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DOCUMENTOS DE TRABAJO FCEA

ISSN 1909-4469 / ISSNe 2422-4642

Departamento de Economía

Valoración de Opciones Call Asiáticas Promedio Aritmético usando

Taylor Estocástico 1.5.

Susana Alvarez Diez Samuel Baixauli

Luis Eduardo Girón

Año 2019 No.44

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Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas, FCEA

DOCUMENTOS DE TRABAJO FCEA

ISSN 1909-4469 / ISSNe 2422-4642

Documento de Trabajo FCEA

ISSN 1909-4469 / ISSNe 2422-4642

Año 2019 No. 44

Valoración de opciones call asiáticas Promedio Aritmético usando Taylor Estocástico 1.5 . Autores: Susana Alvarez Diez Samuel Baixauli Luis Eduardo Girón [lfgiron@javerianacali.edu.co ]

Departamento de Economía

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Enero de 2019

La serie de Documentos de Trabajo FCEA pone a disposición para el análisis, discusión y retroalimentación de la comunidad académica los avances y

resultados preliminares del trabajo académico de los profesores de la Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas. Estos documentos no han sido

sometidos a procesos de evaluación formal por pares internos ni externos a la Facultad. Se espera que muchos de estos documentos posteriormente sean

sometidos a evaluación en publicaciones especializadas.

Las opiniones expresadas en este documento son de exclusiva responsabilidad de los autores y no comprometen institucionalmente a la Facultad de

Ciencias Económicas y Administrativas, ni a la Pontificia Universidad Javeriana Cali.

Año 2019 No.44

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Valoracion de Opciones Call Asiaticas PromedioAritmetico usando Taylor Estocastico 1.5

Evaluation of Call Options Asian AverageArithmetic using Taylor Stochastic 1.5

Susana Alvarez Diez*

Samuel Baixauli**

Luis Eduardo Giron***

20 de junio de 2019

Resumen

En el presente trabajo se valora una opcion call estandar y una opcion call asiaticapromedio aritmetico europea estrike fijo, usando por primera vez el metodo numeri-co estocastico de Taylor 1.5. Los resultados obtenidos se comparan con los metodosnumericos estocasticos de Euler-Maruyama y Milstein. Para ello se simulan 10.000trayectorias con particiones de 2−12 y se hace uso de la medida de riesgo neutral. Losresultados obtenidos con Taylor 1.5 frente a los metodos de Euler- Maruyama y Milsteinson practicamente los mismos, presentando un mayor costo computacional por su es-tructura el metodo de Taylor estocastico 1.5, serguido por Milstein y Euler-Maruyama.

Abstract

In this paper, a standard call option and a fixed arithmetic European average arith-metic call option are evaluated, using a stochastic numerical method of Taylor 1.5. Theresults obtained are compared with Euler-Maruyama´s and Milstein´s stochastic nu-merical methods. To this end, 10,000 trajectories with partitions of 2−12 are simulatedand the neutral risk measure is used. The results obtained with Taylor 1.5 compared tothese of Euler-Maruyama and Milstein are pretty much the same, even though Taylor1.5 has a higher computational cost due to its structure.

*Universidad de Murcia**Universidad de Murcia

***Pontificia Universidad Javeriana Cali, Calle 18 No 118-250 Cali, Colombia, Telefono (+57-2)321 82 00Ext 8341. E-mail:legiron@javerianacali.edu.co

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1. Introduccion

Una opcion es un derivado y se define como un contrato que da derecho a su poseedora comprar o vender un activo a un precio determinado durante un perıodo o en una fechaprefijada. Si la opcion puede ejercerse en cualquier momento dentro del periodo del contrato,la opcion se denomina americana. Si la opcion puede ejercerse solo en el vencimiento delcontrato la opcion se denomina europea. El precio pagado por el activo cuando la opcion seejerce se denomina estrike o precio de ejercicio. El ultimo dia que la opcion puede ejercer sedenomina fecha de vencimiento, (Black y Scholes, 1973).

Los factores que influyen en el valor de la prima de una opcion pueden ser exogenosy endogenos. Los factores exogenos, son aquellos que los determina el mercado, mientraslos endogenos estan incorporados dentro del contrato. Los factores exogenos son: El preciodel activo subyacente, la variacion o volatilidad del precio del activo subyacente, la tasa deinteres libre de riesgo y los dividendos generados por el subyacente a lo largo del contrato.Dentro de los factores endogenos se encuentran: La duracion del contrato de la opcion y elprecio de ejercicio o estrike.

(Black y Scholes, 1973) asumiendo condiciones ideales para el mercado de activos yopciones, desarrollaron las formulas para valorar el precio teorico de la prima de una opcioncall y una opcion put europea cuando la accion no paga dividendos.

Actualmente han aparecido las denominadas opciones exoticas o de segunda generacioncuyo pago depende por lo general de la trayectoria del activo subyacente y del estrike o preciode ejercicio, y no como sucede con las opciones tradicionales o vanilla la cuales dependen delvalor final de dicho activo al vencimiento del contrato y del estrike. Las opciones exoticassurgen como una alternativa mas barata, principalmente en aquellos casos que el activo suby-acente de la opcion estandar presenta alta volatilidad lo que origina que el precio de la primade dichas opciones sea muy alto (Garcıa y et. al, s.f.). Las opciones exotica igual que lastradicionales se constituyen en instrumentos de cobertura en el diseno de la gestion del riesgo.

Una de las opciones exoticas de mayor liquidez y uso principalmente para transaccionescon commodities es la opcion asiatica promedio aritmetico, la cual genera dos funciones depago, la primera, en la cual el precio del activo al finalizar el contrato se asume como elpromedio del precio de dicho activo calculado sobre algun perıodo definido entre las partes(estrike fijo). La segunda, en la cual el estrike o precio de ejercicio al finalizar el contrato seasume como el promedio aritmetico del precio de dicho activo calculado sobre algun perıododefinido entre las partes (estrike flotante).

Para la opcion call asiatica promedio aritmetico es difıcil encontrar una formula cerradapara valorarla, mas aun cuando se asume que la dinamica del precio del activo subyacentese modela como un movimiento Browniano geometrico. La razon para tal situacion, es quela suma de lognormales (caso media aritmetica) no es log normal. Actualmente, se ha de-sarrollado una gran cantidad de investigaciones en las cuales se hace uso de una variedadde metodos y tecnicas para aproximarse a la valoracion de las opciones asiaticas prome-dio aritmetico, teniendose entre otros: metodos de simulacion Montecarlo (Kemna y Vorst,1990),(Carverhill y Clewlow, 1990),(Vazquez-Abad y Dufresne, 1998),(Lapeyre, Temam, y

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cols., 2001), (Hartinger y Predota, 2003),(Imai y Tan, 2009),(Fouque 3 y Han, 2004), (Du,Liu, y Gu, 2013) y (Mehrdoust, Babaei, y Fallah, 2017). Metodos de la ecuacion diferen-cial parcial, (Ingersoll, 1987), (Rogers y Shi, 1995),(Zvan, Forsyth, y Vetzal, 1996), (Alziary,Decamps, y Koehl, 1997),(Andreasen, 1998), (J. E. Zhang, 1999), (Fouque, Han, y cols.,2003), (Fouque 3 y Han, 2004),(Cruz-Baez y Gonzalez-Rodrıguez, 2008) y (Shi y Yang,2014). Metodos de arboles binomiales (Hull y White, 1993), (Chalasani, Jha, Egriboyun, yVarikooty, 1999), (Klassen, 2000) y (Bormetti, Callegaro, Livieri, y Pallavicini, 2018). Meto-dos de lımites para el precio de la opcion asiatica, (Lasserre, Prieto-Rumeau, y Zervos, 2006),(Thompson, 1999),(Hugger, 2003), (Rogers y Shi, 1995), (Chen y Lyuu, 2007), (Albrecher yPredota, 2004) y (Simon, Goovaerts, y Dhaene, 2000) y Metodos analıtico de aproximacion.,(Turnbull y Wakeman, 1991), (Levy, 1992), (Milevsky y Posner, 1998), (Yor, 2001), (Ju,2002), (Ballestra, Pacelli, y Zirilli, 2007), (Fusai y Meucci, 2008), (Cai y Kou, 2012),(Sesana,Marazzina, y Fusai, 2014), (B. Zhang y Oosterlee, 2013), (Chung y Wong, 2014) y (Cui, Lee,y Liu, 2018)

En el presente trabajo se pretende valorar una opcion call estandar y una opcion callasiatica promedio aritmetico europea estrike fijo con el metodo numerico estocastico deTaylor 1.5 aun no utilizado en la literatura financiera, y comparar los resultados con losmetodos numericos estocasticos de Euler Maruyama y Milstein, ya utilizados en la valoracionde este tipo de opciones.

Este documento esta conformado por 6 secciones adicionales. En la seccion dos se desar-rolla la revision bibliografica de la literatura existente alrededor de la valoracion de opcionescall asiaticas promedio aritmetico europeas estrike fijo utilizando metodos de simulacionmontecarlo. En la seccion tres se presentan el marco teorico utilizado para la presente in-vestigacion. En la seccion cuatro se presenta la metodologıa utilizada, en la seccion cinco sepresentan y discuten los resultados y en la seccion seis se presentan las conclusiones, alcancesy limitaciones del estudio.

2. Revision Bibliografica

El principal desafıo en el mercado de opciones es ¿como fijar un precio justo para la opcionpara evitar oportunidades de arbitraje?. En los ultimos anos se ha desarrollado un sinnumerode metodos para valorar opciones asiaticas, los cuales se pueden agrupar en varias lıneas asaber: metodos de simulacion Montecarlo, metodos de la ecuacion diferencial parcial, metodosde arboles binomiales, metodos de lımites para el precio de la opcion asiatica y metodosanalıtico de aproximacion. En este documento nos centramos en las investigaciones que hanutilizado metodos numericos en la valoracion de opciones asiaticas promedio aritmetico.

2.1. Metodo de Simulacion Montecarlo

La simulacion de Monte Carlo es un metodo numerico utilizado para valorar opcionescuando la ecuacion diferencial parcial no tiene una solucion explıcita o es difıcil resolverla

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por metodos analıticos. los siguientes autores utilizan el metodo de simulacion montecarlospara valorar opciones asiaticas promedio aritmetico

(Kemna y Vorst, 1990) usan el metodo de simulacion montecarlo con la tecnica de re-duccion de varianza.(Carverhill y Clewlow, 1990), calculan la densidad de la distribucion delpromedio, la cual se obtiene como una convolucion de densidades individuales, y posterior-mente utilizan el metodo de simulacion Monte Carlo.(Vazquez-Abad y Dufresne, 1998), Pre-sentan un metodo aparentemente nuevo para mejorar la eficiencia del metodo de simulacionde Montecarlo. (Lapeyre y cols., 2001), eligen un algoritmos de Monte Carlo competitivos.(Hartinger y Predota, 2003) presentan un enfoque cuasi-Monte Carlo,ademas, muestran co-mo valorar opciones asiaticas en mercados incompletos de manera eficiente.(Imai y Tan,2009), desarrollan un nuevo algoritmo de simulacion quasi Montecarlo, asumiendo que ladinamica del precio se ajusta a un proceso Hiperbolico generalizado de Levy. (Fouque 3 yHan, 2004) usan el metodo de simulacion montecarlo con la tecnica de reduccion de varianzapero en un contexto de modelos de volatilidad estocastica de escala multiple. (Ninomiya yVictoir, 2008) presentan un nuevo algoritmo simple y lo aplican al problema de valoracionde opciones asiaticas bajo el modelo de volatilidad estocastica. Los resultados muestran quela combinacion del algoritmo sugerido y los metodos cuasi-Monte Carlo hace que los calcu-los sean extremadamente rapidos.(Du y cols., 2013) utilizan simulacion Montecarlos con latecnica de reduccion de varianza para validar si una variable de control para el precio de lasopciones asiaticas bajo los modelos de volatilidad estocastica funciona bien para la valoracionde dichas opciones. (Cen, Xu, y Le, 2015) aplican un esquema hıbrido de diferencias finitaspara evaluar los precios de las opciones asiaticas estrike fijo. (Mehrdoust y cols., 2017) pro-ponen un algoritmo Monte-Carlo eficiente para la fijacion de precios de la opcion aritmeticaasiatica en el modelo CEV. La investigaciones anteriores no han explorado la utilizacion delos metodos numericos estocasticos para valoracion de opciones asiaticas europeas promedioaritmetico. En ese sentido, la presente investigacion aborda y aplica dichos metodos en lavaloracion de dichas opciones.

3. Marco Teorico

En esta seccion se presentan el marco teorico utilizado en esta investigacion. Las defini-ciones estandar utilizadas en esta seccion relacionadas a procesos estocasticos en tiempocontinuo, calculo estocastico, ecuaciones diferenciales estocasticas y metodos numericos es-tocasticos pueden encontrarse en: (Karatzas y Shreve, 2012),(Korn y Korn, 2001), (Shreve,2004) y (Kloeden y Platen, 1999).

Movimiento Browniano

.Un movimiento Browniano es un proceso estocastico Wtt≥0 que cumple las siguintes

condiciones:

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El proceso inicia en cero, con una probabilidad de 1, es decir; P (ω ∈ Ω|W0 (ω) = 0) =1

Las trayectorias del proceso estocastico Wtt≥0 son continuas.

Los cambios que presenta la variable W asociada al proceso en dos periodos distintosde tiempo son independientes.

Los cambios en la variable aleatoria W ; ∆W = W (t) − W (s), se distribuyen nor-malmente con media cero y varianza t − s, es decir: 4W v N (0, t− s), o sea que4W v

√t− sN (0, 1).

El incremento W (t)−W (s) es independiente de la filtracion Fs, si 0 ≤ s ≤ t. Es decir,cualquier incremento del movimiento Browniano despues del tiempo s, es independientede la informacion disponible hasta el tiempo s.

Formula de Ito Doeblin para el movimiento Browniano

. La formula de Ito en calculo estocastico es analoga a la regla de la cadena en calculotradicional, aunque esta se expresa en forma de diferencial para un mas facil entendimiento.Sea f(t,x) una funcion para la cual las derivadas parciales ft(t, x), fx(t, x) y fxx(t, x) estandefinidas y continuas , y sea W(t) un movimiento Browniano , entonces para todo T ≥ 0, laformula de Ito Doeblin para el movimiento Browniano puede presentarse en forma de unaintegral estocastica como sigue:

f(T,W (T )) = f(0,W (0))+

∫ T

0

ft(t,W (t))dt+

∫ T

0

fx(t,W (t))dW (t)+1

2

∫ T

0

fxx(t,W (t))d(t).

(1)o en forma de una ecuacion diferencial estocastica como sigue

df(t,W (t)) = ft(t,W (t))dt+ fx(t,W (t))dW (t) +1

2fxx(t,W (t))d(t) (2)

Formula de Ito Doeblin para un proceso estocastico en general

.Sea un proceso estocastico de Ito, el cual tiene la siguiente estructura en terminos de una

integral estocastica

X(t) = X(0) +

∫ t

0

M (u)dW (u) +

∫ t

0

Θ(u)d(u) (3)

Donde X(0) es no aleatorio y M (u) y Θ(u) son procesos estocasticos adaptados. En terminosde una ecuacion diferencial estocastica el proceso de Ito se puede expresar de la siguienteforma

dX(t) =M (t)dW (t) + Θ(t)d(t) (4)

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La formula de Ito para un proceso estocastico general que no presenta salto inesperados,viene dada en forma integral por:

f(T,X(T )) = f(0, X(0)) +

∫ T

0

ft(t,X(t))dt+

∫ T

0

fx(t,X(t)) M (t)dW (t)

+

∫ T

0

fx(t,X(t))Θ(t)d(t) +1

2

∫ T

0

fxx(t,X(t)) M2 (t)d(t) (5)

En forma diferencial, la cual es mas facil de recordar se expresa como:

df(t,X(t)) = ft(t,X(t))dt+fx(t,X(t)) M (t)dW (t)+fx(t,X(t))Θ(t)d(t)+1

2fxx(t,X(t)) M2 (t)d(t)

(6)

Ecuaciones diferenciales estocasticas unidimensionales

.Las ecuaciones diferenciales estocasticas de ahora en adelante (E.D.E), al igual que las

ecuaciones diferenciales deterministas de ahora en adelante (E.D.D), permiten describir ladinamica a lo largo del tiempo de un fenomeno determinado. La diferencia fundamentalentre una E.D.E y E.D.D, es que las primeras incorporan en su estructura una componentealeatoria denominada en ocasiones ruido. La estructura de una E.D.E es:

dX(t) = a (t, X(t)) + b (t, X(t)) dW (t) (7)

Donde a (t, X(t)) y b (t, X(t)) son dos funciones Borel medibles definidas de <+×< → <,con condicion inicial la variable X(0), la cual se asume F0 medible e independiente delmovimiento Browniano W (t).

Una forma alterna de presentar la E.D.E anterior es a traves de la siguiente ecuacionintegral estocastica:

X(t) = X(0) +

∫ t

0

a (s, X(s)) ds+

∫ t

0

b (s, X(s)) dW (s) (8)

Al proceso X(t) se denomina proceso de Ito. Las funciones a (t, X(t)) y b (t, X(t)) son loscoeficientes de tendencia y difusion respectivamente.

Una E.D.E tiene solucion fuerte unica si se satisfacen las condiciones:

1. Condicion de Lipschitz: Existe una constante K que no depende de t, tal que:

|a (x, t)− a (y, t)| ≤ K | x− y | ∀x, y ∈ < (9)

|b (x, t)− b (y, t)| ≤ K |x− y| ∀x, y ∈ < (10)

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2. Condicion de crecimiento acotado: Para alguna constante K que no depende det, la condicion de crecimiento en x,

|a (x, t)|2 < K2(1 + |X|2

)(11)

y|b (x, t)|2 ≤ K2

(1+ | x |2

)(12)

donde K es una constante positiva bajo estas condiciones, el proceso estocastico solucionX(t)t≥0 de la ecuacion diferencial (1) tiene entre otras propiedades:

1. Es un proceso adaptado de la filtracion FWt .

2. Es un proceso cuya trayectoria son continuas.

3. Es acotado en L2 (p).

Metodo de la medida de riesgo neutral para valorar opciones es-tandar B-S

En esta subseccion se desarrollan los fundamentos de la valoracion de una opcion estandarutilizando la medida de riesgo neutral. Siguiendo a (Shreve, 2004), se muestran las ecuacionesque representan la dinamica tanto del precio del activo descontado y no decontado, como dela riqueza descontada y no descontada.

Proceso precio del activo bajo la medida de riesgo neutral

Sea W(t), 0 ≤ t ≤ T , un movimiento Browniano definido en un espacio de probabilidad(Ω,F , P ) y sea F (t) 0 ≤ t ≤ T , una filtracion para dicho movimiento Browniano. Supong-amos que la ecuacion diferencial estocastica que modela la dinamica del proceso precio delactivo subyacente viene dada por:

dS(t) = α(t)S(t)dt+ σ(t)S(t)dW (t) (13)

donde: α(t) representa el rendimiento esperado del activo, y σ(t) la volatilidad, siendo ambosprocesos estocasticos adaptados. Observese, que precio del activo presentado en la ecuacion(13) es un movimiento Browniano geometrico generalizado.

S(t) = S(0)exp

∫ t

t0

(σ(s)dW (s)) +

∫ t

t0

(α(s)− 1

2σ2(s))ds

(14)

Ahora bien, sabemos que el α(t) de la ecuacion (13) representa el rendimiento esperado delactivo en el tiempo t, el cual esta afectado por las preferencias al riesgo de los inversores,quienes exigiran una prima de riesgo mayor en la medida que aumente su aversion al riesgo.Para considerar que todos los inversores son neutrales al riesgo y que el rendimiento esperado

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por ellos es la tasa de interes libre de riesgo, la ecuacion (13) debe transformarse de lasiguiente manera: Sea

D(t) = exp−∫ t0 R(s)ds (15)

Donde: D(t) es un factor de descuento en tiempo continuo, R(t) es el proceso adaptadotasa de interes y dD(t) = −R(t)D(t)dt. Por lo tanto, el precio del activo S(t) descontadoviene dado por el producto de las expresiones (14) y (15), es decir:

D(t)S(t) = S(0)exp

∫ t

t0

(σ(s)dW (s)) +

∫ t

t0

(α(s)−R(s)− 1

2σ2(s))ds

(16)

Aplicando la regla Ito para el producto a partir de las expresiones (14) y (15), se obtiene laecuacion diferencial para el precio descontado, la cual viene dado por:

d(D(t)S(t)) = (α(t)−R(t))D(t)S(t)dt+ σ(t)D(t)S(t)dW (t)) (17)

multiplicando y dividiendo el primer termino de la derecha de (17) por σ(t) y factorizandose tiene que:

d(D(t)S(t)) = σ(t)D(t)S(t) [Θ(t)dt+ dW (t)] (18)

Donde:

Θ(t) =α(t)−R(t)

σ(t)(19)

Θ(t), se define como el precio de mercado del riesgo. Observese en la expresion (17) que latasa media de retorno del activo sin descuento S(t) se reduce en una cantidad R(t), mientrasla volatilidad del proceso precio del activo descontado y no descontando es la misma. Ahorabien, haciendo dW = Θ(t)dt + dW (t), donde dW (t) es un movimiento Browniano bajo lamedida de riesgo neutral, se tiene:

d(D(t)S(t)) = σ(t)D(t)S(t)dW (t) (20)

Siendo el precio descontado bajo la medida de riesgo neutral una martingala. Un aspectointeresante es que al reemplazar a dW(t) en la ecuacion diferencial estocastica que modelala dinamica del precio del activo (13) por -Θ(t)dt + dW (t) se obtiene.

dS(t) = R(t)S(t)dt+ σ(t)S(t)dW (t) (21)

lo cual nos indica que bajo la medida de riesgo neutral la tasa media de retorno del activo esla tasa de interes libre de riesgo, lo que implica como se dijo que los inversores son neutralesal riesgo. La solucion para ecuacion (21) viene dada por:

S(t) = S(0)exp

∫ t

t0

(σ(s)dW (t)

)+

∫ t

t0

(R(s)− 1

2σ2(s))ds

(22)

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1010

Valor del proceso portafolio bajo la medida de riesgo neutral

Suponga que un agente economico posee un capital inicial X(0), y en cada tiempo t,0 ≤ t ≤ T , mantiene ∆(t) partes de un activo riesgoso cuyo precio es S(t), y su dinamicaesta modelada por la ecuacion (13). El resto del capital, lo invierte en el mercado financieroa una tasa R(t), por lo tanto, la ecuacion que modela la dinamica de la riqueza viene dadapor:

dX(t) = ∆(t)dS(t) +R(t) [X(t)−∆(t)S(t)] dt (23)

Lo anterior implica, que los cambios en la riqueza en el momento t son atribuibles a dosfactores, el primero ∆(t)dS(t), que representa el cambio en la riqueza atribuible al cambioen el precio del activo riesgoso y R(t)[X(t)−∆(t)S(t)]dt, que representa el cambio en lariqueza atribuible a los intereses ganados en el mercado financiero. Reemplazando dS(t) porsu equivalente (13) y simplificando se obtiene:

dX(t) = R(t)X(t)dt+ ∆(t)σ(t)S(t) [Θ(t)dt+ dW (t)] (24)

Siguiendo un procedimiento similar al utilizado para hallar el proceso precio descontado, sellega que la ecuacion de la riqueza descontada viene dada por:

d(D(t)X(t)) = ∆(t)σ(t)D(t)S(t) [Θ(t)dt+ dW (t)] (25)

lo que equivale a:d(D(t)X(t)) = ∆(t)d(D(t)S(t)) (26)

Reescribiendo la ecuacion (25) en terminos de la medidad de riesgo neutral se obtiene

d(D(t)X(t)) = ∆(t)σ(t)D(t)S(t)dW (t) (27)

Por lo tanto, la riqueza descontada D(t)X(t) bajo la medida de riesgo neutral es unamartingala.

Valoracion de una opcion estandar bajo la medida de riesgo neutral

En esta subseccion se define la cantidad de capital inical X(0) que requiere un vendedorde una call para invertirlo en un portafolio de tal manera que al finalizar el contrato en elperıodo T, posea la cantidad necesaria X(T ) = Max(S(t) −K, 0)+ para cubrir la posicioncorta en la call.

Sea V(T), una variable aleatoria F (T ) medible, que representa el valor a pagar en el tiem-po T por una opcion. Se desea conocer la cantidad de capital inicial y el proceso portafolio∆(t) 0 ≤ t ≤ T , que garantice la cobertura de una posicion corta en una opcion call. De talmanera que:

X(T ) = V (T )

con una probabilidad de uno.

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1111

de la ecuacion (27), sabemos que D(t)X(t) bajo la medida de riesgo neutral es unamartingala, esto implica que:

D(t)X(t) = E [D(T )X(T ) | F (t)] = E [D(T )V (T ) | F (t)] (28)

El valor descontado de X(t), es el capital necesario en el tiempo t para cubrir completamentela posicion corta de la opcion call con pago V(T). Por lo tanto, V(t) es el precio de la opcionen el tiempo t. Reemplazando en (28) V(t) por X(t) se tiene:

D(t)V (t) = E [D(T )V (T ) | F (t)] 0 ≤ t ≤ T (29)

Dividiendo (29) entre D(t), ya definido en (15) se obtiene:

V (t) = E[exp−

∫ Tt R(u)duV (T ) | F (t)

](30)

conocida como la formula de valoracion de opciones bajo la medida de riesgo neutral paramodelos en tiempo continuo. De acuerdo a la ecuacion (30), el precio de una call es el valoresperado bajo la medida de riesgo neutral de los pagos futuros descontados, en este sentido,las verdaderas probabilidades son irrelevantes para realizar la replica de la opcion, y, portanto, para su valoracion.

El principio de valoracion neutral al riesgo, establece que una opcion se puede valorarsuponiendo que el mundo es de riesgo neutral. Es importante destacar que para la derivacionlas formulas de valoracion de opciones call y put de Black-Scholes a partir de la medida deriesgo neutral, se asume que la volatilidad y la tasa de interes libre de riesgo son constantes,lo que transforma la ecuacion (30) en:

V (t) = E[exp−r(T−t)V (T ) | F (t)

]0 ≤ t ≤ T (31)

Valoracion de una opcion asiatica bajo la medida de riesgo neutral

Dado que la ecuacion diferencial estocastica que conduce el precio del activo subyacentede una opcion asiatica bajo la medida de riesg neutral es igual a la utilizada para el activosubyacente de una opcion estandar, es decir,

dS(t) = R(t)S(t)dt+ σ(t)S(t)dW (t) (32)

Esto implica, que la valoracion de una opcion call asiatica promedio aritmetico europeasea muy similar a la valoracion de una opcion estandar call europea; la diferencia fundamentales, si en la funcion de pago el precio del activo al finalizar el contrato se asume como elpromedio del precio de dicho activo calculado sobre algun perıodo definido entre las partes(estrike fijo), o si en dicha funcion el estrike o precio de ejercicio al finalizar el contrato seasume como el promedio aritmetico del precio de dicho activo calculado sobre algun perıododefinido entre las partes (estrike flotante). En esta investigacion se aborda la valoracion deuna opcion call asiatica promedio aritmetico europea, estrike fijo. Si se asume que la tasa de

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1212

interes libre de riesgo y la volatilidad son constantes, se tiene que el pago en el momento T,de una opcion asiatica promedio aritmetico estrike fijo viene dado por la ecuacion (??):

V (T ) =

(1

T

∫ T

0

S(t)dt−K)+

(33)

El precio de dicha call asiatica en un perıodo t antes del vencimiento en el momento T,viene dado por la ecuacion (31):

V (t) = E[exp−r(T−t)V (T ) | F (t)

]0 ≤ t ≤ T (34)

La medida de riesgo neutral es supremamente util para valorar una opcion cuando seemplean los metodos numericos.

Metodos numericos estocasticos

Las ecuaciones diferenciales ordinarias de aquı en adelante (EDO) se han convertidoen un instrumento importante dentro de las matematicas para modelar la dinamica de unsinnumero de fenomenos de la naturaleza. Sin embargo, en dichas ecuaciones se asume que ladinamica del fenomeno objeto de estudio es determinista, lo que ocasiona que la modelacionde la dinamica del fenomeno no se ajuste a la realidad. Cuando se considera la incorporacionde una componente aleatoria aditiva a las EDO se da origen a las ecuaciones diferencialesestocasticas de aquı en adelante (EDE), las cuales permiten acercarse un poco mas a la reali-dad, en este sentido, una EDO puede considerarse como un caso particular de una EDE en lacual la componente aleatoria o ruido no se presenta. Pocas ecuaciones diferenciales estocasti-cas tienen una solucion analıtica exacta conocida, lo que obliga a utilizar metodos numericospara aproximarse al proceso estocastico solucion de dichas ecuaciones, estas aproximacionespueden hacerse teniendo en cuenta dos enfoques. Aproximaciones fuertes y aproximacionesdebiles.

La aproximacion es fuerte cuando se desea aproximarse a la trayectoria solucion, masformalmente, como se muestra en la ecuacion (35), el proceso de aproximacion Y convergeen el sentido fuerte con orden δ ∈ [0,∞), si existe una constante finita k y una constanteposititva δ0, tal que:

E (| XT − YN |) ≤ kSδ (35)

Siendo XT la solucion real en el tiempo T y YN la aproximacion para cualquier dis-cretizacion del tiempo con tamano maximo del paso δ ∈ [0, δ0). El orden o velocidad deconvergencia en una E.D.E, es menor que la que se presenta en una E.D.O, esto se debe aque los incrementos 4Wn del movimiento Browniano es de orden δ

12 y no δ.// La aproxi-

macion es debil cuando el interes es alguna funcion del proceso solucion en un tiempo finalT dado. Como por ejemplo E (XT ) , E ((XT ))2 y E (g(XT ), en este caso basta con tener unabuena aproximacion de la distribucion de probabilidad de la variable aleatoria XT antes que

11

1313

aproximarse a toda la trayectoria solucion. Mas formalmente, un proceso de aproximacionY converge en el sentido debil con orden β ∈ [0, δ0),si para cualquier polinomio g existe unaconstante finita K y una constante positiva δ0 tal que:

|E (g(XT ))− E (g(YN)) | ≤ Kgδβ (36)

para cualquier discretizacion del tiempo con tamano maximo del paso δ ∈ [0, δ0).

Un concepto ligado al orden de convergencia del proceso de aproximacion, es el errorde la aproximacion, pues dicho error decrece a un factor de kδ, es decir, para un orden deconvergencia dado y un decrecimiento deseado del error se puede determinar cuanto se debereducir el tamano del paso.

Aunque existen diversos metodos numericos estocasticos para aproximarnos a la solucionde una ecuacion diferencial estocastica, ya sea por aproximaciones fuertes o aproximacionesdebiles, en este trabajo se desarrollan tres metodos fundamentalmente: Euler Maruyama,Milstein y Taylor 1.5. Dichos metodos se desprenden de la expansion estocastica de Taylorla cual es una generalizacion de la expansion de Taylor determinista, constituyendose elpunto de partida para el desarrollo de los diversos metodos numericos estocasticos, los cualesproporcionan soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales estocasticas que no poseensoluciones explıcitas. Las definiciones y notacion estandar relacionada a la expansion deTaylor estocastica estan basadas fundamentalmente en (Kloeden y Platen, 1999).

Expansion estocastica de Taylor

. Sea la ecuacion diferencial estocastica de primer orden

dX(t) = a(X(t))dt+ b(X(t))dW (t) (37)

La cual no depende explıcitamente del tiempo, y sea f una funcion de X(t), entonces eldiferencial de f(X(t)) de acuerdo a la formula de Ito, viene dado por:

df(X(t)) =

[a(X(t))

∂f(X(t))

∂X(t)+

1

2b2(X(t))

∂2f(X(t))

∂X(t)2

]dt+ b(X(t))

∂f(X(t))

∂X(t)dW (t) (38)

Definiendo los operadores:

L 0 = a(X(t))∂

∂X(t)+

1

2b2(X(t))

∂2

∂X(t)2(39)

L 1 = b(X(t))∂

∂X(t)(40)

Reescribiendo en terminos de operadores se tiene :

df(X(t)) = L 0f(X(t)) + L 1f(X(t))dW (t) (41)

12

1414

Reescribiendo la ecuacion anterior en forma de integral se tiene:

f(X(t)) = f(X(t0)) +

∫ t

t0

L 0f(X(s))ds+

∫ t

t0

L 1f(X(s))dW (s) (42)

considerando los siguientes casos para la funcion fSi f(x)= x, entonces se tiene que la ecuacion (42) se convierte en:

X(t) = X(t0) +

∫ t

t0

a(X(s))ds+

∫ t

t0

b(X(s))dW (s) (43)

Si f(x)= a(X(t)), entonces se tiene que la ecuacion (42) se convierte en:

a(X(t)) = a(X(t0)) +

∫ t

t0

L 0a(X(s))ds+

∫ t

t0

L 1a(X(s))dW (s) (44)

Si f(x)= b(x), entonces se tiene que la ecuacion (42)se convierte en:

b(X(t)) = b(X(t0)) +

∫ t

t0

L 0b(X(s))ds+

∫ t

t0

L 1b(X(s))dW (s) (45)

Sustituyendo las ecuaciones (44) y (45) en la ecuacion (43) se obtiene:

X(t) = X(t0) +

∫ t

t0

[a(X(t0)) +

∫ S1

t0

L 0a(X(S2))ds2 +

∫ S1

t0

L 1a(X(S2))dW (S2)

]dS1

+

∫ t

t0

[b(X(t0)) +

∫ S1

t0

L 0b(X(s))ds+

∫ t

t0

L 1b(X(S2))dW (S2)

]dS1 (46)

Simplificando y reordenando terminos en la ecuacion (46) se tiene:

X(t) = X(t0) + a(X(t0))

∫ t

t0

dS1 +

∫ t

t0

∫ S1

t0

L 0a(X(S2))ds2dS1

+

∫ t

t0

∫ S1

t0

L 1a(X(S2))dW (S2)dS1

+b(X(t0))

∫ t

t0

dW (S1) +

∫ t

t0

∫ S1

t0

L 0b(X(s2))ds2dW (S1)

+

∫ t

t0

∫ t

t0

L 1b(X(S2))dW (S2)dW (S1) (47)

13

1515

Observe que:

L 0a = a(X(t))∂a

∂X(t)+

1

2b2

∂2a

∂X(t)2= aa

′+

1

2b2a′′

L 0b = a(X(t))∂b

∂X(t)+

1

2b2

∂2a

∂X(t)2= ab

′+

1

2b2b′′

L 1a = b∂a

∂X(t)= ba

′L 1b = b

∂b

∂X(t)= bb

′

En resumen, sacando los terminos constantes fuera de las integrales que aparecen en (47) setiene:

X(t) = X(t0) + a(X(t0))

∫ t

t0

dS1 + b(X(t0))

∫ t

t0

dW (S1) +R (48)

donde el residuo R lo constituye los terminos de doble integral

R =

∫ t

t0

∫ S1

t0

L 0a(X(S2))ds2dS1 +

∫ t

t0

∫ S1

t0

L 1a(X(S2))dW (S2)dS1

+

∫ t

t0

∫ S1

t0

L 0b(X(s2))ds2dW (S1) +

∫ t

t0

∫ S1

t0

L 1b(X(S2))dW (S2)dW (S1) (49)

Repitiendo el proceso anterior para otras estructuras de la funcion f como por ejemplof = L 1b se obtiene:

X(t) = X(t0)+a(X(t0))

∫ t

t0

dS1+b(X(t0))

∫ t

t0

dW (S1)+L 1b(X(t0))

∫ t

t0

∫ S1

t0

dW (S2)dW (S1)+R

(50)con residuo:

R =

∫ t

t0

∫ S1

t0

L 0a(X(S2))ds2dS1 +

∫ t

t0

∫ S1

t0

L 1a(X(S2))dW (S2)dS1

+

∫ t

t0

∫ S1

t0

L 0b(X(s2))ds2dW (S1) +

∫ t

t0

∫ S1

t0

∫ z

t0

L 0L 1b(X(u))dudW (z)dW (S1)∫ t

t0

∫ S1

t0

∫ z

t0

L 1L 1b(X(u))dW (u)dW (z)dW (S1)

(51)

En resumen, como se observa en (50) la expansion estocastica de Taylor, produce multi-ples integrales de Ito

14

1616

Multi-ındice

Un multi-ındice permite presentar de manera simplificada multiples integrales de Ito yse define como un vector fila,

α = (J1, J2, · · · , Jl)donde

Ji ∈ (0, 1, 2, · · ·m)

para i ∈ (0, 1, 2, · · · l), y m = 1, 2, 3, · · · , representa el numero de componentes del procesode Wiener considerado. La longitud de un multi-ındice se simboliza por:

l := l(α) ∈ (1, 2, · · · )

. Los mul-ındice de longitud cero se denotan por v, es decir:

l(v) = 0

.

Integrales multiples de Ito

Una integral multiple de Ito Iα [f(.)]ρ,τ , se define recursivamente como:

Iα [f(.)]ρ,r =

f(τ) l = 0∫ τρIα− [f(.)]ρ,s ds : l ≥ 1 y Jl = 0∫ τ

ρIα− [f(.)]ρ,s dW

Jls : l ≥ 1 y Jl ≥ 1

Para α = (J1, J2, · · · , Jl), con j,) l ≥ 2, se define Hα que representa el conjunto de todos

los procesos adaptados continuos por la derecha con limite por la izquierda f = f(t), t ≥ 0

tal que el proceso integralIα− [f(.)]ρ,t t ≥ 0

se considera una funcion de t que satisface

Iα− [f(.)]ρ ∈ HJl

. Con base a lo anterior se tienen algunos casos entre otros :Multi-ındice de longitud cero

Iv [f(.)]0,t = f(t)

Multi-ındice de longitud 1 sin componente de Wiener

I0 [f(.)]τi,τ i+1 =

∫ τi+1

τi

f(s)dS

Multi-ındice de longitud 1 con componente de Wiener

I1 [f(.)]ρ,τ =

∫ τ

ρ

dWS

15

1717

Multi-ındice de longitud 2 con dos componentes de Wiener

I1,1 [f(.)]0,t =

∫ t

t0

∫ s

t0

f(Z)dWZdWS

, Cuando f(t) = 1, la notacion Iα [f(.)]ρ,τ se abrevia por IαCuando las integrales multiples se integran todas con respecto al movimiento Browni-

ano, pueden expresarse de una manera mas sencilla de acuerdo al siguiente corolario, cuyademostracion se encuentra (Kloeden y Platen, 1999).

Iα,t =

1l!tl : J = 01l

(W jt Iα−,t − tI(α−)−,t

): J ≥ 1

De acuerdo al corolario anterior, las multiples integrales pueden expresarse particularmentecomo:

I(j,j) = I(1,1) =

∫ t

t0

∫ S1

t0

dW (S2)dW (S1) =1

2!

(I2(j),t − t

)I(j,j,j) = I(1,1,1) =

∫ t

t0

∫ s

τ

∫ z

τ

dW (u)dW (z)dW (s) =1

3!

(I3(j),t − 3tI(j),t

)Metodos numericos estocasticos

A continuacion se presentan los tres metodos numericos estocasticos de interes en lapresente investigacion, dichos metodos se desprenden de la expansion estocastica de Taylor.

Metodo de Euler Maruyama explıcito

El metodo de Euler Maruyama, es uno de los mas simples para aproximarse a la solucionde un proceso de Ito autonomo St, con drift a(St) y coeficiente de difusion b(St) tal como:

dSt = a(St)dt+ b(St)dWt, S(0) = S0 (52)

donde a(St) = α(t)S(t) y b(Sn) = σ(t)S(t), la estructura del metodo numerico estocasticode Euler Maruyama es:

Sn+1 = Sn + a(Sn)4n + b(Sn)4Wn (53)

n = 0, 1, 2, ....., N − 1donde S0 ∈ R, y representa el valor inicial o actual del activo subyacente, 4tn =

[tn − tn−1] y representa el tamano del paso y 4Wn = Wn −Wn−1El orden de convergencia fuerte de este metodo es 0.5, mientras el debil es de orden 1.

Una forma alterna de presentar el metodo de Euler Maruyama, en temino de multi-ındiceses:

Sn+1 = Sn + aI(0) + bI(1)

16

1818

Para aplicar el metodo de Euler Maruyama a la ecuacion diferencial estocastica (52)sobre un intervalo [0, T ] se debe discretizar el intervalo considerado, ası:4tn = T

NSi en la

ecuacion diferencial estocastica (52) se asume que α(t)yσ(t) son constantes, siendo α iguala la tasa libre de riesgo R, se llega a la ecuacion diferencial estocastica del precio del activobajo la medida de riesgo neutral (53) considerada para valorar una opcion estandar o asiaticapromedio arimetico.

dS(t) = RS(t)dt+ σS(t)dW (t) (54)

por lo tanto, en terminos del metodo numerico de Euler Maruyama se tiene que:

Sn+1 = Sn +RSn4tn + σSn4Wn, S(0) = S0 (55)

Metodo de Milstein

El metodo de Milstein, adiciona un termino al metodo de Euler Maruyama, el cual surgedel desarrollo de la expansion de Taylor estocastica; para aproximarse a la solucion de unproceso de Ito autonomo St, con drift a(St) y coeficiente de difusion b(St) tal como:

dSt = a(St)dt+ b(St)dWt, S(0) = S0 (56)

donde a(St) = α(t)S(t) y b(Sn) = σ(t)S(t), La estructura del metodo numerico estocasticode Milstein es:

Sn+1 = Sn + a(Sn)4tn+ b(Sn)4Wn =1

2b(Sn)b

′(Sn)

[(4Wn)2 −4tn

](57)

n = 0, 1, 2, ....., N − 1donde S0 ∈ R, y representa el valor inicial o actual del activo subyacente,4tn = [tn − tn−1]

y representa el tamano del paso y 4Wn = Wn −Wn−1El orden de convergencia fuerte de este metodo es 0.5, mientra el debil es de orden 1.Una forma alterna de presentar el metodo numerico estocastico de Milsteın, en terminos

de multi-ındices es:Sn+1 = Sn + aI(0) + bI(1) + bb

′I(1,1)

Para aplicar el metodo de Milstein a la ecuacion diferencial estocastica (56) sobre unintervalo [0, T ] se debe discretizar el intervalo considerado, ası:4n = T

N.

Si en la ecuacion diferencial estocastica (56) se asume que α(t)yσ(t) son constantes,siendo α igual a la tasa libre de riesgo R, se llega a la ecuacion diferencial estocastica delprecio del activo bajo la medida de riesgo neutral (58) considerada para valorar una opcionestandar o asiatica promedio arimetico.

dS(t) = RS(t)dt+ σS(t)dW (t) (58)

En terminos del metodo numerico de Milstein se tiene que a(Sn) = RS(n) y b(Sn) =σS(n), por lo cual la ecuacion (59) es la que se debe resolver a traves del metodo de Milstein

17

1919

Sn+1 = Sn +RSn4tn+ σSn4Wn +1

2b(Sn)b

′(Sn)

[(4Wn)2 −4tn

](59)

Si b′(sn) = 0, entonces el esquema de Milstein coincide con el metodo de Euler Maruyama

Expansion estocastica de Taylor 1.5

. El metodo de numerico estocastico de Taylor 1.5, adiciona una serie de terminos almetodo de Milstein, los cuales surgen del desarrollo de la expansion estocastica de Taylor,para aproximarse a la solucion de un proceso de Ito autonomo St, con drift a(St) y coeficientede difusion b(St) tal como:

dSt = a(St)dt+ b(St)dWt, S(0) = S0 (60)

donde a(St) = α(t)S(t) y b(Sn) = σ(t)S(t)la estructura del metodo numercio estocastico de Taylor 1.5 en terminos de multi-ındices

es:

Sn+1 = Sn+aI(0)+bI(1)+bb′I(1,1)+(aa

′+

1

2b2a

′′I(0,0)+a

′bI(1,0)+(ab

′+

1

2b2b

′′I(0,1)+b((b

′)2+bb′′)I(1,1,1)

(61)n = 0, 1, 2, ....., N − 1donde S0 ∈ R, y representa el valor inicial o actual del activo subyacente, 4tn =

[tn − tn−1] y representa el tamano del paso y 4Wn = Wn −Wn−1El orden de convergencia fuerte de este metodo es 1.5, mientra el debil es de orden 2Para aplicar el metodo estocastico de Taylor 1.5 a la ecuacion diferencial estocastica (60)

sobre un intervalo [0, T ] se debe discretizar el intervalo considerado, ası:4tn = TN

Si en laecuacion diferencial estocastica (60) se asume que αyσ son constantes, siendo α igual a latasa libre de riesgo R, se llega a la ecuacion diferencial estocastica del precio del activo bajola medida de riesgo neutral (62) considerada para valorar una opcion estandar o asiaticapromedio arimetico.

dS(t) = RS(t)dt+ σS(t)dW (t) (62)

En terminos del metodo numerico estocastico de Taylor 1.5 a = a(Sn) = RS(n) y b =b(Sn) = σS(n), por lo cual la ecuacion (63) es la que se debe resolver a traves del metodode Milstein

18

2020

Sn+1 = Sn + a4n + b4Wn +1

2bb

′ [(4Wn)2 −4n

]ba

′4zn +1

2[aa

′+

1

2b2a”]42

n[ab

′]

+1

2

[b2b”

][4Wn4n −4zn]

1

2b[bb” + (b

′)2] [1

3[4Wn]2 −4n

]4Wn (63)

4. Metodologıa

Se parte de un proceso estocastico unidimensional St, definido sobre un intervalo detiempo [t0, T ], el cual satisface la siguiente ecuacion diferencial estocastica que modela ladinamica del precio St de un activo bajo la medida de riesgo neutral.

dS(t) = R(t)S(t)dt+ σ(t)S(t)dW (t) (64)

Con condicion inicial, S0 = S0. Se asume que la tasa de interes libre de riesgo R(t) yla volatilidad σ(t) son constantes. La ecuacion diferencial anterior, se soluciona aplicandolos metodos numericos estocasticos de Euler Maruyamma, Milstein y Taylor 1.5, con laaproximacion fuerte.

Los pasos para la obtencion de los resultados se describen a continuacion

Como intervalo de analisis se toma un periodo de tiempo de 0 a 1, el cual se particionaen pasos de 2−12

Se simulan 10000 trayectorias conducidas por un movimiento Browniano geometrico,asumiendo un valor inicial del subyacente, S0= 42, una tasa de interes libre de riesgodel 5 % y una volatilidad del 10 % .

Para cada realizacion se calcula el valor intrınseco de la opcion, es decir ; St − K,cuando la opcion es estandar y Max(S(T )−K, 0)+ si la opcion es promedio aritmetcioestrike fijo, para la simulacion se utiliza K = 40

Se promedian los 10000 valores intrınsecos obtenidos; tanto para opciones estandarcomo para opciones asiaticas promedio aritmetcio estrike fijo.

Se calcula el valor presente del promedio anterior, el cual proporciona el valor de laopcion estandar y de la opcion asiatica promedio aritmetico.

19

2121

5. Resultados

Los resultados de la tabla 1, muestran la valoracion de una opcion estandare BS alaplicar los metodos numericos estocasticos de Euler Maruyama, Milstein y Taylor 1.5 y laformula de Black-Scholes. Como se observa, los valores de la prima proporcionados por losdiferentes metodos numericos se aproximan a los arrojados por la formula de Black-Scholes,aunque los tiempos de aproximacion difieren, siendo el mas rapido el de Euler Maruyama y elmenos rapido el de Taylor 1.5, en este sentido los resultados sugieren que el metodo numericoestocastico de Euler Maruyama es el mas eficiente y recomendable en los mercados financierosdonde cada vez se requiere mayor rapidez en la toma de decisione dada las dinamicas en estetipo de mercados. Con relacion a la valoracion de la opcion asiatica promedio aritmetico, sevalida lo que sugiere la teorıa para este tipo de opciones que es mas barata que una opcionestandar, pues equivale aproximadamente al 69 % del precio de dicha opcion. Dado que laopcion asiatica no tiene una solucion explıcita, los metodos numericos estocasticos muestranuna diferencia fundamentalmente en terminos del tiempo, siendo Taylor 1.5 extremadamentecostosa en terminos del tiempo computacional asociado por la complejidad del metodo frentea Euler Maruyama y Milstein, como lo muestra tabla 1, el tiempo requerido por el metodonumerico de Taylor 1.5 es 68 veces mas que el requerido por Euler Maruyama y Milstein.

Metodo BS Asiatica tiempo en segundos

Euler Maruyama 4.3390 3.021 6.087409Milstein 4.339 3.021 6.327861

Taylor 1.5 4.339 3.021 433.7122Formula BS 4.2914 - -

Tabla 1: Valoracion de Opciones Estandar y Promedio Aritmetico

6. Conclusiones

En este trabajo se presentaron tres metodos numericos estocasticos para la valoracionde una opcion call estandar y una opcion call asiaticas promedio aritmetico europea estrikefijo. Los resultados no difieren en el valor de la prima para una opcion call estandar yla call asiatica por la semilla utilizada en la generacion de los numeros aleatorios de talmanera que permitiera su replicacion. Un aspecto importante en estas conclusiones son losaltos costos computacionales para la valoracion de opciones en que incurre el metodos deTaylor 1.5, frente a Euler Maruyama y Milstein dada su compleja estructura matematica.La similitud en el valor de la prima de la opcion estandar y asiatica arrojado por los tresmetodos numerico estocasticos utilizados, no permite justificar el costo computacional en quese incurre al utilizar el metodo Taylor estocastico 1.5. Una limitacion del presente trabajoes la imposibilidad de contrastar los resultados obtenidos con su contraparte real dado quelas opciones asiaticas se transan en el mercado Over the counter.

20

2222

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of asian options (Tesis Doctoral no publicada). Citeseer.

A. Apendice 1

Algoritmo 1: Metodo Numerico Estocastico de Euler Maruyama para OpcionesEstandar y Asiaticas en Matlab

clear all

clc

tic

randn('state ' ,2^31 -1);

T = 1; N = 2^12; dt = T/N; t = [dt:dt:1];

Xzero =42;

K=40;

r=0.05;

sigma =0.10;

M = 10000;

dW = sqrt(dt)*randn(M,N);

Xtemp = Xzero;

Xem = zeros(M,N);

for i = 1:M

for j = 1:N

Xem(i,j)= Xtemp+dt*r*Xtemp+sigma*Xtemp*dW(i,j);

Xtemp = Xem(i,j);

end

23

2525

Xtemp = Xzero;

end

Maruyama = Xem(:,end);

pagomaruya = max((Maruyama -K) ,0);

callmaruyama = exp(-r*T)*mean(pagomaruya);

desvia = std(pagomaruya); % desviaci on est andar Montecarlo

Xtrueasm = mean(Xem ,2); %promedio por filas

pagoasm= max((Xtrueasm -K) ,0);

Callnuas= exp(-r*T)*mean(pagoasm); %valor prima Asi atica

desviaasm= std(pagoasm); % desviaci on est andar asi atica

toc

B. Apendice 2

Algoritmo 2: Metodo Numerico Estocastico de Milstein para Opciones Estandary Asiaticas en Matlab

clear all

clc

tic

randn('state ' ,2^31 -1);

T = 1; N = 2^12; dt = T/N; t = [dt:dt:1];

Xzero =42;

K=40;

r=0.05;

sigma =0.10;

M = 10000;

dW = sqrt(dt)*randn(M,N);

Xtemp = Xzero;

Xem = zeros(M,N);

for i = 1:M

for j = 1:N

Xem(i,j)= Xtemp+dt*r*Xtemp+sigma*Xtemp*dW(i,j) ...

+0.5* sigma*sigma*(dW(i,j).^2-dt);

Xtemp = Xem(i,j);

end

Xtemp = Xzero;

end

Milstein = Xem(:,end);

pagomilstein = max((Milstein -K) ,0);

callmiltein = exp(-r*T)*mean(pagomilstein);

24

2626

desviamil = std(pagomilstein); % desviaci on est andar Montecarlo

Xtrueasmil = mean(Xem ,2); %promedio por filas

pagoasmil= max((Xtrueasmil -K) ,0);

Callnuasmil= exp(-r*T)*mean(pagoasmil); %valor prima Asi atica

desviaasmil= std(pagoasmil); % desviaci on est andar asi atica

toc

C. Apendice 3

Algoritmo 3: Metodo Numerico Estocastico de Taylor 1.5 para Opciones Estandary Asiaticas en Matlab

clear all

clc

tic

randn('state ' ,2^31 -1);

T = 1; N = 2^12; dt = T/N; t = [dt:dt:1];

Xzero =42;

K=40;

r=0.05;

sigma =0.10;

M = 10000;

dW = sqrt(dt)*randn(M,N);

dV = sqrt(dt)*randn(M,N);

Xtemp = Xzero;

Xem = zeros(M,N);

for i = 1:M

for j = 1:N

dZ(i,j) = (1/2)*dt*(dW(i,j)+(dV(i,j)/sqrt (3)));

Xem(i,j)=Xtemp + r*Xtemp*dt + sigma*Xtemp*dW(i,j) + 0.5*

sigma*sigma *(dW(i,j).^2-dt) ...

+ r*sigma*Xtemp*dZ(i,j) + (1/2)*r*r*Xtemp*dt^2 ...

+ (r*sigma*Xtemp)*(dW(i,j)*dt - dZ(i,j))...

+ (1/2)*sigma*Xtemp*(sigma*sigma)*((1/3)*dW(i,j).^2 - dt)*

dW(i,j);

Xtemp = Xem(i,j);

end

Xtemp = Xzero;

end

Taylor = Xem(:,end);

pagoTaylor = max((Taylor -K) ,0);

25

2727

CallTaylor = exp(-r*T)*mean(pagoTaylor);

desviatay = std(pagoTaylor); % desviaci on est andar Montecarlo

Xtrueastay = mean(Xem ,2); %promedio por filas

pagoastay= max((Xtrueastay -K) ,0);

Callnuastay= exp(-r*T)*mean(pagoastay); %valor prima Asi atica

desviaastay= std(pagoastay); % desviaci on est andar asi atica

toc

26

2828