Atmospheric Turbulence and Solar Diameter Measurement

Ecole d’Oléron 22-27 Mai 2000

Turbulence atmosphérique et la

mesure du diamètre solaire

Abdanour Irbah, Abd-Errezak Bouzid, Lyes Lakhal, Nassim Seghouani

Julien Borgnino, Christian Delmas, Francis Laclare

Observatoire d’Alger - C.R.A.A.G - BP 63 Bouzaréah Alger Algérie

Tél. 213 2904460 Fax 213 2904458 Email : [email protected]


ABSTRACT

Object images obtained by mean of ground based instrument are degraded by the

earth atmosphere. Indeed, the wave-front at the entrance of the instrument pupil,

present phase and amplitude random fluctuations depending of the time, the

position and the line of sight. The recorded images are consequently filtered

leading to bad measurements of the studied object parameters. To qualify the

atmospheric degradations, several parameters are commonly defined. For solar

diameter measurements performed with an astrolabe, errors due to the

atmospheric turbulence are directly related to these parameters. After, a brief

recall of the basic properties of the atmospheric turbulence, a method allowing to

generate realistic random wave-fronts will be presented. They will be used to

study errors on diameter measurements performed with a solar astrolabe. The

obtained results will clearly show the necessity to have a seeing monitor

observing together with the solar experiment. A method allowing to obtain the

observation conditions for solar observation will then be given.


PLAN DE L’EXPOSÉ

Introduction

Notions sur la turbulence atmosphérique

Effets atmosphériques sur la mesure du diamètre

- Simulation des mesures à travers l’atmosphère

- Vadation par les observations

Estimation des paramètres caractérisant les observations

- Profils de turbulence

- Echelle externe de cohérence spatiale

Conclusion


L’atmosphère terrestre est le siège de phénomènes

turbulents. Le cisaillement du à la viscosité et aux

mouvements relatifs des masses d’air introduit une

turbulence dynamique qui stratifie l’atmosphère en couche.

Pour les observations à travers l’atmosphère, cela se traduit

par une turbulence optique vis à vis de la formation des

images astronomiques. Ainsi, l’atmosphère terrestre aura

pour effet de dégrader l’image des objets que l’on forme au

moyen d’un instrument d’observation. Ces dégradations, de

nature aléatoire, sont fonction de l’instant, de la position et

de la direction suivant laquelle sont faites les observations.

INTRODUCTION


L’image hors atmosphère d’un point source formée au moyen

d’un instrument d’observation de diamètre D est limitée par la

diffraction. La résolution de l’image est la tache d’airy :

A travers l’atmosphère, l’image de la source ponctuelle est

une figure de tavelures (speckles). Chaque grain a une

dimension typique de Rs et la figure de l’ordre de

DRs

Hors atmosphère A travers l’atmosphère

0rR f


Loi de Kolmogorov :

l’energie cinétique des

structures à grande

échelle de taille

caractéristique L0 est

transférée de proche en

proche aux structures de

taille plus petite pour être

finalement dissipée en

chaleur par les structures

à petite échelle de taille

typique l0.

L0 Echelle externe

(Outer scale)

l0 Echelle interne

(Inner scale)

Front d'onde plan (hors atmosphère)

Front d'onde à l'entrée de la pupille

Pupille de l'instrument

NOTIONS SUR LA TURBULENCE

ATMOSPHÉRIQUE


La distribution statistique des structures de taille comprise

entre l0 et L0 est caractérisée par la densité spectrale spatiale

de l’indice de réfraction qui leur est associé :

est la constante de structure des fluctuations de l’indice de

réfraction qui traduit de leur intensité.

permet de déduire l’expression de la fonction de structure

des fluctuations :

)(kn

inertiel) (domaine 22

avec 033.0)( 3

11

2

00 lL

πk

πkCk nn

2

nC

3

2

22)()()( rCrznznrD nn

Les structures se répartissant en hauteur par rapport à la

pupille du télescope, la constante de structure de l’indice de

réfraction est une fonction de l’altitude : )(2 hCn

)(kn


Modèle de Von Karman

Pour palier aux insufisances du modèle de Kolmogorov pour

les fréquences spatiales nulles, d’autres modèles ont été

développés (Von Karman, Greenwood -Tarazano …).

On considérera uniquement le modèle de Von Karman qui sera

utilisé par la suite. Dans ce cas, le spectre a pour expression :

2

et 2

avec )exp(

)(

033.0)( 02

2

6

11

2

0

2

2v

00 lL

πk

πk

k

k

kk

Ck m

m

nn

La dimension en hauteur de est à tenir compte dans

l’expression du spectre des divers modèles.

2

nC


Le front d’onde qui se propage à travers la turbulence

atmosphérique accuse des avances et retards de phase dus aux

variations de l’indice de réfraction le long du trajet optique

(les fluctuations d’amplitude ne sont pas prises en compte).

La densité spectrale de la phase de l’onde à l’entrée de la

pupille s’exprime par :

PROPAGATION DU FRONT D’ONDE

À TRAVERS L’ATMOSPHÈRE

0

6

11

2

0

2

3

11

22

KarmanVon )(

1

Kolmogorov

)( 38.0)(

hLf

f

hCdhfW n

La fonction de structure de la phase s’obtient à partir de

la covariance , transformée de Fourier du spectre de la

phase. )()0(2)( rCCrD

)(rD

)(rC


F ried 's p a ram e te r r 0

T elesc o p e p u p il D

h 1

h k

E x te n d e d o b jec t

O b jec t im a g e T e lesc o p e fo ca l p lan e

O b se rv e d f lu c tu a tio n s ( d ( ))

A n g le

o f a rr iv a lC h ara c te ris tic tim e

W av e-fro n t

L ay e r N

L ay e r k

L ay e r 1

S p a tia l c o h e ren c e

o u te r sca le L 0

C 2n 1

C 2n k

C 2n N

Les angles d’arrivée (AA) sont

définis comme la normale en

chaque point du front d’onde

arrivant sur la pupille :

L’intégration des AA sur la

pupille définit une direction

moyenne suivant laquelle se

forme l’image.

Les AA sont responsables de

l’agitation des images observées

au foyer de l’instrument.

Paramètres de qualification

du front d’onde

r

r

)(

2


• Paramètre de Fried r0 : c’est le diamètre de la zone de cohérence du

front d’onde. Il chiffre également la résolution de l’image par le diamètre

du télecope équivalent hors atmosphère.

• Echelle externe de cohérence spatiale : elle définit la taille maximale

des perturbations du front d’onde qui restent cohérentes. Elle traduit de

l’évolution basse fréquence du front d’onde.

• Domaine d ’isoplanétisme : il traduit de l’angle suivant lequel les

grandeurs considérées (AA, tavelures …) sont similaires.

• Les constantes de temps : c’est le temps durant lequel on peut

considérer l’atmosphère comme figée et que les grandeurs considérées

gardent leur cohérence temporelle

5

3

0

22

0 )( 7.16

hCdhr n

3

0

2

0

23

1

0

)(

)(

hdh C

hCdh

L

n

n0L


EFFETS ATMOSPHERIQUES SUR LA MESURE DU DIAMETRE

Pour simuler les effets induits par la turbulence

atmosphérique, plusieurs étapes sont nécessaires :

Généreration des fronts d’onde dégradés et formation des images

du soleil dans différentes conditions d’observation

Simulation des images acquises par l’expérimentation et

extraction des paramètres utiles à la mesure

Etude des effets induits par la turbulence atmosphérique sur la

mesure du diamètre et validation par les observations


GÉNÉRATION DE FRONTS D’ONDE ALÉTOIRES

Une méthode fractale est utilisée pour générer les fronts d’onde

aléatoires.

o Un tirage de 3 variables aléatoires gaussiennes disposées au

sommet d’un triangle est tout d’abord effectué.

o De nouveaux points de l’écran de phase sont alors générés au

milieu de chaque segment définis par les points existants.

o La procédure est répétée sur l’ensemble des triangles ainsi créés

jusqu’à obtenir le nombre de points désirés pour l’écran de phase.


externe échelle : L Fried de paramètre : r

L

r281.6

L

r5.383

L

r1.485-1)(*88.6)()()(

00

3

7

0

2

0

3

1

0

3

5

0

2

r

rrD rxx

2L

2L

)2(2

1)5()( σ , 1

2

1 LDLD

)2(2

1)( σ , 2

2

2 LD )2(2

1)( σ , 3

2

3 LD

, 2 et 3 : v. a. gaussiennes de moyenne nulle et de variance s2(.).

D(r) est la fonction de structure de la phase donnée dans le cas du

modèle de Von Karman par (développement en série) :


De nouveaux points de l’écran de phase sont générés au milieu de

chaque segment définis par , 2 et 3 . La procédure est répétée

sur l’ensemble des triangles ainsi définis jusqu’à obtenir le nombre

de points désirés pour l’écran de phase. L’écran de phase de

dimension L par L est extrait du triangle de départ

1

2 3

)5( )2

5()(

)(2

1

12

2

2112

LDLD s

)5( )2

5()(

)(2

1

13

2

3113

LDLD s

)2( )(

)(2

1 3223

LDLD s

L

L


Exemple de fronts d’onde alétoires générés par la méthode fractale

ro = 3 cm ro = 8 cm


RÉPONSE IMPULSIONELLE DE L’ENSEMBLE ATMOSPHÈRE-INSTRUMENT

)),(.exp(,

où

,),( 2

i

TFyxS pupille

La réponse impulsionelle de l’ensemble atmosphère-instrument est

obtenue en prenant la transformée de Fourier de l’amplitude

complexe de l’onde limitée à la pupille D de l’instrument :

est la phase générée par la méthode fractale


Exemple de réponses impulsionelles instantanées

dans différentes conditions de seeing

(Diamètre de l’instrument : 10 cm)

10 20 30 40 50 60

10

20

30

40

50

60

10 20 30 40 50 60

10

20

30

40

50

60

10 20 30 40 50 60

10

20

30

40

50

60

ro = 2 cm ro = 4 cm ro = 10 cm


GÉNÉRATION D’IMAGES DU SOLEIL

ACQUISES AVEC UN INSTRUMENT AU SOL

20 40 60 80 100 120

20

40

60

80

100

120

20 40 60 80 100 120

20

40

60

80

100

120

Objet Réponse impulsionnelle Image

La construction de l’image du soleil à travers l’atmosphère terrestre dans

le cas d’un champ isoplanétique, est une opération de convolution qui

traduit d’un filtrage linéaire des fréquences spatiales :

I O S( ) ( ) * ( )

)(O )(S )(I

L’objet (soleil) est construit suivant un modèle d’assombrissement

centre-bord que l’on se donne (Modèle de Allen)


IMAGES DU SOLEIL ACQUISES

AVEC DIFFÉRENTS TEMPS D’INTÉGRATION

La turbulence atmosphérique évoluant avec une constante de temps

et le capteur ayant un temps d’intégration T, on définit le rapport

R comme :

Les images courts temps de pose correspondent ainsi à

et les longs temps de pose à

Dans des conditions d’isoplanétisme, les images longs temps de pose

sont ainsi générées :

TR

1R1R

)(*)()( SOI

où < > symbolise la moyenne


Exemple d’images générées pour R valant 1 et 20

(D= 5 cm, r0=3 cm et L0 infini)


Exemple d’images générées pour R valant 1 et 20

(D= 5 cm, r0=8 cm et L0 infini)


SIMULATION DE LA MESURE DU DIAMETRE

PRINCIPE et INSTRUMENTATION

Determination of the time when the 2

solar edges cross the small circle at

an altitude Z defined by the astrolabe

prism : solar diameter is deduced

from the time difference.

The astrolabe forms 2 images of the same

object : a direct and a reflected image of the

Sun. Time contact of images due to diurnal

motion corresponds to a solar edge transit

by the small circle.

Principle Instrumentation


ACQUISITION DES IMAGES À L’ASTROLABE

ET RECONSTRUCTION DES TRAJECTOIRES

0 5 10 15 20-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

Seconde

S. arc

to

0 20 40 60 80 100 120 140-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

S. arc

S. arc

20 40 60 80 100 120

20

40

60

80

100

120

Génération Extraction Reconstruction

de la séquence des contours des trajectoires

Les images telles qu’elles sont acquises à l’astrolabe solaire (ou

Doraysol) sont simulées dans différentes conditions d’observation

(r0, L0 et R) en suposant isoplanétisme.

La chaîne d’acquisition et de traitement est ensuite reproduite pour

déterminer les paramètres utiles à la mesure du diamètre


ERREUR SUR LA MESURE DU DIAMÈTRE EN

FONCTION DES CONDITIONS D’OBSERVATION

L’erreur sur la mesure du diamètre due à la turbulence atmosphérique,

est étudiée en générant des séquences d’images dans différentes

conditions d’observation définies par le triplet (r0, L0 et R) .

Décroissance de l’erreur avec r0 mais acccroissement important avec R

De faible L0 améliore la précision sur les mesures (Lakhal et al., A&A, 1999)

Long (H) et court (B)

temps de pose

r0 = 2 cm (H)

r0 = 4 cm (B)

r0 = 2 cm (H)

r0 = 4 cm (B)


VALIDATION DE LA SIMULATION PAR LES

OBSERVATIONS

Des observations faites à l’Observatoire de Calern par V. Sinceac (1996-

97) ont été utilisées pour valider les résultats issus de la simulation.


CONSÉQUENCES DES RÉSULTATS DE LA

SIMULATION

S’appuyant sur les résultats issus de la simulation, on peut obtenir

une estimation des constantes de temps en ajustant le R

correspondant dans la loi de l’erreur en fonction de r0.

Observatoire de Calern

T = 20 ms

(intégration CCD)

<> = 3.8 ms


ESTIMATION DES PARAMETRES

CARACTERISANTS LA TURBULENCE

L’étude précédente montre l’importance de disposer de la mesure des

paramètres qui qualifient les conditions d ’observation aux instants de

mesure. Ces paramètres servent en outre à la modélisation de la

réponse de l’atmosphère terrestre

Les paramètres :

• Paramètre de Fried r0

• Temps caractéristique (s)

• Echelle externe de cohérence spatiale

• Domaine d ’isoplanétisme

• Profils de turbulence : )(2 hCn


PROFILS DE TURBULENCE

Le modèle de Fried établit l’isoplanatisme au sens des angles

d’arrivée (AA) intégrés sur la pupille D de l’instrument :

C F.

.),(.)(

)(

23/1

2

dhhFhCD

d

path

n

Fried D. L., 1977, in : High Angular Resolution Stellar

Interferometry, Colloquium n° 50 (U.A.I.), 4.1-4.44.

2

.

.1

),(

h

Db

ahF

où

est l’angle qui sépare 2 directions sur le ciel sur lesquelles sont

intégrées les angles d’arrivée sur D.

d() est la fonction de structure des fluctuations des AA intégrés sur D.

Le profil de turbulence peut être obetnu par inversion à partir de la

mesure de d() en utilisant la modélisation de Fried (ou toute autre).


LA MÉTHODE D’INVERSION

Première estimée

Minimiser

L = || dobs – F. C ||2 + || C ||2

Première estimée

C0 = (FT . F + I)-1 . FT . dobs

Algorithme de Marquardt-Levenberg

Minimiser

= || d – F. C ||2 + 2 || C ||2

Solution

Ck+1 = Ck + (FT . F + 2 . I)-1 . FT .

(dobs – F . Ck)

Résoudre : d = F . C

Résoudre : d = F . C

C0

Initialisation du processus

itératif

2 : paramètre de Marquardt

: paramètre de lissage de la solution

Problème à résoudre

d = F . C

d : Fonction de structure estimée

F : Matrice à inverser

C : Profil de turbulence cherché


Turbulence profile estimated from analysis of solar images

(Data performed at Calern Observatory, France in June 1990)

Short-time exposure frames (8 ms) recorded during 1 second.

Solution

First Layer:

•400 m thick

•In the bottom

Second layer:

•3000 m high

Singular values of F

d = F . C

F = U . S . VT

Short-time exposure

data (20 ms).


Turbulence profile estimated from analysis of solar images

(Data set performed at Calern Observatory, France in June 1990)

Short-time exposure frames (8 ms) recorded during 1 second.

Solution

First layer:

•400 m thick

•In the bottom

Second layer:

•1700 m high

Bouzid et al., 14th ESA

Symposium, Potsdam (Germany),

31 May-3 June 1999.


Turbulence profile estimated from analysis of solar images (Data performed at Calern Observatory, France in May 1997)

long-time exposure frames (20 ms) recorded during 20 s.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

0.5

1

1.5

Data File : d 9705

01.dat

(arcs)

d(

) (a

rcs

2)

-20 -19.5 -19 -18.5 -18 -17.5 -17 -16.5 -16 -15.5 -150

5

10

15Turbulence Profile

Altitude (

Km

)

Log10 [Cn2(m-2/3)]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

0.2

0.4

0.6

0.8Data File : d 9705 21.dat

(arcs)

d(

) (a

rcs

2)

-20 -19.5 -19 -18.5 -18 -17.5 -17 -16.5 -16 -15.5 -150

5

10

15Turbulence Profile

Altitude (

Km

)

Log10 [Cn2(m-2/3)]


ÉCHELLE EXTERNE DE COHÉRENCE SPATIALE

2

1

020

6

11

2

0

233

5

0

2 )(2 ) 2() 2()

1( 0716.0)(

Df

DfJhfJhfJ

LffdfrC

La covariance transverse des fluctuations des angles d’arrivée

intégrées sur la pupille D et observées sur l’image du bord du soleil

s’écrit dans l’hypothèse du modèle à une couche :

représente une direction angulaire sur le ciel.

r0, L0 et h sont respectivement le paramètre de Fried, l’échelle externe de

cohérence spatiale du front d’onde et la hauteur de la couche dans le

cadre de ce modèle.

Le modèle à une couche est le modèle équivalent de l’atmsphère qui

traduit des mêmes effets observés sur le front d’onde à l’entrée de la

pupille . Il est constitué d’une couche turbulente unique, située à une

hauteur h, dont les caractéristiques donnent les mêmes dégradations sur

le front d’onde.


MÉTHODE

),,()( 00 LhrCC

Dans le modèle, la covariance s’exprime en fonction des 3 paramètres

que sont r0, L0 et h.

La méthode consiste donc à trouver le jeu des 3 paramètres du

modèle théorique qui représentent le plus fidélement possible les

données expérimentales.

On estime alors l’échelle externe de cohérence spatiale mais

également le paramètre de Fried et le domaine d’isoplanétisme.

Les observations permettent d’estimer la covariance expérimentale à

partir des fluctuations observées sur le bord de l’image du soleil.


ESTIMATION PAR LA MÉTHODE DES MOINDRES

CARRÉS

On cherche (r0, L0, h) tel que soit minimum.

Cobs est la covariance estimée à partir des observations.

Les valeurs r0, L0 et h doivent en outre répondre aux contraintes :

r0min< r0 <r0max , L0min< L0 <L0max , hmin< h <hmax

Nous avons donc à résoudre un problème de minimisation de

fonction sous contraintes : l’algorithme utilisé est celui des

gradients conjugués.

Une variante de la méthode consiste à utiliser des moindres carrés

pondérés : un poids plus ou moins important est affecté à certaines

mesures suivant son importance, sa fiabilité …

obs00 C - h) ,L ,(r2

C


AUTRE MÉTHODE POUR L’ESTIMATION DES

PARAMÈTRES

2,1 , )( )(0

iCdIi

i

)(

)(),(

1

20

I

IhLRR hh

On intégre tout d’abord la covariance sur 2 domaines angulaires 1 et 2 :

puis on calcule le rapport qui n ’est fonction que des 2 paramètres L0 et h :

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

x 104

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

1.35

1.4

h (mè tre)

Rh

Rapport Rh pour L0 variant de 0.3 à 4.9 m par pas de 0.2 m (de bas en haut)

qui définit une abaque.

Les observations donnent une valeur

expérimentale du rapport Rh.

Les différentes intersections avec les

courbes de l’abaque définissent un

ensemble de couples potentiels (L0 , h)

susceptibles de répondre à la solution.


A chaque couple (L0 , h), il faut déterminer le paramètre r0 associé. On

trace donc I(1) en fonction de r0 :

donné ),(pour )()( )( 000

1

1

hLrfCdI

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.160

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

I (

1)

(s-a

rc3)

r0 (cm)

Pour 1 donné et l’ensemble des

couples potentiels (L0 , h), on

dispose alors d’une nouvelle

abaque définissant I(1) en

fonction du paramètre r0.

Les observations donnent

également une valeur

expérimentale de I(1) et

naissance à un ensemble de

solutions potentielles (L0 , h, r0).

On considère le triplet qui ajuste au mieux la covariance expérimentale


0 2 4 6 8 10 12 14 16-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Cova

r "

sarc

² "

pixels " 1.12 sarc / pix "

Covaraviance Data Obs9708i, Courbe N° 1

mcmcpabqdata

0 2 4 6 8 10 12 14 160

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

Cova

r "

sarc

² "

pixels " 1.12 sarc / pix "

Covaraviance Data Obs9708i, Courbe N°5

mcmcpabqdata

EXEMPLE DE COVARIANCES EXPÉRIMENTALES

AJUSTÉES PAR LE MODÈLE


0 2 4 6 8 10 12 14 16 185000

6000

7000

8000

9000

10000

11000

12000

13000

Numero de courbe

Hau

teur

equ

ival

ente

"m

etre

s"Data Obs9712i

mcmcpabq

APPLICATION À UNE JOURNÉE D’OBSERVATION

FAITE A CALERN : PARAMETRE HAUTEUR

Le domaine d’isoplanétisme est estimé, dans le cas

du modèle à une couche, par le rapport : h0r

iso iso



FAITE A CALERN : PARAMETRE DE FRIED

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0.11

0.12

0.13Data Obs9712i

Numero de courbe

r0 "

met

res"

mcmcpabq



FAITE A CALERN : ECHELLE EXTERNE

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Numero de courbe

L0 "

met

res"

Data Obs9712i

mcmcpabq

Pour cette journée d’observation, la valeur de l’échelle externe

varie d’environ 0.3 à 4 mètres


CONCLUSION

Après une présentation de certaines notions de base sur la turbulence

atmosphérique et la propagation du front d’onde à travers ce milieu,

des travaux liés aux effets qu’elle induit sur la mesure du diamètre ont

été exposés. Ils montrent que les mesures sont affectées par les

conditions d’observation définies par un certain nombre de

paramètres. L’importance de connaître cette information aux instants

précis de mesure du diamètre serait alors d’un apport certain pour

estimer l’erreur sur la mesure. Cette information peut être obtenue à

partir de l’analyse des fluctuations observées sur le bord de l’image du

soleil, fluctuations dues à l’intégration sur la pupille, des angles

d’arrivée du front d’onde. Les méthodes présentées montrent que l’on

peut obtenir l’ensembles des paramètres qui caractérisent les

observations à travers la turbulence mais également la position des

couches turbulences responsables de la dégradation des images.

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