Die Determinante

Amin Coja-Oghlan

JWGUFFM

Die Determinante

Definition

Ï Sei A = (ai j ) eine n ×n-Matrix.

Ï Erinnerung: Sn ist die symmetrische Gruppe undsign(σ) ∈ {±1} ist das Signum der Permutation σ.

Ï Die Determinante von A ist definiert als

det(A) = ∑σ∈Sn

sign(σ)n∏

i=1ai σi ∈R.

Ï Man schreibt auch |A| = det(A).

Die Determinante

Beispiel

Ï Im Fall n = 2 gibt es nur zwei Permutationen: die Identität1 7→ 1, 2 7→ 2 und die Transposition 1 7→ 2, 2 7→ 1.

Ï Die Identität hat Signum 1 und die Transposition hat Signum−1.

Ï Die Formel für die Determinante einer 2×2-Matrix lautetdaher

det

(a11 a12

a21 a22

)= a11a22 −a12a21.

Ï Zahlenbeispiel:

det

(1 23 4

)= 1 ·4−2 ·3 =−2.

Die Determinante

Rechenregeln für die Determinante

Ï Es gilt det(idn) = 1.

Ï Für n ×n-Matrizen A,B gilt det(A ·B) = det(A) ·det(B).

Ï Für n ×n-Matrizen A gilt det(A>) = det(A).

Ï Für eine reelle Zahl c und eine n ×n-Matrix A gilt

det(c · A) = cn det(A).

Die Determinante

Rechenregeln für die Determinante

Sei A eine n ×n-Matrix.

Ï Wenn A eine Zeile besitzt, die nur aus Nullen besteht, dann gilt

det(A) = 0.

Ï Wenn A zwei identische Zeilen besitzt, so gilt

det(A) = 0.

Ï Wenn A zwei identische Spalten besitzt, so gilt

det(A) = 0.

Die Determinante

Rechenregeln für die Determinante

Sei A eine n ×n-Matrix.

Ï Wenn B aus A durch eine Zeilen- oder Spaltenpivotoperationentsteht, dann gilt

det(B) = det(A).

Ï Wenn B aus A durch Vertauschen von zwei Zeilen oder Spaltenentsteht, dann gilt

det(B) =−det(A).

Ï Wenn B aus A durch Skalieren einer Zeile oder Spalte mit c ∈Rentsteht, dann gilt

det(B) = c ·det(A).

Die Determinante

Rechenregeln für die Determinante

Sei A eine n ×n-Matrix.

Ï Wenn A = (ai j ) in Zeilenstufenform ist, dann gilt

det(A) =n∏

i=1ai i .

Ï Wenn A = (ai j ) in Spaltenstufenform ist, dann gilt

det(A) =n∏

i=1ai i .

Die Determinante

Rechenschema für die Determinante

Ï Sei A eine n ×n-Matrix.

Ï Ziel: det(A) berechnen.

Ï Wir führen Zeilen- und Spaltenumformungen durch, um A inZeilenstufenform zu bringen.

Ï Jedes Mal, wenn wir zwei Zeilen oder Spalten vertauschen,ändert sich dabei das Vorzeichen der Determinante.

Ï Wenn wir eine Zeile oder Spalte mit c ∈R skalieren, dannändert sich die Determinante um denselben Faktor c.

Ï Wir müssen uns also genau merken, welche Skalierungen undwieviele Vertauschungen wir durchgeführt haben!

Die Determinante

Beispiel

Ï Sei

A =−4 4 4

1 −2 11 1 −3

Ï Wir addieren die erste Spalte zur zweiten Spalte; dabei ändert

sich die Determinante nicht:

det(A) = det

−4 0 01 −1 21 2 −2

Die Determinante

Beispiel

Ï Jetzt vertauschen wir die erste und die letzte Zeile; dabeiändert sich das Vorzeichen der Determinante:

det(A) =−det

1 2 −21 −1 2−4 0 0

Ï Als nächstes tauschen wir die erste und die letzte Spalte;

wiederum ändert sich das Vorzeichen:

det(A) = det

−2 2 12 −1 10 0 −4

Die Determinante

Beispiel

Ï Wir multiplizieren nun die letzte Zeile mit −14 ; zum Ausgleich

dividieren wir durch −14 :

det(A) =−4 ·det

−2 2 12 −1 10 0 1

Ï Als nächstes addieren wir die erste Zeile zur zweiten Zeile; die

Determinante bleibt gleich:

det(A) =−4 ·det

−2 2 10 1 20 0 1

Die Determinante

Beispiel

Ï Die letzte Matrix ist in Zeilenstufenform, so daß wir ihreDeterminante leicht ausrechnen können:

det

−2 2 10 1 20 0 1

= (−2) ·1 ·1 =−2.

Ï Wir erhalten also

det(A) =−4 ·det

−2 2 10 1 20 0 1

= (−4) · (−2) = 8

Die Determinante

Beispiel

Ï Wir berechnen die Determinante der Matrix

A =

0 0 0 70 0 −1 00 −1 1 01 0 0 0

Ï Wir vertauschen die erste und die letzte Zeile; dabei ändert

sich das Vorzeichen der Determinante:

det(A) =−det

1 0 0 00 0 −1 00 −1 1 00 0 0 7

Die Determinante

Beispiel

Ï Als nächstes vertausche die zweite und dritte Zeile; dabeiändert sich das Vorzeichen der Determinante nochmal:

det(A) = det

1 0 0 00 −1 1 00 0 −1 00 0 0 7

Ï Die Matrix ist jetzt in Zeilenstufenform und wir berechnen

det(A) = det

1 0 0 00 −1 1 00 0 −1 00 0 0 7

= 1 · (−1) · (−1) ·7 = 7.

Die Determinante

Entwicklung der Determinante nach einer Zeile

Ï Normalerweise ist die Umformung in Zeilenstufenform dereffizienteste Weg, die Determinante zu berechnen.

Ï Falls aber eine Zeile der Matrix sehr wenige von Nullverschiedene Einträge hat, kann die Entwicklung nach einerZeile günstig sein.

Ï Sei dazu A = (ai j ) eine n ×n-Matrix und i ∈ {1, . . . ,n}.

Ï Sei ferner Ai j die Matrix, die aus A durch Weglassen der i -tenZeile sowie der j -ten Spalte entsteht.

Ï Die Formel für die Entwicklung nach der i -ten Zeile lautet

det(A) =n∑

j=1(−1)i+ j ai j det(Ai j ).

Die Determinante

Beispiel

Ï Wir berechnen die Determinante von

A =

0 0 0 70 0 −1 00 −1 1 01 0 0 0

durch Entwicklung nach der dritten Zeile.

Die DeterminanteBeispiel

Ï Wir erhalten

det(A) =4∑

j=1(−1)3+ j a3 j det(A3 j )

= 0 ·∣∣∣∣∣∣

0 0 70 −1 00 0 0

∣∣∣∣∣∣− (−1) ·∣∣∣∣∣∣

0 0 70 −1 01 0 0

∣∣∣∣∣∣+1 ·

∣∣∣∣∣∣0 0 70 0 01 0 0

∣∣∣∣∣∣−0 ·∣∣∣∣∣∣

0 0 00 0 −11 0 0

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣0 0 70 −1 01 0 0

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣

0 0 70 0 01 0 0

∣∣∣∣∣∣

Die Determinante

Beispiel

Ï Es gilt ∣∣∣∣∣∣0 0 70 −1 01 0 0

∣∣∣∣∣∣= 7

∣∣∣∣∣∣0 0 70 0 01 0 0

∣∣∣∣∣∣= 0

Ï Also erhalten wir

det(A) =∣∣∣∣∣∣

0 0 70 −1 01 0 0

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣

0 0 70 0 01 0 0

∣∣∣∣∣∣= 7.

Die Determinante

Proposition

Eine n×n-Matrix A ist genau dann invertierbar, wenn det(A) 6= 0. Indiesem Fall gilt

det(A−1) = 1

det(A).

Die Determinante

Die Cramersche Regel

Ï Angenommen A ist eine invertierbare n ×n-Matrix.

Ï Sei y ∈Rn .

Ï Dann gibt es genau einen Vektor x ∈Rn mit Ax = y

Ï Seine Einträge lauten

xi = det

a11 · · · a1 i−1 y1 a1 i+1 · · · a1n...

. . ....

an1 · · · an i−1 yn an i+1 · · · ann

/det(A).

Ï Die Cramersche Regel ist normalerweise kein praktischesRechenschema zum Lösen linearer Gleichungssysteme.

Die Determinante

Beispiel

Ï Wir lösen das Gleichungssystem(1 23 4

)·(

x1

x2

)=

(5

6

)

mit der Cramerschen Regel.

Ï Dazu berechnen wir

det

(1 23 4

)= 1 ·4−2 ·3 =−2 det

(5 26 4

)= 5 ·4−2 ·6 = 8

det

(1 53 6

)= 1 ·6−3 ·5 =−9

Die Determinante

Beispiel

Ï Wir erhalten die Lösung

x1 =det

(5 26 4

)det

(1 23 4

) = 8

−2=−4 x2 =

det

(1 53 6

)det

(1 23 4

) = −9

−2= 9

2

Die Determinante

Zusammenfassung

Ï Die Determinante kann mittels Zeilen- undSpaltenumformungen berechnet werden.

Ï Die Cramersche Regel bietet eine Formel für die Lösunglinearer Gleichungssysteme in Begriffen der Determinante.