EJERCICIOS FASE MEDICION BB

EJERCICIOS FASE DE MEDICIÓN SEIS SIGMA BB P. Reyes / Abril 2009

EJERCICIOS:

CAPACIDAD Y DESEMPEÑO DE PROCESOS1. De una carta de control X - R (con tamaño de subgrupo n = 5),

después de que el proceso se estabilizó quedando sólo con causas

comunes (LIE = 36, LSE = 46) se obtuvo lo siguiente:

Xmedia de medias = 40 Rmedio = 5

a) Determinar la desviación estándar del proceso

σ=Rd2 con d2 = 2.326

b) Determinar los límites de tolerancia natural del proceso

LTNS = Media de medias + 3*sigma; LTNI = Media de medias –

3*sigma

c) Determinar la fracción defectiva o porcentaje fuera de

especificaciones

Zi = (LIE – Media) / Sigma Zs = Zs = (LSE – Media) / Sigma

P(Zi) = P(-Zs) =

Ptotal = P(Zi) + P(-Zs)

d) Determinar el Cp

Cp = (LSE – LIE) / 6*sigma

e) Determinar el Cpk

Cpk = menor de las Zi y Zs en valor absoluto / 3 =

f) Determinar el Cpm

T es el centro de las especificaciones

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Cpm=Cp

√1+V2=

LSE−LIE6√σ2+(μ−T)2

g) Determinar el Cpkm

Cpkm=Cpk

√1+(μ−Tσ )

2

h) Establecer conclusiones de los resultados anteriores

2. Determinar los índices de capacidad y de desempeño del

proceso siguiente:

FlashRecov

4.49 6.594.89 6.074.69 6.365.14 6.404.80 6.424.12 4.943.70 5.114.00 5.173.80 5.073.99 5.315.68 6.885.88 6.695.73 7.015.83 7.085.95 7.164.81 5.344.56 5.464.78 5.614.97 5.364.85 5.30

Los límites de especificación son LSE = 8 , LIE = 3.5

Hacer una carta de control I – MR

a) Determinar la desviación estándar del proceso (Within)

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σ=Rd2 con d2 = 1.128

b) Determinar los límites de tolerancia natural del proceso

LTNS = Media de medias + 3*sigma; LTNI = Media de medias –

3*sigma

c) Determinar la fracción defectiva o porcentaje fuera de

especificaciones

Zi = (LIE – Media) / Sigma Zs = Zs = (LSE – Media) / Sigma

P(Zi) = P(-Zs) =


d) Determinar el Cp

Cp = (LSE – LIE) / 6*sigma

e) Determinar el Cpk

Cpk = menor de las Zi y Zs en valor absoluto / 3 =

f) Determinar el Cpm

T es el centro de las especificaciones

Cpm=Cp

√1+V2=

LSE−LIE6√σ2+(μ−T)2

g) Determinar el Cpkm

Cpkm=Cpk

√1+(μ−Tσ )

2

h) Establecer conclusiones de los resultados anteriores (ref.

1.33)

i. Determinar el valor de la desviación estándar de largo plazo

(Overall)

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S=√ ∑

i=1

n(Xi−X̄ )2

n−1

C4=4(n−1)4n−3

σ LT=SC4

j. Determinar el índice de desempeño potencial

Pp=(LSE−LIE )

6σLT

k. Determinar la fracción defectiva equivalente

Zs=LSE−X̄σLT

ZI=LIE−X̄σLT

P(Zi) = P(-Zs) =


l. Determinar el índice de desempeño potencial

Pp=(LSE−LIE )

6σLT

m. determinar el índice de desempeño real

Ppk=menor|ZI,ZS|

3

n. Establecer conclusiones (ref. 1.33)

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CAPACIDAD Y DESEMPEÑO DE PROCESOS EN MINITAB

3. Realizar un estudio:

a. Generar 100 datos aleatorios en Minitab con Media = 264.6 y

Desviación estándar S = 32.02 con

1. Calc > Random data > Normal

2. Generate 100 Store in columns C1 Mean 264.06

Estándar deviation 32.02 OK

Considerando Límites de especificaciones LIE = 200 y LSE = 330

b. Prueba de normalidad

1. Stat > Basic statistics > Normality Test

2. Variable C1 Seleccionar Ryan Joiner test OK

c. Prueba de normalidad con intervalo de confianza

1. Graph > Probability plot > Normal

2. Graph Variable C1

3. Distribution Normal OK

d. Capacidad y desempeño del proceso

1. Stat > Quality tools > Capability análisis > Normal

2. Single column C1 Subgroup size 1 Lower Spec 200 Upper

spec 330

3. Estimate R-bar OK

e. Opción Six Pack

1. Stat > Quality tools > Capability Six Pack > Normal

2. Single column C1 Subgroup size 5 Lower Spec 200 Upper

spec 330

3. Estimate R-bar OK

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4. Un panadero cree que existe una gran variabilidad en el peso

de sus productos: Hay dos operadores A y B que usan las máquinas

1 y 2 no en forma simultánea. Durante 20 días se tomaron

muestras de 4 piezas de pan de cada máquina con los siguientes

resultados:

Día

Operario

Máq1_p1

Máq_p2

Máq1_p3

Máq1_p4

Máq2_p1

Máq2_p2

Máq2_p3

Máq2_p4

1 A209.2

209.5

210.2 212

214.3

221.8

214.6

214.4

2 B208.5

208.7

206.2

207.8

215.3

216.7

212.3 212

3 B204.2

210.2

210.5

205.9

215.7

213.8

215.2

202.7

4 B 204203.3

198.2

199.9

212.5

210.2

211.3

210.4

5 A209.6

203.7

213.2

209.6

208.4

214.9

212.8

214.8

6 A208.1

207.9 211

206.2

212.3

216.2

208.4

210.8

7 A205.2

204.8

198.7

205.8

208.1

211.9

212.9 209

8 B 199197.7 202

213.1

207.5

209.9

210.6

212.3

9 B197.2

210.6

199.5

215.3

206.9

207.1

213.6

212.2

10 A199.1

207.2

200.8

201.2

209.6

209.5

206.8

214.2

11 B204.6 207

200.8

204.6

212.2

209.8

207.6

212.6

12 B214.7

207.5

205.8

200.9

211.4

211.2

214.4

212.6

13 B204.1

196.6

204.6

199.4

209.6

209.2

206.1

207.1

14 A200.2

205.5 208

202.7

203.5

206.9

210.6

212.3

15 A201.1

209.2

205.5 200

209.1

206.3

209.8

211.4

16 B201.3

203.1

196.3

205.5 208

207.9

205.3

203.6

17 B202.2

204.4

202.1

206.6 210

209.4

209.1 207

18 A194.1 211

208.4

202.6

215.6

211.8

205.4 209

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19 A204.8

201.3

208.4

212.3

214.5

207.5

212.9

204.3

20 A200.6

202.3

204.3

201.4

209.1

205.8 212

204.2

a) Apilar todas las columnas

Data > Stack > Columns

Stack the following columns todas

Column of current worksheet seleccionar una vacía Total

b) Hacer un histograma con la columna total

Graph > Histogram: Simple

c) Agrupar las columnas de la máquina 1

Data > Stack > Columns C3-C6 Máquina1

d) Agrupar las columnas de la máquina 2

Data > Stack > Columns C7-C10 Máquina2

e) Hacer histogramas similares al realizado con la columna de

total

f) Comparar y sacar conclusiones

g) ¿qué se puede concluir si se acepta como normal un peso de

210 +- 10 gramos?

Stat > Quality tools > Capability analysis (normal)

Variable Total

Sample size 1

LSL 200 USL 220

OK

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5. Se representa la humedad de 20 paquetes de un producto tomado

durante varios días a la semana:

lunesmarte

s miercjueve

sviernes

8.2 8.61 9.43 8.97 8.468.36 9.14 8.85 9.02 88.37 8.52 8.66 9.61 8.328.52 9.2 8.89 9.15 8.918.05 9.3 9.28 9.21 8.178.76 9.58 9.14 9.53 8.68.51 8.81 9.41 9.28 8.488.18 8.68 9.34 9.28 8.658.52 8.59 9.59 8.86 8.978.64 8.66 9.15 8.75 8.28.83 8.7 9.75 9.64 8.338.35 9.08 9.18 9.05 8.268.48 8.32 8.86 8.76 8.648.34 8.33 9.28 9.21 8.818.51 8.41 8.5 8.76 8.738.08 9.07 9.19 9.4 8.738.15 9.08 9.19 9.55 8.48.15 9.13 9.12 9.5 8.68.68 8.69 9.2 9.48 8.478.79 8.46 8.8 9.58 8.1

a) Apilar todas las columnas agregando una columna de índices

Data > Stack > Columns

Stack the following columns lunes-viernes

Column of current worksheet semana

Store subscripts in Dia

seleccionar Use variable names in subscript column

OK

b) Hacer un diagrama de datos de la semana ver si el proceso es

estable

Graph > Time Series Plot: Simple

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Series semana

OK

c) Distinguir el día de la semana en que

ocurrieron los resultados

Graph > Time Series plot: With Groups

Series Semana

Categorical variables for grouping Dia

OK

¿Qué conclusiones se obtienen?

6. Obtener las estadísticas básicas de Peso

(Weight) para dos máquinas de llenado:

a. Estadísticas básicas

Mediana Moda Media

Desviación estándar

Varianza

Coeficiente de variación

Rango

Primer cuartil

Tercer cuartil

Rango intercuartílico

Esquematiza el diagrama de caja

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WeightLlenador

a905 2930 1865 2895 1905 1885 2890 1930 2915 2910 1920 1915 1925 2860 2905 2925 2925 2905 2915 1930 1890 1940 1860 2875 1985 2970 1940 1975 11000 21035 21020 2985 2960 2945 1965 1940 2900 2920 2980 2950 2955 2970 2970 11035 1


b) Hacer una prueba de normalidad en los datos. Con los datos completos y considerando cada llenadora:

c) Obtener un histograma para la llenadora 2

d) Obtener un diagrama de caja para la llenadora 2

e) Obtener un diagrama de tallo y hojas para ambas

Con los datos completos

f) Encontrar la proporción de pesos que se encuentran entre 900 y 1000 grs.

g) Encontrar la proporción de pesos menores a 850 grs.

h) Encontrar la proporción de pesos mayores a 1,050 grs.

i) Encontrar la proporción de pesos menores a 880 grs. Y mayoresa 1020 grs.

j) Con Excel, si los límites de especificación son LIE = 850 y

LSE = 1,050 determinar la capacidad del proceso total y para

cada una de las máquinas: determinar la fracción

defectiva, Cp y Cpk utilizando la desviación estándar estimada

de corto plazo (Within)

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cuando no hay cambios y el proceso en control.

Fracción defectiva =

INDICES DE DESEMPEÑOk) Determinar la fracción defectiva, Pp y Ppk utilizando la

fórmula de la desviación estándar de largo plazo (Overall)

siguiente para datos históricos, cuando ya ocurrieron todos los

cambios, no importa que el proceso no esté en control:


4CS

Overalllt 1)( 2

n

XXiS 34)1(4

4

nnC

ltLIE

XLIEZ

ltLSE

XLSEZ

)()( LSELIE ZZ

LTp

LIELSEP6

3, LSELIE

pkZZMenorP


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stp

LIELSEC6

ZLIE=LIE−X̄σst

ZLSE=LSE−X̄σst

σst=σWithin=R̄d2

Φ(ZLIE )+Φ(−ZLSE )

Cpk=Menor|ZLIE,ZLSE|

3

Cpm=LSE−LIE

√σST+( X̄−M)2CR=1Cp


CAPACIDAD DE PROCESOS NO NORMALES

7. Realizar el estudio:

a. Generar 100 datos aleatorios en Minitab con Factor de forma =

1, Factor de escala = 1 con

1. Calc > Random data > Weibull

2. Generate 100 Store in columns C1 Shape parameter 1.2

Scale parameter 1 Threshold parameter 0 OK

Considerando Límites de especificaciones LIE = 0 y LSE = 3.5

b. Determinar la capacidad con:

1. Stat > Quality tools > Capability análisis > NonNormal

2. Single column C1 Distribution Weibull Lower Spec 0

Upper spec 3.5

3. OK

c. Establecer conclusiones

8. Transformación de Box Cox para normalizar los datos

Por ejemplo para el archivo Tiles.mtw:

1. File > Open worksheet Tiles.mtw

2. Stat > Control Charts > Box Cox transformation

3. Data are arranged as Single column Torcedura (Warping)

Subgroup size 1

4. Store transformed data in: TorceduraTransf

5. Options: P value to select best fit 0.10

OK

Anotar el Ppk obtenido:

9. Transformación de Johnson para normalizar los datos

1. File > Open worksheet Tiles.mtw

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2. Stat > Quality Tools > Johnson Transformation

3. All observations in a column Torcedura (Warping) Subgroup

size 1

4. Options: Store transformed data in: TorceduraTransf

5. OK

10. Ajuste con otras distribuciones de probabilidad

Otra opción es identificar una función a la que se ajusten los datos, para que con esta se determine la capacidad del proceso:1. File > Open worksheet Tiles.mtw2. Stat > Quality Tools > Individual Distribution Identification3. Data are arranged as single column Warping 4. Subgroup size 1Seleccionar Use all distributions 5. OK

11. Capacidad de proceso utilizando otras distribuciones de

probabilidad

Stat > Quality Tools > Individual Distribution Identification3. Data are arranged as single column Warping 4. Subgroup size 1DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS12. El 20% de los choferes son mujeres, si se seleccionan 20 al azar para una encuesta:Usando la distribución binomial y la distribución de Poissona) ¿Cuál es la probabilidad de que dos choferes sean mujeres ?b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos cuatro sean mujeres?

13. Se tienen 60 ejecutivos de cuenta en un call center, están ocupados en promedio el 30% del tiempo, si 3 clientes llaman ¿laprobabilidad de que estén ocupadas es mayor al 50%? Usar Poissono binomial

14. De 9 empleados diurnos sólo 6 están calificados para hacer su trabajo, si se seleccionan aleatoriamente 5 de los 9 empleados, Cuál es la probabilidad hipergeométrica de que:a) Los 5 estén calificados

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b) 4 estén calificadosc) Por lo menos 3 estén calificados

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS15. Sea X el tiempo entre dos solicitudes de servicio sucesivas a un departamento, si X tiene una distribución exponencial con media = 10, calcular:a) El tiempo esperado entre dos solicitudes sucesivas.b) P(X<=15)c) P(8<=X<=14)

16. Las falla de los ventiladores de un equipo tiene un tiempo promedio de 25,000 Horas, con desviación estándar de 3,000 horas¿cuál es la probabilidad de quea) Un ventilador seleccionado al azar dure por lo menos 20,000 horas?

b) A lo sumo 30,000 horas?

c) Entre 20,000 y 30,000 horas?

17. Un fabricante de equipos electrónicos ofrece un año de garantía. Si el equipo falla en ese periodo por cualquier razón se reemplaza. El tiempo hasta una falla está modelado por la distribución exponencial (X en años):

F(x) =1- exp(-0.125*x)

a) ¿Qué porcentaje de los equipos fallarán dentro del periodo degarantía?

b) El costo de fabricación del equipo es de $500 y la ganancia es de $250 ¿Cuál es el efecto de la garantía por reemplazo sobrela ganancia en 100 equipos?

SERIES DE TIEMPO

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18. Se colectan datos de empleo en un sector de negocios durante60 meses y se desea predecir la tasa de empleo para lossiguientes 12 meses, EMPLOY.MTW.

Las instrucciones de Minitab son las siguientes:

Modelos de tendencias lineal y cuadráticoa) Para un modelo lineal:

1 Open Worksheet EMPLOY.MTW.2 Ejecutar Stat > Time Series > Trend Analysis.3 En Variable, poner Trade.4 En Model Type, seleccionar Linear5 Seleccionar Generate forecasts y poner 12 en Number offorecasts.6 Seleccionar Storage .7 Seleccionar Fits (Trend Line), Residuals (detrended data), yForecasts. Seleccionar OK en cada diálogo.

b) Para un modelo cuadrático

1 Open Worksheet EMPLOY.MTW.2 Ejecutar Stat > Time Series > Trend Analysis.3 En Variable, poner Trade.4 En Model Type, seleccionar Quadratic.5 Seleccionar Generate forecasts y poner 12 en Number offorecasts.6 Seleccionar Storage .7 Seleccionar Fits (Trend Line) , Residuals (detrended data), yForecasts. Seleccionar OK en cada diálogo.

Interpretar los resultados (ver página 11 de series de tiempo)

Predecir con un modelo de media móvil

19. Se desea predecir el empleo durante los próximos 6 meses en el segmento de metales con los datos de los últimos 60 meses. Seusa el método de promedio móvil si no se tienen patrones bien definidos de tendencia o estacionalidad en los datos.

1 File > Open worksheet EMPLOY.MTW.

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2 Seleccionar Stat > Time Series > Moving Average.3 En Variable, seleccionar Metals. En MA length, poner 3. 4 Seleccionar Center the moving averages. 5 Seleccionar Generate forecasts, y poner 6 en Number of forecasts. Click OK.

Interpretar los resultados

MÉTODOS DE SUAVIZACIÓN EXPONENCIAL

Suavizamiento exponencial simple

20. Se desea predecir el empleo durante los próximos 6 meses en el segmento de metales con los datos de los últimos 60 meses. Seusa el método de promedio móvil si no se tienen patrones bien definidos de tendencia o estacionalidad en los datos.

1 File > Open worksheet EMPLOY.MTW.2 Seleccionar Stat > Time Series > Single Exp Smoothing.3 En Variable, poner Metals.4 Seleccionar Generate forecasts, y 6 en Number of forecasts. Click OK.Interpretar los resultados:

Suavizamiento exponencial doble

21. El suavizamiento exponencial doble emplea un componente de nivel y un componente de tendencia en cada uno de los periodos. Usa dos pesos, o parámetros de suavización, actualiza los componentes cada periodo.

1 File > Open worksheet EMPLOY.MTW.2 Seleccionar Stat > Time Series > Double Exp Smoothing.3 En Variable, poner Metals.4 Seleccionar Generate forecasts, y 6 en Number of forecasts. Click OK.

Interpretar los resultados :Promedio móvil 0.2553 Es mejorExponencial simple 0.4296Exponencial doble 0.4679

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Método de Winters22. Se desea predecir el empleo para los siguientes seis mesesen la industria alimenticia usando datos colectados sobre losúltimos 60 meses, usando el método de Winters con el modelomultiplicativo, dado que hay componente estacional y detendencia aparente en los datos.

Instrucciones de Minitab

1 Open Worksheet EMPLOY.MTW.2 Ejecutar Stat > Time Series > Winters' Method.3 En Variable, poner Food. In Seasonal length, 12 .4 En Model Type, seleccionar Multiplicative.5 Seleccionar Generate forecasts poner 6 en Number of forecasts. Seleccionar OK.

Probar con opción método aditivo:

Interpretar los resultados

Método de ARIMAPrueba de autocorrelación de los datos

23. Se desea predecir el empleo para los siguientes seis mesesen la industria alimenticia usando datos colectados sobre losúltimos 60 meses, se utiliza el modelo de autocorrelación paraidentificar el modelo ARIMA adecuado.

1 File > Open worksheet EMPLOY.MTW.2 Ejecutar Stat > Time Series > Differences.3 En Series, poner Food.4 En Store differences in, poner Food2.5 En Lag, poner 12 . OK.

6 Ejecutar Stat > Time Series > Autocorrelation.7 En Series, poner Food2. OK.

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24. Se obtiene una función de autocorrelación parcial (PACF) de los datos de empleo anteriores, después de tomar una diferencia del valor anterior 12 para determinar el modelo ARIMA más adecuado.

Las instrucciones de Minitab son las siguientes:

1 Worksheet EMPLOY.MTW2 Ejecutar Stat > Time Series > Differences.3 En Series, poner Food.4 En Store differences in, poner Food2.5 En Lag, poner 12 . OK.6 Ejecutar Stat > Time Series > Partial Autocorrelation .7 En Series, poner Food2. OK.

Ejemplo de ARIMA25. Las gráficas de autocorrelación (ACF) y de autocorrelaciónparcial (PACF) sugieren un modelo de autoregresivo de orden 1 oAR(1), después de tomar una diferencia de 12.

Ahora se corre el modelo, analizando las gráficas y la bondad deajuste.

Para tomar una diferencia estacional de orden 12, se especificó el periodo estacional de 12 y el orden de la diferencia 1, con esto se realiza el pronóstico.

Instrucciones de Minitab1 Worksheet EMPLOY.MTW.2 Stat > Time Series > ARIMA.3 En Series, poner Food.4 Seleccionar Fit seasonal model. En Period poner 12 en Nonseasonal, poner 1 en Autoregressive. En Seasonal, poner 1 en Difference .5 Seleccionar Graphs. Seleccionar ACF of residuals y PACF of residuals .6 OK en cada cuadro de diálogo.

Corrida de pronósticosCorrer el modelo ARIMA sin gráficas de ACF y PACF de los residuos

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Instrucciones de Minitab1 Worksheet EMPLOY.MTW.2 Stat > Time Series > ARIMA.3 En Series, poner Food.4 Seleccionar Fit seasonal model. En Period poner 12 en Nonseasonal, poner 1 en Autoregressive. En Seasonal, poner 1 en Difference .5 Graphs. Seleccionar Time series plot. OK.6 Seleccionar Forecast. en Lead, poner 12 . OK en cada cuadro de diálogo.

CONFIABILIDAD Distribución de Weibull (toma diferentes formas variando sus parámetros como el de forma) – vista en Minitab

Graph > Probability distribution plot > Vary parametersSeleccionar Weibull Scale 100 (media) Shapes 0.2 1 3OK

26. Se registran 20 equipos en prueba de funcionamiento y lashoras (x1,000) transcurridas hasta la falla fueron lassiguientes:

Unidad

Horas

1 3.702 3.753 12.1

84 28.5

55 29.3

76 31.6

17 36.7

88 51.1

4

Página 19 de 32


9 108.71

10 125.21

11 125.35

12 131.76

13 158.61

14 172.96

15 177.12

16 185.37

17 212.98

18 280.40

19 351.28

20 441.79

Si las horas de falla siguen la distribución exponencial,estimar las funciones de densidad de probabilidad, función dedistribución acumulada, función de confiabilidad y función deriesgo.

La función de densidad es:

f(t)=1

133.43e

−1

133.43t

La función de distribución acumulada es la siguiente:

F(t)=1−e−

1133.43

t

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La probabilidad de que los componentes fallen antes de las 20(x1,000) horas es:

F(20) = 0.139

La función de confiabilidad es la siguiente:

R(t)=e−

1133.43

t

Y la función de riesgo es:

h(t)=1

133.43

27. Se prueban seis unidades similares en un estudio deconfiabilidad, las cuales presentaron fallas como sigue:

Tiempode falla(Hrs.) t

Ordende fallas, i

16 134 253 375 493 5

120 6

Utilizando Minitab con las siguientes instrucciones:1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis(Right sensoring) > Parametric distribution analysis2. Variables t; Assumed distribution Weibull 3. Graphs seleccionar Survival, Cumulative failure plot,hazard plotEstimate: estimate probabilities for this times 15seleccionar Survival probabilitiesOK

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a) Comprobar el ajuste de la distribución de Weibull

b) Determinar el MTBF

c) Determinar las funciones de sobrevivencia, de falla y de tasade riesgo

d) Determinar la probabilidad de supervivencia a las 15 horas

Caso de unidades censuradas (Método de Kaplan Meier)

28. Se prueban seis unidades similares en un estudio deconfiabilidad, las cuales presentaron fallas con algunasunidades censuradas como sigue como sigue:

Tiempo defalla (Hrs.)t

Censurado

16 034 040 140 153 075 085 190 193 0

120 0

1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis(Right sensoring) > Parametric distribution analysis 2. Variables Tiempo; Assumed distribution Weibull 3. Censor > Censoring columns Censurado Censoring value 14. Estimate: Seleccionar Maximum Likelihood y Estimateprobabilities for this time 15 5. Graphs: Seleccionar Prob. Plot, Survival Plot,Cumulative failure plot, Hazard plot, Confidence intervals

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for above plots Show in separate panels on the samegraphOK

Análisis no paramétrico29. Cuando no se conoce la forma de la distribución que ajusta los datos de vida de los equipos o componentes, se pueden utilizar pruebas no paramétricas como sigue:

1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis(Right sensoring) > Nonparametric distribution analysis 2. Variables Tiempo; 3. Censor > Censoring columns Censurado Censoring value 14. Estimate: Seleccionar Estimation Method Kaplan Meier 155. Graphs: Seleccionar Survival Plot, Cumulative failureplot, OK

Varios tipos de falla30. Los datos de la tabla siguiente son esfuerzos deruptura de 20 conexiones de cable, con un extremo sujetosobre un borne y el otro al poste Terminal. Cada fallaconsiste en la ruptura del alambre (modo de falla 1 = A) ode la sujeción (modo de falla 2 = S). En este caso elesfuerzo hace las veces de tiempo de falla:

Esfuerzo Modo defalla

550 S750 A950 S950 A1150 A1150 S1150 S1150 A1150 A1250 S

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1250 S1350 A1450 S1450 S1450 A1550 S1550 A1550 A1850 A2050 S

Interesa estudiar la distribución del esfuerzo de lasconexiones, considerando que se requiere que menos del 1%debe tener un esfuerzo menor a 500 g. O sea que al menos el99% de las conexiones resista un esfuerzo de mayor a 500 g.Se desea estimar el esfuerzo que resultaría de eliminar unode los modos de falla.

a) Primero se hace un análisis sin distinguir los modos defalla, identificando la distribución que ajuste a losdatos:

Con Minitab:1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis(right censoring) > Distribution ID Plot2. En Variables Esfuerzo Use all distributions (Weibull,Lognormal, Exponential, Normal) 3. Options > Estimation Maximum likelihood4. OK

b) Determinación de la confiabilidadHaciendo un análisis de confiabilidad considerando los dos tiposde falla se tiene:Instrucciones de Minitab:;

1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis (rightcensoring) > Parametric Distribution Analysis2. En Variables Esfuerzo Assumed distribution - Weibull

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3. Estimate: Estimation Method Maximum Likelihood y Estimateprobabilities for this values 5004. Graphs: Probability plot y Survival plotOK

c) Obteniendo el análisis separado por modo de falla se tiene:Instrucciones de Minitab:

1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis (rightcensoring) > Parametric Distribution Analysis2. En Variables Esfuerzo By Variable Modo de falla Assumeddistribution - Weibull 3. Estimate: Estimation Method Maximum Likelihood y Estimateprobabilities for this values 5004. Graphs: Probability plot y Survival plotOK

Confiabilidad de sistemas

31. Un equipo tiene 40 componentes en serie. La confiabilidad decada uno es de 0.999, por tanto la confiabilidad del equipocompleto es de:

Si el producto se rediseñara para tener solo 20 componentes, laconfiabilidad sería de Rs =

Sistema con componentes en serie

32. Considere 4 componentes A, B, C y D de un productoconectados en paralelo, con confiabilidades de 0.93, 0.88, 0.88y 0.92 respectivamente, la confiabilidad total es:

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A B C Z

.

},X,...,min{)(

1

n1

n

iiX

XX


Sistema con 4 componentes en paralelo

33. Se tienen los siguientes 7 componentes conectados en serie yen paralelo, sus confiabilidades son: RA=0.96; RB=0.92; RC=0.94;RD=0.89; RE=0.95; RF=0.88; RG=0.90.

Sistema con 7 componentes en serie y en paralelo

Mantenabilidad

34. ¿Cuál es la probabilidad de completar una acción en lassiguientes 5 horas si el MTTR es de 7 horas?

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B

A

B

C DGF

E

)Re(1 pairtoTimeMeanMTTR

A

C

D

φ(X)=max {X1,...,Xn},

¿1−∏i=1

n(1−Xi).


35. El número de fallas que no pueden ser reparadas dentro deltiempo permitido es:

Te−t /MTTR

Por ejemplo:

a) Hay 7 unidades que requieren reparación. La tasa de fallaactual es de 0.03 / hora, el tiempo disponible es de 10 horas,con un MTTR de 18 horas. El tiempo de misión es de 200 horas.¿Cuántas fallas no pueden ser reparadas dentro de las 200 horas?

b) Al contrario el número de fallas que pueden ser reparadasdentro de un espacio de tiempo son:

T(1−e−t/MTTR)

36. El MTTR de un sistema se determina con la ecuación:

MTTR=∑i=1

n❑iti

∑i=1

n❑i

Donde: n = Número de subsistemasi = Tasa de falla del subsistema iTi = Tiempo para reparar el subsistema i

Por ejemplo:

En un equipo con 4 secciones de calentamiento reparables con lassiguientes tasas de falla. Determinar el MTTR del sistema:

Sección decalor

Tasa defalla / horas

i

Tiempo dereparación en

horas ti

ti

1 0.06 4 0.24

2 0.04 8 0.32

3 0.12 12 1.44

4 0.18 20 3.6

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Suma = 0.40 Suma =5.60

MTTR = horas

37. Considerar la probabilidad de restauración si el tiempode reparación del sistema sigue una distribución exponencial con una tasa de reparación Mu y MTTR = 1/ Mu.

Si se tienen t = 10 horas para reparar el sistema:

M(t) = 1 – exp(-t/MTTR) =

38. Abajo se listan los datos de la bitácora de reparación de cierta máquina. Determinar si se apegan a una distribución lognormal:

Rep1.23.21.71.50.560.31.10.41.61.71.87.210.20.20.83.13.62.51.3

En Minitab:

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1. Stat > Reliability / Survival > Distribution Analysis (Right sensoring)> Distribution ID Plot

2. Variables Rep

3. Seleccionar Use All distributions

4. Options seleccionar Maximum Likelihood

5. OK

ANALISIS DE CONFIABILIDAD1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis (Right sensoring) > Parametric distribution analysis2. Variables Rep; Assumed distribution Lognormal3. Graphs seleccionar Survival, Cumulative failure plot, hazard plotEstimate: Estimation Method seleccionar Maximum Likelihood

Estimate probabilities for this times 10 seleccionar Cumulative Failure probabilities

OK

CONCLUSIÓN: La mantenabilidad (F(t)) para 10 horas es de 96.67%,es la probabilidad de que el equipo se restaure

En 10 horas

El MTTR = 2.61 (indicado como MTTF en el listado) es el tiempo medio para restablecer el equipo

Calcular la probabilidad de restablecerlo en 4 horas -- 82%

O

1. Graph > Probability Plot > Single

2. Graph variable Rep

3. Distribution seleccionar Lognormal

4. OK

En la gráfica como el P value es a 0.05

El histograma de los MTTR es:

Con Minitab:

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1. Graph > Histogram > Simple

2. Variable Rep

3. OK

DISPONIBILIDAD INHERENTE39. Esto es muy similar a la función de la confiabilidad en queda una probabilidad que un sistema funcione en el tiempo dado, t. es ladisponibilidad en estado estático.

AI=μ

μ+¿=MTBF

MTBF+MTTR ¿

1/MTBF = Tasa de falla1/MTTR = Tasa de reparación

Ejemplo:

Un sistema tiene un MTBF de 2080 horas y un MTTR de 10 horas.¿Cuál es la disponibilidad inherente del sistema?

40. La disponibilidad lograble promedio es la proporción de tiempodurante una misión o un período de tiempo en que el sistema está disponiblepara el uso.

Es más realista ya que toma en cuenta el mantenimientopreventivo y correctivo. Como en la anterior considera que lareparación inicia inmediatamente después de ocurrir la falla sintiempos de espera.

AA=MTBMA

MTBMA+MMT

Donde: MTBMA es el tiempo promedio entre acciones demantenimiento ya sean preventivos o correctivos

MMT es el tiempo promedio de acción de mantenimiento,compuesto por los efectos del mantenimiento preventivo ycorrectivo.

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MMT=FcMct+FpMpt

Fc+Fp

Donde: Fc es el número de acciones de mantenimiento correctivopor cada 1000 horas

Fp es el número de acciones de mantenimiento preventivo porcada 1000 horas

Mct es el tiempo activo promedio para mantenimientocorrectivo (MTTR)

Mpt es el tiempo activo promedio para mantenimientopreventivo

Por ejemplo:

Un sistema tiene un MTBMA de 110 horas, Fc de 0.5, Fp de 1, Mctde 2 horas y Mpt de 1 hora. ¿Cuál es el valor de Aa?

41. La disponibilidad operacional es una medida de ladisponibilidad media durante el tiempo e incluye todas lasfuentes experimentadas del tiempo muerto, tales como tiempomuerto administrativo, tiempo muerto logístico, etc.

AO=MTBMA

MTBMA+MDT

Donde: MDT es el tiempo muerto promedio

Ejemplo:Un sistema tiene un MTBMA de 168 horas y un MDT de 4 horas.¿Cuál es la Ao?

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42.Mediciones para Seis Sigma

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