P27 77 14 31 257 14 24 347 8 51 257 8 52 347 8 51.50

IV

P28 315 8 10 135 8 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00

MUNA 204 11 7 24 10 45 249 2 57 249 2 40 249 2 48.50

P27 302 17 1 122 16 50 347 8 51 347 8 45 347 8 48.00


RESUMEN DE ANGULOS DE LA ESTACION CALV




CALV

MUNA 00º 00’ 00’’

CALV

P28 00º 00’ 00’’

P27 98º 06’ 02.375’’ MUNA 249º 02’ 51.125’’

P28 110º 57’ 07.875’’ CALV 347º 08’ 50.375’’


''813.00'06º982

''250.59'05º98''375.02'06º985̂

''563.07'51º122

500.05'51º12''625.09'51º126̂


PLANILLA DE SERIES ESTACION: MUNA FECHA: 04/11/11 HOJA: 7/8 OPERADOR: Hermo Huayta Copa INSTRUMENTO: SOKKIA MODELO SET610


PTO. OBS




MUNA

I

P27 0 0 40 180 0 34 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00

P28 8 36 30 188 36 12 8 35 50 8 35 38 8 35 44.00

CALV 50 58 2 230 57 58 50 57 22 50 57 24 50 57 23.00

II

P27 225 3 10 45 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00

P28 233 38 56 53 38 42 8 35 46 8 35 44 8 35 45.00

CALV 276 0 35 96 0 29 50 57 25 50 57 27 50 57 26.00

III

P27 90 5 40 270 5 33 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00

P28 98 41 33 278 41 13 8 35 53 8 35 40 8 35 46.50

CALV 141 3 6 321 2 58 50 57 26 50 57 25 50 57 25.50

IV

P27 315 8 10 135 8 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00

P28 323 43 56 143 43 46 8 35 46 8 35 39 8 35 42.50

CALV 6 5 38 186 5 28 50 57 28 50 57 23 50 57 24.00




PTO. OBS




MUNA

I

CALV 0 0 40 180 0 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00

P27 309 3 16 129 2 55 309 2 36 309 2 25 309 2 30.50

P28 317 39 5 137 38 42 317 38 25 317 38 12 317 38 18.50

II

CALV 225 3 10 45 2 58 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00

P27 174 5 50 354 5 26 309 2 40 309 2 28 309 2 34.00

P28 182 41 31 2 41 11 317 38 21 317 38 13 317 38 17.00

III

CALV 90 5 40 270 5 33 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00

P27 39 8 19 219 8 3 309 2 39 309 2 30 309 2 34.50

P28 47 44 4 227 43 40 317 38 24 317 38 7 317 38 15.50

IV

CALV 315 8 10 135 8 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00

P27 264 10 48 84 10 28 309 2 38 309 2 26 309 2 32.00

P28 272 46 34 92 46 16 317 38 24 317 38 14 317 38 15.00


RESUMEN DE ANGULOS DE LA ESTACION MUNA




MUNA

P27 00º 00’ 00’’

MUNA

CALV 00º 00’ 00’’

P28 08º 35’ 44.500’’ P27 309º 02’ 32.750’’

CALV 50º 57’ 24.625’’ P28 317º 38’ 16.500’’

PROMEDIO DE ANGULOS INTERNOS CON EXTERNOS

''125.44'35º082

''750.43'35º08''500.44'35º087̂

''813.41'21º422

''125.40'21º42''500.43'21º428̂


PLANILLA DE SERIES ESTACION: P27 FECHA: 04/11/11 HOJA: 1/4 OPERADOR: Hermo Huayta Copa. INSTRUMENTO: SOKKIA MODELO SET610

ESTACION NUMERO

DE SERIE

PTO. OBS

LECTURA PROMEDIO SERIE

PROMEDIO ESTACION

DIRECTA INVERSA

GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG GRAD. MIN. SEG GRAD. MIN. SEG

P27

I CALV 88 46 3 271 14 14 88 45 54.5 88 45 55.5

MUNA 87 43 53 272 16 25 87 43 44 87 43 43

II CALV 88 46 8 271 14 15 88 45 56.5

MUNA 87 43 45 272 16 21 87 43 42

ALTURA INSTRUMENTO 1.325 m. ALTURA OBS. JALONES 2m.



ESTACION NUMERO

DE SERIE

PTO. OBS


PROMEDIO ESTACION

DIRECTA INVERSA


P28

I CALV 87 53 5 272 7 0 87 53 2.5 87 53 1

MUNA 87 15 25 272 45 7 87 15 16 87 15 20

II CALV 87 53 11 272 7 12 87 52 59.5

MUNA 87 15 13 272 46 25 87 15 24




ESTACION NUMERO

DE SERIE

PTO. OBS


PROMEDIO ESTACION

DIRECTA INVERSA


MUNA

I P27 92 19 0 267 41 26 92 18 47 92 18 47.25

P28 92 46 15 267 13 59 92 46 8 92 46 05

II P27 92 19 5 267 41 30 92 18 47.5

P28 92 46 10 267 14 06 92 46 2




ESTACION NUMERO

DE SERIE

PTO. OBS


PROMEDIO ESTACION

DIRECTA INVERSA


CALV

I P27 91 16 8 268 44 0 91 16 4 91 16 5.75

P28 92 9 49 267 50 26 92 9 41.5 92 9 41.25

II P27 91 16 9 268 43 54 91 16 7.5

P28 92 9 52 267 50 30 92 9 41


BIBLIOGRAFÍA

APUNTES DE GEODESIA, INSTITUTO GEOGRÁFICO MILITAR, BOLIVIA 1966.

GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA, FERNANDO MARTIN ASÍN,

MADRID 1983.

TOPOGRAFÍA PARA INGENIEROS, PHILIP KISSAN, MADRID 1967.

TOPOGRAFÍA, LÓPEZ – CUERVO, MADRID 1993.

APUNTES DE GEODESIA GEOMÉTRICA I, M. EUGENIA MARIACA DE

PEINADO, LA PAZ 2008.

APUNTES DE GEODESIA GEOMÉTRICA II, PRESENTACIÓN GEODESIA

SATELITARIA, J. DANIEL FLORES VARGAS, LA PAZ, 2009.

EXAMÉN DE GRADO NIVEL LICENCIATURA

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