Elementos Basicos para a Quantiza» c~ ao Can^ onica de Campos Escalares e Vetoriais
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Universidade Federal do Par ´ a Instituto de Ci ˆ encias Exatas e Naturais Faculdade de F ´ ısica Elementos B´ asicos para a Quantiza¸c˜ ao Canˆ onica de Campos Escalares e Vetoriais Fernando Sales Martins Nunes Trabalho de Conclus˜ ao de Curso Orientador: Prof. Dr. S´ ergio Vizeu Lima Pinheiro Bel´ em 2007
Transcript of Elementos Basicos para a Quantiza» c~ ao Can^ onica de Campos Escalares e Vetoriais
Universidade Federal do Para
Instituto de Ciencias Exatas e Naturais
Faculdade de Fısica
Elementos Basicos para a Quantizacao
Canonica de Campos Escalares e
Vetoriais
Fernando Sales Martins Nunes
Trabalho de Conclusao de Curso
Orientador: Prof. Dr. Sergio Vizeu Lima Pinheiro
Belem
2007
Elementos Basicos para a Quantizacao Canonica de Campos Escalares e Vetoriais
Fernando Sales Martins Nunes
Julgado em: 22 de 12 de 2007.
Conceito: Excelente.
Comissao Julgadora:
———————————————–
Prof. Dr. Sergio Vizeu Lima Pinheiro
Orientador
———————————————–
Prof. Dr. Marcelo Costa de Lima
Membro
———————————————–
Prof. Dr. Van Sergio Alves
Membro
Belem
Dezembro de 2007
i
Agradecimentos
Gostaria de deixar registrado neste trabalho o meu amplo agradecimento as pessoas que, de
alguma forma, contribuıram e/ou contribuem para minha formacao profissional e/ou pessoal.
Pessoas essas que ja faziam ou passaram a fazer parte de minha historia e que terao minha
humilde e eterna gratidao.
• E impossıvel se falar de fısica no Estado do Para, sem que mencionemos o nome “Jose
Maria Filardo Bassalo”. A este professor deixo um enorme agradecimento por ter sido
um dos pioneiros na tentativa de melhoria do curso ao qual dediquei parte destes ultimos
quatro anos de minha e por consegui sensibilizar uma geracao de profissionais que seguem
seu empenho, fazendo do curso de fısica um curso muito melhor do foi a pouco tempo atras.
A estes profissionais, que carregam arduamente o curso de Fısica em suas costas, deixo
registrada minha admiracao e gratidao, neste aspecto, agradeco a voces: Prof. Dr. Luıs
Carlos Bassalo Crispino, Prof. Dr. Sergio Vizeu, Prof. Dr. Marcelo Lima, Prof. Dr. Van
Sergio, Prof. Dr. Danilo Teixeira, Prof. Dra. Silvana Peres, Prof. Dra. Angela Klautau,
Prof. Dr. Sancleiton, Prof. Dr. Petrus Alcantara, Prof. Dr. Jorge Castineireas, Prof.
Dr. Elinei e Prof. Dr. Joao Felipe. Neste momento corro o grande risco de ser injusto
com alguem que, por ventura, esqueci de mencionar, porem mesmo numa Faculdade de
mais de 40 professores, tenho a triste certeza de que os possıveis injusticados sao uma
pequena parcela deste corpo docente, a essa minoria tambem registro minha gratidao e
admiracao.
• Agradeco ao Prof. Dr. Marcelo Lima por sua BOA VONTADE como professor, fato
este que torna acessıvel a todos seus alunos uma grande fonte de conhecimento, o que,
dentre outros motivos, o fazem ser um exemplo de profissional a ser seguido. Agradeco-lhe
tambem por algumas pequenas conversas e por seus longos discursos (em sala de aula e
fora dela) que, sem duvida, foram de muita importancia para minha formacao.
• Pelos bons e maus momentos que muito me ensinaram e pela rica convivencia, mais
ii
duradoura com alguns e menos com outros, agradeco a alguns colegas e amigos que fiz
durante o curso, dentre eles estao: Carlos Costa (Buja), Jonix Cardoso, Thiago Carames,
Jaime Filho, Emerson Benedito, Andreson Carvalho, Joao Paulo, Jonatas Maciel, Rodrigo
Ferreira, Debora Rodrigues, Itamara Campos, Wagner Pires, Camila Silveira, Penn Lee,
Leonardo Nascimento e Soraya Galdino. Pessoas estas que, em sua maioria, tive a opor-
tunidade de ter como companheiras de trabalho dentro do dinamico grupo PET-Fısica,
que por sua vez me deu a chance de ter uma formacao que julgo mais completa e que me
foi de essencial importancia.
• Agradeco ao professor, orientador e amigo Sergio Vizeu nao apenas pela orientacao neste
trabalho, mas tambem por sua amizade, pela prazerosa convivencia nestes ultimos 3 anos
e pelos varios ensinamentos que, por ele, foram a mim repassados, ensinamentos estes que
nao se detiveram apenas ao ramo da fısica e que me fizeram o ter nao apenas como um
exemplo de profissional, mas tambem como um exemplo de ser humano.
• Nao apenas de estudos vive um academico, mas tambem de amizade e diversao, e e devido
a esta amizade e a momentos ımpares de diversao e alegria, tanto dentro da universidade
quanto fora dela, que registro tambem meu agradecimento aos amigos Jaime Filho (Mano)
e Emerson Benedito (Cocota), sempre presentes em muitos dos bons momentos que tive
nesses ultimos anos e que, com certeza, estarao presentes nos que hao de vir. Tomo a
liberdade de agradecer nao apenas em meu nome, mas tambem em nome destes dois
amigos, a companheira Marialva da Serra, presente em muito destes grandes momentos
nos dando forca e coragem para enfrentarmos o duelo que e a vida.
• Agradeco a minha namorada Shirley Medeiros por seu essencial companheirismo, pela
encorajadora forca que sempre me deu, pelas longas conversas que tivemos, pelo seu
indispensavel apoio, pela sua eterna amizade, pelos nossos inesquecıveis momentos juntos,
enfim, por realmente fazer parte de minha vida, estando sempre por perto nos bons e maus
momentos que passei nestes ultimos dois anos. A esta pessoa deixo tambem meu muito
obrigado.
• E por fim deixo registrado meu eterno e terno agradecimentos a meus pais Jose Fernando
e Maria do Socorro, pela compreensao, pela oportunidade, pela amizade, pela confianca,
enfim, por tudo o que me ensinaram e me ensinam ate hoje. Pais que se fizeram de
alicerce para minha construcao, que me fizeram chegar ate onde cheguei, sem os quais
nao estaria aqui, superando mais uma importante etapa das muitas que virao e sem os
iii
quais nao poderia ter feito nenhum dos agradecimentos anteriores. A estas pessoas, que
vestem a camisa de pais como ninguem, registro minha eterna admiracao e meu muitıssimo
obrigado.
iv
Dedicatoria
Aos meus pais:
Jose Fernando e Maria do Socorro.
E ao meu irmao:
Fernando Bruno.
v
Resumo
Neste trabalho, faremos um estudo acerca do procedimento de quatizacao de campos escalares
e vetoriais, abordando para isso nao apenas o formalismo matematico envolvido no processo,
mas tambem alguns importantes conceitos presentes na teoria. Comecaremos pela quantizacao
da corda, o que nos remete quase que de maneira imediata a quantizacao de campos escalares
massivos, passando pelo campo eletromagnetico e terminando com a quantizacao do campo de
Proca, calculando tambem seus respectivos propagadores de Feynman.
vi
Abstract
In this work, we going to make a study of the quantization of scalar and vectorial field, using to
it not only the math formalism, but also any important concepts of the theory. First we going
to do quatization the string, that remit to scalar massive field quantization, passing by photon
field and finishing with Proca field, computing also yours respective Feynman’s propagator.
vii
Conteudo
Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Dedicatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
Introducao 1
1 A Quantizacao da Corda 4
1.1 O Formalismo Lagrangeano para Campos Classicos . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 A Quantizacao da Corda Nao-Relativıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Modos Normais da Corda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Aspectos Gerais para a Quantizacao de Campos e a Quantizacao da Corda 16
2 A Quantizacao de Campos Escalares 19
2.1 A Equacao de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 A Quantizacao do Campo Escalar sujeito a Condicoes de Contorno Periodicas . 21
2.2.1 O Operador Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 A Quantizacao do Campo Escalar Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 A Quantizacao do Campo Eletromagnetico 38
3.1 O Campo de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2 A Quantizacao do Campo Eletromagnetico via Calibre de Coulomb . . . . . . . 40
3.3 A Quantizacao do Campo Eletromagnetico via Calibre de Lorentz . . . . . . . . 45
3.4 O Calibre de Lorentz e o Metodo de Gupta-Bleuler . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4 A Quantizacao do Campo Vetorial Massivo 55
4.1 As Equacoes de Proca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2 A Quantizacao do Campo de Proca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
viii
5 O Propagador de Feynman 65
5.1 O Propagador do Campo Escalar Massivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2 O Propagador do Foton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.3 O Propagador do Campo de Proca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Conclusao 78
A O Eletromagnetismo de Maxwell 80
B Os Vetores de Polarizacao 89
C Propriedades Matematicas da Funcao de Pauli-Jordan 92
Referencias 95
ix
Introducao
Um dos maiores saltos da ciencia em direcao a uma melhor compreensao dos fenomenos
naturais foi a construcao e a compreensao, no final do seculo XIX e inıcio do seculo XX, de
duas revolucionarias e polemicas teorias: A Relatividade Restrita e a Mecanica Quantica. Tais
teorias descrevem, respectivamente, sistemas que envolvem grandes velocidades, proximas a
velocidade luz, e sistemas que envolvem estrutras muito pequenas, da ordem da constante de
Planck. Porem, os “mundos” descritos por essas teorias foram considerados separadamente,
nos primordios de suas construcoes. Entao, como fica a descricao fısica da natureza que envolve
quantidades muito pequenas que se deslocam em altas velocidades?
Numa tentativa de responder a esta pergunta, surgiu, dentre outras, a Equacao de Klein-
Gordon. Tal equacao nao foi totalmente satisfatoria para a descricao de partıculas relativısticas
por apresentar inconsistencias conceituais a luz da Teoria Quantica. Devido a isso esta equacao
foi, de certa forma, abandonada para a descricao do mundo Quantico-Relativıstico ate o mo-
mento em que a solucao desta equacao foi interpretada como um campo associado a partıcula, e
nao como uma funcao de onda a esta. Surgiu assim, juntamente com o trabalho de Dirac na ten-
tativa de promover uma descricao relativıstica para o eletron, a chamada Teoria Quantica de
Campos, conhecida tambem como Processo de Segunda Quantizacao que, diferentemente
do procedimento de primeira quantizacao, ou quantizacao classica, na qual as quantidades quan-
tizadas eram as variaveis dinamicas. Aqui levou-se em consideracao a quantizacao dos proprios
campos responsaveis pela interacao, sendo estes as variaveis dinamicas a serem quantizadas.
Assim a equacao de Klein-Gordon passa a descrever campos cujas partıculas associadas a estes
sao ditas Bosonicas, com spin 0. O desenvolvimento desta teoria fez com que esta se tornasse
capaz de descrever outros tipos de campos, como, por exemplo, o Campo Vetorial, de spin
1, levando em consideracao, ou nao, o elemento de massa associada cada um destes campos,
ou partıculas se preferir. Uma descricao mais detalhada de alguns dos campos mensionados
anteriormente sera alvo desta monografia.
Comecaremos, logo no capıtulo 1, apresentando o formalismo Lagrangeano para campos
1
classicos, mostrando que este pode ser entendido como um sistema de infinitas partıculas muito
proximas. Apos feito isso buscaremos a solucao geral que descreve a corda vibrante e a quan-
tizaremos logo apos de apresentarmos ao leitor o princıpio da correspondencia.
No capıtilo 2, apresentaremos a quantizacao do campo escalar real, cuja dinamica e regida
pela equacao de Klein-Gordon. Este campo sera quantizado sujeito a condicoes de contorno
periodicas, o que e muito similar a quantizacao da corda, e posteriormente sera quantizado
quando livre no espaco.
No capıtulo 3, que tera como alvo a quantizacao do campo eletromagnetico, comecaremos
apresentando o campo de Maxwell, posteriormente quantizaremos este levendo em consideracao
duas importantes escolhas de calibres: o calibre de Coulomb e o calibre de Lorentz. Sendo que
este ultimo deve, indiscutivelmente, levar em consideracao a covariancia do espaco-tempo, o
que nos remete a considerar uma densidade de Lagrangeana modificada, escrita em termos de
um parametro ξ, como veremos.
No capıtulo 4 apresentaremos detalhadamente a quantizacao do campo vetorial massivo,
tambem conhecido como Campo de Proca. Comecaremos apresentando quem sao as equacoes
que regem a dinamica deste campo para, a posteriori, quantizarmos a solucao destas. Mos-
traremos ainda neste capıtulo que para garantirmos que o processo de quantizacao do campo
de Proca seja um processo covariante e necessario escreve-lo em termos da chamada funcao de
Pauli-Jordan. A partir disso, seremos capazes quantizar todos os campos ja apresentados nos
capıtulos 2 e 3, levando em consideracao nao apenas um deslocamento espacial, mas tambem
um deslocamento temporal, obtendo, assim, a quantizacao para operadores de campo e seus
momentos canonicamente conjugados, localizados em pontos arbitrarios no espaco-tempo.
Finalmente, no capıtulo 5, apresentaremos e calcularemos os propagadores de Feynman
para cada um dos campos ja quantizados no corpo deste trabalho, o que nos fornecera os
elementos fundamentais para a interpretacao quantica da teoria: a amplitude de probabilidade
de destruirmos num determinado ponto do espaco-tempo, uma partıcula criada num outro
ponto deste mesmo espaco-tempo.
A tıtulo de completeza tambem dispomos ao leitor um conjuntos de tres apendices que julga-
mos indispensaveis para o perfeito entendimento do trabalho aqui apresentado. Nominalmente
estes apendices sao: O Eletromagnetismo de Maxwell, no qual discutiremos aspectos fun-
damentais dessa teoria e sua representacao covariante; Os Vetores de Polarizacao, no qual,
como diz o nome, discutiremos alguns detalhes destes objetos e sua importancia nos proce-
dimentos matematicos necessarios para a quantizacao de campos; e, por fim, Propriedades
2
Matematicas da Funcao de Pauli-Jordan, no qual esta importante funcao sera discutida,
ressaltando, novamente como o nome ja indica, suas propriedades matematicas e sua relevancia
nos processos de quantizacao de campos.
3
Capıtulo 1
A Quantizacao da Corda
Neste capıtulo mostraremos, basicamente, que a nocao de campos classicos pode emergir
naturalmente de sistemas de muitas partıculas. Faremos ainda a quantizacao da corda nao-
relativıstica, ou seja, na corda a qual viajam ondas com velocidade v muito mais baixa que a
velocidade da luz. Mostraremos que a quantizacao da corda, em varios aspectos, e analoga a
quantizacao de campos classicos.
Para tanto, antes de implementarmos tal quantizacao, nos e conveniente desenvolver o
chamado formalismo Lagrangeano para campos classicos, tomando, basicamente, o limite de
passagem de sistemas discretos para sistemas contınuos.
1.1 O Formalismo Lagrangeano para Campos Classicos
Para nossa finalidade nos e conveniente considerar um sistema mecanico composto por N
osciladores acoplados. Sendo m a massa de cada uma das partıculas oscilantes, ligadas umas
as outras por uma mola de constante elastica k, e que na posicao de equilıbrio mantem uma
distancia a entre uma partıcula e outra imediatamente sucessora ou antecessora a esta. Tal
sistema possui um comprimento fixo l (Figura 1.1).
Figura 1.1: Osciladores acoplados.
Podemos encontrar a Lagrangeana[20], tambem deste sistema, efetuando a diferenca
L = T − V, (1.1)
4
sendo T a energia cinetica dada por
T =1
2
N∑
i=1
miqi2 (1.2)
e V a energia potencial dada por
V =1
2
N∑
i=1
k(qi+1 − qi)2. (1.3)
Logo, podemos reescrever a definicao (1.1), de acordo com as definicoes para as energias
cineticas e potenciais dadas, respectivamente por (1.2) e (1.3), como
L =1
2
N∑
i=1
[miqi2 − k(qi+1 − qi)
2]. (1.4)
Para encontrarmos as equacoes de movimento que regem este sistema basta que facamos a
substituicao da equacao (1.4) na Equacao de Euler-Lagrange, dada por
∂L
∂qi
− d
dt
(
∂L
∂qi
)
= 0. (1.5)
Calculando cada termo da ultima equacao, temos para o primeiro
∂L
∂qi
= −1
2
N∑
i=1
k∂
∂qn
(qi+1 − qi)2,
que aplicando a derivada, segundo a regra da cadeia, fica
∂L
∂qi
= −N
∑
i=1
k(qi+1 − qi)∂
∂qn
(qi+1 − qi).
Note que ∂qi+1
∂qn= δn,i+1 e ainda ∂qi
∂qn= δn,i, assim
∂L
∂qi
= −N
∑
i=1
k(qi+1 − qi)(δn,i+1 − δn,i) (1.6)
e ainda, para o segundo termo da equacao de Euler-Lagrange, temos
∂L
∂qi
=N
∑
i=1
miqiδn,i,
que, portanto, conforme o segundo termo da equacao (1.5), vamos tomar sua derivada total no
tempo. Assim fazendo temos
d
dt
(
∂L
∂qi
)
=N
∑
i=1
miqiδn,i. (1.7)
5
Logo, reunindo os resultados (1.6) e (1.7), temos que a equacao de Euler-Lagrange ficara na
forma
N∑
i=1
[k(qi+1 − qi)(δn,i+1 − δn,i) − miqiδn,i] = 0.
Calculando o produto explicitado na equacao acima e, apos feito isso, utilizando a pro-
priedade de filtragem da Delta, temos que
mqn + k(qn − qn+1 − qn−1 + qn) = 0, (1.8)
que e a equacao de movimento para a N -esima partıcula do sistema.
Para passarmos de um sistema discreto para um sistema contınuo, e necessario que facamos
simultaneamente, o espacamento entre as massas tender a zero, ou seja, a −→ 0, e o numero de
partıculas do sistema tender a infinito, ou seja, N −→ ∞, mantendo o comprimento l constante.
E ainda, na somatoria, fazer
N∑
i=1
−→ 1
a
∫ l
0
dx,
sendo que, na ultima passagem, foi tambem necessaria a introducao de um fator 1a
para que os
dois lados da igualdade sejam dimensionalmente consistentes. E, tambem, conveniente fazermos
a seguinte parametrizacao na coordenada qn
qn −→√
aq(x), (1.9)
sendo que x = na1 e que√
a foi introduzida de maneira que garanta que nosso resultado nao
apresente divergencias. Com isso podemos notar que
qn+1 −→√
aq(x + a). (1.10)
Substituindo (1.9) e (1.10) na equacao (1.8), teremos a equacao de movimento nao mais
parametrizada em “n”, mas sim em “x”, na forma
mq(x) = k[q(x + a) − q(x) + q(x − a) − q(x)].
Multiplicando e dividindo o segundo lado da igualdade por “a” e tomando o limite de
a −→ 0, temos
mq(x) = ka lima−→0
[
q(x + a) − q(x)
a
]
+ ka lima−→0
[
q(x − a) − q(x)
a
]
. (1.11)
1Com esta nova definicao para a variavel “x” podemos parametrizar qualquer qn+m; m = 0, 1, 2, 3..., logo:qn+m −→
√aq[(n + m)a] =
√aq(x + ma)
6
Em ambos os termos da ultima equacao podemos identificar a propria definicao de derivada,
daı podemos reescreve-la como
mq(x) = ka
[
∂q(x)
∂x|x+a −
∂q(x)
∂x|x−a
]
. (1.12)
Repetindo o mesmo procedimento para a equacao anterior, ou seja, multiplicando e di-
vidindo por “a” o segundo lado da igualdade, identificamos mais uma vez a definicao de derivada
de forma que chegamos a relacao
mq(x) = ka2∂2q(x)
∂x2, (1.13)
envolvendo uma segunda derivada nao apenas em “t” mas tambem em “x”.
Identificando que a velocidade da onda que se propaga nessa corda e dada por
v2 =ka2
m(1.14)
e ressaltando que de fato q = q(x, t), teremos
1
v2
∂2q(x, t)
∂t2− ∂2q(x, t)
∂x2= 0, (1.15)
da qual concluimos que o limite do contınuo para a equacao (1.8) e a propria equacao da onda.
Com o proposito de reescrevermos a equacao da onda de maneira compacta, definimos nesse
momento o D’Lambertiano, dado por
¤ =1
v2
∂2
∂t2− ∂2
∂x2, (1.16)
de maneira que a equacao da onda pode ser reescrita como
¤q(x, t) = 0. (1.17)
Para a Lagrangeana dada pela equacao (1.4), fazendo uso das relacoes (1.9) e (1.10), e
indentificando definicoes de derivadas no ultimo termo, teremos que
L =1
2
∫ l
0
[
m
(
∂q
∂t
)2
− ka2
(
∂q
∂x
)2]
dx,
de onde temos finalmente, usando (1.14),
L =1
2
∫ l
0
[
1
v2
(
∂q
∂t
)2
−(
∂q
∂x
)2]
dx, (1.18)
7
que e a Lagrangeana (1.4) escrita no limite do contınuo, ou seja, a Lagrangeana para a corda
classica.
Podemos notar na equacao (1.18) que seu integrando pode ser identificado como uma Den-
sidade de Lagrangeana, que por sua vez nos fornece a Lagrangeana quando a integramos em
todo espaco considerado, ou seja,
L =
∫ l
0
Ldx. (1.19)
Logo, comparando as equacoes (1.18) e (1.19) e, fazendo, por conveniencia, a substituicao
q(x, t) −→ ϕ(x, t) obtemos
L =1
2v2
(
∂ϕ
∂t
)2
− 1
2
(
∂ϕ
∂x
)2
, (1.20)
que e a Densidade de Lagrangeana para a corda vibrante.
De forma que suas energias cineticas e potenciais sao, respectivamente, redefinidas como
T =1
2v2
∫ l
0
(
∂ϕ
∂t
)2
dx (1.21)
e
V =1
2
∫ l
0
(
∂ϕ
∂x
)2
dx. (1.22)
Para que a equacao da onda dada por (1.15), na qual surge uma especie de covariancia entre
as coordenadas espacial e teporal, seja obtida diretamente da equacao de Euler-Lagrange, esta
ultima deve ser modificada de tal maneira que leve em consideracao a covariamcia observada.
Devido a isso a equacao de Euler-Lagrange, ja em sua forma modificada (covariante), vem a
ser
∂L∂ϕ
− ∂µ
∂L∂∂µϕ
= 0, (1.23)
que e a equacao de Euler-Lagrange para campos classicos, onde os operadores ∂µ nada mais
sao do que derivadas covariantes, em relacao ao tempo e ao espaco. Como µ varia de 0 a 3,
adotaremos ∂0 como uma derivada parcial no tempo, ou seja,
∂0 =∂
∂t, (1.24)
e ainda ∂i, onde i = 1, 2, 3, como as derivadas parciais no espaco, ou seja,
∂1 =∂
∂x, ∂2 =
∂
∂y, ∂3 =
∂
∂z. (1.25)
8
De forma compacta esse operador pode tambem ser reescrito como
∂µ = (∂0, ∂i). (1.26)
A equacao (1.23) tambem pode ser obtida atraves do Princıpio Hamilton para campos
classicos, tal feito pode ser encontrado na referencia[10] deste trabalho.
Analogo ao tratamento da equacao de Euler-Lagrange para sistemas discretos, onde o mo-
mento generalizado e dado por
pqi=
∂L
∂qi
, (1.27)
podemos ainda identificar uma importante relacao que nos sera muito util, tal relacao e dada
por
π =∂L
∂∂0ϕ, (1.28)
considerando a densidade de Lagrangeana ja encontrada anteriormente, reduzimos esta ultima
equacao a
π =1
v2∂0ϕ (1.29)
que e o momento canonicamente conjugado ao campo ϕ, que descreve a corda vibrante.
1.2 A Quantizacao da Corda Nao-Relativıstica
Uma vez obtida a solucao do problema para a corda vibrante por meio da passagem ao
contınuo de um conjunto de osciladores acoplados e de suma importancia apresentar um metodo
consistente de quantizacao.
Aqui, ao fazermos a mudanca q(x, t) para ϕ(x, t), introduzimos a ideia de que o compor-
tamento da corda, ou melhor ainda, o comportamento de cada ponto constituinte da corda,
e dado pela funcao ϕ(x, t), que doravante chamaremos de campo, campo este, oscilante, que
anteriormente foi representado pela corda vibrante.
1.2.1 Modos Normais da Corda
Toda onda pode ser escrita como uma superposicao de ondas planas[10], inclusive a onda
que se propaga numa corda descrita, como vimos, por ϕ(x, t), logo podemos dizer que
ϕ(x, t) =∞
∑
n=−∞
cnei(knx−wnt), (1.30)
9
na qual cada valor de n esta associado com cada modo normal de vibracao da corda, sendo cn
a amplitude da onda devido a cada modo normal de oscilacao. De acordo com as condicoes de
contorno periodicas impostas sobre a corda, efetivadas por extremidades fixas e comprimento
L, podemos definir
kn =nπ
L, (1.31)
como sendo o numero de onda que. Para tal caso, temos ainda que
wn = knv, (1.32)
conhecida como relacao de dispersao, essencial para que a equacao (1.30) seja de fato solucao
da equacao da onda, entendida tambem como a frequencia de oscilacao da corda (ou campo).
A equacao (1.30) represeta, basicamente, uma serie de Fourrier na forma exponencial[3] e
pode tambem ser escrita, reunindo todos os termos de dependencia temporal em ϕn(t), como
ϕ(x, t) =∞
∑
n=−∞
ϕn(t)eiknx, (1.33)
assumindo que
ϕn(t) = cne−iwnt. (1.34)
Multiplicando toda a equacao anterior por eikn′x e integrando em x, temos que
∫ L
0
ϕ(x, t)e−ikn′xdx =∞
∑
n=−∞
∫ L
0
ϕn(t)ei(kn−kn′ )xdx.
Porem, usando a representacao da Delta[10] dada por
∫ L
0
ei(kn±kn′ )dx = Lδn,∓n′ , (1.35)
obtemos que
ϕn(t) =1
L
∫ L
0
ϕ(x, t)e−iknxdx. (1.36)
Uma vez que a equacao (1.33) e construıda como uma superposicao de ondas planas, ela
obedece a equacao da onda dada por (1.17), ou seja,
¤ϕ(x, t) = 0, (1.37)
10
ou ainda, explicitamente
(
1
v2
∂2
∂t2− ∂2
∂x2
) ∞∑
n=−∞
ϕn(t)eiknx = 0,
na qual, aplicando as derivadas teporais e espaciais temos
∞∑
n=−∞
eiknx
[
1
v2ϕn(t) + kn
2ϕn(t)
]
= 0,
e usando (1.32), temos por fim
ϕn(t) + w2nϕn(t) = 0, (1.38)
que e a equacao tıpica do oscilador harmonico simples, cuja solucao geral[20] e dada por
ϕn(t) = ane−iwnt + bne
iwnt, (1.39)
sendo an e bn constantes que podem ser determinadas a partir das condicoes iniciais do problema
em questao.
Para que a solucao dada pela equacao (1.33) seja consistente com uma descricao fısica,
devemos garantir que esta pertenca ao conjunto dos reais fazendo
ϕ(x, t) = ϕ∗(x, t), (1.40)
de onde segue, segundo (1.33), que
∞∑
n=−∞
ϕn(t)eiknx =∞
∑
n=−∞
ϕ∗n(t)e−iknx.
Substituindo n −→ −n no lado esquerdo da igualdade da ultima equacao e invertendo o so-
matorio vira
∞∑
n=−∞
ϕ−n(t)eik−nx =∞
∑
n=−∞
ϕ∗n(t)e−iknx,
que tambem fara sentido se
k−n = −kn, (1.41)
o que nos leva a concluir que
ϕ−n(t) = ϕ∗n(t). (1.42)
11
Entao a solucao geral pode ser re-escrita, com base em (1.39), como
a−ne−iw−nt + b−ne
iw−nt = a∗ne
iwnt + b∗ne−iwnt. (1.43)
Comparando os termos nos dois lados da igualdade, concluımos que
w−n = wn (1.44)
e ainda{
a−n = b∗nb−n = a∗
n.(1.45)
Entao, substituindo (1.39) na equacao (1.33), temos que esta se dara na forma
ϕ(x, t) =∞
∑
n=−∞
(ane−iwnt + bne
iwnt)eiknx,
ou ainda
ϕ(x, t) =∞
∑
n=−∞
[ane(iknx−iwnt) + bne(iknx+iwnt)].
A condicao de realidade para a ultima equacao nos leva, novamente, a troca n −→ −n
no segundo termo da somatoria. Fazendo isso e levando em conta as relacoes (1.41), (1.44) e
(1.45), podemos re-escrever tal equacao como
ϕ(x, t) =∞
∑
n=−∞
[ane(iknx−iwnt) + a∗
ne(−iknx+iwnt)]. (1.46)
Note na equacao (1.46), solucao classica para o oscilador harmonico simples, que os termos
somados sao de tal forma que um e o complexo conjugado do outro, fato este que nos garante
qualquer funcao (ou numero) pertejnca ao conjunto dos numeros reais[20].
Como o intuito deste capıtulo e a quantizacao da equacao (1.46), o primeiro passo neste cami-
nho e garantir que ela seja normalizavel, de maneira a garantir a interpretacao probabilıstica da
funcao de onda. Para isso nos e conveniente definir uma solucao dita ortonormalizavel escrita
como
un(x, t) = Dne−iwnt+iknx, (1.47)
sendo Dn uma constante de normalizacao que determinaremos a partir de entao. Para essa
funcao, dada por (1.47), temos que a derivada temporal sera dada por
∂0un(x, t) = un(x, t) = −iwnun(x, t), (1.48)
12
e ainda a derivada espacial por
∂xun(x, t) = iknun(x, t), (1.49)
que nos serao bastante uteis posteriormente.
Antes de proseguirmos com os calculos para a determinacao da constante Dn propriamente
dita nos e relevante calcular algumas integrais que nos serao de muita importancia para esse
feito. Vamos primeiramente obter as integrais de normalizacao para un e un′ , de maneira que∫ L
0
unun′dx =
∫ L
0
DnDn′e−i(wn+wn′ )t+i(kn+kn′ )xdx
= DnDn′e−i(wn+wn′ )t
∫ L
0
ei(kn+kn′ )xdx,
que, de acordo com a representacao da Delta dada por (1.35), a integral acima ficara∫ L
0
unun′dx = LDnDn′e−i(wn+wn′ )tδn,−n′ . (1.50)
Calculando tambem para u∗n e u∗
n′ , temos∫ L
0
u∗nu∗
n′dx =
∫ L
0
D∗nD
∗n′e
i(wn+wn′ )t−i(kn+kn′ )xdx,
e usando novamente a representacao (1.35), encontramos que∫ L
0
u∗nu
∗n′dx = LD∗
nD∗n′e
i(wn+wn′ )tδn,−n′ . (1.51)
E ainda, analogamente ao que foi feito acima,∫ L
0
unu∗n′dx =
∫ L
0
DnD∗n′e
−i(wn−wn′ )t+i(kn−kn′ )xdx,
∫ L
0
unu∗n′dx = LDnD∗
n′δn,n′ . (1.52)
Retomando o nosso atual proposito, o de encontrarmos o valor da constante de normalizacao
Dn, podemos reescrever a equacao (1.39) agora em termos das funcoes un(x, t), ou seja
ϕ(x, t) =∞
∑
n=−∞
[anun(x, t) + a∗nu
∗n(x, t)]. (1.53)
A constante Dn tera sua forma final definida por criterios fısicos, mediante a Hamiltoni-
ana do oscilador. Para isso faremos uso das energias cinetica e potencial ja definidas para o
formalismo em que estamos trabalhando. Temos entao da equacao (1.21) que
T =1
2v2
∫ L
0
(
∂ϕ
∂t
)(
∂ϕ′
∂t
)
dx,
13
e nesta, de acordo com a relacao (1.48), que nos fornece as derivadas temporais da funcao un,
temos que
T =1
2v2
∫ L
0
[
∞∑
n=−∞
(−iwnanun + iwna∗nu
∗n)
∞∑
n′=−∞
(−iwn′an′ + iwn′a∗n′u
∗n′)
]
dx
na qual, organizando os termos, temos
T =1
2v2
∫ L
0
∞∑
n=−∞
∞∑
n′=−∞
(−wnwn′anan′unun′ + wnwn′ana∗n′unu∗
n′+
+wnwn′a∗nan′u∗
nun′ − wnwn′a∗na
∗n′u
∗nu∗
n′)dx,
que coerentemente com as relacoes (1.50), (1.51) e (1.52), toma a forma
T =1
2v2
∞∑
n=−∞
∞∑
n′=−∞
[−wnwn′anan′DnDn′Lδn,−n′e−i(wn+wn′ ) + wnwn′ana∗n′DnD
∗n′Lδn,n′+
+wnwn′a∗nan′D∗
n′DnLδn,n′ − wnwn′a∗na
∗n′Lδn,−n′D∗
nD∗n′e
i(wn+wn′ )]dx,
e usando nesta a propriedade de filtragem da Delta, ou seja
∑
n
∑
n′
fn,n′δn,n′ =∑
n
fn (1.54)
a penultima relacao fica
T =1
2v2
∞∑
n=−∞
(−w2nana−nDnD−nLe−2iwn + w2
nana∗nLDnD
∗nl+
+w2na
∗nanLD∗
nDn − w2na
∗na
∗−nLD∗
nD∗−ne
2iwn)dx,
e, por fim, arrumando os termos, podemos escrever que a energia cinetica e dada por
T =L
2v2
∞∑
n=−∞
(−w2nana−nDnD−ne
−2iwn + 2w2na∗
nan|Dn|2 − w2na
∗na
∗−nD
∗nD
∗−ne
2iwn)dx. (1.55)
Pela da equacao (1.22), podemos escrever a energia potencial, cuja forma inicial sera
V =1
2
∫ L
0
(
∂ϕ
∂x
)(
∂ϕ′
∂x
)
dx,
que de acordo com a equacao (1.49), que por sua vez nos fornece as derivadas espaciais da
funcao un, temos
V =1
2
∫ L
0
∞∑
n=−∞
∞∑
n′=−∞
(iknanun − ikna∗nu
∗n)(ikn′an′un′ − ikn′a∗
n′u∗n′).
14
Analogamente ao caso anterior, chegaremos na energia potencial dada por
V =L
2
∞∑
n=−∞
(k2nana−nDnD−ne
−2iwnt + 2k2na∗
nan|Dn|2 + k2na∗
na∗−nD
∗nD
∗−ne
2iwnt). (1.56)
Somando as energias cineticas e potenciais do problema em quastao, obtemos a Hamiltoni-
ana do sistema, ou seja
H = T + V,
de maneira que, de acordo com os resultados em (1.55) e (1.56), a Hamiltoniana fica
H =L
2
∞∑
n=−∞
{(
k2n − w2
n
v2
)
(ana−nDnD−ne−2iwnt + a∗
na∗−nD
∗nD∗
−ne2iwnt) + a∗
nan
(
k2n +
w2n
v2
)
|Dn|2}
,
na qual, finalmente, segundo a relacao de dispersao, dada por (1.32), temos que a energia total
do sistema, se reduzira a
H =∞
∑
n=−∞
2w2nL
v2|Dn|2a∗
nan. (1.57)
Note que a constante Dn deve se ajustar de tal maneira que garanta que o lado direito da
ultima igualdade tenha dimensao de energia, entao, para isso conclui-se que
Dn =
√
v2
2wnL[γ], (1.58)
na qual γ e uma constante com dimensao de momento angular, assencial para que a igualdade
seja dimensionalmente consistente. Logo
H =∞
∑
n=−∞
[γ]wna∗nan. (1.59)
Entao, a equacao (1.46), ja com o valor acima obtido para Dn, toma a forma final
ϕ(x, t) =∞
∑
n=−∞
v[γ]√2wmL
(aneiknx−iwnt + a∗
ne−iknx+iwnt), (1.60)
que e a solucao geral para ondas que se propagam por uma corda sujeita as condicoes de
contorno periodicas especificadas no inıcio deste capıtulo.
15
1.2.2 Aspectos Gerais para a Quantizacao de Campos e a Quan-
tizacao da Corda
Para a quantizacao de campos, ou processo de segunda quantizacao, faremos uso do chamado
Processo de Quantizacao Canonica, que consiste, basicamente, na substituicao de variaveis
classicas dinamicas por operadores lineares no espaco de Hilbert.
Em sua forma classica, as variaveis dinamicas ϕ(x, t) e π(x, t), em termos do formalismo
Hamiltoniano, sao escritas como[15]
ϕ(x, t) =δH
δπ(1.61)
e
π(x, t) = −δH
δϕ, (1.62)
sendo π, como ja foi mensionado, e o momento canonicamente conjugado ao campo dado por
(1.29).
Essas grandezas no processo de quantizacao serao consideradas como operadores lineares,
logo, para desde ja designar isso, nos e conveniente denota-las como
ϕ(x, t) −→ ϕ(x, t)π(x, t) −→ π(x, t).
(1.63)
Uma outra importante questao para o processo de quantizacao e verificar se as grandezas
envolvidas sao complementares ou nao, ou seja, devemos verificar se as mesmas podem ou nao
serem medidas simultaneamente, para isso e importante verificar quais as relacoes de comutacao
que as mesmas satisfazem. Essas relacoes de comutacao quantica tem seus analogos classicos
nos Parentese de Poisson[20].
Do processo de primeira quantizacao[19], temos que
[pn, xn′ ] = −i~δn,n′ ,
[pn, pn′ ] = 0, (1.64)
[xn, xn′ ] = 0,
das quais podemos generalizar para campos e escrever, em tempos iguais, as relacoes de co-
mutacao
[π(x, t), ϕ(y, t)] = −i~δ(x − y)
16
[π(x, t), π(y, t)] = 0 (1.65)
[ϕ(x, t), ϕ(y, t)] = 0,
Note ainda que a Delta de Kronecker δn,n′ foi substituıda pela Delta de Dirac δ(x − y), ja que
deixamos sistemas discretos de distribuicao e passamos para sistemas contınuos, o que se deve
esperar de uma distribuicao de campo.
Coerente com o que foi feito ate entao, devemos tambem trocar as constantes an e a∗n por
operadores, ou seja, implementar a mudanca
an −→ an
a∗n −→ a†
n.(1.66)
Entao, diante de tais mudancas, a equacao (1.60), ja em sua forma de operador, fica escrita
como
ϕ(x, t) =∞
∑
n=−∞
v[γ]√2wmL
(aneiknx−iwnt + a†
ne−iknx+iwnt), (1.67)
e a Hamiltoniana, agora denominada como operador Hamiltoniano cujo autovalor e a energia
total do sistema, fica
H =∞
∑
n=−∞
wn[γ]a†nan. (1.68)
Lembremos agora que no formalismo quantico a grandeza com dimensao de momento an-
gular explicita no operador Hamiltoniano e o proprio ~, o qual faremos igual a unidade assim
como a velocidade da luz, segundo o chamado Sistema de Unidades Naturais, ou seja,
~ = c = 1. (1.69)
Uma vez feito isso, teremos finalmente que
ϕ(x, t) =∞
∑
n=−∞
v√2wmL
(aneiknx−iwnt + a†
ne−iknx+iwnt) (1.70)
e ainda
H =∞
∑
n=−∞
wna†nan. (1.71)
Perceba que a ideia de quantizacao canonica perpassa por um metodo, por um conjunto de
procedimentos especıficos e necessarios, e que a ideia de campo nada mais e do que uma funcao
que descreve o comportamento de uma oscilacao em cada ponto do espaco.
17
No proximo capıtulo explicitaremos quem sao os operadores an e a†n bem como as relacoes
de comutacao que os mesmos obedecem, mostraremos tambem a quantizacao de um campo
dito escalar, o que nos levara a resultados bastante consistentes com aqueles que ja encontrados
ate aqui.
18
Capıtulo 2
A Quantizacao de Campos Escalares
Nosso intuito neste capıtulo e quantizar o campo escalar real e massivo, campo este regido
pela chamada Equacao de Klein-Gordon que, por sua vez, surgiu como uma tentativa de ex-
tensao da Equacao de Schodinger para sistemas que levassem em conta nao somente a natureza
quantica, mas tambem a natureza relativıstica de um sistema qualquer.
Neste capıtulo tambem ja usaremos os recursos tecnicos/conceituais do Formalismo La-
grangeano para campos, introduzido por nos, em parte, no capıtulo anterior.
2.1 A Equacao de Klein-Gordon
A densidade de Lagrangeana que descreve a dinamica de campos escalares, reais com massa
m, e dada por[8]
L =1
2∂µϕ∂µϕ − 1
2m2ϕ2. (2.1)
Tendo em mente a Equacao de Euler-Lagrange para campos campos classicos, dada pela
relacao (1.23), e calculando cada termo desta, segundo a Lagrangeana dada acima, teremos
para o primeiro termo
∂L∂ϕ
= −m2ϕ, (2.2)
e ainda,
∂L∂∂µϕ
=1
2
∂
∂∂µϕ(∂νϕ∂νϕ) − 1
2
∂
∂∂µϕm2ϕ2,
note que o segundo termo da equacao acima sera nulo, uma vez que seu derivando nao depende
explicitamente das derivadas parciais do campo em questao. Assim sendo, calcularemos somente
19
a derivada explicitada no primeiro termo da ultima equacao, para isso introduziremos o tensor
metrico dado por
gµν = gµν = diag(1,−1,−1,−1), (2.3)
que abaixa e levanta ındices, logo
∂L∂∂µϕ
=1
2gαν ∂
∂∂µϕ(∂αϕ∂νϕ),
e aplicando a regra da cadeia para as derivadas
∂L∂∂µϕ
=1
2gαν
(
∂∂αϕ
∂∂µϕ∂νϕ + ∂αϕ
∂∂νϕ
∂∂µϕ
)
,
e como
∂∂αϕ
∂∂µϕ= δαν ,
temos ainda
∂L∂∂µϕ
=1
2gαν(∂νϕδαµ + ∂αϕδνµ),
que, usando a propriedade de filtragem das delta, fica
∂L∂∂µϕ
=1
2(gµν∂νϕ + gαµ∂αϕ).
Organizando os termos temos
∂L∂∂µϕ
= ∂µϕ,
e, finalmente, aplicando as derivadas ∂µ nesta ultima igualdade, obtemos
∂µ
∂L∂∂µϕ
= ∂µ∂µϕ. (2.4)
Reunindo os resulados (2.2) e (2.4) podemos escrever a equacao de movimento para o campo
escalar massivo dada por
(∂2 + m2)ϕ(x, t) = 0, (2.5)
conhecida como a Equacao de Klein-Gordon, onde
¤ = ∂µ∂µ = ∂2, (2.6)
20
que e o proprio operador D’Lambertiano definido agora segundo a notacao relativıstica.
Entendendo a ultima equacao como sendo uma equacao de onda, podemos inferir para esta
uma solucao do tipo onda plana dada por
ϕ(x, t) =∞
∑
n=−∞
cnei(knx−wnt). (2.7)
Iremos impor condicoes de contorno para o campo em questao semelhantemente ao foi feito
para o caso da corda. Porem, para este caso, consideraremos o campo contido num certo volume
L3, sendo nulo o valor do campo na superfıcie deste cubo. Por mais que agora estejamos
interessados no caso tridimensional, proseguiremos com os calculos numa unica direcao, de
maneira que, apos isto, possamos fazer a generalizacao para o caso de tres dimensoes espaciais
sem maiores complicacoes.
Substituindo a solucao proposta em (2.7) na equacao de Klein-Gordon, temos
(
∂2
∂t2− ∂2
∂x2+ m2
) ∞∑
n=−∞
cnei(knx−wnt) = 0
ou ainda, ja tendo efetuado as derivadas indicadas nesta ultima equacao
∞∑
n=−∞
cnei(knx−wnt)(−w2
n + k2n + m2) = 0.
De onde concluimos que
w2n = k2
n + m2, (2.8)
relacao esta de extrema importancia, essencial para que a solucao (2.7) seja de fato solucao da
equacao de Klein-Gordon.
2.2 A Quantizacao do Campo Escalar sujeito a Condicoes
de Contorno Periodicas
De maneira similar ao metodo seguido no capıtulo anterior para a quantizacao da corda,
cujo campo e dado pela equacao (1.60), pode-se mostrar que a equacao que rege o campo em
questao e dado por
ϕ(~x, t) =∞
∑
n=−∞
1√2wmL3
(anei~kn·~x−iwnt + a†
ne−i~kn·~x+iwnt), (2.9)
21
ou ainda, em termos da equacao (1.47), por
ϕ(~x, t) =∞
∑
n=−∞
[anun(~x, t) + a†nu
∗n(~x, t)], (2.10)
sendo que as relacoes de comutacao que esta solucao, ja generalizada para tres dimensoes
espaciais, deve satisfazer, assim como seu momento canonicamente cojugado, sao dadas tambem
por (1.65).
Comparando (2.10) com a equacao (1.60), percebemos que a velocidade envolvida e a propria
velocidade da luz, usada aqui no sistema de unidades naturais. Sendo ainda que
~kn = (k1, k2, k3),~x = (x1, x2, x3),
(2.11)
uma vez que estamos considerando o espaco tridimensional.
2.2.1 O Operador Hamiltoniano
Mesmo de posse da tecnica ja desenvolvida no capıtulo anterior, aqui encontraremos a forma
explıcita do Hamiltoniano em questao desenvolvendo uma outra tecnica e explicitando sutilezas
de calculo ainda nao mostradas.
Comecemos pelo chamado Produto Escalar de Klein-Gordon[5], definido1 para dois
escalares ϕ1 e ϕ2, como
(ϕ1, ϕ2) = −i
∫ L3
0
ϕ1
↔
∂ 0 ϕ∗2dx3, (2.12)
sendo
A↔
∂ 0 B = A∂B
∂t− ∂A
∂tB.
Com a definicao acima, calcularemos algumas importantes relacoes para as funcoes un, ja
generalizada para o caso tridimensional, no qual L → L3 e dx → dx3. Comecando por (un, u∗n′),
temos
(un, u∗n′) = −i
∫ L3
0
(un∂0un′ − ∂0unun′)dx3,
que, conforme (1.48), fica
(un, u∗n′) = −i
∫ L3
0
(−iwn′unun′ + iwnunun′)dx3,
1Esta definicao decorre naturalmente da condicao de normalizacao imposta sobre os campos, para o caso emque existe um fluxo de corrente de probabilidade atraves da superfıcie que define um volume L3 qualquer.
22
ou ainda
(un, u∗n′) =
∫ L3
0
(wnunun′ − wn′unun′)dx3,
= (wn − wn′)
∫ L3
0
unun′dx3,
que, usando a equacao (1.50), fica
(un, u∗n′) = (wn − wn′)DnDn′e−i(wn+wn′ )tL3δn,−n′ ,
que segundo (1.44) fica
(un, u∗n′) = 0. (2.13)
Calculando ainda (un, un′), analogamente ao caso anterior, temos
(un, un′) = −i
∫ L3
0
(un∂0u∗n′ − ∂0unu
∗n′)dx3,
= −i
∫ L3
0
(iwn′unu∗n′ + iwnunu∗
n′)dx3,
= (wn + wn′)
∫ L3
0
unu∗n′dx3,
que de acordo com a equacao (1.52), fica na forma
(un, un′) = (wn + wn′)DnD∗n′L
3δn,n′ ,
que devido a (1.54), fica
(un, un′) = 2wnL3|Dn|2,
como as funcoes un sao ortonormais entre si, temos para isto que
Dn =1√
2wnL3, (2.14)
que e justamente a constante de normalizacao, encontada de maneira imediata partindo da
definicao do produto escalar de Klein-Gordon. Logo
(un, un′) = δn,n′ . (2.15)
Para explicitar a forma dos operadores an e a†n, em termos do campo ϕ(~x, t), vamos aplicar
na equacao (2.10), pela esquerda, por
−i
∫ L3
0
un′
↔
∂0 dx3,
23
assim fazendo temos
−i
∫ L3
0
un′
↔
∂0 ϕdx3 =∞
∑
n=−∞
(
−ian
∫ L3
0
un′
↔
∂0 undx3 − ia†n
∫ L3
0
un′
↔
∂0 u∗ndx3
)
.
Note nesta ultima, que podemos identificar o produto de Klein-Gordon, dado por (2.12),
definido agora para as funcoes un e u∗n, assim
−i
∫ L3
0
un′
↔
∂0 ϕdx3 =∞
∑
n=−∞
[an(un′ , un) − a†n(un′ , u∗
n)].
Entao, segundo as relacoes (2.13) e (2.15), temos
−i
∫ L3
0
un′
↔
∂0 ϕdx3 = −∞
∑
n=−∞
a†nδn,n′ ,
ou ainda
a†n = −i
∫ L3
0
un
↔
∂0 ϕdx3. (2.16)
Efetuando agora a multiplicacao do operador
−i
∫ L3
0
↔
∂0 u∗n′
pela direita de (2.10), temos
−i
∫ L3
0
ϕ↔
∂0 u∗n′dx3 =
∞∑
n=−∞
(
−ian
∫ L3
0
un′
↔
∂0 u∗ndx3 − ia†
n
∫ L3
0
u∗n′
↔
∂0 u∗ndx3
)
,
=∞
∑
n=−∞
[an(un′ , un) − a†n(un′ , u∗
n)],
que, analogamente ao caso anterior, se escrevera na forma
an = −i
∫ L3
0
ϕ↔
∂0 u∗ndx3. (2.17)
Com isso, podemos encontrar algumas relacoes de comutacao importantes que an e a†n
obedecem. Vamos comecar introduzindo as seguintes notacoes:{
ϕ(~y, t) = ϕ′
π(~y, t) = π′,
Entao, para a relacao [an, an′ ], temos
[an, an′ ] = anan′ − an′ an,
24
que segundo (2.16) e (2.17), fica
[an, an′ ] = −∫ L3
0
ϕ↔
∂0 u∗ndx3
∫ L3
0
ϕ′↔
∂0 u∗n′dy3 −
∫ L3
0
ϕ′↔
∂0 u∗n′dy3
∫ L3
0
ϕ↔
∂0 u∗ndx3
=
∫ L3
0
∫ L3
0
[(ϕ′↔
∂0 u∗n′)(ϕ
↔
∂0 u∗n) − (ϕ
↔
∂0 u∗n)(ϕ′
↔
∂0 u∗n′)]dx3dy3.
Usando o produto escalar de Klein-Gordon, temos
[an, an′ ] =
∫ L3
0
∫ L3
0
[(ϕ′∂0u∗n′ − ∂0ϕ
′u∗n′)(ϕ∂0u
∗n − ∂0ϕu∗
n) − (ϕ∂0u∗n − ∂0ϕu∗
n)(ϕ′∂0u∗n′ − ∂0ϕ
′u∗n′)]dx3dy3,
que segundo as derivadas temporais das funcoes un, dada por (1.48), fica
[an, an′ ] =
∫ L3
0
∫ L3
0
[(iwn′ϕ′u∗n′ − π′u∗
n′)(iwnϕu∗n − πu∗
n) − (iwnϕu∗n − πu∗
n)(iwn′ϕ′u∗n′ − π′u∗
n′)]dx3dy3.
Multiplicando os fatores da equacao acima e, apos isso, identificando nesta as relacoes de
comutacao, temos
[an, an′ ] =
∫ L3
0
∫ L3
0
(wnwn′ [ϕ, ϕ′]u∗n′u
∗n + iwn′ [π, ϕ′]u∗
nu∗n′ + [ϕ′, ϕ]u∗
n′u∗n + iwn[ϕ, π′]u∗
nu∗n′)dx3dy3,
na qual, considerando as relacoes dadas por (1.59), resulte
[an, an′ ] = i
∫ L3
0
∫ L3
0
[−iwn′δ(~x − ~y) + iwnδ(~x − ~y)]u∗nu∗
n′dx3dy3
= (wn′ − wn)
∫ L3
0
∫ L3
0
δ(~x − ~y)u∗n(~x, t)u∗
n′(~x′, t)dx3dy3.
Usando a propriedade de filtragem da Delta de Dirac[3][4], dada por
f(a) =
∫ x
x0
f(x)δ(x − a)dx, (2.18)
temos que
[an, an′ ] = (wn′ − wn)
∫ L3
0
u∗nu∗
n′dx3,
teremos portanto, de acordo com a relacao (1.44), que
[an, an′ ] = (wn′ − wn)L3DnDn′e−i(wn+wn′ )tδn,−n′ ,
levando novamente em conta (2.18), temos que
[an, an′ ] = 0. (2.19)
25
Para a relacao [a†n, a
†n′ ], vem que
[a†n, a
†n′ ] = a†
na†n′ − a
†n′ a
†n.
Sabendo que[19]: (AB)† = B†A† e (A + B)† = A† + B†, podemos escrever
[a†n, a
†n′ ] = (an′ an)† − (anan′)†
= (an′ an − anan′)†
= ([an′ , an])†.
Logo, de acordo com a ultima relacao de comutacao (2.19) obtemos
[a†n, a
†n′ ] = 0. (2.20)
Nos falta ainda obter a regra de comutacao para [an, a†n′ ], para isso facamos
[an, a†n′ ] = ana
†n′ − a
†n′ an,
que, de acordo com (2.16) e (2.17), fica
[an, a†n′ ] = −
∫ L3
0
ϕ↔
∂0 u∗ndx3
∫ L3
0
un′
↔
∂0 ϕ′dy3 +
∫ L3
0
un′
↔
∂0 ϕ′dy3
∫ L3
0
ϕ↔
∂0 u∗ndx3,
e ainda
[an, a†n′ ] =
∫ L3
0
∫ L3
0
[(un′∂0ϕ′ − ∂0un′ϕ′)(ϕ∂0u
∗n − ∂0ϕu∗
n) − (ϕ∂0u∗n − ∂0ϕu∗
n)(un′∂0ϕ′ − ∂0un′ϕ′)]dx3dy3,
na qual, calculando os produtos da relacao acima, identificamos algumas relacoes de comutacao
importantes entre os operadores de campo e os momentos cononicamente conjugados a eles, de
modo que podemos escrever esta como
[an, a†n′ ] =
∫ L3
0
∫ L3
0
(iwn[π′, ϕ]un′u∗n + [π, π′]un′u∗
n + wn′wn[ϕ, ϕ′]un′u∗n + iwn′ [π, ϕ′]un′u∗
n)dx3dy3,
que, segundo as relacoes de comutacao dadas por (1.65), fica
[an, a†n′ ] = (wn + wn′)
∫ L3
0
∫ L3
0
δ(~x − ~y)un′u∗ndx3dy3,
e que de acordo com (2.18), temos
[an, a†n′ ] = (wn′ + wn)
∫ L3
0
u∗nun′dx3,
26
e com a relacao (1.45), ja substituindo o valor da constante de normalizacao Dn, chegaremos
em
[an, a†n′ ] =
(wn′ + wn)
2wnL3L3δn,n′ ,
da qual, analisando seus valores para n = n′ e n 6= n′, podemos escrever
[an, a†n′ ] = δn,n′ . (2.21)
Entao, as relacoes de comutacao obedecidas por an e a†n podem ser reunidas em um conjunto,
segundo cada par de operadores, dadas por
[an, an′ ] = 0,
[a†n, a
†n′ ] = 0, (2.22)
[an, a†n′ ] = δn,n′ ,
que, por sua vez, da suporte para a relacao dada em (1.65) entre os observaveis ϕ e π, que sao
as quantidades fısicamente relevantes para o nosso problema.
Vamos agora analisar o chamado Tensor Energia-Momento θµν [18], que para o campo
em questao e dado por
θµν =∂L
∂∂µϕ∂νϕ − gµνL
que de acordo com a igualdade ∂L∂∂µϕ
= ∂µϕ, ja encontrada anteriormente segundo a relacao
(2.4), fica
θµν = ∂µϕ∂νϕ − gµνL, (2.23)
e uma vez que, agora, a densidade de Lagrangeana e dada por (2.1), temos
θµν = ∂µϕ∂νϕ − gµν
(
1
2∂λϕ∂λϕ − 1
2m2ϕ2
)
, (2.24)
que e uma forma mais explicita do tensor energia-momento para o campo aqui considerado.
Este tensor e um elemento fundamental para a relatividade e, portanto, para a teoria de
campos. Trata-se de uma grandeza que e conservada, obtida e definida atraves do Teorema
de Noether [8], que relaciona simetrias do espaco-tempo com leis de conservacao de grandezas
fısicas, de maneira que para cada simetria do espaco-tempo ha uma grandeza fısica conservada.
27
O tensor energia-momento e a grandeza fısica conservada que reune, como diz sua designacao,
tanto energia quanto momento.
A componente θ00 do tensor acima e a densidade de energia. Podemos entao encontar a
Hamiltoniana do campo fazendo
H =
∫ L3
0
θ00dx3, (2.25)
que e a quantidade conservada na caixa cubica quando e implementada uma translacao tem-
poral.
Para o caso especıfico da densidade de Lagrangeana que estamos analisando, temos
θ00 = (∂0ϕ)2 − 1
2[(∂0ϕ)2 + ∂jϕ∂jϕ − m2ϕ2],
e ainda
θ00 =1
2(∂0ϕ)2 +
1
2(∂jϕ)2 +
1
2m2ϕ2. (2.26)
Calculando explicitamente as derivadas desta ultima equacao, segundo o campo dado por (2.10),
temos que
∂0ϕ =∞
∑
n=−∞
iwn(a†nu
∗n − anun), (2.27)
e ainda
∂jϕ =∞
∑
n=−∞
ikn(anun − a†nu
∗n). (2.28)
Com isso a densidade de energia pode ser reescrita como
θ00 =1
2
∞∑
n=−∞
∞∑
n′=−∞
[−wnwn′(a†na
†n′u
∗nu∗
n′ + anan′unun′ − ana†n′unu
∗n′ − a†
nan′u∗nun′)+
−knkn′(a†na
†n′u
∗nu∗
n′ + anan′unun′ − ana†n′unu
∗n′ − a†
nan′u∗nun′)+
+m2(a†na
†n′u
∗nu
∗n′ + anan′unun′ − ana
†n′unu∗
n′ − a†nan′u∗
nun′)],
ou, organizando os termos conforme a estrutura de a, a†, un e u∗n, temos
θ00 =1
2
∞∑
n=−∞
∞∑
n′=−∞
[(m2 − wnwn′ − knkn′)a†na
†n′u
∗nu∗
n′ + (m2 − wnwn′ − knkn′)anan′unun′+
28
+(m2 + wnwn′ + knkn′)ana†n′unu∗
n′ + (m2 + wnwn′ + knkn′)a†nan′u∗
nun′ ].
Substituindo este ultimo resultado na equacao (2.25), teremos, basicamente, que calcular in-
tegrais das funcoes un e seus complexos conjugados u∗n. Daı, levando em conta os resultados
obtidos em (1.50), (1.51) e (1.52), obtemos
H =∞
∑
n=−∞
[(m2 − w2n − k2
n)a†na
†−nD
∗nD
∗−ne
2iwntL (2.29)
+(m2−w2n−k2
n)ana−nDnD−ne−2iwntL+(m2+w2
n+k2n)a†
nan |Dn|2 L+(m2+w2n+k2
n)ana†n |Dn|2 L].
Entao, de acordo com a relacao (2.8) e a constante de normalizacao dada por (2.14), obtemos
H =∞
∑
n=−∞
1
2(a†
nan + ana†n)wn, (2.30)
que, como [an, a†n] = 1 ⇒ ana
†n = 1 + a†
nan, fica
H =∞
∑
n=−∞
wn
(
a†nan +
1
2
)
. (2.31)
que representa a energia total de infinitos osciladores harmonicos.
Aplicando o operador Hamiltoniano no estado |n〉, temos
H |n〉 = E |n〉 (2.32)
na qual o autovalor da energia, segundo resultados ja conhecidos de acordo com a fısica
quantica[7], e dado por
E =∞
∑
n=−∞
wn
(
n +1
2
)
, (2.33)
e segundo atribuicoes de um novo operador, cujo autovalor e o numero de quanta presente em
seu autoestado, definiremos este como Operador Numeral, que e escrito como
N = a†nan, (2.34)
de forma que
N |n〉 = n |n〉 . (2.35)
Antes de proseguirmos com nossa analise a respeito do operador Hamiltoniano, nos e con-
veniente entendermos um pouco mais acerca dos operadores an e a†n, tais como suas relacoes de
29
comutacao com o operador numeral, e o resultado obtido na aplicacao deles, separadamente,
no estado |n〉. Neste sentido, vamos obter
[N , a] = [a†a, a]= a†aa − aa†a
= (a†a − aa†)a= [a†, a]a= −a,
(2.36)
e ainda
[N , a†] = [a†a, a†]= a†aa† − a†a†a
= a†(aa† − a†a)= a†[a, a†]= a†.
(2.37)
Fazendo a aplicacao de (2.36) sobre |n〉, segue que
[N , a] |n〉 = −a |n〉(N a − aN) |n〉 = −a |n〉
N a |n〉 − an |n〉 = −a |n〉N a |n〉 = (n − 1)a |n〉 ,
(2.38)
de maneira que podemos entender que a atua em |n〉 de forma a retirar deste um quanta de
energia, e por esse motivo, e chamado de Operador Aniquilacao.
Chamando |m〉 = a |n〉, podemos reescrever (2.38) como
N |m〉 = (n − 1) |m〉 , (2.39)
e considerando que a relacao (2.39) seja uma equacao de autovalor, o estado |m〉 sera dado por
|m〉 = C |n − 1〉 , (2.40)
sendo C um numero qualquer a ser definido e introduzido aqui de tal maneira que garanta
a generalizacao do resultado obtido ate entao. Efetuando o produto escalar entre a equacao
(2.40) e sua correspondente dual, temos que
〈n| a†a |n〉 = 〈n − 1|C∗C |n − 1〉 ,
e notando nesta ultima expressao que a†a e a definicao do operador numeral, que por sua vez
atuara diretamente sobre o estado |n〉 de acordo com (2.35), assim sendo podemos encontrar
que
C =√
n. (2.41)
30
Entao, podemos escrever
a |n〉 =√
n |n − 1〉 , (2.42)
que de maneira analoga ao que fizemos para encontrar a relacao (2.42), comecemos por fazer
[N , a†] |n〉 = [a†, a†] |n〉(N a† − a†N) |n〉 = a† |n〉
N a† |n〉 = (n + 1)a† |n〉 ,
(2.43)
e podemos entender que a† atua em |n〉 de forma a fornecer um quanta de energia ao oscilador
harmonico, e e denominado, por esse motivo, de Operador Criacao.
Prosseguindo, ainda analogamente ao caso anterior, encontraremos agora o valor de uma
constante C ′ utilizando o mesmo argumento feito para a obtencao de C. Assim fazendo obtemos
C ′ =√
n + 1, (2.44)
de onde segue que
a† |n〉 =√
n + 1 |n + 1〉 . (2.45)
Com isso podemos obter qualquer estado |n〉 fazendo sucessivas aplicacoes do operador a†
no estado |0〉, ou seja, de forma geral temos
|n〉 =(a†)n
√n!
|0〉 , (2.46)
sendo |0〉 o estado do vacuo que representa um estado com o menor conteudo possıvel, seja de
energia, seja de partıculas. Essas operacoes sao definidas apenas para n ≥ 0, com a seguinte
ressalva
a |0〉 = 0, (2.47)
pois assim, garantimos que o produto escalar entre os autoestados aqui considerados sejam
positivos definidos e a nao possibilidade de destruicao de partıculas onde elas, a princıpio, nao
existem.
Medindo o autovalor de energia do vacuo, temos que
H |0〉 = E0 |0〉 , (2.48)
sendo E0 o autovalor de energia desse estado, que de acordo com a relacao (2.33), sera dada
por
E0 =∞
∑
n=∞
1
2wn (2.49)
31
Nesta ultima equacao vemos que o vacuo apresenta, em virtude da somatoria sobre todos
os modos normais, uma energia infinita. Para contornarmos isso, iremos propor, para este
caso, o denominado Ordenamento Normal que, basicamente, remove termos divergentes que
surgem eventualmente quando se tem produtos entre operadores calculados num mesmo ponto
do espaco. O ordenamento normal se justifica uma vez que, experimentalmente, o que se mede
sao diferencas de energia, nao a energia absoluta do sistema. Desta maneira torna-se necessario
escolher um estado diante do qual todas as diferencas de energia sao computadas, um estado de
referencia, que denominamos de vacuo. O ordenamento normal estipula, basicamente, a ordem
com que os operadores devem ser aplicados de forma que nao resultem em divengencias.
Para melhor entendermos tal ordenamento, reescreveremos a solucao (2.10), ja encontrada
anteriormente, como
ϕ(~x, t) = ϕ(+) + ϕ(−), (2.50)
na qual ϕ(+) esta associado com a parte de criacao de partıculas e ϕ(−) com a parte de
aniquilacao. O ordenamento normal entre dois operadores ϕ(~x, t) e ψ(~y, t), sendo este escrito
de maneira semelhante a relacao (2.50), e definido como [9]
: ϕ(~x, t)ψ(~y, t) := ϕ(+)ψ(+) + ϕ(+)ψ(−) + ψ(+)ϕ(−) + ϕ(−)ψ(−), (2.51)
de maneira que nao apresente a dificuldade mensionada ao tomarmos o limite de ~x tendendo
para ~y. De forma mais pratica, essa operacao consiste em reescrevermos os operadores de tal
forma que as partes de aniquilacao venham apos as partes de criacao. Logo, aplicando este
ordenamento na equacao (2.31), teremos que
: H :=∞
∑
n=−∞
1
2: (a†
nan + ana†n) : wn,
de onde vem que
H =∞
∑
n=−∞
wna†nan, (2.52)
nos fornecendo o operador hamiltoniano conforme o ordenamento normal.
Como o que realmente nos importa e a variacao da energia e nao seu valor absoluto, bus-
caremos no vacuo uma boa referencia para trabalharmos. Aplicando a equacao (2.52) no estado
de vacuo, teremos
H |0〉 =∞
∑
n=−∞
wna†nan |0〉 ,
32
e daı tiramos que
E0 = 0,
o que e um bom ponto de referencia para trabalharmos com a energia, uma vez que o valor
absoluto que encontraremos para esta sera sua propria variacao se considerarmos o vacuo como
tal ponto de referencia.
2.3 A Quantizacao do Campo Escalar Livre
Proseguiremos agora com a quantizacao do campo escalar livre, o qual, diferentemente do
que foi feito ate entao, nao esta sujeito a condicoes de contorno. O campo em questao tambem
e regido pela equacao de Klein-Gordon, para este proporemos a seginte solucao[9]
ϕ(~x, t) =
∫
dk3Nkei~k·~xak(t), (2.53)
sendo Nk uma constante de normalizacao a ser determinada. Esta solucao segue a mesma
estrutura daquela proposta em (1.33) e na qual se distingue pela soma contınua sobre todos os
momentos ~k.
Substituindo a equacao (2.53) na equacao de Klein-Gordon (2.5), teremos
(
∂2
∂t2−∇2 + m2
) ∫
dk3Nkei~k·~xak(t) = 0,
aplicando as devidas derivadas espaciais e temporais no integrando da solucao, vira que
∫
dk3Nkei~k·~x¨ak(t) + ~k2
∫
dk3Nkei~k·~xak(t) + m2
∫
dk3Nkei~k·~xak(t) = 0,
e arrumando os termos, temos que
∫
dk3Nkei~k·~x[¨ak(t) + (~k2 + m2)ak(t)] = 0.
Sendo que, desta ultima equacao, tiramos que
¨ak(t) + (~k2 + m2)ak(t) = 0, (2.54)
e ainda
w2k = ~k2 + m2, (2.55)
onde surge uma relacao entre a massa do campo e a energia relativıstica.
33
A solucao da equacao diferencial (2.54) podera ser escrita como
ak(t) = a(1)k e−iwkt + a
(2)k eiwkt, (2.56)
e, analogamente ao que foi feito anteriormente, de acordo com a condicao para termos uma
solucao fısica, chegamos a conclusao que
a(2)k = [a
(1)k ]†. (2.57)
Entao a equacao (2.53) fica na forma
ϕ(~x, t) =
∫
dk3Nk(akei~k·~x−iwkt + a
†ke
−i~k·~x+iwkt), (2.58)
e o momento canonicamente conjugado ao campo, conforme (1.30), sera dado por
π(~x, t) = i
∫
dk3Nkwk(a†ke
−i~k·~x+iwkt + akei~k·~x−iwkt). (2.59)
Como ja nos referimos anteriormente, a†k e ak sao os operadores de criacao e aniquilacao
que satisfazem as relacoes de comutacao mostradas em (2.22). Os operadores ϕ(~x, t) e π(~x, t)
satisfazem as relacoes de comutacao que surgem de acordo com o princıpio da correspondencia
(dadas para tempos iguais), relacoes estas essenciais para a determinacao da constante Nk.
Facamos entao, usando (2.58) e (2.59), o comutador
[π(~x, t), ϕ(~y, t)] = i
∫
dk3Nkwk(a†ke
−i~k·~x+iwkt + akei~k·~x−iwkt)
∫
dk′3Nk′(ak′ei~k′·~y−iwk′ t + a†k′e
−i~k′·~y+iwk′ t)+
−i
∫
dk′3Nk′(ak′ei~k′·~y−iwk′ t + a†k′e
−i~k′·~y+iwk′ t)
∫
dk3Nkwk(a†ke
−i~k·~x+iwkt + akei~k·~x−iwkt).
Apos multiplicarmos os fatores da ultima equacao e, identificando nesta alguns comutadores ja
conhecidos, temos
[π(~x, t), ϕ(~y, t)] = i
∫
dk3Nkwk
∫
dk′3Nk′{[a†k, ak′ ]e−i(~k·~x−~k′·~y)+i(wk−wk′ )t+
+[a†k, a
†k′ ]e
i(~k·~x+~k′·~y)+i(wk+wk′ )t + [ak, ak′ ]ei(~k·~x+~k′·~y)−i(wk+wk′ )t + [a†k′ , ak]e
i(~k·~x−~k′·~y)−i(wk−wk′ )t},
e finalmente, usando as relacoes (2.22), temos
[π(~x, t), ϕ(~y, t)] = −i
∫
dk3Nkwk
∫
dk′3N ′k[δ
3(k − k′)e−i(~k·~x−~k′·~y)+i(wk−wk′ )t+
+δ3(k − k′)ei(~k·~x−~k′·~y)−i(wk−wk′ )t],
34
que, segundo (2.18), fica
[π(~x, t), ϕ(~y, t)] = −i
∫
dk3Nkwk[e−i~k·(~x−~x′) + ei~k·(~x−~y)].
Como uma das representacoes da Delta de Dirac e dada por[4]
δ3(~x) =1
(2π)3
∫
ei~k·~xdk3, (2.60)
teremos que
[π(~x, t), ϕ(~y, t)] = −iN 2kwk2(2π)3δ3(~x − ~x),
e quando levamos em consideracao a relacao de comutacao ja exibida anteriormente em (1.65),
conclui-se que
Nk =1
√
2wk(2π)3. (2.61)
Entao, o operador campo e seu momento canonicamente conjugado podem ser escritos como
ϕ(~x, t) =
∫
dk3[akuk(~x, t) + a†ku
∗k(~x, t)], (2.62)
e
π(~x, t) = i
∫
dk3wk[a†ku
∗k(~x, t) − akuk(~x, t)], (2.63)
sendo
uk(~x, t) =ei~k·~x−iwkt
√
2wk(2π)3. (2.64)
Note nas expressoes obtidas acima que ao submetermos um campo livre a condicoes de
contorno, como foi feito anteriormente, estamos basicamente trocando[9][13]
∫
dk3
(2π)32
→∞
∑
n=−∞
1
L3. (2.65)
Ja para o operador Hamiltoniano, da mesma maneira que encontramos anteriormente, este
sera dado por
H =
∫
θ00dx3, (2.66)
ou ainda, substituindo nesta a componente θ00 de (2.24), temos
H =1
2
∫
[(∂0ϕ)2 + (∂jϕ)2 + m2ϕ2]dx3, (2.67)
35
logo, substituindo nesta ultima equacao do campo dado por (2.62) e suas respectivas derivadas
temporais e espaciais, dadas por (2.27) e (2.28), multiplicando os fatores desta e arrumando
seus termos, temos
H =1
2
∫
dx3
∫
dk′3
∫
dk3[(−wk′wk − |~k′||~k| + m2)a†k′ a
†ku
∗k′u
∗k+
+(−wk′wk − |~k′||~k| + m2)ak′ akuk′uk + (wk′wk + |~k′||~k| + m2)a†k′ aku
∗k′uk+
+(wk′wk + |~k′||~k| + m2)ak′ a†kuk′u∗
k].
Calculando agora as integrais em ~x presentes em cada termo da ultima relacao comecando
pela integral da funcao uk, dada por (2.64) e de seu complexo conjugado u∗k′ . Assim, ja orga-
nizando alguns termos, temos∫
dx3u∗k′uk =
1
(2π)3
∫
dx3 1√2wk′
1√2wk
ei(wk′−wk)tei~x·(~k−~k′),
que de acordo com (2.60), fica
∫
dx3u∗k′uk =
δ3(~k − ~k′)√2wk
√2wk′
ei(wk′−wk)t. (2.68)
Calculando agora para u∗k′ e u∗
k, temos∫
dx3u∗k′u
∗k =
∫
dx3 1√2wk′
1√2wk
ei(wk′+wk)te−i~x.(~k+~k′),
que analagamente ao caso anterior, fica
∫
dx3u∗k′u
∗k =
δ3(~k + ~k′)√2wk
√2wk′
ei(wk′+wk)t, (2.69)
e ainda para uk e uk′ , de onde vem∫
dx3uk′uk =
∫
dx3 1√2wk′
1√2wk
e−i(w′
k+wk)tei~x.(~k+~k′),
que fica como
∫
dx3uk′uk =δ3(~k + ~k′)√2wk
√2wk′
e−i(wk′+wk)t. (2.70)
Com as relacoes (2.68), (2.69) e (2.70), podemos mostrar, concordando com (2.18), que
H =1
2
∫
dk3
2wk
[(−w2k + |~k|2 + m2)a†
−ka†ke
2iwkt + (−w2k + |~k|2 + m2)a−kake
−2iwkt+
36
+(w2k + |~k|2 + m2)a†
kak + (w2k + |~k|2 + m2)aka
†k],
e finalmente, segundo a equacao (2.55), teremos
H =1
2
∫
dk3
2wk
2w2k(a
†kak + aka
†k), (2.71)
que apos considerarmos para esta o produto ordenamento normal, a mesma fica
H =
∫
dk3wka†kak, (2.72)
que e o operador Hamiltoniano para o campo escalar livre, similar ao caso anterior, onde tal
operador e dado por (2.52).
37
Capıtulo 3
A Quantizacao do Campo
Eletromagnetico
Apresentaremos agora a quantizacao do campo eletromagnetico nao massivo que, por sua
vez, tem um nıvel de complexidade um tanto maior do que ja foi feito anteriormente para
o caso do campo escalar. Para este caso sera necessario impormos uma escolha de calibre.
Tal procedimento ficara mais claro no decorrer deste trabalho, onde quantizaremos este campo
tanto via calibre do Coulomb quanto via calibre de Lorentz. Aqui tambem teremos a implicacao
fundamental da polarizacao, que e discutida pormenorizadamente no texto, alem de termos
dedicado um Apendice para bem trata-la matematicamente.
3.1 O Campo de Maxwell
E possıvel mostrar que o campo eletromagnetico e descrito pela densidade de Lagrangeana[8][10]
L = −1
4FµνF
µν − jµAµ, (3.1)
na qual Fµν e o chamado tensor de Maxwell, Aµ o quadri-potencial e jµ a quadri-densidade de
corrente .
No vacuo, onde sao nulas as distribuicoes de cargas e correntes, ou considerando ainda que
o campo nao interage com nenhuma fonte de carga, teremos simplesmente
L = −1
4FµνF
µν . (3.2)
Onde o tensor de Maxwell pode tambem ser dado por[10]
Fµν = ∂µAν − ∂νAµ, (3.3)
38
cujos elementos sao componentes dos campos eletrico e do vetor inducao magnetica. Logo, a
densidade de Lagrangeana, escrita em termos de (3.3), fica
L = −1
4(∂µAν − ∂νAµ)(∂µAν − ∂νAµ). (3.4)
Substituindo a equacao (3.4) na equacao de Euler-Lagrange dada por (1.23), considerada
agora para o campo Aµ, esta ficara
∂L∂Aσ
− ∂β
∂L∂∂βAσ
= 0. (3.5)
Calculando termo a termo dessa expressao, teremos, para o primeiro termo, que
∂L∂Aσ
= −1
4
∂
∂Aσ
[(∂µAν − ∂νAµ)(∂µAν − ∂νAµ)],
note nesta ultima equacao, que a funcao que sera derivada nao depende explicitamente do
campo Aσ, mas sim das derivadas deste, entao
∂L∂Aσ
= 0. (3.6)
E ainda, para o segundo termo, temos
∂L∂∂βAσ
= −1
4
∂
∂∂βAσ
[(∂µAν − ∂νAµ)(∂µAν − ∂νAµ)],
que, segundo o tensor metrico, pode ser escrito como
∂L∂∂βAσ
= −1
4
∂
∂∂βAσ
[(∂µAν − ∂νAµ)(gµηgνγ∂ηAγ − gνρgµϑ∂ρAϑ)],
sendo o tensor metrico gµν , a metrica de Mikowski dada por (2.3).
Utilizando-se da regra do produto para derivadas e atentando ainda que
∂∂µAν
∂∂βAσ
= δµβδνσ, (3.7)
podemos escrever que
∂L∂∂βAσ
= −F βσ, (3.8)
portanto, aplicando ainda a quadri-divergencia ∂β, temos
∂β
∂L∂∂βAσ
= −∂βF βσ. (3.9)
Entao, de acordo com os resultados (3.6) e (3.9), a equacao de Euler-Legrange dada por
(3.5), fica
∂µFµν = 0, (3.10)
39
que corresponde as leis de Gauss e Ampere, ou seja, corresponde, respectivamente, a
∇ · ~E = 0 (3.11)
e
∇× ~B =∂ ~E
∂t, (3.12)
que, complementadas com as equacoes contidas em
∂[σFµν] = 0, (3.13)
que sao, respectivamente, a Lei de Faraday e a Lei do monopolo magnetico, explicitamente
dados por
∇× ~E = −∂ ~B
∂t(3.14)
e
∇ · ~B = 0, (3.15)
constituem as chamadas equacoes de Maxwell no caso em que ρ e ~j sao nulos[12].
3.2 A Quantizacao do Campo Eletromagnetico via Cali-
bre de Coulomb
Em concordancia com a equacao (3.10), em termos de (3.3), esta pode ser escrita como
∂µ(∂µAν − ∂νAν) = 0,
ou ainda de acordo com (2.6) como
¤Aν − ∂ν∂µAµ = 0. (3.16)
Para ν = i, na equacao (3.16), temos que
¤Ai − ∂i(∂0A0 − ∂iA
i) = 0. (3.17)
Impondo sobre esta ultima o calibre de Coulomb dado por
∂iAi = ∇ · ~A = 0, (3.18)
40
e escolhendo A0 = 0, conhecida como Calibre Temporal, a equacao a ser resolvida se reduzira a
¤Ai = 0, (3.19)
ou seja, a equacao da onda, cujo o pontencial vetor Ai e solucao. Note ainda que ao escolhermos
o potencial escalar igual a zero (ϕ = Ao = 0), podemos obter o campo ~E atraves da relacao
~E( ~x, t) = −∂ ~A
∂t= −∂oA
i, (3.20)
e ~B atraves de
~B(~x, t) = ∇× ~A(~x, t) = εijk∂jAk~ei. (3.21)
Analogamente ao que foi feito para o campo escalar livre, podemos propor como solucao
para a equacao (3.19), uma equacao do tipo
~A(~x, t) =
∫
dk3~εkei~k·~xak(t), (3.22)
sendo ~εk o vetor de polarizacao da onda, que atribui o carater vetorial para o potencial ~A.
Tomando o divergente de (3.22), temos
∇ · ~A =
∫
dk3∇ · ~εkei~k·~xak(t),
que, em coordenadas cartezianas, se escrevera na forma
∇ · ~A =
∫
dk3
(
i∂
∂x+ j
∂
∂y+ k
∂
∂z
)
· (iεx + jεy + kεz)ei(kxx+kyy+kzz)ak(t),
ou ainda
∇ · ~A =
∫
dk3
(
εx
∂
∂x+ εy
∂
∂y+ εz
∂
∂z
)
ei(kxx+kyy+kzz)ak(t),
que, ao tomarmos as derivadas espaciais da funcao exponencial, fica
∇ · ~A =
∫
dk3(εxkx + εyky + εzkz)ei~k·~xak(t),
e ainda
∇ · ~A =
∫
dk3~k · ~εkei~k·~xak(t).
Como, por construcao, este potencial vetorial deve satisfazer a escolha de calibre de Coulomb
dada por (3.18), desta ultima equacao concluimos que
~k · ~εk = 0, (3.23)
41
que nos garante que o vetor de polarizacao e perpendicular ao vetor de onda, e ainda que o
calibre de Coulomb surge como uma condicao de transversalidade para o campo. Logo, podemos
associar dois estados de polarizacao linearmente independentes, ou seja
~ελk ; λ = 1, 2. (3.24)
de onde concluimos que
~ελk · ~ελ′
k = δλλ′ . (3.25)
Assim, ja considerando os graus de liberdade para a polarizacao, teremos que a solucao
geral para a equacao (3.19) sera dada, analogamente ao caso do campo escalar, por
~A(~x, t) =
∫
dk3
√
2wk(2π)3
2∑
λ=1
~ελk(akλe
i~k·~x−iwkt + a†kλe
−i~k·~x+iwkt), (3.26)
para o qual e valida a relacao de dispersao w2k = ~k2, dada, analagamente ao caso do campo
escalar nao massivo, por (2.55), fazendo nesta m = 0. Sendo ainda que os operadores de criacao
e aniquilacao satisfazem as seguintes relacoes de comutacao
[a†kλ, ak′λ′ ] = δλλ′δ(~k − ~k′),
[akλ, ak′λ′ ] = 0, (3.27)
[a†kλ, a
†k′λ′ ] = 0.
Tomando agora o tensor energia-momento dado por
θµν =∂L
∂∂µAσ
∂νAσ − gµνL. (3.28)
Substituindo em (3.28) as equacoes (3.2) e (3.8), esta ficara como
θµν = −F µσ∂νAσ +1
4gµνFαβF αβ, (3.29)
de onde a componente θ00, referente a densidade de energia, e dada por
θ00 = −F 0σ∂0Aσ +1
4FαβF αβ. (3.30)
De acordo com (3.3), podemos escrever F0σ = ∂0Aσ − ∂σA0. Como para este calibre estamos
trabalhando com A0 = 0, teremos que F0σ = ∂0Aσ, assim a equacao (3.30) fica
θ00 =1
4FαβF αβ − ∂0Aσ∂0Aσ.
42
Sabemos que os ındices α, β e σ variam de 0 a 3, porem, segundo o valor que escolhemos para
A0 podemos afirmar que as unicas contribuicoes relevantes para o segundo termo da ultima
relacao sao aquelas calculadas para σ = 1, 2, 3, que nao se anularao. Entao, de acordo com
(3.20), temos que
θ00 =1
4FαβF αβ + ~E2.
Explicitando os termos somados em α no primeiro termo desta ultima equacao, teremos
θ00 =1
4(F0βF 0β + FiβF iβ) + ~E2,
e ainda para β
θ00 =1
4(F00F
00 + F0jF0j + Fi0F
i0 + FijFij) + ~E2 i, j = 1, 2, 3.
Como F 00 = F00 = 0 e observando que os elementos F 0i e F0i sao as componentes do campo
eletrico1, temos que
θ00 =1
4(− ~E2 − ~E2 + FijF
ij) + ~E2,
ou ainda
θ00 =1
2~E2 +
1
4FijF
ij. (3.31)
Note ainda que Fij e F ij sao as componentes do vetor inducao magnetica do tensor de
Maxwell. De acordo com (3.3), temos
θ00 =1
2~E2 +
1
4(∂iAj − ∂jAi)(∂
iAj − ∂jAi)
=1
2~E2 +
1
4(∂iAj∂
iAj − ∂iAj∂jAi + ∂jAi∂
jAi − ∂jAi∂iAj).
Antes de proseguirmos com o calculo de θ00, tomemos o quadrado da equacao (3.21), ou
seja
~B2 = (∇× ~A)2 = εijkεilm∂jAk∂lAm,
sendo εijk e εilm os tensores de Levi-Civita, que obedecem a propriedade
εijkεilm = δjlδkm − δjmδkl, (3.32)
1Podemos ratificar tal afirmacao conhecendo a forma matricial de tensor F µν , para isso veja o Apendice A
deste trabaho.
43
daı temos que
~B2 = (∇× ~A)2 = ∂lAm∂lAm − ∂lAm∂mAl.
Logo, comparando ~B2 com a ultima equacao para θ00, esta ficara como
θ00 =1
2( ~E2 + ~B2), (3.33)
com isso o operador Hamiltoniano se escrevera na forma
H =1
2
∫
( ~E2 + ~B2)dx3. (3.34)
Substituindo (3.26) nas equacoes (3.20) e (3.21), encontraremos os campos eletricos e o
vetor inducao magnetica, que, ja escritos em funcao de (2.64), sao, respectivamente, dados por
~E(~x, t) =
∫
dk3
2∑
λ=1
iwk~ελk(akλuk − a
†kλu
∗k) (3.35)
e
~B(~x, t) =
∫
dk3
2∑
λ=1
ik~ελk(akλuk − a
†kλu
∗k). (3.36)
Logo substituindo (3.35) e (3.36) em (3.34), temos que
H = −1
2
∫
dx3
∫
dk3
∫
dk′3
2∑
λ,λ′=1
[~ελk · ~ελ′
k′(wkwk′ + |~k||~k′|)×
×(akλakλ′ukuk′ + a†kλa
†kλ′u
∗ku
∗k′ − a
†kλakλ′u∗
kuk′ − akλa†kλ′uku
∗k′)],
que, de acordo com as equacoes (2.68), (2.69) e (2.70), que relacionam as integrais entre as
funcoes uk e u∗k, fica
H = −1
2
∫
dk3
2wk
2∑
λ,λ′=1
[ελk · ελ′
−k(w2k − |~k|2)akλa−kλ′e−2iwkt + ελ
k · ελ′
−k(w2k − |~k|2)a†
kλa†−kλ′e
2iwkt+
−ελk · ελ′
k (w2k + |~k|2)a†
kλakλ′ − ελk · ελ′
k (w2k + |~k|2)akλa
†kλ′ ].
De acordo com a relacao de dispersao w2k = |~k|2 e com (3.25), vem
H =1
2
∫
dk3wk
∑
λ,λ′
δλ,λ′(a†kλakλ′ + akλ′ a
†kλ),
44
de onde, usando (2.18) e ja organizado os termos segundo o produto ordenamento normal, ou
seja, arrumando os operadores de criacao e aniquilacao de tal forma que o primeiro anteceda o
segundo, temos
H =
∫
dk3wk
2∑
λ=1
a†kλakλ, (3.37)
que e o operador Hamiltoniano para o caso aqui explorado, ou seja, para o campo eletro-
magnetico quantizado segundo o calibre de Coulomb.
Podemos ainda observar que ao considerarmos este campo num cubo de volume L3, sujeito
a condicoes de contorno periodicas, teremos uma solucao analoga ao caso explorado na seccao
2.2 deste trabalho, e assim sera possıvel perceber que tal solucao tera a forma[13]
~A(~x, t) =∞
∑
n=−∞
2∑
λ=1
ελn√
2wkL3(anλe
i~k·~x−iwnt + a†nλe
−i~k·~x+iwnt) (3.38)
tendo os devidos cuidados com o vetor de polarizacao ελn.
3.3 A Quantizacao do Campo Eletromagnetico via Cali-
bre de Lorentz
Tomando novamente para este caso a densidade de Lagrangeana dada pela equacao (3.2),
onde o momento canonicamente conjugado ao campo Aµ e dado por
πµ =∂L
∂∂0Aµ
= −F 0µ, (3.39)
podemos perceber que a componente temporal deste sera nula (π0 = 0). De onde concluimos
que o fato da densidade de Lagrangeana nao depender explicitamente de ∂0A0 nos leva a uma
aparente inconsistencia que, a princıpio, nos impede de procedermos com o processo de qua-
tizacao canonica neste calibre, pois com isto estamos afirmando que A0 nao possui um momento
canonicamente cojugado a ele. Uma primeira tentativa de contornarmos tal resultado seria con-
siderar A0 = 0 (o que foi feito na seccao anterior), porem como no formalismo covariante todas
as componentes de Aµ devem ser tratadas no mesmo “pe de igualdade”, tal feito se torna
inconsistente com nossa proposta, a de quantizacao covariante.
Para nos mantermos consistentes, faremos uso de uma sugestao dada por Fermi que consiste
basicamente numa densidade de Lagrangeana modificada dada por[8]
L = −1
4FµνF
µν − 1
2ξ(∂αAα)2, (3.40)
45
onde ξ e um parametro que pode assumir valores inteitos.
Esta equacao deve ainda nos levar a resultados que concordem com a teoria classica para
este calibre, o que nos leva a concluir que
¤Aµ = 0, (3.41)
quando impomos o calibre de Lorentz, dado por
∂µAµ = 0, (3.42)
na equacao (3.16).
Substituindo a equacao (3.40) na equacao de Euler-Lagrange dada por (3.5), teremos que
calcular, basicamente, derivadas do segundo termo da equacao (3.40) uma vez que as derivadas
do primeiro termo ja foram calculadas anteriormente na seccao 3.1, logo calculando cada termo
da equacao de Euler-Lagrange, temos
∂L∂Aγ
= −1
4
∂
∂Aγ
(FµνFµν) − 1
2ξ
∂
∂Aγ
(∂αAα)2 = 0, (3.43)
uma vez que na densidade de lagrangeana, dada por (3.40), nao ha dependencia explıcita do
campo Aµ, mas sim de suas derivadas.
O outro termo da equacao de Euler-Lagrange nos leva a
∂L∂∂βAγ
= −1
4
∂
∂∂βAγ
(FµνFµν) − 1
2ξ
∂
∂∂βAγ
(∂αAα)2.
O primeiro termo desta tambem ja foi devidamente calculada na seccao 3.1. Ja para o segundo
termo, introduziremos o tensor metrico com o objetivo de baixar o ındice do termo que sera
derivado e proseguiremos com a operacao naturalmente, assim, temos, utilizando tambem (3.7),
que
∂L∂∂βAγ
= −F βγ − 1
2ξ
∂
∂∂βAγ
(gαρ∂αAρ)2
= −F βγ − gβγξ∂αAα.
Portanto
∂β
∂L∂∂βAγ
= −∂βF βγ − ξ∂γ∂αAα. (3.44)
Entao a equacao de Euler-Lagrange ficara como
∂βF βγ + ξ∂γ∂αAα = 0,
46
ou ainda, em termos de (3.3), como
∂β(∂βAγ − ∂γAα) + ξ∂γ∂αAα = 0.
Ja que estamos trabalhando com ındices mudos, podemos escrever esta ultima equacao na
forma
¤Aµ − (1 − ξ)∂µ∂αAα = 0. (3.45)
Note ainda que, atraves da equacao (3.39), podemos mostrar que o momento canonicamente
conjugado ao campo sera
πµ = −F 0µ − ξg0µ∂αAα, (3.46)
cujas componentes espaciais sao dadas por
πi = ∂iA0 − ∂0Ai, (3.47)
e a temporal por
π0 = −ξ∂αAα, (3.48)
ambos diferente de zero, conforme nosso intuito.
Embora a equacao (3.40) seja valida para todo valor inteiro de ξ, para simplificarmos os
calculos escolheremos ξ = 1, tal escolha e conhecida como calibre de Feynman ou de Fermi,
com isso percebemos que o operador de campo em questao satisfaz a equacao da onda, ou seja,
¤Aµ = 0, (3.49)
cuja solucao, analoga ao calibre de Coulomb, apresenta quatro estados de polarizacao linear-
mente independentes: λ = 0 relativa a uma polarizacao do tipo tempo e λ = 1, 2 e 3 relativas as
polarizacoes espaciais, sendo que λ = 1 e 2 dizem respeio aos estados de polarizacao transversais
e λ = 3 ao estado de polarizacao longitudinal, de acordo com nossa escolha de base.
Logo, analogamente ao resultado apresentado em (3.26), temos que
Aµ(~x, t) =
∫
dk3
3∑
λ=0
εµ(k, λ)(a†kλuk + akλu
∗k). (3.50)
Efetivando o processo canonico de quantizacao teremos que o campo em questao satisfara
as seguintes relacoes de comutacao para tempos iguais, de forma analoga ao que fizemos em
(1.65), segundo o princıpio da correspondencia
[Aµ(~x, t), πν(~y, t)] = igµνδ3(~x − ~y),
47
[Aµ(~x, t), Aν(~y, t)] = 0, (3.51)
[πµ(~x, t), πν(~y, t)] = 0,
sendo que, segundo a relacao (1.30), temos
πµ(~x, t) = i
∫
dk3wk
3∑
λ=0
εµ(k, λ)(a†kλuk − akλu
∗k). (3.52)
Note nas equacoes (3.50) e (3.52) a presenca de quadri-vetores de polarizacao εµ(k, λ) que
satisfazem a relacao dada por
εµ(k, λ)εµ(k, λ′) = gλλ′ , (3.53)
ou seja, os vetores de polarizacao formam um sistema ortonormal quadri-dimensional.
3.4 O Calibre de Lorentz e o Metodo de Gupta-Bleuler
Calculando a relacao de comutacao entre o operador campo Aµ e o operador ∂µAµ temos
[∂µAµ(~x, t), Aν(~y, t)] = [∂0A
0 + ∂iAi, Aν(~y, t)],
ou ainda, segundo a propriedade [A + B, C] = [A, B] + [B, C][19], reescrevemos esta ultima
como
[∂µAµ(~x, t), Aν(~y, t)] = −[π0(~x, t), Aν(~y, t)] + ∂i[A
i(~x, t), Aν(~y, t)],
e levando em conta as relacoes dadas por (3.51), temos que
[∂µAµ(~x, t), Aν(~y, t)] = igν0δ3(~x − ~y) 6= 0. (3.54)
Note que para que a relacao de comutacao calculada anteriormente fosse nula, ou o operador
∂µAµ(~x, t) teria que ser nulo ou este teria que comutar com Aµ(~x, t). Como, segundo o resultado
encontrado acima, ambos os operadores nao comutam e como estamos lidando com um campo
Aµ(~x, t) 6= 0, este resultado nos faz concluir que o operador de campo nao satisfaz o calibre de
Lorentz como no caso classico, ou seja,
∂µAµ 6= 0, (3.55)
de maneira que possa se dizer que o processo de quantizacao canonica nao e compatıvel com
o calibre de Lorentz. A solucao dessa incongruencia sera discutida posteriormente, por hora
vejamos em que a escolha desse calibre implica, a princıpio, para o operador Hamiltoniano.
48
Para encontrarmos o operador hamiltoniano nos e conveniente reescrevermos a equacao
(3.40) ja levando em consideracao o valor unitario para o parametro ξ. Escrevendo este em
termos de (3.3), temos
L = −1
4(∂µAν − ∂νAµ)(∂µAν − ∂νAµ) − 1
2(∂αAα)2,
que, ao multiplicarmos os termos, fica
L = −1
4(∂µAν∂
µAν − ∂µAν∂νAµ − ∂νAµ∂
µAν + ∂νAµ∂νAµ) − 1
2(∂αAα)2.
Nesta ultima relacao, note, dentro dos primeiros parenteses, que alguns termos se assemelham,
como estamos trabalhando com ındices mudos, podemos agrupar estes de tal forma que a
Lagrangeana pode ser escrita como
L = −1
2∂µAν∂
µAν +1
2∂µAν∂
νAµ − 1
2∂µA
µ∂νAν , (3.56)
sendo ∂µAµ∂νA
ν = (∂αAα)2, escrita de tal forma que explicite os fatores envolvidos no produto
em questao.
Com o intuito de reescrevermos os dois primeiros termos da equacao (3.56), calcularemos a
derivada ∂µ[Aν(∂νAµ) − (∂νA
ν)Aµ], que segundo a regra do produto, dar-se-a por
∂µ[Aν(∂νAµ) − (∂νA
ν)Aµ] = ∂µAν∂νAµ + Aν(∂
ν∂µAµ) − (∂µ∂νA
ν)Aµ − ∂νAν∂µA
µ,
usando o tensor metrico, baixaremos alguns ındices do segundo e do terceiro termo do resultado
acima, com isso
∂µ[Aν(∂νAµ) − (∂νA
ν)Aµ] = ∂µAν∂νAµ − ∂νA
ν∂µAµ + gνρAν(∂ρ∂µA
µ) − gµσAσ(∂µ∂νAν),
observe que os ultimos termos se cancelam, logo
∂µ[Aν(∂νAµ) − (∂νA
ν)Aµ] = ∂µAν∂νAµ − ∂µA
µ∂νAν .
Desta forma, (3.56) podera ser reescrita como
L = −1
2∂µAν∂
µAν +1
2∂µ[Aν(∂
νAµ) − (∂νAν)Aµ].
Sendo o segundo termo a quadri-divergencia que, por sua vez, nao dara contribuicao para nossos
propositos, pois com o uso do Teorema de Gauss, podemos escolher uma superfıcie na qual o
campo se anule. Como estamos trabalhando com o campo livre, tal superfıcie se encontra no
infinito, portanto a densidade de Lagrangeana que dara contribuicao sera apenas
L = −1
2∂µAν∂
µAν . (3.57)
49
Logo, de forma analoga aos calculos ja efetuados para o campo escalar e para o campo
eletromagnetico via calibre de Coulomb a densidade de energia, partindo-se de (3.28) para o
presente caso, sera dada por
θ00 = −πµπµ +1
2∂µAν∂
µAν .
Explicitando as componentes temporais e espaciais de ∂µ, teremos
θ00 = −πµπµ +1
2∂0Aν∂
0Aν +1
2∂jAν∂
jAν ,
que, segundo a definicao do momento canonicamente conjugado (1.30) e o fato de que ∂j = −∂j,
fica
θ00 = −πµπµ +1
2πµπµ − 1
2∂jAν∂jA
ν ,
ou ainda,
θ00 = −1
2πµπµ − 1
2∂jAν∂jA
ν .
Aplicando a derivado ∂j no campo (3.50) teremos, ja em termos das funcoes uk, que
∂jAµ = i
∫
dk3k
3∑
λ=0
εµ(k, λ)(akλuk − a†kλu
∗k). (3.58)
Analogamente ao que ja foi visto na seccao anterior, para a obtencao do operador hamil-
toniano, partindo de uma relacao similar a (2.66) e com o auxılio das relacoes (2.68), (2.69) e
(2.70) podemos mostrar que
H = −1
2
∫
dk3wk
3∑
λ,λ′=0
εµ(k, λ)εµ(k, λ′)(a†kλakλ′ + akλa
†kλ′), (3.59)
que de acordo com (3.53) ficara como
H = −1
2
∫
dk3wk
3∑
λ,λ′=0
gλλ′(a†kλakλ′ + akλa
†kλ′). (3.60)
Como as unicas contribuicoes relevantes para esta ultima dar-se-ao para λ = λ′, correspon-
dendo a diagonal principal do tensor metrico, e ja impondo sobre esta o ordenamento normal,
concluımos que
H =
∫
dk3wk
3∑
λ,λ′=0
(−gλλ)a†kλakλ, (3.61)
50
ou ainda, explicitando a somatoria, temos
H =
∫
dk3wk(−a†k0ak0 + a
†k1ak1 + a
†k2ak2 + a
†k3ak3), (3.62)
de maneira que e possıvel notar que para este caso os operadores de criacao e aniquilacao criam
e aniquilam fotons relativos a quatro diferentes tipos de polarizacao, sendo que a polarizacao
do tipo tempo traz um problema de norma negativa que analizaremos a partir de agora.
Analogamente ao caso discreto, onde
akλ |0〉 = 0; ∀ k, λ, (3.63)
e ainda
|nkλ〉 =(a†
kλ)nkλ
√nkλ!
|0〉 , (3.64)
de onde vemos que para criarmos, a partir do vacuo, um unico foton, devemos ter
|1kλ〉 = a†kλ |0〉 . (3.65)
A ultima relacao pode ser escrita, tomando o limite para o contınuo, como
|1kλ〉 =
∫
dk′3Fk(k′)a†
k′λ |0〉 (3.66)
sendo Fk(k′) uma funcao “distribuicao de densidade” que descreve o quao proximos estao os
varios estados possıveis para criacao ou aniquilacao de partıculas (foton) com numero de onda
k. Tal funcao obedece ainda a relacao[6]
∫
dk′3|Fk(k′)|2 = 1. (3.67)
Para encontrarmos a norma do estado dado por (3.66), devemos fazer
〈1kλ|1kλ〉 =
∫
dk′3
∫
dk′′3Fk(k′)Fk(k
′′) 〈0| ak′λa†k′′λ |0〉 (3.68)
que de acordo com
[a†kλ, ak′λ′ ] = gλλ′δ(~k − ~k′),
[akλ, ak′λ′ ] = 0, (3.69)
[a†kλ, a
†k′λ′ ] = 0,
51
que nos da as relacoes de comutacao entre os operadores de criacao e aniquilacao para o caso
aqui explorado[9]. Mais especificamente de acordo com o primeiro comutador deste ultimo
conjunto de equacoes, temos que (3.68) pode ser escrita como
〈1kλ|1kλ〉 =
∫
dk′3
∫
dk′′3Fk(k′)Fk(k
′′) 〈0| (a†k′λak′′λ − gλλ)δ
3(~k′, ~k′′) |0〉 ,
como o valor esperado 〈0| a†k′λak′′λ |0〉 = 0 segundo (3.63), teremos
〈1kλ|1kλ〉 =
∫
dk′3
∫
dk′′3Fk(k′)Fk(k
′′) 〈0| − gλλδ3(~k′, ~k′′) |0〉 ,
que concordando com (2.18), fica
〈1kλ|1kλ〉 = −gλλ
∫
dk′3|Fk(k′)|2 〈0|0〉 ,
que de acordo com (3.67), temos, finalmente, que
〈1kλ|1kλ〉 = −gλλ, (3.70)
na qual percebemos que a norma para o estado de 1 unico foton, em λ = 0, e negativa, o que
impossibilita uma interpretacao probabilıstica para a teoria, interpretacao essa, fundamental
para a fısica quantica. Tal resultado nos conduz ainda a um valor de energia negativa para o
estado de polarizacao referente a λ = 0 no quadi-vetor de polarizacao εµ(k, λ).
Com o intuito de contornarmos esse problema, voltemos a impossibilidade do calibre de
Lorentz dada pela equacao (3.56), para esta, afirmaremos que num sub-espaco do espaco de
Hilbert, representado por |ψ〉, o valor esperado da equacao (3.56) satisfara o calibre de Lorentz,
logo
〈ψ| ∂µAµ |ψ〉 = 0, (3.71)
ou seja, o valor medio de ∂µAµ devera ser nulo quando calculado neste sub-espaco.
Escrevendo o operador de campo, por simplicidade, como
Aµ(~x, t) = Aµ(+)(~x, t) + Aµ(−)(~x, t), (3.72)
onde Aµ(+)(~x, t) e Aµ(−)(~x, t) estao relacionados, respectivamente, aos operadores de aniquilacao
e criacao, sendo ainda que
[Aµ(+)]† = Aµ(−). (3.73)
Ao impormos a relacao matematica
∂µAµ(+) |ψ〉 = 0, (3.74)
52
que por sua vez tera como correspondente dual a equacao
〈ψ| ∂µAµ(−) = 0, (3.75)
podemos, enfim, escrever que
〈ψ| ∂µAµ |ψ〉 = 〈ψ| ∂µA
(+) |ψ〉 + 〈ψ| ∂µA(−) |ψ〉 = 0. (3.76)
A equacao (3.74), que garante a ultima igualdade, e a chamada condicao de Gupta-
Bleuler. Outra importante observacao que podemos fazer a respeito desta condicao pode ser
obtida explicitando esta, ou seja
∫
dk3
√
2wk(2π)3eiwkt−i~k·~x
3∑
λ=0
kµεµ(k, λ)akλ |ψ〉 = 0, (3.77)
que explicitando os termos da somatoria, fica∫
dk3
√
2wk(2π)3eiwkt−i~k·~x[kµε
µ(k, 0) + kµεµ(k, 1) + kµε
µ(k, 2) + kµεµ(k, 3)] |ψ〉 = 0.
Como, para este caso, kµεµ(k, 1) = kµε
µ(k, 2) = 0 e ainda kµεµ(k, 0) = −kµε
µ(k, 3) [9], temos∫
dk3
√
2wk(2π)3eiwkt−i~k·~xkµε
µ(k, 0)(ak0 − ak3) |ψ〉 = 0. (3.78)
Veja que para que a relacao acima seja de fato nula, temos que garantir que
Lk |ψ〉 = (ak0 − ak3) |ψ〉 = 0, (3.79)
cuja correspondente dual e dada por
〈ψ| L†k = 〈ψ| (a†
k0 − a†k3) = 0, (3.80)
que representa uma relacao entre os foton relativos a polarizacao escalar λ = 0 e os foton
relativos a polarizacao longitudinal λ = 3, de onde podemos concluir ainda que
ak0 |ψ〉 = ak3 |ψ〉〈ψ| a†
k0 = 〈ψ| a†k3,
(3.81)
o que nos remete, tomando o produto escalar entre as relacoes contidas em (3.81), ao resultado
〈ψ| a†k0ak0 |ψ〉 = 〈ψ| a†
k3ak3 |ψ〉 . (3.82)
Com isso, ao calcularmos, por fim, o valor esperado para o operador Hamiltoniano dado por
(3.63), encontramos que
⟨
H⟩
=
∫
dk3wk 〈ψ| (−a†k0ak0 + a
†k1ak1 + a
†k2ak2 + a
†k3ak3) |ψ〉 ,
53
ou ainda, de acordo com (3.79), que
⟨
H⟩
=
∫
dk3wk
2∑
λ=1
〈ψ| a†kλakλ |ψ〉 ,
que tem basicamente a forma
H =
∫
dk3wk
2∑
λ=1
Nkλ, (3.83)
sendo Nkλ o operador numeral ja definido por nos anteriormente em (2.34).
Com o desenvolvimento que viemos fazendo desde (3.61) ate a equacao (3.83), com o auxılio
do metodo de Gupta-Bleuler dado por (3.74), nos foi possıvel perceber que os estados de
polarizacao logitudinal e escalar nao contribuem para o calculo da energia, o que e consistente
com medidas experimentais onde apenas fotons transversais sao observados. Estes estados, os
de polarizacoes logitudinal e escalar, surgem unicamente do desenvolvimento matematico que
seguimos, sendo descartados por argumentos fısicos no decorrer da teoria.
54
Capıtulo 4
A Quantizacao do Campo Vetorial
Massivo
Para uma melhor descricao das interacoes fracas e de grande importancia um melhor en-
tendimento da fısica que rege o campo vetorial massivo, tambem conhecidos como campo de
Proca. A quantizacao deste tipo de campo sera alvo de nosso estudo neste capıtulo fazendo
algumas comparacoes com o caso estudado no capıtulo anterior onde a massa do campo vetorial
(campo eletromagnetico) era tida como nula.
4.1 As Equacoes de Proca
Ja considerando nula as distribuicoes de cargas e correntes, a densidade de Lagrangeana
que descreve um campo vetorial massivo e dada por[8][9]
L = −1
4FµνF
µν +1
2m2AµA
µ (4.1)
sendo Aµ um campo real e neutro, Fµν o tensor de Maxwell ja apresentado no capıtulo anterior
e m a massa da partıcula mediadora desta interacao.
Substituindo a Lagrangeana (4.1) na equacao de Euler-Langrage, equacao (3.5), e calculando
cada termo desta, teremos, ja utilizando o tensor metrico, que o primeiro sera
∂
∂Aσ
(
m2 1
2AµA
µ
)
= m2 1
2
∂
∂Aσ
(gµρAµAρ),
no qual podemos notar que para o calculo do primeiro termo da equacao de Euler-Lagrange
dada por (3.5) so sera relevante o segundo termo de (4.1), uma vez que o primeiro desta nao
apresenta dependencia explicita dos campos Aµ, e sim, segundo (3.3), apenas de suas derivadas.
Assim sendo, segundo a regra da derivada do produto e recordando que ∂Aµ
∂Aν= δµν , a ultima
55
equacao pode ser escrita como
∂
∂Aσ
(
m2 1
2AµA
µ
)
= m2 1
2(gµρδµσAρ + gµρδρσAµ),
que, por fim, utilizando a propriedade do tensor metrico e da Delta, temos
∂
∂Aσ
(
m2 1
2AµA
µ
)
= m2Aσ,
que e o primeiro termo da Equacao de Euler-Lagrange.
Para o segundo termo da Equacao de Euler-Lagrange teremos que calcular, basicamente, a
derivada do primeiro termo de (4.1), uma vez que somente este apresenta dependencia explicita
das derivadas do campo Aµ. Assim sendo, para este calculo podemos utilizar um resultado ja
calculado anteriormente em (3.9).
Logo, reunindo o resultado de (3.9) com o resultado encontrado na ultima equacao acima,
temos que a equacao de movimento para o campo Aµ e dada por
∂µFµν + m2Aν = 0, (4.2)
ou, em termos explicitos do campo, segundo (3.3), como
¤Aν − ∂ν(∂µAµ) + m2Aν = 0, (4.3)
que sao as chamadas Equacoes de Proca, equacoes que regem a dinamica do campo vetorial
massivo.
Tomando a quadri-divergencia ∂ν da equacao (4.3) e de acordo com (2.6), temos
∂µ∂µ∂νA
ν − ∂ν∂ν(∂µA
µ) + m2∂νAν = 0,
e lembrando que µ e ν sao ındices mudos podemos perceber os dois primeiros termos da ultima
equacao se cancelam mutuamente, e desta forma temos
m2∂νAν = 0.
Uma vez que m2 6= 0 concluimos finalmente que
∂νAν = 0. (4.4)
Desta forma notamos que, contrariamente ao campo eletromagnetico, o campo de Proca satis-
faz de maneira imediata a condicao de Lorentz, o que nos permite reescrever a equacao (4.3)
simplesmente como
(¤ + m2)Aν = 0, (4.5)
56
ou seja, todas as componentes de Aµ satisfazem a equacao homogenea de Klein-Gordon. Com
isso percebemos que a solucao da equacao (4.5) pode ser obtida de maneira analoga ao que ja
vinhamos fazendo ate entao, salvo algumas observacoes que serao destacadas no decorrer deste
capıtulo.
4.2 A Quantizacao do Campo de Proca
Para darmos inıcio ao processo de quantizacao do campo Proca comecemos por encontrar
o momento canonicamente conjugado a este, que sera dado, de acordo com (3.39), por
πµ = −F 0µ. (4.6)
Segundo a forma matricial do tensor de Maxwell (veja apendice A), podemos notar que as
componentes temporais e espaciais de (4.6) sao dadas, respectivamente, por
π0 = 0πi = Ei.
(4.7)
Neste ponto, assim como no capıtulo anterior, vale ressaltar que a componente temporal do
campo nao possui um momento canonicamente conjugado a ele, nao sendo possıvel, portanto,
apresentar uma relacao de comutacao entre essas grandezas. Porem, neste caso, podemos dar
conta do campo A0 usando as equacoes de movimento que o campo satisfaz, ou seja, a variacao
de A0 sera regulada por essas equacoes, que, quando calculadas de acordo com a equacao (4.2)
para ν = 0, temos que
A0 = − 1
m2∂iE
i. (4.8)
Sendo assim, seguindo o protocolo da quantizacao canonica, podemos impor as regras de
comutacao para tempos iguais entre os observaveis, dadas por
[Ai(~x, t), πj(~y, t)] = [Ai(~x, t), Ej(~y, t)] = iδijδ3(~x − ~y),
[Ai(~x, t), Aj(~y, t)] = 0, (4.9)
[πi(~x, t), πj(~y, t)] = [Ei(~x, t), Ej(~y, t)] = 0,
e promover a variavel dinamica, descrita pela equacao (4.8), para a categoria de operador, de
maneira que podemos escrever
A0 = − 1
m2∂iE
i. (4.10)
57
Para as quantidades Ai e A0, usando a equacao anterior para A0, temos ainda a seguinte relacao
de comutacao
[Ai(~x, t), A0(~y, t)] =
[
Ai(~x, t),− 1
m2∂jE
j(~y, t)
]
,
e como a derivada ∂j e em relacao a ~y ela pode ser retirada de dentro do comutador, assim
como o termo − 1m2 , sendo possıvel escrever a equacao anterior simplesmente como
[Ai(~x, t), A0(~y, t)] = − 1
m2∂j[A
i(~x, t), Ej(~y, t)],
que, usando a primeira das relacoes (4.9), fica
[Ai(~x, t), A0(~y, t)] = − 1
m2∂iδ
3(~x − ~y), (4.11)
e ainda para as relacoes entre campos A0, calculados em tempos iguais, temos finalmente
[A0(~x, t), A0(~y, t)] = 0. (4.12)
Note nestas ultimas relacoes que as componentes do campo Aµ sao tratadas separadamente,
nao mantendo assim a ideia de covariancia, uma vez que as componentes espaciais e temporais
do campo de Proca foram separadamente quantizadas. Com o intuito de contornarmos tal
incongruencia e necessario redefinir algumas das relacoes de comutacao ja explicitadas.
Porem, antes disso, e conveniente escrevermos a solucao geral da equacao de movimento
(4.5) que, de acordo com a decomposicao em ondas planas e ja considerando apenas os tres
graus de liberdade das variaveis dinamicas independentes, sera dada por
Aµ(~x, t) =
∫
dk3
3∑
λ=1
εµ(k, λ)(akλuk + a†kλu
∗k), (4.13)
ou, explicitando as funcoes uk, dadas por (2.64), podemos ainda escreve tal solucao como
Aµ(xµ) =
∫
dk3
√
2wk(2π)3
3∑
λ=1
εµ(k, λ)(akλe−ikµxµ
+ a†kλe
ikµxµ
), (4.14)
sendo
kµ = (k0, ~k),xµ = (t = x0, ~x),
kµxµ = wkt − ~k · ~x,
(4.15)
tendo as tres bases de polarizacao definidas convenientemente por[9] (Veja Apendice B)
εµ(k, 1) = (0,~ε(k, 1)),
58
εµ(k, 2) = (0,~ε(k, 2)), (4.16)
εµ(k, 3) =
( |k|m
,k
|k|k0
m
)
.
Consideremos agora, diferentemente do que vinhamos fazendo ate entao, a relacao de co-
mutacao entre os campos Aµ(xµ) e Aµ(yµ) nao apenas em pontos, mas tambem em tempos
diferentes. Daı vira, utilizando (4.14), que
[Aµ(xµ), Aµ(yµ)] =
∫
dk3
√
2wk(2π)3
∫
dk′3
√
2w′k(2π)3
3∑
λ,λ=1
εµ(k, λ)εν(k′, λ′)[(akλe−ikµxµ
+ a†kλe
ikµxµ
)×
×(ak′λ′e−ik′
µyµ
+ a†k′λ′e
ik′
µyµ
) − (ak′λ′e−ik′
µyµ
+ a†k′λ′e
ik′
µyµ
)(akλe−ikµxµ
+ a†kλe
ikµxµ
)].
Efetuando os produtos explicitados acima podemos identificar neste resultado algumas relacoes
de comutacao para os operadores de criacao e aniquilacao. Desta maneira a ultima equacao
pode ser escrita como
[Aµ(xµ), Aµ(yµ)] =
∫
dk3
√
2wk(2π)3
∫
dk′3
√
2w′k(2π)3
3∑
λ,λ=1
εµ(k, λ)εν(k′, λ′){[akλ, ak′λ′ ]e−i(kµxµ+k′
µyµ)+
+[akλ, a†k′λ′ ]e
−i(kµxµ−k′
µyµ) + [a†kλ, ak′λ′ ]ei(kµyµ−k′
µyµ) + [a†kλ, a
†k′λ′ ]e
i(kµxµ+k′
µyµ)},
que, de acordo com as relacoes de comutacao para os operadores de criacao e aniquilacao dadas
por (3.69), a relacao de comutacao entre os campos Aµ(xµ) e Aµ(yµ) fica
[Aµ(xµ), Aµ(yµ)] =
∫
dk3
√
2wk(2π)3
∫
dk′3
√
2w′k(2π)3
3∑
λ,λ=1
gλλ′δ3(~k − ~k′)×
×εµ(k, λ)εν(k′, λ′)[ei(kµxµ−k′
µyµ) − e−i(kµxµ−k′
µyµ)].
Segundo (2.18) e como as unicas contribuicoes nao nulas para a ultima igualdade dar-se-ao para
λ = λ′, em virtude da diagonal principal do tensor metrico, teremos que
[Aµ(xµ), Aµ(yµ)] = −∫
dk3
2wk(2π)3
3∑
λ=1
εµ(k, λ)εν(k, λ)[eikµ(xµ−yµ) − e−ikµ(xµ−yµ)].
Como para o caso do campo de Proca temos que[9] (Veja Apendice B)
3∑
λ=1
εµ(k, λ)εν(k, λ) = −(
gµν − 1
m2kµkν
)
, (4.17)
59
e o comutador que estamos calculando tera a forma
[Aµ(xµ), Aµ(yµ)] = −∫
dk3
2wk(2π)3
(
−gµν +1
m2kµkν
)
[eikµ(xµ−yµ) − e−ikµ(xµ−yµ)].
E possivel reescrever esta ultima relacao de comutacao de tal maneira que o integrando
desta seja composto apenas das exponenciais nesta existentes. Para tanto vamos resolver a
derivada ∂µ∂ν [eikµ(xµ−yµ) − e−ikµ(xµ−yµ)] e, ja utilizando o tensor metrico, temos
∂µ∂ν [eikµ(xµ−yµ) − e−ikµ(xµ−yµ)] = gµβgνρ∂β∂ρ[eikµ(xµ−yµ) − e−ikµ(xµ−yµ)],
que ao aplicarmos a primeira derivada, em ∂ρ, fica
∂µ∂ν [eikµ(xµ−yµ) − e−ikµ(xµ−yµ)] = gµβgνρ∂β[ikµ
∂xµ
∂xβeikµ(xµ−yµ) + ikµ
∂xµ
∂xβe−ikµ(xµ−yµ)],
na qual ∂xµ
∂xβ = δµβ . Segundo a propriedade de filtragem da Delta, a ultima relacao fica
∂µ∂ν [eikµ(xµ−yµ) − e−ikµ(xµ−yµ)] = gµβgνρ∂β[ikβeikµ(xµ−yµ) + ikβe−ikµ(xµ−yµ)].
Aplicando agora a derivada ∂β de forma analoga ao que fizemos para a derivada ∂ρ, teremos
∂µ∂ν [eikµ(xµ−yµ) − e−ikµ(xµ−yµ)] = −gµβgνρ[kβkρeikµ(xµ−yµ) − kβkρe
−ikµ(xµ−yµ)],
desta forma, colocando kβ e kρ em evidencia e levantando seus ındices com o auxılio do tensor
metrico, temos a igualdade
∂µ∂ν [eikµ(xµ−yµ) − e−ikµ(xµ−yµ)] = −kµkν [eikµ(xµ−yµ) − e−ikµ(xµ−yµ)].
Logo, usando a expressao acima na relacao de comutacao [Aµ(xµ), Aµ(yµ)], que vinhamos cal-
culando, obtemos que
[Aµ(xµ), Aµ(yµ)] = −∫
dk3
2wk(2π)3
(
−gµν − 1
m2∂µ∂ν
)
[eikµ(xµ−yµ) − e−ikµ(xµ−yµ)],
ou ainda
[Aµ(xµ), Aµ(yµ)] =
(
gµν +1
m2∂µ∂ν
) ∫
dk3
2wk(2π)3[eikµ(xµ−yµ) − e−ikµ(xµ−yµ)].
Sabendo que[20]
sin θ =eiθ − e−iθ
2i, (4.18)
a nossa relacao de comutacao ficara
[Aµ(xµ), Aµ(yµ)] = i
(
gµν +1
m2∂µ∂ν
) ∫
dk3
(2π)3
sin kµ(xµ − yµ)
wk
.
60
Introduziremos agora a chamada Funcao de Pauli-Jordan definida como[9]
∆(xµ − yµ) = −∫
dk3
(2π)3
sin kµ(xµ − yµ)
wk
. (4.19)
Concluımos entao que o comutador [Aµ(xµ), Aµ(yµ)] pode ser escrito na forma
[Aµ(xµ), Aµ(yµ)] = −i
(
gµν +1
m2∂µ∂ν
)
∆(xµ − yµ). (4.20)
A funcao de Pauli-Jordan obedece a algumas importantes propriedades, tais como:
E impar no argumento
∆(xµ − yµ) = −∆(yµ − xµ). (4.21)
E nula quando calculada em tempos iguais, ou seja,
∆(xµ − yµ)|x0=y0 = 0. (4.22)
Sua primeira derivada temporal calculada em tempos iguais e dada por
∂0∆(xµ − yµ)|x0=y0 = −δ3(~x − ~y). (4.23)
E solucao da equacao homogenea de Klein-Gordon, logo
(¤ + m2)∆(xµ − yµ) = 0. (4.24)
Entao, de acordo com a equacao (4.20), percebemos que o processo de quantizacao tambem
e covariante para campos vetoriais massivos, uma vez que a funcao de Pauli-Jordan e um
invariante de Loretz[8][9]. E ainda, de acordo com as propriedades da funcao de Pauli-Jordan
podemos perceber que as relacoes (4.9), (4.11) e (4.12) sao casos especiais que surgem de
maneira imediata da relacao de comutacao covariante dada por (4.20), quando consideramos
esta para tempos iguais. Esta mesma consideracao, para as relacoes de comutacao, pode ser
feita para outros campos, como o campo escalar e o campo de Maxwell, por exemplo. Diante
disto podemos escrever uma relacao de comutacao para campos escalares[8][9] dada agora na
forma
[ϕ(xµ), ϕ(yµ)] = i∆(xµ − yµ), (4.25)
e para o campo eletromagnetico[9], no calibre de Lorentz, como
[Aµ(xµ), Aν(yµ)] = −igµνD(xµ − yµ), (4.26)
61
sendo que D(xµ − yµ) e a propria funcao de Pauli-Jordan, com a ressalva de que aqui ela esta
definida para campos vetoriais cuja massa e nula, por isso, por questao de notacao trocamos ∆
por D. E no calibre de Coulomb teremos
[Ai(xµ), Aj(yµ)] = iPij⊥ D(xµ − yµ), (4.27)
na qual
Pij⊥ =
(
δij −∂i∂j
∇2
)
, (4.28)
que e o denominado Operador Projecao Transversa[9].
Para obter agora a relacao de comutacao entre os operadores Aν(yν) e suas derivadas, ou
seja, entre ∂µAµ(xµ) e Aν(yν), teremos simplesmente que calcular
[∂µAµ(xµ), Aν(yν)] = ∂µ[Aµ(xµ), Aν(yν)],
que de acordo com (4.20), fica
[∂µAµ(xµ), Aν(yν)] = −i∂µ
(
gµν +1
m2∂µ∂ν
)
∆(xµ − yµ).
Introduzindo a derivada ∂µ no parentese e levantando seu ındice gracas ao tensor metrico, temos
[∂µAµ(xµ), Aν(yν)] = −i
(
∂ν +1
m2∂µ∂
µ∂ν
)
∆(xµ − yµ),
que ao identificarmos nesta o D’Lambertiano, dado por ∂µ∂µ, e colocando 1
m2 ∂ν em evidencia,
ficaremos com
[∂µAµ(xµ), Aν(yν)] = − i
m2∂ν(¤ + m2)∆(xµ − yµ),
que de acordo com (4.24) fica, finalmente, na forma
[∂µAµ(xµ), Aν(yν)] = 0.
Como Aν(yν) 6= 0, de acordo com a ultima relacao nota-se que faz sentido que ∂µAµ(xµ) = 0,
ou seja, diferentemente do campo eletromagnetico explorado na seccao 3.3, o campo de Proca
satisfaz de maneira imediata a condicao de Lorentz, dada por (3.42), uma vez que a funcao de
Pauli-Jordan satisfaz a equacao homogenea de Klein-Gordon dada por (4.24).
Como no momento a nossa intencao e encontrar o operador Hamiltoniano, partiremos no-
vamente da componente θ00 do tensor energia-momento, dado por
θ00 =∂L
∂∂0Aµ
∂0Aµ − L.
62
O primeiro termo desta ultima equacao pode ser reescrito de acordo com a equacao (3.39) e o
segundo termo de acordo com a equacao (4.1), desta maneira, temos
θ00 = −F 0µ∂0Aµ +1
4FµνF
µν − 1
2m2AµA
µ,
que, explicitando a somatoria contida nos dois primeiros termos e efetuando o produto do
terceiro termo, temos
θ00 = −F 0i∂0Ai +1
4(F0jF
0j + F0iF0i + FijF
ij) − 1
2m2(A2
0 − ~A2),
e ja que F00 = F 00 = 0, e sabendo ainda que F0i e F 0i sao as componentes do campo eletrico,
temos que
θ00 = − ~E · ∂0Ai +1
4(−2 ~E + FijF
ij) − 1
2m2(A2
0 − ~A2).
Note nos resultados (3.31) e (4.32), bem como nos calculos efetuados entre essas duas equacoes,
que FijFij representam o vetor inducao magnetica, que dar-se-ao de tal forma que a ultima
equacao fica
θ00 = − ~E · ∂0~A − 1
2( ~E2 − ~B2) − 1
2m2(A2
0 − ~A2), (4.29)
e como sabemos ainda que ~E = −∇A0 − ∂0~A, teremos que
θ00 = − ~E · (− ~E − ∂0~A) − 1
2( ~E2 − ~B2) − 1
2m2(A2
0 − ~A2),
na qual, efetuando o produto escalar do primeiro termo e agrupando os termos em comum,
podemos escrever
θ00 =1
2( ~E2 + ~B2) + ~E · ∇A0 −
1
2m2(A2
0 − ~A2).
Usando ainda a propriedade[17]
∇ · (ϕ~F ) = ∇ϕ · ~F + ϕ∇ · ~F , (4.30)
na qual ϕ e ~F sao, respectivamente, campos escalares e vetoriais quaisquer, podemos reescrever
o segundo termo da ultima equacao para θ00 de tal forma que esta ficara na forma
θ00 =1
2( ~E2 + ~B2) − A0∇ · ~E + ∇ · (A0
~E) − 1
2m2(A2
0 − ~A2).
Ao integrarmos a expressao anterior em todo volume e usando o Teorema de Gauss podemos
descartar o terceiro termo da ultima equacao, baseados na ideia de que no infinito os campos
se anulam, e assim, apos alguma algebra, obtermos
θ00 =1
2( ~E2 + ~B2 + m2 ~A2) − A0∇ · ~E − 1
2m2A2
0,
63
que de acordo com (4.8) fica, finalmente, como
θ00 =1
2
[
~E2 + ~B2 +1
m2(∇ · ~E)2 + m2 ~A2
]
, (4.31)
que e a expressao para a densidade de energia.
A partir do resultado anterior podemos encontrar o operador hamiltoniano integrando a
densidade de energia em todo o espaco, ou seja
H =1
2
∫
dx3
[
~E2 + ~B2 +1
m2(∇ · ~E)2 + m2 ~A2
]
., (4.32)
que, ao proseguirmos com calculos[9], analogamente com os que foram feitos para encontrar os
operadores hamiltonianos dos campos explorados anteriormente, tais como os campos escalares
e eletromagneticos, podemos mostrar que tal operador fica, em sua forma final, dado por
H =
∫
dx3wk
3∑
λ=1
a†kλakλ, (4.33)
que e o operador Hamiltoniano do Campo de Proca, cuja somatoria vai de 1 a 3, referentes as
variaveis independentes discutidas na seccao 4.2 deste capıtulo.
64
Capıtulo 5
O Propagador de Feynman
E sabido que para se descrever detalhadamente um sistema de muitos corpos, mesmo ainda
no contexto fısica classica, necessitamos conhecer a posicao da partıcula no decorrer do tempo,
ou seja, para cada partıcula precisamos conhecer ~r(t). Ja no caso teoria quantica precisamos
conhecer a funcao de onda dependente do tempo, ou seja, ψ(~r, t), que representa a amplitude
de probabilidade de encontrar a partıcula em uma certa regiao do espaco. O propagador e o
objeto que promove tanto a evolucao temporal quanto espacial de funcao de onda, ou seja, e o
propagador que nos fornece a funcao de onda em um certo instante e em uma certa regiao do
espaco, quando esta e conhecida numa outra regiao e instante.
Os propagadores de Feynman, no ambito da Teoria Quantica de Campos, sao entendidos
como sendo amplitudes de probabilidades de se obter processos fısicos especıficos envolvendo
interacoes nesta teoria[14].
5.1 O Propagador do Campo Escalar Massivo
O propagador de Feynman, dentro da teotia quantica de campos, e definido como[11]
i∆F (xµ − yµ) = 〈0|T (ϕ(xµ)ϕ(yµ)) |0〉 , (5.1)
sendo que T denota o Produto Ordenamento Temporal, que organiza os campos na forma
T (ϕ(xµ)ϕ(yµ)) = θ(x0 − y0)ϕ(xµ)ϕ(yµ) + θ(y0 − x0)ϕ(yµ)ϕ(xµ), (5.2)
ou seja, que organiza temporalmente a maneira pela qual os campos se propagam.
Substituindo (5.2) em (5.1), obtemos que
i∆F (xµ − yµ) = θ(x0 − y0) 〈0| ϕ(xµ)ϕ(yµ) |0〉 + θ(y0 − x0) 〈0| ϕ(yµ)ϕ(xµ) |0〉 , (5.3)
65
que de acordo com (2.50) toma a forma
i∆F (xµ − yµ) = θ(x0 − y0)[〈0| ϕ(+)(xµ)ϕ(+)(yµ) |0〉 + 〈0| ϕ(+)(xµ)ϕ(−)(yµ) |0〉+
+ 〈0| ϕ(−)(xµ)ϕ(+)(yµ) |0〉 + 〈0| ϕ(−)(xµ)ϕ(−)(yµ) |0〉]+
+θ(y0 − x0)[〈0| ϕ(+)(yµ)ϕ(+)(xµ) |0〉 + 〈0| ϕ(+)(yµ)ϕ(−)(xµ) |0〉+
+ 〈0| ϕ(−)(yµ)ϕ(+)(xµ) |0〉 + 〈0| ϕ(−)(yµ)ϕ(−)(xµ) |0〉],
na qual podemos notar que em alguns termos temos a aplicacao
ϕ(+)(xµ) |0〉 =
∫
dk3ukak |0〉 , (5.4)
que de acordo com a equacao (2.47), que fornece o valor do operador aniquilacao aplicado no
estado de vacuo, teremos que
ϕ(+)(xµ) |0〉 = 0, (5.5)
cuja correspondente dual e dado por
〈0| ϕ(−)(xµ) = 0. (5.6)
A mesma analise e valida para o campo calculado em yµ, desta forma, a definicao inicial
para o propagador se resume na forma
i∆F (xµ − yµ) = θ(x0 − y0) 〈0| ϕ(+)(xµ)ϕ(−)(yµ) |0〉 + θ(y0 − x0) 〈0| ϕ(+)(yµ)ϕ(−)(xµ) |0〉 . (5.7)
Assim, baseados na expressao anterior, podemos entender fisicamente o propagador de Feyn-
man como sendo a soma de duas Amplitudes de Probabilidade, de maneira que o primeiro termo
e a amplitude de probabilidade de uma partıcula ser criada no ponto ~y e no instante y0 para
ser aniquilada no ponto ~x e no instante x0, sendo x0 maior que y0. Ja o segundo termo nos
fornece a amplitude de probabilidade para a criacao de uma partıcula no ponto ~x e no instante
x0 e desta ser aniquilada no ponto ~y e no instante y0, sendo y0 maior que x0.
Reescrevendo (5.7) ja levando em consideracao os valores explicitos dos termos do campo
em questao dado por (2.62), teremos que
i∆F (xµ − yµ) =
∫
dk3
2wk(2π)3
∫
dk′3
2wk′(2π)3[θ(x0 − y0)e
−i(kµxµ−k′
νyµ) 〈0| aka†k′ |0〉+
+θ(y0 − x0)ei(kµxµ−k′
νyµ) 〈0| aka†k′ |0〉].
66
Considerando a relacao de comutacao entre os operadores de criacao e aniquilacao para o
campo escalar ja apresentada por nos dada por
[ak, a†k′ ] = δ3(~k − ~k′),
de onde vem que
aka†k′ = δ3(~k − ~k′) + a
†k′ ak,
podemos reescrever a ultima relacao para i∆(xµ − yµ) na forma
i∆F (xµ − yµ) =
∫
dk3
2wk(2π)3
∫
dk′3
2wk′(2π)3[θ(x0 − y0)e
−i(kµxµ−k′
νyµ) 〈0| [δ3(~k − ~k′) + a†k′ ak] |0〉+
+θ(y0 − x0)ei(kµxµ−k′
νyµ) 〈0| [δ3(~k − ~k′) + a†k′ ak] |0〉].
Como ak |0〉 = 0 e levando em conta (2.18), teremos que
i∆F (xµ − yµ) =
∫
dk3
2wk(2π)3[θ(x0 − y0)e
−ikµ(xµ−yµ) + θ(y0 − x0)eikµ(xµ−yµ)],
ou ainda, explicitando os produtos do tipo kµxµ, temos
i∆F (xµ − yµ) =
∫
dk3
2wk(2π)3[θ(x0 − y0)e
i~k·(~x−~y)−iwk(x0−y0) + θ(y0 − x0)e−i~k·(~x−~y)−iwk(x0−y0)].
Trocando, no segundo termo, ~k −→ −~k, esta ultima assume a forma
i∆F (xµ − yµ) =
∫
dk3
2wk(2π)3ei~k·(~x−~y)[θ(x0 − y0)e
−iwk(x0−y0) + θ(y0 − x0)eiwk(x0−y0)]. (5.8)
Antes de proseguirmos com o calculo do propagador propriamente dito nos sera de muita
relevancia abrir um breve parentese sobre integrais complexas, que podem ser calculadas por
meio do Teorema do Resıduo[3][4], como por exemplo a integral∮
c
f(z)dz = ±2πi∑
j
Resf(zj), (5.9)
na qual o resıduo calculado e obtido por
Resf(zj) =1
(m − 1)!lim
z 7−→zj
{
d(m−1)
dz(m−1)[f(z)(z − zj)
m]
}
. (5.10)
Escolhendo o contorno de integracao apropriado, podemos mostrar que as quantidades
1
2wk
e−iwk(x0−y0)
67
e
1
2wk
eiwk(x0−y0),
no propagador que vinhamos calculando, sao os resıduos da integral complexa dada por
∫
dk0ek0(x0−y0)
k20 − w2
k
= −2πi∑
j
Resf(wj), (5.11)
sendo ±wk os polos da funcao localizados no eixo dos reais do plano complexo k0. Ja as funcoes
θ(x0−y0) e θ(y0−x0) sao introduzidas de tal forma que garatam que os resultados encontrados
nao divirjam ao tomarmos o limite de ik0 −→ ∞ (quando fechamos o contorno de integracao
por cima) e quando tomamos o limite ik0 −→ −∞ (ao fecharmos o contorno de integracao por
baixo).
Substituindo (5.11) em (5.8) no nosso propagador teremos
i∆F (xµ − yµ) = −∫
dk3
(2π)3ei ~k·(~x−~y)
∫
dk0
2πi
e−ik0(x0−y0)
k20 − w2
k
,
logo,
∆F (xµ − yµ) =
∫
dk4
(2π)4
e−ikµ(xµ−yµ)
k20 − w2
k
, (5.12)
e, de acordo com (2.55), a equacao (5.12) fica na forma
∆F (xµ − yµ) =
∫
dk4
(2π)4
e−ikµ(xµ−yµ)
kµkµ − m2. (5.13)
Como os polos desta ultima integral encontram-se no eixo real do plano complexo, uma
pratica comum nesses casos e deslocar o polo, ou seja, move-lo de uma distancia a −→ 0 deste
eixo, assim sendo teremos que
∆F (xµ − yµ) =
∫
dk4
(2π)4
e−ikµ(xµ−yµ)
kµkµ − m2 + ia. (5.14)
Substituindo (5.14) no equacao de Klein-Gordon, temos que
(∂2 + m2)∆F (xµ − yµ) =
∫
dk4
(2π)4
(−k2 + m2)e−ikµ(xµ−yµ)
kµkµ − m2
= −∫
dk4
(2π)4e−ikµ(xµ
−yµ) ,
que e uma das representacoes da Delta de Dirac, logo
(∂2 + m2)∆F (xµ − yµ) = −δ4(xµ − yµ), (5.15)
68
de onde concluımos que o propagador e uma das formas da funcao de Green para a equacao de
Klein-Gordon nao-homogenea.
Note que ao resolvermos a equacao (5.15), utilizando o metodo da Transformada de Fourier [3][4],
chegaremos novamente no valor explıcito do propagador obtido em (5.14). Para isso, definire-
mos antes a transformada de Fourier para ∆F (xµ − yµ) como
={∆F (xµ − yµ)} := ∆F (kµ). (5.16)
Sendo assim, (5.15) fica
={∂2∆F (xµ − yµ)} + m2={∆F (xµ − yµ)} = −={δ4(xµ − yµ)}, (5.17)
e como sabemos que ={∂2∆F (xµ − yµ)} = −k2∆F (k) e ainda ={∆F (xµ − yµ)} = 1, entao com
o polo ja deslocado teremos que (5.17) sera dado por
∆(k) = − 1
kµkµ − m2 + ia, (5.18)
que e o propagador do campo escalar massivo, definido agora no espaco dos k′s.
5.2 O Propagador do Foton
De forma similar ao que foi feito na seccao anterior obteremos o propagador do foton ou, se
preferir, do campo eletromagnetico. Podemos encontrar este propagador a partir da definicao[9]
iDµνF (xβ − yβ) = 〈0|T (Aµ(xβ)Aν(yβ)) |0〉 , (5.19)
sendo que DµνF , por questao de notacao, designa o propagador do campo vetorial nao massivo.
Assim reescrevendo (5.19) substituindo o valor do campo Aµ, temos
iDµνF (xβ − yβ) =
∫
dk3
√
2wk(2π)3
∫
dk′3
√
2wk′(2π)3
3∑
λ,λ′=0
εµ(k, λ)εν(k′, λ′)×
×[θ(x0 − y0)e−i(kβxβ−k′
βyβ) 〈0| ak′λ′ a
†kλ |0〉 + θ(y0 − x0)e
i(kµxµ−k′
νyµ) 〈0| akλa†k′λ′ |0〉].
Procedendo da mesma forma que fizemos no caso do campo escalar, considerando as relacoes
de comutacao para os operadores de criacao e aniquilacao para este campo, dadas por (3.27),
e a propriedade (2.18), temos que
iDµνF (xβ − yβ) = −
∫
dk3
2wk(2π)3
3∑
λ=0
gλλεµ(k, λ)εν(k, λ)×
69
×[θ(x0 − y0)e−ikβ(xβ−yβ) + θ(y0 − x0)e
ikβ(xβ−yβ)],
que segundo a relacao (B.12) pode ser escrito na forma
iDµνF (xβ − yβ) = −gµν
∫
dk3
2wk(2π)3[θ(x0 − y0)e
−ikβ(xβ−yβ) + θ(y0 − x0)eikβ(xβ−yβ)]. (5.20)
Pode-se notar que a integral explicitada em (5.20) ja foi identificada (5.13), sendo que
devemos ter o cuidado de perceber que, para este caso, temos m = 0 na relacao (2.55) e que
podemos escrever (5.12) lembrando que agora esta encontra-se multiplicada pelo fator −gµν .
Assim fazendo podemos escrever que
DµνF (xβ − yβ) = −gµν
∫
dk4
(2π)4
e−ikβ(xβ−yβ)
kβkβ
, (5.21)
ou ainda, ja deslocando o polo, teremos
DµνF (xβ − yβ) = −gµν
∫
dk4
(2π)4
e−ikβ(xβ−yβ)
kβkβ + ia. (5.22)
De onde identificamos, com base no que foi feito na secao anterior, que
DµνF (kβ) = − gµν
kβkβ + ia, (5.23)
que e o propagador do foton no espaco dos k′s.
Uma analise mais completa deste propagador, ou seja, uma analise que nao fixa nenhum
valor para o parametro ξ pode ser encontrada na referencia[9] deste trabalho, tal analise nos
leva ao resultado
DµνF (kβ) = − gµν
kβkβ + ia+
ξ − 1
ξ
kµkν
(kβkβ + ia)2, (5.24)
que por sua vez nos remete a (5.23) ao fixarmos ξ = 1, umja vez que os resultados encontrados
nesta seccao foram obtidos de acordo com esta escolha para o parametro ξ.
5.3 O Propagador do Campo de Proca
Similarmente ao que vinhamos fazendo nas duas primeiras seccoes deste ultimo capıtulo, o
propagador do Campo de Proca pode ser calculado de forma explıcita a partir da definicao[9]
i∆µνF (xβ − yβ) = 〈0|T (Aµ(xβ)Aν(yβ)) |0〉 , (5.25)
que segue, com a substituicao do campo para Aµ, para
i∆µνF (xβ − yβ) =
∫
dk3
√
2wk(2π)3
∫
dk′3
√
2wk′(2π)3
3∑
λ,λ′=0
εµ(k, λ)εν(k′, λ′) (5.26)
70
[θ(x0 − y0)e−i(k′
βxβ−kβyβ) 〈0| ak′λ′ a
†kλ |0〉 + θ(y0 − x0)e
i(k′
βxβ−k′
βyβ) 〈0| akλa
†k′λ′ |0〉],
que, de acordo com as relacoes de comutacao para os operadores a e a†, mostradas no capıtulo
anterior, tambem como nos casos das duas ultimas seccoes, temos
i∆µνF (xβ − yβ) =
∫
dk3
2wk(2π)3
3∑
λ=0
εµ(k, λ)εν(k′, λ′)[θ(x0 − y0)e−ikβ(xβ−yβ)+
+θ(y0 − x0)eikβ(xβ−yβ)],
ou ainda, segundo a relacao (4.17), esta ultima relacao sera dada por
i∆µνF (xβ − yβ) = −
∫
dk3
2wk(2π)3
(
gµν − 1
m2kµkν
)
[θ(x0 − y0)e−ikβ(xβ−yβ)+ (5.27)
+θ(y0 − x0)eikβ(xβ−yβ)],
na qual percebemos o proprio propagador do campo escalar dado na forma de (5.8), porem
existe uma relevante diferenca: o esperado termo de massa.
Com o proposito de reescrevermos a integral cujo integrando apresenta o termo − 1m2 k
µkν ,
partiremos de
χµν = −∂µ∂ν [θ(x0 − y0)e−ikβ(xβ−yβ) + θ(y0 − x0)e
ikβ(xβ−yβ)], (5.28)
onde as derivadas ∂µ e ∂ν atuam na variavel xβ.
Resolvendo (5.28), comecaremos baixando os ındices das derivadas parciais com o auxılio
do tensor metrico, ou seja,
χµν = −gµαgνρ∂ρ∂α[θ(x0 − y0)e−ikβ(xβ−yβ) + θ(y0 − x0)e
ikβ(xβ−yβ)],
que, de acordo com a regra do produto para as derivadas, fica
χµν = −gµαgνρ∂ρ{∂α[θ(x0 − y0)]e−ikβ(xβ−yβ) + θ(x0 − y0)∂αe−ikβ(xβ−yβ)+ (5.29)
+∂α[θ(x0 − y0)]eikβ(xβ−yβ) + θ(x0 − y0)∂αeikβ(xβ−yβ)}.
E ainda, prosseguindo com os calculos necessarios, fica
χµν = −gµαgνρ∂ρ{∂α[θ(x0 − y0)]e−ikβ(xβ−yβ) + θ(x0 − y0)(−ikβ)
∂xβ
∂xαe−ikβ(xβ−yβ)+
71
+∂α[θ(x0 − y0)]eikβ(xβ−yβ) + θ(x0 − y0)(ikβ)
∂xβ
∂xαeikβ(xβ−yβ)},
de onde podemos identificar a Delta
δµα =
∂xβ
∂xα. (5.30)
Assim, distribuindo os tensores metricos nesta ultima soma e ja utilizando a propriedade de
filtragem de (5.30), temos
χµν = −∂ρ{gµαgνρ∂α[θ(x0 − y0)]e−kβ(xβ−yβ) − ikαgµαgνρθ(x0 − y0)e
−kβ(xβ−yβ)+
+gµαgνρ∂α[θ(y0 − x0)]ekβ(xβ−yβ) + ikαgµαgνρθ(y0 − x0)e
kβ(xβ−yβ)}.
Note que ao aplicarmos o quadri-gradiente ∂α nas funcoes θ(x0−y0) e θ(y0−x0) so teremos con-
tribuicao para α = 0, pois as funcoes aqui mencionadas so apresentam dependencia temporal,
logo
χµν = −∂ρ{gµ0gνρ∂0θ(x0 − y0)e−ikβ(xβ−yβ) − ikαgµαgνρθ(x0 − y0)e
−ikβ(xβ−yβ)+
+gµ0gνρ∂0θ(y0 − x0)eikβ(xβ−yβ) + ikαgµαgνρθ(y0 − x0)e
ikβ(xβ−yβ)}
A derivada da funcao Teta de Heaviside e a propria Delta de Dirac[3], ou seja
δ(x) =dθ(x)
dx.
Concordando com esta ultima, temos, tambem, que
δ(x) = −dθ(−x)
dx.
Assim sendo
χµν = −∂ρ[gµ0gνρδ(x0 − y0)e
−ikβ(xβ−yβ) − ikαgµαgνρθ(x0 − y0)e−ikβ(xβ−yβ)+
−gµ0gνρδ(x0 − y0)eikβ(xβ−yβ) + ikαgµαgνρθ(y0 − x0)e
ikβ(xβ−yβ)].
Analogamente, distribuiremos o quadri-gradiente ∂ρ dentro do colchete, assim sendo, teremos
χµν = −gµ0gν0δ′(x0 − y0)e−ikβ(xβ−yβ) + ikρg
µ0gνρδ(x0 − y0)e−ikβ(xβ−yβ)+
72
+ikαgµαgν0δ(x0 − y0)e−ikβ(xβ−yβ) + kαkρg
µαgνρθ(x0 − y0)e−ikβ(xβ−yβ)+
+gµ0gν0δ′(x0 − y0)eikβ(xβ−yβ) + ikρg
µ0gνρδ(x0 − y0)eikβ(xβ−yβ)+
+ikαgµαgν0δ′(x0 − y0)eikβ(xβ−yβ) + kαkρg
µαgνρθ(y0 − x0)eikβ(xβ−yβ),
ou ainda, levantando os ındices usando o tensor metrico, temos
χµν = −gµ0gν0δ′(x0 − y0)e−ikβ(xβ−yβ) + igµ0kνδ(x0 − y0)e
−ikβ(xβ−yβ)+
+igν0kµδ(x0 − y0)e−ikβ(xβ−yβ) + kµkνθ(x0 − y0)e
−ikβ(xβ−yβ)+
+gµ0gν0δ′(x0 − y0)eikβ(xβ−yβ) + igµ0kνδ(x0 − y0)e
ikβ(xβ−yβ)+
+igν0kµδ′(x0 − y0)eikβ(xβ−yβ) + kµkνθ(y0 − x0)e
ikβ(xβ−yβ),
que, organizado os termos, fica
χµν = kµkν [θ(x0 − y0)e−ikβ(xβ−yβ) + θ(y0 − x0)e
ikβ(xβ−yβ)]+
+i(gµ0kν + gν0kµ)δ(x0 − y0)[e−ikβ(xβ−yβ) + eikβ(xβ−yβ)]+
−gµ0gν0δ′(x0 − y0)[e−ikβ(xβ−yβ) − eikβ(xβ−yβ)].
Desta forma podemos reescrever o primeiro termo do lado direito desta ultima equacao, de
acordo com (5.28), assim temos
kµkν[
θ(x0 − y0)e−ikβ(xβ−yβ) + θ(y0 − x0)e
ikβ(xβ−yβ)]
=
= −∂µ∂ν [θ(x0 − y0)e−ikβ(xβ−yβ) + θ(y0 − x0)e
ikβ(xβ−yβ)]+ (5.31)
−iδ(x0 − y0)(gµ0kν + gν0kµ)
[
e−ikβ(xβ−yβ) + eikβxβ−yβ]
+
+gµ0gν0δ′(x0 − y0)[
e−ikβ(xβ−yβ) − eikβxβ−yβ]
.
73
Explicitando (5.27), teremos esta como
i∆µνF (xβ − yβ) = −gµν
∫
dk3
2wk(2π)3[θ(x0 − y0)e
−ikβ(xβ−yβ) + θ(y0 − x0)eikβ(xβ−yβ)]+
+
∫
dk3
2wk(2π)3
1
m2kµkν [θ(x0 − y0)e
−ikβ(xβ−yβ) + θ(y0 − x0)eikβ(xβ−yβ)].
Substituindo (5.31) nesta ultima relacao para o propagador de Proca, temos
i∆µνF (xβ − yβ) = −gµν
∫
dk3
2wk(2π)3[θ(x0 − y0)e
−ikβ(xβ−yβ) + θ(y0 − x0)eikβ(xβ−yβ)]+
− 1
m2∂µ∂ν
∫
dk3
2wk(2π)3[θ(x0 − y0)e
−ikβ(xβ−yβ) + θ(y0 − x0)eikβ(xβ−yβ)]+
−i1
m2
∫
dk3
2wk(2π)3δ(x0 − y0)(g
µ0kν + gν0kµ)[e−ikβ(xβ−yβ) + eikβ(xβ−yβ)]+
+gµ0gν0 1
m2
∫
dk3
2wk(2π)3δ′(x0 − y0)[e
−ikβ(xβ−yβ) − eikβ(xβ−yβ)].
Identificando nos dois primeiros termos desta ultima equacao o propagador escalar dado por
(5.8), poderemos reescrever esta, ja em funcao deste propagador, como
i∆µνF (xβ − yβ) = −i
(
gµν +1
m2∂µ∂ν
)
∆F (xβ − yβ)+
−i1
m2δ(x0 − y0)
∫
dk3
2wk(2π)3(gµ0kν + gν0kµ)[e−ikβ(xβ−yβ) + eikβ(xβ−yβ)]+ (5.32)
+gµ0gν0 1
m2δ′(x0 − y0)
∫
dk3
2wk(2π)3[e−ikβ(xβ−yβ) − eikβ(xβ−yβ)].
Podemos reescrever os integrandos dos dois ultimos termos da equacao (2.41) numa forma que
ja nos e familiar mostrada em (5.8), trocando ~k −→ −~k, implicitos em (5.32), vem daı que
i∆µνF (xβ − yβ) = −i
(
gµν +1
m2∂µ∂ν
)
∆F (xβ − yβ)+
−i1
m2δ(x0 − y0)[e
−iwk(x0−y0) + eiwk(x0−y0)]
∫
dk3
2wk(2π)3ei~k·(~x−~y)(gµ0kν + gν0kµ)+ (5.33)
74
+gµ0gν0 1
m2δ′(x0 − y0)[e
−iwk(x0−y0) − eiwk(x0−y0)]
∫
dk3
2wk(2π)3ei~k·(~x−~y).
Percebemos que no segundo termo desta ultima equacao, a presenca de um tensor de segunda
ordem que representaremos por Sµν , ou seja
Sµν = (gµ0kν + gν0kµ). (5.34)
Calculando cada termo de (5.34), podemos junta-los numa matriz que sera dada por
Sµν =
2wk k1 k2 k3
k1 0 0 0k2 0 0 0k3 0 0 0
. (5.35)
Com isso, para calcularmos o segundo termo de (5.33), teremos que considerar cada termo de
(5.35). Assim sendo, notamos ainda que a unica contribuicao nao nula dar-se-a para o termo S00
desta matriz, uma vez que ao considerarmos as componentes espaciais desta, seremos levados
a calcular algumas integrais do tipo
∫
dk3
(2π)3~kei~k·(~x−~y),
que nao darao contribuicao diferente de zero, ja que o integrando e uma funcao ımpar integrada
em todos os valores de ~k. Com isso, concluimos que o termo em questao, ja calculado para
todos os termos de (5.35), pode ser reescrito de tal maneira que (5.33) ficara como
i∆µνF (xβ − yβ) = −i
(
gµν +1
m2∂µ∂ν
)
∆F (xβ − yβ)+
−igµ0gν0 1
m2δ(x0 − y0)[e
−iwk(x0−y0) + eiwk(x0−y0)]
∫
dk3
(2π)3ei~k·(~x−~y)+
+gµ0gν0 1
m2δ′(x0 − y0)[e
−iwk(x0−y0) − eiwk(x0−y0)]
∫
dk3
2wk(2π)3ei~k·(~x−~y),
que segundo a representacao da delta de Dirac dada por
δ3(~x − ~y) =
∫
dk3
(2π)3ei~k·(~x−~y),
fica na forma
i∆µνF (xβ − yβ) = −i
(
gµν +1
m2∂µ∂ν
)
∆F (xβ − yβ)+
75
−igµ0gν0 1
m2δ(x0 − y0)δ
3(~x − ~y)[e−iwk(x0−y0) + eiwk(x0−y0)]+ (5.36)
+gµ0gν0 1
2wkm2δ′(x0 − y0)δ
3(~x − ~y)[e−iwk(x0−y0) − eiwk(x0−y0)].
Antes de prosseguirmos com este calculo, vejamos quem e a primeira derivada temporal da
delta dada por δ′(x0 − y0). Para isso, comecemos por escrever a integral
I =
∫ x2
x1
δ′(x − a)f(x)dx, (5.37)
chamando
u = f(x) −→ du = f ′(x)dx dv = δ′(x − a)dx −→ v = δ(x − a).
Segundo o metodo das Integrais por Partes, onde∫ x2
x1
udv = uv|x2x1
−∫ x2
x1
vdu, (5.38)
a integral (5.37) sera dada por∫ x2
x1
δ′(x − a)f(x)dx = f(x)δ(x − a)|x2x1
−∫ x2
x1
δ(x − a)f ′(x)dx, (5.39)
de acordo com a definicao da delta, esta so nao e nula para x = a, entao o primeiro termo
do lado direiro desta ultima equacao sera nulo, uma vez que este esta sendo calculado em dois
pontos que nao coencidem com a sigularidade, logo a (5.39) fica na forma∫ x2
x1
δ′(x − a)f(x)dx = −∫ x2
x1
δ(x − a)f ′(x)dx,
que assim faz sentido a relacao dada por[9]
δ′(x − a)f(x) −→ −δ(x − a)f ′(x). (5.40)
Entao, o ultimo termo de (5.36) podera ser reescrito de tal forma que esta equacao sera
dada por
i∆µνF (xβ − yβ) = −i
(
gµν +1
m2∂µ∂ν
)
∆F (xβ − yβ)+
−igµ0gν0 1
m2δ(x0 − y0)δ
3(~x − ~y)[e−iwk(x0−y0) + eiwk(x0−y0)]+ (5.41)
+igµ0gν0 1
2m2δ(x0 − y0)δ
3(~x − ~y)[e−iwk(x0−y0) + eiwk(x0−y0)].
76
E ainda, compactificando as deltas explicitas na ultima equacao, poderemos reescreve-la como
i∆µνF (xβ − yβ) = −i
(
gµν +1
m2∂µ∂ν
)
∆F (xβ − yβ)+
−igµ0gν0 1
m2δ4(xβ − yβ)[e−iwk(x0−y0) + eiwk(x0−y0)]+ (5.42)
+igµ0gν0 1
2m2δ4(xβ − yβ)[e−iwk(x0−y0) + eiwk(x0−y0)].
Entao, o propagador do campo de proca toma a forma
i∆µνF (xβ − yβ) = −i
(
gµν +1
m2∂µ∂ν
)
∆F (xβ − yβ) − i
m2gµ0gν0δ4(xβ − yβ). (5.43)
Uma observacao importante a ser feita e que o segundo termo do propagador acima,
aparentemente, quebra a covariancia de Lorentz, uma vez que neste esta sendo considerado
que x0 = y0. Porem este termo nao e relevante uma vez que o mesmo e cancelado no de-
senvolvimento da Teorida de Perturbacao[9][11]. Uma outra maneira de lidarmos com ele
e simplesmente omitindo-o[11], uma vez que do ponto de vista fısico este nao dara nenhuma
contribuicao.
Temos tambem, finalmente, que de acordo com a forma explıcita de ∆F dado por (5.14),
podemos tomar sua derivadas, como indicado em (5.43), e escreve-lo como
∆µνF (k) =
−(
gµν − 1m2 k
µkν)
kβkβ − m2 + ia− 1
m2gµ0gν0. (5.44)
ou seja, o propagador de Feynman para o Campo de Proca no espaco dos k′s.
77
Conclusao
Exploramos neste trabalho o metodo da quantizacao canonica de alguns campos importantes
que surgem no contexto da Teoria Quantica de Campos. Vimos, primeiramente, que a ideia de
campo surge de uma distribuicao de quantidades discretas quando estas tendem ao contınuo
numa determinada regiao. Assim fazendo, fomos capazes de mostrar que este limite ao contınuo
de um conjunto de osciladores acoplados tem a dinamica regida pela propria equacao da onda,
cuja solucao foi quantizada. Percebemos na quantizacao dos campos escalares, quando sub-
metidos a condicoes de contorno periodicas, que estes apresentam um comportamento similar
com os encontrados como solucao no processo de quantizacao da corda.
Ao quantizarmos o campo eletromagnetico livre percebemos a necessidade de impormos
sobre este uma escolha de calibre, seja o Calibre de Coulomb ou o Calibre de Lorentz. Sendo
que, neste ultimo, fez-se necessaria a consideracao de uma densidade de Lagrangeana modi-
ficada para mantermos a consistencia com a proposta de quantizacao covariante. Com isso
constatamos que a escolha do calibre de Lorentz, contrariamente ao que ocorre com o calibre
de Coulomb, implica em dois novos graus de liberdade para a polarizacao do campo em questao,
sendo estes eliminados por argumentos fısicos mediantes as inconsistencias que eles trazem para
a teoria, esta eliminacao e feita lancando-se mao do Metodo de Gupta-Bleuler. Assumindo
a condicao imposta por esse metodo fomos capazes de mostrar que o campo de Proca satisfaz a
escolha de calibre de Lorentz, concluindo assim que quando falamos no campo eletromagnetico,
estamos falando, tambem, num campo que apresenta apenas 2 graus de polarizacao, ambos
transversais.
Mostramos que, motivados por um processo de quantizacao aparentemente nao covariante
para o campo de Proca, tanto os campos escalares quanto os campos vetoriais adimitem um
processo de quantizacao dito covariante, sendo para isso necessaria a definicao de uma funcao
invariante chamada de Funcao de Pauli-Jordan. Com esta mostramos que as quantizacoes
que vınhamos efetuando anteriormente (para tempos iguais) sao apenas um caso particular de
um processo de quantizacao mais geral, escrito em termos deste invariante.
78
Por fim, obtivemos o propagador de Feynman para varios campos importantes, concebendo
que, no contexto da Teoria Quantica de Campos, o propagador deve ser entendido como sendo a
Amplitude de Probabilidade de ocorrencia de processos de criacao e aniquilacao de partıculas a
partir do vacuo quantico ordenados temporalmente, e representando a propagacao da interacao
entre campos em pontos diferentes no espaco-tempo.
79
Apendice A
O Eletromagnetismo de Maxwell
Neste apendice faremos uma pequena apresentacao da Teoria Eletromagnetica, nos de-
tendo, com maior atencao, as proprias Equacoes de Maxwell e suas representacoes atraves dos
pontenciais escalares e vetoriais e as liberdades de escolha de calibre concernentes a estes po-
tenciais. Feito isso vamos apresentar as equacoes fundamentais do eletromagnetismo em sua
forma covariante, definida em termos do Tensor de Maxweel-Faraday.
As Equacoes de Maxwell
A teoria eletromagnetica e descrita, basicamente, pos dois vetores: o vetor campo eletrico
~E e o vetor inducao magnetica ~B; sendo estes solucoes das equacoes de Maxwell, dadas por
∇ · ~E = ρ, (A.1)
∇ · ~B = 0, (A.2)
∇× ~E = −∂ ~B
∂t, (A.3)
∇× ~B = ~j +∂ ~E
∂t, (A.4)
sendo estas, respectivamente, a Lei de Gauss, a Lei do Monopolo Magnetico, a Lei de
Faraday e a Lei de Ampere[17]. Tais equacao estao escritas segundo o sistema de unidades de
Lorentz-Heaviside, onde omitimos os termos 4π presentes nas equacoes de Maxwell quando
escritas segundo o sistema de unidades Gaussianas[17], e ainda, fizemos nestas ultimas c = 1,
de acordo com (1.69).
80
As densidades de carga ρ(~x, t) e de corrente ~j(~x, t) sao as fontes do campo, relecionadas
entre si por
~j = ρ~v, (A.5)
sendo que o fato destas distribuicoes nao aprecerem nas equacoes (A.2) e (A.3) dao a essas
a denominacao de equacoes homogeneas de Maxwell, enquanto as outras sao ditas nao ho-
mogeneas.
As equacoes de Maxwell admitem ainda uma equacao da continuidade dada por
∂ρ
∂t+ ∇ ·~j = 0, (A.6)
sendo que esta equacao remete a um importante princıpio fısico: o princıpio da conservacao da
carga.
Temos ainda que os campos ~E e ~B derivam de potenciais escalares ϕ(~x, t) e vetoriais ~A(~x, t),
conforme as relacoes
~E = −∇ϕ − ∂ ~A
∂t(A.7)
e
~B = ∇× ~A, (A.8)
substituindo estas duas ultimas na equacao (A.4), teremos que
∇× (∇× ~A) = ~j +∂
∂t
(
−∇ϕ − ∂ ~A
∂t
)
.
Como para um campo vetorial qualquer ~F , temos a propriedade[17]
∇×∇× ~F = ∇(∇ · ~F ) −∇2 ~F . (A.9)
temos
∇(∇ · ~A) −∇2 ~A = ~j −∇∂ϕ
∂t− ∂2 ~A
∂t2,
que, ao agruparmos as funcoes cujo operador gradiente esta nestas aplicado, temos
∂2 ~A
∂t2−∇2 ~A = ~j + ∇
(
∇ · ~A +∂ϕ
∂t
)
.
81
Neste ponto e de grande relevancia frizarmos que existem uma infinidade de pares (ϕ, ~A)
que geram ( ~E, ~B). Por conveniencia podemos escolher esses potenciais de tal forma que
∇ · ~A +∂ϕ
∂t= 0. (A.10)
Tal relacaos se da por uma escolha de calibre denominada Calibre de Lorentz, que nos remete
a
∂2 ~A
∂t2−∇2 ~A = ~j, (A.11)
da qual notamos que o potencial vetorial e solucao da equacao da onda nao homogenea.
Uma outra escolha de calibre que tambem pode ser feita tomando ∇ · ~A = 0 e conhecida
como Calibre de Coulomb que por sua vez pode ser util em diversas circunstancias.
Como existem uma infinidade de pares de (ϕ, ~A) que geram ( ~E, ~B), podemos tomar outros
pares (ϕ′, ~A′) relacionados a (ϕ, ~A) da seguinte forma
ϕ′ −→ ϕ − ∂Λ
∂t(A.12)
e
~A′ −→ ~A + ∇Λ, (A.13)
nas quais Λ = Λ(~x, t) e uma funcao escalar qualquer que tambem satisfaz o calibre de Lorentz[16].
Esta mudanca para novos potenciais e denominada Transformacao de Padrao ou Liberdade
de Calibre do Eletromagnetismo[16].
As Equacoes de Maxwell na sua Forma Covariante
Nao e nosso principal objetivo mostrar que de fato as equacoes de Maxweel admitem uma
representacao covariante, tal feito pode ser encontrado de forma mais detalhada na referencia
[12] deste trabalho. Contudo, tomando isso como verdade temos que as distribuicoes de carga
ρ e de corrente ~j relacionadas entre si como
jµ = (ρ,~j), (A.14)
denominada quadri-corrente eletromagnetica, que, por sua vez, gera um campo da forma
Aµ = (ϕ, ~A). (A.15)
82
chamado quadri-potencial eletromagnetico.
Note ainda que as liberdades de calibre dadas pelas equacoes (A.11) e (A.12) podem ser
escritas nesta forma como
A′µ −→ Aµ − ∂µΛ, (A.16)
e que de acordo com as equacoes (A.7) e (A.8), se nota que os campos ~E e ~B sao obtidos a
partir das derivadas dos potenciais, logo esperamos que os campos estejam escritos em forma
covariante de alguma maneira que envolvam as derivadas destes quadri-potenciais, com isso
definimos o chamado Tensor de Maxwell-Faraday, dado por
Fµν := ∂µAν − ∂νAµ, (A.17)
que e antissimetrico. Logo vem daı que
Fµν = −Fνµ. (A.18)
Encontraremos agora a forma explıcita do tensor de Maxwell sendo que, para isso, e im-
portante encontrarmos os componentes covariantes da equacao (A.15) que, segundo o tensor
metrico, pode ser reescrita como
Aµ = gµνAν = (ϕ,− ~A), (A.19)
sendo gµν denominado de Tensor Metrico de Mikowski e dado explicitamente por
gµν = gµν =
1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1
, (A.20)
que tem como uma de suas funcoes, a propriedade de “levantar” e “baixar” ındices de grandezas
tensoriais como foi feito, por exemplo, em (A.19).
Para µ = 0, calcularemos a equacao (A.17) fazendo ν = 0, 1, 2, 3 tendo em vista a equacao
(A.18). Logo teremos:
Para ν = 0:
F00 = ∂0A0 − ∂0A0,
que fica
F00 = 0. (A.21)
83
Para ν = 1:
F01 = ∂0A1 − ∂1A0,
como 1 designa a componente x, bem como 0 a componente temporal, temos
F01 = −∂Ax
∂t− ∂ϕ
∂x,
que sao as componentes x do gradiente de ϕ e a derivada temporal da componente x do campo
~A, assim
F01 =
(
−∇ϕ − ∂ ~A
∂t
)
x
,
que segundo (A.7), fica
F01 = Ex. (A.22)
Analogamente teremos para ν = 2:
F02 = ∂0A2 − ∂2A0,
que fica
F02 = Ey. (A.23)
E finalmente para ν = 3:
F03 = ∂0A3 − ∂3A0,
de onde vem
F03 = Ez. (A.24)
E usando (A.18) encontraremos ainda que
F10 = −Ex
F20 = −Ey
F30 = −Ez.
(A.25)
Note a partir da propria definicao do tensor de Maxwell que os componentes deste para µ = ν
sao nulas, portanto proseguiremos com os calculos unicamente para µ 6= ν.
Assumindo agora µ = 1 e variando ν, teremos, de forma analoga ao que fizemos ate entao,
as seguintes relacoes:
84
Para ν = 2:
F12 = ∂1A2 − ∂2A1,
F12 = −Bz. (A.26)
Para ν = 3:
F13 = ∂1A3 − ∂1A3,
F13 = By. (A.27)
De onde concluimos, devido a propriedade de antissimetria do tensor de Maxwell, que
F21 = Bz
F31 = −By.(A.28)
E finalmente as contribuicoes nao nulas que ainda nos resta calcular virao ao assumirmos
µ = 2 e ν = 3, logo
F23 = ∂2A3 − ∂3A2,
F23 = −Bx. (A.29)
Portanto,
F32 = Bx. (A.30)
Entao, de acordo com as relacoes que vao de (A.21) ate (A.30), podemos escrever o tensor
de Maxwell em sua forma matricial como
F µν =
0 Ex Ey Ez
−Ex 0 −Bz By
−Ey Bz 0 −Bx
−Ez −By Bx 0
, (A.31)
sendo que as componentes contravariantes deste sao dadas por
F µν = gµρgνβFρβ, (A.32)
85
logo
Fµν =
0 −Ex −Ey −Ez
Ex 0 −Bz By
Ey −Bz 0 −Bx
Ez By Bx 0
, (A.33)
na qual podemos notar que este e um tensor antissimetrico (como ja visto antes) cujos elementos
sao as componentes dos campos vetoriais ~E e ~B.
Pela propria construcao do Tensor de Maxwell-Faraday percebemos que esse tensor satisfaz
as relacoes diferenciais dadas na forma
∂[σFµν] = 0, (A.34)
na qual as equacoes homogeneas de Maxweel estao contidas nesta ultima relacao. Para mostrar-
mos isso facamos primeiramente (σ, µ, ν) = (0, 1, 2), daı escrevemos que
∂0F12 + ∂2F01 + ∂1F20 = 0,
e como ja identificamos todas as componentes do tensor Fµν , esta ultima sera reescrita como
−∂Bz
∂t+
∂Ex
∂y− ∂Ey
∂x= 0,
ou ainda
∂Ey
∂x− ∂Ex
∂y= −∂Bz
∂t. (A.35)
Uma vez que o rotacional, em coordenadas cartezianas, de uma funcao vetorial qualquer ~F , e
dado por[17]
∇× ~F =
(
∂Fz
∂y− ∂Fy
∂z
)
x +
(
∂Fx
∂z− ∂Fz
∂x
)
y +
(
∂Fy
∂x− ∂Fx
∂y
)
z, (A.36)
e seu divergente por
∇ · ~F =∂Fx
∂x+
∂Fy
∂y+
∂Fz
∂z, (A.37)
podemos identificar na relacao (A.35) a componente z do rotacional do campo ~E, assim sendo
(∇× ~E)z = −(
∂ ~B
∂t
)
z
. (A.38)
Agora, para (σ, µ, ν) = (0, 1, 3), teremos que
∂0F13 + ∂3F01 + ∂1F30 = 0,
86
que de maneira analoga ao caso anterior, ficara como
(∇× ~E)y = −(
∂ ~B
∂t
)
y
. (A.39)
Do mesmo modo para (σ, µ, ν) = (0, 2, 3) teremos
(∇× ~E)x = −(
∂ ~B
∂t
)
x
, (A.40)
e ainda, para (σ, µ, ν) = (1, 2, 3) vem que
∂1F23 + ∂3F12 + ∂2F31 = 0,
de onde segue
−∂Bx
∂x− ∂By
∂y− ∂Bz
∂z= 0.
Portanto, segundo a relacao (A.37), temos
∇ · ~B = 0. (A.41)
Da qual concluımos que as relacoes contidas em (A.34) carregam consigo as equacoes (A.2) e
(A.3).
Ja as equacoes nao homogeneas estao contidas em
∂µFµν = jν . (A.42)
Para mostrarmos isso, calcularemos esta relacao para ν = 0, 1, 2, 3 fixos e variando µ.
Para ν = 0:
∂0F00 + ∂1F
10 + ∂2F20 + ∂3F30 = j0.
De onde, de acordo com o tensor F µν e com (A.37), teremos que
∇ · ~E = ρ. (A.43)
Prosseguindo com os calculos para os outros valores de ν = 1, 2, 3, encontraremos para ν = 1 a
seguinte relacao
(∇× ~B)x =
(
~j +∂ ~E
∂t
)
x
. (A.44)
87
Resultado similar aos que podemos encontrar para ν = 2, 3, de maneira que somos levados a
concluir que as equacoes (A.1) e (A.4) estao contempladas em (A.42).
Ao considerarmos a ausencia de fontes, ou seja, que
jµ = 0, (A.45)
teremos
∂µFµν = 0, (A.46)
o que, por sua vez, nos remetara, de maneira analoga ao que vinhamos fazendo ate entao, ao
resultado
∇ · ~E = 0 (A.47)
e
∇× ~B =∂ ~E
∂t. (A.48)
Embasados no que foi explorado ate entao podemos concluir que a Teoria Eletromagnetica
de Maxwell adimite uma representacao tensorial covariante, logo a mesma se trata de uma
teoria invariante perante uma transformacao de Lorentz. Isso significa que dado um observador
no referencial S, que caracteriza completamente o campo eletromagnetico por F µν e jν , e um
outro observador S’, que se move em relacao a S, e que caracteriza completamente o mesmo
campo por F ′ µν e j′ ν , temos que ambos utilizarao da mesma lei do eletromagnetismo para
descrever este campo.
Assim, para S teremos
∂µFµν = jν
∂[σFµν] = 0,(A.49)
e para S’ teremos
∂µF′µν = j′ν
∂[σF′µν] = 0.
(A.50)
Temos ainda que as escolhas de calibre mensionadas anteriormente podem serem escritas
neste formalismo como
∂iAi = 0, (A.51)
denominado Calibre de Coulomb, e ainda
∂µAµ = 0, (A.52)
denominado Calibre de Lorentz.
88
Apendice B
Os Vetores de Polarizacao
Desde o Capıtulo 3 nos deparamos com os chamados vetores de polarizacao, importantes
para a descricao dos campos vetorias. Explicitaremos agora algumas sutilezas que sao de
relevancia para o seu melhor entendimento, bem como para uma melhor nocao de como estes
vetores sao definidos para os casos massivos e nao massivos.
Para a construcao dos vetores de polarizacao εµ(k, λ) comecemos por mostrar a relacao de
ortonormalidade[9] que tais vetores devem satisfazer, e que e dada por
εµ(k, λ)εµ(k, λ′) = gλλ′ . (B.1)
Para o caso do campo vetorial massivo escolheremos uma estrutura para os vetores de
polarizacao de tal forma que os seus dois estados de polarizacao transversais podem ser dados
por
εµ(k, 1) = (0,~ε(k, 1))εµ(k, 2) = (0,~ε(k, 2)),
(B.2)
nos quais os produtos escalares entre tais vetores e kµ, sao dados por
kµεµ(k, 1) = kµε
µ(k, 2) = 0 (B.3)
e ainda
~ε(k, i) · ~ε(k, j) = δij. (B.4)
O estado de polarizacao εµ(k, 3) e construido de maneira que coincida com o vetor de onda
~k, logo
kµεµ(k, 3) = 0. (B.5)
89
Com o intuito de encontrarmos explicitamente o estado de polarizacao εµ(k, 3) calculemos
a relacao de ortonormalidade (B.1) para λ = λ′ = 3, logo, de acordo com a componente g33 do
tensor metrico, temos
εµ(k, 3)εµ(k, 3) = −1. (B.6)
Note que o estado εµ(k, 3) tem que apresentar uma estrutura de tal forma que garanta a condicao
de normalizacao dada por (B.5). Assim sendo, construiremos este estado de polarizacao como
εµ(k, 3) =
(
|~k|m
,~k
|~k|w
m
)
. (B.7)
A equacao (B.7) garantira a condicao (B.6) ja que, da relacao w2k = k2 + m2, podemos
encontrar que
k2
m2− w2
m2= −m2
m2= −1. (B.8)
Note que a equacao (B.7) ja nao e bem definida para m → 0, o que nos sugere uma outra
construcao para o caso de campos vetoriais nao massivos.
Calculando a relacao (B.1) agora para λ = λ′ = 0, de acordo com a componente g00 do
tensor metrico, temos
εµ(k, 0)εµ(k, 0) = 1, (B.9)
assim sendo, a estrutura para este estado de polarizacao se dara como
εµ(k, 0) =1
mkµ. (B.10)
Efetuando agora o produto escalar entre εµ(k, 0) e kµ, temos
εµ(k, 0)kµ =1
m(w2
k − ~k2),
que de acordo com w2k = k2 + m2, fica
εµ(k, 0)kµ = m. (B.11)
De posse desses resultados encontrados ate entao, que nos dao uma estrutura mais explicita
para os estados de polarizacao, reescreveremos a relacao (B.1), que usando o tensor metrico
para baixarmos o ındice µ, ficaremos com
gµνεµ(k, λ)εν(k, λ′) = gλλ′ ,
90
que, multiplicando ambos os lados da igualdade por εν(k, λ), teremos
gµνεµ(k, λ)εν(k, λ′)εν(k, λ) = gλλ′εν(k, λ),
que, concordando com a propria relacao (B.1), fica
gµνgλλ′εµ(k, λ) = gλλ′εν(k, λ),
e multiplicando agora por εµ(k, λ′)
gµνgλλ′εµ(k, λ)εµ(k, λ′) = gλλ′εν(k, λ)εµ(k, λ′),
que ficara como
gµνgλλ′gλλ′
= gλλ′εν(k, λ)εµ(k, λ′),
como, segundo a relacao (A.20), gλλ′ = gλλ′
, e de sabendo ainda que gλλ′gλλ′
= δλλ′ , utilizaremos
a propriedade de filtragem desta, e assim teremos
gµν = gλλεν(k, λ)εµ(k, λ), (B.12)
que pode ainda ser escrita como
gµν = g00εν(k, 0)εµ(k, 0) +
3∑
λ=1
gλλεν(k, λ)εµ(k, λ).
Como g00 = 1 e gλλ = -1 para λ = 1, 2, 3, e utilizando ainda a equacao (B.10), temos
gµν =1
m2kµkν −
3∑
λ=1
εµ(k, λ)εν(k, λ),
ou ainda
3∑
λ=1
εµ(k, λ)εµ(k, λ) = −(
gµν − 1
m2kµkν
)
. (B.13)
Ja para a construcao dos estados de polarizacao para o campo vetorial nao massivo, comeca-
riamos definindo os estados de polarizacao transversais que seriam dados, tambem, pela relacao
(B.2). Veja nas equacoes (B.7) e (B.10) que a obtencao dos estados de polarizacao longitudinal
e escalar nao sao tao imediatos quanto os estados de polarizacao transversal. Como para o caso
nao massivo o que nos tras resultados fısicos sao apenas os fotons transversais, nao exploraremos
este caso para os outros estados de polarizacao uma vez que os mesmos sao automaticamente
eliminados por argumentos fısicos. Uma discussao mais detalhada sobre estes argumentos pode
ser encontrada na referencia[9] desta monografia.
91
Apendice C
Propriedades Matematicas da Funcao
de Pauli-Jordan
Neste apendice mostraremos que a funcao de Pauli-Jordan, introduzida na seccao 4.2 deste
trabalho, satisfaz algumas propriedades de suma importancia para que percebamos que as
relacoes de comutacao entre os operadores de campo, calculadas em pontos arbitrarios do
espaco-tempo, se remetem as relacoes de comutacoes calculadas para tempos iguais, sendo
estas um caso particular de relacoes mais gerais.
A funcao de Pauli-Jordan pode, tambem, ser escrita como[9]
∆(xµ − yµ) = −∫
dk3
(2π)3
sin[kµ(xµ − yµ)]
wk
, (C.1)
sendo que na propria estrutura da equacao (C.1) pode-se perceber que esta e uma funcao ımpar,
ou seja, que
∆(xµ − yµ) = −∆(yµ − xµ). (C.2)
Reescrevendo a equacao (C.1) na forma
∆(xµ − yµ) = −∫
dk3
(2π)3
sin[wk(x0 − y0) − ~k · (~x − ~y)]
wk
, (C.3)
que, calculada em tempos iguais, e dada por
∆(xµ − yµ)|x0=y0 = −∫
dk3
(2π)3
sin[−~k · (~x − ~y)]
wk
.
Como a funcao senoidal e ımpar, temos ainda
∆(xµ − yµ)|x0=y0 =
∫
dk3
(2π)3
sin[~k · (~x − ~y)]
wk
,
92
que, de acordo com[20]
sin θ =eiθ − e−iθ
2i,
ficamos com
∆(xµ − yµ)|x0=y0 =
∫
dk3
(2π)3
ei~k·(~x−~y)
2iwk
−∫
dk3
(2π)3
e−i~k·(~x−~y)
2iwk
.
Trocando no segundo termos desta ultima relacao ~k −→ −~k, temos, finalmente, que a funcao
de Paulin-Jordan e nula quando calculada em tempos iguais, ou seja, que
∆(xµ − yµ)|x0=y0 = 0. (C.4)
Calculando agora a primeira derivada temporal (em relacao a x0) de (C.3), temos
∂0∆(xµ − yµ) = −∫
dk3
(2π)3cos[wk(x0 − y0) − ~k · (~x − ~y)],
que para tempos iguais e levando em consideracao que a funcao cosseno e ımpar, e dada por
∂0∆(xµ − yµ)|x0=y0 = −∫
dk3
(2π)3cos[~k · (~x − ~y)],
que, de acordo com[20]
cos θ =eiθ + e−iθ
2,
pode ser escrita como
∂0∆(xµ − yµ)|x0=y0 = −∫
dk3
(2π)3
ei~k·(~x−~y)
2−
∫
dk3
(2π)3
e−i~k·(~x−~y)
2,
na qual, trocando, novamente no segundo termo, ~k −→ −~k, temos
∂0∆(xµ − yµ)|x0=y0 = −∫
dk3
(2π)3ei~k·(~x−~y),
que e uma das representacoes da Delta de Dirac, logo
∂0∆(xµ − yµ)|x0=y0 = −δ3(~x − ~y). (C.5)
E, por fim, um outro resultado importante a ser obtido dar-se-a ao aplicarmos na funcao de
Pauli-Jordan o operador ∂µ∂µ + m2. Fazendo isso e ja usando o tensor metrico, ficamos com
(∂µ∂µ + m2)∆(xµ − yµ) = (gµν∂µ∂ν + m2)∆(xµ − yµ). (C.6)
93
Calculando o primeiro termo desta ultima equacao, utilizando para isso a representacao (C.1),
temos
∂µ∂µ∆(xµ − yµ) = −gµν∂µ∂ν
∫
dk3
(2π)3
sin[kµ(xµ − yµ)]
wk
,
aplicando ainda o quadri-gradiente ∂ν no integrando da relacao acima, temos
∂µ∂µ∆(xµ − yµ) = −gµν∂µ
∫
dk3
(2π)3
kµ
wk
δνµ cos[kµ(xµ − yµ)],
que pode ser escrita como
∂µ∂µ∆(xµ − yµ) = −gµν∂µ
∫
dk3
(2π)3
kν
wk
cos[kµ(xµ − yµ)].
De maneira analoga ao caso anterior, aplicaremos o operador ∂µ, assim
∂µ∂µ∆(xµ − yµ) = gµν
∫
dk3
(2π)3
kνkµ
wk
sin[kµ(xµ − yµ)],
que, segundo o tensor metrico, fica
∂µ∂µ∆(xµ − yµ) =
∫
dk3
(2π)3
kµkµ
wk
sin[kµ(xµ − yµ)]. (C.7)
Substituindo (C.7) em (C.6), temos
(∂µ∂µ + m2)∆(xµ − yµ) =
∫
dk3
(2π)3
kµkµ
wk
sin[kµ(xµ − yµ)] −∫
dk3
(2π)3
m2
wk
sin[kµ(xµ − yµ)]
ou ainda
(∂µ∂µ + m2)∆(xµ − yµ) =
∫
dk3
(2π)3
(kµkµ − m2)
wk
sin[kµ(xµ − yµ)].
Como kµkµ = w2
k − ~k2 e sabendo ainda que w2k = ~k2 + m2, temos, finalmente, que
(∂µ∂µ + m2)∆(xµ − yµ) = 0, (C.8)
ou seja, a funcao de Pauli-Jordan e solucao da equacao homogenea de Klein-Gordon.
94
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