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CÁLCULO PROPOSICIONAL E TEORIA DA QUANTIFICAÇÃO

[O texto que se segue é, em sua grande parte, uma tradução (livre) do livro de Mendelson “Un introduction to mathematical logic”, acrescentando-se algumas demonstrações, alguns exemplos e exercícios, bem como observações retiradas de outros textos de lógica. O objetivo do mesmo é ajudar ao aluno, facilitando o desenvolvimento das aulas e o aprendizado. Aconselhamos ao aluno não se limitar a este texto e consultar os autores indicados na bibliografia do programa diretamente em suas obras.]- Profª Maria Vilma F. de Lucena

I) CÁLCULO PROPOSICIONAL I.1) Conectivos Proposicionais. Tabelas de verdade

Vamos considerar somente combinações verifuncionais, que

são aquelas nas quais a verdade ou a falsidade da nova sentença é determinada pela verdade ou falsidade de suas sentenças componentes. a) Negação:

É uma das operações mais simples sobre sentenças. Embora uma sentença na linguagem natural possa ser negada de várias maneiras, nós adotaremos um procedimento uniforme que é o de colocar um símbolo para a negação, o símbolo ~ , em frente da sentença inteira. Assim, se A é uma sentença, então ~A denota a negação de A. O caráter veri-funcional da negação é mostrado pela seguinte tabela de verdade:

A ~A V F F V

Quando A é verdadeira, ~A é falsa; quando A é falsa, ~A é verdadeira. Nós usamos V e F para denotar os valores de verdade verdadeiro e falso. b) Conjunção: Uma outra operação veri-funcional comum é a conjunção: “e”. A conjunção de sentenças A e B será designada por A ∧ B e tem a seguinte tabela de verdade:

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A B A ∧ B V V V V F F F V F F F F

A ∧ B é verdadeira quando e somente quando A e B são verdadeiras. A e B são chamados os conjuntivos de A ∧ B.

Note que existem quatro linhas na tabela, correspondendo ao número de possíveis assinalamentos de valores de verdade a A e B. c) Disjunção:

Na linguagem natural, existem dois usos do “ou”, o inclusivo

e o exclusivo. De acordo com o uso inclusivo, “A ou B” significa “A ou B ou ambos”, enquanto que para o uso exclusivo, o significado é “A ou B, mas não ambos”. Nós introduziremos um símbolo especial, ∨, para o conectivo inclusivo. Sua tabela de verdade é a seguinte:

A B A ∨ B V V V V F V F V V F F F

Assim, A ∨ B é falsa quando e somente quando ambos A e B

são falsos. “A v B” é chamada uma disjunção, com os disjuntivos A e B. d) Condicional:

Uma outra importante operação veri-funcional é a

condicional. “Se A, então B”. O uso ordinário não é claro aqui. Claramente, “Se A, então B” é falso quando o antecedente A é verdadeiro e o consequente B é falso. Contudo, nos outros casos, não existem valores de verdade bem definidos. Por exemplo, as seguintes sentenças seriam consideradas nem verdadeiras nem falsas: (1) Se 1+1=2, então Paris é a capital da França. (2) Se 1+1≠2, então Paris é a capital da França. (3) Se 1+1≠2, então Roma é a capital da França.

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Seus significados não são claros, pois nós estamos acostumados a afirmação de algum tipo de relação (usualmente causal) entre o antecedente e o conseqüente. Nós faremos a convenção que “Se A, então B” é falsa quando e somente quando A é verdadeira e B é falsa. Assim, as sentenças (1)-(3) são assumidas serem verdadeiras.

Vamos denotar “Se A, então B” por “A→B”. Uma expressão “A →B” é chamada uma condicional. Então “A→B” tem a seguinte tabela de verdade:

A B A → B V V V V F F F V V F F V e) Bicondicional:

Vamos denotar “A se e somente se B” por “A↔B”. Esta

expressão é chamada uma bicondicional. Claramente, A↔B é verdadeira quando e somente quando A e B têm os mesmos valores de verdade. Sua tabela de verdade, portanto, é:

A B A ↔ B V V V V F F F V F F F V

Os símbolos ~, ∧, ∨, →, ↔ serão chamados de conectivos proposicionais. Toda sentença construída por aplicação desses conectivos tem um valor de verdade que depende dos valores de verdade das sentenças constituintes. Para tornar esta dependência clara, vamos aplicar o nome forma sentencial para uma expressão construída a partir das letras sentenciais, A, B, C, etc. por apropriadas aplicações dos conectivos proposicionais. Mais precisamente: (1) Todas as letras sentenciais (letras maiúsculas do alfabeto romano) e tais letras com numerais subscritos (como por exemplo, A A B1 2 5, , ,...) são formas sentenciais. (2) Se α e β são formas sentenciais, então (~α), (α∧β), (α∨β), (α→β) e (α↔β) são formas sentenciais.

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(3) Somente são formas sentenciais aquelas expressões que são determinadas por meio de (1) e (2). Exercício: Dê exemplos de formas sentenciais.

Para cada assinalamento de valores de verdade V ou F às letras sentenciais que ocorrem numa forma sentencial, corresponde, em virtude das tabelas de verdade para os conectivos proposicionais, uma tabela de verdade para a forma sentencial. Assim, cada forma sentencial determina uma função de verdade, que pode ser graficamente representada por uma tabela de verdade. Por exemplo, a forma sentencial (((~A)∨B)→C) tem a seguinte tabela de verdade:

A B C (~ A) ((~A)∨B) (((~A)∨B)→C) V V V F V V V V F F V F V F V F F V V F F F F V F V V V V V F V F V V F F F V V V V F F F V V F

Se existe n letras distintas numa forma sentencial, então existe 2n assinalamentos possíveis de valores de verdade para as letras sentenciais e, portanto, 2n linhas na tabela de verdade.

Uma tabela de verdade pode ser abreviada escrevendo

somente a forma sentencial completa, colocando os valores de verdade das letras sentenciais embaixo de todas as ocorrências dessas letras, e escrevendo, passo a passo, o valor de verdade de cada forma sentencial componente sob o conectivo principal da forma. Como um exemplo, para ((A↔B)→((~A)∧B)), nós obtemos (( A ↔ B) → (( ~ A) ∧ B)) V V V F F V F V V F F V F V F F F F V V V F V V F V F F V F F F Obs.: A partir deste ponto será utilizada a convenção usual para eliminação de parênteses.

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Exercício: (1) Escreva as tabelas de verdade das formas sentenciais abaixo: (1.1) (A → ~B) → (~B ↔ ~ A) (1.2) (A ∨ B) ↔ ~ (~A ∧ ~ B). I.2) Tautologias

Uma função de verdade de n argumentos é definida como

uma função de n argumentos, os argumentos e valores dos quais são os valores de verdade V ou F. Como já foi dito, toda forma sentencial determina uma correspondente função de verdade.

Uma forma sentencial que é sempre verdadeira, não

importando quais possam ser os valores de verdade de suas letras sentenciais, é chamada uma tautologia. Uma forma sentencial é uma tautologia se e somente se sua correspondente função de verdade toma somente o valor de verdade V, ou equivalentemente, se, em sua tabela de verdade, a coluna abaixo do conectivo principal da forma sentencial contiver apenas V’s. Exercício: (2) Verifique se as formas sentenciais abaixo são tautologias ou não e justifique a sua resposta: (2.1) (A ∧ B) → A (2.2) (A → B) → (~B → A)

Se α → β é uma tautologia, se diz que α implica logicamente β, ou de outro modo, β é dita ser uma conseqüência lógica de α. Exercício: (3) Verifique se a forma sentencial (~A ∨ B) implica logicamente a forma sentencial (~B → A) e justifique sua resposta.

Se α ↔ β é uma tautologia, se diz que α e β são logicamente equivalentes. Exercício: (4) Verifique se as formas sentenciais (~A ∨ B) e (B ∧ ~A) são logicamente equivalentes e justifique sua resposta.

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Uma forma sentencial que é falsa para todos os possíveis valores de verdade de suas letras sentenciais é chamada uma contradição. Sua tabela de verdade tem apenas F’s abaixo do conectivo principal. Note que uma forma sentencial α é uma tautologia se e somente se ~A for uma contradição, e vice-versa.

Por meio de tabelas de verdade, nós temos procedimentos

efetivos para determinar se uma forma sentencial é uma tautologia, e para determinar se uma forma sentencial implica logicamente ou é logicamente equivalente a uma outra forma sentencial.

Proposição 1.1:

Se α e α→β são tautologias, então β é uma tautologia. Prova: (Por redução ao absurdo)

Assuma o seguinte: (1) α é uma tautologia (2) α→β é uma tautologia (3) β não é uma tautologia Então, pela hipótese (3), β toma o valor F para algum

assinalamento de valor de verdade às suas letras sentenciais. Como pela hipótese (1) α sempre toma o valor V para qualquer assinalamento de valores de verdade às suas letras sentenciais, então, em alguma assinalamento de valores para as letras sentenciais de α e β, α toma o valor V e β toma o valor F e, portanto, α→β toma o valor F. Mas, isto contradiz a hipótese (2). Logo, β não pode tomar o valor F e assim, β é uma tautologia. Proposição 1.2

Se α é uma tautologia contendo como letras sentenciais A1, A2, A3,...,An e β vem de α por substituir A1, A2,....,An por formas sentenciais α1, α2,...,αn, respectivamente, então β é uma tautologia; ou seja, substituição em uma tautologia produz uma tautologia. Exemplo: Seja α: (A1 ∧ A2) → (A1 ∨ A2) - Tautologia Seja α1: (B ∧ C) Seja α2: (C ∨ D) Então, β é : ((B ∧ C) ∧ (C ∨ D)) → ((B ∧ C) ∨ (C ∨ D)) - Tautologia Prova:

Tome como hipóteses:

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(1) α é uma tautologia contendo como letras sentenciais A1, A2,...,An

(2) β vem de α substituindo A1, A2,...,An por formas sentenciais α1, α2,...,αn, respectivamente

Devemos provar que β é uma tautologia. Para qualquer assinalamento de valores de verdade às letras

sentenciais de β, as formas sentenciais α1,...,αn tem os valores de verdade x1,...,xn (onde cada xi é V ou F).

Se nós assinalarmos os valores x1,...,xn para α1,...,αn, respectivamente, então o valor de verdade resultante de α é o valor de verdade de β para o dado assinalamento de valores de verdade. Uma vez que α é uma tautologia, pela hipótese (1), esse valor deve ser V. Logo, β sempre toma o valor V e portanto é uma tautologia. Para o exemplo dado acima : α: (A1 ∧ A2) → ( A1 ∨ A2) - Tautologia (x1) F V(x2) (x1) F V (x2) F V V ( para este assinalamento) β: ((B ∧ C) ∧ (C ∨ D)) → ((B ∧ C) ∨ (C ∨ D)) - Tautologia V F F V V F F V

(x1) F V (x2) (x1) F V (x2) F V V Proposição 1.3:

Se β1 vem de α1 por substituir α por uma ou mais ocorrências de β, então (α ↔ β) → (α1 ↔ β1) é uma tautologia. Portanto, se

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α e β são logicamente equivalentes, então α1 e β1 são logicamente equivalentes. Exemplo: Seja α: A→B Seja β: A ∨ B (( ) )) ( )) ( ))A B A B B A B B A B→ ↔ ∨ → → → ↔ → ∨

α β α

α

β

β

1 24 34 124 34 124 34

1 244 344

124 34

1 244 3441 1

Prova: Considere qualquer assinalamento de valores de verdade para

as letras sentenciais. Vamos considerar dois casos: 1º) α e β tem valores de verdade opostos nesse assinalamento: Então, α ↔ β toma o valor F. Portanto, (α ↔ B) → ( α1 ↔ β1) toma o valor V 2º) α e β tem os mesmos valores de verdade. Então α1 e β1 tem também os mesmos valores, já que β1 difere de α1 somente por conter β em alguns lugares onde α1 contém α. Assim, neste caso, α ↔ β é V e α1 ↔ β1 também é V. Logo, ((α ↔ β) → (α1 ↔ β1)) é V. Dualidade: (No Mendelson (1.26 (a)):

Se α é uma forma sentencial envolvendo somente ~, ∧ e ∨, e

α' vem de α pela substituição de cada ∧ por ∨ e cada ∨ por ∧, mostre que: (I) α é uma tautologia se e somente se ~α' é uma tautologia. (II) Se α → β é uma tautologia então β' → α' é uma

tautologia. (III) Se α ↔ β é uma tautologia então α' ↔ β' é uma

tautologia. Prova de (I) (⇒) : Provaremos que, se α é uma tautologia, então ~α' é uma tautologia Assumiremos como hipótese: α é uma tautologia Provaremos: ~α' é uma tautologia

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Se α é uma tautologia (por hipótese), substituímos todas as letras sentenciais de α por suas negações. Então obtemos uma tautologia (pela proposição 1.2). Depois jogamos para fora todas os novos símbolos de negação (usando equivalências). O resultado é ~α' e é uma tautologia. Exemplo: α é A ∨ ~A - Tautologia Substituindo as letras sentenciais por suas negações, fica : ~ A ∨ ~~A. Jogando os novos símbolos de negação para fora (usando equivalências), temos: ~ (A ∧ ~A)

α' (⇐ ): Provaremos que, se ~α' é uma tautologia então α é uma tautologia Assumiremos como hipótese: ~α' é uma tautologia Provaremos: α é uma tautologia.

Se ~α' é uma tautologia, seja β, ~α'. Pela 1ª parte, como β é

uma tautologia (por hipótese), temos que ~β' é uma tautologia. Mas ~β' é ~~α. Portanto, α é uma tautologia. Entendendo melhor, através de um exemplo (tomando o exemplo anterior): ~α' é ~ ( A ∧ ~ A ) - Tautologia Chame ~α' de β, isto é, ~ ( A ∧ ~ A ) é β. Então β' é ~ ( A ∨ ~ A) Assim, ~β' é ~~( A ∨ ~A)

α Ora, pela 1ª parte, se β é uma tautologia, então ~β' é também uma tautologia. Mas, ~β' é ~~α, e ~~α é equivalente a α. Logo, α é uma tautologia. Prova de (II):

α → β é equivalente a ~α ∨ β que por sua vez é equivalente a β ∨ ~ α. Esta forma sentencial só é constituída de ~, ∧, ∨, e é uma tautologia (por hipóteses). Chame a forma β ∨ ~α de ψ.

Ora, ψ' vem de ψ trocando ∨ por ∧ e vice-versa. Então, ψ' é β' ∧ ~ α'. Pela parte (I) já provada, se ψ é uma tautologia, então ~ψ' é

uma tautologia, isto é, ~ (β' ∧ ~α') é uma tautologia. Usando equivalências, temos que ~ (β' ∧ ~α') é equivalente a β' → α'. Mas, isto é o que queremos provar.

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Vamos mostrar um exemplo: Seja α → β a forma sentencial (A ∧ ~A) → (B ∧ C) - Tautologia. Usando equivalências, temos: ((A ∧ ~ A) → (B ∧ C)) ⇔ (~(A ∧ ~A) ∨ (B ∧ C)) ⇔ ((B ∧ C) ∨ ~(A ∧ ~A)). Chame (B ∧ C) ∨ ~(A ∧ ~A) de ψ e lembre-se que ψ é uma tautologia. Então ψ' é (B ∨ C) ∧ ~(A ∨ ~A). Pela parte (I), ~ψ' é uma tautologia já que ψ é tautologia. Isto é, ~((B ∨ C) ∧ ~(A ∨ ~A)) é uma tautologia. Mas, esta forma sentencial é equivalente a (B ∨ C) → (A ∨ ~A), isto é, β' → α'. Logo, β' → α' é uma tautologia. Prova de (III): Tente provar a parte (III), lembrando-se que α ↔ β é equivalente a (α → β) ∧ (β → α). Exercícios: 5) α é ~(A ∧ B) ∨ B e é uma tautologia. Mostre que ~α' é também uma tautologia. 6) ~α' é ~(~(A ∨ B) ∧ B) e é uma tautologia. Mostre que α é uma tautologia. 7) Seja α → β : (A ∨ B) → (B ∨ A) - Tautologia.

Mostre que β' → α' é uma tautologia. 8) Seja α ↔ β: (A ∧ B) ↔ (B ∧ A) - Tautologia.

Mostre que α' ↔ β' é uma tautologia.

Nas formas sentenciais constituídas somente de ∧, ∨, ~, podemos derivar uma equivalência lógica a partir de outra equivalência lógica, seguindo os procedimentos abaixo: a) Nega os dois lados da bicondicional (continua sendo uma tautologia) b) Troca todas as letras sentenciais por suas negações(uso da Proposição1.2) c) Usa De Morgan quantas vezes sejam necessárias. Vejamos um exemplo: Derive (A ∨ (B ∧ C)) ⇔ ((A ∨ B) ∧ (A ∨ C)) a partir de (A ∧ (B ∨ C)) ⇔ ((A ∧ B) ∨ (A ∧ C)). Então, começamos com (A ∧ (B ∨ C)) ⇔ ((A ∧ B) ∨ (A ∧ C)) e seguimos os procedimentos ditos acima:

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(a) Nega os dois lados da bicondicional: ~(A ∧ (B ∨ C)) ⇔ ~((A ∧ B) ∨ (A ∧ C)) (b) Troca todas as letras sentenciais por suas negações: ~(~A ∧ (~B ∨ ~C)) ⇔ ~((~A ∧ ~B) ∨ (~A ∧ ~C)) (c) Usa De Morgan: (c.1) (A ∨ ~ (~B ∨ ~ C)) ⇔ (~(~A ∧ ~B) ∧ ~(~A ∧ ~C)) (c.2) (A ∨ (B ∧ C)) ⇔ ((A ∨ B) ∧ (A ∨ C)) - Esta é a equivalência desejada no início do exercício. Exercícios: (9) Derivar (A ∨ B) ⇔ (B ∨ A) a partir de (A ∧ B) ⇔ (B ∧ A). (10) Derivar ((A ∨ B) ∧ ~B)⇔(A ∧ ~B) a partir de ((A ∧ B)∨~B) ⇔ (A∨~B)

Se α é uma forma sentencial envolvendo somente ~, ∧ , ∨, então chamamos α* a forma sentencial resultante de trocarmos ∧ por ∨ e vice-versa e substituirmos cada letra sentencial por sua negação.Então, α* é equivalente a ~α (Mendelson prova esta proposição no exercício 1.26(c), mas aqui vamos apenas aplicá-la, utilizando alguns exemplos). Exemplo: Considere a forma sentencial abaixo: (~A ∧ ~B) ∨ ~C - Chame esta forma sentencial de β Então: (1) β* é (~~A ∨ ~~B) ∧ ~~C) (2) ~β é ~((~A ∧ ~B) ∨ ~C)) Pelo que foi dito na proposição acima, (1) e (2) são equivalentes e isto pode ser mostrado através de tabela de verdade ou pelo uso de equivalências. Exercícios: (11) Considere a forma sentencial abaixo: (A ∨ ~ B) ∧ ~C - Chame-a de ψ . (11.a) Identifique ψ* (11.b) Identifique ~ψ (11.c) Mostre que ψ* e ~ψ são equivalentes. (12) Seja α a forma sentencial: (A ∨ ~B) ∧ A ∧ (~C ∨ (A ∧ C)). Descubra uma forma sentencial equivalente à negação de α, na qual ~ aplica-se somente à letras sentenciais.

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Conjuntos adequados de conectivos

Toda forma sentencial contendo n letras sentenciais gera uma

correspondente função de verdade de n argumentos e esta função de verdade pode ser exposta por meio de uma tabela de verdade. Também pode-se provar que para toda função de verdade dada existe uma forma sentencial que a determina e esta forma sentencial envolve apenas os conectivos ~, ∧, ∨. (Mendelson prova isto na Proposição 1.4)

Por um conjunto adequado de conectivos entende-se ser uma

coleção β de conectivos tal que toda função de verdade é determinada por uma forma sentencial nos conectivos de β. Então, pelo que foi dito acima, { ~,∧,∨} é um conjunto adequado de conectivos.

Como um corolário do resultado acima, pode-se provar que

toda função de verdade corresponde a uma forma sentencial contendo como conectivos somente ∧ e ~, ou somente ∨ e ~, ou somente → e ~. Isto é, cada um dos conjuntos {~,∧}, { ~,∨} e {~,→} é um conjunto adequado de conectivos. Exercícios: (13) Seja α a forma sentencial (~A ∨ ~B) → (~A ∨ ~C). Encontre uma forma sentencial com somente ∧, ~ equivalente a α. (14) A partir de (A → B) ∧ (~B ∧ ~B) encontre uma forma sentencial equivalente com somente ∨,~. (15) A partir da forma (~A ∨ B) ∧ ~C encontre uma forma sentencial equivalente com somente ~,→.

Formas normais disjuntivas (FND) e Formas normais conjuntivas (FNC)

Uma forma sentencial está em forma normal disjuntiva (FND) se ela é uma disjunção consistindo de um ou mais disjuntos, cada um dos quais é uma conjunção de uma ou mais letras sentenciais e negações de letras sentenciais. Ex.: (A ∧B) ∨ (A ∧ C); (A ∧ B ∧ C) ∨ (C ∧ ~B) ∨ (A ∧ ~C); A; A ∧ B; A ∧ (B ∧ C).

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Uma forma sentencial está em forma normal conjuntiva (FNC) se ela é uma conjunção de um ou mais conjuntos, cada um dos quais é uma disjunção de uma ou mais letras sentenciais e negações de letras sentenciais. Ex.: (B ∨ ~ C) ∧ (A ∨ D); A ∧ (B ∨ A) ∧ (~B ∨ A); A; A ∧ B; A ∨ ~B. Obs: Letras sentenciais e suas negações são consideradas como conjunções ou disjunções degeneradas.

Mendelson prova na Proposição 1.4 que qualquer forma sentencial α é logicamente equivalente a uma forma sentencial em forma normal disjuntiva. Pode-se achar esta forma sentencial por tabela de verdade ou usando equivalências. Vejamos um exemplo: Seja α: ((A ∨ B) → ~B Faça a tabela de verdade: A B ~B A ∨ B (A ∨ B) → ~B V V F V F V F V V V F V F V F F F V F V Considere somente os valores V abaixo do conectivo principal e pegue os valores das letras sentenciais correspondentes. Se o valor abaixo da letra for V considere a letra afirmada, se o valor for F negue a letra sentencial. Então, no exemplo acima, vamos considerar somente as linhas 2 e 4 da tabela. A forma sentencial em forma normal disjuntiva equivalente a α é: (A ∧ ~B) ∨ (~A ∧ ~B).

Uma outra maneira de obter a FND é usar equivalências. Considerando a mesma forma sentencial α, temos: 1) (A ∨ B) → ~B 2) ~(A ∨ B) ∨ ~B - de 1/ por Implicação Material 3) (~A ∧ ~B) ∨ ~B - de 2/ por De Morgan.

Observe que as formas sentenciais em FND obtidas por tabela de verdade e por equivalências são equivalentes entre si e também são equivalentes a α. Vejamos as tabelas de verdade:

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(A ∧ ~) ∨ (~A ∧ ~B) A B ~A ~B A ∧ ~B ~A ∧ ~B (A ∧ ~B) ∨ (~A ∧ ~B) V V F F F F F V F F V V F V F V V F F F F F F V V F V V (~A ∧ ~B) ∨ ~B A B ~A ~B ~A ∧ ~B (~A ∧~B) ∨ ~B V V F F F F V F F V F V F V V F F F F F V V V V

Pela Proposição 1.4 vimos que qualquer forma sentencial α é logicamente equivalente a uma forma sentencial em forma normal disjuntiva. Podemos observar que α é também equivalente a uma forma sentencial em forma normal conjuntiva e esta forma sentencial em FNC pode também ser obtida por tabela de verdade ou usando equivalências. Vejamos como proceder pela Tabela de Verdade:

Seja α a mesma fórmula considerada anteriormente: (A ∨ B) → ~B. Sua tabela já está feita mais acima. Vimos que α é equivalente à forma sentencial (A ∧ ~B) ∨ (~A ∧ ~B) que está em FND e foi obtida por tabela de verdade. Na tabela de verdade, encontre os valores de verdade para ~α e encontre a FND equivalente a ~α. Então, temos: ~α ↔ ((A ∧ B) ∨ (~A ∧ B) - em FND Agora, negue os dois lados da bicondicional: ~~α ↔ ~((A ∧ B) ∨ (~A ∧ B)) Use, agora, equivalências: α ↔ (~(A ∧ B) ∧ ~(~A ∧ B)) α ↔ ((~A ∨ ~B) ∧ (A ∨ ~B)) - em FNC

Uma maneira mais simples de obter a FNC pela tabela de verdade é ir direto na tabela da forma sentencial α, pegar somente os casos de F abaixo do conectivo principal, e ao construir os conjuntivos considerar as letras sentenciais da seguinte maneira: Se a letra sentencial toma valor V na tabela então nega-se esta letra e se ela toma valor F, afirma-se esta letra.

Veja a tabela de verdade para α, do exemplo anterior, isto é, a tabela de (A ∨ B) → ~B. Pegue os casos de F abaixo do conectivo principal, ou seja, pegue as linhas 1 e 3 da tabela de verdade. Na linha 1, as letras sentenciais A e B tomam valor V. Para construir o primeiro conjuntivo tome

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estas duas letras negadas, ficando então ~A ∨ ~B. Na linha 3, A é F e B é V, então toma-se, para construir o segundo conjuntivo, A afirmado e B negado, ficando então A ∨ ~B.

Portanto, a forma sentencial em FNC obtida foi (~A ∨ ~B) ∧ (A ∨ ~B) e é equivalente a α. Observe que foi a mesma forma sentencial obtida no procedimento anterior, que é também por tabela de verdade, mas aplicada a ~α.

Exercícios: (16) Seja α: (~A ∨ ~B) → B 16.a) Pela Proposição 1.4, α é equivalente a uma forma sentencial em FND. Por aplicar este resultado a ~α, mostre que α é equivalente também a uma forma sentencial em FNC. 16.b) Encontre, pela tabela de verdade (direto), a forma sentencial em FNC equivalente a α. (17) Descubra formas sentenciais em FNC e em FND equivalentes à forma sentencial abaixo (usando proposição 1.4 ou usando equivalências): ~(A → B) ∨ (~A ∧ C)

Vamos chamar uma letra sentencial A e sua negação ~A de

literais com a letra A. Uma forma normal disjuntiva é chamada completa (FNDC)

se nenhum disjunto contém duas ocorrências de literais com a mesma letra e, se uma letra ocorre em um disjunto também ocorre em todos os outros. Ex: (A ∧ B ∧ C) ∨ (~A ∧ B ∧ C) ∨ (~A ∧ ~B ∧ C)

Uma forma normal conjuntiva é chamada completa (FNCC) se nenhum conjuntivo contém duas ocorrências de literais com a mesma letra e, se uma letra ocorre em um conjuntivo também ocorre em todos os outros.

Observe que o procedimento por tabela de verdade vai nos

dar sempre FNDC e FNCC. Podemos provar que toda forma sentencial α que não é uma

tautologia é logicamente equivalente a uma forma normal conjuntiva completa β.

Vamos dar o procedimento de prova, acompanhando com um exemplo. Seja α a forma sentencial ~(A→B) ∨ (~A ∧ C)

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1) Resolva α em forma normal conjuntiva D1 ∧ D2 ∧ ..... ∧ Ds usando equivalências . 1.1) ~(~A ∨ B) ∨ (~A ∧ C) - IM 1.2) (A ∧ ~B) ∨ (~A ∧ C) - DM 1.3) (A ∨ ~A) ∧ ( A ∨ C) ∧ (~B ∨ ~A) ∧ (~B ∨ C) - DIST. 2) Por hipótese α não é uma tautologia. Portanto, existe ao menos um Di (1=i=s) que não possui uma letra sentencial junto com sua negação. - O exemplo confirma. 3) Por equivalências do tipo (β ∧ (ψ ∨ ~ψ)) ↔ β, pode-se eliminar todos os Di’s nos quais uma letra ocorre afirmada e negada. - No exemplo é eliminado o primeiro conjuntivo, isto é, D1, ficando então: (A ∨ C) ∧ (~B ∨ ~A) ∧ (~B ∨ C) 4) Pode-se também, por equivalências do tipo β ↔ (β ∨ β) eliminar as repetições de letras. - No exemplo não há casos deste tipo. 5) Assim, sobram coisas do tipo D Dk1

/ /.....∧ ∧ , onde cada D j/ é uma

disjunção de diferentes letras, cada uma das quais pode estar afirmada ou negada. - O exemplo confirma. 6) Agora, pega-se cada Dj

/ e faz-se com que nele apareçam todas as letras,

da seguinte maneira: D Xj/ (∨ ∧1 ~ X X1 2) (∨ ∧ ~ X X k2 ) ..... (∨ ∨ ∧ ~ X k ) ,

onde os Xi’s são letras que não estão em Dj/ .

- No exemplo, temos: (A ∨ C) - falta a letra B, então faz-se: (A ∨ C) ∨ (B ∧ ~B) (~B ∨ ~A) - falta a letra C: (~B ∨ ~A) ∨ (C ∧ ~ C) (~B ∨ C) - falta a letra A : (~B ∨ C) ∨ (A ∧ ~A) 7) Aplica-se distribuição e obtém-se como resultado final a forma sentencial β, isto é, uma forma sentencial em FNCC. - Desenvolvendo no exemplo: (A ∨ B ∨ C) ∧ (A ∨ ~B ∨ C) ∧ (~A ∨ ~B ∨ C) ∧ ( ~A ∨ ~B ∨ ~ C) ∧ ( A ∨ ~B ∨ C) ∧ (~A ∨ ~B ∨ C). Cortando os conjuntivos repetidos, obtemos: (A ∨ B ∨ C) ∧ (~A ∨ ~B ∨ C) ∧ (A ∨ ~B ∨ C) ∧ (~A ∨ ~B ∨ ~ C) - FNCC

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Exercício: (18) Prove que cada forma sentencial α que não é uma contradição é logicamente equivalente a uma forma sentencial β em FNDC. (Dar um exemplo, mostrando os passos da prova) (19) Descubra FNC e FND equivalentes a (A →~B) →(~C → ~B) e (A ∨ B) → (~B ∨ C), usando equivalências. Depois, transforme (se for o caso) as FNC e FND em FNCC e FNDC.

UM SISTEMA AXIOMÁTICO PARA O CÁLCULO PROPOSICIONAL

Tabelas de verdade nos permitem responder à maior parte das questões significativas concernentes aos conectivos veri-funcionais, tais como se uma dada forma sentencial é uma tautologia, uma contradição, ou nenhuma das duas, e se uma forma sentencial implica logicamente ou é logicamente equivalente a alguma outra forma sentencial. As partes mais complexas da lógica (as quais serão estudadas mais adiante) não podem ser tratadas por tabelas de verdade ou por qualquer outro procedimento efetivo similar. Consequentemente, uma outra abordagem, por meio de teorias formais, deverá ser tentada. Embora, como já foi visto, o cálculo proposicional se rende completamente ao método de tabela de verdade, será instrutivo ilustrar o método axiomático nesse ramo simples da lógica.

Uma Teoria Formal S (Axiomática ou não) é definida

quando as seguintes condições são satisfeitas: (1) Um conjunto contável de símbolos é dado como os

símbolos de S (Um conjunto é contável se ele é finito ou é infinito enumerável).

Uma seqüência finita de símbolos de S é chamada uma expressão de S.

(2) Existe um subconjunto de expressões de S chamado o

conjunto das fórmulas bem formadas de S (abreviado “fbfs”). Em outras palavras, do conjunto das expressões tira-se as fórmulas bem formadas de S.

Existe usualmente um procedimento efetivo para se

determinar se uma dada expressão é ou não uma fbf.

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(3) Do conjunto das fbfs de S, seleciona-se um subconjunto de fbfs que são os axiomas de S.

Frequentemente, pode-se decidir de modo efetivo se uma

dada fbf é ou não um axioma, e num tal caso, S é chamada uma teoria axiomática.

(4) Existe um conjunto finito R1,....,Rn de relações entre fbfs, chamadas regras de inferência.

Sobre essa parte, vamos ver agora algumas observações

retiradas do livro Mathematical Logic (Shoenfield). A primeira parte de um sistema (ou teoria) formal é sua

linguagem. Para especificar uma linguagem, deve-se primeiramente especificar seus símbolos. A maior parte de nossas linguagens artificiais terão conjuntos enumeráveis de símbolos. Qualquer sequência finita de símbolos de uma linguagem é chamada uma expressão daquela linguagem. É entendido que um símbolo pode aparecer várias vezes numa expressão; cada tal aparição é chamada uma ocorrência daquele símbolo naquela expressão. O número de ocorrências de símbolos numa expressão é chamado o comprimento daquela expressão. (Considera-se uma seqüência vazia de símbolos como uma expressão: ela é somente uma expressão de comprimento zero).

Muitas das expressões são sem sentido. Entre as expressões

que têm sentido estão as sentenças declarativas, que podem ser descritas como aquelas expressões que afirmam algum fato. Requer-se-á que em cada linguagem, certas expressões sejam designadas como as fórmulas bem formadas da linguagem (fbfs). É entendido que estas são as expressões que asseveram algum fato.

Considera-se que uma linguagem está completamente

especificada quando seus símbolos e fórmulas são especificados. Isto torna a linguagem um objeto puramente sintático. Naturalmente, muitas das nossas linguagens terão um significado (ou muitos significados), mas, o significado não é considerado ser uma parte da linguagem.

A outra parte de um sistema formal consiste de seus axiomas.

A única exigência aqui é que cada axioma seja uma fbf da linguagem do sistema formal.

19

Uma outra parte de um sistema formal nos permitirá concluir teoremas a partir de axiomas. Esta parte é realizada pelas regras de inferência. Cada regra de inferência enuncia que sob certas condições, uma fbf, chamada a conclusão da regra, pode ser inferida de certas outras fbfs, chamadas as hipóteses (ou premissas) da regra.

Voltando ao Mendelson:

Uma demonstração em S é uma sequência finita de fbfs A1,...,An tal que para cada i, ou Ai é um axioma ou Ai foi obtido de fbfs precedentes na sequência por meio de uma regra de inferência.

Teorema é a última fbf da demonstração. Em outras palavras,

um teorema de S é uma fbf A de S tal que existe uma demonstração, a última fbf da qual é A. Uma tal demonstração é chamada uma demonstração (ou prova) de A.

Todo axioma é um teorema (Ver definição de demonstração). Mesmo que S seja axiomática (isto é, mesmo que exista um

procedimento efetivo para decidir se qualquer fbf dada é ou não um axioma

), a noção de “teorema” não é necessariamente efetiva, uma vez que, em geral, não existe método mecânico (procedimento efetivo) para determinar, dada qualquer fbf A, se existe ou não uma prova de A. Uma teoria para a qual existe um tal método mecânico é dita ser decidível; em caso contrário, ela é chamada indecidível. Uma teoria decidível é, grosseiramente falando, aquela para a qual uma máquina pode ser projetada para para testar se fbfs são ou não teoremas, enquanto que numa teoria indecidível criatividade é requerida para determinar se fbfs são teoremas.

Uma fbf A é uma consequência em S de um conjunto ΓΓΓΓ de

fbfs se e somente se existir uma sequência A1,...,An de fbfs tal que: (1) An é a fbf A (isto é, An = A), e (2) para cada i, ou Ai ∈Γ ou Ai é um axioma ou Ai foi obtida de algumas das fbfs precedentes da sequência por meio de uma regra de inferência .

Uma tal sequência A1,....,An é chamada uma dedução de A a partir de ΓΓΓΓ.

Os elementos de Γ são chamados as hipóteses ou premissas da dedução.

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Observações sobre notação: a) Γ├ A (abreviação para “A é uma consequência de Γ ”) b) Γ ├S A ( para evitar confusão quando lidamos com mais de uma teoria. Adicionamos o subscrito para indicar a teoria em questão) c) Se Γ é um conjunto finito {B1,....,Bn}, escrevemos B1,....,Bn ├ A ao invés de {B1,....,Bn} ├ A. d) Se Γ é um conjunto vazio então ∅ ├ A ou ├ A . Assim ∅ ├ A se e somente se A for um teorema. Assim, ├ A é outra maneira de dizer que A é um teorema. Propriedades da noção de consequência: (1) Se Γ ⊆ ∆ e Γ├ A então ∆├ A . (Essa asserção representa o fato de que se A é demonstrável a partir de um conjunto Γ de premissas então se nós adicionarmos ainda mais premissas, A é ainda demonstrável.) (2) Γ├ A se e somente se existir um subconjunto finito ∆ de Γ tal que ∆├ A 1º lado: Se Γ├ A então existe um subconjunto ∆ de Γ tal que ∆├ A. (Essa parte é óbvia pois já sabemos que qualquer demonstração de A a partir de Γ usa somente um número finito de premissas de Γ) 2º lado: Se existe um subconjunto finito ∆ de Γ tal que ∆├ A então Γ├ A. (Essa parte é imediata pela propriedade (1)). (3) Se ∆├ A e para cada B∈∆, Γ├ B, então Γ├ A. (Γ├ B1, Γ├ B2,....,Γ├ Bn,.....Então, se Γ deduz todos os elementos de ∆ e ∆ deduz A, então Γ deduz A. Isto é, se A é demonstrável a partir de premissas em ∆ e cada premissa em ∆ é demonstrável das premissas em Γ, então A é demonstrável a partir das premissas em Γ). Outras propriedades (retiradas do livro Introduccion a la metamatematica, de Kleene): (4) Se A ∈ Γ então Γ├ A (De outra maneira: Γ├ A quando A faz parte da lista de Γ). (5) Se ├ A então Γ├ A (Se A é demonstrável a partir de um conjunto vazio de premissas, A é demonstrável a partir de qualquer conjunto de premissas).

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(6) Se Γ├ A e Γ├ A →B então Γ├ B

Vamos agora introduzir uma teoria formal axiomática L para o Cálculo Proposicional. I) Linguagem de L I.1) Conjunto enumerável de símbolos: - conectivos primitivos: ∼, → - símbolos auxiliares: ( , ) - letras sentenciais: A1, A2, A3,.... I.2) Regras de formação (Definição de fbfs) I.2.1) As letras sentenciais são fbfs; I.2.2) Se A e B são fbfs, então (∼A) e (A → B) são fbfs. (Assim, uma fbf de L é justo uma forma sentencial construída a partir das letras sentenciais Ai por meio dos conectivos ∼ e →). I.2.3) Uma expressão é uma fbf somente se ela pode ser mostrada ser uma fbf com base nas cláusulas (I.2.1) e (I.2.2). II) Axiomas (Esquemas):

Se A, B, C são fbfs quaisquer de L então os seguintes são axiomas de L. (A1) (A → (B → A)) (A2) ((A →(B → C)) → ((A → B) →( A → C))) (A3) (((∼B) → (∼A)) → (((∼B) → A) → B))

Usando a convenção usual de eliminação de parênteses,

temos: (A1) A → (B → A) (A2) (A →(B → C)) → ((A → B) →( A → C)) (A3) (∼B → ∼A) → ((∼B → A) → B)

Continuaremos a usar a convenção para eliminar parênteses.

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III) Regras de Inferência:

A única regra de inferência de L é Modus Ponens: B é uma consequência direta de A e A → B. Isto é, A, A → B ├ B. Definições: A ∧ B = def. ∼(A → B) ( “(A ∧ B)” é uma abreviação para “∼(A → ∼B)”) A ∨ B =def. ∼A → B A ↔ B =def. (A →B) ∧ (B → A)

Note que um conjunto infinito de axiomas de L é dado por meio dos três esquemas de axiomas (A1) - (A3), cada esquema representando um número infinito de axiomas.

Pode-se facilmente verificar para qualquer fbf dada se ela é

ou não um axioma. Portanto, L é axiomática.

Observações: (1) Quando dizemos “(A ∧ B)” é uma abreviação para “∼(A → ∼B)” nós entendemos que “(A ∧ B)” é para ser tomada como um outro nome (na linguagem que está sendo usada para falar sobre L) para a expressão “∼(A → ∼B)”. (2) A palavra “prova” é usada em dois sentidos distintos. Primeiro, ela tem um significado preciso definido anteriormente como um certo tipo de seqüência finita de fbfs de L. Contudo, em outro sentido, ela também designa certas seqüências da Língua Portuguesa (suplementada por vários termos técnicos) que são supostas para servir como um argumento justificando alguma asserção sobre a linguagem L (ou outras teorias formais).

Em geral, a linguagem que nós estamos estudando (neste caso

L) é chamada a linguagem objeto, enquanto a linguagem na qual nós formulamos e provamos resultados sobre a linguagem objeto é chamada a metalinguagem.

A metalinguagem poderia também ser formulada e tornada o

objeto de estudo, a qual nós estudaríamos numa metametalinguagem , e assim por diante.

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Contudo, usaremos em nosso caso, o português como nossa metalinguagem (não formalizada).

A distinção entre prova e metaprova (isto é, uma prova na

metalinguagem) leva-nos a uma distinção entre teoremas da linguagem objeto e metateoremas da metalinguagem. Para evitar confusão, geralmente usamos “proposição” ao invés de “metateorema”.

(3) Para o restante do capítulo, a menos que algo contrário seja dito, será omitido o subscrito L em ├L. Também será usado Γ, A ├ B no lugar de Γ ∪ { A} ├ B. Em geral, nós estabelecemos Γ, A1,...,An ├ B para representar Γ ∪ { A1,....,An}├ B. Exercícios: 1) Dê 5 fórmulas de L. 2) Dê 5 axiomas de L. Alguns Teoremas: Lema 1.7: Para qualquer fbf A, ├ A → A Prova:

1) ( A → (( A → A )→ A ))→(( A →( A → A )) → (A → A ) - A2

2) A → ((A → A ) → A ) - A1 3) ( A → ( A → A )) → ( A → A ) - 1,2 / MP 4) A → ( A → A ) - A1 5) A → A - 3,4 / MP

Exercício 1.45 (Provar): 1.45 (a): ├ (∼∼∼∼A →→→→ A ) →→→→ A Prova:

1) (∼A → ∼A ) → (( ∼A → A ) → A ) - A3 2) ∼ A → ∼ A - Lema 1.7 3) (∼A → A ) → A - 1,2 / MP

1.45 (b): A →→→→ B , B →→→→ C ├ A →→→→ C ( Transitividade do “ →→→→ ” ) Prova:

1) A → B - Hipótese

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2) B → C - Hipótese 3) (A → ( B → C )) → (( A → B ) → ( A → C )) - A2 4) ( B → C ) → ( A → ( B → C )) - A1 5) A → ( B → C ) - 2,4 / MP 6) ( A → B ) → ( A → C ) - 3,5 / MP 7) A → C - 1,6 / MP

1.45(c): A →→→→ ( B →→→→ C ) ├ B →→→→ ( A →→→→ C ) - (Troca de Premissas) Prova:

1) A → ( B → C ) - Hipótese 2) ( A → ( B → C )) → (( A → B ) → ( A → C )) - A2 3) ( A → B ) → ( A → C )) - 1,2 / MP 4) B → ( A → B ) - A1 5) B → ( A → C ) - 3,4 / 1.45 (b)

1.45 (d): ├ ( ∼∼∼∼ B →→→→ ∼∼∼∼ A ) →→→→ ( A →→→→ B ) Prova:

1) ( ∼ B → ∼ A ) → (( ∼ B → A ) → B ) - A3 2) A → ( ∼ B → A ) - A1 3) ( ∼ B → A ) → (( ∼ B → ∼ A ) → B ) - 1 / 1.45(c) 4) A → (( ∼ B → ∼ A ) → B ) - 2,3 / 1.45(b) 5) ( ∼ B → ∼ A ) → ( A → B ) - 4 / 1.45(c)

Proposição 1.8 (Teorema da Dedução) (Demonstrado pela 1ª vez por Herbrand, 1930)

Se Γ é um conjunto de fbfs e A e B são fbfs e Γ, A ├ B então

Γ├ A → B. Em particular, se A ├ B então ├ A → B

Observações: (1) Γ, A├ B é a dedução dada de B a partir de Γ, A.

A dedução dada (ou hipótese do teorema) diz que existe uma sequência de fbfs B1,....,Bn tal que cada Bi ou é uma das fbfs de Γ, ou a fórmula A, ou um axioma, ou uma consequência imediata de fbfs precedentes por Regras de Inferência (neste caso Modus Ponens); e a última fbf da sequência é a fbf B ( isto é, Bn = B ).

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(2) Γ├ A → B é a dedução resultante de A → B a partir de Γ. A dedução resultante (ou conclusão do teorema) diz que

existe uma sequência finita de fbfs B1,....,Bn onde cada fbf da sequência, isto é, dada Bi é ou uma das fbfs de Γ, ou um axioma, ou uma consequência imediata por Regra de Inferência (neste caso M.P.) de fbfs precedentes da sequência; e a última fbf da sequência é A → B (isto é, Bn = A → B).

Vamos demonstrar novamente os teoremas 1.45(b), (c), (d),

agora utilizando o teorema da dedução. Observe como as demonstrações ficam mais fáceis. 1.45(b): A →→→→ B , B →→→→ C ├ A →→→→ C ( Este é o Corolário 1.9(a) mais adiante no livro) Prova:

1) A → B - Hipótese 2) B → C - Hipótese 3) A - Hipótese 4) B - 1,3 / MP 5) C - 2,4 / MP 6) A → B , B → C , A ├ C - 1-5 7) A → B , B → C ├ A → C - 6 / Teorema da dedução (TD)

1.45(c): A →→→→ ( B →→→→ C ) ├ B →→→→ ( A →→→→ C ) Prova:

1) A → ( B → C ) - Hip. 2) B - Hip. 3) A - Hip. 4) B → C - 1,3 / MP 5) C - 2,4 / MP 6) A → ( B → C ) , B , A ├ C 1 - 5 7) A → ( B → C ) , B ├ A → C - 6 / TD 8) A → ( B → C ) ├ B → ( A → C ) - 7/ TD

1.45(d) ├ ( ∼∼∼∼ B →→→→ ∼∼∼∼ A ) →→→→ ( A →→→→ B ) ( Este é o Lema 1.10(d) mais na frente no livro ) Prova:

1) ∼B → ∼ A - Hip. 2) A - Hip. 3) ( ∼ B → ∼ A ) → (( ∼ B → A ) → B ) - A3

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4) A → ( ∼ B → A ) - A1 5) ( ∼B → A ) → B - 1,3 / MP 6) ∼ B → A - 2,4 / MP 7) B - 5,6 / MP 8) ∼ B → ∼ A , A ├ B - 1-7 9) ├ ( ∼ B → ∼ A ) → ( A → B ) - 7/ TD ( 2 vezes)

Corolário 1.9 (b): A →→→→ ( B →→→→ C) , B ├ A →→→→ C Prova:

1) A → ( B → C) - Hip. 2) B - Hip. 3) A - Hip. 4) B → C - 1,3 / MP 5) C - 2,4 / MP 6) A → ( B → C ), B , A ├ C 1-5 7) A → ( B → C ) , B ├ A → C 6/ TD

Refaça todas as provas do Lema 1.10 que já estão feitas no

livro, tentando entender cada uma.

Exercício 1.46: Mostre que os seguintes são teoremas de L. 1.46(a) ├ A → ( A ∨ B ) , isto é, ├ A → ( ∼ A → B ) 1.46(b) ├ A → ( B ∨ A ) 1.46(c) ├ (B ∨ A ) → ( A ∨ B ) 1.46(d) ├ ( A ∧ B ) → A , isto é, ∼ ( A → ∼ B ) → A 1.46(e) ├ ( A ∧ B ) → B 1.46(f) ├ ( A → C ) → (( B → C ) → (( ∼ A → B) → C )) 1.46(g) ├ (( A → B ) → A ) → A ( Lei de Peirce) 1.46(h) ├ A → ( B → ( A ∧ B ))

Vamos demonstrar algumas regras derivadas que a partir de

agora podem auxiliar nas demonstrações que virão mais na frente. Regras Derivadas: RD1 : A , B ├ A ∧∧∧∧ B (Conjunção, ou ∧∧∧∧ - int. ) Prova:

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1) A - Hip. 2) B - Hip. 3) A → ( B → ( A ∧ B )) - T. 1.46(h) 4) B → ( A ∧ B ) - 2,4 / MP 5) A ∧ B - 2,4 / MP 6) A , B ├ A ∧ B - 1 - 5

RD2: A ∧∧∧∧ B ├ A ( Separação, ou ∧∧∧∧ - elim. ) A ∧∧∧∧ B ├ B Prova:

1) A ∧ B - Hip. 1) A ∧ B - Hip. 2) ( A ∧ B ) → A - 1.46(d) 2) (A ∧ B ) → B - 1.46(e) 3) A - 1,2 / MP 3) B - 1,2 / MP 4) A ∧ B ├ A - 1-3 4) A ∧ B ├ B - 1-3

Será dada a seguir uma lista de teoremas do sistema L. É

importante que se tente demonstrar alguns teoremas da lista pois assim o sistema ficará bastante familiar e não se terá dificuldades em trabalhar depois sistemas equivalentes, bem como outros sistemas formais. T1) ├ ( A → B) ∨ ( B → A ) T2) ├ (( A ∧ B ) → C) → ( A → ( B → C)) - Lei de exportação T3) ├ ( A → C ) → (( B → D ) → (( A ∨ B ) → ( C ∨ D ))) T4) ├ ( A → B ) → (( A → C ) → ( A → ( B ∧ C))) T5) ├ ( A → ( B → C )) → (( A ∧ B ) → C ) - Lei de importação T6-a) ├ ( A → B ) → (( A ∧ C ) → ( B ∧ C )) T6-b) ├ ( A → B) → (( C ∧ A ) → ( C ∧ B )) T7-a) ├ ( A → B ) → (( A ∨ C ) → ( B ∨ C )) T7-b) ├ ( A → B ) → (( C ∨ A ) → ( C ∨ B )) T8-a) ├ ( ∼ A → B ) → ( ∼ B → A ) T8-b) ├ ( A → ∼ B ) → ( B → ∼ A ) T9) ├ ( A ↔ B ) → ( A → B) T10) ├ ( A ↔ B ) → ( B → A ) T11) ├ A ↔ A T12) ├ ( A ↔ B ) → (( B ↔ C ) → ( A ↔ C)) T13) ├ ( A → ( B → C)) → ((∼ ∼ A → ( ∼ ∼ B → ∼ ∼ C )) T14) ├ ∼ ∼ ( A → B ) → ( ∼ ∼ A → ∼ ∼ B)

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T15) ├ ∼ ∼ ( A → B ) → ( ∼ ∼ ( B → C ) → ∼ ∼ ( A → C )) T16) ├ ∼ ∼ ( A ∧ B ) ↔ ( ∼ ∼ A ∧ ∼ ∼ B ) T17) ├ ( A ↔ B ) → (( A → C ) ↔ ( B → C )) T18) ├ ( A ↔ B ) → (( A ∧ C ) ↔ ( B ∧ C )) T19) ├ ( A ↔ B ) → (( C ∧ A ) ↔ ( C ∧ B )) T20) ├ (A ↔ B ) → (( A ∨ C ) ↔ ( B ∨ C )) T21) ├ ( A ↔ B ) → (( C ∨ A ) ↔ ( C ∨ B )) T22) ├ ( A ↔ B ) ↔ ( ∼ A ↔ ∼ B ) T23) ├ (( A ∧ B ) ∧ C) ↔ (( A ∧ ( B ∧ C)) T24) ├ (( A ∨ B ) ∨ C ) ↔ ( A ∨ ( B ∨ C )) T25) ├ ( A ∧ B ) ↔ ( B ∧ A ) T26) ├ ( A ∨ B ) ↔ ( B ∨ A ) T27) ├ ( A ∧ A ) ↔ A T28) ├ ( A ∨ A ) ↔ A T29) ├ ( A ∧ ( A ∨ B)) ↔ A T30) ├ ( A ∨ ( A ∧ B )) ↔ A T31) ├ A → (( A → B) ↔ B) T32) ├ B → (( A → B ) ↔ B) T33) ├ ∼ A → (( A → B ) ↔ ∼ A) T34) ├ B → (( A ∧ B ) ↔ A ) T35) ├ B → (( A ∨ B ) ↔ B ) T36) ├ ∼ B → (( A ∧ B ) ↔ B ) T37) ├ ∼ B → (( A ∨ B ) ↔ B ) T38) ├ ∼ ∼ A ↔ A T39) ├ A ∨ ∼ A T40) ├ ( A ∧ ( B ∨ ∼ B )) ↔ A T41) ├ ( B ∧ ∼ B ) → A T42) ├ ( A ∨ ( B ∧ ∼ B )) ↔ A T43) ├ ( A ∧ ( B ∧ ∼ B )) ↔ ( B ∧ ∼ B ) T44) ├ ( A ∨ ( B ∨ ∼ B )) ↔ ( B ∨ ∼ B ) T45) ├ ( ∼ ∼ A ∨ ∼ ∼ B ) ↔ ( A ∨ B ) T46) ├ ( A → B ) → (( A → ∼ B ) → ∼ A ) T47) ├ ∼ ( A ∧ ∼ A ) T48) ├ ( A → B ) → (( A → C) → ( A → ( B ∧ C ))) T49) ├ ( A ↔ B ) → (( B ↔ C) → ( A ↔ C)) T50) ├ ( A ∨ B ) ↔ ∼ ( ∼ A ∧ ∼ B ) T51) ├ ( A ∧ B ) ↔ ( ∼ ∼ A ∧ ∼ ∼ B ) T52) ├ ( A ∧ B ) ↔ ∼ ( ∼ A ∨ ∼ B )

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ALGUNS TIPOS DE PROVAS: (Bibliografia: Tradução livre de texto do livro Computability (Computable functions, logic, and the foundations of mathematics) de Richard L. Epstein e Walter A. Carnielli, 1989) 1.1) Prova por Redução ao Absurdo:

O método de prova por Contradição (Redução ao absurdo) consiste em assumir que a conclusão é falsa e portanto que sua negação é verdadeira. A partir disto deriva-se uma contradição. Portanto, a conclusão é verdadeira.

Este método é baseado em duas asserções: (1) Se um enunciado implica algo falso, ele deve ser falso; (2) Para todo enunciado, ou ele ou a sua negação é verdadeira ( Lei do Terceiro Excluído) 1.2) Prova por Construção

Para mostrar que alguma coisa existe constrói-se essa coisa. 1.3) Prova por Contra-exemplo

É relacionada à prova por construção. Para mostrar que uma proposição sobre alguma classe de objetos não é verdadeira, “exibe-se” justo uma que não tem a propriedade. Por exemplo, para provar que a proposição “Todos os gatos podem nadar” é falsa, necessita-se somente descobrir um gato que não nade e atirá-lo num lago. Para provar que “Todos os números primos são ímpares” é falsa, necessita-se simplesmente exibir o número 2.

1.4) Prova por indução

O método é este: Mostra-se que o enunciado é verdadeiro para 1 (Base da indução) . Depois assume-se que ele é verdadeiro para n, um número arbitrário mas fixado (Hipótese da indução) , e mostra-se que ele é verdadeiro para n+1. Então conclui-se que ele é verdadeiro para todos os números. Por que? Ele é verdadeiro para 1; portanto, ele é verdadeiro para 2; uma vez que ele é verdadeiro para 2, ele é, portanto, verdadeiro para 3, e assim por diante.

Essas poucas palavras “e assim por diante” tem muita força. Nós acreditamos que os números naturais são completamente especificados por seu método de geração: adicionar 1, começando do 0: 0 1 2 3 4 ......

Para provar um enunciado A por indução, primeiro prova-se para algum ponto inicial nesta lista de números, usualmente 1, mas pode ser 0 ou outro número qualquer. Então estabelece-se que se tem um método de

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gerar provas que é exatamente análogo ao método de gerar números naturais: se A (n) é verdadeira, então A (n+1) é verdadeira. Tem-se a lista: A (0) Se A (0), então A (1); portanto A (1) Se A (1), então A (2); portanto A (2) Se A (2), então A (3); portanto A (3) ......................................................... Portanto, o enunciado é verdadeiro para todos os números iguais ou maiores àquele do ponto inicial.

Em essência tem-se apenas uma idéia: um processo para gerar objetos um após o outro sem fim, num caso numerais ou números, e no outro , provas. Nós aceitamos indução como uma forma correta de prova porque as duas aplicações da única idéia se equiparam. Negar a prova por indução importa em negar que os números naturais são completamente determinados pelo processo de adicionar 1 ou negar que se pode deduzir uma proposição C a partir das proposições B → C e B. *************** ** Provas por indução: 1) Indução no número de conectivos primitivos de uma fbf; 2) Indução em teoremas; 3) Indução no comprimento ( número de passos) de uma dedução; 4) Indução no comprimento ( número de ocorrências de símbolos ) de uma

expressão. 5) Indução no número de símbolos de função de um termo; etc. Proposição 1.11:

Todo teorema de L é uma tautologia. Prova:

Como um exercício, verifique que todos os axiomas de L são tautologias. Pela Proposição 1.1, modus ponens leva de tautologias a outras tautologias ( isto é, modus ponens preserva “tautologicidade”). Portanto, todo teorema de L é uma tautologia.

O Lema 1.12, que se segue, será usado na prova de que

toda tautologia é um teorema de L. Lema 1.12:

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Seja A uma fbf, e sejam B1,...,Bk as letras sentenciais que ocorrem em A. Para um dado assinalamento de valores de verdade a B1,...,Bk, seja B/

i = Bi se o valor de Bi é V; e seja Bi/ = ∼Bi se o valor de Bi é

F. Seja A / = A se o valor de A é V em tal atribuição e seja A’/ = ∼A se o valor de A é F. Então, B/1,....,B

/k ├ A /.

Por exemplo: Seja A, ∼ ( ∼ A2 → A5). Então para cada linha da tabela de verdade: A2 A5 ∼A2 ∼A2 → A5 ∼ ( ∼A2 → A5) V V F V F V F F V F F V V V F F F V F V

O Lema 1.12 assevera que existe uma relação entre cada linha da tabela e uma dedução. Por exemplo, correspondendo à 3ª linha, existe ∼A2, A5 ├ ∼∼(∼A2 → A5 ) e para a 4ª linha, ∼A2, ∼A5 ├ ∼ (∼A2 → A5 ). Outro exemplo: Seja A , A1 ∧ ∼A2

A1 A2 ∼A2 A1 ∧ ∼A2 V V F F V F V V F V F F F V F A relação de dedução correspondente, por exemplo, à 3ª linha é a seguinte: ∼A1, A2 ├ ∼ (A1 ∧ ∼A2). Prova:

A prova é feita por indução no número n de ocorrências de conectivos primitivos em A (Assumimos A escrito sem abreviações). 1º Caso: n = 0 Nesse caso, A é uma letra sentencial B1, e então o Lema reduz-se a B1├ B1 e ∼B1├ ∼B1. Explicação: B1 A V V Para esta linha, B/

1 é B1 e A / é A F F Para esta linha, B/

1 é ∼B1 e A / é ∼A Então, B1├ A, isto é, B1├ B1

32

∼B1├ ∼A , isto é, ∼B1├ ∼B1 . Portanto, B/1├ A / 2º Caso: n > 0

Por hipótese da indução, o Lema vale para todo j < n. Vamos provar que ele vale para j = n. Temos, então, dois sub-casos: ( A é ∼C ou A é C → D) 2.1) A é ∼C Como C tem menos conectivos do que A, aplicamos a hipótese da indução, isto é, B/

1,...B/k├ C / . Vamos provar que B/1,...,B

/k├ A /

Para 2.1, temos também dois sub-casos: 2.1.1) C toma o valor V num dado assinalamento de valores de verdade. Então, ∼ C toma o valor F. Mas, ∼C é A. Assim, C / é C e A / é ∼A (isto é, ∼∼C ). Por hipótese da indução aplicada à C, temos: 1) B/

1,....,B/k├ C ( pois C / é C )

2) Mas, ├ C → ∼∼C ( Lema 1.10(b)) . Assim, 3) B/

1,....,B/k├ C → ∼∼C ( De 2, pela propriedade (5) do ├ )

4) B/1,...,B

/k ├ ∼∼C. ( De 1,3 pela propriedade (6) do ├ )

Isto é, B/1,...,B

/k├ ∼A. Portanto, B/1,...,B

/k├ A /

2.1.2) C toma o valor F. Então ∼C toma o valor V. Mas, ∼C é A . Assim C / é ∼C e A / é A ( isto é, ∼C ). Por hipótese de indução, temos 1) B/

1,...B/k├ C /

Mas, C / é ∼C . Logo, 2) B/

1,...,B/k├ ∼C , isto é, B/1,...B

/k├ A /

2.2) A é C → D Pela hipótese da indução, B/

1,...,B/k├ C /

B/1,...,B

/k ├ D /

Temos 4 sub-casos: 2.2.1) C é V e D é F 2.2.2) C é F e D é F 2.2.3) C é V e D é F 2.2.4) C é F e D é V (I) Se C toma o valor F. Então, C / é ∼C ; C → D é V e assim, A / é A (isto é, C → D)

33

Pela hipótese da indução, 1) B/1,...,B

/k├ C /

2) B/1,...,B

/k├ ∼C ( pois C / é ∼C )

3) B/1,...,B

/k├ ∼C → (C → D) (Lema 1.10(c) e

propriedade (5) do ├ ) 4) B/

1,...,B/k├ C → D ( De 2,3, prop. (6) do ├)

isto é, B/1,...,B

/k├ A /

(I) dá conta dos sub-casos (2.2.2) e (2.2.4) (II) Se D toma o valor V. Então D / é D; C → D é V e A / é A Pela hipótese da indução, 1) B/

1,...,B/k├ D /

2) B/1,...,B

/k├ D (pois D / é D)

3) B/1,...,B

/k├ D → (C → D ) (Ax.1 e prop.(5) do

├) 4) B/

1,...,B/k├ C → D ( De 2,3 / prop.(6) do ├)

Isto é, B/1,...,B

/k├ A

Logo, B/1,...,B/k├ A /

(II) dá conta dos casos (2.2.1) e (2.2.4) (III) Se C toma o valor V e D toma o valor F. Então, C / é C e D / é ∼D; C → D é F e A / é ∼A (i.é, ∼(C → D)) 1) Pela hipótese da indução, B/

1,...,B/k├ C /

2) Pela hipótese da indução, B/1,...,B

/k├ D /

3) De (1), obtemos, B/1,...,B/k├ C (pois C / é C)

4) De (2), obtemos, B/1,...,B/k├ ∼D (pois D / é ∼D)

5) B/1,...,B

/k├ C → (∼D → ∼ (C → ∼D)) (Lema 1.10(f) e prop.(5) do ├)

6) De (3) e (5), pela prop.(6) do ├, obtemos B/1,...,B/k├ ∼D → ∼(C → D)

7) De (4) e (6), pela prop.(6) do ├, temos B/1,...,B/k├ ∼(C → D)

Isto é, B/1,...,B

/k├ ∼A . Logo, B/

1,...,B/k├ A / (pois A / é ∼A )

(III) dá conta do sub-caso (2.2.3). Fica assim demonstrado o Lema 1.12.

Proposição 1.13 (Teorema da Completude)

Se uma fbf A de L é uma tautologia, então ela é um teorema de L. Prova: (Kalmar, 1935)

34

Assuma que A é uma tautologia, e seja B1,...,Bk as letras

sentenciais que ocorrem em A. Para qualquer assinalamento de valores de verdade a B1,...,Bk,

nós temos, pelo Lema 1.12, B/1,...,B

/k├ A (A / é A porque A sempre toma o

valor V). Portanto, se tomarmos uma atribuição de valores onde Bk é V,

B/1,...,B

/k-1,Bk├ A e, se Bk toma o valor F, B/1,...,B

/k-1,∼Bk├ A . Assim, pelo

Teorema da Dedução, B/1,...,B

/k-1├ Bk → A e B/

1,...,B/k-1├ ∼Bk → A. Então,

pelo Lema 1.10(g) e MP, B/1,...,B

/k-1├ A. Similarmente, Bk-1 pode ser

escolhido ser V ou F e, novamente aplicando o Teorema da Dedução, Lema 1.10(g) e MP, nós podemos eliminar B/

k-1 justo como nós eliminamos B/k.

Após tais k passos, finalmente obtemos ├ A Explicação: A é uma tautologia B1,...,Bk - letras sentenciais em A Para quaisquer valores a B1,...,Bk, pelo Lema 1.12, temos B/

1,...,B/k├ A

Tome uma atribuição de valores onde Bk é V. Então, 1) B/

1,...,B/k-1 , Bk ├ A

Aplique o Teorema da dedução, 2) B/

1,...,B/k-1├ Bk → A

Agora, tome uma atribuição onde Bk é F. Então, 3) B/

1,...,B/k-1, ∼Bk├ A

Aplique o Teorema da Dedução, 4) B/

1,...,B/k-1├ ∼Bk → A

Considere o Teorema 1.10(g) como se segue: 5) ├ (Bk → A ) → ((∼Bk → A ) → A ) De (2) e (5), por propriedades do ├, obtemos 6) B/

1,...,B/k-1├ ((∼Bk → A ) → A )

Novamente, de (4) e (6) por propriedades do ├, temos 7) B/

1,...,B/k-1├ A

Continuando, agora com Bk-1 podendo ser escolhido como tomando valor V ou F, temos: 8) B/

1,...,B/k-2 , Bk-1 ├ A

9) B/1,...,B

/k-2 , ∼Bk-1├ A

10) B/1,...,B

/k-2├ Bk-1 → A - ( De 8 / TD)

35

11) B/1,...,B

/k-2├ ∼Bk-1 → A - ( De 9 / TD)

12) ├ (Bk-1 → A ) → ((∼Bk-1 → A ) → A ) - (Lema 1.10(g)) 13) B/

1,...,B/k-2├ ((∼Bk-1 → A ) → A ) - ( De 10, 12 / prop. ├ )

14) B/1,...,B

/k-2├ A - ( De 11,13 / prop. do ├)

M M M M M k ├ A E assim sucessivamente, em k passagens, obteremos ├ A O que provamos? (I) Todo teorema é tautologia ( Proposição 1.11) (II) Toda tautologia é teorema ( Proposição 1.13)

A prova de (I) é uma prova por indução em teoremas: 1) Todo axioma tem a propriedade de ser tautologia; 2) Toda regra de inferência preserva a propriedade.

Na prova do ítem (II) precisou-se do Lema 1.12 o qual foi provado por indução no número de conectivos primitivos em A (fbf qualquer). Exercício 1.48 (Mendelson): (B1 ∧ B2) → B1 é uma tautologia. Pelo método de prova da Proposição 1.13, mostre que ├ (B1 ∧ B2) → B1. Exercício 20: ∼A1 → (A1 → A2) é uma tautologia. Pelo método de prova da proposição 1.13, mostre que ├ ∼A1 → (A1 → A2). Corolário 1.4:

Se B é uma expressão envolvendo os símbolos ∼, →, ∧, ∨, e ↔ que é uma abreviação para uma fbf A de L, então B é uma tautologia se e somente se A for um teorema de L. Prova: Hipótese Geral: B é uma abreviação de A ( ⇒ ) Se B é uma tautologia então A é um teorema. Prova: Se B é tautologia, como B é logicamente equivalente a A (pelas definições e Proposição 1.3), então A é também uma tautologia. Pelo Teorema da Completude, temos que ├ A .

36

(⇐ ) Se ├ A então B é uma tautologia. Prova: Suponha que ├ A . Pela Proposição 1.11 ( Teorema da Validade), temos que A é uma tautologia. Pelas definições e Proposição 1.3, A é logicamente equivalente a B. Como A é uma tautologia temos, portanto, que B é uma tautologia. Corolário 1.15:

O sistema L é consistente; isto é, não existe uma fbf A tal que ambas A e ∼A sejam teoremas de L. Prova:

Suponha que ├ A . Então pela Prop. 1.11, A é uma tautologia e assim, ∼A é uma contradição, isto é, ∼A não pode ser uma tautologia. Portanto,├┼ ∼A e assim é impossível para ambas A e ∼A serem teoremas de L. Observações:

Note que L é consistente se e somente se nem todas as fbfs de L forem teoremas. Claramente, se L é consistente então existem fbfs que não são teoremas (por exemplo, as negações de teoremas). Por outro lado, pelo Lema 1.10(c), ├ ∼A → ( A → B ), e assim, se L fosse inconsistente - isto é, se alguma fbf A e sua negação ∼A fossem demonstráveis - então, por MP, qualquer fbf B seria demonstrável. ( Esta equivalência vale para qualquer teoria que tem MP como uma regra de inferência e na qual o Lema 1.10(c) é demonstrável).

Uma teoria na qual nem todas as fbfs são teoremas é chamada

absolutamente consistente, e esta definição é aplicável mesmo à teorias que não contém um símbolo de negação. Independência dos Axiomas

Dado um sistema formal qualquer S, dizemos que um axioma A de S é independente se A não pode ser obtido a partir dos demais axiomas por meio das regras de inferência. Em caso contrário, A é dependente e pode ser eliminado.

Para se provar a independência dos axiomas de um sistema formal, constrói-se uma matriz M= ⟨ V, D, C ⟩, onde V = conjunto dos valores de verdade; D = conjunto dos valores distinguidos e C = conectivos primitivos.

37

Obs.: O conjunto formado pelos valores distinguidos é um subconjunto próprio do conjunto dos valores de verdade. Condições gerais para se provar a independência de um dado axioma: (1) O dado axioma recebe pelo menos um valor não distinguido e os demais axiomas recebem somente o(s) valor(es) distinguido(s). (2) As regras de inferência preservam o valor distinguido, isto é, se as hipóteses recebem valor distinguido, a conclusão também recebe.

Como um exemplo, vamos mostrar a independência do Axioma A → ( B → A ) - ( A1, do sistema L de Mendelson). Seja M = {⟨ ¬ → ⟩{ , , } , { } , ,01 2 0

conjunto de valores de verdade (V)

conjunto dos valores distinguidos (D)

conectivos (C)

123 123

Agora, considere as tabelas para ∼ , → que se seguem: Para a negação

A ∼ A 0 1 1 1 2 0

Para o condicional

A B A → B 0 0 0 0 1 2 0 2 2 1 0 2 1 1 2 1 2 0 2 0 0 2 1 0 2 2 0

38

Agora, por uma instanciação no Axioma 1, vamos verificar que A1 possui pelo menos um valor não distinguido ( Condição 1) A1 → ( A2 → A1 ) A1 A2 A2 → A1 A1 → (A2 → A1 ) 0 0 0 0 0 1 2 2 Valor não-

distinguido 0 2 0 0 1 0 2 0 1 1 2 0 1 2 0 2 Valor não-distinguido 2 0 2 0 2 1 0 0 2 2 0 0 Resta mostrar que Ax.2 e Ax.3 possuem somente valores distinguidos e que MP preserva valor distinguido. A3: (∼A2 → ∼A1) → ((∼A2 → A1) → A2) só tem valor

distinguido A1 A2 ∼A1 ∼A2 ∼A2 → ∼A1 ∼A2 → A1 (∼A2 → A1) →A2 → 0 0 1 1 2 2 0 0 0 1 1 1 2 2 0 0 0 2 1 0 2 0 2 0 1 0 1 1 2 2 0 0 1 1 1 1 2 2 0 0 1 2 1 0 2 2 0 0 2 0 0 1 2 0 0 0 2 1 0 1 2 0 2 0 2 2 0 0 0 2 0 0 Para o Ax.2 também deve dar somente valores distinguidos. A tabela terá 27 linhas.

Agora, provar que Modus Ponens preserva valor distinguido

(Condição 2). Prova:

Vamos supor que A e A →B têm valor distinguido. Vamos provar que B tem valor distinguido.

39

Suponha, por redução ao absurdo, que B tem valor não distinguido ( isto é, 1 ou 2) 1º Caso: B tem valor 1. Então, A → B 0 2 2 - mas, por hipótese, A → B tem valor distinguido ( o que é

uma contradição) 2º Caso: B tem valor 2 Então, A → B 0 2 2 - mas, por hipótese, o valor de A → B é 0 ( o que é uma

contradição )

Em qualquer caso, chegamos a uma contradição. Portanto, B possui valor distinguido. Assim, com as condições (1) e (2) provadas, temos que o Ax.1 é independente. Exercício 21: Considere as tabelas dadas por Mendelson na página 38 (2ª ed.) e mostre a independência do Ax.2. CAPÍTULO II - TEORIA DA QUANTIFICAÇÃO (MENDELSON) 1) Quantificadores

Existem vários tipos de inferências que não podem ser

justificadas com base no cálculo proposicional. Por exemplo, I) Todo amigo de Martin é um amigo de John Peter não é amigo de John Logo, Peter não é amigo de Martin

A justeza dessas inferências depende não somente dos

conectivos verifuncionais, mas também do significado de expressões como todo, algum, qualquer, etc.

40

É conveniente, então, introduzir uma notação especial para representar expressões que freqüentemente ocorrem. Se P(x) afirma que x tem a propriedade P, então ∀xP(x) significa que a propriedade P vale para todo x, ou seja , que qualquer coisa tem a propriedade P; e ∃xP(x) significa que algum x tem a propriedade P, isto é, que existe ao menos um objeto tendo a propriedade P. ∀ - quantificador universal ∃ - quantificador existencial

O estudo dos quantificadores e conceitos relacionados é o

principal objeto de estudo do Capítulo II (do livro de Mendelson) - daí o título Teoria da Quantificação.

(I') - Simbolização de (I) ∀x(B(x,m) → B(x,j) B(x,y) - significa que x é um amigo de y ∼B(p,j) m - denota Martin _________________________ j - denota John ∼B(p,m) p - denota Peter Exemplo (II): Todos os seres humanos são racionais Alguns animais são seres humanos Logo, alguns animais são racionais (II ') - Simbolização de (II)

∀x(H(x) → R(x)) ∃x(A(x) ∧ H(x)) H(x); R(x); A(x) designam as propriedades _____________________ de ser humano, de ser racional, e de ser um ∃x(A(x) ∧ R(x)) animal, respectivamente Exemplo (III) O sucessor de um inteiro par é ímpar 2 é um inteiro par Logo, o sucessor de 2 é ímpar

41

(III ') - Simbolização de (III): ∀x((I(x) ∧ E(x)) → D(s(x))) I(x) = x é inteiro I(b) ∧ E(b) E(x) = x é par ____________________________________ D(x) = x é ímpar D(s(b)) s(x) = o sucessor de x b = 2

Assim como formas sentenciais foram usadas para indicar

estruturas lógicas dependentes dos conectivos proposicionais, também as formas de inferências envolvendo quantificadores, tais como as inferências dos exemplos (I) - (III), podem ser representadas abstratamente como em (I') - (III '). Observações:

Nos exemplos anteriores, “x” representa uma variável individual; “m”, “j”, “p”, “b”, representam constantes individuais; “B” é um símbolo de predicado binário; “H”, “R”, “A”, “I”, “P”, são símbolos de predicados unários; “s” é um símbolo de função unária. Predicados: - unários (ou monádicos) - predicados de um argumento - binários ( ou diádicos) - predicados de dois argumentos - ternários ( ou triádicos) - predicados de três argumentos M - n-ários - predicados de n argumentos Funções: - unárias - funções de um argumento - binárias - funções de dois argumentos - ternárias - funções de três argumentos M - n-árias - funções de n argumentos

As variáveis, os parênteses, as vírgulas e os conectivos lógicos são chamados símbolos lógicos. Os símbolos de funções, os símbolos de predicados e as constantes individuais são chamados símbolos não-lógicos ou próprios e variam de teoria para teoria.

As variáveis individuais vão designar indivíduos quaisquer; as constantes individuais vão designar indivíduos determinados; os símbolos de predicados vão corresponder intuitivamente às relações.

Os símbolos de funções aplicados às variáveis e constantes individuais geram os termos.

Linguagem para a Teoria da Quantificação: 1) Variáveis individuais: x1, x2, .....,xn,....... 2) Constantes individuais: a1, a2,...., an,...... 3) Símbolos de Predicados: A k

n 4) Símbolos de Funções: f k

n

42

5) Conectivos lógicos: ∼, →, ∀ 6) Símbolos auxiliares: , ( ) Em A e fk

nkn , n indica o número de argumentos e k distingue diferentes símbolos de

predicados ou de funções que têm o mesmo número de argumentos (n e k são quaisquer inteiros positivos). Termos 1) Uma variável é um termo; 2) Uma constante individual é um termo; 3) Se fk

n é um símbolo de função e t1,....,tn são termos, então f t tkn

n( ,...., )1 é um termo. 4) Uma expressão é um termo somente se ele pode ser mostrado ser um termo com base nas condições (1)-(3). Exemplos de termos: x1; a1; f a f a x f f x a1

11 1

21 1 2

211

1 2( ); ( , ); ( ( ), )

Obs.: Termos correspondem ao que na linguagem ordinária são nomes e expressões nominais. Por exemplo, “dois” (2) , “dois mais três” (2+3), “dois mais x” (2+x). Fórmulas Atômicas:

Se Akn é um símbolo de predicado e t1,....,tn são termos, então

A t tkn

n( ,...., )1 é uma fórmula atômica. Obs.: Os símbolos de predicados aplicados aos termos geram fórmulas atômicas. Fórmulas bem formadas (fbfs):

As fórmulas bem formadas (fbfs) da teoria da quantificação são definidas como segue: 1) Toda fórmula atômica é uma fbf; 2) Se A e B são fbfs, então (∼A ) e ( A → B ) são fbfs; 3) Se A é uma fbf e y é uma variável, então (∀y A ) é uma fbf; 4) Uma expressão é uma fbf somente se ela pode ser mostrada ser uma fbf com base nas condições (1) - (3). Exemplos de fórmulas atômicas: A x A a A f a a1

1

1 1

1

1 2

2

1

1

1 2( ); ( ); ( ( ), )

43

Exemplos de fbfs: ∀ ∀ →x A x x A x x A x1 1

1

1 2 1

2

2 2 1

1

1( ); ( ( , ) ( ))

Em ∀yA , “A ” é chamada o escopo do quantificador ∀y. Note que A não precisa conter a variável y. Neste caso, ∀yA significa o mesmo que A .

As expressões A ∧ B , A ∨ B e A ↔B são definidas como

no sistema L. (Ver sistema L) Foi desnecessário usar o símbolo ∃ como um símbolo

primitivo porque nós podemos definir o quantificador existencial como segue: ∃xA =def. ∼∀x∼A

Obs.: Veja as convenções para omissão de parênteses no texto ( páginas 17-18 e 43). Definição:

Uma ocorrência de uma variável x em uma fbf A é ligada se e somente se x é a variável do quantificador ∀x na fbf ou x ocorre no escopo de um quantificador ∀x. Em caso contrário, a ocorrência de x é livre.

Exemplos: 1) ∀ →x A x A x x1 1

11 1

21 2( ) ( , )

x1 - 1ª ocorrência é ligada x2 - única ocorrência é livre - 2ª ocorrência é ligada - 3ª ocorrência é livre 2) ∀ → ∀x A x x x A x2 1

21 2 2 1

12( ( , ) ( ))

x1 - única ocorrência é livre x2 - 1ª ocorrência é ligada

- 2ª ocorrência é ligada - 3ª ocorrência é ligada - 4ª ocorrência é ligada

Uma variável pode ter ocorrências livres e ligadas numa dada

fbf. Ex: A x x x A x12

1 2 1 11

1( , ) ( )→ ∀ Uma ocorrência de uma variável pode ser ligada em

alguma fbf A, mas ser livre em uma subfórmula de A. Ex: A variável x1 é livre na fórmula A x x x A x1

21 2 1 1

11( , ) ( )→ ∀ mas é ligada na fórmula maior

∀ → ∀x A x x x A x1 12

1 2 1 11

1( ( , ) ( )) .

44

Definição Uma variável é dita ser livre numa fbf se e somente se ela

tiver uma ocorrência livre na fbf, e ela é dita ser ligada se e somente se ela tiver uma ocorrência ligada na fbf.

Assim, uma variável pode ser livre e ligada ao mesmo tempo

numa mesma fbf. Ex.: Na fbf A x x x A x12

1 2 1 11

1( , ) ( )→ ∀ ,a variável x1 é livre e ligada ao mesmo tempo.

Exercício 21 : a) Escreva uma fbf na qual a variável x1 seja livre e ligada ao mesmo tempo. b) Escreva uma fbf com pelo menos uma ocorrência de variável livre e uma ocorrência de variável ligada. Notação:

A (x xi i k1,..., ) quer dizer que a fbf A tem algumas das variáveis

livres entre x xi i k1,..., . Isto não significa que A não contenha outras variáveis

livres; a fbf A pode também conter todas essas variáveis livres ou nenhuma. Esta notação é conveniente porque nós podemos escrever A (t1,...,tk)

como resultado de substituirmos em A todas as ocorrências livres (se alguma) de x xi i k1

,..., pelos termos t1,...,tk, respectivamente. Exemplo: Seja a fbf A x x x x1

41 2 3 4( , , , ) representada por A (x1,x2). Então A (t1,t2) passará a

representar a fbf A t t x x14

1 2 3 4( , , , ). Termo livre para uma determinada variável numa fbf

Se A é uma fbf e t é um termo, então t é livre para xi em A se e somente se nenhuma ocorrência livre de xi em A está no escopo de qualquer ∀xj, onde xj é uma variável de t.

Este conceito de t ser livre para xi em A (xi) terá certas

aplicações técnicas mais adiante. Isto significa que, se t substitui todas as ocorrências livres de xi em A (xi), nenhuma ocorrência de uma variável em t torna-se uma ocorrência ligada em A (t). Exemplos:

45

a) O termo x2 é livre para x1 em A x11

1( ) mas não é livre para x1 em ∀x A x2 1

11( ) .

Explicação: A x1

11( ) - fbf x2 - termo A x1

12( ) - resultado de substituir x1 por x2

Ao substituirmos a variável x1 pelo termo x2 nenhuma variável que era livre se torna quantificada. Portanto, x2 é livre para x1 em A x1

11( ) .

∀x A x2 1

11( ) - fbf x2 - termo ∀x A x2 1

12( ) - resultante da substituição

Se substituirmos a variável x1 pelo termo x2, então na fbf resultante x2 se torna ligada. Logo, x2 não é livre para x1 em ∀x A x2 1

11( ) .

b) O termo f x x12

1 3( , ) é livre para x1 em ∀ →x A x x A x2 12

1 2 11

1( , ) ( ) mas não é

livre para x1 em ∃ ∀ →x x A x x A x3 2 12

1 2 11

1( , ) ( ) . Explicação: b.1) Ao substituirmos a variável x1 pelo termo f x x1

21 3( , ) na fbf

∀ →x A x x A x2 12

1 2 11

1( , ) ( ) obtemos a fbf ∀ →x A f x x x A f x x2 12

12

1 3 2 11

12

1 3( ( , ), ) ( ( , )) na

qual as variáveis de f x x12

1 3( , ) continuaram livres nas duas substituições. Portanto, o

termo f x x12

1 3( , ) é livre para a variável x1 na fbf ∀ →x A x x A x2 12

1 2 11

1( , ) ( ) . b.2) Ao substituirmos a variável x1 pelo termo f x x1

21 3( , ) na fbf

∃ ∀ →x x A x x A x3 2 12

1 2 11

1( , ) ( ) obtemos ∃ ∀ →x x A f x x x A f x x3 2 12

12

1 3 2 11

12

1 3( ( , ), ) ( ( , )) e

então a variável x3 do termo f x x12

1 3( , ) tornou-se ligada. Logo, o termo f x x12

1 3( , ) não é

livre para x1 em ∃ ∀ →x x A x x A x3 2 12

1 2 11

1( , ) ( ) .

Os seguintes fatos são óbvios: 1) Um termo que não contenha variável é livre para qualquer

variável em qualquer fbf. Isto quer dizer: Dada uma fbf, no lugar de qualquer variável pode-se colocar qualquer termo livre de variável pois ele não vai cair no escopo de nenhum quantificador ∀xi, onde xi é uma variável de t, uma vez que não há variável em t.

2) Um termo t é livre para qualquer variável em A se nenhuma das variáveis de t é ligada em A . Obs.: Pode-se afirmar isso porque nenhuma variável de t está ligada em A.

3) xi é livre para xi em qualquer fbf.

Obs.: Substituir xi pela própria xi não altera nada.

46

4) Qualquer termo é livre para xi em A se A não contém

ocorrências livres de xi. Obs.: Não se faz substituição já que xi não é livre em A Exercício 22: Resolver o exercício 2.6 do livro de Mendelson (3ª ed.), página 45. Exercício 23: Transpor as seguintes sentenças para fórmulas: Exemplo: 1) Nenhum policial é honesto ∀ → ⇔x A x A x1 1

11 2

11( ( ) ( ) ∼ ∃ ∧x A x1 1

11( ( ) ∼A x2

11( ))

2) Qualquer pessoa que é persistente pode aprender lógica 3) Nem todos os pássaros podem voar 4) Qualquer pessoa ama alguém 5) Ninguém ama todo mundo 6) Alguém ama todo mundo 7) Alguém ama ninguém 8) Tânia gosta de todos 9) Qualquer droga provocadora de vícios ou é receitada ou não é benéfica 10) Alguns alunos da Universidade são primos de João 11) João não emprestará dinheiro a ninguém que seja amigo de Pedro. 12) Todos os jogadores que estão sentados entre Antônio e Mário são pacientes 13) Há uma pessoa em quem ninguém acredita. Exercício 24: 1) Passe as fbfs abaixo para a linguagem natural, considerando: A x x1

11 1( ) = é uma pessoa

A x x x12

1 2 1( , ) = odeia x2

A x x x22

1 2 1( , ) = acredita em x2 1) ∃ ∧ ∀ →x A x x A x A x x1 1

11 2 1

12 1

21 2( ( ) ( ( ) ( , )))

2) ∀ → ∀ →x A x x A x A x x1 11

1 2 11

2 12

1 2( ( ) ( ( ) ( , )))

3) ∃ ∧ ∀ → ↔x A x x A x A x x A x x1 11

1 2 11

2 12

1 2 12

2 2( ( ) ( ( ) ( ( , ) ( , )))

4) ∃ ∧ ∃ ∧x A x x A x A x x1 11

1 2 11

2 22

1 2( ( ) ( ( ) ( , )))

5) ∃ ∧ ∀ →x A x x A x1 11

1 2 11

2( ( ) ( ( ) ∼A x x22

2 1( , )))

6) ∃ ∧ ∀ →x A x x A x1 11

1 2 11

2( ( ) ( ( ) ∼A x x22

1 2( , )))

47

7) ∀ → ∃ ∧x A x x A x A x x2 11

2 1 11

1 22

1 2( ( ) ( ( ) ( , ))) Exercício 25: Tranforme as proposições abaixo para fbfs, considerando: A x2

11( ) = x1 é sensível

A x11

1( ) =x1 é uma pessoa

A x x12

1 2( , ) = x1 acredita em x2

A x x22

1 2( , ) = x1 está apaixonado por x2

a1 denota Maria a2 denota João 1) Alguém acredita em todas as pessoas. 2) Maria acredita em todas as pessoas. 3) João é sensível e alguém está apaixonado por ele. 4) Toda pessoa apaixonada por outra acredita em todas as pessoas. 5) Ninguém acredita em quem não acredita em si mesmo. 6) João não está apaixonado por Maria se e somente se não exista em pessoa que não esteja apaixonada por Maria. 7) Se Maria está apaixonada por João então alguém acredita em João. 8) Ninguém acredita em alguém. 9) Alguém acredita em João e não está apaixonado por ele. 10) Maria acredita em todas as pessoas que acreditam em João.

Interpretações

Fórmulas bem formadas têm significado somente quando

uma interpretação é dada para os símbolos. Interpretações visam conferir um significado à linguagem - (semântica).

Um significado para uma linguagem de 1ª ordem consiste de um universo e um significado de tipo apropriado para cada símbolo não-lógicos.

Uma interpretação M para L ( Linguagem da Teoria da

Quantificação) consiste no seguinte: 1) Um conjunto não-vazio D, chamado o domínio da interpretação (também chamado Universo de Discurso);

48

2) Para cada símbolo de predicado A jn de L, faz-se corresponder uma

relação n-ária ( )A jn M em D ( istoé, um subconjunto de Dn );

3) Para cada símbolo de função fjn de L, faz-se corresponder uma

operação n-ária ( )f jn M em D ( isto é, uma função de Dn em D );

4) Para cada constante individual ai de L, escolhe-se um elemento fixo (ai)

M de D. Exemplo: Considere a Linguagem L1: 1) x1, x2, x3,..... 2) a1, a2 3) A A A1

112

13, ,

4) f f11

12,

5) ∼, →, ∀ 6) ( , ) Uma interpretação para L1 poderia ser, por exemplo: 1) D = {3,4,5} 2) A A M

11

11 3........( ) { }=

A A M12

12 3 4 4 5.........( ) { , , , }= ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

A A M13

13 3 3 3 4 3 4..........( ) { , , , , , }= ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

3) f f M11

11 3 4 4 3 5 4.............( ) ( , , , , , }= ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

f f M

12

12 3 3 3 3 4 3 3 5 4 4 3 3 4 4 4 4 5 5 5 3 4

5 4 4 5 5 5

..............( ) { , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

, , , , , }

= ⟨⟨ ⟩ ⟩ ⟨⟨ ⟩ ⟩ ⟨⟨ ⟩ ⟩ ⟨⟨ ⟩ ⟩ ⟨⟨ ⟩ ⟩ ⟨⟨ ⟩ ⟩ ⟨⟨ ⟩ ⟩

⟨⟨ ⟩ ⟩ ⟨⟨ ⟩ ⟩

4) a1.........(a1)M = 3

a2..........(a2)M = 4

Exercício 26: Dê outra interpretação para a Linguagem L1 acima.

Uma fórmula sem variáveis livres é chamada fórmula

fechada ou sentença. Uma fórmula com variáveis livres é chamada fórmula aberta. Para uma dada interpretação, uma fórmula fechada representa

uma proposição que é verdadeira ou falsa, enquanto que uma fórmula aberta não é nem verdadeira nem falsa, ela pode ser satisfeita por alguns elementos do domínio e não ser satisfeita por outros, isto é, uma fórmula aberta está

49

para uma relação no domínio da interpretação que pode ser satisfeita (verdadeira) para alguns valores no domínio das variáveis livres e não satisfeita (falsa) para outros. Exemplo: (i) A x x1

21 2( , )

(ii) ∀x A x x2 12

1 2( , )

(iii) ∃ ∀x x A x x1 2 12

1 2( , ) Se tomarmos: D = {x; x é inteiro positivo} A y z1

2 ( , ) como y = z Então: (i) fórmula aberta ( 2 variáveis livres - relação binária) - Representa a relação y = z que é satisfeita por todos os pares ordenados <a,b> de inteiros positivos tal que a = b. (ii) fórmula aberta ( 1 variável livre - propriedade) - Representa a propriedade “Para todo inteiro positivo y, z = y”, que é satisfeita somente pelo inteiro positivo 1. (iii) Fórmula fechada - É verdadeira. Afirma que existe um menor inteiro positivo. Obs.: Se tivéssemos tomado como domínio o conjunto de todos os inteiros, então (iii) seria falsa. Exercício 27: Considerando L1 e a interpretação dada para a mesma na página 48, verifique se a fórmula abaixo é verdadeira ou falsa: Fbf: ∀ ∧ →x A x A x x A x x x1 1

11 1

21 1 1

31 1 1(( ( ) ( , )) ( , , ))

1-a) ( ( ) ( , )) ( , , )A a A a a A a a a11

1 12

1 1 13

1 1 1∧ → - ( aqui foi feito o que se chama

instanciação, isto é, eliminou-se o quantificador, trocando todas as ocorrências da variável do quantificador que está sendo eliminado por uma constante, no caso a1). Isto é, (3∈(A 1

1)M ∧ ⟨3,3⟩∈(A 12 )M)→⟨3,3,3⟩∈(A 1

3 )M

Considerando a interpretação dada, temos que 3∈(A 11)M , ⟨3,3⟩∉(A 1

2 )M e

⟨3,3,3⟩∈(A 13 )M . Logo, para este caso, a instanciação (1-a) é verdadeira.

1-b) ( ( ) ( , )) ( , , )A a A a a A a a a1

12 1

22 2 1

32 2 2∧ →

50

Isto é, (4∈(A 11)M ∧ ⟨4,4⟩∈ ( ) ) , , ( )A AM M

12

134 4 4→ ⟨ ⟩∈ ( Aqui trocou-se todas as

ocorrências da variável x1, pela constante a2) Como 4∈(A 1

1)M, ⟨4,4⟩∉(A 12 )M , temos que a instanciação (1-b) é verdadeira.

Portanto, considerando que todas as instanciações são verdadeiras, a ffb ∀ ∧ →x A x A x x A x x x1 1

11 1

21 1 1

31 1 1(( ( ) ( , )) ( , , )) é verdadeira para a

interpretação dada. Exercício 28 Sejam as fbfs abaixo: 1) ∀ →x A x x A x1 1

21 1 1

11( ( , ) ( ))

2) ∃ ∧x A x x A x1 12

1 1 11

1( ( , ) ( ( )) Construa uma interpretação para a linguagem e depois verifique se essas fbfs são verdadeiras ou falsas para a interpretação dada.

Exercício 29 Fazer o exercício 2.10 (Livro do Mendelson):

Para as seguintes fbfs (1)-(3) e para as seguintes interpretações, indique para que valores as fbf’s são satisfeitas ( se elas contém variáveis livres) ou se elas são verdadeiras ou falsas ( se elas não contém variáveis livres). (1) A f x x a1

212

1 2 1( ( , ), )

(2) A x x A x x12

1 2 12

2 1( , ) ( , )→

(3) ∀ ∀ ∀ → →x x x A x x A x x A x x1 2 3 12

1 2 12

2 3 12

1 3( ( , ) ( ( , ) ( , )))

Interpretação 1: O domínio é o conjunto dos inteiros positivos, A y z12 ( , ) é

y = z, f y z12 ( , ) é y.z e a1 é 1.

Isto é: D = {x: x é inteiro positivo} ou D = {1,2,3,4,.......} A 1

2 é a relação de “maior ou igual”, isto é, um subconjunto de {⟨x,y⟩ = y}.

f12 é a operação de multiplicação, isto é, {⟨⟨x,y⟩,z⟩ : x.y = z}, onde x,y,z ∈D.

a1 é 1. Verificando as fbfs: (1) A f x x a1

212

1 2 1( ( , ), ) - É uma fbf aberta (não será nem verdadeira nem falsa; como tem 2 variáveis livres, define uma relação binária em D que poderá ser satisfeita por alguns pares e não satisfeita por outros. Relação: { ⟨x,y⟩: x∈D e y∈D e x.y = 1}

51

Então, todos os pares de elementos do domínio satisfazem essa fbf. (2) A x x A x x1

21 2 1

22 1( , ) ( , )→ - É uma fbf aberta, com duas variáveis livres. Então, ela

define uma relação binária em D. Relação: { ⟨x,y⟩:(x = y)→ (y = x)}, isto é, {⟨x,y⟩: x = y} Então, esses pares satisfazem a fbf.

(3) ∀ ∀ ∀x x x1 2 3(A x x A x x A x x12

1 2 12

2 3 12

1 3( , ) ( ( , ) ( , )))→ → - É uma fbf fechada. Será verdadeira ou falsa.

Resposta: É verdadeira. Mostra que a relação correspondente a A12 é transitiva.

(Obs.: A verdade ou falsidade depende da interpretação dada.) Continuação do exercício 2.10, para a interpretação 2 e a interpretação 3 é deixada para que você tente faze-la. Interpretação 2 - O domínio é o conjunto dos seres humanos; A y z1

2 ( , ) é “y ama z”, f y z1

2 ( , ) é z e a1 é Hitler. Interpretação 3 - O domínio é o conjunto de todos os conjuntos de inteiros, A y z1

2 ( , ) é y ⊇ z , f y z12 ( , ) é y ∪ z e a1 é o conjunto vazio ∅.

Exercício 30: Fazer os exercícios 2.11(c) e 2.11(d) do livro de Mendelson. Satisfabilidade

Os conceitos de satisfatibilidade e verdade são intuitivamente claros, mas, seguindo Tarski (l936), podemos dar uma definição rigorosa. Tal definição é necessária por conduzir à provas precisas de muitos resultados matemáticos.

Satisfabilidade será a noção fundamental, na base da qual a noção de verdade será definida. Contudo, ao invés de falarmos sobre as n-uplas de objetos que satisfazem uma fbf que tem n variáveis livres, é muito mais conveniente de um ponto de vista técnico lidar uniformemente com seqüências enumeráveis.

Uma seqüência enumerável s=(s1,s2,s3,....) é para ser pensada

como satisfazendo uma fbf A que tem x x xj j j n1 2, ,...., como variáveis livres

(onde j1 < j2 < .....< jn ) se as n-uplas ⟨ ⟩s s sj j j n1 2, ,....., satisfazem A no sentido

usual. Por exemplo, uma seqüência enumerável (s1,s2,s3,....) de objetos no domínio de uma interpretação M irá satisfazer a fbf A x x1

22 5( , ) se e somente

52

se o par ordenado ⟨ ⟩s s2 5, está na relação (A 12 )M assinalada para o símbolo de

predicado A12 pela interpretação M.

Seja dada uma interpretação M com domínio D. Seja ∑ o

conjunto de todas as seqüências enumeráveis de elementos de D. Definiremos o que significa uma seqüência s=(s1,s2,...) em ∑ satisfazer uma fbf A em M.

Como um passo preliminar, definiremos para uma dada

seqüência s em ∑ uma função s* de um argumento, com termos como argumentos e valores em D (isto é, uma função s* que assinala para cada termo t um elemento s*(t) em D. Obs: A função s* tem um argumento e leva do conjunto dos termos à D. ( s* depende da seqüência s) Definindo a função s* (1) Se t é uma variável xj, s*(t) será sj. Explicação: s=(s1,s2,s3,....) s*(t) = sj Então, s*(x1) = s1

s*(x2) = s2

M M s*(xj) = sj

M M (2) Se t é uma constante individual aj, então s*(t) é a interpretação (aj)

M desta constante ( isto é, o elemento de D associado à constante na interpretação) (3) Se fn

k é um símbolo de função, ( )f nk M é a operação correspondente em

D, e t1,....,tn são termos, então s*( f t t fnk

n nk M( ,..., )) ( ) (1 = s*(t1) ,..., s*(tn))

Exemplo: Seja t, f x x12

1 2( , )

Então, s*(t) = s*( f x x f M12

1 2 12( , ) ( )= (s*(x1),s*(x2))

s* é uma função determinada pela seqüência s, a partir do

conjunto de termos em D. Intuitivamente, para uma seqüência s = (s1,s2,....) e um termo t, s*(t) é o elemento de D obtido por substituir, para cada j, o nome de sj por todas as ocorrências de xj em t e depois executar as operações da interpretação correspondendo aos símbolos de função de t. Por exemplo:

53

Se t é f x f x a22

3 12

1 1( , ( , )) D = {x: x é inteiro} f2

2 é multiplicação

f12 é soma

a1 é 2 Então, para qualquer seqüência s = (s1,s2,....) de inteiros, s*(t) é o inteiro s3.(s1+2) Calculando: s*( f x f x a2

23 1

21 1(( ), ( , ))) =

( ) ( * ( ), * ( ( , )))f s x s f x aM22

3 12

1 1 =

( ) ( * ( ),( ) ( * ( ), * ( )))f s x f s x s aM M22

3 12

1 1 =

( ) ( ,( ) ( , )) ( ) ( , ) .( )f s f s f s s s sM M M22

3 12

1 22

3 1 3 12 2 2= + = + Exercício 31: Considerando a linguagem L2 abaixo: 1) x1,x2,x3,...... 2) a1, a2 3) A A1

112,

4) f f11

12,

5) ∼ , → 6) ( ) , ∀ Considerando a interpretação para L2 ,abaixo, calcule s* dos seguintes termos: 1) a1; 2) x2; 3) f f a f x a1

211

1 12

1 2( ( ), ( , )) Interpretação: D = {x; x é número par} a1.......(a1)

M = 2 a2.......(a2)

M = 4 A A M

11

11..........( ) = {x: x é divisível por 2}

A A M12

12...........( ) = {⟨x,y⟩: x é o dobro de y}

f f M11

11............( ) = {⟨x,y⟩: x + 2 = y }

f f M12

12............( ) = {⟨⟨x,y⟩,z⟩: x + y = z }

seqüência s = (2,4,6,8,10,.....) Calculando s* dos termos: 1) s*(a1) = 2 ( item 2 da definição de s*) 2) s*(x2) = 4 ( item 1 da definição de s*)

54

3) s*(f f a f x a1

211

1 12

1 2( ( ), ( , ))=

( ) ( * ( ( )), * ( ( , )))

( ) (( ) ( * ( )),( ) ( * ( ), * ( )))

f s f a s f x a

f f s a f s x s a

M

M M M

12

11

1 12

1 2

12

11

1 12

1 2

==

( ) (( ) ( ),( ) ( , ))f f fM M M12

11

122 4 2 =

( ) ( , )f M12 4 6 10= (item 3 da definição de s*)

Exercício 32: Dê uma outra interpretação para a linguagem L2 acima, dê uma sequência de elementos do domínio dessa interpretação e calcule s* dos termos abaixo: 1) f f f f a f a x1

111

12

11

1 12

2 3( ( ( ( ), ( , ))))

2) f f f x x f a12

12

11

1 4 11

2( ( ( ), ), ( ))

Vamos dar agora uma definição indutiva da noção de satisfação. Isto é, vamos definir quando é que uma seqüência s = (s1,s2,....) satisfaz uma fbf A numa dada interpretação.

(1) Se A é uma fbf atômica da forma A t tk

nn( ,...., )1 e ( )A k

n M é a relação n-ária correspondente da interpretação, então a seqüência s = (s1,s2,....) satisfaz A se e somente se ( ) ( * ( ),...., * ( ))A s t s tk

n Mn1 , isto é, se e somente se a n-upla

⟨s*(t1),....,s*(tn)⟩ está na relação (Akn )M.

Exemplo: Considere a linguagem L2 acima e a interpretação dada no exercício 31.

Seja A a fbf A x x12

1 2( , )

Então, a seqüência s satisfaz A x x12

1 2( , ) sse ⟨s*(x1),s*(x2)⟩∈(A 12 )M sse ⟨2,4⟩∈(A M

12 ) .

Ora, ⟨2,4⟩∉ ( )A M12 . Logo, s não satisfaz A x x1

21 2( , ) nessa interpretação.

(2) s satisfaz ∼B sse s não satisfaz B. Exemplo:

Seja B a fbf A x a12

1 1( , )

Então, s satisfaz ∼A x a12

1 1( , ) sse s não satisfaz A x a12

1 1( , ) sse ⟨s*(x1),s*(a1)⟩∉ ( )A M12 sse

⟨2,2⟩∉ ( )A M12 . Ora, ⟨2,2⟩∉ ( )A M

12 . Logo, s não satisfaz A x a1

21 1( , ) e, portanto, s satisfaz

∼A x a12

1 1( , ) . (3) s satisfaz B → C sse s não satisfaz B ou s satisfaz C . Exemplo:

Seja B →C a fbf A x a A x x12

1 1 12

1 2( , ) ( , )→

55

Então, s satisfaz A x a A x x12

1 1 12

1 2( , ) ( , )→ sse s não satisfaz A x a12

1 1( , ) ou s satisfaz

A x x12

1 2( , ) . Ora, como já foi mostrado no exemplo dado anteriormente (item (2)) s não

satisfaz A x a12

1 1( , ) . Logo, s satisfaz A x a A x x12

1 1 12

1 2( , ) ( , )→ .

(4) s satisfaz ∀xiB se e somente se toda seqüência que difere de s quando muito (no máximo) no i-ésimo componente satisfaz B. Em outras palavras, uma seqüência s = (s1,s2,....,si,....) satisfaz ∀xiB se e somente se , para todo elemento c do domínio da interpretação, a seqüência (s1,s2,....,c,...) satisfaz B. Aqui, (s1,s2,,....,c,.....) denota a seqüência obtida de (s1,s2,.....,si,....) por substituir si por c. Exemplo:

∀xiB é a fbf ∀x A x1 11

1( ) s = (2,4,6,8,......)

Então, s satisfaz ∀x1A x11

1( ) sse cada seqüência de ∑ que difere de s no máximo no 1º

componente satisfaz A x11

1( ) .

Intuitivamente uma seqüência s = (s1,s2,....) satisfaz uma fbf A

sse, quando para cada i, nós substituímos todas as ocorrências livres de xi em A por um símbolo representando si, a proposição resultante é verdadeira na dada interpretação. Exercício 33: Determine se a seqüência s , da interpretação anterior, satisfaz as fbfs abaixo: 1) ∼A f x a1

211

1 1( ( ), )

2) A x A x a11

1 12

1 2( ) ( , )∧

3) A x A x x11

1 12

1 2( ) ( , )∨

Uma fbf A é verdadeira para uma interpretação M ( em símbolos ╞M A ) se e somente se toda seqüência em S satisfizer A.

A é falsa para M se e somente se nenhuma seqüência em ∑

satisfizer A . Uma interpretação M é dita ser um modelo para um conjunto

Γ de fbfs se e somente se toda fbf em Γ é verdadeira para M. Vamos verificar algumas conseqüências da noção de verdade

proposta. As propriedades I-XI que se seguem podem todas serem derivadas

56

das noções de verdade, falsidade e satisfação. Algumas provas serão dadas, outras serão deixadas como exercício.

I-a) A é falsa para M, isto é, para uma dada interpretação M, se e somente se ∼A é verdadeira para M (isto é, ╞M ∼A ). Prova: A é falsa para M sse nenhuma seqüência em S satisfaz A sse toda seqüência em S satisfaz ∼A sse ∼A é verdadeira para M. (Obs. Ver definições da página 55)

I-b) A é verdadeira para M sse ∼A é falsa para M Prova: Deixada como exercício (Exercício 34) II) Não é o caso que ╞M A e ╞M ∼A ; isto é, nenhuma fbf pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa para M. Prova: (Por redução ao absurdo) Suponha: (i) ╞M A (ii) ╞M ∼A Então, por (i) toda seqüência em S satisfaz A e, por (ii) toda seqüência em S satisfaz ∼A . Ora, como S não é vazio, existe pelo menos uma seqüência s. Assim, por (i) e (ii) , s satisfaz A e s não satisfaz A ( o que é uma contradição). Se s satisfaz A , A não pode ser falsa para M. Se s não satisfaz A, A não pode ser verdadeira para M. Portanto, não ocorre ╞M A e ╞M ∼A ao mesmo tempo. Obs.: Se A não é fechada, A pode não ser nem verdadeira nem falsa (para algumas interpretações). Exemplo: Seja A : A x x1

21 2( , )

D = {x: x é inteiro positivo} A y z1

2 ( , ) é y < z s = (b1,b2,.....) onde cada bi é um inteiro positivo Então, a seqüência s' = (3,5,.......) satisfaz A e a seqüência s'' = (5,3,.......) não satisfaz A . (III) Se ╞M A e ╞M A →B , então ╞M B . Prova: Fazer como exercício.(Exercício 35) (IV) A → B é falso para M se e somente se A é verdadeira para M e B é falsa para M, isto é, ╞M A e ╞M ∼B . Prova: A → B é falso para M se e somente se nenhuma seqüência em S satisfaz A → B sse toda seqüência em S satisfaz ∼( A → B ) sse não ocorre que (toda seqüência não satisfaz A ou toda seqüência satisfaz B ) sse não ocorre que (toda seqüência satisfaz ∼A ou toda seqüência satisfaz B ) sse toda seqüência não satisfaz ∼A e toda seqüência não satisfaz B

57

sse toda seqüência satisfaz A e toda seqüência satisfaz ∼B sse A é verdadeira para M e ∼B é verdadeira para M, isto é, ╞M A e ╞M ∼B.

(V-a) Uma seqüência s satisfaz A ∧ B se e somente se s satisfaz A e s satisfaz B. Prova: Fazer como exercício (Exercício 36) (V-b) s satisfaz A ∨ B s e somente se s satisfaz A ou s satisfaz B . Prova: Fazer como exercício (Exercício 37) (V-c) s satisfaz A ↔ B sse s satisfaz A e s satisfaz B ou s não satisfaz A nem satisfaz B . Prova: Deixada como exercício (Exercício 38) (V-d) s satisfaz ∃xiB se e somente se existir uma seqüência s' que difere de s no máximo no i-ésimo componente, tal que s' satisfaz B . Prova: Deixada como exercício (Exercício 39)

Fecho de A é a fórmula obtida de A , prefixando-se com quantificadores universais as variáveis livres de A , em ordem decrescente de índices inferiores. Exemplo: Seja A : A x x1

22 5( , ) → ∼∃x A x x x2 1

31 2 3( , , )

Então, o fecho de A é: ∀x5∀x3∀x2∀x1(A x x12

2 5( , ) → ∼∃x A x x x2 13

1 2 3( , , ) Exercício 40: Dar o fecho das seguintes fbfs: 1) A x x x A x1

31 2 3 1

14( , , ) ( )→

2) ∀ →x A x x A x x x1 12

1 2 13

3 4 5( ( , ) ( , , ))

3) A x a x x A x x x x13

1 1 3 1 14

1 2 3 5( , , ) ( , , , )∧ ∃ (VI) ╞M A se e somente se ╞M ∀xi A Prova: (⇒) Assuma ╞M A . Então, toda seqüência em S satisfaz A . Em particular, toda seqüência s' que difere de s (uma seqüência qualquer) no máximo no i-ésimo componente satisfaz A , isto é, s satisfaz ∀xi A . Como s é uma seqüência qualquer, toda seqüência satisfaz ∀xi A e, portanto, ∀xi A é verdadeira para M, isto é, ╞M ∀xi A. (⇐) Assuma ╞M ∀xi A. Então toda seqüência em S satisfaz ∀xi A . Se s é uma seqüência qualquer, então s satisfaz ∀xi A sse toda seqüência s' em S que difere de s no máximo no i-ésimo componente satisfaz A . Como s é uma seqüência qualquer, qualquer seqüência satisfaz A . Logo, A é verdadeira para M, isto é, ╞M A .

58

Uma instância de uma forma sentencial é uma fbf obtida dessa forma sentencial substituindo-se uniformemente todas as letras sentenciais por fbfs. Obs.: “uniformemente” - todas as ocorrências da mesma letra sentencial devem ser substituídas pela mesma fbf. Exemplo Forma sentencial: (A1 ∨ A2) → A2

Instância: A x A x x A x x11

1 12

1 2 12

1 2( ) ( , )) ( , )∨ → Exercício 41: Dê instâncias para as formas sentenciais abaixo: 1) A1 → (A2 → A1) 2) A1 → (∼A1 → A2) (VII) Toda instância de uma tautologia é verdadeira para qualquer interpretação. Prova: Deixada como exercício ( Exercício 42) Sugestões para a prova: 1) Mostrar que todas as instâncias dos axiomas de L são verdadeiras em qualquer interpretação. 2) Use item III de satisfabilidade (MP) 3) Use proposição 1.13 ( Completude )

Para provarmos o item (VIII) da satisfabilidade que vem a seguir, é necessário provarmos antes o seguinte Lema:

Lema: Se todas as variáveis em um termo t ocorrem na lista x xi i k1

,...., ( k =

0; quando k = 0, t não tem variáveis livres e s*(t) = (s')*(t), para toda s e s'), e se as seqüências s e s' tem os mesmos componentes nos i ith

kth

1 ,...., lugares, então s*(t) = (s')*(t). Prova: (Por indução no número m de símbolos de função em t) 1) Base: m = 0 Temos 2 casos a considerar: 1.1) t é uma constante individual ap Então, s*(ap) = (s')*(ap) 1.2) t é uma variável x i j

59

Então s*(x i j) = si j

=s' i j= (s')*( x i j

)

2) Hipótese da Indução: O que se quer provar vale para todos os inteiros positivos menores do que m. 3) Passo Indutivo: Vamos provar que vale para m. Prova: t é da forma f t tj

nn( ,...., )1

Para q = n, cada tq tem menos símbolos de função do que m e todas as suas variáveis ocorrem entre x xi i k1

,..., . Então, por hipótese da indução, s*(tq) =

(s')*(t q). Assim, s*(t) = s*( fj

n(t1,....,tn))

= ( fjn)M(s*(t1),...,s*(tn))

= ( fjn)M((s')*(t 1),...,(s')*(t n)) - (Por hip. da indução)

= (s')*( f jn(t1,....,tn)) = (s')*(t)

Lembrando a prova por indução matemática P = propriedade qualquer P(0) - Base Supondo P(n), provar que P(n + 1) Logo, ∀n P(n) Em alguns casos: P(1) ∀k=n P(k), então P(n+1) Logo, ∀n P(n)

Agora, vamos provar o item (VIII) de satisfabilidade.

(VIII) Se as variáveis livres (se alguma) de uma fbf A ocorrem na lista x xi i k1

,..., , e se as seqüências s e s' tem os mesmos componentes nos

i ithkth

1 ,...., lugares, então s satisfaz A sse s' satisfaz A . (Sugestão: Use indução no número de conectivos e quantificadores em A , isto é, use indução na construção das fbfs). Prova: Indução no número r de conectivos e quantificadores em A . 1) Base: A é uma fbf atômica, isto é, A é da forma A t tj

nn( ,..., )1 . Logo, r = 0.

Então, todas as variáveis de cada ti ocorrem entre x xi i k1,..., . Assim, pelo

Lema anterior, temos s*(ti) = (s')*(t i).

60

Mas, s satisfaz A t tjn

n( ,..., )1 sse ⟨s*(t1),....,s*(tn)⟩ ∈ (A jn )M sse (pelo Lema)

⟨(s')*(t 1),....,(s')*(t n)⟩ ∈ (A jn )M sse s' satisfaz A t tj

nn( ,..., )1 .

2) Hipótese da Indução: Assuma que, o que se quer provar vale para todo

q < r. 3) Passo Indutivo: Vamos provar que vale para r, isto é, vamos provar que

vale para ∼B e para B → C . 3.1) A é da forma ∼B Provar: s satisfaz ∼B sse s' satisfaz ∼B. Prova: s satisfaz ∼B sse s não satisfaz B sse s' não satisfaz B (por H.I.) sse s' satisfaz ∼B . 3.2) A é da forma B → C Provar: s satisfaz B → C sse s' satisfaz B → C Prova: Por H.I., temos: s satisfaz B sse s' satisfaz B s satisfaz C sse s' satisfaz C Então, s satisfaz B → C sse s não satisfaz B ou s satisfaz C sse s' não satisfaz B ou s' satisfaz C (por H.I.) sse s' satisfaz B → C . 3.3) A é da forma ∀xj B (As variáveis livres de B ocorrem entre x xi i k1

,...., e

xj ) Provar: s satisfaz ∀xj B sse s' satisfaz ∀xjB. Prova: (⇒) Assuma s satisfaz ∀xj B .

Então, qualquer seqüência que difere de s no máximo no j-ésimo lugar satisfaz B .

Seja s# qualquer sequência diferindo de s' no máximo no jth lugar.

Seja sb uma seqüência que tem os mesmos componentes que s exceto no jth lugar, onde ela tem o mesmo componente que s#. Então sb satisfaz B (já que toda seqüência que difere de s no máximo no jh lugar satisfaz B).

Desde que sb e s# concordam nos i ithkth

1 ,...., e jth lugares, segue-se, por hipótese da indução, que sb satisfaz B sse s# satisfaz B . Como sb satisfaz B, temos por MP que s# satisfaz B . Portanto, s' satisfaz ∀xjB . Explicação: Seja A ; ∀x1B

61

Por hipótese: 1) As variáveis livres de B ocorrem entre x xi i k1,...., e xj (j =1)

2) s e s' tem os mesmos componentes nos i ithkth

1 ,...., lugares. Então: (Exemplo) s = (a,b,c,d,e,f,g,a,b,c,.......) s' = (-, - ,c, -, e,- g,-,-,-,..........)

i ithkth

1 ,...., s# = ( ∆ , - , c, - , e , - , g, -, - ......) - igual a s' diferindo no máximo no j-ésimo lugar, isto

j th i ithkth

1 ,...., (j=1) sb = (∆, b, c, d, e, f ,g ,a,b,c,..........

jth i ithkth

1 ,...., (j=1) 1)Como sb difere de s apenas no jth lugar , então sb satisfaz B.

2)Desde que sb e s# concordam nos i ithkth

1 ,...., e jth lugares podemos aplicar a hipótese da indução: sb satisfaz B sse s# satisfaz B . 3) Por MP, de 1 e 2, s# satisfaz B . 4) Ora, s# é uma seqüência qualquer que difere de s' no máximo no j-ésimo lugar e satisfaz B (pelo item 4). Logo, s' satisfaz ∀xjB, isto é, s' satisfaz A .

Prova (⇐) : Deixada como exercício ( Exercício 43) (IX) Se A é uma fbf fechada, então para qualquer interpretação M, ou ╞A ╞ ∼A , isto é, ou A é verdadeira para M ou A é falsa para M. (Sugestão: use VIII). Prova: Deixada como exercício (Exercício 44) - Naturalmente, A (fechada) pode ser verdadeira para algumas interpretações e falsa para outras (Como um exemplo, considere A a1

11( ) ).

- Se A não é fechada, isto é, se A contém variáveis livres, A pode ser nem verdadeira nem falsa para algumas interpretações. (Veja exemplo já dado na página 56 deste texto). - Por outro lado, existem fbfs que não são fechadas mas que, não obstante, são verdadeiras ou falsas para qualquer interpretação. Um simples exemplo é a fbf A x1

11( ) ∨ ∼A x1

11( ) que é verdadeira para qualquer interpretação.

62

Qualquer instância de uma tautologia, mesmo sendo aberta, é verdadeira para qualquer interpretação.

Qualquer instância de uma contradição, mesmo sendo aberta

é falsa para qualquer interpretação.

(X) Assuma que t é livre para xi em A(xi). Então, ∀xiA(xi)→A(t) é verdadeira para todas as interpretações. -Para provar esta proposição Mendelson utiliza dois lemas. As provas dos lemas e da proposição não serão mostradas neste curso. Para qualquer dúvida, consulte o livro do Mendelson.

(XI) Se A não contém xi livre, então ∀xi(A→B)→(A→∀xiB) é verdadeira para todas as interpretações. Prova: (Vamos acompanhar a prova que está no livro de Mendelson).

Assuma que (XI) não é correta. Então, ∀xi(A→B)→(A→∀xiB) não é verdadeira para alguma interpretação. Pela condição 3 da definição de satisfabilidade, existe uma seqüência s tal que s satisfaz ∀xi(A→B) e s não satisfaz (A→∀xiB).

Como s não satisfaz (A→∀xiB), s satisfaz A e s não satisfaz ∀xiB. Pela condição 4 de satisfabilidade, como s não satisfaz ∀xiB temos que existe uma seqüência s' que difere de s no máximo no i-ésimo componente tal que s' não satisfaz B.

Desde que xi não é livre nem em ∀xi(A→B) nem em A e, desde que s satisfaz ambas, segue-se por (VIII) que s' também satisfaz ambas.

Uma vez que s' satisfaz ∀xi(A→B) segue-se, pela condição 4 de satisfabilidade que s' satisfaz A →B.

Desde que s' satisfaz A → B e s' satisfaz A temos, pelo ítem (III), que s' satisfaz B, o que contradiz o fato de que s' não satisfaz B.

Portanto, (XI) está provada.

Definições:

(Def. 1) Uma fbf A é logicamente válida se e somente se ela for verdadeira para qualquer interpretação.

(Def. 2) A é satisfatível sse existe uma interpretação na qual

A é satisfeita por pelo menos uma seqüência em ∑.

63

É óbvio que: a) A é logicamente válida sse ∼A não é satisfatível b) A é satisfatível sse ∼A não é logicamente válida

Se A é uma fbf fechada, sabemos que A é verdadeira ou falsa para uma dada interpretação, isto é, A é satisfeita por todas as seqüências ou por nenhuma. Portanto, se A é fechada então A é satisfatível sse A é verdadeira para alguma interpretação.

(Def. 3) Uma fbf A é contraditória sse A é falsa para

qualquer interpretação ou, equivalentemente, sse ∼A é logicamente válida. (Def. 4) Uma fbf A implica logicamente uma outra fbf B sse,

em qualquer interpretação, toda seqüência que satisfaz A também satisfaz B. De uma maneira mais geral, B é uma conseqüência lógica de um conjunto ΓΓΓΓ de fbfs sse, em qualquer interpretação, toda seqüência que satisfaz toda fbf em Γ também satisfaz B.

(Def. 5) Duas fbfs A e B são logicamente equivalentes sse

cada uma implicar logicamente a outra. As seguintes proposições são fáceis conseqüências das

definições acima: 1) A implica logicamente B sse A → B é logicamente válida. Prova: (⇒): Assuma que A implica logicamente B. Então, em qualquer interpretação, toda seqüência que satisfaz A também satisfaz B. Assim, A→B é verdadeira para qualquer interpretação (item 3 de satisfabilidade) e, portanto, A → B é logicamente válida (def. 1 acima). (⇐): Assuma que A → B é logicamente válida. Então, A → B é verdadeira para qualquer interpretação (pela def. 1 acima). Logo, qualquer seqüência em ∑ satisfaz A → B e, portanto, se toda seqüência satisfaz A também satisfaz B, isto é, A implica logicamente B (pela def. 2 acima). 2) A e B são logicamente equivalentes sse A ↔ B for logicamente válida. Prova: Deixada como exercício (Exercício 45).

64

3) Se A implica logicamente B e A é verdadeira numa dada interpretação, então B é verdadeira nesta dada interpretação também. Prova: Deixada como exercício (Exercício 46). 4) Se B é uma conseqüência de um conjunto Γ de fbfs e todas as fbfs em Γ são verdadeiras numa dada interpretação, então B também é verdadeira nesta dada interpretação. Prova: Deixada como exercício (Exercício 47).

Qualquer sentença de uma linguagem qualquer (formal ou natural) que é uma instância de uma fbf logicamente válida é chamada logicamente verdadeira, e toda instância de uma fbf contraditória é chamada logicamente falsa.

EXEMPLOS: 1) Toda instância de uma tautologia é logicamente válida. Prova: Por (VIII) toda instância de uma tautologia é verdadeira para qualquer interpretação. Então, pela Def. 1, temos que toda instância de uma tautologia é logicamente válida. 2) Se t é livre para x em A(x), então ∀xA(x)→A(t) é logicamente válida. Prova: Por (X), ∀xA(x)→A(t) é verdadeira para todas as interpretações. Então, pela Def.1, temos que ∀xA(x)→A(t) é logicamente válida. 3) Se A não contém x livre, então ∀x(A→B)→(A→∀xB) é logicamente válida. Prova: Deixada como exercício (Exercício 48) 4) A é logicamente válida sse ∀y1,.....,∀yn A é logicamente válida. Prova: Deixada como exercício (Exercício 49) 5) A fbf ∀ ∃ → ∃ ∀x x A x x x x A x x2 1 1

21 2 1 2 1

21 2( , ) ( , ) não é logicamente válida.

Como um contra exemplo, seja o domínio D o conjunto dos inteiros e seja A y z1

2 ( , ) como y < z. Então ∀ ∃x x A x x2 1 12

1 2( , ) -(Todo inteiro tem um número

inteiro menor que ele) é verdadeira, mas ∃ ∀x x A x x1 2 12

1 2( , ) - (Existe um inteiro

menor do que qualquer inteiro) é falsa. Exercício 2.16 - Mendelson

65

Mostre que as seguintes fbfs não são logicamente válidas: (a) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))∀ → ∀ → ∀ →x A x x A x x A x A x1 1

11 1 2

11 1 1

11 2

11

(b) ( ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))∀ ∨ → ∀ ∨ ∀x A x A x x A x x A x1 11

1 21

1 1 11

1 1 21

1 (Para mostrarmos que uma fbf não é logicamente válida damos um contra-exemplo, como Mendelson fez no exemplo (5) acima, isto é, damos uma interpretação na qual a fbf não seja verdadeira) Exercício 2.17 - Mendelson Mostre que as fbfs abaixo são logicamente válidas: (2.17 -a) A(t) → ∃xi A(xi) , se t é livre para xi em A(xi) Prova (Mendelson): (∀xi ∼A(xi)→ ∼A(t))→(A(t)→ ∼∀xi∼A(xi)) é logicamente válida porque é uma instância da tautologia (A → ∼B)→(B→ ∼A). Por (x), ∀xi∼A(xi)→ ∼A(t) é logicamente válida. Logo, por (III), obtemos que A(t) → ∼∀xi∼A(xi) é logicamente válida. Outra prova: (Por redução ao absurdo) Suponha que A(t) → ∃xi A(xi) não é logicamente válida. Então, ela não é verdadeira para todas as interpretações. Desse modo, existe uma interpretação na qual A(t) → ∃xi A(xi) não é verdadeira e, portanto, existe uma seqüência s tal que s satisfaz A(t) e não satisfaz ∃xi A(xi). Como s não satisfaz ∃xi A(xi), s não satisfaz ∼∀xi∼A(xi) e , assim, s satisfaz ∀xi∼A(xi). Pelo item (x), concluímos que s satisfaz ∼A(t). Logo, s satisfaz A(t) e s não satisfaz A(t), o que é uma contradição. Portanto, A(t) → ∃xi A(xi) é logicamente válida. (2.17 - b) ∀xiA → ∃xiA Prova: (Por redução ao absurdo)

Assuma que ∀xiA → ∃xiA não é logicamente válida. Então existe uma interpretação M para a qual ela não é verdadeira. Logo, existe uma seqüência s de ∑, tal que s satisfaz ∀xiA e s não satisfaz ∃xiA. Como s satisfaz ∀xiA temos que toda seqüência s' que difere de s no máximo no i-ésimo lugar satisfaz A . Logo, existe uma seqüência s' que difere de s no máximo no i-ésimo lugar que satisfaz A e, portanto, s satisfaz ∃xiA , o que é uma contradição. Portanto, ∀xiA → ∃xiA é logicamente válida.

2.17-d) ∀xiA ↔ ∼∃xi∼A Prova:

66

Devemos provar que ∀xiA ↔ ∼∃xi∼A é logicamente válida. Pelo item 2 da página 64 (texto), devemos provar que ∀xiA é logicamente equivalente a ∼∃xi∼A e, portanto, devemos provar que ∀xiA implica logicamente ∼∃xi∼A e que ∼∃xi∼A implica logicamente ∀xiA , isto é, pelo item 1 da página 64 (texto), que ∀xiA → ∼∃xi∼A é logicamente válida e que ∼∃xi∼A → ∀xiA também é logicamente válida. (⇒): Vamos provar que ∀xiA → ∼∃xi∼A é logicamente válida. Prova: Por redução ao absurdo.

Suponha que ∀xiA → ∼∃xi∼A não é logicamente válida. Então existe uma interpretação na qual ∀xiA → ∼∃xi∼A não é verdadeira e, portanto, existe uma seqüência s de ∑ tal que s satisfaz ∀xiA e s não satisfaz ∼∃xi∼A.

Como s satisfaz ∀xiA então existe uma seqüência s' diferente de s no máximo no i-ésimo componente tal que s' satisfaz A.

Como s não satisfaz ∼∃xi∼A temos que s satisfaz ∃xi∼A e, portanto, existe uma seqüência s' que difere de s no máximo no i-ésimo componente tal que s' satisfaz ∼A. Como s' satisfaz ∼A, conclui-se que s' não satisfaz A.

Portanto obtemos que s' satisfaz A e s' não satisfaz A , o que é uma contradição. Logo, ∀xiA → ∼∃xi∼A é logicamente válida.

(⇐) : Vamos provar que ∼∃xi∼A → ∀xiA é logicamente válida. Prova : Deixada como exercício (Exercício 50) Outra prova: O exercício (2.17 -d) pode também ser resolvido usando direto o “se e somente se”, da seguinte maneira:

s satisfaz ∀xiA sse toda seqüência s' ≠ s no máximo no i-ésimo componente satisfaz A sse não existe uma seqüência s' ≠ s no máximo no i-ésimo componente que satisfaça ∼A sse s não satisfaz ∃xi ∼A sse s satisfaz ∼∃xi ∼A.

(Observe que: s satisfaz ∼∃xi ∼A sse s não satisfaz ∃xi ∼A sse não existe s' ≠ s no máximo no i-ésimo componente que satisfaça ∼A).

(2.17 - e) ∀xi(A → B) → (∀xiA → ∀xiB ) Prova: Deixada como exercício (Exercício 51)