desarrollo de nuevos algoritmos de - Tesis IPN

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA

UNIDAD TICOMÁN “CIENCIAS DE LA TIERRA”

“DESARROLLO DE NUEVOS ALGORITMOS DE

TRANSFORMACIÓN PARA LA REPRESENTACIÓN

COMPLETA DE LA REPÚBLICA MEXICANA

EN LA PROYECCIÓN TRANSVERSA DE

MERCATOR O GAUSS-KRÜGER.”

TESIS

Que para obtener el título de:

INGENIERO TOPÓGRAFO Y FOTOGRAMETRISTA.

Presenta:

GABRIEL ADRIÁN HERNÁNDEZ DE LA ROSA.

Director de Tesis.

ING. FERNANDO BARRERA TREJO.

Ciudad de México,

DICIEMBREDD DICIEMBRE DE 2016

DEDICATORIAS

VII

Los encantos de esta ciencia sublime, las matemáticas, sólo se le revelan a

aquellos que tienen el valor de profundizar en ella.

Carl Friedrich Gauss.

En realidad un mapa ofrece a quienes lo contemplan, la posibilidad de ver el

mundo desde los cielos y así mismo adoptar una perspectiva divina de la creación

terrenal. Simple y llanamente;

"Los Cartógrafos no sólo producen el mundo, sino que también lo

construyen".

Jerry Brotton.

DEDICATORIAS

VIII

DEDICATORIAS

A dios, aquel ser celestial que gracias a su divino poder, me concedió la

fortaleza, conocimiento, capacidad y fe para afrontar esta última prueba.

Con mi máxima admiración y respeto para usted; “Ingeniero de ingenieros”

A mis padres Adrián Manuel y Antonia María

A mi hermano y hermanas

Porque a pesar de las caídas y tropiezos, estuvieron siempre conmigo

hasta el final de este camino, nunca perdieron y perderán la fe y el amor en mí, y

ya que sin el apoyo de cada uno de ellos, esto no hubiera sido posible.

Gracias por la oportunidad, gracias por creer en mí, esto es por y para

ustedes.

¡Es un orgullo ser su hijo!

A mis amigos y compañeros

Por darme la oportunidad de crecer y estar con ustedes.

Y finalmente en memoria Gerardus Mercator, Johann Heinrich Lambert,

Johann Carl Friedrich Gauss, Johannes Heinrich Louis Krüger y Paul D. Thomas.

Por forjar los cimientos de una nueva concepción divina y matemática del

mundo.

Gabriel Adrián Hernández De La Rosa.

AGRADECIMIENTOS.

IX

AGRADECIMIENTOS.

Doy gracias primeramente a Dios, padre celestial, Arquitecto del Universo y

el más grande de todos los Ingenieros por darme la dicha de vivir y la oportunidad

de culminar un ciclo y empezar uno nuevo. Por brindarme, las fuerzas, destreza y

el conocimiento suficiente para haber sacado adelante este proyecto y mostrarme

así del potencial que puede alcanzar el conocimiento geográfico en manos de un

topógrafo.

A aquellos ángeles que estuvieron siempre conmigo en todo momento y a

los cuales debo este gran logro, a mis amados padres, por brindarme sus

sagrados y amorosos esfuerzos, apoyo y palabras de aliento, los cuales me

impulsaron para terminar con éxito esta parte de mi vida, mi carrera universitaria.

Estaré siempre en deuda con ustedes, gracias por ayudarme a llegar más allá de

donde mis ojos me permitieron ver.

A mi alma mater, el Instituto Politécnico Nacional por haberme dado la dicha

de estudiar y aprender en las aulas de su escuela ESIA Ticoman y a los

magníficos profesores que conocí a lo largo de mi estancia y trayectoria en esta

hermosa escuela. Que con su legado puedo ahora poner en alto el nombre de

esta gloriosa institución y en especial que; tanto la técnica y la topografía, están y

estarán siempre al servicio de mi patria, México.

A los profesores: M. en C. Elda Ordaz, Ing. Paola Dolores Ortega Flores,

Ing. Sara Carolina de América Mariscal López, Ing. Miguel Ángel Chavarría Nieto

por su confianza, tiempo, apoyo y sus valiosos y oportunos comentarios,

aportados para el enriquecimiento de esta tesis, pero especialmente al Ing.

Fernando Barrera Trejo, director de tesis, por la oportunidad otorgada para el

desarrollo y estudio de este tema. Finalmente a mis grandes amigas y profesoras

de inglés Aranza Korey Yee Manrique (Lli Master) y Danisa Gómez Barrera (Dani

Master) por su apoyo en la traducción de textos y bibliografía utilizada en esta

investigación, gracias por su paciencia niñas, son las mejores.

X

RESUMEN.

Una de las representaciones cartográficas más fieles en la cual el hombre

puedo confiar la tarea de representación detallada del elipsoide o esferoide

terrestre, ha sido la Proyección Transversa de Mercator o Representación

Conforme de Gauss-Krüger, debido a su estructura geométrica y su relación y

comportamiento con el elipsoide.

Desde su concepción hasta hoy en día el sistema proyectivo Gauss-Krüger

ha sido uno de los más utilizados, estudiados y modificados, esto con el fin de

garantizar la exactitud de representación del dato geográfico. Sin embargo y a

pesar de dichas modificaciones y aportaciones por dichos estudios, sólo se ha

conseguido obtener una exactitud o precisión parcial de representación de la

superficie terrestre, la cual se limita a obtener precisiones del orden del milímetro

en bandas meridianas, zonas o husos de 6º hasta 8º de longitud.

Esta situación se debe a que los términos que conforman las fórmulas o

algoritmos de transformación para el sistema Gauss-Krüger y la cobertura de

mapeo con respecto a un Meridiano Central (Δλ) se vinculan y trabajan en

conjunto. Lo que quiere decir que los términos de las fórmulas ideadas para este

sistema son directamente proporcional a la precisión o exactitud. Aunque en la

actualidad ya existen desarrollos y fórmulas de transformación alternos a los

originales que ofrecen precisiones por debajo del milímetro, estos son puramente

confusos, debido a que se construyen mediante exagerados términos, coeficientes

y cambios de variable.

En virtud de lo anterior en el presente trabajo se presenta la amplificación y

continuidad del desarrollo en serie de las fórmulas originales de la representación

Gauss-Krüger, con el fin de obtener la representación de toda la extensión de los

Estados Unidos Mexicanos (32º de longitud o Δλ =16º) en este sistema y asegurar

una precisión milimétrica o mayor, así mismo tratando de enriquecer y mejorar los

trabajos de cartografía, geodesia y topografía en el país.

XI

ABSTRACT.

One of the most faithful cartographic representations in which man can trust

the activity of detailed ellipsoid or terrestrial spheroid representation, has been the

Mercator Transverse projection or Gauss-Krüger’s Conformal representation, due

to its geometric structure, relationship and behavior with the ellipsoid.

Since its conception until today, the Gauss-Krüger projective system has

been one of the most used, studied and modified, in order to ensure accurate

representation of geographic data. However, despite changes and contributions by

such studies, it has only been able to get one accurate or partial precision of the

earth's surface, which is limited to obtain accuracies of millimeter orders in

meridional bands, areas or zones 6º up to 8º in length.

This situation is because the terms that make the transformation formulas or

algorithms on the Gauss-Krüger system and map coverage in regard to a Central

Meridian (Δλ) are linked and they work together. Which means that the designed

formulas terms for this system are directly proportional to the precision or

preciseness. Although there are developments and transformation formulas that

offer under one millimeter preciseness, these are purely confused due to the fact

that they are constructed on overemphasized terms,with coefficients and variable

changes.

Under the mentions above on this thesis it is presented the amplification and

serial continuity of the original Gauss-Krüger representation formulas in order to

obtain the representation of the full United Mexican States extent (32º length or Δλ

= 16°) in this system with millimetric precision or less, also trying to enrich and

improve cartography, geodesy and topography work in the country.

ÍNDICE.

XII

ÍNDICE.

DEDICATORIAS ................................................................................................................. VIII

AGRADECIMIENTOS. .......................................................................................................... IX

RESUMEN. ............................................................................................................................. X

ABSTRACT. .......................................................................................................................... XI

ÍNDICE. ................................................................................................................................. XII

ÍNDICE DE FIGURAS. ....................................................................................................... XVI

ÍNDICE DE TABLAS. ......................................................................................................... XIX

I. PROTOCOLO DE INVESTIGACIÓN .......................................................................... 1

1.1 Introducción. .......................................................................................................... 2

1.2 Justificación. .......................................................................................................... 5

1.3 Objetivos. ............................................................................................................... 9

1.3.1 Objetivo General. ............................................................................................. 9

1.3.2 Objetivos Particulares. ..................................................................................... 9

II. ANTECEDENTES HISTÓRICOS .............................................................................. 11

2.1 Introducción. ........................................................................................................ 12

2.2 El Mundo en un Cilindro. La Idea de Mercator. ................................................ 14

2.3 El Cilindro Transverso. Los Trabajos de Lambert, Gauss y Krüger. ............. 27

2.4 Trabajos Posteriores. .......................................................................................... 37

III. DE LA CONCEPCIÓN GEOMÉTRICA, DEDUCCIONES. ....................................... 43

3.1 Introducción. ........................................................................................................ 44

3.2 La Proyección Mercator. ..................................................................................... 45

3.2.1 Transformación Directa de Coordenadas. ..................................................... 59

3.2.2 Transformación Inversa de Coordenadas. ..................................................... 65

3.2.3 Transformación Directa en el Elipsoide. ........................................................ 68

3.2.4 Transformación Inversa en el Elipsoide. ........................................................ 78

3.3 Proyección Transversa de Mercator Caso Esférico (Modelo de Lambert). ... 83

3.3.1 Transformación Directa de Coordenadas. ..................................................... 88

3.3.2 Transformación Inversa de Coordenadas. ..................................................... 95

3.4 La Longitud de Arco de la Elipse Meridiana. .................................................. 101

3.4.1 Formulas de Conversión. .................................................................................. 102

3.5 Proyección Transversa de Mercator Caso Elipsoidal (Gauss-Krüger). ....... 105

3.5.1 Transformación Directa de Coordenadas. ................................................... 111

3.5.2 Transformación Inversa de Coordenadas. ................................................... 131

3.1.1 La Convergencia de Meridianos en la Representación GK. ........................ 145

ÍNDICE.

XIII

3.6 La Proyección Universal Transversa de Mercator (UTM). ............................. 153

3.6.1 Sistema de Proyección. ............................................................................... 168



3.7 La Proyección Transversa Modificada Ejidal (TME). ..................................... 183



IV. DE LA INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO DEL PROYECTO. ............................ 191

4.1 Introducción. ...................................................................................................... 192

4.2 Relación entre Amplitud Meridiana y Precisión. ............................................ 193

4.3 De la Zona de Estudio. ...................................................................................... 202

4.3.1 Ubicación Geográfica. .................................................................................. 203

4.3.2 Límites y Fronteras. ..................................................................................... 206

4.3.3 Extensión Territorial. .................................................................................... 208

4.3.4 División Política. ........................................................................................... 212

4.3.5 Husos Horarios............................................................................................. 215

4.3.6 Autoridad Encargada de la Elaboración de Cartografía Nacional. .............. 218

4.3.7 Proyecciones y Escalas Cartográficas para la República Mexicana. .......... 220

4.3.8 Sistemas de Referencia Geodésicos Oficiales para la Elaboración de

Cartografía Mexicana. .................................................................................. 224

4.4 Fórmulas de Derivación Modificadas. ............................................................... 228

4.5 Fórmulas de Transformación Gauss-Krüger Amplificadas a la Derivada de

Orden Doce. ......................................................................................................... 245

4.5.1 Amplificación Directa. ................................................................................... 246

4.5.2 Amplificación Inversa. .................................................................................. 253

4.6 Pruebas de Error y Exactitud. ............................................................................ 263

4.6.1 Aplicación de las formulas amplificadas a un Δλ máximo para el territorio

mexicano. ..................................................................................................... 263

4.6.2 Latitudes Crecientes. ................................................................................... 283

4.6.3 Número de términos necesarios en función de Δλ. ..................................... 288

4.6.4 Comparación de resultados con los algoritmos de Karney. ........................ 305

4.6.5 Error máximo alcanzado. ............................................................................. 311

4.7 Nuevos Algoritmos de Transformación para la Proyección GK. ................. 314

4.7.1 Fórmulas de Transformación Directa. .......................................................... 315

4.7.2 Fórmulas de Transformación Inversa. ......................................................... 319

4.8 Representación Cartográfica de los Estados Unidos Mexicanos en la

Proyección Transversa de Mercator. ................................................................. 324

ÍNDICE.

XIV

V. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES.......................................................... 326

5.1 Conclusiones. .................................................................................................... 327

5.2 Aplicaciones y Trabajos a Futuro. ................................................................... 329

VI. ANEXOS. ................................................................................................................ 332

6.1 Introducción. ...................................................................................................... 333

6.2 La Integral de la Latitud Isométrica (Proyección Mercator Caso Elipsoidal). ...

............................................................................................................................. 333

6.3 La Integral Elíptica para la Longitud de Arco de Meridiano.......................... 340

6.4 Derivadas Consecutivas para la Representación GK. .................................. 348

6.4.1 El método de derivación de Paul D. Thomas. .............................................. 348

6.4.2 Derivadas de orden superior para el proceso directo. ................................. 351

6.4.3 Derivadas de orden superior para el proceso inverso. ................................ 360

6.4.4 Derivadas de orden superior de 𝐅𝚽 para el proceso inverso. ..................... 368

6.5 Desarrollo de las Doce Derivadas Consecutivas para la Representación GK.

............................................................................................................................. 372

6.5.1 Derivadas de orden superior para el proceso directo. ................................. 372

Para 𝒇′𝚽. ................................................................................................................... 372

Para 𝒇′′𝚽.................................................................................................................... 372

Para 𝒇′′′𝚽. .................................................................................................................. 373

Para 𝒇𝐈𝐕𝚽. ................................................................................................................. 374

Para 𝒇𝐕𝚽. .................................................................................................................. 375

Para 𝒇𝐕𝐈𝚽. ................................................................................................................. 377

Para 𝒇𝐕𝐈𝐈𝚽. ............................................................................................................... 380

Para 𝒇𝐕𝐈𝐈𝐈𝚽. .............................................................................................................. 384

Para 𝒇𝐈𝐗𝚽. ................................................................................................................. 390

Para 𝒇𝐗𝐈𝚽. ................................................................................................................. 408

Para 𝒇𝐗𝐈𝐈𝚽................................................................................................................. 418

6.5.2 Derivadas de orden superior para el proceso inverso. ................................ 430

Para 𝐅′𝒚 ..................................................................................................................... 430

Para 𝐅′′𝒚 .................................................................................................................... 430

Para 𝐅′′′𝒚 ................................................................................................................... 431

Para 𝐅𝐈𝐕𝒚 ................................................................................................................... 432

Para 𝐅𝐕𝒚 .................................................................................................................... 433

Para 𝐅𝐕𝐈𝒚 ................................................................................................................... 435

Para 𝐅𝐕𝐈𝐈𝒚 ................................................................................................................. 438

Para 𝐅𝐕𝐈𝐈𝐈𝒚 ................................................................................................................ 442

ÍNDICE.

XV

Para 𝐅𝐈𝐗𝒚 ................................................................................................................... 447

Para 𝐅𝐗𝒚 .................................................................................................................... 453

Para 𝐅𝐗𝐈𝒚 ................................................................................................................... 460

Para 𝐅𝐗𝐈𝐈𝒚 ................................................................................................................. 470

6.5.3 Derivadas de orden superior de 𝐅′𝚽 para el proceso inverso. .................... 481

Para 𝐅′𝚽 .................................................................................................................... 481

Para 𝐅′′𝚽.................................................................................................................... 481

Para 𝐅′′′𝚽 ................................................................................................................... 482

Para 𝐅𝐈𝐕𝚽 .................................................................................................................. 483

Para 𝐅𝐕𝚽 ................................................................................................................... 485

Para 𝐅𝐕𝐈𝚽 .................................................................................................................. 488

VII. BIBLIOGRAFÍA ....................................................................................................... 493

ÍNDICE DE FIGURAS.

XVI

ÍNDICE DE FIGURAS.

Fig. I.1 Número de términos necesarios para la proyección Gauss-Krüger en función de ... 8

Fig. II.1 Gerardus Mercator de Rupelmonde. ....................................................................... 15

Fig. II.2 Loxodrómica en un grabado de Escher, 1958. ....................................................... 18

Fig. II.3 Explicación del principio de la proyección de Mercator, según Thomas Wright en su

Certaine Errors of Navigation, Londres, 1599. ..................................................................... 21

Fig. II.4 Nova et aucta orbisterrae descriptio ad usum navigantium emendate accomodata,

Mercator 1569. Fuente: http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b7200344k/f14.item ................. 25

Fig. II.5 Johann Heinrich Lambert, o Jean-Henri Lambert (1728-1777)............................... 28

Fig. II.6 Modelo Cilíndrico Transverso. Fuente Gómez Moreno 2003. ................................ 29

Fig. II.7 Johann Carl Friedrich Gauss ................................................................................... 32

Fig. II.8 Apariencia de la Proyección Transversa de Mercator ............................................ 34

Fig. II.9 Johannes Heinrich Louis Krüger ............................................................................. 35

Fig. III.1 Esquema Geométrico de la Proyección Mercator. ................................................. 45

Fig. III.2 Línea loxodrómica sobre la esfera. ........................................................................ 47

Fig. III.3 Loxodrómica en la esfera, vista de perfil. ............................................................... 47

Fig. III.4 Proyección cilíndrica conceptual. ........................................................................... 48

Fig. III.5 Proyección Mercator. .............................................................................................. 49

Fig. III.6 Representación de la loxodrómica y ortodrómica en la proyección Mercator. ...... 50

Fig. III.7 Representación mundial en la proyección Mercator. Fuente: NASA 2015. ........... 51

Fig. III.8 Representación de América del Sur en la Proyección Mercator, MC= 75º W. ...... 52

Fig. III.9 Valores del factor de escala (ko) en la proyección Mercator. ................................. 54

Fig. III.10 Carta náutica en la proyección Mercator.............................................................. 58

Fig. III.11 Representación de un cuadrilátero esférico en el cilindro. ................................. 60

Fig. III.12 Proyección del cuadrilátero esférico sobre el cilindro. ......................................... 60

Fig. III.13 Radio de un paralelo distinto al Ecuador. ............................................................ 61

Fig. III.14 Esquema geométrico de la proyección Mercator para el elipsoide. .................... 69

Fig. III.15 Porción de arco de meridiano. ............................................................................. 70

Fig. III.16 Teorema de Meusnier. ......................................................................................... 72

Fig. III.17 Cilindro secante al elipsoide pero tangente a un paralelo distinto del ecuador ... 78

Fig. III.18 Desarrollo cilíndrico transverso a la esfera. ......................................................... 83

Fig. III.19 Representación mundial en la proyección Transversa de Mercator. ................... 86

ÍNDICE DE FIGURAS.

XVII

Fig. III.20 Elementos geométricos de la proyección Transversa de Mercator. .................... 89

Fig. III.21 Triángulo esférico. ................................................................................................ 90

Fig. III.22 Cilindro transverso al elipsoide. ......................................................................... 106

Fig. III.23 Desarrollo de la representación Gauss-Krüger. ................................................. 107

Fig. III.24 Banda meridiana en la representación Gauss-Krüger ....................................... 107

Fig. III.25 Valores del factor de escala (ko) en la representación GK ................................ 110

Fig. III.26 Sistemas complejos de deducción. .................................................................... 113

Fig. III.27 Representación de la longitud de arco de meridiano en el elipsoide y el plano GK

......................................................................................................................................................... 121

Fig. III.28 Representación del punto de expansión en ambos sistemas. ........................... 135

Fig. III.29 Relación de la convergencia de meridianos con el Norte Geográfico (NG), el

Norte Cartográfico (NC) y Norte Magnético (MC) .............................................................. 145

Fig. III.30 Convergencia de Meridianos en una banda meridiana GK. .............................. 146

Fig. III.31 Convergencia de meridianos en un sistema infinitesimal. ................................. 147

Fig. III.32 Sistema UTM, cilindro secante al elipsoide. ...................................................... 153

Fig. III.33 Vista en planta del sistema UTM. ....................................................................... 154

Fig. III.34 Zonas UTM para Sur América. ........................................................................... 155

Fig. III.35 Zonas UTM para todo el planeta tierra............................................................... 158

Fig. III.36 Sistema de coordenadas UTM para los dos hemisferios de la tierra. ............... 161

Fig. III.37 Fajas UTM para todo el planeta tierra. ............................................................... 163

Fig. III.38 Zonas y Fajas UTM asignadas a la República Mexicana. ................................. 164

Fig. III.39 Carta topográfica escala 1:50 000 en la proyección UTM. ................................ 167

Fig. III.40 Factores de escala en la proyección GK. .......................................................... 169

Fig. III.41 Factor de escala en el sistema TM. ................................................................... 170

Fig. III.42 Factor de escala en el sistema UTM. ................................................................. 173

Fig. III.43 Factor de escala en un huso UTM. .................................................................... 174

Fig. III.44 Zona ejidal en la proyección TME. ..................................................................... 184

Fig. III.45 Plano ejidal en la proyección TME. .................................................................... 187

Fig. IV.1 Coordenadas extremas de la República Mexicana. Rojo – Oficiales, Naranja –

Continentales, Verde – ZEEM. Fuente: INEGI, 2015. ........................................................ 205

Fig. IV.2 Límites fronterizos de la República Mexicana. .................................................... 208

Fig. IV.3 Extensión territorial de la República Mexicana. ................................................... 212

Fig. IV.4 División política de los Estados Unidos Mexicanos. ............................................ 213

ÍNDICE DE FIGURAS.

XVIII

Fig. IV.5 Husos horarios y tiempo oficial para la República Mexicana. ............................. 217

Fig. IV.6 Red de coordenadas para el proceso de conversión. ......................................... 265

Fig. IV.7 Primera aproximación de L en kilómetros............................................................ 289

Fig. IV.8 Segunda aproximación de L en kilómetros. ......................................................... 290

Fig. IV.9 Tercera aproximación de L en kilómetros. ........................................................... 290

Fig. IV.10 Cuarta aproximación de L en kilómetros. .......................................................... 291

Fig. IV.11 Quinta aproximación de L en metros. ................................................................ 291

Fig. IV.12 Sexta aproximación de L en metros. ................................................................. 292

Fig. IV.13 Séptima aproximación de L en metros. ............................................................. 292

Fig. IV.14 Octava aproximación de L en metros. ............................................................... 293

Fig. IV.15 Novena aproximación de L en metros. .............................................................. 293

Fig. IV.16 Decima aproximación de L en metros. .............................................................. 294

Fig. IV.17 Decimo primera aproximación de L en metros. ................................................. 294

Fig. IV.18 Decimo segunda aproximación de L en metros. ............................................... 295

Fig. IV.19 Primera aproximación de l en grados decimales. .............................................. 295

Fig. IV.20 Tercera aproximación de l en minutos decimales. ............................................ 296

Fig. IV.21 Segunda aproximación de l en grados decimales, siendo 0.20 igual a 12’. ...... 296

Fig. IV.22 Cuarta aproximación de l en minutos decimales, siendo 0.50 igual a 30”. ....... 297

Fig. IV.23 Quitan aproximación de l en minutos decimales, siendo 0.10 igual a 6”. .......... 297

Fig. IV.24 Sexta aproximación de l en segundos decimales. ............................................. 298

Fig. IV.25 Séptima aproximación de l en segundos decimales. ......................................... 298

Fig. IV.26 Octava aproximación de l en segundos decimales. .......................................... 299

Fig. IV.27 Novena aproximación de l en segundos decimales. ......................................... 299

Fig. IV.28 Decima aproximación de l en segundos decimales. .......................................... 300

Fig. IV.29 Decimo primera aproximación de l en segundos decimales. ............................ 300

Fig. IV.30 Decimo segunda aproximación de l en segundos decimales. ........................... 301

Fig. IV.31 Primera aproximación de m en minutos decimales, siendo 0.20 igual a 12". ... 301

Fig. IV.32 Segunda aproximación de m en segundos decimales. ..................................... 302

Fig. IV.33 Tercera aproximación de m en segundos decimales. ....................................... 302

Fig. IV.34 Cuarta aproximación de m en segundos decimales. ......................................... 303

Fig. IV.35 Quinta aproximación de m en segundos decimales. ......................................... 303

Fig. IV.36 Sexta aproximación de m en segundos decimales. .......................................... 304

ÍNDICE DE TABLAS.

XIX

ÍNDICE DE TABLAS.

Tabla III.1 Zonas UTM de cobertura mundial. .................................................................... 157

Tabla III.2 Fajas UTM de cobertura mundial ...................................................................... 162

Tabla IV.1 Comparación de algoritmos de transformación, GK – Thomas. ....................... 196

Tabla IV.2 Transformación directa GK. .............................................................................. 197

Tabla IV.3 Transformación Inversa GK. ............................................................................. 198

Tabla IV.4 Errores de cálculos entre transformaciones. .................................................... 198

Tabla IV.5 Coordenadas extremas de la república mexicana. ........................................... 205

Tabla IV.6 Extensión territorial de la república mexicana. ................................................. 211

Tabla IV.7 Entidades federativas de los estados unidos mexicanos. Fuente INEGI 2015. 215

Tabla IV.8 Husos horarios de la república mexicana. Fuente CENAM 2016. ................... 217

Tabla IV.9 Escalas y proyecciones cartográficas para la república mexicana. Fuente INEGI

2006 .................................................................................................................................... 224

Tabla IV.10 Principales constantes geométricas y físicas del elipsoide GRS 80. Fuente

INEGI 2006 ......................................................................................................................... 226

Tabla IV.11 Parámetros base de transformación. .............................................................. 230

Tabla IV.12 Parámetros Base e Igualdades. ...................................................................... 244

Tabla IV.13 Fórmulas de derivación modificadas. ............................................................. 245

Tabla IV.14 Radios de curvatura y demás parámetros geométricos para φ de 14º N....... 266

Tabla IV.15 Valores de los doce términos con respecto a φ y λ expresados en metros. .. 266

Tabla IV.16 Coordenadas finales expresadas en el sistema GK. ...................................... 266

Tabla IV.17 Radios de curvatura y demás parámetros geométricos para las latitudes de los

puntos de expansión de cada coordenada GK. ................................................................. 267

Tabla IV.18 Valores de los términos inversos con respecto a X y Y.................................. 268

Tabla IV.19 Coordenadas geodésicas transformadas. ...................................................... 268

Tabla IV.20 Errores de transformación entre conversiones. .............................................. 269








ÍNDICE DE TABLAS.

XX


















Tabla IV.42 Errores de conversión para latitudes crecientes siendo Δλ de 24º el valor

máximo de amplitud meridiana........................................................................................... 284

Tabla IV.43 Errores de conversión para latitudes crecientes siendo Δλ de 60º el valor

máximo de amplitud meridiana........................................................................................... 285

Tabla IV.44 Precisiones máximas y mínimas para latitudes crecientes en un rango de Δλ de

12º a 30º ............................................................................................................................. 287

Tabla IV.45 Número de términos de conversión necesarios en función de Δλ. ................ 305

Tabla IV.46 Comparativa de coordenadas entre los algoritmos amplificados de GK y los de

Karney – Krüger (Ka – Kr) .................................................................................................. 308

Tabla IV.47 Diferencia entre las coordenadas obtenidas con los algoritmos amplificados de

GK y Ka – Kr. ...................................................................................................................... 309

Tabla IV.48 Aplicación de los algoritmos de Karney a las coordenadas obtenidas en los

algoritmos amplificados GK. ............................................................................................... 310

Tabla IV.49 Conversión de coordenadas oficiales y de la ZEE pertenecientes a la

República Mexicana utilizando los algoritmos básicos GK. ............................................... 312

Tabla IV.50 Conversión de coordenadas oficiales y de la ZEE pertenecientes a la

República Mexicana utilizando los algoritmos amplificados GK. ....................................... 313

ÍNDICE DE TABLAS.

XXI

Tabla IV.51 Parámetros y nomenclatura base para el proceso directo. ............................ 315

Tabla IV.52 Parámetros y nomenclatura base para el proceso inverso. ........................... 319

I. PROTOCOLO DE INVESTIGACIÓN

1

I. PROTOCOLO DE

INVESTIGACIÓN


2

1.1 Introducción.

Desde la antigüedad la supervivencia del ser humano ha estado vinculada

con la necesidad de conocer y comprender con el mayor detalle posible el lugar en

el que habita y el entorno que lo rodea. Asimismo, le ha permitido explorar y

descubrir lugares más allá de lo que el horizonte le permitía observar. En algún

momento del proceso de desarrollo de la civilización, el ser humano tuvo la

necesidad de plasmar este conocimiento territorial sobre alguna superficie dando

lugar a los primeros “mapas1” de la historia. Estas representaciones fueron

talladas en roca, arcilla, madera o tela dando origen a la cartografía2.

En 1963 el arqueólogo James Mellart descubrió durante una excavación en

la meseta de Anatolia, Turquía, lo que podría ser la obra cartográfica más antigua,

que trata de un plano mural de unos 3 metros de largo y que su descubridor

considera muestra el plano de una ciudad y que fue datado en el año de 6200 a.c.

(Millán Gamboa, 2006).

Sin embargo, es posible que la primera representación del mundo conocido

realizada con un propósito específico y por considerado como mapa es una tablilla

de arcilla que describe la zona norte de la antigua Mesopotamia, incluyendo el Rio

Eufrates. Fue encontrada en Yorgan Tepe, actual ciudad del norte de Irak y se le

asigna una antigüedad aproximada que la sitúa cronológicamente en el año 3800

a.c. (Millán Gamboa, 2006). Esta tablilla aún se conserva en el Museo Británico

(Lorenzo Martinez, 2004).

1 Joly (1988) define mapa como una representación geométrica plana, simplificada y convencional, de toda la superficie terrestre o parte de ella, dentro de una relación de similitud que llamamos escala. Por su parte, la International Cartographic Association ICA, establece que es una imagen convencional que representa las propiedades y características de la realidad geográfica y que son diseñados para satisfacer la necesidad del conocimiento de las relaciones espaciales de una región. 2 La ICA la define en 1967 como “Arte, Ciencia y tecnología empleados en la confección de mapas, así como su estudio como documentos científicos y trabajos artísticos.


3

Desde entonces y a lo largo de toda la historia, los mapas han acompañado

el desarrollo y avance de las diferentes civilizaciones, imprimiendo en ellos el sello

de su cultura, religión e interpretación del mundo. Griegos y romanos realizaron

grandes aportaciones al progreso del conocimiento del territorio y su

representación, conformando las bases de la Cartografía, encargada del proceso

de elaboración y confección de mapas.

En la antigua Grecia ya se suponía que la Tierra era esférica destacando el

tratado titulado Geographia (150 dc) así como la confección de un mapa del

mundo conocido, ambos atribuidos al astrónomo, matemático y geógrafo griego

Claudio Ptolomeo.

La cartografía romana tiene un uso más práctico, aplicándose en la

administración territorial y con propósitos militares, así como para el desarrollo de

comunicaciones más eficientes dentro de sus extensos dominios (Millán Gamboa,

2006).

Durante la edad media se abre un prolongado periodo de decadencia y

abandono del pensamiento científico lo que se traduce en un estancamiento del

progreso de la Cartografía en Europa, determinado por el modelo de organización

política y social profundamente influenciado por el tema religioso.

En este periodo de estancamiento europeo en todos los niveles, debe

destacarse los trabajos desarrollados por los navegantes árabes, que realizaron

cartas geográficas de gran calidad métrica. De acuerdo con Ruiz & Ruiz (2000) la

proliferación de traducciones de textos griegos, especialmente de Ptolomeo,

aumento el interés de los sabios árabes y musulmanes por las ciencias

geográficas.


4

Es hasta el Siglo XV que se observa el resurgimiento de la Cartografía,

fuertemente impulsado por el tráfico marítimo que demando la producción de

mapas para la navegación y además apoyado por un invento de gran

trascendencia para la difusión de los mapas: La imprenta.

El arribo de Cristóbal Colon a tierras de América creyendo haber llegado a

tierras asiáticas, simbólico acontecimiento de esta época de descubrimientos,

proporciona un gran impulso a grandes aportaciones innovaciones en la

cartografía, en el afán de representar esta nueva realidad de los territorios

descubiertos.

El periodo del renacimiento caracterizado por el resurgimiento de todas las

ciencias no podía ser ajeno a la cartografía y le imprime a su desarrollo dos

características que bastaron para darle un matiz especial y definirla como la más

artística de todas las ciencias. Por un lado, personajes como Waldesmuller,

Homen, Reine, Ribero y Cassini aportaron trabajos que convirtieron a los mapas

en verdaderas manifestaciones artísticas y finalmente los matemáticos como

Gauss, Lagrange, Euler, Lambert, Albers, Godde, Winkell y otros que con

dedicación y esfuerzo aportaron el componente racional y científico para

perfeccionar el legado cartográfico proporcionando la base analítica y matemática

para crear mapas con cualidades métricas. Estaba surgiendo así la Cartografía

Matemática encargada de estudiar los procedimientos analíticos y matemáticos

que permiten representar toda o una porción de la superficie terrestre en un mapa.

Estos procedimientos analíticos y matemáticos han sido llamados Proyecciones

Cartográficas y son esenciales en los mapas, pues en función de ellas se les

asignan cualidades geométricas específicas. Además, las proyecciones

cartográficas le aportan a la elaboración del mapa la estructura geométrica que le

da sus propiedades métricas.


5

1.2 Justificación.

En este proceso histórico de evolución de la cartografía, los cartógrafos y

sus proyecciones, destaca de manera relevante uno que revolucionó en su

momento el universo de la cartografía con su creación: Gerardus Mercator que

logró construir una proyección del mundo en su totalidad sobre un cilindro que

envuelve en condición tangente a la tierra a lo largo de su Ecuador y que fue

denominada Proyección Mercator o Proyección de Mercator.

Esta proyección debe su fama a que en principio resuelve un problema

básico de orientación de la navegación marítima, al representar sobre el mapa

trayectorias rectas entre los diferentes puntos del mismo que son equivalentes a

las trayectorias de sus correspondientes puntos sobre la esfera terrestre. Esto le

permite al navegante viajar con certeza a partir de rumbos observados sobre el

mapa, es decir viajar a lo largo de una ruta sin tener que cambiar la dirección de la

brújula.

Asimismo, es de destacar que aun cuando en la actualidad sabemos que la

solución matemática de esta proyección pasa por el uso de los logaritmos y del

cálculo infinitesimal, en 1569 cuando Mercator publica su mapa ninguno de los dos

existía.

Posteriormente, en 1772 el matemático y cartógrafo suizo Johann Heinrich

Lambert público un tratado donde expone 7 nuevas proyecciones, dentro de las

cuales destaca una que fue construida utilizando como superficie de proyección un

cilindro tangente a la esfera terrestre pero en posición transversa a la utilizada por

Mercator, dando con ello lugar a su nomenclatura con la que ahora se identifica:

Proyección Transversa de Mercator (Osborne, 2013).

Posteriormente, la generalización de esta proyección sobre el elipsoide fue

desarrollada por Carl Friedrich Gauss en 1818 caracterizándose por ser una

proyección conforme que conservaba la escala sobre un meridiano. Sin embargo,


6

Gauss dejo incompletos algunos detalles de su trabajo que finalmente Krüger en

1912 desarrolla dos expresiones de transformación para esta proyección

(Osborne, 2013). La primera se perfecciono a partir del desarrollo en serie de

potencias de la distancia al meridiano central, también conocido como ∆λ,

mientras que la segunda lo hizo desarrollando una serie de potencia del parámetro

que describe el achatamiento del elipsoide3.

De acuerdo con Osborne (2013) el primero de los métodos se extendió

tanto en Europa, como en América, dando lugar a trabajos como los de Lee (1945)

y Readfearn (1948) en Gran Bretaña y Thomas (1952) en Estados Unidos4.

En dichos trabajos, la determinación de las expresiones para la

transformación de coordenadas en modo directo e inverso5 de un punto cualquiera

pasa por la aplicación de la serie de Taylor en las proximidades de dicho punto

tomando como argumento de desarrollo, la distancia ∆λ al meridiano central.

Sin embargo, cuanto mayor es la separación entre dicho punto cualquiera y

el meridiano central, mayor ha de ser el número de términos que deberán tomarse

en cuenta en el desarrollo de las series de potencia del parámetro ∆λ, para

asegurar que las transformaciones sean precisas. Para la proyección UTM6,

donde la amplitud máxima es de 3° a cada lado del meridiano central, suele ser

suficiente utilizar hasta los términos 5 y 6 de la serie de potencias, pero en los

casos donde la proyección se extiende más allá de los 3° es conveniente utilizar

hasta los términos 7 y 8 (Mena Barrios, 2008).

3 Por esta razón la Proyección Transversa de Mercator a menudo es conocida también como Gauss-Kruger. 4 El segundo método de solución planteado por Kruger ha sido desarrollado por Karney (2011) y sugiere un resultado más preciso. 5 Se considera transformación directa cuando las coordenadas geodésicas de un punto cualquiera se transforman en coordenadas planas de la proyección y la transformación inversa es el proceso contrario. 6 Variante de la Proyección Transversa de Mercator o de Gauss-Kruger pero aplicada en forma sistemática a porciones iguales de 6° de longitud de la superficie terrestre y que por su cobertura universal ha derivado en ser la proyección más utilizada en el mundo actualmente.


7

Es en este sentido que Karney (2011) afirma que el algoritmo basado en las

formulas desarrolladas a partir el método de serie de potencias de ∆λ es

impreciso y sugiere no utilizarlo. Deakin, Hunter & Karney (2010) consideran que

este método de transformación solo garantiza precisión milimétrica con valores de

∆λ menores a 6°.

Por su parte, y de manera contrastante, Turiño (2009) indica que las

formulas basadas en funciones elípticas, si bien ofrecen mejor precisión conllevan

el uso de largas series con diferentes tipos de coeficiente, integración numérica e

iteraciones. Por su mayor sencillez, defiende el planteamiento de la aplicación de

la serie desarrollada a partir del parámetro ∆λ por utilizar solo una clase de

coeficiente.

En México la autoridad encargada de elaborar y difundir la cartografía

nacional en sus diferentes escalas y presentaciones es el Instituto Nacional de

Estadística y Geografía (INEGI), el cual considera a la Proyección Transversa de

Mercator, en conjunto con la Proyección Cónica Conforme de Lambert con dos

paralelos tipo, como oficial para la representación de la República Mexicana en la

carta a escala 1:4 000 0007. A pesar de ello no ha divulgado, al menos disponible

al público en general, algún documento técnico donde se describan los algoritmos

a utilizar para las transformaciones de coordenadas geográficas en la Proyección

Transversa de Mercator, o bien una calculadora propia parecida a TMCalc8 , pero

con aplicación para una extensión de longitud ∆λ suficiente para cubrir toda la

extensión territorial del país, que en este caso debe ser de aproximadamente

16.5° a ambos lados del meridiano central, que para esta proyección se ha

establecido como 102° W.

7 Escala cartográfica oficial para la representación completa de la República Mexicana. 8 Calculadora desarrollada por INEGI y disponible al público en general de manera libre en el portal http://www.inegi.org.mx/geo/contenidos/catastro/tm_presentacion.aspx y consiste en una aplicación para realizar las siguientes transformaciones de coordenadas : Geodésicas a TME (Transversa Modificada Ejidal), TME a Geodésicas, Geodésicas a UTM (Universal Transversa de Mercator), UTM a Geodésicas, TME a UTM, UTM a TME, transformación de zonas TME y transformación de zonas UTM. El valor máximo de ∆𝜆 en estas transformaciones es de 3°.

http://www.inegi.org.mx/geo/contenidos/catastro/tm_presentacion.aspx


8

Fig. I.1 Número de términos necesarios para la proyección Gauss-Krüger en función de ∆𝛌 Fuente: Enriquez Turiño, 2009.

A partir de lo expuesto por Mena (2008), para poder aplicar la Proyección

Transversa de Mercator para la representación de la República Mexicana sería

necesario desarrollar la serie de potencias de ∆λ hasta los términos necesarios,

acorde el valor máximo de ∆λ, para garantizar la calidad métrica de las

transformaciones. La respuesta a este planteamiento la presenta Turiño (2009), al

afirmar que para alcanzar una precisión de 0.001 m en la transformación de

coordenadas en la Proyección Transversa de Mercator tanto en el proceso directo

como el inverso, el número de términos de la serie de Taylor necesarios está en

función de los valores de la latitud φ y distancia al meridiano central ∆λ de un

punto cualquiera, de acuerdo a la siguiente tabla:


9

1.3 Objetivos.

1.3.1 Objetivo General.

Analizando lo anterior, y para el caso de la República Mexicana donde

∆𝜆Max = 16° 30", y considerando que el territorio nacional se extiende en latitud

desde los 14° hasta los 33° podemos asumir que el número de términos de la

serie de Taylor necesarios para establecer, con calidad métrica de 0.001m, las

expresiones matemáticas para la transformación de coordenadas en modo directo

e inverso en la Proyección Transversa de Mercator, es de entre 11 y 12 términos.

En virtud de que en la búsqueda documental no se detectó trabajo escrito

alguno que desarrollara las ecuaciones de transformación más allá de los términos

7 y 8 de la serie de Taylor y que de acuerdo con Mena (2008) y Deakin, Hunter &

Karney (2010) solo garantizan calidad métrica para valores del parámetro ∆λ de

entre 3° y 6°, es por ello que la presente tesis tiene por objetivo principal:

- Establecer las ecuaciones de trasformación de coordenadas directa e

inversa en la Proyección Transversa de Mercator para su aplicación en la

representación cartográfica de la totalidad de la República Mexicana

donde el valor del parámetro ∆λ es 16.5°.

1.3.2 Objetivos Particulares.

- Desarrollar hasta el término 12 la serie de potencias del parámetro ∆λ

para establecer los algoritmos de transformación directa e inversa de la

Proyección Transversa de Mercator aplicables a la representación de la

República Mexicana.

- Evaluar la calidad métrica de las transformaciones basadas en dichos

algoritmos para el espacio geográfico de la República Mexicana.


10

- Difundir el desarrollo completo de todos los términos, componentes y

procedimientos que conformen y se vinculen con los algoritmos y fórmulas de

transformación de la Proyección Gauss- Krüger para la cobertura total de la


Para verificar la calidad métrica de las transformaciones de coordenadas

obtenidas mediante la aplicación de algoritmos de la manera descrita, se puede

aplicar el método detallado por Osborne (2013) y Deakin, Hunter & Karney (2010)

y que consiste en transformar inicialmente las coordenadas geodésicas φ, λ de un

punto en coordenadas planas de la proyección X, Y y posteriormente a partir de

estas últimas regresar a las coordenadas geodésicas. Dado que deberíamos

regresar a las coordenadas iniciales, la calidad métrica de las ecuaciones de

transformación dependerá de la diferencia entre las coordenadas de partida y las

coordenadas de regreso.

Asimismo, en http://www.mygeodesy.id.au/map-projection/ se encuentra una

calculadora para transformar coordenadas geodésicas en coordenadas planas en

la Proyección Transversa de Mercator desarrollada de acuerdo a la formulación

matemática de Karney-Kruger propuesta en Deakin (2014), que permitirá

comparar los resultados obtenidos en este trabajo.

Dado que el desarrollo de las ecuaciones de transformación de

coordenadas aquí propuesto exige una enorme cantidad de cálculos algebraicos,

es importante apoyarse en alguna de las aplicaciones disponibles para la

manipulación de estos datos. Por su eficiencia para el manejo de expresiones

analíticas en este trabajo se utilizará Mathematica®.

http://www.mygeodesy.id.au/map-projection/

II. ANTECEDENTES HISTÓRICOS

11

II. ANTECEDENTES

HISTÓRICOS


12

2.1 Introducción.

A través de la historia, muchos fueron los esfuerzos de grandes científicos

(cartógrafos, geógrafos, navegantes, topógrafos, geodestas, etc.) por tratar de

representar al mundo en un papel, en un lienzo el cual fuera capaz de explicar de

manera detallada y casi exacta la ubicación de todos los lugares conocidos por el

hombre de aquella época. Fue una labor difícil pero más no imposible, impulsados

por la sed de conocimiento y la curiosidad de descubrir lo nunca antes

descubierto, hombres de ciencia, navegantes y conquistadores, destacados por su

diferente e interesante forma de pensar y sobre todo un increíble intelecto, durante

mucho tiempo lograron crear los más preciados tesoros de la geografía, los

mapas, y plasmar sobre ellos el conocimiento adquirido durante varios siglos.

En esta odisea por lograr la máxima representación del esferoide azul en un

mapa de manera fiel y precisa, infinidad de científicos y personas afines a ciencias

relacionadas con la medición de la tierra se enfrentaron con el principal y más

difícil desafío de la cartografía; trasladar la información existente sobre la

superficie terrestre que originalmente es afectada por una curvatura muy distinta a

la de una esfera perfecta a una superficie totalmente plana.

Con el aporte de cada uno de estos intelectuales es que nacen las

proyecciones cartográficas, proyecciones que como bien lo dice su nombre, son

simplemente el reflejo y la visión del mundo visto desde una diferente perspectiva

pero todas compartiendo un mismo fin, poner al mundo sobre un mapa. Sin duda

alguna de este puñado de hombres, las proyecciones e infinidad de mapas que

con ellos surgen destaca solo uno, Gerardus Mercator el hombre que revolucionó

el universo de la cartografía y que con su máxima creación, la proyección

bautizada con el nombre, la “Proyección Mercator” o “Proyección de Mercator”,

logro representar a la tierra en su totalidad, mejorando e innovando el

conocimiento geográfico, así mismo impulsando a la navegación marítima.


13

La Proyección Mercator, durante cuatrocientos años ha sido aceptada como la

verdadera representación plana de nuestro planeta (Ingeniería de Mapas, 2013).

La cual fue creada originalmente para mostrar rumbos de la brújula para viajes en

el mar, siendo una característica adicional de esta proyección que todas las

formas locales son exactas y definidas claramente (ESRI, 2013).

A pesar de las carencias tecnológicas y el poco conocimiento sobre la

verdadera forma de la tierra, de su extraña curvatura y los avances matemáticos

sobre geometría y cálculo diferencial que en el tiempo del renacimiento existía,

Mercator logra construir una proyección del mundo sobre un cilindro pero con la

desventaja de que en ella existían distorsiones muy notables sobre los territorios

proyectados. Sin embargo dadas estas carencias y para inhibir dicha deformación

geométrica, matemáticos y científicos como lo fueron Lambert, Gauss y Krüger

logran desaparecer esta problemática perfeccionando la idea de Mercator.

La complejidad de encontrar una figura geométrica que se aproximara más

a la forma real de la tierra, trajo consigo diversos cambios a la estructura

matemática de esta proyección, dicha situación dio como resultado nuevas

modificaciones y aportaciones al trabajo de Mercator. De estos ajustes surgieron

variantes de la proyección, los cuales facilitan más la comprensión y análisis de la

información geoespacial del territorio pero todas ellas conservando la esencia de

la idea original de su creador.

La proyección Mercator, es sin duda una de las más perdurables y exitosas

proyecciones cartográficas creadas durante el siglo XVI. Desde su creación hasta

la actualidad la proyección de Mercator y todas sus variantes han sido las más

utilizadas, que más se ajusta a las necesidades de la cartografía y especialidades

a fines a ella como lo son la topografía, geodesia y cartografía, esencialmente. Es

por esta razón que en este capítulo se explicaran los rasgos históricos en torno a

esta proyección y sus principales aportaciones y variantes.


14

2.2 El Mundo en un Cilindro. La Idea de Mercator.

La sublevación de los Países Bajos contra el dominio español en la famosa

Guerra de los Ochenta Años9 dio un fuerte impulso a la cartografía bélica. Los

ejércitos rebeldes necesitaban mapas informativos los cuales estuvieran

actualizados en cuanto a las últimas operaciones, expediciones, batallas y demás

información militar que les permitirá organizar y planear estrategias que

garantizaran la victoria sobre las tropas enemigas. Además de satisfacer esta

necesidad los cartógrafos de aquel entonces se daban a la tarea de crear mapas

actualizados en los cuales se plasmaran la ampliación de las ciudades debido al

enorme crecimiento demográfico del siglo XV y XVI, la ramificación de las redes

fluviales y terrestres, la desecación de los pólderes y sobre todo las rutas

comerciales terrestres y marítimas (Toscano, 2000).

Antes de los sucesos ocurridos durante la lucha de independencia, en los

Países Bajos la actividad cartográfica era nula, debido a que durante el reinado

español se le daba prioridad a las cuestiones políticas y religiosas. Se tiene

conocimiento que a mediados del siglo XV existieron grandes aportaciones y

trabajos de cartógrafos en Flandes, sin embargo fueron aquellas circunstancias las

que obligan a abandonar este florecimiento y la enorme difusión del producto

cartográfico que consigo llevan.

Durante la mitad del siglo XV e inicios del siglo XVI Amberes era la capital

comercial de toda Europa y gozaba de una gran actividad mercantil y portuaria. En

aquellos tiempos los mercaderes y armadores, en su interés por conocer nuevas

rutas y nuevas localizaciones de donde proveerse a la vez que situar sus

productos, provocan una creciente demanda del saber geográfico (Colección de

Cartografía Antigua GM, 2015). El trazar nuevas rutas de navegación hacía que

los Países Bajos golpearan económicamente a la corona española, generando un

9 Conflicto bélico entre las diecisiete provincias que conformaban Los Países Bajos en

contra de la Monarquía Española, iniciando en el año 1568 y finalizando en 1648.


15

bloqueo comercial y una fuga enorme de riqueza, patrimonio, cultura y

principalmente de conocimiento, donde los principales beneficiados era el bloque

enemigo. Dicho de otra manera estas nuevas rutas comerciales serian la

independencia económica de España.

Es así que durante los primeros años del movimiento de independencia

flamenca es cuando se da la mayor aportación para la ciencia de los mapas, el

nacimiento de una de las innovaciones cartográficas más importantes de todos los

tiempos. Este triunfo científico fue forjado por uno de los hombres más célebres e

ilustres que la cartografía y geografía flamenca pudo haber concebido, siendo su

nombre Gerhard Kremer o mejor conocido por su traducción al latín como

Gerardus Mercator de Rupelmonde.

Fig. II.1 Gerardus Mercator de Rupelmonde.


16

Mercator fue un reconocido pintor, grabador, cartógrafo, astrónomo,

cosmógrafo, filósofo y matemático de origen flamenco, nacido el 5 de marzo de

1512 en Rupelmonde, Flandes (actualmente Bélgica). Destacó por ser un

científico excepcional en cuestiones geográficas, astronómicas y religiosas, lo cual

lo llevo a servir a los más grandes monarcas de su tiempo.

Las obras de Mercator superaron en influencia a la geografía de Ptolomeo, y

desbancaron eficazmente la cartografía en xilograbado10 al llevar el arte del

grabado calcográfico11 de mapas a extremos de belleza y sofisticación sin

precedentes (Brotton, 2014). Realmente la inspiración de Mercator hacía la

cartografía y las proyecciones cartográficas se la ameritan a Ptolomeo y su

concepción geométrica de la tierra.

El trabajo de Mercator durante el siglo XVI fue constante y de importante

función, especialmente en las cortes, al servicio de por ejemplo el duque de Jülich.

Esencialmente el trabajo de Mercator fue la elaboración de diversos documentos

cartográficos e instrumentos de navegación, mismos que fueron el principal

sustento para los reinos de Alemania y Países Bajos en cuanto actualización

geográfica y de comercio. Es bien sabido que durante el Renacimiento (siglos XV

y XVI), Europa destacó por la serie de descubrimientos que en este periodo de

tiempo se realizaron, los cuales fueron posibles gracias a la navegación.

De cierta manera durante el Renacimiento aquella edad que vio nacer, crecer y

morir al cartógrafo Flamenco, es cuando los reinos de España, Francia y Alemania

luchan por mantener el liderazgo económico a través de rutas comerciales

terrestres y especialmente marítimas. El gobierno hispano era el eje comercial de

toda Europa y doblegaba a los Países Bajos para su contribución, para aportar

con ellos, los cartógrafos holandeses ideaban mapas los cuales fueran de fácil

comprensión para los navegantes y con los que se permitieran trazar nuevas rutas

10 Grabado realizado sobre una plancha de Madera. 11 Calcografía: técnica de grabado sobre metal.


17

marítimas las cuales fueran confiables y de cierta manera de fácil acceso, mismos

que invitaran e impulsaran a los marinos de aquella época a adentrarse en aguas

profundas erradicando el temor de perderse en ellas.

Estos mapas deberían dar fidelidad y certeza a los capitanes de que su navío

fuera en la dirección correcta al lugar o zona deseada para el arribo, dirección que

era previamente trazada en el mapa, es por ese motivo que los cartógrafos de

aquel entonces lidiaron por crear el mapa ideal que cumpliera este primordial

requisito y así evitar que los navíos naufragaran en el inmenso océano.

Los nautas deseaban que sus barcos siguieran una dirección constante sin

importar la distancia recorrida (en aquel tiempo era un poco complicada estimar la

distancia), más bien les interesaba seguir un rumbo fijo el cual existía entre su

puerto de partida hasta su punto de anclaje o llegada. El rumbo fijo era de fácil

obtención si la tierra fuese un platillo, pero debido a su forma casi esférica era

difícil encontrar esa relación angular. Esta línea de rumbo fijo en la realidad no se

manifiesta como una recta, más bien es una línea la cual contempla la curvatura

terrestre, lo que la vuelve curva. A esta línea los antiguos matemáticos griegos la

bautizaron con el nombre de loxodromia o línea loxodrómica que

etimológicamente significa loxós “oblicuo” y dromos que quiere decir “curso”.

La línea loxodrómica o loxodromia se caracteriza por ser una línea curva sobre

la superficie terrestre y diagonal en un plano, que en cualquier de estos escenarios

tiene un azimut, rumbo o dirección constante, la cual corta a los meridianos bajo el

mismo ángulo.

En tiempos de Mercator y antes de la invención de su proyección los marinos

utilizaban otros sistemas de navegación los cuales carecían de la fidelidad de la

orientación angular, por este motivo los viajes en la mayoría de casos se

realizaban siguiendo el criterio de la exploración y la experimentación. Sin

embargo Jerry Brotton (2014) afirma que a pesar de que las líneas de rumbo

garantizaran rutas confiables estas no constituían el único método para navegar a


18

través de la superficie terrestre, los otros métodos que los antiguos navegantes

utilizaban eran los sistemas tradicionales de navegación como la navegación por

círculo máximo y la navegación por línea recta al estilo portulano.

En ambos casos la precisión angular era nula, debido que en estos dos

sistemas la curvatura del arco de rumbo propuesto cambiaba constantemente, lo

que lo obligaba a los pilotos a justar una y otra vez su dirección. Este problema se

generaba debido a que los mapas anteriores a Mercator en su mayoría estaban

referidos a proyecciones de tipo codiforme o a la clásica proyección ptolémica,

provocando que los marinos no pudieran trazar una línea de rumbo constante

sobre ellos.

Mercator era consciente de las deficiencias de estos mapas, en los cuales no

se reflejaba con precisión la curvatura de la Tierra, donde el dibujo de la superficie

terrestre sobre una superficie bidimensional plana provocaba inevitablemente

distorsiones no deseadas que inducían al error de cualquiera que quisiera trazar

Fig. II.2 Loxodrómica en un grabado de Escher, 1958.


19

con precisión un curso entre dos puntos (Evans, 2015). Con esto Mercator

conceptualiza un sistema de proyección en él cual se pudiera rectificar el problema

de la distorsión angular, mismo que en los mapas ptomelicos se generaban, así

mismo poder trazar en el la línea loxodrómica, la cual era de vital importancia y de

principal estudio, para sí cumplir con la demanda requerida por los navegantes,

mercaderes y comerciantes de los Países Bajos.

Realmente la problemática de poder proyectar la línea loxodrómica sobre un

mapa en el cual se conservara la cantidad angular con la que estos cortaran a los

meridianos, fue que los mapas ptomelicos representaban a los meridianos y

paralelos con un cierto grado de curvatura, en donde los meridianos convergían en

los polos (tal como se comportan en la realidad) y los paralelos se extendían de

este a oeste perdiéndose en el infinito, esta circunstancia hacía imposible trazar y

obtener la dirección de cualquier rumbo así mismo el valor angular que se formaba

al cortar a los meridianos que atravesaba aquella línea. Mercator da fin a esta

problemática que desde la antigüedad había aquejado a los marinos del viejo

mundo, siendo un cilindro envolvente a la superficie terrestre el que diera solución

a este enigmático problema.

La idea de Mercator fue sencilla aunque paradójicamente compleja para los

escasos avances tecnológicos y científicos de su tiempo. Gracias a su experiencia

como grabador y elaborador de globos, Mercator encuentra la relación entre estos

y los lienzos con los que realizaba sus mapas. El observo que colocando un lienzo

enrollado de forma cilíndrica alrededor de un globo, siendo el diámetro del cilindro

el mismo que el del globo, los meridianos y los paralelos se enderezaban

convirtiéndose en líneas totalmente rectas, donde los meridianos se proyectarían

de norte a sur pero con la peculiaridad de que no convergerían en los polos como

en los mapas tradicionales, más bien estos se proyectarían de tal forma que

pareciera que se perdieran en el infinito, de igual manera sucedía con los

paralelos pero en dirección este oeste, este efecto provocaba que los meridianos

fueran perpendiculares con los paralelos en cada una de sus intersecciones. Si


20

este cilindro es cortado por el largo de un meridiano y posteriormente extendido se

obtiene la proyección cilíndrica.

Dicho de otra manera con un sentido más técnico y de acuerdo a lo que

estipulan Lapaine y Usery (2008). La proyección Mercator representa los

meridianos como líneas paralelas entre sí, uniformemente espaciadas

(equidistantes), siendo los paralelos desigualmente espaciados, y que están más

juntos cuanto más cerca se encuentran del ecuador y los cuales son

perpendiculares a los meridianos. Los polos Norte y Sur no se pueden mostrar. La

escala es verdadera a lo largo del ecuador o a lo largo de dos paralelos

equidistantes del ecuador. Se produce una distorsión significativa del tamaño en

las latitudes. Realmente a lo largo del ecuador y zonas cercanas a él la

deformación lineal no se manifiesta debido que en el experimento de Mercator es

la zona donde el globo toca directamente al cilindro, como está directamente

empalmando con él, el ecuador presenta sus dimensiones reales como si fuese

un sello marcado en un papel. A este comportamiento del ecuador sobre el cilindro

los matemáticos y cartógrafos lo definieron “Paralelo de Contacto”.

Con este experimento Mercator concibe la primera de las proyecciones

cilíndricas, se ha de mencionar que estas proyecciones realmente se crean

matemáticamente y no desde un cilindro (solo sirve de apoyo), el punto de vista

final puede sugerir una construcción cilíndrica. Bajo este contexto y a su

experimento Mercator desarrolla la explicación matemática de este nuevo sistema.

Según Régules (2010) con el enderezamiento de meridianos y paralelos en

esta proyección, Mercator introdujo una distorsión de las distancias en la dirección

Este-Oeste que aumentaba de nula en el ecuador (donde no había sido necesario

hacerles nada a los meridianos) a infinita en los polos. Al separar los meridianos

en forma creciente con la latitud, Mercator deformó los continentes en el sentido

horizontal como si fueran figuras pintadas en una membrana de hule que se estira

hacia los lados. Para corregir la deformación se vio obligado a estirar cada grado

de latitud en la misma proporción en que había estirado los de longitud para


21

enderezar los meridianos. Como resultado de estas manipulaciones las

loxodromias se convertían en rectas, pero las distancias y por lo tanto los tamaños

de los continentes se inflaban desmesuradamente en las latitudes superiores.

El cilindro y el globo fueron para Mercator un experimento gráfico que sustento

la concepción de su idea de proyectar la línea loxodrómica, pero en realidad el

trabajo matemático fue el esencial para que su idea funcionara y se pusiera en

marcha. Debido al poco avance científico en geodesia Mercator utilizo la figura

geométrica de la esfera para representar al planeta, de acuerdo a su observación

e hipótesis el proyección de los meridianos sobre el cilindro se comportaban de

manera regular con una distancia constante entre ellos, el problema re caía sobre

los paralelos, debido que en ellos la distancia que los separaba era irregular y no

constante como el caso de los meridianos.

Fig. II.3 Explicación del principio de la proyección de Mercator, según Thomas Wright en su Certaine Errors of Navigation, Londres, 1599.


22

Para ello Mercator matemáticamente estimo y calculo la distancia en la que

deberían estar separados cada uno de ellos y de esta manera cumplir con la

importantísima demanda requerida que era la conservación de la línea de rumbo

constante. Esta situación generaba que la distancia entre dos meridianos

cualesquiera en el ecuador fuera el doble de la misma distancia a lo largo que

discurre a un paralelo 60º Norte, debido a la convergencia de los meridianos. De

acuerdo a lo que afirma Brotton, la solución a este problema fue que Mercator

ensancho el paralelo 60º Norte al doble de su dimensión real, asegurando así que

un ángulo oblicuo que lo atravesara pasara a ser recto. Este artificio matemático lo

aplico a todos los paralelos generando así el alargamiento de cada uno de ellos,

provocando que cualquier línea que atravesara los meridianos y el ángulo formado

entre esta y los meridianos fuera constante.

El razonamiento y cálculo matemático que Mercator utilizo para su invención

fue apoyándose sobre la geometría euclidiana extendida, debido que durante el

renacimiento, los trabajos y avances sobre geometría analítica y calculo

infinitesimal aun no existían.

Con este nuevo logro Mercator (el máximo de todos los que puedo haber

hecho), por fin pudo resolver el problema de direcciones en la navegación,

facilitando a todos los marinos poder trazar la dirección de su navío con

simplemente una brújula, una escuadra y un mapa con su proyección, pero

además de este triunfo logro conseguir la conformidad en un mapa, un innovación

matemática que cambiaría el rumbo de la cartografía.

Fue en 1564 mientras ejercía en el Tribunal Cosmographer a servicios del

Duque Wilhelm de Cleve, cuando Mercator conceptualiza esta proyección y

elabora el primer mapa con ella, pero no fue cinco años más tarde, en 1569

cuando su más grande obra se revela ante el mundo de la ciencia y la navegación.


23

En 1569 los avances geográficos sobre el viejo mundo y el descubrimiento de

América comienzan a resaltar en Europa haciendo trabajar a marchas forzadas a

los cartógrafos de todas las naciones europeas en especial de aquellas naciones

conquistadoras, este detonante es lo que propicia a Mercator a desarrollar un

documento en cual contemplara todo aquel conocimiento y representara la

información geográfica existente del mundo hasta ese momento, creando con ello

un mapamundi. Es así que en vísperas de La Guerra de los Ochenta Años, en el

año de 1569, Mercator publica su mapa el cual llevaría por título; “Nova et aucta

orbisterrae descriptio ad usum navigantium emendate accomodata”, cuya

traducción sería “Nueva y más completa representación del globo terrestre

correctamente adaptada para el uso de los navegantes”. Como su nombre lo

recalca y debido al avance sobre la línea loxodrómica que en él se muestra fue

destinada exclusivamente para la navegación.

Este mapa consta de dieciocho hojas separadas, que al unirlas forman un

mural en el cual se presentaría dicho mapa, mismas que aparecen identificadas

por el clásico procedimiento, de uso en los mapas actuales, consistente en dos

coordenadas perpendiculares, una con números del 1 al 6 y otra con las letras A,

B y C.

El mapamundi está confeccionado en escala 1:20’000,000 en el ecuador, con

una cobertura comprendida entre las latitudes 80º N y 66º S. El casquete polar

norte está representado separadamente. La carta se inspira en Ptolomeo y tuvo en

cuenta los datos cartográficos de su época trasladados por navegantes

holandeses, portugueses y españoles.

Tiene sin embargo notorios errores como colocar una gran e imaginaria isla de

Frislant al sur de Islandia, representar el casquete polar norte en la forma de

cuatro islas, la imaginativa recreación del reino del Preste Juan, la colocación del

polo magnético en el estrecho de Bering, la presencia de la gran roca polar, las

imaginarias islas de Pequeña Java y de los Romeros (sur de Madagascar),

etcétera. Además de esto la Carta de Mercator presenta numerosas ilustraciones,


24

llamadas cartelas, leyendas, cartuchos, etcétera, junto con abundantes notas

escritas, que se presentan distribuidas un tanto irregularmente. Es una de las

cartas más profusamente documentadas del Renacimiento. Algunas de estas

leyendas son sumamente breves, pero suelen ser de denso contenido y casi todas

presentan el aspecto común de que van destinadas principalmente para satisfacer

necesidades de los navegantes. (Surroca Carrascosa, 2012). De estas leyendas

resalta una en la cual Mercator hace mención del objetivo de la representación de

los meridianos y paralelos en forma recta y su relación con la línea de rumbo

constante.

... propagación en un plano de la superficie de una esfera de tal manera que

las posiciones de todos los lugares corresponderán a todas las partes entre sí

tanto en lo que respecta a cierta dirección y la distancia se refiere y lo que se

refiere a ciertas longitudes y latitudes. Gerardus Mercator de Rupelmonde, 1569.

Algunos volúmenes de su obra magna nunca verían la luz, otros serían

publicados en diferentes plazos durante el resto de su vida. El detalle, letras

precisa, las numerosas leyendas y la simetría compositiva del enorme mapa

crearían un espectáculo y una de las más bellas obras cartográficas a pesar de

contener errores geográficos, especialmente en lo inexplorado y sobre los

márgenes del mundo conocido.

Surroca Carrascosa (2012), menciona que de esta carta solo se conservan tres

impresiones originales, que se encuentran en el Museo Marítimo Príncipe Enrique

de Róterdam, en la Biblioteca Nacional de Francia y en la Universidad de Basilea.

En el Museo Nacional de Varsovia se encuentra una copia realizada antes de que

se quemara, durante la Segunda Guerra Mundial, una cuarta copia original que

existía en la biblioteca estatal de Berslau (Wrocaw). En el Museo Naval de Madrid

existe una copia facsimilar, editada por el museo de Róterdam.


25

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26

Además Surroca señala que en la época de la edición esta obra tuvo

dificultades de comercialización y difusión porque, según se cree, las

explicaciones que en ella aparecen no convencieron a los navegantes. Pero según

datos de Régules (2010), el mapa de Mercator adquirió mucha popularidad y

prestigio en los siglos XVII y XVIII. Era el mapa de los navegantes y éstos

gozaban de mucha estimación en una época en que el barco era el medio de

transporte más socorrido, tanto para mercancías valiosas como para ejércitos

conquistadores.

Es así como Mercator en plena guerra de independencia flamenca revela al

mundo la más grande de sus obras, “La Proyección de Mercator” o “Proyección

Mercator Simple”, una de las joyas más valiosas de la cartografía, una de las

primeras proyecciones de tipo conforme y el cilindro que cambiaría el sentido del

mundo.

Un dato curioso que es importante señalar que a pesar de llevar su nombre,

Mercator probablemente no haya sido la primera persona en utilizar esta

proyección ya que se cree que con este tipo de proyección se diseñaron algunos

relojes de sol (Manassero, 2011). Enríquez Turiño (2009) afirma que hay indicios

que se utilizó en China en el año 940 por Ch’ien Lo-Chih y se supone que se

aplicó en Europa por primera vez en 1511 por Erhard Etzlaub de Nuremberg.

Mercator solo hereda al mundo la esencia de un trabajo que por muchos años

será motivo de sinnúmero de estudios, dicha circunstancia traerá consigo que

varios cartógrafos, matemáticos, geógrafos y demás científicos fueran los

responsables de perfeccionar dicha obra y llevarla a su punto cumbre.

El propio Mercator admitió al final de su vida que los marinos no habían

entendido su carta y que esta carecía de una clara y detallada explicación. Así se

lo exponía a su amigo y biógrafo Walter Ghym, pero no fue que hasta en 1597 en

su Navigator’s supply Ghym, explica cómo construir la. No obstante la explicación

del método seguido por Mercator fue aclarado 20 años después de su publicación


27

en 1599 por el cosmógrafo irlandés Edward Wright, reconocido como el que dio un

verdadero impulso a los mapas de latitudes crecientes (Ruiz Morales, 1998).

En el año de 1599 en la ciudad de Londres Edward Wright publica su libro

“Certain Errors in Navigation Detected and Corrected”, o por su traducción

“Certaine Errores Detectados y Corregidos para la Navegación”, en el cual explica

las ecuaciones analíticas de la proyección de Mercator, además del cálculo y

estimación del valor preciso ocupado por Mercator de la distancia de

espaciamiento para los paralelos en su proyección (“partes meridionales”) a partir

de sumas de Riemann. Sin embargo, Alonso Lerch (1986) afirma que fue solo 5

años después, en 1616, cuando Wright publica una tabla de latitudes dando

números que expresaban las longitudes de los arcos de meridianos, la cual se

obtuvo agregando las secantes de 1”,2”,3”, etc.

De esta manera es como la idea de Mercator de envolver al mundo en un

cilindro cambia el curso de la cartografía, posicionando al mundo al fin en el mapa

y dándole un rumbo constante. Es así como este excepcional cartógrafo flamenco

pasa a la historia como el cartógrafo de cartógrafos. Su proyección trascendió en

el mundo de los marinos y navegantes y a partir de ese momento se empleó para

todo.

2.3 El Cilindro Transverso. Los Trabajos de Lambert, Gauss y Krüger.

Después de las correcciones realizadas por Edward Wright la proyección

Mercator se convirtió en uno de los sistemas más fiable para la navegación

marítima siendo utilizada en casi toda Europa por su facilidad en el trazado de

rutas, sin embargo está aún adolecía de la gran deformación geométrica de los

continentes o territorios los cuales se encontraban muy cerca de los polos, misma

que iba incrementando conforme se alejaba del Ecuador.


28

Esta exagerada deformación impedía su uso para la representación fiel y

precisa de las regiones polares aunque en ellas se conservaban los valores

angulares de la línea loxodrómica, su representación en el sistema Mercator era

de casi el doble a su tamaño real. Cartográficamente hablando en estas zonas el

factor de escala o de deformación lineal era de casi las dos unidades.

Es esta circunstancia es la que motiva el matemático, físico, astrónomo,

cartógrafo y filósofo alemán Johann Heinrich Lambert hace una de las

modificaciones más significativas e importantes a la proyección Mercator. La cual

daría un nuevo rumbo a las proyecciones conformes cilíndricas.

Fig. II.5 Johann Heinrich Lambert, o Jean-Henri Lambert (1728-1777)


29

Fig. II.6 Modelo Cilíndrico Transverso. Fuente Gómez Moreno 2003.

Para inhibir la problemática de deformación Lambert ideo un sistema alterno

tomando como referencia el modelo proyectivo original de Mercator, el nuevo

modelo se trataba de una modificación al cilindro que envolvía al globo terrestre.

En su nuevo sistema, Lambert colocaría el mismo cilindro pero de forma horizontal

haciendo coincidir el eje transversal del cilindro con el ecuador, de tal manera que

este giro provocaría que el ecuador ya no fuera el punto de contacto entre la

esfera y el cilindro, sino un meridiano cualquiera que sería elegido arbitrariamente,

este meridiano en la práctica cartográfica recibe el nombre de Meridiano Central o

Meridiano de Referencia.

Dado que el eje transversal coincide con el ecuador es que esta proyección

modificada recibe el nombre de Proyección Transversa de Mercator.

Una solución más apropiada fue presentada por Lambert y consistió en

variar la proyección Mercator sobre la esfera y utilizar un cilindro transverso

tangente a un meridiano en lugar de uno directo tangente al Ecuador, lo que dio

lugar a la proyección transversa de Mercator (Millán Gamboa, 2006).


30

De esta manera se logra que en la proyección original de Mercator

desaparezcan el error de deformación en las zonas polares pero dado la rotación

del cilindro hace que dicha distorsión se traslade en sentido este-oeste,

comportándose de igual manera que en el modelo original, lo que quiere decir que

la distorsión va aumentando gradualmente conforme la zona a mapear se va

alejando del punto de contacto o Meridiano de Referencia.

En esta modificación el comportamiento de los meridianos y paralelos es

distinto al modelo original, en el sistema transverso estos dejan de ser líneas

rectas salvo la excepción del Ecuador, el Meridiano de Referencia y los demás

meridianos que se encuentran separados a cada 90º con respecto a este último.

Siendo el resto de los paralelos y meridianos representados mediante curvas

complejas.

Lambert destaca de esta proyección dos características principales: el

meridiano central es una línea recta subdividida homogéneamente y que el

Ecuador también es una línea recta, la cual corta perpendicularmente a los

meridianos. Adicionalmente se debe cumplir que los meridianos deben cortar a los

paralelos en ángulo recto y que la latitud es correcta y proporcional a la longitud

(Gómez Moreno, 2003).

Al igual que en el sistema original, Lambert desarrolla esta modificación

tomando a la esfera como modelo geométrico de representación terrestre, esto

debido a que para aquel entonces el conocimiento y desarrollo matemático sobre

el elipsoide de revolución era muy escaso por el grado de complejidad de dicha

figura. Las fórmulas de transformación fueron deducidas de forma analítica

utilizando como base de desarrollo el cálculo infinitesimal.

Mediante el desarrollo y deducción analítica es como se forja que la

proyección Transversa conserve una de las características fundamentales de su

modelo de origen, el cual es que sea conforme, por lo tanto es que en este nuevo


31

sistema las direcciones y cantidades angulares sean las mismas que se reflejen

en la esfera terrestre como en el plano.

Esta proyección fue presentada en Alemania en el año de 1772 en la obra

de Lambert titulada “Beyträge zum Gebrauche der Mathematik und deren

Anwendung” que por su traducción “Beyträge para el uso de las Matemáticas y

sus Aplicaciones”. La proyección Transversa fue uno de los siete modelos

proyectivos que Lambert pública en su libro.

La proyección modificada de Mercator fue la tercera de las siete nuevas

proyecciones que Lambert describió en su clásico Beyträge. Al mismo tiempo, él

también describe a las hoy conocidas Cilíndrica Equivalente, Cónica Conforme de

Lambert y Lambert Azimutal Equivalente. Lambert describe a la Transversa de

Mercator como una adaptación conforme de la proyección Sinusoidal, misma que

comúnmente se usa. La derivación de Lambert fue en base a una tabla de

coordenadas y un mapa de las Américas dibujado de acuerdo a esta proyección

(Snyder, 1987).

Lambert realmente no nombra a su modelo modificado como Transversa de

Mercator, este nombre es asignado más tarde, a mediados del siglo XIX.

Como bien se dijo, las fórmulas de transformación que desarrolló Lambert

fueron exclusivamente de aplicación para la esfera, esta aportación fue viable

hasta cierto punto, pero la evolución del conocimiento científico acerca de la forma

de la tierra y su comportamiento, generó que el modelo proyectivo de Lambert

fuera modificado. Esto debido a que tiempo después de su concepción, el avance

científico sobre la figura geométrica que más se aproximaba a la forma real de la

tierra, el elipsoide, ya había arrojado estudios, teorías y teoremas matemáticos

fundamentados en el cálculo infinitesimal para su fácil entendimiento.


32

Fig. II.7 Johann Carl Friedrich Gauss

Es con estas investigaciones es que se logra establecer de manera oficial al

elipsoide de revolución como figura ideal para el estudio geométrico de la

superficie terrestre. Esta aportación fue muy importante para el mundo de la

geodesia misma que repercutía directamente y de manera exorbitante en la

cartografía, teniendo como resultado que todos los nuevos mapas deberían estar

referidos y proyectados en este nuevo modelo geométrico.

Esta situación fue la detonante para que a mediados del siglo XIX, el

científico y matemático alemán Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) o

también conocido en el vocablo español como Carlos Federico Gauss fuera quien

modificara y aplicara la proyección de Lambert utilizando el elipsoide.


33

Gauss fue uno de los matemáticos más sobresalientes de su época, aplicó

sus conocimientos de matemáticas al desarrollo y estudio de la geodesia, tanto de

forma teórica como en forma práctica. Pero fue hasta el año 1822 que realiza una

investigación acerca de las proyecciones conformes, en la cual aborda el tema de

la proyección cilíndrica transversa de Lambert, en esta investigación es cuando

toma como modelo de representación terrestre al elipsoide para dicha proyección

estableciendo las fórmulas de trasformación para la misma.

Para la deducción de sus fórmulas, Gauss recurrió a la geometría esférica,

analítica y el teorema en serie de Taylor. El resultado de sus investigaciones

fueron publicados en tres tomos, el primero en 1827 con el nombre de

“Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas” que traducido al español se

conoce como: “Investigaciones Generales Sobre Superficies Curvas”, los dos

últimos fueron publicados en los años 1844 y 1847 respectivamente, en un tratado

dividido en dos tomos conocido como “Untersuchungen über Gegenstände der

Höheren Geodäsie” o “Los Estudios Sobre los Sujetos con Mayor Geodesia”.

En estas obras, Gauss estipula las modificaciones y fórmulas de

transformación realizadas a la proyección de Transversa Cilíndrica de Lambert,

dónde dicha proyección es estructurada para el elipsoide y aplicada a los trabajos

geodésicos y cartográficos llevados a cabos por él en la triangulación de

Hannover, Alemania. En estos tres tratados Gauss aborda tres grandes problemas

y su solución: la medida de la curvatura, la representación conforme y la

aplicabilidad de superficies (Millán Gamboa, 2006).

Las características de la representación conforme de gauss, la hacen

apropiada para su uso y aplicación como paso intermedio entre el elipsoide y el

plano, en la ejecución de las triangulaciones geodésicas.

El desarrollo de las fórmulas de transformación para el elipsoide, fueron

fundamentadas esencialmente en el desarrollo en serie que ofrece el teorema de

Taylor, mismo que se sigue vigente en la actualidad. Como bien se sabe y como


34

Fig. II.8 Apariencia de la Proyección Transversa de Mercator

se explicara más adelante, este método numérico ofrece una aproximación

mediante una serie de iteraciones o repeticiones de cálculo hasta encontrar un

valor deseado o al que más se aproxime a una función matemática en específico.

Siguiendo esta condición es como Gauss establece dichas fórmulas de

transformación utilizando la quinta aproximación o término de la serie de Taylor

para la representación del elipsoide.

Con esta modificación es que se concibe una de las primeras proyecciones

cilíndricas aplicadas al elipsoide, procurando que en ella todas las características

de conformidad de origen se conserven.

Posterior a ello y de acuerdo a lo que dice Enriquez Turiño (2009), en 1866

es cuando Schreiber publica también la teoría de esta proyección. Más tarde en

1880, desarrolló una proyección conforme del elipsoide a la esfera, conservando la

latitud, y proyectando la esfera en el plano a través de la proyección Transversa

de Mercator. Donde el meridiano central no era automecoico. Este sistema de


35

Fig. II.9 Johannes Heinrich Louis Krüger

doble proyección, conocido como la proyección Gauss-Schreiber, lo utilizó para la

elaboración del catastro de Prusia.

Las aportaciones de Gauss fueron el principal sustento de esta proyección

para su uso y aplicación al elipsoide pero no fue ochenta y cinco años después, en

el año de 1912 que el Doctor, matemático y topógrafo alemán Johannes Heinrich

Louis Krüger (1857-1923) o conocido simplemente como Louis Krüger, realiza una

de las investigaciones y aportaciones más relevantes y significativas a esta

proyección.

Krüger fue un apasionado científico e investigador sobre temas de

geodesia, topografía, cartografía y demás ciencias afines a la medición y

comprensión de la superficie terrestre. Su pasión fue tanta que en el año 1903 lo

llevo a concluir con el estudio de la proyección Transversa que su predecesor

Gauss había iniciado.


36

Durante el estudio de los trabajos de Gauss, Krüger logra deducir y

complementar las fórmulas de la proyección Transversa para el elipsoide,

utilizando una notación más simple y extendiendo las ecuaciones de

transformación añadiendo tres términos más a la serie de Taylor, misma con la

cual su predecesor Gauss había fundamentado sus investigaciones.

Como bien se dijo, los trabajos de investigación de Krüger inician en 1903

pero estos ven la luz nueve años después en su trabajo titulado “Konforme

Abbildung Des Erdellipsoids in Der Ebene” o conocido también como "Mapeo de

Conformación del Elipsoide de la Tierra en el Plano" o "La Representación

Conforme de la Tierra Elipsoide en el Plano".

El trabajo más relevante sobre la proyección Mercator transversa fue hecho

por Krüger (1912) a partir del cual se derivaron la mayoría de las fórmulas en uso

actualmente. Krüger (1912) presentó dos fórmulas para la transformación de

coordenadas, una para el método directo y otra para el inverso. Las series

desarrolladas por Krüger, tienen una convergencia muy pobre y es fuente de

inconsistencias a medida que los puntos representados se alejan del meridiano

central. Sin embargo fue la que primero se aplicó para las cartas topográficas

oficiales (Orihuela S. , 2014).

Las series de Krüger fueron las primeras en ser implementadas, debido a

que eran mucho más fáciles de evaluar en las calculadoras de mano de mediados

del siglo XX. Estas series solo satisfacían una precisión y un grado de

deformación mínimo e ideal en una cierta porción del elipsoide terrestre, es por

eso que otra de las modificaciones que realiza Krüger a la proyección Transversa,

es el uso y división de zonas o bandas meridianas para así facilitar la

representación precisa y no distorsionada de la superficie terrestre.


37

Es como de esta manera Louis Krüger complementa las fórmulas de

transformación para la proyección Transversa de Mercator, realizando una de las

más grandes contribuciones y uno de los legados más significativos en el mundo

de la cartografía, geodesia y topografía.

Enríquez Turiño (2009) afirma que la proyección de Gauss-Kruger se

empezó a utilizar en mapas topográficos en el siglo XIX poco después de que

Gauss la desarrollara en uno de sus principales estudios.

Por esta razón, esta proyección es conocida en Europa como proyección

conforme de Gauss o proyección de Gauss-Kruger, mientras que en Estados

Unidos y en general en Latinoamérica se le conoce como proyección Transversa

de Mercator, lo que a decir de Millán Gamboa (2009) es poco afortunado ya que

se presta a confusión con la presentada originalmente por Lambert (Barrera Trejo,

2015). Así mismo Enríquez Turiño (2009) menciona que para casos prácticos la

proyección transversa aplicada a la esfera sea llamada Transversa de Mercator y

Gauss-Krüger para el caso elipsoidal.

La actual división del mundo en coordenadas de latitud y longitud, la imagen

de la tierra en las cartas planas, se basa esencialmente en su investigación, el

desarrollo en serie de Johannes Heinrich Louis Krüger (Abu Ajamieh, 2016).

2.4 Trabajos Posteriores.

Después de la oportuna aportación de Krüger al modelo cilíndrico de

Lambert, la proyección Transversa de Mercator se convirtió en un uno de los

sistemas proyectivos más eficientes para la elaboración de cartografía, dada su

facilidad de aplicación para el mapeo de zonas y/o territorios alargados de forma

vertical, así mismo que en la representación de estas zonas el índice de error de

deformación y precisión era mínimo.


38

Siendo el desarrollo de Krüger realizado de forma analítica, sus fórmulas de

transformación presentan un grado de complejidad debido a que se conforman por

términos que trabajan en conjunto o son parte de un método de cálculo en serie o

aproximaciones.

El método de Krüger fue un nuevo método de cálculo para la transformación

de coordenadas, esta aportación propició que varios científicos e investigadores

dedujeran y recalcularan sus fórmulas para de esta manera cerciorar, optimizar,

confirmar y enriquecer el conocimiento de esta proyección. Los primeros

científicos en realizar esta tarea fueron Lee L. P. y Redfearn casi al mismo tiempo.

Fue en 1945 cuando L. P. Lee confirma y recalcula las fórmulas de Krüger

proponiendo su uso para Gran Bretaña, pero tres años después en 1948 Redfearn

mediante un estudio llega a la conclusión que dichas fórmulas de transformación

son inexactas para bandas meridianas mayores de 3º de longitud designadas por

Krüger, generando así errores mayores al milímetro.

Para dar solución a esta problemática Redfearn extiende la serie de Taylor

utilizada por Krüger hasta el octavo orden, examinando los términos que eran

necesarios para alcanzar una precisión de 1 mm.

Readfearn en un artículo dedicado exclusivamente a la proyección Gauss-

Krüger (Redfearn, 1948) y publicado en el Empire surver Review plantea el

problema que puede presentar la omisión de ciertos términos en la exactitud de

las fórmulas (Enríquez Turiño, 2009).

Más tarde un estudio similar fue realizado por Paul D. Thomas en el año

1952, en el cual se amplificaban los algoritmos de Krüger hasta el término ocho

para ambos casos transformación, directa e inversa, esto con el fin de aplicar

dichas fórmulas a la proyección UTM en el territorio de Estados Unidos. La

investigación fue publicada en su libro “Conformal Projections in Geodesy and

Cartography”.


39

Redfearn (1948) y Thomas (1952) derivan fórmulas idénticas, que extienden

(un poco) las ecuaciones de Krüger, y la actualización de la notación y

formulación. Estas son consideradas como el estándar para las transformaciones

entre el elipsoide y la proyección TM (Intergovernmental Committe on Surveying

and Mappin, 2009).

Las fórmulas de Krüger y Readfearn tienen fundamento en un desarrollo en

serie que ocasiona un tedioso y repetitivo proceso de cálculo si este se desea

hacer de forma manual, este fue un problema común a mediados del siglo XX

debido a que en aquellos años el avance tecnológico en cuanto a calculadoras u

otro método que pudiera automatizar estos cálculos era muy escasos.

Sin embargo no fue hasta 1972 que Lee desarrolla un nuevo método de

cálculo para la transformación de coordenadas en el sistema Gauss-Krüger, este

método fue ideado de manera alterna al método de Krüger, las nuevas fórmulas

de Lee omitían los desarrollos en serie por fórmulas de cálculo cerradas. Enriquez

Turiño (2009) señala que; Lee solo presenta las fórmulas de trasformación

omitiendo algunos aspectos para su uso y aplicación en el campo de la ingeniería.

Pero no fue hasta 1976 que aplica funciones elípticas para establecer nuevas

fórmulas de conversión en esta proyección solucionando las omisiones dejadas en

su anterior investigación, su trabajo fue expuesto en la Empire surver Review con

el título de “The Transverse Mercator Projection of Spheroid”.

Las fórmulas de Lee permitían el cálculo de coordenadas para todo el

elipsoide con un rango de precisión aceptable, sin embargo estas presentaban

más términos y coeficientes que las originales deducidas por Krüger, siendo ese

su principal inconveniente.

Tras este hallazgo, fueron muchos investigadores los cuales buscaron

compactar las ecuaciones de Krüger y encontrar ecuaciones que permitieran la

transformación en el sistema transverso de Mercator para el elipsoide de forma


40

más sencilla, basándose en la teoría de Lee (1972). Algunos de estos trabajos

fueron presentados por Jackson en 1978 y Snyder en 1979.

Sus aportaciones no fueron las suficientes para cumplir con la condición de

precisión, sin embargo fueron las suficientes para seguir con las investigaciones

sobre esta proyección y la representación de todo el elipsoide o la amplificación de

las zonas o bandas meridanas propuestas por Krüger.

No fue hasta el año de 1980 que Jeff Dozier pública su trabajo “Improved

Algorithm for calculation of UTM and Geodetic Coordinates” en el cual aplica las

fórmulas de Lee (1972) mediante el uso de ordenadores para amplificar las

bandas o zonas de la proyección UTM, con el fin de ser utilizadas por los satélites

A-G de la National Oceanic and Atmospheric Administration (NOAA).

El método publicado por Dozier permite la representación de elementos

geográficos que se encuentren en una longitud de hasta 90º con respecto al

meridiano de referencia o meridiano central (∆λ).

La expresión de las ecuaciones para la proyección UTM (Gauss-Krüger) en

términos de las funciones elípticas Jacobianas, en lugar de los desarrollos en

serie, permiten ser utilizadas en zonas más amplias que las 6º de longitud

estándar, y por lo tanto hacen que sean aplicables a los satélites en esta

proyección o un sistema geodésico. Se desarrollan utilizando una versión

compleja aritmética del método de Newton. El método puede ser utilizado para

longitudes de hasta 90 grados desde el meridiano central (Dozier, 1980).

Posterior al trabajo de Dozier (1980) se desarrollaron más aportaciones a

las fórmulas para la proyección Gauss-Krüger eliminando los desarrollos en serie

de Krüger y amplificando las ecuaciones expuestas por Lee para todo el elipsoide.

Autores como lo son: Bugayevsky y Snyder (1995), Engsager y Poder (2007),

Bermejo-Solera y Otero (2009), Karney (2011b) y Deakin et al. (2011), fueron los


41

encargados de estos trabajos, siendo sus soluciones los más aceptados y oficiales

en algunos países (Orihuela S. , 2012).

Uno de los trabajos más actuales y significativos en torno a las ecuaciones

de Lee (1972) fue realizado por Charles F. F. Karney en el año 2011, en el cual

presenta un desarrollo exacto para la representación del elipsoide. Esta solución,

es aplicada para obtener precisiones de representación muy por debajo del

milímetro, siendo su uso y aplicación al territorio de Gran Bretaña.

A este método Karney lo bautiza con el nombre de “Karney-Krüger

Equations” o “Ecuaciones de Karney-Krüger” el cual fue publicado en un artículo

titulado “Transverse Mercator with an accuracy of a few nanometers” en la revista

científica Journal of Geodesy.

Aunque el método de Lee (1972) predomino en el mundo de la cartografía y

geodesia por casi cuarenta años opacando los trabajos de Krüger (1912), no fue

dos años atrás a los trabajos de Karney (2011) que el ingeniero español Carlos

Enriquez Turiño retoma los desarrollos en serie de Krüger (1912) para la

representación del elipsoide en la proyección Transversa de Mercator con

precisiones inferiores al milímetro.

En su trabajo de investigación Enriquez Turiño (2009) estipula un método

que permite determinar el número de términos necesarios que se deben utilizar

para obtener una representación precisa (dependiendo el estudio o aplicación) de

la superficie terrestre en función de las coordenadas geodésicas y su alejamiento

del meridiano central.

La esencia de la investigación de Turiño (2009) se basa en la carencia de

precisión que existe en la representación del elemento geográfico en la proyección

Gauss-Krüger, mismo incrementa de forma gradual de acuerdo a su alejamiento

con el meridiano central. Para dar solución a esto, Turiño (2009) determina que la

precisión trabaja en conjunto con el número de términos que componen a la serie


42

de Taylor ocupada por Krüger (1912) para el desarrollo de sus fórmulas. Con esto

Turiño (2009) establece el número de términos necesarios para asegurar una

precisión milimétrica para una determinada banda meridiana, apoyando sus

cálculos en softwares de manipulación algebraica y el álgebra simbólica.

El trabajo de Turiño (2009) revive los desarrollos en serie de Krüger (1912)

debido a que en la actualidad el avance tecnológico en cuanto a algoritmos de

transformación y su automatización mediante softwares y equipos de cómputo ya

son una realidad, facilitando así el cálculo y trasformación de coordenadas. No

obstante pese a este avance, Turiño (2009) sólo especifica los términos que debe

de cumplir cada fórmula para una respectiva banda meridiana omitiendo las

fórmulas de transformación completas y parámetros relacionadas a ellas para

cada caso.

Enriquez Turiño (2009) publica el resultado de sus estudios en sus tesis

doctoral titulada “Desarrollo de Nuevos Algoritmos para el Cálculo de la

Proyección Gauss-Krüger” en el año 2009 en Madrid España, el cual es el que se

basa la investigación de este documento.

En la actualidad la proyección Transversa de Mercator o Gauss-Krüger es

el pilar fundamental de las proyecciones cilíndricas transversales aplicadas al

elipsoide, dada su versatilidad está ha sido empleada para los trabajos geodésicos

y topográficos realizados en México y en el mundo, siendo la que más cumple y

satisface con las demandas de poca deformación en zonas específicas.

Generando así que muchos países la tomen como la base cartográfica para sus

territorios.

Dada su concepción y su capacidad de representación, el sistema Gauss-

Krüger se ha convertido en uno de los sistemas proyectivos más estudiados y

mejorados, esto con el fin de asegurar la representación fiel y precisa de los

elementos geográficos que componen el elipsoide terrestre.

III. DE LA CONCEPCIÓN GEOMÉTRICA, DEDUCCIONES.

43

III. DE LA CONCEPCIÓN

GEOMÉTRICA, DEDUCCIONES.


44

3.1 Introducción.

El conocimiento histórico sobre cualquier legado científico, tecnológico o

cultural con lleva la obligación de describir y determinar los sucesos auténticos y

naturales en torno al hecho y las acciones previas y posteriores a él. La verdad en

la Historia no es geométrica ni unitaria, ya que no lo es la realidad. Las

explicaciones deben hacer comprender cómo era la época y explicarla, pero la

verdad es parcial.

Sin embargo lo que convierte en una verdad única y total a los datos

históricos que así se redactan, es el análisis matemático en torno a ellos. De

manera objetiva y siendo el fundamento matemático su principal fuerte, se puede

deducir, determinar y dar veracidad de aquellos trabajos realizados por Gauss-

Krüger y de sus predecesores, donde los métodos actuales son el notable

colaborador. Siendo así, las ecuaciones matemáticas la inmortalidad de su

creador.

Teniendo en cuenta esto y dando énfasis al entendimiento y comprensión

del tema de investigación acerca de la Proyección de Gauss-Krüger que en esta

tesis se estipula, será necesario deducir y desarrollar los algoritmos, formulas y

todo aquel procedimiento matemático existente que engloben a dicha proyección,

y de aquellos modelos geométricos que fueron pioneros y descendientes a él. Es

por eso que en este capítulo se desarrollaran las ecuaciones de transformación

que se contemplan en el capítulo anterior.

A continuación se mostraran los procedimientos matemáticos necesarios

para la obtención de las fórmulas de transformación de coordenadas de la

proyección Mercator y todas sus variantes, haciendo especial énfasis en la

proyección de estudio de este documento, la representación Gauss-Kruger, esto

con el fin de profundizar y hacer más fácil el entendimiento a esta investigación.


45

Fig. III.1 Esquema Geométrico de la Proyección Mercator.

3.2 La Proyección Mercator.

La Proyección de Mercator o también conocida como Proyección Mercator

Simple, es una de las proyecciones cartográficas más famosas y utilizadas para el

trazo y localización de rutas de navegación marítimas o aéreas, debido a su

sistema de proyección geométrico simple. Gracias a este sistema, esta proyección

ha sido la más estudiada por sin número de especialistas en cuestiones

cartográficas y geográficas (tal y como se muestra en el capítulo II de este

documento), esto con el fin de perseguir una representación más fiel y precisa de

los elementos geográficos y topográficos que conforman la superficie terrestre.


46

La representación que ideo Mercator se basa en un sistema de proyección

cilíndrico perspectivo o de condiciones ideales, donde la figura geométrica del

cilindro se posiciona de manera vertical envolviendo a la esfera o elipsoide, siendo

el único punto de contacto entre estos dos elementos un paralelo que se elige

arbitrariamente (dependiendo la posición de la zona de estudio), que debido a las

condiciones ideales siempre será el Ecuador, el cual recibe el nombre de

Paralelo de Contacto (PC). Debido a que el cilindro y la figura geométrica de

representación terrestre comportan el mismo origen, da como resultado que este

se vuelva el punto de proyección, lo que significa que el sistema Mercator es de

tipo gnómico.

De manera conceptual, se puede decir que la proyección Mercator es una

proyección cilíndrica la cual es modificada para cumplir con la demanda de su

creador, conservar direcciones, azimuts, rumbos y demás cantidad angular, para

apoyo a la navegación, siendo las líneas loxodrómicas la base fundamental de

dicha modificación.

En esta proyección se toman como referencias las líneas loxodrómicas,

debido a que en la esfera o elipsoide dichas líneas cortan a todos los meridianos

donde intersecten con un ángulo constante, por lo que, si esta condición se

cumple en el plano, facilitaría la determinación de la dirección angular o rumbo que

existe entre dos puntos mediante cualquier instrumento de navegación, pero

sacrificando las distancias reales. En general, una loxodrómica no es el camino

más corto entre dos puntos en la esfera, pero es aquel que facilita la navegación.

Para lograr que las loxodrómicas conserven su valor angular en el plano, en

la proyección Mercator se obliga que dicha línea se transforme en una línea

totalmente recta.

La proyección Mercator no es la proyección de una esfera sobre un cilindro,

sino una modificación de esta clase de representaciones y su propiedad más


47

Fig. III.3 Loxodrómica en la esfera, vista de perfil.

importante es la de ser el único sistema en que todos los azimutes o loxodrómicas

se convierten en líneas rectas (Caire Lomelí, Cartografía Básica, 2002).

Fig. III.2 Línea loxodrómica sobre la esfera.


48

Fig. III.4 Proyección cilíndrica conceptual.

Para forjar que las cantidades angulares se conserven en el plano de

proyección, fue necesario realizar una modificación totalmente analítica al sistema

cilíndrico perspectivo, siendo el principal cambio, la representación de los

meridianos y paralelos.

En las proyecciones cilíndricas ecuatoriales como ya se mencionó, el

cilindro de proyección es tangente con el Ecuador, generando que la

transformación de los meridianos y paralelos sean mediante líneas totalmente

rectas haciendo intersección perpendicularmente entre sí. Al desarrollar el cilindro,

los meridianos resultan equidistantes proporcionalmente a los arcos del Ecuador

comprendidos entre ellos, mientras que los paralelos se representan en diferente

porción, donde esta cantidad será totalmente diferente de acuerdo al tipo de

estudio al que sea sometido la esfera o el elipsoide.

De acuerdo a lo anterior y satisfaciendo la condición impuesta para la

conservación de direcciones y cantidades angulares, la modificación realizada al

sistema cilíndrico fue tomando la relación constante de las líneas loxodrómicas

entre los incrementos rectificados de latitud y longitud, los cuales deben de

subsistir en la representación sobre el plano, generando que el incremento de la


49

Fig. III.5 Proyección Mercator.

longitud se amplificara correspondiendo a las dimensiones del Ecuador y el

paralelo correspondiente. De igual manera el incremento afectara a los paralelos,

generando así que los arcos de meridiano y el espaciamiento entre ellos

incremente gradualmente hacia los polos (Sánchez & Bustamente, 1964).

Dicho de manera simple, para que la línea loxodrómica pueda

representarse en una línea recta sin distorsionar su valor angular, la modificación

requerida obligara a que los meridianos se transformen en rectas verticales,

paralelas y equidistantes, que corten en un ángulo recto a los paralelos, cuyo

espaciamiento aumenta a medida que se alejan del Ecuador y se acerquen a los

polos. La relación de proporcionalidad que hay entre los paralelos será distinta de

acuerdo a la latitud del punto o región que se desea representar, debido a que el

punto de proyección coincide con los centros geométricos de la esfera y el cilindro.

Como las distancias sobre el plano pierden toda fidelidad las líneas geodésicas u

ortodrómicas se transformaran en curvas complejas.


50

Fig. III.6 Representación de la loxodrómica y ortodrómica en la proyección Mercator.

Con este artificio matemático la proyección Mercator se convierte en una

proyección de tipo conforme, donde cualquier representación angular no sufrirá

ninguna cambio o alteración en su valor real, sin embargo el cumplir con esta

demanda provocara que las distancias y formas se sacrifiquen, generando en ellas

una deformación geométrica en sentido Norte-Sur y viceversa (estiramiento

vertical), a excepción de aquellos elementos que se encuentren muy cerca del PC

o en el caso general del Ecuador.

El grado de deformación que se presenta en el sistema Mercator es

directamente proporcional al valor de la latitud donde el objeto o entidad que se

desee representar se encuentre, siendo el PC o Ecuador el único lugar donde la

deformación lineal o factor de escala es equivalente a la unidad. Esta situación

deriva a que las zonas polares sean las más castigadas, siendo estas proyectadas

en el plano al infinito, propiciando a que se pierda en ellas todo atributo

geométrico.


51

Fig. III.7 Representación mundial en la proyección Mercator. Fuente: NASA 2015.


52

Fig. III.8 Representación de América del Sur en la Proyección Mercator, MC= 75º W.

Fuente: Guía de Proyecciones Cartográficas, Gómez Moreno, 2003.


53

La distorsión que se genera en latitudes crecientes es la principal razón por

la cual el sistema Mercator no sea el ideal para representar a toda la superficie

terrestre en el plano, un claro ejemplo de este fenómeno es lo que ocurre con los

paralelos 60º y 80º de latitud Norte o Sur. El paralelo 60º hace su trasformación en

el plano mediante una línea recta cuya magnitud es igual a la circunferencia del

Ecuador, es decir se alarga al doble provocando que el valor superficial de las

zonas, objetos o entidades cercanas a este paralelo incrementen cuatro veces.

Mientras que para el paralelo 80º de longitud una superficie se amplifique 36

veces.

El ejemplo más notorio y al que siempre pone en tela de juicio a la

proyección Mercator, es el análisis de la deformación que en ella se genera,

mediante la comparación de regiones que se encuentran aledañas al Ecuador y

las zonas próximas a las regiones polares, tal y como se muestra a continuación:

Europa con una superficie de 10.18 millones de km2 aparece mayor

que América del Sur, la cual cuenta con una superficie 17.82

millones de km2 (casi el doble).

Groenlandia con una superficie equivalente a 2.166 millones de km2

aparece con un tamaño similar al de África, siendo que este

continente es 14 veces más grande, donde su superficie es 30.22

millones de km2, o:

Alaska que se representa con un tamaño similar a Brasil, cuando

este último es cinco veces el tamaño de Alaska.

Debido a esta exagerada deformación en la elaboración de mapas el

elipsoide o esfera se acota en los paralelos 80º de longitud Norte y Sur, generando

así, que las regiones polares se desprecien, donde las zonas con latitudes

mayores a estas tendrán un factor de escala por encima de las dos unidades.

Mientras que las regiones que se encuentren dentro de los paralelos 15º Norte y

Sur, se representaran con una forma geométrica casi equivalente y casi


54

Fig. III.9 Valores del factor de escala (ko) en la proyección Mercator. Fuente: Guía de Proyecciones Cartográficas, Gómez Moreno, 2003.

equidistante, debido a que en esa franja de latitud el factor de escala oscila entre 1

y 1.01.


55

Esta última condición es aprovechada para la representación fidedigna de

elementos que se encuentren fuera de los 15º de latitud Norte-Sur, por lo que para

representar dichos elementos evitando grandes valores en la distorsión se recurre

al artificio de determinar dos paralelos equidistantes del Ecuador o PC, de esta

manera mantener sobre esa franja un factor de escala no mayor a la unidad. Este

artificio recibe el nombre de latitud media.

En síntesis las condiciones generales de la proyección Mercator son las

siguientes:

Es una proyección cilíndrica modificada, gnómica, donde el cilindro

es tangente a la esfera o al elipsoide atreves del Ecuador o PC.

Se trata de un proyección conforme, donde la representación de las

cantidades angulares o direcciones azimutales en el plano son

iguales a su valor angular geodésico o esférico.

El factor de escala en el Ecuador o PC es igual a 1.

El factor de escala no excede a la unidad en una franja de latitud

impuesta por dos paralelos equidistantes al Ecuador o PC (latitud

media).

Los meridianos en el plano se transforman en líneas rectas verticales

equidistantes y paralelas entre sí, siendo normales a la transformada

del Ecuador.

Los paralelos se representan en líneas rectas horizontales, paralelas

a la transformada del Ecuador pero desigualmente espaciadas entre

sí, donde el valor de espaciamiento va aumentando conforme se

aleje del Ecuador y se acerque a los polos.

Los meridianos y paralelos son perpendiculares entre sí.

La representación de líneas de rumbo constante o loxodrómicas son

mediante un segmento de línea recta, la cual conserva su valor

angular pero no su distancia.


56

Las líneas geodésicas u ortodrómicas se representan en el plano

mediante curvas complejas, donde su distancia en el plano no será

igual a su longitud real.

El fenómeno de distorsión geométrica se manifiesta en sentido

Norte-Sur y viceversa tomando como referencia el Ecuador, por lo

que la deformación incrementa de manera exagerada conforme el

elemento a representar se va alejando del Ecuador o PC.

Dada la excesiva exageración de distorsión del elemento geográfico,

los polos se proyectaran hacia el infinito por lo que en la

representación cartográfica la esfera o el elipsoide se acotaran en los

paralelos 60º Norte y 60º Sur de longitud, para mejor manipulación

de la información geométrica.

Debido a la conformidad que esta proyección presenta, genera que

las direcciones cardinales N, S, E y W siempre señalen la misma

dirección en el plano, originando que esta proyección sea ideal para

la elaboración de cartografía náutica.

De acuerdo a lo que menciona Gómez Moreno (2003), para facilitar el

sistema de coordenadas en la proyección Mercator, es recomendable hacer las

siguientes modificaciones:

Debido a que el Ecuador es el origen de las ordenadas genera una

confusión por el número de decimales en las coordenadas del eje Y

para latitudes mayores a 14º, por lo que al valor de las ordenadas se

les asignara un valor de origen arbitrario al que se le denominara

Falso Norte.

Para las abscisas ocurrirá lo mismo, se añadirá un valor arbitrario a

todas las coordenadas del eje X, el cual estará definido por un

meridiano de origen, este valor recibe el nombre de Falso Este.


57

En la actualidad la proyección Mercator es utiliza para fines asociados a la

navegación, siendo esta un estándar desde 1910 para el Servicio de

Guardacostas y el Servicio de Relevamientos Geodésicos (NGS) de los Estados

Unidos para la elaboración de cartas destinadas a la navegación. La proyección

Mercator ha sido utilizada también para mapear porciones de planetas como;

Marte, Mercurio, el lado oscuro de la Luna y algunos satélites de Júpiter y Saturno.

Además de ello la aplicación Google Earth utiliza este sistema para desplegar sus

imágenes cuando las latitudes son inferiores a los 85º de latitud Norte o Sur

(Gende & Constanza Manassero, 2011).

El sistema Mercator es frecuentemente la base para mapamundis y atlas,

pero como esta proyección fue concebida exclusivamente para la navegación, su

utilidad reside fundamentalmente en ese aspecto, generando así, que su

aplicación no sea la adecuada para la representación topográfica debido a la

variación de escala que sufre a latitudes crecientes o altas.

En México esta proyección ha sido durante muchos años el pilar

fundamental con la que se elabora la cartografía náutica y aeronáutica oficial,

misma que rige las rutas marítimas y áreas del país, donde instituciones como la

Secretaría de Comunicaciones y Transportes (SCT), la Secretaría de Marina

(SEMAR), la Secretaría de Defensa Nacional (SEDENA), el Instituto Nacional de

Estadística y Geografía (INEGI), son las encargadas de la regularización, control,

verificación para la adecuada manufacturación de documentos cartográficos sobre

este sistema.

La proyección de Mercator es probablemente la más famosa proyección

cartográfica que se haya diseñado jamás, la cual ha permanecido en pie por más

de tres siglos, no solo por su utilidad para la navegación, sino también porque de

ella emergen los sistemas universales que hoy rigen la cartografía mundial, las

proyecciones Transversa de Mercator o Gauss-Krüger y Universal Transversa de

Mercator (las cuales se hablara y se desarrollaran más adelante).


58

Fig. III.10 Carta náutica en la proyección Mercator.

Fuente: SEMAR 2015.


59

3.2.1 Transformación Directa de Coordenadas.

El problema clásico de la cartografía es la transformación de coordenadas

de un sistema geodésico o esférico a un sistema plano de proyección y viceversa,

donde el sistema Mercator no queda exento a dicha situación. Para lograr una

representación fiel y de precisión del dato geoespacial y geográfico de la superficie

terrestre se recurre a la cartografía matemática, la cual ofrece esta posibilidad,

basándose en artificios, deducciones y análisis algebraicos, geométricos que en la

mayoría de casos es mediante el cálculo infinitesimal. Con esto se logra este

traslado de información con un margen de error mínimo, que en muchos casos es

despreciable. Es por eso que en subtema se abordara el desarrollo y análisis de

las fórmulas de transformación de coordenadas de un sistema geodésico a un

sistema plano y de forma inversa para la proyección Mercator.

Para este primera parte se determinaran las ecuaciones para los algoritmos

de transformación sobre esta proyección, tomando como figura geométrica de

representación terrestre a la esfera, debido a que el modelo original y modificado

de Mercator fue concebido en tiempos cuando se creía que la figura de la tierra

era semejante a una esfera perfecta, por lo que el desarrollo de los artificios

matemáticos de transformación tendrán base fundamental en la geometría clásica

y el cálculo infinitesimal.

Entonces de acuerdo a lo anterior y en primera instancia, se analizara el

caso de trasformación directa, el cual será en función de las coordenadas

geodésicas o esféricas angulares (𝜆, 𝜑) para su representación en un sistema

ortogonal de proyección (𝑥, 𝑦).

El análisis partirá del modelo ideal para proyecciones cilíndricas, en el cual

el centro de la esfera y los ejes del cilindro (transversal y longitudinal) coinciden,

siendo este último tangente a la esfera a través de un círculo máximo, que para

este caso será el Ecuador. La representación en el plano se hará tomando un

cuadrilátero esférico, donde el largo de dicha figura corresponderá a una porción


60

Fig. III.12 Proyección del cuadrilátero esférico sobre el cilindro.

Fig. III.11 Representación de un cuadrilátero esférico en el cilindro.

de longitud medida a partir de un meridiano de referencia u origen (∆𝜆) y el

ancho estará dado por las latitudes de los vértices que componen el cuadrilátero,

tal y como se muestra en las siguientes figuras.

J

J’


61

Fig. III.13 Radio de un paralelo distinto al Ecuador.

Se aprecia que la representación del cuadrilátero esférico en el plano es

mediante un rectángulo cuyas bases son igual al valor de la de ∆𝜆 en metros,

donde este último se traduce como al arco de paralelo que se forma entre los

puntos K y L, el cual corresponde a una sección del Ecuador. Tomando en cuenta

esto, se puede hacer la siguiente igualación.

KL = G′H′ = I′J′

Como la distancia KL es un arco de círculo máximo, este se puede calcular

como el producto del radio por el ángulo que subtiende al arco.

KL = R ∙ ∆𝜆

El valor de KL se determina en función del radio del Ecuador, por lo que

será necesario encontrar el valor del radio para los otros dos paralelos que

conforman el cuadrilátero, mismos que se deducen del siguiente esquema.


62

Se tiene que.

sin(90 − 𝜑) =OP

QP=𝑟

R ∴ 𝑟 = R ∙ sin(90 − 𝜑)

Dónde:

sin(90 − θ) = sin 90 ∙ cos θ − sin θ ∙ cos 90

sin(90 − θ) = 1 ∙ cos θ − sin θ ∙ 0

sin(90 − θ) = cos θ

Por lo tanto:

𝑟 = R ∙ cos 𝜑

Se tiene que el radio para el paralelo que intersecta a los puntos G y H se

interpreta como:

𝑟 = R ∙ cos 𝜑𝐺

De acuerdo a lo anterior se puede decir que:

GH = 𝑟 ∙ ∆𝜆 = R ∙ cos 𝜑𝐺 ∙ ∆𝜆

Pero como el producto del radio por el incremento de longitud es la

distancia KL y esta última equivale a las bases del cuadrilátero, se determina.

GH = KL ∙ cos 𝜑𝐺

GH = G′H′ ∙ cos 𝜑𝐺 ∴ G′H′ =GH

cos𝜑𝐺


63

El problema ahora reside en convertir el cilindro de proyección perspectivo

en un sistema conforme, para ello se obligara que el factor de escala en el PC o

Ecuador (𝑘𝐸) sea igual al factor de escala al meridiano de origen (𝑘𝑀), en este

caso será el Meridiano Central (MC), siendo este último el que pasa por los punto

G e I.

Recordando que el valor del factor de escala lineal es igual a la relación del

valor más largo entre el más corto, que para este caso será la división del

elemento proyectado entre el valor real del mismo sobre la esfera. Entonces para

MC su valor de 𝑘0, será igual al eje ordenado de los puntos G′ e I′ entre el arco de

meridiano que se subtiende entre dichos puntos sobre la esfera.

𝑘𝑀 =G′I′

GI=

𝑦

R ∙ 𝜑

Mientras que el factor de escala en el Ecuador será igual a la unidad, pero

dada su equivalencia con las bases del cuadrilátero, este se puede interpretar

como:

𝑘𝐸 = 1 =K′L′

KL=G′H′

GH

𝑘𝐸 =R ∙ ∆𝜆

R ∙ ∆𝜆 ∙ cos 𝜑=

1

cos𝜑

Igualando ambos factores se tiene que:

𝑘𝑀 = 𝑘𝐸

𝑦

R ∙ 𝜑=

1

cos𝜑


64

Para satisfacer esta situación será necesario que el desarrollo del modelo

cilíndrico perspectivo se realice en un sistema infinitesimal, por lo que la igualación

de los factores de escalas se expresaran de la siguiente forma:

𝑑𝑦

𝑅 ∙ 𝑑𝜑=

1

cos𝜑∙ 𝑑𝜑

Despejando 𝑑𝑦 se lograra que la separación entre los paralelos sea la

necesaria para conservar la proporcionalidad entre la esfera y el plano.

𝑑𝑦 =R

cos𝜑∙ 𝑑𝜑 = R ∙ sec 𝜑 ∙ 𝑑𝜑

La ecuación anterior se define como la derivada del eje las ordenadas para

un punto cualquiera, por lo tanto para determinar el valor de 𝑦 será necesario

integrar dicha función, tomando como limites el Ecuador y la latitud del punto de

estudio.

𝑑𝑦 = 𝑅 ∙ sec 𝜑 ∙ 𝑑𝜑 ∴ ∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑅 ∙ sec 𝜑 ∙ 𝑑𝜑𝜑

0

𝑦 = ln[sec 𝜑 + tan𝜑]

Finalmente y recordando que el desarrollo se hizo en torno a la esfera como

modelo geométrico de representación terrestre, las fórmulas de trasformación

directas serán multiplicadas por el valor del radio de la esfera (𝑅), quedando de la

siguiente manera.

𝐗 = 𝐑 ∙ ∆𝛌 𝐘 = 𝐑{𝐥𝐧[𝐬𝐞𝐜𝛗 + 𝐭𝐚𝐧𝛗]}


65

Donde la amplitud meridiana (∆𝜆) será igual a la diferencia del meridiano

de origen o para el caso general el meridiano central (MC) y el meridiano que pasa

sobre el punto de estudio o representación (𝜆P).

∆𝜆 = MC − 𝜆P

Esta fórmula se considerara sólo si, el cálculo se realiza sin tomar en

cuenta el signo de la longitud del punto y el MC, sin embargo muchos autores re

escriben esta fórmula tomando en cuenta los signos de los valores de longitud

para ambos término.

∆𝜆 = 𝜆P −MC

3.2.2 Transformación Inversa de Coordenadas.

En el sub tema anterior se definieron las fórmulas de transformación directa

para la proyección Mercator, con las cuales se es posible realizar el traslado de

información de cualquier elemento sobre la esfera a un sistema plano de

proyección, originando que la primera fase de conversión de coordenadas de un

sistema a otro fuera completada (problema clásico de la cartografía), por lo que la

parte final de esta metodología es determinar las fórmulas de transformación

inversa, deducir las ecuaciones que permitan que las coordenadas sobre el

sistema ortogonal (𝑥, 𝑦) puedan ser representadas en su forma natural o de

origen, coordenadas esféricas angulares (𝜆, 𝜑). Por lo que a continuación se

deducirán las fórmulas de transformación inversa para la proyección Mercator.

Dado a que el desarrollo de las fórmulas de transformación directa fue

desarrollada tomando como modelo matemático a la esfera, dando como resultado

ecuaciones sencillas, generara que para la deducción de las ecuaciones del

método inverso sea simplemente mediante despejes de los valores de latitud y


66

longitud que conforman dichas formulas. Entonces recordando las fórmulas de

transformación método directo se tiene que:

X = R ∙ ∆𝜆 = R ∙ (𝜆P −MC), Y = R{ln[sec 𝜑 + tan𝜑]}

Despejando el valor de la longitud del punto de estudio de la ecuación de la

abscisa se determina que:

X = R ∙ (𝜆P − MC) ∴ X

R+ MC = 𝜆𝑃

En cuanto a la latitud, se puede observar que la fórmula para las ordenadas

sitúa dicho parámetro en los argumentos de la secante y tangente, haciendo difícil

el despeje de dicho valor. Para obtener el valor de esta variable será necesario

recurrir a la transformación de la fórmula de la ordenada a una ecuación más

simple, en la cual el método de despeje sea más sencillo. Para satisfacer dicho

cambio, será necesario recurrir a las entidades trigonométricas, tal y como se

muestra a continuación.

Y = R{ln[sec 𝜑 + tan𝜑]}

Expresando la ecuación en función de senos y cosenos se tiene que:

𝑦 = ln [1

cos 𝜑+sin 𝜑

cos 𝜑] = ln [

1 + sin𝜑

cos 𝜑]

𝑦 = ln [1 + sin𝜑

sin(90 − 𝜑)]

Convirtiendo los grados en radianes y racionalizando por (2

2) el argumento

del seno que conforma el denominador.


67

𝑦 = ln [1 + sin𝜑

sin (𝜋2− 𝜑)

] = ln

[

1 + sin 𝜑

sin ((𝜋2− 𝜑) (

22))]

= ln [1 + sin𝜑

sin (2 (𝜋4−𝜑2))]

Dónde:

sin 2𝑥 =2 sin 𝑥 cos 𝑥 , sin 𝑥 + sin 𝑦 = 2 sin (𝑥 + 𝑦

2) ∙ cos (

𝑥 − 𝑦

2)

sin𝜋

2= 1

Aplicando.

𝑦 = ln [sin

𝜋2+ sin𝜑

2 sin (𝜋4−𝜑2) ∙ cos (

𝜋4−𝜑2)] = ln [

sin𝜋2+ sin𝜑

2 sin (𝜋4−𝜑2) ∙ cos (

𝜋4−𝜑2)]

𝑦 = ln [2 sin (

𝜋4+𝜑2) ∙ cos (

𝜋4−𝜑2)

2 sin (𝜋4−𝜑2) ∙ cos (

𝜋4−𝜑2)] = ln [

sin (𝜋4+𝜑2)

sin (𝜋4−𝜑2)]

𝑦 = ln [sin (

𝜋4+𝜑2)

cos (𝜋2− (

𝜋4−𝜑2))] = ln [

sin (𝜋4+𝜑2)

cos (𝜋4+𝜑2)]

𝐲 = 𝐥𝐧 [𝐭𝐚𝐧 (𝛑

𝟒+𝛗

𝟐)] = 𝚽

A esta ecuación recibe el nombre de latitud creciente (Φ) debido a que esta

aumenta o hace crecer el incremento de los paralelos al alejarse del Ecuador

(Barrera Trejo, 2015). Con esta nueva ecuación se podrá obtener el valor de la

latitud sin ningún inconveniente, por lo que solo resta realizar el despeje de dicho

valor.


68

Y = R {ln [tan (𝜋

4+𝜑

2)]} ∴

Y

R= ln [tan (

𝜋

4+𝜑

2)]

Arctan (𝑒YR) =

1

2(𝜋

2+ 𝜑) ∴ 2 Arctan (𝑒

YR) −

𝜋

2= 𝜑

Entonces finalmente las fórmulas para el método inverso se expresan

como:

𝛌𝐏 =𝐗

𝐑+𝐌𝐂 𝛗 = 𝟐𝐀𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 (𝒆

𝐘𝐑) − 𝟗𝟎°

3.2.3 Transformación Directa en el Elipsoide.

Como bien se sabe el modelo matemático que más se asemeja a la

verdadera forma de la tierra es el elipsoide o esferoide, siendo la esfera totalmente

obsoleta para esta tarea, esta circunstancia deriva que en la actualidad toda la

cartografía y geodesia nacional e internacional este referida a este modelo

matemático. Todos los modelos, sistemas y proyecciones cartográficas sin

excepción, que en un principio fueron desarrollados sobre la esfera, hoy en día se

manifiestan en este nuevo modelo matemático, donde las curvas complejas con

diferentes radios de curvatura son su principal esencia. Debido a esta

circunstancia se tendrá la obligación de presentar el desarrollo de las formulas de

la proyección Mercator para el elipsoide de revolución.


69

La analogía para el elipsoide al igual que en la esfera partirá posicionando

al modelo cilíndrico perspectivo en un sistema infinitesimal, mismo que se hará en

torno de un cuadrilátero.

Conociendo esto se realizará la igualdad de los factores de escala del

Ecuador y del MC o meridiano de referencia.

𝑘𝑀 = 𝑘𝐸

G′I′

GI=G′H′

GH

Fig. III.14 Esquema geométrico de la proyección Mercator para el elipsoide.


70

Fig. III.15 Porción de arco de meridiano.

Donde estos valores en la esfera son:

𝑑𝑦

R ∙ 𝑑𝜑=

1

cos𝜑∙ 𝑑𝜑

Pero debido al cambio de modelo geométrico representativo terrestre, se

tendrán que realizar las modificaciones correspondientes a estas igualaciones, en

base a la geometría del elipsoide.

El factor de escala sobre el MC, se deduce como la relación de la ordenada

que comparten los puntos G′ − I′, entre su valor real en el elipsoide, donde este

último es igual al radio de curvatura del meridiano que pasa entre dichos puntos.

Este planteamiento se logra gracias a que el desarrollo se hace sobre un sistema

infinitesimal, lo que origina que la distancia entre estos dos puntos sea lo

suficientemente pequeña para ser despreciada por un segmento mayor de arco de

meridiano, por lo que dicha cantidad pueda ser obtenida mediante la fórmula del

radio para una porción de arco de meridiano (𝜌), tal y como se muestra en el

siguiente esquema.


71

La intersección de los radios de curvatura del primer vertical o Normal

Mayor (N) de los puntos A y B, forman la diferencia angular de las latitudes de

dichos puntos (∆φ), así mismo la distancia que separa a estos puntos sobre el

elipsoide, equivale a una longitud de arco de meridiano (S). Siendo 𝜌 la distancia

que existe del punto P y cualquiera de los otros dos puntos que subyacen al arco

de meridiano.

Pero recordando que el desarrollo del elipsoide es en torno a un sistema

infinitesimal, se puede decir que la longitud de arco de meridiano es una porción

muy pequeña similar a un segmento de círculo máximo. El cual puede ser

calculado por el producto del radio por el ángulo que subtiende al arco, donde el

radio corresponderá al valor de 𝜌.

∆φ = φA − φB = 𝑑φ

𝑟 = PA = PB = 𝜌

Dónde:

S = 𝑟 ∙ ∆φ ∴ S = 𝜌 ∙ 𝑑φ

Dado este planteamiento el factor de escala en el MC (𝑘𝑀) se interpreta

como:

𝑘𝑀 =G′I′

GI=

𝑑𝑦

𝜌 ∙ 𝑑𝜑

Mientras que para el factor de escala del paralelo de referencia o PC, este

será concebido de la relación entre un segmento de longitud de arco del Ecuador

entre y el arco de paralelo que forma cualquiera de las bases del cuadrilátero

elipsoídico, que para este caso serán los vértices GH.


72

Fig. III.16 Teorema de Meusnier.

𝑘𝐸 =R ∙ 𝑑∆𝜆

𝑟 ∙ 𝑑∆𝜆=R

𝑟

Para obtener los radios correspondientes se recurrirá al teorema de

Meusnier (Fig. III.16), el cual menciona que el radio de curvatura 𝑟 de una sección

inclinada es igual al radio de curvatura del primer vertical o Normal Mayor (𝑁),

multiplicado por el coseno del ángulo que se subtiende entre esas secciones, que

para este caso será la latitud geodésica (H. Rapp, 2001).

Del esquema anterior se deduce que.

sin(90 − 𝜑) =OP

QP=𝑟

𝑁 ∴ 𝑟 = N sin(90 − 𝜑)

Pero.

sin(90 − 𝜃) = cos 𝜃


73

Entonces el radio de un paralelo cualquiera que no sea el Ecuador se

expresara como:

𝑟 = N cos𝜑

Mientras que el radio del ecuador R será el semieje mayor del elipsoide.

R = 𝑎

Sustituyendo estas modificaciones en la ecuación del factor de escala del

PC.

𝑘𝐸 =R

𝑟=

𝑎

N ∙ cos 𝜑

Teniendo los coeficientes que componen ambos factores de escala al fin se

podrá realizar la igualación para convertir el sistema cilíndrico perspectivo en

conforme.

kM = kE

𝑑𝑦

𝜌 ∙ 𝑑𝜑=

𝑎

N cos𝜑

Despejando 𝑑𝜑.

𝑑𝑦 = 𝑎𝜌

N cos𝜑∙ 𝑑𝜑 = 𝑎

𝜌

Nsec𝜑 ∙ 𝑑𝜑

Dónde.

N =𝑎

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)12

; 𝜌 =𝑎(1 − 𝑒2)

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)32


74

Reduciendo términos se logra obtener una ecuación permisible al proceso

de integración, tomando como variable a la altitud geodésica y como límites a ella

y al Ecuador (0).

∫𝑑𝑦 = ∫ 𝑎 [1 − 𝑒2

1 − 𝑒2 sin2 𝜑] sec 𝜑 ∙ 𝑑𝜑

𝜑

0

𝑦 = 𝑎∫1 − 𝑒2

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑) cos 𝜑∙ 𝑑𝜑

𝜑

0

Dada la dificultad de la ecuación solo se presentara el resultado final, el

desarrollo completo de esta integral se describe en el Anexo 6.2 que se encuentra

en la parte final de este documento.

𝑦 = 𝑎 ∙ ln [tan (𝜋

4+𝜑

2) ∙ (

1 − 𝑒 sin 𝜑

1 + 𝑒 sin 𝜑)

𝑒2]

Si se omite el valor del semi eje mayor de esta ecuación, esta se convierte

en la ecuación de la latitud, creciente o isométrica para el elipsoide.

Φ = ln [tan (𝜋

4+𝜑

2) ∙ (

1 − 𝑒 sin 𝜑

1 + 𝑒 sin 𝜑)

𝑒2]

Es así como se determina la ecuación de transformación para la ordenada

de un punto sobre el elipsoide, ahora bien, para el caso de las abscisas, estas

serán calculadas bajo el fundamento de la ecuación de un arco círculo, el cual

menciona que dicha distancia es igual al producto del radio del PC por la amplitud

meridiana del punto en cuestión y el MC o el ángulo que subtiende al arco. Para

ambas ecuaciones el PC que se tomara será el Ecuador siendo el radio de

curvatura el valor del semi eje mayor del elipsoide. Por lo que finalmente las

ecuaciones de transformación directa se expresan como:


75

𝐗 = 𝒂 ∙ ∆𝛌 𝐘 = 𝒂 ∙ 𝐥𝐧 [𝐭𝐚𝐧 (𝟒𝟓° +𝛗

𝟐) ∙ (

𝟏 − 𝒆 𝐬𝐢𝐧𝛗

𝟏 + 𝒆 𝐬𝐢𝐧𝛗)

𝒆𝟐]

Dónde:

∆𝛌 = 𝛌𝐏 −𝐌𝐂

𝒂 = 𝐒𝐞𝐦𝐢 𝐞𝐣𝐞 𝐦𝐚𝐲𝐨𝐫.

La analogía anterior fue entorno al modelo cilíndrico perspectivo ideal, en el

cual dicha figura es tangente al Ecuador, generando que en una franja de latitud

de 30º formada por los paralelos 15º N y 15º S la cual envuelve al Ecuador, el

factor de escala en esa zona es factible para representar los rasgos geométricos

que la conforman. Pero como se mencionaba previamente, en la elaboración

cartográfica de elementos geográficos que se encuentren más allá de esa franja

de latitud, se realiza la modificación de ocupar un PC que se encuentre en la zona

media del o los elementos a proyectar, por lo que el Ecuador se desprecia para

esta modificación, siendo el radio de curvatura del PC el que sustituye al valor del

semi eje mayor del elipsoide en las fórmulas de transformación.

Entonces:

X = 𝑟 ∙ ∆λ, Y = 𝑟 ∙ ln [tan (45° +𝜑

2) ∙ (

1 − 𝑒 sin 𝜑

1 + 𝑒 sin 𝜑)

𝑒2]

Dónde:

𝑟 = N ∙ cos𝜑0


76

Por lo tanto.

𝐗 = 𝐍 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝛗𝟎 ∙ ∆𝛌

𝐘 = 𝐍 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝛗𝟎 ∙ 𝐥𝐧 [𝐭𝐚𝐧 (𝟒𝟓° +𝛗

𝟐) ∙ (

𝟏 − 𝒆 𝐬𝐢𝐧𝛗

𝟏 + 𝒆 𝐬𝐢𝐧𝛗)

𝒆𝟐]

Dónde:

𝐍 =𝒂

(𝟏 − 𝒆𝟐 𝐬𝐢𝐧𝟐𝛗𝟎)𝟏𝟐

∆𝛌 = 𝛌𝐏 −𝐌𝐂

𝛗𝟎 = 𝐋𝐚𝐭𝐢𝐭𝐮𝐝 𝐝𝐞𝐥 𝐏𝐚𝐫𝐚𝐥𝐞𝐥𝐨 𝐝𝐞 𝐑𝐞𝐟𝐞𝐫𝐞𝐧𝐜𝐢𝐚 (𝐏𝐂).

Mediante esta modificación es como se derivan las fórmulas de

correspondencia directa de un punto cualquiera tomando un PC distinto al

Ecuador. Sin embargo si se hiciera el cálculo mediante estas fórmulas de un punto

A con coordenadas (λA, 𝜑A) pero tomando como PC al Ecuador, se tendría lo

siguiente:

Datos.

∆λ = 𝜆A −MC; 𝜑0 = 0

Calculando el radio del PC

𝑟 = N ∙ cos𝜑0 ∴ 𝑟 =𝑎

(1 − 𝑒2 sin2 0)12

∙ cos 0


77

Pero.

sin 0 = 0 𝑦 cos 0 = 1

Se tiene que:

𝑟 =𝑎

(1 − 𝑒2 ∙ 0)12

∙ 1 =𝑎

(1 − 0)12

= 𝑎

Aplicando las fórmulas de transformación.

X = 𝑎 ∙ ∆λ

Y = 𝑎 ∙ ln [tan (45° +𝜑A2) ∙ (

1 − 𝑒 sin 𝜑A1 + 𝑒 sin 𝜑A

)

𝑒2]

Mediante esta analogía se deduce que las fórmulas modificadas pueden

también ser utilizadas tomando como PC al Ecuador, generando que durante el

cálculo no existan alteraciones o diferencias que afecten a los valores finales de

las coordenadas ortogonales para el sistema Mercator, esto gracias a la relación

trigonométrica que existe en la fórmula del radio para un paralelo cualquiera.

Realmente la modificación matemática que se le hace al cilindro para un PC

distinto al Ecuador, es obligar a que este sea tangente al PC, pero debido a la

posición de este paralelo arbitrario, provocara que el cilindro sea secante al

elipsoide. En pocas palabras el cilindro será envuelto por el elipsoide donde sus

únicos puntos de contacto con él serán los PC.


78

Fig. III.17 Cilindro secante al elipsoide pero tangente a un paralelo distinto del ecuador

3.2.4 Transformación Inversa en el Elipsoide.

En la primera etapa de deducción se determinó la metodología y fórmulas

de transformación correspondientes para la conversión de coordenadas de un

sistema angular geodésico al sistema proyectivo Mercator, entonces, para

culminar con la fase de deducción para esta proyección, se desarrollarán y

estipularán las ecuaciones y funciones necesarias para las fórmulas de

trasformación en el caso inverso. Para cumplir con ello, dichas formulas se

obtendrán despejando las variables de latitud y longitud de las formulas directas,

de manera similar como en el caso esférico.


79

Fórmulas de transformación directa

X = 𝑎 ∙ ∆λ, Y = 𝑎 ∙ ln [tan (𝜋

4+𝜑

2) ∙ (

1 − 𝑒 sin 𝜑

1 + 𝑒 sin 𝜑)

𝑒2]

Despejando el valor de la longitud de la ecuación de la abscisa.

X = 𝑎 ∙ ∆λ = 𝑎 ∙ (𝜆P −MC)

X

𝑎= (𝜆P −MC) ∴

X

𝑎+ MC = 𝜆P

Ahora para el valor de la latitud.

Y = 𝑎 ∙ ln [tan (𝜋

4+𝜑

2) ∙ (

1 − 𝑒 sin 𝜑

1 + 𝑒 sin 𝜑)

𝑒2]

Y

𝑎= ln [tan (

𝜋

4+𝜑

2) ∙ (

1 − 𝑒 sin 𝜑

1 + 𝑒 sin 𝜑)

𝑒2]

eY𝑎 = e

ln[tan(𝜋4+𝜑2)∙(1−𝑒 sin𝜑1+𝑒 sin𝜑

)

𝑒2]

∴ eY𝑎 = tan (

𝜋

4+𝜑

2) ∙ (

1 − 𝑒 sin 𝜑

1 + 𝑒 sin 𝜑)

𝑒2

eY𝑎

(1 − 𝑒 sin 𝜑1 + 𝑒 sin 𝜑

)

𝑒2

= tan (𝜋

4+𝜑

2) ∴ Arctan

[

eY𝑎


)

𝑒2

]

=𝜋

4+𝜑

2

𝜑 = 2

{

Arctan

[

eY𝑎


)

𝑒2

]

−𝜋

4

}

= 2 ∙ Arctan

[

eY𝑎


)

𝑒2

]

−𝜋

2

Se aprecia que en la ecuación para determinar el valor de la latitud, se

encuentra en función de si misma, lo que implica que no exista posibilidad alguna

del despeje adecuado de dicha variable. Para dar solución a esta paradoja, se


80

recurre al método matemático de la iteración, en el cual por medio de un

determinado número de aproximaciones sucesivas se encuentra el valor

requerido, mismo que estará regido por un rango de error y precisión.

Entonces para la primera aproximación se hará despreciando los términos

que contengan la variable de latitud, la cual se expresara como:

𝜑1 = 2 ∙ Arctan (eY𝑎) −

𝜋

2

Teniendo el valor numérico de la primera aproximación de 𝜑, se aplicara a

la formula completa. Teniendo como resultado lo siguiente.

𝜑2 = 2 ∙ Arctan

[

eY𝑎

(1 − 𝑒 sin 𝜑11 + 𝑒 sin 𝜑1

)

𝑒2

]

−𝜋

2, 𝜑3 = 2 ∙ Arctan

[

eY𝑎

(1 − 𝑒 sin 𝜑21 + 𝑒 sin 𝜑2

)

𝑒2

]

−𝜋

2

Las iteraciones se realizarán hasta que el valor de 𝜑𝑛 tenga una diferencia

con la iteración anterior de 1 x 10-5 segundos, que equivale a poco menos que un

milímetro en el elipsoide (Gómez Moreno, 2003). Esta condición se cumple

cuando la última y penúltima iteración sean iguales.

𝜑𝑛 = 𝜑𝑛−1

En la práctica para encontrar el valor requerido de latitud solo son

necesarias seis iteraciones, es decir:

𝜑5 = 𝜑6

Entonces finalmente las fórmulas de correspondencia inversa para la

proyección Mercator caso elipsoidal se expresan como:


81

𝝀 =𝐗

𝒂+𝐌𝐂 𝛗𝒏 = 𝛗𝟔

Siendo.

𝝋𝟏 = 𝟐 ∙ 𝐀𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 (𝐞𝐘𝒂) − 𝟗𝟎°, 𝝋𝟐 = 𝟐 ∙ 𝐀𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧

[

𝐞𝐘𝒂

(𝟏 − 𝒆 𝐬𝐢𝐧𝝋𝟏𝟏 + 𝒆 𝐬𝐢𝐧𝝋𝟏

)

𝒆𝟐

]

− 𝟗𝟎°

𝝋𝟑 = 𝟐 ∙ 𝐀𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧

[

𝐞𝐘𝒂

(𝟏 − 𝒆 𝐬𝐢𝐧𝝋𝟐𝟏 + 𝒆 𝐬𝐢𝐧𝝋𝟐

)

𝒆𝟐

]

− 𝟗𝟎°

𝛗𝟒; 𝛗𝟓; 𝛗𝟔

Dónde:

𝒂 = 𝐒𝐞𝐦𝐢 𝐞𝐣𝐞 𝐦𝐚𝐲𝐨𝐫 𝐝𝐞𝐥 𝐞𝐥𝐢𝐩𝐬𝐨𝐢𝐝𝐞.

𝒆 = 𝐄𝐱𝐜𝐞𝐧𝐭𝐫𝐢𝐜𝐢𝐝𝐚𝐝 𝐝𝐞𝐥 𝐞𝐥𝐢𝐩𝐬𝐨𝐢𝐝𝐞.

𝐞 = 𝐁𝐚𝐬𝐞 𝐝𝐞 𝐥𝐨𝐬 𝐥𝐨𝐠𝐚𝐫𝐢𝐭𝐦𝐨𝐬 𝐧𝐞𝐩𝐞𝐫𝐢𝐚𝐧𝐨𝐬.

Estas fórmulas solo aplican para el caso cuando el PC es el Ecuador,

mientras que las formulas cuando el PC es distinto a este círculo máximo se

expresan como:

𝝀 =𝐗

𝒓+𝐌𝐂 𝛗𝒏 = 𝛗𝟔


82

Siendo:

𝝋𝟏 = 𝟐 ∙ 𝐀𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 (𝐞𝐘𝒓) − 𝟗𝟎° 𝝋𝟐 = 𝟐 ∙ 𝐀𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧

[

𝐞𝐘𝒓

(𝟏 − 𝒆 𝐬𝐢𝐧𝝋𝟏𝟏 + 𝒆 𝐬𝐢𝐧𝝋𝟏

)

𝒆𝟐

]

− 𝟗𝟎°

𝝋𝟑 = 𝟐 ∙ 𝐀𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧

[

𝐞𝐘𝒓

(𝟏 − 𝒆 𝐬𝐢𝐧𝝋𝟐𝟏 + 𝒆 𝐬𝐢𝐧𝝋𝟐

)

𝒆𝟐

]

− 𝟗𝟎°

𝛗𝟒; 𝛗𝟓; 𝛗𝟔

𝒓 = 𝐍 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝝋𝟎 ; 𝐍 =𝒂

(𝟏 − 𝒆𝟐 𝐬𝐢𝐧𝟐𝝋𝟎)𝟏𝟐

Dónde:

𝑎 = Semi eje mayor del elipsoide.

𝑒 = Excentricidad del elipsoide.

e = Base de los logaritmos neperianos.

N = Radio de curvatura del Primer Vertical.

𝜑0 = Latitud geodésica del PC.

Para ambos casos, es importante que de principio se conozcan los valores

angulares de MC y PC, ya que sin estos valores el cálculo no se puede llevar

acabo.


83

Fig. III.18 Desarrollo cilíndrico transverso a la esfera.

3.3 Proyección Transversa de Mercator Caso Esférico (Modelo de

Lambert).

La proyección Transversa de Mercator (TM), es una de las primeras

variantes realizadas (de las que se tiene registro) a la proyección original del

cartógrafo flamenco Kremer, es la más importante de todas ellas, debido al

sistema de coordenadas que esta proyección presenta, la convierte en el pilar

fundamental de los sistemas de proyección que se utilizan hoy en día para el

trabajo cartográfico.

Fue construida por Johann Heinrich Lambert en el año 1772, con el objetivo

de reducir el grado exagerado de distorsión vertical que se presentaba en la

proyección Mercator, el cual va aumentando conforme el dato geográfico se va

alejando del Ecuador y se acerca a las zonas polares, donde la información

geométrica del elemento a proyectar, se representa totalmente estirada más allá

de los 15º de latitud norte y sur. Para corregir este estiramiento, Lambert realizo

una modificación a la proyección cilíndrica perspectiva de Mercator mediante un

artificio matemático.


84

La idea de Lambert fue sencilla, el artificio matemático que utilizo fue el de

girar 90º el cilindro del modelo perspectivo, colocándolo de forma vertical al

modelo geométrico de representación terrestre (transverso), donde el origen de

esta figura coincide con la intersección de los ejes transversal y longitudinal del

cilindro, siendo el único punto de contacto entre el cilindro y el modelo terrestre el

meridiano de origen o Meridiano de Greenwich, por lo que se puede decir que el

cilindro es tangente a lo largo del Meridiano 0º.

Al igual que en el sistema de origen, Lambert hace el desarrollo y

modificación de esta proyección en torno a la esfera, debido a la escasez de

información acerca a la forma real de la tierra. Así mismo, en la proyección TM

tiene su punto de proyección en el centro de la esfera, siendo una proyección de

tipo gnomónica.

Desde el centro de la tierra se llevan las direcciones a la superficie terrestre

continuándolas hasta el cilindro, el cual posteriormente se desarrolla (Caire

Lomelí, Cartografía Matemática II. Proyección Cartográfica para la República

Mexicana, 1983).

A pesar de las modificaciones hechas al modelo original, la proyección TM

conserva la esencia principal que Mercator forjó en su sistema de proyección, el

cual es la conservación de direcciones y cantidades angulares en el plano de

representación, siendo la proyección TM una proyección del tipo conforme. Donde

esta subsistencia se logra gracias a la aplicación del cálculo diferencial e integral a

los algoritmos de transformación del sistema Mercator.

La modificación del cilindro de proyección en el modelo perspectivo, genera

que el sentido de la distorsión cambie de dirección, manifestándose en sentido

Este-Oeste, la deformación se comporta de manera similar que en el sistema

Mercator con la diferencia que en la proyección TM, el grado de deformación

aumenta gradualmente cada vez que el elemento geográfico se va alejando del


85

meridiano de contacto o MC. Esta situación provoca que los elementos a

proyectados presenten con un estiramiento geométrico de manera horizontal.

El grado de distorsión es nulo a lo largo del meridiano de contacto, por lo

que el factor de escala en las zonas situadas sobre la tangencia entre la esfera y

el cilindro serán igual a la unidad. Para inhibir exageraciones en el factor de

escala, esta proyección es recomendable utilizarse en bandas meridianas no

mayores a 30º de longitud, dado a que en un espaciamiento de 15º de longitud

con respecto al MC (Este u Oeste) todas las distancias, direcciones, formas y

áreas son exactas, donde el factor de escala para los elementos ubicados en esta

franja meridiana no rebasan el valor 1.02, más allá de estos límites toda precisión

geométrica se pierde. Esta situación se atribuye a que la proyección es de tipo

conforme, sin embargo, los elementos geométricos de un objeto dentro de los

límites de cualquier área pequeña (tales como aquellas mostradas por un plano

topográfico), son esencialmente reales (Gutiérrez Palacios, 2005).

Siendo el MC el único punto de tangencia en el modelo de Lambert, hará

que su transformada en el plano sea mediante una línea totalmente recta y

vertical, conservándose sobre ella las magnitudes lineales en su verdadera

dimensión (línea automecoica), los meridianos restantes se convertirán en curvas

complejas de distinto radio con concavidad hacia respecto al MC. El Ecuador y los

paralelos 90º N y 90º S se convierten en líneas rectas horizontales,

perpendiculares al MC, mientras que los paralelos distintos a estos, se

transformaran en curvas cóncavas desigualmente separadas, donde la

representación completa de cada uno de ellos formara una elipse.

Además de la tangencia que ocurre a lo largo del MC, en el esfera este

meridiano es el origen de las longitudes y el Ecuador el origen de las latitudes, por

lo que en el sistema de coordenadas ortogonales de esta proyección, el MC se

convierte en el eje de las ordenadas, mientras que el Ecuador se convierte en el

origen de las abscisas, observándose condiciones de simetría con respecto al MC.


86

Fig. III.19 Representación mundial en la proyección Transversa de Mercator.

Fuente: NASA 2015.

En síntesis, las condiciones generales de la proyección TM son las

siguientes:

► Se trata de una modificación a la proyección cilíndrica de Mercator,

donde el cilindro es posicionado de manera horizontal a la esfera,

siendo tangente a un meridiano de referencia o Meridiano Central

MC.


87

► La representación de las cantidades angulares o direcciones

azimutales en el sistema TM son iguales al valor angular geodésico

en la esfera, dicho de otra forma, la representación es de tipo

conforme.

► En el plano, el meridiano de referencia se transforma en un

segmento de recta en el cual el valor de las distancias se conservan

(línea automecoica), por lo que el factor de escala o de deformación

lineal (L) es 1.

► El fenómeno de distorsión geométrica se manifiesta en sentido Este-

Oeste y viceversa tomando como referencia el MC, por lo que la

deformación incrementa de manera exagerada conforme el elemento

a representar se va alejando de dicho meridiano.

► La proyección es simétrica con respecto al meridiano de referencia.

► La transformación del meridiano de referencia y el Ecuador en el

plano se dan por medio de dos líneas rectas, las cuales son

perpendiculares entre sí. En donde el meridiano central se convierte

en el eje de las ordenadas y el Ecuador en el eje de las abscisas.

► El resto de meridianos y paralelos en el plano, se convierten en

curvas complejas. Donde la representación completa de un paralelo

es mediante una elipse.

► En la esfera, el MC será el origen de las longitudes, mientras tanto el

Ecuador se considerara como el origen de las latitudes.

► El valor de la coordenada norte (Y) estará dada por la longitud de

arco de meridiano, partiendo esta desde el Ecuador, para el caso de

las coordenadas en el eje de las X, estarán dadas directamente por

el valor encontrado respecto a la amplitud de banda que separen al

objeto del meridiano central, por lo que se tendrán coordenadas con

valores positivos y negativos.


88

De acuerdo a lo que menciona Enriquez Turiño (2009), esta proyección

adopta el nombre de Transversa de Mercator solo cuando el modelo de

representación terrestre es la esfera, pero si la superficie de referencia elegida es

el elipsoide, esta proyección se le asigna el nombre de Gauss-Krüger (GK), la cual

es el motivo de estudio de este documento.

En la antigüedad el uso de la proyección TM se vio limitado durante mucho

tiempo a la representación cartográfica de zonas, países o regiones que

presentaban una forma alargada y estrecha en el sentido Norte – Sur, pero dado

el comportamiento de la deformación geométrica, esta proyección es ideal para

mapear elementos que su lado más largo sea el vertical. Hoy en día el sistema

TM para la esfera ha dejado de utilizarse debido a la aparición del elipsoide de

revolución.


Como se mencionaba previamente el modelo transverso de Lambert se

desarrolló en torno a la esfera terrestre, de la misma manera que el modelo

original de Mercator. Dada esta situación, la deducción de las fórmulas de

transformación directa correspondientes a esta proyección se harán tomando

dicho modelo.

El análisis partirá de las fórmulas de transformación caso directo de la

proyección Mercator.

X = R ∙ ∆𝜆 Y = R{ln[sec 𝜑 + tan𝜑]} = R {ln [tan (𝜋

4+𝜑

2)]}

Dado que el cilindro es girado 90º generara que los ejes del sistema

cartesiano de proyección transverso cambien de posición, provocando que el eje

de las abscisas de la proyección Mercator se convierte en el eje de las ordenadas

de la proyección TM y viceversa.


89

Fig. III.20 Elementos geométricos de la proyección Transversa de Mercator.

XM = YTM; YM = XTM

Por lo que las formulas en el sistema TM se expresan como:

XTM = R{ln [tan (𝜋

4+𝜑

2)]} ; YTM = R ∙ ∆𝜆

Siendo el cilindro transverso a la esfera provocara que el único punto de

contacto entre estas dos figuras sea un meridiano arbitrario al que se le dominara

MC, dada esta situación las ecuaciones anteriores serán modificadas de acuerdo

al valor de arco de dicho meridiano. Para lograr esto se recurrirá a la siguiente

figura.

El desarrollo se hará tomando un triángulo esférico, el cual que se forma

entre el espaciamiento de una banda meridiana con respecto al MC y un paralelo

arbitrario distinto al Ecuador, tal y como se muestra en la siguiente figura.


90

Fig. III.21 Triángulo esférico.

Donde los ángulos interiores de este triángulo son los siguientes:

N = ∆λ, G =𝜋

2, H = θ

Y los valores de sus lados se interpretaran como:

n = φ′, g =𝜋

2− φ, h =

𝜋

2− λ′

Dado que los lados del triángulo dependen de la latitud de meridiano y

paralelo arbitrario (λ′, φ′), se tendrá que obtener el valor de cada uno de ellos

para que de esta manera expresar las fórmulas de transformación en función de

una sola latitud y longitud (λ, φ).

Tomando en cuenta lo anterior, las fórmulas de transformación se pueden

expresar como:


91


4+n

2)]} ; YTM = R ∙ h

Recurriendo a la trigonometría esférica (ley de senos, consenos y teorema

de Bessel) e identidades trigonométricas de apoyo se podrá determinar los valores

requeridos.

sin N

sin n=sin G

sin g=sin H

sin h;

cos n = cos g ∙ cos h + sin g ∙ sin h ∙ cos N ;

cos g = cos n ∙ cos h + sin n ∙ sin h ∙ cos G ;

cos h = cos n ∙ cos g + sin n ∙ sin g ∙ cos H ;

sin n ∙ cos G = cos g ∙ sin h − cos h ∙ sin g ∙ cos N ;

sin n ∙ cos H = cos h ∙ sin g − cos g ∙ sin h ∙ cos N ;

sin g ∙ cos N = cos n ∙ sin h − cos h ∙ sin n ∙ cos G ;

sin g ∙ cosH = cosH ∙ sin n − cos n ∙ sin h ∙ cos G ;

sin h ∙ cos G = cos g ∙ sin n − cos n ∙ sin g ∙ cos H ;

sin h ∙ cos N = cos n ∙ sin g − cos g ∙ sin n ∙ cos H ;

sin𝜋

2= 1; cos

𝜋

2= 0; sin (

𝜋

2− φ) = cosφ ; cos (

𝜋

2− φ) = sinφ

Conociendo esto se pueden calcular los valores de los lados del triángulo

en función de la latitud y longitud.

Para φ′.

sin N

sin n=sin G

sin g ∴ sin n =

sin N ∙ sin g

sin G

n = Arcsin (sin N ∙ sin g

sin G)


92

Sustituyendo valores.

φ′ = Arcsin [sin ∆λ ∙ sin (

𝜋2− φ)

sin𝜋2

] = Arcsin (sin ∆λ ∙ cosφ

1)

n = φ′ = Arcsin(sin ∆λ ∙ cosφ)

Para λ′.

cos g = cos n ∙ cos h + sin n ∙ sin h ∙ cos G ;


cos (𝜋

2− φ) = cosφ′ ∙ cos (

𝜋

2− λ′) + sinφ′ ∙ sin (

𝜋

2− λ′) ∙ cos

𝜋

2

sinφ = cosφ′ ∙ sin λ ′ + sinφ′ ∙ cos λ′ ∙ cos 0

sinφ = cosφ′ ∙ sin λ ′

Aplicando el teorema de Bessel.

sin (𝜋

2− φ) ∙ cos ∆λ = cosφ′ ∙ sin (

𝜋

2− λ′) − cos (

𝜋

2− λ′) ∙ sinφ′ ∙ cos

𝜋

2

cosφ ∙ cos ∆λ = cosφ′ ∙ cos λ′ − sin λ′ ∙ sin φ′ ∙ cos 0

cosφ ∙ cos ∆λ = cosφ′ ∙ cos λ′

Dividiendo.

sinφ

cosφ ∙ cos ∆λ=cosφ′ ∙ sin λ ′

cosφ′ ∙ cos λ′

tanφ ∙ sec∆λ = tan λ′

h = λ′ = Arctan(tanφ ∙ sec∆λ)


93

Sustituyendo en las fórmulas para directas.


4+n

2)]} = R {ln [tan (

𝜋

4+φ′

2)]}

YTM = R ∙ h

Entonces.


4+Arcsin(sin ∆λ ∙ cos φ)

2)]}

YTM = R ∙ Arctan(tanφ ∙ sec∆λ)

Sin embargo para la fórmula de la ordenada, está puede re escribirse en

una forma más sencilla. Teniendo en cuenta lo siguiente:

XTM = R {ln [tan (𝜋

4+φ′

2)]} = R{ln[secφ′ + tanφ′]}

XTM = R{ln[secφ′ + tanφ′]} = R {ln [1

cosφ′+sinφ′

cosφ′]}

XTM = R {ln [1 + sinφ′

cosφ′]}

Dónde:

cosφ′ = (1 − sin2 φ′)12 = [(1 − sinφ′)(1 − sinφ′)]

12

cosφ′ = (1 + sinφ′)12(1 − sinφ′)

12


94

Aplicando.

XTM = R {ln [1 + sinφ′

(1 − sin2φ′)12

]} = R {ln [1 + sinφ′

(1 + sin φ′)12(1 − sinφ′)

12

]}

XTM = R{ln [(1 + sinφ′)

12

(1 − sinφ′)12

]} = R{ln [1 + sinφ′

1 − sinφ′]

12

}

XTM = R {1

2ln [

1 + sinφ′

1 − sinφ′]}

Por lo que se puede decir.

Φ =1

2ln [

1 + sinφ′

1 − sinφ′]

Pero.

sinφ′ = sin ∆λ ∙ cosφ

Se tiene que:

XTM = R {1

2ln [

1 + sin ∆λ ∙ cosφ

1 − sin ∆λ ∙ cosφ]}

Entonces realizado este último cambio, las fórmulas de transformación para

la proyección TM se expresan como:

𝐗 =𝐑

𝟐{𝐥𝐧 [

𝟏 + 𝐬𝐢𝐧 ∆𝛌 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝛗

𝟏 − 𝐬𝐢𝐧 ∆𝛌 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝛗]} ; 𝐘 = 𝐑 ∙ 𝐀𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧(𝐭𝐚𝐧𝛗 ∙ 𝐬𝐞𝐜∆𝛌)


95


La deducción de las ecuaciones para la conversión de coordenadas del

sistema TM al sistema esférico geodésico de origen, se realizara mediante el

despeje de los valores de latitud y longitud a partir de las ecuaciones directas ya

conocidas.

X =R

2{ln [

1 + sin ∆λ ∙ cosφ

1 − sin ∆λ ∙ cosφ]} ; Y = R ∙ Arctan(tanφ ∙ sec∆λ)

Para facilitar dicho proceso, se recurrirá a varios artificios matemáticos, los

cuales permitan expresar las formulas anteriores en una forma sencilla, permisible

a un despeje algebraico. Para lograr esto, se hará un previo análisis a la ecuación

de la latitud creciente para la esfera.

Φ = ln [tan (𝜋

4+φ

2)]

Recordando que esta se puede expresar como:

Φ = ln [tan (𝜋

4+φ

2)] = ln[secφ + tanφ]

Eliminando el logaritmo se tiene.

Φ = ln[secφ + tanφ] ∴ eΦ = secφ + tanφ

Obteniendo su forma inversa.

e−Φ = secφ − tanφ


96

Teniendo las funciones exponenciales de la latitud creciente, permitirá

realizar un cambio de variable utilizando las funciones trigonométricas

hiperbólicas. Para este caso solo se utilizaran las funciones fundamentales y la

inversa del coseno.

Para el seno.

sinhΦ =eΦ − e−Φ

2


sinhΦ =secφ + tanφ − (secφ − tanφ)

2=2 ∙ tanφ

2

sinhΦ = tanφ ∴ Φ = Arcsinh(tanφ)

Para el coseno.

coshΦ =eΦ + e−Φ

2


coshΦ =secφ + tanφ + (secφ − tanφ)

2=2 ∙ secφ

2

coshΦ = sec φ ∴ Φ = Arccosh(sec φ)

Para la tangente.

tanhΦ =sinhΦ

coshΦ


97


tanhΦ =tanφ

secφ=

sinφcosφ1

cosφ

=sinφ ∙ cos φ

cosφ

tanhΦ = sinφ ∴ Φ = Arctanh(sinφ)

Y finalmente para la secante.

sechΦ =1

coshΦ


sechΦ =1

secφ=

1

1cosφ

sechΦ = cosφ ∴ Φ = Arcsech(cosφ)

Con la anterior se puede decir que:

Φ = Arcsinh(tanφ) = Arccosh(secφ) = Arctanh(sinφ) = Arcsech(cosφ)

Pero además.

Φ = ln [tan (𝜋

4+φ

2)] = ln[sec φ + tanφ] =

1

2ln [

1 + sinφ

1 − sinφ]

Con estas igualdades se hará una modificación unicamente a la ecuación

de transformación para las abscisas, tomando en cuenta la latitud arbitraria

desarrollada en el subtema anterior.


98


4+φ′

2)]} = R ∙ Arctanh(sinφ′)

Recordando que:

sinφ′ = sin ∆λ ∙ cosφ

Sustituyendo.

XTM = R ∙ Arctanh(sin ∆λ ∙ cosφ)

Con este cambio, las fórmulas de transformación directa también pueden

expresarse como

X = R ∙ Arctanh(sin ∆λ ∙ cosφ) Y = R ∙ Arctan(tanφ ∙ sec∆λ)

Con estas ecuaciones la obtención de los valores de latitud y longitud será

más sencilla. Para obtener el valor de la longitud y latitud se realizara el despeje

de la función trigonométrica que tenga como argumento dichas variables

tanh (X

R) = sin ∆λ ∙ cos φ tan (

Y

R) = tanφ ∙ sec∆λ

tanh (XR)

cosφ= sin ∆λ

tan (YR)

sec∆λ= tanφ

sec φ = coth (X

R) ∙ sin ∆λ tanφ = tan (

Y

R) ∙ cos ∆λ

sin ∆λ = tanh (X

R) ∙ secφ cos ∆λ = cot (

Y

R) ∙ tanφ


99

Las ecuaciones han sido expresadas en función de la secante y tangente,

seno y coseno de los valores angulares deseados, en base a este cambio se

recurrirá al despeje de estos argumentos, apoyándose de las identidades

trigonométricas pitagóricas ordinarias e hiperbólicas.

sin2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1, sec2 𝑥 − tan2 𝑥 = 1, csc2 𝑥 − cot2 𝑥 = 1

cosh2 𝑥 − sinh2 𝑥 = 1, tanh2 𝑥 + sech2 𝑥 = 1, coth2 𝑥 −csch2 𝑥 = 1

Para la longitud.

sec2 𝜑 − tan2 𝜑 = 1

[coth (X

R) ∙ sin ∆𝜆]

2

− [tan (Y

R) ∙ cos ∆𝜆]

2

= 1

coth2 (X

R) ∙ sin2 ∆𝜆 = 1 + tan2 (

Y

R) ∙ cos2 ∆𝜆

coth2 (XR) ∙ sin2 ∆𝜆 − 1

cos2 ∆𝜆= tan2 (

Y

R)

coth2 (X

R) ∙ tan2 ∆𝜆 − sec2 ∆𝜆 = tan2 (

Y

R)

coth2 (X

R) ∙ tan2 ∆𝜆 − sec2 ∆𝜆 = sec2 (

Y

R) − 1

coth2 (X

R) ∙ tan2 ∆𝜆 + 1 − sec2 ∆𝜆 = sec2 (

Y

R)

coth2 (X

R) ∙ tan2 ∆𝜆 − (sec2 ∆𝜆 − 1) = sec2 (

Y

R)

coth2 (X

R) ∙ tan2 ∆𝜆 − tan2 ∆𝜆 = sec2 (

Y

R)

tan2 ∆𝜆 [coth2 (X

R) − 1] = sec2 (

Y

R)

tan2 ∆𝜆 [csch2 (X

R)] = sec2 (

Y

R)


100

tan2 ∆𝜆 =sec2 (

YR)

csch2 (XR) ∴ tan ∆𝜆 = sinh (

X

R) ∙ sec (

Y

R)

𝜆P −MC = Arctan [sinh (X

R) ∙ sec (

Y

R)]

𝜆P = Arctan [sinh (X

R) ∙ sec (

Y

R)] + MC

Para la latitud.

sin2 ∆λ + cos2 ∆λ = 1

[tanh (X

R) ∙ sec φ]

2

+ [cot (Y

R) ∙ tanφ]

2

= 1

tanh2 (X

R) ∙ sec2 φ = 1 − cot2 (

Y

R) ∙ tan2φ

tanh2 (X

R) ∙ sec2φ − 1 = −cot2 (

Y

R) ∙ tan2φ

tanh2 (XR) ∙ sec2 φ − 1

tan2φ= −cot2 (

Y

R)

tanh2 (X

R) ∙ csc2φ − cot2φ = −cot2 (

Y

R)

tanh2 (X

R) ∙ csc2φ − (csc2φ − 1) = −cot2 (

Y

R)

tanh2 (X

R) ∙ csc2φ − csc2 φ + 1 = −cot2 (

Y

R)

csc2φ [tanh2 (X

R) − 1] = − cot2 (

Y

R) − 1

csc2φ =−cot2 (

YR) − 1

[tanh2 (XR) − 1]

=− [cot2 (

YR) + 1]

− [1 − tanh2 (XR)]=csc2 (

YR)

sech2 (XR)

csc2φ =csc2 (

YR)

sech2 (XR)


101

Para facilitar el cálculo de la latitud, la cosecante será expresada en su

forma inversa.

1

sin2 φ=csc2 (

YR)

sech2 (XR) ∴ sin2 φ =

sech2 (XR)

csc2 (YR)

φ = Arcsin [sech (X

R) ∙ sin (

Y

R)]

De acuerdo a lo anterior las fórmulas de correspondencia inversa para la

proyección TM se expresan como:

𝛌 = 𝐀𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 [𝐬𝐢𝐧𝐡 (

𝐗𝐑)

𝐜𝐨𝐬 (𝐘𝐑)] + 𝐌𝐂 𝛗 = 𝐀𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧 [

𝐬𝐢𝐧 (𝐘𝐑)

𝐜𝐨𝐬𝐡 (𝐗𝐑)]

3.4 La Longitud de Arco de la Elipse Meridiana.

Hasta el momento se han analizado y desarrollado las fórmulas de

transformación para la proyección de origen, proyección Mercator y una de sus

variantes construida por Lambert, la proyección Transversa de Mercator. Donde

dicho desarrollo ha sido mediante elementos y procesos matemáticos sencillos

(por decirlo de algún modo), donde los algoritmos resultado de estos análisis, son

conformados por formulas sencillas, no muy exageradas en cuanto a términos.

Sin embargo la proyección la cual es motivo de estudio en esta

investigación, la proyección Gauss-Krüger o Proyección Transversa de Mercator

caso elipsoidal, se satisface con fórmulas geodésicas más complejas, donde la

esencia de precisión y exactitud de estas ecuaciones reside en el número de

términos o funciones que se utilicen para dicho cálculo.


102

Una de estas expresiones geodésicas es la ecuación de la longitud de arco

de una elipse meridiana o mejor conocida como longitud de arco de meridiano,

esta ecuación es requerida dada a la modificación analítica que se le realiza al

cilindro en torno al meridiano de referencia que hace contacto con el elipsoide, tal

y como se mostraba en el subtema anterior refiriéndose a la esfera.

Dada su importancia y complejidad en el sistema transverso para el

elipsoide, será forzosamente necesario estudiar y deducir la estructura de su

fórmula previamente. Por lo que en el siguiente subtema se expondrán los

procedimientos matemáticos necesarios para obtener las ecuaciones que

satisfagan dicho requerimiento.

3.4.1 Formulas de Conversión.

El análisis y desarrollo matemático que se presenta a continuación fue

tomado de la obra Cartografía Matemática del Ing. Fernando Barrera Trejo (2015),

como apoyo para el desarrollo de esta investigación.

Se trata de determinar la longitud de un arco S de elipsoide entre dos

puntos A y B que se encuentran sobre un mismo meridiano tal y como se

mostraba en la figura del tema.

Se sabe que la longitud de un arco es equivalente al radio por el ángulo que

subtiende al arco, pero si se logra dividir dicho arco en infinitesimales fracciones

se puede escribir:

𝑑s = 𝜌 ∙ 𝑑𝜑

Donde 𝜌 corresponde al radio de curvatura de una porción de la elipse

meridiana, por lo tanto para encontrar el valor completo del arco de meridiano

formado entre a y b, se deben de sumar todas las fracciones 𝑑𝑠 desde el punto a

y hasta el punto b. Siendo la forma más viable, integrar dicha función.


103

S = ∫ 𝜌 ∙ 𝑑𝜑b

a

= ∫𝑎(1 − 𝑒2)

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)32

b

a

∙ 𝑑𝜑

Para facilitar la solución a esta integral se supondrá que el punto a se

encuentra sobre el Ecuador y el punto b sobre un paralelo cualquiera (𝜑), mismo

que intersecte al meridiano de estudio. Además de esto, el numerador de la

fracción de 𝜌 será visto es su forma inversa.

S = ∫ 𝑎(1 − 𝑒2)(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)−32

𝜑

0

∙ 𝑑𝜑

Desarrollando y simplificando términos, el resultado de la integral elíptica se

presenta como:

𝐒 = 𝒂(𝟏 − 𝒆𝟐)

[ (𝟏 +

𝟑

𝟒𝒆𝟐 +

𝟒𝟓

𝟔𝟒𝒆𝟒 +

𝟏𝟕𝟓

𝟐𝟓𝟔𝒆𝟔 +

𝟏𝟏𝟎𝟐𝟓

𝟏𝟔𝟑𝟖𝟒𝒆𝟖)𝝋

−(𝟑

𝟒𝒆𝟐 +

𝟒𝟓

𝟔𝟒𝒆𝟒 +

𝟏𝟕𝟓

𝟐𝟓𝟔𝒆𝟔 +

𝟏𝟏𝟎𝟐𝟓

𝟏𝟔𝟑𝟖𝟒𝒆𝟖) 𝐬𝐢𝐧𝝋 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝝋

−(𝟏𝟓

𝟑𝟐𝒆𝟒 +

𝟏𝟕𝟓

𝟑𝟖𝟒𝒆𝟔 +

𝟏𝟏𝟎𝟐𝟓

𝟐𝟗𝟓𝟕𝟔𝒆𝟖) 𝐬𝐢𝐧𝟑𝝋 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝝋

−(𝟑𝟓

𝟗𝟔𝒆𝟔 +

𝟐𝟐𝟎𝟓

𝟔𝟏𝟒𝟒𝒆𝟖) 𝐬𝐢𝐧𝟓𝝋 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝝋

−(𝟑𝟏𝟓

𝟏𝟎𝟐𝟒𝒆𝟖) 𝐬𝐢𝐧𝟕𝝋 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝝋 ]

Sin embargo, dado que esta fórmula está en función del seno y coseno de

la latitud y en virtud de que en la bibliografía existente, esta fórmula no es

reportada, es factible de simplificarse mediante la consideración de las siguientes

identidades trigonométricas:

sin 𝜑 ∙ cos 𝜑 =1

2∙ sin 2𝜑, sin2 𝜑 =

1

2−1

2∙ cos 2𝜑,

sin 𝜑 ∙ cos 𝛽 =1

2[sin(𝜑 − 𝛽) + sin(𝜑 + 𝛽)]


104

Aplicando se tiene finalmente:

S = 𝑎(1 − 𝑒2)

[ (1 +

3

4𝑒2 +

45

64𝑒4 +

175

256𝑒6 +

11025

16384𝑒8)𝜑

−(3

8𝑒2 +

15

32𝑒4 +

525

1024𝑒6 +

2205

4096𝑒8) sin 2𝜑

+(15

256𝑒4 +

105

1024𝑒6 +

2205

16384𝑒8) sin 4𝜑

−(35

3072𝑒6 +

315

12288𝑒8) sin 6𝜑

+(315

131072𝑒8) sin 8𝜑 ]

Para simplificar un poco más esta ecuación, se harán los siguientes

cambios de variable.

𝐒 = 𝒂(𝟏 − 𝒆𝟐) [𝐀𝛗 +𝐁

𝟐𝐬𝐢𝐧 𝟐𝛗 +

𝐂

𝟒𝐬𝐢𝐧 𝟒𝛗 +

𝐃

𝟔𝐬𝐢𝐧 𝟔𝛗 +

𝐄

𝟖𝐬𝐢𝐧 𝟖𝛗]

Siendo.

𝐀 = 𝟏 +𝟑

𝟒𝒆𝟐 +

𝟒𝟓

𝟔𝟒𝒆𝟒 +

𝟏𝟕𝟓

𝟐𝟓𝟔𝒆𝟔 +

𝟏𝟏𝟎𝟐𝟓

𝟏𝟔𝟑𝟖𝟒𝒆𝟖

𝐁 = − [𝟑

𝟒𝒆𝟐 +

𝟏𝟓

𝟏𝟔𝒆𝟒 +

𝟓𝟐𝟓

𝟓𝟏𝟐𝒆𝟔 +

𝟐𝟐𝟎𝟓

𝟐𝟎𝟒𝟖𝒆𝟖]

𝐂 =𝟏𝟓

𝟔𝟒𝒆𝟒 +

𝟏𝟎𝟓

𝟐𝟓𝟔𝒆𝟔 +

𝟐𝟐𝟎𝟓

𝟒𝟎𝟗𝟔𝒆𝟖

𝐃 = − [𝟑𝟓

𝟓𝟏𝟐𝒆𝟔 +

𝟑𝟏𝟓

𝟐𝟎𝟒𝟖𝒆𝟖]

𝐄 =𝟑𝟏𝟓

𝟏𝟔𝟑𝟖𝟒𝒆𝟖

El desarrollo completo de estas integrales se encuentra en el anexo 6.3.


105

3.5 Proyección Transversa de Mercator Caso Elipsoidal (Gauss-

Krüger).

La proyección Gauss-Krüger (GK) o también conocida como Transversa de

Mercator (TM) tiene su origen y fundamento en la proyección modificada que ideó

Lambert en 1772, pero con la variante de que esta toma como modelo matemático

al elipsoide para la representación terrestre.

Esta diferencia genera que la transformación de coordenadas y el proceso de

proyección de un sistema a otro resulte complejo, debido a que el elipsoide a

comparación de la esfera, posee distintos radios de curvatura en cualquier punto

de su superficie. Esta inextricable situación tiene como consecuencia que para

esta proyección, el desarrollo y deducción de sus fórmulas de transformación, en

cualquiera de sus dos procedimientos (directo o inverso), requiera más que el

análisis de la geometría clásica y habitual, por lo que es forzoso recurrir a los

métodos que cálculo infinitesimal ofrece, para la solución de problemas donde

interfieren elementos geométricos con curvaturas irregulares. Dicho de otra

manera, las fórmulas de transformación se obtienen mediante procedimientos

puramente analíticos disueltos totalmente de cualquier concepto geométrico, razón

por la cual no se le asigna el nombre de Proyección sino el de Representación

(Barrera Trejo, 2015).

Apoyados del cálculo infinitesimal se logra conseguir que esta proyección

cumpla con la condición de conformidad, misma que ha sido y es la esencia de la

proyección Mercator. Es decir, se logra mantener la magnitud de los ángulos

infinitesimales formados en el elipsoide (Zepeda Godoy, 2003).

La representación GK cuenta con el mismo sistema que la proyección

Transversa (donde su propio nombre la delata). Se desarrolla sobre un cilindro el

cual es posicionado de forma horizontal o transversa al elipsoide, siendo este

tangente a lo largo de un meridiano que se elige de manera arbitraria y al que se

le denomina meridiano central o meridiano de origen que a su vez es


106

Fig. III.22 Cilindro transverso al elipsoide.

perpendicular al Ecuador. A diferencia de su proyección de origen, en la

representación GK, la distorsión se manifiesta en dirección este-oeste o viceversa,

la cual va aumentando gradualmente a medida que la información geoespacial

que se desee simbolizar se va alejando del meridiano de origen. La deformación

es directamente proporcional a la distancia que separa al objeto del meridiano

central.

Para evitar el grado de deformación, algunos países recurrieron al artificio

matemático de subdividir la superficie terrestre en franjas meridianas de 3º grados

de amplitud, generando así 120 husos o bandas iguales, pero cada una referida a

un meridiano central distinto, además de estar referidas todas ellas al Ecuador

(Enríquez Turiño, 2009).


107

Fig. III.24 Banda meridiana en la representación Gauss-Krüger

.

Fig. III.23 Desarrollo de la representación Gauss-Krüger.


108

El comportamiento de la deformación sobre la extensión del meridiano

central y en las dos franjas meridanas adyacentes de un grado treinta minutos,

que se conciben a partir de este mismo meridiano (una franja de lado este y la

otra en la zona oeste), se tornan o se consideran casi nulas, por lo que se pueden

llegar a despreciar, más allá de esta magnitud meridional el dato geográfico pierde

totalmente su precisión.

El valor máximo de dicha distorsión en estas bandas meridianas no excede

más allá del 10%, por lo que para una amplitud de 1º 30” el factor de escala será

de 1.003, mientras que en el MC su valor será igual a la unidad. Dada esta

condición se puede decir que los objetos representados sobre esta amplitud de

banda meridiana, conservaran ángulos, distancias y formas.

Además de la particularidad de distorsión, en la representación GK es

regida por las siguientes condiciones geométricas generales.

La representación de las cantidades angulares o direcciones

azimutales en el sistema GK deben de ser iguales al valor angular

geodésico, dicho de otra forma, la representación debe de ser

conforme.

En el plano, el meridiano de referencia se debe de transformar en un

segmento de recta en el cual el valor de las distancias se conservan

(línea isométrica automecoica), por lo que el factor de escala o de

deformación lineal (L) es 1.

Las bandas meridianas son simétricas respecto al meridiano de

referencia.

La transformación del meridiano de referencia y el Ecuador en el

plano se dan por medio de dos líneas rectas, las cuales son

perpendiculares entre sí. En donde el meridiano central se convierte

en el eje de las ordenadas y el Ecuador en el eje de las abscisas.

El resto de meridianos y paralelos en el plano, se convierten en

curvas complejas.


109

En el elipsoide, el meridiano central correspondiente a cada banda

meridiana será el origen de las longitudes, mientras tanto el Ecuador

se considerara como el origen de las latitudes.

El valor de la coordenada norte (Y) estará dada por la longitud de

arco de meridiano, partiendo esta desde el Ecuador, para el caso de

las coordenadas en el eje de las X, estarán dadas directamente por

el valor encontrado respecto a la amplitud de banda que separen al

objeto del meridiano central, por lo que se tendrán coordenadas con

valores positivos y negativos.

La representación GK es ideal para mapear objetos o porciones terrestres

que tengan una gran extensión en sentido norte-sur (latitud) y una extensión

pequeña en longitud (que sean más largos que anchos), quizás el ejemplo más

cercano que podemos encontrar de esto serían las representaciones de países

como Chile y Argentina.

Hoy por hoy, la representación GK es una de las más utilizadas de todas las

proyecciones, de acuerdo a la recomendación de la Asociación Internacional de

Geodesia y Geofísica. En países como Argentina, Chile, Colombia, España,

Australia, el Reino Unido y Alemania, por mencionar algunos, la representación

GK es la más utilizada. En Europa esta representación es conocida por el nombre

de Proyección Gauss-Krüger, mientras en países del continente americano es

conocida como Proyección Transversa de Mercator (Hernández López, 2009).

Otro dato trascendente que es importante mencionar, es que la

representación GK es el pilar fundamental de dos de las proyecciones más

utilizadas a nivel mundial y nacional, la proyección UTM y la TME.

Estas dos proyecciones pertenecen a la familia de proyecciones cilíndricas

transversas que de igual forma toman al elipsoide como figura geométrica de

referencia para la representación terrestre. Debido a que la representación GK es

la arteria principal de estos sistemas proyectivos, provoca que las fórmulas de


110

Fig. III.25 Valores del factor de escala (ko) en la representación GK Fuente: Guía de Proyecciones Cartográficas, Gómez Moreno, 2003

transformación correspondientes para cada uno de ellos sean similares con ligeras

modificaciones pero conservando la esencia del sistema original.


111


Como se mencionaba, para obtener el desarrollo de las fórmulas de

transformación de coordenadas de un sistema geodésico a un sistema plano y

viceversa para la representación GK, se necesitara de un desarrollo puramente

analítico, el cual permita cumplir adecuadamente con las condiciones generales

impuestas por la representación. Para efectuar dichos requerimientos, la

deducción analítica partirá de la teoría de conformidad de proyecciones

empleando el análisis de funciones de la variable compleja.

Antes de iniciar con la deducción de fórmulas de transformación, es

necesario mencionar y dejar en claro el término de la variable compleja.

Como bien se sabe dentro del extenso universo de las matemáticas y

primordialmente del mundo de los números, existe una división única y especial

que relaciona dos dimensiones (por decirlo de alguna manera) de números, los

números reales (ℝ) y los números imaginarios (𝑖), a este bloque se le da el

nombre de números complejos. En este segmento numérico encontramos a todos

aquellos números reales que son los más comunes y que cuentan con la facilidad

de manipulación en cualquier operación o análisis matemático, y por otro lado se

encuentran los números imaginarios, mismos que de acuerdo a la lógica

convencional, no pueden existir, sin embargo, pueden ser el resultado de

operaciones matemáticas comunes. Donde la representación gráfica más fiel de

ambos sistemas sea a través de un plano cartesiano, donde el eje de las 𝑥

representa a la parte real y el plano 𝑦 a la parte imaginaria.

Conociendo esto se puede dejar en claro que una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) forma

parte del bloque de números reales, solo si su variable, dominio (𝑥) o imagen (𝑦)

siempre será un número real, pero si estos tres elementos o alguno de ellos son

números complejos, se dice que es una función de variable compleja o


112

simplemente que es una función compleja, misma que se expresa de la siguiente

manera:

𝑤 = 𝑓(𝑧)

Dónde:

w = Imagen z = Dominio.

Sabiendo que:

𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖,

Además que 𝑦 es un número complejo, 𝑤 se representa como:

𝑤 = 𝑓(𝑧) = 𝑢 + 𝑣𝑖 ∴ 𝑤 = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑣(𝑥, 𝑦)𝑖

Viéndolo en su forma inversa se tiene que:

𝑧 = 𝑓(𝑤) = 𝑦(𝑢, 𝑣) + 𝑥(𝑢, 𝑣)𝑖

De acuerdo a lo que menciona Barrera Trejo (2015), mediante un análisis

geométrico, se puede decir que el inverso de una función compleja, sitúa al punto

𝑦 con coordenadas (𝑢, 𝑣) sobre un eje o plano de números reales, mientras que

para un punto 𝑥𝑖 con las mismas coordenadas, lo establece en un eje imaginario,

pudiéndose decir; que una función compleja es aquella que hace corresponder a

cada punto (𝑦,𝑥𝑖) de un plano origen con un punto (𝑢, 𝑣𝑖) de un plano imagen.


113

Tomando en cuenta esta hipótesis e iniciando con la deducción de

fórmulas, se pueden declarar dos planos complejos. Uno que sea un sistema

isométrico que represente al elipsoide, cuyas coordenadas dependan de la latitud

creciente o latitud isométrica y del incremento de la longitud geodésica con

respecto al meridiano de origen (∆λ,Φ), mientras que el otro, nuevamente en un

sistema isométrico ortogonal, cuya superficie sea el plano cartesiano que proyecte

a la representación GK, mismo que dependa de (𝑥, 𝑦) para el establecimiento de

sus coordenadas.

Dada esta situación se puede decir que las funciones para ambos planos se

interpretan como:

𝑤 = ∆λ𝑖 + Φ 𝑧 = 𝑥𝑖 + 𝑦

𝑤 = 𝑓(𝑧) 𝑧 = 𝑓(𝑤)

𝑤 = ∆λ(𝑥, 𝑦)𝑖 + Φ(𝑥, 𝑦) 𝑧 = 𝑥(Φ, ∆λ)𝑖 + 𝑦(Φ, ∆λ)

Fig. III.26 Sistemas complejos de deducción.


114

Se considera esta igualdad de acuerdo al Teorema de la Representación

Conforme de Riemann, el cual menciona “Que si dos superficies admiten una

representación conforme siempre que a un sistema isométrico (𝑢, 𝑣) de una de

ellas le corresponda un sistema isométrico de la otra (α, β).”

Para cumplir con la condición de conformidad para proyecciones que

estipula Riemann, se es necesario recurrir a la siguiente función compleja.

α + β𝑖 = 𝑓(𝑢 + 𝑣𝑖)

Partiendo de la función anterior se puede determinar la condición de

conformidad para proyecciones y de igual manera su forma inversa.

𝒚 + 𝒙𝒊 = 𝒇(𝚽 + ∆𝛌𝒊) 𝚽 + ∆𝛌𝒊 = 𝑭(𝒚 + 𝒙𝒊)

Según Hernández López (2009), de esta manera es como se logra obtener

dos funciones puramente analíticas las cuales son permisibles a un proceso de

derivación.

Con estas funciones se cumple con una de las condiciones fundamentales

de conformidad, la cual menciona que: “Para que una proyección sea conforme se

es necesario que existan funciones analíticas”, conociendo esto y dadas las

funciones 𝐹 y 𝑓, el problema se reduce, a encontrar una relación de estas

funciones y los sistemas complejos. El cual satisfaga dos de los importantes

principios de conformidad para la proyección TM, los cuales mencionan que:

En el plano, el meridiano de referencia se debe de transformar en un

segmento de recta en el cual el valor de las distancias se conserven.

El Ecuador se debe de convertir en una línea recta perpendicular al

meridiano central.


115

Para conseguir el cumplimiento de estos principios, el método de apoyo a

utilizar será el teorema de Taylor, suponiendo que:

𝑧 = 𝑓(𝑤) = 𝑓(Φ + ∆λ𝑖)

El desarrollo de la serie de Taylor se hará en torno a la latitud creciente,

debido a que esta se vincula con la transformada del meridiano central en el plano

ortogonal de proyección. Por lo que para ello se tendrá en cuenta que λ = 0,

debido a que el meridiano central es el origen de las longitudes.

𝑤0 = (0,Φ) = Φ ∴ 𝑓(𝑤0) = 𝑓(Φ)

Restando 𝑤 y 𝑤0, se tiene que:

∆𝑤 = 𝑤 − 𝑤0 = Φ+ ∆λ𝑖 − Φ

∆𝑤 = ∆λ𝑖

Por lo que se interpreta que:

∆λ = MC − λ𝑝

Conociendo lo anterior y recordando que el MC es el origen de las

longitudes (0), se concretara lo siguiente.

∆λ = 0 − λ𝑝 = −λ𝑝

Conociendo esto, se recurrirá al desarrollo de la función 𝑓(𝑤) a través de la

serie de Taylor en torno al punto que corresponde a la latitud creciente (Φ).

Mediante este método se logra por fin relacionar las funciones complejas del

elipsoide y del plano.


116

El resultado del desarrollo de la función 𝑓(𝑤) mediante la serie de Taylor,

dará como resultado términos reales e imaginarios, debido a que dicha función es

una variable compleja, ambos términos se igualaran entre sí obteniendo de esta

manera las fórmulas de transformación para las coordenadas rectangulares en el

plano (𝑥, 𝑦) en función de (∆λ,Φ) y en definitiva en (∆λ, 𝜑), coordenadas

geodésicas (Enríquez Turiño, 2009).

Se recurre al método numérico de la serie de Taylor debido a que en su

desarrollo, las funciones de tipo real son extensibles y se pueden vincular con

funciones de variable compleja. Además de esto, otra de las particularidades que

deben cumplir cualquier tipo de función para el pleno desarrollo de este método es

que, dichas funciones cuenten con derivadas de orden superior o sucesivo.

Recordando la ecuación de la serie de Taylor.

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) +𝑓′(𝑎)

1!(𝑥 − 𝑎) +

𝑓′′(𝑎)

2!(𝑥 − 𝑎)2 +

𝑓′′′(𝑎)

3!(𝑥 − 𝑎)3 +⋯

+𝑓𝑛(𝑎)

𝑛!(𝑥 − 𝑎)𝑛

Dónde:

𝑎 = Punto aproximado donde se quiere evaluar la función.

𝑥 = Variable a evaluar.

𝑓′, 𝑓′′, 𝑓′′′𝑦 𝑓𝑛 = Derivadas consecutivas de la variable 𝑎

Entonces aplicando el teorema de Taylor a la función compleja 𝑓(𝑤) pero

tomando como punto aproximado a 𝑤0, se tiene que:


117

𝑓(𝑤) = 𝑓(𝑤) +𝑓′(𝑤)

1!(𝑤 −𝑤0) +

𝑓′′(𝑤)

2!(𝑤 −𝑤0)

2 +𝑓′′′(𝑤)

3!(𝑤 −𝑤0)

3 +⋯

+𝑓𝑛(𝑤)

𝑛!(𝑤 −𝑤0)

𝑛

Siendo.

𝑓(𝑤0) = 𝑓(Φ), ∆𝑤 = 𝑤 − 𝑤0 = ∆λ𝑖

Se puede notar que las derivadas sucesivas son multiplicadas por ∆λ,

misma que es afectada por un número imaginario 𝑖, las cuales potencialmente van

incrementando de acuerdo al valor de su derivada consecutiva. Esta situación

conduce a una propiedad de los números imaginarios, la cual menciona que, “Si

un número imaginario es elevado a una potencia par, esta perderá su parte

imaginaria, mientras que con las potencias impares sucederá lo contrario”, esta

propiedad se verifica mediante el siguiente teorema.

𝑖0 = 1, 𝑖 = 𝑖, 𝑖2 = −1, 𝑖3 = −𝑖, 𝑖4 = 1

Por lo que la formula se puede expresar como:

𝑓(𝑤) = 𝑓(Φ) +𝑓′(Φ)

1!(∆λ𝑖) +

𝑓′′(Φ)

2!(∆λ𝑖)2 +

𝑓′′′(Φ)

3!(∆λ𝑖)3 +⋯+

𝑓𝑛(Φ)

𝑛!(∆λ𝑖)𝑛

El resultado de las derivadas de la variable compleja no deben variar en

función de la dirección en la que esta se acerque al punto de estudio, es decir las

iteraciones mediante las derivadas consecutivas se deben aproximar a un

resultado óptimo y preciso de acuerdo a un punto deseado.


118

Esta condición permite obtener las derivadas de cualquier punto del plano

complejo en el elipsoide. Para el caso del desarrollo directo se calculara hasta la

octava derivada, pretendiendo obtener coordenadas ortogonales con una precisión

al milímetro, por lo que la serie de Taylor se representaría de la siguiente manera:

𝑓(𝑤) = 𝑓(Φ) +𝑓′(Φ)

1!(∆λ𝑖) +

𝑓′′(Φ)

2!(∆λ𝑖)2 +

𝑓′′′(Φ)

3!(∆λ𝑖)3 +

𝑓4(Φ)

4!(∆λ𝑖)4

+𝑓5(Φ)

5!(∆λ𝑖)5 +

𝑓6(Φ)

6!(∆λ𝑖)6 +

𝑓7(Φ)

7!(∆λ𝑖)7 +

𝑓8(Φ)

8!(∆λ𝑖)8

𝑓(𝑤) = 𝑓(Φ) +𝑓′(Φ)

1!∆λ𝑖 +

𝑓′′(Φ)

2!∆λ2(−1) +

𝑓′′′(Φ)

3!∆λ3(−𝑖) +

𝑓4(Φ)

4!∆λ4(1)

+𝑓5(Φ)

5!∆λ5(𝑖) +

𝑓6(Φ)

6!∆λ6(−1) +

𝑓7(Φ)

7!∆λ7(−𝑖) +

𝑓8(Φ)

8!∆λ8(1)

𝑓(𝑤) = 𝑓(Φ) +𝑓′(Φ)

1!∆λ𝑖−

𝑓′′(Φ)

2!∆λ2 −

𝑓′′′(Φ)

3!∆λ3𝑖 +

𝑓4(Φ)

4!∆λ4 +

𝑓5(Φ)

5!∆λ5𝑖

−𝑓6(Φ)

6!∆λ6 −

𝑓7(Φ)

7!∆λ7𝑖 +

𝑓8(Φ)

8!∆λ8

Efectuando los cambios de acuerdo al teorema de números imaginarios se

puede apreciar que solo las derivadas impares aún se encuentran sujetas por el

producto de ∆λ𝑖, debido a esta situación la función 𝑓(𝑤) se puede interpretar en

su forma original, la condición de conformidad.

𝑓(𝑤) = 𝑧 = 𝑦(Φ,∆λ)+ 𝑥(Φ, ∆λ)𝑖

Sustituyendo se tiene que:

𝑓(𝑤) = 𝑦(Φ, ∆λ)+ 𝑥(Φ, ∆λ)𝑖

= 𝑓(Φ) +𝑓′(Φ)

1!∆λ𝑖 −

𝑓′′(Φ)

2!∆λ2 −

𝑓′′′(Φ)

3!∆λ3𝑖 +

𝑓4(Φ)

4!∆λ4

+𝑓5(Φ)

5!∆λ5𝑖 −

𝑓6(Φ)

6!∆λ6 −

𝑓7(Φ)

7!∆λ7𝑖 +

𝑓8(Φ)

8!∆λ8


119

Representando la función de variable compleja en su forma original se

podrá realizar el despeje y eliminación de 𝑖, mediante la igualación y agrupación

de la parte real e imaginaria.

𝑦(Φ, ∆λ) = 𝑓(Φ) −𝑓′′(Φ)

2!∆λ2 +

𝑓4(Φ)

4!∆λ4 −

𝑓6(Φ)

6!∆λ6 +

𝑓8(Φ)

8!∆λ8

𝑥(Φ, ∆λ)𝑖 =𝑓′(Φ)

1!∆λ𝑖 −

𝑓′′′(Φ)

3!∆λ3𝑖 +

𝑓5(Φ)

5!∆λ5𝑖 −

𝑓7(Φ)

7!∆λ7𝑖

Factorizando 𝑖 de la ecuación.

𝑥(Φ, ∆λ)𝑖 =𝑓′(Φ)

1!∆λ𝑖 −

𝑓′′′(Φ)

3!∆λ3𝑖 +

𝑓5(Φ)

5!∆λ5𝑖 −

𝑓7(Φ)

7!∆λ7𝑖

𝑥(Φ, ∆λ)𝑖 = 𝑖 [𝑓′(Φ)

1!∆λ −

𝑓′′′(Φ)

3!∆λ3 +

𝑓5(Φ)

5!∆λ5 −

𝑓7(Φ)

7!∆λ7]

𝑥(Φ, ∆λ)𝑖

𝑖=𝑓′(Φ)

1!∆λ −

𝑓′′′(Φ)

3!∆λ3 +

𝑓5(Φ)

5!∆λ5 −

𝑓7(Φ)

7!∆λ7

Es así como finalmente se tienen las fórmulas de transformación directa

para la representación GK.

𝒙 =𝒇′(𝚽)

𝟏!∆𝛌 −

𝒇′′′(𝚽)

𝟑!∆𝛌𝟑 +

𝒇𝟓(𝚽)

𝟓!∆𝛌𝟓 −

𝒇𝟕(𝚽)

𝟕!∆𝛌𝟕

𝒚 = 𝒇(𝚽)−𝒇′′(𝚽)

𝟐!∆𝛌𝟐 +

𝒇𝟒(𝚽)

𝟒!∆𝛌𝟒 −

𝒇𝟔(𝚽)

𝟔!∆𝛌𝟔 +

𝒇𝟖(𝚽)

𝟖!∆𝛌𝟖

Las formulas anteriores contemplan la conversión de coordenadas

geodésicas a ortogonales pero sin embargo no cumplen con una de las

condiciones generales de la proyección TM, la cual alude a la transformación del


120

MC en el plano debe de ser mediante una línea automecoica, donde su factor de

escala en todos sus puntos debe de ser la unidad (𝑘0 = 1).

El cumplimiento de esta condición se concebirá a través de las formulas

previamente halladas, la cual se logra considerando dos puntos sobre el

elipsoide, O y P, donde el punto O es aquel que se sitúa en el origen de los

meridianos y los paralelos, en la intersección del MC con el Ecuador, siendo sus

coordenadas (0,0), mientras que para el punto P se ubicara sobre un paralelo

arbitrario que intersecte al MC, cuyas coordenadas sean (∆λ, Φ), pero como dicho

punto se encuentra sobre el MC se puede decir que ∆λ = 0, debido a que no

existe amplitud de banda meridiana. Se consideran las coordenadas del punto 𝑃,

para hacer cumplir con la condición de conformidad del MC.

Aplicando las fórmulas de transformación se pueden calcular las

coordenadas planas para dichos puntos de la siguiente manera.

Para 𝑂.

𝑂 {Φ = 0∆λ = 0

Sustituyendo en las formulas, se tiene que.

𝑥 =𝑓′(0)

1!0 −

𝑓′′′(0)

3!03 +

𝑓5(0)

5!05 −

𝑓7(0)

7!07

𝑥 = 0

𝑦 = 𝑓(0) −𝑓′′(0)

2!02 +

𝑓4(0)

4!∆λ4 −

𝑓6(0)

6!06 +

𝑓8(0)

8!08

𝑦 = 0


121

Fig. III.27 Representación de la longitud de arco de meridiano en el elipsoide y el plano GK

Por lo que las coordenadas planas para el punto 𝑂 y 𝑃 , son:

𝑂 {𝑥 = 0𝑦 = 0

𝑃 {Φ = Φ∆λ = 0

Sustituyendo los valores de ∆λ y Φ

𝑥 =𝑓′(Φ)

1!0 −

𝑓′′′(Φ)

3!03 +

𝑓5(Φ)

5!05 −

𝑓7(Φ)

7!07

𝑥 = 0

𝑦 = 𝑓(Φ) −𝑓′′(Φ)

2!02 +

𝑓4(Φ)

4!04 −

𝑓6(Φ)

6!06 +

𝑓8(Φ)

8!08

𝑦 = 𝑓(Φ)

Entonces las coordenadas de 𝑃 en el plano se expresan como:

𝑃 {𝑥 = 0

𝑦 = 𝑓(Φ)


122

Se aprecia que las coordenadas de O en el elipsoide coinciden con el

origen de coordenadas en el plano, el punto P en el plano se sitúa sobre el eje de

las ordenadas con una abscisa arbitraria que intersecta dicho eje, tal y como se

muestra en el esquema III.27.

Concretando la transformación del MC, se admitirá que la distancia S que

existe entre los puntos 𝑂 y 𝑃 será igual en los dos sistemas.

OP(Δλ,Φ) = OP(x,y) = S

Pero como la distancia S en el elipsoide recorre un segmento del MC, este

valor será igual a la longitud de arco de meridiano que se subtiende entre los

puntos en cuestión, el cual se interpretara como:

𝑂𝑃(Δλ,Φ) = 𝑦(0, ∆λ) = 𝑓(Φ) = S

Recordando la fórmula para el cálculo de arco de meridiano, la cual se

representara en su forma explícita para facilitar la deducción.

𝑆 = ∫ 𝜌 𝑑𝜑𝜑

0

Considerando el factor de escala sobre el segmento de meridiano para

conservar la distancia, se conjetura lo siguiente:

𝑦(0, ∆λ) = 𝑓(Φ) = 𝑘0∫ 𝜌 𝑑𝜑𝜑

0

𝑘0 = 1

𝑓(Φ) = ∫ 𝜌 𝑑𝜑𝜑

0


123

Se aprecia que el valor de 𝑓(Φ) es la integral del radio de curvatura sobre

el meridiano, por lo que para obtener solo el valor de dicho radio será necesario

aplicar la operación derivada a ambos términos de la función y poder cancelar el

desarrollo de la integral.

Derivando 𝑓(Φ).

𝑑[𝑓(Φ)]

𝑑𝜑= 𝜌∫ 𝑑𝜑

𝜑

0

∴ 𝑑[𝑓(Φ)]

𝑑𝜑= 𝜌

Es así como se logra cumplir la condición de conformidad para el MC, a

través de una ecuación diferencial, por lo que solo resta terminar el desarrollo de

las fórmulas de transformación con el desarrollo de las ocho derivadas que

conforman la serie de Taylor.

La primera derivada se calcula como:

𝑓′(Φ) = [𝑑(𝑓(Φ))

𝑑Φ]

′

∴ 𝑓′(Φ) =𝑑[𝑓(Φ)]

𝑑𝜑∙𝑑𝜑

𝑑Φ

La cual se puede interpretar como:

𝑑Φ =𝜌

𝑟𝑑𝜑 ∴

𝑑𝜑

𝑑Φ=𝑟

𝜌

Sustituyendo.

𝑓′(Φ) = 𝜌 ∙𝑟

𝜌 ∴ 𝑓′(Φ) = 𝑟


124

Recordando que:

𝑟 = 𝑁 cos𝜑

Por lo que finalmente se obtiene la primera derivada de la latitud isométrica.

𝑑(𝑓(Φ))

𝑑𝜑∙𝑑𝜑

𝑑Φ= 𝑓′(Φ) = 𝑁 cos𝜑

Es así, que de manera puramente analítica se desarrolla la primera

derivada de la función compleja, por lo que el proceso deducción continúa

mediante la resolución de las derivadas restantes por los métodos clásicos de

diferenciación. Recordando que las derivadas consecutivas serán siempre

multiplicadas por el valor de 𝑑𝜑

𝑑Φ.

Siguiendo esta condición, las derivadas consecutivas se realizaran tomando

a la latitud geodésica como variable.

𝑓′′(Φ) = −𝑁 sin 𝜑 cos 𝜑, 𝑓′′′(Φ) = 𝑁 [tan2 𝜑 −𝑁

𝜌] cos3 𝜑

𝑓4(Φ) = 𝑁 [4 (𝑁

𝜌)2

+𝑁

𝜌− tan2 𝜑] cos3 𝜑 sin 𝜑

𝑓5(Φ) =𝑁

16

{

2 [1 − 2 (

𝑁

𝜌) + 13 (

𝑁

𝜌)2

− 4(𝑁

𝜌)3

] cos 𝜑

− [3 − 2 (𝑁

𝜌) + 3 (

𝑁

𝜌)2

− 44 (𝑁

𝜌)3

] cos(3𝜑)

+ [1 + 2 (𝑁

𝜌) − 7 (

𝑁

𝜌)2

+ 28 (𝑁

𝜌)3

] cos(5𝜑)}


125

𝑓6(Φ) = −𝑁

32

{

[5 − 6 (

𝑁

𝜌) − 91 (

𝑁

𝜌)2

+ 364 (𝑁

𝜌)3

− 136 (𝑁

𝜌)4

] sin(2𝜑)

−4 [1 − (𝑁

𝜌)2

+ 28 (𝑁

𝜌)3

− 88 (𝑁

𝜌)4

] sin(4𝜑)

+ [1 + 2 (𝑁

𝜌) + 33 (

𝑁

𝜌)2

− 196 (𝑁

𝜌)3

+ 280 (𝑁

𝜌)4

] sin(6𝜑)}

𝑓7(Φ)

= −𝑁

64

{

− [5 − 9 (

𝑁

𝜌) + 279(

𝑁

𝜌)2

− 1911(𝑁

𝜌)3

+ 2044(𝑁

𝜌)4

− 680 (𝑁

𝜌)5

] cos𝜑

+ [9 − 9 (𝑁

𝜌) + 267(

𝑁

𝜌)2

− 2831(𝑁

𝜌)3

+ 6076(𝑁

𝜌)4

− 2280(𝑁

𝜌)5

] cos(3𝜑)

− [5 + 3 (𝑁

𝜌) − 97(

𝑁

𝜌)2

+ 293(𝑁

𝜌)3

+ 1708(𝑁

𝜌)4

− 3592(𝑁

𝜌)5

] cos(5𝜑)

+ [1 + 3 (𝑁

𝜌) − 85(

𝑁

𝜌)2

+ 1277 (𝑁

𝜌)3

− 4116(𝑁

𝜌)4

+ 3640(𝑁

𝜌)5

] cos(7𝜑)}

𝑓8(Φ) =𝑁

128

{

−2[7 − 9(

𝑁

𝜌) − 819(

𝑁

𝜌)2

+ 12413(𝑁

𝜌)3

− 36984(𝑁

𝜌)4

+ 33648(𝑁

𝜌)5

− 10240(𝑁

𝜌)6

] sin(2𝜑)

+2 [7 − 3 (𝑁

𝜌) − 279 (

𝑁

𝜌)2

+ 7243(𝑁

𝜌)3

− 38568(𝑁

𝜌)4

+ 58512(𝑁

𝜌)5

− 20864(𝑁

𝜌)6

] sin(4𝜑)

−6 [1 + (𝑁

𝜌) + 91(

𝑁

𝜌)2

− 1381(𝑁

𝜌)3

+ 2872(𝑁

𝜌)4

+ 3344(𝑁

𝜌)5

− 7168 (𝑁

𝜌)6

] sin(6𝜑)

+ [1 + 3(𝑁

𝜌) + 279(

𝑁

𝜌)2

− 7235(𝑁

𝜌)3

+ 44136(𝑁

𝜌)4

− 90384(𝑁

𝜌)5

+ 58240(𝑁

𝜌)6

] sin(8𝜑)}

El desarrollo de las derivadas restantes se encuentra en el anexo 6.4.2

De esta manera se ha concluido el proceso de derivación para la obtención

de las fórmulas de transformación directa de la representación GK, sin embargo

las derivadas que aquí se muestran están en función del sin(𝑛𝜑), cos(𝑛𝜑) y 𝑁

𝜌, y

en virtud de que en la bibliografía existente dichas formulas se desconocen, será


126

necesario una simplificación mediante la consideración de las siguientes

entidades.



1

2(1 − cos 2𝜑)

sin 𝜑 ∙ cos 𝜃 =1

2[sin(𝜑 − 𝜃) + sin(𝜑 + 𝜃)],

2 ∙ sin(𝑛 ∙ 𝜑) ∙ cos 𝜃 = sin(𝑛 + 1)𝜑 + sin(𝑛 − 1)𝜑,

2 ∙ cos(𝑛 ∙ 𝜑) ∙ cos 𝜃 = cos(𝑛 + 1)𝜑 + cos(𝑛 − 1)𝜑,

2 ∙ cos(𝑛 ∙ 𝜑) ∙ sin 𝜃 = sin(𝑛 + 1)𝜑 − sin(𝑛 − 1)𝜑,

2 ∙ sin(𝑛 ∙ 𝜑) ∙ sin 𝜃 = cos(𝑛 + 1)𝜑 − cos(𝑛 − 1)𝜑.

Además para 𝑁

𝜌 se encuentra la siguiente relación.

𝑁

𝜌=1 − 𝑒2 sin2 𝜑

1 − 𝑒2

𝑁

𝜌=1 − 𝑒2(1 − cos2 𝜑)

1 − 𝑒2=1 − 𝑒2 + 𝑒2cos2 𝜑

1 − 𝑒2

𝑁

𝜌= 1 +

𝑒2cos2 𝜑

1 − 𝑒2

Entonces de acuerdo a lo anterior las derivadas se rescriben de la siguiente

manera.

𝑓′(Φ) = 𝑁 cos𝜑, 𝑓′′(Φ) = −𝑁 sin𝜑 ∙ cos 𝜑

𝑓′′′(Φ) = −𝑁 [1 − tan2 𝜑 +𝑒2cos2 𝜑

1 − 𝑒2] cos3 𝜑

𝑓4(Φ) = 𝑁 [5 − tan2 𝜑 + 9(𝑒2cos2 𝜑

1 − 𝑒2) + 4 (

𝑒2cos2 𝜑

1 − 𝑒2)

2

] cos3 𝜑 ∙ sin 𝜑


127

𝑓5(Φ) = 𝑁

[

5 − 18 tan2 𝜑 + tan4 𝜑

+14(𝑒2cos2 𝜑

1 − 𝑒2) + 58(

𝑒2cos2 𝜑

1 − 𝑒2) tan2 𝜑

+13(𝑒2cos2 𝜑

1 − 𝑒2)

2

− 64(𝑒2cos2 𝜑

1 − 𝑒2)

2

tan2 𝜑

+4(𝑒2cos2 𝜑

1 − 𝑒2)

3

− 24(𝑒2cos2 𝜑

1 − 𝑒2)

3

tan2 𝜑]

cos5 𝜑

𝑓6(Φ) = −𝑁

[

61 − 58 tan2 𝜑 + tan4 𝜑

+270𝑒2cos2 𝜑

1 − 𝑒2− 330

𝑒2cos2 𝜑

1 − 𝑒2tan2 𝜑

+445(𝑒2cos2 𝜑

1 − 𝑒2)

2

− 680(𝑒2cos2 𝜑

1 − 𝑒2)

2

tan2 𝜑

+324(𝑒2cos2 𝜑

1 − 𝑒2)

3

− 600(𝑒2cos2 𝜑

1 − 𝑒2)

3

tan2 𝜑

+88(𝑒2cos2 𝜑

1 − 𝑒2)

4

− 192(𝑒2cos2 𝜑

1 − 𝑒2)

4

tan2 𝜑]

cos5 𝜑 ∙ sin 𝜑

𝑓7(Φ)

= −𝑁

[

61 − 479 tan2𝜑 + 179 tan4 𝜑 − tan6𝜑

+331(𝑒2cos2 𝜑

1 − 𝑒2) − 3262 (

𝑒2cos2 𝜑

1 − 𝑒2) tan2𝜑 + 1771 (

𝑒2cos2 𝜑

1 − 𝑒2) tan4𝜑

+715 (𝑒2cos2 𝜑

1 − 𝑒2)

2

− 8655 (𝑒2cos2 𝜑

1 − 𝑒2)

2

tan2𝜑 + 6080 (𝑒2cos2 𝜑

1 − 𝑒2)

2

tan4𝜑

+769(𝑒2cos2 𝜑

1 − 𝑒2)

3

− 10964 (𝑒2cos2 𝜑

1 − 𝑒2)

3

tan2 𝜑 + 9480 (𝑒2cos2 𝜑

1 − 𝑒2)

3

tan4 𝜑

+412 (𝑒2cos2 𝜑

1 − 𝑒2)

4

− 6760 (𝑒2cos2 𝜑

1 − 𝑒2)

4


1 − 𝑒2)

4

tan4𝜑

+88(𝑒2cos2 𝜑

1 − 𝑒2)

5

− 1632 (𝑒2cos2 𝜑

1 − 𝑒2)

5


1 − 𝑒2)

5

tan4𝜑]

cos7 𝜑


128

𝑓8(Φ)

= 𝑁

[

1385 − 3111 tan2𝜑 + 543 tan4 𝜑 − tan6 𝜑

+10899(𝑒2cos2𝜑

1 − 𝑒2) − 32802(

𝑒2cos2𝜑

1 − 𝑒2) tan2𝜑 + 9219(

𝑒2cos2𝜑

1 − 𝑒2) tan4 𝜑

+34419(𝑒2cos2𝜑

1 − 𝑒2)

2

− 129087(𝑒2cos2𝜑

1 − 𝑒2)

2

tan2𝜑 + 49644(𝑒2cos2𝜑

1 − 𝑒2)

2

tan4 𝜑

+56385(𝑒2cos2𝜑

1 − 𝑒2)

3

− 252084(𝑒2cos2𝜑

1 − 𝑒2)

3

tan2 𝜑 + 121800(𝑒2cos2𝜑

1 − 𝑒2)

3

tan4𝜑

+50856(𝑒2cos2𝜑

1 − 𝑒2)

4

− 263088(𝑒2cos2𝜑

1 − 𝑒2)

4

tan2 𝜑 + 151872(𝑒2cos2𝜑

1 − 𝑒2)

4

tan4𝜑

+24048(𝑒2cos2𝜑

1 − 𝑒2)

5

− 140928(𝑒2cos2𝜑

1 − 𝑒2)

5

tan2𝜑 + 94080(𝑒2cos2𝜑

1 − 𝑒2)

5

tan4 𝜑

+4672(𝑒2cos2𝜑

1 − 𝑒2)

6

− 30528(𝑒2cos2𝜑

1 − 𝑒2)

6

tan2 𝜑 + 23040(𝑒2cos2𝜑

1 − 𝑒2)

6

tan4𝜑]

cos7𝜑 sin𝜑

Para finalizar y presentar las derivadas en expresiones más simples se

recurrirán a los siguientes cambios de variable.

𝑓′(Φ) = 𝐴1 , 𝑓′′′(Φ)

6= 𝐴3,

𝑓5(Φ)

120= 𝐴5 ,

𝑓7(Φ)

5040= 𝐴7

𝑓(Φ) = 𝑆, 𝑓′′(Φ)

2= 𝐵2 ,

𝑓4(Φ)

24= 𝐵4 ,

𝑓6(Φ)

720= 𝐵6 ,

𝑓8(Φ)

40320= 𝐵8

𝒕 = 𝐭𝐚𝐧𝝋 , 𝒆′𝟐=

𝒆𝟐

𝟏 − 𝒆𝟐, 𝜼𝟐 = 𝒆′

𝟐𝐜𝐨𝐬𝟐𝝋

Finalmente sustituyendo y reescribiendo las formulas se tiene que.

𝐗 = 𝐀𝟏∆𝛌 + 𝐀𝟑∆𝛌𝟑 + 𝐀𝟓∆𝛌

𝟓 + 𝐀𝟕∆𝛌𝟕

𝐘 = 𝐒 + 𝐁𝟐∆𝛌𝟐 + 𝐁𝟒∆𝛌

𝟒 + 𝐁𝟔∆𝛌𝟔 + 𝐁𝟖∆𝛌

𝟖


129

𝐀𝟏 = 𝐍𝐜𝐨𝐬𝛗, 𝐀𝟑 =𝐍𝐜𝐨𝐬𝟑𝛗

𝟔[𝟏 − 𝐭𝟐 + 𝛈𝟐]

𝐀𝟓 =𝐍𝐜𝐨𝐬𝟓𝛗

𝟏𝟐𝟎[𝟓 − 𝟏𝟖𝐭𝟐 + 𝐭𝟒 + 𝟏𝟒𝛈𝟐 − 𝟓𝟖𝛈𝟐𝐭𝟐

+𝟏𝟑𝛈𝟒 − 𝟔𝟒𝛈𝟒𝐭𝟐 + 𝟒𝛈𝟔 − 𝟐𝟒𝛈𝟔𝐭𝟐]

𝐀𝟕 =𝐍𝐜𝐨𝐬𝟕𝛗

𝟓𝟎𝟒𝟎

[

𝟔𝟏 − 𝟒𝟕𝟗𝐭𝟐 + 𝟏𝟕𝟗𝐭𝟒 − 𝐭𝟔 + 𝟑𝟑𝟏𝛈𝟐 − 𝟑𝟐𝟗𝟖𝛈𝟐𝐭𝟐

+𝟏𝟕𝟕𝟏𝛈𝟐𝐭𝟒 + 𝟕𝟏𝟓𝛈𝟒 − 𝟖𝟔𝟓𝟓𝛈𝟒𝐭𝟐 + 𝟔𝟎𝟖𝟎𝛈𝟒𝐭𝟒

+𝟕𝟔𝟗𝛈𝟔 − 𝟏𝟎𝟗𝟔𝟒𝛈𝟔𝐭𝟐 + 𝟗𝟒𝟖𝟎𝛈𝟔𝐭𝟒 + 𝟒𝟏𝟐𝛈𝟖 − 𝟔𝟕𝟔𝟎𝛈𝟖𝐭𝟐

+𝟔𝟗𝟏𝟐𝛈𝟖𝐭𝟒 + 𝟖𝟖𝛈𝟏𝟎 − 𝟏𝟔𝟑𝟐𝛈𝟏𝟎𝐭𝟐 + 𝟏𝟗𝟐𝟎𝛈𝟏𝟎𝐭𝟒 ]

𝐁𝟐 =𝐍𝐜𝐨𝐬𝛗 𝐬𝐢𝐧𝛗

𝟐, 𝐁𝟒 =

𝐍𝐜𝐨𝐬𝟑𝛗𝐬𝐢𝐧𝛗

𝟐𝟒[𝟓 − 𝐭𝟐 + 𝟗𝛈𝟐 + 𝟒𝛈𝟒]

𝐁𝟔 =𝐍𝐜𝐨𝐬𝟓𝛗𝐬𝐢𝐧𝛗

𝟕𝟐𝟎[

𝟔𝟏 − 𝟓𝟖𝐭𝟐 + 𝐭𝟒

+𝟐𝟕𝟎𝛈𝟐 − 𝟑𝟑𝟎𝛈𝟐𝐭𝟐 + 𝟒𝟒𝟓𝛈𝟒 − 𝟔𝟖𝟎𝛈𝟒𝐭𝟐

+𝟑𝟐𝟒𝛈𝟔 − 𝟔𝟎𝟎𝛈𝟔𝐭𝟐 + 𝟖𝟖𝛈𝟖 − 𝟏𝟗𝟐𝛈𝟖𝐭𝟐]

𝐁𝟖

=𝐍𝐜𝐨𝐬𝟕𝛗𝐬𝐢𝐧𝛗

𝟒𝟎𝟑𝟐𝟎

[

𝟏𝟑𝟖𝟓 − 𝟑𝟏𝟏𝟏𝐭𝟐 + 𝟓𝟒𝟑𝐭𝟒 − 𝐭𝟔

+𝟏𝟎𝟖𝟗𝟗𝛈𝟐 − 𝟑𝟐𝟖𝟎𝟐𝛈𝟐𝐭𝟐 + 𝟗𝟐𝟏𝟗𝛈𝟐𝐭𝟒 + 𝟑𝟒𝟒𝟏𝟗𝛈𝟒

−𝟏𝟐𝟗𝟎𝟖𝟕𝛈𝟒𝐭𝟐 + 𝟒𝟗𝟔𝟒𝟒𝛈𝟒𝐭𝟒 + 𝟓𝟔𝟑𝟖𝟓𝛈𝟔 − 𝟐𝟓𝟐𝟎𝟖𝟒𝛈𝟔𝐭𝟐

+𝟏𝟐𝟏𝟖𝟎𝟎𝛈𝟔𝐭𝟒 + 𝟓𝟎𝟖𝟓𝟔𝛈𝟖 − 𝟐𝟔𝟑𝟎𝟖𝟖𝛈𝟖𝐭𝟐 + 𝟏𝟓𝟏𝟖𝟕𝟐𝛈𝟖𝐭𝟒

+𝟐𝟒𝟎𝟒𝟖𝛈𝟏𝟎 − 𝟏𝟒𝟎𝟗𝟐𝟖𝛈𝟏𝟎𝐭𝟐 + 𝟗𝟒𝟎𝟖𝟎𝛈𝟏𝟎𝐭𝟒 + 𝟒𝟔𝟕𝟐𝛈𝟏𝟐

−𝟑𝟎𝟓𝟐𝟖𝛈𝟏𝟐𝐭𝟐 + 𝟐𝟑𝟎𝟒𝟎𝛈𝟏𝟐𝐭𝟒 ]

𝐒 = 𝒂(𝟏 − 𝒆𝟐) [𝐀𝛗 +𝐁


𝐂


𝐃


𝐄


𝐀 = 𝟏 +𝟑

𝟒𝒆𝟐 +

𝟒𝟓

𝟔𝟒𝒆𝟒 +

𝟏𝟕𝟓

𝟐𝟓𝟔𝒆𝟔 +

𝟏𝟏𝟎𝟐𝟓

𝟏𝟔𝟑𝟖𝟒𝒆𝟖

𝐁 = − [𝟑

𝟒𝒆𝟐 +

𝟏𝟓

𝟏𝟔𝒆𝟒 +

𝟓𝟐𝟓

𝟓𝟏𝟐𝒆𝟔 +

𝟐𝟐𝟎𝟓

𝟐𝟎𝟒𝟖𝒆𝟖]

𝐂 =𝟏𝟓

𝟔𝟒𝒆𝟒 +

𝟏𝟎𝟓

𝟐𝟓𝟔𝒆𝟔 +

𝟐𝟐𝟎𝟓

𝟒𝟎𝟗𝟔𝒆𝟖

𝐃 = − [𝟑𝟓

𝟓𝟏𝟐𝒆𝟔 +

𝟑𝟏𝟓

𝟐𝟎𝟒𝟖𝒆𝟖]

𝐄 =𝟑𝟏𝟓

𝟏𝟔𝟑𝟖𝟒𝒆𝟖


130

Las formulas anteriores cumplen con la condición de conformidad, donde el

MC se transforma en una línea automecoica en el plano con un factor de escala 1

a lo largo de ella, siendo que esta línea define al eje de origen de las ordenadas.

Mientras que para la segunda condición de conformidad donde el Ecuador se

debe de transformar en una línea recta perpendicular a la transformada del MC, se

es necesario considerar un punto con coordenadas sobre el elipsoide donde el

valor de la latitud sea cero (𝜆, 0).

Entonces si aplicamos estos valores en las formulas deducidas, se aprecia

que para el valor de 𝑦 este será igual a cero, debido a que las derivadas que

conforman la fórmula de 𝑦 son afectadas por el sin 𝜑, pero como el valor de 𝜑 =

0, por consiguiente el producto del sin 0 por cualquier otro elemento será igual a

cero. Mientras que para el valor de la abscisa no sucede lo mismo, debido a que

los coeficientes que conforman la fórmula 𝑥 de carecen de la función sin 𝜑.

Por lo que se puede decir que:

𝑥 = 𝑓(𝜆) 𝑦 = 0

Es así como se corrobora que las formulas deducidas cumplen con todas

las condiciones de conformidad que la proyección TM requiere.

Las fórmulas que se demuestran mediante esta deducción aseguran una

precisión milimétrica en su transformación directa, solo si el punto, zona o

elemento geográfico de estudio que se desea representar se encuentre

posicionado sobre una amplitud meridiana (∆λ) de 3º a partir del MC (dirección

Este-Oeste), por lo que es viable aplicar dichas ecuaciones de transformación en

una banda meridiana no mayor a 6º. Más allá de este límite es cuando la

deformación actúa y se manifiesta de manera exagerada, misma que va

aumentando gradualmente conforme el objeto se vaya alejando del MC, esta


131

circunstancia forja a que todos los elementos que se encuentren en dichas zonas

carezcan de precisión milimétrica si se aplican estas fórmulas de transformación.

Para dar fidelidad y asegurar la precisión milimétrica de la representación

del dato geográfico sobre esta proyección Paul D. Thomas (1952), Mena Berrios

(2008) y Enríquez Turiño (2009), aseguran que solo si se utilizan términos con

exponencial mayores a 8 (mismos que conforman las derivadas de la serie de

Taylor) se podrá alcanzar la precisión deseada para bandas meridianas mayores a

3º, mientras que para bandas menores a este valor las formulas se podrán truncar

hasta los términos elevados a la quinta y sexta potencia.


Se ha demostrado y dado respuesta a uno de los problemas clásicos que

toda proyección cartográfica padece, el obtener las fórmulas de transformación

que permita representar a la tierra en un sistema ortogonal de coordenadas,

siendo este sistema la representación cilíndrica de GK, entonces el inconveniente

pendiente por resolver es; el encontrar el método matemático que permita

convertir estas coordenadas ortogonales al sistema de coordenadas geodésico de

origen. Atendiendo esta demanda en este subcapítulo se deducirán y pondrán en

claro dichas formulas además de los procesos matemáticos y analíticos que su

mismo desarrollo requiera.

El desarrollo de las fórmulas de correspondencia inversa se efectuara de

manera similar que en el proceso directo, mediante métodos puramente analíticos.

Para iniciar con este análisis será necesario recurrir a la función de variable

compleja que relaciona los dos sistemas complejos (elipsoide y plano ortogonal de

proyección), misma que da origen a la deducción para la conversión directa.

𝑓(𝑤) = 𝑓(∆λ𝑖 + Φ) = 𝑖(Φ, ∆λ)𝑥 + 𝑦(Φ, ∆λ)


132

Pero como esta vez el proceso de transformación se realizara del sistema

GK al elipsoide será necesario encontrar el inverso de dicha función.

𝐹(𝑧) = 𝐹(𝑖𝑥 + 𝑦) = 𝑖(𝑥, 𝑦)∆λ + Φ(𝑥, 𝑦)

Esta situación conduce al desarrollo de esta función nuevamente utilizando

la serie de Taylor, pero esta vez tomando como punto aproximado al componente

real de esta nueva función compleja, suponiendo que el valor de la abscisa será

igual a cero (𝑥 = 0), (Hernández López, 2009). Por lo que se puede demostrar lo

siguiente.

𝐹(𝑧0) = 𝐹(𝑖 ∙ 0 + 𝑦) = (0, 𝑦)

Dada esta situación y recordando los parámetros de conformidad para las

proyecciones TM, se aprecia que dicho punto corresponde a la transformada del

MC en el sistema GK. El cual se expresa como:

𝑧0 = 𝑦

Una vez conocido el punto aproximado, la serie de Taylor para el proceso

inverso será el siguiente:

𝐹(𝑧) = 𝐹(𝑧0) +𝐹′(𝑧0)

1!(∆𝑧) +

𝐹′′(𝑧0)

2!(∆𝑧)2 +

𝐹′′′(𝑧0)

3!(∆𝑧)3 +⋯+

𝐹𝑛(𝑧0)

𝑛!(∆𝑧)𝑛

Pero como.

∆𝑧 = 𝑧 − 𝑧0 = (𝑖𝑥 + 𝑦) − 𝑦 = 𝑖𝑥

Se puede decir que:

𝐹(𝑧) = 𝐹(𝑧0) +𝐹′(𝑦)

1!(𝑖𝑥) +

𝐹′′(𝑦)

2!(𝑖𝑥)2 +

𝐹′′′(𝑦)

3!(𝑖𝑥)3 +⋯+

𝐹𝑛(𝑦)

𝑛!(𝑖𝑥)𝑛


133

En la representación GK el desarrollo de la serie de Taylor para ambos

procesos de transformación requerirá el mismo número de derivadas, esto con el

fin de garantizar la precisión milimétrica en ambos sistemas, por lo que se tendrá

desarrollar hasta la octava derivada de 𝐹(𝑦) para esta nueva serie.

𝐹(𝑧) = 𝐹(𝑦) +𝐹′(𝑦)

1!(𝑖𝑥) +

𝐹′′(𝑦)

2!(𝑖𝑥)2 +

𝐹′′′(𝑦)

3!(𝑖𝑥)3 +

𝐹4(𝑦)

4!(𝑖𝑥)4

+𝐹5(𝑦)

5!(𝑖𝑥)5 +

𝐹6(𝑦)

6!(𝑖𝑥)6 +

𝐹7(𝑦)

7!(𝑖𝑥)7 +

𝐹8(𝑦)

8!(𝑖𝑥)8

Aplicando el teorema exponencial para números imaginarios se tiene que:

𝐹(𝑧) = 𝐹(𝑦) +𝐹′(𝑦)

1!𝑖𝑥 −

𝐹′′(𝑦)

2!𝑥2 −

𝐹′′′(𝑦)

3!𝑖 ∙ 𝑥3 +

𝐹4(𝑦)

4!𝑥4 +

𝐹5(𝑦)

5!𝑖 ∙ 𝑥5

−𝐹6(𝑦)

6!𝑥6 −

𝐹7(𝑦)

7!𝑖 ∙ 𝑥7 +

𝐹8(𝑦)

8!𝑥8

Pero recordando que:

𝐹(𝑧) = 𝑖(𝑥, 𝑦)∆λ + Φ(𝑥, 𝑦)

Sustituyendo.

𝑖(𝑥, 𝑦)∆λ + Φ(𝑥, 𝑦)

= 𝐹(𝑦) +𝐹′(𝑦)

1!𝑖𝑥 −

𝐹′′(𝑦)

2!𝑥2 −

𝐹′′′(𝑦)

3!𝑖 ∙ 𝑥3 +

𝐹4(𝑦)

4!𝑥4 +

𝐹5(𝑦)

5!𝑖

∙ 𝑥5 −𝐹6(𝑦)

6!𝑥6 −

𝐹7(𝑦)

7!𝑖 ∙ 𝑥7 +

𝐹8(𝑦)

8!𝑥8

Agrupando términos reales e imaginarios.

𝑖(𝑥, 𝑦)∆λ =𝐹′(𝑦)

1!𝑖𝑥 −

𝐹′′′(𝑦)

3!𝑖 ∙ 𝑥3 +

𝐹5(𝑦)

5!𝑖 ∙ 𝑥5 −

𝐹7(𝑦)

7!𝑖 ∙ 𝑥7


134

𝑖(𝑥, 𝑦)∆λ = 𝑖 [𝐹′(𝑦)

1!𝑥 −

𝐹′′′(𝑦)

3!𝑥3 +

𝐹5(𝑦)

5!𝑥5 −

𝐹7(𝑦)

7!𝑥7]

Por lo que finalmente las fórmulas de correspondencia inversa se

interpretan como:

∆𝛌(𝒙, 𝒚) =𝑭′(𝒚)

𝟏!𝒙 −

𝑭′′′(𝒚)

𝟑!𝒙𝟑 +

𝑭𝟓(𝒚)

𝟓!𝒙𝟓 −

𝑭𝟕(𝒚)

𝟕!𝒙𝟕

𝚽(𝒙, 𝒚) = 𝑭(𝒚) −𝑭′′(𝒚)

𝟐!𝒙𝟐 +

𝑭𝟒(𝒚)

𝟒!𝒙𝟒 −

𝑭𝟔(𝒚)

𝟔!𝒙𝟔 +

𝑭𝟖(𝒚)

𝟖!𝒙𝟖

También será necesario tomar en cuenta la propiedad de la proyección TM,

en donde que el valor del MC en cualquiera de los dos sistemas será el mismo

(geodésico y de proyección) y que su transformada en el plano será mediante una

línea recta, siendo esta el origen de las ordenadas. Esta condición solo se cumple

si el punto de estudio se sitúa en el sistema GK sobre las coordenadas (0, 𝑦).

∆λ =𝐹′(𝑦)

1!0 −

𝐹′′′(𝑦)

3!03 +

𝐹5(𝑦)

5!05 −

𝐹7(𝑦)

7!07

Φ = 𝐹(𝑦) −𝐹′′(𝑦)

2!02 +

𝐹4(𝑦)

4!04 −

𝐹6(𝑦)

6!06 +

𝐹8(𝑦)

8!08

∆λ = 0, Φ = 𝐹(𝑦)

Se aprecia que las formulas inversas cumplen con la condición ya señalada

pero de igual forma y para un valor 𝑦 traerá consigo un valor de latitud isométrica.

Entonces el problema reside ahora en calcular el valor de esta latitud, para ello se

recurrirá al método que utiliza Barrera Trejo (2015).

Barrera Trejo menciona que se debe recurrir al cálculo de la latitud

isométrica para el elipsoide mediante la fórmula ya conocida.


135

Fig. III.28 Representación del punto de expansión en ambos sistemas.

Φ = ln [tan (𝜋

4+𝜑

2) (1 − 𝑒 sin 𝜑

1 + 𝑒 sin 𝜑)

𝑒2]

El único detalle que interfiere para la aplicación de esta fórmula es que el

valor de la latitud isométrica está en función de la altitud geodésica la cual se

desconoce. La solución más conveniente y la que plantea el autor es que; el

cálculo de esta se deberá ser con el apoyo de una latitud geodésica auxiliar o

también conocido como punto de expansión, el cual se obtiene mediante el

siguiente planteamiento.

Se supondrá dos puntos en ambos sistemas, un punto 𝑄 con coordenadas

(∆λ, 𝜑) en el elipsoide y (𝑥, 𝑦) en el plano, mientras que el otro punto 𝑃 será el

auxiliar situado en el plano sobre el eje de las abscisas con una ordenada

arbitraria (0, 𝑦), mientras que su transformada en el elipsoide se ubicara sobre el

MC con la intersección de un paralelo arbitrario distinto al que se desea

encontrar(0, 𝜑0). Tal y como se muestra en el siguiente esquema.


136

Se observa que para ambos puntos en el plano se cumple que la distancia

𝑆 es la longitud de arco del MC desde el ecuador hasta un cierto paralelo, no

obstante ambos puntos en el plano tienen el mismo valor de 𝑆 pero estos no

comparten el mismo paralelo pero se cumple que:

𝑦 = 𝑆

Conociendo esto es posible calcular el valor de la latitud auxiliar utilizando

la fórmula para la longitud de arco de meridiano.

S = 𝑎(1 − 𝑒2) [A𝜑0 +B

2sin 2𝜑0 +

C

4sin 4𝜑0 +

D

6sin 6𝜑0 +

E

8sin 8𝜑0]

La opción más coherente para calcular la latitud es despejar 𝜑0 pero debido

a que la latitud auxiliar es argumento de las funciones trigonométricas que esta

ecuación conforma hace imposible realizar este proceso, por lo que el método más

viable será calcular dicho valor mediante el método de iteraciones hasta encontrar

su valor más aproximado.

Entonces para el cálculo de la primera aproximación de 𝜑0, la fórmula de

arco de meridiano se truncara tomando en cuenta su primera aparición.

S = 𝑎(1 − 𝑒2)A𝜑0

Pero.

A = 1 +3

4𝑒2 +

45

64𝑒4 +

175

256𝑒6 +

11025

16384𝑒8

Sustituyendo.

S = 𝑎(1 − 𝑒2) (1 +3

4𝑒2 +

45

64𝑒4 +

175

256𝑒6 +

11025

16384𝑒8)𝜑0


137

Truncando la fórmula de arco de meridiano se obtiene una ecuación más

sencilla permisible al despeje de 𝜑0.

𝜑0 =S

𝑎(1 − 𝑒2) (1 +34 𝑒

2 +4564 𝑒

4 +175256

𝑒6 +1102516384 𝑒

8)

Pero como 𝑦 = S, la primera aproximación de la latitud auxiliar se interpreta

como:

𝜑1 =𝑦

𝑎(1 − 𝑒2) (1 +34𝑒2 +

4564𝑒4 +

175256

𝑒6 +1102516384

𝑒8)

Una vez obtenido el valor de la primera iteración de 𝜑0 el paso siguiente

será calcular el valor de la longitud de arco de meridiano utilizando la formula

completa.

S1 = 𝑎(1 − 𝑒2) [A𝜑1 +B

2sin 2𝜑1 +

C

4sin 4𝜑1 +

D

6sin 6𝜑1 +

E

8sin 8𝜑1]

Con este último valor se determinara el error generado por esta primera

aproximación y el valor real de la longitud de arco de meridiano para el punto 𝑂.

∆1= 𝑦 − S1

Además será necesario obtener dicho valor en una cantidad angular.

∆𝜑1 =∆1

𝑎(1 − 𝑒2) (1 +34𝑒2 +

4564𝑒4 +

175256

𝑒6 +1102516384

𝑒8)

El valor de la segunda aproximación de 𝜑0 será igual a la suma de la

primera aproximación y la diferencia entre esta y el valor real de 𝜑0.


138

𝜑2 = 𝜑1 + ∆𝜑1

Con 𝜑2 se calculara el valor de arco de meridiano y la diferencia de

aproximación en metros y grados.

𝑆2 = 𝑎(1 − 𝑒2) [A𝜑2 +B

2sin 2𝜑2 +

C

4sin 4𝜑2 +

D

6sin 6𝜑2 +

E

8sin 8𝜑2]

∆2= 𝑦 − 𝑆2 ∆𝜑2 =∆2

𝑎(1 − 𝑒2) (1 +34𝑒2 +

4564𝑒4 +

175256

𝑒6 +1102516384

𝑒8)

𝜑3 = 𝜑2 + ∆𝜑2

Las iteraciones se realizaran hasta que el valor de la aproximación de ∆𝑛

sea igual a cero cumpliendo con la condición que S = S′n. Para satisfacer esta

demanda, se realizara solo hasta la quinta iteración.

∆5= 𝑦 − S4 = 0 ∴ S = S5

El cálculo de esta latitud auxiliar permitirá determinar la latitud del punto 𝑂,

el cual se desarrollara más adelante. Recordando que para cualquier latitud

geodésica corresponderá una latitud isométrica o creciente. Por lo que para 𝜑0 se

tendrá:

Φ0 = ln [tan (𝜋

4+𝜑0

2) (1 − 𝑒 sin𝜑

0

1 + 𝑒 sin𝜑0

)

𝑒2

]

Poniendo en claro esto solo resta encontrar las derivadas consecutivas de

las formulas inversas, para ello se tendrá que hacer uso de una notación alterna

de la latitud de creciente del punto de expansión, tal y como lo menciona

Hernández López (2009).


139

Φ0 = ∫𝜌

𝑟

𝜑0

0

𝑑𝜑0

Derivando.

𝑑Φ0 =𝜌

𝑟𝑑𝜑

0 ∴

𝑑Φ0

𝑑𝜑0

=𝜌

𝑟

Además como S = y, se deduce lo siguiente.

𝑦 = ∫ 𝜌

𝜑0

0

𝑑𝜑0

𝑑𝑦 = 𝜌𝑑𝜑0 ∴

𝑑𝜑0

𝑑𝑦=1

𝜌

Cumpliendo con las condiciones de conformidad la primera derivada se

interpreta como:

𝐹′(𝑦) =𝑑Φ0

𝑑𝜑0

∙𝑑𝜑

0

𝑑𝑦 ∴ 𝐹′(𝑦) =

𝜌

𝑟∙1

𝜌=1

𝑟

Donde.

𝑟 = 𝑁 cos𝜑0

Por lo tanto.

𝐹′(𝑦) =1

𝑁 cos𝜑0


140

La primera derivada se desarrolla de manera analítica por lo que para las

derivadas restantes se recurrirán a los métodos de derivación clásicos, tomando

en cuenta su multiplicación final por 𝑑𝜑0

𝑑𝑦.

Siendo los resultados finales de dichas derivadas, los siguientes:

𝐹′′(𝑦) =𝑡

𝑁2 cos 𝜑0 𝐹′′′(𝑦) =

1 + 2𝑡2 + 𝜂2

𝑁3 cos𝜑0 𝐹4(𝑦) =

𝑡[5 + 6𝑡2 + 𝜂2 − 4𝜂4]

𝑁4 cos𝜑0

𝐹5(𝑦) =1

𝑁5 cos 𝜑0[5 + 28𝑡2 + 24𝑡4 + 6𝜂2 + 8𝜂2𝑡2

−3𝜂4 + 4𝜂4𝑡2 − 4𝜂6 + 24𝜂6𝑡2]

𝐹6(𝑦) =𝑡

𝑁6 cos 𝜑0[61 + 180𝑡2 + 120𝑡4 + 46𝜂2 + 48𝜂2𝑡2 − 3𝜂4

−36𝜂4𝑡2 + 100𝜂6 − 96𝜂6𝑡2 + 88𝜂8 − 192𝜂8𝑡2]

𝐹7(𝑦) =1

𝑁7 cos 𝜑0[ 61 + 662𝑡2 + 1320𝑡4 + 720𝑡6 + 107𝜂2 + 440𝜂2𝑡2

+336𝜂2𝑡4 + 43𝜂4 − 234𝜂4𝑡2 − 192𝜂4𝑡4 + 97𝜂6

−772𝜂6𝑡2 + 408𝜂6𝑡4 + 188𝜂8 − 2392𝜂8𝑡2

+1536𝜂8𝑡4 + 88𝜂10 − 1632𝜂10𝑡2 + 1920𝜂10𝑡4 ]

𝐹8(𝑦) =𝑡

𝑁8 cos 𝜑0

[ 1385 + 7266𝑡2 + 10920𝑡4 + 5040𝑡6 + 1731𝜂2

+4416𝜂2𝑡2 + 2688𝜂2𝑡4 − 573𝜂4 − 1830𝜂4𝑡2

−1536𝜂4𝑡4 − 2927𝜂6 + 5052𝜂6𝑡2 + 744𝜂6𝑡4

−8808𝜂8 + 27456𝜂8𝑡2 − 7872𝜂8𝑡4 − 11472𝜂10

+53952𝜂10𝑡2 − 24960𝜂10𝑡4 − 4672𝜂12

+30528𝜂12𝑡2 − 23040𝜂12𝑡4 ]

El desarrollo completo de estas derivadas se encuentra en el anexo

6.4.3.

Las derivadas se desarrollaron tomando en cuenta a la latitud geodésica

auxiliar como variable, así mismo estas constituyen los términos para las fórmulas

de transformación inversa de la representación GK, pero con la condición que;


141

solo satisfacen el cálculo en un sistema de coordenadas isométrico para un punto

(∆λ, Φ0).

Entonces el problema ahora reside en encontrar los valores de 𝜑 y Φ del

punto en cuestión tomando en cuenta los valores conocidos de 𝜑0 y Φ0.

El desarrollo del cálculo de estos nuevos valores será muy distinto al

planteado anteriormente, para ello nuevamente se empleará una de las funciones

inversas que constituye la serie de Taylor, misma que relaciona a la latitud

geodésica con su correspondiente latitud isométrica.

𝜑 = 𝐹(Φ) = ∫𝑟

𝜌

Φ

0

Derivando.

𝑑𝜑

𝑑Φ=𝑟

𝜌= (

𝑁

𝜌) cos 𝜑,

𝑑𝐹(Φ)

𝑑𝜑= 1

El desarrollo para esta serie de Taylor será entorno a un incremento de

latitud isométrica, es decir:

∆Φ = Φ−Φ0 ∴ 𝜑 = F(Φ) = F[Φ + (Φ − Φ0)]

Por lo que la serie de Taylor para la latitud geodésica del punto en cuestión

se interpretara como:

𝜑 = 𝐹(Φ) = 𝐹(Φ0) +∆Φ

1!𝐹′(Φ) +

(∆Φ)2

2!𝐹′′(Φ) +

(∆Φ)3

3!𝐹′′′(Φ)

+ ⋯(∆Φ)𝑛

𝑛!𝐹𝑛(Φ)


142

Entonces para F′(Φ).

𝐹′(Φ) =𝑑𝐹(Φ)

𝑑𝜑∙𝑑𝜑

𝑑Φ

𝐹′(Φ) = 1 [(𝑁

𝜌) cos 𝜑] = (

𝑁

𝜌) cos 𝜑

Efectuando el cambio de variable.

𝐹′(Φ) = (1 + 𝜂2) cos 𝜑

Para este caso solo se recurrirá hasta la tercer derivada de F′(Φ)

𝐹′′(Φ) = −(1 + 4𝜂2 + 3𝜂4) sin 𝜑 cos𝜑

𝐹′′′(Φ) = −(1 − 𝑡2 + 5𝜂2 − 13𝜂2𝑡2 + 7𝜂4

−27𝜂4𝑡2 + 3𝜂6 − 15𝜂6𝑡2) cos3 𝜑

Sustituyendo se tiene el valor de la latitud geodésica requerida.

𝜑 = 𝜑0 +∆Φ

1!𝐹′(Φ) +

(∆Φ)2

2!𝐹′′(Φ) +

(∆Φ)3

3!𝐹′′′(Φ)

Con este último procedimiento se da por finalizado la deducción de fórmulas

para el caso inverso de la representación GK, no obstante los términos que

estructuran estás formulas hacen un poco confusa su comprensión y análisis, para

resolver este inconveniente las formulas se presentaran en una forma más

conveniente.


143

Fórmulas de Correspondencia Inversa GK

∆𝛌 = 𝑪𝟏𝒙 − 𝑪𝟑𝒙𝟑 + 𝑪𝟓𝒙

𝟓 − 𝑪𝟕𝒙𝟕

𝚽 = 𝚽𝟎 − 𝑫𝟐𝒙𝟐 + 𝑫𝟒𝒙

𝟒 − 𝑫𝟔𝒙𝟔 + 𝑫𝟖𝒙

𝟖

Latitud del punto de expansión.

𝝋′𝟏=

𝒚

𝒂(𝟏 − 𝒆𝟐) (𝟏 +𝟑𝟒𝒆𝟐 +

𝟒𝟓𝟔𝟒

𝒆𝟒 +𝟏𝟕𝟓𝟐𝟓𝟔

𝒆𝟔 +𝟏𝟏𝟎𝟐𝟓𝟏𝟔𝟑𝟖𝟒

𝒆𝟖)

𝑺′𝟏 = 𝒂(𝟏 − 𝒆𝟐) [𝐀𝛗′𝟏 +𝐁

𝟐𝐬𝐢𝐧 𝟐𝛗′𝟏 +

𝐂

𝟒𝐬𝐢𝐧 𝟒𝛗′𝟏 +

𝐃

𝟔𝐬𝐢𝐧 𝟔𝛗′𝟏 +

𝐄

𝟖𝐬𝐢𝐧 𝟖𝛗′𝟏]

∆𝟏= 𝒚 − 𝑺′𝟏

∆𝝋′𝟏=

∆𝟏

𝒂(𝟏 − 𝒆𝟐) (𝟏 +𝟑𝟒𝒆𝟐 +

𝟒𝟓𝟔𝟒

𝒆𝟒 +𝟏𝟕𝟓𝟐𝟓𝟔

𝒆𝟔 +𝟏𝟏𝟎𝟐𝟓𝟏𝟔𝟑𝟖𝟒

𝒆𝟖)

𝛗′𝟐= 𝛗′

𝟏+ ∆𝛗′

𝟏

𝛗′𝟐; 𝐒′𝟐; ∆𝟐; ∆𝛗

′𝟐

𝛗′𝟑; 𝐒′𝟑; ∆𝟑; ∆𝛗

′𝟑

𝛗′𝟒; 𝐒′𝟒; ∆𝟒; ∆𝛗

′𝟒

𝛗′𝟓= 𝛗𝟎

𝚽𝟎 = 𝐥𝐧 [𝐭𝐚𝐧 (𝛑

𝟒+𝛗𝟎

𝟐) (𝟏 − 𝐞 𝐬𝐢𝐧𝛗𝟎

𝟏 + 𝐞 𝐬𝐢𝐧𝛗𝟎

)

𝒆𝟐]

𝐂𝟏 =𝟏

𝐍𝐜𝐨𝐬𝛗𝟎

, 𝐂𝟑 =𝟏 + 𝟐𝐭𝟐 + 𝛈𝟐

𝟔𝐍𝟑 𝐜𝐨𝐬𝛗𝟎

𝐂𝟓 =𝟏

𝟏𝟐𝟎𝐍𝟓 𝐜𝐨𝐬𝛗𝟎

[𝟓 + 𝟐𝟖𝐭𝟐 + 𝟐𝟒𝐭𝟒 + 𝟔𝛈𝟐 + 𝟖𝛈𝟐𝐭𝟐

−𝟑𝛈𝟒 + 𝟒𝛈𝟒𝐭𝟐 − 𝟒𝛈𝟔 + 𝟐𝟒𝛈𝟔𝐭𝟐]


144

𝐂𝟕 =𝟏

𝟓𝟎𝟒𝟎𝐍𝟕 𝐜𝐨𝐬𝛗𝟎

[ 𝟔𝟏 + 𝟔𝟔𝟐𝐭𝟐 + 𝟏𝟑𝟐𝟎𝐭𝟒 + 𝟕𝟐𝟎𝐭𝟔 + 𝟏𝟎𝟕𝛈𝟐 + 𝟒𝟒𝟎𝛈𝟐𝐭𝟐

+𝟑𝟑𝟔𝛈𝟐𝐭𝟒 + 𝟒𝟑𝛈𝟒 − 𝟐𝟑𝟒𝛈𝟒𝐭𝟐 − 𝟏𝟗𝟐𝛈𝟒𝐭𝟒 + 𝟗𝟕𝛈𝟔

−𝟕𝟕𝟐𝛈𝟔𝐭𝟐 + 𝟒𝟎𝟖𝛈𝟔𝐭𝟒 + 𝟏𝟖𝟖𝛈𝟖 − 𝟐𝟑𝟗𝟐𝛈𝟖𝐭𝟐

+𝟏𝟓𝟑𝟔𝛈𝟖𝐭𝟒 + 𝟖𝟖𝛈𝟏𝟎 − 𝟏𝟔𝟑𝟐𝛈𝟏𝟎𝐭𝟐 + 𝟏𝟗𝟐𝟎𝛈𝟏𝟎𝐭𝟒 ]

𝐃𝟐 =𝐭

𝟐𝐍𝟐 𝐜𝐨𝐬𝛗𝟎

, 𝐃𝟒 =𝐭[𝟓 + 𝟔𝐭𝟐 + 𝛈𝟐 − 𝟒𝛈𝟒]

𝟐𝟒𝐍𝟒 𝐜𝐨𝐬𝛗𝟎

𝐃𝟔 =𝐭

𝟕𝟐𝟎𝐍𝟔 𝐜𝐨𝐬𝛗𝟎

[𝟔𝟏 + 𝟏𝟖𝟎𝐭𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝐭𝟒 + 𝟒𝟔𝛈𝟐 + 𝟒𝟖𝛈𝟐𝐭𝟐 − 𝟑𝛈𝟒

−𝟑𝟔𝛈𝟒𝐭𝟐 + 𝟏𝟎𝟎𝛈𝟔 − 𝟗𝟔𝛈𝟔𝐭𝟐 + 𝟖𝟖𝛈𝟖 − 𝟏𝟗𝟐𝛈𝟖𝐭𝟐]

𝐃𝟖 =𝐭

𝟒𝟎𝟑𝟐𝟎𝐍𝟖 𝐜𝐨𝐬𝛗𝟎

[ 𝟏𝟑𝟖𝟓 + 𝟕𝟐𝟔𝟔𝐭𝟐 + 𝟏𝟎𝟗𝟐𝟎𝐭𝟒 + 𝟓𝟎𝟒𝟎𝐭𝟔 + 𝟏𝟕𝟑𝟏𝛈𝟐

+𝟒𝟒𝟏𝟔𝛈𝟐𝐭𝟐 + 𝟐𝟔𝟖𝟖𝛈𝟐𝐭𝟒 − 𝟓𝟕𝟑𝛈𝟒 − 𝟏𝟖𝟑𝟎𝛈𝟒𝐭𝟐

−𝟏𝟓𝟑𝟔𝛈𝟒𝐭𝟒 − 𝟐𝟗𝟐𝟕𝛈𝟔 + 𝟓𝟎𝟓𝟐𝛈𝟔𝐭𝟐 + 𝟕𝟒𝟒𝛈𝟔𝐭𝟒

−𝟖𝟖𝟎𝟖𝛈𝟖 + 𝟐𝟕𝟒𝟓𝟔𝛈𝟖𝐭𝟐 − 𝟕𝟖𝟕𝟐𝛈𝟖𝐭𝟒 − 𝟏𝟏𝟒𝟕𝟐𝛈𝟏𝟎

+𝟓𝟑𝟗𝟓𝟐𝛈𝟏𝟎𝐭𝟐 − 𝟐𝟒𝟗𝟔𝟎𝛈𝟏𝟎𝐭𝟒 − 𝟒𝟔𝟕𝟐𝛈𝟏𝟐

+𝟑𝟎𝟓𝟐𝟖𝛈𝟏𝟐𝐭𝟐 − 𝟐𝟑𝟎𝟒𝟎𝛈𝟏𝟐𝐭𝟒 ]

Obtención de coordenadas geodésicas.

𝛌 = 𝐌𝐂 + ∆𝛌

𝛗 = 𝛗𝟎 + 𝐆𝟏∆𝚽 − 𝐆𝟐(∆𝚽)𝟐 − 𝐆𝟑(∆𝚽)

𝟑

∆𝚽 = 𝚽−𝚽𝟎

𝐆𝟏 = (𝟏 + 𝛈𝟐) 𝐜𝐨𝐬𝛗𝟎 𝐆𝟐 =𝟏 + 𝟒𝛈𝟐 + 𝟑𝛈𝟒

𝟐∙ 𝐬𝐢𝐧𝛗𝟎 𝐜𝐨𝐬𝛗𝟎

𝐆𝟑 =𝐜𝐨𝐬𝟑𝛗𝟎

𝟔∙ (𝟏 − 𝐭𝟐 + 𝟓𝛈𝟐 − 𝟏𝟑𝛈𝟐𝐭𝟐 + 𝟕𝛈𝟒

−𝟐𝟕𝛈𝟒𝐭𝟐 + 𝟑𝛈𝟔 − 𝟏𝟓𝛈𝟔𝐭𝟐)


145

3.1.1 La Convergencia de Meridianos en la Representación GK.

Hasta este punto se han demostrado y obtenido de manera matemática y

analítica las fórmulas de correspondencia directa e inversa para la transformación

de coordenadas en las proyecciones transversas cilíndricas, sin embargo existe un

elemento que influye de manera gradual sobre las direcciones y ángulos de los

objetos plasmados en estas representaciones cartográficas, el cual debido a su

valor numérico no debe de pasar desapercibido. Este elemento faltante lleva por

nombre, Convergencia de Meridianos (CM).

En geodesia se denomina como CM al ángulo (γ) que difiere al Norte

Geográfico o Geodésico (NG) del Norte de Cuadrícula o Cartográfico (NC), pero

cartográficamente hablando y para las proyecciones transversas cilíndricas el CM

Fig. III.29 Relación de la convergencia de meridianos con el Norte Geográfico (NG), el Norte Cartográfico (NC) y Norte

Magnético (MC)


146

Fig. III.30 Convergencia de Meridianos en una banda meridiana GK.

Es aquel ángulo que se subtiende entre la transformada del meridiano que pasa

por un punto definido y el NC. Hernández López (2009) afirma que la CM para un

punto dado es el ángulo formado por la transformada del meridiano que pasa por

el mismo y la dirección del eje de las ordenadas en el plano (cuadrícula).

A diferencia de la Proyección Mercator Simple, en la representación GK

solo el MC se transforma en una línea recta misma que concreta el origen de las

ordenadas, mientras que para el resto de meridianos estos se convierten en

curvas complejas con concavidad hacia el MC (Caire Lomelí, Cartografía Básica,

2002). Lo que provoca que en la representación GK sólo los puntos que


147

Fig. III.31 Convergencia de meridianos en un sistema infinitesimal.

conforman o se establezcan sobre lo largo del MC carecerán del valor angular de

la CM (γ = 0), debido a que a lo largo de esta línea el NG y el NC coinciden.

Para iniciar con la analogía de deducción se partirá con el hecho de situar

en el sistema GK un punto 𝑃, representando el meridiano y paralelo que pasan por

él.

De la figura anterior se aprecia que la CM se expresa como:

γ = θ + α

Dónde:

θ = Ángulo que se subtiende entre el eje de la ordenada de 𝑃 y el NG.

α = Ángulo formado entre el meridiano que paso por 𝑃 y el NC.


148

Esta es la representación más sencilla que se puede obtener del ángulo γ,

sin embargo calcular los ángulos que la conforman resulta una tarea compleja,

debido a que estos presentan el mismo problema que la CM, además de que

ninguno de estos valores se conoce.

Para solucionar esto, se recurrirá a un análisis infinitesimal, imaginando que

la intersección que compone el paralelo y el meridiano que pasan por 𝑃, forman un

triángulo rectángulo, pero recordando que la representación GK es conforme se

podrá aplicar una semejanza de ángulos obteniendo así el valor γ de con valores

conocidos. Dicho de manera simple el valor de γ se manifiesta entre la tangente

de la transformada del paralelo sobre el meridiano y la línea paralela al eje de las

abscisas que pasa por el punto 𝑃 (Barrera Trejo, 2015). Por lo tanto se puede

expresar que:

tan γ =

𝑑𝑦𝑑𝜆𝑑𝑥𝑑𝜆

Se aprecia que el valor de γ queda en función de la as derivadas de la

longitud geodésica con respecto de las coordenadas ortogonales del punto.

Entonces dada esta situación se tendrán que derivar las fórmulas de

transformación directa tomando como variable ∆𝜆.

Recordando que.

X = A1∆λ + A3∆λ3 + A5∆λ

5 + A7∆λ7

Y = S + B2∆λ2 + B4∆λ

4 + B6∆λ6 + B8∆λ

8

Derivando.


149

𝑑𝑥

𝑑𝜆= A1 + 3A3∆λ

2 + 5A5∆λ4 + 7A7∆λ

6

𝑑𝑦

𝑑𝜆= 2B2∆λ + 4B4∆λ

3 + 6B6∆λ5 + 8B8∆λ

7

Dónde:

A1 = Ncosφ, A3 =Ncos3 φ

6[1 − t2 + η2]

A5 =Ncos5 φ

120[5 − 18t2 + t4 + 14η2 − 58η2t2

+13η4 − 64η4t2 + 4η6 − 24η6t2]

A7 =Ncos7 φ

5040

[

61 − 479t2 + 179t4 − t6 + 331η2 − 3298η2t2

+1771η2t4 + 715η4 − 8655η4t2 + 6080η4t4

+769η6 − 10964η6t2 + 9480η6t4 + 412η8 − 6760η8t2

+6912η8t4 + 88η10 − 1632η10t2 + 1920η10t4 ]

B2 =Ncosφ sinφ

2, B4 =

Ncos3 φsin φ

24[5 − t2 + 9η2 + 4η4]

B6 =Ncos5 φsin φ

720[

61 − 58t2 + t4

+270η2 − 330η2t2 + 445η4 − 680η4t2

+324η6 − 600η6t2 + 88η8 − 192η8t2]

B8 =Ncos7 φsin φ

40320

[

1385 − 3111t2 + 543t4 − t6

+10899η2 − 32802η2t2 + 9219η2t4 + 34419η4

−129087η4t2 + 49644η4t4 + 56385η6 − 252084η6t2

+121800η6t4 + 50856η8 − 263088η8t2 + 151872η8t4

+24048η10 − 140928η10t2 + 94080η10t4 + 4672η12

−30528η12t2 + 23040η12t4 ]


150

Sustituyendo.

tan γ =

22𝑁∆𝜆sin𝜑 cos𝜑 +

424𝑁∆𝜆3 sin𝜑 cos3 𝜑 [5 − 𝑡2 + 9𝜂2 + 4𝜂4] +

6720

𝑁∆𝜆5 sin𝜑 cos5 𝜑…

𝑁 cos𝜑 +36𝑁∆𝜆2 cos3 𝜑 [1 − 𝑡2 + 𝜂2] +

5120

𝑁∆𝜆4 cos5 𝜑 [5 − 18𝑡2 +⋯] +7

5040𝑁∆𝜆6 cos7 𝜑…

Reduciendo términos.

tan γ =

∆𝜆sin 𝜑 +16∆𝜆3 sin 𝜑 cos2 𝜑 [5 − 𝑡2 + 9𝜂2 + 4𝜂4] +

1120

∆𝜆5 sin 𝜑 cos4 𝜑…

1 +12∆𝜆2 cos2 𝜑 [1 − 𝑡2 + 𝜂2] +

124∆𝜆4 cos4 𝜑 [5 − 18𝑡2 +⋯] +

1720

∆𝜆6 cos6 𝜑…

Se puede apreciar que la relación entre las derivadas de las coordenadas

ortogonales, forman una expresión que complace la siguiente condición para

números infinitesimales.

1

1 + 𝑥≈ 1 − 𝑥 − 𝑥2 − 𝑥3 −⋯− 𝑥𝑛

Tomando en cuenta esta serie de expansión se puede interpretarlo

siguiente.

tan γ =

[ ∆𝜆sin𝜑 +

1

6∆𝜆3 sin 𝜑 cos2 𝜑 (5 − 𝑡2 + 9𝜂2 + 4𝜂4)

+1

120∆𝜆5 sin𝜑 cos4 𝜑 (61 − 58𝑡2 + 𝑡4 + 270𝜂2…)

+1

5040∆𝜆7 sin𝜑 cos6 𝜑 (1385 − 3111𝑡2 + 543𝑡4 − 𝑡6 + 10899𝜂2…)]

∙

[ 1 −

1

2∆𝜆2 cos2 𝜑 (1 − 𝑡2 + 𝜂2)

−1

24∆𝜆4 cos4 𝜑 (5 − 18𝑡2 + 𝑡4 + 14𝜂2…)

−1

720∆𝜆6 cos6 𝜑 (61 − 479𝑡2 + 179𝑡4 − 𝑡6 + 331𝜂2…)]


151

γ

= Arctan

{

[ ∆𝜆sin 𝜑 +

1

6∆𝜆3 sin 𝜑 cos2 𝜑 (5 − 𝑡2 + 9𝜂2 + 4𝜂4)

+1

120∆𝜆5 sin 𝜑 cos4 𝜑 (61 − 58𝑡2 + 𝑡4 + 270𝜂2…)

+1

5040∆𝜆7 sin 𝜑 cos6 𝜑 (1385 − 3111𝑡2 + 543𝑡4 − 𝑡6 + 10899𝜂2… )]

∙

[ 1 −

1

2∆𝜆2 cos2 𝜑 (1 − 𝑡2 + 𝜂2)

−1

24∆𝜆4 cos4 𝜑 (5 − 18𝑡2 + 𝑡4 + 14𝜂2…)

−1

720∆𝜆6 cos6 𝜑 (61 − 479𝑡2 + 179𝑡4 − 𝑡6 + 331𝜂2…)]

}

Además se hará uso del desarrollo en serie del Arco tangente.

Arctan(𝑥) = 𝑥 −𝑥3

3+𝑥5

5−𝑥7

7+⋯

𝑥𝑛

𝑛

De acuerdo a lo anterior, desarrollando y simplificando términos se tiene

que:

γ = ∆𝜆sin 𝜑 +∆𝜆3

3sin 𝜑 cos2 𝜑 (1 + 3𝜂2 + 2𝜂4)

+∆𝜆5

15sin 𝜑 cos4 𝜑 (

2 − 2𝑡2 + 15𝜂2 + 35𝜂4 − 15𝜂2𝑡2 + 33𝜂6

−50𝜂4𝑡2 + 11𝜂8 − 60𝜂6𝑡2 − 24𝜂8𝑡2)

+∆𝜆7

315sin 𝜑 cos6 𝜑 (17 − 26𝑡2 + 2𝑡4)

Por lo que finalmente.


152

𝛄 = 𝐬𝐢𝐧𝛗

{

∆𝛌 +

(∆𝛌)𝟑 𝐜𝐨𝐬𝟐𝛗

𝟑(𝟏 + 𝟑𝛈𝟐 + 𝟐𝛈𝟒)

+(∆𝛌)𝟓 𝐜𝐨𝐬𝟒𝛗

𝟏𝟓[𝟐(𝟏 − 𝐭𝟐) + 𝟏𝟓𝛈𝟐(𝟏 − 𝐭𝟐) + 𝟓𝛈𝟒(𝟕 − 𝟏𝟎𝐭𝟐)

+𝟑𝛈𝟔(𝟏𝟏 − 𝟐𝟎𝐭𝟐) + 𝛈𝟖(𝟏𝟏 − 𝟐𝟒𝐭𝟐)]

+(∆𝛌)𝟕 𝐜𝐨𝐬𝟔𝛗

𝟏𝟓(𝟏𝟕 − 𝟐𝟔𝐭𝟐 + 𝟐𝐭𝟒) }

En esta expresión final los coeficientes con valores exponenciales mayores

a la sexta potencia son omitidos debido a que representan cantidades

extremadamente pequeñas, las cuales no causan ningún incremento o

decremento en el valor final.

Hernández López (2009), asegura que el valor γ de también puede ser

obtenido en función de las coordenadas ortogonales de la representación GK.

𝛄 = 𝐭 [𝐱

𝐍−𝟏

𝟑(𝐱

𝐍)𝟑

(𝟏 + 𝐭𝟐 − 𝛈𝟐 − 𝟐𝛈𝟒) +𝟏

𝟏𝟓(𝐱

𝐍)𝟑

(𝟐 − 𝟓𝐭𝟐 + 𝟑𝐭𝟒)]

Finalmente solo queda mencionar que la CM solo será positiva para todo

punto que se ubique al este del MC, mientras que para los puntos que se

encuentren del lado oeste esta será negativa.


153

Fig. III.32 Sistema UTM, cilindro secante al elipsoide.

3.6 La Proyección Universal Transversa de Mercator (UTM).

La proyección Universal Transversa de Mercator (UTM) es una de las más

conocidas y utilizadas en el mundo, así mismo es la de principal apoyo para la

elaboración de documentos cartográficos en México por el INEGI. Se caracteriza

por ser una variante de la proyección cilíndrica transversa modificada de Lambert,

pero teniendo como principales cimientos en el sistema GK, debido a que esta

toma como figura geométrica al elipsoide para la representación terrestre, siendo

casi iguales. Sin embargo aunque compartan algunas características y elementos,

en la proyección UTM existen algunas variantes que la hacen completamente

distinta.

Una de esas pequeñas modificaciones y la más significativa es; que en la

proyección UTM el cilindro es transverso pero esta vez secante al elipsoide y no

tangente como en la representación GK, esta situación genera que dos círculos

atraviesen al elipsoide, siendo estos tangentes al mismo, muy próximos al MC,

logrando que en esa zona el grado de deformación sea mínima (Errázuriz Körner

& González L., 1992).


154

Fig. III.33 Vista en planta del sistema UTM. Fuente: Cartografía Básica, Caire Lomelí, 2002

Esta variante provoca que en la proyección UTM la transformada del MC

sobre el plano no sea a través de una línea automecoica, si no que para este

sistema, el MC solo se convierte en una línea recta perpendicular a la

transformada del Ecuador, la cual no dependerá de su valor real en el elipsoide

(longitud de arco de meridiano). De manera sencilla se puede decir que la

transformada del MC en el sistema proyectivo UTM cuenta con un factor de escala

muy cercano a la unidad.

A pesar de ello, esta proyección conserva las demás características ya

conocidas de la representación GK como: ser una proyección que conserve

cantidades angulares (conforme), la transformación de los paralelos mediante

curvas complejas mientras que los meridianos se convierten en curvas con

concavidad hacia el MC, etc. De igual manera el fenómeno de deformación se

presenta de este a oeste, el cual va incrementando gradualmente conforme el

objeto a representar se va alejando del MC, por lo que querer representar toda la

superficie terrestre no es viable debido a la distorsión geométrica que se puede

generar.


155

Fig. III.34 Zonas UTM para Sur América. Fuente: Guía de Proyecciones Cartográficas, Gómez Moreno, 2003

Si se trata de proyectar la superficie terrestre de grandes extensiones, se

obtendrá un patrón sumamente deformado, pero para áreas vecinas a la zona

secante, la proyección resulta extremadamente uniforme en escala, conforme y

equivalente (Hansen A., 2000).


156

De acuerdo a lo que menciona Barrera Trejo (2015), para dar solución al

inconveniente de deformación, se partió del hecho de que en el elipsoide todos los

meridianos son iguales a comparación de los paralelos, este artificio delineó un

procedimiento de representación sistemático y universal de porciones iguales de la

superficie terrestre. La solución propuesta fue la de subdividir a la superficie

terrestre en 60 franjas o bandas meridianas con una amplitud 6°, definiendo un

meridiano de referencia para cada banda al centro de la misma, aunque

Fernández Coppel (2001) afirma que en algunos casos estas bandas meridianas

se pueden extender a una amplitud de 8º. En la bibliografía existente estas bandas

meridianas reciben el nombre de Zonas UTM o husos.

Las zonas UTM tendrán una representación cartográfica distinta, donde

cada una de ellas contaran con un desarrollo cilíndrico conforme transverso y

secante al elipsoide de revolución, mismos que serán regidos por un MC que se

posicionara en la zona de corte secante, siendo este último equidistante a 3º de

longitud de los meridianos que limitan dicha zona.

La división de bandas meridianas fue establecida y sistematizada por la

Armada de los Estados Unidos en cooperación de la Asociación Internacional de

Geodesia y la Unión, Cartográfica Internacional. Estas instituciones constituyeron

la numeración de bandas iniciando con el número 1 y finalizando con el 60,

posicionando a la primera zona entre los meridianos 180º W y 174º de longitud,

siendo el meridiano 180º W o antimeridiano como el meridiano de partida. En

cuanto al sentido de numeración de zonas, estas incrementan hacia el este por lo

que el MC de la primera zona es el 177º W y no el 180º W.


157

No Banda

Amplitud de Banda Meridiana

MC No.

Banda Amplitud de Banda

Meridiana MC

1 180º W - 174º W 177º W 31 0º - 6º E 3 E

2 174º W - 168º W 171º W 32 6º E - 12º E 9 E

3 168º W - 162º W 165º W 33 12º E - 18º E 15 E

4 162º W - 156º W 159º W 34 18º E - 24º E 21 E

5 156º W - 150º W 153º W 35 24º E - 30º E 27 E

6 150º W - 144º W 147º W 36 30º E - 36º E 33 E

7 144º W - 138º W 141º W 37 36º E - 42º E 39 E

8 138º W - 132º W 135º W 38 42º E - 48º E 45 E

9 132º W - 126º W 129º W 39 48º E - 54º E 51 E

10 126º W - 120º W 123º W 40 54º E - 60º E 57 E

11 120º W - 114º W 117º W 41 60º E - 66º E 63 E

12 114º W - 108º W 111º W 42 66º E - 72º E 69 E

13 108º W - 102º W 105º W 43 72º E - 78º E 75 E

14 102º W - 96º W 99º W 44 78º E - 84º E 81 E

15 96º W - 90º W 93º W 45 84º E - 90º E 87 E

16 90º W - 84º W 87º W 46 90º E - 96º E 93 E

17 84º W - 78º W 81º W 47 96º E - 102º E 99 E

18 78º W - 72º W 75º W 48 102º E - 108º E 105 E

19 72º W - 66º W 69º W 49 108º E - 114º E 111 E

20 66º W - 60º W 63º W 50 114º E - 120º E 117 E

21 60º W - 54º W 57º W 51 120º E - 126º E 123 E

22 54º W - 48º W 51º W 52 126º E - 132º E 129 E

23 48º W - 42º W 45º W 53 132º E - 138º E 135 E

24 42º W - 36º W 39º W 54 138º E - 144º E 141 E

25 36º W - 30º W 33º W 55 144º E - 150º E 147 E

26 30º W - 24º W 27º W 56 150º E - 156º E 153 E

27 24º W - 18º W 21º W 57 156º E - 162º E 159 E

28 18º W - 12º W 15º W 58 162º E - 168º E 165 E

29 12º W- 6º W 9º W 59 168º E - 174º E 171 E

30 6º W - 0º 3º W 60 174º E - 180º E 177 E

Tabla III.1 Zonas UTM de cobertura mundial.


158

Fig

. II

I.3

5 Z

on

as U

TM

pa

ra t

od

o e

l p

lan

eta

tie

rra

. F

ue

nte

. W

ikip

ed

ia,

200

7


159

El fenómeno de deformación también se hace presente en dirección norte

sur y viceversa, esta nueva deformación se comporta de manera similar a la ya

conocida pero esta vez de manera vertical, donde la distorsión geométrica del

objeto que se desea cartografiar aumenta si este se encuentra en latitudes muy

alejadas del Ecuador, lo que origina, que esta proyección no sea recomendable

para la representación de las regiones polares, siendo lo más viable reemplazarse

por proyecciones azimutales polares en las que el plano es tangente al elipsoide

en el polo correspondiente, como la Proyección Universal Estereográfica Polar

(UPS).

Debido a esto en la práctica cartográfica las bandas meridianas se acotan

en los paralelos 84º N y 80º S, lo que genera que en este nuevo artificio no se

consideren las regiones polares evitando así representar territorios con

deformaciones exageradas.

Recordando que en la representación GK, el sistema de coordenadas tiene

como origen la intersección de las transformadas del MC y el Ecuador, donde las

coordenadas planas de este punto sean 0,0. Entonces para un punto cualquiera

sobre el elipsoide, las coordenadas de transformación de este en el plano serán

regidas por los siguientes valores;

La ordenada de dicho punto será igual al valor del segmento de arco

del meridiano que se subtiende entre el paralelo que pasa por el

punto y el Ecuador.

Mientras que para la ordenada, esta será igual al valor en metros de

la distancia que existe entre el meridiano que pasa sobre el punto en

cuestión y el MC (∆𝜆).

Estas condiciones de transformación concebirán coordenadas con valores

positivos y negativos en cualquiera de sus dos ejes (𝑥, 𝑦), dependiendo de la

ubicación del objeto o punto a representar, generando que el sistema GK no sea

completamente viable para un sistema universal de coordenadas, siendo


160

susceptible a errores y confusiones al momento de elaboración de documentos

cartográficos.

Atendiendo a este problema las modificaciones que se realizaron al sistema

GK para su adaptación con la proyección UTM fueron las siguientes:

Las zonas UTM se clasificaron en dos grupos, donde dicha

clasificación estuviera sujeta a los hemisferios que conforman a la

tierra (norte y sur), para que de esta manera se pudieran localizar los

lugares susceptibles a una transformación de coordenadas con

valores numéricos negativos, debido a que el origen del sistema GK

en el plano comparte la división positiva y negativa. Esta clasificación

daría como resultado zonas UTM norte y zonas UTM Sur, las cuales

conservarían los valores de MC y amplitud de banda ya

mencionados.

Para erradicar los valores negativos en las coordenadas X se realizó

el artificio matemático de posicionar el origen del eje de las abscisas

a 500 km a la izquierda del MC, por lo que coordenada X en el MC

asignada fue de 500,000.000 a este nuevo origen de las abscisas

recibe el nombre de “Falso Este”.

En cuanto al origen del eje de las ordenadas seguirá siendo el

Ecuador, con la variante de que para las zonas UTM Norte la

coordenada de origen será 0 mientras que para las Zonas UTM Sur

el origen se trasladara a la ordenada 10’000,000.000.


161

Estas modificaciones darán lugar a un doble origen para las ordenadas,

generando a su vez, que las zonas Norte y Sur que pertenecen a una sola banda

meridiana tendrán coordenadas en el eje Y con el mismo valor numérico. Para dar

solución a esta situación, se realizó una nueva división del planeta, el cual sería de

manera vertical, esta división contemplaría a los 60 husos. En esta nueva división

las bandas meridianas fueron segmentadas en 20 zonas verticales, donde cada

una de ellas tendría una amplitud de 8º de latitud, estas zonas fueron nombradas

fajas.

Fig. III.36 Sistema de coordenadas UTM para los dos hemisferios de la tierra.


162

El fraccionamiento internacional adoptado en Estados Unidos de América

del Norte y Europa así como en México por la Secretaría de la Defensa Nacional

(SEDENA) realiza la segmentación de fajas respetando la amplitud meridiana de

las zonas UTM, formando cuadriláteros que dividen a las latitudes a cada 8º,

designando a cada espaciamiento por letras en orden alfabético iniciando con la

letra C y culminando con la letra X evitando las letras I y O ya que son parecidas al

número 1 y 0, de esta manera no producir posibles errores en la nomenclatura

(Caire Lomelí, Bases para Integrar la Cartografía Urbana - Rural, 2004). El

incremento numérico de las fajas es de sur a norte por lo que la faja inicial C se

sitúa entre los paralelos de latitud 80º S y 72º S, por lo que para la faja final X se

posiciona entre los paralelos 72º N y 84º N, teniendo esta ultima una amplitud de

12º de longitud.

No. Faja Amplitud Paralelos Limites

Sur Norte

1 C 8º 80º S 72º S

2 D 8º 72º S 64º S

3 E 8º 64º S 56º S

4 F 8º 56º S 48º S

5 G 8º 48º S 40º S

6 H 8º 40º S 32º S

7 J 8º 32º S 24º S

8 K 8º 24º S 16º S

9 L 8º 16º S 8º S

10 M 8º 8º S 0º

11 N 8º 0º 8º N

12 P 8º 8º N 16º N

13 Q 8º 16º N 24º N

14 R 8º 24º N 32º N

15 S 8º 32º N 40º N

16 T 8º 40º N 48º N

17 U 8º 48º N 56º N

18 V 8º 56º N 64º N

19 W 8º 64º N 72º N

20 X 12º 72º N 84º N

Tabla III.2 Fajas UTM de cobertura mundial


163

Fig

. II

I.3

7 F

aja

s U

TM

pa

ra t

od

o e

l p

lan

eta

tie

rra

. F

ue

nte

: W

ikip

ed

ia, 2

007


164

Fig. III.38 Zonas y Fajas UTM asignadas a la República Mexicana. Fuente: INEGI.

De acuerdo a la división de bandas meridianas y la subdivisión de estas en

fajas de latitud, al territorio que conforma la República Mexicana queda cubierta

por las zonas UTM 11 hasta la 16, mientras que para las fajas, el territorio nacional

se sitúa entre las fajas P hasta parte de la faja S.

En síntesis las condiciones generales de la proyección UTM son las

siguientes.

Su base geométrica de proyección es un cilíndrico conforme

transverso y perpendicular al eje del elipsoide, donde el eje del

cilindro coincide con el Ecuador. Además de que dicho cilindro es

secante al elipsoide regido por un MC.

Divide al mundo en 60 zonas o husos con una amplitud meridiana de

6º y un MC a cada 3º para cada uno de ellos. Cada huso es

simétrico con respecto al MC.


165

Las Zonas o husos son clasificados de acuerdo al hemisferio en el

cual se encuentren ubicados.

En el plano el MC de cada huso se transforma en un segmento de

recta con un factor de escala aproximado a la unidad (𝑘0 ≈ 1), lo

que genera que en un inicio las distancias se conserven. Además

que este coincide con el norte geográfico.

Las transformadas del MC y el Ecuador son por medio de dos líneas

rectas, las cuales son perpendiculares entre sí. En donde el MC se

convierte en el eje de las ordenadas y el Ecuador en el eje de las

abscisas.

En el MC, la convergencia será constante.

El resto de meridianos se convierten en curvas con concavidad hacia

el MC, mientras que los paralelos se transforman en curvas

complejas.

En el elipsoide, el MC correspondiente a cada huso será el origen de

las longitudes, mientras tanto el Ecuador se considerara como el

origen de las latitudes.

Para evitar valores negativos en las ordenadas, el MC para cada

zona se le asignara un origen X de 500,000.000 (Falso Este).

El origen de las ordenadas para los husos ubicados en el hemisferio

norte será el Ecuador con un valor de 0, mientras que para los husos

sur su origen de ordenadas será en el 10’000,000.000. Este valor

recibe el nombre de “Falso Norte”.

Para evitar deformaciones en puntos ubicados en latitudes

crecientes, los husos se acotan en los paralelos 84º N y 80º S

despreciando de esta manera a los polos.

La acotación al norte y al sur de los husos generara que la tierra se

subdividida de manera vertical en 20 fajas, mismas que tendrán una

amplitud de 8º de latitud exceptuando a la última faja norte, la cual

contara con una amplitud de 12º.


166

Según Errázuriz Körner & Gonzáles L. las características geométricas

que presenta esta proyección, así mismo la fidelidad que esta genera en

cuanto a la transformación del dato geográfico, hace que sea una de las

proyecciones más utilizadas en la confección de documentos cartográficos

esencialmente cartas topográficas. Todos los países pueden insertarse en

este sistema de proyección, lográndose una cartografía con características

comunes y capaces de conformar una carta universal.

En México la proyección UTM es adoptada por el INEGI para la

elaboración de documentos cartográficos de escalas medias y grandes (no

menores que 1:500,000), así como en la mayoría de otras instituciones,

nacionales y del exterior. De hecho, la mayor parte de la cartografía topográfica

mexicana y americana se representa en esta proyección, apoyándose en la

cuadrícula asociada al mismo nombre. En la proyección UTM se utiliza el nivel

medio del mar para referir sus posiciones.


167

Fig. III.39 Carta topográfica escala 1:50 000 en la proyección UTM. Fuente: INEGI, 2015.


168

3.6.1 Sistema de Proyección.

Como se mencionaba, la proyección UTM basa su sistema proyectivo en

los principios geométricos y analíticos de la representación GK, lo que genera que

ambos sistemas sean semejantes en algunas características, pero totalmente

diferentes por modificaciones significativas, esto con el fin de lograr su uso y

aplicación para la representación universal del elipsoide terrestre. Una de estas

modificaciones, la más importante y significativa, es la introducción de un factor de

escala al MC.

La introducción de un factor de escala se hace con el fin de minimizar la

distorsión de magnitudes lineales, las cuales van aumentando gradualmente

conforme el objeto a representar se aleje del MC, pero ahora, la cuestión es,

¿Cómo se calcula u obtiene el valor?, para resolver esta incógnita será necesario

recurrir a las condiciones generales de la representación GK.

Recordando, en la representación GK el cilindro es transverso y tangente al

elipsoide a través de un MC, el cual conserva su magnitud lineal real que presenta

en el elipsoide, por lo que se puede decir que su factor de escala es igual a la

unidad. Esta situación genera que el elipsoide se dividida en bandas meridianas

de 3º de amplitud, en donde dichas bandas las deformidades no exceden al 10%,

originando que el factor de escala oscile entre 1 y 1.001

Según Barrera Trejo (2015), el factor de escala para cualquier punto sobre

una banda meridiana de la representación GK, se podrá calcular tomando en

cuenta a los meridianos extremos que conforman dicha banda.

𝑘𝑜𝑀𝐶 = 1 𝑘𝑜𝐸𝑋𝑇 = 1 + ∆𝑘


169

Fig. III.40 Factores de escala en la proyección GK.

Dónde:

𝑘𝑜𝑀𝐶 = Factor de Escala en el MC

𝑘𝑜𝐸𝑋𝑇 = Factor de Escala en los meridianos extremos

∆𝑘 = Incremento de Factor de Escala.

En la representación GK el factor de escala siempre será mayor a 1 en

todas las zonas que se encuentren fuera del MC.


170

Para darle una mayor cobertura al planeta y hacer que las distorsiones

lineales del elemento geográfico en la representación sobre el plano no sobre

pasen más allá del 1.1, se recurre al artifició geométrico de obligar que el cilindro

se posicione de forma secante al elipsoide y no tangente, mismo que seguirá

regido por el MC, originando la subdivisión del elipsoide en 60 bandas meridianas.

Esta modificación hace que dos círculos intersecten al elipsoide, donde su

transformación en el plano sea través de dos líneas rectas automecoicas (mismas

que comparten la dirección del MC y el norte geográfico), dicho de forma simple, la

transformación de estos círculos en el plano será mediante dos líneas rectas, las

cuales conservan sus distancias en el elipsoide, por lo que se puede decir que el

factor de escala para cada una de ellas es 1. Lo que dará como resultado, que

todo objeto o punto que se encuentre dentro de una zona UTM, tendrá una

distorsión no mayor al 10%, donde el MC contara con un factor de escala muy

cercano a 1.

El factor de escala del MC y para cualquier punto ubicado en alguna de las

zonas UTM se calculara aplicando los factores de escala de la representación GK.

Por lo que se puede decir que:

𝑘𝑜𝑀𝐶 = 1 ∙ 𝑘𝑜 𝑘𝑜𝐸𝑋𝑇 = (1 + ∆𝑘) ∙ 𝑘𝑜

Fig. III.41 Factor de escala en el sistema TM.


171

Para cumplir el hecho de que las distorsiones no sobre pasen el valor de 1,

en la proyección UTM se tendrá que reducir la deformación de la representación

GK a la mitad.

𝑘𝑜𝐸𝑋𝑇 = (1 + ∆𝑘) ∙ 𝑘𝑜 = (1 +∆𝑘

2) ∙ 𝑘𝑜

Despejando el valor de 𝑘𝑜

𝑘𝑜 =1 +

∆𝑘2

1 + ∆𝑘≈ (1 +

∆𝑘

2) (1 − ∆𝑘)

𝑘𝑜 = (1 +∆𝑘

2) (1 − ∆𝑘) = 1 +

∆𝑘

2− ∆𝑘 −

∆𝑘2

2

𝑘𝑜 = 1 −∆𝑘

2(∆𝑘 + 1)

Despreciando la sumatoria del incremento y la unidad, se obtiene

finalmente el factor de escala para objetos que se encuentren dentro del perímetro

de la zona UTM.

𝒌𝒐 = 𝟏 −∆𝒌

𝟐

Entonces para obtener el valor constante de 𝑘𝑜 para el MC se utilizara la

fórmula de deformaciones lineales, evaluada con los valores de ∆𝜆 y ∆𝜑 de una

zona UTM (la mitad del ancho y largo de una zona UTM en grados, los cuales

dependen del MC y el Ecuador).

∆𝜆 = 3° ∆𝜑 = 40°

𝐿 = 1 + (∆𝜆2

2cos2 ∆𝜑) (1 + 𝜂2) = 𝑘𝑜𝐸𝑋𝑇


172


𝑘𝑜𝐸𝑋𝑇 = 1 + [(3°𝑅𝐴𝐷)

2

2(cos 40°𝑅𝐴𝐷)

2] [1 + 𝑒′(cos 40°𝑅𝐴𝐷)2]

𝑘𝑜𝐸𝑋𝑇 = 1.00081

Donde 𝑘𝑜𝐸𝑋𝑇 también puede ser interpretado como:

𝑘𝑜𝐸𝑋𝑇 = 1 + ∆𝑘 = 1.00081 ∴ ∆𝑘 = 1.00081 − 1

∆𝑘 = 0.00081

Por lo tanto.

𝑘𝑜 = 1 −∆𝑘

2= 1 −

0.00081

2

𝒌𝒐 = 𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟔

Finalmente se obtiene el factor de escala para el MC en cualquiera de las

zonas que conforman la proyección UTM, así mismo se verifica que todo elemento

que se situé dentro de un huso tendrá una deformación muy pequeña. El factor de

escala variará, aumentando hasta un valor igual a 1 en los puntos que el cilindro

intersecta con el elipsoide y siendo mayor que la unidad más allá de estos puntos

(Sánchez Menéndez, 2004).

Con este valor se puede deducir el cálculo del factor de escala para la

transformada de un punto cualquiera en la proyección UTM, el cual se expresa de

la siguiente manera.


173

Fig. III.42 Factor de escala en el sistema UTM.

𝒌 = 𝒌𝒐 [𝟏 + (∆𝝀𝟐

𝟐𝐜𝐨𝐬𝟐 ∆𝝋) (𝟏 + 𝜼𝟐)]

Sin embargo Krakiwsky (1973), menciona que esta fórmula se puede

truncar, omitiendo la suma de 1 + 𝜂2, debido a que esta arroja un valor muy

pequeño el cual no afecta el resultado final.

𝒌 = 𝒌𝒐 [𝟏 +∆𝝀𝟐

𝟐𝐜𝐨𝐬𝟐 ∆𝝋]

Si se requiere de mayor precisión en el cálculo, Gómez Moreno (2003)

sugiere complementar la ecuación de la siguiente manera:

𝒌 = 𝒌𝒐

{

𝟏 +

(∆𝝀 ∙ 𝐜𝐨𝐬 ∆𝝋)𝟐

𝟐[𝟏 + 𝜼𝟐]

+(∆𝝀 ∙ 𝐜𝐨𝐬 ∆𝝋)𝟒

𝟐𝟒[𝟓 − 𝟒𝒕𝟐 + 𝟏𝟒𝜼𝟐 + 𝟏𝟑𝜼𝟒 + 𝟒𝜼𝟔

−𝟐𝟖𝒕𝟐𝜼𝟐 − 𝟒𝟖𝒕𝟐𝜼𝟒 − 𝟐𝟒𝒕𝟐𝜼𝟔]

+(∆𝝀 ∙ 𝐜𝐨𝐬 ∆𝝋)𝟔

𝟕𝟐𝟎[𝟔𝟏 − 𝟏𝟒𝟖𝒕𝟐 + 𝟏𝟔𝒕𝟒] }

Dónde:


174

Fig. III.43 Factor de escala en un huso UTM.

𝑡 = tan𝜑 , 𝑒′2=

𝑒2

1 − 𝑒2, 𝜂2 = 𝑒′

2cos2 𝜑

Si se conservara tangente el cilindro, el factor de escala en el meridiano

central sería la unidad, pero en el límite de la zona de 6° tendría un valor de

1.0009, mientras que con el cilindro secante se balancean los errores, de modo

que a lo largo del meridiano central el factor de escala vale 0.9996, en los dos

meridianos simétricos a l.6º del meridiano central vale 1.0000 y en los extremos de

la zona tiene un valor de 1.0004 (Hansen A., 2000).


175

Traducido en metros, todo aquel elemento que se encuentre a 180 km a lo

largo del Ecuador, en dirección este u oeste del MC, contara con un factor de

escala equivalente a la unidad, debido a que en esa distancia se localizan las

elipses del cilindro que intersectan al elipsoide. Esta distancia da como resultado

otra de las simbólicas variantes de la proyección UTM, trasladar 500 km a la

derecha del MC al origen de las abscisas.


Como ya se mencionó, las fórmulas de transformación directa tienen

fundamento en las formulas de la representación GK o TM caso elipsoidal, con la

única diferencia, que para la proyección UTM se contemplan las modificaciones

que se enumeran a continuación.

Se trata de una proyección conforme, en donde en el plano se

conservan las direcciones y demás cantidad angular que se presenta

en el elipsoide.

El elipsoide de revolución será dividido en 60 bandas meridianas,

con una cobertura de 6º cada una y regida por un MC a cada 3º. Los

cuáles serán subdivididos y clasificados dependiendo del hemisferio

donde se encuentren, Norte o Sur.

El Factor de escala del MC y todo aquel elemento que se encuentre

dentro de una zona UTM, será afectado por el factor de escala con

valor de 0.9996, por lo que dicho valor será volverá constante,

multiplicado a las fórmulas de trasformación directa GK, con el fin de

reducir el grado de distorsión dentro de las zonas UTM.

En todas las zonas UTM el MC se trasladara a 500 km al este del

mismo, generando un falso origen para las abscisas. Por lo que el

valor de 500,000.000 se le sumara a la formula X de la

representación GK.

El origen de las ordenadas siempre será el Ecuador, por lo que para

las zonas UTM que se encuentren en el Norte su valor será 0. Las


176

zonas UTM ubicadas en el hemisferio sur poseerán un falso origen

en la ordenada con un valor de 10’000,000.000, por lo que dicho

cantidad se le sumara al valor resultante de la formula Y de la

representación GK.

Entonces, aplicando estas modificaciones a las fórmulas de transformación

de la representación GK se podrán obtener las fórmulas de correspondencia

directa para la proyección UTM.

En primera instancia se determinara la zona UTM de un punto cualquiera en

el elipsoide 𝑃(λ,φ). Para ello, solo será necesario utilizar la cantidad en grados de

la longitud, por lo que el valor de λ se truncara para solo manipular el entero de

esta cantidad.

𝐙𝐎𝐍𝐀𝐔𝐓𝐌 = 𝟑𝟎 − 𝐄𝐧𝐭𝐞𝐫𝐨 (𝛌𝒑

𝟔)

El resultado de la división entre la latitud y el número seis también será

truncado para su fácil manipulación. Teniendo la zona, se podrá determinar su MC

correspondiente, mediante la siguiente ecuación.

𝐌𝐂 = 𝟏𝟖𝟑° − 𝟔° ∙ 𝐙𝐎𝐍𝐀𝐔𝐓𝐌

La fórmula anterior solo se aplicara para puntos que se encuentren de lado

Este del Meridiano de Greenwich, por lo que para la República Mexicana y puntos

ubicados en lado Oeste la ecuación se interpretara como.

𝐌𝐂 = 𝟔° ∙ 𝐙𝐎𝐍𝐀𝐔𝐓𝐌 − 𝟏𝟖𝟑°


177

También se tendrá que obtener el valor del incremento de la latitud del

punto con respecto al MC.

∆𝝀 = 𝐌𝐂 − 𝝀𝐩

Ahora se realizara la introducción del factor de en las formulas de la

representación GK.

X = 𝑘0 ∙ XGK Y = 𝑘0 ∙ YGK

Donde.

𝑘0 = 0.9996

Sustituyendo.

X = 0.9996 ∙ XGK Y = 0.9996 ∙ YGK

Agregando el Falso Este a la coordenada X, se tiene que.

𝐗 = 𝟓𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 + 𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟔 ∙ 𝐗𝐆𝐊 𝐘 = 𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟔 ∙ 𝐘𝐆𝐊

La última modificación se realizara solo para zonas UTM con latitudes Sur,

agregando el Falso Norte a la coordenada Y.

𝐗 = 𝟓𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 + 𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟔 ∙ 𝐗𝐆𝐊 𝐘 = 𝟏𝟎′𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 + 𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟔 ∙ 𝐘𝐆𝐊

Finalmente las fórmulas de transformación directa para la proyección UTM

se interpretan como:


178

Para Zonas UTM en el hemisferio Norte.

𝐗 = 𝟓𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎 + 𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟔[𝐀𝟏∆𝛌 + 𝐀𝟑∆𝛌𝟑 + 𝐀𝟓∆𝛌

𝟓 + 𝐀𝟕∆𝛌𝟕]

𝐘 = 𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟔[𝐒 + 𝐁𝟐∆𝛌𝟐 + 𝐁𝟒∆𝛌

𝟒 + 𝐁𝟔∆𝛌𝟔 + 𝐁𝟖∆𝛌

𝟖]

Para Zonas UTM en el hemisferio Sur.

𝐗 = 𝟓𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎 + 𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟔[𝐀𝟏∆𝛌 + 𝐀𝟑∆𝛌𝟑 + 𝐀𝟓∆𝛌

𝟓 + 𝐀𝟕∆𝛌𝟕]

𝐘 = 𝟏𝟎′𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎 + 𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟔[𝐒 + 𝐁𝟐∆𝛌𝟐 + 𝐁𝟒∆𝛌

𝟒 + 𝐁𝟔∆𝛌𝟔 + 𝐁𝟖∆𝛌

𝟖]

Donde.

𝐭 = 𝐭𝐚𝐧𝛗 , 𝒆′𝟐=

𝒆𝟐

𝟏 − 𝒆𝟐, 𝛈𝟐 = 𝒆′

𝟐𝐜𝐨𝐬𝟐𝛗

Además.

𝐀𝟏 = 𝐍𝐜𝐨𝐬𝛗, 𝐀𝟑 =𝐍𝐜𝐨𝐬𝟑𝛗

𝟔[𝟏 − 𝐭𝟐 + 𝛈𝟐]


𝟏𝟐𝟎[𝟓 − 𝟏𝟖𝐭𝟐 + 𝐭𝟒 + 𝟏𝟒𝛈𝟐 − 𝟓𝟖𝛈𝟐𝐭𝟐

+𝟏𝟑𝛈𝟒 − 𝟔𝟒𝛈𝟒𝐭𝟐 + 𝟒𝛈𝟔 − 𝟐𝟒𝛈𝟔𝐭𝟐]


𝟓𝟎𝟒𝟎

[

𝟔𝟏 − 𝟒𝟕𝟗𝐭𝟐 + 𝟏𝟕𝟗𝐭𝟒 − 𝐭𝟔 + 𝟑𝟑𝟏𝛈𝟐 − 𝟑𝟐𝟗𝟖𝛈𝟐𝐭𝟐

+𝟏𝟕𝟕𝟏𝛈𝟐𝐭𝟒 + 𝟕𝟏𝟓𝛈𝟒 − 𝟖𝟔𝟓𝟓𝛈𝟒𝐭𝟐 + 𝟔𝟎𝟖𝟎𝛈𝟒𝐭𝟒

+𝟕𝟔𝟗𝛈𝟔 − 𝟏𝟎𝟗𝟔𝟒𝛈𝟔𝐭𝟐 + 𝟗𝟒𝟖𝟎𝛈𝟔𝐭𝟒 + 𝟒𝟏𝟐𝛈𝟖 − 𝟔𝟕𝟔𝟎𝛈𝟖𝐭𝟐

+𝟔𝟗𝟏𝟐𝛈𝟖𝐭𝟒 + 𝟖𝟖𝛈𝟏𝟎 − 𝟏𝟔𝟑𝟐𝛈𝟏𝟎𝐭𝟐 + 𝟏𝟗𝟐𝟎𝛈𝟏𝟎𝐭𝟒 ]

𝐁𝟐 =𝐍𝐜𝐨𝐬𝛗 𝐬𝐢𝐧𝛗

𝟐, 𝐁𝟒 =

𝐍𝐜𝐨𝐬𝟑𝛗𝐬𝐢𝐧𝛗

𝟐𝟒[𝟓 − 𝐭𝟐 + 𝟗𝛈𝟐 + 𝟒𝛈𝟒]


179

𝐁𝟔 =𝐍𝐜𝐨𝐬𝟓𝛗𝐬𝐢𝐧𝛗

𝟕𝟐𝟎[

𝟔𝟏 − 𝟓𝟖𝐭𝟐 + 𝐭𝟒

+𝟐𝟕𝟎𝛈𝟐 − 𝟑𝟑𝟎𝛈𝟐𝐭𝟐 + 𝟒𝟒𝟓𝛈𝟒 − 𝟔𝟖𝟎𝛈𝟒𝐭𝟐

+𝟑𝟐𝟒𝛈𝟔 − 𝟔𝟎𝟎𝛈𝟔𝐭𝟐 + 𝟖𝟖𝛈𝟖 − 𝟏𝟗𝟐𝛈𝟖𝐭𝟐]

𝐁𝟖

=𝐍𝐜𝐨𝐬𝟕𝛗𝐬𝐢𝐧𝛗

𝟒𝟎𝟑𝟐𝟎

[

𝟏𝟑𝟖𝟓 − 𝟑𝟏𝟏𝟏𝐭𝟐 + 𝟓𝟒𝟑𝐭𝟒 − 𝐭𝟔

+𝟏𝟎𝟖𝟗𝟗𝛈𝟐 − 𝟑𝟐𝟖𝟎𝟐𝛈𝟐𝐭𝟐 + 𝟗𝟐𝟏𝟗𝛈𝟐𝐭𝟒 + 𝟑𝟒𝟒𝟏𝟗𝛈𝟒

−𝟏𝟐𝟗𝟎𝟖𝟕𝛈𝟒𝐭𝟐 + 𝟒𝟗𝟔𝟒𝟒𝛈𝟒𝐭𝟒 + 𝟓𝟔𝟑𝟖𝟓𝛈𝟔 − 𝟐𝟓𝟐𝟎𝟖𝟒𝛈𝟔𝐭𝟐

+𝟏𝟐𝟏𝟖𝟎𝟎𝛈𝟔𝐭𝟒 + 𝟓𝟎𝟖𝟓𝟔𝛈𝟖 − 𝟐𝟔𝟑𝟎𝟖𝟖𝛈𝟖𝐭𝟐 + 𝟏𝟓𝟏𝟖𝟕𝟐𝛈𝟖𝐭𝟒

+𝟐𝟒𝟎𝟒𝟖𝛈𝟏𝟎 − 𝟏𝟒𝟎𝟗𝟐𝟖𝛈𝟏𝟎𝐭𝟐 + 𝟗𝟒𝟎𝟖𝟎𝛈𝟏𝟎𝐭𝟒 + 𝟒𝟔𝟕𝟐𝛈𝟏𝟐

−𝟑𝟎𝟓𝟐𝟖𝛈𝟏𝟐𝐭𝟐 + 𝟐𝟑𝟎𝟒𝟎𝛈𝟏𝟐𝐭𝟒 ]

𝐒 = 𝒂(𝟏 − 𝒆𝟐) [𝐀𝛗 +𝐁


𝐂


𝐃


𝐄


𝐀 = 𝟏 +𝟑

𝟒𝒆𝟐 +

𝟒𝟓

𝟔𝟒𝒆𝟒 +

𝟏𝟕𝟓

𝟐𝟓𝟔𝒆𝟔 +

𝟏𝟏𝟎𝟐𝟓

𝟏𝟔𝟑𝟖𝟒𝒆𝟖

𝐁 = − [𝟑

𝟒𝒆𝟐 +

𝟏𝟓

𝟏𝟔𝒆𝟒 +

𝟓𝟐𝟓

𝟓𝟏𝟐𝒆𝟔 +

𝟐𝟐𝟎𝟓

𝟐𝟎𝟒𝟖𝒆𝟖]

𝐂 =𝟏𝟓

𝟔𝟒𝒆𝟒 +

𝟏𝟎𝟓

𝟐𝟓𝟔𝒆𝟔 +

𝟐𝟐𝟎𝟓

𝟒𝟎𝟗𝟔𝒆𝟖

𝐃 = − [𝟑𝟓

𝟓𝟏𝟐𝒆𝟔 +

𝟑𝟏𝟓

𝟐𝟎𝟒𝟖𝒆𝟖]

𝐄 =𝟑𝟏𝟓

𝟏𝟔𝟑𝟖𝟒𝒆𝟖

En la bibliografía existente así mismo como en los softwares de

interpretación y elaboración cartográfica, así mismo en los equipos destinados

para levantamientos geodésicos (GPS), las coordenadas UTM son renombradas

como; Este para las coordenadas en el eje X y Norte para las del eje Y. Por lo que

comúnmente las fórmulas directas se expresan como:


180

Hemisferio Norte.

E = 500,000 + 0.9996 ∙ XGK N = 0.9996 ∙ YGK

Hemisferio Sur.

E = 500,000 + 0.9996 ∙ XGK N = 10′000,000 + 0.9996 ∙ YGK


Para resolver la transformación inversa de coordenadas en el sistema UTM

al sistema geodésico se recurrirá de igual forma a las formulas GK para este

mismo caso, adoptando las modificaciones realizadas en las formulas del proceso

directo.

Entonces para obtener las formulas inversas de esta proyección será

necesario en primera instancia transformar las coordenadas UTM en coordenadas

GK, logrando así un método más fácil y conocido de cálculo. Para obtener las

coordenadas GK con respecto a las coordenadas UTM, se deberá despejar la

constante del factor de escala que afecta a ambos términos, así mismo los valores

de Falso Este (FE) y Falso Norte (FN) según sea el caso.

X = FE + 0.9996 ∙ XGK Y = FN + 0.9996 ∙ YGK

𝐗𝐆𝐊 =𝐗 − 𝐅𝐄

𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟔 𝐘𝐆𝐊 =

𝐘 − 𝐅𝐍

𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟔

Obteniendo los valores correspondientes de las coordenadas UTM en el

sistema GK de un punto cualquiera, se procederá a realizar el cálculo del proceso

inverso mediante las formulas ya conocidas para la representación GK.


181

Finalmente las fórmulas de transformación inversa del sistema UTM son las

siguientes:

Transformación de coordenadas UTM a GK para Zonas UTM Norte.

𝐗𝐆𝐊 =𝐗 − 𝟓𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎

𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟔 𝐘𝐆𝐊 =

𝐘

𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟔

Transformación de coordenadas UTM a GK para Zonas UTM Sur.

𝐗𝐆𝐊 =𝐗 − 𝟓𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎

𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟔 𝐘𝐆𝐊 =

𝐘 − 𝟏𝟎′𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎

𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟔

Fórmulas de Correspondencia Inversa GK

∆𝛌 = 𝐂𝟏𝐗𝐆𝐊 − 𝐂𝟑𝐗𝐆𝐊𝟑 + 𝐂𝟓𝐗𝐆𝐊

𝟓 − 𝐂𝟕𝐗𝐆𝐊𝟕

𝚽 = 𝚽𝟎 − 𝐃𝟐𝐗𝐆𝐊𝟐 + 𝐃𝟒𝐗𝐆𝐊

𝟒 − 𝐃𝟔𝐗𝐆𝐊𝟔 + 𝐃𝟖𝐗𝐆𝐊

𝟖

Recordando que para el cálculo de la latitud isométrica Φ, se realizara

mediante iteraciones con respecto a la latitud del punto de expansión φ0.

Dónde:

𝐭 = 𝐭𝐚𝐧𝛗𝟎 , 𝒆′𝟐=

𝒆𝟐

𝟏 − 𝒆𝟐, 𝛈𝟐 = 𝐞′

𝟐𝐜𝐨𝐬𝟐𝛗𝟎

𝐂𝟏 =𝟏


, 𝐂𝟑 =𝟏 + 𝟐𝐭𝟐 + 𝛈𝟐

𝟔𝐍𝟑 𝐜𝐨𝐬𝛗𝟎

𝐂𝟓 =𝟏

𝟏𝟐𝟎𝐍𝟓 𝐜𝐨𝐬𝛗𝟎

[𝟓 + 𝟐𝟖𝐭𝟐 + 𝟐𝟒𝐭𝟒 + 𝟔𝛈𝟐 + 𝟖𝛈𝟐𝐭𝟐

−𝟑𝛈𝟒 + 𝟒𝛈𝟒𝐭𝟐 − 𝟒𝛈𝟔 + 𝟐𝟒𝛈𝟔𝐭𝟐]


182

𝐂𝟕 =𝟏

𝟓𝟎𝟒𝟎𝐍𝟕 𝐜𝐨𝐬𝛗𝟎

[ 𝟔𝟏 + 𝟔𝟔𝟐𝐭𝟐 + 𝟏𝟑𝟐𝟎𝐭𝟒 + 𝟕𝟐𝟎𝐭𝟔 + 𝟏𝟎𝟕𝛈𝟐 + 𝟒𝟒𝟎𝛈𝟐𝐭𝟐

+𝟑𝟑𝟔𝛈𝟐𝐭𝟒 + 𝟒𝟑𝛈𝟒 − 𝟐𝟑𝟒𝛈𝟒𝐭𝟐 − 𝟏𝟗𝟐𝛈𝟒𝐭𝟒 + 𝟗𝟕𝛈𝟔

−𝟕𝟕𝟐𝛈𝟔𝐭𝟐 + 𝟒𝟎𝟖𝛈𝟔𝐭𝟒 + 𝟏𝟖𝟖𝛈𝟖 − 𝟐𝟑𝟗𝟐𝛈𝟖𝐭𝟐

+𝟏𝟓𝟑𝟔𝛈𝟖𝐭𝟒 + 𝟖𝟖𝛈𝟏𝟎 − 𝟏𝟔𝟑𝟐𝛈𝟏𝟎𝐭𝟐 + 𝟏𝟗𝟐𝟎𝛈𝟏𝟎𝐭𝟒 ]

𝐃𝟐 =𝐭

𝟐𝐍𝟐 𝐜𝐨𝐬𝛗𝟎

, 𝐃𝟒 =𝐭[𝟓 + 𝟔𝐭𝟐 + 𝛈𝟐 − 𝟒𝛈𝟒]

𝟐𝟒𝐍𝟒 𝐜𝐨𝐬𝛗𝟎

𝐃𝟔 =𝐭

𝟕𝟐𝟎𝐍𝟔 𝐜𝐨𝐬𝛗𝟎

[𝟔𝟏 + 𝟏𝟖𝟎𝐭𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝐭𝟒 + 𝟒𝟔𝛈𝟐 + 𝟒𝟖𝛈𝟐𝐭𝟐 − 𝟑𝛈𝟒

−𝟑𝟔𝛈𝟒𝐭𝟐 + 𝟏𝟎𝟎𝛈𝟔 − 𝟗𝟔𝛈𝟔𝐭𝟐 + 𝟖𝟖𝛈𝟖 − 𝟏𝟗𝟐𝛈𝟖𝐭𝟐]

𝐃𝟖 =𝐭

𝟒𝟎𝟑𝟐𝟎𝐍𝟖 𝐜𝐨𝐬𝛗𝟎

[ 𝟏𝟑𝟖𝟓 + 𝟕𝟐𝟔𝟔𝐭𝟐 + 𝟏𝟎𝟗𝟐𝟎𝐭𝟒 + 𝟓𝟎𝟒𝟎𝐭𝟔 + 𝟏𝟕𝟑𝟏𝛈𝟐

+𝟒𝟒𝟏𝟔𝛈𝟐𝐭𝟐 + 𝟐𝟔𝟖𝟖𝛈𝟐𝐭𝟒 − 𝟓𝟕𝟑𝛈𝟒 − 𝟏𝟖𝟑𝟎𝛈𝟒𝐭𝟐

−𝟏𝟓𝟑𝟔𝛈𝟒𝐭𝟒 − 𝟐𝟗𝟐𝟕𝛈𝟔 + 𝟓𝟎𝟓𝟐𝛈𝟔𝐭𝟐 + 𝟕𝟒𝟒𝛈𝟔𝐭𝟒

−𝟖𝟖𝟎𝟖𝛈𝟖 + 𝟐𝟕𝟒𝟓𝟔𝛈𝟖𝐭𝟐 − 𝟕𝟖𝟕𝟐𝛈𝟖𝐭𝟒 − 𝟏𝟏𝟒𝟕𝟐𝛈𝟏𝟎

+𝟓𝟑𝟗𝟓𝟐𝛈𝟏𝟎𝐭𝟐 − 𝟐𝟒𝟗𝟔𝟎𝛈𝟏𝟎𝐭𝟒 − 𝟒𝟔𝟕𝟐𝛈𝟏𝟐

+𝟑𝟎𝟓𝟐𝟖𝛈𝟏𝟐𝐭𝟐 − 𝟐𝟑𝟎𝟒𝟎𝛈𝟏𝟐𝐭𝟒 ]

Obtención de coordenadas geodésicas.

𝛌 = 𝐌𝐂 + ∆𝛌

𝛗 = 𝛗𝟎 + 𝐆𝟏∆𝚽 − 𝐆𝟐(∆𝚽)𝟐 − 𝐆𝟑(∆𝚽)

𝟑

∆𝚽 = 𝚽−𝚽𝟎

𝐆𝟏 = 𝐜𝐨𝐬𝛗𝟎 (𝟏 + 𝛈𝟐) 𝐆𝟐 =

𝟏 + 𝟒𝛈𝟐 + 𝟑𝛈𝟒

𝟐∙ 𝐬𝐢𝐧𝛗𝟎 𝐜𝐨𝐬𝛗𝟎

𝐆𝟑 =𝐜𝐨𝐬𝟑𝛗𝟎

𝟔[𝟏 − 𝐭𝟐 + 𝟓𝛈𝟐 − 𝟏𝟑𝛈𝟐𝐭𝟐 + 𝟕𝛈𝟒

−𝟐𝟕𝛈𝟒𝐭𝟐 + 𝟑𝛈𝟔 − 𝟏𝟓𝛈𝟔𝐭𝟐]

Es importante aclarar que para determinar el MC, es necesario conocer

previamente la zona UTM en la que el punto de estudio se encuentre posicionado.


183

3.7 La Proyección Transversa Modificada Ejidal (TME).

La proyección TME es una variante más de la proyección TM, que al igual

que la proyección UTM toman como figura geométrica al elipsoide de revolución

para la representación terrestre, lo que origina que sus algoritmos de

transformación tengan base fundamental en los algoritmos de la representación

GK, pero con la característica esencial de que la proyección TME es para un uso

local o regional, por lo que su uso es exclusivo es para las zonas, estados y

municipios que conforman la República Mexicana.

La proyección TME fue ideada por el INEGI con el fin de garantizar la

conformidad de la proyección UTM, en la cual la representación de ejidos o

terrenos con superficies mayores a las 10 Ha, contaran con una reducción mínima

en la distorsión en áreas, distancias y direcciones muy cercanas al MC.

La solución encontrada recibió el nombre de Transversa Modificada Ejidal y

consistió en retomar las formulas de la representación GK en combinación con el

sistema de coordenadas UTM, y mediante un artificio matemático conseguir

condiciones de quasiequivalencia, quasiequidistancia y quasiazimutalidad en la

representación de entidades geográficas.

Por lo que se puede decir que en la representación TME, el cilindro será

conforme, transverso y tangente al elipsoide a lo largo de un MC, donde el sistema

de coordenadas en el plano será muy similar al del sistema UTM. A diferencia de

sus dos proyecciones base, en el sistema TME se despreciaran la subdivisión del

elipsoides en bandas meridianas, debido a que esta representación es para uso

local, además de que las zonas de estudio no sobre pasan más allá de un grado

de longitud.

Una de las principales modificaciones que en la proyección TME se

realizan, es el establecimiento de un MC arbitrario, el cual es aquel meridiano que

se sitúa en la zona intermedia del polígono ejidal de estudio, despreciando de esta


184

Fig. III.44 Zona ejidal en la proyección TME.

manera a los MC oficiales para la proyección UTM y el MC de 102º que rige a la

proyección GK para la República Mexicana.

El MC recibe el nombre de Meridiano Central Ejidal (MCE), mismo que se

definirá como el promedio de las longitudes de cada uno de los vértices

perimetrales del polígono ejidal (Gómez Moreno, 2003), pero recordando que la

base es el sistema GK, generara que el factor de escala a lo largo de este nuevo

MC sea igual a la unidad. Por lo que la transformada del MCE en el plano será

mediante un segmento de línea recta automecoica, mismo que será el origen de

las abscisas. Esta modificación dará como resultado que para cada ejido, se

estudiara y representara cartográficamente bajo el establecimiento de una

proyección transversa de Mercator con parámetros individualizados en función de

la ubicación geográfica del mismo.


185

Al igual que en el sistema UTM, para evitar coordenadas negativas en el eje

X, el MCE se trasladara a 500 km al este del mismo, generando que el origen de

las abscisas en el sistema TME sea de 500,000, generando así un Falso Este.

Sumado a esto, las condiciones generales de la proyección TME se

enumeran a continuación.

Se trata de una proyección conforme, en donde en el plano se

conservan las direcciones y demás cantidades angulares que se

presenta en el elipsoide.

Es un sistema de proyección local, destinado para la representación

de propiedades y terrenos ejidales de la República Mexicana.

El MC se establece por medio del promedio de las longitudes de

cada uno de los vértices que conforma el polígono ejidal a

representar, el cual recibe el nombre de Meridiano Central Ejidal

(MCE).

En el plano, el MCE se transforma en un segmento de recta en el

cual el valor de las distancias se conservan (línea isométrica

automecoica), por lo que el factor de escala o de deformación lineal

(L) es 1.

Para evitar abscisas con valores negativos, el MC se traslada a 500

km al este del mismo, generando un falso origen para las abscisas.

Por lo que el valor del origen de la coordenada X será de

500,000.000 “Falso Este”.

El Ecuador será el origen de las ordenadas con un valor igual a 0.

La transformación del MCE y el Ecuador en el plano se dan por

medio de dos líneas rectas, las cuales son perpendiculares entre sí.

En donde el meridiano central se convierte en el eje de las

ordenadas y el Ecuador en el eje de las abscisas.

El resto de meridianos y paralelos en el plano, se convierten en

curvas complejas.


186

Además de solucionar el inconveniente de distorsión, esta proyección

resuelve uno de los problemas clásicos que se generan en el sistema UTM, el cual

es representar zonas o territorios que se encuentran ubicados geográficamente

entre dos bandas meridianas, esto debido al establecimiento del MCE en la zona

de interés.

En la actualidad el sistema TME es utilizado oficialmente por dependencias

gubernamentales como lo son el Instituto Nacional de Estadística y Geografía

(INEGI), el Registro Agrario Nacional (RAN), Gobiernos Municipales, Estatales y

Federales, así mismo en las diferentes secretarias e instituciones catastrales que

se encargan en el control y monitorio de ejidos.

Para facilitar la conversión de coordenadas del sistema UTM al TME y

viceversa, el INEGI desarrollo el software TMCalc, el cual es una aplicación que

permite realizar la transformación entre las coordenadas geodésicas y veinticinco

diferentes proyecciones cartográficas entre las que se encuentran UTM y TME

(Gómez Moreno, 2003). La aplicación TMCalc base sus algoritmos de

transformación en las fórmulas de transformación que se presentaran en los

siguientes capítulos.

Es importante mencionar que aun cuando este programa tiene disponible la

opción para realizar el cambio entre diferentes datums, no se recomienda su uso

para datos de México, ya que los modelos matemáticos que utiliza no son los

adecuados para nuestro país (ITRF2008, Época 2010.0).


187

Fig

. II

I.4

5 P

lan

o e

jid

al e

n la

pro

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cc

ión

TM

E.

Fu

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te:

INE

GI,

20

15

.


188


Las fórmulas de transformación directa de la proyección TME se obtendrán

de manera similar que las del sistema UTM, aplicando las modificaciones del

Falso Este y el MCE a las fórmulas de trasformación de la representación GK.

A diferencia de la proyección UTM, el factor de escala en MC de la

proyección TME será la unidad por lo que la única variante que se le añadirá a las

formulas GK será la suma de 500,000 en la coordenada X, además del

establecimiento del nuevo MC.

En primera instancia será viable determinar el valor del MCE, recordando

que este será el meridiano que dividida a la mitad del ejido o la zona de estudio en

cuestión. El MCE se definirá como el promedio de las longitudes geodésicas que

conforman el ejido, por lo que la ecuación para determinar dicho parámetro se

expresara como:

𝐌𝐂𝐄 =∑ 𝝀𝒊𝒊=𝒏𝒊=𝟏

𝒏

Dónde:

𝜆𝑖 = Longitudes geodésicas de cada uno de los vértices perimetrales del ejido.

𝑛 = Número de vértices que conforma el polígono ejidal.

El valor resultante obtenido en esta ecuación será redondeado al minuto

más cercano, esto con el fin de evitar un MCE con cifras decimales en minutos o

segundos.

En base lo anterior se podrá calcular la amplitud meridiana ∆𝜆 de cada

vértice con respecto a este nuevo MC, modificando la formula ya conocida.


189

∆𝝀 = 𝐌𝐂𝐄 − 𝝀𝐩

Dónde:

𝜆P = Longitud geodésica del vértice o vértices ejidales.

En cuanto a las fórmulas de transformación estas se expresaran de la

siguiente manera.

𝐗 = 𝟓𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎 + 𝐗𝐆𝐊 𝐘 = 𝐘𝐆𝐊

Las formulas correspondientes a las ordenadas y abscisas de la

representación GK podrán consultarse en los capítulos 3.5.1 y 3.5.2 de este

documento.


La obtención de fórmulas de transformación de coordenadas planas del

sistema TME a un sistema geodésico universal, se hará siguiendo el desarrollo

inverso de la proyección UTM, en el cuál para facilitar el proceso de cálculo, se

deberán transformar las coordenadas del sistema UTM al sistema de origen GK.

De acuerdo a lo anterior y recordando que la proyección TME y GK son,

iguales, exceptuando por el origen de las abscisas, para la deducción de las

fórmulas de transformación inversas, solo se despejara el valor del Falso Este,

permaneciendo intacta el valor de la ordenada TME, siendo esta es igual a la

coordenada en Y en el sistema GK.


190

Por lo que se tiene lo siguiente.

𝐗𝐆𝐊 = 𝐗 − 𝟓𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎 𝐘𝐆𝐊 = 𝐘

Con lo anterior se puede determinar que las coordenadas geodésicas de un

punto cualquiera en el elipsoide, mediante las siguientes expresiones.

∆𝛌 = 𝐂𝟏𝐗𝐆𝐊 − 𝐂𝟑𝐗𝐆𝐊𝟑 + 𝐂𝟓𝐗𝐆𝐊

𝟓 − 𝐂𝟕𝐗𝐆𝐊𝟕

𝚽 = 𝚽𝟎 − 𝐃𝟐𝐗𝐆𝐊𝟐 + 𝐃𝟒𝐗𝐆𝐊

𝟒 − 𝐃𝟔𝐗𝐆𝐊𝟔 + 𝐃𝟖𝐗𝐆𝐊

𝟖

𝛌 = 𝐌𝐂𝐄 + ∆𝛌 ∆𝚽 = 𝚽−𝚽𝟎

𝛗 = 𝛗𝟎 + 𝐆𝟏∆𝚽 − 𝐆𝟐(∆𝚽)𝟐 − 𝐆𝟑(∆𝚽)

𝟑

Para obtener el dato preciso de la longitud geodésica es necesario conocer

en primera instancia el valor del MCE.

IV. DE LA INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO DEL PROYECTO.

191

IV. DE LA INVESTIGACIÓN Y

DESARROLLO DEL

PROYECTO.


192

4.1 Introducción.

La proyección TM o GK es el pilar fundamental de las proyecciones

cilíndricas conformes que en la actualidad se utilizan para la representación fiel del

esferoide terrestre. No obstante sus fórmulas complejas o algoritmos de

transformación, limitan el uso de este sistema a una franja o zona limitada de la

tierra, debido a que más allá de los límites geográficos de dichas zonas la

deformación geométrica y precisión del dato geográfico pierden toda veracidad.

Es por esta circunstancia y mediante tratados internacionales varias

naciones se sujeten a limitaciones y ajustes para la representación completa de

sus territorios, generando así una subdivisión del territorio para conservar la

precisión y la información geométrica de dichas zonas, siendo una opción alterna

la utilización de otros sistemas proyectivos.

En México esta situación no es la excepción, es por eso que la utilización

de la proyección TM sea despreciada para la representación completa de su

territorio y solo sea empleada para la base de los algoritmos de la proyección UTM

y TME aplicada a zonas pequeñas de dichos territorios. La aplicación de este

sistema de proyección a todo el territorio nacional genera un error de

transformación de coordenadas exageradamente alto siendo la precisión

totalmente nula e inútil para cualquier trabajo cartográfico, geodésico o

topográfico.

Atendiendo a esta problemática y pretendiendo inhibir el error de

transformación entre sistemas de coordenadas asegurando así una precisión

milimétrica para la representación completa de la República Mexicana en la

proyección TM, a continuación se presentan las pruebas, deducciones y

resultados realizados a este sistema proyectivo con el fin de solucionar y

satisfacer dicha situación y los objetivos planteados en este trabajo de

investigación, siendo estas pruebas sustentadas en la teoría y estudios realizados

por el doctor Carlos Enriquez Turiño (2009).


193

4.2 Relación entre Amplitud Meridiana y Precisión.

Como se ha visto a lo largo de esta investigación, el sistema de proyección

GK es pilar fundamental de gran parte de las proyecciones transversas cilíndricas

aplicadas al elipsoide, sin embargo desde su concepción hasta hoy en día, las

ecuaciones que estructuran sus fórmulas de transformación han sido motivo de

sinnúmero de estudios, esto con la finalidad de garantizar fidelidad y precisión a la

representación del dato geográfico en la elaboración de cartografía topográfica y

geodésica, provocando así, que sus ecuaciones hayan evolucionado conforme a

cada estudio de investigación realizado.

Realmente las siglas GK se asignan a esta proyección por las primeras

modificaciones realizadas al modelo TM de Lambert, una efectuada por Gauss

(1772) utilizando al elipsoide como modelo matemático de representación terrestre

y la otra hecha por Krüger (1912), siendo esta ultima la más significativa. Posterior

a ellos las formulas se complementarían por las aportaciones de Paul D. Thomas

(1952).

La aportación de Thomas a la proyección GK hace que las fórmulas de

transformación originales aseguren una precisión por debajo del milímetro en una

cobertura de aplicación de 3º de longitud (∆𝜆) con respecto al MC o lo que es lo

mismo, una banda meridiana o huso de 6º de amplitud. Sin embargo dichas

modificaciones no son lo suficiente para satisfacer la necesidad de precisión más

allá de dicho límite geográfico; cabe resaltar que es la aportación más reciente que

haya dejado vestigio sobre la representación, desarrollo y deducción de sus

fórmulas de transformación.

Debido a esto, es que las formulas extendidas de Thomas son las que

conforman la base de los algoritmos de transformación con las cuales trabajan la

mayoría de los softwares comerciales para la elaboración de cartografía digital y

manipulación de datos e información geográfico, así mismo algunas calculadoras

de trasformación geodésica. Siendo la representación de regiones, territorios y en


194

la mayoría de casos países enteros, los que sean sometidos al cumplimiento de

las normas geométricas y geográficas que esta proyección demanda, sacrificando

la precisión y representación de los elementos que queden fuera de dicha

cobertura meridiana, es por eso que las instituciones y organizaciones oficiales

para la elaboración de cartografía de cada nación obedezcan y dispongan de

pautas y estándares de representación cartográfica para la resolución de esta

problemática.

La República Mexicana no es la excepción, el INEGI la máxima autoridad

para la elaboración cartográfica señala que dicho sistema sólo puede ser utilizado

para la representación completa del territorio nacional a escala 1:4 000 000. Pero

en la bibliografía consultada, así mismo en los mapas y cartas donde se muestra

toda la extensión territorial de los Estados Unidos Mexicanos, el sistema

proyectivo GK no aparece como referencia, siendo la proyección Cónica Conforme

de Lambert (CCL) con dos paralelos tipo o de contacto la más utilizada.

Retomando, la problemática de precisión en el sistema GK reside en el

número de términos y coeficientes exponenciales (η, t) que conforman sus

fórmulas de transformación, mismos que de igual manera que el efecto de

distorsión geométrica, son directamente proporcional a la distancia que se

encuentre alejado el punto de estudio del MC.

Esta teoría es afirmada por Hernández López (2009) y Mena Barrios (2008),

el cual menciona que; “Cuanto mayor sea la separación de un punto P(φ, λ) con

respecto al meridiano central, mayor ha de ser el número de términos en las

fórmulas de transformación, ya que las distorsiones de la proyección se

incrementan con el diferencial de longitud (∆λ).”

Dichos términos son resultado de las derivadas de orden superior que

surgen del desarrollo de la serie de Taylor aplicada a las funciones complejas de

origen que plantea el procedimiento de deducción. Las fórmulas de trasformación

para ambos casos tienen fundamento en el método numérico de la serie de Taylor,


195

donde la precisión deseada dependerá directamente de las aproximaciones de la

función 𝑓(Φ) (proceso directo) y F(𝑦) (proceso inverso) por medio de polinomios,

a través de una serie infinita de potencias, los cuales representan el

comportamiento de aproximación de la función un punto dado, dicho de manera

sencilla, entre mayor sean las aproximaciones más veracidad y precisión tendrá el

resultado final.

Para el sistema GK la precisión de sus coordenadas será directamente

proporcional al número de derivadas que conformen la serie de Taylor en conjunto

del valor de ∆λ del punto de estudio, pero debido a que la función de origen es

una función transcendente, el resultado algebraico de cada derivada aumentara de

acuerdo al orden de dicha derivada (polinomios cada vez más exagerados).

En sí el factor problema en la obtención de las ecuaciones adecuadas que

aseguren una precisión milimétrica en cualquiera de sus dos casos depende

directamente de la resolución algebraica de las derivadas consecutivas que

conforman la Serie de Taylor de las funciones complejas 𝑓(Φ) y F(𝑦), el cual

permite representar dichas derivadas en ecuaciones polinómicas simples. Esta

situación aunada al escaso avance tecnológico, es lo que limitó a Gauss en su

desarrollo de fórmulas completas para una cobertura meridiana adecuada, sin

embargo Louis Krüger realiza el complemento a las formulas mediante el cálculo

de la sexta derivada para ambos casos de trasformación.

Las fórmulas que conforman los algoritmos de Krüger tienen fundamento en

el teorema de Taylor aproximando el valor de sus coordenadas con la derivada de

orden séptimo de las funciones previamente señaladas, sus ecuaciones aseguran

una precisión de 0.00001” en un amplitud de ∆λ 1º 30” a 6º que traducida en

metros es igual a 0.003 m. Sin embargo y como se explicaba en la reseña

histórica, Lee y Redfearn re calculan las fórmulas de Krüger siendo Thomas el

que da veracidad a estos términos, agregando una derivada más a la serie Taylor

mediante un nuevo método de derivación.


196

Redfearn (1948) y Thomas (1952) derivan fórmulas idénticas, que extienden

(un poco) las ecuaciones de Krüger, y la actualización de la notación y

formulación. Estas son consideradas como el estándar para las transformaciones

entre el elipsoide y la proyección TM (Intergovernmental Committe on Surveying

and Mappin, 2009).

Para obtener el índice de error generado por los algoritmos existentes

Deakin, Hunter y Karney (2011) realizan una comparativa de precisión obtenida

por las fórmulas de Krüger en su forma directa y los algoritmos de Thomas y

Redfearn en su forma inversa, aplicado a una latitud de 75º y una amplitud de 6º,

10º, 15º, 20º, 30º y 35º de longitud, tomando como MC al meridiano 45º.

Punto Gauss – Krüger

(Directo) Thomas – Redfearn

(Inverso)

Error de Transformación

en M.

φ = 75° X = 173137.521 φ = 75°00′00.0000" 0.001

∆λ = 6° Y = 8335703.234 ∆λ = 5°59′59.9999"

φ = 75° X = 287748.837 φ = 75°00′00.0000" 0.027

∆λ = 10° Y = 8351262.809 ∆λ = 9°59′59.9966"

φ = 75° X = 429237.683 φ = 75°00′00.0023" 1.120

∆λ = 15° Y = 8381563.943 ∆λ = 14°59′59.8608"

φ = 75° X = 567859.299 φ = 75°00′00.0472" 16.888

∆λ = 20° Y = 8423785.611 ∆λ = 19°59′57.9044"

φ = 75° X = 832650.961 φ = 75°00′03.8591" 942.737

∆λ = 30° Y = 8543094.338 ∆λ = 29°58′03.5194"

φ = 75° X = 956892.903 φ = 75°00′23.0237" 4900.000

∆λ = 35° Y = 8619555.491 ∆λ = 34°49′57.6840"

Tabla IV.1 Comparación de algoritmos de transformación, GK – Thomas.


197

En la elaboración de la cartografía nacional a escala 1:4 000 000, el INEGI

basa sus cálculos en los algoritmos amplificados de Thomas, donde la

representación del territorio completo lleva consigo un error de desplazamiento en

transformaciones de casi 3 m, esto debido a que la amplitud meridiana en la que

el país se localiza es aproximadamente de 33º de longitud, promoviendo una

insuficiencia en estudios geodésicos ligados a esta proyección.

Realizando una prueba de conversión con los algoritmos completos de

Thomas aplicados a un valor ∆λ de 16º 30’ de longitud y sobre el paralelo 33º y

tomando el meridiano 102º W como MC, siendo estos los valores máximos para el

territorio mexicanos, se tiene lo siguiente:

Punto φ = 33° ∆λ = 16°30′ MC = 102°

∆𝛌 ∙ 𝒇′(𝚽) ∆𝛌𝟐 ∙ 𝒇′′(𝚽) ∆𝛌𝟑 ∙ 𝒇′′′(𝚽) ∆𝛌𝟒 ∙ 𝒇𝟒(𝚽)

1541978.0433 120925.6054 8739.9402 2716.3177

∆𝛌𝟓 ∙ 𝒇𝟓(𝚽) ∆𝛌𝟔 ∙ 𝒇𝟔(𝚽) ∆𝛌𝟕 ∙ 𝒇𝟕(𝚽) ∆𝛌𝟖 ∙ 𝒇𝟖(𝚽)

-107.6974 42.6791 -6.8509 0.1941

𝐒 3652748.0430 X= 1550603.43519 Y= 3776432.8395

Tabla IV.2 Transformación directa GK.

Aplicando la transformación con estos valores.


198

Punto X= 1550603.43519 Y= 3776432.8395 MC = 102°

∆𝛌 ∙ 𝐅′(𝒚) ∆𝛌𝟐 ∙ 𝐅′′(𝒚) ∆𝛌𝟑 ∙ 𝐅′′′(𝒚) ∆𝛌𝟒 ∙ 𝐅𝟒(𝒚)

16°48′24.82444" −01°22′57.11414" −00°19′03.38952" 00°03′09.77868"

∆𝛌𝟓 ∙ 𝐅𝟓(𝒚) ∆𝛌𝟔 ∙ 𝐅𝟔(𝒚) ∆𝛌𝟕 ∙ 𝐅𝟕(𝒚) ∆𝛌𝟖 ∙ 𝐅𝟖(𝒚)

00°00′40.25028" −00°00′08.13678" −00°00′01.75891" 00°00′00.38121"

𝐒 ∆𝚽 ∙ 𝐅′(𝒚) ∆𝚽𝟐 ∙ 𝐅′′(𝒚) ∆𝚽𝟑 ∙ 𝐅′′′(𝒚)

3652748.0430 −01°06′28.25337" −00°00′26.36055" 00°00′00.13150"

∆𝛌 𝟏𝟔°𝟐𝟗′𝟓𝟗. 𝟗𝟐𝟔𝟑𝟎" 𝛗 𝟑𝟑°𝟎𝟎′𝟎𝟎. 𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎"

Tabla IV.3 Transformación Inversa GK.

Siendo los errores.

Errores angulares Errores en proyección.

∆𝛌 −𝟎𝟎. 𝟎𝟕𝟑𝟕𝟎" 𝐗 𝟐. 𝟐𝟕𝟗𝟎 𝐦

𝛗 𝟎𝟎. 𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎" 𝐘 𝟎. 𝟑𝟒𝟎𝟏 𝐦

Tabla IV.4 Errores de cálculos entre transformaciones.

Se aprecia que para la transformación directa el valor de cada producto

comienza a disminuir de forma gradual siendo el producto de ∆λ 8 por la octava

derivada el que arroja un resultado de aproximación muy cercano a 0.20 m, lo que

quiere decir que si la serie infinita se extendiera un poco más, los términos

siguientes asegurarían resultados por debajo o aproximados al milímetro. Lo

mismo ocurre con el proceso inverso, pero este representado en grados, minutos

y segundos, donde la sumatoria de dichos valores se aleja demasiado de las

coordenadas geodésicas de origen, donde el valor inverso de ∆λ sea el más

castigado.


199

Con esta prueba es como se da por cierta la teoría de precisión estipulada

por David Hernández y Mena Barrios, de manera que se puede concretar que el

número derivadas ligado a la amplitud de meridiana que existe entre el punto de

estudio y el MC aseguran la precisión de las coordenadas en cualquiera de sus

dos sistemas.

Los algoritmos de Thomas aseguran una precisión de ± 1 mm en una

banda meridiana de 6º de longitud, esta razón es la que propicia que sus fórmulas

sean truncadas sin que se pierda la precisión alcanzada, esto debido a que en la

evaluación, varios de sus términos arrojan cantidades lo suficientemente

pequeñas para ser despreciadas. Para motivos geodésicos y topográficos las

fórmulas de transformación son suficientes hasta los términos con índice 5 y 6

para cálculos donde ∆λ sea menor a 3° de longitud. Cuando se extiende la

proyección poco más de los 3° es conveniente utilizar hasta los términos con

índice 7 y 8.

Las fórmulas pueden contener expresiones que numéricamente

acondicionadas hacen que la precisión se pierda. Esta pérdida de precisión es de

poca importancia si los errores de truncamiento son del mismo orden. Sin

embargo, en el intento de minimizar los errores numéricos, se necesita un medio

preciso para la cuantificación de los errores de truncamiento y redondeo (F.

Karney, 2011).

Esta estandarización es la que promueve que la labor de las instituciones

geográficas (incluyendo al INEGI) en el desarrollo de cartografía se límite a la

expansión de los algoritmos de transformación para la cobertura completa de los

territorios correspondientes a sus naciones, cayendo en un zona de confort en la

cual se adoptan sistemas proyectivos alternativos internacionales, o en muchos

casos poniendo como interferencia el creciente valor de deformación geométrica o

factor de escala en las zonas que se encuentren más allá de los 6º de ∆λ. Los

algoritmos aplicados en México utilizan las fórmulas completas de Thomas para la


200

proyección TM o GK sin embargo para las proyecciones UTM y TME estos se

truncan hasta la sexta potencia de los coeficientes η y t.

Además de esto, otro factor detonante para al desarrollo de nuevos

algoritmos, es que los softwares y calculadoras de trasformación carto-geodésica

existentes, no soportan un cálculo el cual permita una expansión conveniente a las

series de Taylor, mismas que aseguren un error de cálculo y aproximación no

mayor al milímetro o en el peor de los casos él. Aunque hoy en día la existencia de

súper servidores ya son una realidad, estos no pueden ser aprovechados para la

solución a este inconveniente, debido a que el acceso a ellos, está limitado a

operaciones y tareas especiales y no para la elaboración de cartografía, por lo que

los usuarios e instituciones utilizan softwares comerciales o desarrollan sus

propias calculadoras con los algoritmos existentes.

Algunos autores han tratado de dar solución a esta problemática

desarrollando fórmulas de trasformación alternas fundamentadas en las

ecuaciones de Thomas pero estas descartan la idea de amplificación de las series

de Taylor como es el caso de Lee (1945) y Karney (2011), siendo este último el

que ofrece un algoritmo que permite obtener precisiones del orden del nanómetro

para la transformación de coordenadas, por lo que las investigaciones existentes

solo se limitan a solo mencionar dicho problema.

Sin embargo una de las investigaciones más recientes que se aproxima a la

solución de este problema fue realizada por el Doctor español Carlos Enríquez

Turiño en el año 2009, en su trabajo de tesis Doctoral el desarrolla y explica un

método matemático con el cual permite conocer el número de términos,

coeficientes exponenciales y derivadas consecutivas necesarias para asegurar

una precisión deseada en función del ancho de zona, ∆λ y de la latitud.

Turiño basa su investigación en la teoría de proyecciones conformes

analíticas, las cuales como ya se ha mencionado admiten un desarrollo en serie

para aproximar sus valores a un valor óptimo. En su trabajo Turiño omite el


201

desarrollo de los extensos polinomios que conforman las derivadas de la serie de

Taylor sólo presentando los términos adecuados para una amplitud meridiana de

3º a 70º con respecto a un máximo de latitud de 80º. Para realizar esto, él recurrió

al álgebra simbólica acompañada de softwares de manipulación algebraica para

sustentar su hipótesis.

Las pruebas realizadas por el doctor español fueron tomando como valor

mínimo ∆λ el de 3º (siendo que en este las fórmulas de Thomas son

exageradamente precisas) el cual fue incrementando de la siguiente manera: 5º,

10, 15, 20º, 25º, 30º, 40º, 50º, 60º y 70º, en cuanto a la latitud sus pruebas

comprendieron el ecuador 0º como inicio de las latitudes mismas que fueron

aumentando cada de 10 grados hasta llegar al paralelo 80º. Dichos cálculos

fueron realizados utilizando los parámetros geométricos del elipsoide WGS 84.

Con estas experimentaciones Turiño especifica los términos suficientes

para alcanzar una precisión que va del decámetro hasta el milímetro en relación

de las latitudes y ya señaladas.

𝛗 ∆𝛌

3 5 10 15 20 25 30 40 50 60 70

0 5 7 9 11 13 15 17 25 33 51 89

10 6 7 9 11 12 16 18 23 33 49 85

20 6 6 9 11 13 15 18 24 32 46 77

30 6 7 9 11 12 14 17 22 30 43 66

40 5 7 8 10 12 13 16 21 27 38 56

50 5 6 8 10 12 14 15 20 25 34 46

60 5 6 8 9 10 13 14 17 23 28 38

70 5 6 7 9 10 12 12 16 20 24 29

80 5 5 7 8 9 10 10 14 16 19 21

Tabla 1.0 Número de términos necesarios para la proyección Gauss-Krüger en función de ∆𝛌 Fuente: Enriquez Turiño, 2009.


202

Comparando los resultados de la tabla anterior con el valor máximo de ∆λ y

el paralelo más alejado en que el territorio Mexicano se extiende, se deduce que

los términos necesarios para asegurar una precisión milimétrica para la

representación completa de este territorio se encuentran sobre el desarrollo de las

derivadas hasta el orden doce de la serie de Taylor para ambos métodos de

transformación.

Debido a que en su investigación Turiño no presenta ninguna de estas

derivadas, en esta tesis se realizara el desarrollo completo de cada una ellas

mediante diferentes metodologías siendo la utilización del software matemático

Wolfram Mathematica® Versión 10.0 el principal sustento que de veracidad de los

cálculos y la teoría ya señalada.

En síntesis las fórmulas de GK serán expandidas hasta el orden doce de las

derivadas que conforman las series de Taylor en sus procesos directos e inversos

con el fin de asegurar precisiones milimétricas en la representación completa de la


4.3 De la Zona de Estudio.

Conocida la problemática que se sitúa entre la precisión y las fórmulas de

transformación para la representación GK o proyección TM, será de carácter

obligatorio mencionar los aspectos geográficos elementales y demás

características que envuelvan, conforman y sean consideradas importantes de la

zona de estudio, siendo esta en la cual se realizaran las pruebas correspondientes

que den veracidad al cumplimiento a la hipótesis ya planteada y su posible

solución.

De esta manera y para poder profundizar en el tema que este proyecto de

investigación tiene como prepósito, en este bloque se compilara toda la

información geográfica relevante y existente acerca de la República Mexicana, así

mismo de las normativas, elementos y características técnicas oficiales para el


203

desarrollo de cartografía y todos sus derivados en este país, mismas que serán el

principal de sustento para el pleno desarrollo de este proyecto.

4.3.1 Ubicación Geográfica.

La República Mexicana, República de México o comúnmente llamada

México, es uno de los países más importantes de América del Norte en cuanto su

biodiversidad, economía y cultura que ofrece, así mismo es uno de los países más

poblados del habla hispana.

La República Mexicana de manera oficial recibe el nombre de Estados

Unidos Mexicanos la cual se sitúa en el hemisferio occidental, sobre el continente

americano. Desde el punto de vista geográfico-político la República Mexicana se

localiza en América del Norte y por su situación geográfica pertenece tanto a la

porción norte del continente como a Centroamérica, considerando que la

Cordillera Neo volcánica es el límite entre estas dos porciones continentales

(Pereña García, 2011).

Así mismo y desde el punto de vista cultural México forma parte de América

Latina; su frontera norte, que se extiende a lo largo de más de 3 100 km, se

convierte en el punto de contacto entre esta región y la América anglosajona. Por

lo que se puede decir que la República Mexicana es el país más septentrional de

América Latina.

El territorio que comprende la República Mexicana cuenta con una

superficie de 1.9 millones de kilómetros cuadrados aproximadamente, el cual

según datos del INEGI, se extiende entre los paralelos 14° 32’ 27” latitud norte en

la desembocadura del río Suchiate y el paralelo 32° 43’ 06” que pasa por la

confluencia del río Gila con el Colorado en el Monumento 206, que es el punto

más al norte; así mismo está comprendido entre las longitudes oeste de

Greenwich de 118° 27’ 24” en la Punta Roca Elefante de la Isla de Guadalupe y


204

86° 42’ 36” correspondiente al extremo sureste de la Isla Mujeres (Coordenadas

extremas).

Las coordenadas anteriores enmarcan el territorio continental y marítimo

mexicano sin embargo, dada las subdivisiones que existen en estas porciones de

terreno es preciso mencionar los puntos extremos para cada uno de ellos.

El territorio continental Mexicano comparte los mismos puntos extremos

norte y sur que los puntos extremos oficiales designados para el país, por lo que

los puntos extremos continentales este y oeste son diferentes a los ya

mencionados. Entonces el punto este más extremo es aquel que se localiza muy

cerca de la laguna Nichupté en la ciudad de Cancún, Quintana Roo, cuyas

coordenadas son 21º 8’ 17” latitud norte y 86º 44’ 27” longitud oeste, mientras que

para el punto oeste, se ubica muy próximo a la ciudad de Tijuana, Baja California

teniendo como coordenadas geográficas las siguientes: 32º 39’ 8” latitud norte y

117º 07’ 33” longitud oeste.

Para la parte del territorio nacional que contempla la zona marítima, la Zona

Económica Exclusiva de México (ZEEM) es aquella que envuelve al territorio

continental siendo a su vez la más alejada geográficamente, donde sus puntos

extremos son demarcados en el decreto presidencial que fija al límite exterior de

dicha zona (DOF:07/06/1976), el cual estipula que la ZEEM se extiende entre los

paralelos 11º 58’ 07.07” y 32º 35’ 22.11” latitud norte ambos ubicados en el

Océano Pacifico; y sobre los meridianos 122º 10’ 13.50” longitud oeste ubicado en

el Océano Pacifico y 84º 02’ 46.50” longitud oeste ubicado en el Mar Caribe.

En la siguiente tabla se describen las coordenadas extremas de cada zona.


205

Coordenadas Extremas Oficiales

Latitud Longitud

G M S Zona G M S Zona

14º 32' 27” N 86º 42' 36” W

32º 43' 06” N 118º 27' 24” W

Coordenadas Extremas Continentales

Latitud Longitud


14º 32' 27” N 86º 44' 27” W

32º 43' 06” N 117º 07' 33” W

Coordenadas Extremas ZEEM

Latitud Longitud


11º 58' 07”.70 N 84º 02' 46”.50 W

32º 35' 22”.11 N 122º 10' 13”.50 W

Tabla IV.5 Coordenadas extremas de la república mexicana.

Fig. IV.1 Coordenadas extremas de la República Mexicana. Rojo – Oficiales, Naranja – Continentales, Verde – ZEEM. Fuente: INEGI, 2015.


206

Además de esto, el territorio mexicano está localizado en la zona

intertropical, el cual es delimitado por el cruce del Trópico de Cáncer, este hecho,

junto con la accidentada orografía, determina una gran variedad de climas y

paisajes que, asociados a la historia geológica del subsuelo, han dado lugar a una

amplia diversidad de recursos naturales, que a su vez han condicionado el

desarrollo de las actividades económicas en determinadas zonas, la estrategia y

tendencia comercial que el país ha ido adoptando y sobre todo, determinado la

historia económica, social y política de México.

4.3.2 Límites y Fronteras.

Dada su ubicación geográfica la Republica de México cuenta con límites

terrestres y marítimos que se podrían clasificar como naturales y artificiales. En los

límites naturales se encuentran los mares, ríos, océanos y montañas, mientras

que para los artificiales se tienen los linderos trazados que obedecen a Tratados

Internacionales (Díaz Alonso, 2002).

Según datos oficiales obtenidos de la Secretaría de Gobernación (SEGOB)

y el INEGI las cuatro fronteras internacionales con las que cuenta México son las

siguientes:

► El territorio nacional limita al norte con los Estados Unidos de

América, sobre los cuales se extiende una línea fronteriza a lo largo

de 3152 km, desde el Monumento 258 al noroeste de Tijuana hasta

la desembocadura del Río Bravo en el Golfo de México. El Río

Bravo, también conocido como Río Grande, cubre el 70.4% de esta

línea divisoria internacional. Asimismo, forman parte de esta frontera

el Río Colorado y 258 monumentos principales, 18 auxiliares y 442

mojoneras.

► Al sur colinda con las Repúblicas de Guatemala y Belice, donde una

línea fronteriza de 956 km se levanta con Guatemala, definida por los

ríos Suchiate, Usumacinta y Chixoy, el volcán Tacaná, los cerros


207

Buenavista e Ixbul, así como las líneas imaginarias señaladas por

monumentos o cercas. Con Belice existe una línea divisoria de 193

km, definida por la Bahía de Chetumal, el Río Hondo, el Arroyo Azul

y el meridiano Garbutt. Sin incluir los 85.26 km de límite marítimo

generados por la Bahía Chetumal.

► En la zona Este, está delimitada por el océano Atlántico, el Golfo de

México y la porción que se conoce con el nombre del mar de las

Antillas. Estos mares se unen por medio del estrecho canal de

Yucatán que se encuentra entre la isla de Cuba y la península de

Yucatán.

► Y finalmente en el oeste limita con el Océano Pacífico y el golfo de

California o Mar de Cortés con la presencia de la península de la

Baja California, paralela en lo general a la línea costera.

Los límites internacionales fueron definidos por una serie de líneas trazadas

astronómicamente y materializadas en el terreno mediante monumentos que están

fijados por levantamientos realizado por la Comisión Internacional (INEGI,

Referencias Geográficas y Extensión Territorial de México, 2015), mientras que los

linderos naturales fueron estipulados mediante acuerdos y tratados

internacionales desde la fundación de la República Mexicana.

De acuerdo a lo que menciona Coll-Hurtado (2000), los límites marinos

proporcionan al país 10 mil kilómetros de litoral. El hecho de estar localizado entre

los dos mayores océanos permite al país contar con abundantes recursos

pesqueros y minerales, así como tener la posibilidad de ampliar sus rutas

comerciales, sobre todo cuando se toma en consideración que la distancia entre el

Atlántico y el Pacífico en el Istmo de Tehuantepec es de tan solo poco más de 200

kilómetros.


208

Fig. IV.2 Límites fronterizos de la República Mexicana. Fuente: INEGI, 2015.

4.3.3 Extensión Territorial.

Los Estados Unidos Mexicanos cuenta con una extensión territorial de

5’114,295 km2 mismo que se integra por una superficie continental, marítima e

insular y está distribuido casi por partes iguales, a ambos lados del trópico de

Cáncer. El perímetro del país es de 15,518 km, de los cuales 11,208 km son

litorales y 4,310 km fronteras.

Según el artículo 42 de la Constitución Política de México especifica que el

país está integrado por entidades federativas; islas, arrecifes y cayos en los mares

adyacentes; las islas Guadalupe y Benito Juárez; la plataforma continental y los

zócalos submarinos; las aguas de los mares territoriales y los mares interiores, y el

espacio aéreo situado sobre el territorio nacional.


209

De acuerdo a lo anterior, el territorio nacional correspondiente a la zona

continental cuenta con una superficie de 1’958,248 km2 y 5’127 km2 de superficie

insular, siendo esta última distribuida en más de tres mil islas que se encuentran

en la ZEEM, además de las que se localizan en los ríos, lagos, lagunas y presas.

En el recuento de territorio insular se incluyen islas pequeñas, islotes, cayos o

rocas que no tienen nombre y se identifican por sus coordenadas geográficas.

Entre ellas destacan los archipiélagos de Revillagigedo (Socorro, Clarión, San

Benedicto, Roca Partida), y las islas Marías, en el Pacífico; las islas de

Guadalupe, Cedros, Ángel de la Guarda, Coronado, Rocas Alijos, Isla del Tiburón,

Isla del Carmen, frente a la península de Baja California y la costa de Sonora; y las

de Ciudad del Carmen, Cozumel, Mujeres, y el arrecife Alacranes, en la cuenca

atlántica.

La zona marítima nacional o también conocida como Mar patrimonial, tiene

su fundamento según la Ley Federal del Mar proclamada en 1986, y está

constituido por el mar territorial, la zona contigua y la zona económica exclusiva,

las cuales se describen a continuación:

Mar Territorial. Constituye la franja del mar adyacente a las costas

nacionales, sean continentales o insulares, en la cual la Nación ejerce

soberanía, incluyendo el lecho y subsuelo de ese mar, así como el espacio

aéreo supra yacente. La anchura es de 12 millas náuticas (22,224 m),

medidas a partir de la línea de base, sean normal o rectas o una

combinación de las mismas. La superficie del Mar Territorial Mexicano,

adyacente al continente, es de 231,813 km2.

Zona Contigua. Es una zona adyacente al mar territorial con una

superficie de 200,855 km2, que se extienden hasta las 24 millas náuticas

(44,448 m), contadas a partir de las líneas de base, de las cuales se mide la

anchura del Mar Territorial.


210

La Zona Económica Exclusiva de México (ZEEM). Es un área situada

más allá del mar territorial y adyacente a éste. Comprende la franja de mar

que se mide desde el límite exterior del mar territorial hasta una distancia

máxima de 300 millas náuticas (684.5 km) mar adentro, contadas a partir de

la línea base desde la que se mide la anchura de éste, en la cual se

extienden 2’717,252 km2. El límite interior de la ZEE coincide idénticamente

con el límite exterior del Mar Territorial. En esta zona la Nación ejerce

derechos de soberanía para fines de exploración y explotación económica,

es decir, es una zona donde los barcos mexicanos pueden circular

libremente con fines de transporte o para aprovechar sus recursos

naturales.

La ZEEM se adoptó por decreto presidencial el 26 de enero de 1976,

según el párrafo 8º del artículo 27 constitucional, en donde se habla de

dicha zona fuera del mar territorial, pero adyacente a este, y sobre el cual el

Estado ejercerá los derechos de soberanía y las jurisdicciones que

determinen las leyes del Congreso para fines de exploración y explotación

económicas.

Resumiendo, las porciones territoriales de la República Mexicana se

muestran en el siguiente mapa y cuadro.


211

Porción Superficie (Km2)

Continental. 1’959,248

Insular 5,127

Zona Terrestre 1’964,375

Mar Territorial 231,813

Zona Contigua 200,855

ZEEM 2’717,252

Zona Marítima 3’149,920

Superficie Total. 5’114,295

Tabla IV.6 Extensión territorial de la república mexicana. Fuente CONABIO 2015.

En América, México ocupa el 5° lugar en extensión territorial y el 3° por el

número de sus habitantes. Es casi 5 veces menor que Canadá, cuatro veces

inferior a Brasil, cuatro y media veces menor que Estados Unidos y con área un

tercio menor a la de Argentina; mientras que podría encerrar diecisiete veces a

Guatemala dentro de sus fronteras, dos veces a Venezuela, casi tres veces a

Chile, cuatro veces a Paraguay y cuatro veces a Ecuador.

Puede afirmarse que México queda comprendido en el grupo de países de

extensión superficial mediana y por su población, en el grupo de naciones también

de mediana población absoluta (INEGI, Referencias Geográficas y Extensión

Territorial de México, 2015).


212

Fig. IV.3 Extensión territorial de la República Mexicana. Fuente: INEGI, 2015.

4.3.4 División Política.

Por decreto constitucional, la forma de gobierno de los Estados Unidos

Mexicanos es una república representativa y federal y democrática conformada

por estados libres y soberanos, según reza en su constitución. Es un régimen

presidencialista en el que el presidente, es jefe de Estado y de gobierno al mismo

tiempo.

El gobierno de la República Mexicana está integrado por 32 entidades

federativas, de las cuales 31 son estados y la restante es un Distrito Federal

donde se encuentra la sede de los Poderes de la Unión. Cada uno de esos

estados se divide territorial y políticamente en municipios, además de que, con

base en el principio del federalismo, en los artículos 115 y 116 de la Constitución

se establece que “adoptaran para su régimen interior la forma de gobierno

republicana, representativa y popular”, y de su poder público “se dividirá, para su


213

Fig. IV.4 División política de los Estados Unidos Mexicanos. Fuente: INEGI, 2015.

ejercicio, en Ejecutivo, Legislativo y Judicial”. Pero aun cuando los estados de la

República son autónomos, puesto que pueden dictar su propia constitución y

elegir su propio gobierno, el pacto federal los obliga a subordinarse a la

Constitución general y al gobierno de la Unión. En cuanto al Distrito Federal,

dividido en Delegaciones, su gobierno es ejercido directamente por un Jefe de

Gobierno del Distrito Federal (Delgado de Cantú, 2003).

En el INEGI se utilizan con fines censales los límites geoestadísticos y no

los político administrativos.

A continuación se presenta el cuadro y mapa de la división política de

México incluyendo las extensiones territoriales de las diferentes entidades

federativas y sus respectivas coordenadas geográficas.


214

No. Entidad

Federativa Ciudad Capital.

Coordenadas Superficie (Km2) Latitud Longitud

1. Aguascalientes Aguascalientes 22º01’18” N 102º21’23” W 5,589

2. Baja California Mexicali 29º57’00” N 115º07’00” W 70,113

3. Baja California

Sur La Paz 25º50’46” N 111º58’22” W 73,677

4. Campeche Campeche 18º50’11” N 90º24’12” W 51,833

5. Coahuila de

Zaragoza Saltillo 27º18’08” N 102º02’41” W 151,571

6. Colima Colima 19º05’48” N 103º57’39” W 5’455

7. Chiapas Tuxtla Gutiérrez 16º24’36” N 92º24’31” W 73,887

8. Chihuahua Chihuahua 28º48’51” N 106º26’22” W 247,087

9. Distrito Federal Ciudad de México 19º25’10” N 99º08’44” W 1,499

10. Durango Victoria de Durango

24º56’05” N 104º54’43” W 73,677

11. Guanajuato Guanajuato 21º01’08” N 101º15’46” W 30,589

12. Guerrero Chilpancingo de

Bravo 17º36’47” N 99º57’00” W 63,794

13. Hidalgo Pachuca de Soto 20º28’42” N 98º51’49” W 20,987

14. Jalisco Guadalajara 20º34’00” N 103º40’35” W 80,137

15. México Toluca de Lerdo 19º21’15” N 99º37’51” W 21,461

16. Michoacán de

Ocampo Morelia 19º10’07” N 101º53’59” W 59,864

17. Morelos Cuernavaca 18º44’51” N 99º04’31” W 4,941

18. Nayarit Tepic 21º44’38” N 105º13’32” W 27,621

19. Nuevo León Monterrey 25º34’00” N 99º58’14” W 64,555


215

20. Oaxaca Oaxaca de

Juárez 16º53’53” N 96º24’51” W 95,364

21. Puebla Heroica Puebla

de Zaragoza 19º00’13” N 97º53’18” W 33,919

22. Querétaro de

Arteaga Santiago de Querétaro

20º35’28” N 100º23’28” W 11,769

23. Quintana Roo Chetumal 19º36’00” N 87º55’00” W 50,350

24. San Luis Potosí San Luis Potosí 22º36’12” N 100º25’47” W 62,848

25. Sinaloa Culiacán Rosales 25º00’10” N 107º30’10” W 58,092

26. Sonora Hermosillo 29º38’46” N 110º52’08” W 184,934

27. Tabasco Villahermosa 17º58’20” N 92º35’20” W 24,661

28. Tamaulipas Ciudad Victoria 24º17’14” N 98º33’48” W 79,829

29. Tlaxcala Tlaxcala de Xicohténcatl

19º25’44” N 98º09’39” W 3,914

30. Veracruz Llave Xalapa de Enríquez

19º11’25” N 96º09’12” W 72,815

31. Yucatán Mérida 20º50’00” N 89º00’00” W 39,340

32. Zacatecas Zacatecas 23º17’34” N 102º42’02” W 75,040

Tabla IV.7 Entidades federativas de los estados unidos mexicanos. Fuente INEGI 2015.

4.3.5 Husos Horarios.

Con la finalidad de establecer un sistema de tiempo general y puesto que la

tierra gira alrededor de su eje en un lapso aproximado de 24 horas, por acuerdos

internacionales se establecieron 24 zonas o husos horarios, mismos que tiene una

amplitud meridiana de 15º de longitud, donde cada huso cuenta con un Meridiano

Central (MC). El MC de cada huso horario determina la hora para toda esa franja

meridiana, siendo estos referidos al meridiano de Greenwich o meridiano 0º y

puesto que la tierra gira en sentido oeste-este provoca que en los husos horarios


216

orientales sea más tarde, mientras que para los occidentales sea más temprano

(INEGI, Datos Básicos de la Geografía de México, 1991).

La Ley de husos horarios, publicada en el DOF el día 29 de diciembre del

2001, establece la Hora Oficial en un punto determinado del territorio nacional en

función de la posición geográfica. Así mismo, define las zonas horarias y la forma

en que se relaciona la hora en cada zona con la hora del meridiano cero. Cabe

indicar que la hora del meridiano cero está determinada por la escala de tiempo

denominada Tiempo Universal Coordinado, UTC. Es oportuno indicar que la

escala de tiempo UTC es generada por la Oficina Internacional de Pesas y

Medidas (BIPM), que es una escala de tiempo para propósitos científicos y que es

virtual (no existe una señal física asociada a dicha escala). En México la

realización física del UTC está a cargo del Centro Nacional de Metrología la cual

es denominada UTC (CNM).

El territorio de México queda cortado por tres husos horarios, 90º, 105º y

120º. Por mucho tiempo se cumplió esta convención, pero observando los

inconvenientes que su aplicación producía, se resolvió que la mayor parte del país

adoptara el tiempo del meridiano de 90° W y únicamente los estados de Sonora,

Chihuahua, Sinaloa, Nayarit y Baja California Sur se rigieran por el tiempo del

meridiano 105°, una hora menos que el de 90º (tiempo que sigue vigente)

Asimismo Baja California adoptó el tiempo del meridiano 120°, dos horas menos

que el de la mayor parte del país (funcionando así hasta la fecha).

La Hora Oficial en los Estados Unidos Mexicanos es la materialización de

las escalas de tiempo que rigen en el territorio nacional y corresponden a la

realización del UTC en nuestro país. El CENAM, como lo indican sus atribuciones

en la LFMyN, establece el patrón nacional de escalas de tiempo, u hora oficial, y la

Secretaría de Economía lo reconoce como tal (publicación del DOF del lunes 4 de

junio del 2007), en virtud de la atribución que la LFMyN le otorga. La Hora Oficial

en los Estados Unidos Mexicanos está definida en términos del UTC (CNM) de

acuerdo a las siguientes relaciones:


217

Fig. IV.5 Husos horarios y tiempo oficial para la República Mexicana. Fuente: INEGI, 2015.

Tiempo Fórmula Huso

Del Sureste (TS) TS = UTC(CNM) − 5 90º W

Del Centro (TC) TC = UTC(CNM) − N 90º W

Del Pacífico (PC) PC = UTC(CNM) − (N + 1) 105º W

Del Noroeste (PN) PN = UTC(CNM) − (N + 2) 120º W

Tabla IV.8 Husos horarios de la república mexicana. Fuente CENAM 2016.

Donde N es 6 horas para el horario de invierno y 5 horas para el horario de

verano. El Horario de verano se aplica del primer domingo de abril a las 2h00 de la

mañana al último domingo de octubre a las 2h00 de la mañana.


218

La Hora Oficial de los Estados Unidos Mexicanos se genera en base a la

operación de una serie de relojes atómicos ubicados en el Centro Nacional de

Metrología. La variabilidad de la Hora Oficial es cercana a 0.03 millonésimas de

segundo por año y es independiente de las variaciones en la rotación terrestre

(Secretaría de Economía, 2012).

4.3.6 Autoridad Encargada de la Elaboración de Cartografía

Nacional.

En México el Instituto Nacional de Estadística y Geografía (INEGI) es el

encargado de coordinar el Sistema de Información Geográfica en el país y el

levantamiento de la Cartografía Nacional, aunque existen otras Instituciones como

la UNAM, que a partir de algunos Institutos como el Instituto de Geografía,

Geología y Geofísica, hacen estudios y realizan mapas de muy diversos temas,

además de otras Instituciones y Secretarías como la Defensa Nacional,

SAGARPA, Comunicaciones y Transportes, Servicio Geológico Mexicano, etc.,

que tienen como base la cartografía topográfica del INEGI.

Con la promulgación de la Ley del Sistema Nacional de Información

Estadística y Geográfica (LSNIEG) el 16 de abril de 2008, estipula que el INEGI

cuenta con una personalidad jurídica, adquiriendo autonomía técnica y de gestión,

por lo que dicha institución es un órgano descentralizado con autoridad propia.

Además en el En el Título Segundo de la Ley del Sistema Nacional de

Información Estadística y Geográfica Capítulo I del sistema, artículo 3 se establece

que:

“El Sistema Nacional de Información Estadística y Geográfica, conocido por

sus siglas SNIEG, tiene la finalidad de suministrar a la sociedad y al Estado

Información de calidad, pertinente, veraz y oportuna, a efecto de coadyuvar al

desarrollo nacional.”


219

El SNIEG tiene como propósito generar e integrar la información estadística

y geográfica de interés nacional de forma homogénea para todos los participantes

a fin de proporcionar el servicio público de información a todos los sectores de la

sociedad.

Algunos de los principales productos que contienen información geográfica

y que de acuerdo a la Ley rectora del INEGI mencionada anteriormente y que en

el Título primero, Disposiciones Generales se comprende como “el conjunto

organizado de datos espaciales georreferenciados, que mediante símbolos y

códigos genera el conocimiento acerca de las condiciones físico ambientales, de

los recursos naturales y de las obras de naturaleza antrópica del territorio

nacional”

De manera general la información Geográfica se agrupa como se describe

a continuación:

1. Información Topográfica

2. Imágenes de percepción remota

3. Información Geodésica

4. Información de Recursos Naturales

5. Información del Marco Geoestadístico

6. Información Urbana

7. Información Catastral

8. Promoción y Difusión de la Actividad Geográfica

9. Compendios

10. Productos Cartográficos

11. Publicaciones

12. Informes de campo (muestras)

13. Sistemas de Consulta

Entre sus principales productos cartográficos se encuentran, Atlas Nacional,

Cartografía Aeronáutica, Cartografía Geológica, Cartografía Geoidal o


220

Gravimétrica, Cartografía Topográfica, Cartografía Hidrológica, Fotografías

Aéreas, Imágenes Satelitales, Mapa Digital de México, Metadatos, Datos LIDAR,

Modelos Digitales de Elevación, entre otros.

4.3.7 Proyecciones y Escalas Cartográficas para la República

Mexicana.

Para establecer las disposiciones mínimas que regulen la correcta edición de la

cartografía topográfica nacional, de modo que se normalicen los formatos y las

escalas de representación de la misma, así como de los elementos y símbolos

cartográficos, el INEGI en el año 2006 expide la Norma Técnica para la Edición de

Cartografía Topográfica (NTG-013-2006), en la cual se redactan las características

y requerimientos necesarios para las proyecciones, escalas, simbología,

nomenclatura, medidas oficiales y demás elementos necesarios para la

elaboración de documentos cartográficos para la República Mexicana.

Esta norma estipula las escalas cartográficas oficiales para la

representación del territorio Mexicano y zonas específicas, mismas que son las

siguientes.

Escalas Cartográficas Oficiales

{

Chicas {

1: 4′000,0001: 1′000,0001: 500,000

Medianas {

1: 250,0001: 100,0001: 50,0001: 20,000

Grandes

{

1: 10,0001: 5,0001: 2,0001: 1,0001: 500


221

Esta misma norma designa como proyecciones oficiales para la elaboración

de documentos cartográficos del territorio nacional, las proyecciones UTM, TM o

GK y Cónica Conforme de Lambert (CCL) con dos paralelos tipo, mismas que

deberán cumplir las siguientes especificaciones:

Proyección Universal Transversa de Mercator (UTM).

► Elipsoide de referencia Geodetic Reference System de 1980

(GRS 80), especificado en la Norma Técnica NTG-001-2004

Sistema Geodésico Nacional, emitida por el INEGI.

► Factor de escala (ko) en el MC: 0.999600

► Longitud de Origen: MC en cada zona, para la República

Mexicana le corresponden: 87º, 93º, 99º, 105º, 111º y 117º al

Oeste del Meridiano de Greenwich.

► Latitud de Origen: 0º, en el Ecuador.

► Zonas UTM: 11, 12, 13, 14, 15, 16 y 17

► Fajas UTM: P, Q, R y S

► Unidad de medida: Metro.

► Falsa Ordenada (Norte): 0.000000 metros en el ecuador para

el Hemisferio Norte.

► Falsa Abscisa (Este): 500,000.000000 metros para el MC de

cada Zona.

► Se utiliza para representar zonas pequeñas y hasta entidades

federativas completas para cartas con escalas que van de la

1:500 hasta 1:500,000

Proyección Cónica Conforme de Lambert (CCL).

► Elipsoide de referencia: Geodetic Reference System de

1980 (GRS 80).

► Latitud del primer paralelo base: 17º 30’ 00” N.

► Latitud del segundo paralelo base: 29º 30’ 00” N


222

► Longitud del MC: 102º 00’ 00” W

► Latitud de Origen de la Proyección Cartográfica: 12º 00’ 00”

N

► Factor de escala (ko) sobre el MC: 1.0

► Falso Este: 2’500,000.000

► Falso Norte: 0.000

► Esta proyección presenta la configuración y los accidentes

geográficos con errores muy pequeños. Es utilizada para

representar todo el territorio nacional, o regiones que

comprendan varios estados, por lo que es ocupada para

cartas en las escalas 1: 1’000,000 y 1:4’000,000.

Proyección Transversa de Mercator (TM) o Gauss-Krüger (GK).


1980 (GRS 80).

► Longitud del MC: 102º 00’ 00” W.

► Latitud de Origen de la Proyección Cartográfica: 14º 00’ 00”

N.

► Factor de escala (ko) sobre el MC: 1.0

► Falso Este: 2’500,000.000


► Es utilizada para representar todo el territorio nacional, por

lo que es ocupada para cartas únicamente en la escala

1:4’000,000.


223

Proyección Transversa de Modificada Ejidal (TME).


1980 (GRS 80).

► Longitud del MCE: Dependerá de la zona de estudio,

donde dicha longitud será redondeada al minuto más

cercano.

► Factor de escala (ko) sobre el MCE: 1.0

► Falso Este: 500,000.000000


► Es utilizada única y exclusivamente para representar

principalmente terrenos ejidales, aplicada comúnmente en

escalas grandes. Dada esta situación se vuelve una

proyección opcional de apoyo y no oficial (local).

En cuanto a la proyección Mercator Simple esta es utilizada por la

Secretaría de Marina (SEMAR) para la elaboración de cartografía náutica la cual

sirve como sustento para estudios oceanográficos y el trazo de rutas de

navegación en la zona marítima del estado mexicano. La elaboración de

documentos cartográficos en esta proyección cumple los términos, parámetros y

escalas oficiales estipuladas por SEMAR, siendo estos distintos a los estipulados

por el INEGI. La proyección TME sólo es utilizada por organismos como el

Registro Agrario Nacional para referir sus trabajos topográficos, convirtiéndola en

un sistema de proyección arbitrario o local.

En resumen las proyecciones y escalas cartográficas oficiales para la

República se presentan en la siguiente tabla.


224

Escala Proyección

1:4 000 000 Cónica Conforme de Lambert o

Transversa de Mercator

1:1 000 000 Cónica Conforme de Lambert

1:500 000 Universal Transversa de Mercator








1:500 Universal Transversa de Mercator

Tabla IV.9 Escalas y proyecciones cartográficas para la república mexicana. Fuente INEGI 2006

4.3.8 Sistemas de Referencia Geodésicos Oficiales para la

Elaboración de Cartografía Mexicana.

Los sistemas de referencia geodésicos definen la forma y dimensión de la

Tierra, así como el origen y orientación de los sistemas de coordenadas. Los

sistemas de referencia geodésicos pueden ser descritos en base a dos modelos

matemáticos: el esférico y el elipsoídico, los cuales son obtenidos en base

parámetros físicos medidos sobre la superficie terrestre, tales como la aceleración

de gravedad (Guevara Ortíz, 2004).

Según la Norma Técnica NTG-001-2004 estipulada por el INEGI, se definen

las disposiciones, parámetros y características mínimas que debe de cumplir el


225

Sistema Geodésico Nacional (SGN), mismo que es de carácter obligatorio para la

plena y adecuada ejecución de todos los levantamientos geodésicos realizados en

suelo mexicano, mismos que van ligados a los algoritmos de transformación de las

proyecciones cartográficas oficiales.

Para el desarrollo del trabajo cartográfico se es necesario conocer

previamente los sistemas de coordenadas geodésicas horizontales, verticales al

cual está referido la zona de estudia destinada a la representación cartográfica.

Estos dos sistemas son los pilares fundamentales del sistema nacional, los cuales

serán descritos a continuación.

Constante Alías Valor

Semieje Mayor 𝑎 6 378 137 m

Velocidad Angular ω 7 292 115 x 10−11 Rad/Seg

Constante Gravitacional Geocéntrica

GM 3 986 005 x 10−8 m/Seg2

Factor Dinámico de Forma no Normalizado

J2 108 263 x 10−8

Semieje Menor 𝑏 6 356 752.3141 m

Excentricidad Lineal E 521 854.0097

Radio Polar 𝑐 6 399 593.6259 m

Primera Excentricidad al Cuadrado

𝑒2 0.006 694 380 022 90

Segunda Excentricidad al Cuadrado

𝑒′2 0.006 739 496 775 48

Achatamiento 𝑓 0.003 352 810 681 18

Recíproco del Achatamiento.

1/𝑓 298.257 222 101

Cuadrante Meridiano Q 10 001 965.7293 m

Radio Medio R1 6 371 008.7714 m


226

Radio de la Esfera de la Misma Superficie

R2 6 371 007.1810 m

Radio de la Esfera del Mismo Volumen

R3 6 371 000.7900 m

Gravedad Normal en el Ecuador

γe 978 032.677 15 mGals

Relación de la Aceleración Centrífuga

con Respecto a γe

m′ 0.003 449 786 003 08

Tabla IV.10 Principales constantes geométricas y físicas del elipsoide GRS 80. Fuente INEGI 2006

Sistema de Referencia Geodésico Horizontal (Datum Horizontal).

El SGN, se adopta el conceptualizado por la Asociación Internacional

de Geodesia a través del Sistema Geodésico de Referencia (GRS80), y

éste deberá estar referido al Marco de Referencia Terrestre Internacional

(ITRF) definido por el Servicio Internacional de Rotación de la Tierra (IERS)

para el año 2008, con datos de la época 2010.0 denominado ITRF08 época

2010.0 asociado al elipsoide de referencia GRS80, el cual es el Marco de

Referencia oficial para México.

El sistema es geocéntrico, global, tridimensional, dinámicamente

definido y de muy alta precisión, tiene su origen en los estudios y trabajos

del IERS (International Earth Rotation Service), con base en la combinación

de varias soluciones globales tridimensionales y se propuso como patrón al

cual referir todos los trabajos geodésicos. El sistema anterior (ITRF92) dio

lugar a la creación de la red geodésica nacional vigente, denominada Red

Geodésica Nacional Activa (RGNA), constituida por 16 estaciones fijas

distribuidas en todo el territorio nacional, equipadas con instrumental GPS y

las cuales están constantemente monitoreando el paso de los satélites de la

constelación GPS-Navstar y además constituyen la base de apoyo para los

levantamientos geodésicos GPS que se efectúan en el ámbito del territorio

nacional. En adición a lo anterior, se ha creado y está en proceso de


227

densificación la Red Geodésica Nacional Pasiva (RGNP), constituida al

momento por cerca de 80,000 vértices a lo largo de todo el país.

Desde el punto de vista cartográfico, el Sistema Geodésico

Horizontal definido en esta Norma es compatible con el WGS84, así como

SIRGAS, por lo que sólo en aquellos casos en que un proyecto tenga como

requerimiento mejor exactitud posicional se deberá realizar la

transformación de coordenadas de WGS-84 o SIRGAS al ITRF08 época

2010.0 (INEGI, 2010).

Dado que el sistema ITRF08 está asociado al elipsoide GRS80 a

continuación se describen los elementos geométricos de dicho parámetro.

Sistema de Referencia Geodésico Vertical (Datum Vertical).

En lo que respecta a las alturas, todo punto perteneciente a un

levantamiento geodésico vertical, deberá estar referido al nivel de referencia

vertical definido por el Datum Vertical Norteamericano de 1988 (NAV88),

debiéndose expresar sus valores en metros, identificado por la estación

geodésica ubicada en el mareógrafo de Rimouski, en Québec, Canadá.

Dicho Marco en su vertiente vertical se deberá materializar mediante

levantamientos geodésicos verticales que comprendan todas aquellas

operaciones de campo dirigidas a determinar la distancia vertical que existe

entre Estaciones Geodésicas situadas sobre o cerca de la superficie

terrestre y el nivel de referencia adoptado. Por lo que la representación

cartográfica de dichos valores tienen que estar referidos ha dicho sistema,

así mismo toda Estación Geodésica perteneciente a un Levantamiento

Geodésico Vertical, deberá estar relacionado al nivel de referencia vertical,

definido por el NAVD88, debiéndose expresar los valores de altura en

metros en el sistema de Alturas Ortométricas (H) derivado de los números

geopotenciales.


228

4.4 Fórmulas de Derivación Modificadas.

De manera previa a la amplificación de fórmulas de transformación para el

sistema GK será necesario encontrar una metodología eficiente la cual permita el

adecuado desarrollo de dichas ecuaciones.

Como se mostraba en el subcapítulo 3.5, el desarrollo de las fórmulas de

transformación de coordenadas directa e inversa para la proyección Transversa de

Mercator o representación Gauss-Krüger, es afectada por funciones complejas, las

cuales solo se pueden resolver por el método numérico de la serie de Taylor,

teniendo estas ecuaciones un grado de dificultad alto para la resolución por

métodos algebraicos clásicos.

La aplicación de la serie de Taylor a la función de la latitud isométrica (Φ)

(proceso de transformación de coordenadas inverso) y en el desarrollo de la

integral elíptica de la longitud de arco de meridiano (∫ 𝜌 𝑑𝜑), así mismo la función

del radio de un paralelo distinto al Ecuador y su forma inversa (𝑁 cos𝜑) (proceso

de transformación directo e inverso), hacen que el desarrollo y aplicación de la

serie de Taylor a dichas ecuaciones se torne difícil dado a la estructura algebraica

que componen dichas ecuaciones, generando así que el número de términos

resultantes en las derivadas de orden superior o derivadas consecutivas vayan

aumentado gradualmente conforme al grado o número de veces que se requiera

derivar la función original, propiciando a obtener resultados exageradamente

grandes que estén sujetos a funciones trigonométricas repetitivas.

Esta circunstancia incita a que se realicen diferentes cambios de variable,

reduciendo los resultados obtenidos en el proceso de derivación, para que de esta

manera, se pueda facilitar la comprensión de los datos obtenidos, pero la

problemática vuelve aparecer cuando este resultado se tiene que volver a derivar

de acuerdo a la fórmula de la seria de Taylor, haciendo que los cambios de

variable se sustituyan con el valor original, generando una cadena repetitiva de

cambio variable – sustitución y viceversa.


229

Los cambios de variable facilitan la interpretación y sustitución de

resultados en la estructura de la serie de Taylor, pero en los términos consecutivos

o derivadas de orden superior, los resultados se tiene que mostrar en su forma

original, debido a que a la variable que se pretende derivar (𝜑 ó 𝜑0) se muestra

implícita en dichos cambios, lo que hace imposible realizar el proceso de

derivación.

Esta serie de cambios y sustituciones, de igual manera la intervención de

funciones trigonométricas exponenciales repetitivas, propician que durante el

inicio, final o intermedio del proceso matemático de derivación y reducción de

términos exista y sea más latente la posibilidad de cometer un error de

equivocación, el cual, si no es detectado a tiempo puede convertirse en un error

sistemático. Siendo el problema más latente y principal, perder la precisión del

dato geográfico de latitud, longitud, abscisa u ordenada requerida al momento de

evaluar la ecuación previamente desarrollada. Dicho de manera simple, la

probabilidad de equivocarse o cometer un error es directamente proporcional al

rango de las derivadas de orden superior y los términos y coeficientes que la

conforman.

Dada esta situación y antes de iniciar con el desarrollo de las fórmulas

completas para la representación completa de la República Mexicana en la

representación GK, será necesario idear un método en el cual se pueda minimizar

el índice de error que se presenta al momento de derivar y realizar los cambios de

variable necesarios para su sustitución en la serie de Taylor y en las formulas

finales, así mismo facilitar el proceso de derivación y reducción de términos. Para

lograr este objetivo de primera mano es ineludible conocer los cambios de

variable, coeficientes, términos y demás parámetros que se utilizan en el

desarrollo de las derivadas, mismos con los que se presentan los resultados

finales de las fórmulas de transformación.


230

Latitud Geodésica Longitud Geodésica Meridiano Central

φ λ MC ó 𝜆0

Amplitud Meridiana Latitud Geodésica del punto de Expansión

Latitud Isométrica del punto de Expansión

∆λ = MC − λ φ0 Φ0

Amplitud de Paralelo Isométrico

Coordenada Este GK Coordenada Norte GK

∆Φ = Φ0 −Φ XGK YGK

Semieje Mayor Semieje Menor Achatamiento

𝑎 𝑏 = 𝑎(1 − 𝑓) 𝑓

Primera Excentricidad Segunda Excentricidad Radio del Primer

Vertical

𝑒 = √1 − (𝑏

𝑎)2

𝑒′ = √𝑒2

1 − 𝑒2

N =𝑎

(1 − 𝑒2 sin2 φ)12

Radio de Curvatura de una Sección Inclinada

Función Seno de la Latitud

Función Coseno de la Latitud

ρ =𝑎(1 − 𝑒2)

(1 − 𝑒2 sin2 φ)32

sin φ cosφ

Tangente de la Latitud Relación de Radios

Geodésicos Producto

t = tanφ N

ρ= 1 + η2 η2 = 𝑒′2 ∙ cos2 φ0

Tabla IV.11 Parámetros base de transformación.

Los términos con los que son expresados los resultados de las derivadas de

orden superior y formulas finales de transformación son mediante las variables 𝜂 y

𝑡, mismos que facilitan de cierta manera la expresión y reducción de las variables

geodésicas, las cuales traen consigo una serie de sustituciones que se vuelven

más difíciles de aplicar de acuerdo al incremento exponencial del polinomio final

de la derivada en cuestión. Siendo esta circunstancia lo que limita a los métodos


231

tradicionales de derivación para la propagación de las derivadas mayores al orden

ocho.

En la actualidad existen métodos algebraicos que satisfacen esta

necesidad, los cuales aplican estas sustituciones en procesos previos al

procedimiento de derivación, dos de estos métodos aplicados al sistema GK y de

los cuales se tiene registro fueron desarrollados por Paul D. Thomas (1952) y

David Hernández López (2009), este último estipulado en su libro Cartografía

Matemática. Estos atienden a la necesidad previamente planteada pero con la

peculiaridad de que solo son viables hasta cierto punto (solo aplican en el

desarrollo de las primeras cinco derivadas, más allá de ellas, el desarrollo se

vuelve complicado y confuso), dada esta situación, ambos métodos se fusionarán

para dar paso a la creación de un nuevo, un método algebraico de derivación que

permita el pleno desarrollo de las fórmulas de transformación directo e inverso

para dicha proyección.

Antes de iniciar con el desarrollo y explicación de este nuevo método, será

necesariamente forzoso recordar el origen de los cambios de variable.

Partiendo de la relación de radios geodésicos.

𝑁

𝜌=

[𝑎

(1 − 𝑒2 sin2 φ)12

]

[𝑎(1 − 𝑒2)

(1 − 𝑒2 sin2 φ)32

]

𝑁

𝜌=

𝑎(1 − 𝑒2 sin2 φ)32

𝑎(1 − 𝑒2)(1 − 𝑒2 sin2 φ)12

=1 − 𝑒2 sin2 φ

1 − 𝑒2

𝑁

𝜌=1 − 𝑒2(1 − cos2 φ)

1 − 𝑒2=1 − 𝑒2 + 𝑒2 cos2 φ

1 − 𝑒2= 1 +

𝑒2

1 − 𝑒2∙ cos2 φ


232

Siendo 𝑒2

1−𝑒2 el valor de la segunda excentricidad del elipsoide, por lo que

dicha relación se interpreta como:

𝑵

𝝆= 𝟏 + 𝒆′𝟐 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝟐𝛗

Pero según Richard H. Rapp (2001), esta ecuación la interpreta con el

siguiente cambio de variable.

V2 =𝑁

𝜌= 1 + 𝑒′2 ∙ cos2 φ

De la ecuación anterior se desprende la variable 𝜂2.

𝜂2 = 𝑒′2 ∙ cos2 φ = (𝑒′ ∙ 𝑐𝑜𝑠 φ)2

De lo anterior se deduce.

𝜼𝒏 = (𝒆′ ∙ 𝒄𝒐𝒔𝛗)𝒏

𝜂 = 𝑒′ ∙ 𝑐𝑜𝑠 φ , 𝜂2 = (𝑒′ ∙ 𝑐𝑜𝑠 φ)2, 𝜂3 = (𝑒′ ∙ 𝑐𝑜𝑠 φ)3

Entonces la variable de Rapp se interpreta como.

𝐕𝟐 = 𝟏 + 𝜼𝟐, 𝐕 = (𝟏 + 𝜼𝟐)𝟏𝟐, 𝐕𝟑 = (𝟏 + 𝜼𝟐)

𝟑𝟐

Mientras que para la variable 𝑡, se interpreta lo siguiente:

𝒕𝒏 = (𝒕𝒂𝒏𝛗)𝒏 = 𝒕𝒂𝒏𝒏𝛗

𝑡 = 𝑡𝑎𝑛φ, 𝑡2 = 𝑡𝑎𝑛2φ, 𝑡3 = 𝑡𝑎𝑛3φ


233

A partir de estas variables se realizaran las modificaciones adecuadas para

obtener fórmulas de derivación confiables, debido a que ambas dependen

directamente de la latitud geodésica, recordando que en los procesos de

derivación, estos se realizan en torno a la latitud, por lo que la longitud se descarta

en esta modificación.

Conociendo esta situación y los términos susceptibles a un proceso

algebraico de derivación se iniciara las modificaciones deseadas, para ello se

realizarán las derivadas de las potencias de dichos términos. Dada su estructura

el primer término a evaluar será 𝜂.

Se tomara como ejemplo dicho término y su valor cuadrático, por lo que las

derivadas serán los siguientes.

𝑓(φ) = 𝜂

𝑓(φ) = 𝑒′ ∙ cosφ

𝑓′(φ) = −𝑒′ ∙ sin φ

𝑓(φ) = 𝜂2

𝑓(φ) = (𝑒′ cos φ)2 = 𝑒′2 ∙ cos2φ

𝑓′(φ) = −2𝑒′2 ∙ cos φ ∙ sinφ

Se puede apreciar que en dicha variable interfiere la función coseno

generando resultado de su respectiva ecuación sea afectada por su función

trigonométrica hermana, el seno en su forma negativa, esta situación será pieza

clave para llevar dichos resultados a la variables deseadas.

Para cumplir con lo anterior al resultado de dichas derivadas serán

racionalizadas por la multiplicación y división de la función coseno (cosφ

cosφ), de esta

manera equilibrar la función y expresar el resultado final en función de 𝜂 y 𝑡.

Racionalizando se tiene:


234

𝑓′(φ) = −𝑒′ ∙ sin φ

𝑓′(φ) = −(𝑒′ ∙ sin φ) ∙ 1

𝑓′(φ) = −(𝑒′ ∙ sin φ) ∙ (cosφ

cosφ)

𝑓′(φ) = −(𝑒′ ∙ cosφ) ∙ (sinφ

cosφ)

𝑓′(φ) = −𝑒′ ∙ cosφ ∙ tanφ

𝑓′(φ) = −2𝑒′2 cosφ ∙ sinφ

𝑓′(φ) = −(2𝑒′2 cosφ ∙ sinφ) ∙ 1

𝑓′(φ) = −(2𝑒′2 cosφ ∙ sinφ) ∙ (cosφ

cosφ)

𝑓′(φ) = −(2𝑒′2 ∙ cos2 φ) ∙ (sinφ

cosφ)

𝑓′(φ) = −2 ∙ 𝑒′2 ∙ cos2 φ ∙ tanφ

Efectuando el cambio de variable, se tiene que:

𝒇′(𝛗) = −𝜼 ∙ 𝒕 𝒇′(𝛗) = −𝟐 ∙ 𝜼𝟐 ∙ 𝒕

Es de esta manera como logra expresar la derivada de 𝜂 en función de si

misma, pero dada la intervención de la función coseno de la latitud geodésica en

esta ecuación y su repetitiva aparición en las derivadas de orden superior, se

tendrá que realizar una misma modificación, en la cual se excluya la función seno

de φ.

Para ello se realizara la derivación de la función del coseno y su forma

cuadrática.

𝑓(φ) = cosφ , 𝑓(φ) = cos2 φ

Derivando se tiene que:

𝑓′(φ) = − sinφ , 𝑓′(φ) = −2 sinφ ∙ cosφ

Multiplicando por cosφ

cosφ ambos resultados.


235

𝑓′(φ) = − sinφ ∙ (cosφ

cosφ) 𝑓′(φ) = −2 sinφ ∙ cosφ ∙ (

cosφ

cosφ)

𝑓′(φ) = − cosφ ∙ (sin φ

cosφ) 𝑓′(φ) = −2 ∙ cos2 φ ∙ (

sin φ

cosφ)

𝑓′(φ) = − cosφ ∙ tanφ 𝑓′(φ) = −2 ∙ cos2 φ ∙ tanφ

Efectuando el cambio de variable, se tiene que:

𝒇′(𝛗) = −𝒕 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝛗 𝒇′(𝛗) = −𝟐 ∙ 𝒕 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝟐𝛗

Poniendo claro estos resultados y su relación con las variables η y t, se

aprecia que, cuando la latitud es el argumento de la función coseno, siendo este

último objeto de derivación, se es forzoso realizar la racionalización, multiplicando

por cosφ

cosφ el resultado de la derivada, volviéndose este en un factor constante. Con

este artificio algebraico se consigue que de forma racional el término −sinφ

forme parte del cambio de variable 𝑡 y los términos restantes conformen la

sustitución para la variable 𝜂.

Es mediante la racionalización que se puede realizar una modificación a las

fórmulas de derivación habituales, logrando así obtener nuevas fórmulas las

cuales no dependan directamente de la variable φ, pero que faciliten el cálculo

entorno a ella.

De acuerdo a esta hipótesis, se podrán modificar las fórmulas de derivación

clásicas, obligándolas a que sus expresiones finales se presenten en las variables

ya estipuladas.

Para el Coseno de la latitud se tiene.

𝑓(φ) = cosφ

𝑓(φ) = cos𝑛 φ = (cosφ)𝑛


236

𝑓′(φ) = 𝑎 ∙ (cosφ)𝑎−1 ∙ (cosφ)′

𝑓′(φ) = −𝑎 ∙ (cosφ)𝑎−1 ∙ sin φ

Multiplicando por cosφ

cosφ

𝑓′(φ) = [−𝑛 ∙ (cosφ)𝑛−1 ∙ sin φ] ∙ 1

𝑓′(φ) = [−𝑛 ∙ (cosφ)𝑛−1 ∙ sin φ] ∙ (cosφ

cosφ) = −𝑛 ∙ (cosφ)𝑛−1 ∙ cos φ ∙ (

sinφ

cosφ)

𝑓′(φ) = −𝑛 ∙ (cosφ)𝑛−1+1 ∙ tanφ = −𝑛 ∙ (cos φ)𝑛 ∙ tanφ

𝑓′(φ) = −𝑛 ∙ cos𝑛 φ ∙ tanφ


𝑓′(φ) = −𝑛 ∙ cos𝑛 φ ∙ 𝑡

Por lo que finalmente la formula modificada del coseno se expresa como:

𝒇′(𝐜𝐨𝐬𝛗) = −𝒏 ∙ 𝒕 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝒏𝛗

Este mismo procedimiento se aplicara a las derivadas de las ecuaciones

que contemplen la variable 𝜂.

𝑓(φ) = 𝜂𝑛

𝑓(φ) = (𝑒′ cosφ)𝑛 = 𝑒′𝑛 ∙ cos𝑛 φ

Derivando.

𝑓′(φ) = [𝑒′𝑛∙ cos𝑛 φ]′

𝑓′(φ) = 0 ∙ cos𝑛 φ + 𝑒′𝑛∙ (cos𝑛 φ)′


237

𝑓′(φ) = 𝑒′𝑛∙ (cos𝑛 φ)′

Para evitar el paso de la racionalización, la derivada del coseno será

remplazada por la formula previamente modificada.

𝑓′(φ) = 𝑒′𝑛(−𝑛 ∙ 𝑡 ∙ cos𝑛 φ) = −𝑛 ∙ 𝑡 ∙ 𝑒′

𝑛∙ cos𝑛 φ

Recordando que si 𝑒′ y cosφ comparten la misma potencia se convierten

en 𝜂, por lo que finalmente la derivada modificada de dicha variable será la

siguiente:

𝑓′(φ) = −𝑛 ∙ 𝑡 ∙ 𝑒′𝑛∙ cos𝑛 φ = −𝑛 ∙ 𝑡 ∙ 𝜂𝑛

𝒇′(𝜼) = −𝒏 ∙ 𝜼𝒏 ∙ 𝒕

Es así como se determinan las modificaciones para las derivadas que

dependen de la función trigonométrica del coseno de la latitud, por lo que la última

modificación se realizaría a los términos que contemplan a la tangente de la

latitud.

La modificación de la derivada de la tangente, es más sencilla a

comparación que la del coseno, dado que el resultado de la derivada de dicha

función es igual a la sec2φ, por lo que se recurrirá a una sustitución trigonométrica

en donde el valor de tangente y su derivada se relacionen entre sí.

Entonces para 𝑡.

𝑓(φ) = 𝑡 = tanφ

𝑓′(φ) = sec2φ

Dónde:

tan2φ + 1 = sec2φ


238

Sustituyendo se tiene:

𝑓′(φ) = tan2φ + 1

Realizando el cambio de variable se puede decir.

𝑓′(φ) = 𝑡2 + 1 ∴ 𝒇′(𝐭) = 𝒕𝟐 + 𝟏

La fórmula anterior se emplea solo sí la variable toma como potencia la

unidad, en caso de ser una potencia distinta a esta se recurrirá a una fórmula

similar a la anterior. La cual se describe a continuación.

Suponiendo una función 𝑡𝑛, donde 𝑎 ≠ 1 y siendo esta misma una

constante.

𝑓(𝑡) = 𝑡𝑛

Derivando.

𝑓′(𝑡) = (𝑡𝑛)′

𝑓′(𝑡) = 𝑛 ∙ 𝑡𝑛−1 ∙ (𝑡)′

Sustituyendo el valor de la derivada de 𝑡 previamente modificada.

𝑓′(𝑡) = 𝑛 ∙ (𝑡𝑛−1) ∙ (𝑡2 + 1)

𝑓′(𝑡) = 𝑛 ∙ 𝑡2 ∙ (𝑡𝑛−1) + 𝑛 ∙ (𝑡𝑛−1) = 𝑛 ∙ 𝑡2+𝑛−1 + 𝑛 ∙ 𝑡𝑛−1

𝑓′(𝑡) = 𝑛 ∙ 𝑡𝑛+1 + 𝑛 ∙ 𝑡𝑛−1

Entonces finalmente la derivada modificada para la variable 𝑡 con una

potencia distinta de la unidad se expresa como:


239

𝒇′(𝐭𝒏) = 𝒏(𝐭𝒏+𝟏) + 𝒏(𝐭𝒏−𝟏)

De esta manera las derivadas de las variables 𝜂, 𝑡 y él cosφ se pueden

expresar en función de las mismas, sin perder la esencia y el equilibrio de la

función original, logrando de esta manera una fácil notación para su unificación

con la serie de Taylor, evitando expresiones trigonométricas exageradas y

diferentes a las originales.

Además de las modificaciones realizadas a las variables base también será

necesario realizar una modificación a las derivadas de las fórmulas de radios

geodésicos que interfieren en el desarrollo de las series de Taylor, esto con el fin

de expresar todos los resultados que en este teorema aparecen en términos de 𝜂,

𝑡 y cosφ. Para lograr esto, se partirá de las modificaciones realizadas por Paul D.

Thomas (1952), mismos que son explicados en el inciso 6.4.1 de este documento.

Para el radio de curvatura del primer vertical (𝑁), será necesario

racionalizar por 𝜌

𝜌

𝑓′(𝑁) = (𝑁 − 𝜌) tanφ

𝑓′(𝑁) = [(𝑁 − 𝜌) tanφ] ∙ 1 = [(𝑁 − 𝜌) tanφ] ∙ (𝜌

𝜌)

𝑓′(𝑁) =(𝑁 − 𝜌)

𝜌∙ 𝜌 ∙ tanφ = (

𝑁

𝜌− 1) ∙ 𝜌 ∙ tanφ

Realizando los cambios de variable y sustitución se tiene.

𝑓′(𝑁) = [(1 + 𝜂2) − 1] ∙ 𝜌 ∙ 𝑡 = [1 + 𝜂2 − 1] ∙ 𝜌 ∙ 𝑡

𝒇′(𝑵) = 𝜼𝟐 ∙ 𝒕 ∙ 𝝆


240

También será necesario obtener la derivada 𝑁 con potencia distinta de la

unidad.

𝑓(𝑁) = 𝑁𝑛

𝑓′(𝑁) = 𝑛 ∙ 𝑁𝑛−1 ∙ 𝑁′ = 𝑛 ∙ 𝑁𝑛−1 ∙ (𝜂2 ∙ 𝑡 ∙ 𝜌)

𝒇′(𝑵𝒏) = 𝒏 ∙ 𝑵𝒏−𝟏 ∙ 𝜼𝟐 ∙ 𝒕 ∙ 𝝆

Para el radio de una sección inclinada (𝜌).

𝑓′(𝜌) = 3 (𝜌

𝑁) (𝑁 − 𝜌) tanφ

𝑓′(𝜌) = 3 [𝑁 (𝜌

𝑁) − 𝜌 (

𝜌

𝑁)] tanφ = 3 [𝜌 −

𝜌2

𝑁] tanφ

𝑓′(𝜌) = 3 ∙ 𝜌 [1 −𝜌

𝑁] tanφ = 3 ∙ 𝜌 [

𝑁 − 𝜌

𝑁] tanφ

Racionalizando.

𝑓′(𝜌) = [3 ∙ 𝜌 (𝑁 − 𝜌

𝑁) tanφ] ∙ 1 = [3 ∙ 𝜌 (

𝑁 − 𝜌

𝑁) tanφ] ∙

[1𝜌]

[1𝜌]

𝑓′(𝜌) = 3 ∙ 𝜌 [

𝑁𝜌− 1

𝑁𝜌

] tanφ = 3 ∙ 𝜌 [(1 + 𝜂2) − 1

1 + 𝜂2] tanφ = 3 ∙ 𝜌 [

𝜂2

1 + 𝜂2] tanφ

𝒇′(𝝆) =𝟑 ∙ 𝜼𝟐 ∙ 𝒕 ∙ 𝝆

𝐕𝟐

Para la relación de radios (𝑁

𝜌).

𝑓′ (𝑁

𝜌) = −2 ∙

𝑁 − 𝜌

𝜌∙ tanφ


241

𝑓′ (𝑁

𝜌) = −2 ∙ (

𝑁

𝜌− 1) ∙ tanφ = −2 ∙ [(1 + 𝜂2) − 1] ∙ tanφ

𝒇′ (𝑵

𝝆)′

= 𝐕𝟐 = −𝟐 ∙ 𝜼𝟐 ∙ 𝒕

También será necesario encontrar la derivada del radio geodésico de un

paralelo distinto al ecuador.

𝑟 = 𝑁 ∙ cosφ

𝑓′(φ) = (𝑁 ∙ cosφ)′ = 𝜂2 ∙ 𝑡 ∙ 𝜌 ∙ cos 𝜑 + 𝑁(−𝑡 ∙ cosφ)

𝑓′(φ) = 𝜂2 ∙ 𝑡 ∙ 𝜌 ∙ cosφ − 𝑁 ∙ 𝑡 ∙ cos 𝜑 = 𝑡 ∙ cosφ (𝜂2 ∙ 𝜌 − 𝑁)

𝒇′(𝒓) = 𝒕 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝛗 (𝜼𝟐 ∙ 𝝆 − 𝑵)

Para 𝑁𝑛 ∙ cos φ

𝑓(φ) = 𝑁𝑛 ∙ cosφ

𝑓′(φ) = (𝑁𝑛 ∙ cos φ)′ = 𝑛 ∙ 𝑁𝑛−1 ∙ (𝜂2 ∙ 𝑡 ∙ 𝜌) ∙ cosφ + 𝑁𝑛(−𝑡 ∙ cosφ)

𝑓′(φ) = 𝑛 ∙ 𝑁𝑛−1 ∙ 𝜂2 ∙ 𝑡 ∙ 𝜌 ∙ cosφ − 𝑁𝑛 ∙ 𝑡 ∙ cos φ

𝒇′(𝑵𝒏 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝛗) = 𝑵𝒏−𝟏 ∙ 𝒕 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝛗 (𝒏 ∙ 𝜼𝟐 ∙ 𝝆 − 𝑵)

Además de estas modificaciones David Hernández (2009) sugiere

representar los radios 𝑁 y 𝜌 en una forma alterna en la que intervenga la variable

de Rapp, a partir de los parámetros básicos del elipsoide, semieje mayor (𝑎),

semieje menor (𝑏), radio polar (c), achatamiento (𝑓) y la primera excentricidad

(𝑒).

Despejando el valor cuadrático del semieje mayor de la fórmula de la

primera excentricidad.


242

𝑒 = √1 − (𝑏

𝑎)2

∴ 𝑎 =𝑏

√1 − 𝑒2

Además será necesario dejar en términos de 𝑎 y 𝑏 el valor del radio polar.

c =𝑎

1 − 𝑓

c =𝑎

1 − (𝑎 − 𝑏𝑎

)=

𝑎

1 − (1 −𝑏𝑎)=

𝑎

1 − 1 +𝑏𝑎

=𝑎

𝑏𝑎

c =𝑎2

𝑏

Con estos nuevos valores se realizara la modificaciones de 𝑁 y 𝜌.

Para 𝑁.

𝑁 =𝑎

(1 − 𝑒2 sin2 φ)12

= [𝑎

(1 − 𝑒2 sin2 φ)12

] ∙ 1

𝑁 = [𝑎

(1 − 𝑒2 sin2 φ)12

] ∙𝑎

𝑎=

𝑎2

𝑎(1 − 𝑒2 sin2 φ)12

Sustituyendo el valor de 𝑎.

𝑁 =𝑎2

(𝑏

√1 − 𝑒2) (1 − 𝑒2 sin2 φ)

12

=𝑎2

𝑏∙

1

(1 − 𝑒2 sin2 φ)12

(1 − 𝑒2)12

𝑁 =𝑎2

𝑏∙

1

(1 − 𝑒2 sin2 φ

1 − 𝑒2)

12

=𝑎2

𝑏∙

1

[1 − 𝑒2(1 − cos2 φ)

1 − 𝑒2]

12

=

𝑎2

𝑏

[1 − 𝑒2 + 𝑒2 cos2 φ

1 − 𝑒2]

12


243

𝑁 =

𝑎2

𝑏

(1 +𝑒2

1 − 𝑒2∙ cos2 φ)

12

=c

(1 + 𝜂2)12

𝑵 =𝐜

𝐕

Para 𝜌.

𝜌 =𝑎(1 − 𝑒2)

(1 − 𝑒2 sin2 φ)32

= [𝑎(1 − 𝑒2)

(1 − 𝑒2 sin2 φ)32

] ∙ 1

𝜌 = [𝑎(1 − 𝑒2)

(1 − 𝑒2 sin2 φ)32

] ∙𝑎

𝑎=

𝑎2(1 − 𝑒2)

𝑎(1 − 𝑒2 sin2 φ)32

Sustituyendo el valor de 𝑎.

𝜌 =𝑎2(1 − 𝑒2)

(𝑏

√1 − 𝑒2) (1 − 𝑒2 sin2 φ)

32

=𝑎2

𝑏∙

1 − 𝑒2

(1 − 𝑒2)12(1 − 𝑒2 sin2 φ)

32

𝜌 =𝑎2

𝑏∙

1

1

(1 − 𝑒2)32

∙ (1 − 𝑒2 sin2 φ)32

=𝑎2

𝑏∙

1

(1 − 𝑒2 sin2 φ

1 − 𝑒2)

32

𝜌 =

𝑎2

𝑏

[1 − 𝑒2(1 − cos2 φ)

1 − 𝑒2]

32

=

𝑎2

𝑏

[1 − 𝑒2 + 𝑒2 cos2 φ

1 − 𝑒2]

32

=

𝑎2

𝑏

[1 +𝑒2

1 − 𝑒2∙ cos2 φ]

32

𝜌 =c

[1 + 𝜂2]32

∴ 𝝆 =𝐜

𝐕𝟑


244

Es así como las derivadas y parámetros base del elipsoide que conforman

las series de Taylor correspondientes a las fórmulas de transformación directa e

inversa para la representación GK son modificadas y simplificadas para su fácil

manipulación en el proceso algebraico de derivación, de esta manera asegurando

la fidelidad y precisión del dato geográfico, excluyendo expresiones

trigonométricas exageradas y diferentes a las originales.

Todas las modificaciones e igualdades se presentan en las siguientes

tablas, pero para evitar confusión con las constantes 𝑛 y la variable 𝜂 la

representación de las constantes será mediante la letra k.


𝑎 𝑏 = 𝑎(1 − 𝑓) 𝑓 = 1 −𝑏

𝑎

Semieje Mayor Primera Excentricidad Segunda Excentricidad

𝑎 =𝑏

√1 − 𝑒2 𝑒 = √1 − (

𝑏

𝑎)2

𝑒′ =𝑒

√1 − 𝑒2

Radio Polar Variable de Rapp (N/ρ) Variable Cuadrática de

Rapp

c=a2

b V = √1 + η2 V2 = 1 + η2

Variable Cubica de Rapp Radio del Primer Vertical Radio de Curvatura de una Sección Inclinada

V3 = (1 + η2)32 N =

c

V ρ =

c

V3

Radio de un Paralelo Producto Tangente de la Latitud

r =c

V∙ cosφ η = 𝑒′ ∙ cosφ t = tanφ

Tabla IV.12 Parámetros Base e Igualdades.


245

𝑓(φ) 𝑓′(φ)

cosφ −t ∙ cosφ

cosk φ −k ∙ t ∙ coskφ

N η2 ∙ t ∙ ρ

Nk k ∙ Nk−1(η2 ∙ t ∙ ρ)

ρ 3 ∙η2 ∙ t ∙ ρ

V2

r t ∙ cos φ(η2 ∙ ρ − N)

Nk ∙ cos φ Nk−1 ∙ t ∙ cosφ(k ∙ η2 ∙ ρ − N)

N

ρ= V2 −2 ∙ η2 ∙ t

η −η ∙ t

ηk −k ∙ ηk ∙ t

t t2 + 1

tk k(tk+1) + k(tk−1)

Tabla IV.13 Fórmulas de derivación modificadas.

Con la aplicación de estas nuevas fórmulas a las series de Taylor que

conforman los algoritmos de transformación para la representación GK, se podrán

desarrollar las derivadas faltantes y necesarias para la representación total de la

República Mexicana con un rango de precisión milimétrica, mismo que se

desarrollara en el siguiente bloque.

4.5 Fórmulas de Transformación Gauss-Krüger Amplificadas a la

Derivada de Orden Doce.

Atendiendo la necesidad de precisión geodésica en la representación del

dato geográfico para amplitudes meridianas mayores a 6º de longitud con respecto

a una cierta latitud y en base de la teoría de precisión que Enriquez Turiño

plantea, en el siguiente bloque se desarrollaran las formulas completas con los


246

términos necesarios para la fidedigna representación del territorio nacional en la

representación GK.

4.5.1 Amplificación Directa.

De acuerdo a la hipótesis formulada sobre precisión en la representación

GK ligada al número exacto de términos que componen sus ecuaciones de

conversión, misma que se fundamenta en los estudios realizados por el Doctor

Turiño. Se logra deducir que, para obtener una precisión por debajo del milímetro

para la amplitud meridiana en la cual toda la extensión terrestre de la República

Mexicana se posiciona, se es necesario conseguir la décima segunda derivada del

teorema de Taylor, el cual es aplicado a la integral elíptica del radio de una

sección inclinada (𝜌), esto para su proceso directo.

El desarrollo de las formulas directas se iniciara declarando el teorema de

Taylor a la variable compleja de la latitud isométrica.

𝑓(𝑤) = 𝑓(Φ) +𝑓′(Φ)

1!(∆λ𝑖) +

𝑓′′(Φ)

2!(∆λ𝑖)2 +

𝑓′′′(Φ)

3!(∆λ𝑖)3 +⋯+

𝑓𝑛(Φ)

𝑛!(∆λ𝑖)𝑛

Pero aplicando la doceava derivada de Φ, la ecuación se interpreta como:

𝑓(𝑤) = 𝑓(Φ) +𝑓′(Φ)

1!(∆λ𝑖) +

𝑓′′(Φ)

2!(∆λ𝑖)2 +

𝑓′′′(Φ)

3!(∆λ𝑖)3 +⋯

+𝑓XII(Φ)

12!(∆λ𝑖)12

Aplicando el teorema de números imaginarios.


247

𝑓(𝑤) = 𝑓(Φ) +𝑓′(Φ)

1!∆λ𝑖 −

𝑓′′(Φ)

2!∆λ2 −

𝑓′′′(Φ)

3!∆λ3𝑖 +

𝑓IV(Φ)

4!∆λ4

+𝑓V(Φ)

5!∆λ5𝑖 −

𝑓VI(Φ)

6!∆λ6 −

𝑓VII(Φ)

7!∆λ7𝑖 +

𝑓VIII(Φ)

8!∆λ8

+𝑓IX(Φ)

9!∆λ9𝑖 −

𝑓X(Φ)

10!∆λ10 −

𝑓XI(Φ)

11!∆λ11𝑖 +

𝑓XII(Φ)

12!∆λ12

Recordando que:

𝑓(𝑤) = 𝑦(Φ, ∆λ) + 𝑥(Φ, ∆λ)𝑖

Sustituyendo.

𝑦(Φ, ∆λ) + 𝑥(Φ, ∆λ)𝑖 =

𝑓(Φ) +𝑓′(Φ)

1!∆λ𝑖 −

𝑓′′(Φ)

2!∆λ2 −

𝑓′′′(Φ)

3!∆λ3𝑖 +

𝑓IV(Φ)

4!∆λ4 +

𝑓V(Φ)

5!∆λ5𝑖

−𝑓VI(Φ)

6!∆λ6 −

𝑓VII(Φ)

7!∆λ7𝑖 +

𝑓VIII(Φ)

8!∆λ8 +

𝑓IX(Φ)

9!∆λ9𝑖

−𝑓X(Φ)

10!∆λ10 −

𝑓XI(Φ)

11!∆λ11𝑖 +

𝑓XII(Φ)

12!∆λ12

Agrupando términos semejantes y eliminando los factores imaginarios

finalmente se expresan las fórmulas para la representación GK.

𝑥 =𝑓′(Φ)

1!∆λ −

𝑓′′′(Φ)

3!∆λ3 +

𝑓V(Φ)

5!∆λ5 −

𝑓VII(Φ)

7!∆λ7 +

𝑓IX(Φ)

9!∆λ9 −

𝑓XI(Φ)

11!∆λ11

𝑦 = 𝑓(Φ) −𝑓′′(Φ)

2!∆λ2 +

𝑓IV(Φ)

4!∆λ4 −

𝑓VI(Φ)

6!∆λ6 +

𝑓VIII(Φ)

8!∆λ8 −

𝑓X(Φ)

10!∆λ10

+𝑓XII(Φ)

12!∆λ12

Pero además se sabe que:


248

𝑓(Φ) = S

Entonces las fórmulas se expresan como:

𝐱 =𝒇′(𝚽)

𝟏!∆𝛌 −

𝒇′′′(𝚽)

𝟑!∆𝛌𝟑 +

𝒇𝐕(𝚽)

𝟓!∆𝛌𝟓 −

𝒇𝐕𝐈𝐈(𝚽)

𝟕!∆𝛌𝟕 +

𝒇𝐈𝐗(𝚽)

𝟗!∆𝛌𝟗 −

𝒇𝐗𝐈(𝚽)

𝟏𝟏!∆𝛌𝟏𝟏

𝐲 = 𝐒 −𝒇′′(𝚽)

𝟐!∆𝛌𝟐 +

𝒇𝐈𝐕(𝚽)

𝟒!∆𝛌𝟒 −

𝒇𝐕𝐈(𝚽)

𝟔!∆𝛌𝟔 +

𝒇𝐕𝐈𝐈𝐈(𝚽)

𝟖!∆𝛌𝟖 −

𝒇𝐗(𝚽)

𝟏𝟎!∆𝛌𝟏𝟎

+𝒇𝐗𝐈𝐈(𝚽)

𝟏𝟐!∆𝛌𝟏𝟐

Declarados los términos completos para cada una de las fórmulas de

transformación se proseguirá a realizar las derivadas consecutivas

correspondientes, utilizando las formulas e igualdades modificadas descritas en el

bloque anterior.

Para la primera derivada de Φ

𝑓(Φ) = 𝑆 = ∫𝜌 𝑑𝜑

Derivando.

𝑓′(Φ) = 𝜌 = {𝑑[𝑓(Φ)]

𝑑𝜑}

′

=𝑑[𝑓(Φ)]

𝑑𝜑∙𝑑𝜑

𝑑Φ

Dónde.

𝑑𝜑

𝑑Φ=𝑟

𝜌

Sustituyendo.


249

𝑓′(Φ) = 𝜌 ∙𝑟

𝜌= 𝑟 = 𝑁 cos𝜑

Segunda derivada de Φ.

𝑓′′(Φ) = [𝑓′(Φ)]′ ∙𝑑𝜑

𝑑Φ

Derivando.

[𝑓′(Φ)]′ = (𝑁 cos𝜑)′

[𝑓′(Φ)]′ = 𝜂2𝜌𝑡 ∙ cos 𝜑 + 𝑁(−𝑡 cos 𝜑)

[𝑓′(Φ)]′ = cos 𝜑 (𝜂2𝑡𝜌 − 𝑁𝑡)

Multiplicando por 𝑑𝜑

𝑑Φ.

𝑓′′(Φ) = [𝑓′(Φ)]′ ∙𝑑𝜑

𝑑Φ

𝑓′′(Φ) = cos𝜑 (𝜂2𝑡𝜌 − 𝑁𝑡) ∙ (𝑁 cos𝜑

𝜌) = 𝑁 cos2 𝜑 (𝜂2𝑡 −

𝑁

𝜌𝑡)

𝑓′′(Φ) = 𝑁 cos2 𝜑 [𝜂2𝑡 − (1 + 𝜂2)𝑡] = −𝑁𝑡 cos2 𝜑

Tercera derivada de Φ.

𝑓′′′(Φ) = [𝑓′′(Φ)]′ ∙𝑑𝜑

𝑑Φ

Derivando.

[𝑓′′(Φ)]′ = (−𝑁𝑡 cos2 𝜑)′

[𝑓′′(Φ)]′ = −[(𝜂2𝑡𝜌)𝑡 cos2 𝜑 + 𝑁(𝑡2 + 1) cos2 𝜑 + 𝑁𝑡(−2𝑡 cos2 𝜑)]

[𝑓′′(Φ)]′ = − cos2 𝜑 [𝜂2𝑡2𝜌 + 𝑁(𝑡2 + 1) − 2𝑁𝑡2]


250


𝑑Φ.

𝑓′′′(Φ) = {− cos2 𝜑 [𝜂2𝑡2𝜌 + 𝑁(𝑡2 + 1) − 2𝑁𝑡2]} ∙ [𝑁 cos 𝜑

𝜌]

𝑓′′′(Φ) = −𝑁 cos3 𝜑 [𝜂2𝑡2 +𝑁

𝜌(𝑡2 + 1) − 2

𝑁

𝜌𝑡2]

𝑓′′′(Φ) = −𝑁 cos3 𝜑 [𝜂2𝑡2 + (1 + 𝜂2)(𝑡2 + 1) − 2(1 + 𝜂2)𝑡2]

𝑓′′′(Φ) = −𝑁 cos3 𝜑 [1 + 𝜂2 − 𝑡2]

Dada la extensión del proceso algebraico solo se presentaran los resultados

parciales deseados, el desarrollo completo de todas las derivadas se encuentran

en el anexo 6.5.1 de este documento.

Cuarta Derivada.

𝑓IV(Φ) = 𝑁𝑡 cos4 𝜑 [5 − 𝑡2 + 9𝜂2 + 4𝜂4]

Quinta Derivada.

𝑓V(Φ) = 𝑁 cos5 𝜑 [5 − 18𝑡2 + 𝑡4 + 2𝜂2(7 − 29𝑡2)

+𝜂4(13 − 64𝑡2) + 4𝜂6(1 − 6𝑡2)]

Sexta Derivada.

𝑓VI(Φ) = −𝑁𝑡 cos6 𝜑 [

61 − 58𝑡2 + 𝑡4 + 30𝜂2(9 − 11𝑡2)

+5𝜂4(89 − 136𝑡2) + 12𝜂6(27 − 50𝑡2)

+8𝜂8(11 − 24𝑡2)

]


251

Séptima Derivada.

𝑓VII(Φ) = −𝑁 cos7 𝜑

[

61 − 479𝑡2 + 179𝑡4 − 𝑡6

+𝜂2(331 − 3298𝑡2 + 1771𝑡4)

+5𝜂4(143 − 1731𝑡2 + 1216𝑡4)

+𝜂6(769 − 10964𝑡2 + 9480𝑡4)

+4𝜂8(103 − 1690𝑡2 + 1728𝑡4)

+8𝜂10(11 − 204𝑡2 + 240𝑡4) ]

Octava Derivada.

𝑓VIII(Φ) = 𝑁𝑡 cos8 𝜑

[

1385 − 3111𝑡2 + 543𝑡4 − 𝑡6

+21𝜂2(519 − 1562𝑡2 + 439𝑡4)

+21𝜂4(1639 − 6147𝑡2 + 2364𝑡4)

+21𝜂6(2685 − 12004𝑡2 + 5800𝑡4)

+24𝜂8(2119 − 10962𝑡2 + 6328𝑡4)

+48𝜂10(501 − 2936𝑡2 + 1960𝑡4)

+64𝜂12(73 − 477𝑡2 + 360𝑡4) ]

Novena Derivada.

𝑓IX(Φ) = 𝑁 cos9 𝜑

[

1385 − 19028𝑡2 + 18270𝑡4 − 1636𝑡6 + 𝑡8

+4𝜂2(3071 − 53535𝑡2 + 72717𝑡4 − 11797𝑡6)

+42𝜂4(1079 − 22654𝑡2 + 39355𝑡4 − 9152𝑡6)

+84𝜂6(1081 − 26437𝑡2 + 55510𝑡4 − 16596𝑡6)

+3𝜂8(35747 − 994992𝑡2 + 2436448𝑡4 − 881664𝑡6)

+24𝜂10(3121 − 97202𝑡2 + 270864𝑡4 − 114240𝑡6)

+16𝜂12(1795 − 61744𝑡2 + 192348𝑡4 − 92160𝑡6)

+64𝜂14(73 − 2745𝑡2 + 9432𝑡4 − 5040𝑡6) ]


252

Decima Derivada.

𝑓X(Φ) =

−𝑁𝑡cos10 𝜑

[

50521 − 206276𝑡2 + 101166𝑡4 − 4916𝑡6 + 𝑡8

+180𝜂2(3403 − 18211𝑡2 + 13345𝑡4 − 1329𝑡6)

+10𝜂4(304319 − 1995438𝑡2 + 1921083𝑡4 − 287944𝑡6)

+1764𝜂6(4677 − 36081𝑡2 + 42622𝑡4 − 8420𝑡6)

+3𝜂8(4501907 − 39770624𝑡2 + 55294736𝑡4 − 13415808𝑡6)

+360𝜂10(38263 − 379690𝑡2 + 604288𝑡4 − 172480𝑡6)

+64𝜂12(134264 − 1475140𝑡2 + 2634795𝑡4 − 859680𝑡6)

+576𝜂14(5224 − 62841𝑡2 + 124120𝑡4 − 45360𝑡6)

+256𝜂16(1774 − 23157𝑡2 + 50004𝑡4 − 20160𝑡6) ]

Decima Primera Derivada.

𝑓XI(Φ) = −𝑁 cos11 𝜑 ∙

[

50521 − 1073517𝑡2 + 1949762𝑡4 − 540242𝑡6 + 14757𝑡8 − 𝑡10

+𝜂2(663061 − 17594876𝑡2 + 43255806𝑡4 − 18928316𝑡6 + 1205941𝑡8)

+10𝜂4(365573 − 11538395𝑡2 + 35378667𝑡4 − 20914069𝑡6 + 2111296𝑡8)

+2𝜂6(5646709 − 205537746𝑡2 + 749466741𝑡4 − 552425084𝑡6 + 75476280𝑡8)

+3𝜂8(7251983 − 297992239𝑡2 + 1252929256𝑡4 − 1098016304𝑡6 + 187181568𝑡8)

+3𝜂10(9093467 − 415270424𝑡2 + 1970402816𝑡4 − 1990049088𝑡6 + 403226880𝑡8)

+8𝜂12(2795947 − 140210892𝑡2 + 738954680𝑡4 − 841506840𝑡6 + 196300800𝑡8)

+64𝜂14(181280 − 9888775𝑡2 + 57188844𝑡4 − 72256680𝑡6 + 18975600𝑡8)

+64𝜂16(54112 − 3186343𝑡2 + 20027304𝑡4 − 27729936𝑡6 + 8064000𝑡8)

+256𝜂18(1774 − 112047𝑡2 + 759474𝑡4 − 1141200𝑡6 + 362880𝑡8) ]

Decima Segunda Derivada.

𝑓XII(Φ) = 𝑁𝑡 cos12 𝜑 ∙

[

2702765 − 17460701𝑡2 + 16889786𝑡4 − 2819266𝑡6 + 44281𝑡8 − 𝑡10

+33𝜂2(1407933 − 11604668𝑡2 + 15691278𝑡4 − 4376508𝑡6 + 183613𝑡8)

+22𝜂4(14943197 − 148368637𝑡2 + 254823357𝑡4 − 98835787𝑡6 + 6937022𝑡8)

+66𝜂6(19637685 − 226691218𝑡2 + 468302229𝑡4 − 230348508𝑡6 + 22503800𝑡8)

+11𝜂8(291287467 − 3816686007𝑡2 + 9160219344𝑡4 − 5415555968𝑡6 + 671328384𝑡8)

+99𝜂10(52970419 − 774283096𝑡2 + 2108068176𝑡4 − 1446975744𝑡6 + 215568640𝑡8)

+4𝜂12(1448764771 − 23317854076𝑡2 + 70778414608𝑡4 − 55066922064𝑡6 + 9518065920𝑡8)

+48𝜂14(89401503 − 1568269028𝑡2 + 5237711952𝑡4 − 4538661600𝑡6 + 888148800𝑡8)

+64𝜂16(31961980 − 606076217𝑡2 + 2204324568𝑡4 − 2099265696𝑡6 + 456825600𝑡8)

+384𝜂18(1480293 − 30139018𝑡2 + 118386084𝑡4 − 122618880𝑡6 + 29272320𝑡8)

+512𝜂20(136883 − 2975559𝑡2 + 12537288𝑡4 − 14004720𝑡6 + 3628800𝑡8) ]


253

4.5.2 Amplificación Inversa.

El desarrollo matemático para las fórmulas de correspondencia inversa se

hará tomando el criterio previamente establecido, por lo que en dicho proceso

también requerirá desarrollar hasta la décimo segunda derivada de la serie de

Taylor, esta vez aplicada al inverso de 𝜌. Por lo que el primer paso será declarar

dicha serie con los doce términos.

F(𝑧) = F(𝑦) +F′(𝑦)

1!(𝑖𝑥) +

F′′(𝑦)

2!(𝑖𝑥)2 +

F′′′(𝑦)

3!(𝑖𝑥)3 +

FIV(𝑦)

4!(𝑖𝑥)4

+FV(𝑦)

5!(𝑖𝑥)5 +

FVI(𝑦)

6!(𝑖𝑥)6 +

FVII(𝑦)

7!(𝑖𝑥)7 +

FVIII(𝑦)

8!(𝑖𝑥)8

+FIX(𝑦)

9!(𝑖𝑥)9 +

FX(𝑦)

10!(𝑖𝑥)10 +

FXI(𝑦)

11!(𝑖𝑥)11 +

FXII(𝑦)

12!(𝑖𝑥)12

Aplicando el teorema de números imaginarios.

F(𝑧) = F(𝑦) +F′(𝑦)

1!𝑖𝑥 −

F′′(𝑦)

2!𝑥2 −

F′′′(𝑦)

3!(𝑖𝑥)3 +

FIV(𝑦)

4!𝑥4 +

FV(𝑦)

5!(𝑖𝑥)5

−FVI(𝑦)

6!𝑥6 −

FVII(𝑦)

7!(𝑖𝑥)7 +

FVIII(𝑦)

8!𝑥8 +

FIX(𝑦)

9!(𝑖𝑥)9

−FX(𝑦)

10!𝑥10 −

FXI(𝑦)

11!(𝑖𝑥)11 +

FXII(𝑦)

12!𝑥12

Siendo.

F(𝑧) = 𝑖(𝑥, 𝑦)∆λ + Φ(𝑥, 𝑦)


254

Sustituyendo.

𝑖(𝑥, 𝑦)∆λ + Φ(𝑥, 𝑦) =

F(𝑦) +F′(𝑦)

1!𝑖𝑥 −

F′′(𝑦)

2!𝑥2 −

F′′′(𝑦)

3!(𝑖𝑥)3 +

FIV(𝑦)

4!𝑥4 +

FV(𝑦)

5!(𝑖𝑥)5 −

FVI(𝑦)

6!𝑥6

−FVII(𝑦)

7!(𝑖𝑥)7 +

FVIII(𝑦)

8!𝑥8 +

FIX(𝑦)

9!(𝑖𝑥)9 −

FX(𝑦)

10!𝑥10

−FXI(𝑦)

11!(𝑖𝑥)11 +

FXII(𝑦)

12!𝑥12

Agrupando términos semejantes y eliminando los factores imaginarios

finalmente se expresan las fórmulas para la representación GK.

∆𝛌 =𝐅′(𝒚)

𝟏!𝒙 −

𝐅′′′(𝒚)

𝟑!𝒙𝟑 +

𝐅𝐕(𝒚)

𝟓!𝒙𝟓 −

𝐅𝐕𝐈𝐈(𝒚)

𝟕!𝒙𝟕 +

𝐅𝐈𝐗(𝒚)

𝟗!𝒙𝟗 −

𝐅𝐗𝐈(𝒚)

𝟏𝟏!𝒙𝟏𝟏

𝚽 = 𝐅(𝒚) −𝐅′′(𝒚)

𝟐!𝒙𝟐 +

𝐅𝐈𝐕(𝒚)

𝟒!𝒙𝟒 −

𝐅𝐕𝐈(𝒚)

𝟔!𝒙𝟔 +

𝐅𝐕𝐈𝐈𝐈(𝒚)

𝟖!𝒙𝟖 −

𝐅𝐗(𝒚)

𝟏𝟎!𝒙𝟏𝟎

+𝐅𝐗𝐈𝐈(𝒚)

𝟏𝟐!𝒙𝟏𝟐

Recordando que la función de 𝑦 es igual a la latitud isométrica del punto de

expansión.

F(𝑦) = Φ0

Conociendo esto, solo resta encontrar las derivadas correspondientes.

Primera Derivada de F(𝑦)

𝑦 = ∫𝜌𝑑𝜑

𝑑𝑦 = 𝜌𝑑𝜑 ∴ 𝑑𝜑

𝑑𝑦=1

𝜌


255

F′(𝑦) =𝑑Φ

𝑑𝜑∙𝑑𝜑

𝑑𝑦 ∴ F′(𝑦) =

𝜌

𝑟∙1

𝜌=1

𝑟

F′(𝑦) =1

𝑁 cos𝜑0

Segunda Derivada de F(𝑦)

Derivando.

F′′(𝑦) = [F′(𝑦)]′ ∙𝑑𝜑

𝑑𝑦

[F′(𝑦)]′ = (1

𝑁 cos𝜑0)′

[F′(𝑦)]′=−[𝑡 cos 𝜑0 (𝜂

2𝜌 − 𝑁)]

𝑁2 cos2 𝜑0=𝑁𝑡 − 𝜂2𝑡𝜌

𝑁2 cos𝜑0


𝑑𝑦.

F′′(𝑦) = [𝑁𝑡 − 𝜂2𝑡𝜌

𝑁2 cos𝜑0] ∙ (

1

𝜌) = [

1

𝑁2 cos 𝜑0] ∙ [

𝑁𝑡 − 𝜂2𝑡𝜌

𝜌]

F′′(𝑦) = [1

𝑁2 cos 𝜑0] ∙ [

𝑁𝑡

𝜌−𝜂2𝑡𝜌

𝜌] = [

1

𝑁2 cos 𝜑0] ∙ [

𝑁

𝜌𝑡 − 𝜂2𝑡]

F′′(𝑦) = [1

𝑁2 cos 𝜑0] ∙ [(1 + 𝜂2)𝑡 − 𝜂2𝑡] =

𝑡

𝑁2 cos𝜑0

Tercera Derivada de F(𝑦).

F′′′(𝑦) = [F′′(𝑦)]′ ∙𝑑𝜑

𝑑𝑦

Derivando.


256

[F′′(𝑦)]′ = (𝑡

𝑁2 cos 𝜑0)′

[F′′(𝑦)]′ =[(𝑡2 + 1)𝑁2 cos 𝜑0] − 𝑡[𝑁𝑡 cos 𝜑0 (2𝜂

2𝜌 − 𝑁)]

(𝑁2 cos 𝜑0)2

[F′′(𝑦)]′ =𝑁 cos𝜑0 [𝑁(𝑡

2 + 1) − 2𝜂2𝑡2𝜌 + 𝑁𝑡2]

𝑁4 cos2 𝜑0

[F′′(𝑦)]′ =𝑁(𝑡2 + 1) + 𝑁𝑡2 − 2𝜂2𝑡2𝜌

𝑁3 cos 𝜑0


𝑑𝑦.

F′′′(𝑦) = [𝑁(𝑡2 + 1) + 𝑁𝑡2 − 2𝜂2𝑡2𝜌

𝑁3 cos 𝜑0] ∙ (

1

𝜌)

F′′′(𝑦) =1

𝑁3 cos 𝜑0∙ [𝑁

𝜌(𝑡2 + 1) +

𝑁

𝜌𝑡2 − 2

𝜌

𝜌𝜂2𝑡2]

F′′′(𝑦) =1

𝑁3 cos 𝜑0∙ [(1 + 𝜂2)(𝑡2 + 1) + (1 + 𝜂2)𝑡2 − 2𝜂2𝑡2]

F′′′(𝑦) =1 + 2𝑡2 + 𝜂2

𝑁3 cos𝜑0

Cuarta Derivada.

FIV(𝑦) =𝑡(5 + 6𝑡2 + 𝜂2 − 4𝜂4)

𝑁4 cos𝜑0

Quinta Derivada.

FV(𝑦) =1

𝑁5 cos 𝜑0[5 + 28𝑡2 + 24𝑡4 + 2𝜂2(3 + 4𝑡2)

−𝜂4(3 − 4𝑡2) − 4𝜂6(1 − 6𝑡2)]


257

Sexta Derivada.

FVI(𝑦) =𝑡

𝑁6 cos 𝜑0[

61 + 180𝑡2 + 120𝑡4 + 2𝜂2(23 + 24𝑡2)

−3𝜂4(1 + 12𝑡2) + 4𝜂6(25 − 24𝑡2) + 8𝜂8(11 − 24𝑡2)]

Séptima Derivada.

FVII(𝑦) =

1

𝑁7 cos 𝜑0[

61 + 662𝑡2 + 1320𝑡4 + 720𝑡6

+𝜂2(107 + 440𝑡2 + 336𝑡4) + 𝜂4(43 − 234𝑡2 − 192𝑡4)

+𝜂6(97 − 772𝑡2 + 408𝑡4) + 4𝜂8(47 − 598𝑡2 + 384𝑡4)

+8𝜂10(11 − 204𝑡2 + 240𝑡4) ]

Octava Derivada.

FVIII(𝑦) =

𝑡

𝑁8 cos 𝜑0[

1385 + 7266𝑡2 + 10920𝑡4 + 5040𝑡6

+3𝜂2(577 + 1472𝑡2 + 896𝑡4) − 3𝜂4(191 + 610𝑡2 + 512𝑡4)

−𝜂6(2927 − 5052𝑡2 − 744𝑡4) − 24𝜂8(367 − 1144𝑡2 + 328𝑡4)

−48𝜂10(239 − 1124𝑡2 + 520𝑡4) − 64𝜂12(73 − 477𝑡2 + 360𝑡4)]

Novena Derivada.

FIX(𝑦) =

1

𝑁9 cos 𝜑0

[ 1385 + 24568𝑡2 + 83664𝑡4 + 100800𝑡6 + 40320𝑡8

+4𝜂2(779 + 6684𝑡2 + 11952𝑡4 + 6048𝑡6)

+6𝜂4(193 − 824𝑡2 − 3456𝑡4 − 2304𝑡6)

−4𝜂6(875 − 6776𝑡2 − 144𝑡4 − 2304𝑡6)

−𝜂8(11735 − 185496𝑡2 + 195984𝑡4 − 9792𝑡6)

−24𝜂10(845 − 19138𝑡2 + 34056𝑡4 − 7440𝑡6)

−16𝜂12(1009 − 30232𝑡2 + 77472𝑡4 − 27360𝑡6)

−64𝜂14(73 − 2745𝑡2 + 9432𝑡4 − 5040𝑡6) ]


258

Decima Derivada.

FX(𝑦) =

𝑡

𝑁10 cos𝜑0

[ 50521 + 408360𝑡2 + 1023120𝑡4 + 1028160𝑡6 + 362880𝑡8

+4𝜂2(22103 + 101304𝑡2 + 139680𝑡4 + 60480𝑡6)

+2𝜂4(4475 − 50328𝑡2 − 122688𝑡4 − 69120𝑡6)

+4𝜂6(11981 − 28128𝑡2 + 34416𝑡4 + 23040𝑡6)

+5𝜂8(111269 − 406872𝑡2 + 139248𝑡4 − 16704𝑡6)

+8𝜂10(207487 − 1233180𝑡2 + 946080𝑡4 − 79200𝑡6)

+128𝜂12(18974 − 155703𝑡2 + 186075𝑡4 − 33840𝑡6)

+64𝜂14(26600 − 281439𝑡2 + 466056𝑡4 − 131040𝑡6)

+256𝜂16(1774 − 23157𝑡2 + 50004𝑡4 − 20160𝑡6) ]

Décimo Primera Derivada.

FXI(𝑦) =1

𝑁11 cos 𝜑0

[ 50521 + 1326122𝑡2 + 6749040𝑡4 + 13335840𝑡6 + 11491200𝑡8 + 3628800𝑡10

+𝜂2(138933 + 2036560𝑡2 + 6269472𝑡4 + 7032960𝑡6 + 2661120𝑡8)

+2𝜂4(48681 + 5830𝑡2 − 837504𝑡4 − 1558656𝑡6 − 760320𝑡8)

+2𝜂6(28437 − 469300𝑡2 + 346512𝑡4 + 820224𝑡6 + 506880𝑡8)

+𝜂8(604269 − 10449622𝑡2 + 13657104𝑡4 − 2708640𝑡6 − 737280𝑡8)

+𝜂10(2216241 − 57880088𝑡2 + 128998080𝑡4 − 43649280𝑡6 + 2102400𝑡8)

+8𝜂12(511071 − 17943890𝑡2 + 59277264𝑡4 − 35452800𝑡6 + 3116160𝑡8)

+64𝜂14(64548 − 2856695𝑡2 + 12610728𝑡4 − 11073888𝑡6 + 1733760𝑡8)

+64𝜂16(33696 − 1806745𝑡2 + 10070676𝑡4 − 11870928𝑡6 + 2741760𝑡8)

+256𝜂18(1774 − 112047𝑡2 + 759474𝑡4 − 1141200𝑡6 + 362880𝑡8) ]


259

Décimo Segunda Derivada.

FXII(𝑦) =𝑡

𝑁12 cos 𝜑0∙

[ 2702765𝑡 + 30974526𝑡3 + 113760240𝑡5 + 185280480𝑡7 + 139708800𝑡9 + 39916800𝑡11

+𝜂2(6081221 + 43501632𝑡2 + 100526976𝑡4 + 95040000𝑡6 + 31933440𝑡8)

+18𝜂4(118731 − 111078𝑡2 − 1574272𝑡4 − 2356992𝑡6 − 1013760𝑡8)

−6𝜂6(583553 + 208676𝑡2 − 1199312𝑡4 − 3753984𝑡6 − 2027520𝑡8)

−3𝜂8(9305437 − 40929674𝑡2 + 18565584𝑡4 + 3828000𝑡6 + 2949120𝑡8)

−9𝜂10(18609159 − 126997256𝑡2 + 123815264𝑡4 − 19374720𝑡6 − 585600𝑡8)

−12𝜂12(41013457 − 395555536𝑡2 + 612260512𝑡4 − 187121280𝑡6 + 8334720𝑡8)

−48𝜂14(16591909 − 208486552𝑡2 + 453204432𝑡4 − 220545408𝑡6 + 18829440𝑡8)

−576𝜂16(1264608 − 19673399𝑡2 + 55628988𝑡4 − 37996944𝑡6 + 5214720𝑡8)

−128𝜂18(2753297 − 51259494𝑡2 + 179830944𝑡4 − 160588800𝑡6 + 31207680𝑡8)

−512𝜂20(136883 − 2975559𝑡2 + 12537288𝑡4 − 14004720𝑡6 + 3628800𝑡8) ]

El desarrollo completo de estas derivadas se encuentra en el anexo 6.5.2.

El valor de la latitud del punto de expansión (𝜑0) se calculara mediante

aproximaciones partiendo del despeje de dicho valor mediante la fórmula truncada

de longitud de arco de meridiano. Además de ello con dicho punto se calculara el

valor de su latitud isométrica con la fórmula ya conocida.

Φ0 = ln [tan (𝜋

4+𝜑0

2) (1 − 𝑒 sin𝜑

0

1 + 𝑒 sin𝜑0

)

𝑒2

]

Además de estos términos también será necesario encontrar la sexta

derivada de Φ y de esta manera encontrar el valor exacto de la longitud geodésica

del punto de estudio.


260

Primera Derivada de Φ.

𝜑 = F(Φ) = ∫𝑟

𝜌

Φ

0

𝑑Φ

Derivando.

𝑑𝜑

𝑑Φ=𝑟

𝜌=𝑁 cos𝜑

𝜌,

𝑑𝜑

𝑑𝜑= 1

F′(Φ) =𝑑𝜑

𝑑𝜑∙𝑑𝜑

𝑑Φ= 1 ∙ [

𝑁 cos 𝜑

𝜌] = (

𝑁

𝜌) cos 𝜑0

F′(Φ) = (1 + 𝜂2) cos 𝜑0

Segunda Derivada de Φ.

F′′(Φ) = [F′(Φ)]′ ∙𝑑𝜑

𝑑Φ

[F′(Φ)]′ = [(1 + 𝜂2) cos 𝜑0]′

[F′(Φ)]′ = −2𝜂2𝑡 cos𝜑0 + [(1 + 𝜂2)(−𝑡 cos 𝜑0)]

[F′(Φ)]′ = −3𝜂2𝑡 cos 𝜑0 − 𝑡 cos 𝜑0 = −𝑡 cos 𝜑 (3𝜂2 + 1)


𝑑Φ.

F′′(Φ) = −𝑡 cos 𝜑0 (3𝜂2 + 1) ∙ [(

𝑁

𝜌) cos 𝜑0]

F′′(Φ) = −𝑡 cos 𝜑0 (3𝜂2 + 1) ∙ [(1 + 𝜂2) cos 𝜑0]

F′′(Φ) = −(3𝜂2 + 1)(1 + 𝜂2)𝑡 cos2 𝜑0


261

Tercera Derivada de Φ.

F′′′(Φ) = [F′′(Φ)]′ ∙𝑑𝜑

𝑑Φ

[F′′(Φ)]′ = [−(1 + 4𝜂2 + 3𝜂4)𝑡 cos2 𝜑0]′

[F′′(Φ)]′ = −[(𝑡 + 4𝜂2𝑡 + 3𝜂4𝑡) cos2 𝜑0]′

[F′′(Φ)]′ = −(𝑢 ∙ 𝑣)′ = −(𝑢′ ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣′)

Siendo.

𝑢 = 𝑡 + 4𝜂2𝑡 + 3𝜂4𝑡, 𝑣 = cos2 𝜑0

Derivando por partes.

𝑢′ = {𝑡2 + 1 + 4[−2𝜂2𝑡 ∙ 𝑡 + 𝜂2(𝑡2 + 1)]

+3[−4𝜂4𝑡 ∙ 𝑡 + 𝜂4(𝑡2 + 1)]}

𝑢′ = {1 + 𝑡2 + 4[−2𝜂2𝑡2 + 𝜂2𝑡2 + 𝜂2]

+3[−4𝜂4𝑡2 + 𝜂4𝑡2 + 𝜂4]} = {

1 + 𝑡2 + 4[−𝜂2𝑡2 + 𝜂2]

+3[−3𝜂4𝑡2 + 𝜂4]}

𝑢′ = 1 + 𝑡2 + 4𝜂2 − 4𝜂2𝑡2 + 3𝜂4 − 9𝜂4𝑡2

𝑣′ = −2𝑡 cos2 𝜑0

Sustituyendo.

[F′′(Φ)]′ = −{(1 + 𝑡2 + 4𝜂2 − 4𝜂2𝑡2 + 3𝜂4 − 9𝜂4𝑡2) cos2 𝜑0

+[(−2𝑡 cos2 𝜑0)(𝑡 + 4𝜂2𝑡 + 3𝜂4𝑡)]

}

[F′′(Φ)]′ = −cos2 𝜑0 {(1 + 𝑡2 + 4𝜂2 − 4𝜂2𝑡2 + 3𝜂4 − 9𝜂4𝑡2)

−(2𝑡2 + 8𝜂2𝑡2 + 6𝜂4𝑡2)}

[F′′(Φ)]′ = −cos2 𝜑0 [1 + 𝑡2 − 2𝑡2 + 4𝜂2 − 4𝜂2𝑡2 − 8𝜂2𝑡2

+3𝜂4 − 9𝜂4𝑡2 − 6𝜂4𝑡2]

[F′′(Φ)]′ = −cos2 𝜑0 [1 − 𝑡2 + 4𝜂2 − 12𝜂2𝑡2 + 3𝜂4 − 15𝜂4𝑡2]


262


𝑑Φ.

F′′′(Φ) =

−{cos2 𝜑0 [1 − 𝑡2 + 4𝜂2 − 12𝜂2𝑡2 + 3𝜂4 − 15𝜂4𝑡2]} ∙ [(

𝑁

𝜌) cos 𝜑0]

F′′′(Φ) = − cos3 𝜑0 {[1 − 𝑡2 + 4𝜂2 − 12𝜂2𝑡2 + 3𝜂4 − 15𝜂4𝑡2](1 + 𝜂2)}

F′′′(Φ) = −(1 + 𝜂2) [1 − 𝑡2 + 4𝜂2(1 − 3𝑡2)

+3𝜂4(1 − 5𝑡2)] cos3 𝜑0

Cuarta Derivada.

FIV(Φ) = (1 + 𝜂2)𝑡 [5 − 𝑡2 + 3𝜂2(17 − 13𝑡2)

+𝜂4(103 − 135𝑡2) + 3𝜂6(19 − 35𝑡2)] cos4 𝜑0

Quinta Derivada.

FV(Φ) = (1 + 𝜂2)

[ 5 − 18𝑡2 + 𝑡4 + 8𝜂2(7 − 50𝑡2 + 15𝑡4)

+2𝜂4(77 − 800𝑡2 + 435𝑡4)

+80𝜂6(2 − 27𝑡2 + 21𝑡4)

+3𝜂8(19 − 314𝑡2 + 315𝑡4) ]

cos5 𝜑0

Sexta Derivada.

FVI(Φ) = −𝑡(1 + 𝜂2)

[

61 − 58𝑡2 + 𝑡4

+3𝜂2(421 − 858𝑡2 + 121𝑡4)

+10𝜂4(589 − 1796𝑡2 + 495𝑡4)

+6𝜂6(1829 − 7340𝑡2 + 2975𝑡4)

+𝜂8(9025 − 44622𝑡2 + 23625𝑡4)

+3𝜂10(913 − 5342𝑡2 + 3465𝑡4) ]

cos6 𝜑0

El desarrollo completo de todas las derivadas se encuentra en el anexo

6.5.3.


263

4.6 Pruebas de Error y Exactitud.

Se han desarrollado las derivadas faltantes de las fórmulas de

transformación para ambos casos, siendo estas amplificadas hasta el doceavo

término, por consiguiente con estas nuevas ecuaciones se proseguirá a realizar

las pruebas de trasformación, exactitud y aproximación necesarias para dar

veracidad y confirmar la teoría de Enriquez Turiño (2009). Por lo que en este

apartado se realizaran dichas pruebas y demostraciones.

Estas pruebas se realizaron tomando como base las coordenadas

geodésicas extremas oficiales de la República Mexicana y los parámetros del

sistema de referencia ITRF08. Los cálculos y demás estimaciones que a

continuación se presentan fueron realizados con las hojas de cálculo que el

software Microsoft Excel® 2013 ofrece, apoyados del programa de procesos

algebraicos Wolfram Mathematica® V. 10.0 y la calculadora geodésica

desarrollada por Karney (2011).

4.6.1 Aplicación de las formulas amplificadas a un Δλ máximo

para el territorio mexicano.

La primera prueba a realizar será la aplicación de las nuevas fórmulas

amplificadas primeramente convirtiendo de coordenadas geodésicas a ortogonales

GK y posteriormente la aplicación inversa, obteniendo el desplazamiento o error

angular o métrico (según sea el caso) generado en ambas transformaciones, esto

con el fin de cerciorar si dicha amplificación cumple con la precisión requerida y si

los términos de ambos casos se vinculan para el logro de este objetivo.

Como ya se dijo, los cálculos se realizaran utilizando los parámetros

geométricos del sistema ITRF08, Época 2010.0 los cuales están asociados al

elipsoide GRS80, aplicando las formulas amplificadas a las coordenadas extremas

del territorio mexicano.


264

Debido a que la zona meridiana en la que se encuentra el país no es

totalmente simétrica con respecto al MC 102º W de longitud, siendo el valor de ∆λ

W mayor al del lado E del mismo, los cálculos se desarrollaran extendiendo los

valores de ∆λ hasta un valor de 18º para ambos lados, produciendo que los

nuevos límites sean los meridianos 120º W y 84º W, esta ampliación trabajara en

conjunto con la transformación simétrica de la proyección con respecto al MC,

facilitando así la comprensión de resultados.

Para las latitudes sucederá lo mismo truncando la latitud mínima al paralelo

14º N y aproximando a la latitud máxima al paralelo 33º N obteniendo así una faja

de latitud que cubra de manera vertical todo el territorio de estudio.

Para evitar la saturación de coordenadas y un posible entorpecimiento en

los cálculos, la banda meridiana y la faja de latitud se seccionara en porciones

iguales atendiendo las siguientes condiciones:

- Se tomaran los meridianos que se encuentren a cada 6º de longitud

partiendo del MC, siendo los limites los meridianos 120º W y 84º W.

- Para las latitudes, estas incrementaran a cada 6º tomando como

inicio el paralelo 14º N, siendo el párelo el 33º N el paralelo limite.

Tal y como se muestra en la imagen IV.6.


265

Fig. IV.6 Red de coordenadas para el proceso de conversión.

Los resultados de los cálculos que se presentan a continuación fueron

realizados tomando como referencia la latitud de cada paralelo siendo las

longitudes las variables, esto debido a que los radios de curvatura del elipsoide

dependen directamente de φ.

El proceso de conversión y demás fórmulas geodésicas fueron entorno a

los parámetros geométricos del elipsoide GRS 80 mismos que se muestran en la

tabla IV.9.


266

Proceso directo para φ 14º N

t η v N ρ S

0.24932800 0.07965588 1.00316751 6379386.8336 6339164.4572 1548345.6449

Tabla IV.14 Radios de curvatura y demás parámetros geométricos para φ de 14º N

𝑓(Φ) ∙ ∆𝜆 λ

84º W 90º W 96º W 102º W 108º W 114º W 120º W

I 1944611.8545 1296407.9030 648203.9515 0.000000 -648203.9515 -1296407.903 -1944611.854

II 73897.199942 32843.199974 8210.799994 0.000000 8210.799994 32843.199974 73897.199942

III 28434.443749 8425.0203704 1053.1275463 0.000000 -1053.127546 -8425.020370 -28434.44374

IV 2858.2426193 564.59113468 35.28694592 0.000000 35.28694592 564.59113468 2858.2426193

V 552.8394594 72.80190412 2.275059504 0.000000 -2.275059504 -72.80190412 -552.8394594

VI 104.5624867 9.179697046 0.143432766 0.000000 0.143432766 9.179697046 104.5624867

VII 10.1424890 0.593616181 0.004637626 0.000000 -0.004637626 -0.593616181 -10.1424890

VIII 3.67957663 0.143571348 0.000560826 0.000000 0.000560826 0.143571348 3.67957663

IX 0.10888870 0.002832445 0.000005532 0.000000 -0.000005532 -0.002832445 -0.10888870

X 0.12392646 0.002149074 0.000002099 0.000000 0.000002099 0.002149074 0.12392646

XI -0.00357713 -0.000041355 -0.000000020 0.000000 0.000000020 0.000041355 0.00357713

XII 0.00394155 0.000030379 0.000000007 0.000000 0.000000007 0.000030379 0.00394155

Tabla IV.15 Valores de los doce términos con respecto a φ y λ expresados en metros.

λ = 84° W X1 = 1973609.3855565 λ = 90° W X2 =1304906.32171282 λ = 96° W X3 = 649259.35876447

φ = 14° N Y1 = 1625209.4574210 φ = 14° N Y2 = 1581762.7614850 φ = 14° N Y3 = 1556591.8758634

λ = 108° W X4 = -649259.3587644 λ = 114° W X5 = -1304906.321712 λ = 120° W X6 = -1973609.385556

φ = 14° N Y4 = 1556591.8758634 φ = 14° N Y5 = 1581762.7614850 φ = 14° N Y6 = 1625209.4574210

λ = 102° W XMC = 000.00000000

φ = 14° N YMC = 1548345.644928

Tabla IV.16 Coordenadas finales expresadas en el sistema GK.


267

Proceso inverso.

PARA X1 & Y1

φ0 Φ0 t η v N ρ S

14º41’40.93515” 14º45’40.28575” 0.2622463 0.07940923 1.00314796 6379511.1931 6339535.1906 1625209.4574

PARA X2 & Y2


14º18’07.31819” 14º21’29.33362” 0.2549346 0.07955008 1.00315912 6379440.2227 6339323.6159 1581762.7615

PARA X3 & Y3


14º04’28.31643” 14º07’29.87951” 0.2507102 0.07962998 1.00316546 6379399.9111 6339203.4423 1556591.8759

PARA X4 & Y4


14º04’28.31643” 14º07’29.87951” 0.2507102 0.07962998 1.00316546 6379399.9111 6339203.4423 1556591.8759

PARA X5 & Y5


14º18’07.31819” 14º21’29.33362” 0.2549346 0.07955008 1.00315912 6379440.2227 6339323.6159 1581762.7615

PARA X6 & Y6


14º41’40.93515” 14º45’40.28575” 0.2622463 0.07940923 1.00314796 6379511.1931 6339535.1906 1625209.4574

PARA XMC & YMC


14º00’00.00000” 14º02’55.04727” 0.2493280 0.07965588 1.00316751 6379386.8336 6339164.4572 1548345.6449

Tabla IV.17 Radios de curvatura y demás parámetros geométricos para las latitudes de los puntos de expansión de cada coordenada GK.


268

F(𝑦) ∙ X COORD GK

X1,Y1 X2,Y2 X3,Y3 XMC,YMC X4,Y4 X5,Y5 X6,Y6

I 18º19’29.27223” 12º05’40.65883” 06º00’42.16243” 00º00’00.00000” -06º00’42.16243” -12º05’40.65883” -18º19’29.27223”

II -00º44’36.05396” -00º18’55.24743” -00º04’36.10926” 00º00’00.00000” -00º04’36.10926” -00º18’55.24743” 00º44’36.05396”

III -00º20’03.67129” -00º05’45.01238” -00º00’42.29535” 00º00’00.00000” 00º00’42.29535” 00º05’45.01238” 00º20’03.67129”

IV 00º01’55.65467” 00º00’21.35916” 00º00’01.28300” 00º00’00.00000” 00º00’01.28300” 00º00’21.35916” 00º01’55.65467”

V 00º00’35.65421” 00º00’04.42235” 00º00’00.13343” 00º00’00.00000” -00º00’00.13343” -00º00’04.42235” -00º00’35.65421”

VI -00º00’05.05624” -00º00’00.40584” -00º00’00.00602” 00º00’00.00000” -00º00’00.00602” -00º00’00.40584” -00º00’05.05624”

VII -00º00’01.30680” -00º00’00.07003” -00º00’00.00052” 00º00’00.00000” 00º00’00.00052” -00º00’00.07003” 00º00’01.30680”

VIII 00º00’00.22703” 00º00’00.00791” 00º00’00.00003” 00º00’00.00000” 00º00’00.00003” 00º00’00.00791” 00º00’00.22703”

IX 00º00’00.05395” 00º00’00.00125” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” -00º00’00.00125” -00º00’00.05395”

X -00º00’00.01046” -00º00’00.00016” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” -00º00’00.00016” -00º00’00.01046”

XI -00º00’00.00239” -00º00’00.00002” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00002” 00º00’00.00239”

XII 00º00’00.00049” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00049”

F(Φ) ∙ ∆Φ Para φ

I -00º41’36.97945” -00º18’06.58414” -00º04’28.27222” 00º00’00.00000” -00º04’28.27222” -00º18’06.58414” -00º41’36.97945”

II -00º00’04.01322” -00º00’00.73880” -00º00’00.04429” 00º00’00.00000” -00º00’00.04429” -00º00’00.73880” -00º00’04.01322”

III 00º00’00.05729” 00º00’00.00474” 00º00’00.00007” 00º00’00.00000” 00º00’00.00007” 00º00’00.00474” 00º00’00.05729”

IV 00º00’00.00025” 00º00’00.00001” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00001” 00º00’00.00025”

V 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000”

VI 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000”

Tabla IV.18 Valores de los términos inversos con respecto a X y Y.

X1,Y1

λ = -84º 00’ 00.00009”

X2,Y2

λ = -90º 00’ 00.00000”

X3,Y3

λ = -96º 00’ 00.00000”

φ = 14º 00’ 00.00002” φ = 14º 00’ 00.00000” φ = 14º 00’ 00.00000”

Φ = 14º 02’ 55.04729” Φ = 14º 02’ 55.04727” Φ = 14º 02’ 55.04727”

X4,Y4

λ = -108º 00’ 00.00000”

X5,Y5

λ = -114º 00’ 00.00000”

X6,Y6

λ = -119º 59’ 59.99991”

φ = 14º 00’ 00.00000” φ = 14º 00’ 00.00000” φ = 14º 00’ 00.00002”

Φ = 14º 02’ 55.04727” Φ = 14º 02’ 55.04727” Φ = 14º 02’ 55.04729”

XMC,YMC

λ = -102º 00’ 00.00000”

φ = 14º 00’ 00.00000”

Φ = 14º 02’ 55.04727”

Tabla IV.19 Coordenadas geodésicas transformadas.


269

Errores.

Coordenadas

de Origen

Transformación

Directa

Transformación

Inversa

Error

Angular Metros

λ = 84º W X1 = 1973609.3855565 λ1 = -84º 00’ 00.00009” 00.00009” 0.003

φ = 14º N Y1 = 1625209.4574210 φ1 = 14º 00’ 00.00002” 00.00002” 0.0006

λ = 90º W X2 =1304906.3217128 λ2 = -90º 00’ 00.00000” 00.00000” 0.000

φ = 14º N Y2 = 1581762.7614850 φ2 = 14º 00’ 00.00000” 00.00000” 0.000

λ = 96º W X3 = 649259.35876447 λ3 = -96º 00’ 00.00000” 00.00000” 0.000

φ = 14º N Y3 = 1556591.8758634 φ3 = 14º 00’ 00.00000” 00.00000” 0.000

λ = 102º W XMC = 000.00000000 λ = -102º 00’ 00.00000” 00.00000” 0.000

φ = 14º N YMC = 1548345.64492 φ = 14º 00’ 00.00000” 00.00000” 0.000

λ = 108º W X4 = -649259.3587644 λ4 = -108º 00’ 00.00000” 00.00000” 0.000

φ = 14º N Y4 = 1556591.8758634 φ4 = 14º 00’ 00.00000” 00.00000” 0.000

λ = 114º W X5 = -1304906.321712 λ5 = -114º 00’ 00.00000” 00.00000” 0.000

φ = 14º N Y5 = 1581762.7614850 φ5 = 14º 00’ 00.00000” 00.00000” 0.000

λ = 120º W X6 = -1973609.385556 λ6 = -119º 59’ 59.99991” -00.00009” -0.003

φ = 14º N Y6 = 1625209.4574210 φ6 = 14º 00’ 00.00002” 00.00002” 0.0006

Tabla IV.20 Errores de transformación entre conversiones.


270


t η v N ρ S

0.36397023 0.07714353 1.00297114 6380635.8072 6342888.4823 2212366.2541

Tabla IV.21 Radios de curvatura y demás parámetros geométricos para φ de 20º N.

𝑓(Φ) ∙ ∆𝜆 λ

84º W 90º W 96º W 102º W 108º W 114º W 120º W

I 1883647.5535 1255765.0357 627882.5178 0.000000 -627882.5178 -1255765.035 -1883647.553

II 101197.83176 44976.814119 11244.20352 0.000000 11244.20352 44976.814119 101197.83176

III 23898.527626 7081.0452227 885.1306528 0.000000 -885.1306528 -7081.045222 -23898.52762

IV 3616.8856502 714.44654819 44.652909261 0.000000 44.652909261 714.44654819 3616.8856502

V 318.41707348 41.931466466 1.3103583270 0.000000 -1.310358327 -41.93146646 -318.4170734

VI 116.77384978 10.251750872 0.1601836073 0.000000 0.1601836073 10.251750872 116.77384978

VII 0.0561433341 0.0032859382 0.0000256714 0.000000 -0.000025671 -0.003285938 -0.056143334

VIII 3.3991937216 0.1326312441 0.0005180908 0.000000 0.0005180908 0.1326312441 3.3991937216

IX -0.265544717 -0.006907427 -0.000013491 0.000000 0.000013491 0.006907427 0.265544717

X 0.0846000044 0.0014670935 0.000001432 0.000000 0.000001432 0.0014670935 0.0846000044

XI -0.015327858 -0.000177205 -0.000000086 0.000000 0.000000086 0.000177205 0.015327858

XII 0.0014993828 0.0000115562 0.000000002 0.000000 0.000000002 0.0000115562 0.0014993828


λ = 84° W X1 =1907864.2735521 λ = 90° W X2 = 1262888.0086113 λ = 96° W X3 = 628768.9588836

φ = 20° N Y1 = 2317301.2306654 φ = 20° N Y2 = 2258067.9006316 φ = 20° N Y3 = 2223655.2712453

λ = 108° W X4 = -628768.9588836 λ = 114° W X5 = -1262888.008611 λ = 120° W X6 = -1907864.273552

φ = 20° N Y4 = 2223655.2712453 φ = 20° N Y5 = 2258067.9006316 φ = 20° N Y6 = 2317301.2306654

λ = 102° W XMC = 000.00000000

φ = 20° N YMC = 2212366.254102



271

Proceso inverso.

PARA X1 & Y1


20º56’52.20267” 21º17’36.86948” 0.3828198 0.07666851 1.00293472 6380867.5390 6343579.5902 2317301.2307

PARA X2 & Y2


20º24’46.14006” 20º43’30.21769” 0.3721513 0.07693924 1.00295546 6380735.6450 6343186.2285 2258067.9006

PARA X3 & Y3


20º06’07.10618” 20º43’44.43597” 0.3659871 0.07709344 1.00296730 6380660.3113 6342961.5603 2223655.2712

PARA X4 & Y4


20º06’07.10618” 20º43’44.43597” 0.3659871 0.07709344 1.00296730 6380660.3113 6342961.5603 2223655.2712

PARA X5 & Y5


20º24’46.14006” 20º43’30.21769” 0.3721513 0.07693924 1.00295546 6380735.6450 6343186.2285 2258067.9006

PARA X6 & Y6


20º56’52.20267” 21º17’36.86948” 0.3828198 0.07666851 1.00293472 6380867.5390 6343579.5902 2317301.2307

PARA XMC & YMC


20º00’00.00000” 20º17’15.95335” 0.3639702 0.07714354 1.00297115 6380635.8072 6342888.4823 2212366.2541



272



I 18º20’37.33892” 12º05’59.72110” 06º00’44.46697” 00º00’00.00000” -06º00’44.46697” -12º05’59.72110” -18º20’37.33892”

II -01º02’59.38972” -00º26’44.23780” -00º06’30.30862” 00º00’00.00000” -00º06’30.30862” -00º26’44.23780” -01º02’59.38972”

III -00º21’18.13368” -00º06’04.85405” -00º00’44.62316” 00º00’00.00000” 00º00’44.62316” 00º06’04.85405” 00º21’18.13368”

IV 00º02’45.70124” 00º00’30.56662” 00º00’01.83491” 00º00’00.00000” 00º00’01.83491” 00º00’30.56662” 00º02’45.70124”

V 00º00’42.70124” 00º00’05.22510” 00º00’00.15687” 00º00’00.00000” -00º00’00.15687” -00º00’05.22510” -00º00’42.70124”

VI -00º00’07.57397” -00º00’00.60547” -00º00’00.00895” 00º00’00.00000” -00º00’00.00895” -00º00’00.60547” -00º00’07.57397”

VII -00º00’01.77580” -00º00’00.09401” -00º00’00.00069” 00º00’00.00000” 00º00’00.00069” 00º00’00.09401” 00º00’01.77580”

VIII 00º00’00.36361” 00º00’00.01257” 00º00’00.00005” 00º00’00.00000” 00º00’00.00005” 00º00’00.01257” 00º00’00.36361”

IX 00º00’00.08330” 00º00’00.00190” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” -00º00’00.00190” -00º00’00.08330”

X -00º00’00.01819” -00º00’00.00027” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” -00º00’00.00027” -00º00’00.01819”

XI -00º00’00.00416” -00º00’00.00004” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00004” 00º00’00.00416”

XII 00º00’00.00094” 00º00’00.00001” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00001” 00º00’00.00094”


I -00º56’41.47366” -00º24’44.14071” -00º06’06.98545” 00º00’00.00000” -00º06’06.98545” -00º24’44.14071” -00º56’41.47366”

II -00º00’10.86225” -00º00’02.01046” -00º00’00.12090” 00º00’00.00000” -00º00’00.12090” -00º00’02.01046” -00º00’10.86225”

III 00º00’00.13205” 00º00’00.01108” 00º00’00.00017” 00º00’00.00000” 00º00’00.00017” 00º00’00.01108” 00º00’00.13205”

IV 00º00’00.00122” 00º00’00.00004” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00004” 00º00’00.00122”

V 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000”

VI 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000”


X1,Y1

λ = -84º 00’ 00.00018”

X2,Y2

λ = -90º 00’ 00.00000”

X3,Y3

λ = -96º 00’ 00.00000”

φ = 20º 00’ 00.00004” φ = 20º 00’ 00.00000” φ = 20º 00’ 00.00000”

Φ = 20º 17’ 15.95339” Φ = 20º 17’ 15.95335” Φ = 20º 17’ 15.95335”

X4,Y4

λ = -108º 00’ 00.00000”

X5,Y5

λ = -114º 00’ 00.00000”

X6,Y6

λ = -119º 59’ 59.99982”

φ = 20º 00’ 00.00000” φ = 20º 00’ 00.00000” φ = 20º 00’ 00.00004”

Φ = 20º 17’ 15.95335” Φ = 20º 17’ 15.95335” Φ = 20º 17’ 15.95339”

XMC,YMC

λ = -102º 00’ 00.00000”

φ = 20º 00’ 00.00000”

Φ = 20º 17’ 15.95335”



273

Errores.

Coordenadas

de Origen

Transformación

Directa

Transformación

Inversa

Error

Angular Metros

λ = 84º W X1 =1907864.2735521 λ1 = -84º 00’ 00.00018” 00.00018” 0.005

φ = 20º N Y1 = 2317301.2306654 φ1 = 20º 00’ 00.00004” 00.00004” 0.001

λ = 90º W X2 = 1262888.0086113 λ2 = -90º 00’ 00.00000” 00.00000” 0.000

φ = 20º N Y2 = 2258067.9006316 φ2 = 20º 00’ 00.00000” 00.00000” 0.000

λ = 96º W X3 = 628768.9588836 λ3 = -96º 00’ 00.00000” 00.00000” 0.000

φ = 20º N Y3 = 2223655.2712453 φ3 = 20º 00’ 00.00000” 00.00000” 0.000

λ = 102º W XMC = 000.00000000 λ = -102º 00’ 00.00000” 00.00000” 0.000

φ = 20º N YMC = 2212366.25410 φ = 20º 00’ 00.00000” 00.00000” 0.000

λ = 108º W X4 = -628768.9588836 λ4 = -108º 00’ 00.00000” 00.00000” 0.000

φ = 20º N Y4 = 2223655.2712453 φ4 = 20º 00’ 00.00000” 00.00000” 0.000

λ = 114º W X5 = -1262888.008611 λ5 = -114º 00’ 00.00000” 00.00000” 0.000

φ = 20º N Y5 = 2258067.9006316 φ5 = 20º 00’ 00.00000” 00.00000” 0.000

λ = 120º W X6 = -1907864.273552 λ6 = -119º 59’ 59.99982” -00.00018” -0.005

φ = 20º N Y6 = 2317301.2306654 φ6 = 20º 00’ 00.00004” 00.00004” 0.001



274


t η v N ρ S

0.48773259 0.07378599 1.00271849 6382243.5527 6347684.3934 2876834.5725


𝑓(Φ) ∙ ∆𝜆 λ

84º W 90º W 96º W 102º W 108º W 114º W 120º W

I 1802118.8647 1201412.5765 600706.2882 0.000000 -600706.2882 -1201412.576 -1802118.865

II 124092.42497 55152.188876 13788.047219 0.000000 13788.047219 55152.188876 124092.42497

III 18380.840588 5446.1749892 680.77187364 0.000000 -680.7718736 -5446.174989 -18380.84059

IV 3966.8036159 783.56614635 48.972884147 0.000000 48.972884147 783.56614635 3966.8036159

V 74.054838393 9.7520774839 0.3047524214 0.000000 -0.304752421 -9.752077484 -74.05483839

VI 105.85795548 9.2934281906 0.1452098155 0.000000 0.1452098155 9.2934281906 105.85795548

VII -8.115816168 -0.474999757 -0.003710935 0.000000 0.003710935 0.474999757 8.115816168

VIII 2.1699167791 0.0846667727 0.0003307295 0.000000 0.0003307295 0.0846667727 2.1699167791

IX -0.452865568 -0.011780073 -0.000023007 0.000000 0.000023007 0.011780073 0.452865568

X 0.0190757461 0.0003308026 0.000000323 0.000000 0.000000323 0.0003308026 0.0190757461

XI -0.015877118 -0.000183556 -0.000000090 0.000000 0.000000090 0.000183556 0.015877118

XII -0.001054486 -0.000008127 -0.000000002 0.000000 0.000000002 0.000008127 0.001054486


λ = 84° W X1 =1820565.1756049 λ = 90° W X2 = 1206868.0165945 λ = 96° W X3 = 601387.3611377

φ = 26° N Y1 = 3005001.8470002 φ = 26° N Y2 = 2932779.7059590 φ = 26° N Y3 = 2890671.7381625

λ = 108° W X4 = -601387.3611377 λ = 114° W X5 = -1206868.016594 λ = 120° W X6 = -1820565.175605

φ = 26° N Y4 = 2890671.7381625 φ = 26° N Y5 = 2932779.7059590 φ = 26° N Y6 = 3005001.8470002

λ = 102° W XMC = 000.00000000

φ = 26° N YMC = 2876834.572518



275

Proceso inverso.

PARA X1 & Y1


27º09’24.39445” 28º03’34.39006” 0.5129769 0.07304443 1.00266420 6382589.1632 6348715.6663 3005001.8470

PARA X2 & Y2


26º30’17.84516” 27º19’58.75516” 0.4986896 0.07346596 1.00269499 6382393.1245 6348130.6895 2932779.7060

PARA X3 & Y3


26º07’29.62784” 26º54’40.57569” 0.4904339 0.07370737 1.00271271 6382280.3584 6347794.2131 2890671.7382

PARA X4 & Y4


26º07’29.62784” 26º54’40.57569” 0.4904339 0.07370737 1.00271271 6382280.3584 6347794.2131 2890671.7382

PARA X5 & Y5


26º30’17.84516” 27º19’58.75516” 0.4986896 0.07346596 1.00269499 6382393.1245 6348130.6895 2932779.7060

PARA X6 & Y6


27º09’24.39445” 28º03’34.39006” 0.5129769 0.07304443 1.00266420 6382589.1632 6348715.6663 3005001.8470

PARA XMC & YMC


26º00’00.00000” 26º46’22.75977” 0.4877326 0.07378599 1.00271849 6382243.5527 6347684.3934 2876834.5725



276



I 18º22’04.30656” 12º06’24.18328” 06º00’47.43178” 00º00’00.00000” -06º00’47.43178” -12º06’24.18328” -18º22’04.30656”

II -01º20’37.69286” -00º34’14.97000” -00º08’20.19030” 00º00’00.00000” -00º08’20.19030” -00º34’14.97000” -01º20’37.69286”

III -00º22’53.35029” -00º06’30.32423” -00º00’47.61810” 00º00’00.00000” 00º00’47.61810” 00º06’30.32423” 00º22’53.35029”

IV 00º03’35.95920” 00º00’39.78490” 00º00’02.38653” 00º00’00.00000” 00º00’02.38653” 00º00’39.78490” 00º03’35.95920”

V 00º00’51.33441” 00º00’06.26454” 00º00’00.18724” 00º00’00.00000” -00º00’00.18724” -00º00’06.26454” -00º00’51.33441”

VI -00º00’10.40674” -00º00’00.82832” -00º00’00.01222” 00º00’00.00000” -00º00’00.01222” -00º00’00.82832” -00º00’10.40674”

VII -00º00’02.40984” -00º00’00.12636” -00º00’00.00093” 00º00’00.00000” 00º00’00.00093” 00º00’00.12636” 00º00’02.40984”

VIII 00º00’00.53783” 00º00’00.01846” 00º00’00.00007” 00º00’00.00000” 00º00’00.00007” 00º00’00.01846” 00º00’00.53783”

IX 00º00’00.12574” 00º00’00.00284” 00º00’00.00001” 00º00’00.00000” -00º00’00.00001” -00º00’00.00284” -00º00’00.12574”

X -00º00’00.02928” -00º00’00.00043” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” -00º00’00.00043” -00º00’00.02928”

XI -00º00’00.00695” -00º00’00.00007” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00007” 00º00’00.00695”

XII 00º00’00.00165” 00º00’00.00001” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00001” 00º00’00.00165”


I -01º09’03.03148” -00º30’13.84292” -00º07’29.38543” 00º00’00.00000” -00º07’29.38543” -00º30’13.84292” -01º09’03.03148”

II -00º00’21.57072” -00º00’04.01987” -00º00’00.24268” 00º00’00.00000” -00º00’00.24268” -00º00’04.01987” -00º00’21.57072”

III 00º00’00.20433” 00º00’00.01750” 00º00’00.00027” 00º00’00.00000” 00º00’00.00027” 00º00’00.01750” 00º00’00.20433”

IV 00º00’00.00350” 00º00’00.00013” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00013” 00º00’00.00350”

V 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000”

VI 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000”


X1,Y1

λ = -84º 00’ 00.00036”

X2,Y2

λ = -90º 00’ 00.00000”

X3,Y3

λ = -96º 00’ 00.00000”

φ = 26º 00’ 00.00008” φ = 26º 00’ 00.00000” φ = 26º 00’ 00.00000”

Φ = 26º 46’ 22.75986” Φ = 26º 46’ 22.75977” Φ = 26º 46’ 22.75977”

X4,Y4

λ = -108º 00’ 00.00000”

X5,Y5

λ = -114º 00’ 00.00000”

X6,Y6

λ = -119º 59’ 59.99964”

φ = 26º 00’ 00.00000” φ = 26º 00’ 00.00000” φ = 26º 00’ 00.00008”

Φ = 26º 46’ 22.75977” Φ = 26º 46’ 22.75977” Φ = 26º 46’ 22.75986”

XMC,YMC

λ = -102º 00’ 00.00000”

φ = 26º 00’ 00.00000”

Φ = 26º 46’ 22.75977”



277

Errores.

Coordenadas

de Origen

Transformación

Directa

Transformación

Inversa

Error

Angular Metros

λ = 84º W X1 =1820565.1756049 λ1 = -84º 00’ 00.00036” 00.00036” 0.010

φ = 26º N Y1 = 3005001.8470002 φ1 = 26º 00’ 00.00008” 00.00008” 0.002

λ = 90º W X2 = 1206868.0165945 λ2 = -90º 00’ 00.00000” 00.00000” 0.000

φ = 26º N Y2 = 2932779.7059590 φ2 = 26º 00’ 00.00000” 00.00000” 0.000

λ = 96º W X3 = 601387.3611377 λ3 = -96º 00’ 00.00000” 00.00000” 0.000

φ = 26º N Y3 = 2890671.7381625 φ3 = 26º 00’ 00.00000” 00.00000” 0.000

λ = 102º W XMC = 000.00000000 λ = -102º 00’ 00.00000” 00.00000” 0.000

φ = 26º N YMC = 2876834.57252 φ = 26º 00’ 00.00000” 00.00000” 0.000

λ = 108º W X4 = -601387.3611377 λ4 = -108º 00’ 00.00000” 00.00000” 0.000

φ = 26º N Y4 = 2890671.7381625 φ4 = 26º 00’ 00.00000” 00.00000” 0.000

λ = 114º W X5 = -1206868.016594 λ5 = -114º 00’ 00.00000” 00.00000” 0.000

φ = 26º N Y5 = 2932779.7059590 φ5 = 26º 00’ 00.00000” 00.00000” 0.000

λ = 120º W X6 = -1820565.175605 λ6 = -119º 59’ 59.99964” -00.00036” -0.010

φ = 26º N Y6 = 3005001.8470002 φ6 = 26º 00’ 00.00008” 00.00008” 0.002



278


t η v N ρ S

0.64940759 0.06885019 1.00236737 6384479.1883 6354357.3199 3652748.0430


𝑓(Φ) ∙ ∆𝜆 λ

84º W 90º W 96º W 102º W 108º W 114º W 120º W

I 1682157.86543 1121438.5769 560719.28847 0.000000 -560719.2884 -1121438.577 -1682157.8654

II 143911.464321 63960.650809 15990.162702 0.000000 15990.162702 63960.650809 143911.464321

III 11346.8195521 3362.0206080 420.25257600 0.000000 -420.2525760 -3362.020608 -11346.819552

IV 3847.11179890 759.92331830 47.495207394 0.000000 47.495207394 759.92331830 3847.11179890

V -166.39804913 -21.91250029 -0.684765634 0.000000 0.684765634 21.91250029 166.39804913

VI 71.936076384 6.3153757045 0.0986777454 0.000000 0.0986777454 6.3153757045 71.936076384

VII -12.59712464 -0.737280271 -0.005760002 0.000000 0.005760002 0.737280271 12.59712464

VIII 0.3895118352 0.0151981451 0.0000593677 0.000000 0.0000593677 0.0151981451 0.3895118352

IX -0.393628887 -0.010239191 -0.000019998 0.000000 0.000019998 0.010239191 0.393628887

X -0.037957136 -0.000658235 -0.000000643 0.000000 -0.000000643 -0.000658235 -0.037957136

XI -0.006626518 -0.000076609 -0.000000037 0.000000 0.0000000374 0.000076609 0.006626518

XII -0.001967506 -0.000015164 -0.000000004 0.000000 -0.000000004 -0.000015164 -0.001967506


λ = 84° W X1 =1693325.2895623 λ = 90° W X2 = 1124777.9374712 λ = 96° W X3 = 561138.85051011

φ = 33° N Y1 = 3800578.9048593 φ = 33° N Y2 = 3717474.9471035 φ = 33° N Y3 = 3668785.7997213

λ = 108° W X4 = -561138.8505101 λ = 114° W X5 = -1124777.937471 λ = 120° W X6 = -1693325.289562

φ = 33° N Y4 = 3668785.7997213 φ = 33° N Y5 = 3717474.9471035 φ = 33° N Y6 = 3800578.9048593

λ = 102° W XMC = 000.00000000

φ = 33° N YMC = 3652748.043075



279

Proceso inverso.

PARA X1 & Y1


34º19’58.12838” 36º22’37.55857” 0.6829933 0.06779157 1.00229521 6384938.8220 6355729.8141 3800578.9049

PARA X2 & Y2


33º35’00.96077” 35º28’40.74902” 0.6639859 0.06839120 1.00233595 6384679.3346 6354954.9447 3717474.9471

PARA X3 & Y3


33º08’40.58551” 34º57’17.36575” 0.6530018 0.06873712 1.00235961 6384528.6145 6354504.9001 3668785.7997

PARA X4 & Y4


33º08’40.58551” 34º57’17.36575” 0.6530018 0.06873712 1.00235961 6384528.6145 6354504.9001 3668785.7997

PARA X5 & Y5


33º35’00.96077” 35º28’40.74902” 0.6639859 0.06839120 1.00233595 6384679.3346 6354954.9447 3717474.9471

PARA X6 & Y6


34º19’58.12838” 36º22’37.55857” 0.6829933 0.06779157 1.00229521 6384938.8220 6355729.8141 3800578.9049

PARA XMC & YMC


33º00’00.00000” 34º46’59.05498” 0.6494076 0.06885019 1.00236737 6384479.1883 6354357.3199 3652748.0431



280



I 18º24’04.04333” 12º06’58.05846” 06º00’51.55126” 00º00’00.00000” -06º00’51.55126” -12º06’58.05846” -18º24’04.04333”

II -01º39’59.52573” -00º42’31.07307” -00º10’21.31934” 00º00’00.00000” -00º10’21.31934” -00º42’31.07307” -01º39’59.52573”

III -00º25’04.58596” -00º07’05.60980” -00º00’51.77984” 00º00’00.00000” 00º00’51.77984” 00º07’05.60980” 00º25’04.58596”

IV 00º04’34.40139” 00º00’50.47196” 00º00’03.02494” 00º00’00.00000” 00º00’03.02494” 00º00’50.47196” 00º04’34.40139”

V 00º01’03.70730” 00º00’07.72119” 00º00’00.22984” 00º00’00.00000” -00º00’00.22984” -00º00’07.72119” -00º01’03.70730”

VI -00º00’14.12997” -00º00’01.11935” -00º00’00.01647” 00º00’00.00000” -00º00’00.01647” -00º00’01.11935” -00º00’14.12997”

VII -00º00’03.34711” -00º00’00.17407” -00º00’00.00127” 00º00’00.00000” 00º00’00.00127” 00º00’00.17407” 00º00’03.34711”

VIII 00º00’00.79547” 00º00’00.02709” 00º00’00.00010” 00º00’00.00000” 00º00’00.00010” 00º00’00.02709” 00º00’00.79547”

IX 00º00’00.19354” 00º00’00.00432” 00º00’00.00001” 00º00’00.00000” -00º00’00.00001” -00º00’00.00432” -00º00’00.19354”

X -00º00’00.04751” -00º00’00.00070” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” -00º00’00.00070” -00º00’00.04751”

XI -00º00’00.01180” -00º00’00.00011” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00011” 00º00’00.01180”

XII 00º00’00.00295” 00º00’00.00002” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00002” 00º00’00.00295”


I -01º19’20.49280” -00º34’53.85841” -00º08’40.15352” 00º00’00.00000” -00º08’40.15352” -00º34’53.85841” -01º19’20.49280”

II -00º00’37.86348” -00º00’07.12235” -00º00’00.43230” 00º00’00.00000” -00º00’00.43230” -00º00’07.12235” -00º00’37.86348”

III 00º00’00.22031” 00º00’00.01970” 00º00’00.00031” 00º00’00.00000” 00º00’00.00031” 00º00’00.01970” 00º00’00.22031”

IV 00º00’00.00770” 00º00’00.00028” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00028” 00º00’00.00770”

V 00º00’00.00004” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00004”

VI 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000” 00º00’00.00000”


X1,Y1

λ = -84º 00’ 00.00070”

X2,Y2

λ = -90º 00’ 00.00000”

X3,Y3

λ = -96º 00’ 00.00000”

φ = 33º 00’ 00.000015” φ = 33º 00’ 00.00000” φ = 33º 00’ 00.00000”

Φ = 33º 46’ 59.05516” Φ = 33º 46’ 59.05498” Φ = 33º 46’ 59.05498”

X4,Y4

λ = -108º 00’ 00.00000”

X5,Y5

λ = -114º 00’ 00.00000”

X6,Y6

λ = -119º 59’ 59.99930”

φ = 33º 00’ 00.00000” φ = 33º 00’ 00.00000” φ = 33º 00’ 00.00015”

Φ = 33º 46’ 59.05498” Φ = 33º 46’ 59.05498” Φ = 33º 46’ 59.05516”

XMC,YMC

λ = -102º 00’ 00.00000”

φ = 33º 00’ 00.00000”

Φ = 33º 46’ 59.05498”



281

Errores.

Coordenadas

de Origen

Transformación

Directa

Transformación

Inversa

Error

Angular Metros

λ = 84º W X1 =1693325.2895623 λ1 = -84º 00’ 00.00070” 00.00070” 0.018

φ = 33º N Y1 = 3800578.9048593 φ1 = 33º 00’ 00.00015” 00.00015” 0.005

λ = 90º W X2 = 1124777.9374712 λ2 = -90º 00’ 00.00000” 00.00000” 0.000

φ = 33º N Y2 = 3717474.9471035 φ2 = 33º 00’ 00.00000” 00.00000” 0.000

λ = 96º W X3 = 561138.85051011 λ3 = -96º 00’ 00.00000” 00.00000” 0.000

φ = 33º N Y3 = 3668785.7997213 φ3 = 33º 00’ 00.00000” 00.00000” 0.000

λ = 102º W XMC = 000.00000000 λ = -102º 00’ 00.00000” 00.00000” 0.000

φ = 33º N YMC = 3652748.04307 φ = 33º 00’ 00.00000” 00.00000” 0.000

λ = 108º W X4 = -561138.8505101 λ4 = -108º 00’ 00.00000” 00.00000” 0.000

φ = 33º N Y4 = 3668785.7997213 φ4 = 33º 00’ 00.00000” 00.00000” 0.000

λ = 114º W X5 = -1124777.937471 λ5 = -114º 00’ 00.00000” 00.00000” 0.000

φ = 33º N Y5 = 3717474.9471035 φ5 = 33º 00’ 00.00000” 00.00000” 0.000

λ = 120º W X6 = -1693325.289562 λ6 = -119º 59’ 59.99930” -00.00070” -0.018

φ = 33º N Y6 = 3800578.9048593 φ6 = 33º 00’ 00.00015” 00.00015” 0.005


Aplicando dichas amplificaciones se puede verificar que los doce términos

satisfacen un error o aproximación en conversión de coordenadas que van de los

± 0.003 m hasta los ± 0.018 m para un valor de 18º ∆λ con respecto al MC 102º

W, mientras que para la latitud 33º N estos oscilan entre ± 0.0006 m y ± 0.005 m.

Estos errores solo ocurren en los meridianos y paralelos límites que

conforman la zona de estudio, pero recordando que dicha zona fue ajustada de

manera simétrica con respecto al MC debido a la forma irregular del territorio

nacional, genera que si estas fórmulas se aplicaran a las coordenadas extremas

reales de dicho territorio los errores serían menores a los que se obtuvieron en

estas pruebas de manera que, el objetivo esencial de esta investigación se

cumple.


282

Los ajustes a la zona geográfica de estudio trabajan en conjunto con las

fórmulas generando que la simetría de la proyección se acople y sea visible en los

resultados finales, cada resultado refleja que los doce términos que conforman las

formulas directas e inversas se vinculan generando mismos valores para un ∆λ

positivo o negativo, donde un error de aproximación de coordenadas sea el mismo

para ambos lados del MC pero con signo contrario. Siendo esta la prueba fiel de

que estos nuevos términos agregados son confiables y que solo trabajan en

conjunto (mismos términos para transformación directa e inversa).

Además de esto se puede notar que estas amplificaciones ya aseguran la

precisión ideal angular que traducida en distancia generan un error de

transformación de 0.000 m para amplitudes meridianas de 24º de longitud misma

que es cuatro veces mayor a la de un huso UTM.

Mediante estas pruebas se es notorio que la precisión en las conversiones

también dependen de la latitud en la cual el punto se encuentre situado, este

fenómeno se hace presente en el proceso de conversión inverso, donde para un

∆λ de 18º el error incrementa de forma gradual con respecto al paralelo de

intersección, siendo un valor de error máximo de 0.005 m para el paralelo 33º N.

Este error es mínimo para las latitudes donde el territorio nacional se

encuentra ubicado, sin embargo este incrementara de acuerdo si la zona de

estudio se aleja del Ecuador y se acerca a los polos, de la misa manera que la

deformación geométrica o factor de escala.

De forma general con estas pruebas y el desarrollo de amplificación de las

fórmulas de transformación aseguran la precisión milimétrica dando veracidad a la

teoría e hipótesis de Enriquez Turiño (2009).


283

4.6.2 Latitudes Crecientes.

Se ha dejado claro que la latitud es otro de los factores que influye en el

rango de precisión, siendo esta la que camina en conjunto con el valor de ∆λ, es

por eso que en este apartado se realizaran las pruebas de transformación inversa

y directa para verificar el índice de error máximo que se puede alcanzar para los

paralelos que se encuentren más allá de la zona de estudio.

Estas pruebas se realizaran con el fin de garantizar el rango de latitud ideal

en las cuales las fórmulas amplificadas son confiables asegurando una precisión

óptima, mostrando a su vez el error de transformación o aproximación que se

genera en cada una de ellas.

Dado que las pruebas anteriores arrojaron simetría para un valor cualquiera

∆λ sin importar su signo (positivo o negativo), para estas nuevas conversiones

solo se tomara el valor absoluto de dicha cantidad angular.

Estas conversiones se harán en dos bloques, ambos se realizaran en torno

a los valores geográficos de la República Mexicana, el primero se realizara

tomando como valor máximo de ∆λ de 24º iniciando con un mínimo de 12º

incrementando a cada 2º de longitud, mientras que para las latitudes se utilizaran

desde el Ecuador 0º incrementando cada 5º hacia al polo norte 90º N.

El segundo bloque será la continuación del primero pero esta vez partiendo

de un de ∆λ 30º incrementando a cada 5º de longitud hasta un máximo de ∆λ 60º,

mientras que para las latitudes estas partirán del paralelo 0º hasta el 90º N en

incrementos de 10º

Para y facilitar la comprensión de datos en ambos casos solo se presentara

el error de conversión expresados en metros o kilómetros (sea el caso), siendo los

parámetros del elipsoide GRS 80 la base de los cálculos.


284

φ Δλ

12º 14º 16º 18º 20º 22º 24º

0º Δλ = 0.000 Δλ = 0.000 Δλ = 0.000 Δλ = 0.002 Δλ = 0.008 Δλ = 0.027 Δλ = 0.085

φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.000

5º N Δλ = 0.000 Δλ = 0.000 Δλ = 0.000 Δλ = 0.002 Δλ = 0.008 Δλ = 0.027 Δλ = 0.089

φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.001 φ = 0.006


φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.001 φ = 0.005 φ = 0.019


φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.001 φ = 0.003 φ = 0.013 φ = 0.047


φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.001 φ = 0.006 φ = 0.026 φ = 0.096


φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.002 φ = 0.011 φ = 0.045 φ = 0.170


φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.001 φ = 0.004 φ = 0.017 φ = 0.073 φ = 0.272


φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.001 φ = 0.005 φ = 0.026 φ = 0.108 φ = 0.407


φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.001 φ = 0.008 φ = 0.036 φ = 0.151 φ = 0.572


φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.002 φ = 0.010 φ = 0.048 φ = 0.200 φ = 0.758


φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.002 φ = 0.012 φ = 0.059 φ = 0.250 φ = 0.948


φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.003 φ = 0.015 φ = 0.070 φ = 0.294 φ = 1.117


φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.003 φ = 0.016 φ = 0.077 φ = 0.325 φ = 1.235


φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.003 φ = 0.017 φ = 0.080 φ = 0.335 φ = 1.273


φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.003 φ = 0.016 φ = 0.076 φ = 0.319 φ = 1.210


φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.002 φ = 0.014 φ = 0.065 φ = 0.273 φ = 1.036


φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.002 φ = 0.010 φ = 0.047 φ = 0.200 φ = 0.759


φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.001 φ = 0.005 φ = 0.025 φ = 0.106 φ = 0.401


φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.000

Tabla IV.42 Errores de conversión para latitudes crecientes siendo Δλ de 24º el valor máximo de amplitud meridiana.


285

φ Δλ

30º 35º 40º 45º 50º 55º 60º

0º Δλ = 1.733 Δλ = 14.575 Δλ = 97.537 Δλ = 559.231 Δλ = 2.90 km Δλ = 14.2 km Δλ = 691 km

φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.000

10º N Δλ = 2.525 Δλ = 24.510 Δλ = 193.918 Δλ = 1.34 km Δλ = 8.78 km Δλ = 56.6 km Δλ = 384 km

φ = 0.653 φ = 8.331 φ = 83.962 φ = 726. 608 φ = 5.75 km φ = 44.4 km φ = 359 km

20º N Δλ = 7.502 Δλ = 79.491 Δλ = 634.357 Δλ = 5.41 km Δλ = 40.2 km Δλ = 304 km Δλ = 2540 km

φ = 3.125 φ = 39.447 φ = 405.539 φ = 3.70 km φ = 32.1 km φ = 284 km φ = 2555 km

30º N Δλ = 20.504 Δλ = 221.875 Δλ = 2.00 km Δλ = 16.3 km Δλ = 128 km Δλ = 1045 km Δλ = 9487 km

φ = 9.081 φ = 118.118 φ = 1.26 km φ = 12.2 km φ = 112 km φ = 1038 km φ = 5653 km

40º N Δλ = 41.865 Δλ = 461.313 Δλ = 4.25 km Δλ = 35.6 km Δλ = 289 km Δλ = 2429 km Δλ = 22 Mm

φ = 19.535 φ = 260.419 φ = 2.87 km φ = 28.4 km φ = 270 km φ = 2260 km φ = 676 Mm

50º N Δλ = 66.736 Δλ = 742.837 Δλ = 6.97 km Δλ = 58.6 km Δλ = 482 km Δλ = 4105 km Δλ = 38 Mm

φ = 32.781 φ = 441.897 φ = 4.92 km φ = 49.4 km φ = 463 km φ = 3070 km φ = Error

60º N Δλ = 83.885 Δλ = 935.825 Δλ = 87.5 km Δλ = 74.2 km Δλ = 611 km Δλ = 5.2 Mm Δλ = 49 Mm

φ = 42.822 φ = 578.747 φ = 6.47 km φ = 64.8 km φ = 587 km φ = 2.9 Mm φ = Error


φ = 41.906 φ = 565.808 φ = 6.31 km φ = 62.9 km φ = 547 km φ = 2.4 Mm φ = Error


φ = 26.244 φ = 353.763 φ = 353.763 φ = 39.1 km φ = 328 km φ = 1.1 Mm φ = Error


φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.000 φ = 0.000

Tabla IV.43 Errores de conversión para latitudes crecientes siendo Δλ de 60º el valor máximo de amplitud meridiana.

Mediante estas pruebas se puede apreciar la cantidad de error máxima que

pueden alcanzar los doce términos de las fórmulas generales de proyección con

respecto a los valores angulares de ∆λ y φ, de igual manera se deja claro que

efectivamente la precisión camina en conjunto con estos valores, siendo

inversamente proporcional a ellos, lo que quiere decir que entre mayor sean los

valores de ∆λ y φ menor será la precisión.

Con estas conversiones se reafirma que las fórmulas amplificadas

satisfacen un proceso de transformación perfecto para una ∆λ de 12º donde el

valor de la latitud no interfiere en dichos resultados, siendo el error de

aproximación para esta zona de 0.000 m. No obstante estas amplificaciones


286

ofrecen una aproximación milimétrica para amplitudes meridianas de hasta 20º

grados de longitud con paralelos muy cercanos al Ecuador, donde dicha

aproximación pierde precisión conforme va incrementando la latitud, siendo el

error máximo de 23 cm en ∆λ y de 1.7 cm en φ para el paralelo 65º N.

Este incremento en el error se comporta de manera similar en todas las

bandas meridianas pero con la peculiaridad de que llega a su punto máximo en el

paralelo 65º N a partir de ahí dicho valor comienza a disminuir hasta convertirse

en 0 en el paralelo 90º N. Este fenómeno se debe a que los paralelos comienzan a

disminuir su radio, decreciendo gradualmente hasta llegar a los polos.

Con el resultado de estos cálculos se deduce que los doce términos

agregados las formulas GK satisfacen una precisión milimétrica para un ∆λ de 16º

y 18º, precisión al centímetro para ∆λ de 20º, al decímetro para ∆λ de 22º, 5

decímetros para ∆λ de 24º y métrica en ∆λ de 30º. Más allá de 30º la precisión

decae pasando de metros, kilómetros hasta llegar a los megámetros (Mm) en ∆λ

de 55º y 60º.

Se verifica que estas amplificaciones pierden su aproximación más allá de

los 30º de longitud siendo totalmente inservibles para valores de 55º, 60º y

mayores de longitud, donde el error de la latitud en esta última amplitud es

desmesurado, por lo cual en la tabla se simboliza con la palabra error.

La precisión o error de cálculo de los doce términos agregados se describe

en la siguiente tabla.


287

Δλ Precisión

Máxima Mínima

12º λ = 0.000 λ = 0.000

φ = 0.000 φ = 0.000

14º λ = ± 0.001 λ = ± 0.002

φ = 0.000 φ = 0.000

16º λ = ± 0.001 λ = ± 0.011

φ = ± 0.001 φ = ± 0.003

18º λ = ± 0.002 λ = ± 0.057

φ = ± 0.001 φ = ± 0.017

20º λ = ± 0.008 λ = ± 0.243

φ = ± 0.001 φ = ± 0.080

22º λ = ± 0.027 λ = ± 0.924

φ = ± 0.001 φ = ± 0.335

24º λ = ± 0.085 λ = ± 3.185

φ = ± 0.006 φ = ± 0.273

30º λ = ± 1.733 λ = ± 85.206

φ = ± 0.653 φ = ± 44.13

Tabla IV.44 Precisiones máximas y mínimas para latitudes crecientes en un rango de Δλ de 12º a 30º

Aunque la precisión y el índice de error se vinculan con ∆λ, el creciente de

error recae más en las longitudes siendo los valores de latitud los menos

afectados.

La aplicación de estos nuevos términos dan certeza de aproximación

milimétrica para la cobertura completa del territorio nacional u otro territorio que

tenga una extensión similar o ligeramente menor a este, por lo que dichos

términos se convierten en un método confiable para la representación cartográfica

del mismo.


288

4.6.3 Número de términos necesarios en función de Δλ.

Hasta el momento se ha verificado el rango de precisión y comportamiento

de los nuevos términos agregados a las fórmulas de transformación con respecto

a las coordenadas geodésicas y el MC de un punto en particular, siendo las

pruebas destinadas a ello satisfactorias, cumpliendo así con el principal objetivo

de esta tesis. Sin embargo las fórmulas amplificadas se componen de términos

que se fundamentan en ecuaciones polinómicas que dependiendo el orden de

dicho término o derivada consecutiva van incrementando, esta situación genera

que en la evaluación, sustitución y cálculo de coordenadas algunos de los

términos arrojen resultados muy pequeños que son considerados despreciables

para la precisión requerida o demandada, propiciando así una situación de

redundancia entorno a cálculos innecesarios.

Como ya se dijo, esta situación se vincula directamente con la amplitud de

∆λ, donde el adecuado número de términos influye en la aproximación de las

coordenadas, pero para no saturar las fórmulas con términos innecesarios lo más

conveniente y lo que a lo largo del tiempo varios autores han hecho, es truncar o

designar los términos suficientes para dicho logro, tal como lo hizo Enriquez Turiño

(2009).

Es por eso que a continuación se presenta un análisis de aproximación que

ofrece cada término consecutivo con respecto a ∆λ. Dichas pruebas se realizaron

tomando un de ∆λ 18º de amplitud meridiana con un incremento a cada dos

grados de longitud, mientras que para las latitudes, el análisis partió del paralelo

14º N aumentando a cada 3º de latitud hasta llegar al paralelo 33º N, mismos que

como ya se ha mencionado, son los límites geográficos de la República Mexicana.

Los cálculos se realizaron en función de la latitud geodésica siendo la

variable el término creciente o derivada consecutiva, los cuales son presentados


289

en gráficas para su fácil interpretación, divididas para los casos existentes, directo

e inverso.

Para reducir expresiones se tomaran las siguientes consideraciones para

ambos procesos de conversión.

L𝑛 =𝑓𝑛(Φ)

𝑛!∙ ∆λ𝑛 Proceso Directo.

l𝑛 =F𝑛(𝑦)

𝑛!∙ X𝑛 Proceso Inverso ∆λ y Φ0.

m𝑛 =F𝑛(Φ)

𝑛!∙ ∆Φ𝑛 Proceso Inverso φ.

Siendo 𝑛 el número o incremento del término de la serie de Taylor en

cuestión.

Proceso Directo (L𝑛)

2 4 6 8 10 12 14 16 18

14 216067.98 432135.96 648203.95 864271.93 1080339.9 1296407.9 1512475.8 1728543.8 1944611.8

17 212971.66 425943.32 638914.98 851886.64 1064858.3 1277829.9 1490801.6 1703773.2 1916744.9

20 209294.17 418588.34 627882.51 837176.69 1046470.8 1255765.0 1465059.2 1674353.3 1883647.5

23 205045.07 410090.14 615135.21 820180.28 1025225.3 1230270.4 1435315.5 1640360.5 1845405.6

26 200235.42 400470.85 600706.28 800941.71 1001177.1 1201412.5 1401648.0 1601883.4 1802118.8

29 194877.81 389755.63 584633.44 779511.26 974389.08 1169266.8 1364144.7 1559022.5 1753900.3

33 186906.42 373812.85 560719.28 747625.71 934532.14 1121438.5 1308345.0 1495251.4 1682157.8

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

Kiló

me

tro

s

L1

Fig. IV.7 Primera aproximación de L en kilómetros.


290

2 4 6 8 10 12 14 16 18

14 912.3111 3649.244 8210.800 14596.97 22807.77 32843.20 44703.24 58387.91 73897.19

17 1086.762 4347.048 9780.859 17388.19 27169.05 39123.43 53251.34 69552.78 88027.73

20 1249.355 4997.423 11244.20 19989.69 31233.89 44976.81 61218.44 79958.78 101197.8

23 1398.314 5593.256 12584.82 22373.02 34957.85 50339.30 68517.38 89492.09 113263.4

26 1532.005 6128.021 13788.04 24512.08 38300.13 55152.18 75068.25 98048.33 124092.4

29 1648.963 6595.853 14840.67 26383.41 41224.08 59362.68 80799.20 105533.6 133566.0

33 1776.684 7106.739 15990.16 28426.95 44417.11 63960.65 87057.55 113707.8 143911.4

0

20

40

60

80

100

120

140

160

Kiló

me

tro

sL2

2 4 6 8 10 12 14 16 18

14 39.00472 312.0377 1053.127 2496.302 4875.590 8425.020 13378.62 19970.41 28434.44

17 36.09959 288.7967 974.6888 2310.373 4512.448 7797.510 12382.15 18482.98 26316.59

20 32.78262 262.2609 885.1306 2098.087 4097.827 7081.045 11244.43 16784.69 23898.52

23 29.12720 233.0176 786.4343 1864.140 3640.899 6291.475 9990.629 14913.12 21233.72

26 25.21377 201.7101 680.7718 1613.681 3151.721 5446.174 8648.324 12909.45 18380.84

29 21.12787 169.0229 570.4524 1352.183 2640.983 4563.619 7246.858 10817.46 15402.21

33 15.56491 124.5192 420.2525 996.1542 1945.613 3362.020 5338.764 7969.234 11346.81

0

5

10

15

20

25

30

Kiló

me

tro

s

L3

Fig. IV.8 Segunda aproximación de L en kilómetros.

Fig. IV.9 Tercera aproximación de L en kilómetros.


291

2 4 6 8 10 12 14 16 18

14 0.009362 0.299596 2.275060 9.587082 29.25745 72.80190 157.3536 306.7866 552.8395

17 0.007447 0.238311 1.809675 7.625955 23.27256 57.90959 125.1654 244.0305 439.7510

20 0.005392 0.172557 1.310358 5.521839 16.85131 41.93147 90.63042 176.6989 318.4171

23 0.003296 0.105469 0.800907 3.375014 10.29972 25.62901 55.39439 108.0004 194.6203

26 0.001254 0.040132 0.304752 1.284224 3.919141 9.75208 21.07808 41.09517 74.05484

29 0.000644 0.020593 0.156378 0.658975 2.011031 5.00409 10.81581 21.08719 37.99980

33 0.002818 0.090175 0.684766 2.885597 8.806142 21.91250 47.36155 92.33910 166.3980

050

100150200250300350400450500550600

Me

tro

s

L5

2 4 6 8 10 12 14 16 18

14 0.435641 6.970261 35.28694 111.5242 272.2758 564.5911 1045.974 1784.386 2858.242

17 0.500761 8.012179 40.56165 128.1949 312.9757 648.9865 1202.327 2051.117 3285.494

20 0.551270 8.820328 44.65290 141.1252 344.5441 714.4465 1323.600 2258.003 3616.885

23 0.586056 9.376902 47.47056 150.0304 366.2852 759.5291 1407.121 2400.487 3845.115

26 0.604604 9.673656 48.97288 154.7785 377.8772 783.5661 1451.653 2476.456 3966.803

29 0.607005 9.712081 49.16741 155.3933 379.3782 786.6786 1457.419 2486.292 3982.560

33 0.586361 9.381769 47.49520 150.1083 366.4754 759.9233 1407.851 2401.733 3847.111

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

Kiló

me

tro

sL4

Fig. IV.10 Cuarta aproximación de L en kilómetros.

Fig. IV.11 Quinta aproximación de L en metros.


292

2 4 6 8 10 12 14 16 18

14 0.000197 0.012592 0.143433 0.805899 3.074262 9.179697 23.14777 51.57756 104.5624

17 0.000214 0.013692 0.155965 0.876314 3.342874 9.981768 25.17029 56.08412 113.6985

20 0.000220 0.014063 0.160184 0.900017 3.433291 10.25175 25.85109 57.60106 116.7738

23 0.000214 0.013725 0.156333 0.878382 3.350761 10.00532 25.22968 56.21645 113.9668

26 0.000199 0.012748 0.145210 0.815884 3.112350 9.293428 23.43455 52.21657 105.8579

29 0.000176 0.011244 0.128075 0.719607 2.745082 8.196770 20.66919 46.05483 93.36634

33 0.000135 0.008663 0.098678 0.554436 2.115007 6.315376 15.92502 35.48392 71.93608

0102030405060708090

100110120

Me

tro

s

L6

2 4 6 8 10 12 14 16 18

14 0.00000 0.00027 0.00464 0.03474 0.16567 0.59362 1.74636 4.44710 10.1425

17 0.00000 0.00013 0.00230 0.01727 0.08233 0.29500 0.86787 2.21004 5.04043

20 0.00000 0.00000 0.00003 0.00019 0.00092 0.00329 0.00967 0.02462 0.05614

23 0.00000 0.00012 0.00203 0.01518 0.07239 0.25940 0.76314 1.94333 4.43215

26 0.00000 0.00022 0.00371 0.02780 0.13256 0.47500 1.39740 3.55848 8.11582

29 0.00000 0.00029 0.00493 0.03694 0.17612 0.63107 1.85655 4.72770 10.7824

33 0.00000 0.00034 0.00576 0.04315 0.20576 0.73728 2.16900 5.52337 12.5971

0123456789

10111213

Me

tro

s

L7

Fig. IV.12 Sexta aproximación de L en metros.

Fig. IV.13 Séptima aproximación de L en metros.


293

2 4 6 8 10 12 14 16 18

14 0.000000 0.000022 0.000561 0.005602 0.033390 0.143571 0.492768 1.434094 3.679577

17 0.000000 0.000022 0.000562 0.005615 0.033465 0.143895 0.493878 1.437327 3.687871

20 0.000000 0.000020 0.000518 0.005175 0.030846 0.132631 0.455219 1.324817 3.399194

23 0.000000 0.000017 0.000437 0.004366 0.026022 0.111890 0.384030 1.117638 2.867619

26 0.000000 0.000013 0.000331 0.003304 0.019691 0.084667 0.290594 0.845713 2.169917

29 0.000000 0.000008 0.000213 0.002123 0.012653 0.054406 0.186733 0.543446 1.394364

33 0.000000 0.000002 0.000059 0.000593 0.003535 0.015198 0.052163 0.151810 0.389512

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

2.8

3.2

3.6

4.0

Me

tro

s

L8

Fig. IV.14 Octava aproximación de L en metros.

2 4 6 8 10 12 14 16 18

14 0.000000 0.000000 0.000006 0.000074 0.000549 0.002832 0.011342 0.037723 0.108889

17 0.000000 0.000000 0.000005 0.000064 0.000475 0.002450 0.009810 0.032628 0.094181

20 0.000000 0.000000 0.000013 0.000180 0.001339 0.006907 0.027659 0.091995 0.265545

23 0.000000 0.000001 0.000020 0.000263 0.001956 0.010095 0.040422 0.134444 0.388074

26 0.000000 0.000001 0.000023 0.000306 0.002283 0.011780 0.047170 0.156890 0.452866

29 0.000000 0.000001 0.000023 0.000311 0.002318 0.011961 0.047896 0.159305 0.459835

33 0.000000 0.000001 0.000020 0.000266 0.001984 0.010239 0.041000 0.136369 0.393629

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

Me

tro

s

L9

Fig. IV.15 Novena aproximación de L en metros.


294

2 4 6 8 10 12 14 16 18

14 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000006 0.000041 0.000225 0.000979 0.003577

17 0.000000 0.000000 0.000000 0.000001 0.000017 0.000124 0.000674 0.002930 0.010702

20 0.000000 0.000000 0.000000 0.000002 0.000024 0.000177 0.000966 0.004196 0.015328

23 0.000000 0.000000 0.000000 0.000002 0.000026 0.000197 0.001071 0.004654 0.017000

26 0.000000 0.000000 0.000000 0.000002 0.000025 0.000184 0.001000 0.004346 0.015877

29 0.000000 0.000000 0.000000 0.000002 0.000020 0.000146 0.000795 0.003454 0.012619

33 0.000000 0.000000 0.000000 0.000001 0.000010 0.000077 0.000418 0.001814 0.006627

0.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012

0.014

0.016

0.018

Me

tro

s

L11

Fig. IV.17 Decimo primera aproximación de L en metros.

2 4 6 8 10 12 14 16 18

14 0.000000 0.000000 0.000002 0.000037 0.000347 0.002149 0.010040 0.038163 0.123926

17 0.000000 0.000000 0.000002 0.000033 0.000308 0.001909 0.008918 0.033899 0.110081

20 0.000000 0.000000 0.000001 0.000025 0.000237 0.001467 0.006854 0.026052 0.084600

23 0.000000 0.000000 0.000001 0.000016 0.000147 0.000909 0.004248 0.016148 0.052437

26 0.000000 0.000000 0.000000 0.000006 0.000053 0.000331 0.001545 0.005874 0.019076

29 0.000000 0.000000 0.000000 0.000003 0.000029 0.000182 0.000850 0.003232 0.010497

33 0.000000 0.000000 0.000001 0.000011 0.000106 0.000658 0.003075 0.011689 0.037957

0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.100.110.120.13

Me

tro

s

L10

Fig. IV.16 Decima aproximación de L en metros.


295

Proceso Inverso (l𝑛)

2 4 6 8 10 12 14 16 18

14 2.000433 4.003464 6.011712 8.027832 10.05454 12.09462 14.15099 16.22665 18.32479

17 2.000443 4.003551 6.012007 8.028538 10.05593 12.09707 14.15493 16.23265 18.33353

20 2.000456 4.003652 6.012352 8.029363 10.05756 12.09992 14.15953 16.23965 18.34370

23 2.000470 4.003768 6.012743 8.030297 10.05940 12.10315 14.16474 16.24756 18.35519

26 2.000486 4.003895 6.013175 8.031331 10.06144 12.10671 14.17049 16.25628 18.36786

29 2.000503 4.004033 6.013645 8.032452 10.06365 12.11058 14.17671 16.26573 18.38155

33 2.000528 4.004232 6.014320 8.034062 10.06683 12.11612 14.18563 16.27924 18.40112

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Gra

do

s D

ec

ima

les.

l1

2 4 6 8 10 12 14 16 18

14 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000003 0.000030 0.000193 0.000959 0.003942

17 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000002 0.000022 0.000142 0.000703 0.002888

20 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000001 0.000012 0.000073 0.000365 0.001499

23 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000001 0.000005 0.000023 0.000093

26 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000001 0.000008 0.000052 0.000257 0.001054

29 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000002 0.000014 0.000087 0.000430 0.001766

33 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000002 0.000015 0.000096 0.000479 0.001968

0.000

0.001

0.002

0.003

0.004

L12

Fig. IV.18 Decimo segunda aproximación de L en metros.

Fig. IV.19 Primera aproximación de l en grados decimales.


296

2 4 6 8 10 12 14 16 18

14 0.008453 0.033915 0.076697 0.137322 0.216541 0.315347 0.434994 0.577035 0.743348

17 0.010216 0.040987 0.092686 0.165944 0.261660 0.381028 0.525556 0.697106 0.897935

20 0.011951 0.047946 0.108419 0.194102 0.306041 0.445622 0.614596 0.815125 1.049830

23 0.013653 0.054773 0.123852 0.221719 0.349561 0.508946 0.701862 0.930755 1.198595

26 0.015317 0.061449 0.138942 0.248718 0.392098 0.570825 0.787108 1.043668 1.343804

29 0.016940 0.067956 0.153648 0.275026 0.433535 0.631086 0.870097 1.153547 1.485048

33 0.019030 0.076338 0.172589 0.308901 0.486876 0.708631 0.976844 1.294813 1.666535

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

Gra

do

s d

ec

ima

les

l2

2 4 6 8 10 12 14 16 18

14 0.025960 0.208122 0.704922 1.679329 3.301260 5.750206 9.218129 13.91273 20.06119

17 0.026610 0.213360 0.722813 1.722444 3.387283 5.902783 9.468008 14.29927 20.63431

20 0.027370 0.219483 0.743719 1.772814 3.487749 6.080901 9.759575 14.75004 21.30223

23 0.028232 0.226424 0.767413 1.829884 3.601532 6.282536 10.08946 15.25972 22.05687

26 0.029185 0.234107 0.793635 1.893022 3.727363 6.505404 10.45385 15.82231 22.88917

29 0.030221 0.242449 0.822099 1.961534 3.863838 6.746988 10.84857 16.43126 23.78925

33 0.031711 0.254439 0.862997 2.059930 4.059728 7.093497 11.41425 17.30308 25.07643

0.02.04.06.08.0

10.012.014.016.018.020.022.024.026.0

Min

uto

s D

ec

ima

les

l3

Fig. IV.21 Segunda aproximación de l en grados decimales, siendo 0.20 igual a 12’.

Fig. IV.20 Tercera aproximación de l en minutos decimales.


297

2 4 6 8 10 12 14 16 18

14 0.000261 0.004193 0.021383 0.068278 0.168912 0.355986 0.672352 1.172986 1.927578

17 0.000317 0.005094 0.025981 0.082964 0.205265 0.432655 0.817280 1.426084 2.343994

20 0.000373 0.005996 0.030582 0.097665 0.241662 0.509444 0.962495 1.679811 2.761687

23 0.000429 0.006898 0.035182 0.112366 0.278073 0.586287 1.107876 1.933957 3.180320

26 0.000485 0.007798 0.039776 0.127049 0.314447 0.663082 1.253227 2.188177 3.599320

29 0.000541 0.008695 0.044354 0.141686 0.350718 0.739684 1.398273 2.441984 4.017869

33 0.000615 0.009882 0.050416 0.161071 0.398769 0.841199 1.590571 2.778641 4.573356

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

Min

uto

s D

ec

ima

les

l4

2 4 6 8 10 12 14 16 18

14 0.00001 0.00029 0.00222 0.00946 0.02920 0.07371 0.16206 0.32232 0.59424

17 0.00001 0.00031 0.00240 0.01023 0.03161 0.07987 0.17582 0.35020 0.64672

20 0.00001 0.00034 0.00261 0.01113 0.03443 0.08708 0.19194 0.38286 0.70819

23 0.00001 0.00037 0.00285 0.01216 0.03764 0.09529 0.21027 0.41998 0.77804

26 0.00001 0.00041 0.00312 0.01330 0.04120 0.10441 0.23063 0.46119 0.85557

29 0.00001 0.00045 0.00341 0.01455 0.04509 0.11434 0.25281 0.50608 0.94000

33 0.00002 0.00050 0.00383 0.01635 0.05070 0.12869 0.28482 0.57086 1.06179

0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.2

Min

uto

s D

ec

ima

les

l5

Fig. IV.22 Cuarta aproximación de l en minutos decimales, siendo 0.50 igual a 30”.

Fig. IV.23 Quitan aproximación de l en minutos decimales, siendo 0.10 igual a 6”.


298

2 4 6 8 10 12 14 16 18

14 0.00000 0.00003 0.00052 0.00394 0.01913 0.07003 0.21127 0.55403 1.30680

17 0.00000 0.00003 0.00060 0.00455 0.02209 0.08096 0.24470 0.64305 1.52047

20 0.00000 0.00004 0.00069 0.00527 0.02561 0.09401 0.28461 0.74939 1.77580

23 0.00000 0.00005 0.00080 0.00610 0.02970 0.10916 0.33095 0.87288 2.07250

26 0.00000 0.00005 0.00093 0.00705 0.03435 0.12636 0.38359 1.01324 2.40984

29 0.00000 0.00006 0.00106 0.00811 0.03953 0.14555 0.44235 1.16993 2.78663

33 0.00000 0.00007 0.00127 0.00968 0.04722 0.17407 0.52968 1.40294 3.34711

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

Se

gu

nd

os

De

cim

ale

s

l7

Fig. IV.25 Séptima aproximación de l en segundos decimales.

2 4 6 8 10 12 14 16 18

14 0.00001 0.00052 0.00602 0.03426 0.13301 0.40584 1.05000 2.41048 5.05624

17 0.00001 0.00065 0.00745 0.04243 0.16477 0.50298 1.30202 2.99097 6.27860

20 0.00001 0.00078 0.00895 0.05103 0.19825 0.60547 1.56828 3.60512 7.57397

23 0.00001 0.00092 0.01054 0.06010 0.23361 0.71382 1.85006 4.25595 8.94880

26 0.00002 0.00106 0.01222 0.06968 0.27094 0.82832 2.14813 4.94520 10.40674

29 0.00002 0.00121 0.01398 0.07976 0.31027 0.94903 2.46265 5.67323 11.94850

33 0.00002 0.00143 0.01647 0.09397 0.36572 1.11935 2.90678 6.70225 14.12997

0.01.02.03.04.05.06.07.08.09.0

10.011.012.013.014.015.0

Se

gu

nd

os

De

cim

ale

s

l6

Fig. IV.24 Sexta aproximación de l en segundos decimales.


299

2 4 6 8 10 12 14 16 18

14 0.00000 0.00000 0.00000 0.00003 0.00024 0.00125 0.00517 0.01788 0.05395

17 0.00000 0.00000 0.00000 0.00004 0.00029 0.00154 0.00639 0.02216 0.06709

20 0.00000 0.00000 0.00000 0.00005 0.00036 0.00190 0.00790 0.02745 0.08330

23 0.00000 0.00000 0.00000 0.00006 0.00044 0.00233 0.00971 0.03379 0.10279

26 0.00000 0.00000 0.00001 0.00007 0.00053 0.00284 0.01183 0.04126 0.12574

29 0.00000 0.00000 0.00001 0.00008 0.00064 0.00342 0.01428 0.04989 0.15232

33 0.00000 0.00000 0.00001 0.00011 0.00081 0.00432 0.01808 0.06326 0.19354

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.20

Se

gu

nd

os

De

cim

ale

s

l9

2 4 6 8 10 12 14 16 18

14 0.00000 0.00000 0.00003 0.00029 0.00179 0.00791 0.02804 0.08475 0.22703

17 0.00000 0.00000 0.00004 0.00037 0.00228 0.01010 0.03586 0.10851 0.29110

20 0.00000 0.00000 0.00005 0.00047 0.00284 0.01257 0.04467 0.13534 0.36361

23 0.00000 0.00000 0.00006 0.00057 0.00346 0.01535 0.05459 0.16561 0.44558

26 0.00000 0.00000 0.00007 0.00068 0.00416 0.01846 0.06572 0.19961 0.53783

29 0.00000 0.00000 0.00008 0.00081 0.00494 0.02192 0.07812 0.23754 0.64088

33 0.00000 0.00000 0.00010 0.00100 0.00610 0.02709 0.09668 0.29438 0.79547

0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.600.650.700.750.80

Se

gu

nd

os

De

cim

ale

s

l8

Fig. IV.26 Octava aproximación de l en segundos decimales.

Fig. IV.27 Novena aproximación de l en segundos decimales.


300

2 4 6 8 10 12 14 16 18

14 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00002 0.00014 0.00062 0.00239

17 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00003 0.00018 0.00082 0.00317

20 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00001 0.00004 0.00023 0.00107 0.00416

23 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00001 0.00005 0.00030 0.00139 0.00541

26 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00001 0.00007 0.00039 0.00178 0.00695

29 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00001 0.00008 0.00049 0.00225 0.00880

33 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00001 0.00011 0.00065 0.00301 0.01180

0.0000.0010.0020.0030.0040.0050.0060.0070.0080.0090.0100.0110.012

Se

gu

nd

os

De

cim

ale

s

l11

2 4 6 8 10 12 14 16 18

14 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00002 0.00016 0.00077 0.00306 0.01046

17 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00003 0.00021 0.00102 0.00407 0.01396

20 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00004 0.00027 0.00132 0.00529 0.01819

23 0.00000 0.00000 0.00000 0.00001 0.00005 0.00035 0.00169 0.00675 0.02326

26 0.00000 0.00000 0.00000 0.00001 0.00007 0.00043 0.00212 0.00848 0.02928

29 0.00000 0.00000 0.00000 0.00001 0.00008 0.00053 0.00262 0.01051 0.03634

33 0.00000 0.00000 0.00000 0.00001 0.00011 0.00070 0.00341 0.01371 0.04751

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

0.035

0.040

0.045

0.050

Se

gu

nd

os

De

cim

ale

s

l10

Fig. IV.28 Decima aproximación de l en segundos decimales.

Fig. IV.29 Decimo primera aproximación de l en segundos decimales.


301

2 4 6 8 10 12 14 16 18

14 0.00825 0.03304 0.07452 0.13291 0.20854 0.30183 0.41332 0.54366 0.69361

17 0.00982 0.03935 0.08873 0.15822 0.24819 0.35911 0.49159 0.64635 0.82422

20 0.01129 0.04522 0.10194 0.18174 0.28501 0.41226 0.56412 0.74135 0.94485

23 0.01263 0.05058 0.11402 0.20323 0.31861 0.46068 0.63009 0.82760 1.05413

26 0.01383 0.05539 0.12483 0.22244 0.34861 0.50385 0.68878 0.90415 1.15084

29 0.01488 0.05958 0.13425 0.23916 0.37468 0.54128 0.73955 0.97019 1.23399

33 0.01602 0.06414 0.14449 0.25729 0.40287 0.58163 0.79406 1.04075 1.32236

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

Min

uto

s D

ec

ima

les

m1

Fig. IV.31 Primera aproximación de m en minutos decimales, siendo 0.20 igual a 12".

Proceso Inverso para m𝑛

Fig. IV.30 Decimo segunda aproximación de l en segundos decimales.

2 4 6 8 10 12 14 16 18

14 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00002 0.00011 0.00049

17 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00003 0.00016 0.00069

20 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00001 0.00004 0.00021 0.00094

23 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00001 0.00005 0.00029 0.00126

26 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00001 0.00007 0.00037 0.00165

29 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00001 0.00009 0.00048 0.00214

33 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00002 0.00013 0.00066 0.00295

0.0000

0.0003

0.0006

0.0009

0.0012

0.0015

0.0018

0.0021

0.0024

0.0027

0.0030

Se

gu

nd

os

De

cim

ale

s

l12


302

2 4 6 8 10 12 14 16 18

14 0.00000 0.00001 0.00007 0.00041 0.00157 0.00474 0.01216 0.02764 0.05729

17 0.00000 0.00001 0.00012 0.00066 0.00254 0.00769 0.01969 0.04465 0.09236

20 0.00000 0.00001 0.00017 0.00095 0.00367 0.01108 0.02831 0.06403 0.13205

23 0.00000 0.00002 0.00022 0.00125 0.00482 0.01451 0.03699 0.08342 0.17142

26 0.00000 0.00002 0.00027 0.00152 0.00582 0.01750 0.04446 0.09988 0.20433

29 0.00000 0.00003 0.00030 0.00170 0.00651 0.01950 0.04932 0.11026 0.22429

33 0.00000 0.00003 0.00031 0.00174 0.00662 0.01970 0.04945 0.10952 0.22031

0.000.020.040.060.080.100.120.140.160.180.200.220.24

Se

gu

nd

os

De

cim

ale

s

m3

2 4 6 8 10 12 14 16 18

14 0.00054 0.00868 0.04429 0.14149 0.35027 0.73880 1.39669 2.43927 4.01322

17 0.00094 0.01509 0.07696 0.24578 0.60814 1.28196 2.42180 4.22608 6.94632

20 0.00148 0.02371 0.12090 0.38592 0.95439 2.01046 3.79495 6.61588 10.86225

23 0.00215 0.03459 0.17630 0.56251 1.39024 2.92636 5.51871 9.61055 15.75925

26 0.00297 0.04763 0.24268 0.77390 1.91136 4.01987 7.57323 13.17269 21.57072

29 0.00390 0.06260 0.31884 1.01618 2.50789 5.26966 9.91690 17.22711 28.16828

33 0.00529 0.08493 0.43230 1.37669 3.39403 7.12235 13.38257 23.20514 37.86348

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

35.0

40.0

Se

gu

nd

os

De

cim

ale

s

m2

Fig. IV.32 Segunda aproximación de m en segundos decimales.

Fig. IV.33 Tercera aproximación de m en segundos decimales.


303

2 4 6 8 10 12 14 16 18

14 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

17 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

20 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

23 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

26 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

29 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00001

33 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00001 0.00004

0.00000

0.00001

0.00002

0.00003

0.00004

0.00005

Se

gu

nd

os

De

cim

ale

s

m5

Fig. IV.35 Quinta aproximación de m en segundos decimales.

2 4 6 8 10 12 14 16 18

14 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00001 0.00003 0.00009 0.00025

17 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00002 0.00007 0.00023 0.00060

20 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00001 0.00004 0.00015 0.00046 0.00122

23 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00002 0.00008 0.00027 0.00082 0.00218

26 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00003 0.00013 0.00044 0.00132 0.00350

29 0.00000 0.00000 0.00000 0.00001 0.00004 0.00019 0.00065 0.00195 0.00515

33 0.00000 0.00000 0.00000 0.00001 0.00006 0.00028 0.00099 0.00293 0.00770

0.000

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

Se

gu

nd

os

De

cim

ale

s

m4

Fig. IV.34 Cuarta aproximación de m en segundos decimales.


304

Para la elaboración de estos gráficos se tomaron los valores absolutos de

cada término esto con el fin de representar en un solo sentido la aproximación de

cada cantidad. Se logra apreciar el acercamiento que alcanza cada término de los

doce planteados para las fórmulas de transformación, puntualizando que dichos

términos actúan en conjunto para cualquiera de las dos conversiones (directa e

inversa) siendo estos directamente proporcionales, de forma sencilla y dando

veracidad a la hipótesis planteada y fundamentada en la idea de Enriquez Turiño

(2009), se confirma que; la misma cantidad de términos utilizados para la

conversión directa serán los mismos empleados para la transformación inversa.

Así mismo, las gráficas revelan que el comportamiento de todos los

términos se acoplan al desarrollo en serie de Taylor, donde cada termino que

estructura dicha teorema se aproxima a la función requerida, siendo los últimos

términos los que casi alcanzan el valor de 0, dando por hecho que el método de

expansión es el adecuado.

2 4 6 8 10 12 14 16 18

14 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

17 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

20 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

23 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

26 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

29 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

33 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

0.00000

0.00001

0.00002

0.00003

0.00004

0.00005

Se

gu

nd

os

De

cim

ale

s

m6

Fig. IV.36 Sexta aproximación de m en segundos decimales.


305

De acuerdo a la información anterior y atendiendo una posible confusión por

la saturación términos en las fórmulas de conversión de coordenadas, en la

siguiente tabla se presentan los términos necesarios que se deben aplicar para

satisfacer una precisión milimétrica con respecto a un valor de ∆λ.

Conversión ∆𝛌

2º 4º 6º 8º 10º 12º 14º 16º 18º

Directa (X,Y) 6 6 8 8 10 10 12 12 12

Inversa (Δλ, Φ) 6 6 8 8 10 10 12 12 12

Inversa (φ) 3 3 3 3 3 3 4 4 6

Tabla IV.45 Número de términos de conversión necesarios en función de Δλ.

Los términos asignados a cada ∆λ cumplen con el objetivo de precisión

milimétrica esto sin importar el valor de la latitud, siendo estos útiles para ambos

hemisferios terrestres en una amplitud meridiana de 18º.

Por último, se aprecia que la cantidad de términos aumentan de la misma

manera que ∆λ, lo que quiere decir que a cada 2º de longitud a las formulas se le

tienen que añadir dos términos más para asegurar el milímetro en la precisión, por

lo que se deduce que para representar todo el mundo en esta proyección

asegurando una precisión milimétrica se necesitarían 120 términos para un ∆λ de

180º.

4.6.4 Comparación de resultados con los algoritmos de Karney.

Con esta serie de pruebas se ha logrado verificar que las expansiones a las

fórmulas de GK mediante el método de Thomas (1952) cumplen con el objetivo de

precisión milimétrica requerido para la representación completa del territorio

nacional, sin embargo como dichas expansiones son términos nuevos que hasta el

momento no existe algún desarrollo próximo a ellos, genera una situación de

desconfianza en el proceso de conversión.


306

Para aclarar esta situación y sustentar las fórmulas amplificadas, se

realizara una última prueba la cual constara en la comparación de resultados que

arrojan dichas fórmulas con los que brindan los algoritmos perfectos de Karney.

Se tomaran dichos algoritmos como prueba ferviente, debido a que estos en

la actualidad cuentan con las fórmulas más precisas para la transformación de

coordenadas en los sistemas TM y UTM, ofreciendo una precisión o error de

cálculo equivalente a cantidades manométricas en un ∆λ de 30º.

Este método exacto proporciona una precisión de 9 Nm. sobre todo el

elipsoide, mientras que los errores en el método de serie están a menos de 5 Nm.

dentro de un ancho de banda de 30º de longitud con respecto al meridiano central

o lo que es lo mismo a 3,900 kilómetros. En cada caso, la convergencia meridiano

y la escala también se calculan con exactitud similar. La velocidad del método de

la serie es competitivo con otros algoritmos de menor precisión y el método exacto

es aproximadamente 5 veces más lento (F. Karney, 2011).

Los algoritmos de Karney tratan de una expansión a las fórmulas del

desarrollo en serie creado por Redfearn (1948), los cuales se fundamentan en una

resolución alterna al conocido y creado por Gauss y Thomas mediante la variable

compleja y la serie de Taylor. Las fórmulas de Redfearn se deducen a través de

las funciones elípticas exponenciales que componen las ecuaciones de

transformación de la proyección TM caso esférico, siendo las deducciones de

Redfearn y Karney ajustadas y amplificadas al elipsoide.

Karney amplifica dichos algoritmos dado a que estos se basan en un

método diferente de resolución, siendo más fácil a la variable compleja de Krüger

y así mismo puntualizando que el método utilizado por Krüger y Thomas no

garantizan precisión más allá de los 8º de ∆λ.


307

Como ya se dijo, Karney utiliza los algoritmos de Redfearn los cuales

permiten el cálculo de coordenadas en el sistema TM para todo el elipsoide,

aunque estos algoritmos cuentan una solución numérica más fácil que la original

tienen el inconveniente de que contemplan el uso de largas series con diferentes

tipos de coeficientes, integración numérica e iteraciones (Enríquez Turiño, 2009),

en pocas palabras, sus fórmulas son más extensas y más permisibles a

equivocaciones de cálculo y captura de datos.

De acuerdo a lo anterior y para dar sustento a las pruebas de comparación,

se utilizara la calculadora conformada por los algoritmos completos de Karney

obtenida de http://www.mygeodesy.id.au/map-projection/

Las pruebas de comparación se realizaran tomando las coordenadas

geográficas designadas para la República Mexicana utilizadas en el inciso 4.6.1 de

este documento, pero solo aquellas que se encuentren en lado positivo de ∆λ,

para ambos cálculos se emplearan los parámetros del elipsoide GRS 80. Los

resultados de comparación se presentan en la tabla IV.46 y los errores entre

coordenadas en la tabla IV.47.

http://www.mygeodesy.id.au/map-projection/


308

Coordenada

de Origen

Algoritmos de Conversión.

Conversión Directa. Conversión Inversa

GK Ka - Kr GK Ka - Kr

λ = 102º W X = 0.000000000 X = 0.000000000 λ = -102º 00’ 00.00000” λ = -102º 00’ 00.00000”

φ = 14º N Y = 1548345.64492826 Y = 1548345.64492826 φ = 14º 00’ 00.00000” φ = 14º 00’ 00.00000”

λ = 96º W X = 649259.358764473 X = 649259.358764473 λ = -96º 00’ 00.00000” λ = -96º 00’ 00.00000”

φ = 14º N Y = 1556591.87586344 Y = 1556591.87586344 φ = 14º 00’ 00.00000” φ = 14º 00’ 00.00000”

λ = 90º W X = 1304906.32171282 X = 1304906.32171096 λ = -90º 00’ 00.00000” λ = -90º 00’ 00.00000”

φ = 14º N Y = 1581762.76148506 Y = 1581762.76148546 φ = 14º 00’ 00.00000” φ = 14º 00’ 00.00000”

λ = 84º W X =1973609.38555653 X = 1973609.38518178 λ = -84º 00’ 00.00012” λ = -84º 00’ 00.00000”

φ = 14º N Y = 1625209.45742102 Y = 1625209.45753932 φ = 14º 00’ 00.00002” φ = 14º 00’ 00.00000”

λ = 102º W X = 0.000000000 X = 0.000000000 λ = -102º 00’ 00.00000” λ = -102º 00’ 00.00000”

φ = 20º N Y = 2212366.25410298 Y = 2212366.25410298 φ = 20º 00’ 00.00000” φ = 20º 00’ 00.00000”

λ = 96º W X = 628768.958883641 X = 628768.958883641 λ = -96º 00’ 00.00000” λ = -96º 00’ 00.00000”

φ = 20º N Y = 2223655.27124530 Y = 2223655.27124530 φ = 20º 00’ 00.00000” φ = 20º 00’ 00.00000”

λ = 90º W X = 1262888.00861127 X = 1262888.00860798 λ = -90º 00’ 00.00000” λ = -90º 00’ 00.00000”

φ = 20º N Y = 2258067.90063164 Y = 2258067.90063163 φ = 20º 00’ 00.00000” φ = 20º 00’ 00.00000”

λ = 84º W X = 1907864.27355215 X = 1907864.27289785 λ = -84º 00’ 00.00018” λ = -84º 00’ 00.00000”

φ = 20º N Y = 2317301.23066543 Y = 2317301.23066102 φ = 20º 00’ 00.00004” φ = 20º 00’ 00.00000”

λ = 102º W X = 0.000000000 X = 0.000000000 λ = -102º 00’ 00.00000” λ = -102º 00’ 00.00000”

φ = 26º N Y = 2876834.57251837 Y = 2876834.57251837 φ = 26º 00’ 00.00000” φ = 26º 00’ 00.00000”

λ = 96º W X = 601387.361137679 X = 601387.361137679 λ = -96º 00’ 00.00000” λ = -96º 00’ 00.00000”

φ = 26º N Y = 2890671.73816254 Y = 2890671.73816254 φ = 26º 00’ 00.00000” φ = 26º 00’ 00.00000”

λ = 90º W X = 1206868.01659456 X = 1206868.01659251 λ = -90º 00’ 00.00000” λ = -90º 00’ 00.00000”

φ = 26º N Y = 2932779.70595900 Y = 2932779.70595874 φ = 26º 00’ 00.00000” φ = 26º 00’ 00.00000”

λ = 84º W X = 1820565.17560492 X = 1820565.17520456 λ = -84º 00’ 00.00036” λ = -84º 00’ 00.00000”

φ = 26º N Y = 3005001.84700025 Y = 3005001.84692098 φ = 26º 00’ 00.00008” φ = 26º 00’ 00.00000”

λ = 102º W X = 0.000000000 X = 0.000000000 λ = -102º 00’ 00.00000” λ = -102º 00’ 00.00000”

φ = 33º N Y = 3652748.04307509 Y = 3652748.04307509 φ = 33º 00’ 00.00000” φ = 33º 00’ 00.00000”

λ = 96º W X = 561138.850510106 X = 561138.850510106 λ = -96º 00’ 00.00000” λ = -102º 00’ 00.00000”

φ = 33º N Y = 3668785.79972137 Y = 3668785.79972137 φ = 33º 00’ 00.00000” φ = 33º 00’ 00.00000”

λ = 90º W X = 1124777.93747121 X = 1124777.93747151 λ = -90º 00’ 00.00000” λ = -90º 00’ 00.00000”

φ = 33º N Y = 3717474.94710347 Y = 3717474.94710332 φ = 33º 00’ 00.00000” φ = 33º 00’ 00.00000”

λ = 84º W X = 1693325.28956226 X = 1693325.28962511 λ = -84º 00’ 00.00070” λ = -84º 00’ 00.00000”

φ = 33º N Y = 3800578.90485927 Y = 3800578.90480573 φ = 33º 00’ 00.00015” φ = 33º 00’ 00.00000”

Tabla IV.46 Comparativa de coordenadas entre los algoritmos amplificados de GK y los de Karney – Krüger (Ka – Kr)


309

Coordenada de

Origen


GK y Ka - Kr. Directo. GK y Ka - Kr. Inverso.

X Y λ φ

λ = 102º W φ = 14º N 0.000000000 0.000000000 00º 00’ 00.00000” 00º 00’ 00.00000”

λ = 96º W φ = 14º N 0.000000000 0.000000000 00º 00’ 00.00000” 00º 00’ 00.00000”

λ = 90º W φ = 14º N 0.000001860 0.000000400 00º 00’ 00.00000” 00º 00’ 00.00000”

λ = 84º W φ = 14º N 0.000374750 0.000118300 00º 00’ 00.00012” 00º 00’ 00.00002”

λ = 102º W φ = 20º N 0.000000000 0.000000000 00º 00’ 00.00000” 00º 00’ 00.00000”

λ = 96º W φ = 20º N 0.000000000 0.000000000 00º 00’ 00.00000” 00º 00’ 00.00000”

λ = 90º W φ = 20º N 0.000003290 0.000000010 00º 00’ 00.00000” 00º 00’ 00.00000”

λ = 84º W φ = 20º N 0.000654300 0.000004410 00º 00’ 00.00018” 00º 00’ 00.00004”

λ = 102º W φ = 26º N 0.000000000 0.000000000 00º 00’ 00.00000” 00º 00’ 00.00000”

λ = 96º W φ = 26º N 0.000000000 0.000000000 00º 00’ 00.00000” 00º 00’ 00.00000”

λ = 90º W φ = 26º N 0.000002050 0.000000260 00º 00’ 00.00000” 00º 00’ 00.00000”

λ = 84º W φ = 26º N 0.000400360 0.000079270 00º 00’ 00.00036” 00º 00’ 00.00008”

λ = 102º W φ = 33º N 0.000000000 0.000000000 00º 00’ 00.00000” 00º 00’ 00.00000”

λ = 96º W φ = 33º N 0.000000000 0.000000000 00º 00’ 00.00000” 00º 00’ 00.00000”

λ = 90º W φ = 33º N 0.000000300 0.000000150 00º 00’ 00.00000” 00º 00’ 00.00000”

λ = 84º W φ = 33º N 0.000062850 0.000053540 00º 00’ 00.00070” 00º 00’ 00.00015”

Tabla IV.47 Diferencia entre las coordenadas obtenidas con los algoritmos amplificados de GK y Ka – Kr.

Se aprecia que ambos algoritmos arrojan coordenadas similares para las

amplitudes de 0º y 6º de longitud, donde los errores son levemente notorios para

las amplitudes meridianas de 12º y 18º, siendo las diferencias entre ellos por

debajo del milímetro en la proyección y sobre el elipsoide.

Con esta prueba se puede verificar que las amplificaciones mediante el

método de Thomas – Krüger son confiables, por lo que solo resta confirmar el

error que existe entre aquellas coordenadas que son levemente diferentes en

ambos sistemas. Esto se lograra realizando el proceso inverso de conversión con

los algoritmos de Karney a las coordenadas GK que muestran diferencias.


310

Coordenada

de Origen


Conversión Error

GK (Directo) Ka – Kr (Inverso) Angular Metros

λ = 90º W X = 1304906.32171282 λ = -90º 00’ 00.00000” λ = 00º 00’ 00” 00.0000

φ = 14º N Y = 1581762.76148506 φ = 14º 00’ 00.00000” φ = 00º 00’ 00” 00.0000

λ = 84º W X =1973609.38555653 λ = -84º 00’ 00.00001” λ = 00.00001” 00.0003

φ = 14º N Y = 1625209.45742102 φ = 14º 00’ 00.00000” φ = 00º 00’ 00” 00.0000

λ = 90º W X = 1262888.00861127 λ = -90º 00’ 00.00000” λ = 00º 00’ 00” 00.0000

φ = 20º N Y = 2258067.90063164 φ = 20º 00’ 00.00000” φ = 00º 00’ 00” 00.0000

λ = 84º W X = 1907864.27355215 λ = -84º 00’ 00.00002” λ = 00.00002” 00.0003

φ = 20º N Y = 2317301.23066543 φ = 20º 00’ 00.00000” φ = 00º 00’ 00” 00.0000

λ = 90º W X = 1206868.01659456 λ = -90º 00’ 00.00000” λ = 00º 00’ 00” 00.0000

φ = 26º N Y = 2932779.70595900 φ = 26º 00’ 00.00000” φ = 00º 00’ 00” 00.0000

λ = 84º W X = 1820565.17560492 λ = -84º 00’ 00.00001” λ = 00.00001” 00.0003

φ = 26º N Y = 3005001.84700025 φ = 26º 00’ 00.00000” φ = 00º 00’ 00” 00.0000

λ = 90º W X = 1124777.93747121 λ = -90º 00’ 00.00000” λ = 00º 00’ 00” 00.0000

φ = 33º N Y = 3717474.94710347 φ = 33º 00’ 00.00000” φ = 00º 00’ 00” 00.0000

λ = 84º W X = 1693325.28956226 λ = -84º 00’ 00.00000” λ = 00º 00’ 00” 00.0000

φ = 33º N Y = 3800578.90485927 φ = 33º 00’ 00.00000” φ = 00º 00’ 00” 00.0000

Tabla IV.48 Aplicación de los algoritmos de Karney a las coordenadas obtenidas en los algoritmos amplificados GK.

Mediante esta comparativa se deja en claro que la diferencia entre ambos

sistemas de conversión es mínima, ofreciendo un error de aproximación por

debajo del milímetro entre ellos. Aunque las fórmulas amplificadas de GK ofrecen

coordenadas con precisión milimétrica estas pueden ser utilizadas sin ningún

problema con los algoritmos de Karney obteniendo un error de transformación

mínimo, asegurando así la precisión deseada.

Aunque los algoritmos de Karney ofrecen una precisión perfecta para las

transformaciones, estos tienen un inconveniente muy notorio el cual es que sus

fórmulas de trasformación solo son viables para la zona Este del meridiano de

Greenwich, generando coordenadas totalmente distintas y desiguales para las

zonas que se encuentren de lado oeste de dicho meridiano. Esta situación se

debe a que el análisis de estos algoritmos y su aplicación se hicieron en torno a la


311

zona geográfica donde se encuentra ubicado el Reino Unido, donde el valor de las

coordenadas geodésicas es meramente positivas.

Este inconveniente género que el cálculo de coordenadas GK para el

análisis se haya hecho tomando como positivo las coordenadas de la República

Mexicana, siendo las latitudes de manera inversa al MC (102º, 108º, 114º y 120º)

pero respetando los incrementos de ∆λ. Esto debido a que la zona positiva de ∆λ

con respecto al MC se invierte.

Con esta última prueba se sustenta la veracidad de estas expansiones,

dejando en claro que los resultados de sus cálculos pueden ser utilizados en los

algoritmos de Karney en los de Thomas y viceversa asegurando la precisión

milimétrica en ambos sistemas, la cual es la más requerida en trabajos topo-

geodésicos.

De igual manera se asegura que las teorías de Thomas y Enriquez Turiño

son ciertas y que a pesar de que existen formas alternas de resolución al sistema

GK, sustentadas por autores como Lee y Karney que aseguran que el método

original no es el más viable por el exceso en las fórmulas, estas pierden su

veracidad, siendo las nuevas amplificaciones la prueba fiel de que los métodos

originales de deducción siempre serán los más confiables y los menos confusos.

4.6.5 Error máximo alcanzado.

Es así como los algoritmos amplificados por el método original de Krüger

cumplen de manera satisfactoria con todas las pruebas y análisis de precisión,

error y exactitud realizados a un máximo de ∆λ 18º y para latitudes que van de 14º

N hasta 33º N esencialmente, esto con el fin de satisfacer una condición de

simetría a la zona de estudio, dada esta situación se conoce la precisión máxima

alcanzada en dicha zona sin embargo se desconoce la precisión exacta donde el

territorio nacional se desenvuelve. Es por eso que en este apartado se presentara

la precisión y el índice de error máximos alcanzados para las coordenadas


312

oficiales de la República Mexicana así mismo las coordenadas perteneciente a la

ZEEM, esto con el fin de detallar el objetivo logrado.

Atendiendo lo anterior en las siguientes tablas se expondrán la conversión

de coordenadas, en primera estancia con los algoritmos anteriores o básicos GK,

posteriores a ello con los algoritmos amplificados, presentando de igual forma el

error o precisión que ofrece cada uno de ellos.

Coordenada de

Origen


Conversión Error

Directo Inverso Angular Metros

Coordenadas Oficiales.

λ = 86º 42’ 36.00” W X = 1665351.33394794 λ = -86º 42’ 36.01234” λ = 00.01234” 00.3696

φ = 14º 32º 27.00“ N Y = 1664962.52922639 φ = 14º 32’ 27.00109” φ = 00.00109” 00.0334

λ = 118º 27’ 24.00” W X = -1795444.93543463 λ = -118º 27’ 23.97562” λ = 00.02438” 00.7297

φ = 14º 32º 27.00” N Y = 1674255.35245975 φ = 14º 32’ 27.00238” φ = 00.00238” 00.0732

λ = 86º 42’ 36.00” W X = 1440478.49742902 λ = -86º 42’ 36.03543” λ = 00.03543” 00.9226

φ = 32º 43º 06.00“ N Y = 3726928.26319330 φ = 32º 43’ 06.00461” φ = 00.00461” 00.1419

λ = 118º 27’ 24.00” W X = -1551578.3535154 λ = -118º 27’ 23.92944” λ = 00.07056” 01.8375

φ = 32º 43º 06.00“ N Y = 3744009.35061247 φ = 32º 43’ 06.01053” φ = 00.01053” 00.3243

Coordenadas ZEEM

λ = 84º 02’ 46.50” W X = 1985508.29283915 λ = -84º 02’ 46.55182” λ = 00.05182” 01.5679

φ = 11º 58º 07.70“ N Y = 1389759.56143801 φ = 11º 58’ 07.70424” φ = 00.00424” 00.1303

λ = 122º 10’ 13.50” W X = -2239746.95953755 λ = -122º 10’ 13.34693” λ = 00.15307” 04.6310

φ = 11º 58º 07.70“ N Y = 1407995.85054807 φ = 11º 58’ 07.71502” φ = 00.01502” 00.4615

λ = 84º 02’ 46.50” W X = 1697070.86404977 λ = -84º 02’ 46.65907” λ = 00.15907” 04.1483

φ = 32º 35º 22.11“ N Y = 3753364.93188279 φ = 32º 35’ 22.13758” φ = 00.02758” 00.8497

λ = 122º 10’ 13.50” W X = -1909923.00429847 λ = -122º 10’ 13.01718” λ = 00.48282” 12.5913

φ = 32º 35º 22.11“ N Y = 3793002.76742477 φ = 32º 35’ 22.21034” φ = 00.10034” 03.0909

Tabla IV.49 Conversión de coordenadas oficiales y de la ZEE pertenecientes a la República Mexicana utilizando los algoritmos básicos GK.


313

Coordenada de

Origen


Conversión Error

Directo Inverso Angular Metros

Coordenadas Oficiales.

λ = 86º 42’ 36.00” W X = 1665351.34944626 λ = -86º 42’ 36.00001” λ = 00.00001” 00.0003

φ = 14º 32º 27.00“ N Y = 1664962.55371541 φ = 14º 32’ 27.00000” φ = 00.00000” 00.0001

λ = 118º 27’ 24.00” W X = -1795444.96521879 λ = -118º 27’ 23.99997” λ = 00.00003” 00.0009

φ = 14º 32º 27.00” N Y = 1674255.40372410 φ = 14º 32’ 27. 00001” φ = 00.00001” 00.0002

λ = 86º 42’ 36.00” W X = 1440478.40402795 λ = -86º 42’ 36. 00007” λ = 00.00007” 00.0019

φ = 32º 43º 06.00“ N Y = 3726928.25576302 φ = 32º 43’ 06.00001” φ = 00.00001” 00.0004

λ = 118º 27’ 24.00” W X = -1551578.17212048 λ = -118º 27’ 23.99980” λ = 00.00020” 00.0053

φ = 32º 43º 06.00“ N Y = 3744009.33501956 φ = 32º 43’ 06.00004” φ = 00.00004” 00.0012

Coordenadas ZEEM

λ = 84º 02’ 46.50” W X = 1985508.54189950 λ = -84º 02’ 46.50008” λ = 00.00008” 00.0023

φ = 11º 58º 07.70“ N Y = 1389759.68733183 φ = 11º 58’ 07.70001” φ = 00.00001” 00.0004

λ = 122º 10’ 13.50” W X = -2239747.67124631 λ = -122º 10’ 13.49963” λ = 00.00037” 00.0113

φ = 11º 58º 07.70“ N Y = 1407996.25734129 φ = 11º 58’ 07.70007” φ = 00. 00007” 00.0020

λ = 84º 02’ 46.50” W X = 1697070.46261973 λ = -84º 02’ 46.50065” λ = 00.00065” 00.0170

φ = 32º 35º 22.11“ N Y = 3753364.89497803 φ = 32º 35’ 22.11014” φ = 00.00014” 00.0043

λ = 122º 10’ 13.50” W X = -1909921.85443538 λ = -122º 10’ 13.49676” λ = 00.00324” 00.0846

φ = 32º 35º 22.11“ N Y = 3793002.64759331 φ = 32º 35’ 22. 11079” φ = 00.00079” 00.0244

Tabla IV.50 Conversión de coordenadas oficiales y de la ZEE pertenecientes a la República Mexicana utilizando los algoritmos amplificados GK.

En virtud de los resultados de esta última prueba se estipula que el rango

error de transformación obtenido para las conversiones directas e inversas en la

representación GK aplicadas a las coordenadas extremas oficiales de la República

Mexicana son de; 1 mm para ambos pares de coordenadas, geodésicas y de

proyección únicamente para la zona este que se encuentra del MC 102º de

longitud, mientras que para la zona contraria a ella el rango es de 5 mm para la

longitud y/o coordenada X, siendo este menor o aproximado a 1 mm para la latitud

y/o coordenada Y.


314

De forma general el error máximo alcanzado para la zona oficial del estado

mexicano fue de ± 0.00020” en una banda meridiana de 31º 44’ 48” de longitud y

de ± 0.00004” en una faja de latitud de 18º 10’ 39” o que es lo mismo a un ΔX de ±

0.005 m en 3,534.022 Km y de un ΔY ± 0.001 m en 2010.627 Km.

La precisión deseada fue obtenida con éxito para la zona oficial del territorio

nacional, no obstante esta decae para la ZEE siendo de ± 0.085 m en una banda

meridiana de 38º 07’ 27” y de ± 0.024 m en una faja de latitud de 20º 37’ 15.41”.

Aunque en esta zona el error de aproximación es de orden del centímetro, este

puede llegar a ser despreciable debido a que la ZEE contempla la zona marítima

del país.

Para no lidiar con estas diferencias y de acuerdo a la normatividad del

INEGI, para esta zona y demás zonas marítimas y costeras del país, la proyección

adecuada para su representación es la proyección Mercator.

Es así, que con esta última conversión y comparativa se logra demostrar

que los términos agregados a las fórmulas de conversión GK cumplen con el

objetivo esencial planteado en esta investigación, logrando así que los errores de

cálculo o aproximación entre transformaciones directa e inversa y viceversa hayan

sido reducidos a un 99.85 %, asegurando de esta manera la precisión milimétrica

para la representaci completa del territorio nacional.

4.7 Nuevos Algoritmos de Transformación para la Proyección GK.

Realizando las pruebas correspondientes y dando veracidad a que dichas

ecuaciones amplificadas cumplen con los objetivos planteados en esta tesis, a

continuación se presentan las fórmulas con los coeficientes, términos y

parámetros bases necesarios para la representación completa de la República

Mexicana en la proyección GK o TM, para ambos casos de transformación.


315

4.7.1 Fórmulas de Transformación Directa.

𝐗 = 𝐀𝟏∆𝛌 + 𝐀𝟑∆𝛌𝟑 + 𝐀𝟓∆𝛌

𝟓 + 𝐀𝟕∆𝛌𝟕 + 𝐀𝟗∆𝛌

𝟗 + 𝐀𝟏𝟏∆𝛌𝟏𝟏

𝐘 = 𝐒 + 𝐁𝟐∆𝛌𝟐 + 𝐁𝟒∆𝛌

𝟒 + 𝐁𝟔∆𝛌𝟔 + 𝐁𝟖∆𝛌

𝟖 + 𝐁𝟏𝟎∆𝛌𝟏𝟎 + 𝐁𝟏𝟐∆𝛌

𝟏𝟐

Parámetros Base


𝑎 𝑏 = 𝑎(1 − 𝑓) 𝑓

Latitud en Radianes Longitud en Radianes Meridiano Central

φ λ MC ó 𝜆0

Amplitud Meridiana Primera Excentricidad Segunda Excentricidad

∆λ = MC − λ 𝑒 = √1 − (𝑏

𝑎)2

𝑒′ =𝑒

√1 − 𝑒2

Radio Polar Producto Tangente de la Latitud

c=a2

b η = 𝑒′ cosφ t = tanφ

Radio del Primer Vertical

Radio de Curvatura de una Sección Inclinada

Variable de Rapp (N/ρ)

N =c

V ρ =

c

V3 V = √1 + η2

Tabla IV.51 Parámetros y nomenclatura base para el proceso directo.


316

Siendo.

𝐀𝟏 = 𝐍𝐜𝐨𝐬𝛗 𝐀𝟑 =𝐍𝐜𝐨𝐬𝟑𝛗

𝟔[𝟏 + 𝛈𝟐 − 𝐭𝟐]


𝟏𝟐𝟎[𝟓 − 𝟏𝟖𝐭𝟐 + 𝐭𝟒 + 𝟐𝛈𝟐(𝟕 − 𝟐𝟗𝐭𝟐)

+𝛈𝟒(𝟏𝟑 − 𝟔𝟒𝐭𝟐) + 𝟒𝛈𝟔(𝟏 − 𝟔𝐭𝟐)]


𝟓, 𝟎𝟒𝟎

[

𝟔𝟏 − 𝟒𝟕𝟗𝐭𝟐 + 𝟏𝟕𝟗𝐭𝟒 − 𝐭𝟔

+𝛈𝟐(𝟑𝟑𝟏 − 𝟑𝟐𝟗𝟖𝐭𝟐 + 𝟏𝟕𝟕𝟏𝐭𝟒)

+𝟓𝛈𝟒(𝟏𝟒𝟑 − 𝟏𝟕𝟑𝟏𝐭𝟐 + 𝟏𝟐𝟏𝟔𝐭𝟒)

+𝛈𝟔(𝟕𝟔𝟗 − 𝟏𝟎𝟗𝟔𝟒𝐭𝟐 + 𝟗𝟒𝟖𝟎𝐭𝟒)

+𝟒𝛈𝟖(𝟏𝟎𝟑 − 𝟏𝟔𝟗𝟎𝐭𝟐 + 𝟏𝟕𝟐𝟖𝐭𝟒)

+𝟖𝛈𝟏𝟎(𝟏𝟏 − 𝟐𝟎𝟒𝐭𝟐 + 𝟐𝟒𝟎𝐭𝟒) ]

𝐀𝟗 =𝐍𝐜𝐨𝐬𝟗𝛗

𝟑𝟔𝟐, 𝟖𝟖𝟎

[

𝟏𝟑𝟖𝟓 − 𝟏𝟗𝟎𝟐𝟖𝐭𝟐 + 𝟏𝟖𝟐𝟕𝟎𝐭𝟒 − 𝟏𝟔𝟑𝟔𝐭𝟔 + 𝐭𝟖

+𝟒𝛈𝟐(𝟑𝟎𝟕𝟏 − 𝟓𝟑𝟓𝟑𝟓𝐭𝟐 + 𝟕𝟐𝟕𝟏𝟕𝐭𝟒 − 𝟏𝟏𝟕𝟗𝟕𝐭𝟔)

+𝟒𝟐𝛈𝟒(𝟏𝟎𝟕𝟗 − 𝟐𝟐𝟔𝟓𝟒𝐭𝟐 + 𝟑𝟗𝟑𝟓𝟓𝐭𝟒 − 𝟗𝟏𝟓𝟐𝐭𝟔)

+𝟖𝟒𝛈𝟔(𝟏𝟎𝟖𝟏 − 𝟐𝟔𝟒𝟑𝟕𝐭𝟐 + 𝟓𝟓𝟓𝟏𝟎𝐭𝟒 − 𝟏𝟔𝟓𝟗𝟔𝐭𝟔)

+𝟑𝛈𝟖(𝟑𝟓𝟕𝟒𝟕 − 𝟗𝟗𝟒𝟗𝟗𝟐𝐭𝟐 + 𝟐𝟒𝟑𝟔𝟒𝟒𝟖𝐭𝟒 − 𝟖𝟖𝟏𝟔𝟔𝟒𝐭𝟔)

+𝟐𝟒𝛈𝟏𝟎(𝟑𝟏𝟐𝟏 − 𝟗𝟕𝟐𝟎𝟐𝐭𝟐 + 𝟐𝟕𝟎𝟖𝟔𝟒𝐭𝟒 − 𝟏𝟏𝟒𝟐𝟒𝟎𝐭𝟔)

+𝟏𝟔𝛈𝟏𝟐(𝟏𝟕𝟗𝟓 − 𝟔𝟏𝟕𝟒𝟒𝐭𝟐 + 𝟏𝟗𝟐𝟑𝟒𝟖𝐭𝟒 − 𝟗𝟐𝟏𝟔𝟎𝐭𝟔)

+𝟔𝟒𝛈𝟏𝟒(𝟕𝟑 − 𝟐𝟕𝟒𝟓𝐭𝟐 + 𝟗𝟒𝟑𝟐𝐭𝟒 − 𝟓𝟎𝟒𝟎𝐭𝟔) ]

𝐀𝟏𝟏 =𝐍𝐜𝐨𝐬𝟏𝟏𝛗

𝟑𝟗′𝟗𝟏𝟔, 𝟖𝟎𝟎∙

[

𝟓𝟎𝟓𝟐𝟏 − 𝟏𝟎𝟕𝟑𝟓𝟏𝟕𝐭𝟐 + 𝟏𝟗𝟒𝟗𝟕𝟔𝟐𝐭𝟒 − 𝟓𝟒𝟎𝟐𝟒𝟐𝐭𝟔 + 𝟏𝟒𝟕𝟓𝟕𝐭𝟖 − 𝐭𝟏𝟎

+𝛈𝟐(𝟔𝟔𝟑𝟎𝟔𝟏 − 𝟏𝟕𝟓𝟗𝟒𝟖𝟕𝟔𝐭𝟐 + 𝟒𝟑𝟐𝟓𝟓𝟖𝟎𝟔𝐭𝟒 − 𝟏𝟖𝟗𝟐𝟖𝟑𝟏𝟔𝐭𝟔 + 𝟏𝟐𝟎𝟓𝟗𝟒𝟏𝐭𝟖)

+𝟏𝟎𝛈𝟒(𝟑𝟔𝟓𝟓𝟕𝟑 − 𝟏𝟏𝟓𝟑𝟖𝟑𝟗𝟓𝐭𝟐 + 𝟑𝟓𝟑𝟕𝟖𝟔𝟔𝟕𝐭𝟒 − 𝟐𝟎𝟗𝟏𝟒𝟎𝟔𝟗𝐭𝟔 + 𝟐𝟏𝟏𝟏𝟐𝟗𝟔𝐭𝟖)

+𝟐𝛈𝟔(𝟓𝟔𝟒𝟔𝟕𝟎𝟗 − 𝟐𝟎𝟓𝟓𝟑𝟕𝟕𝟒𝟔𝐭𝟐 + 𝟕𝟒𝟗𝟒𝟔𝟔𝟕𝟒𝟏𝐭𝟒 − 𝟓𝟓𝟐𝟒𝟐𝟓𝟎𝟖𝟒𝐭𝟔 + 𝟕𝟓𝟒𝟕𝟔𝟐𝟖𝟎𝐭𝟖)

+𝟑𝛈𝟖(𝟕𝟐𝟓𝟏𝟗𝟖𝟑 − 𝟐𝟗𝟕𝟗𝟗𝟐𝟐𝟑𝟗𝐭𝟐 + 𝟏𝟐𝟓𝟐𝟗𝟐𝟗𝟐𝟓𝟔𝐭𝟒 − 𝟏𝟎𝟗𝟖𝟎𝟏𝟔𝟑𝟎𝟒𝐭𝟔 + 𝟏𝟖𝟕𝟏𝟖𝟏𝟓𝟔𝟖𝐭𝟖)

+𝟑𝛈𝟏𝟎(𝟗𝟎𝟗𝟑𝟒𝟔𝟕 − 𝟒𝟏𝟓𝟐𝟕𝟎𝟒𝟐𝟒𝐭𝟐 + 𝟏𝟗𝟕𝟎𝟒𝟎𝟐𝟖𝟏𝟔𝐭𝟒 − 𝟏𝟗𝟗𝟎𝟎𝟒𝟗𝟎𝟖𝟖𝐭𝟔 + 𝟒𝟎𝟑𝟐𝟐𝟔𝟖𝟖𝟎𝐭𝟖)

+𝟖𝛈𝟏𝟐(𝟐𝟕𝟗𝟓𝟗𝟒𝟕 − 𝟏𝟒𝟎𝟐𝟏𝟎𝟖𝟗𝟐𝐭𝟐 + 𝟕𝟑𝟖𝟗𝟓𝟒𝟔𝟖𝟎𝐭𝟒 − 𝟖𝟒𝟏𝟓𝟎𝟔𝟖𝟒𝟎𝐭𝟔 + 𝟏𝟗𝟔𝟑𝟎𝟎𝟖𝟎𝟎𝐭𝟖)

+𝟔𝟒𝛈𝟏𝟒(𝟏𝟖𝟏𝟐𝟖𝟎 − 𝟗𝟖𝟖𝟖𝟕𝟕𝟓𝐭𝟐 + 𝟓𝟕𝟏𝟖𝟖𝟖𝟒𝟒𝐭𝟒 − 𝟕𝟐𝟐𝟓𝟔𝟔𝟖𝟎𝐭𝟔 + 𝟏𝟖𝟗𝟕𝟓𝟔𝟎𝟎𝐭𝟖)

+𝟔𝟒𝛈𝟏𝟔(𝟓𝟒𝟏𝟏𝟐 − 𝟑𝟏𝟖𝟔𝟑𝟒𝟑𝐭𝟐 + 𝟐𝟎𝟎𝟐𝟕𝟑𝟎𝟒𝐭𝟒 − 𝟐𝟕𝟕𝟐𝟗𝟗𝟑𝟔𝐭𝟔 + 𝟖𝟎𝟔𝟒𝟎𝟎𝟎𝐭𝟖)

+𝟐𝟓𝟔𝛈𝟏𝟖(𝟏𝟕𝟕𝟒 − 𝟏𝟏𝟐𝟎𝟒𝟕𝐭𝟐 + 𝟕𝟓𝟗𝟒𝟕𝟒𝐭𝟒 − 𝟏𝟏𝟒𝟏𝟐𝟎𝟎𝐭𝟔 + 𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝐭𝟖) ]


317

𝐁𝟐 =𝐍𝐭 𝐜𝐨𝐬𝟐𝛗

𝟐 𝐁𝟒 =

𝐍𝐭 𝐜𝐨𝐬𝟒𝛗

𝟐𝟒[𝟓 − 𝐭𝟐 + 𝟗𝛈𝟐 + 𝟒𝛈𝟒]

𝐁𝟔 =𝐍𝐭 𝐜𝐨𝐬𝟔𝛗

𝟕𝟐𝟎[

𝟔𝟏 − 𝟓𝟖𝐭𝟐 + 𝐭𝟒 + 𝟑𝟎𝛈𝟐(𝟗 − 𝟏𝟏𝐭𝟐)

+𝟓𝛈𝟒(𝟖𝟗 − 𝟏𝟑𝟔𝐭𝟐) + 𝟏𝟐𝛈𝟔(𝟐𝟕 − 𝟓𝟎𝐭𝟐)

+𝟖𝛈𝟖(𝟏𝟏 − 𝟐𝟒𝐭𝟐)

]

𝐁𝟖 =𝐍𝐭 𝐜𝐨𝐬𝟖𝛗

𝟒𝟎, 𝟑𝟐𝟎

[

𝟏𝟑𝟖𝟓 − 𝟑𝟏𝟏𝟏𝐭𝟐 + 𝟓𝟒𝟑𝐭𝟒 − 𝐭𝟔

+𝟐𝟏𝛈𝟐(𝟓𝟏𝟗 − 𝟏𝟓𝟔𝟐𝐭𝟐 + 𝟒𝟑𝟗𝐭𝟒)

+𝟐𝟏𝛈𝟒(𝟏𝟔𝟑𝟗 − 𝟔𝟏𝟒𝟕𝐭𝟐 + 𝟐𝟑𝟔𝟒𝐭𝟒)

+𝟐𝟏𝛈𝟔(𝟐𝟔𝟖𝟓 − 𝟏𝟐𝟎𝟎𝟒𝐭𝟐 + 𝟓𝟖𝟎𝟎𝐭𝟒)

+𝟐𝟒𝛈𝟖(𝟐𝟏𝟏𝟗 − 𝟏𝟎𝟗𝟔𝟐𝐭𝟐 + 𝟔𝟑𝟐𝟖𝐭𝟒)

+𝟒𝟖𝛈𝟏𝟎(𝟓𝟎𝟏 − 𝟐𝟗𝟑𝟔𝐭𝟐 + 𝟏𝟗𝟔𝟎𝐭𝟒)

+𝟔𝟒𝛈𝟏𝟐(𝟕𝟑 − 𝟒𝟕𝟕𝐭𝟐 + 𝟑𝟔𝟎𝐭𝟒) ]

𝐁𝟏𝟎 =

𝐍𝐭𝐜𝐨𝐬𝟏𝟎𝛗

𝟑′𝟔𝟐𝟖, 𝟖𝟎𝟎

[

𝟓𝟎𝟓𝟐𝟏 − 𝟐𝟎𝟔𝟐𝟕𝟔𝐭𝟐 + 𝟏𝟎𝟏𝟏𝟔𝟔𝐭𝟒 − 𝟒𝟗𝟏𝟔𝐭𝟔 + 𝐭𝟖

+𝟏𝟖𝟎𝛈𝟐(𝟑𝟒𝟎𝟑 − 𝟏𝟖𝟐𝟏𝟏𝐭𝟐 + 𝟏𝟑𝟑𝟒𝟓𝐭𝟒 − 𝟏𝟑𝟐𝟗𝐭𝟔)

+𝟏𝟎𝛈𝟒(𝟑𝟎𝟒𝟑𝟏𝟗 − 𝟏𝟗𝟗𝟓𝟒𝟑𝟖𝐭𝟐 + 𝟏𝟗𝟐𝟏𝟎𝟖𝟑𝐭𝟒 − 𝟐𝟖𝟕𝟗𝟒𝟒𝐭𝟔)

+𝟏𝟕𝟔𝟒𝛈𝟔(𝟒𝟔𝟕𝟕 − 𝟑𝟔𝟎𝟖𝟏𝐭𝟐 + 𝟒𝟐𝟔𝟐𝟐𝐭𝟒 − 𝟖𝟒𝟐𝟎𝐭𝟔)

+𝟑𝛈𝟖(𝟒𝟓𝟎𝟏𝟗𝟎𝟕 − 𝟑𝟗𝟕𝟕𝟎𝟔𝟐𝟒𝐭𝟐 + 𝟓𝟓𝟐𝟗𝟒𝟕𝟑𝟔𝐭𝟒 − 𝟏𝟑𝟒𝟏𝟓𝟖𝟎𝟖𝐭𝟔)

+𝟑𝟔𝟎𝛈𝟏𝟎(𝟑𝟖𝟐𝟔𝟑 − 𝟑𝟕𝟗𝟔𝟗𝟎𝐭𝟐 + 𝟔𝟎𝟒𝟐𝟖𝟖𝐭𝟒 − 𝟏𝟕𝟐𝟒𝟖𝟎𝐭𝟔)

+𝟔𝟒𝛈𝟏𝟐(𝟏𝟑𝟒𝟐𝟔𝟒 − 𝟏𝟒𝟕𝟓𝟏𝟒𝟎𝐭𝟐 + 𝟐𝟔𝟑𝟒𝟕𝟗𝟓𝐭𝟒 − 𝟖𝟓𝟗𝟔𝟖𝟎𝐭𝟔)

+𝟓𝟕𝟔𝛈𝟏𝟒(𝟓𝟐𝟐𝟒 − 𝟔𝟐𝟖𝟒𝟏𝐭𝟐 + 𝟏𝟐𝟒𝟏𝟐𝟎𝐭𝟒 − 𝟒𝟓𝟑𝟔𝟎𝐭𝟔)

+𝟐𝟓𝟔𝛈𝟏𝟔(𝟏𝟕𝟕𝟒 − 𝟐𝟑𝟏𝟓𝟕𝐭𝟐 + 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟒𝐭𝟒 − 𝟐𝟎𝟏𝟔𝟎𝐭𝟔) ]

𝐁𝟏𝟐 =𝐍𝐭 𝐜𝐨𝐬𝟏𝟐𝛗

𝟒𝟕𝟗′𝟎𝟎𝟏, 𝟔𝟎𝟎∙

[

𝟐𝟕𝟎𝟐𝟕𝟔𝟓 − 𝟏𝟕𝟒𝟔𝟎𝟕𝟎𝟏𝐭𝟐 + 𝟏𝟔𝟖𝟖𝟗𝟕𝟖𝟔𝐭𝟒 − 𝟐𝟖𝟏𝟗𝟐𝟔𝟔𝐭𝟔 + 𝟒𝟒𝟐𝟖𝟏𝐭𝟖 − 𝐭𝟏𝟎

+𝟑𝟑𝛈𝟐(𝟏𝟒𝟎𝟕𝟗𝟑𝟑 − 𝟏𝟏𝟔𝟎𝟒𝟔𝟔𝟖𝐭𝟐 + 𝟏𝟓𝟔𝟗𝟏𝟐𝟕𝟖𝐭𝟒 − 𝟒𝟑𝟕𝟔𝟓𝟎𝟖𝐭𝟔 + 𝟏𝟖𝟑𝟔𝟏𝟑𝐭𝟖)

+𝟐𝟐𝛈𝟒(𝟏𝟒𝟗𝟒𝟑𝟏𝟗𝟕 − 𝟏𝟒𝟖𝟑𝟔𝟖𝟔𝟑𝟕𝐭𝟐 + 𝟐𝟓𝟒𝟖𝟐𝟑𝟑𝟓𝟕𝐭𝟒 − 𝟗𝟖𝟖𝟑𝟓𝟕𝟖𝟕𝐭𝟔 + 𝟔𝟗𝟑𝟕𝟎𝟐𝟐𝐭𝟖)

+𝟔𝟔𝛈𝟔(𝟏𝟗𝟔𝟑𝟕𝟔𝟖𝟓 − 𝟐𝟐𝟔𝟔𝟗𝟏𝟐𝟏𝟖𝐭𝟐 + 𝟒𝟔𝟖𝟑𝟎𝟐𝟐𝟐𝟗𝐭𝟒 − 𝟐𝟑𝟎𝟑𝟒𝟖𝟓𝟎𝟖𝐭𝟔 + 𝟐𝟐𝟓𝟎𝟑𝟖𝟎𝟎𝐭𝟖)

+𝟏𝟏𝛈𝟖(𝟐𝟗𝟏𝟐𝟖𝟕𝟒𝟔𝟕 − 𝟑𝟖𝟏𝟔𝟔𝟖𝟔𝟎𝟎𝟕𝐭𝟐 + 𝟗𝟏𝟔𝟎𝟐𝟏𝟗𝟑𝟒𝟒𝐭𝟒 − 𝟓𝟒𝟏𝟓𝟓𝟓𝟓𝟗𝟔𝟖𝐭𝟔 + 𝟔𝟕𝟏𝟑𝟐𝟖𝟑𝟖𝟒𝐭𝟖)

+𝟗𝟗𝛈𝟏𝟎(𝟓𝟐𝟗𝟕𝟎𝟒𝟏𝟗 − 𝟕𝟕𝟒𝟐𝟖𝟑𝟎𝟗𝟔𝐭𝟐 + 𝟐𝟏𝟎𝟖𝟎𝟔𝟖𝟏𝟕𝟔𝐭𝟒 − 𝟏𝟒𝟒𝟔𝟗𝟕𝟓𝟕𝟒𝟒𝐭𝟔 + 𝟐𝟏𝟓𝟓𝟔𝟖𝟔𝟒𝟎𝐭𝟖)

+𝟒𝛈𝟏𝟐(𝟏𝟒𝟒𝟖𝟕𝟔𝟒𝟕𝟕𝟏 − 𝟐𝟑𝟑𝟏𝟕𝟖𝟓𝟒𝟎𝟕𝟔𝐭𝟐 + 𝟕𝟎𝟕𝟕𝟖𝟒𝟏𝟒𝟔𝟎𝟖𝐭𝟒 − 𝟓𝟓𝟎𝟔𝟔𝟗𝟐𝟐𝟎𝟔𝟒𝐭𝟔 + 𝟗𝟓𝟏𝟖𝟎𝟔𝟓𝟗𝟐𝟎𝐭𝟖)

+𝟒𝟖𝛈𝟏𝟒(𝟖𝟗𝟒𝟎𝟏𝟓𝟎𝟑 − 𝟏𝟓𝟔𝟖𝟐𝟔𝟗𝟎𝟐𝟖𝐭𝟐 + 𝟓𝟐𝟑𝟕𝟕𝟏𝟏𝟗𝟓𝟐𝐭𝟒 − 𝟒𝟓𝟑𝟖𝟔𝟔𝟏𝟔𝟎𝟎𝐭𝟔 + 𝟖𝟖𝟖𝟏𝟒𝟖𝟖𝟎𝟎𝐭𝟖)

+𝟔𝟒𝛈𝟏𝟔(𝟑𝟏𝟗𝟔𝟏𝟗𝟖𝟎 − 𝟔𝟎𝟔𝟎𝟕𝟔𝟐𝟏𝟕𝐭𝟐 + 𝟐𝟐𝟎𝟒𝟑𝟐𝟒𝟓𝟔𝟖𝐭𝟒 − 𝟐𝟎𝟗𝟗𝟐𝟔𝟓𝟔𝟗𝟔𝐭𝟔 + 𝟒𝟓𝟔𝟖𝟐𝟓𝟔𝟎𝟎𝐭𝟖)

+𝟑𝟖𝟒𝛈𝟏𝟖(𝟏𝟒𝟖𝟎𝟐𝟗𝟑 − 𝟑𝟎𝟏𝟑𝟗𝟎𝟏𝟖𝐭𝟐 + 𝟏𝟏𝟖𝟑𝟖𝟔𝟎𝟖𝟒𝐭𝟒 − 𝟏𝟐𝟐𝟔𝟏𝟖𝟖𝟖𝟎𝐭𝟔 + 𝟐𝟗𝟐𝟕𝟐𝟑𝟐𝟎𝐭𝟖)

+𝟓𝟏𝟐𝛈𝟐𝟎(𝟏𝟑𝟔𝟖𝟖𝟑− 𝟐𝟗𝟕𝟓𝟓𝟓𝟗𝐭𝟐 + 𝟏𝟐𝟓𝟑𝟕𝟐𝟖𝟖𝐭𝟒 − 𝟏𝟒𝟎𝟎𝟒𝟕𝟐𝟎𝐭𝟔 + 𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎𝐭𝟖) ]


318

Longitud de Arco de Meridiano.

𝐒 = 𝒂(𝟏 − 𝒆𝟐) [𝐀𝛗 +𝐁


𝐂


𝐃


𝐄


𝐀 = 𝟏 +𝟑

𝟒𝒆𝟐 +

𝟒𝟓

𝟔𝟒𝒆𝟒 +

𝟏𝟕𝟓

𝟐𝟓𝟔𝒆𝟔 +

𝟏𝟏𝟎𝟐𝟓

𝟏𝟔𝟑𝟖𝟒𝒆𝟖

𝐁 = − [𝟑

𝟒𝒆𝟐 +

𝟏𝟓

𝟏𝟔𝒆𝟒 +

𝟓𝟐𝟓

𝟓𝟏𝟐𝒆𝟔 +

𝟐𝟐𝟎𝟓

𝟐𝟎𝟒𝟖𝒆𝟖]

𝐂 =𝟏𝟓

𝟔𝟒𝒆𝟒 +

𝟏𝟎𝟓

𝟐𝟓𝟔𝒆𝟔 +

𝟐𝟐𝟎𝟓

𝟒𝟎𝟗𝟔𝒆𝟖

𝐃 = − [𝟑𝟓

𝟓𝟏𝟐𝒆𝟔 +

𝟑𝟏𝟓

𝟐𝟎𝟒𝟖𝒆𝟖]

𝐄 =𝟑𝟏𝟓

𝟏𝟔𝟑𝟖𝟒𝒆𝟖


319

4.7.2 Fórmulas de Transformación Inversa.

∆𝛌 = 𝐂𝟏𝐗𝐆𝐊 + 𝐂𝟑𝐗𝐆𝐊𝟑 + 𝐂𝟓𝐗𝐆𝐊

𝟓 + 𝐂𝟕𝐗𝐆𝐊𝟕 + 𝐂𝟗𝐗𝐆𝐊

𝟗 + 𝐂𝟏𝟏𝐗𝐆𝐊𝟏𝟏

𝚽 = 𝚽𝟎 +𝐃𝟐𝐗𝐆𝐊𝟐 +𝐃𝟒𝐗𝐆𝐊

𝟒 +𝐃𝟔𝐗𝐆𝐊𝟔 +𝐃𝟖𝐗𝐆𝐊

𝟖 +𝐃𝟏𝟎𝐗𝐆𝐊𝟏𝟎 + 𝐃𝟏𝟐𝐗𝐆𝐊

𝟏𝟐

𝛌 = 𝐌𝐂 + ∆𝛌

𝛗 = 𝛗𝟎 + 𝐆𝟏∆𝚽+ 𝐆𝟐∆𝚽𝟐 + 𝐆𝟑∆𝚽

𝟑 + 𝐆𝟒∆𝚽𝟒 + 𝐆𝟓∆𝚽

𝟓 + 𝐆𝟔∆𝚽𝟔

∆𝚽 = 𝚽−𝚽𝟎

Parámetros Base


𝑎 𝑏 = 𝑎(1 − 𝑓) 𝑓

Coordenada Este GK Coordenada Norte GK Meridiano Central

XGK YGK MC ó 𝜆0

Latitud Geodésica e Isométrica del punto de

Expansión Primera Excentricidad Segunda Excentricidad

φ0, Φ0 𝑒 = √1 − (𝑏

𝑎)2

𝑒′ =𝑒

√1 − 𝑒2

Radio Polar Radio del Primer Vertical Radio de Curvatura de una Sección Inclinada

c=a2

b N =

c

V ρ =

c

V3

Variable de Rapp (N/ρ) Producto Tangente de la Latitud

del Punto de Expansión

V = √1 + η2 η = 𝑒′ cosφ0 t = tanφ0

Tabla IV.52 Parámetros y nomenclatura base para el proceso inverso.


320

Para la Latitud Geodésica del Punto de Expansión.

𝛗′𝟏=

𝐘𝐆𝐊

𝒂(𝟏 − 𝒆𝟐) (𝟏 +𝟑𝟒𝒆𝟐 +

𝟒𝟓𝟔𝟒

𝒆𝟒 +𝟏𝟕𝟓𝟐𝟓𝟔

𝒆𝟔 +𝟏𝟏𝟎𝟐𝟓𝟏𝟔𝟑𝟖𝟒

𝒆𝟖)

𝐒′𝟏 = 𝒂(𝟏 − 𝒆𝟐) [𝐀𝛗′𝟏−𝐁

𝟐𝐬𝐢𝐧 𝟐𝛗′

𝟏+𝐂

𝟒𝐬𝐢𝐧 𝟒𝛗′

𝟏−𝐃

𝟔𝐬𝐢𝐧 𝟔𝛗′

𝟏+𝐄

𝟖𝐬𝐢𝐧 𝟖𝛗′

𝟏]

∆𝟏= 𝐘𝐆𝐊 − 𝐒′𝟏

∆𝛗′𝟏=

∆𝟏

𝒂(𝟏 − 𝒆𝟐) (𝟏 +𝟑𝟒𝒆𝟐 +

𝟒𝟓𝟔𝟒𝒆𝟒 +

𝟏𝟕𝟓𝟐𝟓𝟔

𝒆𝟔 +𝟏𝟏𝟎𝟐𝟓𝟏𝟔𝟑𝟖𝟒

𝒆𝟖)

𝛗′𝟐= 𝛗′

𝟏+ ∆𝛗′

𝟏

𝛗′𝟐; 𝐒′𝟐; ∆𝟐; ∆𝛗

′𝟐

𝛗′𝟑; 𝐒′𝟑; ∆𝟑; ∆𝛗

′𝟑

𝛗′𝟒; 𝐒′𝟒; ∆𝟒; ∆𝛗

′𝟒

𝛗′𝟓= 𝛗𝟎

Para la Latitud Isométrica del Punto de Expansión.

𝚽𝟎 = 𝐥𝐧 [𝐭𝐚𝐧 (𝝅

𝟒+𝛗𝟎

𝟐) ∙ (

𝟏 − 𝒆 𝐬𝐢𝐧𝛗𝟎

𝟏 + 𝒆 𝐬𝐢𝐧𝛗𝟎

)

𝒆𝟐]

Para la Amplitud Meridiana (∆λ).

𝐂𝟏 =𝟏


𝐂𝟑 = −𝟏 + 𝟐𝐭𝟐 + 𝛈𝟐

𝟔 ∙ 𝐍𝟑 𝐜𝐨𝐬𝛗𝟎

𝐂𝟓 =𝟏

𝟏𝟐𝟎 ∙ 𝐍𝟓 𝐜𝐨𝐬𝛗𝟎

[𝟓 + 𝟐𝟖𝐭𝟐 + 𝟐𝟒𝐭𝟒 + 𝟐𝛈𝟐(𝟑 + 𝟒𝐭𝟐)

−𝛈𝟒(𝟑 − 𝟒𝐭𝟐) − 𝟒𝛈𝟔(𝟏 − 𝟔𝐭𝟐)]


321

𝐂𝟕 = −𝟏

𝟓𝟎𝟒𝟎 ∙ 𝐍𝟕 𝐜𝐨𝐬𝛗𝟎

[ 𝟔𝟏 + 𝟔𝟔𝟐𝐭𝟐 + 𝟏𝟑𝟐𝟎𝐭𝟒 + 𝟕𝟐𝟎𝐭𝟔

+𝛈𝟐(𝟏𝟎𝟕 + 𝟒𝟒𝟎𝐭𝟐 + 𝟑𝟑𝟔𝐭𝟒)

+𝛈𝟒(𝟒𝟑 − 𝟐𝟑𝟒𝐭𝟐 − 𝟏𝟗𝟐𝐭𝟒)

+𝛈𝟔(𝟗𝟕 − 𝟕𝟕𝟐𝐭𝟐 + 𝟒𝟎𝟖𝐭𝟒)

+𝟒𝛈𝟖(𝟒𝟕 − 𝟓𝟗𝟖𝐭𝟐 + 𝟑𝟖𝟒𝐭𝟒)

+𝟖𝛈𝟏𝟎(𝟏𝟏 − 𝟐𝟎𝟒𝐭𝟐 + 𝟐𝟒𝟎𝐭𝟒) ]

𝐂𝟗 =

𝟏

𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎 ∙ 𝐍𝟗 𝐜𝐨𝐬𝛗𝟎

[ 𝟏𝟑𝟖𝟓 + 𝟐𝟒𝟓𝟔𝟖𝐭𝟐 + 𝟖𝟑𝟔𝟔𝟒𝐭𝟒 + 𝟏𝟎𝟎𝟖𝟎𝟎𝐭𝟔 + 𝟒𝟎𝟑𝟐𝟎𝐭𝟖

+𝟒𝛈𝟐(𝟕𝟕𝟗 + 𝟔𝟔𝟖𝟒𝐭𝟐 + 𝟏𝟏𝟗𝟓𝟐𝐭𝟒 + 𝟔𝟎𝟒𝟖𝐭𝟔)

+𝟔𝛈𝟒(𝟏𝟗𝟑 − 𝟖𝟐𝟒𝐭𝟐 − 𝟑𝟒𝟓𝟔𝐭𝟒 − 𝟐𝟑𝟎𝟒𝐭𝟔)

−𝟒𝛈𝟔(𝟖𝟕𝟓 − 𝟔𝟕𝟕𝟔𝐭𝟐 − 𝟏𝟒𝟒𝐭𝟒 − 𝟐𝟑𝟎𝟒𝐭𝟔)

−𝛈𝟖(𝟏𝟏𝟕𝟑𝟓 − 𝟏𝟖𝟓𝟒𝟗𝟔𝐭𝟐 + 𝟏𝟗𝟓𝟗𝟖𝟒𝐭𝟒 − 𝟗𝟕𝟗𝟐𝐭𝟔)

−𝟐𝟒𝛈𝟏𝟎(𝟖𝟒𝟓 − 𝟏𝟗𝟏𝟑𝟖𝐭𝟐 + 𝟑𝟒𝟎𝟓𝟔𝐭𝟒 − 𝟕𝟒𝟒𝟎𝐭𝟔)

−𝟏𝟔𝛈𝟏𝟐(𝟏𝟎𝟎𝟗 − 𝟑𝟎𝟐𝟑𝟐𝐭𝟐 + 𝟕𝟕𝟒𝟕𝟐𝐭𝟒 − 𝟐𝟕𝟑𝟔𝟎𝐭𝟔)

−𝟔𝟒𝛈𝟏𝟒(𝟕𝟑 − 𝟐𝟕𝟒𝟓𝐭𝟐 + 𝟗𝟒𝟑𝟐𝐭𝟒 − 𝟓𝟎𝟒𝟎𝐭𝟔) ]

𝐂𝟏𝟏 = −𝟏

𝟑𝟗𝟗𝟏𝟔𝟖𝟎𝟎 ∙ 𝐍𝟏𝟏 𝐜𝐨𝐬𝛗𝟎

∙

[ 𝟓𝟎𝟓𝟐𝟏 + 𝟏𝟑𝟐𝟔𝟏𝟐𝟐𝐭𝟐 + 𝟔𝟕𝟒𝟗𝟎𝟒𝟎𝐭𝟒 + 𝟏𝟑𝟑𝟑𝟓𝟖𝟒𝟎𝐭𝟔 + 𝟏𝟏𝟒𝟗𝟏𝟐𝟎𝟎𝐭𝟖 + 𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎𝐭𝟏𝟎

+𝛈𝟐(𝟏𝟑𝟖𝟗𝟑𝟑 + 𝟐𝟎𝟑𝟔𝟓𝟔𝟎𝐭𝟐 + 𝟔𝟐𝟔𝟗𝟒𝟕𝟐𝐭𝟒 + 𝟕𝟎𝟑𝟐𝟗𝟔𝟎𝐭𝟔 + 𝟐𝟔𝟔𝟏𝟏𝟐𝟎𝐭𝟖)

+𝟐𝛈𝟒(𝟒𝟖𝟔𝟖𝟏 + 𝟓𝟖𝟑𝟎𝐭𝟐 − 𝟖𝟑𝟕𝟓𝟎𝟒𝐭𝟒 − 𝟏𝟓𝟓𝟖𝟔𝟓𝟔𝐭𝟔 − 𝟕𝟔𝟎𝟑𝟐𝟎𝐭𝟖)

+𝟐𝛈𝟔(𝟐𝟖𝟒𝟑𝟕 − 𝟒𝟔𝟗𝟑𝟎𝟎𝐭𝟐 + 𝟑𝟒𝟔𝟓𝟏𝟐𝐭𝟒 + 𝟖𝟐𝟎𝟐𝟐𝟒𝐭𝟔 + 𝟓𝟎𝟔𝟖𝟖𝟎𝐭𝟖)

+𝛈𝟖(𝟔𝟎𝟒𝟐𝟔𝟗 − 𝟏𝟎𝟒𝟒𝟗𝟔𝟐𝟐𝐭𝟐 + 𝟏𝟑𝟔𝟓𝟕𝟏𝟎𝟒𝐭𝟒 − 𝟐𝟕𝟎𝟖𝟔𝟒𝟎𝐭𝟔 − 𝟕𝟑𝟕𝟐𝟖𝟎𝐭𝟖)

+𝛈𝟏𝟎(𝟐𝟐𝟏𝟔𝟐𝟒𝟏 − 𝟓𝟕𝟖𝟖𝟎𝟎𝟖𝟖𝐭𝟐 + 𝟏𝟐𝟖𝟗𝟗𝟖𝟎𝟖𝟎𝐭𝟒 − 𝟒𝟑𝟔𝟒𝟗𝟐𝟖𝟎𝐭𝟔 + 𝟐𝟏𝟎𝟐𝟒𝟎𝟎𝐭𝟖)

+𝟖𝛈𝟏𝟐(𝟓𝟏𝟏𝟎𝟕𝟏 − 𝟏𝟕𝟗𝟒𝟑𝟖𝟗𝟎𝐭𝟐 + 𝟓𝟗𝟐𝟕𝟕𝟐𝟔𝟒𝐭𝟒 − 𝟑𝟓𝟒𝟓𝟐𝟖𝟎𝟎𝐭𝟔 + 𝟑𝟏𝟏𝟔𝟏𝟔𝟎𝐭𝟖)

+𝟔𝟒𝛈𝟏𝟒(𝟔𝟒𝟓𝟒𝟖 − 𝟐𝟖𝟓𝟔𝟔𝟗𝟓𝐭𝟐 + 𝟏𝟐𝟔𝟏𝟎𝟕𝟐𝟖𝐭𝟒 − 𝟏𝟏𝟎𝟕𝟑𝟖𝟖𝟖𝐭𝟔 + 𝟏𝟕𝟑𝟑𝟕𝟔𝟎𝐭𝟖)

+𝟔𝟒𝛈𝟏𝟔(𝟑𝟑𝟔𝟗𝟔 − 𝟏𝟖𝟎𝟔𝟕𝟒𝟓𝐭𝟐 + 𝟏𝟎𝟎𝟕𝟎𝟔𝟕𝟔𝐭𝟒 − 𝟏𝟏𝟖𝟕𝟎𝟗𝟐𝟖𝐭𝟔 + 𝟐𝟕𝟒𝟏𝟕𝟔𝟎𝐭𝟖)

+𝟐𝟓𝟔𝛈𝟏𝟖(𝟏𝟕𝟕𝟒 − 𝟏𝟏𝟐𝟎𝟒𝟕𝐭𝟐 + 𝟕𝟓𝟗𝟒𝟕𝟒𝐭𝟒 − 𝟏𝟏𝟒𝟏𝟐𝟎𝟎𝐭𝟔 + 𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝐭𝟖) ]

Para la Latitud Isométrica del Punto de Estudio (Φ).

𝐃𝟐 = −𝐭

𝟐 ∙ 𝐍𝟐 𝐜𝐨𝐬𝛗𝟎

𝐃𝟒 = 𝐭(𝟓 + 𝟔𝐭𝟐 + 𝛈𝟐 − 𝟒𝛈𝟒)

𝟐𝟒 ∙ 𝐍𝟒 𝐜𝐨𝐬𝛗𝟎

𝐃𝟔 = −𝐭

𝟕𝟐𝟎 ∙ 𝐍𝟔 𝐜𝐨𝐬𝛗𝟎

[

𝟔𝟏 + 𝟏𝟖𝟎𝐭𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝐭𝟒 + 𝟐𝛈𝟐(𝟐𝟑 + 𝟐𝟒𝐭𝟐)

−𝟑𝛈𝟒(𝟏 + 𝟏𝟐𝐭𝟐) + 𝟒𝛈𝟔(𝟐𝟓 − 𝟐𝟒𝐭𝟐)

+𝟖𝛈𝟖(𝟏𝟏 − 𝟐𝟒𝐭𝟐)

]


322

𝐃𝟖 =𝐭

𝟒𝟎𝟑𝟐𝟎 ∙ 𝐍𝟖 𝐜𝐨𝐬𝛗𝟎

[ 𝟏𝟑𝟖𝟓 + 𝟕𝟐𝟔𝟔𝐭𝟐 + 𝟏𝟎𝟗𝟐𝟎𝐭𝟒 + 𝟓𝟎𝟒𝟎𝐭𝟔

+𝟑𝛈𝟐(𝟓𝟕𝟕 + 𝟏𝟒𝟕𝟐𝐭𝟐 + 𝟖𝟗𝟔𝐭𝟒)

−𝟑𝛈𝟒(𝟏𝟗𝟏 + 𝟔𝟏𝟎𝐭𝟐 + 𝟓𝟏𝟐𝐭𝟒)

−𝛈𝟔(𝟐𝟗𝟐𝟕 − 𝟓𝟎𝟓𝟐𝐭𝟐 − 𝟕𝟒𝟒𝐭𝟒)

−𝟐𝟒𝛈𝟖(𝟑𝟔𝟕 − 𝟏𝟏𝟒𝟒𝐭𝟐 + 𝟑𝟐𝟖𝐭𝟒)

−𝟒𝟖𝛈𝟏𝟎(𝟐𝟑𝟗 − 𝟏𝟏𝟐𝟒𝐭𝟐 + 𝟓𝟐𝟎𝐭𝟒)

−𝟔𝟒𝛈𝟏𝟐(𝟕𝟑 − 𝟒𝟕𝟕𝐭𝟐 + 𝟑𝟔𝟎𝐭𝟒) ]

𝐃𝟏𝟎 = −𝐭

𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎 ∙ 𝐍𝟏𝟎 𝐜𝐨𝐬𝛗𝟎

∙

[ 𝟓𝟎𝟓𝟐𝟏 + 𝟒𝟎𝟖𝟑𝟔𝟎𝐭𝟐 + 𝟏𝟎𝟐𝟑𝟏𝟐𝟎𝐭𝟒 + 𝟏𝟎𝟐𝟖𝟏𝟔𝟎𝐭𝟔 + 𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝐭𝟖

+𝟒𝛈𝟐(𝟐𝟐𝟏𝟎𝟑 + 𝟏𝟎𝟏𝟑𝟎𝟒𝐭𝟐 + 𝟏𝟑𝟗𝟔𝟖𝟎𝐭𝟒 + 𝟔𝟎𝟒𝟖𝟎𝐭𝟔)

+𝟐𝛈𝟒(𝟒𝟒𝟕𝟓 − 𝟓𝟎𝟑𝟐𝟖𝐭𝟐 − 𝟏𝟐𝟐𝟔𝟖𝟖𝐭𝟒 − 𝟔𝟗𝟏𝟐𝟎𝐭𝟔)

+𝟒𝛈𝟔(𝟏𝟏𝟗𝟖𝟏 − 𝟐𝟖𝟏𝟐𝟖𝐭𝟐 + 𝟑𝟒𝟒𝟏𝟔𝐭𝟒 + 𝟐𝟑𝟎𝟒𝟎𝐭𝟔)

+𝟓𝛈𝟖(𝟏𝟏𝟏𝟐𝟔𝟗 − 𝟒𝟎𝟔𝟖𝟕𝟐𝐭𝟐 + 𝟏𝟑𝟗𝟐𝟒𝟖𝐭𝟒 − 𝟏𝟔𝟕𝟎𝟒𝐭𝟔)

+𝟖𝛈𝟏𝟎(𝟐𝟎𝟕𝟒𝟖𝟕 − 𝟏𝟐𝟑𝟑𝟏𝟖𝟎𝐭𝟐 + 𝟗𝟒𝟔𝟎𝟖𝟎𝐭𝟒 − 𝟕𝟗𝟐𝟎𝟎𝐭𝟔)

+𝟏𝟐𝟖𝛈𝟏𝟐(𝟏𝟖𝟗𝟕𝟒 − 𝟏𝟓𝟓𝟕𝟎𝟑𝐭𝟐 + 𝟏𝟖𝟔𝟎𝟕𝟓𝐭𝟒 − 𝟑𝟑𝟖𝟒𝟎𝐭𝟔)

+𝟔𝟒𝛈𝟏𝟒(𝟐𝟔𝟔𝟎𝟎 − 𝟐𝟖𝟏𝟒𝟑𝟗𝐭𝟐 + 𝟒𝟔𝟔𝟎𝟓𝟔𝐭𝟒 − 𝟏𝟑𝟏𝟎𝟒𝟎𝐭𝟔)

+𝟐𝟓𝟔𝛈𝟏𝟔(𝟏𝟕𝟕𝟒 − 𝟐𝟑𝟏𝟓𝟕𝐭𝟐 + 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟒𝐭𝟒 − 𝟐𝟎𝟏𝟔𝟎𝐭𝟔) ]

𝐃𝟏𝟐 =𝐭

𝟒𝟕𝟗𝟎𝟎𝟏𝟔𝟎𝟎 ∙ 𝐍𝟏𝟐 𝐜𝐨𝐬𝛗𝟎

∙

[ 𝟐𝟕𝟎𝟐𝟕𝟔𝟓 + 𝟑𝟎𝟗𝟕𝟒𝟓𝟐𝟔𝐭𝟐 + 𝟏𝟏𝟑𝟕𝟔𝟎𝟐𝟒𝟎𝐭𝟒 + 𝟏𝟖𝟓𝟐𝟖𝟎𝟒𝟖𝟎𝐭𝟔 + 𝟏𝟑𝟗𝟕𝟎𝟖𝟖𝟎𝟎𝐭𝟖 + 𝟑𝟗𝟗𝟏𝟔𝟖𝟎𝟎𝐭𝟏𝟎

+𝛈𝟐(𝟔𝟎𝟖𝟏𝟐𝟐𝟏 + 𝟒𝟑𝟓𝟎𝟏𝟔𝟑𝟐𝐭𝟐 + 𝟏𝟎𝟎𝟓𝟐𝟔𝟗𝟕𝟔𝐭𝟒 + 𝟗𝟓𝟎𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝐭𝟔 + 𝟑𝟏𝟗𝟑𝟑𝟒𝟒𝟎𝐭𝟖)

+𝟏𝟖𝛈𝟒(𝟏𝟏𝟖𝟕𝟑𝟏 − 𝟏𝟏𝟏𝟎𝟕𝟖𝐭𝟐 − 𝟏𝟓𝟕𝟒𝟐𝟕𝟐𝐭𝟒 − 𝟐𝟑𝟓𝟔𝟗𝟗𝟐𝐭𝟔 − 𝟏𝟎𝟏𝟑𝟕𝟔𝟎𝐭𝟖)

−𝟔𝛈𝟔(𝟓𝟖𝟑𝟓𝟓𝟑 + 𝟐𝟎𝟖𝟔𝟕𝟔𝐭𝟐 − 𝟏𝟏𝟗𝟗𝟑𝟏𝟐𝐭𝟒 − 𝟑𝟕𝟓𝟑𝟗𝟖𝟒𝐭𝟔 − 𝟐𝟎𝟐𝟕𝟓𝟐𝟎𝐭𝟖)

−𝟑𝛈𝟖(𝟗𝟑𝟎𝟓𝟒𝟑𝟕 − 𝟒𝟎𝟗𝟐𝟗𝟔𝟕𝟒𝐭𝟐 + 𝟏𝟖𝟓𝟔𝟓𝟓𝟖𝟒𝐭𝟒 + 𝟑𝟖𝟐𝟖𝟎𝟎𝟎𝐭𝟔 + 𝟐𝟗𝟒𝟗𝟏𝟐𝟎𝐭𝟖)

−𝟗𝛈𝟏𝟎(𝟏𝟖𝟔𝟎𝟗𝟏𝟓𝟗 − 𝟏𝟐𝟔𝟗𝟗𝟕𝟐𝟓𝟔𝐭𝟐 + 𝟏𝟐𝟑𝟖𝟏𝟓𝟐𝟔𝟒𝐭𝟒 − 𝟏𝟗𝟑𝟕𝟒𝟕𝟐𝟎𝐭𝟔 − 𝟓𝟖𝟓𝟔𝟎𝟎𝐭𝟖)

−𝟏𝟐𝛈𝟏𝟐(𝟒𝟏𝟎𝟏𝟑𝟒𝟓𝟕 − 𝟑𝟗𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟑𝟔𝐭𝟐 + 𝟔𝟏𝟐𝟐𝟔𝟎𝟓𝟏𝟐𝐭𝟒 − 𝟏𝟖𝟕𝟏𝟐𝟏𝟐𝟖𝟎𝐭𝟔 + 𝟖𝟑𝟑𝟒𝟕𝟐𝟎𝐭𝟖)

−𝟒𝟖𝛈𝟏𝟒(𝟏𝟔𝟓𝟗𝟏𝟗𝟎𝟗 − 𝟐𝟎𝟖𝟒𝟖𝟔𝟓𝟓𝟐𝐭𝟐 + 𝟒𝟓𝟑𝟐𝟎𝟒𝟒𝟑𝟐𝐭𝟒 − 𝟐𝟐𝟎𝟓𝟒𝟓𝟒𝟎𝟖𝐭𝟔 + 𝟏𝟖𝟖𝟐𝟗𝟒𝟒𝟎𝐭𝟖)

−𝟓𝟕𝟔𝛈𝟏𝟔(𝟏𝟐𝟔𝟒𝟔𝟎𝟖 − 𝟏𝟗𝟔𝟕𝟑𝟑𝟗𝟗𝐭𝟐 + 𝟓𝟓𝟔𝟐𝟖𝟗𝟖𝟖𝐭𝟒 − 𝟑𝟕𝟗𝟗𝟔𝟗𝟒𝟒𝐭𝟔 + 𝟓𝟐𝟏𝟒𝟕𝟐𝟎𝐭𝟖)

−𝟏𝟐𝟖𝛈𝟏𝟖(𝟐𝟕𝟓𝟑𝟐𝟗𝟕 − 𝟓𝟏𝟐𝟓𝟗𝟒𝟗𝟒𝐭𝟐 + 𝟏𝟕𝟗𝟖𝟑𝟎𝟗𝟒𝟒𝐭𝟒 − 𝟏𝟔𝟎𝟓𝟖𝟖𝟖𝟎𝟎𝐭𝟔 + 𝟑𝟏𝟐𝟎𝟕𝟔𝟖𝟎𝐭𝟖)

−𝟓𝟏𝟐𝛈𝟐𝟎(𝟏𝟑𝟔𝟖𝟖𝟑 − 𝟐𝟗𝟕𝟓𝟓𝟓𝟗𝐭𝟐 + 𝟏𝟐𝟓𝟑𝟕𝟐𝟖𝟖𝐭𝟒 − 𝟏𝟒𝟎𝟎𝟒𝟕𝟐𝟎𝐭𝟔 + 𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎𝐭𝟖) ]


323

Para la Latitud Geodésica del Punto de Estudio (φ).

𝐆𝟏 = 𝐕𝟐 𝐜𝐨𝐬𝛗𝟎

𝐆𝟐 = −𝐕𝟐𝐭

𝟐(𝟏 + 𝟑𝛈𝟐) 𝐜𝐨𝐬𝟐𝛗𝟎

𝐆𝟑 = −𝐕𝟐

𝟔[𝟏 − 𝐭𝟐 + 𝟒𝛈𝟐(𝟏 − 𝟑𝐭𝟐)

+𝟑𝛈𝟒(𝟏 − 𝟓𝐭𝟐)] 𝐜𝐨𝐬𝟑𝛗𝟎

𝐆𝟒 =𝐕𝟐𝐭

𝟐𝟒[

𝟓 − 𝐭𝟐 + 𝟑𝛈𝟐(𝟏𝟕 − 𝟏𝟑𝐭𝟐)

+𝛈𝟒(𝟏𝟎𝟑 − 𝟏𝟑𝟓𝐭𝟐) + 𝟑𝛈𝟔(𝟏𝟗 − 𝟑𝟓𝐭𝟐)] 𝐜𝐨𝐬𝟒𝛗𝟎

𝐆𝟓 =𝐕𝟐

𝟏𝟐𝟎

[ 𝟓 − 𝟏𝟖𝐭𝟐 + 𝐭𝟒 + 𝟖𝛈𝟐(𝟕 − 𝟓𝟎𝐭𝟐 + 𝟏𝟓𝐭𝟒)

+𝟐𝛈𝟒(𝟕𝟕 − 𝟖𝟎𝟎𝐭𝟐 + 𝟒𝟑𝟓𝐭𝟒)

+𝟖𝟎𝛈𝟔(𝟐 − 𝟐𝟕𝐭𝟐 + 𝟐𝟏𝐭𝟒)

+𝟑𝛈𝟖(𝟏𝟗 − 𝟑𝟏𝟒𝐭𝟐 + 𝟑𝟏𝟓𝐭𝟒) ]

𝐜𝐨𝐬𝟓𝛗𝟎

𝐆𝟔 = −𝐕𝟐𝐭

𝟕𝟐𝟎

[

𝟔𝟏 − 𝟓𝟖𝐭𝟐 + 𝐭𝟒

+𝟑𝛈𝟐(𝟒𝟐𝟏 − 𝟖𝟓𝟖𝐭𝟐 + 𝟏𝟐𝟏𝐭𝟒)

+𝟏𝟎𝛈𝟒(𝟓𝟖𝟗 − 𝟏𝟕𝟗𝟔𝐭𝟐 + 𝟒𝟗𝟓𝐭𝟒)

+𝟔𝛈𝟔(𝟏𝟖𝟐𝟗 − 𝟕𝟑𝟒𝟎𝐭𝟐 + 𝟐𝟗𝟕𝟓𝐭𝟒)

+𝛈𝟖(𝟗𝟎𝟐𝟓 − 𝟒𝟒𝟔𝟐𝟐𝐭𝟐 + 𝟐𝟑𝟔𝟐𝟓𝐭𝟒)

+𝟑𝛈𝟏𝟎(𝟗𝟏𝟑 − 𝟓𝟑𝟒𝟐𝐭𝟐 + 𝟑𝟒𝟔𝟓𝐭𝟒) ]

𝐜𝐨𝐬𝟔𝛗𝟎

Longitud de Arco de Meridiano.

𝐒 = 𝒂(𝟏 − 𝒆𝟐) [𝐀𝛗𝟎 +𝐁

𝟐𝐬𝐢𝐧 𝟐𝛗𝟎 +

𝐂

𝟒𝐬𝐢𝐧 𝟒𝛗𝟎 +

𝐃

𝟔𝐬𝐢𝐧 𝟔𝛗𝟎 +

𝐄

𝟖𝐬𝐢𝐧 𝟖𝛗𝟎]

𝐀 = 𝟏 +𝟑

𝟒𝒆𝟐 +

𝟒𝟓

𝟔𝟒𝒆𝟒 +

𝟏𝟕𝟓

𝟐𝟓𝟔𝒆𝟔 +

𝟏𝟏𝟎𝟐𝟓

𝟏𝟔𝟑𝟖𝟒𝒆𝟖

𝐁 = − [𝟑

𝟒𝒆𝟐 +

𝟏𝟓

𝟏𝟔𝒆𝟒 +

𝟓𝟐𝟓

𝟓𝟏𝟐𝒆𝟔 +

𝟐𝟐𝟎𝟓

𝟐𝟎𝟒𝟖𝒆𝟖]

𝐂 =𝟏𝟓

𝟔𝟒𝒆𝟒 +

𝟏𝟎𝟓

𝟐𝟓𝟔𝒆𝟔 +

𝟐𝟐𝟎𝟓

𝟒𝟎𝟗𝟔𝒆𝟖

𝐃 = − [𝟑𝟓

𝟓𝟏𝟐𝒆𝟔 +

𝟑𝟏𝟓

𝟐𝟎𝟒𝟖𝒆𝟖] , 𝐄 =

𝟑𝟏𝟓

𝟏𝟔𝟑𝟖𝟒𝒆𝟖


324

4.8 Representación Cartográfica de los Estados Unidos Mexicanos

en la Proyección Transversa de Mercator.

De manera satisfactoria hasta este punto se han cumplido con casi todos

los objetivos planteados en esta investigación, siendo las pruebas, análisis y

demás procedimientos vinculados a este trabajo el principal sustento. Sin embargo

solo queda pendiente un último objetivo, el cual se trata de la representación

cartográfica completa de la República Mexicana utilizando estas nuevas fórmulas

amplificadas.

Dada esta circunstancia y culminando con este trabajo de investigación, en

este apartado se presentara el mapa del territorio mexicano a escala 1: 4 000 000

en la proyección TM o GK, elaborado con estos nuevos algoritmos modificados,

para sí mostrar a la comunidad cartográfica, geodésica y topográfica Mexicana

uno de los primeros mapas en esta representación.

Para la elaboración de este mapa se utilizaron alrededor de 176 mil puntos

o coordenadas los cuales conforman de manera detallada todos los límites

geográficos, administrativos y oficiales de la República Mexicana y de todas sus

entidades federativas.

Los puntos utilizados para la elaboración de este mapa fueron tomados de

las bases de datos de la página web de CONABIO (Comisión nacional para el

conocimiento y uso de la biodiversidad), donde dicha información es

proporcionada por el INEGI, siendo así fidedigna y confiable. Esto en cuanto a la

República Mexicana y su ZEE, para la información internacional, los puntos de los

países vecinos al territorio nacional fueron obtenidos de la página web de DIVA-

GIS y el servidor de la United States Census.

Se ha de aclarar que todas las coordenadas geodésicas o puntos utilizados

para este mapa se encuentran referidos al sistema geodésico WGS 84 (esto por

normativa mundial), sin embargo a que este sistema y el sistema GRS 80 son


325

elipsoides geocéntricos genera que algunos de sus parámetros geométricos sean

idénticos y/o casi iguales, por lo cual en la elaboración cartográfica se tomen como

similares sin propiciar diferencia o error alguno.

Desde el punto de vista cartográfico, el Sistema Geodésico Horizontal

ITRF08 época 2010.0 es compatible con el WGS84, así como SIRGAS, por lo que

sólo en aquellos casos en que un proyecto tenga como requerimiento mejor

exactitud posicional se deberá realizar la transformación de coordenadas de WGS-

84 o SIRGAS al ITRF08 época 2010.0 (INEGI, 2010).

Para la visualización y manipulación de la información obtenida se utilizó el

software cartográfico Global Mapper® Versión 16, las conversiones y demás

cálculos geodésicos fueron realizados con Excel® 2010 para su fácil exportación a

una plataforma CAD, la importación de coordenadas transformadas y el dibujo a

detalle fue realizado con los softwares AutoCAD Civil 3D® y AutoCAD Map 3D®

versiones 2016.

La principal simbología que se muestra en el mapa son meridianos y

paralelos, la división política del país, ciudades capitales de todas las entidades

federativas, la demarcación de la ZEE y los puntos de la Red Geodésica Nacional

Activa (RGNA). Toda la información que recopila dicho documento fue dibujado

tomando los criterios y estándares de la norma para la elaboración de cartografía

topográfica NTG-013-2006 para la elaboración de un documento cartográfico

escala 1: 4 000 000 en la proyección TM, salvo una única modificación, la cual es

que el ecuador es el origen de las latitudes y no el paralelo 14º N.

El tamaño con el que cuenta el mapa es de 105 x 75 cm tomando los

formatos, medidas, calidades de línea, colores, tamaños de texto, etc. con los que

el INEGI expide sus cartas a dicha escala pero con unas leves modificaciones.

Dicho documento se presenta en la última hoja de este documento y el cual lleva

por nombre “Carta Geográfica de los Estados Unidos Mexicanos”.

V. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES.

326

V. CONCLUSIONES Y

RECOMENDACIONES.


327

5.1 Conclusiones.

En este trabajo de investigación, tesis, se realizó un análisis exhaustivo a

las fórmulas y algoritmos de transformación de coordenadas de la proyección

Transversa de Mercator o Gauss-Krüger para su aplicación a la extensión

completa del territorio mexicano, asegurando así una representación fiel y precisa

de dicha zona. Con dicho análisis y de las pruebas y resultados que este arrojaron

se derivan las siguientes conclusiones:

1. Se ratifica que la precisión o el índice de error de cálculo en la conversión de

coordenadas depende directamente del valor de ∆λ y el número de términos que

componen las fórmulas de transformación, siendo así, directamente

proporcionales. Lo que quiere decir que para mayor amplitud de ∆λ mayor serán

los incrementos a los términos de las fórmulas de transformación, esto para

asegurar una precisión milimétrica o menor a esta para una determinada zona.

2. Las fórmulas y/o teoremas clásicos de transformación algebraica o de cálculo

infinitesimal facilitan hasta cierto punto la resolución de ecuaciones complejas,

para la derivación o integración de las mismas, no obstante si estas se

sintetizaran desde una perspectiva diferente sin perder su esencia original y

ofreciendo los mismos resultados, los procesos de deducción y resolución se

optimizarían generando así métodos de cálculo y análisis más simples y menos

confusos. Pudiéndose decir que dos más dos también es igual a dos al

cuadrado.

3. La amplificación de las fórmulas de trasformación aseguran una precisión

micrométrica para un de ∆λ 12º, milimétrica para amplitudes de 14º a 16º, de

centímetros para 18º y de orden del decímetro para 20º. Esto sin importar el

valor de ∆λ. Más allá de estos límites los doce términos toda precisión se

reduce.

4. De acuerdo a la teoría de Enriquez Turiño (2009) se afirma que para mantener

la precisión deseada, los términos utilizados en un sistema de conversión deben

de ser los mismos para el sistema inverso o viceversa, siendo así que ambos


328

métodos estén vinculados. Los mismos pasos de ida son los mismos que

aseguran tu regreso.

5. De acuerdo a lo anterior y para no generar cálculos excesivos y redundantes los

términos se truncaron de tal suerte que dependiendo el valor de estos aseguren

precisión milimétrica en dicha zona, quedando de la siguiente forma:

a) Para un ∆λ de 2º a 4º serán necesarios 6 términos.

b) Para un ∆λ de 6º a 8º serán necesarios 8 términos.

c) Para un ∆λ de 10º a 12º serán necesarios 10 términos.

d) Para un ∆λ de 14º a 18º serán necesarios 12 términos.

Siguiendo este comportamiento se deduce que para representar todo el

mundo asegurando una precisión milimétrica se necesitarían 120 términos para

un ∆λ de 180º o que es lo mismo a derivar 120 veces las funciones 𝑓(Φ) y

F(y).

6. Con los algoritmos amplificados se logró cumplir exitosamente con el objetivo

planteado en este trabajo, reduciendo un 99.9 % los errores generados en los

cálculos de transformación, de tal manera que la precisión máxima alcanzada

para la extensión completa del territorio mexicano con estas nuevas fórmulas

fue de 5 mm para una banda meridiana de 36º y una faja de latitud de 19º. Es

importante aclarar que si la banda meridiana fuera totalmente simétrica con

respecto al MC 102º, el error de transformación sería un poco menor.

7. Aunque los métodos alternos de Lee y Karney ofrecen una deducción y

desarrollo de las fórmulas de trasformación más simple, siendo los más

precisos, estos son más extensos y confusos, por lo tanto se reafirma que el

método ideal y más eficiente siempre será el clásico, estipulado por Louis

Krüger y Paul D. Thomas.

8. Dado que las amplificaciones son nuevo método de cálculo, por el momento

estas solo ofrecen una representación fiel y precisa del territorio nacional, no

obstante se espera que en un futuro no muy lejano estas se puedan adoptar de

forma oficial para la optimización, re proyección y enriquecimiento de la

cartografía nacional y que de igual manera faciliten los trabajos geodésicos y

topográficos en México.


329

5.2 Aplicaciones y Trabajos a Futuro.

Es así como de manera satisfactoria fundamentada en un arduo de trabajo

de investigación, calculo, desarrollo y análisis matemático, es como se logran

obtener los algoritmos de transformación en la proyección GK para la

representación completa de la República Mexicana, sin embargo estos como

nuevo método de cálculo solo pueden ser utilizados para la representación fiel,

fidedigna y precisa del territorio nacional u algún otro país o zona que sea de la

misma proporción a este, siendo estos aún deficientes para algunos casos de

aplicación a labores de topografía y geodesia.

Esta situación se debe a que en el presente trabajo solo se desarrollaron

las fórmulas de conversión de coordenadas, por lo cual queda pendiente

estructurar las ecuaciones que permitan el cálculo y análisis de los factores de

deformación lineal y/o de escala, así como también la ecuación para la

determinación de la convergencia de meridianos, siendo estos fundamentados en

los nuevos algoritmos de transformación. Generando estas ecuaciones se podrá

complementar y optimizar esta proyección para la aplicación a los trabajos de

topografía y geodesia realizados en toda la extensión territorial del estado

mexicano o cualquier otra zona con las mismas condiciones geográficas a este.

Realizando esta optimización, la proyección GK o TM podrá ser un sistema

proyectivo general para el territorio mexicano, siendo totalmente familiar y

compatible con las otras proyecciones cartográficas, cilíndricas conformes oficiales

para la representación de la República Mexicana. Es decir que con la amplificación

y optimización del sistema GK los trabajos referidos a los sistemas UTM y TME

podrán ser ligados a este sistema sin ningún problema, esto debido a que todas

estas proyecciones comparten los mismos algoritmos de transformación, teniendo

como resultado una fácil conversión de un sistema a otro, mismo que únicamente

dependa de un simple despeje a los valores dados de “Falso Este” y “Factor de

Escala”.


330

Es importante dejar en claro que para lograr que estos sistemas se vinculen

se tienen que hacer algunas modificaciones a los parámetros de designación base

para cada una de estas proyecciones, logrando que para cada sistema proyectivo

cilíndrico transverso cada uno de estos parámetros se conviertan en valores

únicos e iguales, un ejemplo de estos son el Falso Este y el origen de latitudes.

Haciendo énfasis en este último se recomienda que para facilitar la conversión del

sistema TM al UTM y viceversa, el origen de las latitudes sea el ecuador y no el

paralelo 14º N como lo estipula la Norma Técnica NTG-001-2004.

Si se implementará esta acción, el INEGI y demás instituciones oficiales

gubernamentales que se encargan del desarrollo de la cartografía nacional,

podrían referir todos sus trabajos a un solo sistema proyectivo únicamente cuando

sea necesario, desapareciendo así la problemática de representación general-

zona y viceversa, y de las conversiones que traen consigo al utilizar sistemas

proyectivos diferentes a los comúnmente utilizados, tal es el caso de la proyección

Cónica Conforme de Lambert.

Independientemente de esta posible optimización, los algoritmos

amplificados poseen la capacidad de precisión y aprovechamiento para su

aplicación en la proyección UTM, siendo así que exista la posibilidad de

representar aquellas zonas que se encuentren levemente fuera de un cierto huso

UTM, asegurando la representación máxima del territorio a mapear o estudiar sin

perder la precisión de los elementos geográficos que lo conforman.

Si los algoritmos amplificados fueran la base oficial de las fórmulas de

transformación de la proyección UTM se podrían amplificar sus husos hasta un

valor de 24º de longitud, el cual representa cuatro veces el valor de banda original,

reduciendo de 60 a solo 15 zonas UTM el esferoide terrestre, donde en cada uno

de ellos alcanzarían una precisión de cálculo y transformación del orden del

micrómetro. Pero si se deseara utilizar una precisión milimétrica, las zonas UTM

se podrían extender hasta un valor de 36º de longitud reduciendo a 10 el total de

las zonas.


331

Estas posibles aplicaciones traerán consigo que dichos algoritmos

amplificados sean forzosamente implementados en los softwares y calculadoras

de desarrollo CAD y SIG, así mismo a equipos de trabajo como lo son estaciones

totales, GPS y navegadores, esto con el fin de facilitar la manipulación,

interpretación, entendimiento y análisis de la información geográfica y así mismo

asegurar su precisión y evitar desfases. Siendo de esta manera que la información

geográfica y todos sus métodos geodésicos y topográficos que involucren su

medición puedan estar ligados entre sí mediante el sistema GK.

Este trabajo es solo un pequeño paso que pretende impulsar y aportar el

enriquecimiento, conocimiento y entendimiento de la geografía, cartografía y

demás ciencias afines que se dedican a la medición y comprensión del elipsoide

terrestre, específicamente al territorio nacional. Aunque parece mucho lo que en

este documento se presenta es sólo la primera piedra de lo que posiblemente se

pueda lograr más adelante, quizá en un futuro próximo con esta aportación se

pueda idear una proyección cilíndrica conforma la cual ofrezca además de una

representación fiel y precisa del territorio mexicano, una representación que inhiba

los índices de deformación geométrica en toda su extensión, suena un desarrollo

un poco descabellado, pero con el paso del tiempo y con la evolución de la

tecnología estoy seguro de que se pueda lograr.

Espero que con esta aportación organizaciones, usuarios y toda aquella

persona que se dedique a ejercer estas bellas profesiones como lo son; la

cartografía, geodesia, topografía, geografía, geomática, etc. puedan aplicar y

entender que…

“Por mínimo que parezca, pero un simple milímetro nos aproxima a la realidad”.

VI. ANEXOS.

332

VI. ANEXOS.

VI. ANEXOS.

333

6.1 Introducción.

Como bien se sabe la mayoría de algoritmos y fórmulas de transformación

carto-geodésicas se conforman de ecuaciones trigonométricas complejas, donde

la estructura de cada una de ellas depende tajantemente de un desarrollo

algebraico extremadamente minucioso y especialmente extenso (además de

tedioso), siendo en muchos casos el cálculo infinitesimal la base para la resolución

de estos. Esta circunstancia es la que ha propiciado a que la mayoría de autores

excluya dichos desarrollos en sus trabajos de investigación, teniendo como

consecuencia que el conocimiento matemático se guarde con celo y en el peor de

los casos se pierda.

En este contexto y facilitando la comprensión de este documento (en cuanto

a saturación de contenido), en este bloque se desarrollaran los procesos

algebraicos más extensos de algunas de las formulas carto-geodésicas que se

deducen a lo largo de esta investigación, dejando claro el adecuado y pleno

desarrollo matemático que consigo llevan.

6.2 La Integral de la Latitud Isométrica (Proyección Mercator Caso

Elipsoidal).

Para la obtener la ecuación que permita la transformación la ordenada ene l

sistema Mercator para el elipsoide estará dado por la integral de la relación de los

radios geodésicos N y 𝜌.

𝑑𝑦

𝜌 ∙ 𝑑𝜑=

𝑎

N cos𝜑

Despejando 𝑑𝜑.

∫𝑑𝑦 = 𝑎∫𝜌

Nsec𝜑 ∙ 𝑑𝜑

𝜑

0

VI. ANEXOS.

334

Dónde.

N =𝑎

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)12

; 𝜌 =𝑎(1 − 𝑒2)

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)32

Sustituyendo.

𝑑𝑦 = 𝑎

[

𝑎(1 − 𝑒2)

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)32

𝑎

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)12 ]

sec 𝜑 ∙ 𝑑𝜑 = 𝑎 [𝑎(1 − 𝑒2)(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)

12

𝑎(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)32

] sec 𝜑 ∙ 𝑑𝜑

𝑦 = 𝑎∫1 − 𝑒2

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑) cos 𝜑∙ 𝑑𝜑

𝜑

0

Tomando las siguientes consideraciones.

𝑥 = sin 𝜑 ; sin2 𝜑 + cos2 𝜑 = 1; cos2 𝜑 = 1 − sin2 𝜑 ;

cos2 𝑥 = 1 − 𝑥2;

𝑑𝑥

𝑑𝜑= cos𝜑 ∴

𝑑𝑥

cos 𝜑= 𝑑𝜑

Realizando el cambio de variable se tiene que:

𝑦 = 𝑎∫1 − 𝑒2

(1 − 𝑒2𝑥2) cos𝜑∙𝑑𝑥

cos 𝜑

𝜑

0

= 𝑎∫1 − 𝑒2

(1 − 𝑒2𝑥2) cos2 𝜑∙ 𝑑𝑥

𝜑

0

𝑦 = 𝑎∫1 − 𝑒2

(1 − 𝑒2𝑥2)(1 − 𝑥2)∙ 𝑑𝑥

VI. ANEXOS.

335

Con esta nueva expresión la integral se puede realizar mediante el método

de fracciones parciales.

𝑦 = 𝑎∫1 − 𝑒2

(1 − 𝑒2𝑥2)(1 − 𝑥2)∙ 𝑑𝑥 = 𝑎∫

1 − 𝑒2

(1 + 𝑒𝑥)(1 − 𝑒𝑥)(1 + 𝑥)(1 − 𝑥)∙ 𝑑𝑥

1 − 𝑒2

(1 + 𝑒𝑥)(1 − 𝑒𝑥)(1 + 𝑥)(1 − 𝑥)=

A

1 + 𝑒𝑥+

B

1 − 𝑒𝑥+

C

1 + 𝑥+

D

1 − 𝑥

1 − 𝑒2

(1 + 𝑒𝑥)(1 − 𝑒𝑥)(1 + 𝑥)(1 − 𝑥)

=

A(1 − 𝑒𝑥)(1 + 𝑥)(1 − 𝑥) + B(1 + 𝑒𝑥)(1 + 𝑥)(1 − 𝑥)

+C(1 + 𝑒𝑥)(1 − 𝑒𝑥)(1 − 𝑥) + D(1 + 𝑒𝑥)(1 − 𝑒𝑥)(1 + 𝑥)

(1 + 𝑒𝑥)(1 − 𝑒𝑥)(1 + 𝑥)(1 − 𝑥)

1 − 𝑒2 =A(1 − 𝑒𝑥)(1 + 𝑥)(1 − 𝑥) + B(1 + 𝑒𝑥)(1 + 𝑥)(1 − 𝑥)

+C(1 + 𝑒𝑥)(1 − 𝑒𝑥)(1 − 𝑥) + D(1 + 𝑒𝑥)(1 − 𝑒𝑥)(1 + 𝑥)

Resolviendo los coeficientes A, B, C y D por separado se tiene que:

Para A.

1 + 𝑒𝑥 = 0 ∴ 𝑥 = −1

𝑒

Sustituyendo.

1 − 𝑒2 = A(1 − 𝑒𝑥)(1 + 𝑥)(1 − 𝑥) = A [1 − 𝑒 (−1

𝑒)] [1 + (−

1

𝑒)] [1 − (−

1

𝑒)]

1 − 𝑒2 = A(1 + 1) (1 −1

𝑒) (1 +

1

𝑒) = 2A (1 −

1

𝑒2)

1 − 𝑒2 = 2A (1 −1

𝑒2) ∴ A =

1 − 𝑒2

2 (1 −1𝑒2)

VI. ANEXOS.

336

A =1 − 𝑒2

2 (1 −1𝑒2)=1

2∙1 − 𝑒2

(𝑒2 − 1𝑒2

)=1

2∙𝑒2(1 − 𝑒2)

𝑒2 − 1

A =1

2∙𝑒2(1 − 𝑒2)

−(1 − 𝑒2)= −

1

2∙ 𝑒2

A = −𝑒2

2

Para B.

1 − 𝑒𝑥 = 0 ∴ 𝑥 =1

𝑒

Sustituyendo.

1 − 𝑒2 = B(1 + 𝑒𝑥)(1 + 𝑥)(1 − 𝑥) = B [1 + 𝑒 (1

𝑒)] [1 + (

1

𝑒)] [1 − (

1

𝑒)]

1 − 𝑒2 = B(1 + 1) (1 +1

𝑒) (1 −

1

𝑒) = 2B (1 −

1

𝑒2)

1 − 𝑒2 = 2B(1 −1

𝑒2) ∴ B =

1 − 𝑒2

2 (1 −1𝑒2)

B =1 − 𝑒2

2 (1 +1𝑒2)=1

2∙1 − 𝑒2

(𝑒2 + 1𝑒2

)=1

2∙𝑒2(1 − 𝑒2)

𝑒2 − 1

B =1

2∙𝑒2(1 − 𝑒2)

−(1 − 𝑒2)= −

1

2∙ 𝑒2

B = −𝑒2

2

VI. ANEXOS.

337

Para C.

1 + 𝑥 = 0 ∴ 𝑥 = −1

Sustituyendo.

1 − 𝑒2 = C(1 + 𝑒𝑥)(1 − 𝑒𝑥)(1 − 𝑥) = C[1 + 𝑒(−1)][1 − 𝑒(−1)][1 − (−1)]

1 − 𝑒2 = C(1 − 𝑒)(1 + 𝑒)(1 + 1) = 2C(1 − 𝑒2)

1 − 𝑒2 = 2C(1 − 𝑒2) ∴ C =1 − 𝑒2

2(1 − 𝑒2)

C =1

2

Para D.

1 − 𝑥 = 0 ∴ 𝑥 = 1

Sustituyendo.

1 − 𝑒2 = D(1 + 𝑒𝑥)(1 − 𝑒𝑥)(1 + 𝑥) = D[1 + 𝑒(1)][1 − 𝑒(1)][1 + (1)]

1 − 𝑒2 = D(1 + 𝑒)(1 − 𝑒)(1 + 1) = 2D(1 − 𝑒2)

1 − 𝑒2 = 2D(1 − 𝑒2) ∴ D =1 − 𝑒2

2(1 − 𝑒2)

D =1

2

Sustituyendo los valores parciales en la integral original.

VI. ANEXOS.

338

1 − 𝑒2

(1 + 𝑒𝑥)(1 − 𝑒𝑥)(1 + 𝑥)(1 − 𝑥)=

−𝑒2

21 + 𝑒𝑥

+−𝑒2

21 − 𝑒𝑥

+

12

1 + 𝑥+

12

1 − 𝑥

1 − 𝑒2

(1 + 𝑒𝑥)(1 − 𝑒𝑥)(1 + 𝑥)(1 − 𝑥)= −

𝑒2

2(1 + 𝑒𝑥)−

𝑒2

2(1 − 𝑒𝑥)+

1

2(1 + 𝑥)+

1

2(1 − 𝑥)

Por lo que la integral se re escribe como:

∫1 − 𝑒2

(1 − 𝑒2𝑥2)(1 − 𝑥2)∙ 𝑑𝑥 = ∫

1 − 𝑒2

(1 + 𝑒𝑥)(1 − 𝑒𝑥)(1 + 𝑥)(1 − 𝑥)∙ 𝑑𝑥

= −∫𝑒2

2(1 + 𝑒𝑥)∙ 𝑑𝑥 − ∫

𝑒2

2(1 − 𝑒𝑥)∙ 𝑑𝑥 + ∫

1

2(1 + 𝑥)∙ 𝑑𝑥

+ ∫1

2(1 − 𝑥)∙ 𝑑𝑥

=1

2∫

1

1 + 𝑥∙ 𝑑𝑥 +

1

2∫

1

1 − 𝑥∙ 𝑑𝑥 −

1

2∫

𝑒2

1 + 𝑒𝑥∙ 𝑑𝑥 −

1

2∫

𝑒2

1 − 𝑒𝑥∙ 𝑑𝑥

Integrando se tiene que:

=1

2ln(1 + 𝑥) +

1

2ln(1 − 𝑥) −

𝑒

2ln(1 + 𝑒𝑥) +

𝑒

2ln(1 − 𝑒𝑥)

= ln(1 + 𝑥)12 + ln(1 − 𝑥)

12 + ln(1 − 𝑒𝑥)

𝑒2 − ln(1 + 𝑒𝑥)

𝑒2

= ln(1 + 𝑥)

12

(1 − 𝑥)12

+ ln(1 − 𝑒𝑥)

𝑒2

(1 + 𝑒𝑥)𝑒2

= ln [(1 + 𝑥

1 − 𝑥)

12∙ (1 − 𝑒𝑥

1 + 𝑒𝑥)

𝑒2]

∫1 − 𝑒2

(1 − 𝑒2𝑥2)(1 − 𝑥2)∙ 𝑑𝑥 = ln [(

1 + 𝑥

1 − 𝑥)

12∙ (1 − 𝑒𝑥

1 + 𝑒𝑥)

𝑒2]

Como esta integral se efectuó con un cambio de variable, será necesario

regresar la ecuación a su forma original.

VI. ANEXOS.

339

𝑦 = 𝑎∫1 − 𝑒2

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑) cos2 𝜑∙ 𝑑𝑥 = 𝑎 ∙ ln [(

1 + sin 𝜑

1 − sin 𝜑)

12∙ (1 − 𝑒 sin 𝜑

1 + 𝑒 sin 𝜑)

𝑒2]

Aplicando las siguientes entidades trigonométricas al primer término del

argumento del logaritmo natural.

sin 𝑥 + sin 𝑦 = 2 sin (𝑥 + 𝑦

2) ∙ cos (

𝑥 − 𝑦

2) ;

sin 𝑥 − sin 𝑦 = 2 sin (𝑥 − 𝑦

2) ∙ cos (

𝑥 + 𝑦

2) ;

sin (𝜋

2− 𝑥) = cos 𝑥 ; sin

𝜋

2= 1; tan(90 − 𝑥) = cot 𝑥 =

cos 𝑥

sin 𝑥

(1 + sin 𝜑

1 − sin 𝜑)

12= (

sin𝜋2+ sin𝜑

sin𝜋2− sin𝜑

)

12

= [2 sin (

𝜋4+𝜑2) ∙ cos (

𝜋4−𝜑2)

2 sin (𝜋4−𝜑2) ∙ cos (

𝜋4+𝜑2)]

12

(1 + sin𝜑

1 − sin𝜑)

12= [tan (

𝜋

4+𝜑

2) ∙ cot (

𝜋

4−𝜑

2)]

12

(1 + sin 𝜑

1 − sin 𝜑)

12= [tan (

𝜋

4+𝜑

2) ∙ tan (

𝜋

2− (

𝜋

4+𝜑

2))]

12

= [tan2 (𝜋

4+𝜑

2)]

12

(1 + sin𝜑

1 − sin𝜑)

12= tan (

𝜋

4+𝜑

2)

Sustituyendo en la fórmula de la ordenada.

𝑦 = 𝑎 ∙ ln [tan (𝜋

4+𝜑

2) ∙ (

1 − 𝑒 sin 𝜑

1 + 𝑒 sin 𝜑)

𝑒2]

VI. ANEXOS.

340

Si se omite el valor del semi eje mayor de esta ecuación, esta se convierte

en la ecuación de la latitud, creciente o isométrica para el elipsoide.

Φ = ln [tan (𝜋

4+𝜑

2) ∙ (

1 − 𝑒 sin 𝜑

1 + 𝑒 sin 𝜑)

𝑒2]

6.3 La Integral Elíptica para la Longitud de Arco de Meridiano.

El desarrollo para la formula final del arco de la elipse meridiana parte

mediante la integral de 𝜌.

S = ∫ 𝑎(1 − 𝑒2)(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)−32

𝜑

0

∙ 𝑑𝜑

Para simplificar los términos de esta integral y expresarlos en una función

permisible al proceso integración directo será necesario recurrir al teorema

binomial de Newton, el cual será aplicado a la forma inversa del numerado. Siendo

la fórmula del teorema binomial la siguiente:

(𝑥 + 𝑦)𝑧 = 𝑥𝑧 +𝑧

1!𝑥(𝑧−1)𝑦 +

𝑧(𝑧 − 1)

2!𝑥(𝑧−2)𝑦2 +

𝑧(𝑧 − 1)(𝑧 − 2)

3!𝑥(𝑧−3)𝑦3 +⋯

+𝑧(𝑧 − 1)(𝑧 − 2)… (𝑧 − 𝑛)

𝑛!𝑥(𝑧−𝑛)𝑦𝑛

Aplicando se tiene que:

VI. ANEXOS.

341

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)−32

= 1 +(−

32)

1!(−𝑒2 sin2 𝜑) +

(−32) (−

32− 1)

2!(−𝑒2 sin2 𝜑)2

+(−

32) (−

32− 1) (−

32− 2)

3!(−𝑒2 sin2 𝜑)3

+(−

32) (−

32− 1) (−

32− 2) (−

32− 3)

4!(−𝑒2 sin2 𝜑)4…

Desarrollando.

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)−32

= 1 + (−3

2) (−𝑒2 sin2 𝜑) +

(−32) (−

52)

2(−𝑒2 sin2 𝜑)2

+(−

32) (−

52) (−

72)

6(−𝑒2 sin2 𝜑)3

+(−

32) (−

52) (−

72) (−

92)

24(−𝑒2 sin2 𝜑)4…

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)−32

= 1 +3

2(𝑒2 sin2 𝜑) +

(154)

2(−𝑒2 sin2 𝜑)2 −

(1058)

6(−𝑒2 sin2 𝜑)3

+(94516

)

24(−𝑒2 sin2 𝜑)4…

VI. ANEXOS.

342

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)−32

= 1 +3

2(𝑒2 sin2 𝜑) +

15

8(𝑒4 sin4 𝜑) +

35

16(𝑒6 sin6 𝜑)

+315

128(𝑒8 sin8 𝜑)…

Sustituyendo en la integral.

S = ∫ 𝑎(1 − 𝑒2) [1 +3

2(𝑒2 sin2 𝜑) +

15

8(𝑒4 sin4 𝜑) +

35

16(𝑒6 sin6 𝜑)

𝜑

0

+315

128(𝑒8 sin8 𝜑)… ] ∙ 𝑑𝜑

S = 𝑎(1 − 𝑒2)∫ 𝑑𝜑𝜑

0

+3

2∙ 𝑒2∫ sin2 𝜑 ∙ 𝑑𝜑

𝜑

0

+15

8∙ 𝑒4∫ sin4 𝜑 ∙ 𝑑𝜑

𝜑

0

+35

16

∙ 𝑒6∫ sin6 𝜑 ∙ 𝑑𝜑𝜑

0

+315

128∙ 𝑒8∫ sin8 𝜑 ∙ 𝑑𝜑

𝜑

0

…

De acuerdo con Mena (2008) citando a Bass, para resolver estas integrales

se recurre a la expresión de la integral de Wallis.

∫sin𝑛 𝑥 ∙ 𝑑𝑥 = −1

𝑛∙ sin 𝑥 ∙ cos 𝑥 +

𝑛 − 1

𝑛∫sin(𝑛−2) 𝑥 ∙ 𝑑𝑥

Teniendo en cuenta esto, la integral se puede resolver miembro a miembro,

exceptuando las constantes.

∫𝑑𝜑 = 𝜑

∫sin2 𝜑 ∙ 𝑑𝜑 = −1

2∙ sin 𝜑 ∙ cos 𝜑 +

1

2∙ 𝜑

VI. ANEXOS.

343

∫sin4 𝜑 ∙ 𝑑𝜑 = −1

4∙ sin3 𝜑 ∙ cos 𝜑 +

3

4∫sin2 𝜑 ∙ 𝑑𝜑

= −1


3

4(−

1

2∙ sin 𝜑 ∙ cos𝜑 +

1

2𝜑)

= −1

4∙ sin3 𝜑 ∙ cos 𝜑 −

3


3

8∙ 𝜑

∫sin6 𝜑 ∙ 𝑑𝜑 = −1


5


= −1

6∙ sin5 𝜑 ∙ cos 𝜑

+5

6(−

1

4∙ sin3 𝜑 ∙ cos𝜑 −

3

8∙ sin𝜑 ∙ cos𝜑 +

3

8∙ 𝜑)

= −1


5


5

16∙ sin𝜑 ∙ cos 𝜑 +

5

16∙ 𝜑

∫sin8 𝜑 ∙ 𝑑𝜑 = −1

8∙ sin7𝜑 ∙ cos 𝜑 +

7


= −1

8∙ sin7 𝜑 ∙ cos𝜑

+7

8(−

1


5


5


5

16

∙ 𝜑)

= −1


7


35


35

128

∙ sin𝜑 ∙ cos𝜑 +35

128∙ 𝜑

Sustituyendo en la integral original.

S = 𝑎(1 − 𝑒2)

VI. ANEXOS.

344

[ 𝜑 +

3

2∙ 𝑒2 (−

1


1

2∙ 𝜑)

+15

8∙ 𝑒4 (−

1

4∙ sin3𝜑 ∙ cos𝜑 −

3


3

8∙ 𝜑)

+35

16∙ 𝑒6 (−

1


5


5


5

16∙ 𝜑)

+315

128∙ 𝑒8 (−

1


7


35


35


35

128∙ 𝜑)]

Simplificando valores se tiene que:

𝐒 = 𝒂(𝟏 − 𝒆𝟐)

[ (𝟏 +

𝟑

𝟒𝒆𝟐 +

𝟒𝟓

𝟔𝟒𝒆𝟒 +

𝟏𝟕𝟓

𝟐𝟓𝟔𝒆𝟔 +

𝟏𝟏𝟎𝟐𝟓

𝟏𝟔𝟑𝟖𝟒𝒆𝟖)𝝋

−(𝟑

𝟒𝒆𝟐 +

𝟒𝟓

𝟔𝟒𝒆𝟒 +

𝟏𝟕𝟓

𝟐𝟓𝟔𝒆𝟔 +

𝟏𝟏𝟎𝟐𝟓

𝟏𝟔𝟑𝟖𝟒𝒆𝟖) 𝐬𝐢𝐧𝝋 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝝋

−(𝟏𝟓

𝟑𝟐𝒆𝟒 +

𝟏𝟕𝟓

𝟑𝟖𝟒𝒆𝟔 +

𝟏𝟏𝟎𝟐𝟓

𝟐𝟗𝟓𝟕𝟔𝒆𝟖) 𝐬𝐢𝐧𝟑𝝋 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝝋

−(𝟑𝟓

𝟗𝟔𝒆𝟔 +

𝟐𝟐𝟎𝟓

𝟔𝟏𝟒𝟒𝒆𝟖) 𝐬𝐢𝐧𝟓𝝋 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝝋

−(𝟑𝟏𝟓

𝟏𝟎𝟐𝟒𝒆𝟖) 𝐬𝐢𝐧𝟕𝝋 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝝋 ]

Sin embargo, dado que esta fórmula está en función del seno y coseno de

la latitud y en virtud de que en la bibliografía existente, esta fórmula no es

reportada, es factible de simplificarse mediante la consideración de las siguientes

identidades trigonométricas:



1

2−1

2∙ cos 2𝜑,

sin 𝜑 ∙ cos 𝛽 =1

2[sin(𝜑 − 𝛽) + sin(𝜑 + 𝛽)]

Aplicando a las funciones sin𝑛 𝜑 ∙ cos 𝜑


2∙ sin 2𝜑

VI. ANEXOS.

345

sin3 𝜑 ∙ cos 𝜑 = sin2 𝜑 sin𝜑 ∙ cos 𝜑 = (1

2−1

2∙ cos 2𝜑) (

1

2∙ sin 2𝜑)

=1

4∙ sin 2𝜑 −

1

4∙ sin 2𝜑 ∙ cos 2𝜑 =

1

4∙ sin 2𝜑 −

1

4(1

2∙ sin 4𝜑)

=1

4∙ sin 2𝜑 −

1

8∙ sin 4𝜑

sin5 𝜑 ∙ cos 𝜑 = sin3 𝜑 ∙ cos 𝜑 ∙ sin2 𝜑 = (1

4∙ sin 2𝜑 −

1

8∙ sin 4𝜑) (

1

2−1

2∙ cos 2𝜑)

=1

8∙ sin 2𝜑 −

1

8∙ sin 2𝜑 ∙ cos 2𝜑 −

1

16∙ sin 4𝜑 +

1

16∙ sin 4𝜑 ∙ cos 2𝜑

=1

8∙ sin 2𝜑 −

1

8(1

2∙ sin 4𝜑) −

1

16∙ sin 4𝜑

+1

16[1

2(sin 2𝜑 + sin 6𝜑)]

=1

8∙ sin 2𝜑 −

1

16∙ sin 4𝜑 −

1

16∙ sin 4𝜑 +

1

32∙ sin 2𝜑 +

1

32∙ sin 6𝜑

=5

32∙ sin 2𝜑 −

1

8∙ sin 4𝜑 +

1

32∙ sin 6𝜑

sin7 𝜑 ∙ cos𝜑 = sin5 𝜑 ∙ cos 𝜑 ∙ sin2 𝜑

= (5

32∙ sin 2𝜑 −

1

8∙ sin 4𝜑 +

1

32∙ sin 6𝜑) (

1

2−1

2∙ cos 2𝜑)

=5

64∙ sin 2𝜑 −

1

16∙ sin 4𝜑 +

1

64∙ sin 6𝜑 −

5

64∙ sin 2𝜑 ∙ cos 2𝜑 +

1

16

∙ sin 4𝜑 ∙ cos 2𝜑 −1

64∙ sin 6𝜑 ∙ cos 2𝜑

=5

64∙ sin 2𝜑 −

1

16∙ sin 4𝜑 +

1

64∙ sin 6𝜑 −

5

64(1

2∙ sin 4𝜑)

+1

16[1

2(sin 2𝜑 + sin 6𝜑)] −

1

64[1

2(sin 4𝜑 + sin 8𝜑)]

VI. ANEXOS.

346

sin7 𝜑 ∙ cos 𝜑 =5

64∙ sin 2𝜑 −

1

16∙ sin 4𝜑 +

1

64∙ sin 6𝜑 −

5

128∙ sin 4𝜑 +

1

32

∙ sin 2𝜑 +1

32∙ sin 6𝜑 −

1

128∙ sin 4𝜑 −

1

128∙ sin 8𝜑

=7

64∙ sin 2𝜑 −

7

64∙ sin 4𝜑 +

3

64∙ sin 6𝜑 −

1

128∙ sin 8𝜑

Aplicando estos valores en los resultados parciales de las integrales, se

tiene que:

∫𝑑𝜑 = 𝜑

∫sin2 𝜑 ∙ 𝑑𝜑 = −1


1

2∙ 𝜑 = −

1

2(1

2∙ sin 2𝜑) +

1

2∙ 𝜑

= −1

4∙ sin 2𝜑 +

1

2∙ 𝜑

∫sin4 𝜑 ∙ 𝑑𝜑 = −1


3


3

8∙ 𝜑

= −1

4(1

4∙ sin 2𝜑 −

1

8∙ sin 4𝜑) −

3

8(1

2∙ sin 2𝜑) +

3

8∙ 𝜑

= −1

16∙ sin 2𝜑 +

1

32∙ sin 4𝜑 −

3

16∙ sin 2𝜑 +

3

8∙ 𝜑

= −1

4∙ sin 2𝜑 +

1

32∙ sin 4𝜑 +

3

8∙ 𝜑

∫sin6 𝜑 ∙ 𝑑𝜑 = −1


5


5


5

16∙ 𝜑

= −1

6(5

32∙ sin 2𝜑 −

1

8∙ sin 4𝜑 +

1

32∙ sin 6𝜑)

−5

24(1

4∙ sin 2𝜑 −

1

8∙ sin 4𝜑) −

5

16(1

2∙ sin 2𝜑) +

5

16∙ 𝜑

= −5

192∙ sin 2𝜑 +

1

48∙ sin 4𝜑 −

1

192∙ sin 6𝜑 −

5

96∙ sin 2𝜑 +

5

192

∙ sin 4𝜑 −5

32∙ sin 2𝜑+

5

16∙ 𝜑

VI. ANEXOS.

347

∫sin6 𝜑 ∙ 𝑑𝜑 = −15

64∙ sin 2𝜑 +

3

64∙ sin 4𝜑 −

5

96∙ sin 2𝜑+

5

16∙ 𝜑

∫sin8𝜑 ∙ 𝑑𝜑 = −1


7


35


35

128

∙ sin𝜑 ∙ cos𝜑 +35

128∙ 𝜑

= −1

8(7

64∙ sin 2𝜑 −

7

64∙ sin 4𝜑 +

3

64∙ sin 6𝜑 −

1

128∙ sin 8𝜑)

−7

48(5

32∙ sin 2𝜑 −

1

8∙ sin 4𝜑 +

1

32∙ sin 6𝜑)

−35

192(1

4∙ sin 2𝜑 −

1

8∙ sin 4𝜑) −

35

128(1

2∙ sin 2𝜑) +

35

128∙ 𝜑

= −7

512∙ sin 2𝜑 +

7

512∙ sin 4𝜑 −

3

512∙ sin 6𝜑 +

1

1024∙ sin 8𝜑

−35

1536∙ sin 2𝜑 +

7

384∙ sin 4𝜑 −

35

1536∙ sin 6𝜑 −

35

768∙ sin 2𝜑

+35

1536∙ sin 4𝜑 −

35

256∙ sin 2𝜑+

35

128∙ 𝜑

= −7

32∙ sin 2𝜑 +

7

128∙ sin 4𝜑 −

1

196∙ sin 6𝜑 +

1

1024∙ sin 8𝜑 +

35

128∙ 𝜑

Sustituyendo.

S = 𝑎(1 − 𝑒2)

[ 𝜑 +

3

2∙ 𝑒2 (−

1

4∙ sin 2𝜑 +

1

2∙ 𝜑)

+15

8∙ 𝑒4 (−

1

4∙ sin 2𝜑 +

1

32∙ sin 4𝜑 +

3

8∙ 𝜑)

+35

16∙ 𝑒6 (−

15

64∙ sin 2𝜑 +

3

64∙ sin 4𝜑 −

5

96∙ sin 2𝜑 +

5

16∙ 𝜑)

+35

16∙ 𝑒6 (−

7

32∙ sin 2𝜑 +

7

128∙ sin 4𝜑 −

1

196∙ sin 6𝜑 +

1

1024∙ sin 8𝜑 +

35

128∙ 𝜑)]

VI. ANEXOS.

348

Por lo que finalmente se tiene.

𝐒 = 𝒂(𝟏 − 𝒆𝟐)

[ (𝟏 +

𝟑

𝟒𝒆𝟐 +

𝟒𝟓

𝟔𝟒𝒆𝟒 +

𝟏𝟕𝟓

𝟐𝟓𝟔𝒆𝟔 +

𝟏𝟏𝟎𝟐𝟓

𝟏𝟔𝟑𝟖𝟒𝒆𝟖)𝝋

−(𝟑

𝟖𝒆𝟐 +

𝟏𝟓

𝟑𝟐𝒆𝟒 +

𝟓𝟐𝟓

𝟏𝟎𝟐𝟒𝒆𝟔 +

𝟐𝟐𝟎𝟓

𝟒𝟎𝟗𝟔𝒆𝟖) 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝝋

+(𝟏𝟓

𝟐𝟓𝟔𝒆𝟒 +

𝟏𝟎𝟓

𝟏𝟎𝟐𝟒𝒆𝟔 +

𝟐𝟐𝟎𝟓

𝟏𝟔𝟑𝟖𝟒𝒆𝟖) 𝐬𝐢𝐧 𝟒𝝋

−(𝟑𝟓

𝟑𝟎𝟕𝟐𝒆𝟔 +

𝟑𝟏𝟓

𝟏𝟐𝟐𝟖𝟖𝒆𝟖) 𝐬𝐢𝐧 𝟔𝝋

+(𝟑𝟏𝟓

𝟏𝟑𝟏𝟎𝟕𝟐𝒆𝟖) 𝐬𝐢𝐧 𝟖𝝋 ]

6.4 Derivadas Consecutivas para la Representación GK.

En este apartado se desarrollaran las derivadas básicas (conocidas hasta el

momento) que conforman las fórmulas de transformación de la representación GK

en su proceso inverso y directo, así mismo del método empleado por D. Thomas

(1952) para facilitar dicho proceso.

6.4.1 El método de derivación de Paul D. Thomas.

Las derivadas requeridas en las formulas GK dependen directamente de los

radios de 𝑁 y 𝜌, siendo estos constantes en los resultados finales a partir de la

tercera derivada, de igual manera a partir de esta derivada los procesos

algebraicos y derivación para la reducción de términos se vuelven gradualmente

complicados.

La solución a este inconveniente la presenta Paul D. Thomas (1952), el cual

por medio de un razonamiento puramente algebraico convierte los resultados de

las derivadas de 𝑁 y 𝜌 en funciones sujetas a estas mismas variables, logrando

que el proceso sea más ágil. Para comprensión del desarrollo de derivación a

continuación se presenta la modificación hecha por Thomas.

VI. ANEXOS.

349

Para la derivada de 𝑁 se tiene que:

𝑓′(Φ) = 𝑓′(𝑁) =𝑎 ∙ 𝑒2 ∙ sin 𝜑 ∙ cos𝜑

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)32

= 𝑁 ∙𝑒2 ∙ sin 𝜑 ∙ cos 𝜑

1 − 𝑒2 sin2 𝜑

𝑓′(𝑁) = 𝑁 ∙𝑒2 ∙ sin 𝜑 ∙ cos 𝜑

1 − 𝑒2 sin2 𝜑∙cos 𝜑

cos 𝜑= 𝑁 ∙

𝑒2 ∙ cos2 𝜑

1 − 𝑒2 sin2 𝜑∙ tan𝜑

𝑓′(𝑁) = 𝑁 ∙𝑒2(1 − sin2 𝜑)

1 − 𝑒2 sin2 𝜑∙ tan𝜑 = 𝑁 ∙

𝑒2 − 𝑒2sin2 𝜑


𝑓′(𝑁) = 𝑁 ∙(𝑒2 − 𝑒2sin2 𝜑) + 0

1 − 𝑒2 sin2 𝜑∙ tan𝜑 = 𝑁 ∙

(𝑒2 − 𝑒2sin2 𝜑) + 1 − 1


𝑓′(𝑁) = 𝑁 ∙𝑒2 − 1 + 1 − 𝑒2sin2 𝜑

1 − 𝑒2 sin2 𝜑∙ tan𝜑 = 𝑁

−(1 − 𝑒2) + (1 − 𝑒2sin2 𝜑)

1 − 𝑒2 sin2 𝜑tan𝜑

𝑓′(Φ) = 𝑁 [1 − 𝑒2sin2 𝜑

1 − 𝑒2sin2 𝜑−

(1 − 𝑒2)

1 − 𝑒2sin2 𝜑] tan𝜑 = 𝑁 [1 −

(1 − 𝑒2)

1 − 𝑒2sin2 𝜑] tan𝜑

𝑓′(Φ) = [𝑎

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)12

−𝑎(1 − 𝑒2)

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)32

] tan𝜑

𝒇′(𝑵) = (𝑵 − 𝝆) 𝐭𝐚𝐧𝝋

Ahora calculando la derivada de 𝜌.

𝜌 =𝑎 ∙ (1 − 𝑒2)

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)32

𝑓′(Φ) = 𝑓′(𝜌) =−𝑎(1 − 𝑒2)

32(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)

12(−2 ∙ 𝑒2 ∙ sin 𝜑 ∙ cos 𝜑)

[(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)32]2

VI. ANEXOS.

350

𝑓′(𝜌) = 3𝑎 ∙ 𝑒2(1 − 𝑒2) ∙ sin 𝜑 ∙ cos 𝜑

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)52

= 3(1 − 𝑒2)

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)∙𝑎 ∙ 𝑒2 ∙ sin 𝜑 ∙ cos 𝜑

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)32

𝑓′(𝜌) = 3(1 − 𝑒2)

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)∙𝑎 ∙ 𝑒2 ∙ sin 𝜑 ∙ cos 𝜑

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)32

∙𝑎

𝑎= 3

𝑎(1 − 𝑒2)

𝑎(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)∙ 𝑁′

𝑓′(𝜌) = 3𝑎(1 − 𝑒2)

𝑎(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)∙(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)

12

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)12

∙ 𝑁′ = 3

𝑎(1 − 𝑒2)

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)32

𝑎

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)12

∙ 𝑁′

𝒇′(𝝆) = 𝟑 (𝝆

𝑵) (𝑵 − 𝝆) 𝐭𝐚𝐧𝝋

Además de estas modificaciones Thomas sugiere realizar la derivada de la

relación del radio de curvatura meridiana y la normal mayor (𝑁

𝜌), debido a que a

esta relación también se vuelve constante.

Aplicando las formulas modificadas se tiene que:

𝑓′(Φ) = (𝑁

𝜌)′

𝑓′ (𝑁

𝜌) =

[(𝑁 − 𝑝) tan𝜑]𝜌 − 𝑁 [3 (𝜌𝑁) (𝑁 − 𝑝) tan𝜑]

𝜌2

𝑓′ (𝑁

𝜌) =

𝜌(𝑁 − 𝑝) tan𝜑 − 3𝜌(𝑁 − 𝑝) tan𝜑

𝜌2=𝜌 tan𝜑[(𝑁 − 𝑝) − 3(𝑁 − 𝑝)]

𝜌2

𝒇′ (𝑵

𝝆)′

= −𝟐 ∙𝑵 − 𝝆

𝝆∙ 𝐭𝐚𝐧𝝋

VI. ANEXOS.

351

6.4.2 Derivadas de orden superior para el proceso directo.

Siguiendo las condiciones de derivación ya impuestas para la serie de

Taylor que componen las fórmulas de trasformación para la representación GK y

apoyadas del método de Thomas, a continuación se desarrollaran las ocho

derivadas que componen dichas formulas.

Teniendo en cuenta estas modificaciones se proseguirá con el proceso de

derivación para la serie de Taylor.

Segunda derivada de 𝑓(Φ).

𝑓′′(Φ) = [𝑓′(Φ)]′ ∙𝑑𝜑

𝑑Φ

Derivando 𝑓′(Φ).

[𝑓′(Φ)]′ = (N cos𝜑)′ = {[𝑎

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)12

] cos 𝜑}

′

Debido a la complejidad de la función la derivada se realizara por

partes.

𝑢 =𝑎

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)12

𝑣 = cos𝜑

[𝑓′(Φ)]′ = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′

Sustituyendo.

𝑢′ =−𝑎

12(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)−

12 ∙ (−𝑒22 sin 𝜑 cos 𝜑)

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)=

−12∙−2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑒2 ∙ sin 𝜑 ∙ cos 𝜑

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)12

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)

VI. ANEXOS.

352

𝑢′ =

𝑎 ∙ 𝑒2 ∙ sin 𝜑 ∙ cos 𝜑

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)12

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)=

𝑎

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)12

∙𝑒2 ∙ sin 𝜑 ∙ cos 𝜑

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)

𝑢′ =𝑎 ∙ 𝑒2 ∙ sin 𝜑 ∙ cos 𝜑

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)32

, 𝑣′ = −sin𝜑

Sustituyendo en la ecuación de la derivada.

[𝑓′(Φ)]′ = [𝑎

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)12

∙𝑒2 ∙ sin 𝜑 ∙ cos𝜑

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)∙ cos 𝜑]

+ [𝑎

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)12

∙ (−sin 𝜑)]

[𝑓′(Φ)]′ = [𝑎 sin 𝜑

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)12

] ∙ [𝑒2 cos2 𝜑

1 − 𝑒2 sin2 𝜑− 1]

[𝑓′(Φ)]′ = [𝑎 sin 𝜑

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)12

] ∙ [𝑒2 cos2 𝜑 − 1 + 𝑒2 sin2 𝜑

1 − 𝑒2 sin2 𝜑]

[𝑓′(Φ)]′ = [𝑎 sin 𝜑

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)12

] ∙ [𝑒2(cos2 𝜑 + sin2 𝜑) − 1

1 − 𝑒2 sin2 𝜑]

Teniendo en cuenta que:

sin2 𝜃 + cos2 𝜃 = 1

[𝑓′(Φ)]′ = [𝑎 sin 𝜑

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)12

] ∙ [𝑒2 − 1

1 − 𝑒2 sin2 𝜑]

Realizando el producto y factorizando el signo negativo de 𝑒2 − 1 se

logra obtener el valor de 𝜌.

VI. ANEXOS.

353

[𝑓′(Φ)]′ = [𝑎 sin 𝜑

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)12

] ∙ [𝑒2 − 1

1 − 𝑒2 sin2 𝜑]

[𝑓′(Φ)]′ = [𝑎 sin 𝜑

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)12

] ∙ [−(1 − 𝑒2)

1 − 𝑒2 sin2 𝜑] = −

𝑎(1 − 𝑒2)

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)32

∙ sin 𝜑

[𝑓′(Φ)]′ = −𝜌 ∙ sin 𝜑


𝑑Φ

𝑓′′(Φ) = [𝑓′(Φ)]′ ∙𝑑𝜑

𝑑Φ

𝑓′′(Φ) = −𝜌 ∙ sin 𝜑 ∙𝑟

𝜌= −𝜌 ∙ sin 𝜑 ∙

𝑁 ∙ cos 𝜑

𝜌

Finalmente la segunda derivada de 𝑓(Φ) se interpreta como.

𝒇′′(𝚽) = −𝑵𝐬𝐢𝐧𝝋 𝐜𝐨𝐬𝝋

Tercera derivada de 𝑓(Φ).

𝑓′′′(Φ) = [𝑓′′(Φ)]′ ∙𝑑𝜑

𝑑Φ

Derivando 𝑓′′(Φ).

[𝑓′′(Φ)]′ = −(𝑁 sin𝜑 cos 𝜑)′

Se observa que 𝑓′′(Φ) es una ecuación formada por tres términos

en los cuales aparece a la variable a derivar, esta situación llevara al uso de

la fórmula de diferenciación para funciones triples.

VI. ANEXOS.

354

𝑢 ∙ 𝑣 ∙ 𝑤

𝑓′(𝑢 ∙ 𝑣 ∙ 𝑤) = (𝑢′ ∙ 𝑣 ∙ 𝑤) + (𝑢 ∙ 𝑣′ ∙ 𝑤) + (𝑢 ∙ 𝑣 ∙ 𝑤′)


𝑢 = 𝑁 =𝑎 ∙ sin 𝜑

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)12

𝑣 = sin 𝜑 𝑤 = cos𝜑

𝑢′ =𝑎 ∙ 𝑒2 ∙ sin 𝜑 ∙ cos 𝜑

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)32

𝑣′ = cos𝜑 𝑤′ = − sin𝜑

Sustituyendo.

[𝑓′′(Φ)]′ = 𝑢′ ∙ 𝑣 ∙ 𝑤 + 𝑢 ∙ 𝑣′ ∙ 𝑤 + 𝑢 ∙ 𝑣′ ∙ 𝑤

[𝑓′′(Φ)]′ = −

{

[𝑎 ∙ 𝑒2 ∙ sin 𝜑 ∙ cos 𝜑

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)32

∙ sin 𝜑 ∙ cos 𝜑]

+ [𝑎 ∙ sin 𝜑

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)12

∙ cos 𝜑 ∙ cos 𝜑]

+ [𝑎 sin 𝜑

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)12

∙ sin𝜑 ∙ (− sin𝜑)]

}

[𝑓′′(Φ)]′ = − {[𝑎 ∙ 𝑒2

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)32

∙ sin2 𝜑 ∙ cos2 𝜑] + [𝑎 ∙ sin 𝜑

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)12

∙ cos2 𝜑]

− [𝑎 sin 𝜑

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)12

∙ sin2 𝜑]}

Para facilitar el proceso algebraico el valor de la normal mayor se

expresará en su forma explícita.

VI. ANEXOS.

355

[𝑓′′(Φ)]′ = − [𝑁 ∙𝑒2 ∙ sin2 𝜑 ∙ cos2 𝜑

1 − 𝑒2 sin2 𝜑+ 𝑁 ∙ cos2 𝜑 − 𝑁 ∙ sin2 𝜑]

[𝑓′′(Φ)]′ = −𝑁 ∙ [𝑒2 ∙ sin2 𝜑 ∙ cos2 𝜑

1 − 𝑒2 sin2 𝜑+ cos2 𝜑 − sin2 𝜑]

[𝑓′′(Φ)]′ = −𝑁 ∙ [sin2 𝜑 ∙ (𝑒2 ∙ cos2 𝜑

1 − 𝑒2 sin2 𝜑− 1) + cos2 𝜑]

[𝑓′′(Φ)]′ = −𝑁 ∙ {sin2 𝜑 ∙ [𝑒2 ∙ cos2 𝜑 +𝑒2 ∙ sin2 𝜑 − 1

1 − 𝑒2 sin2 𝜑] + cos2 𝜑}

[𝑓′′(Φ)]′ = −𝑁 ∙ {−sin2 𝜑 ∙ [1 − 𝑒2

1 − 𝑒2 sin2 𝜑] + cos2 𝜑}

[𝑓′′(Φ)]′ = [𝑎

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)12

] ∙ [1 − 𝑒2

1 − 𝑒2 sin2 𝜑] sin2 𝜑 − 𝑁 ∙ cos2 𝜑

𝑓′′′(Φ) = 𝜌 ∙ sin2 𝜑 − 𝑁 ∙ cos2 𝜑

Multiplicación por 𝑑𝜑

𝑑Φ.

𝑓′′′(Φ) = (𝜌 ∙ sin2 𝜑 − 𝑁 ∙ cos2 𝜑) ∙ (𝑁

𝜌∙ cos 𝜑)

𝑓′′′(Φ) = 𝑁 ∙ sin2 𝜑 ∙ cos 𝜑 −𝑁2

𝜌∙ cos3 𝜑

Se racionalizara por cos2𝜑

cos2𝜑, para obtener una expresión más simple.

𝑓′′′(Φ) = [𝑁 ∙ sin2 𝜑 ∙ cos 𝜑 −𝑁2

𝜌∙ cos3 𝜑] ∙ 1

𝑓′′′(Φ) = [𝑁 ∙ sin2 𝜑 ∙ cos 𝜑 −𝑁2

𝜌∙ cos3 𝜑] ∙

cos2 𝜑

cos2 𝜑

𝒇′′′(𝚽) = 𝑵 [𝐭𝐚𝐧𝟐𝝋 −𝑵

𝝆] 𝐜𝐨𝐬𝟑𝝋

VI. ANEXOS.

356

Cuarta derivada 𝑓(Φ)

𝑓4(Φ) = [𝑓′′′(Φ)]′ ∙𝑑𝜑

𝑑Φ

Derivando 𝑓′′′(Φ).

[𝑓′′′(Φ)]′ = {𝑁 [tan2 𝜑 −𝑁

𝜌] cos3 𝜑}

′

[𝑓′′′(Φ)]′ = 𝑢′ ∙ 𝑣 ∙ 𝑤 + 𝑢 ∙ 𝑣′ ∙ 𝑤 + 𝑢 ∙ 𝑣′ ∙ 𝑤

Siendo.

𝑢 = 𝑁 =𝑎 ∙ sin 𝜑

(1 − 𝑒2 sin2 𝜑)12

𝑣 = tan2 𝜑 −𝑁

𝜌 𝑤 = cos3 𝜑

𝑢′ = (𝑁 − 𝑝) tan𝜑 𝑣′ = 2𝑁 tan𝜑 [sec2 𝜑 +𝑁 − 𝜌

𝜌] 𝑤′ = −3 cos2 𝜑 sin𝜑

Sustituyendo.

[𝑓′′′(Φ)]′ =

{

[(𝑁 − 𝑝) tan𝜑] (tan2 𝜑 −

𝑁

𝜌) cos3 𝜑

+𝑁 [2 ∙ tan𝜑 ∙ sec2 𝜑 + 2𝑁 tan𝜑 (sec2 𝜑 +𝑁 − 𝜌

𝜌)] cos3 𝜑

+𝑁 (tan2 𝜑 −𝑁

𝜌) (−3 ∙ cos2 𝜑 ∙ sin 𝜑)

}

[𝑓′′′(Φ)]′ =

{

(𝑁 − 𝑝) (tan2 𝜑 −

𝑁

𝜌) cos3 𝜑 tan𝜑

+2𝑁 tan𝜑 [sec2 𝜑 +𝑁 − 𝜌

𝜌] cos3 𝜑

−3𝑁 (tan2 𝜑 −𝑁

𝜌) cos2 𝜑 sin 𝜑

}

VI. ANEXOS.

357

[𝑓′′′(Φ)]′ = cos2 𝜑 sin 𝜑

[ (𝑁 − 𝑝) (tan2 𝜑 −

𝑁

𝜌)

+2𝑁 (sec2 𝜑 +𝑁 − 𝜌

𝜌)

−3𝑁 (tan2 𝜑 −𝑁

𝜌)

]

[𝑓′′′(Φ)]′ = cos2 𝜑 sin𝜑 [(tan2 𝜑 −𝑁

𝜌) [(𝑁 − 𝑝) − 3𝑁] + 2𝑁 (sec2 𝜑 +

𝑁 − 𝜌

𝜌)]

[𝑓′′′(Φ)]′ = cos2 𝜑 sin𝜑 [(tan2 𝜑 −𝑁

𝜌) (−2𝑁 − 𝑝) + 2𝑁 (tan2 𝜑 + 1+

𝑁

𝜌− 1)]

[𝑓′′′(Φ)]′ = cos2 𝜑 sin𝜑 [−2𝑁 tan2 𝜑 + 2𝑁2

𝜌− 𝜌 tan2 𝜑 + 𝑁

+ 2𝑁 tan2 𝜑+2𝑁2

𝜌]

[𝑓′′′(Φ)]′ = cos2 𝜑 sin 𝜑 (4𝑁2

𝜌− 𝑝 tan2 𝜑 + 𝑁)


𝑑Φ

𝑓4(Φ) = [cos2 𝜑 sin𝜑 (4𝑁2

𝜌− 𝜌 tan2 𝜑 + 𝑁)] [

𝑁 cos 𝜑

𝜌]

𝑓4(Φ) = 𝑁 cos3 𝜑 sin 𝜑 [4𝑁2

𝜌2−𝜌

𝜌tan2 𝜑 +

𝑁

𝜌]

𝒇𝟒(𝚽) = 𝑵 [𝟒 (𝑵

𝝆)𝟐

+𝑵

𝝆− 𝐭𝐚𝐧𝟐𝝋] 𝐜𝐨𝐬𝟑𝝋𝐬𝐢𝐧𝝋

Entonces para obtener 𝑓5 se tiene que:

𝑓5(Φ) = [𝑓4(Φ)]′ ∙𝑑𝜑

𝑑Φ

VI. ANEXOS.

358

𝑓5(Φ) = {𝑁 [4 (𝑁

𝜌)2

+𝑁

𝜌− tan2 𝜑] cos3 𝜑 sin𝜑}

′

(𝑁 ∙ cos𝜑

𝜌)

𝑓5(Φ) = {𝑁 [4 (𝑁

𝜌)2

cos3 𝜑 +𝑁

𝜌cos3 𝜑 − cos3 𝜑 ∙ tan2 𝜑] sin 𝜑}

′

(𝑁 ∙ cos 𝜑

𝜌)

Derivando 𝑓4(Φ)

𝑓5(Φ) = {(𝑁 − 𝜌) [4 (𝑁

𝜌)2

cos3 𝜑 +𝑁

𝜌cos3 𝜑 − cos3 𝜑 ∙ tan2 𝜑] sin 𝜑 ∙ tan 𝜑

+ 𝑁 [4 (2𝑁

𝜌(−2 ∙

𝑁 − 𝑝

𝜌∙ tan𝜑) cos3 𝜑 − 3(

𝑁

𝜌)2

cos2 𝜑 ∙ sin 𝜑)

+ (−2 ∙𝑁 − 𝑝

𝜌∙ tan𝜑) cos3 𝜑 −

𝑁

𝜌cos2 𝜑 ∙ sin 𝜑

− (2 ∙ cos2 𝜑 ∙ sin 𝜑 − sin3 𝜑)] sin 𝜑

+ 𝑁 [4 (𝑁

𝜌)2

cos3 𝜑 +𝑁

𝜌cos3 𝜑 − cos3 𝜑 ∙ tan2 𝜑] cos 𝜑} (

𝑁 ∙ cos 𝜑

𝜌)

Reduciendo términos.

𝒇𝟓(𝚽) =𝑵

𝟏𝟔

{

𝟐 [𝟏 − 𝟐 (

𝑵

𝝆) + 𝟏𝟑(

𝑵

𝝆)𝟐

− 𝟒(𝑵

𝝆)𝟑

] 𝐜𝐨𝐬𝝋

− [𝟑 − 𝟐 (𝑵

𝝆) + 𝟑 (

𝑵

𝝆)𝟐

− 𝟒𝟒 (𝑵

𝝆)𝟑

] 𝐜𝐨𝐬(𝟑𝝋)

+ [𝟏 + 𝟐 (𝑵

𝝆) − 𝟕 (

𝑵

𝝆)𝟐

+ 𝟐𝟖 (𝑵

𝝆)𝟑

] 𝐜𝐨𝐬(𝟓𝝋)}

VI. ANEXOS.

359

Debido a la complejidad del proceso algebraico y de derivación para las

derivadas restantes solo se presentaran los resultados finales.

𝒇𝟔(𝚽) = −𝑵

𝟑𝟐

{

[𝟓 − 𝟔 (

𝑵

𝝆) − 𝟗𝟏 (

𝑵

𝝆)𝟐

+ 𝟑𝟔𝟒(𝑵

𝝆)𝟑

− 𝟏𝟑𝟔(𝑵

𝝆)𝟒

] 𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝋)

−𝟒 [𝟏 − (𝑵

𝝆)𝟐

+ 𝟐𝟖(𝑵

𝝆)𝟑

− 𝟖𝟖 (𝑵

𝝆)𝟒

] 𝐬𝐢𝐧(𝟒𝝋)

+ [𝟏 + 𝟐 (𝑵

𝝆) + 𝟑𝟑(

𝑵

𝝆)𝟐

− 𝟏𝟗𝟔(𝑵

𝝆)𝟑

+ 𝟐𝟖𝟎 (𝑵

𝝆)𝟒

] 𝐬𝐢𝐧(𝟔𝝋)}

𝒇𝟕(𝚽)

= −𝑵

𝟔𝟒

{

− [𝟓 − 𝟗(

𝑵

𝝆) + 𝟐𝟕𝟗 (

𝑵

𝝆)𝟐

− 𝟏𝟗𝟏𝟏 (𝑵

𝝆)𝟑

+ 𝟐𝟎𝟒𝟒 (𝑵

𝝆)𝟒

− 𝟔𝟖𝟎 (𝑵

𝝆)𝟓

] 𝐜𝐨𝐬𝝋

+ [𝟗 − 𝟗(𝑵

𝝆) + 𝟐𝟔𝟕 (

𝑵

𝝆)𝟐

− 𝟐𝟖𝟑𝟏 (𝑵

𝝆)𝟑

+ 𝟔𝟎𝟕𝟔 (𝑵

𝝆)𝟒

− 𝟐𝟐𝟖𝟎 (𝑵

𝝆)𝟓

] 𝐜𝐨𝐬(𝟑𝝋)

− [𝟓 + 𝟑 (𝑵

𝝆) − 𝟗𝟕 (

𝑵

𝝆)𝟐

+ 𝟐𝟗𝟑 (𝑵

𝝆)𝟑

+ 𝟏𝟕𝟎𝟖 (𝑵

𝝆)𝟒

− 𝟑𝟓𝟗𝟐 (𝑵

𝝆)𝟓

] 𝐜𝐨𝐬(𝟓𝝋)

+ [𝟏 + 𝟑 (𝑵

𝝆) − 𝟖𝟓 (

𝑵

𝝆)𝟐

+ 𝟏𝟐𝟕𝟕 (𝑵

𝝆)𝟑

− 𝟒𝟏𝟏𝟔 (𝑵

𝝆)𝟒

+ 𝟑𝟔𝟒𝟎 (𝑵

𝝆)𝟓

] 𝐜𝐨𝐬(𝟕𝝋)}

𝒇𝟖(𝚽)

=𝑵

𝟏𝟐𝟖

{

−𝟐[𝟕 − 𝟗(

𝑵

𝝆) − 𝟖𝟏𝟗(

𝑵

𝝆)𝟐

+ 𝟏𝟐𝟒𝟏𝟑(𝑵

𝝆)𝟑

− 𝟑𝟔𝟗𝟖𝟒(𝑵

𝝆)𝟒

+ 𝟑𝟑𝟔𝟒𝟖(𝑵

𝝆)𝟓

− 𝟏𝟎𝟐𝟒𝟎(𝑵

𝝆)𝟔

] 𝐬𝐢𝐧(𝟐𝝋)

+𝟐 [𝟕 − 𝟑(𝑵

𝝆) − 𝟐𝟕𝟗(

𝑵

𝝆)𝟐

+ 𝟕𝟐𝟒𝟑(𝑵

𝝆)𝟑

− 𝟑𝟖𝟓𝟔𝟖(𝑵

𝝆)𝟒

+ 𝟓𝟖𝟓𝟏𝟐(𝑵

𝝆)𝟓

− 𝟐𝟎𝟖𝟔𝟒(𝑵

𝝆)𝟔

] 𝐬𝐢𝐧(𝟒𝝋)

−𝟔 [𝟏 + (𝑵

𝝆) + 𝟗𝟏(

𝑵

𝝆)𝟐

− 𝟏𝟑𝟖𝟏(𝑵

𝝆)𝟑

+ 𝟐𝟖𝟕𝟐(𝑵

𝝆)𝟒

+ 𝟑𝟑𝟒𝟒(𝑵

𝝆)𝟓

− 𝟕𝟏𝟔𝟖(𝑵

𝝆)𝟔

] 𝐬𝐢𝐧(𝟔𝝋)

+[𝟏 + 𝟑(𝑵

𝝆) + 𝟐𝟕𝟗(

𝑵

𝝆)𝟐

− 𝟕𝟐𝟑𝟓(𝑵

𝝆)𝟑

+ 𝟒𝟒𝟏𝟑𝟔(𝑵

𝝆)𝟒

− 𝟗𝟎𝟑𝟖𝟒(𝑵

𝝆)𝟓

+ 𝟓𝟖𝟐𝟒𝟎(𝑵

𝝆)𝟔

] 𝐬𝐢𝐧(𝟖𝝋)}

VI. ANEXOS.

360

6.4.3 Derivadas de orden superior para el proceso inverso.

Teniendo en cuenta las fórmulas de Thomas

𝑓′(𝑁) = (𝑁 − 𝜌) tan𝜑, 𝑓′(𝜌) = 3 (𝜌

𝑁) (𝑁 − 𝜌) tan𝜑

𝑓′ (𝑁

𝜌)′

= −2 ∙𝑁 − 𝑝

𝜌∙ tan𝜑

Y los siguientes cambios de variable.

𝑡 = tan𝜑0 , 𝑁

𝜌= 1 + 𝜂2, 𝜂2 = 𝑒′

2cos2 𝜑0 , 𝑒

′2 =𝑒2

1 − 𝑒2

El Desarrollo de las derivadas consecutivas para F(𝑦) son las siguientes:

Segunda derivada de F(𝑦)

𝐹′′(𝑦) = [𝑑𝐹′(𝑦)

𝑑𝜑0]

′

∙𝑑𝜑0𝑑𝑦

Derivando 𝐹′(𝑦).

[𝑑𝐹′(𝑦)

𝑑𝜑0]

′

= [1

𝑁 cos𝜑0]′

[𝑑𝐹′(𝑦)

𝑑𝜑0]

′

=−[(𝑁 − 𝜌) tan𝜑0 ∙ cos 𝜑0 − 𝑁 sin 𝜑0]

(𝑁 cos𝜑0)2

=−sin𝜑0 (𝑁 − 𝜌 − 𝑁)

(𝑁 cos𝜑0)2

[𝑑𝐹′(𝑦)

𝑑𝜑0]

′

=𝜌 sin𝜑0

(𝑁 cos 𝜑0)2=

𝜌 sin𝜑0𝑁2 cos2 𝜑0

=𝜌 tan𝜑0𝑁2 cos 𝜑0

VI. ANEXOS.

361

Multiplicando por 𝑑𝜑0

𝑑𝑦

𝐹′′(𝑦) =𝜌 tan𝜑0𝑁2 cos 𝜑0

∙1

𝜌=

tan𝜑0𝑁2 cos 𝜑0

Efectuando cambio de variable.

𝑭′′(𝒚) =𝒕

𝑵′𝟐 𝐜𝐨𝐬𝝋𝟎

Tercera derivada de F(𝑦)

𝐹′′′(𝑦) = [𝑑𝐹′′(𝑦)

𝑑𝜑0]

′


Derivando 𝐹′′(𝑦).

[𝑑𝐹′′(𝑦)

𝑑𝜑0]

′

= [tan𝜑0

𝑁2 cos 𝜑0]′

[𝑑𝐹′′(𝑦)

𝑑𝜑0]

′

=𝑁2 cos 𝜑0 sec

2 𝜑0 − tan𝜑0 [2𝑁(𝑁 − 𝜌) cos𝜑0 tan𝜑0 − 𝑁2 sin 𝜑0]

(𝑁2 cos 𝜑0)2

[𝑑𝐹′′(𝑦)

𝑑𝜑0]

′

=𝑁2 cos 𝜑0 sec

2 𝜑0 − 𝑁 sin𝜑0 tan𝜑0 [2(𝑁 − 𝜌) − 𝑁]

(𝑁2 cos 𝜑0)2

[𝑑𝐹′′(𝑦)

𝑑𝜑0]

′

=𝑁[𝑁 cos𝜑0 sec

2 𝜑0 − sin 𝜑0 tan𝜑0 (𝑁 − 2𝜌)]

(𝑁2 cos 𝜑0)2

[𝑑𝐹′′(𝑦)

𝑑𝜑0]

′

=[𝑁 cos𝜑0 sec

2 𝜑0 − sin 𝜑0 tan𝜑0 (𝑁 − 2𝜌)]

𝑁3 cos 𝜑0 cos 𝜑0

[𝑑𝐹′′(𝑦)

𝑑𝜑0]

′

=[𝑁 sec2 𝜑0 − tan

2 𝜑0 (𝑁 − 2𝜌)]

𝑁3 cos 𝜑0

VI. ANEXOS.

362

[𝑑𝐹′′(𝑦)

𝑑𝜑0]

′

=[𝑁(1 + tan2 𝜑0) − tan

2 𝜑0 (𝑁 − 2𝜌)]

𝑁3 cos 𝜑0=𝑁 + 2𝜌tan2 𝜑0𝑁3 cos 𝜑0


𝑑𝑦

𝐹′′′(𝑦) =𝑁 + 2𝜌tan2 𝜑0𝑁3 cos 𝜑0

∙1

𝜌= (

1

𝑁3 cos 𝜑0) (𝑁

𝜌+ 2 ∙ tan2 𝜑′)

Aplicando cambio de variable.

𝑭′′′(𝒚) =𝟏 + 𝟐𝒕𝟐 + 𝜼𝟐

𝑵𝟑 𝐜𝐨𝐬𝝋𝟎

Cuarta derivada de F(𝑦)

𝐹𝐼𝑉(𝑦) = [𝑑𝐹′′′(𝑦)

𝑑𝜑0]

′


Derivando 𝐹′′′(𝑦)

[𝑑𝐹′′′(𝑦)

𝑑𝜑0]

′

= [(1


𝜌+ 2 ∙ tan2 𝜑0)]

′

Debido a la complejidad que esta función representa el proceso de

derivación se hará por partes tomando en cuenta lo siguiente.

[𝑑𝐹′′′(𝑦)

𝑑𝜑0]

′

= 𝑢′ ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣′

𝑢 =1

𝑁3 cos 𝜑0 𝑣 =

𝑁

𝜌+ 2 ∙ tan2 𝜑0

VI. ANEXOS.

363

𝑢′ =−[3𝑁3(𝑁 − 𝜌) cos𝜑0 tan𝜑0 − 𝑁

3 sin 𝜑′]

(𝑁3 cos 𝜑0)2

=−𝑁2 sin 𝜑0 [3(𝑁 − 𝜌) − 𝑁]

(𝑁3 cos 𝜑0)2

𝑢′ =−sin 𝜑0 [3𝑁 − 3𝜌 − 𝑁]

𝑁4 cos2 𝜑0= −(


) (2𝑁 − 3𝜌)

Para 𝑣′

𝑣′ = −2(𝑁 − 𝜌

𝜌) tan𝜑0 + 4 tan𝜑0 sec

2 𝜑0 = 2 tan𝜑0 [(𝑁

𝜌− 1) + 2 sec2 𝜑0]

𝑣′ = 2 tan𝜑0 [𝑁

𝜌− 1 + 2(1 + tan2 𝜑0)] = −2 tan𝜑0 (

𝑁

𝜌− 2 tan2 𝜑0 + 3)

Sustituyendo.

[𝑑𝐹′′′(𝑦)

𝑑𝜑0]

′

=

{

−(tan𝜑0

𝑁4 cos 𝜑0) (2𝑁 − 3𝜌) (

𝑁

𝜌+ 2tan2 𝜑0)

+ [−2 tan𝜑0 (𝑁

𝜌− 2 tan2 𝜑0 + 3)] (

1

𝑁3 cos 𝜑0)}

[𝑑𝐹′′′(𝑦)

𝑑𝜑0]

′

=

[ − (


) (2𝑁 − 3𝜌) (𝑁

𝜌+ 2tan2 𝜑0)

−2 (tan𝜑0


𝜌− 2 tan2 𝜑0 + 3) ]

[𝑑𝐹′′′(𝑦)

𝑑𝜑0]

′

= −tan𝜑0

𝑁4 cos 𝜑0[ (2𝑁 − 3𝜌) (

𝑁

𝜌+ 2tan2 𝜑0)

−2𝑁 (𝑁

𝜌− 2 tan2 𝜑0 + 3) ]

[𝑑𝐹′′′(𝑦)

𝑑𝜑0]

′

= −tan𝜑0

𝑁4 cos𝜑0[ 2𝑁2

𝜌+ 4𝑁tan2 𝜑0 − 3𝑁 − 6𝜌 tan

2 𝜑0

+2𝑁2

𝜌− 4𝑁tan2 𝜑0 − 6𝑁 ]

[𝑑𝐹′′′(𝑦)

𝑑𝜑0]

′

= −tan𝜑0

𝑁4 cos 𝜑0[4𝑁2

𝜌− 9𝑁 − 6𝜌 tan2 𝜑0]

VI. ANEXOS.

364


𝑑𝑦.

𝐹4(𝑦) = [𝑑𝐹′′′(𝑦)

𝑑𝜑0]

′


𝐹4(𝑦) = [− (tan𝜑0

𝑁4 cos 𝜑0) (4

𝑁2

𝜌− 9𝑁 − 6𝜌 tan2 𝜑0)] ∙ (

1

𝜌)

𝐹4(𝑦) = −tan𝜑0

𝑁4 cos 𝜑0[4 (

𝑁

𝜌)2

− 9(𝑁

𝜌) − 6 tan2 𝜑0]


𝐹4(𝑦) = −𝑡

𝑁4 cos𝜑0[4(1 + 𝜂2)2 − 9(1 + 𝜂2) − 6𝑡2]

𝐹4(𝑦) = −𝑡

𝑁4 cos 𝜑0[4(2 + 2𝜂2 + 𝜂4)2 − 9 − 9𝜂2 − 6𝑡2]

𝑭𝟒(𝒚) =𝒕[𝟓 + 𝟔𝒕𝟐 + 𝜼𝟐 − 𝟒𝜼𝟒]

𝑵𝟒 𝐜𝐨𝐬𝝋𝟎

Quinta derivada de F(𝑦)

𝐹𝑉(𝑦) = [𝑑𝐹4(𝑦)

𝑑𝜑0]

′


Derivando 𝐹4(𝑦)

[𝑑𝐹4(𝑦)

𝑑𝜑0]

′

= −{(tan𝜑0

𝑁4 cos 𝜑0) [4 (

𝑁

𝜌)2

− 9(𝑁

𝜌) − 6 tan2 𝜑0]}

′

[𝑑𝐹4(𝑦)

𝑑𝜑0]

′

= −(𝑢′ ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣′)

VI. ANEXOS.

365

Siendo.

𝑢 =tan𝜑0

𝑁4 cos 𝜑0 𝑣 = 4 (

𝑁

𝜌)2

− 9(𝑁

𝜌) − 6 tan2 𝜑0

Para 𝑢′

𝑢′ =𝑁4 sec2 𝜑0 cos 𝜑0 − tan𝜑0 [4𝑁

3(𝑁 − 𝜌) cos 𝜑0 tan𝜑0 − 𝑁4 sin 𝜑0]

(𝑁4 cos 𝜑0)2

𝑢′ =𝑁4 sec2 𝜑0 cos 𝜑0 − 𝑁

3 sin 𝜑0 tan𝜑0 [4(𝑁 − 𝜌) − 𝑁]

(𝑁4 cos 𝜑0)2

𝑢′ =𝑁3[𝑁 sec2 𝜑0 cos 𝜑0 − sin𝜑0 tan𝜑0 (3𝑁 − 4𝜌)]

(𝑁4 cos 𝜑0)2

𝑢′ =𝑁 sec2 𝜑0 cos 𝜑0 − sin𝜑0 tan𝜑0 (3𝑁 − 4𝜌)

𝑁5 cos2 𝜑0

𝑢′ = (1

𝑁5 cos2 𝜑0) [𝑁(1 + tan2 𝜑0) − tan

2 𝜑0 (3𝑁 − 4𝜌)]

𝑢′ =𝑁 − 2𝑁 tan2 𝜑0 + 4𝜌 tan

2 𝜑0𝑁5 cos2 𝜑0

Para 𝑣′

𝑣′ = 4 {2 (𝑁

𝜌) [−2 (

𝑁 − 𝜌

𝜌) tan𝜑0]} − 9 [−2 (

𝑁 − 𝜌

𝜌) tan𝜑0]

− 6(2 tan𝜑0 sec2 𝜑0)

𝑣′ = −16 (𝑁

𝜌) (𝑁

𝜌− 1) tan𝜑0 + 18 (

𝑁

𝜌− 1) tan𝜑0 − 12 tan𝜑0 sec

2 𝜑0

𝑣′ = 2 tan𝜑0 [−8 (𝑁

𝜌) (𝑁

𝜌− 1) + 9 (

𝑁

𝜌− 1) − 6(1 + tan2 𝜑0)]

𝑣′ = 2 tan𝜑0 [−8 (𝑁

𝜌)2

+ 8(𝑁

𝜌) + 9 (

𝑁

𝜌) − 9 − 6 − 6 tan2 𝜑0]

VI. ANEXOS.

366

𝑣′ = 2 tan𝜑0 [−8 (𝑁

𝜌)2

+ 17 (𝑁

𝜌) + 9 (

𝑁

𝜌) − 6 tan2 𝜑0 − 15]

Sustituyendo.

[𝑑𝐹4(𝑦)

𝑑𝜑0]

′

= −

{

(

𝑁 − 2𝑁 tan2 𝜑0 + 4𝜌 tan2 𝜑0

𝑁5 cos2 𝜑0) [4 (

𝑁

𝜌)2

− 9(𝑁

𝜌) − 6 tan2 𝜑0]

+2(tan2 𝜑0𝑁4 cos 𝜑0

) [−8 (𝑁

𝜌)2

+ 17(𝑁

𝜌) + 9 (

𝑁

𝜌) − 6 tan2 𝜑0 − 15]

}

[𝑑𝐹4(𝑦)

𝑑𝜑0]

′

= −1

𝑁5 cos 𝜑0

{

(𝑁 − 2𝑁 tan2 𝜑0 + 4𝜌 tan

2 𝜑0) [4 (𝑁

𝜌)2

− 9(𝑁

𝜌) − 6 tan2 𝜑0]

+2𝑁 tan2 𝜑0 [−8 (𝑁

𝜌)2

+ 17 (𝑁

𝜌) + 9 (

𝑁

𝜌) − 6 tan2 𝜑0 − 15]

}


𝑑𝑦.

𝐹5(𝑦) = [𝑑𝐹4(𝑦)

𝑑𝜑0]

′


𝐹5(𝑦) =

−1

𝑁5 cos𝜑0

{

(

𝑁

𝜌− 2

𝑁

𝜌tan2 𝜑0 + 4 tan

2 𝜑0) [4 (𝑁

𝜌)2

− 9𝑁

𝜌− 6 tan2 𝜑0]

+2 (𝑁

𝜌) tan2 𝜑0 [−8 (

𝑁

𝜌)2

+ 17 (𝑁

𝜌) + 9 (

𝑁

𝜌) − 6 tan2 𝜑0 − 15]

}

∙ (1

𝜌)

VI. ANEXOS.

367

𝐹5(𝑦)

= −1

𝑁5 cos 𝜑0

[ 4 (

𝑁

𝜌)3

− 9(𝑁

𝜌)2

− 8(𝑁

𝜌)3

tan2 𝜑0 + 34 (𝑁

𝜌)2

tan2 𝜑0

−42 (𝑁

𝜌) tan2 𝜑0 + 12 (

𝑁

𝜌) tan4 𝜑0 − 24 tan

4 𝜑0 − 16 (𝑁

𝜌)3

tan2𝜑0

+34(𝑁

𝜌)3

tan2 𝜑0 − 30 (𝑁

𝜌) tan2 𝜑0 − 12 (

𝑁

𝜌) tan4 𝜑0 ]

𝐹5(𝑦) = −1

𝑁5 cos 𝜑0

[ 4 (

𝑁

𝜌)3

− 9(𝑁

𝜌)2

− 24 tan4 𝜑0

−24 (𝑁

𝜌)3

tan2 𝜑0 + 68 (𝑁

𝜌)2

tan2 𝜑0 − 72 (𝑁

𝜌) tan2 𝜑0]

Efectuando el cambio de variable

𝐹5(𝑦) = −1

𝑁5 cos 𝜑0[

4(1 + 𝜂2)3 − 9(1 + 𝜂2)2 − 24𝑡4

−24(1 + 𝜂2)3𝑡2 + 68(1 + 𝜂2)2𝑡2 − 72(1 + 𝜂2)𝑡2]

𝐹5(𝑦) = −1

𝑁5 cos 𝜑0[

4(1 + 𝜂2)3 − 9(1 + 𝜂2)2 − 24𝑡4

−24(1 + 𝜂2)3𝑡2 + 68(1 + 𝜂2)2𝑡2 − 72(1 + 𝜂2)𝑡2]

𝐹5(𝑦) = −1

𝑁5 cos 𝜑0[

4(1 + 3𝜂2 + 3𝜂4 + 𝜂6) − 9(1 + 2𝜂2 + 𝜂4)

−24𝑡2(1 + 3𝜂2 + 3𝜂4 + 𝜂6) + 68𝑡2(1 + 2𝜂2 + 𝜂4)

−72𝑡2(1 + 𝜂2) − 24𝑡4]

𝑭𝟓(𝒚) =𝟏

𝑵𝟓 𝐜𝐨𝐬𝝋𝟎∙ [𝟓 + 𝟐𝟖𝒕𝟐 + 𝟐𝟒𝒕𝟒 + 𝟔𝜼𝟐 + 𝟖𝜼𝟐𝒕𝟐

−𝟑𝜼𝟒 + 𝟒𝜼𝟒𝒕𝟐 − 𝟒𝜼𝟔 + 𝟐𝟒𝜼𝟔𝒕𝟐]

Debido al extenso proceso algebraico, para las derivadas restantes solo se

mostrara el resultado final.

𝑭𝟔(𝒚) =𝒕

𝑵𝟔 𝐜𝐨𝐬𝝋𝟎∙ [

𝟔𝟏 + 𝟏𝟖𝟎𝒕𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝒕𝟒 + 𝟒𝟔𝜼𝟐 + 𝟒𝟖𝜼𝟐𝒕𝟐 − 𝟑𝜼𝟒

−𝟑𝟔𝜼𝟒𝒕𝟐 + 𝟏𝟎𝟎𝜼𝟔 − 𝟗𝟔𝜼𝟔𝒕𝟐 + 𝟖𝟖𝜼𝟖 − 𝟏𝟗𝟐𝜼𝟖𝒕𝟐]

VI. ANEXOS.

368

𝑭𝟕(𝒚) =𝟏

𝑵𝟕 𝐜𝐨𝐬𝝋𝟎∙

[ 𝟔𝟏 + 𝟔𝟔𝟐𝒕𝟐 + 𝟏𝟑𝟐𝟎𝒕𝟒 + 𝟕𝟐𝟎𝒕𝟔 + 𝟏𝟎𝟕𝜼𝟐 + 𝟒𝟒𝟎𝜼𝟐𝒕𝟐

+𝟑𝟑𝟔𝜼𝟐𝒕𝟒 + 𝟒𝟑𝜼𝟒 − 𝟐𝟑𝟒𝜼𝟒𝒕𝟐 − 𝟏𝟗𝟐𝜼𝟒𝒕𝟒 + 𝟗𝟕𝜼𝟔

−𝟕𝟕𝟐𝜼𝟔𝒕𝟐 + 𝟒𝟎𝟖𝜼𝟔𝒕𝟒 + 𝟏𝟖𝟖𝜼𝟖 − 𝟐𝟑𝟗𝟐𝜼𝟖𝒕𝟐

+𝟏𝟓𝟑𝟔𝜼𝟖𝒕𝟒 + 𝟖𝟖𝜼𝟏𝟎 − 𝟏𝟔𝟑𝟐𝜼𝟏𝟎𝒕𝟐 + 𝟏𝟗𝟐𝟎𝜼𝟏𝟎𝒕𝟒 ]

𝑭𝑽𝑰𝑰𝑰(𝒚) =𝒕

𝑵𝟖 𝐜𝐨𝐬𝝋𝟎∙

[ 𝟏𝟑𝟖𝟓 + 𝟕𝟐𝟔𝟔𝒕𝟐 + 𝟏𝟎𝟗𝟐𝟎𝒕𝟒 + 𝟓𝟎𝟒𝟎𝒕𝟔 + 𝟏𝟕𝟑𝟏𝜼𝟐

+𝟒𝟒𝟏𝟔𝜼𝟐𝒕𝟐 + 𝟐𝟔𝟖𝟖𝜼𝟐𝒕𝟒 − 𝟓𝟕𝟑𝜼𝟒 − 𝟏𝟖𝟑𝟎𝜼𝟒𝒕𝟐

−𝟏𝟓𝟑𝟔𝜼𝟒𝒕𝟒 − 𝟐𝟗𝟐𝟕𝜼𝟔 + 𝟓𝟎𝟓𝟐𝜼𝟔𝒕𝟐 + 𝟕𝟒𝟒𝜼𝟔𝒕𝟒

−𝟖𝟖𝟎𝟖𝜼𝟖 + 𝟐𝟕𝟒𝟓𝟔𝜼𝟖𝒕𝟐 − 𝟕𝟖𝟕𝟐𝜼𝟖𝒕𝟒 − 𝟏𝟏𝟒𝟕𝟐𝜼𝟏𝟎

+𝟓𝟑𝟗𝟓𝟐𝜼𝟏𝟎𝒕𝟐 − 𝟐𝟒𝟗𝟔𝟎𝜼𝟏𝟎𝒕𝟒 − 𝟒𝟔𝟕𝟐𝜼𝟏𝟐

+𝟑𝟎𝟓𝟐𝟖𝜼𝟏𝟐𝒕𝟐 − 𝟐𝟑𝟎𝟒𝟎𝜼𝟏𝟐𝒕𝟒 ]

6.4.4 Derivadas de orden superior de 𝐅(𝚽) para el proceso

inverso.

Aplicando las fórmulas de derivación de Thomas, se tiene lo siguiente.

Segunda derivada de F(Φ).

𝐹′′(Φ) =𝑑𝐹′(Φ)

𝑑𝜑∙𝑑𝜑

𝑑Φ

Derivando 𝐹′(Φ).

𝑑𝐹′(Φ)

𝑑𝜑= [(

𝑁

𝜌) cos 𝜑]

′

𝑑𝐹′(Φ)

𝑑𝜑= −2(

𝑁 − 𝜌

𝜌) tan𝜑 cos𝜑 − (

𝑁

𝜌) sin 𝜑 = −sin 𝜑 [2 (

𝑁

𝜌− 1) +

𝑁

𝜌]

𝑑𝐹′(Φ)

𝑑𝜑= −sin𝜑 [3 (

𝑁

𝜌) − 2]

VI. ANEXOS.

369


𝑑Φ.

𝐹′′(Φ) = {− sin 𝜑 [3 (𝑁

𝜌) − 2]} [(

𝑁

𝜌) cos 𝜑] = − [3 (

𝑁

𝜌)2

− 2(𝑁

𝜌)] sin 𝜑 cos 𝜑


𝐹′′(Φ) = −[3(1 + 𝜂2)2 − 2(1 + 𝜂2)] sin 𝜑 cos 𝜑

𝑭′′(𝚽) = −[𝟏 + 𝟒𝜼𝟐 + 𝟑𝜼𝟒] 𝐬𝐢𝐧𝝋 𝐜𝐨𝐬𝝋

Tercera derivada de F(Φ).

𝐹′′′(Φ) =𝑑𝐹′′(Φ)

𝑑𝜑∙𝑑𝜑

𝑑Φ

Derivando.

𝑑𝐹′′(Φ)

𝑑𝜑= −{[3 (

𝑁

𝜌)2

− 2(𝑁

𝜌)] sin 𝜑 cos𝜑}

′

𝑑𝐹′′(Φ)

𝑑𝜑= 𝑢′𝑣𝑤 + 𝑢𝑣′𝑤 + 𝑢𝑣𝑤′

Siendo.

𝑢 = [3 (𝑁

𝜌)2

− 2(𝑁

𝜌)] 𝑣 = sin 𝜑 𝑤 = cos𝜑

𝑢′ = 3 ∙ 2 (𝑁

𝜌) [−2 (

𝑁 − 𝜌

𝜌) tan𝜑] − 2 [−2(

𝑁 − 𝜌

𝜌) tan𝜑]

𝑢′ = −12 (𝑁

𝜌) (𝑁

𝜌− 1) tan𝜑 + 4 (

𝑁

𝜌− 1) tan𝜑

VI. ANEXOS.

370

𝑢′ = [−12 (𝑁

𝜌)2

+ 12 (𝑁

𝜌) + 4 (

𝑁

𝜌) − 4] tan𝜑

𝑢′ = [−12 (𝑁

𝜌)2

+ 16 (𝑁

𝜌) − 4] tan𝜑 𝑣′ = cos𝜑 𝑤′ = −sin 𝜑

Sustituyendo.

𝑑𝐹′′(Φ)

𝑑𝜑= −

{

[−12(

𝑁

𝜌)2

+ 16 (𝑁

𝜌) − 4] tan𝜑 sin 𝜑 cos 𝜑

+ [3 (𝑁

𝜌)2

− 2(𝑁

𝜌)] cos 𝜑 cos 𝜑

+ [3 (𝑁

𝜌)2

− 2(𝑁

𝜌)] sin 𝜑 sin 𝜑

}

𝑑𝐹′′(Φ)

𝑑𝜑= −

{

[−12 (

𝑁

𝜌)2

+ 16 (𝑁

𝜌) − 4] sin2 𝜑

+ [3 (𝑁

𝜌)2

− 2(𝑁

𝜌)] cos2 𝜑

− [3 (𝑁

𝜌)2

− 2(𝑁

𝜌)] sin2 𝜑

}

𝑑𝐹′′(Φ)

𝑑𝜑= −

{

[−12 (

𝑁

𝜌)2

+ 16 (𝑁

𝜌) − 4 − 3 (

𝑁

𝜌)2

+ 2(𝑁

𝜌)] sin2 𝜑

+ [3 (𝑁

𝜌)2

− 2(𝑁

𝜌)] cos2 𝜑

}

𝑑𝐹′′(Φ)

𝑑𝜑= −{[−15 (

𝑁

𝜌)2

+ 18 (𝑁

𝜌) − 4] sin2 𝜑 + [3 (

𝑁

𝜌)2

− 2(𝑁

𝜌)] cos2 𝜑}

Racionalizando.

𝑑𝐹′′(Φ)

𝑑𝜑= −

{

[−15 (

𝑁

𝜌)2

+ 18 (𝑁

𝜌) − 4] sin2 𝜑

+ [3 (𝑁

𝜌)2

− 2(𝑁

𝜌)] cos2 𝜑

}

(cos2 𝜑

cos2 𝜑)

VI. ANEXOS.

371

𝑑𝐹′′(Φ)

𝑑𝜑= −

{

[−15 (

𝑁

𝜌)2

+ 18 (𝑁

𝜌) − 4] tan2 𝜑 cos2 𝜑

+ [3 (𝑁

𝜌)2

− 2(𝑁

𝜌)] cos2 𝜑

}

𝑑𝐹′′(Φ)

𝑑𝜑= −cos2 𝜑 {[−15 (

𝑁

𝜌)2

+ 18 (𝑁

𝜌) − 4] tan2 𝜑 + 3(

𝑁

𝜌)2

− 2(𝑁

𝜌)}


𝑑Φ.

𝐹′′′(Φ) = − cos2 𝜑

{

[−15 (

𝑁

𝜌)2

+ 18 (𝑁

𝜌) − 4] tan2 𝜑

+3(𝑁

𝜌)2

− 2(𝑁

𝜌)

}

[(𝑁

𝜌) cos 𝜑]

𝐹′′′(Φ) = − cos3 𝜑

[ −15 (

𝑁

𝜌)3

tan2 𝜑 + 18 (𝑁

𝜌)2

tan2 𝜑

−4(𝑁

𝜌) tan2 𝜑 + 3(

𝑁

𝜌)3

− 2(𝑁

𝜌)2

]


𝐹′′′(Φ) = − cos3 𝜑 [−15𝑡2(1 + 𝜂2)3 + 18𝑡2(1 + 𝜂2)2

−4𝑡2(1 + 𝜂2) + 3(1 + 𝜂2)3 − 2(1 + 𝜂2)2]

𝐹′′′(Φ) = − cos3 𝜑 [

−15𝑡2 − 45𝜂2𝑡2 − 45𝜂4𝑡2 − 15𝜂6𝑡2 + 18𝑡2

+36𝜂2𝑡2 + 18𝜂4𝑡2 − 4𝑡2 − 4𝜂2𝑡2 + 3

+9𝜂2 + 9𝜂4 + 3𝜂6 − 2 − 4𝜂2 − 2𝜂4]

𝑭′′′(𝚽) = − [𝟏 − 𝒕𝟐 + 𝟓𝜼𝟐 − 𝟏𝟑𝜼𝟐𝒕𝟐 + 𝟕𝜼𝟒

−𝟐𝟕𝜼𝟒𝒕𝟐 + 𝟑𝜼𝟔 − 𝟏𝟓𝜼𝟔𝒕𝟐] 𝐜𝐨𝐬𝟑𝝋

VI. ANEXOS.

372

6.5 Desarrollo de las Doce Derivadas Consecutivas para la

Representación GK.

6.5.1 Derivadas de orden superior para el proceso directo.

Para 𝒇′(𝚽).

𝑓(Φ) = 𝑆 = ∫ 𝜌 𝑑𝜑𝜑

0

Derivando 𝑓(Φ).

𝑑[𝑓(Φ)]

𝑑𝜑= 𝜌

𝑓′(Φ) = {𝑑[𝑓(Φ)]

𝑑𝜑}

′

=𝑑[𝑓(Φ)]

𝑑𝜑∙𝑑𝜑

𝑑Φ

Dónde.

𝑑𝜑

𝑑Φ=𝑟

𝜌

Sustituyendo.

𝑓′(Φ) = 𝜌 ∙𝑟

𝜌= 𝑟

𝒇′(𝚽) = 𝑵𝐜𝐨𝐬𝝋

Para 𝒇′′(𝚽).

𝑓′(Φ) = 𝑁 cos𝜑

VI. ANEXOS.

373

Derivando.

[𝑓′(Φ)]′ = (𝑁 cos𝜑)′

[𝑓′(Φ)]′ = 𝜂2𝜌𝑡 ∙ cos 𝜑 + 𝑁(−𝑡 cos 𝜑)

[𝑓′(Φ)]′ = cos 𝜑 (𝜂2𝑡𝜌 − 𝑁𝑡)


𝑑Φ.

𝑓′′(Φ) = [𝑓′(Φ)]′ ∙𝑑𝜑

𝑑Φ

𝑓′′(Φ) = cos𝜑 (𝜂2𝑡𝜌 − 𝑁𝑡) ∙ (𝑁 cos 𝜑

𝜌) = 𝑁 cos2 𝜑 [

(𝜂2𝜌𝑡 − 𝑁𝑡)

𝜌]

𝑓′′(Φ) = 𝑁 cos2 𝜑 (𝜂2𝑡 −𝑁

𝜌𝑡) = 𝑁 cos2 𝜑 [𝜂2𝑡 − (1 + 𝜂2)𝑡]

𝑓′′(Φ) = 𝑁 cos2 𝜑 [𝜂2𝑡 − 𝑡 − 𝜂2𝑡]

𝒇′′(𝚽) = −𝑵𝒕 𝐜𝐨𝐬𝟐𝝋

Para 𝒇′′′(𝚽).

Derivando.

[𝑓′′(Φ)]′ = (−𝑁𝑡 cos2 𝜑)′

[𝑓′′(Φ)]′ = −[(𝜂2𝑡𝜌)𝑡 cos2 𝜑 + 𝑁(𝑡2 + 1) cos2 𝜑 + 𝑁𝑡(−2𝑡 cos2 𝜑)]

[𝑓′′(Φ)]′ = − cos2 𝜑 [𝜂2𝑡2𝜌 + 𝑁(𝑡2 + 1) − 2𝑁𝑡2]


𝑑Φ.

𝑓′′′(Φ) = [𝑓′′(Φ)]′ ∙𝑑𝜑

𝑑Φ

𝑓′′′(Φ) = {− cos2 𝜑 [𝜂2𝑡2𝜌 + 𝑁(𝑡2 + 1) − 2𝑁𝑡2]} ∙ (𝑁 cos 𝜑

𝜌)

VI. ANEXOS.

374

𝑓′′′(Φ) = −𝑁 cos3 𝜑 [𝜂2𝑡2𝜌 + 𝑁(𝑡2 + 1) − 2𝑁𝑡2

𝜌]

𝑓′′′(Φ) = −𝑁 cos3 𝜑 [𝜂2𝑡2 +𝑁

𝜌(𝑡2 + 1) − 2

𝑁

𝜌𝑡2]

𝑓′′′(Φ) = −𝑁 cos3 𝜑 [𝜂2𝑡2 + (1 + 𝜂2)(𝑡2 + 1) − 2(1 + 𝜂2)𝑡2]

𝑓′′′(Φ) = −𝑁 cos3 𝜑 [𝜂2𝑡2 + 𝑡2 + 1 + 𝜂2𝑡2 + 𝜂2 − 2𝑡2 − 2𝜂2𝑡2]

𝒇′′′(𝚽) = −𝑵𝐜𝐨𝐬𝟑𝝋 [𝟏 + 𝜼𝟐 − 𝒕𝟐]

Para 𝒇𝐈𝐕(𝚽).

Derivando.

[𝑓′′′(Φ)]′ = [−𝑁 cos3 𝜑 (1 + 𝜂2 − 𝑡2)]′

[𝑓′′′(Φ)]′ = − {𝜂2𝑡𝜌 ∙ cos3 𝜑 (1 + 𝜂2 − 𝑡2) + 𝑁(−3𝑡 cos3 𝜑)(1 + 𝜂2 − 𝑡2)

+𝑁 cos3 𝜑 [−2𝜂2𝑡 − (2𝑡3 + 2𝑡)]}

[𝑓′′′(Φ)]′ = − cos3 𝜑 {𝜂2𝑡𝜌(1 + 𝜂2 − 𝑡2) − 3𝑁𝑡(1 + 𝜂2 − 𝑡2)

+𝑁[−2𝜂2𝑡 − 2𝑡3 − 2𝑡]}

[𝑓′′′(Φ)]′ = − cos3 𝜑 {𝜂2𝑡𝜌(1 + 𝜂2 − 𝑡2) − 𝑁(3𝑡 + 3𝜂2𝑡 − 3𝑡3)

+𝑁[−2𝜂2𝑡 − 2𝑡3 − 2𝑡]}


𝑑Φ.

𝑓IV(Φ) = [𝑓′′′(Φ)]′ ∙𝑑𝜑

𝑑Φ

𝑓𝐼𝑉(Φ) = − cos3 𝜑 [𝜂2𝑡𝜌(1 + 𝜂2 − 𝑡2) − 𝑁(3𝑡 + 3𝜂2𝑡 − 3𝑡3)

+𝑁(−2𝜂2𝑡 − 2𝑡3 − 2𝑡)] ∙ (

𝑁 cos 𝜑

𝜌)

𝑓IV(Φ) = −𝑁 cos4 𝜑

[ 𝜂2𝑡𝜌(1 + 𝜂2 − 𝑡2)

𝜌−𝑁(3𝑡 + 3𝜂2𝑡 − 3𝑡3)

𝜌

+𝑁(−2𝜂2𝑡 − 2𝑡3 − 2𝑡)

𝜌 ]

VI. ANEXOS.

375

𝑓IV(Φ) = −𝑁 cos4 𝜑

[ 𝜂2𝑡(1 + 𝜂2 − 𝑡2) −

𝑁

𝜌(3𝑡 + 3𝜂2𝑡 − 3𝑡3)

+𝑁

𝜌(−2𝜂2𝑡 − 2𝑡3 − 2𝑡)

]

𝑓IV(Φ) = −𝑁 cos4 𝜑 [𝜂2𝑡(1 + 𝜂2 − 𝑡2) − (1 + 𝜂2)(3𝑡 + 3𝜂2𝑡 − 3𝑡3)

+(1 + 𝜂2)(−2𝜂2𝑡 − 2𝑡3 − 2𝑡)]

𝑓𝐼𝑉(Φ) = −𝑁 cos4 𝜑 [

𝜂2𝑡 + 𝜂4𝑡 − 𝜂2𝑡3

−3𝑡 − 6𝜂2𝑡 + 3𝑡3 − 3𝜂4𝑡 + 3𝜂2𝑡3

−4𝜂2𝑡 − 2𝑡3 − 2𝑡 − 2𝜂4𝑡 − 2𝜂2𝑡3]

𝑓IV(Φ) = −𝑁 cos4 𝜑 [

(−2𝑡 − 3𝑡) + (3𝑡3 − 2𝑡3)

+(𝜂2𝑡 − 6𝜂2𝑡 − 4𝜂2𝑡) + (3𝜂2𝑡3 − 2𝜂2𝑡3 − 𝜂2𝑡3)

+(𝜂4𝑡 − 3𝜂4𝑡 − 2𝜂4𝑡)

]

𝑓𝐼𝑉(Φ) = −𝑁 cos4 𝜑 [−5𝑡 + 𝑡3 − 9𝜂2𝑡 − 4𝜂4𝑡]

𝒇𝐈𝐕(𝚽) = 𝑵𝒕 𝐜𝐨𝐬𝟒𝝋 [𝟓 − 𝒕𝟐 + 𝟗𝜼𝟐 + 𝟒𝜼𝟒]

Para facilitar el proceso de derivación a partir de la sexta derivada el

proceso se realizara por partes.

Para 𝒇𝐕(𝚽).

𝑓IV(Φ) = 𝑁𝑡 cos4 𝜑 [5 − 𝑡2 + 9𝜂2 + 4𝜂4] = 𝑁 cos4 𝜑 [5𝑡 − 𝑡3 + 9𝜂2𝑡 + 4𝜂4𝑡]

Siendo.

𝑢 = 𝑁, 𝑣 = cos4 𝜑 , 𝑤 = 5𝑡 − 𝑡3 + 9𝜂2𝑡 + 4𝜂4𝑡


[𝑓IV(Φ)]′ = [𝑁 cos4 𝜑 (5𝑡 − 𝑡3 + 9𝜂2𝑡 + 4𝜂4𝑡)]′

[𝑓IV(Φ)]′ = 𝑢′ ∙ 𝑣 ∙ 𝑤 + 𝑢 ∙ 𝑣′ ∙ 𝑤 + 𝑢 ∙ 𝑣 ∙ 𝑤′

𝑢′ = 𝜂2𝑡𝜌, 𝑣′ = −4𝑡 cos4 𝜑

VI. ANEXOS.

376

𝑤′ = 5(𝑡2 + 1) − (3𝑡4 + 3𝑡2) + 9[−2𝜂2𝑡 ∙ 𝑡 + 𝜂2(𝑡2 + 1)]

+ 4[−4𝜂4𝑡 ∙ 𝑡 + 𝜂4(𝑡2 + 1)]

𝑤′ = 5𝑡2 + 5 − 3𝑡4 − 3𝑡2 + 9[−2𝜂2𝑡2 + 𝜂2𝑡2 + 𝜂2] + 4[−4𝜂4𝑡2 + 𝜂4𝑡2 + 𝜂4]

𝑤′ = 5 + 2𝑡2 − 3𝑡4 + 9[−𝜂2𝑡2 + 𝜂2] + 4[−3𝜂4𝑡2 + 𝜂4]

𝑤′ = 5 + 2𝑡2 − 3𝑡4 − 9𝜂2𝑡2 + 9𝜂2 − 12𝜂4𝑡2 + 4𝜂4

𝑤′ = (5 + 2𝑡2 − 3𝑡4 + 9𝜂2

+4𝜂4 − 9𝜂2𝑡2 − 12𝜂4𝑡2)

Sustituyendo.

[𝑓IV(Φ)]′ =

𝜂2𝑡𝜌 ∙ cos4 𝜑 (5𝑡 − 𝑡3 + 9𝜂2𝑡 + 4𝜂4𝑡)

+𝑁(−4𝑡 cos4 𝜑)(5𝑡 − 𝑡3 + 9𝜂2𝑡 + 4𝜂4𝑡)

+𝑁 cos4 𝜑 (5 + 2𝑡2 − 3𝑡4 + 9𝜂2

+4𝜂4 − 9𝜂2𝑡2 − 12𝜂4𝑡2)

[𝑓IV(Φ)]′ = cos4 𝜑

[ 𝜂2𝑡𝜌(5𝑡 − 𝑡3 + 9𝜂2𝑡 + 4𝜂4𝑡)

−4𝑁𝑡(5𝑡 − 𝑡3 + 9𝜂2𝑡 + 4𝜂4𝑡)

+𝑁 (5 + 2𝑡2 − 3𝑡4 + 9𝜂2

+4𝜂4 − 9𝜂2𝑡2 − 12𝜂4𝑡2)]

[𝑓IV(Φ)]′ = cos4 𝜑

[ 𝜌(5𝜂2𝑡2 − 𝜂2𝑡4 + 9𝜂4𝑡2 + 4𝜂6𝑡2)

−𝑁(20𝑡2 − 4𝑡4 + 36𝜂2𝑡2 + 16𝜂4𝑡2)

+𝑁 (5 + 2𝑡2 − 3𝑡4 + 9𝜂2

+4𝜂4 − 9𝜂2𝑡2 − 12𝜂4𝑡2)

]


𝑑Φ.

𝑓V(Φ) = [𝑓𝐼𝑉(Φ)]′ ∙𝑑𝜑

𝑑Φ

𝑓V(Φ) = cos4 𝜑

[ 𝜌(5𝜂2𝑡2 − 𝜂2𝑡4 + 9𝜂4𝑡2 + 4𝜂6𝑡2)

−𝑁(20𝑡2 − 4𝑡4 + 36𝜂2𝑡2 + 16𝜂4𝑡2)

+𝑁 (5 + 2𝑡2 − 3𝑡4 + 9𝜂2

+4𝜂4 − 9𝜂2𝑡2 − 12𝜂4𝑡2)

]

∙ (𝑁 cos 𝜑

𝜌)

VI. ANEXOS.

377

𝑓V(Φ) = 𝑁 cos5 𝜑

[ 𝜌

𝜌(5𝜂2𝑡2 − 𝜂2𝑡4 + 9𝜂4𝑡2 + 4𝜂6𝑡2)

−𝑁

𝜌(20𝑡2 − 4𝑡4 + 36𝜂2𝑡2 + 16𝜂4𝑡2)

+𝑁

𝜌(5 + 2𝑡2 − 3𝑡4 + 9𝜂2

+4𝜂4 − 9𝜂2𝑡2 − 12𝜂4𝑡2)

]


[

5𝜂2𝑡2 − 𝜂2𝑡4 + 9𝜂4𝑡2 + 4𝜂6𝑡2

−(1 + 𝜂2)(20𝑡2 − 4𝑡4 + 36𝜂2𝑡2 + 16𝜂4𝑡2)

+(1 + 𝜂2) (5 + 2𝑡2 − 3𝑡4 + 9𝜂2

+4𝜂4 − 9𝜂2𝑡2 − 12𝜂4𝑡2)

]


[

5𝜂2𝑡2 − 𝜂2𝑡4 + 9𝜂4𝑡2 + 4𝜂6𝑡2

−20𝑡2 − 56𝜂2𝑡2 + 4𝑡4 + 4𝜂2𝑡4 − 52𝜂4𝑡2 − 16𝜂6𝑡2

5 + 14𝜂2 + 2𝑡2 − 7𝜂2𝑡2 − 3𝑡4 − 3𝜂2𝑡4 + 4𝜂6

−21𝜂4𝑡2 + 13𝜂4 − 12𝜂6𝑡2 ]


[

5 + (−20𝑡2 + 2𝑡2) + (4𝑡4 − 3𝑡4)

+14𝜂2 + 13𝜂4 + 4𝜂6

+(5𝜂2𝑡2 − 56𝜂2𝑡2 − 7𝜂2𝑡2) + (4𝜂2𝑡4 − 3𝜂2𝑡4 − 𝜂2𝑡4)

+(9𝜂4𝑡2 − 52𝜂4𝑡2 − 21𝜂4𝑡2) + (4𝜂6𝑡2 − 16𝜂6𝑡2 − 12𝜂6𝑡2)]

𝑓V(Φ) = 𝑁 cos5 𝜑 [5 − 18𝑡2 + 𝑡4 + 14𝜂2 + 13𝜂4 + 4𝜂6

−58𝜂2𝑡2 − 64𝜂4𝑡2 − 24𝜂6𝑡2]

𝒇𝐕(𝚽) = 𝑵𝐜𝐨𝐬𝟓𝝋[𝟓 − 𝟏𝟖𝒕𝟐 + 𝒕𝟒 + 𝟐𝜼𝟐(𝟕 − 𝟐𝟗𝒕𝟐)

+𝜼𝟒(𝟏𝟑 − 𝟔𝟒𝒕𝟐) + 𝟒𝜼𝟔(𝟏 − 𝟔𝒕𝟐)]

Para 𝒇𝐕𝐈(𝚽).

[𝑓V(Φ)]′ = 𝑁 cos5 𝜑 [5 − 18𝑡2 + 𝑡4 + 2𝜂2(7 − 29𝑡2)

+𝜂4(13 − 64𝑡2) + 4𝜂6(1 − 6𝑡2)]′

[𝑓V(Φ)]′ = 𝑢′ ∙ 𝑣 ∙ 𝑤 + 𝑢 ∙ 𝑣′ ∙ 𝑤 + 𝑢 ∙ 𝑣 ∙ 𝑤′

Siendo.

𝑢 = 𝑁, 𝑣 = cos5 𝜑 , 𝑤 = [5 − 18𝑡2 + 𝑡4 + 2𝜂2(7 − 29𝑡2)

+𝜂4(13 − 64𝑡2) + 4𝜂6(1 − 6𝑡2)]

VI. ANEXOS.

378


𝑢′ = 𝜂2𝑡𝜌, 𝑣′ = −5𝑡 cos5 𝜑,

𝑤′ =

{

−18(2𝑡3 + 2𝑡) + 4𝑡5 + 4𝑡3

+[2(−2𝜂2𝑡)(7 − 29𝑡2) + 2𝜂2(−29(2𝑡3 + 2𝑡))]

+[−4𝜂4𝑡(13 − 64𝑡2) + 𝜂4(−64(2𝑡3 + 2𝑡))]

+[4(−6𝜂6𝑡)(1 − 6𝑡2) + 4𝜂6(−6(2𝑡3 + 2𝑡))] }

𝑤′ =

{

−36𝑡3 − 36𝑡 + 4𝑡5 + 4𝑡3

+[−28𝜂2𝑡 + 116𝜂2𝑡3 − 116𝜂2𝑡3 − 116𝜂2𝑡]

+[−52𝜂4𝑡 + 256𝜂4𝑡3 − 128𝜂4𝑡3 − 128𝜂4𝑡]

+[−24𝜂6𝑡 + 144𝜂6𝑡3 + −48𝜂6𝑡3 − 48𝜂6𝑡] }

𝑤′ = [−36𝑡 − 32𝑡3 + 4𝑡5 − 144𝜂2𝑡

−180𝜂4𝑡 + 128𝜂4𝑡3 − 72𝜂6𝑡 + 96𝜂6𝑡3]

Sustituyendo.

[𝑓V(Φ)]′ =

{

𝜂2𝑡𝜌 ∙ cos5 𝜑 [

5 − 18𝑡2 + 𝑡4 + 2𝜂2(7 − 29𝑡2)

+𝜂4(13 − 64𝑡2) + 4𝜂6(1 − 6𝑡2)]

+𝑁(−5𝑡 cos5 𝜑) [5 − 18𝑡2 + 𝑡4 + 2𝜂2(7 − 29𝑡2)

+𝜂4(13 − 64𝑡2) + 4𝜂6(1 − 6𝑡2)]

+𝑁 ∙ cos5 𝜑 [−36𝑡 − 32𝑡3 + 4𝑡5 − 144𝜂2𝑡

−180𝜂4𝑡 + 128𝜂4𝑡3 − 72𝜂6𝑡 + 96𝜂6𝑡3]}

[𝑓V(Φ)]′ = cos5 𝜑

{

𝜌 [

5𝜂2𝑡 − 18𝜂2𝑡3 + 𝜂2𝑡5 + 14𝜂4𝑡 + 13𝜂6𝑡

+4𝜂8𝑡 − 58𝜂4𝑡3 − 64𝜂6𝑡3 − 24𝜂8𝑡3]

−𝑁 [25𝑡 − 90𝑡3 + 5𝑡5 + 70𝜂2𝑡 + 65𝜂4𝑡

+20𝜂6𝑡 − 290𝜂2𝑡3 − 320𝜂4𝑡3 − 120𝜂6𝑡3]

+𝑁 [−36𝑡 − 32𝑡3 + 4𝑡5 − 144𝜂2𝑡

−180𝜂4𝑡 + 128𝜂4𝑡3 − 72𝜂6𝑡 + 96𝜂6𝑡3]}


𝑑Φ.

𝑓VI(Φ) = [𝑓𝑉(Φ)]′ ∙𝑑𝜑

𝑑Φ

VI. ANEXOS.

379

𝑓VI(Φ) = cos5 𝜑

{

𝜌 [

5𝜂2𝑡 − 18𝜂2𝑡3 + 𝜂2𝑡5 + 14𝜂4𝑡 + 13𝜂6𝑡

+4𝜂8𝑡 − 58𝜂4𝑡3 − 64𝜂6𝑡3 − 24𝜂8𝑡3]

−𝑁 [25𝑡 − 90𝑡3 + 5𝑡5 + 70𝜂2𝑡 + 65𝜂4𝑡

+20𝜂6𝑡 − 290𝜂2𝑡3 − 320𝜂4𝑡3 − 120𝜂6𝑡3]

+𝑁 [−36𝑡 − 32𝑡3 + 4𝑡5 − 144𝜂2𝑡

−180𝜂4𝑡 + 128𝜂4𝑡3 − 72𝜂6𝑡 + 96𝜂6𝑡3]}

∙ (𝑁 cos𝜑

𝜌)

𝑓VI(Φ) = 𝑁 cos6 𝜑

{

𝜌

𝜌[5𝜂2𝑡 − 18𝜂2𝑡3 + 𝜂2𝑡5 + 14𝜂4𝑡 + 13𝜂6𝑡

+4𝜂8𝑡 − 58𝜂4𝑡3 − 64𝜂6𝑡3 − 24𝜂8𝑡3]

−𝑁

𝜌[

25𝑡 − 90𝑡3 + 5𝑡5 + 70𝜂2𝑡 + 65𝜂4𝑡

+20𝜂6𝑡 − 290𝜂2𝑡3 − 320𝜂4𝑡3 − 120𝜂6𝑡3]

+𝑁

𝜌[

−36𝑡 − 32𝑡3 + 4𝑡5 − 144𝜂2𝑡

−180𝜂4𝑡 + 128𝜂4𝑡3 − 72𝜂6𝑡 + 96𝜂6𝑡3]}

𝑓VI(Φ) = 𝑁 cos6 𝜑

[ (

5𝜂2𝑡 − 18𝜂2𝑡3 + 𝜂2𝑡5 + 14𝜂4𝑡 + 13𝜂6𝑡

+4𝜂8𝑡 − 58𝜂4𝑡3 − 64𝜂6𝑡3 − 24𝜂8𝑡3)

−(1 + 𝜂2) (25𝑡 − 90𝑡3 + 5𝑡5 + 70𝜂2𝑡 + 65𝜂4𝑡

+20𝜂6𝑡 − 290𝜂2𝑡3 − 320𝜂4𝑡3 − 120𝜂6𝑡3)

+(1 + 𝜂2) (−36𝑡 − 32𝑡3 + 4𝑡5 − 144𝜂2𝑡

−180𝜂4𝑡 + 128𝜂4𝑡3 − 72𝜂6𝑡 + 96𝜂6𝑡3)]

𝑓VI(Φ) =

𝑁 cos6 𝜑

[ (

5𝜂2𝑡 − 18𝜂2𝑡3 + 𝜂2𝑡5 + 14𝜂4𝑡 + 13𝜂6𝑡

+4𝜂8𝑡 − 58𝜂4𝑡3 − 64𝜂6𝑡3 − 24𝜂8𝑡3)

+ (−25𝑡 − 5𝑡5 + 90𝑡3 − 95𝜂2𝑡 − 135𝜂4𝑡 − 85𝜂6𝑡 − 20𝜂8𝑡

+380𝜂2𝑡3 − 5𝜂2𝑡5 + 610𝜂4𝑡3 + 440𝜂6𝑡3 + 120𝜂8𝑡3)

+ (−36𝑡 − 32𝑡3 + 4𝑡5 − 180𝜂2𝑡 − 324𝜂4𝑡 − 252𝜂6𝑡 − 72𝜂8𝑡

−32𝜂2𝑡3 + 4𝜂2𝑡5 + 128𝜂4𝑡3 + 224𝜂6𝑡3 + 96𝜂8𝑡3)]

𝑓VI(Φ) =

𝑁 cos6 𝜑

[

(−25𝑡 − 36𝑡) + (90𝑡3 − 32𝑡3) + (4𝑡5 − 5𝑡5)

+(5𝜂2𝑡 − 95𝜂2𝑡 − 180𝜂2𝑡) + (−18𝜂2𝑡3 − 32𝜂2𝑡3 + 380𝜂2𝑡3)

+(𝜂2𝑡5 + 4𝜂2𝑡5 − 5𝜂2𝑡5) + (14𝜂4𝑡 − 135𝜂4𝑡 − 324𝜂4𝑡)

+(−58𝜂4𝑡3 + 128𝜂4𝑡3 + 610𝜂4𝑡3) + (13𝜂6𝑡 − 85𝜂6𝑡 − 252𝜂6𝑡)

+(−64𝜂6𝑡3 + 224𝜂6𝑡3 + 440𝜂6𝑡3) + (4𝜂8𝑡 − 20𝜂8𝑡 − 72𝜂8𝑡)

+(−24𝜂8𝑡3 + 96𝜂8𝑡3 + 120𝜂8𝑡3) ]

𝑓VI(Φ) = 𝑁 cos6 𝜑 [

−61𝑡 + 58𝑡3 − 𝑡5 − 270𝜂2𝑡 + 330𝜂2𝑡3

−445𝜂4𝑡 + 680𝜂4𝑡3 − 324𝜂6𝑡 + 600𝜂6𝑡3

−88𝜂8𝑡 + 192𝜂8𝑡3]

VI. ANEXOS.

380

𝑓VI(Φ) = −𝑁𝑡 cos6 𝜑 [

61 − 58𝑡2 + 𝑡4 + 270𝜂2 − 330𝜂2𝑡2

+445𝜂4 − 680𝜂4𝑡2 + 324𝜂6 − 600𝜂6𝑡2

+88𝜂8 − 192𝜂8𝑡2]

𝒇𝐕𝐈(𝚽) = −𝑵𝒕 𝐜𝐨𝐬𝟔𝝋[

𝟔𝟏 − 𝟓𝟖𝒕𝟐 + 𝒕𝟒 + 𝟑𝟎𝜼𝟐(𝟗 − 𝟏𝟏𝒕𝟐)

+𝟓𝜼𝟒(𝟖𝟗 − 𝟏𝟑𝟔𝒕𝟐) + 𝟏𝟐𝜼𝟔(𝟐𝟕 − 𝟓𝟎𝒕𝟐)

+𝟖𝜼𝟖(𝟏𝟏 − 𝟐𝟒𝒕𝟐)

]

Para 𝒇𝐕𝐈𝐈(𝚽).

[𝑓VI(Φ)]′ = {−𝑁𝑡 cos6 𝜑 [

61 − 58𝑡2 + 𝑡4 + 30𝜂2(9 − 11𝑡2)

+5𝜂4(89 − 136𝑡2) + 12𝜂6(27 − 50𝑡2)

+8𝜂8(11 − 24𝑡2)

]}

′

[𝑓VI(Φ)]′ = −{𝑁 cos6 𝜑 [

61𝑡 − 58𝑡3 + 𝑡5 + 30𝜂2(9 − 11𝑡2)

+5𝜂4(89𝑡 − 136𝑡3) + 12𝜂6(27𝑡 − 50𝑡3)

+8𝜂8(11𝑡 − 24𝑡3)

]}

′

[𝑓VI(Φ)]′ = −(𝑢 ∙ 𝑣 ∙ 𝑤) = −(𝑢′ ∙ 𝑣 ∙ 𝑤 + 𝑢 ∙ 𝑣′ ∙ 𝑤 + 𝑢 ∙ 𝑣 ∙ 𝑤′)

Siendo.

𝑢 = 𝑁, 𝑣 = cos6 𝜑 , 𝑤 = [

61𝑡 − 58𝑡3 + 𝑡5 + 30𝜂2(9𝑡 − 11𝑡3)

+5𝜂4(89𝑡 − 136𝑡3) + 12𝜂6(27𝑡 − 50𝑡3)

+8𝜂8(11𝑡 − 24𝑡3)

]

Derivando.

𝑢′ = 𝜂2𝑡𝜌, 𝑣′ = −6𝑡 cos6 𝜑,

𝑤′ =

{

61(𝑡2 + 1) − 58(3𝑡4 + 3𝑡2) + 5𝑡6 + 5𝑡4

+30[−2𝜂2𝑡(9𝑡 − 11𝑡3) + 𝜂2(9(𝑡2 + 1) − 11(3𝑡4 + 3𝑡2))]

+5[−4𝜂4𝑡 ∙ 𝑡(89𝑡 − 136𝑡3) + 𝜂4(89(𝑡2 + 1) − 136(3𝑡4 + 3𝑡2))]

+12[−6𝜂6𝑡(27𝑡 − 50𝑡3) + 𝜂6(27(𝑡2 + 1) − 50(3𝑡4 + 3𝑡2))]

+8[−8𝜂8𝑡(11𝑡 − 24𝑡3) + 𝜂8(11(𝑡2 + 1) − 24(3𝑡4 + 3𝑡2))] }

VI. ANEXOS.

381

𝑤′ = {61 − 113𝑡2−169𝑡4 + 5𝑡6

+30[9𝜂2 − 42𝜂2𝑡2 − 11𝜂2𝑡4] + 5[89𝜂4 − 675𝜂4𝑡2 + 136𝜂4𝑡4]

+12[27𝜂6 − 285𝜂6𝑡2 + 150𝜂6𝑡4] + 8[11𝜂8 − 149𝜂8𝑡2 + 15𝜂8𝑡4]}

𝑤′ =

[

61 − 113𝑡2−169𝑡4 + 5𝑡6

+270𝜂2 − 1260𝜂2𝑡2 − 330𝜂2𝑡4 + 445𝜂4

−3375𝜂4𝑡2 + 680𝜂4𝑡4 + 324𝜂6 − 3420𝜂6𝑡2

+1800𝜂6𝑡4 + 88𝜂8 − 1192𝜂8𝑡2 + 120𝜂8𝑡4 ]

Sustituyendo.

[𝑓VI(Φ)]′ = −

{

𝜂2𝑡𝜌 ∙ cos6 𝜑 [

61𝑡 − 58𝑡3 + 𝑡5 + 30𝜂2𝑡(9 − 11𝑡2)

+5𝜂4𝑡(89 − 136𝑡2) + 12𝜂6𝑡(27 − 50𝑡2)

+8𝜂8𝑡(11 − 24𝑡2)

]

+𝑁(−6𝑡 cos6 𝜑) [

61𝑡 − 58𝑡3 + 𝑡5 + 30𝜂2𝑡(9 − 11𝑡2)

+5𝜂4𝑡(89 − 136𝑡2) + 12𝜂6𝑡(27 − 50𝑡2)

+8𝜂8𝑡(11 − 24𝑡2)

]

+𝑁 ∙ cos6 𝜑

[

61 − 113𝑡2−169𝑡4 + 5𝑡6

+270𝜂2 − 1260𝜂2𝑡2 − 330𝜂2𝑡4 + 445𝜂4

−3375𝜂4𝑡2 + 680𝜂4𝑡4 + 324𝜂6 − 3420𝜂6𝑡2

+1800𝜂6𝑡4 + 88𝜂8 − 1192𝜂8𝑡2 + 120𝜂8𝑡4 ]

}

[𝑓VI(Φ)]′ = −cos6 𝜑

{

𝜂2𝑡𝜌 [

61𝑡 − 58𝑡3 + 𝑡5 + 30𝜂2𝑡(9 − 11𝑡2)

+5𝜂4𝑡(89 − 136𝑡2) + 12𝜂6𝑡(27 − 50𝑡2)

+8𝜂8𝑡(11 − 24𝑡2)

]

−6𝑁𝑡 [

61𝑡 − 58𝑡3 + 𝑡5 + 30𝜂2𝑡(9 − 11𝑡2)

+5𝜂4𝑡(89 − 136𝑡2) + 12𝜂6𝑡(27 − 50𝑡2)

+8𝜂8𝑡(11 − 24𝑡2)

]

+𝑁

[

61 − 113𝑡2−169𝑡4 + 5𝑡6

+270𝜂2 − 1260𝜂2𝑡2 − 330𝜂2𝑡4 + 445𝜂4

−3375𝜂4𝑡2 + 680𝜂4𝑡4 + 324𝜂6 − 3420𝜂6𝑡2

+1800𝜂6𝑡4 + 88𝜂8 − 1192𝜂8𝑡2 + 120𝜂8𝑡4 ]

}

VI. ANEXOS.

382

[𝑓VI(Φ)]′ = −cos6 𝜑

{

𝜌 [

61𝜂2𝑡2 − 58𝜂2𝑡4 + 𝜂2𝑡6 + 30𝜂4𝑡2(9 − 11𝑡2)

+5𝜂6𝑡2(89 − 136𝑡2) + 12𝜂8𝑡2(27 − 50𝑡2)

+8𝜂10𝑡2(11 − 24𝑡2)

]

−𝑁 [

366𝑡2 − 348𝑡4 + 6𝑡6 + 180𝜂2𝑡2(9 − 11𝑡2)

+30𝜂4𝑡2(89 − 136𝑡2) + 72𝜂6𝑡2(27 − 50𝑡2)

+48𝜂8𝑡2(11 − 24𝑡2)

]

+𝑁

[

61 − 113𝑡2−169𝑡4 + 5𝑡6

+270𝜂2 − 1260𝜂2𝑡2 − 330𝜂2𝑡4 + 445𝜂4

−3375𝜂4𝑡2 + 680𝜂4𝑡4 + 324𝜂6 − 3420𝜂6𝑡2

+1800𝜂6𝑡4 + 88𝜂8 − 1192𝜂8𝑡2 + 120𝜂8𝑡4 ]

}


𝑑Φ.

𝑓VII(Φ) = [𝑓VI(Φ)]′ ∙𝑑𝜑

𝑑Φ

𝑓VII(Φ) =

−cos6 𝜑

{

𝜌 [

61𝜂2𝑡2 − 58𝜂2𝑡4 + 𝜂2𝑡6 + 30𝜂4𝑡2(9 − 11𝑡2)

+5𝜂6𝑡2(89 − 136𝑡2) + 12𝜂8𝑡2(27 − 50𝑡2)

+8𝜂10𝑡2(11 − 24𝑡2)

]

−𝑁 [

366𝑡2 − 348𝑡4 + 6𝑡6 + 180𝜂2𝑡2(9 − 11𝑡2)

+30𝜂4𝑡2(89 − 136𝑡2) + 72𝜂6𝑡2(27 − 50𝑡2)

+48𝜂8𝑡2(11 − 24𝑡2)

]

+𝑁

[

61 − 113𝑡2−169𝑡4 + 5𝑡6

+270𝜂2 − 1260𝜂2𝑡2 − 330𝜂2𝑡4 + 445𝜂4

−3375𝜂4𝑡2 + 680𝜂4𝑡4 + 324𝜂6 − 3420𝜂6𝑡2

+1800𝜂6𝑡4 + 88𝜂8 − 1192𝜂8𝑡2 + 120𝜂8𝑡4 ]

}

∙ (𝑁 cos𝜑

𝜌)

VI. ANEXOS.

383


{

𝜌

𝜌[

61𝜂2𝑡2 − 58𝜂2𝑡4 + 𝜂2𝑡6 + 30𝜂4𝑡2(9 − 11𝑡2)

+5𝜂6𝑡2(89 − 136𝑡2) + 12𝜂8𝑡2(27 − 50𝑡2)

+8𝜂10𝑡2(11 − 24𝑡2)

]

−𝑁

𝜌[

366𝑡2 − 348𝑡4 + 6𝑡6 + 180𝜂2𝑡2(9 − 11𝑡2)

+30𝜂4𝑡2(89 − 136𝑡2) + 72𝜂6𝑡2(27 − 50𝑡2)

+48𝜂8𝑡2(11 − 24𝑡2)

]

+𝑁

𝜌

[

61 − 113𝑡2−169𝑡4 + 5𝑡6

+270𝜂2 − 1260𝜂2𝑡2 − 330𝜂2𝑡4 + 445𝜂4

−3375𝜂4𝑡2 + 680𝜂4𝑡4 + 324𝜂6 − 3420𝜂6𝑡2

+1800𝜂6𝑡4 + 88𝜂8 − 1192𝜂8𝑡2 + 120𝜂8𝑡4 ]

}

𝑓VII(Φ) =

−𝑁 cos7 𝜑

{

[

61𝜂2𝑡2 − 58𝜂2𝑡4 + 𝜂2𝑡6 + 30𝜂4𝑡2(9 − 11𝑡2)

+5𝜂6𝑡2(89 − 136𝑡2) + 12𝜂8𝑡2(27 − 50𝑡2)

+8𝜂10𝑡2(11 − 24𝑡2)

]

−(1 + 𝜂2) [

366𝑡2 − 348𝑡4 + 6𝑡6 + 180𝜂2𝑡2(9 − 11𝑡2)

+30𝜂4𝑡2(89 − 136𝑡2) + 72𝜂6𝑡2(27 − 50𝑡2)

+48𝜂8𝑡2(11 − 24𝑡2)

]

+(1 + 𝜂2)

[

61 − 113𝑡2−169𝑡4 + 5𝑡6

+270𝜂2 − 1260𝜂2𝑡2 − 330𝜂2𝑡4 + 445𝜂4

−3375𝜂4𝑡2 + 680𝜂4𝑡4 + 324𝜂6 − 3420𝜂6𝑡2

+1800𝜂6𝑡4 + 88𝜂8 − 1192𝜂8𝑡2 + 120𝜂8𝑡4 ]

}


{

[

61𝜂2𝑡2 − 58𝜂2𝑡4 + 𝜂2𝑡6 + 270𝜂4𝑡2 − 330𝜂4𝑡4

+445𝜂6𝑡2 − 680𝜂6𝑡4 + 324𝜂8𝑡2 − 600𝜂8𝑡4

+88𝜂10𝑡2 − 192𝜂10𝑡4]

+

[ −366𝑡2 + 348𝑡4 − 6𝑡6 − 1986𝜂2𝑡2 + 2328𝜂2𝑡4

−6𝜂2𝑡6 − 4290𝜂4𝑡2 + 6060𝜂4𝑡4 − 4614𝜂6𝑡2

+7680𝜂6𝑡4 − 2472𝜂8𝑡2 + 4752𝜂8𝑡4 − 528𝜂10𝑡2

− + 1152𝜂10𝑡4 ]

+

[ 61 − 113𝑡2 − 169𝑡4 + 5𝑡6 + 331𝜂2 − 1373𝜂2𝑡2

−499𝜂2𝑡4 + 5𝜂2𝑡6 + 715𝜂4 − 4635𝜂4𝑡2

+350𝜂4𝑡4 + 769𝜂6 − 6795𝜂6𝑡2 + 2480𝜂6𝑡4

+412𝜂8 − 4612𝜂8𝑡2 + 2760𝜂8𝑡4 + 88𝜂10

−1192𝜂10𝑡2 + 960𝜂10𝑡4 ]

}

VI. ANEXOS.

384

𝑓VII(Φ) =

−𝑁 cos7 𝜑

[

61 − (113𝑡2 + 366𝑡2) − (169𝑡4 − 348𝑡4) + (5𝑡6 − 6𝑡6)

+331𝜂2 + (61𝜂2𝑡2 − 1373𝜂2𝑡2 − 1986𝜂2𝑡2)

−(58𝜂2𝑡4 + 499𝜂2𝑡4 − 2328𝜂2𝑡4) + (𝜂2𝑡6 + 5𝜂2𝑡6 − 6𝜂2𝑡6)

+715𝜂4 + (270𝜂4𝑡2 − 4290𝜂4𝑡2 − 4635𝜂4𝑡2)

−(330𝜂4𝑡4 − 6060𝜂4𝑡4 − 350𝜂4𝑡4) + 769𝜂6

+(445𝜂6𝑡2 − 4614𝜂6𝑡2 − 6795𝜂6𝑡2) − (680𝜂6𝑡4 − 2480𝜂6𝑡4

−7680𝜂6𝑡4) + 412𝜂8 + (324𝜂8𝑡2 − 2472𝜂8𝑡2 − 4612𝜂8𝑡2)

−(600𝜂8𝑡4 − 4752𝜂8𝑡4 − 2760𝜂8𝑡4) + 88𝜂10 + (88𝜂10𝑡2

−528𝜂10𝑡2 − 1192𝜂10𝑡2) − (192𝜂10𝑡4 − 960𝜂10𝑡4 − 1152𝜂10𝑡4)]


[ 61 − 479𝑡2 + 179𝑡4 − 𝑡6 + 331𝜂2 − 3298𝜂2𝑡2

+1771𝜂2𝑡4 + 715𝜂4 − 8655𝜂4𝑡2 + 6080𝜂4𝑡4

+769𝜂6 − 10964𝜂6𝑡2 + 9480𝜂6𝑡4 + 412𝜂8

−6760𝜂8𝑡2 + 6912𝜂8𝑡4 + 88𝜂10 − 1632𝜂10𝑡2

+1920𝜂10𝑡4 ]

𝒇𝐕𝐈𝐈(𝚽) = −𝑵𝐜𝐨𝐬𝟕𝝋

[

𝟔𝟏 − 𝟒𝟕𝟗𝒕𝟐 + 𝟏𝟕𝟗𝒕𝟒 − 𝒕𝟔

+𝜼𝟐(𝟑𝟑𝟏 − 𝟑𝟐𝟗𝟖𝒕𝟐 + 𝟏𝟕𝟕𝟏𝒕𝟒)

+𝟓𝜼𝟒(𝟏𝟒𝟑 − 𝟏𝟕𝟑𝟏𝒕𝟐 + 𝟏𝟐𝟏𝟔𝒕𝟒)

+𝜼𝟔(𝟕𝟔𝟗 − 𝟏𝟎𝟗𝟔𝟒𝒕𝟐 + 𝟗𝟒𝟖𝟎𝒕𝟒)

+𝟒𝜼𝟖(𝟏𝟎𝟑 − 𝟏𝟔𝟗𝟎𝒕𝟐 + 𝟏𝟕𝟐𝟖𝒕𝟒)

+𝟖𝜼𝟏𝟎(𝟏𝟏 − 𝟐𝟎𝟒𝒕𝟐 + 𝟐𝟒𝟎𝒕𝟒) ]

Para 𝒇𝐕𝐈𝐈𝐈(𝚽).

[𝑓VII(Φ)]′ =

{

−𝑁 cos7 𝜑

[

61 − 479𝑡2 + 179𝑡4 − 𝑡6

+𝜂2(331 − 3298𝑡2 + 1771𝑡4)

+5𝜂4(143 − 1731𝑡2 + 1216𝑡4)

+𝜂6(769 − 10964𝑡2 + 9480𝑡4)

+4𝜂8(103 − 1690𝑡2 + 1728𝑡4)

+8𝜂10(11 − 204𝑡2 + 240𝑡4) ]

}

′

VI. ANEXOS.

385

[𝑓VII(Φ)]′ = −

{

𝑁 cos7 𝜑

[

61 − 479𝑡2 + 179𝑡4 − 𝑡6

+𝜂2(331 − 3298𝑡2 + 1771𝑡4)

+5𝜂4(143 − 1731𝑡2 + 1216𝑡4)

+𝜂6(769 − 10964𝑡2 + 9480𝑡4)

+4𝜂8(103 − 1690𝑡2 + 1728𝑡4)

+8𝜂10(11 − 204𝑡2 + 240𝑡4) ]

}

′

[𝑓VII(Φ)]′ = −(𝑢 ∙ 𝑣 ∙ 𝑤) = −(𝑢′ ∙ 𝑣 ∙ 𝑤 + 𝑢 ∙ 𝑣′ ∙ 𝑤 + 𝑢 ∙ 𝑣 ∙ 𝑤′)

Siendo.

𝑢 = 𝑁, 𝑣 = cos7 𝜑 , 𝑤 =

[

61 − 479𝑡2 + 179𝑡4 − 𝑡6

+𝜂2(331 − 3298𝑡2 + 1771𝑡4)

+5𝜂4(143 − 1731𝑡2 + 1216𝑡4)

+𝜂6(769 − 10964𝑡2 + 9480𝑡4)

+4𝜂8(103 − 1690𝑡2 + 1728𝑡4)

+8𝜂10(11 − 204𝑡2 + 240𝑡4) ]

Derivando.

𝑢′ = 𝜂2𝑡𝜌, 𝑣′ = −7𝑡 cos7 𝜑,

𝑤′ =

{

61 − 479(2𝑡3 + 2𝑡) + 179(4𝑡5 + 4𝑡3) − (6𝑡7 + 6𝑡5)

+[−2𝜂2𝑡(331 − 3298𝑡2 + 1771𝑡4) + 𝜂2(−3298(2𝑡3 + 2𝑡) + 1771(4𝑡5 + 4𝑡3))]

+5[−4𝜂4𝑡(143 − 1731𝑡2 + 1216𝑡4) + 𝜂4(−1731(2𝑡3 + 2𝑡) + 1216(4𝑡5 + 4𝑡3))]

+[−6𝜂6𝑡(769 − 10964𝑡2 + 9480𝑡4) + 𝜂6(−10964(2𝑡3 + 2𝑡) + 9480(4𝑡5 + 4𝑡3))]

+4[−8𝜂8𝑡(103 − 1690𝑡2 + 1728𝑡4) + 𝜂8(−1690(2𝑡3 + 2𝑡) + 1728(4𝑡5 + 4𝑡3))]

+8[−10𝜂10𝑡(11 − 204𝑡2 + 240𝑡4) + 𝜂10(−204(2𝑡3 + 2𝑡) + 240(4𝑡5 + 4𝑡3))] }

𝑤′ =

{

−958𝑡 − 242𝑡3 + 710𝑡5 − 6𝑡7

+[−662𝜂2𝑡 − 6596𝜂2𝑡 + 488𝜂2𝑡3 + 6596𝜂2𝑡3 + 7084𝜂2𝑡5 − 3542𝜂2𝑡5]

+5[−572𝜂4𝑡 − 3462𝜂4𝑡 + 1402𝜂4𝑡3 + 6924𝜂4𝑡3 + 4864𝜂4𝑡5 − 4864𝜂4𝑡5]

+[−4614𝜂6𝑡 − 21928𝜂6𝑡 + 15992𝜂6𝑡3 + 65784𝜂6𝑡3 + 37920𝜂6𝑡5 − 56880𝜂6𝑡5]

+4[−824𝜂8𝑡 − 3380𝜂8𝑡 + 3532𝜂8𝑡3 + 13520𝜂8𝑡3 + 6912𝜂8𝑡5 − 13824𝜂8𝑡5]

+8[−110𝜂10𝑡 − 408𝜂10𝑡 + 552𝜂10𝑡3 + 2040𝜂10𝑡3 + 960𝜂10𝑡5 − 2400𝜂10𝑡5] }

VI. ANEXOS.

386

𝑤′ =

{

−958𝑡 − 242𝑡3 + 710𝑡5 − 6𝑡7

+[−7258𝜂2𝑡 + 7084𝜂2𝑡3 + 3542𝜂2𝑡5] + 5[−4034𝜂4𝑡 + 8326𝜂4𝑡3]

+[−26542𝜂6𝑡 + 81776𝜂6𝑡3 − 18960𝜂6𝑡5]

+4[−4204𝜂8𝑡 + 17052𝜂8𝑡3 − 6912𝜂8𝑡5]

+8[−518𝜂10𝑡 + 2592𝜂10𝑡3 − 1440𝜂10𝑡5] }

𝑤′ =

[

−958𝑡 − 242𝑡3 + 710𝑡5 − 6𝑡7 − 7258𝜂2𝑡

+7084𝜂2𝑡3 + 3542𝜂2𝑡5 − 20170𝜂4𝑡 + 41630𝜂4𝑡3

−26542𝜂6𝑡 + 81776𝜂6𝑡3 − 18960𝜂6𝑡5 − 16816𝜂8𝑡

+68208𝜂8𝑡3 − 27648𝜂8𝑡5 − 4144𝜂10𝑡 + 20736𝜂10𝑡3

−11520𝜂10𝑡5 ]

Sustituyendo.

[𝑓VII(Φ)]′ =

−

{

𝜂2𝑡𝜌 cos7 𝜑

[

61 − 479𝑡2 + 179𝑡4 − 𝑡6

+𝜂2(331 − 3298𝑡2 + 1771𝑡4) + 5𝜂4(143 − 1731𝑡2 + 1216𝑡4)

+𝜂6(769 − 10964𝑡2 + 9480𝑡4) + 4𝜂8(103 − 1690𝑡2 + 1728𝑡4)

+8𝜂10(11 − 204𝑡2 + 240𝑡4) ]

+𝑁(−7𝑡 cos7 𝜑)

[

61 − 479𝑡2 + 179𝑡4 − 𝑡6

+𝜂2(331 − 3298𝑡2 + 1771𝑡4) + 5𝜂4(143 − 1731𝑡2 + 1216𝑡4)

+𝜂6(769 − 10964𝑡2 + 9480𝑡4) + 4𝜂8(103 − 1690𝑡2 + 1728𝑡4)

+8𝜂10(11 − 204𝑡2 + 240𝑡4) ]

+𝑁 cos7 𝜑

[

−958𝑡 − 242𝑡3 + 710𝑡5 − 6𝑡7 − 7258𝜂2𝑡

+7084𝜂2𝑡3 + 3542𝜂2𝑡5 − 20170𝜂4𝑡 + 41630𝜂4𝑡3

−26542𝜂6𝑡 + 81776𝜂6𝑡3 − 18960𝜂6𝑡5 − 16816𝜂8𝑡

+68208𝜂8𝑡3 − 27648𝜂8𝑡5 − 4144𝜂10𝑡 + 20736𝜂10𝑡3

−11520𝜂10𝑡5 ]

}

VI. ANEXOS.

387

[𝑓VII(Φ)]′ =

−cos7 𝜑

{

𝜌

[

61𝜂2𝑡 − 479𝜂2𝑡3 + 179𝜂2𝑡5 − 𝜂2𝑡7

+𝜂4𝑡(331 − 3298𝑡2 + 1771𝑡4) + 5𝜂6𝑡(143 − 1731𝑡2 + 1216𝑡4)

+𝜂8𝑡(769 − 10964𝑡2 + 9480𝑡4) + 4𝜂10𝑡(103 − 1690𝑡2 + 1728𝑡4)

+8𝜂12𝑡(11 − 204𝑡2 + 240𝑡4) ]

−𝑁

[

427𝑡 − 3353𝑡3 + 1253𝑡5 − 7𝑡7

+7𝜂2𝑡(331 − 3298𝑡2 + 1771𝑡4) + 35𝜂4𝑡(143 − 1731𝑡2 + 1216𝑡4)

+7𝜂6𝑡(769 − 10964𝑡2 + 9480𝑡4) + 28𝜂8𝑡(103 − 1690𝑡2 + 1728𝑡4)

+56𝜂10𝑡(11 − 204𝑡2 + 240𝑡4) ]

+𝑁

[

−958𝑡 − 242𝑡3 + 710𝑡5 − 6𝑡7 − 7258𝜂2𝑡

+7084𝜂2𝑡3 + 3542𝜂2𝑡5 − 20170𝜂4𝑡 + 41630𝜂4𝑡3

−26542𝜂6𝑡 + 81776𝜂6𝑡3 − 18960𝜂6𝑡5 − 16816𝜂8𝑡

+68208𝜂8𝑡3 − 27648𝜂8𝑡5 − 4144𝜂10𝑡 + 20736𝜂10𝑡3

−11520𝜂10𝑡5 ]

}


𝑑Φ.

𝑓VIII(Φ) = [𝑓VII(Φ)]′ ∙𝑑𝜑

𝑑Φ

[𝑓VII(Φ)]′ =

−cos7 𝜑

{

𝜌

[

61𝜂2𝑡 − 479𝜂2𝑡3 + 179𝜂2𝑡5 − 𝜂2𝑡7

+𝜂4𝑡(331 − 3298𝑡2 + 1771𝑡4) + 5𝜂6𝑡(143 − 1731𝑡2 + 1216𝑡4)

+𝜂8𝑡(769 − 10964𝑡2 + 9480𝑡4) + 4𝜂10𝑡(103 − 1690𝑡2 + 1728𝑡4)

+8𝜂12𝑡(11 − 204𝑡2 + 240𝑡4) ]

−𝑁

[

427𝑡 − 3353𝑡3 + 1253𝑡5 − 7𝑡7

+7𝜂2𝑡(331 − 3298𝑡2 + 1771𝑡4) + 35𝜂4𝑡(143 − 1731𝑡2 + 1216𝑡4)

+7𝜂6𝑡(769 − 10964𝑡2 + 9480𝑡4) + 28𝜂8𝑡(103 − 1690𝑡2 + 1728𝑡4)

+56𝜂10𝑡(11 − 204𝑡2 + 240𝑡4) ]

+𝑁

[

−958𝑡 − 242𝑡3 + 710𝑡5 − 6𝑡7 − 7258𝜂2𝑡

+7084𝜂2𝑡3 + 3542𝜂2𝑡5 − 20170𝜂4𝑡 + 41630𝜂4𝑡3

−26542𝜂6𝑡 + 81776𝜂6𝑡3 − 18960𝜂6𝑡5 − 16816𝜂8𝑡

+68208𝜂8𝑡3 − 27648𝜂8𝑡5 − 4144𝜂10𝑡 + 20736𝜂10𝑡3

−11520𝜂10𝑡5 ]

}

∙ (𝑁 cos𝜑

𝜌)

VI. ANEXOS.

388

𝑓VIII(Φ) =

−𝑁 cos8 𝜑

{

𝜌

𝜌

[

61𝜂2𝑡 − 479𝜂2𝑡3 + 179𝜂2𝑡5 − 𝜂2𝑡7

+𝜂4𝑡(331 − 3298𝑡2 + 1771𝑡4) + 5𝜂6𝑡(143 − 1731𝑡2 + 1216𝑡4)

+𝜂8𝑡(769 − 10964𝑡2 + 9480𝑡4) + 4𝜂10𝑡(103 − 1690𝑡2 + 1728𝑡4)

+8𝜂12𝑡(11 − 204𝑡2 + 240𝑡4) ]

−𝑁

𝜌

[

427𝑡 − 3353𝑡3 + 1253𝑡5 − 7𝑡7

+7𝜂2𝑡(331 − 3298𝑡2 + 1771𝑡4) + 35𝜂4𝑡(143 − 1731𝑡2 + 1216𝑡4)

+7𝜂6𝑡(769 − 10964𝑡2 + 9480𝑡4) + 28𝜂8𝑡(103 − 1690𝑡2 + 1728𝑡4)

+56𝜂10𝑡(11 − 204𝑡2 + 240𝑡4) ]

+𝑁

𝜌

[

−958𝑡 − 242𝑡3 + 710𝑡5 − 6𝑡7 − 7258𝜂2𝑡

+7084𝜂2𝑡3 + 3542𝜂2𝑡5 − 20170𝜂4𝑡 + 41630𝜂4𝑡3

−26542𝜂6𝑡 + 81776𝜂6𝑡3 − 18960𝜂6𝑡5 − 16816𝜂8𝑡

+68208𝜂8𝑡3 − 27648𝜂8𝑡5 − 4144𝜂10𝑡 + 20736𝜂10𝑡3

−11520𝜂10𝑡5 ]

}

𝑓VIII(Φ) = −𝑁 cos8 𝜑 ∙

{

[

61𝜂2𝑡 − 479𝜂2𝑡3 + 179𝜂2𝑡5 − 𝜂2𝑡7

+𝜂4𝑡(331 − 3298𝑡2 + 1771𝑡4)+ 5𝜂6𝑡(143 − 1731𝑡2 + 1216𝑡4)

+𝜂8𝑡(769 − 10964𝑡2 + 9480𝑡4)+ 4𝜂10𝑡(103 − 1690𝑡2 + 1728𝑡4)

+8𝜂12𝑡(11 − 204𝑡2 + 240𝑡4) ]

−(1 + 𝜂2)

[

427𝑡 − 3353𝑡3 + 1253𝑡5 − 7𝑡7

+7𝜂2𝑡(331 − 3298𝑡2 + 1771𝑡4)+ 35𝜂4𝑡(143 − 1731𝑡2 + 1216𝑡4)

+7𝜂6𝑡(769 − 10964𝑡2 + 9480𝑡4) + 28𝜂8𝑡(103 − 1690𝑡2 + 1728𝑡4)

+56𝜂10𝑡(11 − 204𝑡2 + 240𝑡4) ]

+(1 + 𝜂2)

[

−958𝑡 − 242𝑡3 + 710𝑡5 − 6𝑡7 − 7258𝜂2𝑡

+7084𝜂2𝑡3 + 3542𝜂2𝑡5 − 20170𝜂4𝑡 + 41630𝜂4𝑡3

−26542𝜂6𝑡 + 81776𝜂6𝑡3 − 18960𝜂6𝑡5 − 16816𝜂8𝑡

+68208𝜂8𝑡3 − 27648𝜂8𝑡5 − 4144𝜂10𝑡 + 20736𝜂10𝑡3

−11520𝜂10𝑡5 ]

}

VI. ANEXOS.

389


{

[ 61𝜂2𝑡 − 479𝜂2𝑡3 + 179𝜂2𝑡5 − 𝜂2𝑡7 + 331𝜂4𝑡 − 3298𝜂4𝑡3

+1771𝜂4𝑡5 + 715𝜂6𝑡 − 8655𝜂6𝑡3 + 6080𝜂6𝑡5 + 769𝜂8𝑡

−10964𝜂8𝑡3 + 9480𝜂8𝑡5 + 412𝜂10𝑡 − 6760𝜂10𝑡3

+6912𝜂10𝑡5 + 88𝜂12𝑡 − 1632𝜂12𝑡3 + 1920𝜂12𝑡5 ]

+

[

−427𝑡 + 3353𝑡3 − 1253𝑡5 + 7𝑡7

−2744𝜂2𝑡 − 7322𝜂4𝑡 − 10388𝜂6𝑡 − 8267𝜂8𝑡

−3500𝜂10𝑡 − 616𝜂12𝑡 + 26439𝜂2𝑡3 + 83671𝜂4𝑡3

+137333𝜂6𝑡3 + 124068𝜂8𝑡3 + 58744𝜂10𝑡3

+11424𝜂12𝑡3 − 13650𝜂2𝑡5 − 54957𝜂4𝑡5 − 108920𝜂6𝑡5

−114744𝜂8𝑡5 − 61824𝜂10𝑡5 − 13440𝜂12𝑡5 + 7𝜂2𝑡7 ]

+

[

−958𝑡 − 242𝑡3 + 710𝑡5 − 6𝑡7

−8216𝜂2𝑡 − 27428𝜂4𝑡 − 46712𝜂6𝑡 − 43358𝜂8𝑡

−20960𝜂10𝑡 − 4144𝜂12𝑡 + 6842𝜂2𝑡3 + 48714𝜂4𝑡3

+123406𝜂6𝑡3 + 149984𝜂8𝑡3 + 88944𝜂10𝑡3 + 20736𝜂12𝑡3

+4252𝜂2𝑡5 + 3542𝜂4𝑡5 − 18960𝜂6𝑡5 − 46608𝜂8𝑡5

−39168𝜂10𝑡5 − 11520𝜂12𝑡5 − 6𝜂2𝑡7 ]

}


[

−(427𝑡 + 958𝑡) − (242𝑡3 − 3353𝑡3) + (710𝑡5 − 1253𝑡5) + (7𝑡7 − 6𝑡7)

+(61𝜂2𝑡 − 2744𝜂2𝑡 − 8216𝜂2𝑡) + (331𝜂4𝑡 − 7322𝜂4𝑡 − 27428𝜂4𝑡)

+(715𝜂6𝑡 − 46712𝜂6𝑡 − 10388𝜂6𝑡) + (769𝜂8𝑡 − 8267𝜂8𝑡 − 43358𝜂8𝑡)

+(412𝜂10𝑡 − 3500𝜂10𝑡 − 20960𝜂10𝑡) + (88𝜂12𝑡 − 616𝜂12𝑡 − 4144𝜂12𝑡)

−(479𝜂2𝑡3 − 6842𝜂2𝑡3 − 26439𝜂2𝑡3) − (3298𝜂4𝑡3 − 48714𝜂4𝑡3 − 83671𝜂4𝑡3)

−(8655𝜂6𝑡3 − 123406𝜂6𝑡3 − 137333𝜂6𝑡3) − (10964𝜂8𝑡3 − 124068𝜂8𝑡3 − 149984𝜂8𝑡3)

−(6760𝜂10𝑡3 − 58744𝜂10𝑡3 − 88944𝜂10𝑡3) − (1632𝜂12𝑡3 − 11424𝜂12𝑡3 − 20736𝜂12𝑡3)

+(179𝜂2𝑡5 + 4252𝜂2𝑡5 − 13650𝜂2𝑡5) + (1771𝜂4𝑡5 + 3542𝜂4𝑡5 − 54957𝜂4𝑡5)

+(6080𝜂6𝑡5 − 18960𝜂6𝑡5 − 108920𝜂6𝑡5) + (9480𝜂8𝑡5 − 46608𝜂8𝑡5 − 114744𝜂8𝑡5)

+(6912𝜂10𝑡5 − 61824𝜂10𝑡5 − 39168𝜂10𝑡5) + (1920𝜂12𝑡5 − 11520𝜂12𝑡5 − 13440𝜂12𝑡5)

+(7𝜂2𝑡7 − 𝜂2𝑡7 − 6𝜂2𝑡7) ]

𝑓VIII(Φ) = −𝑁 cos8 𝜑

[

−1385𝑡 + 3111𝑡3 − 543𝑡5 + 𝑡7

−10899𝜂2𝑡 − 34419𝜂4𝑡 − 56385𝜂6𝑡 − 50856𝜂8𝑡

−24048𝜂10𝑡 − 4672𝜂12𝑡 + 32802𝜂2𝑡3 + 129087𝜂4𝑡3

+252084𝜂6𝑡3 + 263088𝜂8𝑡3 + 140928𝜂10𝑡3

+30528𝜂12𝑡3 − 9219𝜂2𝑡5 − 49644𝜂4𝑡5

−121800𝜂6𝑡5 − 151872𝜂8𝑡5 − 94080𝜂10𝑡5

−23040𝜂12𝑡5 ]

VI. ANEXOS.

390

𝑓VIII(Φ) = 𝑁 cos8 𝜑

[

1385𝑡 − 3111𝑡3 + 543𝑡5 − 𝑡7

+10899𝜂2𝑡 − 32802𝜂2𝑡3 + 9219𝜂2𝑡5

+34419𝜂4𝑡 − 129087𝜂4𝑡3 + 49644𝜂4𝑡5

+56385𝜂6𝑡 − 252084𝜂6𝑡3 + 121800𝜂6𝑡5

+50856𝜂8𝑡 − 263088𝜂8𝑡3 + 151872𝜂8𝑡5

+24048𝜂10𝑡 − 140928𝜂10𝑡3 + 94080𝜂10𝑡5

+4672𝜂12𝑡 − 30528𝜂12𝑡3 + 23040𝜂12𝑡5 ]

𝒇𝐕𝐈𝐈𝐈(𝚽) = 𝑵𝒕 𝐜𝐨𝐬𝟖𝝋

[

𝟏𝟑𝟖𝟓 − 𝟑𝟏𝟏𝟏𝒕𝟐 + 𝟓𝟒𝟑𝒕𝟒 − 𝒕𝟔

+𝟐𝟏𝜼𝟐(𝟓𝟏𝟗 − 𝟏𝟓𝟔𝟐𝒕𝟐 + 𝟒𝟑𝟗𝒕𝟒)

+𝟐𝟏𝜼𝟒(𝟏𝟔𝟑𝟗 − 𝟔𝟏𝟒𝟕𝒕𝟐 + 𝟐𝟑𝟔𝟒𝒕𝟒)

+𝟐𝟏𝜼𝟔(𝟐𝟔𝟖𝟓 − 𝟏𝟐𝟎𝟎𝟒𝒕𝟐 + 𝟓𝟖𝟎𝟎𝒕𝟒)

+𝟐𝟒𝜼𝟖(𝟐𝟏𝟏𝟗 − 𝟏𝟎𝟗𝟔𝟐𝒕𝟐 + 𝟔𝟑𝟐𝟖𝒕𝟒)

+𝟒𝟖𝜼𝟏𝟎(𝟓𝟎𝟏 − 𝟐𝟗𝟑𝟔𝒕𝟐 + 𝟏𝟗𝟔𝟎𝒕𝟒)

+𝟔𝟒𝜼𝟏𝟐(𝟕𝟑 − 𝟒𝟕𝟕𝒕𝟐 + 𝟑𝟔𝟎𝒕𝟒) ]

Para 𝒇𝐈𝐗(𝚽).

[𝑓VIII(Φ)]′ =

{

𝑁𝑡 cos8 𝜑

[

1385 − 3111𝑡2 + 543𝑡4 − 𝑡6

+21𝜂2(519 − 1562𝑡2 + 439𝑡4)

+21𝜂4(1639 − 6147𝑡2 + 2364𝑡4)

+21𝜂6(2685 − 12004𝑡2 + 5800𝑡4)

+24𝜂8(2119 − 10962𝑡2 + 6328𝑡4)

+48𝜂10(501 − 2936𝑡2 + 1960𝑡4)

+64𝜂12(73 − 477𝑡2 + 360𝑡4) ]

}

′

[𝑓VIII(Φ)]′ =

{

𝑁 cos8 𝜑

[

1385𝑡 − 3111𝑡3 + 543𝑡5 − 𝑡7

+21𝜂2(519𝑡 − 1562𝑡3 + 439𝑡5)

+21𝜂4(1639𝑡 − 6147𝑡3 + 2364𝑡5)

+21𝜂6(2685𝑡 − 12004𝑡3 + 5800𝑡5)

+24𝜂8(2119𝑡 − 10962𝑡3 + 6328𝑡5)

+48𝜂10(501𝑡 − 2936𝑡3 + 1960𝑡5)

+64𝜂12(73𝑡 − 477𝑡3 + 360𝑡5) ]

}

′

[𝑓VIII(Φ)]′ = 𝑢 ∙ 𝑣 ∙ 𝑤 = 𝑢′ ∙ 𝑣 ∙ 𝑤 + 𝑢 ∙ 𝑣′ ∙ 𝑤 + 𝑢 ∙ 𝑣 ∙ 𝑤′

VI. ANEXOS.

391

Siendo.

𝑢 = 𝑁, 𝑣 = cos8 𝜑 , 𝑤 =

[

1385𝑡 − 3111𝑡3 + 543𝑡5 − 𝑡7

+21𝜂2(519𝑡 − 1562𝑡3 + 439𝑡5)

+21𝜂4(1639𝑡 − 6147𝑡3 + 2364𝑡5)

+21𝜂6(2685𝑡 − 12004𝑡3 + 5800𝑡5)

+24𝜂8(2119𝑡 − 10962𝑡3 + 6328𝑡5)

+48𝜂10(501𝑡 − 2936𝑡3 + 1960𝑡5)

+64𝜂12(73𝑡 − 477𝑡3 + 360𝑡5) ]

Derivando.

𝑢′ = 𝜂2𝑡𝜌, 𝑣′ = −8𝑡 cos8 𝜑,

𝑤′ =

{

1385(𝑡2 + 1) − 3111(3𝑡4 + 3𝑡2) + 543(5𝑡6 + 5𝑡4) − (7𝑡8 + 7𝑡6)

+21 [−2𝜂2𝑡(519𝑡 − 1562𝑡3 + 439𝑡5)

+𝜂2(519(𝑡2 + 1) − 1562(3𝑡4 + 3𝑡2) + 439(5𝑡6 + 5𝑡4))]

+21 [−4𝜂4𝑡(1639𝑡 − 6147𝑡3 + 2364𝑡5)

+𝜂4(1639(𝑡2 + 1) − 6147(3𝑡4 + 3𝑡2) + 2364(5𝑡6 + 5𝑡4))]

+21 [−6𝜂6𝑡(2685𝑡 − 12004𝑡3 + 5800𝑡5)

+𝜂6(2685(𝑡2 + 1) − 12004(3𝑡4 + 3𝑡2) + 5800(5𝑡6 + 5𝑡4))]

+24 [−8𝜂8𝑡(2119𝑡 − 10962𝑡3 + 6328𝑡5)

+𝜂8(2119(𝑡2 + 1) − 10962(3𝑡4 + 3𝑡2) + 6328(5𝑡6 + 5𝑡4))]

+48 [−10𝜂10𝑡(501𝑡 − 2936𝑡3 + 1960𝑡5)

+𝜂10(501(𝑡2 + 1) − 2936(3𝑡4 + 3𝑡2) + 1960(5𝑡6 + 5𝑡4))]

+64 [−12𝜂12𝑡(73𝑡 − 477𝑡3 + 360𝑡5)

+𝜂12(73(𝑡2 + 1) − 477(3𝑡4 + 3𝑡2) + 360(5𝑡6 + 5𝑡4))]

}

𝑤′ =

{

1385𝑡2 + 1385 − 9333𝑡4 − 9333𝑡2

+2715𝑡6 + 2715𝑡4 − 7𝑡8 − 7𝑡6

+21[519𝜂2 − 5205𝜂2𝑡2 + 633𝜂2𝑡4 + 1317𝜂2𝑡6]

+21[1639𝜂4 − 23358𝜂4𝑡2 + 17967𝜂4𝑡4 + 2364𝜂4𝑡6]

+21[2685𝜂6 − 49437𝜂6𝑡2 + 65012𝜂6𝑡4 − 5800𝜂6𝑡6]

+24[2119𝜂8 − 47719𝜂8𝑡2 + 86450𝜂8𝑡4 − 18984𝜂8𝑡6]

+48[501𝜂10 − 13317𝜂10𝑡2 + 30352𝜂10𝑡4 − 9800𝜂10𝑡6]

+64[73𝜂12 − 2234𝜂12𝑡2 + 6093𝜂12𝑡4 − 2520𝜂12𝑡6] }

VI. ANEXOS.

392

𝑤′ =

[

1385 − 7948𝑡2 − 6618𝑡4 + 2708𝑡6 − 7𝑡8

+10899𝜂2 − 109305𝜂2𝑡2 + 13293𝜂2𝑡4 + 27657𝜂2𝑡6

+34419𝜂4 − 490518𝜂4𝑡2 + 377307𝜂4𝑡4 + 49644𝜂4𝑡6

+56385𝜂6 − 1038177𝜂6𝑡2 + 1365252𝜂6𝑡4 − 121800𝜂6𝑡6

+50856𝜂8 − 1145256𝜂8𝑡2 + 2074800𝜂8𝑡4 − 455616𝜂8𝑡6

+24048𝜂10 − 639216𝜂10𝑡2 + 1456896𝜂10𝑡4 − 470400𝜂10𝑡6

+4672𝜂12 − 142976𝜂12𝑡2 + 389952𝜂12𝑡4 − 161280𝜂12𝑡6 ]

Sustituyendo.

[𝑓VIII(Φ)]′ =

{

𝜂2𝑡𝜌 ∙ cos8 𝜑

[

1385𝑡 − 3111𝑡3 + 543𝑡5 − 𝑡7 + 21𝜂2(519𝑡 − 1562𝑡3 + 439𝑡5)

+21𝜂4(1639𝑡 − 6147𝑡3 + 2364𝑡5) + 21𝜂6(2685𝑡 − 12004𝑡3 + 5800𝑡5)

+24𝜂8(2119𝑡 − 10962𝑡3 + 6328𝑡5) + 48𝜂10(501𝑡 − 2936𝑡3 + 1960𝑡5)

+64𝜂12(73𝑡 − 477𝑡3 + 360𝑡5) ]


[

1385𝑡 − 3111𝑡3 + 543𝑡5 − 𝑡7 + 21𝜂2(519𝑡 − 1562𝑡3 + 439𝑡5)

+21𝜂4(1639𝑡 − 6147𝑡3 + 2364𝑡5) + 21𝜂6(2685𝑡 − 12004𝑡3 + 5800𝑡5)

+24𝜂8(2119𝑡 − 10962𝑡3 + 6328𝑡5) + 48𝜂10(501𝑡 − 2936𝑡3 + 1960𝑡5)

+64𝜂12(73𝑡 − 477𝑡3 + 360𝑡5) ]

+𝑁 cos8 𝜑

[

1385 − 7948𝑡2 − 6618𝑡4 + 2708𝑡6 − 7𝑡8

+10899𝜂2 − 109305𝜂2𝑡2 + 13293𝜂2𝑡4 + 27657𝜂2𝑡6

+34419𝜂4 − 490518𝜂4𝑡2 + 377307𝜂4𝑡4 + 49644𝜂4𝑡6

+56385𝜂6 − 1038177𝜂6𝑡2 + 1365252𝜂6𝑡4 − 121800𝜂6𝑡6

+50856𝜂8 − 1145256𝜂8𝑡2 + 2074800𝜂8𝑡4 − 455616𝜂8𝑡6

+24048𝜂10 − 639216𝜂10𝑡2 + 1456896𝜂10𝑡4 − 470400𝜂10𝑡6

+4672𝜂12 − 142976𝜂12𝑡2 + 389952𝜂12𝑡4 − 161280𝜂12𝑡6 ]

}

VI. ANEXOS.

393

[𝑓VIII(Φ)]′ = cos8 𝜑 ∙

{

𝜌

[

1385𝜂2𝑡2 − 3111𝜂2𝑡4 + 543𝜂2𝑡6 − 𝜂2𝑡8

+21𝜂4𝑡(519𝑡 − 1562𝑡3 + 439𝑡5) + 21𝜂6𝑡(1639𝑡 − 6147𝑡3 + 2364𝑡5)

+21𝜂8𝑡(2685𝑡 − 12004𝑡3 + 5800𝑡5) + 24𝜂10𝑡(2119𝑡 − 10962𝑡3 + 6328𝑡5)

+48𝜂12𝑡(501𝑡 − 2936𝑡3 + 1960𝑡5) + 64𝜂14𝑡(73𝑡 − 477𝑡3 + 360𝑡5) ]

−𝑁

[

11080𝑡2 − 24888𝑡4 + 4344𝑡6 − 8𝑡8

+168𝜂2𝑡(519𝑡 − 1562𝑡3 + 439𝑡5) + 168𝜂4𝑡(1639𝑡 − 6147𝑡3 + 2364𝑡5)

+168𝜂6𝑡(2685𝑡 − 12004𝑡3 + 5800𝑡5) + 192𝜂8𝑡(2119𝑡 − 10962𝑡3 + 6328𝑡5)

+384𝜂10𝑡(501𝑡 − 2936𝑡3 + 1960𝑡5) + 512𝜂12𝑡(73𝑡 − 477𝑡3 + 360𝑡5) ]

+𝑁

[

1385 − 7948𝑡2 − 6618𝑡4 + 2708𝑡6 − 7𝑡8

+10899𝜂2 − 109305𝜂2𝑡2 + 13293𝜂2𝑡4 + 27657𝜂2𝑡6

+34419𝜂4 − 490518𝜂4𝑡2 + 377307𝜂4𝑡4 + 49644𝜂4𝑡6

+56385𝜂6 − 1038177𝜂6𝑡2 + 1365252𝜂6𝑡4 − 121800𝜂6𝑡6

+50856𝜂8 − 1145256𝜂8𝑡2 + 2074800𝜂8𝑡4 − 455616𝜂8𝑡6

+24048𝜂10 − 639216𝜂10𝑡2 + 1456896𝜂10𝑡4 − 470400𝜂10𝑡6

+4672𝜂12 − 142976𝜂12𝑡2 + 389952𝜂12𝑡4 − 161280𝜂12𝑡6 ]

}


𝑑Φ.

𝑓IX(Φ) = [𝑓VIII(Φ)]′ ∙𝑑𝜑

𝑑Φ

𝑓IX = cos8 𝜑 ∙

{

𝜌

[

1385𝜂2𝑡2 − 3111𝜂2𝑡4 + 543𝜂2𝑡6 − 𝜂2𝑡8

+21𝜂4𝑡(519𝑡 − 1562𝑡3 + 439𝑡5) + 21𝜂6𝑡(1639𝑡 − 6147𝑡3 + 2364𝑡5)

+21𝜂8𝑡(2685𝑡 − 12004𝑡3 + 5800𝑡5) + 24𝜂10𝑡(2119𝑡 − 10962𝑡3 + 6328𝑡5)

+48𝜂12𝑡(501𝑡 − 2936𝑡3 + 1960𝑡5) + 64𝜂14𝑡(73𝑡 − 477𝑡3 + 360𝑡5) ]

−𝑁

[

11080𝑡2 − 24888𝑡4 + 4344𝑡6 − 8𝑡8

+168𝜂2𝑡(519𝑡 − 1562𝑡3 + 439𝑡5) + 168𝜂4𝑡(1639𝑡 − 6147𝑡3 + 2364𝑡5)

+168𝜂6𝑡(2685𝑡 − 12004𝑡3 + 5800𝑡5) + 192𝜂8𝑡(2119𝑡 − 10962𝑡3 + 6328𝑡5)

+384𝜂10𝑡(501𝑡 − 2936𝑡3 + 1960𝑡5) + 512𝜂12𝑡(73𝑡 − 477𝑡3 + 360𝑡5) ]

+𝑁

[

1385 − 7948𝑡2 − 6618𝑡4 + 2708𝑡6 − 7𝑡8

+10899𝜂2 − 109305𝜂2𝑡2 + 13293𝜂2𝑡4 + 27657𝜂2𝑡6

+34419𝜂4 − 490518𝜂4𝑡2 + 377307𝜂4𝑡4 + 49644𝜂4𝑡6

+56385𝜂6 − 1038177𝜂6𝑡2 + 1365252𝜂6𝑡4 − 121800𝜂6𝑡6

+50856𝜂8 − 1145256𝜂8𝑡2 + 2074800𝜂8𝑡4 − 455616𝜂8𝑡6

+24048𝜂10 − 639216𝜂10𝑡2 + 1456896𝜂10𝑡4 − 470400𝜂10𝑡6

+4672𝜂12 − 142976𝜂12𝑡2 + 389952𝜂12𝑡4 − 161280𝜂12𝑡6 ]

}

∙ (𝑁 cos𝜑

𝜌)

VI. ANEXOS.

394

𝑓IX(Φ) = 𝑁 cos9 𝜑 ∙

{

𝜌

𝜌

[

1385𝜂2𝑡2 − 3111𝜂2𝑡4 + 543𝜂2𝑡6 − 𝜂2𝑡8

+21𝜂4𝑡(519𝑡 − 1562𝑡3 + 439𝑡5) + 21𝜂6𝑡(1639𝑡 − 6147𝑡3 + 2364𝑡5)

+21𝜂8𝑡(2685𝑡 − 12004𝑡3 + 5800𝑡5) + 24𝜂10𝑡(2119𝑡 − 10962𝑡3 + 6328𝑡5)

+48𝜂12𝑡(501𝑡 − 2936𝑡3 + 1960𝑡5) + 64𝜂14𝑡(73𝑡 − 477𝑡3 + 360𝑡5) ]

−𝑁

𝜌

[

11080𝑡2 − 24888𝑡4 + 4344𝑡6 − 8𝑡8

+168𝜂2𝑡(519𝑡 − 1562𝑡3 + 439𝑡5) + 168𝜂4𝑡(1639𝑡 − 6147𝑡3 + 2364𝑡5)

+168𝜂6𝑡(2685𝑡 − 12004𝑡3 + 5800𝑡5) + 192𝜂8𝑡(2119𝑡 − 10962𝑡3 + 6328𝑡5)

+384𝜂10𝑡(501𝑡 − 2936𝑡3 + 1960𝑡5) + 512𝜂12𝑡(73𝑡 − 477𝑡3 + 360𝑡5) ]

+𝑁

𝜌

[

1385 − 7948𝑡2 − 6618𝑡4 + 2708𝑡6 − 7𝑡8

+10899𝜂2 − 109305𝜂2𝑡2 + 13293𝜂2𝑡4 + 27657𝜂2𝑡6

+34419𝜂4 − 490518𝜂4𝑡2 + 377307𝜂4𝑡4 + 49644𝜂4𝑡6

+56385𝜂6 − 1038177𝜂6𝑡2 + 1365252𝜂6𝑡4 − 121800𝜂6𝑡6

+50856𝜂8 − 1145256𝜂8𝑡2 + 2074800𝜂8𝑡4 − 455616𝜂8𝑡6

+24048𝜂10 − 639216𝜂10𝑡2 + 1456896𝜂10𝑡4 − 470400𝜂10𝑡6

+4672𝜂12 − 142976𝜂12𝑡2 + 389952𝜂12𝑡4 − 161280𝜂12𝑡6 ]

}


{

[

1385𝜂2𝑡2 − 3111𝜂2𝑡4 + 543𝜂2𝑡6 − 𝜂2𝑡8

+21𝜂4𝑡(519𝑡 − 1562𝑡3 + 439𝑡5) + 21𝜂6𝑡(1639𝑡 − 6147𝑡3 + 2364𝑡5)

+21𝜂8𝑡(2685𝑡 − 12004𝑡3 + 5800𝑡5) + 24𝜂10𝑡(2119𝑡 − 10962𝑡3 + 6328𝑡5)

+48𝜂12𝑡(501𝑡 − 2936𝑡3 + 1960𝑡5) + 64𝜂14𝑡(73𝑡 − 477𝑡3 + 360𝑡5) ]

−(1 + 𝜂2)

[

11080𝑡2 − 24888𝑡4 + 4344𝑡6 − 8𝑡8

+168𝜂2𝑡(519𝑡 − 1562𝑡3 + 439𝑡5) + 168𝜂4𝑡(1639𝑡 − 6147𝑡3 + 2364𝑡5)

+168𝜂6𝑡(2685𝑡 − 12004𝑡3 + 5800𝑡5) + 192𝜂8𝑡(2119𝑡 − 10962𝑡3 + 6328𝑡5)

+384𝜂10𝑡(501𝑡 − 2936𝑡3 + 1960𝑡5) + 512𝜂12𝑡(73𝑡 − 477𝑡3 + 360𝑡5) ]

+(1 + 𝜂2)

[

1385 − 7948𝑡2 − 6618𝑡4 + 2708𝑡6 − 7𝑡8

+10899𝜂2 − 109305𝜂2𝑡2 + 13293𝜂2𝑡4 + 27657𝜂2𝑡6

+34419𝜂4 − 490518𝜂4𝑡2 + 377307𝜂4𝑡4 + 49644𝜂4𝑡6

+56385𝜂6 − 1038177𝜂6𝑡2 + 1365252𝜂6𝑡4 − 121800𝜂6𝑡6

+50856𝜂8 − 1145256𝜂8𝑡2 + 2074800𝜂8𝑡4 − 455616𝜂8𝑡6

+24048𝜂10 − 639216𝜂10𝑡2 + 1456896𝜂10𝑡4 − 470400𝜂10𝑡6

+4672𝜂12 − 142976𝜂12𝑡2 + 389952𝜂12𝑡4 − 161280𝜂12𝑡6 ]

}

VI. ANEXOS.

395


{

[

1385𝜂2𝑡2 − 3111𝜂2𝑡4 + 543𝜂2𝑡6 − 𝜂2𝑡8 + 10899𝜂4𝑡2

−32802𝜂4𝑡4 + 9219𝜂4𝑡6 + 34419𝜂6𝑡2 − 129087𝜂6𝑡4

+49644𝜂6𝑡6 + 56385𝜂8𝑡2 − 252084𝜂8𝑡4 + 121800𝜂8𝑡6

+50856𝜂10𝑡2 − 263088𝜂10𝑡4 + 151872𝜂10𝑡6 + 24048𝜂12𝑡2

−140928𝜂12𝑡4 + 94080𝜂12𝑡6 + 4672𝜂14𝑡2 − 30528𝜂14𝑡4

+23040𝜂14𝑡6 ]

+

[

−11080𝑡2 + 24888𝑡4 − 4344𝑡6 + 8𝑡8

−98272𝜂2𝑡2 − 362544𝜂4𝑡2 − 726432𝜂6𝑡2 − 857928𝜂8𝑡2

−599232𝜂10𝑡2 − 229760𝜂12𝑡2 − 37376𝜂14𝑡2 + 287304𝜂2𝑡4

+1295112𝜂4𝑡4 + 3049368𝜂6𝑡4 + 4121376𝜂8𝑡4 + 3232128𝜂10𝑡4

+1371648𝜂12𝑡4 + 244224𝜂14𝑡4 − 78096𝜂2𝑡6 − 470904𝜂4𝑡6

−1371552𝜂6𝑡6 − 2189376𝜂8𝑡6 − 1967616𝜂10𝑡6 − 936960𝜂12𝑡6

−184320𝜂14𝑡6 + 8𝜂2𝑡8 ]

+

[ 1385 − 7948𝑡2 − 6618𝑡4 + 2708𝑡6 − 7𝑡8 + 12284𝜂2 + 45318𝜂4

+90804𝜂6 + 107241𝜂8 + 74904𝜂10 + 28720𝜂12 + 4672𝜂14

−117253𝜂2𝑡2 − 599823𝜂4𝑡2 − 1528695𝜂6𝑡2 − 2183433𝜂8𝑡2

−1784472𝜂10𝑡2 − 782192𝜂12𝑡2 − 142976𝜂14𝑡2 + 6675𝜂2𝑡4

+390600𝜂4𝑡4 + 1742559𝜂6𝑡4 + 3440052𝜂8𝑡4 + 3531696𝜂10𝑡4

+1846848𝜂12𝑡4 + 389952𝜂14𝑡4 + 30365𝜂2𝑡6 + 77301𝜂4𝑡6

−72156𝜂6𝑡6 − 577416𝜂8𝑡6 − 926016𝜂10𝑡6 − 631680𝜂12𝑡6

−161280𝜂14𝑡6 − 7𝜂2𝑡8 ]

}

VI. ANEXOS.

396


[

1385 − (7948𝑡2 + 11080𝑡2) + (24888𝑡4 − 6618𝑡4)

+(2708𝑡6 − 4344𝑡6) + (8𝑡8 − 7𝑡8) + 12284𝜂2 + 45318𝜂4

+90804𝜂6 + 107241𝜂8 + 74904𝜂10 + 28720𝜂12 + 4672𝜂14

+(1385𝜂2𝑡2 − 98272𝜂2𝑡2 − 117253𝜂2𝑡2) + (10899𝜂4𝑡2

−362544𝜂4𝑡2 − 599823𝜂4𝑡2) + (34419𝜂6𝑡2 − 726432𝜂6𝑡2

−1528695𝜂6𝑡2) + (56385𝜂8𝑡2 − 857928𝜂8𝑡2 − 2183433𝜂8𝑡2)

+(50856𝜂10𝑡2 − 599232𝜂10𝑡2 − 1784472𝜂10𝑡2) + (24048𝜂12𝑡2

−229760𝜂12𝑡2 − 782192𝜂12𝑡2) + (4672𝜂14𝑡2 − 37376𝜂14𝑡2

−142976𝜂14𝑡2) + (287304𝜂2𝑡4 + 6675𝜂2𝑡4 − 3111𝜂2𝑡4)

+(1295112𝜂4𝑡4 + 390600𝜂4𝑡4 − 32802𝜂4𝑡4) + (3049368𝜂6𝑡4

+1742559𝜂6𝑡4 − 129087𝜂6𝑡4) + (4121376𝜂8𝑡4 + 3440052𝜂8𝑡4

−252084𝜂8𝑡4) + (3531696𝜂10𝑡4 + 3232128𝜂10𝑡4 − 263088𝜂10𝑡4)

+(1846848𝜂12𝑡4 + 1371648𝜂12𝑡4 − 140928𝜂12𝑡4) + (389952𝜂14𝑡4

+244224𝜂14𝑡4 − 30528𝜂14𝑡4) + (543𝜂2𝑡6 + 30365𝜂2𝑡6 − 78096𝜂2𝑡6)

+(9219𝜂4𝑡6 + 77301𝜂4𝑡6 − 470904𝜂4𝑡6) + (49644𝜂6𝑡6 − 72156𝜂6𝑡6

−1371552𝜂6𝑡6) + (121800𝜂8𝑡6 − 577416𝜂8𝑡6 − 2189376𝜂8𝑡6)

+(151872𝜂10𝑡6 − 926016𝜂10𝑡6 − 1967616𝜂10𝑡6) + (94080𝜂12𝑡6

−631680𝜂12𝑡6 − 936960𝜂12𝑡6) + (23040𝜂14𝑡6 − 161280𝜂14𝑡6

−184320𝜂14𝑡6) + (8𝜂2𝑡8 − 7𝜂2𝑡8 − 𝜂2𝑡8) ]

𝑓IX(Φ) = 𝑁 cos9 𝜑

[

1385 − 19028𝑡2 + 18270𝑡4 − 1636𝑡6 + 𝑡8

+12284𝜂2 + 45318𝜂4 + 90804𝜂6 + 107241𝜂8

+74904𝜂10 + 28720𝜂12 + 4672𝜂14 − 214140𝜂2𝑡2

−951468𝜂4𝑡2 − 2220708𝜂6𝑡2 − 2984976𝜂8𝑡2

−2332848𝜂10𝑡2 − 987904𝜂12𝑡2 − 175680𝜂14𝑡2

+290868𝜂2𝑡4 + 1652910𝜂4𝑡4 + 4662840𝜂6𝑡4

+7309344𝜂8𝑡4 + 6500736𝜂10𝑡4 + 3077568𝜂12𝑡4

+603648𝜂14𝑡4 − 47188𝜂2𝑡6 − 384384𝜂4𝑡6

−1394064𝜂6𝑡6 − 2644992𝜂8𝑡6 − 2741760𝜂10𝑡6

−1474560𝜂12𝑡6 − 322560𝜂14𝑡6 ]

VI. ANEXOS.

397

𝑓IX(Φ) =

𝑁 cos9 𝜑

[

1385 − 19028𝑡2 + 18270𝑡4 − 1636𝑡6 + 𝑡8

+12284𝜂2 − 214140𝜂2𝑡2 + 290868𝜂2𝑡4 − 47188𝜂2𝑡6

+45318𝜂4 − 951468𝜂4𝑡2 + 1652910𝜂4𝑡4 − 384384𝜂4𝑡6

+90804𝜂6 − 2220708𝜂6𝑡2 + 4662840𝜂6𝑡4 − 1394064𝜂6𝑡6

+107241𝜂8 − 2984976𝜂8𝑡2 + 7309344𝜂8𝑡4 − 2644992𝜂8𝑡6

+74904𝜂10 − 2332848𝜂10𝑡2 + 6500736𝜂10𝑡4 − 2741760𝜂10𝑡6

+28720𝜂12 − 987904𝜂12𝑡2 + 3077568𝜂12𝑡4 − 1474560𝜂12𝑡6

+4672𝜂14 − 175680𝜂14𝑡2 + 603648𝜂14𝑡4 − 322560𝜂14𝑡6 ]

𝒇𝐈𝐗(𝚽) = 𝑵𝐜𝐨𝐬𝟗𝝋

[

𝟏𝟑𝟖𝟓 − 𝟏𝟗𝟎𝟐𝟖𝒕𝟐 + 𝟏𝟖𝟐𝟕𝟎𝒕𝟒 − 𝟏𝟔𝟑𝟔𝒕𝟔 + 𝒕𝟖

+𝟒𝜼𝟐(𝟑𝟎𝟕𝟏 − 𝟓𝟑𝟓𝟑𝟓𝒕𝟐 + 𝟕𝟐𝟕𝟏𝟕𝒕𝟒 − 𝟏𝟏𝟕𝟗𝟕𝒕𝟔)

+𝟒𝟐𝜼𝟒(𝟏𝟎𝟕𝟗 − 𝟐𝟐𝟔𝟓𝟒𝒕𝟐 + 𝟑𝟗𝟑𝟓𝟓𝒕𝟒 − 𝟗𝟏𝟓𝟐𝒕𝟔)

+𝟖𝟒𝜼𝟔(𝟏𝟎𝟖𝟏 − 𝟐𝟔𝟒𝟑𝟕𝒕𝟐 + 𝟓𝟓𝟓𝟏𝟎𝒕𝟒 − 𝟏𝟔𝟓𝟗𝟔𝒕𝟔)

+𝟑𝜼𝟖(𝟑𝟓𝟕𝟒𝟕 − 𝟗𝟗𝟒𝟗𝟗𝟐𝒕𝟐 + 𝟐𝟒𝟑𝟔𝟒𝟒𝟖𝒕𝟒 − 𝟖𝟖𝟏𝟔𝟔𝟒𝒕𝟔)

+𝟐𝟒𝜼𝟏𝟎(𝟑𝟏𝟐𝟏 − 𝟗𝟕𝟐𝟎𝟐𝒕𝟐 + 𝟐𝟕𝟎𝟖𝟔𝟒𝒕𝟒 − 𝟏𝟏𝟒𝟐𝟒𝟎𝒕𝟔)

+𝟏𝟔𝜼𝟏𝟐(𝟏𝟕𝟗𝟓 − 𝟔𝟏𝟕𝟒𝟒𝒕𝟐 + 𝟏𝟗𝟐𝟑𝟒𝟖𝒕𝟒 − 𝟗𝟐𝟏𝟔𝟎𝒕𝟔)

+𝟔𝟒𝜼𝟏𝟒(𝟕𝟑 − 𝟐𝟕𝟒𝟓𝒕𝟐 + 𝟗𝟒𝟑𝟐𝒕𝟒 − 𝟓𝟎𝟒𝟎𝒕𝟔) ]

Para 𝒇𝐗(𝚽).

[𝑓IX(Φ)]′ =

{

𝑁 cos9 𝜑

[

1385 − 19028𝑡2 + 18270𝑡4 − 1636𝑡6 + 𝑡8

+4𝜂2(3071 − 53535𝑡2 + 72717𝑡4 − 11797𝑡6)

+42𝜂4(1079 − 22654𝑡2 + 39355𝑡4 − 9152𝑡6)

+84𝜂6(1081 − 26437𝑡2 + 55510𝑡4 − 16596𝑡6)

+3𝜂8(35747 − 994992𝑡2 + 2436448𝑡4 − 881664𝑡6)

+24𝜂10(3121 − 97202𝑡2 + 270864𝑡4 − 114240𝑡6)

+16𝜂12(1795 − 61744𝑡2 + 192348𝑡4 − 92160𝑡6)

+64𝜂14(73 − 2745𝑡2 + 9432𝑡4 − 5040𝑡6) ]

}

′

[𝑓IX(Φ)]′ = (𝑢 ∙ 𝑣 ∙ 𝑤)′ = 𝑢′ ∙ 𝑣 ∙ 𝑤 + 𝑢 ∙ 𝑣′ ∙ 𝑤 + 𝑢 ∙ 𝑣 ∙ 𝑤′

VI. ANEXOS.

398

Siendo.

𝑢 = 𝑁, 𝑣 = cos9 𝜑,

𝑤 =

[

1385 − 19028𝑡2 + 18270𝑡4 − 1636𝑡6 + 𝑡8

+4𝜂2(3071 − 53535𝑡2 + 72717𝑡4 − 11797𝑡6)

+42𝜂4(1079 − 22654𝑡2 + 39355𝑡4 − 9152𝑡6)

+84𝜂6(1081 − 26437𝑡2 + 55510𝑡4 − 16596𝑡6)

+3𝜂8(35747 − 994992𝑡2 + 2436448𝑡4 − 881664𝑡6)

+24𝜂10(3121 − 97202𝑡2 + 270864𝑡4 − 114240𝑡6)

+16𝜂12(1795 − 61744𝑡2 + 192348𝑡4 − 92160𝑡6)

+64𝜂14(73 − 2745𝑡2 + 9432𝑡4 − 5040𝑡6) ]


𝑢′ = 𝜂2𝑡𝜌, 𝑣′ = −9𝑡 cos9 𝜑,

𝑤′ =

[

1385 − 19028𝑡2 + 18270𝑡4 − 1636𝑡6 + 𝑡8

+4𝜂2(3071 − 53535𝑡2 + 72717𝑡4 − 11797𝑡6)

+42𝜂4(1079 − 22654𝑡2 + 39355𝑡4 − 9152𝑡6)

+84𝜂6(1081 − 26437𝑡2 + 55510𝑡4 − 16596𝑡6)

+3𝜂8(35747 − 994992𝑡2 + 2436448𝑡4 − 881664𝑡6)

+24𝜂10(3121 − 97202𝑡2 + 270864𝑡4 − 114240𝑡6)

+16𝜂12(1795 − 61744𝑡2 + 192348𝑡4 − 92160𝑡6)

+64𝜂14(73 − 2745𝑡2 + 9432𝑡4 − 5040𝑡6) ] ′

VI. ANEXOS.

399

𝑤′ =

{

−19028(2𝑡3 + 2𝑡) + 18270(4𝑡5 + 4𝑡3) − 1636(6𝑡7 + 6𝑡5) + (8𝑡9 + 8𝑡7)

+4 [−2𝜂2𝑡(3071 − 53535𝑡2 + 72717𝑡4 − 11797𝑡6)

+𝜂2(−53535(2𝑡3 + 2𝑡) + 72717(4𝑡5 + 4𝑡3) − 11797(6𝑡7 + 6𝑡5))]

+42 [−4𝜂4𝑡(1079 − 22654𝑡2 + 39355𝑡4 − 9152𝑡6)

+𝜂4(−22654(2𝑡3 + 2𝑡) + 39355(4𝑡5 + 4𝑡3) − 9152(6𝑡7 + 6𝑡5))]

+84 [−6𝜂6𝑡(1081 − 26437𝑡2 + 55510𝑡4 − 16596𝑡6)

+𝜂6(−26437(2𝑡3 + 2𝑡) + 55510(4𝑡5 + 4𝑡3) − 16596(6𝑡7 + 6𝑡5))]

+3 [−8𝜂8𝑡(35747 − 994992𝑡2 + 2436448𝑡4 − 881664𝑡6)

+𝜂8(−994992(2𝑡3 + 2𝑡) + 2436448(4𝑡5 + 4𝑡3) − 881664(6𝑡7 + 6𝑡5))]

+24 [−10𝜂10𝑡(3121 − 97202𝑡2 + 270864𝑡4 − 114240𝑡6)

+𝜂10(−97202(2𝑡3 + 2𝑡) + 270864(4𝑡5 + 4𝑡3) − 114240(6𝑡7 + 6𝑡5))]

+16 [−12𝜂12𝑡(1795 − 61744𝑡2 + 192348𝑡4 − 92160𝑡6)

+𝜂12(−61744(2𝑡3 + 2𝑡) + 192348(4𝑡5 + 4𝑡3) − 92160(6𝑡7 + 6𝑡5))]

+64 [−14𝜂14𝑡(73 − 2745𝑡2 + 9432𝑡4 − 5040𝑡6)

+𝜂14(−2745(2𝑡3 + 2𝑡) + 9432(4𝑡5 + 4𝑡3) − 5040(6𝑡7 + 6𝑡5))]

}

𝑤′ =

[

−38056𝑡 − 38056𝑡3 + 73080𝑡3 + 73080𝑡5

−9816𝑡5 − 9816𝑡7 + 8𝑡7 + 8𝑡9

+4(−113212𝜂2𝑡 + 290868𝜂2𝑡3 + 74652𝜂2𝑡5 − 47188𝜂2𝑡7)

+42(−49624𝜂4𝑡 + 202728𝜂4𝑡3 − 54912𝜂4𝑡5 − 18304𝜂4𝑡7)

+84(−59360𝜂6𝑡 + 327788𝜂6𝑡3 − 210596𝜂6𝑡5)

+3(−2275960𝜂8𝑡 + 15715744𝜂8𝑡3 − 15035776𝜂8𝑡5 + 1763328𝜂8𝑡7)

+24(−225614𝜂10𝑡 + 1861072𝜂10𝑡3 − 2310624𝜂10𝑡5 + 456960𝜂10𝑡7)

+16(−145028𝜂12𝑡 + 1386832𝜂12𝑡3 − 2091744𝜂12𝑡5 + 552960𝜂12𝑡7)

+64(−6512𝜂14𝑡 + 70668𝜂14𝑡3 − 124560𝜂14𝑡5 + 40320𝜂14𝑡7) ]

VI. ANEXOS.

400

𝑤′ =

[ −38056𝑡 + 35024𝑡3 + 63264𝑡5 − 9808𝑡7 + 8𝑡9 − 452848𝜂2𝑡 + 1163472𝜂2𝑡3

+298608𝜂2𝑡5 − 188752𝜂2𝑡7 − 2084208𝜂4𝑡 + 8514576𝜂4𝑡3 − 2306304𝜂4𝑡5

−768768𝜂4𝑡7 − 4986240𝜂6𝑡 + 27534192𝜂6𝑡3 − 17690064𝜂6𝑡5 − 6827880𝜂8𝑡

+47147232𝜂8𝑡3 − 45107328𝜂8𝑡5 + 5289984𝜂8𝑡7 − 5414736𝜂10𝑡

+44665728𝜂10𝑡3 − 55454976𝜂10𝑡5 + 10967040𝜂10𝑡7 − 2320448𝜂12𝑡

+22189312𝜂12𝑡3 − 33467904𝜂12𝑡5 + 8847360𝜂12𝑡7 − 416768𝜂14𝑡

+4522752𝜂14𝑡3 − 7971840𝜂14𝑡5 + 2580480𝜂14𝑡7 ]

Sustituyendo.

[𝑓IX(Φ)]′ =

{

𝜂2𝑡𝜌 ∙ cos9

[

1385 − 19028𝑡2 + 18270𝑡4 − 1636𝑡6 + 𝑡8

+4𝜂2(3071 − 53535𝑡2 + 72717𝑡4 − 11797𝑡6)

+42𝜂4(1079 − 22654𝑡2 + 39355𝑡4 − 9152𝑡6)

+84𝜂6(1081 − 26437𝑡2 + 55510𝑡4 − 16596𝑡6)

+3𝜂8(35747 − 994992𝑡2 + 2436448𝑡4 − 881664𝑡6)

+24𝜂10(3121 − 97202𝑡2 + 270864𝑡4 − 114240𝑡6)

+16𝜂12(1795 − 61744𝑡2 + 192348𝑡4 − 92160𝑡6)

+64𝜂14(73 − 2745𝑡2 + 9432𝑡4 − 5040𝑡6) ]


[

1385 − 19028𝑡2 + 18270𝑡4 − 1636𝑡6 + 𝑡8

+4𝜂2(3071 − 53535𝑡2 + 72717𝑡4 − 11797𝑡6)

+42𝜂4(1079 − 22654𝑡2 + 39355𝑡4 − 9152𝑡6)

+84𝜂6(1081 − 26437𝑡2 + 55510𝑡4 − 16596𝑡6)

+3𝜂8(35747 − 994992𝑡2 + 2436448𝑡4 − 881664𝑡6)

+24𝜂10(3121 − 97202𝑡2 + 270864𝑡4 − 114240𝑡6)

+16𝜂12(1795 − 61744𝑡2 + 192348𝑡4 − 92160𝑡6)

+64𝜂14(73 − 2745𝑡2 + 9432𝑡4 − 5040𝑡6) ]

+𝑁 cos9 𝜑

[ −38056𝑡 + 35024𝑡3 + 63264𝑡5 − 9808𝑡7 + 8𝑡9

−452848𝜂2𝑡 + 1163472𝜂2𝑡3 + 298608𝜂2𝑡5

−188752𝜂2𝑡7 − 2084208𝜂4𝑡 + 8514576𝜂4𝑡3

−2306304𝜂4𝑡5 − 768768𝜂4𝑡7 − 4986240𝜂6𝑡

+27534192𝜂6𝑡3 − 17690064𝜂6𝑡5 − 6827880𝜂8𝑡

+47147232𝜂8𝑡3 − 45107328𝜂8𝑡5 + 5289984𝜂8𝑡7

−5414736𝜂10𝑡 + 44665728𝜂10𝑡3 − 55454976𝜂10𝑡5

+10967040𝜂10𝑡7 − 2320448𝜂12𝑡 + 22189312𝜂12𝑡3

−33467904𝜂12𝑡5 + 8847360𝜂12𝑡7 − 416768𝜂14𝑡

+4522752𝜂14𝑡3 − 7971840𝜂14𝑡5 + 2580480𝜂14𝑡7 ]

}

VI. ANEXOS.

401

[𝑓IX(Φ)]′ =

cos9 𝜑

{

𝜌

[ 1385𝜂2𝑡 − 19028𝜂2𝑡3 + 18270𝜂2𝑡5 − 1636𝜂2𝑡7 + 𝜂2𝑡9

+4𝜂4𝑡(3071 − 53535𝑡2 + 72717𝑡4 − 11797𝑡6)

+42𝜂6𝑡(1079 − 22654𝑡2 + 39355𝑡4 − 9152𝑡6)

+84𝜂8𝑡(1081 − 26437𝑡2 + 55510𝑡4 − 16596𝑡6)

+3𝜂10𝑡(35747 − 994992𝑡2 + 2436448𝑡4 − 881664𝑡6)

+24𝜂12𝑡(3121 − 97202𝑡2 + 270864𝑡4 − 114240𝑡6)

+16𝜂14𝑡(1795 − 61744𝑡2 + 192348𝑡4 − 92160𝑡6)

+64𝜂16𝑡(73 − 2745𝑡2 + 9432𝑡4 − 5040𝑡6) ]

+𝑁

[ −12465𝑡 + 171252𝑡3 − 164430𝑡5 + 14724𝑡7 − 9𝑡9

−36𝜂2𝑡(3071 − 53535𝑡2 + 72717𝑡4 − 11797𝑡6)

−378𝜂4𝑡(1079 − 22654𝑡2 + 39355𝑡4 − 9152𝑡6)

−756𝜂6𝑡(1081 − 26437𝑡2 + 55510𝑡4 − 16596𝑡6)

−27𝜂8𝑡(35747 − 994992𝑡2 + 2436448𝑡4 − 881664𝑡6)

−216𝜂10𝑡(3121 − 97202𝑡2 + 270864𝑡4 − 114240𝑡6)

−144𝜂12𝑡(1795 − 61744𝑡2 + 192348𝑡4 − 92160𝑡6)

−576𝜂14𝑡(73 − 2745𝑡2 + 9432𝑡4 − 5040𝑡6) ]

+𝑁

[ −38056𝑡 + 35024𝑡3 + 63264𝑡5 − 9808𝑡7 + 8𝑡9

−452848𝜂2𝑡 + 1163472𝜂2𝑡3 + 298608𝜂2𝑡5

−188752𝜂2𝑡7 − 2084208𝜂4𝑡 + 8514576𝜂4𝑡3

−2306304𝜂4𝑡5 − 768768𝜂4𝑡7 − 4986240𝜂6𝑡

+27534192𝜂6𝑡3 − 17690064𝜂6𝑡5 − 6827880𝜂8𝑡

+47147232𝜂8𝑡3 − 45107328𝜂8𝑡5 + 5289984𝜂8𝑡7

−5414736𝜂10𝑡 + 44665728𝜂10𝑡3 − 55454976𝜂10𝑡5

+10967040𝜂10𝑡7 − 2320448𝜂12𝑡 + 22189312𝜂12𝑡3

−33467904𝜂12𝑡5 + 8847360𝜂12𝑡7 − 416768𝜂14𝑡

+4522752𝜂14𝑡3 − 7971840𝜂14𝑡5 + 2580480𝜂14𝑡7 ]

}

VI. ANEXOS.

402


𝑑Φ.

𝑓𝑋(Φ) = [𝑓IX(Φ)]′ ∙𝑑𝜑

𝑑Φ

𝑓X(Φ) = cos9 𝜑 ∙

{

𝜌

[ 1385𝜂2𝑡 − 19028𝜂2𝑡3 + 18270𝜂2𝑡5 − 1636𝜂2𝑡7 + 𝜂2𝑡9

+4𝜂4𝑡(3071 − 53535𝑡2 + 72717𝑡4 − 11797𝑡6)

+42𝜂6𝑡(1079 − 22654𝑡2 + 39355𝑡4 − 9152𝑡6)

+84𝜂8𝑡(1081 − 26437𝑡2 + 55510𝑡4 − 16596𝑡6)

+3𝜂10𝑡(35747 − 994992𝑡2 + 2436448𝑡4 − 881664𝑡6)

+24𝜂12𝑡(3121 − 97202𝑡2 + 270864𝑡4 − 114240𝑡6)

+16𝜂14𝑡(1795 − 61744𝑡2 + 192348𝑡4 − 92160𝑡6)

+64𝜂16𝑡(73 − 2745𝑡2 + 9432𝑡4 − 5040𝑡6) ]

+𝑁

[ −12465𝑡 + 171252𝑡3 − 164430𝑡5 + 14724𝑡7 − 9𝑡9

−36𝜂2𝑡(3071 − 53535𝑡2 + 72717𝑡4 − 11797𝑡6)

−378𝜂4𝑡(1079 − 22654𝑡2 + 39355𝑡4 − 9152𝑡6)

−756𝜂6𝑡(1081 − 26437𝑡2 + 55510𝑡4 − 16596𝑡6)

−27𝜂8𝑡(35747 − 994992𝑡2 + 2436448𝑡4 − 881664𝑡6)

−216𝜂10𝑡(3121 − 97202𝑡2 + 270864𝑡4 − 114240𝑡6)

−144𝜂12𝑡(1795 − 61744𝑡2 + 192348𝑡4 − 92160𝑡6)

−576𝜂14𝑡(73 − 2745𝑡2 + 9432𝑡4 − 5040𝑡6) ]

+𝑁

[ −38056𝑡 + 35024𝑡3 + 63264𝑡5 − 9808𝑡7 + 8𝑡9

−452848𝜂2𝑡 + 1163472𝜂2𝑡3 + 298608𝜂2𝑡5

−188752𝜂2𝑡7 − 2084208𝜂4𝑡 + 8514576𝜂4𝑡3

−2306304𝜂4𝑡5 − 768768𝜂4𝑡7 − 4986240𝜂6𝑡

+27534192𝜂6𝑡3 − 17690064𝜂6𝑡5 − 6827880𝜂8𝑡

+47147232𝜂8𝑡3 − 45107328𝜂8𝑡5 + 5289984𝜂8𝑡7

−5414736𝜂10𝑡 + 44665728𝜂10𝑡3 − 55454976𝜂10𝑡5

+10967040𝜂10𝑡7 − 2320448𝜂12𝑡 + 22189312𝜂12𝑡3

−33467904𝜂12𝑡5 + 8847360𝜂12𝑡7 − 416768𝜂14𝑡

+4522752𝜂14𝑡3 − 7971840𝜂14𝑡5 + 2580480𝜂14𝑡7 ]

}

∙ (𝑁 cos𝜑

𝜌)

VI. ANEXOS.

403

𝑓X(Φ) =

𝑁cos10 𝜑

{

𝜌

𝜌

[ 1385𝜂2𝑡 − 19028𝜂2𝑡3 + 18270𝜂2𝑡5 − 1636𝜂2𝑡7 + 𝜂2𝑡9

+4𝜂4𝑡(3071 − 53535𝑡2 + 72717𝑡4 − 11797𝑡6)

+42𝜂6𝑡(1079 − 22654𝑡2 + 39355𝑡4 − 9152𝑡6)

+84𝜂8𝑡(1081 − 26437𝑡2 + 55510𝑡4 − 16596𝑡6)

+3𝜂10𝑡(35747 − 994992𝑡2 + 2436448𝑡4 − 881664𝑡6)

+24𝜂12𝑡(3121 − 97202𝑡2 + 270864𝑡4 − 114240𝑡6)

+16𝜂14𝑡(1795 − 61744𝑡2 + 192348𝑡4 − 92160𝑡6)

+64𝜂16𝑡(73 − 2745𝑡2 + 9432𝑡4 − 5040𝑡6) ]

+𝑁

𝜌

[ −12465𝑡 + 171252𝑡3 − 164430𝑡5 + 14724𝑡7 − 9𝑡9

−36𝜂2𝑡(3071 − 53535𝑡2 + 72717𝑡4 − 11797𝑡6)

−378𝜂4𝑡(1079 − 22654𝑡2 + 39355𝑡4 − 9152𝑡6)

−756𝜂6𝑡(1081 − 26437𝑡2 + 55510𝑡4 − 16596𝑡6)

−27𝜂8𝑡(35747 − 994992𝑡2 + 2436448𝑡4 − 881664𝑡6)

−216𝜂10𝑡(3121 − 97202𝑡2 + 270864𝑡4 − 114240𝑡6)

−144𝜂12𝑡(1795 − 61744𝑡2 + 192348𝑡4 − 92160𝑡6)

−576𝜂14𝑡(73 − 2745𝑡2 + 9432𝑡4 − 5040𝑡6) ]

+𝑁

𝜌

[ −38056𝑡 + 35024𝑡3 + 63264𝑡5 − 9808𝑡7 + 8𝑡9

−452848𝜂2𝑡 + 1163472𝜂2𝑡3 + 298608𝜂2𝑡5

−188752𝜂2𝑡7 − 2084208𝜂4𝑡 + 8514576𝜂4𝑡3

−2306304𝜂4𝑡5 − 768768𝜂4𝑡7 − 4986240𝜂6𝑡

+27534192𝜂6𝑡3 − 17690064𝜂6𝑡5 − 6827880𝜂8𝑡

+47147232𝜂8𝑡3 − 45107328𝜂8𝑡5 + 5289984𝜂8𝑡7

−5414736𝜂10𝑡 + 44665728𝜂10𝑡3 − 55454976𝜂10𝑡5

+10967040𝜂10𝑡7 − 2320448𝜂12𝑡 + 22189312𝜂12𝑡3

−33467904𝜂12𝑡5 + 8847360𝜂12𝑡7 − 416768𝜂14𝑡

+4522752𝜂14𝑡3 − 7971840𝜂14𝑡5 + 2580480𝜂14𝑡7 ]

}

VI. ANEXOS.

404

𝑓X(Φ) = 𝑁cos10 𝜑 ∙

{

[ 1385𝜂2𝑡 − 19028𝜂2𝑡3 + 18270𝜂2𝑡5 − 1636𝜂2𝑡7 + 𝜂2𝑡9

+4𝜂4𝑡(3071 − 53535𝑡2 + 72717𝑡4 − 11797𝑡6)

+42𝜂6𝑡(1079 − 22654𝑡2 + 39355𝑡4 − 9152𝑡6)

+84𝜂8𝑡(1081 − 26437𝑡2 + 55510𝑡4 − 16596𝑡6)

+3𝜂10𝑡(35747 − 994992𝑡2 + 2436448𝑡4 − 881664𝑡6)

+24𝜂12𝑡(3121 − 97202𝑡2 + 270864𝑡4 − 114240𝑡6)

+16𝜂14𝑡(1795 − 61744𝑡2 + 192348𝑡4 − 92160𝑡6)

+64𝜂16𝑡(73 − 2745𝑡2 + 9432𝑡4 − 5040𝑡6) ]

+(1 + 𝜂2)

[ −12465𝑡 + 171252𝑡3 − 164430𝑡5 + 14724𝑡7 − 9𝑡9

−36𝜂2𝑡(3071 − 53535𝑡2 + 72717𝑡4 − 11797𝑡6)

−378𝜂4𝑡(1079 − 22654𝑡2 + 39355𝑡4 − 9152𝑡6)

−756𝜂6𝑡(1081 − 26437𝑡2 + 55510𝑡4 − 16596𝑡6)

−27𝜂8𝑡(35747 − 994992𝑡2 + 2436448𝑡4 − 881664𝑡6)

−216𝜂10𝑡(3121 − 97202𝑡2 + 270864𝑡4 − 114240𝑡6)

−144𝜂12𝑡(1795 − 61744𝑡2 + 192348𝑡4 − 92160𝑡6)

−576𝜂14𝑡(73 − 2745𝑡2 + 9432𝑡4 − 5040𝑡6) ]

+(1 + 𝜂2)

[ −38056𝑡 + 35024𝑡3 + 63264𝑡5 − 9808𝑡7 + 8𝑡9

−452848𝜂2𝑡 + 1163472𝜂2𝑡3 + 298608𝜂2𝑡5

−188752𝜂2𝑡7 − 2084208𝜂4𝑡 + 8514576𝜂4𝑡3

−2306304𝜂4𝑡5 − 768768𝜂4𝑡7 − 4986240𝜂6𝑡

+27534192𝜂6𝑡3 − 17690064𝜂6𝑡5 − 6827880𝜂8𝑡

+47147232𝜂8𝑡3 − 45107328𝜂8𝑡5 + 5289984𝜂8𝑡7

−5414736𝜂10𝑡 + 44665728𝜂10𝑡3 − 55454976𝜂10𝑡5

+10967040𝜂10𝑡7 − 2320448𝜂12𝑡 + 22189312𝜂12𝑡3

−33467904𝜂12𝑡5 + 8847360𝜂12𝑡7 − 416768𝜂14𝑡

+4522752𝜂14𝑡3 − 7971840𝜂14𝑡5 + 2580480𝜂14𝑡7 ]

}

VI. ANEXOS.

405


{

[

1385𝜂2𝑡 + 12284𝜂4𝑡 + 45318𝜂6𝑡 + 90804𝜂8𝑡 + 107241𝜂10𝑡

+74904𝜂12𝑡 + 28720𝜂14𝑡 + 4672𝜂16𝑡 − 19028𝜂2𝑡3 − 214140𝜂4𝑡3

−951468𝜂6𝑡3 − 2220708𝜂8𝑡3 − 2984976𝜂10𝑡3 − 2332848𝜂12𝑡3

−987904𝜂14𝑡3 − 175680𝜂16𝑡3 + 18270𝜂2𝑡5 + 290868𝜂4𝑡5

+1652910𝜂6𝑡5 + 4662840𝜂8𝑡5 + 7309344𝜂10𝑡5 + 6500736𝜂12𝑡5

+3077568𝜂14𝑡5 + 603648𝜂16𝑡5 − 1636𝜂2𝑡7 − 47188𝜂4𝑡7

−384384𝜂6𝑡7 − 1394064𝜂8𝑡7 − 2644992𝜂10𝑡7 − 2741760𝜂12𝑡7

−1474560𝜂14𝑡7 − 322560𝜂16𝑡7 + 𝜂2𝑡9 ]

+

[

−12465𝑡 + 171252𝑡3 − 164430𝑡5 + 14724𝑡7 − 9𝑡9 − 9𝜂2𝑡9

−123021𝜂2𝑡 − 518418𝜂4𝑡 − 1225098𝜂6𝑡 − 1782405𝜂8𝑡

−1639305𝜂10𝑡 − 932616𝜂12𝑡 − 300528𝜂14𝑡 − 42048𝜂16𝑡

+2098512𝜂2𝑡3 + 10490472𝜂4𝑡3 + 28549584𝜂6𝑡3 + 46851156𝜂8𝑡3

+47860416𝜂10𝑡3 + 29886768𝜂12𝑡3 + 10472256𝜂14𝑡3 + 1581120𝜂16𝑡3

−2782242𝜂2𝑡5 − 17494002𝜂4𝑡5 − 56841750𝜂6𝑡5 − 107749656𝜂8𝑡5

−124290720𝜂10𝑡5 − 86204736𝜂12𝑡5 − 33130944𝜂14𝑡5 − 5432832𝜂16𝑡5

+439416𝜂2𝑡7 + 3884148𝜂4𝑡7 + 16006032𝜂6𝑡7 + 36351504𝜂8𝑡7

+48480768𝜂10𝑡7 + 37946880𝜂12𝑡7 + 16174080𝜂14𝑡7 + 2903040𝜂16𝑡7 ]

+

[

−38056𝑡 + 35024𝑡3 + 63264𝑡5 − 9808𝑡7 + 8𝑡9 + 8𝜂2𝑡9

−490904𝜂2𝑡 − 2537056𝜂4𝑡 − 7070448𝜂6𝑡 − 11814120𝜂8𝑡

−12242616𝜂10𝑡 − 7735184𝜂12𝑡 − 2737216𝜂14𝑡 − 416768𝜂16𝑡

+1198496𝜂2𝑡3 + 9678048𝜂4𝑡3 + 36048768𝜂6𝑡3 + 74681424𝜂8𝑡3

+91812960𝜂10𝑡3 + 66855040𝜂12𝑡3 + 26712064𝜂14𝑡3 + 4522752𝜂16𝑡3

+361872𝜂2𝑡5 − 2007696𝜂4𝑡5 − 19996368𝜂6𝑡5 − 62797392𝜂8𝑡5

−100562304𝜂10𝑡5 − 88922880𝜂12𝑡5 − 41439744𝜂14𝑡5 − 7971840𝜂16𝑡5

−198560𝜂2𝑡7 − 957520𝜂4𝑡7 − 768768𝜂6𝑡7 + 5289984𝜂8𝑡7

+16257024𝜂10𝑡7 + 19814400𝜂12𝑡7 + 11427840𝜂14𝑡7 + 2580480𝜂16𝑡7 ]

}

VI. ANEXOS.

406


[ −(12465𝑡 + 38056𝑡) + (171252𝑡3 + 35024𝑡3) + (63264𝑡5 − 164430𝑡5)

+(14724𝑡7 − 9808𝑡7) + (8𝑡9 − 9𝑡9) + (8𝜂2𝑡9 + 𝜂2𝑡9 − 9𝜂2𝑡9)

+(1385𝜂2𝑡 − 123021𝜂2𝑡 − 490904𝜂2𝑡) + (12284𝜂4𝑡 − 518418𝜂4𝑡

−2537056𝜂4𝑡) + (45318𝜂6𝑡 − 1225098𝜂6𝑡 − 7070448𝜂6𝑡)

+90804𝜂8𝑡 − 1782405𝜂8𝑡 − 11814120𝜂8𝑡) + (107241𝜂10𝑡

−1639305𝜂10𝑡 − 12242616𝜂10𝑡) + (74904𝜂12𝑡 − 932616𝜂12𝑡

−7735184𝜂12𝑡) + (28720𝜂14𝑡 − 300528𝜂14𝑡 − 2737216𝜂14𝑡)

+(4672𝜂16𝑡 − 416768𝜂16𝑡 − 42048𝜂16𝑡) + (1198496𝜂2𝑡3

+2098512𝜂2𝑡3 − 19028𝜂2𝑡3) + (10490472𝜂4𝑡3 + 9678048𝜂4𝑡3

−214140𝜂4𝑡3) + (28549584𝜂6𝑡3 + 36048768𝜂6𝑡3 − 951468𝜂6𝑡3)

+(46851156𝜂8𝑡3 + 74681424𝜂8𝑡3 − 2220708𝜂8𝑡3) + (91812960𝜂10𝑡3

+47860416𝜂10𝑡3 − 2984976𝜂10𝑡3) + (66855040𝜂12𝑡3 + 29886768𝜂12𝑡3

−2332848𝜂12𝑡3) + (10472256𝜂14𝑡3 + 26712064𝜂14𝑡3 − 987904𝜂14𝑡3)

+(1581120𝜂16𝑡3 + 4522752𝜂16𝑡3 − 175680𝜂16𝑡3) + (18270𝜂2𝑡5

+361872𝜂2𝑡5 − 2782242𝜂2𝑡5) + (290868𝜂4𝑡5 − 2007696𝜂4𝑡5

−17494002𝜂4𝑡5) + (1652910𝜂6𝑡5 − 56841750𝜂6𝑡5 − 19996368𝜂6𝑡5)

+(4662840𝜂8𝑡5 − 62797392𝜂8𝑡5 − 107749656𝜂8𝑡5) + (7309344𝜂10𝑡5

−100562304𝜂10𝑡5 − 124290720𝜂10𝑡5) + (6500736𝜂12𝑡5 − 86204736𝜂12𝑡5

−88922880𝜂12𝑡5) + (3077568𝜂14𝑡5 − 33130944𝜂14𝑡5 − 41439744𝜂14𝑡5)

+(603648𝜂16𝑡5 − 5432832𝜂16𝑡5 − 7971840𝜂16𝑡5) + (439416𝜂2𝑡7

−198560𝜂2𝑡7 − 1636𝜂2𝑡7) + (3884148𝜂4𝑡7 − 957520𝜂4𝑡7 − 47188𝜂4𝑡7)

+(16006032𝜂6𝑡7 − 768768𝜂6𝑡7 − 384384𝜂6𝑡7) + (36351504𝜂8𝑡7

+5289984𝜂8𝑡7 − 1394064𝜂8𝑡7) + (16257024𝜂10𝑡7 + 48480768𝜂10𝑡7

−2644992𝜂10𝑡7) + (37946880𝜂12𝑡7 + 19814400𝜂12𝑡7 − 2741760𝜂12𝑡7)

+(16174080𝜂14𝑡7 + 11427840𝜂14𝑡7 − 1474560𝜂14𝑡7) + (2903040𝜂16𝑡7

+2580480𝜂16𝑡7 − 322560𝜂16𝑡7) ]

VI. ANEXOS.

407


[ −50521𝑡 + 206276𝑡3 − 101166𝑡5 + 4916𝑡7 − 𝑡9 − 612540𝜂2𝑡 − 3043190𝜂4𝑡

−8250228𝜂6𝑡 − 13505721𝜂8𝑡 − 13774680𝜂10𝑡 − 8592896𝜂12𝑡 − 3009024𝜂14𝑡

−454144𝜂16𝑡 + 3277980𝜂2𝑡3 + 19954380𝜂4𝑡3 + 63646884𝜂6𝑡3

+119311872𝜂8𝑡3 + 136688400𝜂10𝑡3 + 94408960𝜂12𝑡3 + 36196416𝜂14𝑡3

+5928192𝜂16𝑡3 − 2402100𝜂2𝑡5 − 19210830𝜂4𝑡5 − 75185208𝜂6𝑡5

−165884208𝜂8𝑡5 − 217543680𝜂10𝑡5 − 168626880𝜂12𝑡5 − 71493120𝜂14𝑡5

−12801024𝜂16𝑡5 + 239220𝜂2𝑡7 + 2879440𝜂4𝑡7 + 14852880𝜂6𝑡7

+40247424𝜂8𝑡7 + 62092800𝑛10𝑡7 + 55019520𝑛12𝑡7 + 26127360𝑛14𝑡7

+5160960𝑛16𝑡7 ]

𝑓X(Φ) = −𝑁cos10 𝜑 ∙

[

50521𝑡 − 206276𝑡3 + 101166𝑡5 − 4916𝑡7 + 𝑡9 + 612540𝜂2𝑡

−3277980𝜂2𝑡3 + 2402100𝜂2𝑡5 − 239220𝜂2𝑡7 + 3043190𝜂4𝑡

−19954380𝜂4𝑡3 + 19210830𝜂4𝑡5 − 2879440𝜂4𝑡7 + 8250228𝜂6𝑡

−63646884𝜂6𝑡3 + 75185208𝜂6𝑡5 − 14852880𝜂6𝑡7 + 13505721𝜂8𝑡

−119311872𝜂8𝑡3 + 165884208𝜂8𝑡5 − 40247424𝜂8𝑡7 + 13774680𝜂10𝑡

−136688400𝜂10𝑡3 + 217543680𝜂10𝑡5 − 62092800𝑛10𝑡7

+8592896𝜂12𝑡 − 94408960𝜂12𝑡3 + 168626880𝜂12𝑡5 − 55019520𝑛12𝑡7

+3009024𝜂14𝑡 − 36196416𝜂14𝑡3 + 71493120𝜂14𝑡5 − 26127360𝑛14𝑡7

+454144𝜂16𝑡 − 5928192𝜂16𝑡3 + 12801024𝜂16𝑡5 − 5160960𝑛16𝑡7 ]

𝒇𝐗(𝚽) =

−𝑵𝒕𝐜𝐨𝐬𝟏𝟎𝝋

[

𝟓𝟎𝟓𝟐𝟏 − 𝟐𝟎𝟔𝟐𝟕𝟔𝒕𝟐 + 𝟏𝟎𝟏𝟏𝟔𝟔𝒕𝟒 − 𝟒𝟗𝟏𝟔𝒕𝟔 + 𝒕𝟖

+𝟏𝟖𝟎𝜼𝟐(𝟑𝟒𝟎𝟑 − 𝟏𝟖𝟐𝟏𝟏𝒕𝟐 + 𝟏𝟑𝟑𝟒𝟓𝒕𝟒 − 𝟏𝟑𝟐𝟗𝒕𝟔)

+𝟏𝟎𝜼𝟒(𝟑𝟎𝟒𝟑𝟏𝟗 − 𝟏𝟗𝟗𝟓𝟒𝟑𝟖𝒕𝟐 + 𝟏𝟗𝟐𝟏𝟎𝟖𝟑𝒕𝟒 − 𝟐𝟖𝟕𝟗𝟒𝟒𝒕𝟔)

+𝟏𝟕𝟔𝟒𝜼𝟔(𝟒𝟔𝟕𝟕 − 𝟑𝟔𝟎𝟖𝟏𝒕𝟐 + 𝟒𝟐𝟔𝟐𝟐𝒕𝟒 − 𝟖𝟒𝟐𝟎𝒕𝟔)

+𝟑𝜼𝟖(𝟒𝟓𝟎𝟏𝟗𝟎𝟕 − 𝟑𝟗𝟕𝟕𝟎𝟔𝟐𝟒𝒕𝟐 + 𝟓𝟓𝟐𝟗𝟒𝟕𝟑𝟔𝒕𝟒 − 𝟏𝟑𝟒𝟏𝟓𝟖𝟎𝟖𝒕𝟔)

+𝟑𝟔𝟎𝜼𝟏𝟎(𝟑𝟖𝟐𝟔𝟑 − 𝟑𝟕𝟗𝟔𝟗𝟎𝒕𝟐 + 𝟔𝟎𝟒𝟐𝟖𝟖𝒕𝟒 − 𝟏𝟕𝟐𝟒𝟖𝟎𝒕𝟔)

+𝟔𝟒𝜼𝟏𝟐(𝟏𝟑𝟒𝟐𝟔𝟒 − 𝟏𝟒𝟕𝟓𝟏𝟒𝟎𝒕𝟐 + 𝟐𝟔𝟑𝟒𝟕𝟗𝟓𝒕𝟒 − 𝟖𝟓𝟗𝟔𝟖𝟎𝒕𝟔)

+𝟓𝟕𝟔𝜼𝟏𝟒(𝟓𝟐𝟐𝟒 − 𝟔𝟐𝟖𝟒𝟏𝒕𝟐 + 𝟏𝟐𝟒𝟏𝟐𝟎𝒕𝟒 − 𝟒𝟓𝟑𝟔𝟎𝒕𝟔)

+𝟐𝟓𝟔𝜼𝟏𝟔(𝟏𝟕𝟕𝟒 − 𝟐𝟑𝟏𝟓𝟕𝒕𝟐 + 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟒𝒕𝟒 − 𝟐𝟎𝟏𝟔𝟎𝒕𝟔) ]

VI. ANEXOS.

408

Para 𝒇𝐗𝐈(𝚽).

[𝑓X(Φ)]′ =

{

−𝑁𝑡cos10 𝜑

[

50521 − 206276𝑡2 + 101166𝑡4 − 4916𝑡6 + 𝑡8

+180𝜂2(3403 − 18211𝑡2 + 13345𝑡4 − 1329𝑡6)

+10𝜂4(304319 − 1995438𝑡2 + 1921083𝑡4 − 287944𝑡6)

+1764𝜂6(4677 − 36081𝑡2 + 42622𝑡4 − 8420𝑡6)

+3𝜂8(4501907 − 39770624𝑡2 + 55294736𝑡4 − 13415808𝑡6)

+360𝜂10(38263 − 379690𝑡2 + 604288𝑡4 − 172480𝑡6)

+64𝜂12(134264 − 1475140𝑡2 + 2634795𝑡4 − 859680𝑡6)

+576𝜂14(5224 − 62841𝑡2 + 124120𝑡4 − 45360𝑡6)

+256𝜂16(1774 − 23157𝑡2 + 50004𝑡4 − 20160𝑡6) ]

}

′

[𝑓X(Φ)]′ =

−

{

𝑁cos10 𝜑

[

50521𝑡 − 206276𝑡3 + 101166𝑡5 − 4916𝑡7 + 𝑡9

+180𝜂2(3403𝑡 − 18211𝑡3 + 13345𝑡5 − 1329𝑡7)

+10𝜂4(304319𝑡 − 1995438𝑡3 + 1921083𝑡5 − 287944𝑡7)

+1764𝜂6(4677𝑡 − 36081𝑡3 + 42622𝑡5 − 8420𝑡7)

+3𝜂8(4501907𝑡 − 39770624𝑡3 + 55294736𝑡5 − 13415808𝑡7)

+360𝜂10(38263𝑡 − 379690𝑡3 + 604288𝑡5 − 172480𝑡7)

+64𝜂12(134264𝑡 − 1475140𝑡3 + 2634795𝑡5 − 859680𝑡7)

+576𝜂14(5224𝑡 − 62841𝑡3 + 124120𝑡5 − 45360𝑡7)

+256𝜂16(1774𝑡 − 23157𝑡3 + 50004𝑡5 − 20160𝑡7) ]

}

′

[𝑓X(Φ)]′ = −(𝑢 ∙ 𝑣 ∙ 𝑤)′ = 𝑢′ ∙ 𝑣 ∙ 𝑤 + 𝑢 ∙ 𝑣′ ∙ 𝑤 + 𝑢 ∙ 𝑣 ∙ 𝑤′

Siendo.

𝑢 = 𝑁, 𝑣 = cos10 𝜑,

VI. ANEXOS.

409

𝑤 =

[

50521𝑡 − 206276𝑡3 + 101166𝑡5 − 4916𝑡7 + 𝑡9

+180𝜂2(3403𝑡 − 18211𝑡3 + 13345𝑡5 − 1329𝑡7)

+10𝜂4(304319𝑡 − 1995438𝑡3 + 1921083𝑡5 − 287944𝑡7)

+1764𝜂6(4677𝑡 − 36081𝑡3 + 42622𝑡5 − 8420𝑡7)

+3𝜂8(4501907𝑡 − 39770624𝑡3 + 55294736𝑡5 − 13415808𝑡7)

+360𝜂10(38263𝑡 − 379690𝑡3 + 604288𝑡5 − 172480𝑡7)

+64𝜂12(134264𝑡 − 1475140𝑡3 + 2634795𝑡5 − 859680𝑡7)

+576𝜂14(5224𝑡 − 62841𝑡3 + 124120𝑡5 − 45360𝑡7)

+256𝜂16(1774𝑡 − 23157𝑡3 + 50004𝑡5 − 20160𝑡7) ]

Derivando.

𝑢′ = 𝜂2𝑡𝜌, 𝑣′ = −10𝑡 cos10 𝜑

𝑤′ =

{

50521(𝑡2 + 1) − 206276(3𝑡4 + 3𝑡2) + 101166(5𝑡6 + 5𝑡4) − 4916(7𝑡8 + 7𝑡6) + 9𝑡10 + 9𝑡8

+180 [−2𝜂2𝑡(3403𝑡 − 18211𝑡3 + 13345𝑡5 − 1329𝑡7)

+𝜂2(3403(𝑡2 + 1) − 18211(3𝑡4 + 3𝑡2) + 13345(5𝑡6 + 5𝑡4) − 1329(7𝑡8 + 7𝑡6))]

+10 [−4𝜂4𝑡(304319𝑡 − 1995438𝑡3 + 1921083𝑡5 − 287944𝑡7)

+𝜂4(304319(𝑡2 + 1) − 1995438(3𝑡4 + 3𝑡2) + 1921083(5𝑡6 + 5𝑡4) − 287944(7𝑡8 + 7𝑡6))]

+1764 [−6𝜂6𝑡(4677𝑡 − 36081𝑡3 + 42622𝑡5 − 8420𝑡7)

+𝜂6(4677(𝑡2 + 1) − 36081(3𝑡4 + 3𝑡2) + 42622(5𝑡6 + 5𝑡4) − 8420(7𝑡8 + 7𝑡6))]

+3 [−8𝜂8𝑡(4501907𝑡 − 39770624𝑡3 + 55294736𝑡5 − 13415808𝑡7)

+𝜂8(4501907(𝑡2 + 1) − 39770624(3𝑡4 + 3𝑡2) + 55294736(5𝑡6 + 5𝑡4) − 13415808(7𝑡8 + 7𝑡6))]

+360 [−10𝜂10𝑡(38263𝑡 − 379690𝑡3 + 604288𝑡5 − 172480𝑡7)

+𝜂10(38263(𝑡2 + 1) − 379690(3𝑡4 + 3𝑡2) + 604288(5𝑡6 + 5𝑡4) − 172480(7𝑡8 + 7𝑡6))]

+64 [−12𝜂12𝑡(134264𝑡 − 1475140𝑡3 + 2634795𝑡5 − 859680𝑡7)

+𝜂12(134264(𝑡2 + 1) − 1475140(3𝑡4 + 3𝑡2) + 2634795(5𝑡6 + 5𝑡4) − 859680(7𝑡8 + 7𝑡6))]

+576 [−14𝜂14𝑡(5224𝑡 − 62841𝑡3 + 124120𝑡5 − 45360𝑡7)

+𝜂14(5224(𝑡2 + 1) − 62841(3𝑡4 + 3𝑡2) + 124120(5𝑡6 + 5𝑡4) − 45360(7𝑡8 + 7𝑡6))]

+256 [−16𝜂16𝑡(1774𝑡 − 23157𝑡3 + 50004𝑡5 − 20160𝑡7)

+𝜂16(1774(𝑡2 + 1) − 23157(3𝑡4 + 3𝑡2) + 50004(5𝑡6 + 5𝑡4) − 20160(7𝑡8 + 7𝑡6))]

}

VI. ANEXOS.

410

𝑤′ =

[

50521 + 50521𝑡2 − 618828𝑡2 − 618828𝑡4 + 505830𝑡4

+505830𝑡6 − 34412𝑡6 − 34412𝑡8 + 9𝑡8 + 9𝑡10

+180[3403𝜂2 − 58036𝜂2𝑡2 + 48514𝜂2𝑡4 + 30732𝜂2𝑡6 − 6645𝜂2𝑡8]

+10[304319𝜂4 − 6899271𝜂4𝑡2 + 11600853𝜂4𝑡4 − 94525𝜂4𝑡6 − 863832𝜂4𝑡8]

+1764[4677𝜂6 − 131628𝜂6𝑡2 + 321353𝜂6𝑡4 − 101562𝜂6𝑡6 − 8420𝜂6𝑡8]

+3[4501907𝜂8 − 150825221𝜂8𝑡2 + 475326800𝜂8𝑡4 − 259794864𝜂8𝑡6 + 13415808𝜂8𝑡8]

+360[38263𝜂10 − 1483437𝜂10𝑡2 + 5679270𝜂10𝑡4 − 4228800𝜂10𝑡6 + 517440𝜂10𝑡8]

+64[134264𝜂12 − 5902324𝜂12𝑡2 + 26450235𝜂12𝑡4 − 24461325𝜂12𝑡6 + 4298400𝜂12𝑡8]

+576[5224𝜂14 − 256435𝜂14𝑡2 + 1311851𝜂14𝑡4 − 1434600𝜂14𝑡6 + 317520𝜂14𝑡8]

+256[1774𝜂16 − 96081𝜂16𝑡2 + 551061𝜂16𝑡4 − 691164𝜂16𝑡6 + 181440𝜂16𝑡8] ]

𝑤′ =

[

50521 − 568307𝑡2 − 112998𝑡4 + 471418𝑡6 − 34403𝑡8 + 9𝑡10

+612540𝑛2 − 10446480𝑛2𝑡2 + 8732520𝑛2𝑡4 + 5531760𝑛2𝑡6

−1196100𝑛2𝑡8 + 3043190𝑛4 − 68992710𝑛4𝑡2 + 116008530𝑛4𝑡4

−945250𝑛4𝑡6 − 8638320𝑛4𝑡8 + 8250228𝑛6 − 232191792𝑛6𝑡2

+566866692𝑛6𝑡4 − 179155368𝑛6𝑡6 − 14852880𝑛6𝑡8 + 13505721𝑛8

−452475663𝑛8𝑡2 + 1425980400𝑛8𝑡4 − 779384592𝑛8𝑡6 + 40247424𝑛8𝑡8

+13774680𝑛10 − 534037320𝑛10𝑡2 + 2044537200𝑛10𝑡4 − 1522368000𝑛10𝑡6

+186278400𝑛10𝑡8 + 8592896𝑛12 − 377748736𝑛12𝑡2 + 1692815040𝑛12𝑡4

−1565524800𝑛12𝑡6 + 275097600𝑛12𝑡8 + 3009024𝑛14 − 147706560𝑛14𝑡2

+755626176𝑛14𝑡4 − 826329600𝑛14𝑡6 + 182891520𝑛14𝑡8 + 454144𝑛16

−24596736𝑛16𝑡2 + 141071616𝑛16𝑡4 − 176937984𝑛16𝑡6 + 46448640𝑛16𝑡8 ]

VI. ANEXOS.

411

Sustituyendo.

[𝑓X(Φ)]′ =

−

{

𝜂2𝑡𝜌 ∙ cos10 𝜑

[

50521𝑡 − 206276𝑡3 + 101166𝑡5 − 4916𝑡7 + 𝑡9

+180𝜂2(3403𝑡 − 18211𝑡3 + 13345𝑡5 − 1329𝑡7)

+10𝜂4(304319𝑡 − 1995438𝑡3 + 1921083𝑡5 − 287944𝑡7)

+1764𝜂6(4677𝑡 − 36081𝑡3 + 42622𝑡5 − 8420𝑡7)

+3𝜂8(4501907𝑡 − 39770624𝑡3 + 55294736𝑡5 − 13415808𝑡7)

+360𝜂10(38263𝑡 − 379690𝑡3 + 604288𝑡5 − 172480𝑡7)

+64𝜂12(134264𝑡 − 1475140𝑡3 + 2634795𝑡5 − 859680𝑡7)

+576𝜂14(5224𝑡 − 62841𝑡3 + 124120𝑡5 − 45360𝑡7)

+256𝜂16(1774𝑡 − 23157𝑡3 + 50004𝑡5 − 20160𝑡7) ]

+𝑁(−10𝑡 cos10 𝜑)

[

50521𝑡 − 206276𝑡3 + 101166𝑡5 − 4916𝑡7 + 𝑡9

+180𝜂2(3403𝑡 − 18211𝑡3 + 13345𝑡5 − 1329𝑡7)

+10𝜂4(304319𝑡 − 1995438𝑡3 + 1921083𝑡5 − 287944𝑡7)

+1764𝜂6(4677𝑡 − 36081𝑡3 + 42622𝑡5 − 8420𝑡7)

+3𝜂8(4501907𝑡 − 39770624𝑡3 + 55294736𝑡5 − 13415808𝑡7)

+360𝜂10(38263𝑡 − 379690𝑡3 + 604288𝑡5 − 172480𝑡7)

+64𝜂12(134264𝑡 − 1475140𝑡3 + 2634795𝑡5 − 859680𝑡7)

+576𝜂14(5224𝑡 − 62841𝑡3 + 124120𝑡5 − 45360𝑡7)

+256𝜂16(1774𝑡 − 23157𝑡3 + 50004𝑡5 − 20160𝑡7) ]

+𝑁 cos10 𝜑

[ 50521 − 568307𝑡2 − 112998𝑡4 + 471418𝑡6 − 34403𝑡8 + 9𝑡10

+612540𝑛2 − 10446480𝑛2𝑡2 + 8732520𝑛2𝑡4 + 5531760𝑛2𝑡6

−1196100𝑛2𝑡8 + 3043190𝑛4 − 68992710𝑛4𝑡2 + 116008530𝑛4𝑡4

−945250𝑛4𝑡6 − 8638320𝑛4𝑡8 + 8250228𝑛6 − 232191792𝑛6𝑡2

+566866692𝑛6𝑡4 − 179155368𝑛6𝑡6 − 14852880𝑛6𝑡8

+13505721𝑛8 − 452475663𝑛8𝑡2 + 1425980400𝑛8𝑡4

−779384592𝑛8𝑡6 + 40247424𝑛8𝑡8 + 13774680𝑛10

−534037320𝑛10𝑡2 + 2044537200𝑛10𝑡4 − 1522368000𝑛10𝑡6

+186278400𝑛10𝑡8 + 8592896𝑛12 − 377748736𝑛12𝑡2

+1692815040𝑛12𝑡4 − 1565524800𝑛12𝑡6 + 275097600𝑛12𝑡8

+3009024𝑛14 − 147706560𝑛14𝑡2 + 755626176𝑛14𝑡4

−826329600𝑛14𝑡6 + 182891520𝑛14𝑡8 + 454144𝑛16

−24596736𝑛16𝑡2 + 141071616𝑛16𝑡4 − 176937984𝑛16𝑡6

+46448640𝑛16𝑡8 ]

}

VI. ANEXOS.

412

[𝑓X(Φ)]′ =

−cos10 𝜑

{

𝜌

[ 50521𝜂2𝑡2 − 206276𝜂2𝑡4 + 101166𝜂2𝑡6 − 4916𝜂2𝑡8 + 𝜂2𝑡10

+180𝜂4𝑡(3403𝑡 − 18211𝑡3 + 13345𝑡5 − 1329𝑡7)

+10𝜂6𝑡(304319𝑡 − 1995438𝑡3 + 1921083𝑡5 − 287944𝑡7)

+1764𝜂8𝑡(4677𝑡 − 36081𝑡3 + 42622𝑡5 − 8420𝑡7)

+3𝜂10𝑡(4501907𝑡 − 39770624𝑡3 + 55294736𝑡5 − 13415808𝑡7)

+360𝜂12𝑡(38263𝑡 − 379690𝑡3 + 604288𝑡5 − 172480𝑡7)

+64𝜂14𝑡(134264𝑡 − 1475140𝑡3 + 2634795𝑡5 − 859680𝑡7)

+576𝜂16𝑡(5224𝑡 − 62841𝑡3 + 124120𝑡5 − 45360𝑡7)

+256𝜂18𝑡(1774𝑡 − 23157𝑡3 + 50004𝑡5 − 20160𝑡7) ]

+𝑁

[

−505210𝑡2 + 2062760𝑡4 − 1011660𝑡6 + 49160𝑡8 − 10𝑡10

−1800𝜂2𝑡(3403𝑡 − 18211𝑡3 + 13345𝑡5 − 1329𝑡7)

−100𝜂4𝑡(304319𝑡 − 1995438𝑡3 + 1921083𝑡5 − 287944𝑡7)

−17640𝜂6𝑡(4677𝑡 − 36081𝑡3 + 42622𝑡5 − 8420𝑡7)

−30𝜂8𝑡(4501907𝑡 − 39770624𝑡3 + 55294736𝑡5 − 13415808𝑡7)

−3600𝜂10𝑡(38263𝑡 − 379690𝑡3 + 604288𝑡5 − 172480𝑡7)

−640𝜂12𝑡(134264𝑡 − 1475140𝑡3 + 2634795𝑡5 − 859680𝑡7)

−5760𝜂14𝑡(5224𝑡 − 62841𝑡3 + 124120𝑡5 − 45360𝑡7)

−2560𝜂16𝑡(1774𝑡 − 23157𝑡3 + 50004𝑡5 − 20160𝑡7) ]

+𝑁

[ 50521 − 568307𝑡2 − 112998𝑡4 + 471418𝑡6 − 34403𝑡8 + 9𝑡10

+612540𝑛2 − 10446480𝑛2𝑡2 + 8732520𝑛2𝑡4 + 5531760𝑛2𝑡6

−1196100𝑛2𝑡8 + 3043190𝑛4 − 68992710𝑛4𝑡2 + 116008530𝑛4𝑡4

−945250𝑛4𝑡6 − 8638320𝑛4𝑡8 + 8250228𝑛6 − 232191792𝑛6𝑡2

+566866692𝑛6𝑡4 − 179155368𝑛6𝑡6 − 14852880𝑛6𝑡8

+13505721𝑛8 − 452475663𝑛8𝑡2 + 1425980400𝑛8𝑡4

−779384592𝑛8𝑡6 + 40247424𝑛8𝑡8 + 13774680𝑛10

−534037320𝑛10𝑡2 + 2044537200𝑛10𝑡4 − 1522368000𝑛10𝑡6

+186278400𝑛10𝑡8 + 8592896𝑛12 − 377748736𝑛12𝑡2

+1692815040𝑛12𝑡4 − 1565524800𝑛12𝑡6 + 275097600𝑛12𝑡8

+3009024𝑛14 − 147706560𝑛14𝑡2 + 755626176𝑛14𝑡4

−826329600𝑛14𝑡6 + 182891520𝑛14𝑡8 + 454144𝑛16

−24596736𝑛16𝑡2 + 141071616𝑛16𝑡4 − 176937984𝑛16𝑡6

+46448640𝑛16𝑡8 ]

}


𝑑Φ.

VI. ANEXOS.

413

𝑓XI(Φ) = [𝑓X(Φ)]′ ∙𝑑𝜑

𝑑Φ

𝑓XI(Φ) = − cos10 𝜑 ∙

{

𝜌

[ 50521𝜂2𝑡2 − 206276𝜂2𝑡4 + 101166𝜂2𝑡6 − 4916𝜂2𝑡8 + 𝜂2𝑡10

+180𝜂4𝑡(3403𝑡 − 18211𝑡3 + 13345𝑡5 − 1329𝑡7)

+10𝜂6𝑡(304319𝑡 − 1995438𝑡3 + 1921083𝑡5 − 287944𝑡7)

+1764𝜂8𝑡(4677𝑡 − 36081𝑡3 + 42622𝑡5 − 8420𝑡7)

+3𝜂10𝑡(4501907𝑡 − 39770624𝑡3 + 55294736𝑡5 − 13415808𝑡7)

+360𝜂12𝑡(38263𝑡 − 379690𝑡3 + 604288𝑡5 − 172480𝑡7)

+64𝜂14𝑡(134264𝑡 − 1475140𝑡3 + 2634795𝑡5 − 859680𝑡7)

+576𝜂16𝑡(5224𝑡 − 62841𝑡3 + 124120𝑡5 − 45360𝑡7)

+256𝜂18𝑡(1774𝑡 − 23157𝑡3 + 50004𝑡5 − 20160𝑡7) ]

+𝑁

[

−505210𝑡2 + 2062760𝑡4 − 1011660𝑡6 + 49160𝑡8 − 10𝑡10

−1800𝜂2𝑡(3403𝑡 − 18211𝑡3 + 13345𝑡5 − 1329𝑡7)

−100𝜂4𝑡(304319𝑡 − 1995438𝑡3 + 1921083𝑡5 − 287944𝑡7)

−17640𝜂6𝑡(4677𝑡 − 36081𝑡3 + 42622𝑡5 − 8420𝑡7)

−30𝜂8𝑡(4501907𝑡 − 39770624𝑡3 + 55294736𝑡5 − 13415808𝑡7)

−3600𝜂10𝑡(38263𝑡 − 379690𝑡3 + 604288𝑡5 − 172480𝑡7)

−640𝜂12𝑡(134264𝑡 − 1475140𝑡3 + 2634795𝑡5 − 859680𝑡7)

−5760𝜂14𝑡(5224𝑡 − 62841𝑡3 + 124120𝑡5 − 45360𝑡7)

−2560𝜂16𝑡(1774𝑡 − 23157𝑡3 + 50004𝑡5 − 20160𝑡7) ]

+𝑁

[ 50521 − 568307𝑡2 − 112998𝑡4 + 471418𝑡6 − 34403𝑡8 + 9𝑡10

+612540𝑛2 − 10446480𝑛2𝑡2 + 8732520𝑛2𝑡4 + 5531760𝑛2𝑡6

−1196100𝑛2𝑡8 + 3043190𝑛4 − 68992710𝑛4𝑡2 + 116008530𝑛4𝑡4

−945250𝑛4𝑡6 − 8638320𝑛4𝑡8 + 8250228𝑛6 − 232191792𝑛6𝑡2

+566866692𝑛6𝑡4 − 179155368𝑛6𝑡6 − 14852880𝑛6𝑡8

+13505721𝑛8 − 452475663𝑛8𝑡2 + 1425980400𝑛8𝑡4

−779384592𝑛8𝑡6 + 40247424𝑛8𝑡8 + 13774680𝑛10

−534037320𝑛10𝑡2 + 2044537200𝑛10𝑡4 − 1522368000𝑛10𝑡6

+186278400𝑛10𝑡8 + 8592896𝑛12 − 377748736𝑛12𝑡2

+1692815040𝑛12𝑡4 − 1565524800𝑛12𝑡6 + 275097600𝑛12𝑡8

+3009024𝑛14 − 147706560𝑛14𝑡2 + 755626176𝑛14𝑡4

−826329600𝑛14𝑡6 + 182891520𝑛14𝑡8 + 454144𝑛16

−24596736𝑛16𝑡2 + 141071616𝑛16𝑡4 − 176937984𝑛16𝑡6

+46448640𝑛16𝑡8 ]

}

∙ (𝑁 cos𝜑

𝜌)

VI. ANEXOS.

414

𝑓XI(Φ) = −𝑁 cos11 𝜑

{

𝜌

𝜌

[ 50521𝜂2𝑡2 − 206276𝜂2𝑡4 + 101166𝜂2𝑡6 − 4916𝜂2𝑡8 + 𝜂2𝑡10

+180𝜂4𝑡(3403𝑡 − 18211𝑡3 + 13345𝑡5 − 1329𝑡7)

+10𝜂6𝑡(304319𝑡 − 1995438𝑡3 + 1921083𝑡5 − 287944𝑡7)

+1764𝜂8𝑡(4677𝑡 − 36081𝑡3 + 42622𝑡5 − 8420𝑡7)

+3𝜂10𝑡(4501907𝑡 − 39770624𝑡3 + 55294736𝑡5 − 13415808𝑡7)

+360𝜂12𝑡(38263𝑡 − 379690𝑡3 + 604288𝑡5 − 172480𝑡7)

+64𝜂14𝑡(134264𝑡 − 1475140𝑡3 + 2634795𝑡5 − 859680𝑡7)

+576𝜂16𝑡(5224𝑡 − 62841𝑡3 + 124120𝑡5 − 45360𝑡7)

+256𝜂18𝑡(1774𝑡 − 23157𝑡3 + 50004𝑡5 − 20160𝑡7) ]

+𝑁

𝜌

[

−505210𝑡2 + 2062760𝑡4 − 1011660𝑡6 + 49160𝑡8 − 10𝑡10

−1800𝜂2𝑡(3403𝑡 − 18211𝑡3 + 13345𝑡5 − 1329𝑡7)

−100𝜂4𝑡(304319𝑡 − 1995438𝑡3 + 1921083𝑡5 − 287944𝑡7)

−17640𝜂6𝑡(4677𝑡 − 36081𝑡3 + 42622𝑡5 − 8420𝑡7)

−30𝜂8𝑡(4501907𝑡 − 39770624𝑡3 + 55294736𝑡5 − 13415808𝑡7)

−3600𝜂10𝑡(38263𝑡 − 379690𝑡3 + 604288𝑡5 − 172480𝑡7)

−640𝜂12𝑡(134264𝑡 − 1475140𝑡3 + 2634795𝑡5 − 859680𝑡7)

−5760𝜂14𝑡(5224𝑡 − 62841𝑡3 + 124120𝑡5 − 45360𝑡7)

−2560𝜂16𝑡(1774𝑡 − 23157𝑡3 + 50004𝑡5 − 20160𝑡7) ]

+𝑁

𝜌

[ 50521 − 568307𝑡2 − 112998𝑡4 + 471418𝑡6 − 34403𝑡8 + 9𝑡10

+612540𝑛2 − 10446480𝑛2𝑡2 + 8732520𝑛2𝑡4 + 5531760𝑛2𝑡6

−1196100𝑛2𝑡8 + 3043190𝑛4 − 68992710𝑛4𝑡2 + 116008530𝑛4𝑡4

−945250𝑛4𝑡6 − 8638320𝑛4𝑡8 + 8250228𝑛6 − 232191792𝑛6𝑡2

+566866692𝑛6𝑡4 − 179155368𝑛6𝑡6 − 14852880𝑛6𝑡8

+13505721𝑛8 − 452475663𝑛8𝑡2 + 1425980400𝑛8𝑡4

−779384592𝑛8𝑡6 + 40247424𝑛8𝑡8 + 13774680𝑛10

−534037320𝑛10𝑡2 + 2044537200𝑛10𝑡4 − 1522368000𝑛10𝑡6

+186278400𝑛10𝑡8 + 8592896𝑛12 − 377748736𝑛12𝑡2

+1692815040𝑛12𝑡4 − 1565524800𝑛12𝑡6 + 275097600𝑛12𝑡8

+3009024𝑛14 − 147706560𝑛14𝑡2 + 755626176𝑛14𝑡4

−826329600𝑛14𝑡6 + 182891520𝑛14𝑡8 + 454144𝑛16

−24596736𝑛16𝑡2 + 141071616𝑛16𝑡4 − 176937984𝑛16𝑡6

+46448640𝑛16𝑡8 ]

}

VI. ANEXOS.

415


{

[ 50521𝜂2𝑡2 + 612540𝜂4𝑡2 + 3043190𝜂6𝑡2 + 8250228𝜂8𝑡2 + 13505721𝜂10𝑡2

+13774680𝜂12𝑡2 + 8592896𝜂14𝑡2 + 3009024𝜂16𝑡2 + 454144𝜂18𝑡2

−206276𝜂2𝑡4 − 3277980𝜂4𝑡4 − 19954380𝜂6𝑡4 − 63646884𝜂8𝑡4

−119311872𝜂10𝑡4 − 136688400𝜂12𝑡4 − 94408960𝜂14𝑡4 − 36196416𝜂16𝑡4

−5928192𝜂18𝑡4 + 101166𝜂2𝑡6 + 2402100𝜂4𝑡6 + 19210830𝜂6𝑡6

+75185208𝜂8𝑡6 + 165884208𝜂10𝑡6 + 217543680𝜂12𝑡6 + 168626880𝜂14𝑡6

+71493120𝜂16𝑡6 + 12801024𝜂18𝑡6 − 4916𝜂2𝑡8 − 239220𝜂4𝑡8

−2879440𝜂6𝑡8 − 14852880𝜂8𝑡8 − 40247424𝜂10𝑡8 − 62092800𝜂12𝑡8

−55019520𝜂14𝑡8 − 26127360𝜂16𝑡8 − 5160960𝜂18𝑡8 + 𝜂2𝑡10 ]

+

[

−505210𝑡2 + 2062760𝑡4 − 1011660𝑡6 + 49160𝑡8 − 10𝑡10

−6630610𝜂2𝑡2 − 36557300𝜂4𝑡2 − 112934180𝜂6𝑡2 − 217559490𝜂8𝑡2

−272804010𝜂10𝑡2 − 223675760𝜂12𝑡2 − 116019200𝜂14𝑡2 − 34631680𝜂16𝑡2

−4541440𝜂18𝑡2 + 34842560𝜂2𝑡4 + 232323600𝜂4𝑡4 + 836012640𝜂6𝑡4

+1829587560𝜂8𝑡4 + 2560002720𝜂10𝑡4 + 2310973600𝜂12𝑡4

+1306053760𝜂14𝑡4 + 421246080𝜂16𝑡4 + 59281920𝜂18𝑡4 − 25032660𝜂2𝑡6

−216129300𝜂4𝑡6 − 943960380𝜂6𝑡6 − 2410694160𝜂8𝑡6 − 3834278880𝜂10𝑡6

−3861705600𝜂12𝑡6 − 2401200000𝜂14𝑡6 − 842941440𝜂16𝑡6

−128010240𝜂18𝑡6 + 2441360𝜂2𝑡8 + 31186600𝜂4𝑡8 + 177323200𝜂6𝑡8

+551003040𝜂8𝑡8 + 1023402240𝜂10𝑡8 + 1171123200𝜂12𝑡8

+811468800𝜂14𝑡8 + 312883200𝜂16𝑡8 + 51609600𝜂18𝑡8 − 10𝜂2𝑡10 ]

+

[

50521 − 568307𝑡2 − 112998𝑡4 + 471418𝑡6 − 34403𝑡8 + 9𝑡10

+663061𝜂2 + 3655730𝜂4 + 11293418𝜂6 + 21755949𝜂8 + 27280401𝜂10

+22367576𝜂12 + 11601920𝜂14 + 3463168𝜂16 + 454144𝜂18 − 11014787𝜂2𝑡2

−79439190𝜂4𝑡2 − 301184502𝜂6𝑡2 − 684667455𝜂8𝑡2 − 986512983𝜂10𝑡2

−911786056𝜂12𝑡2 − 525455296𝜂14𝑡2 − 172303296𝜂16𝑡2 − 24596736𝜂18𝑡2

+8619522𝜂2𝑡4 + 124741050𝜂4𝑡4 + 682875222𝜂6𝑡4 + 1992847092𝜂8𝑡4

+3470517600𝜂10𝑡4 + 3737352240𝜂12𝑡4 + 2448441216𝜂14𝑡4

+896697792𝜂16𝑡4 + 141071616𝜂18𝑡4 + 6003178𝜂2𝑡6 + 4586510𝜂4𝑡6

−180100618𝜂6𝑡6 − 958539960𝜂8𝑡6 − 2301752592𝜂10𝑡6 − 3087892800𝜂12𝑡6

−2391854400𝜂14𝑡6 − 1003267584𝜂16𝑡6 − 176937984𝜂18𝑡6 − 1230503𝜂2𝑡8

−9834420𝜂4𝑡8 − 23491200𝜂6𝑡8 + 25394544𝜂8𝑡8 + 226525824𝜂10𝑡8

+461376000𝜂12𝑡8 + 457989120𝜂14𝑡8 + 229340160𝜂16𝑡8 + 46448640𝜂18𝑡8

+9𝜂2𝑡10 ]

}

VI. ANEXOS.

416


[

50521 − (505210𝑡2 + 568307𝑡2) + (2062760𝑡4 − 112998𝑡4)

+(471418𝑡6 − 1011660𝑡6) + (49160𝑡8 − 34403𝑡8) + (9𝑡10 − 10𝑡10)

+663061𝜂2 + 3655730𝜂4 + 11293418𝜂6 + 21755949𝜂8 + 27280401𝜂10

+22367576𝜂12 + 11601920𝜂14 + 3463168𝜂16 + 454144𝜂18 + (50521𝜂2𝑡2

−6630610𝜂2𝑡2 − 11014787𝜂2𝑡2) + (612540𝜂4𝑡2 − 36557300𝜂4𝑡2

−79439190𝜂4𝑡2) + (3043190𝜂6𝑡2 − 112934180𝜂6𝑡2 − 301184502𝜂6𝑡2)

+(8250228𝜂8𝑡2 − 217559490𝜂8𝑡2 − 684667455𝜂8𝑡2) + (13505721𝜂10𝑡2

−272804010𝜂10𝑡2 − 986512983𝜂10𝑡2) + (13774680𝜂12𝑡2

−223675760𝜂12𝑡2 − 911786056𝜂12𝑡2) + (8592896𝜂14𝑡2 − 116019200𝜂14𝑡2

−525455296𝜂14𝑡2) + (3009024𝜂16𝑡2 − 34631680𝜂16𝑡2 − 172303296𝜂16𝑡2)

+(454144𝜂18𝑡2 − 4541440𝜂18𝑡2 − 24596736𝜂18𝑡2) + (34842560𝜂2𝑡4

+8619522𝜂2𝑡4 − 206276𝜂2𝑡4) + (232323600𝜂4𝑡4 + 124741050𝜂4𝑡4

−3277980𝜂4𝑡4) + (836012640𝜂6𝑡4 + 682875222𝜂6𝑡4 − 19954380𝜂6𝑡4)

+(1829587560𝜂8𝑡4 + 1992847092𝜂8𝑡4 − 63646884𝜂8𝑡4) + (3470517600𝜂10𝑡4

+2560002720𝜂10𝑡4 − 119311872𝜂10𝑡4) + (3737352240𝜂12𝑡4 + 2310973600𝜂12𝑡4

−136688400𝜂12𝑡4) + (2448441216𝜂14𝑡4 + 1306053760𝜂14𝑡4 − 94408960𝜂14𝑡4)

+(896697792𝜂16𝑡4 + 421246080𝜂16𝑡4 − 36196416𝜂16𝑡4) + (141071616𝜂18𝑡4

+59281920𝜂18𝑡4 − 5928192𝜂18𝑡4) + (6003178𝜂2𝑡6 + 101166𝜂2𝑡6

−25032660𝜂2𝑡6) + (2402100𝜂4𝑡6 + 4586510𝜂4𝑡6 − 216129300𝜂4𝑡6)

+(19210830𝜂6𝑡6 − 180100618𝜂6𝑡6 − 943960380𝜂6𝑡6) + (75185208𝜂8𝑡6

−958539960𝜂8𝑡6 − 2410694160𝜂8𝑡6) + (165884208𝜂10𝑡6 − 2301752592𝜂10𝑡6

−3834278880𝜂10𝑡6) + (217543680𝜂12𝑡6 − 3087892800𝜂12𝑡6 − 3861705600𝜂12𝑡6)

+(168626880𝜂14𝑡6 − 2391854400𝜂14𝑡6 − 2401200000𝜂14𝑡6) + (71493120𝜂16𝑡6

−842941440𝜂16𝑡6 − 1003267584𝜂16𝑡6) + (12801024𝜂18𝑡6 − 176937984𝜂18𝑡6

−128010240𝜂18𝑡6) + (2441360𝜂2𝑡8 − 1230503𝜂2𝑡8 − 4916𝜂2𝑡8) + (31186600𝜂4𝑡8

−9834420𝜂4𝑡8 − 239220𝜂4𝑡8) + (177323200𝜂6𝑡8 − 2879440𝜂6𝑡8 − 23491200𝜂6𝑡8)

+(551003040𝜂8𝑡8 + 25394544𝜂8𝑡8 − 14852880𝜂8𝑡8) + (226525824𝜂10𝑡8

+1023402240𝜂10𝑡8 − 40247424𝜂10𝑡8) + (1171123200𝜂12𝑡8 + 461376000𝜂12𝑡8

−62092800𝜂12𝑡8) + (811468800𝜂14𝑡8 + 457989120𝜂14𝑡8 − 55019520𝜂14𝑡8)

+(312883200𝜂16𝑡8 + 229340160𝜂16𝑡8 − 26127360𝜂16𝑡8) + (51609600𝜂18𝑡8

+46448640𝜂18𝑡8 − 5160960𝜂18𝑡8) + (9𝜂2𝑡10 + 𝜂2𝑡10 − 10𝜂2𝑡10) ]

VI. ANEXOS.

417


[

50521 − 1073517𝑡2 + 1949762𝑡4 − 540242𝑡6 + 14757𝑡8 − 𝑡10

+663061𝜂2 + 3655730𝜂4 + 11293418𝜂6 + 21755949𝜂8 + 27280401𝜂10

+22367576𝜂12 + 11601920𝜂14 + 3463168𝜂16 + 454144𝜂18

−17594876𝜂2𝑡2 − 115383950𝜂4𝑡2 − 411075492𝜂6𝑡2 − 893976717𝜂8𝑡2

−1245811272𝜂10𝑡2 − 1121687136𝜂12𝑡2 − 632881600𝜂14𝑡2 − 203925952𝜂16𝑡2

−28684032𝜂18𝑡2 + 43255806𝜂2𝑡4 + 353786670𝜂4𝑡4 + 1498933482𝜂6𝑡4

+3758787768𝜂8𝑡4 + 5911208448𝜂10𝑡4 + 5911637440𝜂12𝑡4 + 3660086016𝜂14𝑡4

+1281747456𝜂16𝑡4 + 194425344𝜂18𝑡4 − 18928316𝜂2𝑡6 − 209140690𝜂4𝑡6

−1104850168𝜂6𝑡6 − 3294048912𝜂8𝑡6 − 5970147264𝜂10𝑡6 − 6732054720𝜂12𝑡6

−4624427520𝜂14𝑡6 − 1774715904𝜂16𝑡6 − 292147200𝜂18𝑡6 + 1205941𝜂2𝑡8

+21112960𝜂4𝑡8 + 150952560𝜂6𝑡8 + 561544704𝜂8𝑡8 + 1209680640𝜂10𝑡8

+1570406400𝜂12𝑡8 + 1214438400𝜂14𝑡8 + 516096000𝜂16𝑡8 + 92897280𝜂18𝑡8 ]


[

50521 − 1073517𝑡2 + 1949762𝑡4 − 540242𝑡6 + 14757𝑡8 − 𝑡10

+663061𝜂2 − 17594876𝜂2𝑡2 + 43255806𝜂2𝑡4 − 18928316𝜂2𝑡6 + 1205941𝜂2𝑡8

+3655730𝜂4 − 115383950𝜂4𝑡2 + 353786670𝜂4𝑡4 − 209140690𝜂4𝑡6

+21112960𝜂4𝑡8 + 11293418𝜂6 − 411075492𝜂6𝑡2 + 1498933482𝜂6𝑡4

−1104850168𝜂6𝑡6 + 150952560𝜂6𝑡8 + 21755949𝜂8 − 893976717𝜂8𝑡2

+3758787768𝜂8𝑡4 − 3294048912𝜂8𝑡6 + 561544704𝜂8𝑡8 + 27280401𝜂10

−1245811272𝜂10𝑡2 + 5911208448𝜂10𝑡4 − 5970147264𝜂10𝑡6 + 1209680640𝜂10𝑡8

+22367576𝜂12 − 1121687136𝜂12𝑡2 + 5911637440𝜂12𝑡4 − 6732054720𝜂12𝑡6

+1570406400𝜂12𝑡8 + 11601920𝜂14 − 632881600𝜂14𝑡2 + 3660086016𝜂14𝑡4

−4624427520𝜂14𝑡6 + 1214438400𝜂14𝑡8 + 3463168𝜂16 − 203925952𝜂16𝑡2

+1281747456𝜂16𝑡4 − 1774715904𝜂16𝑡6 + 516096000𝜂16𝑡8 + 454144𝜂18

−28684032𝜂18𝑡2 + 194425344𝜂18𝑡4 − 292147200𝜂18𝑡6 + 92897280𝜂18𝑡8 ]

𝒇𝐗𝐈(𝚽) = −𝑵𝐜𝐨𝐬𝟏𝟏𝝋 ∙

[

𝟓𝟎𝟓𝟐𝟏 − 𝟏𝟎𝟕𝟑𝟓𝟏𝟕𝒕𝟐 + 𝟏𝟗𝟒𝟗𝟕𝟔𝟐𝒕𝟒 − 𝟓𝟒𝟎𝟐𝟒𝟐𝒕𝟔 + 𝟏𝟒𝟕𝟓𝟕𝒕𝟖 − 𝒕𝟏𝟎

+𝜼𝟐(𝟔𝟔𝟑𝟎𝟔𝟏 − 𝟏𝟕𝟓𝟗𝟒𝟖𝟕𝟔𝒕𝟐 + 𝟒𝟑𝟐𝟓𝟓𝟖𝟎𝟔𝒕𝟒 − 𝟏𝟖𝟗𝟐𝟖𝟑𝟏𝟔𝒕𝟔 + 𝟏𝟐𝟎𝟓𝟗𝟒𝟏𝒕𝟖)

+𝟏𝟎𝜼𝟒(𝟑𝟔𝟓𝟓𝟕𝟑 − 𝟏𝟏𝟓𝟑𝟖𝟑𝟗𝟓𝒕𝟐 + 𝟑𝟓𝟑𝟕𝟖𝟔𝟔𝟕𝒕𝟒 − 𝟐𝟎𝟗𝟏𝟒𝟎𝟔𝟗𝒕𝟔 + 𝟐𝟏𝟏𝟏𝟐𝟗𝟔𝒕𝟖)

+𝟐𝜼𝟔(𝟓𝟔𝟒𝟔𝟕𝟎𝟗 − 𝟐𝟎𝟓𝟓𝟑𝟕𝟕𝟒𝟔𝒕𝟐 + 𝟕𝟒𝟗𝟒𝟔𝟔𝟕𝟒𝟏𝒕𝟒 − 𝟓𝟓𝟐𝟒𝟐𝟓𝟎𝟖𝟒𝒕𝟔 + 𝟕𝟓𝟒𝟕𝟔𝟐𝟖𝟎𝒕𝟖)

+𝟑𝜼𝟖(𝟕𝟐𝟓𝟏𝟗𝟖𝟑 − 𝟐𝟗𝟕𝟗𝟗𝟐𝟐𝟑𝟗𝒕𝟐 + 𝟏𝟐𝟓𝟐𝟗𝟐𝟗𝟐𝟓𝟔𝒕𝟒 − 𝟏𝟎𝟗𝟖𝟎𝟏𝟔𝟑𝟎𝟒𝒕𝟔 + 𝟏𝟖𝟕𝟏𝟖𝟏𝟓𝟔𝟖𝒕𝟖)

+𝟑𝜼𝟏𝟎(𝟗𝟎𝟗𝟑𝟒𝟔𝟕 − 𝟒𝟏𝟓𝟐𝟕𝟎𝟒𝟐𝟒𝒕𝟐 + 𝟏𝟗𝟕𝟎𝟒𝟎𝟐𝟖𝟏𝟔𝒕𝟒 − 𝟏𝟗𝟗𝟎𝟎𝟒𝟗𝟎𝟖𝟖𝒕𝟔 + 𝟒𝟎𝟑𝟐𝟐𝟔𝟖𝟖𝟎𝒕𝟖)

+𝟖𝜼𝟏𝟐(𝟐𝟕𝟗𝟓𝟗𝟒𝟕 − 𝟏𝟒𝟎𝟐𝟏𝟎𝟖𝟗𝟐𝒕𝟐 + 𝟕𝟑𝟖𝟗𝟓𝟒𝟔𝟖𝟎𝒕𝟒 − 𝟖𝟒𝟏𝟓𝟎𝟔𝟖𝟒𝟎𝒕𝟔 + 𝟏𝟗𝟔𝟑𝟎𝟎𝟖𝟎𝟎𝒕𝟖)

+𝟔𝟒𝜼𝟏𝟒(𝟏𝟖𝟏𝟐𝟖𝟎 − 𝟗𝟖𝟖𝟖𝟕𝟕𝟓𝒕𝟐 + 𝟓𝟕𝟏𝟖𝟖𝟖𝟒𝟒𝒕𝟒 − 𝟕𝟐𝟐𝟓𝟔𝟔𝟖𝟎𝒕𝟔 + 𝟏𝟖𝟗𝟕𝟓𝟔𝟎𝟎𝒕𝟖)

+𝟔𝟒𝜼𝟏𝟔(𝟓𝟒𝟏𝟏𝟐 − 𝟑𝟏𝟖𝟔𝟑𝟒𝟑𝒕𝟐 + 𝟐𝟎𝟎𝟐𝟕𝟑𝟎𝟒𝒕𝟒 − 𝟐𝟕𝟕𝟐𝟗𝟗𝟑𝟔𝒕𝟔 + 𝟖𝟎𝟔𝟒𝟎𝟎𝟎𝒕𝟖)

+𝟐𝟓𝟔𝜼𝟏𝟖(𝟏𝟕𝟕𝟒 − 𝟏𝟏𝟐𝟎𝟒𝟕𝒕𝟐 + 𝟕𝟓𝟗𝟒𝟕𝟒𝒕𝟒 − 𝟏𝟏𝟒𝟏𝟐𝟎𝟎𝒕𝟔 + 𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝒕𝟖) ]

VI. ANEXOS.

418

Para 𝒇𝐗𝐈𝐈(𝚽).

[𝑓XI(Φ)]′ =

{

−𝑁 cos11 𝜑

[

50521 − 1073517𝑡2 + 1949762𝑡4 − 540242𝑡6 + 14757𝑡8 − 𝑡10

+𝜂2(663061 − 17594876𝑡2 + 43255806𝑡4 − 18928316𝑡6 + 1205941𝑡8)

+10𝜂4(365573 − 11538395𝑡2 + 35378667𝑡4 − 20914069𝑡6 + 2111296𝑡8)

+2𝜂6(5646709 − 205537746𝑡2 + 749466741𝑡4 − 552425084𝑡6 + 75476280𝑡8)

+3𝜂8(7251983 − 297992239𝑡2 + 1252929256𝑡4 − 1098016304𝑡6 + 187181568𝑡8)

+3𝜂10(9093467 − 415270424𝑡2 + 1970402816𝑡4 − 1990049088𝑡6 + 403226880𝑡8)

+8𝜂12(2795947 − 140210892𝑡2 + 738954680𝑡4 − 841506840𝑡6 + 196300800𝑡8)

+64𝜂14(181280 − 9888775𝑡2 + 57188844𝑡4 − 72256680𝑡6 + 18975600𝑡8)

+64𝜂16(54112 − 3186343𝑡2 + 20027304𝑡4 − 27729936𝑡6 + 8064000𝑡8)

+256𝜂18(1774 − 112047𝑡2 + 759474𝑡4 − 1141200𝑡6 + 362880𝑡8) ]

}

′

[𝑓XI(Φ)]′ =

−

{

𝑁 cos11 𝜑

[

50521 − 1073517𝑡2 + 1949762𝑡4 − 540242𝑡6 + 14757𝑡8 − 𝑡10

+𝜂2(663061 − 17594876𝑡2 + 43255806𝑡4 − 18928316𝑡6 + 1205941𝑡8)

+10𝜂4(365573 − 11538395𝑡2 + 35378667𝑡4 − 20914069𝑡6 + 2111296𝑡8)

+2𝜂6(5646709 − 205537746𝑡2 + 749466741𝑡4 − 552425084𝑡6 + 75476280𝑡8)

+3𝜂8(7251983 − 297992239𝑡2 + 1252929256𝑡4 − 1098016304𝑡6 + 187181568𝑡8)

+3𝜂10(9093467 − 415270424𝑡2 + 1970402816𝑡4 − 1990049088𝑡6 + 403226880𝑡8)

+8𝜂12(2795947 − 140210892𝑡2 + 738954680𝑡4 − 841506840𝑡6 + 196300800𝑡8)

+64𝜂14(181280 − 9888775𝑡2 + 57188844𝑡4 − 72256680𝑡6 + 18975600𝑡8)

+64𝜂16(54112 − 3186343𝑡2 + 20027304𝑡4 − 27729936𝑡6 + 8064000𝑡8)

+256𝜂18(1774 − 112047𝑡2 + 759474𝑡4 − 1141200𝑡6 + 362880𝑡8) ]

}

′

[𝑓XI(Φ)]′ = −(𝑢 ∙ 𝑣 ∙ 𝑤)′ = −(𝑢′ ∙ 𝑣 ∙ 𝑤 + 𝑢 ∙ 𝑣′ ∙ 𝑤 + 𝑢 ∙ 𝑣 ∙ 𝑤′)

Siendo.

𝑢 = 𝑁, 𝑣 = cos11 𝜑,

𝑤 =

[

50521 − 1073517𝑡2 + 1949762𝑡4 − 540242𝑡6 + 14757𝑡8 − 𝑡10

+𝜂2(663061 − 17594876𝑡2 + 43255806𝑡4 − 18928316𝑡6 + 1205941𝑡8)

+10𝜂4(365573 − 11538395𝑡2 + 35378667𝑡4 − 20914069𝑡6 + 2111296𝑡8)

+2𝜂6(5646709 − 205537746𝑡2 + 749466741𝑡4 − 552425084𝑡6 + 75476280𝑡8)

+3𝜂8(7251983 − 297992239𝑡2 + 1252929256𝑡4 − 1098016304𝑡6 + 187181568𝑡8)

+3𝜂10(9093467 − 415270424𝑡2 + 1970402816𝑡4 − 1990049088𝑡6 + 403226880𝑡8)

+8𝜂12(2795947 − 140210892𝑡2 + 738954680𝑡4 − 841506840𝑡6 + 196300800𝑡8)

+64𝜂14(181280 − 9888775𝑡2 + 57188844𝑡4 − 72256680𝑡6 + 18975600𝑡8)

+64𝜂16(54112 − 3186343𝑡2 + 20027304𝑡4 − 27729936𝑡6 + 8064000𝑡8)

+256𝜂18(1774 − 112047𝑡2 + 759474𝑡4 − 1141200𝑡6 + 362880𝑡8) ]

VI. ANEXOS.

419

Derivando.

𝑢′ = 𝜂2𝑡𝜌, 𝑣′ = −11𝑡 cos11 𝜑,

𝑤′ =

{

−1073517(2𝑡3 + 2𝑡) + 1949762(4𝑡5 + 4𝑡3)

−540242(6𝑡7 + 6𝑡5) + 14757(8𝑡9 + 8𝑡7) − (10𝑡11 + 10𝑡9)

+ [

−2𝜂2𝑡 (663061 − 17594876𝑡2 + 43255806𝑡4

−18928316𝑡6 + 1205941𝑡8)

+𝜂2 (−17594876(2𝑡3 + 2𝑡) + 43255806(4𝑡5 + 4𝑡3)

−18928316(6𝑡7 + 6𝑡5) + 1205941(8𝑡9 + 8𝑡7))]

+10 [

−4𝜂4𝑡 (365573 − 11538395𝑡2 + 35378667𝑡4

−20914069𝑡6 + 2111296𝑡8)

+𝜂4 (−11538395(2𝑡3 + 2𝑡) + 35378667(4𝑡5 + 4𝑡3)

−20914069(6𝑡7 + 6𝑡5) + 2111296(8𝑡9 + 8𝑡7))]

+2 [

−6𝜂6𝑡 (5646709 − 205537746𝑡2 + 749466741𝑡4

−552425084𝑡6 + 75476280𝑡8)

+𝜂6 (−205537746(2𝑡3 + 2𝑡) + 749466741(4𝑡5 + 4𝑡3)

−552425084(6𝑡7 + 6𝑡5) + 75476280(8𝑡9 + 8𝑡7))]

+3 [

−8𝜂8𝑡 (7251983 − 297992239𝑡2 + 1252929256𝑡4

−1098016304𝑡6 + 187181568𝑡8)

+𝜂8 (−297992239(2𝑡3 + 2𝑡) + 1252929256(4𝑡5 + 4𝑡3)

−1098016304(6𝑡7 + 6𝑡5) + 187181568(8𝑡9 + 8𝑡7))]

+3 [

−10𝜂10𝑡 (9093467 − 415270424𝑡2 + 1970402816𝑡4

−1990049088𝑡6 + 403226880𝑡8)

+𝜂10 (−415270424(2𝑡3 + 2𝑡) + 1970402816(4𝑡5 + 4𝑡3)

−1990049088(6𝑡7 + 6𝑡5) + 403226880(8𝑡9 + 8𝑡7))]

+8 [

−12𝜂12𝑡 (2795947 − 140210892𝑡2 + 738954680𝑡4

−841506840𝑡6 + 196300800𝑡8)

+𝜂12 (−140210892(2𝑡3 + 2𝑡) + 738954680(4𝑡5 + 4𝑡3)

−841506840(6𝑡7 + 6𝑡5) + 196300800(8𝑡9 + 8𝑡7))]

+64 [

−14𝜂14𝑡 (181280 − 9888775𝑡2 + 57188844𝑡4

−72256680𝑡6 + 18975600𝑡8)

+𝜂14 (−9888775(2𝑡3 + 2𝑡) + 57188844(4𝑡5 + 4𝑡3)

−72256680(6𝑡7 + 6𝑡5) + 18975600(8𝑡9 + 8𝑡7))]

+64 [

−16𝜂16𝑡 (54112 − 3186343𝑡2 + 20027304𝑡4

−27729936𝑡6 + 8064000𝑡8)

+𝜂16 (−3186343(2𝑡3 + 2𝑡) + 20027304(4𝑡5 + 4𝑡3)

−27729936(6𝑡7 + 6𝑡5) + 8064000(8𝑡9 + 8𝑡7))]

+256 [

−18𝜂18𝑡 (1774 − 112047𝑡2 + 759474𝑡4

−1141200𝑡6 + 362880𝑡8)

+𝜂18 (−112047(2𝑡3 + 2𝑡) + 759474(4𝑡5 + 4𝑡3)

−1141200(6𝑡7 + 6𝑡5) + 362880(8𝑡9 + 8𝑡7))]

}

VI. ANEXOS.

420

𝑤′ =

{

−2147034𝑡 − 2147034𝑡3 + 7799048𝑡3 + 7799048𝑡5 − 3241452𝑡5

−3241452𝑡7 + +118056𝑡7 + 118056𝑡9 − 10𝑡9 − 10𝑡11

+ [−36515874𝜂2𝑡 + 173023224𝜂2𝑡3 − 27058284𝜂2𝑡5

−66065736𝜂2𝑡7 + 7235646𝜂2𝑡9]

+10 [−24539082𝜂4𝑡 + 164591458𝜂4𝑡3 − 125484414𝜂4𝑡5

−24937770𝜂4𝑡7 + 8445184𝜂4𝑡9]

+2 [−444955746𝜂6𝑡 + 3820017948𝜂6𝑡3 − 4813483986𝜂6𝑡5

+603810240𝜂6𝑡7 + 150952560𝜂6𝑡9]

+3 [−654000342𝜂8𝑡 + 6799670458𝜂8𝑡3 − 11599814848𝜂8𝑡5

+3693485152𝜂8𝑡7]

+3 [−921475518𝜂10𝑡 + 11203774656𝜂10𝑡3 − 23762711424𝜂10𝑡5

+11186011392𝜂10𝑡7 − 806453760𝜂10𝑡9]

+8 [−313973148𝜂12𝑡 + 4357927640𝜂12𝑡3 − 10960678480𝜂12𝑡5

+6619447440𝜂12𝑡7 − 785203200𝜂12𝑡9]

+64 [−22315470𝜂14𝑡 + 347420676𝜂14𝑡3 − 1005428520𝜂14𝑡5

+729858240𝜂14𝑡7 − 113853600𝜂14𝑡9]

+64 [−7238478𝜂16𝑡 + 124718018𝜂16𝑡3 − 406707264𝜂16𝑡5

+341811360𝜂16𝑡7 − 64512000𝜂16𝑡9]

+256 [−256026𝜂18𝑡 + 4830648𝜂18𝑡3 − 17479836𝜂18𝑡5

+16597440𝜂18𝑡7 − 3628800𝜂18𝑡9]

}

𝑤′ =

[ −2147034𝑡 + 5652014𝑡3 + 4557596𝑡5 − 3123396𝑡7 + 118046𝑡9 − 10𝑡11

−36515874𝜂2𝑡 + 173023224𝜂2𝑡3 − 27058284𝜂2𝑡5 − 66065736𝜂2𝑡7

+7235646𝜂2𝑡9 − 245390820𝜂4𝑡 + 1645914580𝜂4𝑡3 − 1254844140𝜂4𝑡5

−249377700𝜂4𝑡7 + 84451840𝜂4𝑡9 − 889911492𝜂6𝑡 + 7640035896𝜂6𝑡3

−9626967972𝜂6𝑡5 + 1207620480𝜂6𝑡7 + 301905120𝜂6𝑡9 − 1962001026𝜂8𝑡

+20399011374𝜂8𝑡3 − 34799444544𝜂8𝑡5 + 11080455456𝜂8𝑡7

−2764426554𝜂10𝑡 + 33611323968𝜂10𝑡3 − 71288134272𝜂10𝑡5

+33558034176𝜂10𝑡7 − 2419361280𝜂10𝑡9 − 2511785184𝜂12𝑡

+34863421120𝜂12𝑡3 − 87685427840𝜂12𝑡5 + 52955579520𝜂12𝑡7

−6281625600𝜂12𝑡9 − 1428190080𝜂14𝑡 + 22234923264𝜂14𝑡3

−64347425280𝜂14𝑡5 + 46710927360𝜂14𝑡7 − 7286630400𝜂14𝑡9

−463262592𝜂16𝑡 + 7981953152𝜂16𝑡3 − 26029264896𝜂16𝑡5

+21875927040𝜂16𝑡7 − 4128768000𝜂16𝑡9 − 65542656𝜂18𝑡

+1236645888𝜂18𝑡3 − 4474838016𝜂18𝑡5 + 4248944640𝜂18𝑡7

−928972800𝜂18𝑡9 ]

VI. ANEXOS.

421

Sustituyendo.

[𝑓XI(Φ)]′ = −

{

𝜂2𝑡𝜌 cos11 𝜑

[

50521 − 1073517𝑡2 + 1949762𝑡4 − 540242𝑡6 + 14757𝑡8 − 𝑡10

+𝜂2(663061 − 17594876𝑡2 + 43255806𝑡4 − 18928316𝑡6 + 1205941𝑡8)

+10𝜂4(365573 − 11538395𝑡2 + 35378667𝑡4 − 20914069𝑡6 + 2111296𝑡8)

+2𝜂6(5646709 − 205537746𝑡2 + 749466741𝑡4 − 552425084𝑡6 + 75476280𝑡8)

+3𝜂8(7251983 − 297992239𝑡2 + 1252929256𝑡4 − 1098016304𝑡6 + 187181568𝑡8)

+3𝜂10(9093467 − 415270424𝑡2 + 1970402816𝑡4 − 1990049088𝑡6 + 403226880𝑡8)

+8𝜂12(2795947 − 140210892𝑡2 + 738954680𝑡4 − 841506840𝑡6 + 196300800𝑡8)

+64𝜂14(181280 − 9888775𝑡2 + 57188844𝑡4 − 72256680𝑡6 + 18975600𝑡8)

+64𝜂16(54112 − 3186343𝑡2 + 20027304𝑡4 − 27729936𝑡6 + 8064000𝑡8)

+256𝜂18(1774 − 112047𝑡2 + 759474𝑡4 − 1141200𝑡6 + 362880𝑡8) ]

+𝑁(−11𝑡 cos11 𝜑)

[

50521 − 1073517𝑡2 + 1949762𝑡4 − 540242𝑡6 + 14757𝑡8 − 𝑡10

+𝜂2(663061 − 17594876𝑡2 + 43255806𝑡4 − 18928316𝑡6 + 1205941𝑡8)

+10𝜂4(365573 − 11538395𝑡2 + 35378667𝑡4 − 20914069𝑡6 + 2111296𝑡8)

+2𝜂6(5646709 − 205537746𝑡2 + 749466741𝑡4 − 552425084𝑡6 + 75476280𝑡8)

+3𝜂8(7251983 − 297992239𝑡2 + 1252929256𝑡4 − 1098016304𝑡6 + 187181568𝑡8)

+3𝜂10(9093467 − 415270424𝑡2 + 1970402816𝑡4 − 1990049088𝑡6 + 403226880𝑡8)

+8𝜂12(2795947 − 140210892𝑡2 + 738954680𝑡4 − 841506840𝑡6 + 196300800𝑡8)

+64𝜂14(181280 − 9888775𝑡2 + 57188844𝑡4 − 72256680𝑡6 + 18975600𝑡8)

+64𝜂16(54112 − 3186343𝑡2 + 20027304𝑡4 − 27729936𝑡6 + 8064000𝑡8)

+256𝜂18(1774 − 112047𝑡2 + 759474𝑡4 − 1141200𝑡6 + 362880𝑡8) ]

+𝑁 cos11 𝜑

[ −2147034𝑡 + 5652014𝑡3 + 4557596𝑡5 − 3123396𝑡7 + 118046𝑡9 − 10𝑡11

−36515874𝜂2𝑡 + 173023224𝜂2𝑡3 − 27058284𝜂2𝑡5 − 66065736𝜂2𝑡7

+7235646𝜂2𝑡9 − 245390820𝜂4𝑡 + 1645914580𝜂4𝑡3 − 1254844140𝜂4𝑡5

−249377700𝜂4𝑡7 + 84451840𝜂4𝑡9 − 889911492𝜂6𝑡 + 7640035896𝜂6𝑡3

−9626967972𝜂6𝑡5 + 1207620480𝜂6𝑡7 + 301905120𝜂6𝑡9 − 1962001026𝜂8𝑡

+20399011374𝜂8𝑡3 − 34799444544𝜂8𝑡5 + 11080455456𝜂8𝑡7

−2764426554𝜂10𝑡 + 33611323968𝜂10𝑡3 − 71288134272𝜂10𝑡5

+33558034176𝜂10𝑡7 − 2419361280𝜂10𝑡9 − 2511785184𝜂12𝑡

+34863421120𝜂12𝑡3 − 87685427840𝜂12𝑡5 + 52955579520𝜂12𝑡7

−6281625600𝜂12𝑡9 − 1428190080𝜂14𝑡 + 22234923264𝜂14𝑡3

−64347425280𝜂14𝑡5 + 46710927360𝜂14𝑡7 − 7286630400𝜂14𝑡9

−463262592𝜂16𝑡 + 7981953152𝜂16𝑡3 − 26029264896𝜂16𝑡5

+21875927040𝜂16𝑡7 − 4128768000𝜂16𝑡9 − 65542656𝜂18𝑡

+1236645888𝜂18𝑡3 − 4474838016𝜂18𝑡5 + 4248944640𝜂18𝑡7

−928972800𝜂18𝑡9 ]

}

VI. ANEXOS.

422

[𝑓XI(Φ)]′ = −cos11 𝜑

{

𝜌

[

50521𝜂2𝑡 − 1073517𝜂2𝑡3 + 1949762𝜂2𝑡5 − 540242𝜂2𝑡7 + 14757𝜂2𝑡9 − 𝜂2𝑡11

+𝜂4𝑡(663061 − 17594876𝑡2 + 43255806𝑡4 − 18928316𝑡6 + 1205941𝑡8)

+10𝜂6𝑡(365573 − 11538395𝑡2 + 35378667𝑡4 − 20914069𝑡6 + 2111296𝑡8)

+2𝜂8𝑡(5646709 − 205537746𝑡2 + 749466741𝑡4 − 552425084𝑡6 + 75476280𝑡8)

+3𝜂10𝑡(7251983 − 297992239𝑡2 + 1252929256𝑡4 − 1098016304𝑡6 + 187181568𝑡8)

+3𝜂12𝑡(9093467 − 415270424𝑡2 + 1970402816𝑡4 − 1990049088𝑡6 + 403226880𝑡8)

+8𝜂14𝑡(2795947 − 140210892𝑡2 + 738954680𝑡4 − 841506840𝑡6 + 196300800𝑡8)

+64𝜂16𝑡(181280 − 9888775𝑡2 + 57188844𝑡4 − 72256680𝑡6 + 18975600𝑡8)

+64𝜂18𝑡(54112 − 3186343𝑡2 + 20027304𝑡4 − 27729936𝑡6 + 8064000𝑡8)

+256𝜂20𝑡(1774 − 112047𝑡2 + 759474𝑡4 − 1141200𝑡6 + 362880𝑡8) ]

+𝑁

[

−555731𝑡 + 11808687𝑡3 − 21447382𝑡5 + 5942662𝑡7 − 162327𝑡9 + 11𝑡11

−11𝜂2𝑡(663061 − 17594876𝑡2 + 43255806𝑡4 − 18928316𝑡6 + 1205941𝑡8)

−110𝜂4𝑡(365573 − 11538395𝑡2 + 35378667𝑡4 − 20914069𝑡6 + 2111296𝑡8)

−22𝜂6𝑡(5646709 − 205537746𝑡2 + 749466741𝑡4 − 552425084𝑡6 + 75476280𝑡8)

−33𝜂8𝑡(7251983 − 297992239𝑡2 + 1252929256𝑡4 − 1098016304𝑡6 + 187181568𝑡8)

−33𝜂10𝑡(9093467 − 415270424𝑡2 + 1970402816𝑡4 − 1990049088𝑡6 + 403226880𝑡8)

−88𝜂12𝑡(2795947 − 140210892𝑡2 + 738954680𝑡4 − 841506840𝑡6 + 196300800𝑡8)

−704𝜂14𝑡(181280 − 9888775𝑡2 + 57188844𝑡4 − 72256680𝑡6 + 18975600𝑡8)

−704𝜂16𝑡(54112 − 3186343𝑡2 + 20027304𝑡4 − 27729936𝑡6 + 8064000𝑡8)

−2816𝜂18𝑡(1774 − 112047𝑡2 + 759474𝑡4 − 1141200𝑡6 + 362880𝑡8) ]

+𝑁

[ −2147034𝑡 + 5652014𝑡3 + 4557596𝑡5 − 3123396𝑡7 + 118046𝑡9 − 10𝑡11

−36515874𝜂2𝑡 + 173023224𝜂2𝑡3 − 27058284𝜂2𝑡5 − 66065736𝜂2𝑡7

+7235646𝜂2𝑡9 − 245390820𝜂4𝑡 + 1645914580𝜂4𝑡3 − 1254844140𝜂4𝑡5

−249377700𝜂4𝑡7 + 84451840𝜂4𝑡9 − 889911492𝜂6𝑡 + 7640035896𝜂6𝑡3

−9626967972𝜂6𝑡5 + 1207620480𝜂6𝑡7 + 301905120𝜂6𝑡9 − 1962001026𝜂8𝑡

+20399011374𝜂8𝑡3 − 34799444544𝜂8𝑡5 + 11080455456𝜂8𝑡7

−2764426554𝜂10𝑡 + 33611323968𝜂10𝑡3 − 71288134272𝜂10𝑡5

+33558034176𝜂10𝑡7 − 2419361280𝜂10𝑡9 − 2511785184𝜂12𝑡

+34863421120𝜂12𝑡3 − 87685427840𝜂12𝑡5 + 52955579520𝜂12𝑡7

−6281625600𝜂12𝑡9 − 1428190080𝜂14𝑡 + 22234923264𝜂14𝑡3

−64347425280𝜂14𝑡5 + 46710927360𝜂14𝑡7 − 7286630400𝜂14𝑡9

−463262592𝜂16𝑡 + 7981953152𝜂16𝑡3 − 26029264896𝜂16𝑡5

+21875927040𝜂16𝑡7 − 4128768000𝜂16𝑡9 − 65542656𝜂18𝑡

+1236645888𝜂18𝑡3 − 4474838016𝜂18𝑡5 + 4248944640𝜂18𝑡7

−928972800𝜂18𝑡9 ]

}

VI. ANEXOS.

423


𝑑Φ.

𝑓XII(Φ) = [𝑓XI(Φ)]′ ∙𝑑𝜑

𝑑Φ

𝑓XII(Φ) = − cos11 𝜑

{

𝜌

[

50521𝜂2𝑡 − 1073517𝜂2𝑡3 + 1949762𝜂2𝑡5 − 540242𝜂2𝑡7 + 14757𝜂2𝑡9 − 𝜂2𝑡11

+𝜂4𝑡(663061 − 17594876𝑡2 + 43255806𝑡4 − 18928316𝑡6 + 1205941𝑡8)

+10𝜂6𝑡(365573 − 11538395𝑡2 + 35378667𝑡4 − 20914069𝑡6 + 2111296𝑡8)

+2𝜂8𝑡(5646709 − 205537746𝑡2 + 749466741𝑡4 − 552425084𝑡6 + 75476280𝑡8)

+3𝜂10𝑡(7251983 − 297992239𝑡2 + 1252929256𝑡4 − 1098016304𝑡6 + 187181568𝑡8)

+3𝜂12𝑡(9093467 − 415270424𝑡2 + 1970402816𝑡4 − 1990049088𝑡6 + 403226880𝑡8)

+8𝜂14𝑡(2795947 − 140210892𝑡2 + 738954680𝑡4 − 841506840𝑡6 + 196300800𝑡8)

+64𝜂16𝑡(181280 − 9888775𝑡2 + 57188844𝑡4 − 72256680𝑡6 + 18975600𝑡8)

+64𝜂18𝑡(54112 − 3186343𝑡2 + 20027304𝑡4 − 27729936𝑡6 + 8064000𝑡8)

+256𝜂20𝑡(1774 − 112047𝑡2 + 759474𝑡4 − 1141200𝑡6 + 362880𝑡8) ]

+𝑁

[

−555731𝑡 + 11808687𝑡3 − 21447382𝑡5 + 5942662𝑡7 − 162327𝑡9 + 11𝑡11

−11𝜂2𝑡(663061 − 17594876𝑡2 + 43255806𝑡4 − 18928316𝑡6 + 1205941𝑡8)

−110𝜂4𝑡(365573 − 11538395𝑡2 + 35378667𝑡4 − 20914069𝑡6 + 2111296𝑡8)

−22𝜂6𝑡(5646709 − 205537746𝑡2 + 749466741𝑡4 − 552425084𝑡6 + 75476280𝑡8)

−33𝜂8𝑡(7251983 − 297992239𝑡2 + 1252929256𝑡4 − 1098016304𝑡6 + 187181568𝑡8)

−33𝜂10𝑡(9093467 − 415270424𝑡2 + 1970402816𝑡4 − 1990049088𝑡6 + 403226880𝑡8)

−88𝜂12𝑡(2795947 − 140210892𝑡2 + 738954680𝑡4 − 841506840𝑡6 + 196300800𝑡8)

−704𝜂14𝑡(181280 − 9888775𝑡2 + 57188844𝑡4 − 72256680𝑡6 + 18975600𝑡8)

−704𝜂16𝑡(54112 − 3186343𝑡2 + 20027304𝑡4 − 27729936𝑡6 + 8064000𝑡8)

−2816𝜂18𝑡(1774 − 112047𝑡2 + 759474𝑡4 − 1141200𝑡6 + 362880𝑡8) ]

+𝑁

[ −2147034𝑡 + 5652014𝑡3 + 4557596𝑡5 − 3123396𝑡7 + 118046𝑡9 − 10𝑡11

−36515874𝜂2𝑡 + 173023224𝜂2𝑡3 − 27058284𝜂2𝑡5 − 66065736𝜂2𝑡7

+7235646𝜂2𝑡9 − 245390820𝜂4𝑡 + 1645914580𝜂4𝑡3 − 1254844140𝜂4𝑡5

−249377700𝜂4𝑡7 + 84451840𝜂4𝑡9 − 889911492𝜂6𝑡 + 7640035896𝜂6𝑡3

−9626967972𝜂6𝑡5 + 1207620480𝜂6𝑡7 + 301905120𝜂6𝑡9 − 1962001026𝜂8𝑡

+20399011374𝜂8𝑡3 − 34799444544𝜂8𝑡5 + 11080455456𝜂8𝑡7

−2764426554𝜂10𝑡 + 33611323968𝜂10𝑡3 − 71288134272𝜂10𝑡5

+33558034176𝜂10𝑡7 − 2419361280𝜂10𝑡9 − 2511785184𝜂12𝑡

+34863421120𝜂12𝑡3 − 87685427840𝜂12𝑡5 + 52955579520𝜂12𝑡7

−6281625600𝜂12𝑡9 − 1428190080𝜂14𝑡 + 22234923264𝜂14𝑡3

−64347425280𝜂14𝑡5 + 46710927360𝜂14𝑡7 − 7286630400𝜂14𝑡9

−463262592𝜂16𝑡 + 7981953152𝜂16𝑡3 − 26029264896𝜂16𝑡5

+21875927040𝜂16𝑡7 − 4128768000𝜂16𝑡9 − 65542656𝜂18𝑡

+1236645888𝜂18𝑡3 − 4474838016𝜂18𝑡5 + 4248944640𝜂18𝑡7

−928972800𝜂18𝑡9 ]

}

∙ (𝑁cos𝜑

𝜌)

VI. ANEXOS.

424

𝑓XII(Φ) = −𝑁 cos12 𝜑

{

𝜌

𝜌

[

50521𝜂2𝑡 − 1073517𝜂2𝑡3 + 1949762𝜂2𝑡5 − 540242𝜂2𝑡7 + 14757𝜂2𝑡9 − 𝜂2𝑡11

+𝜂4𝑡(663061 − 17594876𝑡2 + 43255806𝑡4 − 18928316𝑡6 + 1205941𝑡8)

+10𝜂6𝑡(365573 − 11538395𝑡2 + 35378667𝑡4 − 20914069𝑡6 + 2111296𝑡8)

+2𝜂8𝑡(5646709 − 205537746𝑡2 + 749466741𝑡4 − 552425084𝑡6 + 75476280𝑡8)

+3𝜂10𝑡(7251983 − 297992239𝑡2 + 1252929256𝑡4 − 1098016304𝑡6 + 187181568𝑡8)

+3𝜂12𝑡(9093467 − 415270424𝑡2 + 1970402816𝑡4 − 1990049088𝑡6 + 403226880𝑡8)

+8𝜂14𝑡(2795947 − 140210892𝑡2 + 738954680𝑡4 − 841506840𝑡6 + 196300800𝑡8)

+64𝜂16𝑡(181280 − 9888775𝑡2 + 57188844𝑡4 − 72256680𝑡6 + 18975600𝑡8)

+64𝜂18𝑡(54112 − 3186343𝑡2 + 20027304𝑡4 − 27729936𝑡6 + 8064000𝑡8)

+256𝜂20𝑡(1774 − 112047𝑡2 + 759474𝑡4 − 1141200𝑡6 + 362880𝑡8) ]

+𝑁

𝜌

[

−555731𝑡 + 11808687𝑡3 − 21447382𝑡5 + 5942662𝑡7 − 162327𝑡9 + 11𝑡11

−11𝜂2𝑡(663061 − 17594876𝑡2 + 43255806𝑡4 − 18928316𝑡6 + 1205941𝑡8)

−110𝜂4𝑡(365573 − 11538395𝑡2 + 35378667𝑡4 − 20914069𝑡6 + 2111296𝑡8)

−22𝜂6𝑡(5646709 − 205537746𝑡2 + 749466741𝑡4 − 552425084𝑡6 + 75476280𝑡8)

−33𝜂8𝑡(7251983 − 297992239𝑡2 + 1252929256𝑡4 − 1098016304𝑡6 + 187181568𝑡8)

−33𝜂10𝑡(9093467 − 415270424𝑡2 + 1970402816𝑡4 − 1990049088𝑡6 + 403226880𝑡8)

−88𝜂12𝑡(2795947 − 140210892𝑡2 + 738954680𝑡4 − 841506840𝑡6 + 196300800𝑡8)

−704𝜂14𝑡(181280 − 9888775𝑡2 + 57188844𝑡4 − 72256680𝑡6 + 18975600𝑡8)

−704𝜂16𝑡(54112 − 3186343𝑡2 + 20027304𝑡4 − 27729936𝑡6 + 8064000𝑡8)

−2816𝜂18𝑡(1774 − 112047𝑡2 + 759474𝑡4 − 1141200𝑡6 + 362880𝑡8) ]

+𝑁

𝜌

[ −2147034𝑡 + 5652014𝑡3 + 4557596𝑡5 − 3123396𝑡7 + 118046𝑡9 − 10𝑡11

−36515874𝜂2𝑡 + 173023224𝜂2𝑡3 − 27058284𝜂2𝑡5 − 66065736𝜂2𝑡7

+7235646𝜂2𝑡9 − 245390820𝜂4𝑡 + 1645914580𝜂4𝑡3 − 1254844140𝜂4𝑡5

−249377700𝜂4𝑡7 + 84451840𝜂4𝑡9 − 889911492𝜂6𝑡 + 7640035896𝜂6𝑡3

−9626967972𝜂6𝑡5 + 1207620480𝜂6𝑡7 + 301905120𝜂6𝑡9 − 1962001026𝜂8𝑡

+20399011374𝜂8𝑡3 − 34799444544𝜂8𝑡5 + 11080455456𝜂8𝑡7

−2764426554𝜂10𝑡 + 33611323968𝜂10𝑡3 − 71288134272𝜂10𝑡5

+33558034176𝜂10𝑡7 − 2419361280𝜂10𝑡9 − 2511785184𝜂12𝑡

+34863421120𝜂12𝑡3 − 87685427840𝜂12𝑡5 + 52955579520𝜂12𝑡7

−6281625600𝜂12𝑡9 − 1428190080𝜂14𝑡 + 22234923264𝜂14𝑡3

−64347425280𝜂14𝑡5 + 46710927360𝜂14𝑡7 − 7286630400𝜂14𝑡9

−463262592𝜂16𝑡 + 7981953152𝜂16𝑡3 − 26029264896𝜂16𝑡5

+21875927040𝜂16𝑡7 − 4128768000𝜂16𝑡9 − 65542656𝜂18𝑡

+1236645888𝜂18𝑡3 − 4474838016𝜂18𝑡5 + 4248944640𝜂18𝑡7

−928972800𝜂18𝑡9 ]

}

VI. ANEXOS.

425


{

[

50521𝜂2𝑡 − 1073517𝜂2𝑡3 + 1949762𝜂2𝑡5 − 540242𝜂2𝑡7 + 14757𝜂2𝑡9 − 𝜂2𝑡11

+𝜂4𝑡(663061 − 17594876𝑡2 + 43255806𝑡4 − 18928316𝑡6 + 1205941𝑡8)

+10𝜂6𝑡(365573 − 11538395𝑡2 + 35378667𝑡4 − 20914069𝑡6 + 2111296𝑡8)

+2𝜂8𝑡(5646709 − 205537746𝑡2 + 749466741𝑡4 − 552425084𝑡6 + 75476280𝑡8)

+3𝜂10𝑡(7251983 − 297992239𝑡2 + 1252929256𝑡4 − 1098016304𝑡6 + 187181568𝑡8)

+3𝜂12𝑡(9093467 − 415270424𝑡2 + 1970402816𝑡4 − 1990049088𝑡6 + 403226880𝑡8)

+8𝜂14𝑡(2795947 − 140210892𝑡2 + 738954680𝑡4 − 841506840𝑡6 + 196300800𝑡8)

+64𝜂16𝑡(181280 − 9888775𝑡2 + 57188844𝑡4 − 72256680𝑡6 + 18975600𝑡8)

+64𝜂18𝑡(54112 − 3186343𝑡2 + 20027304𝑡4 − 27729936𝑡6 + 8064000𝑡8)

+256𝜂20𝑡(1774 − 112047𝑡2 + 759474𝑡4 − 1141200𝑡6 + 362880𝑡8) ]

+(1 + 𝜂2)

[

−555731𝑡 + 11808687𝑡3 − 21447382𝑡5 + 5942662𝑡7 − 162327𝑡9 + 11𝑡11

−11𝜂2𝑡(663061 − 17594876𝑡2 + 43255806𝑡4 − 18928316𝑡6 + 1205941𝑡8)

−110𝜂4𝑡(365573 − 11538395𝑡2 + 35378667𝑡4 − 20914069𝑡6 + 2111296𝑡8)

−22𝜂6𝑡(5646709 − 205537746𝑡2 + 749466741𝑡4 − 552425084𝑡6 + 75476280𝑡8)

−33𝜂8𝑡(7251983 − 297992239𝑡2 + 1252929256𝑡4 − 1098016304𝑡6 + 187181568𝑡8)

−33𝜂10𝑡(9093467 − 415270424𝑡2 + 1970402816𝑡4 − 1990049088𝑡6 + 403226880𝑡8)

−88𝜂12𝑡(2795947 − 140210892𝑡2 + 738954680𝑡4 − 841506840𝑡6 + 196300800𝑡8)

−704𝜂14𝑡(181280 − 9888775𝑡2 + 57188844𝑡4 − 72256680𝑡6 + 18975600𝑡8)

−704𝜂16𝑡(54112 − 3186343𝑡2 + 20027304𝑡4 − 27729936𝑡6 + 8064000𝑡8)

−2816𝜂18𝑡(1774 − 112047𝑡2 + 759474𝑡4 − 1141200𝑡6 + 362880𝑡8) ]

+(1 + 𝜂2)

[ −2147034𝑡 + 5652014𝑡3 + 4557596𝑡5 − 3123396𝑡7 + 118046𝑡9 − 10𝑡11

−36515874𝜂2𝑡 + 173023224𝜂2𝑡3 − 27058284𝜂2𝑡5 − 66065736𝜂2𝑡7

+7235646𝜂2𝑡9 − 245390820𝜂4𝑡 + 1645914580𝜂4𝑡3 − 1254844140𝜂4𝑡5

−249377700𝜂4𝑡7 + 84451840𝜂4𝑡9 − 889911492𝜂6𝑡 + 7640035896𝜂6𝑡3

−9626967972𝜂6𝑡5 + 1207620480𝜂6𝑡7 + 301905120𝜂6𝑡9 − 1962001026𝜂8𝑡

+20399011374𝜂8𝑡3 − 34799444544𝜂8𝑡5 + 11080455456𝜂8𝑡7

−2764426554𝜂10𝑡 + 33611323968𝜂10𝑡3 − 71288134272𝜂10𝑡5

+33558034176𝜂10𝑡7 − 2419361280𝜂10𝑡9 − 2511785184𝜂12𝑡

+34863421120𝜂12𝑡3 − 87685427840𝜂12𝑡5 + 52955579520𝜂12𝑡7

−6281625600𝜂12𝑡9 − 1428190080𝜂14𝑡 + 22234923264𝜂14𝑡3

−64347425280𝜂14𝑡5 + 46710927360𝜂14𝑡7 − 7286630400𝜂14𝑡9

−463262592𝜂16𝑡 + 7981953152𝜂16𝑡3 − 26029264896𝜂16𝑡5

+21875927040𝜂16𝑡7 − 4128768000𝜂16𝑡9 − 65542656𝜂18𝑡

+1236645888𝜂18𝑡3 − 4474838016𝜂18𝑡5 + 4248944640𝜂18𝑡7

−928972800𝜂18𝑡9 ]

}

VI. ANEXOS.

426


{

[ 50521𝜂2𝑡 + 663061𝜂4𝑡 + 3655730𝜂6𝑡 + 11293418𝜂8𝑡 + 21755949𝜂10𝑡 + 27280401𝜂12𝑡

+22367576𝜂14𝑡 + 11601920𝜂16𝑡 + 3463168𝜂18𝑡 + 454144𝜂20𝑡 − 1073517𝜂2𝑡3

−17594876𝜂4𝑡3 − 115383950𝜂6𝑡3 − 411075492𝜂8𝑡3 − 893976717𝜂10𝑡3

−1245811272𝜂12𝑡3 − 1121687136𝜂14𝑡3 − 632881600𝜂16𝑡3 − 203925952𝜂18𝑡3

−28684032𝜂20𝑡3 + 1949762𝜂2𝑡5 + 43255806𝜂4𝑡5 + 353786670𝜂6𝑡5 + 1498933482𝜂8𝑡5

+3758787768𝜂10𝑡5 + 5911208448𝜂12𝑡5 + 5911637440𝜂14𝑡5 + 3660086016𝜂16𝑡5

+1281747456𝜂18𝑡5 + 194425344𝜂20𝑡5 − 540242𝜂2𝑡7 − 18928316𝜂4𝑡7 − 209140690𝜂6𝑡7

−1104850168𝜂8𝑡7 − 3294048912𝜂10𝑡7 − 5970147264𝜂12𝑡7 − 6732054720𝜂14𝑡7

−4624427520𝜂16𝑡7 − 1774715904𝜂18𝑡7 − 292147200𝜂20𝑡7 + 14757𝜂2𝑡9 + 1205941𝜂4𝑡9

+21112960𝜂6𝑡9 + 150952560𝜂8𝑡9 + 561544704𝜂10𝑡9 + 1209680640𝜂12𝑡9

+1570406400𝜂14𝑡9 + 1214438400𝜂16𝑡9 + 516096000𝜂18𝑡9 + 92897280𝜂20𝑡9 − 𝜂2𝑡11 ]

+

[

−555731𝑡 + 11808687𝑡3 − 21447382𝑡5 + 5942662𝑡7 − 162327𝑡9 + 11𝑡11

−7849402𝜂2𝑡 − 47506701𝜂4𝑡 − 164440628𝜂6𝑡 − 363543037𝜂8𝑡 − 539399850𝜂10𝑡

−546127747𝜂12𝑡 − 373664456𝜂14𝑡 − 165715968𝜂16𝑡 − 43090432𝜂18𝑡 − 4995584𝜂20𝑡

+205352323𝜂2𝑡3 + 1462767086𝜂4𝑡3 + 5791053862𝜂6𝑡3 + 14355574299𝜂8𝑡3

+23537667879𝜂10𝑡3 + 26042482488𝜂12𝑡3 + 19300256096𝜂14𝑡3 + 9204883072𝜂16𝑡3

+2558709824𝜂18𝑡3 + 315524352𝜂20𝑡3 − 497261248𝜂2𝑡5 − 4367467236𝜂4𝑡5

−20379921672𝜂6𝑡5 − 57834933750𝜂8𝑡5 − 106369958376𝜂10𝑡5 − 130051304768𝜂12𝑡5

−105288958016𝜂14𝑡5 − 54360168192𝜂16𝑡5 − 16237900800𝜂18𝑡5 − 2138678784𝜂20𝑡5

+214154138𝜂2𝑡7 + 2508759066𝜂4𝑡7 + 14453899438𝜂6𝑡7 + 48387889880𝜂8𝑡7

+101906157936𝜂10𝑡7 + 139724221824𝜂12𝑡7 + 124921304640𝜂14𝑡7

+70390577664𝜂16𝑡7 + 22735494144𝜂18𝑡7 + 3213619200𝜂20𝑡7 − 13427678𝜂2𝑡9

−245507911𝜂4𝑡9 − 1892720720𝜂6𝑡9 − 7837469904𝜂8𝑡9 − 19483478784𝜂10𝑡9

−30580957440𝜂12𝑡9 − 30633292800𝜂14𝑡9 − 19035878400𝜂16𝑡9 − 6698926080𝜂18𝑡9

−1021870080𝜂20𝑡9 + 11𝜂2𝑡11 ]

+

[

−2147034𝑡 + 5652014𝑡3 + 4557596𝑡5 − 3123396𝑡7 + 118046𝑡9 − 10𝑡11

−38662908𝜂2𝑡 − 281906694𝜂4𝑡 − 1135302312𝜂6𝑡 − 2851912518𝜂8𝑡

−4726427580𝜂10𝑡 − 5276211738𝜂12𝑡 − 3939975264𝜂14𝑡 − 1891452672𝜂16𝑡

−528805248𝜂18𝑡 − 65542656𝜂20𝑡 + 178675238𝜂2𝑡3 + 1818937804𝜂4𝑡3

+9285950476𝜂6𝑡3 + 28039047270𝜂8𝑡3 + 54010335342𝜂10𝑡3 + 68474745088𝜂12𝑡3

+57098344384𝜂14𝑡3 + 30216876416𝜂16𝑡3 + 9218599040𝜂18𝑡3 + 1236645888𝜂20𝑡3

−22500688𝜂2𝑡5 − 1281902424𝜂4𝑡5 − 10881812112𝜂6𝑡5 − 44426412516𝜂8𝑡5

−106087578816𝜂10𝑡5 − 158973562112𝜂12𝑡5 − 152032853120𝜂14𝑡5

−90376690176𝜂16𝑡5 − 30504102912𝜂18𝑡5 − 4474838016𝜂20𝑡5 − 69189132𝜂2𝑡7

−315443436𝜂4𝑡7 + 958242780𝜂6𝑡7 + 12288075936𝜂8𝑡7 + 44638489632𝜂10𝑡7

+86513613696𝜂12𝑡7 + 99666506880𝜂14𝑡7 + 68586854400𝜂16𝑡7 + 26124871680𝜂18𝑡7

+4248944640𝜂20𝑡7 + 7353692𝜂2𝑡9 + 91687486𝜂4𝑡9 + 386356960𝜂6𝑡9

+301905120𝜂8𝑡9 − 2419361280𝜂10𝑡9 − 8700986880𝜂12𝑡9 − 13568256000𝜂14𝑡9

−11415398400𝜂16𝑡9 − 5057740800𝜂18𝑡9 − 928972800𝜂20𝑡9 − 10𝜂2𝑡11 ]

}

VI. ANEXOS.

427


[

−(555731𝑡 + 2147034𝑡) + (5652014𝑡3 + 11808687𝑡3) + (4557596𝑡5 − 21447382𝑡5)

+(5942662𝑡7 − 3123396𝑡7) + (118046𝑡9 − 162327𝑡9) + (11𝑡11 − 10𝑡11) + (50521𝜂2𝑡

−7849402𝜂2𝑡 − 38662908𝜂2𝑡) + (663061𝜂4𝑡 − 47506701𝜂4𝑡 − 281906694𝜂4𝑡) + (3655730𝜂6𝑡

−164440628𝜂6𝑡 − 1135302312𝜂6𝑡) + (11293418𝜂8𝑡 − 363543037𝜂8𝑡 − 2851912518𝜂8𝑡)

+(21755949𝜂10𝑡 − 4726427580𝜂10𝑡 − 539399850𝜂10𝑡) + (27280401𝜂12𝑡 − 546127747𝜂12𝑡

−5276211738𝜂12𝑡) + (22367576𝜂14𝑡 − 373664456𝜂14𝑡 − 3939975264𝜂14𝑡) + (11601920𝜂16𝑡

−165715968𝜂16𝑡 − 1891452672𝜂16𝑡) + (3463168𝜂18𝑡 − 43090432𝜂18𝑡 − 528805248𝜂18𝑡)

+(454144𝜂20𝑡 − 4995584𝜂20𝑡 − 65542656𝜂20𝑡) + (178675238𝜂2𝑡3 + 205352323𝜂2𝑡3

−1073517𝜂2𝑡3) + (1462767086𝜂4𝑡3 + 1818937804𝜂4𝑡3 − 17594876𝜂4𝑡3) + (5791053862𝜂6𝑡3

+9285950476𝜂6𝑡3 − 115383950𝜂6𝑡3) + (28039047270𝜂8𝑡3 + 14355574299𝜂8𝑡3

−411075492𝜂8𝑡3) + (54010335342𝜂10𝑡3 + 23537667879𝜂10𝑡3 − 893976717𝜂10𝑡3)

+(68474745088𝜂12𝑡3 + 26042482488𝜂12𝑡3 − 1245811272𝜂12𝑡3) + (57098344384𝜂14𝑡3

+19300256096𝜂14𝑡3 − 1121687136𝜂14𝑡3) + (30216876416𝜂16𝑡3 + 9204883072𝜂16𝑡3

−632881600𝜂16𝑡3) + (9218599040𝜂18𝑡3 + 2558709824𝜂18𝑡3 − 203925952𝜂18𝑡3)

+(1236645888𝜂20𝑡3 + 315524352𝜂20𝑡3 − 28684032𝜂20𝑡3) + (1949762𝜂2𝑡5 − 22500688𝜂2𝑡5

−497261248𝜂2𝑡5) + (43255806𝜂4𝑡5 − 1281902424𝜂4𝑡5 − 4367467236𝜂4𝑡5)

+(353786670𝜂6𝑡5 − 10881812112𝜂6𝑡5 − 20379921672𝜂6𝑡5) + (1498933482𝜂8𝑡5

−44426412516𝜂8𝑡5 − 57834933750𝜂8𝑡5) + (3758787768𝜂10𝑡5 − 106087578816𝜂10𝑡5

−106369958376𝜂10𝑡5) + (5911208448𝜂12𝑡5 − 130051304768𝜂12𝑡5 − 158973562112𝜂12𝑡5)

+(5911637440𝜂14𝑡5 − 105288958016𝜂14𝑡5 − 152032853120𝜂14𝑡5) + (3660086016𝜂16𝑡5

−54360168192𝜂16𝑡5 − 90376690176𝜂16𝑡5) + (1281747456𝜂18𝑡5 − 16237900800𝜂18𝑡5

−30504102912𝜂18𝑡5) + (194425344𝜂20𝑡5 − 2138678784𝜂20𝑡5 − 4474838016𝜂20𝑡5)

+(214154138𝜂2𝑡7 − 69189132𝜂2𝑡7 − 540242𝜂2𝑡7) + (2508759066𝜂4𝑡7 − 315443436𝜂4𝑡7

−18928316𝜂4𝑡7) + (14453899438𝜂6𝑡7 + 958242780𝜂6𝑡7 − 209140690𝜂6𝑡7)

+(48387889880𝜂8𝑡7 + 12288075936𝜂8𝑡7 − 1104850168𝜂8𝑡7) + (101906157936𝜂10𝑡7

+44638489632𝜂10𝑡7 − 3294048912𝜂10𝑡7) + (139724221824𝜂12𝑡7 + 86513613696𝜂12𝑡7

−5970147264𝜂12𝑡7) + (124921304640𝜂14𝑡7 + 99666506880𝜂14𝑡7 − 6732054720𝜂14𝑡7)

+(70390577664𝜂16𝑡7 + 68586854400𝜂16𝑡7 − 4624427520𝜂16𝑡7) + (26124871680𝜂18𝑡7

+22735494144𝜂18𝑡7 − 1774715904𝜂18𝑡7) + (4248944640𝜂20𝑡7 + 3213619200𝜂20𝑡7

−292147200𝜂20𝑡7) + (7353692𝜂2𝑡9 + 14757𝜂2𝑡9 − 13427678𝜂2𝑡9) + (91687486𝜂4𝑡9

+1205941𝜂4𝑡9 − 245507911𝜂4𝑡9) + (386356960𝜂6𝑡9 + 21112960𝜂6𝑡9 − 1892720720𝜂6𝑡9)

+(301905120𝜂8𝑡9 + 150952560𝜂8𝑡9 − 7837469904𝜂8𝑡9) + (561544704𝜂10𝑡9

−19483478784𝜂10𝑡9 − 2419361280𝜂10𝑡9) + (1209680640𝜂12𝑡9 − 8700986880𝜂12𝑡9

−30580957440𝜂12𝑡9) + (1570406400𝜂14𝑡9 − 30633292800𝜂14𝑡9 − 13568256000𝜂14𝑡9)

+(1214438400𝜂16𝑡9 − 11415398400𝜂16𝑡9 − 19035878400𝜂16𝑡9) + (516096000𝜂18𝑡9

−5057740800𝜂18𝑡9 − 6698926080𝜂18𝑡9) + (92897280𝜂20𝑡9 − 928972800𝜂20𝑡9

−1021870080𝜂20𝑡9) + (11𝜂2𝑡11 − 10𝜂2𝑡11 − 𝜂2𝑡11) ]

VI. ANEXOS.

428


[ −2702765𝑡 + 17460701𝑡3 − 16889786𝑡5 + 2819266𝑡7 − 44281𝑡9 + 𝑡11

−46461789𝜂2𝑡 + 382954044𝜂2𝑡3 − 517812174𝜂2𝑡5 + 144424764𝜂2𝑡7

−6059229𝜂2𝑡9 − 328750334𝜂4𝑡 + 3264110014𝜂4𝑡3 − 5606113854𝜂4𝑡5

+2174387314𝜂4𝑡7 − 152614484𝜂4𝑡9 − 1296087210𝜂6𝑡

+14961620388𝜂6𝑡3 − 30907947114𝜂6𝑡5 + 15203001528𝜂6𝑡7

−1485250800𝜂6𝑡9 − 3204162137𝜂8𝑡 + 41983546077𝜂8𝑡3

−100762412784𝜂8𝑡5 + 59571115648𝜂8𝑡7 − 7384612224𝜂8𝑡9

−5244071481𝜂10𝑡 + 76654026504𝜂10𝑡3 − 208698749424𝜂10𝑡5

+143250598656𝜂10𝑡7 − 21341295360𝜂10𝑡9 − 5795059084𝜂12𝑡

+93271416304𝜂12𝑡3 − 283113658432𝜂12𝑡5 + 220267688256𝜂12𝑡7

−38072263680𝜂12𝑡9 − 4291272144𝜂14𝑡 + 75276913344𝜂14𝑡3

−251410173696𝜂14𝑡5 + 217855756800𝜂14𝑡7 − 42631142400𝜂14𝑡9

−2045566720𝜂16𝑡 + 38788877888𝜂16𝑡3 − 141076772352𝜂16𝑡5

+134353004544𝜂16𝑡7 − 29236838400𝜂16𝑡9 − 568432512𝜂18𝑡

+11573382912𝜂18𝑡3 − 45460256256𝜂18𝑡5 + 47085649920𝜂18𝑡7

−11240570880𝜂18𝑡9 − 70084096𝜂20𝑡 + 1523486208𝜂20𝑡3

−6419091456𝜂20𝑡5 + 7170416640𝜂20𝑡7 − 1857945600𝜂20𝑡9 ]

𝑓XII(Φ) = 𝑁 cos12 𝜑

[ 2702765𝑡 − 17460701𝑡3 + 16889786𝑡5 − 2819266𝑡7 + 44281𝑡9 − 𝑡11

+46461789𝜂2𝑡 − 382954044𝜂2𝑡3 + 517812174𝜂2𝑡5 − 144424764𝜂2𝑡7

+6059229𝜂2𝑡9 + 328750334𝜂4𝑡 − 3264110014𝜂4𝑡3 + 5606113854𝜂4𝑡5

−2174387314𝜂4𝑡7 + 152614484𝜂4𝑡9 + 1296087210𝜂6𝑡

−14961620388𝜂6𝑡3 + 30907947114𝜂6𝑡5 − 15203001528𝜂6𝑡7

+1485250800𝜂6𝑡9 + 3204162137𝜂8𝑡 − 41983546077𝜂8𝑡3

+100762412784𝜂8𝑡5 − 59571115648𝜂8𝑡7 + 7384612224𝜂8𝑡9

+5244071481𝜂10𝑡 − 76654026504𝜂10𝑡3 + 208698749424𝜂10𝑡5

−143250598656𝜂10𝑡7 + 21341295360𝜂10𝑡9 + 5795059084𝜂12𝑡

−93271416304𝜂12𝑡3 + 283113658432𝜂12𝑡5 − 220267688256𝜂12𝑡7

+38072263680𝜂12𝑡9 + 4291272144𝜂14𝑡 − 75276913344𝜂14𝑡3

+251410173696𝜂14𝑡5 − 217855756800𝜂14𝑡7 + 42631142400𝜂14𝑡9

+2045566720𝜂16𝑡 − 38788877888𝜂16𝑡3 + 141076772352𝜂16𝑡5

−134353004544𝜂16𝑡7 + 29236838400𝜂16𝑡9 + 568432512𝜂18𝑡

−11573382912𝜂18𝑡3 + 45460256256𝜂18𝑡5 − 47085649920𝜂18𝑡7

+11240570880𝜂18𝑡9 + 70084096𝜂20𝑡 − 1523486208𝜂20𝑡3

+6419091456𝜂20𝑡5 − 7170416640𝜂20𝑡7 + 1857945600𝜂20𝑡9 ]

VI. ANEXOS.

429

𝑓XII(Φ) = 𝑁𝑡 cos12 𝜑

[ 2702765 − 17460701𝑡2 + 16889786𝑡4 − 2819266𝑡6 + 44281𝑡8 − 𝑡10

+46461789𝜂2 − 382954044𝜂2𝑡2 + 517812174𝜂2𝑡4 − 144424764𝜂2𝑡6

+6059229𝜂2𝑡8 + 328750334𝜂4 − 3264110014𝜂4𝑡2 + 5606113854𝜂4𝑡4

−2174387314𝜂4𝑡6 + 152614484𝜂4𝑡8 + 1296087210𝜂6

−14961620388𝜂6𝑡2 + 30907947114𝜂6𝑡4 − 15203001528𝜂6𝑡6

+1485250800𝜂6𝑡8 + 3204162137𝜂8 − 41983546077𝜂8𝑡2

+100762412784𝜂8𝑡4 − 59571115648𝜂8𝑡6 + 7384612224𝜂8𝑡8

+5244071481𝜂10 − 76654026504𝜂10𝑡2 + 208698749424𝜂10𝑡4

−143250598656𝜂10𝑡6 + 21341295360𝜂10𝑡8 + 5795059084𝜂12

−93271416304𝜂12𝑡2 + 283113658432𝜂12𝑡4 − 220267688256𝜂12𝑡6

+38072263680𝜂12𝑡8 + 4291272144𝜂14 − 75276913344𝜂14𝑡2

+251410173696𝜂14𝑡4 − 217855756800𝜂14𝑡6 + 42631142400𝜂14𝑡8

+2045566720𝜂16 − 38788877888𝜂16𝑡2 + 141076772352𝜂16𝑡4

−134353004544𝜂16𝑡6 + 29236838400𝜂16𝑡8 + 568432512𝜂18

−11573382912𝜂18𝑡2 + 45460256256𝜂18𝑡4 − 47085649920𝜂18𝑡6

+11240570880𝜂18𝑡8 + 70084096𝜂20 − 1523486208𝜂20𝑡2

+6419091456𝜂20𝑡4 − 7170416640𝜂20𝑡6 + 1857945600𝜂20𝑡8 ]

𝒇𝐗𝐈𝐈(𝚽) = 𝑵𝒕 𝐜𝐨𝐬𝟏𝟐𝝋

[

𝟐𝟕𝟎𝟐𝟕𝟔𝟓 − 𝟏𝟕𝟒𝟔𝟎𝟕𝟎𝟏𝒕𝟐 + 𝟏𝟔𝟖𝟖𝟗𝟕𝟖𝟔𝒕𝟒 − 𝟐𝟖𝟏𝟗𝟐𝟔𝟔𝒕𝟔 + 𝟒𝟒𝟐𝟖𝟏𝒕𝟖 − 𝒕𝟏𝟎

+𝟑𝟑𝜼𝟐(𝟏𝟒𝟎𝟕𝟗𝟑𝟑 − 𝟏𝟏𝟔𝟎𝟒𝟔𝟔𝟖𝒕𝟐 + 𝟏𝟓𝟔𝟗𝟏𝟐𝟕𝟖𝒕𝟒 − 𝟒𝟑𝟕𝟔𝟓𝟎𝟖𝒕𝟔 + 𝟏𝟖𝟑𝟔𝟏𝟑𝒕𝟖)

+𝟐𝟐𝜼𝟒(𝟏𝟒𝟗𝟒𝟑𝟏𝟗𝟕 − 𝟏𝟒𝟖𝟑𝟔𝟖𝟔𝟑𝟕𝒕𝟐 + 𝟐𝟓𝟒𝟖𝟐𝟑𝟑𝟓𝟕𝒕𝟒 − 𝟗𝟖𝟖𝟑𝟓𝟕𝟖𝟕𝒕𝟔 + 𝟔𝟗𝟑𝟕𝟎𝟐𝟐𝒕𝟖)

+𝟔𝟔𝜼𝟔(𝟏𝟗𝟔𝟑𝟕𝟔𝟖𝟓 − 𝟐𝟐𝟔𝟔𝟗𝟏𝟐𝟏𝟖𝒕𝟐 + 𝟒𝟔𝟖𝟑𝟎𝟐𝟐𝟐𝟗𝒕𝟒 − 𝟐𝟑𝟎𝟑𝟒𝟖𝟓𝟎𝟖𝒕𝟔 + 𝟐𝟐𝟓𝟎𝟑𝟖𝟎𝟎𝒕𝟖)

+𝟏𝟏𝜼𝟖(𝟐𝟗𝟏𝟐𝟖𝟕𝟒𝟔𝟕 − 𝟑𝟖𝟏𝟔𝟔𝟖𝟔𝟎𝟎𝟕𝒕𝟐 + 𝟗𝟏𝟔𝟎𝟐𝟏𝟗𝟑𝟒𝟒𝒕𝟒 − 𝟓𝟒𝟏𝟓𝟓𝟓𝟓𝟗𝟔𝟖𝒕𝟔 + 𝟔𝟕𝟏𝟑𝟐𝟖𝟑𝟖𝟒𝒕𝟖)

+𝟗𝟗𝜼𝟏𝟎(𝟓𝟐𝟗𝟕𝟎𝟒𝟏𝟗 − 𝟕𝟕𝟒𝟐𝟖𝟑𝟎𝟗𝟔𝒕𝟐 + 𝟐𝟏𝟎𝟖𝟎𝟔𝟖𝟏𝟕𝟔𝒕𝟒 − 𝟏𝟒𝟒𝟔𝟗𝟕𝟓𝟕𝟒𝟒𝒕𝟔 + 𝟐𝟏𝟓𝟓𝟔𝟖𝟔𝟒𝟎𝒕𝟖)

+𝟒𝜼𝟏𝟐(𝟏𝟒𝟒𝟖𝟕𝟔𝟒𝟕𝟕𝟏 − 𝟐𝟑𝟑𝟏𝟕𝟖𝟓𝟒𝟎𝟕𝟔𝒕𝟐 + 𝟕𝟎𝟕𝟕𝟖𝟒𝟏𝟒𝟔𝟎𝟖𝒕𝟒 − 𝟓𝟓𝟎𝟔𝟔𝟗𝟐𝟐𝟎𝟔𝟒𝒕𝟔 + 𝟗𝟓𝟏𝟖𝟎𝟔𝟓𝟗𝟐𝟎𝒕𝟖)

+𝟒𝟖𝜼𝟏𝟒(𝟖𝟗𝟒𝟎𝟏𝟓𝟎𝟑 − 𝟏𝟓𝟔𝟖𝟐𝟔𝟗𝟎𝟐𝟖𝒕𝟐 + 𝟓𝟐𝟑𝟕𝟕𝟏𝟏𝟗𝟓𝟐𝒕𝟒 − 𝟒𝟓𝟑𝟖𝟔𝟔𝟏𝟔𝟎𝟎𝒕𝟔 + 𝟖𝟖𝟖𝟏𝟒𝟖𝟖𝟎𝟎𝒕𝟖)

+𝟔𝟒𝜼𝟏𝟔(𝟑𝟏𝟗𝟔𝟏𝟗𝟖𝟎 − 𝟔𝟎𝟔𝟎𝟕𝟔𝟐𝟏𝟕𝒕𝟐 + 𝟐𝟐𝟎𝟒𝟑𝟐𝟒𝟓𝟔𝟖𝒕𝟒 − 𝟐𝟎𝟗𝟗𝟐𝟔𝟓𝟔𝟗𝟔𝒕𝟔 + 𝟒𝟓𝟔𝟖𝟐𝟓𝟔𝟎𝟎𝒕𝟖)

+𝟑𝟖𝟒𝜼𝟏𝟖(𝟏𝟒𝟖𝟎𝟐𝟗𝟑 − 𝟑𝟎𝟏𝟑𝟗𝟎𝟏𝟖𝒕𝟐 + 𝟏𝟏𝟖𝟑𝟖𝟔𝟎𝟖𝟒𝒕𝟒 − 𝟏𝟐𝟐𝟔𝟏𝟖𝟖𝟖𝟎𝒕𝟔 + 𝟐𝟗𝟐𝟕𝟐𝟑𝟐𝟎𝒕𝟖)

+𝟓𝟏𝟐𝜼𝟐𝟎(𝟏𝟑𝟔𝟖𝟖𝟑− 𝟐𝟗𝟕𝟓𝟓𝟓𝟗𝒕𝟐 + 𝟏𝟐𝟓𝟑𝟕𝟐𝟖𝟖𝒕𝟒 − 𝟏𝟒𝟎𝟎𝟒𝟕𝟐𝟎𝒕𝟔 + 𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎𝒕𝟖) ]

VI. ANEXOS.

430

6.5.2 Derivadas de orden superior para el proceso inverso.

Para 𝐅′(𝒚)

𝑦 = ∫𝜌𝑑𝜑

𝑑𝑦 = 𝜌𝑑𝜑 ∴ 𝑑𝜑

𝑑𝑦=1

𝜌

F′(𝑦) =𝑑Φ

𝑑𝜑∙𝑑𝜑

𝑑𝑦 ∴ F′(𝑦) =

𝜌

𝑟∙1

𝜌=1

𝑟

𝐅′(𝒚) =𝟏

𝑵 𝐜𝐨𝐬𝝋

Para 𝐅′′(𝒚)

Derivando.

[F′(𝑦)]′ = (1

𝑁 cos𝜑)′

[F′(𝑦)]′=−[𝑡 cos 𝜑 (𝜂2𝜌 − 𝑁)]

𝑁2 cos2 𝜑=−𝑡(𝜂2𝜌 − 𝑁)

𝑁2 cos𝜑

[F′(𝑦)]′ =𝑁𝑡 − 𝜂2𝑡𝜌

𝑁2 cos 𝜑


𝑑𝑦.

F′′(𝑦) = [F′(𝑦)]′ ∙𝑑𝜑

𝑑𝑦

F′′(𝑦) = (𝑁𝑡 − 𝜂2𝑡𝜌

𝑁2 cos 𝜑) ∙ (

1

𝜌) = (

1

𝑁2 cos 𝜑) ∙ (

𝑁𝑡 − 𝜂2𝑡𝜌

𝜌)

F′′(𝑦) = (1

𝑁2 cos 𝜑) ∙ (

𝑁𝑡

𝜌−𝜂2𝑡𝜌

𝜌) = (

1

𝑁2 cos𝜑) ∙ (

𝑁

𝜌𝑡 − 𝜂2𝑡)

VI. ANEXOS.

431

Sustituyendo el valor de 𝑁

𝜌.

F′′(𝑦) = (1

𝑁2 cos 𝜑) ∙ [(1 + 𝜂2)𝑡 − 𝜂2𝑡] = (

1

𝑁2 cos𝜑) ∙ [𝑡 + 𝜂2𝑡 − 𝜂2𝑡]

𝐅′′(𝒚) =𝒕

𝑵𝟐 𝐜𝐨𝐬𝝋

Para 𝐅′′′(𝒚)

Derivando.

[F′′(𝑦)]′ = (𝑡

𝑁2 cos 𝜑)′

[F′′(𝑦)]′ =[(𝑡2 + 1)𝑁2 cos𝜑] − 𝑡[𝑁𝑡 cos 𝜑 (2𝜂2𝜌 − 𝑁)]

(𝑁2 cos 𝜑)2

[F′′(𝑦)]′ =(𝑡2 + 1)𝑁2 cos 𝜑 − 𝑁𝑡2 cos 𝜑 (2𝜂2𝜌 − 𝑁)

𝑁4 cos2 𝜑

[F′′(𝑦)]′ =𝑁 cos𝜑 [𝑁(𝑡2 + 1) − 2𝜂2𝑡2𝜌 + 𝑁𝑡2]

𝑁4 cos2 𝜑

[F′′(𝑦)]′ =𝑁(𝑡2 + 1) + 𝑁𝑡2 − 2𝜂2𝑡2𝜌

𝑁3 cos 𝜑


𝑑𝑦.

F′′′(𝑦) = [F′′(𝑦)]′ ∙𝑑𝜑

𝑑𝑦

F′′′(𝑦) = [𝑁(𝑡2 + 1) + 𝑁𝑡2 − 2𝜂2𝑡2𝜌

𝑁3 cos 𝜑] ∙ (

1

𝜌)

F′′′(𝑦) =1

𝑁3 cos𝜑∙ [𝑁(𝑡2 + 1) + 𝑁𝑡2 − 2𝜂2𝑡2𝜌

𝜌]

VI. ANEXOS.

432

F′′′(𝑦) =1

𝑁3 cos 𝜑∙ [𝑁

𝜌(𝑡2 + 1) +

𝑁

𝜌𝑡2 − 2

𝜌

𝜌𝜂2𝑡2]

F′′′(𝑦) =1

𝑁3 cos𝜑∙ [(1 + 𝜂2)(𝑡2 + 1) + (1 + 𝜂2)𝑡2 − 2𝜂2𝑡2]

F′′′(𝑦) =1

𝑁3 cos 𝜑∙ [1 + 𝜂2 + 𝑡2 + 𝜂2𝑡2 + 𝑡2 + 𝜂2𝑡2 − 2𝜂2𝑡2]

𝐅′′′(𝒚) =𝟏 + 𝟐𝒕𝟐 + 𝜼𝟐

𝑵𝟑 𝐜𝐨𝐬𝝋

Para 𝐅𝐈𝐕(𝒚)

Derivando.

[F′′′(𝑦)]′ = [1 + 2𝑡2 + 𝜂2

𝑁3 cos 𝜑]

′

[F′′′(𝑦)]′

=[2(2𝑡3 + 2𝑡) − 2𝜂2𝑡]𝑁3 cos 𝜑 − {(1 + 2𝑡2 + 𝜂2)[𝑁2𝑡 cos 𝜑 (3𝜂2𝜌 − 𝑁)]}

(𝑁3 cos 𝜑)2

[F′′′(𝑦)]′ =𝑁2 cos 𝜑 {𝑁(4𝑡 + 4𝑡3 − 2𝜂2𝑡) − [(1 + 2𝑡2 + 𝜂2)(3𝜂2𝑡𝜌 − 𝑁𝑡)]}

𝑁6 cos2 𝜑

[F′′′(𝑦)]′ =𝑁(4𝑡 + 4𝑡3 − 2𝜂2𝑡) − (1 + 2𝑡2 + 𝜂2)(3𝜂2𝑡𝜌 − 𝑁𝑡)

𝑁4 cos 𝜑


𝑑𝑦.

FIV(𝑦) = [F′′′(𝑦)]′ ∙𝑑𝜑

𝑑𝑦

FIV(𝑦) = [𝑁(4𝑡 + 4𝑡3 − 2𝜂2𝑡) − (1 + 2𝑡2 + 𝜂2)(3𝜂2𝑡𝜌 − 𝑁𝑡)

𝑁4 cos 𝜑] ∙ (

1

𝜌)

FIV(𝑦) = [1

𝑁4 cos 𝜑] ∙ [

𝑁(4𝑡 + 4𝑡3 − 2𝜂2𝑡) − (1 + 2𝑡2 + 𝜂2)(3𝜂2𝑡𝜌 − 𝑁𝑡)

𝜌]

VI. ANEXOS.

433

FIV(𝑦) = [1

𝑁4 cos𝜑] ∙ [

𝑁

𝜌(4𝑡 + 4𝑡3 − 2𝜂2𝑡) − (1 + 2𝑡2 + 𝜂2) (3𝜂2𝑡

𝜌

𝜌−𝑁

𝜌𝑡)]

FIV(𝑦) = [1

𝑁4 cos 𝜑] ∙ {

(1 + 𝜂2)(4𝑡 + 4𝑡3 − 2𝜂2𝑡)

−(1 + 2𝑡2 + 𝜂2)[3𝜂2𝑡 − (1 + 𝜂2)𝑡]}

FIV(𝑦) = [1

𝑁4 cos 𝜑] ∙ [

(1 + 𝜂2)(4𝑡 + 4𝑡3 − 2𝜂2𝑡)

−(1 + 2𝑡2 + 𝜂2)(3𝜂2𝑡 − 𝑡 − 𝜂2𝑡)]

FIV(𝑦) = [1

𝑁4 cos 𝜑] ∙ [

4𝑡 + 4𝑡3 + 2𝜂2𝑡 − 2𝜂4𝑡 + 4𝜂2𝑡3

−(−𝑡 − 2𝑡3 + 𝜂2𝑡 + 2𝜂4𝑡 + 4𝜂2𝑡3)]

FIV(𝑦) = [1

𝑁4 cos 𝜑] ∙ [

4𝑡 + 𝑡 + 4𝑡3 + 2𝑡3 + 2𝜂2𝑡 − 𝜂2𝑡

−2𝜂4𝑡 − 2𝜂4𝑡 + 4𝜂2𝑡3 − 4𝜂2𝑡3]

FIV(𝑦) =5𝑡 + 6𝑡3 + 𝜂2𝑡 − 4𝜂4𝑡

𝑁4 cos 𝜑

𝐅𝐈𝐕(𝒚) =𝒕(𝟓 + 𝟔𝒕𝟐 + 𝜼𝟐 − 𝟒𝜼𝟒)

𝑵𝟒 𝐜𝐨𝐬𝝋

Para 𝐅𝐕(𝒚)

[FIV(𝑦)]′ = [𝑡(5 + 6𝑡2 + 𝜂2 − 4𝜂4)

𝑁4 cos 𝜑]

′

= [5𝑡 + 6𝑡3 + 𝜂2𝑡 − 4𝜂4𝑡

𝑁4 cos𝜑]

′

[FIV(𝑦)]′ = (𝑢

𝑣)′

=𝑢′ ∙ 𝑣 − 𝑢 ∙ 𝑣′

𝑣2

Siendo.

𝑢 = 5𝑡 + 6𝑡3 + 𝜂2𝑡 − 4𝜂4𝑡, 𝑣 = 𝑁4 cos 𝜑


𝑢′ = {5(𝑡2 + 1) + 6(3𝑡4 + 3𝑡2) + [−2𝜂2𝑡2 + 𝜂2(𝑡2 + 1)]

−4[−4𝜂4𝑡2 + 𝜂4(𝑡2 + 1)]}

𝑢′ = {5(𝑡2 + 1) + 6(3𝑡4 + 3𝑡2) + [−2𝜂2𝑡2 + 𝜂2(𝑡2 + 1)]

−4[−4𝜂4𝑡2 + 𝜂4(𝑡2 + 1)]}

VI. ANEXOS.

434

𝑢′ = {5 + 5𝑡2 + 18𝑡2 + 18𝑡4 + [−2𝜂2𝑡2 + 𝜂2𝑡2 + 𝜂2]

−4[−4𝜂4𝑡2 + 𝜂4𝑡2 + 𝜂4]}

𝑢′ = 5 + 23𝑡2 + 18𝑡4 + 𝜂2 − 𝜂2𝑡2 − 4𝜂4 + 12𝜂4𝑡2

𝑣′ = 𝑁3𝑡 cos 𝜑 (4𝜂2𝜌 − 𝑁)

Dado que los coeficientes que componen la variable 𝑢 y su respectiva

derivada comenzaran a incrementar como en el caso del proceso directo, la

sustitución de estas funciones en la fórmula de derivación completa (F′(𝑦)) se

realizara posterior la simplificación de dicha ecuación de las variables 𝑁𝑛 cos𝜑,

esto con el fin de facilitar el proceso algebraico de reducción de términos.

Sustituyendo 𝑣 y 𝑣′.

[FIV(𝑦)]′ =𝑢′ ∙ 𝑁4 cos 𝜑 − 𝑢 ∙ 𝑁3𝑡 cos 𝜑 (4𝜂2𝜌 − 𝑁)

(𝑁4 cos 𝜑)2

[FIV(𝑦)]′ =𝑁3 cos 𝜑 [𝑢′ ∙ 𝑁 − 𝑢 ∙ 𝑡(4𝜂2𝜌 − 𝑁)]

𝑁8 cos2 𝜑=[𝑢′ ∙ 𝑁 − 𝑢 ∙ (4𝜂2𝑡𝜌 − 𝑁𝑡)]

𝑁5 cos 𝜑

[FIV(𝑦)]′ =1

𝑁5 cos𝜑[𝑢′ ∙ 𝑁 − 𝑢 ∙ (4𝜂2𝑡𝜌 − 𝑁𝑡)]

Sustituyendo 𝑢 y 𝑢′.

[FIV(𝑦)]′ =1

𝑁5 cos𝜑[𝑁(5 + 23𝑡2 + 18𝑡4 + 𝜂2 − 𝜂2𝑡2 − 4𝜂4 + 12𝜂4𝑡2)

−(4𝜂2𝑡𝜌 − 𝑁𝑡)(5𝑡 + 6𝑡3 + 𝜂2𝑡 − 4𝜂4𝑡)]


𝑑𝑦.

FV(𝑦) = [FIV(𝑦)]′ ∙𝑑𝜑

𝑑𝑦

VI. ANEXOS.

435

FV(𝑦) = {1

𝑁5 cos 𝜑[𝑁(5 + 23𝑡2 + 18𝑡4 + 𝜂2 − 𝜂2𝑡2 − 4𝜂4 + 12𝜂4𝑡2)

−(4𝜂2𝑡𝜌 − 𝑁𝑡)(5𝑡 + 6𝑡3 + 𝜂2𝑡 − 4𝜂4𝑡)]} ∙ (

1

𝜌)

FV(𝑦) =

{

1

𝑁5 cos 𝜑

[ 𝑁

𝜌(5 + 23𝑡2 + 18𝑡4 + 𝜂2 − 𝜂2𝑡2 − 4𝜂4 + 12𝜂4𝑡2)

− (1

𝜌) (4𝜂2𝑡𝜌 − 𝑁𝑡)(5𝑡 + 6𝑡3 + 𝜂2𝑡 − 4𝜂4𝑡)

]

}

FV(𝑦) =1

𝑁5 cos 𝜑

[ 𝑁

𝜌(5 + 23𝑡2 + 18𝑡4 + 𝜂2 − 𝜂2𝑡2 − 4𝜂4 + 12𝜂4𝑡2)

− (4𝜂2𝑡𝜌

𝜌−𝑁

𝜌𝑡) (5𝑡 + 6𝑡3 + 𝜂2𝑡 − 4𝜂4𝑡)

]

FV(𝑦) =1

𝑁5 cos 𝜑{(1 + 𝜂2)(5 + 23𝑡2 + 18𝑡4 + 𝜂2 − 𝜂2𝑡2 − 4𝜂4 + 12𝜂4𝑡2)

−[4𝜂2𝑡 − (1 + 𝜂2)𝑡](5𝑡 + 6𝑡3 + 𝜂2𝑡 − 4𝜂4𝑡)}

FV(𝑦) =1

𝑁5 cos 𝜑

{

[

5 + 23𝑡2 + 18𝑡4 + 6𝜂2 − 4𝑛6

+22𝜂2𝑡2 + 11𝜂4𝑡2 + 12𝜂6𝑡2 + 18𝜂2𝑡4]

− [−5𝑡2 − 6𝑡4 + 14𝜂2𝑡2 + 7𝜂4𝑡2

−12𝜂6𝑡2 + 18𝜂2𝑡4]

}

FV(𝑦) =1

𝑁5 cos 𝜑[

5 + (23𝑡2 + 5𝑡2) + (18𝑡4 + 6𝑡4) + 6𝜂2

+(22𝜂2𝑡2 − 14𝜂2𝑡2) + (18𝜂2𝑡4 − 18𝜂2𝑡4) − 3𝜂4

+(11𝜂4𝑡2 − 7𝜂4𝑡2) − 4𝑛6 + (12𝜂6𝑡2 + 12𝜂6𝑡2)

]

FV(𝑦) =1

𝑁5 cos𝜑[5 + 28𝑡2 + 24𝑡4 + 6𝜂2 + 8𝜂2𝑡2

−3𝜂4 + 4𝜂4𝑡2 − 4𝑛6 + 24𝜂6𝑡2]

𝐅𝐕(𝒚) =𝟏

𝑵𝟓 𝐜𝐨𝐬𝝋[𝟓 + 𝟐𝟖𝒕𝟐 + 𝟐𝟒𝒕𝟒 + 𝟐𝜼𝟐(𝟑 + 𝟒𝒕𝟐)

−𝜼𝟒(𝟑 − 𝟒𝒕𝟐) − 𝟒𝜼𝟔(𝟏 − 𝟔𝒕𝟐)]

Para 𝐅𝐕𝐈(𝒚)

[FV(𝑦)]′ = {1

𝑁5 cos𝜑[5 + 28𝑡2 + 24𝑡4 + 2𝜂2(3 + 4𝑡2)

−𝜂4(3 − 4𝑡2) − 4𝜂6(1 − 6𝑡2)]}′

[FIV(𝑦)]′ = (𝑢

𝑣)′

=𝑢′ ∙ 𝑣 − 𝑢 ∙ 𝑣′

𝑣2

VI. ANEXOS.

436

Siendo.

𝑢 = [5 + 28𝑡2 + 24𝑡4 + 2𝜂2(3 + 4𝑡2)

−𝜂4(3 − 4𝑡2) − 4𝜂6(1 − 6𝑡2)] , 𝑣 = 𝑁5 cos 𝜑


𝑢′ =

{

28(2𝑡3 + 2𝑡) + 24(4𝑡5 + 4𝑡3)

+2[−2𝜂2𝑡(3 + 4𝑡2) + 4𝜂2(2𝑡3 + 2𝑡)] − [−4𝜂4𝑡(3 − 4𝑡2) + 𝜂4(−4(2𝑡3 + 2𝑡))]

−4[−6𝜂6𝑡(1 − 6𝑡2) + 𝜂6(−6(2𝑡3 + 2𝑡))]

}

𝑢′ = [56𝑡 + 56𝑡3 + 96𝑡3 + 96𝑡5 + 2(2𝜂2𝑡)

−(−20𝜂4𝑡 + 8𝜂4𝑡3) − 4(−18𝑛6𝑡 + 24𝑛6𝑡3)]

𝑢′ = [56𝑡 + 152𝑡3 + 96𝑡5 + 4𝜂2𝑡

+20𝜂4𝑡 − 8𝜂4𝑡3 + 72𝑛6𝑡 − 96𝑛6𝑡3]



[FV(𝑦)]′ =𝑢′ ∙ 𝑁5 cos𝜑 − 𝑢 ∙ 𝑁4𝑡 cos𝜑 (5𝜂2𝜌 − 𝑁)

(𝑁5 cos 𝜑)2

[FV(𝑦)]′ =𝑁4 cos 𝜑 [𝑢′ ∙ 𝑁 − 𝑢 ∙ 𝑡(5𝜂2𝜌 − 𝑁)]

𝑁10 cos2 𝜑=[𝑢′ ∙ 𝑁 − 𝑢 ∙ 𝑡(5𝜂2𝜌 − 𝑁)]

𝑁6 cos 𝜑

[FV(𝑦)]′ =1

𝑁6 cos 𝜑[𝑢′ ∙ 𝑁 − 𝑢 ∙ (5𝜂2𝑡𝜌 − 𝑁𝑡)]

VI. ANEXOS.

437

Sustituyendo 𝑢 y 𝑢′.

[FV(𝑦)]′ =1

𝑁6 cos 𝜑

{

𝑁 [

56𝑡 + 152𝑡3 + 96𝑡5 + 4𝜂2𝑡

+20𝜂4𝑡 − 8𝜂4𝑡3 + 72𝑛6𝑡 − 96𝑛6𝑡3]

−𝑡(5𝜂2𝜌 − 𝑁) [5 + 28𝑡2 + 24𝑡4 + 2𝜂2(3 + 4𝑡2)

−𝜂4(3 − 4𝑡2) − 4𝜂6(1 − 6𝑡2)]}


𝑑𝑦.

FVI(𝑦) = [FV(𝑦)]′ ∙𝑑𝜑

𝑑𝑦

FVI(𝑦) =

[

1

𝑁6 cos 𝜑

{

𝑁 [

56𝑡 + 152𝑡3 + 96𝑡5 + 4𝜂2𝑡

+20𝜂4𝑡 − 8𝜂4𝑡3 + 72𝑛6𝑡 − 96𝑛6𝑡3]

−𝑡(5𝜂2𝜌 − 𝑁) [5 + 28𝑡2 + 24𝑡4 + 2𝜂2(3 + 4𝑡2)

−𝜂4(3 − 4𝑡2) − 4𝜂6(1 − 6𝑡2)]}

]

∙ (1

𝜌)

FVI(𝑦) =1

𝑁6 cos 𝜑

{

𝑁

𝜌[

56𝑡 + 152𝑡3 + 96𝑡5 + 4𝜂2𝑡

+20𝜂4𝑡 − 8𝜂4𝑡3 + 72𝑛6𝑡 − 96𝑛6𝑡3]

− (1

𝜌) (5𝜂2𝜌 − 𝑁) [

5𝑡 + 28𝑡3 + 24𝑡5 + 2𝜂2𝑡(3 + 4𝑡2)

−𝜂4𝑡(3 − 4𝑡2) − 4𝜂6𝑡(1 − 6𝑡2)]}

FVI(𝑦) =1

𝑁6 cos 𝜑

{

𝑁

𝜌[

56𝑡 + 152𝑡3 + 96𝑡5 + 4𝜂2𝑡

+20𝜂4𝑡 − 8𝜂4𝑡3 + 72𝑛6𝑡 − 96𝑛6𝑡3]

− (5𝜂2𝜌

𝜌−𝑁

𝜌) [5𝑡 + 28𝑡3 + 24𝑡5 + 2𝜂2𝑡(3 + 4𝑡2)

−𝜂4𝑡(3 − 4𝑡2) − 4𝜂6𝑡(1 − 6𝑡2)]}

FVI(𝑦) =1

𝑁6 cos 𝜑

{

(1 + 𝜂2) [

56𝑡 + 152𝑡3 + 96𝑡5 + 4𝜂2𝑡

+20𝜂4𝑡 − 8𝜂4𝑡3 + 72𝑛6𝑡 − 96𝑛6𝑡3]

−[5𝜂2 − (1 + 𝜂2)] [5𝑡 + 28𝑡3 + 24𝑡5 + 2𝜂2𝑡(3 + 4𝑡2)

−𝜂4𝑡(3 − 4𝑡2) − 4𝜂6𝑡(1 − 6𝑡2)]}

FVI(𝑦) =1

𝑁6 cos 𝜑

{

[56𝑡 + 152𝑡3 + 96𝑡5 + 60𝜂2𝑡 + 24𝜂4𝑡 + 92𝜂6𝑡 + 72𝜂8𝑡

+152𝜂2𝑡3 − 8𝜂4𝑡3 − 104𝜂6𝑡3 − 96𝜂8𝑡3 + 96𝜂2𝑡5]

− [−5𝑡 − 28𝑡3 − 24𝑡5 + 14𝜂2𝑡 + 27𝜂4𝑡 − 8𝜂6𝑡 − 16𝜂8𝑡

+104𝜂2𝑡3 + 28𝜂4𝑡3 − 8𝜂6𝑡3 + 96𝜂8𝑡3 + 96𝜂2𝑡5]}

VI. ANEXOS.

438

FVI(𝑦)

=1

𝑁6 cos 𝜑

[ (56𝑡 + 5𝑡) + (152𝑡3 + 28𝑡3) + (96𝑡5 + 24𝑡5) + (60𝜂2𝑡 − 14𝜂2𝑡)

+(152𝜂2𝑡3 − 104𝜂2𝑡3) + (24𝜂4𝑡 − 27𝜂4𝑡) − (28𝜂4𝑡3 + 8𝜂4𝑡3)

+(92𝜂6𝑡 + 8𝜂6𝑡) + (8𝜂6𝑡3 − 104𝜂6𝑡3) + (72𝜂8𝑡 + 16𝜂8𝑡)

−(96𝜂8𝑡3 + 96𝜂8𝑡3) + (96𝜂2𝑡5 − 96𝜂2𝑡5) ]

FVI(𝑦) =1

𝑁6 cos 𝜑[

61𝑡 + 180𝑡3 + 120𝑡5 + 46𝜂2𝑡 + 48𝜂2𝑡3

−3𝜂4𝑡 − 36𝜂4𝑡3 + 100𝜂6𝑡 − 96𝜂6𝑡3

+88𝜂8𝑡 − 192𝜂8𝑡3]

𝐅𝐕𝐈(𝒚) =𝒕

𝑵𝟔 𝐜𝐨𝐬𝝋[

𝟔𝟏 + 𝟏𝟖𝟎𝒕𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝒕𝟒 + 𝟐𝜼𝟐(𝟐𝟑 + 𝟐𝟒𝒕𝟐)

−𝟑𝜼𝟒(𝟏 + 𝟏𝟐𝒕𝟐) + 𝟒𝜼𝟔(𝟐𝟓 − 𝟐𝟒𝒕𝟐) + 𝟖𝜼𝟖(𝟏𝟏 − 𝟐𝟒𝒕𝟐)]

Para 𝐅𝐕𝐈𝐈(𝒚)

[FVI(𝑦)]′ =

{𝑡

𝑁6 cos 𝜑[

61 + 180𝑡2 + 120𝑡4 + 2𝜂2(23 + 24𝑡2)

−3𝜂4(1 + 12𝑡2) + 4𝜂6(25 − 24𝑡2) + 8𝜂8(11 − 24𝑡2)]}′

[FVI(𝑦)]′ =

{1

𝑁6 cos 𝜑[

61𝑡 + 180𝑡3 + 120𝑡5 + 2𝜂2(23𝑡 + 24𝑡3)

−3𝜂4(𝑡 + 12𝑡3) + 4𝜂6(25𝑡 − 24𝑡3) + 8𝜂8(11𝑡 − 24𝑡3)]}

′

[FVI(𝑦)]′ = (𝑢

𝑣)′

=𝑢′ ∙ 𝑣 − 𝑢 ∙ 𝑣′

𝑣2

Siendo.

𝑢 = [

61𝑡 + 180𝑡3 + 120𝑡5 + 2𝜂2(23𝑡 + 24𝑡3)

−3𝜂4(𝑡 + 12𝑡3) + 4𝜂6(25𝑡 − 24𝑡3)

+8𝜂8(11𝑡 − 24𝑡3)

] , 𝑣 = 𝑁6 cos 𝜑

VI. ANEXOS.

439


𝑢′ =

{

61(𝑡2 + 1) + 180(3𝑡4 + 3𝑡2) + 120(5𝑡6 + 5𝑡4)

+2[−2𝜂2𝑡(23𝑡 + 24𝑡3) + 𝜂2(23(𝑡2 + 1) + 24(3𝑡4 + 3𝑡2))]

−3[−4𝜂4𝑡(𝑡 + 12𝑡3) + 𝜂4(𝑡2 + 1 + 12(3𝑡4 + 3𝑡2))]

+4[−6𝜂6𝑡(25𝑡 − 24𝑡3) + 𝜂6(25(𝑡2 + 1) − 24(3𝑡4 + 3𝑡2))]

+8[−8𝜂8𝑡(11𝑡 − 24𝑡3) + 𝜂8(11(𝑡2 + 1) − 24(3𝑡4 + 3𝑡2))]}

𝑢′ =

[61 + 61𝑡2 + 540𝑡2 + 540𝑡4 + 600𝑡4 + 600𝑡6

+2[23𝜂2 + 49𝜂2𝑡2 + 24𝜂2𝑡4] − 3[𝜂4 + 33𝜂4𝑡2 − 12𝜂4𝑡4]

+4[25𝜂6 − 197𝜂6𝑡2 + 72𝜂6𝑡4] + 8[11𝜂8 − 149𝜂8𝑡2 + 120𝜂8𝑡4]]

𝑢′ = [

61 + 601𝑡2 + 1140𝑡4 + 600𝑡6 + 46𝜂2 + 98𝜂2𝑡2

+48𝜂2𝑡4 − 3𝜂4 − 99𝜂4𝑡2 + 36𝜂4𝑡4 + 100𝜂6

−788𝜂6𝑡2 + 288𝜂6𝑡4 + 88𝜂8 − 1192𝜂8𝑡2 + 960𝜂8𝑡4]

𝑣′ = 𝑁5𝑡 cos𝜑 (6𝜂2𝜌 − 𝑁)


[FVI(𝑦)]′ =𝑢′ ∙ 𝑁6 cos 𝜑 − 𝑢 ∙ 𝑁5𝑡 cos 𝜑 (6𝜂2𝜌 − 𝑁)

(𝑁6 cos 𝜑)2

[FVI(𝑦)]′ =𝑁5 cos 𝜑 [𝑢′ ∙ 𝑁 − 𝑢 ∙ 𝑡(6𝜂2𝜌 − 𝑁)]

𝑁12 cos2 𝜑=[𝑢′ ∙ 𝑁 − 𝑢 ∙ 𝑡(6𝜂2𝜌 − 𝑁)]

𝑁7 cos 𝜑

[FVI(𝑦)]′ =1

𝑁7 cos 𝜑[𝑢′ ∙ 𝑁 − 𝑢 ∙ 𝑡(6𝜂2𝜌 − 𝑁)]

VI. ANEXOS.

440

Sustituyendo 𝑢 y 𝑢′

[FVI(𝑦)]′

=1

𝑁7 cos 𝜑

{

𝑁

[

61 + 601𝑡2 + 1140𝑡4 + 600𝑡6

+46𝜂2 + 98𝜂2𝑡2 + 48𝜂2𝑡4 − 3𝜂4

−99𝜂4𝑡2 + 36𝜂4𝑡4 + 100𝜂6 − 788𝜂6𝑡2

+288𝜂6𝑡4 + 88𝜂8 − 1192𝜂8𝑡2 + 960𝜂8𝑡4]

−𝑡(6𝜂2𝜌 − 𝑁) [

61𝑡 + 180𝑡3 + 120𝑡5 + 2𝜂2(23𝑡 + 24𝑡3)

−3𝜂4(𝑡 + 12𝑡3) + 4𝜂6(25𝑡 − 24𝑡3)

+8𝜂8(11𝑡 − 24𝑡3)

]

}


𝑑𝑦.

FVII(𝑦) = [FVI(𝑦)]′ ∙𝑑𝜑

𝑑𝑦

FVII(𝑦) =

1

𝑁7 cos 𝜑

{

𝑁

[

61 + 601𝑡2 + 1140𝑡4 + 600𝑡6

+46𝜂2 + 98𝜂2𝑡2 + 48𝜂2𝑡4 − 3𝜂4

−99𝜂4𝑡2 + 36𝜂4𝑡4 + 100𝜂6 − 788𝜂6𝑡2

+288𝜂6𝑡4 + 88𝜂8 − 1192𝜂8𝑡2 + 960𝜂8𝑡4]

−𝑡(6𝜂2𝜌 − 𝑁) [

61𝑡 + 180𝑡3 + 120𝑡5 + 2𝜂2(23𝑡 + 24𝑡3)

−3𝜂4(𝑡 + 12𝑡3) + 4𝜂6(25𝑡 − 24𝑡3)

+8𝜂8(11𝑡 − 24𝑡3)

]

}

∙ (1

𝜌)

FVII(𝑦) =

1

𝑁7 cos 𝜑

{

𝑁

𝜌

[

61 + 601𝑡2 + 1140𝑡4 + 600𝑡6

+46𝜂2 + 98𝜂2𝑡2 + 48𝜂2𝑡4 − 3𝜂4

−99𝜂4𝑡2 + 36𝜂4𝑡4 + 100𝜂6 − 788𝜂6𝑡2

+288𝜂6𝑡4 + 88𝜂8 − 1192𝜂8𝑡2 + 960𝜂8𝑡4]

− (1

𝜌) (6𝜂2𝜌 − 𝑁) [

61𝑡2 + 180𝑡4 + 120𝑡6 + 2𝜂2𝑡(23𝑡 + 24𝑡3)

−3𝜂4𝑡(𝑡 + 12𝑡3) + 4𝜂6𝑡(25𝑡 − 24𝑡3)

+8𝜂8𝑡(11𝑡 − 24𝑡3)

]

}

VI. ANEXOS.

441

FVII(𝑦) =

1

𝑁7 cos 𝜑

{

𝑁

𝜌

[

61 + 601𝑡2 + 1140𝑡4 + 600𝑡6

+46𝜂2 + 98𝜂2𝑡2 + 48𝜂2𝑡4 − 3𝜂4

−99𝜂4𝑡2 + 36𝜂4𝑡4 + 100𝜂6 − 788𝜂6𝑡2

+288𝜂6𝑡4 + 88𝜂8 − 1192𝜂8𝑡2 + 960𝜂8𝑡4]

− (6𝜂2𝜌

𝜌−𝑁

𝜌) [

61𝑡2 + 180𝑡4 + 120𝑡6 + 2𝜂2𝑡(23𝑡 + 24𝑡3)

−3𝜂4𝑡(𝑡 + 12𝑡3) + 4𝜂6𝑡(25𝑡 − 24𝑡3)

+8𝜂8𝑡(11𝑡 − 24𝑡3)

]

}

FVII(𝑦) =

1

𝑁7 cos𝜑

{

(1 + 𝜂2)

[

61 + 601𝑡2 + 1140𝑡4 + 600𝑡6

+46𝜂2 + 98𝜂2𝑡2 + 48𝜂2𝑡4 − 3𝜂4

−99𝜂4𝑡2 + 36𝜂4𝑡4 + 100𝜂6 − 788𝜂6𝑡2

+288𝜂6𝑡4 + 88𝜂8 − 1192𝜂8𝑡2 + 960𝜂8𝑡4]

−[6𝜂2 − (1 + 𝜂2)] [

61𝑡2 + 180𝑡4 + 120𝑡6 + 2𝜂2𝑡(23𝑡 + 24𝑡3)

−3𝜂4𝑡(𝑡 + 12𝑡3) + 4𝜂6𝑡(25𝑡 − 24𝑡3)

+8𝜂8𝑡(11𝑡 − 24𝑡3)

]

}

FVII(𝑦) =

1

𝑁7 cos𝜑

{

[ 61 + 601𝑡2 + 1140𝑡4 + 600𝑡6 + 107𝜂2 + 43𝜂4 + 97𝜂6 + 188𝜂8

+88𝜂10 + 699𝜂2𝑡2 − 𝜂4𝑡2 − 887𝜂6𝑡2 − 1980𝜂8𝑡2 − 1192𝜂10𝑡2

+1188𝜂2𝑡4 + 84𝜂4𝑡4 + 324𝜂6𝑡4 + 1248𝜂8𝑡4 + 960𝜂10𝑡4

+600𝜂2𝑡6 ]

− [

−61𝑡2 − 180𝑡4 − 120𝑡6 + 259𝜂2𝑡2 + 233𝜂4𝑡2 − 115𝜂6𝑡2

+412𝜂8𝑡2 + 440𝜂10𝑡2 + 852𝜂2𝑡4 + 276𝜂4𝑡4 − 84𝜂6𝑡4

−288𝜂8𝑡4 − 960𝜂10𝑡4 + 600𝜂2𝑡6]

}

FVII(𝑦) =

1

𝑁7 cos 𝜑

[ 61 + (601𝑡2 + 61𝑡2) + (1140𝑡4 + 180𝑡4) + (600𝑡6 + 120𝑡6)

+107𝜂2 + (699𝜂2𝑡2 − 259𝜂2𝑡2) + (1188𝜂2𝑡4 − 852𝜂2𝑡4)

+(600𝜂2𝑡6 − 600𝜂2𝑡6) + 43𝜂4 − (233𝜂4𝑡2 + 𝜂4𝑡2)

+(84𝜂4𝑡4 − 276𝜂4𝑡4) + 97𝜂6 + (115𝜂6𝑡2 − 887𝜂6𝑡2)

+(324𝜂6𝑡4 + 84𝜂6𝑡4) + 188𝜂8 − (1980𝜂8𝑡2 + 412𝜂8𝑡2)

+(1248𝜂8𝑡4 + 288𝜂8𝑡4) + 88𝜂10 − (1192𝜂10𝑡2 + 440𝜂10𝑡2)

+(960𝜂10𝑡4 + 960𝜂10𝑡4) ]

VI. ANEXOS.

442

FVII(𝑦) =1

𝑁7 cos 𝜑

[ 61 + 662𝑡2 + 1320𝑡4 + 720𝑡6 + 107𝜂2 + 440𝜂2𝑡2

+336𝜂2𝑡4 + 43𝜂4 − 234𝜂4𝑡2 − 192𝜂4𝑡4 + 97𝜂6

−772𝜂6𝑡2 + 408𝜂6𝑡4 + 188𝜂8 − 2392𝜂8𝑡2

+1536𝜂8𝑡4 + 88𝜂10 − 1632𝜂10𝑡2 + 1920𝜂10𝑡4 ]

𝐅𝐕𝐈𝐈(𝒚) =

𝟏

𝑵𝟕 𝐜𝐨𝐬𝝋

[

𝟔𝟏 + 𝟔𝟔𝟐𝒕𝟐 + 𝟏𝟑𝟐𝟎𝒕𝟒 + 𝟕𝟐𝟎𝒕𝟔

+𝜼𝟐(𝟏𝟎𝟕 + 𝟒𝟒𝟎𝒕𝟐 + 𝟑𝟑𝟔𝒕𝟒) + 𝜼𝟒(𝟒𝟑 − 𝟐𝟑𝟒𝒕𝟐 − 𝟏𝟗𝟐𝒕𝟒)

+𝜼𝟔(𝟗𝟕 − 𝟕𝟕𝟐𝒕𝟐 + 𝟒𝟎𝟖𝒕𝟒) + 𝟒𝜼𝟖(𝟒𝟕 − 𝟓𝟗𝟖𝒕𝟐 + 𝟑𝟖𝟒𝒕𝟒)

+𝟖𝜼𝟏𝟎(𝟏𝟏 − 𝟐𝟎𝟒𝒕𝟐 + 𝟐𝟒𝟎𝒕𝟒) ]

Para 𝐅𝐕𝐈𝐈𝐈(𝒚)

[FVII(𝑦)]′ =

{

1

𝑁7 cos 𝜑

[

61 + 662𝑡2 + 1320𝑡4 + 720𝑡6

+𝜂2(107 + 440𝑡2 + 336𝑡4) + 𝜂4(43 − 234𝑡2 − 192𝑡4)

+𝜂6(97 − 772𝑡2 + 408𝑡4) + 4𝜂8(47 − 598𝑡2 + 384𝑡4)

+8𝜂10(11 − 204𝑡2 + 240𝑡4) ]

}

′

[FVII(𝑦)]′ = (𝑢

𝑣)′

=𝑢′ ∙ 𝑣 − 𝑢 ∙ 𝑣′

𝑣2

Siendo.

𝑢 =

[

61 + 662𝑡2 + 1320𝑡4 + 720𝑡6

+𝜂2(107 + 440𝑡2 + 336𝑡4) + 𝜂4(43 − 234𝑡2 − 192𝑡4)

+𝜂6(97 − 772𝑡2 + 408𝑡4) + 4𝜂8(47 − 598𝑡2 + 384𝑡4)

+8𝜂10(11 − 204𝑡2 + 240𝑡4) ]

,

𝑣 = 𝑁7 cos 𝜑

VI. ANEXOS.

443


𝑢′ =

{

662(2𝑡3 + 2𝑡) + 1320(4𝑡5 + 4𝑡3) + 720(6𝑡7 + 6𝑡5)

+[−2𝜂2𝑡(107 + 440𝑡2 + 336𝑡4) + 𝜂2(440(2𝑡3 + 2𝑡) + 336(4𝑡5 + 4𝑡3))]

+[−4𝜂4𝑡(43 − 234𝑡2 − 192𝑡4) + 𝜂4(−234(2𝑡3 + 2𝑡) − 192(4𝑡5 + 4𝑡3))]

+[−6𝜂6𝑡(97 − 772𝑡2 + 408𝑡4) + 𝜂6(−772(2𝑡3 + 2𝑡) + 408(4𝑡5 + 4𝑡3))]

+4[−8𝜂8𝑡(47 − 598𝑡2 + 384𝑡4) + 𝜂8(−598(2𝑡3 + 2𝑡) + 384(4𝑡5 + 4𝑡3))]

+8[−10𝜂10𝑡(11 − 204𝑡2 + 240𝑡4) + 𝜂10(−204(2𝑡3 + 2𝑡) + 240(4𝑡5 + 4𝑡3))]}

𝑢′ =

{

1324𝑡 + 1324𝑡3 + 5280𝑡3 + 5280𝑡5 + 4320𝑡5 + 4320𝑡7

+[666𝜂2𝑡 + 1344𝜂2𝑡3 + 672𝜂2𝑡5] + [−640𝜂4𝑡 − 300𝜂4𝑡3]

+[−2126𝜂6𝑡 + 4720𝜂6𝑡3 − 816𝜂6𝑡5]

+4[−1572𝜂8𝑡 + 5124𝜂8𝑡3 − 1536𝜂8𝑡5]

+8[−518𝜂10𝑡 + 2592𝜂10𝑡3 − 1440𝜂10𝑡5] }

𝑢′ =

[

1324𝑡 + 6604𝑡3 + 9600𝑡5 + 4320𝑡7

+666𝜂2𝑡 + 1344𝜂2𝑡3 + 672𝜂2𝑡5 − 640𝜂4𝑡 − 300𝜂4𝑡3

−2126𝜂6𝑡 + 4720𝜂6𝑡3 − 816𝜂6𝑡5 − 6288𝜂8𝑡 + 20496𝜂8𝑡3

−6144𝜂8𝑡5 − 4144𝜂10𝑡 + 20736𝜂10𝑡3 − 11520𝜂10𝑡5 ]



[FVII(𝑦)]′ =𝑢′ ∙ 𝑁7 cos 𝜑 − 𝑢 ∙ 𝑁6𝑡 cos 𝜑 (7𝜂2𝜌 − 𝑁)

(𝑁7 cos𝜑)2

[FVII(𝑦)]′ =

𝑁6 cos 𝜑 [𝑢′ ∙ 𝑁 − 𝑢 ∙ 𝑡(7𝜂2𝜌 − 𝑁)]

𝑁14 cos2 𝜑=[𝑢′ ∙ 𝑁 − 𝑢 ∙ 𝑡(7𝜂2𝜌 − 𝑁)]

𝑁8 cos 𝜑

[FVII(𝑦)]′ =1

𝑁8 cos 𝜑[𝑢′ ∙ 𝑁 − 𝑢 ∙ 𝑡(7𝜂2𝜌 − 𝑁)]

VI. ANEXOS.

444


[FVII(𝑦)]′ =

1

𝑁8 cos𝜑

{

𝑁

[

1324𝑡 + 6604𝑡3 + 9600𝑡5 + 4320𝑡7

+666𝜂2𝑡 + 1344𝜂2𝑡3 + 672𝜂2𝑡5 − 640𝜂4𝑡 − 300𝜂4𝑡3

−2126𝜂6𝑡 + 4720𝜂6𝑡3 − 816𝜂6𝑡5 − 6288𝜂8𝑡 + 20496𝜂8𝑡3

−6144𝜂8𝑡5 − 4144𝜂10𝑡 + 20736𝜂10𝑡3 − 11520𝜂10𝑡5 ]

−𝑡(7𝜂2𝜌 − 𝑁)

[

61 + 662𝑡2 + 1320𝑡4 + 720𝑡6

+𝜂2(107 + 440𝑡2 + 336𝑡4) + 𝜂4(43 − 234𝑡2 − 192𝑡4)

+𝜂6(97 − 772𝑡2 + 408𝑡4) + 4𝜂8(47 − 598𝑡2 + 384𝑡4)

+8𝜂10(11 − 204𝑡2 + 240𝑡4) ]

}


𝑑𝑦.

FVIII(𝑦) = [FVII(𝑦)]′ ∙𝑑𝜑

𝑑𝑦

FVIII(𝑦) =1

𝑁8 cos 𝜑∙

{

𝑁

[

1324𝑡 + 6604𝑡3 + 9600𝑡5 + 4320𝑡7

+666𝜂2𝑡 + 1344𝜂2𝑡3 + 672𝜂2𝑡5 − 640𝜂4𝑡 − 300𝜂4𝑡3

−2126𝜂6𝑡 + 4720𝜂6𝑡3 − 816𝜂6𝑡5 − 6288𝜂8𝑡 + 20496𝜂8𝑡3

−6144𝜂8𝑡5 − 4144𝜂10𝑡 + 20736𝜂10𝑡3 − 11520𝜂10𝑡5 ]

−𝑡(7𝜂2𝜌 − 𝑁)

[

61 + 662𝑡2 + 1320𝑡4 + 720𝑡6

+𝜂2(107 + 440𝑡2 + 336𝑡4) + 𝜂4(43 − 234𝑡2 − 192𝑡4)

+𝜂6(97 − 772𝑡2 + 408𝑡4) + 4𝜂8(47 − 598𝑡2 + 384𝑡4)

+8𝜂10(11 − 204𝑡2 + 240𝑡4) ]

}

∙ (1

𝜌)

VI. ANEXOS.

445

FVIII(𝑦) =

1

𝑁8 cos𝜑

{

𝑁

𝜌

[

1324𝑡 + 6604𝑡3 + 9600𝑡5 + 4320𝑡7

+666𝜂2𝑡 + 1344𝜂2𝑡3 + 672𝜂2𝑡5 − 640𝜂4𝑡 − 300𝜂4𝑡3

−2126𝜂6𝑡 + 4720𝜂6𝑡3 − 816𝜂6𝑡5 − 6288𝜂8𝑡 + 20496𝜂8𝑡3

−6144𝜂8𝑡5 − 4144𝜂10𝑡 + 20736𝜂10𝑡3 − 11520𝜂10𝑡5 ]

− (1

𝜌) (7𝜂2𝜌 − 𝑁)

[

61𝑡 + 662𝑡3 + 1320𝑡5 + 720𝑡7

+𝜂2𝑡(107 + 440𝑡2 + 336𝑡4) + 𝜂4𝑡(43 − 234𝑡2 − 192𝑡4)

+𝜂6𝑡(97 − 772𝑡2 + 408𝑡4) + 4𝜂8𝑡(47 − 598𝑡2 + 384𝑡4)

+8𝜂10𝑡(11 − 204𝑡2 + 240𝑡4) ]

}

FVIII(𝑦) =

1

𝑁8 cos𝜑

{

𝑁

𝜌

[

1324𝑡 + 6604𝑡3 + 9600𝑡5 + 4320𝑡7

+666𝜂2𝑡 + 1344𝜂2𝑡3 + 672𝜂2𝑡5 − 640𝜂4𝑡 − 300𝜂4𝑡3

−2126𝜂6𝑡 + 4720𝜂6𝑡3 − 816𝜂6𝑡5 − 6288𝜂8𝑡 + 20496𝜂8𝑡3

−6144𝜂8𝑡5 − 4144𝜂10𝑡 + 20736𝜂10𝑡3 − 11520𝜂10𝑡5 ]

− (7𝜂2𝜌

𝜌−𝑁

𝜌)

[

61𝑡 + 662𝑡3 + 1320𝑡5 + 720𝑡7

+𝜂2𝑡(107 + 440𝑡2 + 336𝑡4) + 𝜂4𝑡(43 − 234𝑡2 − 192𝑡4)

+𝜂6𝑡(97 − 772𝑡2 + 408𝑡4) + 4𝜂8𝑡(47 − 598𝑡2 + 384𝑡4)

+8𝜂10𝑡(11 − 204𝑡2 + 240𝑡4) ]

}

FVIII(𝑦) =1

𝑁8 cos 𝜑∙

{

(1 + 𝜂2)

[

1324𝑡 + 6604𝑡3 + 9600𝑡5 + 4320𝑡7

+666𝜂2𝑡 + 1344𝜂2𝑡3 + 672𝜂2𝑡5 − 640𝜂4𝑡 − 300𝜂4𝑡3

−2126𝜂6𝑡 + 4720𝜂6𝑡3 − 816𝜂6𝑡5 − 6288𝜂8𝑡 + 20496𝜂8𝑡3

−6144𝜂8𝑡5 − 4144𝜂10𝑡 + 20736𝜂10𝑡3 − 11520𝜂10𝑡5 ]

−[7𝜂2 − (1 + 𝜂2)]

[

61𝑡 + 662𝑡3 + 1320𝑡5 + 720𝑡7

+𝜂2𝑡(107 + 440𝑡2 + 336𝑡4) + 𝜂4𝑡(43 − 234𝑡2 − 192𝑡4)

+𝜂6𝑡(97 − 772𝑡2 + 408𝑡4) + 4𝜂8𝑡(47 − 598𝑡2 + 384𝑡4)

+8𝜂10𝑡(11 − 204𝑡2 + 240𝑡4) ]

}

VI. ANEXOS.

446

FVIII(𝑦) =1

𝑁8 cos 𝜑∙

{

[

1324𝑡 + 6604𝑡3 + 9600𝑡5 + 4320𝑡7 + 1990𝜂2𝑡 + 26𝜂4𝑡 − 2766𝜂6𝑡

−8414𝜂8𝑡 − 10432𝜂10𝑡 − 4144𝜂12𝑡 + 7948𝜂2𝑡3 + 1044𝜂4𝑡3 + 4420𝜂6𝑡3

+25216𝜂8𝑡3 + 41232𝜂10𝑡3 + 20736𝜂12𝑡3 + 10272𝜂2𝑡5 + 672𝜂4𝑡5

−816𝜂6𝑡5 − 6960𝜂8𝑡5 − 17664𝜂10𝑡5 − 11520𝜂12𝑡5 + 4320𝜂2𝑡7 ]

−

[ −61𝑡 − 662𝑡3 − 1320𝑡5 − 720𝑡7 + 259𝜂2𝑡 + 599𝜂4𝑡 + 161𝜂6𝑡

+394𝜂8𝑡 + 1040𝜂10𝑡 + 528𝜂12𝑡 + 3532𝜂2𝑡3 + 2874𝜂4𝑡3 − 632𝜂6𝑡3

−2240𝜂8𝑡3 − 12720𝜂10𝑡3 − 9792𝜂12𝑡3 + 7584𝜂2𝑡5 + 2208𝜂4𝑡5

−1560𝜂6𝑡5 + 912𝜂8𝑡5 + 7296𝜂10𝑡5 + 11520𝜂12𝑡5 + 4320𝜂2𝑡7 ]

}

FVIII(𝑦) =1

𝑁8 cos 𝜑∙

[

(1324𝑡 + 61𝑡) + (6604𝑡3 + 662𝑡3) + (9600𝑡5 + 1320𝑡5)

+(4320𝑡7 + 720𝑡7) + (1990𝜂2𝑡 − 259𝜂2𝑡) + (7948𝜂2𝑡3 − 3532𝜂2𝑡3)

+(10272𝜂2𝑡5 − 7584𝜂2𝑡5) + (26𝜂4𝑡 − 599𝜂4𝑡) + (1044𝜂4𝑡3 − 2874𝜂4𝑡3)

+(672𝜂4𝑡5 − 2208𝜂4𝑡5) − (2766𝜂6𝑡 + 161𝜂6𝑡) + (4420𝜂6𝑡3 + 632𝜂6𝑡3)

+(1560𝜂6𝑡5 − 816𝜂6𝑡5) − (8414𝜂8𝑡 + 394𝜂8𝑡) + (25216𝜂8𝑡3 + 2240𝜂8𝑡3)

−(6960𝜂8𝑡5 + 912𝜂8𝑡5) − (10432𝜂10𝑡 + 1040𝜂10𝑡) + (41232𝜂10𝑡3

+12720𝜂10𝑡3) − (17664𝜂10𝑡5 + 7296𝜂10𝑡5) − (4144𝜂12𝑡 + 528𝜂12𝑡)

+(20736𝜂12𝑡3 + 9792𝜂12𝑡3) − (11520𝜂12𝑡5 + 11520𝜂12𝑡5)

+(4320𝜂2𝑡7 − 4320𝜂2𝑡7) ]

FVIII(𝑦) =

1

𝑁8 cos 𝜑

[ 1385𝑡 + 7266𝑡3 + 10920𝑡5 + 5040𝑡7 + 1731𝜂2𝑡 + 4416𝜂2𝑡3

+2688𝜂2𝑡5 − 573𝜂4𝑡 − 1830𝜂4𝑡3 − 1536𝜂4𝑡5 − 2927𝜂6𝑡

+5052𝜂6𝑡3 + 744𝜂6𝑡5 − 8808𝜂8𝑡 + 27456𝜂8𝑡3 − 7872𝜂8𝑡5

−11472𝜂10𝑡 + 53952𝜂10𝑡3 − 23040𝜂12𝑡5 − 4672𝜂12𝑡

+30528𝜂12𝑡3 − 24960𝜂10𝑡5 ]

𝐅𝐕𝐈𝐈𝐈(𝒚) =

𝒕

𝑵𝟖 𝐜𝐨𝐬𝝋

[

𝟏𝟑𝟖𝟓 + 𝟕𝟐𝟔𝟔𝒕𝟐 + 𝟏𝟎𝟗𝟐𝟎𝒕𝟒 + 𝟓𝟎𝟒𝟎𝒕𝟔

+𝟑𝜼𝟐(𝟓𝟕𝟕 + 𝟏𝟒𝟕𝟐𝒕𝟐 + 𝟖𝟗𝟔𝒕𝟒) − 𝟑𝜼𝟒(𝟏𝟗𝟏 + 𝟔𝟏𝟎𝒕𝟐 + 𝟓𝟏𝟐𝒕𝟒)

−𝜼𝟔(𝟐𝟗𝟐𝟕 − 𝟓𝟎𝟓𝟐𝒕𝟐 − 𝟕𝟒𝟒𝒕𝟒) − 𝟐𝟒𝜼𝟖(𝟑𝟔𝟕 − 𝟏𝟏𝟒𝟒𝒕𝟐 + 𝟑𝟐𝟖𝒕𝟒)

−𝟒𝟖𝜼𝟏𝟎(𝟐𝟑𝟗 − 𝟏𝟏𝟐𝟒𝒕𝟐 + 𝟓𝟐𝟎𝒕𝟒) − 𝟔𝟒𝜼𝟏𝟐(𝟕𝟑 − 𝟒𝟕𝟕𝒕𝟐 + 𝟑𝟔𝟎𝒕𝟒)]

VI. ANEXOS.

447

Para 𝐅𝐈𝐗(𝒚)

[FVIII(𝑦)]′ =

{

1

𝑁8 cos 𝜑

[

1385 + 7266𝑡2 + 10920𝑡4 + 5040𝑡6

+3𝜂2(577 + 1472𝑡2 + 896𝑡4) − 3𝜂4(191 + 610𝑡2 + 512𝑡4)

−𝜂6(2927 − 5052𝑡2 − 744𝑡4) − 24𝜂8(367 − 1144𝑡2 + 328𝑡4)

−48𝜂10(239 − 1124𝑡2 + 520𝑡4) − 64𝜂12(73 − 477𝑡2 + 360𝑡4)]

}

′

[FVIII(𝑦)]′ =

{

1

𝑁8 cos 𝜑

[

1385𝑡 + 7266𝑡3 + 10920𝑡5 + 5040𝑡7

+3𝜂2(577𝑡 + 1472𝑡3 + 896𝑡5) − 3𝜂4(191𝑡 + 610𝑡3 + 512𝑡5)

−𝜂6(2927𝑡 − 5052𝑡3 − 744𝑡5) − 24𝜂8(367𝑡 − 1144𝑡3 + 328𝑡5)

−48𝜂10(239𝑡 − 1124𝑡3 + 520𝑡5) − 64𝜂12(73𝑡 − 477𝑡3 + 360𝑡5)]

}

′

[FVIII(𝑦)]′ = (𝑢

𝑣)′

=𝑢′ ∙ 𝑣 − 𝑢 ∙ 𝑣′

𝑣2

Siendo.

𝑢 =

[

1385𝑡 + 7266𝑡3 + 10920𝑡5 + 5040𝑡7

+3𝜂2(577𝑡 + 1472𝑡3 + 896𝑡5) − 3𝜂4(191𝑡 + 610𝑡3 + 512𝑡5)

−𝜂6(2927𝑡 − 5052𝑡3 − 744𝑡5) − 24𝜂8(367𝑡 − 1144𝑡3 + 328𝑡5)

−48𝜂10(239𝑡 − 1124𝑡3 + 520𝑡5) − 64𝜂12(73𝑡 − 477𝑡3 + 360𝑡5)]


VI. ANEXOS.

448


𝑢′ =

{

1385(𝑡2 + 1) + 7266(3𝑡4 + 3𝑡2) + 10920(5𝑡6 + 5𝑡4) + 5040(7𝑡8 + 7𝑡6)

+3 [−2𝜂2𝑡(577𝑡 + 1472𝑡3 + 896𝑡5)

+𝜂2(577(𝑡2 + 1) + 1472(3𝑡4 + 3𝑡2) + 896(5𝑡6 + 5𝑡4))]

−3 [−4𝜂4𝑡(191𝑡 + 610𝑡3 + 512𝑡5)

+𝜂4𝑡(191(𝑡2 + 1) + 610(3𝑡4 + 3𝑡2) + 512(5𝑡6 + 5𝑡4))]

− [−6𝜂6𝑡(2927𝑡 − 5052𝑡3 − 744𝑡5)

+𝜂6(2927(𝑡2 + 1) − 5052(3𝑡4 + 3𝑡2) − 744(5𝑡6 + 5𝑡4))]

−24 [−8𝜂8𝑡(367𝑡 − 1144𝑡3 + 328𝑡5)

+𝜂8(367(𝑡2 + 1) − 1144(3𝑡4 + 3𝑡2) + 328(5𝑡6 + 5𝑡4))]

−48 [−10𝜂10𝑡(239𝑡 − 1124𝑡3 + 520𝑡5)

+𝜂10(239(𝑡2 + 1) − 1124(3𝑡4 + 3𝑡2) + 520(5𝑡6 + 5𝑡4))]

−64 [−12𝜂12𝑡(73𝑡 − 477𝑡3 + 360𝑡5)

+𝜂12(73(𝑡2 + 1) − 477(3𝑡4 + 3𝑡2) + 360(5𝑡6 + 5𝑡4))]

}

𝑢′ =

{

1385 + 1385𝑡2 + 21798𝑡2 + 21798𝑡4

+54600𝑡4 + 54600𝑡6 + +35280𝑡6 + 35280𝑡8

+3[577𝜂2 + 3839𝜂2𝑡2 + 5952𝜂2𝑡4 + 2688𝜂2𝑡6]

−3[191𝜂4 + 1257𝜂4𝑡2 + 1950𝜂4𝑡4 + 512𝜂4𝑡6]

−[2927𝜂6 − 29791𝜂6𝑡2 + 11436𝜂6𝑡4 + 744𝜂6𝑡6]

−24[367𝜂8 − 6001𝜂8𝑡2 + 7360𝜂8𝑡4 − 984𝜂8𝑡6]

−48[239𝜂10 − 5523𝜂10𝑡2 + 10468𝜂10𝑡4 − 2600𝜂10𝑡6]

−64[73𝑛12 − 2234𝑛12𝑡2 + 6093𝑛12𝑡4 − 2520𝑛12𝑡6] }

𝑢′ =

[

1385 + 23183𝑡2 + 76398𝑡4 + 89880𝑡6 + 35280𝑡8

+1731𝜂2 + 11517𝜂2𝑡2 + 17856𝜂2𝑡4 + 8064𝜂2𝑡6 − 573𝜂4

−3771𝜂4𝑡2 − 5850𝜂4𝑡4 − 1536𝜂4𝑡6 − 2927𝜂6 + 29791𝜂6𝑡2

−11436𝜂6𝑡4 − 744𝜂6𝑡6 − 8808𝜂8 + 144024𝜂8𝑡2

−176640𝜂8𝑡4 + 23616𝜂8𝑡6 − 11472𝜂10 + 265104𝜂10𝑡2

−502464𝜂10𝑡4 + 124800𝜂10𝑡6 − 4672𝜂12 + 142976𝜂12𝑡2

−389952𝜂12𝑡4 + 161280𝜂12𝑡6 ]


VI. ANEXOS.

449


[FVIII(𝑦)]′ =𝑢′ ∙ 𝑁8 cos𝜑 − 𝑢 ∙ 𝑁7𝑡 cos𝜑 (8𝜂2𝜌 − 𝑁)

(𝑁8 cos 𝜑)2

[FVIII(𝑦)]′ =

𝑁7 cos 𝜑 [𝑢′ ∙ 𝑁 − 𝑢 ∙ 𝑡(8𝜂2𝜌 − 𝑁)]

𝑁16 cos2 𝜑=[𝑢′ ∙ 𝑁 − 𝑢 ∙ 𝑡(8𝜂2𝜌 − 𝑁)]

𝑁9 cos 𝜑

[FVIII(𝑦)]′ =1

𝑁9 cos 𝜑[𝑢′ ∙ 𝑁 − 𝑢 ∙ 𝑡(8𝜂2𝜌 − 𝑁)]


[FVIII(𝑦)]′ =1

𝑁9 cos 𝜑∙

{

𝑁

[

1385 + 23183𝑡2 + 76398𝑡4 + 89880𝑡6 + 35280𝑡8

+1731𝜂2 + 11517𝜂2𝑡2 + 17856𝜂2𝑡4 + 8064𝜂2𝑡6 − 573𝜂4

−3771𝜂4𝑡2 − 5850𝜂4𝑡4 − 1536𝜂4𝑡6 − 2927𝜂6 + 29791𝜂6𝑡2

−11436𝜂6𝑡4 − 744𝜂6𝑡6 − 8808𝜂8 + 144024𝜂8𝑡2

−176640𝜂8𝑡4 + 23616𝜂8𝑡6 − 11472𝜂10 + 265104𝜂10𝑡2

−502464𝜂10𝑡4 + 124800𝜂10𝑡6 − 4672𝜂12 + 142976𝜂12𝑡2

−389952𝜂12𝑡4 + 161280𝜂12𝑡6 ]

−𝑡(8𝜂2𝜌 − 𝑁)

[

1385𝑡 + 7266𝑡3 + 10920𝑡5 + 5040𝑡7

+3𝜂2(577𝑡 + 1472𝑡3 + 896𝑡5) − 3𝜂4(191𝑡 + 610𝑡3 + 512𝑡5)

−𝜂6(2927𝑡 − 5052𝑡3 − 744𝑡5) − 24𝜂8(367𝑡 − 1144𝑡3 + 328𝑡5)

−48𝜂10(239𝑡 − 1124𝑡3 + 520𝑡5) − 64𝜂12(73𝑡 − 477𝑡3 + 360𝑡5)]

}


𝑑𝑦.

FIX(𝑦) = [FVIII(𝑦)]′ ∙𝑑𝜑

𝑑𝑦

VI. ANEXOS.

450

FIX(𝑦) =1

𝑁9 cos 𝜑∙

{

𝑁

[

1385 + 23183𝑡2 + 76398𝑡4 + 89880𝑡6 + 35280𝑡8

+1731𝜂2 + 11517𝜂2𝑡2 + 17856𝜂2𝑡4 + 8064𝜂2𝑡6 − 573𝜂4

−3771𝜂4𝑡2 − 5850𝜂4𝑡4 − 1536𝜂4𝑡6 − 2927𝜂6 + 29791𝜂6𝑡2

−11436𝜂6𝑡4 − 744𝜂6𝑡6 − 8808𝜂8 + 144024𝜂8𝑡2

−176640𝜂8𝑡4 + 23616𝜂8𝑡6 − 11472𝜂10 + 265104𝜂10𝑡2

−502464𝜂10𝑡4 + 124800𝜂10𝑡6 − 4672𝜂12 + 142976𝜂12𝑡2

−389952𝜂12𝑡4 + 161280𝜂12𝑡6 ]

−(8𝜂2𝜌 − 𝑁)

[

1385𝑡2 + 7266𝑡4 + 10920𝑡6 + 5040𝑡8

+3𝜂2𝑡(577𝑡 + 1472𝑡3 + 896𝑡5) − 3𝜂4𝑡(191𝑡 + 610𝑡3 + 512𝑡5)

−𝜂6𝑡(2927𝑡 − 5052𝑡3 − 744𝑡5) − 24𝜂8𝑡(367𝑡 − 1144𝑡3 + 328𝑡5)

−48𝜂10𝑡(239𝑡 − 1124𝑡3 + 520𝑡5) − 64𝜂12𝑡(73𝑡 − 477𝑡3 + 360𝑡5)]

}

∙ (1

𝜌)

FIX(𝑦) =1

𝑁9 cos 𝜑∙

{

𝑁

𝜌

[

1385 + 23183𝑡2 + 76398𝑡4 + 89880𝑡6 + 35280𝑡8

+1731𝜂2 + 11517𝜂2𝑡2 + 17856𝜂2𝑡4 + 8064𝜂2𝑡6 − 573𝜂4

−3771𝜂4𝑡2 − 5850𝜂4𝑡4 − 1536𝜂4𝑡6 − 2927𝜂6 + 29791𝜂6𝑡2

−11436𝜂6𝑡4 − 744𝜂6𝑡6 − 8808𝜂8 + 144024𝜂8𝑡2

−176640𝜂8𝑡4 + 23616𝜂8𝑡6 − 11472𝜂10 + 265104𝜂10𝑡2

−502464𝜂10𝑡4 + 124800𝜂10𝑡6 − 4672𝜂12 + 142976𝜂12𝑡2

−389952𝜂12𝑡4 + 161280𝜂12𝑡6 ]

− (1

𝜌) (8𝜂2𝜌 − 𝑁)

[

1385𝑡2 + 7266𝑡4 + 10920𝑡6 + 5040𝑡8

+3𝜂2𝑡(577𝑡 + 1472𝑡3 + 896𝑡5) − 3𝜂4𝑡(191𝑡 + 610𝑡3 + 512𝑡5)

−𝜂6𝑡(2927𝑡 − 5052𝑡3 − 744𝑡5) − 24𝜂8𝑡(367𝑡 − 1144𝑡3 + 328𝑡5)

−48𝜂10𝑡(239𝑡 − 1124𝑡3 + 520𝑡5) − 64𝜂12𝑡(73𝑡 − 477𝑡3 + 360𝑡5)]

}

VI. ANEXOS.

451

FIX(𝑦) =1

𝑁9 cos 𝜑∙

{

𝑁

𝜌

[

1385 + 23183𝑡2 + 76398𝑡4 + 89880𝑡6 + 35280𝑡8

+1731𝜂2 + 11517𝜂2𝑡2 + 17856𝜂2𝑡4 + 8064𝜂2𝑡6 − 573𝜂4

−3771𝜂4𝑡2 − 5850𝜂4𝑡4 − 1536𝜂4𝑡6 − 2927𝜂6 + 29791𝜂6𝑡2

−11436𝜂6𝑡4 − 744𝜂6𝑡6 − 8808𝜂8 + 144024𝜂8𝑡2

−176640𝜂8𝑡4 + 23616𝜂8𝑡6 − 11472𝜂10 + 265104𝜂10𝑡2

−502464𝜂10𝑡4 + 124800𝜂10𝑡6 − 4672𝜂12 + 142976𝜂12𝑡2

−389952𝜂12𝑡4 + 161280𝜂12𝑡6 ]

− (8𝜂2𝜌

𝜌−𝑁

𝜌)

[

1385𝑡2 + 7266𝑡4 + 10920𝑡6 + 5040𝑡8

+3𝜂2𝑡(577𝑡 + 1472𝑡3 + 896𝑡5) − 3𝜂4𝑡(191𝑡 + 610𝑡3 + 512𝑡5)

−𝜂6𝑡(2927𝑡 − 5052𝑡3 − 744𝑡5) − 24𝜂8𝑡(367𝑡 − 1144𝑡3 + 328𝑡5)

−48𝜂10𝑡(239𝑡 − 1124𝑡3 + 520𝑡5) − 64𝜂12𝑡(73𝑡 − 477𝑡3 + 360𝑡5)]

}

FIX(𝑦) =1

𝑁9 cos 𝜑∙

{

(1 + 𝜂2)

[

1385 + 23183𝑡2 + 76398𝑡4 + 89880𝑡6 + 35280𝑡8

+1731𝜂2 + 11517𝜂2𝑡2 + 17856𝜂2𝑡4 + 8064𝜂2𝑡6 − 573𝜂4

−3771𝜂4𝑡2 − 5850𝜂4𝑡4 − 1536𝜂4𝑡6 − 2927𝜂6 + 29791𝜂6𝑡2

−11436𝜂6𝑡4 − 744𝜂6𝑡6 − 8808𝜂8 + 144024𝜂8𝑡2

−176640𝜂8𝑡4 + 23616𝜂8𝑡6 − 11472𝜂10 + 265104𝜂10𝑡2

−502464𝜂10𝑡4 + 124800𝜂10𝑡6 − 4672𝜂12 + 142976𝜂12𝑡2

−389952𝜂12𝑡4 + 161280𝜂12𝑡6 ]

−[8𝜂2 − (1 + 𝜂2)]

[

1385𝑡2 + 7266𝑡4 + 10920𝑡6 + 5040𝑡8

+3𝜂2𝑡(577𝑡 + 1472𝑡3 + 896𝑡5) − 3𝜂4𝑡(191𝑡 + 610𝑡3 + 512𝑡5)

−𝜂6𝑡(2927𝑡 − 5052𝑡3 − 744𝑡5) − 24𝜂8𝑡(367𝑡 − 1144𝑡3 + 328𝑡5)

−48𝜂10𝑡(239𝑡 − 1124𝑡3 + 520𝑡5) − 64𝜂12𝑡(73𝑡 − 477𝑡3 + 360𝑡5)]

}

VI. ANEXOS.

452

FIX(𝑦) =1

𝑁9 cos 𝜑∙

{

[

1385 + 23183𝑡2 + 76398𝑡4 + 89880𝑡6 + 35280𝑡8 + 3116𝜂2

+1158𝜂4 − 3500𝜂6 − 11735𝜂8 − 20280𝜂10 − 16144𝜂12 − 4672𝜂14

+34700𝜂2𝑡2 + 7746𝜂4𝑡2 + 26020𝜂6𝑡2 + 173815𝜂8𝑡2 + 409128𝜂10𝑡2

+408080𝜂12𝑡2 + 142976𝜂14𝑡2 + 94254𝜂2𝑡4 + 12006𝜂4𝑡4 − 17286𝜂6𝑡4

−188076𝜂8𝑡4 − 679104𝜂10𝑡4 − 892416𝜂12𝑡4 − 389952𝜂14𝑡4

+97944𝜂2𝑡6 + 6528𝜂4𝑡6 − 2280𝜂6𝑡6 + 22872𝜂8𝑡6 + 148416𝜂10𝑡6

+286080𝜂12𝑡6 + 161280𝜂14𝑡6 + 35280𝜂2𝑡8 ]

−

[

−1385𝑡2 − 7266𝑡4 − 10920𝑡6 − 5040𝑡8 + 7964𝜂2𝑡2 + 12690𝜂4𝑡2

−1084𝜂6𝑡2 − 11681𝜂8𝑡2 − 50184𝜂10𝑡2 − 75632𝜂12𝑡2 − 32704𝜂14𝑡2

+46446𝜂2𝑡4 + 32742𝜂4𝑡4 − 17862𝜂6𝑡4 + 7908𝜂8𝑡4 + 138240𝜂10𝑡4

+347136𝜂12𝑡4 + 213696𝜂14𝑡4 + 73752𝜂2𝑡6 + 20352𝜂4𝑡6 − 11496𝜂6𝑡6

+13080𝜂8𝑡6 − 30144𝜂10𝑡6 − 151680𝜂12𝑡6 − 161280𝜂14𝑡6 + 35280𝜂2𝑡8]

}

FIX(𝑦) =1

𝑁9 cos 𝜑∙

[ 1385 + (23183𝑡2 + 1385𝑡2) + (76398𝑡4 + 7266𝑡4) + (89880𝑡6 + 10920𝑡6)

+(35280𝑡8 + 5040𝑡8) + 3116𝜂2 + (34700𝜂2𝑡2 − 7964𝜂2𝑡2) + (94254𝜂2𝑡4

−46446𝜂2𝑡4) + (97944𝜂2𝑡6 − 73752𝜂2𝑡6) + (35280𝜂2𝑡8 − 35280𝜂2𝑡8)

+1158𝜂4 + (7746𝜂4𝑡2 − 12690𝜂4𝑡2) + (12006𝜂4𝑡4 − 32742𝜂4𝑡4)

+(6528𝜂4𝑡6 − 20352𝜂4𝑡6) − 3500𝜂6 + (26020𝜂6𝑡2 + 1084𝜂6𝑡2)

+(17862𝜂6𝑡4 − 17286𝜂6𝑡4) + (11496𝜂6𝑡6 − 2280𝜂6𝑡6) − 11735𝜂8

+(173815𝜂8𝑡2 + 11681𝜂8𝑡2) − (188076𝜂8𝑡4 − 7908𝜂8𝑡4) + (22872𝜂8𝑡6

−13080𝜂8𝑡6) − 20280𝜂10 + (409128𝜂10𝑡2 + 50184𝜂10𝑡2) − (679104𝜂10𝑡4

+138240𝜂10𝑡4) + (148416𝜂10𝑡6 + 30144𝜂10𝑡6) − 16144𝜂12 + (408080𝜂12𝑡2

+75632𝜂12𝑡2) + (142976𝜂14𝑡2 + 32704𝜂14𝑡2) − (892416𝜂12𝑡4 + 347136𝜂12𝑡4)

+(286080𝜂12𝑡6 + 151680𝜂12𝑡6) − 4672𝜂14 − (389952𝜂14𝑡4 + 213696𝜂14𝑡4)

+(161280𝜂14𝑡6 + 161280𝜂14𝑡6) ]

VI. ANEXOS.

453

FIX(𝑦) =1

𝑁9 cos 𝜑∙

[ 1385 + 24568𝑡2 + 83664𝑡4 + 100800𝑡6 + 40320𝑡8 + 3116𝜂2 + 26736𝜂2𝑡2

+47808𝜂2𝑡4 + 24192𝜂2𝑡6 + 1158𝜂4 − 4944𝜂4𝑡2 − 13824𝜂4𝑡6 − 3500𝜂6

+27104𝜂6𝑡2 + 576𝜂6𝑡4 + 9216𝜂6𝑡6 − 11735𝜂8 + 185496𝜂8𝑡2 − 195984𝜂8𝑡4

+9792𝜂8𝑡6 − 20280𝜂10 + 459312𝜂10𝑡2 − 817344𝜂10𝑡4 + 178560𝜂10𝑡6

−16144𝜂12 + 483712𝜂12𝑡2 − 1239552𝜂12𝑡4 + 437760𝜂12𝑡6 − 4672𝜂14

+175680𝜂14𝑡2 − 20736𝜂4𝑡4 − 603648𝜂14𝑡4 + 322560𝜂14𝑡6 ]

𝐅𝐈𝐗(𝒚) =

𝟏

𝑵𝟗 𝐜𝐨𝐬𝝋

[ 𝟏𝟑𝟖𝟓 + 𝟐𝟒𝟓𝟔𝟖𝒕𝟐 + 𝟖𝟑𝟔𝟔𝟒𝒕𝟒 + 𝟏𝟎𝟎𝟖𝟎𝟎𝒕𝟔 + 𝟒𝟎𝟑𝟐𝟎𝒕𝟖

+𝟒𝜼𝟐(𝟕𝟕𝟗 + 𝟔𝟔𝟖𝟒𝒕𝟐 + 𝟏𝟏𝟗𝟓𝟐𝒕𝟒 + 𝟔𝟎𝟒𝟖𝒕𝟔)

+𝟔𝜼𝟒(𝟏𝟗𝟑 − 𝟖𝟐𝟒𝒕𝟐 − 𝟑𝟒𝟓𝟔𝒕𝟒 − 𝟐𝟑𝟎𝟒𝒕𝟔)

−𝟒𝜼𝟔(𝟖𝟕𝟓 − 𝟔𝟕𝟕𝟔𝒕𝟐 − 𝟏𝟒𝟒𝒕𝟒 − 𝟐𝟑𝟎𝟒𝒕𝟔)

−𝜼𝟖(𝟏𝟏𝟕𝟑𝟓 − 𝟏𝟖𝟓𝟒𝟗𝟔𝒕𝟐 + 𝟏𝟗𝟓𝟗𝟖𝟒𝒕𝟒 − 𝟗𝟕𝟗𝟐𝒕𝟔)

−𝟐𝟒𝜼𝟏𝟎(𝟖𝟒𝟓 − 𝟏𝟗𝟏𝟑𝟖𝒕𝟐 + 𝟑𝟒𝟎𝟓𝟔𝒕𝟒 − 𝟕𝟒𝟒𝟎𝒕𝟔)

−𝟏𝟔𝜼𝟏𝟐(𝟏𝟎𝟎𝟗 − 𝟑𝟎𝟐𝟑𝟐𝒕𝟐 + 𝟕𝟕𝟒𝟕𝟐𝒕𝟒 − 𝟐𝟕𝟑𝟔𝟎𝒕𝟔)

−𝟔𝟒𝜼𝟏𝟒(𝟕𝟑 − 𝟐𝟕𝟒𝟓𝒕𝟐 + 𝟗𝟒𝟑𝟐𝒕𝟒 − 𝟓𝟎𝟒𝟎𝒕𝟔) ]

Para 𝐅𝐗(𝒚)

[FIX(𝑦)]′ =

{

1

𝑁9 cos 𝜑

[ 1385 + 24568𝑡2 + 83664𝑡4 + 100800𝑡6 + 40320𝑡8

+4𝜂2(779 + 6684𝑡2 + 11952𝑡4 + 6048𝑡6)

+6𝜂4(193 − 824𝑡2 − 3456𝑡4 − 2304𝑡6)

−4𝜂6(875 − 6776𝑡2 − 144𝑡4 − 2304𝑡6)

−𝜂8(11735 − 185496𝑡2 + 195984𝑡4 − 9792𝑡6)

−24𝜂10(845 − 19138𝑡2 + 34056𝑡4 − 7440𝑡6)

−16𝜂12(1009 − 30232𝑡2 + 77472𝑡4 − 27360𝑡6)

−64𝜂14(73 − 2745𝑡2 + 9432𝑡4 − 5040𝑡6) ]

}

′

[FIX(𝑦)]′ = (𝑢

𝑣)′

=𝑢′ ∙ 𝑣 − 𝑢 ∙ 𝑣′

𝑣2

VI. ANEXOS.

454

Siendo.

𝑢 =

[ 1385 + 24568𝑡2 + 83664𝑡4 + 100800𝑡6 + 40320𝑡8

+4𝜂2(779 + 6684𝑡2 + 11952𝑡4 + 6048𝑡6)

+6𝜂4(193 − 824𝑡2 − 3456𝑡4 − 2304𝑡6)

−4𝜂6(875 − 6776𝑡2 − 144𝑡4 − 2304𝑡6)

−𝜂8(11735 − 185496𝑡2 + 195984𝑡4 − 9792𝑡6)

−24𝜂10(845 − 19138𝑡2 + 34056𝑡4 − 7440𝑡6)

−16𝜂12(1009 − 30232𝑡2 + 77472𝑡4 − 27360𝑡6)

−64𝜂14(73 − 2745𝑡2 + 9432𝑡4 − 5040𝑡6) ]



𝑢′ =

{

24568(2𝑡3 + 2𝑡) + 83664(4𝑡5 + 4𝑡3)

+100800(6𝑡7 + 6𝑡5) + 40320(8𝑡9 + 8𝑡7)

+4 [−2𝜂2𝑡(779 + 6684𝑡2 + 11952𝑡4 + 6048𝑡6)

+𝜂2(6684(2𝑡3 + 2𝑡) + 11952(4𝑡5 + 4𝑡3) + 6048(6𝑡7 + 6𝑡5))]

+6 [−4𝜂4𝑡(193 − 824𝑡2 − 3456𝑡4 − 2304𝑡6)

+𝜂4(−824(2𝑡3 + 2𝑡) − 3456(4𝑡5 + 4𝑡3) − 2304(6𝑡7 + 6𝑡5))]

−4 [−6𝜂6𝑡(875 − 6776𝑡2 − 144𝑡4 − 2304𝑡6)

+𝜂6(−6776(2𝑡3 + 2𝑡) − 144(4𝑡5 + 4𝑡3) − 2304(6𝑡7 + 6𝑡5))]

− [−8𝜂8𝑡(11735 − 185496𝑡2 + 195984𝑡4 − 9792𝑡6)

+𝜂8(−185496(2𝑡3 + 2𝑡) + 195984(4𝑡5 + 4𝑡3) − 9792(6𝑡7 + 6𝑡5))]

−24 [−10𝜂10𝑡(845 − 19138𝑡2 + 34056𝑡4 − 7440𝑡6)

+𝜂10(−19138(2𝑡3 + 2𝑡) + 34056(4𝑡5 + 4𝑡3) − 7440(6𝑡7 + 6𝑡5))]

−16 [−12𝜂12𝑡(1009 − 30232𝑡2 + 77472𝑡4 − 27360𝑡6)

+𝜂12(−30232(2𝑡3 + 2𝑡) + 77472(4𝑡5 + 4𝑡3) − 27360(6𝑡7 + 6𝑡5))]

−64 [−14𝜂14𝑡(73 − 2745𝑡2 + 9432𝑡4 − 5040𝑡6)

+𝜂14(−2745(2𝑡3 + 2𝑡) + 9432(4𝑡5 + 4𝑡3) − 5040(6𝑡7 + 6𝑡5))]}

VI. ANEXOS.

455

𝑢′ =

{

49136𝑡 + 49136𝑡3 + 334656𝑡3 + 334656𝑡5 + 604800𝑡5

+604800𝑡7 + 322560𝑡7 + 322560𝑡9

+4[11810𝜂2𝑡 + 47808𝜂2𝑡3 + 60192𝜂2𝑡5 + 24192𝜂2𝑡7]

+6[−2420𝜂4𝑡 − 12176𝜂4𝑡3 − 13824𝜂4𝑡5 − 4608𝜂4𝑡7]

−4[−18802𝜂6𝑡 + 26528𝜂6𝑡3 − 13536𝜂6𝑡5]

−[−464872𝜂8𝑡 + 1896912𝜂8𝑡3 − 842688𝜂8𝑡5 + 19584𝜂8𝑡7]

−24[−46726𝜂10𝑡 + 289328𝜂10𝑡3 − 248976𝜂10𝑡5 + 29760𝜂10𝑡7]

−16[−72572𝜂12𝑡 + 612208𝜂12𝑡3 − 783936𝜂12𝑡5 + 164160𝜂12𝑡7]

−64[−6512𝜂14𝑡 + 70668𝜂14𝑡3 − 124560𝜂14𝑡5 + 40320𝜂14𝑡7] }

𝑢′ =

[ 49136𝑡 + 383792𝑡3 + 939456𝑡5 + 927360𝑡7 + 322560𝑡9

+47240𝜂2𝑡 + 191232𝜂2𝑡3 + 240768𝜂2𝑡5 + 96768𝜂2𝑡7

−14520𝜂4𝑡 − 73056𝜂4𝑡3 − 82944𝜂4𝑡5 − 27648𝜂4𝑡7

+75208𝜂6𝑡 − 106112𝜂6𝑡3 + 54144𝜂6𝑡5 + 464872𝜂8𝑡

−1896912𝜂8𝑡3 + 842688𝜂8𝑡5 − 19584𝜂8𝑡7 + 1121424𝜂10𝑡

−6943872𝜂10𝑡3 + 5975424𝜂10𝑡5 − 714240𝜂10𝑡7

+1161152𝜂12𝑡 − 9795328𝜂12𝑡3 + 12542976𝜂12𝑡5

−2626560𝜂12𝑡7 + 416768𝜂14𝑡 − 4522752𝜂14𝑡3

+7971840𝜂14𝑡5 − 2580480𝜂14𝑡7 ]



[FIX(𝑦)]′ =𝑢′ ∙ 𝑁9 cos 𝜑 − 𝑢 ∙ 𝑁8𝑡 cos 𝜑 (9𝜂2𝜌 − 𝑁)

(𝑁9 cos𝜑)2

[FIX(𝑦)]′ =𝑁8 cos 𝜑 [𝑢′ ∙ 𝑁 − 𝑢 ∙ 𝑡(9𝜂2𝜌 − 𝑁)]

𝑁18 cos2 𝜑=[𝑢′ ∙ 𝑁 − 𝑢 ∙ 𝑡(9𝜂2𝜌 − 𝑁)]

𝑁10 cos 𝜑

[FIX(𝑦)]′ =1

𝑁10 cos 𝜑[𝑢′ ∙ 𝑁 − 𝑢 ∙ 𝑡(9𝜂2𝜌 − 𝑁)]

VI. ANEXOS.

456


[FIX(𝑦)]′ =1

𝑁10 cos 𝜑∙

{

𝑁

[ 49136𝑡 + 383792𝑡3 + 939456𝑡5 + 927360𝑡7 + 322560𝑡9

+47240𝜂2𝑡 + 191232𝜂2𝑡3 + 240768𝜂2𝑡5 + 96768𝜂2𝑡7

−14520𝜂4𝑡 − 73056𝜂4𝑡3 − 82944𝜂4𝑡5 − 27648𝜂4𝑡7

+75208𝜂6𝑡 − 106112𝜂6𝑡3 + 54144𝜂6𝑡5 + 464872𝜂8𝑡

−1896912𝜂8𝑡3 + 842688𝜂8𝑡5 − 19584𝜂8𝑡7 + 1121424𝜂10𝑡

−6943872𝜂10𝑡3 + 5975424𝜂10𝑡5 − 714240𝜂10𝑡7

+1161152𝜂12𝑡 − 9795328𝜂12𝑡3 + 12542976𝜂12𝑡5

−2626560𝜂12𝑡7 + 416768𝜂14𝑡 − 4522752𝜂14𝑡3

+7971840𝜂14𝑡5 − 2580480𝜂14𝑡7 ]

−𝑡(9𝜂2𝜌 − 𝑁)

[ 1385 + 24568𝑡2 + 83664𝑡4 + 100800𝑡6 + 40320𝑡8

+4𝜂2(779 + 6684𝑡2 + 11952𝑡4 + 6048𝑡6)

+6𝜂4(193 − 824𝑡2 − 3456𝑡4 − 2304𝑡6)

−4𝜂6(875 − 6776𝑡2 − 144𝑡4 − 2304𝑡6)

−𝜂8(11735 − 185496𝑡2 + 195984𝑡4 − 9792𝑡6)

−24𝜂10(845 − 19138𝑡2 + 34056𝑡4 − 7440𝑡6)

−16𝜂12(1009 − 30232𝑡2 + 77472𝑡4 − 27360𝑡6)

−64𝜂14(73 − 2745𝑡2 + 9432𝑡4 − 5040𝑡6) ]

}


𝑑𝑦.

FX(𝑦) = [FIX(𝑦)]′ ∙𝑑𝜑

𝑑𝑦

VI. ANEXOS.

457

FX(𝑦) =1

𝑁10 cos 𝜑∙

{

𝑁

[ 49136𝑡 + 383792𝑡3 + 939456𝑡5 + 927360𝑡7 + 322560𝑡9

+47240𝜂2𝑡 + 191232𝜂2𝑡3 + 240768𝜂2𝑡5 + 96768𝜂2𝑡7

−14520𝜂4𝑡 − 73056𝜂4𝑡3 − 82944𝜂4𝑡5 − 27648𝜂4𝑡7

+75208𝜂6𝑡 − 106112𝜂6𝑡3 + 54144𝜂6𝑡5 + 464872𝜂8𝑡

−1896912𝜂8𝑡3 + 842688𝜂8𝑡5 − 19584𝜂8𝑡7 + 1121424𝜂10𝑡

−6943872𝜂10𝑡3 + 5975424𝜂10𝑡5 − 714240𝜂10𝑡7

+1161152𝜂12𝑡 − 9795328𝜂12𝑡3 + 12542976𝜂12𝑡5

−2626560𝜂12𝑡7 + 416768𝜂14𝑡 − 4522752𝜂14𝑡3

+7971840𝜂14𝑡5 − 2580480𝜂14𝑡7 ]

−𝑡(9𝜂2𝜌 − 𝑁)

[ 1385 + 24568𝑡2 + 83664𝑡4 + 100800𝑡6 + 40320𝑡8

+4𝜂2(779 + 6684𝑡2 + 11952𝑡4 + 6048𝑡6)

+6𝜂4(193 − 824𝑡2 − 3456𝑡4 − 2304𝑡6)

−4𝜂6(875 − 6776𝑡2 − 144𝑡4 − 2304𝑡6)

−𝜂8(11735 − 185496𝑡2 + 195984𝑡4 − 9792𝑡6)

−24𝜂10(845 − 19138𝑡2 + 34056𝑡4 − 7440𝑡6)

−16𝜂12(1009 − 30232𝑡2 + 77472𝑡4 − 27360𝑡6)

−64𝜂14(73 − 2745𝑡2 + 9432𝑡4 − 5040𝑡6) ]

}

∙ (1

𝜌)

FX(𝑦) =1

𝑁10 cos 𝜑∙

{

𝑁

𝜌

[ 49136𝑡 + 383792𝑡3 + 939456𝑡5 + 927360𝑡7 + 322560𝑡9

+47240𝜂2𝑡 + 191232𝜂2𝑡3 + 240768𝜂2𝑡5 + 96768𝜂2𝑡7

−14520𝜂4𝑡 − 73056𝜂4𝑡3 − 82944𝜂4𝑡5 − 27648𝜂4𝑡7

+75208𝜂6𝑡 − 106112𝜂6𝑡3 + 54144𝜂6𝑡5 + 464872𝜂8𝑡

−1896912𝜂8𝑡3 + 842688𝜂8𝑡5 − 19584𝜂8𝑡7 + 1121424𝜂10𝑡

−6943872𝜂10𝑡3 + 5975424𝜂10𝑡5 − 714240𝜂10𝑡7

+1161152𝜂12𝑡 − 9795328𝜂12𝑡3 + 12542976𝜂12𝑡5

−2626560𝜂12𝑡7 + 416768𝜂14𝑡 − 4522752𝜂14𝑡3

+7971840𝜂14𝑡5 − 2580480𝜂14𝑡7 ]

− (1

𝜌) (9𝜂2𝜌 − 𝑁)

[ 1385𝑡 + 24568𝑡3 + 83664𝑡5 + 100800𝑡7 + 40320𝑡9

+4𝜂2𝑡(779 + 6684𝑡2 + 11952𝑡4 + 6048𝑡6)

+6𝜂4𝑡(193 − 824𝑡2 − 3456𝑡4 − 2304𝑡6)

−4𝜂6𝑡(875 − 6776𝑡2 − 144𝑡4 − 2304𝑡6)

−𝜂8𝑡(11735 − 185496𝑡2 + 195984𝑡4 − 9792𝑡6)

−24𝜂10𝑡(845 − 19138𝑡2 + 34056𝑡4 − 7440𝑡6)

−16𝜂12𝑡(1009 − 30232𝑡2 + 77472𝑡4 − 27360𝑡6)

−64𝜂14𝑡(73 − 2745𝑡2 + 9432𝑡4 − 5040𝑡6) ]

}

VI. ANEXOS.

458

FX(𝑦) =1

𝑁10 cos 𝜑∙

{

𝑁

𝜌

[ 49136𝑡 + 383792𝑡3 + 939456𝑡5 + 927360𝑡7 + 322560𝑡9

+47240𝜂2𝑡 + 191232𝜂2𝑡3 + 240768𝜂2𝑡5 + 96768𝜂2𝑡7

−14520𝜂4𝑡 − 73056𝜂4𝑡3 − 82944𝜂4𝑡5 − 27648𝜂4𝑡7

+75208𝜂6𝑡 − 106112𝜂6𝑡3 + 54144𝜂6𝑡5 + 464872𝜂8𝑡

−1896912𝜂8𝑡3 + 842688𝜂8𝑡5 − 19584𝜂8𝑡7 + 1121424𝜂10𝑡

−6943872𝜂10𝑡3 + 5975424𝜂10𝑡5 − 714240𝜂10𝑡7

+1161152𝜂12𝑡 − 9795328𝜂12𝑡3 + 12542976𝜂12𝑡5

−2626560𝜂12𝑡7 + 416768𝜂14𝑡 − 4522752𝜂14𝑡3

+7971840𝜂14𝑡5 − 2580480𝜂14𝑡7 ]

− (9𝜂2𝜌

𝜌−𝑁

𝜌)

[ 1385 + 24568𝑡2 + 83664𝑡4 + 100800𝑡6 + 40320𝑡8

+4𝜂2(779 + 6684𝑡2 + 11952𝑡4 + 6048𝑡6)

+6𝜂4(193 − 824𝑡2 − 3456𝑡4 − 2304𝑡6)

−4𝜂6(875 − 6776𝑡2 − 144𝑡4 − 2304𝑡6)

−𝜂8(11735 − 185496𝑡2 + 195984𝑡4 − 9792𝑡6)

−24𝜂10(845 − 19138𝑡2 + 34056𝑡4 − 7440𝑡6)

−16𝜂12(1009 − 30232𝑡2 + 77472𝑡4 − 27360𝑡6)

−64𝜂14(73 − 2745𝑡2 + 9432𝑡4 − 5040𝑡6) ]

}

FX(𝑦) =1

𝑁10 cos 𝜑∙

{

(1 + 𝜂2)

[ 49136𝑡 + 383792𝑡3 + 939456𝑡5 + 927360𝑡7 + 322560𝑡9

+47240𝜂2𝑡 + 191232𝜂2𝑡3 + 240768𝜂2𝑡5 + 96768𝜂2𝑡7

−14520𝜂4𝑡 − 73056𝜂4𝑡3 − 82944𝜂4𝑡5 − 27648𝜂4𝑡7

+75208𝜂6𝑡 − 106112𝜂6𝑡3 + 54144𝜂6𝑡5 + 464872𝜂8𝑡

−1896912𝜂8𝑡3 + 842688𝜂8𝑡5 − 19584𝜂8𝑡7 + 1121424𝜂10𝑡

−6943872𝜂10𝑡3 + 5975424𝜂10𝑡5 − 714240𝜂10𝑡7

+1161152𝜂12𝑡 − 9795328𝜂12𝑡3 + 12542976𝜂12𝑡5

−2626560𝜂12𝑡7 + 416768𝜂14𝑡 − 4522752𝜂14𝑡3

+7971840𝜂14𝑡5 − 2580480𝜂14𝑡7 ]

−𝑡[9𝜂2 − (1 + 𝜂2)]

[ 1385 + 24568𝑡2 + 83664𝑡4 + 100800𝑡6 + 40320𝑡8

+4𝜂2(779 + 6684𝑡2 + 11952𝑡4 + 6048𝑡6)

+6𝜂4(193 − 824𝑡2 − 3456𝑡4 − 2304𝑡6)

−4𝜂6(875 − 6776𝑡2 − 144𝑡4 − 2304𝑡6)

−𝜂8(11735 − 185496𝑡2 + 195984𝑡4 − 9792𝑡6)

−24𝜂10(845 − 19138𝑡2 + 34056𝑡4 − 7440𝑡6)

−16𝜂12(1009 − 30232𝑡2 + 77472𝑡4 − 27360𝑡6)

−64𝜂14(73 − 2745𝑡2 + 9432𝑡4 − 5040𝑡6) ]

}

VI. ANEXOS.

459

FX(𝑦) =1

𝑁10 cos 𝜑∙

{

[

49136𝑡 + 383792𝑡3 + 939456𝑡5 + 927360𝑡7 + 322560𝑡9 + 96376𝜂2𝑡

+32720𝜂4𝑡 + 60688𝜂6𝑡 + 540080𝜂8𝑡 + 1586296𝜂10𝑡 + 2282576𝜂12𝑡

+1577920𝜂14𝑡 + 416768𝜂16𝑡 + 575024𝜂2𝑡3 + 118176𝜂4𝑡3 − 179168𝜂6𝑡3

−2003024𝜂8𝑡3 − 8840784𝜂10𝑡3 − 16739200𝜂12𝑡3 − 14318080𝜂14𝑡3

−4522752𝜂16𝑡3 + 1180224𝜂2𝑡5 + 157824𝜂4𝑡5 − 28800𝜂6𝑡5 + 896832𝜂8𝑡5

+6818112𝜂10𝑡5 + 18518400𝜂12𝑡5 + 20514816𝜂14𝑡5 + 7971840𝜂16𝑡5

+1024128𝜂2𝑡7 + 69120𝜂4𝑡7 − 27648𝜂6𝑡7 − 19584𝜂8𝑡7 − 733824𝜂10𝑡7

−3340800𝜂12𝑡7 − 5207040𝜂14𝑡7 − 2580480𝜂16𝑡7 + 322560𝜂2𝑡9 ]

−

[

−1385𝑡 − 24568𝑡3 − 83664𝑡5 − 100800𝑡7 − 40320𝑡9 + 7964𝜂2𝑡

+23770𝜂4𝑡 + 12764𝜂6𝑡 − 16265𝜂8𝑡 − 73600𝜂10𝑡 − 146096𝜂12𝑡 − 124480𝜂14𝑡

−37376𝜂16𝑡 + 169808𝜂2𝑡3 + 218832𝜂4𝑡3 − 66656𝜂6𝑡3 + 31336𝜂8𝑡3

+1024656𝜂10𝑡3 + 3190784𝜂12𝑡3 + 3694016𝜂14𝑡3 + 1405440𝜂16𝑡3

+621504𝜂2𝑡5 + 403200𝜂4𝑡5 − 166464𝜂6𝑡5 + 200592𝜂8𝑡5 − 750528𝜂10𝑡5

−5299200𝜂12𝑡5 − 9312768𝜂14𝑡5 − 4829184𝜂16𝑡5 + 782208𝜂2𝑡7

+207360𝜂4𝑡7 − 119808𝜂6𝑡7 + 63936𝜂8𝑡7 − 100224𝜂10𝑡7 + 990720𝜂12𝑡7

+3179520𝜂14𝑡7 + 2580480𝜂16𝑡7 + 322560𝜂2𝑡9 ]

}

FX(𝑦) =1

𝑁10 cos 𝜑∙

[

(49136𝑡 + 1385𝑡) + (383792𝑡3 + 24568𝑡3) + (939456𝑡5 + 83664𝑡5)

+(100800𝑡7 + 927360𝑡7) + (322560𝑡9 + 40320𝑡9) + (96376𝜂2𝑡 − 7964𝜂2𝑡)

+(575024𝜂2𝑡3 − 169808𝜂2𝑡3) + (1180224𝜂2𝑡5 − 621504𝜂2𝑡5) + (1024128𝜂2𝑡7

−782208𝜂2𝑡7) + (32720𝜂4𝑡 − 23770𝜂4𝑡) + (118176𝜂4𝑡3 − 218832𝜂4𝑡3)

+(157824𝜂4𝑡5 − 403200𝜂4𝑡5) + (69120𝜂4𝑡7 − 207360𝜂4𝑡7) + (60688𝜂6𝑡

−12764𝜂6𝑡) + (66656𝜂6𝑡3 − 179168𝜂6𝑡3) + (166464𝜂6𝑡5 − 28800𝜂6𝑡5)

+(119808𝜂6𝑡7 − 27648𝜂6𝑡7) + (540080𝜂8𝑡 + 16265𝜂8𝑡) − (2003024𝜂8𝑡3

+31336𝜂8𝑡3) + (896832𝜂8𝑡5 − 200592𝜂8𝑡5) − (63936𝜂8𝑡7 + 19584𝜂8𝑡7)

+(1586296𝜂10𝑡 + 73600𝜂10𝑡) − (8840784𝜂10𝑡3 + 1024656𝜂10𝑡3) + (6818112𝜂10𝑡5

+750528𝜂10𝑡5) + (100224𝜂10𝑡7 − 733824𝜂10𝑡7) + (2282576𝜂12𝑡 + 146096𝜂12𝑡)

−(16739200𝜂12𝑡3 + 3190784𝜂12𝑡3) + (5299200𝜂12𝑡5 + 18518400𝜂12𝑡5)

−(3340800𝜂12𝑡7 + 990720𝜂12𝑡7) + (1577920𝜂14𝑡 + 124480𝜂14𝑡) − (3694016𝜂14𝑡3

+14318080𝜂14𝑡3) + (20514816𝜂14𝑡5 + 9312768𝜂14𝑡5) − (5207040𝜂14𝑡7

+3179520𝜂14𝑡7) + (416768𝜂16𝑡 + 37376𝜂16𝑡) − (4522752𝜂16𝑡3 + 1405440𝜂16𝑡3)

+(7971840𝜂16𝑡5 + 4829184𝜂16𝑡5) − (2580480𝜂16𝑡7 + 2580480𝜂16𝑡7)

+(322560𝜂2𝑡9 − 322560𝜂2𝑡9) ]

VI. ANEXOS.

460

FX(𝑦) =1

𝑁10 cos 𝜑∙

[ 50521𝑡 + 408360𝑡3 + 1023120𝑡5 + 1028160𝑡7 + 362880𝑡9 + 88412𝜂2𝑡

+405216𝜂2𝑡3 + 558720𝜂2𝑡5 + 241920𝜂2𝑡7 + 8950𝜂4𝑡 − 100656𝜂4𝑡3

−245376𝜂4𝑡5 − 138240𝜂4𝑡7 + 47924𝜂6𝑡 − 112512𝜂6𝑡3 + 137664𝜂6𝑡5

+92160𝜂6𝑡7 + 556345𝜂8𝑡 − 2034360𝜂8𝑡3 + 696240𝜂8𝑡5 − 83520𝜂8𝑡7

+1659896𝜂10𝑡 − 9865440𝜂10𝑡3 + 7568640𝜂10𝑡5 − 633600𝜂10𝑡7

+2428672𝜂12𝑡 − 19929984𝜂12𝑡3 + 23817600𝜂12𝑡5 − 4331520𝜂12𝑡7

+1702400𝜂14𝑡 − 18012096𝜂14𝑡3 + 29827584𝜂14𝑡5 − 8386560𝜂14𝑡7

+454144𝜂16𝑡 − 5928192𝜂16𝑡3 + 12801024𝜂16𝑡5 − 5160960𝜂16𝑡7 ]

𝐅𝐗(𝒚) =

𝒕

𝑵𝟏𝟎 𝐜𝐨𝐬𝝋

[ 𝟓𝟎𝟓𝟐𝟏 + 𝟒𝟎𝟖𝟑𝟔𝟎𝒕𝟐 + 𝟏𝟎𝟐𝟑𝟏𝟐𝟎𝒕𝟒 + 𝟏𝟎𝟐𝟖𝟏𝟔𝟎𝒕𝟔 + 𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝒕𝟖

+𝟒𝜼𝟐(𝟐𝟐𝟏𝟎𝟑 + 𝟏𝟎𝟏𝟑𝟎𝟒𝒕𝟐 + 𝟏𝟑𝟗𝟔𝟖𝟎𝒕𝟒 + 𝟔𝟎𝟒𝟖𝟎𝒕𝟔)

+𝟐𝜼𝟒(𝟒𝟒𝟕𝟓 − 𝟓𝟎𝟑𝟐𝟖𝒕𝟐 − 𝟏𝟐𝟐𝟔𝟖𝟖𝒕𝟒 − 𝟔𝟗𝟏𝟐𝟎𝒕𝟔)

+𝟒𝜼𝟔(𝟏𝟏𝟗𝟖𝟏 − 𝟐𝟖𝟏𝟐𝟖𝒕𝟐 + 𝟑𝟒𝟒𝟏𝟔𝒕𝟒 + 𝟐𝟑𝟎𝟒𝟎𝒕𝟔)

+𝟓𝜼𝟖(𝟏𝟏𝟏𝟐𝟔𝟗 − 𝟒𝟎𝟔𝟖𝟕𝟐𝒕𝟐 + 𝟏𝟑𝟗𝟐𝟒𝟖𝒕𝟒 − 𝟏𝟔𝟕𝟎𝟒𝒕𝟔)

+𝟖𝜼𝟏𝟎(𝟐𝟎𝟕𝟒𝟖𝟕 − 𝟏𝟐𝟑𝟑𝟏𝟖𝟎𝒕𝟐 + 𝟗𝟒𝟔𝟎𝟖𝟎𝒕𝟒 − 𝟕𝟗𝟐𝟎𝟎𝒕𝟔)

+𝟏𝟐𝟖𝜼𝟏𝟐(𝟏𝟖𝟗𝟕𝟒 − 𝟏𝟓𝟓𝟕𝟎𝟑𝒕𝟐 + 𝟏𝟖𝟔𝟎𝟕𝟓𝒕𝟒 − 𝟑𝟑𝟖𝟒𝟎𝒕𝟔)

+𝟔𝟒𝜼𝟏𝟒(𝟐𝟔𝟔𝟎𝟎 − 𝟐𝟖𝟏𝟒𝟑𝟗𝒕𝟐 + 𝟒𝟔𝟔𝟎𝟓𝟔𝒕𝟒 − 𝟏𝟑𝟏𝟎𝟒𝟎𝒕𝟔)

+𝟐𝟓𝟔𝜼𝟏𝟔(𝟏𝟕𝟕𝟒 − 𝟐𝟑𝟏𝟓𝟕𝒕𝟐 + 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟒𝒕𝟒 − 𝟐𝟎𝟏𝟔𝟎𝒕𝟔) ]

Para 𝐅𝐗𝐈(𝒚)

[FX(𝑦)]′ =

{

𝑡

𝑁10 cos 𝜑

[ 50521 + 408360𝑡2 + 1023120𝑡4 + 1028160𝑡6 + 362880𝑡8

+4𝜂2(22103 + 101304𝑡2 + 139680𝑡4 + 60480𝑡6)

+2𝜂4(4475 − 50328𝑡2 − 122688𝑡4 − 69120𝑡6)

+4𝜂6(11981 − 28128𝑡2 + 34416𝑡4 + 23040𝑡6)

+5𝜂8(111269 − 406872𝑡2 + 139248𝑡4 − 16704𝑡6)

+8𝜂10(207487 − 1233180𝑡2 + 946080𝑡4 − 79200𝑡6)

+128𝜂12(18974 − 155703𝑡2 + 186075𝑡4 − 33840𝑡6)

+64𝜂14(26600 − 281439𝑡2 + 466056𝑡4 − 131040𝑡6)

+256𝜂16(1774 − 23157𝑡2 + 50004𝑡4 − 20160𝑡6) ]

}

′

VI. ANEXOS.

461

[FX(𝑦)]′ =

{

1

𝑁10 cos 𝜑

[ 50521𝑡 + 408360𝑡3 + 1023120𝑡5 + 1028160𝑡7 + 362880𝑡9

+4𝜂2(22103𝑡 + 101304𝑡3 + 139680𝑡5 + 60480𝑡7)

+2𝜂4(4475𝑡 − 50328𝑡3 − 122688𝑡5 − 69120𝑡7)

+4𝜂6(11981𝑡 − 28128𝑡3 + 34416𝑡5 + 23040𝑡7)

+5𝜂8(111269𝑡 − 406872𝑡3 + 139248𝑡5 − 16704𝑡7)

+8𝜂10(207487𝑡 − 1233180𝑡3 + 946080𝑡5 − 79200𝑡7)

+128𝜂12(18974𝑡 − 155703𝑡3 + 186075𝑡5 − 33840𝑡7)

+64𝜂14(26600𝑡 − 281439𝑡3 + 466056𝑡5 − 131040𝑡7)

+256𝜂16(1774𝑡 − 23157𝑡3 + 50004𝑡5 − 20160𝑡7) ]

}

′

[FX(𝑦)]′ = (𝑢

𝑣)′

=𝑢′ ∙ 𝑣 − 𝑢 ∙ 𝑣′

𝑣2

Siendo.

𝑢 =

[ 50521𝑡 + 408360𝑡3 + 1023120𝑡5 + 1028160𝑡7 + 362880𝑡9

+4𝜂2(22103𝑡 + 101304𝑡3 + 139680𝑡5 + 60480𝑡7)

+2𝜂4(4475𝑡 − 50328𝑡3 − 122688𝑡5 − 69120𝑡7)

+4𝜂6(11981𝑡 − 28128𝑡3 + 34416𝑡5 + 23040𝑡7)

+5𝜂8(111269𝑡 − 406872𝑡3 + 139248𝑡5 − 16704𝑡7)

+8𝜂10(207487𝑡 − 1233180𝑡3 + 946080𝑡5 − 79200𝑡7)

+128𝜂12(18974𝑡 − 155703𝑡3 + 186075𝑡5 − 33840𝑡7)

+64𝜂14(26600𝑡 − 281439𝑡3 + 466056𝑡5 − 131040𝑡7)

+256𝜂16(1774𝑡 − 23157𝑡3 + 50004𝑡5 − 20160𝑡7) ]



𝑣′ = 𝑁9𝑡 cos 𝜑 (10𝜂2𝜌 − 𝑁)

VI. ANEXOS.

462

𝑢′ =

[ 50521𝑡 + 408360𝑡3 + 1023120𝑡5 + 1028160𝑡7 + 362880𝑡9

+4𝜂2(22103𝑡 + 101304𝑡3 + 139680𝑡5 + 60480𝑡7)

+2𝜂4(4475𝑡 − 50328𝑡3 − 122688𝑡5 − 69120𝑡7)

+4𝜂6(11981𝑡 − 28128𝑡3 + 34416𝑡5 + 23040𝑡7)

+5𝜂8(111269𝑡 − 406872𝑡3 + 139248𝑡5 − 16704𝑡7)

+8𝜂10(207487𝑡 − 1233180𝑡3 + 946080𝑡5 − 79200𝑡7)

+128𝜂12(18974𝑡 − 155703𝑡3 + 186075𝑡5 − 33840𝑡7)

+64𝜂14(26600𝑡 − 281439𝑡3 + 466056𝑡5 − 131040𝑡7)

+256𝜂16(1774𝑡 − 23157𝑡3 + 50004𝑡5 − 20160𝑡7) ] ′

𝑢′ =

{

50521(𝑡2 + 1) + 408360(3𝑡4 + 3𝑡2) + 1023120(5𝑡6 + 5𝑡4)

+1028160(7𝑡8 + 7𝑡6) + 362880(9𝑡10 + 9𝑡8)

+4 [

−2𝜂2𝑡(22103𝑡 + 101304𝑡3 + 139680𝑡5 + 60480𝑡7)

+𝜂2 (22103(𝑡2 + 1) + 101304(3𝑡4 + 3𝑡2)

+139680(5𝑡6 + 5𝑡4) + 60480(7𝑡8 + 7𝑡6))]

+2 [

−4𝜂4𝑡(4475𝑡 − 50328𝑡3 − 122688𝑡5 − 69120𝑡7)

+𝜂4 (4475(𝑡2 + 1) − 50328(3𝑡4 + 3𝑡2)

−122688(5𝑡6 + 5𝑡4) − 69120(7𝑡8 + 7𝑡6))]

+4 [

−6𝜂6𝑡(11981𝑡 − 28128𝑡3 + 34416𝑡5 + 23040𝑡7)

+𝜂6 (11981(𝑡2 + 1) − 28128(3𝑡4 + 3𝑡2)

+34416(5𝑡6 + 5𝑡4) + 23040(7𝑡8 + 7𝑡6))]

+5 [

−8𝜂8𝑡(111269𝑡 − 406872𝑡3 + 139248𝑡5 − 16704𝑡7)

+𝜂8 (111269(𝑡2 + 1) − 406872(3𝑡4 + 3𝑡2)

+139248(5𝑡6 + 5𝑡4) − 16704(7𝑡8 + 7𝑡6))

]

+8 [

−10𝜂10𝑡(207487𝑡 − 1233180𝑡3 + 946080𝑡5 − 79200𝑡7)

+𝜂10 (207487(𝑡2 + 1) − 1233180(3𝑡4 + 3𝑡2)

+946080(5𝑡6 + 5𝑡4) − 79200(7𝑡8 + 7𝑡6))

]

+128 [

−12𝜂12𝑡(18974𝑡 − 155703𝑡3 + 186075𝑡5 − 33840𝑡7)

+𝜂12 (18974(𝑡2 + 1) − 155703(3𝑡4 + 3𝑡2)

+186075(5𝑡6 + 5𝑡4) − 33840(7𝑡8 + 7𝑡6))

]

+64 [

−14𝜂14𝑡(26600𝑡 − 281439𝑡3 + 466056𝑡5 − 131040𝑡7)

+𝜂14 (26600(𝑡2 + 1) − 281439(3𝑡4 + 3𝑡2)

+466056(5𝑡6 + 5𝑡4) − 131040(7𝑡8 + 7𝑡6))

]

+256 [

−16𝜂16𝑡(1774𝑡 − 23157𝑡3 + 50004𝑡5 − 20160𝑡7)

+𝜂16 (1774(𝑡2 + 1) − 23157(3𝑡4 + 3𝑡2)

+50004(5𝑡6 + 5𝑡4) − 20160(7𝑡8 + 7𝑡6))]

}

VI. ANEXOS.

463

𝑢′ =

{

50521 + 50521𝑡2 + 1225080𝑡2 + 1225080𝑡4 + 5115600𝑡4

+5115600𝑡6 + 7197120𝑡6 + 7197120𝑡8 + 3265920𝑡8 + 3265920𝑡10

+4[22103𝜂2 + 281809𝜂2𝑡2 + 799704𝜂2𝑡4 + 842400𝜂2𝑡6 + 302400𝜂2𝑡8]

+2[4475𝜂4 − 164409𝜂4𝑡2 − 563112𝜂4𝑡4 − 606528𝜂4𝑡6 − 207360𝜂4𝑡8]

+4[11981𝜂6 − 144289𝜂6𝑡2 + 256464𝜂6𝑡4 + 126864𝜂6𝑡6 + 23040𝜂6𝑡8]

+5[111269𝜂8 − 1999499𝜂8𝑡2 + 2730600𝜂8𝑡4 − 534672𝜂8𝑡6 + 16704𝜂8𝑡8]

+8[207487𝜂10 − 5566923𝜂10𝑡2 + 13362660𝜂10𝑡4 − 5284800𝜂10𝑡6 + 237600𝜂10𝑡8]

+128[18974𝜂12 − 675823𝜂12𝑡2 + 2331702𝜂12𝑡4 − 1539405𝜂12𝑡6 + 169200𝜂12𝑡8]

+64[26600𝜂14 − 1190117𝜂14𝑡2 + 5426109𝜂14𝑡4 − 5111784𝜂14𝑡6 + 917280𝜂14𝑡8]

+256[1774𝜂16 − 96081𝜂16𝑡2 + 551061𝜂16𝑡4 − 691164𝜂16𝑡6 + 181440𝜂16𝑡8] }

𝑢′ =

{

50521 + 50521𝑡2 + 1225080𝑡2 + 1225080𝑡4 + 5115600𝑡4

+5115600𝑡6 + 7197120𝑡6 + 7197120𝑡8 + 3265920𝑡8 + 3265920𝑡10

+4[22103𝜂2 + 281809𝜂2𝑡2 + 799704𝜂2𝑡4 + 842400𝜂2𝑡6 + 302400𝜂2𝑡8]

+2[4475𝜂4 − 164409𝜂4𝑡2 − 563112𝜂4𝑡4 − 606528𝜂4𝑡6 − 207360𝜂4𝑡8]

+4[11981𝜂6 − 144289𝜂6𝑡2 + 256464𝜂6𝑡4 + 126864𝜂6𝑡6 + 23040𝜂6𝑡8]

+5[111269𝜂8 − 1999499𝜂8𝑡2 + 2730600𝜂8𝑡4 − 534672𝜂8𝑡6 + 16704𝜂8𝑡8]

+8[207487𝜂10 − 5566923𝜂10𝑡2 + 13362660𝜂10𝑡4 − 5284800𝜂10𝑡6 + 237600𝜂10𝑡8]

+128[18974𝜂12 − 675823𝜂12𝑡2 + 2331702𝜂12𝑡4 − 1539405𝜂12𝑡6 + 169200𝜂12𝑡8]

+64[26600𝜂14 − 1190117𝜂14𝑡2 + 5426109𝜂14𝑡4 − 5111784𝜂14𝑡6 + 917280𝜂14𝑡8]

+256[1774𝜂16 − 96081𝜂16𝑡2 + 551061𝜂16𝑡4 − 691164𝜂16𝑡6 + 181440𝜂16𝑡8] }

𝑢′ =

[

50521 + 1275601𝑡2 + 6340680𝑡4 + 12312720𝑡6 + 10463040𝑡8

+3265920𝑡10 + 88412𝜂2 + 1127236𝜂2𝑡2 + 3198816𝜂2𝑡4 + 3369600𝜂2𝑡6

+1209600𝜂2𝑡8 + 8950𝜂4 − 328818𝜂4𝑡2 − 1126224𝜂4𝑡4 − 1213056𝜂4𝑡6

−414720𝜂4𝑡8 + 47924𝜂6 − 577156𝜂6𝑡2 + 1025856𝜂6𝑡4 + 507456𝜂6𝑡6

+92160𝜂6𝑡8 + 556345𝜂8 − 9997495𝜂8𝑡2 + 13653000𝜂8𝑡4 − 2673360𝜂8𝑡6

+83520𝜂8𝑡8 + 1659896𝜂10 − 44535384𝜂10𝑡2 + 106901280𝜂10𝑡4

−42278400𝜂10𝑡6 + 1900800𝜂10𝑡8 + 2428672𝜂12 − 86505344𝜂12𝑡2

+298457856𝜂12𝑡4 − 197043840𝜂12𝑡6 + 21657600𝜂12𝑡8 + 1702400𝜂14

−76167488𝜂14𝑡2 + 347270976𝜂14𝑡4 − 327154176𝜂14𝑡6 + 58705920𝜂14𝑡8

+454144𝜂16 − 24596736𝜂16𝑡2 + 141071616𝜂16𝑡4 − 176937984𝜂16𝑡6

+46448640𝜂16𝑡8 ]

VI. ANEXOS.

464


[FX(𝑦)]′ =𝑢′ ∙ 𝑁10 cos 𝜑 − 𝑢 ∙ 𝑁9𝑡 cos 𝜑 (10𝜂2𝜌 − 𝑁)

(𝑁10 cos𝜑)2

[FX(𝑦)]′ =

𝑁9 cos 𝜑 [𝑢′ ∙ 𝑁 − 𝑢 ∙ 𝑡(10𝜂2𝜌 − 𝑁)]

𝑁20 cos2 𝜑=[𝑢′ ∙ 𝑁 − 𝑢 ∙ 𝑡(10𝜂2𝜌 − 𝑁)]

𝑁11 cos 𝜑

[FX(𝑦)]′ =1

𝑁11 cos 𝜑[𝑢′ ∙ 𝑁 − 𝑢 ∙ 𝑡(10𝜂2𝜌 − 𝑁)]


[FX(𝑦)]′ =1

𝑁11 cos 𝜑

{

𝑁

[

50521 + 1275601𝑡2 + 6340680𝑡4 + 12312720𝑡6

+10463040𝑡8 + 3265920𝑡10 + 88412𝜂2 + 1127236𝜂2𝑡2

+3198816𝜂2𝑡4 + 3369600𝜂2𝑡6 + 1209600𝜂2𝑡8 + 8950𝜂4

−328818𝜂4𝑡2 − 1126224𝜂4𝑡4 − 1213056𝜂4𝑡6 − 414720𝜂4𝑡8

+47924𝜂6 − 577156𝜂6𝑡2 + 1025856𝜂6𝑡4 + 507456𝜂6𝑡6

+92160𝜂6𝑡8 + 556345𝜂8 − 9997495𝜂8𝑡2 + 13653000𝜂8𝑡4

−2673360𝜂8𝑡6 + 83520𝜂8𝑡8 + 1659896𝜂10 − 44535384𝜂10𝑡2

+106901280𝜂10𝑡4 − 42278400𝜂10𝑡6 + 1900800𝜂10𝑡8

+2428672𝜂12 − 86505344𝜂12𝑡2 + 298457856𝜂12𝑡4

−197043840𝜂12𝑡6 + 21657600𝜂12𝑡8 + 1702400𝜂14

−76167488𝜂14𝑡2 + 347270976𝜂14𝑡4 − 327154176𝜂14𝑡6

+58705920𝜂14𝑡8 + 454144𝜂16 − 24596736𝜂16𝑡2

+141071616𝜂16𝑡4 − 176937984𝜂16𝑡6 + 46448640𝜂16𝑡8 ]

−𝑡(10𝜂2𝜌 − 𝑁)

[ 50521𝑡 + 408360𝑡3 + 1023120𝑡5 + 1028160𝑡7 + 362880𝑡9

+4𝜂2(22103𝑡 + 101304𝑡3 + 139680𝑡5 + 60480𝑡7)

+2𝜂4(4475𝑡 − 50328𝑡3 − 122688𝑡5 − 69120𝑡7)

+4𝜂6(11981𝑡 − 28128𝑡3 + 34416𝑡5 + 23040𝑡7)

+5𝜂8(111269𝑡 − 406872𝑡3 + 139248𝑡5 − 16704𝑡7)

+8𝜂10(207487𝑡 − 1233180𝑡3 + 946080𝑡5 − 79200𝑡7)

+128𝜂12(18974𝑡 − 155703𝑡3 + 186075𝑡5 − 33840𝑡7)

+64𝜂14(26600𝑡 − 281439𝑡3 + 466056𝑡5 − 131040𝑡7)

+256𝜂16(1774𝑡 − 23157𝑡3 + 50004𝑡5 − 20160𝑡7) ]

}

VI. ANEXOS.

465


𝑑𝑦.

FXI(𝑦) = [FX(𝑦)]′ ∙𝑑𝜑

𝑑𝑦

FXI(𝑦) =1

𝑁11 cos 𝜑

{

𝑁

[

50521 + 1275601𝑡2 + 6340680𝑡4 + 12312720𝑡6

+10463040𝑡8 + 3265920𝑡10 + 88412𝜂2 + 1127236𝜂2𝑡2

+3198816𝜂2𝑡4 + 3369600𝜂2𝑡6 + 1209600𝜂2𝑡8 + 8950𝜂4

−328818𝜂4𝑡2 − 1126224𝜂4𝑡4 − 1213056𝜂4𝑡6 − 414720𝜂4𝑡8

+47924𝜂6 − 577156𝜂6𝑡2 + 1025856𝜂6𝑡4 + 507456𝜂6𝑡6

+92160𝜂6𝑡8 + 556345𝜂8 − 9997495𝜂8𝑡2 + 13653000𝜂8𝑡4

−2673360𝜂8𝑡6 + 83520𝜂8𝑡8 + 1659896𝜂10 − 44535384𝜂10𝑡2

+106901280𝜂10𝑡4 − 42278400𝜂10𝑡6 + 1900800𝜂10𝑡8

+2428672𝜂12 − 86505344𝜂12𝑡2 + 298457856𝜂12𝑡4

−197043840𝜂12𝑡6 + 21657600𝜂12𝑡8 + 1702400𝜂14

−76167488𝜂14𝑡2 + 347270976𝜂14𝑡4 − 327154176𝜂14𝑡6

+58705920𝜂14𝑡8 + 454144𝜂16 − 24596736𝜂16𝑡2

+141071616𝜂16𝑡4 − 176937984𝜂16𝑡6 + 46448640𝜂16𝑡8 ]

−𝑡(10𝜂2𝜌 − 𝑁)

[ 50521𝑡 + 408360𝑡3 + 1023120𝑡5 + 1028160𝑡7 + 362880𝑡9

+4𝜂2(22103𝑡 + 101304𝑡3 + 139680𝑡5 + 60480𝑡7)

+2𝜂4(4475𝑡 − 50328𝑡3 − 122688𝑡5 − 69120𝑡7)

+4𝜂6(11981𝑡 − 28128𝑡3 + 34416𝑡5 + 23040𝑡7)

+5𝜂8(111269𝑡 − 406872𝑡3 + 139248𝑡5 − 16704𝑡7)

+8𝜂10(207487𝑡 − 1233180𝑡3 + 946080𝑡5 − 79200𝑡7)

+128𝜂12(18974𝑡 − 155703𝑡3 + 186075𝑡5 − 33840𝑡7)

+64𝜂14(26600𝑡 − 281439𝑡3 + 466056𝑡5 − 131040𝑡7)

+256𝜂16(1774𝑡 − 23157𝑡3 + 50004𝑡5 − 20160𝑡7) ]

}

∙ (1

𝜌)

VI. ANEXOS.

466

FXI(𝑦) =1

𝑁11 cos 𝜑

{

𝑁

𝜌

[

50521 + 1275601𝑡2 + 6340680𝑡4 + 12312720𝑡6

+10463040𝑡8 + 3265920𝑡10 + 88412𝜂2 + 1127236𝜂2𝑡2

+3198816𝜂2𝑡4 + 3369600𝜂2𝑡6 + 1209600𝜂2𝑡8 + 8950𝜂4

−328818𝜂4𝑡2 − 1126224𝜂4𝑡4 − 1213056𝜂4𝑡6 − 414720𝜂4𝑡8

+47924𝜂6 − 577156𝜂6𝑡2 + 1025856𝜂6𝑡4 + 507456𝜂6𝑡6

+92160𝜂6𝑡8 + 556345𝜂8 − 9997495𝜂8𝑡2 + 13653000𝜂8𝑡4

−2673360𝜂8𝑡6 + 83520𝜂8𝑡8 + 1659896𝜂10 − 44535384𝜂10𝑡2

+106901280𝜂10𝑡4 − 42278400𝜂10𝑡6 + 1900800𝜂10𝑡8

+2428672𝜂12 − 86505344𝜂12𝑡2 + 298457856𝜂12𝑡4

−197043840𝜂12𝑡6 + 21657600𝜂12𝑡8 + 1702400𝜂14

−76167488𝜂14𝑡2 + 347270976𝜂14𝑡4 − 327154176𝜂14𝑡6

+58705920𝜂14𝑡8 + 454144𝜂16 − 24596736𝜂16𝑡2

+141071616𝜂16𝑡4 − 176937984𝜂16𝑡6 + 46448640𝜂16𝑡8 ]

− (10𝜂2𝜌

𝜌−𝑁

𝜌)

[ 50521𝑡2 + 408360𝑡4 + 1023120𝑡6 + 1028160𝑡8 + 362880𝑡10

+4𝜂2𝑡(22103𝑡 + 101304𝑡3 + 139680𝑡5 + 60480𝑡7)

+2𝜂4𝑡(4475𝑡 − 50328𝑡3 − 122688𝑡5 − 69120𝑡7)

+4𝜂6𝑡(11981𝑡 − 28128𝑡3 + 34416𝑡5 + 23040𝑡7)

+5𝜂8𝑡(111269𝑡 − 406872𝑡3 + 139248𝑡5 − 16704𝑡7)

+8𝜂10𝑡(207487𝑡 − 1233180𝑡3 + 946080𝑡5 − 79200𝑡7)

+128𝜂12𝑡(18974𝑡 − 155703𝑡3 + 186075𝑡5 − 33840𝑡7)

+64𝜂14𝑡(26600𝑡 − 281439𝑡3 + 466056𝑡5 − 131040𝑡7)

+256𝜂16𝑡(1774𝑡 − 23157𝑡3 + 50004𝑡5 − 20160𝑡7) ]

}

VI. ANEXOS.

467

FXI(𝑦) =1

𝑁11 cos 𝜑

{

(1 + 𝜂2)

[

50521 + 1275601𝑡2 + 6340680𝑡4 + 12312720𝑡6

+10463040𝑡8 + 3265920𝑡10 + 88412𝜂2 + 1127236𝜂2𝑡2

+3198816𝜂2𝑡4 + 3369600𝜂2𝑡6 + 1209600𝜂2𝑡8 + 8950𝜂4

−328818𝜂4𝑡2 − 1126224𝜂4𝑡4 − 1213056𝜂4𝑡6 − 414720𝜂4𝑡8

+47924𝜂6 − 577156𝜂6𝑡2 + 1025856𝜂6𝑡4 + 507456𝜂6𝑡6

+92160𝜂6𝑡8 + 556345𝜂8 − 9997495𝜂8𝑡2 + 13653000𝜂8𝑡4

−2673360𝜂8𝑡6 + 83520𝜂8𝑡8 + 1659896𝜂10 − 44535384𝜂10𝑡2

+106901280𝜂10𝑡4 − 42278400𝜂10𝑡6 + 1900800𝜂10𝑡8

+2428672𝜂12 − 86505344𝜂12𝑡2 + 298457856𝜂12𝑡4

−197043840𝜂12𝑡6 + 21657600𝜂12𝑡8 + 1702400𝜂14

−76167488𝜂14𝑡2 + 347270976𝜂14𝑡4 − 327154176𝜂14𝑡6

+58705920𝜂14𝑡8 + 454144𝜂16 − 24596736𝜂16𝑡2

+141071616𝜂16𝑡4 − 176937984𝜂16𝑡6 + 46448640𝜂16𝑡8 ]

−[10𝜂2 − (1 + 𝜂2)]

[ 50521𝑡2 + 408360𝑡4 + 1023120𝑡6 + 1028160𝑡8 + 362880𝑡10

+4𝜂2𝑡(22103𝑡 + 101304𝑡3 + 139680𝑡5 + 60480𝑡7)

+2𝜂4𝑡(4475𝑡 − 50328𝑡3 − 122688𝑡5 − 69120𝑡7)

+4𝜂6𝑡(11981𝑡 − 28128𝑡3 + 34416𝑡5 + 23040𝑡7)

+5𝜂8𝑡(111269𝑡 − 406872𝑡3 + 139248𝑡5 − 16704𝑡7)

+8𝜂10𝑡(207487𝑡 − 1233180𝑡3 + 946080𝑡5 − 79200𝑡7)

+128𝜂12𝑡(18974𝑡 − 155703𝑡3 + 186075𝑡5 − 33840𝑡7)

+64𝜂14𝑡(26600𝑡 − 281439𝑡3 + 466056𝑡5 − 131040𝑡7)

+256𝜂16𝑡(1774𝑡 − 23157𝑡3 + 50004𝑡5 − 20160𝑡7) ]

}

VI. ANEXOS.

468

FXI(𝑦) =1

𝑁11 cos 𝜑

{

[ 50521 + 1275601𝑡2 + 6340680𝑡4 + 12312720𝑡6 + 10463040𝑡8 + 3265920𝑡10

+138933𝜂2 + 97362𝜂4 + 56874𝜂6 + 604269𝜂8 + 2216241𝜂10 + 4088568𝜂12

+4131072𝜂14 + 2156544𝜂16 + 454144𝜂18 + 2402837𝜂2𝑡2 + 798418𝜂4𝑡2

−905974𝜂6𝑡2 − 10574651𝜂8𝑡2 − 54532879𝜂10𝑡2 − 131040728𝜂12𝑡2

−162672832𝜂14𝑡2 − 100764224𝜂16𝑡2 − 24596736𝜂18𝑡2 + 9539496𝜂2𝑡4

+2072592𝜂4𝑡4 − 100368𝜂6𝑡4 + 14678856𝜂8𝑡4 + 120554280𝜂10𝑡4

+405359136𝜂12𝑡4 + 645728832𝜂14𝑡4 + 488342592𝜂16𝑡4 + 141071616𝜂18𝑡4

+15682320𝜂2𝑡6 + 2156544𝜂4𝑡6 − 705600𝜂6𝑡6 − 2165904𝜂8𝑡6 − 44951760𝜂10𝑡6

−239322240𝜂12𝑡6 − 524198016𝜂14𝑡6 − 504092160𝜂16𝑡6 − 176937984𝜂18𝑡6

+11672640𝜂2𝑡8 + 794880𝜂4𝑡8 − 322560𝜂6𝑡8 + 175680𝜂8𝑡8 + 1984320𝜂10𝑡8

+23558400𝜂12𝑡8 + 80363520𝜂14𝑡8 + 105154560𝜂16𝑡8 + 46448640𝜂18𝑡8

+3265920𝜂2𝑡10 ]

−

[ −50521𝑡2 − 408360𝑡4 − 1023120𝑡6 − 1028160𝑡8 − 362880𝑡10 + 366277𝜂2𝑡2

+786758𝜂4𝑡2 + 32626𝜂6𝑡2 − 125029𝜂8𝑡2 + 3347209𝜂10𝑡2 + 12510392𝜂12𝑡2

+20155648𝜂14𝑡2 + 14867456𝜂16𝑡2 + 4087296𝜂18𝑡2 + 3270024𝜂2𝑡4

+3747600𝜂4𝑡4 − 793392𝜂6𝑡4 + 1021752𝜂8𝑡4 − 8443800𝜂10𝑡4

−68858976𝜂12𝑡4 − 161357760𝜂14𝑡4 − 156180672𝜂16𝑡4 − 53353728𝜂18𝑡4

+8649360𝜂2𝑡6 + 5273856𝜂4𝑡6 − 2346048𝜂6𝑡6 + 542736𝜂8𝑡6 − 1302480𝜂10𝑡6

+44300160𝜂12𝑡6 + 184530816𝜂14𝑡6 + 255647232𝜂16𝑡6 + 115209216𝜂18𝑡6

+9011520𝜂2𝑡8 + 2315520𝜂4𝑡8 − 1336320𝜂6𝑡8 + 912960𝜂8𝑡8 − 118080𝜂10𝑡8

−1370880𝜂12𝑡8 − 30597120𝜂14𝑡8 − 70318080𝜂16𝑡8 − 46448640𝜂18𝑡8

+3265920𝜂2𝑡10 ]

}

VI. ANEXOS.

469

FXI(𝑦) =1

𝑁11 cos 𝜑

[ 50521 + (1275601𝑡2 + 50521𝑡2) + (6340680𝑡4 + 408360𝑡4) + (12312720𝑡6

+1023120𝑡6) + (10463040𝑡8 + 1028160𝑡8) + (3265920𝑡10 + 362880𝑡10)

+138933𝜂2 + (2402837𝜂2𝑡2 − 366277𝜂2𝑡2) + (9539496𝜂2𝑡4 − 3270024𝜂2𝑡4)

+(15682320𝜂2𝑡6 − 8649360𝜂2𝑡6) + (11672640𝜂2𝑡8 − 9011520𝜂2𝑡8)

+97362𝜂4 + (798418𝜂4𝑡2 − 786758𝜂4𝑡2) + (2072592𝜂4𝑡4 − 3747600𝜂4𝑡4)

+(2156544𝜂4𝑡6 − 5273856𝜂4𝑡6) + (794880𝜂4𝑡8 − 2315520𝜂4𝑡8) + 56874𝜂6

−(905974𝜂6𝑡2 + 32626𝜂6𝑡2) + (793392𝜂6𝑡4 − 100368𝜂6𝑡4) + (2346048𝜂6𝑡6

−705600𝜂6𝑡6 + (1336320𝜂6𝑡8 − 322560𝜂6𝑡8) + 604269𝜂8 + (125029𝜂8𝑡2

−10574651𝜂8𝑡2) + (14678856𝜂8𝑡4 − 1021752𝜂8𝑡4) − (2165904𝜂8𝑡6

+542736𝜂8𝑡6) + (175680𝜂8𝑡8 − 912960𝜂8𝑡8) + 2216241𝜂10 − (54532879𝜂10𝑡2

+3347209𝜂10𝑡2) + (120554280𝜂10𝑡4 + 8443800𝜂10𝑡4) + (1302480𝜂10𝑡6

−44951760𝜂10𝑡6) + (1984320𝜂10𝑡8 + 118080𝜂10𝑡8) + 4088568𝜂12

−(131040728𝜂12𝑡2 + 12510392𝜂12𝑡2) + (405359136𝜂12𝑡4 + 68858976𝜂12𝑡4)

−(239322240𝜂12𝑡6 + 44300160𝜂12𝑡6) + (23558400𝜂12𝑡8 + 1370880𝜂12𝑡8)

+4131072𝜂14 − (162672832𝜂14𝑡2 + 20155648𝜂14𝑡2) + (161357760𝜂14𝑡4

+645728832𝜂14𝑡4) − (524198016𝜂14𝑡6 + 184530816𝜂14𝑡6) + (80363520𝜂14𝑡8

+30597120𝜂14𝑡8) + 2156544𝜂16 − (100764224𝜂16𝑡2 + 14867456𝜂16𝑡2)

+(488342592𝜂16𝑡4 + 156180672𝜂16𝑡4) − (504092160𝜂16𝑡6 + 255647232𝜂16𝑡6)

+(105154560𝜂16𝑡8 + 70318080𝜂16𝑡8) + 454144𝜂18 − (24596736𝜂18𝑡2

+4087296𝜂18𝑡2) + (141071616𝜂18𝑡4 + 53353728𝜂18𝑡4) − (176937984𝜂18𝑡6

+115209216𝜂18𝑡6) + (46448640𝜂18𝑡8 + 46448640𝜂18𝑡8)

+(3265920𝜂2𝑡10 − 3265920𝜂2𝑡10) ]

FXI(𝑦) =1

𝑁11 cos 𝜑

[ 50521 + 1326122𝑡2 + 6749040𝑡4 + 13335840𝑡6 + 11491200𝑡8 + 3628800𝑡10

+138933𝜂2 + 2036560𝜂2𝑡2 + 6269472𝜂2𝑡4 + 7032960𝜂2𝑡6 + 2661120𝜂2𝑡8

+97362𝜂4 + 11660𝜂4𝑡2 − 1675008𝜂4𝑡4 − 3117312𝜂4𝑡6 − 1520640𝜂4𝑡8

+56874𝜂6 − 938600𝜂6𝑡2 + 693024𝜂6𝑡4 + 1640448𝜂6𝑡6 + 1013760𝜂6𝑡8

+604269𝜂8 − 10449622𝜂8𝑡2 + 13657104𝜂8𝑡4 − 2708640𝜂8𝑡6 − 737280𝜂8𝑡8

+2216241𝜂10 − 57880088𝜂10𝑡2 + 128998080𝜂10𝑡4 − 43649280𝜂10𝑡6

+2102400𝜂10𝑡8 + 4088568𝜂12 − 143551120𝜂12𝑡2 + 474218112𝜂12𝑡4

−283622400𝜂12𝑡6 + 24929280𝜂12𝑡8 + 4131072𝜂14 − 182828480𝜂14𝑡2

+807086592𝜂14𝑡4 − 708728832𝜂14𝑡6 + 110960640𝜂14𝑡8 + 2156544𝜂16

−115631680𝜂16𝑡2 + 644523264𝜂16𝑡4 − 759739392𝜂16𝑡6 + 175472640𝜂16𝑡8

+454144𝜂18 − 28684032𝜂18𝑡2 + 194425344𝜂18𝑡4 − 292147200𝜂18𝑡6

+92897280𝜂18𝑡8 ]

VI. ANEXOS.

470

𝐅𝐗𝐈(𝒚) =𝟏

𝑵𝟏𝟏 𝐜𝐨𝐬𝝋

[ 𝟓𝟎𝟓𝟐𝟏 + 𝟏𝟑𝟐𝟔𝟏𝟐𝟐𝒕𝟐 + 𝟔𝟕𝟒𝟗𝟎𝟒𝟎𝒕𝟒 + 𝟏𝟑𝟑𝟑𝟓𝟖𝟒𝟎𝒕𝟔 + 𝟏𝟏𝟒𝟗𝟏𝟐𝟎𝟎𝒕𝟖 + 𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎𝒕𝟏𝟎

+𝜼𝟐(𝟏𝟑𝟖𝟗𝟑𝟑 + 𝟐𝟎𝟑𝟔𝟓𝟔𝟎𝒕𝟐 + 𝟔𝟐𝟔𝟗𝟒𝟕𝟐𝒕𝟒 + 𝟕𝟎𝟑𝟐𝟗𝟔𝟎𝒕𝟔 + 𝟐𝟔𝟔𝟏𝟏𝟐𝟎𝒕𝟖)

+𝟐𝜼𝟒(𝟒𝟖𝟔𝟖𝟏 + 𝟓𝟖𝟑𝟎𝒕𝟐 − 𝟖𝟑𝟕𝟓𝟎𝟒𝒕𝟒 − 𝟏𝟓𝟓𝟖𝟔𝟓𝟔𝒕𝟔 − 𝟕𝟔𝟎𝟑𝟐𝟎𝒕𝟖)

+𝟐𝜼𝟔(𝟐𝟖𝟒𝟑𝟕 − 𝟒𝟔𝟗𝟑𝟎𝟎𝒕𝟐 + 𝟑𝟒𝟔𝟓𝟏𝟐𝒕𝟒 + 𝟖𝟐𝟎𝟐𝟐𝟒𝒕𝟔 + 𝟓𝟎𝟔𝟖𝟖𝟎𝒕𝟖)

+𝜼𝟖(𝟔𝟎𝟒𝟐𝟔𝟗 − 𝟏𝟎𝟒𝟒𝟗𝟔𝟐𝟐𝒕𝟐 + 𝟏𝟑𝟔𝟓𝟕𝟏𝟎𝟒𝒕𝟒 − 𝟐𝟕𝟎𝟖𝟔𝟒𝟎𝒕𝟔 − 𝟕𝟑𝟕𝟐𝟖𝟎𝒕𝟖)

+𝜼𝟏𝟎(𝟐𝟐𝟏𝟔𝟐𝟒𝟏 − 𝟓𝟕𝟖𝟖𝟎𝟎𝟖𝟖𝒕𝟐 + 𝟏𝟐𝟖𝟗𝟗𝟖𝟎𝟖𝟎𝒕𝟒 − 𝟒𝟑𝟔𝟒𝟗𝟐𝟖𝟎𝒕𝟔 + 𝟐𝟏𝟎𝟐𝟒𝟎𝟎𝒕𝟖)

+𝟖𝜼𝟏𝟐(𝟓𝟏𝟏𝟎𝟕𝟏 − 𝟏𝟕𝟗𝟒𝟑𝟖𝟗𝟎𝒕𝟐 + 𝟓𝟗𝟐𝟕𝟕𝟐𝟔𝟒𝒕𝟒 − 𝟑𝟓𝟒𝟓𝟐𝟖𝟎𝟎𝒕𝟔 + 𝟑𝟏𝟏𝟔𝟏𝟔𝟎𝒕𝟖)

+𝟔𝟒𝜼𝟏𝟒(𝟔𝟒𝟓𝟒𝟖 − 𝟐𝟖𝟓𝟔𝟔𝟗𝟓𝒕𝟐 + 𝟏𝟐𝟔𝟏𝟎𝟕𝟐𝟖𝒕𝟒 − 𝟏𝟏𝟎𝟕𝟑𝟖𝟖𝟖𝒕𝟔 + 𝟏𝟕𝟑𝟑𝟕𝟔𝟎𝒕𝟖)

+𝟔𝟒𝜼𝟏𝟔(𝟑𝟑𝟔𝟗𝟔 − 𝟏𝟖𝟎𝟔𝟕𝟒𝟓𝒕𝟐 + 𝟏𝟎𝟎𝟕𝟎𝟔𝟕𝟔𝒕𝟒 − 𝟏𝟏𝟖𝟕𝟎𝟗𝟐𝟖𝒕𝟔 + 𝟐𝟕𝟒𝟏𝟕𝟔𝟎𝒕𝟖)

+𝟐𝟓𝟔𝜼𝟏𝟖(𝟏𝟕𝟕𝟒 − 𝟏𝟏𝟐𝟎𝟒𝟕𝒕𝟐 + 𝟕𝟓𝟗𝟒𝟕𝟒𝒕𝟒 − 𝟏𝟏𝟒𝟏𝟐𝟎𝟎𝒕𝟔 + 𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝒕𝟖) ]

Para 𝐅𝐗𝐈𝐈(𝒚)

[FXI(𝑦)]′ = [1

𝑁11 cos 𝜑]′

[ 50521 + 1326122𝑡2 + 6749040𝑡4 + 13335840𝑡6 + 11491200𝑡8 + 3628800𝑡10

+𝜂2(138933 + 2036560𝑡2 + 6269472𝑡4 + 7032960𝑡6 + 2661120𝑡8)

+2𝜂4(48681 + 5830𝑡2 − 837504𝑡4 − 1558656𝑡6 − 760320𝑡8)

+2𝜂6(28437 − 469300𝑡2 + 346512𝑡4 + 820224𝑡6 + 506880𝑡8)

+𝜂8(604269 − 10449622𝑡2 + 13657104𝑡4 − 2708640𝑡6 − 737280𝑡8)

+𝜂10(2216241 − 57880088𝑡2 + 128998080𝑡4 − 43649280𝑡6 + 2102400𝑡8)

+8𝜂12(511071 − 17943890𝑡2 + 59277264𝑡4 − 35452800𝑡6 + 3116160𝑡8)

+64𝜂14(64548 − 2856695𝑡2 + 12610728𝑡4 − 11073888𝑡6 + 1733760𝑡8)

+64𝜂16(33696 − 1806745𝑡2 + 10070676𝑡4 − 11870928𝑡6 + 2741760𝑡8)

+256𝜂18(1774 − 112047𝑡2 + 759474𝑡4 − 1141200𝑡6 + 362880𝑡8) ] ′

[FXI(𝑦)]′ = (𝑢

𝑣)′

=𝑢′ ∙ 𝑣 − 𝑢 ∙ 𝑣′

𝑣2

VI. ANEXOS.

471

Siendo.

𝑣 = 𝑁11 cos𝜑

𝑢′ =

[ 50521 + 1326122𝑡2 + 6749040𝑡4 + 13335840𝑡6 + 11491200𝑡8 + 3628800𝑡10

+𝜂2(138933 + 2036560𝑡2 + 6269472𝑡4 + 7032960𝑡6 + 2661120𝑡8)

+2𝜂4(48681 + 5830𝑡2 − 837504𝑡4 − 1558656𝑡6 − 760320𝑡8)

+2𝜂6(28437 − 469300𝑡2 + 346512𝑡4 + 820224𝑡6 + 506880𝑡8)

+𝜂8(604269 − 10449622𝑡2 + 13657104𝑡4 − 2708640𝑡6 − 737280𝑡8)

+𝜂10(2216241 − 57880088𝑡2 + 128998080𝑡4 − 43649280𝑡6 + 2102400𝑡8)

+8𝜂12(511071 − 17943890𝑡2 + 59277264𝑡4 − 35452800𝑡6 + 3116160𝑡8)

+64𝜂14(64548 − 2856695𝑡2 + 12610728𝑡4 − 11073888𝑡6 + 1733760𝑡8)

+64𝜂16(33696 − 1806745𝑡2 + 10070676𝑡4 − 11870928𝑡6 + 2741760𝑡8)

+256𝜂18(1774 − 112047𝑡2 + 759474𝑡4 − 1141200𝑡6 + 362880𝑡8) ]


𝑣′ = 𝑁10𝑡 cos 𝜑 (11𝜂2𝜌 − 𝑁)

VI. ANEXOS.

472

𝑢′ =

{

1326122(2𝑡3 + 2𝑡) + 6749040(4𝑡5 + 4𝑡3) + 13335840(6𝑡7 + 6𝑡5)

+11491200(8𝑡9 + 8𝑡7) + 3628800(10𝑡11 + 10𝑡9)

+ [

−2𝜂2𝑡(138933 + 2036560𝑡2 + 6269472𝑡4 + 7032960𝑡6 + 2661120𝑡8)

+𝜂2 (2036560(2𝑡3 + 2𝑡) + 6269472(4𝑡5 + 4𝑡3)

+7032960(6𝑡7 + 6𝑡5) + 2661120(8𝑡9 + 8𝑡7))

]

+2 [

−4𝜂4𝑡(48681 + 5830𝑡2 − 837504𝑡4 − 1558656𝑡6 − 760320𝑡8)

+𝜂4 (5830(2𝑡3 + 2𝑡) − 837504(4𝑡5 + 4𝑡3)

−1558656(6𝑡7 + 6𝑡5) − 760320(8𝑡9 + 8𝑡7))

]

+2 [

−6𝜂6𝑡(28437 − 469300𝑡2 + 346512𝑡4 + 820224𝑡6 + 506880𝑡8)

+𝜂6 (−469300(2𝑡3 + 2𝑡) + 346512(4𝑡5 + 4𝑡3)

+820224(6𝑡7 + 6𝑡5) + 506880(8𝑡9 + 8𝑡7))

]

+ [

−8𝜂8𝑡(604269 − 10449622𝑡2 + 13657104𝑡4 − 2708640𝑡6 − 737280𝑡8)

+𝜂8 (−10449622(2𝑡3 + 2𝑡) + 13657104(4𝑡5 + 4𝑡3)

−2708640(6𝑡7 + 6𝑡5) − 737280(8𝑡9 + 8𝑡7))

]

+ [

−10𝜂10𝑡(2216241 − 57880088𝑡2 + 128998080𝑡4 − 43649280𝑡6 + 2102400𝑡8)

+𝜂10 (−57880088(2𝑡3 + 2𝑡) + 128998080(4𝑡5 + 4𝑡3)

−43649280(6𝑡7 + 6𝑡5) + 2102400(8𝑡9 + 8𝑡7))

]

+8 [

−12𝜂12𝑡(511071 − 17943890𝑡2 + 59277264𝑡4 − 35452800𝑡6 + 3116160𝑡8)

+𝜂12 (−17943890(2𝑡3 + 2𝑡) + 59277264(4𝑡5 + 4𝑡3)

−35452800(6𝑡7 + 6𝑡5) + 3116160(8𝑡9 + 8𝑡7))

]

+64 [

−14𝜂14𝑡(64548 − 2856695𝑡2 + 12610728𝑡4 − 11073888𝑡6 + 1733760𝑡8)

+𝜂14 (−2856695(2𝑡3 + 2𝑡) + 12610728(4𝑡5 + 4𝑡3)

−11073888(6𝑡7 + 6𝑡5) + 1733760(8𝑡9 + 8𝑡7))

]

+64 [

−16𝜂16𝑡(33696 − 1806745𝑡2 + 10070676𝑡4 − 11870928𝑡6 + 2741760𝑡8)

+𝜂16 (−1806745(2𝑡3 + 2𝑡) + 10070676(4𝑡5 + 4𝑡3)

−11870928(6𝑡7 + 6𝑡5) + 2741760(8𝑡9 + 8𝑡7))

]

+256 [

−18𝜂18𝑡(1774 − 112047𝑡2 + 759474𝑡4 − 1141200𝑡6 + 362880𝑡8)

+𝜂18 (−112047(2𝑡3 + 2𝑡) + 759474(4𝑡5 + 4𝑡3)

−1141200(6𝑡7 + 6𝑡5) + 362880(8𝑡9 + 8𝑡7))

]

}

VI. ANEXOS.

473

𝑢′ =

{

2652244𝑡 + 2652244𝑡3 + 26996160𝑡3 + 26996160𝑡5 + 80015040𝑡5

+80015040𝑡7 + 91929600𝑡7 + 91929600𝑡9 + 36288000𝑡9 + 36288000𝑡11

+[3795254𝜂2𝑡 + 25077888𝜂2𝑡3 + 54736704𝜂2𝑡5 + 49420800𝜂2𝑡7

+15966720𝜂2𝑡9]

+2[−183064𝜂4𝑡 − 3361676𝜂4𝑡3 − 9351936𝜂4𝑡5 − 9199872𝜂4𝑡7 − 3041280𝜂4𝑡9]

+2[−1109222𝜂6𝑡 + 3263248𝜂6𝑡3 + 4228320𝜂6𝑡5 + 4055040𝜂6𝑡7 + 1013760𝜂6𝑡9]

+[−25733396𝜂8𝑡 + 117326148𝜂8𝑡3 − 70880256𝜂8𝑡5 − 480960𝜂8𝑡7]

+ [−137922586𝜂10𝑡 + 979033024𝜂10𝑡3 − 1035884160𝜂10𝑡5 + 191416320𝜂10𝑡7

−4204800𝜂10𝑡9]

+8 [−42020632𝜂12𝑡 + 416547956𝜂12𝑡3 − 686934912𝜂12𝑡5 + 237646080𝜂12𝑡7

−12464640𝜂12𝑡9]

+64 [−6617062𝜂14𝑡 + 84723252𝜂14𝑡3 − 192550608𝜂14𝑡5 + 102461184𝜂14𝑡7

−10402560𝜂14𝑡9]

+64 [−4152626𝜂16𝑡 + 65577134𝜂16𝑡3 − 192073680𝜂16𝑡5 + 140643360𝜂16𝑡7

−21934080𝜂16𝑡9]

+256 [−256026𝜂18𝑡 + 4830648𝜂18𝑡3 − 17479836𝜂18𝑡5 + 16597440𝜂18𝑡7

−3628800𝜂18𝑡9]

}

𝑢′ =

[ 2652244𝑡 + 29648404𝑡3 + 107011200𝑡5 + 171944640𝑡7 + 128217600𝑡9

+36288000𝑡11 + 3795254𝜂2𝑡 + 25077888𝜂2𝑡3 + 54736704𝜂2𝑡5

+49420800𝜂2𝑡7 + 15966720𝜂2𝑡9 − 366128𝜂4𝑡 − 6723352𝜂4𝑡3

−18703872𝜂4𝑡5 − 18399744𝜂4𝑡7 − 6082560𝜂4𝑡9 − 2218444𝜂6𝑡

+6526496𝜂6𝑡3 + 8456640𝜂6𝑡5 + 8110080𝜂6𝑡7 + 2027520𝜂6𝑡9

−25733396𝜂8𝑡 + 117326148𝜂8𝑡3 − 70880256𝜂8𝑡5 − 480960𝜂8𝑡7

−137922586𝜂10𝑡 + 979033024𝜂10𝑡3 − 1035884160𝜂10𝑡5

+191416320𝜂10𝑡7 − 4204800𝜂10𝑡9 − 336165056𝜂12𝑡 + 3332383648𝜂12𝑡3

−5495479296𝜂12𝑡5 + 1901168640𝜂12𝑡7 − 99717120𝜂12𝑡9

−423491968𝜂14𝑡 + 5422288128𝜂14𝑡3 − 12323238912𝜂14𝑡5

+6557515776𝜂14𝑡7 − 665763840𝜂14𝑡9 − 265768064𝜂16𝑡

+4196936576𝜂16𝑡3 − 12292715520𝜂16𝑡5 + 9001175040𝜂16𝑡7

−1403781120𝜂16𝑡9 − 65542656𝜂18𝑡 + 1236645888𝜂18𝑡3

−4474838016𝜂18𝑡5 + 4248944640𝜂18𝑡7 − 928972800𝜂18𝑡9 ]

VI. ANEXOS.

474


[FXI(𝑦)]′ =𝑢′ ∙ 𝑁11 cos 𝜑 − 𝑢 ∙ 𝑁10𝑡 cos 𝜑 (11𝜂2𝜌 − 𝑁)

(𝑁11 cos 𝜑)2

[FXI(𝑦)]′ =𝑁10 cos 𝜑 [𝑢′ ∙ 𝑁 − 𝑢 ∙ 𝑡(11𝜂2𝜌 − 𝑁)]

𝑁22 cos2 𝜑=[𝑢′ ∙ 𝑁 − 𝑢 ∙ 𝑡(11𝜂2𝜌 − 𝑁)]

𝑁12 cos 𝜑

[FXI(𝑦)]′ =1

𝑁12 cos 𝜑[𝑢′ ∙ 𝑁 − 𝑢 ∙ 𝑡(11𝜂2𝜌 − 𝑁)]


[FXI(𝑦)]′ =1

𝑁12 cos 𝜑∙

{

𝑁

[ 2652244𝑡 + 29648404𝑡3 + 107011200𝑡5 + 171944640𝑡7 + 128217600𝑡9

+36288000𝑡11 + 3795254𝜂2𝑡 + 25077888𝜂2𝑡3 + 54736704𝜂2𝑡5

+49420800𝜂2𝑡7 + 15966720𝜂2𝑡9 − 366128𝜂4𝑡 − 6723352𝜂4𝑡3

−18703872𝜂4𝑡5 − 18399744𝜂4𝑡7 − 6082560𝜂4𝑡9 − 2218444𝜂6𝑡

+6526496𝜂6𝑡3 + 8456640𝜂6𝑡5 + 8110080𝜂6𝑡7 + 2027520𝜂6𝑡9

−25733396𝜂8𝑡 + 117326148𝜂8𝑡3 − 70880256𝜂8𝑡5 − 480960𝜂8𝑡7

−137922586𝜂10𝑡 + 979033024𝜂10𝑡3 − 1035884160𝜂10𝑡5

+191416320𝜂10𝑡7 − 4204800𝜂10𝑡9 − 336165056𝜂12𝑡 + 3332383648𝜂12𝑡3

−5495479296𝜂12𝑡5 + 1901168640𝜂12𝑡7 − 99717120𝜂12𝑡9

−423491968𝜂14𝑡 + 5422288128𝜂14𝑡3 − 12323238912𝜂14𝑡5

+6557515776𝜂14𝑡7 − 665763840𝜂14𝑡9 − 265768064𝜂16𝑡

+4196936576𝜂16𝑡3 − 12292715520𝜂16𝑡5 + 9001175040𝜂16𝑡7

−1403781120𝜂16𝑡9 − 65542656𝜂18𝑡 + 1236645888𝜂18𝑡3

−4474838016𝜂18𝑡5 + 4248944640𝜂18𝑡7 − 928972800𝜂18𝑡9 ]

−𝑡(11𝜂2𝜌 − 𝑁)

[ 50521 + 1326122𝑡2 + 6749040𝑡4 + 13335840𝑡6 + 11491200𝑡8 + 3628800𝑡10

+𝜂2(138933 + 2036560𝑡2 + 6269472𝑡4 + 7032960𝑡6 + 2661120𝑡8)

+2𝜂4(48681 + 5830𝑡2 − 837504𝑡4 − 1558656𝑡6 − 760320𝑡8)

+2𝜂6(28437 − 469300𝑡2 + 346512𝑡4 + 820224𝑡6 + 506880𝑡8)

+𝜂8(604269 − 10449622𝑡2 + 13657104𝑡4 − 2708640𝑡6 − 737280𝑡8)

+𝜂10(2216241 − 57880088𝑡2 + 128998080𝑡4 − 43649280𝑡6 + 2102400𝑡8)

+8𝜂12(511071 − 17943890𝑡2 + 59277264𝑡4 − 35452800𝑡6 + 3116160𝑡8)

+64𝜂14(64548 − 2856695𝑡2 + 12610728𝑡4 − 11073888𝑡6 + 1733760𝑡8)

+64𝜂16(33696 − 1806745𝑡2 + 10070676𝑡4 − 11870928𝑡6 + 2741760𝑡8)

+256𝜂18(1774 − 112047𝑡2 + 759474𝑡4 − 1141200𝑡6 + 362880𝑡8) ]

}

VI. ANEXOS.

475


𝑑𝑦.

FXII(𝑦) = [FXI(𝑦)]′ ∙𝑑𝜑

𝑑𝑦

FXII(𝑦) =1

𝑁12 cos 𝜑∙

{

𝑁

[ 2652244𝑡 + 29648404𝑡3 + 107011200𝑡5 + 171944640𝑡7 + 128217600𝑡9

+36288000𝑡11 + 3795254𝜂2𝑡 + 25077888𝜂2𝑡3 + 54736704𝜂2𝑡5

+49420800𝜂2𝑡7 + 15966720𝜂2𝑡9 − 366128𝜂4𝑡 − 6723352𝜂4𝑡3

−18703872𝜂4𝑡5 − 18399744𝜂4𝑡7 − 6082560𝜂4𝑡9 − 2218444𝜂6𝑡

+6526496𝜂6𝑡3 + 8456640𝜂6𝑡5 + 8110080𝜂6𝑡7 + 2027520𝜂6𝑡9

−25733396𝜂8𝑡 + 117326148𝜂8𝑡3 − 70880256𝜂8𝑡5 − 480960𝜂8𝑡7

−137922586𝜂10𝑡 + 979033024𝜂10𝑡3 − 1035884160𝜂10𝑡5

+191416320𝜂10𝑡7 − 4204800𝜂10𝑡9 − 336165056𝜂12𝑡 + 3332383648𝜂12𝑡3

−5495479296𝜂12𝑡5 + 1901168640𝜂12𝑡7 − 99717120𝜂12𝑡9

−423491968𝜂14𝑡 + 5422288128𝜂14𝑡3 − 12323238912𝜂14𝑡5

+6557515776𝜂14𝑡7 − 665763840𝜂14𝑡9 − 265768064𝜂16𝑡

+4196936576𝜂16𝑡3 − 12292715520𝜂16𝑡5 + 9001175040𝜂16𝑡7

−1403781120𝜂16𝑡9 − 65542656𝜂18𝑡 + 1236645888𝜂18𝑡3

−4474838016𝜂18𝑡5 + 4248944640𝜂18𝑡7 − 928972800𝜂18𝑡9 ]

−𝑡(11𝜂2𝜌 − 𝑁)

[ 50521 + 1326122𝑡2 + 6749040𝑡4 + 13335840𝑡6 + 11491200𝑡8 + 3628800𝑡10

+𝜂2(138933 + 2036560𝑡2 + 6269472𝑡4 + 7032960𝑡6 + 2661120𝑡8)

+2𝜂4(48681 + 5830𝑡2 − 837504𝑡4 − 1558656𝑡6 − 760320𝑡8)

+2𝜂6(28437 − 469300𝑡2 + 346512𝑡4 + 820224𝑡6 + 506880𝑡8)

+𝜂8(604269 − 10449622𝑡2 + 13657104𝑡4 − 2708640𝑡6 − 737280𝑡8)

+𝜂10(2216241 − 57880088𝑡2 + 128998080𝑡4 − 43649280𝑡6 + 2102400𝑡8)

+8𝜂12(511071 − 17943890𝑡2 + 59277264𝑡4 − 35452800𝑡6 + 3116160𝑡8)

+64𝜂14(64548 − 2856695𝑡2 + 12610728𝑡4 − 11073888𝑡6 + 1733760𝑡8)

+64𝜂16(33696 − 1806745𝑡2 + 10070676𝑡4 − 11870928𝑡6 + 2741760𝑡8)

+256𝜂18(1774 − 112047𝑡2 + 759474𝑡4 − 1141200𝑡6 + 362880𝑡8) ]

}

∙ (𝑁

𝜌)

VI. ANEXOS.

476

FXII(𝑦) =1

𝑁12 cos 𝜑∙

{

𝑁

𝜌

[ 2652244𝑡 + 29648404𝑡3 + 107011200𝑡5 + 171944640𝑡7 + 128217600𝑡9

+36288000𝑡11 + 3795254𝜂2𝑡 + 25077888𝜂2𝑡3 + 54736704𝜂2𝑡5

+49420800𝜂2𝑡7 + 15966720𝜂2𝑡9 − 366128𝜂4𝑡 − 6723352𝜂4𝑡3

−18703872𝜂4𝑡5 − 18399744𝜂4𝑡7 − 6082560𝜂4𝑡9 − 2218444𝜂6𝑡

+6526496𝜂6𝑡3 + 8456640𝜂6𝑡5 + 8110080𝜂6𝑡7 + 2027520𝜂6𝑡9

−25733396𝜂8𝑡 + 117326148𝜂8𝑡3 − 70880256𝜂8𝑡5 − 480960𝜂8𝑡7

−137922586𝜂10𝑡 + 979033024𝜂10𝑡3 − 1035884160𝜂10𝑡5

+191416320𝜂10𝑡7 − 4204800𝜂10𝑡9 − 336165056𝜂12𝑡 + 3332383648𝜂12𝑡3

−5495479296𝜂12𝑡5 + 1901168640𝜂12𝑡7 − 99717120𝜂12𝑡9

−423491968𝜂14𝑡 + 5422288128𝜂14𝑡3 − 12323238912𝜂14𝑡5

+6557515776𝜂14𝑡7 − 665763840𝜂14𝑡9 − 265768064𝜂16𝑡

+4196936576𝜂16𝑡3 − 12292715520𝜂16𝑡5 + 9001175040𝜂16𝑡7

−1403781120𝜂16𝑡9 − 65542656𝜂18𝑡 + 1236645888𝜂18𝑡3

−4474838016𝜂18𝑡5 + 4248944640𝜂18𝑡7 − 928972800𝜂18𝑡9 ]

− (11𝜂2𝜌

𝜌−𝑁

𝜌)

[ 50521𝑡 + 1326122𝑡3 + 6749040𝑡5 + 13335840𝑡7 + 11491200𝑡9 + 3628800𝑡11

+𝜂2(138933 + 2036560𝑡2 + 6269472𝑡4 + 7032960𝑡6 + 2661120𝑡8)

+2𝜂4(48681 + 5830𝑡2 − 837504𝑡4 − 1558656𝑡6 − 760320𝑡8)

+2𝜂6(28437 − 469300𝑡2 + 346512𝑡4 + 820224𝑡6 + 506880𝑡8)

+𝜂8(604269 − 10449622𝑡2 + 13657104𝑡4 − 2708640𝑡6 − 737280𝑡8)

+𝜂10(2216241 − 57880088𝑡2 + 128998080𝑡4 − 43649280𝑡6 + 2102400𝑡8)

+8𝜂12(511071 − 17943890𝑡2 + 59277264𝑡4 − 35452800𝑡6 + 3116160𝑡8)

+64𝜂14(64548 − 2856695𝑡2 + 12610728𝑡4 − 11073888𝑡6 + 1733760𝑡8)

+64𝜂16(33696 − 1806745𝑡2 + 10070676𝑡4 − 11870928𝑡6 + 2741760𝑡8)

+256𝜂18(1774 − 112047𝑡2 + 759474𝑡4 − 1141200𝑡6 + 362880𝑡8) ]

}

VI. ANEXOS.

477

FXII(𝑦) =1

𝑁12 cos 𝜑∙

{

(1 + 𝜂2)

[ 2652244𝑡 + 29648404𝑡3 + 107011200𝑡5 + 171944640𝑡7 + 128217600𝑡9

+36288000𝑡11 + 3795254𝜂2𝑡 + 25077888𝜂2𝑡3 + 54736704𝜂2𝑡5

+49420800𝜂2𝑡7 + 15966720𝜂2𝑡9 − 366128𝜂4𝑡 − 6723352𝜂4𝑡3

−18703872𝜂4𝑡5 − 18399744𝜂4𝑡7 − 6082560𝜂4𝑡9 − 2218444𝜂6𝑡

+6526496𝜂6𝑡3 + 8456640𝜂6𝑡5 + 8110080𝜂6𝑡7 + 2027520𝜂6𝑡9

−25733396𝜂8𝑡 + 117326148𝜂8𝑡3 − 70880256𝜂8𝑡5 − 480960𝜂8𝑡7

−137922586𝜂10𝑡 + 979033024𝜂10𝑡3 − 1035884160𝜂10𝑡5

+191416320𝜂10𝑡7 − 4204800𝜂10𝑡9 − 336165056𝜂12𝑡 + 3332383648𝜂12𝑡3

−5495479296𝜂12𝑡5 + 1901168640𝜂12𝑡7 − 99717120𝜂12𝑡9

−423491968𝜂14𝑡 + 5422288128𝜂14𝑡3 − 12323238912𝜂14𝑡5

+6557515776𝜂14𝑡7 − 665763840𝜂14𝑡9 − 265768064𝜂16𝑡

+4196936576𝜂16𝑡3 − 12292715520𝜂16𝑡5 + 9001175040𝜂16𝑡7

−1403781120𝜂16𝑡9 − 65542656𝜂18𝑡 + 1236645888𝜂18𝑡3

−4474838016𝜂18𝑡5 + 4248944640𝜂18𝑡7 − 928972800𝜂18𝑡9 ]

−[11𝜂2 − (1 + 𝜂2)]

[ 50521𝑡 + 1326122𝑡3 + 6749040𝑡5 + 13335840𝑡7 + 11491200𝑡9 + 3628800𝑡11

+𝜂2(138933 + 2036560𝑡2 + 6269472𝑡4 + 7032960𝑡6 + 2661120𝑡8)

+2𝜂4(48681 + 5830𝑡2 − 837504𝑡4 − 1558656𝑡6 − 760320𝑡8)

+2𝜂6(28437 − 469300𝑡2 + 346512𝑡4 + 820224𝑡6 + 506880𝑡8)

+𝜂8(604269 − 10449622𝑡2 + 13657104𝑡4 − 2708640𝑡6 − 737280𝑡8)

+𝜂10(2216241 − 57880088𝑡2 + 128998080𝑡4 − 43649280𝑡6 + 2102400𝑡8)

+8𝜂12(511071 − 17943890𝑡2 + 59277264𝑡4 − 35452800𝑡6 + 3116160𝑡8)

+64𝜂14(64548 − 2856695𝑡2 + 12610728𝑡4 − 11073888𝑡6 + 1733760𝑡8)

+64𝜂16(33696 − 1806745𝑡2 + 10070676𝑡4 − 11870928𝑡6 + 2741760𝑡8)

+256𝜂18(1774 − 112047𝑡2 + 759474𝑡4 − 1141200𝑡6 + 362880𝑡8) ]

}

VI. ANEXOS.

478

FXII(𝑦) =1

𝑁12 cos 𝜑∙

{

[ 2652244𝑡 + 29648404𝑡3 + 107011200𝑡5 + 171944640𝑡7 + 128217600𝑡9

+36288000𝑡11 + 6447498𝜂2𝑡 + 3429126𝜂4𝑡 − 2584572𝜂6𝑡 − 27951840𝜂8𝑡

−163655982𝜂10𝑡 − 474087642𝜂12𝑡 − 759657024𝜂14𝑡 − 689260032𝜂16𝑡

−331310720𝜂18𝑡 − 65542656𝜂20𝑡 + 54726292𝜂2𝑡3 + 18354536𝜂4𝑡3

−196856𝜂6𝑡3 + 123852644𝜂8𝑡3 + 1096359172𝜂10𝑡3 + 4311416672𝜂12𝑡3

+8754671776𝜂14𝑡3 + 9619224704𝜂16𝑡3 + 5433582464𝜂18𝑡3

+1236645888𝜂20𝑡3 + 161747904𝜂2𝑡5 + 36032832𝜂4𝑡5 − 10247232𝜂6𝑡5

−62423616𝜂8𝑡5 − 1106764416𝜂10𝑡5 − 6531363456𝜂12𝑡5

−17818718208𝜂14𝑡5 − 24615954432𝜂16𝑡5 − 16767553536𝜂18𝑡5

−4474838016𝜂20𝑡5 + 221365440𝜂2𝑡7 + 31021056𝜂4𝑡7 − 10289664𝜂6𝑡7

+7629120𝜂8𝑡7 + 190935360𝜂10𝑡7 + 2092584960𝜂12𝑡7 + 8458684416𝜂14𝑡7

+15558690816𝜂16𝑡7 + 13250119680𝜂18𝑡7 + 4248944640𝜂20𝑡7

+144184320𝜂2𝑡9 + 9884160𝜂4𝑡9 − 4055040𝜂6𝑡9 + 2027520𝜂8𝑡9

−4204800𝜂10𝑡9 − 103921920𝜂12𝑡9 − 765480960𝜂14𝑡9 − 2069544960𝜂16𝑡9

−2332753920𝜂18𝑡9 − 928972800𝜂20𝑡9 + 36288000𝜂2𝑡11 ]

−

[

−50521𝑡 − 1326122𝑡3 − 6749040𝑡5 − 13335840𝑡7 − 11491200𝑡9

−3628800𝑡11 + 366277𝜂2𝑡 + 1291968𝜂4𝑡 + 916746𝜂6𝑡 − 35529𝜂8𝑡

+3826449𝜂10𝑡 + 18073842𝜂12𝑡 + 36754608𝜂14𝑡 + 39154176𝜂16𝑡

+21111296𝜂18𝑡 + 4541440𝜂20𝑡 + 11224660𝜂2𝑡3 + 20353940𝜂4𝑡3

+1055200𝜂6𝑡3 + 1063622𝜂8𝑡3 − 46616132𝜂10𝑡3 − 435249760𝜂12𝑡3

−1252682720𝜂14𝑡3 − 1712653120𝜂16𝑡3 − 1127632768𝜂18𝑡3

−286840320𝜂20𝑡3 + 61220928𝜂2𝑡5 + 64369728𝜂4𝑡5 − 17443104𝜂6𝑡5

−6726864𝜂8𝑡5 + 7572960𝜂10𝑡5 + 815762688𝜂12𝑡5 + 3935094528𝜂14𝑡5

+7426342656𝜂16𝑡5 + 6250807296𝜂18𝑡5 + 1944253440𝜂20𝑡5

+126325440𝜂2𝑡7 + 73446912𝜂4𝑡7 − 32813568𝜂6𝑡7 + 19113120𝜂8𝑡7

+16562880𝜂10𝑡7 − 152870400𝜂12𝑡7 − 2127495168𝜂14𝑡7

−6327548928𝜂16𝑡7 − 7305246720𝜂18𝑡7 − 2921472000𝜂20𝑡7

+112250880𝜂2𝑡9 + 28131840𝜂4𝑡9 − 16220160𝜂6𝑡9 + 10874880𝜂8𝑡9

−9475200𝜂10𝑡9 − 3905280𝜂12𝑡9 + 138332160𝜂14𝑡9 + 934133760𝜂16𝑡9

+1661829120𝜂18𝑡9 + 928972800𝜂20𝑡9 + 36288000𝜂2𝑡11 ]

}

VI. ANEXOS.

479

FXII(𝑦) =1

𝑁12 cos 𝜑∙

[ (2652244𝑡 + 50521𝑡) + (29648404𝑡3 + 1326122𝑡3) + (107011200𝑡5 + 6749040𝑡5)

+(171944640𝑡7 + 13335840𝑡7) + (128217600𝑡9 + 11491200𝑡9) + (36288000𝑡11

+3628800𝑡11) + (6447498𝜂2𝑡 − 366277𝜂2𝑡) + (54726292𝜂2𝑡3 − 11224660𝜂2𝑡3)

+(161747904𝜂2𝑡5 − 61220928𝜂2𝑡5) + (221365440𝜂2𝑡7 − 126325440𝜂2𝑡7)

+(144184320𝜂2𝑡9 − 112250880𝜂2𝑡9) + (3429126𝜂4𝑡 − 1291968𝜂4𝑡)

+(18354536𝜂4𝑡3 − 20353940𝜂4𝑡3) + (36032832𝜂4𝑡5 − 64369728𝜂4𝑡5)

+(31021056𝜂4𝑡7 − 73446912𝜂4𝑡7) + (9884160𝜂4𝑡9 − 28131840𝜂4𝑡9)

−(2584572𝜂6𝑡 + 916746𝜂6𝑡) − (1055200𝜂6𝑡3 + 196856𝜂6𝑡3) + (17443104𝜂6𝑡5

−10247232𝜂6𝑡5) + (32813568𝜂6𝑡7 − 10289664𝜂6𝑡7) + (16220160𝜂6𝑡9

−4055040𝜂6𝑡9) + (35529𝜂8𝑡 − 27951840𝜂8𝑡) + (123852644𝜂8𝑡3 − 1063622𝜂8𝑡3)

+(6726864𝜂8𝑡5 − 62423616𝜂8𝑡5) + (7629120𝜂8𝑡7 − 19113120𝜂8𝑡7)

+(2027520𝜂8𝑡9 − 10874880𝜂8𝑡9) − (163655982𝜂10𝑡 + 3826449𝜂10𝑡)

+(1096359172𝜂10𝑡3 + 46616132𝜂10𝑡3) − (1106764416𝜂10𝑡5 + 7572960𝜂10𝑡5)

+(190935360𝜂10𝑡7 − 16562880𝜂10𝑡7) + (9475200𝜂10𝑡9 − 4204800𝜂10𝑡9)

−(474087642𝜂12𝑡 + 18073842𝜂12𝑡) + (4311416672𝜂12𝑡3 + 435249760𝜂12𝑡3)

−(815762688𝜂12𝑡5 + 6531363456𝜂12𝑡5) + (2092584960𝜂12𝑡7 + 152870400𝜂12𝑡7)

+(3905280𝜂12𝑡9 − 103921920𝜂12𝑡9) − (759657024𝜂14𝑡 + 36754608𝜂14𝑡)

+(8754671776𝜂14𝑡3 + 1252682720𝜂14𝑡3) − (17818718208𝜂14𝑡5

+3935094528𝜂14𝑡5) + (8458684416𝜂14𝑡7 + 2127495168𝜂14𝑡7) − (765480960𝜂14𝑡9

+138332160𝜂14𝑡9) − (689260032𝜂16𝑡 + 39154176𝜂16𝑡) + (9619224704𝜂16𝑡3

+1712653120𝜂16𝑡3) − (7426342656𝜂16𝑡5 + 24615954432𝜂16𝑡5)

+(15558690816𝜂16𝑡7 + 6327548928𝜂16𝑡7) − (2069544960𝜂16𝑡9 + 934133760𝜂16𝑡9)

−(331310720𝜂18𝑡 + 21111296𝜂18𝑡) + (5433582464𝜂18𝑡3 + 1127632768𝜂18𝑡3)

−(16767553536𝜂18𝑡5 + 6250807296𝜂18𝑡5) + (13250119680𝜂18𝑡7

+7305246720𝜂18𝑡7) − (2332753920𝜂18𝑡9 + 1661829120𝜂18𝑡9) − (65542656𝜂20𝑡

−4541440𝜂20𝑡) + (1236645888𝜂20𝑡3 + 286840320𝜂20𝑡3) − (4474838016𝜂20𝑡5

+1944253440𝜂20𝑡5) + (4248944640𝜂20𝑡7 + 2921472000𝜂20𝑡7) − (928972800𝜂20𝑡9

+928972800𝜂20𝑡9) + (36288000𝜂2𝑡11 − 36288000𝜂2𝑡11) ]

VI. ANEXOS.

480

FXII(𝑦) =1

𝑁12 cos 𝜑∙

[ 2702765𝑡 + 30974526𝑡3 + 113760240𝑡5 + 185280480𝑡7 + 139708800𝑡9

+39916800𝑡11 + 6081221𝜂2𝑡 + 43501632𝜂2𝑡3 + 100526976𝜂2𝑡5

+95040000𝜂2𝑡7 + 31933440𝜂2𝑡9 + 2137158𝜂4𝑡 − 1999404𝜂4𝑡3

−28336896𝜂4𝑡5 − 42425856𝜂4𝑡7 − 18247680𝜂4𝑡9 − 3501318𝜂6𝑡

−1252056𝜂6𝑡3 + 7195872𝜂6𝑡5 + 22523904𝜂6𝑡7 + 12165120𝜂6𝑡9

−27916311𝜂8𝑡 + 122789022𝜂8𝑡3 − 55696752𝜂8𝑡5 − 11484000𝜂8𝑡7

−8847360𝜂8𝑡9 − 167482431𝜂10𝑡 + 1142975304𝜂10𝑡3 − 1114337376𝜂10𝑡5

+174372480𝜂10𝑡7 + 5270400𝜂10𝑡9 − 492161484𝜂12𝑡 + 4746666432𝜂12𝑡3

−7347126144𝜂12𝑡5 + 2245455360𝜂12𝑡7 − 100016640𝜂12𝑡9

−796411632𝜂14𝑡 + 10007354496𝜂14𝑡3 − 21753812736𝜂14𝑡5

+10586179584𝜂14𝑡7 − 903813120𝜂14𝑡9 − 728414208𝜂16𝑡

+11331877824𝜂16𝑡3 − 32042297088𝜂16𝑡5 + 21886239744𝜂16𝑡7

−3003678720𝜂16𝑡9 − 352422016𝜂18𝑡 + 6561215232𝜂18𝑡3

−23018360832𝜂18𝑡5 + 20555366400𝜂18𝑡7 − 3994583040𝜂18𝑡9

−70084096𝜂20𝑡 + 1523486208𝜂20𝑡3 − 6419091456𝜂20𝑡5

+7170416640𝜂20𝑡7 − 1857945600𝜂20𝑡9 ]

𝐅𝐗𝐈𝐈(𝒚) =𝒕

𝑵𝟏𝟐 𝐜𝐨𝐬𝝋∙

[ 𝟐𝟕𝟎𝟐𝟕𝟔𝟓 + 𝟑𝟎𝟗𝟕𝟒𝟓𝟐𝟔𝒕𝟐 + 𝟏𝟏𝟑𝟕𝟔𝟎𝟐𝟒𝟎𝒕𝟒 + 𝟏𝟖𝟓𝟐𝟖𝟎𝟒𝟖𝟎𝒕𝟔 + 𝟏𝟑𝟗𝟕𝟎𝟖𝟖𝟎𝟎𝒕𝟖 + 𝟑𝟗𝟗𝟏𝟔𝟖𝟎𝟎𝒕𝟏𝟎

+𝜼𝟐(𝟔𝟎𝟖𝟏𝟐𝟐𝟏 + 𝟒𝟑𝟓𝟎𝟏𝟔𝟑𝟐𝒕𝟐 + 𝟏𝟎𝟎𝟓𝟐𝟔𝟗𝟕𝟔𝒕𝟒 + 𝟗𝟓𝟎𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝒕𝟔 + 𝟑𝟏𝟗𝟑𝟑𝟒𝟒𝟎𝒕𝟖)

+𝟏𝟖𝜼𝟒(𝟏𝟏𝟖𝟕𝟑𝟏 − 𝟏𝟏𝟏𝟎𝟕𝟖𝒕𝟐 − 𝟏𝟓𝟕𝟒𝟐𝟕𝟐𝒕𝟒 − 𝟐𝟑𝟓𝟔𝟗𝟗𝟐𝒕𝟔 − 𝟏𝟎𝟏𝟑𝟕𝟔𝟎𝒕𝟖)

−𝟔𝜼𝟔(𝟓𝟖𝟑𝟓𝟓𝟑 + 𝟐𝟎𝟖𝟔𝟕𝟔𝒕𝟐 − 𝟏𝟏𝟗𝟗𝟑𝟏𝟐𝒕𝟒 − 𝟑𝟕𝟓𝟑𝟗𝟖𝟒𝒕𝟔 − 𝟐𝟎𝟐𝟕𝟓𝟐𝟎𝒕𝟖)

−𝟑𝜼𝟖(𝟗𝟑𝟎𝟓𝟒𝟑𝟕 − 𝟒𝟎𝟗𝟐𝟗𝟔𝟕𝟒𝒕𝟐 + 𝟏𝟖𝟓𝟔𝟓𝟓𝟖𝟒𝒕𝟒 + 𝟑𝟖𝟐𝟖𝟎𝟎𝟎𝒕𝟔 + 𝟐𝟗𝟒𝟗𝟏𝟐𝟎𝒕𝟖)

−𝟗𝜼𝟏𝟎(𝟏𝟖𝟔𝟎𝟗𝟏𝟓𝟗 − 𝟏𝟐𝟔𝟗𝟗𝟕𝟐𝟓𝟔𝒕𝟐 + 𝟏𝟐𝟑𝟖𝟏𝟓𝟐𝟔𝟒𝒕𝟒 − 𝟏𝟗𝟑𝟕𝟒𝟕𝟐𝟎𝒕𝟔 − 𝟓𝟖𝟓𝟔𝟎𝟎𝒕𝟖)

−𝟏𝟐𝜼𝟏𝟐(𝟒𝟏𝟎𝟏𝟑𝟒𝟓𝟕 − 𝟑𝟗𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟑𝟔𝒕𝟐 + 𝟔𝟏𝟐𝟐𝟔𝟎𝟓𝟏𝟐𝒕𝟒 − 𝟏𝟖𝟕𝟏𝟐𝟏𝟐𝟖𝟎𝒕𝟔 + 𝟖𝟑𝟑𝟒𝟕𝟐𝟎𝒕𝟖)

−𝟒𝟖𝜼𝟏𝟒(𝟏𝟔𝟓𝟗𝟏𝟗𝟎𝟗 − 𝟐𝟎𝟖𝟒𝟖𝟔𝟓𝟓𝟐𝒕𝟐 + 𝟒𝟓𝟑𝟐𝟎𝟒𝟒𝟑𝟐𝒕𝟒 − 𝟐𝟐𝟎𝟓𝟒𝟓𝟒𝟎𝟖𝒕𝟔 + 𝟏𝟖𝟖𝟐𝟗𝟒𝟒𝟎𝒕𝟖)

−𝟓𝟕𝟔𝜼𝟏𝟔(𝟏𝟐𝟔𝟒𝟔𝟎𝟖 − 𝟏𝟗𝟔𝟕𝟑𝟑𝟗𝟗𝒕𝟐 + 𝟓𝟓𝟔𝟐𝟖𝟗𝟖𝟖𝒕𝟒 − 𝟑𝟕𝟗𝟗𝟔𝟗𝟒𝟒𝒕𝟔 + 𝟓𝟐𝟏𝟒𝟕𝟐𝟎𝒕𝟖)

−𝟏𝟐𝟖𝜼𝟏𝟖(𝟐𝟕𝟓𝟑𝟐𝟗𝟕 − 𝟓𝟏𝟐𝟓𝟗𝟒𝟗𝟒𝒕𝟐 + 𝟏𝟕𝟗𝟖𝟑𝟎𝟗𝟒𝟒𝒕𝟒 − 𝟏𝟔𝟎𝟓𝟖𝟖𝟖𝟎𝟎𝒕𝟔 + 𝟑𝟏𝟐𝟎𝟕𝟔𝟖𝟎𝒕𝟖)

−𝟓𝟏𝟐𝜼𝟐𝟎(𝟏𝟑𝟔𝟖𝟖𝟑 − 𝟐𝟗𝟕𝟓𝟓𝟓𝟗𝒕𝟐 + 𝟏𝟐𝟓𝟑𝟕𝟐𝟖𝟖𝒕𝟒 − 𝟏𝟒𝟎𝟎𝟒𝟕𝟐𝟎𝒕𝟔 + 𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎𝒕𝟖) ]

VI. ANEXOS.

481

6.5.3 Derivadas de orden superior de 𝐅′(𝚽) para el proceso

inverso.

Para 𝐅′(𝚽)

𝜑 = F(Φ) = ∫𝑟

𝜌

Φ

0

𝑑Φ

Derivando.

𝑑𝜑

𝑑Φ=𝑟

𝜌=𝑁 cos𝜑

𝜌,

𝑑𝜑

𝑑𝜑= 1

F′(Φ) =𝑑𝜑

𝑑𝜑∙𝑑𝜑

𝑑Φ= 1 ∙ [

𝑁 cos 𝜑

𝜌] = (

𝑁

𝜌) cos 𝜑

𝐅′(𝚽) = (𝟏 + 𝜼𝟐) 𝐜𝐨𝐬𝝋

Para 𝐅′′(𝚽)

[F′(Φ)]′ = [(1 + 𝜂2) cos 𝜑]′

[F′(Φ)]′ = −2𝜂2𝑡 cos 𝜑 + [(1 + 𝜂2)(−𝑡 cos 𝜑)]

[F′(Φ)]′ = −2𝜂2𝑡 cos𝜑 + (−𝑡 cos𝜑 − 𝜂2𝑡 cos 𝜑)

[F′(Φ)]′ = −3𝜂2𝑡 cos 𝜑 − 𝑡 cos 𝜑 = −𝑡 cos 𝜑 (3𝜂2 + 1)


𝑑Φ.

F′′(Φ) = [F′(Φ)]′ ∙𝑑𝜑

𝑑Φ

F′′(Φ) = −𝑡 cos𝜑 (3𝜂2 + 1) ∙ [(𝑁

𝜌) cos 𝜑]

VI. ANEXOS.

482

F′′(Φ) = −𝑡 cos 𝜑 (3𝜂2 + 1) ∙ [(1 + 𝜂2) cos 𝜑]

F′′(Φ) = −(3𝜂2 + 1)(1 + 𝜂2)𝑡 cos2 𝜑 = −(3𝜂2 + 3𝜂4 + 1 + 𝜂2)𝑡 cos2 𝜑

𝐅′′(𝚽) = −(𝟏 + 𝟒𝜼𝟐 + 𝟑𝜼𝟒)𝒕 𝐜𝐨𝐬𝟐𝝋

Para 𝐅′′′(𝚽)

[F′′(Φ)]′ = [−(1 + 4𝜂2 + 3𝜂4)𝑡 cos2 𝜑]′

[F′′(Φ)]′ = −[(𝑡 + 4𝜂2𝑡 + 3𝜂4𝑡) cos2 𝜑]′

[F′′(Φ)]′ = −(𝑢 ∙ 𝑣)′ = −(𝑢′ ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣′)

Siendo.

𝑢 = 𝑡 + 4𝜂2𝑡 + 3𝜂4𝑡, 𝑣 = cos2 𝜑


𝑢′ = {𝑡2 + 1 + 4[−2𝜂2𝑡 ∙ 𝑡 + 𝜂2(𝑡2 + 1)]

+3[−4𝜂4𝑡 ∙ 𝑡 + 𝜂4(𝑡2 + 1)]}

𝑢′ = {1 + 𝑡2 + 4[−2𝜂2𝑡2 + 𝜂2𝑡2 + 𝜂2]

+3[−4𝜂4𝑡2 + 𝜂4𝑡2 + 𝜂4]} = {

1 + 𝑡2 + 4[−𝜂2𝑡2 + 𝜂2]

+3[−3𝜂4𝑡2 + 𝜂4]}

𝑢′ = 1 + 𝑡2 + 4𝜂2 − 4𝜂2𝑡2 + 3𝜂4 − 9𝜂4𝑡2

𝑣′ = −2𝑡 cos2 𝜑

Sustituyendo.

[F′′(Φ)]′ = −{(1 + 𝑡2 + 4𝜂2 − 4𝜂2𝑡2 + 3𝜂4 − 9𝜂4𝑡2) cos2 𝜑

+[(−2𝑡 cos2 𝜑)(𝑡 + 4𝜂2𝑡 + 3𝜂4𝑡)]}

[F′′(Φ)]′ = −cos2 𝜑 {(1 + 𝑡2 + 4𝜂2 − 4𝜂2𝑡2 + 3𝜂4 − 9𝜂4𝑡2)

−[2𝑡(𝑡 + 4𝜂2𝑡 + 3𝜂4𝑡)]}

VI. ANEXOS.

483

[F′′(Φ)]′ = −cos2 𝜑 {(1 + 𝑡2 + 4𝜂2 − 4𝜂2𝑡2 + 3𝜂4 − 9𝜂4𝑡2)

−(2𝑡2 + 8𝜂2𝑡2 + 6𝜂4𝑡2)}

[F′′(Φ)]′ = −cos2 𝜑 [1 + 𝑡2 − 2𝑡2 + 4𝜂2 − 4𝜂2𝑡2 − 8𝜂2𝑡2

+3𝜂4 − 9𝜂4𝑡2 − 6𝜂4𝑡2]

[F′′(Φ)]′ = −cos2 𝜑 [1 − 𝑡2 + 4𝜂2 − 12𝜂2𝑡2 + 3𝜂4 − 15𝜂4𝑡2]


𝑑Φ.

F′′′(Φ) = [F′′(Φ)]′ ∙𝑑𝜑

𝑑Φ

F′′′(Φ) =

−{cos2 𝜑 [1 − 𝑡2 + 4𝜂2 − 12𝜂2𝑡2 + 3𝜂4 − 15𝜂4𝑡2]} ∙ [(𝑁

𝜌) cos 𝜑]

F′′′(Φ) =

−{cos2 𝜑 [1 − 𝑡2 + 4𝜂2 − 12𝜂2𝑡2 + 3𝜂4 − 15𝜂4𝑡2]} ∙ [(1 + 𝜂2) cos 𝜑]

F′′′(Φ) = − cos3 𝜑 {[1 − 𝑡2 + 4𝜂2 − 12𝜂2𝑡2 + 3𝜂4 − 15𝜂4𝑡2](1 + 𝜂2)}

𝐅′′′(𝚽) = −(𝟏 + 𝜼𝟐) [𝟏 − 𝒕𝟐 + 𝟒𝜼𝟐(𝟏 − 𝟑𝒕𝟐)

+𝟑𝜼𝟒(𝟏 − 𝟓𝒕𝟐)] 𝐜𝐨𝐬𝟑𝝋

Para 𝐅𝐈𝐕(𝚽)

[F′′′(Φ)]′ = − {(1 + 𝜂2) [1 − 𝑡2 + 4𝜂2(1 − 3𝑡2)

+3𝜂4(1 − 5𝑡2)] cos3 𝜑}

′

[F′′′(Φ)]′ = −(𝑢 ∙ 𝑣 ∙ 𝑤) = −(𝑢′ ∙ 𝑣 ∙ 𝑤 + 𝑢 ∙ 𝑣′ ∙ 𝑤 + 𝑢 ∙ 𝑣 ∙ 𝑤′)

Siendo.

𝑢 = 1 + 𝜂2, 𝑣 = [1 − 𝑡2 + 4𝜂2(1 − 3𝑡2)

+3𝜂4(1 − 5𝑡2)] 𝑤 = cos3 𝜑

VI. ANEXOS.

484


𝑢′ = −2𝜂2𝑡, 𝑤′ = −3𝑡 cos3 𝜑

𝑣′ = {−(2𝑡3 + 2𝑡) + 4[−2𝜂2𝑡(1 − 3𝑡2) − 3𝜂2(2𝑡3 + 2𝑡)]

+3[−4𝜂4𝑡(1 − 5𝑡2) − 5𝜂4(2𝑡3 + 2𝑡)]}

𝑣′ = {−2𝑡 − 2𝑡3 + 4[−8𝜂2𝑡] + 3[−14𝜂4𝑡 + 10𝜂4𝑡3]}

𝑣′ = −2𝑡 − 2𝑡3 − 32𝜂2𝑡 − 42𝜂4𝑡 + 30𝜂4𝑡3

Sustituyendo.

[F′′′(Φ)]′ =

−

{

−2𝜂2𝑡 [

1 − 𝑡2 + 4𝜂2(1 − 3𝑡2)

+3𝜂4(1 − 5𝑡2)] cos3 𝜑 + (1 + 𝜂2) [

−2𝑡 − 2𝑡3 − 32𝜂2𝑡

−42𝜂4𝑡 + 30𝜂4𝑡3] cos3 𝜑

+(1 + 𝜂2) [1 − 𝑡2 + 4𝜂2(1 − 3𝑡2)

+3𝜂4(1 − 5𝑡2)] (−3𝑡 cos3 𝜑)

}

[F′′′(Φ)]′ =

−cos3 𝜑

{

[2𝜂2𝑡 − 2𝜂2𝑡3 + 8𝜂4𝑡(1 − 3𝑡2)

+6𝜂6𝑡(1 − 5𝑡2)] + (1 + 𝜂2) [

−2𝑡 − 2𝑡3 − 32𝜂2𝑡

−42𝜂4𝑡 + 30𝜂4𝑡3]

−(1 + 𝜂2) [3𝑡 − 3𝑡3 + 12𝜂2𝑡(1 − 3𝑡2)

+18𝜂4𝑡(1 − 5𝑡2)]

}

[F′′′(Φ)]′ = −cos3 𝜑

{

[

−2𝜂2𝑡 + 2𝜂2𝑡3 − 8𝜂4𝑡 + 24𝜂4𝑡3

−6𝜂6𝑡 + 30𝜂6𝑡3]

+ [−2𝑡 − 2𝑡3 − 34𝜂2𝑡 − 2𝜂2𝑡3

−74𝜂4𝑡 + 30𝜂4𝑡3 − 42𝜂6𝑡 + 30𝜂6𝑡3]

− [3𝑡 − 3𝑡3 + 15𝜂2𝑡 − 39𝜂2𝑡3

+21𝜂4𝑡 − 81𝜂4𝑡3 + 9𝜂6𝑡 − 45𝜂6𝑡3]}

[F′′′(Φ)]′ =

−cos3 𝜑

[ −(3𝑡 + 2𝑡) + (3𝑡3 − 2𝑡3) − (2𝜂2𝑡 + 15𝜂2𝑡 + 34𝜂2𝑡)

+(2𝜂2𝑡3 − 2𝜂2𝑡3 + 39𝜂2𝑡3) − (8𝜂4𝑡 + 21𝜂4𝑡 + 74𝜂4𝑡)

+(24𝜂4𝑡3 + 30𝜂4𝑡3 + 81𝜂4𝑡3) − (6𝜂6𝑡 + 9𝜂6𝑡 + 42𝜂6𝑡)

+(30𝜂6𝑡3 + 30𝜂6𝑡3 + 45𝜂6𝑡3) ]

VI. ANEXOS.

485

[F′′′(Φ)]′ = −cos3 𝜑 [−5𝑡 + 𝑡3 − 51𝜂2𝑡 + 39𝜂2𝑡3 − 103𝜂4𝑡

+135𝜂4𝑡3 − 57𝜂6𝑡 + 105𝜂6𝑡3]


𝑑Φ.

FIV(Φ) = [F′′′(Φ)]′ ∙𝑑𝜑

𝑑Φ

FIV(Φ) =

{− cos3 𝜑 [−5𝑡 + 𝑡3 − 51𝜂2𝑡 + 39𝜂2𝑡3 − 103𝜂4𝑡

+135𝜂4𝑡3 − 57𝜂6𝑡 + 105𝜂6𝑡3]} ∙ [(

𝑁

𝜌) cos 𝜑]

FIV(Φ) =

{− cos3 𝜑 [−5𝑡 + 𝑡3 − 51𝜂2𝑡 + 39𝜂2𝑡3 − 103𝜂4𝑡

+135𝜂4𝑡3 − 57𝜂6𝑡 + 105𝜂6𝑡3]} ∙ [(1 + 𝜂2) cos 𝜑]

FIV(Φ) = −(1 + 𝜂2) [−5𝑡 + 𝑡3 − 51𝜂2𝑡 + 39𝜂2𝑡3 − 103𝜂4𝑡

+135𝜂4𝑡3 − 57𝜂6𝑡 + 105𝜂6𝑡3] cos4 𝜑

FIV(Φ) = (1 + 𝜂2)𝑡 [5 − 𝑡2 + 51𝜂2 − 39𝜂2𝑡2 + 103𝜂4

−135𝜂4𝑡2 + 57𝜂6 − 105𝜂6𝑡2] cos4 𝜑

𝐅𝐈𝐕(𝚽) = (𝟏 + 𝜼𝟐)𝒕 [𝟓 − 𝒕𝟐 + 𝟑𝜼𝟐(𝟏𝟕 − 𝟏𝟑𝒕𝟐)

+𝜼𝟒(𝟏𝟎𝟑 − 𝟏𝟑𝟓𝒕𝟐) + 𝟑𝜼𝟔(𝟏𝟗 − 𝟑𝟓𝒕𝟐)] 𝐜𝐨𝐬𝟒𝝋

Para 𝐅𝐕(𝚽)

[FIV(Φ)]′ = {(1 + 𝜂2)𝑡 [5 − 𝑡2 + 3𝜂2(17 − 13𝑡2)

+𝜂4(103 − 135𝑡2) + 3𝜂6(19 − 35𝑡2)] cos4 𝜑}

′

[FIV(Φ)]′ = {(1 + 𝜂2) [5𝑡 − 𝑡3 + 3𝜂2(17𝑡 − 13𝑡3)

+𝜂4(103𝑡 − 135𝑡3) + 3𝜂6(19𝑡 − 35𝑡3)] cos4 𝜑}

′

[FIV(Φ)]′ = 𝑢 ∙ 𝑣 ∙ 𝑤 = 𝑢′ ∙ 𝑣 ∙ 𝑤 + 𝑢 ∙ 𝑣′ ∙ 𝑤 + 𝑢 ∙ 𝑣 ∙ 𝑤′

VI. ANEXOS.

486

Siendo.

𝑢 = 1 + 𝜂2, 𝑣 = [5𝑡 − 𝑡3 + 3𝜂2(17𝑡 − 13𝑡3)

+𝜂4(103𝑡 − 135𝑡3) + 3𝜂6(19𝑡 − 35𝑡3)] 𝑤 = cos4 𝜑


𝑢′ = −2𝜂2𝑡, 𝑤′ = −4𝑡 cos4 𝜑

𝑣′ =

{

5(𝑡2 + 1) − (3𝑡4 + 3𝑡2)

+3[−2𝜂2𝑡(17𝑡 − 13𝑡3) + 𝜂2(17(𝑡2 + 1) − 13(3𝑡4 + 3𝑡2))]

+[−4𝜂4𝑡(103𝑡 − 135𝑡3) + 𝜂4(103(𝑡2 + 1) − 135(3𝑡4 + 3𝑡2))]

+3[−6𝜂6𝑡(19𝑡 − 35𝑡3) + 𝜂6(19(𝑡2 + 1) − 35(3𝑡4 + 3𝑡2))] }

𝑣′ = {5 + 5𝑡2 − 3𝑡2 − 3𝑡4 + 3[17𝜂2 − 56𝜂2𝑡2 − 13𝜂2𝑡4]

+[103𝜂4 − 714𝜂4𝑡2 + 135𝜂4𝑡4] + 3[19𝜂6 − 200𝜂6𝑡2 + 105𝜂6𝑡4]}

𝑣′ = [5 + 2𝑡2 − 3𝑡4 + 51𝜂2 − 168𝜂2𝑡2 − 39𝜂2𝑡4 + 103𝜂4

−714𝜂4𝑡2 + 135𝜂4𝑡4 + 57𝜂6 − 600𝜂6𝑡2 + 315𝜂6𝑡4]

Sustituyendo.

[FIV(Φ)]′ =

{

−2𝜂2𝑡 [

5𝑡 − 𝑡3 + 3𝜂2(17𝑡 − 13𝑡3)

+𝜂4(103𝑡 − 135𝑡3) + 3𝜂6(19𝑡 − 35𝑡3)] cos4 𝜑

+(1 + 𝜂2) [

5 + 2𝑡2 − 3𝑡4 + 51𝜂2 − 168𝜂2𝑡2

−39𝜂2𝑡4 + 103𝜂4 − 714𝜂4𝑡2 + 135𝜂4𝑡4

+57𝜂6 − 600𝜂6𝑡2 + 315𝜂6𝑡4] cos4 𝜑

+(1 + 𝜂2) [5𝑡 − 𝑡3 + 3𝜂2(17𝑡 − 13𝑡3)

+𝜂4(103𝑡 − 135𝑡3) + 3𝜂6(19𝑡 − 35𝑡3)] (−4𝑡 cos4 𝜑)

}

VI. ANEXOS.

487

[FIV(Φ)]′ =

cos4 𝜑

{

[

−10𝜂2𝑡2 + 2𝜂2𝑡4 − 6𝜂4𝑡(17𝑡 − 13𝑡3)

−2𝜂6𝑡(103𝑡 − 135𝑡3) − 6𝜂8𝑡(19𝑡 − 35𝑡3)]

+(1 + 𝜂2) [

5 + 2𝑡2 − 3𝑡4 + 51𝜂2 − 168𝜂2𝑡2

−39𝜂2𝑡4 + 103𝜂4 − 714𝜂4𝑡2 + 135𝜂4𝑡4

+57𝜂6 − 600𝜂6𝑡2 + 315𝜂6𝑡4]

−(1 + 𝜂2) [20𝑡2 − 4𝑡4 + 12𝜂2𝑡(17𝑡 − 13𝑡3)

+4𝜂4𝑡(103𝑡 − 135𝑡3) + 12𝜂6𝑡(19𝑡 − 35𝑡3)]}

[FIV(Φ)]′ =

cos4 𝜑

{

[

−10𝜂2𝑡2 + 2𝜂2𝑡4 − 102𝜂4𝑡2 + 78𝜂4𝑡4

−206𝜂6𝑡2 + 270𝜂6𝑡4 − 114𝜂8𝑡2 + 210𝜂8𝑡4]

+ [

5 + 2𝑡2 − 3𝑡4 + 56𝜂2 − 166𝜂2𝑡2 + 154𝜂4

−882𝜂4𝑡2 + 160𝜂6 − 1314𝜂6𝑡2 + 57𝜂8 − 600𝜂8𝑡2

−42𝜂2𝑡4 + 96𝜂4𝑡4 + 450𝜂6𝑡4 + 315𝜂8𝑡4]

− [

20𝑡2 − 4𝑡4 + 224𝜂2𝑡2 − 160𝜂2𝑡4 + 616𝜂4𝑡2

−696𝜂4𝑡4 + 640𝜂6𝑡2 − 960𝜂6𝑡4 + 228𝜂8𝑡2

−420𝜂8𝑡4]

}

[FIV(Φ)]′ =

cos4 𝜑

[

5 + (2𝑡2 − 20𝑡2) + (4𝑡4 − 3𝑡4) + 56𝜂2 − (10𝜂2𝑡2 + 224𝜂2𝑡2

+166𝜂2𝑡2) + (2𝜂2𝑡4 + 160𝜂2𝑡4 − 42𝜂2𝑡4) + 154𝜂4

−(102𝜂4𝑡2 + 616𝜂4𝑡2 + 882𝜂4𝑡2) + (78𝜂4𝑡4 + 96𝜂4𝑡4 + 696𝜂4𝑡4)

+160𝜂6 − (206𝜂6𝑡2 + 640𝜂6𝑡2 + 1314𝜂6𝑡2) + (270𝜂6𝑡4

+450𝜂6𝑡4 + 960𝜂6𝑡4) + 57𝜂8 − (114𝜂8𝑡2 + 228𝜂8𝑡2 + 600𝜂8𝑡2)

+(210𝜂8𝑡4 + 315𝜂8𝑡4 + 420𝜂8𝑡4) ]

[FIV(Φ)]′ = cos4 𝜑

[ 5 − 18𝑡2 + 𝑡4 + 56𝜂2 − 400𝜂2𝑡2 + 120𝜂2𝑡4

+154𝜂4 − 1600𝜂4𝑡2 + 870𝜂4𝑡4 + 160𝜂6

−2160𝜂6𝑡2 + 1680𝜂6𝑡4 + 57𝜂8 − 942𝜂8𝑡2

+945𝜂8𝑡4 ]

VI. ANEXOS.

488


𝑑Φ.

FV(Φ) = [FIV(Φ)]′ ∙𝑑𝜑

𝑑Φ

FV(Φ) =

{

cos4 𝜑

[ 5 − 18𝑡2 + 𝑡4 + 56𝜂2 − 400𝜂2𝑡2 + 120𝜂2𝑡4

+154𝜂4 − 1600𝜂4𝑡2 + 870𝜂4𝑡4 + 160𝜂6

−2160𝜂6𝑡2 + 1680𝜂6𝑡4 + 57𝜂8 − 942𝜂8𝑡2

+945𝜂8𝑡4 ]

}

∙ [(𝑁

𝜌) cos 𝜑]

FV(Φ) =

{

cos4 𝜑

[ 5 − 18𝑡2 + 𝑡4 + 56𝜂2 − 400𝜂2𝑡2 + 120𝜂2𝑡4

+154𝜂4 − 1600𝜂4𝑡2 + 870𝜂4𝑡4 + 160𝜂6

−2160𝜂6𝑡2 + 1680𝜂6𝑡4 + 57𝜂8 − 942𝜂8𝑡2

+945𝜂8𝑡4 ]

}

∙ [(1 + 𝜂2) cos 𝜑]

FV(Φ) = (1 + 𝜂2)

[ 5 − 18𝑡2 + 𝑡4 + 56𝜂2 − 400𝜂2𝑡2 + 120𝜂2𝑡4

+154𝜂4 − 1600𝜂4𝑡2 + 870𝜂4𝑡4 + 160𝜂6

−2160𝜂6𝑡2 + 1680𝜂6𝑡4 + 57𝜂8 − 942𝜂8𝑡2

+945𝜂8𝑡4 ]

cos5 𝜑

𝐅𝐕(𝚽) = (𝟏 + 𝜼𝟐)

[ 𝟓 − 𝟏𝟖𝒕𝟐 + 𝒕𝟒 + 𝟖𝜼𝟐(𝟕 − 𝟓𝟎𝒕𝟐 + 𝟏𝟓𝒕𝟒)

+𝟐𝜼𝟒(𝟕𝟕 − 𝟖𝟎𝟎𝒕𝟐 + 𝟒𝟑𝟓𝒕𝟒)

+𝟖𝟎𝜼𝟔(𝟐 − 𝟐𝟕𝒕𝟐 + 𝟐𝟏𝒕𝟒)

+𝟑𝜼𝟖(𝟏𝟗 − 𝟑𝟏𝟒𝒕𝟐 + 𝟑𝟏𝟓𝒕𝟒) ]

𝐜𝐨𝐬𝟓𝝋

Para 𝐅𝐕𝐈(𝚽)

[FV(Φ)]′ =

{

(1 + 𝜂2)

[ 5 − 18𝑡2 + 𝑡4 + 8𝜂2(7 − 50𝑡2 + 15𝑡4)

+2𝜂4(77 − 800𝑡2 + 435𝑡4)

+80𝜂6(2 − 27𝑡2 + 21𝑡4)

+3𝜂8(19 − 314𝑡2 + 315𝑡4) ]

cos5 𝜑

}

′

[FV(Φ)]′ = 𝑢 ∙ 𝑣 ∙ 𝑤 = 𝑢′ ∙ 𝑣 ∙ 𝑤 + 𝑢 ∙ 𝑣′ ∙ 𝑤 + 𝑢 ∙ 𝑣 ∙ 𝑤′

VI. ANEXOS.

489

Siendo.

𝑢 = 1 + 𝜂2, 𝑣 =

[ 5 − 18𝑡2 + 𝑡4 + 8𝜂2(7 − 50𝑡2 + 15𝑡4)

+2𝜂4(77 − 800𝑡2 + 435𝑡4)

+80𝜂6(2 − 27𝑡2 + 21𝑡4)

+3𝜂8(19 − 314𝑡2 + 315𝑡4) ]

𝑤 = cos5 𝜑


𝑢′ = −2𝜂2𝑡, 𝑤′ = −5𝑡 cos5 𝜑

𝑣′ =

{

−18(2𝑡3 + 2𝑡) + (4𝑡5 + 4𝑡3)

+8[−2𝜂2𝑡(7 − 50𝑡2 + 15𝑡4) + 𝜂2(−50(2𝑡3 + 2𝑡) + 15(4𝑡5 + 4𝑡3))]

+2[−4𝜂4𝑡(77 − 800𝑡2 + 435𝑡4) + 𝜂4(−800(2𝑡3 + 2𝑡) + 435(4𝑡5 + 4𝑡3))]

+80[−6𝜂6𝑡(2 − 27𝑡2 + 21𝑡4) + 𝜂6(−27(2𝑡3 + 2𝑡) + 21(4𝑡5 + 4𝑡3))]

+3[−8𝜂8𝑡(19 − 314𝑡2 + 315𝑡4) + 𝜂8(−314(2𝑡3 + 2𝑡) + 315(4𝑡5 + 4𝑡3))]}

𝑣′ = {

−36𝑡 − 36𝑡3 + 4𝑡3 + 4𝑡5 + 8[−114𝜂2𝑡 + 60𝜂2𝑡3 + 30𝜂2𝑡5]

+2[−1908𝜂4𝑡 + 3340𝜂4𝑡3] + 80[−66𝜂6𝑡 + 192𝜂6𝑡3 − 42𝜂6𝑡5]

+3[−780𝜂8𝑡 + 3144𝜂8𝑡3 − 1260𝜂8𝑡5]

}

𝑣′ = [

−36𝑡 − 32𝑡3 + 4𝑡5 − 912𝜂2𝑡 + 480𝜂2𝑡3 + 240𝜂2𝑡5

−3816𝜂4𝑡 + 6680𝜂4𝑡3 − 5280𝜂6𝑡 + 15360𝜂6𝑡3

−3360𝜂6𝑡5 − 2340𝜂8𝑡 + 9432𝜂8𝑡3 − 3780𝜂8𝑡5]

VI. ANEXOS.

490

Sustituyendo.

[FV(Φ)]′ =

{

−2𝜂2𝑡

[ 5 − 18𝑡2 + 𝑡4 + 8𝜂2(7 − 50𝑡2 + 15𝑡4)

+2𝜂4(77 − 800𝑡2 + 435𝑡4)

+80𝜂6(2 − 27𝑡2 + 21𝑡4)

+3𝜂8(19 − 314𝑡2 + 315𝑡4) ]

cos5 𝜑

+(1 + 𝜂2)

[ −36𝑡 − 32𝑡3 + 4𝑡5 − 912𝜂2𝑡 + 480𝜂2𝑡3

+240𝜂2𝑡5 − 3816𝜂4𝑡 + 6680𝜂4𝑡3

+15360𝜂6𝑡3 − 3360𝜂6𝑡5 − 5280𝜂6𝑡

−3780𝜂8𝑡5 − 2340𝜂8𝑡 + 9432𝜂8𝑡3 ]

cos5 𝜑

+(1 + 𝜂2)

[ 5 − 18𝑡2 + 𝑡4 + 8𝜂2(7 − 50𝑡2 + 15𝑡4)

+2𝜂4(77 − 800𝑡2 + 435𝑡4)

+80𝜂6(2 − 27𝑡2 + 21𝑡4)

+3𝜂8(19 − 314𝑡2 + 315𝑡4) ]

(−5𝑡 cos5 𝜑)

}

[FV(Φ)]′ =

cos5 𝜑

{

[ −10𝜂2𝑡 + 36𝜂2𝑡3 − 2𝜂2𝑡5

−16𝜂4𝑡(7 − 50𝑡2 + 15𝑡4)

−16𝜂6𝑡(77 − 800𝑡2 + 435𝑡4)

−160𝜂8𝑡(2 − 27𝑡2 + 21𝑡4)

−6𝜂10𝑡(19 − 314𝑡2 + 315𝑡4)]

+(1 + 𝜂2)

[ −36𝑡 − 32𝑡3 + 4𝑡5 − 912𝜂2𝑡 + 480𝜂2𝑡3

+240𝜂2𝑡5 − 3816𝜂4𝑡 + 6680𝜂4𝑡3

+15360𝜂6𝑡3 − 3360𝜂6𝑡5 − 5280𝜂6𝑡

−3780𝜂8𝑡5 − 2340𝜂8𝑡 + 9432𝜂8𝑡3 ]

−(1 + 𝜂2)

[

25𝑡 − 90𝑡3 + 5𝑡5

+40𝜂2𝑡(7 − 50𝑡2 + 15𝑡4)

+10𝜂4𝑡(77 − 800𝑡2 + 435𝑡4)

+400𝜂6𝑡(2 − 27𝑡2 + 21𝑡4)

+15𝜂8𝑡(19 − 314𝑡2 + 315𝑡4)]

}

VI. ANEXOS.

491

[FV(Φ)]′ =

cos5 𝜑

{

[

−10𝜂2𝑡 + 36𝜂2𝑡3 − 2𝜂2𝑡5 − 112𝜂4𝑡

+800𝜂4𝑡3 − 240𝜂4𝑡5 − 308𝜂6𝑡 + 3200𝜂6𝑡3

−1740𝜂6𝑡5 − 320𝜂8𝑡 + 4320𝜂8𝑡3 − 3360𝜂8𝑡5

−114𝜂10𝑡 + 1884𝜂10𝑡3 − 1890𝜂10𝑡5 ]

+

[

−36𝑡 − 32𝑡3 + 4𝑡5 − 948𝜂2𝑡 + 448𝜂2𝑡3

+244𝜂2𝑡5 − 4728𝜂4𝑡 + 7160𝜂4𝑡3 + 240𝜂4𝑡5

−9096𝜂6𝑡 + 22040𝜂6𝑡3 − 3360𝜂6𝑡5 − 7620𝜂8𝑡

+24792𝜂8𝑡3 − 7140𝜂8𝑡5 − 2340𝜂10𝑡 + 9432𝜂10𝑡3

−3780𝜂10𝑡5 ]

−

[

25𝑡 − 90𝑡3 + 5𝑡5 + 305𝜂2𝑡 − 2090𝜂2𝑡3

+605𝜂2𝑡5 + 1050𝜂4𝑡 − 10000𝜂4𝑡3 + 4950𝜂4𝑡5

+1570𝜂6𝑡 − 18800𝜂6𝑡3 + 12750𝜂6𝑡5 + 1085𝜂8𝑡

−15510𝜂8𝑡3 + 13125𝜂8𝑡5 + 285𝜂10𝑡 − 4710𝜂10𝑡3

+4725𝜂10𝑡5 ]

}

[FV(Φ)]′ = cos5 𝜑

[

−(25𝑡 + 36𝑡) + (90𝑡3 − 32𝑡3) + (4𝑡5 − 5𝑡5)

−(10𝜂2𝑡 + 948𝜂2𝑡 + 305𝜂2𝑡) + (36𝜂2𝑡3 + 448𝜂2𝑡3

+2090𝜂2𝑡3) + (244𝜂2𝑡5 − 605𝜂2𝑡5 − 2𝜂2𝑡5)

−(112𝜂4𝑡 + 1050𝜂4𝑡 + 4728𝜂4𝑡) + (800𝜂4𝑡3

+7160𝜂4𝑡3 + 10000𝜂4𝑡3) + (240𝜂4𝑡5 − 240𝜂4𝑡5

−4950𝜂4𝑡5) − (308𝜂6𝑡 + 9096𝜂6𝑡 + 1570𝜂6𝑡)

+(3200𝜂6𝑡3 + 18800𝜂6𝑡3 + 22040𝜂6𝑡3) − (1740𝜂6𝑡5

+3360𝜂6𝑡5 + 12750𝜂6𝑡5) − (320𝜂8𝑡 + 1085𝜂8𝑡

+7620𝜂8𝑡) + (4320𝜂8𝑡3 + 15510𝜂8𝑡3 + 24792𝜂8𝑡3)

−(3360𝜂8𝑡5 + 7140𝜂8𝑡5 + 13125𝜂8𝑡5) − (114𝜂10𝑡

+285𝜂10𝑡 + 2340𝜂10𝑡) + (1884𝜂10𝑡3 + 4710𝜂10𝑡3

+9432𝜂10𝑡3) − (1890𝜂10𝑡5 + 3780𝜂10𝑡5 + 4725𝜂10𝑡5)]

[FV(Φ)]′ = cos5 𝜑

[ −61𝑡 − 𝑡5 + 58𝑡3 − 1263𝜂2𝑡 + 2574𝜂2𝑡3 − 363𝜂2𝑡5

−5890𝜂4𝑡 + 17960𝜂4𝑡3 − 4950𝜂4𝑡5 − 10974𝜂6𝑡

+44040𝜂6𝑡3 − 17850𝜂6𝑡5 − 9025𝜂8𝑡 + 44622𝜂8𝑡3

−23625𝜂8𝑡5 − 2739𝜂10𝑡 + 16026𝜂10𝑡3 − 10395𝜂10𝑡5]

VI. ANEXOS.

492


𝑑Φ.

FVI(Φ) = [FV(Φ)]′ ∙𝑑𝜑

𝑑Φ

FVI(Φ) =

{

cos5 𝜑

[ −61𝑡 + 58𝑡3 − 𝑡5 − 1263𝜂2𝑡 + 2574𝜂2𝑡3 − 363𝜂2𝑡5

−5890𝜂4𝑡 + 17960𝜂4𝑡3 − 4950𝜂4𝑡5 − 10974𝜂6𝑡

+44040𝜂6𝑡3 − 17850𝜂6𝑡5 − 9025𝜂8𝑡 + 44622𝜂8𝑡3

−23625𝜂8𝑡5 − 2739𝜂10𝑡 + 16026𝜂10𝑡3 − 10395𝜂10𝑡5]

}

[(𝑁

𝜌) cos 𝜑]

FVI(Φ) =

{

cos5 𝜑

[ −61𝑡 + 58𝑡3 − 𝑡5 − 1263𝜂2𝑡 + 2574𝜂2𝑡3 − 363𝜂2𝑡5

−5890𝜂4𝑡 + 17960𝜂4𝑡3 − 4950𝜂4𝑡5 − 10974𝜂6𝑡

+44040𝜂6𝑡3 − 17850𝜂6𝑡5 − 9025𝜂8𝑡 + 44622𝜂8𝑡3

−23625𝜂8𝑡5 − 2739𝜂10𝑡 + 16026𝜂10𝑡3 − 10395𝜂10𝑡5]

}

∙ [(1 + 𝜂2) cos 𝜑]

FVI(Φ) =

(1 + 𝜂2)

[ −61𝑡 + 58𝑡3 − 𝑡5 − 1263𝜂2𝑡 + 2574𝜂2𝑡3 − 363𝜂2𝑡5

−5890𝜂4𝑡 + 17960𝜂4𝑡3 − 4950𝜂4𝑡5 − 10974𝜂6𝑡

+44040𝜂6𝑡3 − 17850𝜂6𝑡5 − 9025𝜂8𝑡 + 44622𝜂8𝑡3

−23625𝜂8𝑡5 − 2739𝜂10𝑡 + 16026𝜂10𝑡3 − 10395𝜂10𝑡5]

cos6 𝜑

𝐅𝐕𝐈(𝚽) = −𝒕(𝟏 + 𝜼𝟐)

[

𝟔𝟏 − 𝟓𝟖𝒕𝟐 + 𝒕𝟒

+𝟑𝜼𝟐(𝟒𝟐𝟏 − 𝟖𝟓𝟖𝒕𝟐 + 𝟏𝟐𝟏𝒕𝟒)

+𝟏𝟎𝜼𝟒(𝟓𝟖𝟗 − 𝟏𝟕𝟗𝟔𝒕𝟐 + 𝟒𝟗𝟓𝒕𝟒)

+𝟔𝜼𝟔(𝟏𝟖𝟐𝟗 − 𝟕𝟑𝟒𝟎𝒕𝟐 + 𝟐𝟗𝟕𝟓𝒕𝟒)

+𝜼𝟖(𝟗𝟎𝟐𝟓 − 𝟒𝟒𝟔𝟐𝟐𝒕𝟐 + 𝟐𝟑𝟔𝟐𝟓𝒕𝟒)

+𝟑𝜼𝟏𝟎(𝟗𝟏𝟑 − 𝟓𝟑𝟒𝟐𝒕𝟐 + 𝟑𝟒𝟔𝟓𝒕𝟒) ]

𝐜𝐨𝐬𝟔𝝋

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CHET

COL2

CULC

HER2

ICAM

ICEP

ICHI

ICHS

IDGO

IMIE

IMIP

INEG

IPAZ

IZAC

MERI

MEXI

MTY2

OAX2

TAMP

TOL2

UGTO

UQRO

USLP

UVER

VIL2

Aguascalientes

Mexicali

La Paz

Campeche

Saltillo

Tuxtla

Chihuahua

Durango

Guanajuato

Chilpancingo

Pachuca

Guadalajara

Toluca

Morelia

Cuernavaca

Tepic

Monterrey

Oaxaca

Puebla

Quéretaro

Chetumal

San Luis Potosí

Culiacá

Hermosillo

Villahermosa

Ciudad Victoria

Tlaxcala

Xalapa

Mérida

Zacatecas

Tuxtla

Gutierrez

Oaxaca

Chilpancingo

Cuernavaca

Puebla

Xalapa

Villahermosa

Campeche

Mérida

Chetumal

Tlaxcala

Pachuca

Toluca

Morelia

Guadalajara

Guanajuato

Queretaro

San Luis Potosí

Aguascalientes

Tepic

Zacatecas

Durango

Culiacán

Ciudad

Victoria

Saltillo

Monterrey

Chihuahua

Hermosillo

Mexicali

La Paz

Colima

D.F.

CHET

MERI

ICAM

VIL2

ICHS

OAX2

ICEP

TOL2

UQRO

UGTO

USLP

TAMP

UVER

COL2

INEG

IZAC

IDGO

MTY2

HER2

MEXI

IMIP

IPAZ

CULC

IMIE

ICHI

O A X A C A

M I C H O A C Á N

TLAXCALA

G U E R R E R O

P U E B L A

C H I A P A S

T A B A S C O

C A M P E C H E

Y U C A T Á N

Q U I N T A N A

ROO

V E R A C R U Z

M É X I C O

CIUDAD DE

MÉXICO

H I D A L G O

MORELOS

GUANAJUATO

J A L I S C O

COLIMA

N A Y A R I T

SAN LUIS POTOSÍ

T A M A U L I P A S

Z A C A T E C A S

D U R A N G O

C H I H U A H U A

C O A H U I L A

S O N O R A

B

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NUEVO LEÓN

ISTMO DE TEHUANTEPEC

PENINSULA DE YUCATÁN

P

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D

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B

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J

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C

A

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F

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R

N

I

A

CAYO LOBOS

CAYO CENTRO

ISLA CAYO NORTE

CAYO CHELEN

PUNTA HERRERO

PUNTA ALLEN

ISLA COZUMEL

PUNTA MOLAS DEL NORTE

PUNTA NIZUC

ISLA MUJERES

ISLA CONTOY

CABO CATOCHE

PUNTA FRANCISCA

PUNTA HOLOHIT

ARRECIFE

ALACRAN

PROGRESO

PUNTA NIMUN

PUNTA SEYBAPLAYA

BARRA PUERTO REAL

ISLA DEL CARMEN

BARRA TUPILCO

PUNTA ROCA PARTIDA

ISLA EL IDOLO

ISLA LOBO

CABO ROJO

ISLA

JUANA RAMIREZ

BARRA

SOTO LA MARINA

BARRA

JESUS MARIA

ISLAS CORONADO

ISLA DE TODOS

LOS SANTOS

CABO BANDA

PUNTA SANTO TOMAS

CABO COLONET

CABO SAN QUINTIN

PUNTA SAN ANTONIO

ISLA GUADALUPE

ISLAS SAN BENITO

ISLA CEDROS

PUNTA EUGENIA

ISLA NATIVIDAD

PUNTA ABREOJOS

ISLA MAGDALENA

ISLA SANTA MARGARITA

CABO SAN LUCAS

PUNTA ARENA

ISLA CERRALVO

PUNTA COYOTES

ISLA ESPIRITU SANTO

ISLA SAN JOSE

ISLA SANTA CRUZ

ISLA SANTA CATALINA

ISLA MONSERRAT

ISLA DEL CARMEN

ISLA PARTIDA

ISLA CORONADOS

PUNTA CONCEPCIÓN

ISLA SAN MARCOS

ISLA TORTUGA

ISLA SAN LORENZO

ISLA SAN ESTEBAN

ISLA TIBURÓN

ISLA ÁNGEL

DE LA GUARDA

ISLA SAN LUIS

ISLA

MONTAGUE

ISLA LOBOS

ISLA SANTA IGNACIO

ISLA

ALTAMURA

PENINSULA

LUCENILLA

ISLA SAN JUANITO

ISLA MARIA MADRE

ISLA MARIA CLEOFAS

ISLA MARIA MAGDALENA

ISLAS MARIAS

ISLA ISABELA

PUNTA MITA

CABO CORRIENTES

BARRA DE NAVIDAD

PUNTA SAN TELMO

BARRA TONALA

BARRA ZACAPULCO

GUATEMALA

GUATEMALA

BELIC

E

ESTADOS UNIDOS DE AMÉRICA



Bahía de Chetumal

Bahía del Espíritu Santo

Bahía de la Ascensión

Laguna de Términos

Laguna del Carmen

Laguna de Alvarado

Laguna

de Tamiahua

Laguna

Madre

Laguna Barril

Bahía el Descanso

Bahía San Ramón

Bahía Santa Maria

Bahía Rosario

Bahía

Sebastian Vizacaino

Laguna el Fuerte

Bahía San Cristobal

Bahía Ballenas

Bahía la Soledad

Bahía Magdalena

Bahía las Palmas

Bahía la Ventana

Bahía la Paz

Bahía San Carlos

Bahía Santa Ana

Canal Salsipuedes

Canal las Ballenas

Bahía Luis Gonzaga

Bahía Adair

Bahía San Jorge

Bahía Tepoca

C

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Bahía Guásimas

Bahía Tepolobampo

Bahía

Santa Martha

Bahía Altata

Laguna

Agua Grande

Bahía de Banderas

Ensenada Teopa

Bahía Manzanillo

Bahía Petacalco

Bahía Potosí

Laguna Coyuca

Laguna

Superior

Laguna

Inferior

Mar

Muerto

M A R C A R I B E(MAR DE LAS ANTILLAS)

CANAL DE YUCATÁN

ISLA SOCORRO

ISLA SAN BENEDICTO

ISLA CLARION

I S L A S R E V I L L A G I G E D O

G O L F O

D E

M É X I C O

OCÉ

AN

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PÁ

CI

FI

CO

AGUASCALIENTES

GOLFODE

TEHUANTEPEC

SONDA D

E CAMPECHE

CARTA GEOGRÁFICA DE LOS ESTADOS UNIDOS MEXICANOS

89º 88º 87º 84º 85º 90º 91º 92º 93º 94º 95º 96º 97º 98º 99º 100º 101º 102º 103º 104º 105º 106º 107º 108º 109º 110º 111º 112º 113º 114º 115º 116º 117º 118º 119º 120º

102º 103º 104º 105º 106º 107º

108º

109º 110º 111º 112º 113º 114º 115º 116º 117º 118º 119º 120º 121º 122º 123º 124º 101º 100º 99º 98º 97º 96º 95º 94º 93º 92º 91º 90º 89º 88º 87º 86º 85º 84º 83º 82º

18º

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26º

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29º

30º

31º

32º

33º

TRÓPICO DE CÁNCER

TRÓPICO DE CÁNCER

E S P E C I F I C A C I O N E S

S I M B O L O G Í A

CAPITAL DEL PAÍS.

CAPITAL DEL ESTADO.

ESTACIÓN GEODÉSICA DE LA RGNA.

LÍMITE ESTATAL.

LÍMITE INTERNACIONAL.

ZONA ECÓNOMICA EXLCUSIVA (ZEE).

P A R Á M E T R O S

ELIPSOIDE. GRS80.

PROYECCIÓN. TRANSVERSA DE MERCATOR (TM).

MERIDIANO CENTRAL (MC). 102º W.

ORIGEN DE LATITUDES. ECUADOR.

FALSO ESTE (m). 2 500 000.000

FALSO NORTE (m). 000.000

FACTOR DE ESCALA EN EL MC. 1.000

DATUM HORIZONTAL. ITRF08

N O T A S G E N E R A L E S

- PARA LA ELABORACIÓN DE ESTE DOCUMENTO SE UTILIZARON ALREDEDOR DE

176 MIL COORDENADAS, APLICANDO EN ELLAS LOS ALGORITMOS DE

TRANSFORMACIÓN AMPLIFICADOS PARA LA PROYECCIÓN TRANSVERSA DE

MERCATOR O GAUSS-KRÜGER QUE EN ESTA TESIS SE PRESENTA.

- LA INFORMACIÓN POR ENTIDAD FEDERATIVA CORRESPONDIENTE A LA

REPÚBLICA MEXICANA FUE OBTENIDA DE LOS SERVIDORES EN LÍNEA DEL

INSTITUTO NACIONAL DE ESTADÍSTICA Y GEOGRAFÍA (INEGI) Y LA COMISIÓN

NACIONAL PARA EL CONOCIMIENTO Y USO DE LA BIODIVERSIDAD (CONABIO).

- LA INFORMACIÓN GEOGRÁFICA CORRESPONDIENTE A LOS ESTADOS UNIDOS

FUE OBTENIDA DEL SERVIDOR EN LÍNEA DE LA UNITED STATES CENSUS,

MIENTRAS QUE PARA LAS REPÚBLICAS DE BELICE Y GUATEMALA SE UTILIZARÓN

OTRAS FUENTES.

- LA REPRESENTACIÓN CARTOGRÁFICA DE TODOS LOS ELEMENTOS

GEOGRÁFICOS, CARACTERÍSTICAS Y PARÁMETROS QUE EN ESTA CARTA SE

PRESENTAN, ESTÁN APEGADOS A LA NORMATIVIDAD PARA LA ELABORACIÓN DE

CARTOGRAFÍA ESTIPULADA POR EL INEGI.

DICIEMBRE 2016

ESCALA 1:4 000 000

0100 75 50 25 100 200Kilómetros

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA

UNIDAD "TICOMÁN"

CIENCIAS DE LA TIERRA

“DESARROLLO DE NUEVOS ALGORITMOS DE TRANSFORMACIÓN PARA

LA REPRESENTACIÓN COMPLETA DE LA REPÚBLICA MEXICANA

EN LA PROYECCIÓN TRANSVERSA DE MERCATOR

O GAUSS-KRÜGER.”

ELABORÓ: GABRIEL ADRIÁN HERNÁNDEZ DE LA ROSA

REVISÓ: ING. FERNANDO BARRERA TREJO

RECIBE: DEPTO. DE TITULACIÓN ESIA TICOMÁN

300

desarrollo de nuevos algoritmos de - Tesis IPN

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