INTRODUCCION A L AN ALISIS MATEMATICO LOGICA Y CONJUNTOS NUMEROS REALES GEOMETRIA ANALITICA...

INTRODUCCION A L

ANALISIS

MATEMATICO

LOGICA Y CONJUNTOS NUMEROS REALES

GEOMETRIA ANALITICA VECTORIAL INDUCCION MATEMATICA - SUMATORIAS

A .Venero 3.

IN T R O D U C C IO N

A l

A N A L I S I S M A T E M A T I C O

J. ARMANDO VENERO BALDEON

LICENCIADO EN MATEMATICAS

FACULTAD DE CIENCIAS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

ESTUDIOS DE MAGISTER EN MATEMATICAS

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERU

EDICION REVISADA

LIMA 1995 PERU

INTRODUCCION AL

ANALISIS MATEMATICO

A V E N E R O B.

Iapreso en el Perú Printed in Perú

Prohibida la reproducción parcial o total, por cualquier medio o método, de este libro sin la autorización legal del autor:

REPRESENTACIONES GEMAR

LIMA - PERD.

PROLOGO

Este libro esti dirigido a la formación del'razonamiento cien

tífico de ios alumnos del primer iñu de las carreras de Ciencias e Ingeniería,

y coi sta de dos partea :

1. Los fundamentos del Análisia Matemático : Lógica, Conjuntoa, Números

Realea, Valor Absoluto, Máximo Entero, Conjuntos Acotados, Inducción

Matemática y Sumatorias.

2. La G EOM ETR IA A N AL IT IC A V E C T O R IA L en el Plano y en el Espacio.

En la presentación del texto se ha puesto un interéa muy

particular en el enfoque intuitivo y geométrico, sin dejar de lado el auficien

te rigor que se requiere a eate nivel del aprendizaje de las Matemáticas Su

periores. Se ha complementado la parte teórica - práctica del texto con Se

ries de F roblei as Propuestos, los cuales tienen su Clave de Respuestas in

mediata mente al final de cada serie.

Los Capítulos 1 y 2 que tratan de LA S PR OPOSIC IO

NES LOG ICA S y L A T E O R IA DE CO N JU N T O S resptrtil imente, siendo sen

cilloa, son imprescindibles en cualquier eatudio organizado de las Ciencias o

las Humanidades. Ambos temas e„t¿n reladonadoa de tal forma que se pue

de considerar a cualquier de ellos como imagen del otro, y son expueatos

como complemento a lo que ya se conoce deade loa estudios aecundarios.

El Capítulo 3, titulado LOS NUM EROS REALES, estudia

al Sistema de los Númeroa denominados REALES en lo que se refiere a aus

axiomas y propiedi lea; requiere un conocimiento básico del Algebra Elemen

tal, y está orientado a presentar la*i i icnicL para resolver ECUACIONES e

IN EC U A CIO N ES , laa que taubien incluyen R A D IC A LE S . En este Capitulo,

se incluye el estudio del V A LO R A B S O L U T O y del M AXIM O EN TE R O cin

plementada con una regular cantidad de Ejercicios y Problemas resueltos,

una parte de los cuales fueron tomadas en prácticas y exámenes en la UNI

VERSIDAD N A C IO N A L D E INGENIERIA, y otra parte son inédito!

A partir del Capítulo 4 que estudia a lo V EC TOR ES , y

hasta el Capítulo 8 , se trata al tema de la GEOM ETRIA AN ALITICA M O

DERNA en el Plano, desde un enfoque V E C T O R IA L ; esto permite ei tudiar

las R E C T A S , CIRCU NFERENCIAS Y C O N IC A S en una forma elegante y sen

cilla.

En el Capítulo 9 se extienden los conceptos anterior«., en

el Plano a la G EOM ETR IA AN ALITIC A V E C T O R IA L EN EL ESPACIO .

El libro termini con un Capítulo referente a la técnic:i de ka

INDUCCION M ATEM ATICA y a las SU M ATO R IA S .

- iSiendo el objetivo inmeUirto de este texto el de conseguir u-

na sóliJa fon :acií n lógico-matemática, desarrollando al mismo tiempo el aspee

to intuitivo en esti *rea con el material aquí tratado el alumno estará prepa

rado pan. acceder al ANALISIS M A TE M A TIC O en lo que al C A LC U LO DI

FERENCIAL se refiere.

Aprovecho estas líneas finales pa^a agradecer muy sln^en -

n.ente a mis colé ge» de las diferentes Universidades en las que he enseñado,

por haberme ayudn ‘o con sua sugerencias para la elaboración de este texto.

J . A R M A N D O V EN ER O B .

GONtTEKIOO

CAPITULO 1. LOGICA

1 Proposición Lógica2 Conectivos Lógicos : Disyunción, Conjunción, Negación, Condl

clona1 y Blcondlclonal. Proposiciones Compuestas3 Tautología y Contradicción. Implicación Lógica y Equivalencia

Lógica. Proposiciones Equivalentes4 Leyes del Algebra de Proposiciones5 Razonamiento Lógico. Argumentos VSlIdos. Métodos de Demostra

ción

CAPITULO 2. CONJUNTOS

1 Conjuntos y Cuantlflcadores. Intervalos. Negación con Cuantl- flcadores

2 Subconjuntos. Conjunto Unitario, Conjunto Vacio, Conjunto Universal. Conjuntos Iguales

3 Operaciones entre Conjuntos : Unión, Intersección, Complemento. Diferencia, Diferencia Simétrica. Representación Griflca en Diagramas de Venn

4 Leyes del Algebra de Conjuntos5 Propiedades Adicionales6 El Conjunto Potencia7 Número de Elementos de un Conjunto A : n(A)

1

1

67

13

19

25

2830364043

i

CAPITULO 3. LOS NUMEROS RFAt.ES

1 El Sistema de los Números Reales2 Ecuaci ' es Lineales y Cuadráticas. Método de Completar

Cuadrados3 La RelaclOh de Orden. Desigualdades Linea.es y Cuadráticas.

GeneralIzacICn. Regla de los Signos4 Regla Gráfica de los Signos para resolv i Inecuaciones.

Método práctico5 Propiedades de las Raíces de la EcuaciOn de 2° Grado :

a*2 + bx + c ■ 0

6 Ecuaciones e Inecuaciones con Radicales7 VALOR ABSOLUTO. Propiedades. Teoremas relativos a las Ecua

clones e Inecuaciones con Valor AbsolutoB MA'IMO ENTERO. Prpledades9 CONJUNTOS ACOTALOS. Cota Superior, Cota Inferior. El SUPRE

MO y el INFIMO de un conjunto de mineros Reales. El Máximo y el Minino de un conjunto de nún..ros Reales

CAPITULO «i. VECTORES EN EL PLANO

1 Introducción2 El Sistema de Coordenadas Cartesianas. DISTANCIA entre dos

Puntos en el Plano3 El Algebra Vectorial Bldlmenslonal4 Representación Geométrica de los "ectores5 Paralelismo de Vectores6 Longitud 6 NORIA de un Vector. Víctores Unitarios7 Angulo de Inclinación de un Vector en el PlanoB Ortogonalldad y Producto Escalar. Desigualdad de Cauchy-

Srhwarz9 Combinación Lineal de Vectores. Independencia Lineal de un

conjunto de Vectores. Propie ades de los Ve itores Unitarios Ortogonales

10 Angulo entre Vectores,11 Proyección Ortogonal. Componentes Ortogonales

48

54

56

. 62

67

. 72

. 89

. 110

. 120

. . )3d

. . 138

. . 140141

. . 150

. . 153

. . 156

.. 160

. . 172

. . 1B6

. . 188

CAPITULO 5. EL PLANO EUCLIDIANO

1 El Plano Euclidiano. LA RECTA. Ecuación Vectorial de la Recta 2032 Ecuaciones Paramétricas de una Recta 2043 Forma Simétrica de la EcuaclOn de una Recta 2074 Ecuación Normal y Ecuación General de una Recta 2075 Distancia de un Punto a una Recta 2096 Proyección Ortogonal de un Vector sobre una Recta 2117 Segmento de Recta .. 2128 División de un Segmento en una Razón dada, m:n . 2139 Angulo de Inclinación de una Recta 223ID Pendiente de una Recta .. 22411 Paralelismo y Ortogonalldad de Rectas .. 22612 Intersección de Rectas. La REGLA DE CRAMER 23413 Angulo entre Rectas •• 241

CAPITULO 6. GRAFICAS DE ECUACIONES

1 Introducción 2632 Criterios para graficar Ecuaciones: Interceptos con Los Ejes,

Extensión, Simetrías. Asíntotas 2643 Ecuaciones Factorizables .. 2694 Problemas sobre Lugares Geométricos 2705 LA CIRCUNFERENCIA. La Ecuación de Id Circunferencia 2796 Condición de TANGENCIA. Método Vectorial para hallar Rectas

Tangentes y Puntos de Tangencia a una Circunferencia 2917 Rectas Tangentes a la Curva definida por la Ecuación General

de 2o Grado : A*2 + 6xy * Cy2 * D* ♦ ly * F - 0 3018 Familias de Circunferencias .. 308

CAPITULO 7. TRANSFORMACION DE COORDENADAS

1 Fórmulas de Transformación de Coordenadas : Traslación yRotaciOn de Ejes .. 319

2 Transformación de las Coordenadas de un PUNTO, y de un VECTORD1RECC10NAL de una Recta .. 325

ItiVioducclôn at Anâtlici Hafemlttco

CAPITULO 8 LAS SECCIONES CONICAS

1 Introducción .. 3362 LA PARABOLA. Propiedades. Rectas Tangentes .. 3383 LA ELIPSE. Propiedades. Rectas Tangentes .. 3694 LA HIPERBOLA. Propiedades. Rectas Tangentes .. 4025 LA ECUACION GENERAL DE 2° GRADO. Diagonalización .. 437

CAPITULO 9 GEOMETRIA ANALITICA EN «3

1 PUNTOS y VECTOkES en el Espacio .. 4682 El PRODUCTO VECTORIAL en R3. Propiedades

El Triple Producto Escalar .. 4713 RECTAS en el Espacio. Intersección de Rectas en el Espacio .. 4754 PLANOS en el Espacio. Ecuación NCRMhL y Ecuación GENERAL

de un Plano. Intersección de Planos. Intersección de unaRecta y un Plano. Distancia de un Punto a un Plano .. 478

CAPITULO 10 INDUCCION MATEMATICA Y SUMA^ORIAS

1 El Primer Principio de Inducción Matemática .. 4932 El Segundo Principio de Inducción Matemática .. 5013 SUHATORIAS , Cambio de Indices. Aplicaciones.

PROGRESIONES GEOMETRICAS (P.G.) . Suma de una P.G. .. 5124 Suma de una Progresión Geométrica con Infinitos Términos .. 5435 PRODUCTOS. Factorial. Propiedad Telescópica .. 5526 NUMEROS COMBINATORIOS ó COEFICIENTES BINOMIALES .. 5607 EL Teorema del Binomio de Newton. Triángulo de Pascal

El Término General Tk+1 . .. 567

______________________________________________________________________________________________________- 1 - —

1 ____________________________

LOGICA1 PROPOSICION LOGICA

Se llama ast a toda expresión que puede calificarse bien como verdadera (V) 6 bien como falsa (F) y sin ambigüedad.En general, las proposiciones lógicas serán denotadas con letras minúsculas

Pi Qi r* •••

EJEMPLOS DE PROPOSICIONES LOGICAS:

p : 4 ♦ 3 « 6 .. (F)q : La ciudad de Trujlllo es la capital de La Libertad .. (V)

EJEMPLOS DE EXPRESIONES QUE NO SON PROPOSICIONES LOGICAS:

a) ¡Buenos dtasl b) a + z « * c) i Cómo estás ?

respecto a estas expresiones vemos que no es posible Indicar si les corres - ponde un valor de verdadero o de falso.

2 CONECTIVOS LOGICOS

a) LA DISYUNCION " p v q * [se lee " p o q ' ] .- Es una propo slclón formada por las proposiciones p y q , relaciona

das por la palabra "o" (en el sentido inclusivo: y/o ), definida por la condición: 1 p v q ' es FALSA Gnlcamentt» en el caso en que ambas p y qson FALSAS ; en cualquier otro caso es Verdadera. Su tabla de verdad es:

p v q EJEMPLO:

p v q

8 es menor que 7 ... (F)6 es mayor que 2 ... (V)8 es menor que 7 o

6 es mayor que 2 ... (V)

•2* Introducción al Análisis Matemático

b) CONJUNCION (se lee ’ p y q ‘ )

Es una nueva proposición que se define de tal ■añera que resulta Verdadera (V) finitamente en el caso en que p y q son om 11¿ Vmdadz/uu , y en todos los demSs casos es Falsa (F). Su tabla de verdad

p q p - q EJEMPLO

V V V p : 1512 es múltiplo de 3 .. (V)

V F F q : 5 + 2 - 10 .. (F)

F V F p ~ q : 1512 es múltiplo de 3

F F F 5 + 2- 1 0 .. (F)

NEGACION * ^P ’ Es una proposición que cambia el valor dela proposición p , y cuya tabla de ver-

esP •'•P

Se lee: " Es falso que p "VF

FV

" No es cierto que p ■■ No n ■ .

d) CONDI 1QNAL * p •* q * (Se leo " SI p entonces q " ) .-Es aquella proposición que es Falsa únj

camente cuando la proposición p (llamada ANTECEDENTE) es Verdadera (V) y la proposición q (llamada CONSECUENTF) es Falsa (F). Su tabla de verdad es

También se lee:

Implica q solamente sí qes una condición suficiente para q es una condición necesaria para p a menos que ■>» p

Es suficiente que p para que q Es necesario que q para que p .

OBSERVACIONES:

Según las dos últimas filas basta que el antecedente p sea falso (F) pa•a que la condicional sea vrrdadeia (V), independientemente del valor dela proposición q .Según las filas Ira. y 3ra. basta que el consecuente q sea verdadero(V) para que la condicional sea verdadera (V).

Cap.1 Lógica 3

- SegGn la Gltlma fila, si tanto p coipg q son falsas, la condicional re sulta verdadera.

EJEMPLO.- Explique porqué tienen los valores verltatlvos Indicados:a) 2 + 3 - 6 + 5 < 6 .. (V)b) 3 - 1 - 4 + 27 < 2* .. (V)c) 5 es un nGmero primo ♦ 51 es par .. (F)

PROBLEMA.- Utilizar las palabras " si .. entonces " para expresar de o- tra rnaiera la siguiente proposición:

* Yo no me presento al examen de HatemStlcas a menos que lo posterguen una semana " .

SOLUCION.- Senn p : Yo no ne presento al examen de HatemStlcasq : No postergarSn el examen de HatemStlcas una semana

La proposición dada en el enunctado del problema corresponde por lo tanto a:* q a menos que ^p ", la cual se simboliza precisamente como: p ♦ q .SegGn esto se tiene el enunciado equivalente siguiente:

* Sl no postergan el exarr >n de HatemStlcas una semana entonces yo no me presei.to a dicho examen ".

e) BICONDICI3NAL p ♦* q [Se lee " p y tolo ti q * ]Es aquella proposición que es verdadera

en el caso en que ambas p y q tienen el mismo valor (ambas verdaderas ó ambas falsis), y que es falsa (F) si p y q tienen valores vert tativos contrarios. Su tabla de verdad correspondiente es como sigue:

También se lee :

* p si y solamente si q *

■ p es una condición necesaria y suficlen te para q "

PROPOSICIONES COMPUESTAS ,- Utilizando los conectivos lógicos se puede combinar cualquier nGmero finito de

proposiciones para obtener otras cuyos valores verltatlvos pueden se1* conocidos construyendo sus tablas de verdad en las que se deLen Indicar los valores resultantes para todas las combinaciones posibles de valores de las proposiciones componentes.

I

p q p *-*■ q

v v vv F FF V FF F V

A - Introducción al Análisis Matemático

Por ejemplo, para la proposlcífin [(^p) v q) ♦ (r ~ p)

p q r -\,p ('p)vq r - P [('»- p) v q ] - (r » p)

V V V F V V VV V F F V F FV F » F F V VV F F F F F VF V » V V F FF V F V V F FF F V V V F FF F F V V F F

EJERCICIO.- Sean p : 8 es un número par ; q : 8 es el producto dedos nCmeros enteros. Traducir en símbolos caoa una

de las siguientes proposiciones:a) 8 es un nGmero par'o es un producto de dos enteros.b) 8 es impar y es un producto de dos enteros.c) 8 es un núnero par y un producto de dos enteros o es un nGmero impar

y no un producto de dos nGmeros enteros.

SOLUCION.- a) p v q ; b) { p) - q ; c) (p « q) v [(•>- p) - ('»-q)] .

PROBLEMA.- Sean p, q, r tres proposiciones tales que p es verdadera,q es falsa, y r es falsa. Indicar cuSles de las siguientes

proposiciones son verdaderas: a) (p v q) v r ;b) [(p -q) v (('v-p) - q)] « [í(^p) - q) v ((-»- q) ~ p)] ;c) (^p) v (q - r) ¡ d) (( pi v ->.q) - (p v -»-r) . |qv r).

SOLUCION.- a) (p v „) v r

* ♦ +

(V v F) v F+ +

' V v F*V (verdadera)

b) Como estS formada por dos corchetes unidos por una ~ , y como el primero de ellos (a la izquierda) es falso (F) entonces toda la proposi -cifin ser! falsa (F) , independientemente del valor de la proposición quequeda a la derecha.

Cap.1 Lógica 5-

c) es Falsa, pues {•»> p) v (q - r) = F v F = Fd) es Falsa, análogo a (b), pues (q v r) resuHa falsa.

PROBLEMA.- Simplificar la siguiente propos'ciCn:

( V í > / 2 - 1 > 0 ) + >V« v (l/ft < 1//1 — -1 < 0)]

SOLUCION.- Analizando el valor de V i > /2 , vemcs que ^ ■ 22' * - 2*^2■ J i , y por lo tanto V 4 > /2 es FALSA, asi como también te

nemos que 1/^4 < 1//3 es FALSA, sin embargo ^2 > 4 es VERDADERA pues í significa > 0 • . Asi, equivalentemente se tiene que

(F ~ V) -■ [ V v (F *♦ V)]

F

y sc;0n una observación respecto a las CONDICIONALES, basta que el anteceden te sea FALSO ¿orno en este caso, para que toda la condicional sea VERDADERA;lo cual se pmde verificar completando lo demás si se desea.

JERARQUIA DE LOS CONECTIVOS LOGICOS

Cuando en una proposición compuesta se tienen varios conectivos ISglcos, las operaciones se realizan luego de colocar los paréntesis adecuadamente.

PROBLEMA.- Sean p, q, r, s, ji proposiciones lCglcas. SI el valor de verdad de las siguientes proposiciones (a) y (b) es FALSA:

a) [t{p - q) - r ] - (s - r) . b) ( p) v q

i CuSl es el valor de verdad de (r) y (d) ? :

c) [(n + p) * ^r ] ♦ p , d) s ♦ {p *-*• n)

SOLUCION.- Analizando por partes: que la condicional (a) sea FALSA quiere decir que:

M p ♦ q) ♦ r es » .. (*) y que s ~ r es F .. (**) ;y como |i p) v q es F por (b), entonces p es V y q es F , luego p ♦ q es F . Entonces, de (*) : •»-(p ♦ q) es V , y por lotanto r es ¥ . Luego, de (**) : s resulta ser F , ya que ^r es F.Asimismo, la condicional (d) resulta también ser VERDADúRA pues su ante cederte s es FALSO .

NCtese que aquí no fue necesario conocer el valor verltatlvo de n .

-6- Introducción al Análisis Matemático

3 TAUTOLOGIA Y CONTRADICCION .-

A toda proposicifin simple o compuesta que es siempre VERDADERA para cualquier comblnacifin de valores de verdad de sus componentes se le llama TAUTOLOGIA, y se le denota por una V .

A toda proposlcifin que toma el valor de FALSA paratodas sus combinaciones, sé le llama CONTRADICCION y se le denota por F .

EJEMPLOS.- La proposicifin [((* p) v q)~ vq ) + ' p es una TAUTOLO-

IMPLICACION LOGICA Y EQUIVALENCIA LOGICA .-

Se llama IMPLICACION LOGICA (6 simplemente IMPLICA CION) a toda condicional p -*■ q que sea una TAUTOLOGIA, y en tal casoa la condicional se le denota por p = > q . Por ejemplo, tenemos:['(■'■ p) v q) « ■»> q ) = > •»- p , ya tabla de verdad ya se ha dado.

Se llama EQI’IVALENCIA LOGICA (6 simplemente EQUIVALENCIA) a toda bicondicional p «-*■ q que sea una TAUTOLOGIA, « notSn dose en tal caso, p «=* q . EJEMPLD: p > (p v q) «— > p :

p q p v q P « (p v q) P * (p v q) ♦+ p

V V V V VV F V V VF V V F VF F F F V

Cap.1 Lógica -7-

PROPOSICIONES LOGICAMENTE EQUIVALENTES

Dos proposiciones p y q son EQUIVALENTES (6 LOGICAMENTE EQUIVALENTES) si sus tablas de verdad son idénticas. En tal caso, se denota p = q . Por ejemplo, (p -► q) y ( ''-q) -» ( “'■p) son E QUIVALENTES, puesto que sus tablas de verdad son ioénticas como podemos ver:

p q •tq •up p — q (•t q) -* ( -up)

V V F F V V Por lo tanto.

V F V F F F p -► q = ( q) — ( p)F V F V V VF F V V V V

idíntÁJU.u

NOTA .- Esta equivalencia es muy Importante en lo que respecta a demostraciones de teoremas y resultados, pues es el fundamento del llama

do METODO DE DEMOSTRACION POR REDUCCION AL ABSURDO 6 MíTODO POR CONTRADICCION, que es una forma Indirecta de demostración, y que ilustraremos mSs adelante en este capitulo.

LE ICES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES

Son equivalencias lógicas que las presentamos a continua -ción, y cuya demostración es muy fScil construyendo sus tablas de verdad.

la. p v p = p Ib. P “ P = P2a. p v q i q v p 2b. p _ q = q ~ p3a. (p v q) v r 5 (p v q) v r 3b. (p - q) - r 5 p - (q - r)4a. p v |q * r) M p v q) * (p v r), 4b. P * (q V r) : (p • q) V (p5a. p v F = p 5b. P ~ F = F6a. p v V = V 6b. p - V s p7a. pv('p) = V 7b. p » ( -x-p) = F8a. ^ p 5 p 8b. •»-V = F , -v-F = V9c.9b.

M p v q) = ( -v-p) ~ ('»-q) M p *> q) £ ( -p) v (iq)

LEYES DE DE MORGAN

Como es vSlidü reemplazar una proposición por su equivalente sin alterar el resultado, estas leyes ayudan a simplificar el problema que se estS tratando de resolver.

Con este fin presentamos a continuación una LISTA ADICIO NAL DE EQUIVALENCIAS LOGICAS muy GUI:

Introducción al Análisis Matemático

1A. p ♦ q = (' p) vq , 2A. p + q = ( -uq) + (t p)3A. p ' (p v q) = p , 4A. p v (p * q) = P5A. p q s (p -* q) « (q *• p) .6A. p q E (p » q) v [(^ p) - ( 'v-q)] .

PROBLEMA.- Simplificar las siguientes expresiones utilizando las Leyes del Algebra Proposicional 6 la LISTA ADICIONAL :

a) ' [ ’•(p-q) ♦ ’■q) v qb) [((^p) - q ) + (r - '»-r )] - *tq

SOLUCION.- a) ■». [*»« (p q) ♦ “»-q ] v q= ''-['»'(Mp - q)) v ■»> q ] v q 1A.= ^[(p - q) v ^ q ] v q tía.= [t(p ~ q) ~ q)] v q 9a.: t(1'P “ 'q) * q] V q 9b.= q v [ q - (tp v ^q) 2a, 2b.5 q 4A.

b) [((^p) - q ) * (r - 'l-r )] - tq= [((^p) « q ) * F ] « " > . q 7b.= [('»•(('>. p) - q )) v F ] - -»-q 1A.= [(p v '»-q) v F ] ~ •».q 9b.= ÍP v ■>. q ) ~ q 5a.= '»-q 2b, 3a.

PROIILEMA .- Demostrar que la siguiente proposición es una TAUTOLOGIA, u- tilizando las LEYES 6 la LISTA ADICIONAL:

[(pv ^ q ) - q] * p

= •t[(p v i q ) ~ q ] v p 1A.i [Mi» v 'q)] v (^q) v p 9b.= [t*1- p) - q] V (”'• q) v p 9a.= [('»' p) - q ] v (p v •»- q ) 2a.= [(■v-p) ~ q ] y (-v- [(-v-p) - q ] ) 9b.= V (TAUTULOGIA) 7a.

NOTA Este método es mSs prSctico que el de las tablas de verdad.

PRO bLEM A Determinar si es que las proposiciones (a) y (b) son Equl valentes:

Cap.1 Lógica -9-

a) p - (r v -i- q ) , b) (q - * p ) » (( r) * (tp)) .

SOLUCION.- METODO 1 Debemos verificar que las tablas de verdad de (a)y (b) son idénticas :

íA íaíajixu

METODO Z Simplificando: a) p ♦ (r v •v-q) = (^p) v (r v 'tq) ..(1)

b) (q ■* tp) v r -*• ■'-p)= t(^q) v (■'-p)] v ^r) v -»-p]= ( ^q) v (^p) v (r v ~ p)= ('‘-q) v [(^ p) v (^p)] v r= (^q) v (^p) v r = (tp) v (r v -q) ..(Z)

y siendo (1) y (2) Iguales, entonces (a) = (b) .

PROBLEMA .■ Hallar el valor verltatlvo de la proposición:

t(p ♦ «l) r ] — ► [ p (q «-► r)] .. (o)sabiendo que [(p ■* q) * r ] *- [ p ♦ (q ♦ r)] es FALSO .

SOLUCION.- Del dato se tiene que solo puede ocurrir (a) 6 (b) :

a) (p - q) * r : V y p ♦ (q ■* r) : Fb) (p - q) - r : F y p ■* (q ■* r) : V

De (a): p ♦ (q ■* r) : F entonces p) v (■'•q) v r : F- ,de lo cual: ^ p , •*. q , r : F , y por lo tanto, p, q : V y r : F

(*)pero (p -* q) ■* r : V abiuAjlo, pues por (*) (p ■» q) ■* r : F.Luego, (a) no se cumple, de modo que solamente se cumple (b), del cual:

p - * q : V y r : F , d e donde puede ocurrir que:

bl) p. q : V , r : F entonces p -* (q ■» r) : F (abíuAdo)

10- Introducción al Análisis Matemático

b2) p, q : F , r : F entonces p -»■ (q ■» r) : Vb3) p : F , q : V , r : F entonces p * (q -* r) : V

así vemos que para b2 y b3 la proposicifin (a) resulta VERDADERA.

NOTA.- MSs aOn, se puede comprobar que (a) es una TAUTOLOGIA, mediante la tabla de verdad.

SERIE i)E EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Demostrar las Leyes del Algebra de Proposiciones.2. Demostrar las proposiciones de la LISTA ADICIONAL.3. Demostrar que las siguientes Condicionales son IMP! ICACIONES LOGICAS:

a) P = > Pb) [(p - q) - (q - r)] (p - r) (TRANSITIVIDAD)c) -v,p = » (p ♦ q)d) [(p - q) - '»•q ] ==> ^ p ; 9) (p - q) = * (p v q)e) P ==* (p v q) h) (p - q) ==> (p ♦♦ q)f) (p - q) ==* p i) (p --*■ q) =•■ (p ♦ q)

4. FVmostrar que son EQUIVALENCIAS LOGICAS las bicondicionales siguientes:

a) (p -* q) e= > (tp) v qb) (p --•* q) < = » (p + q) - (q - P)c) (p - q) v i? < = > P d) (p ve) %(p * q) «==> [ p * ' q ]

Demostrar que: a) M p + q) = p ( tq)b) F-»p = V ; p -*• F = t p ; p -*■ V s VO (p + q) = [(p v q) ♦+ q ]d) (p ♦ q) = [(p ~ q) ♦+ q ]

6. Dadas las proposiciones I) M p ~ q) "*♦ [ p v ^q ]II) -x-(p + q) -n- [ p v -iq ]III) M p ♦+ q) ♦♦ Í^P *-*■ ^q) .

indicar cuSl (es) es (son) una CONTRADICCION (F) .

7. ¿La proposiciCn M p -► q) - (q ♦ ^r) es equivalente a cuSl (es)de las siguientes proposiciones 7 :

a) p - (p v ^rl-l-tq) b) p ~ ( t.q) ~ [> (q - r)]c) (p - -v-q) v [(p - i r) - ‘‘•q ] .

8. ¿ Alguna de las siguientes proposiciones es una Tautología 7 :

Cap.1 Lógica

a) i [(t (p v q)) ■* <1 ] ♦♦ (p * q)b) ''-[(■'•p) — ► q ] *— (p q)c) t {(p ~ q) v [ p - ( -»-p v q ) ] > *-* (p + ■».q )

9. Simplificar: [(^ p) « q ■* (r ~ r )] ~ (^q) .10. Simplificar: [( q ♦ ■»•?)♦ (^p ♦ q )] * (p ~ q)11. ¿De las siguientes proposiciones cuSles son Equivalentes entre sT ? :

a) Es necesario que Juan no estudie en la UNI para que Luis viva en el RTmac.

b) No es cierto que Luis viva en el RTmac y que Juan estudie en la UNI.c) Luis no vive en el RTmac y Juan no estudia en la UNI.

12. ¿CuSles de las siguientes proposiciones son Tautologías? :

a) [(p v tq) - q ] -* p ; b) [(p - q) v q ] *+ q

c) [{* p) (q v ■». r )] ♦+ [(q - ■». p) v M p v r)]

13. De la falsedad de: (p -*■ ^q) v ( "Mr s ) , deducir el valor deverdad de :

a) [ vp ~ -wj ] v (■». q)b) [(^ r v q) ~ q ] <-► [( '»-q v r) - s ]c) lp *r) ♦ [(pvq) »■iq]

14. Si se sabe que (p » qí y (q ♦ t) son Falsas, ¿cuSles de las s±guientes proposiciones son Verdaderas ? :

a) ( t p v t j v s ; b) •''[p~('''qv'»«p)]c) [(■»>?) v (q ~ -»-t)] ♦+ [(p + q) « ■>. (q - t)]

15. ¿CuSl (es) de las siguientes proposiciones es equivalente a : “ Ei necetatúo paga* I/. 5 D00 y ttA mít joven pana ¿ngH&taK al baitt * ? ,a) No Ingresar al baile o pagar I/. 5 000 , y ser mis joven.

I b) Pagar I/. 5 000 o ser mis joven , y no ingresar al baile.I c) Pagar I/. 5 000 y ser mSs joven o no ingresar al baile.

16. Si la pro?osici6n: (q ~ •>. p) [lp <■> r) v t ] es Falsa, hallar elvalor de verdad le:

a) '»-[('k'P v ■»> q) -*■ (r v ^t)]b) (t q « '»-r) v [(^ t) - (p v q)]c) (^p - t ) + (■'• q + r )

17. Demostrar que las tres proposiciones siguientes son Equivalentes :

a) ■». [(q v •>. p ) v ( q ~ t r v i . p l ) ]

t

12- Lóqica

b) (p - -x-q) » v (p v % r) )c) ~ C(~q) - (^p)3 - [ q - ^(p * r)]

18.- La proposiclfin (p v q) ♦-* (r ~ s) es verdadera. Teniendo r y s va lores de verdad opuestos, ¿ cujíes son verdaderas? :

a) [(tp ~ ^q) v (r ~ s)] ~ p es Verdadera.b) [ M p v q) » (r v s)] v t^p - q) es Falsa.c) [(•'•r ~ •».s) < (pv r)] « i/(r ~ s) es Verdadera.

19. ¿CuSles son EQUIVALENCIAS LOGICAS ? :

a) t(q ♦ •'•p) « lq»p)b) [('»'P « '»< q) v i<q ] ♦♦ •>. [(p v q) « q ]c) -t(p * q) *-* [(pvq)» i q ]

20. SI p * q se define por (*».p ~ i<q) , entonces M p *-► q) ¿acuSl es equivalente 7 :a) [(^p)t q ] v Iq *p) . b) [(•». p) + q ] v [(i. q) + p ]c) [(•'■p) + (~ q)D v (p + q)

21. ¿CuSles de las siguientes proposiciones:

a) i/(p - <tq - ^r) b) (p ^ q) v rc) (r v q) ~ o. ( <tr ~ q) . d) ( i-p) v q v rson equivalentes a: (p ■* q) ■* r ? .

22. Si p + q significa * ni p y ni q * , ¿cuáles de las siguientesproposiciones son TAUTOLOGÍA!" 7 :

a) {p + q) + (q + p) *-»■ (p - q) . b) M p - q) (p + q)c) (p + q) ** M p v q) .

23. ¿CuSntas F y cuántas V tiene el resultado de la tabla de verdad de“x-[(p ~ q) ■* ^r ] ~ (s v *'<s) después de simplificarla 7 .

24. Dada la proposiciónz : [ÍP * q) * (P v (q * r))] * l q * (p»r)] ,

a) Indicar valores de p y r tales que si q es F entonces z es F .b) Indicar valores de p y r tales que si q es V entonces z es V .

25. Escribir la negacSOn de cada una de las proposiciones siguientes:

a) El no es rico, pero es feliz.b) El no es pobre ni es feliz.c) El es bajo pero Sgll.d) Ni Juan ni Carlos viajarán a Huaraz a fin de mes.

Cap.1 Lógica -13-

e) El tiene un compSs o una regla.f) Ambos equipos Alianza y la U IrSn a la Copa Libertadores.g) SI Juan llega a tiempo con los documentos, entonces ambos Carlos y

Pedro podrSn Inscribirse en la Universidad.

26. Si p, q, r, s, t, w son proposiciones tales quea) (p ~ t rJL ** (s ■* w) es verdadera,b) (i-w ♦ *»-s) es falsa

hallar el valor de vendad de las siguientes proposiciones:c) (p * q) v r v s d) (s -*-» ■* (r v ■'•p)e) [ t ■* (w v o. p)] - <l(p ■* r)

RPTA: w : F , s : V , r : V , p : F , d e donde (c) y (d)son verdaderas, mientras que (e) es falsa.

27. Expresar la siguiente proposici6n compuesta de otra forma, utilizandoGnlcarente los símbolos •>< y + : (p«q) v (rvs) .r.PTA: (p ■* -tq) •* [{ -tr) ■* s ] .

28. Simplificar la expresión:

V» > /í - -8 < 0 - J2. > V k v [ 1/ < 1//2 +- 8 > 0 ] .

29. S'n usar tabeas de verdad determinar si las siguientes proposicionesson Ifiglcamente equivalentes entre sT :

[('*) * ('''*)] v [ t + {•»- w)] y m * [(^ t) v s ].

1.5 RAZONAMIENTO LOGICO. ARGUMENTOS VALIDOS

Un ARGUMENTO LOGICO (6 simplemente un ARGUMEN TO) es una condicional de la forma:

ÍPj ~ p2 - ... - pk) - q (*)

donde las proposiciones Pj. p2......p^ son Humadas PREMISAS, y

originan como consecuencia otra proposición q llamada CONCLUSION.

A) El Argumento (*) recibe el nombre de ARGUMENTO VALIDO si dicha condicional es una TAUTOLOGIA. Es decir, si

(Pj A ^ •" ~ P|) ~ 9

B) Si el Argumento (*) es FALSO, entonces se tiene la llamada FALACIA.

TEOREMA SI el Argumento (*) es VALIDO, y las premisas Pj, p2. ... ,Pj, , son verdaderas entonces la CONCLUSION q es correcta (V).

14- Introducción al Análisis Matemático

PRUEBA.- Siendo el argumento vílldo entonces la condicional (*) es unaTAUTOLOGIA (V), en la que (Pj - p2 - ... *■ p ) es verdade

ra (V), pues cada p^ lo es, de donde la única posibilidad para q es que sea verdadera (pues si fuese FALSA, la condicional (*) serla falsa y el ar guinento (*) no serta VALIDO).

OBaERVACION Un argumento no se modifica si es que una o varias de lasproposiciones p , p2> ... , p^ , q se reemplaza por

otra u otras que sean EQUIVALENTES.

NOTACION Un arguirvnto Pj ~ p2 ~ ... ~ p * q también se denota en la forma:

Plf>2

f>k

q

PROBLEMA.- Demostrar que el siguiente argurento es VALIDO : pp - q

q

SOLUCION.- Por deflnicISn, se debe demostrar que la condicional [ p (p ■* q)] ♦ q es siempre verdadera (V) :

i i- [ p - (p - q)] v q = ^ [ p - ( i - p v q ) ] v q i ■v[(p»i.p)v(p.q)]vq = F v (p - q)] v q= ’•t p *q ] » q = ('p v '■ql v q= (’-P) V ( 4 V q) s -op v V 5 V (TAUTOLOGIA).

EJEMPLO.- En un Ejercicio propuesto se presente la propiedad TRANSITIVA:

(p ■* q) ■» (q ■* r) ==> (p ♦ r) . Por lo tanto, el siguiente argumento es VALIDO : P ♦ q

q ♦ r

P * r

PROBLEMA.- Para cada conjunto dado de premisas, encontrar una CONCLUSION adecuada de manera que el argumento sea VALIDO :

a) p -► -w) , r -► q ; b) p -► M) , r -► p , q .

Cap.1 Lógica -15-

SOLUCION.- De las implicaciones conocidas vemos que en :a) SI r ■* q la reemplazaras por su equivalente (^q ■* ^ r) entonces

se obtiene que. por la propleoad TRANSITIVA :(p ♦ ^q) - ('»•q * ^ r) = > (p ■* i-r) .

b) Análogamente, por corarjtatlvidad se tiene que:

= [(r ■* p) -> (p ■* ~ q)] - q = » (r ■» ^q) - q = q - (q -► >x,r) = > i«r , por el problema anterior.

En resumen, s han halladc las siguientes conclusiones correctas para:a) p ■* •»« r , b) ^r .

METODOS DE DEMOSTRACIONCu indo se demuestra que un argumento en la

forma Pj ~ P2 ~ ~ P ■* q •• (I)

es una ‘' OTOLOGIA, se dice que se ha empleado un METODO DIRECTO DE DEMOSTRACION.SI ahora consideramos la negad6n de la conclusICn q y de alguna de las premisas Pj , p2 , ... pk , digamos de pk , y se forma el argumento

[ÍPj ~ P2 ~ ••• ^ Pk_j ) '■ ( * ’*'Pfc (JI)

veremos que este Gltlmo argumento (II) es equivalente a (I) :

(II) s -».[(pj « p2 ~ ... - pk_j ) - ^ q ] v (~ pk)

= [^(Pj - P2 - ... - P|j_j ) v ~(~q)3 v (^Pk)

= (pj - ... - pk_j) v (~pk) v q 5 -o(p1 * ... - pjj . pk) v q

— (Pj * ... A Pk) ■* Q .. (I)

DEFINICION.- Cuando ¿e de¿ea demoitXM la validjr di (I) mando ¿u {ofuna

equivalente (II) ¿e dice que ¿t ¿¿tí empleando el METODO INDIRECTO 6 METODO POR REDUCCION AL ABSURDO. Note, que e¿te

mltodo coniiite. en conildeAaA. ahofia como una pA.en¿ia a la negaciSn de ta con

cluiiSn, e¿ decJiH. a (a. q) y tuaXa de ln¿exiA. (viudamente) ta nega-

ciSn de alguna de tai pnemiiai (en el cooo antejiion, te tnatl de ¿niefUA.:

* pk ) coniideAando tai demSi puopoticlonei veJidadenai.

PROBLEMA.- Verifique la validez de ]os siguientes argumentos. Usar primero un m&todo directo y luego un nEtodo Indirecto.

a) p ■* q b) q ■* pr -> *>»q q v s

PSOLUCION.- METODO DIRECTO :

a) (p * q) - (r ■» •»- q) ♦ (p -► ^r)= (p -» q) « (q -» r) ■* (p ♦ ^ r) = V , por la propiedad

TRANSITIVA.

t>) (q ♦ p) * |q » s) - (*»-*) * p = (^q v p) - (q * ^s) - p= (p ~ q ~ s) -» p = M q ~ (•». s) ~ d) v p= <x, (q ~ o. s) v (■v p) » p = i- (q ^ i. s) v V s V

METODO INDIRECTO . #j Demostraremos la validez de: p ■* q

M p ■* o.r)

M r ■* ^q)

= (p ♦ q) '*• (p ■* 'L r) ■* 'x* (r -* ^ q)= ^ (p ■* q) v (p ■* •»< r) v •»« (r ■* •»« q)= % [(p •> q) > (r % q)] v (p -» % r)= ^ [(p * q) » (q ♦ ^ r)] v (p * ^ r)= (p ■* q) * (q ■* '*,r) -*■ (p i- r) = V (TAUTOLOGIA)

b) Demostraremos que la siguiente condicional es una Tautología:[(q * p) - (~p) - (~ s)] - M q ’v s)

= [(tq v p) ~ (t p) ~ (^s)] -► * (q v s)= [[(-x-q « * p) v (p - i-p)] - (i-s)] * •». (q v s)= [[(^ q - ^ p ) v F] ^ i-s ] ■* ^ (q v s)5 ('X/q)~(^p)~('ts)+''<(qvs) = ' ( q v p v s ) - * '(qvs)= q v p v s v M q v s) = p v [(q v s) v M q v s)] = p v V = V .

PROBLEMA DE APLICACION.- Sea n un entero positivo. Demostrar que:si nz es par, entonces n es par .

SOLUCION.- Sean p : n2 es par , q : n es par . Se desea demostrar que: p = » q , pero en fomto Indirecta por REDUC

CION AL ABSURDO, es decir, demostraremos que: (•»« q) =^* (•»■p) , para locual, aitwUmoi como PREMISA a ¿a. NEGACION de q :

(a. q) : n es Impar

Cap.1 Lógica -17

entonces n - 2k + 1 para algún entero k i 0 . y por lo tanto :

n2 - 4k2 + 4k ♦ 1 - 2(2k2 ♦ 2k) ♦ 1 - 2 kj + 1 .

donde k| > 2k2 ♦ 2k es un entero . lo que Indica que n2 es IMPAR .Asi, hemos llegado a Inferir la NEGACION de p :

•»< p n2 es Impar , con lo cual el problema queda resuelto.

PROBLEMA DE APLICACION Demostrar que no existe nlngGn número racio

nal q “ — , n , n enteros prlros enntre si (es decir, que no tienen factores enteros comunes, excepto el 1) ,

tal que: q2 ■ 2 . (0 equivalentemente, que Jz no e¿ nacional).

SOLUCION Supongamos que (lo contrario) la negaclfin de la tesis secumplr, es decir, que q2 ■ 2 , para algún racional q

tal que q - 5 , con n t n enteros primos entre si . Entonces ,n

q2 ■ 2 =*► (m/n’2 - 2 = > (*) m2 « 2n2 = > m2 es par«i también es par (por el problema anterior) • 2kj , pa ra algún entero kj = * en ( •) . 4k2 « 2n2

= > n2 es par n es par (por el problema anterior)n - 2kz > para algún k2 entero ; resultando asi que

m y n tienen al número 2 cono factor común, cont/uuUtUejido (negando) la hlpfitesls acerca de m y n de no tener factores co.,tunes distintos de 1 .

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Verifique la validez de los siguientes Argumentos:a) p - q b) p « (p * q) d) r + tq

**-P -» q (p » q) ♦ r p + qr ■* s i-r -» s

s p ■* s

(p ~ q) * (r - s) d) p(t q) v (* s) (•*. p v •*•$)-► [( *»<p) » (^r)]

p) v (■»< q) s

SUG: Algunos se prueban mejor por el m&todo indirecto.Sea n un número itero. Demostrar que si n2 es múltiplo de 3 , entonces n también es múltiplo de 3 .


SUG: n no múltiplo de 3 equivale a que n ■ 3k+l 6 n • 3k + 2, parak entero, y en ambos casos resulta que n2 no es mGltlplo de 3 .

3. Sea n un entero, demostrar que si n es múltiplo de 5 entonces n esmúltiplo de 5 .

4. Sea n un entero, den>ostrar que si n es mOltlplo de 6 entonces n es.núltiplo de 6 .SUG: m es múltiplo de 6 si y solo si m es múltiplo de 2 y múltiplo

de 3 a la vez.

5. Sea n un entero, demostrar que si n3 es múltiplo de 2 entonces n es múltiplo de 2 .

6. Demostrar que no existe ningún número racional q tal que q2 ■ 3 .

7. Derostrar que no existe ningún número racional q tal que q3 • 2 .

CLAVE DE RESPUESTAS (SERIE DE LA PAG. 10)

6. III , 7. Todas , , 8. Solamente (c) , 9. •».q ,10. i/q . 11. Solo (a) y (b) , 12. Todos , 13. a) F. b) F ,13. c) V , 14. Todas . 15. Solo (c) , 16. a) F, b) V, c) V ,18. Solo (c) , 19. Solo (b) y (c) , 20. Solo (b) , 21. Solo (b),22. Solo (a) y (c) , 23. IV y 7F , 24. a) p , r : V , b) p, r: V25. a) El es rico o no es feliz.

b) El es pobre o es feliz.c) El no es bajo o no es Sgll.d) Al menos uno Juan o Carlos viajarSn a Pitra a fin de mes.e) El no tiene ni un compís ni una regla.f) Al menos uno de los ecuipos Alianza o la U no IrS a la Copa Liber

tadores.g) Juan no llegarS a tiempo con los documentos y en tal caso, al menos

uno Carlos o Pedro no podrí Inscribirse en la Universidad.28. V , 29. SI son Lógicamente Equivalentes.

- 19 -

2 Conjuntos

1 CONJUNTOS Y CUANTIFICADORES

Se entiende por CONJUNTO a una colección, agrupa c16n o reunión de objetos o ELEMENTOS , y que puede ser determlnadc ya sea por EXTENSION : cuando sus elementos estSn Indicados explícitamente entrellaves, o por COMPRENSION : cuando existe una oropledad o condición que es común a todos estos elementos, de tal manera que al considerar cualquier objeto existente se pueda establecer sin ambigüedad si es o no elerento de tal crlecclón.

NOTACION Para representar a los conjuntos generalmente se utilizan le tras mayúsculas A, B, X, etc. y para representar a sus e-

lementos se usan letras minúsculas a. b, x. etc. Si el conjunto A consiste de los elementos 1, 3, 5, 7, se puede representar :

a) Por extensión : A » {1, 3, 5, 7 }b) Por comprensión: A » (x/ (x - 1) (x - 3) (x - 5)(x - 7) » 0 }

6 sino A « { x : (x - l)(x - 3){x - 5){x - 7) * 0 }

y se lee " A es Igual al conjunto de los x tales que(x — l)(x — 3l(x - 5){x — 7) - 0 ."

Si un objeto x es elemento de un conjunto A se dice que " x PERTENECE alconjunto A " 6 que " x ESTÁ en el conjunto A " , y se denota x c A . En casb contrario, se denotarS x A . En el caso del conjunto A que acabamos de presentar: 7 c A , pero 4 i A .

Es Importante saber que un conjunto mismo puede ser también elemento de algún otro conjunto. Por ejemplo, si A « { { 0 } , { 2 } , { 6 } }y B ■ { 0 } , entonces 0 e B , B c A y 0 A .

CONJUNTOS NUMERICOS r.ARACTERISTICOS|N * { 1, 2, 3, ... > (naturales); Z “ l.» -2, -1, 0, 1, 2, .. } enterosQ ■ { -jj- : m, n e Z , n ¿ 0 } (racionales) ;

I - { x / x tiene represent, decimal Infinita no periódica } IrracionalesR * G U I (números regles)

C - { x + ¿y / x, y e R } donde i ■ /-I (nOmeros complejos)Z+ - { Enteros Positivos } ■ { 1. 2. 3, ... }Z~* { Enteros Negativos } * { ... , -3, -2, -1 }Z+ - Z + U (0} • { 0. 1, 2. 3. ... }

- Z' U {0} - { .... -3. -2. -1. 0 }

Análogamente se tiene Q , R . Q . I . R . Qq . Qq . Iq . Iq . 1^ . 1^ •

INTERVALOS

A) INTERVALO CERRADO . [a. b] - { x e R / a < x - { x e R / a < x « { x e R / a < x 

b R

a

[a. b>

b R

a

<a. b]

b R

a b R

RAYOS : <*. »> - { x c R / x > a }

[». "> - { X E R

<a.

/

” >

x > a }

m

a

[a. ->

R

a R

Qap.2 Conjuntos -21-

e) x e R / x 

NOTA [a, b ] - { a } U <a. b > U {b } .

CUANTÍFICADORES : EXISTENCIA!. Y UNIVERSAL

Aquí presentamos dos nuevas proposiciones relacionadas con ciertas expresiones p(x) a las que se les denominaFUNCIONES PtOPOSICIONALES, y que se convierten en pnopo¿lc¿one¿ ¿Sg¿a~i cuando la variable x toma un valor en particular.

EJEMPLOS DE FUNCIONFS PROPOSICIONALES : p(x) : x ♦ 1 - 2q(x) : x es estudiante de la UNI

Note que: si x ■ 1 , p(x) es verdadera .s1 x - 2 , p(x) es falsa

y si en q(x) Ud. amigo lector, reemplaza x por su nombre, entonces q(x) resulta una proposición 16c lea.

Para los conjuntos A ■ { 1. 2, 3, ... } , B ■ { 3, 6, 9, ... } , ylas funciones proposlclonales

p(x) : x es un nOmero natural parq(x) : x es un nOmero negativor(x) : x es un mGItlplo entero de 3 ,

se tiene que la proposición:

■ EXISTE (por lo menos) UN ELEMENTO x c A TAL QUE p(x) ES CIERTO " .

simbolizada por " 3 x c A / p(x) * , m ulta VEÍWAVIKÁ púa tal

x e A puede ser x ■ 4 ; mientras que la proposición:

* EXISTE (por lo menos) UN ELEMENTO x e A TAL QUE q(x) ES CIERTO " ,

simbolizada por “ 3 x c A / q(x) ■ , Keiutta FALSA putu ningún

elemento x de A ti negativo.

Para el conjunto B ■ {3, 6, 9, ... } , li proposición:

■ PARA TODO x e B , r(x) se cumple * = " ¥ x c B , r(x) * ,

-22-

KUutXa VEKDHDIRA . como se puede verificar directamente, pues todo elemento de B es mGltiplo entero de 3 ; mientras que la proposición:

* IARA TODO x e B , p(x) se cumple " = * ¥ x c B , p(x) "

e¿ FALSA , pues no todo elemento de B es par (ya que existe en B al menosel número 3 que no es par. además de 9, 15. 21, etc., claro).

OTRA NOTACION .- [ ¥ x c B . r(x) ] = [ ¥ x e B : r(x) ] .

A los símbolos 3 y V se les llama CUANTIFICADOR EXISTENCIAL y CUANTIFICADOR UNIVERSAL, respectivamente.

NEGACION CON CUANTIFICAD-iRES Negar el hecho que exista un x enA tal que p(x) se rump>la, equivale

a afirmar que ningGn elemento x de A satisface la condición p(x) , es de clr que: pam todo x en A, M S B CUMPLE p(x) . Simbólicamente,

■»- [ 3 X E A / p(x) ] = ¥ x E A , 1- p(x) .

Análogamente, se puede demostrar de lo anterior tsue:

i- [ ¥ x t A , p(x) ] = 3 x e A / *»> p(x) .

EJEMPLO.- Indicar el valor de verdad de las siguientes preposiciones para el conjunto Z+ “ { 1, 2, 3, } y negarlas simbólicamente:

a) ¥ x e Z* , x2 -6x + 5 » 0 , b) 3 x e Z* / x2 -6x + 5 ■ 0 .

SOLUCION.- Como la ecuaciGn dada x2 -6x + 5 ■ 0 ■ (x-l)(x-5) tiene lassoluciones x ■ 1 , x - 5 , ambas en Z* , entonces

(a) es FALSA, pues para que sea verdadera, la ecuaciGn deberTa cumplirse pcma todoi toi ínteAOi poiitivoi de Z+ y eso no es cierto pues solamente se cumple para x ■ 1 y x ■ 5 .

(b) es VERDADERA, pues existen hasta dos soluciones x » 1 y x » 5 en Z + , y solo hubiese bastado con una de las soluciones.

Las negaciones correspondientes son :

a) M ¥ x e Z + . x2 - 6x ♦ 5 * 0 ) 5 3 x e Z* / t (x2 - 6x + 5 - 0 )

= 3 x e Z+ / x2 - 6x + 5 t 0 .la cual es VERDAOERA, pues tGmese x * 2 e I* en particular.

b) M 3 x e Z+ / x2 - 6x + 5 * D ) = ¥ x e Z * , M x 2 - 6x + 5 « 0 )5 ¥ x e 1+ . x2 - 6x + 5 f 0 ,

la cual es FALSA, pues para x • 1 : x2 - 6x + 5 si es Igual a 0 .

PROBLEMA.- Simplificar y negar la siguí snte proposición compuesta:

" Todos los números enteros son Impares y existen números reales Irracionales, si existe algún nSmero entero par; sí, y solo si, hay algún número real Irracional o cualquier número ertero es un número Impar, si cada número real es un número racional " .

SOLUCION.- Denotamos por: p : V x c Z , x es Imparq: l u í / x es Irracional

y vemos que p ; ^ x c Z / x es parq : ¥ x c IR , x es racional

asi, la proposición original se puede expresar como

[(p - q) ♦ p ] *-*■ [(q v p) ♦ -tq ]

y que al simplificar se obtiene:

= [ P » (p * q)] ♦+ (q v q v p) = p « pv q= [ P + (P v q)] » [(q v p) + p ]= [(^p) v (p v q)] * [( 'q * 'p) v p ] = » » [ V » (p v tq)]= p v ( tq)

de donde tenemos que la negación corresponde a: ( *»<p) q , cuya traducción es: * Bx-iitín númeAOi entvwi xuiti y exiittn núme/un Ktalu h í ú .

nal&i “ .

PROBLEMA .- Sea A - { 1, 2, 3 } , determinar el valor de verdad de cada una de las proposiciones siguientes, asi como Indicar sus negaciones :

Cap.2 __________________________________________________ Conjuntos_ ~ 23 -

a) ¥ x c A , ¥ y c H , x2 * 3y < 12b) ¥ i c . A , J i y c A / x2 + 3y < 12c) 3 x c A / ¥ y c A , x2 ♦ 3y < lzd) 3 x t A / 3 y c A / x2 ♦ 3y < 12

SOLUCION.- ■»- [ x2 ♦ 3y < 12 ] 5 [ *2 +a) F , b) F , c) V , d) V -

Las negaciones correspondientes son:

a) 3 x e A / nt[ •¥ y e A , x2 ♦ 3y

= 3 x e A / 3 y e A / x2 + 3y >b) 3 x e A / ¥ 0 e A, x2 ♦ 3y > 12c) ¥ x c A, 3 j e A / x2 *3 > 12

d) ¥ x c . A , ¥ y c . A , x2 + 3y > 12

luego

-24-

SER1E DE EJERCICIOS PROPUESTOS (2.1)

1. Negar las siguientes proposiciones, para el conjunto Z :

a) ¥ x e Z , x + 1 > x ; b) 3 x e Z / x2 + l » 0

c) 3 x e Z / x2 « x ; d) V x e Z , x2 - 1 > 0

2. Determinar el valor de verdad de cada una de las proposiciones, didas en el problena anterior (1).

3. Negar las siguientes proposiciones:

a) V x e A, } s e * / [ * qU) ]b) 3 x e A / 3 j e B / p(x) - q(jí)c) 3- * e C / ¥ y e B . p(x) v i. q(y)

4. Demostrar que

■>.[ ¥ x t A , p(x) - q(x) ] = 3 x e A / p(x) - tq(x) .

5. Negar cada una 4e las siguientes propos 1 clone.'

a) V x e A , J j e B / ¥ z e C . p(x,y,z)

b) 3 x i A / 3 í £ I / t p(*) * ]c) [ 3 II e A / Jli p(y) ] - ¥ x e A , q(x) v r(x) .d) Todos los americanos citSn locos.e) Hay al meros una persona que es feliz todo el tiempo.f) Todos los hombres son hor?atos o algún hombre es un ladrSn.g) SI el nGmero x es menor que 12 , entonces hay un número real y

tal que x2 * y2 - 144 e¿ positivo.

6. Demostrar que la afirmación: " Para todo enteru positivo n , la expreslfin n2 - n + 41 siempre es un nGmero primo ", es falsa con un contrae jempl o.

7. Indicar la verdad o falsedad dea) V x e R. , V y c P. , (-tf)(-x) - xy * xy > 0b) 3 x e R / (-l)(x) » 0 , c) ¥ x c R , x2/x « x .

8. Dado M - { 1, 2, 3, 4, 5 } , ¿cuSles son verdaderas? :

a) 3 x e M / x ♦ 3 < 10 ; b) ¥ x e M , 3 y t M/ x*y < 7c) - V x e M , x + 3 < 8 ; d) 3 x e M / x+3 > 6.

9. Dadas las p-oposlclones:

a) [ 3 x e W / x + 2 « 5 ] ■* [ •¥ x e W , x2 > x ]b) [ V a e Z , - 8 < 0 ] v [ 3 x e Z / -x - x ]c) 3 x e IR / /-x e R .

Cap. 2 Conjuntos - 25

¿cuáles son los valores de verdad de sus negaciones en ese orden?

10. ¿Cuál de las siguientes proposiciones corresponde a la negación de :* Para todo entero r , existe un entero a tal que si (ar) es par, entonces (a + l)r es par * ?:

a) 3 r e Z / ¥ a e Z , a r y (a + l)r son imparesb) 3 r c Z / ¥ a c Z , a r e s Impar y (a + l)r es parc) 3 r e Z / ¥ a c Z , a r e s par y (a ♦ l)r es Impard) 3 r c Z / ¥ a c Z , a r e s Impar o (a + l)r es par.

11. ¿Cuál de las siguientes proposiciones sobre Q (racionales) correspo£de a la negación de: * Para todo nOmero racional r existe un nGmeroentero p tal que p < r p > rb) 3 r e Q / ¥ p e Z , p < p+1 < rc) 3 » " e Q / ¥ p E Z , p £ r v p + 1 < rd) 3 r e Q / V p t Z , p > r v p + 1 < r .

2 SUBCONJUNTOS

Se dice que un conjunto A es un SUBC0NJUNT0 de unconjunto B , 6 que A a t i ¿nttuZdo en B , si todo elemento de A es tan-blCn elemento del conjunto B , denotándose en tal caso: A c B . Verla Figura 1 en la página siguiente. Es decir, simbólicamente,

A c B «— *• [ ¥ x e A . x c A -=■»• x c B ]

Esta deflnlclSn simbólica Indica el canino a seguir cuando se desea «taños - trar que A c B . De la definición se sigue que es suficiente que un elemento del conjunto A no esté en B para que A no tta iubconjunto dt B ; en tal caso se denota A <$. B .

En el caso en que A c B , si B tuviese uno 6 más elementos que no pertenecen al conjunto A , entonces se dice que A ES UN SUBC0NJUNT0 PROPIO DE B .

EJEMPLO 1 SI A » { 2, 4 } y B * { 1, 2, 3, 4 ) entonces A c B , pues por simple Inspección vemos que todo elemento de A es tambICn elemento de B .

EJEMPLO 2 Para cualquier conjunto A se tiene A C A , pues ¥ x c A .

la ¿mpLLcacidn x c A = > x c A es VERDADERA. [ ya que p = > p es


una TAUTOLOGIA ].

A c B A 4 B A 4 B

lo elemento.

Conjunto Vacío o Nulo Es aquel conjunto que no tiene ningCn elemen to. Se le denota por .y es tí Incluido

en cualquier conjunto, es decir,♦ c A , paAa todo conjunto A .

CoNJLN'm JNIVERSAL Denotado por O , es aquel conjunto que contienea todos los elementos que se estSn considerando

en un estudio o contexto particular.

EJEMPLO___3 SI A ■ {2 } y B» {{2 }} , entonces las proposiciones

1) 2 t A 2) A e B 3) {2} ¿ A4) 2 t B 5 ) A £ B 6) A f B

son todas verdaderas.

EJEMPLO 4 Demostrar la Propiedad Transitiva de la Inclusifin de Conjun-

tos: A c B - B c C

Se desea probar que: V x e A , x e AV x e A , x c A = > x e B

X E B » X E C

A c C

= » x e C .(pues A c B )(pues B c c ) ,

En efecto.

y por lo tanto, x e A las proposiciones lSgicas:

— > x e C por la Propia ■’ad Transitiva de

(p - q) - (q * r) ==> (p + r) .

Demostrar que: ♦ c A , pana r.ualqwLtn. conjunto A .En efecto, se quiere probar que la ¿mpLLcacLSn :

(x e ♦) =*■ (x e A) es verdadera , pero

EJEMPLO 5

esto es cierto pues el antecedente (x c ♦ ) es FALSA , ya gue el corjunto vacio no tiene elementos, y en tal caso la impl1cac16n resulta verdadera.

Cap. 2 Conjuntos -27-

EJEMPLO 6 SI los conjuntos {3a + b-9 , 4a} y { 4 , 5a + 2b }son unitarios, probar que {6a+ b, 2b + 8a-3 } es unitario.

Siendo unitarios los dos conjuntos, entonces:

3a + b - 9 ■ 4a - 5a + 2b » 4 a ■ -2 y b ■ 7 ,

y con estos valores vemos que { 6a + b , 2b + 8a-3 } » {-5,-5 } * { -5 } resultando por lo tanto unitario.

EJIMPLO 7 Demostrar que la proposición A # B es equivalente a declr que: ■ Exiite un eJuftnto a e A tal que a i B ■.

SOLUCION: A £ Ba c A*»<{ a c A a e A

a c B) = • a c B) a i B

= <b(A c B)= •>-( V a e A.= 3 a e A /= 3 a e A /

usando el Ejercicio [5a] , pSg. 10 .

CONJUNTOS IGUALES Dos conjuntos A y B son IGUALES si A c By B c A . Es decir,

A - B < = > [ A C B - B c A ]

Por ejemplo, dados los conjuntos A « { I, 2 } , B * { 1, 2, 1 } mediante la Definición previa se demuestra que A » B , pues todo elemento de Aes elemento de B y todo elemento de B es también elemento de A ; por lotanto B tizne, ¿clámente do¿ elemento*. Asi que un conjunto no varia sisus elementos repltentes se consideran una sola vez.

EJEMPLO 8 Sean A - { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } . B - { 2, 4. 6, 8 } , C - { 3, 5. 7, 9 } . D - { 3, 4, 5 } y E - { 3, 5 > .

¿CuSl de estos conjuntos puede ser Igual a X si se dan las siguientes con dlclones 7: l ) X c A y X < * C 3 ) X C C y X < Í A

2 ) X C 0 y X < £ B 4 ) X y 6 son dfsjuntos .

RPTA: (1) X puede ser A, B 6 D ; (2) X puede ser D D E ;

-28- Introducci&n al Análisis Matemático

(3) X no puede ser nli.guno ; (4) X puttL ser C 6 E .

3 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

UNI^N DE DOS CONJUNTOS: A U BEs el conjunto formado por la reu-

nifin Je todos los elementos de A y por todos los elementos J‘_ B :

A U B ■ ( i £ U / x e A v x e B }

donde “ v " es el conectivo lfigico de disyuiii^Jn, y que se lee " o " .

EJEMPLO K- Dados A • { 1, 3, 5, ... } , B « { 2, 4, 6, ... } entoncesA U B ■ H , puesto que se puede expresar como sigue:

A » { x e W / xes Impar } > B ■ { x e N / xes par }= * A U B - { x e H / x e s impar o x es par } » K

INTERSECCION DE DOS CONJUNTOS: A n B

Es el conjunto formado por todos aquellos elei.entos comunes a ambos conjuntos A y B ; es decir,

A f l B ' t x c ü / x e A « x e B }

donde “ ~ " es el crnertlvo lfiglco de conjanc-iín , y que se lee " y " .

EJEMPLO 2.- Dados A ■ { x e H / xes múltiplo de 3 ) , B > { ieII/x es múltiplo de 5 } , entontas AflB •{ x e N / xes

múltiplo de 15 } , pues por extensión:

A - { 3, 6, 9, 12, 15, 18, ... } y B - { 5, 10, 15, 20. 25, 30, ... } .

SI la intersección de dos conjuntos A y B es vacía (esdecir, A n B « ♦ ) entom es se dlcc que A y B son D1SJUNT0S .

-üWPLE.tcNT'J D- UN CONJUNTO: A' Ó CA Ó AC .- Es aquelFormado por todos los elementos del Uni

verso que no pertenecen al conjunto A :

A‘ • { x e U / x ¿ A } , 6 también A1 » { x e U / t(x c A) }

donde “ *»< “ es el símbolo de la negacifin lógica.

Por ejemplo, si A « , 6] U {8} , A1 ■ < 6, 8 /> U < 8, •»> .

DIFERENCIA DE DOS CONJUNTOS: A - B EstS constituido por los e

lementos Jel conjunto A que. no r nXjjn "«.rt ai conjunto B ; es decir,

A - B - { x e U / x e A y x B }

A este conjunto A - B también se le denota por B .

La siguiente Igualdad respecto a A-B es bastante Gtll en la práctica.

PROBLEMA 1 Demostrar que: A - B ■ A fl B'

La demostración se realizar! por Doble Inclusión (definición de IGUALDAD de Conjuntos) :

a) A-B c A n B‘ : ¥ x e A-B ,

x e A-B = > x c A » x t B =*■ x e A y x e B*= » X E A n B‘ [definición de INTERSECCION ]

Por lo tanto, A -3 c A fl B' .

b) A P B’ c A-B : V x e A fl B' ,

x e A fl B' = » t e A * x e B' =*► x e A ~ x i B=s> x e A-B [definición de A-B ]

Por lo tanto, A fl B' c A-B .De (a) y (b) resulta que: A - B ■ A fl B'

EJEMPLO__3 SI A - <4, 10] . B - [6, 16> : A - B - <4, 6> .

DIFERENCIA SIMETRICA : A A B .- Es el conjunto formado por la reunlOn de aquellos elementos que so

lamente pertenecen al conjunto A y no a B , y por los que solamente pertenecen al conjunto B (y no al conjunto A):

A á B - (A - B) U (B - A) .

EJEMPLO 4 Si A - { 2, 3. 4, 5, 6, 7 } y B - { 1, 4, 6. 7, 9 } en-

tonces A - B « {2, 3, 5 } , B - A - { 1, 9 } ,y por lo tanto A A B * (A - B) U (B - A) « { 1, 2, 3, 5, 9 } .

REPRESENTACION GRAFICA EN DIAGRAMAS DE VENN

Estos diagramas sor Gtlles para verificar grSflca - mente ciertas propiedades de las OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS como las que presentaremos en la pSgina siguiente, y que se pueden demostrar formalmente, utilizando las Leyes del Algebra dt Proposiciones LOgicas.

30-

La zona sombreada representa al conjunto indicado

( i J ¡fcJÍA U B a n b A1

Al conjunto A-B también se le llama el COMPLEMENTO DE B RESPECTO AL CONJUNTO A .

A-B A A B

ÍJ LEYES DEL ALGEBRA DE CONJUNTOS •

la. A l) A ■ A Ib. A n A - A2a. A U B • B U A 2b. a n b - b n a3a. A U (B U C) > (A U B) U C 3b. a n (b n c) - (a n b) n c4a. A U (B n C) • (A II B) n (A U C) 4b. A n (B II c) - (a n b) u (a n5a. A U ♦ - A 5b. a n ♦ ■ ♦6a. A U U - U 6b. a n o - a7a. A U A' - ü 7b. a n A' - *8a. (A*)' - A 8b. u* - * . *■ - u

9a.9b.

{A U B)1 « A’ n B‘ (A fl B) ‘ - A' UB'

| LEYES de DE MORGAN

En seguida demostraremos las Leyes [4a.] y [9a.] •

PROBLEMA 2 Demostrar que: A U (B (1 C) » (A 11 B) (1 (A 11 C) .

a) A U (B n C) c (A U B) fl (A U C) : V x e A U (B n C) ,

x e A U (B D C) = » x e \ v x E (B n c)= ► * E A V (x E B - X E C)= » (x E A V X 6 B) ~ (x E A V X E C)

[pues p v (q ~ r) = (p V q) - (p v r) ]


= > ( e (A U B) . x c (A U C) — o x e (A U B) n (A U C)

b) (A U B) n (A U C) C A ü (B n C) : « i e (AIIB)n(AUC) ,

x e (A U B) fl (A U C) -**> x t (A U B) . x e (AUC)= > ( i c A » x e B ) ~ ( x e A » x e C)

==» (x e A) v (x c B » X e C)

[pues (p*q)* (pvr) = p v (q . r) ]

= * (x e A) v (x c B (1 C) = > x c A U (B n C)

AsT, de (a) y (b) por doble InrluslOn: A U (B P C) • (A U B) P (A U C).

PROBLEMA 3 Demostrar la LEY de DE HORCON [9a.]: (A U B)1 - A' n B‘.

a) (A U B)' c A'flB' : ¥ x e {A U B)1 ,

x e (A U B)‘ ■=> x i A U B = » i. (x e A U B )==» •». {x c A v x e B) = > [ -v. (x e A)] ~ [ -t(x e B)][pues i.{p v q) 5 (*».p) ~ (tq) ] . = > x i A « x 4 B

= » x e A' « x e B' = => x e A' n B' .

b) A1 n B' c (A U B)1 : ¥ x e A' P B' ,

x e A' (1 B' = > x e A' ~ x e B1 = > x 4 A - x t B = > t M * e *)] ~ [^ (* e B)]= » *>-(x e A v x e B) [pues (tp) - (‘»•q) = *»> (p v q) ]= * ^ (x e A U B) = » x i A U B =*■ x e (A U B)' .

Asi. (a) y (b), por doble Inclusión: (A U B)' * A* P B' .

PROBLEMA 4 Utilizando las Le;-es del Algebra de Conjuntos y la DIcEREff- CIA, demostrar que:

(A-B) U (B-A) - (A U B) - (A O B) .

SOLUCION.- (A-B) U (B-A) - (A P B1) ü (B P A’)- [(A P B1) U B ] P [(A O B*) U A1 ]- (A U B) P (B* U B) P (A U A1) P (B1 U A*)- (A U B) P U P U P (B‘ U A1)“ (A U B) P (A1 U B‘)* (A U B) P (A P B)1 .. [Ley de De Morgan 9a.]- (A U B) - (A P B) .

PROBLEMA 5 Demostrar que : a) A c A U B , b) A P B e A ,

-32- Corjuntos Cap. 2

c) A U (6 - A) - A U 6

SOLUCION a) •¥ x e A , x e A **=> x e A v x e 6[pues p > P v q es una tautología ] p o x e A U B .

Por lo tanto. A c A U 6 .

b) ¥ x e A n B , x e A fl B = » (x e A) « (x c B)*=»■ (x c A) , [pues p ~ q = » p ]

Por lo tanto, AflB c A .

c) A U (B-A) - A U (B 0 A1) - (A U B) n (A U A') • (A U B) n U • A U B .

PROBLEMA 6 Demostrar que: a) A c B t : A U B ■ Bb) A c B «= > A n B - A .

SOLUCION .- Recordando que: p *-*• q = (p •* q) ~ (q p) ,

a) ( ) 1) A U B c B : « i c t U B , x e A v x e B

= > x e B v x e B [por la hipótesis: A c B ]=» x c B [pues p v p = p ] . Asi, A U B c B .

11) B <- A U B : Ver la parte (a) del PROBLEMA 5 .

Por lo tanto, de (1) y (11): A U 6 • B .

( <==» ) A c B : V x e A , x c A — > x c A v x e B

[pues p > p v q ] , : x e A U B • B [por lahipótesis A U B • B ] = > x e B . Asi, A c B .

b) { ) 1) A O B c A : V x c A O B ,

x e A fl B x e A ~ x e B — > x c A[pues p «■> q = » p ]., Asi, A fl B c A .

11) A c: A fl B : ¥ x c A .

x c A = > (x c A) ~ (x e A) , [pues p 5 p ~ p ]=^> (x e A) ~ (x e B) , [pues A c B ]= » x c A n B . Asi, A c A n B .

Por lo tanto, de (1) y (11): A fl B ■ A .

( < = ) A c B : -V x c A , x c A <-■-» x c A ~ x e B

[pues por hipótesis, A fl B * A ]= > x C B

[pues p * q = » <1 ] • Asi, A c B .


PROBLEMA 7 Demostrar que: A-B C (A-C) U (C-B) .

a-b - a n b' - a n b’ n (c* u c) * [a n b' n c1 ] u [a n b1 n c ] cc (A n C1) U (C n B') - (A-C) U (C-B) .. per PROBL. [5b.] .

PROBLEMA L Demostrar que: (A U B U C) - (A fl B D C) ■- (A A B) U (B A C) .

SOLUCION.- Desde que: (A U B U C) - (A n B íl C) -- [(A-C) U (A-B) U (B-A)] U [(C-A) U (B-C) U (C-B)] - y empleando dos veces los PROBLEMAS [7] y [6] en ese orden:- [(A-B) U (B-A] U [(B-C) U (C-B] • (A A B) U (B A C) .

PROBLEMA 9 Demostrar: a) A U (A fl B) - A 1----------- ' ' V LEVES Vi ABSORCION

b) A ft (A U B) - A /

SOLUCION.

a) x e A U (A (1 B) f : x c A v (x e A - x c B )c = * x c A [pues P v (p * q) = p ] .

b) x e A D (A U B) g ¡ x e A » (x e A v x c B )»— * x c A [pues p > (p « q) = p ] .


1. I La proposición x 4 A fl B' .a cuSl es equivalente ? :a ) x ¿ A y x ¿ B b ) x c A C x ¿ Bc) * c B-A d ) x c B 6 x i K .

2. { [(A U 8‘) fl (A O B)] U (A fl B1) } U (C-A) es igual a:a) A fl B b) A U B c) A U C d) A fl C

3. I A culi es equivalente x 4 B U (A D C) ? :

a) x t f B ~ ( x ¿ A ~ x C)b) x 4 B U , v x i B U Cc) (x i B » x e A) v (x i B x e C)

4. Dados ¡ - { x c M / x - (k2 - 1)/2 , k c H },B • { x c M / x2 - 8x } .C - { x c M / x2 - 32x +192 - O } .

hallar el conjunto (B - A) fl C .

-34- Con juntos Cap. 2

5. La regifin sombreada corresponde a:

a) (A n B) U (B n C)b) (A U C) - (A n B n C)c) [(a u c) n b] - (A n b n c)d) (a n c) u [(a n b) - (b n cj]

6. SI A c B y AflC ■ ♦ , simplificar:

[A U (B - C)] n [B U (C - A)] .

7. De las siguientes afirmaciones:

a) x t B fl (A - C) b) x 4 B v x 4 (A - C)c) x c B' v x c A* v x e C d) x c (A n I)1 . u C

¿cuSles son equivalentes a: x c (¡ [ P fl (A — C)] ?

B. La proposición: x 4 [jtAíl B) , ¿a cuál es equivalente ? :

a) x t (D - A) ~ x 4 (D - B)b) x t (D - A) v t i (D - B)c) x c D ~ ( x ¿ A v x ¿ B )

9. SI A. B y C son conjuntos, entonces: x ¿ (A(l B1) II C = >

a) (x t A v x c B ) ~ x c C ,b) x c (C-A) v x e (6 II C) ,c) x e (A1 U B) - C* .

¿ CuSl es el correspondiente ?

10. De las siguientes proposiciones acerca de conjuntos, indicar cuSles son verdaderas:

a) V A, 3 B y C / H P C ■ ♦ - ( B U C ) - Ab) 3 C / -VA, A fl C ■ Cc) V A , V B , A II (B n A) • A

11. La parte sombi'eóda del diagrama ,i a qué conjunto corresponde ? :

a) C - [(A-B) fl (B-A)]b) C - [(A-B) U (B-A)]c) [C fl (A-B)'] f> (B-A)d) [C fl (B-A)1 ] fl (A-B)

Cap. 2 Conjuntos

12. ¿A cuSl corresponde la reglfin sombreada?a) [B- (A O C)] U [(A fl C) - B]b) [(B-A) O (B-C)] U [(A n C)-B]c) [b1 n (a n c)] u [(b-a) n (b-c)]

13. SI Mn es el conjunto de nGmeros naturales múltiplos de n , hallar :

a) m2 n «3 c) h2 n h} n m6

b) m7 n Me d) M m n m n

14. ¿CuSles corresponden a la regifin sombreada? :

a) (C - A) U (C - B) U [(A n B) - C ]b) [ C - (A n B)] U [(A n B) - C ]c) [(B - A) U (A - B)] O C

15. i Cuáles corresponden a la refi6n sombreada? :

a) [(C - D) - (A O B)] U [(D - C) - (A n B)]b) [(C U D) - (C O D)] - (A n B)c) [(c u d)] - [(a n b) u (c n d)]

16. íCuSl corresponde a la reglónsombreada ?

a) (A - B) U [(B n C) - A ]b) [ c - (A n b)] u [(b n c)-(An b)]c) [(a n b)-c] u [(b n O - ( a n b)]d) [(A n c) u (B n c)]- (A n b)

17. ¿Cu31 de los siguientes diagramas corresponde a la situación en que los conjuntos a, P, X, Y, Z, satisfacen:p c x' n y1 , z c x n y , m n (y - x) ■ * $ ?

18. Hallar una fórmula para A D B mediante las operaciones de unión y complemento solamente.

19. Sea D el conjunto de nGmeros enteros de tres cifras, y sean E0> Ej y E2 subconjuntos cuyos elementos son números naturales una por lo menos de cuyas cifras es 0, 1 y 2 respec. Hallar D D E0 fl Ej D E2 -

20. Demostrar que: a) A c Bb) A c B

u n A c M n B M U A c M U B V conjunto M.

a)b)c)d)

PRUEBA.-

PROPIEDADES ADICIONALES

U conjunto universalA =■ A1 =

A C A 1 =A U B ■ ♦ A y B = c

u - * .A “ $

=> A 1 $ - B * $=• A C C B c C

Cap. 2 Conjuntos - 37-

SOLUCION: a) { =«■ ) A - A' =-*► A n A - A* II A — > A - 0=*> A* ■ U (- .i , por h1p6*es1s)=a» U - ♦

* /( <*= ) Como ♦ c A c u - l ♦ =©• A - ♦

=*»■ A' ■ u - ♦ [por hipótesis]1 ■=* A * A' * ♦

b) A C A * = > A n A* - A ==» <t> - A .

c) í ♦ c A c A U B ■ I -— / A ■ ♦A U B ■ « ==» -I - f

$ c B c: A U B - <t =f> B - 4

(A * $) - (B » ♦ )

d) i A c A II B ■ C A c CA U B - C ==» -I - ==»

l B c: A U B - C B c C

PROBLEMA 1 Demostrar que: A* fl B » A D B = > B » ♦ .

s o l u c i o n : (a * n b) n a - (a n b) n a

=*• * ■ A n B * A' n B .. (a)

Luego, B . (A U A') n B - (A n B) U (A* n B) - 0 U 0 - * .

PROBLEMA Z Demostrar que:a) (A - B) - C - A - (B U C)b) (A U B) - C - (A-C) U (B-C)c) A - (B n C) - (A-B) n (A-C) .

SOLUCION: a) (A - B) - C - (A D B‘) fl C* = A fl (B U C)1 « A - (B U C)b) (A II B) - C ■ (A U B) n C ■ (A n C*) U (B n C')

» (A - C) U (B - C)c) a - (b n c) - a n (b n c ) ' - a n (b1 u c1)

- (A n B1) U (A n V ) - (A - B) U (A - C)

PROBLEMA 3 Demostrar que: A O B * ♦ «==> A c: b'

SOLUCION: A > A D (B U B*) - (A O B) U (A fl B')

- ♦ U (A n B*) ■= A n B’ C B1 . Por lo ..

38 Conjuntos Cap. 2

tar to : A c B' .

( < = , : A e B' = > A fl B c B' n B - *==> [ <t> c (A 11 B)] - [(» (1 B) c <(. ]=*■ (A n B) = *

PROBLEMA. _ Lerostrar que: a) A & B' - B = > B c A

b) A A B * $ <— > A * B

SOLUCION:a) A A B' - (A • B*) U (B* - A) - (A fl B) U (B1 fl A1) = >

B * (A IB) II (B1 P A') .. por hipfitesis. AuemSs,

b - b n b *= [(A n b) u (b1 n a 1)] n b

- (a n b n b) u (a * n b* n b) • (a n b) u * > a n b

Y como A D B c A , entonces:

B - A O B c A = » B <= A .

b) A A B - ♦ « = » (A - B) U (B - A) - $<==> A — B “ ♦ ~ B - A — 4> , de [5.a], p. 36«==> a n b' * ♦ - d n a1 « $

« = » (A C B) - (B C A) . por el [PROB. 3] ,

c = > A * B .

PROBLEMA 5 Utilizando propiedades adecuadas, demostrar que:

D c (A A B) ===>

D = (A U B) - [(A - D) U (B - D) U (A n B)] .

SOLUCION:

Utilizaremos las siguientes propiedades:

1) M c N <=*• M - M O N2) M c N « = < M n N' - <t>3) (M - N) - P « M - (N U P)4) (M U N) - P - (M - P) U (N - P) , as! que ..

De la hip6tesis, de (2), y de: A A B • (A U B) - (A n B) c A U B

D c (A A B) c A U B = » (A A B) fl (A U B)' - * ... (5) .

Cap. 2 Conjuntos — ¿9

I /

(A £ B) 0 D • [(A £ 6) O D ] U $ .. v' 1J

[(A £ B) fl D ] U [(A £ 6) 0 (A ti 6)’ ] .. por [5]

(A £ B) D [ D U ([ A U B ]‘ )] , t Ley [4b.]

(A A B) D [(A U B) n D1 ]

[(A U B) - (A 0 B)] - [(A U B) - D ]

(A U B) - [(A fl B) U ( [A U B] - D ) ] \ .. por [31

(A U B) - [(A 0 B) U (A - D) U (B - D) ] .. por [4]

que es lo que queríamos demostrar.

PROBLEMA 6 Dados dos subconjuntos A y B de unluniverso U , ¿ cuSlde los siguientes enunciados es verda<fero ? :

a) B* - (A - B) => A U B = > A i * v B f A - ♦ - B * U .

SOLUCION:

a) Simplificando, B* - (A - B) - (B U A)1 => (A U B) «==»(A U B) O (A U B) - 4 c=*. A II B * í

==• A ■ ♦ - B » ♦

Por lo tanto, la proposición (a) es FALSA.

b) Simplificando. A1 £ B1 - (A1 -B1) U (B* -A1) - (A1 fl B) U (B* fl A)

- (A-B) U (B-A) - A £ B =©•

\ £ B > A* A B‘ - (AAB)* .. por hipótesis.

Sea M « A A B , entonces: M » M‘ ==• M» H (I H * M1 U M « U

==» M - M’ - U' - * ==* U » <t> = >

A “ $ - B * $ ■ U . Luego, (b) es VERDADERO.

SERIE DE PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Demostrar cada una de las LEYES DEL ALGEBRA DE CONJUNTOS, utilizando las correspondientes Leyes del Algebra de Proposiciones LOgicas.

2. Demostrar qje: a) A c B <=^> B' c A' . SUG: p ■* q = '*q ■» "'■p

b) A‘ A B - A = > A C B , c) M c A ~ M c B = > H c (A fl B)

d) A c B =*■ A U (B-A) - B . e) (B-A) fl A - ♦ .

40 Conjuntos Cap. 2

I A fl B - ♦ ==» B O A 1 « B , g) A c B «==> A-B - ♦h) ( n B' ■ ♦ • ==» A c B1) fi' O B c (C -A)1 = » B c A

j) A - Cx B = * A A B - X .

3. SI A » ' n + n 8 , 2m - 2n + 4 } es un conjunto unitario, B ■{ x / x - mk , k c Z ) , C * { x / x * nk , k e Z ) , hallar(B1 U C)-‘ . SUG: Pruebe Que n * 3 , m - 5 .

4. Sean a , b c l , A y B conjuntos tales que B f ♦ , A U B esunitario, A - a2 <• 2b , b2 + 1 } y A II B ■ t a + 4d , b + 1 - 3a }

hallar A fl B . SUG: Pruebe qye: a « + (b - 1) .

5. SI A - { a e Z / a5 + 4a ■ 5a3 > y

B » { a e A / 3 b e Z / a « b2 }

hallar el complemento de B con respecto a A . Es decir, A-B .

SUG: Note que todo elemento de B es aquel elemento de A que es elcuadrado de algún número entero. Pruebe que B - { 0 , 1 } .

6. Demuestre que: ♦ - M ■ ♦ , para cualquier conjunto M .

7. Demostrar que: A fl (B A C) ■ (A fl B) A (A fl C) .

8. Se define la operaclfin * entre conjuntos tal que. A * B > A1 D B1¿cuSles son verdaderas? :

a) A * A - A1 c) (A * B) * (A * B) - A U Bb) (A * A) * (B * B) - A fl B , d) A * (B * C) - (A * B) * C

9. Demostrar que: a) { a } « { b , c > a > b * c .

b) { { a } , { a , b > } - { { c } , { c , d } }«==> [(a « b) ~ (c « d)] .

6 CONJUNTO POTENCIA : P (Ai , 2 a

Dado un conjunto A , se llama CONJUNTO POTENCIA de A al conjunto formado por todos los SUBCONJUNTOS VE A . Se le denota por :

P (A) - { X / X c A >

Es decir, X c P (A) «==> X c A .

Cap. 2 Conjuntos 41

EJEMPLO 1 S1 A * { 1, 2 } entonces { 1 > c A<1^ P(A) ■ ( ♦ , i n , (2), {’t,

- t ♦ . { 1 >. { 2 ) . A >

NOTA.- 1) Al conjunto P(A) tamllén se le llama CON^JNTO DE PAIyLS de A.2) Se demuestra que si un conjunto A es finitcly t1eru rf elementos

entonces P(A) tiene 2n elementos, razfn\por la ci»I tambiénA

se le denota por 2" . - -

PROBLEMA 1 Si A - { ♦ , { ♦ } } , encontrar P(A)/T

SOLUCION.- P( A) - { * , { ♦ } , { { ♦ > > . A }

PROBLEMA 2 Demostrar que A c B F = > P(A) cf P(B)

SOLUCION.- La demostrac16n consta de dos partes'

a) ¿i c B = > P(A) c P(B) : sea X e P(A) í=a X c Acomo A c B (hlpfit ) =*> X c B (prop. transitiva de c )

==» X c P(B) [def. de P(B)] . De donde se tiene P(A) c P(B) .

b) P(A) c P(B) = > A c B : Sea * e A = > { x } c A

= » t x } c P{A) ==. { x } c P(B) , [hlpfit.: P(A) c P(B) ] ,= : t x } c B = > x c B . AsT, A c: B .

PROBLEMA 3 Demostrar que: P(A) U P(B) c P(A U B) .

SOLUCION.- Sea X e P(A) U P(B) ==> X c P(A) v X c P(B)=*■ X C A v X c B

==> ¥ x e A , x e A U B ==» X c A U B ==> X e P(A U B)

Por lo tanto. P(A) U P(B) c P(A U B) .

PROBLEMA 4 Sea { i, b, c ) c Z - t -1, 1 > . SI se tiene que

M » t (a + b *■ c) / { a2 *■ b2 - 5 , -3 , -4a >» {b-2c-8, a2+ 4 } } ,

hallar P( M U { -x / x c M ~ -x2 e M }) .

SOLUCION.-

Del dato: a, b y c son enteros diferentes de 1 y de -1 .

En M se ve que -3 no puede ser Igual a: a2 + 4 . Luego,

-3 - b - 2c - 8 ==» b - 2c - 5 ... (a )

AsT, tenemos que „ ,t a2 + b2 - 5 . -3 , -4a > = t -3 , a2 * 4 > .. (*)

<»z Conj untos Cap. 2

Aho.: -4a no pued ser -3 [ello darfa: a » 3/4 4 L ] = »

-4a ■ a2 + 4 ===* (a + 2)2 » 0 = > a * -2 . La Igual

dad (*) ie convierte en: { b2 - 1, -3 , 8 } ■ { -3 , 8 } , y como el

conjunto de la derechc debe tener sfilo dos elementos, entonces:

b ' - l > - 3 6 b2 - 1 ■ 8 , de modo que,

1) SI b2 -1 ■ entonces b2 • -2 (absurdo)

11) SI b2 - 1 ■ 8 entonces b2 « 9 = ► b * í 3 ==»

{ SI b • 3 entonces c « (b - 5)/2 » -1 (descartado)

SI b ■ -3 entonces c * (b-5)/2 ■ -4

Luego, a * -2, b « -3 , c » -4 , a + b + c - -9 ==» M * { -9 >pues H est? formado por los elementos de la forma (a + b + c) .

Como x « - 9 e H y -x2 “ - 81 i M , entonces { -x / x e M »

- x2 e H > * ♦ lo cual Implica que :

P ( H II { -x / ( E l i - - x2 e H } ) • P (M) - P({-9>)

- { ♦ . { -9 > >.


1. Encontrar P(A) donde A * { “ , a , { ♦ } } .

2. Demuestre que: P(A fl B) - P(A) n P(B) .

3. Dar un ejeciplo de dos conjuntos A y B en los cuales se vea que:

P(A U B) P(A) U P(B) .

4. ¿ En qué caso se cumplfc que A <= P(A) ? .

5. Si A - ♦ , encontrar P [ P (A) ] .

6. Dados los conjuntos A* { x c M / x3 - 2x2 - 5x + 6 * 0 } ,

B- { x e IN/ 2x2 - 7x + 3 » 0 } y C * { 2 , 3 } .

SI D • (A-B) II C , hallar el nGmero de elementos de P(D) .

7. SI A - { a . » , { * ) } y B - { { * } . { { * } } } .¿cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? :

a) A U B - (A B) - { a , ♦ , { { ♦ > > > .

Cap. 2 Conjuntos 43

b) El número de elementos de P(A) es 8 .c) P(A) fl P(B) - { ♦ . { { ♦ } > > •

7 NUMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO

Dados dos conjuntos FINITOS y DISJUNTÍ ' A y B se define el número de elementos de la unifin A U B como :

n[A U B] ■ n [A] + n[B] , con \ fl B • $ --(1)l

La relacifin conjuntlsta: A > (A - 8) U (A fl B) , en/donde se puede comprobar que los conjuntos (A - B) y (A fl 8) son DISJl.'NTOS , entonces

n [A] » n [ A - B ] + n [ A fl 8 ] .. (2)

Y en el caso en que A y B sean cuaZzsqiUeA. conjuntoi ¿¿nltoi aA.b-üt’uvu.oi

(no necesariamente disjuntos) , entonces

A U 8 * 8 U (A - B) , donde B y (A - B) ¿on (Liijantoi ,

= > n[A U B] • n [B] + n [ A - B ]

■ n [B] + n [A] - n [ A fl 8 ] .. debido a (2).

Es decir,n[A II B] * n [A] + n [B] - n [ A fl B ] .

AdemSs, siendo A U B * (A - B) U (A fl B) U (8-A) una unlfin de tresconjuntos disjuntos entre sf, teneros que :

n[A II B] » n [ A - B ] + n [ A fl B ] + n [ B - A ]

que en la prSctlca es la relar.ifin mis utilizada, pues equivale a representar

44 Conjuntos Cap. 2

la unlfin A J B en un diagrama ae Venn en zona diijuntxu coito :

x » i' [ A - 8 ]

n ‘ A fl 8]

n [ B - A ]

PROBLEMA l Un club deportivo tiene 48 jugadores de fGtbol, 25 de bSsket y 30 de béisbol. Si el total de jugadores es 68 y solo 6 de ellos figuran en los tres deportes,

a) ¿CuSntos figuran en exactamente un deporte ?b) ¿CuSntos figuran en exactamente dos deportes?

SOLUCION: datos: a + d + e + g 48 del diagrama de Venn ,

b + e+ f + g ■ 25 c + d + f + g • 30 a + b + c + d + e + f + g

g ■ 6

68

Asf, el nGmero total de jugadores que figuran en exactamente un deporte es:

* « a + b + c

y el de los que figuran en exacta mente dos deportes es:

d + e + f Sumando las tres primeras e- cuaclones de los datos, se

obtiene:x + Zy + 3g ■ 103 =

y de la cuarta ecuacifin : x + y

= > x - 39

x * Zy * 85

68 - g - 62

y = 23 .


Cap. 2 Conjuntos 45

1. Demuestre que si A . B y C son conjuntos finitos, entonces

n(A U B U C) - n(A) + n(B) + n(C) - n(A (IB) - n(A n C)

- n(B fl C) + n(A fl B O C) .1 I

2. En cierto Instituto de Ciencias Administrativas, se requiere que todos los estudiantes del último ciclo cursen MatemSticas, Contabilidad 6 E-

Iconomló. SI se sabe que de 600 de estos estudiantes: 400 cursan Matemíticas, 30b Contabilidad, 250 Economía, 240 EconomTa y MatemSticas, 90 Contabilidad y MatemSticas y 50 Contabilidad y Economía. ¿CuSntos cursan las tres materias ?

3. S1 A es un conjunto que t'ene 8n elementos, B un conjunto que tiene 5n elementos, y se sabe que los dos tienen 2n - 1 elementos en común, hallar la suma del número de elementos que tienen :

a) (A n B) fl (A - B) b) (AUB)n(A-B) .

4. Siendo n un número natural, y A ■ { n2 / 0 < n < 4 } , B ■{2n-5 / 2 < n < 6 } y C « { n2 - (n3/n) + 1 / 0 < n < 6 },determinar por extensifin cada uno de estos conjuntos.

5. Dados tres conjuntos A , B y C con n , 3n y n -1 elemertos res - pectlvamente. Si A y B tienen n/2 elementos cor~jnes, A y C tie nen n/4 , y C y B tienen 2 . Si hay un único elemento común a los tres conjuntos, hallar el número de elementos de

[(A U B) - (A n 8)] - C .

6. ¿ CuSntos de los 2 000 alumnos estSn Inscritos en Química pero no enFísica sabiendo que: 1050 estSn Inscritos en Química, 750 en Física,650 en Química y MatemSticas, 350 en Ffslca y Química, 300 en Materró ticas y Física, 1150 en MatemSticas, 200 llevan las tres materias 7

7. Una agencia de Turismo realiza una encuesta entre 5 D00 personas para ver las preferencias en materia de viajes a Cuzco, Iquitos y Trujillo:2 400 personas desean viajar por lo menos al Cuzco, 3 000 por lo menos a Trujillo, 2100 por lo menos a Iquitos, 1000 a Trujillo e Iquitos, 800 al Cuzco y a Iquitos, 1500 a Trujillo y al Cuzco, y 500 estSn dispuestas a realizar las tres excursiones. Se pregunta :

a) ¿ CuSntas Indicaron que no realizarSn ningún viaje 7b) i CuSntas no mostraron Interés por el viaje a Iquitos 7c) L CuSntas desean hacer dos excursiones siempre que ninguna sea al

46 Conj jntos Cap. 2

Cuzco ?d) ¿ CuSntas estín dispuestas a realizar exactamente dos viajes dlferen

tes ?e) ¿ CuSntas viajarían al Cuzco si y solo si no lo harían a ¡quitos ni

a Trujlllo 1

B. El registro central de la UNI proporcione los siguientes datos acerca de 2 000 estudiantes 1050 llevan Química, 1150 MatemStlcas, 750 Física, 650 Química y MatemStlcas., 350 Física y Química, 300 MatemS ticas y Física, y 200 los tres cursos. Dttermlnar el nGmero de alumnos Inscritos en :

a) Química pero no Física , b) Exactamente en dos de los tres cursos.c) SCo en uno de los tres cursos.d) En ninguno de los tres cursos.e) Química si y solo si estS inscrito en Física.

SLIG: p *—► q = (•'«p v q) ~ (•'«q v p)= (p * q) v ('»»p * ~q) 5 (p - q) v ~(p v q) .

f) Física siempre que se haya Inscrito en HatemSticas.SUG: ntM1 U F] - n [F] + n [H* ] - n [ F n H1 ] .

9. En una fiesta para 100 niños, una gran canasta de caramelos estS suspendida del techo. Cada caramelo estS envuelto en pdpel de color rojo, blanco o azul. Al final de la fiesta se rompe la canasta y los niños se abalanzan sobre los carame'os. Luego se les pregunta a los i.iños qué tj[ pos de dulces tienen, con los siguientes resultados:

40 niños tienen uno rojo (cada uno), 60 tienen uno azul, 70 tienenuno blanco, 20 uno rojo y uno nzul, 25 uno rojo y uno blanco, y30 uno azul y uno blanco. El investigador olvldfi preguntar si c da niño tenia al menos un caramelo.

a) ¿ CuSntos niños tenían un caramelo de cade color 7b) ¿ CuSntos no cogieron nlngGn caramelo 7

SUG: SI c ■ ns de niños con solamente caramelos rojos.f ■ n2 de niños con caramelos azules y rojos pero no

blancos.g • ns de niños con caramelos de cada color, h * n£ de niños quj no cogieron nlngGn caramelo.

Pruebe que: g t h . 5 .. (i) , c + f • 15 .. (2) y

Cap. 2 Conjuntos 47

f + g - 20 .. (3) . de donde g < 5 de (1). f < 15 cíe (2),y g > 5 de (2) y (3).

10. Demostrar que: B e P (A) = > A A B « A-B .

Clave de Re s p u e s t a s:

SECCION DE LA PAG. [24] : 1.a) 3 x e Z / x + 1 < x ; l.b) V x e Z ,x2 +1 * 0 ; l.c) V x £ Z , x2 i x ; l.d) 3 x £ Z / x2 - 1 < 0 .

2. VFVF en ese orden 3^) 3 x e A / í y e A , p(x,y) ''*q(y) ;3. b) ¥ x e A. V y e B, ^p(x) v-^q(y) ; c) ¥ x £ C, 3 y e B/ ~p(x) - q(y) ;5. a) J x e A / V y £ B , 3 z E C / ^ p(x,y,z)

b) ¥ x e A, V y £ B, p(x) - ^ q(x,y) ; c| (¥ y e A, p(y)) v ( J x e

A / ^q(x) - ^r(x)). d) Existe al menos un americano que no estSloco. e) Todas las personas son Infelices en algGn momento.

f) Hay al menos un hombre deshonesto y nlngGn hombre es ladrfin.g) x < 12, y para todo real y se cumple: x2 + y2 - 144 < 0 .

6. n ■ 41 ; 7.a) F , b) V , c) F ; 8. Las cuatro ; 9. VFF ;10. (c) ; 11. (d) .

SECCION DE LA PAG. T331 : 1 S61o (d) ; 2. S61o (c) ; 3. S61o (b) ;

4. 8 ; 5. S61o (c) ; 6. (B-C) ; 7. (a), (b) y (c) ; 8. Sfilo (a) ;9. Todas ; 10. Todas: a) V para B * ♦ , C ■ A ; b) V para C ■ ♦ ;

c) V ; 11. (b) ; 12. (b) y (c) ; 13.a) M6 ; b) ; c) Hr , donde r - m.c.m. (m, n) ; 14. Todas i 15. Todas ; 16 S61o (c) ;

17. S61o (c) ; 18. (A1 UB')' ; 19. { 102, 120, 201, 210 } .

SLCCION DE LA PAG |~39] : 3. B fl C • { ... , -15, 0, 15, ... } - { x /

x » 15k , k £ Z ) ; 4. A (1 B » { 10 } , se descarta la soluclfin a ■b - 1 pues da A - { } ; A U B * { y } M ; 5. { -1, -2, 2 }

8. (a), (b) y (c) .

SECCION DE LA PAG. [42" : 3. A - { 1 } . B - { 2 > ; 4. A - ♦ , 6

A - { ♦ ) ; 5. {*.{*},{{♦}}.{♦.{*}}}; 6. 8 ; 7. Las tres

SECCION DE LA PAG. f45] : 2. 30 ; 3. 6n +1 ; 4. A - { 1, 4, 9 ),

B - { 1, 3, 5 ) , C - { 1 ) ; 5. lln/4 ; 6. 700 ;

7. a) 300 , b) 2 900 , c) 500 , d) 1800 , e) 2 900 ,

8. a) 700 , c) 950 , d) 150 , e) 900 , f) 1150 .

9. a) 5 , b) 0 .

48

3LOS NUMEROS REALES

l SISTEMA DE LOS NUMEROS REAlESEs un ronjunto IR con dos ope

raciones: „urna y muttipticacUón, y una relación de Orden “ < “ que selee " menor que “ , y que satisface los siguientes axiomas:

a + b c IR (LEY DE CLAUSURA)a ♦ b ■= b + a (LEY CONMUTATIVA)(a + b)+ c = a + (b + c) (LEY ASOCIATIVA)

A4. AXIOMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL ELEMENTO NEUTRO ADIIT/0:Existe un elemento y s61o uno denotado per “ 0 “ , tal que:

V a c IR : a + 0 » a = 0 + a.

A5. AXIOMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL ELEMENTO INVERSO ADITIVO:Para cada a e IR . existe un elemento y sólo uno denotado por “ -a " , que satisface la siguiente relación: + . q „ j_aj + a

Al. V a, b £ IR A2. Va, b e IR A3 V a, b, c £ IR

MI. V a, b £ IR ab e IR (LEV DE CLAUSURA)M2. Va, b e R ab ■= ba (LEY CONMUTATIVA)M3. Va , b, c e IR : (ab)c = a(bc) (LEY ASOCIATIVA)M4. AXIOMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL ELEMENTO NEUTRO MULTIPLICATIVO:

Existe un elemento y sólo uno denotado por a 1 " , * (¡ Aente de 0tal que: a • 1 - a = 1 - a

M5. AXIOMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL INVERSO MULTIPLICATIVO:Para cada a t 0 en IR, existe un elemento y solamente uno en R , denotado por a-1 , tal que: a - a-1 » 1 « a*1 a

D. AXIOMAS DE DISTRIBUTIVIDAD:Va, b, c e IR: a(b + c) * ab + ac’ ’ v ' LEYES DISTRIBUTIVAS

(a + b)c = ac + be01. Dados a y b en R, entonces una y ¿oto una de tai s ¡.gtu.ii.ntet lela-

cionet te cimple: a a = b, ó b < a (LEY DE TRICOTOMIA)

Cap.3 Numeros R o ales -49-

02. Si a < b y b < c entonces a < c (LEY TRANSITIVA)03. Si a < b entonces a + c < b + c , -V c e IP .04. Si a < b y 0 < c , entonces ac < be .5. AXIOMA DEL SUPREMO (AXIOMA DE LA MINIMA COTA SUPERIOR).- Todo conjun

to no vacio de núirjros reales, acotado superiornente, tiene una MINIMA COTA SUPERIOR (6 SUPREMO) ’n IR .

1.1 NOTA.- Al elemento a”1 también se le denota: 1/a 6 ^ .

De estos 16 axiomas del Sistema de los Números Reales, los cinco primeros se refieren a la SUMA 6 ADICION , los siguientes cinco a la MULH PLICACION, el axioma D relaciona ambas operaciones de Suma y Multiplicación y los axiomas 01, 02, 03 y 04 se refieren a la RELACION DE ORDEN < .

1.2 OBSERVACIONES.- De estos axijmas se deduce que IR contiene a IN ,Z y Q , es decir, a los números racionales en

general:1. De M4 se tiene la existencia del número 1 en R .2. De ffl se tiene que 1 + 1 = 2 e IR, 2 + 1 = 3 c F. Asi, IN c: IR .3. De A4 se tiene la existencia del 0 (cero) en O .4. DE A5 resulta: -1, -2, -3, ... son números reales, con lo que:

Z = { ... . -2 , -1 , 0 . 1 , 2 , 3 , ... } c IR .5. Para cada entero m c IR, m f 0, se tiene que m~1 e IR , o sea 1/m

c IR, y por MI se tiene que' n - (1/m) = (n/m) c IR , para todo entero n, m, m f 0. Y como todo racional es de la forma q = n/m , seconcluye que Q c: IR .

Adem3s, desde el axioma Al hasta el axioma 0 se puede verifi - car que los números racionales los satisfacen; sin embargo, sería imposible demostrar que los números irracionales como /3 0 J 5 son también números reales, a menos que utilicemos el Axioma S 0 AXIOMA DEL SUPREMO. De aquí la importancia de este axioma en el AnSlisis MatemStico.

La correspondencia entre los números reales y los puntos sobre y na recta, puede ser usada para ilustrar geométricamente la relación de orden< : la relación a < b establece que al graficar en una recta el núme

ro a se encuentra a la izquierda de b .

a b cIR

50- N'jmeros Reales Cap. 3

Con la ayuda de estos axiomas demostraremos algunas propiedades de los números reales.

Demostrar que : - 0-0 - (-0) + 0 - 0

0 .

demostrar que b

A4

Pr o b l e m a 3

Si a + b * a ,

b ■ 0 + t>* [(-a) + a ] + b* (-a) + (a + b)* (-a) + a - 0

Demostrar que: a - 0 ■ 0 .a - 0 * a ■ 0 + 0

■ a ■ 0 + [a - 0 + (- a - 0)]* [a.O + a.0] + {- a - 0)■ a - (0 + 0) + (- a ■ 0)■ a • 0 + (- a • 0) = 0

por A4 y A5 respect.

0 .

ASA3hipCtesis y A5

A4 A5 A3 DA4 y A5 .

M4M3A5 y M2 Probl. anterior.

PROBLEMA 4 .- Demostrar que: -a * (-1) . a .a + (-l)a • 1.a + (-l)a

= [ 1 + (-1) ]a= 0.a = a.O = 0 .

y como por A5 el inverso aditivo de a es único con la condición que a + (-a) * 0 , entonces: -a ■ (-l)-a

PROBLEMA 5 V a, b e « : a(-b) * - (at>) = (-a)b :a(-b) = a [(-1)b ] Probl. anterior

= T a.(-l) ] b = [{-1 )a ] b M3 y HZ- (-1)(ab) M3* - (ób) Probl. anterior.

En forma análoga se puede probar que: (-a)b (ab) (EJERCICIO).

PROBLEMA 6.- ¥ a e IR : - ( - a ) = a :

Denotando por b = -a , como b e IR , entonces

Cap. 3 Números Reales 51

t * a " ( - a ) + a “ 0 A5lo que Implica que como para cada b e IR , existe un único elemento 11 -b 11tal que: b ♦ (-b) - 0 . entonces , . (_b) > es decir:

PROBLEMA 7 .- V a, b e IR : (-a)(-b) - abCon los dos problemas anteriores,(-a){-b) - - (a) (-b) - -[-(ab)] = ab .

PROBLEMA 8 .- Probar que l”1 ■ 1 Es decir, que el inverso multiplicativo de 1 es el mismo 1 .

En efecto. j-1 . j-1 j M4

* 1 , M5 pues a”1, a ■ 1

PROBLEMA 9 .- Si a t O , demostrar que: a”1 i 0 .

Como a i 0 , entonces existe a-1 por M5 tal que

a - a-1 ■ 1 , y si fuese a-1 - 0 entonces

1 * a . a"1 ■ a.O » 0 ===> 1 = 0 (ABSURDO),pues por h4 : 1 ^ 0 . Por lo tanto, a-1 i 0 .

PROBLEMA 10 .- Si a f 0 , entonces (a-1)”1 * * •

Denotando por b ■ a'1 , se tiene que:

b . a ■ (a-1) . a * 1 .. M5

y como el Inverso multiplicativo de b es Ciico tal que

b . b_1 ■ 1 entonces a = b-1 = (a-1)"1 .

1.3 Te o re m a .-

ab * 0 < ■ [ ( a * 0 ) v ( b = 0 ) ]

PRUEBA: ( = » ) Para a , existen solamente dos posibilidades:

a = 0 6 a f 0i) Si a = 0 , el teorema estarla probado,ii) Si a t 0 , entonces, análogamente :

b = 0 con lo que el teorema estarla probado,

b ¥ 0 el cual veremos que no puede ocurrir

52 Números Reales Cap. 3

pues a f 0 ==> a'1 t 0 , así que de la hipótesis: = *ab - 0 ==» (a-1, a), b - a"1. 0 ==» í.b - 0 -- > b « 0

lo cual es absurdo , pues b t 0 .

( « = ) SI a * 0 entonces ab • O.b ■ 0 ,¿si b - 0 entonces ab * a.O * 0

1.4 NOTA.- Este teorema previo es muy Importante en lo que respecta a laresolucifin de ecuaciones, como veremos más adelante.

PROBLEMA ll SI a+b • a+c entonces b = c .

En efecto, a + b ■ a + c = >(-a) + (a+b) ■ (-a) + {a + c)

=©■ [(-a) + a ] + b » [(-a) + a ] + c .. A3==» 0 + b - 0 + c ==» b = c .. A5 y A4 .

PROBLEMA 12 .- SI ac ■ be y c t O entonces a ■ b . Pues

i) SI a ■ 0 = » be = 0 = » b ■ 0 (pues c + 0)por el TEOREMA [1.3]. Luego, a ■ b * 0 .

11) S1 a f 0 = » como c f 0: ac t 0, luegobe i 0 , ademas, existe c'1 f 0 , y por lo tanto:

ac ■ be = > (ac) c“1 » (be) c’1 = » a(cc_1) = bfee'1) .. M3a.l ■ b.l a = b .. M5 y H4 respec.

1.5 DEFINICION .- (RESTA) : V a , b e IR: a - b - a + (-b)

1.6 DEFINICION .- (DIVISION): V a. b e IR , b i 0 : - - a • b'1b

También se denota - « a/b .b

1.7 OBSERVACION Desde que no se ha definido el inverso multiplicativo del 0 (cero) en los axiomas de IR , entonces espor tal razOn que la DIVISION POR CERO NO ESTA DEFI-DA .

PROBLEMA 13 .- Demostrar que: -a - b = - (a + b)Sea c * (a + b) , entonces

c + (-a - b) * (a + b) + (-a-b) « (a + b) + (-a) + (-b) Definic.- a + [ b + (-a)] + (-b) A3

■ a ♦ [{-a) ♦ b ] ♦ (-b)■ [ a ♦ (-a)] + [ b + (-bj]

0 + 0 « 0 y como el inverso aditivo de c es único , entonces :

{-a - b) « -c - - (a + b) .

PROBLEMA 14 .- SI ab i 0 , probar que: (ab)-1 *En efecto, sea c * ab :

c(*_1b_1) - (ab){a-1 b_1) - a (ba'1) b'1

A2A3A5 y A4 ,

a’1, h"1 b-1. a"1

a (a'1 6) b'1 (aa*1)(b b-1)- 1 . 1 - 1

y como el inverso multiplicativo de c t 0 es único por M5.-1 ».-1

M3

M2 y M3 M5 y M4 , entonces

-1 a - V 1 Es decir,

PROBLEMA 15 .- Demostrar que:

(ab)-1

i + £ b d

a ‘ b

ad ♦ cbbd

Como b i 0 y d t 0 ,

^ ^ = ab"1 + cd*1 « (ab-1). 1 + (cd-1)- 1- (ab"1)(dd~1) + (cd-1)(bb_1)

= (ad)(b"1d_1) + (cb)(d-1 b-1)= (ad)(bd)-1 + (cb)(bd)_1

(ad + cb)(bd)-1 ad + cb bd

DEF. y M4 M5M3 y M2 Probi, anterior

Ax. D y DEF.

PROBLEMA 16 V a t o en R : (-a)-1 - - a-1

Sea b = -a , entonces b(-a J) = (-a)(-a_1) = a • a-1 - 1

y por la unicidad en M5 : b {- a-1) = 1

1 - (-a’1) ' -'-1 -

Probi. [15]

.-1

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS En base a los axiomas, demostrar:

1. a-(b-c) - (a-b) + c ; 2. * - * = 0

3. a2 - b2 - (a + b)(a - b) ; 4. a (b - c) = ab - ac

5. b /< 0 y d /< 0 : ad = be

6. (a/b)(c/d) - (ac)/(bd) si bí f 0 .

54 Números Keiles Cap. 3

7. (a/b)/(c/d) = (ad)/(bc) , si bcd f 0 -8. a/(-b) - (-a)/b = - (a/b) , si b i 0 .9. TEOREMA FUNDAMENTAL OE LAS ECUACIONES LINEALFS: Sean a, b, * e IR ,

con a i 0: a* + b - 0 < ■ ¡> * • - ba*1 c~ * = - b/a

2 ECUACIONES LINEALES Y CUADRATICAS

La resolucifin de cualquier ecuaciGn lineal a* + b1 O es una aplicación directa del EJERCICIO PROPUESTO [9] previo.

a) 2x + 1 = O « = > * = - 1/2b) 3x + 8 = x - 2 <=»• (-*) + 3x + 8 = (-x) + x - 2 «==»

2* + B = -2 «==> 2x = -10 «=*■ x = -5 .c) 2x + 3 = 2x + 5 «=^> (-2x) + 2x + 3 = (-2x) ♦ 2x + 5

«==s> 3 = 5 (ABSURDO) . Como 3 = 5 es FALSO, independientemente de x , la ecuación dada no es satisfecha para ningún x e IR .

La resolución de ECUACIONES CUADRATICAS ax2 + bx + c = O con a t O , puede realizarse de dos maneras: FACTORIZANDO ó COMPLETANDO CUADRADOS, ambos métodos basados en los siguientes dos Teoremas, el prí mero de los cuales ya fue demostrado.

2.1 TEOREMA ab - 0 «==> a = 0 v b = 0 .

2.2 TEOREMA .- a2 = b2 < =í> [ a = b v a = -b ]

2.3 NOTACION : a = i b 5 (a = b ) v ( a = -b).

PRUEBA DE [2.2] : a2 = b2 <=^- a2 - b2 = 0<•— — (a-b)(a + b) = 0 « s >

a - b = 0 v a + b = 0 [por TEOR. 2.1 ]<==> (a = b) v (a = -b )

Debido a la NOTACION [2.3], el TEOREMA [2.2] también se expresa así:

a2 = b2 «==> a = i b2Por EJEMPLO, resolveremos la ecuación: x - 7x + 10 = 0 :

x2 - 7x + 10 = 0 « = * (x - 2)(x - 5) = 0(x - 2) = D v (x - 5) = 0

x = 2 v x = 5 .

A continuación analizaremos el METODO DE COMPLETAR CUADRADOS.

2.H METODO DE COMPLETAR CUADRADOS

Cuando no se puede factorlzar en forma sencilla como en el ejemplo anterior entonces se debe tratar de formar el CUADRADl OE UN BINOMIO.

En este método se trata de convertir la expresiónen una de la forma

(x ♦ a) ♦ d

donde a y d pueden tomar valores negativos. De las expresiones

x2 +' 2(a)x ♦ a2 - (x ♦ a)2x2 - 2(a)x ♦ a2 - (x - a/2

vemos que debe formarse el sumando 2(a)x en cualquiera de los dos casos.

Por ejemplo, x2 - 6x - 11 « (x2 - 6x ) - 11- (x2 - 2(3)x ) - 11- (x2 - 2(3)x ♦ 32 - 32 ) - 11- (x - 3)2 - 9 - 11 - (x - 3)2 - 20

Note que 2ax « 6x y que se le ha sumado y restado a2 * 9 para no alterar el resultado, y por lo tanto

x2 - 6x - 11 - 0 «=s> (x-3)2 - 20 - 0 < = > (x-3)2 - 20 - (/2Ó)2•e= > x - 3 » i /20 - i 2/1 x - 3 í 2/5

x - 3 ♦ 2/5 v x - 3 - 2/5

EJEMPLO Resolver la ecuaclfir: x2 ♦ 8x - 8 ■ 0 .

SOLUCION.- 2a » 8 = » a • 4 ; luego , x2 + 8x f 8 : :

x2 + 8x + 42 - 8 ♦ 42 «==» (x + 4)2 » 8 + 16 - 24 - (2/6)2<-=» x 4 - i 2/6

x « -4 ♦ 2/6 v x - -4 - 2/6 .

EJEMPLO Resolver la ecuac16n: x2 - 5x - 36 ■ 0 .

SULUCION.- 2a • 5 — a * 5/2 ; luego, x2 - 5x * 36 « = »

x2 - 5x ♦ (5/2)2 - 36 + (5/2)2

(X- l)2 - 36* » - ií» - ( ± V2 4 4 2

* " 2 " í T : * “ 9 v x " ~4

[También pudo habe-se factorizado: x2 - 5x - 36 - (x - 9)(x + 4) ■ 0 ]

56 Números Reales CaD.3

Ej e m p l o 3x2 + 4* - i » o < = * • 3 [ x 2 + ( 4 / 3 ) * ] - i < =

*2 +2<§)x+ | | - I — (x. f)2 - 1 * =

* l + £ L < = > 1 + £ L -2 1 /?X 3 ” " 3 * ” ” 3 ' 3 3

Ejemplo x3 + x2 - 2» - o «==» x(x2 ♦ x - 2) - o «==>x(x + 2)(x-l) » 0 <— => [ x = O v (x + 2)(x-l) * 0]

<— > (x - 0) v (x » -2) v (x = 1)Luego, el Conjunto Solución es: { -2, 0, 1 } .

Ej e r c i c i o s Pr o p u e s t o s .-

1. Mediante factorizaciCn, resolver las siguientes ecuaciones:

a) 2X - 11« + 2 8 - 0 d) 2x2 ♦ x - 1 - 0

b) X2 + 4x - 4 5 - 0 e) 3x2 - 6x ♦ 3 - 0

c) x2 - 4x - 2 1 - 0 f) 3-t2 + x - 10 - 0

2. Resolver, completando cuadrados :

a) X2 - 6x + 6 - 0 e) 5x2 ♦ 4x - 1 ■ 0

b) X2 ♦ 5x - 5 - 0 f) 2x2 - 2x - 1 ■ 0

c) 2X + 2x - 4 - 0 g) 16x2 + 24x + 5 m 0

di 2x:2 - 6x - 1 - 0 h) 3x3 ♦ 2X - lOx X 0

Clave de Re s p u e s t a s .-

i. a) { 4. 7 ) b) { ■- 9 , 5 } , c) { 7, -3 > , d) { 1/2 .

e) { i } , f) í 5/3 . -2 >2. a) X * 3 i ñ , b) x - (-5 + 3/ 5 )/2 • c) X a -i i /T

d) X = (3 í /ñj/2 , e) í -■5, 1 > . f) X * 1 + ✓ 3 ,

g) { -5/4 , -1/4 } , h) { 0 , 5/3 , -2 > .

3 RELACION DE ORDEN. DESIGUALDADES LINEALES Y CUADRATICAS.

3.1 De f i n i c i o n e s

1. Un número a e R se llama POSITIVO si 0 < a

2. Un número a e IR se llama NEGATIVO si a < 0

Cap.3 Núme-os Reales 57

3. La relaclfin > "MAYOR QUE" se define: a > b «=*• b < a .

4. La relaciSn < "MENOR 0 IGUAL" se define:a b ) ]

5. La relacifin > ‘‘MAYOR 0 IGUAI se define como:a > b <=*- [(a > b ) v (a = b)j

6. La cadena: a * < 8 }.

Como p q = [(^p) v q ] - [(^q) v p ]= (p - q) v [ M p v q)] ;

Sean p: * < 2 , q: * < 8 , entonces p ■?► q E= ( x < 2 ~ x < 8) v [ M * < 2 v * < 8)]5 x e ( <-»>, 2> fl (-«». 8> ) v [ M * e 2> v x e <-»>, 3> )]E X E <-“> , 2> V (x E <-»> , 2> ' - X E <-«■> , 8> ' )= x E <-» , 2> V (x E [ 2, »> ~ X E [8, =>> )E X E -«*> , 2> V X E [ 2, D [8, =>>E X E <-=> , 2> V X E [ 8, «°> E X E (-<» , 2 > U [ 8, * B .

3.3 TEOREMA.- Si a a+c b + c -b .

PRUEBA: ( =»• ) a (-a) + a < (-a) + b (03)=*• 0 < (-a) + b (A5)= * 0 + (-b) < (-a) + b+(-b) (03)

= * -b < -a + [b + (-b)] = > -b < -a (A5)( < = ) Es análoga. (EJERCICIO) .

Interpretando este TeorPma, si se cambia de signo a ambos miembros de una desigualdad, ésta cambia de sentido.

3.5 TEOR2MA Si a > b y c < 0 -> ac < be

58 Números Reales Cap.3

PRUEBA.- (-c) > 0 . a > b

-(-ca) < -(-cb) =por TEOR:

TEOREMA.-

PRUEBA.-

» (-c)a > (-c)b» -(ca) > -(cb)ca < cb .

Si a t 0 , entonces

Si a i 0, entonces i) a > 0 = >

ii) a < 0 = >

i > 0 .

a > 0 6 a < 0a.a > a.O = >

a.a > a.O =*•

luego> 0 .> 0 .

TEOREMA.- Si

{0 < a 0

PRUEBA.- i) Si i i) Si

y como b > 0 entonces por la Ley Transitiva

NOTA.

= » ac < bd

=s> ac * 0 =s>=> ac < be

= * be < bd 02 se concluye que

ac < bd.. (04) .. (04)

ac < bd

Esto que ocurre con la multiplicación no ¿e cumple, en gtnznaX. panla divisiön: í 4 < 6

i 1 < 2< «

TEOREMA. - i) Si ii) Si

PRUEBA.-s 1 si

i) a a

ii) si a si a

(a> 0 < 0

(a > 0 < 0

a y b tienen el mismo signo =a y b tienen signos diferentes =

0) v (a < 0 - b==■ ab > a.O = 0= > ab > a.O * 0

(a < 0 bab < a.O = 0ba < b.O = 0

> 0 - b >„ b > 0 =~ b < 0 => 0 ~ b < 0)„ b < 0 ==s- b > 0 ==¡

< 0)

> 0)

4 < 3(ABSURDO)

ab > 0 . ab < 0 .

entonces ab > 0 ab > 0 .

entonces ab < 0 ab < 0 .

TEOxCnA - Sean a y b números reales, entonces

i) ab > 0 ==*■ a y b tienen el mismo signo,ii) ab < 0 = » a y b tienen signos diferentes.

PRUEBA.- i) Si a y b tuvieran signos diferentes entonces ab < 0 lo cual serla una contradicción. Por lo tanto, a y b tie

nen el mismo signo. La prueba de (ii) es análoga. Resumiendo tenemos*

Cap.3 Números Reales -59-

3.11 La Regla de lo s Signos

I) ab > 0 :• a y b tienen el mismo signo

II) ab < 0 <==> a y b tienen signos opuestos

3.12 PROBLEMA.- Probar que a”1 tiene el mismo signo que a :2

Como 1 ■ 1 • 1 * 1 > 0 (por el probl. anterior), y

a • a-1 ■ 1 > 0 entonces a y a_t tienen el mismo signo. -

3.13 Problema.- s¿ a y b & m t n ti mÍÁmo 6¿gno y

a a-1 > b-1 .

Sabemos que: ab > 0 = > (ab)'1 > 0 = » a'1 b-1 > 0 .

y como a < d : ,-1.-1» „ í. - K - I il.(a b ) a < ( a b ) b

= = > (a_1a) b-1 < a ' ^ b ^ b )

= = » 1 - b'1 < a-1. 1 = s > b'1 < a'1 .

3.14 TEOREMA I : Si a > 0 y b > 0 , entonces

2 2a > b a > b

( < = ) S i a > b y b > 0 , entonces

li) Si b = 0 = s > a > 0 = > • a2 > 0 = > • a2 > b2 « 0

lii) Si b > 0 = s > a > 0 (por TRANSITIVIDAü) = s >2 2

a.a > b.a > b.b ==»• a > b

{==»• ) i) Si b = 0 y a2 > b2 = 0 = > a t 0 , y romo a i 0:

a > 0 = b (TRICOTOMIA),

ii) Si b > 0 y a2 > b2 > 0 ===*• a > 0 = »

a2 - b2 > 0 = ■ > (a - b)(a + b) > 0 = >

a - b y a + b tienen el mismo signo, y como a + b > 0 ,

(pues a > 0 y b > 0) = > a - b > 0 = > a > b .

4x + 7 > 6x - 11

4x + 7 - 6x - 7 > 6 x - l l - 6 x - 7 ■?► -2x > -IB

x < 9 . Que más directamente, pudo hallarse:

3.15 Ej e m p l o . -

Los siguientes dos teoremas son fundamentales para la resoluciGn de inecuaciones cuadráticas.

Te o r e m a 11 .- SI b i 0 .

a2 > b <==»

entonces

[ a > Sb 6 a < - / b ]

Si a > 0 Si a < 0

(-a)2 =

: a2 : (-a)

a2 > b

> b « ( /b )2 > 0 y- (/b)2 C=*

c ■ i a > / b

(-a) > /b <

TEOR. 3.14

= > a < -J b

Te o r e m a III Si b > 0 ,

a2 0 6 a < 0 :i) Si a > 0 y b > 0 = » a + /b > 0 y

a2 a2 - (/ b)2 < 0 < -=• (a-/b)(a+/b) < 0••• ■?► a - /b y a + / b tienen signos diferentes,(y como a + /b > 0 ) a - / b < 0 ~ a + / b > 0 « >a -/b - /b < a ~ a 0 ===»• (-a) > 0 y (-a) + /b > 0 :(-a)2 = a2 (-a)2 - ( /b)2 < 0 < = *

(-a - /b)(-a + / b) < 0 <— => (a + /b)(a - »'b) < 0<=*• a+ /b ~ a- /b tienen signos diferentes ,(y como a - / b < 0 ) «==> a - / b < 0 ~ a + / b > 0

-• a - / b > - / b < a < >'b

3.18 NOTA .- Los TEOREMAS I, II y III se convierten en otros teoremasvSlidos al reemplazar donde aparezca el símbolo < por elsímbolo < , así como donde aparezca > por >

3.19 Ej e m p l o . - <2 - x - 6 •> o < = » x2 - x + | - ^ - 6 > o

ó . . i < - m —

x > 3 o x < -2 «==> x E <-»>, -2> U <3, =>> = CONJUNTO SOLUCION.

3.20 Ejemplo.- x2 - 9x + 18 < o « = > x2 - 9x < -18 < = >

¿ . 9x + il < .ib + iL ( x . l ) 2 « » ^4 4 2 4

- /9/4 < x - - < < = > -- < x - ^ < ? «=*.2 2 2 2

3 < x < 6 «=^> x e <3, 6> - C.S. (CONJUNTO SOLUCION)

3.2i Ejemplo.- x2 - x - 20 >0 <=*• x2 - x + | > 20 + |

« (X . I ) 2 > II ^ x - i > i v x - 4I < - ’2 4 2 2 2 2

x > 5 v x < -4 > x e <-»> , -4] U [5, ■»)> .

En el siguiente problema, analice con cuidado cada una de las situaciones que se presentan.

3.22 Ej e r c i c i o .- Resolver Indicando el Conjunto Soluclfin C.S. de :

a) x2 > 0 D x2 ♦ 1 > 0b) x2 > 0 j) (x ♦ 6)2 + 1 > 0c) x2 < 0 k) U - 5)2 + 4 < 0d) x2 < 0 1) (x ♦ 8)2 ♦ 4 < 0e) (x - 3)2 > 0 m) x2 + 1 < 0

f) (x - 3)2 > 0 n) (x ♦ 4)2 < -7

g) (x - 4)2 i 0 o) (x + 4)2 + 7 < 0h) (x - 4)2 < 0 p) x2 < -6

SOLUCION: Sabemos por un Teorema que a2 > 0 . V a e R , yque si c > 0 entonces

a2 + c > c > 0 , V a e R = * a2 + c > 0 . V a e R

a) x2 > 0 «==> x e C.S. - R = <- «■> , “>>

c) x2 < 0 «=s> 2 „ x ■ 0 pues x2 nunca es < 0 <=*> xb) x2 > 0 <==> x i* 0 «==> x e IR - { 0 } = C.S.d) x2 < 0 es FALSA, pues x2 > 0 , V X E IR . Así, C.S. = d>e) (x - 3)2 > 0 es VALIDO V x e R - C.S.

f) (x- 3)2 > 0 <=s> x- 3 f 0 « = > x f 3

(*)

< = ■ x e rc - { 3 ) » c . s .g) (x-4)2 < 0 «==> x E { 4 } = c . s .h) (x-4)2 < 0 es FALSA para todo x real. Luego, C.S. = $ .i) x2 + 1 > 0 es VERDADERA para todo x real. Así, C.S. = IR .j) (n*6)2 > 0. V x t R , = ► (x + 6)2 + 1 i 1 > 0 , V x e R = C.S.

k) (x-5)2 + 4 < 0 no tiene solución real por (*). Asi, C.S. * $ .1) (x + 8)2 + 4 < 0 no tiene solucICn real por (*). Asf, C.S. ■ $ .m) x2 + 1 < 0 = » C.S. - ♦ . n) C.S. = <t> . o) C.S. - <t>p) C.S. ■ <f .

3.23

En efecto

3.24 EJERCICIO.- Hallar el menor número real M tal que :

6 + 6x - x2 < M PARA TODO x REAL

6 + 6x - x2 = 15 - (x - 3)2 < 15 PARA TODO x REAL , (pues-(x - 3)2 < 0 < = > (x - 3)2 > O , para todo x real). Luego, M - 15 .

Lo interesante en este Ejercicio es que CUALQUIERA QUE SEA EL VALOR VE x ,2 2se tiene que 6 + 6x - x ■ 15 - (x-3) < 15 ; aunque también será cier

to que, PARA CUALQUIER x REAL , se tendrá con mayor razCn que:6 + 6x - x2 - 15 - (x - 3)2 < 16 (6 18 , 19 , 20 , etc. )

peAo, eX MENOR de Lot númeAct, ntaJLej¡ a la deAícha que Acutú, (¡acen taX cc..dU ■

tUón deJ. EjtAcJ.cÁ.0 : M - 15 .

3.25 EJERCICIO.- Hallar el mayor número real m tal que :

m < x2 - 4x + 31 PARA TODO x REAL .

Como x2 - 4x + 31 * (x-2)2 + 27 i 27 V x REAL , entonces por su - puesto que la expresiCn también será mayor que 26.9 , 26.4 , 25 , 20 ,etc. p e A o , ti MAVOR de ¿cdot z¿tc¿ númeAoi que ¿ax¿¿(ace ti pn.cble.ma <u,

m - 27 .

*4 REGLA GRAFICA DE LOS SIGNOS PARA RESOLVER INECUACIONES

Supongamos que una cierta inecuación se reduce a la

(x - 4)(x - 6) > 0 "=— ¡»forma: [(x - 4) > 0 « (x - 6) > 0 ]

V [(x- 4) < 0 - (x^ 6) < 0 ]

[ x > 4 ~ x > 6 ]

[ x < 4 - x < 6 ]

Cap. 3 Números Real es 63

* e [<4, «°> n < 6, «°> ] u [<-•», 4> n (-», 6> ] x e ^6, U , 4)> <==> * e . 4> U ^6,

= c . s .Una REGLA GRAFICA equivalente al orocesi anterior consiste en lo siguiente:

1. Se hallan las raíces de cada factor lineal y se les ordena en forma creciente: en este caso 4 y 6 . Estos valores reciben el nombre de PUN TOS CRITICOS.

2. Se trazan rectas paralelas [en las que se indicarán por zonas los signosde cada factor], una por cada factor lineal, y otra adicional para elsigno del producto de ambos factores.

3. En cada factor (x-a) , a la djrecha de a se coloca el signo (+)pues: x > a <— =• (x-a) > 0 , y a la izquierda de a secoloca (-) :

+ + +

x - 4

* - 6

(x - 4)!* - 6)

Por lo tanto :

(x - 4)(* - 6)

(x - 4)(x - 6)

(x - 4) (x - 6)

x e 4^ U 6, ■»>

x e [4, 6]

x e 4] U [6,

4.1 Ob s e r v a c ió n Los factores siempre deben escribirse en la forma : (x - a) 6 (x + a) .

Este método se basa en el hecho que :

(+)(-) - (-) . (+)(+) * (+) (-)(-) ■ (+)

y se reduce a multiplicar signos.

4.2 Eje m p lo Resolver x* - 4x - 21 2 0

4x - 21 = (x - 7)(x +3) 2 0.

Los puntos críticos o raíces son : -3 y 7

Hor lo tarto : (x - 7)(* +3) > 0

x + 3

x - 7

(x ♦ 3)(«t - 7)

x e <- -3] U [7,

4.3 GENERALIZACION.- Este método se extiende a cualquier número finitode factores lineales, asi como también a cualquier

número f'nito de productos y/o cocientes de factores lineales, puesto que muj tiplicar dos signos da el mismo resultado que dividirlos.

3 24.4 EJEMPLO.- Resolveremos la inecuaci&n x - 3* - lOx + 24 < 0 :Factorizando por Ruffini: (x - 2)íx - 4)(x + 3) < 0 , en

donde como vemos las ralees son -3, 2 y 4. Trazaremos tres rectas, una para cada factor y una cuarta recta para el triple producto:

+ + + + +

(x + 3)(x - 2)(x - 4)

(x + 3)(x - 2)(x - 4)

Note que los signos se alternan, y que el signo QUE ESTA MÁS A LA DERECHA SIEMPRE ES EL SIGNO POSITIVO (+) . Debido al enunciado del Ejemplo, vemos que debemos elegir las regiones correspondientes a los signos negativos (-) :

(x + 3)(x -•2)(x - 4) < 0

4.5 Ejemplo.- - 5x + 6X2 + X

> o

x e <- “ , -3> U <2, 4> * C.S.

(x - 3){x - 2)

cuyos puntos críticos son:

x -7 2

- 42

-7, 2, 3 y 6

3 6

{x + 7){x - 6)> 0

Luego:

(x - 2)(x - 3)(x + 7)(x - 6)

(x - 3)(x - 2) (x+7)(x-6)

Csp.3 Números Reales 65

Note que en la soluclfin no deben Incluirse a * ■ 6 ni a x - -7 , pues anulan al denominador, y la dlvlslfin entre cero no está definida. Para esteEjercicio propuesto aquí, basta con elegir las reglones con los SIGNOS POSI-

TIV0S‘ CONJUNTO SOLUCION: x e <-■» , -7> U [2, 3] U <6, »>

4.6 EJEMPLO.- Al resolver x(5-x) , „ ,— u • • i / •

x + 9

el factor 5-* deDe previamente ser transformado en *-5 :

— — — — i 0 [se multipUcfi ambos miembros de (*) por -1 ]. Los v + gfactores son x= x-0 , x- 5, y x + 9 , y las

raíces son en orden creciente: -9 , 0 , y 5 . Verifique que el CONJUNTOSOLUCION es C.S. = (-9, 0] U [5, donde se ha excluido a x = -9pues anula al denominador.

H.7 METODO PRACTICO PARA RESOLVER INECUACIONES .-

El método que sigue es más práctico que el ante rior y se utiliza para resolver inecuaciones con productos y cocientes de las formas:

( x i a 1) ( x i a 2) . . . (x t ap)

6 (x i a j ) ( x i a2) . . . ( x í a n)

( x i b 1) ( x í b 2) . . . ( x ± bm)

> 0 , donde los a¿ y losi 0 , b¿ son todos< 0 , tíi entm.ií.

< 0 ,

4.8 NOTA.- En lugar de (x í a¿) puede estar (ex i a_¿) PERO CONc > 0 , así cono tamDién en (x í b¿) .

4.9 METODO.- Se hallan TOPOS LOS PUNTOS CRITICOS o fiaZctu de cada factor (x i a_¿) y (x ! b¿) , ordenándolos en forma crecien

te, y colocando entre ellos los signos ( + ) y (-) ALTERNAD1 méUTí , comenzando de la DEKCCHA y SIEMPRE CON EL SIGNO (+) . Ello indicará que la ex presifin original será :

i) > 0 (POSITIVA) en los INTERVALOS ABIERTOS donde aparecen los (+) .■u.) < 0 (NEGATIVA) en los INTERVALOS ABIERTOS donde aparecen los (-) .

V si fuese i 0 6 < 0 entonces los intervalos abiertos se cierran SO

LAMENTE EN AQUELLOS PUNTOS CRITICOS QUE NO ANULAN AL PEN0MINAP0R. Por ejem

P'°- (x - 5){x - 2)(x + l ) ( x - 9)

cuyos puntos críticos son: -1 , 2 , 5 y 9

-1©

alternadamente

ertonces la expresión dada por lo tanto será:

a) > 0 , V x e <-» , -1> U <2, 5> U <9, »>b) > 0 . V X E <-» , -1> U [2l 5] U <9, »>c) < 0 , V X E <-1. 2> U <5, 9>d) < 0 , V X E <-1. 2] U [5, 9 >

4.10 Ej e m p l o .- x3 - 9x2 + 26x - 24 < 0 «==s> factorizando :(x - 2)(x - 3)(x - 4) < 0 , cuyos puntos críticos

son: 2 , 3 , + 4 0 ==> x e <-» . 2> U <3, 4> = C.S.

4.11 Ej e m p l o .- x > (1/x) « = > x - - >0 «==í>X

x2 -X 1 > o — (** 1>(*- 1) i 0 , Raíces: -1, 0, 1

X * ~v ®■ x e C.S. (Conjunto Solución) = [-1, 0^ U [1, .

4.12 Ej e m p l o .- Para resolver: -x3 * x2 * Z2x - 40 _x(x + 7)

multiplicamos por (-■1) para cambiar el sentido de la desigualdad :

(x-- 2)(x - 4)(x + 5) x(x + 7)

< 0 , Raíces: -7, -5, 0, 2, 4 q

x e C.S. = <-=>, -7> U [-5, 0> U [2, 4] .

4.13 NOTA.- Para los casos especiales se emplea tan solo algo de observación. En cualquier caso, TENER EL CUIDADO de NO INCLUIR EN LA SOLUCION AQUELLA RAIZ QUE ANULE EL DENOMINADOR.

(x-2)(x-4)2 < 0(x + 3)(x-7)

4.14 EJEMPLO.- Resolver: a)

SOLUCION:

(a)

a) x / -3 ~ x / 7

x - 2(x + 3)(x - 7)

< 0

b) U ~ 1)?(X~ 3) í 0 (x - 4) (x + 5)

y como (x - 4)2 > 0 , V x e IR ,

RAICES: -3 , 2 , 7 ©x e C.S. = <-» , -3> U [2, 7> .

b) Como (x-4) > 0 . V x c R , pero por estar en el denominador debeser x t 4 ; así, se tiene que: , lU

■ , - 0 * * * 4 *(x + 5)(cuyas rafees son: -5 , 1 , 3 0 ) <— * e ^-5, 1] U [3, - { 4 }

Por lo tanto, el Conjunto Solución es: <C“5, 1] U [3, 4> U 4, .

4.15 EJEMPLO.- Resolver:

b) {*♦!)(* - ZY

(x - 2)(x ♦ l)(x - 3)

SOLUCION:a)

a)

> 0 , c)

x + 1x3 + 8x2 + 14x + 12

< 0

(x - 3) > 0 -

(x + 1)(x + 6)(x + 2x + 2)

x + f x + 6x e <-6, -1> - C.S.

< 0

(x + l)(x - 2)

(xM)(x + 6)[(** 1.) * 1 ]

< 0

< 0 , pues [(x+1) ♦ 1 ] > 1 > 0 , V x e R

b) ‘ "■i > 0 i CUIDADO ! : pero, para x t 2 y x t -1 ,x - 3

(pues x = 2 , x = -1 anulaban al denominador original) <

x E <-», 2] U <3, ■»> - { -1, 2 } - <-», -1> U <-1, 2> U <3, »> .

c) Como (x- 3)2 > 0 , ¥ x e R -{3 } , ó x ¿ 3 ,

(x - 3)> 0 [

1 > 0 x t 3 ](x + l)(x - 2) ~ (x + l)(x - 2)

(x + l)(x- 2) > 0 - x t 3 « = » x e <-», -1> U <2, »> - {3 } .

5 PROPIEDADES DE LAS RAICES DE LA ECUACION CUADRATICA .-

Io) Sean rj y r2 las raíces de la ecuación | x2 + bx + c = 0 j. entonces se puede expresar: x2 + bx ♦ c = (x - rt)(x - r2) , ¥ x c IR

+ bx + c ■ x - (rt + r2)x + (» rj) ,identificandocoeficientes:

La suma de las raíces es igual al coeficiente de x con el signo cam biado ; y el producto de éstas es igual al término independiente c.

2°) En cambio, si r, y r2 son las raíces de: ax + bx + c « 0con a / 0, tenemos que:

- b/a - c/a

5.1 EJEMPLO.- Sea k t 0 ; si las raíces de: kx2 + 2kx + 5 - 0 ..{*)hallaremos el cuadrado de dicha raíz. Como (*) es equi

valente a: x2 + 2x + (5/k) * 0 , y como rt ■ r2 “ r entonces

rj + r2 • - 2 , rtr2 = (5/k) =s> 2r = -2 - r2 = (5/k)

= > r - -1 , k “ 5 . Luego, r2 « 1 .

5.2 EJEMPLO.- Hallar el valor de k para que la ecuación 3x2 + kx + 2 =0 , tenga su Conjunto Solución de la forma ( r, 3r } .

SOLUCION. sfen(j0 r y 3r las raíces: r + 3r ■ k/3 ~ (r)(3r) « 2/3

= > 4r » k/3 - r2 - 2/9 ==> r = + /2/3 = > k ■ 12r » í 4/2 .

5.3 Pr o p i e d a d e s Ad i c i o n a l e s .- Co m p l e t a n d o c u a d r a d o s :

2 . b ,2 4ac - b2ax + bx + c » a(x + — ) + -------- .. {*)2a 4a

y sea A - b2 - 4ac el DISCRIMINANTE de (*).

1) Si A = b2 - 4ac > 0 , ax2 + bx + c - a[(x+ — )2 - * ] - 0Za 4a la)

x + ± + J^- _______ '2a 2a = » x = _L [ _b + / b 2 - 4ac ] .. (**)

2a

■l) Si A > 0 , existen dos raíces reales distintas dadas por (**) ,una para cada signo.

■U.) Si A = 0 , hay una sola raíz real (doble): r. ■ r, * x = - —1 2 2a

en cuyo caso (*) resulta un CUADRADO PERFECTO.2 22) Si a > 0 y A ■ b - 4ac < 0 , entonces 4ac - b > 0 , y

a(x + — )2 + (4aC ~ b2) > 0 , ¡ V x e IR !2a 4a

«==s> ax2 + bx + c > 0 , i V x e I R I . e n tal casono cxXiíf nenguna laZz nzaZ.

5.4 RESjMlN.- Analizando solamente el DISCRIMINANTE A = b2 - 4ac :

2o). a < 0 :• No Existen Raíces reales. Además, de (a) :

i) a > 0 ~ a < 0 a*2 + bx + c > 0 ¡ V x c R !

jul) a < 0 - a < 0 <— =• ax2 + bx + c < 0 ¡ -V x e R !

5.5 EJERCICIO.- Hallar k , para que la ecuación dada admita dos soluciones iguales en R : (k+l)x2 - 2(k-l)x ♦ k « 0 :

Para tener tal condición, debe ser a » 0 :4(k - l)2 - 4(k + 1) - 0 -12k + 4 - 0 « = > k = 1/3 .

5.6 EJERCICIO.- Hallar el conjunto de valores de k para el cual la e-cuación: kx2 + 8x + 4 « 0 no tenga rafees reales :

Como debe ser a < 0 : 64 - 16k < 0 <— k > 4<==* k e <4, ®>

5.7 EJERCICIO.- ¿Cuál es la ecuación cuadrática cuyas raíces son -3 y5 ? SOLUCION: Sean * -3 , r * 5 , enton

ces (x - rj)(x - r2) * 0 «=*• x2 - 2x - 15 » 0 .

5.8 EJERCICIO.- Si Xj y X2 son las raíces de: ax2 + bx + c = 0 ,2 2hallar uoa expresión para: Xj + x .

2 2 2Como Xj + x ■ (Xj + x2) - 2xjX2 , y de la ecuación dada:

Xj ♦ x2 = -b/a . xtx2 - c/a ^ 2 + 2i b^ . 2( c }1 2 a2 a

5.9 Ej e r c i c i o .- Resolver: a) -x = - , b) -x > -x x2

a) -i + x * 0 <— > * * 1 * 0 , x f 0 <=^> x2 + 1 = 0 , x ¿ 0

lo cual es absurdo. Luego, CONJUNTO SOLUCION = $ .

b) - X > - •:--:• - + X < 0 < :■ -— — - < 0 ' t.X X X

x < 0 . Asi, CONJUNTO SOLUCION = < - » , 0 > .

5.10 EJERCICIO.- ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?2

1) Si A = { a e R / para cualquier x e IR : ax + a = a }=s> A‘ = $2) A = { x e Q / 10x2 = 13x + 3 ) es un conjunto unitario o B =

{ x e R -{ 0 ) / - x = x_1 } es un conjunto vacio.2

3) Si x e R y A = { a c R / 4x - 2ax + 3 + a es un trinomio cuadra

IQ Números Reales Cap. 3

do perfecto } ==> A c { a e Z / a3 + 24 = 6a2 + 4a ) .

SOLUCION: 71) Como ax + a = a debe ser independiente de x entonces

a(x + a - 1) = 0 = * a = 0 v a - 1 - x =s> a = 0 = >

A= {0} , A* - R - { 0 ) f $ . Luego, (1) es FALSA.

2) Como 10x2 = 13x + 3 (2x-3)(5x+l) ■ 0 = > A -{ 3/2, -1/5 ) , y como -x = x"1 Jio tiene soluciCn real, entoncesB = $ Per lo tanto, (2) es VERDADERA , pues es una disyunciCn, y la primera proposición es FALSA y la segunda es VERDADERA.

3) Debe cumplirse que 4x2 - 2ax + 3 + a = (2x + b)2 lo que equivale atener dos raíces iguales, y ello ocurre siempre que A = 0 <*=>

4a2 - 16(3 +a) = 4(a-6)(a + 2) = 0 « = * a = 6 v a = -2 .AdemSs, a3 + 24 = 6a2 + 4a ■■■■'• a * -2, 2, 6 = >A = { -2, 6 } c B - { -2, 2, 6 } Asi, (3) es VERDADERA.

5.11 EJERCICIO.- Resolver: a) (x-5)(x-3) i (x-4)(x-3)b) (x - 5)(x - 2) < (x + 3)(x + 1)

c) (x - 3)(2x + 1) > (x + 2){4 - x) , d) 2x2 + 9x + 4 < x2 + 7x + 12e) (3x + 5)(x + 2) < (x - 3) (x + 4) , f) (2x-3)(x + l) > (x + 5)(x-2) .

SOLUCION:------- a) NO SE DEBE CANCELAR ZL FACTOR (x-3) SINO MAS BIEN :

(a) < = > (x - 5 )(x - 3) - (x - 4)(x - 3) < 0 (x - 3) [ X -5 -X + 4 ] < 0 < = > -(x-3) < 0 <==* x e [3, »>NOTA: Como (x-3) podría ser negativo, cancelarlo equivale a múltipla

plicar ambos miembros por l/(x-3) que también es negativo y e- 11o haría cambiar de sentido la desigualdad en tal caso. Estosproblemas se evitan trabajando como se hizo en (a) .

(b) < = • x2 - 7x + 10 < x2 + 4x + 3 <=s x > 7/11 : C.S.

(c) < = > 3x2 -llx+5 > 0 «=*> [ x - (11/6) J2 > (61/36) <==*

( K - 11 > ^ ) v ( x - ± ± < - ) < = >6 6 6 6

x e . u - ^ ] u t , - > = c . s .6 6

(d) « = » x2 » 2x - 8 < 0 < = í> (x + 4)(x - 2) < 0 «=*> x e <2. 4>

(e) < = 2x2 + 12x + 22 = 2(x + 3)2 + 4 < 0 (ABSURDO) , Conjunto Soluc.: <t>

(f) >s=> x2 - 4x + 7 > 0 < = » {x - 2)2 + 3 > 0 , V x e IR = C.S.

Cap.3 Números Reales 71

5.12 Ejercicio.- Resolver: a) ^ < — —x - 1 * - 1

b) - 7 7 7 c) 3/ *2 - 1 £ 0SOLUCION:a) AQUI NO SE DEBE CANCELAR A LA EXPRESION (*-1) : y mas bien ,

< o < = > — — > 0 < = > x - 1 > 0 o = >' x - 1 k. - 1 » - 1

* > 1 •' !■ * E C.S. = (1, “ )

b) Como x2 + 1 > 0 , PARA TODO * REAL , entonces se puede pasar alier miembro multiplicando, sin que cambie el sentido de la desigualdad:

¿ ± k -2 < 0 «==> 1 * : 3» r - x) < 02* - 1 2x - 1

< ^ > x e <-« , l/2> U [1, 3] = C.S.

c) Como es una raíz cúbica, la expresiCn completa tiene el mismo signo quela cantidad subradical :

' V - 1 < 0 «=*> x‘ - 1 < 0

X 2 < 1 <==> X E [-1, 1] .

5.13 EJERCICIO.- Demostrar que si x > 0 , y > 0 , entonces

a) xy = 1 =*■ x + y > 2b) [ xy = 1 ~ x + y = 2 ] «:■ ■ x » y • 1 .

SOLUCION.-

a) 0 < ( /x - /y ) 2 < = » x + y > 2 / xy , y como xy = 1 (dato):==> x + y > 2 .

b) ( = > ) x + y = 2 = • x + I = 2 , pues xy = 1 = »

(x - l)2 = 0 , x ¿ 0 =:• x = 1 , y = 1 .( < = ) Obvio.

5.14 EJERCICIO.- Demostrar que si x > 0, y > 0, z > 0, entonces

a) xyz = 1 =s> x + y + z i 3 .b) [ xyz = 1 ~ x + i/+z = 3 ] =s> x = y - z = 1

SOLUCION.- Emplearemos el Ejercicio anterior :

a) al) Si al menos uno de ellos es 1 , digamos z = 1 , entoncesxy = 1 = > x ♦ y > 2 = > x + y * z > 2 + 1 = 3 .

a2) SI todos son diferentes de 1 , existe uno que es mayor que 1 y otro que es menor que 1 . Sea * < 1 , y > 1 , w = xy > 0 , entonces: (y- l)(x- 1) < 0 , de donde * + y - xy > 1 .. (*)Además, wz = 1 =í> w + z > 2 .. (**)(pues w + z = 2 implicarla que w = z * 1 , lo cual es absurdo) Luego, * + y + z = (w+z) + x+ i/-w

= (w + z) + x + i/ - xy > 2 + 1 - 3 , por(*) y (**). Así, tenemos que: x + y + z > 3 .

b) ( =*■ ) Si al menos uno de ellos es 1 , el problema anterior implica que todos son iguales a 1 .Si todos son diferentes de 1 , entonces por la solución (a2):

x + y + z > 3 (que contradice el dato x + y + z = 3) locual es un ABSURDO.

( ) Obvio.

6 ECUACIONES E INECUACIONES CON RADICALES

Cuando una ecuación o inecuación contiene una expresióncon un radical par como : _ ,

/A , / a , etc.

para que las soluciones de la ecuación o inecuación original sean válidas, debe resolverse antes la condición que: A > 0

cuyo Conjunto Solución constituirá el UNIVERSO U dentro del cual se ha deresolver la ecuación o inecuación dada.

Debe observarse que /T" quiere decir + //T , y si

se desea la raíz cuadrada negativa se deberá escribir explícitamente -/~A.

Es decir, ^ V x > 0 . /x > 0 .

b) /x = 0 «=^> x = 0 .

6.1 EJEMPLO.- Resolveremos en R , completando cuadrados:

x + 3 / x - 1 = 11 Establecemos primero el UNIVER-SO Al : x - 1 i 0 < — > x i 1 . Luego, U = [ 1, (*)Ahora resolvemos:

x + 3 /x - 1 = 11 « = > (x- 1) +3 /x- 1 - 10 = 0 <

« = > ( /x- 1 + 5)( /x- 1 - 2) - 0

[ / x - 1 = -5 (absurdo} v / x - 1 = 2 ] * - 1 » 4

s=^> x - 5 , y cono 5 e l) » [1, entonces la solución x * 5es válida.

6.2 Te o r e m a .

PRUEBA.-

tenemos que:

D < x < y •• 0 < /x < /y .

2 l2Por el TEOREMA:

D < x < y «=

a > 0, b > D : a

0 < (/l)2 < ( /y ,

 a 0 í /x < /{/

6.3 Te o r e m a .- i)

¿i)

0 < x < y

0 < x < y

0 < /x < 0 < /x <

Jy

/y

6.4 EJERCICIO.- Demostrar que: /x + Jy = 0 <=?

( =*■ ) 0 < Vx < /x + /]/ = 0 = > 0 < /7 < 0

g » x = 0 . Aderas, /i/ * /x + /{/ = 0 c :> y - 0 .

0 - (/ = 0 .

=s> /x = 0

/¡f - 0

( < = ) Obvio.

6.5 Te o r e m a . - A) Si n es un entero positivo PAR :al) ^7 > 0 «=^> x > 0

a2) ^ 7 = 0 «=^> x = 0a3) Vx 5 n/ y <■■■-> 0 < x < y

B) Si n es un entero positivo IMPAR :

% > 0bl)

b2) /x < 0

b3) "/x < n/y

Las proposiciones (bl) y (b2) indican que /x TIENC EL MISMO SIGNO que x si es que n es IMPAR . Todos estos resultados nos han de servir para la resolución de ecuaciones e inecuaciones que involucren estas expresiones.

6.6 NOTA. - Cuando en una expresión existen varios (k) radicales, se calculan los Universos Relativos Ut, U2, ... , Uk para cada

radical, y el UNIVERSO GENERAL serS: u = ut n u2 n n ut

6.7 Te o r e m a .- i)

¿i)

/a + / b > 0

.1 + /b < 0a > 0 - b > 0 .

a = 0 - d = 0 .

6.8 EJERCICIO.- Resolver: a) * * + 3 > -1 d) / x - 4 < 0b) / x + ~S > 0 e) /x + 1 > 0c) /x - 3 < 0 f) /* + 3 > -1

SOLUCION:

a) Como / x + 3 > -1 es válida PAR« TODO x tal que: x e U: x + 3 i 0entonces U = L-3, «°> , y el CONJUNTO SOLUCION es C.S. - U = [-3, «■>

b) Para / x + 5 > 0 , U * [-5, . AdemSs, /x”+ 5 > 0 «= >x + 5 > 0 «— 1> x e < -5, «— 1> C.S. * < -5, D U » ^-5, » >

c) / x - 3 < 0 tiene U * [3, , y como 0 < / x - 3 < 0 = >

x - 3 » 0 = » x = 3 e U . Así, C.S. * {3 } , ó x - 3 .

d) J x - 4 < 0 (absurdo). Conj. Sol. = ♦ .

e) /x+ 1 > 0 es VERDAOERO PARA TODO x e U * [-1, «■> . Luego,C.S. * [-1, ■ U .

f) Jx + 3 > -1 también es válida PARA ÍODO x e U = [-3, * C.S.

6.9 Ej e r c i c i o .- Resolver:

a) /4 - x < ,'l2 d) - / x - 2 > 0

) / x + 1 + /2 - x > -2 e) /x2 - 4x + 3 5 /x2 - 7x + 12

c) /x - 5 > 1 f) / I T T + /2 ~ = 2 .

SOLUCION:

a) /4 - x < /Í2 < = > 4 - x < 12 SIEMPRE QUE x e U = <-» , 4]y que 4 - x < 12 «=s> x > -B <■■■-:► x e <-8, *>)> _ Así,C.S. = <-8, «>> n U » <-8, fl <-«> , 4] = <-B, 4] .

b) Universos Relativos: Uj: x+1 > 0 , U2: 2-x > 0 , U = U¡ fl U2

= r-1, fl <-«. ,2] ■ [-1, 2] , y como la suma de dos " positivos “es siempre mayor que un "negativo” :/ x ¿ 1 + / 2 - x > -2 es VALIDA PARA T000 x e U = [-1, 2] = C.S.

c) Universo U : x - 5 i 0 =»• U = [5, , donde / x - 5 > 1< =• x - 5 >1 (elevando al cuadr.) ■: — x e (6, . Así,C.S. = <6, »> n U = <6, n [5. «■> = <6. »> .

d) - /x - 2 > 0 « — / x - 2 < 0 (absurdo) =■* C.S. = 0 , U2: 2-x > 0 , U = Uj fl U2

= [-2, n (-«> , 2] * [-2, 2] . Ahora, en este Universo efectuaremos las uperaciones algebraicas convenientes :

.

/x + 2 + /2-x = 2 = > 2 /x+2 /2- x » 0/x + 2 = 0 v /2-x = 0 — =-> x = -2 v x * 2{ -2. 2 } c U = [-2. 2] ==*■ C.S = { -2, 2 } .

e) Universos Relativos:

Uj: x2 - 4x + 3 > 0 Uj = <-«» , 1] U [3, «■>U2: x2 - 7x + 12 > 0 = > U2 - <-» , 3] U [4, »>

U = Uj D u2 * <-“> , 1] U { 3 } U [4, «■> . Y así,

/ (x - 3)(x - 1) < /(x-4)(x-3~) ==> (x - 3)(x - 1) <~ x e U ==> (x-3)(3) < 0 - x e U = > x

Por lo tanto, C.S. = U fl <-«. , 3] = <-«> , i] U { 3 }

6.10 Ej e r c i c i o .- I) Resolver: /x + 2 + /2-x = 1 .

2) Demostrar que: a2 + /"b = 0 a = 0

SUG: a2 = /a* .

3) Demostrar que: a2 + b2 = 0 « — a = 0

6.11 EJERCICIO.- Sea a > 0 . El Conjunto Solución de:

/x + 4a - /x + 2a - 1 = 1

I) tiene un solo elemento x e .

II) tiene dos números reales distintos.III) tiene un solo elemento x e [0, .

IV) no se puede determinar exactamente.

¿ Cuál de tales afirmaciones es verdadera ? .

SOLUCION.- Hallando el Universo U :

x > -4a - x + 2a - 1 > 0 « = > x > -4a ~ x > 1

/x + 4a - / x + 2a - 1 = 1 «==> / x + 4a = 1 + / . x

a = / x + 2a - 1 «=^> a2 = x + 2a - 1

( x = a2 + 1 - 2a > 1 - 2a (*)

x = (a - 1) > 0 > -4a

Luego, x resulta ser elemento de U . Por le tanto, x = (ay así solamente la alternativa (III) es la VFRDADERA.

6.12 EJERCICIO.- Demostrar que:

. Y como

(x - 4)(x - 3)< 3 ~ x e U

RPTA: $ .

b = 0 .

b = 0 .

- 2a ..(*) ;

+ 2a - 1

- I)2 > 0 ,

76- Nümeros Reales Cap.3

i.) x > 0, y > 0, x > y , = * x > /x2 - y2 .

ÁÁ.) x < 0 < y = » x-1 '< 0 < y~l .

SOLUCION:

¿) x > y > 0 ==► x2 > y2 = > (x2 - y2) > 0 .. (*)

x2 < x2 + y2 = > 0 < x2 - y2 < x2 .. (**)

= > / x 2 - y2 < x

iÁ.) EJERCICIO. SUG: Va se demostró que a t 0 tiene el mismo signoque a-1 . AdemSs,

x < 0 < y <=s> x < 0 ~ y > 0 .

6.13 EJERCICIO.- Si a > O , z = ax2 + x(l - 2a) + a , hallar elconjunto de valores de a tal que: z > 0 , PftRATODO x REAL .

SOLUCION- Como flj[2 + x(!_2a) + a , o NO DEBE TENER SOLUCIONES REALES

y como a > O entonces debe ser A < 0 (A * Discriminan

te). Es decir, (1 . 2a)2 . 4(J2 < 0 « = * 4a - 1 > 0

«==• a e < 1/4, “ >

Por lo tanto, l a e R / z > 0 , PARA TODO x REAL } = <1/4 , <=> .

6.14 EJERCICIO.- Hallar todos los valores reales de a para los cuales:

2»2 . ax 1-1 < — ;--------- < 3 , PARA TODO x REAL

x + 2x + 2SOLUCION: 2

Sea z = ^ ---— -- - » donde x2 + 2x + 2 * (x+1)2 + 1x + 2x + 2

entonces -1 < z < 3 e = » z > -1 - z < 3 .. (*)

Como x2 + 2x + 2 = (x+ l)2 + 1 > 0 , PARA TODO x REAL , entonces¿ ) z > -1 « » 2x2 - ax + 1 > -[(x+1)2 + 1 ] <=> 3x2 + (2 - a)x + 3 >0

lo quí debe cumptcue PARA TODO x REAL , y elto ccuAAe &í A < 0 :A = (2 - a)2 - 36 = (2 - a - 6)(2 - a + 6) < 0 «==» (a + 4)(a-8) < 0

<=> a e <-4, 8 > . U.) z < 3 <=s- x +(6 + a)x + 5 > 0 , V x e IR

«=> A = (a + 6)2 - 20 < 0 a e <-6 - 2 /5 , -6 + 2/5 > .

Ahora, intersectamos las soluciones de U) con (<x) por (*) , y así :

C.S. = CONJUNTO SOLUCION: a e <-4, -6 + 2/5 > .

PROBLEMA 1} SI a > 0, b > 0, demostrar que /ab < 3

2) SI { a, b, x } c IR+ , a f b , demostrar

a + xque ---- estí situado entre 1 y a/b .b + x

. x2 + 3x + 2 x - 23) Resolver: ------------ <

x - 2 x + 2

SOLUCION.-

1) Como ( / a - / b ) 2 > 0 ==> 2 / ab < (a + b) = > / ab < a. * b2

2) i) a > b > 0 = > (a/b) > 1 , entonres debemos demostrar que:

1 < [(a + x)/(b + x)] < (a/b) :

x > 0 =©• (a + x) > (b + x) > x > 0 =»■ > 1 ..(*)b + x

además, a > b > 0 y x > 0 = » xa > xb

xa + ab > xb + ab =í> a(b + x) > b(a + x)

— b + x basi, de (*) y (**): 1 < [(a+ x)/(b+ x)] < a/b , en este caso.

i i) 0 < a < ox - 2 x + 2 (x- 2)(x + 2)

[(x + 2)2 + 8 ] < 0 x(x - 2)(x + 2) (x - 2)(x + 2)

x e < - » , -2> U <0, 2>

PROBLEMA Resolver: V x2 - 1 (x - l)2(x3 - 13x +12) ^-------- -------- t— ó---- í------------ - 0 ” ' '

(x + 4) (x3 + Bx2 + 4x - 48)

SOLUCION.- Como -1 tiene el mismo signo que x2 - 1 , y (x + 4)3tiene el mismo signe que (x + 4) , entonces (*) es equiva-

lente a: («2 - 1)(* - 1)2 [(* - 1)(X + 4)(x - 3)] > 0 ^(x + 4) [(x - 2)(x + 6)(x + 4)]

(x + l ) ( x - ! ) * ( , - 3 ) , Q t x f _ 4 _(* + 4)(x - 2)(x + 6)

[ --- (* * 1)(* ~ 3)--- > 0 v x - 1 ] . x i -4(x + 4)(x - 2)(x + 6)

siendo los puntos críticos: -6 , -4 , -1 , 2 , 3 + ; luego

x e <-6. -4> U [-1, 2> U [3, °>> - C.S.

PROBLEMA . - Resolver: (x + 1}*(x + ¿) ‘y—

£ 0V x + 7 (x-8)3(x3 -8)(x2 - 14X + 4B) (*)

SOLUCION.- Los radicales pares proporcionarán el Universo U :

B - x > 0 - x + 7 > 0 «==s> x < 8 - x > -7 . Asi, U - <-7, 8][ no se incluye x * -7 pues anula al denominador ] ; además, como losradicales pares son no negativos, entonces (*) es equivalente a:

3 — T , . V,/ x + 5 (x + 1) (x + 2) 7(x - 4)(x - 3) < Q

(x - 8)4(x2 + 2x + 4)(x - 2)(x - 6)

donde V T y V~b tienen el mismo signo que A y B respect. :

(x + 5)(x + l)4(x + 2)(x - 4}{x - 3) _ . ..- v » X E U(x - 2)(x - 8)4 [(x + l)2 + 3](x - 6)

^ (x + 5)(x * 2)(x - 4)(x - 3) £ 0 y x . x f B i x e M(x - 6)(x - 2)

y siendo los puntos críticos: -5 , -2 , 2 , 3 , 4 , 6 + :

«==> x e ( [ ( [-5, -2] U <2, 3] U [4, 6> ) U { -1} ] n U ) - { 8 }< = * x e [-5. -2] U { -1 } U <2, 3] U [4, 6> - C.S.

TEOREMA . - i ) /a a > 0 - [ b > 0 ~ a < b2 ]

¿ó) / a > b í V oy b < o

Este teorema es fScil de probar considerando. b < 0 , b * 0, b > 0 .

OBSERVACIONES.- a) La condición a > 0 proporciona el Universo U.b) Estos teoremas tienen sus análogos cuando se reempla

za, donde aparezca, : > por > , Quedando invariables a > 0 y b > 0.

PROBlEMA.- Resolver la 1necuac16n : / x 2 + 4* < 5* - 1 .

SOLUCION.- a * x2 + 4x , b ■ 5x - 1 , /a 0 <==» *(x + 4) > 0 -s=¡- U - <-■» , -4] t

b » 5* - 1 > 0 < = » x > 1/5 c— => x e<l/5, “ )>

a < b2 «==> x2 + 4x < (5x-l)2 - 25x2 - lOx + 1<=0 24x2 - 14x + 1 » (2x - l)(12x - 1) > O« = » x e 1/12> U <1/2, »>

Luego. C.S. « U fl (*) fl (**) - <1/2, - > .

PROBLEMA.- Resolver la 1necuaci6n : / 6x + 1 > 2x - 3

SOLUCION.- Utilizando el TEOR. (11): a = 6x+l , b - 2x - :

_ a > O -/a > b <— r

[ b < O v (b > O a

Universo U: a = 6x + l > 0 =*- U - <-1/6 , °>> ,b < O «==» 2x - 3 < 0 «=^> x e <- “ , 3/2 >b > O «==> 2x - 3 > 0 «==?> x e [3/2, «■>a > b2 6x + 1 > (2x - 3)2 «==?> 4x2 - 18x + B <

(2x - l)(2x - 8) < O «==?> x e <1/2, 4 >

C.S. - U fi [ <-» , 3/2> U ( [3/2, » > fl <1/2, 4> ) ]C.S. - [-1/6, » > fl ( <- » . 3/2 > U [3/2, 4 > ) « [-1/6, 4>

PROBLEMA.- Resolver: o/ x - x - ^ (x - 5)

SOLUCION.- Como x2 - x - 2 - (x-2)(x + l) > O

2 - / x + 4

Ox e <- " , -1] L

/x2 - x - 2 - 2U : --— ■ — > 0 , (y como x + 4 > O : )

2 - /x + 4

«=*> x e ( <-» , -1] U [ 2 , ®> ) fl [-4, » > -

( /x2 - x- 2 - 2 > O - 2 - /x + 4 > O ) .. (1)

( / x2 - x - 2 - 2 < O - 2 - / x + 4 < O ) .. (ii)

donde /x2 - x - 2 > 2 c— :> x2 - x - 2 > 4 < = >

x2 - x - 6 = (x - 3){x + 2) > O «=^> x e < - » , -2] U [3, “>>

TEOR.(1) [O, “ >•• (*).

(**).

> b2 )]

OLuego,

[2. «■> ,

(*)

• • (a)

BO Numeros Reales Cap. 3

2 - / x + 4 > 0 < ' /x + 4 < 2 <— =» x + 4 < 4 «==>x < 0 «=— > x e <-°> , 0> ... ... ... (6)

Análogamente, / x2 - x - 2 i 2 < = > x e [-2, 3] ... (y)/x + 4 > 2 « = » x e <0, ... (6)

Por lo tanto, i) : ( a ) n ( 6 ) : x e <- «> , -2](y ) n (5) : x e <0, 3]

(*) : ( % U (¿¿) : x e <-«■ , -2] U <0, 3] ==*>u = (<-», .1] u [2, »> ) n [-4, »> n (<-», -2] U<0, 3] )

= ( [-4, -1] U [2, «■> } n ( <-«■, -2] U <0, 3] ) = [-4, -2] U [2, 3] .

AdemSs, x e U = > -4 S x í 3 =-> -9 S x - 5 í -2 ;

de aquí observamos que el 2S miembro en el enunciado: (x-5) es siemprenegativo dentro del Universo U hallado, y como una raíz positiva no puede ser negativa entonces la inecuación original es vSlida PARA TODO x e U .Por lo tanto, en este caso: C.S. = U = [-4, -2] U [2, 3] .

22. EJERCICIO.- Resolver: / y 2 - \4y + 13 < y * 1 .

SOLUCION: = y2 . Uy + u = (y . 13)(y _ X) f b = y + 1 ,

a > o y e <-=> , 1] U [13,b > 0 < = > y + 1 > 0 < = > y e <-1,a < b2 •• — "• y2 - 14y +13 < (y2 + 2y + 1)

< = > I6y > 12 < = > y e <3/4.

Como la inecuación original es de la forma /a 0 ~ a < b2 ] < = > (intersectando los tres):y e ( 1] U [13, »> ) n <-1, n <3/4, <==>y e <3/4, 1] U [13, »> = C.S.

23. Ejercicio.- Resolver: / y2 - Uy + 13 > y - 3 .

SOLUCION: Corresponde al TEOREMA [Pág. 78] : /a i b «— 1>a > 0 ~ [ b < 0 v ( b > 0 « a 2 b2 )] .

Verificar que: C.S. = <-“> , 1 ] .

24. EJERCICIO.- Expresar el conjunto A mediante intervalos :

A = ( y e IR / y = * 3> — - , -2 < x < 0 } .x - 2

SOLUCION: ... x2 * 3« - 1 ^ 2 _ (y_ 3)x + (2y. 1} - 0x - 2

«=^> x - { y - 3 í / y 2 - Uy + 13 )/2y como -2 < * £ 0 , se debe reso1ver:

-2 < =- - — < 0 «=> -(i/+l) < í /y 1 - U y * 13 < 3 -y2 •• (*)

[ a v b ] , donde :

a : -{y* 1) < / y 2 - 14y + 13 < 3 - y

b : -(y* 1) < - / y2 - Hy + 13 < 3 - y

es decir, para cada signo en el radical <Je (*) , se reúnen los resultados.

Note que (a) equivale a la intersección de las soluciones de la inecuación:

-(!/ + 1) < /y2 - 14i/ + 13 con las de / y 2 - 14i/ + 13 < 3 - y .

Se procede en forma similar para (b) . Luego, utilizando el método anterior se obtiene que : (verificar)

a : y e ( <-«■ , 1] U [13, »> ) fl [1/2 , 1 ] = [1/2,1]b : y e ( < 3/4 , 1] U [13, «■> ) n <-», 1 ] = < 3/4 , 1 ] ,

y por lo tanto, A = [1/2,1],

24. EJERCICIO.- Expresar mediante intervalos al conjunto

A = { 16 * / -5 < x < -3 } .OX

SOLUCION: 2,(16-*_) c = > x + 6xi/ - 16 - 0

6x

-5 < x < -3 , se debe resolver:

x - (S y i / 36i/2 + 64 )/2

x - (-3i/ í / 9i/2 + 16 ) ,

-5 < -3i/ 1 / 91/2 + 16 < -3

y como

3i/ - 5 < i / 9i/2 + 16 < 3i/ - 3 .. (*) < [ a v b ] (una

letra para cada signo) , donde . 3y. b K / 9¡/2 + 16 < 3^.3

b : 3y - 5 < - / Sy2 + 16 < 3y - 3 .Verifique que:

(a) «: IR fl $ * $ ,(b) «=0 y e <-». 3/10> O <-7/18, » > = <-■! ,

C.S.: (a) v (b) : y e <-7/18, 3/10> . Luego, A = <-7/18, 3/10> .

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS.-

1. Demostrar que no existe ningún número real a tal que:t í a PARA TODO x REAL .

2. Dem. que a 0 < 1/a2 < 1/b2 .3. Dem. que * > 1 =^> 1 < x < x24. Dem. que 0 < t < 1 ■ ■ .• 0 < x2 < x < 15. Dem. que si x es un número real tal que 0 £ x < h , para todo h

> 0 , entonces x = 0 .6. Dem. que: -i) a > b b - a < 0

•oc) a i b < 1 =

c3 d3 j7. Oem. que 0 < d < c = > - - - > d (c - d)

a - 1 b - 1

3 d33 " 3

, c* d4 t8. Dem. que 0 £ d < c = » d (c - d) < — - — < c (c - d) -

4 49. Resolver:

a) — > 6 d) (x2 + 2)(x2 - 4) < 0x - 5

b) 3X*1 > -(x - 4) e) (x - l)(2x2 - 12x + 19) < 0c) -4 £ -2x + 3 < 4 f) 3x3 - 9x2 + llx < 5

10. Hallar el menor número real M tal que, PARA TODO x REAL :

a) 4 + 6x - 3x2 £ M c) - x2 £ Mb) 4x - Zx2 < M d) -x2+ 4x - 10 £ M

11. Hallar el mayor número real m tal que, PARA TODO x REAL :

a) m í 2x2 - 4x + 2 c) m £ x(x - Z) - 3b) m £ x2 - lOx + 32 d) m £ 1 - 6x + x2

a3 - b312. Dem. que: 0 < a 0 .

a 3b b213. Dem. que: 0 < a £ b < = » - + — £ —r + 3

b a a

SUG: (b - a)3 > 0 « = • (b - a) 2 0 .

14. Si x es un número real cuya representación decimal comienza como sigue

a) x = 2.3476 ... b) x = - 5.3254 ...

dar un intervalo cerrado de longitud 10 que contenga a x .

15. SI 2.3 < a < 2.4 , 4 < b < 6 , hallar cotas para:1) a + b , ii) a - b , 111) ab , 1v) a/b .

16. Resolver:a) 6 - 2x < 3x-9 < 2x-6 , c) l - x < 2 x - 2 < x + 8b) 6 - 2x < 3x- 9 < 2x- 6 , d) 0 < x-1 < 3x-15

17. Resolver: 2

x - 1a) * * 1 > 0 , e) 2x4 < 2x2

(2x2 - Bx + B)(x +_3^ > f) 1 L Í Í > 3(x + 6) ' x + 1 '

, (2x2 - 8x + 8)(x + 3) , 3c) ------------------ - < 0 , g) x < x

(x + 6)

d) + 3) > 0 > h) _ l ________ 2(x+6) x + 4 x + 5

18. a) ¿ Es x + x + x > x para todas las x ?. ¿ Para todas lasx > 0 ? .

b) Resolver: [(x - l)2 + 2 ]_1 < 1 .

19. Hallar el conjunto de valores de k para que la ecuación x2 + kx - 2= 0 tenga aos raíces, una de las cuales es 1 .

20. Si { r, s ) , con r > s , es el conjunto solución de la ecuación2

15x - 22x + 8 » 0 , hallar la ecuación cuadrática cuyo conjunto solución es { 1/r , -1/s } .

21. Hallar el conjunto de valores de k para los que x tome valores reales en la ecuación: x2 + 3k + 1 ■ (k + 2)x .

22. Hallar la suma de las raíces de la ecuación:

/ 2x + 3 + /T x ~ "2 - / 2x + 1 = /5x .

23. Hallar los valores de m para que la siguiente ecuación no tenga soluciones reales:

(m + 5)j + 3mx - 4(m - 5) = 0

24. Si a > 0 es tal que / x + 4a , /x + 2a - 1 son números reales, hallar el conjunto solución de: _____ _________

/x + 4a - /x + 2a - 1 * 1 .25. Si a e IR* a -b e IR+ , ¿ cuáles son verdaderas ? :

i) 1/b < 1/a iii) (b3/a) - b2 < 0ii) b(b - a) > D iv) a2 < b2 .

26. Hallar el complemento del conjunto solución de la inecuación :

a) (1 -■ x)(-X-^-2i < 0 , b) x <(x + 4)2 x + 1

27. ¿ Cuáles son verdaderas ? : i) ^ ( 3 a e IR / (-l)-a = 0 )

ii) ¥ a , b e R , a 1/b )

iv) V a . b E R ^ c ^ O : b < a = > be < ac .

28. Hallar los valores de m tales que la raíz de la ecuación - = — — —x x + m

sea mayor que 2.29. ¿ CuSles de las siguientes afirmaciones son verdaderas ? :

i) Si a 0 entonces ac < be .ii) a > b =í> b+c < a + c, V c real .i i i) a a < 2b , V a , b reales.

30. Resolver: 3x3 . M 2 + 63x . 54 ----a) — — --- > 0 , d) / x - 5 < 1

3x + 15

b) — -— e < 1/4 , 2 ] , e) ---- — > /x + 12x + 3 N /t . !

x2 1c) ---- + 4 > x + 10 , f) — --- > /x - 1* ' 2 /x + 1

31. Hallar las raíces de: /1 - 5x + /l - x ■ 2 .32. Hallar el conjunto de valores de m para que la ecuación siguiente:

x2 - 15x - m(2x - 8) = 0 tenga raíces reales iguales.33. Si r y s son las raíces de la ecuación 6 + (1/x) = x , hallar

el valor de A = 2(r + s)/(rs) .

34. Hallar k para que la ecuación (k+1);2 - 2(k + l)x + k = 0 admita dos soluciones reales iguales.

35. kesolver:aj 3 < 6 d) (x2 - x-2)(6x2 - x - 1) < 0

x + 2 ” x + 5 , , 2e) (x- l)(2x - 12x + 19) < 0

b) — > 6 ____* - 5 f) /x - 1 < 0 .

c) (x + 2)(x + 10)(x + 2) > 0 .

36. Resolver: a) (x2 + 7)(x2 + 25)(x2 - 4)(x2 + 3) > 0b) (x2 + 2)2 (x2 + 5x - 6)(x - 1) < 0c) (x2 - 16)2 (x2 + 4)(x + 3)(x - 2) > 0

d) (x3 - 8)(x2 + 4x - 5)(x2 - 16) < 037. Resolver: x2 + 8x + 24 x + 2 *2 + 2

a) Ï 8 , d) ---- > -- 5—x + 2 x - 2 x2

.. . 3x + 1 1 . x3 - 2 x3 - 4b) 4 > ----- Î - , c) -z--- > ---x x x + 1 x + 2

38. Resolver: ^ (4x + 2)2 (x2 + 2)3(2x - 8)9 . „*> Tö < ®(x + lj2 (2x + 5)

b) (x2 - 4x - 12)(x2 - x - 12) < 0(x2 - 9)(x2 - 4)

, 2x x x - 1 x2 + 8 _ 5x - 8c) ---- - ---- > ---- . d) ----- > -----x + 1 x - 1 ' x x + 4 5

e) (x2 - 2x T 4)5 (1 - x,3 (2 x)6 ^ o

(2x + l)(x + 4)x4

,, x4 - 2x3 - x2 - 4x - 6f ) ------------------- < 0x3 - 4x2 + x - 4

, D - . . x2 - 2x x + 8 . x + 4 2x + 339. Resolver : a) ------ < ---- d) ---- < -----x - 4 2 x - 2 23x2 - 4 , . , 4 2x2 - 3x + 3 1

b) - X + 6 e) (x - 2)(2x + 3) > - 2

C) LJLi > _ £ _x + 4 x - 2

40. Expresar en términos de intervalos el conjunto A :

A = { z = * / x e <-1, 1> }x* + 1

SUG: Evalúe por separado los z para x e <-1, 0> U { 0 } U <0, 1^ .

41. Resolver: 7_____ -------- , 7,_____ ./27 - x V x2 - 14x - 15 (x - 2)b V x + 8 (x - 3)5

U/ x + 9 (x2 + 7x - 8) (x - 27)3 (x3 - 27)

a) £ 0 , b) > 0 , c) < 0 , d) > 0 ; indicandoen cada caso el Universo U proveniente de los radicales pares.

42. Resolver:y 625 - x2 ¥*? - 4 (x + 4)8 (x2 - l)2

x3 - 2x2 - x + 2

a) < 0 , b) > 0 . c) < 0 , d) > 0

43. Resolver:/ 32 -

/ x + 2

« / W * A

- ?x

5 - x

> /x ,

> 0 ,

f) /x + /x - 2 > 0

x + 3 _ ' ^ x- 1

d) /x2 - 6x + 5 + /x2 - 7x + 10 < 0

e) /x2 - 6x + 5 + /x2 - 7x + 10 > 0

44. Resolver:

y E > o* x- 1 / x+ 3

a)x - 3x - 4

5 - /l6 - x22x - 29

b)3x - 4

/2I - / x 2 - 4

7 7 T 3x - 4

/2Í - / x 2 - 4

> 0

45. Expresar el conjunto A mediante intervalos:

y e R / y = x2/(x- 1) , -1 < x < 1 }a) A =

b) A =

c) A =

d) A =

e) A =

8x - 2x¿ 2x - 1

x2 - 4

/ X E [1, 4> }

/ x E [-3, 0 > }

/ x E <2, 4> }

/ x e [-3, -2> U <2, 4> }

46. Demostrar que si x > 0 , y > 0 , z > 0 , entonces

SUG: [x/y){y/z)[z/x) = 1 , y un Problema resuelto (PSg. 71)

47. Resolver: 2 4 5x - x + x - x> ,-------+9(1 - x2)(l - x) (1 - x)2 (1 + x)

SUG: Pasar todo al primer miembro y factorizar.

48. Dado el sistema: y- x2-2x-15 , y m m(x + 5) ; si y • 9 satisface el sistema, hallar la suma de los posibles valores de m .

49. Hallar los valores de k para los que x tome valores reales en:t2 + (3k + 1) - (k + 2)x .

50. Dada la ecuación ax2 + bx + c ■ 0 , demostrar que:a) SI la suma de sus ralees es Igual a su producto, entonces b + c ■ 0b) Si una raíz es la negativa de la otra, entonces b ■ 0 .

2c) Si una raíz es el doble de la otra, entonces: 2b ■ 9ac .

51. Hallar los valores de m para los que el conjunto solución de la si -guíente ecuación no esté contenido en R :

(m + 5)x2 + 3mx - 4(m — 5) = 02

52. Sean r y s las ralees reales de la ecuación ax + bx + c ■ 0 ,2 2con r < s . Hallar el valor de r - s .

SUG: x = ( -a i /a2 - 4ac ) /(2a) , y donde £ corresponde al signo (+), y ^ corresponde al signo (-) .

253. Si las ralees de: x + mx + n • 0 son las reciprocas de las de( la

2ecuación 4x + 8x - 5 « 0 , hallar el producto mn .

CLAVE DE RESPUESTAS

9. a) <5, 6> b) <0, 1> U <3, -> . c) [-1/2 . 7/2] ,d) <-2, zy e) O • (complet. cuadrados), f) <-«■>, 1

10. a) M - 7 , b) M = Z , c) M - 0 . d) M - -611. a) m • 0 , b) m « 7 , c) m • -4 , d) m ■ -814.a) [2.3476 , 2.3477 ], b) [-5.3255 . -5.3254 ]15. i i 1) (2.3)(4) < ab < (2.4)(6) . 1v) (2.3)/6 < a/b < (2.4)/4 ,16. a) x - 3 , b) « , c) [1. 10> , d) [7, «■>17. a) <1, »> , b) <-«■ . -6> U <-3. 2> U <2, ->

c) <-6, -3> , d) < — , -6> U [-3, »> , e) <-1, 1> - { 0 },f) [-2. -1> . g) < — , -1] U [0, 1] , h) <-5, -4> U <-3, »>

18. a) NO, SÍ ; b) IR , 19. k • 1 , x2 « -2

20. 8x2 + 2x - 15 - 0 , 21. A > 0 : <-», 0] U [8, »>22. x * 3 , 23. A < 0 : <-4, 4> . 24. x = (a - l)2

25. a, b y c . 26. <-2, 1> U { -4 } . b) <-3. -1] U <2, »>

27. (c) solamente . 28. <5/2, ■»> , 29. (a) y (b) solamente ,30. a) < — . -5>U [2, »> . b) [-1. 5/2> , c) <2, 3> .

d) [5. 6> , e) <1. 2> , f) [0, 2> .31. x = 0 , 32. A = 0 , m e { 3 , 5 } , 33. A - 12 , 34. k » 1/335. a) <-5, -2>U [1, »> . b) <5, 6> , c) <-10, »> - {-2 } ,

d) <-l,-l/3> U <1/2, 2> , e) <-», 1> , f) x - 1 .36. a) <-», -2> U <2, ■»> , b) <-», -í] uH } >

c) <-■», -4> U <-4, -3> U <2. 4> U < 4 , « > , d.)

37.a) <-2, <*> , b) <■«, 0>U<1, ■> . c) <-2, 0> U < 0, ■»> ,d) <2, “> ; 38. a) <-5/2, 4> - { -1 . -1/2) ,

38. b) <2, 3>U<4, 6> , c) < — , -1> U <0, 1> . d) <-4, 6] ,e) <-», -4> U { -2 } U <-1/2, 0> U <0, 1] . f) < — , -1] U [3, 4>

39. a) <— , 4> , b) < — , 6> , c) < — , -4> U [1/2, 2> ,d) <-2, 2> U <7/2, «■> , e) <-», -3/2> U <0, 7/6> U <2, »>

40. A = <-1/2, 0> U < 0 ) U <0, 1/2> - <-1/2 , 1/2> .41. a) [-1, 1> U { 2 } U [15, 27>

a) ( <-9, -1] U <1. 15]) - {3,-8}c) <-1, 1> U<15, 27>d) ( <-9. -1> U<1, 15> ) - { 2.3,-*}

42. a) [-25, -2] U <-1, 1> U { 25 )b) ( {-25 ) U [-2, -1> U <1. 25] U { -4 } ) - { 2 }c) ( <-25. -2> U <-1, 1> ) - {-4 )d) ( <-2, -1> U < 1, 25 > ) — {2 }

43. a) [0, 4] , b) <T-3, 1> U [4, 5] . c) <-3, 1> U [4, 5] ,d) x * 5 , e) <->», 1] U < 5, ■»> , f) [2, »>

44. a) [-4, -1] U { 4 ) , b) <-5, -2] U [4, 5> ,c) <-5, -2] U [4, 5> .

45. a) A = <— , 0] , bj A - <0, fe] , c) A = [-5/3, »>d) A - <0, 3> . e) A - [-5/3, 0> U <0, 3> .

47. <-» . -1 - /3> U <-1 +/3, 1> U <1, 2> U<2, «> .

48. 1DP/11 , 49. k e <-“ , 0] U [8, » > , 51. m e <-4, 4> .

52. -{1/a) / a 2 - 4ac , 53. (32/25) .

54. Sean a > 0 , b > 0 , I “ < 7 » -— — )> t ♦ . Probar que /Z e I .N b a + b '

ib cuál de los dos extremos de I está Jz más próximo ?

7. VALOR ABSOLUTO

Dentro del Sistema le los Números Reales se defineel VALOR ABSOLUTO de un número real x como sigue :

, si x > 0

Aquí se ha demostrado que un valor absoluto |x | a¡ mpne. > 0 (nunca resulta un valor negativo.)

PRUEBA.- (1) Ya fue demostrado.

(2) ( = > ) Con la hipótesis | x | « 0 , supongamos que x f 0 , entonces: x > 0 6 x < 0 ,

■i) si x > 0 ==»■ |x | ■ x > 0 | x | > 0 (absurdo)■U) si x < 0 = > | x | ■ - x >0 = ■ | x | > 0 (absurdo) >

luego, la suposición x f 0 no procede, y por lo tanto x • 0 .

( « = ) Si x » 0 entonces |x| ■ 0 por definición .

CJEMPL2?.- a) |3 | - 3 , |0| - 0 ,b) | -5 | “ -(-5) [pues -5 < 0 ] » 5 .

A continuación presentaremos algunas propiedades del VALOR ABSOLU TO , y que serán muy útiles en la resolución de problemas.

si x - 0 s1 x < 0

De la última linea se tiene que

t < 0 < = > - x > 0 = » 1* 1“ - x > 0

Además, x > 0 =s> | x | « x ==» | x | > 0x ■ 0 | x | * 0 (por definición)

- (1)

. ( 2) - (3)

DEFINICION EQUIVALEN

TEOREMA.- 1) | x | > 0 , V x c I R2) | x | - 0 «==» x = 0

( x , si x > 0

- x , si x < 0

V x c IR

Propi papes del Va l o r Ab s uLuto

9C Numeros Reales Cap.3

I) |-*l * 1*1 • 2) I** 1 ■ M U I2') | x2 | * x2 (pues x2 > 0 , paJUL todo x e R )

3) SI b > 0 , 1*1 - b < = * x » i b .

4) 1*1 - \ y \ «=*■ x - i y [<--— ■• x • y v x - - y ]

5) 1*1 2 * - 1*1 * -x , V x c R .

6) 1 * + y 1 i 1*1 * \ y \ .. DESIGUALDAD TRIANGULAR.

7)

oAlN<✓) [ a < z - ( -a ) £ z ] = • I a | <8)

A|1M

1*1 - H |

P R U E B A 1) Considere los casos: x > 0 , x ■ 0 , t < 0 .

2) i) x > 0, y > 0 = ► xy > 0 =*• \xy\- xy • (x)(y) = |t| | y\

11) x > 0 , y < 0 ==> xy < 0 = * \xy\- -(*!/) - (x)(-y) = |x| | y\

111) t < 0, y > 0 ; 1v) x < 0 , y < 0 . [EJERCICIOS]

3) Dado b > 0 , ( -==> ) i) SI x > 0 , entonces |x| » x , luego| x | - b = » x » b ,

v if) Si x < 0 , entonces |x| • -x , luego

| x | = b ==» -x = b =s> x « -b .

( < = ) 1) Si x * b > 0 = » | x | = b ,

v ii) Si x » -b < 0 =s> | x| « -x = b .

4) Como 1 x | > 0 . |y| > 0 , entonces

1 * 1 * \y\ « = * l * l 2 - U I 2 1 * 1 1 * 1 - \y\\y\

de [2]: |xx| = \yy\ <*=* |x2| - | y2 \

-:> x2 * y2 <-=-> x « ± y .

5) a) Si x > 0 ==► -x < 0 = » I x I - x ~ |x| > 0 > -x

= » | x | > x ~ | x | > -x .

b) Si x < 0 = > -x > 0 ==► | x 1 » -x - | x | > 0 > x= > 1 x | > -x - | x | > x .

6) | x + y |2 - (x + y)2 (de [2']) * x2 + 2xy * y2

< x2 + 2 ¡ xy | + y2 « | x|2 + 2 |x||y | + \y |2

- (1*1 + \ y \ ) 2

= > |x + y|2 < (|x| + \y\ )2 = > I x + ¡/1 < |x| + |i/| ,

por el TEOREMA I (píg. 59) y la NOTA de la pSgina 60.

7) Demostraremos que si z > 0 , entonces( a i z ~ -a í z ) = > |a| i z :

i) si a > 0 , | a | = a y z > a = |a[ = » z > |a |o ii) si a < 0 , |a | « -a y z > -a = |a| ==> z > {a |

8) | x| = | y + (x- y) | < | y | + | x - y \ .. por [6]==* 1*1 - líl S | x - y | .. (a )

\y\ = | x + (y-x) | < | x | + | y - x | - |x| + | x - y | = >Ifril- |x| < | x - y | = » -( 1 x | - | y | ) < | x - y \ .. (6)

3e (a) , ( B ) y [7] : | | x | - | y | | < | x - y \ .

APLICACION DE LAS PROPIEDADES.-

PROBLEMA.- Demostrar que: * < y < z ==> \y\ < |x| + |z| .

SOLUCION.- ) < z < |z | < |z | + | x | = > y < |z| + | x| .. (a)-z < -y < -x < | X | < |x | + |z 1 =s> -y < |x| + |z | (6)

así, de (a) , (6) y [7] : \y\ < |x| + |z|

PROBLEMA.- Demostrar que: V x e R - {O } : I x + * I - ■

SOLUCION: a) Si x > 0 , entonces 1/x > 0 , x + (1/x) > 0 .. (*)

(/x - -4 )2 > 0 < = • t - 2 + i > 0 <==> x + i > 2/x x x

« = > | x + ^ | > 2 , por (*)

b) Si x < 0 = > -x > 0 , 1/x < O , x (1/x) < 0 .. (**)

( « )2 > o o = * (-x) - 2 * » ■ o «= */-x i-x;

_(x + I) > 2 <=s> | x + I | > 2 , por (**)

Por lo tanto, V x e R - { 0 } : |x + (1/x) | > 2 .

PROBLEMA.- Demostrar que: |x| + \ y\ = 0 «=» x = 0 - y - X) .

SOLUCION: ( < = ) Obvio.

( ==» ) |x| + \y\ ■= 0 = > 0 < |x| = -\y\ < 0 (*)= > 0 < \x | < 0 = » | x| = 0 ==» x = 0 =^=» y = 0 .

PROBLEMA.- ¿CuSles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? :

a) { x , y ) c R . | x | + | y | * I * + V I c==5, *•/ - 0b) { a , b } c R - { 0 } . j —

--- > 0 « = > ab < 0b

SOLUCION:«) I* I + \y I * I * + y I (1*1 + Ivl )2 * (*+ y ) 2

« = » x2 * 2 \ x\\y \ + y 2 = x2 + 2xy + y2

«==*• 2 |x| \y | = 2 xy «= » |xy| = xy

xy = | xy | > 0 . Por lo tanto (a) es verdadera.

b) -=• > o -34 b > o « = ~ - ( n )b > ob bz

( Va )b < 0 < = > V a 2 ( Va b) < ( V a 2 )• 0 » 0 <-=» ab < 0Por lo tanto, también (b) es verdadera.

PROBLEMA.- Demostrar que:1) | x | < r PARA TOVO r > 0 = > x » 0

2) { a, b, c, d } c R

==» a4 + b4 + c’ + d4 > 4 1 abcd |SOLUCION:1) Supongamos que x i- 0 , entonces | x| > 0 , luego | x|/2 > 0 . Como

el dato afirma que "PARA T000 r > 0 , | x| < r " , entonces esto también se cumpliré en particular para r- = |x|/2 > 0 con lo que resulta que 0 < | x| < r •«=» |x| < |x|/Z <==> 2 < 1 ,lo cual es un ABSURDO. Asi, la suposicifin no procede; luego: x = 0 .

2) Puesto que ( |x| - \y\ )2 > 0 « = • x2 + y2 > Z\xy\ , V x, y (*)i) haciendo x = a2 , y * b2 en (*): a** + b“* > Z|a2b2|ii) análogamente resulta que : c* + d** > Z|c2d2|

«=> a4 + b4 + c4 + d4 > 2[(ab)2 ♦ (cd)2] > 2 [ Z | (ab)(cd)| ](en la 2da. desigualdad hicimos en (*): x = ab, y « cd ) .Por lo tanto, a4 + b4 + c4 + d4 > 4 |abcd | .

PROBLEMA.- Demostrar que:a) { x , </ } c R , x2 * y2 = 1 = > \ x + y | < /2

b) { a, b, c ) c IR - { 0 } =

SUG: Utilizar la propiedad: |x + (1/*)| > 2 , V x i 0 (*)

I be I + |ac I+ 1^ 1 >1 a 1 1 b 1 ' c 1

SOLUCION: a) Cono (x-y)2 i 0 , entonces 2xy < x ’ + y2

2xy < 1 . por el dato. AdemSs:

| * + y}2 - (x + y)2 ■ x2 + 2*y + y2 “ 1 f Ixy < 1 + 1 - 2 | x + y |2 < 2 ==» | * + y | < /2 .

b) La expresifin S de la Izquierda se convierte sucesivamente en:

| b K | f i * m Al+

|b| 2 + I f l ■ • ( 1 )l ' U l í i - m > * I t I * |d 2 * l ? l .. (2)

i - i « l 5 H 5 1 > * í ¡ » |a|2 ♦ 1 * 1 - ■ 0 )Sumando las tres desigualdades:3S > 2( |a| + |b| + |c| ) + S > 2 |a * b + c| + S= > 2S > 2 |a + b + c | = » S > | a + b + c | .

PROBLEMA.- Si a. b y c son números reales distintos de cero, demos -trar que: g 1 1 1

| a| + |b| + |c | ‘ M + jb] +

SOLUCION: Previamente se tiene que: V * , y t 0 :

( 1*1 + \y\ )( 7^7 + T~7 ) “ 2 + I*, I + I ~\ - 4 • usando el hecho1*1 \y\ ' y 1 1

que |z + (1/z) | > 2 , para todo z / 0 . Luego,

( M + IM+lcIM-j^j- + + 1~F ) ■

(|-l*|b|)( ~ + i ) + ( + j^| ) + ( + \*\ ) + i >|a| |b| Ia I I c | |b| |c|

> 4 + 2 + 2 + l » 9 . Por lo tanto,

9 1 1 1+ -- +M + |b|+|c| Ia I |b| I c |


1. Demostrar que: a) | a/b | « |a|/|b| c) | a - b | * | b - a |

b) I U I - |b|| < |a + b| , d) | a - b | < | a| + | b|

e) |a - b | < t b = > | a| > (1 - t)| b| . donde 0 < t < 1

f) |a - c| < |a - b| + |b - c | + |c| .

2. Oemostrar que: | |x | - \y | | < / \ x2 -

SUG: Probar: | |x| - | y \ | < | y - x | ~ | |x| - \y\] <|i/+x|

3. Probar que: a) | a| + | b| « |a - b | <— > ab < 0

b) | a| + | b| > 2 /faj" /|b[

4. Dados los números reales a, b, c, demostrar que:

(| a | + |b| + |c| )( a2 + b2 + c2) i 9 |aLc|SUG: i) SI alguno de ellos es cero, la relacifin se cumple.

il) Si a, b y c son todos diferentes de cero, entonces abe f

0. Utilizar el Problema resuelto de la pSgina anterior y elhecho que: a2 + c2 > 2 |ac| , a2 + b2 > 2 |ab| ,b2 + c2 > 2 |be | = > a2 + b2 + c2 > |ab| + | ac | + J tc| .

7.1 TEOREMAS RELATIVOS A ECUACIONES E INECUACIONES.-

(2) ( =*> ) |x| > 0 ~ |x| 0 ;AaemSs, de .a Propiedad [5] y del dato |x| < bx < | x | £ b ~ -x < | x | x x -b ---> -b < x x ~ -b < x ==>x 0 .

(3) ( = & ) Por TRIC010MIA: x > 0 6 x < 0 :

¿) SI x i 0 , entonces: |x | i b = > x i b ,6 íá.) sí x < 0 : - x » | x | i b =*■ -x > b ==> x < -b

( « = ) Para x > 0 , y del dato: -completar-[ x > b ] , y como | x| = x =s- |*| > b .

El CASO: x < 0 queda como EJERCICIO para el estudiante.

Cap .3 Números Reales 95

2 . 2 x < y7.2 Teorema.- |x| < |</| «==*

7.3 NOTA.- De estos dos TEOREMAS se obtienen resultados análogos como:

TEOREMA II . l) 1V 2 2 x < y ..

2) 1* 1 0 ~ ( -b < x b « [ (. x > b ) v ( x < -b ) ]

7.4 NOTA.- Recordemos que en estos dos TEOREMAS, cada vez que aparece:í ) un símbolo v indicará UNION de las correspondientes

soluciones, mientras que:¿i) un símbolo ~ indicará INTERSECCION.

7.5 COROLARIO. Para todo x REAL :

Pues si fuese:

/ ? - 1*7

se cometerían muchos errores como por ejem

plo / (-2)2 = -2 , lo cual es un ABSURDO, pues se está indicando expH

citamente la raíz positiva como se había indicado anteriormente, ye -lio se consigue con el Valor Absoluto.

APLICACIONES DEL TEOREMA I (l)

7.6 EJERCICIO.- Resolver: a) I 2x - 3 I = 15 , b) | 3* - 12 | - 0 ,c) | 6x + 3 | = | 18 + x | , d) | x + 1| * -4e) |2x - 3 | = |5 - 2x |

SOLUCION:a) 2x - 3 = i 15 <=*> ( 2x - 3 - 15 ) v ( 2x - 3 = -15 )

« = » x = 9 v x = -6b) | 3x - 121 = 0 ■ = > 3x - 12 = 0 «= > x = 4c) | 6x + 3 | = | 18 + x | 6x + 3 = i (18 + x) e = o

6x + 3 = 18 + x v 6x + 3 = -(18 + x) <=*■ x e { 3 , - 3 } .d) Como un valor absoluto nunca puede ¿eA negativo , entonces no hay solu

ción. Luego, C.S. = $ .e) | 2x - 3 | = | 5 - 2x | <==• 2x - 3 = i (5 - 2x) <= •

2x - 3 « 5 - 2x v 2x - 3 ' -(5 - 2x) <=•[ ( x = 2 ) v ( -3 = -5 FALSO )] x = 2 .

-96- Nümeros Reales Cap. 3

7.7 EJERCICIO.- Resolver:a) | 2* + 9 1 * x - 1 . c) | 4x - 23 | ■ x - t .

b) | x + 6| - 2x + 6 , d) | 2x - 3 | - 5 - 2x .SOLUCION:a) |2x + 9| ■ x - 1 [ x-1 > 0 « { 2x + 9 - i (x - 1) )]

<==• [ x > 1 - ( x — 10 v x - -8/3 )]* e [1. “> O (-10. -8/3 } - 4> (NO HAY SOLUCION)

b) |x + 6| = 2x + 6 <— > [2x + 6 i 0 ~ x + 6 * ± (2x + 6) ]< = > [ x > - 3 ~ ( x * 0 v x ■ - 4 ) ]

> = > x e [-3, “> fl { -4 . 0 } - {0} <= > x - 0 .

c) | 4x - 23 | - x - 2 « = > [ x - 2 > 0 » 4x - 23 - ± (x - 2) ]< = > [ x > 2 - ( x « 7 v * - 5 ) ]

'■ x e [2, fl { 5, 7 } * { 5 , 7 } <— => x =■ 5 v x ■ 7 .

d) |2x-3| - 5-2* [ 5-2x > 0 - 2x - 3 - i (5 - 2») ]* £ 5/2 » [ * - 2 v (-3 - -5 FALSO)]

x c <-“ . 5/2] O { 2 } <==• x - 2 .

7.8 NOTA Como se puede observar en estos problemas del tipo: | a| • b,la condicifin b > 0 proporciona precisamente el Universo U con el que se intersectan al final las soluciones halladas al efectuar las operaciones subsiguientes.

2 I 2 i7.9 Ejercicio.- si a1 - { x e r / — -— I - -■ ~ 161 }

* - 2 I x - 4hallar A - A’ .

SOLUCION: Universo U: x _ 4 > o - x ¿ 2 ==> U - <4, ■»>

: x-4 ■ |x-4|, y por lo tanto, en U :

(x - 4)(x + 4) | x + 4 | =*> x2 - | x — 21 | x + 41* - 2 I I x - 4

[ y como -4 < 2 < 4 < x =«> x-2 > 0 , x + 4 > 0] <— >

x2 - (x-2)(x + 4) < = » x2 « x2 + 2x - 8 <=s> x = 4 , perocomo x ■ 4 4 U , entonces NO HAY SOLUCION REAL. Luego,

A 1 * ♦ , A « R , y A - A 1 * A f l A « A = R * .

7.10 EJERCICIO.- Resolver: | X + ® J < 6 .

SOLUCION: -6 < x + - < 6 « « -6 < x + - - * + - < 6X X X

x2 - 6x 8 _ .> 0 - --------- < 0x x

(x + 4)(x + 2) > 0 (» - 4)(x - 2) < 0X ~ X

* e ([-4, -2] U <0. <■>> ) n ( <-» , 0> U [2. 4] )* e [-4, -2] U [2, 4] = C.S.

7.11 EJERCICIO.- Demostrar que: ¥ x e IR - {0} : | x + | > 2 .

SOLUCION: , , ,x + - > 2 <=s> x + - > 2 v x + - < -2

I X ■ X X

x2 + 2x + 1> 0 v ---- — -- < 0X X

— i U L Ü f > o v <» ^ l)2 < oX X

«=s> { - > 0 v x ' l ) v Í - ^ Í O v x = -1 )

<=:> x e < 0, <=> U . 0> < 1 x e IR - { 0 } .

APLICACIONES DE LOS TEOREMAS 1-2 Y I1-2 :

1-2): |x | í b < = > b > 0 - - b í x í b .

11-2): |x | b > 0 * - b < x 0 ] proporcionael UNIVERSO U con el que se intersectarSn al final las soluciones de la relación -b < x 0 «==s> U * <-», -3> U <2, »> .

x + 3 x N

Resolviendo por separado las desigualdades de la cadena

x ~ 2 x + 1 x - 2- ( ---- ) < ---- < ( ---- ) , e intersectSndolasx + 3 x - 2 x + 3

se obtienen los x tales que:x e ( <-», -3> ü <2. -> ) fl ( -3> U < 1/8 . 2> ) - <-«> . -3>

Luego, C.S. * <-■» , -3^ (11)« <(-■» , -3> .

*>) En forma equivalente se tiene :

8(x ♦ 4)U : i 0(x - 3)(x + 3)

Observando la inecuaciCn dada:

1 (x - 4)(x + 4) I < x - 3 |

y como x e U =

x2 - 16 t 8(x + 4)x - 3 ' x2 - 9

x e U - [-4, -3> U <3, »>

__80 + 4)(x - 3)(x + 3)

x + 4 > 0

(*)x - 4 x - 3

8(x - 3)(x + 3)

por lo tanto, para x e U :

x * - 4

8 8(x - 3)(x + 3) x - 3 (x- 3)(x + 3)

y resolviendo la cadena de desigualdades se obtiene:

-t)x¿ -x- ‘

(x - 3)(x + 3)> 0 [ «-

(x - 3)(x + 3)

-4

> 0

* E < - . -3> U [ ] U <3, ->

j L - < 0 (x - 5)(x + 4)< 0 (x-5)

(x - 3)(x + 3) (x - 3)(x + 3) (x - 3)(x + 3)

[ pues x e U ] v * - . 4 xe -3>U<3, 5]

Por lo tanto, C.S. *= U) D (¿¿) n U ■= [-4, -3> U<3, 5] .

i 0

APLICACIONES DE LOS TEOREMAS 1-3 Y I1-3 :

1-3): |x | > b

11-3): | X I > b

[ x > b v

[ x > b v

x < -b ] .

x < -b ] .

En 1-3 se resuelven las desigualdades x > b y x < -b , y la soluci6n general corresponderá a la UNION de ambas. Para el caso II-3 se pro cede análogamente.

7.13 Ej e r c i c i o.- Resolver:a) | x + 6 1 > 2* - 3 . b) | x2 - 4 | > -2* + 4 .

SOLUCION:(a) «=» (x + 6) > 2x - 3 v (x + 6) < -(2x-3)

x e <-«, 9> U <-». - O - <-“ .9> = C.S. /

(b) x2 -4 > (-2x + 4) v < x2 - 4) < -(-2x + 4)

x2 + 2x - 8 > 0 v x2 - 2x < 0 (x + 4)(x - 2) > 0 v x(x - 2) < 0x e ( <-“ . -4] U [2. -> ) U [0, 2]

x e > -4 ] U [0, 1 C.S.

7.14 Ej e r c i c i o.- Probar que: I x - 1 I < 2 = » 0 < | 2x - 3 | < 5 .

SOLUCION: | x j | < 2 = * .2 < * - l < 2 =s> -1 < x < 3==» -2 < 2x < 6 ==» -5 < 2x - 3 < 3 .. (a)=s> 0 < | 2x-3| < 5

En efecto, pues de (a ) : 2x - 3 < 3 < 5 = > 2x - 3 < 5 .. (1)AdemSs, de (a): -5 < 2x-3 =s> -(2x-3) < 5 .. (2)De (1), (2) y de : x < a y -x < a = > |x | < a ,resulta que 0 < | 2x - 3 | < 5 .

En general, con este mismo procedimiento se prueba el siguiente Teorema.

7.15 Te o r e m a.a < x 0 . b) -i— !- < o ,

| x | - 6 x - 5

I - 1.1SOLUCION:

(a) <=—> [ x > 0 ~ | x | > 6 ] v [ x < 0 ~ | x | < 6 ]

x e { <0, D ( <-=>, -6> U <6, <»)> ) } U ( <-=>, 0> fl <-6, 6> )

« = * x e <-6, 0> U <6. -> - C.S.

b) | x | > 0 , ¥ x e R - { 0 } , por lo tanto: lxl < Qx - 5

x - 5 < 0 - x j1 0 <==>x < 5 x i 0 <==• x e , 0 } U < 0, 5 .

c) |3x - x2| - |x|< 0 f( I3x - x2 | < | x] - j x | > 4)

}( |3x - x2 | > | x| - | x| < 4 )1*1 - «

-j como | a | < | b | < — a2 < b2 , entonces

i) | 3x - x2| < ¡x| « = > (3x - x2)2 < x2(3x - x2)2 - x2 < 0 <s=> x2(x - 2)(x - 4) < 0 < = *(x - 2)(x -4) < 0 - x ^ 0 « = » x e <2, 4> ;

1i) | 3x - x2| > | x | x e . 0> U <0, 2> U <4, <»> ;Por lo tanto, (*) es equivalente a que:

x e {<2. 4> O ( <-■» , -4> U <4, »> ) } U {(<-» , 0> U <0, 2> U<4, ■»> ) fl <-4, 4> } * <-4, 0> U <0. 2> - C.S.

PROBLEMA.- Hallar en términos de Intervalos el conjuntoX 1*1S - { x e R / -- -— > 0 « = > < 0 ) .

| x | - 6 x - 5SOLUCION.- Sean

x Ix IA - { x e R / -- -— > 0 } . B = { x e R / -J-!- < 0 } ,

|xl - 6 x - 5

los que en el problema anterior ya fueron calculados como:

A • <-6, 0> U <6. » > , B» <-» . 0> U <0, 5>

y sean p(x) : x e A , q(x) : x e B , entonces S se puedeexpresar como: S = t x e R / p(x) «=s> q(x) } . Además,

p q = (p — q) ~ (q — ► p) = (p « q) v ( p ~ ^q)donde p(x) : x t f A = x e A' * -6] U [0, 6]

q(x) : xt fB = x e B' * {0} U [5, . Luego,p(x) <= > q(x) = x e A D B v x e A* (IB'

= x e <-6. 0> U {.0} U [5. 6] - S

PROBLEMA.- Empleando Intervalos expresar el conjunto:A = { x e D / |x - 2|2 - 2 |x - 2| - 15 > 0 } .

SOLUCION.- Factoriz.: ( |x - 2|- 5)( |x - 2| + 3) > 0

|x - 2| > 5

(pues I* - 2| +3 >0 . PARA TODO x REAL )x - 2 > 5 v * — 2 < -5 <=—> x e <-*», -3> U <7, “)> « A .

7.19 EJERCICIO.- Resolveremos: |x-4|-|x-2| < | * - 1 | (*jj

Considerando (*) en los siguientes Universos parcta-

es: a) * e Uj - 1> ==> * < 1 < 2 < 4 , entonces : ^(*) < = > -{* - 4) + (* - 2) < -(*-1) « = • * e <-■», -1] .

SoluciCn (a): Uj fl <-■», -1] ■ , -1] .

b) x e U2 • [ 1 . 2 > = » 1 S * < 2 < 4 , entonces: t

(*) <— > -(x-4) + (x-2) < x-1 « = » x e [3, ■=>SoluciCn (b): U2 O [3, * 4>

c) * e U3 = [2, 4> = > Solucjjjn (c): [7/3, 4>d) * e U4 ■ [4, =>> = » SoluciCn (d): [4,

Verificar (c) y (d). Por lo tanto, el CONJUNTO SOLUCION corresponde a: x e (a) v ( b ) v (c) v (d)

x e <-» , -1 ] U [ 7/3 , »> - C^S.

TEOREMA III ,1) a | > | b | (a + b)(a - b) > 0

2) a | < | b | « = > (a + b)(a - b) < 0

La prueba se sigue de: Ia| > | b| a2 > b2 <= 2=> a - b2 > 0

7.20 Ej e r c i c i o.- Si A - { x e R / |x2 -3x -6| > 1 6 + *| }B ■= { x e R / ||x -1| + x | > /-X } .

hallar A1 U B' :Empleando el TEOREMA III (1) , expresaremos A mediante intervalos :

| x2 - 3x - 6 | > x + 6 | =* (x2 - 2x) (x2 - 4x - 12) > 0 <=x(x - 2)(x - 6)(x + 2) > 0 * e _A_= -2> U <0, 2> U <6,

CALCULO DE B : Universo U : -x i 0 =s> U = , 0] : luego,

■V x e U , x < 0 = > x - 1 < -l < 0 = ¡> | x - 11 = 1 - x ,

I I X - 1 | + X | > /-X <------------- > | 1 - X + X | > /-X < = > 1 > /-X

< = ■ 1 > -x < = > x > -1 . Asi, B - <(-1, n U = <-1, 0]

Por lo tanto. A* U B' = (A n B)* = 4>' * R = <-=> , “>> .

7.21 Ej e r c i c i o .- Resolver: ----- > ---- .. (*)I 2x - 1 | I x - 2

SOLUCION:(*) es equivalente a: |5(x-2)| > |2x-l| , pero, para x. t ^ , 2 ;pues todo valor absoluto es no negativo. Asi, por el TEOREMA III :

' 5x - 10 | > | 2x - 1 | (7x - U)(3x - 9) > 0' x- ll)(x- 3) > 0 X E <-» , 11/7 ] U [3, »>

Por lo tanto, C.S. = ( <-«> , 11/7 ] U [ 3, « ° ^ ) - { ^ , 2 )

“ <-" • \ > u < i* n /7 J U [3, -> .

7.22 Ej e r c i c i o .- Resolveremos | x* - 101 < |x2 |2 + 8x2

Como | x2 |2 + 8x2 > 0 , PARA TODO x REAL , entonces

| x2 |2 + 8x2 ■ | t* + flx2 | . As!, la inecuación original es equi

valente a: |x4 . 10| < | x4 + 8x21 «=> (2x4 + 8x2 -10)(-10-8x7) < 0

(x* + 4x2 -5)(4x2 + 5) > 0 (x2 + 5}(x2 - l)(4x2 + 5) > 0

< = > x2 - 1 > 0 x2 > 1 [ x > 1 v x < -1 ]•:--••• x e , -1 ] U [ 1, °°> ■ C.S.

7.23 Ej e r c i c i o .- rtesolver:

t 12 + A T T > 0/ |x + 2| + 1 |x — 11 +4|x + 2| + 1 |x — 11 +4

La desigualdad es del tipo: V T + /b > 0 <— •• [ a i 0 ~ b >0]Hallaremos A = { x / a > 0 } , B ■ { x / b > 0 } , y la solucióngeneral corresponderé a A fl B :B : 9 - x > 0 « = » x < 9 B = <-» , 9 ]

x| |x| - 11 - 12 | | x - 11 - 3 |A; a > 0 <=> —L!_!-- !---- > U ---- !---- .. (*)| x+2| + 1 | x- 1| +4

11 k - 1 I - 3 | < [ » l l - l - ' l - 18 II I - 1 ' * - 1 ..1 1 |x + 2| + 1

Universo U: x|[x|-l|-12 > 0 < = o x | |x| - 11 > 12 ( donde

x = 0 no es solución) - x > 0 - |x-l|> — — — x ex

x - 1 > (12/x)

-(12/x) ]

f x- 1 > (1

E < * ’ ” > “ [ v l x - 1 < - (

Como<

xz - « - 12 > Oxl - « + 12

( pues xz - x ♦ 12 - (x - |)2 ♦ ^ > O . ¥ x e R )

Por lo tanto» para x > O :

| x - 1 | > ^ «==> x e fl [4,«d > - [4. co> - U

Ahora, x e ü ■ [4,co> = » x > 4 > l > 0 > - 2 , entonces

(«, (x . 4) <(x ♦ 3)

s : (x - 4) < (x2 - x - 12) , pues x ♦ 3 > O en U T<==» (x - 4) < (x - 4)(x ♦ 3) e : (x - 4){x ♦ 2) > O<=■=> * e ( <-» , -2] ü [4,cb> ) 0 ü - [4.»> • A

Soiuclón General : AflB • [4, 9]

PROBLEMA .- Expresar en términos de Intervalos el conjunto definido por

< O

(x - 4)(x + 3) > „X

- I

r

/

í x - 2|x- 21 ♦ 1

í il e R / y|x - 2| ♦ 1 '

1) Sea xe Sj ■ <-*» , 2> : |x - 2| - 2 - x , x < 2 ,

x c R }

(*)x - 2 < O

(**)

< O

- 3 - x — x ■ f f r < 2 • * r í#) ■ ” y ♦ i

« = » y c <-1, 0> . Por lo tanto Aj - <-1, 0> .

11) Sea u Sj ■ [2,«»> : | x - 2 1 * x - 2 , x > 2

» ■ 7 T T * ■ f r \ >- 2 P°r <**>• 7 ? T

<=-— > y e [O, O . Por lo tanto Aj ■ [O, 1>

Luego. Id soluclOn es A - Aj U A2 - <-1, 1> .

PROBLEMA Expresar en términos 4e Intervalos el conjunto definido por

* ' { j e R / y m | x2 - 4 | , x e <-4, 5> }

SOLUCION .- x e <-4, 5> = > O < x2 < 25 = > -4 < x2 - 4 < 21

O < | x2 - 4 | < 21 O < y » | x2 - 4 | < 21 A - [0. 21>.

Propiedades del VALOR ABSOLUTO (Adicionales)Dado a > 0 , las relaciones siguientes :

*.) z e [-a, a] « = > |z | < a■U) z t <-a, a] c [-a. a]¿U) z e [-a, a> c [-a, a]-tu) z e <-a. 0> U <0, a> c <-a, a>'nplican las siguiente;: propiedades:1, ¥ a > 0 : -a < z < a =s> | z | < a2) ¥ a > 0 : -a £ z < a =s> | z| £ a3) V a > 0 : 0 < |z| < a = > | z| < a

SI |a | i | b | , y si | b | • max { | a| , | b| } , entoncescomo J, a| < | b | , las relaciones

-|b 1 < ( b < z < a ) < | a | < | b | < |b|-1 b 1 < -| a| £ (a < z < b) £|b|

se seguirán cumpliendo si es que DENTRO DE LOS PARENTESIS se reemplaza < por £ en uno de los dos símbolos < 6 en ambos.A partir de estas relaciones se tienen las siguientes propiedades:

Si |a | < IM es decir, |b| -

I) a < z 1* < |b|

B) Si a y b tienen signos diferentes, entonces

a < z 0 £ z2 < max { |a |2 , |b|2 } ,con las debidas modificaciones para cuando aparece el símbolo > .

C) V b > 0 : z 

OAlÍNN

0)

OV*

z b2E)

OVja>

b < z — z2 > 0

7.27 Ej e m p l o s .- 1) -8 < z < -6 ==> 1 z 1 < 82) -3 £ Z < 4 = > |z| < 43) 2 £ Z < 5 = > 2 £ |z| < 54) -10 £ Z < -3 = > 3 < |z| £ 105) -9 < z < 4 = > ooVI

CNNJVIo

6) -5 £ Z < 6 ==> 0 £ z2 < 367) z < 2 = ~ z2 2 08) z > -6 =^> z2 2 0

9)10)

z < -7 =-5 < z < 4

z¿ > 49

> 0 < z* < 25

7.28 EJERCICIO.- Expresar en términos de intervalos el conjunto

/ x e <-3, 3 ] ) .I x - 2

A = { 1 + --

SOLUCION:

y-1 =

A = { y / r n

x - 2 i- -L-x + 4

<• 1 ---x + 4

1 £ y x Av X

-5 < 1- -J- < 1x + 4 7

y-1 e [0, 5>

I x + 4

x- 2 I

x + 4

/

I <

.. (*) . Como -3 < x < 3

-i- < 1 < = ^ -6 < x + 4

0 < 1x + 4

y e [ 1, 6> = A .

7.29 EJERCICIO.- Expresar A mediante intervalos:

< 5

< Ax + 4 _ 7

=> (*)

* ■ ' 1 X E < 1, 4 ] } .

SOLUCION: Para la expresión y = | x2 - 4 | / | 2x | , resolveremos el problema separando el intervalo < 1, 4] en 2 partes, una tal

que y > 0 y la otra para y < 0 . Al final reuniremos a.nbos resultados para y : x2. 4 (x-2)(x + 2) >

> 0 > 02x x

X E [-2, 0> U [2, »> .Análogamente: (x2 - 4)/(2v ) < 0 « = > x e <-“ , -2> U < 0, 2> .

Por lo tanto, separando < 1 . 4 ] * <1, U [2, 4] :i) V x e <1, 2> : (x2 - 4)/(2x) < 0 , entonces y= -(--- -)

2x

< = > x2 + 2xi/ -4 = 0 < = » 1 < x = - y t /y 2 + 4 < 2 ,y que al resolver para y se obtiene y e < 0 , 3/2> .

ii) ¥ x e [2, 4] : (x2 -4)/(2x) > 0 , entonces y - 1

-----=> x2 - 2xy -4 = 0 < » 2 < x = ¡/ + / y2 + 4 < 4 ,

y que al resolver para y se obtiene: y e [0, 3/2] . (Verificar)Por lo tanto, A * < 0 , 3/2> U [0, 3/2] = [0, 3/2] .

2x

7.30 PROPIEDADES ADICIONALES .-Es fScil demostrar que

[ - |a| < x < ¡b| - - 1 c| < y < |d| ] = - m < (xy) < M

donde M = max { |ac | , | bd | } , (verticalmente)m *= mUt { -1 ad | , -1 be | } , (en cruz)

Y en caso de aparecer el símbolo < en algún lugar, entonces en (*]'ruebar. con los extremos para ver si deben incluirse o no.

7 30 Ej e m p l o s.-

1) [ -3 * x < 5 - -4 < y < 6 ] ==» -20 < xy <30pues -20 ■ min { -18 , -20 } , y 30 » max { 30 , 12 }t1 extremo 30 no se Incluye i>ues ello se harta para x « 5 y - 6 , pero este último valor no estS incluido en los datos.

2) [ -6 < x < 4 - -7 < y < 6 ] = > -36 < xy <42

3) [ -1 < x < 1 ~ -5 < y < 4 ] = > -5 < xy < 5

4) [ -8 < x í 4 - -6 < y í 5 ] = > -40 < xy <48

Asimismo, también se puede demostrar que:

II) [ 0 < x < | b | ~ — | c 1 < y < | d | ] = » - | be | < xy

III) [ |a¡ < x < | b | - -|c | < y < |d| J = > -|bc | < xy

IV) L |a| < x < | b | -| c| < y < -| dy = > - |bc | < xy


1. Resolver: a) |x-2| » 5, b) | x2 - 2/2 x + 2 | » 18c) | x + 4 | « 2x - 6 . I xjj I . 3d) | 3x - 1 | - | Fx - 15 | I x + 4 Ie) | x+3| - I 2x + 3 1 h) I I - -f) I x - 4 | - | x + 2 | 1 X‘ 1i) I |*f - 1 | - x | « x j) | x - 2 | • - |x|2 + 4

2. Resolver: a) |x _ 2 | < l f e) |2x. 3| < |x + 6|

b) |2x + 3| < 5 f) 1 < 12x + 5 I < 9c) |6-3x| < 2 7 g) 2 < |x-6| < 12d) |2x - 5| > 3 h) |x2 + 2x - 4| > 4

i) 1 ^ 1 * 1

SUG: (i) « = * I 2x - 5 I > | x - 4 | « x ¿ 4

--(*)

se

Además y para

< N I

< I bd I

< -|ad I

1 3 1 112-3*1 xc) | 3x + 4 | < x f) | — I > 1d) | 3x - 9 | < x + 1 | 4 - 6x | 1

9) > —x + 3 I “ 2 /

SUG: (e) 13(x + 1) | < | 4x+11 - x t -1 . x i -1/4 ..

J

/

Resolver: a) 13x3 - 2x2 - 7*-2 | > | x3 + 6x2 - 9x - 14 |b) 110 - 3x ♦ x21 i 1*2 ♦ x - 6 |c) 1x - 6 | - 1* " 31 < |*-1 |

d) [|x-l| + x - 2| ]■[ 11 - x | - 12 - x | ] < ✓ ’e) 12x2 + x - 1 < | 2x2 - x - 11 .

Resolver: a) I x - 212 > 4 , b) 1 < |2x-3| < 3xc) 11 x ♦ 11 - l*l| ♦ |2x- 3 1 > 2x ♦ 4

d)r ¿ i

> - . SUG: (d) 2 --

«=*■ | 2x + 6 | > | 2x - 6 |

e)x2 - 6x + 7 1 c 2

x- 1 1 < x - 1 0 |l*l - 1 *-3|| < 1-

Resolver: * \ _ x2 - 4 < x + 10#) 1

OHtrt 2

k\ x2 - 4 < lì . x-1 ^ 2xb)x + 3 | * 2 |x-¿| ' x+2

Resolver:

A1 < 11Ä r\ I 3|x| - x I f 1-c + 4 _ x- 6 W 1 X + 1 1 X + 1

b)1 x - 61

> -1 d)| x |3 - 4x2 - 4 | x | +16

6-|x| 1*1 ♦ 1

e) / t x + 2 | -3 + / b- 1 4-x | > 0

f) A = { x e IR / ; v- - > 2 = > — < 0 }| x | - 3 x - 4

g) I x - 3 |3 + 2(x-3)2 - 5 |x - 3| - 6 $ Q(x + 2)2 - 21x + 2 | - 24

h) /|x-l| - 1 + A - | x- 1 | < / 2 | x - 11 +5

i) [ /|x- 1| -3 - A - |x-4 | ][/|x- 1| -3 + A-|x-4| ] < |x|- 6

j) |1* + 4| + (* + 5) | > /-x - 5 . k) 1> — X

Demostrar que: a) X 1

b) X 1

c) 1*

d) 1*

e) 0% f) 0

g) | x- 1 1 < 4 = ~

h) 0 < l X - 1 | < 4

1) |x + 4 | < 2 —

j) 0 < | x + 4 | < 2

1 1 - IM I1*1 < 7

| 3x - 51 < 206 < x + 4 < 8

I < -1- < I8 " x + 4 “ 6

14x + 6

< 5 = > I x- 1 | < 53 | < 1 I SI -

1l I < ±

✓ x + 47 1 35

1 2 1 3

2 + /x + 4 7 1 < 35

- ± 1 < 11

9 1 18

1 11 < 44x + 6

9. Hallar el conjunto H sabiendo que H' « A' - (A’ fl B) , donde

A » { a e R / R e s e l CONJ. SOLUC. de: axZ -6x + a2 > 2ax-3x2 -l}

„ , . , | x2 - 2x - 481 [ I *2 - 2* I - |*-12| ] _ ,B » { x e R / -------------------------------- < 0 I

I x — 2 | - 6

í k + 4b10. SI x e R / ax + b > x2 } - { x e R / |

hallar la constante A . SUG: Complete cuadrados en: ax + b > x2 .

11. Hallar la Intersección A O B de los siguientes dos conjuntos:

I 1 •

i

l - L - l < 11 x + 1 1 X 2 + 2 x + 1 1X 2 ,2+1 J x 1

12. Expresar el siguiente conjunto A mediante intervalos:

A - { y e R / y » |(16 - x2)/(6x)| , -5 < x < -3 } .

Cap. J Numeros Reales 109

13. SI a y b tienen signos diferentes , probar que

a < x 0 < x2 < míx { | a |2 , | b |2 }

CLAVE DE RESPUESTAS (P5g. 106)

1. a) * e (-3, 7 ) ¡ b) x e { 4 /2 , - 2 / 2 } , c) x » 10 solame/teí) > t ( 2 , 7 } ¡ e) « e t 0 , -2 ) ; f) x « 1 solamenteg) x e { -2 , -5 } ; h) x e { 2 , 2 /f - 2 }i) x e { /2 í 1 . 1 } ; j) i-1, Z > ,

2. a) <1 . 3> ; b) <-4. 1> . c) [-7. 11] , d) . 1] U [ V. “>e) <-1, 9> , f) <-7. -3]U[-2. 2> ; g) <-6, 4> \i óá. 18>h) . -4> U <-2, 0> U <2, -> ; 1) <-» , 1] U [3. 4>^U <4. »>

3. a) <-»,-l] ; b) <2, »> ; c) $ ; d) <2. 5>e) <-® , -1> U <-1, -4/7]U[2, ®> ; f) <- - , 0> ü <0, l/2>g) <-» , -3> U <-3. 5/13]U[ 1. ®>

4. a) <-» , -2> U <3. ®> . b) C«. “ > . c) . -2] U [ 10/3, ->d) <-» . -1] U [3.->, e) <— , - /2/2> U <0, /f/2>

5. a) <- «° , O ] U [4, “ > , b) [3, “ > , c) <-«• . 0> ,d) [0, 3>U<3, ->, e) < 1, 3>U<3, 5> , f)

6. a) [-6, 6] ; b) [-1, »> . c) <-2, (5 - /73 )/3]7. a) <6, -> , b) <-6, 6> . c) <-1/4, l/2> ,d) <-®, -4] U [-2, 2]U[4, ®>

e) [1, 9] . f) A - [-3. 4> . g) <-8, 1]U<4, 5] ,h) [-3, 0]U [2, 5] . i) [4. 7] , j) <-6.-5] ,k) Si x < 0 , se cumple para x i -1 : < - “ . -1> U<-1, 0>

S i x > 0 : i) 0 < x < 1 , 6 11) x > l , pues x f 1 :i) x2 + x - 1 > 0 « = » x e < ( /5 - l)/2, 1>ii) x2 - x + 1 > 0 e ~ x e < 1, '»y . Por lo tanto, C.S. -<-» , -1>U<-1, 0>U<{/5 - l)/2, 1> U<1, »>

9. A : V x e IR : (a + 3)x2 - 2(a + 3)x + (a2 + 1) >0[ (a + 3 - 0) y (a2 + 1 > 0) ] v [ (a + 3 > 0) y (D1SCRIM. A < 0) ];A = [-3, -1> U<2, ®> , B - {-6} U <-4, -3]U[4, 8> ; M = A U B .

10. A = a2 ; 11. A =<-», -1>U<-1. -1/2 > . B •<-«•, 0> .A fl B - <- ® , -1> U <-1, -l/2>

12. A * [0, 7/18>

- 110 - Máximo Entero Cap. 3

8 MAXIMO ENTERO

El MAXIMO ENTERO de un número real x , denotadopor I x 1 , es et HAVOR de todoi to¿ númeAoi en

teAoi MENORES, o IGUALES a X :

[[ x I * max l de todos los enteros n tales que n < x }

-2.9 - 1.1 - 0.1 0.9 2»

-4 -3 -2 -1 1

3.2 4.9

17 . 1 I. í. I I ! 1 I

Para calcular este número, se ubican los enteros que se encuentran a la izquierda de x (6 que coincidan con éste, en caso de ser x un entero), y el MAYOR de todos ellos es precisamente I x J . As!, por ejemplo,

I 4.9 1 - 4 1 2 1 *

I 3.2 I - 3 [[-0.1 1 ■II-1.1 I - -2 I -2.9 I ■

I 0.9 1 = 0 I - 4 ] ] “I n/2 1 * 1 II -/Í2 J tal como en la figura

— t— -3-4 -/l2

de donde vemos que H * J toma siempre valores enteros, y si x se encuentra entre dos enteros consecutivos como en figura siguiente

entonces

n xO----------------n+1

I x 1 » n <==> n < x < n + 1c = * x e [n, n + 1>

n 0 Z

-3 , s1 x e [-3, -2>H x I = -2 , si x e [-2, -1 >

-1 , si X E [-1, 0>

0 , si « £ [0, 1>II x I ■ 1 > si x e ti. 2>

2 , si x e [2, 3>

8.1 PROPIEDADES DEl MAXIMO ENTERO

1) O I e Z2) Df«l . n f' ■! [ n c Z ~ n < x < n + l ]3) O I < * < (11*1 + 1) . PARA TODO x REAL4) 0 5 x - ttgjt ]) < 1 , PARA TODO x REAL5) II * XI - x <*=■> x c Z6) E H x D D - I*]) .

8.2 EJERCICIO.- Resolver: a) I x - U - 4b) E 1*1 - 2x I - 0

SOLUCION: a) Haciendo z ■ x-1 :

d x - 1 I - 4 <^=> 4 < * -1 < 5 « = * 5 < * < 6•»=> * e [5, 6> » C.S

b) d |x| - 2x 1 “ 0 <==> 0 < | x| - 2x < 1« = » 2x < | *| < 1 + 2x

« = * x e <-1/3, 0] , resolviendo la -ajena

8.3 Ej e r c i c i o.- Resolver:

a) IT ~ X 3) - 2 . b) II ------- I - 0x 2/x - 1

SOLUCION: c ,(a) « = * 2 < < 3 •*=«> 5 < - < 6x *

* e < 5/6 , 1 ]

(b) <==> 0 < — ^ — < 1 2 / x - 1

< = * x t ( { 0 ) U < 1/4. -> ) n [o, 1/4 > - { 0 }<==> x = 0 (única soluclfin)

8.4 Ej e r c i c i o .- Resolver:

a) I 2x-l I « -3 c) I x2 -2x-3 1 • 1/2

b) E /* + 1 ]) - -1 d) E x2 * 2x - 3 ]) - 0

112 Máxi.no Entero Cap. 3

SOLUCION: (a) -4 < 2* - 1 < -3 -3 < 2x < -2* e [-3/2, -1>

b) CONJUNTO SOLUCION - 4> . pues ✓* > 0 , ¥ x e U « [0. «> .=-> / x + 1 > 1 = * tt /t + I J > 1 , ¥ x e U ,y así [[ /* +1 I nunca seri Igual a -1 .

c) Como todo ([ • ]] es un VALOR ENTERO, entonces la ecuacl&nH x2 - 2x - 3 ]] • 1/2 no tiene solucifin.

d) I x2 -2x-3 I - 0 - > 0 < x2 -2x-3 4 < (x-1)2 < 5

x — 1 e <-/5. -2] U [2. /5> <==» x E < 1 - / 5 . -1] U [3, 1+ /'«> >

8.5 Te o r e m a.- Para todo n e Z : II *•* n I ■ II* I + n .

PRUEBA: Sea d x 1 « k . k e Z . k < x < k + 1 = *k + n < x< n < (k ♦ 1) + n • (k + n) +1 k‘ < X + n < k‘ + 1

donde k1 - k + n e Z = > E x + n I - k‘ - k + n » I* ]] + n .

8.6 Te o r e m a.- Para todo n e Z :

1) I* i £ n « x < n+1

2) I* i < n x < n

3) II* i > n X > n

4) 11*1 > n II *B > n + 1 X > n+1

PRUEBA: Puesto que para todu x e R , existe un único entero k e Z talque x e [k, k + l> y |[i] ■ k < x < k+1 .. (*)

entonces,1) { = > ) k ■ [[*1 S n - (*) =s> x - 1 < k < n ■=>

x- 1 < n = » x < n+ 1 .( « = ) x < n +1 =s> B[ x ]] — n S I x l < n (Ex]] < n

2) ( «==> ) Para cualesquiera dos enteros k y n se tiene que:k < n t : k+1 < n , y por lo tanto :

I x 1 < n < = > I x l < n-1 . y de (1) :¡ * ; x < (n-1) + 1 ¡ ; x < n .

3) ( = » ) De la hipótesis y (*): n < [ x j • k < * =*► x > n .( )«==< ) Si x i n entonces existe un enteró k > n tal que

k + 1 > x > k ==> II x ]] « k > n = » ([ x I > n .

Cap. 3 Máximo Entero 113

8.7 EJERCICIO.- Demostrar que: l[2xj - 2 1 x ]] • 0 5 1.

SOLUCION: jea [[ x ]] » k e Z , k < x < k +1

x e [k. k + {I/2)> U [ k + (1/2) . k + l> .i) SI x e [k, k+(l/2)> entonces II x]] • k ; ademSs ,

k < x < k + (1/2) 2k < 2x < 2k + l =*• [[2x1 - 2k .Luego. [[2x]]-2[[xJ • (2k) - (2k) « 0 .

t¿) SI x e [k+(l/2), k + 1) ent ces [[x] ■ k ; ademSs ,k ♦ (1/21 < x < k + 1 ==» 2k + l < 2x < 2k + 2 =*•[[2x1 “ 2k + 1 . Luego, [[ 2x I - 2 [[ x I « (2k + l) - 2(¿) - 1 .

Por lo tanto.12x1 - 2 [[ x I C:

8.8 EJERCICIO.- Demostrar que:

II 3xJ

si x e [ k , k + ff/2)>

si x e [ k ♦ (1/2) . k ♦ 1 >

x e [0, 1/3 > x e [1/3, 2/3 > x e [2/3, 1> x e [1, 4/3 >

La prutfca queda como Ejercicio.

8.9 EJERCICIO.- Demostrar que para todo entero n e Z :

n < a n < [ s j < a

SOLUCION: por defiricifin. [[ a ]] es el mayor de todos los enteros n tales que n < a . Es decir,

[[ a I » max { n c E Z / n„ < a } > n = > ([al > n = >

n < [[aj n < a .

8.10 Ej e r c i c i o.- Resolver:

b) |[-x 1 < 0

a) [[ -x 1 > 0

. x < 0ir-x i

SOLUCION: Puesto que [[ -x ]] es un NUMERO ENTERO , entonces

a) I - * I > 0 « = > [[ -x I > 1 -x > 1 x < -1

<=s x e . -1 ] .. por [3], píg. 112 .

b) I - x I < 0 <=*=> -x < 0 <==> x > 0 «=» x e <0. .

< o ¡ : (1) v (11) , donde:II -*I1) x < 0 - ll-xl > 0 1= ^ i c ( • ■ , 0) » x e <- <»> . -1J

¿por [a] ) x E <- «■> . 0> D <- “ , -1] -1]

11) x > 0 « I- xI < 0 <■=-- x e <0. * > ~ x e <0, «■>>< => X E <0. ®> ,

SOLUCION (c) : (1) » (11) : x t < - ■ , -1] U <0, • ) .

PROBLEMA ■- Expresar el conjunto S mediante interv¿1os:

S « { x E IR / * < 0 s1 | x | > x }

S0LUC )N: Sean

A - { x e R / rc * < 0 }, 8 ■ { x c J / I* I > « )

En el problema «nterlor ya fue calculado A como A » <-«> , -1] U <0,

CALCULO DE 8 : | x | > x x < 0 v [ x > 0 ~ | x | > x ]

«==> x < 0 v ( x > x ) «==> x e ■> , 0^ U ♦ - ® , 0> ■ 8

Ahora, sean p(x) : x c A , q(x) : x e 8 , entonce.

S « { x e R / p(x) si q(x) ) - { x e IR / q(x) -► p(x) }

- { x e R / ['v-q(x)] v p(x) ) » { x c R / x c B* U A }

« 8‘ U A « [0, “ > U ( <- °> • -1 1 U <0, »> )

“ <- “ . -1 ] U [ 0, «■> .

x ♦ I x|PROBlEMA Resolver la 1necuac16n: ----------- < 2 .. (a)-------- 1*1 -

SOLUCION: (a) ^ j j j j L Ü l l < 0 (*j1*1 - 1 * 1

a) Para x e [0, <»> ■ Ax , (*) se convierte en :

< o ____ 1 , 1 < o .x - l x l x - I x l

Cap.B Números Reales 115

y coa» [[<]]< x • ¥ x e R . y H x l - x , ¥ x e Z , entonces

- - < 0 [[ x 3 < 0 - x i Z «=»•* - 1 * 1 x < 1 . x e > - Z

SOLUCION (a): x e <-“ . I> n (R-Z) D At « [0. I> fl (R - Z) « <0, I>

b) Para x e A2 » 0^ x < 0 , | x| » - x :

[[ x I < x =o> [[*1 + * í 2x < 0 ‘ = > [[ x I ♦ x < 0 ,M x e 0> . Asi, de (a) :

— < 2 < ^ > 0 < 2 -(* + 11*1)

lo cual es VERDADERO . PARA TODO x e Az • <-• , 0> .SOLUCION TOTAL : (a) v (b) : x e <-“ , 0> U <0, 1>-».

8.13 EJERCICIO.- Resolver: H / x - H x II ]] » o .

SOLUCION. £omo o < x - f f x l 0 < /x - I x l < 1 «=» 0 < x-ffxl <1

lo cual es VERDADERO, pjra todo x REAL. Asi, C.. » R .

8.14 EJERCICIO.- Encontrar el conjunto de valores que puele tomar:

II 1 . si x e <-2. I ] .

SOLUCION: SI x e <-2, 1 ] . entonces -2 < x < 1

-1 < -x < 2 < = > 1 < 2 - x < 4 <-=» - < ^— 5 < 2 ==*2 2

[[ --- - ]] » 0 6 1 . Ademís ,2

I 1 - 0 si | < < I « x e < 0. I]

I 1 - 1 si I < < 2 x e <-2. 0] .

8.15 Ejercicio.- Resolver: II 3* * 2 l < .x - 1 3

SOLUCION: Equivalentemente,

„■ 3x + 2 „ , . 3x ♦ 2 , 5[[ ----— J] < 4 , y como ----— ■ 3 + ---- , entoncesX - I X - I X - 1

116 Máximo Entero Cap. 3

II II - 3 * |T — II < 4 « = * & -5- I < 1 < = ~X - 1 X - 1 X - 1

-5- < 2 (por el TEOREMA [8.6] (1) ) *■ < 0 «=#►x- I x- 1

> 0 x e < — . I> U < 7/2, -> - C.S.x - 1

8.16 EJERCICIO«- Resolver: [[3x1 “ x + 2 .

SOLUCION: u : x + 2 e Z ( <s=» x e Z ) .. (a)

Luego, U » Z (Universo) . dentro del cual resolvemos:

([3x]] “ x + 2 < = > x + 2 < 3x < (x ♦ 2) +1 - x e Z«==> x > I - x < 3/2 - x e Z<*=> x e [1. 3/2> n Z * { 1 ) ■ C.S.

Por lo tanto, x ■ 1 es la Cnica solución.

OTRO METODO.-[[ 3x 1 * x + 2 r * x + 2 » n e Z - n < 3x < n + 1

(y como x * n-2:) n < 3n-6< n + 1 c

2n > 6 - 2n < 7 «==» 3 < n < 7/2 , n e Z==> n ■ 3 ==> x » n-2 « 1 = > x » 1 .

8.17 EJERCICIO.- Resolver: 1 * 1 > */2 .

SOLUCION: ^ x j > ^ ^ [0. 1 > (i porqu6 ?)

¿i) x e [1, “ y = » x e [n, n + l> , n > 1 , n e Z

= > 1 * 1 ■ » * ; e [ i . .. (*)

n+1 , ___ . , ,y como — — £ n ¡ ' n > 1 , n e Z , entonces cono es

tamos en los n > 1 , de (*) :

í < ül i < n * ([ x 1 « | 

xjLLL) x e , 0^ : x < - pues x es negativo .. (**) .

Pero x > [[ x 1 > ^ =^> * > f (Contradicción)

Luego, Solución (¿¿c) : ♦ .

Por lo tanto, de (-i), (¿t) y (<-c¿) : SOLUCION GENERAL: x e [1, .

8.19 EJERCICIO.- Resolver: a) n; x2 - 8 i > i . c) II x2 J < 8

b) [[ x2 - 1 I < 22/9 .

SOLUCION: Por ser el MAXIMO ENTERO un entero, entonces :

a) I x2 - « I > 1/3 « = * [[ x2 - 8 I >1 « = » x2 - 8 >1

<=*• x2 > 9 > x e <-*. -3 ] U [ 3. «■> - C.S.

b) II x2 - 1 I < 22/9 « = * I x2 - 1 1 < 3 x2 - 1 < 3

<=*• x2 < 4 « = * x t <-2. 2> - C.S.

8.20 EJERCICIO.- Expresar A cono combinación de Intervalos:

A - 1 x2 |[ 3x-l 1 / x c <0. 1> }

SOLUCION: x c U - < 0 . 1> :

0 < x < 1 > 0 < 3x < 3 «==» -1 < 3x-I < 2

I 3x-l I e { -1. 0. 1 }

a) fl[ 3x- 1 IJ - -1 a i a x c [0, 1/3 > (resolver) . y qje Inter-

sectando con U : H 3x-l ]] - -I . ¥ x c <0. 1/3 >

x2 1 3 x-1 ]] - -x2 e <-1/9. 0> , V x c <0, l/3> ... (a)

b) IE 3x — 1 ]] — 0 s : x c [1/3, 2/3 y (resoler) , y que 1n -

tersectando con U: I 3x - 1 ]] » 0 . ¥ x c [1/3 . 2/3 > — =>

x2 l[3x-II - 0 c { 0 J . ¥ x c [1/3, 2/3 > ... (B)

c) H 3x-l ]] - 1 c ■ ií x c [2/3, 1^ (resolver)

x2 C 3x- 1 1 - x2 e [4/9. 1> ... (y)

De (a). (B) y (y): x2 l[3x-l]] c <-1/9, 0] U [4/9. 1>

= * A - <-1/9. 0] U [4/9. 1> .


1. Demostrar que: a) ff-x ]] - - II x ]] x e Z

b) H -x I - - H x J - 1 ¡ : x </ Z

c) I x ♦ IIxI I « 2(1x1

d) E x + y l > IIxI ♦ Ilyl

118 Máximo Entero Cap. 3

-e) a II a 1 í 1 * 1

2. Resolver: a) ff2*-ll ■ -1 , d) ([ x_ *— J - 0 ,2/* - 1

b) II 1 - 2 e) 1 1 3 * U - 2* + 2

c) E 3* I « 2* + 2 . SUG (c): 2* + 2 - n e Z

3. Resolver:

a) ^ "*J ' 2 > 0 b) 3 < 06 - | I * I 3 - II *2 I

4. Hallar el conjunto de valores que puede tomar: ?* ♦ 5 „11 * + 3 U *

para * en: a) [0. 6] b) [-17/6. 0] .

5. Htlljr el conjunto de valores que puede tomar: n- * ni I , *|*| + 1

para * e a) , 3> . b) <-« , -1/10> .

6. Demostr r que: 1*1-2a) I — — — I ■ -1 . para * c <-1. 1>

b) 1*1 i /ll*3 l

SUG: I*3 I « n <==> n < *3 < n + 1

*=> V ñ < * < |* |

7. Demostrar qu¿ si n e Z+ , entoncesa) H n * I - n H * ] ] c { 0 . 1 . 2 , .... n - l > .

P ( P * 1) Vb) I n * ] ] - n l I * I - p < = * * e [ k + - , k ♦ — -—

donde p ■ 0. 1. Z, 3 , ... , n-1 , para todo k c Z .

8. Resolver:

a) I »*-1 1 > 0 c) I*2 - 1 J < 0

b) c *2 - 1 B > 0 d) ü *2 - 4 I < 0

9. Resolver: . í»a) II I < 2

b) I *2 -4*-2 I < 19/2 ...

Cap. 3 Números Reales 119 -

10. Resolver:a) (I x + 1 I > |x| , f) I x 2 ]| < 8 ,

b) 2 d x J ♦ H x - 5 U > 7/2

d) E x2 - 2|x | - 16 1 > 50/7 e) | [[ 2x J - 1 | < 3

11. Expresar el conjunto A como combinat:iCn de Intervalos :

hallar A' A (BUA).

CLAVE DE RESPUESTAS

2. a) [0, 1/2> , b) [5/7, 8/9> . c) x - " , x - 5/2 ;

d) ( [0, l/4> U [1, »> ) D <1/4, 4> - [1. 4>e) x - 2 , x - 5/2 ; 3. a) <-« , -2] U [7, - > ,

3. b) <-~ , -2] U [2. 3> U <9, -> ; 4. a) { 1 ) ,4. b) { -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 ) - [-4, 5/3] D Z .

5. a) { 0, 1, 2, 3, 4 ) . b) { 0, 1, 2, 3 )

8. a) <-«, -1] U [1, -> . b) <-=> . -/2] U [ /2 . - >

c) <-/2 , /2 > , d) <-2, 2> .

9. a) <-~, 0> U< 5/ 6, ® > . b) <-2, 6 >

c) <-“ , -3> U [2, - > , d) <2, 3> .

10. a) [0. » > , b) [3. »> , c) [1, 229/4> ,d) < — , -6] U [6, »> . e) [-1/2, 2> , f) <-3, 3> .

11. A - <-2, -1> U { 0 } U <0, 3> U { 3 >12. Universo para A : U » [-7, -2] = » A » [ -7 , - ] ;

A - { x2 - H | x - l | t 2 1 + E x I / x e <0, 2] }

12. Si A - { x e R / / 1 2x- 1 | - 13x + 6 | < ✓ | 4x - 2 | - |x-8|' }

B - ( x e R / I I • 0 1

4

120 El Supremo Cap. 3

9. CONJUNTOS ACOTADOS

Existen conjuntos de números reales cuyos elementos tienen la característica de no «ex mayoxu que un cUeAto valon. conitante. , tal cooo ocurrí! con los elementos del conjunto

A » <-“ , 6>

con utipecXo al valox conitante 7 , por ejemplo ; como se ve en la figura.

9.1 DEFINICION.- Se llama COTA SUPERIOR de un conjunto A de nGmerosreales a todo número real c tal que

x < c , ¥ x c A .

Es decir, cuu’ouler número que sea mayor 6 igual que todos los elementos deA , se llama COTA SUPEKJOK DE A .

Cuando A tiene alguna cota superior, se dice que el Conjunto A u t i ACOTADO SUPERIORMENTE. Para Ilustrar estas definiciones , ti mareros el conjunto A • <-« , 6) y una de sus cotas superiores c ■7 .

COTAS SUPERIORES DE AA ----------------------- *■

i O --------- 1--------- 1-------* 6 7 8 IR

r

Notantes que cualqwitAa de lo¿ númviot hw JIxa wyoKU qus. 6 , e inclino 6 , es también cota superior de A , en particular c " 6.5 , c - 7 , c - 8 ,

De todas estas cotas superiores de A , el número 6 la mino* , como ser! demostrado luego.

9.2 DEFINICION.- i la menor de las cotas superiores de un conjunto Ade números reales, acotado superiormente, se le llama SUPREMO (6 U1IJ1UA COTA SUPERIOR) de A , y se denota tup (A) .

9.3 Obse rvaciones.-1) El supremo de A es tanblEn una cota superior del conjunto A .2) Esta menor cota superior esti caracterizada por la condiclfin siguiente

que es equivalente a la DeflnicICn dada:

I c B ¿upuvno de A c— a ¥ x c A , y para toda cota superiorc’ ae A, se tiene: x < c < c* .

Cap. 3 El Supremo 121

3) El supremo de un conjunto A, si existe, no u neceiafUamejite un elemen

to de A , como es el caso de A « <-<» , 6^ cuyo supremo (que es .1gual a 6) no pertenece al conjunto dado A .

La existencia del SUPREMO para conjuntos acotados superiormente esti asegurada por el siguiente axioma, con el cual completamos el SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES en lo que a sus propiedades respecta.

AXIOMA DEL SiPREUO 6 AXIOMA DE LA MINIMA COTA SUPERIOR .-

Todo conjunto A de números reales, no vacio y acotado superiormente, tiene una mínima cota. tupt/Uo/L en IR .

9.4 EJERCICIO.- Demostrar que si A - . 6> entonces ¿up A » 6.

La prueba seri hecha por neducciSn al abiuJido :Supongamos que 6 no es la menor cota superior de A, entonces se puede asegurar que existe una cota suptrlor c- de' A tal que c < 6 . y puesto

*,ue c + 6 , , c + 6 ___ .c < — — < 6 , tomando *’ - — — = » c < *' < 6 .. (*)

de donde *' e A ■ , 6} . Pero siendo c i ota tupejiion de A , deberla tenerse x' < c , contradiciendo a (*). La suposición resulta absurda, y por lo tdn¿o, efectivamente: 6 » ¿upiemo de A » aup (A) .

9.5 DEFINICION.- Se llana COTA INFIRIO); de un conjunto A de números reales a todo nCrero real c tal que

x > c , V x e A

9.6 EJEMPLO.- SI a » [4, 9> entonces c • 1 es una cota ¿n£e-

iUox de A .

SI para un conjunto A existe alguna cota Inferior, entonces se dice que A estí ACOTADO 1KTEK10RUEKTE , en cuyo caso siempre es posible en contrar ta mayo* de. ta¿ cota¿ ¿niejUenti a la que se le denomina como el INFIMO DE A 6 también LA HAVOR COTA INFERIOR VE A . y se le denota por ¿ni (A) .

122- E1 Supremo Cap. 3

9.7 NOTA.- El INFIMO de. un conjunto A está caracterizada por la con* dlción:

c • INFIMO de A «==s> -V x c A , y para toda cota Inferiorc* de A , se tiene que:

c' < c < * .

Con respecto al intimo de un conjunto de números reales, se pueden hacer observaciones análogas al iupiaru , con» por ejemplo, que eJL INFIMO puede no í v l eJt~~wjvtc d't conjunto dado .

Además, cono consecuencia del AXIOMA PEL SUPREMO se puededemostrar que:

"SI A es un conjnnto no vacio de números reales, acotado *n£vUo/unente. , entonces A posee una MAXIMA COTA INFERIOS (6 INFIMO} en IR .

9.8 EJEMPLO.- El coijunto A • [-1, 8> está acotado superiormentepor f I número 9 e inferior-mente por -2 . Además, laIÁA.VO COTA INFERIOR es -1 , y la MENOK COTA SUPERIOR es G . Por lo tanto,

sup (A) » 8 , Inf (A) » -1 .

En este caso vemos que: sup (A) i A , peroInf (A) c A .

Cuando jara un conjunto A , resulta que sup A e A entonces al SUPREMO DE A se le llana el MAXIMO DE A , y si el inf A e A , enton

ces al INFIMO DE A tantlén se le llama el MINIMO DE A .

9.9 DEFINICION.- Se dice que un conjunto A es AC0TIPO si A estáa la vez acotado superiormente e inferiormente.

9.10 Ej e m p l o .- El conjunto A » <2, 6 > U [50, 60] es ACOTAPO , ysup (A) » 6D , Inf (AJ * 2 .

9.11 Ejemplo.- El conjunto <-“> , -2 ] u < 3 , -> no está acotadoni Inferiormente ni superiormente.

A continuación presentaremos el inmortante PRINCIPIO ARQUIMEDIAND.

Cap.3 El Supremo -123-

9.12 Pri ncipio Ar q ui m e di a n o

S¿ x te un núme'LO nxat potÁXLvo entónete exZile

un ntmtAsi NATURAL n„ tal que10 < — < * no

(6 equivalentemente, tal que n0 x > 1 . )

r*?UEBA.- Suponiendo lo contrario, se tiene que nx < 1 , V n c M .luego, el conjunto A * { nx / n c M } esti acotado supe -

rl orinen te al menos por c » 1 , y por el Axioma del Su.piuyr' el conjunto A posee una MENOR COTA SUPERIOR c en R , que satisfice la condición

nx < c < 1 , - V n c M

pero siendo x > 0 entonces c-x < c , y por- lo tanto c-x nopuede ser cota superior de A , ya que c es ta mero*, de todm elOu. Lúego, existe un elemento de A : de la forma ntjx , con m^ c N . talque

c-x < n^x < c ... *)

(pues si esto no fuese cierto, se tendría que: n x < c - x , -V nx t A= * c-x serla cota superior de A , lo cual es falso ) . Entonces

(*) = * c < («íj +1) x c < mx , con n ■ («i| +1) c H ,

lo cual es un absurdo, pues Siendo c • sup \\) , deberla tenerse que mx < c .

De esta manera, el Principio queda probado, por reducción al absurdo.

9.13 EJEMPLO.- Probar que el conjunto A » { x / x • — , n c M }nes acotado.

SOLUCION: Encontraremos ademSs, el Supremo y el Infimo de A , ubicando los elementos de A en una recta:

Para x « - , n e H : tomo - V n c M ,nn > 1 ==* 0 < x - i < 1 (*)n '

y conforme n crece, los elementos de A van acumulSndose a la derecha del

numere 0 acercándosele pero sin coincidir con 0 para ningún n e M . De esta observación vemos que:

sup (A) - 1 ( e A ) , Inf (A) - D { i A ) .

PRUEBA FORMAL % QUE Inf (A) - D :

De (*) se v16 que 0 es una COTA INFERIOR ; si no fuese la MAYOR existi ría otra cota Inferior c mayor que 0 , y por el Principio Arqulmedlanose tiene que existiría un núi ero n„ c K tal que ^ < _1_ <

"o

lo cual es absurdo, pues — e A y siendo c cota Inferior de A de -"o

bería cumplírs«. que: j, c < — , generSndose una contradicción.

"o

De esta manera, 1nf (A) • D .

9.14 EJERCICIO.- SI a y B son dos conjuntos de números reales, novacíos y acotados superiormente, tales que A c B , probar que:

iup A < tup B .

SOLUCION. jean a m ¡ up f m sup b t entonces ¥ x e B, * < b

y como A c B , se tiene que M x e A, * c A = » * e B* < b ,

lo que Implica que b es una cota inferior de A . Luego,

-V x e A : * < a < b , pues a es una cota superior de A , y esademis la MENOR de todas las cotas superiores de A .Asi, hemos demostrado que: a < b , es decir, que: sup A ------ -- - ------- • -i . 6 [ --- ]3 - 2n 2n - 3 2n - 3 2n - 3

y la última expresifin (entre corchetes) se acerca al valor 0 conforme n aumenta ilimitadamente, de manera que los elementos de A se van acumulando

alrededor de -1 de la siguiente nanera:

n - 2 n ■ 3 n » 4

l l

,n * 1

-4-H-7 -3 11

5- 1 0 1

De esta representación grSflca podemos ubicar al SUPREMO (A) • 5 , y alINFIMO (A) * -7 Como ambos son elemento? de A (en este caso particular), entonces MAX (A) ■ 5 . MIN (A) • -7 .

9.16

Vearos a continuación otra caracterización del

TEOREMA.- Sea A c R , A t ♦ , y acotado superiormente. Entonces

1) ¥ * c A , x < c ,

c - SUPREMO VE A < = > 2) * c > D , 3 - * 0 c Atal que

c - e < *0 < c .

(«xnétrlcamente, esto significa que PAR« CUALQUIER distancia, e > 0 qu< se considere, por mis pequefid que sea, i.nton

ces entre los puntos c - e y c ¿iempte u po*> .< It halLaji un ciernen -to xc (al menos uno) del conjunto A . Este elemento x0 de A puede

coincidir con c .

i----- e ---- i

c - e ci i

----------------- ------ o-----*— ------•-------- ---------x x„ e A

PRUEBA ( = & ) SI c * SUPREMO de A , entonces c también es una cota

superior de A : ¥ x e A , x < c ...(*)

además (por reducclfin al absurdo) supongamos que 3 e > 0 /

V x e A , x < c - e , esto Implicarla que

c - e serla una cota superior de A, lo cual es absurdo pues c es ta

menoJi de todat tai cota* ¿uptAÁjon.eJ> y porque c - e < c .Por lo tanto, como la suposlclfin original resulte FALSA, ello quiere decir que:

V c > 0 , 3 *0 c A / c - e < * o y x„ < c . por (*) .

no u la mtnoK cota hupvUon dt A , entonces sea c* - sup (A) , cuya existencia esti asegurada por el AXIOMA DEL SUPREMO, y siendo c' la menor de las cotas superiores de A , entonces c* < c

Por (2) , dado e ■ c - c' > 0 en particular, entonces ex1¿ te (al meno. ) un elemento x0 e A tal que

c* - e < *0 < c* = ► c-(c-c') < x0 < c

lo cual es atsurdo, pues x„ < c' , por {**) . Como se ha generado una contradicción, entonces la suposlclfin hecha no procede, y por lo tanto. c si viene a ser la MENOR COTA SUPERIOR VE A .

) (1) implica que c es una cota superior de A . Supongamos que c

V - t e A , x < c* < c .. (**)

9.17 TEOREMA.- Sea A c R , A ¿ , y acotado Inferlormente, y c un número real. Entonces

1) * x e A , x > c ,

c • INFIMO VE A «=«<• 2) ¥ c > 0 , 3 x„ e Atal que:

c < Xo < c + e

e

cH--------- O—x,, e A c + e x e A

9.18 De f i n i c i ó n.- 1} Se llama MAXIMO DE A . y se denota wax (A)al Supremo de A cuando éste es elemento de A .

2) Se llama MINIMO DE A . y se denota mcn (A)al Infimo de A cuando Sste es elemento de A .

Es decir.c ■ m x (A) * sup (A) c ■ min (A) * Inf (A)

c c A c c A

9.19 EJEMPLOS.- a) Dado el Intervalo A » < 2, 6] entoncessup (A) * 6 * nax (A) , pues 6 e A ,Inf (A) • 2 . A no tiene MINIMO pues 2 i A

b) Dado el conjunto B ■ [2, 4> U } se tiene:

sup (B) “ max (B) • B , pues 8 e A ,Inf (B) • mln (B) » 2 , puf.* 2 e A .

9

9.20 EJERCICIO.- Determinar el Supremo y el ínfimo, si existen, de

a)

b)

c)

d)

e)

A

B

C

D

{ x c R /

í * e R /

x - 4x - 12 < 0 }

-x2 + 2x-2 > 0 }

{ x - 4x - 12 /

{ x2 - 4x - 12 /

« e R - <-«

x e <-5, 3]•> )

}

SOLUCION

a)

E - { x e [-4, 6> / x - 4x - 21 < 0 }

o : A ” < - 2 , 6> . Luego,

b)

c)

d)

(x-l)2 + l < 0

B

x2 - 4x - 12 • (x - 6)(x + 2) < 0 sup (A) - 6 , Inf (A) - -2 .

-x2 + 2x - 2 > 0 «=—*> x2 - 2x + 2 < 0

[que no tiene soluciones reales] o :Coa» B es vacTo. no tiene sentido hablar ni del supremo ni del Infl mo.

x2 - 4x - 12 - (x - 2)2 - 16 > -16 , ¥ x e R • <-“ ,“ > ;luego, C • [-16, . Asi, sup (C) no existe, Inf (C) - -16.

x c <-5, 3] ^ -5 < x < 3

0 < (x-2)2 < 49 <-7 < (x - 2) < 1

-16 < (x-2)2-16 < 33Cuno x2-4x-12 » (x-2)2 -16 entonces D» [-16, 33>

Luego, sup (D) - 33 , Inf (D) ■ -16

e) Siendo x2 -4x-21 - (x-7)(x + 3) < 0 «=*> xc [-3,7],entonces E « í x e [-4, 6> / x c [-3, 7] }

E - [-4, 6> fl [ -3, 7]E - [-3. 6>

Luego, sup (E) ■ 6 , Inf (E) • -3 .

9.21 TEOREMA.- SI a > O, b > O, deir-strar que existe un entero positivo n e M tal que 0 < b < na .(Ver el Ejercicio Propuesto [9] ).

9.22 Pr i n c i p i a üel Bu e n Or d e n a m i e n t o.-

Todo cc.'junto no vacio de nCmeros naturales posee un menor i'lement}, en dicho conjunto.

Por ejemplo, sea S - { enteros positivos múltiplos de 4 y 6 a la vez >- { 12 . 24. 36 . ... }

entonces 12 • menor elemento de S , 12 e S .

9.23 TEOREMA .- Para cualquier x e R . existe un Gnlco entero n

u ' ql*e n < x < n + 1 .

(Este Teorema taablén es llamado el TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL MAXIMO ENTE310 DE UN NUMERO REAL ).

PRUEBA;

a) Existe p. q e Z tal que p < x < q . En efecto,- si x > 0 : haciendo a » 1 en el Teorema [9.21] existe un en

tero positivo q tal que: p ■ 0 < x < q .. (*)- si x • 0 : sea p » -1 . q » 1 . entonces p < x < q .- si x < 0 : (-x) > 0 . y por (*) existe un entero positivo al

que denotamos por (-p) tai que

0 < (-x) < (-p) < = > p < x < q - 0 .

b) Sea S > { ■ c 3 / x < p + m } . entonces S i ♦ , pues m » q - p c S ya que p < x < p + m * p + (q - p) » q ;Por el Principio del Buer Ordenamiento [9.22] se concluye que el con-

junto S tiene un pienor elemento n0 en S , es decir:

* m ¿ S , y por

lo tanto p + n < x Inclusive para n » nc - 1 == > p + (n0 - 1) < x .. (6)

Sea n + 1 ■ p + nc . entonces, de (a) y (B) :

n < x < n +1

La prueba de la unicidad se deja cono Ejercicio.

9.24 Teorema ( existencia de un racional entre dos reales )

Para cualquier par de números reales a y talesque a 0) :

O < < (b-a) , para algún n e M .. (*)

Por el Teorema anterior, existe un nterc m e Z tal que:

m < an < m+1 - < a < (a)n n

=*■ -— - < a + - < a + (b - a ) « b , por (*)n n

in+1 i \= * a < --- < b ... por (a)n

y como (m+l)/n es un númeio naxUonat , elegimos r * («i+l)/n , con lo que concluye la prueba.

9.25 Ej e r c i c i o .-

I) Sin utilizar extracción de raíces, hallar:a) un número real x entre /!3 y /TT .b) un número entero x tal que -5 /3 < x < -3 / ? .c) un número racional q entre /ltT y /TT .

II) Mostrar mediante un cortraejemplo que la siguiente afirmación es falsa

"Si c es una cota superior de A c R , A t ♦ , entonces 2c

es también una cota surerior de A * .

SOLUCION: I) :a) Sea x - ( /1Ó + ✓lí )/2 = * /ló < -x < /lí , x c Rb) -5 ✓! < x < -3 /2 =*> 3 ñ < -x < 5 /3 = * IB < x2 < 75 .

2entonces si se elige x como cualquiera de los cuadrados perfectos en tre 18 y 75 cono*2 - (-x]2 - 25. 36. 49 6 64 =*• -x - 5. 6. 7 G 8 .luego. x e C.S. ■ { -5. -6. -7. -8 > .

c) Como para todo a 10 < 21/2 < 11

= » 10 ' [ 10 + ( 21/ 2 ) 3/2 < 21/2 < 11

— i* 10 < U/4 < 11«=» 10 < [ 10 + (41/4) 3/2 < 41/4 < 11

— i* 10 < 81/8 < 11 10 < — < 1116

ñero — < < 11 » , donde 169 es un cuadrado perfec.^ 16 16 16

— 10 < i ® < 11 = ~ /lo < i? < /Tí .16 4

Por lo tanto, una solución para q es q * 13/4 .

II) Sea A • { -6 , -5 . -4 ) entonces c - sup A - -4 . 2c - -8 .y cono -8 es menor que cualquier elemento de A . entonces 2c (* -B)no puede ser una cota superior de A .

9.26 Ej e r c i c i o .- Sea 3n + 4 - (-i)n+2 n . ,* ,A » { --------5— ------ / n e Z+ }

n + (-l)n +1

Demostrar que A está acotado, y hallar (Inf A + sup A) .

SOLUCION: A - At U Aj , donde Aj es la parte de A correspondiente

a n Impar , n e Z+ . y A2 corresponde a n par . n e Z+ .

Para A1 : n e { 1, 3,5, 7, ... } , los elementos de A son:

3n + 4 + n a j 4 8 , si n 1 1------- • 4 + — ■n n 16/3 , si n » 3

• 24/5 , si n ■ 5

y cuando n crece en forma Impar Ilimitadamente, la expresifin 4 + (4/n) se acerca a 4 en forma decreciente, sin tocarlo. Luego, sup Aj * 8 e

y Inf ■ 4 i .

Para A2 : n e { 2, 4, 6, ... } , los elementos de A son:

3n + 4 - n 2(n + 2) _ A „ , _ . , ,------- ■ — ---- - » 2 , constante V n e { 2, 4, 6, .. >n + 2 n + 2

= & A2 » { 2 > . Luego sup A2 M 2 , Inf A2 * 2 . Asi,

sup (A) - inax { sup (Aj) , sup (A2) > - max { 8, 2 } * 8

Inf (A) - mui { Inf (Aj) , Inf (A2) } « min { 4 . ' 2 } = 2

Asi, hemos demostrado que A está acotado, y además: Inf A + sup A - 10.

9.27 TEOREMA.- Sea A un conjunto acotado. SI denotamos por kA alconjunto kA ■ { kx / x e A } , demostrar que:

a) k < 0 = > sup (kA) ■ k Inf (A) , Inf (kA) « k sup (A) .b) k > 0 = > sup (kA) » k sup (A) , Inf (kA) » k Inf (A) .

PRUEBA: (b) es anSloga a (a), y quedará como Ejercicio,

a) Sea c * inf (A) , entonces¿) c £ x , V x e A ( = » c es una cota inferior de A )¿l) Para todo c > 0 , :1ste un elemento x„ e A tal qi-e-

c < x„ < c + eComo k < 0 , entonces : (¿) ==> kc * kx , V x c A ,=a» kc es una cota superior de kA .

Sea d « kc , entonces kA está acotado superiormente por d .Solo falta probar que: d • sup ikA) : en efecto,

(¿t) ===*► si e > 0 , enton-es para c' » c/(-k) > 0 existeun x„ e A tal que: c < x„ < c + e1

«=*• c < x„ < c - (e/k)«=s> kc > kxr > kc - e . pues k < 0«==> d-e < (kxc) < d

Es decir, que dado c > 0 , existe un elemento de kA: kxc , tal

que d - e < kx„ £ d

Por lo tanto. sup (kA) « d * kc ■ k [ Inf A] , para k < 0 .De esta misma forma también se pu^de probar que: para k < 0 .

Inf (kfl) = k sup (A)

9.28 COROLARIO.- Sea A un conjunto acotado. Definimos el conjuntoB - { -x / x e A } . Entonces,

sup (B) ■ - inf (A) , inf B * - sup (B) .

SOLUCION: Hacer k = -1 en (a) del TEOREMA [9.27] previo.

9.29 Ejercicio.- sí a - { x E r / 151x- 31 < /9-x2 (x + 2)2 } .demostrar que existen el supremo y el Infimo de A , tales que:

-2 £ inf A £ sup A £ 3 .

SOLUCION: Universo U: 9-x2 > 0 = > U - [-3, 3] . Luego,-3 < x < 3 x-3 > 0 y -1 £ x + 2 < 5

entonces ----- ----- ,15(3-x) < /9 - x2 (x + 2)z £ /9-x2 (25)

3(3-x) < 5 / 9 - x2 < 5/9 =s- (3-x) < 5= > x > -2 . Asi, considerando el Universo U , y la última desi

gualdad, tenemos que - 2 < x < 3 , V x c A' :• -2 £ Inf A £ sup A £ 3 ,

pues -2 es una cota inferior de A , y el inf A es la mayor. Asimismo,3 es una ccta superior de A , y el sup A es la menor. Note que no hasido necesario conocer exactamente los valores del Infimo ni del supremo de A .

9.30 EJERCICIO.- I) Sea E - { ¡ n E Z+ J . deoiortrar

que E estS acotado, y hallar: inf A y sup A.

2) Sea A * Q D <0, 3/5 y . Hemostrar que A es un conjunto no vacíoy acotado, que inf (A) ■ 0 , y que | sup (A) | « 5 .

SOLUCION:1) n e Z + : haciendo z ■ I n/3 ])/n , como n/3 > 0

Cap. 3 El SupreniO 133

z • - - - - > 0 . ¥ n e Z* ,n

y además, cono para n * l 6 n * 2 : z * ^ ^ « 0 (¿?)nentonces Inf (E) » 0 .Asimismo, para n - 3 k , 3k ♦ 1 6 3k + 2 , k c Z+ U {0 }

« = > ^ - k , k+ i 6 k+ | , k e Z +3 3 3

<==> H n/3 I » k .

Por lo tanto, 0 < — -— < — -— < — » - , ¥ k > 13k ♦ 2 3k ♦ 1 3k 3

=s> 0 < z » E-E/11 0 < x < ^ 5 - x racional :

a) inf (A) » 0 : del dato c * 0 es una cota inferior. Sea

0 < c < ^ 5 , entonces por un teorema, entre0 y c > 0 existe un racional r tal qui

0 < r < e < V 5 = r e A

Se ha probado asi que para cualquier c > 0 , existe r c A tal que 0 < r < 0+e •r c « Inf (A) » 0

b) sup (A) ■ Vi : del dato c * ^ 5 es una cota superior.

3— 3—Sea 0 < e < /5 , entonces entre los números ( /5 ) - c

y ^5 existe un neuUotutl r’ tal que:

0 < 3/5 - e < r* < 3/5 =s» r' e A .

Es decir, ¥ e > 0 , EXISTE r‘ e A tal que

^5 - e < r' < Vi = » sup (A) - 3/5 . .. (*)

Como x « 1 es un númvuo KacÁjonal , y 0 < 1 < 5 (i?) , entoncesx « 1 e A . Asi resulta que A f ♦ (no vacio). Y de (*): |sup A|3 >5.

- 134- E1 Supremo Cap. 3

9.31 EJERCICIO.- Si b < 0 < a , y si definimos el conjunto H:

M » { x c R / b>lx~2b| > 0 } .x- a

hallar, s1 existen, 1nf K y sup M .

Com V x E R . I x - 2b I > 0 , y como b < 0 . entonces

|lC' 2b* > 0 « = > [ — > 0 v x - 2b ]x - a x - a

« = » [ — < 0 v x - 2b ]x - a

« = » x c [0. a> U { 2b ) » H

De aquí, tenemos que: sup M ■ a , inf M » 2b (¿porqué?) .

9.32 EJERCICIO.- SI existen, hallar el Supr-uhu y el Infimo de

A * { 4xt - t2 / 3 x < t < x ) con x < 0 .

SOLUCION: x está fijo (constante) en R" : x < 0 . Denotamos

z» 4xt-t2 - - (t2 - 4xt) » - (t - 2x)2 + 4x2 .. (a)

Además, 3x < t < x < = > x < t-2x < -x

« = » 0 < (t-2x)2 < x2 -x2 < - (t - 2x)2 < 0

« = » 3x2 < 4x2 - (t - 2x)2 < 4x2 z c <3x2. 4x2 ] - A

Luego, 1nf A > 3x2 i A [lo que Implica que A no tiene MINIMO ],

sup A • 4x2 • n u (A) , [ para t * 2x ] .

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS .-

1. SI A y B son dos conjuntos no vacíos y acotados inferlormente talesque A c B . probar que: inf B 5 Inf A .

2. SI A y B son dos conjuntos acotados y diijuntoi , probar que:

a) sup (A U B) > mar { sup A , sup B } (el mayor de los supremos)

b) inf (A U B) « min { inf A , inf B } (el menor de los Infimos)

c) sup (A n B) < ¿ni { sup A , sup B }

d) inf (A n B) i ¿up { inf A , inf B } .

3. Dar un ejemplo de dos conjuntos A y B , mediante intervalos tales que

Inf (A n B) > sup { inf A , inf B }

4. Dar un ejemplo de dos conjuntos A y B , tales que:

sup (A n B) < inf { sup A , sup B } .

5. Dado el conjunto A cuyos elementos tienen la forma:

n2 _+ n + 2 __-- , si n c Z , y — — , si n e Zn + Z n

probar que A no tiene Supremo y que inf (A) - -0.125 .

6. Encontrar el Supremo y el Infimo de cada un de los conjuntos:

. . eos nn „ r 6 + *n , » ,A - { -— / n e M } , B « { — — / n e W }n + 2 2 - 7n

asi como de A A B .

(-l)n7. Sea S « { 2 + — — / n e N } , determinar si S es acota -n’

do. Hallar inf A y sup A , si existen .

8. Hallar el Supremo y el Infimo de los conjuntos:

* / 1_6n / .. i o i 6(-l)n + 8n , „ ,A - { --- - / n e H } , B - { — — ------ / n e N } .3n + 4 2n ♦ 8

9. Si a > 0 , b > 0 . dtii-jstrar que existe un entero positivo ntai que 0 0 .

10. Si A - { — 3— / ÜjJ E Z+ }4 ♦ (-l)n+2 - 3n 2

calcular, si existe, Inf A y sup A .

SUG: ^-5 * k e Z* =s- n - 2k * 3 . k e Z +

= * n í r par > 5 ==s> n E { 5 , 7 , 9 , ... }

11. Dados A » { x c R / - - - < 0 ) , C - ( x e R / — > 0 }x2 - 9 2 - x

y B = { x e R / / ----------- + 2 > 0 } , hallar, si exis/ (x f 2)(4 - x)

136 El Supremo Cap.3

ten, el Suprei o y el Infimo del conjunto 0 • (A - B*) (1 C .

12. SI A es un conjunto de números reales, no vacio, y acotado Inferior -

mente tal que A c <-*» ,0 > y B ■ { x2 / x e A } , denos

trar que B está acotado superiormente, y que: S(jp m

SUG: Siendo c * Inf A , elegir e* - /c^ - e - c , para el ca -so: 0 < e < c2 .

13. Dado el conjunto A . { I _ ( l)n (3n* 1 ) / n c Z* }2 n + 1

determinar si A estS acotado. En caso afirmativo, hallar el Supremo y el Infimo de A .

14. Encontrar tres números enteros n tales que: 12/2 < n < 11/3 ,sin utilizar extracclfin u ratees cuadradas.

3 . 3 ——15. Hallar dos nümeros racionales q tales que: /20 < q < /21 ,

sin utilizar extraccifin de raíces cúbicas.

16. Hallar el Supremo y el Infimo, si existen, del conjunto:

A » { t2 - 2tx - 2x2 / -x < t < 2x } , con x c R * .

SUG: x estS fijo (constante) en R * , y t esti rarlando :

t2 - 2tx - 2x2 • (t - x)2 - 3x2 c [-3x2 , x2> .

17. Sea A un conjunto de nümeros reales, no vacto, acotado superiormente,y sea k un número real fijo. Si B * { -i + k / a c A } , demos trar que: í ) B tiene Infimo

¿i) inf B * (- sup A) ♦ k

18. Sean A y B conjuntos de números reales positivos, acotados superiormente, y C ■ { z / z • x-y x e A , y c B } . Demostrar que C esti acotado superiormente, y que sup C • (sup A)(sup B) .

19. Sea n c Z+ - { -3 } . ¿Existe un mínimo valor de n tal que:

— S — sen — ? . En caso afirmativo, hallarlo, n + 3 4 3

20. Sea A un conjunto no vacio y acotado de números reales tal que :Inf A > sup A . Dadas las proposiciones siguientes , ¿ cuáles sonverdaderas 7 :

a) Inf A i A 6 sup A es una cota inferior de A .

b) A no tiene elemento mSxImo y A tiene un solo elei lento.

SUG: Pruebe que Inf A ■ sup A , y que A es unitario.

21. SI A * { x e R / |x- | < 5b } f hallar sup A, si existe.

asi como inf A .

b I5! I 2 ' ' ' 2

Clave de Respuestas

3. A * [2. 3] U [5. 7] , B ■ <4. 6>4. A « [2. 4> U <6. 8> . B - <3. 5]6. sup A - 1/4 . Inf A * -1/3 . sup B ■■ -4/7 . inf B • -2 .

sup (A A B) - 1/4 . inf (A A B) - -2 •pues, en este caso: A A B - A U B .

7. Inf A ■ 1 * min A , sup A • 17/8 • max A .8. sup B - 4 . Inf B » 0.2 , >up A - -5/7 . Inf A - -2 .10. sup A - -19/12, Inf A - -2 .11. sup D » 2 , Inf D * 1 .13. Inf A « -5/2 » mili A . sup A * 7/2 4 A14. n £ { 17. IB. 19 }15. q c { 11/4 . 87/32 } •

16. sup A - x2 i A . inf A - -3n2 c A [ para t - x ] .19. St existe tal n : n » 2 .

OCSI A » { Xo } , conjunto unitario, a) Verdadera . b) Falsa .

21. A » <-9b/2 . llb/2 > * ■■ :• Inf A « • 3b/? » sup iA • llb/2

Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q

138 Introducción al Análisis Matemático

4VECTORES EN EL PLANO

1. INTRODUCCION.-

Este capitulo trata acerca de los VECTORES y describe las - operaciones entre ellos. Históricamente, la adición vectorial fue diseñada - con el fin de poder trabajar con la composición y resolución de fuerzas y velocidades.

La regla del PARALELOGRAMO para vectores fue dictada por la regla del paralelogramo para fuerzas y velocidades en el campo de la MECANICA.

Aquí se presentan ademí.» varias Ilustraciones que indican cóno el Algebra Vectorial puede resolver muchas situaciones geométricas.

2. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS (6 RECTANGULARES)

Este sistema esti constituido por un plano y dos coplas de la - recta real R , perpendiculares entre si, llamadas EJES Dt COORDENADAS X yY respectivamente. El punto de Intersección de estos dos ejes es denominado EL ORIGEN DE COORDENADAS , y coincide con el número ctfio en ambos ejes.

A cada punto P de este plano se le asocia un par ordenado de -números reates P ■ (x, y) donde Y iambos números x como y estSn y ■ # P' (*, yiubicadas en los ejes X y Y , 1irespectivamente, tal como in i

dica la figura adyacente. 0 X X

Vectores 139

Al número x se le llama la fvUmtAa. componente. 6 abiC sL&a del punto P, y al valor de y se le llama la ¿egunda componente, a ordenada de P .

2.1 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Dados dos puntos Pj • (t¡, yj) y P2 ■ (*2. se def ne

datanwi d[Pj, P2] entre Px y P2 por la siguiente relación pitagórica :

d[Pj, P2 ] » / (4 - l)2 ♦ (6 - 2)2 » /9 + 16 - 5

2.3 EJEMPLO .- SI Pj » (-3. 2) y Pj - (1, -5) , entonces

d[P r P2 ] - / [ I - (-J)]2 * [(-5) - 2 ] 2

/ 42 + (—7)2 - / 16 + 49

/65

140 Vectores Cap.1»

2.4 PROPIEDADES DE LA DISTANCIA

W la deflnicifin de ¡Ua& mcml se tfene que

*) dtPj. P2 ] > 0

f') d [ p2* pi * d[P|» Pj J (Propiedad Conmutativa)

c) Para cualquier punto P3 del plano se satisface la siguiente propiedad denominida la DESIGUALDAD TRIANGULAR :

rf[Pj. P2 ] í dt Pt. P3 ] + «Í[P3 . P2 ]

Esta propiedad (c) serí demostrada mis adelante, en la secclfin 8.21.

d) rf C Pt. P2 ] * 0 c = o pi M p2 •

La verificación de las propiedades (a) . (b) y (d) dejamos como ejerciciopara ei estudiante.

3. ALGEBRA VECTORIAL BIDIMENSIONAL

Recordemos que el Producto Cartesiano R x R es el conjunto de pares ordenados de números reales ; es decir.

R x R - { (x. ¡f) / x e R y y c R }

donde la IGUALDAD DE PARES ORDENADOS se define de la siguiente manera.

(a , b ) » (c . d ) «==» a - c y b ■ d

A los el“ entos ríe R x R se les llama PUMOS .

A continuación presentamos dos operaciones entre Puntos de R x R .

3.1 DEFINICION. (SUMA DE PUNTOS DE R x R ).- Dados dos puntos:

a • (a , a2) . b « (bj, b2) , se define la suma + b como el par ordenado

5 + b - (at ♦ bj . a2 + b2 )

Cap.'f Vectores 141

3.2 DEFINICION (MULTIPLICACION DE UN PUNTO POR UN NUMERO).-

Dados i ■ (íj, a2) y r c R , se define el producto ra como sigue.

r á ■ (raj , ra2 ) e R x R .

3.3 EJEMPLO Si i - (3. 5) . b - (6. -2) . hallar 2 1 + 4b .

2í ♦ 4b - 2(3, U ♦ 4(6, -2)» (2x3, 2x5) * (4x6, 4 x (-2) )- ( 6 , 10 ) + ( 24 , -8 )- ( 6 + 24 . 10 + (-8) ) - ( 30 , 2 )

3.4 DEFINICION (ESPACIO VECTORIAL BIPIMENSIONAL F 2 ) •- Al producto cartesiano R x R junto con las dos operaciones definidas previamente se le llama ESPACIO VECTORIAL BIDIMENSIONAL REAL R2 , y sus elemertos (6 puntos} a ■ (aj, a2) ahora reciben ül nombre de VECTORES .

3.5 TEOREMA Sean £ * (bj, a2) , b * (bj, b¿) , c » (Cj, c2) v».cto-

res de R , y sean r y s nCmeros reales , entonces se cumplen las siguientes propiedades

Aj : a + b e R2 (Clausura)

A? : a + b ■ b ♦ a (Conmutativa)

A3 : (i + b) + c • i + (b + c) (Asociativa)

A. : Existe un UNICO elemento 6 ■ (0, 0) c IR2 llamado el ORIGEN 6 elementocero (6 nulo) de R tal que a + 0 11 a .

A este elemento umbién se le llama VECTOR NULO.

Ag : Para cadr vector £ ■ (a , a2) de R2 existe un UNICO vector denotado

por -i en R2 tal que _a + (-i) « 0

donde -i * í"aj» es ^ ama ° OPUESTO de a , 6 también el INVERSO ADITIVO de i .

Mj : ra cR2

: l.i ■ £ , donde 1 e¡ el número real uno .

Dj : (r + s) i ■ r i ♦ s 5

D, : r (a + b) ■ r i + r b

142 Vecrores Cap. 4

D3 : r(s¡) • (rs)¡

PRUEBA. Probarenos la propiedad A^ . Todas las drmás se prueban en forma a- níloga, utilizando los axiomas de los números reales en cada componente. Considerando el vector 5 » (0, 0), para todo vector a • (t^ a2) se tle-

ne que5 + 0 * (aj, a2) + (0, 0) - {dj + 0. a2 + 0)

" ^*1’ a2* " *

pues para todo xcIR: * + 0 • x que es el axioma A^ de los números reales. AdemSs, este vector 0 es el único con esta propiedad, pues si

— 2 existiese otro vector b * (bj. b2) en IR tal que

— * mt v 2a + b * a para todo vector a de R

entonces tonando en particular ¡ ■ 6 resultarla que

Ó + b - Ó .es decir que b ■ 6 necesariamente ;

por lo cual tenenos que el vector 5 es el único con dicha propiedad A4 .

3.6 DEFINICION (RESTA DE VECTORES). Para todo par de vectores i2 - -

y b de R se define la resta a - b corno el vector

a - b » a ♦ (-b)

lo que equivale a restar las componentes respectivas.

3.7 EJEMPLO SI 5 ■ (3. -6) . b • (4. -2) entonces

i - b - ¡ + (-b) - (3 . -6) + (-4. 2) - (3 - 4. -6 + 2)• (-1. -4) .


1. Si i • (2. -3). b - (5. 4). £ . (3. 1). pc - (1. -1) y Pj -(4. 3) , encontrar

a) a + b b) a - b

c) 3i ♦ 4b d) x , si íS ♦ a » 3b

e) Pc + 2(Pj - Pc) f) (Pc + Pj)/2

Cap. k Vectores 143

g) Pc + tá , para t ■ 0, í 1 , ! 2 , i 3 .

2. Demuestre que si t t 0 entonces s i + t x • b tiene la única

solución x • b - sSí

3. Resolver para el vector Incógnita x :

a) 2(0,3) ♦ 8 x - (1,-6) c) 3 [ ¡¡ - (8,-2)] - 6(7,0)

b) -3(1, 3) + 2x • 5(0, -2) + 4x .

4. En cada una de las siguientes relaciones indicar, si existe, el número real r que satisface

a) (3,-2) - r (6, 4) b) (3,-2) - r (-6. 4)

c) r(4. 2) + 3(4, -2) » ¿(6, -3)

d) 2r(4, 6) + 3(-2, 4) - 2(-3, 6) + 4r(2, 3)

5. Hallar los pares de nDneros reales r y s tales que

a) r(3, -2) ♦ s(6, 4) - 5 ; d) r(5, 1) + s(3, 5) • (5, 5)

b) r(3, -2) + s(6, -4) - Ó -, e) r(4, 3) + s(-2, 6) « (4, -57)

c) r(8, -2) + s(-12, 3) - 5 ; f) r(3, -l) ♦ s(-6, 2) - (2, 2)

6. Determinar la abscisa del punto N sabiendo que su ordenada es Igual a 4 y que su distancia al punto N > (1, -2) es igual a 10 unidades.

7. Compruebe s1 los siguientes triángulas son isfisceles y/o rectSngulos, siendo sus vértices:

a) (-3, 4) . (4, 3) y (0. 0) ; b) (-4, -2) , (-3, 5) y (0, 1)

8. Encontrar en el eje de ordenadas un punto que diste 5 unidades del punto P - (-3, 1) .

g. Hallar en el eje de ordenadas un punto equidistante del origen de coordenadas y de (3, -5) .

10. Encontrar en el eje de las abscisas un punto equidistante de los puntos P - (-1, 0) y Q - (7, -4) .

Clave de Re s puestas

1. a) (7, 1) c) (26, 7) d) i - (13, 15) .

3. a) (1/18, -12/8) 4. a) No existe r ; b) r • -1/2 ; c) r - 0 ;

144 Vectores Cap.*»

d) Cualquier número real r satisface esta relación.

5. a) r ■ s * 0 ; b) Todos los r y s tales que r + 2s * 0 .c) Todos los r y s tales que 2r - 3s - 0 .d) r » 5/11 . s • 10/11 ; e) c * -3 , s - -8 ; 6. 9 6 7 ;

7. a) Isósceles y rectSngulc ; b) isósceles y rectSngulr ;

8. (0. 5) ó (0. -3) ; 9. (0. -17/5) ; 10. (4. 0) .

k REPRESENTACION GEOMETRICA DE LOS VECTORES

Todo vector i • (a , a2) puede ser representado geométricamente por una flecha . de la siguiente manera :

Se eligí. <un punto cualquiera P0 a partir del cual se procede primero a un desplazamiento paralelo al eje X en una iiótancMt. <LL/Ugj.da at ,es decir, hacia la derecha si at > 0 ó hacia la izquierda si esque íj < 0. Luego se continúa con un desplazamiento paralelo al ejeY en una diitancia düUeidt a2 , es decir, hacia arriba si a2 > 0 ó hacia abaju si a2 < 0 .

Oe esta manera se ubica al punto de 1 Vegada Pj . La flecha trazada partiendo de P„ y que termina en Pj es la que va a representar al vector a .

La siguiente figura corresponde a la representación del vector £ * (a . a2) para el caso en que a} > 0 y a2 > 0 .

Cap. 4 Vectores 145

Cada vector puede ser representad« por muchas flechas, dependiendo del punto de partida (lo cual darí lugar a un diferente punto de llegada) tal como lo Indican las flechas de la figura 1 todas las cuales representan al mis mo vector ¡ * (a . a2) .

Es asi que cada flecha determina un Gnlco vector ¡ al cual se le pue de representar en cualquier parte del plano siempre que la misma flecha haya sido desplazada de su primera posIcICn 4-út habexU. efectuado ninguna ¡wtcu ¿S

Por esta razén es que a los vectores también se les llama VECTORES LIBRES. Ademls, a cada punto del plano se le puede asociar una únlct flecha que partlendc del ORIGEN llega hasta dicho punto ; tal es el caso del punto R.

Asi, los puntos del plano también representan vectores, los que son denominados RADIO VECTOkES.

4.1 SUMA DE VECTORES

Dados i • (flj, a2) y b ■ (bj, b2) entonces el vector suma á + b - (aj + bj , a2 + b2 ) puede ser representado como siguíí

Se ronsldera un punto de pertlda P0 cualquiera. La flecha que representa al vector a se traza de3.de P0 hasta ubicar al punto de llegada Pjen la forma descrita anteriormente.

A partir de P} se traza la flecha que representar} al vector b ubican do de esta nunera al punto de llegada P2 .

SI desde P„ hasta Pj se traza una sola flecha, ésta representarS al ..

vector a + b , pues tendrá un desplazamiento horizontal total de a} +bj unidades , y un desplazamiento vertical total de a2 + b2 unidades.

146 Vectores Cap. 4

La misma flecha que une PQ con P2 y que representa al vector S + b pudo haber sido construida dibujando primero la flecha que representa al vector } , y a continuación la del vector i dando lugar a la relacICn conmutati

va a ♦ b * b + i asi como a la relaciCn conocida como REGLA DEL PARALELOGRAMO tal como se ilustra en la Figura 3.

4.2 MULTIPLICACION (GRAFICA) DE UN VECTOR POR UN NUMERO REAL

Dado un número real r . también llamado un z&caltvi, y un vector a « (alt a2) entonces el vector

ra » (raj. ra2)

el cual se dice que es el vector r vece¿ á , 6 que es un múltiplo di a ,puede ser representado corno en las figuras siguientes :

En particular el vector -5 » (-«j» -a2) es representado por una flecha del mismo tamaflo que el vector á pero dirigido en sentido contrario.

0 X

Cap.** Vectores 147

*1.3 RESTA DE VECTORES

Dados los vectores á y b . la sta i - b ■ a + (-b) resulta ser la sum del vector á con el vector -b y estS representada en la figura adyacente.

0 X

4.4 NOTA.- Si se considera una flecha que part¿ de un punto P„ y lie ga hasta Pj para representar al vector á y si además se

consideran a los puntos P0 y Pj como radio vectores entonces, por lo ante r.ormei.te expuesto, tenemos que

5 - Pj - P„ = t Pj * Po + 5

Esto quiere decir que para conocer analíticamente el punto de llegada Pj de un vector a teniendo como dato el punto de partida P„ , se toma al punto P„ como radio vector y se le suma el vector a .

Es por esta razún que en el curso de Física es común representar a un vector mediante sus puntos de partida y de llegada en la forma

Además, cada punto P es Identificado con el radio vector OP que parte del origen.

148 Vectores Cap. k

4.5 EJEMPLO.- Para encontrar el punto de llegada de la flecha que representa al vector a * (2, 4) sabiendo que el punto de apoyo (6

punto de partida) es el punto P » (-1. 2) proceden», co"d sigue

=*► Pj * P0 + á - (-1.2) + (2.4) - (1. 6)pi - po

4.6 PROBLEMA.- Probar qub si PQ » (*Q, y0) y Pj * (Xj, i/j) entonces el

punto medio M del segmento que va desde P0 hasta Pj es

igual a : H - | fe, + V •

SOLUCION Puesto que el vector ra tiene longitud |r| vjces el vector aentonces, si a » Pc Pj » Pj - P„ y H ■ Punto Hedió entre PQ y Pj .

1 -

2 3 H

N

4.7 PROBLEMA.- Para todo punto B del plano . demostrar que

AC - ÁB + BC

dor le A y C son puntos del plano.

4.8 PROBLEMA.- Sea ABC un trISngulo y P, Q y R los puntos meOlos de sus lados. SI M es un punto Interior del trISngulo, probar que

KA + MB + MC - MP + MQ + MR A

SOLUCION Como datos tenemos

pH - i BA • | (A - B)

QB - | CB . | (B - C)

RC - i AC - - (C - A)2 2

Cap.*t Vectores 149

Por lo tanto

MA + MB + MC *

« A - M + B - M + C - M- (A - P) ♦ (P - M) ♦ (B - Q) + (Q - M) + (C - R) + (R - H)

- PA + MP + QB + MQ + RC + MR - PA + QB + RC + MP + MQ + MR

* j ( A - B ) + | (B - C) + | ( C - A ) * M P + MQ + M R « MP + MQ + MR .


1. Probar que AB + BC + CD • AD .

2. Si P, Q, R son los vértices de un triángulo, probar que PQ + QR +

+ RO - 6 .

3. Ilustrar gráficamente lasui a ♦ b ♦ c * 0 .

4. Sea á > (2, -1), i = (3, -3); una flecha que representa al vector v«2á - 4b tiene corno punto terminal (5, 5). Hallar el punto inicial.

5. Muestre analítica y grSficamente que existen números r y s que satisfacen la relacifin c ■ r¡ + sb dondea) á ■ (5, 1) , b - (3, 5) , c « (5, 4)b) i - (2, -1), b - (3. 2) . £ ■ (5, 2)

6. Desde el punto A • (-3, 1) se ha trazado un segmento al punto B * (4,-2). ¿ Hasta qué punto es necesario piolongarlo en la misma direccifin pa ra que se duplique su longitud ?.

7. Del punto A - (0, -1) se traza un segmento al punto B • (-4, 3). ¿ Has ta qué punto es necesario prolongarlo en la misma direccifin para que se triplique su longitud ?

8. Hállense los puntos simétricos respecto al origen de coordenadas de lospuntos a) (3, 4) , b) (-6. 3)

Clave de Respuestas

4. (13, -5) 6. (11. -5) 7. (-12, 11)

8. a) (-3. -4) b) (6, -3) .

f

150 Vectores Cap. 4

5 PARALELISMO DE VECTORES

Dado un vector i , su múltiplo r á es un vector queindica la misma dirección que el vector á si r >0, e indica la direcciónopuesta si r <0 , donde la dirección estS dada por la inclinación del vector con respecto al eje horizontal X .

Al representarlos geoi §tr1 cántente, los tres vectores resultan paralelos entre sf, lo cual sugiere la siguiente definición analítica.

5.1 DEFINICION .-

1) Jos vectores £ y b no nulos TIENEN LA MISMA DIRECCION (es decir, elmismo sentido) si i es un múltiplo positivo de b , o sea, si

á * r b para algún r >0

2) Dos vectores £ y b no nulos TIENEN Dir.ECCIONES OPUESTAS (sentidos o-puestos) si a es un múlt'plo negativo de b :

i • rb para algún r <0

5.2 DEFINICION Do' vectores £ y b son PARALELOS (y se de.iota

£ // b ) si uno de ellos es un múltiplo real del otro. Es decir,

a // b s — t [ a * sb ó b » ti , para algún só t e R )

5.3 NOTA.- E1 vector 0 se considera paralelo a cualquier vector £pues Ó » 0. £ , donde 0 es el cero real .

5.4 EJEMPLO.- Los vectores i ■ (1, -4) y b ■ (-2, 8) son paralelos:

b * (-2, 8) ■ -2(1, -4) « (-2) í ; mas aún, por ser

Cap. 4 Vectores 1S1

b un múltiplo negativo de a , entonces á y b tienen direcciones opuestas.SOLUCION Los vectores á ■ (4. 4) y b - (2, 1) no son paralelos,

Kjes si asi lo fuese existiría un número r tal que

a » (4. 4) = rb - r (2, 1) * (2r, r)y de la igualdad de las primeras y de las segundas componentes se tiene que4 « 2r y 4 ■ r , respectivamente, es decir, r * 2 y r = 4 simultSneamente para el mismo r , lo cual es absurdo.

5.6 PROBLEMA.- Dados los puntos A ■ (-4, -1) , B = (3, 2) y C *(2, -2) , hallar un punto D cuyas componentes son positivas de manera que cuadrilStero ABCD sea un paralelogramo.

SOLUCION Existen tres posibilidades para el punto D según la grSflca , puede ser Dj 6 D2 también , pero como las componentes de D deben ser positivas elegimos el que se encuentra en el primer cuadrante.

Y como ABCD debe ser un cuadrilStero entonces el vector ü ■ BD debe ser igual al vector AC , el cual viene a ser una traslación del vector ü ; lúe

9°l BD - AC ==> D - B - C - A

asi que D - B + C - A - (3. 2) ♦ (2, -2) - (-4, -1) - (9, 1)

S.7 PROBLEMA.- Dado un cuadrilStero ABCD se construyen los puntos medios M, N, P, Q de los Tados del cuadrilStero. Demostrar que MNPQ es un paralelogramo.

SOLUCION Según la figura demostraremos que

152 Vectores Cap.1*

- | (BC ♦ CD)

- ± (BA ♦ AD)

- i BA ♦ ¿ ÁD

- MA ♦ AQ - MQ

La prueba de (b) es análoga.

5.B EJERCICIO.- SI A y B son dos puntos cualesquiera del plano, demostrar que BA * - AB .

SOLUCION. BA - A - B • - (B - A) - - ÁB .


1. Hallar el valor de n , si existe, para que el vector (1. m) sea para lelo a : a) (2,6), b) (3,-2), c) (4,6). d) (0,2).

2. Dddos los puntos A • (2, 5) . B - (9, 2) . C - (-3, 4), encontrar unpunto D de tal manera que ABCD sea un pa ra1elogramo.(Tres soluciones)

3. SI a y b son paralelos a c probar que 5 y b son paralelos entresí.

4. SI d ■ b ♦ c y sí b // c , probar que d es paralelo a á si y solo si c es paralelo a a .

5. SI á - (a . a2) y b * (2, -4)/3 tienen direcciones opuestas y si

í2 ♦ a2 ■ 25 , hallar a2 - Sj .

6. Si el vector á ■ (1, IB) es expresado como á ■ x ♦ y donde x H b, y // c y si b - (-1, 4) , c - (2m, 3m) , hallar el vector x .

7. Sea el triángulo ABC tal que AB ♦ BD * (1/3) AC . Si DS // AB , indicar cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas :

I) SD- ¿CB ♦ BA - i

II) DS - (1/3) AB

III) BD - AC - | DS

CA

A D C

Cap. ‘ t Vectores '53

Clave de Re s p u e s t a s.-

1. a) m - 3 , b) m • -2/3 . c) ai - 3/2 . d) m no existe ;2. (-10. 7). (14, 3), (4. 1) ; 5. 3 ✓! ;6. x • (-3. 12) . si m t 0 ; 7. I) V . II) F . III) V .

6. LONGITUD 6 NORMA DE UN VECTOR

Dado el vector á * (a¿, a2) se define la LONGITUD DEL VECTOR á y se le denota por |a| al nCmero :

|á| - /aj + a*

A este nCmero | £ | también se 1«

llama NORMA DEL VECTOR i .

6.1 Ej e mp l o s .-

1) Si ¡ • (3, -4) entonces |S| ■ i (-4)2 ■ 5 .2) SI á ■ (D, 0) entonces |£| • D .3) Sea a ■ (a., a,), sí a f D entonces |S| t O pues si á f (0. 0) en

2 2 "" tonces a f 0 6 sino a2 f 0. luego ax + a2 > 0 y por lo tanto

|á| » /aj + a2 > 0 = » |á| t 0 .

6.2 NOTA. Dados dos puntos P » (*j, y^) y P2 » (*2, y^) en el plano2

n i entonces sq tiene que:

I P1P2 I * * C PI. P2 ] ■En efecto,

I P1P2 I * h*2 * V H - »1* I " /<*2_Jtl)2 + *»2 "»I** ‘ Pl- P2]

6.3 TEOREMA (PROPIEDADES DE LA NORMA DE UN VECTOR).-. • 2

Dados los vectores a , b c R , y r c R . entonces

1) |¡ | > 0 . I*) |¡| * 0 « = * i - 6 .

2) | r 5 | - I r| | 5 J . |-5| = |5|

154 Vectores Cap.4

3) |5 + b| < |a| + Ib | DESIGUALDAD TRIANGULAR

PRUEBA. (1) Se sigue de la deflnicifin y del ejemplo (3).(2) Co»o rá - (raj, ra2) p®ra ¡ ■ (a^ a2) :

|rá| - / (raj)2 ♦ (ra2)2 • /r2 (a2 + a2 )

• /? ~ . /aj + a2 ■ | r|. |a |

(3) La desigualdad Triangular serS demostrada posteriormente en base a la De{Igualdad de Cauchy-Schwarz.

6.4 EJEMPLO Dado el vector á ■ (4, -3), la longitud del vector 3i es

13a| * 315) M 3 / 42 + (-3)2 * 3/25 * 15

y la longitud del vector (-35) es :

1-35| - |(-3)S| - ¡-3).|5| - 3/25 - 15

6.5 PROBLEMA Encontrar el valor de t para el cual el valor de |5| esmínimo donde 5 » (2 - 3s, 1 - 4s) .

SOLUCION

|5|2 - (2 - 3s)2 + (1 - 4s)2 - 25s2 - 20s + 5

- 25[s2 - (4/5)s + 1/5]- 25[(s - 2/5)2 + 1/25]

i¡ i - s / u - f ? * i2

En el radical, la erpreslfin (s - 2/5) siendo un cuadrado es siempre mayoro Igual que cero, siendo ceAo su valor mínimo el cual ocurrir! para s “ 7/5. El vector correspondiente es 5 * (4/5, -3/5) y el valor de |5| es 1.

6.6 VECTORES UNITARIOS

Un vector ü es UNITARIO si su longitud es Igual a 1, es decir, si |ü|» 1.

Por ejemplo, el vector ü ■ ^ (-4, 3) es unitario pues

|ü| ■ if (-«• 3)1 ■ 3)1 ■ | / i * « ) 2 + 32 ‘ I ^ ‘ 1

SI 5 f n el vector unitario G que tiene la HISMA DIRECCION que el vector 5 tiene la forma :

Cap.** Vectores 155

¡i - — ■ l'l Ia I

y el vector unitario v con DIRECCION OPUESTA al vector a tiene la forma :

áv ------H

En la figura adyacente, i * (4, 3) y |á| ■ 5 , por lo tanto ü ■ ^ (4, 3)

y el opuesto v « - i (4, 3) - (-4/5,-3/5) .

Si ü es un vector unitario con una dirección dada, cualquier vector (unitario ó no) que tiene la misma dirección que u tiene la forma k ücon k > 0 (es decir, es un múltiplo positivo de ü), y su longitud coincide con el número k .

6.7 EJEMPLO Dado el vector i » (12, -5) encontraremos el vector unita rio ü que tiene la misma dirección que á , asi como el vector unitario v que toma la dirección opuesta a i,; como

|á | « /l22 + (-5)2

ü * ñ / | 5 | - (12, -5) « ( ^ , -);

/169 - 13 ,

i

13 ' 13’

entonces

á . 12 5.* ---- “ ( " — , — )

la I 13 13

6,B NOTA.- Los vectores unitarios que siguen las mismas direcciones delos semiejes positivos X+ y Y+ se les representa por 1 ■(1, D) y J ■ (0, 1) , respectivamente.

AdemaS, todo vector á ■ (a , a?) se puede expresar en términos de los vecto-

Yres *. y j en la forma :

5 * aji ♦ a2 j ■

Por ejemplo,

(5, 9) • 5* ♦ 9J

(®1’ a2>

6.9 PROBLEMA.- En el segmento AB donde A • (-2, 2) y B ■ (6, 8) encontrar un punto P que distt 4 unidades dt punto A y un punto Q que

¿56 Vectores Cap. 4

diste 5 unidades del punto B .

SI ü es el vector unitario que tiene la misma dirección que AB ■ B - A ■ (8, 6)

donde |AB| ■ 10 unidades, entonces los puntos P y Q segün la grí- flca son :

P « A + 4 ü

Q - B - 5 u

y como ü * AB / | AB | * ^ (8, 6) ■

P - A + 4 ü - (-2, 2) ♦ 4 (4/5,Q ■ B - 5Ü ■ (6, 8) - 5(4/5,

(4/3, 3/5) entonaces

3/5) - (6/5, 22/5) 3/5) - (2, 5)

7 ANGULO DE INCLINACION DE UN VECTOR EN EL PLANO

SI se considera un vicXei unLUuúo u * (u^ u2) y su representación como radio vector, el Sngulo B formadc por el vector ü y el eje X cono en la figura donde B es medido a partir del semieje positivo de las X en ¿¿nt'do ant¿he»UL\¿o. En este caso se puede expresar a Uj y u2 en funclfin de 6 como sigue :

Uj ■ eos 6

u2 > sen 6

y por lo tanto el vector ü como

(eos 6, sen 6)

Esto Indica que para cada vector unitario (uu2) existe un único Sngulo 6 ,(0 < 6 < 2» ), tal que ú

1 *(eos 6, sen 6)

A este Sngulo 6 se le llama ANGULO DE INCLINACION DE ü. AdemSs, todo vec tor i M se puede representar como

» * 1*1- ¡4- 6 á * - | a | (- p-¡)U a |

Cap.** Vectores 157

Asi, si se tiene la ecuación: a ■ kw , donde |w | « 1 y k eR, entonces |®| = 1 k w | = | k | = > k = ± | a | (dos soluciones) .

Pero, si se elige al vector ¡I = (eos 0, sen 0) como el vecton. uniXa/Uo con

la. m¿&ma icte .cifn que I entcnces

5 = | i | ü « = => i = | a | (eos 0, sen0)

En esta situación, al Sngulo 0 se le llama el ANGULO DE INCLINACION delvector no nulo a .

7.1 NOTA De la definición anterior se sigue que si se tiene á = kw donde w es un vector unitario en la misma dirección que á, ento.ices k = |a | es la solución y es la única solución.

7.2 PROBLEMA.- Si á - (alf a2) , |¡| - 3 , y a ^ - 2 ,hallar el vector á .

SOLUCION

V a2 = 2 — * al ' Za2

á = (dj, a2) » (2a2, a2) - a2(2, 1)

i * (/la,) ^ donde w = (2, 1)/ /5 es unitario.2 / 5

/S a2 = ± |5[ = ± 3

==> a2 = ± 3 / / T = > at ■= ± 6//~5 .

Por lo tanto existen dos soluciones posibles para á :

i = (6, 3) /V T y á ■ (-6. -3///T

7.3 PROBLEMA.- Hallar el seno del Sngulo de inclinación 6 del vectorl ■= (8, -15) .

SOLUCION Como |í| = 17, el vector á puede expresarse comoa = 17(8>17, -15/17) ó á - -17(-8/l7, 15/17)

pero para conocer el Angulo de IncLinacíón 6 de á se considera solamente larepresentación con el signo + es decir :

5 * + | i| (eos 6, serB) con el coeficiente + |á |Por lo tanto (eos 8, sen 6) » (8/17, -15/17) — >

- + 17 .________sen 0 = -15/17

158 Vectores Cap. 4

S'tfIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS

1. SI á * (íj, *2) , |á) ■ 2, a ,’a2 » 4, hallar á (dos sol'jclones)2. Un vector á tiene longitud 5 y el punto de apoyo en (1, -1). Encon

trar el vector i si la abscisa del punto terminal es 4.

3. Probar que si P t Pj entonces los puntos que trisecan al segmento que va de P a P. tienen la formaO 1

(P„ ♦ 2Pj)/3 y (2P0 + PjJ/3

4. En el siguiente exSgono . ¿guiar de lado Igual a 5, Indique qué vectores -son Iguales y tr.r «nt.re la suma de todos los vectores de la figura en forma geométrica y en forma analítica.

X

5. SI L, Ht N son puntos medios de los segmentos BC, CA y AB respectlvamen te y Q es un punto cualquiera demuestre que

a) QA + QB + QC - QL+QH+Q*¡

b) A L + B M + C N - 6

6. Conociendo los vértices adyacentes de un paralelogramo A > (2, 0),B - (-3, 3) y el punto de Intersección de sus diagonales Q • (-1. 0) hallar los otros dos vértices.

7. Hallar los vértices de un triSngulo, sabiendo que los puntos medios de - sus lados son M - (-1. 7)/2, N - (-3. -4)/2, P - (4, 3)/2 .

B. Hallar la longitud de la mediana del lrdo PQ en el triSngulo cuyos vértices son P ■ (3. 7), Q ■ (-4, 0) y R * (1, -4).

9. El segmento cuyos extremos son A - (-2, 3) y B ■ (4, -1) estS dividido en tres partes iguales. Halle los pur.tos de trisección .

10. El segmento cuyos extremos son A « (3, 2) y B * (18, 7) estS dividido ef; cinco partes iguales. Halle los puntos de división.

11. Demuestre que la linea media de dos lados de un triSngulo es paralela al tercer lado.

Cap.** Vectores 159

12. Un av16n se dirige al NE a 720 km/h (su velocidad >-elativa al aire) .El viento estS soplando hacia el sur a 120 km/h. La velocidad v^ del -avión con respecto a tierra es la suma (resultante) de los dos vectores -anteriores. Determinar v-j. grSfica y analíticamente.Encuentre su iuLp¿déz , es decir |v | .

13. Si 5 * (m, 2m), b // á , á - b * Í2m, p) y |á - b| » 20 , calcular| b| dorde m f 0.

14. En la figura, si q = ¡ + b + c determinar q sabiendo que la segundacomponente de q es cero, |Í>| * 20,|S | - 10 /2 , y que la primera componente de c es igual a 20.Asumir que sen 37° - 3/5.

15. Se tienen los vectores ¡ » r p , b = tq , c * (-3, 2 /3); calcular | b 1 si

c ■ r p + t q

16. En la figura, si P es un punto tal que el Srea del triángulo o es cinco veces el Srea del triángulo P , calcular |P| .

17. Encontrar el coseno y el seno del ángulo de inclinacifin de los vectores:

a) (-2, 3) b) (1, 1) c) (1, 6)d) (4, 1) e) (-8. 6) f) (3. -4)9) (D. -3) h) (4, 2) i) (-15, -8)

18. Dados los vectores ü * (a, -b) , v * (2b, c) , ü + v « (1, 1) , siü // v calcular ab/c.

19. Hallar la longitud de la suma de los vectores unitarios u y v si ü tiene la misma direccifin que ¡ * (4, -3) y v tiene la direccifin núes

Y

V b a /

3 7 ^ \0 X

ta a la de (-5, 0).

20. Sean a y a dos vectores *1e f2 tales que o es el vector opue ;tode < . Si b tiene el mismo sentido que el vector c • (-1/3. 1/4) y|á| * 5 . determinar el vector x * 2 b + i .

21. Encontrar el valor mínimo de |a| si á » (3s - 1, s - 2) donde s c R.

22. SI ABCD es un hexSgono regular cuyo lado mide ^21 unidades, determinar

I 5 « + f CF I

Clave de Re s p u e s ta s

I. 5 - ± (8. 2)/ /Í7 ; 2. ¡ » (3. ± <4) ; 3. A - P„ + | P^Pj .

B * po * f ! 4. FA - DC . BC - FE , *uma - (iO. 0) ;

6. C - (-4. 0) . D - (1. -3) ; 7. A - (1. -4) . B - (3. 7) . C - (-4.0)

B. /226/2 ; 10. (6. 3). (9. 4). (12. 5). (15. 6)II. Si M y N son puntos mediosde AB y AC entonces

MN - N - H - ^ - 5 - - i (C - B) - BC /2 . luego W¡ - ± BC

12. VT - (360/ F . (360/2) - 120) ; 13. | b | - 10 ; 14. q-(14.0);

15. | b | - 5 ; 16. 5/ÍO/3 ; 17. a) eos - -2/ , sen * 3/^13 ;c) eos - 1//37 . sen - 6//37"; g) eos - 0 . sen - -1 ;

1) eos - -15/17 . sen - -B/17 ; 18. ab/c - -1/2 ;19. (9. —3)/S ; 20. x - (-4. 3) ; 21. /5/2 .

8 0RT0G0NAL1DAD Y PRODUCTO ESCALAR . EL VECTOR ¡X

La palabra oitogonal es sinónimo de peipemUcuto/i ; si a y b son los lados de un paral el ogramo. entonces los vectores à + b yà - b son sus diagonales. Geométricamente se tiene que ¡ es o.-togonal ab si las diagonales tienen Igual longitud ; es decir, si es que el parale-

Cap.** Vectores 161

logramo es un rectSngulo como indica la figura que sigue.

8.1 DEFINICION.- Dos vectores a y b son ORTOGONALES ¿Z, si

| i + b | * | á - b |

8.2 NOTACION.- Si á es ortogonal a b se denota a X t

8.3 EJEMPLO. Los vectores á * (2, 1) y b « (3, -6) sor ortogonales entre si , pues siendo a ♦ b » (5, -5) , 5 - b * (-1. 7)entonces r—------ -

| á ♦ b | - /5 + (-5) - /5Ó

| a - b | » /(-1) ' + 72

De la definición 8.1 de ortogonal1dad de dos vectores i * (a , a ) y

b = (bj, b2) la condición |a + b| ■ | á - b | es equivalente a

la igualdad:

, 2 -| i * b |2 I 5

(at ♦ bt)2 + (a2 + b2)2 - (aj - bt)2 - (a2 - b2)2 - 0

4albl + 4a2b2

aibl + ®2b2 (*)

La expresión Sjbj + a2b2 resulta ser de considerable importancia en las

ramas del Algebra, la Geometría y la Física , y en razón de ello recibe un nombre especial.

8.4 DEFINICION.- EL PRODUCTO ESCALAR á.b de dos vectores a * (aj, ®2) y b * (bj, b2) se define de la siguiente manera :

162 Vectores Cap. k

PRODUCTO ESCALAR b » aibi *2b2

8.5 NOTA.- De esta definición se sigue que tZ P/Lodu:£u E¿calan, u un

nümvw Htat y no un vecton . También recibe el nombre de Producto Interno .

Puesto que |a + b|2 - | i - b | 2 “ 4 ¡ . b , la condición de

ortogonalIdad (*) puede ahor? ser expresada en términos del Producto Escalar de la siguiente manera :

8.6 TEOREMA.- Dos vectores á y b son ORTOGONALES si y sola

mente si: á . b » 0 .

Este teorema proporciona un criterio mas sencillo para determinar la or togonalldad de vectores como en el caso del Ejemplo 8.3 en que á ■ (2, 1) y b » (3, -6), los cuales resultarían ortogonales entre si pues

á . b • (2.1). (3,-6) - 2x3 + 1 x (-6) • 0

mientras que los vectores c ■ (2, 6) y d • (-2, 3) no son ortogonales -entre si pues ______

c.d - (2.6). (-2,3) - 2 x (-2) + 6x3 - 14 f 0

8.7 EJEMPLO.- Hallar el producto escalar de a • (-4,8) y b * (3,1) :

i.b - (-4,8) . (3,1) - (-4)x3 + 8x1 - -4

8.8 PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR

Dados los vectores 5 * (alt a2) , b - (bj, b2) , c ■ (Cj, c2) y

el número n.al r se cumple que

1) á . b - b . i (Conmutativo)

2) (r 5 . b) ■ r (a . b)

3) i . (b + c) - 5 . b + i . c (Distributivo)

4) i . á « | i |2 * + a2 > 0 ; á . á ■ 0 <=^> i » 6

Cap. ‘t Vectores 163

5) |á + b|2 - |á|2 + 2i . b + |b |2

6) |a - b| - |a|2 - 2¡.b ♦ |t|2

La demostración de estas propiedades es muy sencilla, de modo que solamente haremos las de (2) y (5) ; las demSs se dejan para el lector:

(2): (ri.b) - [ (raj, ra2) . (bj, b2) ]

{rajJbj + («2)b2 - r ( a ^ + a2b2)

- r (5 . b)

(5): Usando la propiedad (4) para el vector (i + b) tenemos que según (1) y (3) ,

(5 + b) . (i + b) * (i + b). a + (á + b) . b

(I. á + b.a) + (á.b + b . b)

» | á |2 + b.I + á.b + | b|2

* | á |2 + 2 á.b + |b|2

. - 2y por otro lado: (a + b) . fá + b) » | i + b | (Prop. 4)

De esta forma hemos demostrado la propiedad (5) que se diferencia del cuadrado de una suma de números rea íes en que el dbblt pfioducXo es el dobL¿

producto ucaJtaJi de los vectores á y b .

Sintetizamos las propiedades (5) y (6) en la siguiente fórmula

| á ± b |2 - |á|2 í 2 á.b + |b|2

8.9 TEOREMA DE PITAGORAS.- Dados los vectores £ y b en R2, entonces

5 1 b c ? |a + b|2 » | » |2 + |b|2

PRUEBA.- La demostración es directc pues sabemos que: i 1 b si y solos1 á.b « 0 ; luego utilizamos la relación (*).

8. ID EL VECTOR i-J-

Dado el vector á • (a , a2) se construye el vector (-a2*

el cual puede comprobarse que es ortogonal a a , y tiene la misma longitud; su representación grSfica es tal que pareciera que el vector a ha girado

164 Vectores Cap. ‘t

9G~ en sentido antihorario.

Este vector se denota por :

(-a2. a,)

si es que 5 * (Bj. a2) .

Note que(á"L)1 - a

8.11 NOTA.- Obsérvese que fl . á « o para todo vector 5 , tantogrifica como analíticamente.

8.12 TEOREMA.- Dados los vectores 5 * a2) y b » (bj, ! ,) , ambosno nulos» entonces:

i es ortogonal a b c ? 5 -*- // b

DEMOSTRACION. Siendo a f 0, por lo menos una de las componentes de aes diferente de cero. Supongamos que a( f 0 ; luego,

5 JL b < = » 5 . b - Bjbj + «2b2 » 0 <— =*

«= » L- (bj, b2) - ([-a2b2/a, ], b2)

«=*> b- [b2/a1] {-a2. Bj) - [bj/ajJS-1-

e 1 S y b son paralelos

8.13 COROLARIO.- Dados los vectores 5 y b no nulos, entonces

a y b no son paralelos <-=> a . b t 0 6

PRUEBA.- Puesto que el teorema anterior es una equivalencia, entonces

es ortogonal a b (y del mismo modo

bl ' * a2b2 /ai

S'L . b t 0

5 y b rio son paralelos <=*

que b^ro es ortogonal a i ) i 1 . b t 0 (6 a . b"*■ f 0 ).ri

8.14 PROBLEMA.- Los lados de un triSngulo son los vectores 5 , b y a-;k . Si |b | * 3 , 5 . b ■ 4 y |a + b | « 9 ; hallar | á | .

SOLUCION. 81 * | 5 + b |2 ■ |i|2 + 25 . b + | b|2 - |i |2+ 8 + 32

Cap. k Vectores 165

8.15 PROBLEMA.- Encontrar todos los valores reales de x tales que elvector (x. 2x + 1) sea paralelo a (2x - 1, x + 2).

SOLUCION.- Sean a > (x, 2x + 1), b * (2x - 1, x + 2) ; aplicando el 01Umo teorema se tiene que: á U b si y solo si 5^". b >0 , donde S"*-»{-[2x ♦ 1], x) ; entonces

(-[ 2x + 1 ]. x) . (2x - 1. x + 2) ¿ 0 < = >-[ 2x + 1], x)(2x - 1) + x(x + 2) - 0 <==> 3x2 - 2x - 1 »0

<=*■ (3x + l)(x - 1) - 0 <==> x - -1/3 6 x - 1 .

8.16 PROBLEMA.- Sea el rectángulo A8CD cuyos vértices son A - (-1.6),B - (2,3). C y D . SI AC // (3.1) . DB J. (-3.1) y

el Srea del rectSngulo es de 36 u2 . hallar los vértices C y D .

SOLUCION.- Considerando el vector unitario ü en la dirección de AB * (3, -3) tenemos que

|Á8| - 3/2

¡5 - ÁB/ | AB| - (1.-D//2

AdemSs, ab ■ 36 , donde

a - |Á8| - 3/2

b - 36/a - 6 /F

Por lo tanto,

C ■ B + b ü

D * A + bu= * C - (2, 3) + [6/2U.l)//2] - (8.9)

D - (-1.6) + [6/2(l.l)//2] - (5.12)

8.17 PROBLEMA.- Encontrar los vectores á y b tales que a + £-*■ »(-1. 5). á + b es ortogonal a (-5. 3). ¡ + b es

paralelo a (1, -1) y i . b + 11 ■ 0 .

SOLUCION.- Sean á - (a^ «2) . b » (b1, b2) . entonces de los datos:

i + b 1 - (-1. 5) ... (1) , (S1 + b) . (-5,3) ■ 0 ... (2)

(á + b) // (1,-1) <=*> (á + b).(l.-l)1 »0«==» (i + b) . (1. 1) * 0 ... (3)

á . b * - 11 ... (4)

Multiplicando escalarmente la ecuación (1) por el vector b resulta que

166 Vectores Cap. k

bt - 5b2 + 11 (5) [ usando (4) ]

al - b2 * -1 (6) [ usando (1) ]a2 + bi - 5 (7) [ usando (1) ]3(b2 + 8j) - 5(bj - a2) (B) [ usando (2) ]•l + b2 - - (a 2 + b j) . ■ (9) [ usando 0) ]

Resolviendo el sistema se obtiene : - -3 , a2 - 4 , bi-1Asi, S - (-3, 4) y b - (1. -2)

8.18 PROBLEMA.- En la figura, ABCD es un cuadrado y ABE un trISi.gulo equllítero. SI A ■ (4, 9) y B - (12, 3), hallar el

vector DE + CA .

SOLUCION.- Encontraremos los puntos C, D y E . El vector u en la dirección de A8 es

ü - AB /1ÁB1y como A8 * B - A - (8, -6)y a ■ |A8| - 10 (el lado del cuadrado) entonces h ■ (a/2) /3 pues el trISngulo EM8 es rectín_ guio de 3r* y 60° . De esta ma

ner#: h - 5/3

ü ■ (8.-6)/ | (8,-6) | - ^(8,-6) - (f

¡r1- * (3/5. 4/5)

C - B + a(-üx ) - B - 10üx ■ (12,3) - 10(3/5,4/5) - (6, -5)

0 - C + a(-ü) » C - 10 ü - (6, -5) - 10(4/5, -3/5) - (-2, 1)

E - M + h( üJ_ ) ■ ^ (A + B) + 5/3 (3/5, 4/5)

- | (16, 12) + (3/3. 4/3) - (8 + 3 /3. 6 + 4 /3)

Luego, DE ■ E - 0 * (10 + 3 / 3 , 5 + 4/3)CA - A - C - (4, 9) - (6, -5) - (-2, 14)

y DE + CA ■ ( 8 + 3 / 3 , 1 9 + 4^3).

A continuación presentaremos una desigualdad muy Importante en la teoría vectorial y que se cumple en cualquier espacio Rn .

Cap.** Vectores 167

8.19 DESIGUALDAD DE CAUCHY - SCHWARZ .-

Para todo par de vectores a y b se tiene la siguiente propiedad relacionada al producto escalar llamada la VES1GUALVAV VE CAUCW-SCHWARZ |--------------------

! |á.b | < |a||b|

Para la demostración de esta desigualdad ver los Problemas Propuestos (6) y (8) de esta sección.

Esta desigualdad es equivalente a

- |á 11 b| < i.b < |i||b| I (*)

La igualdad estricta en el lado derecho se satisface si es que a y b sonparalelos y tienen la misma dirección, pues en tal caso se tiene b « r ,con r > 0 (si es que ninguno de los dos vectores es nulo), asi qu¿

_ _ _ _ 2a.b * a . (ra ) * r(a.a) * r|a|

■ I r | | i | | i 1 , pues | r |-- r

- | a | | rí | - |á | | b |

La igualdad estricta en el lado Izquierdo se satisface cuando i y b sonparalelos y tienen diAícoionti opuíitai pues en tal caso b “ ra , conr < 0 , asi que

_ _ . . _ 2a.b - a . (ra ) * r(a.a) * r|a|

’ - M l » l l » l • Pues | r | - -r

- - | i | |ra| - - I 5 I Ib |

8.20 PROBLEMA.- Hallar un vector unitario a tal que el producto esca lar á . (-2. 1) tome su mínimo valor posible.

SOLUCION.- Según la desigualdad (*) si b ■ (-2, 1) , el mínimo valorque puede tomar a.b es “ - | a | | b |" , que por la discusión anterior secumplirá en el único caso en que a // b y si tienen direcciones opuestas; y como a debe ser unitario :

á * - b/1 b| por la teoría de vectores unitarios , luege

¡ = - (-2. l)//5 « (2/ /5 , -1//5 ) .

168 Vectores Cap. k

8.21 Desigualdad Triangular para la DISTANCIA .-

Dados dos puntos Pj y P2 en el plano, para cualquier otro punto P se cumple que:

dtP, . P2 ] í d [ f x . P3 ] + d[P3 . P2 ]

De la NOTA (6.2) :

d[ Pj . P2 ] * ¡ V 2 I - |TIP3 + P¡?2| ... (Prob. 4.7)

i |P|P3 I + I P3P2 I (Deslg. Trlang.)- d[V x . P3 ] + d[P3 . P2 ]

8.22 PROBLEMA.- Demostrar que todo Sngulo Inscrito en una semicircunferencia es un Sngulo recto.

SOLUCION.- Consideremos la circunferencia de radio r con centro en el

origen, y el Sngulo 8PA . Demostraremos que PB 1 PA : A

(Lo que es equivalente a que

PB . PA - 0 )

Puesto que |A | » |0A| - r ,

| P | • |ÓP| - r , B - -Á :

PB . PA - (B - P) . (A - P)- (-A - P) . (A - P)

* - IM2 + lp|2 " -r2 + r2 - 0 .

B.23 NOTA Según los problemas anteriores se ve que las cuestiones que involucran distancias y ortogonalldad pueden ser resueltas

con freLuencm usando vectores unitarios y el producto ucatax.


1. SI a , b y c son vectores tales que: 5 + b + c « 0 , | j | ■ 3 ,| b | ■ 1 , | c | ■ 4 , calcular el valor de a.b + b.c + c.a.

2. Demuestre que 5 + b y i - b son perpendiculares si y solamente si

|5| ' M .

Cap.4 Vectores 169

3. ¿ Para qué posición relativa de los vectores á , b y c se satisface laecuación: (a . c) b ■ (b . c)i ?

4. Demuestre que el vector b(a . c) - c (i . b) es perpendicular a á .

5. Demuestre que el vector b - (a * ) a es ortogonal al vector i .I»'l2

6. Demuestre que para todo par de vectores a y b : |¿ . b | i | á| | b| ._ „ oSUG. Puesto que , . - r b | > 0 . pata todo nwnesio r e R . desarro

lie dicho cuadrado para r ■ (a . b)/ | b|2 . en particular .

7. Utilizando el problema (6) demuestre la Desigualdad Triangular para todo par de vectores 5 y b: |S + T, | < |¿| + |b| .SUG. Considere el cuadrado de |á + b | .

8. Demuestre que :

a) (a + b)-*- = á-*- + b-*- d) a-*- . b^- « á . b

b) i . b-*- « - a-*-. b e) (raj-*- ■ r

c) (a-*- )-*- = -a f) | | ¡| - |b | | < | i - b |

9. Demostrar que i) la-*- + b| « |í - b-*-! .

i i) a-*- + b ■ ¿ + b-*- =s> a * b

10. Si a - (-3,5) , b = (2,-3) , hallar la longitud del vector c para:

i) c * (i + b) . (¿ - 2b)b"L 1 i) c « (a . b) b-*- - (5 - . b) c

11. Pruebe que er cualquier paralelogramo la suma de los cuadrados de las Ion gitudes de las diagonales es igual al doble de la suma de los cuadrados de dos lados adyacentes.

_ • • 212. Dados los vectores a , b y p en R determinar los números r y s en términos de sus productos escalares de manera tal que el vectorp - ri - sb sea perpendicular a los vectores i y b simultánea

mente.

13. Sea ABC un triángulo y H la intersección de las alturas que pasan por A y B. Probar que la tercera altura también pasa por H, es decir, que Hl es perpendicular a A8 .

14. Sea G » ^ (A + B + C) un punto del triángulo ABC y sea P cualquierpuntn, demuestre que

| PA |2 + |PB|2 + | PC|2 - 3 | PG J2 + |GA|2 + |GB|2 + |GC|2

170 Vectores Cap. ‘t

15. SI a y b son vectores en IR2 y tales que 5-*- + b"*- ■ a + b ,demuestre que |a | « |b| .

16. SI i y b sor vectores paralelos no nulos, y a * (12, 5) es tal que| a + b | ■ |a | | b| , hallar (a + b)-*- .

17. En la figura. ABCD es un trapecio, el triSngulo ABD es equIlStero, y eltrISngulo BCD es rectSngulo en D y tiene la hipotenusa BC de longitud 10 /2 unidades. SI el Sngulo BCD mide 37° (considere sen 37° ■ 3/5),8 - (-2, 4) y D * (4, -2), nallar el vector AC y el vector AH .don de M es el punto medio de la hipóte nusa BC .

A

18. Pruebe que c es paralelo al vector (b-*- . c) a - (i-1- . c) b .

19. Si 5 + b + c » 6 , y I | ■ 2, | b| * 5 . | c| » 6 . calcular i . b .

20. En la figura PQRS es un rombe tal que | PQ | * a .

Demuestre que

PR.SQ - 0

21. SI á // (/3, 1) , | ¡| » m , b - i S1 y i + /3 b - 2 (1, ¿3) . calcular n* - «i2 .

22. Demostrar que el ¡rea del triSngulo cuyos vértices son los puntos A • (*1> y { ) , (*2> y2 > (*3. V3) puede expresarse en la forma de un deter minante cono sigue (eligiendo por supuesto el valor absoluto):

1 *! Vi

1 x2 y2

1 x3 y3

23. Si á + b + c + d ■ 6 , calcular 2 c . d sabiendo que á + b « 6,

Cap. k Vectores 171

|c | - 3 , |d| - 4 .

24. Hallar vectores unitarios i tales que el producto escalar á. (2,-5)i) tome su mínimo valor , ii) tome su mSximo valor posible.

25. Encontrar todos los valores reales x tales que el vector dado por(x* - 5x3 + 5x2 - x - 3, 8x - 4) sea paralelo al vector (-3, 4) .

26. Hallar x e IR tal que si A = (x2 - 9, -x) , B = (1 - x, x2 - 8) ,P = (2x2 - 1, x - 5) y ÁP + 3P8 - (0.0) .

27. Si i es un vector unitario de R2 . la suma de las componentes de bes 31 , y el mSximo valor de a . b es 41. Hallar los vectores a y b.

28. Si i y b son vectores no nulos del plano tales que | |a | - |b | | =|á - b| , probar que £ estS en la misma dirección que b .

29. Si 2 a-*- - b = 2 b-*- - a , demostrar que (a + b) . (á - b) * 0

30. Si i + b * ( |b | , |i | ) , demostrar que 5 es ortogonal a b .

Clave de Re s p u e s t a s.-

1. -13 ; 3. Para todo par de vectores paralelos i y D , y cualquiervector c del plano ;

13. Sean P , Q y R los pies de las alturas correspondientes a los vérticesA , B y C respeet., luego

H - A + rBC1 | BA - sÁCX - rBC1

H « C - s ÁC 1 J con s - (AB.BC/8C AC1 ),

HC - C - H * 8C + (AB . BC / BC . AC ■*") ACLuego verifique que HC . AB * 0 sabiendo que

AC1 - (AB * BC)1 - ÁB-1- + BCX . y que 8C± .ÁB « -BC.ÁB1 .

16. b * (12. 5)/12 ó b - (-12. -5)/14 ;

17. A - (1 - 3 /3 . 1 - 3/3 ) . C - (12. 6) , M * (5. 5) .

19. 7/2 ; 21. 132 ; 23. 11/2 ; 24. 1) (-2,5)//29, 11) (2,-5)//29.

25. x e {-1 , 1 , 2 , 3 ) ; 26. El único valor común es x « -2 .

26. Dos soluciones: Ira.: b ■ (40, -9) , a = (40,-9)//1681 .

2da.: b » (-9, 40) . i - (-9,40)// 1681 .

172 Vectores Cap. 4

9 COMBINACION LINEAL DE VECTORES. INDEPENDENCIA LINEAL

Dados dos vectores no nulos y nc paralelos á y b , se tflce que el vector c es una COMBINACION LINEAl VE á y b si es que existen dos números reales r y s tales que

(*) s b

El hecho de que a y b no sean paralelos asegura geométricamente que se pueden construir los vectores r í y l " oe tal manera que la suma de ambos sea igual a c.

Analíticamente, decir que i y b no sean paralelos equivale a que a . ¿ 0 y á-*- . b ¿ 0 (Corolario (8.13) ) y que por lo tantose puedan realizar los siguientes cÍIciUmí pcuta conoce*, r y s , a partir de la ecuación vectorial (*) c * rá ♦ sb :

1) Multiplicando ambos miembros dt (*) ej¡catajune.n,f poK ti victo*, i-*- :

donde á . a-*- • 0 ,

s

c.a-1 r a . á-*- ♦ s b . a-*-

s b . c . a

b . á-1-

2) Multiplicando ucaJtaAmtnte. ambos miembros de (*) por el vector bk-L -

c . b"*- * ra . b-*- ♦ s d .Í

■ r a . b-*"

donde b . bJ 0 .

c . bJ

á . IJ

De esta manera se obtienen los valores correspondientes de r y s que resuelven la ecuación (*) .

9.1 TEOREMA I .- Dados dos vectores no nulos a y b en R' no panaleZoi

entonces cualquicA. vccXoK c puede expresarse de manera

Cap.1* Vectores 173

única coro c ■ ra ♦ sb , donde los números r y s son calcula

dos como en la explicación anterior.

9.2 TEOREMA II .-Dados dos vectores no nulos á y b . Si estos vectoresno ion panattlot , entonces :

r á ♦ sb - 5 ~ - r = 0 y s « 0 .(simultáneamente)

PRUE8A.- Se sigue de los cálculos anteriores tomando en particular el vec tor c * 0 .

9.3 DEFINICION .- Cuando dos vectores a y b satisfacen el TEOR. IIse dice que a y b son VECTORES LIDEALMENTE INDE

PENDIENTES en*.e ¿X .

En forma mas general, se tiene que dos vectores a y b son LINEALMENTE "NDEPE JIEWTES si se cumple la siguiente implicación:

rá + sb - 0 = [ r « 0 y s = 0 ]

En caso contrario , se di^e que a y b son LINEALMENTE PEPENDIENTES. Esdecir, si es que se presenta uno de los dos casos siguientes :

i) Si al menos uno de los vectores á ó b es el vector 0 , ó sinoii) si á y b son paralelos .

9.4 Ejemplos .-

1. Los vectores á - (2. 1) y b * (0, 0) son línealmente dependiente« pues uno de los vectores es el vector 0 , en este caso el vector b .

2. Los vectores á * (1, -1) y b * (3, 4) son linealmente inde.ptn<U.tn£t¿

pues :r 5 ♦ s b » 0 = • r (1, -1) ♦ s (3, 4) ■ (0, 0)

r . (G. OM-4.3) , Q(1,-1).(-4,3)

* , (0, 0).(1, 1) _ Q(1,1).(-4, 3)

==» [ r « 0 y s * 0 ]lo cual pudo haberse deducido mSs rápidap» U viendo que 5 y b no son pa-

174 Vectores Cap. 4

ralelos ni nulos, y utilizando el TEOREMA 9.2 .3. Los vectores á * (-1, 2) y b - (3, -6) NO SON llnealmente indepen-

tUmtti pues ton poAalelet ; en efecto, b • -3 a .

4. El vector 0 es un vector llnealmente dependiente pues es paralelo a cualquier vector á .

5. Todo vector no ñuto i por si mismo es un vector llnealmente Independiente pues rS * 0 =*• r ■ 0 (pues ¡ f 0 ) .

9.5 DEFINICION.- Tres vectores á . b y c son lineatmente indepen

diente* entre si si es que se cumple la Implicación

ra + sb ♦ te - 0 =*• [ r - 0 , s ■ 0 y t * 0 ](st ru 1tíneamente)

En caso contrario, se dice que a , b y c son lineatmente. de.pencU.en

, es decir, si es que al menos uno de los coeficientes no es cero .

9.6 Co n s e c u e n c i a s de la De f i n i c ió n en el Plano R 2

1) SI al menos uno de los vectores a , b y c es el vector O entonceslos vectores i . b y c son llnealmente dependientes entre si .

2) S1 ninguno de los vectores ¿ , b y c es el vector 0 y si dos deellos son paralelos entre si, entonces a , b y c son llnealmentedependientes entre si . Por ejemplo , si ¡ ■ (2, 1) . b - (4, 2) y c ■ (1, 1) . entonces

(*) rS + s b + t c * 0 ==» (2r ♦ 4s ♦ t , r ♦ 2s ♦ t) ■ (0, 0)

Resolviendo este sistema de ecuaciones tenemos que tanto r como t deperdtrín del valor de s , el cual puede tomar cualquier valor real:

r * - 2 s , t * 0 , para cualquier valor s cIR.De este nodo la ecuación (*) se cumple para infinitas soluciones, ademSs de ceros; por ejemplo para s « 1 , r “ - 2 , t “ 0 .

3) Si ninguno de los tres vectores es 0 , y si ningún par de los vectores á . b y c son paralelos entre si, entonces se puede expresar cualqule ra de ellos (digamos c) como combinación lineal de los otros dos de ma-

2r ♦ 4s + t « 0

r ♦ 2s ♦ t - 0

2r ♦ t * - 4s

r ♦ t » - 2i

Cap. 4 Vectores 175

ñera única c ■ ra ♦ sb de acuerdo al TEOREMA 9.1; ello impli-

ca **"* rá + sb - c - Ó= » r¿ + sb + t c * 0 con t - -1 [f 0)

y según nuestra última Definición 9.5 esto indica que los vectores á , b y c son Liniatmtnti ('¿pe.AdLe.nt ¿ entns. ti. Asi, se tiene la Nota siguiente.

9.7 NOTA.- Tres vectores cualesquiera en el Espacio Vectorial R2 son 11nealmente dependientes entre si.

9.8 PROBLEMA.- Indicar si los siguientes conjuntos de vectores son lineal mente independientes entre si:

1. 5 - (1, I) . b - (-2. -2) .2. á • (2, 1) , b - (3, 6) .3. á « (1, -1) , b - (1, 0) , c - (3, 1).4. á - (0, 2) . b - (0, 0) .

SOLUCION.-

1. NO SON linealmente independientes pues á es paralelo a b .2. SÍ SON lin. independientes pues á no es paralelo a b, ni son nulos.3. Siendo tres vectores en R2 , NO SON linealmente Independientes.4. NO SON lin. independientes pues b « 0 .

9.9 PROBLEMA.- Dentó ,trai' que las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre si. Es decir, que su punto de intersección es

el punto medio ambas diagonales.

SOLUCION.- Probaremos que M « ¿ (A + C) , N - i (B ♦ D)

ó equivalentemente, que

M = A + s AC(*)

DATOS : AB = DC , BC ■ AD , AB y DA son Linealmente Independientes. Igualando los segundos miembros de (*) tenemos que

176 Vectores Cap. 4

=^> (1 - t - s) AB * (s - t)AD ■ 0 , y cono AB y AO son Lln. Indep:= • 1 - t - s » 0 y s - t - 0 = • s " ^ y 4 “ í •

9.10 PROBLEMA. En el triangulo ABC los puntos H y H trisecan al segmente BC. SI

AB - 2rAK + sÑC (*)

calcular el valor de 4r - 3s .

SOLUCION.- De la figura ,

Á B - Á N + Ñ B - A N + 2CN « ÁN - 2ÑC

Reemplazando esta expresión en (*) se tiene que: AN - 2 NC

AN - 2ÑC - 2rÁÑ + sÑC =*■ (1 - 2r)AN + (-2 - s)NC - 0= » 1 - 2r ■ 0 y -2 - s - 0

pues AN y NC , siendo no paralelos, son llnealmente Independientes.Asi resulta que r - 1/2 y s - -2 . Luego 4r - 3s • 8.

9.11 PROBLEMA.- Dados los puntos P • (1, 2) , Q • (2, 5) , R » (5, 8)y S ■ (9. 10) que forman un trapecio, encontrar los

puntos M y N sobre las diagonales si se sabe que MN ■ (PS - QR) ,tal cono en la figura siguiente.

SOLUCION.- MN - i [ (8. 8) - (3, 3) ] « ( § , | ) ... (1)

M - Q ♦ r QSN - P ♦ tPR *"

De (1) y (2) y puesto que QS * (7, 5) y PR * (4, 6) , entonces

MN • N - H - P - Q ♦ t PR - rQ . es decir

(5/3, 5/3) • (1, 2) - (2. 5) ♦ t(4. 6) - r(7. 5) = *

f (4. 7) - t (4, 6) ♦ r (-7, -5) =*• t - || y r - ^

Reemplazando estos valores en (2) , se obtiene

H • Q ♦ rQS - ^ (94. 185) . N - P + tPR - ± (49, 90) .

Cap. 4 Vectores 177

9.12 PROBLEMA (UNI) Los vértices de un rectángulo ABCD son A « (-2.-6), B - (-6.-2). C • (2. 6) y D. AdemSs, E c CD .

F c ÁD . G c BC . ÍG//(l,-3) y FG + FE '(4,14). Encontrar1) El vértice 0 , 11) Los puntos E , F y G .

F = A + sAD » (-2,-6) + s(B, 8) ... (3) = >

k (1.-3) - re - G - F - (-6,-2) + t (8, 8) - (-2,-6) - s (B, 8)

= > (-4. 4) = (s - t) (8. 8) * k (1,-3)

— k « (-4,4) . (-8,8) _ 2 s - t - (~4,4) • t3»1) , . I(1.-3) . (-8.8) ’ (B, 8) . (3,1) *

= » FG - -2 (1,-3) - (-2,6)

FE * (4, 14) - FG * (6, 8) , y usando (2) y (3) :

(6, 8) = FE = E - F * (4,12) ♦ r (4,-4) - s (8, 8) el cual operando

(2,-3) = r (4, -4) ♦ s (-8, -8)

= » r « 3/4 , s * 1/8 y t ■ 3/B pues s - t ■ - 1/4 .

Por lo tanto, reemplazando estos valores en (2) y (1) obtenemos

E * (5, 3) , F - (-1, -5) , G - (-3. 1)

9.13 PROBLEMA Si ABCD es un

del segmento AB , hallar

6 m - 9 n , si

AH m AC + n MO ... (*)

paralelogramo y M es el punto medio

C

178 Vectores Cap. 4

SOLUCION.- Dato: AB * 2 AM , entonces

ÁM - ÁD + DH - ÁC + C D - M D * ÁC + B A - M D - AC - 2 AM - MD

==> 3 AM * AC - MD

Y reemplazando en (*) : (AC - MD) * mAC + nAD

= > (m- i)ÁC ♦ (n ♦ i)ÁD - 6

Y coi o AC y AD no pueden ser paralelos, la flltlma ecuación Implica por 1n dependencia lineal que

m - * 0 y n ♦ ■ 0 ; 1 uego , 6 m - 9 n » 5 .

9.14 PROPIEDADES DE LOS VECTORES ORTOGONALES UNITARIOS .-

Un caso Interesante de combinación lineal de dos vectores se presenta cuando éstos son vjíLtanXoí y peApentíiciUcuiu tnX\t ti , como es el caso de los vectores i ■ (1. 0) y / * (0, 1) .

En general , si se considera un vector unitario u en lugar del vector iy el vector ¡j1 en lugar del vector / , entonces el vector

c ■ 3 ü ♦ 2Ü1

viene a ser una combinación lineal de los vectores unlta ríos ü y ü-*- , cuya repre sentación gráfica la tenemos en la figura adyacente, donde la longitud de c es :

| c | - / 32 + 22 - 13 , por ser la hipotenusa de un trlíngulo rectán

guio cuyos catetos miden 3 y 2 unidades, respectivamente.

Por esta razón , es que en general, si ü es un vector unitario, se cumplen las siguientes relaciones :

a) |xü * yu ~ | - / x2 + y2 , b) | x ü - yü*-\ - J x2 + y2

las cuales se demuestran considerando el cuadrado de los primeros miembros , que u . u1 » 0 , y que |ü | « | u1 1 * 1 .

Cap.1* Vectores 179

9.15 DEFINICION.- S1 dos vectores á y b son unitarios y ortogonalesentre si, reciben el nombre de VECTORES ORTONORHALES.

9.16 EJEMPLO.- Calcularemos la longitud de los vectores:

3u ♦ 4u

15 ü - Bl

-5 u ♦ 12 uSi

-35 u - 12 u.11

SOLUCION.- Siendo u un vector unitario

| 3 u + 4 ü"*" | ■ / 31 ♦ 42 * !

| -5 ¡3 ♦ 12 ü1 1

I *1

|b| /(-5)2 ♦ 122

|c| ■ | 15ü - 8 ¡i1 | - J 152 ♦ (-8)2

13

17

donde | u | * 1

| d| - |-35ü - 12 ü1 ! = /(—35)2 ♦ (-12)2 / 13f9 37

9.17 . PROBLEMA.- Encontrar el vector TS de la figura.

SOLUCION.- Si ¡j es el vector unitario en la dirección del vector OQ donde Q ■ (-15, 8) , entonces :

ü ■ ÓQ/IÓQI - (-15,8)/|(-15,8)|

- (-15,8)/17

Además en el triángulo RST se tendría que TS * 8ü ♦ 6(-¡¡-*-)

8ü - 6Ü1 = (-72, 154)/ 17 , pues ¡J1 » (-8, -15) /17 .

9.18 PROBLEMA.- En la figura, los puntos A * (2, -1), B * (10, 5) y C son los vértices del triángulo ABC de área 25 unid?

Encontrar el vector BH donde H es el pie de la altura corres pondiente al vértice B .

SOLUCION.-Si consideramos un vector unitario u paralelo al segmento AB , y un vector unitario v paralelo al - segmento AC , entonces :

180 Vectores Cap. 4

G - AB / 1 Ab | * (8, 6)/10 ■ (4, 3)/5 , donde |AB| -10 ;

y como AR * a ü entonces a ■ | a ü | - 10 ,

■| a b = 2 5 — =► a b ■ 50 - -• b * 5 (del dato del área)

= * AC - aü + bü1 » 10 (4,3)/5 * 5 (-3.4)/5 - (5. 10)

v * ÁC/|AC| - (5, 10)/(5/5) - (1, 2J//5

AdemSs, AB * nv + h (- v -*-) =*► 10 u ■ n v - h v-*- = »

(8,6) ■ n(l,2)//5 - h(-2,l)//5 , que al resolver se obtiene:

n - 4 / 5 . h * 2 /§" . Luego, BH - h v1 *= 2 /5 (1,2)i//5 - (-4, 2).


1. Dados £ ■ (1,-1) , b • (1,2) encontrar r y s de tal manera quec * ra ♦ sb , siendo c el vector:a) (2,3) , b) (10,-9) , c) (3,-6) . d) (0,0)

2. Dados los vectores a « (x, 2) , b • (3, x) , c « (2, 3) , hallar x,r y s , donde c - r á + sb, y r » 2 s .

3. Sea c = t á +■ s b , hallar el valor de si c X (á + b) , donde ¡ = (3.5) y b = (2,2) .

4. Si á , b y c tienen el mismo punto inicial y c ■ sa ♦ tb cons + t * 1 , y si los puntos terminales son Pj, Pj y P3 , demostrar

que los vectores P ^ y PjP3 son paralelos. Es decir, que Pj , P2 y P3 son colineales.

5. Sean á , b y c tres vectores con el mismo punto inicial P0 ; si exis

ten números r . s y t diferentes de cero tales que ra ♦ sb +■ te = 0,donde r + s ♦ t - 1 y si Pj . P2 y P3 son los puntos terminales

de 5 , b y c respect. , pi uebe que los vectores P ^ y sonparalelos.

6. Demostrar que las mediatrices de un triingulo se intersectan en el mismo punto.

7. Sean A , B y C los vértices de un triingulo. Demuestre que las tresmedianas se intersectan en un punto 6 , llamado BARICENTRO , y pruebeque G es un punto de trisección de cada mediana , y que:

Cap. 4 Vectores 181

6 • i (A + B ♦ C)

SUG.- SI P es el punto Medio del segmento AB , considere el punto G como la Intersección de las dos nedianas correspondientes a

A y B ; luego, para probar que G se encuentra en la tercera mediana correspondiente a C , deauestre que GC // CP .

8. Los radio vectores de los puntos A , B , C y 0 son i , b , 3á + b ,y -á + 2b respect. Expresar en términos de á y b los vectoresAB , AD , BC , BD y CÜ . Hallar además los puntos Medios de los segmentos AB , BC , CD y DA asi cono los baricentros de los triángulos ABC , ACD y BCD .

9. Si ABC y A'B'C' son dos triángulos con baricentros G y G' respec..

probar que AA' ♦ BB' CC‘ ■ 3GG‘ .

10. Dados seis puntos A, B, C, D, E y F , si P, Q, R y S son los baricentros de los triángulos ABC, ABD, DEF y CEF , demuestre que P ,0 , R y S son los vértices de un paralelogramo.

11. Si A8CD y A'B'C'D1 son dos paralelogramos, demuestre que los puntosmedios de AA' , BB' , C C y DD' son también vértices de un parale- gramo.

12. Si Q , G y H son el clrcuncentro. baricentro y el ortocentro(1nter-s.cclón de las alturas) de un triángulo ABC , demuestre que los vectores QG y GH son paralelos y que G triseca a QH.SUG.- Pruebe que si R es el centro de la circunferencia que pasa por

A, B y C , entonces RH » RA ♦ RB ♦ RC .

13. Suponga que ABCDEF es un hexágono regular Inscrito en una circunferencia de centro Q y radio r . Sea <ÍS • p , BC • q ; expresar en térml nos de p y q los vectores CD , DE , EF , FA y también los vectoresQA , Qb , ... , QF . Demuestre que los ortocentros de los triángulosABC, BCD, ... , FAB , forman un hexágono regular, y se encuentran sobrela circunferencia de centro Q y radio 2r .

14. Suponga que Q es el centro de una circunferencia que pasa por A|, A2 y Aj de radio 1. Si el punto rjj es el punto definido por

QBj » Q«2 * QA3 , demuestre que B es el centro de otra clrcunferen cía de radio 1 que pasa por A2 y . Si además otras dos clrcunferen

182 Vectores Cap. 4

cias de radios unitarios y centros 82 y B} son dibujados y que pasen por A3 , Aj y Aj , A2 respect., probar que los tres centros

8j , 82 y B3 se intersectan en C donde QC - QAj + QA2 + QA3 .

15 Daoos los puntos P • (1,2) . Q ■ (2,5) , R » (5,8) , S ■ (9,10) , que forman un trapecio, encontrar dos puntos M y N sobre las diagonales, si se sabe que

MN - (PS - QR)/3

tal como en la figura.

16. En el paralelogramo ABCD , M es punto medio de AB Hallar s y t si B

AM « sÁC ♦ tDM

17. En el triangulo ABC se tiene3 EC - AE ; hallar s y t

E8 • sBA + tBC

18. En el para'elogrrno PC^S dela ftgnra, N es punto medio. Hallar s y t si

PT - sQR + tPH

19. En el triangulo PQR se tieneque NC // PR y que los segmentos AR y BQ son medianas.Hallar s y t si se sabe que

RM - sMC + tPQ

20. En el paralelogramo ABCD , My N son puntos medios. Hallar 2s - 3t si se sabe que

si

OC SMC + t ND

Cap. 4 Vectores 183

21. En el paralelogramo del Problema (20), si A > (1,1) , B ■ (3,5) yC ■ (7,7) , hallar P y Q si es que CD • -2 PQ .

22. Demostrar que en cualquier cuadrilítero los segmentos que unen los puntos indios de los lados forman un paralelograro.

23. Demostrar que las tres bisectrices de los Sngulos de un triSngulo se 1n- tersectan en un punto.

24. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados opuestos Je un cuadrilítero cualquiera ABCD se bisecan entre si .

25. En el trapecio ABCD , A - ¿0,1) , B > (3,5) , C > (B,7). Si ÁD > 2BC,y M es el punto medio de CD, R rhallar P , Q y R si

26. Demostrar que la suma de los cuadrados de las longitudes de las tres medianas de cualquier triSngulo es 3/4 de la suma de los cuadrados di lostres lados.

27. Pruebe que si a y b son 0RT0N0RMALES , c * ( . . c) i + (b . c) b ,para todo vector c del plano.

28. La figura ABCD es un paralelogramo. S1 P es el punto medio de BC , calcular 4m - 2n ,

AM • 4PQ

BG ■ m BC + n AP .

si

29. La figura ABCD es un paralelogramo. SI BP • . y si

BG ■ m 3C + n AP

calcular mn

30. En el triSngulo ABC se tiene AM • ^ HC

Si BM - r BA + tBCB

hallar r - t .

184 Vectores Cap. 4

31. Dado el paralelogramo ABrD , si P, Q, R y S son puntos medios de los lados y T es el punto de intersección de QB y PQ hallar 4m + n , donde AT * m BD + n QC .

32. En el paralelogramo ABCD

AF = ± AD ; ED 5 BE

Si EF ■ m AD + n AB ,

hallar m + n .

33. En el triángulo ABC , las longitudes de los segmentos BD y DA son como 3 y 5 respect.; si

CD - mAB + nÁC (*)

determinar: 8 ■ + 12n .SUG: BD/3 - DA/5 .

34. Si M y N son puntos de trisección del lado BC del triángulo ABC , y

AN - mAC + n A8 valor de: j j

calcular el

m n

35. En el paralelogramo de la figura

ÁE - AC . DF • r ÓC4 2

Si EF » m AB + n AD , calcular: m - n .

36. En la figura TP // OX , |0P| - B.

Si OT = mÓP + ft OP .

calcular: m y n . 45

Cap, k Vectores 185

37. En el cuadrilítero ABCD, AE ■ AB/3 , ci6n de Cü , y M es punto medio de EF . SI AB ■ ^ OC , y

AM « r AB + s AC + t CD ,

calcular: 5r - 4t ♦ 2s .

38. En el trISngulo ABC de la figura, CD es la altura trazada desde el vér tice C , y DA es a AB como2 es a 5. SI

DC - r/B + SBC

calcular: 5r + 3s . D ¡3__

39. La figura adyacente es un octógono regular ABCDEF. SI A • (/2,4/2),B- ( 5 / 2 , 4 ^ ) . hallar los K -----vértices C, D, E, F y G . y el centro Q del octógono.

r 0\ F „40. El punto A « (-1, 6) es uno de los vértices del cuadrado ABCD cuyo cen

tro es el punto E ■ (-3/2, 5/2). Hallar los vértices B, C y D.

Cl ave d e Re s p u e s t a s .-

1. a) r - 1/3 , s * 5/3 , d) r * s ■ 0 ; 2. * » -1/4 , r » B/5 ,

s - 4/5 ; 3. s/t « -25/12 ; 4. P ^ 3 - (1 -tJP^P, + tP¡P2 =*>

P3 - Pj ■ t (P2 - Pj) ==» PjPj " t PjPj (Esto indica que son paralelos).

6. Considere M. N, P puntos medios de BC, AC y AB respect.; se debe

probar que HQJLBC: Q - P + tÁB - N + rÁC1 . P - ( A + B)/2 ,

N ■ (A + C)/2 ==> t ■ -(CB . AC)/(2 AB1 . AC) , reemplazando t en Qy luego usando M = (B + C)/2 , verificar que HQ . BC * 0

15. M « (109,180)/33 , N - (164, 235J/33 .16. s - t - 1/3 ; 17. s ' -1/4 , t - -3/4 ; 18. t - 1 , s - -1/2 .19. s = -2 , t = 1/3 ; 20. s > 2/5 , t - -4/5 ;21. P = (?5, 21)/5 , Q = (30. 31)/5

F y G son puntos de trlsec-

186 Vectores Cap. k

25. P ■ (11/3, 15/4). Q - (71/12, 5). R - (16/3, 15/3) .28. m - -1 . n - -1/2 ; 29. m - 5/8, n - -1/2 ; 30. r - j . t - |31. 4m + n * -1 , 32. m + n « -5/6 . 33. m • 5/8 , n ■ -1 .34. (1/m) - (1/n) * 3/2 . 35. m- n« -l /4 , 3b. m - (✓3 + 1)/4 . n-

(/3 -l)/4 , 37. 5r-4t + 2s • 7/6 . 38. 5r+3s - 10 .39. C-(5/2+4, A / I - 4). D - (5/2 + 4. -4). E-(5/I. -8), F - ( /2.

,-8). G - ( / 2 - 4 . -4), H - ( /2 - 4. 4/T-4), Q - (3/2, 2/2 - 4).40. B - (2. 2), C - (-2, 1). D - (-5, 3) .

8 8 8 8 8 6 8 8 8 8 8 8 6 8

10, ANGULO ENTRE DOS VECTORES

Sea 8 el Sngulo comprendido entre los vectores no nulos á yb , se define el COSENO del Sngulo 8:

eos 8 » -r (*)|b|

Pero, siendo b * r á + s¡^ ,

entonces B.¡ - rS.i ♦

■ r |¡|2

Despejando el valor de r y reemplazando en (*) obtenemos la definición equivalente del COSENO DEL ANGULO 6 ENTRE a y b como sigue:

10.1 PROBLEMA.- Si los vectores 5 y b forman un Sngulo de w/3 radianes y | ¡| ■ 6 , | b| « 8 , hallar | í - b | .

SOLUCION.- Puesto que eos 6 * (a . b)/ |a | |b | , entonces

a.E * |a 1 |b| cos(ir/3) ■ 6x8x(l/2) » 24 ; luego ,

| á - b|2 = | á |2 - 2 (5 . b) ♦ |b |2 - 36 - 48 + 64 - 52 = ►

| a - b | - /52 > 2 /TJ .

10.2 PROBLEMA.- Calcular el Sngulc 6 entre los vectores i * (4, 2)

Cap. 4 Vectores 187

y b - (-2. 2) .

SOLUCION.- cos6= (5 . b ) /( |5 | |b|) - -4/(2/5 x 2/2) = - /10/10 , y

6 - arccos(- ^10/10). (Se lee arco cuyo coseno es ...)


1. Calcular el Sngulo 6 entre los vectoresa) ¿ - (4,2) y b - (1,5) , b) a - ( -3,1) y b = (3,-1)

2. Calcular los ángulos Internos del triSngulo cuyos vértices son A « (1,1)B = (4.6) y C - (6,-3) .

3. Probar que si 5 y b son vectores de Igual longitud entonces el vector5 ♦ b biseca al Sngulo entre a y b , y que i - b es ortogonal al vector a + b .

4. Para dos vectores cualesquiera no nulos 5 y b pruebe que :

a) El vector ( -5- + ) biseca al Sngulo entre i y B .Ia I I b|

b) Los vectores (-5- + ) y (-5- - ) son ortogonales.1• 1 |b | | i| |B|

c) Los vectores ( |a |b t | b|S ) bisecan al Sngulo entre i y b.

5. S1 ü y v sor. vectores unitarios, y 6 el Sngulo entre ellos , demostrar que sen 6/2 - | ü - v | /2 .

6. El Sngulo entre i y b es 150° , |i | * 3 y |b| * 5 ; calcular|¡ + B| y |i - b| .

7. ¿Qué condicior?s deben satisfacer ¿ y b para que :

a) | 5 + b| > | a - b| , b) | 5 + b | < | a - b | 7

8. Dado un triSngulo cuyos vértices son A ■ (2,1) , B * (6,4) y C = (-4,9),hallar el punto de intersección P de la bisectriz del Sngulo A con el lado opuesto BC . SUG.- Use el Problema 4(a) y exprese AB como combinación lineal de los vectores unitarios en las direcciones de AP y PB respectivamente.

9. Los vectores á = (r, s) , b = ( na + r , nb + s) y c = ( -mb + r, ma♦ s) son no nulos, y mn f 0. Calcular el ángulo que forman los vecto

- 188- Vectores Cap. 4

res b - a y c - a .

10. Los Sngulos entre los vectores no nulos b y c , c y a , y a y E ,son a , B y Y respec. , y los vectores ü y v estSn definidoscomo: ú ■ (i.c)E - (i. B) I , v - (í.c) B - (b.c) i . Entonces,

demuestre que: si u -L v ■ " eos 8 * eos a eos B eos y .

Cla ve de Re spu e s t a s : i .«) árceos(7// ñ o ) ; 6. |¡ + B|2 -

34 - 15 /3 , | i - B |2 ■ 34 + 15/3 ; 7.a) 5 y B forman un Sngulo agu -do, b) I y B forman Sngulo obtuso ; 8. P ■ (48, 167)/13 ; 9. 90° .

11. PROYECCiON ORTOGONAL. COMPONENTES.

Ya se ha visto que si a y E son dos vectores noparalelos y distintos de 0 entonces cualquier vector c e IR2 puede expresarse coi.» combinación LinfaJL de. í y b , es decir que, en este caso, siempre se pueden encontrar númejioi Keatu s y t tales que :

c ■ s 5 + t b

SI los vectores son paralelos, ésto no es cierto, como es el caso de

i - (1, -2) , b - (-2, 4) y c - (3, 3) , donoe

(3, 3) - c - si ♦ tb - s( 1, -2) ♦ t(-2. 4) - (s - 2t. -2s + 4t)

= * 3 - s - 2t .... (1)

3 - -2s + 4t - -2(s - 2t) ___ (2)

De (2) se tiene que s-2t • -3/2 , pero de (1) se tiene s - 2t *3 lo cual es absurdo.Veamos el caso particular de un vector b t 0 y a * b como los

•> V | m A

vectores b y b no ¿vn fxvtaiez'i, cualquier vector a c IR puede ex presarse como:

5 - s B + t B 1 (*)

- - — O s b

Cap. k Vectores 189

Desde que estos vectores sb y t b son o/tfogontUu, el vector sb recibe el nombre de PROYECCION ORTOGONAL DEL VECTOR á SOBRE b , y se le denota P*- r a .

- iAnálogamente, se tiene que el vector tb

resultara ser la PROYECCION ORTOGONAL de ¿ SOBRE EL VECTOR b 1 , y sele denotar! por Pr -i i .

bSegún esto tenemos que cuando b f 0 , siempre

es posible expresar cualquier vector a cono

(Pr £ á ) + (Pr-1 ¡ ) (**)

De la relación (*) resulta que:

pues | b | - | b | . Asi,

a-b

Í B ?

i • b1

Ib

Pr - ¡ b

Venos que b y el vector “ Proyección de a sobre b " son paralelos, de tal manera que si el ángulo 6 entre ¿ y b es agudo entonces b y el vector Pr g i tienen ta miima doiectUón, pero si 6 es obtuso entonces

los vectores b y Pr i tienen dÍAecc¿one¿ opue¿-ta¿.

1 1 . 1 EJEMPLO.- Si 5 = ( 8 , 1 2 ) y b = ( 4 , 2 ) , entonces el vector

190 Vectores Cap. k

Pr b 8 es: Prb 5á • b -

D

I B|^ («.2) - y (4, 2) . el cual

vemos que es paralelo a b . y tiene su misma dirección, en este caso.

1 1 .2 P R O P IE D A D E S D E L V E C T O R P R O Y E C C IO N O R T O G O N A L

1) La Proyección Ortogonal de una suma de vectores en la dirección de algún vector no nulo c es la suma de las Proyecciones Ortogonales:

Pr- (£ + b) (Pr - £) + (Pr - b)

2) La Proyección del vector tá en la dirección de B es igual a t veces el vector Proyección de b sobre

Pr - ( tí ) - t ( Pr - i ) .La prueba de (1) y (2) es spncilla.

1 1 .3 C O M P O N E N T ES De la definición de Pr ¡j a , podemos escribir:

P r B a (i - b) ---- 5" b|b|2

(á • b) B j

Ib| |b|

y desde que b / | b| es un vector unitario, el coeficiente (a • B) / | b| nos proporciona la medida del vector Pr ¡j £ , por lo cual recibe un nombre

especial, el de COMPONENTE de £ EN LA DIRECCION DE b , y se denota por:

La COMPONENTE es un número real, y estS relacionada a la PROYECCION por

Pr B £ « (Cp £ £ ) _IB |

y es tal que si 6 es el Sngulo entre £ y B entonces:

-Si Cp B £ > 0 : 6 es agudo y Pr ¡j £ tiene la misma dirección que B.

- Si Cp B £ < 0 : 6 es obtuso y Pr g a tiene la dirección opuesta de b.

Si CpB i = 0: £ y b ton o/Uogcnole¿ y Pr a » 0 .

Cap.1» Vectores 191

Pr. a b

Tcp -

PrT

Cp.

11.4 PROBLEMA.- SI a - (-6.2). b - (3,4), hallar Cp g a Prb 8 *SOLUCION.- Cp r i ■ (á • b)/| b | ■ -10/5 * -2 < 0 .

Pr g a - (Cp g i)[ B/|B| ] - -2 (3, 4)/5 - -f (3.4) .

el signo negativo de Cp a Indica que B y Pr i tienen direcciones

opuestas y que este vector Pr ¡ mide 2 unidades, medidas en la direc

ción opuesta al vector b (el cual mide 5 unidades).

11.5 PROPIEDADES DE LAS COMPONENTES. -

1) Cp - (S + B) - (Cp - 3) + (Cp - B)

2) Para todo número real r :

La prueba es sencilla. (Ejercicio).

para todo vector c f Ó .

r CpB a

11.6 PROBLEMA.- Hallar una fórmula para el Srea de un paralelogramo, y de un triángulo determinados por los vectores a y b .

SOLUCION.- h « | Cp - i l | .-------------- 7


Luego, I á ■ b'L| 2 Í | i - b X |

11.7 PROBLEMA.- Hallar el Srea de un polígono cuyos vértices son A

(4,1), B ■ (2,4), C » (-2, 2), D - (-1. -3) y E - (3, -2).

SOLUCION.- A * *1 + a2 + a3

l » C - D - (-i.5) >b * B - D » (3. 7) •C ■ A - D » (5. 4) •d - E - D » (4. 1) »

Ai - i |i. b X | ■ 11 .

A2 * ^ |b •Í X ! ■ 11.5 .

A3 - | |E. d 1 ! m 5.5 .

Por lo tanto, AREA 2B

11.B PROBLEMA.- ABCD es el cuadrilítero tal que E ■ (1, 5) es el punto medio de AB , H • (4, 2) es el punto medio de AD,

CE es paralelo a (2,3), DE es paralelo a (1,-2), y Pr — CH - (5,5) . Encontrar los vértices A, B, C y D.

SOLUCION.- Pr Ch * (5, 5) indica que AB es paralelo a (5, 5)

AB - r (1. 1) . pues (1. 1) // (5, 5) ;

CE // (2.3) ==► E - C - k (2. 3) = > C - (1. 5) - k (2, 3)

H » (4. 2) =*► CÍi - H - C - (4.2) - (1.5) + K(2,3)

CH- (3+ 2k, -3 + 3k)

asi

..(*)

(5,5) - P r - CÍi - (3 + 2k. -3 + 3k) ■ r (1. 1)AB 2 r

= > 5 = 5k/2 ==» k = 2 y C = (-3, -1) .

Como E - (1, 5) es punto medio de AB :

r (1, 1) « AB - 2ÀÈ = 2 (E - A)

DE // (1,-2) = * E - D = DE = s (1,-2)

Y de 11) y (2): A = (1, 5) + § (1, 1)

D = (1,5) - s (1, -2)

Además, coro H = (4, 2) es punto medio de AD :

(4,2) = (A + D)/2 - (1,5)+ (r/4) (1, 1) - (s/2) (1,-2)

(1)

(2)

(3)

(4)

Cap. 4 Vectoi es 193

= > (12, -12) ■ r(l, 1) + s{-2,4) = > r » 4 , s ■ -4 .

De (3) y (4): A -(3, 7), D » (5.-3) . Y siendo E - (A + B)/2 :

B = 2E - A - (-1, 3) . Asi, A - (3, 7), B = (-1, 3), C = (-3, -1) y D - (5,-3).

11.9 PROBLEMA.- Sean i y b vectores no nulos de IR2 y t i 0 . ¿ CuSles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? :

1) P' iíPrjj i) ■ Prb^Prá **) ==> * es Paralel° a b ■*" S |á| ■ |b|.

2) |Cp 5 (5 -1- + b)| < 1 b |

3) [ Pr - (i + b)] • b f D si i • b f 0 y c - Pr - (ti)c b

4) Pr(tB) (ti) “ PrB ¡ 5) Pr^ti) = Pr(tB) i .

SOLUCION.- 1) S1 Pr - (Pr- ¿5) “ Pr [lPr g ¡*) entonces

(Pr r i) . i (Pr - b) • bL ~ ; r y* ■ [ — ^ r - r - V b _ _ . .

Ia I |b|2 t (a-b)(a-b) j - _ (i-b)(i-b) (

|i|2 |b|2 |i|2 |b|2

i - b * 0 =*► ¡ I b = » a // b ■*"6 _ _ _ _ (VERDADERA)i-b t 0 =*► en (*): i = b = > |i¡ = |b|

2) |Cp5 (i1 + b)| < |b| « = * I(al ^.b)'a| < |b|Ül

i I

(VERDADERA, por ser la DESIGUALDAD DE SCHWARZ)

I a * b I - _ _< |b| « = * Ia - b| < | a || b I

lal

3) Siendo c = Pr¡j (ti) , y i • b i* D , entonces

[ Pr - (i + b) ] ■ b "*■ = [ (a + b^ ' C ] ( E - b X ) -|E|2

■ - ] (b .B ■*■) - dM ? |b|2 |c | |b|2

pues b-b = 0 . Así, la proposición dada es FALSA.

4) P r (tB) (ti) = [ í ^ ] ( t b ) = [ ■- 32a-: b2 ] b = t Pr r i|tb|2 t2 |b|2 b

Luego, la proposición ^(tb) = p r B i , V t / 0 es FALSA,

pues sólo se cumple para t = 1_ .

194 Vectores Cap. 4

5) Pr ¡j (ti/ t ( V 4 > bI •> 1

tb

t(i • tb)

|tb|2(tb) .. (pues t f 0)

■ t (Pr th • Luego, la Igualdad Pr jj (ti) ■ Pr(t¿) *

es FALSA, pues solamente se cumple para t » 1 .


1. Para cada par de vectores i y b calcular la Proyección Ortogonal de isobre b , y la Componente de i en la dirección de b . Graflque.

a) ¡-(4.2). b » (1,-2) b) ¡-(-1.2). b - (-4,-2)c) i - (3. 12), b - (6, -5) .

2. SI b y c son distintos de 0 , demuestre que:a) S1 b y c son paralelos, entonces Pr^ á - Pr - i .

b) SI b y c tienen la misma dirección: Cp ¡j a • Cp- ¡

c) SI b y c tienen direcciones opuestas: Cp ¡j ¡ - - Cp - ¡ .

3. Demostrar que | ¡ 1 • b | < | i| |b| , donde la Igualdad se cumple si y so lo si ¡ y b son ortogonales.

4. Encontrar el vector

AB de la figura.

Y- T

/ \ft/ \\ T

112

v 1 ,

0 -----------3 5 ------------ x

5. Dados i - (B,6) y b ■ (-2,6), hallar los vectores p y q tales quep l b , q // b y ¡ = p + q .

6. Si i = (4,-2), b » (-2,6) y w // (-1,4) , hallar w — (a - nb) 1 .

7. Los lados de un triSngulo son los vectores i , b y S + b. Si |¡| ■ 4.|b| « 6 , y Cp ¡ * 2 , hallar

B. Hallar Pr g ¡ si Cp g i » -3 y sición que b .

9. En el triángulo equilátero ABC de lafig. M y N trisecan al segmento de B a C. Si P = ÁM , Q = ÁN + ÁB calcular:

| i + b | .

(1, -1) tiene la misma direc-

CpÁB P |------- B - -

Cap.1* Vectores 195

11. En el hexSgono regular de lado B unidades de la figura, hallar la Proyección Ortogonal de:

a) BD sobre AC

b) ND sobre AM

c) MN sobre MB + BD

d) Pr jp (ÁT + BD - CN)

Dados A * (5, 1), B = (1,2), C ■ (3,6), hallar un punto D en el primer cuadrante de abscisa igual a 7 unidades de tal manera que el cuadrilátero ABCD tenga un Srea de 25 u2 .

SI i y b son no nulos y {Pr á) + (Pr - b) » á X + b , probar nue 111 ■ |b| y que i 1 (¡ - b) .

Hallar el Srea del triángulo cuyos vértices son: a) A = 12, 1), B »(6, 3), C - (8,-4) ; b) A = (3, 3), B>(4,8), C - (10, 1) .

Hallar el centro de un hexágono regular si A ■ (2,0) y B = (5, 3/3) son dos de sus vértices adyacentes. (Dos soluciones).La figura ABCDEF es una estrella regu lar de 6 puntas. Si D = (7, 6-4/3),E * (3, 6-4/3) , hallar los puntosA, B, C, F, P, Q, R, S, T, U y el cen tro M de la estrella.

17. En el trapecio PQRS , | RQ | = |SP¡ ,S = (-4, 2), Q = (10, 4), PS ■ PR = 0, FVqP PR = (8,8) . Hallar los puntos

A, P, R, y el vector PR .

18. El helado de la figura tiene la crema semicircular y el barquillo en forma de un triángulo isósceles Si P = (-3, 4)//rt , Q= (5,10)//?, encon trar el punto R si el área de la f¿ gura plana es de (25tt +200)/(2tt) u2.

196 Vectores Cap. 4

19. En el octógono regular de la figura, Q en el centro, A ■ ( /2 , 4/2 ), B » (5/2 , 4/2 ), encontrar:

a) P r ^ G C . b) Prp| EG

c) Cpp¡jJ ÁD . d) P r ^ FH H

e) r, s, m y n tales que:GC » r GB + s AOQD - m QC + n AD

20. los vectores a y b son los lados de un paralelogramo. S1 |a | - 6 ,|a| » 2 1 b| y Cp ¡ » 10/3 . determinar | a - b | .

21. Si i - -2j * Sí , Cp - b ■ -58 , |b | - 29 , hallar Cp jj a .

22. Hallar | i 1 . b | si á - 3b/|b| ♦ 4bi/|b1 | y Cp - ± b - 2 .

23. Un avión vuela en sentido del vector y la velocidad del viento es100 km/h en el sentido del vector v . YCalcular el triple de la componente de la velocidad del viento en la dirección del aeroplano.

24. SI i - 32 + 4? , b - -5j ♦ l , y

(*, y) - /26 Pr- S , calcular: * - 2y .

25. SI a - (4,-2), Pr¡jX á - (-3,3), Cp g X i > 0 , hallar Cp g á .

26. SI á es un vector que tiene la misma dirección que (1,2), tal que|a | ■ 50 y b * (-2,-1), calcular Cp a .

27. Los lados de un trlSngulo son a , b y 5-b . SI |í| » 6 , |b|■ 2 , y | b - a | — 5 , calcular Cp jj a - Cp j b .

2B. Dos lados de un triángulo miden 20 y 36 . La diferencia de las longf~tudes de los segmentos determinados en el tercer lado por la bisectrizes 12 . Hallar la mediana del tercer lado.

29. Calcular el Srea del triángulo ABC si se cumple que 0C > r2 0A + (1- r2) OB , donde 0 < r < 1 .

30. En el paralelogramo ABCD , m (6a6) ■ 60°, B__________ C|ÁB| = 2 , |ÁD| - 4 . S1

Cap. 4 Vectores 197

31. Dado el trISngulo ABC, demostrar que su ortocentro es el punto:(B-A)-(C-B) .

D * B + — ----ir— 5----— (C-A)(A - C) • (C - B)

SUG: 1) BD - BA + sBCX . 2) BD » tÁC 1 , 3) tÁCX • BC - BA ■ ¿C

3Z. Demostrar que: a) SI i y b son vectores no nulos, y si |5| + |b|< |¡ + b| entonces á es ortogonal a b .b) SI a y b son vectores unitarios y paralelos: 15 b| ■ JZ

c) SI á y b son vectores tales que | a | < 1 y | b | < 1 , entonces V t e [0, 1] : | á + t{b - 5) | < 1 .

33. ABCD es un rectángulo tal que E, F » (x + 2, x), G ■ (3 + x, -x), yH = (6-x, 2 - x) son los puntos medios de AB, BC, CD y DA respectlv;además, P ■ (3x-Jl, x-4) es el punto de Intersección de las dlagona les del cuadrilítero EFGH . Hallar los puntos A, B, C, D y E .

34. SI 5 / 6 y b i 5 , demostrar que: 1) { Pr- i á , P r - b -1"}b ®

es linealmente dependiente si y solo si { á , b } es 11 realmente depen diente.11) SI i y b son unitarios y ortogonales, entonces V x , y e IR2 :

x - y - (x - a)(y . á) + (x - b)(y • b)SUG: x » s + tb ==> s" x - a , t = x-b

y ■ rá * pb ==> r - y - 5 , p = y ■ b

i i i) {a , Pr i } es linealmente Independiente si y solo si 5 y b no son ortogonales.

1v) SI Pr- b es unitario, entonces |b| > 1 .

35. Sean A, B y C los vértices de un triángulo rectángulo isBsceles recto en A. El punto medio de la hipotenusa y el baricentro del ¿ABC son respectivamente: D y (-4/3, 29/3) AdemSs. P r ^ AD = (4,3) ,

y la abscisa de A es mayor que la abscisa de C . Hallar A, B y C .

36. Sean A = (-3,2), B y C = (-1, 13) y D los vértices de un rectángulo, tal que AC es una de sus diagonales y AB es ortogonal al vec tor (4, -3). Hallar los puntos B y D .

38. Si a es un número racional, A = (a+ 4, a -4), B = (a+ 3, -2a), elbaricentro del triángulo ABC es el origen de coordenadas y el áreadel ¿ ABC es de 24 u2, encontrar un vector unitario en la dirección del vector (1, a) .


39. Sea ABCDE el pentSgono irregular de la figura. SI A ■ (1,1), B (2. 6), C » (c, 6),^c > 2 .E - (7, y). P r ^ BC - (9.-6),

i ABC = ) BCD , | ÁB| ■ | CD| ,ÁÉ| - | DE| , hallar

a) El Srea del triSngulo ABE ,b) El Srea del triSngulo BCD .

40. Sea el hexSgono regular ABCDEF (en ese orden) tal que NE + ED ■ ^ CD ,

MN // AB y M pertenece al perímetro del hexágono. ¿ Cuáles son verdaderas ?: a) HB :CB + DN - NE b) NA « 2 (EM - ED) ,

c) MN » EM - | CD + ÁC

41. Dados los vectores a » (k + 2, 2k) y b * (-3, k+1) , determinar losvalores de k para que Pr g á y b tengan direcciones opuestas.

42. Sean los puntos A ■ (1, 1), B - (2,4) y C ■ (5,2). Hallar el puntoP que está en el Interior del triSngulo ABC para que los triángulos APB, BPC y APC tengan el mismo Srea.

43. Sea ABCDE un polígono Irregular. Hallar B y C si A » (2,-2), E ■(4,4), D = (x, 6) , x > 0 , el Srea del polígono mide 50 u2 ,Pr^| AE // (10, 2). Prg| BA ± (-10,-6), Prp£ BE // (1. 1) , y

Pr EB // (14, -2) .

44. Sea ABC un triSngulo equilátero. SI AB + m HB » nAC , donde Hes el punto de intersección ae las alturas, hallar: (1/m) * (1/n) .

45. ABCD es un cuadrado. E, F y G son puntos medios de los lados del cuadra do. Si m t 0 , n t 0 , hallar (m/n) si:

APj + CP2 = mAB + n BC .

46. ABCD es un cuadrado. Se pide :

a) Hallar r y s si CQ ■ rAE + s DH

b) hallar m y n si AO = m FB + n HQ X/ \

Cap.íf Vectores 199

47.

48.

Sea ABC un triángulo. SI M - (1,9) y N - (6,2) son los puntos medios de los lados AB y BC respect., AB // (1, 1) y PrAJ¡ AB “ (8/5)(3, -1). Hallar los vértices del triángulo.

¿Cuáles son verdaderas 7: a) (Pr- á) 1b P r ^ i 1

b) SI á y b no son paralelos, y mi + nb ■ ri + sbm * s y n » r .

c) Si r > 0 , entonces

entonces

CpB i a Cpr b 5Í49. M - (11/2, 7/2), N - (8.6), P - (9/2, 13/2)

puntos medios de los lados en el trape cío AFCD, y |DC|«/lO, hallar A,B, C y D .

SUG: C - A - (5,5) - ÁC , DB - (7, -1)==*► |ÁC| - | DB | » 5/F ==>el trapecio es Isósceles = •PM 1 PC .

50. ABCDEF es un hexágono regular, M y N son puntos medios de ED y BC respect.0 es el centro del hexágono. S1

RS ■ mTM + r NB , hallar m y n .

SUG: ÑE - (1/2) EF ,MÍ - (1/2) ER

- (l/2)( EF + 2 RS ) .

y Q

|¡-b|.51. a) SI a y b son vectores no nulos tales que |a| - |b|¿qué puede afirmar de a y b 7 .

b) Lo mismo si |á| - |b| + |a + b| 7 .

Sea ABCD un rectángulo, una de cuyas d1<<goncles tiene por extrenos lospuntos A ■ (3, 4) y C > (9, 16). SI los lados de mayor longitud son paralelos al vector (1. 1), encontrar los vórtices B y D .

En el cuadrilátero ABCD : ^ ^ ’

-1) y BC - (-5,7).Si el área del cuadrilátero es de 28 u2, y M - (17/2, -1/2) es punto medio de AB , hallar los puntos A, B, C y D .

52

53Pr AB (PrÁC AD) f (3*

» (2, 4) son los

200 Vectores Cap.4

54. Sean a y b vectores no paralelos, y e - (eos t) 5 + (sen t} b ,a) ¿ Para qu£ valores de t es c paralelo al vector á ? .b) ¿En qué caso c es paralelo al vector i + b ?

55. Sean ü y v dos vectores no nulos. Si w * kv + hu , y el Sngulo entre u y x es 15° , hallar el Sngulo entre u y v sabiendo quek « |ü| . h • |v| .

56. ABC es un triángulo isósceles donde | AB| » | BC | ,M “ (7, 5) y N » (19. 21) son puntos

rmedios de AB y BC respect., D »(-6,21), y la altura relativa al lado AC del triSngulo ACD mide 15 unidades. Hallar A, B y C empleando la recta mediatrlz del segmento MN .

57. Si a f 0 , demostrar que: p * b -

58. ABC es un triángulo equilSterc. R, S, son puntos medios de los lados AB,BC y AC respect. SI

MB - mAB + n SC + FG

hallar m y n .

59. ABCE es un trapecio isósceles, y ABD es un triángulo equilátero. Si|ÁC| - |AB| , EB X BD y A = (2. 3). cC - (14, 19) :

a) Hallar ED ♦ CB .b) Hallar n si

AB * n MB + CB

siendo M punto medio de AD .D

60. En la figura siguiente, AC = (a, 0) , a > 0 , M es punto medio deAC , y | BM | = b . Demostrar que:

Cap. 4 Vectores 201

4a2b2 ;(a/2, b)(a2 + 4b2)2

SUG: Vea que i // AB

B H

61. En la figura, sea el paralelogramo ABCD de Srea 220 u2,

s1 M i ; i ± § l , £| MC | 3 | NB| 3

a) ¿ En qué relación divide Pa ND y AM ?

b) Calcular el Srea del A APD .

SUG: P = A + sAM = D + tDN

CLAVE DE RESPUESTAS

I. a) 0 , 0 ; c) (-42/61)(6. -5) , -42/ /61 . 4. (-100, 621)/ 375. p = (1, -3), q - (9, 3) ; 6. n = -6/13 ; 7. /76 ; 8. (-3, 3)/'29. (10/3)(1, /3) , (32/3. 0) ; 10. s = (1-/3)/(2/2) ,

t » (1 «-/3)/(2/2) .II. a) (-4, -4/3), b) (-2,2/3), c) (12,-4/3), d) (6,6/3).12. D » (7, 12), 14. a) 16 u2 ; 15. C = (8, 0) 6 C = (-1, 3/3)16. M = (5, 6-2/3), 17. A = (111, 57)/16 , P = (13, l)/2,

R * (17, 29)/2 .18. R - (13, -9)//í ; 19. a) (-4, -4), b) Ó , c) 0 ,19. d) (4+ 2/2)(-l, 1), e) r - 1 , s - m = n = /2 - 1 ; 20. 5

25. -/2 ; 26. 8/5(2, 1) ; 27. 5/2 ; 28. / W ; 29. 0 ;

30. p + q - 9 ; 33. x ■= 5 , A = (-3, 0). B = (3, 8), C = (11, 2)._ D - (5, -6), E = (0, 4).

35. AB = (8, 6), AC = ± (6. -8) = f AC=(-6,8), A = (-9, 31/2),B = (-1. 43/2), C => (-15, 47/2) .

36. B = A + (6, 8) = (3, 10), D = A + (-4, 3) = (-7. 5)

37. * e { 4 , 2 } ; 38. 3a2 + 7a + 4 = 0 = » a - -1, a = -4/3 ,

ü = (1, -l)//2 , v * (3, -4)/5 .39. C = (12, 6), D = (13,1), E = (7, -3), a) 17, b) 25 .

, —

202 Vectores Cap.«»

40. a) V , b) F , c) F ; 41. k e <-3/2, 2>42. P - G - (8/3, 7/3)43. x - 30 y D - (3D. 6), B-(7,-l), C - (11, 3) .44. HB « (2/3) MB , M punto medio de AC ,

MB - ÁB - (1/2) AC = > (1/m) + (1/n) - 4/3

45. Pruebe que Á?2 - (2/3) ÁC . Cp“2 - (1/3) CA . ÁP^ - (2/5) AF = »m ■ -2/15 , n - 1/15 . 46. r * s * -1/2 , m - 2 , n * -2 .

47. A = (-3, 5), B « (5, 13). C - (7. -9) ; 48. a) V , b) F . c) V .49. A -(2.1). B - (ID, 5). C - (6, 7), D - (3. 6) ; 5D. m - n - 1 ;51. a) Que i y b son paralelos en la misma dirección

b) Que ¡ y b son paralelos en direcciones opuestas.

52. B - (12, 13). D - (0. 7) .

53. A - (4,1), B - (13, -2), C « (8, 5), D - (5, 4) .54. a) t * nir ; b) t - (ir/4) + nir , n e Z

55. 3D° , 56. AC - (24, 32), P » (9, 16) punto medio de AC, = >B - (17, ID), A ’ (-3.0), C - (21, 32) .

58. BM - (1/2) (BA + BC) , SC - (1/2) BC , FG-FM + M G - ^BA + ^MB==> m - 7/12 , n - -2/3 .

59. | AD | - |ÁB| - 20 , D - A - ÁC1 - (IB,-9) , M - (A + D)/2 ,

B = M + 10/3(3, 4)/5 - (10 + 6/3 , -3 + 8/3) , E - B + DB 1 =

(4-2/3, 14/1 - 11), a) (10 + 8/1. -2D - 6/1 ) , b) n - 2//3

61. a) P divide a ND en la relación de 1 a ID ,

P divide a AM en la relación de 4 a 7 .

b) 4D u2 .

n n n n n n n n n n n n

37. Si i = (2x - 5 , 2 - x) , b - (x - 5 , 4 - x) , y | i - b "*• | = /lo

encontrar el valor de | 2a + b - (i "*■ + 3b"*" ) | .

RPTA: iDos Soluciones) . Como x e { 2 , 4 } , entonces:

Para x = 2 : i = (-1, D) , b • (-3, 2) , y el valor buscadocorrespondiente es /145 .

Para x = 4 : i = (3, -2) , b - (-1, 0) , y el valor: 5 .

2D3

5EL PUVKO EUGLIDIAKO

1 EL PUNO EUCLIDIANO. LA RECTA. ECUACION DE UNA RECTA .-

Se TI ama PLANO EUCLIOIANO ANALITICO al espa -2

cío vectorial IR , donde: *

(1) A todo elemento { x , y) de IR2 se le llama PUNTO de IR2 .

(2) Dado un conjunto L c ftz , se le llama RECTA si existe un punto P„2 —

* (*o* !/o) E R y un vecto*. a (diferente de 0), tales que

L - { P = ( x , y) e IR2 / P = P„ + tI , t e IR } .. (*)

(3) La dlitancJji ¿[Pj, P2 ] entre dos puntos Pj y P2 es igual a

la longitud del vector Pj P2 , es decir,

d[Pi. P2 ] = I (P?^) I “ lp2- pl I

1.1 NOTACION.- Por simplicidad, con frecuencia denotaremos a la rectaL dada previamente, como

L = { Pc + ti } (*)

y se dirS que L es LA RECTA QUE PASA POR PG V ES

PARALELA AL VECTOR a , el cual serS denominado " vec

toK dín.eccÁ.onaZ " de L .

Al coeficiente t (que puede ser r, s , etc.) se le llama PARAMETRO , y a la ecuaciSn de (*) se le conoce como ECUACION VECTORIAL VE LA RECTA L .

204 La Recta Cap. 5

1.2 TEOREMA.- Un punto P pertenecerá a la recta L ti y to*j> ti el

vector P„ P * P - PD es paralelo al vector a . Es decir, si P - P„ = ti , para algún número real t .

Equi va1enteme n te,P es un punto de la recta L , ti y ¿oto ti i

. . (**)

1.3 EJERCICIO.- Dados los conjuntos:

Lt - { P = (2t + l , -3t + 3) / t E IR }

L2 » { P = (3 - 4r , 6r) / r e R } ,

probar que Lj y L2 representan RECTAS , y que Lj = L2

SOLUCION.- puesto que se puede expresar como

\-l - { P = (1.3) + t(2, -3) / t e R }L2 = { P = (3. D) + r(-4,6) / r e R } .

entonces Lj y L2 son RECTAS pon. deíinicidn , pues Lt tiene como PUN

T0 DE PASO al punto P„ = (1, 3) y como VECTOR OIRECCIDNAL al vector a = (2, -3), y L2 tiene a Qc = (3,0) como PUNTO DE PASO, y al vec

tor b = (-4, 6) como VECTOR DIRECCIONAL.

Ahora probaremos que Lj = L2 .

Cap. 5 La Recta 205

Sea P e Lj : P ■ (1, 3) + t(2, -3) » (1 + Zt, 3 - 3t) , algún te R

y se desea probar que P e L2 • para lo cual, por (**), se debe veri -car que:

(P - Q0) • b "L - D :

(P-Q0) - b-1 - [ (l + 2t. 3 - 3t) - (3.0) ] - (-6.-4)- (Zt-2. 3-3t) - (-6.-4)

- (—6) (2t — 2) + (—4) (3 — 3t) - 0 = > Lj c L2 ;

ahora probaremos que L2 c L( : sea Q e L2 : Q * (3-4r, 6r) . para algún número real r , y para lo cual basta verificar que:

(Q- P„) • 3 * D . (por ** ) ; en efecto,

(Q-P0) . 3 X - [(3 -4r, 6r) - (1,3)]. (3. Z)

- (2 - 4r, 6r - 3) • (3, Z)

(3)(2 - 4r) + (Z)(6r - 3) - D = * L2 c Lt .

Por lo tanto, de estas dos inclusiones: Lj ■ L2 .

1.4 Ob s e r v a c i ó n.- Del ejercicio previo, se deduce que, en la recta

L » { P » P„ + t3 ) ,

en lugar del vector direccional 3 , que es el vector que le da la inclinación a la recta L con respecto al Eje X , se puedeelegir cualquier vector b t D como vedo*. dlneccional de la misma rec

ta L siempre que b ¿ea PARALELO al vector 3 , y por lo tanto, larecta L tendría la representaciSn equivalente siguiente:

L = Í P « P 0 + tb } . dórele b = rS , para algúnnúmero reaf r .

Por esta raz5n, no es tan correcto hablar de Re.cXa¿ dOU.g¿da¿, sino simplemente de RecXai , y no se debe confundir ya sea con el victon. (UxtccÁo

nal 6 con la Inclinación de. L , que si son conceptos bien establecidos.

Análogamente, el Punto de Paso P„ NO ES UNICO, y puede ser reemplazado por cualquier otro punto Q„ , SIEMPRE QUE SEA TAM

206 La Recta Cap. 5

BIEN ELEMENTO VE LA MISMA RECTA L .

2 ECUACIONES PARAMETRICAS DE UNA RECTA

SI un punto P * (x, y) e L , donde

L » { P - P0 + ta } . y donde P0 - (x0, yD) , y i - (alt a2) ,

entonces se tienen las ecuaciones simultáneas:

\

que son denominadas LAS ECUACIONES PARAMETRICAS VE LA RECTA L , con PUNTO DE PASD PD = (x0, yD) , y con VECTOF» DIRECCIONAL a - (alt a2) .

Z.l EJEMPLO.- La recta L cuyas ecuaciones paramStrlcas son:

f x - 1 - ti y ■ 2

y que puede representarse como:

L ■ { (*, y) * (1 - t, 2) } ■ { (x, y) - (1,2) + t(-l, 0) } ,

tiene como Punto de Paso al punto P„ = (1,2) , y como Vector Direccio-nal al vector i = (-1,0) , horizontal, y puesto que este vector le da

la inclinacifin a la recta L , ésta resulta ser una Ke.cXa hoiu.zonta¿ , quepasa por P„ *= (1,2) .

* i = (-1, 0)

(-1,0) 0 1 2 3 X

Cap.5 La Recta 207

3 FORMA SIMETRICA DE LA ECUACION DE UNA RECTA

SI la recta L tiene como Punto de Paso al punto PD * (x0, yc) , y como Vector Dlrecclonal a - (a¿, a2) con aj f 0 y

a2 f 0 [es decir que, L no es vertical ni horizontal ] , entonces < 1 par de ecuaciones simultáneas: x0 + ta!

Vo * t a2es equivalente a:

( - t )

que es denominada LA FORMA SIMETRICA de ta ecuación de ta Ateta L <jup pa

ia pon. P„ * (x0, ya) , y tizne. VecXon. Viiecc¿onaí a - (a¿, a2) .

3.1 Ej e m p l o .- La ecuaciónx + 1 3-y

es equivalente a:

x-(-l) y-3

2 -5y representa a la recta L que

tiene como punto de paso PD » (-1, 3) y vector dlreccional I * (2, -5) .

H ECUACION NORMAL Y ECUACION GENERAL DE UNA RECTA

Se dice que una RECTA L * { P„ + ta } y ur VECTOR ñ no nulo, SON ORTOGONALES si es que y ñ son ortogonales.

208 La Recta Cap.5

A cualquier vector ñ no nulo, ortogonal a L se le llama VECTOR NCMMAL a L , y puede ser elegido como el vector

ñ = i ■*" 6 cualquier vector múltiplo de i .

4.1 TEOREMA.- Un punto P pertenecerá a la recta L que tiene como

punto de t>aso P0 y vector normal ñ , SI V SOLO SI el

vector P„ P * P - Pc es ORTOGONAL al vector ñ .

P E L « = ■ (P-P„) . F - 0 .. (*)

A esta última ecuacifin se le conoce como LA ECUACION NORMAL de la *.ecXa L quí fxua pon P0 y (e¿ octogonal) tiene vec.ton. normal ñ .

Si consideramos P * (*, y) , ñ - (a, b) , y PG ■ ñ - - c , entonces (*) se convierte en:

P - ñ - PD • ñ |------------------------- 1ax + by * -c = » I a* + b i / + c - 0 I

que es llamada la ECUACION GENERAL de la A.ecta L normal al \1ecX0K

ñ - (a, b) .

Note que el vector ñ = (a, b) está formado por los coeficientes

de las variables * y y , en ese orden.

4.2 EJERCICIO.- Hallar la ecuación Normal y la ecuaci6n Genznal dela recta L que pasa por los puntos Pj * (1, 3) yP2 = (4, 1) .

SOLUCION: Consideraremos coi.o vector direccional al vector :

5 * V * 2 * P2' P1 = (4* 11 ‘ (1* 3) = (3' 'Z) *

y como vector normal al vector : _ in = a-1- = (2, 3) ,

y puesto que un Punto de Paso puede ser cualquier punto de ai \ecta ( Px 6

P2 ) , entonces elegimos como PG al vector: P„ = P2 = (4, 1) .

Cap.5 La Recta 209

De esta manera se tiene que, para un punto genérico P ■ (x, y) e L ,

(P- P„) • ñ - 0[ P - (4. 1)] • (2. 3) - 0 ... ECUACION GENERAL DE L,

<■ — *> P . ñ ■ PD • r

(*. y) * (2, 3) - (4,1). (2,3)

Zx + 3y * 11 , 6 sino 2x + 3y - 11 ■ 0 ,

que vienen a ser las ECUACIONES GENERALAS DE LA RECTA L .

4.3 NOTA.- El procedimiento seguido en el Ejercicio previo proporcio- ciona un método ripido para hallar la ECUACION GENEkAL de una recta L si es que se conoce un punto d i paio PD y

un vícXok nonmal ñ , haciendo: ------------------ I P • ñ = P0 • ñ I

5 DISTANCIA DE UN PUNTO Q A UNA RECTA L

Sea (P - P0) • ñ » D la ECUACION NORMAL de L , donde_ __ 2 n = (a, b) y P„ • n * -c ; si Q = (Xj, es un punto de IR ,

entonces se tiene que LA TISTAWCIA PE Q A LA RECTA L viene dada por la

relaci6n: rft Q ; l ] = I cP - ( Q - p0) | =

210 La Recta Cap.5

d [ Q ; L ] = | Cp - ( Q - PD) |

I a*i + bi/j + c |

(Q - P0) • ñ

I " I

Q . ñ - P„ • ñ

I " I

( * ! • y l ) ; L

que viene a ser la fórmula de LA DISTANCIA DEL PUNTO Q « (x , t/y)

RECTA L ruya ecuación general estS dada po-L : ax + by + c * 0

5.1 EJERCICIO.- Hallar la distancia del punto Q = (7, 9) a la ta L : 3* + 4i/ - 7 = 0 .

d[Q;L]

Cono Q = (xj, yj) = (7,9) entonces

|3*1 + 4</l - 7 | | 3(7) + 4(9) - 7 |

J T ~ *

10 unidades.

A LA

rec -

Cap. 5 La Recta 211

6 PROYECCION ORTOGONAL DE UN VECTOR V SOBRE UNA RECTA L

Dado un vector v y una recta L * { P„ + tá }

la cual tiene vector direccional a f 6 , se define como VECTOR PROYEC

CION ORTOGONAL DE v SOBRE LA RECTA L , al vector de Proyección Ortogo - nal de v sobre cualquier vector direccional i de L .

Se puede ver que el vector Pr v es un vectcr PARALELO a la recta L , y no depende del vector

dfreccional a de L que se elija , como veremos en el siguiente Ejemplo.

6.1 Ej e m p l o .- Sea v » (6, 8) , L : 2x - + 4 = 0 la recta cuyo

vector direccional puede tomarse (2. -4) = (4, 2) -6sino (-2,-1) , £ cualquier múltiplo de (4,2). En ca

so de elegir á ■ (4,2) :

Pr i - =(- 7 ¡ f )5 = i > * 2) ‘ (8*4) •

Ahora, si se eligiese a = (-2,-1) :

Pr - 5 = 5 = - ^ ( . 2,-i) = 8,4),1*1 5

212 La Recta Cap. 5

y por lo tanto, en cualquiera de los casos: Pr^ v = Pr- v * (8,4) .

7 SEGMENTO I>F RECTA2

Dados los puntos PQ , Pj e IR , se

llama SEGMENTO CERRADO [ P0> Pj D al conjunto

[Po. PJ = <P = Po+ t(P!-P0) / te [0,1] }

Al segmento cerrado [Pc, Pj] también se le denota por P0Pj simplemen

te, y es el segmento de la recta L , comprendido entre Pc y Pj .

Se puede observar que conforme t crece de 0 a 1 , entonces el punto P = Pc + t(Pj- P0) se desplaza desde P0 hasta Pj a una velocidad

constante, como en la siguiente figura:

en la que los puntos R, , R2 y Rj dividen al segmento en cuatro partes

de igual longitud, pues t va tomando valores de 1/4 en 1/4 con la si - guiente representación:

Cap. 5 La Recta 213

Ri “ P0 + (1/4)(P!- P„)

R2 - P„ M2/4)(P!- P0)

R3 - P0 + <3/4)(P1 - P0) .

y de esta manera se pueden ubicar todos los puntos que dividen a un segmento [P0, Pj] en n partes de Igual longitud.

7.1 EJERCICIO.- Encontrar los puntos que dividen al segmento AB de ex tremos A • (-1, 1) y B » (49, 31) en cinco partes de

Igual longitud:P e [A. B]

Pk - A + (-)(B-A)

Pj - A + (1/5)(B - A)P2 - A + (2/5)(B - A)P3 ■ A + (3/5)(B - A)P4 * A + (4/5)(B - A)

P * A + t(B - A)

1, 2, 3 y 4 = *

t e [0, 1] ,

(-1. 1) + (l/5)(50, 30) - (9,7)(-1, 1) + (2/5)(50, 30) - (19, 13)(-1, 1) + (3/5)(50. 30) « (29,19)(-1, 1) + (4/5)(50. 30) - (39, 25)

8 DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA: M:N

Dado el segmento de recta AB , el punto Q de la recta L que pasa por A y B y que divide a AB en dos segmentos en la raz6n Je m:n (denotada también m/n) con n f 0 , estS definido por la relaciCn:

El punto Q siempre se encontrarS en la recta que pasa por A y B , siempre que m/n f -1 , pero puede estar fuera del segmento AB , como veremos más adelante.

8.1 CASO I: f -1 [es decir, m / -n ]

214 La Recta Cap. 5

De (*) resultan las siguientes formas equivalentes.

AQ « (m/n) QB » (m/n)[QA ♦ AB ] » (m/n)[-AQ + AB ] =

(m + n) AQ - m AB , y coiw AQ * Q - A , AB» B - A ,

A ♦ ( ) ABm + n

forma que puede ser interpretada geométricamente, y de la cual se deduce la siguiente, que es muy ütil para el cSlculo explícito del punto Q :

Q - ( — ) A ♦ ( — ) B m + n m + n

8.2 EJERCICIO.- Dados los extremos A -(1.1) y B - (10, 7) delsegmento AB, hallar el punto Q que divide al seg

mentó AB en la raz6n (-2):(-l) .

La raz6n (-2):(-l) es Igual a la razfin 2:1 , y por lo tanto,hi- 2, n = 1 , n + n - 3 , y

Q - ( — ) A + (-51-) m+n m+nB 3 (1. 1) ♦ | (10. 7)

(7,5) .

En este caso, Q es un punto del segmento AB . (Ver la figura).

8.3 SUB-CASO 1-1 : SI n y n tienen el mismo signo (ambos positivos 6

ambos negativos), entonces Q resulta un punto interior del segmento

Cap. 5 La Recta ?15

AB .

B.4 SUB-CASO 1-2 : SI m y n tienen signos opuestos, Q resulta serun punto exterior al segmento AB (pero siempre den

tro de la recta que contiene a este segmento), y

Im i- 1 .

8.5 EJERCICIO.- Dados los puntos A - (2,2) y B ■ (6,4), hallar elpunto que divide al segmento AB en la raz6n de2 : (-3) .

SOLUCION.- Para este caso, m ■ 2, n ■ -3, m + n ■ -1, m/n ■ -2/3 ,

Q1 * {i ¡ ^ ] A * ( n+~ñ > B * donde |S| " ! < 1 '

por lo que el punto se encontrar! fuera del segmente AB , pero en el ladocorrespondiente al punto A , en la recta que pasa por A y B . Asi»

- "7 A * "7 B " 3A - 2B

- 3(2,2) - 2(6.4) - (-6. -2) .

- (-6. -2) -

8.6 EJERCICIO.- Dados los puntos A » (2.2) y B * (6.4). hallar elpunto Q2 que divide al segmento AB en la raz6n deí-3):(l) .

SOLUCION.- Para este caso, m = -3. n ■ 1. m + n - -2. m/n - -3 ,

Q2 ( — n■■ ) A ♦ ( — ) B , donde 1^1 » 3 > 1 , m n m+n |n|

por lo que el punto se encontrarS fuera del segmento AB , pero al lado co rrespondiente al punto B. AsT,

Q, = -i-A * - B = - - A + - B2 - 2 - 2 2 2

» - ^(2, 2) + | (6. 4) = (B, 5) .

-216- La Recta Cap. 5

n

En (*) resulta: AQ = - QB

Q-A = - (B-Q) = Q - B

= > A = B

lo que indica que el segmento AB consta del único punto A =B , y donde el punto Q , que se cancela en la penúltima ecua cifin, pueae ser cualquier punto del plano y no necesariamente Q = A , que por supuesto que también es soluci6n.


1. Dida: las siguientes rectas:

a) 1-1 pasa por (0, 0) 1 paralela a (2, 2)

b) L2 pasa por (1. 1) > pa"alela a (1. 1)c) 1-3 pasa por (1. 0) y (2, 1)

d) L4 pasa por (2, 3) y (4, 5)

e) l5 pasa por (0, 3) y paralela a (4. 2)

f) l6 pasa por (2. 4) . paralela a (2. 1)

9) 1-7 pasa por (0, 2) . paralela a (1. 0)

h) L8 pasa por (2, 2 ) y (4, 2)

Cap. 5 La Recta 217

i) L9 : pasa por (-1.2) , paralela a (0,2)j) L10 : pasa por (-1,0) y (-1,5) .

1.1 Determinar tres puntos sobre cada una de las rectas previas.1.2 ¿El punto (B, 8) se encuentra en Lj ; en L2 ; en L3 ?

1.3 ¿El punto (-3,3) se encuentra en L5 ; en L6 ; en L7 ?1.4 Demostrar que Lj - L2 ; Lj « Lfi i Lg f L9 ; Lj n L2 ■ $ ;

Lj fl L3 = { (1/2 , 1/2) } .

1.5 Dar una representación analítica donde sea posible, de las 10 rectas y en la forma { (x. mx + b) / x e IR } .

1.6 Encontrar las ecuaciones paramétrlcas de Lj, L2, L3, L4 y L10 .

1.7 Encontrar la Forma Simétrica de las ecuaciones de las 10 rectas, donde sea posible.

1.8 Encontrar las ecuaciones normales y generales de las 10 rectas.

2.- Demuestre que [Pc, Pj] es el conjunto de tcdos los puntos P talesque |P- P0 | ♦ |Pl- *| - | P ^ Pc | .

3.- Hallar las ecuaciones de las rectas paralelas a la recta 8x + lSy >10 , y que se encuentran a una distancia Igual a 5 unidades del pun to P =■ (2, 3).

4.- Determinar los valores m y n para los cuales la recta de ecuación(m + 2n - 3) x ♦ (2m - n + 1) y * (6m + 9) = 0 es paralela al Eje de Abs

clsas e intercepta al Eje Y en el punto (0, -3).

5.- Desde el punto (2,-3) se traza una perpendicular a la recta de ecuación: 3x - 4y + 6 ■ 0 . ¿A qué distancia se halla dicha perpendicular del punto (6,8) ?

6.- Si L! : — ¿4/5) x ♦ (3/5) y =■ 0

L2 : -(4/5) x + (3/5) y * 2 /3

y A y B son los puntos de la figu ra, hallar d [A ; B] .

7.- Los puntos Pj = (x¡, i/j) y P2 = (x2, y2) de la recta 5x - \2y *

15 = 0 distan 3 unidades de L : (3, 4) • [(x, y) - (0, 3)] = 0 , hallar el valor de Xj + x2 .

218 La Recta Cap. 5

hallar el Srea del paralelogramoY

X7 12de la figuri, si

/ LlLj: P - t(9, 12) , t reaiL2: (4, 10) + s(3,4) , s reai / ^7(6,8)

/ L3L3: (a,b) ♦ r(p,q) , r reai

XA 0

9. Sean L : kx + (k-l)ÿ - 1B ■ 0 , L2: 4x ♦ 3ÿ + 7 ■ 0 , rectasno verticales. Si kj es el valor de k para el cual Lj // L2 yk2 el valor de k para el cual Lj es perpendicular a L2 , calcular k2 - kj .

10. Hallar el punto Q que divide al segmento AB con A - (1,2), B 3 (9, 7) , en la razón

a) 2: (-3) , b) 3 : 2 . c) (-12) : (-6)

11. Determinar m y n para que las rectas

Lj : (2,0) + t(m, l) , L2 : (l/n, 0) + s(-2, n) ,

sean coincidentes.

12. Demostrar que la distancia entre las rectas paralelas ax + bÿ + c - 0y ax + bÿ + c' * 0 , estS dada por la fórmula:

/a2 + b2

13. La recta Lj : (1, 3) + t(2, -6) forma con los ejes coordenados untriSngulo de Srea At . Si L2 // Lj y forma con los ejes un triSnguio de Srea A2 tal que (Aj/A2) “ 4 , encontrar la ecuación vec

torial de L2 .

14. Hallar el valor de k para que los puntos (-1/2, -5/14) , (5/14 ,, 3/14) y (1/7 , k + (3/14) ) sean colineales.

15. Hallar la ecuación de la recta que estS situada a 6 unidades del origen, que pasa por (10, 0) y que corta a la parte positiva del Eje Y.

16. Si las bases de un trapecio tienen las ecuaciones 4x - 3y * 10 = 0 ,8x - 61/ + 30 = 0 , hallar la altura del trapecio.

Cap. 5 La Recta 219

17. Graficar las siguientes ecuaciones en el plano:a) y ■ |x-2| + 2 c) y » |x + 2 | - 4b) y - 2x - | 2 - *| * 0 d) 2* - \y\ * |x| - 1

18. Hallar los coeficientes a y b de la ecuaci6n a* + by + 6 ■ 0 deuna recta si debe pasar por los puntos (1,4) y (3, -2).

19. Hallar la distancia entre las rectas 2x + i/ - 10 y 2x + tf+6 * 0 .

20. Hallar la ecuac16n de la recta cuyos puntos equidistan de las rectas paralelas: 12* - 5y * 7 - 0 , 12* - Sy - 2 « 0 .

21. S1 L: (x, y) . (1,2) - 0 . I-! : [ P - (3, 3)] - (-3. -6) - 0 , hallar d[L, L^] .

22. Hallar el punto Q que divide al segmento AB con A = (6, 4) , B =(2, 2) en la raz6n: a) 2 : (-3) , c) 6 : (-4)

b) (-3) : 1 . d) 4 : 4

23. Demostrar que la ecuac16n de la recta que pasa por (Xj, y^) y (x2 ,y2), puede ser escrita como:

1 X y

det 1 X! «i - 01 x2 yi

24. Dadas las ecuaciones Lj : 9i/ + kx ♦ (k - 3) = 0l2 : y.y + 4x + s = 0 ,

hallar el valor de k + s de manera que Lj y L2 representen la misma recta si se sabe que k > 0 .

25. Sea A * (2,0), B = (3,3), la base de un triSngulo. Hallar el vértice C sabiendo que se encuentra en el 3er. cuadrante, que el Sreadel triSngulo ABC es de 5 unidades cuadradas, y que la recta que u- ne C con el origen forma un Sngulo de 45° con el eje de las abscisas.

26. Si Lj * ( PQ + t (a +4, a - 4) / t e I R }L2 * { PQ + s (1 - 2a, 3a) / s e IR } , son rectas coinciden

tes, hallar el valor de a .

27. Si la distancia entre las rectas Lj = í (a, 5) + t (3, 4) / t e IR }y L2 = { (4, b) + s (-3,-4) / s e IR } es de 4 unidades, y elpunto (5, b-a) dista 6 unidades de , encontrar (a, b) sia y b son números reales positivos.

220 La Recta Cap.5

28. Dados los puntos A ■ (1, 1) y B » (9, 7), determinar las coordenadas de un punto C de la recta L : y - x - 6 , tal que el SnguloACB sea recto . (Dos soluciones)

29. Hallar la Proyección Ortogonal de v ■ (6, -5) en la dirección de larecta a) L: (*c - 1)/4 » (t/+3)/3

b) L: 3x - y ♦ 6 ■ 0c) L - { (a.b) + t(-l. 7) / t e R }d) L: (3. 2) . [(*. tf) - <1, -1)] - 0

30. Demostrar que si A f B entonces el punto Q que divide al segmentoAB en la razón (1) : (1) es el punto medio del segmento.

31. Un vector i tiene longitud 6 unidades. Un vector b tiene la propiedad de que para todo par de escalares * e y , los vectoresxa + yb y 4xá - 9yb , son ortogonales. Calcular las longitudes delos vectores i y 2a ♦ 3b .

32. Sean [A, B] - ( P - (1,3) + t(5.-2) / t e [0. 1] }[C. D] - { P - (1,5) ♦ t(5, -2) / t e [0. 2] > . Hallar

la altura del trapecio cuyas bases son AB y CD .

33. En el paralelogramo de la figura. BE - BC/4 . y F es el punto medio de AC . „ n

_ _ ^ D Si EF » mÁC + nAB , / E

calcular 8m - 12n . . / F

B

34. Sean A, B, C y D vértices de un paralelogramo. en ese orden. SeaP el punto medio de CD , y X el punto de Intersección de AP y ladiagonal BD . Demostrar que X D -- 7 5-----7 Cdivide a AP en la razón 2:1.i En qué razón X divide a BD ?

SUG: A ♦ C « B ♦ D .

35. Sean A, B. C y D vértices de unP el punto medio de CD, y Q deción de AP y DQ, demostrar que X divide a AP en la razón 4:1.¿ En qué razón divide X a DQ ?

SUG: A + C « B + D .

paralelogramo, en ese orden. Sea BC. Si X es punto de intersec -

C

Cap. 5 La Recta 221

36. Sean A. B, C y D los vértices de un paralelogramc. Sea P puntomedio de CD y Q de BC. SI X es la intersección de PQ y la díagonal BD. Demostrar que X divide a BD en la raz6n 1/3. ¿ En quérazfin divide X a PQ ?

SUG: A ♦ C - B + D .

37. Sean A, B y C vértices de untriSngulo. SI P divide a BC , yQ a AC en la razfin 2 : 1 , y si X es la Interseccifin de AP yBQ, demostrar que X divide a AP y BQ en la raz6n 3/1 .

38. Sean A, B y C vértices de un trISngulo. Supfirgase que P y (] dividen a BC y AC respectivamente en la razfin (1 — k)/k donde 0< k < 1 . Si X es el punto de interseccifin de AP y BQ, demostrar que X divide a AP y BQ en la razfin 1/k .

39. Sean A, B, C y D vértices de un paralelogramo. Sean P, Q, R yS puntos que diviaen i los segmentos AB, BC, CD y DA respectivamente en la razfin 2/1 . Demostrar que P. Q, R y S sonvértices de un paralelogramo.

A

40. Sean A, B, C y D , en ese orden, vértices de un cuadrilítero, y sean P, Q, R y S los puntos determinados como en el ejercicio anterior. Demostrar que si P, Q, R y S forman un paralelogramo, eiiton ces el cuadrilítero original también era un paralelogramo.

41. Sean A, B, C y D vértices de un trapezoide, en ese orden, con baseAB. Sea X el punto de Intersección de las diagonales. Como la rectaque pasa por A y B es paralela ala recta por C y D, entonces DC = rAB donde r > 0 .Demostrar que X divide a ambas diagonales en la razfin 1/r .

42. El vector c se descompone en la suma de dos vectores á y b paralelos a los vectores (4m, -3m) y (-n, 3n) respectivamente, siendom , n f 0 . Hallar |á| + |b| , si c * (10, -3) .

222 La Recta Cap. 5

43. La figura ABCD es un paralelogramo, M es punto medio de AD. Si

AH « m AB + n MC .

calcular:2 33 * 2

44. Si L es una recta no paralela a los ejes coordenados, y pasa por los puntos (2.2), (D, q), (p, D), siendo p f 0, q t 0, hallar el valor de (1/p) + (1/q) .

CLAVE DE RESPUESTAS.-

I.8 : a) x - y m 0 , b) * » y , c) x - 2y + 1 ,d) 5x - 4y + 2 » D , e) x » Zy - 6 , f) x ■ 2y - 6 , g) y - 2 . h) 2y - x » 2 . 1) x » -1 , j) 5x + y • -5 ,

3. 8x + 15y * 146 , 8x + 15y ■ -24 , 4. (m, n) * (7, -2)5. 49/5 . 6. 2/6 , 7. 51/7 , 8. 2B unid, cuadradas9. k2 - kj j- -1 , lD.a) (-15,-8) , b) (29/5. 5) , c) (19. 16)/3II. (», 2n) - (-4, 1) , 12. (1, D) + t (1, -3) , (-1, 0) + t (1.-3)14. 7k - -1 . 15. 3x + 4y » 30 . 16. h - 118. (a.b) - (-18/7, -6/7) , 1?. 16//5 . 2D. 12x - by + (5/2) = 021. 9//5 . 22.a) (14,8), b) (0,1). c) (-6,-2), d) (4,3)

24. k + s - 8 , 25. C ■ (8,8) , 26. a - -127. a - 6/7, b - 53/21 , 28. C - (1, -5) , C • (10, 4)

2?. a) ¿(4.3) . b) -¿(1.3) . c) (1. -7) , d) (2. -3)

31. | b | » 4 , | 2á + 3b| • 12/2 , 32. 15/ /29" , 33. 11 ,

34. x - A + r A P » B + sBD = > r ■ s ■ 2/3 .X divide a BD en la raz6n 2/1 ;

42. 15 + (2/10 ) . 43. (-11/6) . 44. 1/2 .

Cap. 5 La Recta 223

9 ANGULO DE INCLINACION DE UNA RECTA .-

Dada la recta L ■ { Pc + ti / t e IR } , donde a es el vector dlrecclonal de L , puede presentarse dos casos:

1°) El ángulo 6 de ¿¡Aclinaciín del vecXofi i pertenece a [0, *> , 62°) El ángulo 6 pertenece al Intervalo [* , 2w> .

Y según esto, tenemos la siguiente definición.

9.1 Definición.- Para la recta l - { pd + ti / t E ir } ,

a) Si a tiene ángulo de inclinación 6 e [0, i) , entonces sedice que 8 es eí ANGULO VE INCLINACION de. L .

b) Si i tiene ángulo de Inclinación 6 c [ r, 2ir> , se dice que6 - v es el ANGULO VE INCLINACION de L . Es decir, que 6 - *es el Sngulo de inclinación de -i .

De esta definición se sigue que el ANGULO DE INCLINACION de una recta Lsolo varia entre 0 y w radianes .

9.2 TEOREMA.- Dada la recta L = { Pc + ti / t e R } , entoncesel vector i - (a^ a2) tiene el mismo Angulo de i.neJU

naiUfin que la recta L ¿a. y ¿olamente. b*. a2 > 0 .

PRUEBA: Sea ü = (uj, u2) el vector unitario en la misma direcciOn de 5 ,es decir, i = f a|-ü = (alt a2) , entonces ü tiene el mis

224 La Recta Cap. 5

mo Sng- lo de inclinación de L 6¿ y 6otamznte. 6¿ ü - (eos 6 , sen 6) ,con senB > 0 <===*> i e [O, i) .

9.3 EJERCICIO.- Hallar el coseno del Sngulo de inclinación de cada u- na de las siguientes rectas:

a) Lx : (1, 1) + t(-2, 1) c) L3 : (1, 0) + r (-2,-4) .

b) L2 : s (1, -3)

SOLUCION: a) Consideramos el vector direccional de Lt: á « (-2, 1) ■(at, a2) que por tener a2 = 1 > D , entonces atiene el mismo ángulo de inclinación que Lt , y

á - |S|.(-2//5, 1//5) = * cose - -2//1 .

b) Consideramos el vector direccional de L2 : b = (1,-3) = (bj, b2) ,que por tener b2 » -3 < 0 , se elige -b * (-1, 3) como el vector que tiene el mismo Sngulo de inclinación de L2 . Lo que implica que

-b » | b | •( -1//Í0, 3//l0) = > cose » -1//10 .

c) Siendo el vector direccional de L3 , c = (-2, -4) - (cj, c2) , ypor tener c2 « -4 < D , se elige al vector -c = (2, 4) como el vector direccional de L3 con el mismo Sngulo 6 de inclinación que L3 , y por lo tanto,

-c - | c |-( 1//5 . 2//5 ) = » cose - 1//5 .

10 PENDIENTE DE UNA RECTA

Si L es una recta no veAtical L = { Pe ♦ tS } , donde á = (at, a2) con t 0 , se puede especificar la inclinación dela recta mediarte un número m que recibe el nombre de PENDIENTE ae larecta L , y que , si 6 es el inguto de. ¿nct¿nacÁ£n de L , con 6 c[0, n> . se define como:

PENDIENTE m = tan 6

De modo que si se expresa a * (a1( a2) = aj ( 1 , a2/aj) entonces :

m = tare ■= a2/aj , para la fig. siguiente y la fig. (a) (pSg. 223)

m = tañe = {-a2)/t~a1) * a2/a! , como er la fig. (b), pSg. 223 .

Cap. 5 La Recta 225

AsT, resulta que si 5 ■ (a , a2) es cualquier ve.cXon di/ieccxonal de. u-

na kexLta. L no vertical , entonces

m es la PENDIENTE de L m > a2 / a

En particular, si se conocen dos puntos distintos P = (x, y) y P0 =

(*o» Vo) de una recta no vertical L ( x f xc ) , entonces L siyuela dirección del vector - „ _ , \ i \a « P-Pc - (x-xc , y-yD ) = (alf a2)y en tal caso:

y - y om » a2 /a, = > m * -----

Esta relación origina otra forma de la ecuación de una recta L no vertical

y - yD - m ( x - x„ )

que es llamada la forma PUNTO - PENDIENTE de la ecuación general de larecta L que tiene como punto de paso Pc = (xe, yD) , y con pendiente m .

10.2 EjERCICl0 .- Determinar la pendiente , y la forma PUNTO - PENDIENTE de la ecuac'ón de la recta L = { (3t-2, l + 2t) }

SOLUCION: (x, y) = (3t-2,l + 2t)= (-2, 1) + t (3, 2) = *

yD) 1 i-2* U • a = (3, 2) , m = a2/aj = 2/3

I

226 La Recta Cap. 5

de donde obtenemos la ecuacién de la recta L : y - 1 » {2/3)(x + 2) .

10.1 RELACION ENTRE LA PENDIENTE Y EL VECTOR DIRECCIONAL .

Desde que cualquier múltiplo real del vector á • (at, a2) puede ser utilizado como vícXoa. disiecc-conat de la recta no vertical L ■ { P„ + t¡ / te I R } , y como se puede expresar:

á - ax ( 1, a2/aj) « aj ( 1, m)

entonces el vector ( 1 , m) también resulta ser un vector direccional de la recta L , siendo m su pendiente .

*SI L Intercepta al Eje Y en el punto (0, b) , y como el vector

(1, m) ■*" * ( - m , 1) es un vector nonmaí a L , entonces para cual -quier punto genérico P * (x, y) e L , se tiene que

[(x, y) - (0, b)] - ( -m , 1) * 0 = » (x, y -b ) • (-m. 1) - 0

que viene a ser otra forma de la ecuacién general de la rec ta L de pendiente m , y que pasa por el punto (0, b).Esta es llamada la:

FORMA Y-INTERCEPTO

de la ecuacién de la recta L .

11 PARALELISMO Y 0RT0G0NALIDAD DE RECTAS

Dos rectas Lj * { Pc + ti } y L2 = { Qc + sb } son

PARALELAS si es que los vectores a y b son paralelos .

Si Lj es paralela a L2 > se denotarS Lj // L2 ■

í i . i E j e m p l o . - Las rectas l , = { ( i , 2) ♦ t (4, - 6) }

y L2 - í s (_2, 3) } son paralelas, pues

sus vectores direccionales (4, -6) y (-2, 3) son paralelos .

Cap. 5 La Recta 227

11.2 Ej e m p l o .- Demostrar que si Tas rectas L1 » { P 0 + t 5 } y*-2 ” { Qo + s } no son paralelas, entonces ¿e. ¿n-

teAtedian en un único panto R .

SOLUCION: SI Lj L2 , entonces á no es paralelo a b , es decir,á no es perpendicular a b"*" , y por lo tanto:

a - b f 0 y b . 5 j» 0 (pues á-b"*" - - b • i )con esto, probaremos que existe un único punto Q c Ljíl L2 para lo cualdebemos hallar números s' y t' d< manera única tales que:

R ■ Pc + t'á y R ■ Q„ + s'b , o sea Pc - Qc * - t’á + s'b

= * f - -(P0 - Q0). b^ /íi-b1 ) , s' - (P0 - b)

con lo que se prueba que R * P0 + t'á e Lx H L2 .

La solución de este problema también sugiere el método para calcular el punto de intersección de dns rectas no paralelas.

11.3 De f i n i c i ó n .- dos rectas lx » { pc + tá }, l2 = { q„ + sb }

son ORTOGONALES si es que los vectores á y b (direccionales) son ortogonales : á • b * 0 .

11.4 Ej e m p l o ,- Las rectas Lx - { (1,2) + t (-2, 1) } yL2 = { (-1, 1) + s (2, 4) } ion ontogonaZeA

pues sus vectores direccionales á « (-2, 1) y b - (2, 4) son ortogonales: (-2, 1) • (2,4) = -4 + 4 - 0 .

11.5 Definición.-

dice que Pc es el

PUNTO SIMETRICO de Pj con respecto a la recta L , y viceversa.

Se llama MEDIATRIZ de un segmento [P0, Pj] a la recta L que pasa por el punto medio M úel segmento. y que es ortogonal al vector Pc Pj , y se

228 La Recta Cap. 5

11.6 TEOREMA.- Sean Lj y Lj dos rectas con pendientes rij y m2 •respectivamente, entonces

a) Lj // L2 si y solo si nij ■ m2 .

b) Lj J. L2 ¿a. y 6oto i¿ nij . m2 = - i , siempre que ninguna de las rectas sea horizontal ni vertical.

PRUEBA: $i |_j y L2 tienen pendientes m^ y m2 , entonces tienen los

vectores direccionales (1, rrij) y (1, m2) respectivamente. AsT.

(1, nij) // (1, m2) (1, Bl)-(1, m2f L = 0

(1, nij) ■ (-m2, 1) = O < = > mt • m2 .

(1, irij) ± (1, m2) «s=> (1, m, ) - (1, m2) - O

1 + mj m2 = O <===*> mi * m2 * - 1 .

11.7 ECUACION SIMETRICA DE UNA RECTA NO VERTICAL

Una recta L no vertical que corta a los Ejes en los puntos (a,0) y (O, b) , tiene como ecuación:

que es llamada la ECUACION SIMETRICA de la recta L .

O

11.8 EjbKCICIO.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por (4,-1), y que determina con los ejes coordenados segmentos cuya suma algebraica es de 3 unidades.

SOLUCION: Si (a, 0) y (0. b) son los puntos de intersección con los E-jes, entonces a + b * 3 , y su ecuación es :

x y 4 1L : - ♦ — = 1 , y cuno (4, -1) e L entonces - - - = 1

a b a b

= > 4b - a = ab = » 4(3-a) - a = a (3-a)

==» a2 - 8a + 12 = (a - 6)(a - 2) = 0 =s> [ a = 6 , d = -3 ] ó

a) Lt // L2

b) Lj X L2

Cap.5 La Recta 229

6 [ a * 2 , b ■ 1 ] .

AsT, existen dos rectas con las condiciones del problema:

(x/6) - (y/3) =■ 1 (x/2) + y - 1

ii.9 Eje r c i c i o.- En la recta que pasa por P ■ (0, -2) y Q ■ (4, 1) , determinar un punto A que estí situado a 3 unidades de distancia de Q , y que no pertenezca al segmento [P. Q] :

Como d[P, Q] “ 5 , el punto A debe ubicarse tal como en la flgura, y

Q-P

IQ-PI 5 ’ 5

Q + 3ü(32/5, 14/5) .

íi.io Ej e r c i c i o.

|H|

Po * 10 (f. j) - (6.8)

L: (x. </)-(3. 4) - (6. 8)-(3, 4)

L : 3* + Hy = 50 .


y por lo tanto.

L : (x, y) • ñ = P„ • ñ

Hallar la ecuación de la recta que no corta al tercer cuadrante, que es paralela a la recta Lj :

3x + ty = -8 , y cuya distancia al origen es de 10 unidades.

SOLUCION:

Solo falta el punto de pato , pues ñ = (3, 4) es también un vector normal a L :

1. Considere las siguientes rectas, tales que:

?30 La Recta Cap. 5

1) Lj pasa por (6, 1), paralela a (1, 1)2) L2 pasa por (2, 3) y (-3, -2)3) L3 pasa por (-1,1) y (1,-5)4) L4 pasa por (2,9) y (7,14)

a) ¿ Qué pares de rectas son paralelas ?b) Hallar la ecuación general de la recta L que pasa

es paralela a Lt ; L2 ; L3 ; .por (2.5) y

c) Encontrar los puntos de intersección de cada recta, con el Eje Y .d) Encontrar el coseno y el seno del Angulo de inclinación de cada

recta dada .

2. Demostrar que tres puntos Pt , P2 j P3 se encuentran en una misma

recta si y solo si P2 - Pj y P3 - Pt son paralelas.

3. Dada la recta L > { (4, -2) + t (4, 3) } , hallar la ecuación de larecta L¿ que pasa por (-6,2), perpendicular a L .

4. Dados A = (4, 2) , B ■ (5,4) , hallar la longitud de la proyección

del vector ÁB sobre: u recta 2x + y m 6

b) la recta ortogonal a 2x ♦ y * 6 .

5. Hallar las coordenadas del punto R sobre el segmento PQ tal quePR “ (3/5) PQ , donde P = (3, 5) y Q - (9,-7) .

6. Hallar el punto simétrico de P ■ (4,6) con respecto a la recta:L = { (x, y) / x = 3 - 2 t , y = 1 + 2t , t e R }.

7. Determinar el valor (o valores) de k de modo que la distancia de(-3,2) a la recta 5x - líy * 3 + k » 0 sea de 4 unidades.

8. una recta corta segmentos de longitudes iguales en los ejes coordenados y pasa por (3,2) . Hallar su ecuación.

9. Una rerta pasa por (3,5) de modo tal que el segmento de ella, situado entre los ejes coordenados, es dividido por el punto dado en su mitad. Halle su ecuación.

10. Encuentre las rectas que, pasando por (6, 2) , formen con el Eje 0X un triSngulo equilátero.

11. Encontrar la ecuación de una recta vertical L que forme con las rec -

tas Lj : x - Zy = - 2 , y L2 : 2x+ $y * 26 , un triSngulo de 30unidades cuadradas.

Cap. 5 La Recta 231

12. La suma de las longitudes de los segmentos que una recta L determinasobre los ejes coordenados es igual a 3 unidades. Hallar la ecuación general de L . si ésta pasa por (2. 10).

13. Dadas las rectas Lt : -2x + y » 5 . L2 : 4x + 2y - IB , ha?lar laecuación general de una recta vertical L que forme con Lx y L2 untriángulo de Srea 8 unidades cuadradas.

14. Hallar el valor de a tal que la recta ax + (a - 1)y + 1 8 - 0 seaparalela a la recta 4x + 3y + 7 » 0 .

15. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es -5/12 , y que formacon los semiejes de coordenadas positivas un triSngulo de 15 unidades de perímetro.

16. El Sngulo de inclinación de una recta que no pasa por el 2° cuadrantees de 45°. Hallar su ecuación, si su distancia al origen es 6/2 .

17. Dos rectas Lt y L2 i Lt , pasan por (5,4). SI d[Q, Lj] - d [Q,L2] - /2 , encontrar las ecuaciones de ambas rectas s1 Q - (4, 1) .

18. Dadas las rectas Lj : (1,2) + t(l,-2) , L2 : (a/3, 2a/3) + sb ;

s1 Lj es ortogonal a L2 , y s1 Lj n L2 H (Eje Y) f 4> , calcularla constante a .

19. Dadas las rectas paralelas Lt : 4x - f>y + 3 * 0 , L2 : 4x - 6y +21 » 0 , encontrar la ecuación de la recta cuyos puntos equidistan deL] y de L2 .

21. Da jas las rectas Lx : (a, a) + tb , L2 : (-1, 2) • (P - PQ) - 0 . SiL2 pasa por (-3, -2) y si su abscisa en el origen es mayor en dos unidades que la de Lt , encontrar el valor de la constante a .

22. Dadas las rectas Lt : (1,2) + t (4, 3) , L2 : (3a, a) + sb ; siLt O L2 es un punto del Eje X , y si Lt es ortogonal a L2 , h a llar el valor de a .

23. Sean irij y m2 las pendientes de las rectas que pasan por (5, 2) yque distan 2/5 unidades del punto (2, 6) , encontrar el valor de11(mj + m2) .

24. Si el ¿rea del triSnqulo de la fi_gura es de 12 u2 , si Lj esortogonal a L2 , encontrar las ecuaciones de Lx y L2 .

232 La Recta Cap.5

25. Calcular el Srea del cuadrilítero limitado por los ejes coordenados ylas rectas Lj : 4* + 3y ■ 12 , L2 : 8x + ij 48 .

26. La suma de las longitudes de los segmentos que una recta determina sobre los ejes coordenados es Igual a 10 unidades. Hallar la ecuación de la recta, si forma con los semiejes positivos un triSngulo de 12 u- nidades cuadradas de Srea y tiene pendiente m < -1 .

27. La recta Lj : 3kx + Sy + k - 2 es paralela a la recta 5* + 3y ■ 7.Hallar el valor de la constante k .

28. SI la recta que contiene a los puntos A ■ (k,2) y B » (0, 2k) es paralela a la recta que contiene a C * (- k, 3) y D * (1, -2k) , ha llar el valor de k .

29. Determinar los valores de k para los cuales las rectas ky + (2k-l)x+ 7 » 0 , (k- \)y + kx m 5 se corten ¿n un punto situado en el ejede abscisas.

30. Un cuadrado tiene uno de sus lados en la recta 3x - y + 2 • 0 y unvértice en (1, 1) . Encontrar su Srea.

31. Un rayo de luz va dirigido por la recta 2x - 3y * 12 . Al llegar aleje de las ordenadas, se refleja en él. Determinar el punto de contacto Jel rayo con él, y la ecuación del rayo reflejado.

32. Ha'Mar el punto Q simétrico a (10, 21) respecto a la recta de ecuación 2x + Sy * 38 .

33. ¿CuSntas circunferencias puede encontrar que sean tangentes a las tresrectas: Lt : x + y ■ 1 , l2 : * - y ■ -1 , L3 : x - 3y = 1 . ? .

934. Encontrar el valor de k para que la recta k x + (k+ 1 )y + 2 = 0

sea perpendicular a la recta 3x - 2y + 4 ■ 0 .

35. Hallar la pendiente y el Sngulo de Inclinación de la recta que pasa por (2, 3) y es perpendicular a la recta 2x - 7y + 9 = 0 .

36. Hallar la ecuación vectorial de la recta L cuyos puntos se encuentran a un tercio de la distancia entre las recta? Lt y L2 donde Lj :2x - y + 9 = 0 . L2 : 4x - 2y + 6 * 0 , si la distancia es medidadesde la recta L¿ .

37. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el origen de coordenadas y que cortan a las rectas Lj : 2x - y + 5 = 0 , L2 : 2x - y =

- 10 , determinando segmentos de longitud igual a /10 , y cuyos extremos se encuentran sobre Lt y L2 respectivamente.

Cap.5 La Recta 233

38. La ecuación 3x - 4ÿ + k(x- 5) + 6 » O , representa una familia derectas donde sus miembros se determinan dando valores a k . ¿CuSl debe ser el valor de b para que la recta y = 3x + b pertenezca a la familia de rectas dada? .

39. Dado el segmento AB con extremos A = (2, -2) y B> (6, 2) deternnnar la ecuación de la recta con pendiente postiva que pasa por el ori -gen y divide al segmento en dos partes cuyas longitudes están en la re-ción 5:3.

40. Dados los puntos A * (1,1) y B ■ (9,7) , determinar las coordenadas de un punto C e L: y = x - 6 tal que el Sngulo AOB sea unSngulo recto .

41. Hallar la ecuación de la bisectriz del Sngulo agudo entre las rectas:

a) L! : 3x + 4ÿ = 10 , L2 : 5x - \Zy = 26b) Lj : 12x - Sy = - 39 , L2 : - 3x + 4ÿ * - 20 .

42. Hallar la ecuación de la bisectriz del Sngulo obtuso entre las rectas:a) Lj : Bx - lSy ■ 84 , L2 : 7x + 24;/ = - 75b) Lt : 5x + lZy = 52 , L2 : 24x - 7y = 50 .

43. Dada la recta Lt : 3x - Zy = - 12 , hallar la ecuación de la rectaL2 que es paralela a Lj yque forma con L| y los ejes

coordenados un trapecio de 5 rea igual a 15 unidades cua dradas.SUG: Use x/a * y/b - 1 .

Sean las rectas Lj « { (b2 + a3 - 2 , 3) + t (1 - a2, a) / t e R }L2 = { (ab, 3b + 5) + s (a - 5, 8 - 3a) / s e IR ) .

encontrar valores de a y b de tal manera que las rectas Lj y L2 sean coincidentes.

Encontrar la ecuación vectorial de la recta que determina al cortarse con los ejes coordenados un segmento cuyo punto medio es (-4, 8) .

Encontrar dos puntos A y B de la recta cuya ecuación es x + y = 8 , tales que si C = (6 + 3/3, 2 + 3/3), el triSngulo ABC sea equilátero.

Dadas las rectas Lj = { (x, y) e IR2 / 2x - y = 5 ) , L2 = { C +

44.

45.

46.

47.

234 La Recta Cap.5

+ t (11. 2) } . A ■ (9, 13) e Lj , C - (25. -3), y el punto B de Intersección de ambas rectas, encontrar la ecuación vectorial de la rec ta L que contiene a la bisectriz del Sngulo ABC .

Cl a v e de Re s p u e s t a s .-

1. a) (1). (2). (4) ; 3. (-6. 2) + t(3.-4) ; 4.a) -3/✓! . b) 4//55. R - (33/5. -11/5) ; 6. (-2. 0) ; 7. k c { 88 . - 16 } ;8. x + y - 5 . 9. 5x + 3i/ - 30 ; 10. Ll: (6,2) + t(l, /3) , L2:

(6, 2) + t(l, - /3 ) ; 11. x - 8 , x - -2 , 14. a » 4 ;17. Ll: (5, 4) + t(l, 1) , L2 : 7x + y - 39 , 21. a * 1 ,24. L2: 2x - 3y - 12 . Ll: 3x + Zy * 18 . 27. k = 25/9 .29. k = 5/17 , 31. (0,-4), Rayo reflejado: (0,-4) + t(3, -2) .36. (0, 7) + t(l, 2) , 37. Ll: y - x , L2: 7x + 3y - 0 ,3B. b ■ -39/4 , #jta) (4,-1/2) ♦ t(l, 8) ; la Bisectriz del Sngulo ob

tuso es (4,-1/2) + t(8, -1) . 42a) (3,-4) + t(-3, 29) ,43. Zy - 3x - 18 , 44. a - 2, b = 5 , 45. (-4. 8) + t(l, 2) ,46. A = (9. -1), B - (3, 5) ,47. B =* (-14/10, -78/10) , LBI : (-7/5, -39/5) + t(4. 3) .

12 INTERSECCION DE RECTAS

Dadas las rectas Lt = { PG + t a )L2 = ( Oo + s b } , ya se

ha demostrado anetriormente que tlener. un único punto de intersección y

ioto los vectores direccionales a y b no son paralelos. Es decir,

si y solo si i • b ■*" t 0 .SI ñj y ñ2 son vectores normales a Lj y

L2 respectivamente, entonces los vectores direccionales á y b no son pa

ralelos si y solo si los vectores normales ñj y ñ2 no son paralelos, y por lo tanto L{ y L2 tienen un único punto de intersección si y solo siñj y ñ2 no son paralelos. Es decir, si y solo si ñt no es ortogonal

a r¡2 ( ñj1 • ñ2 t 0 ) .

12.1 EJEMPLO.- Hallar la intersección de las rectas Lj = { (5,8) + t(l, 2) } , y L2 = { (4, 3) + s(l, -1) ) .

Cap. 5 La Recta 235

SOLUCION: La recta Lj no es paralela a L2 , pues (1,2) no es paralelo a (1, -1). Y si Pe Lj O L2 . entonces

P - (5,8) + t (1, 2) = (4. 3) + s (1. -1)

= > (1.5) - - t (1. 2) + s(l.-l)

= > t . (1. 5)-(l. 1) _ _ 2 s _ (1. 5) • (-2. 1) _(1, 2)-(l, 1) ‘ U,-l)-(-2,l)

por lo tanto, P ■ (5,8) + (—2)(1.2) ■ (3,4) , y se puede verificarque (4,3) + s (1,-1) - (4,3) + (-I)(l,-1) * (3,4) también.

OTRO METODO: Siendo ij - (-2,1) , ñ2 = (1,1) los vectores normales de L| y L2 respectivamente, se tiene el sistema:

Lj : -2* + y » - 2L2 : x + y - 7

el cual tendrS una única solución pues (-2,1) y (1,1) no son paralelos. Esta única solución (x, y) corresponde precisamente a la intersección de Lj fl L2 . En efecto, resolviendo dicho sistema, obtenemos:

x - 3 , y = 4 , que son las coordenadas del pun

to P = (3, 4) que hablamos encontrado anteriormente.

12.2 EJERCICIO.- En la figura PQRS es un paralelogramo. El Srea del triSngulo PRS mide 6 unidades cuadradas, la recta

236 La Recta Cap. 5

Como (1,-2) e L2 entonces L2 : - x .*y = -3 ,y siendo Lj : x + y * 13

resolviendo el sistema de ecuaciones ¿■Lmuttín&u obtenemos el punto R =(8, 5) e Lj (1 Lj . Y como el Srea del triSngulo PRS es igual a:

6 = ab/2 y a = 2 /2 , entonces b ■ 3/2 . Por lo tanto, siconsideradnos el vector unitario ü ■ (-1, l)//2 , de la figura se tiene

que S = R + a ú 1 = (8, 5) + 2/2 (-1.-l)//2 » (6,3)P= R + bu = (8. 5) + 3/2(-l,l)//2 = (5,8)Q « P + a(-üX ) - (5,8) + 2/2(1, 1)/ /T ■ (7.10)

La pendiente de la recta L que pasa por S = (6, 3) y Q = (7, 10) es

10-3m = ---» 7 = > (l,m) ' (1,7) es un vector direccional de L7-6 ,

y (l.m) ■= (-m, 1) es un vector normal de L ,

y como L pasa por S = (6, 3) entonces L : - 7x + y » -7(6) + (3)

= > L : - 7x + y = - 39 .

12.3 LA REGLA DE CRAMER .-

Mediante el uso de los DETERMINANTES se puede cal cu lar las coordenadas (x0, yD) del PUNTO DE INTERSECCION DE DOS RECTAS NO PARALELAS dadas. En efecto, dadas las dos rectas, no paralelas,

aj x + bj y =

a2 x + b2 y =(*)

(1)

(2)

y por ser no paralelas, se tiene que (at, bj) ■*" • (a2, b2) t 0

(-bj, a^-faj, b2) + 0 = » ( a ^ - a ^ ) i 0

Así, resolviendo el sistema (*) nes de (*) por:

(b2) x

(-bj) x

para lo cual multiplicamos las ecuacio-

at x + b, y = Cj

a2 x + b2 y = c2

(a1b2) x + (bjb2) y = c,b2

Cap. 5 La Recta 237

'■1"2 ' 2 1 1 2 “ 2 1x - ----------- , y - ----------- (**)alb2 ‘ a2bl alb2 ” a2bl

Recordando que se define como DETERMINANTE al número

det "al bi ■ ajb2 - a2bj , ó simplemente al bl

_a2 b2 _ a2 b2

Notamos que las coordenadas , en (**) . del PUNTO DE INTERSECCION de Lj y L2 pueden ser expresadas en términos de Determinantes como:

REGLADE

CRAMER

C1 bl

C2 b2

a, ct

a2 C2

al bl

a2 b2

» y 9

al bl

a2 b2

que viene a ser la llamada REGLA DE CRAMER para 1? resolución de un par de ecuaciones lineales simultáneas en dos variables, con una única solución para x e y .

Observe que el denominador es el mismo en ambaí variables. Adem8s, los numeradores provienen de reemplazar en el denominador:

- la primera columna por los términos independientes de Lj y L2 , pa ra x ,

- y la segunda columna por estos mismos términos independientes, para y.

Por ej»mplo, las coordenadas del punto de intersección de las rectas (¿ no paralelas ?)

están dadas por 16

12

3

5

-1 •

-2 :

-2

4

4

-2

3x - 2y = 16

5x + 4ÿ = 12

7¿(4) - 12(-2)

3(4) - 5(-2)

8822

= 4

238 La Recta Cap. 5

16

12

-2

4

3(12) - 5(16)3(4) - 5(—2)

Ve donde, obte.nemo¿

36 - 80 12 + 10

-4422

(4. -2) e Ll O L2

NOTA.- Esta REGLA DE CRAMER también se extiende para ecuaciones lineales simultáneas de tres variables , mediante DETERMINANTES DE TERCER ORDEN , como sigue. Dado el sistemj de tres ecuaciones siguiente en la que el Determinante de tercer orden de los coeficientes NO ES CERO entonces se cumple que la (única solución) está dada por las fórmulas

aj X + bj y + clz s dl •• (1)a2 x + b2 y + c2 z - d2 (*) •• (2)

a3 * + b3 y + c3 z ■ d3 •• (3)

dl bL C1 al di C1 al bl dld2 b2 c2 a 2 d 2 c2 82 b2 d2d3 b3 c3 a3 d3 c3 a3 b3 d3

al bl C1 ai bi ci ai bi cib2 C2 2 C2 a2 b2 c2

3 3 3 a-j b3 c3 a3 b3 c3

cientes xAl determinante del denominador (correspondiente a los coefi - y , z ) se le denota con el s?i»bolo:

al bl

a2 b2

a3 b3

A =

Recordemos que este determinante de tercer orden se calcula en base a determinantes de segundo orden, como sigue:

al bI cl b2 c2 »1 C1 bl C1a2 b2 c2 al - a2 + a3a3 b3 c3 b3 c3

Îb3 c3 b2 c2

N O T E ESTE SIONO

Cap. 5 La Recta 239

Por ejemplo, dado el sistema de ecuaciones lineales

el determinante de los coeficientes es igual a:

4x - ty

3* + y

I - 6

I 1

- -42 ■ - 4

4 + 1 8

A - 22

42 - 6 I■ 4 1 I

-42-4

Por lo tanto.

(-42) - (24) 22

(-16) - (-126) 22

-6622

11022

-3

Desde que el sistema de ecuaciones dado arriba representa las ecuaciones de dos rectas (no paralelas) , entonces la solución del sistema representa el PUNTO DE INTERSECCION (x, y) de ambas rectas, es decir,

(* . y) (-3.5) .

Considerando otro ejemplo, dadas las rectas (no paralelas i?) :

- 5x + ly -

2x - 4y ■

9

12(*)

para hallar su PUNTO DE INTERSECCION, hallamos la solución del sistema de ecuaciones lineales s1mult8neas (*) , mediante la REGLA DF CRAMER :

(-36) - (-84) _ 48(20) - (14) ‘ 6

(60) - (18) (20) - (14)

i? - 76

Asi, el punto de Intersección de Lj y L2 es Pc - (*.{/) “ ( B , 7) .

Veamos ahora un ejemplo de cómo calcular la solución de un sis

tema de tres ecuaciones lineales simultáneas que tiene una Gnica solución. Esto está asegurado por la condición que el determinante A sea DISTINTO DE CERO. Por ejemplo, resolver el sistema de tres incógnitas:

3* + Zy - z ■ 14x - 4y * 2z - -7

-Zk + y + 3z - -7(*)

cuyo determinante A de coeficientes es

- 3 (-14) - 1(7) + (-2) (0) - -49 t 03 2 - 11 -4 2-2 1 3

Entonces, por la REGLA DE CRAMER, la Gnica solución de (*) estS dado por:

14-7-7

2-41

-123 14(-14) - (-7)(7) ♦ (-7)(0) -147

A -49 -49

3 14 -11 -7 2-2 -7 3 3(-7) - 1(35) + (-2)(21) -98

A -49 -49

3 2 141 -4 -7-2 1 -7 3(35) - l(-28) + (—2)(42) 49

A -49 -49

Asi, la solución del sistema es el punto (x, y, z) • (3, 2, -1) .

En el Capitulo de GEOMETRIA VECTORIAL EK EL ESPACIO, veremos que cada una de las ecuaciones del sistema (*) de arriba, representa un plano; veremos que estos tres planos tienen un Gnlco punto de Intersección (es decir, un 0 nico punto común) pues su determinante A es DISTINTO DE CERO, y que la solución del sistema, dada por las coordenada:, (x, y, z) halladas, represen ta precisamente a este PUNTO DE INTERSECCION de los tres planos dados en (*).

Como vemos en este caso extendido a tres dimensiones, la REGLA DE CRAMER sigue siendo sumamente Gtll, y conviene siempre tenerla en cuenta.

Cap.5 La Recta 241

13 ANGULO ENTRE RECTAS

De la Trigonometría elemental se tiene que:

tan (■» - 8) * - tan 6 (1)

tan ( a2 - a . )

tan a2 - tan a|

1 + tan <X| tan a 2

Asi que dadas las rectas L| y L2 no vvatinaZu , con Sngulos de Inclina clón 8| y 62 respectivamente, se puede considerar (de la figura adyacente) a 8 y (u - 8) como ) ds Sngulos formados por las dos rectas, don ae 8 * a 2 ~ a | •

entoncLS

SI m| y m2 son las pendientes de L| y L2 .

»I » tan oj , m2 “ tan a2 . De la relación (2) se

tiene ademSs que:

(3)

Ycorrespondiente al Sngulo 6 entre y * / LiLt y Lj en términos de las res -peetivas pendientes. Y para el Sn \ e /gulo suplementario u - 8 se tlene que it - 8 j* \ /

tan (n - 8) » - tan 8V \

Por lo tanto, pueden presentarselas siguientes tres posibilidades:

0/ \ 1

a) SI tan 8 > 0 entonces 8 es el Sngulo agudo entre L| y L2 .b) Si tan 8 ■= i oo , entonces 8 « 90° , y asi, Lj X L2 .c) SI tan 8 < 0 entonces 8 es el Sngulo obtuso entre Lj y L2 .d) SI tan 8 ■ 0 entonces 8 ■ 0 , y así resulta que L, // L2 -

13.1 REGLA Para evitar confusiones en la fórmula (3) , cuando se co

242 La Recta Cap. 5

nocen aproximadamente las gráficas de las dos rectas, se considera la si guíente regla:St 8 ti el íngulo eiJtie Lj y

L2 con pendientes mx y m2 ,

se considera al ángulo 6 como aquel que está trazado en send do ANTIHORARIO . Asi,

ti válida, pana cuax.qiu.2Aa de tot ca

tot de Za {¿guna donde m 2 consitiponde a ta nzcta L2 donde termina et ba

/m ido del Angulo 6 , y ta pendiente m¡ conAesponde a ta necia Lj donde

comienza til ba/Uiido del inguai 6 .

13.2 EJERCICIO.- Oadas las rectas Lx : 7x - y ■ 0

L2 : x - y * -2 , hallar

la ecuación de la recta L de pendiente negativa que pasa por Q » (4, -1) ,y forma con Lj y L2 un triángulo isósceles cuyos lados iguales se encuentran en Lt y L2 respectivamente.

SOLUCION:

Lj tiene pendiente L2 tiene pendiente

Si m * entonces

tan 8¡

pendiente de L

ton 6,

m ■- m t

1 + m r i j

IT) - 7

1 + ( m ) ( 7 )

1 ^ 2 - m

1 + m¿- m1 - m 1 + m

Cap. 5 La Recta 243

y coipo 6 e, entonces m - 71 2

(2m + 1)(m - 2) - 0

2m - 3m - 2 - 01 + 7m 1 ♦ »

y puesto que la pendiente m debe ser negativa, tomamos la solución m ■ -1/2

como la pendiente de la recta L que pasa por Q « (4, -1) . Por lo tanto,

L : y + 1 »

13.3 Observaciones

¡ U - *).

1. Para saber si el Sngulo 6 entre dos rectas no perpendiculares L( ■

{P0 + t á } y L j ^ í Q o + s b } es el Sngulo agudo o el obtuso

en forma analítica, se graflcan los vectores dlreccíonales 5 y bcon relativa aproximación y luego se calcula su producto escalar a * by como _ -

a - beos 6 - ---- — , entonces

Ü I I M

i) s1 á ■ b > 0

¿1) si i • b < 0

eos e > o = > e e <0. w/2y

6 ti et ángulo agudo.

eos 6 < 0 = s 6 e ^i/2 ,

= » 6 ti ti Angulo uttuio.

2. Mediante la regla del paralelogramo se puede establecer que si se tienen dos vectores a y b de igual longitud, es decir | a| * |b| ,entonces el vector suma i + b forma con los vectores i y b el mismo Sngulo, o sea que corta al Sngulo entre 5 y b en dospartes iguales, y se dice que TRIZ dt loi vtcloHti i y b

a •(a + b)

a + b iigut la. dlntcclln dt la. 8ISEC . En efecto.

eos a1 | i | | 5 + b |

| 5 12 + I . b

| a||i + b|

¡ b |2 * 5-b

| b | | 5 + b |

b . (5 + b ) / [ | b| 11 + b | ] eos a,

244 La Recta Cap.5

En la práctica, si se tienen dos vectores cualesquiera no pata

tifa , y no necesariamente de la misma longitud, entonces para hallar un vec tor en la dirección de la BISECTRIZ de a y b lo que se hace es considerar los vectores unitarios

b

|B|

los que por tener la misma Ion gitud unitaria, se tiene que el vector-suma

a

|5|

b

|BÍ

seguirá la dirección de la B¿ SECTRIZ de a y b .

b

|b|

13.4 EJEMPLO.- Dadas las rectas

entonces los vectores males, y por lo tanto,

i = (2, -1) c = (-2, 1)

son dos vectores direccionales de

-i asi como b = (1, 1) lo es de L2 ■ Al graficar se tiene la figura adyacente.

Y como se tiene además que

á ■ b = 1 > 0 entonres 6 esel ángulo agudo entre Lj y Lz,

c - b = -1 < 0 entonces B es el

* + Zy - 4 =* - y - 1 =

nj - (1, 2) y ñ2 ■ (1, -1) son sus vectores ñor

13.5 PROBLEMA.- Hallar las ecuaciones generales de las rectas bisectHes de Lj : 4x - 3y + 10 = 0 , Lz : 7x + y - 20

- 0 , correspondientes al ángulo agudo, y al ángulo obtuso entre Lj y L2-

SOLUCION.- El punto de intersección es Lj fl L2 = í (2, 6) ) , y

a = (3, 4) y b = (1. -7) son loslos vectores:

Cap. 5 La Recta 245

vectores direccionales de Lj

I ■ b - -25 < 0

= > f¡ : ángulo obtuso,

y por lo tanto, L' es la recta BISECTRIZ correspon diente al ángulo obtuso en tre Lj y L2 .

13.6 NOTA: La recta L"BISECTRIZ co

rrespondiente al ángulo a- gudo es siempre

L” ortogonal a L* .

El vector direccional de L'

Además,

7(3. 4) +■ — (1, -7)5 5 / 2- L + —

|á| lb|

= (3/2 +1, 4/2 - 7)/(5/2)

6 también, por simplicidad: (3/2 ♦ 1, 4/2 - 7) ,

y como L* debe pasar por (2, 6) e Lj n L2 , entonces

L' : (3/2 + 1, 4/2 - 7) X - (x, y) = (3/2 +1, 4ñ - 7) X • (2. 6)

L' : (-4/2 + 7) x + (3/2 ♦ 1) y = 10/2 + 20

L" correspondiente al ángulo agudo es siempre ortogonal a L' , y pasa por (2, 6) , por lo tanto,

LM : (1 + 3/2, 4/2 - 7) - (x, y) > (1 + 3/2, 4 /2 - 7) ■ (2.6)

L“ : (1 + 3/2 )x + (4/2- 1) y = 30/2 - 40 .

13.7 EJERCICIO.- En la figura, Lj 1 L2 , Lj : 4x - 3y = 21 .

{P } = Lj O L2 , la ordenada de P es igual a 1 , y

la distancia de Q a R es 5/5 . Si el cateto mayor del triángulo PQRse encuentra en la recta Lj , hallar la ecuación general de L si se sabeque el área del triángulo es de 25 unidades cuadradas.

SOLUCION: Puesto que P * (xot 1) e Lj = » 4x0 3 ( 1 ) = 2 1

246 La Recta Cap.5

de donde xc * 6 .

Además, n, « (4, -3) esun vector normal de Ly por lo tanto el vector u nitario ü de la figura es

ü - ñ^/ | ñ f 1

= (3, 4)/5

Y puesto que el área de PQR es: ab/2 » 2 5 .. (1)y c = d[Q; R] - 5/5 ,

2 a2 + b2 a2 ♦ b2

c125

a4 - 125a2 + 2 500

a2 * 25

a2 - 100

-■ 12)0 (a2 - 25){a2 - 1Ü0) = 0

a - 5

a = 10

De las hipótesis del problema resulta que

» b « 10

» b - 5

a * 10 y

de (1)

de (2)

. Luego,

Q =■ P + 5¡¡ = (6, 1) + 5(-4, 3)/5 = (2, 4)R « P + 10Ü - (6. 1) + 10(3. 4)/5 - (12. 9) ,

Pendiente de L = m * (9 - 4)/(12 - 2) « 1/2

Ecuación de L : y - 4 = (1/2)(*c - 2) .

13.B PROBLEMA.- Dado P = (x, y) , y las rectas L,: (2,3)-[P - (4,5)] = 0L2: (1.2).[p - (5,4)] = 0 , hallar la ecuación

de la recta L que pasa por L¡ fl L2 e intersecta al Eje X en un punto cuya abscisa es igual a dos veces su pendiente. El valor de la pendiente es unnúmero entero.

SOLUCION.- Sea L : y = mx + b . Además, Lj : 2x + 3y = 23,

L2 : * + Zy = 13 ==» L, fl L2 = { (7, 3) ) .Comj (7, 3) debe pertenecer a L también, entonces 3 ■ (m)(7) + b

L : y ■ m* + (3 - 7m) que intersecta al Eje X en un punto

(*£>■ yo) donde y0 = 0 . EntoncesxD « (7m - 3)/m , de la ec. de L , y xD = 2m , por hipótesis.

Cap.S La Recta 247

Igualando los segundos miembros se obtiene 2m - (7m - 3)/m -•»

2m2 - 7m + 3 * (2m - l)(m - 3) ■ 0 ==> m ■ 1/2 6 m * 3 .

pero ccmo m debe tomar un valor entero, entonces m - 3 . Por lo tanto,

L : y - 3x + [3 - 7(3)] ==> L : y - 3x - 18 .

13.9 PROBLEMA,- Hallar el punto Q simétrico a P - (2, 5) respecto a la recta L - { (4 - t, -6 + 3t) / t c R } .

SOLUCION.- METODO 1 :

L también se puede expre sar

L: (4,-6) + t(-l,3) ,

i ■ (-1,3) es un vector di reccional, y

ñ - i-1 - (-3,-1) un vector normal a L

es

Si u ñ/|ñ|(-3,-1)/ /10 es

el vector unitario en la misma dirección del vector PQ , y siendo

L: 3x + y * 6 . . | 3(2) ♦ (5) - 61 5d[P; L]

/10 ✓ 10 21 /10

Q = P + 2(d)ü

METODO 2.-

(2, 5) + /10 t(-3, -1J//10 ] - (-1. 4) .

Se halla la ecuacifin de la recta L J. L y que pasa por P■ (2, 5) y luego se encuentra el punto M de intersección de

L con L*. Este punto resulta ser el punto medio entre P y Q . 0 sea,

L: 3x + y * 6 ==» L1: - x + 3y - 13 pues tiene normal (-1, 3) y

pasa por P - (2, 5). Resolviendo el sistema se obtiene

M - (1/2, 9/2) , y como M - (Q + P)/2 — Q ■ 2M - P = >Q - 2(1/2. 9/2) - (2, 5) = (-1, 4) .

13.10 PROBLEMA.- Pedro tiene que ir desde un punto P ■ (1, 6) hastael punto Q ■ (5, 10) pero pasando por el rio para sa

car agua en un cubilete. Si la orilla del rio se encuentra en la recta L:(1, 2) + t(3, 1) , t e R , ubicar un punto N en la orilla del rio de ma

248 La Recta Cap. 5

ñera que Pedro recorra la mínima distancia.

SOLUCION.- Consideraremos el punto simétrico Q' de Q respecto de la recta L' que pasa por P y Q‘. Así, ubicamos el punto ade

cuado N en la intersección de L con L‘ :

L: x - 3y » -5 .. (1) Yü = (1.-3J//T3 , Q

Jfn „ 1 (5) - 3(10) ♦ 5 |A ü /f

d[Q; L] * -----------------✓ 10

/ 1 \/l »

/ ' ‘ L- 2 ✓To".

Q' - Q + 2(d[Q; L]) ¡3 * \= (5,10) + 2(2/T0)(l,-3)//Í0 ^ ^ i \ ' ' \

* (9.-2J . L ^ \Y como L' pasa por (1,6) y (9,-2)entonces \

L' : x + v = 7 .. (2) .Resolviendo (1) y (2) simultáneamente obteremos N e L fl L1 : N = (4, 3).

13.11 DEFINICION.- Si la velocidad v de una partícula es un vector tonstante, y si la partícula parte del punto PD en el in£

tante t = tD . la posición P de la partícula en el instante t es:

P » P„ ♦ (t - t„) v

La recta L = { PQ + (t-tQ)v / t e R } es denominada la TRAYECTORIADE LA PARTICULA , y al valor |v| se le llama la RAPIDEZ de la partícula.

13.12 EJERCICIO.- La partícula p1 tiene una velocidad Vj ■ (100, 30)y parte del origen en el instante t = 0 . Una segun

da partícula p2 tiene una velocidad v2 » (50, -30? y parte del punto (0,270) en el instante t * 0 .a) ¿ Donde se intersectan las trayectorias ? b) i Colisionan las partículas?b) ¿ En qué instante debería partir la partícula pj para chocar con p2 ?

SOLUCION.- tD * 0 para ambas partículas,Trayectoria de px , Lj : (0, 0) + t(100, 30)Trayectoria de p2 , L2 : (0,270) + s(50, -30) ,

donde t y s representan el tiempo transcurrido desde que parten las partí culas pj y p2 respectivamente. Luego, L1 n L 2 = { Q } , y Q =

Cap. 5 La Recta 249

Q ■ (300. 90) que corres ponde a t * 3 seg para la partícula p¿ , y corresponde a s * 6 seg para la partícula p2 . va lores que son obtenidos de la ecuación

(0.0) + t(100. 30)

= (0.270) + sy 50.-30) .

y despejando t y s . nor lo tanto, las partículas NO CHOCAN, y para que esto ocurra Pj debe partir 6 - 3 * 3 segundos después que parte p2 i es decir, en el instante tD - 3 seg.

13.13 EJERCICIO.- Dada la recta L: (-4,-10) + 1(5.12) , y el puntoP ■ (7 + 12 /3 , 16 - 5/3 )/2 . hallar dos puntos R

y S en L que formen con P un triSngulo equilátero, y encontrar el áreade dicho triSngulo.

SOLUCION.- Considerando el vector unitario u paralelo a la recta L.ü = (5. 12)/13 . la ecuación de la recta L resulta ser L:

12* - 5y « 2 . Por ser el tH ángulo PRS equilátero, las distancias a y d siendo d = d[P, L] , están relacionadas por d * a . 3 .Además, el área del triángulo resulta igual a: a x d .Calculando el valor de d : como d * d [P, L] entojices: d *

| [ 12( 7 + 12 /3 )/2 - 5( 16 - 5/3 )/2 ] - 2 [

/ i13/3/2

122 + (-5)2d[P, L]

Por lo tanto, si M * P + dú S = M + a ú

==* a ■= d//3 = 13/2 .M es el pubito medio entre R y S , entonces = P + (13/3)/2)(-12, 5)/13 = (7/2. 8)* (7/2, 8) + (13/2)(5, 12)/13 = (6. 14) .

250 La Recta Cap. 5

R = M - a ú = (7/?, 8) - (13/2)(5, 12),'13 = (1,2)

Asi, el Srea del triángulo PRS resulta: a x d = 169/3/4 .


1. El ángulo de inclinación de una recta que no toca al 2° cuadrante es 45°.Hallar su ecuación si su distancia al origen es de 2/2 unidades.

2. Un triángulo rectángulo tiene un vértice en el origen, un cateto de longitud 4/2 sobre la recta Lj : t(2, 2) , t e R , y el otro catetode longitud 8/2 sobre L2 : s(-l,l) , s e R . Determinar la ecua -ción de la recta que contiene a la altura relativa a la hipotenusa si supendiente es menor que 1 y es mayor que cero.

3. Hallar los valores de a y b si el punto de intersección de las rectasLj : a* + (2 - b)y = 23 , L2 : (a-l)x + by = -15 , en el punto (2,-3).

4. Hallar las ecuaciones de las rectas con pendiente 2/3 y que forman conlos ejes coordenados un triángulo de área 32 unidades cuadradas.

5. Hallar las ecuaciones de las rectas con pendiente m • -3/4 , que formancon los ejes coordenados un triángulo de Srea 24 unidades cuadradas.

6. Hallar la ecuación general de la recta L que pasa por (6, 4), tienependiente mayor que 1 y forma un ángulo de 45° con la recta de ecuación: 2x - by + 5 - 0 .

7. Determinar los valores de r y s para que las ecuaciones 7* - ry =18 , sx - By - 9r ■ 0 representen la misma recta.

8. Los puntos A * (-2,-1), B = (3,6) y C * (7,2) son los vértices deun triángulo. Hallar las ecuaciones vectoriales y generales de las rectas que pasan por el vértice 6 y que trisecan al lado opuesto AC .

9. Encontrar la ecuación de la recta L de pendiente negativa que no inter-secta al tercer cuadrante y que forma con Lj y con L2 un triángulo cu yos lados iguales se encuentran en Lj y L2 respectivamente, dondeLj : x - ly - 10 , L2 : 2x - Zy - 4 ■ 0 . Se sabe además que la

distancia de L al punto Pe Lj fl Lz es 2/5 unidades.

10. La recta Lj forma con las rectasparalelas Lj y l_2 un ángulo de 30° y las intersecta en P y Q.Hallar df P; Q] si:L! : (3, -4)- [ P - (*.2) ] = 0L2 : t(4, 3) . t e R .

Cap.5 La Recta 251

11. El área del triángulo ABC de laL, : 3x - y - 10- , Lj 1 L3 ,L3 pasa por (2, 6). SI el vértice B está en Lj y d[B; Lj]- 5/10 , hallar la ecuación general de la recta L2 que pasapor B y C .

12. Dadas las rectas Lj : 3x + ky + 10 ■ 0 , L2 : (1,3) + s(l,l) ,L3 : x - 4y + 14 ■ 0 , encontrar el valor de k para que las tres.rectas sean cuncurrentes.

13. Una recta L pasa por el punte de intersección de Lj : 2x - 3y ■ 5 ,L2 : x ► Zy - 13 = 0 . Hallar la ecuación de L si la abscisa del punto de intersección de L con el Eje X es Igual al doble de su pendiente.

14. Los vértices de un triángulo rectángulo CAB. con ángulo recto en A ,son C = (0,0), B - (12, 5), y el vértice A que se encuentra en larecta Lt : B + t(3.-2) . Hallar la ecuación de la recta L que contiene a la altura correspondiente al vértice A .

15. La abscisa a y la ordenada b de los puntos de Intersección (a,0) y(O.b) de una recta, con los ejes coordenados, son tales que su productoes -6 . Hallar la ecuador, de la recta si su pendiente es m » 3 .

16. ¿Cuál es el punto Q » (x, 0) del ygráfico para que la suma de las Adistancias d[A; Q] y d[Q; B]sea mínima ? SUG.- Hallar el punto B' simétrico a B respee to al Eje X y trazar el segmentode A a B' .

17. La recta Lj pasa por (a, 1) y (3, 2) . La recta L2 pasa por (b, 1)y (4, 2). SI L, // L2 , hallar el valor de (a - b) .

18. Hallar la pendiente de la recta que forma un ángulo de 45° con la rectaque pasa por (2, -1) y (5, 3).

19. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por (2, 5) y que forman un ánqulo de 45° con la recta x - 3y + 6 * 0 .

20. La pendiente de una recta que pasa por A = (3,2) es igual a 3/4. Hallar dos puntos sobre esta recta quü disten 5 unidades de A .

fijura es de 200 unid, cuad., donde

252 La l<ecta Cap. 5

21. La recta L forma un ángulo de 60° con la recta Lj de perdiente 1 .Hallar la pendiente de L .

22. Hallar las ecuaciones vectoriales de las rectas bisectrices formadas porlas rectas L, : (1,0) + t(2, 1) , L2 : (-2,3) + s(-l. 2) .

23. Determinar el punto Q simétrico al punto (2, 8) respecto a la rectaL : 6x - 4y - 12 .

24. Hallar el área del triángulo formado por las rectas Lj : -5x + ly = 2,L2 : 4x + y = 38 , L3 : x + 3y = 4 .

25. Los puntos Pj, P2 y P3 son los vértices de un triángulo de área 5unid. cuad. Si PL = (4,1), P2 - (-3,3) y P3 e L : (1, l)-(x, y) *0 , hallar el vértice P3 .

26. Encuentre las rectas de pendiente 3 cuya distancia al origen es de2 /10 unidades.

27. Dadas las rectas Lj : (0, 1) + t(4,n) . L2 : mx - ny = 2 , hallarm y n si se sabe que amh*s rectas forman 45° entre sí, y que la ordenada del punto de intersección de Lt con el Eje Y es igual a un ter ció de su pendiente.

28. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto A = (9, 6) ycorta a las rectas 2x - 3¡/ + 6 “ 0 „ </ - 4 = 0 , en los puntos By C respect., de modo que BA = (2/5) BC.

29. A ■ (3, 1), B = (5, 2) y C son los vértices de un triángulo y M = (4, 2) es el punto de interstcci6n de sus medianas. Encontrar C .

30. Hallar la ecuación de la recta L que pasa por (4, -3) y que forma un ángulo de 45° con la recta de ecuación 3x - Sy + 9 = 0 .

32. Se lanza un partícula p desde el punto (-2, 5) para que i.ntercepte latrayectoria rectilínea de otra partícula. Si L : 3x - 4</ + 6 = 0 , yel movimiento de p es rectilíneo con rapidez constante de 2 unid/seg., hallar el mínimo tiempo t en el que p lograría su objetivo.

33. La ordemda en el origen de una recta L es 2 y forma con la recta Lj:

31. Hallar el área del cuadrilátero ABCD de la figura, donde Lj es la recta de ecuación

y = Zx + 5

y donde L2 // . -¡ .

X

Cap. 5 La Recta ?53

x - ¡/ + 3 = O , el mismo ángulo que forma la recta x + 3y - 4 = 0 con la recta 4x - 2y * 5 = 0 . Hallar la ec. vectorial y gener. de L.

34. Un microbio desea observar desde el Eje X a dos de sus amiguitas con ángulos de observación respeetd del Eje X de igual medida. Si las dos fulanas “viven" en los puntos (-1,4) y (5,2) respect., hallar el punto donde debe ubicarse el afortunado microbio.

35. Hallar las coordenadas del punto de intersección de 1« bisectrices deltriángulo formado por x - 4 ■ 0 , y * 3 , x/4 + y/3 ■ 1 .

36. Entre las rectas que pasan por P * (3, 0) hallar una de manera que elsegmento comprendido entre las rectas Zx - y m Z , x + y + 3- 0, sea dividido por la mitad por el puntn P .

37. Hallar el área del trISngulo que forma con los ejes coordenados la bls&c triz del menor Sngulo formado por las rectas Lj : 3x - y - 6 « 0 ,L2 : x — 3y - 6 ■ 0 .

38. Hallar las ecuaciones generales y vectoriales de las rectas que pasan por(2, 2) y que forman un ángulo de 45° con la recta 4x - %y + 3 * 0 .(Dos soluciones).

39. Hallar 1 a^ectíá c i o nés~de~lasca te tos de un triángulo rectángulo Isósceles conocrenao el vértice del ángulo~Ye^to C * (4, 1) y la ecuación de la hipotenusa 3x - y + 5 * 0 .

40. Dada la recta L : (-4,-2) + t(4, 3) , J\el punto (10/3, 1) , hallar dos puntos R y S en L que forren :on\P un triángulo eqi'lláte ro. \

41. Hcllar el ángulo agudo agudo formado poi las rectas 4x - 9y + 1 ■ 0 .3x + Zy - 1 - 0 .

42. Las ecuaciones de los lados de un triángulo son 5x - ly + 2 * 0 ,9x - Zy * 1 * 0 , 4x + Sy - 7 - 0 . Hallar los ángulos internos.

43. Demostrar que la bisectriz de cualquier ángulo de un triángulo divide allado opuesto en segrentos proporcionales a los otros dos lados correspon dientes a los respectivos segmentos.

44. Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos fornidos por lasrectas x + y - 3 ■ 0 , Zx - y * 6 m 0 .

45. Encontrar el Sngulo agudo entre las rectas 3x - 4y + 1 * 0 , 2x - 3y

* 5 .46. Hallar las ecuaciones de las dos rectas que pasan por (2, 1) y forman

60° con x * ¿y * 3 en forma vectorial.

47. Hallar las ecuaciones de las dos rectas que pasan por (2,1) y forman

254 La Recta Cap. 5

45° con 2x - 3y - 6 .48. Sean Lj : Aj* + B^y * C( * 0 , L2 : A2x + B2¡/ + C2 • 0 dos rectas

no paralelas. Si k es una constante, la ecuación

representa una familia de rectas. Pruebe que cdda una de estas rectas contiene al punto de intersección de Lj y L2 . Este método evita en contrar el punto de Lj fl L2 .

49. Si L, : 3* + = B . L2 : 2x + 3y * 5 , usando el Ejercicio anterior, y sin encontrar Lj fl l2 , hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por este punto de intersección y tales quea) una pase por (1,3) , b) una sea paralela al Eje Y,c) una tenga pendiente 4 , d) una sea horizontal.

50. Hallar la ecuación de la recta de pendiente i y que pasa por la intersección de las rectas 4* + 2y = 13 , 3* - 1y + 3 * 0 .

51. Hallar la ecuación de la recta que p¡.sa por la intersección de :2x - y * 1 , L2 : 3x + Hy ■ 2 , y que es perpendicular a la recta4x + Sy - 3 , sin calcular Lj O L2 .

52. La ecuación x + y - 2 + k(x - y + 6) * 0 representa una familia derectas que pasan todas por un mismo punto. Hallar la suma de coordenadas de dicho punto.

53. Un rayo de luz corre a lo largo de la recta x - 2y + 5 = 0 hasta liegar al espejo cuya ecuación es 3* - 2y + 7 = 0, en el cual se refleja.Hallar la ecuación de la recta en la que se encuentra el rayo reflejado.

54. Uno de los vértices de un triángulo es A - (3, -1) y la ecuaciones dela bisectriz y mediana trazadas desde vértices diferentes son respectivamente x. - Hy + 10 = 0 , 6x + 10y = 59 . Hallar la pendiente del lado que contiene al vértice A y al vértice que está sobre la bisectriz.

55. Hallar la ecuación de la recta que forma un ángulo de 15° con la recta* - y = 0 sabiendo que pasa por el origen de coordenadas, y que su pen diente es la menor posible.

256. Dada la familia de rectas 2kx + y + k » 0 , determinar la tangente

del ángulo agudo que forman las dos rectas de la familia que pasan por el punto (1, -8)

57. Tres rectas L,, L2, Lj se intersectan en (-6,4). Si Lj y L2

e) una sea perpendicular a la recta x +f) una forme un triángulo isósceles con lo inaaos.

Cap. 5 La Recta 255

contienen a los punto? A = (2, 2) y B = (0,0) respect., y L2 esbisectriz del ángulo fcrmado por Lj y L3 , hallar la pendiente de Lj.

58. Dadas las rectas Lj : 2x - 3y + 6 = 0 , L2 : ÿ - 4 « 0 , y L queintersecta a Lj en B y a L2 en C . Si L pasa por A * (9, 6),el cual divide al segmento [B. C] en la raz6n 3 : (-2) , hallar la e cuaci&n vectorial de L .

60. Desde el punto A = (9, 1) se traza una pendiente a la recta L : 3x -2y * I[' = 0 que la corta en B . Tomando AB como base de un triánguloisósceles cuyo vértice se encuentra en el Eje X, hallar el área de dicho triángulo.

61. Una recta con pendiente positiva pasa por P » (1, -21 y forma conrectas 3x + Hy - 2 = 0 , 4x + 3y + 1 = 0 un triángulo isósceles cuyos lados iguales están soLre las rectas dadas. Encontrar la ecuaciónde la recta.

62. Hallar los valores de a de manera que las ecuaciones siguientes:ax + (a - \)y - 2(a + 2) »^0 , 3ax - (3a + \)y - (5a + 5) * 0 representen a dos rectas paralelas: a) no coincidertes, b) coïncidentes

63. Oeterminar la ecuación de la recta que pasa por (1, -1) formando la base de un triángulo isósceles con las rectas y - 5 , 4x + 3y - 11 * 0,y sabiendo además que su pendiente es positiva.

64. Hallar la ecuación de la recta L que pasa por (4, -3) y forma un ángulo de 45° con la recta 3x - Sy + 9 ■= 0 .

65. La partícula Pj tiene una velocidad Vj = (12, -5) y parte de' punto(-100, 150) en el instante t = 0 . Una segunda partícula p2 tiene u na velocidad v2 = (8, 6) y parte del punto (-120, -75) en el instante t = 0 . ¿ En qué punto se intersectarán las trayectorias de las dos partículas ?

6b. Hallar la ecuación de la recta que está situada a 6 unidades del ori - gen, pasa por el punto (10, 0) y corta a la parte positiva del Eje Y.

67. Un vértice de un cuadrado es P * (6,8) y una de sus diagonales está sobre la recta x + y - 1 = 0 . Hallar el área dtl cuadrado.

68. Determinar la ecuación de la recta con pendiente positiva que pasa por

(0, 1) y forma un ángulo de 45° con la recta 3x + 2y - 1 ■ 0 .

69. Las rectas Lj y L2 son ortogonales y se cortan en el punto B = (4,2). La recta Lj corta a Lj en A y a L2 en el punto C cuya

256 La Recta Cap. 5

abscisa es menor que la abscisa de B . El área del triángulo ABC esde 40 unid. cuad. y D es el punto medio del segmento AC. Si la

proyección del vector BD sobre Lt es (-4, -4) y | BC | = 5/5 ,

a) Hallar la ecuación vectorial de L3 .b) Hallar la ecuación general de la recta que contiene al segmento BD.

70. El lado del cuadrado OABC mide a unidades. Si el área ael triánguloOMC es a 1 como el área del trapecioOABM es a 4 , calcular la pendiente de la recta determinada por 0M .

71. Encontrar el ángulo obtuso entre las rectas L, : (-6, 3) + t(3, 1) ,

y l 2 y * 2k + 10 , asi como el punto Pc e L j n L 2

CLAVE DE RESPUESTAS.-

1. {2.-2) + t(l.l) ; 2. s(3,l) ; 3. a - 4 . b ■ 7 .4. 2x - 3y - i 8 /6 ; 5. x/8 + y/6 - i 1 ; 6. 2x - y * 8 .7. • r - i 4 . s - i 14 ; 8. Lj : (3.6) + t(1.3) : 3x - y - 3 .

L2 : (3.6) + t(l,-5) : 5x y - 21 .9. m - -2 . P = (2/3. -4/3) . L : y = -2x + 10 ; 10. d[P; Q] - 8/5 .

U. A - (5.5). B - (20.0), (-3,-19). L2 : (20. 0) +■ t(23. 19)

12. k *= -4 ; 13. L : (1, 0) t(2, 1) . L’ : (6, D) + t(l, 3)

14. (6, 9) + t(-5, 12) ; 15. L : 3x - y - 3/2 , L* : y - 3x - 3/2

16. Q = (3, 0) ; 17. -1 ; 18. m - -7 , m *= 1/7 .19. L : (2, 5) t(2, -1) , L1 : (2, 5) + t(l, 2) .20. B = (7. 5). C - (-1, -1) ; 21. -2 - /3 .22. Lt L2 * {(-1/5. -3/5) }. L : (-1/5, -3/5) ♦ t[(2, 1) i (-1. 2)]23. (-2. 10) ; 24. 33 unid. cuad. ; 25. P3 - (-5.5), P3 = (-1, 1);

26. Ll : (6,-2) + t(l, 3) . L2 : (-6, 2) + t(l. 3)27. n - 12 , m * 6 , m = -24 ; 28. B - (-1. 4/3). C - (21/2, 4) ;29. C - (4.3) ; 30. L : (4,-3) + t(4,-l) , L : (4,-3) + t(l, 4) ;31. 625/24 ; 32. t (mínimo) = 2 seg.

33. L : (D.2) + t(4,-3), L' : (0.2) ♦ t(-3. 4) ; 34- P * (3.0) ;35. (7/2, 9/2) ; 36. 8x - y - 24 ; 37. (3/2, -3/2) + t(3, 4)

38. 9x - y = 16 , 39. 2x + y - 7 .

Cap. 5 La Recta 257

40. R = [(32/3 - 24)/5 . (24/3 - 13)/5] ; 41. tan 6 * 35/6 .44. L: (4, -1) + t(l, 3) , L*: (4,-1) + t(3,-1) ;45. are eos [18/(5 13)] ;46. L : (2, 2) + t(l, 5/3 - 8) ; L1 : (2,2) + t(-l, 8 +■ 5/3) ;

47. x ♦.5¡r * 7 , 5x - y = 9 .49. a) x “ 1 , b) x = 1 , (se anula el coefic. de y )

c) y *= 4x - 3 , d) y • 1 , (anular el coefic. de x ) ,e) y - 2x - l , f) x + i/'2.

50. (5/2, 3/2) + t(l, 3) ; 51. 55x - M y - 26 ; 52. + 2 ;53. (-1, 2) + t(18, -1) ; 54. L : (3.-J) t[(10.5) - (3,-1)]. m - |

55. x - /3y - 0 ; 56. 12/31 ; 57. -43/32 ;58. B * (3/2, 3) , L : C + t AC = * L : (4, 4) + t(5, 2)59. L : (9, 6) + t(9, 2) ; 60. 13 unid, cuad.; 61. x - y * 3 .62. a) a « 0 6 a ■ 1/3 ; b) No existen ; 63. 2x - y m 3 .64. y * 3 - 4(x - 4) ; y + 3 - -(l/4)(x - 4) ;65. Se Intersectan en (80, 75) ; No chocan ; La partícula Pj debe par -

tlr en el Instante t * 10 seg.66. 4x + Zy - 30 ; 67. 169 unid. cuad. ; 68. y m 5x + 1 .69. a) P - (2, 20) +■ t(3, 13) ; b) P - (4. 2) +■ s(13, 3)

70. 2/5 ; 71- 8 * 135° . Pe * (-3. 4) .

m. l RELACION ADICIONAL DE PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Una de las diagonales de un rombo >st5 contenida en la recta L1 •{ (a - 1 , 5a - 6) + t(a - 3, 1) ) y uno de los lados del mismo estS contenido en L2 = { (-4a, a - 2) + s(3a, a +■ 1) } . SI a > 0 y M • (3a + 1,6a) es el punto de Intersección de las diagonales del rombo, encontrar los vértices y el área. SUG: (3a+l, 6a) e L1 = » a - 4, M » (13,24).

2. Sean L : (0,2) + t(7,l) , Q = (22, -2) y el triángulo isósceles ABQdonde A y B pertelecen a L y |AQ | - |BQ | . SI el área de ABQ esde 50 unid, cuad., hallar los vértices A y B .SUG: L : -x * ly = 14 , h - 5 /2 .

3. Si L es la recta que pasa por (2k, 3) y es octogonal al vector I ■(4/k, 3), k f 0, determinar los valores de k tales que el punto (k/2, (3k2 + 24)/8) esté en L .

4. Hallar las ecuaciones de las rectas que contienen a los lados de un rec -

258 La Recta Cap. 5

tángulo, dos de los cuales distan 10/2 unidades del punto Q * (-3,5). Los otros dos lados equidistan 5/2 unidades de Q , y el ángulo de inclinación de uro de estos últimos lados tiene tangente 1/7 .

5. Dadas las rectas L1 : (3/5, 0) + t(2, k), y L2 : rx - ky - -84, hallar los valores de r < 0 y de k , si las rectas forman un ángulo de45° , y la abscisa del punto de intersección de L1 con el Eje X es 2/5 de su pendiente.

6. Dadas las rectas L1 : x + 3y * 5 , L2 : (-1.2) + t(4,3) , y si AE L1 fl L2, B e L2, C c L1 y tan 6 * 13/16 , donde 6 es el án

guio ABC , hallar B y C donde la ordenada de B es igual a 8 yla abscisa de C es positiva.

7. Hallar la recta L2 de perdiente entera negativa que no pasa por el tercer cuadrante. Si L3 J. L1 en A, L2 fl L3 ■ { B }, L1 fl L2 ■ { C } .la abscisa de • A es 3 , L1 : 3* - y - 5 , | BC | ■ 5/10 , y el áreadel triángulo ABC es de 60 unidades cuadradas.

8. Sea CAB un triángulo rectángulo en A, C ■ (2, 7) , BC * (-8, 4). Si

P es un punto del segmento BC, y Pr AP * (3, 1) , hallar

a) los vértices A y B , b) la recta que contiene al segmento AP.

9. Sea L una ’-ecta de pendiente negativa, ortogonal a la recta que pasapor A y B . Si P c L y al Eje X, L es bisectriz de APB , A + B” (6, 8) y el área del triángulo formado por la recta L con los ejeses 8 veces el valor absoluto de su pendiente, hallar: a) L ,b) la recta que pasa por A y B .

10. Sea L una-recta que pasa por el origen 0 con un ángulo de inclina -ción de 30°. Un cuadrado 0ABC (antihorario) tiene un lado 0A delongitud k unidades sobre la recta L, A en el primer cuadrante, Pe 0C , el área del triángulo P0A es a 5 como el área del trapecio PABC es a 7 , y la diferencia de los catetos del triángulo es /3/3 . hallar: a) los vértices del cuadrado, b) la recta que contiene alsegmento PB .

11. Un triángulo isósceles ABC , donde el lado AB es paralelo a (3, 4)y mide 10 unid., la altura relativa al lado AB mide 15 unid. Deter minar la recta que pasa por C y er nara’ela al vector BM . siendo M el punto medio de AC , A » (2, 3), y |CB| = |CA| .

12. .Desde (6, -4) se trazan las rectas L1 y L2 con pendientes negati -vas. El ángulo de inclinación de L1 es mayor que el de L2, la recta

Ccp.5 La Recta 259

L1 determina sobre la parte positiva del Eje Y un segmento de 2 unid.La recta L2 determina sobre el Eje X un segmento de 38/7 unid. Hallar la recta L que no cruza el 4° cuadrante y que forme con L1 y L2 un triángulo isósceles con base en L , y de área 15 unid, cuadradas.

13. Sea ABC un triangulo isósceles de lados iguales AC y BC, A * (5. 2),B 3 (13, 8), L: P„ + ti que contiene a los puntos medios de los lados AC y BC, |AC| = 5/5 . Hallar la distancia de Pc ■ (-12, -5/2) ala recta que contiene al lado BC del triangulo.

14. Las rectas Ll, L2 y L3 determinan un triángulo rectángulo, L1 X L2en P ■ (4, 1), la bisectriz del ángulo recto corta a L3 en Q ■ (5, -6). Si la bisectriz del ángulo que forman PQ y uno de los lados del triangulo es L4 : (5,-6) + t(3,4) , determinar el 8rea del triSnguloformado por las rectas Ll, L2 y L3 .

15. Sean las rectas Ll y L2 ambas de pendiente 12/5 que pasan por (-4,-3) y (14,9) respect. Sean L3 y L4 paralelas al Eje X tales que P„* (-17,-3) £ L4, d[L3; L4] - 12, y L3 no corta al tercer cuadrante. Las rectas Ll, L2. L3 y L4 forman un cuadrilátero. Si L es otra recta de pendiente positiva que pasa por PD tal que forma un triangulo isósceles con Ll y L4 cortando en los puntos M y N a las rectas Ll y L2 respect., hallar los puntos M y N .

16. Sea ABC un triangulo. El lado AC mide 3/10 unid., y se encuentrasobre la recta L : * + 3</ - -2 . S1 el ortocentro del triangulo es H

■ (3, 5) y Pr^g BH = (7/5, 1/5) , hallar los vértices de ABC .

MOTA: El ortocentro puede estar ubicado dentro ó fuera del triangulo.

17. El punto P ■ (2, 5) divide al segmento AC en la razón 3 : 2 , y al segmentó BD en la razón 2:1. Si BD // (3,-4) , AC // (1,1) , el á-rea del triangulo ABC es 35 unid, cuad., |PC|/|BP| ■ /2/5 , hallar las rectas que contienen a los lados de ABCD.SUG: | BP | = x ==> | PC | = (/2/5)x.NOTA: Elegir A a la derecha de P , y B arriba de P .

18. Sea L : x + 31y M 100 . y Q = (17, 17) 4 L . Si A y B son dos puntos en L que forman con Q un triangulo rectángulo AQB recto en Q ,

y donde Pr-^ AB * (10, 14) , hallar los puntos A y B .AIJ

19. Sea L una recta que pasa por la intersección de Ll : x + 2y - 1 , yL2 : 5x - 3y = IB , y que forma con los ejes coordenados un triángulode área 6 unid. cuad. Hallar la ecuación de la recta L .

260 La Recta Cap. 5

20. El ángulo 6 entre Ll: B + ti , y L2: A + sb satisface tan 6* 5/7 .SI Ll D L2 = { C } siendo C un punto del cuarto cuadrante,B ' (0, 4), AC + BC * (5, -25) , y la perdiente de L2 es -1 .Hallar los puntos A y C .

21. Sea L : (7, 12) + ti . y Q ■ (4, 3) un punto que dista 3/5 unid,de L . Por Q pasan dos rectas que Intersectan a L en los puntos Ry B - (7, 12) respect.. formando el triangulo Isósceles BQR con base en L . Si B divide al segmento RD de L en la relación 3:4,hallar los puntos R y D . MOTA: Un vector dlreccional de L tiene ambas componentes del mismo signo.

22. Demostrar que el área del triángulo formado por la recta L : Q + tá , con los ejes coordenados, y donde a ■ (a , a2) , está dado por :

1 (Q ■ iX )2AREA * ----—2 |aK - a2 |

23. Sea L : P„+ t(i-b) , tal que |0Po| * 9 , 0Po J. (i-b) ,

y s1 Pr.j b * (-3, -4) , |b| * 5 . y |a| - 5 |b| , hallar :

a) L , b) el Srea del triángulo que forma L con los ejes coord,NOTA: Las componentes de i son negativas, y la recta L corta al se

mieje positivo de Y . 0 es el origen de coordenadas.SUG: i - r (3, 4). r < 0 = ► r - -5 .

24. Los puntos A * (6, -6), B, C y D son los vértices de un paralelogramo, siendo AB « (1, 7) una de sus diagonales, y Pr AB - AC .

Se toma un punto interno P de? paraleíogramo, de modo que AP * (1, 4) y Pr - BP .■ (-3/5) (2, 4) , donde i * (19/9) BC . Hallar la rec-a

ta L que tient como normal al vector PD y que divide al segmento PDen la razón Je 1:1.MOTA C se encuentra a la Izquierda y debajo de £ .

25. Sean las rectas Ll : (0, 3) + t(2, 3) , L2 // (-1, 5) , L3 JL Llen (2, 6). Hallar a) L2 fl L3 , s1 L2 pasa por (4, 9) ,b) el ángulo agudo entre Ll y L2 , y el ángulo obtuso entre L2 y L3.

26. Sea la recta L : (1, 2) + t(l, -2), y los puntos Q * (3, 1) y P ■(2, r) estando P en la recta L . Hallar todas las rectas que pasarpor Q e Intersectan a L de tal manera que los puntos de intersección

Cap. 5 La Recta 261

A y B disten /5 unidades del punto P .

27. Un espejo AB de 4/2 unid, de long. tiene su extremo A en (2, 5).Si el suplemento del ángulo de inclinación de la recta L que pasa por A y B es al complemento del mismo cono 3:1, hallar las trayectoriasde los rayos incidente y reflejado, de un rayo luminoso emitido desde P“ (4, 5), para que el rayo reflejado llegue al punto C = (9, 6) .

28. En un triángulo ABC rectáng. en B, la hipotenusa de 50 unid, de long.es dividida en n partes iguales por los puntos Pj, P2, ... , Pn_i-

Calcular: * = | BC + BA + BPj + BP2 + ... + BPn_j |

NOTA n es dato. Además, 1 + 2 + ... ♦ n ■ n(n + l)/2 .

29. Sean A, B, C y D vértices consecutivos de un paralelogramo tomados ensentido antihorario. Si AD = (-4, 2) es lado del paralelogramo , si Pr AD « (3/13)(1, 5) * AP , donde AC es diagonal del paralelo -

grano, el área del triángulo PQB es 220/13 unid, cuad., Q es el pie de la altura trazada desde B en el triángulo ABC , hallar la rectaque tiene como vector direccional a (BD + AC) y que pasa por el puntocuyas coordenadas son las componentes del vector (2D - A - C) .SUG: Tome A ■ (0. 0), D = (-4, 2) .

30. Sean las rectas L1 : (2, -3) + r¡ , L2 : (1, 9) + sb ortogonalesen R = (c, d), c es un entero mayor que 3 . Si el cuadrilátero P0QRtiene área 71/2 unid, cuad., 0 es el origen, P * (2, -3) y Q = (1,9), hallar la ecuador. c™= la recta bisectriz del ángulo PRQ .

31. Sea v un vector que sigue la dirección positiva del Eje Y, tal que |v|* 5 . Sean L1 : x - y + 12 = 0, L2 y L3 rectas con pendientes nij ,m2 y m3 respect-, de modo que mt > m2 > m^ . Si los ángulos:

«í (v; Ll) = <(L1; L2) = *(L2;L3), hallar:

a) PrL1 v + PrL2 (Pr^ v) + Pr L3 (Pr L2 (prL1 v ) )

b) La ecuación de la recta bisectriz del ángulo agudo entre L1 y L2 sabiendo que pasa por (a, 6) e L1 D L2 .

CLAVE DE RESPUESTAS

1. A = (-4,7). C > (30,41), B = M + t A C J- e L 2 . B*= (20. 17) .D = 2M - B = (6. 31) .

2. Q h(-l. 7)/(5/2) i 5/2 (7. l)/(5/2) . A = (14. 4). (28,6).3. k = i i//3 ; .4. L1 : (11. 7) + t(l, -7). L2: (-17.3) ♦ t(-l,7)

262 La Recta Cap.5

L3, L4 : (-3, 5) i (-1, 7) + t(7, 1)5. k = 3, r - -15 ; 6. A = (-1, 2). B = (7. 8), C = (5. 0)7. A e Ll, A « (3,4) e L3: (3,4) + t(3,-l). B = (12,1). C - (7.16),

L2 : (12. 1) + t(l. -3) ;8. B - (10. 3). A =(4.1). P - (6. 5). L: (4. T) * t(l, 2)9. a) punto medio de A y B es M ■ (3,4), P * (4,0), L : y + 4* * 16

b) (3, 4) + t(4, 1) , sin necesidad de hallar A y B .10. L: * - •ñ y « 0, k > 2 /3 . A - (3, /l). B - (3- /3. 3 * / I ) .

C - (- /3, 3). P * (-5/1/6. 5/2)11. Dos soluciones. Ll: (-7.16) + t(7,l), L2: (17.-2) + t(-l,7)12. Ll: y - -x + 2, L2: y > -7* + 3B, Q - (6.-4) + 3/5(-l. 2)/ /5 .

Q - (3,2) es punto medio de la base, L : (3, 2) + t(2, 1)13. 10/5 ; 14. A = 50 un. tuad.; 15. M - (1, 9), N = (19, 21)16. C « (4, -2), A - (-5, 1), B - (2, 2)17. *»10, A = (4,7), B * (-1,2), « (-4,13), D - (14,-11)IB. A - (7, 3), B =■ ¿38. 2), pi,es ÁQ * (10, 14) ; 19. * - 3y - 620. C ■ (1,2), A - (0.-1) ; 21. L tiene direccifin (2.1). R - (1. 9).

D - (15,16); 23. a - (-15,-20), 3bj + 4b2 - -25, b - (-3, -4) ,P0 - (-36/5, 27/5) , b) 675/8 unid. cuad.

24. ÁC 1 BC , d[A; C] - /5 , C - (4,-5). D - (9.0). B - (7.1).P - (7.2), Pc = P + (l/2> PD - (B,l), L : x + y - 9 .

25. a) (5, 4), b) n/4 , 3 n/4 .26. r - 0 , A, B - (2,0) ± /5(l,-2)//5 , A - (3,-2), B - (1,2) .27. R. Inclderte: (4,5) + s(-l,7). R. Reflejado: (2,7) + t(7,-l) ,

pues a * n/4 . 28. BPk » BC + CPk ■ BC + (k/n)CA, A - P„ ,.. 2B. * * (n + 1)|BMJ , con M = (A + C)/2 , * - 25(n + 1)

29. h > 22/ .'Té , |?Q| - 40//26 , ÁC « (2, 10) - C ,B - A + DC - (6. 8) . L : (-10, -6) + t(-2, 1)

30. 12c + d - 21 = 50, c = 6, d = -1 ,LB1 : (6.-1) ♦ t[(-1.2) + (-2.-1)] : (6.-1) + t(-3.1) .

31. W - Pr L1 v « (5/2, 5/2) , í- Pr L2 w * (5/2)(l, 0) ,

d ■ P r ^ : ■= (5/4)(1, -1) de donde w + z + d ■ (25, 5)/4

b) (a, 6) e Ll Í1 L2 , entonces a « -6 . Luego,

LBI : (-6, 6) + t[ /2(1, 0) + (1, 1)] ===»

LBI : (-6, 6) + t( /2 + 1. 1) .

263

6GRAFICAS

DE

ECUACIONES

1. INTRODUCCIONSe ha visto que las ecuaciones en dos variables,

comoy - 2x * 1

2pueden ser representadas por gráficas en el plano cartesiano R . En tal caso, se denomina GRAFICA DE LA ECUACION al conjunto de puntos (x, y)

cuyas coordenadas satisfacen la ecuaci6n dada. (Ver Fig. 1).

Cuando la ecuaci6n proviene de una condici&n geométrica que debe ser satisfecha por ciertos puntos (x, y) , entonces a la gráfica de la ecua ci6n se le llama EL LUGAR GEOMETRICO (L.G.) de dichos puntos.

Por ejemplo, el Lugar Geométrico de los puntos (x, y) del plano que se desplazan de tal manera que se encuentran siempre a igual distancia del Eje X que del Eje Y, origina la ecuaci6n siguiente

d[ (*. y) ; x ] - d[ (x, y) ; Y ] =s» \y\ - |x|

= - y * i x ,

cuya gráfica está compuesta por la reuni&n de los puntos correspondientes a las dos rectas Lj : y » x , L2 : y ■ -x . pues los Duntnc ¿jn

bas rectas satisfacen la condici6» geométrica dada. (Ver Fig. 2).

264 Gráficas de Ecuaciones Cap.6

Además, no todai tm ecuaciones m do¿ varUable¿ tienen una 'lep'ie - 2

tentación gii¿ica en el plano R , como por ejempio, la ecuaci6n

x2 * y 2 - -12

no tiene solucionts reales * , y , y por lo tanto no tiene GRAFICA en R .

2. CRITERIOS PARA GRAFICAR ECUACIONES

Cuando se tiene que graficar una ecuaci&n en dos va rlables x , y , es conveniente tener en cuenta ciertas consideraciones o cH terios preliminares.

2.1 Interceptos con los Ejes Co ordenados

Se ubican los puntos en los que la gráfica debe 1n- tersectar a los ejes, para lo cual, si se desea encontrar los interceptos con el EJE Y : se hace * = 0 en la ecuac16n y se despejan los valores reales correspondientes de y . i para hallar los Interceptos con el EJE X : se hace y = 0 en la ecuaci&n y se despejan todos los valores reales corres pondientes de x .

Por ejemplo, en la ecuaci6n 4x2 + 9[y - 2)2 = 3 6 ,

- si x » 0 : 0 + 9[y - 2 2 ■ 36 = > y m 0 , y = 4 , y se dice que 0 y 4 son los interceptos con el EJE Y ; y

2-si y = 0 : 4x + 36 * 36 ==> x » 0 , y se dice que 0 esel único intercepto con el EJE X .

2.2 EXTENSION

Con esto se quiere indicar un previo análisis de la e

Cap. 6 Gráficas de Ecuaciones 265

cuaci.n para encontrar los Intervalos en los cuales las variables *, y , to man valores reales. Por ejemplo, en la ecuación

4x2 + 9(y - 2)2 - 36

si se despeja x de la ecuación, se tiene que

* - i | / # - [y - 2)Z

y como x debe ser un número real entonces a partir del radical debe considerarse que _

4 - (y - 2) i 0 lo que implica que -2 i y - 2 i 2 ,

es decir, 0 < y < 4 , o sea todos los valores y c [0, 4] .

Análogamente, despejando x de la ecuación dada, se tiene la condición para x : -3 < x < 3 , es decir, todos los valores x e [-3, 3] .

De esta manera, la gráfica estará contenida en la región del plano limitada por el siguiente rectángulo, y que determina su extensión en el plano.

2.3 SIMETRIASCon frecuencia es útil saber reconocer cuándo la grá

fica es íOUca respecto a los ejes coordenados y/o al origen. Recordemos que si L es una recta y Q un punto cualquiera, entonces se d¿ ce que el punto Q* es el iimLOUco de Q con respecto a la recta L si:

¿) L es perpendicular al segmento QQ' , y si¿i) L intersecta al seg mentó QQ1 en su punto medio H.

En tal caso, la recta L recibe el nombre de EJE DE SIMETRIA de los dos puntos Q y Q' .

Se dice además, que dos puntos P y Q ¿on ¿iml&Uco¿

w Xaz ¿í , e n >LuptcZo a un punió M , si M es el punto medio del segmento PQ . Este punto M recibe el nc«nbre de C3NTRC DE SIMETRIA .

266 Gráficas de Ecuaciones Cap. 6

2.4 SIMETRIA DE UNA CU R V A CON R ESPECTO AL EJE X .-

2.5 SIMETRIA DE U NA CU R V A CON RESPEC TO AL EJE Y

Si le 'uACÁdn de la. cuJiva. NO VARIA cuando se sustftuye * por -x , entonces la curva es SIMETRICA CON RESPECTO AL EJE V .pues ello indicará que que los puntos (x, y) y (-x, y) pertenecerán a lagráfica, y tendrán como Eje de Simetría al Eje Y.

Por ejemplo, la ecuacl&n 4xZ * (y - 2)2 « 36 no variasi se sustituye x por -x.

Por lo tanto, la gráficaresulta ser Simétrica 2con respecto al Eje Y : ("*• )

4(-*)2 + (y - 2)2 - 36

es equivalente a:

4x2 + (y - 2)2 = 36 .

que es la ecuación original.

2.6 SIMETRIA DE UNA CU R V A CON R ESPEC TO AL ORIGEN

SI la. ecuAcenn NO VARIA cuando se sustituye slmultáneamente: x por -x , asi como y por -y , entonces la curva es SIMETRICA CON RESPECTO Al ORIGEN, pues ello indicará que los puntos (x, y) y (-*. -y) pertenecerán a la gráfica, y tendrán como CENTRO DE SIMETRIA al Origen. Ver la siguiente figura.

Si la ecuac¿3n de una cuAva NO VARIA cuando se susU tuye y por -y , entonces se dice que la curva es SIMETRICA CON RESPECTO AL EJE X. pues ello indicará que los puntos (x, y) y (x, -y)

pertenecerán a la gráfica, y tendrán como Eje de Simetría al Eje X.

Ver la figura adyacente.

Cap.6 Gráficas de Ecuaciones 267

4x2 + 9y2 = 36

2.7 APINTOTAS .-Se llama ASINTOTA de una curva a toda recta L tal

que la distancia de un punto de la curva a dicha recta L va disminuyendoH^n diendo a ser cero, conforme el punto se aleja ilimitadamente del origen.

Por ahora consideraremos solamente ASINTOTAS que sean horizontales o verticales.

2.8 EjtMPLO.- Dada la ecuación: xy - x - y

si se despeja y en términos de x

x

11 +

* - 1

se oDserva que si x tiende a 1 tomando valores menores que 1 y pos id vos, entonces el denominador * - 1 tiende a cero, y por lo tanto el cociente (asi como y ) tiende a valores a la derecha de 1 , en la figura siguiente.Esto indica que * = 1 es una ASINTOTA VERTICAL.

Y si se despeja x :

1

- 00 ; mientras que si *entonces y tiende a + «°

tiende a 1 tomando , como se puede ver

y - 11 +

1

vemos que, en forma análoga a la anterior, la recta

y ■= 1

es una ASINTOTA HORIZONTAL

268 Gráficas de Ecuaciones Cap. 6

2.9 Regla para hal'.ar Asíntotas posibles

1.- Para hallar las ASINTOTAS VERTICALES, se despeja y en términos de x , y Sí IGUALAN A CERO los factores lineales del denominador.

Y si es que para tales valores hallados de x, no se obtiene la expre -0sion

--- 0

ticales.

entonces dichas ecuaciones corresponderán a las Asíntotas Ver

2.- Para hallar las ASINTOTAS HORIZONTALES , se despeja x en térmi nos de y , y Sf IGUALAN A CERO los factores lineales del denominador, (si existiera, claro está) y se. procede como en (1).

2.10 Construcción de la Curva .-Habiéndose determinado algunas ca

racterísticas de la curva, se procede a tabular algunos puntos, y luego unir los por una curva.

2.11 EJEMPLO.- Graficaremos la curva de ecuac16n: 4x2 + 9y2 * 36 :

a) INTERCEPTOS CON EL EJE X, hacemos y ■ 0 en la ecuaci&n, y despejamos x - i 3 .

b) INTERCEPTOS CON EL EJE Y, hacemor x = 0 en la ecuaci6n, y dospejamo!. y “ i 2 .

c) EXTENSION .- 3 < x < 3 , -2 < y < 2 .

d) SIMETRIAS :

- Es simétrica respecto al Eje X , pues la ecuaci6n no varía al reemplazar y por -y .

- Es simétrica respecto al Eje Y , pues la ecuaci6n no varia al reemplazar x por -x .

- También resulta simétrica respecto al Origen.

e) No tiene asíntotas verticales ni horizontales.

f) TABLA :

= 1.49

2.5

= 1.1

Cap. 6 Gráficas de Ecuaciones 269

g) Gráfica: por las consideraciones vistas en (d) sólo es necesa -rio tabular en el primer cuadrante, y la gráfica se completa por simetrías.

2.12 Ejercicios Propuestos

Graficar las curvas definidas por las siguientes ecuaciones:

a) x2y - 4 - * = 0 e) (x - l)2 + (y - 3) » 9

b) xi/ = -9 f) Á T + /2y = 1

c) (x-2)(¡/-3) = 6 g) (x2 - 1 )y ■ 16

d) y = x + (1/x) h) (x - l)2 + 4(y - 3)2 = 9

3. ECUACIONES FACTORIZABLESSon aquellas ecuaciones que pueden expresarse como producto de dos o

más factores -Lguat dji a cqao, como en

*2 - l y - l ) 2 = 0

[ x - y * rjj[ x + y - 1 ] = 0

= » ( x - i/ + 1 = 0) v (X + I/-1 = 0)

y cuya gráfica corresponde a la reunión de los puntos de ambas de las gráficas siguientes:

Lj : x - y + 1 = 0 , L2 : x + y - 1 = 0

270 Lugar Geométrico Cap. 6

3.1 Ejercicios Propuestos

Factorizar y graficar las ecuaciones siguientes:

a) 4x2 -y2 - 0

b) + 6x¡/ + 9y2 • 4

c) x3 + x2, - 2xy2 - 0

d) x2 + x - xi¡ * y - 2y2 ■ 02 2e) x y + xy - 4x - Ay - 0

f) x3 + xi/2 - 2x2 - ii/7 - 4x + 8 - 0 (CLAVE: pág. 320 )

i». PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE LUGARES GEOMETRICOS

4.1 PROBLEMA.- Dados los puntos A = (0. -2), B = (0, 4) y C ■= (0, 0),hallar la ecuaci6n del lugar geométrico (L.G.) de lospuntos P = (x, y) tales que el producto de las pendientes de PA y PB sea igual a la pendiente de PC .

Cap. 6 Lugar Geométrico 271

De la condición del problema se tiene que:

, y + Z y - 4ml * m2 = m3 = * < “ 7 “ )( ~ T ~ ] " x

(y + 2){y - 4) = xy = > L.G. : y2 - xy - 2y - 8 ■ 0 .

4.2 PROBLEMA.- Hallar la ecuación del lugar geométrico (L.G.) de lospuntos P * (x, y) equidistantes de A * (2, 2) y deB - (6, -E).

SOLUCION.- , ,d [ P; A ] - d [ P; B ] ==> d ^ P í A ] - d ^ l ^ B ]

= > (x - 2)2 * (y - 2)2 « (x - 6)2 * (y * B)2 .

Desarrollando y simplificando obtenemos la ecuación del Lugar Geométrico:

L.G. : 2x - 5y - 23 - 0 .

el cual lo identificamos como una recta (MEDIATRIZ del segmento AB ).

4.3 PROBLEMA.- Hallar la ecuación del lugar geométrico (L.G.) de lospuntos P - (x, y) cuya distancia a la recta de ecuación L : y + ‘ ■ ■ 0 , sea igual a ¿os tercios desu distancia al punto (3, 2) .

SOLUCION.-d[P; L] - | d[ P; (3,2) ]

\y+ « I ■ \ /(* - 3)2 ♦ (y - 2)1

L.G. : 4x2 - Sy2 ■■ 24x - 88y - 92 - 0 .

4.4 PROBLEMA.- Un segmento rectilíneo de longitud 6 unid, se mueve de tal manera que uno de sus extremos permanece siempre en el EJE X , y el otro extremo en el EJE V . Hallar la e- cuación del lugar .geométrico (L.G.) del punto medio de dicho segmento.

SOLUCION.-Sean los extremos los puntos A = (a, 0) y 8 ■ (0, b) , y el punto medio M ■ (x, y) , entonces de la condición:

272 Lugar Ceométrico Cap. 6

* - a/2 de donde a = 2* y « b/2 " b - 2y

V como d [ A; B ] = 6

entoncesd [ A: B ] - 36

36

* 36

a2 + b2

4x2 + Ay2

Luego, L.G. :

4.5 Problema.-

2 2* + y

Los extremos de la base de un triángulo son los puntos A * (0, 0) y B ■ (3, 0) . Hallar la ecuac16n del 1u - gar geométrico (L.G.) del vértice opuesto C , si éste se mueve de tal manera que el ángulo en la base CAB es siempre igual al doble del ángulo en la base CBA .

SOLUCION.-

tan 2 a 2 tan a

1 - tan a

tan 2a * (y/x)

tan a • - tan (1B0 - a)

■ - [»/(* - 3)]

Reemplazando en (*) :

y 2 {-yHx - 3)]

1 - [-»/(* - 3)]

4.6 PROBLEMA.- Hallar la ecuación del lugar geométrico (L.G.) de los puntos P * (x, y) cuya suma de distancias a los puntos fijos (c, 0) y (-c, 0) sea igual a 2a . (0 < c < a)

SOLUCION.- d[P; (c. 0)] + d[P;(-c. 0)] - 2a

( «![ P; (c, 0)] )2 - ( 2a - d[ P; (-c, 0)] )2 ==>

Cap. 6 Lugar Ceométrico 273

(x - c)2 + y2 » 4a2 - 4a ( d[ P; (-c, 0)] ) + (x + c I' + y2

a ( d[ P; (-c, 0)] ) - xc + a

a2(x2 + 2xc + c2) + a2y2

al cual elevamos al cuadrado

x2c2 + 2a2xc + a4

desarrollando y ordenando obtene.nos L.G. : +a 2 2 a - c

4.7 PROBLEMA.- Desde el pur.to Q * (-1, -X) se trazan rectas L quecortan a Lj : y ■ 3 , y a Lz : 3* + Zy • 6 . Cada una de estas rectas L determina un punto P que es

el punto medio entre L (1 L[ y L fl L2 . Hallar la ecuaci6n de su Lugar Geométrico.

SOLUCION.- Considerando el

punto auxiliar A • (r, s) ,

B “ (p, 3) , y la recta L :

y0 + 1y + 1 (* +1)

Además, como A e L2 fl L :

3r + 2s * 6

Í 0 o + D r - ( * o + U s

* * o - y 0 •

8*o - 2*0 + 6de donde r f -----------

3*o + 20o + 5

Asimismo, como B e Ljfl L :

y o + 1 ,4 - ------ (p + 1) = = >

9»o -3*0 + 6

3 * o + 2 0 o + 5

P =4 * o ~ 0 o + -

0 o + 1

V por ser P ■ (xe, y0) el punte medio del segmento AB

P ■ (*o. 0o) ■ | t(r. s) + (p. 3)] - ( )

0os + 3 90o - 3x0 + 6 + 9xe + 6y0 + 15 150o + 6Xo + 21---- * --------------------------- * -------------2 6Xo + 40o + 10 6xc + 40o + 10

6*o0o + 40o * 50o - 6xe - 21

274 Lugar Geométrico Cap.6

y quitando los ceros de los subíndices, obtenemos la ecuaci6n genérica del lugar geométrico _

L.G. : 6xy * Ay - Sy - 6x - 21 « 0


1. Hallar la ecuaci6n del lugar geométrico (L.G.) de los puntos (x, y)

cuya suma de cuadrados de las distancias a los puntos fijos A 3 (2, -4)y B ■ (0, 0) sea igual a 20 unidades.

2. Hallar la ecuaci6n del L.G. de los puntos (x, y) cuya razón de dis -tancias a la recta x - 4 ■ 0 y al punto (2, 3) sea igual a 1 .

3. Hallar la ecuaci6n del L.G. de los puntos (x, y) cuya distancia alpunto fijo (2, -2) sea tres veces su distancia a la recta y - 4

4. Dados los puntos A - (1, 3). B * (3, -2), hallar la ecuaci6n del L.G.de los puntos P • (x, y) tales que la pendiente del segmento PA seael reciproco con signo contrario de la pendiente del segmento PB .

5. Hallar la ,ecuac16n del lugar geométrico del centro de una circunferenciaque se mantiene tangente a la recta y - 1 ■ 0 y a la circunferencia

6. El segmento AB de longitud constante se desliza con uno de sus extremos en el EJE X y el otro sobre el EJE Y . Témese en el segmento elpunto medio. Encuentre el lugar geométrico de este punto al deslizarse el segmento.

7. Las rectas Lj : y = x/2 , L2 : y * 2x son cortadas en los puntos Hj y M2 respectivamente por una recta que se mueve manteniéndoseparalela siempre al EJE X . Encontrar el lugar geométrico del punto de intersección de las perpendiculares en y M2 a las rectas Lj y L2 .

8. Encontrar la ecuación del lugar feométrico de los puntos tales que sudistancia a la recta x * -1 mis su distancia a la recta y ■ -1 ,sea Igual a 2 .

9. Los vértices de un triángulo son los puntrs A » (-1, 0), B ■ (1, 0)y P = (x, y) . Hallar la ecuación del lugar geométrico que describeel punto P si el ángulo en P es recto, y P está en el semiplano

Cap. 6 Lugar Ceométrico 275

superior.

10. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se desplaza detal manera que la pendiente de la recta que lo une al punto (-1, -1)es siempre menor en una unidad que la pendiente de la recta que lo uneal punto (3, 3) .

11. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos (x, y) talesqufrla suma de sus distancias con respecto a los puntos fijos (-3, 0) y(3, 0) es siempre Igual a 8 unidades.

12. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de manera que la pendiente de la recta que lo une al punto A • (1, 1) sea eltriple de la pendiente de la recta que lo une al origen de coordenadas.

13. Sean A • (-12, -8) y B ■ (21, 18) los extremos del segmento AB .Hallar el lugar geométrico de todos los puntos P - (x, y) tales quelo? segmentos AP y BP formen un ángulo de 90° .

14. Sean los puntos A - (1, 2) y B “ (-1, 3) . Un punto P “ (x, y) semueve de manera que siempre se cumple que oij + *i2 * 3 , dondees la pendiente del segmento AP y n2 la del segmento BP . Hallarel lugar geométrico del punto P .

15. Hallar el lugar geométrico de los puntos de intersección de los pares derectas y * m(x + 2) , my « 3(x - 2) para todo m e R .

16. Dado el segmento AB de 12 unidades de longitud, hallar el lugar geométrico del punto P que divide al segmento AB en la relación 2 a1 cuando el segmento se desplace de modo que sus extremos se apoyenconstantemente sobre los ejes coordenados (B en el EJE X , y A enel EJE Y).

17. Un segmento AB de 3 unidades de longitud se mueve manteniendo siempre su extremo A en el EJE Y y su extremo B en el EJE X . Determinar el lugar geométrico del punto P ■ (x, y) que divide al segmento ABen la razón |ÁP|/8 « |ÍBl/5 .

18. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos que equidistan de la recta y « 2x - 1 y del punto (-1, 2) . También, encontrar la

276 Lugar Ceométrico Cap.6

suma de las abscisas de los puntos que se obtienen cuando la curva se 1n tersecta con el EJE X .

19. Un punto P se mueve en el primer cuadrante, en la reg16n limitada por el eje de abscisas y una rerta que forma 60° con dicho eje y que pasa por el origen. Determinar la ecuaci6n de su lugar geométrico si la suma de sus distancias a las rectas que limitan la regi6n es siempre de+ 6 unidades.

20. Los vértices A y B de un rectángulo variable son uno fijo A • (2.4), otro B móvil sobre el EJE Y , estando el lado opuesto CD sobre una recta que pasa por el origen. Hallar el lugar geométrico delpunto P .

21. Una recta se desplaza paralelamente al eje de abscisas cortando a la cur2

va y m x en A y B . Hallar la ecuación del lugar geométrico descrito por un punto P * (x, y) de la recta m6v11 que divide al segmento AB en la razón d [ A; P ] / d [ P; B ] * 1/2 .

22. ÍHsde el punto A ■ (-4, 0) se trazan segmentos AB siendo B un pun2

to cualquiera de la curva y - -x Hallar la ecuac16n del lugar geométrico de los puntos P * (x, y) sobre el segmento AB tal que sesatisfaga la relac16n d[A; P]/d[A; B] * 1/3 .

23. Dados los puntos A - (-3, 2) y B ■ (I, 4) hallar el lugar geométricodeterniinado por un punto que se mueve de tal manera que su distancia alpunto medio del segmento AB es siempre igual a su distancia al EJE X .

2 224. Sea y x + 3* y - 6xy « 0 una ecuac16n factorizable. Calcular el Srea de la regi6n encerrada por su grSfica.

25. Sean (x,. y¡), {x2, y2), (x3. y3) y (x4, y j los puntos de ínter -sección de las gráficas de las ecuaciones

xy « -2 , 9x2 + 9y2 * 85 .

Calcular (xt +■ x2 + *3 + xlf)/lyl + y2 + y3 * yu) .

26. Se Lunsidera un segmento AB de 6 unidades de longitud, y un punto P* (x, y) de dicho segmento a 4 unidades de A . Hallar la ecuacióndel lugar geométrico de P cuando el segmento se desplaza de forma que

Cap.6 Lugar Geométrico 277

los puntos A y B se apoyan constantemente sobre los semiejes positivos de coordenadas, si el punto A está sobre el EJE Y .

27. Dos de los vértices de un triángulo son (-5, 2) y (1, -3). SI la Iongitud de la mediana que pasa por (1, -3) es constante e igual a 4 . hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice P 3 (x, y) .

2B. La recta L se mueve en el plano formando 60° con el EJE X . Si Ay B son los puntos en donde L corta a los eje X e Y , hallar laecuación del lugar geométrico del punto medio del segmento AB .

29. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto P * (x, y) si ladistancia de P al origen es dos veces la distancia de P a (0, 2) .

30. Dos de los vértices de un triángulo son los puntos fijos A ■ (0, 1) yB = '0, 5) . Hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice C si se mueve de tal manera que la diferencia ertre las longitudes de los lados AC y BC es siempre igual a la mitaa de la longitud del lado AB .

31.

RPTA: Unión de los conjuntos de puntos de las gráficas de las ecuacio

nes: (x + l)2/4 - y2/l2 - 1 (semiplano x > 1 ) ,

y (x - l)2/4 - y2/l2 » 1 (semiplano x S -1 ).

32. Dos de los vértices de un triángulo son A = (5, 0) y B = (1, 0). Ha

La base de un triángulo es de longitud fija, siendo sus extremos los pun tos (-3, 0) y (3, 0). Hallar e identificar la ecuación del lugar geo métrico del vértice opuesto, si uno de los ángulos de la base es siempre igual al doble del otro.

278 Lugar Ceométr'ico Cap. 6

llar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice C si se mueve de tal manera que la pendiente del lado AC es siempre la mitad que la del lado BC .

33. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de mane ra .jue la diferencia de los cuadrados de sus distancias a los puntos A■ (-2, 2) y B ■ (1, 4) es siempre constante igual a 12 .

34. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se desplaza detal manera que su distancia al punto A * (4, 2) es siempre Igual asu distancia al EJE X , aumentada en 3 unidades.

35. Un punto se mueve tal que su distancia al punto A ■ (4, 2) es siempreigual a su distancia a la recta 4* - y ■ 2 .

36. Dados los puntos A ■ (-4, -2) y B - (6, -8) . hallar la ecuación dellugar geométrico del punto P tal que el producto de las pendientes delos segmentos PA y PB sea Igual a 1 .

37. Encontrar la ecuación del lugar geométrico de los puntos (x, y) queson vértices de los triángulos ABP de la figura , siendo

a + tan B * 2 - y

P = (x

B /

A-(-2,0) 0 B“(2,0) X

(CLAVE DE RESPUESTAS: Pág. 290)

Cap. 6 La Circunferencia 279

5. LA CIRCUNFERENCIA .-

Una circunferencia C es un conjunto de puntos que equidistan de un punto fijo lia

mado CENTRO . Tal distancia al Centro se llama RADIO de la circunfe - riñera.

6 equivalentemente.

C : (* - h)2 + {y - k)2 - r2 I (r > 0).

A esta ecuac16n se le conoce coito la ECUACION VE LA CIRCUNFERENCIA PE CEN - TRO (h. k) V VE RAPIO r > 0 .

5.1 EJEMPLO.- La circunferencia con centro en (-2, 1) y radio 6 unidades es el conjunto de punios P ■ (x, y) tales que

( x - 2 ) 2 + [ y - ( - I ) ] 2 - 6 2

— (x - 2)2 + [y + l)2 - 36 .

5.2 EJEMPLO.- La ecuacifin x2 + y1 + 4x - 6y - 7 * 0 , que al completar cuadrados se convierte en

(x2 + 4x + 4 - 4) + [y2 - 60+ 9 - 9) - 7 - 0

(x + 2)2 - 4 + [y - 3)2 - 9 - 7 - 0

(x + 2)2 + [y - 3)2 - 20 - (/20)2 .

representa una circunferencia de Centro (-2, 3) y de radio /20 .

280 La Circunferencia Cap. 6

Debido al Ejemplo previo, las ecuaciones de la forma

*2 + i/2 + Dx + Ei/ + F ■ 0

representarSn circunferencias, pues al completar cuadrados resulta

, D .2 , E ,2 D¿ + E2 - 4F(t+ i> + 2> ' -------- ¡--------------------

cuyo Centro es el punto C “ (-D/2, -E/2) , siempre que el segundo miembro sea positivo.

5.3 EJEMPLO.- La grífica de la ecuaci6n:

x2 + y2 - 0

cuya única so1uc16n es el punto de coordenadas x - 0 ,y » 0 , estS representada gr&ficamente por el único punto (0, 0) , de lamisma forma en que la grSfica de la ecuac16n

(x - 5)2 + (y * 3)2 - 0

estará representada por el único punto (5, -3) .

5.4 EJEMPLO.- La ecuaci6n x2 + y2 + 25 ■ 0 no ti&ne ne.pn.zie.nta

2(Uln gníi-ica en e¿ plano IR , pues los puntos que lassatisfacen no tienen ambas coordenadas reales, lo cualse ve de la forma equivalente

x2 * y2 - - 25

Lo mismo ocurre con la ecuaci6n:

(x - 5)2 + (y + 3)2 + 25 - 0 .

5.5 PROBLEMA.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por lospuntos P ■ (8, -2), P « (6, 2) y P » (3, -7) .

SOLUCION.-Se construyen las mediatrices Lj y L2 de los segmentos PlP2 y P1P3 respectivamente.

Con este método tenemos que el centro de la circunferencia

Cap. 6 La C-ixcu.n¿cAenc-¿a 281

resultará la intersecci6r de las rectas Lj y L2 :

M - (Pj + P2)/2 » (7, 0)

N = (P, + P3)/2 - (11/2, -9/2),

La recta Lt pasa por M • (7, 0)y tiene por vector normal a?

A " P1 * P2 " (2*Luego, Lj : 2x - 4y - 14 .

La recta L2 pasa por el punto

N » (11/2, -9/2) y tiene como

vector normal al vector

ñ2 ■ pi " P3 = (5* 5) . luego L2 : 5x + Sy m 5 , de modu que al

Intersectar con Lj se obtiene el CENTRO C = (3, -2) y el radio r =

d[ P2, C] = 5 . Por lo tanto, c . (x - 3)2 + (y + 2)2 - 25 .

5.6 PROBLEMA - Hallar la ecuación de la circunferencia C cuyo centrose encuentra sobre la recta L : y = 4* , sabiendo quelas longitudes de los segmentos que C determina sobre

el EJE X y el EJE Y , son 7/2 y 4 unidades respectivamente. (Dos soluciones).

SOLUCION.- Sea C la circunferencia con ecuaci6n:

C: (x - h)2 + (y - k)2 - r2 .. I*)

C = (h, k) pertenece a L : y = 4x ,lo que implica que k = 4h .. (o)

De (*) se tiene que, si y = 0 , en

toni.es se obtienen las abscisas Xj , x2

donde C corta al EJE X :

x = h i / r2 - k2 > Xj = h - /r2 - k2

x2 = h + / r 2 - k2

Análogamente, haciendo x = 0 , se obtienen , y2 :

282 La Cülc.wieAe.n<Ua Cap. 6

y = k i / r 2 - h2 ==> yy - k - / r 2 - h2

i/2 = k + / r 2 - h2

Además, de los datos: 7/2 = |*2 - *jJ " 2 /r2 - k2

4 “ l?2 ” tfll ’ 2 / r2 - b2

Y elevando al cuadrado: 4g » i6(r2 - k2) ( B)

4 = r2 - h2 ( Y )

Reemplazando ( a) en ( B): 49 * 16(r2 - 16h2) .. (6)

Resolviendo (Y) y (6) simultáneamente:/Fe

h » í 1/4 , k = í 1 respect. ==» r ---4

'or 10 tant0: Ira. Respuesta: C* : ( x - | )2 + (y - l)2 = 65/16

2da. Respuesta: C J1 : ( * + 7 )2 + (tf + l)2 = 65/16

5.7 PROBLEMA.- Hallar las distancias mínima y máxima del punto A »

(7, 10) a la circunferencia x2 + y2 - 2* - Ay = 20.

SOLUCION.- Completando cuadrados, obtenemos la ecuación

equivalente de la circunferencia C :

(x - l)2 ♦ [y - 2)2 = 25

Luego, el centro de C resulta ser

C * (1,2) y el radio r = 5 .

Sea ¡j el vector unitario en la mis- 'ma dirección del vector a » CA ,

ü - (CA) / 1 CA| = (A - C)/ |CA |

= (6, 8)/ | (6, 8)| = (| • 3 )

Luego, R = C + r ü = C + 5¡j = (4, 6) ,

m = | A - R | = | (7, 10) - (4, 6) | = | (3. 4) | = 5 .

Así, la distancia mínima de A a C es m = 5 , y la máxima es igual a m + 2r = 15 .

Cap. i La CiAcunfeAentUa 283

5.8 PROBLEMA.- Hallar las ecuaciones de las circunferencias que pasanpor A • (2. 1) y B * (4, 3) y que sean tangentes a la recta Lt : x + 3y - 3 » 0 .

SOLUCION.- El vector

normal de L es :

ñ, - AB - (2,2) .

La recta L pasa por H, punto medio de AB ,

M - (A + B)/2 - (3. 2)

Asi, L : 2jc + 2y - 106 L : k * y ■ 5

y como el CENTRO C ■ (h, k) e L , entonces

h + k » 5 -. (*)C - (h, 5 - h) , donde

r-|CA|- d[C, L j = f ] CA |2 = d2[C, Lt] =*>

(2 - h)2 + [1 - (5 - h)]2 = [ h + 3(5 - h) - 3]2/10 =*>(2h - 7)(h - 1) = 0 = * h = 7/2 v h = 1

Según (*) , si h * 7/2 entonces k * 3/2y si h * 1 entonces k = 4 .

Eligiendo adecuadamente resulta C = (1, 4) , D * (7/2, 3/2) , existiendo por lo tanto dos soluciones correctas:

C* : (x - | )2 * (y - | )2 - r2 , C - : (x - l)2 + [y - 4)2 = r2

donde r2 « | DA |2 ■ 5/2 , y r2 * | CA |2 » 10 .

5.9 PROBLEMA.- Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a lasrectas Lj : x + i/ + 4 = 0 , L2 : 7¡/-x + 4 * 0 ,

y que tenga su centro en la recta L3 : 3x + 4y = 2 .(Dos soluciones).

SOLUCION.- Como C = (h, k) e Lj , entonces 3h + 4k = 2 .. (*).

Además, d[C, L(] ■ d[C, L2] = r = »

| h + k + 4 | / ✓T = | 7k - h + 4|/(5/2) =*>

284 La CtAcun ¿ eA.zn.cJji Cap. b

(h + k + 4) s + (7k - h + 4)

/2 5 /2

= * 3h - k + 8 = O .. (1)6 h + 3k + 6 - O .. (2)

PRIMERA SOLUCIOr- Considerando las ecua

ciones (1) y (*) , y resolviendo dicho sistema se tiene:

C - (h. k) = (-2, 2) , y

rt > d[C, Lt]

= | -2 + 2 + 4 |//2 = 2/2

SEGUNDA SOLUCION: Considerando las ecuaciones (2) y (*) , y resolviendodicho sistema se tiene: (h, k) = (6, -4) = D , y

r2 = d[D, Lj] - | 6 - 4 + 4|//2 * 3/2

Luego, C2 : (x - 6) + (y + 4)2 = 18 .

5.10 RECTA TANGENTE A LA CIRCUNFERENCIA. UNA ECUACION

Cuando ¿e. conocí ti Punto de Contacto (xD, yD)

de una Circunferencia C TANGENTE a una nccta Lj EN DICHO PUNTO, entonces la ecuación de Lj tiene una forma simple:

sea C : (x - h)2 + {y - k)2 * r2 (*)

pues (xOJ yD) t C .

La recta Ly tiene vector normal

ñ = C?0 * P„ - C

“ ( í/o ” M

y pasa por PD = (k0, yD) . Lúes

LT : (P - p„) ■ F = 0 = >

Cap. 6 ta C¿ncun¿eAen(Ua 285

((x - h) - (x„ - h), (ÿ - k) - (ya - k))-(x„ - h, yD - k) - 0

(* - h)(x0 - h) - (x„ - h)2 + (y - k)(ÿ0 - k) - [y0 - k)2 - i

Agrupando y utilizando (1) esta última ecuación se transforma en:

LT : {x - h)(x„ - h) + {y - k)(ÿD - k) - r2

2 2 2Ecuación de ¿a Recta Tangente a la CiAcun¿eAenCAA (x - h) + [y - k) = r ,en el PUNTO VE CONTACTO (x0, y„) .

Obsérvese el parecido de esta ecuación con la ecuación de la Circunferenciarespectiva C : (x - h)2 * (y - k)2 * r2 .

5.11 DEFINICION.- Una recta Ln recibe el nombre de RECTA NORMAL

A LA RECTA L si es que JL L .

5.12 PROBLEMA.- Hallar la ecuación de la recta Tangente Lj y de la

recta Normal Lr a la circunferencia C en el punto

(3, 1), donde C : x2 + y2 - 2x + y * 5 .

SOLUCION.- je verifica que C : (x - l)2 + (y + i )2 = — , y

que (3, 1) c C , siendo éste punto de contacto con Lj ,

Lx : (x - 1) (3 - 1) + (y + ^ ){ 1 ♦ ^ ) ~ ■ Por lo tanto,

Lj : 4x + 3y - 15 , Lr : -3x * Ay » -5 .

5.13 PROBLEMA.- La circunferencia C del Problema previo tiene dostangentes que son paralelas a la recta 3x + Ay « 1 . Hallar sus ecuaciones.

SOLUCION.- Puesto que C : (x - l)2 + [ y + (1/2)]2 =■ 25/4 , enton

ces su CENTRO es C * (1, -1/2) y su radio r = 5/2 .

En referencia a la figura siguiente, si las rectas tangentes Lt y L2

han de ser paralelas a 3x + Ay ■ 1 , entonces tendrán Lomo vector nor

mal a ñ = (3, 4) y como vector unitario ü al vector (3, 4)/ |(3, 4)|.

Es decir, û = (3, 4)/|(3, 4) | = (3/5, 4/5) . Además,

286 La C¿cun¿eAenc¿a Cap. 6

L2 : 3x + Ay = - 23/2 .


1. Hallar el centro y el radio de las siguientes circunferencias :

a) 2 2 k * y --■■ 16 f)

2 2 x + y + 2x - Ay * 5

b) x2 + 2x + y2 + Zy = -1 g) x2 * y2 * 2x = 8

c) x2 - 2x + y2 = 0 h) 2x2 + Zy2 + x + y = 1

d) 4x2 + 402 - 4x - IBy + 2 = 0 i)2 ^ 2 x + y * 4x + Ay * 9

e) 3x2 + 3y2 + 6x = 1 j)2 2 x + y * 4x - 6y - 12

2. Hallar las ecuaciones de las circunferencias :

a) con radio 3 y centro en (2, -4) ,b) con centro en (-1, 3) y que pasa por (4, 1) ,c) que pasa por (0, 4), (1, 2) y (3, 2) .d) circunscrita al triángulo cuyos lados están sobre las rectas

Lx : 3* + Zy = 13 , L2 : k - Zy = -1 , L3 : x + Zy = 3 ,

e) inscrita en el triángulo cuyos lados están sobre

: 4x + 30 = 24 , L2 : 3x - 40 = 18 , L3 : 4x - 3y - -32 ,

f) con centro en (-1, 1) y tangente a L : x + Zy = 4 .

3. Hallar los puntos de intersección de la circunferencia con centro en elorigen y de radio 5 con :

a) la recta x - y + 5 = 0 ,b) la recta de pendiente -4/3 y que pasa por (1, 7) ,

Cap. b La CÁ cun£eA.e.tuUa 287

c) la recta 3* - y * 5 . d) la recta 7x + y - 25 ■ O .

4. Sea P un punto exterior a una circunferencia dada C . Sea PT elsegmento de recta tangente a C en T , y PN la recta trazada desdeP que pasa por el centro de C y que intersecta a C en M y N .

Probar que |PM| • |WL| • | PT |2 .

5. Hallar la ecuación de la circunferencia :

a) con centro en (0, -3) y tangente a 5x - \Zy + 2 = 0 ,b) con centro en el EJE X y que pasa pasa por (4, 6) y (1, 3) ,c) que pasa por (7, -5) y es tangente a L: x - y - 4 ■ 0 en el

punto (3, -1) ,d) de radio 5 y tangente a 4x - 3u + 1 * 0 en (3, 2) ,e) que pasa por (2, -2) y por los puntos de Intersección de las cir

cunferencias Cj : x2 + y' - 2x + 3y - 13 « 0 , y

C2 : x2 + y2 - x - Zy - 15 - 0 .

f) de radio 50 y corta en el EJE X una cuerda de longftud Igual a28 unidades, y que pasa por (0, 8) ,

g) con centro en (-1, 1) y tangente a L : x + Zy * 4 ,h) que pasa por (2, -2) y (3, 4) , y cuyo centro se encuentra en la

recta L : x + y » 2 ,i) que pasa por (2, 3), (3, 2) y (-4, 3) .

6. Una circunferencia C es tangente simultáneamente a

: (x - 3)2 + (y - 4)2 - 4 , C2 : (x - 3)2 + (y - 8)2 = 36 .

Hallar el Lugar Georétrlco descrito por el centro de C .

7. Hallar la ecuación del Lugar Geumétrico del centro de una drcunferen - cia que se mantiene tangente a las circunferencias

Cj : x2 + y2 - 4y - 12 - 0 , y C2 : x2 + y2 = 1 .

8. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro se encuentra sobre la recta y = 4x si las longitudes de los segmentos que determina so bre el EJE X y sobre el EJE Y son 7/2 y 4 respectivamente.

9. La distancia entre las rectas x + Zy - a = 0 , x + 2</ + 4a = 0 , es2/5 . Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente a ambasrectas, y cuyo centro se encuentra en el EJE Y .

10. Dadas Ct : x2 ♦ y2 - 16 = 0 , C2 : x2 + y2 + 4x + 8y - 80 = 0 ,

288 La CVicun¿eJiejnc¿a Cip. 6

y el punto A = (4, -12), encontrar el ¿rea dil triángulo ABC , si se sabe que está inscrito en una de las circunferencias, y circunscrito a la otra.

2 211. Suponiendo que las circunferencias x + y +Dx + E i / * F * 0 , y2 2

x * y * D'x + E'y + F’ = 0 poseen una cuerda común, probar que és

ta tiene ecuación (D - D')x ♦ (E - E*)y + (F - F") = 0 .

12. Hallar la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas 2x - ¡y + 5 = 0 , x - y + 4 = 0 y que es perpendicular a la

2 2 2 2 cuerda común a las circunferencias x ♦ y - Ay 9 x ♦ y =4x.2 213. Dada la circunferencia C : x + y = 16 , desde el extremo izquier

A , de C , se traza una cuerda variable AQ y desde el extremo superior Q de dicha cuerda se traz* una perpendicular al diámetro horizon tal AB la cual corta a la curva en el punto D . Se traza la recta DB , la cual se prolonga hasta interceptar en P a la prolongación de la cuerda AQ . Hallar la ecuación del Lugar Geométrico de P .

2 214. Determinar la ecuación del diámetro de la circunferencia x + y -- 6x + 4j - 12 = 0 que biseca a la cuerda cuya ecuación es 3y + x - 6 = 0.

15. Hallar la ecuación de la circunferencia

a) cuyo diámetro es el segmento de la recta 4x - 3y + 12 = 0 sitúado entre los ejes coordenados ,

b) que pasa por (0, 0), (-3, 9) y con centro en el EJE Y ,c) que pasan por (-1, 2), y son tangentes a ambos ejes coordenados ,d) que pasan por (4, -2) y (5, -3), y tienen radio 5 ,

2 2e) de radio 4 y es concéntrica a x + y + 6y + 8 = 0 ,2 2f) que pasa por (4, -3), y es concéntrica a x + y - 4x + 3y = 1.

16. Un punto P se desplaza de manera que el cuadrado de su distancia dela base de un triángulo isósceles es siempre igual al producto de sus distancias de los otros dos lados. Demostrar que el Lugar Geométrico de P es una circunferencia.

17. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en las rectasx + y = 4 , 5x * Zy - -1 , y de raaio 3 .

18. La recta L es tangente a x2 + y2 = 1 en A = (-1, l)//2 . Hallar la tangente del ángulo que forma L con la cuerda que va desde A

Cap. 6 La CÁMuin eAuicia 289

hasta el punto B ■ (1, 0).

19. Una circunferencia es tangente a las rectas : y m x + 5 , y

L2 : y “ * + 1 . SI (2, 5) pertenece a la circunferencia, encontrar su ecuación si la suma de las coordenadas del centro es mayor que7 .

20. El punto C 3 (-2, 3) es el centro de una circunferencia cuya cuerdasobre el EJE Y es dividida por el origen en la razón -4 . Hallar lalongitud de la cuerda.

2 221. Hallar el valor de k para que la ecuación x + y - 8x + lOy + k* 0 , represente una circunferencia de radio 4 .

222. El punto (8, 6) es el centro de una cuerda de la circunferencia : x2

* y - 12x - Ay » 0 . Hallar la longitud de dicha cuerda.

23. Hallar la ecuación de una circunferencia tangente a la recta 7x - 24y2 2

- 55 = 0 , y cuyo centro es el de la circunferencia x + y - 8x- Ay = 0 .

24. Hallar el Lugar Geométrico de los centros de las circunferencias tangentes al EJE Y , y que pasen por (1, 0) .

225. Hallar la máxima distancia del punto (10, 7) a la circunferencia x

+ y2 - 4x - Zy - 20 - 0 .

26 Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente a las rectas Lj, L2 y L3 , si su centro se encuentra en el cuarto cuadrante .siendo L : y « -2 , L2 : y = -6 , L3 : 3x - Ay - 9 = 0 .

2 227. Hallar la distancia del punto (4, 26) a la circunferencia x + y

+ lOy * 6x + 15 .

28. La recta L = { P„ + t(l, 1) } corta a la circunferencia C : x22 —1+ y » 186 + 2x + 6y en dos puntos diferentes A y B . Si | AB|

■ 14 /2 , y la distancia del centro de C a L es 14//2 , hallarla ecuación general de L y los puntos A y B . (Dos soluciones).

29. Dos circunferencias Cj y C2 son concéntricas y el radio de Cj es

3/5 . Además, la recta tangente a Cj , en el punto A , corta a C2en los puntos (8, -10) y (12, -2) . Encontrar las ecuaciones de Cl

y C2 de tal manera que la abscisa del centro de sea menor que10 .

290 La Cíacumí esencia Cap. 6

30. Hallar las coordenadas del centro de la circunferencia C que pasa por(2 + (/2 -/6), 2 + ( / 2 - / 6 ) ) , y que es tangente a las rectasLj : /3y “ x . L2 : y “ /3x .

SUG: Considerar que C pasa por (a, a) genéricamente.

31. Hallar la ecuación de la recta que pasa por la Intersección de las rectas 2x - y + 5 m 0 , x - y + A m 0 , y que es perpendicular a la cuerda común de las circunferencias C| y C2 donde

: x2 + y2 - Ay - 0 , C2 : x2 + y2 - 4x - 0 .

CLAVE DE RESPUESTAS (SERIE DE LA PÁG. 274) :

1. (x - l)2 + [y + 2)2 - 5 , 2. (y - 3)2 = 12 - 4x3. (x - 2)2 - Ry2 - 7Sy + 140 , 4. x2 + y2 - 4x - y - 3 - 0

5. x2 - 16 - Ry , si (x e [-2/2, 2/2] - y > 1) o

(x e <-». - 2 / 2 ] U [ 2 / 2 . ~> - y < 1) ,

x2 ■ Ay + 4 , si (x e , -2/2 ] U [2 /2 , ~ y > 1 ) o(x e [-2/2, 2/2] « y < 1) .

2 2 26. 4x + Ay « a , a > 0 , donde a * longitud de AB .7. El FJE X : y = 0 .8. El borde del cuadrado cuyos vértices son (-1, 1), (1, -1), (-3, -1),

y (-1. -3) .9. x2 + y2 - 1 , 10. (x + l)2 - A{y + 1)

U. (x2/16) + (y2P ) - 1 . I!- 2xy + x - 3y - 013. [x - (9/2)J2 + {y - 5)2 - (1/2) /1765 .14. 3x2 - Zxy * 5x - 4 - 0 . 15. y2 = 3x2 - 416. x2 + Ay2 ■= 64 , 17. 1600x2 + 576y2 - 2025 .

18. x2 + Ay2 + Axy + 14x - ZZy + 24 = 0 , 19. y » 12 - /3x .2 220. (x - 1) + {y - 2) = 5 , considerando al punto C un vértice conse

cutivo del punto A

21. y = 9x2 , x i 0 ; 22. 3y = -(3x + 8)2

23. (x + l)2 * 2y - 1 , 24. 6 unidades cuadradas.25. Considerado como produrto y no como cociente: (0)(0) = 0 .26. x2 + Ay2 = 16 , 27. (x - 7)2 + {y * 8)2 = 64 .28. y = - /3 x , 29. 3x2 + 3y2 - ISy + 16 = 0 .

Cap. 6 La CiA.cun¿eAen<Ua 291

30. x2 - 3y2 + 18j - 24 » O31. La reunión de los puntos de las dos ecuaciones:

(x + l)2/4 - y2/12 - 1 , x > 1v (x - l)2/4 - y2/lZ - 1 . x < -1 .

32. x « -3 . 33. 6x + 4y * 21 ,34. (x - 4)2 - 6|í/| - 4y - 5 m 0

35. 15x2 - 8xy - 8x + 81/ - 16 > 0

3E. (x - l)2 - (y + 5)2 - 16 , 37. x2 - 4 - Z\y\ .

CLAVE DE RESPUESTAS (SERIE DE LA PAG. 286)

1. a) (0, 0), r • 4 , b) (-1, -1), r - 1 . c) (1. 0). r - 1 ,d) (1/2. 9/4). r-/77/2, e) (-1.0). r » 2//3 ,f) (-1. 2). r - 0 . g) (-1. 0). r - 3 .

h) (-1/4, -1/4), r ■ 1//8 , i) No existe tal circunferencia ,j) (-2. 3), r * 5 .

2. a) (x - 2)2 + [y + 4)2 - 9 , b) (x + l)2 + [y - 3)2 = 29 ,

c) (x - 2)2 + [y - (15/4)]2 - 65/16 .d) [x - (23/8)]2 + [«/ + (1/4)]2 - 325/64 .e) (x + l)2 + [y - I)2 - 25 , f) (x + l)2 + (y - l)2 - 9/5 .

3. a) (-5, 0) y (0, 5) , b) (4, 3) solamente ,c) (0, -5) y (3. 4) . d) (4, -3) y (3, 4) .

5. a) x2 + (1/ + 3)2 - (38/13)2 , b) (x - 7)2 + y2 - 45

c) (x - 5)2 + (</ + 3)2 - 8 .

d) (x - 7)2 + [y + l)2 - 25 . y (x + l)2 + (y - 5)2 - 25 .e) [x - (2/3)]2 + [y - (13/3)]2 « 113/9 .f) (x - 3D)2 * (y - 48)2 - 2500 , y (x + 30)2 * {y - 48)2 - 2500g) (x + l)2 + (y - l)2 - 9/5h) [x - (7/10)]2 + [y - (13/10)]2 = 629/50i) (x + l)2 + (y + l)2 - 25 .

6. 4(x - 3)2 + 3(i/ - 6)2 - 48 , 7. 100x2 + 84(i/ - l)2 = 525

8. [x - (1/4)]2 + {y - l)2 » 65/4 , y [x + (1/4)]2 + (1/ + l)2 = 65/4

9. Si a > 0 : a = 2 , x2 + [y + (3/2)]2 = 5 , y

si a < 0 : a = -2 , x2 + {y - (3/2)]2 • 5 .

292 La CVicun ¿ eAíncia. Cap. 6

10. 96 unidades cuadradas . 12. x * y * 213. k2 - y2 = 16 , 14. 3k - y • 1115. a) [x + (3/2)]2 + (y - 2)2 - 25/4

b) x2 + (</ - 5)2 - 25 ,c) (x ♦ 5)2 ♦ (y - 5)2 - 25 . y (x + l)2 ♦ (</ - l)2 > 1d) (x - 8)2 * [y - l)2 - 25 , y (x - l)2 ♦ {y * 6;2 - 25 .e) x2 ♦ (y * 3)2 - 16 , f) (x - 2)2 * {y * (3/2]2 - 25/4

17. (x + 3)2 + (y - 7)2 ■ 9, 18. (1+/2).

19. (x - 3)2 * [y - 6)2 ' 2 , 20. 18/5 .21. k ■= 25 . 22. 4/5 , 23. (x - 4)2 + (y - 2)2 « 924. y2 ■ 2x - 1 , 25. 15 unidades de longitud.26. [x ♦ (17/3)]2 + (y ♦ 4)2 ■ 4 . 27. ( /962 ) - 7 .

28. Ira. Solución L : x - i/ « -16 , (1. 17) , (-13, 3)2da. Solución L : x - y = 12 , (15, 3) , (1, -11) .

29. Ct : (x - 4)2 ♦ (y ♦ 3)2 *■ 45

C2 : (x - 4)2 * {y * 3)2 » 65 .

30. Ira. Solución: [44 ♦ 30/2 - 18/6 - 24/3 3 (1. 1) ,2da. Solución: [8/3 ♦ 10/2 - 6 /6 - 12](1, 1) .

31. x ♦ y ■ 2 .A A A A A a A

6 CONDICION DE TANGENCIA PARA ECUACIONES CUADRATICAS

En esta sección estudiaremos la Ecuación de 2°Grado Restringida:

Ax2 + Cy2 + Dx + ly + F - D ... (*)

con el fin de encontrar la fórmula de la ecuación de una RECTA TANGENTE Ly

que paje poí u n pun i ó Que NO ES VE TANGENCIA .

En general, para encontrar los puntos de intersección de la grafica de la ecuación (*) con la gráfica de una recta L deecuación

L : ax + by * c = 0 ,

se despeja una de las variables, ya sea x ó y , digamos " y ", en térmi -

nos de la otra variable, x , de la ecuación de la recta L , y luego este

Cap. 6 La C¿Kcu.n£eAencMi 293

valor se reemplaza en la ecuación (*) , obteniéndose una ecuación de 2°grado en La vasUabte x únicamente, pudlendo presentarse solamente uno delos siguientes tres casos :

6.1 PRIMER Ca s o Que la ecuación resultante de 2° grado en la variable x tenga VOS SOLUCIONES REALES DISTINTAS y Xj , existiendo por lo tanto POS PUNJAS VE IN

TERSECCION (xj. f/j) y (x2. y2) •

Por ejemplo, para hallar los puntos de intersección de las ecuaciones :

x2 * y2 - 4* - lDi/ ♦ 9 * 0 con x - y - 3 ,

que corresponden a una circunferencia y a una recta respect. , se despeja

y * x - 3 y se reemplaza en la otra ecuación, obteniéndose:

x2 ♦ (x - 3)2 - 4x - lD(x - 3) ♦ 9 - D = * x2 - lOx + 24 - 0

= > (x - 4)(x - 6) - D

= > x ■ 4 v x • 6 .

La existencia de estas POS S0LUC10NLS REALES para x es equivalente a que

EL DISCRIMINANTE de la ecuación

x2 - lOx +24 - (x - 4)(x - 6) - D

sea POSITIVO . En efecto, vemos que

b2 - 4ac - (ID)2 - 4(1)(24)

■ 1DD - 96 “ ♦ 4 > 0 .

Además, para x • 4 se tiene y » x - 3 ■ 1 ,y para x * 6 se tiene y * x - 3 ■ 3 .

Asi, los puntos de Intersección resultantes son Pj ■ (4, 1) y P2 ■

(6, 3) .

6.2 SEGUNDO Ca s o ■- Cuando existe únicamente UNA SOLUCION REAL perax , y por lo tanto UN UNICO PUNTO VE INTERSEC - CION , y que precisamente viene a ser UP PUNTO VE

TANGENCIA de ambas gráficas: (*) y la recta da - das.

Por ejemplo, dadas las ecuaciones :

294 La Cjacun¿eAcn<Ua Cap. 6

x * 8y . x + y ♦ 2 * O

correspondientes a una parábola y a una recta, despejamos de la ecuación ae la recta:

y ■ -x - 2

y reemplazamos en la ec. de la parábola:

x + 8x ♦ 16 ■

(x + 4)2 » D.. (*)

cuya única solución es x * -4 .

La existencia de esta UNICA SOLUCION

es equivalente a que EL DISCRIMINANTE de la ecuación (*) sea IGUAL A CERO . En efecto,

b - 4ac • 64 - 4(1)(16) * 64-64 - O

Como el valor correspondiente de y para x = -4 es y * -x - 2 = -(-4) - 2 = 2 entonces existe UN UNICO "UNTO PE INTERSECCION PD - (-4, 2) . Cuando esta situación se presenta, el punto P0 es denominado

PUNTO DE Tangencia , cuya existencia está asegurada solamente cuando

EL DISCRIMINANTE ES IGUAL A CERO.

De esta forme obtenemos la siguiente

CONDICION DE TANGENCIA : DISCRIMINANTE IGUAL A CERO.

6.3 TERCER Caso Cuando no existe NINGUNA SOLUCION REAL para x,

y por lo tanto, LAS VOS GRAFICAS NO SE IWTERSEC - TAN . Por ejemplo, dadas las ecuaciones:

C: x2 + y2 = 4 , L: </ = x - 6 ,

al reemplazar y = x - 6 en la ecuación C se obtiene:

x2 + (x - 6)2 = 4 =-> x2 - 6x ♦ 16 = O ,

ecuación cuadrática cuyo DISCRIMINANTE ES NEGATIVO : b2 - 4ac • 36 - 64 =

Cap. 6 La CJjí£un i esencia 295

* -28 < O ; esto Indica que la ecuación x2 - 6x ♦ 16 - 0 NO T7E NE SOLUCIONES REALES . Po* ¿o tatito, no tx¿ite.n puntoi di lnX.vutc.cx5n «jxXa í tai doi gní£¿cxu dadai.

6.4 EJERCICIO.- Encontrar el valor de la constante k de manera que2

la grSflca de la ecuación x - 8x - y + k • 0sea tangente al EJE X. Hallar el punto de tangencia.

SOLUCION El Eje X es una recta con ecuación: y = 0 . que al re-emplazar en x - 8x - ¡/ + k ■ 0 resulta la ecuación

x2 - 8x ♦ k = 0 . Empleando la CONDICION DE TANGENCIA: DISCRIMINAN -TE IGUAL A CERO resulta la condición

b2 ■ 4ac * 64 - 4k * 0 =»• k = 16 . Y por lo tanto, el

PUNTO DE TANGENCIA P„ ■ (xot ya) tiene su abscisa como solución de la e-

cuación x - 8x0 + 16 ■ 0 ■ (x0 - 4)2 . Es decir, x0 ■ 4 , correspondiente a ya * D por estar en el EJE X. Asi, el PUNTO DE TAN -

GENCIA es el punto P0 ■ (4, 0) , y es el único punto de Ungencia.

6.5 EJERCICIO.- Hallar la ecuación de la recta L que pasa por Q -(0, 9) , y que es tangente a la circunferencia

C : x2 ♦ y2 - 2x - 4y - 20 ---(*)

Encontrar ademSs el punto de tangencia.

SOLUCION .- Haciendo una grSfica vemos que existirSn dos rectas L conlas condiciones dadas. Sea L : y * mx + b , y co

mo Q = (0, 9) e L entonces

9 = m-0 ♦ b = » b = 9

Luego, L : y = mx + 9 ,

que al reemplazar en (*)

C : (x - l)2 + (y - 2)2 = 25

resulta

(1 + m2)x2 + (14m - 2)x + 25 - 0

Y utilizando la CONDICION DE TAN- GENLIA: Discriminante = CERO :

29ó La C-ÍAcun & eAíncÁM. Cap. 6

(14m - 2)2 - 4(1 + m2)(25) • O = > 12m2 - 7m - 12 » O ==>

(3m - 4)(4m ♦ 3) * O =*> nij » 4/3 , m2 * - 3/4 ,

con lo cual podemos ver que existirSn VOS RECTAS TANGENTES V ORTOGONALES

en&te ti las que satisfagan las condiciones del problema, y que como ambaspasan por el punto Q - (0, 9) entonces estas rectas serán :

: 4x - 3y » - 27 . y L2 : 3x ♦ Ay » 36 .

Además, como el centro de C es C ■ (1, 2) , su radio es r ■ 5 y el

vector normal a L2 es ñ2 * (3, 4) , entonces el vector unitario ü en

la dirección de ñ2 es u ■ (3, 4)/5 , y por lo tanto (ver la fig.):

R « C + 5Ü - (4, 6) , S * C + 5 ü X » (-3,5)

los cuales serán los PUNTOS DE TANGENCIA correspondientes a L2 y respectivamtnte.

6.6 EJERCICIO.- Desde el punto A ■ (k, -2) con k < 0 , se tra2 2zan rectas tangentes a la circunferencia C : k + y

- Zk - 1 » 0 . Si el sermento determinado por el punto de tangencia y el punto A mide 3/2 unida -des, hallar las ecuaciones de las rectas L-j tangentes. (Dos soluciones).

SOLUCION .- Completando cuadrados C : (x - l)2 * y2 - 2 , indica que su radio es /2 y su centro es C » (1. 0)

Según los datos d[A, B] ■ 3^2 , d[B, C] = r * »'2 , entonces

Cap. 6 La Cüicun i HAtncÁJi 297

(d[A. B])2 ♦ (d[B. C])2 = (d[A. C])2

(3/2 )2 ♦ ( /I )2 = (k - l)2 + 4 = > k - 1 - i 4

==» k = 5 , k * -3 . Y como k < 0 , entonces k = -3 .

Luego, A = (k, -2) * (-3, -2) e Ly : y » mx ♦ b

-2 ■ m(-3) ♦ b ==> b = 3m -2

=*> Ly : y = mx ♦ Jm - 2 ...(*)

que al reemplazar en la ecuación original de C :

x2 - 2x - 1 ♦ (mx + 3m - 2)2 = 0 ,

y haciendo el DISCRIMINANTE - CERO (Condición de Tangencia) en:

(1 + m2)x2 + 2(3m2 - 2m - l)x + (9m2 - 12m ♦ 3) = 0

4(3m2 - 2m - 1) - 4(1 ♦ m2)(9m2 - 12m ♦ 3) « 0

7m2 - 8m ♦ 1 = 0 = (7m - 1)(m - 1) = * m * 1/7 v m = 1

Reemplazando estos valores en (*) obtenemos las dos rectas tangentes posibles:

Lj : ly * x - 11 , L2 : y * x + 1 .

7 METODO VECTORIAL PAriA HALLAR RECTAS TANGENTES QUE PASAN POR UN PUNTO EXTERIOR A UNA CIRCUNFERENCIA.METODO PARA UBICAR LOS PUNTOS DE CONTACTO.

Tomemos como ilustración el problema particular2 2de encontrar las rectas tan<jertes a la circunferencia x * y = 6x + 16

trazadas desde el punto (2, 7) así como los puntos de contacto R y S.

Completando cuadrados: (x - 3)2 + y2 = 25 , C = (3, 0), r = 5 ,

Haciendo un bosquejo de la gráfica del problema en el plano, como se ve en la página siguiente, el procedimiento para la solución está prácticamente indicado en dicha figura:

Se toma el vector CA = (-1, 7) de longitud | CA | = 5/2 , entonces por el TEOREMA DE PITAGORAS calculamos la distancia m = 5 (para este caso particular). Luego, hallamos los vectores unitarios ¡5 y v :

t) Para LT1 (Ver la figura)

(1L _____

298 La Cincun¿eAtnc¿a Cap. 6

(-1, 7) ■ CA ■ 5v - mv * 5v - 5v X » (5vlt 5v2) - (-5v2, 5vt)

= (5vj + 5v 2 , 5v2 - Svj) - v ^ , -5) + v2(5 , 5) = s -

(-1. 7)•(5. -5) 4 (-1. 7)•(5, 5) _ 3

Vl (5, -5)•(5, -5) 5 ’ V2 (5, 5)-{5, 5) 5

=s> 5 = (-4, 3)/5 , R * C + 5v = (3, 0) ♦ (-4. 3) - (-1. 3)

= * LT1 : (2, 7) ♦ t í 1 = * LT1 : (2, 7) ♦ t(3, 4)

áá.) Para LT2 : (Ver la figura) ü " (ult u2) ,

(-1, 7) * CA « 5ú + nu X * 5ü ♦ 5¡¡ ■*" * (5uj - 5u2. 5u2 + 5uj)

= UjtS, 5) + u2(-5, 5) ==»

(-1. 7)•(5, 5) _ 3 , (-1. 7)-(-5, 5) _ 4Ul ‘ (5, 5)-(5, 5) " 5 * “2 * (-5. 5).(-5, 5) 5

==* G = (3, 4)/5 , S - C + 5D = (3, 0) + (3, 4) * (6, 4)

=s> LT2 : (2, 7) + tüX =*> LT2 : (2, 7) ♦ t(-4, 3) .

Este método podrá ser utilizado siempre que se trate de circunferencias.


1. Hallar la ecuación de la(s) recta(s) tangente(s), y los Puntos de Contac

Cap. 6 La Cüicun¿eAe.ncÁjti 299

to, correspondientes a :

a) 9x2 ♦ 9y2 ♦ 18x - lZy * 32 , cuyas pendientes midan 2 .b) x2 * y2 + Ak - 10y * 21 • 0 , paralelas a 5x - 5y * ’31 * 0 .c) x2 ♦ y2 + 6* - 8 ■ 0 , perpendiculares a 4x - y * 31 * 0 .d) x2 ♦ y2 - 8x - 2i/ + 12 ■ 0 , desde el punto (7,2) .

2. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por (7, -5) , y es tangente a la recta x - y - 4 ■ 0 en el punto (3, -1).

3. Determinar el valor de la constante k para que la recta 2x + 3y + k2 2■ D , sea tangente a C: x * y * €x * Ay m 0 .

2 24. Demostrar que las circunferencias : x ♦ y - 3x - 6y + 10 ■ 0 , y2 2C2 : x + y - 5 ■ 0 . son tangentes, y hallar la ecuación de la c*rcun

ferencia tangente a Cj y C2 en su punto común y que pase por el punto (7, 2).

2 2 2 25. Demostrar que las circunferencias x * y + ¿y - 4x * 0 , y x * y

+ 2x ♦ Ay » 0 , se cortan ortogonalmente.2 26. Dada la circunferencia C : x + y * 25 , hallar los valores de k para

los cuales las rectas de la familia 2x - y ♦ k * 0 :a) corten a C ; b) sean tangentes a C ; c) no tengan ningún punto común con C .

7. Un punto se desplaza de manera que su distancia al punto (2, 4) es siempre igual al doble de su distancia al punto (3, -1). Hallar la ecua -ción de su Lugar Geométrico.

2 28. Hallar las ecuaciones de las dos rectas tangentes a x + i/ * 34 , trazadas desde Q • (8, -2) . Hallar también los puntos de tangencia.

9. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes trazadas desde Q ■ (7,-2)

a C - { P * (x, y) / | P - (4, -1)| * /5 } , asi como los puntosde contacto con C .

10. Hallar las ecuaciones de las circunferencias que pasan por (-1, 4) y por (3, 0) si sus radios miden 4' unidades.

11. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por (4, -2), (-5, 1)y (2. 2).

12. Hallar la ecuación del Lugar Geonétrico del centro de una circunferencia2que se mantiene tangente a la recta y = 1 y a la circunferencia x

300 La CiAcurt ¿ eAe.ncÁa Cap. 6

13.

14.

15.

Dos vértices de un lado de un triángulo ABC son A ■ (-1, 0) y B ■ (3, 0) , hallar la ecuación del Lugar Geométrico del vértice C , si la medida del Sngulo en B es dos veces la medida del Sngulo en A .

Hallar las ecuaciones de las circunferencias que pasan por

a) (3. 4), (-1, 2) y (-2, 4) ; b) (2. 3). (1. 4) y (5. 2).

Un Teorema importante en la Geometría Moderna es el siguiente:En cualquier trlaiigulo ABC (ver la figura), los puntos medios A',

B' y C* de los tres lados, los pies D, E y F de las tres alturas, los tres puntos P, Q, R a la mitad del segmento de cada vértice al or tocentro (punto de Intersección de las alturas), todos estos nueve pun tos se encuentran en la misma circunferencia la cual recibe el rombre de LA CIRCUNFERENCIA DE LOS NUEVE PUNTOS DE LM TRIANGULO.

Hallar la ecuación de estaa)

SUG:

b)

c)

circunferencia en el trlán guio con vértices (a, 0),(b, 0) y (c, 0).

Use C1. F y R como los puntos que determinan la Circunferencia de Nueve Puntos (busque un Sngulo recto).Note que F * (0, 0) y que el ortocentro es (0, -ab/c) .

Pruebe que los otros 6 puntos ya descritos satisfacen esta ecuación.

Pruebe que N , el cantro de la Circunferencia de Nueve Puntos, se

16.

17.

encuentra en la misma recta que el Centroide G (intersección de las Medianas), el ortocentro H , y el Circuncentro 0' (Intersec ción de las bisectrices perpendiculares de los lados).

La circunferencia que pasa por (2, 3), (1, 2), (3, 0), y la que pasa por (-1, 1), (1, 2) y (0, 3) se encuentran en dos puntos. Halle estos puntos resolviendo las ecuaciones simultáneamente para * y y .

2 2Hallar la ecuación de la recta tangente a x * y - 2 x * y - 5 , e n

Cap. 6 La CiA.cunieAe.ncMi 301

el punto (3, 1).

18. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a 2x - Sy * 1 = 0en (2, 1) y de radio 3 . (Dos soluciones).

7 219. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a x * y = 25 , paralelas a 3x - Sy = 4 .

20. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a x2 + y2 - 4x + 2y = 0perpendiculares a x + 2y ■ 1 .

21. Hallar la ecuación de la circunferencia:

a) Tangente a los Ejes coordenados en el segundo cuadrante, de radio 4.b) Que pase por el origen, que sea radial al origen formando 45° con

el EJE X en el primer cuadrante, y el radio de longitud 3 .c) Tangente al EJE X, al EJE Y, y a la recta cuyos X-intercepto e Y-in

tercepto sean 3 y 4 respectivamente.

22. Hallar la ecuación de la recta tangente a x2 ♦ y2 - 4x - 6y = 12 , en el punto (-2, 6) .

23. Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a x2 + y2 = 9 , y tangente a x - 2y * 10 = 0 .

24. Hallar el menor Sngulo en el centro de la circunferencia x2 + y2 + 6x- 2y - 15 = 0 , determinado por los radios con extremos en el EJE Y .

25. Encontrar el punto de tangencia de la recta x + 2y = 10 con la cir-2 2cunferencia x * y - 2x - Ay = 0 .

26. Una circunferencia de radio 2/2 tiene su centro en la recta 4x +3y = 2 , y es tangente a la recta x + y = -4 . Hallar dicho centro.

27. Hallar ti lugar geométrico de los centros de ias circunferencias tangentes al EJE Y , y que pasen por (1, 0).

28. Si el punto (8 +/3, 7) satisface la ecuación de la circunferencia2 2x * y - 16x - I2y + 96 = 0 , hallar la pendiente de la recta tangente que pasa por ese punto.

29. Si de un punto exterior P se trazan tangentes a una circunferencia,el segmento que une los puntos de contacto se llama CUERDA DE CONTACTO

2DE P . Si P * (xj, i/j) es un punto exterior a la circunferencia x +2 2

y = r , demostrar que la ecuación de la cuerda de contacto de P2es «j + m/l = r .

2 230. Dada la circunferencia x * y - 2x - 6ij + 6 = 0 , hallar los v<ilo-

30? La C jicunieAzncUa Cap. 6

res de m para los cuales las rectas de la familia y * mx + b :

a) Cortan a la c i .‘diferencia en dos puntos diferentes.b) Son tangentes ron la circunferencia.c) No tienen ningún punto común con la circunferencia.

31. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia x2- 8x + y2 - Sy + 20 * 0 , trazadas desde el punto (9, 8) .

2 2 2 232. Dadas las circunferencias x * y * 1 6 , y x * y + 4x + 8y = 80 ,y el punto A • (4, -12) , encontrar el área del triángulo ABC , sise sabe que está inscrito a una de las circunferencias, y circunscrito a la otra.

33. Desde el punto (k, -2) , con k negativo, se trazan rectas tangen -2 2tes a la circunferencia x + y - 2x - 1 * 0 . El segmento determina

do por el punto de tangencia y el punto A mide 3/2 . Hallar las e-cuaciones de estas rectas tangentes.

34. Encontrar la ecuaci6n de la circunferencia que es tangente a las rectas2< + y = 8 , 2x + y * 13 , y cuyo centro se encuentra sobre la recta L - { (2, 4) + t(l, 8) / t e IR } .

35. Desde el punto A * (4, 2) se han trazado tangentes a la clrcunferen-2 2cia x + y * 10 . Hallar el ángulo formado por ellas.

Clave de Respuestas

1. a) y * 2x + (23/3) , Q * (-3, 5/3) ; y = 2x - (7/3) , Q * (1, -1/3)b) y - x + 3 , Q * (0, 3) ; y = x + 11 , Q - (-4, 7)

c) x « -4y + 14 , Q * (-2, 4) ; x = -Ay - 20 , Q = (-4. -4)d) x + Zy = 11 , Q - (5, 3) ; -2x + y = -12 , Q - (6, 0)

2. (x - 5)2 * {y * 3)2 * 8 ; 3. k = 25 , k ■= 1 . (Dos soluciones).

4. (x - 4)2 + (y - 8)2 - 45

6. a) k e [ -5/5 , 5/5 ] , b) k = + 5/5 ,c) k e <-oo,-5/5> U <5/5 , » ) ; 7. 3x2 = ZOx - lOy - 17 ;

8. y + Z = (5/3)(x - 8) , Q - (5, 3) ; y * Z * -(3/5)(x- 8) , Q = (3, -5) .

9. x - Zj = 11 . Q = (5, -3) ; 2x + y = 12 , Q = (6, 0)

10. (x - 3)2 + (y - 4)2 = 16 , (x + l)2 + y2 = 16 .11. Centro: (-1, -2) , radio 5 .

Cap. 6 La CiicuníeAtni^ui 303

12. x2 - 4y « 4 . si -3 < y < 1 ; x2 + By = 16 , si 1 < y < 3 .14. a) [x - (1/2)]2 + (y - 4)2 - 25. (x - 5)2 + (y - 7)2 » 25 .16. 3(x2 + y2) + x - Uy + 6 « 0 , x2 + y2 - 5x - 3y + 16 ■ 0 , se Ínter

sectan en (1, 2) y (12/13, 18/13) . 17. 4x + 3y - 15 .

18. [x - (2 - )]2 + [„ - (i + ^ ) ] 2 « 9,✓29 ^29

[x - (2 ♦ - ^ ) ] 2 ♦ [y - (1 - )32 = 9✓29 ^29

19. 3x - Sy - i 5 ✓34' ; 20. 2x - y =■ 0 . 2x - y = 10 .21. a) Centro (-4, 4) , b) Centro (3//Ü, 3//2) ,

c) Centro (1, 1) . (6, 6) .

22. 4x - 3y + 26 = 0 , 23. x2 + y2 ■= 20 , 24. are tan (-24/7)

25. (2, 4) ; 26. (26.-34), (2,-2) , 27. y2 * 2x - 1 , 28. -✓!

30. (1) Si b2 - 6b + 6 < 0 , es decir b e (3 -• j , 3 + ^ 3 > en

tonces PARA TODO jn REAL , las rectas y - mx + b cortan ala circunferencia dada en dos puntos diferentes.

(2) Si b2 - 6b + 6 = 0 , es decir, b = 3 i 3 , entonces

(■¿) m = (b - 3)/3 ■ i 1/^3 respectivamente, corresponde aDOS RECTAS y = mx + b tangentes a la circunferencia,

ó (¿t) PARA TDD0 m e R - { í 1//3 } , las rectas y * mx + bcortan a la circunferencia en dos puntos diferentes.

(3) Si b2 - 6b + 6 > 0 , b e ^-oo, 3 - ^ 3 ^ U ^ 3 + ^ 3 , o o ^ entonces:(-€.) Si m ■ (b - 3 í / b2 - 6b + 6 )/3 , las rectas y -

mx + b son tangentes a la circunferencia dada.

(¿t) Si m e <(b-3 - /b2 - 6b + 6)/3, (b - 3 + /b2 - 6b + 6 )/3 > >las rectas y * mx + b no tienen ningún punto común conla circunferencia dada.

(■cLe) Si m e ^-oo , (b - 3 - / b 2 - 6b + 6 )/3> U

U <(b-3 + A ? - 6b + 6 )/3 , oo ,

entonces las rectas y = mx + b cortan a la circunferencia dada en dos puntos distintos.

31. x - 2y = -7 . Q = (3, 5) ; 2x - y = 10 , Q ■ (6, 2)32. 96 unidades cuadradas. 33. ly = x - 11 , y = x + 1 .34. [x - (9/4)]2 + (y - 6)2 = 5/4 . 35. 90° .

304 La rÁA¿un(¡euLncii*. Cap. 6

8 RECTAS TANGENTES A LA CURVA DEFINIDA POR LA ECUACION GENERAL

DE SEGUNDO GRADO

Dada la Ecuación General de 2° Grado

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F » 0 , .. (*)

si es que se conoce algún punto (x0, ya) sobre la gráfica G de esta ecua

cl&n (y por lo tanto, la satisface), probaremos que LA ECUACION DE LA RECTA TANGENTE A LA GRAFICA DE <•) EN EL PUNTO ( xe. ya ) tle

ne la siguiente forma

En efecto, consideremos la recta tangente Lj en la

forma ^ . y » mx + b . y

como (xe, yB) e Lj , entonces

b ■ ya - mx0 , de donde

y - mx + [ya - mx0) , en la

que trataremos de encontrar el valor de m .

7Además, como (xQ, y ) e G ,

entonces

Ax;, + Bx0y0 + Cy2 + Dx0 + Ey0 + F = 0... (**)

Y puesto que Lj : y = mx + (y0 - mxe) debe ser tangente a G , reem

plazaremos este valor de y en ( * ) para obtener una ecuación de segundogrado en x solamente, que como debe téí!Sr una única solución, utilizaremos

Cap. 6 La C-OicunfeAencia 305

la CONDICION DE TANGENCIA en el siguiente proceso:2 2 Ax + Bx(mx + yD - mxa) + C(mx * ya - nut*,) +

+ Dx + E(mx + yQ - mxe) + F ■ 0

(A + mB + m2C).x2 + [(B + 2Cm)(i/0 - mxe) + D + Em]x +

+ C(i/0 - mxQ)2 + U ya - mxe) + F * 0 ,

Y haciendo el DISCRIMINANTE IGUAL A CERO , se obtiene

«i2[(B2 - 4AC) x2 - (4DC - 2BE)xe + (E2 - 4CF)] +

+ m[-2x0i/0(B2 - 4AC) - (?BD - 4AE) Xq + (4DC - 2BE) yQ + (2DE - 4BF)] +

+ [(B2 - 4AC) ■fl + (2BD - 4AE) ya + D2 - 4AF ] » 0

Lu^g09 2 - 2 2 2 2nT [ B x¿ + 2BEx0 + * 4C(-AXo - Dxe - F)] +

+ m [ 8x0i/0AC + 4AEX,, + 4DCi/0 + 2DE + 2B(-F) +

+ 2B(-Bx3y0 - DXq - lya - F)] +

+ [ B2yl + 2Büya * D2 + 4A( -C^ - E(/0 - f)] = 0

En cada uno de los cuatro paréntesis de la ecuac16n anterior aplicaremos la relaci6n (**) , con lo cual obtendremos:

■n2 [ Bx2 + ZBEx„ + E2 + 4C(Bx0y0 + Cy2 + Ei/0)] + m [ 8ACxci/0 + 4AEx„ +

+ 4DCy0 + 2DE + 2B(Ax2 + Bx0i/0 + C y2 + Dxe + íy0) + 2B(Ax2 + C y2)] +

+ [B2!/2 + 2BDya + D2 + 4A(Bxe!/0 + Ax2 + Dxe)] - 0

De donde m2(BXo + ^ + £)2 + 2m(BXo + ^ + E)(2AXo + By^ + D) +

+ (2Ax0 + By0 + D)2 ■ 0

=s> í(2Cya * Bx0 + E) m + (2Axe + Bya + D)]2 = 0

Por lo tanto, _____________________________

2Ax0 + Bya + DID • --------------

ZCya + Bxe + E

Reemplazando este valor en Lj : y ■ ya + m(x - xc) , y utilizando larelación (**), se obtiene la fórmula que queríamos demostrar.

306 La CVicun(¡eAincÁA Cap. 6

8.1 NOTA En caso de no conoce*, las coordenadas del Punto de Tangen

cía P = (x0, y0) entonces NO ES RECOMENDABLE usar es

ta fórmula, sino tomar una recta genérica y * mx + b

y con algún dato adicional aplicar la CONDICION DE TANGEN CIA haciendo el DISCRIMIKANTE IGUAL A CERO en la ecua - ción de 2° grado resultante (en una sola variable).

Esta fórmula hallada para Lt será utilizada para deducir ciertas propieda

des muy importantes de las CONICAS , las que serán estudiadas más adelante.

8.2 EJERCICIO.- Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normalen el punto (1, 2) a la curva cuya ecuación es

x2 - 2xy + y2 + 4x - y - 3 = 0 .. (*)

SOLUCION Verificamos en este caso que el punto (1, 2) satisface (*),y por lo tanto pertenece a la curva dada. Entonces la recta

tangente está dada por

!/ox + xoH , * + xo , . y * y0 . ,Lt : *«,* - 2( ----2---- ) + y° y * ( ~ 2 — ] ' ( — 2— ) ' ‘ *

es decir, x - 2x - y * 2y * 2x + 2- {y/2) - 1 - 3 * 0 ,

Lj : 2x + y * 4 , Lr : x - 2y » (1) - 2(2) » -3

LN : x - 2y - -3 .

8.3 Ej e r c i c i o .- (Cu a n d o el p u n t o e s e x t e r i o r a l a c u r v a ). Hallar

las rectas tangentes a la curva y - 4x + 8 * 0 ,trazadas desde el punto (-1, 2). Encontrar además lospuntos de tangencia.

SOLUCION Luego de verificar que (-1, 2) no satisface la ecuación dela curva dada, tomamos genéricamente una recta tangente de

la forma Lj : y = mx + b . V como (-1, 2) e Lj ,

entonces 2 = m(-l) + b , es decir, Lj : y = mx + m + 2 .. (*)2

este valor es reemplazado en y - 4x + 8 ■ 0 , y se obtiene :

(mx + m + 2)2 - 4x ♦ 8 = 0 = m2x2 + 2(m2 + 2m - 2)x + (m2 + 4m + 12) .

Cap. 6 La Cíacun&eAtncia 307

Como se trata de buscar rectas tangentes aplicamos la Condlci&n de Tangencia haciendo el DISCRIMINANTE IGUAL A CERO , y luego de reducir términos obtenemos : ,

0 ■ 3m + Zm - 1 ■ (3m - l)(m + 1) = > m • 1/3 , m • -1 ,

valores que al reemplazar en (*) generan las rectas tangentes buscadas :

Lti : 3y « x + 7 , Lj2 : y “ -x + 1 . Y para hallar los pun -2

tos de contacto reemplazamos estas expresiones en i/-4x + 8 » 0 , y asi, resultan los puntos de contacto Qj * (11, 6) , Q2 " (3, -2) ,correspondientes a Ljj y Lj2 respectivamente.

8.4 NOTA .- Existí. un único caso especial en que PARA UN PUNTO A “(x0. ya) EXTERIOR A UNA CURVA DE SEGUNT0 GRADO DADA , la

Condlclén de Tangencia: DISCRIMINANTE IGUAL A CERO ,pxodac.iL un soto valor, de Za. peni •¿nZi m de ta meta, tan - gente. Cuando esto se presenta , ello Indica que, como DE BE EXISTIR OTRA RECTA TANGENTE QUE PASE POR EL PUNTO A .

entonces ésta debe ser UNA RECTA VERTICAL (para las cuales no se define la

pendiente) de ecuaci&n x * xe , que precisamente contiene al punto A ■! x0, ya) .

8.5 EJEMPLO.- Hallaremos las rectas tangentes a la curva y2 - 4x + 8

■ 0 , trazadas desde el punto (2, -3) , asi como lospuntos de contacto :

sea Lj : y ■ mx + b ; (2, -3) e Lj , entonces y = mx - 2m - 3 ,o

el cual reemplazamos en y - 4x + 8 = 0 . Asi, obtenemos la ecuaclén cua-

drática m2x2 _ z(2[()2 + 3m + Z)K + (4m2 + i2m + 17) = 0

luego hacemos el DISCRIMINANTE IGUAL A CERO , y reduciendo términos obte-

lZm + 4 » 0 , es decir m = -1/3 (una sola solución)

Luego, la recta tangente obtenida es Lji : 3y = -x - 7 .

Y por la NOTA [8.4] , la otra recta tangente Lj2 es una RECTA VERTICAL,

la cual debe pasar por (2, -3). Por lo tanto, Ly¿ : x = 2 .

8.6 EjtRCICIO.- La recta L : y - 2x + m es tangente a la curva

308 La CitcunfeAencMi Cap. 6

2y = 6x - x + n . Hallar el valor de 16(n - m)

SOLUCION.- Como la recta L es tangente a la gráfica de la curva cuadrá-2

tica y = 6x - x + n , entonces tiene un solo punto de intersección con la curva y por lo tanto, - . ,2tx + in * ox - x + n —1

6x2 - 3x + (n - m) = 0 . Entonces para A = DISCRIMINANTE * 0 :

9 - 24(n - m) » 0 ==» 16(/i - m) = 6

8.7 EJERCICIO.- Hallar el ángulo agudo que forman las rectas tangentesa la curva 4(x - 5)2 - (y - 4)2 * 36 , trazadas

desde el punto P - (x0, ya) * (8, 1) .

SOLUCION.- Hallaremos las rectas tangentes en tal punto. Sea Lj :y * mx + b . Como (8, 1) e Lj : y * mx + 1 - din ..(*)

que al reemplazar en la ecuación de la curva dada, y haciendo el DISCRIMINAN TE IGUAL A CERO se obtiene: 4(x . 5)2 . (mx _ gm - 3)2 . 0 ,

desarrollando esta ecuación cuadrática y haciendo el Discriminante Igual a Cero resulta una sola solución para m , m = -5/2 . Esto implica que laotra RECTA TANGENTE ES VERTICAL y como debe pasar por xe * B , entoncessu ecuación es precisáronte x = 8 . Asi, de (*) :

LTI : 5x + 2y * 4? , LT2 : x • 8 . Luego el ángulo agudo B entre ellas está dada por la relación

a (-2. 5)•(0, 1) 5eos P ----------------= ----

(¿porqué?) |(-2, 5)||(0, 1*)| /29


2 21. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva x + y - xu +2x - 2y - 1 = 0 , de pendiente 3 .

2 22. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la curva x - 2xy + y + 2 y -

- 6 = 0 , trazadas desde el punto (-7, -3) .

3. Para el punto (1, 1) de la curva x2 + 2x.y + y2 - 6x + 2y = 0 , hallar las ecuaciones de las rectas tanaente y normal en ese punto.

4. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva 3xi/ + x - 2y

- 1 = 0 , que son perpendiculares a la recta L : 2x - 2y - 7 = 0 .2

5. demuestre que la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x +

Cap. 6 La C¿Acun¿e/t^ncxa 309 ^----

2y + Dx + ty + F * O en el punto de contacto (xol ya) está dada por

* * o + yy0 * D( * * xo) /2 + E(t/ + ya ) n + f = o

6. Si k es una constante diferente de cero, demuestre que el triánguloformado por los ejes coordenados y cualquier recta tangente a la curvaxy - k ■ 0 tiene un área constante igual a |2k| .

7. SI k f 0 , demuestre que la suma algebraica de los segmentos que una2 2 2 recta tangente cualquiera a la cfinica x - 2xy + y - 2kx - 2ky + k

* 0 determina sobre los ejes coordenados es igual a la constante k .

8. Hallar las ecuaciones de las rectas que. pasanuo por el punto (5. 6),2

son tangentes a la curva y m 4x .

9. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva xy = 2 ,que sean perpendiculares a la recta 2x - y + 7 » 0 .

2 210. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva 2x -Ay +3xy - 2y + 3x + 10 ■ 0 , paralelas a la recta x - y - 5 ■ 0 .

11. Hallar la pendiente de la recta tangente, donde ésta no sea vertical,en cada punto (x0, ya) de las curvas

a) 2x2 + 3y2 - 10 /l y - 6 /Zx + 2xy + 16 - 0

b) x2 + 6 /3xy - Sy2 = M

12. Hallar las dos rectas tangentes trazadas desde el punto (3, 2) a la2 2curva x + y • 4x , asi como los puntos de contacto respectivos.

13. Hallar las dos tangentes trazadas desde (2, 7) a x2 + y2 « 6x + 16.

14. Hallar las dos tangentes a x2 + y2 - 2x * y * 5 , paralelas a la recta 3x + Ay » 1 .

15. Dada la curva y * 3x2 + 5 , y la recta y • 4x + m , hallar mpara que dicha recta sea tangente ala curva .

16. La recta y ■ 2x + m es tangente a la curva y = 6x2 - x + n .Hallar el valor de 16(n - m) .

17. Hallar la suma de las coordenadas del punto de la curva y = 3x2 + 2 ,en donde la tangente sea paralela a la recta y * 2x + 7 .

IB. Por el punto (8, 57) se traza una recta tangente a la curva x2 + 4x-y - k ■ 0 . Si la abscisa del punto común es 2 , hallar la ecua -ción de tal recta tangente y el valor de la constante k .

19. Por el punto {-5, 4) se trazan tangentes a la circunferencia x2 +2

y - lOx + 7 * 0 . Hallar la tangente del ángulo agudo que forman es

310 La CiAcun¿£/teni ui Cap. 6

tas rectas tangentes.220. Hallar la ecuación de la recta tangente a y - 2x + Zy + 3 * 0 ,

que sea perpendicular a la recta 2x + y + 7 * 0 .2

21. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a y - 4x - 2i/ - 7 = 0 , trazadas desde el punto (-4, 1} .

222. Hallar la ecuación de la recta tangente a x > 16y , que sea perpen

dicular a la recta x + Zy + 3 ■ 0 .

23. Determinar el valor de n de manera que la recta y ■ 2x + n seatangente a la elipse (x2,'4) + (i/2/9) - 1 .

24. Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación :2 2(x /3) + (y 12) >1 . en el punto de contacto P, de abscisa 1 y or

denada positiva.2 225. Encontrar todos los puntos sobre la curva x + Zx.y + 3y ■ 3 , don

de la recta tangente sea perpendicular a la recta x + y » 1 .

26. Una recta PT es trazada tangente a la curva x.y - x + y en el punto P ■ (-2, 2/3) . Hallar las ecuaciones de dos rectas que son normales a la curva y perpendiculares a PT .

27. Hallar las rectas tangentes a la elipse (x2/16) + (i/2/9) * 1 , trazadas desde el punto (4, 9) , asi cmo ¡os puntos de contacto .

Cl a v e d e Re s p u e s t a s .-

I. 3x - y - 2 . 3y - 9x ■ 22 ; 2. 2x - Zy + 5 - 0. 6x - 7y + 21 « 03. x - 3y + 2 = 0, 3x + y ■ 4; 4. x + y = 1 , 3x + 3y * 1 ■ 08. x - y + 1 = 0, x - 5i/ + 55 * 0; 9. x + 2i/ * 4 , x + 2i/ + 4 » 010. x - y - -1, 41x - 41i/ - 39II. a) 2xx„ + 3yya - S/Z[y * ya) - 3/2(x + xe) + (xi/„ + yxa) - -16

b) xxe + 3 /3(xi/0 + yxQ) - Syya - 6412. y - 2 , Q = (2, 2) ; y - -(4/3)x + 6 . Q = (9/2, 0)13. 3x + Ay = 34 , 3y - 4x - 13 ; 14. 6x + By - -23. 6¿ + By = 2715. m *= 11/3 ; 16. • ; 17 8/3 ; 18. y = 8x - 7 , k = 3

19. y = 8x - 69 ; 20. x - Zy = 1 ; 21. y - 1 = í( /2/2)(x + 4)22. 2x - y = 16 23. m = i 5 , 24. 9 /lx + By = 36 / l

25. (-2. 1) y (2. -1). 27. y = x + 5. (-16/5, 9/5); x = 4 , (4. 0)26. {y - (2/3)] = 9(x + 2) , (-2. 2/3) ;

[y - (4/3)] = 9(x - 4) , (4, 4/3) .

Cap. 6 La C¿icu.n¿eA.en(Ua 311

9 FAMILIAS DE CIRCUNFERENCIAS

Análogamente al caso (simple) de las FAMILIAS DE RECTAS , que fueron estudiadas en la Pág. 254 en los Problemas Propuestos [48] , [49] , [50] , [51] , [52] , ahora estudiaremos conjuntos especiales de circunferencias llamados FAMILIAS DE CIRCUNFERENCIAS, las cualesserán grupos de circunferencias con ciertas características particulares Interesantes.

Sean u y v las expresiones

u í x2 + y2 + AjX + B^y + Ct2 2v = x + y + A2x + B2y * C2 ■ respectivamente .

Entonces, si

u = x2 + y2 + AjX + B^y + Cj ■ 0

v = x2 + y2 * A2x + B2y + C2 * 0

son ecuaciones de dos circunferencias que ¿e. inteAitetan , entonces tambiénse tiene que : u + n v > 0 rt^pKuenta La. EciiatUdn de una Cíacuhíimh

da. que paia pal tai do¿ ¿nt&iueccÁoneA de u * 0 y v =■ 0 (siempre que

1 + n f 0 ) , pues para cualquier punto que haga que la expresién u seaigual a CERO y a la expresién v Igual a CERO también , entonces la expresién u + nv se hará CERO también .

Y se sabe que la expresi&n u + nv = 0 es la Ecuací&n de una Circun-2 2ferencia pues los términos x y y tienen coeficientes iguales si es

312 La Cin.cun¿eAen<úa Cap. 6

que: 1 + n f O . y porque hay por lo menos un punto que la satisface (laintersección de u - 0 y v * 0). Luego las ecuaciones de la forma

Cn : x ! + y2 * AjX + Bji/ +■ Cj + n (x2 + y2 + A2x + B2y + C2) = 0

: (1 + n)x2 + (1 + n)y2 + (A + nA2)x + (Bj + nB2)i/ + (Cj + nC2) = 0

representan a esta familia de circunferencias QUE PASAN POR LAS DOS INTERSECCIONES PE AMBAS CIRCUNFERENCIAS (6 pon. la única. ¿n teA seaü ó n en caso de

sea ambas tangentes u t u a¿).

En el caso en que 1 +■ n = 0 , es decir n * -1 ,la ecuación u + nv « 0 se convierte en una euutcÁón de piUmeA. guada

(At - A2)< t (B! - B2)y * (C! - C2) = 0

y como los puntos de intersección también satisfacen a esta ecuación, entonces esta ecuación debe ser la ecuación de la CUERDA COMUN , es decir, la secante común en caso existir dos puntos de intersección, ó la tangente común en caso de ser ambas circunferencias tangentes entre si.Esta recta característica recibe el nombre de EJE RADICAL .

9.1 NOTA La ecuación de ciuUt¡u¿&i ciAcuníenentúa que pase pon. estos

puntos de intersección SIEMPRE 4e puede escAibiA en la ¿on.

ma u + nv * 0 , y para cualquier otro punto sobre tal circunferencia, al ser sustituidas sus coordenadas en la ecuación u + nv = 0 , origina una ecuación para el

parámetro n .

9.2 EJEMPLO.- Hallar la ecuación de la circunferencia C que pasa porlos puntos de intersección de

C, : xZ + y2 + 2* - Ay = 1

C2 : x2 + y2 + 3* + iy = 7 , y por (2, 1) .

SOLUCION.- Consideremos

x2 * y2 + 2x - Ay - 1 + n (x2 + y2 + 3x + Sy - 7) = 0 .. (*)

la ecuación de cualquier circunferencia que pasa por los puntos de intersección de Ci y i'2 . Reemplazando las coordenadas de (2, 1) en (*) ,

Cap. 6 La CiAcun{¡eAe.nc¿a 313

se obtiene la ecuación 4 + 9n * 0 , es decir. n » -4/9 como lasolución íiásica. La ecuación buscada es por lo tanto,

x2 + y2 * 2x - 4y - 1 - (4/9)(x2 + y2 * 3x + 5y - 7) - 02 2es decir, 5x + Sy + 6x - S6y + 19 ■ 0 , que representa una circun

ferencia con centro (-3/5, 28/5# y de radio Z698/5 .

9.3 NOTA Utilizando este método no hay necesidad de conocer los puntos de intersección de ambas circunferencias originales.

Además, las dos circunferencias u * 0 y v * 0 NO

TIENEN QUE INTERSrr'AfcE NECESARIAMENTE, así que la familia de circunferencias u + nv * 0 , n t -1 > junto con la recta (eje radical) para la cual n » -1 , también serán DISJUNTAS , como indica la siguiente figura :

Las dos circunferencias u = 0 y v = 0 podrían ser tangentes, en cuyo caso todai Itu c¿%cun¿eArn&uu de la. iamiLia y el E/e Radical también jJLtrviAn TANGENTES en

tte ¿i, tn tt punto de contacto.

9.3 EJERCICIO.- Hallaremos la ecuación de la circunferencia de radio

5/Z2 , y que pase por las intersecciones de las circunferencias:

x2 + y2 + 2x - 6y - 16 = 0 y xZ + y2 - 6x + 2y = 0

(Dos soluciones).

314 La CVicxinjeA-zncia. Cap. 6

SOLUCION •- Consideremos la ecuación con el parSmetro n a ser hallado:

(a ) .. (x2 + y2 + 2x - 6y - 16) + n(x2 + y2 - 6x + Zy) “ 0 , y re

ordenando y completando cuadrados resulta la expresión equivalente

, + (1 - 3n) -,2 + c (n - 3) f _ (1 - 3n)2 ♦ (n - 3)2 + 161 + n 1 + n (1+n)2 1 + n

_ 2Como el dato es que el radio debe ser igual a S//2 » o sea r * 25/2 ,y como el segundo miembro de la ecuación (*) es precisamente r , entonces el valor del parSmetro n que estamos buscando lo obtenemos de igualar

2 25 (1 - 3n)2 + (n - 3)2 + 16(1 + n)r — * ------------------ -----=---- , de lo cual.2 (1 + n)2

5n2 + 42n -27 (5n - 3)(n + 9) ■ 0 = > n * 3/5 ó n * -9 .

Para n ■ 3/5 : xZ + y2 - x - 3y - 10 ■ 0 , [en (a )] , y2 2para n * -9 : x * y - 7x + 3i/ + 2 * 0 , son las dos solucio

nes para la ecuación de la circunferencia buscada.

9.4 EJERCICIO.- Demuestre que x2 + y2 - 6x - 3y + 10 * 0, y2 2C2 : x + y - 5 son tangentes. Hallar la ecua

ción de la circunferencia tangente a Cj y C2 en su

punto comúr., y que pasa por el punto (2, 7) .

SOLUCION .- Completamos cuadrados, de lo cual resulta

(x - 3)2 + (y - | )2 - | - r2 . x2 + y2 - 5 - r2

de donde ^ « /5/2 y r2 ■ / 5 . Como los centros son (3, 3/2) y (0, 0) respectivamente, y la distancia entre ellos es

d = / (3)2 + (3/2)2 . + ✓5 - r, ♦ r2 ,

y por ser la distancia entre los centros igual a la suma de sus radios entonces ambas circunferencias resultan ser tangentes entre si. Además, la familia de circunferencias tangentes a Cl y C2 en su punto común está representada por (x2 + y2 _ 6x _ 3íf + 10) + n(x2 + y2 _ 5) , Q ...(*)

de las cuales aquella que pasa por (2, 7) corresponde a :

(4 + 49 - 12 - 21 + 10) + n(4 + 49 - 5) = 0 ==» n ■= - 5/8 , asi

Cap. 6 La CiAcuníeA intUa 315

reemplazando este valor en (*) , obtenemos la circunferencia buscada:

x2 + y2 - I6x - By * 35 - 0 .


1. Hallar la ecuación del eje radical de cada par de circunferencias

a) x2 + y2 - 2x - Ay * 4 , x2 + y2 + 6x + lOy * 15

b) 3x2 + 3y2 - 7x + Sy - 1 . 5x2 * Sy2 + 2x - 3y • 6 .c) Hallar también la ecuación de la recta de ios centros en cada caso.

2. Hallar dos miembros de la familia determinados por el Ejercicio [l.(a)]t

a) uno de los cuales pasa por el origen .b) el otro que pase por (3, 4) .

3. Hallar dos miembros de la familia determinados por las circunferenciasdel Ejercicio [l.(b)] ,

a) uro de los cuales pasa por el origen ,b) el otro que pase por (3, 4} .

4. Hallar el miembro de la familia determinada por [l-(a)] que tenga sucentro en la recta de 45° que pasa por el origen.

5. ¿ Qué hiiembro de la misma familia es tangente al EJE X ? , ¿ CuSl estangente al EJE Y ?

6. Tome tres cualesquiera de las cuatro circunferencias an el Ejercicio[1] • y vea si sus ejes radicales son concurrentes ó paralelos.

7. Demuestre que dadas tres circunferencias cualesquiera que se intersectan, sus tres cuerdas comunes son concurrentes en un punto. Este punto es de nominado CENTRO RADICAL.

8. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5//2 , y que pasepor las intersecciones de las circunferencias

x2 + y2 + 2x - 6y - 16 * 0 , x2 + y2 - 6x + 2y ■ 0

9. Hallar la ecuación de la cuerda común de las circunferencias

x2 + y2 - 8x + 6 = 0 , x2 + y2 - 6x - lAy * 38 = 0 .

10. Demuestre que Cj : x2 + y2 - 6x - 3y * 10 » 0 , C2 : x2 + y2 = 5

son tangentes. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a Cjy C2 en su punto común, y que pase por el punto (2, 7) .

11. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a Cj y C2 del Ejer-

316 La CtAdun {¡ eAzncia Cap. 6

ciclo [10] en su punto común, y cuyo centro se encuentra en la rectax + 3y + 5 * 0 .

12. Hallar la(s) ecuación(es) de la(s) clrcunferencla(s) tangerte(s) a Cj

y C2 del Ejercicio [10] en su punto común y cuyo radio sea igual a

3 /Ü/2 .

13. Hallar las ecuaciones de las circunferencias tangentes a Cj y C2 del Ejercicio [10] en su punto común y que sean tangentes a la recta 2x- y + 1 » 0 .

14. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por (-2, 10) y por2 2las intersecciones de la circunferencia x + y - 2x + Zy - 32 ■ 0

y la recta x - y - 4 * 0 .2 2 2 215. ¿ Porqué las circunferencias x + y - 16x - 8¡/ + 71 " 0 , x * y

- 4x + Hy * 4 ■ 0 , xZ + y2 * 2x + 10y + 17 • 0 no tienen CentroRadical ?

16. Demostrar que u ■ x2 + y2 - 6x + lOy + 33 ■ 0, y v ■ xZ + y2 -- 2x - Zy « 0 no se cortan . Demuestre que para n * -1/2 el miem bro de la familia u + nv x 0 es una circunferencia que no OonXa

.i*, a u ni a v , y cuyo centro está sobre la recta de los centros deu y . Demuestre ademSs que no exiite cÁAcun¿eAenom JieaZ si n

toma los valores 1 , 1/2 , 1/3 . Encontrar otros valores de n para los cuales no existe circunferencia real .

17. Hallar la ecuación de la familia de circunferencias que pasan por las2 2 2 2Intersecciones de x * y +2x-4i/ = 4 , x + y -6x + 2 y = 6 .

Encontrar la ecuación del eje radical .

18. Hallar la ecuación de la familia de circunferencias que sean tangentesa x + y = 3 en el punto (-2, 5) .

19. Hallar la ecuación de la familia de circunferencias que tienen centroen la recta 3x - y = 4 y de radio 5 .

20. Seleccionar los miembros de la familia en el Ejercicio Propuesto [17] que satisfagan las condiciones dadas, deteiminando los valores apropia dos de n :

a) de radio 5/2 , c) que pasen por (2, 2) ,b) de centro en x = Zy , d) que pasen por (9, -1) .

Cap. 6 La Oxean ¿ vttncÁa 317

SERIE OE PROBLEMAS ADICIONALES DE CIRCUNL ERENCIAS

2 21. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a (x - 5) + {y + 3) ■4 , trazadas desde (3, 3).

2. Las circunferencias Cj y C2 son tangentes exteriores, P0 e de

tal modo que sus coordenadas son positivas y la suma de éstas es 3 .Con relación a Cj y C2 la recta L : (5, 11) + t(4, 3) contiene a

los centros, d[P0, L] ■ 24/5 . la suma de sus diámetros es 30 unidades y la suma de las ¿reas de los circuios respectivos es 125ir unidades cuadradas, siendo r2 mayor qt;t r . Hallar las ecuaciones de

"1 y ^2 '3. C es una circunferencia de radio positivo, cuyo centro tiene coordena

das enteras. P * (-2, 6) e C , y Q ■ (-1, 9) e C . Desde A ■ (4,7) se trazan rectas tangentes a C , de tal forma que A dista 3runidades de cada punto de tangencia. Hallar a) la ecuación de C , yb) los puntos de tangencia .

4. Cj y C2 son circunferencias tangentes exteriores entre si tales que

rl * 2r2 (rj y r2, radios). La rteta T es tangente simultáneamentea Ci y C2 . Además, (-10, 6) e T , la recta L de los centroscorta a T en (6, -6), y la recta (-12, 2) + t(3, -4) es tangente a Cj en el punto cuya ordenada es -6 . Hallar : a) T n C1 , yb) L n c 2 .

5. La recta L: x - y + 2 m 0 es una cuerda de C : x2 + y2 + 4x - By

+ 10 ■ 0 . Hallar el área del triángulo formado por la cuerda y losdiámetros que trisecan a dicha cuerda.

6. Sean y C2 dos circunferencias tangentes exteriores en (6, 9) ,de radios 5 y r2 respectivamente. Si L pasa por (4, -6) , y estangente solamente a C2 en (24 9), hallar las ecuaciones de C| y de C2 .

7. Dada la recta L : 7x * y - 15 /2 ■ 0 , y C : (x - 10^2 )l * (y -

5 /I)Z = 25 , si Lj y L2 son dos rectas paralelas de pendiente ne

gativa, tangentes a C y tales que cada una de ellas forma con L un ángulo agudo 6 donde tan 6 * 3/4 , hallar las pendientes de Ljy L2 asi como sus ecuaciones vectoriales.

8. Una circunferencia de 10 unidades de radio se encuentra en el tercer

318 La CiAcun {¡ eAencta Cip. 6

y cuarto cuadrantes, y es tangente a las rectas x - 10 , y - 0 Hallar las rectas tangentes a C trazadas desde P * (2, 4) , asi comolos puntos de tangencia.

9. La recta L : 3x + Ay + 15 » 0 es tangente a una circunferencia cuyocentro C - (h, k) se encuentra en el cuarto cuadrante. Si P - (5, 2)

es un punto de la circunferencia tal que Pr PC - (16/25)(4, -3) , hallar la ecuacifin de la circunferencia.

10. Hallar la abscisa del centro de una circunferencia de radio 2/2 , sabiendo que estS en la recta 4x + 3i/ - 2 y que la circunferencia es tangente a la recta x + y + 4 « 0 .

11. Un policía de 1.80 m. Je estatura hace ronda siguiendo la trayectoria2 2x + y - 144 . En el punto (0, -8) se levanta un poste vertical Je7.20 m. Je altura, en cuyo extremo hay un foco. Hallar la ecuacióndel extremo Je la sombra Jel policía.

Cl a v e d e Re s pu e s t a s (PAG,, 315 )

i. a) 8x + 14y - 11 b) 41x - 2Ay - 132. a) n • -4/15 , b) n - 1/68 .

3. a) 13x2 + I3y2 - 44x + 39i/ + 12 ■ 0b) 62x2 + 62y2 * 853x - 724i/ + 95 > 0 • 4. n - 1/2 , 5. Ninguno

8. x2 + y2 - x - 3y •■ 10 , x2 + y2 - 7x + 3 y + 2 - 09. 2x - lAy + 3 2 - 0 • 10. xZ + i/ - 16x - By + 35 - 011. 2X * y + 4x + 2y - 15 ,12. 2

X * y2 + 2x + y » 10 , 2 2 x * y - lOx - + 2 0 - 0

13. 2X * y2 -2 x - y ‘1 0 , 2 2

x * y - 12x - 6y + 2 5 - 014. 2

X * y2 - 16x + 16 y + 24 ■ 0 , 15. Al menos Jos no se intersectan.17. 4x - 3 y + 1 - 0 , 19. (x - h)2 ♦ ly - 3h + 4) - 2518. (x + l)2 + {y - 6)2 - 2 + n[(x + 3)2 + {y - 4 ) 2 - 2] - 0 . V n t -1 .20. a) n = 1 . x2 <y y - 2x - y • 5 •

n * 11/39 . [X - (3/25)3 2 + ly - (67/50)3 - 25/4

b) n ■ 1 , x2 ,h y2 - 2x - y m 5 ; c) n * 0 , x2 + y~ ■■ 2x - Ay = A .

J) n = -5, 2x2 + 2y2 - 16x + Jy - 13 .

Clave de Respuestas (Serie Adicional, pAg. 317 )

1. Lji : 4x + 3y - 45 , Lj2 : x - 3 .2. P„ = (a, b) , a > 0 , b > 0 , a + b = 3 , r2 - 10 , rt = 5 ,

Cap. 6 La Cíncun {¡ eAencÁa. 319

P o - ( 1 . 2) . C, - (-3, 5) . C2 - (9. 14) .

3. C : (x + 3)2 + {y - B)2 - 5 . A - (-2, 10) , B - (-13/5, 2S/5).

4. Q ■ (-6. -6) . q : x2 + (y + 14)2 - 100 , C2 : (x - 9)2 * (y * 2)2- 25 . a) (6. -6) , b) í (6, -6) , (12, 2) } .

5. C fl L - { (1, 3) , (-1, 1) } ; Srea igual a 4 unid, cuadradas.

6. C2 - (15, 21) , Cj - (3, 5) .

7. m 1 - m 2 - -1 , L¿ : (10 , 5 /2) i 5(l//2, 1//2) + <(1,-1) .

8. LT1 : (2, 4) +í(3, -4) , P - (8. -4) ;

LT2 : (2. 4) +í(4, 3) , Q - (-6. -2) .

9. C ■ 0 + t(3, 4) , Q e L fl C : punto de tangencia . Además,

PC • (4, -3) ■ 16 = * 4h - 3k ■ 30 , de donde se tiene que

C e L' : 4( - 3jf • 30 i Q e L n L* = > Q - (3, -6) , y

C - Q + (17/19)(3, 4) - (6/19, -46/19) .

10. 2 y 26 (dos soluciones) .

11. [x - (8/3)]2 + y2 - 256 .

12. Dada la ecuación de la familia de rectas a(3x * Ay - 10) + t(3x - y- 5) » 0 , hallar las rectas de esta familia que sean tangentes a la

2 2circunferencia x * y +2 x- 4i /“ 0.

SOLUCION.- Debido a que tendríamos que despejar de la ecuación de la familia de rectas dada una de las variables, digamos

la variable x , en función de la variable y , y reemplazar este valor en la ecuación de la circunferencia para ahí considerar EL CISCRIMINAN_ TE IGUAL A CErO, vemos que en este caso los cálculos serian muy engorrosos, POR LO CUAL aplicaremos el siguiente procedimiento:- Recordando que la ecuación

a(3x * Ay - 10) + B(3x - y - 5) » 0

representa la familia de todas 1<»s rectas que potan pon. la •uite'uec- CA.ón di Lat Kí.cJtjau, 3x + Ay - 10 * 0 y 3x - y - 5 ■ 0 , entonces resolviendo este par de ecuaciones lineales hallamos dicho PUN T0 DL INTERSECCION Q - (2, 1) , y luego consideramos la familiade rectas que potan pon. ette. punto : y = mx + b . Aquí, reem

plazamos las coordenadas de Q : 1 * 2m + b generando

320 La CÍAcunf eAzncía Cap. 6

la ecuación de la forma siguiente: y » mx + (1 - 2m) .. (*)

Al reemplazar esta expresión en la ecuación de la circunferencia para considerar la CONDICION DE TANGENCIA obtenemos: x2 + y2 *■ 2x - Ay - 0

x2 + [mx + 1 - 2m]Z + 2x - 4[mx +■ 1 - 2m] » 0 , = >

(1 + m2>x2 - 2(2m2 + m - l)x + (4m2 + 4m - 3) * 0

Es en esta ecuación cuadrática en una variable donde aplicamos la CONDICION DE 1AUSENCIA: Discriminante Igual a CERO , resultando que

4(2m2 +■ m - l)2 - 4(1 + m2)(4m2 + 4m -3) ■ 0 = >

2m2 + 3m - 2 » 0 ■ (2m - l)(m + 2) -- » m = | ó m = -2

PRIMERA SOLUCION: Para m * 1/2 : LT1 y - 1 - |(x - 2) = >

LT1: y - 2x * 0 . Aquí vemos que esta ecuación co

rresponde a la familia a(3x + 4^ _ 10) + B(3x - y - 5) ■ 0 para

15 ■ -2a , a f 0 , cano se puede verificar directamente.

SEGUNDA SGlUCION: Para m - -2 : LT2: y - 1 - -2(x - 2) ==>

LT2: 2x + y - 5 = 0 , ecuación que corresponde a la

familia a(3x * Ay - 10) + B(3x - y - 5) * 0 para a ■ 2 B , B t 0 .* * * * * * *

Clave de Respuestas (Serie, pág. 270)* * *

a) La gráfica corresponde a la REUNION de los puntos pertenecientes alas dos rectas: 2x - y m 0 y 2x + y = 0 .

b) La gráfica corresponde a la REUNION de todos los puntos pertenecientesa las dos rectas: x + 3y - 2 * 0 y x + 3i/ + 2 ‘,0.

c) La gráfica corresponde a la REUNION de todos los puntos pertenecientesa las tres rectas: x = 0 , x + 2y = 0 y x = y .

d) La gráfica corresponde a la REUNION de todos los puntos pertenecientesa las dos rectas: x * y = 0 y x - 2y * l = 0 .

e) La gráfica corresponde a la REUNION de todos los puntos pertenecientesa la recta x + y = 0 y a la hipérbola xy = 4 .

f) La gráfica corresponde a la REUNION de todos los puntos pertenecientes2 2a la recta x = 2 y a la circunferencia x + y = 4 (radio 2).

Cap. 1 Tnan¿ (¡oAmacUun de Coordenada* 321

7TRANSFORMACION

D£

COORDENADAS

1. FORMULAS DE TKANSFORMACION DE INORDENADAS

En este capitulo consideraremos transformaciones de coordenadas en lo que respecta a la TRASLACION V A LA ROTACION de lob

E/e¿ Coordenado* origínale* XY , para las cuales el plano IR2 permanece INMOVIL , es decir que los puntos , rectas y gráficas en general, no be

me eA&n mediante una traslación y/o rotación de los ejes coordenados, sino que Lo que caí ib¿aAÍn *¿AÍn *u* REPRESENTACIONES (como pane* ordenado*, ecua

done*) con respecto a los nuevos ejes coordenados.

oTomemos como ejemplo (en el plano R ) dos sistemas

de ejes coordenados XY y X'Y* , como en la siguiente figura, yconsideremos un punto fijo P .

Supongamos que este punto P referido a los Ejes XY tiene las coorde - nadas

P = (4, 5) = 4-i + 5j = (*, y) .

consideremos que los ejes Ejes originales XY han sido rotados mediante

el vector unitario de. rotacidn ¿¡ = (uj, l2) y trasladados al nuevo ori

322 Taji.ií ¿0Ajna.c¿5n de Coo/idznadeu Cap. 1

gen Pc (denominado ii ctofi dt tJuuleuuir^.% obteniéndose los nuevos ejes co ordenados X'V , entonces el mismo punto P . iegún ¿a fiouna, tendri las coordenadas

(x*. y') - (3. 2)'

es decir, +3 unidades en el EJE X* , y +2 unidades en el EJE Y' . Además, se tiene que: _ ,

P • (4, 5) - P0 + 3 ü + 2 ü .

Cap. 7 TfuuiiioMnatnJrt de CooKdinadai 323

En esta última figura el vector unitario ü ■ (u¿, u2) * (eos 8, sen 6) esoriginado por la rotación del EJE X en un ángulo 6 . El nuevo origen P„ ■(*o> </o) representa al vento* Viastacióri, mientras que el vector ü representa la fLotcuúin dt tot í j a cooKdenadoi.

Es ast que con ayuda de la figura, obtenuios la siguiente fórmula de trans - formación:

( x , y) P„ + x' ü + y' ü "*■ I ü | - 1 . (*)

1.1 OBSERVACIGHES

a) Si la transformación consiste de ROTACION PURA (solamente rotación), entonces Pc * 0 , y la fórmula correspondiente se convierte en:

(x. y) x‘ ü + y ‘ ü "*■ ROTACION

b) Si la transformación consiste de TRASLACfON PURA (sin rotación), entonces 8 = 0 y u * (eos 0, senO) * ¿ ■ (1, 0) , lo que 1n -dica que el EJE X no ha sido rotado, y por lo tanto que si PQ »(x0, y0

f ■ ( * . y) - ( x c . y0) + * ' *■ * y ' 1 .

es decir, í x - x0 + x' •• TRASLACION

i y " y0 * y ‘

Las fórmulas de TRANSFORMACIÓN INVERSA que expresan las coordenadas (x‘. y') en términos de las coordenadas originales (x, y) ,se pueden despejar de (*) , multiplicando uc.ataAm.nte. : primero por u

y luego por ü . Por lo tanto,

X' - [(*. y) - Po ] • ü FORMULAS

y’ = ru. y) - P0 ] • Û 1 INVERSAS

324 T>mni (¡u>ima(U.ón de Cooidenada¿ Cap. 7

1.2 PROBLEMA - Encontrar las nuevas coordenadas del punto (-1, 3) si es que los ejes coordenados han sido rotados en 30° , y luego trasladados al nuevo origen (4, 5) .

SOLUCION.- e - 30° , Pc = (4. 5) , P = (*, y) - (-1, 3) ,G - (cosB, sen 8) * (/3/2 , 1/2) , entonces

*' - [(*. * ) - P 0 ]-ü - [(-1.3) - (4,5)] • G = -(5/3+2//2

y' - [(*,!/)- Pc ] • G 1 - [(-1,3) - (4,5)] • G X = -(2/3-5)/2 .

1.3 PROBLEMA.- Por traslación de los ejes coordenador al nuevo origen(3, 2), y por rotación en 37° (considerar el triángulo rectángulo 3, 4, 5), las coordenadas de un punto

P resultan ser (7, 6) . Encontrar las coordenadas originales en el sistema XY del punto P .

SOLUCION.- PQ = (3, 2) , u = (eos 37°, sen 37°) = (4/5, 3/5) .P' = (x1, y‘ ) = (7, 6) . Con estos datos tenemos:

1.4 PROBLEMA.- Hallar la ecuación, en las coordenadas transformadas,

P = (x, y) = PQ + x’ G + </' G X

= (3, 2) + 7(4/5, 3/5) + 6(-3/5, 4/5) = (5, 11) .

de una recta cuya ecuación en las coordenadas origina -

les es L : y = * + 3 /2 después de que los ejesX , Y , han sido rotados en 45° (antihorario).

SOLUCION.- Este problema es

muy ilustrativo pues la recta L dada, según los datos, hace un ángulo de 45° con el EJE X , de modo que en el sistema X' Y‘ esta recta será hori

zontal .Así, L tendrá la ecuación :

y' = CONSTANTE en X‘Y*,/

y vemos que este es un problema de ROTACION PURA con 6 = 45° , y ..

✓

Cap. 7 Tfíani ioHM.cU.5r de foo id '.naden 325

u * (eos 8, sen 8) ■ (eos 45°, sen 45°) » (1//2, 1//2) .

(x, y) - *' ü + y ' U L - x‘ (1//2, 1//2) + y'[-l/Sz. 1//2)

. f «• - y‘ ♦ y' *ñ ' n

y que al reemplazar en la ecuación L : y * * ♦ 3/2 se obtiene

2 y' - 6

y' * 3 .. Ecuación de L en el ¿¿¿tena. X' Y' , talcomo lo hablamos previsto.

1.5 PROBLEMA.- Sea la recta L : 4x + Zy 1 12 en el sistema XV .SI el origen de coordenadas se desplaza hasta el punto(5, 4). encontrar la rotación u ■ (uj, u2) de mane

ra de obtener nuevos ejes coordenados X' Y' en los que la recta L sea vertlcal. Hallar la nueva ecuación de L .

lo que implica que:

x - 5 + (4x‘ - 3y')/S , y > 4 + (3x‘ + 4</')/5

y qué al reemplazar en la ecuación L : 4* + 3y 1 12 obtenemos la ecua

ción x' “ -4 que viene a ser una recta vertical en el sistema X‘Y'.

Se Invita al lector a encontrar la otra solución a este problema.

1.6 PROBLEMA•- Hallar la ecuación transformada de la curva = ♦ ,

SOLUCION.- Pc - (5, 4) .

Este problema tiene dos solucio nes para ü .Resolveremos una de ellas como en la figura que indica que.siendo

326 T/uuu ¿0AMic¿ón de Cí jideiuicLu Cap. 7

si los ejes coordenados son rotados en 45°.

Solución - e - 45o . ü - (1. i)//2 , p„ - (o, 0) « 6 ,

(*, y) « it’G ♦ y'ú*~ - (x* - y' , x‘ * y ')H 2 , de donde

x = (*' - y')/ /2 , y * (*' + y')l S2 . Y al reemplazar en xy ■ 4se tiene que: - 1/

¿2

*' + i/’

✓2..2 ,.2 8 .

Una particularidad de este Problema previo es que la ecuación original de la curva contenía al término mixto xy , y que al rotar los ejes se consigue u na ecuación que ya no contiene el término mixto x' y'

17 PROBLEMA.- Transformar la ecuación de la circunferencia: x2 + y2

+ 4x - 12y - 9 " 0 , trasladando el origen de coordenadas a su centro y conservando la misma dirección de los ejes.

SOLUCIÓN.- Completando cuadrados:. o»2 . / . *»2 _

O v l «■, , vx - x0 + *’ - -2 + *'

y - ya * y ’ ■ 6 + y'

luego: *' * x + 2!/’ “ !/ - 6 ,

emplazar en:

(x + 2)2 * (y - 6)2 - 49

la forma x'2 ♦ y' 2 ■nuevo sistema de ejes.

1.8 PROBLEMA.- Los ejes coordenados XY son rotados mediante un vec -tor unitario ü « (4, 3)/5 , y la ecuación de una

2 2circunferencia C es transformada en x' + y' - 16x‘ + 10</' + 64 - 0 .Encontrar las coordenadas del centro de C : a) en el sistema X'Y' (completando cuadrados), b) en el sistema XY (mediante las Fórmulas de Transformación de Coordenadas).

SOLUCIÓN.- a) l*' - 8)2 + (y' + 5)2 = 25 , asi, el centro de C

en el sistema X'Y‘ es: C* (8, -5)' = (h1, k1) ,

Cap. 1 T>ian¿¿rtimac¿5n de u. tdzr¡ada¿ 327

b) como solo se ha rotado mediante ü • (4. 3),'5 . entonces

(x, y) ■ x’ü + y'U"*■ , y el centro C * (h. k) serí :

C - (h. k) - h'G + k'ü1 » 8(4/5, 3/5) - 5(-3/5, 4/5) . Luego,

C - (47/5. 4/5) .

1.9 NOTA Este es un método estandar para hallar las coordenadas delcentro de una circunferencia, elipse 6 hipérbola, primero en en el sistema X’Y* y luego en el sistema XY . Lo mismosi se trata de hallar el vértice de una parSbola cuando suecuación estS dada en el sistema X'Y* .

Este método previo sugiere una combinación de una rotación de los ejes XYa un sistema X'Y' con el mismo origen, y luego una traslaci6n a un nuevosistema X“ Y* :

a) ROTACION ü de XY a X'Y’ : (x‘ - 8)2 + (y' + 5)2 • 25 ,

b) TRASLACION Pc - (8, -5) del sistema X'Y' a X"Y" , en el cual lacircunferencia estarS centrada en el origen :

x»2 + y"2 m 25 para *“ ■ * ' - 8 , y“ ■ y' + 5 , donde

(8, -5) son las coordenadas de la traslaclbn pzno ie¿vU.daz al ¿¿¿-tema

X'V . Para conocer las coordenadas del vector Traslación P„ en el sisten.a original XY se emplea la fórmula _ ,

(*, y) ■ x'ü + y'ü .

1.10 FORMULAS CLASICAS DE TRANSFORMACION DE COORDENADAS.-

En la Geometría Analítica ClSsica se ensefia que cuan do los Ejes Cartesianos XY son rotados en un Sngulo 8 y trasladados a un nuevo origen PD * (xD, yD) , generando un nuevo Sistema de Coordenadas X'Y',

las fórmulas directas de TRANSFORMACION DE COORDENADAS tienen la forma siguiente:

"i x * x0 + x'cos8 - y' sen 8( )

y “ Vo * x'senB + i/'cosB

Y en caso de existir ¿t lamente la n.otac¿ón de los ejes en un Sngulo 8 , esdecir (xG, yj) « (0, 0) , entonces

x ■ x'cos8 - (/'sen 8• ■ • \ )

y ■ x'senB + j/'cos8

328 TAMii¿o/uncuU£n de Cooidenadaé Cap. 1

Sin embargo, ambas fórmulas (*) y (**) vienen a ¿en í m míimai que las FOf MULAS VECTORIALES DE TRANSFORMACION DE COORDENADAS [ de la página 323. donde el vector unitario de rotación está dado por u ■ (eos 6, sen 6) ], lasque al ser expresadas en forma cartesiana al pasar a considerar las componentes en la Fórmula Vectorial, toman la forma que se presenta romo sigue:

(x, y) • (x0, ya) + x'(cos 6, sene) + y'(-sen 6. eos 6)

(x, y) » (x„ + x'cosO - y'sen 6 , yD + x'senO + y'eos 6 ) ,

Y en caso de existir solamente ROTACION : (xD, ya) - (0, 0) , y

(x, y) “ { x’cos 6 - y'sen 6 , x'senO + y ’ eos 8 )

Asimismo, las FORMULAS INVERSAS (rLASICAS) de Transformación de Coordenadasestán dadas por [ver la pág. 323]

f x' • (x - x0) eos 6 + (y - ya) sen 61 •• (*)'[ y‘ - - (x - x0) sen 6 + [y - ya) eos 8

donde 6 es el ángulo de rotación de los ejes XV , y (xD, ya) es el nuevo origen. Y en caso de existir solamente la ROTACION , entonces

(x* • x eos 8 + 1/ sen 6... (**)’

y’ « -x sen 8 + y eos 0

1.11 EJERCICIO.- Hallar todas las rotaciones de coordenadas que transformen la ecuación 2x2 ♦ 3xy + 2y2 ■ 4 , en la ecuación 7x'2 + y ‘ * 8 .

SOLUCION.- Desde que (x, y) - x’ü + y 'U 1- * x'ÍUj, u2) + i/'Í-Uj. ux)

(x, y) - (x’uj - y'u2 , x'u2 + y'Uj) <=*>f ~\2 2"x « x'uj - y ' u 2 ■ y * x’u, + í/'uj , donde /ux + u2 « 1 .

2 2Reemplazando en la ecuación 2x + 3xi/ + 2y * 4 , tenemos que :

2(x'Uj - y'u2)2 + S f x’Uj - i/,u2)(x ,u2 + í/ 'U j ) + 2(x'u2 + i/’u j ) 2 * 4 ,

Desarrollando los cuadrados y el Droducto, y agrupando términos :

x ,2 (2Uj + 3uju2 + 2u2) + y*2(2u| - 3uiu2 + 2uJ) + x V ( 3 u 2 - 3u|) = 4

x,2 (4u2 + 6uju2 + 4u2) + y , 2 {4 u 2 - 6uju2 + 4u2) + x V (6 U j - 6u2) = 8 ..(*)

Cap. 7 TJuuiiíofimaxUSn de Cootvde.na.da¿ 329

La expresión (*) se ha obtenido de la expresión previa multiplicándola por 2 , pues debemos identificar sus coeficientes con los de la ecuac16n

7x*2 + y'2 • 8

Asi, vemos que, como el coeficiente del término mixto x'y' debe HACERSE IGUAL A CERO en (*), entonces

6u, - 6u-, donde 2 2 U1 + u2 1

2uí 1/2 ... (1)

Además, Identificando los otros coeficientes de (*) resulta también que

7 - 4 +■ 6uAu2 y 1 * 4 - 6UjU2 =s> uiu2 “ 1/2 .. (2)

De (1) y (2) resultan las dos soluciones válidas siguientes:

f u, * 1//2 - eos 8

6 sino

1//2

- 1 / / 2

-1//2

sen 0

eos 6

sen 6

, es decir 8 * 45° , ü » (1//2 , 1//2 )

, es decir 6 - 225°, ü - (-1//2 . -1//2 )

Por lo tanto, resulta que los ejes XY deben ser rotados ya sea en 45° 6en 225° (en sentido antihorarlo) para obtener la ecuación 7x'2 + y'2 « 8.

1.12 EJERCICIO.- Hallar la ecuación transformada de la ecuación 2x ++ Sy - 3 m 0 , si los ejes coordenados son rotados en un ángulo 8 • are tan 2.5 .

SOLUCION.- 8 » are tan 2.5 = »

cos6 * 2//29 , sen6 ■ 5//29 , /jjg,

(x, y) - x'ü + ¡/'ü "*■

* x'(cos8, sen 8) + y'(-sene, eos 8)

= x,(2, 5)//29 + y'(-5, 2)//29 * ( ?*' l_5y‘ . — )/29 /29

Reemplazando estas componentes en la ecuación 2x + 5¡/ = 3 resulta:

2( ) * 5( ) - 3/29 / 29

x1 = 3//29 .

1.13 EJERCICIO.- Por rotación de 30° de los ejes coordenados cierta e-

330 TàatuionmcuUón de Coofidenadai Cap. 7

2 2cuación se transformó en 2x‘ + 3y‘ m 6 . Hallar la ecuación originalen el sistema XY .

SOLUCION.- 0 - 30° . ü = (eos 30°, sen 30°) - ( /3/2, 1/2) ,

x1 - (x, y) • ü = (x, y) • (/1/2, 1/2) - (/3x + i/)/2y 1 = (x, y) ■ Ü X - (x, y) • (-1/2, /3/2) - (/~ 3y- x)/2 ,

2 2y reemplazando estas expresiones en 2x‘ + 3y’ - 6 obtenerlos:

2(/3x + i/)2/4 + 3( /~3y - x)2/4 = 6 = * 9x2 - 2 /3 xy + lli/2 =24.

1.14 EJERCICIO.- Por una rotación de coordenadas, transformar la ecua -2 2 clon 9x - 24xy + I6y - 40x - 30y • 0 en otra que

carezca del término en x'y‘ . Identifique la curva.

SOLUCIOI*.- (x, y) - x'ÍUj, u2) + y‘(-u2, ut) , uj + u2 * 1 ,

(x, y) ■ (x'u! - y‘u2 , x'u2 + i/'uj) . Reemplazando en la2 2 eruación 9x - 24x</ + I6y - 40x - 30i/ ■ 0 obtenemos :

gU'u! - y‘u2)2 - 24(x,u1 - y’u2){x'u2 + y'Uj) + 16(x*u2 + y’uj)2 -

- 40(x'u1 - y’u2) - 30(x'u2 + i/'Uj) » 0 = >

x*2(9u2 - 24u ¿u 2 + 16u 2) + i/,2(9u 2 + 24utu 2 + 16u2) + x'(/'(-24uJ + 24j 2 +

+ 14u¿u2) + x't^Ouj - 30u2) + </'(40u 2 - 30ut) * 0 . . . ( * )

Como el término mixto x'y‘ no debe apurecer, entonres se debe tener que :

-24uJ + 24u 2 + 14u 1u 2 * O y u2 + u2 * 1 , es decir ,

l?u¿ + 7u j ü2 - 12uJ * 0 * (4u 2 - 3u 1)(3u 2 + 4uA) , de donde:

u2 * 3uj/4 ó u2 ■ -4ut/3 . Por lo tanto ,

PRIMERA SOLUCION : u2 - 3ut/4 con uj + u2 * 1 = ►

uj ♦ (9 u 2/16) - 1 ==> u, ■ í 4/5 , u2 = í 3/5

= > ü «= (4, 3)/5 ó ü = (-4, -3)/5«==> 6 = 37° , 6 6 = 37° + 180° - 217° .

Para G = (uj, u2) * (4/5, 3/5) [ 8 * 37° ] , reemplazando en (*) :

x,2[9(16/25) - 24(12/25) + 16(9/25)] + i/,2[9(9/25) + 24(12/25) + 16(16/25)]

+ x1 [-40(4/5) - 30(3/5)] + (/'[40(3/5) - 30(4/5)] - 0 = *

25 y'2 - 50 x‘ - 0 = »

ser la ecuación de una parábola.y '2 » 2 x' que viene a

Cap. 7 Tuan&loDNU ISn de CooKdtnadaA 331

Ceno ejercicio, compruebe ~uc las otras tres rotaciones que también satisfacen el problema son:

-Para ü - (-4. -3)/5 : y '2 - -2x'

- Para ü » (-3, 4)/5 : x‘2 * -2 y'

- Para ü = (3, -4)/5 : x '2 • 2y' .

1.15 EJERCICIO.- En el sistema XY. consideremos la recta L: (3, 8)+ t(l. 3) . SI los ejes son rotados mediante el vec

tor ü * (2, l)//5 , y luego trasladados al nuevo origen PD ■ (3, 3) , ha

llar la ecuaclbn vectorial de esta recta en el sistema X'Y*.

SOLUCION.- Para el punto de paso Q * (3, 8) , hallaremos Q' ■ (x‘, y'):

*' - [ Q - Pc] - ü = [(3, 8) - (3. 3)]- (2. l)//5 = /5

y' - [ Q - P 0] - u X • [(3, 8) - (3, 3)]- (-l,2)//5 • 2/5 .

Luego, Q1 « (x\ y') » {/! . 2/5) .

Para hallar las coordenadas del VECTOR DIRECCIONAL v* « (v[, v¿) en el sistema X'Y* botamente. ¿i debe, conndvaK la ROTACION , sin Traslación, pues un vector dit-eccional es un VECTOR LIBRE , y puede ser ubicado en el origende coordenadas. Es asi que, como v = (1, 3) , entonces

v; = v • ü = (1, 3) • (2, 1J//5 - /5

vj¡ - v • Ü X - (1, 3) • (-1, 2)//5 » /!

Por lo tanto, v‘ = (/5, Si) . Luego,

L‘ : Q1 + tv* , es decir, L’ : ( /5 , 2/5) + t(/5, /5)

= » L1 : ( /5 , 2 /?) + t (1, 1) .


1. Ha’lar las nuevas coordenadas ael punto (-1, 3) cuando los ejes coordenados son llevados al nuevo origen (4, 5) y rotados en 30° .

2. Por traslación de los ejes al nuevo origen (3, 2) y por rotación de 37°[triángulo 3, 4, 5] , las nuevas coordenadas de un punto P resultan (7, 6) . Hallar sus coordenadas originales.

3. Demuestre que la ecuación de la circunferencia x2 + y2 = r2 se convier2 2 2te en x‘ * y' « r para cualquier rotación de los ejes coordenados.

4. Dada la recta L: 4x + 3y = 24 , hallar las rotaciones de los ejes co-

332 T/ian¿(¡i *maclSn de Coo*ide.nadtLi Cap. 7

ordenados para obtener los nuevos ejes en los cuales la recta resulte ho rlzontal.

5. Dada la recta L: 4* + 3y ■ 12 , hallar las dos rotaciones de los ejescoordenados para obtener nuevos ejes en los que L sea vertical.

6. Dado el punto P = (6, 8) en el plano XY, si se considera un nuevo origen de coordenadas P0 * (3, 6) y dos ejes perpendiculares que siguenla misma dirección de los vectores (7, 2) y (-2, 7) respectlv. mente, ha llar las coordenadas de P en el nuevo sistema.

7. Las coordenadas de un punto P mediante una rotación de 60° y una traslación al nuevo origen (2/3, -/3) son transformados en (2, 4). Hallar en el sistema original, la ecuación y la pendiente de la rectax' = 3 .

C. Dada la recta y « x + 3 en el sistema XY, hallar su ecuaciór. transformada si los ejes son rotados 45°. Ilustre gráficamente.

9. En el plano XY, sean las rectas Lt y L2 , donde L2: (1, 2) + ti ,(5, 5) e L2 . Se traslada el origen al punto P0 * (1, 2) , y luego serealiza una rotación generando el sistema X'Y1 siendo L2 el eje X'.La ecuación transformada de Lj es 2x‘ + 3</' + 18 ■ 0 Hallar la ecua ción vectorial de Lt en el sistema original, si la rotación es menor de 180° (en sentido antihorario).

ID. Los puntos A, B y C tienen coordenadas (4, 2), (2, -4) y (-1, -3) respect. en el sistema XY. Sea G el centroide del triángulo ABC [intersección de las medianas: G = (A + B + C)/3 ]. Si los ejes son rotadosen un ángulo obtuso 6 tal que sen 0 ■ 3/5 , hallar las coordenadas de A, 8, C y G en el nuevo sistema.

11. Hallar la rotación de los ejes que determina que la p<<rte de la rectax - 3y = D que está en el tercer cuadrante aparezca en el cuarto cuadrante y con ecuación 7x' + y' = 0 en el nuevo sistema.

12. Hallar la ecuación en la que x2 - 2x + Ay2 - 16f/ + 13 ■ 0 es transformada si los ejes son trasladados al nuevo origen (1, 2).

2 213. Hallar la ecuación en la que 4x + y - 8x + Ay + 4 = 0 es transfor mada si los ejes coordenados son trasladados de manera de eliminar los téi minos lineales.

14. Hallar la ecuación transformada si el origen es trasladado al punto PD

a) x2 + y2 - 2x - Ay - 4 = 0 , Pc = (1, 2)b) 4x2 + y2 - 24x + Ay + 36 = 0 , P0 = (3, -2)c) y2 - 8x - 81/ - 8 = 0 , P0 = (-3, 4)

Cap. 7 Tnani ¿oAMicÁón de Cooide.nada¿ 333

d) -4*2 + 9y2 - 16* - 18y - 43 - O . P0 = (-2. U

15. Hallar la ecuación en la que se transforma cada ecuación de [15] si losejes son trasladados de manera ae eliminar los términos lineales cuandosea posible:

a) 4*2 + 9y2 - 8* - 36y + 4 = 0 b) *2 + 4* + Ay - 4 = 0c) 4x2 - y2 + 24* + Ay + 36 - 0 d) *2 + y2 + 10* - 6y + 18 = 0f) 9*2 - y2 - 36* + Zy + 26 - 0 e) y2 - by - 4* + 13 = 0h) 25*2 + Ay2 - 50* - 16? - 59 > 0 , g) 4*2 + 9y2 - 16* + 18y - 1 1 - 0

16. Eliminar los términos lineales de (* - 2) = 8{y - 1) por una traslación, si fuese posible.

17. Por rotación de los ejes coordenados, transformar la ecuación * - Zy -

-5 = 0 en otra que crrezca del término en *‘ . Indicar la.rotación.18. Por rotación de los ejes coordenados, transformar la ecuación 2* + y -

- 7 = 0 en otra que carezca del término en y' . Indicar la rotación.19. ¿Hasta cuál punto debe trasladarse el origen con el fin de eliminar el

2término lineal en y ', así como los términos constantps, en y + 2* -- Zy - 7 = 0 ?

20. Hallar la ecuación en la que a* + ay + c = 0 se transforma si el oHgen es trasladado al punto {-h, h).

21. Pruebe: que la distancia entre dos puntos no varía ni por una trasla -ción ni por una rotación de los ejes coordenados.

22. Hallar la ecuación en la que a* + by + c = 0 se transforma si el oHgen es trasladado al punto (bh, -ah - (c/b)).

2 ? ?23. ¿En qué ecuación se transforma (* - h) * (y - k) = r si el origense traslada al punto (k, h) ?

24. Demuest. que la pendiente de una recta no es alterada por una traslación.25. Hallar la ecuación en la que y = m* + b se transforma si el origen

se traslada al punto (-b/m, 0) .

26. Hallar la nueva ecuación si los ejes son rotados un ángulo 8 :

a) *2 - bxy * y2 = 3 , 8 = 45°

b) 2*2 - 3/3 ku - y2 = 5c) 1 U 2 + ZAxy + 4ij2 = 9

d) 2* + 5i/ - 4 = 0e) x2 - Zxy + y2 - 2* = 0

f) 5x2 + 3xy + m2 -8 = 0 6 = are tan 1/3

8 = 60°8 = are sen 3/5 8 = are sen 5/Z29 6 = 45°

334 T>iani£ofunacÁ.ón de Cooidenadai Cap. 7

g) 8x2 + ixy * Ay2 « 3 , 0 * are sen ( 1//10 )

27. En la ecuación A*2 + Bxy + ly2 + Dx + Ey * F ■ O .. (*), la cual estransformada por una rotación ü de los ejes coordenados en la ecuaciónA'xj2 + B'x'y' + C‘y‘2 + D‘x‘ + Vy ' + F‘ = 0 . Demuestre que

a) B2 - 4AC - B’2 - 4A'C' . b) A + C - A‘ + C' ,c) A + C + F - A‘ + C1 ♦ F'd) 4( AC + CF + FA ) - B2 - D2 - E2 -

- 4 (A‘C' + CF* + F'A1 ) - l '2 - D'2 - E,Z .

NOTA.- Por la forma que tlenon, es que las expresiones de los primeros miembros en las identidades de (a), (b), (c) y (d) son llamadas INVARIANTES POR ROTACIONES DE LA ECUACION (*)■

28. Dada la ecuación 7x2 + ABxy - Ty2 * 20x - llOy - 100 = 0 , encontrarla ecuación en el sistema X'Y' sí los ejes son trasladados al nuevo o-rigen (2. -1) , y luego rotados 37° (en sentido antihorario).

29. En el plano XY se tienen los puntos (16,9) y (14,6). Oespués deuna rotación de los ejes en un ángulo agudo 6, los puntos tienen coorde nadas (a, c) y (b, -c) respect. Hallar el vector ü de rotación de ejes, eos 8, sen 6, y las coordenadas de los puntos dados, en el nuevosistema. SUG: Considere ¡i = (uj, u2) = (eos 8, sen 6), y trabaje pHmero con las componentes ux y u2 hasta obtener u = 2u2 •

30. Hallar todas las rotaciones de los ejes coordenados que transformen la

ecuación 2x2 + Zxy * 2y2 = 4 en 7x'2 + y " - 8 .

31. Por una rotación de 45° de los ejes coordenados, una cierta ecuación2 2se transformó en 4x‘ - 9y‘ = 18 . Hallar la ecuación en XY .

32. Se realiza una traslación de los ejes coordenados al punto (-4,6). Lúego se realiza una rotación de los ejes coordenados y la dirección positiva del eje X’ es el vector (-3,4) . En el plano X'Y* , la abscisa

2de un punto P es 10 , y satisface la ecuación 3x‘ = y‘ + 5 . Hallar las coordenadas originales de P . [Dos soluciones].

33. Por rotación de los ejes coordenados, transformar la ecuación dada en o- tra que carezca del término en x’y' . Indique la rotación empleada.

a) x2 + Axy + 4i2 * /5 y = 1 , b) 9x2 + ’ixy * 9y2 = 10

c) 2x2 + Axy + Sy2 = 2 , d) 2x2 - Sxy + 2y2 = 0e) i2 - Zxy * y2 - 8 - 0 . f) 16x2 + 24xi/ + 9i/2 + 25x = 0 .

34. Se traslada el origen de coordenadas hasta el baricentro del triángulo

Cap. 1 T/iav,(¡oKrmcÁÁn de Coo'idi.M.dai 335

con vértices A ■ (0.9), B ■ (9,3), C - (10, -6) y luego se rotan los ejes de modo que el semieje positivo de X' (de pendiente positiva) corte al triángulo ABC formando un triángulo Isósceles. Encontrar las coordenadas A, B y C en el nuevo sistema.

CLAVE DE RESPUESTAS

1. ((-5/3-2)/2, (5 - 2/3 )/2 ) , 2. (2.9). 4. 5 - (-3. 4)/5 ,ú - (3, —4)/5 ; 5. ü - (4. 3)/5 . ü = (-4. -3)/5 .

6. (25//53 . 8/Z53). 7. (1.2), m - -1//3 , 8. y' - 3//2 , horizontal en X'Y'. 10. ü - (-4. 3)/5 ; 11. ü = (2. -ll)/(5/5) .

12. x,Z + 4y'2 - 4 . 13. P0 =■ (1, -2) , 4x,Z + y'2 = 4

14. a) x'2 + y '2 = 9 , b) 4x'2 + y'2 = 4 . c) y '2 = 8x' .

15 a) 4x'2 + 9y'2 = 36 . b) y e) IMPOSIBLE. c) 4x'2 - y '2 « 4 .f) 9x,Z - y'2 = 9 . g) 4x'2 + 9y'1 - 36 .

16 Imposible (¿porqué?). 17. y’ - - /5 . 6 * are tg , ü = (2,l)//5

IB. x' = 7//5 , 8 = are tg (1/2). ü « (2. l)//5 ; 19. Pc - (4, -1)20. ax' + ay1 + c - 0 , 22. ax* + by' - 023. x'2 + y"2 - 2(h - k)(x' + y') = r2 . 25. y‘ = mx‘

26. a) 7y'2 - 3x*2 = 6 , b) 7y'2 - 5x'2 - 10 , c) 20x,Z - by'2 *= 9d) x' = 4//29 , e) / Z y ' 2 - x1 - y' , f) llx,Z + y'2 = 16g) 17x'2 + 7 y' 2 = 6 . 28. x'2 - y'2 = 1 .

2?. G-(2,l)//5, (a. c)’= (41. 2)//5 , (b. -c)‘ - (34//S . -2//5 )

ÍO. ü - (1. l)//2 . ü - (-1, -l)//2 . 31. 5x2 - 26xi/ + 5i/2 + 36 =■ 0 .32. PRIMERA SOLUCION: (-14,11), SEGUNDA SOLUCION: (-6,17).

a) 5x'2 + 2x' + y' * 1 . ü = (1, 2)//5 , e = are tg 2b) 21x'2 + 15t/12 = 10 . ü - (1. l)//2 , e = 45°c) 6x‘ 2 * y'2 = 2 ü = (1, 2)//5 , 8 = are tg 2d) Zy' - x‘ = 0 , 3</' + x1 * 0 . ü = (1, l)//2 , 0 = 45°e) y' = 2 , y' :■ -2 . ü - (1, l)//2 , 6 = 45°

0 5x'2 + 4x’ - 3j/‘1 = 0 , ¿¡ = (4. 3)/5 , 6 = 37° .

G = (19/3 , 2) = P„ ü = (1, l)//2 . A1 = (-5/2/4 . 33/2/

336 Iiif'u-ducccÚM a X Auátcns Maf^ultcci’ Cap. i

8ecciones Cónicas

1. INTRODUCCIONEn este capítulo estudiaremos ciertos lugares geométricos que son muy importantes en la Geometría Ana

lítica y que se originan de considerar cortes en diferentes ángulos de uncono doble circular recto, mediante un plano, (Fig. 1), dando lugar a lasfiguras llamadas precisamente CONICAS , o í w U ' n SECCIONES CONICAS, las que según el ángulo de corte reciben el nombre de PARABOLA , ELIPSE , HIPERBOLA , y algunos casos especiales úe estas curvas, llamadosCO40.& Ve.ge.neAa.do6 de Las Cótu.au>.

Todas estas Secciones Cónicas tienen una propiedad común que es satisfecha por cada uno de sus puntos, y es que

El Cociente de la V-atancia de cada uno de io¿ punta

hasta um punto ¿¿jo F , Llamado FOCO, ent>ie 4u Vii-

a una iecta ¿¿ja L , ¿tomada DIRECTRIZ i e¿&¿empne CONSTA! .TE , de.notada pon. e y denominada ¿a

EXCENTRICIDAD de La cónica. (Fig. 2)

Aquí presentaremos el enfoque vectorial de la Geometría Analítica de las Cónicas.

En el tratamiento de cada cónica usaremos una figura similar a la Fig. 2 , y omitiremos con frecuencia la representación grá

fica del vector unitario , correspondiente al vector unitario ü de

Cap. S La Pandbola 337

rotación de coordenadas, pero cuya presencia será implícita por medio de la dirección positiva deí EJE Y* .

P; F]----- * eP;L]

[ Fig.2 ]

338 tntñ.í‘ducccón al knSJU&tA UaXiunS-tcco Cap. i

2. LA PARABOLA . ECUACION DE L*. PARABOLA

Dada una recta fija L y un punto fijo F i L , se define LA PARABOLA *P como el conjunto de todos aquellos puntos P(x, y) cuya distancia al punto ¿¿jo F e¿ igual'a ¿u distancia a la

'w.cXa ¿¿ja L (DIRECTRIZ) . Al punto fijo F se le llama FOCO.Es decir, tales que

De la definición previa se tiene que LA EXCENTRICIDAD e oe cualquier parábola, que es precisamente el valor del cociente de estas dos distancias, e¿ ¿gual a 1 .

En toda parábola, en general (como en la Fig.3 ), se tiene los

siguientes puntos y segmentos característicos :

L : Recta DIRECTRIZ (con ecuación x' = -p ) ; F : Foco

V : VERTICE (Nuevo Origen de las Coordenadas X'Y' )

p : PARAMETRO VE LA PARABOLA ; RR7 : LAVO RECTO de la Parábola .

De la definición se deduce que si hacemos P = V , entonces se tiene que

Cap. i La Portábala 339

d[V, F] = d i V. L] = |p|

Es decir, ¿a díitancUa del véAZicz V al £oco F <u¡ iguaZ a la. dliíancía

del víntice M a la. riecta L .

NOTA.- El EJE X* sigue la dirección del vector unitario ¡¡ de rotación de coordenadas, y se le llama EJE ó EJE FOCAL de la parábola.

2.1 ECUACION GENERAL DE LA PARABOLA

Aquí encontraremos la ecuación “standar" de una parábola en el sistema de EJES X’Y‘ , que luego podría ser transformada a las coordenadas originales de acuerdo a lo queconvenga mediante las fórmulas de cambio de coordenadas sj guientes:

(*, y) “ V + x'ü + «/'ü'L , **» [ («• y) - V ] ■ ü

y ’ * [ (x, y) - V ]• ü 1-

donde el vértice V corresponde a la traslación (Oriyen del Sistema Nuevo X'Y‘) y ü al vector unitario de rotación de coordenadas.

De la gráfica correspondiente a la definición [F1g.3] te nemos que la ecuación vectorial de la RECTA DIRECTRIZ tiene la forma:

L = í Q / Q ’ Í V - p u J + í ü - 1- , * e R }

Además, como P ■ (x, y) = V + x’ü + , F ■ V + p ü ,

d [ P . L ] = | Cp - PQ | • | (Q - P) - ü | , donde Q e L

• |[- (*' + p)¡¡ + U - y *) ü "*■ ] - ü | = | - W ' + p ) |

= I * ’ + P I

d [P , F] = | P - F | = | V + x'u + y' ü - ( V+pü)|

= | (x' - p ) ü + y' ü X |

Reemplazando en la relación: cf [ P , F ] = d[ P , L ] ,o también en

(d[ P , F] )2 = (d[P , L])2 =^> 11 x* - p ) ü + y 'ü 1 |2 = (x' + p ) 2

= = > ( x 1 - p ) 2 + y ' 2 = ( x‘ + P )2 y ' 2 = 4px'

340 I n f u d u c a C m a l A n á l ^ i - a M a t e m à t i c i ) C a p . i

De esta manera, un punto P está sobre la parábola P si y sólo si P satisface la relación vectorial

P = V + x,ü + u ,ü J" , donde «T2 4px’ , |u | = 1 (*)

que es llamada una ECUACION VECTORIAL DE LA PARABOLA , y donde

P = (x. y) , x1 = [ (x. «,) - V ]• ü . y' = [ ( * » y ) - V ] - ü J-

2.2 ECUACION DE LA PARABOLA CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE X

Corresponde al caso ü = l (NO HAY ROTACION DE EJES)¿ = (1, 0) y si V = (h, k) es el vértice oue corresponde a la

traslación, entonces reemplazando en (*) :

p = (x, y) = (h, k) + x'ü + í/'üX = (h, k) + x’i + y'i^~

(x, y) = (h, k) + x'(l. 0) + y' (0, 1) = (h + x \ k + y")

De lo cual, x* = x - h , y' = y - k ________________________

reemplazamos en ,.2 4px' (y - k) = 4p(x - h)

que es la ecuación de una parábola con EJE FOCAL PARALELO AL EJE X .

En tal caso, F = V + pü = (h + p , k ) , L: x = h - p ,

pü = p i = ( p , 0 )

{y - k) = 4p(x - h)

2Vemos que para la misma ecuación: {y - k) = 4p(x - h) , uí p > 0la parábola se abre hacia la derecha, y si p < 0 entonces la parábola se abre hacia la izquierda.

Cap. i La Parábola 341

(y - k) *= 4p(x - h)

2.3 ECUACION DE LA PARABOLA CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y

Corresponde al caso ü ■ J ■ (0,1) .. ROTACION DE 90° , y si V • (h, k) es el vértice que corresponde a la traslación de EJES, entonces

- [(*,?) - V ] . ü = (x - h, y - k).(0, 1) y - k

y ’ “ [(*,«/) - V]. O-*- = (x-h. y-k)-(-l.O) = -(x-h) ,

Reemplazamos estos valores en la ecuación (*) : tenemos la ecuación ■

2y’ = 4px’ , y ob

(x - h)¿ = 4p(y- k)

que es la ecuación de una parábola con EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y. En tal caso, F « V + pü » V + pj * (h, k) + (0, p) = (h, k + p)

la oirectriz L : y = k - p

342 Intiuduccíón al Anáti6¿i UatímáXccu Cap. 6

Vemos que para la misma ecuación (x - h) = 4p{y - k)

- Si p > n , la parábola se abre hacia arriba , y- si p < U , la parábola se abre hacia abajo.

2.4 EJERCICIO.

So l u c i ó n .

Hallar la ecuación de la pdrábola cuyo vértice es V (3,-2), y su directriz la recta L : y = 2 .Determinar las coordenadas del foco F.

Bosquejamos la gráfica según los datos, y vemos que la parábola tiene su EJE FOCAL (VERTICAL) PARALELO AL EJE Y , y'M abne. hac-ta abajo. Luego, su ecuación debe tener la forma [2.3] :

(x - h) = 4p{y - k)

con p < 0 ... (*)

Y como V = (3 , -2) = (h, k)

= > h = 3 , k = -2 .

Además, como IpI = (Hitan

laM. del Vértice a la nzcJta

V-uie.cVu.i., con p < 0 :

d [ V ; L] - |p| = 4

= > p = - 4 .

Luego, reemplazando en (*), obtenemos la ecuación

(x - 3)2 = 4(-4) [y - (-2)]

Y como el foco F debe encontrarse a |p| unidades hacia abajo del vér-

tice V ’ F = (h, k - |p | ) = (3 , -2-4) = ( 3 , - 6 ) .

2.5 EJERCICIO. Identificar y bosquejar la gráfica de las ecuaciones:

a) x2 - 4x - 2y + 2 * 0 , b) 3y2 + 4x + 12y +6 = 0

Determinar el vértice, el foco y la ecuación de la recta directriz en cada caso.

SOLUCIÓN. Completamos cuadrados en cada caso (verificar) :

Cap. 8 InVwduccíón al AníLa¡i¿ MatancLtíCu 343

a) (x - 2) = 2(y + 1) =^>

Esta ecuación tiene la forma

resulta h = 2 , k » -1 ,

y p = 1/2 ( > 0) . Luego, el vértice es

(x-2)2 = 4(i)[y- (-1J]

(x - h) = 4p (if - k) por lo que

V = (h, k) = (2, -1) .

Obtenemos asi una parábola con vértice V(2, -1) y con EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y (vertical) que se abre hacia arriba.

El foco resulta el punto

F = (h, k + p)

= (2, -1 + (1/2) )

= (2. -1/2)

Y la recta Directriz

L: y = k - p

= -1 - (1/2)

Es decir,

L : y = - 3/2 ,

viene a ser la ecuación de la incXa VíaícX'u.z (horizontal).

b) { y * 2)2 = (-3 ) (* - f )

Esta ecuación tiene la forma

{y - k) = 4p(x - h)

==> h = 3/2 , k = -2 ,

p = -1/3 ( < D ) ,

V = (h, k) = (3/2, -2) .

Obtenemos así una parábola con FJE FOCAL PARALELO AL EJE X , que se abre ha cia la izquierda.Asi, tenemos el foco F :

F = (h + p , k ) = [(3/2) + (-1/3) -2 ] = (7/6 , -2)

Y la VlnecVUz (vertical) L: * = h + |p| ==» L: x = 11/6

344 lnt'ivduccíún oí An¿Lhi¿i UatantítA.c.0 Cap. t

2.6 EJERCICIO, a) Hallar la ecuación y el vértice de la parábola cuyos puntos equidistan de la recta y = 2 , y delpunto fijo (4,6).

b) Hallar la ecuación y el vértice de la parábola cuyos puntos equidistan de la recta x - i/ + 4/2 =0 y del punto 2/2(1, -1).

So l u c i ó n .a) Sea la recta L: y = 2 , el punto F = (4, 6) , P = (x, y) , luego

d [ P ; F ] = d [ P ; L ] , donde d [ P ; L ] = | y - 2 1 , entonces

(d[P ; F])2 = (d[P ; L];2 (x-4)2 + (y - 6)2 = {y - 2)2

(x - 4)z = 8 (y - 4)que viene a ser la ecuación de una pa rábola con el eje focal paralelo al

Eje Y, con vértice V = (4, 4) .

b) Sea la recta L: x - y * 4/2 = 0 , entonces L resultará ¿a *ecta

DIRECTRIZ , y el punto F = 2/2(1, -1) el fouo. Como un vector no* mal de L es ñ = (1, -1) , haciendo un bosquejo resultará que un

vectai urúXaiUc que tiene la misma dirección que el Eje focal X' es:

n

íü]-p (1. -1) /2

y el vértice V = F - pü , donde el valor de p es obtenido de

| (2/2) - (-2/2) + 4/2 |2p = d[F;L] =

/2= 8 p = 4

Luego, V = [2/2(1, -1)] - [4(1, -l)//2 ] = (0, 0) es el vértice.2

La ecuación de la parábola es: y' = 4px' = 16x’ ... (*)

donde *■ = [(x, y) - v ]i ü = (x - i/)//!

y' = [(x, y) - V ]- ü X = (x + y ) //2

y que al reemplazar en (*) se obtiene la ecuación cartesiana

(x + y) = 16/2 (x - y)

NOTA. Verificar que esta ecuación también se obtiene de la definición: d [ P ; F] = d [ P ;L ] para P = (x, y) ,

Cajr. í La PaAJíbola 345

2.7 CASO PARTICULAR: EL VERTICE V EN EL ORIGEN

Cuando el vértice V(h, k) de una parábola se encuentra

en el origen de coordenadas (0, 0), y « (h> k) , (0> 0) =-, h . o , k ■ 0

las ecuaciones fl) (y _ k)2 „ 4p(x . h)

b) (* - h) - 4p(i/ - k)

a') PARABOLA CON EL EJE X COMO EJE

toman la forma siguiente.

b‘) PARABOLA CON EL EJE Y COMO EJE FOCAL 4p y

L : y *= | p |p < 0

{EJE FOCAL)

FOCAL

SE ABRE HACIA

LA IZQUIERDA

L : y = -p DIRECTRIZ

2.8 EJERHCIO.

Solución.

Hallar el foco y la directriz de la parábola cuya e-2

y » x .cuacion es

... .2 _ X2 = H j ) yH

DIRECTRIZ

346 lnVivdu.cc4.0n ai AnáJüAÍi Mutvmáticu Cap. S

Como esta ecuación el Eje focal es el (0,0), y p - 1/4

Luego, la parábola d a aMA.ua.. Asi, el

F = (0, p) = (O, 1/4) ,

y la recta directriz tiene la ecuación L: y = -p ,

es decir L: y = -1/4 . DIRECTRIZ

tiene la forma [2.7(b‘)] : x2 = 4pi¡ , entoncesEje V y el vé-tice es el origen de coordenadas V =

( p o s i t i v o )

¿e afetc h&

foco es

Demostrar que la longitud del lado recto RR' de cualquier parábola es 4|p| .

RR‘ : Lc.do Recto

DATOS: d [ F ; L ] = 2|p| (a)d[R; R' ] = 2d [ K i F] (f})

Por definición de PARABOLA :

EJE FOCAL

2.9 EJERCICIO.

Solución.

d[R; F] = d[R ; L]

= dr F i L ] .. (y )

Asi, la longitud del lado recto es

d[R ; R1] = 2 d [ R ; F ] , de (B)= 2d[F; L] , de (y )= 2 (21 p| ) , de (a)

= 4 |pi .

2.10 EJERCICIO. Una antena de radar se construye tal que cualquier sección transversal que pasa por su eje es una p a

g á b a l a . Suponga que el receptor se coloca en el foco. Hallar la ubicación del receptor, si la antena tiene un diámetro de 5m. en la abertura y lm. de profundidad.

SOLUCIÓN. Seleccionamos un sistema coordenado XY , como en lafigura:

Cap. í La PaAábuta 347

Diámetro : Radio: r

5 m.5/2 m. ,

Ecuación: x = 4p¡/ (*)

Como el punto (r, 1) perte nece a la parábola, reemplazando en la ecuación (*):

r2 = 4 {p) {1) =

d( donde p = 25/16 m.

Y como p - V¿¿taniUa deZ

foco aí VOlU.cz , el receptor se encontrará en zZ Eje de.

Lu antzna (en el Foco) a p 25/16 metros del vértice.

2.11 EJERCICIO. Hallar la ecuación de la parábola con vértice V ■= (5,2) y foco F = (7,2). Hallar la directriz L.

So l u c i ó n .

V= (5,2) y F = (7,2) indican que el eje focal es paralelo al EJE X , y se abre hacia la dert cha. Además, p = | |

= I F - V |- 1(2. 0)|

= 2 .

La ecuación de la parábola tiene la forma {y _ k)2 = 4p(x . h)

= {y- 2)2 = 4(2) (x - 5)

y la ecuación de la Directriz L

es L : x = h - p ==> L : 5 - 2 L : x = 3

2.12 EJERCICIO. El foco de una parábola es F = (7, 5) y el vértice es V = (3,2). Hallar la ecuación de la recta direc

343 lntT.cducc.i0n al AnáLc¿4¿ MaíeJirltcCo Cap. S

triz asi como de la parábola.

So l u c i ó n

Consideremos la ecuación ei el sistema X'Y': y>2 = 4pX>

COm° P - |PÜ| = I VF|- |F- V| = | (4, 3) |

= I b[(4, 3)/5 ] |

“ 15*i I « 5 ,

donde ü = (4, 3)/5 es el vector unitario en la dirección del eje focal.La Directriz L tiene ecuación

P = (*,!/)* V - pü + tú"*" , t e R(x, y) = (3.Z) - (4, 3) + t(-3. 4)

(*. y) = (-1, -i) + t(-3, 4) y en su forma cartesiana:

L : 4x + 3y - -7 .

(4x * 3y - l£)/5

(4i/ - 3ji - 1 7 )/5

* 20x' , obt°ne'

en XY .

(*. </) -(4,3) = (-1. -1) - (4, 3) = *

Además, reemplazando x> = [(x,i/) - V ] • ü =

y ' = [ ( *»! / ) - V ] • ü X ■o

en la ecuación de la parábola y' = 4px* * 4(5)x'

mos la ecuación 9x2 + 16¡/2 - 24x¡/ - 298x - 436¡/ + 2089 = 0 ,

2.13 EJERCICIO. El foco de una parábola es F = (4,1) y la directriz es L: x + y - 17 = 0 , hallar el vértice yla ecuación vectorial de la parábola.

SOLUCION.

Sea la ecuación en X'Y' . Y sea en L donde V es el punto medio del segmento FQ .

S endo ü = (-1, -l)//2 un vector unitario normal a L y

Cap. t La PanAbuía 349

con la misma dirección que el semieje positivo de X' , entonces

2p = d[F ; L ] = J - l_~ — = 6/2 = > p = 3/2✓ 2

2 —Luegc, y' = 12/2 x’ es la ecuación de la parábola. Además,

V = F - p¡¡ = (4,1) - 3/2 [{-1, -l)//2 ] = (7.4)Q = F - 2pü = (4,1) - 6/2 [(-1,-1)//2 ] = (10,7)

Asi, la ecuación vectorial de la parábola resulta:

í P * (x, y) = V + x'ü + i/'¡¡X , donde y '2 - 12/2x’1 V = (7, 4) , G - (-1, -l)//2

2.14 EJERCICIO. El eje focal de una parábola es L: x + 2y - 16 * 0.Si el foco es F = (4, c) y el vértice es el puntoV ■ (6, d) , hallar c , d , la ecuación vectorialde la Directriz y la ecuación de la parábola en XY.

So l u c i ó n .Considerando como Eje X' al eje focal L , obtenemos

viene a ser la ecuación de la parábola en el sistema X'Y'.

CALCULO Dt Q ( PUNTO DE PASO Dt LA DIRECTRIZ Lx )

Q = V - pff = (6, 5) - (-2, 1) = (8, 4) e Lj

Como se puede ver ñ = (-2, 1) es un vector normal de la directriz L^ ,

350 Introducción ai Anádi¿i UatejnátLco Cap. t

Luego, la ecuación de la directriz es Lt: (x,i/).(-2, 1) = (8, 4).(-2,1)

Lj: -2* + y = -12

y su ecuación vectorial es

Li = í P *= V - pü + tü-1- , t e R } = { (x, y) - (8, 4) + t(-l. -2)}

Reemplazando *’ = [(x,i/) - V ] - ü = (-2* * y * 7)//5

y' = [(*.!/) - V ]• ú X = (-* - 2y * 16)//5

en la ecuación (*) y’ =4/5*' , y desarrollando obtenemos la ecuación de la parábola en XY : 2 -

x * Ay * 4xi/ + 8< - 841# + 116 = 0 .

2.15 EJERCICIO. El Eje Focal de la parábola íP es la recta de ecuación L: 2x = y + 4 . Si Q = (- ¿5 , 11 - 2/5)pertenece a la directriz Lj de íP y el punto P0

(6 - 3/5 , 8 + 4/5 ) es uno de los extremo* del lado recto de F , encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por PG y cuyo centro esel vértice < de P . Hallar, además, la ecuación vectorial de la directriz Lj y el foco F de (P .

Solución, ei Eje Focal

L : 2x - y = 4 tiene al vector

ü = (1, 2)//5 como vector unitario d.reccional. Como 4 |p |es la longitud del lado recto:

2p - d[ Pc ; L ] , (p > 0)

| 2(6 - 3/5)- (8 + 4/5)- 4 |2P - ------------ — -------------/5

==> p = 5 .

F = P0 - 2pü -1 = (6 + /?, 8 + 2 /5 )

V = F - pü = (6, 8) , r = d[P0 , V ] = 5/5 . Luego, la ecuación

de la circunferencia buscada es ^ _ g)2 * (y - 8)2 = 125

La directriz Lj: P = Q + tüX , t e R

Lj : (x, y) = (-/5 , 11 - 2/5 ) + t(-2, 1) , t t R

Y ya vimos que el foco de P resultó ser F * (6 +/5 , 8 + 2 / 5 ) .

Cap. 8 La Paribota 351

2.16 RECTAS TANGENTES Y RECTAS NORMALES A LAS PARABOLAS

Deca de la ecuación general de de la curva, se tiene que la

parábola: y = 4px

tiene como ecuación de la rec ta tangente en el punto de de contacto (xoi y0)

x + x„yyB = *p(- )

2py = — (* + *o)

50

la ecuación de la recta tangente a la gráf_[ 2do. grado en un punto de contacto (xD, y0)

SI se hace y * O , se tiene que ta dlitanda del VERTICE al pie de ta perpendUcutar trazada al eje

(¡ocal de¿de el punto de contacto (xG, ya) ta mlínta dlitancxa que ta

del VERTICE al punto Q de -uit&niecdón de ta redii tangente Lj y el

eje ¿ocal.

2.17 TEOREMA. La recta tangente a ta pari.b'ila * P , en un pinto de e-

Lfo (<o» 9o) » conXa al «.je ¿ocal en un punto Q tal

que ta dlita ida de Q al VERTICE qj¡ Igual a ta dli

tanda de~ VERTICE al pie de ta perpendicular, traza

da deide el punto de Cuntad i (xG, ya) al eje iocal.

NOTA. Este resultado no depende de la posición de la parábola en el plano.

2.18 EJERCICIO.

So l u c i ó n .

Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes trazadas desde el punto A(-l, 1) a la parábola con ecua

2ción x - 6x + 5y - 11 « O , y encontrar el punto de intersección de cada una de estas rectas con el eje focal de la parábola.

La parábola tiene la ecuación (x - 3) = -5(y - 4)

352 I n t r o d u c c i ó n a l An á . t a ¡ a ¡ t * a t m á - U . c o C a p . i

en la cual, si reemplazamos las coordenadas ae A = (-1, 1) , resulta que no satisfacen la ecuación, lo que indica que este punto está fuera de la parábola. Sea lij: y - 1 = m(x + 1) la ecuación de la recta tangen

te que pasa por A(-l, 1).Hallaremos el valor de m , para lo cual sustituimos

y = mx + m + 1

en la ecuación de la parábola, y obtenemos

x' * (5m - 6)x + 5m - 6 = 0

... (*)Tomando la condición:

DISCRIMINAN'E = CERO ,

(5m - 6)2 - 4(5m - 6) = 0(5m - 6)(m - 2) = 0

m = 6/5 ó m = 2 .

Al reemplazar estos valores en (*) obtenemos los puntos de contacto Pj y P2 con la parábola: (notemos que el vértice es V = (3, 4) )

PL = x2 + [ 5 (| ) - 6 ]x + 5 (| ) - 6 = 0 = * x2 = 0

= * x = 0 , y = 11/5 = > Pt = (0, 11/5)

P2 : x2 + [ 5(2) - 6 ] x + 5(2) - 6 = 0 = > x' + 4x + 4 = 0

==> (x + 2)2 = 0 = > x = -2 , y = -1 = > P2 = (-2. -1)

Luego, L n . y _ l m (6/5)(x * 1)

Lj2 : y~ 1 = 2(x + 1) , respectivamente.

Por lo tanto, los puntos de intersección de Lji y Lt¡> con el eje focal

se obtienen haciendo x = 3 en sus ecuaciones , y son:

Ql = (3, (6/5)(4) + 1 ) = (3, 29/5)

Q2 = (3, 2(4) + 1) = ( 3 , 9 )

2.19 EJERCICIO. Demostrar que la recta tangente a la parábola de e-

Cap. t La Vanábala 353

2cuactón (y - k) = 4p(x - h) , en un punto de contacto (*„, y0) es

(í/o ' k)(i/ - k) » 4p[( * 2 X° ) - h ]

SOLUCIÓN. La prueba es direct.a tomando la forma general de la

ecuación de la Recta Tangente a la Gráfica de la Ecuación General de 2do. Grado, dada en el Capitulo [6], Sección [8].

2.20 TEOREMA. La ecuación de la recta tangente a la parábola de ecua2

clon (* - h) ■ 4p[y - k) en un punto de contacto

( o*

(*o - h)(* - h) k ]

Completando cuadrados:

(./ - 4)2 - 4(x - 1)

==s> p = 1 .

El vértice V = (1,4)

el foco F = (2, 4).

Por la propiedad de la recta tangente a una parábola:

d = d [R ; V ] = d [ V ; T

— d = 5 - 1 = 4 , R = ( 1 - 4 , 4 ) = (-3,4)

La ecuación de la recta tangente en P = (s, fe) es: (Ver [2.19])

2.21 EJERCICIO. Sea y2 - By - 4*. + 20 * D la ecuación de una parábola. Hallar la suma de las áreas de los triángulos determinados por la recta tangente a la parábola

en el punto P = (5, 8) y los ejes coordenados, y la perpendicu -lar trazada al Eje Y desde el punto de tangencia. Hallar ademásel vértice y el foco.

So l u c i ó n .

354 Intiuduccíón ai Anáíi,ii¿> Maitwiàttcu C a p . í

( 8 - 4 J U - 4 ) = 4 < - ^ - - 1 ) Lj : x - Zy = -11

- haciendo y = 0 obtenemos S = (-11, 0)- haciendo x = 0 obtenemos Q * (0, 11/2) . Luego,

Ax + A2 = [ 5 x (8 - 11/2)/2 ] + [ 11 x (11/2J/2 ] = 73/2 u2 .

AVAVAVA AVAVAVAOtra propiedad de las parábolas tiene que ver con las

rectas Ly y Ln . tangente y normal en un punto de contacto (x0, yD)

SI la parábola tiene la ecuación y2 = 4px entonces2p

LT : y = — ( * ♦ *o)"o

0o . .

N 1 ^ ° ‘ 2p ** " X°) + y°

lo que indica que un vector direccional de Lr es

(1. -•/£,/(2p))

y por lo tanto se puede ele gir como vector c = (2p, -yD)

Si a es el ángulo formado por c y un vector á paralelo al Eje Focal, y si 6 es el ángulo entre

c y el vector b = PF - F - P , llamado RADIO VECTOR ó VECTOR FOCAL del punto P de la parábola, probaremos que a = B

sean á = (1, 0), b = F-P - (p - *0 . -0o) • c = (2p, -y0)

entonces _ _ (5.£)/(|511£ | ) = 2p/ |c|eos a

eos 6 =b-c 2p*0 + i/o

l ¿ l | É * \ c \ V ( p - X o ) 2 ♦ i /o

2p2 - 2px0 + yl = 2p2 - 2px0 + «P*o = 2p2 ♦ 2pxc

(p - * 0) 2 * y l * p2 - 2P*o + x2

donde

2p(*0 + P)

* yD = P - 2p*o * *o + 4P*o

p2 + 2px0 + x2 = (p + x0)2

eos B = 2p(p + x0)/[>/(p + x0)2 |c|] = 2p/|c| eos a

Cap. t La Parábola 355

De esta manera hornos demostrado el siguiente teorema.

2.22 TF.DREJW. La kzcM l Nonmal a una parábola, tn cualquier punto P= (xot yD) de u t a , (¡oima ánguloi ¿guale,i con el. fia

ti ¡ vector (vector iocal) de P y con la recta que

paia pon. P y e¿ paralela al Eje de tr •patibola.

2.23 PROBLrrlñ (UNI). Sea la parábola cuyo vértice es V (-1. 5)y uno de los extremos de su lado recto es el

punto B * (10, 3). Si Lj es la recta tangente a *P en un puntoPD , correspondiente a la mitad superior de la parábola, y que corta al Eje Focal en el punto Q * (-28, -31) , encontrar

a) la ecuación vectorial de la parábola *P ,

b) PQ y la ecuación vectorial de Lj , c) el foco F .

So l u c i ó n .— YQV = V-Q = (27, 36)QV - 9(3,4), |QV| = 5

ü - QV/ | QV | - (3, 4 )/ 5

Por la propiedad [2.17] de las Rectas Tangentes a una parábola, tenemos que

cf [Q ; V] = d [ V ; D ]

=* 45 «

P„ = V + x¿G + y'D i X ,

La ecuación de la parábola es de la forma

y'2 = 4px’ , con p > 0

donde la longitud del lado recto es d[ A ; B] = 4p =s> d [ B ; F] ■ 2p

Además, 2p = | Cp - x (QB) | ■ | (B - Q) • ü | , pues | G | = 1 ,

[donde (B - Q) = (10, 3) - (-28, -31) = (38, 34) ]

2p = |(38 , 34).[(-4, 3)/5] | = | (-50/5) | = 10 = >

356 infli'Juccti'11 at AnáJLUiíí, tíatvmástlcu Cap. i

p = 5 . De (*), la ecuación de la parábola resulta y '2 = 20*'

V como en el sistema X'Y‘, el punto P0 = (x¿, y’0) e P , y x¿ = 45 ,

entonces ^,2 _ 20(45) = > y'0 = 30 (descartamos y'0 = -30 porlos datos)

a) 9 : P = (x, y) - V + x'ü + y’ü X , y’2 = 20x’ , G = (3, 4)/5

b) P0 = V + (45) ü + (30) Ü X = (-1, 5) + 45[(3, 4)/5] + 30[(-4,3)/5]

= (-1, 5) + (27, 36) + (-24. 18)

Po = (2, 59) ,

nD.' = po - Q = (2. 59) - (-28, -31) = (30, 90) = 30(1, 3) vienea ser un vector direccional [asi como el vector (1. 3) ] de Ly , y por lo tanto, la ecuación vectorial de Lj , que pasa por PD es

LT : P = (x, y) = (2, 59) + t(l, 3) , t e R

c) El foco F = V + pü = (-1, 5) + (5) [(3. 4)/5] = (2.9).


1. Hallar el vértice, el foco y la ecuación de la directriz, de las parS

bolas: a) *2 - 4x - i/ + 3 = 0 . c) 4x2 - 8x - 3y - 2 = 0b) 3y2 - 4x + I2y * 16 = 0 , d) y2 - 6x + 6y + 15 = 0

2. Hallar la ecuación de la parábola:

a) con vértice (2, 5) y foco (2, -3)b) con vértice en (5, 2) y foco en (7, 2)c) con recta directriz L: y - 5 , y foco en (7, -2)d) con recta directriz L : x • -2 , y vértice en (5, -1)e) con vértice (2, 6) y extremos del lado recto (6, 8) y (-2, 8)f) cuyos puntos equidistan de la recta x = -1 y del punto (7, 1)

3. Demostrar que la longitud del lado recto de cualquier parábola mide41 p | unidades.

4. El ancho de un reflector parabólico es 12 m. y su profundidad es de4 m. Localizar el foco. Rpt. A 9/4 m. del vértice.

5. Hallar la ecuación y la longitud de lado recto de la parábola con vért ce en (2, 2) y foco en (5, 6). Encontrar además los extremos del

Cap. i La PaAÁb.ilj. 357

lado recto. Rpt: 3x + Ay - 31 ; 20 ; (-3, 12) y (13, 0).

6. Dados los tres puntos (-1, 2), (1, -1) y (2, 1) ,a) hallar la ecuación de la parábola que pase por los puntos dados

y tal que su eje focal sea paralelo al Eje X ,

b) hallar la ecuación de la parábola que pase por los puntos dadosy tal que su eje focal sea paralelo al Eje Y .

Rpt: a) 6* » -7y2 + 3y * 16 , b) 6y = 7x2 - 9* - 4 .

7. Graficar la ecuación (2x + y - 3)(x2 + y2 - 4)(x2 - 8y) ■ 0

8. Demostrar que los centros de todas las cuerdas de la parábola de e -o

cuación x « 4py , con pendiente m ■ 3 , se encuentran en una recta, y hallar la ecuación de esta recta. Rpt; x . 2pm, x « 6p .

9. Hallar el centro de la circunferencia que pasa por (0, 1) y que estangente a la curva y • x2 en (2,4). Rpx: (-16/5, 53/10)

10. Hallar la ecuación del lugar oeomctrlco del punto P » (x, y) tal2

que la distancia de P al vértice de la parábola y * 8x , esel doble de la distancia de P al foco de dicha parábola.

8 2 7 1 (iRpt: La circunferencia (x - ) + y »

11. Si una parábola con eje focal vertical tiene su foco en (0, 4) y sulado recto de longitud 12 , hallar su ecuación. (Dos soluciones)

Rpt: a) x2 = lZ{y - 1) , y b) x2 - -12(i/ - 7)

12. Sean (xj, y-_) y (x2, y2) los extremos de una cuerda focal de la

parábola y ■ 4px , demostrar que

a) la longitud de esta cueroa focal es | xi + x2 + 2p | ,b) la distancia desde el punto medio de esta cuerda focal a la rec

ta directriz es la mitad de esta longitud dada en (a).

c) una circunferencia con esta cuerda focal como diámetro es tangente a la recta directriz.

213. Sea P = (r, s) un punto Je la parábola y = 4px .En P se

traza una perpendicular a 0P de tal manera que esta recta corteal Eje X en el punto 0 . Probar que PQ = (4p, -s).

14. Un cometa se mueve en una órbita parabólica, con el Sol en el foco.

Cuando el cometa está a 4 x 107 millas del Sol, la recta desde el

358 hUAuducc-íóii at Anátiiii, tíatemi tícü Cap. S

Sol hace un ángulo de 60° con el eje de la órbita (dibujada en la dirección en la cual la órbita se abre). Hallar la distancia mínima del cometa al Sol, es decir, al foco.

SU6: Cuando se encuentre en el vértice. Rpt: p = 107 millas.2

15. Hallar los áng-jlos en que se intersectan las parábolas y « 4x + 4,con y 2 * 64 - 16x . Rpt: 90° .

216. Se traza una recta tangente a la parábola y ■ 4px en un punto

P ■= (x, y) de la curva. Sea A el punto donde esta recta tangente corta al eje de la parábola, F el foco y PD la recta paralela al eje de la parábola y que intersecta a la directriz en D . Demostrar que AFPD es un ro-nbo.

17. Hallar el ángulo formado por las rectas que pasan por el or>gen ypor los puntos que trisecan la cuerda 2x + 3y - 12 = 0 de la pa

rábola 2x2 - 9y = 0 . Rpt: x « 0, y •= -2x , a = ^ - are tan 2 .

18. Una piedra arrojada hacia arriba formnndo un ángulo agudo con la horizontal, describe el arco de una parábola y cae a una distancia de 16 m. Hallar el parámetro p de esta parábola, si la altura máxima alcanzada es de 12 m. Rpt: p * 4/3

219. En la parábola y * ex encontrar un punto para el cual su vector

focal mide 10 unidades. Rpt: (8, t 8)2

20. Hallar la ecuación -de la cuerda común a la parábola y = 18x , y2 2a la circunferencia (x + 6) + y *= 100 . Rpt; * = 2

221. Hallar en la parábola x = 4y un punto para el cual su vector

focal mide 17 unidades. Rpt: (i 8, 16)

22. El espejo del faro de un auto tiene la forma de una parábola en susección transversal. Hallar el parámetro de esta parábola, si el diámetro del faro mide 20 cm. y la profundidad 16 cm. El Eje 0X esel eje del faro y el Origen se ubica en la parte profunda del espejo.

Rpt: p * 5/32

23. Hallar la longitud de la cuerdf focal de la parábola y * 8x « 0 ,que sea paralela a la recta 4x ♦ 3y m 1 . Rpt: 25/2

24. Demostrar que la longitud del radio vector (vector focal) de cual-

Cap. i La PanÁbota 359

oquier punto P ■ (Xj, i/1) de la parábola y = 4px es | Xj + p |

25. Hallar la longitud del vector focal del punto de la parábola de ecua2

ción y - 16x « 0 , cuya ordenada sea igual a 12 . Rpt: 13

26. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice y2

los extremos del lado recto de la parábola y ■ 4x .Rpt: xZ + y2 - 5x

27. Demostrar que los extremos del lado recto de una parábola cualquiera se unen mediante rectas tangentes a la parábola con el punto de 1n - tersección del eje focal y la directriz.

28. Una circunferencia cuyo centro es el punto (-1, 4) pasa por el foco

de la parábola y + 16x ■ 0 . Demostrar que es tangente a la directriz de la parábola.

29. Demostrar que la longitud del radio vector (6 VECTOR FOCAL) de cualquier punto P « (xlt y^) de la parábola (¡/ - k)2 ■ 4p(x - h)

es igual a | xt - h + p | , y de la parábola (x - h)2 ■ Ap(y - k)

es igual a | i/j - k + p | .

30. Hallar la longitud del vector focal del punto de la parábola de ecua

c16n x2 + 4¡/ + 2x - 19 - 0 cuya abscisa es 3 . Rpt: 5

31. Hallar e Identificar la ecuación del lugar geométrico d¿l centro deuna circunferencia que es siempre tangente a la recta x ■ 1 , y a

2 2la circunferencia de ecuación x + y » 9 .

Rpt: { (x.ii) / yZ - -8(x- 2), 1 < x < 2 } U

U ( ix.y) / y 2 = 4(x + 1) . -1 < x < 1 }

32. En cada uno de los ejercicios (a) , (b) y (c) , hallar la ecuaciónde la recta tangente para la parábola y el punto de contacto dados:

a) x2 - Ay » 0 , Í2, 1) Rpt: y - x - 1

b) x2 + Ay + 2x + 9 * 0 , (3, -6) Rpt: y * -2x

c) y2 - 6y * 5x - 11 - 0 , (-1, -2) Rpt: x - Zy * 3

33. Hallar la ecuación de la recta tangente de pendiente -1 a la pará

bola y 2 = 8x . Rpt: y * -x - 2

34. Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola de ecuación:

360 ItitioduccUón ai A « M a t e m á t i c o Cap. S

2x + 4* + I2y - 8 = 0 , que sea perpendicular a la recta de ecuación 3« - y + 1 f 0. Rpt: 3y = -x + 2

235. Hallar la ecuación de la recta tangente a la parSbola y - 2x + 2y

+ 3 = 0 , que sea paralela a la recta * - 2y + 4 * 0 .Rpt: * = 2y + 1

36. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes trazadas desde el punto(3, -3) a la parábola x2 - 3y - 8* + 10 = 0 .

Rpt: y = (2/3)* - 5 , y - -2* + 3

37. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes trazadas desde el punto (4, 1) a la parSbola x2 + 3y - 6* + 9 = 0 .

Rpt: 3 y = 2 x - 5 , y - -2x + 9

38. Hallar el ángulo agudo formado por las tangentes a la parSbola de e cuación y -»x-4i/ + 6 * 0 , trazadas desde el punto (1, 1).

Rpt: are tan (8/11)2

39. Con respecto a la parSbola y - 2x + 6y + 9 « 0 , hallar los valoresde t para los cuales las rectas de la familia x + 2y + t » 0 :a) cortan a la parSbola en dos puntos diferentes,b) son tangentes a la parábola, c) no cortan a la parábola.

Rpt: a) t < 8 , b) t = 8 , c ) t > 8

40. Demostrar que las parSbolas y2 - Ay + 8x - 20 » 0 , y2 - Ay * 4x ++ 4 - 0 , son ortogonales entre si en cada uno de sus puntos de intersección.

41. En cualquier punto P de la parábola, no siendo el vértice, la tangente y la normal cortan al eje de la parSbola en los puntos A yB , respectivamente. Demostrar que los puntos A , B y P equidistan de1 foco.

42. Demostrar que toda circunferencia que tiene como diámetro una cuerda focal de una parábola, es tangente a la parSbola.

43. SI desde un punto exterior P se trazan rectas tangentes a una parSbola, el segmento de recta que une los puntos de contacto se llrmaCUERDA DE CONTACTO. SI Q = (xj, yy) es un punto exterior a la

parábola y - 4px , demostrar que la ecuación de la cuerda de con

tacto de Q es yxy « 2p(x + Xj) .

Cap. t La PanÁLota 361

44. Demostrar que la cuerda de contacto de cualquier punto de la directriz de una parábola pasa por su foco.

45. Demostrar que el lugar geométrico de los puntos medios de un sistema de cuerdas paralelas de una parábola es una recta paralela al eje fo cal. Esta recta se llama DIAMETRO DE LA PARABOLA.

2SUG: Considerando y • 4px y las cuerdas de pendiente m , pro

bar que el DIAMEiRO es la recta horizontal y - Zp/m .2

Y para x » 4p¡/ : x = 2pm2

46. Hallar la ecuación del DIAMETRO de la parábola x *= 16« , vara unsistema de cuerdas paralelas de pendiente 1/2 . Rpt: x - 4 .

47. La cuerda perpendicular al eje focal de una parábola es el segmentoRR' , donde R = (4,-1), R' “ (-2, 5) . Si la recta directriz pasapor (-2, 11) . hallar el Foco, el Vértice y las ecuaciones de la directriz y de la parábola.

Rpt: F - (1, 2) , V - (5/2, 7/2) , x + y - 9 ,x2 - 2xi/ * y2 * 14x + lOy - 71 » 0

46. Hallar la ecuación de la directriz y el foco de la parábola cuyo eje es la recta 4x - 3y » 0 , con vértice (3, 4) y sabiendo qne pasa por (2, 11). Rpt: F - (15/4, 5) , 3x + 4</ - 75/4 .

49. Sea x - 4x - 8y + 28 ■ 0 la ecuación de una parábola. Ha’lar la suma de las áreas de los triángulos determinados por la recta tan gente a la parábola en el punto (6, 5) y los ejes coordenados, y la perpendicular trazada al Eje X desde el punto de tangencia.

Rpt: S = 13

50. Por los puntos extremos de una cuerda de 24 unidades de longitud,2perpendicular al eje focal de la parábola y - 12x - 8y + 52 * 0 ,

pasan dos rectas tangentes que se intersectan en un punto Q . Hallar el perímetro del triángulo formado por los extremos de la cuerda y Q.

Rpt: 24(1 +/5)251. Un triángulo equilátero Inscrito en la parábola y - 2y = 4x + 7 ,

tiene uno de sus vértices coinciaente con el vértice de la parábola. Hallar los otros dos vértices del triángulo. Rpt: (10, 1 i 4/3)

52. En la parábola y = 64x , hallar el punto Q más próximo a la

362 InVioducción al Ahól-la-gí Matemá-tcco Cap. £

recta 4* + 3y + 86 = 0 , y calcular la distancia del punto Q a esta recta. Rpt: Q*9, -24) , 10 unid.

53. Desde el punto (-1, 1) se trazan las rectas tangentes a la parábo-2

la * = - By . Hallar los puntos de tangencia.Rpt: (2, -1/2) , (-4, -2)

254. Si en la parábola (y -4) = 4p(x-2) se inscribe un triángulo e

quilátero de área 48 »'3 unid.cuad., de manera que un vértice coincide con el vértice de la parábola, hallar el valor de p .Rpt: p * 6/5

255. Hallar todos los puntos de la parábola y = 12* tales que el pie

de la perpendicular trazada del punto a la directriz, el foco y el punto misj» sean vértices de un triángulo equilátero.Rpt: (9, i 6/3)

56. Hallar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos (0, 0) y(0, 80/9) y cuyo eje focal se encuentra sobre la recta de ecuación4x - 3i/ = 0 . Rpt: 16x2 - 24xy + '3y2 - 60x - 80y = 0 , p * 1 .

57. Si P = (3, 9) y Q = (-5, 1) son los extremos del lado recto de una parábola, hallar la ecuación de la directriz, asi como las coordenadas del foco. Rpt: Oos soluciones: i/ = x + 14 , y = x - 2

58. Hallar el foco, el vértice y la ecuación vectorial de la parábolaque pasa por el origen, su directriz es la recta x + y + 1 = 0 ,y su foco se encuentra en la recta y = x .Rpt: F(l/2, 1/2) , V(0, 0) , x2 - 2xi/ + y2 - 4x - Ay - 0

59. Hallar la ecuación de la parábola que tiene por foco al punto (0, 2)y por directriz a la recta y = x - 2 . Hallar las coordenadas delvértice. Rpt: p = /2 , V(l, 1), x2 + 2xy + y2 * 4x - \Zy + 4 = 0

260. La ecuación de una parábola es y + x = 0 . Hallar la ecuación de

la recta tangente a esta parábola que sea perpendicular a la rectaL : 2x + y = 0 . Rpt: 2y = x - 1 , Pto. de tang. (-1, -1).

61. El lado recto de una parábola mide 8 unid.; su vértice es (2, 5)y la directriz es paralela al Eje X y está debajo del vértice. Hallar

2la ecuación de la parábola. Rpt: (x - 2) = 8 (y - 5)

62. En cierta parábola la distancia del vértice al foco F es 1 , P

Cap. í La Pafiábuía 363

es un punto de la parábola que dista 5 unidades del foco. Q es la proyección de P sobre la directriz, R es la intersección de la directriz con el eje focal. Calcular el área del cuadrilátero PQRF .Rpt: 14 u2

63. El cable de un puente colgante está soportado por dos torres de 15 m. de alto y situadas a 120 m. una de la otra. Si el punto más bajo del cable está a 3 m. sobre el piso del puente, hallar la longitud de una barra que está a 30 m. a la derecha del punto más bajodel cable y que va, en forma vertical, del cable al piso del puente.Rpt: *2 = 300 (/ , l = 6 m.

264. Hallar el purto de la parábola y = 2 + 5x - x en el que la in -

clinación de la recta tangente es de 45° . Rpt: (2,8)2

65. Hallar los puntos de la parábola y = x + 2x + 25 en los que lasrectas tangentes pasen por el origen. Rpt: (-5, -60), (5, -40)

266. Dada la parábola y = 20): , hallar la ecuación de la cuerda que

pasa por el punto (2, 5) y se divide en él por la mitad.Rpt: y = 2x + 1

267. Sean y = x - 8x + 21 , x = 1 , las ecuaciones de una parábola

y una recta. Hallar el área del trapecio formado por la tangente ala parábola en el punto de intersección de la recta, los ejes coordenados y la recta dada. Rpt: A = 25/2 u2

68. La directriz L de una parábola es 3x - Ay + 5 = 0 y su foco F= (6, 2). Hallar la distancia del vértice a la directriz y las coor denadas del vértice. Rrt: d [ V ; L] = 3/2 , V = (51/10, 16/5)

69. Una circunferencia tiene su centro en el foco de la parábola de ecuación y2 - 12x - 36 *= 0 y pasa por el vértice de ésta. Hallar suecuación. Rpt: x2 + y2 = 9

70. Dada la parábola y2 - 2y - 4x +J7 = 0 , hallar la ecuación de lacircunferencia cuyo centro está en el vértice de la parábola y quepasa por los puntos de intersección de la parábola con una recta per pendicular al eje de la parábola y que pasa pur el foco.

Rpt: (x - A)2 + (y - l)2 ■= 25/4

71. ¿ Cuál es el valor de k f 0 para que las coordenadas del vértice2

de la parábola x - 2kx - 2y = 0 sumen cero ? Rpt: k = 2

364 lutAuduccióu a( A n á t c i U í Matemótcco Cap. i

y2 = 10*72. Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábolade pendiente 2 . Rpt: y = Zx + (5/4)

273. Hallar las tangentes a la parábola [y + 2) = 4 (x - 1) que pasan

por (-5, -1). Rpt: x * 2y = -7 , 3y - x = 2

74. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a y~ = 16x quesean perpendiculares a 5x - 2i/ = 6 . Rpt: 2x + = -50

y = 4x + 4 y2 = 9 6x se Ínter75. Probar que las dos parábolas sectan en ángulos rectos.

76. Las rectas tangentes en los puntos P = (xj, y^) , Q = (x2, y 2) de

la parábola que

y~ = 4px se intersectan en un punto T . Demostrar

a)

b)

T = (

2 =

^ 2 v\ + y2)4p 2

el X-intercepto de PQ es: -!/1i'2/(4p) ■SUG: Hacer y = 0 en la recta que pasa por P y Q .

77. En el punto P = (r, s) de la parábola y2 = 4px , se traza larecta tangente y la normal PN . Demostrar que

a) PÍÍ = (2p. -s) , b) |FP| = | FN |el ángulo LFP es recto, donde L es la intersección de la recta tangente con la recta directriz.

FK -L LP , donde K es el Y - intercepto de la recta tangen te (haciendo x = 0).

c)

d)

sea tangente a: a) y2 = 4px

Rpt: a) XB = p , b) p = - B/ X2

79. Sean A = (-9, 3) y 8 = (-1, -5) los extremos del lado recto de u

b) x2 = 4pi/

Cap. t La PaAibola 365

na parábola. Hallar la ecuación de la parábola, su vértice V , su foco y la ecuación de la recta directriz. (Dos soluciones)

80. ¿ Para qué valor de la pendiente m , la recta y » mx + 3 estangente a la parábola y2 ■ 12* ?

‘Rpt: m ■ 1 , Punto de tangencia (3, 6)

81. í5 es la parábola cuyos vértice y foco son (1, 1) y (17/5, 21/5) respectivamente.a) Hallar los puntos de (P cuya distancia a su vértice es de 4/5

unidades.

b) Si C es la circunferencia cuyo centro es el vértice de ycuyo radio mide 6 unidades, hallar los puntos de intersecciónA y B de 9 y C .

c) Encontrar los otros vértices dtl rectángulo inscrito en C , uno de cuyos lados es Ab

82. El vértice de la parábola f* es (-3, 1) , su directriz es paralelaa la recta 3x + Ay » 6 y uno de los extremos de su lado recto es(8, -1) . Encontrar

a) la ecuación vectorial de í* -b) las coordenadas del foco y del punto de intersección del eje fo

cal con la directriz de .

c) las ecuaciones vectorial y cartesiana del eje focal y de la directriz de ‘P .

d) las coordenadas del otro extremo del lado recto.

83. es la parábola cuyo foco es (7, 8) y la Intersección del ejefocal con la directriz de *P es (-1, 2) ,

a) encontrar las ecuaciones vectorial y cartesiana de la recta tangente a la parábola, en el punto P0 cuya ordenada es 16 y cuya abscisa es menor de 10 .

b) ¿ en qué punto corta a la directriz de la parábola, la recta tangente en PQ ?

c) ¿ cuál es la longitud de la cuerda focal contenida en la rectaque forma un ángulo de 45° con el eje focal ?

84. Los extremos del lado recto de una parábola *1 son (-9, 12) y

366 InViodacción ai Ati¿}¿ó£j MaíemóXtcu Cap. t

(7, 0), y las componentes del vector VF (V: vértice, F: foco) son positivas. Encontrar las ecuaciones vectoriales de la parábola P y de su directriz L .

85. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es V = (-2, -3) y un extremo del lado recto es B = (-2,7). Hallar además el foco y la e- cuación vectorial de la recta directriz.

86. Trazar el gráfico de (|i/-2| + l)2 = -8( |x| — 4)

87. Sea la parábola 'p : x2 - 6* + Sy - 11 = 0 . N es una recta normal a en el punto (-2, -1). Hallar la ecuación de otra parábola (Pj cuyo eje es N y que pasa por el foco de P y por el punto de intersección de los ejes focales de y .

88. F = (9, 8) es el foco de una parábola *P , Q = (11, 22) e 1 y— _

Cp q X FQ = 10 , siendo ü el vector direccional del eje tocal con

ambas componentes positivas. Si la recta Lj tangente a !P en Qintersecta al eje focal en el punto A tal que d[A ; Q] *= 10/17,hallar la ecuación de (P - (El vector ü es unitario)

89. Sea la parábola : y2 = 4px , p > 0. Sea R un punto en elprimer cuadrante que pertenece a . La tangente a en el punto R corta al eje focal en Q = (-20,0) y la normal a !p en R corta al eje focal en el punto S tal que | RS | = 10/5 . Hallar

a) la ecuación de !P , b) la recta tangente en R .

90. Sea P una parábola con vértice V = (4, -12) y sea la recta T :PQ + tX 1,2) , tangente a . Si una recta L que pasa por V y es perpendicular al eje focal se intersecta con T en (-2, -4) , hallar la ecuación de (P .

91. Dada la parábola (x - 3)2 = Y¿(y - 2) encontrar la ecuación de larecta tangente de la forma y = (l/2)x + b .

92. Una parábola cuyo vértice está en el Eje Y, y su eje focal está contenido en la recta y = 3x + 4 , pasa por el punto P = (2, 20) ,hallar la ecuación de la parábola y de su recta directriz D.

93. Al realizarse una transformación de coordenadas, el eje de una parábola *P resulta orientado según el vector (3,4). En X’Y1 el punto Q‘ = (20, -20)’ pertenece a íP y en el sistema XY es el pun-

Cap. t La PaAÍbvta 367

to E = (11, 5). Determinar en el sistema XY un punto R de la pará bola tal que el triángulo QVR sea rectángulo en V , vértice de la parábola.

2 294. La circunferencia C: (*-3) ♦ (y - 8) =25 es tangente a una parábola P en PQ = (xQ, y0) , yD > 7 . La recta L : 4* - 3y + 12= 0 es normal a í3 y C en PQ y corta al eje focal de *P en el

punto R (foco de *P ). Si | C0P0 | » | P0F. | y si la distanciad[ Po 1 Eje Focal ] * 4 , hallar la ecuación de la parábola í* .CD es el centro de la circunferencia, y la abscisa del vértice es me ñor que 6 .

95. Los puntos A = (60, 13) y B * (-4, 61) pertenecen a una parábola *P y son simétricos respecto al eje focal. Desde un punto Q , que se encuentra sobre el eje focal con abscisa - 20 , se traza una recta tangente a P que pasa por B . Hallar : a) La ecuación de ,

b ) Las ecuaciones de las rectas tangentes trazadas desde Q .

CLAVE i)E RESPUESTAS

2. a) (* - 2)2 - -32(1/ - 5) , b) (y - 2)2 = 8(x •- 5)c) U - 7)2 = -14(f/ - \ ) . d) (y * l)2 - 2B(x - 5)e) (* - 2)2 = 8(y - 6) , f) («/ - l)2 = 16 íx - 3)

79. y'2 = 8/2x' ,, F = (-5, -1) , a) G = (1, l)//2 , V * (-7,-3) ,

P * 2/2 , b) ú = (-1, -l)//2 . V = (-3, 1)

80. m * 1 , en (3, 6) punto de tangencia.

81. P c 4 , 5 = (3, 4)/5 , V = (1, 1) , a) (-3, 9), (49/5, -3/5) ,

b) A , B = ( [ 11 + 16/2 ]/5 , [ 13 t 12/2 ]/5 )

c) (-2, 4/2 )■ , (-2, -4/2 )'

32. V = (-3,1), ü = (3, 4)/5 , a) y '2 = 20x' , p = 5 ,b) F » (0, 5) ,, (-6, -3)1, c) 4x - 3y = -15 , 3x + 4t/ « -30 ,d) (-8, 11)

83. V = (3,5), ü = (4,3)/5, p « 5, a) y’ « x’ + 5 , b) (-1. 2) .c) 40 .

84. F = (-1. 6) , p = 5 , ü = (3, 4)/5 , V = (-4,2) , y ' 2 - 20x' ,L : (-7, -2) + t( — 4 , 3) , t e R

36E lnViodui.C4.0n al Anátuii UaXmSZico Cap. t

85. p2 + 4p2 = | VB | - kOO = > p = 2/5 , y*2 = 8/5*'

Ira. SOLUCION: VB » (0, 10) - pü - 2püX - Uj(2/5. -4/5) ♦ u2(4/5,, 2/5) = > ü = (-2.1J//5 , F - V + pü « (-6, -1) ,D: (2, -5) ♦ t(l, 2)

2da. SOLUCION: VB = (0, 10) - pü ♦ 2püX ==> ü - (2,l)//5 .F * (2, -1), D: (-6,-5) ♦ tt-1. 2)

87. V = (3, -7/2), ü - (-2. l)//5 , y '2 - 5/5*’

88. Si H es el pie de la perpendicular que va de Q al eje focal :|FH| « 10 , p - 10 , (2, 14) = 10Ü + 10üX = > ü - (4, 3)/5 ,V * F - 10Ü « (1,2) , y '2 * 40x’ , (x, y) = V + x’ü + y'uX

89. y2 ■ 20*. Q ” (1,0), V • (0,0), LT : (-20, 0) + t(2. 1)

90. ü = (4, 3)/5 , V - (4, -12) , (-12, -24) e T n L , p - 5

91. A * 0 , b - - 1/4

92. G - (1. 3)//Ü0 , V ■ (0, 4), P - (2, 20) = (5/10, /To)1 en

y '2 • 4px' , p - /10/20 , D: V - pü + t(-3, 1)

93. ü - (3, 4)/5 , y '2 - 4px’ . V - (h, k) = > p - 5 => V - (8, 1),

Q - (36, 5) , R - V ♦ sVQX , R - (8, 1) + t (-1. 7) e 9

R1 - (5t, 5t)1 e = > t - 4 = > R - (4, 29)

94. Pc - (3,8) + (3.4) - (6,12), Foco - R - (6.12) ♦ (3. 4) - (9, 16)

P0R * (3, 4) ■ 4v - 3 » X , v unitario = > v - (0, 1) = »

Q - PQ + 4v *= (6, 16) e Eje Focal , ü // QR => ü ■ (1, 0),

Recta Directriz L * ” 1 = » V - (5, 16) ==► p = 4

= > y'2 = 16*'

95 Q = (-20, -27) , Ü - (3, 4)/5 , H - (28, 37) - (A ♦ B)/2 ,

V » (4. 5) . B' - (40. 40)' = > p - 10 ,

LTi : -2y’ - *' + 40 , Lt2 : 2y' = *' ♦ 40 ,

x’ * [(*. y) - V ] ■ ü , y' - [(*, y) - V ] • u X .

Cap. S La E¿¿pie 369

3. LA ELIPSE . ECUACION D E LA ELIPSE

Oados dos puntos fijos Fj y F2 llamados FOCOS ,

(Fi f F2) separados por una distancia 2c , y dada una constante a tal

que a > c > 0 , se define LA ELIPSE £ como eJL conjunto de to - doi aqueXJLot punta P tatú que

la. Suma de ¿cu. V¿itaneUai de P a to¿ Focoi Fj y F2 u cvni

tante y ¿¿ejnpxe ¿guat a 2a .

Es decir, tales que ’

d [ P ; F 1] + rf[P; F2] = 2a

o en forma equivalente, tales que

j I P - FJ ♦ I P - F2 | = IT"

REPRESENTACION GRAFICA DE UNA ELIPSt

Y< \i

0 X

370 InViüduccÁÉn al Anít¿i¿i Matemàtico Cap. S

Pu n t o s y Se g m e n t o s Ca r a c t e r í s t i c o s

CENTRO DE LA ELIPSE ; X’VERTICES ; Fj, F2

EJE MAYOR ; RR

EJE MENOR (de longitud 2b)

C = (h, k) V V2

V 1V 2

BlB2

EJE FOC/ FOCOS

LADO RECTO

En el Sistema X'Y' Bj - (O, b)1 , B2 = (O, -b)1

Ft = (-c, 0)’ , F2 = (c. O)1 , C = (O, 0)’

3.1 RECTAS DIRECTRICES

Dos rectas Lt y L2 se llaman RECTAS DIRECTRI -

CES de la elipse £ , correspondientes a los focos Fj y F2 respecti

vamente, si es que son perpendiculares al Eje Focal de £ y no cortan al segmento FjT¿ , y si es que existe una constante e (llamada EXCENTR1

CIDAD de la elipse) tal qLe pana todo punto P e % se tiene que:

di P ; F J

d[ P ; L j

di P ; F2 ]

P ; l2 ]

PROBLEMA. Demostrar que en toda el ipse

a) d [ Bj ; F j ] = rf [ B! ; F 2 ] = a

di B2 ; F j ] - d i B2 ; f 2 ] = a

b) di Vj ; C ] = dL V2> c ] = a

c) rf[ C La ] = d i C ; l2 ] = a/e

d) Denotando c = dii. ; F J = d [ (

e) a > b y I*2= b2 ♦ c2

c * ae

f) La excentricidad e satisface que 0 < e < 1 , empleandolas definiciones previas y la gráfica anterior.

Cap. S La ILtpií 371

So l u c i ó n . a) Co(no ¿ [ b,; fl] - / b 2 + c2 ■ d[B, -, f¿ ] ,

y Bj e 5 , entonces d [ Bj ; Ft ] + d [ Bt J = 2a

= » 2 d [ B 1 ; F 1] = 2a

‘=5' ¿[Bj ; Fj ] = a = d[Bj ; F2 ] , y análogamerte para B2.

b) Como Vt e £ , entonces d[ Vj ; F2 ] + d[Vj ; Ft] = 2a

d [ ; F2 ] - d[Vt ; Ft] = 2c

= :,' d[ Vj ; Fj ] = a - c .

y de d[Vt ; C] = dLVt ; F J + d[ Ft ; C ] = (a - c) + c ,

= > d[Vj ; C] = a . Análogamente para el vértice V2 .

c) Como d[C ; Lj ] = d[ 6 ; ] y B t 'Er , entonces

d[ B 1 F, ]---------- = e = > ----------- e , de donde resuld[B ; L j d [ B ; Lj ]

taque d[B;Lj] = (a/e) ==> d [ C ; L t] = (a/e ).

Análogamente, para L2 se prueba que : d[C ; L2 ] = (a/e)-

Por lo tanto, d [ C ; Lj ] ■ c [ C ; L2 ] = (a/e) •

d) Puesto que d t V ^ F j— ------ = e , pues V, e ^ , y comod [ Vj ; Lj ]

dtVj-.Fj] = (a-c) , d [ Vj ; Lj ] = ( d t C i L j J - a ,

entoncesa - c

(a/e) - a

Además, siendo c = dLC;Fj] = d [ C ; F 2 ] :

d [ C ; Ft ] = d [ C ; F 2 ] = c = ae

e) Como d [ Bj ; F2 ] = d [ (O, b)'; (c, D)'] = / b 2 + c2 . y

Í 2 2 2 1 a = b + c I

y por lo tanto a » b > O .

372 IntJwducción al Aniti&íi UaXemítíco Cap. 8

f) De (d) : O < e {= c/a) < 1 , pues a > c > O por definición de la elipse.

Ve u te problema &e puede coruideAOA la &í

guíente gráfica pana e¿ec£o de cálculo¿ y de AeiolucÁJin de pAoblemai Ae{e

aentei a longitudes y diitancíai en etípiei, y que Aeiulta muy útil y (,&-

cu de memoAÍzaA.

3.3 ECUACION GENERAL DE LA ELIPSE

a) Primer Método. Dado p = (x, y) = c + x'ü +

P - F 2 » C - F 2 + x ,ü+f/'¡¡J' = (cü) + x'ü + y' ü X *=t>

| P - F2 | = | (x' + c)¡¡ + y ' i | = / (x' + c)2 + y '2 ... (a)

P - F! = C - Fj + x’ü + y ' i X = (-cú) + x'ü + y ' i X

| P - Ft | = | (*’ - c)ü + «/’SX | = / (x’ - c)2 + y’2 ... (B)

Reemplazando (a) y (B) en la definición [pSg. 369] :

Cap. { La E¿tp¿e 373

| P - Fj | + |P - F21 “ 2a , es decir

J (*' - c)2 + y '2 + / (x' + c)2 + y'2 « 2 a , y operando :

(a2 - c2)x'2 + a2«/’2 - a2(a2 - c2) = > b V 2 ♦ a2«,*2 = a2b2

[pues a2 = b2 + c2 ] =*• (*,2/a2) + (!/,2/b2) - 1 .

Luego, un punto P ■ (x, y) ptAXenece. a ta eZipAí íj. si es que para el vector unitario ü de rotación de Ejes Coordenados , se tiene que

.2 ,2P = C + x'ü + «/’ ü J' , donde * y _ ,

2 * . 2 " *a bcon |ü | « 1

que es llamada la ECUACION VECTORIAL DE LA ELIPSE , y donde

*'■[(*. tf) - C ]• ü . y' = [ (x, y) - C ]. ¡¡X

De la figura previa vemos que si C = (h, k) es el centro de 'íf y si P' (*. y) » entonces

V = C i aü .. VERTICES ; B - C í büX .. FXTREMOS DEL EJE MENOR

F = C i c¡¡ ..FOCOS ; L : x* « i (a/e) ... DIRECTRICES ,

y donde x’ » (P - C) • ü , P ■ (x, y\ .

b) Segundo Método. Como ^ todo P de £ :

di P; F2 ]----------- = e . . . ( a )

di P ; L2]

dlP -, F2] = | P - F2| - / (x1 + c)2 + y '2

di P ; L2 ] = | x’ + (a/e) | . Asi, de (a) y de c = ae

(d[P; F2])2 = e2 (d[P ; L2])2 = »

(x* + c)2 + y’2 = e2 [x' + (a/e) ]2 . Y desarrollando obtenemos:

374 UtfAoducci "n al AnáLii-ii MatanlUiCO Cap. S

3.4 ECUACION DE LA ELIPSE CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE X

Corresponde al vector ü = Z = (1,D) [No hay Rotación] y si C - (h, k) es el Centro de la elipse , que origina el radio - vector de Traslación de Ejes, entonces

x' = x - h y ’ = y - k

que al reemplazar en (*) produce la ecuación

(« - h)2 + (y - k)2 =

de la elipse con EJE FOCAL PARALELO AL EJE X.

C = (h, k) .. CENTROV = (h i a , k) .. VERTICES F = (h í c , k) .. FOCOS

B = (h, k i b) .. EXTREMOS DE BtB2 L: x = h i (a/e) .. DIRECTRICES.

3.5 ECUACION DE LA ELIPSE CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y

{y - k)2 + (x - h)2= 1

Corresponde a ü = (0, 1) [Rotación de 90° ] , y si C = (h, k) es el Centro, que origina el radio vector de Traslación de los Ejes Coordenados, entonc?s

x' = (x-h, i/ - k) • üy’ * (x-h, y - k) - ü J_

de donde x‘ = («/ — k)y' = -(x-h)

que al reemplazar en (*) :

V = (h, k i a), F = (h, k i c)

B = (h í b, k), L: y = k i (a/e)

Cap. S L a E t i f i e 375

3.6 PROBLEMA. Dada la elipse U + 3) + [y - H)1

16 251

So l u c i ó n .

encontrar el Centro, los Focos, los Vértices, la Excen tricidad, las directrices y los extremos del Eje Menor.

Centro C(h, k) * (-3, 4)La ec. es de la forma [3.5]:

(y - 4)z (x + 3)25 16

1

correspondiente a una elipse con el EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y , donde

a = 5,.2 _

25

b

16

2 .c~ * a - b =5* c * 3 ,

Y la excentricidad e :

e * c/a « 3/5 .

Vértices: Vj = (-3, 4-5) - (-3, -1),

Focos: Fj = (-3, 4 - 3) = (-3, 1) ,Eje Menor: Bj = (-3-4, 4) = (-7, 4) ,

4,2

V2 = (-3, 4 + 5) = (-3, 9)F2 = (-3, 4 + 3) = (-3, 7)B, - (-3 + 4, 4) = (1,4).

Directrices: y - k - (a/e) = 4 - (25/3)

y « k + (a/e) ■ 4 + (25/3)-1 ■ -13/3

37/3

3.7 PROBLEMA. Identificar la gráfica de las ecuaciones

a) 144x2 + 169y2 - 288x + 676y - 33516 ■= 0

b) 25x2 + 16y2 + lOOx - 96y - 156 = 0

So l u c i ó n . Completando cuadrados en ambos casos

a) [(* - 1)2/169 ] + [(«/ + 2}2/144] ■ 1 , que corresponde a una e-lipse con Centro en C = (1, -2) y con eJL Eje focal pa/ialelo al E-

je X. Ademas, a2 * 169 , b2 ■= 144 a = 13 , b = 12

b) [{x + 2)2/16 ] + [(y - 3)2/25] = 1 , que corresponde a una elip-

376 InVioduccA.6n al Análliti Matemàtico Cap. t

se con Centro en C » (-2, 3) y con el Eje Focal panatelo al Eje Y.Además, = 25 , b = 16 a = 5 , b = 4 .

3.8 PROBLEMA. Hallar la ecuación del lugar geométrico de aquellos puntos P(x, y) cuya distancia al punto (2, 5) es cuatro quintos de la distancia a la recta y = 29/4 . Identificar la cónica y hallar su centro, focos y directrices.

So l u c i ó n . Como d[ P ; (2, 5)] 5 d [ P ; L] donde

L: y = 29/4 , la ecuación corresponde a una elip

se con excentricidad e = 4/5 y donde un foco será F « (2, 5) , y la d.i/iect'u.z conAe¿pond¿ente L : y = 29/4 ; por lo tanto, tiene el ejefocal paralelo al Eje Y. De la ecuación inicial se deduce que

. „.2 . _»2 16 i 29 ,2(* ■ 2) + (y-5r - — [y - — ) (*-2r + [ y - ir25

a2 = 25 , b2 = 9 , c2

C = (2, 1) , Focos Fj

Directrices L1 •

L2 :

a - ==» a « 5 , b = 3 , c = 4,

(2, 1 - c) = (2, -3)2 - (2. 1 + c) - 12, 5)

k - (a/e) = 1 - (25/4) - -21/4

y = k + (a/e) = 1 + (25/4) = 29/4 (DIREC. ORIGINAL]

3.9 PROBLEMA. Hallar la ecuación de la elipse cuya suma de las distancias de cualquiera de sus puntos a los puntos fi - jos (-4, -5) y (6, -5) es igual a 16 .

So l u c i ó n .

A) PRIMER Método. Sea P = (x, y). Mediante la ecuación

dtPjFj] + d[P ; F2 ] ■= 16 , donde

Ft = (-4, -5), F2 = (6, -5). obtenemos ^ _ ^ 2 j + 5)2

64 39= 1

B) Se g u n d o Mé t o d o . Por los datos se reconoce que el eje focal es paralelo al Eje X , y como por hipótesis tenemos

Cap. i La E tífjie. 377

d[ P ; Ft] + di P ; F2 ] - 16

entonces 2a - 16 , a * 8 ,

2c = | F2 - FT| = 10

= » c = 5 . b2 - a2 - c2

b « /39 ,

C = (Fj + F2)/2 = (1. -5)

Asi, la ecuación de la elipseresulta por lo tanto:

(* - l)2 . (y + 5)2 ,------ + ------ - 1 .

64 39

3.10 PROBLEMA. Demostrar que, para toda elipse, la longitud de suo

lado recto es Igual a: (2b /a) .

S&LUCIÓN. Sea L la directriz correspondiente al foco F.La longitud del lado recto es 2h . Y como c ■ ae

di Pc ; F] _ h

d[ P0 1 L ] ^ - (ae)

h « a - (ae )

= (a2 - a2e2)/a

= (a2 - c2)/a

b2/a

Por lo tanto, la longitud del lado recto resulta ser 2h , 2b2/a .

3.11 CASO PARTICULAR: EL CENTRO C EN EL ORIGEN

Cuando el centro C(h, k) de una elipse se encuentra en

el origen (0,0), c = k) » (o, o) = * h = 0, k = 0,

entonces las ecuaciones de las elipses con ejes focales paralelos al Eje X

378 hitAuducctón a í Aná£t¿-t¿ Matv/nAtíCu Cap. t

y di Eje V: , (* - h)2 . (y - k)2 ,a) 5— + --- y - = 1

tl (y - k)2 . (* - h)2 ,D) --- 2— --- 2— = ’ respectivamente ,

toman la formas siguientes.

a ) ELIPSE CON EL EJE X COMO EJE FOCAL

b ) ELIPSE CON EL EJE Y COMO EJE FOCAl

y2 *2+ i? = 1 Ó D

Cap. S La UUpte 379

Dada la elipse (x2/25) + ly2/9) - 1 , encontrar el Centro, los l-ocos, los Vértices y las ecuaciones de las rectas Directrices.

2Como el denominador del término en x es 25 , ma

2yor que el denominador del término en y , entonces la ecuación tiene laforma [3.11(a')3 > por lo cual representa a una Elipse con el Centro en

3.12 PROBLEMA.

So l u c i ó n .

el Origen C .2

(h, k) ■ (0, 0)t2 _ n

y tiene al EJE X como Ej e FOCAL .

Además, a « 25 ,2 2 2c - a - b , lo que implica

a * 5 , b ” 3 y c = 4 .

De la fórmula c = ae , te

nemos que: e = 4/5 ,y asi

VERTICES: Vj = (-a, 0)= (-5. 0)

V2 = (a, 0)= (5, 0)

FOCOS: (-c, 0) - (-4,0) F2 - (C, 0) - (4, 0)rl

DIRECTRICES:(4/5)

25

4

x = -25/4

x = 25/4

3.13 PROBLEMA. Los focos de las elipses : (x2/25) + (y2/9) = 1y ¡ f " : (x2/16) + [y2/ZS) = 1 , están unidos en -tre si por unas rectas, y en el rombo formado de este modo hay inscrita una circunferencia. Hallar la e cuación de esta circunferencia.

So l u c i ó n .

ELIPSE V : aj = 5, bj = 3. ct = /aj - b2 = 4 , Eje Focal = EJE X

FOCOS: (i c, 0) = > F[ = (-4, 0) y F¿ = (4, 0)

ELIPSE E," : a2 = 5, b2 = 4, c2 = /a| - = 3 , Eje Focal = EJE Y

FOCOS: (0, í c) = > F¡ = (0, -3) y F" = (0. 3)

380 InVuiducctón ai AníLL&¿& UatemUtico Cap. t

Consideremos la recta L que pasa por los Focos F'(4, 0) y F"(0, 3) , correspondientes a las elipses y £ " respectivamente. La Ecuación(Simétrica) de la recta L viene a ser

L : 3* + 4«/ - 12 « 0

Por la simetría del rombo (formado por los cuatro focos) con respecto al Origen de coordenadas, vemos que la circunferencia buscada es tangente a la recta L y tiene su CENTRO en el Origen C(h, k) = (0, 0).

Solamente falta hallar el valor de su radio r ; pero, precisa mente este valor de r coincide con la distancia de ¿a m e

ta L : 3* + 4i/ - 12 = 0

al Origen (0, 0) . Asi,

r = d [ L ; (0,0) ]

| 3(0) + 4(0) - i; i

/ a2 + 32

r = (1^/5) . Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia buscada

eF‘ *2 + y2 = (12/5)2 .

3.14 PROBLEMA. Bosquejar la elipse cuyos vértices son (1, 4) y (9,, 10), con la longitud del semieje menor igual a 2 .Hallar el Centro, los Focos, los extremos del Eje menor, las directrices y la ecuación de la elipse en XY.

SOLUCION. DAT0S. = (lt4)f v2 - (9, 10), b = 2 . El cen

tro C = (Vj + V2)/2 - (5, 7) , 2a = | V2 - V,| = | (8, 6) | = 10

a = 5 . Luego, c2 = a2 - b2 ■ 21 ==■ c = /~2Í * 4.5

= » la excentricidad e = /2Í/5 . (Ver la grSfica en la pSg. sig.)

El vector unitario ü en la dirección del semieje positivo de X' es:

ü ■ (V2 - Vj)/ | V2 - V j = (4, 3)/5 = (4/5. 3/5)

El Centro C = (5, 7) corresponderá al vector de traslación de Ejes ;

Cap. i La E lx.pt t 381

Luego, en el Sistema X'Y', obtenemos la ecuación

(*)

donde x' = [{*. y) - C ]• ü (4* + 3y - 41)/5

y' - [ ( « . y) - c J . ÜX = (41/ - 3* - 13) / 5 .

que al reemplazar en (*) resulta la ecuación de la elipse, en XY :

[(4* + 2y - 41)2/ 625 ] + [(4«/ - 3* - 13)2/ 100 ] = 1

De la gráfica ubicamos

= (31/5, 27/5)

Lx : x' = -a/e = -25//2Í ==> (4* + 2y - 41)/5 = -25//2Í

L2 : x* = a/e = 2 5 // H ==> (4x + 2y - 41)/5 = 25 // H .

3.15 PROBLEMA. Uno de los focos de la elipse es F = (2, 3) yla directriz correspondiente es L : x + y = 1 .Si la excentricidad es e = 1/2 , hallar la ecuación de 5- » los vértices, el otro foco F' y su directriz L', los extremos de los lados rectos N, M y R, S, y los extremos dtl Eje menor Bj y B2 •

Fj = C - cu

= (5 - ^ /2l, 7 - | /2l)

F2 = C + cü

SOLUCION. Para P(x, y), ( d [ P ; F ] / d [ P ; L ] ) = 1/2 ,

ItUKuduccíón at Anát-iiii Matemático Cap. i

= > d [ P ; F ] = (1/2) d[P; L] , entonces la ecuación de ^ es:

- i ■ 1 « •_» - 1 12 / 2

=*• 7x2 + 7¡/2 - 2xy - 30x - 46y + 103 = 0

El eje X' está sobre la recta L0 donde L0 _LL: x + ¡/=l , ydonde además L0 pasa por el foco F = (2, 3). Luego, L0 : x - y = -1,

ü = (1, l)//2 , y como

/ 2

= |r|/2 = r/2 . De estas dos ecuaciones: r = B/3 y

a = 4/2/3 =*> C = (8/3, 11/3), c = ae = 2/2/3 ,

b2 = a2 - c2 = 8/3 =s» b = 2/2/Z3

La directriz L‘ tiene vector normal ñ = (1, 1) y pasa por el punto

Q = C + (a/e) ü = > Q = (16/3, 19/3), L1 : x + y = 35/3 ,

F' = C + cü = (10/3, 13/3), V, = C - aü = (4/3, 7/3) ,

V2 = C + aü = (4, 5) . Como b2/a = (B/3)/(4/2/3) = /2 = >

N = F + ( b 2/a)GX = (1,4) , M = F - (b2/a) ü X = (3,2)

S = F' + (b2/a)üX = (7/3, 16/3), R = F' - (b2/a)üX = (13/3, 10/3)

Bj = C + b u X = ([8 - (2/3)]/3 , [11 + (2/3)]/3 )

B2 = C - büX = ( [B + (2/3 ) ]/3 , [ 11 - (2/3 ) ]/3 ) .

Cap. S La í Li.pt, i 383

3.16 PROBLEMA. (UNI) Sea 5 la elipse cuyo centro es C » (0, -3),uno de sus vértices es Vj ■ (24, 4) y sus lados rectos miden 3.92 unidades. Hallar:

a) La longitud del eje mayor y el otro vértice V2 .b) los focos Fj , F2 , c) los extremos del eje menor 81B2 ,d) la ecuación vectorial de la elipse ,e) la ecuación vectorial de la recta L que contiene al diámetro

de &,uno de cuyos extremos es el extremo superior del lado recto derecho.

So l u c i ó n .

cTi = Vx - C = (24, 7)

I CVÍI " 1(24, 7) I ■ 25

ü - cv^/lüTjl

» (24/25, 7/25) .

a) 2a * d[ Vt; V2 ]

- 2d[C ; VX ]

- 2 | CVÍ| = 50

=*■ a = 25

El otro vértice es V C - aü = (-24, -10)

b) Como la longitud del lado recto es

b2 = 1.96a = (1 96)(25 ) = *

2b2/a

/a2 - b2 = / 252 - 72

F1 = C + aü

F, » C - cü

24 .

(576/25, 93/25)

(-576/25, -243/25)

3.92 , entonces

(1*4)(5) - 7

Luego, los focos resultan

c) Los extremos del Eje Menor son = C + bu"

B2 = C - bü "

= (-49/25, 93/25)

= (49/25, -243/25)

d) La ecuación vectorial de la elipse resulta■±

K

625

(x, y) = C + x’ü + y'ii , donde C “ (0, -3) ,

ü = (24, 7)/25 .'2 f/'2+ — = 1 49

e) El punto D resulta D = Fj + (b2/a)üX = (14057, 35Dl)/625

384 I ntAuduccíün ai AnáLiiii Matemático Cap. S

y el vector direccional de L: CD = D - C = (14057, 5376)/625

y asi, L : P ‘ (x. y) ~ (0, -3) + t(14057, 5376) , t e R

3.17 PROBLxjV . Una elipse tiene un vértice » (7,9), el fo

co del otro vértice en F2 = (1, 3) y una de sus directrices pasa por (8, 16). Hallar la ecuación vec torial de la elipse, de la otra directriz L2 , el foco Fi y el vértice V2 .

So l u c i ó n .

Un vector paralelo al eje fo

cal es F2Vj - V| - F2 “ (6, 6)

Tomando el vector unitario

ü • (1, l)//2 , tenemos

que la directriz que pasa por (8. 16) y es _L al eje focal tiene ecuación Lj :

CU. y ) - (B. 16)] ■ (1, 1) - 0 = > L¿ : x ♦ y - 24 = 0

Ad(*in&s, de la figura,

1) d[ C ; Lt] - d[C ; -

(QVc) - a 4/2 (1)

(2)

(a/e) - a - 4 /2 =

2) a + c - d[ V! ; F2] - |(6, 6) | - 6/2

De (1) y (2): a2 - /2 a - 24 - 0 = ► a - 4/2 , c - 2 /2 ,y por lo tanto, b * 2/6 .

Asi, C ■ F2 ♦ cú = (3, 5) . Luego, la ec. vect. de la elipse es :

P * (*. y) ~ C + x' ü + y ' «■*" ,

donde C - (3,5), ü = (1,

La otra directriz L2 tiene ecuación vectorial: P

x'2 y'2— + i- = 1 32 24

2 '

Además,

P ■ (*. y ) ■ (“5, -3) + t(-l. 1) , t e R .

C + cu = (5, 7) , V, - C - au * (-1, 1) .

Cap. i La Etí¡ i<¿ 385

3.18 PROBLEMA.(UNI) Dos circunferencias i y i cuyos diámetros miden 10 unidades, son tangentes exterio

res en F0 . La ecuación de la recta tangente a ambas en F0 es L : 3x + 4¡/ = 30. Sea ^ la elipse cuyo centro es F0 , uno de cuyos focos es el centro de y uno de cuyos vértices es el otro extremo del diámetro de *¿2 . Si (1, 7) e * encontrar las e cuaciones vectoriales de ^ y de sus directrices, sabiendo que la abscisa del centro de 2 es > 4 y que su ordenada es positiva.

Solución. y -¿2

tendrán radio 5 . Sea /

~¿2 - (*-h)2 + [y- k)2 - 25 ,siendo (1, 7) e ^ 2, entonces

A) 5 ■ d[(h, k) ; L ]

| 3h + 4k - 30 |

B) (1-h)2 + (7-k)2 25

De (A) y (B) resulta que:

h = 5 , ó h = 69/25 < 4 . Luego, h = 5 , lo que implica

que k ■ 10 y que el centro de ^ 2 es 2 = (5, 10) . Además, to

mando el vector u = (3, 4)/5,

F2 - rü = (2, 6) ,

2r - 10

F9 - Fn = r = 5

/a2 - c2 = 5/3b = / a' - c*

La ec. vect. de ^ es :

U, y) = F„ + x’ü + y’ i 1- ,

x100

,2i ' . , 75

donde

F0 = (2,6) , ü = (3, 4)/5

Y como la excentricidad es

L’ : P = (x, y) = F0 i (a/e)ü + -tú

e = c/a = 1/2 - ±

las Directrices serán:

t e R , es decir,

3BC hit inducción at AnitUii UaXi niLir Cap. S

Li : (*, y) = (2, 6) ♦ 4(3. 4) ♦ *(-4. 3) , t e R

: (x. y) = (2. 6) - 4(3. 4) ♦ t(- 4. 3) . t e R .

3.19 EJERCICIO. Hallar la ecuación de las rectas tangentes a la elipse 2 2

— ♦ — ■ 1 . -• (*)9 4

trazadas desde el punto P0 * (5, 0).

So l u c i ó n .

Sea L-p y - 0 ■ m(x - 5)

la ecuación genérica de la recta tangente que pasa por el punto P„ = (5, 0).

Sustituimos y en (*) :

m i x - r» ii

xr m2(x - 5)2

Operando y agrupando términos semejantes obtenemosI. ^ n - 2 . 2 „ „ _ 2 „ « i o o c _ 2

Aplicamos la CONDICION DE TANGENCIA : DISCRIMINANTE = 0

b - 4ac

las dos tangentes son

8100 m* - 4(4 ♦ 9m2)(225m2 - 36) - 0

4m - 1 * 0

*-T2 : y

1/2 • Asi.

3.20 PROPIFDADFS DE LAS RECTAS TANGENTES A UNA ELIPSE

Consideremos la elipse con ecuación2 2 x y

— + — . i, 2 h2d D

ne la forma

(a > b > 0), entonces la ecuación de la recta Lj tangente a la elipse en el pun to de contacto P0 = (x0, ya) tie

m yoy

a2 b2(Ver el Cap.[6] )

Cap. t La EItpie 387

De esta ecuación se sigue que un vector dJreccional de Lj es (a yD ,2 2 2 , -b x0) , y que por ser paralelo a {-yD/b , x0/a ) nos permite ele

gir como un vector normalde Lj al vector

c « ( — ^ )

a2 ’ b2

Si además consideramos los vectores focales a y b, probaremos que los ángulos a y B , formados por la recta normal Lfj con los vectores focales i y B respectivamente, son iguales, para lo cual tenemos

eos a

PF2 - (-C - xD , -yQ]

a • c

eos 6b • c

|b||E|

k - (c “ x0 y - y0 ) i

(. . 4 - 4 ) / í le I A c + *0 )2 + y¡ ]

" ( “T + l)/[|c|/(c + x0)2 ♦ i,1 ]

( £ £ . i¡ . % ) / [ | E | / ( c - x 0)2 + y20 ]

(1 - ) / C IE | /(c - x0)2 + y2 ] .

debido a que (x2/a2) + [y2/b 2) = 1 . Además,

(c + x j 2 + y2 = a2 - b2 + 2cx0 + x2 + y2 - (b2x2/a2)2 C 2a + 2cx0 + x0

[a + (cx0/a)]2 = (a2 ♦ cx0)2/a2 ,

a2 + 2cx0 + [ 1 - (b2/a2)] x2

x0)2 + «/o = (a2 - cx„)2/a2 análogamente . Luego ,

388 InUiuducCíón al Anóti&¿& UaXejnítíCO Cap.S

cosB = -(í-liÍ2,/[(i_LfÍ2,|c| ] = - ■=> I a = B Ia a a | c | *------- 1

ESTA PROPIEDAD RESULTA INDEPENDIENTE DE LA POSICION DE LA ELIP

SE EN EL PLANO. Y LA RESUMIMOS EN EL SIGUIENTE TEOREMA.

3.21 TEOREMA. La >lzcXa nonnaZ a una eJLLp&e en caatq^^A punto de cca

tacto ej¡ BISECTRIZ deJL ángulo ¿ofuiado pon. loé VccXo-

nej, focaZ¿i {RacLio-Ve.ctcn.eA) de dicho punto.

El siguiente teorema es una consecuencia directa de la forma ge neral de la ecuación de la recta tangente en su punto de contacto, a la gráfica de la ecuación general Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 .

3.22 TEOREMA. Dadas las elipses cuyas ecuaciones son

„ Íí-A>2 = !. H) ± 1 » 2 - , .a¿ b2 a b‘

las ecuaciones de las rectas tangentes en ur. punto de contacto P0 = (jí0 ,

, yo) tienen la forma:

. . . (*o-h)(*-h) (tfo - k)(*/ “ k)2 , 2a b

.... (tfo - k)(y - k) (xc -h)(x-h)11 ‘) — ----- ----- + -------=----- = 1 , respectivamente.a2 b2

3.23 PROBLEMA. Demostrar que el PRODUCTO de las dos distancies perpendiculares trazadas desde los focos hacia cual quier recta tangente de una elipse, es una comían

te , independiente del punto de contacto.

So l u c i ó n .Se desea probar que (d¿ x d2) es independiente de

las coordenadas del punto de contacto, digamos PD = (r, s) de la elipse.

La ecuación de la recta tangente Lt a la elipse ae la figura, de ecua -

Ci6n (x2/a2) + (*/2/b2) = 1 . según el TEOREMA 13.22(1’)], en

Cap. g La Etipie 389

r2 s2 r2 1 r2 b2 - a 2 r2a2b2 ' a2

1 c2r2* -=■ (1 - — r— ) . Por lo tanto ,

c2r2 1 c2r2„1 x d = ( ! . ££ . ) / [ ( j . £_!_ ) ]a* b* a*

y obtenemos así, uii valor que resulta Independiente de r y s

3.2*1 EJERCICIO. Dada la elipse de ecuación (x, y) = C + x'u + y’ü ~

donde | ü | = 1 , y^ + =

(a > b > 0) a2 b2

demostrar que la ecuación de la recta tangente en un punto P„ de la elipse, tiene la forma vectorial

P * (*• y) ~ P0 + 'C(Ca2(P0 - O-ili-1-]^ - [b2(P0 -C)-G]G-L )>

V t e R .

3.25 PROBLEMA Los extremos del Eje Menor de una elipse son (2, 14) y (14, -2) y la recta tangente en el punto P0 de la elipse es Lf : (-1, -32) + í(l, -IB) , hallar

390 IntAoducción al Aná¿¿i¿i UaiemítLi.0 Cap.S

las coordenadas de P0 y la ecuación cartesiana en XY de la elipse.

SOLUCION.

C = (Bj + B2)/2 » (8. 6)

donde Bj = (14, -2), 82 *

(2, 14) son los extremos del eje menor. Además,

b = |CB2| = | (-6. 8) |

10 , 100 .

u * (4, 3)/5 . Luego.

,.2 , 2y

100

Lj : 18* + y - -50

Y siendo (x, y) * C + x'ú + y'ú X = (8 + [4*' - 3i/']/5, 6 + [3x* + 4¡/']/5)

entonces, en el sistema X'Y', L-j. : 3x' - 2y' * -40 , de donde

. . yl£ mT • a2 100

-3*’ i 2y'y Lt : --- + — * 1T 40 40

_3_40

1° .

100

2_

40

Reemplazando estos valores en (*) obtenemos: a = 20//3 , x¿ ■ -10

y por lo tanto, P¿ = (-10, 5)' , y pasando al sistema XY :

P0 = C + (-10)u ♦ (5)ü

3*'2 i/*2

^ 400 100

r.-L (8,6) - (8,6) + (-3,4) = (-3, 4) ,

*’ ■ [(*. y) - c]• üdondey' * [(*. y) - c]• üx

£ : 84x2 - 24X1/ + 91# - 1200x - 900y - 2500 = 0

3.26 PROBLEMA. Sea 2, la elipse con vértices (4 - 2/2, 4 - 2/2), (4 + 2/2, 4 + 2/2) y de excentricidad e = /2/3 . Hallar las ecuaciones de las rectas Ljl y Lt2 . tangentes a la elipse y que pasan por Q = (2, 6) .

So l u c i ó n .

Cap. t La Etipie. 391

Vi = (4-2/2 , 4-2/2). V2 = (4 + 2/2 , 4 + 2/2 ) = * el centro de

la elipse es C = (Vj + V2)/2 * (4, 4) , a » | CVj| = 4 .

De e = Z2//3 = c/a ==► c = 4/2//3 , b = 4//3 , el vector

G * (1. l)//2 . Y como P„ ■ C * (4, 4) , entonces en X'Y' :

Q » (2. 6) = * Q1 = (0. 2/2)*. £ : (x'2/16) + (3¡/,2/16) - 1 ,

Lj: y' = mx' + B , Q' e Lj: y' m mx' + 2/2 , que al reemplazar

en la ecuación de ^ y hacer A = 0 resulta m = + 1//6

Luego, dt las fórmu’as x’ - [(x, y) - C]- ü , y' = [(x, y) - C]. G"*"

Ln: y' = -=r x' + 2 /2 = » (/2+2/3)x ♦ (/2-2/3)i/ =8(/2-/3)/ 6

LT2: y' “ — = x' + 2/2 =*► (/2-2/3)x + (/2 + 2/3)¡/ =8(/2+ /3 )/6


1. Hallar el Centro, los focos, vértices, extremos del eje menor, la excentricidad y las rectas directrices de la elipse de ecuación:

a) (x2/9) + (y2/ 16) = 1 e) 8x2 ♦ 9y2 + 24x + 12y + 10 = 0b) 4x2 + y2 - 4y f) 16x2 + 9y2 - 64x + 1 fií/ = 71c) 4x + y2 = 4x g) 25x2 + 9y2 - 12y - 81 = 0d) 25x2 + 16y2 + lOOx - 96y = 156,

2. Hallar el centro, los vértices, la excentricidad, las directrices, los extremos del eje menor y de los lados rectos, y la ecuación de la elipse con:a) focos (1,4) y (9,4), y semieje menor de longitud 2 unidadesb) centro (l, -4), vértice (1, 1) y pasa por (2, -1)c) centro en (2,0), foco en (5,0) y un vértice en (-3,0)d) focos (5,0) y (-5,0), y recta directriz L: x = -20e) directrices x = 3 + (169/12) y un foco en (0, -2)f) un vértice en (2, 0), un foco en (-5 + 2/6,0) y un extremo

del eje menor en (-5,-5)g) centro en (1,-1), semieje menor horizontal de longitud 6, y

excentricidad 2/3 .h) la suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a (4,

. -1) y (4, 7) igual a 12 .

i

392 Uit'iuduccUón at AnáL¿A-Lt¡ Matemático Cap. 6

<■) con focos (2,3) y (2, -5) y excentricidad 3/5 .

3. Una elipse tiene los focos en (-7, -8) y (17, 2) y el semieje menorde ’ong.tud 5 unid. Hallar el centro, los vértices, la excentricidad las ecuaciones de las directrices y de la elipse en el sistema XY.

4. Una barra PQ de longftud 24 unid, se mueve de manera que P estásiempre sot're el Eje Y, y Q está siempre sobre el Eje X. Un puntoH está sobre PQ a dos tercios del camino desde P a 0. Hallar laecuación de la trayectoria trazada por H . Rp.: x2 + 4i/2 = 256

5. El techo en el pasillo de 20 pies de jncho tiene la forma de una semielipse y tiene 18 pies de altura en el centro y 12 pies de altura en las paredes laterales. Encontrar la altura del techo a 4 pies de cualquier pared. Rp: 78/5 pies

6. La órbita de la Tierra alrededor del Sol es una elipse con et Sol co

no uno de Lot ¿oco¿. Si las distancias mínima y máxima (centro a cen tro) del Sol a la Tierra son 93 millones y 96 millones respect.¿ Cuál es la excentricidad de la órbita de la Tierra ? Rp: 1/63

7. Un satélite colocado en órbita alrededor de la Tierra se encuentra a119 millas soLre la superficie de la Tierra cuando está más cercanay 881 millas cuando está más alejidt. Si el radio de la Tierra es4000 millas, ¿cuál es la excentricidad de la órbita ? .

RP: e = 20 /1905/1627 s 0.S3658. Una elipse ubicada en posición estándar con respecto a los ejes coor

denados tiene excentricidad 2/3 y pasa por (2, 1). Hallar su ecuación. (Doí soluciones: una vertical y una horizontal)

9. Determinar la excentricidad de la elipse tal que:

a) su eje menor se ve desde el foco bajo un ángulo recto. Rp: 1//2b) la distancia entre los focos es 'gua1 a la distancia entre los ex

tremos de los ejes mayor y menor. Rp: /10/5c) la ordenada del punto de la elipse, cuya abscisa es la abscisa del

foco, forma una 1/m parte de la longitud del semieje menor. Considerar m > 1 . Rp: / m 2- 1/m

10. Se da la excentricidad e de una elipse. Hallar la razón de sus semiejes. Rp: b/a = /1 - e2

11. Los focos de las elipses (x2/25) + (y2/9) = 1 , (x2/16) + [y2/ 25)* 1 , están unidos entre si por unas rectas, y en el rombo formado de este modo hay inscrita una circunferencia. Hallar su ecuación.

12. Graficar el lugar geométrico de los puntos P(x, y) si se cumple:

Cap. 6 La ELlput 393

(x2 + 4)(2x - y - 3)(x2 + y2 - 25)(x2 + Ay2 - 4) = 0

13. Demostrar que la recta y ■ mx + c es tangente a la cónica Ax2 ++ y2 » 1 si y sólo si las constantes A , m y c satisfacen lacondición: A(c2 - 1) = m2 .

14. Si los extremos de un segmento de recta de longitud constante se mué ven a lo largo de rectas perpendiculares, demostrar que un punto P sobre el segmento, a distancias a y b de los extremos, describe una elipse.

15. Demostrar que la longitud del semieje menor de una elipse es media proporcional entre los dos segmentos del eje mayor determinados por uno de los focos.

16. Demostrar que la longitud del eje menor de una elipse es media propercional entre las longitudes del eje mayor y su lado recto.

17. Demostrar que si dos elipses tienen la misma excentricidad, las longitudes de sus semiejes mayor y menor son proporcionales.

18. Si Pj = (xj, i/j) es un punto cualquiera de (x-,’a2) + {y2/b2) = 1, demostrar que lis longitudes de sus vectores focales son |(a + ext)| y | (a - exj)| .

19. Los puntos extremos de un diámetro de (x2/a2) + [y2/b2) = 1 son PX y P2 . Si F es uno de los focos, demostrar que la suma de los

vectores focales |FP|| y | FP21 es igual a la longitud del eje ma yor.

20. La ecuación de una familia de elipses es kx2 + Ay2 + 6x - 8# - 5 *D . Hallar las ecuaciones de aquellos elementos de la familia quetienen excentricidad Igual a 1/2 . Rp.: Para k = 3, k = 5 .

21. Hallar las longitudes de los vectores focales del punto (2, 1) dela elipse 9x2 + y2 - 18x - Zy + 1 * 0 . Rp: Ambas: 3 .

22. El punto medio de una cuerda de la elipse 4x2 + y2 - 8x - 6y - 3 =0 , es el punto (2, 5). Hallar la ecuación de la cuerda.

23. Desde cada punto de la circunferencia x2 + y2 + 4x + Ay - 8 = D , se traza una perpendicular al diámetro paralelo al Eje X. Hallar el lugar geométrico de los puntos medios de estas perpendiculares.

24. Dada la elipse x2 + 3y2 3x - Ay - 3 = 0 , hallar los valores dek para los cuales las rectas de la familia 5x + 2y + k = 0 :a) cortan a la elipse en dos puntos diferentes. RP: ke <-7, ! 8/3>b) son tangentes a la elipse. c) no cortan a la elipse.

RP: K = -7 , K = 58/3 RP: U <- ®> , -7> U <56/3, ®>>

394 lntudu.czi.5n xl An¿L¿js¿i UcUzmático Cap. i

25. Hallar el ángulo de intersección de las elipses 3x2 + Ay2 - 43 = 0, 4x* * y - 32* + 56 = 0 , en uno de sus puntos de intersección.

RP: EN <3,2,, 8 = ARCTAN (S/Z)26. Demostrar que las rectas tangentes a una elipse trazadas en los ex

tremos de un diámetro son paralelas entre si.

27. Demostrar que la pendiente de la tangente a una elipse en cualquiera de los puntos extremos de uno de sus lados rectos es numéricamente 2 gual a su excentricidad.

28. Demostrar que el producto de las distancias de los focos de una el ip se a cualquier tangente es comíante e igual al cuadrado de la Ion gitud del semieje menor.

29. Por el punto (7,2) se trazan tangentes a la elipse x2 + Zy2 -

3x + Zy - 2 = 0 . Hallar los purtos de contacto.

30. Si desde un punto exterior se trazan tangentes a una elipse, elsegmento de recta que une los puntos de contacto se llama CUERDADE CONTACTO DE Pj para dicha elipse. Si Pj = (xlt yi) es unpunto exterior a la elipse (x2/a2) + ly2/b^) = 1 , demostrar quela ecuación de la cuerda de contacto es (x1x/a2) + [y\y/b2) = 1 .

31. Hallar la ecuación de la cuerda de contacto del punto (1,3), parala elipse 2x2 + y2 = 2 . Rp: 2x + 3y = 2

32. Demostrar que la ecuación del lugar geométrico de los puntos mediosde cualquier sistema de cuerdas paralelas de pendiente m de la e-lipse (x2/a2) + (y2/b2) = 1 , es y = -[b2/(a2m)]x , m t 0 .

Note que el lugar geométrico es una recta que pasa por el centro, ypor lo tanto es un DIAMETRO de la elipse.

33. Demostrar que si un diámetro de una elipse biseca a todas las cuerdas paralelas a otro diámetro, el segundo diámetro biseca a todas las cuerdas paralelas al primer diámetro. Tales diámetros reciben el nom bre de DIAMETRO;» CONJUGADOS de la elipse dada.

34. Hallar las dos rectas tangentes a la elipse 3x2 + 4i/2 = 16 queson trazadas desde el punto (3, 2). Rp: y = 2, 36x - lli/ = 86

35. Hallar las dos rectas tangentes a la elipse 3x2 + 4y2 = 16 queson perpendiculares a la recta 2x - Zy = 5 . Rp: 3x + Zy = i 8

36. Hallar la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la e-lipse 3x2 + 4y2 = 16 en el punto (2, -1) .

37. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la elipse definida

Cap.í La Etcp¿e 395

por 4x2 + 5y2 = 20 , que son perpendiculares a x + 3y « 3 .

38. En el punto P(r, s) de la elipse (x2/a2) + {t/2/b2) = 1 , se tra za una tangente que intersecta a la directriz D en H . Probar que

a) el ángulo PFH es recto.

b) OP y la recta que pasa por F , perpendicular a la tangente, se Inter sectan sobre la directriz correspondiente.

39. Hallar los puntos de tangencia de las cuatro tangentes a la elipse(x’/a2) + {y2/b2) = 1 , que son paralelas a las cuatro rectas queunen un extremo del eje menor a un extremo del eje mayor.

40. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a amoos extremos deun lado recto de la elipse (x2/a2) + (j^/b2) * 1 .

41. En la figura. K es el punto donde la tangente a la elipse en P encuentra a la tangente en el vértice. Probar que A'P es paralelo a 0K, donde A' es el otro vértice y 0 el centro.

Las rectas A'P y AP cortan un segmento so bre la directriz D .Probar que este segmen to subtiende un ángulo recto en el correspon- Adiente toco.

42. En la figura del problema [41], la normal en P encuentra a los e- jes de la elipse en N( y N2 . Probar que

|P¡Ti| x |w T2| = IFP I x |F p|

43. Hallar las ecuaciones de las dos rectas tangentes desde a) (-1,2)a la elipse x2 + 2y2 = 3 , b) (5, 2) a la circunferencia x2 +y2 - Ay - 4 = 0 . Rp: Las pendientes son rij = 5/2, m2 = -1/2

44. Hallar la condición sobre X y B para que la recta y * Ax + Bsea tangente a (x2/a2) + [y2/b2) = 1 . Rp: B2 = a2 A2 + b2

396 ItUAoduccudn al UaXemSXico Cap.S

45. Hallar las ecuaciones de las tangentes comunes a los siguientes pares de curvas: a) x2 + y2 ■= 16 , y2 * 16*

b) (*2/25) + (i/2/9) - 1 , (*2/16) ♦ (y2/ZS) - 1 .

46. El vértice de la parábola y2 * 8* es el centro de una elipse. Elfoco de la parábola es un extremo del eje mayor de la elipse; la e-lipse y la parábola se cortan en ángulo recto. Hallar la ecuación dede la elipse. Rp: 2x2 + y2 - 8 .

47. Hallar la ecuación de la elipse con vértices (-1, -1) y (3, 3) yexcentricidad e * 1/2 . Hallar también los focos, el centro y las ecuaciones de las rectas directrices.

48. Una elipse con centro en el origen tiene un vértice en (-4, 3). Hallar una ecuación de la elipse si la longitud del lado recto es 15/2. Hallar, además, el otro vértice, el centro y las directrices.

49. Hallar la ecuación de una elipse cuyo eje focal es paralelo al Eje X,el centro es el vértice de la parábola * ■ 2y2 + IZy + 24 , y que determina (sobre los ejes X , Y ) segmentos cuyas longitudes son 16 y 8 respectivamente. Rp: {* - 6)2 + 4(i/ + 3)2 » 100

50. Los focos de una elipse cuyo eje focal es el Eje X, son (2 i 2/5 ,> -1), y la recta tangente a ésta en su vértice Izquierdo es * + 4 « 0 . La recta L que pasa por el centro de la elipse determina al cortarla una cuerda cuya longitud es 24//5 . Hallar los extremos de la cuerda. (Dos soluciones) Rp; a) (34/5, -17/5), (-14/5, 7/5)

b) (34/5, 7/5), (-14/5. -17/5)

51 Hallar la ecuación de una elipse cuyos focos se encuentran en la intersección de las rectas 2* - y m 1 , 3* - y M 14 ', con la recta * - y « 0 , y su excentricidad es e * 3/5 . Hallar el centro y los vértices. Rp: C(4, 4), Vj(-1, -1), V2(9, 9)

52. Se tiene una elipse tangente al Eje X con centro en la recta 5* - 4i/ > 0 , y eje focal la recta * « 4 , y pasa por (0, 5). Hallar su ecuación, excentricidad y longitud del lado recto.

Rp: U y - 5)2/25] + [(* - 4)2/16] «1, e * 3/5, 2b2/a = 32/5

53. Dada la elipse *2 + 4y2 = 100 , desde el origen se traza un segmento variable 0Q , siendc Q un punto de la elipse. Hallar la e- cuación del lugar geométrico de los puntos P tales que |0P|/|PQ|= 2/3 . Rp: x2 + Ay2 = 16

54. Dada la elipse *2 + 4y2 = 36 , obtener la ecuación de la cuerda

Cap. i La Eftpae 397

focal (foco derecho) de 6 unidades de longitud.

55. Una elipse pasa por el pünto de intersección de las parábolas y¿ *4x, y2 - Ay - 4x + 12 = 0 , y tiene por focos los focos de las parábolas dadas. Hallar su ecuación y su excentricidad.

Rp: [(x + y - 3)2/6] + [{.y - x + l)2/2] = 1 . e = ñ U 1 .

56. Determinar n para que la recta y = 2x + n sea tangente a la elipse (x 2/4) + (y2/9) = 1 . Rp: n = i 5

57. Hallar las ecuaciones de las cuatro rectas tangentes comunes a: x2 +y2 = 1, x2 + 16y2 = 4 . Rp: y = + (x/2) i (/5/2)

58. Una elipse es tangente a una circunferencia de modo que sus focos se encuentran también sobre la circunferencia. Hallar su excentricidad.

59. En la elipse {x2/16) + (i/2/25) = 1 , hallar el perímetro del triánguio FF'P , siendo F y F' los focos, y P un punto cualquiera de la elipse, distinto de los vértices. Rp: 16

60. Por los puntos extremos de una cuerda de longitud 24 m., perpendicular al eje focal de la parábola y2 - 12x - By + 52 = 0 , pasan dos rectas tangentes que se intersectan en un punto Q . Hallar el perímetro del triángulo formado por los extiemos de la cuerda y el punto Q. Rp: 24(1+/5)

61. Las elipses n2x2 + ni y2 = n2m2 , m2x2 + n2y2 = m2n2 , m f n ,se cortan en cuatro puntos situados en una circunferencia con centroen el origen de coordenadas. Hallar el radio de la circunferencia.

Rp: r = /2mn//m2 + n2

62. Hallar el área del cuadrilátero que tiene dos de sus vértices situados en los focos de la elipse 2x2 + 4x + y2 = 14 , y los otros dosque coinciden con los extremos de su eje menor. Rp: A = 16

63. Calcular la distancia del extremo derecho del eje mayor a la directriz que está a la derecha del Eje Y en la elipse 4x2 + 9i/2 = 36.

64. Graficar la ecuación (factorizable): x2 + 3y2 * 4xy = 0 .Rp: { (x, y) / y = -x/3 v y = -x ) , (x, y) e R2

65. Hallar el menor ángulo con que se observa desde el origen el segmento que une los focos de 3x2 + y2 + 18x - Ay * 28 = 0 , (¿elipse?) .

66. Calcular la longitud del lado del cuadrado inscrito en la elipse (x2/a2) + {y2/ b2) = 1 . Rp; 2ab /a2 + b2

67. Hallar los valores de p para los cuales la ecuación px2 -(l-p )y2

398 La ttipiz Cap. i

- (3 + p) =0 , representa una cónica del tipo elipse no degenerada.Rp: p e R - [-3, 1]

68. Los focos de una elipse se encuentran en las intersecciones de la parSbola y2 = 4px (p > 0) y la recta que pasa por el foco de laparábola y es perpendicular a la misma. Si además la elipse pasa porel origen, calcular su excentricidad. RP: e * 2//5

69. Dados el centro C(2,2), un foco F * (4,4) y la excentricidade = 1//3 de una elipse, hallar el área del triángulo equiláterocon base en la directriz correspondiente al foco dado y vértice en C.

70. La elipse E tiene un foco en Fj = (-4/5, -2/5), el vértice correspondiente al otro foco en V2 = (10, 14). Si la excentricidad es e = 4/5, hallar la ecuación vectorial de E y de las directrices Li y L2 , el centro, el foco F2 y el vértice Vj .

71. Una elipse E tiene un foco en Fx = (7,-?), el vértice correspondiente al otro foco en V2 = (-3, 8) y como una de sus directrices ala recta P = (-11, 6) + t(/2, /2) . Hallar la ec. vect. de E , laecuación general y vectorial de la otra directriz L , el centro, el foco F2 y el vértice Vj .

72. Si la elipse E tiene los vértices en Vi = (-2,-1) y V2 « (6, 7), y tiene excentricidad e = 1/2 , hallar la ec. vect. de E , los focos F¿ , F2 , los extremos Rj , R2 del lado recto derecho, y lasecuaciones vectoriales de las directrices Li y L2 .

73. La elipse E tiene los extremos del eje menor en Bj = (2, 5), B2 =(8, -3). Si Q = (37/5, 39/5) e E , hallar el centro de E , la excentricidad, la ec. vect. de E , los vértices Vt , V2 y las ecuaciones generales de las directrices L| y L2 .

74. La elipse E tiene un vértice Vj = (21, 11) y el foco correspondiente Ft - (17, 9). Si la elipse pasa por Q = (67/5, 81/5), hallar la excentricidad, el foco F2 , el vértice V2 y las ecuaciones generales de las directrices Lj y L2 . SU6: C = (17,9) - cü.

75. (UNI) Dada la elipse Ex: 16x2 + 9y2 = 47 + 32x + 54y , encontrarla ecuación de la elipse E2 cuyo centro Fc es el extremo derechodel eje menor de Ei , uno de cuyos focos es el vértice inferior de Ej y que pasa por el vértice superior de Ej .

76. Hallar la ec. de las rectas tangentes a la elipse 9x2 + 16y2 * 144,trazadas desde (4, 9). Rp: y = x + 5, 25x + I6y = 244

Cap.i La Etíf¿¿ 399

77. Sea P una parSbola con vértice V(3, 5) y Pr VB = (4, 4) ,

dondi B es el extremo inferior d.¿l lado recto y F el foco de P. Si E es la elipse cuyo eje mayor es el eje de P , cuyo centro es F y con un vértice sobre el Eje X. Si un foco de la elipse E seencuentra en la directriz de P , hallar a) la ecuación de E , yb) las rectas que contienen a los lados rectos de E .

2 278. Sea la circunferencia C: x + y + 2x - 6y - 15 = 0 y T la recta tangente a C en el punto P (2, -1) . Sea E una elipse cuyoeje mayor coincide con T , cuyo foco derecho es P . Si la elipse E pasa por el centro de C y tiene excentr. 1/2 , hallar a) la e- cuación de E, b) las ecuaciones de sus directrices.

2 279. La circunferencia C: (x - 3) + [y * 2) = 10C está circunscrita auna elipse de excentr. 1//2 que pasa por (9, 6) e C . Hallar la ecuación de la elipse y de sus directrices.

80. Dada la circunferencia C: x2 + y2 - 12x + Zy + 12 = 0 , la recta L:3x - Ay + 3 = 0 es tangente a C y es directriz ae una elipse E .Si E n C = <}> y L divide perpendicularmente al segmento que unelos centros de C y E en la razón de 1 a 2 , ha1lar la ecuaciónde E , si uno de los focos se encuentra en el Eje Y .

81. Los focos de una elipse E son Fi(-1, 3) y F2(5,3). Si R e E yla suma de las longitudes de los vectores focales de R es igual a 4eces la longitud del lado recto, hallar la ecuación de E .

82. Hallar la ecuación de las rectas tangente* a la elipse 3x2 + y2 + 4x- Zy + 1 = 0 , que sean perpendiculares a la recta x + y - 18 = 0 .

83. Una elipse E con centro en el origen tiene un foco en (4/2, 0). Si (3, /3) e E , hallar sus directrices. Rp: x = í (9//2 )

84. Una elipse E tiene centro (4, 3), e = '3/2 . La -ecta 3x + 4y = 74es tangente a E en uno de sus vértices. Si Q' = (6, 4)' está dado enX'Y', hallar en XY la recta normal a E en el punto Q .

85. Sea x + Zy = 5 una directriz de una elipse E que se encuentra enel 1er. cuadrante, con e = 1/2, y cuyo eje focal pasa por el origen. Sea P una parábola cuyo lado recto coincide con el semieje mayor iz quierdo de E, que mide 10/5, y con vértice V(h, k) con 3h > 2k.Hallar las ecuaciones de la parábola P y de la elipse E .

86. El eje menor de la elipse E está contenido en L ^ (1, /3 -1) + t(l,, /3). La recta L2: (/3, -2) + t(-l, /3) es tangente a E en P¿= (5, y'0). Si e = 1//3 y E no corta al tercer cuadrante, hallar:

400 Introducción oJL AnSXÁJ>4J¡ UaXemítico Cap. 6

y'0 y la ecuación de la elipse E .

87. El eje focal de una elipse E tiene pendiente 3/2. Si C es una circunferencia tangente a E , con radio 5 y centro (S, 1) coincidente con el centro de E , y si adeniás, la longitud del eje mayor de E es tres veces el diámetro de C , hallar la excentricidad de E .

88. Desde A(4, -3) se trazan tangentes a la circunf. C: x2 + y2 - 24x- 6y + 117 = 0 , hallar la ecuación de una elipse E cuyo eje mayorpertenece a la tangente a C de mayor pendiente, y sabiendo además que A y el (.entro de C son extremos del eje mayor y del eje menor de la elipse, respectivamente.

89. La recta L: 4x * iy = 61 contiene a un lado recto de una elipse Econ centro (5, 7). Si el semieje menor miae 3 unid., hallar la ecuación de la elipse E y el extremo superior del eje menor.

CLAVE DE RESPUESTAS

8. 9x2 + 5i/2 = 41 , 5x2 + 9y2 * 29 , 11. Centro (0, 0), r ■ 12/522. 2x + y = 9 , 23. x2 + 4y2 + 4x + 16i/ + 4 * 029. (1, 1), (29/9,-13/9) 36. Lj: 3x - Zy = 8 , LN: 2x + 3y = 137. 3x - y = + 7 , 39. (± a//2, ± b//2)40. El centro es el X-intercepto de la normal [punto (r, s) , pendiente:

(a2s)/(b2r) ] , pero aquí (r, s) * (c, b2/a) .45. b) B2 = a2A2 + b2 origina 25 A2 + 9 - 16 A2 + 25 =► A = i ^ ,

B = i /481/3 =» y = í (4/3)x i (/481/3) ..[4 tangentes]47. 7x2 + 7y2 - Zxy - 12x - 12y - 36, 48. 84x2 + 91y2 + Z4xy - 1875 = 054. Dos cuerdas y = i (1/Z2 )(x - 3 /3), 58. 1/^2, 63. (9//5)-365. are tg (6/2/11) , 69. A « 24/170. C = (4,6), ü = (3, 4)/5 , x,2/100 + y '2/36 = 1 , Lx : (23/2,

, 16) + t(-4, 3) , L2: (-7/2, - É + t(-4, 3) F2(44/5, 62/5) ,*i(-2. -2) ; 71. C - (3 , 2 ), ü = (-1, l ) / / 2 , x ,2/72 + y '2/ W =

= 1, L: x - y = 19, F2(-l, 6), V ^ , -4) .

72. C = (2, 3). ú = (1. l)//2 , (x'2/32) + (i/'2/24) = 1 , F^.4, 5) .F2(0, 1), Rjd.8), R2(7, 2), Lj: (10, 11) + t(-l, 1) ,

L2: (-6. -5) + t(l, -1)73. C = (5, 1), e = /3/2 , Q' = (6, 4)', a = 10, b « 5, c = /5 .

(x'2/100) + (y '2/Z5) = 1 , donde ü * (4, 3)/5, V|(13, 7), V2(-3,. -5). L1>2: 4x + 3y • 23 i (100//3)

Cap. % La Etipie 401

74. e - 4/5 , C - (1.1). u ■ (2. l)//5 . a = 10/5 . b = 6/5 .c - 8/5, (x ,2/ 5 00) + (</’2/180) = 1 , F2(-15, -7). V2(-19, -9) ,Lj: 4x + 2y « 131, L2: 4x + 2i/ = -119

75. E2: [(3x + 4y - 24)2/49] + [(3c/ - 4x + 7)2/24] = 25

77. p - 4/2, ü * (1. l)//2 , V(3, 5), C(7,9), Fj(-l.l), c » 8 / 2 ,a « 9/2, b - /34, b) LR: C + (8, 8) + t(-1. 1)

78. b2/a - |CP| ■ | CF\| , a « 20/3 , b = 10//7, c * 10/3 . Fc -(-2/3, -3), ü * (4, 3)/5 , Di>2: Fd i (40/3)ü + t(-3, 4)

79. ¡j = (3, 4)/5, C(3, -2), D1>2: (3, -2) i 2/2(3, 4) + t(-4, 3) .(x,2/100) + (y '2/S0) - 1 , (*, y) - C + x’ú + y 'ü X

80. a = 5/2, b = c - 5, C - (-3, 11), F = (0, 7), ü - (-3, 4)/581. c * 3, 2a » 8b2/a , a * 2b, b » /3 , a = 2 /3 ,

(x-2)2 + 4(</-3)2 = 1282. Lj: i / * x + B , A • 0 = > B * 1/3 , B = 3 (Dos soluc.)

84. ü * (3, 4)/5, F0 - (4, 3), a « 10, c = 5/3 , b - 5 ,

LÑ’ 4x' - 3y' * 12 , LN: (2, -1) + t(22, 41)

85. V ■= (21, 59/2), F - (16. 32), ü = (-2, l)//5, 4p = 10/5 ,y'2 » 10/5 k' .. de la parábola. Para la elipse: C = (21, 42) ,ü * (l,2)//5, (*'2/500) + (</'2/375) = 1

86. tan a = -1//3 , donde a es el ¿ngulo agudo entre el Eje X' y L2L¿: y ’ « -(l//3)x* + [y¿+(5//3)] : Lj , además

Lj: (5x'/a2) + (yóy'/b2) » 1 , identificando: y'0 • 10//3 ,

a - 5/7, b ■ 5/2, c « 5 ; R e L, (1 L2 , ü - (- /3 , l)/2(x,2/75) + («/'2/50) = 1 , R » (0, 1), C = R + 5/3(1, /3)/2

= * C - (5/3/2, 17/2)

87. C * (5, 1), a - 15 , b * 5 , c = 10/3 , e = 2/2/3

88. a • 8 , b - 6 , F0 - (156/25 , 117/25) , ü - ( 7, 24)/25 ,

(x’2/64) + (y '2/ 36) * 1

89. c * d[ L ; (5, 7) ] = 4 , b = 3 , a = 5 , C = (5, 7) ,

ü * (4, 3)/5 , Extremo superior del eje menor: Q ■ C + bü"*"==» Q * (16/5, 47/5)

Elipse: (x,2/25) + {{/’2/9) = 1 , x’ = [(x, y) - C ] • ¡¡

y ' = [(*, y) - c ]. ü-1

Y en XY, la Elipse: [(4x + 3y - 41)2/625] + [(4y- 3x - 13)2/225] = 1 .

402 UitluducCLÚn al Aniliii& UaXemiticv Cap. S

<1 LA HIPERBOLA. ECUACION DE LA HIPERBOLA

Dados dos puntos fijos F( y F2 . distintos, tales que su distancia es | Fj - F2I = 2c , y dada una constante a tal que 0 < a < c , se define una HIPERBOLA H como el conjunto de todos los puntos P(x, y) tales que la diferencia de sus distancias a los puntos fijos Fj y F2 , en valor absoluto, es igual a 2a ; es decir,

I | |P - Fjl - |P - F2| | - 2a

C = (h, k) CENTRO DE LA HIPERBOLA ; X' : EJE FOCAL, V2 : VERTICES ; F, , F2 : FOCOS

: EJE TRANSVERSO ; F¡¥2 : EJE CONJUGADj(de longitud 2b)

d[ C ; Fj ] = d[C ; F2 ] = c ;

Fj * (-c, 0)' , F2 = (c, D)' , en el sistema coordenado X'Y’

^ : circunferencia con centro en C , radio c , y que pasa por losdos focos Fi y F2 .

Cap. i La HipéAbola 4U3

4.1 EJERCICIO. Probar que d [ Vj ; C ] = d [ V2 ; C ] = a

SOLUCION. Del hecho que Vi e H , y de la figura ,

d [ V! ; F2] - d[VL ; Fi ] = 2a ... (1)

d[Vt ; F2] + d[V, ; FL ] = 2e ... (2)

Restando (1) de (2) : d [ Vj ; Fj ] » c - aY como : d[ Vj ; Fj ] » d [ F l ; 4*] - d [ 1l ; C ]

- c - d[Vj ; C]==* d [ V i ; C ] « c - (c - a) = a ;

Análogamente tenemos que d[V2; C] = a .

«».2 RECTAS DIRECTRICES

Dos rectas Li y L2 , perpendiculares al eje focal, son llamadas RECTAS DIRECTRICES DE H cx¡AA.upond¿e.ntu

a t a íjcoí Fj y F2 respectivamente, si existe una con&tante. e , denominada EXCENTRICIDAD de la hipérbola H , tal que pana todo panto

P e H debe cumplirse que:d[P ; Ft] d[P ; F2 ]

---------------------- = e = ------------------------

( VER LA FIGURA SIGUIENTE ) d [ P ; Li ] d [ P ; L 2 ]

Ademas, mñ y rs ; LADOS RECTOS DE H , son cuerdas que pasan

por los focos y son perpendiculares al eje focal X‘ .

En toda hipérbola se cumple la relación pitagórica:

c2 = a2 ♦ b2

y pueden presentarse los tres casos: a > b , a = b , a < b .

En el caso en que a = b , H es llamada HIPERBOLA EQUILATERA.

l».3 EJERCICIO. Probar que el LADC RECTO de H mide 2b2/a .

SOLUCIÓN. Sea 2h la longitud del LADO RECTO. Probaremos que

h = b2/a : d[ R ; Fj ] - d [ R ; F2 ] = 2a ( haciendo P = R ),

(/ 4c2 + h2 ) - h * 2a =s> h - (c2 - a2)/a = b2/a .. probado.

404 IntAuducción ai A n HatnaAticv Cap. i

H.H PRUBLETA

SOLUCION

Y por otro lado:

Probar que en toda hipérbola H :

a) c = ae , b) d[C ; Lx ] = d[C ; L2] = | ,

c) La excentricidad e es mayor que 1 : e > 1 .

b2/a c2 - a2d[R ; F2]

d[R ; L2] c - d[C ; L2] a(c- d[C; L2] )

(a)

.... (6 )d [ v2 • 2 ]

d[V2 ; L2]

De (B): d[C;L2] * a - [(c - a)/e ]

En (u): c2 - a2 = ae(c - a)(e ♦ l)/e

a - d[C ; L2]

=» c - d[C ; L2] ■

=» c ♦ a = a(e ♦ 1)

(c - a)(e + 1)

= = c * ae . Luego, d[C;L2] = a - [(ae - a)/e] » a/e

Para el caso de d[C ; L,] , se prueba en forma similar.

De (a) resulta que e (* c/a) > 1 , puesto que 0 < a < c .

Cap. $ Hiptnbotai 4D5

De esta forma se completa el gráfico de la FIGURA 2, que es muy útil para efecto de cálculos y resolución ae problemas.

4.5 EJERCICIO. Demostrar que en toda HIPERBOLA Ei/UILATERA la excentMcidad es siempre constarte: e » /2 .

En efecto, de c * ae , y de a = b , entonces

c2 - a2 ♦ b2 = 2a2 — 2 - c2/a2 - e' .

4.6 ECUACION VECTORIAL DE UNA HIPERBOLA H

Para todo punto P » (x, y) ■ C + x'ü + y 'ü X e H ,donde C es el centro de la hipérbola, se tiene que:

d[P, F,]e - ------- « = * (d[P. F2])2 - e ( d [P, L2] ) .. (a)

d[P, l2]

y como d[ P, F2] = |P-F2 | = | C - F 2 + x'u + | * | -cu + x'ü + y‘\¡

■ | (x* -c)ü + y'ú ■*" | ■ /(*' - c)2 + y'2

Además, d [P, L2] = | x1 - (a/e)| , pues P ■ (x, y) tiene coordenadas(x‘, y') en el sistema transformado. Al reemplazar en (a) se obtiene:

(x‘ -c)2 + y’2 ■ e2(x' - (a/e))2 , donde c = ae

(c2-a2)x,2- a V 2 - a2(c2 - a2) ....b2x'2 - a.2y'2 = a2b2 , pues c2 = a2 + b2

x'2 y'2

- v v ■ 1

Luego, la ecuación vectorial de la hipérbola H es:

P ■ (*. y) ■ C + x'ü + y’ü'L , donde

>2 ,2

- ^ - = 1 , |ü| = 1 , C = Centro de Ha2 b2

(*)

De la figura anterior se tiene que, siendo C el centro de H

VERTICES: V * C i aü , FOCOS: F = C i cú ,

406 liiVioducíUón aJL A»iclL íaía UcUemSUxco Cap. S

EXTREMOS OEL EJE CONJUGADO: B[, P2 = C í bü1DIRECTRICES Lj : X* = -a/e , : x ' = a/e , donde

X* * (P - Cj.fi , P =■ (* . y)

ü : vector unitario de rotación de Ejes.

4.7 RECTAS ASINTOTAS DE LAS HIPERBOLAS

las formasLas ecuaciones de las rectas L' y l" , en X'Y', tienen

b .L' : y' L"

(FIG. 3)

y se puede demostrar que la distancia de cualquier punto P e H hasta la recta L' tiende a cero conforme la coordenada x’ del punto P tiende al infinito. En efecto, si P « (x', y') e H , en el sistema X’Y1 , enton

ces 7 iñl . üL . ia2 b2

d[P ; L'] =| bx' - iy' | I bx’ - ay'|

/a2 ♦ b2

| bx' - a / b2[(x'2/a2) - 1] |

c

Cap. i HipVibotai 407

= * ^ d [ P ; L‘ ] = | x'- / 7 7 | » ------ ¿ = - .I *■ ♦ / 7 ^ ~ 7 i

de donde vemos que si x' tiende a oo , entonces d[ P L‘] tiende a cero. Por lo tanto, L' (y L“) resulta ser recta ASINTOTA de H , y pasa por el Centro de esta hipérbola H .

Como las ecuaciones de L‘ y L" son y' * i ^ x' ,

entonces, en XY , estas ASINTOTAS tienen la ecuación vectorial:

{ P = (x, y) * C ♦ t(aü ± bu1 ) / t e R }

L' con signo (+) , y L" con signo (-) . C es el Centro de H .

Análogamente, las ecuaciones de las rectas DIRECTRICES : x' « í (a/e) , tienen la forma vectorial , en XY ,

Li , L2 : P ■ (x, y) ■ C ± ^ ü + tü"*■ , t e R

donde C es el Centro de la hipérbola. (Ver la figura 2)

4.8 CASOS PARTICULARES DE LA ECUACION DE UNA HIPERBOLA

A) CON EL EJE FOCAL PARALELO AL EJE X

Corresponde a u » i » (1, 0) . No hay Rotación de Ejes, pero sfhay traslación C * (h, k).Luego, si P » (x, y) , Y 1‘

x1 - (P-C).(l, 0)■ x - h ,

y' - ( P - c ) . ( o , i )

* y - k

Reemplazando en

(x,2/a2) - (y'2/b2) » 1 .

se obtiene la forma:

k

0

Fl = (h - c , k) . F2 - (h + c , k)

408 ¡ntAodu.cc.t6n ai knilunA MaXemâticv Cap. t

V, * (h - a , k ) ,Bt • (h. k + b) . DIRECTRICES : Lt :

ASINTOTAS 1‘ y L"

V2 * (ht-a, k )B2 = (h, k-b)

« = h - (a/e) ,

reemplazando x'

y - k = Í -(* - h)

x » h + (a/e)

en y' - t ( b/a ) >i1 ,

2 2 2 = ae , c = a ♦ b

B) CON EL EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y

ü = J = (0. 1) : ROTACION DE 90° ;C = (h, k) Centro de H : TRASLACION

« • “ [(*. tf) - C]-ü = («/ - k) . y' = [(*. y) - C].5X = -(*-h)

Reemplazando en (x,2/a2) - (y'2/b2) = 1 , y' = t (b/a)x’ :

aASINTOTAS :(L1 y L*)

y - k t r(x - h)

Fl = (h, k + c) Y “

F2 = (h, k - )

V1 = (h, k ♦ a)

V2 = (h, k - a) “♦§B. = (h - b . k) k

Bi = ( h + b , k ) k--a- * e

L1 : y - k ♦ (a/e)

L2 : y = k - (a/e) ,

(DIRECTRICES)

(1.9 HIPERBOLAS CONJUGADAS

Cuando las hipérbolas Hj y H2 tienen las mismas

asintotas y tienen intercambiados el eje transverso y el eje conjuga - do, entonces estas hipérbolas se denominan HIPERBOLAS C0NJU6ADAS.

Asi, las ecuaciones y '2«2 : ~2 ‘

-.2= 1

Cap.S Hir ínb.lai 409

corresponden a un par de tn pérbolas conjugadas .

CLAVE ; No-te que milXXpli

cando ti pnimeA nUembxo di

cualqu^¿Aa de La,6 ecuacw«eA (Hj ó H2) , pol -1 , ¿e

ob^ene la otAa ecuaitón (H26 Hj , respectivamente).

Por ejemplo, sea H la pérbola de ecuación

4.10 NOTA. Existe un artificio muy útil para conocer las ecuaciones de las asíntotas, dada la ecuación (xl2/a2) - (y'2/b2) = 1 ,

/y consiste en reemplazar en esta ecuación el 1 por 0 , en el segundo miembro:

,.2 ,■2= 0

.,2 .>2

l».ll EJERCICIO.

So l u c i ó n .

En la hipérbola [(x-2)2/4‘] - [(y - l)¿/32] = 1 ,hallar las ecuaciones de las asíntotas L1 , L" , el centro C , los vértices , V2 , los extremos del eje conjugado Bj , B2 , los focos Fj , F¿ , las directrices , L2 , y la excentricidad e .

El eje focal es paralelo al Eje X . Las ecuaciones'de las asíntotas las obtenemos haciendo

[(x - 2)2/42] - [(y - l)2/32] = 0 (*/ - 1) = í - U - 2)

AdemaS, a = 4 , b = 3 , c - / az ♦ bz = 5 , e = c/¡j = 5/4

C = (h, k) = (2, 1) , Vj = (h-a, k) = (-2. 1), V2 = (h + a, k) = (6, 1)

(h - c. k) = (-3, 1) F, = (h + c, k) = (7, 1)

la ecuación de la 2 2y *conjugada resulta : — - — = 112 16

410 Introducción al Anítuci UaXemítica Cap.i

= (h. k + b)

1,2 • *

Es decir.

h i

2 '

x * - 6/5

x • 26/5

4.1? EJERCICIO.

extremos M ,

So l u c i ó n .

En la hipérbola x -y ♦ 4x + Zy + 12 * 0 , hallar el centro C , las asíntotas L' . L" , los focos Ft , F2 , los vértices Vi , V2 , la excentricidad e , los N y R , S de los lados recios, y las directrices.

(2, 1 + 3) - (2,4), B2 « (h, k-b) « (2, -2)

(a/e) » 2 í (16/5) : DIRECTRICES

Completando cuadra los:

= o a * b * 3 , c * 3/2 , e • /2

ASINTOTAS: Como a - b - 3

y - 1 - ♦ (x + 2) ,

C * (h, k) - (-2, 1)Vt * (h, k - a) » (-2, -2)V2 * (h. k ♦ a) « (-2, 4)

F! - (h, k - c)» (-2, 1 - 3/2 )

F2 = (h. k + c)- (-2, 1 ♦ 3/1)

Lj : y ■ k - (a/e)

y - 1 - (3//2)

L2 : y = k ♦ (a/e)

Cap. & Hipénbotai 411

Li : y = 1 + (3/Z2) . Y comoM = Ft ♦ (b2/a) J J" = Fl ♦ 3(-l, 0)N = Ft - (b2/a) 7

o ’/a 32/3 = 3 , entonces(-5, 1-3/2)

2'-'"J- = Fx - 3(-l, 0) - (1. 1 - 3/2)R = F2 + (b2/a) J = F2 + 3(-l,0) = (-5, 1 + 3/2)S = F2 - (b2/a)JX = F2 3(-l> 0) (1. 1 ♦ 3/?)

4.13 EJERCICiIO. Hallar la ecuación de la hiperDola H cuyas asíntotasy pasa por P(2, -5) .

SOLUCIÓN. Analizando las coordenadas del punto P = (2, -5) y las

rectas asíntotas, se deduce que el eje focal es paralelo al EjeY . Luego, como las asíntotas tienen como ecuaciunes

y = t (a/b) *

entonces a/b = 5/3 ... (a)

lo cual no implica necesariamen te que sea a = 5 y b = 3 .Asi, siendo la ecuación de H :

.2y (2, -5) e H

a2 b2

= > [(-5)2/a2] - [(2)¿/b2] = 1

De (a) y (B) se deduce que Por lo tanto, la ecuación de H es

... (6 )

a = 5/5/3

9/

125— = 1 5

4.14 EJERCICIO. En XY, hallar la ecuación de la hipérbola cuyas asínto tas son paralelas a los ejes coordenados. La hipérbola pasa por (3, 2) y su centro se encuentra en el punto (-1, 1). Encontrar, además, los focos, los vértices, las directrices y los extremos B del Eje Conjugado.

SOLUCIUN. Como las asíntotas son paralelas a los ejes coordenados, se puede consiaerar un nuevo sistema X'Y', mediante el vector unitario ü = (1, 1)/✓2 , puts el eje focal formará un ángulo de 45° tanto con

412 Int'iuduccA.ün al Audi cj < i Matemático Cap.t

las asíntotas como con los ejes C = (-1. 1) ; y las fórmulas de

*' - [(*. y) - C ] - ü

y ’ - [ ( * . y) - c ] • ü J-

x' * (x ♦ y )//2

y 1 * l y - * - 2)/*2 ■En el sistema X'Y' , el pun to P * (3. 2) = (x, y) ten dri coordenadas

x' * 5//2 . y’ = -3//2y la hipérbola:

x'2 y*2— - V * 1 ... (*)d b2

Y como las asíntotas son y' =■ i x* , entonces resulta: a “ b .. (1)Reemplazando x‘ , y‘ en (*),

(5//1)2 (-3//1)2 , 25 9--- 5- - ----y-- = 1 = > --J - --ó - 1 ... (2)

az b 2a

De (U y (2) : a » b = 2» 2 , c = 4 , e * /2 . Las directrices son:

L2 : P - C + (a/e)ü + tüX ==« (x, y) = (-1, 1) + 2(1. 1) + t(-l. 1)

Lt : P - C - (a/e)ü + tùX ==> (x, y) - (-1. 1) - /2(1, 1) + t(-l. 1)

Luego, L2 : x + y « 2/2 , Lt : x + y « -2/2 ,

las que también pueden ser obtenidas de la ecuación x* » i (a/e) .

De (*) , con a2 * b2 * 8 se tiene x‘2 - y '2 = 8 , de donde

la ecuación de la hipérbola viene a ser

(x + y)2 [y - x - 2)2- -- » B = >

2xy - x + y - 5

Vj * C ♦ aü * (1, 3) , V2 * C - aü * (-3, -1)

Fj * C ♦ cü = (-1 + 2» 2 , 1 + 2/2)

F2 * C - cü « (-1 - 2*2 , 1-2/2)

B, * C + bu-1 = (-3. 3) , B2 = C - bu-1 » (1, -1)

coordenados XY . El nuevo origen, el centro transformación de condenadas:

Cap. i H^péx botai 413

i*. 15 EJERCICIO. Los focos de una hipérbola H se encuentran en la rec ta L : 2x - jy + 16 » 0 . Si una de las asíntotas es la recta y « 4 , y se sabe que la hipérbola pasa por P ■ (2, 10), hallar la ecuación cartesiana de H en XY , los focos y la otra asíntota L" .

POLUCION. El eje focal X' es la recta L: Zx - 3y + \b = 0 , con vector di reccional ü « (3,2)//13 . Si una asíntota es la recta horizontal L‘ : y = 4 , y sitiene la forma de la figura adyacente, donde L D L* o rigina el centro C de H Es decir, reemplazando y = 4 en L : Zx - 3y + 16 = 0 ,= » x = -2

= > C = {-2, 4) .

P - (2, 10) c H , entonces la hipérbola H

1 (*)

En X'Y' : La recta L = X'es horizontal, y

la recta L" tiene como pen_ diente ta pendiente, con ¿ig

no opueito de ta r¿cta L‘ (ver la figura). Y por las FORMULAS DE TRANSFORMACION DE CUORDENADAS: x . (_2) + [(3,. .

y = (4) + [(2*' + 3y')/✓ 13 ] , entonces

L* : y = 4 L' : 2x' + 3y' = 0 . L” : 2x‘ - 3y" = 0 , ==>la pendiente de L" es m" = 2/3 = tan a = b/a en X’Y' ... (**)

Además, por las F 1RMULAS DE TRANSFORMACION, el punto P - (2, 10) , tiene en

el sistema X‘Y‘ las coordenadas P‘ = (x1, y') = (24/ 13, 10//13) y

y como P‘ e H , entonces reemplazando estos valores en ( * ) y ( * * ) :

a = 3/3 , b = 2/3 , c = /39 . Así, H: (x,2/27) - (y*2/12)

donde x’ = [(x, y) - C ] - ü ■ (3x + Zy - 2)//13= [3y - 2x - i6)//Í30 , entonces L“ : by - 12x = 44 .

= 1

y ' = [(*, y) - c ] . ü xPuesto que L“ : 2x' - 3y'

Además, los focos son Fj , F2 = C t cu (-2, 4) i /3( 3 , 2)

414 lntn.uducc4.ón aí A n ita a Ma.tnmiLt<.cu Cap.S

4.16 EJERCICIO. Sea H la hipérbola cuyo centro es C = (-45, 15), y uno de sus vértices es Vi * (3, 51) . Si el punto Q* (10, 50) e H , encontrar las ecuaciones vectoria - les de la hipérbola H y de sus asíntotas.

So l u c i ó n . CV, = Vi - C - (48. 36) = 12(4, 3) = > ü = (4, 3)/5

x1 = (Q - C) -ü - (55. 35).ú = 65 , y' = (Q - C) -ü -1- = (Í5, 35) -1¡ -1 = -5 a = d[C ; Vt ] » 60x' = 65 , y' = -5 ,

x-2 y'2

B: 7 - ? ‘ 1

Q - (x‘, y') = (65, -5) e H

_

60 2

( - 5 r = 1

=s> b = 12, c = 12/26 ECUACIDN VECTORIAL DE H : ,,2 .,.2

1 dondey

3600 1 4 4*' = [(*> y) - c].¡¡ y ' - [ ( x . y) - c i - i 1

ü = (4, 3)/5 .

ASINTOTAS .(x, y) = C ♦ t(aü i b ü ) .

4.17 PROPIEDADES DE LAS RECTAS TAN6ENTES A UNA HIPERBOLA

Considerando la hipérbola (x2/a2) - (i/2/b2) = 1 , la ecuación de la recta Lj tangente a H en un punto de contacto (x0, ya) =

Pc , tiene la forma XoX yoy

T “ ~ Lja b*-

— 2 2 Así, Lj tiene vector direccional w = |a üD , b xQ) .Si a y b son los vectores focales del punto Pc = (xD, yQ) e H , probaremos que w es BISECTRIZ de estos dos vectores i y b (ver Fig.) ; esdecir, que a - B . Para ello, tenemos que

‘ ío ) *a ~ Fi- P0 - (“ C - x O J - y0 )

Cap. t Hipínbolai 415

Por lo tanto,

eos a =

(ca¿y0 + c2x0y0)

|w|(a2 + cx0)/a

acy0

’ |w|

eos Bactfo

I w |

N O T A . Eita pA.0p4.edad iziulta independíente de ¿u poifción en el plano y

la A.e¿uirUmc¿ en eJL ¿¿guíente teorema, cuya dematAación acubamoi

de nealizaA.

U . 1 8 T E O R E M A . La tecla tangente a una lbipin.bela en cualquier punto de

contacto PQ = (xc, y o) u BISECTRIZ de Coi vectonzi

íocalei de dicho punto de la hipérbola.

4 . 1 9 E J E R C I C I O . La hipérbola H tiene excentricidad e = ✓ 5/2 , y los vértices l/j = (-7, -3) y V2 = (9, 9). Hallar el

centro C , los focos y F2 , las asíntotas , las directrices y los extremo; del eje conjugado.

cosa = (5 . w)/(|£ | |w|) = -(ca2y0 + a2x0y„ * b~ x.0y0)/[ |w | / (c ♦ xc)2 * y2 ]

cose = (b - w)/( | b| | w | ) = -[i2x0y0 + b2x0y0 - c¡ yD)/í |w|/(c - x0)2 + J |Y como (x2/a2) - (y20lb2) = 1 , b2 = c2 - a2 , entonces

(c + x j 2 + «o - c2 + 2cx0 + x2 ♦ y2 = c2 *2cx0 + *2 + (c2 - a 2) ^ - (c2 - a2)a~

= a2 + 2cx„ ♦ (c2x2/a2) = (a2 + cx0)2/a2 .

Análogamente,

(c - x.l2 + u? =

ÍÍqJ

416 Introducción ai Anáí¿i¿i Hatemíticu Cap. i

SOLUCIÓN. El vector unitario en la dirección de V1V2 es el vector

ü = (V2 - Vl)/ | V2 - Vil = (4, 3)/5 . Además.

C = (Vi + V2)/2 =(1.3). a = | C\T2 I = I V2 - C | =■ | (8, 6)| = 10 ,

e = f i n = c/a . c = 5/5 . b = /c2 - a2 = 5

aü + bu-*" = (5, 10) y como vector normal ñ = (5, 10) = (-10, 5) , ó

también ñ = (2,-1) . Luego, L‘ : 2x - y = -1 .

La asíntota L" tiene representación vectorial

L" = t (*, y) = C + t(aü - bú1 ) / t e R )- ( (*. y) = (1.3) + t(11, 2) / t e R } , y su ecuanón carte

siana es L" : 2x - lly = - 31 .

También tenemos que Fj = C - c ü = (1-4/5, 3 - 3 / 5 )F2 = C + cü = (1 + 4>'5 , 3 + 3/5 )

V, = C - aü = (-7, -3) , V2 = C ♦ aü = (9, 9)= C + bü-1- = (-2,7) , B2 = C - bu1 = (4,-1)

La directriz Lj tiene como vector normal: (4, 3) , y pasa por el punto

Q! = C - (a/e)ü = (1 - (16/5/5). 3 - (12/5/5))

= » Lj : 4x + 3y - 13 - 20f 5

Cap.í Hipíxbotüi 417

La directriz L2 tiene coio vector normal : (4, 3) , y pasa por el punto

Q2 - C + (a/e)ü - (1 +(16/5/5), 3+ (12/5/5))

==* L2 : 4« ♦ 3¡( * 13 + 20/5 .

4.20 E J E R C I C I O . Si un Toco de la hipérbola H es Fx = (2, 1) y un lado recto está sobre la recta L„ : 3x + 4y = 10(1 + 5/2)y mide 10 unid, de longitud, determinar el centro C . los vértices Vj , V2 , las asíntotas L* , L" , la ex

centricidad y las ecuaciones de las directrices.

So l u c i ó n .

El lado recto MN mide

10 = 2bZ/a .. (1)

2c ‘ d [ F n F2]

= d[Fi ; L0]

| ID - 10(1 + 5/2) |z ------------------------------------------------------------

5= 10/2

= > c - 5/2 ,

50 = c2 = a2 + b2 .. (2)

Resolviendo (1) y (2) :

a = 5 , b = 5 , e = c/a - /2 , de lo cual resulta que

C = F1 + cü = (2 + 3/2, 1 ♦ 4/2) , donde ú * (3, 4)/5f2 - Fj + (2c)ü - (2 + 6/2, 1+8/2)Vt - C - aü - (-1+3/2, -3 + 4/2)V2 - C + aü - (5 + 3/2, 5 + 4/2)

La asíntota L' pasa por C y tiene vector direccional aü + büX ■ (-1, 7)

= > L1 : 7* + y * 15 + 25/1

La asíntota L" pasa por C y tiene vector direccional aü - büX ■ (7, 1)y como vector rormal : (-1, 7) , de modo que

= » L* : -x + ly - 5 + 25/2

La directriz Lt tiene vector normal (3, 4) y pasa por el punto Qt »

418 IntAoducctón al Atrilliti Matemàtico Cap. S

Qt = C - (a/e)ü= (4 + 3/2, 2 + 4/2 )/2 ,

Lj : 3x + Ay = (20 ♦ 25/2J/2

La directriz L2 tiene vector normal (3, 4) y pasa por

Q2 = C ♦ (a/e)ü

- (4 + 9/2, 2 + 12/2 )/2 ,

L, : 3x + Ay = (20 + 75/2)/2

4.21 EJERCICIO. Después de una rotación de los ejes coordenados X, Y, en un ángulo de 8 radianes, 0 < 0 < ir/2 , segui - da de una traslación al nuevo origen C = (3, -1) , la

2 2ecuación de una cónica resulta x‘ = 6 + 2y' , y la ecuaciónde jna de sus directrices en el sistema XY resulta ser

Lj : 3x + Ay - 15 = D .

Hallar la ecuación de la cónica, identificarla, y así también la ecua ción vectorial j general de la otra recta directriz L2 en XY .

So l u c i ó n ..2

- £ 2 . , 3

Reconocemos la ecuación equivalente:

... (*) coiflu la dé una hipérbola H con

a = /6 , b = /3 , c = /a2 + b2 = 3

y a/e * 2 , siendo Lt : 3x + Ay = 15 la directriz cuyo vector normal (3, 4) es paralelo al eje focal X' de H . Consideremos el vector de traslación C = (3, -1) , entonces

*' = [(*. y) - C ] - ü = (3x + Ay - 5)/5y' = [(*,!/)- C ] • ü X = (3y - 4x + 15) /5

La directriz 2 'L2 :

X- = -(a/e) = -23x + Atj = -5

(3x * Ay - 5)/5 = -2

Y reemplazando x' , y‘ , en (*) , se tiene la ecuación de la hipérbola

Cap. S lntxoduc<Uón al knSJUAAA UaXemUticu 419

(3* + - 5)2 (3y - 4* ♦ 15)2H 1 ----------- — ------------ ~ 1

150 75

Y la ecuación vectorial de la otra directriz L2 resulta ser: L2 =

* t P = C - (a/e)ú ♦ tü1 } = { (x, y) = (3, -1) - 2(3, 4)/S + t(-4, 3) }= { (*. y) = (9/5. -13/5) + t(-4, 3) } .

y su ecuación general 3x + 4y - 5

4.22 EJERCICIO. La hipérbola H tiene un vértice en = (9, 3) , y el foco correspondiente al otro vértice en F2 = (-9,, -6) . Si la excentricidad es e = 5/4 , encontrar el centro C , el vértice V2 , el foco Fj , y las e cuaciones vectoriales de las directrices Di , D2 y de las asíntotas Li y L2 .

SOLUCION.

asi,

y como

Tomaremos ü el vector unitario en la dirección de

?¡vi - V, — F2 = (9, 3) - (-9, -6) = (18,9)

¡ = (2.1)//5 . a + c = d[Vi; F2] = | Vj - F2 |

= | (IB, 9)| = 9/5 ,

(c/a) * e * 5/4 , entonces a + (5/4)a = 9/5 = >

420 Intlvducció» al Anátii-ii HcUi¿ri/<r''} Cap. t

a = 4/5 , c = 5-5 , b = 3/!, . C = Vt - aü > (1, -1) V2 - C - aú = (-7,-5) , Fj = C + cü = (11,4)

Un punto de paso Q , para cada una de las DIRECTRICES [cuyo vector normal es (2, 1) ] , lo obtenemos como sigue:

q = C i (a/ejü = C i (a2/c)¡¡

= (37/5 , 11/5) .. (+) 6 (-27/5 , -21/5) .. (-)

==» D| : 2x + y = 17 , D2 : 2x + y ■ -15

ASINTOTAS P = C ♦ t[aG t büX ] , donde P = (x, y) ,

L, : (*, y) = (1. -1) + t(5, 10)

L 2 : U . y) = ( i . - i ) ♦ M U . - 2) .

4.23 iüERCICIO.

So l u c i ó n .

es decir.

Demostrar que el producto de las distancias de cual -quier punto P = (x y) de la hipérbola H de e

2 2 2 2 cuación (x /a ) - (y /b ) * 1 , es con&tante. e i2 2 2yual al valor a b /c .

La hipérbola H tiene como asíntotas a las rectas

y » 1 b/a)x , y = -(b/a)x ,

-1 ■ bx - ay - 0 , L2 : bx ♦ ay = 0

Luego, si P = (x, y) , entonces

d[P ; Lj ] • d [ P ; L2] =| bx - ay| | bx + ay|

/ ¿ T /a2 ♦ b2

b2x2 - a2*2 |

(a2 + b2)

puesto que

a2b2

(x2/a2) - (</¿/b2) = 1 .2 2 2 ,2 b x - a y a2b2

4.24 EJERCICIO. La hipérbola H tiene como asíntotas las rectasLj : k - y * l * 0 , L2 : x - 7i/ + 13 = 0

Si el producto de las distancias del punto Q = (29/3 , 13/3) e H a las asíntotas es 9/2 , hallar la excentricidad, los vértices y la eruación vectorial de la hipérbola H .

Cap.S Ha péAbotm 421

So l u c i ó n . La intersección de L¡ y L2 es C = (1, 2) , queviene a ser el centro de la hipérbola. Se puede ver a

demás que Q se encuentra ubicado como en la figura siguiente.La asíntota Lj tiene vector direccional (1, 1) y la asíntota L2 tienevector direccional (7, 1). Asi, el eje focal resultará la BISECTRIZ de las dos asíntotas, y su vector direccional será

¡ = [(1. \ ) /ñ ] ♦ [{7, l)/(5/2)] = (12/(5/2), 6/(5-2))

Elegimos ¡¡ como el vector unitario en la dirección del vector á . Así,ü * (2, 1)/V5 . Además, b/a - tan 6 , donde 6 es el ángulo entre(1. 1) y ü :

(1. 1)•(2, 1)eos 8/ 2 /5

3

✓10

sen20 = 1 - cos20 = 1/10 ,sen 0 * 1//10 , luego

tan 6 * 1/3 , de lo cual b/a =1/3 ó a = 3b .

Se sabe también que el producto de las distancias de Q a las asíntotas es a2b2/c2 = 9/2,y como c a2 ♦ b2 - 9b2 + b2

c2 = 10 b2

(9b2)b2

entonces

10 b* ¿

b = /i , a = 3/5 , 5/2 Luego, e = c/a

(7. 5)

(-5, -1)

= ( » 10 ) / 3

V, = C + aü * (1, 2) + [3^5 (2. l)/^5]V2 = C - aü * (1, 2) - [3/5(2, l)//5]

La ecuación vectorial de la hipérbola H resulta por lo tanto,

(x, y) = C ♦ x'ü + y-ü-1 , C = (1 2) .

H : x-2 ^ _

45 5(2, l)/^5

4.25 EJERCICIO. Sea H la hipérbola cuyas asíntotas son las rectas:

422 ¡aVwducciún al Anát i < s Uatemáticu C a p . S

Lj : (9,5) + t(l,.0) , L2 : 24* + Jy = 131 . Una directriz L de

pendiente positiva corta a la asíntota Lj en un punto P cuya abscisa es 7.Hallar la ecuación de H .

SOLUCION. Luego de hacer un dibujo de los datos: P = (7, 5), F„ e L j fl L 2

= > F„ = (4, 5), ü // v = 25(1, 0) + (7,-24) = (32, -24) =»• ü = (4,-3)/5La directriz L: 4* - 3y = 13 Además, si 6 es el ángulo entre X' y Lj

entonces eos 6 = [(1,0) - ü] = 4/5 =^> tan 6 = 3/4 ==^b/a = 3/4 , y como d [Fof L] = 12/5 = a2/c , y de c2 = b2 + a2 = »a = 3 , b = 9/4 , H : *'2/9 - 16i/,2/81 = 1 .


1. Con respecto a las ecuaciones de las hipérbolas siguientes, encontrar elcentro, los vértices, los focos, las asíntotas y las directrices:

a) (x - 2) 2/25 - (í/+1)2/5 = 1, b) (x - 1)2/16 - (y * 1)2/16 = 1,c) 9*2 - 16í/2 + 144* + ily + 79 = 0d) 9*2 - 4y2 - 18* - Hy + 44 = 0e) 4y1 - 16*2 - 48* - Ay + 1 = 0f) 5y2 - 4*2 - 6* - 15y + 10 = 0

2. Hallar la ecuación de cada una de las hipérbolas siguientes, así :omo elcentro, los vértices, focos, extremos de las cuerdas focales y las ecuaciones de las asíntotas y de las directrices: Estas hipérbolas tienen:

a) a = 4, b = 3, eje conjugado paralelo al Eje Y, centro (2, 4)b) a = 3, b = 4, eje transverso paralelo al Eje X, centro (4, -1)c) a = 5, b = 12, eje conjugado perpendicular al Eje Y, centro (1,-3)d) centro (-3,-1) , vértice (1,-1) y foco (2,-1)e) centro (0,2) , vértice- (0, 10) y foco (0, 19)f) centro (6,-3) , vértice (9,-3) y un foco en (1,-3)

g) vértices (1 i / 21 , -1) y foco en (6, -1)

h) vértices (6, 3 i /13 ) y un foco en (6, -4)i) focos (3, -13) y (3, 5) y vértice en (3, -4 + ✓ 17 )j) extremos del eje conjugado en (0, -3) y (4, 3) y un vértice en el

punto (2, -3 + / 21 ) . k) extremos del eje conjugado en (-3 i /24 , 1) y un vértice en el

punto (-3,6).I) un extremo del eje conjugado en (4,6) , un vértice en (8, 3) y

Cap.S Hipéribut'ii 423

un foco en el punto (-1, 3).

3. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P - (*, y) talesque

a) la diferencia, en valor absoluto, de las distancias del punto P a(4. 1) y (-2,1) es igual a 5.

b) la diferencia, en valor absoluto, de su distancia a los puntos (3,, -2) y (5,-5) es igual a 4 .

c) la diferencia, en valor absoluto, de su distancia a los puntos (4,, 3) y (-1. 0) es igual a 6 .

d) la distancia al punto (2, 3) es el doble de su distancia a la recta de ecuación y = 1 .

e) la distancia al punto (4, 5) es tres veces la distancia a la rectade ecuación * = -2 .

4. Hallar la ecuación de la hipérbola equilátera centrada en el origen, y que pasa por el punto (4, -2) .

5. Hallar la ecuación de la hipérbola equilátera centrada en el origen, y que pasa por el punto (-3, /2 ) .

2 2 2 2 <6. En la hipérbola (* /a ) - [y /b ) = 1 , hallar un punto (xQ, ya) para el cual sus vectores focales son perpendiculares entre sí.

7. Hallar la ecuación de la hipérbola con focos en (0, 0) y (6, 0) y excentricidad e = 3/2 .

8. Hallar la ecuación de la hipérbola que tiene sus focos comunes con la e-2 2lipse 24x + 49y = 1176 , si la excentricidad de la hipérbola es 5/4.

9. Hallar la ecuación de la hipérbola con vértices en los puntos (1, 2) y (1, 12) , y excentricidad e = 2 .

10. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyas asíntotas tienen las ecuacionesy = 2 i (3/z) (x - 1) , y pasa por el punto (4/3 , 6/2) .

11. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos vértices se encuentran en losfocos de la elipse [(* - 2)2/16] f [(y + 1)2/9] = 1 , y los vértices de esta elipse se encuentran en los focos de la hipérbola.

12. Hallar la ecuación de dos rectas perpendiculaes trazadas desde el focoderecho de la nipérbola (*2/16) - (» '9) - 1 a sus asíntotas

13. Hallar los puntos de intersección de la recta 20* + 21ij + 2 = 0 conla hipérbola (x2/9) - (y2/16) = 1 .

424 !ntrwduccUón al Anál¿i¿i MaXemíL. o Cap. t

14. Hallar el ángulo formado por las rectas asíntotas de toda hipérbola H cuya excentricidad sea e * 2 .

15. Hallar la excentricidad de la hipérbola cuyas asíntotas forman un ángulo de: a) 60° , b) 90° .

16. Hallar la ecuación de la hipérbola centrada en (0, 0) y con eje focalparalelo al Eje X ,a) cuyo semieje transverso mide 6 unid, y excentricidad 3/2 .

d ) cuya distancia focal es 26 y la excentricidad es 13/5 .c) que pasa por los puntos (-4, 3) y (/10, -3/2) .

17. En las siguientes hipérbolas, hallar la ecuación ae la recta tangente enel punto de contacto dado :

a) 25x2 - y2 = 100 ; (-3,5/5)b) Ay2 - x2 = 1 ; (-1, -/2/2)c) 4x2 - 3y2 = 24 ; (3, 2)

18. Hallar la ecuación de 1? tangente en el punto de contacto dado, a :a) Ay2 - x2 = 64 ; (-6, 5), b) 3y2 = 4x ; (3, 2) .

19. Demostrar que la longitud del eje conjugado de una hipérbola es media proporcional entre las longitudes de su eje transverso y su lado recto.

2 2 2 220. Si P = (xj, í/j) es un punto cualquiera de la hipérbola b x - a y -

a2b2, demostrar que las longitudes de sus vectores focales son |exi +

+ a| y | ext - a | .

21. Hallar las longitudes de los vectores focales del punto (6, 5) de la hipérbola 5x2 - 4y2 = 80 .

22. Hallar el ángulo agudo de intersección de las asíntotas de la hipérbola x2 - 9y2 + 2x + 36y - 44 = 0 .

23. Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por (6, 4), tiene su ejefocal paralelo al Eje Y y sus asíntotas son las rectas con ecuaciones

: x + 2(/-3 = 0, L2 : x - ly * 1 = 0 .

24. Hallar las asíntotas de la hipérbola 16x2 - 9y2 = 144 .25. Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por (3, 2), centro en (0, 0)

su eje transverso es el Eje X, y una asíntota es 2x - /7y = 0 .

26. Demostrar que el producto de las distancias de cualquier punto de la hipérbola b2x2 » a2b2 + a2y2 , a sus asíntotas es una constante ,

, 2. 2 . 2 »

Cap. 8 HipéALjlaó 425

27. Demostrar que la distancia de cualquier punto de una hipérbola equiláte ra a su centro es media proporcional entre las longitudes de los vectores focales del punto.

28. Dem'jstrar que los focos de un par de hipérbolas conjugadas están sobre una circunferencia.

29. Demostrar que la distancia de un foco a cualquiera de las asíntotas deuna hipérbola es igual a la longitud b de su semieje conjugado.

30. Si las excentricidades de dos hipérbolas conjugadas son et y e2 .2 2 2 2 demostrar que eL + e, = e‘ e‘ .

2 2 2 231. Demostrar que la elipse 3x + y = 6 y la hipérbola 3* -y - -3tienen los mismos focos. Tales curvas se llaman CONICAS CONFOCALES.

32. Demostrar que la ecuación del lugar geométrico de los puntos medios decualquier familia de cuerdas paralelas de pendiente m de la hipérbola x2/a2 - y2/b2 = 1 es y » (b x)/(a2m) , con m f 0, m f t b/a .NOTE que el lugar geométrico es una línea recta que pasa pur el centro y por lo tanto su ecuación corresponde a la de un DIAMETRO de la hipérbola.

33. Demostrar que si un diámetro de una hipérbola biseca a todas las Cuerdasparalelas a otro diámetro, el segundo diámetro biseca a todas las cuerdas paralelas al primero (DIAMETROS CONJUGADOS).

34. Demostrar que la pendiente de una hipérbola en cualquier extremo de cualquiera de sus lados rectos es njméricamente igual a su excentricidad para la hipérbola: .2 2 2 2 2.2b x - a i / = a b .

2 235. Hallar todas las rectas tangentes a la hipérbola: x - y = 1 conpendiente 2 .

2 236. Hallar todas las*rectas tangentes a la hipérbola: x - y = 16 , quepasan por el punto (3, -1/3) .

2 237. Hallar el ángulo ac,udo entre la tangente a la elipse x + 4y = 252 2en el punto (-1, 1) y la tangente a la hipérbola x - 10i/ = 90 en

el punto (10, 1) .38. Hallar una ecuación de la hipérbola cuyos focos están en los vértices

de la elipse 7x2 + 11 y2 = 77 y cuyos vértices son los focos de estaelipse.

39. Hallar una ecuación de la elipse cuyos focos son los vértices de la hi-2 2pérbola llx - 7y = 77 y cuyos vértices son los focos de esta hi-

426 /»ifímiueci V at Aii&LLiis Uatemítlco Cap. i

pérbola.

40. El costo de producción de una mercancía es 12 dólares menos por unidad en un punto A que en un punto B, y la distancia entre A y B es de 100 millas. Si la ruta de entrega de la mercancía está a lo largo de una linea recta y la entrega cuesta 20 centavos de dólar por unidad por milla, hallar la ecuación de la curva en cualquier punto del cual la mercancía puede ser surtida desde A ó desde B al mismo costo.

SUG: Tomar: A * (-50. 0) y B = (50. 0) .

41. Tres radioestac'iones están localizadas en los puntos A - (0,0), B = (0, 21/4) y C = (25/3, 0), siendo la unidad 1 milla. En estos puntos están localizados micrófonos que demuestran oue un revólver está a 5/3 de milla maS cercano a A que a C, y a 7/4 de milla más cercano a B que a A . Localizar la posición del revólver.

42. Demostrar que el producto de las distancias de los focos de una hipérbo la a cualquier recta tangente es ccn*taníe e igual al cuadrado de la longitud del semieje conjugado.

43. Demostrar que el punto de contacto de cualquier recta tangente a una M pérbola es el punto medio del segmento de recta tangente comprendido en tre las asíntotas.

44. Demostrar que que el triángulo formado por una tangente cualquiera a u- na hipérbola y sus asíntotas tiene un afea constante.

2 245. Hallar las rectas tangentes a la curva 3x - 4 y + 24 = 0 «)ue seanperpendiculares a la recta: 2* + y * 7 .

46. En un punto P, excepto el vértice de una hipérbola equilátera se traza una norma que corta al eje focal en el punto Q . Si R es el centro de la h.pérbola, demostrar que |RP| = | PQ| .

47. Las tangentes en los vértices de una hipérbola cortan a otra recta tangente en los puntos M y N. Demostrar que M, N y los focos de la hipérbola se encuentran sobre una misma circunferencia .

48. El semieje menor de una hipérbola mide 3 unidades, y su excentricidad es >5 . Hallar la distancia focal.

49. Demostrar que la suma de los cuadrados de los recíprocos de las excen - tricidades de dos hipérbolas conjugadas es igual a 1 .

50. Hallar la distancia de los focos de una hipérbola a una asíntota.

C a p . S Hipérbola* 427

51. Si desde un puhto exterior Q = (r, s) se trazan tangentes a una hipér bola, el segmento que une los puntos de contacto se llama CUERDA DECONTACTO del punto Q para dicha hipérbola. Demostrar que si Q =

2 2 2 2(r, s) es un punto exterior a (* /a ) - (y /b ) * 1 , la ecuación de la Cuerda de Contacto de Q es: (r/a2)x - (s/b2)i/ = 1 .

52. Hallar la ecuación de la Cuerda de Contacto del punto (2, -4) de lahipérbola 3x2 - 2y2 = 3 .

253. Probar que r/s = e , donde r es la distancia entre las directri

ces, s es la distancia entre los focos, y e la excentricidad de u-na hipérbola.

54. Probar que una asíntota, una directriz y la recta que pasa por el corres pondiente foco, perpendicular a la asíntota, son concurrentes.

55. Desde cualquier punto P = (r, s) sobre una hipérbola se traza una recta paralela a una asíntota, que corta a la directriz D en el punto R. Demostrar que el triángulo RPF es isósceles.

SUG: Probar que |PR | = | PF|

56. Sean AP y A'P segmentos que cortan a una directriz D en los puntos M y N , respect., donde A1 A es el eje mayor y P = (r, s) es cualquier punto de la hipérbola. Probar que el ángulo MFN es recto, sien do F el foco correspondiente a la directriz D .

57. Con respecto al Ejercicio previo, si P‘ = (r, -s) es el punto simétrico a P = (r, s) en el lado opuesto del eje transverso, probar que AP es perpendicular a A'P' , y también que AP' es perpendicular a A‘P , siempre }ue la hipérbola sea equilátera.

SUG: ProDar que (m4P){m, „<) * (— — )(— — } = -1 , pues a = b.ju- ftr r-a + a

Análogamente se prueba que AP' _L A'P .

58. Probar que el producto üe las longitudes de los vectores focales de cual quier punto (r, s) sobre una hipérbola equilátera, es el cuadrado de la distancia desde el centro a dicho punto.

SUG: Probar que |FP||FTP| = (r^2 - a)(r. 2 + a) = r2 + s ? ,para la rama derecha.

59. Tome cualquier cuerda P'P paralela al eje conjugado de una hipérbolarectangular. Probar que los ángulos P'AP y P'A'P son suplementarios.

SUG : Es equivalente a probar que los ángulos de las pendientes de AP

428 I nVwducciOn at AnátÍA<¿ Matemáiicu Cap. t

y A'P son complementarios (por simetría, tomar (r, s) en el primer cuadrante): tan (90° - are tan [ s/(r - a)]) = cot tan [ s/(r - a)] =

= (r - a)/s = (r2 - a2)/[s(r + a)] = s/(r + a).60. Se trazan perpendiculares desde cualquier punto P - (r, s) de una hi

pérbola a sus dos asíntotas. Probar que el producto de estas dos distancias perpendiculares es una constante, independiente de r y s . Determinar además cuál es esta constante, tomando un punto particular, talcomo uno de los vértices. . . i t

I(r/a) - (s/b)| | (r/a) + (s/b) | a b2SUu . ■ ■ * - — 2—

/(l/a)2 + (1/b)2 / (1/a)2 + (1/b)2 c61. Por el punto P = (r, s) de una hipérbola se traza una recta paralela

al eje conjugado. Si esta recta corta a las asíntotas en M y N , probar que | MP | -1 NP | es una cemítante. , independiente de r y s .SUG ■ Si M = (r, br/a), N = (r, -br/a), probar que

|MP|.|ÑP| - { £ - S) ( £ ♦ s) . b2 .

d2. El punto P se mueve de manera que el triángulo formado por dos rectasfijas perpendiculares y una recta que tiene a P como su punto medio,tiene un área constante. ¿ Cuál es el lugar geumétrico del punto P ?RPT : Si se toman dos rectas fijas como los Ejes X y Y, P = (x, y) elpunto medio, los extremo* del tercer lado del triángulo son (2x, 0),(0, 2y) y el área resulta (1/2) | 2x 11 Zty | = a2 (¡vuLa coivitante.).

El lugar geométrico consiste de dos hipérbolas equiláteras con las rectas dadas como asíntotas (todos los cuatro cuadrantes).

63. a) El punto P se mueve de manera que su distancia a una recta fija Les igual a la distancia desde un punto fijo A, el pie de esta distancia perpendicular. ¿Cuál es el lugar geométrico de este punto?

b) ¿ Cuál es el lugar geométrico, si estas distancias no son igualespero su cociente es una constante diferente de 1 ?

RPT: (b) Tome L como el Eje Y, A = (a,0), P = (x, y), entonces2 2 2 2a *y = b x . El lugar geométrico es una hipérbola con la recta dada como eje conjugado. Si b = 1, ésta es la parte (a) y el lugar geométrico es una hipérbola equilátera con A como un vértice.

64. Sea RR* una cuerda paralela al eje menor de una elipse. Se une un extre mo del eje mayor a R , y el otro vértice a R‘ . Se prolongan estas rectas hasta intersectarse en P. Cuando RR‘ recorre la elipse, siempre per

Cap.i Hipéibutai 429

maneciendo paralelo al eje menor , ¿qué curva recorre P = (x, y) ?

SU6: Considere una elipse en posición standard al Eje X, y sea R =(r, s) , entonces R‘ es (r, -s) y r2/a2 + s2/b2 = 1 ,A'R : yr - (* + a)s = -ay , AR‘ : yr + (x-a)s = a y ,

2==& r = a /x , s = ay/x , y como además:

1 = r /a2 + s2/b2 = a2/x2 + a2y2/(b2x2) = > x2/a2 - y2/b¿ = 1

65. Para las propiedades de una elipse, de los problemas 38-(a), (b), 41y 42 de la Serie de Problenas Propuestos para elipses, probar que las hipérbolas satisfacen las mismas propiedades.

66. Desde los focos de una hipérbola se trazan dos distancias perpendiculares a la recta tangente en el punto (r, s) .Probar que el producto de estas distancias es una constante.Determinar además esta constante considerando un caso particular. Verel problema [4.23] , resuelto en el texto.

67. La tangente en el punto (r, s) a una hipérbola es cortada por las dos asíntotas. Probar que:

a) (r, s) es el punto meaio de este segmento de recta tangente.b) el área del triángulo formado por este segmento de recta tangente

con las asíntotas es una constante independiente de r y s. Deter minar además el valor de esta constante con un caso particular.

2 2RPTA: a) La tangente {rx/a ) - (sy/b ) = 1 corta a la asíntota:x/a = y/b en el punto: a b j

(r/a) - (s/b) ’ (r/a) - (s/b)Probar que el punto medio tiene abscisa:

(l/2)(a/[(r/a) - (s/b)] + a/[(r/a) + (s/b)]) = r y ordenada igual as.

d ) El área es i (1/2) [(-ab/1) - (ab/1)] = ab . Como caso particular tome la recta tangente en un vértice.

2 268. Hallar las tangentes de pendiente m = 3 a la hipérbola 4x - y ■= 5.2 269. Hallar las dos tangentes desde (1,-2) a la hipérbola x - 2y =2.

70. Hallar la condición sobre m y b para que la recta y = mx + b sea tangente a la hipérbola: (x2/a2) - (y2/b2) = 1 .

71. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes comunes a las curvas:

430 IntiuducctÓH at MaXemáXi u Cap.í

2 272. Calcular la longitud de un cuadrado inscrito en la hipérbola * /a -2 2

y /b » 1 . Analice sobre qué hipérbolas se puede inscribir un cuadrado.

73. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyas asíntotas son y = 2 i {3/2){ *-1) y que pasa por (5, -9/2) .

74. Los vértices de una cónica son los puntos (1,2) y (5,6). Si su excen tricidad es e = /2 , hallar su ecuación vectorial y las de sus directrices.

75. Dada la elipse (x + 2)2 + (y-l)2/5 = 1 , hallar la ecuación de la hipérbola uno de cuyos vértices coincide con el centro de la elipse, sabiendo además que las asíntotas de la hipérbola se cortan en un punto de la elipse y cada una pasa por un foco de la misma. Encuentre todas las soluciones posibles.

2 2 2 2 2 2 2 276. Dadas las hipérbolas conjugadas * /b - y /a =1, y /a - x /b =1, el Srea del rectángulo cuyos vértices son los vértices de las hipérbolas dadas es 3 u2 y los lados rectos miden 288 unidades. Hallar losvalores de a y b .

77. Los focos de una hipérbola son los extremo» del lado recto de la parábo-O

la y * 12 = 4</ + 8x . Encontrar la ecuación de la hipérbola sabiendo que triseca al lado recto de la parábola.

78. Hallar e1 área del paralelogramo limitado por las asíntotas de la hipérbola 100x2 - 4y2 = 400, y las rectas trazadas por cualquiera de sus puntos y paralelas a sus asíntotas.

79. La recta 2x = y + 4 es tangente a la hipérbola cuyos focos son (3,, 0) y (-3, 0). Hallar su ecuación.

80. Las asíntotas de una hipérbola H cuyo eje focal es paralelo al Eje Xson 2y = x + 8. 2y + x + 4 = 0. Hallar la ecuación de H sabiendo queel producto de las distancias de cualquier punto de H a las asíntotas es 8/5 . SU6: Ver el Problema 26.

81. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes trazadas a la hipérbolax2 - 4i/2 = 18 desde P = (6, 3/2) .

82. Dada la recta x - 2y = -3, y el punto F = (-9,-3), hallar la ecuaciónde la hipérbola cuyo centro es C = (3, 3) sabiendo fue F es uno de los focos y que su semieje transverso mide 2/5 , y su semieje conjugado 2 .

83. Dada la recta 4x - 3y - 2 = 0, y F = (-2, 4), determinar la ecua -ción vectorial de la cónica, sabiendo que la recta dada es una de lasdirectrices de la cónica, y F el foco correspondiente, siendo su excen

Cap.t Hipéfibvtas 431

tricidad e = 3/Z .

84. Los extremos del lado recto de una rói.ica son los puntos (11, -7/2) y

(11, 11/2) y su excentricidad es 5/4. Hallar su ecuación.2

85. Encontrar las ecuaciones de las rectas tangentes a la hipérbola x /42

- y /6 = 1 que son paralelas a la recta 2y - 4x + 1 = 0 .2 286. Los focos de la elipse (* + 3) /16 + {y+5) /9 = 1 son los vértices

de una hipérbola, y a su vez los focos de ésta última coinciden con los vértices de la elipse. Determinar la ecuación vectorial de la hipérbola y de sus directrices.

2 287. Hallar los puntos de intersección de la hipérbola x /25 - y /16 = 1 con la recta 4x - 3y = 16 .

2 288. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola * - j/Í' = 16 , trazadas desde (-1, -7) .

2 9 2 289. La ecuación de una cónica es (x-a) /a“ = 1 + (y-b) /b . La pen

diente de la recta tangente a la hipérbola, en el punto cuya abscisa es 3a y cuya ordenada es negativa, es -2 . Hallar la excentricidad.

90. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focos son los vértices de la e2 2lipse 64x + 100í/ = 6400 , y cuyas directrices pasan por los focos

de ésta.

91. hallar la ecuación de la elipse que tiene sus focos en los vértices dela hipérbola cuyas asíntotas y directrices son y = ± (3/2)x , yy = í 4 , respectivamente , y los vértices de la elipse son los focos de la hipérbola.

92. Calcular el área del cuadrilátero que tiene por vértices los focos y losextremos del eje conjugado de la hipérbola: 4x2 - Sy2 = 36 .

93. En una hipérbola de excentricidad 7 y de directriz 3x - Ay + 5 = 0 ,calcular la distancia del pünto (-1, 1) de la hipérbola, al foco.

94. Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por (1, -4) , y cuyas a-síntotas son: x = 1/2 y y - -3/2 .

95. Hallar la ecuación vectorial de una hipérbola equilátera que tiene unfoco en F = (3,0) y por directriz correspondiente a : x - 2y = 0 .

96. Si (a, b) es el punto de intersección de las asíntotas de la hipérbola 4x2 - 24xy + 11 y2 * 56x - 58y - 5 , hallar a + b . (Factorizar).

97. Una eliose y una hipérbola tienen sus focos en (2,0) y (-2,0) . Sisus excentricidades son 1/4 y 4 respect., encontrar sus puntos de

432 I>ifii>duiic(i>n al A 'át<i, i Ua.tuiiátA.co Cap. i

intersección.2 298. Hallar el valor de k para que la ecuación 2x - k*/ + Zy - 2 ■ 0 ,

represante dos rectas que se cortan.

99. Hallar la ecuación de la hipérbola de centro en el origen y con ejeconjugado en el Eje X, si sus asíntotas son: y - t (4/3)x y la distancia entre sus rectas directrices es de 48/5 .

100. Dados Fj = (1,4), f2 = (2,3) los focos de una elipse E, se tomaun punto (3, y) en E donde y > 1 , tal que el triángulo formado por dicho punto y los focos de E tenga un área de 3/2 u2. Hallar la ecuación vectorial y la excentricidad de una hipérbola H que tiene u no de sus vértices en el punto (3, y) sabiendo que la recta tangentea la elipse en el punto (3, y) es perpendicular al eje focal de H,que la excentricidad de E es la inversa de la de H , y que el otrovértice de H tiene coordenadas (x, 2) y pertenece a la elipse E .

101. Las asíntotas de la hipérbola H cuyo eje focal es paralelo al Eje X,son: 2</-x-8 = 0, 2</ + x + 4 = 0. Hallar la ecuación cartesianade H sabiendo que el producto de las distancias del punto de coordena das (-1, 5/2) a las asíntotas es 8/5 .

102. E es la elipse cuyos focos son (0,2) y (-6,2), y el área del rectánguio circunscrito a E, cuyos lados son paralelos a los ejes focal ynormal de E, es 80 u . Sea H la hipérbola cuyas asíntotas son los ejes focal y normal de E, tal que el eje transverso de H tiene pendien te positiva, y Pe = (-7,0) e H ,

a) Hallar la ecuación de E, b) El eje transverso de H ,c) La ecuación de H , d) La recta tangente a H en P0 , y

e) La ecuación de una de las directrices de H .

103. Sea C la cónica tal que su excentricidad es e = 1/5 (= c/a) , yla recta L ■ { (t - 65, 2 - 2t) / t e R } es una de sus directrices correspondiente al foco (-4, 0) ,

a) Hallar la otra directriz .b) Hallar la excentricidad de la hipérbola H cuyos focos y vértices

son, respectivamente, los vértices y los focos de C .c) La directriz derecha de H .

104. Q= (11. 3) es el centro de un cuadrado uno de cuyos lados está sobre L: 3x - iy - -4. Si Q es el centro de las hipérbolas conjugadas H y

Cap. i Hipéi bottu 433

y H* cuyas asíntotas son las diagonales del cuadrado y L es tangente a H , calcular a) la ecuación de uno de los lados del cuadrado,perpendicular a la recta dada, b) las ecuaciones de H y H‘ , c) las ecuaciones de las rectas directrices de K.

105. Sean Pj = (-3, -4), P2 = (3, 4), P3 = (4.3, -3^3). Considere ,1-2, Lj . las rectas que contienen las alturas del triángulo equiláteroP1P2P3 trazadas de los vértices Pj, P2, P3 respectivamente. Seauna parábola, E una elipse y C una circunferencia. El eje de coincide con L2. El centro de E (excentricidad l/»3) está en L[ . Además, Lj es tangente a P y C en Pj , L2 es tangente a E y C en P2 , y L3 es tangente a í5 y E en P3 . Hallar a) la e-cuación de C, o) la ecuación de P , c) las longitudes a y b delos semiejes mayor y menor de E .

106. Dada la hipérbola H , uno de cuyos focos es (2, 0), si la recta L :(11, 9) * t(-1, 1), es la directriz de H correspondiente al otro foco. Hallar la ecuación vectorial de H si la excentricidad de la hipérbola conjugada de H es /2 .

2 2107. Dada la elipse E : 4x + 9y = 72 . Sea H una hipérbola cuyas asíntotas son la recta normal y la recta tangente a la elipse en el punto(3, 2). Si el eje transverso de la hipérbola no corta al 4to. cuadran te, y la distancia entre las directrices de H es 4v2 . hallar la ecuación de H y de las rectcs que contienen los lados rectos de H .

108. Sea C una circunferencia con centro en F0, el cual a su vez es centro de la hipérbola H . Se sabe que C corta a las asíntotas Je Hen (5, 45) y (101, -27), que (65, 25) e C , el vector direccio-nal del eje transverso tiene sus componentes del mismo signo y el ladorecto mide 90 unidades de longitud. Hallar la ecuación de H .

109. Sea H una hipérbola equilátera. El punto Pi = (-20, 36) e H , cuyocentro es F0 = (-17, -60), y la recta que pasa por estos dos puntosforma con el eje focal de H un ángulo cuya tangente es 4/5 . Si el eje focal tiene pendiente positiva, hallar la ecuación de H y de sus asíntotas.

110. Los extremos del lado recto de la parábola *P cuya ecuación es “p :U, y) = (-3, 4) + x'[(4, 3)/5] ♦ y’ [(-3, 4)/5] , x' 2 » - 20y' ,son los focos de una hipérbola H , donde L : 4>c + 3y - 2 = 0 es u-na directriz de H , hallar la ecuación de H y de sus asíntotas.

434 1 ntiwducc iú>i a¿ Ai:áJ MatmnáXxco Cap. 8

111. Hallar la ecuación de la hipérbola con ejes paralelos a los ejes coordenados y centro en el origen, sabiendo que la distancia entre los focos es de 12 unid, de longitud, y el lado recto mide 5/6 de dichad. tancia. Indicar las dos soluciones.

112. El punto Fc = (11, 3) es el centro de un cuadrado uno de cuyos vért^ces es Q = (18, 2). Si además Fc es el centro de una hipérboia Hcuyas asíntotas son las diagonales del cuadrado y si Cp ¿ (FCQ ) = a ,

siendo ü el vector unitario de rotación de coordenadas (con ambas componentes positivas) del sistema XY al sistema X’Y' con origen en Fc , y donde a = 4/2 es la longitud del semieje transverso, hallara) la ecuación de H , b) los focos , c) las directrices de H .

113. Sea H una hipérbola de excentricidad 3 . Sean P1 = (6/2, 6/2) eHy u = (-6i'2, -6*2) e H , tales que PjP2 es paralelo al eje focalde H . Si F0 es el centro de la hipérbola y el triángulo isóscelesPlP2F0 de base PjP2 , tiene como altura a | PjP2 | , hallar la ecua - ción de H y de sus asíntotas.

LLAVE DE RESPUESTAS

2. a) (x-2)¿/16 - [y - 4)2/9 = 1 g) (x - 1)2/21 - (y + l)2/4 = 1

c) {y* 3)2/25 - (x- 1)2/144 = 1 i) (y * 4)2/17 - (x - 3)2/64 = 1

e) [y- 2)2/64 - x2/225 = 1 k) (y - l)2/25 - (x + 3)2/24 = 1

3. a) (y2/9) - (x-3)¿/7 = 1c) 48x2 + 48xi/ + 28y - 216x + 304« + :391 = 0

e) x2 - 3y2 - 4x + 14</ + 9 = 0 , f) o 2 2 .8 x - y * 44x + 10y - 5 = 0

4. x2 - y2 = 12 , 5. x2 - y2 = 7

6. Cuatro Soluciones: xG ■ í (a/e) J 2e2 - 1 ya - t (b/e) J 2e2 - 1

7. 9x2 - 16y2 = 144 , 11. 9(x-2)2 - 7(i/+l)2 = 6312. 4* + 3y = 20 , 4x - 3</ = 20 13. (5, -16/3), (-15/4, 3)

14. 120° , 15. 2 •'T/ 3 , vi

16. a) x2/36 - y2/45 = 1 , b) x2/25 - y2/ W = 1 , c) 9x2 - 8y2 = 7217. a) 15x + ✓!y = 20 , b) x - (2/2 )y = 1 . c) 2x - y = 4

18. a) 3x ♦ lOy = 32 , b) 9y = 2x + 4 , 21. 5 . 13

23. x2 - 4y2 - 2x + By * 8 = 0 , 24. y = i (16/9)x

37. tan 6 = 5/3, 38. 7x2 - 4y2 = 28

Cap. i HipiribuÍJU 435

i 2<»0. Rama derecha de la hipérbola 16x~ - 9 y - 14400 , pues Costo (P) =

Costo de Producción + Costo de Entrega , de donde resulta:[(x + 50)2 + i/2]1/2 - [(x - 50)2 * y2] 1/2 = 60

41. (3,4), 45. y = (-l/2)x i 4 , 48. 3 /5

50. Distancia de (c, 0) a la recta bx - ay = 0 es igual a: b .52. 6x + 8y = 356. AP : y = s(x-a)/(r-a) intersecta a D en el punto

2M = (a /c , as(a - c)/[c(r - a)] ) ; de igual forma

2N = (a /c , as(a + c)/[c(r + a)] ) ; probar que mMF' mNF = _1

70. B2 = a2m2 - b2 , 72. 2ab /b2 - a2 , (es posible si b > a )73. 4(y - 2)2 - 9(x - l)2 = 25 , 77. 9(y - 3)2/16 - 9(x - 2)2/128 = 178. 10 u2 , 79. 4x2 - by2 = 20 , 80. (x + 6)2/8 - (y - 2)2/2 = 1

81. x - 6 = 0 , 5x - By - 18 = 082. llx2 - 16y2 + 36xi/ + 114x + 132y + 224 = 0

83. 64x2 + 208x + 19y2 + 292y + 216xy +364 = 0

89. e = c/a = /1 + (b/a)2 = 2 , 93. 84/5 , 98. k = 1/299. 9y2 - 16x2 = 54 , 96. (a, b) = (-2/5, 11/5), a + b = 9/5

IDO. c = (3/2, 7/2) , e = /lo , ü = (1, l)//2 , 2x,2/9 - 2y,2/8l = 1101. (x + 6)2/24 - (</ - 2)2/6 = 1

102. a) (x + 3)2/25 + (y - 2)2/16 = 1

b) T : (-3, 2) + t(t, 1) . c) x'2 - y '¿ = 12 . ú = (1, l)//2F0 = (-3, 2) , d) L : y1 = 2x‘ +_6

L : (0, -7 - 6/2) + t(l, -3)

e) D : (-3, 2) i /6 G + tú-1- , ü = (1, ^ / / “ÍO

103. a) L2 : (48, 26) + t(l, -2)b) C = (-2, 1) , u * (2, l)//5 , e = 5 , x,2/25 - y,2/120 = 1

D2 : (-8/5. 6/5) + t(l, -2)

104. a) Ll 2 : (11. 3) i (4, 3) + t(-3, 4)b) H : ü = (3. -4)/5 , C = (11, 3) , x'2 - y '2 = 25 ,

H': ü = (4. 3)/5 , C = (11, 3) , x,¿ - y'2 - 25

c) 0 : (11, 3) i [(-3, 4)//2 J + t(4, 3)

105. C : (x + 4/3 )2 + {y - 3/3 )2 = 100 ,9 : (4/3+9, 12-3/3 )/(10/3 ) , G = (4/3/3 , -3/3/3 )

V = G + (5/3/6)ü , y '2 = 4px‘ ; de la figura en X'Y1 el

436 InViuducción a l A n á J Maíemá'^ct Cap. 8

punto P3 = (|VM¡, 5) , M = punto medio entre Pj y P3 , y asi

K . y'o) = (5/3/6, 5) ==> p = 5/3/2 ,La ecuación de la parábola resulta íP : y,2 = 10/3x' , y de la

elipse E: i/,2/75 + x,2/50 = 1 , ü = (P3 - P2)X / 10

Fo = t(P2 + P3)/Z] * [(10//3)(P3 - ¡P2tX /10]

106. H : x'2 - y'2 = 6 , ü = (1, \)/<'l , C = (8, 6)

107. H : x'2 - y‘2 = 16 , ü = (5, l)//26 , C = (3, 2) ,

Lados rectos L: (3, 2) i [ 4/2 (5, 1)//26 ] + t (-1, 5) , t e R

108. x,2/6400 - y,2/3600 = 1 , ü = (3, 4)/5 , C = (5, -55)

109. x'2 - y'2 = 452 , ¡i = (3, 4)/5 , C = (-17, -60)

110. c - 10 , C = (0, 0) , a = 2 , b = 4.'6 , ü = (4, 3)/5 ,

a) x'2/4 - y'2/96 = 1 , b) A ^ 2 : t(aü i büJ') , t e R

111. c = 6 , b2 - 5a , a = 4 , b = 2/3 :

5x2 - Ay2 = 80 , Sy2 - 4x2 = 80

112. F0 = (11, 3) , a) ü = (4, 3)/5 , x‘2 - y '2 = 32

ri = F0 i 8¡¡ , : (x, y) = F0 i 4¡¡ + t(-3, 4) , t e R ,para ¿ = 1,2.

113. ü = (1. l)//2 , F„ = 12/2(1,-1), Pl = (12, 24)’ ,

c = 3a , a * 6/2 . b = 24 , x,2/72 - y,2/576 = 1 ,

: F0 + t( aü i bü ) , t e R , para í = 1 , 2 .

Cap. S La Ecuación General di Segundo Guiado 437

8 LA ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO

En las secciones anteriores hjmos visto que cuando elcoeficiente B tomaba el valor CERO las ecuaciones de 2° grado de la forma:

2 2A* + Bxy + Cy * Dx + Ey ♦ F ■ 0 (donde el término mixto xy no aparecía)

representaban ya sea una circun¿eAe.nda, una parábola, una elipse, una hi

pírbola ó un caso degenerado de estas curvas. Tal es el caso de las ecuaciones 4x2 + y2 = 0 , x2 - y2 * 0 . x2 - 9 - 0 , {y - l)2 = 0 , y de

2 2x + y +1 = 0 , que corresponden, respectivamente, a un punto, dot

rectas que te contan, dot metas paruuLelo , una tola, recta y el conjunto vacío2

en el plano IR .En esta sección demostraremos que si B t 0, SIEMPRE

ES POSIBLE elegir un nuevo sistema cartesiano X'Y' mediante una rotación de los ejes XY donde la ecuación transformada de la curva general oe 2° grado

2 2Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey * F * 0 carezca del término mixto x'y‘ , con

lo cual se habrá demostrado que todi ecuación de segundo grado con B f 0también repxesenta alguna de tai curvas amiba mencionadas (ó de tus casos de

generados), excepto por su posición en el plano R .

8.1 EJEHPLO Dada la ecuación xy - 8 = 0 , encontrar su ecuacióntransformada si se rotan los ejes en 45°. Graficarla.

So l u c i ó n 6 = 45° . El vector unitario de rotación ü está dado por

G = (eos 6, sene) = (1, l)//2 . Luego, porlas fórmulas de transformación de coordenadas.

(x, y) = x'u ♦ y'ü1 ■ x'fd. l)//2] ♦ y'[(-i, l)//2] = >

x' -y' x' + y'x = -- —— , y = -------=— , y que al reemplazar en la e-

^ ción original xy = 8 gene2 2ra la ecuación x' -a' x' + u' x u‘

( - _ )( _ ) = 8 = ► ~ T ~ ‘ 1/2 n 4 4 ‘

la cual reconocemos como la ecuación de una hipérbola equilátera con longitudes de los semiejes a * b = 4 , y donde ya no aparece el producto mixto : x'y' . Según la gráfica correspondiente (que aparece en la siguiente pág.) si se elige el vector opuesto (-1, -l)//2 como un nuevo vector de rotación u - (-1, -l)//2 se puede verificar rápidamente que la ecuación transforma

da será la misma (*) . En cambio, si se elige ü = i (-1, l)//2 , el or

43B La Ecuación GenestaZ de Segundo Gxado Cap. t

togonal de los anteriores, entonces geométricamente también podemos deducir que la ecuación transformada de la misma curva se rá:

pues el eje focal resulta rS paralelo al Eje Y* en otra figura correspondien te a este vector ortogonal

G « i (-1, l)//2 , y que invitamos al lector a bosquejarla como Ejercicio.

8.2 REDUCCION DE LA FORflA CüADteTICA A X 2 ♦ BXY + C Y 2

A SU FORflA DIAGONAL X ^ ' 2 ♦ X 2Y'2

Con respecto a la Ecuación General de Segundo Grado:

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F - 0 .. {*)

analicemos en primer lugar el problema de reducir o transformar la FORMA CUA

DRATICA Ax2 + Bxy + Cy2 .. (1) a su FORMA DIAGONAL Xjx'2 ♦ X2y'2,

para lo cual hallaremos la rotación de coordenadas adecuada mediante un vec

tor unitario u de rotación, el cual será construido en los pasos que siguen a continuación.

Sea ü * (eos 6, sen 8) tal vector unitario, entonces la e cuación de ROTACION PURA: + y'ü-1-

que es equivalente al par de ecuaciones x = x'ut - y‘u2

y « x'u2 ♦ y‘ul

al reemplazar en (1) produce la relación:

Ax2 + Bxy + Cy2 * Xjx'2 ♦ B'x'y* + X2y'2 . de donde (verificar):

Xj * Au2 «• BUjU2 + Cu2 ■ u • (Auj + | Bu2 , ^ Bu( + Cu2) ,

B' * Bu2 ♦ 2(C-A)uiu2 - 8u2 - 2G-L -(Au1 + | Bu2 , | But + Cu2)

Cap. i La Ecuación GznViaL dt Segundo Guiado 439

X2 » Cu2 - Butu2 + Au2 .

En estas relaciones encontraremos conúiciones para hacer que B‘ = 0 consideramos al vector

1v * ut(A, | B) + u2( | B . C) = (AUj + | Bu

resultará que B'

Bu, + Cu,)

2 ( ü X ■ v ) , por (**). Luego,

B' » 0 ü 1 • v

A u

0 <==> v es paralelo a ü

(v múltiplo real de ü )

En esta última relación trataremos de hallar los númeA.o¿ /¡.ealti A que tisfacen. En forma equivalente, se tiene que: v = Aú <: >

u^(A, 2 B) + u2( 2 1 = A(Uj, u2)

Ul(A - A, i B) + u2(| B, C - A) - (0, 0)Uj(A - A) + u2( k B)

u ^ B ) + u2(C - A)

u • (A - A , ^ B/

ü • (| B „ C - A)

ü es ortogonal a la vez a (A - A , B/Z) como a {B/2, C c = > (A - A, B/2) y (B/2, C - A) son paralelos«=*> (A - A, B/2) X • (B/2, C - A) = 0

« = > (-B/2, A - A) • (B/2, C - A) - 0(A - A)(C - A) - (B2/4) - 0

A2 - (A + C)A - [(B2 - 4ACJ/4J = 0

Esta última ecuación cuadrática en la incógnita A , denotada por (C)

llamada la ECUACION CARACTERISTICA de la Forma Cuadrática Ax2 +asi como de la Ecuación General de 2o Grado (*). Sus raíces

A2 son llamadas RAICES CARACTERISTICAS.

. Si

la sa-

0

0

-- (1)

• • (2)

- A)

• (C)

esBuy +

*1 >

8.3 NOTA El Discriminante de la Ecuación Característica (C) :

(A + C)2 + (B2 - 4AC) * (A - C)2 + B2 resulta > 0 ,

pues es una suma de dos (cuadrados) números no negativos, y

440 La Ecuación GinviaL de Segundo Gnado Cap. i

será POSITIVO si B / 0 ó si A / C .

8.4 EJERCICIO ■ - Demostrar que si Aj y A2 son las ajüjlm cxLXacXeXUticM,

de la Ecuación de Segundo Grado (*), entonces

a) B f 0 = > At t A2 .

b) B = 0 y A = C Ai = x2 ’ A

c) S i B = 0 y A ¿ C , entonces:

t A2 y [ { Aj ■ A y A2 - C ) 6 ( Aj " C y A2 » A ) ] .

d) Aj ♦ A2 = A + C .

SOLUCIÓN Utilizando la NOTA [8.3] y la forma de las raíces de la e-

cuación A2 - (A + C)A - [(B2 - 4ACJ/4] = 0 , que son

X . A > c ♦ /[A-C)¡ .J Í 2

entonces existirán dos raíces reales distintas Aj y A2 si es que la expre

sión dentro del radical es POSITIVA, es decir, si B t 0 ó si A t C . Perosi la expresión dentro del radical es CERO, entonces existirá una sola raíz doble (es decir, Aj = A2 * A ) , y ello ocurrirá si es que B * 0 y A = C . De esta manera, hemos demostrado (a) y (b). La prueba de (c) y (d) se siguen de la expresión (S).

8.5 ELECCION DEL VECTOR UNITARIO DE ROTACION DE EJES ADECUADO

Regresando a los pasos seguidos para obtener la E - CUACION CARACTERISTICA (C) en [B.2], vemos que el vector unitario de rotaciónG adecuado es el que satisface ya sea la ecuación

ü ■ (A - A , B/2) = 0 , ó el que satisface ü ■ (B/2, A - C) = 0 .

Por lo tanto, se puede elegir como ü al vector unitario paralelo al vector(A - A , B/2) X ó el vector unitario paralelo al vector (B/2, C- A ) X :

+ (B/2 , Aj - A ) _ + ( A2 - C, B/2)

1 (B/2 . A, - A) | |( A2 - C. B/2 ) |

Cap. S La Ecuac¿2n Gmejuit de. Segu ido G/iado 441

Además, se puede verificar que (B/2, Xt - A) y el vector (X2 - C, B/2) ¿on oitogonalu, en todos los casos. En efecto.

(B/2, Xj - A)-(X2 - C. B/2) * (B/2)[( X2 - C) + (Xt - A)]

■ (B/2) [( Xj + X2) - (A + C)] » 0 , pues

Xt + X2 ■ A + C , por (d) de [B.4].

Por lo tanto, los vectores de la primera fórmula [con (+) y con (-)], son ortognnales a los de la secunda fórmula.

8 . 6 C O N S E C U E N C IA S IM P O R T A N T E S

Con respecto a las fórmulas dadas- Dara u , y usando el EJERCICIO [8.‘Jj previo, tenemos que,

a) Si B t 0 , entonces Xj f X2 , y por lo tanto, para la primerafórmula, Xt puede ser elegido co

mo cualquiera de las dos raíces características, y por consiguiente, para la segunda fórmula X2 corresponderá a la otra raíz. Oe esta manerase obtienen cuaVi~ vectores ü posibles en cuyas direcciones se consigue la DIAGONAUZACION.

b) Si B * 0 y A f C , entonces Xj f X2 también, y en la primera fórmula se elige para

Xj aquella raíz que no coincide con A , pues sino (B/2, Xj - A) se

ría = (0, 0) , y no se podría construir el vector ü de esta forma.Por lo tanto, si Xj es elige tal que Xj f A entonces la otra raíz

es la que coincide con A : X2 = A , de donde resulta X2 + C .De esta forma también es posible construir cuatru direcciones en las que la forma cuadrática general (*) esté DIAGONALIZADA.

Asimismo, note en este caso que, siendo B - 0, la forma cuadrática :2 2 2 2Ax + Bxy + C(/ = Ax + Cy , ya está d.agonal izada, aún cuando

existirán otras tres direcciones en las que seguirá siendo Diagonal.-

c) Si B = 0 y A = C , entonces las fórmulas dadas para el vectorü no son aplicables, pues resultaría que

ü = (0, 0) , lo cual es absurdo. Lo que ocurre en este caso, es quePARA T0V0 VECTOR UNITARIO u = (u , u2) , la forma cuadrática n zmp>ie

Ae¿-íttúA¿ d¿agoruu*.¿ada . En efecto, de las fórmulas de Rotación de Co-

442 La Ecuación Generai de Segundo Grado Cap. S

ordenadas [8.2] : A*2 + Cy2 « A(*2 +■ y2) ■

- AÍIí'Uj - y'u2)1 * (*‘u2 + i/'Uj)2] - A [ (*‘2 + </,2)(u2 + u2)]

■ A(x‘2 + y‘2) , pues u2 + u2 = 1 ,

- A*’2 + Ay'2 = A*'2 + Cy'2 .

8.7 MOTA El caso (c) no será contemplado en la teoría que resumimos a continuación, pero todos los resultados serán válidos aún para este caso, con excepción de la fórmula para G .

8 . 8 T E O R E M A A

donde

2 2 Dada la forma cuadrática Ax + Bxt/ + Cy ,¿iempre e¿ po4¿b¿e encontrar un vector unitario Gde rotación de coordenadas, que la reduce a la FOR

HA DIAGONAL , ,2 , .2* * x2 y *

. + (B/2. - A)

1(8/2. h - A) |siendo lI * 2raíces de la ECUACION CARACTERISTICA :

las

X2 - (A + C)A - [(B2 - 4AC)/4] = 0

8.9 N O TA En este TEOREMA A [8.8], para el vector G se elige laraíz Aj conjo aquella tal que AL t A , para el caso en que B « 0 . Si 8 f 0 , no hay ningún problema en elegir cualquiera de las dos raíces (distintas) como Aj .

8.10 C O R O L A R IO A : En general, eligiendo cualquiera de los signos,

51 . . (B/2, A. - A)u = I --------------- es el vec

l<B'2 ' *1- A >l tor unita

rio de rotación de coordenadas XY, que D1AG0NALIZA la forma cuadrática de la Ecuación General de Segundo Grado (*), entonces existen 4

Cap. S La Ecuación Genual de Segundo Guada 443

cuatro vectores unitarios u diferentes que satisfacen dicha propiedad deDIAGONALIZACIDN, y s o n : .....................- J. - - J.u1 - u , u 2 ’ - u , u 3 - u y u ^ - - u

8.11 NOTA La NOTA [8.9] también se aplica aquí.

8.12 COROLARIO B : Las raíces y X2 de la ECUACION CARACTERISTI

CA satisfacen las siguientes propiedades:

a) Aj +■ X2 * A +■ C

b) Xt X2 - - (B2 - 4AC)/4 .

La prueba es directa pues la ECUACION CARACTERISTICA es una ecuación cuadrática en una variable: X2 - (A + C)X - [(82 - 4AC)/4] = 0 .

8.13 C0r0LAR>0 C : Si Xj y X2 son las raíces de la Ecuación Carac

terística, entonces los vectores (B/2 , Xj - A) y (B/2 , X2 - A) son ortogonales.

SOLUCIÓN Probaremos que (B/2, Xj - A) • (B/2 , X2 - A) = 0 :

(B/2, Xt - A) • (B/2, X2 -A) = (B2/4) ♦ (Xj - A)(X2 - A)

= (B2/4) + \l \2 - (Xt + X2)A + A2

= (82/4) - [(B2 - 4AC)/4] - (A + C)A + A2 = 0 ,debido al COROLARIO B.

B.14 NOTA Este COROLARIO C [8.13] es muy importante en la práctica2 2para el caso de B f 0 en Ax +■ Bxy + Cy , pues para

el vector ü se puede elegir cualquiera de las dos raícescaracterísticas como Xj , fijada la cual se obtendrán dos vectores unitarios[uno con el signo (+), y el otro con el signo (-)] que producirán la mismaionma diagonal ¡2 ¡2

Pero si se elige la otra raíz característica como Xj entonces se obtendrín

otros dos vectores unitarios (que resultarán ORTOGONALES a los anteriores dos, por dicho Corolario), que producirán la misma forma diagonal:

*1 + 2 y' f

que será diferente a la anterior pues ahora X( es la otra raíz.

444 La Ecuación GeneAol de Segundo Guado Cap. S

8.15 PROBLEMA Diagonali;tar la forma cuadrática: 3x2 + Zxy + 2y2 ,encontrando las cuatro direcciones del nuevo semieje X’ en las que ocurre la diagonalización. Graficar la

ecuación 3x2 + Zxy + 3y2 = 16 .

So l u c i ó n A =■ 3, B = 2, C - 3, X2 - (A + C)X - [(B2 - 4AC)/4] - 0

A - 6A + 8 = 0 ■ (A - 2)( A - 4) raíces caracter.: A » 2 , A ■ 4 .

Si primero consideramos Aj * 2 , X2 = 4 , la forma diagonal de la formacuadrática dada resulta

A, x '2 * A 2 y '2 Zx,2 + 4y '2 16

que por la teoría dada, y se puede verificar fácilmente, es obtenida al rotar los ejes XY en cualquiera de las dos direcciones siguientes:

i (1. -D//2. _ + (B/2 , At - A)

|(B/2 , Aj - A) |

2 2La ecuación resultante Zx' + 4y' * 16 , es equivalente a la ecuación

8

,.2

que viene a ser la ecuación de la elipse con semieje mayor paralelo al Eje X' [en la misma dirección que cualquiera de los vectores ü = t (1, -l)//2 ] y de longitud a * /8 * 2 Jí , y semieje menor de longitud b = 2 , cen trada en el origen:

Ahora, si se hubiese considerado Aj = 4 y A2 = 2 (en este nuevo orden)la forma diagonal de la ecuación dada resultaría:

.2 + A2 y '2 = 16 4x ■2 ♦ 2«/,2 16 . y que

Cap. S La Ecuación Genital de Seguido Grado 445

por la teoría dada se obtiene de rotar los ejes XY en cualquiera de las dos direcciones siguientes x - A)

ü - í --------— -------- = í (1, l) / / 2I(B/2 , Al - A)|

(ortogonales a las dos anteilores) y la ecuación resultante equivalente a

y '2-- + — = 14 8

representa a una elipse con el eje focal paralelo al Eje Y' (en la misma dirección de cualquiera de los vectores ü ■ - (1, l)//2 ) , con semiejes delongitudes j = /8 * 2/2 y b = 2, centrada en el origen, como se puede apreciar en los dos gráficos siguientes:

Por lo tanto, las cuatro 1 recciones buscadas son:

¡3! = (1, -l)//2, ü2 = (-1, l)//2. í¡3 = (1. l)//2, u4 = (-1, -l)//2 .

8.16 PROBLEMA Hallar las tres rotaciones de los ejes XY en las cua-2 2les la forma cuadrática 3x - 5y continúa estando

en alguna forma diagonal. Encontrar todas estas- formad

Solución . - Notamos que la forma cuadrática dada ya es diagonal, y ello indica que si se dejan intactos los ejes XY, sin rotarlos,

obtenemos esta misma forma cuadrática; es decir, ü = (1, 0) = i , W0 HAY ROTACION . Y por el COROLARIO A [8.10], las otras tres direcciones serán:

u2 = - u 1

J3U , = l

* (-1. 0)

■ (0. 1)

3x‘ Sy'2 = 3x2 - 5¡/22y'2 - 5x'2

446 La Ecuación Ge.neAal de. Segando Cfiado Cap, o

í¡4 - - ü 1 ' (0. -1) : ... 3y '2 - 5*'2 .

Usando el procedimiento de diagonalización se tendría:A = 3, B = 0, C = -5 , A + C » -2 , X2 - (A + C)A - [(B2 - 4AC)/4] * 0

A2 2A - 15 ■ 0 = (A - 3)( A +■ 5) =^> A = 3 y A ■ -5 . Si elegimosAi = 3 , A2 * -5 , y como B = 0 , se tiene que (B/2, At - A) = (0, 3-3)

= (0, 0) , y no serla posible construir el vector ú con la fórmula, entonces, por la NOTA [8.9] del TEOREMA A, eligiendo Aj = -5 , A2 = 3 , se soluciona el problema, y en tal caso:

. (B/2, A! -A) (0. -5-3) t „u =■ I --------í----- - I -------- - - í (0, -1)

|(B/2, At - A)| |(0, -8)|

Tomando estos dos vectores (0, 1) y (0, -1) la forma diagonal correspondiente a ambos vectores de rotación es:

Aj x'2 + X2 y '2 =■ - 5x‘2 + 3y'2

que corresponde a los vectores ü3 y ü4 hallados antes.

Y por el CPROlARIO A , los otros dos vectores de rotación buscados son: i y* í (1, 0) , en cuyo caso la forma diagonal resultante 3x'2 - 5y'2 «

2 23x - by coincide con la original.

8.17 PROBLEMA Encontrar analíticamente los vectores unitarios u , derotación de coordenadas, que diagonal icen la ecuación cuadrática xy = 8 .

So l u c i ó n .- a * o, b = i, c = o. a2 - (a + c)a - [(b2 - 4ac)/4 ] = oA2 - (1/4) > 0 = * Aj - 1/2 , A2 - -1/2 , por lo

tanto, el vector ü será:

. _ . i»«. , - »> . . im . m , . -z

1 (B/2, A, - f l ) | | ( l / 2 , 1/2)|2 2y la ecuación diagonalizada resultante será: ALx' + X2 y = 8 :

r ' 2 ,,'21 2 1 2 y■j x' - j y' * 8 = > — - — = 1 , que representa

z 16 16

una hipérbola con el eje focal paralelo al Eje X', en la misma dirección del vector „ = (1, l)//2 tal como en el primer problema resuelto de esta sec

ción. Note que si u = -(1, l))//2 , entonces se obtiene la misma forma diagonal . Los ot^os dos vectores buscados son los ortogonales a ü ; es de

Cap. S La Ecuación General de Seguidi v/iadc 447

cir (-1, l)//2 y (1, -l)//2 .

8.18 TEOREMA DE LOS INVARIANTES Para cualquier rotación de coordenadas determinada por el vec

tor unitario ü = (ut, u2) > y que, en general, transforma la ecua -riñn 9 9

Hx¿ + Bxy + Z y * D* + Ey + F = 0 .. (*)en la ecuación

A1 x12 + B'x1!/' + Z 'y '2 * D'x' * E'y‘ * F' - 0 .. (**)

(donde B' puede ser igual ó distinto de cero) , se tiene que:

a) A' + C* = A + C , ,, , , , b) B' - 4A'C* - B - 4AC

c) D'2 ♦ E'2 = D2 + E2

En particular, si A1 y C' son las raíces características de (*) , se tienenlos resultados del COROLARIO B [8.12] , pues B‘ = 0 .

Prueba De (*, y) = x*¡¡ + y 'üL í * = x'uj - y 'u2

1 y = x’u2 + y 'u l ,

y que al ri emplazar en (*), e identificar coeficientes resulta que:

A' • Au2 + Buju2 + Cu2 , D‘ = Duj + Eu2

B' = Bu2 + 2(C - A)uju2 - Bu2 , E' = -Du2 + Eut

C' = Cu2 - BüjU2 + Au2 , F1 = F

2 2De estas relaciones, y sabiendo que Uj + u2 = 1 , pues u es unitario,se obtienen las tres identidades buscadas. (Favor de verificar los cálculos).

Debido a este resultado es que en toda ECUACION GE NERAL DE SEGUNDO GRADO a las expresiones A + C . B2 - 4AC y D2 + E2 se les llama INVARIANTES de la ecuación (*), con respecto a rotaciones de los ejes coordenados.

B.19 EJERCICIO : Identificar y bosquejar la gráfica de la ecuación

17x2 - 312xy * lORy2 = - 900 .

Solución a = 17 , b = -312 , c = ios : a + c = 125 ,

X2 - (A + C) X - [(B2 - 4flC)/4 ] = 0 = 5 “ X2 - 125 X - 22 500 = 0

(X + 100)( X - 225) = 0 = * Aj = -100 , A., = 225 . Asi, el vec

448 La Ecuación Grnzra. de Segundo Grado Cap. S

tor ü de diagonalización resulta

. _ , w . y . l . , i - ; » . - m i , , ; ( < J ) / 5 _I(B/2, - A)| |(-156, -117)1

aquí, elegimos el sino (+) por comodidad. Pero , para ambos signos la ecuación cuadrática diagonal izada es:

-100*'2 + 225¡/‘2 - -900 = *

que viene a ser la ecuación de una hipérbolacon semieje mayor paralelo al Eje X‘ , paralelo al vector ü * (4, 3)/5 , delongitud a = 3, con semieje menor de longitud b = 2, y con centro en el origen de coordenadas

NOTA .- En este Ejercicio previo pudo haberse elegido Xj = 225 , y X2 =-100 , y la fórmula para ü proporcionará dos vectores unitariosortogonales a los dos anteriores (por el COROLARIO C [B.133) • En efecto,

u ■+ (B/2. Xt - A) _ + (-156, 208) _ +‘ |(B/2, Xj - A) | ' |(-156, 208)|

Esta situación siempre se presenta cuando B f 0 en (*).

8.20 OBSERVACIONES Cuando la Ecuación de 2° Grado que se analiza es

A*2 + Bxy * Cy2 * f = 0

que viene a ser la Ecuación (*) aonde B t 0 ,y D = E = 0 , entonces, para Xt fijo, con

cualquiera de los signos que se elija en la fórmula para el vector ü :

ü = i (B/2, Xt - A)/ |(B/2, - A) | , la ecuación diagonalizada :

Xj*'2 + \2 y '2 * F = 0 n° variará. Pero, si se elige como X, a la o

tra raíz característica, entonces la fórmula para ¡¡ proporcionará un vector unitario diferente (pues / X2 , y corresponderá a los dos vectores u-

nitarios ortogonales a los del primer caso), y la ecuación diagonalizada resultante _ ,

Xlx + x2» + F = 0

será diferente a la anterior, pues ahora Aj es la otra raíz.

Cap. S La Ecuación Ger.&w de Segundo Guido 449

9 TRANSFORMACION DE LA ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO

Consideraremos ahora la Ecuación General de 2° Grado:

A*2 + Bxy +■ C y2 + Dx + Ey ♦ F = 0 (*)

la cual será transformada a la forma especial siguiente:

Xjx'2 + \2 y '2 + D'x' + E V + r = 0 ... («*) ,

meoiante una notación de l a e<K¿ cootdenadoi XV , por un vector unitario ú = (uj, u2) para el cual ya se conoce una fórmula, asi como para las raíces características Aj y A2 .

En este caso general todo el problema consiste en tratar de conocer los nuevos coeficientes D‘, E‘ y F‘ en (**), para lo cualtenemos que al reemplazar , » . ,-X - > ,H v (x, y) » x'u + y u , o x = x'uj - y u2

y » x'u2 ♦ y'Ujen (*) e identificar coeficientes con los de (**), resulta que (y se puede verificar rápidamente) :

D' * Duj + E u2 > ó equivalentemente

E' =

F' =

E' = -Du2 + Euj

Así, obtenemos la Ecuación reducida (**) , la cual, en el caso en que ambas Aj y X2 ¿e.j.n diitintaA de ceAO, por una traslación de los ejes X‘Y' (completando cuadrados) puede transformarse, en unos nuevos ejes X"Y" , en la e-cuación . „2 „2 ,Xt x- + A2 y” + F” « 0 ... (»»»)

9.1 ANALISIS DE LA ECUACION REDUCIDA (**)

CASO I : Aj y x2 tienen eí miimo ¿'.gno . Es decir,

Aj-A2 = - (B2 - 4AC)/4 > 0 , lo cual' in

dica uue la gráfica de la ecuación (**) puede ser como sigue:

a) Si Aj = A2 = A , ( ==> B » 0 y A = C ) , t-om-pletaodo cuadrados en (**) obti .ie..¡oü (***) cuya gráfica corresponde a: una coicun(i2Aencia, un punto ó al conjun

te vade (no existe gráfica en el plano). Los dos últimos

450 La Ecuación General de Segundo Gxado Cap. t

son llamados "caéoi dec,%., pjiadt t de una cÍA.cun¿eAencia".

b) Si Xj f X2 , y tienen ambas el mismo signo, entonces

también completando cuadrados en (**) obtenemos (***) cuya gráfica puede corresponder a una ELIPSE, un punto ó

al conjunto vacio. Los dos últimos son también llamados "c0404 degenerado4 de una elipie".

CASO II : *i'*2 * O (Una de las raíces es igual a CERO). Entonces,

Aj-^2 = (4AC - B2)/4 - O

en cuyo caso (**) puede tomar una de las formas siguientes:

a) = O : X2 y '2 * D1*' + E V + F' = O

b) X2 = O : X2 x'2 + D'x' + í'y ' + F‘ » O ,

y si D' y E' son diferentes de CERO, entonces (a) y(b) representan Parábolos ; pero si O' = O en (a) , óE‘ » O en (b), la gráfica corresponde a: dot rectos pa

ralelas, una ¿ola m_ta (o sea, dos rectas coinciaentes),ó al conjunto vacío, los que vienen a ser los "cosoí dege nenadot di una paAábola".

CASO III : Xj y x2 tienen ¿ignoi di(¡eAente¿ . Es decir,2

*1 ' *2 * -(B - 4AC)/4 < O , en cuyo ca2 2so la ecuación transformada Xt x" +■ X2 y" + F" = 0

representa una HIPERBOLA , ó dot rectos no paralelos, que viene a ser el "el caio degenerado de una hipérbola" (las supuestas asíntotas)-

9.2 TEOREMA Oada la Ecuación General de 2o Grado (*):

a) Si B2 - 4AC < O , entonces (*) representa una ELIPSE .b) Si B2 - 4AC = O , entonces (*) representa una PARABOLA ,c) Si B2 - 4AC’ > O , entonces (*) representa una HIPERBOLA ,

ó alguno de lo¿ caso* degenerado¿ de eitai cónicas.

La técnica completa de la "DIAGONALIZACION" de la E cuación General de 2° Grado (*) , la resumimos en el siguiente Teorema.

Cap. S La Ecuación General de Segundo Grado 451

9.3 TEOREMA B La Ecuación General de 2° Grado

Ax2 + Buy *■ Cy2 * Dx + íy * F - 0 .. (*)

es transformada en la ecuación

xi*'2 * X2 y '2 + D’*’ * Ev * r ' 0 •• (**)

mediante una rotación de los ejes XY que origina la ECUACION CARACTERISTICA:

X2 - (A + C)A - [(B2 - 4AC)/4] * 0 , cuyas raíces son los

coeficientes Aj y X2 de (**) , con una de las cuales se obtiene el vec

tor unitario de rotación de coordenadas:ü

+ (B/2, At - A)

I(B/2, Aj - A)|Además, los coeficientes D’. E' y F' son obtenidos por las fórmulas : D1 ■ (D. E) - ü

E1 - (0. E) •F' F

9.4 NOTA Si D y E son ambos ceros, entonces también D‘ y E' sonambos ceros.

9.5 EJERCICIO : Encontrar todos los ángulos en los que hay que rotar eleje X oara diagonal izar la ecuación

x2 - 2/3x0 + 3y2 - 8/3x - By - 0 .

e identificar la curva

Solución a = i. b = -2/3 , c = 3, d - -b/3 , e - - b , f - o ,

A2 - (A + C) A - [(B2 - 4AC)/4] = 0 = > A2 - 4A - 0 , de dondeAj ■ 4 , A2 * 0 . El vector unitario ü de rotación de ejes será:

. , . m . »,-») . , I--1.3) , } _I (B/2, Aj - A) | 2/3

y eligiendo el signo (■•■) por comodidad: u - (-1, /3)/2 , ( B * 120° ) , yla ecuación transformada result¡>: y j[12 t y,2 + Dlj[, t E,y, + p, _ q .

4x'2 + D'x' + Vy ' * F’ * 0 , donde D', E' y F' son obtenidos de:

D’ = (D, E) • ü > (-8/3, -8) • (-1, /3)/2 = 0 .

452 La Ecuación General de Segundo Guado Cap. t

V - (D. E) - ü - (-8/3, -8) • (-/3, -l)/2 - 16.F’ * F ■ D Por lo tanto, la ecuación (*) se reduce a 4j[12 + U y . . Q >

es decirjc*2 - - 4«/*

cuya gráfica es una parábola con el eje focal paralelo al Eje V, pero abriéndose hacia la parte negativa de Y* . Por el COROLARIO B [8.12], los otros Sngulos de rotación de los ejes XY que también diagonal izan la ecuaclór. original son.

a) Para -ü « (1, -/¿)/2 , 6 ■ 120° , y en el nuevo sistema de ejespara este Sngulo la ecuación resulta:

puede verificar y sea analíticamente ó directamente de la figura.

x'2 = 4i/' lo cufl se

b) Para ü = (-/3, -1 )/2 , 6 * 210° , y en este nuevo sistema deejes X'Y', para este Sogulo, se tiene

,.2 - 4x‘ , lo cual también se puede verificar ya sea gráfj camente 6 analíticamente mediantelas fórmulas del TEOREMA B [9.3], pues este es el caso en que At * 0y Az ■ 4 , y el vector de rotación es:

í (B/2, A1 -A)/|(B/2, A| - A) | = í (-/3,-l)/2 . con {+),

asi resulta D' ■ (D, E) • ü • 16 , E‘ * (D, E)- ü * 0 , F‘ ■ F* 0 . Luego, la ecuación reducida ser?

4i/,2 + 16x* ■ 0 =*>había sido hallada.

y'2 = - 4x' . que ya

c) Para - ü » ( /3, l)/2 , B ■ 30° , y en estos nuevos ejes X'Y' ,la ecuación de la parábola resulta:

de verificarse gráficamente, ó anal| ticamente considerando el signo (-)

4x' , lo cual pue

para el vector unitario de (b).

Cap. t La Ecimc. ¿ i General de Segando Grado 453

9.6 COROLARIO En la Ecuación General de 2° Grado

A*2 ♦ Bty * Cy2 + 0* ♦ ty + F * 0 .. (*)

basta que uno de los coeficientes D 6 E sea distinto de cero para que la ecuación ‘diagonalizada" reducida:

Xj*'2 + X2y’2 * D‘ x‘ ♦ E 'y ' * F* » D

sea diferente para cada uno de los cuatro ángulos de rotación de ejes que dia gonalizan la forma cuadrática en (*).

Una aplicación de este COROLARIO lo podemos ver claramente enel EJERCICIO [9.5] previo.

9.7 EJERCICIO Hallar la excentricidad, el centro y las ecuaciones vectoriales de las asíntotas (si existen) de la cónica:

4x2 - 24xi/ ♦ lly2 * 56x - 58i/ » 5 .

Solución a = 4, b - - 24, c - 11, d » 56, e = -58, f - -5 - f-

X2 - (A + C)X - [(B2 - 4ACJ/4] » 0 ===» X2 - 15 X - 100 - 0

(X - 20)(X ♦ 5) " 0 ==► Xj ■ 20, X2 * - 5 , y el vector u :

ü » t (B/2, Xt - A)/ |(B/2, Xj - A)| * t (-3, 4)/5 . Elegimos el sitjno ( + X.

ú « (-3, 4)/5 . Asi, O1 - (D, E) ■ ü - (56, -58) - (-3. 4)/5 » -80 .E* - (D, E) - ü -1- - (56, -58)-(-4, -3)/5 = - 10 ,

F' = F = -5 . ¥ la ecuación reducida resulta:

20x12 - 5y '2 - 80x‘ - 10y' - 5 * 0 , que al COMPLETAR CUAIKAVCS se tiene:

(x* - 2)2 (y1 + l)2------- - ------- » 1 .. HIPERBOLA con el eje fjcal paralelo al

4 16 2 2 2eje X' , a = 2, b = 4, cL = a¿ + b ,c = 2/5, e ■ c/a = /5 . El centro de la hipérbola con respecto a los ejesX'Y' es C ■ (h'. k1) ■ (2, -1) , y para conocer las coordenadas de Cen el sistema XY aplicaremos la fórmula de rotación de coordenadas:

(h, k) = h'ü * k 'üL * (2)[(-3, 4)/5] + (-1)[(—4, -3)/5] = (-2/5, 11/5).

Las asíntotas tienen las ecuaciones vectoriales siguientes:

L' : P = (x, y) - C + t(au + bu X ) , t e IR , [ ó «/+1 = |^(x'-2)]* (-2/5. 11/5) + t (-22/5, -4/51 , t e IR= (-2/5. 11/5) + t(11. 2) , t e R .

= > 2x - Ui/ ■ -25 . La otra recta asíntota tiene ecuación:

L" : P = (x, y) = C + t(aü - büX ) = (-2/5, 11/5) ♦ t(2, 4) . t e IR

454 La Ecuación GeneAat de Segando Gxado Cap. t

LM : P ■ (x, y) = (-2/5. 11/5) + t(l, 2) . t e R , es decir.

9.8 EJERCICIO Identificar la gráfica del conjunto de puntos (x, y)

que satisfacen la ecuación:

/2x ♦ Zxy + 3/21/ ♦ 3 = 0 .

Solución a = o. b - 2, c = 0. d - / I , e » 3/2 , f - 3 = f1 ,

X2 - (A + C)A - [(B2 - 4AC)/4] - 0 , X2 - 1 - 0 , Xj = 1 , X2 = -1 .

¡j » 1 (B/2, xt - A)/ t(B/2, Xj - A) | = t (1, l)//2 . y eligiendo el

signo (+): G * (1, l)//2 , B - 45° , y los coeficientes

D' * (D, E) • G - { SÍ, 3/2)-(l, = 4,

E' = (D, E)- ÜX = ( Si, 3/2) * (-1, l)//2 - 2 , F1 = F = 3 ,2 2obteniéndose asi la ecuación reducida: Xjx’ + X2¡/’ + D'x' + V y ' ♦ F' = 0

x'2 _ y'2 + 4x' + 2i/' +3 = 0

(x* + 2)2 - (</' - l)2 * 0 =»■ (y‘ - 1) = i (*' + 2) , que

corresponde a DOS RECTAS QUE SE CORTAN, cuyas ecuaciones en el sistema XV se obtienen reemplazando

x = (x, y)- G * (x, !/) (l, l)//2 = (x + y)/SÍ

y' = (x, y)■ ü X = (x, «/) - (—1, l)//2 * {y - x)//2 , en las ecua

ciones (y' - 1) = í (x1 + 2) , obteniéndose

Lj : x = -3//2 , L2 : y = -1/^2 , que son dos rectas perpen

Cap. t La Ecuación GenenaZ de Segundo Gtiado 455

diculares, una vertical y la otra horizontal.

9.9 EJERCICIO Identificar la gráfica correspondiente a la ecuación:

5x2 + 10xy + 5y2 + 20/2x + ZO/ly + 40 - 0 .

Solución a = 5. b - 10. c - 5. d - e » 20/2 , f - 40 . ComoB2 - 4AC ■ 100 - 4(25) - 0 , entonces por [9.2] la gráfica podría resuitar una PARABOLA , ó alguno de sus casos degenerados. Veamos,A2 - (A C) A - [(B2 - 4AC//4] - 0 . 10 A » 0. A 1 0. 0 ,

ü ■ 1 (B/2, Aj - A)/ | (B/2, Aj - A)| ■ 1(1. l)//2 . Elegimos el signo (♦),

(1. l)//2 . D‘ - (D, E)•ü

E' - (D. E) - G X

(2C '2. 20 / 2)•(1, l)//2

(20/2. 20/2)• (-1, l)//2

y asi la ecuación reducida resulta (con F1 * F « 40 ) :

10x,Z ♦ 40x’ +40 »0 x'2 ♦ 4x‘ ♦ 4 - 0

(x1 + 2)2 - 0

que corresponde a una sola recta vertical en el siste ma X'Y' :

40

0

y siendo x‘ - (x. y) • ü

- U + y ) t ñ

entonces la gráfica coincide con la recta L :

x + y ■ -2/2 .

9.10 EJERCICIO Hallar la excentricidad y las ecuaciones de las directrices de la cónica cuya ecuación es:

5x2 + 2/3x1/ + 3«/2 + (4-6/3)x - (6 + 4/3)i/ + 8 = 0 .

Solución.- a = 5, b * 2 / 3 , c - 3 . d - 4 - 6 / 3 . e - - ( 6 + 4 / 3 ) ,

8 , A2 - (A + C)A - [(B2 - 4AC)/4] = 0 A - 8A + 12 - 0 ,

Aj - 6, Az = 2. Verifique que el vector u(A - 2)(A - 6) » 0 ==>

ü " ( *'3. l)/2 , dg ¡¡ - ( B/2 , Aj - A)/| (b/2 , Aj - A) | . Asi ,

D- - (D. E) - ü = (4-6.3, -6 - 4/3)-( /3, l)/2 = -12 ,

456 La Ecuación GeneA&> de Segundo Grado Cap. t

V - (D, E) • ú * (4-6/3, -6 - 4/3) ■ {-1, /3)/2 - -8 ,F' ■ F = 8 . Luego, la ecuación reducida resulta:

6x‘2 + 2y '2 - 12x‘ - üy' * 8 - 0 = » (x‘ - l)2 ♦ [(«/■ - 2)2/3] « 1 .

cuya gráfica es la ELIPSE con el eje focal paralelo al eje Y', paralelo al

vector ü-1 - (-1, /3)/2 , a - /3, b - 1, c */2 , e - /2//3 .Puesto que el Centro de la Elipse es C ■ (h‘, k') ■ (1, 2) en elsistema X'Y1 , entonces las ecuadones de las rectas directrices

Solución a - 34, b - - 24, c - 4i, d - 20, e - -110, f - 175 .B2 - 4AC - -5 000 < 0 = > POSIBLE ELIPSE (po- el TEO.iEMA ¿9.2])X2 - (A ♦ C) X - [(B2 - 4ACJ/4] - 0 . X2 - 75 X + 1250 - 0 ,(X - 50)( X - 25) - 0 , =s> X! - 50 , X2 - 25 ,

ü - (B/2, Xj - A)/ |(B/2, Xf - A)| - (-3, 4)/5

D' - (D, E) - ü ■= (20, -110)-(-3, 4)/5 - -100

E’ ■ (D, E)- ü'L *= (20, -110)-(-4, -3)/5 ■ 50 . Así, la ecuación re

ducida resulta 50x'2 + 25y'2 - 100x‘ + í>0i/' ♦ 175 » 0 , es decir.

50(x' - l)2 + 25(</' + l)2 + 1 0 0 - 0 = * 2(x' - l)2 ♦ (</' + l)2 = -4 ,

Y como la suma de dos números no negativos no puede ser -4 (negativo) , entonces HO EXISTE GRAFICA PARA ESTA tCUACJON EN El PLANO. El conjunto de pun tos (x, y) que la satisface es el CONJUNTO VACIO .

Y puesto que a/e - 3//2 ,

y y' - (x. y) -

son: Lj : y' - 2 ♦ (a/e)

Lz : y' * 2 - (a/e)

O Xentonces

Lt: /3i/ - x - 4 + 3/2 L2: /3y - x - 4 - 3/2 .

9.11 EJERCICIO Identificar la gráfica de la ecuación

34x2 - 24xi/ ♦ 41i/2 ♦ 20x - 110i/ ♦ 175 - 0 .

9.12 EJERCICIO La hipérbola H: 44x2 + 216xi/ - 19i/2 - 800x - 600i/ -

Cap. S La Bcuac ín Genvuit de Segundo G>iado 457

■ O es tangente a la recta L en el punto P 3 (5, 10), a) hallar la ecuación de la recta L , b) y el vértice V correspondiente al punto P .

Solución a «-44, b - 216, c - - 19, d - -800, e - -600, f - o ,

X2 - 25X - 12500 - 0 - (A - 125)(A + 100) . Xt - 125 , X2 - - 100 ,

□ // (108, 81): ü - (4. 3)/S . D’ - (D, E) • ü - -200 (4. 3)(4, 3)/5 -

D’ * -1000 , E' ■ (D, E) • ü ■ 0 , F‘ « F * 0 . Luego, la ecuaciónreducida es: 125*'2 - lOO*/'2 - lOOOx' - 0 : (x1 - 4)2 u '2‘-----— . -— - i {*NOTE QUE SOLO ESTAMOS USANDO ROTACION 16 20ü . SIN TRASLACION DE EJES.

El punto P * (5, 10) en el sistema X'Y' tiene coordenadas

x' “ (x, y)' ü - (5. 10)-{4,3)/5 - 10y' “ (x, y)' ü ■*■ = (5, 10)■ (—3» 4)/5 “ 5 = > P' - (10, 5)

a) De (*), la recta tangente L : (iq - 4)(x' - 4) (5)(y')-------------- - ------ - 1

16 20

= > 3x' - 2if' - 20 =s> 3[(4x + 3«/)/5] - 2[(4«/ - 3x)/5] - 20 . en

el sistema XV . Es decir, l : 18x ♦ y » 100 .b) De F¿ - (4.0), F -4(4,3)/5. a - 4, V - F0 + aG - (32/5, 24/5).

9.13 EJERCICIO (CASO DEGENERADO OE ELIPSE) Identificar la gráfica de la ecuación cuadrática

41 x2 - 24xi/ + 34ii1 + 270x - 140y ♦ 475 * 0 .

SOLUCION A - 41, B * -24, C = 34. D = 270. E = -140. F =* 475 ,

B2 - 4AC = - 5000 < 0 = » POSIBLE ELIPSE (por el TEOREMA [9.2] )Empezaremos la DIAGONALIZACION resolviendo la ECUACION CARACTERISTICA :

X2 - (A + C)X - | [B2 - 4AC] - O ==» X2 - 75 X + 1250 = 0 .

(X - 50)(X - 25) = 0 ==» Xt - 50 . X2 = 25 .

Con esta elección (arbitraria) de los subíndices de las RAICES CARACTERIS~nCAS . procedemos a hallar el VECTOR UNITARIO ü DE ROTACION DE EJES . que viene a ser un vector unitario paralelo al vector i (B/2, Xj - A) =í (-12. 50-41) ■= i (-12, 9) - ;*3(4,-3). Asi, eligiendo (+) :

ü » (4, -3)/5 . Calculamos los coeficientes D‘ , E' y F1 « F :

D* * (D, E)•ü = (270, -140)-(4, -3)/5 = 300

E‘ * (D, E)-¡¡X = (270, -140) (3, 4)/5 = 50 . F* = F = 475 ,

458 La Ecuatu5n General de Segundo Grado Cap. S

y por el TEOREMA B [9.3] , la Ecuación Transformada es

50x*2 + 251/'2 + 300x' + SOy' + 475 = 0 . Dividiendo entre 25 :

2x'2 + y'2 + 12x’ ♦ 2y' * 19 = 0 = » 2(x’ ♦ 3)2 + (y’ ♦ l)2 « 0 .

cuya única solución es x' + 3 * 0 ~ y* + 1 * 0 ( ~ : i n t e l e c c i ó n )

que corresponde a la intersección de las dos rectas x’ ■ -3 y y' * -1 , y que viene a ser UN UHICO PUNTO. Puesto que

x' = (x. y)-ü » (x, y) - (4. -3)/5 - (4x - 3y)/S

y' - (x, y) - u"L - (x, y)-( 3, 4)/5 » (3x ♦ 4«/)/5

En el sistema XY las dos rectas est5n representadas como

4 x - 3y * - 15{ , cuya Intersección (x, y) - (-3, 1) viene al 3x + 4¡/ * - 5

ser justamente la iolución de ette. pan. de e ua-

<Uone¿ ¿.¿"uZtánuLt : x = - 3 y y * 1 .De esta forma, encontramos que la gráfica de la ecuación cuadrática dada consiste del UNICO PUNTO (x, y) ■ (-3, 1) , y que viene a ser OTRO CA

SO DEGENERAVO VE LA ELIPSE.

9.14 EJERCICIO (CASO DEGENERADO DE PARABCL.J Identificar la gráfica de la ecuación cuadrática

4x ♦ 4xi/ ♦ y2- 12x - 6y ♦ 5 = 0.

SOLUCION A - 4, B - 4, C « 1. D ■ -12, E = -6, F = 5 ,

B2 - 4AC - 16-16 * D = > P0SI8LE PARABOLA (por el TEOREMA [9.2]). Para la DIAGONALIZACION, primero resolveremos la ECUACION CARACTERISTICA :

X2 - (A + C)A - | [B2 - 4AC] - 0 ==» A2 - 5 A = 0 = A ( X - 5)

= » Aj = 5 , A2 “ 0 . Con esta elección (arbitraria) de los subin

dices de las RAICES CARACTERISTICAS , procedemos a hallar el VECTOR UNITARIO ù DE ROTACION DE EJES , el cual viene a ser un vector u..¡Jjvl¿o panate

lo al vectoi + (B/2, Aj - A) « +(2, 1). Por comodidad elegimos el signo

(+), de modo que - . - Ahora calcularemos D' , E' y F* :

D' = (0, E) • ü - (-12. -6) • (2, l)//5 > -6/5

E1 = (D, E)- Ü-1 = (-12, -6) • (-1, 2)//5 = 0 , F' = F = 5 .

Y por el TEOREMA B [9.3] , la Ecuación Transformada resulta ser

5x’2 - 6/5 «’ + 5 = 0 «==> ( / l x ' - 3)2 = 4 o = »

Cap. 8 La E'iu locón CíneAol de. Segnndk Cradu 459

/5x* - 3 * i 2 <— > /5x’ ■ 3 f 2 , de donde tenemos

x' = /5 v x’ = 1//5 ( v ■ UNION )

Estas dos ecuaciones representan dos rectas, verticales en el sistema X'Y', y puesto que, por las FORMULAS DE TRANSFORMACION OE COORDENADAS, (ROTACION)

x' * (x, y)- ü = (x. i/) • (2, l)//5 - (2x + i/)//5

entonces las ecuaciones de las dos rectas halladas, en el sistema XV , serán

2x * y » 5 v 2x + y = 1 (DOS RECTAS PARALELAS) .

y la reunión de ambas rectas PARALELAS constituyen OTRO CASO DEGENERADO PEPARABOLA.

9.15 EJERCICIO

SOLUCION

Identificar la gráfica de la ecuación cuadrática

x2 - 6xi/ ♦ 9y2 * 4x - I2y * 4 ■ 0 -

Compruebe que la ECUACION CARACTERISTICA es X‘ - 10XX2 ■ 10 , ü * (3, 1)//10 , que la ecuación

transformada es /lOi/' + 2 = D (de multiplicidad DOBLE). En el sistema XY , estas DOS RECTAS COINCIDENTES tienen la ecuación 3y - x ° 2

10 UNA PROPIEDAD COMUN DE LAS SECCIONES CONICAS

De nuestro estudio de las secciones cónicas sabemos que todas ellas tienen la propiedad común de ser conjuntos de puntos Pta’es que EL COCIENTE VE SU DISTANCIA A UN PUNTO FIJO F LLAMAVO FOCO ENTRE

SU PISTACIA A UNA RECTA FIJA L LLAMADA DIRECTRIZ es igual a una constante e llamada su EXCENTRICIDAD .Es decir,

(*) . .rf[P ; l ]

Consideremos la cónica arbitra ria de la figura, donde

L : x * -d , F = (0, 0),P = (*, y)

d iP ; F ]

d [P ; L ] = |x + d|

Al reemplazar estas expresiones en (*), dan lugar a:

460 La Ecuación GeneAaZ de Segundo Gttado Cap. t

d[ P ; F ] = e-d[P;L] = > / x2 + y2 ■ e|x + d | ,

elevando al cuadrado y dearrollando obtenemos la relación

[(1 - e2)x2] * y2 - 2de2x - e2d2 - 0

que se una ecuación cuadrática cuyos coeficientes son: A ■ (1 - e2),B * 0, C * 1, luego B2 - 4AC * -4(1 - e2) , de donde

B2 - 4AC < 0 siempre que 0 < e < 1 ____ ELIPSEB2 - 4AC * 0 siempre que e * 1 ... PARABOLAB2 - 4AC > 0 siempre que e > 1 ... HIPERBOLA

Asi, obtenemos los siguientes resultados concernientes a la excentricidad de una cónica (ó alguno de sus casos degenerados):

- Si 0 < e < 1 , la gráfica de (*) es una ELIPSE- Si e = 1 , la gráfica de (*) es una PARABOLA- Si e > 1 . l a gráfica de (*) es una HIPERBOLA .

NOTA .- Estos resultados últimos ya los conocimos cuando tratamos cada cónica por separado en este capitulo.


1. Identificar el tipo de cónica representada por la ecuación:a) 4x2 - 3/Ixi/ ♦ y2 + 3x ’ 9 , b) 8x2 + Bxy + Zy2 - 5x - 7y - 4 .c) 4x2 + 7xi/ + 3y2 = 24 , d) 3x2 - Zxy * Sy2 - Zy - 9 = 0 .e) 9x2 - 6xi/ * y2 + 4x - 7y * 0 , f) 7x2 * llxi/ + Sy2 » 48 .

2. Hallar el vector de rotación de coordenadas ( ü unitario) que representaal ángulo de rotación más pequeño para el cual se diagonal izan las ecuac.: a) 5x2 + 2/3x</ + 3y2 - 3. b) 3x2 + xy * 3y2 = 1c) 16x2 + 7xy - By2 - 17 .

NOTA: Considerar los ángulos en sentido antihorarlo.

3. Diagonal izar las formas cuadráticas siguientes:a) x2 - 3xy ♦ y2 . b) 3x2 ♦ 4/1 xy - y2, c) 3x2 + 2xy * 3y2 .

4. En las ecuaciones siguientes, identificar la cónica ó gráfica que represen tan, hallando un vector de rotación de ejes. En los casos no degenerados hallar los vértices, focos, asíntotas y rectas directrices cuando existan.

a) 2x2 + 3xi/ ♦ Zy2 - x + 1 = 0 , b) xy * x * y = 0 ,

Cap. S La Ecuación Gei qjuJL de Segundo Grado 461

x2 + /3ty - 1 * 0 , d) x2 + xy + y2 • 33x2 + 2/3xi/ + y2 - 4 , f) 3x2 + 9y - l/lxy + y2 - 3/3x = 03x2 - 4/Ixi/ - y2 + 20y - 25 - 0 .5x2 - 3xi/ + y2 - (33//IÓ)x + (11//Í0 )y - 0

4xi/ + 3y2 +2/5x+4/5i/ * 04x2 + 12xi/ + 9t/2 + Z/Í3x + 2/131/ - 014x2 + 5xi/ + 2t/2 - 2 - 0 ; 1) Slx.y - y2 « 1 ,16x2 - 24xi/ + 9t/2 - 38x - 34i/ + 1 0 1 - 025x2 + 120xi/ ♦ 144t/2 ♦ 86x - 233i/ + 270 - 025x2 + 120xi/ + 144i/2 - 312x ♦ 130i/ +156 - D25x2 - 30xi/ + 9i/2 + lOx - ky + 1 - 0 2x2 + 12xi/ + lBj/2 + x + 13</ + 5 - O4x2 + 12xi/ + 9i/2 - 2x - Zy + 2 - O (Dos ecuaciones) .

5. Reducir las ecuaciones siguientes, diagonal izando sus formas cuadráticas:

a) 5x2 - 4xi/ + 8i/2 - 36 , b) 8x2 - 48xi/ + 22«/2 - 48x + 64i/ + 40 - 0 .

Grafiqut ambas curvas indicando sus focos, vértices, asíntotas y directrices donde correspondan.

6. Reducir las siguientes ecuaciones para identificarlas mediante una rota -ción de ejes. Y luego graficarias hallando sus vértices, directrices y ex centricidad en los casos no degenerados, y solamente la gráfica para loscasos degenerados, donde sea posible:

3x2 + 8xi/ - 3«/2 - 20 = 0 , b) 50x2 + 80*/2 - 72xy = 10418x2 + 48xi/ + 32y2 * 320x - 240i/ - 0 ,14x2 - lOOxi/ + 14i/2 - 576x2 - 2xi/ + y2 + 8x + 8y - 0x2 + 6xi/ + 9j'2 + 12/l0x - 4/lOy - 0 9x2 + 12xi/ + 4t/2 - 9/Í3x - 6/l3i/ - 52 = 0 16x2 + 24xi/ + 9i/2 + 80x - 190i/ + 2 5 - 0 frx2 - 4xi/ + 6«/2 - 8/"2x - 8/1!/ * 0 15x2 + 20xy - 44/5x - 32/ 5y + 140 - 0 9x2 + 6xy * y2 - 16/l0x + 28/lÓi/ - 290 = 025x2 + 36xi/ + 40«/2 + 38/l3x + 44/Ui/ +169 = 0

/x + fy = /a , a > 0 , n) /x - /¡/ » ✓ a , a > 0 .

3x2 - 2xi/ + 3t/2 + 2Í2x - 6/"2i/ + 2 = 0.

462 La Ecuación O nviat di Segundo G/iado Cap. S

7. Hallar las ecuaciones de las rectas asíntotas, directrices y las coordenadas de los focos y vértices de la cónica cuya ecuación es:

llx2 - 24«!/ ♦ 4ii2 - 40x ♦ 80i/ ♦ 5 ■ 0 .

8. Después de una rotación de los ejes XY. seguida de una traslación al punto (3,-1), la ecuación de una cónica resulta ser: x>2 _ 2y'2 - 6

y la ecuación de una de sus directrices es L: 3x ♦ 4j/ « k . Hallarla ecuación de la cónica y de la otra directriz. SUG: Hallar k .

9. Hallar uno de los ángulos en que es necesario rotar los e.ies para diagonaHzar la forma cuadrática de la ecuación:

x2 - 2/3x1/ ♦ 3y2 - 8/3x - 8y - 0

10. Graficar la ecuación: 17x2 - IZxy ♦ 8i/2 - 22x - 4i/ + 13 * 0 .

11. Hallar la excentricidad de 9x2 - 4xi/ ♦ 6y2 - 12x - 4i/ + 4 ■ 0 .

12. Hallar la excentricidad de 3j/2 ♦ 16 - 4x;/ ■ 0 .

13. Indicar exactamente la forma de la gráfica de la ecuación:

16x2 ♦ 24xi/ ♦ 9y2 - 200x - 150i/ + 500 - 0 .

14. Dada la hipérbola: 7x2 + 48xi/ - 7y2 + 20x - 110i/ - 100 « 0 , hallarlas ecuaciones vectoriales de las asíntotas, el centro, la excentricidad, y las ecuaciones vectoriales de las rectas directrices.

15. Identificar el tipo de gráfica de las ecuaciones siguientes:

a) x2 * y2 * x y * x - y “ 3 , b) 2x2 - y2 + 4 xy - 2x + 3i/ - 6 ,c) x2 ♦ 4xy ♦ 4i/2 - 3x - 6 . d) x2 ♦ y2 ♦ 3x - Zy - 10 .

16. ¿ Para qué valores de m , la recta y ■ x ♦ m determina en la hipérbola xy » -4 una cuerda de 3/2 unidades de lcngitud ?

17. Identificar en forma precisa la gráfica de cada una de las ecuaciones:

a) 5x2 + 6x1/ + 5i/2 - 36x - 28» ♦ 68 - 0b) 3x2 ♦ Zxy ♦ 3y2 ♦ 1 - 0c) 7*2 ♦ 48xi/ - 7y2 ♦ 80* ♦ 6O1/ +100 * 0d) 9x2 - 24xi/ ♦ I61/2 - 30x ♦ 40i/ ♦ 25 » 0

18. Hallar la excentricidad, focos, vértices, así como las ecuaciones vectoriales de las directrices y de las asíntotas, dondb correspondan, en:

a) x2 + 4xi/ ♦ Hy2 ♦ 8x - BAy + 116 * 0 ,b) 7x2 - Zxy + 70^ - 48 . c) xy - x + y - 5 * 0 ,d) 20x2 - 120xi/ ♦ 55t/2 + 320x - 210i/ = -2655 .

Cap. g La tcua.cU.Sn Gínenaí de Segundo Gfiado 463

19. Identificar la gráfica de: 4*2 - 4x;/ * y2 - 36« - B2y ♦ 481 » O .

20. Pruebe que la gráfica de: 7x2 - 6xy - y2 ♦ 28x - I2y ♦ 28 ■ O esun par de rectas no paralelas. (Caso degenerado de Hipérbola).

2 221. Dada la ecuación cuadrática general Ax + Bxy * Cy ♦ Ox * Ey ♦ F >02 2 2 con A ♦ B + C > 0 , demostrar que

a) Si la gráfica es una circunferencia entonces A * C y B ■ 0 .b) SI A * C ” D - E “ 0 y B * 1, entonces la gráfica es una hipér

bola equilátera (siempre que F f 0) cuyas asíntotas coinciden con los ejes coordenados.

22. Dada la cónica 89x2 - g6xi/ + 61</2 - 26Dx + 70;/ - 400 - 0 ,a) encontrar los vértices y focos, b) y las ec. de las directrices.

23. En XY, hallar los vértices, los focos y las directrices de la cónica:9x2 - 24xi/ ♦ \(¡y2 - 140x + 20y * 0 .

24. Sea la parábola P: 16x2 * 24xi/ ♦ 9t/2 - 135x ♦ 180c/ +1 12 5- 0 y Huna hipérbola tangente a P en el punto P0 cuya abscisa es mayor que3. El eje conjugado de H coincide con el eje de P, el centro F0 de H dista 5 unidades del vértice V de la parábola. Si la excentHcidad de H es /37/3 , hallar F0 , V y la ecuación de H .

25 Sea la elipse E: 5x2 - 4x;/ + By2 ♦ 4/5x - 16/5;/ + 4 » 0 . El ejetransversal de una hipérbola H no corta al 2do. cuadrante y dista 2/5unidades del eje mayor de la elipse. SI H pasa por los focos de E , y el producto de las excentricidades es /30/3 , hallar la ecuación de la hipérbola H .

2 226. Después de rotar y trasladar los ejes, la ecuación 4x - 12x7 + 9 y *

♦ ax ♦ 1y ♦ b * 0 , donde a y b son constantes, se transforma en2

y" * 9/52 . Determinar los valores de a y de b .2 227. La ecuación 7x - Bxy * y ♦ 12x ♦ f>y - 27 « 0 representa dos rec

tas que se cortan en un punto. Estas rectas son asíntotas de una hipérbola H . SI el punto P * (-4, 8) pertenece a H , a) hallar la ecua -ción de H , b) y las ecuaciones de las directrices de H .

28. Hallar la ecuación de una elipse E donde el centro F0 * (h, 1), donde la longitud del eje mayor es un entero, la longitud del lado recto esB/5 y las directrices están dadas por la ecuación

4x2 - 4xi/ * y2 - 2Bx ♦ \Hy + 24 = 0 .

29. Después de una rotación de los ejes (0 < 6 < n/2) y una traslación

464 La Ecuación GenvuU de Segundo Guada Cap. t

al punto P' » (- /?/2, -3/2/2) en el nuevo sisi.ema, la ecuación

3x2 - 2xi/ ♦ 3¡/2 ♦ 20x + 2E¡/ ♦ F ■ 0 se transforma en la ecuación

(x“2/2) * i/''2 * 1 . Determinar los valores de D, E y F .2

30. Encontrar las coordenadas dt un punto P sobre la elipse E: 8x - Axy

♦ 5j/2 - 16/5x ♦ 4/5i/ + 4 * 0 , tal que la tangente a E en el punto P sea paralela a la recta que une el extremo superior del eje mayor con el extremo izquierdo del eje menor

2 231. La ecuación 9x + lZxy * Ay > 105625/4 representa las directrices de una elipse cuya excentricidad es 4/5 , con el centro en (0,0).a) Hallar la ecuación vectorial de E , b) los vértices en X'Y' , yc) las coordenadas de los vértices en el sistema XY.

232. Dada la ecuación 3x + By - 4 > Axy + 12». identificar la curva, y

hallar las coordenadas en el sist&na rotado X'Y' del punto P que tienb como abscisa x - 1 . (Inaicar una de las soluciones).

33. Sea ?x2 - Axy - y2 - 4x - By + 14 = 0 una hipérbola H , y sc.a P una parabola cuyo vértice coincide con el foco de la parte superior de H,y cuyo foco es el centro de H . Hallar la ecuación vectorial de la parábola P .

34. Dada la ecuación 4 ' - Axy * ly1 + 12x + 6y - 9 • 0 , a) Identificar la curva. b) En el sistt.na rotado, hallar las coordenadas de losvértices, focos y del centro.

Clave de Re s p u e s t a s

1. (a) y (c) hipérbolas, (b) y (e) parábolas, (d) y (f) elipses.2. a) ü = ( »'3, l)/2 , b) ü = (l,l)//2, c) ü * (7, l)/(5/2) .3. a) (5/2)x‘2 » (1/2)«/•2 . ü = (1, -1) / ñ , b) 5x,2-3i/1 2 , ü =

*(/3, U/2 . c) Ax'2 * 2y'2 , G = (l.l)//2 .4. a) CONJUNTO VACIO, b) Hipérb.: (x‘ ♦ /2)2 - y '2 = 2 , ü = (1, l)//2

c) Hipérb.: 3x‘2 - y’2 - 2 , ü = (1, - /3)/2d) Elipse: (x,2/Z) + (</,2/6) = 1 , ü = (1, l)//2e) "Parábola": /3x + y = i 2 ,f) Parábola: x'2 = -3/3i/' , ü = (/3, l)/2g) 5(t' - l)2 - 3[y* - (5//3)]2 = 5 , G = (/3, -l)/2 : Hipérbolah) (*' - l)2 - (y,2/ll) = 1 . ü = (3, -l)//l0 : Hipérbolai) Hipéro (y' - 5)2 - 4x'2 = 25 , ü = (2, -l)//5

Cap. La Ecuación GeneAai de Segundo Gfiado 465

k1mno

P

qrr

5. a b

6. a

PARABOLA: (x'+-^)2 - i _ (y. ü * (2. 3)//13

ELIPSE: [«/■ 2/(4/3)] ♦ [*12/(4/29)] » 1 . ü - (5. l)//26HIPERBOLA: x'2 - 3y'2 * 2 . ü - (/3, l)/2PARABOLA: [x* - (1/5)]2 = Z(y' - 2) . ü * (4. -3)/5PARABOLA: [x‘ - (7/13)]2 = (Í/IS»!/1 - 17) , G * (5, 12)/13PARABOLA: x'2 = -Z[y' +(6/13)] . ü =* (5, 12)/13“PARABOLA": x‘ - - 1//34 , ü - (5. -3)//34

PARABOLA: [«' ♦ (1//TÓ)]2 - -(/lÓ/20)[y' + (3/✓Toj], G-(1.3)//1Ó) x' - 2//13 v x' = -1//13 , ¡j ■ (2, 3)//13 , con el sig.(-)) CONJUNTO VACIO: 13x'2 -/Ux' + 2 - 0 , con el signo (+) .

9x'2 ♦ Ay'2 - 36 , ü = (1, -2)//5 ,3x - 4y - 5 = 0 , G * (3, -4)/5 ,

x‘2 - y'2 - 4 . ü = (2. l)//5_4x‘2 ♦ y'2 - 8 . G = (-2. 3)//l3,2 » By' , G « (3. 4)/5

b c d e f

9 h i

j k 1mque se encuentra en la región y

x16x,Z - 9y'2 = 288 , ü = (1, -l)//2 x'2 ■= -By' , ü - (1, -l)//2 x*2 = 4 y' , ü - (1, 3)//10 x' = 4 v x' = -1 , G * (3, 2)//13 (x1 - l)2 = By' , ü « (4, 3)/5 (y' +2)2 - 2x‘2 = 4 , G - (1, -l)//2 4(x' - 3)2 - [y' + 2)2 = 4 , G = (2, l)//5 (x1 - l)2 = -10(<r - 3) , G = (3. 1)//IÓ «(*' +2)2 ♦ ly' - l)2 = 4, G = (2, 3)//TTLa parte de la parábola x'2 = -/2a [ y' + (a/(2> 2))], G=(-l,l)//2

n) La parte de la parábola x'2 = -sZa[y’ + (a/(2/2))], G = (-l,l)//7 que se encuentra en la región y i a - x .

NOTE que la reunión de las gráficas de (m) y (n) conforman toda la parábo la x'2 = - /2a [y‘ * (a/(2/2))], G=(-l,l)//2 como vector de rotación,

o) 2(x‘ ♦ l)2 + (y‘ - l)2 = 2, G = (1. -D//2 .

7. (y' - 4)2 - 4(x‘ - 2)2 = 1 , G = (4, -3)/5 , Asíntotas: x - 2y = 0 ,llx - Zy = 40 , Directrices: 3x + Ay = 20 + 2/5 , VERTICES:Vj = (23/5, 14/5), V2 = (17/5, 6/5) , FOCOS = 1(4 í [3/(2/5)],2 i (2//1)]

8. G = (3, 4)/5 , k = 15, k = - 5 , y la ecuación de la cónica resulta:,, ¿ ,,... o 2

466 La LcuaixJn Gene/uU de Segundo Grado Cap. i

9. 6 * 30° ; 10. Consiste de un único punto P * (1, 1) en XY .11. e • 1//2 ; 12. e =* /5/2 ;13. Dos rectas paralelas: 4x * 3y « 20 , 4x ♦ 3y ■ 30 .14. Asíntotas: 4« ♦ 3y - 5 * i (4i/ - 3x + 10) , C « (2, -1), e ■ /2 ,

Directrices: L¿: (2, -1) i (/2/2)G + tu"*" , donde ú = (4, 3'/5 .

15. a) Elipse, b) Hipérbola . c) Parábola , d) Circunferencia.16. m ■ 5 y ■ * -5. 17. a) Un único punto (x, y) « (3, 1),17. b) Conjunto vacio (NO HAY GRAFICA), c) Dos rectas: 7x - y + 10 * 0 ,

x + 7y + 10 ■ 0 , d) Una sola recta: 3x - Ay = 5 .18. [x1 - (16//5)]2 - 4/5 [y' + (7//5)] G = (1. 2)//? , .. (a) ;

b) 3x'2 + Ay'2 » 24 . G - (1, l)//2 ,c) x'2 - {y‘ - v i )2 = 8 , G - (1, l)//2 ,d) [y' - (13/5)]2 - 4[x' ♦ (9/5)]2 - 100, ü = (3, -4)/5 .

19. Parábola: [x‘ - (1//5)] ■ -%/líy' + (12//5)] , ü = (-2, l)//5 , sólo rotación .

20. Sólo rotación: G » (-3, 1)/✓To’ , 2(5x' - 3/TÜ-) = i (5i/' -/lÓ)22. A, - 125, • 25, ¿¡ ■ (4, -3)/5 , [t*‘ - l)2/5 3 + [(*/■ - 2)2/25 3 = 1 ,

a - 5. b « /5 , c = 2/5 , a) C-(l,2), -lu + 2ü-L -(2,l),■ (2, 1) ♦ (3, 4). F¿ - (2, l|f [2/5(3, 4)/5] .

b) Directrices D¿: (2, 1) í ( /5/2)j3, 4) + t (4, -3) , t e R .

23. Aj = 25, A2 - 0. ü = (-3, 4)/5, (x1 + 2)2 - - 4 [y- - 1) . p - 1 ,

V ■ (-2, 1)' , V » -2G * lG1 = (2/5, -11/5) . F = V - pG 1 « (| , -|)Directriz: (x, y) = V ♦ pG"1" + tG » (-2/5, -14/5) ♦ t(-3,4), t e IR

24. Sea PQ = (x ,, y'0) , entonces por las propiedades de las rectas tangentes a cónicas: G * (4, 3)/5 , Aj = 25, A2 * 0, x'2 = -9(¡/' ♦ 5) ,Fc = (0, 0)’ = 0G ♦ 0G1 = (0, 0) , y¿ « - 14, x¿ - 9 , (SOLO ROTACION), Pc - (78/5, -29/5) . Hipérbola H: F0 = (0, 0V = (0.0), ademása = 3/2, b = 2/14 , Vértice de la Parábola: V * (0, -5)' * (3, -4) ,

y la ecuación de la hipérbola H: (x,2/18) + (</,2/5b) = 1 , dondex* - (x, y) ■ G , y’ = [x. y) - G 1 .

25. SOLO ROTACION: E: G - (1, -2)//5 . [(x1 + 2)2/4] ♦ [(i/' - l)Z/9] * 1 ,e = /5/3 . Hipérbola: G = (1, -2)//5 . F0 = (2/5 - 2, 1)' - (2, /5 - 4)Los focos de la elipse (-2, 1 + /5)' e H =»• satisfacen la ecuación [(i/* - l)2/a2] - [(x* - (2/5 -2))2/b2] = 1 , y conr e2 * /6 , en tonces a = 1 , b = /5 ; así, la ecuación de la hipérbola resulta[Í2x ♦ y - ,"5)2/5] - [(x - 2 y * 2/5 - 10)2/25] = 1 .

Cap. t La Ecuación GineAaZ di Segundo Guido 467

26. Aj - 0. A2 - 13. ü - (3. 2)//13 . a - -2. b - -2 .27. Aj - 9, A2 * -1 , ü * (-2, 1)í ’ 5 , SOLO ROTACION, la ecuación se re

duce a: 9[x' - (1//5)]2 - [y' + (12//5)]2 - 0. C « (1//5. -12//T)1 -■ (2,5). P ■ (-4,8) » (16//5, -12//5)', que genera la ecuación de H:9[x' - (1//5)]2- [y‘ + (12//5)]2 - 405, asi a - 3/5, b - 9/5 , c-15/2, D¿: x‘ - (1//5) í (3//2), o sea 4x - 2y - -2 i 3/10 .

28. Aj ■ 5, A2 ■ 0, u * (-2, l)//5, SOLO RCTACI0N , Olrectrlces: x' =-2//I, *• - -12//5, a2/c - / 5, b2 - 4a/5, a3 - 5a ♦ 4 - 0 = >a ■ 1, b ■ 2//5, Fce L: x' » -7//5 =»• Fc ■ (h, 1) e L: -2x + y »■ -7 , de dcnde F0 ■ (4, 1); c » 1//5 Implica que la elipse tendráecuación 4x'2 ♦ 5i/‘2 » 4, donde (x, y) « F„ ♦ x' ü + i/' ü .

29. Aj - 2, A2 - 4, 5 => (1, 1)//I , 2x‘2 ♦ 4^’2 ♦ [(2D + 2E)*'//2] ++ [2(E - 0)i/7/2] + F = 0 = » (D+E)/(2/2) ■ 1//2, (E-D)/(4/2) -- 3//2, =*« D - -5, E - 7, F - 15 .

30. Aj - 4, A2 * 9. u ■ (1, 2)//5 , [(x1 - l)2/9]♦[(»'+ 2j?/4 ]- 1 ,V » (4, -2)' , B * (1, 0)' , a - 3, b - 2, P « (x0, yD) ; por propiedades de RECTAS TANGENTES, identificando: Lj' (x¿ - 1) " (3/2)(i/¿+2) ,===> y'Q « -2 +/2, x¿ » (2 + 3/2J/2 , SOLAMFNTE ROTACION: se tiene que P “ x¿[(l,2)//5] ♦ </¿[(-2, l)//5] - ((10-/2)//5, 4/2//5) .

31. Aj = 13, A2 » 0, ü = (3.2)//Í3 , x‘ - í 25/TI/2 , a = 10/13 ,b - 6/13 , c * 8/13 , a) [x,2/1300] + [i/,2/468] = 1 , FQ - (0, O)1= (0, 0) , SOLO ROTACION. b) V¿ = (+ 10/13 , 0) . c) Vj =■ F ♦ aü = (30. 20), V2 - (-30. -20).

32. Aj * 4, A2 ■ -1, ü « (2, -1)//5 , la gráfica es una hipérbola :C(x* - (4//5))2/4] - [(¡/' - (2//5))2/16] ■ 1 . Existe una única solución para P - (1, 13/4) , y es P » (- /5/4 , 3/5/2* .

33. A¡ - 3, A2 = -2, ¡¡ - (2, -l)//5 . H: 2(y' +/5)2 - 3x'2 = 24 , lo

que implica que el centro es F0 = (-1, -2) en XY , a * 2/J, b - 2/2c * 2/5 , F| ■ (0, /5)' « (1, 2) . La parábola tiene p = 2/5 , ysu ecuación: ^ x'2 - -8/5{y' - /5) , V * Fj - (1, 2) , SOLO ROTACION5 - (2, -D//5 .

34. Aj * 8, A2 * 3, ü ■* (1, -2)//5 , a) Es una Elipse con ecuación:(x,2/3) ♦ [(i/' +/5)2/8] - 1 , a - 2/2 , b * /3 , c » /I ,b) C= (0,-/5)', - (0, -/5) i (0. 2/2), f'¿ - (0, -/5) i (0./5).c) En XY: C-(-2. -1). V, - (2/2 -/5)(2, l)//5 , F¡ = (0, 0) ,

V2 = (2/2 ♦i 5)(-2, -1)//! , F2 > (-4. -2).

468 G t o m e V C L a A n a ~ L t ^ ¿ a en R3 Cap. 9

9

GEOMETRIA ANALITICA

EN R3

1 VECTORES EN EL ESPACIOEl Sistema de Coordenadas en el Espacio está formado por tres Ejes mutuamente

ortogonales entre si: X , Y , Z , y que son copias de la RECTA REAL R .El Punto de intersección de estos tres ejes, que coincide con el número CEROen cade, une de ellos, es llamado el ORIGEN DE COORDENADAS.

A caaa punto P de este espacio se le asocia una terna ordenada de números reales P = (x, y, z) de la siguiente manera

1.1 SUMA DE VECTORES EN R3 .- Dados ¡ = (a,. a2, a3)b - (bj, b2• b ) *

se define la SUMA a + b como:

Cap. 9 GzomeJtAla. AlULtÁXlca en R3 469

el vector i * b * (at ♦ bj , a2 ♦ b2 . a3 + bj)

1.2 MULTIPLICACION POri UN NUMERO REAL .- Dado i - (a^ a?. a3) .

y el número real r e R , se define rá « (ralt ra2, ra3) .

1.3 Ejemplo . - S i ¡ = (2, 4. 5) y b = (7, 2. -1) . hallare -

mos 3á + 4b - 3(2, 4. 5) ♦ 4(7. 2. -1)= (6. 12. 15) + (28. 8. -4)- ( 6 ♦ 28 , 12 + 8. 15 ♦ (-4) )* ( 34 , 20 . 11 ) .

Con estas dos operaciones, el conjunto de ternas orde.iadas de números reales toma el nombre de ESPACIO VECTORIAL REAL TRIDIMEN-SIONAL R , y sus elemento' á = (aj, a2, a3) son llamados VECTORESEN EL ESPACIO .

En este Espacio Vectorial también se extienda el concepto de la operación del PRODUCTO ESCALAR de dos vectores a y b :

a • b - (alt a2, a3) • (b . b2. b3) = a^Dj ^2 2 * a3b3 e R

Asimismo, tenemos la LONGITUD (Ó NORMA) de á = (alt a2, a3)

I á I = / a2 + a2 + a?

1-4 OBSERVACIONESCon estas definiciones previas, obtenemos muchas

2propiedades análogas a las que se tenían en R , como son las de las construcciones geométricas, de la SUMA DE VECTORES , RESTA DE VECTORES, MULTIPLICACION POR UN NUMERO REAL y las del PRODUCTO ESCALAR , incluyendo las mismas fórmulas para la PROYECCION ORTOGONAL de un vector en la dirección de otro Prg á , y la COMPONENTE ORTOGONAL

Cp j; a , así como la fórmula para el COSENO del ángulo entre dos vecto res.

1.5 Ej e m p l oDados los vectores i = (2, -4, 3) y b = (-1, 5, 2) ,

entonces _ ( 2 _ (_1} f (_4j _ 5 t 3 _ 2 j . (3 . -9 , 1 )

i • b - 16Cp - b =

a |á| / 29

470 GtumtXJuji AnatítLca an R3 Cap. 9

pues í-b = (2. -4. 3)-{-I. 5, 2) = (-2) ♦ (-20) + (6) = -16 .

1.6 NOTA I) Sea 6 el ángulo entre los vectores á y b en R . De la figura vemos que

eos 6

3

ä • b

b|

de donde resulta la fórmula

i • b = I i 11 b I eos 6

Y puesto que (*)-i < cose < i ,

entonces, de (*), obtenemos la famosa relación siguiente para el PRODUCTO_ - 2 3

ESCALAR de dos vectores a y b , ya sea en R ó en R

- |¡|| b| < (á-b) < I ä II b IDESIGUALDAD DE CAUCHY - SCHWARZ

donde, en la ira. desigualdad, la igualdad se cumple si y solo si a y b son paralelos y tienen direcciones opuestas [ 0 = 180° ] , y en la 2da. ,1e sigualdad, la igualdad se cumple si y solo si a y b son paralelos y tienen la misma dirección [ 6 = 0 ° ] .

II) Los vectores NO NULOS i y b son ORTOGONALES si y solo si i-b = 0 . [ Ver (*) para 6 = 90° ]

1.7 NOTA A los vectores unitarios que tienen la misma dirección que

Cap. 9 hittí'duccíón al Aníí.u.^i Matemíficu 47]

i = + a2i + fljfe

EJERCICIO. ¿ Son colineales los purtos A - (1, 2,3), B = (3,3,2) y C = (7,5,0) ?

Estos tres puntos serán colineales si los vectores AB y AC son paralelos:

AB = B - A = (2, 1, -1) , AC » C - A = (6, 3, -3) , y ast vemos queAC = 3 AB . Por lo tanto. A, B y C son colineales.

EJEMPLO. Dados i « (S, 3, 7) , b = (2,-8, 4) , el ángulo entre estos dos vectores está dado por:

eos 0 = a . b 14

|i#b|

2 EL PRODUCTO VECTORIAL EN

✓ 83 /84

„3

Con respecto al cálculo de un vector b ortogonal a O'„2 ___________ r _____ . t iresultaba ser b un vector paralelo a a

r.3es de -tro dado a en IR

cir, b = rá"*" , pero en IRJ para un vector á dado, no se define el vector á . pues según la figura adyacente vemos que si i t 0 existeninfinitas direcciones en las que un_ _ Kvector b es ortogonal a á .

A continuación, definiremos una operación entre dos vectores á y

3b en IR , que dará como resultado precisamente un vector. peAp ndÁ

calar. tanto a a como aJL vector b .

DEF. EL PRODUCTO VECTORIAL de los vectores a = (aL, a2. a3) y b * (bj, t>2, b3) , denote do por a x b

á x B = (a2b3 - a3b2, a3bj - ajbj, ajb2 - a^bj) e IRj - Por ejemplo,

si ¿ = (1,3,-2), b = (4, -2, 1), i x b = (3-4. (-8)> !, (-2) - 12) =i x b = (-1, -9, -14) . Podemos verificar que, para todo á , b en IR3:

a • (i x b) - 0 y b ■ (a x b) = 0 , ypor lo tanto, que á x B ej un vector ortogonal tanto a a como a B .Mediante las propiedades de DETERMINANTES, se puede expresar á x B romo

es el vector: „3

472 Intiudiicc^ón al MatemcUice Cap. 9

i x b+ í- (i2bj — d b2)~ J (fljbj - 3 j b . )

+ fe(aLb2 + a2bj)

y se puede comprobar que

Z x Z = j x J = fe x fe = 0i x J = fe , J x í = - fej x fe = i , t x j = - ife « I = j , i x fe = - ]

As', vemos que el producto vectorial x b (en R3) sigue la regla del tirabuzón, o de la mano derecha; es decir, si con la mano derecha se desplaza el vector á hasta elvector b , el PRODUCTO VECTORIAL I x b , en ¡ate. o’ den , sigue la direc ción que indica el pulgar de la mano derecha, siempre ijue el giro sea me ñor de 180° , y es perpendicular a ambos vectores á y b .

2.1 PROPIEDADFS DEL PRODUCTO VECTORIAL ¡ « b

1) a x b - - b x a . 3) á x ( b ■*■£) =

2) (ra) x b = r(i x b) , V r e R. = (i x b) ♦ (i x c) .

2 2 EJEMPLO. Sean i = (7, 1, 5) y b = (2, -1, 3) , entonces

l ] fe i [(1)0) - (5)(-l)]a x b 7 1

2 -181 - 11J - 9fe■ - J [ ( 7 ) 0 ) - ( 5 ) ( 2 ) ]

♦ fe[(7)(-l) - (1)(2)]

á x b = (8, -11, -9) , y vemos que (á x b )X i y |¡ x b) 1 b

2.3 TEOREMA a x b I á |2 | b|2 - (I - b)2

De esta fórmula y de la figura se tiene que si 0 e [O, tt] ,

| i x b |2

| i x b |

1 á |2 | b |2 - | i l21 b|2 eos2 0

| a |2 | b l2 sen2 0 = >

I á | | b | (sen 0) (*)

Como el área del paralelogramo formado por á y b es | á | ( | b | sen 0 ) , resulta que

V a , b e R

Cap. 9 Geometría AnaLct*.c¿ en K 0 3

la longitud de a x b es numéricamente Igual al área del paralelogramo formado por i y b .

2.<t TEOREMA. Los vectores i y b son paralelos si y sólo si su pro - ducto vectorial se hace cero: á x b * Ó .(Hacer 6 = 0 y 6 = a )

2.5 TEOREMA, l) | i x b |2 < |i|2 |b|2 , 2) |i x b | < |¡||b|

3) | á x b | * | i l | b | «=> a X b «=> a - b = 0

2.6 TEPRESENTACION GEOMETRICA DE i x b

CUANDO 6 CRECE DE 0 ° A 90°, | i X B | CRECE

. Sxfc ba x b

- t - a x baxb LAa a i

CUANDO 6 CRECE DE 9 0 ° A 1 8 0 ° , | 5 X b| DECRECE

¿L? 6- 4 ^Esta situación se repite para 180° < 6 < 360°, pero hacia abajo.

Ni

2.7 TE iREMA. I i x ( b x c ) ■ (a-c)b — (i-b)c

2 8 ZJERCIC10. Dados á * (1, -1, 5) , b * 21 * 4j - 8fe , el área del paralelogramo de lados I y b es.

í0 = | i x b | * | (-2, 18, 6) | * 2/91 , y el área del triángulo

formado por ¡ y b es Aa » ^ | 5 x b | = /Üí

2.9 TRIPLE PRODUCTO ESCALAR

El Triple Producto Escalar de los vectores i, b y c es el númeno >inal [abe] 3 I-(bxc) , y que se puede calcular en la forma

al a2 a3 al b> cl~

bl b2 b3 - det a2 b2 C2

_C1 c2 c3 _a3 b3 CJ_

474 Introducción ai AnílinA Matem¿Ltccu Cap. 9

Ú e

por la cual se verifica que

1) [abe] * ¡-(bxc) = c-(axb) = b. (c x i)

■ [c a b ] * [bei]

2) [á be] * ¡-(bxc) « | b x í | C p - x- a ,

Se dice que { a , b , c I es una tiir.ua orientada positivamente, en R3si [ábe] > 0 , por ejemplo, [Ijfe] = I-(Jxfe) » 1 > 0 ;y es una terna orientada negativamente si [¡be ] < 0 .

Si (Cp- _ i ) > D entonces buc

(Pr- _ ¡ ) y (bxc) bxc

son paralelos y tienen la misma dirección.

De modo que si t i , b , c } está orientado positivamente, los vectores i y (bxc)estín a un mismo lado del píano generado por b y c . Más aún, el volumen del Paralelepípedo con

lados a , b y c es (base x altura) :

Vp = | b x c | | Cp - _ i | - | b x c | - - a- * C-bxc | b x c|

Vp = | 5 - (b x cX I | Cabe]!

y el volumen del TETRAEDRO de lados i b y c está dado por la fórrala

= t Vd » i | [ ¡ b c ]6 VP

2.10 EJEMPLO. Sean i -(3,0,4), b = ((l,0 1), E * 2j ♦ 4fe . Entonces b x c = (-2, -4, 2) , y por lo tanto los volú

menes del paralelepípedo y del tetraedro formados por a , b y c son, res pectivamente: y | i.(b x el | ‘ I -6 * 8 | - 2 u3

(1/6) | i - f b x c') | » (1/3) u3 .

2.11 EJERCICIOS. 1) Si ¡-(2.-3. 1), b - (4,2, -5), i * b = ?2) Si ¡,-(1,1.2). b - (-l.fi-,-3), hallar

(¡ x L) x (i ♦ b) . Rpt: (-10, -7, -21).

Cap. 9 Geometría AnatiU-Ji en R 3 475

3) Si i ■ (1, 2, 1). b * (2. 3, -2), c * (4, 1, -2) , hallar los números í-(b x ct y (5 + c)-(b x (b x c)) Rpt: (-22) y (-110)

3 . R E C T A S E N E L E S P A C I O R 3

Dado un vector a t 6 en R3 y un punto Pc e R3 , se define la RECTA L QUE PASA POR PQ Y TIENE VECTOR DIRECCIONAL á ,

al conjunto de puntos de R3 [_ = { p = Pq + tj y t e R ] .

Si P = (x, y, z) , P„ = (x0, y0, z„) , 5 = (ap a2, a-,) , entonces de

la ecuación vectorial

nas: x = xn ♦ ta,

P = P„ ♦ ta se obtienen las ecuaciones cartesia-

y = ya * ta?z = zn + ta-,

ECUACIONES PARAMETRICAS DE L

y despejando t se obtiene la FORMA SIMETRICA DI LA ECUACION DE LA RECTA L

(t = ---- « -- — = — -— - , siempre que alt a2, i] / 0

Si a = (£, m, n) t Ó es el vector direccional de una recta L , a los números l , m y n se les llama NUMEROS DIRECTORES DE L .

Y si a = (i , Eje X* ) - ( ¡ , Z )6 = ■) (á , Eje Y * ) = ( ¡ , 7 )

Y - •) (5 , Eje Z* ) * i ( i , fe )

A cosa, eos 8, eos y > se les llama los COSENOS DIRECTORES DE L .

I i •!

ANGULOS DIRECTORES DE L

/ £2 + m2 + n2

Y análogamente, cos g

eos y =

lil

j • á

l¡li . á

i¡r2 2 2 cos a + cos 8 + cos y

3 . 1 E J E M P L O . Las ecuaciones

tan a una recta L que pasa por F„ = (1, -3, 2) , y que tiene dirección

476 I iittvdactUvH al Anáíii¿i Mar nCtccu Cap. 9

5 - (3. 4, -3) pues 2 - i

3 (-3)ser representada por las ecuaciones paramétricas:

Esta misma recta L puede

* = 1 ♦ 3t ,

3 2 D E F I N I C I O N .

-3 ♦ 4t 2 - 3t t e R

3 . 3 P R O B L E M k

Las rectas Lj : Pc + ta y L2 : Q + tb sonPARALELAS si los vectores i y b son paralelos.L| y L2 son ORTOGONALES si I y b son ortogonales.Lt y L2 SE CORTAN si existe L! n L2 t

Lj y L2 SE CRUZAN si Li D L2 - <t> (no se intersectan).

La recta Li pasa por (1,0, 1) y (2, 1,2) y la rectaL2 pasa por el origen y es paralela a (1.0,2). Determi nar la recta L que pasa por (2,0, -3) y que es ortogo nal tanto a Li como a L2 .

So l u c i ó n.

Ll l 2 :

Un vector direccional de Li es i = (2,1,2) - (1,0,1), P - (1,0,1) ♦ t(l, 1. 1) , ¡ = (1,1,1). t e RP = »(1.0.2) . b = (1.0,2) . ¿ e R

Así, un vector direccional de L (tal que L 1 L| y L X L2 ) es :á x b * (1,1,1) x (1,0,2) = (2, -1, -1) , y como L debe pasar

por (2, 0,-3) entonces L: p= (2, 0,-3) ♦ t(2, -1, -1) . t e R

3.*» PK0BLEJ1A

So l u c i ó n .

Dada la recta L : (10, 7, -9) + t(l, 2, -1) y el punto Q = (13, 1,0) fuera de L , determinar dos puntos A y B en L que forman con Q un triángulo equilátero.

Oado el vector dlreccio nal á de L , ü = 5 / 1 a| '= (1, 2, -1)//6es un vector unitario paralelo a L .Sea P0 = (10, 7,-9) e L Elegiros

c // (Po0 x i) como un vector Xal plano de la figura y b // (c x a)un vector paralelo a QM . Luego,

P¡Q x ¡ - (3, -6, 9) x (1. 2. -1)- 12(-1, 1 . 1 ) = » C - (-1. 1. 1)

c « a = (-3. 0, -3) - -3(1, 0, 1) .Elegimos b // (c x á) como b = (1.0, 1)

Cap. 9 Geometría Analítica un K 1 477

M = (Q ♦ rb) e L M = Q + rb = (10, 7, -9) + t (1, 2, -1)(3,-6,9) = t (1. 2.-1) - r(1.0,l) 3 = t - r

-6 = 2tde donde t = -3 , r = -6 y asi, M ■ (7, 1, -6) ,

y como d = d[M; Q] = |MQ| = |(6»0,6)j 6/2 , y siendo d = / 3 h ,entonces h = 2/6 , y:A = M + h ü = (7, 1. -6) + 2*6 (1, 2, -l)//6 = (9, 5, -8)B = M - h ü = (7, 1, -6) - 2 /6 (1, 2, -l)//6 = (5, -3, -4) ,

E J E R C I C I O . Dadas las rectas L p (1,0,-1) + t(l, 1, 2) ; L2: (-1,3,4)+ s(-2, 3, 1) , hallar la ecuación vectorial de la recta L

que es perpendicular a Lj y a L¿ y que las intersecta a ambas. Encontrar también estos puntos de intersección.

SOLUCIÓN. Lj no es paralela a L2 , pues (1, 1,2) no es paralelo al vector (-2, 3, 1) , y además no se intersectan, pues si existi e el punto

P e Lx n L2 : P - (1, o, -1) + t(l, 1, 2) - (-1, 3, 4) + s(-2, 3, 1)==» de las primeras componentes: 1 + t = -l-2s , t = 3 + 3s = *s = -1 , t = 0 , pero al reemplazar en la ecuación, de las terceras componentes: -l + 2t = 4+s = > -1 = 3 (abiuAdc)

Un vector direccional de L es:

E // (1, 2, 2) x (-2, 3.1) = (-5,-5,5)

==> c = (1, 1, -1)El punto A e Lj fl L es de la forma:

A = (1,0, -1\ * 1,2)

El punto B e Lj fl L es de la forma

B = (-1,3,4) ♦ s(-2, 3, 1) ,

Además, se tiene que AB = re = * B - A = r (1, 1, -1) = >

(-1,3,4) + s(-2,3, 1) - (1,0,-1) - t(l, 1,2) r + Zs + t = -2r - 3s ♦ t = 3 =-r - s - 2t = 5

=»• s = -1, t = -4, r A = (1, 0, -1) + t(l, 1, 2) - (-3, -4, -9)B = (-1, 3, 4) ♦ s(-2, 3, 1) = (1, 0, 3)

L : (-3, -4, -9) ♦ r (1, 1, -1) , r R

r(l, 1, -1)

|[ -4s - t =

= 3

8

478 InViuducción cJL A,iilU¿í¿ Vvtiaiái.tco Cap. 9

EJERCICIO. Dadas las rectas L¡: (1,0,-1) f t(l, 1, 2) ; l2- (-1,3,4)+ t(-2, 3, 1) ; hallar la ecuación de la recta LBI cuyos puntos equidistan de Lt y L_

SOLUCIÓN. Como las rectas L) y L2 corresponden a las del problema previo, siendo los puntos de intersección con la recta L hallada:

A = (-3,-4,-9) y B = (1,0.3) , entonces LBI debe pasar por el pun

to M = (A + B)/2 = (-1,-2.-3) y dete ser BISECTRIZ de Lj y L2 .

Viendo la figura anterior de manera que L se proyecte como un punto, vemos que hay dos soluciones para LBI :

LBI : (-1,-2,-3) + t [/14 (1, l, 2)

i /6(-2, 3. 1) ] .

eligiendo el signo de modo que elángulo sea agudo u obtuso, entrelos vectores

(1, 1,2) y (-2,3. 1) .

4. PLANOS EN EL ESPACIO R 3

Dados dos vectores á y b no pa\a

teZoi y un punto P0 , en IR3 , se define El PLANO ? que pa¿a po>i PD , de

tí/uru.nadu m 5 y b , al conjunto (p , { p = Pq + s5 * tB / s. t E IR )

Así, los vectores á y b son paralelos al plano V , y cualquier vector no nulo ortogonal a ambos a y b se llama VECTOR NORMAL a P ; de manera queI x b es un vector normal a 5* , y toda otra normal será paralela a a x b .

EJEMPLO. Hallar la representación vectorial del plano P que contiene a los puntos A = (-1, 2. 1), Q = (4, -2, 1), R = (0, 1, -1) .

LÜp.9 Geom«AaÁjO. Analítica, tm R3 479

SOLUCIÓN. Podemos elegir como PD cualquiera de los puntos dados,Po * Q = (4, -2, 1) . Los vectores

á = AQ = Q-A - (5, -4, 0) . b - ÁR * R-A = (1. -1, -2)

no son paralelos entre si, pero son paralelos el plano *P , por lo tanto

9 : P = PQ + sa + tb(*, y, z) = (4, -2, 1) + s(5, -4, 0) + t(l, -1, -2) , s , t t R

4 . 1 E C U A C IO N NO RM AL Y G E N E R A L D E L P L A N O

Si ñ - (a, b, c) es un vector normal al plano íP que pasapor P0 y P(x, y, z) , entonces haciendo d * - PQ- ñ (constante) :

EL punto P peMe.ne.ce ai piano *P <=> P_ P X ñ

As1> | ~ ~ I ECUACION NORMA'(p-pp)-n - o | DEL puuw 9

P-ñ = PQ . ñ <==> (x, y, z) . (a, b, c) = -d

a* + by * cz ♦ d = 0 I ECUACION GENERAL DEL PLANO P

4 . 2 E J E R C I C I O . Hallar la ecuación normal y la ecuación general del pía no í5 que pasa por los puntos A = (1, 2, -3), B = (-2. 1. 2), C = (0, 1, 1) .

ELUCIÓN. Elegimos P0 - A -(1,2,-3) ,

i = AB - B-A » (-3, -1, 5), b - A C * C - A » (-1, -1, 4) , y comoñ // a x b -(1,7, 2) entonces elegimos ñ - (1, 7, 2) . Luego , paraP -(»,!/, z) , PQ - A - (1, 2, -3) , la ECUACION NORMAL DEL PLANC es

(P - P0) • ñ - 0 <==> [(x.i/.z) - (1, 2, -3)] • (1, 7, 2) = 0 . Además,

P.ñ = PQ .ñ <=* U.tf, z).(i,7,2) - (1, 2,-3).{1, 7, 2)

ECUACION GENERAL DEL PLANO *Px + 7y + 2z = 9

4 . 3 N O T A . Observe que en toda ecuación de la forma ax + by * cz + d -- 0 , los coeficientes a , b , c de x , y , z respect.,

formati un vector normal ñ = (a, b, c) de *P ; y un punto de paso PQ seobtiene dando valores, por ejemplo, x - y - 0 = > z = (-d/c) = »

PQ = (0. 0, -d/c) , ó PG - (0, -d/b, 0) ó Pc = (-d/a, 0. 0) .

480 Introducción al AníliAiA UatcnAtico Cap. 9

i>.4 PPOBLfi Hallar la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétri- cas de la recta que pasa por Q = (1. -2, 3), paralela a la normal al plano que contiene a los puntos A(lt 1, 1), B(2, 1, 1), C - (1.-1.3) .

So l u c i ó n — —*Dos vectores paralelos al plano indi'ado son a * AB »■ (1,0.0), b ■ AC * (0,-Z. Z) . Ademas, I x b * 2(0, -1, -1) ,elegimos como vector normal al plano ñ • (-1/2) i « b = (0, -1, -1) .Asi, ñ será el vector DIRECCiONAL de la recta L que pasa por el punto0 * (1. -Z, 3) . Luego, para P - (*. y, z) ,

L: P - (*, y, z) - (1,-Z. 3) ♦ t(0, 1, 1), t e R= > L: * « 1 , y m -2 * t , z = 3 t , t e R

4.5 ECUACIONES DE ALGUNOS PLANOS ESPECIALES

(1) La ecuación j x • t , c constante, como vemos no tiene n.e¿t>Uc

cionu pana loi \iaíon.ej> de y 6 z , de mo do que para que un punto de R3 satisfaga esta ecuación solamente se re quiere que su primera componente x sea igual a la constante c . Por lo tanto, esta es la ecuación del plano que pasa por P„ * (c, 0, 0) y tiene como vector normal a ñ * (1, 0, 0) * I . pues se puede expre

sar" * ■ c en la forma 1.* + 0-y * 0-z » c , la cual se cumple pana caalqwútn. vatoi -1 ta l tanto de y como de z .

Este plano es perpendicular al plano coordenado YZ , pues es perpendicular al vector ñ - (1,0,0) - l . (Su gráfica es la de la Izquierda)

Note que todo punto de la forma Pc * (c, y, z) , V y , z e R , se encuentra en este plano, pues satisface su ecuación: x * c .

A continuación presentamos las gráficas de otros 6 tipos de planos.

Cap. 9 GtLomtXAia \nac±tcrd en * 481

482 CexmeJtAXa. KnuUÁX^ca en Cap. 9

5 INTERSECCION DE PLANOS

5.1 DEFINICION Dos planos son PARALELOS si sus vectores normalesson paralelos.

5.2 Ejemplo Los planos 73 l : 2* - 3y * 4z - 2 . P2 : -6x * 9y -

- 12z * 1 ion paJiateJLoi pues sus vectores normales ñj■ (2, -3, 4) y ñ2 » (-6, 9, -1?) son paralelos. [ r\¿ » - 3 ñj ] .

5.3 TEOREMA SI dos planos 'P^ y P 2 no ton panaleJLot entonces¿u AtUejLie.ccU.5n eJ> UNA RCCTA.

Por ejemplo, los planos x + 3i/ + z * 8 , y P2: 3* + Zy - z ■ 1

NO SON PARALELOS, pues sus normóles ñj ■ (1, 3, 1), r¡2 » (3, 2, -1) no loson. Entonces, por el TEOREMA anterior, su Intersección es UNA RECTA .

En efecto, del sistema x + 3„ + z - 8 * + 3y - 8 - z

3* + Zy - z ■ 1 3* + Zy ■ 1 + z

y resolviendo este sistema de ecuaciones, considerando a z como parámetro libre (usamos la REGLA DE CRAMEH): * * (5z - 13J/7, y ■ (23 - 4z)/7 .Aquí, hacemos z « 7t , por comodidad, t e R , y obtenemos que

* - (-13/7) + 5ty = (23/7) - 4tz ■ 0 + 7t , t e R . De esta manera, obtenemos el Conjunto

de Puntos (Soluciones) de la forma:

£ - { P - (x. y. z) - (- ^ ^ , 0) * t(5, -4. 7) / t e R >7 7 (*}

que viene a ser LA INTERSECCION de los dos Planos dados, y que representa precisamente UNA RECTA que pasa por el punto P0 * (-13/7, 23/7, 0) y que tiene la dirección del vector i » (5, -4, 7) .

2[ En (*) tome t » — en particular, y analice el resultado siguiente].

5.4 EJERCICIO Hallar la Intersección de los planos9 l = { (1, 2, 1) + 4(2, -1. 1) + t (-1, 0, 1) / t , t

e R ) , y P 2 : 3x + Zy - z « 1 .

SOLUCION Un punto P = (x, y, z) en el Plano es de la formaP ■= (x, y, z) = (1. 2, 1) + ¿(2, -1, 1) + í(-l, 0, 1) .. (*),

para algún 6 y t en R . Este punto P también se encontrará en si

Cap. 9 Ge.ome.VuJ. Analítica en R3 483

ysolosi: 3(1 + 24-*) + 2 ( 2 - 4 ) - (1 + 4 + í) = 1 «==•34 - 4-t + 5 = 0 « = A = (41 - 5)/3 . Y reemplazando en (*) tenemos:

P = (1. 2, 1) + (^y-^) (2, -1. 1) + t (-1, 0, 1) , t e R

P = (1,2,1) - (10/3, -5/3, 5/3) + t ( 5/3, -4/3, 7/3) , t e R

P = (-7/3, 11/3, -2/3) + í (5, -4, 7) , t e R ,

resultando asi UNA RECTA L que tiene como punto de paso P0 = (-7/3, 11/3, -2/3) y es paralela al vector a = (5, -4, 7) .

5.5 DEFINICION . El ángulo entre dos Planos es el ángulo entre sus vectores normales. Por ejemplo, dados los planos

: x + 2y - z = 2 y P 2 : 2x - y + z = 1 , sus vectores

normales son ñj = (1, 2,-1) y ñ2 = (2, -1, 1) respectiv. Luego, elángulo 0 entre los dos planos estará dado por el ángulo 6 entre estos dos vectores normales: ( ñj • ñ2) i 1

eos 6 = -------- = — — — — = --Lñj | I ñ2 | / 6 y 6 6

y que, por tener VALOR NEGATIVO este coseno, indica que 0 corresponde al ángulo obtuso entre estos dos vectores ; y como eos (ti - 0) = - eos 0 = 1/6entonces a = n - 0 es su ángulo agudo tal que a = are eos ( 1/6 ) .

5.6 INTERSECCION DE UNA RECTA CON UN PLANO

Una /iccXa L z¿ panatela a un plano P ¿i L ortogonal a

un ve.cton no/mal ñ del plano f 1 .

En tal caso, puede ocurrir que L D P = $ ó L n p = t , en este último caso, L estaría íntegramente contenida en P .Si L pasa por PD y tiene vector direccional i tal que L no es pa ralela a P , la intersección de L

con P consiste de un UNICO PUNTO.

5.7 EJEMPLO . Intersectar la recta L . (1, 1, -1) + í(2, -3, 4) conel plano P : 2x - y - 2z = 6 .

SOLUCION Sean ñ = (2, -1, -2), a = (2, -3, 4), corno ¿ • ñ = -1 / Oentonces la recta L NO ES PARALELA al plano P . Además ,

484 GetmeXAÁa knaXXx .~jx en R3 Cap. 9

un punto Q pertenecerá a LA INTERSECCION l fl? ¿¿y ¿oto ¿i al reemplazar Q =■ (1, 1,-1) + t (2, -3, 4) - { 1 + 2i. 1 - 3í, -1 + U ) en la e-cuación de *P : 2(1 + 21) - (1 - 31) - 2( -1 + 41) * 6 = > 3 -t « 6= » t - -3 . Luego. Q = (1. 1, -1) - 3(2, -3. 4) - (-5, 10, -13) .

5.8 DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO

Sea f* el plano con vector normal ñ - (a, b, c) y ecuaclfin f*: (P - P0)-ñ * 0 , donde Pc • ñ * -d , entonces se tieneen forma equivalente la ecuación de P : a* + by + cz + d = 0 .Oado el punto Q M ( X j , i / j . Z j ) , la DISTANCIA DE Q A P está dada por

rf[Q ;P2 -

■ I CP - (Q - P„) |

I (Q - P0) " I

’ Tsl

| (Q-ñ) - (Pe -ñ) |

I ñ |

donde

P : a* + by + cz + d = D .

5.9 EJERCICIO Hallar la distancia del punto (5, -7, 4) al planoP : 2x + y + 2z = - 10 .

SOLUCION Sea Q * (5, -7, 4) = (xj, i/j, Zj) , entonces

p I 2xt * yx * 2Z| + 10 | = | 2(5) + (-7.1 + 2(4) + ID | = ?

/ (2)2 + (l)2 + (2)2 3

5.10 Ej e r c i c i o Verificar que los puntos A (1, 2, 3), B(0, 3, 2) yC(3, 0, 5) son colineales y pertenecen a los dos pía

nos x - z + 2 = 0, x + y - 3 = 0 . Demostrar también que cualquier planoque contiene a estos tres pumos dados tiene una ecuación de 1? forma :

d i Q ; P ] =| axj + bi/j + czj + a \

/ a 2 ♦ b2 ♦ c2

Cap. 9 Geometría AnaJLLtica en k 485

k(x - z + 2) + ¿(x + y - 3) = O .

SOLUCION. ÁB = (-1. 1,-1), ÁC « (2, -2, 2) = -2AB . Como ÁB // AC entonces A, B y C son colineales, y por satisfacer las ecuacio -

nes: x-z + 2 = 0 , x + i/-3 = 0 de dos planos distintos entonces corresponden a la recta de intersección de ambos planos L: (1,2,3) + t(l,-l, 1) . Sea 9 un plano cualquiera que contiene a A, B y C , entone« V P e T

P: ( P - A ) - ñ - O , donJe A =(1,2,3), P = (x, y, z), yñ = (r, s, t) J. L = • (r, s, t) ■ (1, -1, 1) = 0 = > s = r + t ,ñ = (r, r + t, t) = r(l,l,0) + t(0,l,l) , y reemplazando en

P : P - n = A • ñ = > r (x + y) + t (y + z) = 3r | 5t ==>

rx + (r + t)y + tz = 3r + 5t , entonces haciendo: r = k + £ , t = -k

(k + t)x + ly - kz = 3£-2k ==• $> : k(x - z + 2) + t{x + y - 3) = 0 .

PLANOS QUE CONTIENEN UNA RECTA DF INTERSECCION

Consideremos los siguientes planos : x - Zy * 3z = 1 , 2x + y + z = -3 .. (*) , y un punto genérico

P = (x,y,z) que satisface ambas ecuaciones, entonces P también satisface

la ecuación: p . k(x - 2i/ + 3z - 1) + ¿(2x * y * z + 3) = 0 (**)

que representa un plano que contiene a LA RECTA DE INTERSECCION LI . Deseamos hallar el plano ‘P que contiene al punto (1, 1, 1) y también a la recta LI de intersección de los planos dados, de modo que solo falta encontrar los valores adecuados de k y t , para lo cual reemplazamos las coordenadas de (1, 1, 1) en (**) y así: k + 7£ = 0 - k =

Una posible solución [y rite da) es k ■ 7 , l - -I , y por lo tanto,de (**): <p . 5x _ lS y + 20z = 10 ==a. <p . x _ 3y + 4z . 2

es el plano que pasa por (1, 1, 1) y contiene 4 la recta LI de intersección de los planos dados en (*) .

EJEMPLO. Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta L definida por (la intersección de) los planos: x - Zy + 3z = 1 ,

2x + y + z = -3 , y que sea paralela al vector (2, 1, 0) .

SOLUCION. Considerando (**) que representa al plano con normal ñ = (k + 2-t,-2k + £, 3k + £), si el vector (2,1,0) es paralelo al plano ,

entonces es perpendicular a si; vector normal ñ , es decir :

486 (¡LmeXtúa. Anatitica en R3 Cap. 9

¡¡-(2.1.0) - O =*> £ - 0 . Asi. en (*). 9: x - 2y ♦ 3z - 1 .

5.13 EJERCICIO . Un plano 9 contiene a la recta ¿5 : —— - ■ -— -1 -1

z - 1 ,, . „ * y +7 z* y es pa-alelo a 1» recta x : — « -— - — .2 1 2 3

Hallar la ecuacifin del plano.

SOLUCIÓN Escribimos ¡£ con» Intersección de los planos x-1 m Z-y,

y - 4 ■ 1-z . Entonces, por contener a £ , §* satisface la ecuaclfin k(x * y - 3) ♦ t(Zy ♦ z - 5) * 0 ... (*) , cuyo vectornormal ñ • (k. 21 + k, t) debe ser ortogonal al vector direccional i *(1.2.3) de í ' ; es decir. ñ • (1. 2. 3) = 0 = » 3k - - 71 .

Luego, eligiendo k = 7 , l ■ -3 en (*), í5 : 7x ♦ y - 3z * 6 .

5.14 EJERCICIO . Dadas las rectas L: x-1 ■ y ■ z + 5.

M : 4r “ ¡¿±2 _ z + 2 hallar3 2

a) La distancia mínima . b) La ecuaclfin de la recta N , perpendicular co mún a L y M . c) Los puntos de intersección A y B de N con L y M , respectivamente.

SJl-UCIÓN (MÉTODO CoR'i ü) .- Los vectores direcclonales de L y M son a * (1. 1. 1) y b » (3. 2. 1) respectivamente. Entonces ,

de A c N O L : A • (1. 0, -5) + ti * (l + t , t , - 5 + t)B e N O M : B - (0. -2. -2) + sb - (3s . -2 ♦ 2s . -2 + s) .

y como AB estS en ángulo recto con ambos i y b : AB-i - 0 - AB - bDe AB - (3s - t - 1. -2 + 2s - t. 3 ♦ s - t) . y de (**) : ****t 6s - 3t * 0 ~ 14s - 6t - 4 ■ 0 ] = » s ■ 2, t * 4 = » A « (5.4, -1), •B » (6. 2. 0). a) La mínima dist. entre L y M es | AB | * | (1, -2. 1) | «■ /6 . b) La recta perpendicular común a las rectas L y K estS dada porN: A + tAB = > N: P ■ (x, y, z) * (5. 4. -1) + t(l, -2. 1) . ó

N: (x - 5) - (y - 4)/(-2) - (z + 1) .

5.15 EJERCICIO . Dados los planos : x + y « 3 , íP2 : 2u + z « 5(*\

hallar la recta de intersección de ambos planos.

SOLUC‘ON Siendo los vect. normales ñj * (1. 1. 0) y ¡¡2 « (0. 2. 1) .

Cap. 9 GeomtXAÁA AníctUca en R3 487

y como L : P0 + tí , y pertenece a arabos planos, entonces es perpendiculara sus vectores normales ñj y ñ2 . Luego, a // (ñ x ñ2) = (1, -1, 2) . Elegjmos a = (1, -1, 2) como el vertor direccional de la recta L .Nos falta hallar un punto de paso Pc de L . para lo cual, en (*), damos un valor particular a la misma variable en las ecuaciones de ambos planos,y = 0 por ejemplo, de donde x - 3, z = 5; así, P0 = (3, 0, 5) yla ecuación vectorial de la recta es L : (3, 0, 5) + t(l, -1,2), t e R .

5.16 PROBLEMA. Dado el plano P : 2x + i/ + z * 3 , indique si elpunto 0 • (1,2,2) se encuentra arriba ó debajo de P .

SOLUCIÓN. £n ja ecuación de P hacemos x = 1 , y = 2 , que son mlimcLs psUmeAat coondenadtu di Q * (1, 2, 2), y obtenemos z » -1 .Así, P0 x (I, 2, -1) e P . De aquí, vemos que Q está encima de P0 e P

pues su 3ra. componente es mayor que la de P0 : 2 > (-1) . Por lo tanto, resulta que el punto Q * (1, 2, 2) se encuentra arriba del plano P .

5.17 PROBLEMA. Dados los planos ^ i : 2x + i/+z = 3 , yP 2 : 4x + 2i/ + 2z * 16 , indicar si el punto Q *(1,1,1) se encuentra entre ambos planos.

Solución. r o , ^ ,Como J-j : 2x + y + z « 3 ,P 2 : 2x + y + z = 8 , ion paiaXitot ,

y como Q = (1, 1, 1) e P : 2x ♦ j * ! ‘ 4 , y por ser 3 < 4 < 8 ,entonces deducimos que Q si se encuentra entre los planos Pj y P 2 .

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTO»

1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (1, 2, 3) y (-3, 2, 1) .

2. Hallar la intersección, si existe, de los siguientes pares de rectas:a) Lj : (1, -1, 0) + t(2, 3, 6) , L2 : (1,-6, 2) + ¿ (1, 4, 2)b) Lt : (2. 1, 4) + t(l, 1, 1) , L2 : (-2, 3,-4) + a (1,-1, 1) .

3. Hallar la intersección entre la recta L y el plano indicados:

a) L: (1, 1, 1) + t(4,3.2) . P : (2, 3, 4) + é (1, €, -2) + *(2. 2, 2)b) L que pasa por (0,0,0) y (-1,3,4) y el plano P que pasa

por los puntos (2,3,1), (1,1, -4) y (-3, 4, 2).c) L que pasa por (0, -1, -1) y (4, 2, -1) y el plano P que pasa por

488 I nVwduccíón al AncU MíA Matejná-Lcco Cap. 9

los puntos (1. 3. 2), (-4, 1, 1) y (2, 4, -3) .

4. Identificar el conjunto de puntos P(x, y, z) tales que se cumple:

(* - 1)/2 = (y * 6)/3 * (z - 2) / ( _3) .

5. Hallar los cosenos de los ángulos entre una recta paralela al vector (3, 4, 12) y los ejes coordenados (COSENOS DIRECTORES).

6. Si a , B , y son los ángulos directores de la recta L , demostrar queeos j + eos2 6 + eos2 y * 1 .

7. Hallar la ecuación de la recta que pasa por: a) el origen, con ángulosdirectores a * 60°, B ■ 4b°, o) (-2, 1,3), con ángulos directoresa ■ B * 45° , c) (3, 4, 6),con ángulos directores a ■ B = y .

8. Sean Oj, Bt, Yj y <*2, 62* Y2 l3S ángulos directores de las rectasLi y L2 respect. Si los ángulos directores de L| y L2 están deternnnados por 'os vectores ¡ y b respect.. y 6 es el ángulo entre i y b entonces : Cos 0 * eos ájeos a2 ♦ eos Bj eos B2 + eos Y| eos y2 •

9. Demuestre que los juntos Pj , P2 y P3 son colineales si y sólo si

(P2 - P 1)*(P3 - P 1) - 5 -

10. Sea Li la recta que pasa por (1, 2, 1) y (3. -2, 1). Sea L2 la rectaque pasa por ( 2 , 3, 2) paralela a (1, 2 , 1). Determinar la ecuación de la recta L que pasa por ( 2 . 0, -3) y es ortogonal a ambas Lj y L2 .

11. Sea Li la recta que pasa por P0 y es paralela a i ; sea L2 larecta que pasa por Qc y es parale'a a b . Si c ■ Q0-P0 y Lj no es paralela a L2 , demostrar que:

1 i I c•(á x b) Ia) La distancia d [ L . ; L 2] - Cp - - (Q0 - Pc) - ------ ;---

1 1 axb 1 |a x b|

b) Lj y L2 se intersectan si y sólo si á-(bxc) * 0 .

12. Hallar la ecuación de cada uno de los siguientes planos.

a) El plano que pasa por (1, 1, 2) con vector normal (1, 2, -1) .b) El plano que pasa por (3, -4, 1) con normal paralelo a la recta

que pasa por (3, -1, 2) y (0, 8, 4) .c) El plano que contiene a la recta (1-t, 2 + 3t, 2 + t) , te R

y al punto ( 2 , 3, -4) .

13. Determinar un vector nomal a rada plano siguiente.

a) P : x » 2 - 3t + a , y " 8t + 7a , 1 - -5V 3* .

Cap. 9 GcomeXAía. Analítica en R3 489

b) 9 : { (5, t, & - t) / i , t e R }c) “P : {(5-u + 3v,2*2u + 3v,-l + u- v) / u . v e R )

14. Sean Pj, P2, P3, Pc e R3 tales que i » P( - Pc , b = 1*2 - Pc ,

c * P3 - P0 . demostrar que Pc . Pi • P2 y p3 son coplanares si y sólo si: (bxc) « 0 .

15. Hallar la intersección de los planos siguientes:a) 2x ♦ 7y - 8z « 0 , y + z * 0b) 12x - 5*/ + 7 * 0 , 9x + 5y - 3z - 4c) x - 1/ + z = 1 , x * y * z = 0 , x - 9y + z = 2

16. Hallar el ángulo que forman el plano que pasa por (0, 0, 0), (0, 1, 0) y(0, 0, 2) con el plano cuya ecuación es 3x - 5y + 2z * 8 .

17. Hallar la intersección de L y P , e indique si L es paralela a *P :L: (2, 1,4) + t(l. 1,1) ; 9 : (2, -1, 4) + a(1. 7, 3) + M-3#j8, 0)

18. Determinar el punto donde la recta L , que pasa por (1,3, 1) y es ortogonal al plano : 6x - Ay + lOz = 30 , intersecta al plano í5.

19. Demostrar que los planos Pj : (3,1, 4) + u(l, 7, 3) + v(-3, 8, 0) .u . v e R , y <p2 : (-2, 4, 6) + é (8, -2, 6) + í(9, 5,9), 6 , t e R ,

son paralelos y hallar la distancia entre ellos.

20. Sea L la intersección de los planos cuyas ecuaciones son 3x - y - 4z= 5 , 2x - 3y - z = 4 . Si fP es el plano con ecuación x + 2y + 3z= 1 , encontrar L O P

21. Encontrar una ecuación úel plano que contiene al punto (2, 3, 6) y ala recta { (1, -1, 4) + t(l, 2, -1) / t e R ) -

22. Determinar el ángulo entre el plano de ecuación 3x - 2y + 5z = 3 , yel plano 6x - y + z » 7 .

23. Dada la recta L ■ { (-5, 0, 10) + t(3, 2, -3) / t e R } y el punto Q = (5, 4, 8) , encontrar dos puntos A y B en L , que formencon Q un triángulo isósceles de área 24/11 u2 .

24. Un triángulo con vértices (-1, 1, -1) , (2, 3, 4) , (3, 4, 6) , hallarsu área y la distancia perpendicular desde el origen hasta el plano quelo contiene.

25. Un plano pasa por los puntos (0, 1,2) y (1, -1, 0), y es paraleloal vector (1,-1, 1) . Hallar su ecuación asi como el pie de la perpendicular sobre él trazada desde el punto (3, 0, 3).

4903

Geometría Anatctica en R Cap. 9

26. Demostrar que la ecuación del plano que corta a los ejes coordenados enlos puntos (a, 0.0), (0, b, 0). (0, 0, c) donde a , b y c sondiferentes de CERO es:

- + " + - » 1a b e

27 Hallar el punto de intersección de la recta x = 4 + -t , y = 1 - -t ,z = 31 ( t e R) con el plano 2x *■ Ay + z * 9 .

28. Demostrar que la intersección de la recta P = Qc + tá y el plano(P - P0)-ñ « 0 es el pjnto

r { P ° ' l o ) ' " , -R - Qo + [ ------ ] »

(ñ - a)

29. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (3, 5, 2), perpendicular alplano 5* - 7y + 4z = -2 Obtener las coordenadas del pie de la per -pendicular en el plano desde el punto dado.

30. Dar la ecuación del plano que pasa por (1, 0, -1) y que es paralelo aambas rectas: x _i y z - \ x +i y z

2 3 4 y -1 2 ’ I

31. Demostrar que los tres planos i/ = z + 1, z = x + 1 . x = y + 1 ,intersectín al plano x + y + z = 0 en tres rectas que son los ladosde un triángulo equilátero.

32. Si L es la recta (x + l)/2 = (y - 3)/3 = (z - l)/(-l) y L'es la recta que pasa por (5, 4, 2) y que corta a L en ángulo recto,hallar la ecuación de L1 y las coordenadas de A e L D L' .

DEFINICION : Si 6 es el ángulo entre el vector direccional i de una recta L y el vector normal ñ de un plano P , entonces el ángulo entre L y P se define como {n/2) - 0 .

33. Hallar el ángulo entre la recta x = y , z = 0 y el plano con ecuación x + z = 0 .

34. Dos planos A y B pasan por el origen. El plano A contiene a la recta (x - l)/2 = {y - 2)/3 = (z - 3)/2 , y el plano B contie ne a la recta de intersección de los planos

x + i/+z = l , 2 x - y + 3 z = 2.

Hallar el COSENO del ángulo entre los planos A y 8 .

NOTA : El ángulo entre dos planos es el ángulo entre sus normales.

35. Hallar los pies de la perpendicular común de las dos recta» .

Cap. 9 t>et,meXsUa Analítica en R'* 491

y * l K y - 2 - » 2x = ---- = i , - = ---- = ----

2 2 - 1 2

36. Sea L la recta de intersección de los planos x ♦ y * z = 1 ,x - Zy + 3z = 2 . Hallar la ecuación del plano que contiene a esta recta L , y que pasa pnr (0, 0, 0) .

37. Hallar la ecuación de la perpendicular común a las rectas

x * 2 y z - 6 x + 5 _ z~ ~ r = 2 = ~ r ’ ~ ~ r ~y = 2 •

y pruebe que la distancia mínima entre ellas es /3

38. Hallar la ecuación del plano que contiene a la primera de las siguientes dos rectas y también contiene a su perpendicular común :

(x - 1)/2 = -y = -z - 1 , x + 1 = - y/2 = z - 3 .

39. Cuatro puntos en el espacio son A(1,1,0), B(3,0,l), C(1,0, 2),D(l, 1, 3). . Hallar las ecuaciones de dos planos paralelos, uno de los cuales contiene a A y B , y el otro contiene a C y D .Hallar también la distancia mínima entre las rectas AB y CD .

x y - 1 z + 440. Dadas las rectas - * ---- » z , x + l = u- 2 * ----

2 3 2hallar la ecuación del plano:

a) que contiene a la primera recta y es paralela a la segunda.b) que contiene a la segunda recta y es paralela a la primera.c) que contiene a la primera recta y pasa por el origen.d) que contiene a la primera recta y a la perpendicular común.e) que Lontiene a la segunda recta y a la perpendicular común.

41. Hallar la ecuación de la recta que tiene la dirección (1, 2, -3), y que intersecta a ambas rectas siguientes:

x ■ y - z , (x - 2)/5 - [y * l)/3 - (z - 3)/2 .

42. Demostrar que existen dos planos que pasan por la recta de ecuaciónx - 5 y - 1 z + 3— -— = — — - = — -— , y que hacen un ángulo de 60 con

el plano y - z

Hallar sus ecuaciones.

43. Hallar la ecuación de una recta que pase por el origen y que intersecte a ambas de las rectas dadas en el Problema Propuesto 40 .

492 GtomeVúa Analítica en R3 Cap. 9

CLAVE DE RESPUESTJS

1. L : (1. 2. 3) ♦ t(2,O, 1) . t e R2. a) (3, 2, 6) , b) No existe3. a) (-3, -2. -1) . b) (-2. 6. 8) . c) (12. 8. -1)4. L : (1. -6. 2) + t(2, 3, -3) . t £ R5. eos o ■ 3/13 , eos 8 = 4/13 , eos y ” 12/13

7. a) L: t (1. fZ , í 1) , t £ R ... Oos solucionesb) L : (-2. 1, 3) + t(l, 1.0) . t £ Rc) L : (3. 4. 6) + t(l, 1. 1) . t e R

10. L : (2. 0. -3) + t(2, 1. -4) . t e R12. a) x + Zy - z » 'l , b) 3x - 9y - Zz =* 43 , c) 19x + Sy + 4z = 5613. a) (59.4.-29). b) (1.0.0). c) (5. -2. 9)15. a) L : t(15, -2. 2) . t £ R . b) L : (-1, -1. -6) ♦ t(5, 12. 35).

t e R . (¿pueden ixp'u m poiqué?) . c) No existe16. 6 = are eos (3//38) . 17. (-5/2, -7/2, -1/2)

18. (77/38, 38/38, 103/38) . 19. 151//149820. (11/7. -2/7. 0) , 21. 8x - 3y + Zz =■ 1922. 6 = are eos (25/38). 23. A = (10. 10. -5). B = (-8. -2. 13)24. Area ■ /3/2 ; Distancia perpendicular * 1//325. 4x + 3y - z - 1 , (23/13. -12/13. 43/13)27. (1, 4, -9) 30. 5x + 6y - 7z * 12

29. (3. 5. 2) ♦ t(5, -7. 4) . t £ R ; (32/9. 38/9. 22/9)31. Se sijue de la simetría. Los lados del triangulo son permutados por in

tercainbio cíclico de x, y , z , de modo que tienen la misma longitud.

32. (1, 6, 0) ♦ t( 2, -1, 1) . t £ R ; ( 1. 6 , 0 ) . 33. 30°

34. 13/ (2 /"Í05") . 35. (1.1.1) y (2,1.0)36. x ♦ Ay - z * 0 37. (-3. -2. 7) ♦ t(-l, 1.1). t £ R38. y - z « 1 39. x + y - z = 2 ; x + y - z « -1,; / 3 .

40. a) 5x - 3s - z ■ -3 , b) 5x - iy - z = -7 , c) x - 2z ■ 0d) y - 3z = 1 . e) 5x + lly - 8z = 49 .

41. (-2, -2, -2) + t(1, 2, 3) . t £ R4Z. x + y ^ e , x + 4 i / + z * 6

43. x/4 * tf/13 * z/2 .

V A V

T

Cap. 10 Inducción UaX. lM.tica 493

10INDUCCION

MATEMATICA

1. INDUCCION MATEMATICA (I. M.)

Cuando cierta proposición, fórmula, relación o teorema se cumple pana todo* to& ENTEROS POSITIVOS , su validez se demuestra empleando el PRINCIPIO DE INDUCCION MATEMATICA, el cual será expues to a continuación de la situación siguiente.

Para cualquier entero n i 1 , " iabemci, “ que LA SUMADE LOS N PRIMEROS ENTEROS POSITIVOS , satisface la siguiente fórmula

1 + 2 + 3 + .. + (n -1) + n - ^ .. (*)

Una manera de probar esta fórmula es recurrir a algunos artificios, que usualmen te no son sencillos de encontrar, por lo que podría optarse por tratar de veriM car si es que se cumple para algunos valores particulares del entero n :

- Para n = 1 :

- Para n = 2 :

- Para n = 3 :

el primer miembro de (*) es igual al número 1 , y el segundo miembro resulta ... ,,

M L t t t . ! también.2

en el primer miembro Je (*) se tiene 1 + 2 1-3) , yen el segundo miembro:

2 2 + 1 6 , .------- = - = 3 también.2 2

el primer miembro de (*) resulta 1 + 2 + 3 (* 6) ,y el segundo miembro:

- 6 también.

Asi, vemos que hasta el valor de n = 3 la fórmula (*) es válida, pero para

494 InVwdi LCC ¿«5« al Anilló li Matemático Cap.10

verificar que es vilida pana cual^ i entero positivo n , si continuamos de esta manera muy probablemente nos cansaríamos en unas horas o dias, y por supues to no terminaríamos nunca.

Tampoco podemos deducir que por el hecho de cumplirse la fórmula hasta el valor n - 3 , ó hasta n = 50 , entonces se va a cumplir pana todo enSeio po

iitivo n , pues podríamos cometer errores, como en este otro caso siguiente.

2n¿ Ei ciento que 2 + 1 ei un NUMERO PRIMO , pana todo inteno n > 1 ?

Cuando se trató de verificar esta afirmación para algunos valores particulares de n , nos encontramos con que

- Para n = 1 : z2* 4- 1 - 5 ei un Númeno k/ujuo

- Para n = 2 : ?2* 4- 1 ■ 17 ei un Númeno Pnimo

- Para n ■ 3 : 223 4- 1 - 257 ei un Númeno P/Umo

- Para n » 4 : 2 2* + 1 - 65537 ei un Númeno P/limo

donde 5 , 17 , 257 , 65537 son efectivamente números primo' ; es decir, que son números enteros que no son divisibles por ningún número entero, excepto por sí mismos y por la unidad 1 .

2 nSi concluyéramos de aquí, que la expresión dada (2 +1) resulta si-mpre unNúmero Primo pana todo valen. entena poiitivo de n , estaríamos cometiendo un error, pues para el valor n » 5 :

,n 52¿ * 1 = 2 + 1 =* 4294967297 NO ES PRIMO , ya que es divisi

ble por 641; en efecto, 4294967297 = 641 x 6700417 .

En esta sección presentaremos un método para comprobar la validez, pana todo enteno poiltlvo n , de proposiciones o fórmulas que dependen dé tal n . Eventualmente, este método también servirá para obtener otrasfórmulas, válidas para todo entero n positivo.

Este método consta de dos partes :

a) Se c impnueba que ta pnopoilclSn dada ei válida pana el meno/i valon di loi

entgAOi n involucrad i , qu¿ en ni pAxmeA ejimplo ei n = 1 .

b) Aiumiendo que la pnopo&lción o {inmola dada ei válida pan i un enteno pe n Vvc n genínico , ¿e debe llegan a demoitnan que. tambiín ei válida pana

el ¿igulente númeno enteno , ei decln, pana (n + 1).

V fuego, de (a) y (b) , (Unidamente &e concluye que la pnopoiicÁón o £ónmj&a. da

Cap.10 Inducción Maiímática 495

da e¿ válida poníi todo valen, dz n , a paA.tÁA dit mznon. n indicado en (a) .

Apliquemos este método al primer ejemplo:

a) Para n = 1 : n(n + 1) 1(1 + 1) 21 = — =------------ = — -------------- - - = 1 (VERIFICADO)

2 2 2

b) Asumiendo la validez para n genérico , de la fórmla

» , n(n M )1 + 2 + 3 + __ + n - -— - (*) ,

probaremos que también se cumple para el entero siguiente (n + 1) . Es decir, probaremos que se cumple que

/ (n + 1) [ (n + 1) + 1 ]1 + 2 + 3 + ... + n + (n+1) ■ -------------------- (**)

2

en efecto,

1 + 2 + 3 + .. + n + (n + 1) » ( 1 + 2 + .. + n) + (n + 1)

= [ l- ] + (n + 1) de (*) ,

(n + l)(n + 2)------ ------- # y acomodando:

(n + 1) [ (n + 1) + 1 ]

y así hemos obtenido (**) .

Por lo tanto, de (a) y (b) , recién concluimos que la fórmula (*) íz cumplí pana.

todo znteAo n i 1 .Este procedimiento es llamado el Método oe INDUCCION

MATEMATICA (I.M.) , y se basa en el principio que enunciamos a continuación.

1.1 PRINCIPIO DE INDUCCION MATEMATICA :

“ Vado un ¿ubconjunto dz nújnesioi entesioi poiitivoi S ( c H ) , que. ¿a

tliface leu VOS condiaonei n g iuznt¿A :

a) El niúMAo 1 pe>ttenece a S ( 1 e S )

y b ) S-c íz cumplí la <jnph.i-aLA.0n : m E S = > (m + 1) e S ,

entonces el conjunto S coincide con todo el Conjunto de Entenoi Poilti

vo& N . Es decir, 4e Cunduyz que. S = N "

496 1 nOioduccíón aJL Andtíati MatemáX-i i¿o Cap. 10_

NOTA.- En la Implicación (b) del Principio de INDUCCION MATEMATICA, la premisa : n e S es llamada HIPOTESIS DE INDUCCION.

1.2 EJEMPLO, Probar que la iuma. de loi Cuadrada de ío& n pAineAoi Hume -

jio¿ Natuxules, satisface la fórmula

7 7 7 2 n(n + 1) (2n + 1)l2 + 22 + 3Z + .. + n - — -----f------ , V n £ H

6

So l u c i ó n. Seao 7 ■> 2 n(n + 1) (2n + 1)

S » { n e H / 1 + 2 + 3 + . . + n * ------ ------- } c N6

Probaremos en base al Principio de INDUCCION MATEMATICA , que el subconjuntc S c N coincide con todo N . es decir, S ■ N . Veamos que

4) n " 1 c S : , x m (1) [ ( ! > ♦ ! ] [ 2(D * 1 ] ( , 6. 6 6

b) Asumiendo como HIPOTESIS '»E IHDUCCIOH que " n e S " , es decir que

para n se cumple la fórmula

2 _2 .2 2 n (n + 1) (2n + 1)1 + 2 + 3 + . . + n « ------ ------- .. (*)

6

trataremos de implicar que " (n+1) e 5 " , es decir, probaremosque

7 2 2 , ,.2 (n+1) [ (n + 1) + 1 ] [ 2(n+l) + 1 ]1* + lL + .. + n + (n + 1) -------------------------- — ---

6 •- (**)En efecto,

l2 + 22 + .. + n2 + (n + 1)2 - [ l2 + 22 + .. + n2 ] + (n + 1)2

= f n(ntllt(2ntl-l ] + (n + 1)2 de (*),6

, » r n ( 2 n + l ) + 6 ( n + 1)- (n + 1) [ --------- --------------- ]

b

, r 2n2 + 7n + 6■ (n + 1) [ ------ ----- ]

* - (n + 1) (n + 2 ) (2n + 3)6

- - (n + 1) [ (n+1) + 1 ] [ 2(n+1) + 1 ]6

C a p . 1 0 Inducción Oitemítica 497

fi

= » (n + 1) e S ; es decir que se cumple (**).

Asi, de (a) y la implicación (b), por el Principio de Inducción Matemática, concluimos que S - N Esto significa que la fórmula dada en el enunciadoserá válida pasui todo entea o poiitivo n i 1 .

- O1.3 EJERCICIO. El doble de un número natural n es igual a la Suma de to

dos los números naturales que le anteceden. Hallar tal n .

SOLUCION. £0m0 sa(jemos, la suma Sn de los n primeros números naturales es igual a

n(n*l)->n - 2

y por consiguiente, la suma de (n-1) primeros números naturales será igual a

(n-1) [ (n-1) + 1 ] (n-1) nS , a ---------------------------------------------------------------- a --------------------------ni 2 2

Luego, por condición del problema, la cantidad (2n) debe ser igual a la Suma Sn-1 de todos los números naturales que anteceden a n . Asi, tenemos

2n - = * 2n - = * * = t"'1)

1.4 EJEMPLO. Probar por Inducción Matemática que, para todo entero n > 1,

1 2 3 n . n + 221 * 22 + z3 * " + 2n 2n t*)

SOLUCIÓN. Note que prl-mer miembro de (*) consiste de n sumandos. Definimos el conjunto S c N :

p r .i / 1 2 3 n o » n + 2 . ,s ■ 1 " e N ' ¡T * ¡2 + ¡3 * ■■ * f - 2 - <^ÍT> > •

y probaremos por Inducción Matemática que S coincidí con todo N . En efecto.

a) n = 1 e S : pues el primer miembro de (*) consiste del único término ^el cual se puede expresar como

1 4 3 , ,1*2, J . 1 „ / n + 2i ■ 2 - 2 ■ • «•»«=” ¡r ■

b) Asumiendo que n e S , es decir que se cumple {*) para n fijo :

498 lnViodu.ccJ.ón al AníL iii Uatumítlco Cap.10

-V + 4 + 4 r * . . + — = 2- l^ - r ) HIPOTESIS DE IHOUCCIOH2 * 2 2 2n 2

probaremos que (n+1) c S ; es decir que esta fórmula (*) se seguirá cumpliendo si en (*) se reemplaza n por (n + 1) . En efecto, al hacer esto, elprimer miembro tendrá los n+1 sumandos siguientes:

-\- + -^ + — ♦ . . + — ■ + n * * y P’ioban.ejmo4 que uta2 2 23 2n 2n 1 ¿urna -i3aal a

. 1 2 n , n+1 n r (n + l) + 2■ ( ¡T * ¡2 + * ¡ñ > + J K H 2 - [ ■ 2cn+ir 1

= [ 2 - ] * “ÍHT " por HIP0TESIS DE INDUCCION

= 7 r 2(n + 2) - (n+1) , , r n * 3 1 ■> r (n,f!) 4 2£ ' L 2 (n+1) J £ ' L 2(n+l) J ' ' L (n+l> J

=*• (n+1) £ S

Asi, habiendo verificado (a) y (b), concluimos por el Principio de Inducción temática que S = H . Esto significa que la propiedad dada en el enunciado 4e cumplí pana todo triiAo f ib-V.*io n i. 1 .

1.5 EJERCICIO. Dado el conjunto C * { *n > 0 / n e N ) , donde

- /2 , *n+i “ / 2*n , n e H , probar por Induc

ción Matemática que una cota superior del conjunto C es elnúmero 2 . Es decir, que ^ < 2 , v entero n > j .

So l u c i ó n.

a) Si n = 1 : = /2 < /4 = 2 =»■ < 2 = » < 2

b) Jomando como HIPOTESIS DE INDUCCION : *n < 2 , para n e N fijo,verificaremos que *n + l < 2

*n S 2 = * 2xn < 4

=** *n + L * S /4 - 2

Y concluimos por el Principio de Inducción Matem. que *n i 2 , V n e N .

Cay.10 Inducción Matemática 499

1.6 EXTENSION DEL PRINCIPIO DE INDUCCION MATEMATICA

Mediante esta variante se pueden probar propiedades que se cumplen WRA TODOS LOS ENTEROS POSITIVOS UAVORES 0 IGUALES QUE ALGUN EN

TERO ne ( > 0) , sin ser éste necesariamente el número 1 . Asi, tenemos la extensión siguiente, también conocida como PRINCIPIO DE INDUCCION MATEMA'iiCA :

“ Si S algún ¿ubconjunto deX Conjunto SnQ de. todo~ ¿04 zhz¿aoí

HAVORES O IGUALES a un eníeAo n„ > O , que iataface tai dji condicionei iiguiímtíi :

a) n„ e S

y b) la implicación: n e S = > (n + 1) e S .

zntoncu S coincide con todo e¿ Co junio SnQ de to¿ íntzAfi Ha

yoiei o igualej, a n„ . Es decir, S * S„o . “

NOTA. Sno - { nc , nD + 1 , nD + 2 , nD + 3 . .. , n , .. }

1.7 EJEMPLO. Probar por Inducción MatemStica que 2n 2 8(n — 2} , pana

todo eníeAo n 2 3 .

SOLUCIÓN. Identificamos al menor entero nD = 3 , y tenemos el conjurit0 Sno - S3 - 1 3 , 4 , 5 . 6 ....... n . ... > .

Sea S = ( n e Sj / 2n 2 8(n - 2) > . Probaremos que S - S3 :

a) 3 e S : Como 8 2 8 entonces 23 2 8(3-2) (v e r if ic a d o )

b) Asumiendo que n e S , es decir que se cumple (con n 2 3 )

2n 2 8(n - 2) .. HIPOTESIS DE INDUCCION

debemos probar que (n+ 1) e S , o sea que se cumple

2(n + 1) 2 8 [ (n +1) - 2 ] .. (*»)Efectivamente,

2(n*l) _ 2(2n) > 2[8(n-2)] por Hipótesis de Inducción

8[ 2(n - 2) ] , y como n 2 3 :i 8[(n- i) ] ver (*) debajo= 8 [ (n +1) - 2 ]

[ {*): puesto que n i 3 es equivalente a 2n-4 2 n-12 (n - 2) 2 n-1 ]

500 I n t ' i u i i K i c O H a t ( i ú í i h i A u t o m á t i c o C a p . 1 0

Asi, hemcr. probado (**) , y por lo tanto que (n+ 1) e S . Luego, de (a) y (b) , concluimos por el Principio de Inducción Matemática que S = S3 , lo cual indica que la propiedad dada se cumple pa.xa todo n e S = Sj , es decir pana todo entiiAO n i 3 .

En la práctica se puede prescindir el referirse al conjunto S„o , como se ilustra en el ejempl3 siguiente.

1.8 EJEMPLO. Sea a > 1 y n enteco í 2 . PiobaA. que.

(*) an > 1 + n(a - 1) . pana zodc znteAO n > 1 .

So l u c i ó n .

•i) Para n = 2 : De a > 1 se tiene que (a - 1) > 0 y

(a - l)2 > 0 «=* a2 - 2a + 1 > 0a2 > 2a - 1a2 > 1 + (2a - 2)2a » 1 + 2 (a - 1) (VERIFICADO)

Asi, la desigualdad (*) queda probada para n = 2 .

¿i) Asumiremos como HIPOTESIS DE INDUCCION que la desigualdad (*) ¿e cumple,

txvw. U zntvu, n : ^ + n(a . 1} .. (.)

probaremos que también es válida para el entero n + 1 , es decir quese cumple que

a"+l > 1 + (n ♦ 1) (a - 1) (**)

[ Y esto equivale a probar que an+1 > 1 + n(a - 1) + (a - 1)

an+1 > a + n(a - 1)

lo cual vemos que se obtiene si multiplicamos anbos miembros dela desigualdad (*) por el número positivo a > 1 . ]

De an > l + n(a -1) y a > l > 0 , s e sigue que:

a-an > a - [ l + n ( a - l ) ] = a+a-[n(a-l)]> a+ l- [n(a-l)] pues a > 1= a + (1 - 1) + [ n(a - 1) ]■ 1 * (n * 1) (a - 1)

= > a"M > 1 * (n + 1) (a - 1) __ VERIFICALO (**)

Lúe jo, de (¿) y (¿i) . concluimos por el Principio de Inducción Matemática que la desigualdad (*) dada ti válicu pana, todo tnteAo n i 2 .

Cap.10 Inducción Mate-ática 501

2. SEGUNDO PRINCIPIO LE INDUCCION MATEMATICA

" Si S £¿ xíjún iubcoi.junto del Conjunto Sr di todoi £¿4 enteAOA

yayc'i.íA o Iguala a un eiUeAo n„ (i jo , que ¿at-u ace Isa VOS con

dicionei ¿iguientíi :

a) nD e S

b) V k / n„ 5 k í n , { k y n en te ros )

( l a im p l ic a c ió n ) k e S = » (n + 1) e S ,

entonces S coincide con todo el Conjunto S„o de todoi loó ente-

>lo* MayoiiiS o IguaXei a n„ . Es decir, se conluye que S * S„o "

Esta técnica es muy útil cuando se trata con relaciones de recurrencía como en el ejemplo que sigue a continuación.

2.1 EJEMPLO. Dado el conjunto de números reales { an / n e H } , def^nidos por las relaciones de recurrencia

al “ 1 • a2 = 5 • an = 5an-l " 3an-2 • v n > 3 ,probar que

-4 = [ (5 + /13 )" - (5-/13)" ]

pcuuL todo entíAo n > 3 .

Solución. „ , , c . * , í ? * c c 7 ™ >n„ * 3 , Sn * S3 * { 3 , 4, 5, 6 , 7, ... oo }

Sea S * ( n e S3 / an = „ _ [ (5+ /13)n - (5- /13)n ] );_1__ r , r . vn , , ,n2n /13

probaremos que S ■ S3 :

a) n„ * 3 e S : En efecto, sabiendo que por la dpfinicifin (recursiva) ,

íz = 5a2 - 3at - 5(5) - 3(1) > 2 2 = » a3 - 22 ,

probaremos que, para n » 3 , en (a) ,

22 * a3 - [ (5 ♦ /Í3 )3 - (5 - / Í3 )3 ] {ti)2/13

El 2do. miembro es 2 ( 75 + 13 )/8 » 2(11) - 22 .con lo cual hemos probado (8) .

b) Asumiendo como HIPOTESIS DE INDUCCION que para n entero fijo y para

502 lnt\cduc¿idn al Aiiiii es Maf-xnafici; Ca;.1. 10

Codo enteno k tal que es decir que

a . -

(n0 = ) 3 < k < n se cumple que

2k /13[ (5 + /13 ) - (5 - /13 ) J

{n + 1) e S , es decir que

k e S

. . (*)

[ y en particular para k = n , k = n-1 y k = 3 ]

en-toncei p’ioboAejno.i que

«n + l - _ [ [ 5 W 1 3 ) ntl - (5- /I3)n n ]2 /13

Efectivamente, por la definición recursiva: y como por (*) ,

a„ =

5n U = 5an - 3 an-i

(**)

(¿?)

~ [ (5+ /I3)n - (5- /I3)n ] , y

1n -I

, (n - l ) / l3

asi,sn n = 5 a n - 3 a n-l

[ (5+ /13)(n‘l) - (5- /U)*""0 ]

(v LANDO COMUN DENOMINADOR : )

n+1

- -= [ ( 5(5 + /13) - 3(2) }(5 + /13)""1n-L- 15(5-/13) - 3(2) }(5- /13) ]

[ §(19+5/l3)(5 + /T3)n'1 - § ( 19 -5/ñ)(5- /13)"-1]

1 ■= t(38+10/13)(5 + /l3)n_1 - (38 - 10/13)(5 - /13)"'1]2n+l /13

'n + 1 = „ + / - [(5 W l 3 ) 2(5V/i3)n~l - (5 - /13 )2(5 - /13 )n-1 ]2 /13

___ VERIFICADO ( * * )

(n + 1) e S

Pon lo tanto, habiéndote ven.¿¿icado (a) y (b) , coacJ i'xmci pon. ti 2do. Pnj.nc.ipio de Inducción Matemática que S = Sj , lo que a<.gn¿(ica que la (¡ón-

mula (a) , dada en el enunciado, íá válida. PARA TODO ENTERO n 2 3 .

Es más, podemos comprobar que dicha fórmula (a) también se cumple para n = 1 y n « 2 :

at = [(5 + /13) - (5 - /13)]/(2/13) = 1 que coincide con el dato ,a2 = [(5 + /Í3)2 - (5 - /T5 )2 ] / (22/Tí ) = 20/4 = 5 , que también coin

cide con el dato.

Asi, la fórmula (a) resulta ser válida pana todo en.tejir’ n i 1 .

Cap. 10 Inducción MitC¿máttea 503

SELECCION DE PROBLEMAS RESUELTOS

2.2 DEFINICIüN. Dados dos números enteros m y n , con n t 0 , se dice que m ilí MULTIPLO de n ¿-t exc ite algún ¿nCeAo k e Z ta 1 que

m = k - n

En tal caso también se dice que m e¿ DIVISIBLE po>i n , y que n e¿urt FACTOR o DIVISOR de m .

Por ejemplo, -15 es múltiplo de. 5 , pues existe el entero k = -5 e Ztal que -15 = (-3) - 5 = k-5 . Asimismo, se tiene que 0 es múltiplo

dí caalqiUe/L ente-io n / 0 , pues como 0 = 0 x n , entonces vemos que exi£te el entero k * 0 e Z tal que 0 = k x n

2.3 TEOREMA. Sean m; , mT , n e l , n t 0 . Si rrij y m2 ion "¿ttí-plo¿ de n , en/oncei

a) rrij + m2 múltiplo de n (ó div-Uiblií poi n )b) mL - m2 múltiplo de n (ó divisible poi ri )c) omj a diviiiblt. poii n , ¥ entero p

PRUE8A.Por hipótesis, existen enteros kj y k2 e Z tales que

rrij = kj -n , m2 = k2-n .. (*)entonces m + m2 = (kt + k2).n , donde k( * k2 e Z ¿porque? (a)

ml " m2 = ( i ■ k2)-n , donde kj - k2 e Z (B)prrij = (pk1)-n , donde pkj e Z (y)

a) Como existe el entero k = (kt + k2) , de (a) , tal que (nij + m2) == k'- n , entonces (mj + m2) es múltiplo de n .

b) (Análogo)c) De (y) , existe el entero k = (pkj) tal que prrij = k-n ; por

lo tanto, pmj es divisible por n ; es decir, es múltiplo de n .

2.4 TEOREMA. Sean a , b e Z , m , n E Z - { 0 } . S-t a e¿ múltiplo

de m , y b e¿ múltiplo de n , entonce-s a x b w múl

tiplo díl producto m x n .

PRUEBA. (Ejercicio sencillo, trate de hacerlo)

2.5 NOTACION. Si m es múltiplo de n , se denota

504 tnCudu.c.c.L¿n at A.iáíijtj MjTimü'icu Cap. Ii3

2.6 EJEMPLOS. a) Sabiendo que 8 y 20 son múltiplos de 4 . entonces

8 ♦ 20 = 28 también es múltiplo de 4 [ 2 8 = 7 x 4 ]8 - 20 * -12 también es múltiplo de 4 [ -12 = (-3) x 4 ]3(8) = 24 también es múltiplo de 4 [ 24 > 6 x 4 ]

b) Como 18 es múltiplo de 6 , y 4 es múltiplo de 2 , entonces 18 x 4 « 72 es múltiplo de (6 x 2) = 12 ; en efecto,72 = 6 x 12 .

2.7 EJERCICIO. Probar que

1) 4n + 5 es múltiplo de 3 , V n E N2) 3(4n) + 15 es múltiplo de 9 , V n c N .

So l u c i ó n .

1) Probaremos que 4n + 5 = 3 , pcuw. todo e.nt¿AJ n > 1 :

a) Para n * 1 : 41 * 5 = 9 = 3 .. (v e r i f i c a d o )

b) Asumiendo que para el entero n se cumple que 4n + 5 » 3 (*)probaremos que también se cumple pa-a (n + 1) , es decir que

4(n + U + 5 = 3 .. (**)

4(nn) + 5 « 4(4n) + 5 = 4 [ 4 n + ( 5 - 5 ) ] + 5

- 4[ 4n + 5 ] - 15 4 [ 3 ] - 3 .. de {*)

3 - 3 .. TEOREMA [2.3] (c)

3 .. TEOREMA [2.3] (b)

Así, hemos verificado (**) . Luego, de (a) y (b) , concluimos por elPrincipio de I.M. que ,n 5 gs mú1t:ip1o de 3 p ¥ n e N .

2) Puesto que 3(4n | ♦ 15 * 3 [ 4n ♦ 5 ] , donde 3 = 3 yn ** ♦ 5 “ 3 . pajia. todo intvuj n i 1 .. de(l)

entonces 3(4n) * 1 5 * 3 x 3 » 3 x 3 - 9 , V n e ü ,

debido al TEOREhA [2.4] .

2.8 EJERCICIO. Probar que. paxa. todo eatMo n > 1 .

42" * + 3° zi mCLtCípCo cíe 13 .

SOLUCIÓN. Probareis que S * N por Inducción Matemática, donde

S « ( n c N / 42n'-1 + 3n *2 - 13 (múltiplo de 13) }

Cap. 10 Itid.LCC.LCti Ma Temática 505

a) n = 1 t S : 42(1)fl + 3(1)*2 = 64 ♦ 2/ = 91 = 7 x 13 = 1°3

b) Asumiendo que n e S , es decir que

(*) 42nM t 3n*'2 = l°3 múltiplo de 13 HIPOTESIS DE 1NDUCCIDN ,

probaremos que también se cumple que (n ♦ 1) e S , es decir que

42(n*l).l + 3(nM,*2 . • (..J . Ve<1(nos>

2(n +1) * I f 3(n*l)*2 = 42_42nH + 3l.3"+2

= 16 t 42n + 1 + 3nt2 ] - 13(3n + 2)

= 16 (13) - 13 .. de (*)

[ Probar que 3n + 2 e n > 'pa-ia. todo inteAo n 2 1 (EJERCICIO) ]

= 13 - 13 = 13 .. TEOR [2.3] (c) y (b)

Así, hemos verificado (**) , y por lo tanto, de (a) y (b), concluimos por

el Principio de Inducción Matemática que S = N Esto significa que se cum

ple que 2n »1 n +24 + 3 e¿ múltiplo de 13 , ¥ enteAo n e N

2.9 EJERCICIO. Sea C = { xn e R / n e N } , donde Xj * Y ñ . y

xn + 1 = y xn +60 , ¥ entero n 2 1 . Probar por In -

ducción Matemática que: xn < 4 , ¥ n e N .

Solución.

a) Si n = 1 : xL = Vio < VíiT = 4 ==> xi < 4 ( v e r i f ic a d o )

b) Asumiendo que para n se cumple que: xn < 4 (HIPOTESIS DE INDUC.)

probaremos que *n + l < efect0 » de 'a Hipótesis de Induc -cion,

xn < 4 => xn + 60 < 64

3 /

=• »„»i = / *■„ * 60 < /64 = 4

=• *n+ l < 4 (VERIFICADO)

Asi, de (a) y (b) , concluimos por el Principio de I.M. que , en efecto ,

xn < 4 , pa/m todo e>i¿eAo n 2 1 .

2.10 EJERCICIO. Demostrar por Inducción Matemática que ¥ en.ti.to n 2 2

1 + — + -i- + .. ♦ — - > /rT

/ F / T A T

506 IrtfioJiicCLÓn at AnXtóo Hatjm.itico Cap. 10

SOLUCION. ¡Note que el primer miembro contiene n sumandos)

a) Para n = 2 : probaremos que > 1 j > ^

' ................... / T. . ( a )

[ lo cual se á cierto si y sólo si

/7 ♦ 1/ 2

> / 2 /2 ♦ 1 > ( /2 )2

<=> / 2 > 1 ]

Luego, como /2 > 1 a una pfíopoiición veAdadew., entonces

/2 > 1 = » /2 + 1 > 2

/I + X/ 2

> /2

/ 2 * 1 > ( /2 )( /2 )

1 + > / 2 VERIFICADO ( a )/ 2 ...........

b) Asumiendo que, para el entero positivo n , se cumple que

+ > /7T HIPOTESIS DE INDUC. (*)/ n

Probaremos que esta desigualdad también se cumple para (n + 1) , es de

cir

1 11 + — — + -— +/ 2 / 3

1 + 1♦ - L + ----------

/ n/ 2 /3 /n /n ♦ 1

Veamos, p&rtiendo del primer miembro y empleando (*) :

( 1 + -7=- + + .. + - ) + ___ > (/n) +/2 /3 /n / n + 1

/n + 1 {**)

. . (B)

[ Y se cumplirá que/n +

/ n + 1'u + 1

/ n + 1

.. (y) 1/ 4ÓÍ0 4-¿

/n /n + 1 +1 A T T_ ___ ___ 2/ n / n + l +1 > (/ n + 1 ) = n + 1

4— / n /n +1 > n ■ /n /n «=> /n + 1 > /n

«==» n ♦ 1 > n «==> 1 > 0 .. PROPOSICION VERDADERA ]

Y puesto que (y) resultó ser una Priopoi-ición VmdadeAa, aplicamos a la

relación (B) y por la propiedad transitiva de la relación de orden " >

i queda protada la validez de la relación (**) .

Luego, de (a) y (b) y el Principio de Inducción Matemática, concluimos que se

cumple que, V znXeAj n > 2 ,

1 1 11 + — + -- f f -- > /nJ 2 / 3 / n

Cap.IO Inducción Matemática 507

2.11 EJERCICIO. Vado íl conjunto di nctu en it planu, deteAminadUi pv>i n puntoi dvi tinto i (n i 2) lates que no haya tA.es (pu« <04) 4oble ana mósma neta. Pnvba.1 qui it númeiu de Jltctai de ate conjunto e.i n{n- 1) v

M" = ~ ’ n > 2 .

SOLUCIÓN. Empíearemoi el PKinccpio di Inducción Matemática.

a) Para n * 2 (puntos) : Como dos puntos distintos determinan un únicarecta, entonces el conjunto dado contiene exac tómente 1 neta. . As í, M 2 = 1

lo cual coincide , para n = 2 , con l n n _ _ 1. (2)(2 - 1) * 1

Por lo tanto, „ 1 , „ _2 -n(n-l) * 1 , para n ■ 2 .

b) Asumiendo que dados n puntos distintos en el plano, sin que haya tres sobre una misma recta, determinan un número de rectas igual a:

Mn - -in(n-l) .. HIPOTESIS DE INDUCCION (*)

Consideremos (n + 1) puntos , siendo un

n dados y que no se encuentra en ninguna Probaremos que el número total de rectas determinadas por estos (n + 1) puntos es

Mn+1 " I (n + !H (n + l) - 1 ]

- i (n + 1) n ... (**)

Efectivamente, este punto adicional, alser unido a los n puntos originales ,determina n nuevas itctas. Luego, u til izando (*) , todos los (n + 1) pun tos determinarán la cantidad de

Mn*l * Mn + n 1 [)"(n-l)] * n

Mnf i = ^ (n + 1) n izetas . Asi,

Por lo tanto, de (a) y (b) , concluimos por el Principio de Inducción MatemáU ca que el número de rectas determinadas por tales n puntos en el plano, satisface la fórmula

Mn = 2 n n ■ ^ e.ntiA.0 n i 2 .

punto P„+i adicional a los

de las rectas ya determinadas.

r " - 1 + 2 ,■ "C — 5---3

hemos verificado (**)

508 Iitt'ioduccx.ÓK al Anilcbi Matemático Cap.¡C


Dado n un número entero, probar por Inducción M temática ¥ n i l , a me noA que ¿e indique o í a a condición :

1)2)3)

1 + 4 ♦ 7 + .. + (3n - 2)1 + 7 + 13 + .. + (6n - 5)2 *n + n ■ 2

- n(3n - 1)/2 ■ n (3n - 2)

4) n3 + 2n » 35) 5n > 1 + 4n . 6) 3n > 1 + 2n

7) 5n - 1 - 4 8) 1 + 3 + 5 + .. ♦ (2n - 1)

9) 2 + ? + 12 + .. + (5n - 3) - \ n(5n - 1)

10) 1 ♦ 2(2) ♦ 3(22) + 4(23) + .. + n(2n”1) - 1 + (n - 1)2"

11) l3 + 23 + 33 + ... ♦ n3 - t n(n; l ) ]2

12) l2 + 32 + 52 + ... + (2n- l)2 - ¿n(4n2 -l)

13) l4 + 24 + 3* + ... + n4 - ^ n(n + l)(2n + l)(3n2 + 3n - 1)

14) 1-2 + 2-3 + 3-4 + ... + n(n +1) ■ ^ n(n + l)(n + 2)

15) 1-3 + 2-32 + 3-33 + ... + n3n - | [ 1 «■ (2n-l)3n ]4

16) 1.22 + 2 . 32 + 3 - 42 + ... + (n-l)n2 » yj n(n2- l)(3n + 2),

17) 3n > 2n + lOn , n > 4 , 18) sen (a + nn) - (-1)n sen a

19) l3 + 33 + S3 ♦ ... * (2n -■l)3 - n2(2n2 - 1)

20) 1 . 1 . 1 1 n(1)(2) (2)(3) (3)(4) n(n + 1) n + 1

21) _L + 1 , 1 , 1 n1.3 3-5 5-7 (2n - l)(2n + 1) Zn + l

22) 1 3 5- + + ••• +2 2 2

2n-l _ , , 2n - 3 n ' 2n )

23)1.10 10-19 19 - 2u (9n - 8)(9n +1) 9n + 1

24) - L * -il ♦ _2Í ♦ ... ♦ ----- nl---- - _njnM)_1 - 3 3 - 5 5 - 7 (2n - l)(2n +1) 2(2n + l)

25) 1 ♦ -L ♦ 1- + - 1 ' ’

26)

22 32 (n + l)2 (n+ 1)

1 1 1 . 1 n(n + 3)1 - 2 - 3 2 - 3 - 4 3 - 4 - 5 n(n+l)(n + 2) 4(n + l)(n + 2)

Cap.I0 Inducción Ma(¿mitica 509

27) --=-- «• ----- + ... + -- ------- = ---1---:----1-2.3 2-3-4 n(n + l)(n*2) 2(n ♦ 1) (n + 2)

28) Probar por I.M. que la suma de los cubos de cualesquiera tres enteros positivos consecutivos es un múltiplo de 9 .

?9) Si a y b c R , probar que (ab)n = (an) bn) , V n i 1 .

30) Probar que (a - t;) es un factor de (a11 - bn) , V n > 1 .

,,, 3 4 5 n ♦ 2 , 131 ) -----♦ -------------------- * + -r + ... + ---- ■ 1 - -------1-2-2 2-3-2 3-4 -2 n(n + l)2n (n*l)2n

33) Considere el conjunto de n ( i 2 ) rectas en el plano tales que doscualesquiera de ellas no sean paralelas ni haya tres que pasen por un mis mo punto. Demostrar que el número de puntos de intersección es igual a: n(n - 1)/2 .

34) Demostrar que < 1 -2

1n + 1

. n > 1

SUG: Pruebe por I.M. que : n 2n > n 1 , n > 1

35) Probar por Inducción Matemática que : n < 2 2n n - 1

. n > 2

SU6: Probar que 2n + 1 > n(n - 1) n > 2

36) 2n > n2 , n > 5 37) 4n > n4 , n > 5

38)•3 °n - n = 3 , 39)

cn - n * 5

40) n7 - n = 7 . 41) j2n +2 _ 2 n * 1 O= 7

42) j2n + 3 + 2n + = O7 , 43) 2 2n +1 + 32n + 1 O

- 5

44) 3( 5 < m , „ 23n +1O

■ 17 , 45) lln + 2 + 122n + 1O

= 133

46) 7(52n_1 ) + 23n +l»

1 = 17 , 47) 5n - 4n - 1 =O16

48) j2n *2 + 26n*l O* U . 49) 4n ♦ 15n - 1 = 9 SUG: EJ.

50) 20n + 1 + 16n+1 - 3n + 1 - 1 - 323

51) a) n2 - 7n + 16o2 , n > 1

b) n4 - 34n3 » 141n2 - 206n = 24 , n > 1 . SUG: [51](a)

52) Derostrar que un polígono convexo de n lados tiene [n(n-3)/2 ] diaconales, donde n i 3 .

53) i Cuál es el número natural que es igual a la suma de todos los números naturales que le anteceden ? RPTA: n * 3

510 Introducción al Anáta-ii Mateirittci' Cap.I0

54) Si n > 3 , probar por I.M. que la Suma de los ángulos interiores de unpolígono convexo de n lados es: (n - 2) 180° . SUG: A partir de unvértice fijo, trazar (n - 3) diagonales formando (n-2) íA^ngm.04

55) Dado el conjunto { xn e R / n e N } definidos por xt = /2 ,

xn + 1 = /2 + xn , n £ 1 , probar por I.M. que xn < 2 , V n i l

56) Dado el conjunto de números ( ¿ n / n e N } definidos por = 1 ,4n = 4n-l + 8{n-l) , n i 2 , probar por Inducción Matemática que

24p = (2n-l) , para todo n e N .

57) Dado el conjunto de números { an } , n e N , definidos por la relación

de recurrencia: Sj ■ 1 , a2 = 1 , an = an-1 + 3an_2 ■ n i 3 ,probar que

a - -- i— [ (1 + /l3)n - (1 . /T3)" ] . V n e N2 / 13

58) Probar por Inducción Matemática que, para todo entero n i 1 :

2 ( /n + 1 - 1) < 1 + ~ ~ + -4r + • - - + “ 7 < 2 /ñ/2 /3 /n

SUG: Pruebe que 2 /n+1 + [ 1 / /n + 1 ] > 2 /n + 2 , n > 0

y que 2 /n + [ 1 / /n + 1 ] < 2 / n + l , n > 0 .

59) Dada la sucesión de números ( xn / n e N ) definidos por

x0 * 0 , xn - 5 - [ 4/(xn_1 + 1 ) ] , n e N , probar que:

* n " 1 * a) x„ > 0 , b) xntl > x„ , c) 0 < xn < (2 + /5)

60) Dado el conjunto de números { a„ / n e N ) definidos porat = 3 , a2 « 25 , an = 3an_j + 8an_2 , n > 3 , pruebe porInducción Matemática que __ n __ n

(3 + /41 ) + (3 - / 41 )V n e N

61) S1 . (1+ /I7)n - (1- /17)nn " ---------ÍT~— ----- * " e K2 /17

probar que a) An = An_| + 4An_2 , n i 3

b) An zi un entoio pot-itivo , ¥ n e N

SUG: b) Calcular A L , A2 , y luego), aplicar Inducción Matemática a|A , ¥ entero n 1 3 .

62) Probar que A. - [ ( 3 + 2 /2 )" + ( 3 - 2 /2 )" ] / (2/2 ) Zi un ENTERO

Cap./O Inducción Matemática 511

POSITIVO PAR, ¥ n c N . SUG: Si Bn = (3 + 2 / 2 )" + (3 - 2 / 2 )n ,utilice I.M. para probar iánultiíniajniLntií que An y Bn ion e.nteAO¿ po

óitivcu pa-iiLi , V entero n > 1 .

. (1 W l ) n - (1- /!)" „ (1*/5)B ♦ (1-/S)"63) Si An - -— -------- . B„ - ------------------- ,

2 / 5 2

probar que, ¥ entero n 2 I : a) An y Bn son enteros positivos.

b) An * B n es entCAo pottLLvo pax.

SUG: Utilice I.M. para probar (a) y (b) ¿<jnuítáni:amzntz.

64) Dado el conjunto de números reales { an / n e N ) , definidos de manera recursiva: i

■ i - 0. a2 -l. an 2 [s"-i + *"-2 ] ' n - 3 *

Aplicando el 2do. Principio de I.M. a los enteros n 2 3 , probar que

2 2 (-l)n3 3 2n-l V n e N .

65) Dado el conjunto de números { xn e R / n e K ) tales que

Xj « 1 , *2 = 2 ■ xn + 2 * xn + l * *n • V n e K , se definen

x2n + l x2nlos números a_ * ----- , n e K y b * ----- , n e KII v _ * II y2n x2n -1Probar por Inducción Matemática que , ¥ entero n 2 1 :

a) xn > 0 , b) 0 < an < 2 , c) b„ > 1

66) a) n(n + 1) * 2 , n 2 1 ; b) nJ + lln » 6 , n 2 1c) n(n + l)(n+2) * 6 , n > 1

SUG: (n + l)(n + 2)(n ♦ 3) * n(n + l)(n + 2) + 3n(n + 1) + 6(n + 1) ,O

más la Hipót. de Induc. , (a), y 3 * 3 .

d) n(n t l)(2n + 1) - 6 , n 2 1

SUG: (n + l)(n + 2)(2n + 3) » n(n+ l)(2n + 1) + 6{n + l)2

e) n(n + l)(n2 + n + l) * 6 , n 2 1

SUG: (n + l)(n + 2)í(n + l)2 + (n + 1) + 1 ]

■ n(n + l)(n2 ♦ n + 1) + 2n(n + l)(n ♦ 2) + 6(i +1) , y (c)

[ó * n(n + 1) {n2 ♦ n ♦ 1) + 2n(n + l)(2n + 1) ♦ 6(n + l)2 , y (d)]

f) n - n í/¡ diviiibli pon. 30 , V n 2 1

SUG: (n+1)^ - (n ♦ 1) * (n^-n) + 5n(n + l)(n2 + n + l) , y (e).

b 12 InbwJucción al Anátucj Matemático Cap.10

3. SUMATORIAS

3.1 NOTACION SIGMA .- Si n es un entero positivo y si aj, a ,, .. , an

es un conjunto de números, entonces estos n núme-pueden ser representados por la notación

a , para k = L, 2...... n

y la SUMA de todos ellos se puede representar con el s'mbolo n£ ak * a l * a2 + a3 + ... + ank= I

el cual se lee como " La Sumato>Ua de tol .uiníMii ak dtide k = 1 ha¿ta

k « n " . A Ioí números 1 y n se les denomina ti túrnUi ingestión. y ti

ti linúXt tupviion. respectivamente, de la tumatolia.

Al subíndice k se le llama la VARIABLE de la sumatoria . En lugar de es ta letra k , también se puede usar -£,/,!i.m , etc.(Para efectos de la sumatoria, al límite superior n se le considera cont

•tan-te)Por ejemplo, Zot caa.djia.doi, de lot cinco pAimfiOi tnteju t poti

tivot pt »den ser representados por jak « k , para k » 1, 2, 3, 4 y 5,

es decir, a = l2 =■ 1 , a2 * 2Z ■ 4 , a3 ■ 32 * 9 , a4 ■ 42 - 16 y a52■ 5 = 25 , y ta ¿urna poA ti iimboto

k= 1 5£ kz - l2 + 22 + 32 + 42 + 52

k=1 = 1 + 4 + 9 +16 + 25 = 55

Análogamente, l a tuina de l o t CU60S de l o -& ca c u x o q n im e ju u en

Z i v o t SE

3 y 4) :tviot patixivot se representa por (considerando ak = I , para k = 1, 2,

Z k3 k=l

l3 + Z3 + 33 + 43 - 100

Asimismo, la turna de lot enteAoe. po&itivot dthde 4 haita 10 se representa: iq ” '

k » 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 , dondek = u

Cap.10 ¡nducc-íún UitemtCíCa 513

ak = k , para k = 4,5, 6,7, 8, 9, 10.

De la definición del símbolo de SumaXonji se sigue que

n + 1 n

Z = ( I 1 * an + lk=L k-l

(a)

Mediante el Principio de Inducción Matemática se puede probar muchas propiedades de las SUMAT0R1 AS.

Por ejemplo, si definimos la regla a ■ c (constante) V k = 1, 2, .. , n entonces

c + c +' c ♦ ... + c - nc( n ionandoi)

y en particular, si c - 1 : nyi 1 ■ n {la ¿uma de n uno«)k= 1

3.2 EJEMPLO. Probar, por Inducción Matemática, que para todo entero n > 1n

Z C « n c ( * )

k-1So l u c i ó n .

(a) Para n = 1 : Z j c “ c “ 1-c (verificado)k= 1

(b) Tomando como HIPOTESIS DE INDUCCION que (*) se cumple para n , veremos si (*) también se cumple para (n +1) :

n + i nc * ( 2] c ) + c .. por (a)

k= 1 k-l

= ( nc ) + c .. por Hipótesis de Induc.■ (n + l)c .. verificado.

De (a) y (b) y el Principio de Inducción Matemática, concluimos que la fórmula(*) es válida pajui todo tnteAO n > 1 .

3.3 EJERCICIO. Por Inducción Matemática, probar que, V entero n > 1 :

514 I ti t i n t i n e e , i o n a t i k i t i M i t i c u C a p . I O

E l k= 1

(*)

SOLUCION

(a) Para n = 1 : ¿ k3 = l3 = [

k=l

1(1 + 1) j2(VERIFICADO)

(bj Asumiendo cono Hipótesis de Inducción, que (*) se cumple para n , probaremos que (*) también es válida si se reemplaza, donde aparezca, n por

l" tl): n.. por (a)£ k3 > ( £ k3 ) + (n + 1)3

k= 1 k* 1

„ [ n(n» 1) ]2 (n + 1)3 .. por Hipót. de 1.

* i" + l)2 [ n2 + *(n + 1) ]/ *

_ (n » l)2(n ♦ Z)2 . , (n + 1) [(n + 1) + 1] -.24 ~ 2

(VERIFICADO)

De (a) y (b) y el Principio de Inducción Matemática, concluimos que la fórmula (*) es válida, pana todo inteAo n * 1 .

3.4 PROPIEDADES DE LAS SUMATORIAS

Sear m y n enteros positivos, entonces

n n(1) (cak) 1 c ( £ ak ) , pana. toda, constante c .

k»1 k= 1

(2) X¡ (ak ♦ bk) = ( ¿ ak ) ♦ { Z bk >k= 1

n

k-1

n

k = 1

n

k= 1

n(3) II

u

z ak > * ( z ak ) . 1k= 1 k= 1 k = m+l

(4) CoNMUT ATIVIDAD n n

Z ak = Z an-(k-m)k = m k = m

1 < m < n

Cap.IO Inducc. 0« Mafi.r-i.tLca 515

La iiutiatoiujL dzt ¿egundo miejnbno mueitxa tot mamo i iumandos dii p XmeX

miembro, tólo que en ofídin ¿nvvuo: díide. an ha¿ta am .m * 1 ,

n nZ -k Z an-(k-l)k-i k-1

( 6 )

Ap l icació n 1 .Calcular S

Haciendo n = 20 , reconocemos que

20Jl (20 - k + l)3 . k = 1

(si ak

S- Z [ n - ( k - l ) ] - £ an- (k-1)k'l k-1

entonces " [ n - ( k - l ) ] 3 ) , y por (6) .

nZ akk = l

Z k» 1

[ n(n 1) ] por [3_3]f y como n » 20 :

210 44100 » S

APLICACIÓN 2 . Deduciremos la fórmula para la Suma de - ja n psUmeAoi nú

-------------- meAoi znXeAJJi p aitivoi nS « £ k n(n + 1)

En efecto,k-1

2s = ( £ k ) + ( jr k ) - ( r k ) + £ rn-( k - D3 k-1 k=l (6) k-1 k-1

(por [3.4](2): )

y por lo tanto,

k-1

nS ■ Z k

k-1

(5) PROPIEDAD TELESCOPICA

(k-1))] - Z {n + l) » n(n + 1)k-1 13.31

no depende de k . Luego, 2S - n(n + 1)

1 + 2 + ... + n * —(n + 1)2

n

nii

an - ao

PRUEBA DE (5) La idea prictica de esta propiedad es la siguiente:

516 Introducción al Análu¡ui Uatemítir" Cap.10

4

lak-ak-l> = (ai ' V + (a2 ' V * (a3 ' a2> * K * a3>k * 1

2 il último imnoi il fVujneAO .

La prueba formal se realiza por Inducción Matemática:1

(a) Para n ■ 1 : (a^ - * (a4 - a ) un iSlo turnando

k«l>1 - “o (VERIFICADO)

(b) Tomamos co ito Hipótesis de Inducción que la fórmula (F) se cumple para ny probaremos que también se cumple para (n + 1)

Z (\ - *k-i> * t £ k - ak-i> i * («mi - vk*1 k-1

- t(ap - a0)] + (an+1 - an) - an n - a0

( V E R IF IC A D O )

(6) Va r i a n t e d e la Pr o p i e d a d Tel es c ó pi c a :

n

£ W +1 - akJ ■ an+l am ik- m

y en particular, para m ■ 1 :

n

£ t#k+i - ak} ■ an+l “ alk-i

Bita Piwpiidad Tapiscópica a muy útil pajia la oomtAucdön di faönmitaA.

3 5 EJEMPLO Deducir las fórmulas:

na) £ k * 1 + 2 + 3 + ... +

k»l

c

n(n » 1) 2

2 ,2 -2 . ,2 _ _2 _ [n + l)(2n + 1)nb) £ kz ■ lz + Zl * 3l * ... + n

k = 1 n« i i i i 3 r n(n + 1) ,2) £ k3 * 1 + Z3 + 3' + ... + nJ » [ --- ]

So l u c i ó n .

k-1

Cap.Iü Inducción Matemática 517

a) Sea ak ■ k , entonces por la Propiedad Telescópica :

an ' a0 ‘ Z t *fc “ »k-t 3 * Z [k2-(k-l)2] • Y.k = 1 k- 1 k* 1

n2 - O2 * 2( £ k ) - £ 1 ' 2 ( Z k > " nk = L k * 1 k = 1

Y despejando.

Z * k= 1

n2 + n n(n + 1)

b) Seí a. * k3 , entonces por la Propiedad Telescópica :

Z [ak ' ak-i] 1 Z Ck3 -(k-l)3]le * 1

n3 - O3 - £ (3k2 - 3k + 1) - 3( Z ^ ) * 3( Z k > * Z 1k = l k = 1 k * l k = 1

Despejando, n n n¿ k2 - - ( n3 * 3 Z k - Z 1 ) k=i J k=1 k-i

I [ n 3 «. 3 ü í n i l i - n ] 3 2 1

n(n + l)(2n * 1) 6

4c) Sea ak " k , entonces por la Propiedad Telescópica :

an - a0 Z [»k - ak-ii ■ Z t k4 - (k-i)*] k 31 k*ln n

n - 0 * J] (4k3 - 6k2 + 4k - 1) , y despejamos £ k3k = l

Z k = 1

k = 1 k’i k = l

r .4 . , n(n + l)(2n + 1) , n(n + l) ,L n *6 ------------ - 4 ------ n J6 2

, n(n + 1) -.2 2

Midianti zita ticru.cn 41 puede haLLaA. (¡ónmxtaA paAa k4 , k^ , etc.k ' 1 k ■ 1

518 lnViuduCCión al -\ná.tí¿ i i MíiCumiLt-Cü Cap. 10

3 6 EJERCICIO. Encontrar el valor de la suma ¿2. .¿_, (2k¿ - 3k ♦ 7) k«L

SOLUCION. Empleando las propiedades y resultados sobre Sumatorias:10 10 10

S = 2 ( X . *2 ) - 3 ( X , k ) + l H 1 >k = 1 k = 1 k = 1

. 2 10(10 + 1) [ 2(10) + 1 ] _ 3 10(10 + 1) + 10 (7) . 770 . 165 + 70

6 2« 675 .

3.7 EJERCICIO. Deducir la fórmula

IT sen kx * --------- [ eos ^ - cos(n+ - )x ]jfri 2 sen (x/2) 2

So l u c i ó n .

ApLLcasizmoi la ¿dtn&¿dad eos (A - B) - cos(A + B) * 2 sen A sen B , haciendo A * kx , B = x/2 , con lo cual obtenemos

2 sen kx sen k / 2 = eos (k - ^ )x - eos (k + ^ )x ... (*)

Definamos = cos(k-^)x , entonces ■ eos [ (k +1) - i ]x

= eos (k + -j )xLuego, de (*), n n

/T 2sen kx sen (x/2) = - ] T (wfc + 1 - wfc) - ~ (wntl ‘ wj)k=l k=l

= cos(l - ~ ) x - cos(n + l- ^)x13.%](') n i= » 2sen(x/2) 2_, sen kx « [ eos - - eos(n + - ) x ]

k = l

Y despejando, obtenemos la fórmula pedida.

3.8 (SUMAS GEOMETRICAS) Si x / l . x /> 0 . y si

n V 0 1 r>, deducir que

C a p . I O I n d u c c i ó n Matemática 519

So l u c i ó n , sea ak = * entonces por la Propiedad Telescópica:

x"*1 - *°

n+i . x - 1

Z , k + 1 k x(x - * )k = 0

(x-l) £ *kk - 0

Z k = 0

n

Z <k -K 3 O

es decir

1 - X

1 - X

n + 1

L.q.q.d.

3.9 PROPIEDAD DEL CAMBIO DE SUBINDICE

n n + h(1) Z a* * Z a k-h » h e l*

k = m k= m+hm < n

E tía propiídad insti, ca que. una tumdtofua. no attira tu vaZon ti cu. tibindí

ce k (de ak ) 4e fe n.£¿ta un inXeAo h , ¿-tempre qui, 6-imultániamin

tí, a toi limita in¿iA ¡.or. y ¿uptrior di la amatoria. (m y n respectavamente) ¿e ¿CJ) ¿time iZ númcjio ejtlesio h Análogamente, se tiene:

(2)n

zk ' m

n-h

ak ■ Z ak+hk = m-h

h e l * m < n

EjtMPLOS.a)

n n + 5

Z ak ' Z ak-5 *k * 0 k-5

a0 + al + a2 ... + an

b)n n+ 3

Z ak ■ Z a k- 3 =k = 5 k - 8

a5 + a6 + a7 + ••• + a n

zk = 5

n+ L

k= 5

n - 3

zk = 2

n - u

Zk = O

k + 3

k + 5

a5 * a6 + a7 + + an

a5 + a6 + a7 + ••• + an+l

Usualmente se emplea esta propiedad para trasladar el límite inferior al valor k = 0 ó k = 1 .

520 I n O i u d i i c c U n a t A n i X Í C i d M t i t i l m í t i c ú C a p . I 0

3.10 EJERCICIO. Calcular 2° 18 4 „ 2a> Z — b> Z (2k * k * Uk = 6 10 k - U

So l u c i ó n .

20 IR 20 1 14 1 ü 103a) Z ~ S=i = 18 Z -4^, ■ 18 Z - í o - i« £ Jtf

k = 6 10 k = 6 10 k = 0 10 k = 0 10

= 18000 £ ( — )* = 18000 [ 1 ' (l/l0) ]k = 0 10 1 - <1/10>

= 2(1015 - 1 ) / 1011 .

30 17b) £ (2k2 + k - D = Z [2(k + 13)2 ♦ (k + 13) - 1 ]

k = L4 k-L

(pues si ak «2k2 + k-l, entonces ak + 13 = 2(k + 13)2 + (k + 13) - 1 )

17

■= z tZk2 * 53k + 350 ik = 1

17 17 17

= 2 Z k2 ♦ 53 Z k + Z (350>k = 1 k = 1 k = 1

= 2 17(18_)(_35) + 53 17(18) + 17(350) = 17629

3.11 EJERCICIO. a) Hallar en términos de n , una expresión simple parala suma de los n primeros enteros positivos ¿mpaxu

b) Calcular el valor de la suma

S = 1 ♦ 5 + 9 + 13 + 17 + ... +793+797.So l u c i ó n . n „ n

a) 1 + 3 + 5 + .. + (2n-1) » £ (2k - 1) = 2 £ k - £ 1k = 1 k = 1 k = 1

■i(n■ \ T \

199 200b) Podemos notar que S= £ [ 1 + 4k ] = Z [ 1 * 4(k-l) ]

k = 0 k = 1

2 0 ° 200 200 200 í 2011S . Z Sk-3) - 4 Z k “ Z 3 = * j ' - 3 (200)

k = 1 k - 1 k ■ 1= 79800 .

C a p . 1 0 t t i d u c c i c n M a t e m á t i c a 521

3.12 EJERCICIO. Simplificar la suma siguiente, en términos de n : n 1 1 1) ------- = --- + —

^ k(k +1) 1-2 2-3 n(n * 1)

So l u c i ó n .

Po- tener el denominador ambos factores tímala en la vaiXabbi k . podemos ex

1presar la fracción CIALES

1

k (k+ 1)como la i urna (a¿geb'i£uca) d¿ do J FRACCIONES PAR

— * B k(k + l) k k + 1

[ y ¿e hallan la¿ con¿tantea A y B ]

Damos común denominador e igualamos los numeradores, luego procedemos por el método de los COEFICIENTES INDETERMINADOS

1 = A (k + 1) + Bk

Luego,

1 « (A ♦ 3)k + A , V k e H

A + B - 0 y A * 1 = • B - -1

1 1k (k + 1) k k+ i

(-1)[ — -— - — ] , de dondek + 1 k

k = I k(k+1) k-1T ' (-1) [ — -— - — ] (aquí deflrimios a. - — )*—* u a i t K Ir

k (k + 1)

3.13 EJERCICIO. Simplificar la suma siguiente, en términos de n ;

i i i i^ (k + l)(k + 2) 2-3 3-4 4-S (n*l)(n + 2)

SOLUCIÓN. Haremos una traslación de lo; limites de la sumatoria (*)n+ 1

- zk = 2 ík>(k+1)

[ COMPLETADO TERMINOS EN tA SUMATORIA J

[ k? ¿ k(k + l) ] f f (n + 1) (n + 2) 3

- T T f [ Z ~~7~— T ] * t — r A — 3(1) (2) ^ k(k + 1) (n + 1) (n + 2)

522 ím.t'LüátKición ai Af.íttici MatimSXíCC Cap.10 -

Aquí utitizainui el 'le-iu.t'íadu dit EJEKCICIO [3.12] : y obtenemos (*)n , 21 n + nV * 1 t r ^ i 1) --------- * + [ ----] + ----------- =

k=! (k+l){k + 2) 2 n + 1 (n + 1) (n + 2) 2(n + l)(n + 2) 2(n + 2)

3.14 EJERCICIO. Simplificar en términos de n solamente, la su"ia n 1 1 1 1-- + --- + ---- + 1

kTi (3k- l)(3k + 2) 2-5 5-8 8-11 (3n-l)(3n + 2)

SOLUCIÓN, Separaremos el término general en FRACCIONES PARCIALES :

1 A + B _ A(3k + 2) » B(3k - 1)(3k - l)(3k ♦ 2){3k - l)(3k + 2) 3k - 1 3k + 2

Igual indo numeradores

Es decir.1 - A(3k + 2) + B(3k- 1) . V k e N1 - (3A + 3B) k + (2A - B)

Por Coeficientes Indeterminados: j 3A + 3B = 0\ 2A - B » 1

B - -A 3A - 1

de donde A = 1/3 , B * - 1/3 . Luego,

1 1/3 1/31

1(3k - l)(3k + 2) 3k - 1 3k + 2 3 3k + 2 3k - 1

Vemos que si definimos a|

De (*), nY — k = i

3k - 1entonces a 1

(O

1k + l 3(k+l) - 1 3k + 2

3 3(1) - 1 3n + 2

= i ! 13 2 3n + 2 2 (3n + 2)

100 1003.15 EJERCICIO. Calcular el valor de 53 2Z (-i +-j) * S .

I =■ 1 j ■ 1

SOLUCIÓN. iumax0 ¿¡i í ,w ¿aío>i la variable u j , peAmanecietniok comíante, de modo que. 100 100 100

Z U +1) = Z * * Z Jj = 1 J ” 1 J - l

C a p . 1 0 I n d u c c i ó n Matemática 523

. ¿ £ ! + t . u)(100, ♦ 5050j = l 2

100 100 100Por lo tanto, $ ¿ ( 100-¿ ♦ 5050) = 100 ( £ i. ) + 5050 £ 1

•i = l -i = l -i. = 1

= LOO [ (100 y 10-1-- ] + 5050 (100) * 5050 (200)

= 101 x 104

3.16 OBSERVACION. Como hemos podido notar en el Ejercicio previo, y en general, en toda sumatoria n

Z \k = m

al ¿ubíndice k se le conoce como una. va/Uable muda. , pues puede serreemplazado por cualquier símbolo y el valon de la. iumatofUa no te aXXe-

HJOl .8 8

Por ejemplo, Z] ak “ a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 “ Z! aík = 3 ¿ = 3

8 8

o tambUn Z! *A * a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + *8 * Z! *6A.» 3 i = 3

3.17 EJERCICIO. Probar por Inducción Hat. que, para todo n e Z+ :

k* n+l k j-1So l u c i ó n.

, ¿ . í ia) Para n * 1 : primer niehbro > — = —

k^2 k 2

V ’ (-l)i+I , 1 1SECUNOO MIEMBRO > - ------------ "= 1 - - * — (VERIFICA00I

. 1 i 2 2j-1 J

b) Tomando como HIPOTESIS DE INDUCCION que (*) se cumple para n , probaremos

que también se cumple (*) cuando se sustituye, donde aparezca n por (n + l):

2(n+l) 2n+2 2ny - - - y — ■ t y — ) * + —

ItfK&O + l k , k = n+2 k k = n+2 k *"+ 1 2" *2

y en la sumatoria del paréntesis adicionaremos el término para k = n + 1

524 hittuJucik'óh at A/!Ú¿c4¿i Miiítymitten Cap. 10

¿T\1= [ ( y i . ) . ± ] t J L , ----

~ k=Tíi k n + 1 2n + 1 Zn + 2

, i , i i= ( > — ) + ---— - ---- i rOROUE ?. ¿-i. k 2n + 1 2n +k = n +1

2n (-i)j*1 (.n<2n + 1> + 1 , i«(2n+2) +1POR HIPOTESIS DE IHDUC. = ( 5” ---- ) + —-------- + --------

j = ! j 2n * 1 2n + 2

2,1+2 í iij*l 2(n + l) - ,»j + l^ IlL)- (VERIFICADO!

j = l j j = 1 J

Por lo tanto, concluimos por el Principio fle Inducción Matemática que la reía -ción (*) dada se cumple paam. todo n e l* .

3.18 EJERCICIO. Hallar una fórmula simplificada para las sumas

a) £- k2k‘1 b) ¿ k2k + 1k « 1 k - 1

So l u c i ó n .(k 2 ) - (k - l )2 = 2 (.2k - k + 1) = ( k + l ) 2 k*1 . . (*)

Sea afc = k' ' , entonces a([_1 = ( k - l ) 2 k_1 , an - n2n y a0 = o

a) i) £ [k2k - ( k - l ) 2 k‘ 1 ] = 21 [ afc - a 3k = 1 k = 1

= (a„ - a0 ) = n 2n - 0 - n2n

n n¿ü 21 [ k2k - (k -1) 2 k_1 ] = £ ( k * l ) 2 k‘ 1 .. de (*)

k = 1 k = 1

n n ¿7 n -1= ( £ k2k_1) + t 2Z zk_1) = s * Z zk

k■1 k = l k = u( S + SUMA CE0MEIR.)

1 - (2 )■ S ♦ -j— ^-- = S . ( 2 n - H

Igualando los últimos miembros de (-i) y (-ü.) , y despejando S tenemos

S - (n - 1) 2n + 1 , es detir

Cap.IO Inducción Matemàtica 525

2b) E¿ ¿u¿<< •(< nte mittipLíc.ax pon. c - 2 a amboi mí&nblui de la ¿ómula obtt

n¿da en la S<_Iu ^lík de. la. panXe (a) . Asi, tenemos

n nj-> k2k + l M 22 k2k_1 = 4 [ (n- 1) 2n + 1 ]k = 1 k = 1 n +2

» (n- 1) 2n 1 ♦ 4 .

n3.19 EJERCICIO Simplificar S * £ cosec (k+ 1)x cosec kx

k = 1

SUG: cotA - cot B * — - - = sen(B-A) cosec A cosec B .sen A sen B

So l u c i ó n .En (SUG) hacemos A • kx , B « (k +1 )x = > B-A » * ,

cosec (k+l)x cosec kx * cosec x [cot(kx) - cot(k + l)x ] . Luego,

nS • - cosec x £ [ cot (k + l)x - cot (kx) ]

k*l

* - cosec x [cot(n + l)x - cotx ] =s>

3.20 EJERCICIO. Deducir las fórmulasn n

a) Z sen(2k-l)x - 1 ~ C0S 2n< . b) £ cos(2k-l)x - ^ 2^ _F 1 2sen,t k = l 2sen,t

nir.- ' a) Ep cos(A-B) -cos(A + B) * 2 sen A sen B , tomando B « x ,

A = (2k- l)x , se obtiene:

2 [ sen (2k-l)x ] senx * - [ eos(2kx) - eos 2(k -l)x ]

b) En la identidad sen(A + B) - sen (A-6) * 2 sen B eos A ,tomar A * (2k-l)x , B * x , con lo cual se obtiene

2 sen x cos(2k - Ux = sen (2kx) - sen 2(k - l)x

3.21 EJERCICIO. Deducir las siguientes fórmulas, donde x f 1 , x t 0 ,

a) ¿ kxk-‘ - -■«_]. § b) ¿ k .k-x ( l - o 2 k = i 3 4 3

SOLUCIÓN. jea ^ : lu11 > entonces an = nxn . aQ = 0x° = o

a) (ak - a k.1) = k x k -(k-l)xk"1 - (x-l)[ k*k_l ] ♦ ik"1 = -

526 Intxoduccián at A n á d ia Matemático Cap.IO

Tomando sumatoria desde k = 1 hast i k = n :

£ (ak - ak.1) = -1> E ktk_1 + ( E *k'1) =*k = I k * 1 k = i

n-l . _ n(an -a0) - (x-l)S + ( E * ) = “ n*n = (*-l)S + --- —

k = n » 1-*Despejando la sumatoria S buscada, tenemos

s = l k*“-1 - 1 - xn [ (n + 1 ) - nx ]

k = 1 11 - O 2

b) Utilizaremos la parte (a) , naciendo x *> ^ , para lo cual expresamos

A k 1 £ . , x 4k-l I r 1 ' í 1'3)" t(n + l) - n(l/3)] ,E -ir = t ¿I m-) - — c ------------ r í -----]k-1 3* 1 k i 3 3 (i . i ) 2

3 r 1 . ... 1 r 2n + 3.* 7 [ tñTT1 * 1 ■ 7 t J--nr-]

3.22 EJERCICIO, clajt.r $ . 3!> , 3JJ , , „ 3 . 1003

SOLUCION 100 30"°” se ,u' s ■ ( £ i.1 ) - ( £ «’ )

k * 1 k = 1Aplicamos el EJERCICIO [3 5](c):

r (100) (100 + 1) ,2 , (30) (30 + 1) ,2 2 2S =■ [ W M — i£ ] = 5050 - 465 = 25286275

3.23 EJERCICIO. Simplificar en términos de n solamente, las sumatorias

n i n i a> r 7- b> £k = ! (k + l)(k + 4) k , l k(k + l)(k + 2)

Solución Separaremos en FRACCIONES PARCIALES ,

1 A Ba) = --- + --- , hallaremos A y B dando común(k + l)(k + 4) k + 1 k + 4 . . . .. . ,

' denominador y procediendo por elMétodo de los Coeficientes Indeterminados al igualar los NUMERADORES :

1 = A(k + 4) + B(k + 1) = » 1 = ( M B|k + (4A + B) , de donde

A + B = 0 y 4A + B = 1 = * A = 1/3 , B * -1/3 ; por lo tanto.

C a p . 1 0 Inducción Ma temática 527

1 1 i 1 1 « INTERCALAREMOS FRACCIONES CON DENO■ - - H — ------- — )

(k + l)(k + 4) 3 k ♦ 4 k + 1 minadores consecutivos :

, . 1 1 (_L----- L ) + (.J_. _) + (_!----- 1_ ) ]} k + 4 k + 3 k + 3 k>2 k + 2 k + 1

Tomamos Sumatorias desde k = 1 hasta k - n en ambos miembros y aplicamos la PROPIEDAD TELESCOPICA a la sumatoria de cada paréntesis y resulta

V 1 . 1 r ( _J_ JL) t I _L_ 1 ) + ( J L i ) 1kTi (k* l)(k*4) ' 3 n + 4 4 * n + 3 ~ 3 n + 2 ~ 2

13 1 r 1 1 1 i-- - — [ --- + --- + --- ] RPTA (a)36 3 n + 4 n + 3 n + 2 -------

b) Análogamente, separando ¿n Fracciones Parciales tres veces , tenemos

1 ( _1_____1_ j 1 l 1k(k + l)(k + 2) k k+1 k + 2 k(k + 2) (k+l)(k + 2)

= - L- - ! ] * ( - ! ------ — )2 k + 2 k k + 2 k + 1

+ ( í 7 T - 7 )] + ( í Í ! - 7 7 T ,

. i ( — -— , - i ( --------- — ,2 k + 2 k+1 2 k + 1 k

Tomamos Sumatorias desde k * 1 hasta k * n , y aplicamos la PROPIEDAD TELESCOPICA a la sumatoria de cada paréntesis : nE ----- 1--------i{ -i- - 1 ) - i( - i)^ k(k+ l/(k+ 2) 2 n + 2 2 2 n+1

n (n + 3)4(n + l)(n + 2)

3.24 EJERCICIO. Calcula* la. iuma ¡ , 1 + 8 + 27 + 64 + __ + 64 300

Solución , , , , , JL ,Note que S = 1J + 2 + 3 + 4J + .. + 40J - kJ

para n = 40 Luego, , , , k = 1S ■ [ P n * ] = ( 20 x 41 )2 = 672400

3 25 EJERCICIO. Si A = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 3 0B = 1 + B + 2 7 + 6 4 + ... + 27000 ,

¿ qui poJiczntaj^ dz B ti A ?So l u c i ó n .

528 Introducción al AnitisCi Mateiràtico Cap.IO

Note que A = 1 + 2 + 3 + __+ n , B = l3 + z3 + * + __+ n3 , para

n J 30 ■ Luego, n(n + 1) 30(31) ,,A = ------ = -- --- = 15 x 312 2

B = [ ^ V ^ ] 2 - ( 15 x 31) 2

Aplicando una regla de tres: B — * 10U % 100A 100(15)(31)A — • x% 8 152 x 312

20Así, tenemos que A es el — % de B .20/(3 x 31)

3.26 EJERCICIO. CatcuZoA. La tumo. ¿¿guíente

1 1 1 1 1S — + — +■ — + — + __ + ---30 42 56 72 ----- 6320

SOLUCIÓN. Como s . _I_ + t i . 1 . 15x6 6x7 7x8 Bx9 n(n + 1 )

calcularemos el valor de n : •>n(n + 1) = 6320 ==» n + n - 6320 » 0

(n + 80)(n - 79) - 0

de donde n = 79 Luego, podemos expresar S en la forma

s ■ ¿ • — - - ¿ [ ------ — ] - t ------ — ] - - 1L-. k(k + l) l - c k k + 1 5 n + 1 5k= 5 k(k + D k= k k + 1 5 n + 1 5 79 + 1

= » S = (1/5) - (1/80) = ~16

3.27 EJERCICIO. naZlcui la iuma di. lo¿ 20 p/ujmí.1 M tOvninoi de la iuce¿ ¿un

de númeAoi nealzi, c u y o cuatro p>-jneA04 téAminoi ¿o.i :

1 1 1 1+2/7l + i x 1- x l-/x 1 - x

SOLUCIÓN. Notamos que todos estos términos pueden ser expresados con el mismo denominador, de manera que la sucesión estaría conformada como sigue:

1-/7 1 1 + /7 1 + 2 / 71-x 1-x 1-x 1-x

Asi, los 20 primeros términos se pueden expresar según la regla siguiente

1 - / 7 + ( o / 7 ) 1 - / 7 + ( 1 / 7 ) 1 - / 7 + ( 2 / 7 ) i - / 7 + ( 1 9 / 7 )» * ------------ * • - ■ » — -— —1 - x 1 - x 1-x 1 - x

C a p . 1 0 I n d u c c i ó n M u t e m l O c a 529

y la SUMA de todos estos 20 primeros términos es igual, per lo tanto, a :19 — — 19 constante

s - £ C l ~ / x } 1 = — £ C C f - ' * ) ♦ ( k / * ) ]k- 0 1-1 1 - x k = 0

19 _ 19 ¿ porouÉ ? 19

- — [ £ - (1 - ♦ ( A ) Z k 1 » — t 20(1 - /x) ♦ /7 £ k ]1 - x k-0 k = 0 1 ' 1 k -1

, W . * P0R0UÉ ?

S * — — [ 20(1 - /x) + /7- -(--9H 20) ] = _A2_ [ 2 + 17/7 ]1 - X Z 1 - X

3.28 EJERCICIO. (Desigualdad de Cauchy - Schwarz) Si aR , bk e r .probar que, para todo entero n > 1 :

C Z ( \ b k) ]* < [ ¿ .J ][ ¿ bj ] .. (*Jk = 1 k = l k * 1

Sol u c i ó na) Para n = 1 : En ambos miembros de (*) se tiene aj b2 (v e r i f i c a d o )

b) Tomando como HIP0TESIS DE INDUCCION que (*) se cumple para el entero n . probaremos que también se cumple para el entero siguiente (n + 1) :

n+1 2 n 2 t 2Z K bk> ] * [ ( Z V k ) ♦ (antlbn+1) ]k= 1 k = l

n 2 0■ t il ak bk ] * 2 a n + l bn * l ( £ ak b* > + t a n+ lbn * l l 2 lPWW¿1

k = 1 k = 1

n 2 n

■ £ £ akbk ] * E 2(bn+iak)(an ñ bk> * ta’n b2 + 1] iPOWu«k = 1 k = l

- [ £ akbk ] 2 + £ t (bn + l ak ) 2 + (an M bk , 2 ] + [ l n * l bn + l ] iP0R0UÉ?k=l k-1

■ [ Z akbk J2 + Z <bn n ak> + Z <an*lb¡!> * ta^ + 1 bZ + 1]

■ t E \ \ ] * bn2+1( Z »1 ) + < V l ( ¿ bk > + an + l bn + l k = 1 k = i k = i

y por HIPOTESIS DE INDUCCION :

: i ¿ •; n O í & , < ¿ ■;) * ¿ > • t v , ¿ „ ]k = 1 K=l k = 1 k = i

530 IntAoduccLón CÜL Ah í .O i ¿i hktfcm ático C a p . I 0

’ [ Z »;][( L bJ) • bj^ ] ♦ a2tl[( Z O * b*M ]k = 1 k = 1 k - 1

= [ z al U i Z b>)] ♦ ( a ^ ) t z b¡| ]k = 1 k = 1 k= 1

r' ■> n+1 •> n +1 •> n+1 •>■ [( Z •£) M a ^ ) , ] t Z b2 ] - t I a¡J ][ Z bk }

k = 1 k= l k= 1 k = 1

n + 1 2 n+I n+1Asi, hemos implicado que [ Z W V ] - t Z ak ]t Z bk 1

k * 1 * k = 1 k= L

Luego, por el Principio de Inducción Matemática, concluimos de (a) y (b) que la desigualdad (*) es vílida pasui todo ¿rtvw n > 1 .

3.29 P R O G R E S I O N E S G E O M E T R I C A S

Una PROGRESION GEOMETRICA es un conjunto de números ak , k = 1. 2, 3..........tales que cada elemento (á tínnino), excepto el primero, se obtiene mutt¿pCLc.a.ndo e£ ¿íej ini pieced^nie pon. un ¿acto* conótante. a t 0 . Por ejemplo, el conjunto

fll a2 *3 d* a5 a6 a7 a8 a9 a10+ + + t i i i i + ♦ (*)

\ ‘ 2 4 8 16 32 64 128 256

es una PtuigmiíSn Geniuu i (P.G.), donde cada elemento, excepto el primero, se ootiene multiplicando el elemento precedente por el factor constante r 1 2 .

A este factor constante r se le llama la RAZÓN (ó nuzón común) de la progresión, y se calcula dividiendo oda término entre su precedente^ Asi, en el ejemplo (*) dado:

al = 2 ’ a2 ■ 1 , a2/al " 1/(1/2) * 2 = r

a 2 =1 , a3 = 2 , a3/a2 = 2/1 L.II

CVJ

a5 = 8 . a6 = 16 , V a» * 16/ B *-II

CVJ

Asi, vemos que la razón común es : r = 2 .

En general, si denotamos el primer elemento como aj » a , la razón r y el número de elementos (términos) n , entonces la Progresión Geométrica correspondiente viene a estar conformada por números de la forma

Cap.10 Itiduect-ón 531

Vn-1

NOTA. El término k-ésimo a de una progresión geométrica está determinadopor la relación

k-lak = a r k = 1. 2, 3. . n

donde r es la razón común y a es el primer término.

3.30 EJERCICIO. hallan. ti tz/icz/i t&unino de. umi pjiogntiión geomé.tA .i_a cuyo QLn.rt.to elemento ti 81 y cuyo noveno tiruiv<.m ti 16 .

So l u c i ó n .

Como 81= a - ar316 = a9 = ar

DATOS:4

8

a5 = 81 ,

16_

81

a9 - 16 .

i í { ) ‘ = r 4

de donde r * í 2/3

a = a r

. Luego, el tercer elemento resulta ser , en ambos casos:

.4 a.ar2

81

(2/3)'

72?4

3.31 EJERCICIO. S¿ ti fVLcme-i e&wtenío de una p-rog.’iei-Cón geomé-fUca e¿ -8

y ti octavo <clvjntnto ti -16 , halLan eZ ¿txJto tltmento.

So l u c i ó n . DATOS:

Como -16, = ag = Jr7 =

Luego, el sexto elemento es:

a, - ar5 - ¿ (-2)5

a = 1/8 , ag = -16 .

= ► r7 = -128 = (-2)7 r = - 2

32 = -4 a6 - -4

3.32 EJERCICIO. En ¿a pwgiMíCn gtvmi.Ou.ci cui/o¿ -do-i p/ujnfwi eíemerttOo512ion 27 y -18 , ¿ cuíc elemento ti — ?

So l u c i ó n .

Como

Luego,

a2 - atr

512729

DATOS:

— -18 = 27 r

k-l

at = a = 27 a2 = -18

r = - 18/27 =

rk-i = _ 512729 x 27

C = - 3

- (-2/3)

\

53Z I n t r o d u c e i r> n a l Artátü li Mate/mítico Cap. 10

k - 1 = 9dicJno tltnznto.

k = 10 . Así, el número dado - 512/729 corresponde al

3.33 LA SUMA DE UNA PROGRESION GEOMETRICA

Dada una progresión geométrica, la sjma Sn de losprimeros n elementos

L * 2 * 3 ’ •• ■ nf i *

a , ar , ar2, , n-1 a r

es Sn “2 3 a + ar + ar + ar + . ♦ arn_1 = a(l + r + r2 + .. + rnl

Sn "

n n

£ ak * £ k = 1 k = 1

(ark"M = > *n * • Z rk“1 k = 1

y por la fórmula [3.8] esta sumatoria es igual a :

• II/ 1 “ r \T ^ T " con r f 1 . (*)

3.3*1 EJEMPLO. HoJJLoa. la. ¿urna S y ti númtnxt dt tiAmuioi n dt ana pn.ogn.t

i¿ón gzomíViica. ti. ti que loe tÍAminot prUmtAo, ttgundo y tí

último ton, 4e¿pec¿(va/nen¿e, 5 , 20 y 81920 -

So l u c i ó n . DATOS: a

Cálculo de la razón r : r ■ a =■ 20/5 * 4

Cálculo de n : por la H0TA de la pág. anterior ,

-2 * 20 , an - 81920

r =» 4

81920 = an = arn'L = Sr"'1 - 5(4n_I)

4n‘* = 81920/5 = 16384 = 47 = n - 1 = 7

n = 8

Luego, por la fórmula (*) de [3.33] :

• n . «8S * Sn - a[ ] = 5 [ -7 — 7- ]

1 - r l - 4109225

3.35 PROBLEMA. Una pzlcta de jibe iz de ¡a caeA di¿dt ana altiuia de 729 cm. Cada vez que toca el ¿uelo, >iibcta dui titcíjt de Ca altuxa última de la cua.t cayó, a) ¿ Cuál es la altana de

Cap.10 inducción Matemitcca 533

ta cuat cae La. bola cuando toca eJ i unto pon. iéptumi vez ?b) i Cuál hublzna ¿¿do ta dUitancLa total. HíconjuAo. dtAde el v ston.Ce en que

la bola, jue ¿altada, lauta que tocona, zt tuíto pon 4tptuna vez ?

SOLUCION. OATOS:

altura h ■ 729razón r * 2/3

729

alturas sucesivas:

3l * a2 ■ a3

a2

h *, *T■ \ ; a4* a7

i . i V

l h . a2 = 3 I2\ u 2(jU-. «3-

Luego,

(|)2 h .

1, 2, 3,

• * 7 “ ^)6h

, 7

a7 » 64 cm.a) La altura buscada es a ■ (3) *1 ■ (3 ) (729] ■ 26 =

b) La distancia total D que la bola huDiera recorrido hasta el séptimo contac to con el suelo es: (explique el motivo)

D - aL + (2a2) + (2a3) + (2a4) + (2as) + (2afi) + (2a?)

7 7 í k-lD = (-ai) + [ Z <2ak) ] ■ (-K) 4 t(2h) Z (f) ]

k«l k-i

D » (-h) + 2h[ -1 ■■* (2/3 - ] - (-h) + 6h[ 1 - ] , h - 7291 - (2/3) 2187

(729)( 10167)/2187 3389 cm.

3.36 PROBIJMA Calculan. zt númzno de. tinmínot de una pncjneitón gtométteca

de na.zón 2 . Alendo 189 la. ¿urna S de ztloi, y ta 4uma C de ¿u¿ cuadnadoi, 1228»

So l u c i ó n , datos* razón r ■ 2 , 189 ,

a + ar + ar *■ n-1

C = aZ + (ar) * (arZ)2 * .. * (arn l)

- a2 C 1 + (r2)1 ♦ (r2)2 + .. ♦ (r2)"'1 ]

C - 12285

( n términos )

( n términos )

Entonces, como r * 2 : 189 a[2 - 1

] ■ a(2 - 1) (a)

534 IntAoduccióh clL A>ió¿cJc4 Matemático Cap. 10

y por la misma fórmula para la suma de n primeros términos de una progresión geométrica, n 2

12285 = C = a7 [ 4 ' 1 ] = — (2n - 1)(2n + 1) (8)

Dividiendo (B) entre ( a ) :

-^55- 1= 65 ] = - (2n + 1)189 3

Restando (y) menos (a) : 6 * 2a =

= > 2n ¿ 26 =

195 =■ a(2n + 1) (y )

a - 3 2" - 1 ♦ - 64

n = 6 ■ClAminoi .

3 37 EJERCICIO. Reóolveti el stuna de ecuacloneó :

(1 + 3 + 5 + 7 + .. + 31)* + (2 + 4 + 6 + .. + 30)y = 208

(2 + 4 + 8 + 16 + .. + 1024)* - [ / T 7 1296 ]' y 447

So l u c i ó n .1 + 3 + 5 + 7 + .. +31

2 + 4 + 6 + 8 + .. +30

2 + 4 + 8 + 1 6 + .. + 1024 =

Además* [ J 4 / 1296~]3 = 1728 .

256* + 240 y = 208 2046* - 1728i/ = 447

n* 16

£ (2k - 1) = n2 = 16 -k = 1

n = i52 JT] k * n(n i L) • 15 x 16

k- 1

256

240

n= 10

T- *k k * 1

1 - Z102 ( 4 - 4 - ) 2046

1 - 2

Asi, el sistema dado se transforma en :

16* + 15 y » 13 682* - 576 y ■ 149

* = 1/2

y = 1/3

* * * * *


1. Calcular las sumas siguientes

») Z (4k-5) . b) £k = 1

100 O 51 4

k = o

k * 2

4

f) Zk = 1

k + 1 k - 1

(-irZk - 1

5 I ?ik+lc) Z

k = 1 K

100

d) Z 4 . k = 1

4 í-l)4‘k + 1g) V L ü --------■ .< + 1 . k = l 2 - 1

"> z3k + 4

k = i k - 1

Cap. ¡O Inducción Wat¿m¿tica 535

2. Expresar tas siguientes suma» en la notación SIGMA £ (existen varias formas equivalentes) : a) 2 + 5 + 8 ♦ 11 ♦ 14 ♦ 17.b) 2 + 4 + 6 + 8 ♦ 10 + 12. c) 3 - 7 + 1 1 - 1 5 + 1 9 - 2 3 .

, 2 3 4 5 , , 3 5 7 9d) 1 + — + — + — + — . e) 1 - — + — - — + — .3 9 27 81 4 9 16 25

2 4 6 8 10 12x x x x x xf) i - _ t — . — + — . — + — .j 5 7 9 11 13

3. Hallar la suma de todos los enteros positivos menore'. de 141 .4. Hallar la suma de todos los enteros positivos impares de tres dígitos.5. Hallar la suma de todos los múltiplos enteros de 7 entre 60 y 400 .6. Calcular las siguientes sumas

60 n 20 a 40a) E (2k - 1) , b) £ ( 4 k - 2 ) , c) E — lIT * d> E

k“ l k“ l k~0 2k'6 k = 28 (/Í0)2k-8°

7. Calcular las siguientes sumas10 k 80 22

a) E i 3)' b) E (k - 40}(k - 60) , c) ¿ (3k-5)(2k-4) .k * 9 j - 0 k * 50 k » 3

8. Calcular las siguientes sumasU 12

a) Z t ( k - 4 ) 2 + 2] b) £ (j-2)3k = 5 j = 2

26 4 , ,k + 3O £ (27 -k)3 d) £

k= 7 k-l *

9. je define el conjunto de números a^ , (k c N) : a, ■ -1, a2 “ 4 , a} - 15,

a4 = 32, a5 ■ 55, .. , an = (A + Bn + 3n2) . Hal lar la suma S de los 20primeros términos.

10. Calcular las sigjlentes sumas¡° ■ kt, , 5 k

«) S - £ E (-D (k - j + 1) . b) S • E E (-1) tk-j + 3]k * 7 j-1 k-2 j*l

11. Resolver las ecuaciones siguientes

a) 1 + 7 + 13 + 19 + .. + x * 408b) (x+ 1) + (x+4) + (x+ 7) + .. + (x + 52) - 549

12. Hallar la suma de los cuadrados de los primeros 20 enteros positivos múltiplos de 3 y mayores que 17

13. Hallar una fórmula, en términos de n solamente, para las sumatorias-

536 Íntiüduc.í.¿6n at Anáttlii Mat¿r¿L(uco C a p . 1 0

a) £ (6k'3) . b) £ J l M U , C) £ (2k-l)2k = 1 k 11 k = i

n n d) í2k - 1) . e) £ ar 1 . (r * D ■

k = l k = l

14. Sean las funciones f , g : l* — ► R , definidas por

f(n) => 2^_n (15) - £ z"k + 4 ■ 9(") = 2®'" - *6 ,k = 1

¿cuáles son verdaderas? : a) f(l) = g(l) , b) f(l) = 2f(2) + 16 ,c) gil) = 2g(2) + 16 , d) f(n) = g(n) . V n c 1* .

15. Sea f(x) = x2 - 4x + 4 , x e R . Hal lar el valor de A = 2-i¿ + n , pira

n e Z+ , si n

£ [ f(k + l) - f(k) ] = 117 .k = o 15

16. Sea f(x) = x - 9x ♦ 20 , x e R ; calcular £ [ f(k + 1) - f(k- 1) ] .k * 1

17. Hallar una fórmula para la suma n£ (9 - 9 ) .

k = 118. Calcular 171 ,

E [sen(72kTÍ I) - sent/ÜTTÍ |) ] k = 1

10 1019. Si £ (rk + s) - 70 , £ (rk - s) =■ 136 , hallar 5r + 2s .

k- 1 k = 3

20. En cada caso, calcular el valor de n , si

a) £ (3k - 10) - 200 , b) £ (-l)k -i- - - -glk = 0 k-l 2k 512

n

21. Calcular, sin emplear )a fórmula de t (k) , la suma 32k“' £ (k2 - 4k + 5) .

k * 1r (3k - 100)(3k + 100) , ,22. Sea at = ------------- — ----- , caícular 2(M - N) , si se sabe que

k k + 3u097 97

h ■ £ *k+3 y « ■ £ \ , 2 ■k = l k = 2

23. Hallar una fórmula, en términos de n solamente, para la suma

£ (2k*1 ♦ 3k'*) k = 1

Cap. 10 Inducción “iXitmíX ca 537

24. Calcular 1x2 + 2x6 + 3*10 + 4x 1 4 + ... +30x118.k n

25. Si ak - £ <2j - 1) . hallar £ akj- I k* 1

26. Hallar una fórmula para n£ sen (x) . sen x t 0 , i 1—k-0

2k |t 2 m M sen (x) * w , para w > sen x ; y se tiene una S. Seométr.

27. SUMA DE UNA PROGRESION ARITMETICALa sjma Sn de los n primeros términos ak = a + (k-l)d , k c N , con primer término at ■ a . y con di¿eAcncLa. común d , de la progresión aritmética a> a + (J> + u ........a *(n-l)d

es igual a: n

S n “ 5Z C* + (k-l)d ] - y [ 2 a + (n-l)d]k- 1

También se prueba que esta suma Sn es igual al producto del numero de términos por la semisuma ael primer y último términos, es decir

, al + an .Sn * "(---— )

28. Encontrar una fórmula, en términos de n solamente, para la suma

a) y i b) y i c) y K+J ___l(■ i k (k + 1 ) ’ ^ k(k + l)(k + 2) ' C k . L k(k+l)(k + 2)

n » n<D £ k* • e) £ (n-k+1) . f) £ ----- ----- -

k M k » l k - l (k4 D(k*3)

n n9> £ - . -A/. IT • *-) £ k + 3k-! k(k + l)(k + 3) k„! k(k+l)(k + 2)

29. Encontrar una fórmula, en términos de n solamente, para la si«natoria

4 5 6 ‘ n+31 x2x3 2x3x4 3x4x5 n(n + l)(n + 2)

30. Hallar una fórmula para la sumc-toria n .£ cosec (2 t ) k =■ 1

SUG: Usar cosec (2A) = cot (A) - cot (2A) , haciendo A ■ 2lc"1x .

31. Deducir las fórmulas de las sumas siguientes , para n e N ,

a) 1 x4 + 3x 42 + 5x 43 + ... + (2n- 1)x 4" • [ 20 + (6n-5)4n + 1 ]/9

538 I n V i o d u c c Á ó n a l Arfó1 1 , ¿ i U a X i ¿ „ ¿ t i c u C a p . 1 0

b) y. — P-— - -ílÍ!L1Li • c> E ** ( — > ■ tn f -¡r1— ]kT\ (4k - 1) (2n + 1) k=! 2k + 2 2n(n*l)

V"1 k 3 3 + 2n , - , , 5k + 3 , , , 5n * 31 í ^ = 4 ' '77^7 ’ e) ^ l 5T7¿ > = *rt(k = 1 3K *» 4(3 ) k = i 5K ¿

11 OL 1 1f) £ £n ( £1-i ) ' [ ------------- ------ ]

^ 2k + 3 (2n + l)(2n + 3)

2k -1 2k -1 2k +1 _SU6: ---- = ---- - — Tomar logaritmo y aplicar la2k + 3 2k + 1 2k + 3£K 1 £K J Propiedad Telescópica.

. 2x4 5x7 (3n-l)(3n + l) n(9n + 7)g) --- + ‘

1x3 3x5 (2n- l)(2n +1) 2(2n + l)

SUS: 9k - 1 » ? )■ - [ __________ -__________] Y LUECO SEPARAR EN

4k2 - 1 4 4 (2k-l)(2k*l) fracciones parciales

32. Deducir las fórmulas siguientes

a) £ ¿3)lc_1(l-aw * n 22n + 1 SÜC: Considere ak -k.(-2)k y lak=l diferencia (ak - ak_j) = ?

2n k SUG: Considere a. * (k+ l)(-l)k+1 ,b) E (-2) (2k+ l) - 2n . k

k = l y la diferencia (ak_1 - ak) .

. 33. Proba i pon. Inducción Maít/nit cí* que., paw. todo tnteAn po6¿tLvo n 2 1 :n

a) £ sen kx • [ sen n • sen (n + 1) ] / ( sen | )k» ln

b) E eos kx * [ sen n | • eos (n + 1) ] / (sen )

34. PlobaA. pon. Inducción UatunfÁ ■. : ( V n e M )

" n sen nx-CDS (n + l)xa) £ eos kx * - +

k _ I 2 2 sen x

n sen nx-cos (n +l)xb) Y sen kx = - -

k =! 2 2 sen x

SUG: a) eos2 A = - (1 + eos 2A) . b) sen2 A = ^(l-cos2A)

35. Deducir la fórmula n ■>

E 6. 4 ^ - ^ ■ * ---- ü -----

Cap. 10 Itiduccuún yia-tímdtíca 539

(k + 1)2 k + 1 k + 1 k + 2SUG: -- 5 - — -- ------------------

(k ♦ 2)(k + 3) k + 2 k + 2 k + 3

36. Deducir la fórmula n£ ~T tan "T = c o t - Z cot 2b k = 0 2 2 2

SUG: tan B = cot B - 2cot2B Sea a » ^ cot , B * b/21* = í>

l , . b b \ bak - ak-i ■ ¿ <cot ¡k - Zcot ¡k^T > = ik lan ^k •

37. Hallar uia fórmula para la suma n_k-l, . 2 * x

£ 2 [ 1 + 2 sen ,k • co- ^ ]k = 1 z z

SUG: 1 + 2sen2Bcos2B 1 2cos2B - cos22B . Sea B ■ (x/2k) , de donde

2B = (x/2k_1) . Hacer ak = 21* eos2(x/2lc), ak - - ? .

38. Sean a , b e R , (k e N). Probar por inducción matemSticc que, para todo entero n > 1 y para todo c > 0 :

n n n

bk

SUG : ( | x | - | y | ) > 0 = » 2 | xy | í (x¿ + y2) , y tomar x «

y y b n+1 f c / Z .

39. Hallar la suma de los .5 primeros términos de una progresión geométrica, sfel primer y segundo término son 0/3 ... y 0.1 ... , respectivamente.

40. Hallar la suma de los 6 primeros términos de una progresión geométrica, siel primer y segundo términos son 3 y /3 , respectivamente.

41. Hallar la suma de los 10 primeros términos de la progresión geométrica :

2 , - 22 , 23 . - 24 , ...42. Hallar la suma de los cuatro primeros términos de una progresión geométrica

(P.G.) cuyo primer término es ■/\l + 6/2 , y la razón 3 - /2 .

43. El primer término de una prog. geom. es 1 , el producto de todos los tírm[nos 32768 , y el número de ellos. 6 . Calcular la suma de todos ellos.

44. Un pueblo que tenia 10000 habitantes, no tiehe hoy m2s que 6561. La J a -minudói aniui¿ ha sido la décima par;e de los habitantes. ¿Cuántos afios ha ce que. tenía 10000 dicha localidad ?

45 Una persona gastó el lunes una cierta cantidad, el martes gastó el doble, el miércoles el doble que el martes, y así sucesivamente hasta el sábado de la

540 IntxoducZLÓn ai AhclLLaía Matemático C-i p. '0

misma semam, en el que su gasto fue también el doble que el viernes. Si su gasto total fue de 693 soles , ¿ cuánto gastó el jueves ?

46. Hallar una fórmula para la suma Sn de n números de la forma2 , 22 . 222 , 2222 , ...

47. Una progresión geométrica consiste de un número par de términos. La suma detodos sus términos es nueve veces la suma de los términos que ocupan los lui,ares impares. Hallar la razón r de la progresión.

48. Una de las raíces de una ecuación de 2° grado es igual a la suma de lo» o-

cho primeros términos de la progresión geométrica 512 256" 255 ’ " 255 * ■" ’

y la otra raíz, el quinto término de la progresión geométrica 234.375 , 93.75 .................... i Cuál es la ecuación ?

49. En una progresión geométrica la suma de los términos de lugar par es 1365y la de los de lugar impar es 455 . Hallar el primer término de la progresión. El número de términos es 6 .

50. Resolver la ecuación siguiente,

1 + a + a2 + a3 ♦ ... ♦ ax « (1 + a)(l + a2)(1 + a4)

51. Hallar una fórmula para la suma

S * (a + ¿ )2 + (a2 + -í- )2 + ... + (an + - )2a i1 a

Clave de Re s p u e s t a s

1. a) 54 , b) 49/6 , c) 152/15 , d) 400 , e) 404 , f) y g) -26/35 ,O [ f(*o) * f(*t> + f(*2) ]d , h) 87/í

2. 5 6 6 6a) £ (2 ♦ 3j) = £ (3j - 1) , b) £ (2k) c) £ (-1) + (4k-l)

j * 0 k» 1 k = 1 k = 1

V 1 k ni Y' I I 2k — 1 . yn (- X2) d> 2J “ k^T • e) E (-1) * f) £ r

k =1 3 k-L k k = 1

3. 9870 , (4). 247500 , (5). 11319 , (6a). 3600 , (6b). 2n2

6c). (221-l)/¿1 2 , (6d). (1013 - 1) , (7a). 5050 ,7b). Note que hay 31 términos S = 6355 , (7c). S = 176408a). 405 , (8b). 3025 , (8d). 7/12

26 26 208c). £ [(26-k + 7) - 6 ] 3 » £ (k-6)3 = £ k3 = 44100

k = 7 k = 7 k * 1

OC/[(I -uc + zu£)(l+uz)(,tü)u] :(a)Mp) . (Z + U)H+U)Z (3 .M(2 + U) ( I + u ) t (Z + u c ) li

---(C4U)U (q8Z) * (T + uJ/u (e8Z) : » z*o d /[ j + (j (x as) - i ] 921=)1 9/(1+u2)(i+ u)u 'S2

0639E = ’•e 2 =S ‘ (2-WPI - ^ '(K ) Z/(E - UE + l + u2) E20t • 00» ■= (N - W)2 ‘oßann

’ 002 ■= °01* ■ M - W anb ‘ (00E + >1) / (00001 - z*6) = 11 * °“»3 "22I-«*

88fr 6 = 2E + ( z* 2 ) * sOt I + z(Z - >1) - s + W - 12

6 = u (q • si - u (e (02) * 2 =■ *2 + -'S ‘ V « s ‘ 2 = ■> 61

2 - (I*) - I = (2/“Z)uas - (2/u)uas -gì

[ I - U6]06 = (6 - l+u6) + (z6 - z+u6) '¿I

012 (91) ‘ OOE » V ‘ 21 = u (SI) ‘ sspoi ‘fri(J - D/(UJ * D* (3 ‘ (I ■ zuZ)zu (P ‘ C/[(I + U2)(I - uZ )u ] (a El

ZU£ -(eei) • 6 / [ (Z + U)(I + u)u ] -(qei) • 0EZ6» "21

I * Í» « * «= 6»S = [ (Z - «) + * ] ^

8 I « u uoiDpriDa

ei opuaiAtosaj 'isv • 81 = u c= 2S + x « (Z - ue) ♦ x owillQ [a X

' (Z - 5|£) + x euuoj «i uausi) sa[pm so( ‘sopupuins ap ojauinu 1 a ü ea$ (q

£9 = * < = S-(Zl)9 - S - ug = * *i*V

21 = u «= 0 *(ZI - U)(VE + UE) « = 80V = uç - 9 «= 80» = (S - >19) 2

Uroqep jod oujod K ‘souiuua} ap ojauinu [a sa Ü apuop ‘ ç - ug = x (c \\

s ■ 21- ■[oi + si]-[8 + oi] + [9 + 9] - [v + e] = C ’iz + TY^ih ]5i(l') ^

1 = r i = r z = )( i = r z = *

( z 3 + (?) 3 ),(i-) 3 -{[2 + d + r-’O] 3 ,d-)} 3 (qì Ì S ¡ i s

»91 - * S:cuiuuai e OUJUU9Î oßani i • [ (I + >IZ)(I+)0 )l 7 ] ( I - ) 3 “ =

I ‘I -,ï%] VAIlVirWNOD 'dOMd 01\ i-t i = T-r í = *

- ( f ) 2 ( i -) 2 ( i -) = d + r->i) 3 - j- ( i - ) 3 - s (s 01Ì 01 3| 01

0i n = s ‘ V- = a ‘ 0 = V 6

i»s uçy?z>ripni Ol'foD

542 lntA.0ducCA.5n al Anál .i<A Matemático Cao.10

28 f) n(5n + 13) n(7n2 + 42n + 59) h n(5n + 11)12(n + 2)(n + 3) 36(n + l)(n + 2)(n + 3) 4(n+l)(n*2)

29. Igual que (28h) . (30). cot(x) - cot(2nx)

37. 2n cos2( Ar ) - eos2 x (39). a = 1/3 . r = 1/3 , S = 121/2432 _

40. a = 3. r* 1//3, S= 13(3 + /3)/941. a * 2, r - -2 , S = - 682

42. /a + /b » /(a + /a 2 - b )/2 + / (a - /a2 - b~)/2 = >

/11 +6/2 = /Tí + /72 = 3 + / 2 = a , 3 - /2 = r .Api i cardo la fórmula para la suma, S = 12(9 - 4/2}

= r15 = • r =■ 2 , S = 63 .

. . RPTA: Hace 4 años.

Gastó = 693 « 63a (¿?) = > a = 11Asi, el jueves gastó 88 soles.

2 + ... + 10k_1) - 2( 10 ~ ■■) = ak9 K

¿ 1 ] - ~ [ lo"*1 - 10 - 9n ]k = l 81

n : IMPAR \

Por el dato. n (n-l)/2X aplC “ 9 ZÙ a(pZJ ==> 1 + r = 9k = 0 k - 0 r = 8

43. a = t—'

ro Ui 1+2+J+4+5r44. a = 10000 , r = 1 - (1/10)

arn « 6561 = 94 = « n =

45. L Ha Mi Ju VI Saa 2a 22a 23a 24a 25a

(k DIGITOS)46.

INI(NiII•O . 22 = 2(1 + 10 + 10'n

Sn= £ ak =2 n k |[ E w k -

k * i k = 1

47. a . ar , ar2 . .. , ar“ = ~

a , ar2, ar4 , .. . ar"'1 =

48. razón r. = 1/2 , raíz x, * -4 ,» ==> xL - 2x - 24 = 0 .

razón r2 = 2/5 , raíz x2 = 6

49. 1365 = ar ♦ ar3 + ar^ = ar(l + r2 + r4)455 = a + ar2 + ar4 = a(l + r2 + r4) ; dividiendo: 3 = r .

Sunnndo, ) 820 = a( 1 - rÉ )/( 1 - r) = a(-728)/ (-2) = » a = 5 .

50. Si a = 1 , entonces »: = 7 . Si -a f 1 , realizando operaciones la ecuación se transforma en (1 . ax + 1)/(l - a) = (1 - a8)/l 1 -a) = > x = J .

- E [ U 2)k ^ M ¿ ) k ]= 2n+ ^ V + ^ Jk = L a k = L a a " 1 à

. 2n + (j2n- l)(a2nTZ +I>

Cap.IO Inducción Mattf"iát<.ca 543

4 . SUM A D E UNA P R O G R E S IO N G E O M E T R IC A CON I N F I N I T O S T E R M IN O S

Explicaremos el concepto de SUMA de una Progresión GeométH ca con infinitos términos mediante el siguiente sencillo ejemplo.

Supongamos que una persona va a recorrer toda una cuadra , de longitud L = 100 metros, cubriendo tramos consecutivos y partiendo de una esqu_[ na de la siguiente forma:

Rectwfie la mitad de. la cuadna (lo¿ pnimeAoi 50 me-ttoi) ,

L 100a. = - » — = 50 m.1 2 2

Rectwie la mitad dz la íc& tanda que ¿alta, zi dzdA

100

PRIMER TRAMO

SEGUNDO TRAMO50

a2 ~ 2= 25 m.

TERCER TRAMO : Recovie la mitad dz la diitancu que. íaZta, Zi dzdA

25 1003a, = — 12.5 m.

3 2 2

Repitiendo este procedimiento n veces, la persona llega al

N - ESIMO TRAMO : ReeOAAZ una di! tañera de

100n metros

[.La distancia acumulada recorrida, incluido este n-ésimo tramo, es

S ( ♦ a2 ♦ a3 ♦

, 100 100 100 100 .( --- ♦ --- ♦ --- + .. + --- I' 21 2 2 2n

1 - r 100 r 1 - (1/2)

1 - r * 2 [ 1 - (1/2)

y por [3.33] :

razón r ■ 1/2 ,

(a)

A continuación se repite el mismo procedimiento indeftinidaminte , lo cual se simboliza n - oo , y significa: el númgAo d¿ trama n.zconk.ldiit n tiende a oo . Asi, la DISTANCIA TDTAi. LIMITE recorrida será la suma :

544 IntAcdacciSn at Anátii+i Matemático Cap.10

ooS = *! + a, ♦ a3 ♦ .. + an + ... = £ ak

k = 1

que recibe el nombre de SERIE INFINITA , es decir

•• * 7 * - 3 (■>

Los sumandos (tamb-iln denominada TERMINOS) de la serie infinita (6) constituyen una PROGRESION GEOMETRICA CON INFINITOS TERMINOS, con

PRIMER TERMINO: a, = — , y RAZON: r = -1 2 2

Intuitivamente, observamos que el valor de la suma S en (p) debe ser S * 100metros, pues ésta es precisamente la longitud total de la cuadra que va a ser recorrida por la persona en la forma ya descrita.

Asimismo, vemos en la fórmula para la suma Sn en (a) , que cuando n tiende a oo (es decir, cuando el húmeio de términos n va creciendo ilimita

damente), el cociente — va tomando valores cada vez más pequeños, acercándo 2n

se al vaton UmiXi 0 , de modo que S , que viene a ser eJt vatoi tímete, de la

DISTANCIA ACUMULADA leccvUda , será justamente S ■ 100 metros. Así, tenemos

. 100 x 100 100 x 100 ^S = — - ♦ — - + - * ■ ♦ . . + -- + ... 1 100 metros2 2 2 2

Esto se simboliza como: " Sn ■» S = 100 cu ando n •* oo , y se lee " Sn

tiende at vatoi S = 100 cuando n tiende a oo “ .

A esce valor limite S se le llama la SUMA DE LA PROGRESION

GEOMETRICA CON INFINITOS TERMINOS descrita.

A continuación presentaremos un resultado que nos será de mucha utilidad, pero cuya demostración formal no será dada, pues corres ponde al tema de los LIMITES DE SUCESIONES Y SERIES.

«t.l LEMA.- Sea r e R tal que |r|<l , ( -1 < r < 1 ) , entonces

I) Las potencias rn tienden at vato-x tXniXe 0 cuando n tiende

a °° ” Cuando -1 < r < 1 , las potencias rn van tomando valores cada vez más cercanas a 0 , conforme n va creciendo ilimitadamente.

Cap.10 Inducción Ma.temiU.ca 545

II) El valor S de la SUMA DE LA SERIE GEOMETRICA INFINITA:

) , -1 < r < 1

con primer término flj ■ 1 . y razfin r , | r| < 1 , es >'gual a

( 1 + r + r2 + .. * rn'1

BOSQUEJO DE LA PRUEBA DE (II) :

Considerando la suma parcial Sn de los primeros n sumandos de la suma en (II) , y por la fórmula de [3.331, sabemos que

( 1 ♦ r ♦ r ♦ __ + r n' ) * (1 - r

)

Sea S el valor de la suma de la serie geométrica infinita dada en (II) :

S * ( 1 + r + r2 + .. + rn~l ♦ rn ♦ ... )

Como Sn tiende al valoi Limite S cuando n tiende a °° , de (y) se tieneque, cuando n tiende a_oo , entonces la potencia rn tiende a 0 [de (I)],de modo que

i-r"■*n

1 - r" 1 - (0) 1S„ ■ ----- tiende al vaioi tímete S

1 - r 1 - r 1 - r

4.2 NOTA a) ; la serie Infinita entre paréntesis de (II) se le Dama SERIE GEOMETRICA INFINITA , con psUmeA. tÍAmino ■ 1 . y Kazón r , y al valor de S se le llama la SUMA DE LA SERIE GEOMETRICA da Ja.

b) Si | r| i 1 , la serie geométrica infinita de (II) no tiende a ningún número real definido.

c) El valor de la SUMA S en (II) existe solamente cuando-1 < r < 1 .

«t.3 FORMULA DE LA SUMA DE UNA PROGRESION GEOMETRICA INFINITA

Consideiemos la SERIE GEOMETRICA INFINITA general

a( + atr ♦ a r2 ♦ ... + a rn'1 + a rn ♦ .

546 InfAuduCCtóii ai AnóXiS ci Milfeimíí¿cu Cap. 10

donde la razón r satisface la condición -1 < r < 1 , entonces el valor dela SUMA S de esta Serie Geométrica está dada por

S = { a * atr + a[r2 + + air,> + __ J (1 - r)

la ¿unía S de la S>yu.e Geom¿X/Uca Injcricia con piimeA teimino a y /tazón r, - 1 < r < 1 , C4 igual cll p/iimeA {¿Amina 3 j dividido po-t (1 - r) . "

M .*1 EJEMPLO. Hallar la SUMA S de la serie geométrica infinita:

, 100 100 1 0 0 100 .( -- * —r * * ■■■ * —Z * )

2 2 2 2

So l u c i ó n.

de [4.3] :S =

Primer término at = 100/2 = 50 , razón r = 1/2 ;

ai 501 - r 1 - (1/2)

100

4.5 EJEMPLO. Una pelota de jebe se deja caer desde una altura de 15 m. Cada vez que toca el suelo, rebota dos tercios de la altura última de la cual cayó. Calcular la distancia total D recorrida porla pelota antes de quedar en reposo.

SOLUCIÓN. yer ei PROBLEMA [3.35](b). Altura h = 15 m. La distancia total recorrida D es la suma

D = h ♦ 2[ (| ) h ♦ ( f )2 h + (|)3 h ♦ . . . . ]

La serie dentro de los corchetes es una serie geométrica infinita con

PRIMER TERMINO a, » | h = 10 , RAZON r * | ; su SUMA es

al 2SUMA S = --— = (10)/{ 1 - — ) = 30 m.1 - r 3

Por lo tanto, la distancia total recorrida es: D = h ♦ 2S = 15 v 60 = 75 m.

Como aplicación de las serie geométricas infinitas, podemos ex presar los números decimales inconmensurables como fracciones. De ello trataremos en la siguiente sección.

Cap.IO Inducción Matemática 5 4 7

<4.6 6 ENERATRIZ DE NUMEROS DECIMALES PERIODICOS

Tomemos como ejemplo, el numero decimal periód^ co puro * - 0.55 = 0.5555 ... , entonces vemos que pouemos expresar

x = 0.5 + 0.05 + 0.005 + 0.0005 + __

5 5— + —

10 10‘

5 5

103 10 10 "

que viene a ser una serie geométrica infinita con primer término at = 5/10 .y razón r = l/io . Entonces, por la fórmula [4.3] :

» = S =1 - r

5/10

1 - {!/l0)

4.7 EJEMPLO. Expresar el número decimal periódico x = 3.1252525 comofracción.

So l u c i ó n .10 10J 103

+ .. ] (*)107

La serie dentro de los corchetes es una serie geométrica con primer término at = 25/ioo y razón r = 1/100 , de modo que su SUhn S es igual a

25 1 25S - a, / ( 1 - r) = (— )/{1 - — ) = —1 nn inn 990Luego, de (*):

x - 3 + — +10 990

100 100

25 2970 + 99 + 25990

3094990

= 3.12525 .

4.8 EJERCICIO. Calcular la suma S de la siguiente serie infinita:

1 3— + —

1 3 1 3— + — + — + —

3 , 5 , 67 7‘ 7J 7' 7J 7

SOLUCION. Podemos expresar esta serie en la forma

1 . , 3 3 3+ ...) + ( — + — + -r + ... >7 7 7“ 7* 7

y si denominamos 5, a la suma del primer paréntesis y 5¿ a la del segundo,entonces S = Sj Como S[ es la suma de una serie geométrica con pri-mer termino = 1/7 , y razón r - I/72 entonces

51 *1 - r

548 Introducción aí Aiuífuts tiiiCimltico Cap. 10

y como 5, es la suma de una serie teométrica con primer término bj = 3/j-

y razón r = V 72 , entonces bt . , 3 . 1 . 31 - r 7 72 48

Por lo tanto, S = S. + S, = — 1 1 48

S = ± 24

*í. 10 EJERCICIO. Encontrar una progresión geométrica infi/iita cuya suma sea6 , tal que cada término sea cuatro veces la sjma de todos los términos siguientes.

So l u c i ó n . . . .. . . . . . . .Sea la progresión geométrica infinita:

a l • a l r • a l r > • • • » » a i r ............... ( * )

CALCULO DE LA R/.7QN: V entero n i 0 y por condición del problema:

airn = 4(airn + 1 ♦ airn+2 ♦ a,rn+3 + ... )

La serie del paréntesis es una geométrica con primer término a^ 0*1 y razón r de modo que por la fórmula [4.3]: n+1

a . 4 [—— —-- ] = > 1- r ■ *r1 í 1 - r) r = 1/5

CALCULO DE a, : r , .. .. ,1 Como la progresión (*) tiene suma 6 y pr ner termino at ,entorces

al al 24S = 6 = ---- = ---- = > a. = —1 - r 4/5 1 5

Así, la progresión buscada es:24 24 24 245 ’ 52 ’ 53 ’ 54 .................

«1.11 EJERCICIO. Dado un cuadrado de 1 uietro de lado, se unen dos a dos los puntos medios de sus lados; se obtiene un nuevo cuadra do en el que se practicará la misma operación. Procediendo asi sucesiva e indefinidamente, i cuál es la SUMA DE LAS AREAS de todos los cuadrados así obtenidos ?

So l u c i ó n . De la figura obtenemos la progresión geométrica infinita de áreas de cuadrados siguiente:

Cap.10 Inducción Síttemática 549

a, = L = 11 — i i

ai ' (-— = s* y = \2 / 2 2'

, 1 1a-, = (--- ■ 2 ) = ,2x2 2

y asi sucesivamente.Vemos que se trata de una progresión geométrica infinita con primer término at = l , y razón r = 1/2 , de modo que su SUMA es

1 - ( 1/ 2 )


1. Hallar la suma S de cada una de las series geométricas infinitas:

2 . 1 1

= 2 m .

a)

b)

c) -3 -

3 9 54

5 - 2 + 0.8 -

1 1

d)

e)

/3 + 1 -

Í . 1+ i 4 5

3 ' 27 f) (3+/8) + 1 + (3-/8) * ...

2. Expresar en forma de fracción los números decimales periódicos:

a) 0.777 d) 3.888 g) 5.10333

b) 0.323232 e) 4.15121512 h) 4.215252

c) 0.250250250 f) 2.123123 i) 9.44305305

3. Hallar la suma de cada progresión geométrica infinita:

a) / 4/3 , - / 3/4 , / 27/64 ,

/7 ♦ 1 /3 - 1b) — --- , ——--- ,

/3 - 1 »3*1

c) *7 . v T ñ ,

ñ * i . /z - i

•

d) -1• 2 + 1

6) 1 * Ü 4 ’ (1 .4 ) '

550 I n t r o d u c c i ó n a t A n A L L i i s Matoniítieo C a p . 1 0

4. Hallar el sexto término de una progresión geométrica infinita cuya razón es 1/3 , y su suma es ?43 .

5. Hallar el primer término de una serie geométrica infinita en la que la sumaes 243/4 , y su segundo término es (-27) .

6. La suma de una serie geométrica infinita es 28 , y la suma de los cuadradosde los términos de esta serie es 112 . Hallar dicha serie geométrica.

7. Hallar la razón de una serie geométrica infinita tal que la suma de sus seisprimeros términos es 7 veces la suma de todos los términos restantes.

8. Encontrar una progresión geométrica infinita cuya suma sea 20 , y tal quecada uno de sus términos sea tres veces la suma de todos los términos ubicados después de éste.

9. Hallar el valor de la suma de cada serie siguiente

a) £ ♦ * ♦ i. ♦ ± ♦ i. + ± * ...3 3 33 34 35 36

. . 2 , 4 1 8 1 16 1b) - + 1 + — - - + ---- + - + - - - +

5 25 2 125 4 625 8

10. Resolver Jt + X + JL + —a) 3 ■ 3/3

2 3 2b) 1 * loncos* + tog2 cosx + fogueos* + .... = -

11. La diagonal de un cuadrado mide 40 cm. El lado de este cuadrado se toma co mo la diagonal de un nuevo cuadrado, y el lado de este segundo cuadrado como la diagonal de un tercer cuadrado, y asi se continúa indefinidamente. Calcular la suma de las áreas de todos estos cuadrados.

12. Después de que una persona que viaja en bicicleta retira sus pies de los pe dales, la rjeda delantera gira 240 veces durante los primeros 15 segundos. Después de cada período sucesivo de 15 segundos, la rueda gira 4/5 de veces que giró en el período anterior. Calcular el número total de rotaciones de la rueda antes de que la bicicleta se detenga.

13. Un triángulo equilátero ABC tiene lados que miden 3 unidades. Se construye otro triángulo equilátero uniendo los puntos medios de ABC . Se procede de la misma forma indefinidamente. Hallar la suma de las áreas de todos los triángulos obtenidos con este procedimiento.

14. En un cuadrado de lado a se inscribe un circulo; en este círculo se inscribe un cuadrado; en este cuadrado se inscribe otro círculo, y se continúa así indefinidamente. Determinar la suma A de las áreas de todos los cua-

Cap. 10 Inducción Natúnáíica 551

drados y la suma C de las ¿reas de todos los círculos.

15. Hallar el valor de oo k-4 ,1 .k-6E 3 <;>k * 5


i. a) r * 1/6, s = 4/5 ; b) r - -2/5. S = 25/7 ; c ) r = i/y. S

d) r = -l//3, S = 3(3 - /T)/2 ; e) r = -4/5. S - 25/36

f) r = 1/(3 ♦ /8 ). S - (17 + 12 /2 )/ [2( /2 * 1)]

2. a) 7/9 . b) 32/99 . c) 250/999 . d) 35/9 . e) 41508/9999f) 2121/999 . g) 1531/300 , h) 41731/9 500 , i) 943361/99900

3. a) r = - 3/4, S= 8/3/21, b) r - 7 - 4 /I . S = (12 + 7 /3)/6c) r = 1/2, S ■ 2 /I . d) r - 2 /2 - 3 . S =■ ( 10 + 7 JZ )/4e) r = 5/7 . S = 7/2

4. Tk - ark_l , k = 6 . at = 162 , T& = 2/3

27

8

5. Tz = ar = -27 y 243/4 = at/(1 - r) => at - 31 y r « - 1/3

6. 28 = at/(l - r) y 112 = a2/(l - r2) = > at = 7 , r = 3/4 ,

y la serie: 7 t 7(3; + 7(3)2 + 7(3)3 + ...4 4 4

7. r = ! l / / 2 , 8. 15. 15/4. 15/42 . 15/43 , ...

9. a) ^ ♦ ... ) ♦ ± ♦ -i ♦ ... ) . S - *3 3 3 3 34 3 «

/

b) [ \ *‘f|)2 ♦ (|)3 ♦ (f)** ••• 1 + f i ' 1 * \ - ~3 + "• ] *5 5 5 5 2 2 2

s - [ — ] ♦ [ --------\— ] = . s - - .1 - (2/5) 1 - (-1/2) 3

10. a) — — - - = » x = -1 - x 2 5

b) - = ----- ------ = • eos x = 2~l/2 = 1//23 tug2 eos * _ x = 2kn ¿ (,M ) , k e Z

11. SUMA S = 800/[ 1 - (1/2)] = 1600 cm2 =» S = 16 dm2 .

12. 240 + (|) 240 + (|)Z240 + (| )3 240 ► ... = 240/( 1 - |) =■ 1200 rotac.j b □ b

., 9/3 9/3 9/1 . , 9 /' 3 ,,,, 1 . , - 213. — ♦ — — r * .... = 5 - ( — 5“ )/(1 - 1 ) = 3'3 u

Zl 2 1 Z¿ Zl ......

14. Se obtieren las series geométricas infinitas siguientes

552 hiViodactUdn al AníLLici Cap.Ii)

2 2 2 2 » ¿ a s a . a 2a) a * — * —z * -r ♦ ... = A » ------- = » A - 2a2 2i 1 - (1/2)

b) + Jü! * + , c = = , c - —22 23 24 l-(l/2) 2

15. 3616. Sea c una constante real. Calcular la suma -c ♦ — c ♦ c ♦ ..

7 49 343RPT: Es la serie geométrica g g 2 53

( y )c + ( y ) C ♦ ( y ) C « ■ ............

cuya suma es:S * ( ~ ) / (1 - ~ ) * 6c.

PRODUCTOS

SI n es un entero positivo y a , a2> __ ■ an sonnúmeros reales, al producto de estos númtros se le denota por el símbolo

nTT a. » a, x a, x a, x ... x a , .. . k 1 2 3 n (n factores )k » 1

y se lee " il pwducXo de ios númeA.oi a dude k = 1 huta k = n " .

Por ejemplo,6

1) Si ak - k2 , TT k2 - (12)(22)(32)(42) - 576k - 1

2) Si i es la unidad imaginaria ( ¿ » / -1 ) ,7r -k ,-li , -2, »-3. / -4» . -5. < -6. ,-7, . i*2»3al»5»6<7

■tTT -¿k = Ul)U2)Ui)Ull)[¿5)^yU1) = ¿ 1»2*3. S*S*7 .k = l , 7

- U “)7 - l7 - 1 .

3) Si afc = c , c constante V k e N , entonces

6TT c = ai x a 2 x a 3 x a « x a 5 )(a6 = c x c x c x c x c x c

- c6 .

5.1 EJEMPLO. Hallaremos, en términos de n , una fó muía para el producto

T T - L * i - . J _ . J _ . . J_ . _ J _ _ L!t -! 3k 3l 32 33 3n 3n>l "" 32n

Cap. 10 Inducción MaC¿matcca 553

_ 3 1 + 2+3+ ... + 2n j _ l/(32rÉj|^1,/|j) _ 3 -n(2n + L)

5 2 EJEMPLO. El producto de los 5 primeros enteros positivos es5TT k ■ I x 2 x 3 x 4 x 5 = 120k = L

f5.3 DEFINICION DE FACTORIAL .- Al producto de los n prinieros enteros

positivos se le llama FACTORIAL DE n ,y se le simboliza por n! , n

TT k “ l x 2 x __ x n = n!k *= 1

(Factorial de 0 es igual a 1 )Por convención, se define D! » 1

EJEMPLOS.- 11 = 1 , 2! » 1 x 2 = 2, 3 1 = 1 x 2 x 3 * 6 ,4! « 1 x 2 x 3 x 4 = 24, 5 1 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 “ 120

5. «I PROPIEDAD DEL FACTORIAL. ,Sean m y n enteros, 0 í m < n ,

a) n! = m!(m + l)(m + 2) (n-l)(n) , a') (n + l)l * n!(n + l)

b) — = (m + l)(m + 2) ... (n-lMn)m!

EJEMPLO .- Empleando factoriales, reduciiemos la expresión:

1 x 3 x 5 x ... x (Zn - 3) x (2n - 1)

Multiplicando y dividiendo por los números pares que faltan en los intermedios:

I x 2 x 3 x 4 x 5 x ... x (2n-3) x (2n - 2) x {2n - 1) x (2n)

2 x 4 x 6 x ... x (2n-2) x (2n)

* (2n)l /[ 2°(1 x 2 x 3 x ... x (n-1) x (n) ] =n! 2n

NOTA .- Compruebe que, en general, (2n)l f 2(n!) ,excepto para n = 1 .

5.5 EJEMPLO. Si ak / 0 , para todo entero k i 0 , simplificar

554 / iCl du .i_ioti al Anitisii M<it itiCu Cap.IC

5.6 PROPIEDADES DE LOS PRODUCTOS

npara c constante1) TT c ■ cn

k = In n n

2) TT (akbk) - ( TT ak )( TT bk )k = l n ak

«) TT ( t > - ( TT ak)/( TT bk)k = l k k = 1 k = L

6) TT (ak)' = ( TT a. )* .

3) TT (cak) = cn ( TT ak ) k = i k = i

5) TT ( f ) = l/t TT \ )

k * l k - L

PROPIEDADES TELESCOPICAS .

TT (-k+1) -k * m k

an + l am

Y en particular, para m * ]

TT ( aakn ) ■ k = l ak

an*lal

n m n1=II¿t03

1= ak )( TT a

*■ II O II o k = m+1

k=l “kn n

7) TT ak = TT an.k-1 k = 1

k - 1

PROPIEDAD k H CONMUTATIVA

0 £ m < n (PROPIEDAD ASOCIATIVA)

10) PROPIEDAD DE TRASLACIONn n< h n-h n-l n*l

nJX P ak-h TT ak+h TT ak+1 = TT ak-ik = 1 k = l + h k = l-h k = 0 k = 2

n n nADVERTENCIA : TT (ak ♦ bk) / í TT ak ) ♦ ( T T b k ) . V n / 1

k = 1 k = 1 k = 1

5.7 EJEMPLO. Expresar en términos de factoriales:

a) TT (k2) = ( TT k ) ■ ( ni)k = 1 k = l

.. Prop. [5.6](6)

Cap.10 Inducción Matemática 5 5 5

n n nb) TT (k2 *2k) - [ TT k ] [ TT U*2) ] . de k2*2lK= k(k*2), y

k=l k = l k = l la propiedad [5.6](2)

= [ n ! ] [ 3 x 4 x 5 x ... x (n «• 1) x (n + 2) ] x''1 x 2

n!(n * 2)* \

15.8 EJEm.0. S1 lililí . s . ¡ í i l H H , „

n! (n ♦ 11)!

SOLUCION. Equivalentemente,

n! (n ♦ l)(n ♦ 2) , (n * 11)! (ñ + 12) , ,w .............. .-----— --— — = 5 ♦ ---------------------------------------------- = > (n + 1 )(n + 2) = 5 + (n + 12)

n! (n ♦ 11)!

0 = n2 ♦ 2n - 15 * (n ♦ 5)(r - 3) n * 3

5.9 EJEMPLO. Desarrollaremos el producto3T T (a -k2) > (a-l2)(a-22)(a-32) = (a - l)(a - 4)(a - 9)

k = 1 - (a2 - 5a ♦ 4)(a - 9) - a3 - 14a2 ♦ 49a - 36 .

5.10 PROBLEMA. Hallar la cifra u de las unidades del número

M * 1! ♦ 2! ♦ 3! + ... ♦ 49! + 50! .

SOLUCION. 1! = 1 , 2! - 2 . 3! = 6 , 4! - 24 , 5! - 120

Esto indica que también 6! , 7! , __ , 49! y 50! son máltípcoi de 10 , demodo que la suma (5! +6! +7! ♦ ... ♦ 50! ) también lo será.Por lo tanto, la cifra de las unidades de la suma M es justamente la cifra delas unidades de la suma de los 4 primeros factorlales:

1! ♦ 2! + 3! «- 4! = (1 ♦ 2 ♦ 6 ♦ 24) = 33tu . Es decir, u =• 3 .

5.11 EJERCICIO. Hallar el número du , formado por la cifra d de las decenas y la cifra u de las unidades del número

M = (l!)2 + (2!)2 + (3!)2 + ... + (58! )2 .

RPTA: dü = 17 .

5.12 PROBLEMA. Probar que, V n c N : [ (n + 1)/ n ]n < 1 + n.

5 5 6 Intioducctón al Attáf-iiii Mate/nàttco C a p . I C

SOLUCION. (Inducción Matemática)

a) Para n » 1 : primer miembro » Z , secundo miembro = 2 =

b) Asumiendo que, para n , es válida: (-— -) < 1 + n~ n

verificaremos que ( — — ) 1 £ l + (n + l) en efecto,n * 1

Z < 2(VERIFICADO)

.. (*)

«tí n ♦ 1

(*)

“ ( !r i >n -(J L 7>n - < !!7 7 > n - — n n*l n + 1 n + 1

< (1 + n).[5í!lilijn .(nl?) = [ -(2---Z-n)- i"* • (n » 2)(n + 1) n + 1 (n + 2n) + 1

< 1 -(n + 2) * 1 + (n ♦ 1) verific.

De (a) y (b) y el principio de Inducción Mat. concluye la prueba, V n £ N .

5.13 EJERCICIO. Encontrar fórmulas para

a) TT (1k * l

So l u c i ó n .

a) TT ( — )k « l k + 1

11 »

TT (r1 -) k-i ktí

k + l) ,

2n+ 1

b) TT (i - i ) k-2 *2

n+11

n+1para k .

2n+l ,b, IT

k-2 k2

y utilizando la Propiedad Telescópica [5.6](8) .

2n+l .. 2n+lC TT ][ TT ílLf11 ]k-2 k = 2

V A CADA PRODUCTO LE APLICAMOS UNA PROPIE OAD TELESCOPICA:

- r (2 ' i r t2" * 1) * 1 i 1 (Zn + l) 1 2 J

n + 1 2n + 1

5.11 EJERCICIO. Para n entero í 0 , simplificar el producto

P* (l + a)(l + a2)(l + a4)( ... )(1 + a2" )

i) Si a = 1 : P =So l u c i ó n .

>n + lPUES P TIENE n+1 FACTORES

Cap.10 Inducción Mate/mltica

- TTk + l Jn + 1

k = 0 k

donde hemos definido = 1 - ak V.*l

= ~ V i - 1 - 4 = 1 - a

y luego, hemos aplicado la Propiedad Telescópica [5.6](8).

5.15 EJERCICIO. Simplificar la suma S * £ k!(ak) , a constantek = l

SOLUCIÓN. Hagamos b * k!a .. (*) . Entonces

bk+i - bk = (k ♦ 1) I a - k! a = k!a[(k+l)-l] ■> k!(ka) ==>

S * Z ( b k+1- b k) = (bn + 1 - bA) - (nM)!a - (0M)!ak = 1 t

P.TELE5C0P.

(*)II

■ [ (n+ 1)! - 1 ] a

5.16 EJERCICIO. Para n entero i 0 , deducir la fórmula

TT eos (2ka) k * 0

sen(2n + 1 a)

2n + 1sen a

So l u c i ó n .De: sen(2k+la) * sen(2-2ka) * 2 sen (2ka) eos(2ka ) ,

n n ,„k+l , n KTT \ TT r 1 sen (2 d) , 1 , -r-r k+1 .TT eos (2 a) = TT C ----- r- 1 * — ( TT — ) *k-0 k = 0 sen(2 a) 2 k = 0 k

k k + lpuíi hay (n ♦ 1) (¡a.cton.z¿ , e kicimoi bt = sen(2 a) = • bfc+1 » sen (2 a)

2nn b0sen(2n+la)

2n*L(sen a) L.q.q.d.

5.17 EJERCICIO. Para h e Z* , hallar una fórmula para el producto Pli

TT [ 4 eos2 ( 3k l a ) - 1 ]k * l

SOLUCIÓN. De. sen3A * 4 sen A eos2 A - sen A = sen A (4 eos2 A - 1)

sen 3A 2 k----- = 4eos (A) - 1 . Sea bj. = sen (3 a) , entoncessen A

558 Introducción aX. Ani ti ia¡ Matemático Cap.10


1. Calcular: . 14!a) --

12 !

2. Simplificar:

a)

e)

(n - 1)!

(n ♦ 3)! (n ♦ 1)1

b)

f)

«Si-

(n ♦ 1)!

c)10!

d) 15!

n!

(r ♦ 1)! (r- 1)!

d)

10! 5!

( n ♦ 2) !

9)

3. Hallar n en la ecuación: (n * 5)! (n + 3) !

2! 3! 5!

(n- 1)!(n + 1 )! " (n - 1)!

(n - ■ 1) !(n - r - 1)!

* 3n = 2 [ ](n*l)!

4. Expresar fT k(k + 4) , en términos de factoriales.k = X

5. Hallar n en la ecuación: [(n + 1)! - 20 ]! * 700!

6. Hallar la cifra D de las decenas del numeroM - 1! + 2! + 3! + ... + 49! + 50!

SUG: Calcule 5! , 6! . 7! , 8! , 9! y 10! , ¿qué observa ?

7. ¿ Cuáles afirmaciones son verdaderas ? :

a) TT kc ■ n! cn k = 1

b) TT (2M k * 1

3840

c) TT va - k) k* l

a4 - 10a3 ♦ 35a2 - 50a + 24

8. Probar, por inducción, que n! > 2 , V entero n > 4

9. Probar, por inducción, que (n! )2 £ nn , V entero n > 1

SUG: Aplicar el resultado del EJERCICIO [5.12] resuelto.

10. Para n entero i 2 , deducir la fórmula: nTT (i i

)

11. Deducir la fórmula:nTí (ik = L

k = 2n * 12n

i'k C ( n + 1) ]/n! , V n e N .

C a p . 1 0 I n d u c c i ó n MafiínúCtca 559

n k12. Simplificar TT [l + sec(2 a)] . SUG: l + sec 2A » tan2A/tanA

k -1n

13. Probar, por inducción, que V n e l* : sen 8 = 2n sen ( — ) JJ eos2,1 K M 2

OL 1 |14. Por inducción, probar que: TT . < ___ 1___ V r\ z H .

k = 1 2k /3n + 1

SUG: Si * > 0 , demostrar que / 3< + 4 (2t + 1) < / 3« + 1 (2* ♦ 2)

15. Si a, , a2 , --- . an , an + 1 son todos positivos, ó si son todos negativos y mayores que -1 , probar por inducción matemática, que V n e N :

n nTT (1 + ak ) > 1 * ( £ ak )k - 1 k = 1

SU6. De las datos se sigue que: (an+l^ak * ® v k * 1. 2, .. , n

Clave de Re s puestas

1. a) 182 b) 1/990 c) 2520 d) 30032. a) n b) (n + 1) c) l/[n(n + l)] d) n(n + l)(n + 2)

e) (n + 2)(n + 3) f) r(r+l) g) (n-r)(n-r + l) ; (3). n = 4

4. n! (n + 4)!/4! , (5). n * 56. Como 5! = 120, 6! = 720, 7! = .. 40 , B! » .. 20 , 9! => .. 80 ,

, entonces la cifra de las decenas de M se obtiene de las dos últimas cifras del número cuya suma es

1! + 2! + 3! + 4! + 5! + 6! + 7! + 8! + 9! *1 * 2 + 6 + 2 4 + 120 +720 + 5040 + 40320 + 362880 = (33) + ( ..80)

* ( .. 13) . Por lo tanto, D * 1 . (7). Todas

n . n . , n n kTT # k + 1 ,k -pj- (k + 1) , -yr 1 \ r tt (k+ 1) t - ^I I ( ) ■ II ----¡r- - ( I I r ) [ T I - ■ . ] <• PORQUE ?k-1 k k = 1 k* k = l k k M k

« . . . . k-l i l t t ak + l 1 an + l 1 (n+1)(y haciendo a. = k ) = — . ---- = -------- = ----------k n! k'J1 ak n! at n! i°

k * i12. Sea bk = tan (2 a) => bk_j * tan (2 a) , y por la sugerencia :

TT [ 1 + sec (2ka) ] = J J -“ n-(2 * *-1 - - TT ^

10! = .. 800

11.

k = 1 k = l tan (2k‘l a) k = 1 bk-l

tan (2n a)

tan a

560 Inttfducciôn at Anídi^s Ma (¿mí tic u Cap.I0

NflMEROS COMBINATORIOS (ó COEFICIENTES BINOMIALES)

6.1 De f i n i c i ó n . Si n y k son número? enteros, 0 í k < n , se llama

COEFICIENTE BINOMIAL al símbolo ( ) que represen

ta un rúmeAu entelo pv¿ct<-VO cuyo valor es

y que se lee " poAínte¿-¿4 n ¿cb'te k “ .

A los números n y k se les denomina INDICE SUPERIOR e INDICE INFERIOR, respectivamente, del coeficiente binomial arriba indicado.

6.2 No t a . Dado un conjunto A de n elementos, el número ( ) represen

ta el número de combinaciones (subconjuntos) de k elementos del conjunto A , razón pur la cual a estos coeficientes binomia les también se les llama NUMEROS COMBINATORIOS.

6.3

a)

b)

c)

d)

e)

O

g)

EJEMPLOS. Empinando la definición [6.1] :

6 !

100

2 ) -

) =

4!(6 - 4)!

7i3!(7 - 3)!

100!

2!(100 - 2)!

0!

) ■

) =

0!(0 - 0)!

5!0!(5 - 0)!

5!51(5 - 5)!

9?1! (9 - 1)!

6! _ 41 x 5 x 64! 2! 4! x 1 x 2

7! 4! x 5 x 6 x 7-------- * — — -----

3! 4! 4! x 1 x 2 x 3

98! x 99 x 100

15

98! x 1 x 2

0! 1

35

4950

0! 0!

5!0! 5!

5!5! 0!

8! x 9 1! 8 !

1 x 1

1 .

1 pues

pues

5!1! 4!

0! = 1

4! 5 1! 4!

= 5

1! 1

i

Cap.10 InduCLxjn Ma.temli.tca 561

6.4 FORMULAS PARTICULARES

n _ n! ^ni

ni

a) („)O! (n - 0) !

pues O! = 1

b) („)

O ( ¡ )

d> <n-l> -

n!n! (n - n)! n! 0!

n! (n - 1)! x n--------- * ----- — - - nU (n - 1 )! 1 ! (n - 1)!

n! (n- 1)! x n(n - 1) ! [n - (n - 1) ] ! (n - 1) i x 1!

. . n n:e) l „ ) * --------

2 2! (n - 2)!

f) (") - — - —3 3! (n - 3) I

(n- 2) ! x (n - 1) x n (n - l)(n)(n - 2)! x 1 x 2 2 2

(n-3)! x (n-2) x (n-1) x n (n - l)(n - 2)(n)(n - 3)! x 1 x 2 x 3

m

6.5 PROPIEDADES DE LOS COEFICIENTES BINOMIALES

PROPIEDAD (I) :(„".i n - K

Poí coe.(iciíntiL¿ binomialíA con «X ñamo india ¿upz-

Kytjx, tutu que. La tuma de. loi indica in&gju.oi

iguaU. oí índice, iupeiion, ¿on iguaxa.

En efecto.n!

n-k (n - k) ! [ n - (n-k)]! (n-k)! k!

Por ejemplo, se puede verificar que

562 (ittfoducciÓH <it Anái .t'ii» Matemático Cap.10

A los números ( " ) y ( n, ) se les 11 <nn<j NUMEROS COMBINATORIOS COHPLEMEN- k n - kTARIOS.

Algunas consecuencias de la propiedad (I) son:

(Znn"1) ■ t2"*!1 ) • P“« (n) + (n -1) 2n - 1

PROPIEDAD (II) :

La ¿urna de do i cotL^ídentei birwnailei con igual índice ¿upeAcat y

con índica inífiio>iti con¿ecutivo¿, a igual a o Vio coe(|cccente bi

nomíCLÍ cuyo índice iupeAiOl e¿ el intU.ce ¿upuAÍoi común de lo¿ ¿a -

mxndoi aumentado en una unidad, y cuyo índice ingenian. e¿ ti mayon.

de l a do i incUrei in(e*io/ie¿ de tos ¿umandoi. Veamor:

k! (n - k)! (k ♦ 1)! [ n - (k • + 1) ]!

, 1 1 , n! (n + 1)[ --- + --- ] =

k! (n - k - 1)! n-k k + 1 k! (r - k -1)! (k + l)(n-k)

(n + 1)! (n + 1)! ( n + l }(k + 1)! [ n - k ]! (k + 1)! [ (n+ 1) - (k + 1) ] ! k + 1

Por ejemplo,

„ ( 15) + ( 15) - _ « L + JSL . _ S5L C ± 5 I ]4 S 4' 11! 5! 10! 4! 10! 11 5

1.5i j. 16 = 16! _ j 16 j4! 10! 5 x 11 5! 11! 5

6.6 EJERCICIO. Si n e l* , deducir la fórmula ( ) = 2 ( } )n n - 1

SOLUCION. ^2f) (2n)j (2n - 1)! (2n) ? (2n - 1)!

n! n! n!(n-l)!n! (n - 1)! n!

í. - __________ „ * " 1 ,(n- 1)' [(?n- 1) - (n-1)]! n - 1

Cap, 10 Inducción Ma£¿Wtt¿ca 563

6.7 EJERCICIO. Hallar n . si (n'2 ) + (n¿3 ) * (n¿4 ) - 31.

Solución.La ecuación se transforma en forma equivalente en:

(n-3)(n-2) + (n - 4) (n - 3) + (n-5)(n-4) * 62 .. ¿porqué?

Desarrollando y factorizando: 3(n-8)(n + l) * 0 ==> n = 8 .

6 . 8 EJERCICIO. Encontrar el valor de n si (!|) es igual al 16.66 .. %

, n + 2 , de ( 4 ) .

SOLUCIÓN. Convirtiendo en fracción 16.666 ... * 50/3 . Luego,

(n ) . 50 ( n 2 ) « I ( n * ? ) = * 6 (n!) (n ♦ 2)!3 x 100 4 6 4 2! (n - 2)! 4! (n - 2)!

= ■ 0 « n2 ♦ 3n - 70 » (n + 10)(n - 7) = » n ■ 7 .

6.9 EJERCICIO. Resolver la ecuación 21 ( " ) * 10 ( )

SOLUCIÓN. n enter0 > 5 _ 0e la ecuación dada:

21 -....ü'.— . 10 n! 21 1 10 13! (n - 3)! 5! (n- 5)! 6 (n-3)! 120 (n- 5)i

(n-3)! (n-5)! (n-4)(n-3) , „w „==> 42 ■ ------ ■ ---------------- - (n - 4){n - 3)

(n - 5)¡ (n - 5)!

= > 0 - nZ -7n-30 • (n - 10)(n + 3) = > n - 10 .

6.10 EJERCICIO. Hallar una fórmula para la sumaf". , n, , n + 1, . n + 2. , 2 n ,

S - (0 ) M , l M 2 jfc ( 3 ) * - * < n + 1 ) •

SOLULiON. Empleando la notación Slgma:

c — / \ t n | n ♦ k0 ^ k + 1 donde hacemos B = .

k = ° k = 0 k 1y como

B = I] [ - (n*k ) ] •• por la PROPIEDAD (II) .k - 0

definimos b^ ■ { n k ) , entonces bk + 1 » ” k ♦ 1 ’ y por 'a Pr°P'eddd

564 IntAu iacci.cn ut Matemàtici* Cap.10

TELESCOPICA;

nB e [ « w v ■ - *n: : ; v i V )

k = 0

s - < ¡ ¡ ) * B - <¡ ¡ ) C (2n * 1 ) - ( " ) JL 1 n + 1 * 10 J2n+l

1 n + 1 ’

Por

6.11 EJERCICIO. Sean k , n enteros, 0 i k < n Deducir la,k. ,k + l, ,k + 2. ,n - 2 . ,n-l. ,n,(k ) M k p < k )+ +{ k ) + ( k ) + (k> ’

So l u c i ó n .

s- <;>• ¿ i[) ■ ([). ¿ c ( [ í a -r = k + l r = k-M

ar + l " a ry por la propie4ad Telescópica:

, k . r - , k . r . n + 1 , , k + 1 . , , n + 1k + n + 1 ~ ak + 1 ” k + k + 1 ~ k + 1 ' k + 1 *


1 Calcular fl) (7 )t k , 0. 1. ...7 b) (® ) . k = O, 1.

c) ( 1°° ) . k = O, 1, 2, 3. 97, 98, 99 y 100 k

2. Demostrar las siguientes fórmulas

a) (") ■ ( "k > k n - k b)

c) (s ) * (k* 1) = ( '1 : k k - 1 k + 1 1 - 1

d) k(k ) > n(k l ) , 1 < k < n

e) n ( n x k+1 k+1 k '

k < n

f) (") + 2(") ■ n2 g) "<k> ■ <k"+l>

3. Resolver el sistema de ecuaciones siguiente

lo tanto.

fórmula:

Prop.(Il)

Cap.10 Inducción Matemítica 565

4. Sean a y b dos números positivos tales que a + b = 3 y

( ) a3b2 M 3 ) a2b3 = 120. Calcular a2 + b2

5. Si (36) = ( 36 ) , calcular (*) M ? ) .a a ♦ £\j d o

6. Resolver las ecuaciones

.) « ¡ I ■ 2(3) - t^) M (Jl- §<*)

o s(!;i - u m 2; ;’) d> 1«) ■

7. Resolver las ecuaciones

a) 30(J) ♦ 2*(") - 21 3 ) * 6<X2 J

b) [ 30 ( * ) = 2(x)(x - l)(x - 2)

c) (X ) + l0; (J) ♦ (g ) * ( 3 ) = i(x)(x2+ 6)

d) 18f*) ♦ 24(3) = , x . , x - 1 , . x - 2 . 125x e) ( z ) ♦ ( 2 ) ♦( 2 )

8. Resolver los sistemas , , ,•> ‘y .i> - • <;> - 153

•>> = í " 1 ) = £ . ; > ■ 5 : 5 : 3

a b eNOTA: a : b : c = m : n : p <==& - = — = -m n p

9. Hallar n , si se sabe que n n « n( J) ♦ 14(") ♦ 36(3) ♦ Z4( J) = 256

<n » (n - 1)1 (m ♦ 1)! ,_,m. , , 2 210. Si ( ) = --- — , --- — = 12 ( ) , calcular m ♦ n3 (n - 3)' (m- 2)! 254 54

11. Si ( 2 ) = ( jx ) ■ hallar la suma S de los posibles valores de

n! 3(n!) n!12. Hallar n si : ------ + ------ + ------ = 125

(n- 3)! (n - 2)! (n- 1)!

13. Si ( 18 » = ( 18 ) . calcular (") ♦ (") .m - 1 m ♦ 3 o /

14. Resolver: - + v>a) { ) = x - 1 b) 5( ) - ( ) = 0

4 3 4

136

K .

I»jtU’iiuCCC¿H Andiléli Mixtfináticv C ¿ p . Itf

v - I x - 1 X - 1 XO ( 7 ) - ( 5 l) - 0 d) ( z l ) *(*) - 16

n15. Hd 1 lar el valor de Id suma E = ( ) ♦ 5"" ( 00 k + 1k = 0

16. Por inducción, probar que £ ( ) " í0«*) • v encero n i 0 .

17. Deducir las fórmulas:

n

>) 5Z = í"^2) . V entero n > 1

, k + 1 , . k + Z , . k * 1 . . „SUG: ( ) - ( 3 )-( 3 ) . k i 2 . Y LA PR0PI EDAD TELESCOPICA .

nb) • v entero n > 0

k = 0

|( 1 4 k + 5 |( t cSUG: ( ) * ( , ) - ( , ) , k i 1 , Y LA PROPIEDAD TELESCOPICA.4 5 5

18. Hallar una fórmula simple para S - ( J* ) ♦ ]T] ( J* )j = O *'U *

SUG: Hacer flj - í , ^ ) ^ ) - [ .j n - ] -

19. Hallar una fórmula para

. n - 10 . , n - 10 . ,n-9. , n - 8 . ,n- 1 . . n .S = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + __ + ( ) + ( )'k-ll' lk-10' k - 9 k - 8 lk-l; k

SUG: s = «k-n» + . ^ ‘k-io + j ’ ; def,n,r bj = (k-:i*j >

Clave de Res puestas

1. a) 1, 7, 21, 35, 35, Zl, 7 y 1 respect’/.b) 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9 y 1 respectiv.c) 1, 100, 495, 161700, 161700, 495, 100 y 1 respectiv.

3. m = 9, n = ZO ; (4). a2b^(j + b) = 12 =>■ ab = Z y a + b = 3 ,de donde (a, b) = (2, 1), (1, Z) . En ambos casos a2 + b2 - 5 .

5. 84, pues a = a + 20 v a = 36 - (a + ZO) impl ica que a * 8 .6. 0 f x2 - 9x + ZO = (x - 4)(x - 5) , de donde x = 4 . x = 5 : Rpt (a) .

b) x = 14, c) x = 5, ( x = 0 se descarta), d) x = 19 .7. a) 0 = x5 - 5x2 - 8x + 40 = (< - 5)(x'" - 8) de donde x = 5 .

Cap.IO Inducción Mat«ynáCiea 5 6 7

7. b) x = 6, c) l + x + -jx(x-l)+7x(x-l)(x-2)=j(»:3 + 6x) =» x = 6— 6 o

d) (4x + 21)(x-6) = 0 implica que x * 6 .e) 3(x + 8)(x-ll)=0 implica que x * 11 .

8. a) x = 18 , y = 8 ; b) x = 6 , y ■ 3 . (9). n = 410. n = 6, m = 5 , m2 + n2 = 61 . (11). S = 0 + 3 + 6 = 912. (n - 2)(n - 1) n + 3(n-l)n + n = 125 = ■ n = 5 .13. 36 , pues m = 8 .14. a) x = 4 , b) x = 3, x = 14 , c) x = 13 . d) x = 515. Ver el EJERCICIO [6.10] resuelto.18. _ , n - 2 , r , . n + 10 ,

k - 12 + 1 2 ~ a0 = al2 * k ^

19. . , n - 10 . r . . t , n + 1.s = (k-ll} * ii * boJ ■ bu ■ < k 1 *

? A V

7. EL TEOREMA DEL BINOMIO DE NEWTON

De nuestros conocimientos escolares sabemos que las primeras potencias enteras del binomio (a + b) tienen los siguientes desarrollos:

(a * b)° ■ 1

(a ♦ b)1 = a + b(a + b)2 = a2 + 2ab + b2(a + b)3 =

3 2 a + 3a b + 3ab2 + b3(a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3 b2 + 2 3 U ' 10a b ♦ 5ab ♦ b'

Observamos que en el desarrollo de cada potencia (a ♦ b)n :

1. Eliiten (n + 1) tíAjru.mo (ilxuna.dci también SUMANDOS).

2. Et pJtùntA ¿¿Amino e¿ an y ei último e¿ bn .3. Coníonjne van apareciendo loí t&vn¿no&, toi euponentei de a tan diiminu-

yendo de 1 en 1 , mientrai que toi exponentei de b van incrementando

¿e de 1 en 1 .

4. En cada tvArru.no ( samando), la. urna de toi e*.ponente¿ de a y b ei /ixi-

tamen te n .5. Loi coefi-Lcie/iteA de loi tétmiiwi etj’udcitantei de lo i en-tiemoi ion igaa. -

le.i.

Podemos encontrar una LEY DE FORMACION para los coeficientes, muj

568 Introducción ai Arult' 4 có MaLtmá-tcCO Cap.I0

tiplicando sucesi»ámente cada potencia (a + b)n por (a + b) ; asi obtenemos la suma de dos productos parciales, demanera que los nuevos coeficientes van apa ciendo como sigue:

POTENCIAS tOEFIClENTES

(a + b)° =

(a + b)1 = 11 1

(a + b)2 = 2 11 2 1

(a + b)3 = 3 3 11 3 3 1

(a + b)4 - 4 6 4 1- 1 4 6 4 1

(a + b)5 - 5 10 10 5 1

Analizando este cuadro, vemos que los coeficientes de cada término se pueden determinar muy fácilmente mediante la siguiente distribución llagada TRIANGULO DE PASCAL , 6 también TRIANGULO OE TARTAGLIA.

n = 0 n ■ 1 n - 2 n = 3 n = 4 n ■ 5 n * 6

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

" En cada KznglSn, zl füiAjntA y zl dítono coz¿ldzntz íi 1 . Cada uno de to6 otAo6 coz&icizntzb ¿e obtiznz como KzAullado de SUMAR I o a doi nú -

meAoi quz 4e encuení'uin a cada lado dz íitz, peAo zn zl fLZngiin Inmzdla

lo AupeAlon..

Por ejemplo, tomemos los renglones correspondientes a las potencias:

Cap.IO Binomi} di. Neicton 569

Por otra parte, también podemos comprobar que estos coeficientes pueden ser re - presentados mediante la notación de los NUMEROS COMBINATORIOS. Por ejemplo.

los coeficientes del binomio (a ♦ b)n . para n * 4 , que son

1 4 6 4 1

se pueden escribir como:4 4 (j) <;> * 1 ' *:»

Luego, en términos de los números combinatorios, el TRIANGULO DE I ASCAL toma la forma

n = ü: .. (¡¡)

" “ i: " (¡»2 2 2

n - í : - (J) ( f » (j)

n = 3: (J) (J) (J) (j)

(J) l¡>

" ■ 5 : (J¡> l[) (*> (3 ) (J) (5)

Note que los coeficientes de cada renglón se obtienen del renglón mmedia to superior, y recordando que

,n . ,n, . n . , n . . n ♦ 1 .(0> = (n J " 1 • (k-l> * ( k> ’ < k 5

Pon. ata /tazón a que a tai númeAoi combinaXoiioi de la (¡olma ( ” ) 6e

líi denomina COEFICIENTES B1NOMICOS.

7.1 TEOREMA (BINOMIO DE NEWTON) Si n es un entero i 1 :

(a ♦ b)n E” , n n-k k( ) a bk = 0

(*)

s/o I n t A u d u . c c j . ó n a t Amuoii .Ua. temático Cap 10

PRUCBA. Por inducción matemática,

a) Para n = 1 : primer miTmbro : (a + b)1 = a + b

, 1. 1-0 O , 1, 1-1,1secundo miembro : 'o b + (^) a b = a + b

(VERIFICADO)

b) Tomando como HIPOTESIS DE INJUCCDN la fórmula (*) para ji entero fijo,probaremos que n + •

, + l v* <n + 1\ (n + l)-k k .(a ♦ b) = £ ( k ) a b .. (**)k = O

(a ♦ b)n 1 = (a + b)(a + b)n » (a + b) - (u)3" * b*k = 0

r s ,n. (n+l)-k k , r ^ ,n n-k k + 1 ,‘ t (k )a b ] + [ ¿J ( )a b ]k = O K = O

V 1 i n ,Cn + l)-k k "A1 . n n-(k-l) k’ E (k ,a b * £ (k-l,a bk = O k = l

n,n, n + l „ n. . n . , (n*l)-k k ,n.Ln*l■ <0 >a * Z t <k > ♦ (k_i) ] a b ♦ <„>»

k = 1

,n + l, n + l JL /ntl> (n + l)-k.k . n + l . .n + l" o £ ( k )a b * n + lk = 1

n+l

Z, n + l. (n + l)-k k( )a b .. VERIFICADO (**)k = O

De (a) y (b) , concluimos que (*) es válida V n e N , por el Principio de Inducción Matemática.

7.2 EJEMPlD. Hallar el desarrollo de (2 + c2)

Solución. n = 4 , a » 2 , b

4

2

(2 + c2)" = E (¡)Z4'k (cz)k = (J)24(c )° + (J)23(c2)2 + ( J)a2(c2)2k = O * u 1 í

4 > " 1 ' 2<3 . , 4 O 2 4+ ( 3 ) 2 ‘ (c + ( ¡ ) 2 u (c '!)

16 + 32c2 + 24c* + 8c6 + c8 .

7.3 EJEMPLO. Calcular (102) desarrollando (102 + 2)

Cap.10 B i n o m i o de N e u i t c n 5 7 1

So l u c i ó n . a = io2 . b = 2 . n = 5 :

(102 ♦ 2)5 = ( Q ) (102)52° ♦ ( *){102) V ♦ ( 2 ) (102)322 M j H l O ^ V ♦

♦ ( Jítiofy6 ♦ ( j )25

= 1(IO10) ♦ 10(108) + 40(106) ♦ 80(IO4) ♦ 80ilO2) + 32 (fi)

= 11040808032 [ escribiendo directamente de (¿) ]

7.4 CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL BINOMIO

De [7 . 1 ] , para n entero positivo

(a + b)n =n

E k = 0

. n . n ( k ) a - k bk ( *)

Haciendo a = b = 1 : h ( " > ■ k = 0

==> ( n ) + l o ' ' I ' * ( " )2

# n » i d , 3 + 4

. . . * (;> .

Haciendo a * 1. b = -1 = S (k )(- k * 0

D k = 0

(") - vo ' ♦ ( n ) i 2 i ... * ( - 1 ) " ( " )

n L L n I. i.. f . n . n v n - k k ^—» . n . n — k k . , n3) (a + b) - ( ) a b - ¿J ( > b a - (b + a)

k = O k = O

Si la suma de los coeficientes del desarrollo del binomio2 16(x ♦ x ) es ocho veces la suma de los coeficientes del

desarrollo de (x3 + x5)n 1 , hallar el valor de n .

16r / ^ 2 i 16 V I 16 \ 1 6 - k , 2,k .En (x + x) - 2_i l i, ) * ■ 'a suma de

k = O

16

sus coeficientes es £ ( ) = 2 .. por [7.4](1)k = O

Asimismo, la suma de los coeficientes en el desarrollo de (x3 + x5)n 1 =

7.5 EJERCICIO.

So l u c i ó n .

572 Introducción al An.itta ¿6 Matemático Cap.10

E (n:I)(x3)(n'1)'k (*5)k es Z ("-1) - 2n-1k = 0 k = O

Por condición del problema:

216 = 8(2n~1 ) = 2^*n = 2n + 2 ==& 16 ■ n ♦ 2 =» n = 14

7 6 EJERCICIO. Sea n un entero positivo. Demostrar que

I) Si n es PAR :

n/2i t n i i n . * n . * * «n-1 * i i n .a) (0) M Z)+ 4)+ ... ♦ („) - 2 - E (2J)

J = 0

b) (n) (n) + (n) + ... + ( " ) = 2n_1 = y ( "1 )i \1 I 3 *5 ' n-1 .*-* 2j — I

n/2

f2j-

II) Si n es IMPAR :

j * l

(n-l)/2

a) ( " ) M " ) M " ) + ♦ ( „ V ■ 2"-1 ■ E ^j>j = 0

(n+L)/2b) (") + (3) + (5 ) + ... + (") ■ 2 - ¿ (2 _t)

So l u c i ó n .

Sumando (o) y (6) en [7.4] : 2 [(") + (^ ) + (^ ) + ••• ] = 2°

y dividiendo entre 2 obtenemos [l](a) y [llj(a) .

Restando (a)-(b) en [7.4]: 2[( ) + ( 3 ) + ( 5 ) + ] = 2 ,

y Dividiendo entre 2 obtenemos [I](b) y [11](b) .

7.7 TERMINO 6 ENERAL DEL DESARROLLO DE (a + b)n

Como existen (n + 1) términos en el desarrollo de/ .n t—1 , n. n-k k . n. n •n. n~l l .n. n—2 2(a + b) = 2J ( J a b * (0 )a b + (? )a b + •••

k = 0.n . n-k k /n..n..♦(.) a b + ... + bk n

si denotamos por T + al término de lugar (k + 1) , entonces tenemos que

Cap. 10 Binomio de. NiucCon 573

£1 1er. término es Tt = ( ) an . para k * 0

El 2do. término es T2 - ( ") a" 1 b* , para k » 1

El 3er. término es Tj * (^ ) a° 2 b2 , para k » 2

. . . ■, # n , n-(k-l) k-1El k-eSTino termino : I. ■ ( )i bK K — 1

Definimos como el TERMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE (a + b)" al(k + l)-és7mo término, [el que ocupa el lugar (k + 1) ] :

TERMINO GENERAL

7.8 EJERCICIO. Hallar el coeficiente de x21 en (2x4 - x)9 .

Solución. TERMlN0 GENERAL: (® )(2x*)9-k(-x)k = (¡J)29"k(-i)k x36‘3k

CONDICION: 36 - 3k * 21 , de donde resulta k 3 5 . Luego, el coeficien

te correspondiente es q q k i q ¿ i(JíZ C-l) = (5)2 (-1) * -2016

7.9 EJERCICIO. Hallar el coeficiente del término independiente de x en el

desarrollo de (x2n - — ) n , para n = 4 . tn

SOLUCIÓN. . .4 12El término general de lx - x ) es :

C0N0ICI0N: 96 - 12k = 0 de donde obtenemos k = 8 .Por lo tanto, el coeficiente pedido es ,12,. .8

( „ )(-l) ■ 495O

2x 77.10 EJERCICIO. Si mxr , nxy* son dos términos de (— j- - --- ) ,

hallar m , n , r y i .y1

SOLUCION. TERMINO GENERAL : ( * ) (2x3ÿ‘ 2 )7~k ( - 3 y V l )k

574 Introducción al Anál¿&.¿s Matemático Cap.10

- (;)27-k(-^)k*21-4S l4 + 7k

Se tiene mxr cuando el exponente de i/~*4 + 7k es 0 : -14 + 7k = 0

=• k * 2 ; su término corresp. es ( ) 25(-3)2 x13 * 6048x13

=> m - 6048 , r = 13Se tiene nxt/4 cuando el exponente de x21~4k es 1 21 - 4k = 1 =•

k ■ 5 ; su término corresp. es ( ) 22(-3)5xy - -20412 xij21

=• n - -20412 , 4 = 21 .

7.11 EJERCICIO. Encontrar la expresión A si el 6to. término del desarro

lio de ( -í- + A)10 es 252 x15y"25 .y 6

Solución. 10-5 5 s 10 5T6 ‘ (“ )(*¥ > * ■= 252 x y A

Por hipótesis: 252x5</‘30A5 = 252 x15i/‘25 => A5 « x10«/5

de donde resulta A =* x2y .

7.12 EJERCICIO. Al desarrollar (ax - 2y)m se obtiene como su 5to. térnnno 70xJi/4 , Calcular el valor de (4a + m) .

Solución. /m w 3 4T5 = (4 )(ax) (-Z</) = 10 x y =» m - 4 » 3 ,

;J)a3(-2)4 * 70 — -3

de donde a * 1/2 . Por lo tanto, (4a + m) « 9

de donde m = 7 . COEFICIENTES: ( ) a3(-2)4 * 70 => a3 = 1/8 ,

7.13 EJERCICIO. En el desarrollo de ( —r + — ) , encontrar el coe-y xJ

ficiente del término mxl~pt/1 + p .

SOLUCIÓN. g , . , k . , kTERMINO GENERAL: ( k ) (3x2t/-3) (2i/x3) -

, 6 . ,6-k,k ,I2-5k 7k-18= (k )3 2 * y

CONDICION. 1 - p = 12 - 5k „ „=> 2 = 2k - 6 => k > 4

1 + p = 7k - 18

COEFICIENTE m =■ (f)36'k 2k =■ ( 6 ) 3224 * 2160 .k 4

7.1U EJERCICIO. Hallar el término formado por potencias iguales de x y y

Cap.10 Binomio de Newion 575

, 3* y ,15en el desarrollo de ( — - — j )

y 3*

So l u c i ó n. termino genfral ( j(3x2«/_l )15 (- i i/2*'4)k =

* ( 1kV 3l5 k(-3 )k x30'6k i/3k‘15 . CONDICION: (30 - 6k) = (3k - 15)*=» k » 5

TERMNO BUSCADO: ( 15 )*310 (-^ )5 *°i/0 - - 729729 .

7 15 EJERCICIO. El 6to. término de ( - ?i/2)n es 33ax y- 7 , ci leular (a + n)2 .

SoluciónT6 ' (5 ><yl*'VW ) 5 - . (J )2»0-nxn-3¥n*3

CONDICION: n-5 » 7==> n * 12 . Por hipótesis, el coeficiente del

n + 5 ■ 17 — ----

6to. término es: -(j)2l°~n » - ( ) 2 * 33a ==> a * -6 .

Luego, (a + n)2 « 36 .

7.16 EJERCICIO. SI en el desarrollo de (2; * - 3x2)n , el wyor exponen •te de x es 24 , hallar el coeficiente del término que contiene a x . para un valor mlnlmn de ri .

So l u c i ó n. „ , n.k , kTERMINO GENERAL: (£) (2* ) (-3x2) .

cuyo exponente de x es: -3n + 3k + 2k * 5k - 3n , D 5 k * nPor simple inspección del binoaio dado, el mayor exponente de x se encootrcrSen el último término, es decir, en - , -

( )(-3x ) =* 2n - 24 =* n - 12 .

El coeficiente del término que contiene a x4 satisface 4 * 5k - 3n , esdecir, 4 « 5k - 36 =* k = 8 , y es Igual a: 12 j 22(-3)8

6

6 57.17 EJERCICIO. Calcular S- £ £ [ ( b ) - , k2j ] .

j-i k = i J 11So l u c i ó n . s *

■ b [ ¿ (j) - tí ¿ k2 ] • (d°nde ¿ k2 - -5x--6— ■ 55 >J-l k = 1 J 11 k*i k = i 6.

576 Int/ioduccÁSn ai Ahd t u i i Matemático Cap.10

6 f 6 fi 6S - E [ 5^ > - 5J ] - 5 £ ( !) - 5 Z J

j-l J j=l J j-1

- 5 [ 26 - ( R ] - 5 ( ^ ) - 210 .

7.18 EJERCICIO. En el desarrollo de ( "3 ' *2 )18 . los términos T7m + 2

y Tj,,, tienen coeficientes iguales. Calcular m .

Sol ución 18 _3,i8-(7mu)f 2.7m+i7m+ 2 > <“ * >

T - ( 18 w , - 3 ,1 8 -(2m-l) . ,2,2m-l 2m 2m-l J 1 J

Como los coeficientes deben ser iguales: ( 18 ) ( - l ) 7ln+l « ( 18 ' ) (—1)2m-17m+l 2m-l

t « \ • / % \ 1 Q Oy como (-1) - -1 - (-1) _ 7m . 2 _ n . 2 „(.)

Asi. -í,1®,) * *(,18, > =* [ 7m+l - 2m-l ] v [ 7m+l » ¿8-(Zm-l) ]7m+l 2m-l

=»• 5m ■ -2 (descartado, por (*)) v ( 9m » 18 ) => m ■ 2 .

7.19 EJERCICIO. Sea A la suma de los términos pares y B la suma de lostérminos impares en el desarrollo de (x + l ) n . Si n es

So l u c i ó n.

n— A + B - V

k> . "

y a - b - ¿ (")*n-k(-i)k+l - (-1) ¿ (")xn-k(-i)k - - (x - i)nk-0 k *0

Por lo tanto, AZ - B2 * (A - B)(A + B) « - (x - l)n (x + l)n • - (x2 - 1)° -

7.20 EJERCICIO. Hallar el coeficiente de x6 en (1 - 3x + 2x2)8 .

SOLUCIÓN. Como esta expresifin no corresponde a un binomio, para aplicar el TEOREMA DEL BINOMIO, deben.os agrupar dos cualesquiera de ellos, como sl gue :

2 2un entero positivo, hallar una ffirmula para A - B .

A - <;>xn-1 ♦ ( 3 Jx11"3 ♦ Í5)xn-5 +

OD II <¡¡lx" * ( 2 ) xn"2 ♦ (^)x"-4 ♦

O

n-kX - ( x + 1 ) "

Cap.10 Biiiomiu di Naaton 577

6L 1 ♦ (2*2 -3*) ]° = E (®)l8-k(2*2 -3*)k - ¿2 ( ® ) (2*2 - 3*)k

‘ * k = O

donde (2*2 - 3x)k

k = 0 ky. <k)(2*2)k "* (-3«c) . Luego, en (*) tenemos:j = 0 J

Jx2k-j

k k i "í ? kque representa la turna de todos los tÍAninos (^)(^)2 (-3) x ^

para (todos) los voZoais inttiAos de. j y k tales que

El término que contiene x6 corresponde a la condición

0 < j < k < 8

'•..{a)del exponente:

2k - j * 6 (e)

Buscaremos todos los valores de y j que satisfagan (o) y (B) :

Si k * 0 j * -6 descartadosk * 1 j * -4 ll

k = 2 j - -2 M

k - 3 j = 0 VALIOOSk = 4 j - 2 VALIDOSk - 5 j * 4 VALIDOSk = 6 j = 6 VALIDOSk - 7 j - 8 descartadosk =■ 8 j » 10 descartados

Luego, existen CUATRO sumandos en (**) con x6 como parte literal, de nodoque el coeficiente de x6 será igual a la suma di ios coercientes de. todos

e¿tos cu u a o término6, a saber

(J)(J)23(-3)' + ( ® )( 2 ) 22t-3)2 ♦ ( ¡ X J í Z 1^ ) 4 ♦ ( 6 )( 6 ) 2°(-3)6 -

- 81340 .

7.21 EJERCICIO. Hallar el coeficiente de x8 en (1 + x2 - x3 )9

Solución. r , 2 1 9 . [ 1 M x 2 - 0 ] E (!)i9'k(x2-x3)k

578 InCi iducc lóii at Aná¿cso lia temático Cap.10

TERMINO EN *8 : Condición .. 2k + j = 8

j - 2(4 - k) , 0 < j < k < 9

POSIBILIDADES VALIDAS: (k, j) - (3, 2) y (4, 0) . Luego, en (**)

=> COEFICIENTE DE *8 : (® )(*)(-i)2 + (® )(* ) (-1)° * 373

7.22 EJERCICIO.

SOLUCIÓN.

,P, 16 - 2k

2 l 8En el desarrollo de ( * + - + * ) , hallar el coefji

„-l* T8

E O * 10'“ E (S x k"j(x-1) = z E O(-)*1 k = 0 j = 0 k*0 j = ü J

como el término independiente.

8

■ E/8 . , 2 *8-k , -i (.)(*) (x + X )

k - o

B k■ E E <*>( )*16-k-2J • •(*)

a) TERMINO EN x° Condición .. 16 - k - 2j = 6

2j * 10 - k , 0 < j < k < 8

PüSIBIL. VALIDAS: (k, j) = (4, 3). (6. 2) y (8, 1) . Luego, en (*),

COEFICIENTE DE x6 : (J)(J) + (| )(|) ♦ (e)(l) = [

b) TERMINO INDEPENDIENTE : Condición .. 16 - k - 2j = 0

708

Zj = 16 - k , 0 < j < k < 8

VALDRES VALIDOS: (k, j) = (6, 5) y (8, 4) . Asi, el téAm no ¿ndipinditn

■te, en (*), viene a ser la suma (^)(^) + (**)(**) 238

7 23 EJERCICIO. Hallar una fórmula sencilla para la suma

E M " ) = 1(?) ♦ 2 (") ♦ 3(") ♦ ... ♦ n(")k = 1

SOLUCION.Puesto que: k (£) = it("_ j ) .. (VERIFICAR)

E M") - E < > - " E C ¡ > k * 1 k » l k - 1

(¿ PORQUÉ ?)

C a p . I l) Soiomti? cí¿ N&ctutt 5 7 9

n-l

n Z r ; 1)k = 0

n 2n-H de [7.4](a)

7.2*1 EJERCICIO. Hallar una fórmula para la suma

So l u c i ó n .

n iy — ( n „ k ♦ 1 k

Como (verificar)

n

V ) ♦3 2

— -— ( ") n + 1 n

-J— ( " ) = - i - (n + 1)k + 1 k' n + 1 k + 1

) - _L_ y (n + 1 ) , _ L y (n + 1)n + 1 ‘k*l} n + 1 £ k

— t "f (n+1) * (n+ 1) - (n + 1) ]n + 1 _ k v 0 ' 1 0 ' J

n+1

1 ] 'n+1 , k ' - 4 [ 2n + 1 - 1 ]n + 1

7.25 EJERCICIO.

So l u c i ó n .

SI n es un entero i. 2 , simplificar

2x1(") + 3x2(") + ... + n(n-l)(")

Como k(k-l)(£)

Z k(k-l)(") * n(n-l) Zk*2 k«2

n-2- n(n-l) Z < V >

k = 0

n ( n - l ) ( ^ * ) . (verificar)

n(n-l) 2n-2

7.26 EJERCICIO. Sea n e N . Simplificar

So l u c i ó n .

— (n ) + -J— (n ) + ... + ---- ------ (n )1x2 o' 2x3 1 (n + l)(n + 2) n

Como 1O

1

(ü> -

(k + l)(k + 2) k n

<::í>i

e c * >

(n + l)(n + 2) k + 2 n + 2

1 Z < " * 2 >k = 0 (k +1 )(k + 2) k (n +1)(n*2) k + 2 (n + l)(n + 2) k

580 Introducción al Anítii-ii McUemítico Cap.10

n + 2

(n + l)(n + 2) k = Qt e in;2) - (n¡2) - (n;z) ] ■_ n + 2 . . _.2 - 1 - (n+2)(n * l)(n * 2)

7.27 EJERCICIO. Simplificar la suma S :

El . n + 1 » . . n^l . , , n + l , , , n + l ,k ( k + l ) ' 1( 2 > + Z( 3 ) + 3C 4 ) +

k = l

So l u c i ó n .

n + 1 , ■■ + n + 1

k » (k + 1) - 1 ,

A - Bs - z < - < : ; > - i ok = 1 k » L

A ■ ("♦!> £ i [ ) - (n + 1) [ ¿ (¡|) - íp) ]k = 1 k =■ 0

n+1 , n+1 , , ,

• * e <" *) ■ e in; ' - i " >k ” 2 k-o

Por lo tanto,E k O ■ a - bk = 1

donde

(n + l ) [ Zn - 1 ]

„n+1 , ,2 - 1 - (n + 1)

(n + 1) 2 + 1

7.28 EJERCICIO. Hallar una fórmula para la suma

s- E k3 (")k» 1

SUG: k =k(k-l)(k-2) + 3k(k-1 ) + k .

So l u c i ó n .

S = E k(k-l)(k-2) ( " ) + 3 ¿ k ( k - l ) ( " ) + ¿ k ( " )

k = 1 nE k(k-l)(k-2) ( £ ) + 3 E k ( k - l ) ( k ) ♦ " E <Jl¡> ¿PORQUE ?

k = 3 k = 2 k* 1

= n(n-l)(n-2) £ C 3) ♦ 3n(n-l) £ ( 1 + n E ( V >n n-2 n - l n- 1

k = 3

n - 3

k-3

= n(n-1 ) {n — 2 ) (" 3 ) + 3n(n-l) ( > + n2

k = 2

n -2

k =0

n-2 ,n-l

k = 0 k = 0

Cap.10 Binomio de. Newion 581

= n(n-l)(n-Z) 2° + 3n(n-l)2n * n2n n"(n + 3) 2n-3

7.29 EJERCICIO. Calcular el valor de n en la ecuación

So l u c i ó n .

n n - 1e 2n("> - e 2<nk: >k = 0 k = 3

n- 2NUMERADOR: (¿"-2") - E Zí"*1)

2n + 258

i POftOuÉ?

(*)

= Zn + ln - i

- u e tn"1) - < (nn:!)+ (n:l> * t"'1) > ]k = o

(*)= 2n + l - 2 [ z"'1 - { 1 + 1 + (n-1) } ] ' = 2n + 2(n +1) - 2n + 258

Zn = Z56 [ = 28 ] n = 8

7.30 EJERCICIO. Para n e N , probar por inducción matemática

2n +1 n4n (n!)

(2n+ 1)!(*)

SUG: ( n + 1 ) =k (n + 1 - k) k

SOLUCION.

( ) , y denotar Sn al primer miembro.

a) Para n » 1 : ambos mienbros valen 2/3 .b) Tomando como HIPOTESIS OE INDUCCION que (*) es dato, para ri fijo,

,nH3n+l

k = O 2k + 1

(-Dn + 1 , f (-Dk (n + l) n2n + 3 k,0 (2k + I) (n-k + 1) k

n + l n

. . DE LA SUC. ,Y SEPARANDO EN FRACCIONES p a r c i a l e s :

(-D2n + 3

► — ](") 2n + 3 2k + 1 n-k+1 k

< . n . ,,k , n , ,,k(-U + 2(n + l) _ (-1) j n j + n + 1 y (-.1¿ n 2n + 3 2n + 3 k“ „ 2k +1 k ‘ Zn + 3 k , „ n-k + 1 k

f en 1ü 2<ifl sumatoria 33!icíremcs la PROPIEDAD CONMUTATIVA [3.4](3).

58? liFÍtLiductuón al hi&liiti MdUimít cü Cap.IO

y en 'a primera aplicaremos la Hipótesis de Inducción ]

_ t i T 1 , n i . j L ü ¿ ¿*£V> ...“ riT.2n + 3 2n + 3 (2n + l)! 2n*3 ^ . q k* l ha sumatoria,

do,de T - (-l)n ¿ ^ - \ " ) - ^ Z (-Dk ("l!) ¿ poroue ?k = o k + l k k-c k+1

- H i k u n n¿ l (-1,k (n;1) n + 1 k = l k

= - ^ b:í e ( V e - ; 1) - (-i!0 :;;;) in + 1 k = O 1

_ - 1] = - ^ > - n [ o - i ] . - i ^ - 1n + 1 bin.de newton n + 1 n + 1

Y reemplazando este valor de T en Sntl (arriba) , obtenemos

(-l)n+l 4n + 1 [(n + l)!]2 (-l)n + l 4n + 1 [(nM)!)25n+l " +2n + 3 (2n + 3)! 2n + 3 (2n + 3)!

Esta es la expresión que debíamos obtener. Por lo tanto, de (a) y (b) y el Principio de Inducción Matemática, concluimos que la fórmula (*) dada, es válida paAXL todo inteAO n > 1 .

SERIE DE EJERCICIOS PRuPUESTOS

1. Desarrollar fl) (x . 1}6 b) (2x-l)5 c) (2* a)7

d) ( / x+ 3)5 e) (2x2 - 3)6 f) (3a2b - 2bc)4

g) (a2 + 2b - 3c)4

2. Hallar el cuarto término en el desarrollo de (1 - x)10 .

3. Hallar el noveno término en el desarrollo de (3a2b - Zaj11 .— — 2 124. Hallar el término central en el desarrollo de (/2a - / 3a b i

5. Hallar el exponente n e N de (1 + x)n , si en su desarrollo, el coefi -

ciente del quinto término es igual al coeficiente del noveno término.

— 1/2 -1/2 n6. Hallar el exponente n e N de (a* + xa ) , si en su desarrollo

la razón del coeficiente del 3er. término al del 2do. es igual a 11/2

7. Hallar n N si en el desarrollo de f 9» - (* l 2//3) ]n , el coeficien

I

Cap. 10 BlHurr.i o di N¿tCÍun 583

te binomial del tercer término es igual a 105 ._ 1 2 n8. Hallar n e N si en el desarrollo de (x + x ) , la suma de los coeH

cientes del primer, segundo y tercer términos, es igual a 46 .

9. En la expansión de (1 + a)n los coeficientes de1 quinto, sexto y séptimotérminos forman una progresión aritmética. Hallar n.

2 _ i n10. En el desarrollo de _ (x + x ) , los coeficientes del cuarto y treciavo

términos son iguales. Hallar el término independiente de x .2011. En el desarrollo de (1 + x) , los coeficientes de los términos de luga

res 2m + 1 y m + ? son iguales (m > 1). Hallar el valor de m .

12. Si rxm¡/ es un término del desarrollo de (x2 - zVy )á , hallar m y r.

13. En el desarrollo de (x/x + x~^) t el coeficiente binomial del tercer término es mayor que el coeficiente del secundo término en 65 unidades. Hallar el término independiente de x .

14. Hallar el término del desarrollo de (’/ ? - i)“ que no contiene a c .5 "*20 10015. Hallar el término del desarrollo de (x + x ) que no contiene a x .

16. Determinar (101)6 desarrollando (102 + l)6 .c 2 5

17. Determinar (98) desarrollando (10 - 2)

18. Los términos 2o, 3o y 4o del desarrollo de (a * t)n son 240, 720 y1080 respect. Calcular la suma a + b + n.

19. Los términos 2o, 3o y 4o del desarrollo de (a + 3b)n son 240, 720 y1080 respect. Hallar los valores de n, i y b.

20. Hallar los términos na.?A.onaltA en el desarrollo de (V 3 + /2 )10 .

21. Sin desarrollar (Va + 'í'b)45 , hallar el número de términos de su expansión que estén libres de radicales.

22. Oemostrar que la suma de los coeficientes en el desarrollo de (6a - 5b)nes independiente de n , y es igual a la unidad pcuia todo vato>i de n c Z + .

23. En el desarrollo de ( + *~2®/l5 )n , la suma de los coeficientes biOnomvales de los últimos tres términos es igual a 79 . Hallar el término independiente de x . ,

24. En el desarrollo de (a3^2 + a”1 3 )0 , la suma de todos los coeficientesbinomiales es igual a 128. Hallar el término que contiene a: a5 .

25. ¿Cuál es el valor de k para que el término + l del desarrollo de la potencia (1 + / 3 ) ^ sea al mismo tiempo mayor que los términos inmediatos anterior y posterior ?

584 I n t A o d u C c l ó n a t A n ó t i s ¿ i H a t í m ú t i c o C a p . 1 0

26. Hallar el coeficiente de x5 en el desarrollo de (2x2 * x - - )10 , asicuino el término independiente.

1 3 -727. Uno de los términos del desrrollo de (a + 2 + - ) es aa . Hallar a .

28. Sean px2 y 4x7 dos términos en el desarrollo de (1 + 2x - x2)4 .Hallar p y ó .

29. Hallar el coeficiente del término que contiene » x5y7 en el desar-ollo de2 2 6 (ax + bxy + cy ) , donde a , b , c son constantes.

30. En el desarrollo de [ x2 + x + ^ ] 10 , hallar el sumando que contiene ax14 y el término independiente,

31. En el desarrollo de (1 + x2 + 3x3 , hallar el término que contenga x6 .n n _ j

32. Hallar n c Z+ , si £ (k-1) { " ) = 128(n-l) .k = 2 1

SUG: (k - 1) ( ) = (n - 1) ( ) .

10 5 1033. Hallar el valor de la suma S= X! t ) + 2líj ] )

j = l k = 1 J34. Encontrar una fórmula para cada suma:

» . i n « * n . * . n * #n»a) K , ) + 2 ( ) + 3( ) + ... + n ( )1 2 3 n

b) 1(J) + 3( J) + 5(") + ... + (2n + l)(¡¡)

n k + 1 k

35. Simplificar £ £ ( ) .k = 1 j =2 J "

36. Hallar una fórmu’a para la suma S * E ( 2)(-i;t+2(|)k = 2

37. Simplificar la sumatoria S =

Eli (n ) + í ^ ( n ) + Ü-*_L {n , + ... + i ^ ( n )2 'l' 3 2 4 3 n +1 n

38. Hallar una fórmula para cada una de las sumas S -

a) ¿ * v k> . bj ¿ k (;;z ,k = 1 k = 1

SUG: a) k2 = k(k-l) + k b) k = (k + 2) - 2

39. Hallar, en términos de n solamente, una fórmula para la suma

Cap.10 HinúnUo de Nemícrn 585

ces la suma de los cocientes así pbtenidos es igual a (211*1 - l)/(n + l) .

n +122 (k + 6)('Tl) SUG: (k + 6) = (k + 1) ♦ 5 .k = 0 n n + j

40. Hallar una fórmLla para la suma S = E k(k-l)(k-2)( ) , n í 3k = 3

n n41. Simplificar S = T’ --------------- (. ) •

k.0 (k + l)(k + 2)(k + 3) k

42. Simplificar S = l + i ( ) + ^ ( " ) + ... + — ")2 1 3 2 n + 1 n

43. Demostrar que si en el desarrollo de [ x(l + x)n ] cada coeficiente se dj vide por el exponente de la x a la cual pertenece este coeficiente, entones la suma de los cocientes as SUG: Ejercicio [42] previo.

n j44. Deducir la siguiente fórmula ( ) * 4

k = 0

, n 2 , n 3 n . 2 , n .2 , 2n45. Deducir la fórmula („) + (,) + (,) + f ( ) = ( )0 1 2 n n

SUG: Desarrolle ambos miembros de (1 + x)2n = (1 + x)n (1 + x)n .

46. Dada la progresión aritmética aL , a2 ....... an , an+J ; (n > 3) ,demostrar que ? n •> n n •>

al * t^ -2 + - + i*1» ín )fln n ' 0

SUG: Pasar a la notación E ; *k+i ~ ai * kd , donde d es la diferencia común. Demostrar que

Y , O t ' 1)k = 0 ■ emplear k{£) = n(£ J) .k - 1

n , n v hacer k - k(k-l) + k , y empleark ( k) (-D " 0 ■ n n-2

k= l k(k- 1) ( ) =■ n(n- 1) ( k 2 ) .

47. Demostrar que, para n entero > 0 ,,n . .. .n-l „,n , 2», ,n-2 . ,n . k,, .n-k( j )x(l-x) * 2 ( z )x(l-x) + ... ♦ k(k )x(l-x) +

, n . n*■ ... + n( )x = nx.n

SUG: Usar la notac. E , y aplicando k ( | ) ■ * - k 5 n .

con traslación de índices, demostrar que el primer miembio es igual a nx-t(l-x) + x ]n'1 .

586 l n( luducc (un J ( A»uí¿oiJ Matemático Cap 10

48. Probar por inducción matemática que, para todo entero n i 1 :

Z <-nk-‘ ± 0 - ¿ J k = 1 k = 1

n + 1 .n, , n . 1 . n , 1 ,n*l,SUG [ k 1 = ( k } ( k-1) ' k { k-1 ) = ¡^71 k 5

= - ¿ (-Dk (n:1) = (l-l)nt* - [ 1 M - D n + 1 ] = (-1)" - 1k = L


1. a) x6 - 6x5 * 15x4 - 20x3 + 15x2 - 6x + 1b) 32x5 - 80x4 + 80x3 - 40x2 + lOx - 1c) 128 + 448a + 672a2 + 560a3 + 280a4 + 84a5 + 14a6 + a7d) x2/x + 15x + 90 x /x + 270x t 405/x + 243e) 64x12 - 576x10 + 2160x8 - 4320x6 «■ 4860x4 - 2916x2 + 729f) 81aV- 216a6b4c + 216a4b4c2 - 96a2b4c3 + 16b4c4

9) Z Z (;)(k)a8'2k(2b)k'j (-3c)j =k = 0 j = 0 J

=■ a8 + 8a6b - 12a6c + 24a4b2 - 72a4bc + 54a4c2 + 32a2b3 - 144a2b2c + Z16a2bc2 - 108a2c3 + 16b4 - 96b3c + 216b2c2 - 216bc3 + 81c4 .

2. T4 = -120x3 . (3). T, = 1140480 a1 V4. Hay 13 sumandos ; Ty es el término central = ( )(/2a)6(-/3a b2)6 =

= 199 584a9b12 .5. 4 = n - 8 - n = 12 , (6). (")/("} = ^ = y ==> n « 127. n(n - l)/2 =105 - n = 15 .

8- (q ) + (") + (")=46 =* 0 = n2 ♦ n - 90 = (n + 10)(n - 9) =« n = 9

9. (n -5) (n - 4) = 12(n-4)-30 = > 0 = (n - 14)(n + 7) ==> n " 14

10. n - 15, k = 10, Término buscado Tu = ( jjj ) x° = 3 003.

11. |2m*«tl) v [ 2m = 28 - (m+1) ] => m = 9 ; se descarta m = 1 .

12. T. Gral.: ( ® > (x2)8~k (-2Vy )k . CONDICION: k/3 = 1 => k = 3;8 i

Y de m * 16 - 2k = ■ m - 10 Luego, r = ( ) ( - 2 ) - - 448 .

13. n = 13 , | (n-k) - 4k = 0 => k = 3 . Luego,_ T* = ( 13 ) = 286 .

14. | (15 - k) - k = 0 k = 6 , T? = (15)(-l)k = ( ‘65 )(-l)6 = 5 005.

C a p . 1 0 Bínormu da X¿uiton 587

15 . 5(1000 - k) - 20k * 0 , k * 200 , Término buscado ( ^ ) .

16. 10U + 6(1010) ♦ 15(108) + 20(106) + 15(10*) » 6(102) + 1= 1061 520 150 601.

17. 1010 + 4(107) + 8( 103) - [ 109 + 8{105) + 32 ] * 903920796818. n * 5, a * 2, b * 3. a + b + n » 10 . (19). n - 5. a* 2, b “ 1 .20 1 0 ) — io - Ir — k ° °

Térra.Gen. : ( )(/3 ) (/2 ) ; Condición: 10 - k * 3 , k - 2 .y O i k < 10 (a la ver), k * 4 y k - 10 sol ámenteTERMINOS BUSCADOS: T3 = 210 y Tu = 32 .

21. T . G r a l ( 4 )(s/a)45 ; Condición: 45 - k » 5 , k » 10 ,k

y O i k < 45 (a la vez) , => k * O, 10 , 20 , 30 y 40 . Esto indicaque existen 5 términos y solamente cinco, libres de radicales.

22. T.Gral.: ( " )(6a)n'k(-5b)k ; SUMA DE COEF: S * £ (n )6n*k (-5)k *=

n n k"° kque es justamente - (6 - 5) - 1 * 1 , independiente de n e l* .

23. (n) + ( n,) + ( n,) * 79 =► 1 + n + -jn(n-l) = 79, de donden n-l n-Z ¿0 * (n ♦ 13)(n - 12) =■ n ■= 12 . Condición: ( 12-k)-||k » 0

=> k = 5 . TERMINO INDEPENDIENTE: Tfi * ( ¿ )7*0 = U/3888 .

24.’ 2n = 128 [ - 27 ] => n - 7 , Condición: | ( 7- k) -^ k - 5 = >

k = 3 . Térm. buscado: ( * ) a5 / ■ 35 a5

25. Condición: (1°°)(/3)k > ( ) (/3 )k' 1 y (1“ )(/5)k > (kI“ )(/3)k+l

=» (l00-k + l)/3 > k y (k + 1) > /3(10ü-k) , despejando k :

^ (301 - 101/3) < k < i(303 - 101/3) , r aproxih. a ceníes. 63.03 < k < 6.4.0310 k =► k - 64 .

26. [2iZ + Í1-3X-1)]10 * ¿ (10 ) (2x2)10_k ¿ ( S ( O k-j(-3*-1)j =k = 0 j =0

10 k= E E I1k° n ki)2w - k i-3)i *20-k-2i k = 0 j = 0 J

a) 20 - k - 2j * 5 => 2j = 15 - k y 0 < j < k < 10 =>(k, j) = (5, 5), (7, 4) y (9, 3). Asi, existen 3 sumandos con x5 , demodo que su coeficiente será la suma

( )( j )25(-3)5 + (l°)( ) 23(-3)4 + (1g)(j)2 (-3)3 - 716688

b) TERM. INDEP.: 20 - k - 2j =■ 0 ==> 2 j =■ 20 - k y 0 < j < k < 10

588 Incviduccíón ai A>iá¿cici Ma£tyi*F£ÍG<.' C a p . 1 0

’=s> (k, j) = (8, 6) y (10, 5). Asi, el término independiente será

(g°)(g)22(-3)6 M ^ X ^ X O ) 5 = 3 612 924. (27). a =6

28' P ■ ( )( o ) 22(-l)° + ( J)( J)’0(-l)‘ => P = 20 .

4 - (3X 3) 2M - D 3 — * * -8

29. ( ^ ( ¡ iA V m J h ^ W + (®)(’ )a2bc3 = 6b5c + 60ab3c2 + 60a2l

30. ,. 10,, 2. x .10., 4. .10., 6 2 2 1 4 1 + 5 0 ) ] x14 - 1095 x14

10 8Término independiente: ( 0 )(c8 6. .10., 10. \ * (10)(5 ) = 1512 .

31. [ ( 3 )( )3° + (|)(| J32 ] X6 = 155 x6

32.n ?

ln-1) E (¡!\> ■ 128(n -1) k = 2

n-2 ,- E (nk 7

k = 0= 1 2 8 [ - 27 ]

=■ 2n"2 - 27 => n - 2 = 7 =- n = 9 . (33). 676534. a) Ver el EJERCICIO [7.23] , resuelto.

b) Usando (a): (n + 1)2n . (35). „n+1 . 2 - (2 + n)

36.n+1

s * e (n:i)i(nn)-k (-i)k k = 0

■ t-1 - \ )" + l ■1

^n + l

». s - ¿ ¿ o - s o - k * 1 k * l k = 2

= 2ntl - (n + 2) .

38. De la sug. y: k(£) = , k(k-l)(^) = n(n-l)(^_2) , se obtiene ^

S = n(n -1) " ¿ (n*2) + n £ ("'1) - n(n-I)2n‘2 + nz"'1

k = ° k = 0 = n(n + l)2n-2 .n + 2 n+1

b) De la sug. y: k( ) = (n*-2)(^ ) , se obtiene la fórmula

S = (n - 2) 2n M + (n + 4)39. (nHl)2n -5 , (40). (n - l)(n)(n + 1) [ 2n~2 - 1 ]

? 4 - (n2 + 7n + 14)

Cap.10 Binomíu d¿ Neieton 589

44. T-i,2n + l JI, 2n + l , 2n + l propiedadE ( )k = o

n 2n +1 n 2n + lE k = 0

( ) 2n + l - k ' ■ E k = 0

( ) 2n + L - (n-k)

n 2n + l 2n+ l 2n +1- E

k = 0<n+,+k> " E

k = n + l< k >

CONMUTATIVA

... TRASLACION OEI NOICES

n n , ■ n *> , i 2n 1 *> . 2n 1 « «- 2 e ( T > • e o ♦ e <2n; > * e ( ; )

k = 0 k = 0 k=n + l k =■ 0, , , .2n+l „2n + l „ . Mn .= (1 + 1) = 2 = 2( 4) L.q.q.d.

2n 2n45. a) De (1 + x) n = E ( • ) ■ se tiene que el coejic-ten-te de xn

j = 0 J2n

corresponde al valor j * n , es decir es: ( ) . ^,___ n

b) De (1+*)" - ¿ ( V " E (n" ) * J * S ( ¡ Xj = 0 J j = O J k = 0

(i + x)n(i + x)n - [ e r,n .)*j n E C * * k ij = 0 J k = O

• E , E , C i K " 3*kj=0 k=0

En este último desarrollo, zt coeficiente, de x corresponde a

j + k = n n - j = k para k = 0,l,2, .. , n

1 es decir que v en a ser LA SUMA DL LOS PRODUCTOS de la forma

C X » " ( " k < > " ( k>2 ................ " •

Por lo tanto, de (a) y ( d ) , resulta.

(2n) - '£ (V ■ (V + (V + (")2 + ... + (n)2n k = 0 0 1 2 n L.q.q.d.

A 7 A V A

A T A A

Esta obra se terminó de Imprimir en el mes de Octubre de 1995 en los Talleres Gráficos Top-Job E.I.R.L.

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INTRODUCCION A L AN ALISIS MATEMATICO LOGICA Y CONJUNTOS NUMEROS REALES GEOMETRIA ANALITICA...

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