Dirac's Representation Theory as a Framework for Signal Theory

33
physics/9911019 11 Nov 1999

Transcript of Dirac's Representation Theory as a Framework for Signal Theory

phys

ics/

9911

019

11

Nov

199

9

3XEOLVKHG�LQ�$QQDOV�RI�3K\VLFV��1<���������������������

'LUDF¶V�5HSUHVHQWDWLRQ�7KHRU\DV�D�)UDPHZRUN�IRU�6LJQDO�7KHRU\��,,�

�,QILQLWH�'XUDWLRQ�DQG�&RQWLQXRXV�6LJQDOV

$OH[DQGHU�*HUVWHQ'HSDUWPHQW�RI�3K\VLFV�

DQG�8QLW�RI�%LRPHGLFDO�(QJLQHHULQJ��DQG�=ORWRZVNL�&HQWHU�IRU�1HXURVFLHQFH�%HQ�*XULRQ�8QLYHUVLW\�RI�WKH�1HJHY����������%HHU�6KHYD��������,VUDHOH�PDLO��JHUVWHQ#EJXPDLO�EJX�DF�LO

5HYLVHG�YHUVLRQ�-XO\���������

$EVWUDFW,Q� WKH� SUHFHGLQJ� SDSHU� >�@�ZH� GHDOW�ZLWK� GLVFUHWH� VLJQDOV� RI� ILQLWH� GXUDWLRQ��+HUH�ZHJHQHUDOL]H�SUHYLRXV�UHVXOWV�DQG�GHPRQVWUDWH�WKDW�WKH�'LUDF�UHSUHVHQWDWLRQ�WKHRU\�FDQ�EHHIIHFWLYHO\� DGMXVWHG� DQG� DSSOLHG� WR� FRQWLQXRXV� RU� GLVFUHWH� VLJQDOV� RI� LQILQLWH� WLPHGXUDWLRQ��7KH�UROH�RI�WKH�LGHQWLW\�DQG�SURMHFWLRQ�RSHUDWRUV�LV�HPSKDVL]HG��7KH�VDPSOLQJWKHRUHP�LV�YLHZHG�IURP�WKH�SRLQW�RI�YLHZ�RI�RUWKRJRQDO�SK\VLFDO�VWDWHV��$Q�RUWKRJRQDOEDVLV�ZKLFK�VSDQQHG�WKH�WLPH�VSDFH��FHDVHV�WR�EH�RUWKRJRQDO�DQG�EHFRPHV�RYHUFRPSOHWHLI� WKH� GRPDLQ� RI� IUHTXHQFLHV� LV� UHVWULFWHG� LQ� D� EDQGZLGWK�� ,Q� WKLV� FDVH� WKHUH� H[LVWV� DQLQILQLWH�QXPEHU�RI��VXE�EDVHV�RI�GLVFUHWH�WLPHV�ZKLFK�DUH�RUWKRJRQDO�DQG�FRPSOHWH��7KHUHODWLRQ� EHWZHHQ� WKH� RYHUFRPSOHWH� EDVHV� DQG� D� FRPSOHWH� RQH� LV� WKH� HVVHQFH� RI� WKHVDPSOLQJ� WKHRUHP�� 7KH� VLJQDO� WKHRU\� LV� UHIRUPXODWHG� LQ� WKH� IUDPHZRUN� RI� WKH� 'LUDFEUD�NHWV��7KH�FDVH�RI�VLJQDOV�H[LVWLQJ�IRU�SRVLWLYH�WLPH�LV�WUHDWHG�LQ�GHWDLO� �

����,QWURGXFWLRQ

7KH�XVXDO�DSSURDFK� WR� VLJQDO� WKHRU\� LV� WR� VWDUW�ZLWK� WKH� FRQWLQXRXV� FDVH� DQG� WUHDW� WKHGLVFUHWH� ILQLWH� RQH� DV� DQ� DSSUR[LPDWLRQ�� ,Q� WKH� SUHFHGLQJ� SDSHU� >�@�� ZKLFK� ZH� ZLOOGHQRWH�E\�>,@��ZH�KDYH�DGRSWHG�D�GLIIHUHQW�DSSURDFK�IRU�WKH�IROORZLQJ�UHDVRQV�����,Q�SUDFWLFH�WKH�GDWD�DUH�FROOHFWHG�LQ�ILQLWH�GLVFUHWH�VHTXHQFHV�>�@������7KH�GLVFUHWH�ILQLWH�FDVH�KDV�LWV�RZQ�SHFXOLDULWLHV��GLIIHUHQW�IURP�WKH������FRQWLQXRXV��FDVH��0RUHRYHU��WKHUH�DUH�VHYHUDO��SRVVLEO\�PDQ\��GLVFUHWH�FDVHV�IRU������HDFK��FRQWLQXRXV�FDVH��7KH�FRQWLQXRXV�FDVH��LI�LW�H[LVWV��LV�D�FRPPRQ�OLPLW�RI������GLIIHUHQW��GLVFUHWH�FDVHV�>���@����7KH�WUDQVLWLRQ�WR�WKH�FRQWLQXRV�FDVH�LV�PRUH�FRPSOLFDWHG��DV�WKH�OLPLWV�FDQ�EH����GLVWULEXWLRQV��JHQHUDOL]HG�IXQFWLRQV��>���@����������0RVW�RI�WKH�GHYHORSPHQWV�LQ�WKLV�SDSHU�DUH�EDVHG�RQ�WKH�DVVXPSWLRQ�RI�'LUDF�>�@�PDGH�LQ�������WKDW�D�JLYHQ�VHOI�DGMRLQW�RSHUDWRU� �A �FDQ�EH�SUHVHQWHG�DV

�( � )

A dA

= ∫σ

α α α α �����������������������������������������������

ZKHUH�� �A α α α= ��DQG�σ( � )A LV�WKH�VSHFWUXP�RI� �A ��'LUDF�DVVXPHG�WKDW�DOO�SURSHUWLHVRI� KHUPLWHDQ� RSHUDWRUV� RQ� ILQLWH� GLPHQVLRQDO� YHFWRU� VSDFHV� FDQ� EH� H[WHQGHG� � DQG� EHYDOLG�LQ�LQILQLWH�GLPHQVLRQDO�+LOEHUW�VSDFHV�HYHQ�IRU�XQERXQGHG�VHOI�DGMRLQW�RSHUDWRUV�$� IXOO�PDWKHPDWLFDO� MXVWLILFDWLRQ�RI� WKH�'LUDF� IRUPDOLVP�FDPH�RQO\� DERXW� WKLUW\� \HDUVODWHU��$W�WKH�EHJLQQLQJ�WKH�IRUPDOLVP�ZDV�VHYHUHO\�FULWLFL]HG�E\�PDWKHPDWLFLDQV��������9RQ� 1HXPDQQ� LQ� WKH� SUHIDFH� WR� KLV� ����� IXQGDPHQWDO� ERRN� >�@�� ³0DWKHPDWLFDO)RXQGDWLRQV�RI�4XDQWXP�0HFKDQLFV´�ZURWH��³'LUDF��LQ�VHYHUDO�SDSHUV��DV�ZHOO�DV�LQ�KLVUHFHQWO\�SXEOLVKHG�ERRN�� ��KDV�JLYHQ�D� UHSUHVHQWDWLRQ�RI�TXDQWXP�PHFKDQLFV�ZKLFK� LVVFDUFHO\� WR� EH� VXUSDVVHG� LQ� EUHYLW\� DQG� HOHJDQFH�� DQG� ZKLFK� LV� DW� WKH� VDPH� WLPH� RILQYDULDQW�FKDUDFWHU���,W�LV�WKHUHIRUH�SHUKDSV�ILWWLQJ�WR�DGYDQFH�D�IHZ�DUJXPHQWV�RQ�EHKDOIRI�RXU�PHWKRG��ZKLFK�GHYLDWHV�FRQVLGHUDEO\�IURP�WKDW�RI�'LUDF�������7KH�PHWKRG�RI�'LUDF��PHQWLRQHG�DERYH���DQG�WKLV�LV�RYHUORRNHG�WRGD\�LQ�D�JUHDWSDUW� RI� TXDQWXP�PHFKDQLFDO� OLWHUDWXUH�� EHFDXVH� RI� WKH� FODULW\� DQG� HOHJDQFH� RI� WKHWKHRU\�� LQ� QR� ZD\� VDWLVILHV� WKH� UHTXLUHPHQWV� RI� PDWKHPDWLFDO� ULJRU� ��� QRW� HYHQ� LIWKHVH�DUH�UHGXFHG�LQ�D�QDWXUDO�DQG�SURSHU�IDVKLRQ�WR�WKH�H[WHQW�FRPPRQ�HOVHZKHUH�LQ

�WKHRUHWLFDO� SK\VLFV�� � )RU� H[DPSOH�� WKH� PHWKRG� DGKHUHV� WR� WKH� ILFWLRQ� WKDW� HDFKVHOI�DGMRLQW�RSHUDWRU�FDQ�EH�SXW�LQ�GLDJRQDO�IRUP���,Q�WKH�FDVH�RI�WKRVH�RSHUDWRUV�IRUZKLFK� WKLV� LV� QRW� DFWXDOO\� WKH� FDVH�� WKLV� UHTXLUHV� WKH� LQWURGXFWLRQ� RI� ³LPSURSHU�IXQFWLRQV�ZLWK� VHOI�FRQWUDGLFWRU\�SURSHUWLHV�� �7KH� LQVHUWLRQ�RI� VXFK� D�PDWKHPDWLFDO�ILFWLRQ�� LV� IUHTXHQWO\� QHFHVVDU\� LQ�'LUDF¶V� DSSURDFK�� HYHQ� WKRXJK� WKH� SUREOHP� DWKDQG� LV� PHUHO\� RQH� RI� FDOFXODWLQJ� QXPHULFDOO\� WKH� UHVXOW� RI� D� FOHDUO\� GHILQHGH[SHULPHQW��7KHUH�ZRXOG� EH� QR� REMHFWLRQ� KHUH� LI� WKHVH� FRQFHSWV��ZKLFK� FDQQRW� EHLQFRUSRUDWHG�LQWR�WKH�SUHVHQW�GD\�IUDPHZRUN�RI�DQDO\VLV��ZHUH�LQWULQVLFDOO\�QHFHVVDU\IRU� WKH� SK\VLFDO� WKHRU\�� 7KXV�� DV� 1HZWRQLDQ� PHFKDQLFV� ILUVW� EURXJKW� DERXW� WKHGHYHORSPHQW� RI� WKH� LQILQLWHVLPDO� FDOFXOXV�� ZKLFK�� LQ� LWV� RULJLQDO� IRUP�� ZDVXQGRXEWHGO\� QRW� VHOI� FRQVLVWHQW�� VR� TXDQWXP� PHFKDQLFV� PLJKW� VXJJHVW� D� QHZVWUXFWXUH� IRU� RXU� �DQDO\VLV� RI� LQILQLWHO\� PDQ\� YDULDEOHV�� ��� L�H��� WKH� PDWKHPDWLFDOWHFKQLTXH�ZRXOG�KDYH�WR�EH�FKDQJHG��DQG�QRW�WKH�SK\VLFDO�WKHRU\���%XW�WKLV�LV�E\�QRPHDQV� WKH� FDVH�� � ,W� VKRXOG� UDWKHU� EH� SRLQWHG� RXW� WKDW� WKH� TXDQWXP� PHFKDQLFDO7UDQVIRUPDWLRQ� WKHRU\�� FDQ� EH� HVWDEOLVKHG� LQ� D�PDQQHU�ZKLFK� LV� MXVW� DV� FOHDU� DQGXQLILHG��EXW�ZKLFK�LV�DOVR�ZLWKRXW�PDWKHPDWLFDO�REMHFWLRQV���,W�VKRXOG�EH�HPSKDVL]HGWKDW� WKH� FRUUHFW� VWUXFWXUH� QHHG� QRW� FRQVLVW� LQ� D� PDWKHPDWLFDO� UHILQHPHQW� DQGH[SODQDWLRQ� RI� WKH� 'LUDF� PHWKRG�� EXW� UDWKHU� WKDW� LW� UHTXLUHV� D� SURFHGXUH� GLIIHULQJIURP�WKH�YHU\�EHJLQQLQJ��QDPHO\��WKH�UHOLDQFH�RQ�WKH�+LOEHUW�WKHRU\�RI�RSHUDWRUV�´������7KH�DERYH�FLWDWLRQ�ZDV�ZULWWHQ�EHIRUH�WKH�LQYHQWLRQ�RI�GLVWULEXWLRQV�>�F@�>�G@�LQWKH� ����¶V��7KH� WKHRU\� RI� GLVWULEXWLRQV� JDYH� QHZ� LQVLJKW� LQWR� WKH�'LUDF� IRUPDOLVPDQG� UHOLHYHG� LW� IURP� WKH� DFFXVDWLRQ� RI� XVLQJ� LPSURSHU� IXQFWLRQV�� $� FRPSOHWHMXVWLILFDWLRQ�RI�WKH�'LUDF�IRUPDOLVP�ZDV�JLYHQ�E\�*HO¶IDQG�>�����@��ZKR�LQWURGXFHGWKH� ULJJHG� +LOEHUW� VSDFH� DQG� WKH� JHQHUDOL]HG� HLJHQYHFWRUV� >�����@�� :LWKLQ� WKHIUDPHZRUN�RI�WKLV�WKHRU\��HT��������LV�IXOO\�MXVWLILHG�DQG�FDQ�EH�DSSOLHG�LQ�D�VLPSOHPDQQHU��ZKLFK�JHQHUDOLVHV�WKH�ILQLWH�GLPHQVLRQDO�UHVXOWV�RI�SDSHU�>,@��7KH�WKHRU\�RI*HO¶IDQG� LV� DOVR� WKH� EDVLV� RI� D[LRPDWLF� TXDQWXP� ILHOG� WKHRU\� >��@� DQG�ZDV� IXUWKHUDGDSWHG�DQG�HODERUDWHG�LQ�RUGHU�WR�GHVFULEH�PRUH�SODLQO\�TXDQWXP�PHFKDQLFV�LQ�WKH'LUDF�IRUPDOLVP�>�����@������,Q�WKH�WUHDWPHQW�RI�WKH�ILQLWH�GLVFUHWH�VLJQDOV�ZH�XVHG�WKH�EUD�NHW�IRUPDOLVP�>�@�DQGNHW� EDVHV� WR� GHVFULEH� WKH� WUDQVLWLRQ� IURP� VLJQDOV� UHSUHVHQWHG� E\� WLPH� SRLQWV� WR� WKHLU

�IUHTXHQF\�UHSUHVHQWDWLRQ��$V�D�JXLGHOLQH�ZH�XVHG�WKH�RUWKRQRUPDOLW\�FRQGLWLRQ��ZKLFK�LVWKH� FRQGLWLRQ� WKDW� SK\VLFDO� VWDWHV� �HLJHQVWDWHV� RI� VHOI�DGMRLQW� RSHUDWRUV�� VDWLVI\� LQTXDQWXP�PHFKDQLFV��LQ�RQH�GLPHQVLRQ��DQG� IRU�GLIIHUHQW�HLJHQYDOXHV���7KH�SHFXOLDULW\RI� XVLQJ� NHW�YHFWRUV� DQG�QRW�ZDYHIXQFWLRQV� LV� WKDW� RUWKRJRQDOLW\� FDQ� EH� HPSOR\HG� �DWOHDVW� IRU� WKH�SUREOHPV�RI� WKLV�SDSHU���ZLWKRXW� WKH�QHHG� WR� H[SOLFLWO\� UHIHU� WR� ERXQGDU\FRQGLWLRQV��2QH�RI� WKH� UHDVRQV� LV� WKDW�ZDYHIXQFWLRQV� LQ�+LOEHUW� VSDFH� DUH� UHTXLUHG� WRYDQLVK�DW�VSDFH�LQILQLW\��ZKLOH�IRU�NHW�YHFWRUV��LQ�WKH�ULJJHG�+LOEHUW�VSDFH��VSDFH�LQILQLW\LV�D�UHJXODU�SRLQW��:H�FRQWLQXH�KHUH�WKH�VDPH�DSSURDFK�DQG�FRQVLGHU��IRU�H[DPSOH��WKHVDPSOLQJ�WKHRUHP�IURP�WKLV�SRLQW�RI�YLHZ��DQG�ZH�ILQG�WKDW�WKH�XVH�RI�RUWKRJRQDOLW\�DQGSURMHFWLRQ� RSHUDWRUV� OHDG� XV� WR� XQGHUVWDQG� WKH� VDPSOLQJ� WKHRUHP� DV� FRPLQJ� IURP� DUHODWLRQ� EHWZHHQ� DQ� RYHUFRPSOHWH� QRQ�RUWKRJRQDO� EDVLV� DQG� DQ� RUWKRQRUPDO� FRPSOHWHRQH��2WKHU�DVSHFWV�RI�VLJQDO�WKHRU\�DUH�WUHDWHG�DV�ZHOO�LQ�WKH�EUD�NHW�IRUPDOLVP������,Q� WKLV� SDSHU�ZH� LQWURGXFH� WKH�'LUDF� UHSUHVHQWDWLRQ� DV� D� IUDPHZRUN� RU� D� EDVLV� IRUVLJQDO� WKHRU\��$V� WKH� VXEMHFW� LV� TXLWH� EURDG�ZH�ZLOO� FRQFHQWUDWH� LQ� WKH� SDSHU� RQO\� RQWKHRUHWLFDO� FRQVLGHUDWLRQV� EDUHO\� WRXFKLQJ� DSSOLFDWLRQV�� OHDYLQJ� WKHP� IRU� QH[WSXEOLFDWLRQV�

��7KH�LQILQLWH�GLPHQVLRQDO�'LUDF�VSDFH �

,Q�SDSHU�>,@�ZH�FRQVLGHUHG�D�EDVLV�ZLWK�D�GLVFUHWH�DQG�ILQLWH�LQGH[��7KH�WUHDWPHQW�RI�WKHEDVLV�ZLWK�D�FRQWLQXRXV�LQGH[�LV�PRUH�LQYROYHG��)RU� WKH�FRQWLQXRXV�FDVH� WKH�NHW�EDVLV�,�����FDQ�EH�JHQHUDOL]HG�WR�D�NHW�EDVLV�ODEHOHG�E\�WKH�WLPH�W��

W ���ZKHUH��− ∞ ≤ ≤ ∞t �����������������������������������������������D�ZLWK�WKH�GXDO��EUD�VSDFH�

W ���ZKHUH��− ∞ ≤ ≤ ∞t �����������������������������������������������E�IRU�ZKLFK�WKHUH�H[LVWV�WKH�VFDODU�SURGXFW��LQ�WHUPV�RI�GLVWULEXWLRQV�>���@��

( )W W W W′ = − ′δ �������������������������������������������������������ZKHUH�δ�LV�WKH�'LUDF�GHOWD�IXQFWLRQ��VHH�$SSHQGL[�$���7KH�LGHQWLW\�RSHUDWRU�QRZ�WDNHVWKH�IROORZLQJ�IRUP�

�

�I t t dt=−∞

∞

∫ ������������������������������������������������������

(TXDWLRQV���������GHILQH�WKH�ODUJHVW�'LUDF�VSDFH�IRU�FRQWLQXRXV�VLJQDOV��,Q�D�ZD\�VLPLODUWR�HT���,�������D�NHW�YHFWRU�DQG�D�EUD�YHFWRU� LQ� WKLV�VSDFH��D�ULJJHG�+LOEHUW�VSDFH���ZLOOKDYH�WKH�PRVW�JHQHUDO�H[SDQVLRQ�ZLWK�WKH�EDVHV�����D��DQG�����E���LQ�WKH�IRUP�

( ) ( )( )X X W W GW X X W W GW= =−∞

∞

−∞

∞∗

∫ ∫, �����������������������������

UHVSHFWLYHO\��ZKHUH�X�W��DUH�WKH�H[SDQVLRQ�FRHIILFLHQWV��ZKLFK�FDQ�EH�GLVWULEXWLRQV��)URPWKH�RUWKRQRUPDOLW\�FRQGLWLRQ��������RQH�JHWV�

( )( )W X X W X W X W= = ∗( ), �����������������������������������������

/HW�XV�WDNH�DV�DQ�H[DPSOH�WKH�VLJQDO�I�W�� ��ZKLFK�FDQ��EH�FRQVLGHUHG�DV�D�NHW� I �ZLWKSURMHFWLRQV�LQWR�WKH�RUWKRQRUPDO�EDVLV� W � �L�H�� WKH�FRPSRQHQWV��HTXDO� WR� WKH�YDOXHV�RIWKH�IXQFWLRQ��L�H��

W I I W= ( ) ������������������������������������������������������,Q� WKH�'LUDF� VSDFH� RQH� FDQ� GHILQH� RWKHU� RUWKRQRUPDO� NHW�EDVHV�� DPRQJ� WKHP� WKH� RQHODEHOHG�ZLWK�WKH�DQJXODU�IUHTXHQF\�ω�� ω ��,WV�WUDQVLWLRQ�WR�WKH�W�EDVLV�LV�REWDLQHG�YLD�WKHPDWUL[�HOHPHQWV�VLPLODU�WR�HT���,������

W H i tωπ

ω= 1

2, ����������������������������������������������������

IURP�ZKLFK�ZH�FDQ�JHW�WKDW

ωπ

ω=−∞

∞

∫1

2e t dti t �������������������������������������������������

7KH�QRUPDOL]DWLRQ�LQ�HT��������ZDV�VR�FKRVHQ�WR�HQVXUH�WKH�RUWKRQRUPDOLW\�FRQGLWLRQ( ) ( )ω ω

πδ ω ωω ω′ = = − ′

−∞

∞− ′∫

1

2e dti t ����������������������������������

$V�WKH�ω�EDVLV�VSDQV�WKH�VDPH�'LUDF�VSDFH�DV�WKH�W�EDVLV��WKH�LGHQWLW\�RSHUDWRU�VDWLVILHV��I t t dt d= =

−∞

∞

−∞

∞

∫ ∫ ω ω ω ����������������������������������������

6LPLODU�WR�HT���,������ZH�FDQ�LQWURGXFH�WKH�DQJXODU�IUHTXHQF\�RSHUDWRU�

�

�ω ω ω ω ω=−∞

∞

∫ d ������������������������������������������

KDYLQJ�WKH�IROORZLQJ�SURSHUWLHV� , � , � .ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω= = =n n ���������������������������������

8VLQJ�HTV���������DQG���������RQH�FDQ�SURYH�WKDW

( ) ( )W L X W L X G L W X G

L H X G GGW W X G G

GW W Xi t

� �

,

ω ω ω ω ω ω ω ω ω

πω ω ω ω ω ωω

= =

= = =

−∞

∞

−∞

∞

−∞

∞

−∞

∞

∫ ∫

∫ ∫1

2

��������������������������

L�H��LQ�WKDW�VHQVH�WKH� L �ω RSHUDWRU�FDQ�EH�FRQVLGHUHG�DV�WKH�WLPH�GHULYDWLYH�RSHUDWRU�����/HW�XV�LQWURGXFH�WKH�WLPH�RSHUDWRU�

�t t t t dt=−∞

∞

∫ ������������������������������������������������������������

KDYLQJ�WKH�IROORZLQJ�SURSHUWLHV� , � , �t t t t t t t t t t t tn n= = = ����������������������������������������

,Q�D�ZD\�VLPLODU�WR�WKH�GHULYDWLRQ�RI�HT���������ZH�FDQ�JHW�

( )ωω

ω− =it ud

du� �����������������������������������������������

)URP�HT��������ZH�REWDLQ− =i

d

dtt tω ω ω ������������������������������������������������

DQG�PRUH�JHQHUDOO\��UHZULWLQJ�HT���������− =i

d

dtt u t u�ω �������������������������������������������������

L�H��DFFRUGLQJ�WR�HTV���������DQG��������RQH�FDQ�FRQVLGHU�WKH�RSHUDWRU− ≡i

d

dt

�ω ��������������������������������������������������������DOVR� DV� WKH� DQJXODU� IUHTXHQF\� RSHUDWRU�� 7KH� GLIIHUHQFH� EHWZHHQ� WKH� RSHUDWRUV� RI� HT��������DQG�HT���������LV�WKDW�WKH�RSHUDWRU� �ω LV�DQ�LQILQLWH�GLPHQVLRQDO�PDWUL[�LQ�WKH�'LUDFVSDFH��ZKLOH�WKH�RSHUDWRU� �ω DFWV�LQ�WKH�VSDFH�RI�IXQFWLRQV��,Q�WKH�IROORZLQJ�ZH�ZLOO�GHDOPRVWO\�ZLWK�RSHUDWRUV�LQ�WKH�'LUDF�VSDFH�

����&RQWLQXRXV�6SHFWUDO�$QDO\VLV

7KH�VSHFWUDO�GHFRPSRVLWLRQ�RI�D�WLPH�GHSHQGHQW�VLJQDO�I�W��LV�JLYHQ�E\�LWV�)RXULHUWUDQVIRUP�

( )) H I W GWitωπ

ω= −

−∞

+∞

∫12

( ) �����������������������������������������������

ZKLOH�WKH�LQYHUVH�UHODWLRQ�LV�

I�W� ( )��π

ω ω ωe F dit

−∞

+∞

∫ �������������������������������������

+HUH�ZH�ZLOO�XWLOL]H�WKH�'LUDF�EUD�NHW�IRUPDOLVP�>�@���DJDLQ��LQ�WKH�ULJJHG�+LOEHUW�VSDFH>��@���IRU�VSHFWUDO�DQDO\VLV��,Q�SUDFWLFH�WKH�GDWD�DUH�FROOHFWHG�LQ�ILQLWH�VDPSOLQJV��,Q�WKLVVHFWLRQ��IRU�PHWKRGRORJLFDO�UHDVRQV��ZH�ZLOO�FRQILQH�RXUVHOYHV�WR�FRQWLQXRXV�VLJQDOV��������:H� ZLOO� GHQRWH� WKH� VLJQDO� IXQFWLRQ� I�W�� DV� D� EUD�NHW� W I �� 7KXV� WKH� VLJQDO� LVFRQVLGHUHG�WR�EH�DQ�DEVWUDFW�NHW�YHFWRU��VWDWH� I �DQG�FDQ�EH�UHSUHVHQWHG�HLWKHU�E\� W IRU�E\�LWV�)RXULHU�WUDQVIRUP� ω f ��

ω ωf t t f dt=−∞

+∞

∫ �����������������������������������������������

DQG�WKH�LQYHUVH�WUDQVIRUP�LV

W I W I G=−∞

+∞

∫ ω ω ω ����������������������������������������������

ZKHUH�������� )� Iω ω) ≡ ���������������������������������������������������������

W H itωπ

ω= 12

������� ωπ

ωt e it= −12

���������������������������������DQG�WKH�QRUPDOL]DWLRQ�FRQGLWLRQ�LV�

������ W W W W G HL W W G W W � � � �= = − ′ =− ∞

∞∫ −

− ∞

∞

∫ ω ω ω πω ω δ1

2������������������������

ZKHUH�� �LV�WKH�GHOWD�IXQFWLRQ��RI�'LUDF��,Q�WKH�'LUDF�IRUPDOLVP�WKH�FRPSOHWHQHVV�UHODWLRQLV�

�

�I t t dt d= =−∞

+∞

−∞

+∞

∫ ∫ ω ω ω �����������������������������������������������

ZKHUH� �I �LV�WKH�LGHQWLW\�RSHUDWRU��7KH�UHODWLRQV�������DUH�VROXWLRQV�RI�WKH�HLJHQYDOXHHTXDWLRQ�������

�D��:LQGRZLQJ,Q�SUDFWLFH�WKH�VLJQDO�LV�GHWHFWHG��GXULQJ�D�ILQLWH�WLPH�LQWHUYDO��VD\��7��7KH�VSHFWUDODQDO\VLV�LQ�WKLV��WLPH�LQWHUYDO�FDQ�EH�GRQH�LQ�WKH�IROORZLQJ�ZD\�

� )� � I �W�H[S��LW �I�W�GW7 7ω ω α ωπ

≡ =−∫�AT

T12

������������������������

ZKHUH��α( )t �LV�RQH�RI�SRVVLEOH�ZLQGRZLQJ�IXQFWLRQV�>�����@��>��@�DQG�HT��������ZDVREWDLQHG�E\�XVLQJ�WKH�ILOWHU�RSHUDWRU

� ( )Α =−∫T

T

t t dt tα ��������������������������������������������������������D�

,Q�WKLV�FDVH�WKH�IRUPDOLVP�FDQ�EH�UHSODFHG�E\�GHFRPSRVLQJ�WKH�LGHQWLW\�RSHUDWRU�LQWR�

( ) ( )[ ]� � (� � )I A I A t t t dt t t t dt= + − = + −−∞

+∞

−∞

+∞

∫ ∫α α1 ��������������������������������������D�

ZKHUH� ( )α t �LV�WKH�ZLQGRZLQJ�IXQFWLRQ�KDYLQJ�VXSSRUW�RQO\�LQ�WKH�ILQLWH�LQWHUYDO��)RUH[DPSOH�IRU�WKH�UHFWDQJXODU�ZLQGRZ�ZLWK�D�ILQLWH�WLPH�LQWHUYDO��7�

( )α t = 1�����IRU����− ≤ ≤T t T �����RWKHUZLVH��� ( )α t = 0.��������������������2QH�PD\�HPSOR\�DOVR�RWKHU�ZLQGRZLQJ�SURFHGXUHV�RI�FRPPRQ�XVH��6XEVWLWXWLQJ�HT�����D��LQWR�HT������ZH�REWDLQ�

( ) ( )[ ]ω α ω α ωf t t t f dt t t t f dt= + −−∞

+∞

−∞

+∞

∫ ∫ 1

����������� � ( ) ( )[ ]α ω ω α ω ω ωt t t f dt d t t t f dt−∞

+∞

−∞

+∞

−∞

+∞

∫ ∫ ∫+ ′ − ′ ′1

����������� ( )= + ′ ′ ′−∞

+∞

∫ω ω ω ω ωf K f dT

, �����������������������������������������

ZKHUH

�

( ) ( )[ ]. W W W GWω ω α ω ω, ′ = − ′− ∞

+ ∞

∫ 1 ����������������������������������

LV�WKH�NHUQHO�RI�WKH�OLQHDU�LQWHJUDO�HTXDWLRQ���������DQG

( )ω α ωf t t t f dtT

=−∞

+∞

∫ �����������������������������������������

LV�WKH�VSHFWUXP�RI�WKH�ZLQGRZHG�VLJQDO��WKH�PHDVXUHG�TXDQWLW\���(TXDWLRQ��������FDQ�EHUHFDVW�LQ�DQ�RSHUDWRULDO�IRUP�LI�ZH�VXEVWLWXWH�� ( ). . , $ω ω ω ω ω ω, � � �′ = ′ ≡ − ′ ��DQGWKXV�REWDLQ�IURP�HT���������

ω ω ω ω ω ωf f K f dT

= + ′ ′ ′−∞

+∞

∫ � ����������������������������������

����(T�������� � FDQ� EH� XVHG� IRU� DQ� DSSUR[LPDWH� HVWLPDWLRQ� RI� WKH� HUURU� RI� WKH� VSHFWUDODQDO\VLV�LQ�WKH�IROORZLQJ�ZD\�

ω ω ω ω ω ωf f K f dT T

− ≈ ′ ′ ′∫ � ����������������������������������

DQG�ZKHQ�SRVVLEOH��L�H��LI�HT���������KDV�D�VROXWLRQ���WR�JHW�WKH�H[DFW�VSHFWUXP�IRUP�WKHZLQGRZHG� RQH�� ,Q� WKH� $SSHQGL[� %� ZH� JLYH� DQ� H[DPSOH� RI� D� FRQWLQXRXV� VLJQDO� ZLWKZLQGRZLQJ�

�E��)LOWHULQJ���7KH�ILOWHULQJ�FDQ�EH�GHVFULEHG�ZLWK�WKH�KHOS�RI�WKH�ILOWHU�RSHUDWRU

� ( )Φ =−∞

∞

∫ ϕ ω ω ω ωd ���������������������������������������������������D�

ZKLFK�LV�DQ�RSHUDWRU�YDOXHG���FRQWLQXRXV���OLQHDU�IXQFWLRQDO��7KH�ILOWHUHG�VSHFWUXP�LV�

� ( )ω ϕ ω ω ω ω ϕ� �Φ Φf F t t f dt t t f dt= = =

−∞

∞

−∞

∞

∫ ∫ ���������������������������������E�

ZKHUH� WKH� IXQFWLRQ� ϕ ω( ) � PRGLILHV� �ILOWHUV�� WKH� VSHFWUXP� DQG� W I ϕ W IΦ � LV� WKHILOWHUHG�VLJQDO�� ,Q�D�VLPLODU�ZD\�WR� WKDW�GHULYHG� LQ� VHF���D��RQH�FDQ�GHULYH� WKH�REYLRXVLQWHJUDO�HTXDWLRQ�ZKLFK�UHODWHV�WKH�VLJQDO�WR�WKH�ILOWHUHG�VLJQDO�

( )W I W I W , I W I W , W W I GW= + − = + − ′ ′ ′−∞

∞

∫� � � � (� � )Φ Φ Φ Φ �������������F�

��/HW�

ϕ ω ω ϕ( ) =− ∞

∞

∫ t t dt ����������������������������������������������

WKHQ��XVLQJ�HT����������WKH�LQYHUVH�WUDQVIRUP�RI��������LV

W I W I Gϕ ω ϕ ω ω ω=−∞

∞

∫ ( ) �=−∞

∞

−∞

∞

∫∫ t t t f d dtω ω ϕ ω ω' ' ' �����������

)URP�HTV��������ZH�KDYH��������������������������������������� W W W Wω ω ω' '= − �DQG�HT���������EHFRPHV��DIWHU�XVLQJ�WKH�U�K�V�RI�HT��������

W I W W W I GWϕ ϕ=−∞

∞

∫ −' ' ' �= −−∞

∞

∫ t t t f dt' ' 'ϕ ���������������������

LQ�ZKLFK�ZH�UHFRJQL]H�WKH�FRQYROXWLRQ�WKHRUHP��7KH�LQYHUVH�RI�HT���������LV

W LW Gϕ ϕ ω π ω ω=− ∞

∞

∫ ( )( / )exp( )1 2 ���������������������������������

/HW�XV�FRQVLGHU�IRU�H[DPSOH�

ϕ ωω ω ω ω ω ω

( ), ,

=< < − < <−

1 1 2 2 10

for and

otherwise�������������

WKDQ

W I W W W W W IW W GWϕ π

ω ω=

− − −−−∞

∞

∫2 2 1[sin(( ') ) sin(( ') )] '

( ')' �����������������

,I� WKH�IUHTXHQFLHV�RI� WKH�VLJQDO�DUH�H[SHFWHG� WR�EH� LQ� WKH�DERYH�PHQWLRQHG� UHJLRQ�� L�H�ERXQGHG�E\�HT����������WKHQ� W I W It fϕ ≡ =�Φ �DQG�HT���������EHFRPHV�DQ�LGHQWLW\

W I W W W W W IW W GW� [sin(( ') ) sin(( ') )] �

( ')'Φ

Φ=

− − − ′−−∞

∞

∫2 2 1π

ω ω ��������������������D�

ZKLFK�LV�D�SDUWLFXODU�FDVH�RI�HT���$����LQ�$SSHQGL[�$��/DWHU�ZH�ZLOO�UHODWH�WKLV�UHVXOW�WRWKH�VDPSOLQJ�WKHRUHP�

�F��$YHUDJLQJ�����2QH�FDQ�IXUWKHU�H[WHQG�WKH�'LUDF�IRUPDOLVP�DQG�REWDLQ�HDVLO\�ERWK�ZHOO�NQRZQ�DQG�DV�ZHOO��OHVV�NQRZQ�UHVXOWV��)RU�H[DPSOH�

��

������������������ I I I W W I GW I I G= =−∞

∞

−∞

∞

∫ ∫ ω ω ω ����������������������������

LV� REWDLQHG� GLUHFWO\� IURP�HT�� ������ DQG� LV� WKH�ZHOO� NQRZQ� 3DUVHYDO� WKHRUHP��2QH� FDQGHILQH�DYHUDJH�TXDQWLWLHV�LQ�D�PDQQHU�VLPLODU�WR�WKDW�GRQH�LQ�TXDQWXP�PHFKDQLFV��H�J��

� � �ω

ωω ω ω ω ω ω ωω

nn

n

f f

f f

f f d

f f

f n f d

f f= = =−∞

∞

−∞

∞

∫ ∫����������������������D�

RU�ZRUN�GLUHFWO\�ZLWK�WKH�VLJQDO�I�W��XVLQJ�HT���������

�� ( )

ωω

nf t t n f dt

f f

f t id

dtt f dt

f f

n

= =−∞

∞

∫ −−∞

∞∫

������������������������������������E�

,Q�RUGHU�WR�GHILQH�DQ�DYHUDJH�VLJQDO�ZH�LQWURGXFH�WKH�VLJQDO�RSHUDWRU�

( )� ( ) , �f f t t t dt f t f t t= =−∞

∞

∫ ������������������������������������������������������

ZLWK�WKH�DERYH�GHILQLWLRQ�WKH�DYHUDJH�ZLOO�EH

� �f

f t t f t f dt

f f

f f f

f f= = −∞

∞

∫��������������������������������

$Q�DQDORJ�RI�PHDQ�NLQHWLF�HQHUJ\�ZLOO�EH

. GGW W I I I

f td

dtt f t f dt

= =

−∞

∞

∫2

2

�����������������������������

:H�FDQ�VHH�WKDW�WKH�LQWURGXFWLRQ�RI�WKH�'LUDF�IRUPDOLVP�LQ�)RXULHU�DQG�VLJQDO�DQDO\VHVFDQ�OHDG�WR�VLPSOLILFDWLRQV�DQG�WR�QHZ�GHILQLWLRQV�RI�DYHUDJHV�

�G��7KH�$XWRFRUUHODWLRQ�DQG�WKH�:LJQHU�'RXEOH�'LVWULEXWLRQ�)XQFWLRQV�������/HW�XV�FRQVLGHU�WKH�VTXDUH�RI�WKH�DEVROXWH�YDOXH�RI�WKH�VLJQDO�6�W��

( )

W 6 6 W W 6 6 W W 6 G G

6 6 LW G G

�

��

= = ′ ′ ′

= ′ ′ − ′

−∞

∞

−∞

∞

−∞

∞

−∞

∞

∫∫

∫∫

ω ω ω ω ω ω

πω ω ω ω ω ωH[S � �

��������������������

��

DQG�VXEVWLWXWH�ω ω τ ω ϑ τ= ′ + ′ = −� � � ��ZH�REWDLQ�

( )W 6 6 6 LW G G2 1

2 2 2= + − −−∞

∞

−∞

∞

∫∫πϑ τ ϑ τ τ ϑ τexp ) ����������������������������������

HT���������LQWURGXFHV�WKH�SRLQW�VSOLWWLQJ�UHJXODUL]DWLRQ�ZKLFK�JLYHV�WKH�:LJQHU�IXQFWLRQ�ZKLFK�ZH�GHULYH�QH[W��'HSHQGLQJ�RQ�WKH�RUGHU�RI�LQWHJUDWLRQ��ZH�JHW�WZR�YHU\�LPSRUWDQWIXQFWLRQV

( )W 6 5 LW G� ��= −

−∞

∞

∫πτ τ τ� � H[S � ��������������������������������������������������

W 6 : W G��

��=

−∞

∞

∫πθ ϑ� � � �����������������������������������������������������

ZKHUH�

5 6 6 G� �τπ

ϑ τ ϑ τ ϑ= + −−∞

∞

∫1

2 2 2 ��������������������������������������������������

( ): W 6 6 LW G1

1

2 2 2( , ) exp )Ï‘Ï€

ϑ τ ϑ τ τ τ= + − −−∞

∞

∫ �������������������������������������������

DUH�WKH�DXWRFRUUHODWLRQ�DQG�WKH�:LJQHU�IXQFWLRQV��UHVSHFWLYHO\��/HW�XV�FRQVLGHU�QRZ�WKHDEVROXWH�YDOXH�VTXDUHG�RI�WKH�)RXULHU�WUDQVIRUP�RI�WKH�VLJQDO�6�W��

( )

ω ω ω ω ω

πω

6 6 6 6 W W W W 6 GWGW

6 W W 6 L W W GWGW

�

��

= = ′ ′ ′

= ′ − ′ ′

−∞

∞

−∞

∞

−∞

∞

−∞

∞

∫∫

∫∫ H[S � � �������������������������������

IROORZLQJ�WKH�VWHSV�ZKLFK�OHG�WR�HT���������ZH�ZLOO�JHW�

ωπ

ω6 : W GW��

��=

−∞

∞

∫ � � � ���������������������������������������������������

ZKHUH�

( ): W 6 6 LW G2

1

2 2 2( , ) exp )ωπ

ω τ ω τ τ τ= + − −−∞

∞

∫ ������������������������������������

2QH�FDQ�HDVLO\�SURYH�E\�XVLQJ�VXEVWLWXWLRQV�WKDW�: W : W� �� � � � � �ω ω= �����������������������������������������������������������

��WKHUHIRUH�ZH�KDYH�RQH�GRXEOH�GLVWULEXWLRQ�IXQFWLRQ�:�W�ω���WKH�:LJQHU�GLVWULEXWLRQIXQFWLRQ��VDWLVI\LQJ

( )

( )

: W 6 6 LW G

6 W W 6 L G

� � � H[S �

H[S � �

ωπ

ω ω ω ω ω ω

πτ τ ωτ τ

= + ′ − ′ − ′ ′

= + − −

−∞

∞

−∞

∞

∫

∫

1

2 2 2

1

2 2 2

�����������������������������������

DQG��IURP�HTV�����������������

ωπ

ω6 : W GW� ��=

−∞

∞

∫ � � � � ������ W 6 : W G� ��=

−∞

∞

∫πω ω� � � ���������������������������

,Q�UHI�������RQH�FDQ�ILQG�D�GHWDLOHG�H[SRVLWLRQ�RI�WKH�:LJQHU�IXQFWLRQ�DQG�RWKHU�GRXEOHGLVWULEXWLRQ�IXQFWLRQV�

����1RQ�RUWKRJRQDO�VWDWHV�LQ�VXEVSDFHV

������/HW� XV� QRWH� WKDW� E\� JRLQJ� WR� VXEVSDFHV� RI� WLPH� RU� IUHTXHQF\� WKH� RUWKRQRUPDOLW\FRQGLWLRQ�PLJKW� QRW� EH� VDWLVILHG� DQ\�PRUH�� ,I�ZH� UHVWULFW� RXUVHOYHV� � WR� WKH�ZLQGRZHGVXEVSDFH��WKH�UHFWDQJXODU�ZLQGRZ�IRU�H[DPSOH��ZH�REWDLQ�

ω ω ω ωπ

ω ω

ω ω ω ω

π ω ωω ω

π ω ω

, ', ( )

( ) ( )

( )

sin(( ) )

( ),

T T t t dt ei tdtT

T

ei T e i T

i

T

T

T

=−∫ ′ = ′− =

−∫

=′− − − ′−

− ′= − ′

− ′

12

2

����������������������������������

ZKHUH� ω,T �DUH�WKH�SURMHFWHG�VWDWHV�LQWR�WKH�DERYH�PHQWLRQHG�VXEVSDFH��ZKLFK�ZH�ZLOOGHQRWH�E\�67��7KH�RUWKRJRQDOLW\�FRQGLWLRQ�LV�VDWLVILHG�RQO\�LI

ω ω π− ′ = ± =n T n/ , , ,...12 ������������������������������������,Q�RUGHU�WR�ZULWH�HT��������PRUH�H[SOLFLWO\�RQH�QHHGV�WR�LQWURGXFH�WKH�SURMHFWLRQ�RSHUDWRU

�P t t dtTT

T

=−∫ �������������������������������������������������������

ZKLFK�SURMHFWV�LQWR�WKH�VXEVSDFH�67���7KH�NHW�YHFWRU�VWDWHV�LQ�WKLV�VXEVSDFH�QRZ�DUH�

W 7 3 W W IRU W 7IRU W 7T, � ,

, ,= =

≤>

0 ������������������������������������������������

��

( ) ( )[ ]( )

ω ω ω ω ω ω ω

πω ω ω

ω ωπ ω ω

ωω ω

, �

sin.

T P t t dt t t dtd

e dtd dT

TT

T

T

T

T

Tit

= = = ′ ′ ′

= ′ ′ = ′− ′

− ′′

− −∞

∞

−

−∞

∞

−

− ′

−∞

∞

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫1

2

��������������������

7KHUHIRUH�HT��������VKRXOG�EH�ZULWWHQ�DV�IROORZV�

ω ω ω ω ω ω ω ωπ ω ω

, , � � sin(( ) )

( ),T T P PT T

T

T

t t dtT′ = ′ =

−∫ ′ = − ′

− ′������������������������

7KH�VROXWLRQV�RI�HT���������L�H��VWDWHV�ZKLFK�DUH�RUWKRJRQDO��DUH�ω π ω ω δ πn n m nmn T C n T T T,C ,C ,C/ , , , ,..., , , /= + = ± ± =0 1 2 ��������������������

ZKHUH�&�LV�DQ�RYHUDOO�FRQVWDQW�DQG�WKH�QRUPDOL]DWLRQ�FRPHV�IURP�HT���������7KH�VWDWHV�RIHT��������IRUP�D�FRPSOHWH�RUWKRJRQDO�VHW��EHFDXVH�ZH�NQRZ�WKDW�WKH�IXQFWLRQV

W 7 Hni n tω πω

,,, /00 2= ����������������������������������������������

IRUP� D� FRPSOHWH� RUWKRJRQDO� EDVLV� IRU� )RXULHU� VHULHV� LQ� WKH� LQWHUYDO� �7≤W≤7�� 7KXV� WKHNHW�YHFWRU� VWDWHV� ω,T � DUH� DQ� RYHUFRPSOHWH� EDVLV� LQ� 67� �� $V� ZH� VKDOO� VHH� ODWHU�� WKHUHODWLRQ�EHWZHHQ�WKH�RYHUFRPSOHWH�EDVLV� ω,T �DQG�WKH�FRPSOHWH�EDVLV�RI�HT��������LV�WKHFRUQHUVWRQH�RI�WKH�VDPSOLQJ�WKHRUHP��/HW�XV�ILUVW�QRWH�WKDW�WKH�SURMHFWLRQ�RSHUDWRU� �PT �LVWKH�LGHQWLW\�RSHUDWRU�LQ�WKH�VXEVSDFH�67��

�� � , � � . � ,P T P P P TT T T Tω ω ω ω= = = �������������������������������������������7KHUHIRUH�ZH�VKRXOG�H[SHFW�WKH�FRPSOHWHQHVV�UHODWLRQ��WDNLQJ�LQWR�DFFRXQW��������WR�EH�

� , ,,C ,CPT

T TTn

n n==−∞

∞

∑π ω ω �����������������������������������������������

(PSOR\LQJ�HTV��������DQG��������WKH�H[SDQVLRQ�RI�WKH�RYHUFRPSOHWH�EDVLV�LQ�WHUPV�RI�WKHFRPSOHWH�RQH�FDQ�EH�REWDLQHG�LQ�WKH�IROORZLQJ�ZD\�

( )[ ]( )

( )[ ]( )

ω ω π ω ω ω

π ωω ω

π ω ωω

ω ω

ω ω

, � , , , ,

,sin

,sin

,

,C ,C

,C

,C

,C,C

,C

,C

T P TT

T T T

TT

TT

T

T

Tn

n n

nn

n

n nn

n

n

= =

=−

−=

−

−

=−∞

∞

=−∞

∞

=−∞

∞

∑

∑ ∑��������������

IURP�ZKLFK�WKH�IROORZLQJ�VDPSOLQJ�WKHRUHP��IRU�D�VLJQDO�I��FDQ�EH�GHGXFHG�

��

( )[ ]( )ω

ω ω

ω ωω,

sin, ,

,C

,C,CT f

T

TT f

n

n

nn=

−

−=−∞

∞

∑ ����������������������������������

WKLV�UHVXOW�ZDV�REWDLQHG�XQGHU�WKH�DVVXPSWLRQ�WKDW�WKH�VLJQDO�H[LVWV�RQO\�IRU�WLPHV�W�W 7≤ �����������������������������������������������������������

%HIRUH�FORVLQJ� WKLV� VHFWLRQ�ZH�ZLOO�SURYH� WKDW� WKH� VWDWHV� ω,T � IRUP� D� EDVLV�ZKLFK� LVRYHUFRPSOHWH��:H�VWDUW�ZLWK�WKH�FRPSOHWHQHVV�UHODWLRQ�������DQG�PRGLI\�LW�DFFRUGLQJ�WR�

� � �� � � , ,P P IP P P d T T dT T T T T= = =−∞

∞

−∞

∞

∫ ∫ω ω ω ω ω ω ���������������������������������

5HODWLRQ� ������� LV� WKH� SURRI� WKDW� WKH� VWDWHV� ω,T � IRUP� D� EDVLV� LQ� WKH� VXEVSDFH� 67� �,QGHHG�DQ\�IXQFWLRQ�ZLWK�WKH�VXSSRUW�LQ�67�KDYH�D�XQLTXH�H[SDQVLRQ�

X W W X W 3 X W 7 7 X GT( ) � , ,= = =−∞

∞

∫ ω ω ω ����������������������������������

1H[W�ZH�PXOWLSO\�HT��������IURP�ERWK�VLGHV�ZLWK� �PT �DQG�REWDLQ�( )[ ]

( )� , ,

sin, .P T T d

TTT ω ω ω

ω ωπ ω ω

ω= = ′− ′

− ′′

−∞

∞

∫ �������������������������������

(T���������VKRZV�WKDW�WKH�VWDWHV� ω,T �DUH�GHSHQGHQW�EHWZHHQ�WKHPVHOYHV��WKHUHIRUH�WKHEDVLV� LV�RYHUFRPSOHWH�DQG�DFFRUGLQJ� WR� UHI�� ����� WKHVH� VWDWHV� VDWLVI\� WKH�FRQGLWLRQV� IRUEHLQJ�FRKHUHQW�VWDWHV�

���6DPSOLQJ�WKHRUHP�IRU�EDQG�OLPLWHG�VLJQDOV

,Q� VHFWLRQ� �� WKH� VDPSOLQJ� WKHRUHP�ZDV� GHULYHG� IRU� GLVFUHWH� IUHTXHQFLHV� IRU� ERXQGHGWLPH��,Q�WKLV�VHFWLRQ�ZH�GHULYH�WKH�VDPSOLQJ�WKHRUHP�IRU�WLPH�VWDWHV�LQ�WKH�FDVH�ZKHQ�WKHIUHTXHQFLHV�DUH�UHVWULFWHG�E\�WKH�FRQGLWLRQ

ω ω≤ B ��������������������������������������������������������������&RQGLWLRQ� ������ UHVWULFWV� WKH�'LUDF� VSDFH� WR� D� VXEVSDFH�ZKLFK�ZH�GHQRWH� DV� 6%� ��7KLVVXEVSDFH�LV�UHDFKHG�ZLWK�WKH�SURMHFWLRQ�RSHUDWRU�

�P dB

B

B

=−∫ω

ω

ω ω ω ����������������������������������������������������

��

7KH�NHW�YHFWRU�VWDWHV�LQ�WKLV�VXEVSDFH�QRZ�DUH�

ω ωω ω ω

ω ω, � ,

, ,B P

for

forBB

B

= =≤

> 0 ������������������������������������������������

( ) ( )[ ]( )

W % 3 W W G W W W G GW

W H GW G GW % W WW W W

BB

B

B

B

B

Bi t t

, �

sin.

= = = ′ ′ ′

= ′ ′ = ′′ −

′ −′

− −∞

∞

−

−∞

∞

−

′−

−∞

∞

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

ω ω ω ω ω ω

πω

πω1

2

���������������������������

/HW�XV�FKHFN�WKH�VFDODU�SURGXFWV

W % W % W W G W W %W W

B

B

, ,sin(( ) )

( ),′ ′ =

− ′− ′

=−∫ ω ω ω

ωπω

ω

���������������������������������������������

WKH�RUWKRJRQDOLW\�FRQGLWLRQ�LV�VDWLVILHG�RQO\�LIW W Q QB− ′ = ± =π ω/ , , ,...12 �������������������������������������������������

7KH�VROXWLRQV�RI�HT��������DUH�WKH�WLPHV�W Q ' Qn D B, / , , , ,...= + ± =π ω 012 �������������������������������������

ZKHUH�'�LV�DQ�RYHUDOO�FRQVWDQW��7KH�FRUUHVSRQGLQJ�VWDWHV�VDWLVI\�WKH�RUWKRJRQDOLW\FRQGLWLRQ�

W % W %n D m D nm B, ,, , /= δ ω π �����������������������������������������������DQG�WKH�LGHQWLW\�RSHUDWRU�IRU�WKH�FRPSOHWH�VHW�LQ�6%�LV�WKH�SURMHFWLRQ�RSHUDWRU�

( )� / , ,, ,P t B t BB B n Dn

n D==−∞

∞

∑π ω ������������������������������������������

7KH�DERYH�UHVXOWV��HTV������������DOORZ�XV�WR�REWDLQ

( )( )

X W W X W 3 X W W % W % XW W

W W X W

BB

n D n Dn

n D B

n D Bnn D

( ) � , ,

sin[ ]( ),

, ,

,

,,

≡ = =

=−

−

=−∞

∞

=−∞

∞

∑

∑

πω

ω

ω

����������������������������

ZKLFK�IRU�' ��LV�WKH�ZHOO�NQRZQ�VDPSOLQJ�WKHRUHP��DQG�FDQ�EH�H[WHQGHG�IRU�'≠��(T���������FDQ�EH�UHFDVW�LQWR�D�PRUH�JHQHUDO�IRUP�

( )( )W % W 3 W % W % W % W WW W W %B

Bn D n D

n

n D B

n D Bnn D, � , , ,

sin[ ], ,, ,

,

,,= = =

−

−=−∞

∞

=−∞

∞

∑ ∑πω

ω

ω ������������D�

RU�

��

( )( )W % 3 W W % W % W % W WW W W %B

Bn D n D

n

n D B

n D Bnn D, � , , ,

sin[ ], ., ,

,

,,= = =

−

−=−∞

∞

=−∞

∞

∑ ∑πω

ω

ω ����������E�

7KH�LQYHUVH�UHODWLRQ�FDQ�EH�REWDLQHG�LQ�D�VLPLODU�ZD\�( )( )W % 3 W % W % W % W % GW GW W WW W W %n D B n D n D

n D B

n D, , ,

,

,

, � , , , ,sin[ ]

,= = =−

−−∞

∞

−∞

∞

∫ ∫ω

π �����������&�

/HW�XV�GHFRPSRVH�WKH�VLJQDO�X�W��LQWR�LWV�RGG�DQG�HYHQ�SDUWV�X W X W X W X W X W X W+ −= + − = − −( ) [ ( ) ( )], ( ) [ ( ) ( )]1

212 ������������������������������

DQG�OHW�XV�GHQRWH� W Wn n≡ ,0 ����������������������������������������������������������������������

WKDQ��IURP�HT���������WKH�RGG�DQG�HYHQ�SDUWV�RI�WKH�VLJQDO�X�W��FDQ�EH�SUHVHQWHG�LQ�WKHIROORZLQJ�ZD\�

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

X W W WW W X W W W

W W X W

X W WW X W W

W W X W W WW W X W

Q %Q %Q

QQ %

Q %QQ

%%

Q %

Q %QQ

Q %

Q %QQ

−=

∞

−=

∞

−

+ +=

∞

+=

∞

+

=−

−−

++

= +−

−+

++

∑ ∑

∑ ∑

� � VLQ> @ � � VLQ> @ � �

� � VLQ� � � � VLQ> @ � � VLQ> @ � �

ωω

ωω

ωω

ωω

ωω

� �

� ��

���������

,Q�HT�� ������� WKH� VLJQDO� LV� VDPSOHG�RQO\� IRU� QRQ�QHJDWLYH� WLPHV��7KLV� LV� DQ� LQWHUHVWLQJSRVVLELOLW\�LI�WKH�WLPH�SDULW\�LV�NQRZQ�DQG�IL[HG��������:H�FDQ�FRQVLGHU�WKH�VDPSOLQJ�WKHRUHP�IURP�D�GLIIHUHQW�SRLQW�RI�YLHZ�LI�ZHVXEVWLWXWH�HTV��������DQG�HT���������LQWR�HT����������ZH�REWDLQ�

( ) ( ) ( )X W WW Q X W

n

nB

Bn( )

sin=

−−=− ∞

∞∑

1 ωω π

��������������������������������������������

RU�

( )( ) ( )X W

W W Q X WB n

n

Bn

( )

sin ω ω π=

−−=− ∞

∞∑

1 �������������������������������������������

7KXV��HT���������LV�WKH�SROH�H[SDQVLRQ�RI�LWV�OHIW�KDQG�VLGH��DQG�LW�LV�YDOLG� �RQO\�LI�X�W�GRHV�QRW�KDYH�VLQJXODULWLHV� LQ� W�H[FHSW�DW� LQILQLW\�� ,W�KDV�DOVR� WR�FRPSO\� WR� WKH�0LWWDJ�/HIIOHU�µV�WKHRUHP�>��@������:H� FDQ� VWLOO� YLHZ� WKH� VDPSOLQJ� WKHRUHP� IURP� RWKHU� DQJOH�� ,Q� HTV�� �������������ZHKDYH�GLIIHUHQW�RUWKRJRQDO�EDVHV�FKDUDFWHUL]HG�E\� WKH�SDUDPHWHU�'�� OHW� XV� FDOO� LW�%�'��(YHU\�SRLQW��W�FDQ�EH�UHDFKHG�E\�W WQ�'�IRU�VRPH�YDOXHV�RI�Q�DQG�'��7KHUHIRUH��ZH�FDQ

��

SUHVHQW�WKH�VDPSOLQJ�WKHRUHP�IURP�WKDW�SRLQW�RI�YLHZ�E\�H[SDQGLQJ�WKH�EDVH�YHFWRUV�RI%�'��LQ�WHUPV�RI�WKH�EDVH�YHFWRUV�RI�%�' ����)RU�WKLV�ZH�QHHG�RQO\�WR�XVH�HTV���������:H�REWDLQ�

( )[ ]( )W W W WW Wn D m

n D m B

n D m,

,

,

sin=

−

−

ω

π ����������������������������������������������

DQG�WKH�VDPSOLQJ�WKHRUHP�WDNHV�WKH�IRUP�

( )( )

W W

W X W X W WW W X W

k D

k Dk D n B

k D n Bnn

=

= =−

−=−∞

∞

∑

,

,,

,

sin[ ]( )

ω

ω�����������������������������������������

ZKHUH� QRZ� RQO\� GLVFUHWH� RUWKRJRQDO� VHWV� DUH� LQYROYHG�� (T�� ������� D� FRQVHTXHQFH� RILVRPHWULF�LVRPRUSKLVP�EHWZHHQ�WKH�EDVHV�ODEHOHG��N�'��DQG�WKRVH�ODEHOHG��N���������,W�LV�LQWHUHVWLQJ�WR�QRWH�WKDW�DOO�EDQG�OLPLWHG�IXQFWLRQV�� I W W 3 IB( ) ≡ ��KDYH�WR�VDWLVI\WKH�LGHQWLW\�JLYHQ�E\�HTV���$�����DQG��$�����RI�$SSHQGL[�$��8VLQJ�HT���������ZH�REWDLQ

( )( )( )

W 3 I W 3 W W 3 I GWW W

W W W 3 I GW

B B B

BB

= ′ ′ ′

=− ′

− ′′ ′

−∞

∞

−∞

∞

∫

∫sin

.ωπ

����������������������������������

7KH�LGHQWLW\��������ZDV�HPSOR\HG�LQ�UHIV��>��@�DQG�>��@�LQ�RUGHU�WR�GHULYH�DQ�H[SDQVLRQIRU�EDQG�OLPLWHG�IXQFWLRQV�LQ�D�WLPH�ZLQGRZ�

���6RPH�FRQVHTXHQFHV�RI�WKH�VDPSOLQJ�WKHRUHP�DQG�VRPH�DPELJXLWLHV

�����)LUVW�OHW�XV�QRWH��WKDW�LQ�RUGHU�WR�DYRLG�VRPH�DPELJXLWLHV��WKH�FRQGLWLRQ�������KDV�WREH�FKDQJHG�WR

ω ω< B ��������������������������������������������������������������������RWKHUZLVH�ZH�FDQ�DGG�WR� WKH�HT���������DQ\�IXQFWLRQ�ZKLFK�LV�]HUR�DW� WKH� LQWHUSRODWLRQSRLQWV�WQ�'���7KXV��ZH�FDQ�JHW�DQ�DPELJXLW\�RI�XS�WR�D�IXQFWLRQ�KDYLQJ�]HURV�DW�W �WQ�'�6XFK�D�IXQFWLRQ�ZLOO�KDYH�D�SHULRGLFLW\�RI� � ω ω= B ��7KH�FRQGLWLRQ�������ZLOO�HOLPLQDWHWKDW�SRVVLELOLW\

��

�����$�FRQVHTXHQFH�RI�HT���������LV�WKH�UHSODFHPHQW�RI�WKH�)RXULHU�WUDQVIRUP�HT��������E\WKH�VXP

( )ω πω

ω πω

ωf t t f e f tB n

n D n DB n

i tn Dn D= =

=−∞

∞

=−∞

∞−∑ ∑, ,

,,

2��������������������������

ZKHUH�ZH�FRQWLQXH�WR�XVH�WKH�QRUPDOL]DWLRQ�JLYHQ�E\�HT�������ω

πωt en Di tn D

,,=

1

2�������������������������������������������������

7KH�VDPSOLQJ�WKHRUHP�LV�UHFRYHUHG�IURP�HT��������E\�WKH�LQWHJUDWLRQ�W I W I G

B

B

=−∫ω

ω

ω ω ω �������������������������������������������������������������

�����:H�VKDOO�GHULYH��XVLQJ�HTV���������DQG��������DQ�LPSRUWDQW�UHODWLRQ�WR�EH�XVHG�ODWHU�RQ( )δ ω ω ω ω π

ωω ω

ωπ ω ω ω− ′ = ′ = ′ =

=−∞

∞

=−∞

∞′−∑ ∑

B nn n

B n

int t e B, ,

( )/0 0

1

2 �����������������

7KH�ULJKW�KDQG�VLGH�RI�HT��������LV�D�SHULRGLF�IXQFWLRQ�RI�SHULRG��ω B ��WKHUHIRUH�ZH�LQIHUWKDW�LW�VKRXOG�UHSHDW�LWVHOI�HYHU\�SHULRG��WKXV�ZH�VKRXOG�KDYH�

( )�� �ω

δ ω ωπω ω

B n

in

mBe mB

=−∞

∞

=−∞

∞

∑ ∑= −/ ���������������������������������������

7KH�ODVW�UHODWLRQ�LV�SURYHG�PRUH�ULJRURXVO\�LQ�UHI��>�@������&DXWLRQ�KDV�WR�EH�WDNHQ�LQ�XVLQJ�HT��������ZKLFK�KDV�D�SHULRGLFLW\�RI�ω ω= 2 B �LQ�FRQWUDGLFWLRQ�WR�HTV��������DQG��������7KH� UHVWULFWHG� OLPLWV� LQWHJUDWLRQ� ������EULQJ�XVEDFN�WR�HTV��������DQG��������7KHUHIRUH�HT��������FDQ�EH�XVHG�ZLWKRXW�DPELJXLWLHV�RQO\XQGHU�WKH�FRQGLWLRQ������������/HW�XV�FRQVLGHU�DQ�H[DPSOH�

) W W ) H UHDOi t( ) , , ( )≡ = >ω ω00 0 ���������������������������������������������

DQG�OHW�XV�FKHFN�HT���������E\�ILUVW�HYDOXDWLQJ�HT���������ZLWK�' ����WKDQ�HT��������

� ( )ω πω

π δ ω ω ω ω ωω ωF e mB n

i t

mB B

n= = − − <=−∞

∞−

=−∞

∞

∑ ∑2

2 200 0

( ) , ����������������

ZKHUH�HT��������ZDV�XVHG���,QVHUWLRQ�RI�HT��������LQWR�HT��������UHFRYHUV�WKH�FRUUHFW�UHVXOWL�H��HT���������,I�LQVWHDG�RI�FRQGLWLRQ�������WKH�FRQGLWLRQ�������ZLOO�EH�XVHG��WKDQ�RQH�LVDOORZHG�WR�WDNH�ω ωB = 0 �DQG�LQVWHDG�RI�HT��������ZH�REWDLQ�

��

( )ω πω

π δ ω ω ω ω ωω ωF e mB n

i t

mB B B

n= = − − ==−∞

∞−

=−∞

∞

∑ ∑2

2 200

( ) , ������������������

DQG�DIWHU�VXEVWLWXWLQJ�LQ�HT��������ZH�REWDLQ��WKH�GHOWD�IXQFWLRQ�LV�DQ�HYHQ�IXQFWLRQ��

[ ]W ) H G HB

Bi t

B Bi t= − + + ≠

−∫ω

ωω ωδ ω ω δ ω ω ω( ) ( ) 0 �������������������������������������������

L�H��ZH�GR�QRW�UHFRYHU�WKH�UHVXOW������������1RZ�ZH�VKDOO�GHULYH�DQRWKHU�DSSOLFDWLRQ�RI�HT���������6XEVWLWXWLQJ�WKH�)RXULHUWUDQVIRUP�������LQWR�HT��������ZH�REWDLQ�

( )πω ω

ω ω

ω ω

ω ω ω

2

1

2

2

00

0

B n

i tnn

B n

i tn

nB

e f t e F( d

F( n

=−∞

∞−

−∞

∞

=−∞

∞′−

=−∞

∞

∑ ∫ ∑

∑

=

′ ′

= −

,,

( ) , )

),�������������������

ZKLFK�FRLQFLGHV�ZLWK�HT��������XQGHU�WKH�FRQVWULFWLRQ��������,I�QR�FRQVWUDLQWV�DUHLPSRVHG�RQ�WKH�IUHTXHQFLHV��HT���������DQG�LWV�FRPSOH[�FRQMXJDWH�DUH�WKH�PDQLIHVWDWLRQRI�WKH�DOLDVLQJ�SKHQRPHQRQ�

7KH�PDLQ�LQJUHGLHQWV�OHDGLQJ�WR�WKH�VDPSOLQJ�WKHRUHP�DUH�HTV���������������DQG��������$�FRQVHTXHQFH�RI�HT���������XVLQJ�HT���������LV

W W W W W W GWn D m D n D m D nm B, , , , /= =−∞

∞

∫ δ ω π ��������������������������������������

RU

−∞

∞

∫−

−−

−=

sin[( ) ]

( )

sin[( ) ]

( ),

,

,

,

t t

t t

t t

t tdtn D B

n D B

m D B

m D B

nm

B

ωω

ωω

δω π ��������������������������������������

����6SHFWUDO�DQDO\VLV�RQ�WKH�KDOI�LQILQLWH�WLPH�D[LV�

����,Q�WKH�VDPSOLQJ�WKHRUHP�DQG�UHODWHG�HTXDWLRQV�RI�VHFWLRQ���WKH�WLPH�LV�UXQQLQJ�IURPPLQXV�WR�SOXV�LQILQLW\��,Q�SUDFWLFH�ZH�VWDUW�WR�FROOHFW�GDWD�DW�D�GHILQLWH�WLPH��ZKLFK�FDQEH�FKRVHQ�WR�EH�W ���7KHUHIRUH�KDOI�D[LV�WLPH�DQDO\VLV��W!���LV�PRUH�UHODWHG�WRH[SHULPHQW�WKDQ�ZKROH�WLPH�D[LV�DQDO\VLV��0RUHRYHU�ZH�GHDO�ZLWK�UHDO�VLJQDOV��)RU�UHDOVLJQDOV�WKH�)RXULHU�WUDQVIRUP�HT��������ZLOO�KDYH�WKH�IROORZLQJ�SURSHUW\�

( ) ( )) )∗ = −ω ω �����������������������������������������������������������

��/HW�XV�GHILQH�WKH�HYHQ�DQG�RGG�SDUWV�RI�WKH�VLJQDO�)�W��RI�HT��������DV�

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]I W I W I W I W I W I W+ −= + − = − −( ) , ( )12

12 ������������������������������������������

WKDQ��XVLQJ�HTV�����������������������������ZH�REWDLQ�WKH�VLQH�DQG�FRVLQH�)RXULHUWUDQVIRUPV�

( )I W W ) ) G W )� G+−∞

+∞∗

+∞

= + =∫ ∫( ) cos( ) [ ( )] cos( ) Re[ )]12

12

0

2Ï€

ω ω ω ωπ

ω ω ω ������������������

DQG�LQ�D�VLPLODU�ZD\�

I W W )� G−

+∞

= − ∫( ) sin( ) Im[ )]2

0πω ω ω �����������������������������������������

5H> �@ FRV� �> � �@)� W I W GWωπ

ω=+∞

+∫2

0

������������������������������������������

,P> �@ VLQ� �> � �@)� W I W GWωπ

ω= −+∞

−∫2

0

�����������������������������������������

�����,Q�WHUPV�RI�WKH�'LUDF�IRUPDOLVP�WKH�VLQH�DQG�FRVLQH�WUDQVIRUPV�FDQ�EH�IRUPXODWHG�DVIROORZV��WKH�YHFWRU�VSDFH�ZLWK�WKH�EDVLV� W �LV�GHFRPSRVHG�LQWR�WZR�RUWKRJRQDOVXEVSDFHV� W 3� = 1 ��ZLWK�SURMHFWLRQ�3 ��LQWR�WKH�HYHQ�IXQFWLRQV�RI�W��DQG� W 3� = −1

�ZLWK�SURMHFWLRQ�3 ���LQWR�RGG�IXQFWLRQV�RI�W���1RZ��EHFDXVH�RI�WKH�V\PPHWU\�RI�HYHQDQG�RGG�IXQFWLRQV�LQ�W�→�W��DOO�WKH�LQIRUPDWLRQ�FDQ�EH�VWRUHG�LQ�W≥���7KXV�DQ\�IXQFWLRQRI�W�FDQ�EH�GHFRPSRVHG�LQWR�LWV�HYHQ�DQG�RGG�SDUWV��DV�LQ�HT��������

[ ] [ ]I W W I I W I W W 3 I W 3 I� � � � � � � �≡ = + ≡ = + = −+ − 1 1 ������������������������������IURP�ZKLFK�ZH�GHGXFH�WKDW�

W W 3 W 3= = + = −, ,1 1 ����������������������������������������������������/HW�XV�QRWH�IURP�HTV�����������������������DQG�������WKDW�

W 3 3 W W 3 3 L WW 3 W 3

W 3 W 3 W 3 W 3 W W

� � FRV� �� � � VLQ� ��� � �

� � � � � ��

= = = = − = − =

= ′ = − =

= ′ = = = − ′ = − = − ′

1 11

21 1

2

1 1 0

1 1 1 1 12

ωπ

ω ωπ

ω

δ

����������������������

,Q�D�VLPLODU�ZD\�ZH�FDQ�GHILQH�HYHQ�DQG�RGG�SDULW\�VWDWHV�RI�IUHTXHQF\�7KH�LGHQWLW\�RSHUDWRUV�ZLOO�DFTXLUH�WKH�IRUPV�

��

� , , , ,

� , , , ,

I t P t P dt t P t P dt

I P P d P P d

= = = + = − = −

= = = + = − = −

−∞

∞

−∞

∞

−∞

∞

−∞

∞

∫ ∫

∫ ∫

1 1 1 1

1 1 1 1ω ω ω ω ω ω����������������������������������

�)RU�UHDO�VLJQDOV��HTV��������������ZLOO�DFTXLUH�WKH�IROORZLQJ�IRUP�

W 3 I W 3 3 3 I G� � � �= = = = =∞

∫1 2 1 1 10

ω ω ω ������������������������������������D�

W 3 I W 3 3 3 I G� � � �= − = = − = − = −∞

∫1 2 1 1 10

ω ω ω ��������������������������������D�

ω ω ω, , , ,P f P P t P f dt= = = = =∞

∫1 2 1 1 10

�������������������������������������D�

ω ω ω, , , ,P f P P t P f dt= − = = − = − = −∞

∫1 2 1 1 10

�������������������������������D�

:H�VHH�LQ�HTV�������������������D������D��WKDW�LQ�WKH�VLQH�DQG�FRVLQH�WUDQVIRUPV�WKHLQWHJUDWLRQ�LV�IRU�SRVLWLYH�WLPH��EXW�WKH�UHDO�VLJQDOV�PXVW�KDYH�D�GHILQLWH�SDULW\��L�H��WKH\PXVW�EH�HLWKHU�HYHQ��3 ���RU�RGG��3 ����IXQFWLRQV�RI�W��/HW�XV�QRZ�FRQVLGHU�WKH�JHQHUDOFDVH�ZLWK�QR�GHILQLWH�SDULW\���������$V�ZH�KDYH�SRLQWHG�RXW��LQ�DQ�H[SHULPHQW�ZH�PHDVXUH�WKH�VLJQDO��VWDUWLQJ�WRFROOHFW�GDWD�DW�D�GHILQLWH�WLPH��ZKLFK�FDQ�EH�WDNHQ�DV�W ���%HIRUH�WKDW�WLPH�RXUDSSDUDWXV�LV�LGOH��/HW�XV�FRQVLGHU�IRU�VLPSOLFLW\�WKH�WZR�VLJQDOV�

W ) L W W

W )IRU W

L W IRUêW

1 0 0

20

1

2

0 01

20

= ≡

=<

≥

πω ω

πω

exp( ) ,

, ,

exp( ), ,

�������������������������������������������

DQG�HYDOXDWH�WKHLU�)RXULHU�WUDQVIRUPV��IURP�HT��������ω ω ω δ ω ω

ωπ

ω ωπ ω ω

δ ω ω

) W W GW

) L W GW L

1 0 0

20

00

12 0

1

2

1

2

1

= = −

= − =−

+ −

− ∞

∞

∞

∫

∫

( ),

exp[ ( ) ] ( ),�����������������������

��7KXV�LQ�D�SRVLWLYH�WLPH�VSHFWUDO�DQDO\VLV�D�VLQJOH�IUHTXHQF\�VLJQDO�FDQ�EH�UHSUHVHQWHGE\�D�SROH�LQ�WKH�IUHTXHQF\�ZLWK�D�SRVVLELOLW\�RI�XVLQJ�UDWLRQDO�DSSUR[LPDWLRQV��/HW�XVLQWURGXFH�WKH�SRVLWLYH�WLPH�SURMHFWLRQ�RSHUDWRU

�W W W GW+

∞

= ∫�

������������������������������������������������������������

DQG�DSSO\�LW�RQ�WKH�NHWV�DQG�EUDV�RI�RXU�YHFWRU�VSDFH��:H�ZLOO�QRWH�WKDW�WKH�IUHTXHQF\VWDWHV�ZLOO�QR�ORQJHU�EH�RUWKRJRQDO�

( )ω ω ω ωπ ω ω

δ ω ω� .t t t dti+

∞

′ = ′ =− ′

+ − ′∫0

1

2

1 1

2����������������������������������������

/HW�XV�GHQRWH

$ W ) W W W ) GW L W ) W GW� � � � H[S� � � �ω ω ωπ

ω≡ = = −+

∞

+

∞

∫ ∫� �

�� �������������������

IRU�WKH�VLJQDO�)�W���7KH�LQYHUVH�UHODWLRQ��IRU�SRVLWLYH�W��LV�

) W W W ) W W W ) G L W $ G� � � � � H[S� � � �= = =+−∞

∞

+ +−∞

∞

∫ ∫ω ω ωπ

ω ω ω�� ���������������

)URP�HT���$�����RI�$SSHQGL[�$�DQG�HT���������ZH�LQIHU�WKDW

$ L$ G� � � �ω

πω

ω ωω= ′

′ −′

−∞

∞

∫1 �����������������������������������������������

ZKLFK�LV�D�+LOEHUW�WUDQVIRUP�IRU�WKH�UHDO�DQG�LPDJLQDU\�SDUWV�RI�$�

5H> � �@ ,P> � �@ �

,P> � �@ 5H> � �@ �

$ $ G

$ $ G

ωπ

ωω ω

ω

ωπ

ωω ω

ω

= ′′ −

′

= − ′′ −

′

−∞

∞

−∞

∞

∫

∫

1

1��������������������������������������������������������

,Q�HTV��������������IDVW�HQRXJK�GHFD\�DV�ω→∞�LV�UHTXLUHG�IRU�WKH�H[LVWHQFH�RI�WKHLQWHJUDOV������/HW� XV� FRQVLGHU� WKH� FDVH� RI� WKH� IUHTXHQF\� ERXQGHG� E\� HT�� ������ DQG� FRQVLGHU� WKHVDPSOLQJ�WKHRUHP�IRU�SRVLWLYH�WLPH�VLJQDOV��$V�LQ�WKH�FDVH�RI�HT��������RQH�FDQ�UHSODFHWKH�WUDQVIRUP��������E\�WKH�VXP�

��

����[ ]

$ W ) W W W )

W W W GW W )% Q

Q ' Q '

% Q 'Q ' Q '

� � � �

�

� �

� �

ω ω πω

ω

πω

ω

≡ =

=

+=−∞

∞

+

+ ≥

∞ ∞

∑

∑ ∫� �

�������������������������������������

ZKLFK�LV�QRW�WKH�VDPH�DV�WKH��VLPLODU�WR�HT���������H[SUHVVLRQ�

( )% W W ) H ) W% Q '

Q ' Q '% Q '

L WQ '

Q '� � � � ��ω π

ωω π

ωω= =

+ ≥

∞

+ ≥

∞−∑ ∑

� �� �������������������������

/HW�XV�FRQVLGHU�DV�DQ�H[DPSOH�WKH�VHFRQG�VLJQDO�RI�HT���������IRU�ZKLFK�HT����������ZLWK' ���EHFRPHV�

( )% H L% QL Q

% %%� � H[S � � �

� � �ωω ω ω ω π ω

ω ω π ω= =− −=

∞−∑�

��

��

�� �� ��������������������������

ZKLFK�GLIIHUV�IURP�WKH�VHFRQG�H[SUHVVLRQ�LQ�HT����������DOWKRXJK�ERWK�H[SUHVVLRQV�KDYHWKH�VDPH�SROH�DQG�UHVLGXXP��:H�PHQWLRQ�WKLV�EHFDXVH�HT��������� LV� WKH�EDVLV� IRU�RQHVLGHG�=�WUDQVIRUP�>���@��,QVWHDG��H[SUHVVLRQ��������VKRXOG�EH�XVHG��([SUHVVLRQ��������LVD�JRRG�DSSUR[LPDWLRQ�WR��������LQ�WKH�VHQVH�WKDW�LW�KDV�WKH�VDPH�SROHV�DQG�UHVLGXD��,QHT���������WKHUH�DSSHDU�QHZ��FRHIILFLHQWV�

( )( )( )& W W W W GW H W WW W GWQ ' Q '

L W Q ' %

Q '� � � VLQ

� ��

�ω ω

Ï€

ω

πω= =

−

−∞ ∞ −∫ ∫� �

�� �����������������������

WKLV�H[SUHVVLRQ�FDQ�EH�EURXJKW��ZLWK�WKH�KHOS�RI�HTV��������DQG���������WR�WKH�IRUP�

( ) ( )& W L WL GQ '

Q '

%

%ω

πω

π ω ωω

ω

ω

� H[S� ��

�=− ′

′ −′

−∫

�� � ������������������������������������������������

���6XPPDU\�DQG�FRQFOXVLRQV

������:H� KDYH� GHPRQVWUDWHG� LQ� WKLV� SDSHU� WKDW� WKH� 'LUDF� UHSUHVHQWDWLRQ� WKHRU\� FDQ� EHHIIHFWLYHO\� DGMXVWHG� DQG� DSSOLHG� WR� VLJQDO� WKHRU\�� 7KH� DGYDQWDJHV� RI� WKH� 'LUDFUHSUHVHQWDWLRQ�WKHRU\�LV�LWV�FODULW\��WUDQVSDUHQF\�DQG�JHQHUDOLW\��,W�LV�VXLWDEOH�WR�EH�XVHGZLWK�JHQHUDOL]HG�IXQFWLRQV�DQG�JHQHUDO�WUDQVIRUPV��7KH�XVH�RI�WKH�LGHQWLW\�RSHUDWRU�DQGSURMHFWLRQ� RSHUDWRUV� VLPSOLI\� JUHDWO\� WKH� FDOFXODWLRQV� DQG� GHULYDWLRQV�� 8VLQJ� WKHVHRSHUDWRUV�ZH�LQWURGXFHG�LQ�$SSHQGL[�$��D�ODUJH�FODVV�RI�IXQFWLRQV��ZKLFK�ZHUH�FDOOHGWKH� LQFRPSOHWH� GHOWD� IXQFWLRQV�� DV� WKH\� KDYH� VLPLODU� SURSHUWLHV� WR� WKH� 'LUDF� GHOWD

��IXQFWLRQ�DQG�FRQYHUJH�WR�LW�LQ�D�OLPLWLQJ�SURFHVV��7KH\�KDYH�EHHQ�XVHG�WKURXJKRXW�WKHSDSHU� LQ�RUGHU� WR� VLPSOLI\�GHULYDWLRQV��7KH�FDVH�RI�ZDYHOHWV�GHYLDWHV� VRPHZKDW� IURPWKH�VWDQGDUG�SURFHGXUH��DQG�LV�FROOHFWHG�LQ�$SSHQGL[�&������7KH�VFDODU�SURGXFWV��EUDFNHWV��RI�'LUDF�DUH�ZULWWHQ�LQ�D�ZD\�ZKLFK�GRHV�QRW�GHSHQGRQ�WKH�FKRLFH�RI�WKH�FRRUGLQDWHV��,Q�WKH�SURFHVV�RI�UHSUHVHQWLQJ�WKH�VLJQDO�WKHRU\�ZLWKWKH�EUDFNHWV�ZH�IRXQG��LQWHUHVWLQJ�IHDWXUHV�RI�VFDODU�SURGXFWV�ZKLFK�ZHUH�UHODWHG�WR�WKHFKDQJH�RI�YDOLGLW\�GRPDLQV�RI�WKH�FRQMXJDWH�FRRUGLQDWHV��LQ�VLJQDO�WKHRU\�WKH\�DUH� WKHWLPH� DQG� IUHTXHQF\�� LQ� TXDQWXP� PHFKDQLFV� WKH� FRRUGLQDWHV� DQG� PRPHQWD��� $QRUWKRJRQDO� EDVLV� ZKLFK� VSDQQHG� WKH� WLPH� VSDFH� FHDVHG� WR� EH� RUWKRJRQDO� DIWHUFRQVWUDLQLQJ�WKH�GRPDLQ�RI�IUHTXHQFLHV��EDQGZLGWK��DQG�EHFRPHV�DQ�RYHUFRPSOHWH��%XWLQ� WKLV� FDVH� WKHUH� H[LVW� D� VXE�EDVHV� RI� GLVFUHWH� WLPHV� ZKLFK� DUH� RUWKRJRQDO� DQGFRPSOHWH��7KH�FRPSOHWHQHVV�RI�WKH�WZR�EDVHV��RQH�IRU�DOO�IUHTXHQFLHV��WKH�RYHUFRPSOHWHQRQ�RUWKRJRQDO�EDVLV���WKH�RWKHU�LQ�WKH�EDQGZLGWK��HT����������DOORZV�WKH�GHULYDWLRQ�RIWKH� VDPSOLQJ� WKHRUHP�UHODWLQJ� VLJQDOV� LQ� WKH�GLVFUHWH� WLPH� �FRPSOHWH�� EDVLV� WR� VLJQDOVIRU�DOO�WLPHV��ZLWK�WKH�RYHUFRPSOHWH�EDVLV���HT�����������7KXV�WKH�UHODWLRQ�EHWZHHQ�WKHRYHUFRPSOHWH� EDVHV� DQG� D� FRPSOHWH� RQH� LV� WKH� HVVHQFH� RI� WKH� VDPSOLQJ� WKHRUHP�0RUHRYHU�HT���������DOORZV�XV�WR�UHSODFH�WKH�FRQWLQXRXV�WLPH�LQWHJUDWLRQ�E\�D�GLVFUHWHVXPPDWLRQ�LQ�DOO�WLPH�LQWHJUDWLRQV��WKLV�ZH�FRXOG�GR�LQ�WKH�)RXULHU�WUDQVIRUP��HT��������LQ�WKH�ZDYHOHWV�WUDQVIRUP��$SSHQGL[�&��DQG�LQ�WKH�FDVH�RI�VLJQDOV�H[LVWLQJ�IRU�SRVLWLYHWLPH���HT���������������7KH�LGHD�RI�YLHZLQJ�WKH�VDPSOLQJ�WKHRUHP�DV�WKH�UHODWLRQ�EHWZHHQ�DQ�RYHUFRPSOHWHEDVLV�DQG�D�FRPSOHWH�RQH�FDQ�EH�H[WHQGHG�WR�TXDQWXP�PHFKDQLFV��:H�DUH�LQ�WKH�SURFHVVRI�FRPSOHWLQJ�D�ZRUN�LQ�WKLV�GLUHFWLRQ�

$SSHQGL[�$7KH�LQFRPSOHWH�GHOWD�IXQFWLRQV�DQG�WKH�GHOWD�IXQFWLRQ�RI�'LUDF

�����/HW�XV�FRQVLGHU�WZR�FRPSOHWH�FRQWLQXRXV�EDVHV�( ) ( )[ [ [ [ \ \ \ \ \ [′ = − ′ ′ = − ′ −∞ ≤ ≤ ∞ − ∞ ≤ ≤ ∞δ δ, , ; �������������$���

OLQNHG�WRJHWKHU�E\�WKH�)RXULHU�WUDQVIRUP��HT����������

��

[ \ L[\= ��π

H[S� � ��������������������������������������������$���

ZKHUH� ( )δ x LV�WKH�GHOWD�IXQFWLRQ�RI�'LUDF��7KH�FRPSOHWHQHVV�UHODWLRQ�LV�JLYHQ�E\

, −∞

∞

−∞

∞

∫ ∫=[ [ G[ \ \ G\ ������������������������������������$���

ZKHUH�,�LV�WKH�LGHQWLW\�RSHUDWRU��/HW�XV�FRQVLGHU�WKH�IROORZLQJ�VHW�RI�IXQFWLRQV�

( )δ [ [ D [ \ \ [ G\D

D− ′ = ′

−∫�

( )= = >

−∫

�� �

π πD

DL[\H G\ D D[

D[ DVLQ � ��������������������������������$���

IURP�ZKLFK�WKH�'LUDF�GHOWD�IXQFWLRQ�δ�[��FDQ�EH�REWDLQHG�LQ�WKH�OLPLWLQJ�SURFHVV�

δ δ� � OLP � � �[ [ DD=→∞

���������������������������������������������������$���7KH�'LUDF�GHOWD�IXQFWLRQ��GLVWULEXWLRQ��RU�JHQHUDOL]HG�IXQFWLRQ��KDV�WKH�IROORZLQJSURSHUWLHV�

δ δ

δ δ

δ δ

( ) lim ( ), ,

, .

( ) lim ( ) ,

( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ).

x xfor x

for x

x dx x dx

f x x x dx f x x x dx f x

aa

aa

aa

≡ =≠

∞ =

≡ =

− ≡ − =

→∞

−∞

∞

→∞−∞

∞

−∞

∞

→∞−∞

∞

∫ ∫

∫ ∫

0 0

0

1

0 0 0

����������������$���

2QH�FDQ�JHQHUDOL]H�WKH�DERYH�SURFHGXUH�WR�D�ODUJHU�FODVV�RI�IXQFWLRQV�ZKLFK�ZH�ZLOOFDOO�³LQFRPSOHWH�GHOWD�IXQFWLRQV´��/HW�3�EH�D�SURMHFWLRQ�RSHUDWRU��VXFK�WKDW�E\�FKDQJLQJLWV�SDUDPHWHUV��LQ�WKH�OLPLWLQJ�SURFHVV��LW�FRQYHUJHV�WR�WKH�LGHQWLW\�RSHUDWRU��$Q�H[DPSOHLV�HT���$������LQ�ZKLFK�WKH�IROORZLQJ�SURMHFWLRQ�RSHUDWRU�ZDV�XVHG�

��� 3 D \ \ G\ 3 D ,D

DD� � � OLP � �= =

−→∞∫ ������������������������������$���

/HW�XV�GHILQH�WKH�LQFRPSOHWH�GHOWD�IXQFWLRQ�DV( ) ( )( ) ( )δ δ δ[ [ 3 [ 3 3 [ VXFK WKDW [ [ 3 , [ [− ′ = ′ − ′ → = − ′� � � � � ����������$���

��L�H��WKH�VWDWHV�GHQRWHG�E\�[�DUH�SURMHFWHG�WR�D�VXEVSDFH�ZLWK�WKH�SURMHFWLRQ�RSHUDWRU�3�7KH�SURMHFWLRQ�RSHUDWRU�VDWLVILHV��VHH�HTV�������D��DQG�����������3 3��DQG�3 3���ZKLFKFDQ�EH�HPSOR\HG�LQ�RUGHU�WR�GHULYH�JHQHUDO�SURSHUWLHV�RI�WKH�LQFRPSOHWH�GHOWD�IXQFWLRQV�:H�FDQ�SURYH�WKDW�VLPLODU�HTXDWLRQV�WR�HT���$����DUH�VDWLVILHG�IRU�WKH�LQFRPSOHWH�GHOWDIXQFWLRQV��,QVHUWLQJ�WKH�LGHQWLW\�RSHUDWRU�RI�HT���$����LQWR�HT���$����ZH�REWDLQ�

( ) ( ) ( )

( ) ( )

δ

δ δ

[ [ 3 [ 3 , 3 [ [ 33 [ [ 33 [ G[

[ [ 3 [ [ 3 G[

− ′ = ′ = ′′ ′′ ′′ ′′

= − ′′ ′′ − ′ ′′

−∞

∞

−∞

∞

∫

∫

�

� � ���������������$���

/HW�I�[��EH�D�IXQFWLRQ�ZLWK�D�VXSSRUW�LQ�WKH�SURMHFWHG�VXEVSDFH��WKDQ�

I [ [ I [ 3 I [ 3,3 I [ 33 [ [ 3 I G[

[ [ 3 I [ G[

� �

� � � � � �

= = = = ′ ′ ′

= − ′ ′ ′

−∞

∞

−∞

∞

∫

∫ δ���������������������$����

)RU��QRQ�UHVWULFWHG�IXQFWLRQV�VWLOO�WKH�IROORZLQJ�LGHQWLW\�KROGV�

[ 3 I [ [ 3 [ 3 I G[= − ′ ′ ′−∞

∞

∫ δ� � � �������������������������������������$����

7KH�LGHQWLWLHV��$�����PD\�KDYH�DSSOLFDWLRQV�LQ�WHVWLQJ�K\SRWKHVHV�WKDW�D�JLYHQ�IXQFWLRQKDV�D��VXSSRUW�LQ�D�UHVWULFWHG�VXEVSDFH�2QH�FDQ�QRWH�IURP�HT���$����WKDW�

δ π� � � �� D D= �������������������������������������������������������������$����:H�VKDOO�SURYH�WKH�LPSRUWDQW�SURSHUW\�RI�WKH�LQFRPSOHWH�GHOWD�IXQFWLRQ��$����

δ δ� � � � � �E[ D E [ D E= � ���������������������������������������������$����

ZKHUH�E�LV�D�UHDO�QXPEHU��)RU�E!��ZH�KDYH�

δπ π

δ� � � � � �E[ D H G\ E H G] E [ DED

DL[E\

DE

DEL[]= = =

− −∫ ∫

��

��

� �������������������������$����

)RU�E���ZH�REWDLQ�

δπ π π

δ� � � � � �E[ D H G\ E H G] E H G] E [ D ED

DL[E\

DE

DEL[]

D E

D EL[]= = = − =

− −

−

∫ ∫ ∫��

��

��

� �

ZKLFK��WRJHWKHU�ZLWK�HT���$������SURYHV�HT���$������)URP�HT���$�����ZH�FDQ�JHW�

��

δ δ( ) ( )bxb

x= 1 �������������������������������������������������$����

(T���$�����FDQ�EH�JHQHUDOL]HG�WR�LQFOXGH�IXQFWLRQV�I�[��KDYLQJ�]HURV�DW�[ [Q�δ δ� � �� � � � �I [ I [ [ [

n nn=

′−∑ 1 ��������������������������������������$����

ZKHUH�QHDU�WKH�]HURV�I [ I [ [ [n n( ) ( )( )≈ ′ − ���������������������������������������������$����

$SSHQGL[�%�$QDO\VLV�RI�UHVSLUDWRU¶V�F\FOH�

�����7KH� ZRUNLQJ� F\FOH� RI� SHULRG� 3� RI� WKH� UHVSLUDWRU� LQ� WKH� RSHUDWLRQ� URRP� RI� WKH*\QHFRORJ\� 'HSDUWPHQW�� 6RURND� 0HGLFDO� &HQWHU�� %HHU�6KHYD�� ,VUDHO�� ZDVDSSUR[LPDWHO\�DV�IROORZV�

9 W IRU W W 3 LGOH$ W IRU W W SXPSLQJ� � � � ��VLQ� � � ��= < <

< <02 0

1

1 1πϕ ������������������%���

ZKHUH�9�ZDV�WKH�YROXPH�RI�WKH�SXPSHG�DLU��$�LV�D�FRQVWDQW�YROXPH��W� ��VHF�ϕ1 �����+]��DQG�WKH�SHULRG�RI�3�ZDV�FKDQJLQJ�ZLWK�WKH�DQHVWKHWLF�SURFHGXUH��0RVW�RIWKH�WLPH�LW�ZDV�3 �VHF��ZLWKLQ�WKH�UDQJH����VHF�3���VHF�)RU�SUDFWLFDO�FDOFXODWLRQ�SXUSRVHV�LW�ZLOO�EH�XVHIXO�WR�WUDQVODWH�W W 3→ + / 2�E\�KDOI�DSHULRG��WR�REWDLQ�9�W��LQ�D�V\PPHWULF�IRUP�IRU��3�����W���3����

9 W IRU W W W LGOH$ W W IRU W W SXPSLQJ� � � � ��VLQ� � � ��= − < <

− <0

2

2 2

1 2 2πϕ ��������������%���

ZKHUH�������������W 3 W2 1 2= −( ) / ��

7KH�DERYH�IXQFWLRQ�LV�SHULRGLF��ZLWK�D�SHULRG�3��DQG�LV�DQ�HYHQ��IXQFWLRQ�RI�W�7KHUHIRUH�D�PRUH�UHVWULFWHG�EDVLV�WKDQ�������PD\�EH�PRUH�VXLWDEOH��QDPHO\�WKH�EDVLVRI�HYHQ�IXQFWLRQV�ZLWK�SHULRG�3�

W Q 3 Q W 3� FRV� � �= 2 π ����Q ������«����������������������������������%���DQG�9�W�≡ t V �FDQ�EH�H[SDQGHG�LQ�D�IROORZLQJ�)RXULHU�H[SDQVLRQ�

��

( )

9 W W 9 W Q 3 Q 3 9D D Q W 3

n

nn

n

( ) , ,

cos / ,

= =

= +

=

∞

=

=∞

∑

∑0

0

122 π

�����������������������������������%���

ZKHUH� W Q 3� �DUH�SHULRGLF�V\PPHWULF�IXQFWLRQV�RI�W��RUWKRQRUPDO�LQ�WKH�LQWHUYDO>�3����3��@�DQG

( )

( )[ ] ( )[ ]

D 3 9 W Q W 3 GW

$3

I W WI

I W WI

nt

P

n

n

n

nt t

t P

=

=− +−

−+ −+

∫

=

=

12

2 2 2

2

2

2

1 1 2

1

1 1 2

1

2

( ) cos /

cos cos,

/

/

Ï€

ππ ϕ ϕ

Ï•Ï€ Ï• Ï•

Ï•

�������%���

DQG����������������������I Q 3n = / .������������������������������������������������������%���

+HUH�I� ��3�LV�WKH�EDVLF�IUHTXHQF\�DQG�In��Q!���DUH�WKH�KLJKHU�KDUPRQLFV�,Q�SUDFWLFH�PHDVXUHPHQWV�DUH�WDNHQ�IRU�ILQLWH�LQWHUYDOV��,Q�WKLV�FDVH�WKH�VSHFWUDODQDO\VLV�VKRXOG�EH�PRGLILHG�DFFRUGLQJ�WR�WKH�SURFHGXUH�RXWOLQHG�LQ�WKH�PDLQ�WH[WHTV��������DQG���������:LWK�WKH�ILQLWH�LQWHUYDO�RI�GXUDWLRQ��7�WKH�VSHFWUDO�DQDO\VLV�RIHT���%�����ZLWK�)�W� 9�W��LQ�HT��������DQG�UHPHPEHULQJ�WKDW�ω π= 2 f ��EHFRPHV�

* D 7 D 7 7T n

n

n

n

nn

( )sin( ) sin[( ) ] sin[( ) ]

,ωω

ωω ω

ω ωω ω

ω ω= +

−−

++

+

=

∞

∑0

1

�������%���

ZKHUH�ω π πn nf n P= =2 2 / �

$SSHQGL[�&'LUDF�)RUPDOLVP�DV�D�IUDPHZRUN�IRU�ZDYHOHWV

������:H�FDQ�VKRZ� WKDW� WKH�'LUDF� IRUPDOLVP� FDQ� EH� DSSOLHG� WR� WKH�ZDYHOHWV� WUDQVIRUPV>��@�RI�WKH�VLJQDO�I�W���ZKLFK�DUH�GHILQHG�LQ�WKH�IROORZLQJ�ZD\�

� � � � � � �: I E D D I W W ED GWψ ψ= −

−

− ∞

∞∗∫

12 �����������������������������������&���

��$ERYH� LQ�HT�� �&����ψ� LV� D� VTXDUH� LQWHJUDEOH� IXQFWLRQ�� WKH�³EDVLF�ZDYHOHW´�� ,Q�RUGHU� WRDSSO\� WKH�'LUDF� IRUPDOLVP�ZH�KDYH� WR� DVVXPH� WKDW� WKH� IXQFWLRQ�ψ� LV� JHQHUDWHG� E\� DQRSHUDWRU�:�ZKLFK�LV�UHSUHVHQWHG�LQ�HT���&����E\�LWV�PDWUL[�HOHPHQWV�

W : E D D W ED� = −

− 12 ψ ������������������������������������������������&���

7KDQ�HT���&�����WKH�ZDYHOHW�WUDQVIRUP�RI�I�W���FDQ�EH�UHSUHVHQWHG�DV�E D : I E D : W W I GW� �=

− ∞

∞

∫ ���������������������������������������&���

7KH�GLVFUHWH�ZDYHOHW�WUDQVIRUP�RI�'DXEHFKLHV�>��@�FDQ�EH�WUHDWHG�LQ�D�VLPLODU�ZD\��/HWXV�GHQRWH�E\�:'�WKH�RSHUDWRU��JHQHUDWLQJ�WKH�ZDYHOHWV��ZLWK�PDWUL[�HOHPHQWV��

W : M N W W ND j kj j, ( ) ( ),/≡ = −ψ ψ2 22 ����������������������������&���

7KH\�IRUP�DQ�RUWKRQRUPDO�EDVLV�

− ∞

∞

∫ = ⋅l m W t t W j k dtD D j k m, , ,l ,δ δ ��������������������������������&���

ZLWK�WKH�LGHQWLW\�RSHUDWRU�, : M N M N :

j kD D=

=− ∞

∞∑

,, , . ��������������������������������&���

7KH�VLJQDO�I�W��FDQ�EH�H[SDQGHG�XVLQJ�HT���&���I W W I W : M N M N : I

M N ' '( ) , , ,,

≡ ==− ∞

∞∑ ���������������������������������&���

ZKHUH��M N : I M N : W W I GWD D, ,=

− ∞

∞

∫ �����������������������������������&���

2WKHU�GLVFUHWH�ZDYHOHW� WUDQVIRUPV�>��@�FDQ�JR�DORQJ�DQ� LGHQWLFDO�SDWK�� �:H�VKDOO�QRZORRN�IRU�RSHUDWRUV�ZKLFK�FDQ�JHQHUDWH�WKH�ZDYHOHW�WUDQVIRUPDWLRQ�RI�HTXDWLRQ��&�����/HWXV�DVVXPH�WKDW�WKH�RSHUDWRU�9�D�E��KDV�WKH�IROORZLQJ�SURSHUW\�

9 D E I W D I W ED� � � � � =−

1 ���������������������������������������������&���

6XFK�DQ�RSHUDWRU�FDQ�EH�IRUPHG�IURP�WKH�IROORZLQJ�RSHUDWRUV�>��@�9 D E H Hi a C ib( , ) (ln )= − − Φ ����������������������������������������������&����

ZKHUH�&�LV�WKH�VFDOH�RSHUDWRU�DQG�Φ�WKH�IUHTXHQF\�RSHUDWRU�GHILQHG�E\�

��

& L W GGW

GGW W L

GGW= +

=

1

2

1, .Φ ���������������������������������������&����

7KH�UHVXOW��&����LV�REWDLQHG�E\�WUDQVODWLRQ�H I W I W ELE− = −Φ ( ) ( ), �����������������������������������������������&����

DQG�E\�FRPSUHVVLRQ�>��@�

H I W D IWD

i a C− =

(ln ) ( ) .1 �������������������������������������������&����

7KH�WUDQVIRUPDWLRQ�9�RI�HT�� �&����� LV�XQLWDU\�DQG� WKXV� WKH�QRUPDOL]DWLRQ� LV�SUHVHUYHGXQGHU� LWV�DFWLRQ��8VLQJ� UHVXOWV�RI� UHI�� �����ZH�FDQ� UHSUHVHQW� WKH�FRPSOHWHQHVV� UHODWLRQDQG� WKH� LQYHUVH� WUDQVIRUP� LQ� WKH� IROORZLQJ� ZD\�� 7KH� FRPSOHWHQHVV� UHODWLRQ� FDQ� EHUHSUHVHQWHG�E\�WKH�LGHQWLW\�RSHUDWRU�

, & E D E D GE GDD= ∫∫

12

ψΨ Ψ, , , ���������������������������������&����

ZKHUH�WKH�QRUPDOL]DWLRQ�FRQVWDQW&ψ �LV�GHILQHG�E\�

& Gψ

ψ ωω

ω= < ∞−∞

∞

∫� ( )

,

2

����������������������������������������&����

DQG� � � �ψ ω LV�WKH�)RXULHU�WUDQVIRUP�RI�ψ( )t �RI�HT���&�����8VLQJ�HT���&�����ZH�FDQ�JHW�WKHLQYHUVH�WUDQVIRUP�RI�HT���&����

I W W I & W E D E D I GE GDD� � � � �≡ = ∫∫

12

ψΨ Ψ ��������������������������&����

,Q�D�VLPLODU�ZD\�WKH�ZDYHOHW�WUDQVIRUP��������FDQ�EH�PRGLILHG�WR�( )E D I E D W W IB n D

nn D, / , , ,Ψ Ψ=

=− ∞

∞

∑π ω ����������������������������D�

DQG�WKH�ZDYHOHW�WUDQVIRUP��������WR�( )M N 'D I M N 'D W W IB n D

nn D, / , , ,=

=− ∞

∞

∑π ω �������������������������������E�

��5HIHUHQFHV�

��������$��*HUVWHQ��'LUDF¶V�5HSUHVHQWDWLRQ�7KHRU\��DV�D�)UDPHZRUN�IRU�6LJQDO�7KHRU\��,������'LVFUHWH�)LQLWH�6LJQDOV��%HQ�*XULRQ�8QLYHUVLW\�SUHSULQW��GHQRWHG�DV�SDSHU�>,@����&�(��6KDQQRQ��%HOO�6\VW��7HFK��-���������������LELG�����������������-��9RQ�1HXPDQQ��³0DWKHPDWLFDO�)RXQGDWLRQV�RI�4XDQWXP�0HFKDQLFV´�������3ULQFHWRQ�8QLYHUVLW\�3UHVV��3ULQFHWRQ�1-�������WUDQVODWLRQ�IURP�WKH�*HUPDQ���������HGLWLRQ����*�*��(PFK��³$OJHEUDLF�0HWKRGV�LQ�6WDWLVWLFDO�0HFKDQLFV�DQG�4XDQWXP�)LHOG���������7KHRU\´��-RKQ�:LOH\��1HZ�<RUN��������6�/��%UDXQVWHLQ��&�0��&DYHV�DQG�*�-��0LOEXUQ��$QQ��3K\V���1�<�������������������������������/��6FKZDUW]��³7KHRULH�GHV�'LVWULEXWLRQV��YROV�������+HUPDQQ��3DULV�������������,�0��*HO¶IDQG�DQG�*�(��6KLORY��³*HQHUDOL]HG�IXQFWLRQV´��YROV�������$FDGHPLF������3UHVV��1HZ�<RUN�������������7UDQVODWLRQ�IURP�5XVVLDQ�����0�-��/LJKWKLOO��³,QWURGXFWLRQ�WR�)RXULHU�$QDO\VLV�DQG�*HQHUDOLVHG�)XQFWLRQV´�����8QLYHUVLW\�3UHVV��&DPEULGJH��������3�$�0��'LUDF��³7KH�3ULQFLSOHV�RI�4XDQWXP�0HFKDQLFV´���WK�HG��&ODUHQGRQ�3UHVV������2[IRUG��������WKH�ILUVW�HGLWLRQ��DSSHDUHG�LQ�����������,�0��*HO¶IDQG�DQG�*�(��6KLORY��³*HQHUDOL]HG�IXQFWLRQV´��YRO�����$FDGHPLF������3UHVV��1HZ�<RUN���������,�0��*HO¶IDQG�DQG�1�<D��9LOHQNLQ��³*HQHUDOL]HG�)XQFWLRQV´��YRO����������$FDGHPLF�3UHVV��1HZ�<RUN����������,�0��*HO¶IDQG��0�,��*UDHY�DQG�1�<D��9LOHQNLQ��³*HQHUDOL]HG�)XQFWLRQV´�������YRO����$FDGHPLF�3UHVV��1HZ�<RUN����������.��0DXULQ��³*HQHUDO�(LJHQIXQFWLRQ�([SDQVLRQV�DQG�8QLWDU\�5HSUHVHQWDWLRQV�������RI�7RSRORJLFDO�*URXSV´��3ROLVK�6FLHQWLILF�3XEOLVKHUV��:DUVDZ���������1�1��%RJROXERY��$�$��/RJXQRY�DQG�,�7��7RGRURY��³,QWURGXFWLRQ�WR������$[LRPDWLF�4XDQWXP�)LHOG�7KHRU\´��%HQMDPLQ��/RQGRQ�����������-�(��5REHUWV��-��0DWK��3K\V������������������������-�3��$QWRLQH�-��0DWK��3K\V�������������LELG�����������������

������$��%RKP�DQG�0��*DGHOD��³'LUDF�.HWV��*DPRY�9HFWRUV�DQG�*HO¶IDQG�7ULSOHWV��³������6SULQJHU��1HZ�<RUN���������6�-�/��YDQ�(LMQGKRYHQ�DQG�-��GH�*UDDI��³$�0DWKHPDWLFDO�,QWURGXFWLRQ�WR�'LUDF¶V������)RUPDOLVP´��1RUWK�+ROODQG��$PVWHUGDP���������2��3HOF�DQG�/�3��+RUZLW]��-��0DWK��3K\V������������������������$��)ULHGPDQ��,QW��-��7KHRU��3K\V������������������������/��&RKHQ��³7LPH�)UHTXHQF\�$QDO\VLV´��3UHQWLFH�+DOO��(QJOHZRRG�&OLIIV������1HZ��-HUVH\���������/�(��)UDQNV��³6LJQDO�7KHRU\´��3UHQWLFH�+DOO��(QJOHZRRG�&OLIIV������1HZ��-HUVH\���������-�*��3URDNLV�DQG�'�*��0DQRODNLV��³'LJLWDO�VLJQDO�SURFHVVLQJ��SULQFLSOHV� �������DOJRULWKPV��DQG�DSSOLFDWLRQV´���QG�HG���0DFPLOODQ��1HZ��<RUN���������$�9��2SSHQKHLP�DQG�5�:��6FKDIHU��³'LVFUHWH�7LPH�6LJQDO�3URFHVVLQJ´������3UHQWLFH�+DOO��(QJOHZRRG�&OLIIV���1HZ��-HUVH\���������0�%��3ULHVWO\��³6SHFWUDO�$QDO\VLV�DQG�7LPH�6HULHV´��$FDGHPLF�3UHVV������1HZ�<RUN���������.��.QRSS��³7KHRU\�RI�)XQFWLRQV´��'RYHU��1HZ�<RUN���������'��6OHSLDQ�DQG�+�2��3ROODN��%HOO�6\VW��7HFK�-���������������������'��6OHSLDQ��3URF��,(((����������������������&�.��&KXL��³$Q�,QWURGXFWLRQ�WR�:DYHOHWV´��$FDGHPLF�3UHVV��1HZ�<RUN���������,��'DXEHFKLHV��³7HQ�/HFWXUHV�RQ�:DYHOHWV´��6,$0��3KLODGHOSKLD�3$���������,��0H\HU��³:DYHOHWV��$OJRULWKPV�DQG�$SSOLFDWLRQV��6,$0��3KLODGHOSKLD�����