Deber conjuntos

Curso prepolitécnico semi-presencial

Unidad 1Tarea 1.01: Proposiciones

1. Cuál de los siguientes enunciados es una proposicióna) El sabor del color azul es dulceb) 314159 es un número primoc) x 2 + 2x + 1 = 0d) Disparen al ladróne) La edad del universo es de unos 15 mil millones de

años

2. .Escoja el enunciado que representa una proposicióna) Las rosas son rojasb) El amanecer es belloc) 4 es divisible para 2d) 45 + 18e) La química es complicada

Tarea 1.04: Proposiciones Moleculares y FormasProposicionales

1. Sean p, q, r variables proposicionales, entonces la formaproposicional que NO es tautología es:a) ( p q ) ( q p ) b) [ ( p q ) q ] pc) [ ( p q ) r ] [ ( p r ) ( q r ) ]

1

Átomo.....


d) [ ( p q ) ( q r ) ] ( p r )e) [ ( p r ) ( q r ) ] [ ( p q ) r ]

2. La traducción al lenguaje formal del enunciado:“ Si la información es correcta, entonces existe unincremento en los costos de producción, o el analista tieneun error de apreciación”.Considerando las proposiciones:p: la información es correcta.q: existe un incremento en los costos de producciónr: el analista tiene un error de apreciación.es:a) ( q r ) pb) ( r q ) pc) p ( r q )d) p ( r q )c) p ( r q ) q

3. Si la proposición [ ( a b ) d ] ( d e ) es falsa,entonces es verdad que :a) b a 0b) e d 0c) d a 0d) a d 0e) e a 0

4. La traducción al lenguaje formal de la proposición: “ Si túeres inteligente y no actúas con prudencia, eres unignorante en la materia”. Siendo las proposiciones atómicas:

m: tú eres inteligente n: tú actúas con prudencia p: tú eres un ignorante en la materia es: a) m ( n p ) b) m ( n p ) c) p ( m n ) d) ( m p ) n e) m ( n p)

2


5. Siendo p, q, r variables proposicionales, entonces la formaproposicional que no es tautológica es:a) ( p q ) ( p q )b) ( p q ) ( q p )c) ( p p ) 1d) [ ( p q ) q ] pe) ( p ( p q )) q

6. Considerando a p, q, r variables proposicionales¿ Cuál de las siguientes formas proposicionales no estautológica?a) ( p q ) ( q p )b) (( p q ) ( p q )) ( p q )c) [ ( p q ) ( q r ) ] ( p r )d) ( p p ) 1e) Ninguna de las anteriores.

7. La traducción al lenguaje formal de la siguiente proposiciónmolecular “ Si yo hablo en varios lenguajes y no tengo amor,soy como un metal que resuena”. Siendo las proposicionesatómicas

a: yo hablo en varioslenguajes b: yo tengo amor c: yo soy como un metalque resuena es:

a) ( a b ) cb) c ( a b )c) ( a b ) cd) c ( a b )e) Ninguna de las anteriores

8. Una de las siguientes formas proposicionales NO esTAUTOLÓGICA, identifíquela: a) ( q p ) q pb) ( p q ) ( p q )c) ( p q ) 0d) (p q ) ( p q )e) ( p q ) ( q p )

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9. Una forma proposicional lógicamente equivalente a: ( a b ) ( c a ), es :a) ( a b ) cb) a ( b c)c) a ( b c )d) ( a b c ) ce) [ ( a b ) c ] a

10. La forma proposicional [ ( p q ) r ] s es equivalentea:a) ( p q r s )b) p q r sc) ( p q ) ( r s )d) ( p q r s )e) ( p q ) ( r s )

11. Defina simbólicamente las proposiciones e indique latraducción formal:a) La decisión depende del juicio o la intuición, pero no del

dinero.b) Iré sal estadio o al cine, en caso de que consiga dinero.c) El sol brilla porque es el día del amor.d) A Juan no le agrada este ejercicio pues no lo puede

resolver.

12. Para cada forma proposicional demuestre que es una tautologíamediante una tabla de verdad y luego mediante la verificaciónde inexistencia del caso 1 0.a) ( p q ) ( q p )b) [ ( p q ) ( q r ) ] ( p r )c) [ ( p q ) ( p ) ] q

13. Dada la frase “ Si yo hablo varios lenguajes y no tengo amor,soy como un metal que resuena”. Siendo

a: yo habloen varios idiomas b: yo tengoamor c: yo soycomo un metal que resuena Selecciones la traducción correcta:

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a) c ( a b )b) ( a b ) cc) ( a b ) cd) c ( a b )

14. Dadas las proposiciones atómicasa: Los niños son cariñosos con sus padres.b: Los padres se sienten felices.

Si se escribe el enunciado “Basta que los niños seancariñosos con sus padres para que estos se sientan felices”, entonces latraducción formal sería:

a) (a b) (b a)d) (a b) (a b)

b) (a b) e)a (a b)

e) b (a b)

15. Si la proposición [(a b) c] es VERDADERA, entoncesuna de las siguientes opciones es FALSA, identifíquelaa) ( a b ) cb) (a b ) c ]c) [ ( a b ) c ]d) ( a b c ) ae) a b c

Tarea 1.05: Álgebra de Proposiciones

8. Enuncie y demuestre las siguientes leyeslógicas mediante una tabla de verdada) Una de las leyes distributivasb) Una de las leyes de Morgan

9. Enuncie y demuestre formalmente la ley dereducción de orden

10. Siendo A, B conjuntos y x algún elemento, marquela proposición falsa:a) ( A = B ) ( A B ) ( B A )b) ( A B ) ( x B ) ( x A )c) [ Re – A B ] C = ( A, B son

disjuntos )

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d) AC – B = { x / ( x A ) ( x B ) }e) [ ( A x ) AC = ] 1

11. La contra recíproca de la proposición: “ Si elniño es un fenómeno o un desastre natural,entonces no es una simple lluvia o un malpasajero” es:a) Si el niño es una simple lluvia y no un mal

pasajero, no es un fenómeno ni un desastrenatural.

b) El niño no es un fenómeno ni un desastrenatural, porque es un mal pasajero y no unasimple lluvia.

c) El niño es un fenómeno, desastre natural,simple lluvia y un mal pasajero.

d) El niño no es un fenómeno ni desastrenatural, si es una simple lluvia y un malpasajero.

e) El niño no es una simple lluvia o un malpasajero sólo si no es un fenómeno.

12. La proposición: “ Si se es inteligente oestudioso, entonces se es aplicado”; eslógicamente equivalente a:a) Si no se es inteligente entonces no se es ni

estudioso ni aplicado.b) Si se es inteligente entonces se es aplicado y

si se es estudioso entonces se es aplicado.c) Si se es inteligente entonces se es estudioso

y aplicado.d) Si se es inteligente entonces se es aplicado

pero no se es estudioso.e) Ninguna de las anteriores.

13. Dado la proposición [ ( p q ) ( r s) ] [ p ( r s ) ] es verdadera, entonceses cierto que:a) p q 0b) q s 1 c) ( r s ) q 0d) q 1

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e) p r 0

Tarea 1.06: Razonamientos

1. Las premisas de un razonamiento lógico son:H1: p ( q r )H2: q ( p r )H3: pentonces la conclusión que lo valida es:a) qb) pc) q pd) q pe) Ninguna de las anteriores

2. El razonamiento:“ Si Juan no miente, Pedro es inocente yPablo no es culpable. Si Pedro es inocente,Juan miente o Pablo es inocente. Por lotanto, si Pedro es inocente, Juan miente “es:

a) Válidob) Falacia

3. Dados los razonamientos:R1: Los perros son animales. Ningún perroes caballo. Por lo tanto ningún caballo esanimal.R2: Si llueve, Enrique se enfermará.Enrique no se enfermó. Por lo tanto nollovió.Es cierto que:a) R1 y R2 son válidos.b) Solo R1 es válido.c) Sólo R2 es válido.d) R1 y R2 son falacias.e) No es posible determinar la

validez de los argumentos.

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4. Dadas las premisas:H1: Si el paciente tiene fiebre, entonces lamalaria no causó su enfermedadH2: El envenenamiento alimentario o lamalaria fueron la causa de la enfermedadH3: El paciente comió cangrejo anoche.Una conclusión que puede inferirselógicamente de ellas es:a) La malaria causó la enfermedad.b) El envenenamiento alimentario causó la

enfermedad.c) Si el paciente tiene fiebre, entonces la

malaria causó la enfermedad.d) Si el paciente no tiene fiebre, entonces

el envenenamiento alimentario causó laenfermedad.

e) Si el paciente tiene fiebre, entoncescomió cangrejo anoche.

5. Las premisas de un razonamiento son:H1: Si Juan no miente, Pedro es inocente yPablo es inocente.

H2: Si Pedro es inocente, entonces Juanmiente o Pablo es inocente. H3: Juan no miente.

Describa simbólicamente este razonamiento eindique cual de las siguientes conclusioneslo validan:a) Pedro es inocenteb) Pedro no es inocentec) Si Pedro es inocente, Juan miented) Pedro es inocente y Juan miente

14. Con las proposiciones m: yo gano laselecciones

n: Guayaquil tiene buses articulados l : ustedes tienen transporte

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Se construye los siguientesrazonamientos, determine cuál de ellos no esválido:

a) ( ( m n ) ( n l ) ) ( m l )b) ( ( m n ) ( n l ) ) ( l n )c) ( ( m n ) m ) ) nd) ( ( m ( n m ) ) ne) ( ( m n ) ( n l ) l ) ) m

15. Considerando las premisas r p, s q, ( p q ) ( r s ), p qdetermine cuál de las siguientesconclusiones valida el razonamiento.a) p b) r pc) p q d) ( r s q) e) q

16. Dadas las siguientes premisas y sucorrespondiente conclusión:P1: Si el paciente no tiene gripe, entonces

el mal tiempo no causó su enfermedad.P2: La poca alimentación o el mal tiempo

fueron la causa de su enfermedad.P3: El paciente comió chocolate el día de

ayer.C: Si el paciente no tiene gripe, entonces

la poca alimentación causó la enfermedad.Si las proposiciones atómicas que sederivan de este razonamiento son:a: El paciente tiene gripe.b: El mal tiempo causó la enfermedad.c: La poca alimentación causó la enfermedad.d: El paciente comió chocolate el día de

ayer.Entonces, la traducción correcta allenguaje formal del razonamiento es:a) [ ( a b ) ( b c ) d ] ( a c )b) [ ( a b ) ( b c ) d ] ( a c )c) [ ( b a ) ( b c ) d ] ( a c )

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d) [ ( a b ) ( b c ) d ] ( a c )e) [ ( a b ) ( b c ) d ] ( a c )

Tarea 1.07: Conjuntos

1) Sean A, B y C conjuntos no vacíos respecto al siguientegráfico. La parte sombreada corresponde a:

a) ( A B ) – Cb) ( A – B ) Cc) ( B – A ) Cd) ( A B ) – Ce) ( A B ) - A

2) En una encuesta a 200 estudiantes se halló que: 68 aprueban Matemáticas120 aprueban Física y Química138 aprueban Física20 aprueban Matemáticas y no Física160 aprueban Química13 aprueban Matemáticas y no Química13 aprueban Matemáticas y Química pero no Física

El número de estudiantes que no aprueban ningunamateria es:a) 5 b) 8c) 15 d) 40e) 17

3) Sean A, B, C conjuntos no vacíos. seleccione laopción que sea falsa:

a) A –B = A – ( A B )b) ( A B B D ) ( A B )c) A B AC BC

d) [ AC BC ]C = A Be) A – ( B D ) = ( A – B ) ( A – D )

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A B

C


4) Dados Los conjuntos A = { a, b, c, d }, B = { 3,5, 7, 8 }, y las funciones:

f : A B, f = { ( a, 3 ), (b, 5 ), ( c, 8 ), ( d, 7 ) } g : B A, g = { ( 3, d ), (5, a ), ( 7, c ), ( 8, b ) } entonces la correspondencia establecida por lafunción g-1 o f-1, es:

a) { ( 5, 8 ), ( 3, 5 ), ( 7, 3 ), ( 8, 7 ) }b) { ( 3, 3 ), ( 5, 5 ), ( 7, 7 ), ( 8, 8 ) }c) { ( a, d ), ( b, a ), ( c, c ), ( d, b ) }d) { ( d, 3 ), ( a, 5 ), ( c, 7 ), ( b, 8 ) }e) Ninguna de las anteriores

5) Siendo A, B, C conjuntos no vacíos, la parterayada en el gráfico adjunto corresponde a:

a) [ A – ( B C )C ] B

b) ( B – CC ) ( A – B )C

c) ( BC C ) [ B – ( BC CC )C ]

d) ( B C )C – ( A – C )

e) Ninguna de las anteriores

6) En una encuesta realizada a 200 estudiantes seobtuvo la siguiente información: 68 secomportan bien, 138 son inteligentes, 160 sonhabladores, 120 son habladores e inteligentes20 estudiantes se comportan bien y no soninteligentes, 13 se comportan bien y no sonhabladores, 15 se comportan bien y sonhabladores, pero no son inteligentes. ¿Cuántosde los 200 estudiantes entrevistados no secomportan bien, no son habladores y no soninteligentes?

a) 8b) 37c) 23

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A B

C


d) 17e) 42

7) Se hizo una entrevista a 885 amas de casa y seobtuvo la siguiente información acerca deciertos programas de televisión:600 veían noticieros400 veían series policíacas620 veían programas deportivos195 veían noticieros y series policíacas190 veían series policíacas y deportivas400 veían noticieros y deportivosy todos ven al menos uno de los tres programasConforme con estas afirmaciones, el número depersonas entrevistadas que ven los tres tipos deprogramas es:a) 50b) 145c) 350d) 140e) 40

8) Si Re = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } y A y B sonconjuntos no vacíos tales que:

( A B )C = { 1, 2, 6, 7, 8 }; Re – ( A B) = { 8 } y B – A = { 6, 7 }. Entonces es VERDAD que:

a) A –B = { 3, 4, 5 }b) B = { 3, 4, 6, 7 }c) ( A – B ) ( B A ) = { 1, 2 }d) A = { 1, 2, 4, 5 }e) A ( A – B ) =

9) Dado el siguiente diagrama de Venn, uno de lossiguientes literales corresponde a un conjuntovacío. Identifíquelo.

a) C – ( A B )b) ( B – C ) ( A CC )c) ( C AC ) ( C – B )

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C

A

B

Re


d) ( AC B ) Ce) ( C – A ) ( C – B )

10) En una encuesta a 500 estudiantes se tiene que:220 estudian Álgebra, 180 estudian Lógica, 300estudian Cálculo, 150 estudian Lógica y Cálculo,120 estudian Álgebra y Cálculo, 50 estudian lastres materias, 120 estudian Álgebra o Lógicapero no Cálculo. Entonces los que estudian soloLógica son:

a) 20b) 100c) 60d) 30e) 150

11) Dados los conjuntos: A = { p, q, r, s } y B = {m, n, o, p } y las funciones de A en B

f = { ( p, m ), ( q,p ), ( r, m ), ( s, n ) } g = { ( p, p ), ( q,m ), ( r, n ), ( s, o ) } entonces es cierto que:

a) f g es una función inyectivab) g es sobreyectiva pero no inyectivac) f es iyectiva pero no sobreyectivad) g es una función biyectivae) f es una función biyectiva

12) Sean los conjuntos A = { a, b } y B = { 1, 2,3 }. El número de relaciones diferentes de B enA que se puede definir es:a) 64 b) 6c) 36 d) 25e) 128

13) Sea el conjunto Re = { 1, 2, 3, 4, 5 }. Entonceses verdad que:

a) x ( x + 3 = 1 ) x

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b) x ( x + 3 < 5 )c) x ( x 2 > 1 )d) x ( x + 3 < 5 ) e) x ( x 2 – 4 x + 3 = 0 )

14) Dado el referencial Re = { 2, 3, 5, 7, 8, 9,

10 } y los predicados p (x) = x es múltiplo de2 y mayor a 3 , q(x) = x es múltiplo de 5

Entonces el conjunto A [ q(x) p(x) ]es :

a) { 2, 3, 5, 7, 8, 9 }b) c) { 5, 8, 10 }d) { 2, 3, 5, 7, 9 }e) { 2, 8, 10 }

15) Dado el conjunto referencial Re = { -3, -2, -1,1, 2, 3 } y los predicados p(x) : x ( x + 2 ) =0; q(x) : x 2 > 0. Entonces, es verdad que :

a) -1 A [ p(x) q(x) ]b) A [ p(x) q(x) ] = c) A [ p(x) q(x) ] = Red) A [ q(x) ] = { -3, -2, -1 }e) A [ p(x) q(x) ] =

16) Si A y B denotan conjuntos cualesquieracontenidos en un conjunto referencial Re,determine cuál de las siguientes proposicioneses falsa:

a) A, B [ ( A B = A ) ( A B ) ]b) A [ AC Re = ) ( A = Re ) ]c) A, B [ ( ( A B )C = BC ) ( A b ) ]d) A, B [ ( A B = A ) ( A = Re ) ]e) A, B [ ( A B ) ( BC AC ) ]

Tarea 1.11: Cuantificadores

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1. Identifique cual de los siguientesenunciados con cuantificadores es unaequivalencia válida:a) x p(x) x p(x)b) x [ p(x) q(x) ] x p(x) x q(x)c) A [ p(x) q(x) ] A q(x) A p(x) d) [ p(x) q(x) ] x [ q(x) p(x)

]e) x [ p(x) q(x) ] x [ p(x)

q(x) ]

2. Una de las siguientes proposiciones esFALSA, identifíquela.

a) En una enunciación hipotética verdadera,es suficiente que la hipótesis seaverdadera para pensar que la conclusiónes también verdadera.

b) [ p ( q p ) ] 1c)d) Si A y B son conjuntos no vacíos, entonces x ( A - B ) ( x A ) ( x B )

e) Sí N(Re) > 1; entonces, x p(x) xp(x)

17. Si N (Re) > 1, entonces una proposiciónverdadera es:a) x p(x) x p(x)b) x ( p(x) q(x) ] x p(x) x q(x)c) A [ p(x) q(x) ] A q(x) A p(x)d) x [ p(x) q(x) ] x [ q(x)

p(x) ]e) x [ p(x) q(x) ] x [ p(x)

q(x) ]

18. Determine cual delas siguientesproposiciones es FALSAa) ( x p(x) ) x ( p(x) )b) x ( A – ( A B ) x ( A – B )c) n ( A B ) = n ( A ) + n ( B ) – n ( A B

)d) ( A B )C = ( A – B ) ( B - A )

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e) Una de las siguientes proposicionesanteriores es Falsa

28. Una de las proposiciones siguientes esverdadera, identifíquela:a) x { -1, 0, 1 } y { 1, 0 } [ x +

y = 3 ]b) x { -1, 0, 1 } y { 1, 0 } [ x +

y N ]c) x { -1, 0, 1 } y { 1, 0 } [ x +

y = y ]d) x { -1, 0, 1 } y { 1, 0 } [ y =

2x ]e) x { -1, 0, 1 } y { 1, 0 } [ x =

y ]

6. Una de las siguientes proposiciones esverdadera, identifíquela:a) x { 1, 2 }, y { 0, 1, 2 } [ x +

y = y ]b) y { 0, 1, 2 } x A = { 1, 2 } [ x

< y ]c) y { 0, 1, 2 } x { 1, 2 } [ x

y ]d) m N n N [ ( m – n ) 2 ] e) x { 0, 1, 2 } y { 1, 2 } [ ( x2

+ 2 y2 ) 15 ]

7. Una de las siguientes proposiciones esfalsa. Identifíquela:a) Si el referencial es unitario, ( x p(x) x p(x) )

b) Si el referencial es unitario, ( x p(x) x p(x) )

c) Si el referencial tiene más de unelemento, ( x p(x) x p(x) )

d) x p(x) x [ p(x) ]e) x [ p(x) ] x [ p(x) ]

8. La traducción en lenguaje simbólico de laafirmación: “No todo número impar es

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divisible para 5”, utilizando: p(x): xes número impar; q(x): x es númerodivisible para 5; es:a) x [ q(x) p(x) ]b) x [ p(x) q(x) ]c) x [ p(x) q(x) ]d) [ x p(x) q(x) ]e) Ninguna de las anteriores

9. Identifique cuál de las siguientesproposiciones es FALSA:a) ( x A ) [ ( x A ) ( x B ) ]

[ ( x A ) ( x B ) ]b) [ x ( Re – A ) ] [ x ( Re – B ) ] ( x Re ) [ ( x A ) ( x B ) ]

c) Si ( Re = ): [ x p(x) x p(x) ]d) ( x p(x) 1 ) ( A p (x) = )e) Si todas las anteriores son verdaderas

marque esta casilla

10. Identifique cual de las siguientesproposiciones es falsa:a) x[p(x) q(x)](xp(x)) (xq(x))b) x[p(x) q(x)](xp(x)) (xq(x))c) x[p(x) q(x)](xp(x)) (xq(x))d) xp(x)xp(x)e) x[p(x) q(x)]x[p(x) q(x)]

11. La negación lógica del siguiente enunciado: y x [ p(x) q(y) ] es:a) x y [ p(x) q(y) ]b) y x [ q(y) p(x) ]c) y x [ p(x) q(y) ]d) y x [ q(y) p(x) ]e) y x [ p(x) q(y) ]

12. Si se tiene la siguiente proposición: [ xp(x) q(x) ]; entonces una de lassiguientes alternativas es EQUIVALENTE.a) x p(x) q(x)

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b) x p(x) q(x)c) x p(x) q(x)d) x p(x) q(x)e) x q(x) p(x)

Tarea 1.12: Predicado de Varias Variables

1. Sea Re = R y los predicados p(x): x es un número impar y q (x): x es un número par entonces es verdad que:

a) N Ap(x) b) A p(x) = Ac q(x) c) Re = Ap(x) Aq(x)d) Aq(x) – Ap(x) =e) A ( p(x) q(x)) = Ac p(x)

2. Dado el predicado de dos variables p(x,y) : “x es divisible para y” con los siguientes referenciales Rex = Rey = {1, 2, 3, …} TRADUZCA al lenguaje común las siguientes proposiciones:

f) x y p(x,y) g) x y p(x,y) h) x p(x,y)i) x y p(x,y) j) x y p(x,y) k) x p(x,y)

1. Dado p(x,y): x y , donde Re(x) = {0, 1, 2} y el Re(y) = {-1, -3, 1,0}. Entonces es VERDAD que:

a) y x p(x,y) b) x y p(x,y) c) x y p(x)d) y x p(x,y) e) y x p(x,y)

2. La NEGACIÓN lógica del siguiente enunciado: y x [p(x) q(y)] es:

a) x y [p(x) q(y)] b) y x [p(x) q(y)] c) yx [p(x) q(y)] d) y x [q(y) p(x)] e) y x [q(y) p(x)]

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3. Sea Re un conjunto referencial y p(x) un predicado,determine la proposición correcta:

a) Si Re = {a} y p(a) 1, x p(x) 1 x p(x) 0b) Si Re = {0} y p(0) 1, x p(x) x p(x) c) Si Re = , x p(x) x p(x)d) Si Re = , x p(x) 1e) Ninguna de las anteriores.

6. Considérese el predicado de dos variables p(x,y) : x < 3-ysiendo Rex = {2,4,6,8} y Rey = {2,1,0,-1,-2,-3,-4,-5,-6}bajo estas condiciones determine cuál de las siguientesproposiciones es verdadera.

a) x y p(x, y)b) Ap(x,y) = Rex x Reyc) yx p(x, y)d) x y p(x, y)e) X y Y son variables libres

7. Sea el conjunto referencial Re = { 10, 15, 20, 25,30, 35, 40, 45, 50 } y los predicados:

p(x) : x es múltiplo de 10 q(x) : x es divisible para 3 Cual de las siguientes afirmaciones es VERDADERA

a) A[p(x) q(x)] = {45}b) A[p(x) q(x)] = {10, 15, 20, 25, 30, 35,...}c) A[p(x) q(x)] = {10, 20, 30, 45, 50}d) A[p(x) q(x)] = {15, 25, 30, 35, 45}e) Marque aquí si todas las proposiciones anteriores son

falsas.

8. Sea Re = {1, 2, 3, 4,...} y los predicados p(x) : x es un número impar q(x) : x es un número par Entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:

a) A( p(x) q(x) ) Aq(x)b) Ap(x) = Acq(x)c) Re = Ap(x) Aq(x)d) Aq(x) Ap(x) =

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e) A( p(x) q(x) ) = Acp(x)

Traducción de expresiones cotidianas con cuantificadores

29. Sea Ref = { a, e, i, o, u } y p(x) unpredicado cualquiera, una de las siguientesproposiciones es verdadera. Identifíquela:a) x p(x) x p(x)b) x p(x) x p(x)c) x p(x) x p(x)d) ( x p(x) = 0 ) ( x p(x) = )e) ( x p(x) 1 )

30. Considere Re = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10 } y los predicados p(x): ( x - 2 ) ( x –4 ) = 0, q(x): x es par y r(x): x esmúltiplo de 3 x – 4 , entonces es VERDADque:a) A p(x) A q(x)b) A r(x) - A p(x) = c) A q(x) - A p(x) = A r(x) d) A p(x) = { 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }e) A p(x) A q(x) = { 2 }

3. Sea Re = R y los predicados p(x): x es unnúmero impar y q (x): x es un número parentonces es verdad que:a) N A p(x)b) A p(x) = Ac q(x) c)Re = A p(x) A q(x)d) A q(x) – A p(x) =e) A ( p(x) q(x)) = Ac p(x)

17) Dado el conjunto referencial Re = { -3, -2,-1, 1, 2, 3 } y los predicados p(x) : x ( x+ 2 ) = 0;

q(x) : x 2 > 0. Entonces, es verdad que :a) -1 A [ p(x) q(x) ]b) A [ p(x) q(x) ] = c) A [ p(x) q(x) ] = Red) A [ q(x) ] = { -3, -2, -1 }

20


e) A [ p(x) q(x) ] =

4. Sea Re ={1,2,3,4,...}y los predicadosp(x): x es un número impar

q(x): x es unnúmero par Entonces una de las siguientesproposiciones es FALSA, identifíquela.a) A [ p(x) q(x) ] A q(x) c) A p

(x) = AC q(x) b) A q(x) – A p(x) = d) Re = A

p(x) A q(x) e) A [ p(x) q(x) ] = AC p(x)

Tarea 1.13: Razonamientos con Cuantificadores

5. Comprobar si el siguiente razonamiento es VALIDO. H1: Todos los números enteros son racionales H2: Algunos números reales son enteros C: Algunos números reales son racionales. a) Valido b) Falacia

6. Considere las siguientes premisas de un razonamiento: P1: Todos los números racionales son reales P2: Ningún número imaginario es real P3: Algunos números complejos son reales

Entonces una conclusión para que el razonamiento sea válido es:a) Ningún número racional es complejob) Ningún número complejo es realc) Existen números complejos que son imaginariosd) Ningún número imaginario es racionale) Marque esta casilla si ninguna conclusión es lógicamente inferida delas premisas.

7. Considerando las siguientes premisas H1: Todo Kin es Kon H2: Ningún Kon es Kan H3: Algunos Kun son Kon Una CONCLUSIÓN VÁLIDA es:

21

Números.....

Kin Kon......


a) Algunos Kin es Konb) Todo Kon es Kunc) Todo Kon es Kand) Algunos Kun son Kine) Algunos Kun no son Kan

8. Dadas las siguientes hipótesis: H1: Todo profesional tiene título. H2: Ningún irresponsable tiene título. H3: Algunos profesores tienen título.

Entonces una CONCLUSIÓN que se puede inferir de las premisasanteriores es:

a) Ningún profesional es profesor.b) Ningún profesor tiene título.c) Existen profesores que son irresponsables.d) Ningún irresponsable es profesional.e) Marque esta casilla si las todas conclusiones anteriores no se

infieren de las premisas.

9. Dadas las siguientes premisas:P1 : Todos los contribuyentes son honestos.P2 : Todos los honestos son especiales.

Entonces una CONCLUSIÓN LÓGICAMENTE INFERIDA de las premisas es:a) Algunos contribuyentes no son especiales.b) Todas las personas especiales son contribuyentes.c) Todos los contribuyentes son especiales.d) Ningún contribuyente es especial.e) Marque esta casilla si ninguna de las conclusiones anteriores se infieren de las premisas dadas.

6. Considere las premisas de un razonamiento:P1: Todos los vegetarianos son sanos,P2: Algunos sanos comen carne de res,P3: Todos los vegetarianos no comen carne de res,P4: Algunos vegetarianos tienen vicios.Entonces una conclusión para que el razonamiento seaválido es:a) Algunas personas que tienen vicios, no comen carne

de resb) Algunas personas que no tienen vicios comen carne

de res

22


c) Todos los que no son vegetarianos comen carne deres

d) Todos los viciosos son sanose) Todos los viciosos comen carne de res

Tarea 1.14: Pares Ordenados y Producto Cartesiano

1. Sean los conjuntos A = { a, b, c }, B = { d, e }, cuyo referencial es

Re = { a, b, c, d, e, f }. Entonces es verdad que:

a) ( AC – BC ) = { a, c, d } Bb) N ( A BC ) = 8c) ( A – B )C A = Red) B ( BC – A ) = { ( d, f ), ( e, f ) }e) N ( AC B ) = N ( A BC )

2. Una de las siguientes afirmaciones es VERDADERA. Identifíquela. a) { 1 } { 1, 2, 3 }b) 1 { 1 }c) { 1 } { 2, 3 }d) { ( 2, 3 ) } { 1, 3 } x { 2, 3 } e) ( 3, 4 ) { 2, 3 } x { 1, 3, 4 }

3. Dados los conjuntos A= {1, 2} B={x, y, z} C= {3, 4} entonces es VERDAD que:a) El producto cartesiano AxBxC tiene 7 elementosb) El producto cartesiano AxBxC contiene 17 elementosc) El producto cartesiano AxBxC contiene una terna (1,1,3)d) El producto cartesiona AxBxC posee 12 elementose) El producto catesiano AxBxC es imposible realizarlo

23

Carne de res


Tarea 1.15: Relaciones

1. Sean los conjuntos A = { 2, 3, 4, 5, 6 } y B = {0, 2, 3, 4, 5 } y definida una relación R de Aen B por ( a, b ) R si b = a – 1. Entoncesel número de pares ordenados que pertenecen a larelación es:a) 4 b) 5c) 3 d) 2e) 0

2. Si se tiene la relación mostrada en el gráfico,entonces es VERDAD que:

a) 2 dom rb) {, } rg rc) (, 3) rd) El gráfico muestra una funcióne) Todas son falsas

3. Dados los conjuntos A = { 2 , 4 , 6 , 8 } y B= { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 } indique cuálde las siguientes relaciones de A en B es unafunción.

a) R1 = A x Bd)R4 = { ( x, y ) A x B / y = 2x - 1 }

b) R2 = { ( x,y ) A x B / y x } e) R5 = { (x, y ) A x B / y = 3 }

c) R3 = { ( x, y ) A x B / x = 2 }

4. Considere los conjuntos A = { a , * , 0 } y B= { 1, 0} ; entonces es VERDAD que:

a) B x (A B) = {(0,1) ,(0,0)} c) N(A x (A

24

y

321

x


- B)) = 6 e) N((A UB) x (A - B)) = 4b) (A B) x (B U A) = d)B x (A - B) = { (1,a), (0, *) }

5. Sean los conjuntos A = {2, 3, 4, 5, 6} y B ={0, 2, 3, 4, 5} y sea R una relación de A en Bdefinida por ( a, b ) R si b = a1. Entoncesel número de pares ordenados que pertenecen a larelación R es:a)4 b) 3c) 0 d)5 e) 2

6. Sean los conjuntos A = { a, b } y B = { 1, 2,3 }. El número de relaciones diferentes de B enA que se puede definir es:a) 64 b) 6c) 36 d) 25 e) 128

Tarea 1.16: Funciones y Tipos de Funciones

1. Dados los conjuntos: A = { 1, 2, 4, 5, 8 } y B = { 2, 3, 7, 9, 10 }, una de las siguientes relaciones de B en A es una FUNCIÓN de B en A. Identifíquela:a) R1 = { ( x, y ) B A / y = 3 } b) R2 = { ( x, y ) B A / y > x }c) R1 = { ( x, y ) B A / y < x } d) R4 = { ( x, y ) B A / y = 5 }e) R5 = { ( x, y ) B A / y = 2 x - 1 }

2. Sea A = { x / x ( 0, 5 ), x Z }, B = { x / x [ 2, 8 ], x Z es impar }. Bajo estas condiciones determine cual de las siguientes proposiciones es VERDADERA.a) f no es inversible b) f – 1 (x) = x / 2, x Bc) f es decreciente d) f no es sobreyectivaf) todas las anteriores son falsas

3. Si f(x) = x 2 - 8x + 1 , x IR; entonces es FALSO que:

25


a) dom f = IR c) dom f = [ - 15, ) C e) rg f = ( - , - 15 ) C

b) rg f = [ - 15 , ) d) rg f = rg[ ( x - 1) 2 - 8( x - 1 ) + 1

4. Dados los conjuntos A = {2, 4, 6, 8} y B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}.Identifique cuál de las

siguientes relaciones de A en B es una función de A en B:a) R1= {( x, y ) A x B / y x }b) R3= {( x, y ) A x B / x = 2}c) R2= {( x, y ) A x B / y = 2x1}d) R4= {( x, y ) A x B / y = 3 }

e) Ninguna de las anteriores relaciones es una función delconjunto Aen B

5. Sean los conjuntos A ={2, 4, 6, 8} y B ={3, 5, 7, 9, 11, 13}. Una delas siguientes relaciones determina una función de B en A.Identifíquela:a) r1= {( b, a )B x A / b = 2}b) r2 ={( b, a ) B x A / ab}c) r3 ={( b, a ) B x A / a = 2b1} d) r4 ={( a, b) A x B / b = 7}e) r5 ={( b, a) B x A / a = 8}

6. Sean los conjuntos A = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} y B = {0, 1, 2, 3, 4} .Si r1, r2 y r3 relaciones de A en B tales que: r1= {( x, y ) / y = x+ 1}; r2= {( x, y ) / x + y = 0}; r3= {(0,0) , (-1,1)}

Entonces es VERDAD que: a) r1 r2 es una función b) r1 r2 es una función c) (r1 r2) r3 es función d) r1 r3

e) r2 r3 = r2

7. Si se tiene la siguiente tabla de datos:

Alumnos Edad en añosCarla 12Washington 11Consuelo 16Edison 14Fernando 11

26


Margarita 17

y se definen los conjuntos: x = { x / x es una alumna y está en latabla anterior}

y = { y / y es un alumno y está en la tabla anterior} Diga cual de las siguientes relaciones es una función:

a) r1= {( x, y ) / x es de mayor edad que y}b) r2= {( x, y ) / x es igual en edad que y}c) r3= {( x, y ) / x es de menor o igual edad que y}d) r4= {( x, y ) / x es de mayor o igual edad que y}e) Marque está casilla si ninguna de las relaciones anteriores

representa una función.

8. Dados dos conjuntos A y B no vacíos, entonces es VERDAD que:a) Si n(A) n(B), no existe función alguna de A en B que sea inyectivab) Si n(A) n(B), no existe funciones sobreyectivas de A en Bc) Si f: A B es una función inyectiva, entonces n(A) n(B)d) Si n(A) y n(B) son finitos y n(A) = n(B), existen más funciones

inyectivas que funciones sobreyectivase) Si A B y n(A)=1 y n(B)=2, existen más funciones de A en B que

funciones de B en A

9. Dado los conjuntos: A = { p, q, r, s } y B = { m, n, o, p }y las funciones de A en B

f ={( p, m ), ( q, p ), ( r, m ) , ( s, n )} yg = {( p, p ), ( q, m ), ( r, n ), ( s, o )} entonces es CIERTO que:

a) f g es una función inyectivab) g es sobreyectiva pero no inyectivac) f es inyectiva pero no sobreyectivad) g es una función biyectivae) f es una función biyectiva

10. Considere las siguientes hipótesis: H1: Todas las funciones son relaciones H2: No toda relación es función H3: Algunas funciones son inyectivas Entonces una conclusión que se puede inferir lógicamente a partirde ellas es:

a) Algunas relaciones no son inyectivasb) Ninguna función es relación

27


c) Algunas funciones no son inyectivasd) Algunas relaciones son inyectivase) Marque esta casilla si ninguna conclusión es lógicamente inferida delas premisas.

28


Tarea 1.17: Composición de Funciones

1. Sean f, g, h las funciones

g = { ( a, y ), ( b, x ), ( c, z) } Entonces f ( g h ) corresponde a:

a) { ( 1, s ), ( 2, t ), ( 3, r ) }b) { ( 1, x ), ( 2, y ), ( 3, z ) }

c) { ( s, 1 ), ( t, 2 ), ( r, 3 ) }d) { ( 1, x ), ( 2, z ), ( 3, y ) }

e) { ( a, y ), ( b, z ), (c, r ) }

2. Si se tienen las funciones expresadas en los gráficosadjuntos

Xf

Y Pg

Q

a 1 1 $b 2 2 @c 3 d

Entonces es VERDAD que:a) f o g no se puede construirb) g o f no es sobreyectivac) rg (g o f) = { @, }

29

x

y

z

s

s

t

f

h :

c

b

a

1 3 2


d) g o f = { (a, $) , (b, $) , (c,@) , (d, ) }

e) dom g rg f

3. Sea f una función definida de A hacia B y g unafunción de B hacia A tales que:f = {(*, 1), (?, a) , (!, 1), (, a)} g ={(1, ?), (a, *), (, ), (*, !)}Entonces es FALSO que:a) f o g no es una funciónsobreyectiva.

b) f no es inyectiva y g essobreyectiva.

c) A – B = { ? ,! , }d) g o f es un función inyectiva.e) Rg (f o g) = { a, 1 } Rg (g o f) = { ? , * }

4. Dados los conjuntos A = { a, e, i, o, u } , B ={ m , n , p , r , s , t } y las funciones f : A B, g: B A; tal que, f = {( a, m ) , ( e, n ) , ( i, p ) , ( o, r ) , ( u, s )} g = { ( m, a ) , ( n, a ) , ( p, e ) , ( r, i ) ,( s, o ) , ( t, u ) } . Es VERDAD que:

a) Las dos funciones soninyectivas d) rg (f o g) ={ m , n , p , r , s }b) Es posible construir(f o g) e) (f o g) esinyectivac) No es posibleconstruir (g o f)

5. Si se tienen las siguientes funciones:

f g

1 a 1 12 c 2 23 b 3 3

30


4 d 4 4

entonces, es VERDAD que:a) f o g = { (1,a), (2,c) } y g o f nose puede construirb) f o g = { (1,b), (2,c) } y g o f nose puede construirc) f o g no se puede construir g o f = { (1,a),(2,c) }d) f o g = { (1,a), (2,c) } g o f ={ (1,c), (2,a) }e) ninguna de las proposiciones anteriores esVERDADERA.

6. Si f y g son funciones definidas de A en B y de B enA respectivamente, tales que:

f g

1 a 2 2 b3 c 1 4 d

a b c d

entonces es FALSO que:a) rg g o f = rg gb) f o g no es sobreyectivac) g es inyectiva y f es biyectivad) g o f es sobreyectivae) dom f o g = { a , b , c , d }

7. Si se tiene el conjunto A = { 1, 2, 3, 4, 5} y lafunción f definida de A en A, tal que f = { (1,2),(2,1) , (3,4) , (4,3) , (5,5) }; entonces es FALSOque:a) f es inyectiva c)( f o f ) o f es inyectiva e)( f o f ) o f f

31


b) f es sobreyectiva d) fo f es una función idéntica

10. Si se definen los conjuntos A = {1, 2, 3, 4}, B = {a,b, c, d}, C = {a, b} y las funciones f : A B yg : C A, tales que f = { (1,a), (2,b), (3,c),(4,d) } y g = { (a,1), (b,2) }; entonces una de lassiguientes proposiciones es FALSA. Identifíquela.a) g o f no existeb) f o g = { (a, a), (b, b) }c) La función f o g tiene inversad) f o g es una función inyectivae) f es una función biyectiva

11. Sea el conjunto A = {Elena, Hessel, Elsi, Ángel,Juan} y f una función tal que f : A A con lasiguiente definición: f(Elena) = Hessel, f(Hessel) =Elsi, f(Elsi) = Ángel, f(Ángel) = Elena,f(Juan)=Elena entonces, será verdad que:a) f o f es inyectivab) (f o f) (Juan) = Hesselc) f es sobreyectivad) rg f = dom f o f e) Marque esta casilla si todas las proposiciones

anteriores son falsas

12. Dados los conjuntos A = {O,Δ,©,@ }, B = { ?, !, * } ylas funciones f: B A y g: A B tal que: f = {(?,Δ ), (!,©),(*,O)} y g = {(O,?),( Δ, !), (©, *),(@,*)}Determinar cuál de las siguientes proposiciones es

FALSAa) g o f es inyectivab) g es sobreyectiva f es sobreyectivac) g o f es sobreyectivad) f es inyectiva g no es biyectivae) f o g no es inyectiva

13. Sea f: A B y g: B A dos funciones tales que: f= {( b,a), (b,), (*,a) , (?,*)}

g = {(,b) , (a,?) , (*,b) , (l,?)}. Entonces esVERDAD que:

32


a) fog = {(b,?) , (b,b) , (*,?) , (?,b)}b) fog = {(,a) , (a,*) , (*,a) ,(l,*)}c) fog = {(b,a) , (b,) , (*,a) , (?,)}d) fog = {(,b) , (a,?) , (*,b) , (l,?)}e) fog = {(,a ) , (a,?) , (*,a) , (l,?)}

33

A


14. Las gráficas:

representan las funciones f: A B y g: C D donde C= {a, b, c} y D = {1, 2, 3. Determine cuál de lassiguientes composiciones NO ES POSIBLE efectuar:

a) f o g b) g o fc) f o f d) g o ge) f o g

15. Sea V = {a, e, i, o, u} y se define una función f:VV por: f(a)= u; f(e)= i; f(i)= a; f(o)= o yf(u)= i. El rango de f o f es:a) {a, e, i, o, u} b) {a, i, o, u}

c) {a, o, u} d) {a, i, o} e){a,e, i, u}

16. Dadas las funciones:

Entonces es VERDAD que:a) f y g son sobreyectivas b) fog es inyectivac) gof es biyectivad) El rango de fog es igual a Be) El rango de gof es igual al rango de f

34

A

A A

B

1 2 3 4

a b c d

f D

Ca b c

3

2

1

g

* ?

* ? +


17. Si f es una función de A en B y g es una función de Ben C, entonces es VERDAD que:f) Dom gof = Dom gg) Si f es inyectiva, entonces gof también lo esh) Si f y g son sobreyectivas, entonces gof también

lo esi) Si gof es sobreyectiva entonces f también lo esj) Rg (gof) = Rg (f)

35


18. Sean f, g, h. las funciones

G = {( a, y ), ( b, x ), ( c, z )} Entonces f o g o h corresponde a:

a) {(1,s), (2,t), (3,t)} b) {(1,x), (2,y),(3,z)} c){(s,1), (t,2), (r,3)}

d) {(1,x), (2,z), (3,y)} e) {(a,y),(b,z), (c,r)}

19. Dados los conjuntos V = {a, e, i, o, u} y C = {m,n, l, r, s, t} y las funciones:

f ={ ( a, m ), ( e, n ), ( i, l ), ( o, r ), (u, s )} y g ={( m, a ), ( n, a ) , ( l, e ), ( r, i ),( s, o ), ( t, u )} siendo f: V C y g: C V, analice el valorde verdad de las siguientes proposiciones:

a) (fog)(t)=nb) No es posible construir gofc) f es inversa de gd) f y g son biyectivase) Rg (fog)= {m, n, l, r, s}

21. Si f ={(?,1) , ($,*) , (1,*) , (*,1)} y g={(1,?) , (2,$) , (*,1) , (3,*)}, determine cual delas siguientes proposiciones es FALSA.a) g es una función inyectiva pero f no lo esb) El dominio de gof es {?,$,1,*}c) El rango de fog es {1,*}d) (1,1) (fog)e) El rango de gof es igual al rango de g

36

1 2 3

c

b

a

h

x y z

f s

tr


22. Sean las funciones g ={(1,2), (2,3), (3,4), (4,5)} yh ={(2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,7)}

Entonces el valor de ( h o g )(1) es: a) 1 b) 2c) 3 d) 4e) 5

23. 12.Dado el conjunto A = { Tania, Hilda, Mario,Julio } y las funciones f: A A y g: A A,definida por: f(Tania)=María; f(Hilda) = Julio;f(María) = María; f(Mario) = Tania; f(Julio)=Hilda.G(Tania)=Mario; g(Hilda)=Tania; g(María) = Tania;g(Mario) = Hilda; g(Julio) = María.

Entonces una de las siguientes proposiciones esFALSA, identifíquela: a) (fg)(Mario)=Julio b) ges inyectiva f es sobreyectiva c) f es inyectiva f es función d)(gf)(Hilda)=María e) (gf)(Tania) = Tania

24. Sean los conjuntos A = { 2, 3, 4 } y B = { 1, 2,3, 4, 6, 8 } y sean f: AB y g: B Afunciones tales que: f ={(a,b)AB/b=2a}; g = {(1, 2), (2, 2), (3, 3), (4,3), (6, 4), (8, 4)} entonces es FALSO que:a) g es sobreyectiva b) f es inyectiva

c) ( gf )( 3 ) = 4d) ( fg )( 3 ) = 3 e) ( fgf )( 2 )

= 6

25. Dado el conjunto A ={1, 2, 3, 4, 5} y las funcionesf: A A y g: A A, tales que:f ( 1 ) = 3; f ( 2 ) = 5; f ( 3 ) = 3; f ( 4 ) = 1;f ( 5 ) = 2; g ( 1 ) = 4; g ( 2 ) = 1; g ( 3 ) = 1;g(4)=2;g(5)=3¿Cuál de las siguientes proposiciones es FALSA?a) ( fg )( 2 ) = 3b) ( gf )( 5 ) = 1c) f es inyectiva ó g es inyectiva.

37


d) ( fg )( 1 ) = 3 ó ( fg )( 3 ) = 3 e) ( gf )(4)=5 ( fg )(1) = 2 ( gf )(1)= 1

26. Dados Los conjuntos A = { a, b, c, d }, B = { 3, 5,7, 8 }, y las funciones:

f : A B, f = { ( a, 3 ), ( b,5 ), ( c, 8 ), ( d, 7 ) } g : B A, g = { ( 3, d ), ( 5,a ), ( 7, c ), ( 8, b ) } entonces la correspondencia establecida por lafunción g-1 o f-1, es:

f) { ( 5, 8 ), ( 3, 5 ), ( 7, 3 ), ( 8, 7 ) }g) { ( 3, 3 ), ( 5, 5 ), ( 7, 7 ), ( 8, 8 ) }h) { ( a, d ), ( b, a ), ( c, c ), ( d, b ) }i) { ( d, 3 ), ( a, 5 ), ( c, 7 ), ( b, 8 ) }

e) Ninguna de las anteriores

27. Dados los conjuntos A = { 1, 2, 3, 4 }, B = { 5, 6,7 }, y las funciones:

f: B A, f ={ ( 5, 2 ), ( 6, 3 ), ( 7, 1 ) } g: A B, g ={ ( 1, 5 ), ( 3, 7 ), ( 2, 6 ), ( 4, 7 ) } Una de las siguientes afirmaciones es falsa:

a) g f es inyectivab) g f es sobreyectivac) f es inyectiva y g no es biyectivad) g es sobreyectiva y f no es sobreyectivae) f g es inyectiva

28. Si f y g son funciones reales con dominios Dom f yDom g determine cual de los siguientes enunciados esFALSO.a) f g = { ( x, y ) / x Dom f Dom g [ f g ]

(x) = [ f(x) g(x) ] }b) g f = { ( x, y ) / x Dom f Dom g [ f + g ]

(x) = [ f(x) + g(x) ] }c) f + g = { ( x, y ) / y = g ( f(x) ) } donde Dom g

f = { x Dom f f(x) Dom g }

38


d) f + g = { ( x, y ) / x Dom f Dom g [ f + g ](x) = [ f(x) + g(x) ] }

e) Marque esta casilla si todas las anteriores sonverdaderas

Unidad 2Tarea 2.01: Representación decimal

1.- Resuelva los siguientes ejercicios:

a) Describa los siguientes conjuntos: Naturales, Enteros,Racionales, Irracionales, Reales.

b) Represente en un diagrama los conjuntos del literal a)

c) Demuestre que no es un número racional.

d) Represente los siguientes números racionales como unafracción:

(0.454545... + 3.4565656...)/2.333...(3% + 0.333...)/(1+10%)

2.- Defina el conjunto de los números reales

3.- Probar que hay infinitos primos de la forma 4m +3 y 6n+5

4.- Probar que :i) 1 sumando al producto de cuatro enteros consecutivos da un

cuadrado.ii) 1 sumando al producto de dos enteros impares consecutivos o

de dos enteros pares consecutivos da un cuadrado.iii) El producto de cuatro consecutivos no puede ser un

cuadrado.

5.- Sea f : N N la aplicación definida por si n es

par, f(n) = 3n + 1 si n es de la forma n = 4k +1 y f(n) = 3n -1 si n es de la forma n = 4k +3. Probar que para todo n N

39


existe i N tal que f i(n) = 1. Notación : f i denota lacomposición de f con si misma i veces. Por ejemplo: 7 20 10 5 N N

6.- Convertir a fracción, utilizando ambas técnicas, como seindica en la sección 2.01

a.- b.-

Tarea 2.02:Operación Binaria

Resuelva los siguientes ejercicios:

1. Enuncie la propiedad del elemento inverso de una operación binaria

2. Sea A = {a, b, c}, y la operación binaria * definida mediantela siguiente tabla:

* a b c

a a b c

b b b b

c c b c

a) Halle el elemento que la operación binara * asocia con cada uno de los pares ordenados siguientes:

I. (a, b)II. (b, c)III. (c, b)IV. ((a, a), c)V. (a, (b, c))VI. ((c, a), (b, b))

b) Complete de tal manera que resulte una proposición verdadera.

40


I. b * c = II. (a * b) * c =III. (c * b) * (c * a) =IV. ([(a * c) * b] *c) =

3. La operación binara * está definida en el conjunto de los números reales por:

(a, b) a * b = a + 3b

¿Es * una operación conmutativa?, ¿Es asociativa?, ¿Existe elemento identidad?, ¿Existe elemento inverso?

4. Sea A Cualquier conjunto y * una operación binaria en A, probar que:

a) Si existe la identidad esta es única.b) Si existe elemento inverso para cada elemento de A, este es

único.

Tarea 2.03:Operaciones con números reales

1.- Identifique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a) El 1 es elemento neutro de la multiplicación de números reales.

b) La suma de números reales tiene la propiedad conmutativa.

c)

d)

e)

f)

g)

h)

41


2.- Enuncie la propiedad distributiva de la multiplicación y la suma de los números reales

3.- Enuncie la Tricotomia de los números reales

Efectuar las siguientes operaciones:

1.

2.

3.

Simplificar cada una de las fracciones complejas siguientes:

1.

2.

3.

Tarea 2.04:Relación de ordenPruebe el teorema 2.4.3

Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: Verdadero Falso

Para cada número par de reales a, b, se tiene que, a es mayor que b (que se denota por a>b) si y sólo si b<a o (a – b) R+.

Para cada par de números reales a, b, se tiene que, a es menor o igual que b (que se denota por ab) si y sólo si a < b o a

42


= b.

Para cada par de números reales a, b, se tiene que, a es menor o igual que b, si ysólo si a < b y a = b.

Para cada par de números reales a, b, se tiene que, a es mayor o igual que b (que se denota por ab) si y sólo si a > b o a= b.

Escoja la opción correcta:

1. a, b, c R Si a < b c > 0 ac < bc,

(1,a)

(1,b)

a. Si una cantidad negativa está multiplicando en un lado de la desigualdad, puede pasar la otro lado dividendo y la desigualdad cambia de "mayor que" a "menor que " o de "menor que ".

2. a, b, c R Si a < b c < 0 ac> bc

(2,a)

(2,a)

b. Si una cantidad positiva está multiplicando en un lado de la desigualdad puede pasar al otro lado multiplicando y la desigualdad se conserva.

Escriba en símbolos los siguiente enunciados

Enunciados Simbología

43


1. Si una cantidadnegativa está dividendo en un lado de la desigualdad, puedepasar al otro ladomultiplicando, ladesigualdad cambia(de "mayor que " a"menor que " o de "menor que " a "mayor que").

2. Si una cantidad positiva está dividendo en un lado de la desigualdad, puede pasar al otro lado multiplicando y la desigualdad se conserva.

Sean a, b, c R, determine el valor de verdad de las siguientesproposiciones:

Proposición Valor deVerdad

Si a b a + c b + c Si a b a - c b - cSi a b a + c b + cSi a > b a + c > b + cSi a b c > 0 ac bcSi a > b c > 0 ac > bcSi a b c > 0 ac bcSi a b c < 0 ac

44


bcSi a b c < 0 ac bc,Si a > b c < 0 ac < bcSi a b c < 0 ac bcSi a < b c > 0 ac bcSi a > b c < 0 ac < bcSi ac bc (a b c 0)Si a > b b > c a > cSi a > c [a > b b > c]Si a >b c > d a + c > b + d Si a >b > 0 c > d > 0 ac > bd

Tarea 2.05:Expresiones algebraicas

1.- Enuncie los siguientes teoremas

a) Factor Común b) Diferencia de cuadradosc) Diferencia de Cubosd) Suma de potencias

2.- Enuncie el teorema 2.5.4

3.- Enuncie el Teorema 2.5.5

4.- Enuncie la regla para la multiplicar monomios con radicales

Resuelva los siguiente ejercicios

45


Factorice las siguientes expresiones:

1. 6 a2x3 – 3ax4 + 21 a2x5

2. a2 – b2 - 2bc – c2

3. a2 – b2 + x2 – y2 + 2(ax - by)

4. a4 – b4

5. a2 – ab – b – 1

Simplifique las siguientes expresiones algebraicas:

1.

2.

3.

Simplificar las siguientes expresiones:

1.

2.

3.

4.

5.

Resuelva las siguientes expresiones algebraicas:

1.

2.

3.

Expresiones algebraicas exponentes y radicales

1. Simplificar las siguientes expresiones dejando las

46


respuestas sin exponentes negativos o cero:

a)

b)

c)

2. Efectuar las siguientes operaciones y simplificar

a)

b)

c)

d)

3. Efectuar las siguientes operaciones y simplificar racionalizando el denominador:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

47


Tarea 2.06:Valor Absoluto

1.- Demuestre el teorema 2.6.4

¿ Qué valor real debe tener x?, para que:

1. |2x – 8| = 5

2. |x/2 – 3/4| = 1

3. |7 – 12x| 3

4.

5. |x - 2| |3x -1|

Tarea 2.07:Ecuaciones Algebraicas

Resuelva los siguientes problemas

48


Finanzas

Se invertirán US $20,000.00, una parte en bonos y otra en Certificados de Depósito (CD). si la cantidad Invertida en bonos excederá la de CD en US $2000.00, ¿ Cuánto será invertido en cada tipo de inversión?

Cálculo de un salario por hora

A Cecilia se le pagó tarifa y media por cada hora trabajada después de 40 horas y el doble por las horas trabajadas el domingo. Si Cecilia recibió un sueldo semanalde US $342.00 por trabajar 50 horas, 4 de las cuales fueronel domingo, ¿ Cuál es el salario regular por hora de Cecilia?

Planeación Financiera

Una recién jubilada necesita US $6000.00adicionales poraño. Ella tiene US $50,000.00 para invertir en bonos tipo Bque pagan el 15% anual o en un Certificado de Depósito (CD)que paga un 7% anual.¿Cuánto dinero debe invertir en cada instrumento paraobtener exactamente US $6000.00 de interés anual?

Dimensiones de una ventana

El área de una ventana rectangular será de 306 centímetroscuadrados. Si la longitud excederá a la anchura en 1centímetro. ¿ Cuáles serán sus dimensiones?

Trabajo en equipo

Un pintor puede pintar él solo, cuartos en 10 horas, con unayudante realiza el mismo trabajo en 6 horas. Si deja que el ayudante trabaje solo, ¿Cuánto tiempo tardará éste en pintar cuatro cuartos?

Física: Movimiento Uniforme

Un bote de motor puede mantener una velocidad constante de 16

49


millas por hora con relación al agua. El bote realiza un viaje acierto punto río arriba en 20 minutos, el regreso le toma 15minutos. ¿ Cuál es la velocidad de la corriente?

Comparación de héroes olímpicos

En los juegos Olímpicos de 1984, Carl Lewis de Estados Unidos ganóla medalla de oro en los 100 metros con un tiempo de 9.99 segundos.En los juegos Olímpicos de 1896, Thomas Burke, también de EstadosUnidos, ganó la medalla de oro en la misma prueba en 12 segundos.Si ellos pudieran competir entre sí en la misma carrera repitiendosus respectivos tiempos, ¿por cuántos metros le ganaría Lewis aBurke?

Cierto tipo de motor usa una mezcla de combustible formadapor 15 partes de gasolina y una de aceite. A otramezcla de gasolina - aceite, que tiene 75% de gasolinase le empieza a añadir gasolina pura para conseguir larelación requerida para este tipo de motor llegando aobtenerse 8 litros de combustible. ¿Cuánta gasolina seagregó a la mezcla original?

Ecuaciones

1.- Defina conjunto solución de una ecuación

2.- Escriba la solución de una ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, a0

3.- En los problemas propuestos resuelva cada ecuación:

1. X(2x -3) = (2x + 1)(x - 4)

2.

3. |1 – 4t| = 5

50


4. |x2 + x – 1| = 1

5. 4t2 + t + 1 = 0

6.

7. 3x2 + 5x – 2 = 0

4.- Resuelva las siguientes ecuaciones, si existen varias soluciones encuéntrelas todas:

1.

2.

Tarea 2.08:Desigualdades

1. En los ejercicios siguientes, resuelva cada desigualdad yhaga la gráfica del conjunto solución:

a)

b) – 3 2 – 2x 9

c) x3 < 4x

d)

e)

f)

g) |1-2x| < 3

h) Tasas de electricidad

51


El cargo en verano por consumo de electricidad de la compañía Commonwealth Edison es de 10.819 centavos por kilowatt – hora. Además, mensualmente la factura de electricidad lleva un cargo fijo de $ 9.06. Si la facturadel último verano varió desde $8.214 hasta $ 279.63 ¿en qué rango varió el consumo (en kilowatt – hora)?

2. Pruebas de IQ

Una prueba estándar de inteligencia tiene unacalificación promedio de 100. De acuerdo con la teoríaestadística, de las personas que toman la prueba, el25% con las calificaciones más altas tendráncalificaciones superiores en más de 1.95 por arribadel promedio, donde (sigma, un número llamadodesviación estándar) depende de la naturaleza de laprueba. Si = 12 para esta prueba y no hay (enprincipio) límite superior para la calificación de laprueba, escriba el intervalo de calificacionesposibles para las personas que logren ubicarse en el2.5% superior.

52


Tarea 2.09:Inducción Matemática

Utilice el principio de inducción matemática para demostrarque el enunciado dado es verdadero para todos los númerosnaturales...

1. 2 + 5 + 8+...+(3n – 1) = n(3n + 1) / 2

2.

3. 12 + 22 + 32 +...+ n2 = n(n + 1) (2n + 1) / 6

4. n2 + n es divisible entre 2

5. Demuestre que el enunciado “n2 – n + 41 es un númeroprimo”, es verdadero para n = 1, pero no para n = 41

6. Demuestre que la fórmula 2 + 4 + 6 +...+ 2n = n2 + n + 2cumple la condición 2 del principio de inducciónmatemática. Esto es, demuestre que si la fórmula esverdadera para algún k, también lo es para k + 1. Luegodemuestre que la fórmula es falsa para n = 1 (o paracualquier otra elección de n)

Tarea 2.10: Binomio de Newton

Desarrolle los siguientes ejercicios:

1.- Defina el coeficiente binomial

2.- Enuncie el teorema de Peano3.- Desarrolle la expresión utilizando el teorema de Newton

4.- El coeficiente de x7 en el desarrollo de

5.- El coeficiente de x4 en el desarrollo de

53


6.- Si n es un entero positivo, demuestre que

[ Sugerencia: ; ahora use el teorema debinomio.]

54


Tarea 2.11: Sucesiones

Sucesiones

Deduzca la formula para encontrar los n primeros términos de:

a) Un progresión aritméticab) Una progresión geométrica

Enuncie 5 propiedades de las sumatorias1. Escriba los primeros cinco términos de cada sucesión:

a)

b)

2. En el siguiente problema se define una sucesión demanera recursiva. Escriba los primeros cinco términos

3. Exprese la suma usando la notación de sumatoria

a)

4. Sucesión de Fibonacci.Defina con

al n-ésimo término de una sucesiónDemuestre que u1 = 1 y u2 = 1Demuestre que un + 2 = un + 1 + un

Llegue a la conclusión de que {un} es una sucesión de

55


Fibonacci

Progresión aritmética

1. En el siguiente ejercicio encuentre el primer término y la diferencia común de la sucesión aritmética y dé una fórmula recursiva para la sucesión si se conoce que:

a) El octavo término es 8, el vigésimo 44.

2. Encuentre la suma de:

a) 7 + 12 + 17 +... + (2 + 5n)

3. Resuelva el siguiente problema:

a. Estadio de FútbolLa sección de una esquina en un estadio de fútbol tiene 15asientos en la primera fila y 40 filas en total. Cada filasucesiva tiene dos asientos adicionales en progresiónaritmética. ¿Cuántos asientos hay en esa sección?

56


Progresiones geométricas

1. Determine si la sucesión dada es aritmética,geométrica o ninguna de los dos tipos. Si lasucesión es aritmética encuentre la diferenciacomún; si es geométrica, encuentre la razóncomún.

{(-1)n}

2. Encuentre el quinto y el n-ésimo término de la sucesióngeométrica cuyo término inicial a y razón común r estándados.

a) a = 0; r = 1/

3. Encuentre la suma

4. Se tienen 5 cadenas de 3 eslabones cada una, se pideunir las cinco cadenas para formar una sola cadena largade 15 eslabones ¿Cuántos eslabones hay que abrir paraunir las cadenas?

Resuelva el siguiente problema

a) Oscilación de un péndulo

En el inicio, un péndulo oscila a lo largo de un arco de 2pies. En cada oscilación sucesiva, la longitud del arco es0.9 de la longitud anterior.

a) ¿Cuál es la oscilación del arco después de 10oscilaciones?

57


b) ¿En qué oscilación la longitud del arco es por primeravez menor que 1 pie?

c) Después de 15 oscilaciones. ¿Cuál es la longitud queha oscilado el péndulo?

d) Cuando se detiene. ¿Cuál es la longitud total que haoscilado el péndulo?

b) Gramos de trigo en un tablero de ajedrezEn un relato antiguo, a un plebeyo que acababa desalvar la vida del rey éste le preguntó que quería derecompensa. Siendo un hombre juicioso, el hombre dijo:“Mi deseo es simple, señor. Coloque un gramo de trigoen el primer cuadro de un tablero de ajedrez. Dos

gramos en un segundo cuadro, cuatro granos en eltercer cuadro, y continúe sucesivamente hasta que hayaterminado con todos los cuadros del tablero. Eso estodo lo que deseo ”. Calcule el número total de gramosnecesarios para satisfacer la petición anterior y veapor qué, siendo apariencia simple, no puede sercumplida. (Un tablero de ajedrez consiste de 8 X 8 =64 cuadros.)

Observe la figura de la derecha. ¿Eventualmente, qué fraccióndel cuadrado estará sombreada si el proceso de sombreadoque se indica continúa de manera indefinida?

58

2 pies

(0.9 * 2) pies

Péndulo


Un tipo de ameba se reproduce de tal manera que cada día seduplica. Si el día 19 se tiene que la cantidad de amebascubren la mitad de una vaso, en que tiempo las amebascubrirán el vaso completamente.

59


Unidad 3Tarea 3.1: Operaciones entre Vectores

Utilice los vectores de la figurapara trazar la gráfica de cada expresión.

1. v + w 3. 3 v

5. v – w 7. 3 v + u – 2 w

Utilice la siguiente figura para determinar cada vector.

9. x, si x + B = F 11. C en términos deE, D y F

13. E en términos de G, H y D

15. x, si x = A + B + K + G

Tarea 3.2: Vectores Unitarios

60

W

V

U

A C

ED

F

B

KHG


En los siguientes ejercicios elvector v tiene un punto inicial Py un punto final Q. Escriba v conla forma a i + b j; es decir,determine su vector de posición.

19. P = ( 0, 0 ); Q= ( 3, 4 )

21. P = ( 3, 2 ); Q= (5, 6)

23. P = (-2, -1); Q =( 6,-2 )

En los siguientes ejerciciosdetermine .

27. v = 3i - 4 j

28. v =-5 i + 12 j

En los siguientes ejercicios determine cada cantidadsi v = 3 i – 5 j y w = - 2 i + 3 j.

34. 2 v -2 w

38. +

En los siguientes ejercicios determine el vector unitario con la mismadirección de v.

42. v = -5 i+ 12 j

44. v = 2 i -j

45. Determine un vector v cuyamagnitud sea 4 y su componenteen la dirección i sea el doblede la componente en ladirección j.

47. Si v = 2 i - j, w = x i -3 j, determine todos losnúmeros x para los cuales

= 5.

61


Tarea 3.3: Producto Escalar

En los siguientes ejercicios determineel producto punto v w el coseno delángulo entre v y w.

2. v = i - j w = i + j

4. v = 2 i + 2 j

w =i + 2 j

6. v = i +j

w = i - j

11. Determine a de modo que el ánguloentre v = a i - j y w = 2i + 3 jsea / 2.

En los siguientes ejerciciosdescomponga v en dos vectores v1 y v2,donde v1 sea paralelo a w y v2

ortogonal a w.

16. v = 2 i - j , w = i -2 j

18. v = 2 i - j , w = i - 2 j

19. Determinación de la rapidez ydirección reales de un avión. Unjet DC-10 mantienen una velocidaden el aire de 550 millas por horaen dirección suroeste. Lavelocidad de la corriente dechorro (constante) es de 80 millaspor hora desde el oeste. Determinela rapidez y dirección reales delavión.

20. Determinación del rumbo correcto.El piloto de un avión deseadirigirse hacia el este peroenfrenta un viento con velocidadde 40 millas por hora desde el

62

NEO

S

Corriente de chorro


noroeste. Si el piloto mantieneuna velocidad en el aire de 250millas por hora, ¿qué rumbo deberámantener?. ¿ Cuál rapidez realdel avión?.

21. Dirección correcta para cruzar unrío. Cierto río tiene unacorriente constante de 3kilómetros por hora. ¿ Qué ángulodebe formar un bote de motor( capaz de mantener una velocidadconstante de 20 kilómetros porhora) con respecto al muelle parallegar al punto directamenteopuesto del otro lado del río?. Siel río tiene un ancho de 1/2kilómetro, ¿Cuánto tiempo tardaráel bote en cruzarlo?.

Tarea 3.4: Producto Vectorial

1. Dado los tres vectores V1= ( 3, 1, 2 ), V2= ( 2, 7, 4 ) y V3= ( -1, 2, 4 ), encontrar:

63

Dirección del bote debida a la corriente

Bote

Corriente


a) V1 ( V2 V3 )

b) ( V1 V2 ) V3

c) V1 ( V2 V3 )

d) V1 ( V2 V3 )

e) ( V1 + V2 ) (V1 – V3 )

e) V1 ( V2 - V3 )

g) Encontrar un vector unitario paralelo a cadauno de los vectores V1, V2, V3.

2. Determine si los siguientes pares de vectores son ortogonales:

a) V1 = ( 2,-1, 3)

V2 = ( 1, -2, 3)

b) V1 = ( 2,3, 5)

V2 = ( -4, -6, -10)

c) V1 = ( 0,2, 0)

V2 = ( 3, 0, 0)

d) V1 = ( 2,-3, 1)

V2 = ( 3, 2, 0)

3. Demostrar las propiedades del producto vectorial.

4. ¿ Es asociativo elproducto vectorial?.Demostrar si es verdad,y si no dar uncontraejemplo.

5. Usar el producto vectorialpara hallar el área deltriángulo PQR.

a) P ( 1, 2,3 )

Q ( 1, 2,4 )

R ( -2, 4 , 1 )

b) P ( 0, 1, 2 )

Q ( -1, 3, 1 )

R ( 0, 2 , 0)

64

Dirección del bote debida a la corriente


6. Sabiendo que V1 ( V2 V3 ) = 0 ¿ qué puede decirseacerca de V1, V2, V3 ?.

7. Hallar el volumen del paralelepípedo sustentado en los vectores:

a) V1 = ( 1,2, 4 )

V2 = ( -1, 0, 3 )

V3 = ( -2, 0,1 )

b) V1 = ( 0,-3, 1 )

V2 = ( -2, 3, 4 )

V3 = ( 1, 1, 0 )

Tarea 3.5: Rectas en el Plano

1. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntosde coordenadas ( 0, -1) y ( 2, 1). Graficar larecta.

2. Encontrar la ecuación de las rectas que pasan por leorigen y que forman con el eje de la x los ángulos.

a) 30 ºb) 45 ºc) 1350 ºd) 3 / 2

3. Encontrar la pendiente de cada una de las siguientes rectas:

a) 2 x + y – 2 = 0b) x + 2 y + 1 = 0c) –3x + 4y – 2 =0d) x -3y + 2 =0

4. En cada caso la ecuación de la recta que pasa por elpunto dado y tienen la pendiente dada:

a) A (2,1), k = 2/3b) A (-5,-1), k = -3c) A (1,0), k = -2/3d) A (0,1), k = 2/3

5. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el puntoA (2,-3) y es paralela al eje y.

65


6. Escribir la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,-5 ) y es paralela al vector V = ( - 4, 2 ).

7. Escribir en forma paramétrica las ecuaciones de las siguientes rectas:

a) 3 x + 6y + 5 = 0b) x = 2c) x = - 3 y + 2d) 3 x – 2 y = 0

8. Escribir en forma a x + b y + c = 0 cada una de las siguientes rectas:

a) a = t , y = 1 – 2 t b) x = 2 – 5 t , y = 2 + 7 t

11. Por el punto ( 4, 7 ) trazar una recta paralela a la recta 3x + 2y - 4 = 0. Escribir su ecuación.

13. Dado el triángulo de vértices A ( -1, 2 ), B ( 3, -1 ) y C (0, 4 ), escribir las ecuaciones de las rectas que pasan porcada vértice y son paralelas al lado opuesto.

14. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto A( -2, 1 ) y es perpendicular a la recta 2 x + 3 y - 2 = 0.

66

Deber conjuntos

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