Whistling History: Ankersmit's neo-Tractarian Theory of Historical Representation
Dirac's Representation Theory as a Framework for Signal Theory
-
Upload
independent -
Category
Documents
-
view
1 -
download
0
Transcript of Dirac's Representation Theory as a Framework for Signal Theory
phys
ics/
9911
019
11
Nov
199
9
3XEOLVKHG�LQ�$QQDOV�RI�3K\VLFV��1<���������������������
'LUDF¶V�5HSUHVHQWDWLRQ�7KHRU\DV�D�)UDPHZRUN�IRU�6LJQDO�7KHRU\��,,�
�,QILQLWH�'XUDWLRQ�DQG�&RQWLQXRXV�6LJQDOV
$OH[DQGHU�*HUVWHQ'HSDUWPHQW�RI�3K\VLFV�
DQG�8QLW�RI�%LRPHGLFDO�(QJLQHHULQJ��DQG�=ORWRZVNL�&HQWHU�IRU�1HXURVFLHQFH�%HQ�*XULRQ�8QLYHUVLW\�RI�WKH�1HJHY����������%HHU�6KHYD��������,VUDHOH�PDLO��JHUVWHQ#EJXPDLO�EJX�DF�LO
5HYLVHG�YHUVLRQ�-XO\���������
$EVWUDFW,Q� WKH� SUHFHGLQJ� SDSHU� >�@�ZH� GHDOW�ZLWK� GLVFUHWH� VLJQDOV� RI� ILQLWH� GXUDWLRQ��+HUH�ZHJHQHUDOL]H�SUHYLRXV�UHVXOWV�DQG�GHPRQVWUDWH�WKDW�WKH�'LUDF�UHSUHVHQWDWLRQ�WKHRU\�FDQ�EHHIIHFWLYHO\� DGMXVWHG� DQG� DSSOLHG� WR� FRQWLQXRXV� RU� GLVFUHWH� VLJQDOV� RI� LQILQLWH� WLPHGXUDWLRQ��7KH�UROH�RI�WKH�LGHQWLW\�DQG�SURMHFWLRQ�RSHUDWRUV�LV�HPSKDVL]HG��7KH�VDPSOLQJWKHRUHP�LV�YLHZHG�IURP�WKH�SRLQW�RI�YLHZ�RI�RUWKRJRQDO�SK\VLFDO�VWDWHV��$Q�RUWKRJRQDOEDVLV�ZKLFK�VSDQQHG�WKH�WLPH�VSDFH��FHDVHV�WR�EH�RUWKRJRQDO�DQG�EHFRPHV�RYHUFRPSOHWHLI� WKH� GRPDLQ� RI� IUHTXHQFLHV� LV� UHVWULFWHG� LQ� D� EDQGZLGWK�� ,Q� WKLV� FDVH� WKHUH� H[LVWV� DQLQILQLWH�QXPEHU�RI��VXE�EDVHV�RI�GLVFUHWH�WLPHV�ZKLFK�DUH�RUWKRJRQDO�DQG�FRPSOHWH��7KHUHODWLRQ� EHWZHHQ� WKH� RYHUFRPSOHWH� EDVHV� DQG� D� FRPSOHWH� RQH� LV� WKH� HVVHQFH� RI� WKHVDPSOLQJ� WKHRUHP�� 7KH� VLJQDO� WKHRU\� LV� UHIRUPXODWHG� LQ� WKH� IUDPHZRUN� RI� WKH� 'LUDFEUD�NHWV��7KH�FDVH�RI�VLJQDOV�H[LVWLQJ�IRU�SRVLWLYH�WLPH�LV�WUHDWHG�LQ�GHWDLO� �
����,QWURGXFWLRQ
7KH�XVXDO�DSSURDFK� WR� VLJQDO� WKHRU\� LV� WR� VWDUW�ZLWK� WKH� FRQWLQXRXV� FDVH� DQG� WUHDW� WKHGLVFUHWH� ILQLWH� RQH� DV� DQ� DSSUR[LPDWLRQ�� ,Q� WKH� SUHFHGLQJ� SDSHU� >�@�� ZKLFK� ZH� ZLOOGHQRWH�E\�>,@��ZH�KDYH�DGRSWHG�D�GLIIHUHQW�DSSURDFK�IRU�WKH�IROORZLQJ�UHDVRQV�����,Q�SUDFWLFH�WKH�GDWD�DUH�FROOHFWHG�LQ�ILQLWH�GLVFUHWH�VHTXHQFHV�>�@������7KH�GLVFUHWH�ILQLWH�FDVH�KDV�LWV�RZQ�SHFXOLDULWLHV��GLIIHUHQW�IURP�WKH������FRQWLQXRXV��FDVH��0RUHRYHU��WKHUH�DUH�VHYHUDO��SRVVLEO\�PDQ\��GLVFUHWH�FDVHV�IRU������HDFK��FRQWLQXRXV�FDVH��7KH�FRQWLQXRXV�FDVH��LI�LW�H[LVWV��LV�D�FRPPRQ�OLPLW�RI������GLIIHUHQW��GLVFUHWH�FDVHV�>���@����7KH�WUDQVLWLRQ�WR�WKH�FRQWLQXRV�FDVH�LV�PRUH�FRPSOLFDWHG��DV�WKH�OLPLWV�FDQ�EH����GLVWULEXWLRQV��JHQHUDOL]HG�IXQFWLRQV��>���@����������0RVW�RI�WKH�GHYHORSPHQWV�LQ�WKLV�SDSHU�DUH�EDVHG�RQ�WKH�DVVXPSWLRQ�RI�'LUDF�>�@�PDGH�LQ�������WKDW�D�JLYHQ�VHOI�DGMRLQW�RSHUDWRU� �A �FDQ�EH�SUHVHQWHG�DV
�( � )
A dA
= ∫σ
α α α α �����������������������������������������������
ZKHUH�� �A α α α= ��DQG�σ( � )A LV�WKH�VSHFWUXP�RI� �A ��'LUDF�DVVXPHG�WKDW�DOO�SURSHUWLHVRI� KHUPLWHDQ� RSHUDWRUV� RQ� ILQLWH� GLPHQVLRQDO� YHFWRU� VSDFHV� FDQ� EH� H[WHQGHG� � DQG� EHYDOLG�LQ�LQILQLWH�GLPHQVLRQDO�+LOEHUW�VSDFHV�HYHQ�IRU�XQERXQGHG�VHOI�DGMRLQW�RSHUDWRUV�$� IXOO�PDWKHPDWLFDO� MXVWLILFDWLRQ�RI� WKH�'LUDF� IRUPDOLVP�FDPH�RQO\� DERXW� WKLUW\� \HDUVODWHU��$W�WKH�EHJLQQLQJ�WKH�IRUPDOLVP�ZDV�VHYHUHO\�FULWLFL]HG�E\�PDWKHPDWLFLDQV��������9RQ� 1HXPDQQ� LQ� WKH� SUHIDFH� WR� KLV� ����� IXQGDPHQWDO� ERRN� >�@�� ³0DWKHPDWLFDO)RXQGDWLRQV�RI�4XDQWXP�0HFKDQLFV´�ZURWH��³'LUDF��LQ�VHYHUDO�SDSHUV��DV�ZHOO�DV�LQ�KLVUHFHQWO\�SXEOLVKHG�ERRN�� ��KDV�JLYHQ�D� UHSUHVHQWDWLRQ�RI�TXDQWXP�PHFKDQLFV�ZKLFK� LVVFDUFHO\� WR� EH� VXUSDVVHG� LQ� EUHYLW\� DQG� HOHJDQFH�� DQG� ZKLFK� LV� DW� WKH� VDPH� WLPH� RILQYDULDQW�FKDUDFWHU���,W�LV�WKHUHIRUH�SHUKDSV�ILWWLQJ�WR�DGYDQFH�D�IHZ�DUJXPHQWV�RQ�EHKDOIRI�RXU�PHWKRG��ZKLFK�GHYLDWHV�FRQVLGHUDEO\�IURP�WKDW�RI�'LUDF�������7KH�PHWKRG�RI�'LUDF��PHQWLRQHG�DERYH���DQG�WKLV�LV�RYHUORRNHG�WRGD\�LQ�D�JUHDWSDUW� RI� TXDQWXP�PHFKDQLFDO� OLWHUDWXUH�� EHFDXVH� RI� WKH� FODULW\� DQG� HOHJDQFH� RI� WKHWKHRU\�� LQ� QR� ZD\� VDWLVILHV� WKH� UHTXLUHPHQWV� RI� PDWKHPDWLFDO� ULJRU� ��� QRW� HYHQ� LIWKHVH�DUH�UHGXFHG�LQ�D�QDWXUDO�DQG�SURSHU�IDVKLRQ�WR�WKH�H[WHQW�FRPPRQ�HOVHZKHUH�LQ
�WKHRUHWLFDO� SK\VLFV�� � )RU� H[DPSOH�� WKH� PHWKRG� DGKHUHV� WR� WKH� ILFWLRQ� WKDW� HDFKVHOI�DGMRLQW�RSHUDWRU�FDQ�EH�SXW�LQ�GLDJRQDO�IRUP���,Q�WKH�FDVH�RI�WKRVH�RSHUDWRUV�IRUZKLFK� WKLV� LV� QRW� DFWXDOO\� WKH� FDVH�� WKLV� UHTXLUHV� WKH� LQWURGXFWLRQ� RI� ³LPSURSHU�IXQFWLRQV�ZLWK� VHOI�FRQWUDGLFWRU\�SURSHUWLHV�� �7KH� LQVHUWLRQ�RI� VXFK� D�PDWKHPDWLFDO�ILFWLRQ�� LV� IUHTXHQWO\� QHFHVVDU\� LQ�'LUDF¶V� DSSURDFK�� HYHQ� WKRXJK� WKH� SUREOHP� DWKDQG� LV� PHUHO\� RQH� RI� FDOFXODWLQJ� QXPHULFDOO\� WKH� UHVXOW� RI� D� FOHDUO\� GHILQHGH[SHULPHQW��7KHUH�ZRXOG� EH� QR� REMHFWLRQ� KHUH� LI� WKHVH� FRQFHSWV��ZKLFK� FDQQRW� EHLQFRUSRUDWHG�LQWR�WKH�SUHVHQW�GD\�IUDPHZRUN�RI�DQDO\VLV��ZHUH�LQWULQVLFDOO\�QHFHVVDU\IRU� WKH� SK\VLFDO� WKHRU\�� 7KXV�� DV� 1HZWRQLDQ� PHFKDQLFV� ILUVW� EURXJKW� DERXW� WKHGHYHORSPHQW� RI� WKH� LQILQLWHVLPDO� FDOFXOXV�� ZKLFK�� LQ� LWV� RULJLQDO� IRUP�� ZDVXQGRXEWHGO\� QRW� VHOI� FRQVLVWHQW�� VR� TXDQWXP� PHFKDQLFV� PLJKW� VXJJHVW� D� QHZVWUXFWXUH� IRU� RXU� �DQDO\VLV� RI� LQILQLWHO\� PDQ\� YDULDEOHV�� ��� L�H��� WKH� PDWKHPDWLFDOWHFKQLTXH�ZRXOG�KDYH�WR�EH�FKDQJHG��DQG�QRW�WKH�SK\VLFDO�WKHRU\���%XW�WKLV�LV�E\�QRPHDQV� WKH� FDVH�� � ,W� VKRXOG� UDWKHU� EH� SRLQWHG� RXW� WKDW� WKH� TXDQWXP� PHFKDQLFDO7UDQVIRUPDWLRQ� WKHRU\�� FDQ� EH� HVWDEOLVKHG� LQ� D�PDQQHU�ZKLFK� LV� MXVW� DV� FOHDU� DQGXQLILHG��EXW�ZKLFK�LV�DOVR�ZLWKRXW�PDWKHPDWLFDO�REMHFWLRQV���,W�VKRXOG�EH�HPSKDVL]HGWKDW� WKH� FRUUHFW� VWUXFWXUH� QHHG� QRW� FRQVLVW� LQ� D� PDWKHPDWLFDO� UHILQHPHQW� DQGH[SODQDWLRQ� RI� WKH� 'LUDF� PHWKRG�� EXW� UDWKHU� WKDW� LW� UHTXLUHV� D� SURFHGXUH� GLIIHULQJIURP�WKH�YHU\�EHJLQQLQJ��QDPHO\��WKH�UHOLDQFH�RQ�WKH�+LOEHUW�WKHRU\�RI�RSHUDWRUV�´������7KH�DERYH�FLWDWLRQ�ZDV�ZULWWHQ�EHIRUH�WKH�LQYHQWLRQ�RI�GLVWULEXWLRQV�>�F@�>�G@�LQWKH� ����¶V��7KH� WKHRU\� RI� GLVWULEXWLRQV� JDYH� QHZ� LQVLJKW� LQWR� WKH�'LUDF� IRUPDOLVPDQG� UHOLHYHG� LW� IURP� WKH� DFFXVDWLRQ� RI� XVLQJ� LPSURSHU� IXQFWLRQV�� $� FRPSOHWHMXVWLILFDWLRQ�RI�WKH�'LUDF�IRUPDOLVP�ZDV�JLYHQ�E\�*HO¶IDQG�>�����@��ZKR�LQWURGXFHGWKH� ULJJHG� +LOEHUW� VSDFH� DQG� WKH� JHQHUDOL]HG� HLJHQYHFWRUV� >�����@�� :LWKLQ� WKHIUDPHZRUN�RI�WKLV�WKHRU\��HT��������LV�IXOO\�MXVWLILHG�DQG�FDQ�EH�DSSOLHG�LQ�D�VLPSOHPDQQHU��ZKLFK�JHQHUDOLVHV�WKH�ILQLWH�GLPHQVLRQDO�UHVXOWV�RI�SDSHU�>,@��7KH�WKHRU\�RI*HO¶IDQG� LV� DOVR� WKH� EDVLV� RI� D[LRPDWLF� TXDQWXP� ILHOG� WKHRU\� >��@� DQG�ZDV� IXUWKHUDGDSWHG�DQG�HODERUDWHG�LQ�RUGHU�WR�GHVFULEH�PRUH�SODLQO\�TXDQWXP�PHFKDQLFV�LQ�WKH'LUDF�IRUPDOLVP�>�����@������,Q�WKH�WUHDWPHQW�RI�WKH�ILQLWH�GLVFUHWH�VLJQDOV�ZH�XVHG�WKH�EUD�NHW�IRUPDOLVP�>�@�DQGNHW� EDVHV� WR� GHVFULEH� WKH� WUDQVLWLRQ� IURP� VLJQDOV� UHSUHVHQWHG� E\� WLPH� SRLQWV� WR� WKHLU
�IUHTXHQF\�UHSUHVHQWDWLRQ��$V�D�JXLGHOLQH�ZH�XVHG�WKH�RUWKRQRUPDOLW\�FRQGLWLRQ��ZKLFK�LVWKH� FRQGLWLRQ� WKDW� SK\VLFDO� VWDWHV� �HLJHQVWDWHV� RI� VHOI�DGMRLQW� RSHUDWRUV�� VDWLVI\� LQTXDQWXP�PHFKDQLFV��LQ�RQH�GLPHQVLRQ��DQG� IRU�GLIIHUHQW�HLJHQYDOXHV���7KH�SHFXOLDULW\RI� XVLQJ� NHW�YHFWRUV� DQG�QRW�ZDYHIXQFWLRQV� LV� WKDW� RUWKRJRQDOLW\� FDQ� EH� HPSOR\HG� �DWOHDVW� IRU� WKH�SUREOHPV�RI� WKLV�SDSHU���ZLWKRXW� WKH�QHHG� WR� H[SOLFLWO\� UHIHU� WR� ERXQGDU\FRQGLWLRQV��2QH�RI� WKH� UHDVRQV� LV� WKDW�ZDYHIXQFWLRQV� LQ�+LOEHUW� VSDFH� DUH� UHTXLUHG� WRYDQLVK�DW�VSDFH�LQILQLW\��ZKLOH�IRU�NHW�YHFWRUV��LQ�WKH�ULJJHG�+LOEHUW�VSDFH��VSDFH�LQILQLW\LV�D�UHJXODU�SRLQW��:H�FRQWLQXH�KHUH�WKH�VDPH�DSSURDFK�DQG�FRQVLGHU��IRU�H[DPSOH��WKHVDPSOLQJ�WKHRUHP�IURP�WKLV�SRLQW�RI�YLHZ��DQG�ZH�ILQG�WKDW�WKH�XVH�RI�RUWKRJRQDOLW\�DQGSURMHFWLRQ� RSHUDWRUV� OHDG� XV� WR� XQGHUVWDQG� WKH� VDPSOLQJ� WKHRUHP� DV� FRPLQJ� IURP� DUHODWLRQ� EHWZHHQ� DQ� RYHUFRPSOHWH� QRQ�RUWKRJRQDO� EDVLV� DQG� DQ� RUWKRQRUPDO� FRPSOHWHRQH��2WKHU�DVSHFWV�RI�VLJQDO�WKHRU\�DUH�WUHDWHG�DV�ZHOO�LQ�WKH�EUD�NHW�IRUPDOLVP������,Q� WKLV� SDSHU�ZH� LQWURGXFH� WKH�'LUDF� UHSUHVHQWDWLRQ� DV� D� IUDPHZRUN� RU� D� EDVLV� IRUVLJQDO� WKHRU\��$V� WKH� VXEMHFW� LV� TXLWH� EURDG�ZH�ZLOO� FRQFHQWUDWH� LQ� WKH� SDSHU� RQO\� RQWKHRUHWLFDO� FRQVLGHUDWLRQV� EDUHO\� WRXFKLQJ� DSSOLFDWLRQV�� OHDYLQJ� WKHP� IRU� QH[WSXEOLFDWLRQV�
��7KH�LQILQLWH�GLPHQVLRQDO�'LUDF�VSDFH �
,Q�SDSHU�>,@�ZH�FRQVLGHUHG�D�EDVLV�ZLWK�D�GLVFUHWH�DQG�ILQLWH�LQGH[��7KH�WUHDWPHQW�RI�WKHEDVLV�ZLWK�D�FRQWLQXRXV�LQGH[�LV�PRUH�LQYROYHG��)RU� WKH�FRQWLQXRXV�FDVH� WKH�NHW�EDVLV�,�����FDQ�EH�JHQHUDOL]HG�WR�D�NHW�EDVLV�ODEHOHG�E\�WKH�WLPH�W��
W ���ZKHUH��− ∞ ≤ ≤ ∞t �����������������������������������������������D�ZLWK�WKH�GXDO��EUD�VSDFH�
W ���ZKHUH��− ∞ ≤ ≤ ∞t �����������������������������������������������E�IRU�ZKLFK�WKHUH�H[LVWV�WKH�VFDODU�SURGXFW��LQ�WHUPV�RI�GLVWULEXWLRQV�>���@��
( )W W W W′ = − ′δ �������������������������������������������������������ZKHUH�δ�LV�WKH�'LUDF�GHOWD�IXQFWLRQ��VHH�$SSHQGL[�$���7KH�LGHQWLW\�RSHUDWRU�QRZ�WDNHVWKH�IROORZLQJ�IRUP�
�
�I t t dt=−∞
∞
∫ ������������������������������������������������������
(TXDWLRQV���������GHILQH�WKH�ODUJHVW�'LUDF�VSDFH�IRU�FRQWLQXRXV�VLJQDOV��,Q�D�ZD\�VLPLODUWR�HT���,�������D�NHW�YHFWRU�DQG�D�EUD�YHFWRU� LQ� WKLV�VSDFH��D�ULJJHG�+LOEHUW�VSDFH���ZLOOKDYH�WKH�PRVW�JHQHUDO�H[SDQVLRQ�ZLWK�WKH�EDVHV�����D��DQG�����E���LQ�WKH�IRUP�
( ) ( )( )X X W W GW X X W W GW= =−∞
∞
−∞
∞∗
∫ ∫, �����������������������������
UHVSHFWLYHO\��ZKHUH�X�W��DUH�WKH�H[SDQVLRQ�FRHIILFLHQWV��ZKLFK�FDQ�EH�GLVWULEXWLRQV��)URPWKH�RUWKRQRUPDOLW\�FRQGLWLRQ��������RQH�JHWV�
( )( )W X X W X W X W= = ∗( ), �����������������������������������������
/HW�XV�WDNH�DV�DQ�H[DPSOH�WKH�VLJQDO�I�W�� ��ZKLFK�FDQ��EH�FRQVLGHUHG�DV�D�NHW� I �ZLWKSURMHFWLRQV�LQWR�WKH�RUWKRQRUPDO�EDVLV� W � �L�H�� WKH�FRPSRQHQWV��HTXDO� WR� WKH�YDOXHV�RIWKH�IXQFWLRQ��L�H��
W I I W= ( ) ������������������������������������������������������,Q� WKH�'LUDF� VSDFH� RQH� FDQ� GHILQH� RWKHU� RUWKRQRUPDO� NHW�EDVHV�� DPRQJ� WKHP� WKH� RQHODEHOHG�ZLWK�WKH�DQJXODU�IUHTXHQF\�ω�� ω ��,WV�WUDQVLWLRQ�WR�WKH�W�EDVLV�LV�REWDLQHG�YLD�WKHPDWUL[�HOHPHQWV�VLPLODU�WR�HT���,������
W H i tωπ
ω= 1
2, ����������������������������������������������������
IURP�ZKLFK�ZH�FDQ�JHW�WKDW
ωπ
ω=−∞
∞
∫1
2e t dti t �������������������������������������������������
7KH�QRUPDOL]DWLRQ�LQ�HT��������ZDV�VR�FKRVHQ�WR�HQVXUH�WKH�RUWKRQRUPDOLW\�FRQGLWLRQ( ) ( )ω ω
πδ ω ωω ω′ = = − ′
−∞
∞− ′∫
1
2e dti t ����������������������������������
$V�WKH�ω�EDVLV�VSDQV�WKH�VDPH�'LUDF�VSDFH�DV�WKH�W�EDVLV��WKH�LGHQWLW\�RSHUDWRU�VDWLVILHV��I t t dt d= =
−∞
∞
−∞
∞
∫ ∫ ω ω ω ����������������������������������������
6LPLODU�WR�HT���,������ZH�FDQ�LQWURGXFH�WKH�DQJXODU�IUHTXHQF\�RSHUDWRU�
�
�ω ω ω ω ω=−∞
∞
∫ d ������������������������������������������
KDYLQJ�WKH�IROORZLQJ�SURSHUWLHV� , � , � .ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω= = =n n ���������������������������������
8VLQJ�HTV���������DQG���������RQH�FDQ�SURYH�WKDW
( ) ( )W L X W L X G L W X G
L H X G GGW W X G G
GW W Xi t
� �
,
ω ω ω ω ω ω ω ω ω
πω ω ω ω ω ωω
= =
= = =
−∞
∞
−∞
∞
−∞
∞
−∞
∞
∫ ∫
∫ ∫1
2
��������������������������
L�H��LQ�WKDW�VHQVH�WKH� L �ω RSHUDWRU�FDQ�EH�FRQVLGHUHG�DV�WKH�WLPH�GHULYDWLYH�RSHUDWRU�����/HW�XV�LQWURGXFH�WKH�WLPH�RSHUDWRU�
�t t t t dt=−∞
∞
∫ ������������������������������������������������������������
KDYLQJ�WKH�IROORZLQJ�SURSHUWLHV� , � , �t t t t t t t t t t t tn n= = = ����������������������������������������
,Q�D�ZD\�VLPLODU�WR�WKH�GHULYDWLRQ�RI�HT���������ZH�FDQ�JHW�
( )ωω
ω− =it ud
du� �����������������������������������������������
)URP�HT��������ZH�REWDLQ− =i
d
dtt tω ω ω ������������������������������������������������
DQG�PRUH�JHQHUDOO\��UHZULWLQJ�HT���������− =i
d
dtt u t u�ω �������������������������������������������������
L�H��DFFRUGLQJ�WR�HTV���������DQG��������RQH�FDQ�FRQVLGHU�WKH�RSHUDWRU− ≡i
d
dt
�ω ��������������������������������������������������������DOVR� DV� WKH� DQJXODU� IUHTXHQF\� RSHUDWRU�� 7KH� GLIIHUHQFH� EHWZHHQ� WKH� RSHUDWRUV� RI� HT��������DQG�HT���������LV�WKDW�WKH�RSHUDWRU� �ω LV�DQ�LQILQLWH�GLPHQVLRQDO�PDWUL[�LQ�WKH�'LUDFVSDFH��ZKLOH�WKH�RSHUDWRU� �ω DFWV�LQ�WKH�VSDFH�RI�IXQFWLRQV��,Q�WKH�IROORZLQJ�ZH�ZLOO�GHDOPRVWO\�ZLWK�RSHUDWRUV�LQ�WKH�'LUDF�VSDFH�
����&RQWLQXRXV�6SHFWUDO�$QDO\VLV
7KH�VSHFWUDO�GHFRPSRVLWLRQ�RI�D�WLPH�GHSHQGHQW�VLJQDO�I�W��LV�JLYHQ�E\�LWV�)RXULHUWUDQVIRUP�
( )) H I W GWitωπ
ω= −
−∞
+∞
∫12
( ) �����������������������������������������������
ZKLOH�WKH�LQYHUVH�UHODWLRQ�LV�
I�W� ( )��π
ω ω ωe F dit
−∞
+∞
∫ �������������������������������������
+HUH�ZH�ZLOO�XWLOL]H�WKH�'LUDF�EUD�NHW�IRUPDOLVP�>�@���DJDLQ��LQ�WKH�ULJJHG�+LOEHUW�VSDFH>��@���IRU�VSHFWUDO�DQDO\VLV��,Q�SUDFWLFH�WKH�GDWD�DUH�FROOHFWHG�LQ�ILQLWH�VDPSOLQJV��,Q�WKLVVHFWLRQ��IRU�PHWKRGRORJLFDO�UHDVRQV��ZH�ZLOO�FRQILQH�RXUVHOYHV�WR�FRQWLQXRXV�VLJQDOV��������:H� ZLOO� GHQRWH� WKH� VLJQDO� IXQFWLRQ� I�W�� DV� D� EUD�NHW� W I �� 7KXV� WKH� VLJQDO� LVFRQVLGHUHG�WR�EH�DQ�DEVWUDFW�NHW�YHFWRU��VWDWH� I �DQG�FDQ�EH�UHSUHVHQWHG�HLWKHU�E\� W IRU�E\�LWV�)RXULHU�WUDQVIRUP� ω f ��
ω ωf t t f dt=−∞
+∞
∫ �����������������������������������������������
DQG�WKH�LQYHUVH�WUDQVIRUP�LV
W I W I G=−∞
+∞
∫ ω ω ω ����������������������������������������������
ZKHUH�������� )� Iω ω) ≡ ���������������������������������������������������������
W H itωπ
ω= 12
������� ωπ
ωt e it= −12
���������������������������������DQG�WKH�QRUPDOL]DWLRQ�FRQGLWLRQ�LV�
������ W W W W G HL W W G W W � � � �= = − ′ =− ∞
∞∫ −
− ∞
∞
∫ ω ω ω πω ω δ1
2������������������������
ZKHUH�� �LV�WKH�GHOWD�IXQFWLRQ��RI�'LUDF��,Q�WKH�'LUDF�IRUPDOLVP�WKH�FRPSOHWHQHVV�UHODWLRQLV�
�
�I t t dt d= =−∞
+∞
−∞
+∞
∫ ∫ ω ω ω �����������������������������������������������
ZKHUH� �I �LV�WKH�LGHQWLW\�RSHUDWRU��7KH�UHODWLRQV�������DUH�VROXWLRQV�RI�WKH�HLJHQYDOXHHTXDWLRQ�������
�D��:LQGRZLQJ,Q�SUDFWLFH�WKH�VLJQDO�LV�GHWHFWHG��GXULQJ�D�ILQLWH�WLPH�LQWHUYDO��VD\��7��7KH�VSHFWUDODQDO\VLV�LQ�WKLV��WLPH�LQWHUYDO�FDQ�EH�GRQH�LQ�WKH�IROORZLQJ�ZD\�
� )� � I �W�H[S��LW �I�W�GW7 7ω ω α ωπ
≡ =−∫�AT
T12
������������������������
ZKHUH��α( )t �LV�RQH�RI�SRVVLEOH�ZLQGRZLQJ�IXQFWLRQV�>�����@��>��@�DQG�HT��������ZDVREWDLQHG�E\�XVLQJ�WKH�ILOWHU�RSHUDWRU
� ( )Α =−∫T
T
t t dt tα ��������������������������������������������������������D�
,Q�WKLV�FDVH�WKH�IRUPDOLVP�FDQ�EH�UHSODFHG�E\�GHFRPSRVLQJ�WKH�LGHQWLW\�RSHUDWRU�LQWR�
( ) ( )[ ]� � (� � )I A I A t t t dt t t t dt= + − = + −−∞
+∞
−∞
+∞
∫ ∫α α1 ��������������������������������������D�
ZKHUH� ( )α t �LV�WKH�ZLQGRZLQJ�IXQFWLRQ�KDYLQJ�VXSSRUW�RQO\�LQ�WKH�ILQLWH�LQWHUYDO��)RUH[DPSOH�IRU�WKH�UHFWDQJXODU�ZLQGRZ�ZLWK�D�ILQLWH�WLPH�LQWHUYDO��7�
( )α t = 1�����IRU����− ≤ ≤T t T �����RWKHUZLVH��� ( )α t = 0.��������������������2QH�PD\�HPSOR\�DOVR�RWKHU�ZLQGRZLQJ�SURFHGXUHV�RI�FRPPRQ�XVH��6XEVWLWXWLQJ�HT�����D��LQWR�HT������ZH�REWDLQ�
( ) ( )[ ]ω α ω α ωf t t t f dt t t t f dt= + −−∞
+∞
−∞
+∞
∫ ∫ 1
����������� � ( ) ( )[ ]α ω ω α ω ω ωt t t f dt d t t t f dt−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
∫ ∫ ∫+ ′ − ′ ′1
����������� ( )= + ′ ′ ′−∞
+∞
∫ω ω ω ω ωf K f dT
, �����������������������������������������
ZKHUH
�
( ) ( )[ ]. W W W GWω ω α ω ω, ′ = − ′− ∞
+ ∞
∫ 1 ����������������������������������
LV�WKH�NHUQHO�RI�WKH�OLQHDU�LQWHJUDO�HTXDWLRQ���������DQG
( )ω α ωf t t t f dtT
=−∞
+∞
∫ �����������������������������������������
LV�WKH�VSHFWUXP�RI�WKH�ZLQGRZHG�VLJQDO��WKH�PHDVXUHG�TXDQWLW\���(TXDWLRQ��������FDQ�EHUHFDVW�LQ�DQ�RSHUDWRULDO�IRUP�LI�ZH�VXEVWLWXWH�� ( ). . , $ω ω ω ω ω ω, � � �′ = ′ ≡ − ′ ��DQGWKXV�REWDLQ�IURP�HT���������
ω ω ω ω ω ωf f K f dT
= + ′ ′ ′−∞
+∞
∫ � ����������������������������������
����(T�������� � FDQ� EH� XVHG� IRU� DQ� DSSUR[LPDWH� HVWLPDWLRQ� RI� WKH� HUURU� RI� WKH� VSHFWUDODQDO\VLV�LQ�WKH�IROORZLQJ�ZD\�
ω ω ω ω ω ωf f K f dT T
− ≈ ′ ′ ′∫ � ����������������������������������
DQG�ZKHQ�SRVVLEOH��L�H��LI�HT���������KDV�D�VROXWLRQ���WR�JHW�WKH�H[DFW�VSHFWUXP�IRUP�WKHZLQGRZHG� RQH�� ,Q� WKH� $SSHQGL[� %� ZH� JLYH� DQ� H[DPSOH� RI� D� FRQWLQXRXV� VLJQDO� ZLWKZLQGRZLQJ�
�E��)LOWHULQJ���7KH�ILOWHULQJ�FDQ�EH�GHVFULEHG�ZLWK�WKH�KHOS�RI�WKH�ILOWHU�RSHUDWRU
� ( )Φ =−∞
∞
∫ ϕ ω ω ω ωd ���������������������������������������������������D�
ZKLFK�LV�DQ�RSHUDWRU�YDOXHG���FRQWLQXRXV���OLQHDU�IXQFWLRQDO��7KH�ILOWHUHG�VSHFWUXP�LV�
� ( )ω ϕ ω ω ω ω ϕ� �Φ Φf F t t f dt t t f dt= = =
−∞
∞
−∞
∞
∫ ∫ ���������������������������������E�
ZKHUH� WKH� IXQFWLRQ� ϕ ω( ) � PRGLILHV� �ILOWHUV�� WKH� VSHFWUXP� DQG� W I ϕ W IΦ � LV� WKHILOWHUHG�VLJQDO�� ,Q�D�VLPLODU�ZD\�WR� WKDW�GHULYHG� LQ� VHF���D��RQH�FDQ�GHULYH� WKH�REYLRXVLQWHJUDO�HTXDWLRQ�ZKLFK�UHODWHV�WKH�VLJQDO�WR�WKH�ILOWHUHG�VLJQDO�
( )W I W I W , I W I W , W W I GW= + − = + − ′ ′ ′−∞
∞
∫� � � � (� � )Φ Φ Φ Φ �������������F�
��/HW�
ϕ ω ω ϕ( ) =− ∞
∞
∫ t t dt ����������������������������������������������
WKHQ��XVLQJ�HT����������WKH�LQYHUVH�WUDQVIRUP�RI��������LV
W I W I Gϕ ω ϕ ω ω ω=−∞
∞
∫ ( ) �=−∞
∞
−∞
∞
∫∫ t t t f d dtω ω ϕ ω ω' ' ' �����������
)URP�HTV��������ZH�KDYH��������������������������������������� W W W Wω ω ω' '= − �DQG�HT���������EHFRPHV��DIWHU�XVLQJ�WKH�U�K�V�RI�HT��������
W I W W W I GWϕ ϕ=−∞
∞
∫ −' ' ' �= −−∞
∞
∫ t t t f dt' ' 'ϕ ���������������������
LQ�ZKLFK�ZH�UHFRJQL]H�WKH�FRQYROXWLRQ�WKHRUHP��7KH�LQYHUVH�RI�HT���������LV
W LW Gϕ ϕ ω π ω ω=− ∞
∞
∫ ( )( / )exp( )1 2 ���������������������������������
/HW�XV�FRQVLGHU�IRU�H[DPSOH�
ϕ ωω ω ω ω ω ω
( ), ,
=< < − < <−
1 1 2 2 10
for and
otherwise�������������
WKDQ
W I W W W W W IW W GWϕ π
ω ω=
− − −−−∞
∞
∫2 2 1[sin(( ') ) sin(( ') )] '
( ')' �����������������
,I� WKH�IUHTXHQFLHV�RI� WKH�VLJQDO�DUH�H[SHFWHG� WR�EH� LQ� WKH�DERYH�PHQWLRQHG� UHJLRQ�� L�H�ERXQGHG�E\�HT����������WKHQ� W I W It fϕ ≡ =�Φ �DQG�HT���������EHFRPHV�DQ�LGHQWLW\
W I W W W W W IW W GW� [sin(( ') ) sin(( ') )] �
( ')'Φ
Φ=
− − − ′−−∞
∞
∫2 2 1π
ω ω ��������������������D�
ZKLFK�LV�D�SDUWLFXODU�FDVH�RI�HT���$����LQ�$SSHQGL[�$��/DWHU�ZH�ZLOO�UHODWH�WKLV�UHVXOW�WRWKH�VDPSOLQJ�WKHRUHP�
�F��$YHUDJLQJ�����2QH�FDQ�IXUWKHU�H[WHQG�WKH�'LUDF�IRUPDOLVP�DQG�REWDLQ�HDVLO\�ERWK�ZHOO�NQRZQ�DQG�DV�ZHOO��OHVV�NQRZQ�UHVXOWV��)RU�H[DPSOH�
��
������������������ I I I W W I GW I I G= =−∞
∞
−∞
∞
∫ ∫ ω ω ω ����������������������������
LV� REWDLQHG� GLUHFWO\� IURP�HT�� ������ DQG� LV� WKH�ZHOO� NQRZQ� 3DUVHYDO� WKHRUHP��2QH� FDQGHILQH�DYHUDJH�TXDQWLWLHV�LQ�D�PDQQHU�VLPLODU�WR�WKDW�GRQH�LQ�TXDQWXP�PHFKDQLFV��H�J��
� � �ω
ωω ω ω ω ω ω ωω
nn
n
f f
f f
f f d
f f
f n f d
f f= = =−∞
∞
−∞
∞
∫ ∫����������������������D�
RU�ZRUN�GLUHFWO\�ZLWK�WKH�VLJQDO�I�W��XVLQJ�HT���������
�� ( )
ωω
nf t t n f dt
f f
f t id
dtt f dt
f f
n
= =−∞
∞
∫ −−∞
∞∫
������������������������������������E�
,Q�RUGHU�WR�GHILQH�DQ�DYHUDJH�VLJQDO�ZH�LQWURGXFH�WKH�VLJQDO�RSHUDWRU�
( )� ( ) , �f f t t t dt f t f t t= =−∞
∞
∫ ������������������������������������������������������
ZLWK�WKH�DERYH�GHILQLWLRQ�WKH�DYHUDJH�ZLOO�EH
� �f
f t t f t f dt
f f
f f f
f f= = −∞
∞
∫��������������������������������
$Q�DQDORJ�RI�PHDQ�NLQHWLF�HQHUJ\�ZLOO�EH
. GGW W I I I
f td
dtt f t f dt
= =
−∞
∞
∫2
2
�����������������������������
:H�FDQ�VHH�WKDW�WKH�LQWURGXFWLRQ�RI�WKH�'LUDF�IRUPDOLVP�LQ�)RXULHU�DQG�VLJQDO�DQDO\VHVFDQ�OHDG�WR�VLPSOLILFDWLRQV�DQG�WR�QHZ�GHILQLWLRQV�RI�DYHUDJHV�
�G��7KH�$XWRFRUUHODWLRQ�DQG�WKH�:LJQHU�'RXEOH�'LVWULEXWLRQ�)XQFWLRQV�������/HW�XV�FRQVLGHU�WKH�VTXDUH�RI�WKH�DEVROXWH�YDOXH�RI�WKH�VLJQDO�6�W��
( )
W 6 6 W W 6 6 W W 6 G G
6 6 LW G G
�
��
= = ′ ′ ′
= ′ ′ − ′
−∞
∞
−∞
∞
−∞
∞
−∞
∞
∫∫
∫∫
ω ω ω ω ω ω
πω ω ω ω ω ωH[S � �
��������������������
��
DQG�VXEVWLWXWH�ω ω τ ω ϑ τ= ′ + ′ = −� � � ��ZH�REWDLQ�
( )W 6 6 6 LW G G2 1
2 2 2= + − −−∞
∞
−∞
∞
∫∫πϑ τ ϑ τ τ ϑ τexp ) ����������������������������������
HT���������LQWURGXFHV�WKH�SRLQW�VSOLWWLQJ�UHJXODUL]DWLRQ�ZKLFK�JLYHV�WKH�:LJQHU�IXQFWLRQ�ZKLFK�ZH�GHULYH�QH[W��'HSHQGLQJ�RQ�WKH�RUGHU�RI�LQWHJUDWLRQ��ZH�JHW�WZR�YHU\�LPSRUWDQWIXQFWLRQV
( )W 6 5 LW G� ��= −
−∞
∞
∫πτ τ τ� � H[S � ��������������������������������������������������
W 6 : W G��
��=
−∞
∞
∫πθ ϑ� � � �����������������������������������������������������
ZKHUH�
5 6 6 G� �τπ
ϑ τ ϑ τ ϑ= + −−∞
∞
∫1
2 2 2 ��������������������������������������������������
( ): W 6 6 LW G1
1
2 2 2( , ) exp )Ï‘Ï€
ϑ τ ϑ τ τ τ= + − −−∞
∞
∫ �������������������������������������������
DUH�WKH�DXWRFRUUHODWLRQ�DQG�WKH�:LJQHU�IXQFWLRQV��UHVSHFWLYHO\��/HW�XV�FRQVLGHU�QRZ�WKHDEVROXWH�YDOXH�VTXDUHG�RI�WKH�)RXULHU�WUDQVIRUP�RI�WKH�VLJQDO�6�W��
( )
ω ω ω ω ω
πω
6 6 6 6 W W W W 6 GWGW
6 W W 6 L W W GWGW
�
��
= = ′ ′ ′
= ′ − ′ ′
−∞
∞
−∞
∞
−∞
∞
−∞
∞
∫∫
∫∫ H[S � � �������������������������������
IROORZLQJ�WKH�VWHSV�ZKLFK�OHG�WR�HT���������ZH�ZLOO�JHW�
ωπ
ω6 : W GW��
��=
−∞
∞
∫ � � � ���������������������������������������������������
ZKHUH�
( ): W 6 6 LW G2
1
2 2 2( , ) exp )ωπ
ω τ ω τ τ τ= + − −−∞
∞
∫ ������������������������������������
2QH�FDQ�HDVLO\�SURYH�E\�XVLQJ�VXEVWLWXWLRQV�WKDW�: W : W� �� � � � � �ω ω= �����������������������������������������������������������
��WKHUHIRUH�ZH�KDYH�RQH�GRXEOH�GLVWULEXWLRQ�IXQFWLRQ�:�W�ω���WKH�:LJQHU�GLVWULEXWLRQIXQFWLRQ��VDWLVI\LQJ
( )
( )
: W 6 6 LW G
6 W W 6 L G
� � � H[S �
H[S � �
ωπ
ω ω ω ω ω ω
πτ τ ωτ τ
= + ′ − ′ − ′ ′
= + − −
−∞
∞
−∞
∞
∫
∫
1
2 2 2
1
2 2 2
�����������������������������������
DQG��IURP�HTV�����������������
ωπ
ω6 : W GW� ��=
−∞
∞
∫ � � � � ������ W 6 : W G� ��=
−∞
∞
∫πω ω� � � ���������������������������
,Q�UHI�������RQH�FDQ�ILQG�D�GHWDLOHG�H[SRVLWLRQ�RI�WKH�:LJQHU�IXQFWLRQ�DQG�RWKHU�GRXEOHGLVWULEXWLRQ�IXQFWLRQV�
����1RQ�RUWKRJRQDO�VWDWHV�LQ�VXEVSDFHV
������/HW� XV� QRWH� WKDW� E\� JRLQJ� WR� VXEVSDFHV� RI� WLPH� RU� IUHTXHQF\� WKH� RUWKRQRUPDOLW\FRQGLWLRQ�PLJKW� QRW� EH� VDWLVILHG� DQ\�PRUH�� ,I�ZH� UHVWULFW� RXUVHOYHV� � WR� WKH�ZLQGRZHGVXEVSDFH��WKH�UHFWDQJXODU�ZLQGRZ�IRU�H[DPSOH��ZH�REWDLQ�
ω ω ω ωπ
ω ω
ω ω ω ω
π ω ωω ω
π ω ω
, ', ( )
( ) ( )
( )
sin(( ) )
( ),
T T t t dt ei tdtT
T
ei T e i T
i
T
T
T
=−∫ ′ = ′− =
−∫
=′− − − ′−
− ′= − ′
− ′
12
2
����������������������������������
ZKHUH� ω,T �DUH�WKH�SURMHFWHG�VWDWHV�LQWR�WKH�DERYH�PHQWLRQHG�VXEVSDFH��ZKLFK�ZH�ZLOOGHQRWH�E\�67��7KH�RUWKRJRQDOLW\�FRQGLWLRQ�LV�VDWLVILHG�RQO\�LI
ω ω π− ′ = ± =n T n/ , , ,...12 ������������������������������������,Q�RUGHU�WR�ZULWH�HT��������PRUH�H[SOLFLWO\�RQH�QHHGV�WR�LQWURGXFH�WKH�SURMHFWLRQ�RSHUDWRU
�P t t dtTT
T
=−∫ �������������������������������������������������������
ZKLFK�SURMHFWV�LQWR�WKH�VXEVSDFH�67���7KH�NHW�YHFWRU�VWDWHV�LQ�WKLV�VXEVSDFH�QRZ�DUH�
W 7 3 W W IRU W 7IRU W 7T, � ,
, ,= =
≤>
0 ������������������������������������������������
��
( ) ( )[ ]( )
ω ω ω ω ω ω ω
πω ω ω
ω ωπ ω ω
ωω ω
, �
sin.
T P t t dt t t dtd
e dtd dT
TT
T
T
T
T
Tit
= = = ′ ′ ′
= ′ ′ = ′− ′
− ′′
− −∞
∞
−
−∞
∞
−
− ′
−∞
∞
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫1
2
��������������������
7KHUHIRUH�HT��������VKRXOG�EH�ZULWWHQ�DV�IROORZV�
ω ω ω ω ω ω ω ωπ ω ω
, , � � sin(( ) )
( ),T T P PT T
T
T
t t dtT′ = ′ =
−∫ ′ = − ′
− ′������������������������
7KH�VROXWLRQV�RI�HT���������L�H��VWDWHV�ZKLFK�DUH�RUWKRJRQDO��DUH�ω π ω ω δ πn n m nmn T C n T T T,C ,C ,C/ , , , ,..., , , /= + = ± ± =0 1 2 ��������������������
ZKHUH�&�LV�DQ�RYHUDOO�FRQVWDQW�DQG�WKH�QRUPDOL]DWLRQ�FRPHV�IURP�HT���������7KH�VWDWHV�RIHT��������IRUP�D�FRPSOHWH�RUWKRJRQDO�VHW��EHFDXVH�ZH�NQRZ�WKDW�WKH�IXQFWLRQV
W 7 Hni n tω πω
,,, /00 2= ����������������������������������������������
IRUP� D� FRPSOHWH� RUWKRJRQDO� EDVLV� IRU� )RXULHU� VHULHV� LQ� WKH� LQWHUYDO� �7≤W≤7�� 7KXV� WKHNHW�YHFWRU� VWDWHV� ω,T � DUH� DQ� RYHUFRPSOHWH� EDVLV� LQ� 67� �� $V� ZH� VKDOO� VHH� ODWHU�� WKHUHODWLRQ�EHWZHHQ�WKH�RYHUFRPSOHWH�EDVLV� ω,T �DQG�WKH�FRPSOHWH�EDVLV�RI�HT��������LV�WKHFRUQHUVWRQH�RI�WKH�VDPSOLQJ�WKHRUHP��/HW�XV�ILUVW�QRWH�WKDW�WKH�SURMHFWLRQ�RSHUDWRU� �PT �LVWKH�LGHQWLW\�RSHUDWRU�LQ�WKH�VXEVSDFH�67��
�� � , � � . � ,P T P P P TT T T Tω ω ω ω= = = �������������������������������������������7KHUHIRUH�ZH�VKRXOG�H[SHFW�WKH�FRPSOHWHQHVV�UHODWLRQ��WDNLQJ�LQWR�DFFRXQW��������WR�EH�
� , ,,C ,CPT
T TTn
n n==−∞
∞
∑π ω ω �����������������������������������������������
(PSOR\LQJ�HTV��������DQG��������WKH�H[SDQVLRQ�RI�WKH�RYHUFRPSOHWH�EDVLV�LQ�WHUPV�RI�WKHFRPSOHWH�RQH�FDQ�EH�REWDLQHG�LQ�WKH�IROORZLQJ�ZD\�
( )[ ]( )
( )[ ]( )
ω ω π ω ω ω
π ωω ω
π ω ωω
ω ω
ω ω
, � , , , ,
,sin
,sin
,
,C ,C
,C
,C
,C,C
,C
,C
T P TT
T T T
TT
TT
T
T
Tn
n n
nn
n
n nn
n
n
= =
=−
−=
−
−
=−∞
∞
=−∞
∞
=−∞
∞
∑
∑ ∑��������������
IURP�ZKLFK�WKH�IROORZLQJ�VDPSOLQJ�WKHRUHP��IRU�D�VLJQDO�I��FDQ�EH�GHGXFHG�
��
( )[ ]( )ω
ω ω
ω ωω,
sin, ,
,C
,C,CT f
T
TT f
n
n
nn=
−
−=−∞
∞
∑ ����������������������������������
WKLV�UHVXOW�ZDV�REWDLQHG�XQGHU�WKH�DVVXPSWLRQ�WKDW�WKH�VLJQDO�H[LVWV�RQO\�IRU�WLPHV�W�W 7≤ �����������������������������������������������������������
%HIRUH�FORVLQJ� WKLV� VHFWLRQ�ZH�ZLOO�SURYH� WKDW� WKH� VWDWHV� ω,T � IRUP� D� EDVLV�ZKLFK� LVRYHUFRPSOHWH��:H�VWDUW�ZLWK�WKH�FRPSOHWHQHVV�UHODWLRQ�������DQG�PRGLI\�LW�DFFRUGLQJ�WR�
� � �� � � , ,P P IP P P d T T dT T T T T= = =−∞
∞
−∞
∞
∫ ∫ω ω ω ω ω ω ���������������������������������
5HODWLRQ� ������� LV� WKH� SURRI� WKDW� WKH� VWDWHV� ω,T � IRUP� D� EDVLV� LQ� WKH� VXEVSDFH� 67� �,QGHHG�DQ\�IXQFWLRQ�ZLWK�WKH�VXSSRUW�LQ�67�KDYH�D�XQLTXH�H[SDQVLRQ�
X W W X W 3 X W 7 7 X GT( ) � , ,= = =−∞
∞
∫ ω ω ω ����������������������������������
1H[W�ZH�PXOWLSO\�HT��������IURP�ERWK�VLGHV�ZLWK� �PT �DQG�REWDLQ�( )[ ]
( )� , ,
sin, .P T T d
TTT ω ω ω
ω ωπ ω ω
ω= = ′− ′
− ′′
−∞
∞
∫ �������������������������������
(T���������VKRZV�WKDW�WKH�VWDWHV� ω,T �DUH�GHSHQGHQW�EHWZHHQ�WKHPVHOYHV��WKHUHIRUH�WKHEDVLV� LV�RYHUFRPSOHWH�DQG�DFFRUGLQJ� WR� UHI�� ����� WKHVH� VWDWHV� VDWLVI\� WKH�FRQGLWLRQV� IRUEHLQJ�FRKHUHQW�VWDWHV�
���6DPSOLQJ�WKHRUHP�IRU�EDQG�OLPLWHG�VLJQDOV
,Q� VHFWLRQ� �� WKH� VDPSOLQJ� WKHRUHP�ZDV� GHULYHG� IRU� GLVFUHWH� IUHTXHQFLHV� IRU� ERXQGHGWLPH��,Q�WKLV�VHFWLRQ�ZH�GHULYH�WKH�VDPSOLQJ�WKHRUHP�IRU�WLPH�VWDWHV�LQ�WKH�FDVH�ZKHQ�WKHIUHTXHQFLHV�DUH�UHVWULFWHG�E\�WKH�FRQGLWLRQ
ω ω≤ B ��������������������������������������������������������������&RQGLWLRQ� ������ UHVWULFWV� WKH�'LUDF� VSDFH� WR� D� VXEVSDFH�ZKLFK�ZH�GHQRWH� DV� 6%� ��7KLVVXEVSDFH�LV�UHDFKHG�ZLWK�WKH�SURMHFWLRQ�RSHUDWRU�
�P dB
B
B
=−∫ω
ω
ω ω ω ����������������������������������������������������
��
7KH�NHW�YHFWRU�VWDWHV�LQ�WKLV�VXEVSDFH�QRZ�DUH�
ω ωω ω ω
ω ω, � ,
, ,B P
for
forBB
B
= =≤
> 0 ������������������������������������������������
( ) ( )[ ]( )
W % 3 W W G W W W G GW
W H GW G GW % W WW W W
BB
B
B
B
B
Bi t t
, �
sin.
= = = ′ ′ ′
= ′ ′ = ′′ −
′ −′
− −∞
∞
−
−∞
∞
−
′−
−∞
∞
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
ω ω ω ω ω ω
πω
πω1
2
���������������������������
/HW�XV�FKHFN�WKH�VFDODU�SURGXFWV
W % W % W W G W W %W W
B
B
, ,sin(( ) )
( ),′ ′ =
− ′− ′
=−∫ ω ω ω
ωπω
ω
���������������������������������������������
WKH�RUWKRJRQDOLW\�FRQGLWLRQ�LV�VDWLVILHG�RQO\�LIW W Q QB− ′ = ± =π ω/ , , ,...12 �������������������������������������������������
7KH�VROXWLRQV�RI�HT��������DUH�WKH�WLPHV�W Q ' Qn D B, / , , , ,...= + ± =π ω 012 �������������������������������������
ZKHUH�'�LV�DQ�RYHUDOO�FRQVWDQW��7KH�FRUUHVSRQGLQJ�VWDWHV�VDWLVI\�WKH�RUWKRJRQDOLW\FRQGLWLRQ�
W % W %n D m D nm B, ,, , /= δ ω π �����������������������������������������������DQG�WKH�LGHQWLW\�RSHUDWRU�IRU�WKH�FRPSOHWH�VHW�LQ�6%�LV�WKH�SURMHFWLRQ�RSHUDWRU�
( )� / , ,, ,P t B t BB B n Dn
n D==−∞
∞
∑π ω ������������������������������������������
7KH�DERYH�UHVXOWV��HTV������������DOORZ�XV�WR�REWDLQ
( )( )
X W W X W 3 X W W % W % XW W
W W X W
BB
n D n Dn
n D B
n D Bnn D
( ) � , ,
sin[ ]( ),
, ,
,
,,
≡ = =
=−
−
=−∞
∞
=−∞
∞
∑
∑
πω
ω
ω
����������������������������
ZKLFK�IRU�' ��LV�WKH�ZHOO�NQRZQ�VDPSOLQJ�WKHRUHP��DQG�FDQ�EH�H[WHQGHG�IRU�'≠��(T���������FDQ�EH�UHFDVW�LQWR�D�PRUH�JHQHUDO�IRUP�
( )( )W % W 3 W % W % W % W WW W W %B
Bn D n D
n
n D B
n D Bnn D, � , , ,
sin[ ], ,, ,
,
,,= = =
−
−=−∞
∞
=−∞
∞
∑ ∑πω
ω
ω ������������D�
RU�
��
( )( )W % 3 W W % W % W % W WW W W %B
Bn D n D
n
n D B
n D Bnn D, � , , ,
sin[ ], ., ,
,
,,= = =
−
−=−∞
∞
=−∞
∞
∑ ∑πω
ω
ω ����������E�
7KH�LQYHUVH�UHODWLRQ�FDQ�EH�REWDLQHG�LQ�D�VLPLODU�ZD\�( )( )W % 3 W % W % W % W % GW GW W WW W W %n D B n D n D
n D B
n D, , ,
,
,
, � , , , ,sin[ ]
,= = =−
−−∞
∞
−∞
∞
∫ ∫ω
π �����������&�
/HW�XV�GHFRPSRVH�WKH�VLJQDO�X�W��LQWR�LWV�RGG�DQG�HYHQ�SDUWV�X W X W X W X W X W X W+ −= + − = − −( ) [ ( ) ( )], ( ) [ ( ) ( )]1
212 ������������������������������
DQG�OHW�XV�GHQRWH� W Wn n≡ ,0 ����������������������������������������������������������������������
WKDQ��IURP�HT���������WKH�RGG�DQG�HYHQ�SDUWV�RI�WKH�VLJQDO�X�W��FDQ�EH�SUHVHQWHG�LQ�WKHIROORZLQJ�ZD\�
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
X W W WW W X W W W
W W X W
X W WW X W W
W W X W W WW W X W
Q %Q %Q
QQ %
Q %QQ
%%
Q %
Q %QQ
Q %
Q %QQ
−=
∞
−=
∞
−
+ +=
∞
+=
∞
+
=−
−−
++
= +−
−+
++
∑ ∑
∑ ∑
� � VLQ> @ � � VLQ> @ � �
� � VLQ� � � � VLQ> @ � � VLQ> @ � �
ωω
ωω
ωω
ωω
ωω
� �
� ��
���������
,Q�HT�� ������� WKH� VLJQDO� LV� VDPSOHG�RQO\� IRU� QRQ�QHJDWLYH� WLPHV��7KLV� LV� DQ� LQWHUHVWLQJSRVVLELOLW\�LI�WKH�WLPH�SDULW\�LV�NQRZQ�DQG�IL[HG��������:H�FDQ�FRQVLGHU�WKH�VDPSOLQJ�WKHRUHP�IURP�D�GLIIHUHQW�SRLQW�RI�YLHZ�LI�ZHVXEVWLWXWH�HTV��������DQG�HT���������LQWR�HT����������ZH�REWDLQ�
( ) ( ) ( )X W WW Q X W
n
nB
Bn( )
sin=
−−=− ∞
∞∑
1 ωω π
��������������������������������������������
RU�
( )( ) ( )X W
W W Q X WB n
n
Bn
( )
sin ω ω π=
−−=− ∞
∞∑
1 �������������������������������������������
7KXV��HT���������LV�WKH�SROH�H[SDQVLRQ�RI�LWV�OHIW�KDQG�VLGH��DQG�LW�LV�YDOLG� �RQO\�LI�X�W�GRHV�QRW�KDYH�VLQJXODULWLHV� LQ� W�H[FHSW�DW� LQILQLW\�� ,W�KDV�DOVR� WR�FRPSO\� WR� WKH�0LWWDJ�/HIIOHU�µV�WKHRUHP�>��@������:H� FDQ� VWLOO� YLHZ� WKH� VDPSOLQJ� WKHRUHP� IURP� RWKHU� DQJOH�� ,Q� HTV�� �������������ZHKDYH�GLIIHUHQW�RUWKRJRQDO�EDVHV�FKDUDFWHUL]HG�E\� WKH�SDUDPHWHU�'�� OHW� XV� FDOO� LW�%�'��(YHU\�SRLQW��W�FDQ�EH�UHDFKHG�E\�W WQ�'�IRU�VRPH�YDOXHV�RI�Q�DQG�'��7KHUHIRUH��ZH�FDQ
��
SUHVHQW�WKH�VDPSOLQJ�WKHRUHP�IURP�WKDW�SRLQW�RI�YLHZ�E\�H[SDQGLQJ�WKH�EDVH�YHFWRUV�RI%�'��LQ�WHUPV�RI�WKH�EDVH�YHFWRUV�RI�%�' ����)RU�WKLV�ZH�QHHG�RQO\�WR�XVH�HTV���������:H�REWDLQ�
( )[ ]( )W W W WW Wn D m
n D m B
n D m,
,
,
sin=
−
−
ω
π ����������������������������������������������
DQG�WKH�VDPSOLQJ�WKHRUHP�WDNHV�WKH�IRUP�
( )( )
W W
W X W X W WW W X W
k D
k Dk D n B
k D n Bnn
=
= =−
−=−∞
∞
∑
,
,,
,
sin[ ]( )
ω
ω�����������������������������������������
ZKHUH� QRZ� RQO\� GLVFUHWH� RUWKRJRQDO� VHWV� DUH� LQYROYHG�� (T�� ������� D� FRQVHTXHQFH� RILVRPHWULF�LVRPRUSKLVP�EHWZHHQ�WKH�EDVHV�ODEHOHG��N�'��DQG�WKRVH�ODEHOHG��N���������,W�LV�LQWHUHVWLQJ�WR�QRWH�WKDW�DOO�EDQG�OLPLWHG�IXQFWLRQV�� I W W 3 IB( ) ≡ ��KDYH�WR�VDWLVI\WKH�LGHQWLW\�JLYHQ�E\�HTV���$�����DQG��$�����RI�$SSHQGL[�$��8VLQJ�HT���������ZH�REWDLQ
( )( )( )
W 3 I W 3 W W 3 I GWW W
W W W 3 I GW
B B B
BB
= ′ ′ ′
=− ′
− ′′ ′
−∞
∞
−∞
∞
∫
∫sin
.ωπ
����������������������������������
7KH�LGHQWLW\��������ZDV�HPSOR\HG�LQ�UHIV��>��@�DQG�>��@�LQ�RUGHU�WR�GHULYH�DQ�H[SDQVLRQIRU�EDQG�OLPLWHG�IXQFWLRQV�LQ�D�WLPH�ZLQGRZ�
���6RPH�FRQVHTXHQFHV�RI�WKH�VDPSOLQJ�WKHRUHP�DQG�VRPH�DPELJXLWLHV
�����)LUVW�OHW�XV�QRWH��WKDW�LQ�RUGHU�WR�DYRLG�VRPH�DPELJXLWLHV��WKH�FRQGLWLRQ�������KDV�WREH�FKDQJHG�WR
ω ω< B ��������������������������������������������������������������������RWKHUZLVH�ZH�FDQ�DGG�WR� WKH�HT���������DQ\�IXQFWLRQ�ZKLFK�LV�]HUR�DW� WKH� LQWHUSRODWLRQSRLQWV�WQ�'���7KXV��ZH�FDQ�JHW�DQ�DPELJXLW\�RI�XS�WR�D�IXQFWLRQ�KDYLQJ�]HURV�DW�W �WQ�'�6XFK�D�IXQFWLRQ�ZLOO�KDYH�D�SHULRGLFLW\�RI� � ω ω= B ��7KH�FRQGLWLRQ�������ZLOO�HOLPLQDWHWKDW�SRVVLELOLW\
��
�����$�FRQVHTXHQFH�RI�HT���������LV�WKH�UHSODFHPHQW�RI�WKH�)RXULHU�WUDQVIRUP�HT��������E\WKH�VXP
( )ω πω
ω πω
ωf t t f e f tB n
n D n DB n
i tn Dn D= =
=−∞
∞
=−∞
∞−∑ ∑, ,
,,
2��������������������������
ZKHUH�ZH�FRQWLQXH�WR�XVH�WKH�QRUPDOL]DWLRQ�JLYHQ�E\�HT�������ω
πωt en Di tn D
,,=
1
2�������������������������������������������������
7KH�VDPSOLQJ�WKHRUHP�LV�UHFRYHUHG�IURP�HT��������E\�WKH�LQWHJUDWLRQ�W I W I G
B
B
=−∫ω
ω
ω ω ω �������������������������������������������������������������
�����:H�VKDOO�GHULYH��XVLQJ�HTV���������DQG��������DQ�LPSRUWDQW�UHODWLRQ�WR�EH�XVHG�ODWHU�RQ( )δ ω ω ω ω π
ωω ω
ωπ ω ω ω− ′ = ′ = ′ =
=−∞
∞
=−∞
∞′−∑ ∑
B nn n
B n
int t e B, ,
( )/0 0
1
2 �����������������
7KH�ULJKW�KDQG�VLGH�RI�HT��������LV�D�SHULRGLF�IXQFWLRQ�RI�SHULRG��ω B ��WKHUHIRUH�ZH�LQIHUWKDW�LW�VKRXOG�UHSHDW�LWVHOI�HYHU\�SHULRG��WKXV�ZH�VKRXOG�KDYH�
( )�� �ω
δ ω ωπω ω
B n
in
mBe mB
=−∞
∞
=−∞
∞
∑ ∑= −/ ���������������������������������������
7KH�ODVW�UHODWLRQ�LV�SURYHG�PRUH�ULJRURXVO\�LQ�UHI��>�@������&DXWLRQ�KDV�WR�EH�WDNHQ�LQ�XVLQJ�HT��������ZKLFK�KDV�D�SHULRGLFLW\�RI�ω ω= 2 B �LQ�FRQWUDGLFWLRQ�WR�HTV��������DQG��������7KH� UHVWULFWHG� OLPLWV� LQWHJUDWLRQ� ������EULQJ�XVEDFN�WR�HTV��������DQG��������7KHUHIRUH�HT��������FDQ�EH�XVHG�ZLWKRXW�DPELJXLWLHV�RQO\XQGHU�WKH�FRQGLWLRQ������������/HW�XV�FRQVLGHU�DQ�H[DPSOH�
) W W ) H UHDOi t( ) , , ( )≡ = >ω ω00 0 ���������������������������������������������
DQG�OHW�XV�FKHFN�HT���������E\�ILUVW�HYDOXDWLQJ�HT���������ZLWK�' ����WKDQ�HT��������
� ( )ω πω
π δ ω ω ω ω ωω ωF e mB n
i t
mB B
n= = − − <=−∞
∞−
=−∞
∞
∑ ∑2
2 200 0
( ) , ����������������
ZKHUH�HT��������ZDV�XVHG���,QVHUWLRQ�RI�HT��������LQWR�HT��������UHFRYHUV�WKH�FRUUHFW�UHVXOWL�H��HT���������,I�LQVWHDG�RI�FRQGLWLRQ�������WKH�FRQGLWLRQ�������ZLOO�EH�XVHG��WKDQ�RQH�LVDOORZHG�WR�WDNH�ω ωB = 0 �DQG�LQVWHDG�RI�HT��������ZH�REWDLQ�
��
( )ω πω
π δ ω ω ω ω ωω ωF e mB n
i t
mB B B
n= = − − ==−∞
∞−
=−∞
∞
∑ ∑2
2 200
( ) , ������������������
DQG�DIWHU�VXEVWLWXWLQJ�LQ�HT��������ZH�REWDLQ��WKH�GHOWD�IXQFWLRQ�LV�DQ�HYHQ�IXQFWLRQ��
[ ]W ) H G HB
Bi t
B Bi t= − + + â‰
−∫ω
ωω ωδ ω ω δ ω ω ω( ) ( ) 0 �������������������������������������������
L�H��ZH�GR�QRW�UHFRYHU�WKH�UHVXOW������������1RZ�ZH�VKDOO�GHULYH�DQRWKHU�DSSOLFDWLRQ�RI�HT���������6XEVWLWXWLQJ�WKH�)RXULHUWUDQVIRUP�������LQWR�HT��������ZH�REWDLQ�
( )πω ω
ω ω
ω ω
ω ω ω
2
1
2
2
00
0
B n
i tnn
B n
i tn
nB
e f t e F( d
F( n
=−∞
∞−
−∞
∞
=−∞
∞′−
=−∞
∞
∑ ∫ ∑
∑
=
′ ′
= −
,,
( ) , )
),�������������������
ZKLFK�FRLQFLGHV�ZLWK�HT��������XQGHU�WKH�FRQVWULFWLRQ��������,I�QR�FRQVWUDLQWV�DUHLPSRVHG�RQ�WKH�IUHTXHQFLHV��HT���������DQG�LWV�FRPSOH[�FRQMXJDWH�DUH�WKH�PDQLIHVWDWLRQRI�WKH�DOLDVLQJ�SKHQRPHQRQ�
7KH�PDLQ�LQJUHGLHQWV�OHDGLQJ�WR�WKH�VDPSOLQJ�WKHRUHP�DUH�HTV���������������DQG��������$�FRQVHTXHQFH�RI�HT���������XVLQJ�HT���������LV
W W W W W W GWn D m D n D m D nm B, , , , /= =−∞
∞
∫ δ ω π ��������������������������������������
RU
−∞
∞
∫−
−−
−=
sin[( ) ]
( )
sin[( ) ]
( ),
,
,
,
t t
t t
t t
t tdtn D B
n D B
m D B
m D B
nm
B
ωω
ωω
δω π ��������������������������������������
����6SHFWUDO�DQDO\VLV�RQ�WKH�KDOI�LQILQLWH�WLPH�D[LV�
����,Q�WKH�VDPSOLQJ�WKHRUHP�DQG�UHODWHG�HTXDWLRQV�RI�VHFWLRQ���WKH�WLPH�LV�UXQQLQJ�IURPPLQXV�WR�SOXV�LQILQLW\��,Q�SUDFWLFH�ZH�VWDUW�WR�FROOHFW�GDWD�DW�D�GHILQLWH�WLPH��ZKLFK�FDQEH�FKRVHQ�WR�EH�W ���7KHUHIRUH�KDOI�D[LV�WLPH�DQDO\VLV��W!���LV�PRUH�UHODWHG�WRH[SHULPHQW�WKDQ�ZKROH�WLPH�D[LV�DQDO\VLV��0RUHRYHU�ZH�GHDO�ZLWK�UHDO�VLJQDOV��)RU�UHDOVLJQDOV�WKH�)RXULHU�WUDQVIRUP�HT��������ZLOO�KDYH�WKH�IROORZLQJ�SURSHUW\�
( ) ( )) )∗ = −ω ω �����������������������������������������������������������
��/HW�XV�GHILQH�WKH�HYHQ�DQG�RGG�SDUWV�RI�WKH�VLJQDO�)�W��RI�HT��������DV�
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]I W I W I W I W I W I W+ −= + − = − −( ) , ( )12
12 ������������������������������������������
WKDQ��XVLQJ�HTV�����������������������������ZH�REWDLQ�WKH�VLQH�DQG�FRVLQH�)RXULHUWUDQVIRUPV�
( )I W W ) ) G W )� G+−∞
+∞∗
+∞
= + =∫ ∫( ) cos( ) [ ( )] cos( ) Re[ )]12
12
0
2Ï€
ω ω ω ωπ
ω ω ω ������������������
DQG�LQ�D�VLPLODU�ZD\�
I W W )� G−
+∞
= − ∫( ) sin( ) Im[ )]2
0πω ω ω �����������������������������������������
5H> �@ FRV� �> � �@)� W I W GWωπ
ω=+∞
+∫2
0
������������������������������������������
,P> �@ VLQ� �> � �@)� W I W GWωπ
ω= −+∞
−∫2
0
�����������������������������������������
�����,Q�WHUPV�RI�WKH�'LUDF�IRUPDOLVP�WKH�VLQH�DQG�FRVLQH�WUDQVIRUPV�FDQ�EH�IRUPXODWHG�DVIROORZV��WKH�YHFWRU�VSDFH�ZLWK�WKH�EDVLV� W �LV�GHFRPSRVHG�LQWR�WZR�RUWKRJRQDOVXEVSDFHV� W 3� = 1 ��ZLWK�SURMHFWLRQ�3 ��LQWR�WKH�HYHQ�IXQFWLRQV�RI�W��DQG� W 3� = −1
�ZLWK�SURMHFWLRQ�3 ���LQWR�RGG�IXQFWLRQV�RI�W���1RZ��EHFDXVH�RI�WKH�V\PPHWU\�RI�HYHQDQG�RGG�IXQFWLRQV�LQ�W�→�W��DOO�WKH�LQIRUPDWLRQ�FDQ�EH�VWRUHG�LQ�W≥���7KXV�DQ\�IXQFWLRQRI�W�FDQ�EH�GHFRPSRVHG�LQWR�LWV�HYHQ�DQG�RGG�SDUWV��DV�LQ�HT��������
[ ] [ ]I W W I I W I W W 3 I W 3 I� � � � � � � �≡ = + ≡ = + = −+ − 1 1 ������������������������������IURP�ZKLFK�ZH�GHGXFH�WKDW�
W W 3 W 3= = + = −, ,1 1 ����������������������������������������������������/HW�XV�QRWH�IURP�HTV�����������������������DQG�������WKDW�
W 3 3 W W 3 3 L WW 3 W 3
W 3 W 3 W 3 W 3 W W
� � FRV� �� � � VLQ� ��� � �
� � � � � ��
= = = = − = − =
= ′ = − =
= ′ = = = − ′ = − = − ′
1 11
21 1
2
1 1 0
1 1 1 1 12
ωπ
ω ωπ
ω
δ
����������������������
,Q�D�VLPLODU�ZD\�ZH�FDQ�GHILQH�HYHQ�DQG�RGG�SDULW\�VWDWHV�RI�IUHTXHQF\�7KH�LGHQWLW\�RSHUDWRUV�ZLOO�DFTXLUH�WKH�IRUPV�
��
� , , , ,
� , , , ,
I t P t P dt t P t P dt
I P P d P P d
= = = + = − = −
= = = + = − = −
−∞
∞
−∞
∞
−∞
∞
−∞
∞
∫ ∫
∫ ∫
1 1 1 1
1 1 1 1ω ω ω ω ω ω����������������������������������
�)RU�UHDO�VLJQDOV��HTV��������������ZLOO�DFTXLUH�WKH�IROORZLQJ�IRUP�
W 3 I W 3 3 3 I G� � � �= = = = =∞
∫1 2 1 1 10
ω ω ω ������������������������������������D�
W 3 I W 3 3 3 I G� � � �= − = = − = − = −∞
∫1 2 1 1 10
ω ω ω ��������������������������������D�
ω ω ω, , , ,P f P P t P f dt= = = = =∞
∫1 2 1 1 10
�������������������������������������D�
ω ω ω, , , ,P f P P t P f dt= − = = − = − = −∞
∫1 2 1 1 10
�������������������������������D�
:H�VHH�LQ�HTV�������������������D������D��WKDW�LQ�WKH�VLQH�DQG�FRVLQH�WUDQVIRUPV�WKHLQWHJUDWLRQ�LV�IRU�SRVLWLYH�WLPH��EXW�WKH�UHDO�VLJQDOV�PXVW�KDYH�D�GHILQLWH�SDULW\��L�H��WKH\PXVW�EH�HLWKHU�HYHQ��3 ���RU�RGG��3 ����IXQFWLRQV�RI�W��/HW�XV�QRZ�FRQVLGHU�WKH�JHQHUDOFDVH�ZLWK�QR�GHILQLWH�SDULW\���������$V�ZH�KDYH�SRLQWHG�RXW��LQ�DQ�H[SHULPHQW�ZH�PHDVXUH�WKH�VLJQDO��VWDUWLQJ�WRFROOHFW�GDWD�DW�D�GHILQLWH�WLPH��ZKLFK�FDQ�EH�WDNHQ�DV�W ���%HIRUH�WKDW�WLPH�RXUDSSDUDWXV�LV�LGOH��/HW�XV�FRQVLGHU�IRU�VLPSOLFLW\�WKH�WZR�VLJQDOV�
W ) L W W
W )IRU W
L W IRUêW
1 0 0
20
1
2
0 01
20
= ≡
=<
≥
πω ω
πω
exp( ) ,
, ,
exp( ), ,
�������������������������������������������
DQG�HYDOXDWH�WKHLU�)RXULHU�WUDQVIRUPV��IURP�HT��������ω ω ω δ ω ω
ωπ
ω ωπ ω ω
δ ω ω
) W W GW
) L W GW L
1 0 0
20
00
12 0
1
2
1
2
1
= = −
= − =−
+ −
− ∞
∞
∞
∫
∫
( ),
exp[ ( ) ] ( ),�����������������������
��7KXV�LQ�D�SRVLWLYH�WLPH�VSHFWUDO�DQDO\VLV�D�VLQJOH�IUHTXHQF\�VLJQDO�FDQ�EH�UHSUHVHQWHGE\�D�SROH�LQ�WKH�IUHTXHQF\�ZLWK�D�SRVVLELOLW\�RI�XVLQJ�UDWLRQDO�DSSUR[LPDWLRQV��/HW�XVLQWURGXFH�WKH�SRVLWLYH�WLPH�SURMHFWLRQ�RSHUDWRU
�W W W GW+
∞
= ∫�
������������������������������������������������������������
DQG�DSSO\�LW�RQ�WKH�NHWV�DQG�EUDV�RI�RXU�YHFWRU�VSDFH��:H�ZLOO�QRWH�WKDW�WKH�IUHTXHQF\VWDWHV�ZLOO�QR�ORQJHU�EH�RUWKRJRQDO�
( )ω ω ω ωπ ω ω
δ ω ω� .t t t dti+
∞
′ = ′ =− ′
+ − ′∫0
1
2
1 1
2����������������������������������������
/HW�XV�GHQRWH
$ W ) W W W ) GW L W ) W GW� � � � H[S� � � �ω ω ωπ
ω≡ = = −+
∞
+
∞
∫ ∫� �
�� �������������������
IRU�WKH�VLJQDO�)�W���7KH�LQYHUVH�UHODWLRQ��IRU�SRVLWLYH�W��LV�
) W W W ) W W W ) G L W $ G� � � � � H[S� � � �= = =+−∞
∞
+ +−∞
∞
∫ ∫ω ω ωπ
ω ω ω�� ���������������
)URP�HT���$�����RI�$SSHQGL[�$�DQG�HT���������ZH�LQIHU�WKDW
$ L$ G� � � �ω
πω
ω ωω= ′
′ −′
−∞
∞
∫1 �����������������������������������������������
ZKLFK�LV�D�+LOEHUW�WUDQVIRUP�IRU�WKH�UHDO�DQG�LPDJLQDU\�SDUWV�RI�$�
5H> � �@ ,P> � �@ �
,P> � �@ 5H> � �@ �
$ $ G
$ $ G
ωπ
ωω ω
ω
ωπ
ωω ω
ω
= ′′ −
′
= − ′′ −
′
−∞
∞
−∞
∞
∫
∫
1
1��������������������������������������������������������
,Q�HTV��������������IDVW�HQRXJK�GHFD\�DV�ω→∞�LV�UHTXLUHG�IRU�WKH�H[LVWHQFH�RI�WKHLQWHJUDOV������/HW� XV� FRQVLGHU� WKH� FDVH� RI� WKH� IUHTXHQF\� ERXQGHG� E\� HT�� ������ DQG� FRQVLGHU� WKHVDPSOLQJ�WKHRUHP�IRU�SRVLWLYH�WLPH�VLJQDOV��$V�LQ�WKH�FDVH�RI�HT��������RQH�FDQ�UHSODFHWKH�WUDQVIRUP��������E\�WKH�VXP�
��
����[ ]
$ W ) W W W )
W W W GW W )% Q
Q ' Q '
% Q 'Q ' Q '
� � � �
�
� �
� �
ω ω πω
ω
πω
ω
≡ =
=
+=−∞
∞
+
+ ≥
∞ ∞
∑
∑ ∫� �
�������������������������������������
ZKLFK�LV�QRW�WKH�VDPH�DV�WKH��VLPLODU�WR�HT���������H[SUHVVLRQ�
( )% W W ) H ) W% Q '
Q ' Q '% Q '
L WQ '
Q '� � � � ��ω π
ωω π
ωω= =
+ ≥
∞
+ ≥
∞−∑ ∑
� �� �������������������������
/HW�XV�FRQVLGHU�DV�DQ�H[DPSOH�WKH�VHFRQG�VLJQDO�RI�HT���������IRU�ZKLFK�HT����������ZLWK' ���EHFRPHV�
( )% H L% QL Q
% %%� � H[S � � �
� � �ωω ω ω ω π ω
ω ω π ω= =− −=
∞−∑�
��
��
�� �� ��������������������������
ZKLFK�GLIIHUV�IURP�WKH�VHFRQG�H[SUHVVLRQ�LQ�HT����������DOWKRXJK�ERWK�H[SUHVVLRQV�KDYHWKH�VDPH�SROH�DQG�UHVLGXXP��:H�PHQWLRQ�WKLV�EHFDXVH�HT��������� LV� WKH�EDVLV� IRU�RQHVLGHG�=�WUDQVIRUP�>���@��,QVWHDG��H[SUHVVLRQ��������VKRXOG�EH�XVHG��([SUHVVLRQ��������LVD�JRRG�DSSUR[LPDWLRQ�WR��������LQ�WKH�VHQVH�WKDW�LW�KDV�WKH�VDPH�SROHV�DQG�UHVLGXD��,QHT���������WKHUH�DSSHDU�QHZ��FRHIILFLHQWV�
( )( )( )& W W W W GW H W WW W GWQ ' Q '
L W Q ' %
Q '� � � VLQ
� ��
�ω ω
Ï€
ω
πω= =
−
−∞ ∞ −∫ ∫� �
�� �����������������������
WKLV�H[SUHVVLRQ�FDQ�EH�EURXJKW��ZLWK�WKH�KHOS�RI�HTV��������DQG���������WR�WKH�IRUP�
( ) ( )& W L WL GQ '
Q '
%
%ω
πω
π ω ωω
ω
ω
� H[S� ��
�=− ′
′ −′
−∫
�� � ������������������������������������������������
���6XPPDU\�DQG�FRQFOXVLRQV
������:H� KDYH� GHPRQVWUDWHG� LQ� WKLV� SDSHU� WKDW� WKH� 'LUDF� UHSUHVHQWDWLRQ� WKHRU\� FDQ� EHHIIHFWLYHO\� DGMXVWHG� DQG� DSSOLHG� WR� VLJQDO� WKHRU\�� 7KH� DGYDQWDJHV� RI� WKH� 'LUDFUHSUHVHQWDWLRQ�WKHRU\�LV�LWV�FODULW\��WUDQVSDUHQF\�DQG�JHQHUDOLW\��,W�LV�VXLWDEOH�WR�EH�XVHGZLWK�JHQHUDOL]HG�IXQFWLRQV�DQG�JHQHUDO�WUDQVIRUPV��7KH�XVH�RI�WKH�LGHQWLW\�RSHUDWRU�DQGSURMHFWLRQ� RSHUDWRUV� VLPSOLI\� JUHDWO\� WKH� FDOFXODWLRQV� DQG� GHULYDWLRQV�� 8VLQJ� WKHVHRSHUDWRUV�ZH�LQWURGXFHG�LQ�$SSHQGL[�$��D�ODUJH�FODVV�RI�IXQFWLRQV��ZKLFK�ZHUH�FDOOHGWKH� LQFRPSOHWH� GHOWD� IXQFWLRQV�� DV� WKH\� KDYH� VLPLODU� SURSHUWLHV� WR� WKH� 'LUDF� GHOWD
��IXQFWLRQ�DQG�FRQYHUJH�WR�LW�LQ�D�OLPLWLQJ�SURFHVV��7KH\�KDYH�EHHQ�XVHG�WKURXJKRXW�WKHSDSHU� LQ�RUGHU� WR� VLPSOLI\�GHULYDWLRQV��7KH�FDVH�RI�ZDYHOHWV�GHYLDWHV� VRPHZKDW� IURPWKH�VWDQGDUG�SURFHGXUH��DQG�LV�FROOHFWHG�LQ�$SSHQGL[�&������7KH�VFDODU�SURGXFWV��EUDFNHWV��RI�'LUDF�DUH�ZULWWHQ�LQ�D�ZD\�ZKLFK�GRHV�QRW�GHSHQGRQ�WKH�FKRLFH�RI�WKH�FRRUGLQDWHV��,Q�WKH�SURFHVV�RI�UHSUHVHQWLQJ�WKH�VLJQDO�WKHRU\�ZLWKWKH�EUDFNHWV�ZH�IRXQG��LQWHUHVWLQJ�IHDWXUHV�RI�VFDODU�SURGXFWV�ZKLFK�ZHUH�UHODWHG�WR�WKHFKDQJH�RI�YDOLGLW\�GRPDLQV�RI�WKH�FRQMXJDWH�FRRUGLQDWHV��LQ�VLJQDO�WKHRU\�WKH\�DUH� WKHWLPH� DQG� IUHTXHQF\�� LQ� TXDQWXP� PHFKDQLFV� WKH� FRRUGLQDWHV� DQG� PRPHQWD��� $QRUWKRJRQDO� EDVLV� ZKLFK� VSDQQHG� WKH� WLPH� VSDFH� FHDVHG� WR� EH� RUWKRJRQDO� DIWHUFRQVWUDLQLQJ�WKH�GRPDLQ�RI�IUHTXHQFLHV��EDQGZLGWK��DQG�EHFRPHV�DQ�RYHUFRPSOHWH��%XWLQ� WKLV� FDVH� WKHUH� H[LVW� D� VXE�EDVHV� RI� GLVFUHWH� WLPHV� ZKLFK� DUH� RUWKRJRQDO� DQGFRPSOHWH��7KH�FRPSOHWHQHVV�RI�WKH�WZR�EDVHV��RQH�IRU�DOO�IUHTXHQFLHV��WKH�RYHUFRPSOHWHQRQ�RUWKRJRQDO�EDVLV���WKH�RWKHU�LQ�WKH�EDQGZLGWK��HT����������DOORZV�WKH�GHULYDWLRQ�RIWKH� VDPSOLQJ� WKHRUHP�UHODWLQJ� VLJQDOV� LQ� WKH�GLVFUHWH� WLPH� �FRPSOHWH�� EDVLV� WR� VLJQDOVIRU�DOO�WLPHV��ZLWK�WKH�RYHUFRPSOHWH�EDVLV���HT�����������7KXV�WKH�UHODWLRQ�EHWZHHQ�WKHRYHUFRPSOHWH� EDVHV� DQG� D� FRPSOHWH� RQH� LV� WKH� HVVHQFH� RI� WKH� VDPSOLQJ� WKHRUHP�0RUHRYHU�HT���������DOORZV�XV�WR�UHSODFH�WKH�FRQWLQXRXV�WLPH�LQWHJUDWLRQ�E\�D�GLVFUHWHVXPPDWLRQ�LQ�DOO�WLPH�LQWHJUDWLRQV��WKLV�ZH�FRXOG�GR�LQ�WKH�)RXULHU�WUDQVIRUP��HT��������LQ�WKH�ZDYHOHWV�WUDQVIRUP��$SSHQGL[�&��DQG�LQ�WKH�FDVH�RI�VLJQDOV�H[LVWLQJ�IRU�SRVLWLYHWLPH���HT���������������7KH�LGHD�RI�YLHZLQJ�WKH�VDPSOLQJ�WKHRUHP�DV�WKH�UHODWLRQ�EHWZHHQ�DQ�RYHUFRPSOHWHEDVLV�DQG�D�FRPSOHWH�RQH�FDQ�EH�H[WHQGHG�WR�TXDQWXP�PHFKDQLFV��:H�DUH�LQ�WKH�SURFHVVRI�FRPSOHWLQJ�D�ZRUN�LQ�WKLV�GLUHFWLRQ�
$SSHQGL[�$7KH�LQFRPSOHWH�GHOWD�IXQFWLRQV�DQG�WKH�GHOWD�IXQFWLRQ�RI�'LUDF
�����/HW�XV�FRQVLGHU�WZR�FRPSOHWH�FRQWLQXRXV�EDVHV�( ) ( )[ [ [ [ \ \ \ \ \ [′ = − ′ ′ = − ′ −∞ ≤ ≤ ∞ − ∞ ≤ ≤ ∞δ δ, , ; �������������$���
OLQNHG�WRJHWKHU�E\�WKH�)RXULHU�WUDQVIRUP��HT����������
��
[ \ L[\= ��π
H[S� � ��������������������������������������������$���
ZKHUH� ( )δ x LV�WKH�GHOWD�IXQFWLRQ�RI�'LUDF��7KH�FRPSOHWHQHVV�UHODWLRQ�LV�JLYHQ�E\
, −∞
∞
−∞
∞
∫ ∫=[ [ G[ \ \ G\ ������������������������������������$���
ZKHUH�,�LV�WKH�LGHQWLW\�RSHUDWRU��/HW�XV�FRQVLGHU�WKH�IROORZLQJ�VHW�RI�IXQFWLRQV�
( )δ [ [ D [ \ \ [ G\D
D− ′ = ′
−∫�
( )= = >
−∫
�� �
π πD
DL[\H G\ D D[
D[ DVLQ � ��������������������������������$���
IURP�ZKLFK�WKH�'LUDF�GHOWD�IXQFWLRQ�δ�[��FDQ�EH�REWDLQHG�LQ�WKH�OLPLWLQJ�SURFHVV�
δ δ� � OLP � � �[ [ DD=→∞
���������������������������������������������������$���7KH�'LUDF�GHOWD�IXQFWLRQ��GLVWULEXWLRQ��RU�JHQHUDOL]HG�IXQFWLRQ��KDV�WKH�IROORZLQJSURSHUWLHV�
δ δ
δ δ
δ δ
( ) lim ( ), ,
, .
( ) lim ( ) ,
( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ).
x xfor x
for x
x dx x dx
f x x x dx f x x x dx f x
aa
aa
aa
≡ =â‰
∞ =
≡ =
− ≡ − =
→∞
−∞
∞
→∞−∞
∞
−∞
∞
→∞−∞
∞
∫ ∫
∫ ∫
0 0
0
1
0 0 0
����������������$���
2QH�FDQ�JHQHUDOL]H�WKH�DERYH�SURFHGXUH�WR�D�ODUJHU�FODVV�RI�IXQFWLRQV�ZKLFK�ZH�ZLOOFDOO�³LQFRPSOHWH�GHOWD�IXQFWLRQV´��/HW�3�EH�D�SURMHFWLRQ�RSHUDWRU��VXFK�WKDW�E\�FKDQJLQJLWV�SDUDPHWHUV��LQ�WKH�OLPLWLQJ�SURFHVV��LW�FRQYHUJHV�WR�WKH�LGHQWLW\�RSHUDWRU��$Q�H[DPSOHLV�HT���$������LQ�ZKLFK�WKH�IROORZLQJ�SURMHFWLRQ�RSHUDWRU�ZDV�XVHG�
��� 3 D \ \ G\ 3 D ,D
DD� � � OLP � �= =
−→∞∫ ������������������������������$���
/HW�XV�GHILQH�WKH�LQFRPSOHWH�GHOWD�IXQFWLRQ�DV( ) ( )( ) ( )δ δ δ[ [ 3 [ 3 3 [ VXFK WKDW [ [ 3 , [ [− ′ = ′ − ′ → = − ′� � � � � ����������$���
��L�H��WKH�VWDWHV�GHQRWHG�E\�[�DUH�SURMHFWHG�WR�D�VXEVSDFH�ZLWK�WKH�SURMHFWLRQ�RSHUDWRU�3�7KH�SURMHFWLRQ�RSHUDWRU�VDWLVILHV��VHH�HTV�������D��DQG�����������3 3��DQG�3 3���ZKLFKFDQ�EH�HPSOR\HG�LQ�RUGHU�WR�GHULYH�JHQHUDO�SURSHUWLHV�RI�WKH�LQFRPSOHWH�GHOWD�IXQFWLRQV�:H�FDQ�SURYH�WKDW�VLPLODU�HTXDWLRQV�WR�HT���$����DUH�VDWLVILHG�IRU�WKH�LQFRPSOHWH�GHOWDIXQFWLRQV��,QVHUWLQJ�WKH�LGHQWLW\�RSHUDWRU�RI�HT���$����LQWR�HT���$����ZH�REWDLQ�
( ) ( ) ( )
( ) ( )
δ
δ δ
[ [ 3 [ 3 , 3 [ [ 33 [ [ 33 [ G[
[ [ 3 [ [ 3 G[
− ′ = ′ = ′′ ′′ ′′ ′′
= − ′′ ′′ − ′ ′′
−∞
∞
−∞
∞
∫
∫
�
� � ���������������$���
/HW�I�[��EH�D�IXQFWLRQ�ZLWK�D�VXSSRUW�LQ�WKH�SURMHFWHG�VXEVSDFH��WKDQ�
I [ [ I [ 3 I [ 3,3 I [ 33 [ [ 3 I G[
[ [ 3 I [ G[
� �
� � � � � �
= = = = ′ ′ ′
= − ′ ′ ′
−∞
∞
−∞
∞
∫
∫ δ���������������������$����
)RU��QRQ�UHVWULFWHG�IXQFWLRQV�VWLOO�WKH�IROORZLQJ�LGHQWLW\�KROGV�
[ 3 I [ [ 3 [ 3 I G[= − ′ ′ ′−∞
∞
∫ δ� � � �������������������������������������$����
7KH�LGHQWLWLHV��$�����PD\�KDYH�DSSOLFDWLRQV�LQ�WHVWLQJ�K\SRWKHVHV�WKDW�D�JLYHQ�IXQFWLRQKDV�D��VXSSRUW�LQ�D�UHVWULFWHG�VXEVSDFH�2QH�FDQ�QRWH�IURP�HT���$����WKDW�
δ π� � � �� D D= �������������������������������������������������������������$����:H�VKDOO�SURYH�WKH�LPSRUWDQW�SURSHUW\�RI�WKH�LQFRPSOHWH�GHOWD�IXQFWLRQ��$����
δ δ� � � � � �E[ D E [ D E= � ���������������������������������������������$����
ZKHUH�E�LV�D�UHDO�QXPEHU��)RU�E!��ZH�KDYH�
δπ π
δ� � � � � �E[ D H G\ E H G] E [ DED
DL[E\
DE
DEL[]= = =
− −∫ ∫
��
��
� �������������������������$����
)RU�E���ZH�REWDLQ�
δπ π π
δ� � � � � �E[ D H G\ E H G] E H G] E [ D ED
DL[E\
DE
DEL[]
D E
D EL[]= = = − =
− −
−
∫ ∫ ∫��
��
��
� �
ZKLFK��WRJHWKHU�ZLWK�HT���$������SURYHV�HT���$������)URP�HT���$�����ZH�FDQ�JHW�
��
δ δ( ) ( )bxb
x= 1 �������������������������������������������������$����
(T���$�����FDQ�EH�JHQHUDOL]HG�WR�LQFOXGH�IXQFWLRQV�I�[��KDYLQJ�]HURV�DW�[ [Q�δ δ� � �� � � � �I [ I [ [ [
n nn=
′−∑ 1 ��������������������������������������$����
ZKHUH�QHDU�WKH�]HURV�I [ I [ [ [n n( ) ( )( )≈ ′ − ���������������������������������������������$����
$SSHQGL[�%�$QDO\VLV�RI�UHVSLUDWRU¶V�F\FOH�
�����7KH� ZRUNLQJ� F\FOH� RI� SHULRG� 3� RI� WKH� UHVSLUDWRU� LQ� WKH� RSHUDWLRQ� URRP� RI� WKH*\QHFRORJ\� 'HSDUWPHQW�� 6RURND� 0HGLFDO� &HQWHU�� %HHU�6KHYD�� ,VUDHO�� ZDVDSSUR[LPDWHO\�DV�IROORZV�
9 W IRU W W 3 LGOH$ W IRU W W SXPSLQJ� � � � ��VLQ� � � ��= < <
< <02 0
1
1 1πϕ ������������������%���
ZKHUH�9�ZDV�WKH�YROXPH�RI�WKH�SXPSHG�DLU��$�LV�D�FRQVWDQW�YROXPH��W� ��VHF�ϕ1 �����+]��DQG�WKH�SHULRG�RI�3�ZDV�FKDQJLQJ�ZLWK�WKH�DQHVWKHWLF�SURFHGXUH��0RVW�RIWKH�WLPH�LW�ZDV�3 �VHF��ZLWKLQ�WKH�UDQJH����VHF�3���VHF�)RU�SUDFWLFDO�FDOFXODWLRQ�SXUSRVHV�LW�ZLOO�EH�XVHIXO�WR�WUDQVODWH�W W 3→ + / 2�E\�KDOI�DSHULRG��WR�REWDLQ�9�W��LQ�D�V\PPHWULF�IRUP�IRU��3�����W���3����
9 W IRU W W W LGOH$ W W IRU W W SXPSLQJ� � � � ��VLQ� � � ��= − < <
− <0
2
2 2
1 2 2πϕ ��������������%���
ZKHUH�������������W 3 W2 1 2= −( ) / ��
7KH�DERYH�IXQFWLRQ�LV�SHULRGLF��ZLWK�D�SHULRG�3��DQG�LV�DQ�HYHQ��IXQFWLRQ�RI�W�7KHUHIRUH�D�PRUH�UHVWULFWHG�EDVLV�WKDQ�������PD\�EH�PRUH�VXLWDEOH��QDPHO\�WKH�EDVLVRI�HYHQ�IXQFWLRQV�ZLWK�SHULRG�3�
W Q 3 Q W 3� FRV� � �= 2 π ����Q ������«����������������������������������%���DQG�9�W�≡ t V �FDQ�EH�H[SDQGHG�LQ�D�IROORZLQJ�)RXULHU�H[SDQVLRQ�
��
( )
9 W W 9 W Q 3 Q 3 9D D Q W 3
n
nn
n
( ) , ,
cos / ,
= =
= +
=
∞
=
=∞
∑
∑0
0
122 π
�����������������������������������%���
ZKHUH� W Q 3� �DUH�SHULRGLF�V\PPHWULF�IXQFWLRQV�RI�W��RUWKRQRUPDO�LQ�WKH�LQWHUYDO>�3����3��@�DQG
( )
( )[ ] ( )[ ]
D 3 9 W Q W 3 GW
$3
I W WI
I W WI
nt
P
n
n
n
nt t
t P
=
=− +−
−+ −+
∫
=
=
12
2 2 2
2
2
2
1 1 2
1
1 1 2
1
2
( ) cos /
cos cos,
/
/
Ï€
ππ ϕ ϕ
Ï•Ï€ Ï• Ï•
Ï•
�������%���
DQG����������������������I Q 3n = / .������������������������������������������������������%���
+HUH�I� ��3�LV�WKH�EDVLF�IUHTXHQF\�DQG�In��Q!���DUH�WKH�KLJKHU�KDUPRQLFV�,Q�SUDFWLFH�PHDVXUHPHQWV�DUH�WDNHQ�IRU�ILQLWH�LQWHUYDOV��,Q�WKLV�FDVH�WKH�VSHFWUDODQDO\VLV�VKRXOG�EH�PRGLILHG�DFFRUGLQJ�WR�WKH�SURFHGXUH�RXWOLQHG�LQ�WKH�PDLQ�WH[WHTV��������DQG���������:LWK�WKH�ILQLWH�LQWHUYDO�RI�GXUDWLRQ��7�WKH�VSHFWUDO�DQDO\VLV�RIHT���%�����ZLWK�)�W� 9�W��LQ�HT��������DQG�UHPHPEHULQJ�WKDW�ω π= 2 f ��EHFRPHV�
* D 7 D 7 7T n
n
n
n
nn
( )sin( ) sin[( ) ] sin[( ) ]
,ωω
ωω ω
ω ωω ω
ω ω= +
−−
++
+
=
∞
∑0
1
�������%���
ZKHUH�ω π πn nf n P= =2 2 / �
$SSHQGL[�&'LUDF�)RUPDOLVP�DV�D�IUDPHZRUN�IRU�ZDYHOHWV
������:H�FDQ�VKRZ� WKDW� WKH�'LUDF� IRUPDOLVP� FDQ� EH� DSSOLHG� WR� WKH�ZDYHOHWV� WUDQVIRUPV>��@�RI�WKH�VLJQDO�I�W���ZKLFK�DUH�GHILQHG�LQ�WKH�IROORZLQJ�ZD\�
� � � � � � �: I E D D I W W ED GWψ ψ= −
−
− ∞
∞∗∫
12 �����������������������������������&���
��$ERYH� LQ�HT�� �&����ψ� LV� D� VTXDUH� LQWHJUDEOH� IXQFWLRQ�� WKH�³EDVLF�ZDYHOHW´�� ,Q�RUGHU� WRDSSO\� WKH�'LUDF� IRUPDOLVP�ZH�KDYH� WR� DVVXPH� WKDW� WKH� IXQFWLRQ�ψ� LV� JHQHUDWHG� E\� DQRSHUDWRU�:�ZKLFK�LV�UHSUHVHQWHG�LQ�HT���&����E\�LWV�PDWUL[�HOHPHQWV�
W : E D D W ED� = −
− 12 ψ ������������������������������������������������&���
7KDQ�HT���&�����WKH�ZDYHOHW�WUDQVIRUP�RI�I�W���FDQ�EH�UHSUHVHQWHG�DV�E D : I E D : W W I GW� �=
− ∞
∞
∫ ���������������������������������������&���
7KH�GLVFUHWH�ZDYHOHW�WUDQVIRUP�RI�'DXEHFKLHV�>��@�FDQ�EH�WUHDWHG�LQ�D�VLPLODU�ZD\��/HWXV�GHQRWH�E\�:'�WKH�RSHUDWRU��JHQHUDWLQJ�WKH�ZDYHOHWV��ZLWK�PDWUL[�HOHPHQWV��
W : M N W W ND j kj j, ( ) ( ),/≡ = −ψ ψ2 22 ����������������������������&���
7KH\�IRUP�DQ�RUWKRQRUPDO�EDVLV�
− ∞
∞
∫ = ⋅l m W t t W j k dtD D j k m, , ,l ,δ δ ��������������������������������&���
ZLWK�WKH�LGHQWLW\�RSHUDWRU�, : M N M N :
j kD D=
=− ∞
∞∑
,, , . ��������������������������������&���
7KH�VLJQDO�I�W��FDQ�EH�H[SDQGHG�XVLQJ�HT���&���I W W I W : M N M N : I
M N ' '( ) , , ,,
≡ ==− ∞
∞∑ ���������������������������������&���
ZKHUH��M N : I M N : W W I GWD D, ,=
− ∞
∞
∫ �����������������������������������&���
2WKHU�GLVFUHWH�ZDYHOHW� WUDQVIRUPV�>��@�FDQ�JR�DORQJ�DQ� LGHQWLFDO�SDWK�� �:H�VKDOO�QRZORRN�IRU�RSHUDWRUV�ZKLFK�FDQ�JHQHUDWH�WKH�ZDYHOHW�WUDQVIRUPDWLRQ�RI�HTXDWLRQ��&�����/HWXV�DVVXPH�WKDW�WKH�RSHUDWRU�9�D�E��KDV�WKH�IROORZLQJ�SURSHUW\�
9 D E I W D I W ED� � � � � =−
1 ���������������������������������������������&���
6XFK�DQ�RSHUDWRU�FDQ�EH�IRUPHG�IURP�WKH�IROORZLQJ�RSHUDWRUV�>��@�9 D E H Hi a C ib( , ) (ln )= − − Φ ����������������������������������������������&����
ZKHUH�&�LV�WKH�VFDOH�RSHUDWRU�DQG�Φ�WKH�IUHTXHQF\�RSHUDWRU�GHILQHG�E\�
��
& L W GGW
GGW W L
GGW= +
=
1
2
1, .Φ ���������������������������������������&����
7KH�UHVXOW��&����LV�REWDLQHG�E\�WUDQVODWLRQ�H I W I W ELE− = −Φ ( ) ( ), �����������������������������������������������&����
DQG�E\�FRPSUHVVLRQ�>��@�
H I W D IWD
i a C− =
(ln ) ( ) .1 �������������������������������������������&����
7KH�WUDQVIRUPDWLRQ�9�RI�HT�� �&����� LV�XQLWDU\�DQG� WKXV� WKH�QRUPDOL]DWLRQ� LV�SUHVHUYHGXQGHU� LWV�DFWLRQ��8VLQJ� UHVXOWV�RI� UHI�� �����ZH�FDQ� UHSUHVHQW� WKH�FRPSOHWHQHVV� UHODWLRQDQG� WKH� LQYHUVH� WUDQVIRUP� LQ� WKH� IROORZLQJ� ZD\�� 7KH� FRPSOHWHQHVV� UHODWLRQ� FDQ� EHUHSUHVHQWHG�E\�WKH�LGHQWLW\�RSHUDWRU�
, & E D E D GE GDD= ∫∫
12
ψΨ Ψ, , , ���������������������������������&����
ZKHUH�WKH�QRUPDOL]DWLRQ�FRQVWDQW&ψ �LV�GHILQHG�E\�
& Gψ
ψ ωω
ω= < ∞−∞
∞
∫� ( )
,
2
����������������������������������������&����
DQG� � � �ψ ω LV�WKH�)RXULHU�WUDQVIRUP�RI�ψ( )t �RI�HT���&�����8VLQJ�HT���&�����ZH�FDQ�JHW�WKHLQYHUVH�WUDQVIRUP�RI�HT���&����
I W W I & W E D E D I GE GDD� � � � �≡ = ∫∫
12
ψΨ Ψ ��������������������������&����
,Q�D�VLPLODU�ZD\�WKH�ZDYHOHW�WUDQVIRUP��������FDQ�EH�PRGLILHG�WR�( )E D I E D W W IB n D
nn D, / , , ,Ψ Ψ=
=− ∞
∞
∑π ω ����������������������������D�
DQG�WKH�ZDYHOHW�WUDQVIRUP��������WR�( )M N 'D I M N 'D W W IB n D
nn D, / , , ,=
=− ∞
∞
∑π ω �������������������������������E�
��5HIHUHQFHV�
��������$��*HUVWHQ��'LUDF¶V�5HSUHVHQWDWLRQ�7KHRU\��DV�D�)UDPHZRUN�IRU�6LJQDO�7KHRU\��,������'LVFUHWH�)LQLWH�6LJQDOV��%HQ�*XULRQ�8QLYHUVLW\�SUHSULQW��GHQRWHG�DV�SDSHU�>,@����&�(��6KDQQRQ��%HOO�6\VW��7HFK��-���������������LELG�����������������-��9RQ�1HXPDQQ��³0DWKHPDWLFDO�)RXQGDWLRQV�RI�4XDQWXP�0HFKDQLFV´�������3ULQFHWRQ�8QLYHUVLW\�3UHVV��3ULQFHWRQ�1-�������WUDQVODWLRQ�IURP�WKH�*HUPDQ���������HGLWLRQ����*�*��(PFK��³$OJHEUDLF�0HWKRGV�LQ�6WDWLVWLFDO�0HFKDQLFV�DQG�4XDQWXP�)LHOG���������7KHRU\´��-RKQ�:LOH\��1HZ�<RUN��������6�/��%UDXQVWHLQ��&�0��&DYHV�DQG�*�-��0LOEXUQ��$QQ��3K\V���1�<�������������������������������/��6FKZDUW]��³7KHRULH�GHV�'LVWULEXWLRQV��YROV�������+HUPDQQ��3DULV�������������,�0��*HO¶IDQG�DQG�*�(��6KLORY��³*HQHUDOL]HG�IXQFWLRQV´��YROV�������$FDGHPLF������3UHVV��1HZ�<RUN�������������7UDQVODWLRQ�IURP�5XVVLDQ�����0�-��/LJKWKLOO��³,QWURGXFWLRQ�WR�)RXULHU�$QDO\VLV�DQG�*HQHUDOLVHG�)XQFWLRQV´�����8QLYHUVLW\�3UHVV��&DPEULGJH��������3�$�0��'LUDF��³7KH�3ULQFLSOHV�RI�4XDQWXP�0HFKDQLFV´���WK�HG��&ODUHQGRQ�3UHVV������2[IRUG��������WKH�ILUVW�HGLWLRQ��DSSHDUHG�LQ�����������,�0��*HO¶IDQG�DQG�*�(��6KLORY��³*HQHUDOL]HG�IXQFWLRQV´��YRO�����$FDGHPLF������3UHVV��1HZ�<RUN���������,�0��*HO¶IDQG�DQG�1�<D��9LOHQNLQ��³*HQHUDOL]HG�)XQFWLRQV´��YRO����������$FDGHPLF�3UHVV��1HZ�<RUN����������,�0��*HO¶IDQG��0�,��*UDHY�DQG�1�<D��9LOHQNLQ��³*HQHUDOL]HG�)XQFWLRQV´�������YRO����$FDGHPLF�3UHVV��1HZ�<RUN����������.��0DXULQ��³*HQHUDO�(LJHQIXQFWLRQ�([SDQVLRQV�DQG�8QLWDU\�5HSUHVHQWDWLRQV�������RI�7RSRORJLFDO�*URXSV´��3ROLVK�6FLHQWLILF�3XEOLVKHUV��:DUVDZ���������1�1��%RJROXERY��$�$��/RJXQRY�DQG�,�7��7RGRURY��³,QWURGXFWLRQ�WR������$[LRPDWLF�4XDQWXP�)LHOG�7KHRU\´��%HQMDPLQ��/RQGRQ�����������-�(��5REHUWV��-��0DWK��3K\V������������������������-�3��$QWRLQH�-��0DWK��3K\V�������������LELG�����������������
������$��%RKP�DQG�0��*DGHOD��³'LUDF�.HWV��*DPRY�9HFWRUV�DQG�*HO¶IDQG�7ULSOHWV��³������6SULQJHU��1HZ�<RUN���������6�-�/��YDQ�(LMQGKRYHQ�DQG�-��GH�*UDDI��³$�0DWKHPDWLFDO�,QWURGXFWLRQ�WR�'LUDF¶V������)RUPDOLVP´��1RUWK�+ROODQG��$PVWHUGDP���������2��3HOF�DQG�/�3��+RUZLW]��-��0DWK��3K\V������������������������$��)ULHGPDQ��,QW��-��7KHRU��3K\V������������������������/��&RKHQ��³7LPH�)UHTXHQF\�$QDO\VLV´��3UHQWLFH�+DOO��(QJOHZRRG�&OLIIV������1HZ��-HUVH\���������/�(��)UDQNV��³6LJQDO�7KHRU\´��3UHQWLFH�+DOO��(QJOHZRRG�&OLIIV������1HZ��-HUVH\���������-�*��3URDNLV�DQG�'�*��0DQRODNLV��³'LJLWDO�VLJQDO�SURFHVVLQJ��SULQFLSOHV� �������DOJRULWKPV��DQG�DSSOLFDWLRQV´���QG�HG���0DFPLOODQ��1HZ��<RUN���������$�9��2SSHQKHLP�DQG�5�:��6FKDIHU��³'LVFUHWH�7LPH�6LJQDO�3URFHVVLQJ´������3UHQWLFH�+DOO��(QJOHZRRG�&OLIIV���1HZ��-HUVH\���������0�%��3ULHVWO\��³6SHFWUDO�$QDO\VLV�DQG�7LPH�6HULHV´��$FDGHPLF�3UHVV������1HZ�<RUN���������.��.QRSS��³7KHRU\�RI�)XQFWLRQV´��'RYHU��1HZ�<RUN���������'��6OHSLDQ�DQG�+�2��3ROODN��%HOO�6\VW��7HFK�-���������������������'��6OHSLDQ��3URF��,(((����������������������&�.��&KXL��³$Q�,QWURGXFWLRQ�WR�:DYHOHWV´��$FDGHPLF�3UHVV��1HZ�<RUN���������,��'DXEHFKLHV��³7HQ�/HFWXUHV�RQ�:DYHOHWV´��6,$0��3KLODGHOSKLD�3$���������,��0H\HU��³:DYHOHWV��$OJRULWKPV�DQG�$SSOLFDWLRQV��6,$0��3KLODGHOSKLD�����