EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

Tema 1: El Movimiento armónico simple (M.A.S) Física 2º Bachillerato

TEMA 1

EL

MOVIMIENTO

ARMÓNICO

SIMPLEColegio “Sagrado Corazón”. HH. Maristas - Valencia

1


Colegio “Sagrado Corazón”. HH. Maristas - Valencia

2


ESQUEMA DEL BLOQUE: VIBRACIONES Y ONDAS

ESQUEMA DEL BLOQUE


3

Movimiento ondulatorio

)wt(senAy 0

Movimiento vibratorio armónico simple

)wtcos(Awv 0

ywa 2

senwtAy

Longitud de onda

Velocidad de propagación

Reflexión

Polarización

Refracción

Efecto Doppler

Difracción

Interferencias

Ondas estacionarias

Origen de las ondas armónicas

Magnitudes que lo describen

Su ecuación del movimiento es

Tiene fenómenos asociados

v

xtsenwAy


1. MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)Un cuerpo realiza un MAS cuando oscila en torno a una posición de equilibrio, sutrayectoria es rectilínea, repite de manera periódica los valores de lasmagnitudes que lo describen (posición, velocidad, aceleración) y cumple la leyde Hooke: F = - k y.

2. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE UN MASPara describir completamente el MAS debemos obtener las ecuaciones que nospermitan conocer la posición, la velocidad y la aceleración de una partícula enun instante dado. Pero antes hemos de definir algunas características de estemovimiento:

CARACTERÍSTICAS DE UN MAS

- Vibración u oscilación: distanciarecorrida por la partícula en unmovimiento completo de vaivén.

- Centro de oscilación, O: punto medio de ladistancia que separa las dos posicionesextremas alcanzadas por la partículamóvil.

- Elongación, y: distancia que en cadainstante separa la partícula móvil delcentro de oscilación, O, tomado comoorigen de las elongaciones. Viene dada porla coordenada de posición de la partículaen un momento dado. Consideramos positivos

los valores de esta coordenada a la derechadel punto O y negativos a su izquierda.

- Amplitud, A: valor máximo de la elongación.

- Periodo, T: Tiempo empleado por la partículaen efectuar una oscilación completa.

- Frecuencia, (o “f”): número de oscilacionesefectuadas en la unidad de tiempo. Es lainversa del periodo (T = 1/). Su unidad enel SI es el hercio, Hz, siendo 1 Hz = 1 s-1.

- Pulsación, w: Número de periodos comprendidosen 2 unidades de tiempo (w = 2 ). Suunidad en el SI es el rad s-1.


4

La ecuación de un MAS nos viene dada por la solución de una ecuacióndiferencial, que es la formulada cuando un cuerpo es sometido a una fuerza derecuperación (aquella que es proporcional a su desplazamiento desde la posicióndonde el cuerpo se encuentra en equilibrio). Una ley de este tipo es la ley deHooke. Si escribimos F como ma, y la aceleración como la segunda derivada de laposición, la ecuación que obtenemos es:

El hecho de que el MAS sea un movimiento periódico, nos hace pensar que suecuación matemática deba implicar una función periódica que ya conocemos, elseno o el coseno, que irán multiplicando a la amplitud del movimiento, que serála elongación máxima que alcance el cuerpo durante su movimiento. Así las cosas,la solución propuesta a la ecuación diferencial escrita arriba, y que describiráfielmente el movimiento físico del cuerpo vibrante, será una función del tiempoy = y(t) de la forma:

m

donde A es la amplitud medida en metros en el S.I. y w = = es la

frecuencia angular, medida en rad/s en el S.I.

Atención:

- A y 0 determinan el valor de la elongación y en t = 0, ya que entonces y =Asen0.

- Si 0 = 0, entonces, para t = 0, y = 0; es decir, al iniciarse elmovimiento, la partícula está en el centro de oscilación.

- El valor de y se repite cada vez que el ángulo wt + 0 aumenta en 2 rad:

- Cuando sen (wt + 0) vale +1 ó –1, la elongación y vale +A o –A. Lapartícula se halla en las posiciones extremas de su trayectoria.

- Si 0 = /2 rad, la partícula se halla en la posición +A al comenzar acontar el tiempo.

Ejemplo 1

Cierta partícula se mueve con MAS según la siguiente ecuación y = 0,05 sen 20t,en unidades del SI. Calcula: a) la fase inicial, b) la amplitud, c) lapulsación, d) el periodo, e) la frecuencia, f) el valor de la elongación en t =0 s y en t = 0,025 s.

- Datos : y = 0,05 sen 20t

a) Fase inicial: 0 = 0. Por tanto, la partícula comienza su movimiento en y =0.

b) Amplitud: A = 0,05 mc) Pulsación : w = 20 rad/sd) Periodo: T = 2/w = 2/20 = 0,1 se) Frecuencia: = 1/T = 10 Hzf) y(0) = 0,05 sen 20 0; y(0) = 0 La partícula se encuentra en el centro de

oscilación. y(0,025) = 0,05 sen 20 0,025; y(0,025) = 0,05 sen /2 = 0,05. Lapartícula se halla en el punto de máxima elongación.

La velocidad de un movimiento vibratorio la deducimos derivando la ecuación dela elongación con respecto al tiempo:

m/s

La velocidad puede expresarse fácilmente en función de la posición ocupada porla partícula.Como sen2 + cos2 = 1, también se cumple que sen2(wt + 0) + cos2(wt + 0) = 1

Por tanto: v = Aw cos =Aw

v=

Atención:

- La gráfica de la velocidad está desfasada /2 respecto a la gráfica de laelongación y.

- Si 0 = 0, entonces, para t = 0, v > 0, es decir, al iniciarse elmovimiento, la partícula se desplaza en sentido positivo del eje.

- Cuando y = A, la velocidad es nula, lo que ocurre para wt = /2, 3/2,5/2... si 0 = 0, es decir, cuando la partícula se halla en los extremosde la trayectoria.

- Cuando y = 0, la velocidad toma su valor máximo absoluto, v = Aw, lo queocurre para wt = 0, , 2, 3...si 0 = 0, es decir, cuando la partícula sehalla en el centro de oscilación

Ejemplo 2

Un cuerpo vibra con MAS según la ecuación y = 0,05 sen (3t + /2), enunidades SI. Calcula: a) el valor de la elongación cuando t = s, b) lavelocidad del cuerpo cuando t = /2 s, c) el periodo y la frecuencia.

- Datos: y = 0,05 sen (3t + /2); A = 0,05 m; w = 3 rad/s; 0 = /2 rad.

a) Calculamos el valor de y para t = s:y = 0,05 sen (3t + /2) = 0,05 sen (3 + /2) = -0,05 m

b) Sustituimos t = /2 en la ecuación de la velocidad v = 0,05 3 cos(3t + /2) = 0,15 cos(3 /2 + /2) = 0,15 m/s

c) Calculamos el periodo y la frecuencia:T = 2/w = 2/3 = 2,09 s; f = w/2 = 3/2 = 0,48 Hz.

La aceleración del MAS la calculamos volviendo a derivar la velocidad devibración del cuerpo:

m/s2

m/s2

La aceleración es proporcional a la elongación y de sentido contrario a ésta.Esta condición es necesaria para que un movimiento periódico sea un MAS

Ejemplo 3

En cierto movimiento armónico simple en el que 0 = 0, T = 0,2 s y A = 3 m,calcula la elongación, la velocidad y la aceleración cuando t valesucesivamente 1/20 s, 1/10 s, 3/20 s y 1/5 s.

- Datos: 0 = 0; T = 0,2 s; A = 3 m; w = 2/T = 2/0,2 = 10 rad/s

t(s) (m)(m/s)

(m/s2)

0,3 sen(10 ) = 0,3 0,3 10 cos(10 ) = 0- (10)2 0,3 = -30 2

0,3 sen(10 ) = 0 0,3 10 cos(10 ) = -

3

- (10)2 0 = 0

0,3 sen(10 ) = -0,3 0,3 10 cos(10 ) = 0- (10)2 (-0,3) = 30 2

0,3 sen(10 ) = 0 0,3 10 cos(10 ) = 3- (10)2 0 = 0

3. DINÁMICA DE UN OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLEHasta ahora nos hemos limitado a las características cinemáticas del MAS, y apartir de ahora estudiaremos las características dinámicas aplicadas a unejemplo concreto, el oscilador armónico (sistema animado de un MAS debido a unafuerza recuperadora)

A partir de la ecuación de un MAS podemos calcular la fuerza que debe actuarsobre un cuerpo o partícula de masa m para que oscile con dicho movimiento.Aplicando la ecuación fundamental de la dinámica y sustituyendo en ella el valorde la aceleración del MAS, tenemos:

Como m y w no varían, aparece una constante k (k = mw2) denominada constanteelástica o recuperadora: F = -ky.Esta expresión indica que en el MAS la fuerza es proporcional al desplazamientoy opuesta a él. Es decir, que se dirige siempre hacia el punto de equilibrio,punto en la que F se anula.

La fuerza que produce un MAS es una fuerza central, dirigida hacia el punto deequilibro y proporcional a la distancia a éste.

A partir de las expresiones anteriores podemos obtener relaciones que ligan lapulsación y el periodo de este movimiento con la masa m y la constante k.

y puesto que T = 2/w, podemos calcular el periodo de un movimiento producidopor una fuerza recuperadora:

El período de un oscilador sometido a una fuerza elástica depende de suconstante recuperadora y de su masa, pero no depende de la amplitud delmovimiento.

Ejemplo 4

Se conecta a un resorte de constante elástica k = 5,0 N/m un cuerpo de 200 g demasa que puede oscilar libremente sobre una superficie horizontal sinrozamiento. Estirando el resorte se desplaza el cuerpo 5,0 cm desde la posiciónde equilibrio y se suelta desde el reposo. Calcula: a) el periodo delmovimiento, b) las expresiones de la elongación, la velocidad y la aceleraciónen función del tiempo, c) los valores máximos de la velocidad y de laaceleración, d) la fuerza recuperadora cuando x = 0,05 m.

a) Determinamos la pulsación para hallar el periodo:

T = 2/w = 2/5 = 0,4 s

b) A t0 = 0, el cuerpo se halla en el máximo valor de la elongación, en elsentido positivo del desplazamiento. Por tanto A = x0 = 0,05 m y 0 =/2.

c) Como el módulo de la velocidad es máximo si cos(wt + 0) = 1:vmax = Aw = 0,25 m/sEl modulo de la aceleración es máximo cuando sen(wt + 0) = 1:amax = Aw2 = 1,25 m/s2.

d) Aplicamos la expresión de la fuerza recuperadora para calcularla:Fx = -kx; Fx = -5 N/m 0,05 m = -0,25 N

4. ENERGÍA DE UN OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLEUn cuerpo con un MAS. posee dos tipos de energía: cinética, asociada a sumovimiento, y potencial elástica, asociada a la posición que ocupa. Las energíascinética y potencial son ambas funciones periódicas del tiempo, puesto que tantola velocidad como la posición lo son. Sin embargo, la suma de ambas cantidadesno depende del tiempo, sino que es una constante. Este fenómeno es lo que seconoce como el principio de conservación de la energía mecánica en un MAS.

De la expresión anterior se desprende que cuando y = 0, la Ec es máxima, y candoy = A (en los extremos) la Ec es mínima e igual a cero.

Las fuerzas elásticas, como las gravitatorias, son conservativas porque tienenasociada una energía potencial que depende de la posición. Precisamente, laenergía potencial que posee un oscilador que está situado a una distancia y dela posición de equilibrio, viene dada por la expresión:

La energía potencial es máxima en los extremos y nula en el centro deoscilación. El mínimo de Ep corresponde alpunto donde el cuerpo es estable (al igualque pasaba con los campos gravitatorio yeléctrico). La suma de las energías cinética ypotencial de un oscilador armónico en unpunto es constante (principio deconservación):

La energía mecánica de un punto que vibra con un MAS es proporcional al cuadradode la amplitud de oscilación.

Ejemplo 5

Un cuerpo de 0,68 kg se fija al extremo libre de un resorte de constanterecuperadora k = 43,79 N/m. Colocamos el sistema sobre un plano horizontal,estiramos del cuerpo hasta 10 cm de la posición de equilibrio y lo soltamos,proporcionándole un movimiento armónico. Calcula: a) la velocidad máxima y laaceleración máxima del cuerpo, b) la velocidad, la aceleración, la energíacinética y la potencial del cuerpo cuando x = 5 cm.

- Datos: m = 0,68 kg; k = 43,79 N/m; A = 10 cm = 0,1 m.

a) Calculamos la pulsación para hallar la velocidad y la aceleración máximas:

vmax = Aw = 0,10 m 8,02 rad/s = 0,80 m/samax = Aw2 = 6,43 m/s2.

b) Hallamos la velocidad y la aceleración a partir de la elongación, x = 0,05m:v= = 8,02 rad/s a =-w2 x = (- 8,022 rad2/s2) 0,05 m = - 3,22 m/s2.

Calculamos las energías cinética y potencial

E = cte

Energía total

Ep

Ec

-A O +A

Energía de un MAS

5. EL PÉNDULO SIMPLESi suspendemos una pequeña partícula material, de masa m de un hilo de longitudL, inextensible y de masa despreciable, y la separamos un pequeño ángulo de suposición vertical de reposo, la partícula se comporta como un osciladorarmónico. Este sistema recibe el nombre de péndulo simple o matemático.El movimiento del péndulo es periódico y oscilatorio. Pero, ¿es también armónicosimple?Para que la partícula pueda moverse con un MAS debe desplazarse sobre unatrayectoria recta y estar sometida a una fuerza recuperadora F =-ky, es decir,proporcional al desplazamiento y de sentido opuesto.En realidad, la trayectoria del péndulo es un arco de circunferencia, pero puedesuponerse recta para valores muy pequeños del ángulo .

Durante las oscilaciones, las energías Ec y Ep

varían de la siguiente manera:

- En el punto B el péndulo posee sólo Ep, devalor mgh, e igual a menos el trabajorealizado por el campo gravitatorio parallevar el péndulo desde la posición deequilibrio A hasta B.

- Al dejarlo en libertad, desciende hacia A,disminuye su Ep y aumenta su Ec en la mismacantidad, debido a que la energía mecánicaes constante.

- En A su velocidad es máxima y su Ep nula. Continúa su movimiento hasta Cdonde de nuevo su Ec es nula y su Ep máxima.

En la posición B actúan sobre el cuerpo dos fuerzas: su peso , y latensión del hilo . Si descomponemos el peso en sus dos componentes :

- En la dirección del hilo, la componente ,de módulo mgcos, contrarresta la tensióndel hilo, ya que en este momento lavelocidad del péndulo es nula.

- La componente , perpendicular a y demódulo mgsen, actúa siempre hacia laposición de equilibrio, es decir, en sentidoopuesto al desplazamiento, por lo que esuna fuerza restauradora responsable delmovimiento: F2 = - mgsen.

Para valores pequeños del ángulo , podemos considerar aproximadamente igualesel valor de sen y el de , medido en radianes. Así, el valor de la fuerzaresulta: F2 = - m g .Como:

P

L

A

C B

T

x

h

P

L

A

C B

T

x

h

F2

F1

y si , tenemos: F2 = -kx, lo que corresponde al valor de la fuerza

recuperadora del movimiento armónico.El movimiento del péndulo simple es un movimiento armónico simple siempre que seconsideren desplazamientos muy pequeños

Así, el periodo T de la oscilación pendular valdrá:

Como sabemos también que T = 2/w, se deduce que en el péndulo simple la

frecuencia será:

De aquí concluimos que el periodo y la frecuencia angular del péndulo simple:- Son independientes de su masa y de la amplitud de la oscilación.- Sólo dependen de la longitud del hilo y del valor de la aceleración de la

gravedad. Ejemplo 6

Desplazamos 20º un péndulo simple de 1 m de longitud y 20 g de masa y después losoltamos. Calcula: a) su periodo, b) su energía potencial en su posición máselevada respecto de la posición de equilibrio, c) la velocidad máxima delpéndulo cuando alcance la posición de equilibrio.

a) Calculamos el período del péndulo:

b) La posición más elevada será h:h = L – L cos

Por tanto, si Ep = mgh:Ep = mg(L – L cos)Ep = mgL(1 – cos)Ep = 0,02kg 9,8 ms-2 1m( 1-0,940 ) = 1,18 10-2 J

c) La velocidad en la posición de equilibrio, que es a su vez la velocidadmáxima, la hallamos mediante el principio de conservación de la energía.(Ep)max = (Ec)max

m/s

6. OTROS MOVIMIENTOS VIBRATORIOSHasta ahora hemos estudiado el movimiento armónico simple de sistemas idealesque, bajo la acción de una fuerza recuperadora, se considera que pueden oscilarindefinidamente. Sin embargo, en los sistemas reales, como una persona que se columpia, o unacuerda de guitarra, la amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo, esdecir, existe una dependencia funcional A = A(t). Esto se debe a la pérdida de

energía mecánica, principalmente por la intervención de fuerzas disipativas derozamiento.En este caso decimos que el movimiento está amortiguado y que el cuerpo efectúaoscilaciones amortiguadas.

Un movimiento oscilatorio es amortiguado si la energía mecánica de su movimientodisminuye gradualmente; como consecuencia, aunque se mantienen las oscilacionescon la misma pulsación que si el movimiento fuera un MAS, éstas disminuyen suamplitud con el tiempo.

Las fuerzas que producen degradación de la energía en múltiples procesos de lanaturaleza, son fuerzas proporcionales a la velocidad del cuerpo, y de sentidocontrario:

La ecuación del movimiento oscilatorio amortiguado viene dada por la expresión:

donde = b/2m y b recibe el nombre de constante de amortiguamiento.Como se puede observar, de la expresión anterior se desprende que la nuevaamplitud del movimiento depende exponencialmente con el tiempo en la forma A’ =Ae-t. Dicha exponencial es la causante de que la amplitud vaya decreciendo con eltiempo, más o menos rápidamente en función del valor del parámetro b. Sinembargo, la frecuencia del movimiento permanece constante. En las gráficassiguientes, la línea discontinua viene dada por la función de la amplitud: A’ =Ae-t, mientras que la roja es la función del movimiento del osciladoramortiguado:

- Si b = 0, la amplitud de las oscilaciones se mantiene constante porque nohay amortiguación (MAS)

- Si b aumenta, disminuye la amplitud A. La fuerza de amortiguamiento separece cada vez más a la fuerza recuperadora

tiempo

y

tiempo

y b pequeña

tiempo

y b grande

- Si b es muy grande no hay oscilaciones, ya que el cuerpo, desplazado de suposición de equilibrio, vuelve a ella y no oscila. Las fuerzasrecuperadoras y amortiguadoras llegan a igualarse y el sistema estátotalmente amortiguado

Ejercicio resuelto 1

Una partícula de masa m se mueve a lo largo del eje X bajo la acción de unafuerza elástica, F = -kx. Cuando t = 2 s, la partícula pasa por el punto deequilibrio con una velocidad positiva y cuando t = 4 s, su velocidad es de +4m/s. Si el periodo de las oscilación es de 16 s, calcula: a) la amplitud delmovimiento, b) su aceleración en t = 2 s, c) Su velocidad máxima. d) Escribe lasexpresiones de la elongación, la velocidad y la aceleración en función deltiempo. e) Dibuja la gráfica de la elongación en función del tiempo entre t = 0s y t = 18 s.

- Datos: x(2 s) = 0; v(4 s) = 4 m/s; T = 16 s.

a) Determinamos la pulsación a partir del periodo y escribimos la ecuación dela elongación para t = 2 s.w = 2/T = 2/16 = /8 rad/s

El ángulo ha de ser de 0 rad para que la velocidad en este punto, que vienedada por el coseno, sea positiva. Por tanto:

Utilizamos la expresión de la velocidad en t = 4 s para hallar la amplitudA:

A =

14,4 m

tiempo

b muy grande

y

b) En el punto de equilibrio, la aceleración es cero. Lo comprobamos:

c) La velocidad máxima se produce cuando el coseno del ángulo de fase es 1.Por ello:

vmax = Aw = 14,4 m /8 rad/s = 5,65 m/s

d) Las expresiones de la elongación, la velocidad y la aceleración son:

e) Para representar la función hallamos la elongación en varios puntos y losrepresentamos. Para facilitar la representación escogemos los puntos deelongaciones máximas, mínimas y cero:


Un cuerpo de 1,4 kg de masa se conecta a un muelle de constate elástica 15 N/m.El sistema se hace oscilar sobre un plano horizontal sin rozamiento. Si laamplitud del movimiento es de 20 cm, calcula: a) La energía total del sistema,b) la energía cinética y potencial cuando el desplazamiento del cuerpo es de 13cm, d) la velocidad máxima del cuerpo. d) Escribe la ecuación del MAScorrespondiente.

- Datos: m = 1,4 kg; A = 20 cm = 0,2 m; k = 15 N/m; x = 13 cm = 0,13m.

t(s) x (m)0 -0,71 A2 06 A10 014 -A18 0

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5

-15

-10

-5

5

10

15

Hemos de tener en cuenta que el sistema tendrá un MAS y que su energía totalserá constante dado que no existen pérdidas por rozamiento.

a) Calculamos la energía total del sistema:E = ½ k A2 = ½ 15 N/m 0,202 m2 = 0,3 J

b) Hallamos la Ep en la posición x = 0,13 m:Ep = ½ k x2 = ½ 15 N/m 0,132 m2 = 0,13 J

Como E = Ep + Ec, calculamos así el valor de Ec:Ec = E - Ep = 0,3 J – 0,13 J = 0,17 J

c) El cuerpo tiene vmax cuando Ec es máxima:(Ec)max = E = 0,3 JEc = ½ m v2 ; (Ec)max =½ m (vmax)2

d) Calculamos la pulsación y suponemos 0 = 0 para escribir la ecuación delMAS correspondiente:


Un péndulo simple consta de una esfera puntual de 0,1 kg de masa suspendida deun hilo de 1 m de longitud. Si oscila con una amplitud de 10º en un lugar con g= 9,8 m/s2, determina: a) Su energía potencial máxima, b) su velocidad máxima.

- Datos: m = 0,1 kg; L = 1 m; = 10º; g = 9,8 m/s2;a) Hallamos w y A para después calcular Ep,max:

A = L = 0,175 rad 1 m = 0,175 mEp,max = ½ k A2 = ½ mw2 A2 = ½ (0,5 kg) (3,1 rad/s)2 (0,175 m)2 = 0,07 J

b) La velocidad máxima será:vmax = Aw = 0,175 m 3,1 rad/s = 0,54 m/s

Ejercicio resuelto 4A) Un cuerpo B enganchado a un muelle M posee un movimiento armónico. B, a

veces está en movimiento y a veces en reposo. ¿Con qué tipo de energíase intercambia la energía de B?

B) Dibujar una gráfica en las que se expongan las evoluciones de la energíacinética de B y de la energía total del sistema frente al tiempo, si elmovimiento de B se describe mediante: x = 0,01 cos(4t)

(unidades SI), y su masa es 0,01 kg. Indicar el periodo del movimiento,T.

C) ¿Qué interacción es la responsable del comportamiento elástico delmuelle: la gravitatoria o la electromagnética? Explicar.

a) en ausencia de fuerzas no conservativas, la energía mecánica delsistema permanece constante. La energía cinética de la masa B seintercambia con la energía potencial elástica que el muelle M acumula,de manera que al ir disminuyendo una, la otra aumenta; y al contrario:

Emecánica = ½ k x2 + ½ m v2 = ½ k A2 = ½ m (vmax)2 = cteLa energía mecánica es sólo cinética cuando la velocidad del cuerpo Mes máxima, y por tanto el muelle está en equilibrio; sólo potencialelástica, cuando la elongación del muelle es máxima y por tanto la masaestá en reposo, o suma de ambas, en cualquiera de los puntosintermedios del movimiento.

b) Para representar la gráfica de la energía cinética y total frente a t,obtenemos la función de v = v(t), derivando la función x = x(t):

Como vemos, la velocidad, al igual que la elongación del muelle, varíaperiódicamente con el tiempo, y lo mismo ocurre con la velocidad alcuadrado, de la cual depende la energía cinética. La velocidadadquiere su máximo valor si la función seno vale 1, e igual ocurre conla función seno al cuadrado. Si la energía cinética tiene la expresiónEc = ½ m v2, hay que representar el producto de una constate por lafunción seno cuadrado:Ec = ½ m (vmax)2 sen2 (4t)

Entonces:(Ec)max = ½ m (vmax)2 = ½ (0,014)2, ya que m = 1 kg

En la gráfica representamos laevolución de la energía cinética alo largo de un periodo completo,coincidente con una vibracióncompleta, 2. La energía cinéticases periódica, según la función senocuadrado. Observamos que adquiere unvalor máximo que coincide con elvalor de la energía total,representada como una recta paralela al eje OX, ya que es siempreconstante.Calculamos el periodo del movimiento a partir de la función de laelongación:w= 4 = 2/T T = 2/4 = 0,5 s

Ec,max

tT

Ec

c) Todas las fuerzas que se observan en la naturaleza a nivelmacroscópico, excepto las fuerzas gravitatorias entre masas, sonmanifestaciones de interacciones electromagnéticas.


Un bloque de masa M = 1 kg está apoyado sobre una mesa horizontal sin rozamientoy unido a una pared fija mediante un resorte, también horizontal, de constanteelástica k = 36 N/m. Estando el bloque en reposo en su posición de equilibrio,se le da un impulso hacia la derecha, de forma que empieza a oscilararmónicamente en torno a dicha posición con amplitud A = 0,5 m. Se pide: a)Durante la oscilación, ¿es constante la energía mecánica de M? b) ¿Con quéfrecuencia oscila M? Determina y representa gráficamente su velocidad frente altiempo. Toma origen de tiempos, t = 0, en el instante del golpe.

a) En ausencia de fuerzas no conservativas, se cumple el principio deconservación de la energía:Ec + Ep = 0 Ec + Ep = cte.

Así, en un punto cualquiera de la oscilación del muelle, se cumple:

ET = Ec + Ep = ½ m v2 + ½ k x2 = ½ k A2

b) Al igualar la ley de Hooke y la segunda ley de la dinámica:

F = -kx; F = ma; ma = - kx = - mw2x

Este MAS lo podemos representar por la ecuación:

x = Asen wt = 0,5sen (20,95t) = 0,5sen (1,9t)

Si derivamos respecto al tiempo obtenemos la ecuación de la velocidad:

v = 0,95cos (1,9t)


Un péndulo simple oscila con una elongación máxima de 18º, desarrollandodiez oscilaciones por segundo. Tomando como instante inicial la posición deequilibrio: a) escribir su elongación en función del tiempo. b) Determinarsu periodo de oscilación en la Luna, donde la gravedad es aproximadamenteun sexto de la terrestre.

a) El movimiento del péndulo lo podemos describir mediante una ecuaciónanáloga a la del MAS, del tipo:

Y = A sen (wt + 0)

Siendo A la amplitud del movimiento, que en nuestro caso sería de 18º, wla frecuencia angular y 0 el ángulo de desfase.En el tiempo inicial, t = 0, el péndulo está en equilibrio, y = 0, yaque no hay ángulo respecto a la vertical, y entonces 0 = 0: no haydesfase. Entonces, considerando que la frecuencia angular, o pulsación,cumple la igualdad w = 2f y expresamos la elongación en radianes:

y = 0,1sen (210t) radb) El período de nuestro péndulo tiene un valor igual al inverso de la

frecuencia, T = 1/10 s, y además cumple la ecuación:

siendo L su longitud, y g el valor del campo gravitatorio terrestre. En

la Luna, el periodo sería

Ponemos T’ en función de T:

EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

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