bombas y tuberias ejercicios

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Luis Muñoz Mato www.fisicaeingenieria.es

7.- RÉGIMEN DE FLUJO A TRAVÉS DE TUBERÍAS. 7.1.- Ecuación de Bernoulli generalizada. La ecuación de Bernoulli generalizada tiene en cuenta además de términos energéticos las energías suministradas o absobidas por elementos tales como bombas, las cuales suministran energía y turbinas, que absorben energía, así como las pérdidas que se producen en las tuberías por fricción (hL). Esta ecuación se dará en términos de altura por comodidad a la hora de calcular el término de pérdidas por fricción y es la siguiente:

2 21 1 2 2

1 22 2bombas turbinas L

p v p vh H H h h

g gγ γ+ + + − = + + +

Siendo H la energía suministrada o absorbida por las bombas o las turbinas respectivamente. 7.2.- Ceficiente de fricción. Su determinación. Para la determinación de las pérdidas debidas al rozamiento en las tuberías es necesario determinar el coeficiente de fricción, este coeficiente de fricción, depende del tipo de régimen de flujo en el que se encuentre el fluído en cada tubería, y para cada situación se empleará una u otra fórmula. El coeficiente de fricción es adimensional y se denota por f, a continuación se muestran las distintas expresiones para el cálculo de f:

Cálculo del coeficiente de fricción Régimen laminar (R<2000) 64

fR

=

Régimen turbulento liso

R>4000 y 73

19,25a

DK

R≤

Fórmula de Blausius (R<100000)

0,25

0,316f

R=

Fórmula de Karman-Prandtl (R>100000)

( )12log 0,8R f

f= −

Fórmula de Jain

( ) 21,8log 1,5146f R

−= −

Régimen turbulento semirrugoso o de transición

Fórmula de White-Colebrook

1 2,512log

3,71aK

Df R f

= − +

Fórmula de Lobaev 2

1,42 logR

fε

− =

Régimen turbulento rugoso 560

a

DK

R≥

Segunda fórmula de Karman-Prandtl 1

2log 1,742 a

D

Kf= +

Fórmula de Nikuradse 2

2log3,71

aKf

D

− = −

En la tabla anterior R hace referencia al número de Reynolds, f al coeficiente de fricción D al diámetro de la tubería Ka a la rugosidad de la tubería y ε a la rugosidad relativa de la tubería.



La rugosidad absoluta de las tuberías está, de igual manera, tabulada, para los diferentes materiales, la rugosidad absoluta será:

Rugosidad absoluta Material Estado del tubo Rugosidad absoluta (mm)

Vidrio, cobre, latón, plomo, bronce o alumnio

estriados

Hidráulicamente lisos 0-0,0015

PE Nuevos 0,007-0,02 PVC Nuevos 0,007-0,02

Fibrocemento o cemento aislado

Nuevos 0,025-0,3

Acero asfaltado Nuevos 0,015 Acerp estriado Nuevos 0,02-0,06 Acerp soldado Nuevos

Ligeramente incrustados Medianas incrustaciones

Abundantes incrustaciones

0,04-0,1 0,15-0,4

1,5 2-4

Acero roblonado De varios tipos 0,9-9 Hierro galvanizado Nuevos 0,15-0,20

Hierro fundido Nuevos Oxidados

Con muchas incrustaciones

0,25-0,5 1-1,5 1,5-3

Fundición asfaltada Nuevos 0,10-0,12 Hormigón Nuevos y alisados

Nuevos intermedios Nuevos rugosos

Envejecidos

0,3-0,8 1-2 2-3 3-20

Madera Según pulimentado y edad 0,183-0,91 Cauces fluviales Rugosidad absoluta base 25-1000

La rugosidad relativa ε será un parámetro adimensional que se obtiene dividiendo la rugosidad absoluta de la tubería entre el diámetro de la misma.

aK

Dε =

7.3.- El diagrama de Moody. Un método alternativo para determinar los coeficientes de fricción en tuberías es el diagrama de Moody que se incluye en el Apéndice. Este diagrama, que en realidad consta de dos diagramas diferentes nos permite calcular el valor de coeficiente de fricción sabiendo R y la rugosidad relativa de la tubería. En el caso de que no podamos calcular el número de Reynolds, tendremos que acudir al diagrama recogido en el Apéndice que nos permite calcular f sin necesidad de contar con el valor de R usando las curvas interiores del mismo. 7.4.- Pérdidas de carga continuas. Ecuación de Darcy-Weisbach. Las pérdidas de carga continuas en una tubería se calculan mediante la ecuación de Darcy-Wiesbach, que supone la ecuación básica para la determinación de pérdidas de carga en tuberías y en conductos, según esta expresión, las pérdidas de carga debidas al rozamiento en una tubería o conducto en dimensiones de altura, son proporcionales a la velocidad del fluido en la tubería al cuadrado y a la longitud de la misma y son inversamente proporcionales al diámetro de la tubería o conducto. La expresión para las pérdidas de carga debidas al rozamiento es:



2

2L

vh H f L

gD= ∆ =

Esta expresión se puede poner en función del caudal que atraviesa la tubería como: 2

5·0,0826·

QH f L

D∆ =

En donde f es el coeficiente de rozamiento o fricción, v es la velocidad, D el diámetro de la tubería, Q el caudal y L la longitud de la conducción. 7.5.- Pérdidas singulares. Tablas de valores. Además de tener pérdidas continuas debidas a la fricción con las paredes de la conducción, en un circuito hidraulico podemos tener pérdidas que denominaremos singulares y que son pérdidas de carga que sufre el fluído debido a la existencia de diversos elementos que llamaremos singularidades y que hacen que el fluido experimente una pérdida de energía. A la hora de calcular estas pérdidas singulares, se nos pueden presentar dos situaciones, por un lado que nos den la longitud equivalente del elemento singular que provoca la pérdida, en cuyo caso calcularemos la pérdida como:

2

2 eq

vH f L

gD∆ =

El otro caso que se nos puede dar es el caso de que tengamos un elemento del que no conocemos su longitud equivalente, en cuyo caso tendremos que acudir a la aplicación de una u otra expresión en función del tipo de singularidad que tengamos. A continuación se muestra el cálculo de las pérdidas singulares en determinados elementos. La expresión para calcular la pérdida de carga singular en dichos elementos es:

2

sin 2

vH f

gD∆ =

O en función del caudal: 2

sin 4·0,0826·

QH f

D∆ =

� SALIDAS DE DEPÓSITO Empalme perpendicular con bordes rectos k=0,5

Empalme perpendicular con bordes redondeados. En este caso, el cálculo de coeficiente depende de la razón que haya entre el radio del empalme y el diámetro de la tubería de salida, en el caso de que el valor que tengamos no aparezaca en la tabla, tendremos que interpolar entre los valores correspondientes:



R/D 0,1 0,25 0,4 1 K 0,15 0,06 0,04 0,0005 Empalme inclinado con bordes rectos: En este caso el coeficiente k depende del ángulo con el que salga la tubería del depósito:

α 0º 15º 30º 45º 60º K 0,5 0,6 0,7 0,82 0,93 Existe una manera alternativa de calcular este coeficiente en función del ángulo, que es utilizando la expresión:

20,5 0,3sin 0,23sink α α= + + Entrada a un depósito con bordes rectos: En este caso el coeficiente k vale siempre 1

Aumentos de sección: En este caso la expresión para calcular las pérdidas de carga singulares responde a la expresión:

2 21 2

sin 2

v vH k

g

−∆ =



El coeficiente k es constante e igual a 1, las velocidades en las distintas secciones se calculan haciendo uso de la ecuación de continuidad.

Ensanchamientos graduales con perfil cónico: La expresión para calcular las pérdidas de carga singulares es:

2 21 2

sin 2

v vH k

g

−∆ =

Para el cálculo del coeficiente k usaremos la siguiente tabla, teniendo en cuenta que si el valor que queremos no se encuentra en la misma, debemos interpolar. α 5º 10º 20º 30º 40º 90º k 0,16 0,40 0,85 1,15 1,15 1

Disminución de la sección: En este caso la expresión para calcular las pérdidas singulares es:

22

sin 2

vH k

g∆ =

Para el coeficiente k, debemos tener en cuenta la razón entre las secciones de cada uno de los tramos: S2/S1 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 K 0,5 0,43 0,32 0,25 0,14



Cambios de dirección: La expresión para las pérdidas de carga será:

2

sin 4·0,0826·

QH k

D∆ =

Para el cálculo del coeficiente k, necesitamos saber el ángulo de cambio de dirección. α 20º 40º 60º 80º 90º K 0,05 0,20 0,50 0,90 1,15

Válvula de mariposa: La expresión para las pérdidas de carga será:

2

sin 4·0,0826·

QH k

D∆ =

Para el cálculo del coeficiente k, necesitamos saber el ángulo: α 10º 20º 30º 40º 50º 60º 70º k 0,5 1,5 3,5 10 30 100 500

Válvula de compuerta: La expresión para las pérdidas de carga será:

2

sin 4·0,0826·

QH k

D∆ =

Para la determinación del coeficiente k, necesitamos conocer la razón existente entre x y D: x/D 1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 8/8 d 97 17 5,5 2,1 0,8 0,3 0,07 0,02



7.6.- Cálculo de las pérdidas de carga usando fórmulas monomias. Existe una manera alternativa de calcular las pérdidas de carga usando las denominadas

fórmulas monomias, que nos proporciona la pérdida de carga por unidad de longitud (H

JL

∆= ), cada

tipo de régimen requiere de la utilización de una u otra expresión como se muestra en la siguiente tabla Fórmulas monomias para el cálculo de las pérdidas de carga unitarias

Régimen Denominación R Fórmula Observaciones Turbulento liso

Blausius 3·103-105 5 1,75 4,7583·10J Q D− −= Comprobada en ramales de goteo

Cruciani 4·104-105 5 1,75 4,7599·10J Q D− −= Polietileno

ISO 3·103-1,5·105

5 1,76 4,7682,15·10J Q D− −=

PVC

Turbulento intermedio

Hazen-Williams

R>4000 Rr<60

1,8524,8710,373

QJ D

C− =

C=150 Plástico 140-Fibroc. 130-Hierro 120-Acero nue. 110-Acero usa. 100-Fun. Nue. 85-Fund. Usada

ISO 1,5·104-106

5 1,8 4,889,4·10J Q D− −= PVC

Veronesse 4·104-106 5 1,8 4,892·10J Q D− −= PVC

Turbulento rugoso

Scobei 4·104-106 3 1,9 4,94,098·10 scJ Q D K− −= Ksc Acero usa-0,45 Hierro-0,42 Aluminio-0,4 Ace. nuev.-0,36 PVC.-0,32

Manning R>4000 Rr>40

2 2 5,3310,3J n Q D−= n PE-0,006 PVC-0,007 Acero.-0,009 Fibroc.-0,011 Fundi.-0,012 Plástico.-0,014

En las expresiones anteriores aparece Rr que se calcula a partir de R (número de Reynolds) como se muestra en la siguiente expresiones:



·8

ar

kfR R

D=

7.7.- Instalaciones elevadoras de flujo y canalizaciones entre depósitos. Las instalaciones elevadoras de flujo consisten, fundamentalmente en dos depósitos, uno de ellos en una cota inferior, del que se extrae el agua y otro a una cota superior al que se hace llegar el agua, estas instalaciones requieren de una bomba que proporcione la energía necesaria para poder llevar el agua hasta el depósito situado en la cota superior, esta bomba suministrará una energía que llamaremos HB y que puede ser un dato a calcular o puede ser un dato del problema dado como la ecuación de trabajo de la bomba y que depende del cuadrado del caudal a elevar de la forma:

2BH a bQ= +

En un problema pueden aparecer las bombas en serie o en paralelo, en cada uno de los casos tendremos unas ecuaciones características que son las siguientes: BOMBAS EN SERIE:

1 2

1 2TOT

Q Q

H H H

== +

BOMBAS EN PARALELO

1 2

1 2TOT

H H

Q Q Q

== +

En las instalaciones elevadoras de flujo, tenemos que aplicar la ecuación de Bernoulli generalizada entre los dos depósitos añadiendo la energía suministrada por la bomba y las pérdidas de carga, de tal manera que nos queda:

2 21 1 2 2

1 22 2bomba

p v p vh H h H

g gγ γ+ + + = + + + ∆

Las pérdidas de carga serán de dos tipos, por un lado, las pérdidas de carga en la aspiración de la bomba que a su vez se dividen en dos tipos, las continuas, debidas a la longitud de la tubería y a la fricción del fluido con ésta y por otro lado las pérdidas singulares en la aspiración que dependerán del tipo de instalación que tengamos y para el cálculo de las que usaremos las fórmulas vistas en el



apartado anterior. Además tendremos las pérdidas de carga en la impulsión que serán también continuas o singulares.

a ac asa i

i ic is

H H HH H H

H H H

∆ = ∆ + ∆∆ = ∆ + ∆ ⇒ ∆ = ∆ + ∆

Otro factor de importancia en las bombas es su potencia, esta potencia se pude calcular la potencia en el eje de la bomba:

75B

e

QHN

γ=

También se puede calcular la potencia del motor para lo cual necesitamos conocer el rendimiento de la bomba.

75BQH

Nmγ

η=

Las unidades en que nos dan estas potencias, si colocamos el caudal en unidades del sistema internacional, el peso específico en kgf/m3 y la energía de la bomba en metros es el caballo de vapor (C.V.). 7.8.- Cavitación. Cuando una corriente en un dispositivo alcanza una presión inferior a la de vapor del mismo para su temperatura, el líquido se evaora, produciéndose una formación de espacios vacíos (cavidades). Las burbujas así formadas son arrastradas por la corriente hacia otros lugares. Aparecerán por lo tanto gradientes de presión que aceleran las burbujas y chocan violentamente con las paredes generando fenómenos de corrosión. La condición para que no se produzca cavitación es la siguiente:

(NPSH)d>(NPSH)r Donde los factores NPSH son los que se conocen como Net Positive Suction Head, en los problemas, el factor a calcular será el NPSHd

( ) at vd a a

P PNPSH H H

γ γ= − − − ∆

Donde:

atP : Presión atmosférica, depende de la altura sobre el nivel del mar en el que se encuentre la

instalación.

vP : Presión de vapor, depende de la temperatura.

aH : Altura a la que tiene lugar la aspiración

aH∆ : Pérdidas de carga en la aspiración, se tendrán en cuenta las pérdidas singulares y continuas.

7.9.- Golpe de ariete. Ell golpe de ariete consiste en la transformación alternativa de energía cinética que arrastra el líquido en energía elástica que almacena tanto el fluido como las propias parades de la tubería. Supongamos un depósito alimentado por un equipo de bombeo, cuando se produce la parada del equipo de bombeo el corte en el suministro de líquido hace que se produzca el cierre de la válvula de retencioon. A partir de este momento se producen las siguientes fases:

� El fluido continua moviéndose por inercia en el interior de la tubería originando una depresión en la parte posterior de la válvula.

� La presión existente en el depósito es constante y superior a la existente en la tubería en estas codiciones de depresión. Ello hace que se produzca un retroceso del fluido hacia la válvula con una velocidad determinada recuperando además su diámetro primitivo. La energía de presión del depósito se ha transformado en energía cinética. El fluido se encuentra circulando a la velocidad de régimen pero en sentido contrario y de nuevo a la presión reinante será la existente inicialmente.



� El líquido choca contra la válvula de retención, lo que trae como consecuencia un aumento de presión al mismo tiempo se produce la detención del fluido.

� Cuando la perturbación llega al depósito la presión existente en la tubería es mayor que la del depósito, este gradiente origina que el líquido inicie de nuevo el movimiento y en el sentido inicial. Aquí comienza un nuevo ciclo.

Para resolver los problemas de golpe de ariete, debemos usar las siguientes expresiones en el orden que se muestra a continuación:

1. Se calcula el tiempo de cierre '

m

k LvT C

gH= +

Donde C es un coeficiente que se saca de la tabla que se muesta a continuación, al igual que k’. L es la longitud y Hm es la altura manométrica de la impulsión que se calcula como la suma de la direfencia de altura entre el depósito superior y la bomba más las pérdidas de carga en la impulsión:

m i iH H H= + ∆

Valores del coeficiente C según la pendiente

Pendiente ( mH

L)

C

<0,20 1,0 0,3 0,5

>0,4 0,0

Determinación del coeficiente k’ en función de la longitud de impulsión Longitud de impulsión (m) k’

<500 2,00 500 1,75

500<L<1500 1,50 1500 1,25

>1500 1,00 2. Se calcula el tiempo crítico de cierre, entendio como:

2C

LT

a=

Donde L es la longitud de la tubería y el parámetro a es la denominada celeridad de la onda, dicha magnitud se calcula usando la siguiente expresión:

9900

48,3

aD

ke

=+

En esta expresión el coeficiente k depende del material del que esté hecha la tubería y se tabula a continuación, D es el diámetro interior de la tubería y e el espesor de la misma.



Cálculo del coeficiente k Tipo de tubería K

Acero, hierro 0,5 Fundición 1,00 Hormigón 5,00

Fibrocemento 5,50 Plástico 33,33

3. Se calcula la longitud crítica

2c

aTL =

Siendo a la celeridad de la onda y T el tiempo de cierre. 4. Llegados a este punto, podemos encontrarnos con 2 situaciones, por un lado, tenemos la

situación de cierre rápido, en el cual el tiempo de cierre es menor que le tiempo crítico, la sobrepresión y depresión originadas se calculan mediante la fórmula de Allievi:

A

avH

g∆ =

En este caso se verifica que la longitud de la tubería es mayor que la longitud crítica. La presión máxima que se produce en la tubería es suma de la altura geométrica y la sobrepresión de Allievi:

max Ap H H= + ∆

El caso de cierre lento es el caso de que el tiempo de cierre sea mayor que el crítico, la sobrepresión se calcula por la fórmula de michaud, según la cual, la sobrepresión responde a la exrpresión:

2M

LvH

gT∆ =

De igual modo que en el caso anterior podemos calcular los valores extremos de la presión usando la sobrepresión dada por la expresión anterior:

min

max

M

M

p H H

p H H

= − ∆= + ∆



Ejemplo 26.- Un caudal de 32 l/s de un aceite de viscosidad cinemática 1,18·10-4 m2/s y densidad relativa 0,850 circula por una tubería de fundición de 30 cm de diámetro interior y 3000 m de longitud. Se quiere conocer el tipo de régimen de flujo y la pérdida de carga unitaria (%) en la tubería. Para determinar el tipo de régimen, tenemos que calcular el número de Reynolds, en función de dicho valor, podremos determinar el régimen del aceite del problema. El número de Reynolds viene dado por:

e

vDR

υ=

Necesitamos conocer la velocidad del fluido, ya que el diámetro de la tubería y la viscosidad cinemática ya las conocemos. La velocidad la sacaraemos del dato del caudal:

2 3

2 2

4 4·32·100,452

4 0,30

D QQ vS v v

D

ππ π

−

= = ⇒ = = = m/s

Por lo tanto, el número de Reynolds tendrá un valor de:

4

0,452·0,301150

1,18·10e

vDR

υ −= = =

Como es menor que 2000, podemos afirmar que el fluido está en régimen laminar. Ahora calcularemos las pérdidas en la tubería, para ello, usaremos la fórmula de Darcy-Weisbach, según la cual:

2 2

2 2

v H vH f L J f

gD L gD

∆∆ = ⇒ = =

Siendo J la pérdida de carga por unidad de longitud en tanto por uno. Teniendo en cuenta que estamos en régimen laminar y que por lo tanto el coeficiente de fricción lo podemos calcular como:

64 640,056

1150e

fR

= = =

Ahora ya tenemos todos los datos para poder calcular la pérdida de carga por unidad de longitud:

2 230,452

0,056 1,94·10 0,19%2 2·9,81·0,30

H vJ f

L gD−∆= = = = =

Ejemplo 27.- En una tubería inclinada de 800 m de longitud y 30 cm de diámetro interior fluye un aceite pesado. El punto inicial se encuentre a una cota de 10 m con respecto al punto final. La presión en el punto inicial es de 90 m.c.a. y en el punto final 20 m.c.a. Determina el caudal sabiendo que la viscosidad cinemática vale υ=4,13·10-4 m2/s, su densidad relativa es 0,918 y la rugosidad absoluta de la tubería es de 0,06 mm. Para determinar el caudal, debemos conocer la velocidad del fluido a lo largo de la tubería, ya que la sección la podemos determinar con el dato del diámetro de la tubería, para calcular la velocidad podemos, en primer lugar aplicar la ecuación de Bernoulli entre los puntos inicial y final con la intención de obtener las pérdidas por fricción, es decir:

2 21 1 2 2

1 22 2

p v p vz z H

g gγ γ+ + = + + + ∆

Como las presiones nos las dan en m.c.a, debemos, para tenerlas en unidades de longitud, que son las unidades en las que está la ecuación anterior, dividirla entre la densidad relativa del líquido en cuestión, en este caso entre 0,918, las presiones en los puntos 1 y 2 serán:

1 90 / 0,918 98,01p

γ= = m

2 20 / 0,918 21,79p

γ= = m



Sustituyendo en la ecuación de Bernoulli, obtenemos el siguiente resultado: 98,01 10 21,79 86,22H H+ = + ∆ ⇒ ∆ = m

Ahora la velocidad la sacamos de la ecuación de Darcy, según la cual: 2 2

2

v H gDH f L v

gD fL

∆∆ = ⇒ =

El problema ahora es determinar cuál es el coeficiente f, ya que los restantes datos son conocidos. Para determinar el coeficiente f analíticamente, debemos conocer el número de Reynolds, sin embargo, no podemos calcular dicho parámetro, ya que no contamos con el dato de la velocidad, por lo tanto hemos de usar los diagramas de Moody, en concreto el segundo diagrama de Moody, para lo cual necesitamos conocoer la regusidad relativa de la tubería, que tiene un valor de:

40,062·10

300aK

Dε −= = =

También necesitamos conocer el valor del parámetro:

4

2 0,30 2·9,81·0,30·86,22578,5

4,13·10 800e

D gD HR f

Lυ −

∆= = =

Con estos datos ya tenemos suficiente para entrar en el diagrama de Moody y determinar el valor del coeficiente de rozamiento, haciendo esto, nos da que el fluido está en régimen laminar, por lo tanto podemos calcular el coeficiente de rozamiento como:

64 64 64

e

fvDR vD

υ

υ

= = =

Por lo tanto, la expresión de la pérdida por fricción quedará: 2

2

64 64

2 2

v vLH L

vD gD gD

υ υ∆ = =

De donde podemos despejar la expresión de la velocidad despejando de la expresión anterior. 2 2

4

2 86,22·2·9,81·0,307,20

64 64·4,13·10 ·800

H gDv

Lυ −

∆= = = m/s

Multiplicando este factor por la sección obtendremos el caudal, es decir: 20,300

7,20 0,5094

Q vSπ= = m3/s

Ejemplo 28.- Por una tubería de 200 mm de diámetro interior y 500 m de longitud circula un caudal de agua de 15 l/s con una pérdida de carga unitaria de 0,028 m/m. Determina la velocidad y el coeficiente de fricción y la representación de Bernoulli sabiendo que la altura de presión equivalente en el punto inicial es de 6 m y su cota de 100 m y que la cota final de la conducción es de 50 m. Para determinar el coeficiente de fricción debemos determinar en primer lugar el tipo de régimen en el que se encuentra el fluido, para ello, necesitamos calcular el número de Reynolds, para el cual necesitamos la velocidad, que sacaremos del caudal:

2 3

2 2

4 4·15·100,477

4 0,200

D QQ vS v v

D

ππ π

−

= = ⇒ = = =

Teniendo en cuenta que es agua, tomaremos una viscosidad en el sistema internacional de 1’038·10-6, quedando un número de Reynolds de:

6

0,477·0,20091900

1,038·10e

vDR

υ −= = =

Por lo que el flujo es claramente turbulento, ahora debemos determinar si es liso, rugoso o semirugoso, para usar una u otra expresión, o ir al diagrama de Moody, pero en este caso no



necesitamos nada de lo anterior, ya que podemos obtener el valor de las pérdidas de carga debidas al rozamiento, de las cuales sacaremos el valor de f. Sabiendo que la tubería tiene una longitud de 500 m y que las pérdidas unitarias son de 0,028 m/m, podemos calcular la pérdida de carga:

· 0,028·500 14H

J H J LL

∆= ⇒ ∆ = = = m

Por otro lado, también sabemos que. 2

2 2

2 14·2·9,81·0,2000,48

2 0,477 ·500

v H gDH f L f

gD v L

∆∆ = ⇒ = = =

Ahora haremos la representación de Bernoulli, sabiendo que la primera línea a representar es la línea de alturas, que representa las cotas de los puntos inicial y final, a esa línea le sumamos los términos de presión y obtenemos la línea piezométrica y a esta última le sumamos el término de velocidades y obtenemos la línea de energía: Antes, debemos calcular los datos que nos faltan, en primer lugar, debemos calcular la altura de presión en el punto final usando la ecuación de Bernoulli:

2 21 1 2 2

1 22 2

p v p vz z H

g gγ γ+ + = + + + ∆

2 26 100 50 14 42p p

γ γ+ = + + ⇒ = m

Y debemos hallar también los términos de velocidad en uno y otro punto que serán iguales, ya que la tubería tiene una sección constante y por lo tanto, en todos los pntos la velocidad del fluido será la misma:

2 20,4770,011

2 2·9,81

v

g= = m

Que como se ve es despreciable frente a las otras dos.

Ejemplo 29.- dibujar la línea de energía y dar valores a las secciones más significativas de la instalación de la figura sabiendo que la energía proporciona la bomba (representada por un círculo) es



de 21 m y J=0,05 m/m. Determina de igual manera la pérdida de carga provocada por la turbina (representada por un cuadrado).

En primer lugar determinaremos la pérdida de carga que provoca la turbina, para ello aplicamos la ecuación de Bernoulli entre dos puntos situados en la superficie libre de los depósitos 1 y 2, quedando:

2 21 1 2 2

1 22 2bomba turbina

p v p vz H z H H

g gγ γ+ + + = + + + ∆ +

En esta ecuación los términos de presión se simplifican por ser iguales en dos miembros diferentes de la ecuación y los términos de velocidad son despreciables, por lo que nos queda:

( )( )10 21 15 0,05· 20 100 100 turbinaH+ = + + + +

En donde hemos calculado las pérdidas de carga multiplicando las unitarias por la longitud total de la tubería, haciendo esto, la pérdida de carga debida a la turbian nos da un valor de:

5turbinaH = m

Para dibujar la línea de energía, debemos ir sumando o restando los pérdidas o las aportaciones energéticas, así, en cada tramo tendremos una pérdida por fricción, en la bomba tendremos un aporte energético equivalente a 21 m y en la turbina una pérdida equivalente a 5 m. La pérdida de carga en el primer tramo será de 0,05·20=1 m, por lo que en el primer tramo la línea sería:

Ahora llegamos a la bomba, que proporciona una energía equivalente a 21 metros, por lo tanto ahora ascenderemos hasta una altura de 9+21=30 m.



Ahora nos encontramos con un tramo de 100 m en el que se producirá una pérdida de carga de 0,05·100=5 m, llegando la línea de energía a una altura de 30-5=25 m.

Ahora nos encontramos en una turbina que provoca una pérdida de carga de 5 m, por lo tanto, tendremos, que la altura hasta la que llega la línea de energía es de 25 m – 5 m.



Por último tendremos una tubería de 100 m en la que se producirá una pérdida de 0,05·100=5 m, por lo que la altura de la línea de energía descenderá hasta 20-5=15 m.

Ejemplo 30.- Una instalación se compone de tres tramos diferentes en serie (AB, BC, CD). El diámetro interior del primer tramo es igual que el diámetro interior del último y vale 0,3 m con un coeficiente de rozamiento de 0,019. El diámetro interior del segundo tramao vale 0,15 m con un valor del coeficiente de fricciónde 0,015. Sabiendo que el primer tramo tiene una longitud de 40 m el el segundo 50 m y tercer tramo tiene una longitud de 60 m. Considerando que la altura de presión equivalente en el punto A es de 60 m y que la velocidad del agua en la entrada es de 1,95 m/s. Calcular las pérdidas de carga y representa las líneas de altura, de energía y piezométrica. El esquema de la conducción será el siguiente.



Tendremos en cuenta que en este caso las pérdidas serán continuas y singulares, debido a que tenemos dos singularidades, por un lado un estrechamiento de la tubería y por otro un ensanchamiento de la misma. Lo primero que haremos será calcular la velocidad en la parte estrecha de la conducción, para ello usaremos la ecuación de continuidad, según la cual:

22 21 2 1

1 1 2 2 1 2 2 124 4

D D Dv S v S v v v v

D

π π = ⇒ = ⇒ =

Lo cual nos da una velocidad de: 2 2

12 1

2

0,31,95· 7,8

0,15

Dv v

D

= = =

m/s

Calcularemos las pérdidas continuas totales como la suma de las pérdidas continuas en cada uno de los tramos por separado, es decir:

22 231 2

1 2 3 1 1 2 2 3 31 2 32 2 2

totc

vv vH H H H f L f L f L

gD gD gD∆ = ∆ + ∆ + ∆ = + +

22 2 2 231 2

1 1 2 2 3 31 2 3

2

1,95 7,80,019 40 0,015 50

2 2 2 2·9,81·0,3 2·9,81·0,15

1,950,019 60

2·9,81·0,3

totc

vv vH f L f L f L

gD gD gD∆ = + + = + +

+

Lo cual nos da una pérdida de. 16,73tot

cH∆ = m

Ahora tenemos que calcular la pérdida de carga en las singularidades, esto es, en el ensanchamiento y en el estrechamiento. Para calcular la pérdida de carga en el estrechamiento, teniendo en cuenta las expresiones dadas en las tablas, usaremos:

22

2

vH k

g

∆ =

Para calcular el coeficiente vamos a las tablas y vemos que no se ajusta a ninguno de los casos que tenenemos, por lo que tendremos que interpolar, obteniendo un valor para k de k=0,40, por lo que la pérdida de carga singular será de:

2 22 7,8

0,4 1,242 2·9,81

vH k

g

∆ = = =

m



Ahora tenemos que calcular la segunda pérdida debida al ensanchamiento, para la cual usaremos la expresión:

2 2 2 21 2 7,8 1,95

2,912 2·9,81

v vH

g

− −∆ = = = m

La pérdida de carga total será: 16,73 1,24 2,91 20,88totH∆ = + + = m.

Para dibujar las líneas de energía, piezométrica y de alturas, tendremos en cuenta que toda la tubería se encuentra a la misma altura, por lo que la línea de altura será horizontal, sobre esta línea tendremos la línea piezométrica que será la resulatate de sumar a la línea de altura la línea de presión y la de energía que será el resultado de sumar a la línea piezométrica los términos de velocidad, en primer lugar empezaremos hallando las alturas de presión en cada uno de los puntos significativos, al fnal del primer tramo, aplicando la ecuación de Bernoulli, tenemos:

2 21 1 2 2

1 22 2

p v p vz z H

g gγ γ+ + = + + + ∆

Sustituyendo los datos de que disponemos: 2 2

21,95 7,860 0 0 0,49

2·9,81 2·9,81

p

γ+ + = + + +

Lo que nos ofrece una altura de presión al final del primer tramo de:

2 56,60p

γ=

Ahora debemos hacer lo mismo, pero siendo el punto 1 el final del primer tramo y el punto 2 el comienzo del segundo tramo, en este intervalo las pérdidas de carga serán las pérdidas de carga singulares en el estrechamiento, la ecuación de partida es:

2 21 1 2 2

1 22 2

p v p vz z H

g gγ γ+ + = + + + ∆

Sustituyendo los datos de que disponemos y teniendo en cuenta que los dos puntos están al mismo nivel:

2 221,95 7,8

56,60 0 0 1,242·9,81 2·9,81

p

γ+ + = + + +

Lo que nos da una altura de presión en el comienzo del segundo tramo de:

2 52,45p

γ=

Repetimos el proceso para el tramo del medio, en donde las pérdidas serán las pérdidas continuas a lo largo del tramo estrecho de la tubería:

2 21 1 2 2

1 2

2 22

2 2

7,8 7,852,45 0 0 15,52

2·9,81 2·9,81

p v p vz z H

g g

p

γ γ

γ

+ + = + + + ∆

+ + = + + +

Lo que nos da una altura de presión en el punto final del tubo de:

2 36,93p

γ= m

Se repite el proceso para el ensanchamiento, ahora las pérdidas serán debidas a dicho ensanchamiento, por lo que la altura de presión en el comienzo del tercer tramo vendrán dadas por:



2 21 1 2 2

1 2

2 22

2 2

7,8 1,9536,93 0 0 2,91

2·9,81 2·9,81

p v p vz z H

g g

p

γ γ

γ

+ + = + + + ∆

+ + = + + +

2 36,93p

γ= m

Por último tenemos el tercer tramo, en donde la pérdida de carga será la pérdida de carga continua a lo largo de los 60 m de tramo:

2 21 1 2 2

1 2

2 22

2 2

1,95 1,9536,93 0 0 0,73

2·9,81 2·9,81

p v p vz z H

g g

p

γ γ

γ

+ + = + + + ∆

+ + = + + +

Lo cual da un valor final de la altura de presión de:

2 36,20p

γ= m

Ya tenemos datos suficientes para representar las líneas de altura, piezométrica y de altura: La línea piezométrica es la que se representa a continuación:

La línea de energía estará por encima de esta un valor igual a los términos de velocidad en cada uno de los puntos:



Ejemplo 31.- La instalación de bombeo de la figura eleva un caudal de 90 m3/h desde el depósito A hasta el depósito B. La instalación está situada 1200 m sobre el nivel del mar y la tubería utilizada es de PVC. Asimismo se considera que las pérdidas de carga singulares en la tubería de aspiración son el 15% de las continuas, en tanto que se consideran despreciables en la tubería de impulsión. Suponer un espesor para la tubería de 10 mm.

a) Determinar el diámetro de la tubería a utilizar si se considera como velocidad adecuada la de 1,15 m/s, la energía que la bomba ha de proporcionar y dibujar la línea de energía de la instalación.

b) Teniendo en cuenta el caudal a elevar y la energía que la bomba ha de proporcionar, se elige un tipo de bomba cuya NPSHr=2. Determina si existe peligro de cavitación.

c) Calcular la presión máxima originada en parada de bomba y señalar si el timbraje utilizado es suficiente.

En primer lugar, determinaremos el diámetro de la tubería, para ello, tendremos en cuenta que la velocidad que se toma como velocidad 1,15 m/s, por lo tanto, y conociendo el dato del caudal, la velocidad la podemos calcular como:



290

4·4 3600 0,1664 1,15

D QQ vS Q v D

v

ππ π

= ⇒ = ⇒ = = = mm

Para determinar la energía que ha de suministrar la bomba, aplicamos la ecuación de Bernoulli entre las superficies libres de los dos depósitos, es decir:

2 21 1 2 2

1 22 2bomba

p v p vz H z H

g gγ γ+ + + = + + + ∆

Las pérdidas de carga se dividen en dos tipos, por un lado las pérdidas de carga en la aspiración y por otro las pérdidas de carga en la impulsión. Estas dos se dividen a su vez en dos tipos las pérdidas de carga continuas y singulares:

a ac asa i

i ic is

H H HH H H

H H H

∆ = ∆ + ∆∆ = ∆ + ∆ ⇒ ∆ = ∆ + ∆

En este caso, nos dicen que las pérdidas singulares en la impulsión son despreciables, mientras que las pérdidas singulares en la aspiración son el 15% de las continuas, por lo tanto, las pérdidas en la aspiración serán:

2

50,15 1,15 1,15· ·0,0826 ·a ac ac ac

QH H H H H f L

D∆ = ∆ = ∆ + ∆ = ∆ =

En donde hemos usado la expresión en función del caudal para el cálculo de las pérdidas continuas en la aspiración, sustituyendo los datos que tenemos obtenemos que la pérdida de carga será:

( )

2

2

55

903600

1,15· ·0,0826 · 1,15·0,018·0,0826· ·21 0,1780,166

QH f L

D

∆ = = = m.

Por otra parte en la impulsión tendremos solamente las pérdidas continuas, que calcularemos como:

( )( )

2 2

55

0,025·0,0826 · 0,018·0,0826· 30 900 6,856

0,166

QH f L

D∆ = = + = m.

Donde hemos puesto en L la longitud de la tubería después de la bomba, es decir, en el tramo de impulsión. Las pérdidas de carga totales serán la suma de las que se tienen en la aspiración más la que se tienen en la impulsión, que da un resultado de :

0,178 6,856 7,034totH∆ = + = m.

Si ahora aplicamos la ecuación de Bernoulli, podemos obtener la energía que suministra la bomba.

0 0 0 0 0 15 7,034bombaH+ + + = + + +

22,034bombaH = m.

Ahora estamos en condiciones de dibujar la línea de energía. En el tramo desde la salida del depósito hasta la bomba se produce un descenso de la línea de energía igual a las pérdidas en la impulsión, es decir, un descenso de 0,178 m.



Al llegar a la bomba, se produce un aporte energético equivalente a una subida de 22,034 m, por lo que la línea de energía asciende hasta una altura de 22,034 menos 0,178 que es la pérdida que habíamos tenido en el tramo anterior, es decir, llega a una altura de :22,034-0,178=21,856 m.

En el último tramo se produce una pérdida de energía debido a las pérdidas en la impulsión, por lo tanto la altura a la que llegará la línea de energía será 21,856-6,856=15 m, es decir, hemos restado a la altura a la que se encuentra nuestra línea las pérdidas en el tramo de impulsión y obtenemos la altura del segundo depósito como era de esperar:



b) Ahora debemos determinar si existe peligro de cavitación, para ello, debemos calcular el parámetro siguiente:

( ) at vd a a

P PNPSH H H

γ γ= − − − ∆

En las tablas tenemos el dato de la presión atmosférica en la altura indicada, que pasada a metros tiene un valor de 0,892 m, la altura a la que produce la aspiración son dos metros por debajo del nivel del agua del primer depósito, por lo tanto será -2 y las pérdidas en la aspiración son 0,178 m, por lo tanto.

( )( ) 0,892 0 2 0,178 2,714at vd a a

P PNPSH H H

γ γ= − − − ∆ = − − − − = m.

Como el valor obtenido es mayor que ( )rNPSH , existe peligro de cavitación.

c) Este apartado nos exige analizar el fenómeno del golpe de ariete, para ello, seguiremos el proceso que se indica en la teoría: En primer lugar, calculamos el tiempo de cierre, como:

'

m

k LvT C

gH= +

Debemos calcular antes de nada el parámetro mH , definido como:

m i iH H H= + ∆

17 6,856 23,856m i iH H H= + ∆ = + = m

El coeficiente C lo podemos hallar mediante la pendiente, definida como: 23,856

0,025630 900

m

i

H

L= =

+

Que según la tabla, hace corresponder a la constante C un valor de 1,0, por otro lado, el coeficiente k’ lo calculamos usando la otra tabla, que hace corresponder un valor a k’ en función de la longitud de impulsión, que en nuestro caso es de 930 m, según dicha tabla, el valor de k’ es 1,50, con esto tenemos suficientes datos para calcular el tiempo de cierre, hemos de tener en cuenta que la longitud que se coloca en las expresiones es la longitud de la impulsión, en este caso 930 m.



' 1,50·930·1,151 7,85

9,81·23,856m

k LvT C

gH= + = + = s

El siguiente paso que damos es calcular el tiempo crítico como: 2

C

LT

a=

Antes, debemos calcular el parámetro a, que se define como: 9900 9900

403,630,166

48,3 48,3 33,330,01

aD

ke

= = =+ +

2 2·9304,61

403,63C

LT

a= = = s

La longitud crítica será: 403,63·7,85

15842 2c

aTL = = = m

Ahora estamos en la situación en la que el el tiempo de cierre es mayor que el tiempo crítico, la sobrepresión está determinada por la expresión:

403,63·1,1547,31

9,81A

avH

g∆ = = = m

La presión máxima que se da en la tubería es la suma de la diferencia de altura entre la bomba y el depósito superior más la sobrepresión calculada anteriormente y vendrá dada por:

max 17 47,31 64,31p = + = m.

La tubería ha de soportar una presión de 64,31 metros como mínimo para que no rompa por golpe de ariete. Ejemplo 32.- Se desea elevar agua desde un depósito a otro utilizando una instalación de bombeo representada en la figura y usando una tubería de fibrocemento de diámetro interior 250 mm. Determinar:

a) Máximo caudal que permite un funcionamiento de la bomba sin cavitación, sabiendo que la instalación se localiza en una zona de 300 m de altutud sobre el nivel del mar y que se desprecia el efecto de la temperatura y que la NPSHr=4 m.

b) Punto de funcionamiento de bombeo. c) Timbraje necesario para que la conducción no rompa por golpe de ariete.

Resolver el problema suponiendo los siguientes datos. 5aH = m

68aL = m

1200TOTL = m

25iH = m

0,018f = 10e = mm



Lo primero que vamos a hallar es el caudal que nos pone en la situación límite en la que se produce cavitación, es decir:

( ) ( )r dNPSH NPSH=

Calcularemos ( )dNPSH :

( ) at vd a a

P PNPSH H H

γ γ= − − − ∆

Debemos calcular las pérdidas en la aspiración para ello, tendremos en cuenta que las pérdidas en la aspiración son la suma de las pérdidas continuas más las pérdidas singulares, las pérdidas continuas, vendrán dadas por:

2 22

5 5·0,0826 · 0,018·0,0826 68 103,53

0,250ac

Q QH f L Q

D∆ = = = m

Las pérdidas singulares son debidas a los elementos singulares, para los que nos dan k, estas pérdidas vendrán dadas por:

2

40,0826as

QH k

D∆ =∑

Para nuestro caso:

( )2 2

2 24 4

5·0,0826· 0,5·0,0826· 105,73 10,57 116,30,250 0,250as

Q QH Q Q∆ = + = + = m.

Las pérdidas totales en la spiración serán la suma de las continuas más las singulares, es decir:

( ) 2 2103,53 116,3 219,83atotH Q Q∆ = + = m

Ahora hacemos el cálculo:

( ) 2 2( ) 9,97 0 5 219,83 4,97 219,83at vd a a

P PNPSH H H Q Q

γ γ= − − − ∆ = − − − = −

Y sabemos que en el caso límite esto vale 4, por lo tanto, nos queda la ecuación: 24,97 219,83 4Q− =

0,0664Q = m3/s.



b) El punto de funcionamiento de bombeo es simplemente dar el caudal con el que trabaja la bomba y su aporte energético, el caudal ya lo tenemos del apartado anterior, ahora nos hace falta tener la H de la bomba, que calcularemos aplicando la ecuación de Bernoulli entre el depósito y la superficie libre de fluido:

2 21 1 2 2

1 22 2bomba

p v p vz H z H

g gγ γ+ + + = + + + ∆

Nos faltan por calcular las pérdidas de carga en la impulsión, debido a que no nos dan k en ningún elemento de la impulsión ni nos dicen nada en el enunciado, consideraremos que solo existen pérdidas continuas, que calcularemos como.

( )2 2

5 5

0,0664·0,0826 · 0,018·0,0826· · 1200 68 7,60

0,250ci

QH f L

D∆ = = − = m

Las pérdidas en la aspiración se calculan una vez conocido el caudal:

( ) 2 2 2103,53 116,3 219,83 219,83·0,0664 0,97atotH Q Q∆ = + = = = m

Por lo tanto las pérdidas de carga totales serán: 0,97 7,60 8,57totH∆ = + = m

Aplicando la ecuación de Bernoulli, nos queda: 0 0 0 0 0 25 8,57 33,57bomba bombaH H+ + + = + + + ⇒ = m

Por lo tanto el punto de funcionamiento de la bomba será:

( )( )

3 / 0,0664

33,57bomba

Q m s

H m

=

=

c) Para este apartado tendremos que hacer un estudio del golpe de ariete análogo al problema anterior, empezaremos calculando el tiempo de cierre como:

'

m

k LvT C

gH= +

Determinamos m i iH H H= + ∆ , ya que tenemos las pérdidas en la impulsión y la altura a la que

tiene lugar dicha impulsión, nos queda: 25 7,60 32,6m i iH H H= + ∆ = + = m

La pendiente será, por lo tanto. 32,6

0,0291132

m

i

H

L= =

por lo tanto el coeficiente C será 1, por otro lado, en función de la longitud de impulsión, el coeficiente k’ es 1,50, por lo que ya tenemos datos suficientes para calcular el tiempo de cierre:

' 1,50·1132·1,351 8,17

9,81·32,6m

k LvT C

gH= + = + = s

En donde, el dato de la velocidad, lo hemos obtenido a partir del caudal calculado anteriormente. Ahora pasamos a calcular el tiempo crítico de cierre, para ello necesitamos antes el parámetro a, que se calcula como:

9900 9900726,29

0,25048,3 48,3 5,50

0,01

aD

ke

= = =+ +

Ahora, calcularemos el tiempo crítico de cierre como. 2 2·1132

3,12726,29C

LT

a= = = s



Ahora tenemos dos posibilidades para calcular la sobrepresión, como el tiempo de cierre es mayor que el tiempo crítico, tendremos el caso de cierre lento y la sobrepresión la calcularemos como:

2 2·1132·1,3538,13

9,81·8,17

LvH

gT∆ = = = m

La presión máxima será la suma de esta sobrepresión más la altura manométrica, es decir:

max 32,6 38,13 70,73mp H H= + ∆ = + = m.

Con lo que tendremos que escoger una tubería que soporte dicha presión como mínimo. Ejemplo 33.- En la figura se representa el esquema de una impulsión para el abastecimiento de una población desde un embalse, sabiendo que el diámetro interior de la tubería es de 250 mm y que la curva caracterísitca de la bomba es 235 5295BH Q= − en unidades del S.I. y sabiendo que el

NPSHr=2,95 m. La altura a la que se encuentra la instalación respecto del nivel del mar es de 300 m y se desprecian los efectos de la temperatura y son válidos los datos de longitudes y alturas del problema anterior.

a) Calcular la posición de la bomba para que no se produzca cavitación en la misma.

En este caso sabemos la ecuación de la bomba, es decir, la expresión que nos relaciona la altura de presión que nos proporciona la bomba y el caudal que se impulsa a través de ella. La condición que nos da el problema es que no se produzca cavitación, por lo tanto, la ecuación que se tiene que cumplir es la siguiente:

( ) ( )r dNPSH NPSH=

Calculando el parámetro que nos falta en la ecuación anterior:

( ) at vd a a

P PNPSH H H

γ γ= − − − ∆

Las pérdidas de carga en la aspiración serán la suma de las continuas más las singulares, las cuales, para ser calculadas, necesitan el dato del caudal, del cual no disponemos, por lo tanto, debemos hallar previamente el dato del caudal, para ello, contamos con la ecuación de la bomba, lo que nos permitirá, aplicando la ecuación de Bernoulli calcular el caudal. Aplicaremos por lo tanto:

2 21 1 2 2

1 22 2bomba

p v p vz H z H

g gγ γ+ + + = + + + ∆

En esta ecuación necesitamos saber las pérdidas de carga, que calcularemos como: Pérdidas en la impulsión



( )2 2

25 5

·0,0826 · 0,018·0,0826· · 1200 68 17230,250ci

Q QH f L Q

D∆ = = − = m

Las pérdidas en la aspiración, serán exactamente iguales que en el problema anterior, ya que las medidas son las mismas en ambos, por lo tanto, y como habíamos obtenido anteriormente:

( ) 2 2103,53 116,3 219,83atotH Q Q∆ = + =

Lo cual implica que las pérdidas totales serán: 2 2 2219,83 1723 1942,83a

tot totH H Q Q Q∆ = ∆ = + =

Sustituyendo en la ecuación de Bernoulli, tenemos lo siguiente, teniendo en cuenta que la altura suministrada por la bomba es un dato del problema:

20 0 0 0 0 25 1942,83bombaH Q+ + + = + + + 2 235 5295 25 1942,83Q Q− = +

Resolviendo esta ecuación obtenemos el valor del caudal que da: 0,0371Q = m3/s.

Este apartado nos permite una solución de tipo gráfico, esta solucion se obtendrá de representar la ecuación característica de la bomba dada en el enunciado:

235 5295BH Q= −

Por otro lado se representa en el mismo gráfico la curva característica de la elevación que se obtiene aplicando la ecuación de Bernoulli entre las superficies libres del fluido en el punto de extracción y en el depósito, despejando la H característica de la bomba:

2 21 1 2 2

1 22 2bomba

p v p vz H z H

g gγ γ+ + + = + + + ∆

2

2

0 0 0 0 0 25 1942,83

25 1942,83

B

B

H Q

H Q

+ + + = + + +

= +

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

Q (S.I.)

H (

S.I.

)

Elevación

Bomba

El punto de corte de estas dos líneas nos da el punto de funcionamiento de la bomba, la coordenada x de este punto de corte nos da el caudal con el que trabaja la bomba en la instalación, mientras que la componente y nos da la altura manométrica que nos proporciona la bomba.



Ahora, usando que no se puede producir cavitación determinamos la altura Ha a la que se ha de producir el bombeo, sabiendo que las pérdidas de carga por aspiración serán:

( ) 2 2103,53 116,3 219,83 0,211atotH Q Q∆ = + = = m

( ) at vd a a

P PNPSH H H

γ γ= − − − ∆

Esta cantidad debe ser igual a 2,95 y por lo tanto, la única incognita que vamos a tener en la ecuación va a ser la altura a la que se produce el bombeo:

9,97 0,211 2,95 6,81a aH H− − = ⇒ = m.

Es decir, que si la altura a la que se produce el bombeo es mayor que 6,81 m, ( )dNPSH será

menor de 2,95, por lo tanto ( ) ( )d rNPSH NPSH< y existirá peligro de cavitación, en el caso contrario,

de que la altura a la que se produce el bombero es menor que 6,81 m, estaremos en el caso de que ( ) ( )d rNPSH NPSH> , por lo que no existirá peligro de cavitación.

Ejemplo 34.- Se quiere elevar un caudal de 0,04 m3/s de auga desde un depósito a otro situado a una cota más elevada, la conducción está hecho con una tubería de rugosidad absoluta ka=0,3 mm y con un diámetro interior de 200 mm. Teniendo en cuenta los datos de la figura calcular: a) Potencia que la bomba ha de comunicar al fluido y la potencia en el eje para conseguir la elevación deseada sabiendo que el rendimiento viene dado por la expresión: 3 20,1757 3,83·10B Q Qη −= − en

donde el rendimiento viene dado en tanto por uno y el caudal en l/s. b) Determinar si cavita la bomba sabiendo que 5 21,7 3·10rNPSH Q= + (S.I.).

Tener en cuenta los siguientes datos de la instalación: * Longitud equivalente de los codos=14 m. * Longitud equivalente de la válvula de cierre= 1,5 m. * Salida y entrada del depósito k=0,55. * Temperatura=10ºC. * Presión atmosférica local=9,6 m.c.a. * L i=150 m. * L a=30 m.

a) En primer lugar aplicaremos la ecuación de Bernoulli entre las superficies libres de los dos depósitos para así determinar la energía suministrada por la bomba, según dicha ecuación:

2 21 1 2 2

1 22 2bomba

p v p vz H z H

g gγ γ+ + + = + + + ∆



En donde, tendremos que calcular las pérdidas de carga, que serán la suma de las pérdidas en la aspiración y las pérdidas en la impulsión, siendo cada una de éstas la suma de las pérdidas continuas más las pérdidas singulares en cada uno de los dos tramos.

sin sinas as imp impcont contH H H H H∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆

Cada uno de estos términos se calcula como se muestra a continuación: 2

5·0,0826 ·as

cont asp

QH f L

D∆ =

En este punto nos encontramos con que no conocemos el coeficiente f, por lo que vamos a tener que determinarlo, para ello, necesitamos saber que tipo de flujo tenemos y ésto, lo hacemos mediante le cálculo del número de Reynolds:

226

6

4·0,044 0,20,2 1,84·10

1,038·10e

QDDv DR ππ

υ υ −= = = =

El régimen es turbulento, ahora hay que determinar si es liso, rugoso o semirugoso, para ello, tendremos en cuenta las consideraciones expresadas en la tabla para el cálculo del factor f, comprobamos en primer lugar si el régimen es liso, para ello, se ha de cumplir la condición:

73

19,25a

DK

R≤

( )15

7 763 3

19,25 19,25·0,29,28·10

1,84·10

D

R

−= =

Por lo tanto se cumple esta condición, por lo que el flujo es turbulento liso, por lo tanto para calcular el factor de fricción usaremos la expresión:

( )12log 0,8R f

f= −

Esta ecuación no se puede resolver de manera directa, sino que habrá que resolverla por tanteo. Aplicando este método obtenemos un valor de:

0,015f = Ahora ya podemos obtener las pérdidas:

2 2

5 5

0,04·0,0826 · 0,015·0,0826 ·30 0,186

0,2ascont asp

QH f L

D∆ = = = m

2 2

5 5

0,04·0,0826 · 0,015·0,0826 150 0,93

0,2impcont imp

QH f L

D∆ = = = m

Calcularemos las pérdidas, de las cuales conocemos la longitud equivalente todas juntas como: 2 2

sin 5 5·0,0826 · ·0,0826eq eq

Q QH f L f L

D D∆ = =∑ ∑

( )2

sin 5

0,040,015·0,0826 14·4 1,5 0,356

0,2H∆ = + = m

Solo nos queda por calcular un elemento singular que es la entrada al depósito, como conocemos k, usaremos:

2 2

sin 4 4

0,040,0826 0,55·0,0826 0,045

0,2

QH k

D∆ = = = m

Las pérdidas de carga totales serán: 0,186 0,93 0,356 0,045 1,517totH∆ = + + + = m

Ahora ya podemos resolver la ecuación de Bernoulli:



2 21 1 2 2

1 22 2

0 0 50 0 0 100 1,517

bomba

bomba

p v p vz H z H

g g

H

γ γ+ + + = + + + ∆

+ + + = + + +

51,517bombaH = m.

Ahora ya estamos en condiciones de calcular las potencias, en primer lugar, determinaremos la potencia en el eje de la bomba como:

1000·0,04·51,51727,47

75 75B

e

QHN

γ= = = CV.

Calcularemos ahora la potencia del motor, para lo cual, necesitamos conocer el rendimiento de la bomba, el cual, es un dato del problema:

3 20,1757 3,83·10B Q Qη −= −

Para el caudal de trabajo: 3 2 3 20,1757 3,83·10 0,1757·40 3,83·10 40 0,9B Q Qη − −= − = − =

Lo cual nos da el rendimiento del motor como: 1000·0,04·51,517

30,5275 0,9·75

Bm

QHN

γη

= = = CV

b) Debemos determinar ahora si la bomba cavita, para que no cavite, se ha de cumplir la condición de que:

( ) ( )d rNPSH NPSH>

El segúndo parámetro de esta ecuación lo podemos calcular a partir del enunciado como: 5 2 3 21,7 3·10 1,7 3·10 ·0,04 6,5rNPSH Q= + = + =

El primer miembro será:

( )( ) 9,6 0,125 5 0,186 0,183 4,132at vd a a

P PNPSH H H

γ γ= − − − ∆ = − − − + =

En donde las pérdidas de carga en la aspiración son las debidas a dos codos y una válvula de cierre. Se comprueba que ( ) ( )r dNPSH NPSH> , por lo que podemos afirmar que si que existe peligro

de cavitación. Ejemplo 35.- Un acoplamiento de bomabas en parelelo se utiliza para abastecer un determinado depósito situado a una altura de 25 metros por encima del punto de extracción del fluido. Determinar de forma analítica el punto de funcionamiento, es decir, el caudal y la altura manométrica sabiendo que la ecuación de acoplamiento es 285 500BH Q= − .

Datos: * 35aL = m.

* 650iL = m.

*f=0,015. *D=280 mm.



a) Para determinar el punto de funcionamiento, debemos aplicar la ecuación de Bernoulli entre la superficie libre del fluido y la superficie libre del fluido en el depósito al que se pretende elevar el agua, es decir:

2 21 1 2 2

1 22 2bomba

p v p vz H z H

g gγ γ+ + + = + + + ∆

Debemos determinar las pérdidas, que, como es lógico quedarán en función del caudal, para ello, tendremos en cuenta que en la instalación las pérdidas son la suma de las pérdidas continuas más las singulares, tanto en la aspiración como en la impulsión, es decir:

sin sinas as imp impcont contH H H H H∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆

2 22

5 5·0,0826 · 0,015·0,0826 ·35 25,19

0,28ascont asp

Q QH f L Q

D∆ = = =

2 22

5 5·0,0826 · 0,015·0,0826 650 468

0,28impcont imp

Q QH f L Q

D∆ = = =

( )2

2sin 4

0,040,015·0,0826 5 0,5 0,006

0,28H Q despreciable∆ = + = :

2 2 225,19 468 493,19totH Q Q Q∆ = + =

Sustituyendo ahora en la ecuación de Bernoulli, nos queda: 2 20 0 0 85 500 0 0 25 493,19Q Q+ + + − = + + +

Que es una ecuación solamente en función del caudal, la cual nos ofrece un valor para el caudal en unidades del sistema internacional de:

0,246Q = m3/s. La energía que suministra la bomba vendrá dada por:

2 285 500 85 500·0,246 54,74bombaH Q= − = − = m.

Con lo cual, ya tenemos el punto de funcionamiento de la bomba, dado por la presión manométrica de la misma y por el caudal circundante.



Este problema admite además una solución de tipo gráfico, dicha solución consiste en representar las curvas H(Q) de la elevación y de la bomba, el punto de corte de estas dos líneas es el punto de funcionamiento de la bomba. La curva característica de la elevación la obtenemos de la ecuación de Bernoulli aplicada entre las superfícies libres de los fluidos en cada uno de los depósitos, el resultado es el siguiente:

2 21 1 2 2

1 22 2bomba

p v p vz H z H

g gγ γ+ + + = + + + ∆

Las pérdidas de carga fueron calculadas anteriormente en función del caudal y nos dieron un valor de:

2 2 225,19 468 493,19totH Q Q Q∆ = + =

Lo cual nos da una ecuación para la elevación: 2

2

0 0 0 0 0 25 493,19

25 493,19

B

B

H Q

H Q

+ + + = + + +

= +

Ahora representamos estas dos ecuaciones en una misma gráfica:

0

20

40

60

80

100

120

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

Q (S.I.)

H (S

.I.)

Elevación

Bomba

El punto de corte de estas dos curvas es el punto de funcionamiento de la bomba, es decir, la componente x del punto de corte indica el caudal con el que trabaja la bomba y la coordenada y es la altura manométrica que suministra la bomba. Ejemplo 36.- Una istalación bombea agua desde un depósito a otro cuya superficie libre se encuentra a 28 m del depósito en el que se utiliza el sistema de aspiración. La tubería usada tiene un diámetro interior de 500 mm y la longitud total del sistema es de 800 m, suponiéndose que el factor de fricción es de 0,02 y que se utilizan dos bombas diferentes en paralelo cuyas ecuaciones son:

21 1

22 2

86 245

86 150

H Q

H Q

= −

= −

a) Determina el punto de funcionamiento del sistema y de cada una de las bombas. b) Calcular el punto de funcionamiento en el caso de que solo se utilizase la bomba 1. c) Representar las curvas H (Q) de cada una de las bombas, del sistema y de la elevación señalando el punto de funcionamiento.



Despréciesen las pérdidas singulares tanto en la impulsión como en la aspiración.

a) Aplicaremos la ecuación de Bernoulli entre la superficie libre del fluido en ambos depósitos, para ello, tendremos en cuenta que en un sistema de dos bombas en paralelo se cumple que:

1 2

1 2

H H H

Q Q Q

= == +

Aplicando la ecuación de Bernoulli: 2 2

1 1 2 21 22 2bomba

p v p vz H z H

g gγ γ+ + + = + + + ∆

0 0 0 0 0 28H H+ + + = + + + ∆ Las pérdidas serán solamente continuas en virtud de lo que nos dice el enunciado, por lo que calcularemos las pérdidas como:

( )2 2

5 5·0,0826 · ·0,0826 ·asp imp tot

Q QH f L L H f L

D D∆ = + ⇒ ∆ =

( )2

1 25

·0,0826 tot

Q QH f L

D

+∆ =

Los caudales los sacamos de las ecuaciones de cada una de las bombas:

21 1 1

22 2 2

8686 245

245

8686 150

150

HH Q Q

HH Q Q

−= − ⇒ =

−= − ⇒ =

Las pérdidas serán, por lo tanto: 2 2

5 5

86 86 86 86245 150 245 150

·0,0826 0,02·0,0826 8000,5tot

H H H H

H f LD

− − − −+ + ∆ = =

De donde nos sale la expresión: 2

86 8642,30

245 150

H HH

− −∆ = +

Ahora ya podemos aplicar la ecuación de Bernoulli, en donde la única incógnita será la H de la bomba:

2

86 8628 42,30

245 150

H HH

− −= + +



Desarrollando la ecuación:

( )

( )

2

86 86 86 8628 42,30 2

245 150 245 150

8686 8628 42,30 2

245 150 245·150

86 86 128 42,30 2 86

245 150 245·150

H H H HH

HH HH

H HH H

− − − −= + + +

−− − = + + +

− −= + + + −

( )

( )

1 1 228 42,30 86

245 150 245·150

28 42,30 86 ·0,021

28 76,94 0,889

H H

H H

H H

= + − + +

= + −= + −

Lo cual nos da un valor de H de: 55,55H = m

Una vez que tenemos calculado H del sistema en paralelo ya podemos calcular el caudal de cada bomba, el caudal total y la H de cada una de las bombas, que, por supuesto serán iguales e igual a 55,55 m. Los caudales de cada una de las bombas será:

1

86 86 55,550,352

245 245

HQ

− −= = = m3/s, 2

86 86 55,550,450

150 150

HQ

− −= = = m3/s.

Los puntos de funcionamiento de las bombas serán: Para la bomba 1:

( )( )

3 / 0,352

55,55bomba

Q m s

H m

=

=

Para la bomba 2:

( )( )

3 / 0,450

55,55bomba

Q m s

H m

=

=

b) En el caso de que solo funcione la bomba 1 el problema se resuelve de manera análoga al apartado anterior, con la simplificación de que, ahora, no necesitamos conocer la ecuación del acoplamiento de las bombas en paralelo, sino que el problema se resuelve solo con la ecuación de la bomba 1, aplicando la ecuación de Bernoulli, tendremos lo siguiente:

2 21 1 2 2

1 22 2bomba

p v p vz H z H

g gγ γ+ + + = + + + ∆

Ahora las pérdidas solo dependen del caudal de la bomba 1, ya que, la otra está parada y podemos proceder como si no existiera, por lo tanto, dichas pérdidas se calculan como:

2

5·0,0826 · tot

QH f L

D∆ =

22115

0,02·0,0826· 800 42,300,5

QH Q∆ = =

Aplicando ahora la ecuación de Bernoulli: 2 21 10 0 0 86 245 0 0 28 42,30Q Q+ + + − = + + +



1 0,202Q = m3/s.

Por lo que, el punto de funcionamiento de la bomba 1, en el caso de que funcionara ella sola, sería:

( )( )

3 / 0,202

76bomba

Q m s

H m

=

=

c) En primer lugar representaremos la curva H(Q) de la bomba 1:

Bomba 1

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

Q ( S . I . )

Ahora hacemos lo mismo, pero para la bomba 2:

Bomba 2

0102030405060708090

100

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

Q (S.I.)

H (

S.I)

Ahora representamos en el mismo gráfico las ecuaciones de las dos bombas:



Bomba 1 y 2

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 0,2 0,4 0,6 0,8

Q (S.I.)

H (

S.I.

)

Bomba 1

bomba 2

Ahora representaremos además la ecuación correspondiente a la elevación, para lo cual, tendremos en cuenta, que según la ecuación de Bernoulli:

2 21 1 2 2

1 22 2bomba

p v p vz H z H

g gγ γ+ + + = + + + ∆

2

2

0 0 0 0 0 28 42,30

28 42,30

H Q

H Q

+ + + = + + +

= +

Bombas + Elevación

0102030405060708090

100

0 0,2 0,4 0,6 0,8

Q (S.I.)

H (

S.I.

) Bomba 1

Bomba 2

Elevación

Existe una método gráfico para determinar el punto de funcionamiento de la bomba, este método consiste en representar las curvas H(Q) correspondientes a la elevación y al conjunto de las dos bombas en paralele, para hallar la curva H(Q)



1

2

1 2

86

245

86

150

86 86

245 150

HQ

HQ

H HQ Q Q

−=

−=

− −= + = +

Ahora intentaremos obtener una expresión que nos de H en función del caudal total Q y que será la ecuación característica de la conducción, para ello, elevamos la ecuación anterior al cuadrado:

2

2 86 86

245 150

H HQ

− −= +

( )

( )

2

2

2

2

2

86 86 86 862

245 150 245 150

1 1 286

245 150 245·150

86 ·0,0214

1,84 0,0214

85,98 46,73

H H H HQ

Q H

Q H

H Q

H Q

− − − −= + +

= − + +

= −

− =

= −

La última ecuación corresponde a la ecuación característica del conjunto de las dos bombas colocadas en paralelo, si ahora representamos la ecuación de la elevación con la ecuación de las dos bombas colocadas en paralelo, el punto de corte de estas dos líneas corresponde al punto de funcionamiento de las bombas así colocadas, la representación es la siguiente:

Bombas y elevación

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4

Q( S . I . )

Elevación

B1+B2

La coordenada y del punto de corte es la altura del conjunto de las bombas y la coordenada x es el caudal total, es decir, la suma del caudal con el que trabaja la primera bomba más el caudal con el que trabaja la segunda bomba.

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