Chương 1: cơ sở lí luận và thựctiễn

1.1 Năng lực , phát triển năng lực, năng lực giảitoán

1.1.1 Năng lực là gì? Năng lực giải toán là gì?

Đã có nhiều quan niệm khác nhau về năng lực và dovậy, cũng có nhiều khái niệm khác nhau. Có thể xemxét khái niệm năng lực từ nhiều phương diện khácnhau.

- Năng lực là một vấn đề khá trừu tượng của tâm líhọc. khái niệm này cho đến ngày nay vẫn có nhìucách tiếp cận và cách diễn đạt khác nhau

- Theo quan điểm của những nhà tâm lí học năng lực làtổng hợp các đặc điểm, thuộc tính tâm lí của cánhân phù hợp với yêu cầu đặc trưng của một hoạtđộng nhất định nhằ đảm bảo cho hoạt động đó đạthiệu quả cao

- Theo Nguyên Huy Tú [ 12;11] : “… năng lực tự nhiênlà loại năng lực đc nảy sinh trên cơ sở những tưchất bẩm sinh di truyền, không cần đến tác động củagiáo dục và đào tạo. nó cho phép con người giảiquyết được những yêu cầu tối thiểu, quen thuộc đặtra cho mình trong cuôc sống”.

- X.L.Rubinxtein cho rằng : “ năng lực là toàn bộ cácthuộc tính tâm lí làm cho con người thích hợp vớimột hoạt động có lợi ích xã hội nhất định”.

- Tâm lí chia năng lực thành các dạng khác nhau nhưnăng lực chung và năng lực chuyên môn.năng lực đượcchia thành 3 mức độ : năng lực, tài năng, thiên tài

- Theo từ điển tiếng việt : “ năng lực là khả nănglàm việc tốt, nhờ có phẩm chất đạo đức và trình độchuyên môn.”

- song song với năng lực là tri thức, kĩ năng kĩ xảo: tri thức, kĩ năng kĩ xảo là điều kiện cần thiếtđể hình thành năng lực song không đồng nhất vớinăng lực; năng lực góp phần làm cho quá trình lĩnhhội tri thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực hoạtđộng nhất định được nhanh chóng thuận lợi và dễdàng hơn; có năng lực hoạt động tức là có tri thức,kĩ năng, kĩ xảo không có nghĩa là có năng lực tronglĩnh vực ấy.

năng lực toán học- Trong tâm lí học khái niệm về năng lực toán học

được hiểu theo 2 hướng: Thứ nhất: đó là năng lực hoạt động sáng tạo trong

hoạt động nghiên cứu toán học với tư cách là khoahọc. Người có năng lực sáng tọa toán học sẽ cốnghiến cho nhân lọai những công trình toán học đầyý nghĩa đối với hoạt động thực tiễn của con ngườivà đối với sự phát triển của khoa học toán học.

Thứ hai: đó là năng lực trong học tập, trong việcnắm vững các khái niệm, định lí, tính chất, hệquả toán học với tư cách là môn học. ở đây nguờihọc có năng lực học toán sẽ nhanh nhạy trongviệc tiếp thu các kiến thức toán học và thực

hiện thành thạo các kĩ nang kĩ xảo tương ứng. cóthể khẳng định có năng lực toán học là điều kiệncần của năng lực sáng tọa toán học. bởi vì nănglực sáng tạo toán học có thể xuất phát từ việctạo lập ra một định nghĩa mới hay một định límới, nó hoàn toàn khác so với năng lực hiểu đượcnhững định lí toán học đã được chứng minh vàthùa nhận trước đó.

- Có nhiều quan điểm khác nhau về năng lực toán học.Con người có những năng lực khác nhau vì có nhữngtố chất khác nhau và năng lực chỉ được hình thànhthông qua hoạt động trong những điều kiện xã hộicủa môi trường sống. Năng lực toán học được cho làcó mối quan hệ mật thiết với hoạt động trực giác vàsự sáng tạo toán học ở người nghiên cứu. Do đó,trên cơ sở nghiên cứu quá trình sáng tạo của cácnhà toán học, J.Addamaa cho rằng quá trình sáng tạotoán học gồm 4 giai đoạn và tương ứng với mỗi giaiđoạn là các đặc điểm riêng bao gồm giai đoạn chuẩnbị, giai đoạn ấp ủ, giai đoạn bừng sáng và giaiđoạn kiểm chứng. Sự sáng tạo thể hiện ý thức củacon người ở trình độ cao, tức biểu thị mức độ pháttriển cao trong nhận thức của con người.

- Theo A.N.Kô mô gô rôp, trong thành phần của nhữngnăng lực toán học gồm:1. Năng lực biến đổi khéo léo những biểu thức chữphức tạp, năng lực tìm được con đường giải cácphương trình không theo các quy tắc chuẩn hoặc như

các nhà toán học quen gọi các năng lực tính toánhay năng lực <<an gôritmic>>.2. trí tưởng tượng hình học hay là <<trực giác hìnhhọc>>Tóm lại năng lực toán học gắn liền với hoạt độngtrí tuệ của học sinh, giúp học sinh nắm vững và vậndụng tốt tri thức, kĩ năng và kĩ xảo của mình tronghọc tập môn toán

năng lực giải toán chính là khả năng giải quyết cácbài toán hay nói một cách chính xác là khả nănggiải quyết tình huống trong toán bao gồm các dạngbài đã có motip giải, các dạng chưa có hoặc phảibiến đổi, vận dụng các kiến thức khác. Đây là yếutố bộc lộ sự nhanh nhẹn, linh hoạt, mềm dẻo,sángtạo,biết khai thác, tích cực của bản thân, đâychính là kĩ năng mềm để giúp giải toán- là chìakhóa cho mọi bài toán kể cả hóc búa.tuy nhiên khôngphải ai cũng có năng lực và bộc lộ được năng lựcnày.đây là 1 quá trình không ngừng trau dồi, luyệntập, học hỏi từ năm này sang năm khác, từ nhỏ đếnlớn, từ cái dễ đến cái khó.năng lực của học sinh làdo chính bản thân học sinh xây dựng tuy nhiên cònchịu sự tác động không nhỏ của thầy cô giảng dạy.người giáo viên muốn nâng cao năng lực giải toáncho học sinh thì phải tạo điều kiện cho học sinhkiến tạo những dạng tri thức khác nhau,rèn luyệncho học sinh những kĩ năng trên những bình diệnkhác nhau, bên cạnh đó còn phải biết cho học sinhkết hợp giữa chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kĩ

năng, và cuối cùng là cần phải làm nổi bật mạch trithức xuyên suốt chương trình. Như thế học sinh mớicó thể được rèn luyện kĩ năng giải toán tốt nhât từđó tạo đà phát triển năng lực giải toán của họcsinh.Vậy làm thế nào để học sinh có năng lực giải toán và phát triển nănglực giải toán ấy ra sao?

- Thứ nhất, cần trang bị tri thức kĩ năng toán học vàkĩ năng vận dụng toán học: ta biết môn toán cầncung cấp cho học sinh những kiến thức, kĩ năng,phương pháp toán học phổ thông cơ bản, thiếtthực( chương trình giáo dục học năm 2002,tr.2 vàtr.6)Học sinh kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ năng, đólà cơ sở để thực hiện các mục tiêu về các phươngdiện khác. Để đạt được mục tiêu quan trọng này môntoán cần trang bị cho học sinh một hệ thống vữngchắc những tri thức, kĩ năng, phương pháp toán họcphổ thông, cơ bản, hiện đại, sát thực tiễn ViệtNam, theo tinh thần giáo dục kĩ thuật tổng hợp;đồng thời bồi dưỡng cho họ khả năng vận dụng nhữnghiểu biết toán học vào việc học tập các môn họckhác, vào đời sống lao động sản xuất và tạo tiềmlực tiếp thu khoa học kĩ thuật.

- Thứ hai, cần phát triển năng lực trí tuệ cho họcsinh: môn toán cần góp phần quan trọng vào việcphát triển năng lực tri tuệ, hình thành khả năngsuy luận đặc trưng của toán học cần thiết cho cuộc

sống ( chương trình giáo dục học năm 2002, tr.2 vàtr.6)Môn toán có khả năng to lớn góp phần phát triểnnăng lực trí tuệ cho học sinh. Mục tiêu này cầnđược thực hiện một cách có ý thức, có hệ thống, cókế hoạch chứ không phải là tự phát. Muốn vậy, ngườithầy giáo cần có ý thức đầy đủ về các mặt sau. rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác. phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng.rèn luyện những trí tuệ cơ bản.những phẩm chất trí tuệ ( tính linh hoạt, tính độclập, tính sáng tạo…)

- Thứ ba, cần giáo dục chính trị tư tưởng phẩm chấtvà phong cách lao động khoa học: môn toán cần gópphần hình thành và phát triển các phẩm chất, phongcách lao động khoa học, biết hợp tác lao động, có ýchí và thói quen tự học thường xuyên( chương trình2002,tr.2 và tr.26)Để thực hiên mục tiêu này, môn toán cần được khaithác nhằm góp phần bồi dưỡng cho học sinh thế giớiquan duy vậy biện chứng, rèn luyện cho họ nhữngphẩm chất và phong cách lao động khoa học trong họctập như làm viêc có mục đích, có kế hoạch, cóphương pháp, có kiểm tra, tính cẩn thận, kỉ luật,chính xác, có óc thẩm mĩ…

- Thứ tư, tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học tập hoặcđi vào cuộc sống lao động

1.2.1. Thực trạng học chủ đề Đại số Tổ Hợp của học sinhTHPT hiện nay.

Chúng tôi đã tiến hành khảo sát thực trạng kết quảhọc chủ đề Đại số Tổ hợp của 129 học sinh lớp 11 – Bancơ bản trường THPT Đồng Hỷ với hình thức ra phiếu điềutra trắc nghiệm

Đề của phiếu điều tra học sinh

1. Theo các em trong chuyên đề đại số tổ hợp phần nào là khó nhất?

A: Chỉnh hợp

B: Tổ hợp

C: Nhị thức Niu- tơn

D: Chỉnh hợp + Tổ hợp

E: Tổ hợp + Nhị thức Niu- tơn

F: Chỉnh hợp + Nhị thức Niu- tơn

G: Không có phần nào khó

H: Chỉnh hợp + Tổ hợp + Nhị thứcNiu- tơn

2. Các em có hứng thú( yêu thích) học chuyên đề đại số tổ hợp không?

A: Có B: Không

3. Theo các em việc phát triển năng lực giải toán đại số tổ hợp cho học sinhTHPT có cần thiết không?

A: Rất cần thiết

B: Cần thiết

C: Ít cần thiết

D: Không cần thiết

4.Theo các em thầy (hoặc cô) đã chú ý phát triển năng lực giải toán đạisố tổ hợp cho các em trong quá trình dạy học chưa?

A: Có B: Chưa

Trong quá trình đi kiến tập tại trường THPT chúngtôi đã được dự giờ một số tiết tại lớp 11 về chủđề đại số tổ hợp. Bên cạnh những em học tốt, hiểuvề chủ đề đại số tổ hợp thì vẫn còn những em họcsinh hiểu sai đề bài, vận dụng sai công thức, ...Sau đây tôi xin trình bày một số cách giải toánsai của học sinh mà tôi đã tổng hợp được sau khiđi kiến tập.

Bài 1: Một đoàn tàu có 3 toa 1, 2, 3. Trên ga có 4khách mỗi khách có 4 chỗ trống. hỏi

a,có bao nhiêu cách xếp khách lên tàu

b,có bao nhiêu cách xếp khách sao cho 1 toa có đúng 3khách

- Học sinh lên bảng trả lời a, số cách xếp khách lên tàu là C4

12 = 495 cách

b, Chọn 1 trong 3 toa có C13 cách

Chọn 3 người trong 4 người xếp vào toa đã chọn cóA3

4 cách

Xếp 1 người còn lại vào 2 toa còn lại có 2 cách

Vậy có C13 x A3

4 x 2 =144 cách

Nhận xét: Học sinh không nắm vững khái niệm chỉnh hợp,tổ hợp nên đã sử dụng sai công thức

- Lời giải: a, gọi 4 người khách là a, b, c, d

a có 3 cách chọn

b có 3 cách chọn

c có 3 cách chọn

d có 3 cách chọn

vậy có 3 x 3 x 3 x 3 = 81 cách

b, chọn 3 khách trong số 4 khách có C34 cách

có 3 cách xếp 3 khách vừa chọn lên tàu

có 2 cách xếp 1 khách còn lại lên tàu

vậy có C34 x 3 x 2 = 24 cách

Bài 2: Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5học sinh khá, 8 học sinh trung bình.Có bao nhiêu cách chia 16 học sinh đó thành 2 tổ, mỗitổ 8 người, sao cho mỗi tổ đều có học sinh giỏi và ítnhất 2 học sinh khá?

- Học sinh lên bảng trả lời Có 3 học sinh giỏi được chia cho 2 tổ nên 1 tổ có 1học sinh giỏi, tổ kia có 2 học sinh giỏi. Gọi A là tổcó 1 học sinh giỏi. Số cách thành lập tổ A chính làsố cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán. Có 2trường hợp chọn tổ A:

Trường hợp 1: Tổ A có 2 học sinh khá và 5 học sinhtrung bình. Số cách chọn tổ A trong trường hợp nàylà:

A13+A2

5+A58= 6743 cách

Trường hợp 2: Tổ A có 3 học sinh khá và 4 học sinhtrung bình. Số cách chọn tổ A trong trường hợp này là:

A13 + A3

5 + A48 = 1743 cách

Theo quy tắc cộng ta có số cách chia tổ thoả mãnyêu cầu bài toán là:

6743 + 1743 = 8486 cách

Nhận xét: Học sinh sử dụng sai quy tắc.

- Lời giải: Có 3 học sinh giỏi được chia cho 2 tổ nên 1 tổ có1 học sinh giỏi, tổ kia có 2 học sinh giỏi. Gọi Alà tổ có 1 học sinh giỏi. Số cách thành lập tổ Achính là số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bàitoán. Có 2 trường hợp chọn tổ A:Trường hợp 1: Tổ A có 2 học sinh khá và 5 học sinhtrung bình. Số cách chọn tổ A trong trường hợp nàylà:

C13.C2

5.C58 = 1680 cách

Trường hợp 2: Tổ A có 3 học sinh khá và 4học sinh trung bình. Sốcách chọn tổ A trong trường hợp này là:

C13.C3

5.C48 = 2100 cách

Theo quy tắc cộng ta có số cách chia tổ thoả mãnyêu cầu bài toán là:

1680 + 2100 = 3780 cách

Sau đây là kết quả phiếu điều tra mà tôi đã thuđược sau khi khảo sát học sinh lớp 11 – ban cơ bảntrường THPT Đồng Hỷ

Câu hỏi Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4

Phần trăm đáp án(%)

A : 2,3B : 8,5C :44,2D :10,1E :2,4F :5,4G :3,1H : 24

A : 38B : 62

A : 31B : 41C :18,6D : 9,4

A :71,3B :28,7

* Nhận xét chung   :

Qua thực tế chúng tôi thấy số học sinh mắc sai lầmkhi giải bài tập về chủ đề ”Đại số tổ hợp” khá nhiều,kể cả một số học sinh khá trong lớp. Đa số học sinh mắcsai lầm trong việc vận dụng quy tắc cộng và quy tắcnhân, phân chia trường hợp riêng.

Qua đó cho thấy năng giải toán của học sinh cònyếu. Câu hỏi đặt ra là trong khi học chủ đề ”Đại số tổhợp” học sinh có thể mắc những sai lầm nào ? Cách hạnchế và khắc phục sai lầm cho học sinh ra sao để nâng

cao hiệu quả cho việc dạy học chủ đề Đại Số Tổ Hợp nóiriêng và nâng cao chất lượng dạy học môn toán nóichung.

1.2.2 : Những khó khăn, sai lầm của học sinh trong khigiải toán đại số tổ hợp

Bên cạnh phiếu điều tra học sinh chúng tôi còn xin ýkiến của các em học sinh và các thầy cô giáo về câu hỏisau: Theo các em ( các thầy , cô giáo) có những khókhăn gì khi các em học sinh giải toán đại số tổ hợp ?

Sau khi tổng kết những ý kiến và tham khảo một số tàiliệu sau đây tôi xin trình bày những khó khăn, sai lầmcủa học sinh trong khi giải toán đại số tổ hợp mà tôiđã thu được

a, Sai lầm do hiểu sai khái niệm tổ hợp, chỉnh hợp...

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: ”Định nghĩa một khái niệmlà một thao tác tư duy nhằm phân biệt lớp đối tượng xácđịnh khái niệm này và các đối tượng khác, thường bằngcách vạch ra nội hàm của khái niệm đó”. Trong quá trìnhhọc chủ đề Đại Số Tổ Hợp, nhiều học sinh vẫn chưa hiểuđược bản chất của khái niệm tổ hợp nên thường nhầm lẫngiữa ký hiệu của đối tượng và đối tượng được địnhnghĩa.

Ví dụ 1   :

Học sinh thường phát biểu : ‘Tổ hợp chập k của n là Ckn ’’

mà phát biểu đúng là: ‘Số tổ hợp chập k của n là Ckn’’  hoặc

‘Chỉnh hợp chập k của n là Akn ’’ mà phát biểu đúng là: ‘Số chỉnh

hợp chập k của n phân tử là Akn ” .

Cũng có những học sinh áp dụng công thức rất thànhthạo nhưng lại không hiểu ý nghĩa của công thức.

Ví dụ 2   :

Lớp 11A có 40 học sinh, trong đó có 20 học sinhnam. Có bao nhiêu cách bầu ra ban cán sự lớp gồm haibạn: 1 nam và 1 nữ?

Học sinh giải như sau:

Số học sinh nữ là: 40 – 20 = 20 (họcsinh).

Vận dụngquy tắc cộng ta có :

20 + 20 = 40 cách.

Nguyên nhân sai lầm:

Học sinh đã không hiểu rõ khái niệm vì khi chọn rahai bạn: 1 nam, 1 nữ là ta đã thực hiện hai hành độngliên tiếp chọn 1 bạn nam và sau đó chọn 1 bạn nữ (hoặcngược lại), hai hành động này phụ thuộc nhau (ứng vớimỗi cách chọn 1 bạn nam có 20 cách chọn ra bạn nữ).

Lời giải đúng là:

Số học sinh nữ trong lớp là:

40 – 20 = 20 (học sinh)

Việc chọn ban cán sự được chia làm hai công đoạn:

Công đoạn 1: Chọn 1 bạn nam có 20 cách.

Công đoạn 2: Ứng với mỗi cách chọn 1 bạn nam có 20cách chọn 1 bạn nữ.

Vận dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn ra ban cánsự gồm một bạn nam và 1 bạn nữ là:

20.20 = 400 (cách chọn)

Ví dụ 3:

Trong một buổi giao lưu kết bạn có 9 nữ và 7 nam.Người ta tổ chức cuộc chơi gồm 3 cặp thi với nhau, mỗicặp có 1 nam và 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra cặpđể tham gia trò chơi?

Học sinh giải như sau:

Mỗi cách sắp xếp thứ tự 3 bạn nam trong 7 bạn namlà một chỉnh hợp chập 3 của 7, nên số các chọn 3 nam cóthứ tự là A3

7 = 210 cách. Tương tự số cách chọn 3 nữ cóthứ tự là: A3

9 = 504 cách. Vậy theo quy tắc nhân, sốcách chọn 3 cặp để tham gia trò chơi là:

A13.A3

5 = 210.504 = 105840 (cách)

Sai lầm học sinh mắc phải:

Việc sắp xếp thứ tự 3 nam và 3 nữ dẫn đến việc lặplại. Giả sử 3 bạn nam xếp thứ tự là A,B,C ghép với 3 nữtheo thứ tự a, b, c. Ta có 3 cặp (A,a), (B,b), (C,c).Nếu lấy thứ tự khác của 3 nam là B,C,A và 3 nữ là b,c,athì ta cũng có 3 cặp (B,b), (C,c), (A,a) giống trước.Như vậy trong bài toán này ta phải dùng công thức tínhsố tổ hợp chứ không dùng công thức tính số chỉnh hợp.

Lời giải đúng là:

Xem việc lập 3 cặp để tham gia trò chơi gồm 3 côngđoạn:

Công đoạn 1: Chọn 3 học sinh nam. Số cách chọn là:

C13 = 35 cách

Công đoạn 2: Chọn 3 học sinh nữ. Số cách chọn là:

C39 = 84 cách

Công đoạn 3: Sắp xếp 6 bạn trên thành 3 đôi nam nữ.Có 3! Cách xếp.

Theo quy tắc nhân số cách chọn 3 cặp nam nữ thoảmãn yêu cầu bài toán là:

3!. 84.35 = 17640 cách

b, Hiểu sai khái niệm cơ bản toán học.

Trong quá trình vận dụng khái niệm, việc không nắmvững nội hàm và ngoại diên khái niêm sẽ dẫn tới họcsinh hiểu không trọn vẹn, thậm chí hiểu sai lệch bảnchất khái niệm. Nhiều khái niệm là sự mở rộng hoặc thuhẹp của khái niệm trước, việc không nắm vững và hiểukhông đúng khái niệm có liên quan làm học sinh khônghiểu, không nắm được khái niệm mới.

Sai lầm về khái niệm toán học, nhất là các kháiniệm cơ bản sẽ dẫn đến việc tất yếu là học sinh giảitoán sai.

Ví dụ 1:

Từ các chữ số: 0; 1; 2; 3; 4; 5 lập được bao nhiêusố có 4 chữ số phân biệt và trong đó nhất thiết phải cómặt chữ số 5?

Lời giải của học sinh:

Số cách lập các số có 4 chữ số phân biệt lấy từ {1;2; 3; 4; 5} là:

A46 = 360 cách

Mỗi cách lập cho ta một số có 4 chữ số phân biệtthoả mãn yêu cầu bài toán.

Trong đó số cách lập các số có 4 chữ số phân biệtkhông có mặt chữ số 5 là:

A45 = 120 cách

Theo quy tắc cộng ta có kết quả của bài toán là:

A46 - A4

5 = 360 – 120 = 240 (Số)

Sai lầm ở đây là:

Học sinh tính số cách lập các số có 4 chữ số phânbiệt nhưng trong các số lập được có số dạng 0abc, đây làdạng số có 4 chữ số không thoả mãu yêu cầu bài toán.

Như vậy học sinh đã không trừ đi các số không thoảmãn yêu cầu dẫn đến tính sai kết quả.

Lời giải đúng ở đây là:

Giả sử a1a2a3a4 là số thoả mãn yêu cầu bài toán, suyra a1 ≠ 0.

Số cách sắp xếp 4 chữ số trong 6 chữ số từ 0 đến 5là A4

6 – A35 = 300 cách.

Trong đó số cách sắp xếp 4 chữ số trong 6 chữ số từ0 đến 5 và không có mặt chữ số 5 là: A4

5 – A34 = 96

cách.

Mỗi cách sắp xếp cho ta một số duy nhất. Sử dụngquy tắc công ta có kết quả của bài toán là:

300 – 96 = 204 số.

c, Phân chia trường hợp riêng.

Phân chia trường hợp là biện pháp hay dùng khi giảicác bài tập tổ hợp. Đứng trước bài toán phức tạp, phânchia trường hợp làm đơn giản hoá bài toán giúp học sinhgiải bài tập một cách chính xác. Tuy nhiên, để có thểphân chia đúng, học sinh cần nắm vững quy tắc cộng vàquy tắc nhân. Nếu là quy tắc nhân thì phân chia thànhcác công đoạn thích hợp, còn nếu là quy tắc cộng thìphân chia thành các tập hợp con. Nhiều học sinh chưanắm vững tiêu chí của sự phân chia nên đã dẫn đến sailầm khi giải toán. Để phân chia một khái niệm thànhnhững khái niệm nhỏ thì phải dựa vào dấu hiệu (tiêuchí) của sự phân chia.

Ví dụ1:

Cho 10 người ngồi trên 10 cái ghế, xung quanh mộtbàn tròn, trong đó có 4 học sinh nữ và 6 học sinh nam.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho không có hai họcsinh nữ nào ngồi cạnh nhau?

Lời giải của học sinh:

Ta xét bài toán gián tiếp: Tính số cách sắp xếp saocho mỗi học sinh nữ đều ngồi cạnh một học sinh namkhác.

Ta có A24 cách chọn 2 học sinh nữ bất kỳ (có thứ

tự). Như vậy 4 học sinh nữ được chia làm 2 nhóm. Ta cầntìm 2 trong số 5 cặp chỗ ngồi cho 2 cặp học sinh nữnày. Có C2

5 cách chọn chỗ ngồi cho 2 cặp học sinh nữ.

6 học sinh nam còn lại được xếp tuỳ ý giữa các họcsinh nữ, ta cố định vị trí của một học sinh nam thì 5học sinh nam còn lại có 5! Cách xếp vòng tròn. Vậy sốcách xếp để mỗi học sinh nữ đều ngồi cạnh học sinh nữkhác là:

A24.C2

5.5! = 14400 cách.

Mặt khác, 10 người xếp quanh bàn tròn thì có 9!Cách xếp

Vậy số cách xếp 2 học sinh nữ không ngồi cạnh nhau là:

9! – 14400 = 348480 cách.

Nguyên nhân sai lầm:

Do học sinh phân chia thiếu trường hợp 3 nữ ngồicạnh nhau, học sinh nữ còn lại không ngồi cạnh bạn nữnào.

Lời giải đúng là:

Giả sử đã xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh nam. Vì 4 họcsinh nữ không ngồi cạnh nhau nên họ được chọn 4 trong 6vị trí xen kẽ giữa học sinh nam. Số cách chọn là: A4

6.

Vì 2 cách xếp vị trí cho 10 người với cùng một thứ tựquanh bàn tròn được coi là một nên ta có thể chọn trướcvị trí cho một học sinh nam nào đó, số hoán vị của 5học sinh nam còn lại vào các vị trí là 5!.

Vậy theo quy tắc nhân, số cách sắp xếp là:

A46.5! = 43200 cách.

Ngoài ra còn một số khó khăn, sai lầm sau: - Nhớ lẫn lộn giữa công thức tính số tổ hợp và số

chỉnh hợp .- Không biết phối hợp giữa các công thức, quy tắc.- Sử dụng sai quy tắc . Kết luận

Chủ đề đại số tổ hợp là một lĩnh vực khó đối vớihọc sinh THPT. Để hiểu được lĩnh vực này các emhọc sinh cần phải hiểu được bản chất của các kháiniệm , nhớ các công thức, biết phối hợp các côngthức, làm thật nhiều các bài tập,…từ đó tích lũyđược vốn kiến thức cho bản thân để không mắc sailầm khi giải toánCác thầy , cô giáo cần nắm bắt được những khó khănsai lầm mà học sinh gặp phải khi học chủ đề đại sốtổ hợp để từ đó xây dựng các biên pháp khắc phụccái thiện năng lực giải toán đại số tổ hợp của cácem học sinh ngày càng tốt hơn.