UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS
FACULTAD TÉCNICA CARRERA DE TOPOGRAFÍA Y GEODESIA
EXAMÉN DE GRADO
NIVEL LICENCIATURA
“DISEÑO, OBSERVACIÓN, CÁLCULO Y AJUSTE PARA LA
OBTENCIÓN DE COORDENADAS UTILIZANDO UN CUADRILÁTERO
A PARTIR DE UNA BASE GEODÉSICA DE CUARTO ORDEN”
POSTULANTE : HERMO HUAYTA COPA
LA PAZ – BOLIVIA
2011
AGRADECIMIENTOS
En primer lugar deseo agradecer a toda mi familia, en
especial a mis queridos padres que gracias a ellos estoy
logrando una de las metas más importantes de mi vida.
También hago llegar mis agradecimientos a Lic. Daniel
Flores Vargas y Lic. Reynaldo Sirpa Ticona, Docentes de
la Carrera de Topografía y Geodesia, por sus valiosas
sugerencias para la realización del trabajo de campo y
elaboración del presente informe.
Agradecer a todo el plantel docente y administrativo de la
Carrera de Topografía y Geodesia por haberme acogido,
instruido y formado
RESUMEN
El presente informe de Trabajo de Aplicación, describe de manera detallada el diseño,
observación, cálculo y ajuste para la obtención de coordenadas utilizando un
cuadrilátero a partir de una base geodésica de cuarto orden, y para la determinación de
la tercera coordenada (altura sobre el nivel medio del mar H, y altura elipsoidal h)
utilizando nivelación trigonométrica reciproca.
El trabajo de aplicación en campo fué desarrollado en la ciudad de La Paz, tomando
como vértices del cuadrilátero cuatro puntos de la red Geodésica de la ciudad de La
Paz, que se encuentran en cuatro diferentes zonas, en el cual se eligió la base
geodésica a partir de las puntos P27 y P28.
Durante el trabajo de campo se realizó la observación y/o lectura de los ángulos
horizontales internos del cuadrilátero en posición directa e inversa y sus
correspondientes cierres angulares con un número de series igual a cuatro. La lectura
de ángulos zenitales se la realizó en posición directa e inversa con un número de
series igual a dos.
Con la información recopilada en campo se realiza el ajuste y corrección por mínimos
cuadrados para los ángulos horizontales, mientras que con los ángulos zenitales se
obtiene solo en promedio un valor angular.
Concluido el ajuste y corrección de los ángulos internos del cuadrilátero, se emplea el
teorema de Legendre para la obtención de ángulos esféricos a partir de ángulos planos
corregidos. Con los ángulos esféricos calculados se procede a determinar las
coordenadas geodésicas empleando el problema directo de la geodesia.
Mientras que para la determinación de la alturas (H y h) se realiza empleando fórmulas
de la nivelación trigonométrica recíproca tomando como referencia las alturas de los
puntos de la base geodésica.
ÍNDICE
CAPÍTULO I
GENERALIDADES
1.1. INTRODUCCIÓN 1
1.2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 1
1.3. JUSTIFICACIÓN 2
1.4. UBICACIÓN GEOGRÁFICA 2
1.5. OBJETIVOS 3
1.5.1. OBJETIVO GENERAL 3
1.5.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 3
CAPÍTULO II
MARCO TEÓRICO
2.1. GEODESIA 4
2.1.1. GEODESIA GEOMÉTRICA 4
2.1.2. GEODESIA FÍSICA 4
2.1.3. GEODÉSICA ASTRONÓMICA 4
2.1.4. GEODESIA ESPACIAL 4
2.2. SUPERFICIES DE REFERENCIA 5
2.2.1. SUPERFICIE TOPOGRÁFICA 5
2.2.2. SUPERFICIE FÍSICA 5
2.2.3. SUPERFICIE MATEMÁTICA 5
2.3. SISTEMAS GEODÉSICOS DE REFERENCIA 6
2.3.1. SISTEMAS DE REFERENCIA LOCALES 6
2.3.2. SISTEMA DE REFERENCIA GLOBAL 6
2.4. MARCOS DE REFERENCIA 6
2.4.1. MARCOS DE REFERENCIA LOCALES 6
2.4.2. MARCOS DE REFERENCIA GLOBALES 6
2.5. RED GEODÉSICA MUNICIPAL DE LA CIUDAD DE LA PAZ 7
2.5.1. CARACTERÍSTICAS 7
2.6. SISTEMA DE COORDENADAS GEODÉSICAS 7
2.6.1. LATITUD ( ) 7
2.6.2. LONGITUD ( ) 8
2.7. SISTEMA DE ALTURAS EN GEODESIA 8
2.7.1. ALTURA ELIPSOIDAL 9
2.7.2. ALTURA ORTOMÉTRICA 9
2.7.3. ALTURA GEOIDAL 9
2.8. TRIANGULACIÓN 9
2.8.1. FINALIDAD CIENTÍFICA 9
2.8.2. FINALIDAD PRÁCTICA 9
2.8.3. FUNDAMENTO MATEMÁTICO DE LA TRIANGULACIÓN 9
2.8.4. RECONOCIMIENTO DE TRIANGULACIÓN 10
2.8.5. CARACTERÍSTICAS DE LA TRIANGULACIÓN 10
2.8.6. FUERZA DE LA FIGURA “R” 11
2.9. TEOREMA DE LEGENDRE 12
2.10. PROBLEMA DIRECTO E INVERSO DE LA GEODESIA 12
2.10.1. PROBLEMA DIRECTO 12
2.10.2. PROBLEMA INVERSO 14
2.11. NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA 15
2.11.1. NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA RECÍPROCA 15
CAPÍTULO III
DESARROLLO DEL TRABAJO
3.1. RECOPILACIÓN DE INFORMACIÓN 17
3.2. PLANEAMIENTO 17
3.2.1. PERSONAL, INSTRUMENTOS, MATERIALES Y TRANSPORTE 17
3.2.1.1. PERSONAL 17
3.2.1.2. INSTRUMENTOS 17
3.2.1.3. MATERIALES 18
3.2.1.4. TRANSPORTE 18
3.3. RECONOCIMIENTO 18
3.4. DISEÑO DEL CUADRILÁTERO Y ELECCIÓN
DE LA BASE GEODÉSICA 18
3.5. CÁLCULO DE LA FUERZA DE LA FIGURA 19
3.6. TRABAJO DE CAMPO 22
3.6.1. LECTURA DE ÁNGULOS HORIZONTALES 22
3.6.2. LECTURA DE ÁNGULOS ZENITALES 24
3.7. TRABAJO DE GABINETE 25
3.7.1. REVISIÓN DATOS DE CAMPO 25
3.7.2. AJUSTE DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DEL CUADRILÁTERO 25
3.7.3. CÁLCULO DE COORDENADAS GEODÉSICAS
DE LOS PUNTOS “CALV” Y “MUNA” 29
3.7.4. CÁLCULO DE ALTURAS SOBRE EL NIVEL MEDIO
DEL MAR DE LOS PUNTOS “CALV” Y “MUNA” 34
3.7.5. CÁLCULO DE ALTURAS ELIPSOIDALES
DE LOS PUNTOS “CALV” Y “MUNA” 39
3.7.6. RESULTADOS 40
3.7.7. VALIDACIÓN DEL PROYECTO 40
CAPÍTULO V
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
5.1. CONCLUSIONES 42
5.2. RECOMENDACIONES 42
BIBLIOGRAFÍA
ANEXOS
ANEXOS 1. CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES
ANEXOS 2. MONOGRAFÍA DE LOS PUNTOS DEL CUADRILÁTERO
ANEXOS 3. PLANILLA DE SERIES ÁNGULOS HORIZONTALES
ANEXOS 4. PLANILLA DE SERIES ÁNGULOS ZENITALES
BIBLIOGRAFÍA
APUNTES DE GEODESIA, INSTITUTO GEOGRÁFICO MILITAR, BOLIVIA 1966.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA, FERNANDO MARTIN ASÍN,
MADRID 1983.
TOPOGRAFÍA PARA INGENIEROS, PHILIP KISSAN, MADRID 1967.
TOPOGRAFÍA, LÓPEZ – CUERVO, MADRID 1993.
APUNTES DE GEODESIA GEOMÉTRICA I, M. EUGENIA MARIACA DE
PEINADO, LA PAZ 2008.
APUNTES DE GEODESIA GEOMÉTRICA II, PRESENTACIÓN GEODESIA
SATELITARIA, J. DANIEL FLORES VARGAS, LA PAZ, 2009.
AGRADECIMIENTOS
En primer lugar deseo agradecer a toda mi familia, en
especial a mis queridos padres que gracias a ellos estoy
logrando una de las metas más importantes de mi vida.
También hago llegar mis agradecimientos a Lic. Daniel
Flores Vargas y Lic. Reynaldo Sirpa Ticona, Docentes de
la Carrera de Topografía y Geodesia, por sus valiosas
sugerencias para la realización del trabajo de campo y
elaboración del presente informe.
Agradecer a todo el plantel docente y administrativo de la
Carrera de Topografía y Geodesia por haberme acogido,
instruido y formado
RESUMEN
El presente informe de Trabajo de Aplicación, describe de manera detallada el diseño,
observación, cálculo y ajuste para la obtención de coordenadas utilizando un
cuadrilátero a partir de una base geodésica de cuarto orden, y para la determinación de
la tercera coordenada (altura sobre el nivel medio del mar H, y altura elipsoidal h)
utilizando nivelación trigonométrica reciproca.
El trabajo de aplicación en campo fué desarrollado en la ciudad de La Paz, tomando
como vértices del cuadrilátero cuatro puntos de la red Geodésica de la ciudad de La
Paz, que se encuentran en cuatro diferentes zonas, en el cual se eligió la base
geodésica a partir de las puntos P27 y P28.
Durante el trabajo de campo se realizó la observación y/o lectura de los ángulos
horizontales internos del cuadrilátero en posición directa e inversa y sus
correspondientes cierres angulares con un número de series igual a cuatro. La lectura
de ángulos zenitales se la realizó en posición directa e inversa con un número de
series igual a dos.
Con la información recopilada en campo se realiza el ajuste y corrección por mínimos
cuadrados para los ángulos horizontales, mientras que con los ángulos zenitales se
obtiene solo en promedio un valor angular.
Concluido el ajuste y corrección de los ángulos internos del cuadrilátero, se emplea el
teorema de Legendre para la obtención de ángulos esféricos a partir de ángulos planos
corregidos. Con los ángulos esféricos calculados se procede a determinar las
coordenadas geodésicas empleando el problema directo de la geodesia.
Mientras que para la determinación de la alturas (H y h) se realiza empleando fórmulas
de la nivelación trigonométrica recíproca tomando como referencia las alturas de los
puntos de la base geodésica.
ÍNDICE
CAPÍTULO I
GENERALIDADES
1.1. INTRODUCCIÓN 1
1.2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 1
1.3. JUSTIFICACIÓN 2
1.4. UBICACIÓN GEOGRÁFICA 2
1.5. OBJETIVOS 3
1.5.1. OBJETIVO GENERAL 3
1.5.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 3
CAPÍTULO II
MARCO TEÓRICO
2.1. GEODESIA 4
2.1.1. GEODESIA GEOMÉTRICA 4
2.1.2. GEODESIA FÍSICA 4
2.1.3. GEODÉSICA ASTRONÓMICA 4
2.1.4. GEODESIA ESPACIAL 4
2.2. SUPERFICIES DE REFERENCIA 5
2.2.1. SUPERFICIE TOPOGRÁFICA 5
2.2.2. SUPERFICIE FÍSICA 5
2.2.3. SUPERFICIE MATEMÁTICA 5
2.3. SISTEMAS GEODÉSICOS DE REFERENCIA 6
2.3.1. SISTEMAS DE REFERENCIA LOCALES 6
2.3.2. SISTEMA DE REFERENCIA GLOBAL 6
2.4. MARCOS DE REFERENCIA 6
2.4.1. MARCOS DE REFERENCIA LOCALES 6
2.4.2. MARCOS DE REFERENCIA GLOBALES 6
2.5. RED GEODÉSICA MUNICIPAL DE LA CIUDAD DE LA PAZ 7
2.5.1. CARACTERÍSTICAS 7
2.6. SISTEMA DE COORDENADAS GEODÉSICAS 7
2.6.1. LATITUD ( ) 7
2.6.2. LONGITUD ( ) 8
2.7. SISTEMA DE ALTURAS EN GEODESIA 8
2.7.1. ALTURA ELIPSOIDAL 9
2.7.2. ALTURA ORTOMÉTRICA 9
2.7.3. ALTURA GEOIDAL 9
2.8. TRIANGULACIÓN 9
2.8.1. FINALIDAD CIENTÍFICA 9
2.8.2. FINALIDAD PRÁCTICA 9
2.8.3. FUNDAMENTO MATEMÁTICO DE LA TRIANGULACIÓN 9
2.8.4. RECONOCIMIENTO DE TRIANGULACIÓN 10
2.8.5. CARACTERÍSTICAS DE LA TRIANGULACIÓN 10
2.8.6. FUERZA DE LA FIGURA “R” 11
2.9. TEOREMA DE LEGENDRE 12
2.10. PROBLEMA DIRECTO E INVERSO DE LA GEODESIA 12
2.10.1. PROBLEMA DIRECTO 12
2.10.2. PROBLEMA INVERSO 14
2.11. NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA 15
2.11.1. NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA RECÍPROCA 15
CAPÍTULO III
DESARROLLO DEL TRABAJO
3.1. RECOPILACIÓN DE INFORMACIÓN 17
3.2. PLANEAMIENTO 17
3.2.1. PERSONAL, INSTRUMENTOS, MATERIALES Y TRANSPORTE 17
3.2.1.1. PERSONAL 17
3.2.1.2. INSTRUMENTOS 17
3.2.1.3. MATERIALES 18
3.2.1.4. TRANSPORTE 18
3.3. RECONOCIMIENTO 18
3.4. DISEÑO DEL CUADRILÁTERO Y ELECCIÓN
DE LA BASE GEODÉSICA 18
3.5. CÁLCULO DE LA FUERZA DE LA FIGURA 19
3.6. TRABAJO DE CAMPO 22
3.6.1. LECTURA DE ÁNGULOS HORIZONTALES 22
3.6.2. LECTURA DE ÁNGULOS ZENITALES 24
3.7. TRABAJO DE GABINETE 25
3.7.1. REVISIÓN DATOS DE CAMPO 25
3.7.2. AJUSTE DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DEL CUADRILÁTERO 25
3.7.3. CÁLCULO DE COORDENADAS GEODÉSICAS
DE LOS PUNTOS “CALV” Y “MUNA” 29
3.7.4. CÁLCULO DE ALTURAS SOBRE EL NIVEL MEDIO
DEL MAR DE LOS PUNTOS “CALV” Y “MUNA” 34
3.7.5. CÁLCULO DE ALTURAS ELIPSOIDALES
DE LOS PUNTOS “CALV” Y “MUNA” 39
3.7.6. RESULTADOS 40
3.7.7. VALIDACIÓN DEL PROYECTO 40
CAPÍTULO V
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
5.1. CONCLUSIONES 42
5.2. RECOMENDACIONES 42
BIBLIOGRAFÍA
ANEXOS
ANEXOS 1. CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES
ANEXOS 2. MONOGRAFÍA DE LOS PUNTOS DEL CUADRILÁTERO
ANEXOS 3. PLANILLA DE SERIES ÁNGULOS HORIZONTALES
ANEXOS 4. PLANILLA DE SERIES ÁNGULOS ZENITALES
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1
CAPÍTULO I
GENERALIDADES
1.1. INTRODUCCIÓN
El establecimiento de una red geodésica es uno de los objetivos principales que
persigue la geodesia, pues en ella se basarán una gran cantidad de estudios y trabajos
posteriores. Una red geodésica consiste en una serie de puntos distribuidos por la
superficie terrestre de un determinado lugar, formando una malla de triángulos
(triangulación), en los cuales tras un proceso de cálculos se conocen todos sus
elementos incluyendo las coordenadas de todos sus vértices, a los cuales se los
denominan vértices geodésicos.
La triangulación consiste en la medición de ángulos de una serie de triángulos con
equipos ópticos mecánicos y electrónicos como ser teodolitos, taquímetros, estaciones
totales, etc. Este método es empleado para la determinación de coordenadas de
vértices ubicados a distancias considerables, los mismos que sirven a su vez para ligar
diversos trabajos topográficos.
En general resultará conveniente establecer un cuadrilátero como red básica de
transporte de coordenadas, cuando el terreno presente puntos altos, distribuidos de
forma tal, que permitan establecer vértices formando triángulos próximos al equilátero y
cuya longitud de lado esté dentro de los órdenes recomendados y las visuales entre
vértices deberán estar libres de obstáculos.
1.2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
La necesidad de determinar y establecer coordenadas geodésicas es uno de los
objetivos que persigue la Geodesia para realizar diferentes planes, programas, y
proyectos en topografía, utilizando criterios de Geodesia Clásica se resuelve este
problema, tomando como base de un cuadrilátero de cuarto orden, realizando lectura
de ángulos horizontales y zenitales en campo por el método de series, para determinar
mediante cálculo las coordenadas sobre el elipsoide y sus correspondientes alturas por
el método de nivelación trigonométrica reciproca.
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2
1.3. JUSTIFICACIÓN
Existen diversos métodos para la determinación de coordenadas geodésicas como por
ejemplo: triangulación, trilateración, posicionamiento satelital, etc., por lo expuesto, a
la fecha no se ha logrado realizar una comparación entre dos métodos para la
obtención de coordenadas, como la triangulación Geodésica y el Sistema de
Posicionamiento Global (GPS), el presente trabajo de aplicación trata
fundamentalmente en realizar una comparación entre coordenadas obtenidas a través
un cuadrilátero y sus respectivas alturas sobre el nivel medio del mar y sobre el
elipsoide, con puntos de la red Geodésicas de la ciudad de La Paz.
1.4. UBICACIÓN GEOGRÁFICA
El presente trabajo de aplicación se lo realizó en:
Departamento de La Paz.
Provincia Murillo.
Ciudad de La Paz.
Zonas: Pampahasi Alto, V. Armonía, V. Nueva Potosí y Alto Munaypata.
Figura 1 (Ubicación Geográfica del trabajo de aplicación)
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3
1.5. OBJETIVOS
1.5.1. OBJETIVO GENERAL
Realizar el diseño, observación, cálculo y ajuste para la obtención de coordenadas
utilizando un cuadrilátero a partir de una base geodésica de cuarto orden.
1.5.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Obtener la altura sobre el nivel medio del mar y la altura elipsoidal de los vértices
“CALV” y MUNA”, mediante el método de nivelación trigonométrica recíproca.
Realizar la comparación de los vértices “CALV” y MUNA”, calculados y los datos de
la red geodésica de la ciudad de La Paz.
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4
CAPÍTULO II
MARCO TEÓRICO
2.1. GEODESIA
Es la ciencia que se estudia la forma y dimensiones de la Tierra, y su campo de
gravedad. El campo que abarca la Geodesia es muy amplio, razón por la cual es
preciso dividirla en distintas ramas1:
2.1.1. GEODESIA GEOMÉTRICA
Es aquella rama de la geodesia en la que los datos de observación están constituidos
por las medidas de ángulos y distancias en la superficie terrestre, Estos datos son
referidos a un elipsoide de referencia para construir las triangulaciones.
2.1.2. GEODESIA FÍSICA
Estudia el campo gravitatorio de la Tierra, partiendo de mediciones del mismo
(mediante estaciones gravimétricas). Estudio de los problemas de reducción y de
desviación de la vertical.
2.1.3. GEODÉSICA ASTRONÓMICA
Estudia los métodos astronómicos que permiten determinar las coordenadas
geográficas sobre la superficie terrestre de una serie de puntos fundamentales
conocidos con el nombre de “Datum” o “Puntos astronómicos fundamentales” sobre los
cuales se basará el cálculo de las posteriores redes geodésicas.
2.1.4. GEODESIA ESPACIAL
Utiliza satélites artificiales para la determinación de posiciones. Esto se consigue
mediante el establecimiento de una red de puntos distribuidos por la superficie
terrestre, de los cuales se determinan sus coordenadas, así como su altura sobre el
nivel medio del mar con muy elevada precisión.
1 LOPEZ – CUERVO, S.: TOPOGRAFIA, MADRID, 1993.
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD TÉCNICA CARRERA DE TOPOGRAFÍA Y GEODESIA
5
2.2. SUPERFICIES DE REFERENCIA
Las superficies de referencia se pueden describir de la siguiente manera2:
Figura 2 (Superficies de Referencia)
2.2.1. SUPERFICIE TOPOGRÁFICA
Es la constitución materialmente por el terreno, que es sumamente irregular y además
es variable con el tiempo por acciones naturales y artificiales, en esta superficie se
realizan todas las mediciones geodesia o topográficas.
2.2.2. SUPERFICIE FÍSICA
Es el geoide, es una superficie ideal íntimamente ligado al campo de gravedad de la
Tierra, el geoide es una de las infinitas superficies equipotenciales del campo de
gravedad terrestre. Se entiende por superficie equipotencial de este campo, aquella en
la que el desplazamiento del vector gravedad no genera trabajo.
2.2.3. SUPERFICIE MATEMÁTICA
Es la de un elipsoide de revolución por ser la que mejor se adapta a la superficie física
(geoide), es la superficie donde se realizan los cálculos Geodésicos.
2 M. EUGENIA MARIACA DE PEINADO, APUNTES DE GEODESIA GEOMETRICA I, LA PAZ, 2008
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD TÉCNICA CARRERA DE TOPOGRAFÍA Y GEODESIA
6
2.3. SISTEMAS GEODÉSICOS DE REFERENCIA
Se definen a partir de consideraciones matemáticas y e involucran la especificación de
parámetros, puntos de origen, planos, ejes, etc3.
2.3.1. SISTEMAS DE REFERENCIA LOCALES
Denominación que expresa que su ámbito de aplicación es reducido, no universal.
Cada sistema de referencia horizontal, debe contar con un punto inicial conocido como
DATUM (punto donde la desviación de la vertical es cero), y un elipsoide de referencia
(el que mejor se adapte al geoide de la región o país).
2.3.2. SISTEMA DE REFERENCIA GLOBAL
Un sistema de referencia geocéntrico queda definido por los tres ejes cartesianos
directos XYZ, fijando el origen en el centro de masas de la Tierra, y de tal forma que el
plano XOZ contiene al meridiano origen, y el eje OZ es muy cercano al eje instantáneo
de rotación terrestre.
2.4. MARCOS DE REFERENCIA
Son puntos materializados en el terreno y ubicados con gran precisión de acuerdo a
alguno de los sistemas de referencia adoptados4.
2.4.1. MARCOS DE REFERENCIA LOCALES
Los marcos de referencia utilizados por los sistemas de referencia locales en su
componente horizontal, estan materializados por las redes de distintos órdenes
geodésicos de triangulación, trilateración, etc., establecidos por cada país.
2.4.2. MARCOS DE REFERENCIA GLOBALES
Son puntos materializados en el terreno con más alta y mejor precisión que los Marcos
de Referencia Locales, ya que son determinados con GPS (Sistema de
Posicionamiento Global), técnicas de VLBI (Veri Long Base Line Interferometry), SLR
(Satellite Laser Ranging), etc.
3 J. DANIEL FLORES VARGAS, PRESENTACION GEODESIA SATELITARIA, LA PAZ, 2009.
4 M. EUGENIA MARIACA DE PEINADO, APUNTES DE GEODESIA GEOMETRICA I, LA PAZ, 2008
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD TÉCNICA CARRERA DE TOPOGRAFÍA Y GEODESIA
7
Constituido por un conjunto de coordenadas y velocidades geocéntricas con precisión
de 1 a 3 cm en coordenadas y de 2 a 5 mm/año en velocidades.
2.5. RED GEODÉSICA MUNICIPAL DE LA CIUDAD DE LA PAZ
Son puntos de control materializados en el terreno con mojones de concreto. Es una
valiosa herramienta para desarrollar y mantener en vigencia la cartografía urbana, de
manera que todos los levantamientos topográficos locales se refieran a ella. Está
monumentada con mojones de concreto para asegurar su permanencia, consiste en
vértices con valores X,Y,Z, en un sistema de coordenadas geodésicas y Universal
Transversa de Mercator (UTM), está ligada a la Red Geodésica Nacional referida a la
red MARGEN (WGS-84), con lo que será factible tener una continuidad cartográfica
con otros municipios y con el Estado5.
2.5.1. CARACTERÍSTICAS
Los Puntos de la Red Geodésica Municipal, en su control Horizontal, están vinculados
a la Red MARGEN de Bolivia (Marco de Referencia Geocéntrica Nacional) esta a su
vez se vincula a la red SIRGAS (Sistema de Referencia Geocéntrica para las
Américas) establecido en el sistema WGS - 84 (Sistema Geodésico Mundial del año
1984), en su control vertical, están nivelados con el método de nivelación geométrica
referidos al nivel medio del mar Datum Vertical Arica (República de Chile),con una
precisión correspondiente a una nivelación de tercer orden geodésico.
2.6. SISTEMA DE COORDENADAS GEODÉSICAS
La posición de un punto sobre el elipsoide terrestre queda determinada por la
intersección de un meridiano y un paralelo, constituyendo sus coordenadas geodésicas
Longitud y Latitud6.
2.6.1. LATITUD ( )
Ángulo formado por la normal que pasa por el elipsoide y el plano del Ecuador, se mide
de 0º a 90ºN para el hemisferio norte y de º0 a 90ºS para el hemisferio sur.
5 RED GEODESICA DE LA CIUDAD DE LA PAZ, 2005
6 M. EUGENIA MARIACA DE PEINADO, APUNTES DE GEODESIA GEOMETRICA I, LA PAZ, 2008
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD TÉCNICA CARRERA DE TOPOGRAFÍA Y GEODESIA
8
2.6.2. LONGITUD ( )
Ángulo diedro formado entre plano del meridiano origen (Greenwich), y el plano del
meridiano de un punto dado, las longitudes se miden de 0º a 180º hacia el este u oeste
del meridiano origen.
Figura 3 (Sistemas de coordenadas Geodésicas)
2.7. SISTEMA DE ALTURAS EN GEODESIA
Las alturas que se consideran en geodesia básicamente son tres. Altura elipsoidal,
altura ortométrica y altura geoidal7.
Figura 4 (Sistema de alturas en Geodesia)
7 M. EUGENIA MARIACA DE PEINADO, APUNTES DE GEODESIA GEOMETRICA I, LA PAZ, 2008
Z
X
Y
NORMAL
ELIPSOIDE
Z'
Y'
X'
P
N
MERIDIANO
ORIGEN
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9
2.7.1. ALTURA ELIPSOIDAL
Es la separación entre la superficie topográfica y la superficie del elipsoide, y se mide a
lo largo de la normal al elipsoide y se la denota con la letra h.
2.7.2. ALTURA ORTOMÉTRICA
Es la distancia vertical entre la superficie física de la Tierra y la superficie del geoide.
Esta distancia se mide a lo largo de la línea de plomada, la cual es la curva que es
tangencial a la dirección de la gravedad en cualquier punto. La línea de plomada no es
una línea recta, ya que tiene una leve curvatura
2.7.3. ALTURA GEOIDAL
Represente la separación vertical entre el geoide y elipsoide.
2.8. TRIANGULACIÓN
Es uno de los procedimientos empleados en geodesia para la determinación de las
posiciones de puntos sobre la superficie de la Tierra a los efectos de ser utilizados con
fines científicos y prácticos7.
2.8.1. FINALIDAD CIENTÍFICA
Determinación de la forma y tamaño de la Tierra, el método usado por los antiguos
griegos con el fin de obtener elementos de juicio para la determinación del tamaño de
la Tierra, es básicamente usada para la determinación del elipsoide de revolución que
más se adapte al geoide.
2.8.2. FINALIDAD PRÁCTICA
Proporcionar el marco planimétrico que sirve de apoyo y control en levantamientos
topográficos.
2.8.3. FUNDAMENTO MATEMÁTICO DE LA TRIANGULACIÓN
El procedimiento de la triangulación fue idea por W. Snellius (1591-1626) basado en
teorema de trigonometría plana, midiendo los tres ángulos internos y conociendo un
lado puedo calcular los otros lados.
7 INSTITUTO GEOGRAFICO MILITAR, APUNTES DE GEODESIA, BOLIVIA, 1966.
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10
A B
C
b a=base
c
senA
senBab *
senA
senCac *
Figura 5 (Fundamento matemático de la triangulación)
2.8.4. RECONOCIMIENTO DE TRIANGULACIÓN
El reconocimiento se ejecuta en cuadriláteros con dobles diagonales, ocupándose
simultáneamente los 4 vértices, de los cuales por lo general, dos ya han sido
reconocidos anteriormente, debiéndose reconocer los dos restantes.
Los observadores, uno en cada vértice del cuadrilátero a reconocer, se mantienen en
comunicación ya sea por radio o mediante señales luminosas. Los ángulos deben estar
en lo posible entre 30º y 120º (esto surge del hecho de que se considera al triangulo
equilátero como la forma mas favorable de trabajo).
2.8.5. CARACTERÍSTICAS DE LA TRIANGULACIÓN
Las triangulaciones geodésicas se las clasifican como 1er, 2do, 3er y 4to orden. En la
tabla siguiente se puede ver algunas de sus características:
Tabla 1 (Órdenes de Triangulación)
ORDEN LONGITUD
DE LADOS
CIERRE
ÁNGULAR
FUERZA DE
LA FIGURA
1er. 25 Km 1’’ 5015 21 RyR
2do. 12 Km 3’’ – 5’’ 8025 21 RyR
3er. 5 Km 5’’ – 10’’ 12025 21 RyR
4to. 5 Km 8’’ 12025 21 RyR
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11
2.8.6. FUERZA DE LA FIGURA “R”
“R” es una medida de la bondad de la figura y es independiente de la precisión con que
los ángulos son medidos, cuanto mas pequeño R mas fuerte resulta la figura.
Si el valor de este factor es calculado para cada camino posible a través de la
triangulación, resultaría un valor mínimo R1 para la mejor cadena de triángulos; R2 para
el que sigue en bondad y valores R3, R4, etc., para los que siguen en orden decreciente
de precisión.
“R” se calcula mediante la siguiente expresión:
)*(* 22
BBAAD
CDR
Donde:
D =número de direcciones nuevas que intervienen en la figura
ClCac
Ca = número de ecuaciones angulares
1 plCa
l = número de líneas observadas en ambas direcciones (incluido el lado
conocido).
p = número de estaciones ocupadas.
Cl = número de condición de ecuaciones laterales.
3'2' plCl Cl
'l = número total de líneas (incluye el lado conocido).
'p = número total de estaciones.
BA , = diferencia por segundo en la sexta cifra de los logaritmos del seno del
valor angular en la cadena utilizada.
sensenBA log)''1(log,
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12
2.9. TEOREMA DE LEGENDRE
Enunciado:
Los ángulos A,B,C de un triángulo esférico cuyos lados a,b,c son muy pequeños con
relación al radio de la esfera, son iguales a los lados correspondientes (A1,B1,C1) del
triangulo planos cuyos lados son también a,b,c aumentando a cada ángulo con el tercio
del exceso esférico del triangulo8.
aa
b b
cc
A A1
B B1
C C1
Figura 6 (Teorema de Legendre)
3
'';
3
'';
3
''111
CCBBAA
Donde:
''1*)1(**2
)*1(***''
2
222
1
senea
senesenAcb
2.10. PROBLEMA DIRECTO E INVERSO DE LA GEODESIA
Dados dos puntos P1 y P2 de un elipsoide revolución9.
2.10.1. PROBLEMA DIRECTO
Conocidas:
Las coordenadas ( 11 ) de P1
La longitud del arco geodésico (s) de P1 a P2
El azimut 1PA
8 INSTITUTO GEOGRAFICO MILITAR, APUNTES DE GEODESIA, BOLIVIA, 1966.
9 E. CALERO, GEOMETRIA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCION, 2DA PARTE, MARZO, 2005
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13
Determinar:
Las coordenadas ( 22 ) de P2
El azimut 2PA
Donde:
a semieje mayor, b semieje menor.
2'e segunda excentricidad al cuadrado.
f achatamiento.
Procedimiento:
sssss
sssssss
sssssss
ss
s
PP
senee
sene
ma
senee
senee
m
sene
asenee
msene
a
sengsensensene
a
radianesb
s
sene
m
AgsenAPreducidaLatitud
a
bPreducidaLatitud
2444
11
34
2424
2
1
42
1
22
1
2
10
11
2
1
22
1
0
2
1
22
1
111100
111
cos8
'5cos
4
'
8
'3
cos32
'5cos
8
'cos
64
'13
64
'11
cos8
'5cos
2
'
4
'
2
'
cos2
'1
cos12
'1
coscoscoscos:
tantan:
0, 1 PAmeridianodeldiferenteArco
10
10101
2
coscoscoscot
.
0,
P
P
P
senAsen
AsensenL
anteriorfórmulaladenumerador
delelessignoelyAmeridianodearcoundetrataseCuando
0
0102
cos
coscot
sensengAP
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14
sssss sen
ffmsen
fafL cos
4
3
4
3
2
3cos
22
1
2
10
2
22
2
0100
2
2
0012
costan
coscoscos
sen
senseng
gsensensensen
2.10.2. PROBLEMA INVERSO
Conocidas:
Las coordenadas geodésicas ( 11 ) de P1 y ( 22 ) de P2
Determinar:
La longitud del arco geodésico (s) de P1 a P2
El azimut 1PA
El azimut 2PA
Donde:
a semieje mayor, b semieje menor.
f achatamiento.
Procedimiento:
2
2112
2
2
2121
12
222
111
coscoscoscos
coscoscoscos
:
tantan:
tantan:
sensensensen
sensen
longitudesdeDiferencia
a
bPreducidaLatitud
a
bPreducidaLatitud
φ
φ
12
22 tantan b
a
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15
2
121121 1;;
coscoscmsensena
sen
senc
φ
φφφφφ
φφ-φφ
2
2
cotcos42
5
csc2
222
1
22
1
2
fsenff
m
fsenf
aff
cL
2.11. NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA
Se utiliza para la determinación de la tercera coordenada o altura de los puntos
topográficos, la nivelación trigonométrica, se apoya en los puntos de triangulación,
basada en la medida de distancias zenitales10.
2.11.1. NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA RECÍPROCA
Debido a los efectos de la refracción atmosférica y curvatura de la Tierra, se emplea
este método de nivelación para eliminar estos dos efectos.
10J. DANIEL FLORES VARGAS, APUNTES DE GEODESIA GEOMETRICA II, LA PAZ, 2009
φφ-φφ-φφφ
φφφφφφ
φφφφ-φ
φφ-φφ
2
2
2
2
32222
2
1
222
11
22
1
222
1
22
1
2
cos8
cot2
cos1616
cos2
csc2
cos2
cot2
cos22
csc2
1
senff
senff
m
senff
masenf
a
fsen
ffffm
fsenffaff
bs
2
21121
cos
coscoscoscot
senL
LsensenAP
1
21122
cos
coscoscoscot
senL
senLsenAP
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16
Figura 7 (Nivelación trigonométrica recíproca)
1. Reducción del ángulo de pendiente a la línea de unión.
AAA SZ
BBB SZ
Donde: ''1* senS
tT
A
AAA
;
''1* senS
tT
B
BBB
2. Cálculo de
mRdondeR
S6370000
3. Cálculo de R
BABA senNM
NMR
22 *cos*
*
4. Cálculo de H
22cos
2*
2*)(*2
AB
AB
ABAZZ
ZZsen
senHRH
SB
TB
tB
ZB
A
B
S
SA
HA
R
0
HB= HA + HtA
TA
ZA
R
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17
CAPÍTULO III
DESARROLLO DEL TRABAJO
3.1. RECOPILACIÓN DE INFORMACIÓN
Para el presente trabajo se recopiló información referente a:
Listado de coordenadas Geodésicas en formato digital de red Geodésica de la
ciudad de La Paz.
Para la elección de una base Geodésica se utilizó el plano de puntos
establecidos de la red Geodésica de la ciudad de La Paz.
3.2. PLANEAMIENTO
Antes del inicio del trabajo de campo y gabinete, el planeamiento se efectuó de
acuerdo a cronograma de actividades distribuidas en las siguientes etapas:
Reconocimiento.
Diseño del cuadrilátero y elección de la base geodésica.
Cálculo de la fuerza de la figura
Se planificó el trabajo de campo con el personal para coordinar los horarios y
desplazamiento para el cumplimiento de la misión. En esta etapa se realizó la
conformación de la brigada de trabajo de campo de la siguiente manera:
3.2.1. PERSONAL, INSTRUMENTOS, MATERIALES Y TRANSPORTE
3.2.1.1. PERSONAL
Operador.
Un record.
Cuatro alarifes.
3.2.1.2. INSTRUMENTOS
Cuatro GPS Navegadores.
Un trípode.
Tres jalones.
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18
Estación Total marca SOKKIA modelo SET610, que cuenta con aumento del
anteojo de 32X y precisión angular de 1’’.
3.2.1.3. MATERIALES
Teléfonos celulares.
Cámaras fotográficas.
Tableros y planilla de series.
3.2.1.4. TRANSPORTE
Una vagoneta 4X4 NISSAN – PATROL.
Accesorios para el vehículo.
3.3. RECONOCIMIENTO
Con el listado de coordenadas de la red Geodésica de la ciudad de La Paz, se realizó
el reconocimiento de algunos puntos en campo con el empleo de un GPS navegador,
verificando que cuenten con su respectivo disco de bronce y su correspondiente
inscripción, además que exista intervisibilidad entre estaciones.
3.4. DISEÑO DEL CUADRILÁTERO Y ELECCIÓN DE LA BASE GEODÉSICA
Luego de realizar el reconocimiento en campo se optó por los puntos P27, P28, CALV
y MUNA como vértices para el diseño del cuadrilátero, y tomando como base
Geodésica los puntos P27 y P28.
Figura 8 (Cuadrilátero y Base Geodésica)
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19
3.5. CÁLCULO DE LA FUERZA DE LA FIGURA
Con el empleo de Google Earth y un transportador se logró determinar
aproximadamente los ángulos internos del cuadrilátero con el fin de calcular la fuerza
de la figura, con la siguiente expresión:
)*(* 22
BBAAD
CDR
1. Cálculo de D
CD en el cuadrilátero
MUNA
CALV
P28
P27
Figura 16 (Direcciones nuevas en el cuadrilátero para el cálculo de “D”)
Donde:
10D
ClCaC
3'2'1 plplC
4C
Entonces:
6.010
410
D
CD
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20
2. Cálculo de )*( 22 BBAA en ambos caminos en el cuadrilátero.
1er camino de cálculo:
MUNA
CALV
P28
P27
A
A
B
B
09º
110º
112º
26º
Figura 17 (1er camino de cálculo en el cuadrilátero)
En el triangulo P27, P28 y MUNA
3.1310*log)''1(log 6 senAAsenA
9.010*log)''1(log 6 senBBsenB
166* 22 BBA
En el triangulo P28, CALV y MUNA
8.010*log)''1(log 6 senAAsenA
3.410*log)''1(log 6 senBBsenB
16* 22 BBA
Entonces:
16661)*( 22 BBAA
821)*( 22 BBAA
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21
2do camino de cálculo:
P27
P28
CALV
MUNA
A
A
B
B50º
31º
13º
85º
Figura 18 (2do camino de cálculo en el cuadrilátero)
En el triangulo P27, P28 y CALV
1.910*log)''1(log 6 senAAsenA
2.010*log)''1(log 6 senBBsenB
85* 22 BBAA
En el triangulo P27, CALV y MUNA
8.110*log)''1(log 6 senAAsenA
5.310*log)''1(log 6 senBBsenB
22* 22 BBAA
Entonces:
2258)*( 22 BBAA
107)*( 22 BBAA
Reemplazando los valores obtenidos del 1er y 2do camino de cálculo obtenemos dos
resistencias:
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22
Para el 1er camino )*(* 22
1
BBAAD
CDR
182*6.01 R
Para el 2do camino )*(* 22
2
BBAAD
CDR
107*6.02 R
Por lo tanto se concluye que el mejor camino para cálculo de coordenadas geodésicas es el
2do camino debido a que adopta la forma más favorable de trabajo.
3.6. TRABAJO DE CAMPO
3.6.1. LECTURA DE ÁNGULOS HORIZONTALES
La lectura de ángulos horizontales se lo realizó por el método de series con un número
igual a 4, de acuerdo a las siguientes imposiciones:
Tabla 2 (Imposiciones para la lectura de ángulos horizontales)
SERIE IMPOSICIÓN
I 00º 00’ 40’’
II 225º 03’ 10’’
II 90º 05’ 40’’
IV 315º 08’ 10’’
Las mismas fueron obtenidas utilizando la siguiente relación:
SERIESNIMPOSICIÓN
180
PROCEDIMIENTO:
El equipo se estaciona en cada punto y/o vértice del cuadrilátero, en los otros
puntos se encuentran jalones debidamente marcadas para que exista una buena
visibilidad para la lectura de ángulos horizontales y zenitales.
1091 R
642 R
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23
Luego de estacionar el equipo, se leen a los ángulos horizontales internos del
cuadrilátero con las imposiciones ya descritas anteriormente en posición directa e
inversa anotándolos en la planilla de series. (ANEXO 2).
El siguiente paso es realizar la lectura de los ángulos externos correspondiente en
cada estación con las mismas imposiciones calculadas.
La lectura de ángulos horizontales se muestra gráficamente en las siguientes
figuras:
a) Lectura de ángulos horizontales
en posición directa.
P-27
P-28
CALV
MUNA
Figura 9
b) Lectura de ángulos horizontales
en posición directa e inversa.
MUNA
CALV
P-28
P-27
Figura 10
c) Lectura de cierre angular en
posición directa (Punto MUNA).
MUNA
CALV
P-28
P-27
Figura 11
d) Lectura de cierre angular en
posición directa e inversa (Punto
MUNA).
P-27
P-28
CALV
MUNA
Figura 12
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24
3.6.2. LECTURA DE ÁNGULOS ZENITALES
Luego de la lectura de ángulos horizontales se procedió a la lectura de ángulos
zenitales de acuerdo al siguiente procedimiento.
PROCEDIMIENTO:
Lectura en posición directa e inversa de ángulos zenitales desde cada estación
base hacia los vértices del cuadrilátero, de las cuales se desea conocer sus alturas,
anotándolos en planilla de series de ángulos zenitales. (ANEXO 3).
Inmediatamente terminado el anterior procedimiento se realiza el cambio de
estación desde los puntos de la base hacia los otros dos vértices del cuadrilátero.
P27
MUNA
SP27-MUNA
SP27
R
0
tP27
TP27
ZP27
HP-27
R
Figura 13. (Lectura del ángulo zenital 27PS desde una estación base).
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25
ZMUNA
TMUNA
tMUNA
SMUNA
SP27-MUNA
R
0
HP-27
P27
MUNA
R
Figura 14. (Lectura del ángulo zenital MUNAS hacia una estación base)
3.7. TRABAJO DE GABINETE
3.7.1. REVISIÓN DATOS DE CAMPO
A la conclusión del trabajo de campo se verificaron los datos obtenidos en las planillas
referente a:
Número de series para la lectura de ángulos horizontales.
Número de series para la lectura de ángulos zenitales.
Altura del equipo, y altura de los jalones
3.7.2. AJUSTE DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DEL CUADRILÁTERO
Luego de realizar el trabajo de campo y el llenado de planillas de series de ángulos
horizontales se ajusta el cuadrilátero por mínimos cuadrados, de acuerdo a la siguiente
tabla y figura.
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26
Tabla 4 (Ángulos internos sin corregir del cuadrilátero)
NRO.
1 81º 50’ 54’313’’
2 30º 56’ 32.125’’
3 26º 41’ 11.313’’
4 58º 36’ 46.375’’
5 98º 06’ 00.813’’
6 12º 51’ 07.563’’
7 08º 35’ 44.125’’
8 42º 21’ 41.813’’
. 359º 59’ 58.440’’
Error angular del cuadrilátero: ''560.01'00º00º360 E
Tolerancia angular para triangulación de 4to orden es 08’’.
Como la tolerancia es mayor de que el error angular el trabajo se acepta.
2
1
4
3
6
5
8
7
P-27
P-28
CALV
MUNA
Figura 15. (Ángulos internos sin corregir del cuadrilátero)
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27
Aplicando logaritmos a los ángulos impares y pares, además tomando en cuenta un
segundo para la diferencia del logaritmo seno se obtiene las siguientes tablas:
PLANILLA DE CÁLCULOS LOGARÍTMICOS
Tabla 5 (Ángulos impares)
NRO. senlog sensendl log)''1(log
1 81º 50’ 54’313’’ -0.0044102498 0.302
3 26º 41’ 11.313’’ -0.3476490989 4.189
5 98º 06’ 00.813’’ -0.00435467095 -0.300
7 08º 35’ 44.125’’ -0.8254772183 13.929
. -1.181891238
Tabla 6 ((Ángulos pares)
NRO. senlog sensendl log)''1(log
2 30º 56’ 32.125’’ -0.2888899261 3.512
4 58º 36’ 46.375’’ -0.0687110491 1.285
6 12º 51’ 07.563’’ -0.6527966034 9.229
8 42º 21’ 41.813’’ -0.171461538 2.309
. -1.181861724
Empleando la siguiente ecuación matricial:
WBV
WBBBV TT 1)(
Donde:
8
7
6
5
4
3
2
1
87654321
V
V
V
V
V
V
V
V
;)8752(º180
)8653(º180
)6431(º180
;11010010
10110100
00101101
V
IMPARPAR
W
dldldldldldldldl
B
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28
Reemplazando valores y calculando la ecuación matricial tenemos los residuales de los valores angulares:
309.2929.13229.9300.0285.1189.4512.3302.0
11010010
10110100
00101101
B
''514.29
''124.1
''502.1
''436.0
W ;
'0.441'-
'1.553'+
'0.860'-
'0.298'-
'0.543'+
'0.097'+
'0.310'+
'0.656'+
V
Finalmente corregimos los ángulos con los valores de los residuales:
Tabla 7
NRO. ANGULOS SIN
CORRECCION CORRECCION
ANGULOS
CORREGIDOS
1 81º 50’ 54’313’’ +0.656’’ 81º 50’ 54.969’’
2 30º 56’ 32.125’’ +0.310’’ 30º 56’ 32.435’’
3 26º 41’ 11.313’’ +0.097’’ 26º 41’ 11.410’’
4 58º 36’ 46.375’’ +0.543’’ 58º 36’ 46.918’’
5 98º 06’ 00.813’’ -0.298’’ 98º 06’ 00.515’’
6 12º 51’ 07.563’’ -0.860’’ 12º 51’ 06.703’’
7 08º 35’ 44.125’’ +1.553’’ 08º 35’45.678’’
8 42º 21’ 41.813’’ -0.441’’ 42º 21’ 41.372’’
. 359º 59’ 58.440’’ +1.560’’ 360º 00’ 00.000’’
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29
3.7.3. CÁLCULO DE COORDENADAS GEODÉSICAS DE LOS PUNTOS “CALV” Y
“MUNA”
Cálculo CALV, en el triángulo P27, P28 Y CALV
1. Partimos de la base Geodésica seleccionada (P27 y P28), calculando su distancia
y azimuts Geodésicos, empleando fórmulas del problema inverso de la Geodesia.
W
SP
''819.25'06º68
''781.48'29º1627
:
W
SP
''494.20'06º68
''994.21'30º1628
Distancia Geodésica:
.108.03312827 mS PP
Azimuts Geodésicos
''048.27'12º1712827 PP
''536.25'12º3512728 PP
2. Cálculo de distancias P27-CALV y P28-CALV por fórmulas trigonométricas.
Distancia P27-CALV:
6̂
*)4̂3̂( 282727
sen
SsenS PP
CALVP
mS CALVP 000.629427
Distancia P28-CALV:
6̂
*1̂ 282728
sen
SsenS PP
CALVP
mS CALVP 696.597428
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30
3. Cálculo del exceso esférico.
''1*)1(**2
)*1(*6̂**''
2
222
2827
senea
senesenSS MCALVPCALVP
''012.0''
4. Conversión de ángulos planos a esféricos.
CALV
P28
P27 P27
P28
CALV
12º 51' 06.703''
85º17'58.328''
81º50'54.969''
12º 51' 06.707''
85º17'58.332''
81º50'54.973''
N
Figura 19 (Triángulo plano y triángulo esférico)
Tabla 8 (Conversión de ángulos planos a esféricos)
Nro. PLANO 3''
ESF
1 81º 50’ 54.969’’ +0.004’’ 81º 50’ 54.973’’
3+4 85º 17’ 58.328’’ +0.004’’ 85º 17’ 58.332’’
6 12º 51’ 06.703’’ +0.004’’ 12º 51’ 06.707’’
5. Cálculo de los azimuts
Azimut P27- CALV:
1̂282727 ESFPPCALVP
''021.22'03º25327 CALVP
Azimut P28-CALV
)4̂3̂(272828 ESFPPCALVP
''204.27'54º26528 CALVP
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31
6. Cálculo de coordenadas de “CALV” empleando fórmulas del problema directo de la
Geodesia.
SISTEMA DE REFERENCIA WGS - 84
Desde P27
W
SP
''819.25'06º68
''781.48'29º1627
''021.22'03º25327 CALVP
mS CALVP 000.629427
W
SCALV
''136.55'08º68
''652.32'30º16
Desde P28
W
SP
''494.20'06º68
''994.21'30º1628
''204.27'54º26528 CALVP
mS CALVP 696.597428
W
SCALV
''136.55'08º68
''652.32'30º16
Cálculo MUNA, en el triángulo P27, CALV y MUNA
1. Partimos de la nueva base Geodésica (P27 y CALV), calculando su distancia y
azimuts Geodésicos, con fórmulas del problema inverso de la Geodesia.
W
SP
''819.25'06º68
''781.48'29º1627
;
W
SCALV
''136.55'08º68
''652.32'30º16
Distancia Geodésica:
.986.628427 mS CALVP
Azimuts Geodésicos
''986.21'03º25327 CALVP
''402.04'04º7327 PCALV
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32
2. Cálculo de distancias P27-MUNA y CALV-MUNA por fórmulas trigonométricas.
Distancias P27-MUNA:
)8̂7̂(
*5̂ 27
27
sen
SsenS CALVP
MUNAP
mS MUNAP 512.590027
Distancias CALV-MUNA
)8̂7̂(
*2̂ 27
sen
SsenS CALVP
MUNACALV
mS MUNACALV 470.3064
3. Calculo del exceso esférico.
''1*)1(**2
)*1(*)8̂7̂(**''
2
222
27
senea
senesenSS MMUNACALVMUNAP
''036.0''
4. Conversión de ángulos planos a esféricos.
30º 56' 32.435''
50º57'27.050''
MUNA
CALV
P27
98º 06' 00.515''
98º 06' 00.527''
P27
MUNA
50º57'27.062''
30º 56' 32.447''
CALV
N
Figura 20 (Triángulo plano y triángulo esférico)
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33
Tabla 9 (Conversión de ángulos planos a esféricos)
Nro. PLANO 3''
ESF
2 30º 56’ 32.435’’ +0.012’’ 30º 56’ 32.447’’
5 98º 06’ 00.515’’ +0.012’’ 98º 06’ 00.527’’
7+8 50º 57’ 27.050’’ +0.012’’ 50º 57’ 27.062’’
5. Cálculo de los azimuts.
Azimut P27-MUNA:
2̂2727 ESFCALVPMUNAP
''433.54'59º28327 MUNAP
Azimut CALV-MUNA
5̂36027 ESFPCALVMUNACALV
''875.03'58º334MUNACALV
6. Cálculo de coordenadas de “MUNA” empleando fórmulas del problema directo de la
Geodesia.
SISTEMA DE REFERENCIA WGS – 84
Desde P27
W
SP
''819.25'06º68
''781.48'29º1627
''433.54'59º28327 MUNAP
mS MUNAP 512.590027
W
SMUNA
''855.38'09º68
''325.02'29º16
Desde CALV
W
SCALV
''136.55'08º68
''652.32'30º16
''875.03'58º334MUNACALV
mS MUNACALV 470.3064
W
SMUNA
''855.38'09º68
''325.02'29º16
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34
ZCALV
ZP27
SCALV
TCALV
tCALV
LINEA DE UNION
ZCALV
P27
CALV
SP27-CALV
SP27
HP27
R
0
HCALV = HP27 + HtP27
TP27
ZP27
R
3.7.4. CÁLCULO DE ALTURAS SOBRE EL NIVEL MEDIO DEL MAR DE LOS
PUNTOS “CALV” Y “MUNA”
Con los ángulos zenitales obtenidos en campo calculamos las alturas de los puntos
“CALV” Y “MUNA”, mediante fórmulas la nivelación trigonométrica recíproca.
Cálculo de la altura de “CALV”
Desde P27
Datos:
SM ''11'30º16
''986.21'03º25327 CALVP
mHP 132.382827
mS CALVP 000.629427
''5.55'45º8827 PS
''75.05'16º91CALVS
mtP 325.127
mTP 000.227
mtCALV 492.1
mTCALV 000.2
Figura 21 (Visuales recíprocas desde P27 y CALV)
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35
1. Reducción del ángulo de pendiente a la línea de unión.
272727 PPP SZ
CALVCALVCALV SZ
Donde:
''08.30'00º0''1*27
272727
senS
tT
CALVP
PPP
''64.22'00º0''1*27
senS
tT
CALVP
CALVCALVCALV
''58.25'46º8827 PZ
''39.28'16º91CALVZ
2. Cálculo de
mRdondeR
S CALVP 637000027
''89.29'02º0
3. Cálculo de R
CALVPCALVP senNM
NMR
27
2
27
2 *cos*
*
Donde:
21
2223
22
2
)*1(;
)*1(
)1(*
MM sene
aN
sene
eaM
mR 941.5043766
4. Cálculo de H
22cos
2*
2*)(*2
27
27
2727
PCALV
PCALV
PCALVPZZ
ZZsen
senHRH
mH CALVP 201.10127
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36
5. Altura CALV
H1
CALVPPCALVHHH 27271
mHCALV
333.39291
Desde P28
Datos:
SM ''28'30º16
''204.27'54º26528 CALVP
mHP 951.375728
mS CALVP 696.597428
''01'53º8728 PS
''25.41'09º92CALVS
mtP 241.128
mTP 000.228
mtCALV 492.1
mTCALV 000.2
Figura 22 (Visuales recíprocas desde P28 y CALV)
ZP28
TP28
tP28 HCALV = HP28 + H
0
R
HP28
SP28
SP28-CALV
CALV
P28
ZCALV
LINEA DE UNION
tCALV
TCALV
SCALV
ZP28
ZCALV
R
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37
1. Reducción del ángulo de pendiente a la línea de unión.
282828 PPP SZ
CALVCALVCALV SZ
Donde:
''05.34'00º0''1*28
282828
senS
tT
CALVP
PPP
''79.22'00º0''1*28
senS
tT
CALVP
CALVCALVCALV
''05.35'53º8728 PZ
''04.04'10º92CALVZ
2. Cálculo de
mRdondeR
S CALVP 637000028
''88.28'02º0
3. Cálculo de R
CALVPCALVP senNM
NMR
28
2
28
2 *cos*
*
Donde:
21
2223
22
2
)*1(;
)*1(
)1(*
MM sene
aN
sene
eaM
mR 075.3796606
4. Cálculo de H
22cos
2*
2*)(*2
28
28
2828
PCALV
PCALV
PCALVPZZ
ZZsen
senHRH
mH CALVP 956.17128
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38
5. Altura CALV
H 2
CALVPPCALVHHH 28282
mHCALV
907.39292
Altura promedio de “CALV”
Calculamos con la ecuación de la media aritmética ponderada:
21
2211 **
PP
HPHPH CALVCALV
CALV
Donde:
228
22
227
21
60.4
1
)(
1
63.4
1
)(
1
KmSP
KmSP
CALVP
CALVP
Cálculo de la altura de “MUNA”
Para el cálculo de 28PH se sigue el procedimiento anterior considerando los
siguientes datos desde cada punto:
DESDE P27
Datos:
SM ''26'29º16
''433.54'59º28327 MUNAP
mHP 132.382827
mS MUNAP 512.590027
''43'43º8727 PS
''25.47'18º92MUNAS
mtP 325.127
mTP 000.227
mtMUNA 370.1
mTMUNA 000.2
594.23627 MUNAPH
mHMUNA
726.40641
mH CALV 622.3929
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39
DESDE P28
Datos:
SM ''42'29º16
''210.38'35º29228 MUNAP
mHP 951.375728
mS MUNAP 286.637228
''20'15º8728 PS
''05'46º92MUNAS
mtP 271.128
mTP 000.228
mtMUNA 370.1
mTMUNA 000.2
112.30728 MUNAPH
mHMUNA
063.40652
Finalmente:
3.7.5. CÁLCULO DE ALTURAS ELIPSOIDALES DE LOS PUNTOS “CALV” Y
“MUNA”
Todos los datos y fórmulas empleados en el anterior punto para el cálculo de alturas
sobre el nivel medio del mar, también son validos para el cálculo de alturas
elipsoidales, con la diferencia de tomar como referencia las alturas elipsoidales de la
base los puntos “P27” y “P28”.
Por lo tanto los resultados de las alturas son:
mH MUNA 882.4064
mhCALV 771.3977
mhMUNA 221.4113
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40
3.7.6. RESULTADOS.
Realizado el trabajo de campo y en gabinete se obtuvo los siguientes resultados
que se muestran en las siguientes tablas:
COORDENADAS OBTENIDAS EN GABINETE
Tabla 10
PUNTO LATITUD
LONGITUD
CALV 16º30’32.652’’ 68º08’55.136’’
MUNA 16º29’02.325’’ 68º09’38.855’’
ALTURAS OBTENIDAS MEDIANTE
LA NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA RECÍPROCA
Tabla 11
PUNTO ALTURA
s.n.m.m.
ALTURA
ELIPSOIDAL
CALV 3929.622 m. 3977.771 m.
MUNA 4064.882 m. 4113.032 m.
3.7.7. VALIDACIÓN DEL PROYECTO
Realizando la comparación entre los datos obtenidos en gabinete y los datos de
la red geodésica de la ciudad de La Paz mostrados en las tablas 15 y 16, se
puede observar que en las coordenadas horizontales existe una variación de
0.000’’ y 0.004’’ en latitud y longitud respectivamente para el punto “CALV” y de
de 0.002’’ y 0.004’’ en latitud y longitud para el punto “MUNA”.
También comparando resultados entre las alturas sobre el nivel medio del mar
obtenidas, con los de la red geodésica, existe una diferencia de 0.520 m para el
punto “CALV” y 0.593 m para el punto “MUNA”.
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41
De la misma manera realizando la comparación para las alturas elipsoidales,
existe una diferencia de 0.324 m para el punto “CALV” y 0.135 m para el punto
“MUNA”.
Considerando el número de series realizado en campo, el equipo empleado, los
resultados obtenidos son de muy buena aproximación con relación a los datos
de la red geodésica de la ciudad de La Paz.
COMPARACIÓN DE DATOS PUNTO CALV
Tabla 12
PUNTO LATITUD
LONGITUD
ALTURA
s.n.m.m.
ALTURA
ELIPSOIDAL
Obtenidos
en gabinete 16º30’32.652’’ 68º08’55.136’’ 3929.622 m. 3977.771 m.
Red
geodésica 16º30’32.652’’ 68º08’55.140’’ 3929.102 m. 3977.447 m.
Variación 00º00’00.000’’ 00º00’00.004’’ 0.520 m. 0.324 m.
COMPARACIÓN DE DATOS PUNTO MUNA
Tabla 13
PUNTO LATITUD
LONGITUD
ALTURA
s.n.m.m.
ALTURA
ELIPSOIDAL
Obtenidos
en gabinete 16º29’02.325’’ 68º09’38.855’’ 4064.882 m. 4113.032 m.
Red
geodésica 16º29’02.323’’ 68º09’38.859’’ 4064.289 m. 4112.897 m.
Variación 00º00’00.002’’ 00º00’00.004’’ 0.593 m. 0.135 m.
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42
CAPÍTULO V
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
5.1. CONCLUSIONES
Se cumplió satisfactoriamente realizar el diseño, observación, cálculo y ajuste para la
obtención de coordenadas utilizando un cuadrilátero a partir de una base geodésica de
cuarto orden en el presente trabajo, obteniéndose coordenadas que se muestran en
los resultados.
También se logró obtener las alturas sobre el nivel medio del mar y las alturas
elipsoidales de los puntos “CALV” y “MUNA” empleando el método de nivelación
trigonométrica recíproca.
De la misma manera se logró realizar la comparación de entre los datos obtenidos en
gabinete y datos de la red geodésica de la ciudad de la Paz, tal como se muestran en
la tabla 13, pudiendo observarse variaciones mínimas en latitud y longitud, y
variaciones considerables en alturas.
Por lo tanto realizado el trabajo de campo, cálculo de gabinete y comparación entre las
coordenadas obtenidas y coordenadas de la red geodésica de La ciudad de La Paz,
de los puntos “CALV” y “MUNA”, se confirma que la triangulación mantiene su precisión
actualmente.
Por lo contrario para la determinación de alturas empleando la nivelación
trigonométrica recíproca no son lo suficientemente precisas para requerimientos
geodésicos.
5.2. RECOMENDACIONES
Se recomienda desarrollar este tipo de trabajos donde los vértices del cuadrilátero
tengan una excelente visibilidad entre si, y que cumplan con las condiciones
geométricas de triangulación, que en lo posible los valores angulares no sean menores
a 30º ni mayores a 120º.
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43
Para obtener una mayor precisión en la obtención de coordenadas geodésicas y
alturas, se recomienda realizar un número de series mayores a 4, además de emplear
equipos de mayor precisión para la lectura de ángulos horizontales y zenitales como
los equipos ópticos mecánicos T3 y T2.
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CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES
DISEÑO, OBSERVACION, CÁLCULO Y AJUSTE PARA LA OBTENCION DE COORDENADAS
UTILIZANDO UN CUADRILATERO A PARTIR DE UNA BASE GEODESICA DE CUARTO ORDEN
NRO. ACTIVIDADES
DESARROLLADAS DURACION
EN DIAS
MES DE NOVIEMBRE
SEMANA 1 SEMANA 2 SEMANA 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
1
RECOPILACION DE INFORMACION Y PLANEAMIENTO
3 X X X X
2 RECONOCIMIENTO DE CAMPO
1 X
3
DISEÑO DEL CUADRILATERO Y ELECCION DE LA BASE GEODESICA
1 X
4 TRABAJO DE CAMPO
1 X
5 TRABAJO DE GABINETE
12 X X X X X X X X X X X X
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DESCRIPCIÓN DEL
PUNTO P27
DATOS GENERALES
NOMBRE DEL PUNTO: P27
DEPARTAMENTO: LA PAZ
PROVINCIA: MURILLO
CIUDAD: LA PAZ
ZONA: PAMPAHASI ALTO
COORDENADAS DEL PUNTO
LATITUD: 16º 29’ 48.781’’ S
LONGITUD: 68º 06’ 25.819’’ W
ALTURA snmm: 3 828.132 m
ALTURA ELIPSOIDAL: 3876.274 m
MONOGRAFÍA DEL PUNTO Para llegar al punto se debe partir desde el cruce de Villa San Antonio Alto, Seguir por la avenida Octavio Campero que conduce a la zona de Pampahasi, llegando a esta zona se debe continuar por la avenida Ciudad del Niño hasta llegar a la planta de de Aguas del Illimani, luego girar a la izquierda por la avenida circunvalación seguir en forma directa hasta el borde de la planicie, donde se encuentra un poste de alta tensión sobre la avenida, y el parque mirador que en su interior se encuentra una cruz de concreto. La estación se
encuentra al oeste de esta cruz de concreto a una distancia aproximada de 2 metros materializado por un monumento de concreto y lleva empotrado un disco de bronce de 10cm de diámetro.
FOTOGRAFÍA DEL PUNTO
FOTOGRAFÍA PANORÁMICA
CROQUIS DE UBICACIÓN
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DESCRIPCIÓN DEL
PUNTO P28
DATOS GENERALES
NOMBRE DEL PUNTO: P28
DEPARTAMENTO: LA PAZ
PROVINCIA: MURILLO
CIUDAD: LA PAZ
ZONA: VILLA ARMONIA
COORDENADAS DEL PUNTO
LATITUD: 16º 30’ 21.994’’ S
LONGITUD: 68º 06’ 20.494’’ W
ALTURA snmm: 3 757.951 m
ALTURA ELIPSOIDAL: 3806.106 m
MONOGRAFÍA DEL PUNTO El punto P28 se encuentra en la zona Villa Armonía,, para ocupar este punto se debe llegar primero a la zona de Pampahasi Bajo que se encuentra al este de la ciudad de La Paz, durante el trayecto tomando como referencia el cruce de Alto San Antonio, se debe continuar por el camino de asfalto hacia Pampahasi una distancia aproximada de 500 metros hasta llegar a la primera curva para posteriormente seguir por la calle Itenez, donde s encuentra la llave de paso de Aguas del Illimani, seguir la misma hasta encontrar la cruz de Villa Armonía. La estación se encuentra a una distancia aproximada de 6 metros hacia el sur de la cruz y se encuentra materializada por concreto y lleva un disco de bronce de aproximadamente 5 cm de diámetro.
FOTOGRAFÍA DEL PUNTO
FOTOGRAFÍA PANORÁMICA
CROQUIS DE UBICACIÓN
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DESCRIPCIÓN DEL
PUNTO CALV
DATOS GENERALES
NOMBRE DEL PUNTO: CALV
DEPARTAMENTO: LA PAZ
PROVINCIA: MURILLO
CIUDAD: LA PAZ
ZONA: VILLA NUEVA POTOSI
COORDENADAS DEL PUNTO
LATITUD: 16º 30’ 32.652’’ S
LONGITUD: 68º 08’ 55.140’’ W
ALTURA snmm: 3929.102 m
ALTURA ELIPSOIDAL: 3977.447 m
MONOGRAFÍA DEL PUNTO El punto CALV se encuentra cerca del mirador de la zona Villa Nueva Potosí, para llegar a esta estación se debe partir desde el Puente Topater, continuar por la venida ) de abril que con dirección al faro murillo de la Ceja de El Alto, hasta arribar a la intersección con la avenida final Alcoreza, continuar por esta avenida hasta llegar a un desvió a mano derecha a la calle Tocopilla, con recorrido de 150 meros, continuar por la calle Tocopilla hasta llegar al mirador de la zona Villa Nueva Potosí, donde s e encuentra la parada d minibús 241, la estación se encuentra a una distancia aproximada de 5 metros hacia el este de la cruz del mirador, y esta materializado por un disco de bronce que se encuentra empotrado sobre el piso de cemento.
FOTOGRAFÍA DEL PUNTO
FOTOGRAFÍA PANORÁMICA
CROQUIS DE UBICACIÓN
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DESCRIPCIÓN DEL
PUNTO MUNA
DATOS GENERALES
NOMBRE DEL PUNTO: MUNA
DEPARTAMENTO: LA PAZ
PROVINCIA: MURILLO
CIUDAD: LA PAZ
ZONA: ALTO MUNAYPATA
COORDENADAS DEL PUNTO
LATITUD: 16º 29’ 02.323’’ S
LONGITUD: 68º 09’ 38.859’’ W
ALTURA snmm: 4064.289 m
ALTURA ELIPSOIDAL: 4112.897 m
MONOGRAFÍA DEL PUNTO El punto MUNA se encuentra en la ex riel y la autopista La Paz – El Alto cerca del mirador de la zona de Alto Munaypata, para ocupar este punto se debe partir desde la plaza Ballivián seguir la avenida que va desde la plaza Ballivián hasta la avenida Kollasuyo, seguir el trayecto una distancia aproximada de 800 metros, donde se encuentra un desvió con la denominación de la Apacheta, seguir el camino que este desvió una distancia de aproximadamente 1200 metros por camino de ripio, hasta llegar a la altura del mirador de Alto Munaypata, en donde se encuentra una elevación a la derecha de la ex riel esta materializado por un monumento de concreto que sobre sale de la superficie 20 cm y que lleva un disco de bronce de 10m cm de diámetro.
FOTOGRAFÍA DEL PUNTO
FOTOGRAFÍA PANORÁMICA
CROQUIS DE UBICACIÓN
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PLANILLA DE SERIES ESTACION: P27 FECHA: 04/11/11 HOJA: 1/8 OPERADOR: Hermo Huayta Copa INSTRUMENTO: SOKKIA MODELO SET610
ESTACION NUMERO DE SERIE
PTO. OBS
LECTURA LECTURA REDUCIDA PROMEDIO SERIE
DIRECTA INVERSA DIRECTA INVERSA
GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG
P-27
I
P28 0 0 40 180 0 35 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00
CALV 81 51 34 261 51 26 81 50 54 81 50 51 81 50 52.50
MUNA 112 48 10 292 48 4 112 47 30 112 47 29 112 47 29.50
II
P28 225 3 10 45 3 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00
CALV 306 54 6 126 54 4 81 50 56 81 50 52 81 50 54.00
MUNA 337 50 36 157 50 40 112 47 26 112 47 28 112 47 27.00
III
P28 90 5 40 270 5 42 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00
CALV 171 56 35 351 56 36 81 50 55 81 50 54 81 50 54.50
MUNA 202 53 9 22 53 8 112 47 29 112 47 26 112 47 27.50
IV
P28 315 8 10 135 8 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00
CALV 36 59 9 216 59 15 81 50 59 81 51 0 81 50 59.50
MUNA 67 55 48 247 55 40 112 47 18 112 47 25 112 47 21.50
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PLANILLA DE SERIES ESTACION: P27 FECHA: 04/11/11 HOJA: 2/8 OPERADOR: Hermo Huayta Copa INSTRUMENTO: SOKKIA MODELO SET610
ESTACION NUMERO DE SERIE
PTO. OBS
LECTURA LECTURA REDUCIDA PROMEDIO SERIE
DIRECTA INVERSA DIRECTA INVERSA
GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG
P27
I
MUNA 0 0 40 180 0 44 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00
P28 247 13 11 67 13 17 247 12 31 247 12 33 247 12 32.00
CALV 329 4 10 149 4 6 329 3 30 329 3 22 329 3 26.00
II
MUNA 225 3 10 45 3 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00
P28 112 15 45 292 15 55 247 12 35 247 12 35 247 12 35.00
CALV 194 6 39 14 6 46 329 3 29 329 3 26 329 3 27.50
III
MUNA 90 5 40 270 5 31 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00
P28 337 18 18 157 17 58 247 12 38 247 12 27 247 12 32.50
CALV 59 9 8 239 8 50 329 3 28 329 3 19 329 3 23.50
IV
MUNA 315 8 10 135 8 21 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00
P28 202 20 47 22 20 54 247 12 37 247 12 33 247 12 34.50
CALV 284 11 43 104 11 50 329 3 33 329 3 29 329 3 31.00
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RESUMEN DE ANGULOS DE LA ESTACION P-27
ANGULOS INTERNOS ANGULOS EXTERNOS
ESTACION PTO. OBS. PROMEDIO ESTACION
ESTACION PTO. OBS. PROMEDIO ESTACION
P27
P28 00º 00’ 00’’
P27
MUNA 00º 00’ 00’’
CALV 81º 50 ’55.125’’ P28 247º 12’ 33.500’’
MUNA 112º 47’ 26.375’’ CALV 329º 03’ 27.000’’
PROMEDIO DE ANGULOS INTERNOS Y EXTERNOS
''313.54'50º812
''125.55'50º81''500.53'50º811̂
''125.32'56º302
''250.31'56º30''000.33'56º302̂
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PLANILLA DE SERIES ESTACION: P28 FECHA: 04/11/11 HOJA: 3/8 OPERADOR: Hermo Huayta Copa INSTRUMENTO: SOKKIA MODELO SET610
ESTACION NUMERO DE SERIE
PTO. OBS
LECTURA LECTURA REDUCIDA PROMEDIO SERIE
DIRECTA INVERSA DIRECTA INVERSA
GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG
P28
I
CALV 0 0 40 180 0 41 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00
MUNA 26 41 54 206 41 47 26 41 14 26 41 6 26 41 10.00
P27 85 18 35 265 18 45 85 17 55 85 18 4 85 17 59.50
II
CALV 225 3 10 45 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00
MUNA 215 44 26 71 44 18 26 41 16 26 41 17 26 41 16.50
P27 310 21 5 130 21 3 85 17 55 85 18 2 85 17 58.50
III
CALV 90 5 40 270 5 36 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00
MUNA 116 46 55 296 46 52 26 41 15 26 41 16 26 41 15.50
P27 175 23 34 355 23 40 85 17 54 85 18 4 85 17 59.00
IV
CALV 315 8 10 135 8 21 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00
MUNA 341 49 16 161 49 36 26 41 6 26 41 15 26 41 10.50
P27 40 26 3 220 26 21 85 17 53 85 18 0 85 17 56.50
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PLANILLA DE SERIES
ESTACION: P28 FECHA: 04/11/11 HOJA: 4/8 OPERADOR: Hermo Huayta Copa INSTRUMENTO: SOKKIA MODELO SET610
ESTACION NUMERO DE SERIE
PTO. OBS
LECTURA LECTURA REDUCIDA PROMEDIO SERIE
DIRECTA INVERSA DIRECTA INVERSA
GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG
P28
I
P27 0 0 40 180 0 37 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00
CALV 274 42 47 94 42 36 274 42 7 274 41 58 274 42 2.50
MUNA 301 23 57 121 23 48 301 23 17 301 23 11 301 23 14.00
II
P27 225 3 10 45 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00
CALV 139 45 18 319 45 0 274 42 8 274 41 59 274 42 3.50
MUNA 166 26 30 346 26 10 301 23 20 301 23 9 301 23 14.50
III
P27 90 5 40 270 5 45 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00
CALV 4 47 50 184 47 38 274 42 10 274 41 53 274 42 1.50
MUNA 31 28 56 211 28 50 301 23 16 301 23 5 301 23 11.50
IV
P27 315 8 10 135 8 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00
CALV 229 50 16 49 50 6 274 42 6 274 42 3 274 42 4.50
MUNA 256 31 28 76 31 5 301 23 18 301 23 2 301 23 10.00
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RESUMEN DE ANGULOS DE LA ESTACION P-28
ANGULOS INTERNOS ANGULOS EXTERNOS
ESTACION PTO. OBS. PROMEDIO ESTACION
ESTACION PTO. OBS. PROMEDIO ESTACION
P28
CALV 00º 00’ 00’’
P28
P27 00º 00’ 00’’
MUNA 26º 41’ 13.125’’ CALV 274º 42’ 03.000’’
P27 85º 17’ 58.375’’ MUNA 301º 23’ 12.500’’
PROMEDIO DE ANGULOS INTERNOS Y EXTERNOS
''313.11'41º262
''500.09'41º26''125.13'41º263̂
''375.46'36º582
''250.45'36º58''500.47'36º584̂
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PLANILLA DE SERIES ESTACION: CALV FECHA: 04/11/11 HOJA: 5/8 OPERADOR: Hermo Huayta Copa INSTRUMENTO: SOKKIA MODELO SET610
ESTACION NUMERO DE SERIE
PTO. OBS
LECTURA LECTURA REDUCIDA PROMEDIO SERIE
DIRECTA INVERSA DIRECTA INVERSA
GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG
CALV
I
MUNA 0 0 40 180 0 32 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00
P27 98 6 50 278 6 26 98 6 10 98 5 56 98 6 3.00
P28 110 57 55 290 57 34 110 57 15 110 57 2 110 57 8.50
II
MUNA 225 3 10 45 3 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00
P27 323 9 16 143 9 5 98 6 6 98 6 0 98 6 3.00
P28 336 0 23 156 0 8 110 57 13 110 57 3 110 57 8.00
III
MUNA 90 5 40 270 5 34 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00
P27 188 11 48 8 11 31 98 6 8 98 5 57 98 6 2.50
P28 201 2 57 21 2 35 110 57 17 110 57 1 110 57 9.00
IV
MUNA 315 8 10 135 8 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00
P27 53 14 7 233 14 0 98 6 7 98 5 55 98 6 1.00
P28 66 5 22 246 5 5 110 57 12 110 57 0 110 57 6.00
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PLANILLA DE SERIES ESTACION: CALV FECHA: 04/11/11 HOJA: 6/8 OPERADOR: Hermo Huayta Copa INSTRUMENTO: SOKKIA MODELO SET610
ESTACION NUMERO DE SERIE
PTO. OBS
LECTURA LECTURA REDUCIDA PROMEDIO SERIE
DIRECTA INVERSA DIRECTA INVERSA
GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG
CALV
I
P28 0 0 40 180 0 34 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00
MUNA 249 3 36 69 3 22 249 2 56 249 2 48 249 2 52.00
P27 347 9 33 167 9 25 347 8 53 347 8 51 347 8 52.00
II
P28 225 3 10 45 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00
MUNA 114 6 10 294 5 48 249 3 0 249 2 45 249 2 52.50
P27 212 12 2 32 11 51 347 8 52 347 8 48 347 8 50.00
III
P28 90 5 40 270 5 32 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00
MUNA 339 8 41 159 8 14 249 3 1 249 2 42 249 2 51.50
P27 77 14 31 257 14 24 347 8 51 257 8 52 347 8 51.50
IV
P28 315 8 10 135 8 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00
MUNA 204 11 7 24 10 45 249 2 57 249 2 40 249 2 48.50
P27 302 17 1 122 16 50 347 8 51 347 8 45 347 8 48.00
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RESUMEN DE ANGULOS DE LA ESTACION CALV
ANGULOS INTERNOS ANGULOS EXTERNOS
ESTACION PTO. OBS. PROMEDIO ESTACION
ESTACION PTO. OBS. PROMEDIO ESTACION
CALV
MUNA 00º 00’ 00’’
CALV
P28 00º 00’ 00’’
P27 98º 06’ 02.375’’ MUNA 249º 02’ 51.125’’
P28 110º 57’ 07.875’’ CALV 347º 08’ 50.375’’
PROMEDIO DE ANGULOS INTERNOS Y EXTERNOS
''813.00'06º982
''250.59'05º98''375.02'06º985̂
''563.07'51º122
500.05'51º12''625.09'51º126̂
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PLANILLA DE SERIES ESTACION: MUNA FECHA: 04/11/11 HOJA: 7/8 OPERADOR: Hermo Huayta Copa INSTRUMENTO: SOKKIA MODELO SET610
ESTACION NUMERO DE SERIE
PTO. OBS
LECTURA LECTURA REDUCIDA PROMEDIO SERIE
DIRECTA INVERSA DIRECTA INVERSA
GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG
MUNA
I
P27 0 0 40 180 0 34 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00
P28 8 36 30 188 36 12 8 35 50 8 35 38 8 35 44.00
CALV 50 58 2 230 57 58 50 57 22 50 57 24 50 57 23.00
II
P27 225 3 10 45 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00
P28 233 38 56 53 38 42 8 35 46 8 35 44 8 35 45.00
CALV 276 0 35 96 0 29 50 57 25 50 57 27 50 57 26.00
III
P27 90 5 40 270 5 33 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00
P28 98 41 33 278 41 13 8 35 53 8 35 40 8 35 46.50
CALV 141 3 6 321 2 58 50 57 26 50 57 25 50 57 25.50
IV
P27 315 8 10 135 8 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00
P28 323 43 56 143 43 46 8 35 46 8 35 39 8 35 42.50
CALV 6 5 38 186 5 28 50 57 28 50 57 23 50 57 24.00
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PLANILLA DE SERIES ESTACION: MUNA FECHA: 04/11/11 HOJA: 8/8 OPERADOR: Hermo Huayta Copa INSTRUMENTO: SOKKIA MODELO SET610
ESTACION NUMERO DE SERIE
PTO. OBS
LECTURA LECTURA REDUCIDA PROMEDIO SERIE
DIRECTA INVERSA DIRECTA INVERSA
GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG
MUNA
I
CALV 0 0 40 180 0 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00
P27 309 3 16 129 2 55 309 2 36 309 2 25 309 2 30.50
P28 317 39 5 137 38 42 317 38 25 317 38 12 317 38 18.50
II
CALV 225 3 10 45 2 58 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00
P27 174 5 50 354 5 26 309 2 40 309 2 28 309 2 34.00
P28 182 41 31 2 41 11 317 38 21 317 38 13 317 38 17.00
III
CALV 90 5 40 270 5 33 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00
P27 39 8 19 219 8 3 309 2 39 309 2 30 309 2 34.50
P28 47 44 4 227 43 40 317 38 24 317 38 7 317 38 15.50
IV
CALV 315 8 10 135 8 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00
P27 264 10 48 84 10 28 309 2 38 309 2 26 309 2 32.00
P28 272 46 34 92 46 16 317 38 24 317 38 14 317 38 15.00
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD TECNICA CARRERA DE TOPOGRAFIA Y GEODESIA
RESUMEN DE ANGULOS DE LA ESTACION MUNA
ANGULOS INTERNOS ANGULOS EXTERNOS
ESTACION PTO. OBS. PROMEDIO ESTACION
ESTACION PTO. OBS. PROMEDIO ESTACION
MUNA
P27 00º 00’ 00’’
MUNA
CALV 00º 00’ 00’’
P28 08º 35’ 44.500’’ P27 309º 02’ 32.750’’
CALV 50º 57’ 24.625’’ P28 317º 38’ 16.500’’
PROMEDIO DE ANGULOS INTERNOS CON EXTERNOS
''125.44'35º082
''750.43'35º08''500.44'35º087̂
''813.41'21º422
''125.40'21º42''500.43'21º428̂
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD TECNICA CARRERA DE TOPOGRAFIA Y GEODESIA
PLANILLA DE SERIES ESTACION: P27 FECHA: 04/11/11 HOJA: 1/4 OPERADOR: Hermo Huayta Copa. INSTRUMENTO: SOKKIA MODELO SET610
ESTACION NUMERO
DE SERIE
PTO. OBS
LECTURA PROMEDIO SERIE
PROMEDIO ESTACION
DIRECTA INVERSA
GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG GRAD. MIN. SEG GRAD. MIN. SEG
P27
I CALV 88 46 3 271 14 14 88 45 54.5 88 45 55.5
MUNA 87 43 53 272 16 25 87 43 44 87 43 43
II CALV 88 46 8 271 14 15 88 45 56.5
MUNA 87 43 45 272 16 21 87 43 42
ALTURA INSTRUMENTO 1.325 m. ALTURA OBS. JALONES 2m.
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD TECNICA CARRERA DE TOPOGRAFIA Y GEODESIA
PLANILLA DE SERIES ESTACION: P28 FECHA: 04/11/11 HOJA: 2/4 OPERADOR: Hermo Huayta Copa INSTRUMENTO: SOKKIA MODELO SET610
ESTACION NUMERO
DE SERIE
PTO. OBS
LECTURA PROMEDIO SERIE
PROMEDIO ESTACION
DIRECTA INVERSA
GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG GRAD. MIN. SEG GRAD. MIN. SEG
P28
I CALV 87 53 5 272 7 0 87 53 2.5 87 53 1
MUNA 87 15 25 272 45 7 87 15 16 87 15 20
II CALV 87 53 11 272 7 12 87 52 59.5
MUNA 87 15 13 272 46 25 87 15 24
ALTURA INSTRUMENTO 1.241 m. ALTURA OBS. JALONES 2m.
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD TECNICA CARRERA DE TOPOGRAFIA Y GEODESIA
PLANILLA DE SERIES ESTACION: MUNA FECHA: 04/11/11 HOJA: 3/4 OPERADOR: Hermo Huayta Copa INSTRUMENTO: SOKKIA MODELO SET610
ESTACION NUMERO
DE SERIE
PTO. OBS
LECTURA PROMEDIO SERIE
PROMEDIO ESTACION
DIRECTA INVERSA
GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG GRAD. MIN. SEG GRAD. MIN. SEG
MUNA
I P27 92 19 0 267 41 26 92 18 47 92 18 47.25
P28 92 46 15 267 13 59 92 46 8 92 46 05
II P27 92 19 5 267 41 30 92 18 47.5
P28 92 46 10 267 14 06 92 46 2
ALTURA INSTRUMENTO 1.370 m. ALTURA OBS. JALONES 2m.
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PLANILLA DE SERIES ESTACION: CALV FECHA: 04/11/11 HOJA: 4/4 OPERADOR: Hermo Huayta Copa INSTRUMENTO: SOKKIA MODELO SET610
ESTACION NUMERO
DE SERIE
PTO. OBS
LECTURA PROMEDIO SERIE
PROMEDIO ESTACION
DIRECTA INVERSA
GRAD MIN SEG GRAD MIN SEG GRAD. MIN. SEG GRAD. MIN. SEG
CALV
I P27 91 16 8 268 44 0 91 16 4 91 16 5.75
P28 92 9 49 267 50 26 92 9 41.5 92 9 41.25
II P27 91 16 9 268 43 54 91 16 7.5
P28 92 9 52 267 50 30 92 9 41
ALTURA INSTRUMENTO 1.492 m. ALTURA OBS. JALONES 2m.
BIBLIOGRAFÍA
APUNTES DE GEODESIA, INSTITUTO GEOGRÁFICO MILITAR, BOLIVIA 1966.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA, FERNANDO MARTIN ASÍN,
MADRID 1983.
TOPOGRAFÍA PARA INGENIEROS, PHILIP KISSAN, MADRID 1967.
TOPOGRAFÍA, LÓPEZ – CUERVO, MADRID 1993.
APUNTES DE GEODESIA GEOMÉTRICA I, M. EUGENIA MARIACA DE
PEINADO, LA PAZ 2008.
APUNTES DE GEODESIA GEOMÉTRICA II, PRESENTACIÓN GEODESIA
SATELITARIA, J. DANIEL FLORES VARGAS, LA PAZ, 2009.
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