Dominio de tiempo (1)

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

SISTEMAS DE CONTROL MODERNO

Departamento de Automatizacióny Control Industrial

Última revisión: marzo 2009

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROL

Característicasde Respuesta de

Sistemas Dinámicos


Robustez Confiabilidad alta Sensibilidad baja Rechazo a perturbaciones

Estabilidad Características BIBO Absoluta y Relativa Global y Local Sentido de Lyapunov

Respuesta Transitoria Estado estable


DISEÑO:Especificaciones de respuesta de

Sistemas Dinámicos Ajuste de ganancia Esquemas de compensación Redes de compensación Controladores PID

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROLMÉTODOS:Respuesta Temporal RTLugar Geométrico de Raíces LGR

Respuesta de Frecuencia RF


Por qué REALIMENTACIÓN? Rechazo a perturbaciones Lazo abierto

donde:

entonces:

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROL Lazo cerrado

donde:

considerando:


Control con precisión

donde:

si:

HYRa = error actuante

YREH a 1 = error de precisión

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROL Inestabilidad del Sistema ?Para estabilidad absoluta se requiere que los POLOS del Sistema tengan su parte real negativa y estén ubicados en el Semi Plano Izquierdo SPI del plano “s”

donde:

)(sG = Función de Transferencia en lazo abierto


Lazo abierto

El Sistema es ESTABLE porque los

POLOS se ubican en el SPI del plano

complejo “s”

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROL Lazo cerradoLa estabilidad dependerá de la ubicación de

los nuevos POLOS en lazo cerrado.Donde la Función de Transferencia es:

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROL Reducción de la ganancia y la constante de tiempo

Lazo abierto:donde:

1

sKGH 1H con realimentación unitaria

K = ganancia en lazo abierto

= constante de tiempo en lazo abierto

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROL Lazo cerrado:

donde: = ganancia en lazo cerrado == constante de tiempo en lazo cerrado =

111

11

111

1 1

c

c

H sK

sK

KK

KsK

sK

sK

GHG

RY

cK

c

1KK

1K

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROL Sensibilidad Lazo abierto:

donde:

entonces:

yGr

RGY .GGG

YYY

RGYRGGYY .).()(


Lazo cerrado:

donde:

entonces:

si pequeño:

RGHGY .1

RHGGGH

GYRHGG

GGYY .]).(1)[1(.).(1

G RGHGY .)1( 2

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROL Sensibilidad: Cuantificación

donde para variaciones pequeñas, se tiene:

GKS = sensibilidad del Sistema G con respecto

al parámetro K

KG

GK

KG

GK

KK

GG

S GK

..

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROLCuantificación: Ejemplo

Lazo abierto:

Lazo cerrado:

11.

1

s

KK

sKKS G

K

|1||1|

1.

1Ks

sKs

KK

KsKKS G

K

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROLSISTEMAS DE PRIMER ORDEN

puesto que:

entonces:

1H

11

1

sGHG

RY


La respuesta en el tiempo esta dada por:

Si t=, entonces:


Respuesta a una entrada paso

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROLPara un servomecanismo (motor DC)

donde:

si:

)1)(1(

ema ssK

E

m = constante de tiempo sistema mecánico

e = constante de tiempo sistema eléctrico

][][ msegseg em )1(

ma sK

E


SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

donde: 22

2

21 nn

n

ssGHG

RY

naturalfrecuencian

ientoamortiguamdeíndice

ientoamortiguamdeecoeficientn


a) Sobre amortiguado:

b) Críticamente amortiguado:

c) Subamortiguado:

d) Oscilatorio sin amortiguamiento:

1

122,1 nnp

np 2,1

dnn jjp 22,1 1

aamortiguadnaturalfrecuenciad

1

10

0


CASO SOBREAMORTIGUADOo Polos reales, negativos y

diferentes

o La respuesta paso está dada

o Si es apreciablemente mayor a la unidad, uno de los términos exponenciales disminuye más rápido

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROLSistema de segundo orden sobreamortiguado


CASO SUBAMORTIGUADOo Polos complejos conjugadoso La respuesta paso está dada

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROLSistema de segundo orden subamortiguado

COMPORTAMIENTO DINÁMICORespuesta transitoria: Sistema de primer orden se conoce como

constante de tiempo, mientras más pequeña la respuesta es más rápida

COMPORTAMIENTO DINÁMICORespuesta transitoria: Sistema de primer orden

COMPORTAMIENTO DINÁMICO Sistema de segundo orden

COMPORTAMIENTO DINÁMICOSISTEMAS DE TERCER ORDEN

En general se tiene:

La respuesta en el tiempo esta dada por:

Donde Ko es el valor en estado estable

22

2

2 nn

n

ss

psp

)1)(1)(1( 321 sssK

3/3

2/2

1/10)( ttt eKeKeKKty

COMPORTAMIENTO DINÁMICOSISTEMAS DE TERCER ORDEN

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1G = 6 / [(s+1)(s+2)(s+3)]

Tiempo (sec)

Amplitud

COMPORTAMIENTO DINÁMICOSISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR

Dependerá de los denominados:

POLOS DOMINANTES

COMPORTAMIENTO DINÁMICO

Respuesta transitoria

Rapidez de respuesta (duración del transitorio)

ts = tiempo de establecimiento tr = tiempo de subida τ = constante de tiempo ωn = frecuencia natural

COMPORTAMIENTO DINÁMICORespuesta transitoria ts tiempo que se requiere para que la curva

alcance su valor final

tr es el tiempo requerido par que la respuesta pase del 10 al 90% o de 0 a 100%


Respuesta transitoria

Estabilidad relativa (oscilación del sistema)

Mp = máximo sobreimpulso tp = tiempo de máximo

sobreimpulso ξ = índice de amortiguamiento

COMPORTAMIENTO DINÁMICORespuesta transitoriaMp Es el valor pico de la respuesta medido a partir del

valor final en estado estable

Tp Es el tiempo requerido para alcanzar el primer pico de sobreelongación

%20100%21

epM

COMPORTAMIENTO DINÁMICORespuesta transitoria


Respuesta estable (estado permanente)

Precisión:

Ep = error de posición (entrada escalón)

Ev = error de velocidad (entrada rampa)

Ea = error de aceleración (entrada parabólica)


donde:

La medida del error de la señal de actuación del

Sistema para

viene dada por:

)(.)()(11)(.)()(1

)()()()()()( sRsHsG

sRsHsG

sHsGsRsYsHsRa

1)( sH

)()(11)( sR

sGsE

ERROR EN ESTADO ESTABLEPara , considerando el

Teorema del ValorFinal, el error en estado estable

está dado por:

donde:

N = tipo de orden del Sistema

1)( sH

q

ii

N

m

ll

zss

zsKsG

1

1

)(

)()(

)(.)(11.lim)(.lim)(lim

00sR

sGssEsete

sssst

ERROR EN ESTADO ESTABLEEscalón unitario:Para N = 0

donde:

Para N≥1 , el error de posición será:

)(lim0

sGKsp

pp K

E

11

= coeficiente estático de error de posición

= error de posición

0pE

psss EssG

ses

sR

1.)(11.lim1)(

0

posicióndeerrorKG

Ep

p

11

)0(11

ERROR EN ESTADO ESTABLERampa unitaria:

vsssss EssGssGsssG

ses

sR

)(

1lim)(1lim1.)(1

1.lim1)(00202

velocidaddeerrorKssG

Ev

sv

1)(

1lim0

velocidaddeerrordeestáticoecoeficientssGKsv

)(lim0

ERROR EN ESTADO ESTABLERampa unitaria:

Para N = 0, el error tiende al infinito

Para N = 1, el error de velocidad será:

Para N≥2 , el error de velocidad será:

v

q

ii

m

llssv EpzKssGsK 0.lim)(.lim

1100

q

ii

m

ll

q

ii

m

llssv pzKpz

sKssGsK

111100.lim)(.lim

0vE

ERROR EN ESTADO ESTABLEParábola unitaria:

asssss EsGssGssssG

ses

sR

)(

1lim)(1lim1.)(1

1.lim1)( 20220303

naceleraciódeerrorKsGs

Ev

sa

1)(

1lim 20

naceleraciódeerrordeestáticoecoeficientsGsKsa

)(.lim 20

ERROR EN ESTADO ESTABLEParábola unitaria:

Para N = 0 y 1, el error tiende al infinito

Para N = 2

Para N ≥ 3 , el error de aceleración será: 0aE

0.lim.lim)(.lim11

011

20

20

q

ii

m

lls

q

ii

m

llssa pzKspz

sKssGsK

q

ii

m

ll

q

ii

m

llssa pzKpz

sKssGsK

11112

20

20

.lim)(.lim

ERROR EN ESTADO ESTABLE Entrada

TipoSistema

Escalón Rampa Parábola

0

1

2

)(tu )(ttu )(221 tut

pp K

E

11

KK p vE0vK

aE0aK

0pEpK

vv K

E 1

KK v aE0aK

0pEpK

0vEvK

aa K

E 1

KK a

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