analisis de campos electromagneticos en el ... - Tesis IPN

I N S T I T U T O P O L I T E C N I C O N A C I O N A L ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA

MECANICA Y ELECTRICA SECCION DE ESTUDIOS DE POSGRADO

E INVESTIGACION

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I . P . N B I B L I O T E C A

S E p |

ANALISIS DE CAMPOS ELECTROMAGNETICOS EN EL INTERIOR DE UN MOTOR OE INDUCCION ROTOR JAULA DE ARDILLA

Y SU APLICACION AL ESTUDIO DEL ARRANQUE Y CORTO CIRCUITO

T E S I S PARA OBTENER EL GRADO ACADEMICO

MAESTRO EN CIENCIAS CON LA ESPECIALIDAD EN INGENIERIA ELECTRICA P R E S E N T A

E N R I Q U E B E R N A L L U N A

MEXICO. D. F . 5 3 T 2 7 3 FEBRERO. 1996

D I R L C C I O N DE E S T U D I O S DE P O S C R A D O E I N V E S T I G A C I O N

D I V I S I O N DE ESTUDIOS DE P O S C R A D O

• A C T A D ü REVISION DE T E S I S •*

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Cn ¡a ciudad de M é x i c o / • D I / T F V , ' . ( siendo las : = Í 0 » 0 Ó V horas del día 23 Octubre de i '995 , sé reunieron los miembros de la Comisión Revisora de Tesis designada por el Colegio de Profesoras de. Estudios de Pqsgrado e Investigación dei E . S . I . M . E «vórninar la tesis de grado titulada: i.» •;«••.'. '"-.F"''

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ANALISIS DE CAMPOS pLÉ¿TljtOMAGftETIC^ UN MOTOR DE INDUCCION Y SU A ^ D ^ X Q N M ' Í $ S T U D ^ . $ ¿ L $ $ { & ^ E Y j&ORTO CIRCUITO*

<X: p¡ asentada por el alumno:-}» Ul t*< '• ' : • ^ • » i : ¡ v ' ^ ¿ f V / . v V - f ^ - ! . ' v - m "» ? S SB I P •ÉNRiaUÉvBfetiiiíAL L U N J ^ / ' S ^ ' ^ I ^

aspirante al grado de:'ty- j:-'{K^:-.: •'' iJf?wÁ-Vf^V^-¿y*v'«?• 3TCvft-.r '•

¿ v / I N G E N I E R Í A ' E Ú S C T R Í I C Á ' A

Después de intercambiar opiniones jos miembros deTa Comisión .niánifeslaron S U A P R O B A C I O N DE LA TESIS, en virtud de qúé'salisfa'ce los requisi los>eñalados por.la'V'dispó'siciones reglamentarias virantes.

yf'-;, ; ;.p« . !FRANCISCO. DE ÍLEON GOtíE^'MAQUECT b :1 ,.: (Director de Tesis) - -.i . :

•DR. TADEUSZ SECRETARIO

M. eh C . OSCAR PATLAN FRAUSTO SEGUNDO VOCAL

M. en C . TOMAS ASIAIN OLIVARES TERCER VOCAL

DR.

E l P R t S J U

—_ _ $g<fgtm z I-LLEIÍMO URRIOLAGOITIA CAL§JÜ$«HM!ife^; 3

RECONOCIMIENTOS

•

M i m a y o r a g r a d e c i m i e n t o al Dr . F r a n c i s c o d e L e ó n G ó m e z M a q u e o p o r la g r a n c a n t i d a d d e a p o y o s b r i n d a d o s p a r a la r e a l i z a c i ó n d e e s t a t e s i s , q u e s in s u a y u d a n o h u b i e r a s i d o p o s i b l e .

G r a c i a s a los p r o f e s o r e s y p e r s o n a l q u e c o n f o r m a n la S e c c i ó n d e P o s g r a d o e I n v e s t i g a c i ó n d e la E s c u e l a S u p e r i o r d e I n g e n i e r í a M e c á n i c a y E l é c t r i c a .

G r a c i a s al I n s t i t u t o P o l i t é c n i c o N a c i o n a l , al C o n s e j o d e l S i s t e m a d e E d u c a c i ó n T e c n o l ó g i c a y a la C o m i s i ó n F e d e r a l d e E l e c t r i c i d a d p o r el a p o y o b r i n d a d o .

INDICE Pag.

R E S U M E N

A B S T R A C T

I N D I C E D E F I G U R A S

I N D I C E D E T A B L A S

C A P I T U L O 1. I N T R O D U C C I O N

1.1. Antecedentes 1.1 1.2. Objetivo 1.2 1.3. Justificación 1.2 1.4. Importancia del trabajo 1.3 1.5. Antecedentes Históricos y Análisis Bibliográfico 1.3 1.6. Alcances y Limitaciones 1.5 1.7. Contribuciones Originales 1.6 1.8. Organización de la Tesis 1.7

C A P I T U L O 2. F O R M U L A C I O N E L E C T R O M A G N E T I C A B I D I M E N S I O N A L D E L M O T O R D E I N D U C C I O N T I P O JAULA DE ARDILLA

2.1 . Introducción 2.1 2.2. Formulación Electromagnética del motor de inducción tipo jaula de

ardilla 2.2.1. Planteamiento del problema 2.1 2.2.2. Formulación matemática 2.3

2.3. Transformación galileana de campos escalares y vectoriales en el espacio 2.4

2.4. Transformación galileana de campos escalares y vectoriales en el tiempo 2.6

2.5. Transformación galileana de las ecuaciones de Maxwell 2.8 2.6. Condiciones en la frontera 2.13

C A P I T U L O 3. M O D E L A D O M A G N E T O - E L E C T R I C O D E L M O T O R D E I N D U C C I O N T I P O JAULA DE ARDILLA

3.1. Introducción 3.1 3.2. Modelo magnético del motor de inducción tipo jaula de ardilla 3.1 3.3. Modelo eléctrico del motor de inducción tipo jaula de ardilla 3.5

1.1

C A P I T U L O 4. A N A L I S I S D E R E S U L T A D O S Pag.

4 .1 . Análisis de resultados del estudio electromagnético 4.1.1. Resultados 4.1 4.1.2. Análisis e interpretación de resultados

4.1.2.1. Potencial vectorial magnético 4.2 4.1.2.2. Intensidad de campo eléctrico 4.15 4.1.2.3. Densidad de campo magnético tangencial 4.16 4.1.2.4. Densidad de campo magnético radial 4.16 4.1.2.5. Vector de Poynting radial 4.17 4.1.2.6. Vector de Poynting tangencial 4.18 4.1.2.7. Pérdidas radiales 4.18 4.1.2.8. Fuerza radial de compresión 4.19 4.1.2.9. Par 4.19

4.2. Simulación digital del transitorio en el arranque y durante un corto circuito 4.19 4.2.1. Adaptación del modelo eléctrico del motor de inducción para

estudios de transitorios electromagnéticos lentos 4.20 4.2.2. Análisis e interpretación de resultados 4.24

C A P I T U L O 5. C O N C L U S I O N E S Y R E C O M E N D A C I O N E S P A R A T R A B A J O S F U T U R O S

5.1 . Conclusiones 5.1 5.2. Recomendaciones para trabajos futuros 5.2

R E F E R E N C I A S

A P E N D I C E S

Apéndice A . C I L I N D R O C O N D U C T O R S O M E T I D O A C A M P O E L E C T R O M A G N E T I C O P U L S A T O R I O

Apéndice B . P A R A M E T R O S , C O N S T A N T E S Y C A L C U L O S

B . l . Datos de propiedades de los materiales B . l B .2 . Datos de placa del motor de prueba y parámetros medidos B . l B . 3 . Dimensiones de los componentes del motor B.2 B.4 . Cálculos

B . 4 . 1 . Longitud estimada del devanado del estator y cálculo de su inductancia interna. B.2

1.2

Pag.

B.4.2. Momento polar de inercia del rotor B.4.3. Cálculo de pérdidas

B.2 B.2

Apéndice C . L I S T A D O D E L P R O G R A M A D E MATHEMATICA P A R A G R A F I C A D O D E V A R I A B L E S E L E C T R O M A G N E T I C A S Y C A L C U L O D E P A R A M E T R O S D E L M O D E L O E L E C T R I C O

Apéndice D . A R C H I V O S D E D A T O S P A R A E L EMTP

D . l . Archivo de datos para la simulación del arranque D . l D.2. Archivo de datos para la simulación durante un corto circuito trifásico D.6

Apéndice E . S I M B O L O G I A , N O M E N C L A T U R A Y NOTAS

E . l .

E . 2 . E . 3 .

Simbología E . l . l . Simbología de variables y parámetros E.1 .2 . Simbología de subíndices E.1 .3 . Simbología de abreviaturas Nomenclatura en tablas Notas en tablas

E . l E . 3 E . 5 E . 5 E . 9

1.3

R E S U M E N

Esta tesis presenta un modelo trifásico del motor de inducción tipo jaula de ardilla para el cálculo de transitorios electromagnéticos. E l modelo consiste de una red de elementos eléctricos lineales calculados a partir del estudio de campos electromagnéticos. Este modelo es interfasado con el programa de transitorios electromagnéticos EMTP.

E l estudio de campos electromagnéticos se efectúa considerando que el motor de inducción consta de cinco regiones (cilindros concéntricos) de longitud axial infinita. Los núcleos magnéticos de hierro (del estator y del rotor) están laminados, se desprecian la histéresis y la saturación y no se incluye el amortiguamiento de las corrientes circulantes parásitas (eddy) en los núcleos de hierro. L a jaula de ardilla es un conductor, el entrehierro y la región externa se consideran como aire. E l devanado del estator esta representado por una corriente laminar que posee la misma variación temporal de una onda viajera senoidal.

E l modelo eléctrico se obtiene de la aplicación del principio de dualidad al circuito magnético. E l número de trayectorias del flujo magnético se elige dependiendo de la exactitud deseada.

E l principio de dualidad se aplica también en el estudio mecánico , los parámetros (momento polar de inercia, coeficiente de amortiguamiento y la constante de rigidez torsional) se representan por elementos eléctricos que se conectan al modelo eléctrico.

Los parámetros del modelo eléctrico pueden calcularse para diferentes velocidades. E n esta tesis, se calculan para las condiciones de arranque y velocidad nominal.

Se ha desarrollado un programa (escrito en "Mathematica") para la evaluación de funciones matemáticas especiales (funciones Bessel y sus operadores) requeridas para el cálculo de los parámetros del modelo eléctrico y para la evaluación de las gráficas tridimensionales de las variables electromagnéticas.

E l estudio de campos electromagnéticos fue validado al comparar el par de arranque y nominal calculados con valores medidos. Los resultados fueron comparados con pruebas en laboratorio para validar la simulación digital del transitorio en el arranque con el modelo eléctrico desarrollado.

A B S T R A C T

This thesis presents a model for the three phase squirrel cage induction motor suitable for the calculation of electromagnetic transients. The model consists of a network of linear electric elements computed from the study of electromagnetic fields. This model is interfaced with an electromagnetic transient program (EMTF).

The electromagnetic field study is performed considering that the induction motor consists of five regions (concentric cylinders) with infinite axial length. The magnetic iron core (of the stator and rotor) is laminated, hysteresis and saturation are neglected, the damping produced by the eddy currents in the iron core is not included. The squirrel cage is a conductor, the airgap and external región are considered as air. The stator winding is represented by a current sheet with the same time variation as the sinusoidal travelling wave.

The electric model is obtained from the application of the principie of the duality to the magnetic circuit. The number of magnetic flux trajectories is chosen depending on the desired accuracy.

The principie of duality is also applied to the mechanical study, the parameters (polar momentum of inertia, damping coefficient and torsional spring constant) are represented by electric elements that are connected to the electric model.

The parameters of the electric model can be calculated for different speeds. I n this thesis, they are calculated for the starting conditions and for nameplate speed.

A program (written in "Mathematica V.2.") has been developed for the evaluation of the mathematical special functions (Bessel functions and their operators) required for the calculation of the magnetic and electric lumped parameters of the models. The program can also display the 3 -D plots of the electromagnetic variables.

The study of electromagnetic fields was validated by the comparison of the calculated starting and nominal torques with measured valúes. To valídate the digital simulations of the starting transient using the electric model developed, the results were compared with laboratory tests.

INDICE DE FIGURAS

Figuras

2.1. Configuración de cilindros concéntricos de longitud axial infinita que representan un motor de inducción, donde: (1).- Núcleo laminado del rotor; (2).- Jaula de ardilla maciza; (3).- Entrehierro; (4).- Núcleo laminado del estator; (5).- Medio externo y (K ) . - Corriente laminar que representa el devanado del estator. Las regiones (1) y (2) se encuentran girando a velocidad constante.

2.2. Dos marcos de referencia, uno de los cuales se encuentra fijo y el otro gira a una velocidad angular constante w w . Un punto en el espacio en el sistema de referencia fijo esta representado por el vector de posición r (en coordenadas cilindricas), mientras que para el sistema que se encuentra girando el punto esta representado por el vector de posición r'.

3.1. Circuito magnético del motor de inducción.

3.2. Circuito eléctrico del motor de inducción.

3.3. Variación de la inductancia tangencial en la jaula de ardilla, al variar la velocidad de rotación.

3.4. Variación de la inductancia tangencial en el entrehierro, al variar la velocidad de rotación.

4.1. Módulo del efecto transformador de la intensidad de campo eléctrico (E -fyinif) en el núcleo laminado del rotor, para k—J cuando se encuentra girando.

•

4.2. Módulo de la densidad de campo magnético radial (Br - [Wb/m2]) en el núcleo laminado del rotor, para k=l cuando se encuentra girando.

4.3. Módulo de la densidad de campo magnético tangencial [B - fWb/m2J) en el núcleo laminado del rotor, para k=l cuando se encuentra en reposo.

4.4. Módulo del efecto rotacional de la intensidad de campo eléctrico (E - jV/mJ) en el núcleo laminado del rotor, para k = l cuando se encuentra girando.

4.5. Módulo del efecto resultante de la intensidad de campo eléctrico (E - [V/m]) en el núcleo laminado del rotor, para k = l cuando se encuentra girando.

4.6. Módulo del efecto resultante de la intensidad de campo eléctrico (E - fV/mJ) en la jaula de ardilla, para k = l cuando se encuentra girando.

IF.1

4.7. Módulo del vector de Poynting radial ( I I r - [W/m2]) en la jaula de ardilla, para k=l cuando se encuentra en reposo. 4.4

4.8. Módulo del efecto transformador del vector de Poynting tangencial (11^ -[W/m2]) en la jaula de ardilla, para k=I cuando se encuentra girando. 4.4

4.9. Módulo de la densidad de campo magnético radial (Br - [Wb/m2]) en la jaula de ardilla, para k=l cuando se encuentra girando. 4.5

4.10. Módulo del efecto transformador de la intensidad de campo eléctrico (E -¡V/mJ) en la jaula de ardilla, para k=2 cuando se encuentra girando. 4.5

4.11. Módulo de la densidad de campo magnético radial (Br - [Wb/m2]) en el núcleo laminado del estator, para k-1 cuando se encuentra girando el rotor. 4.5

4.12. Módulo del vector de Poynting radial (Eír - [W/m2J) en el núcleo laminado del estator, para k=J cuando se encuentra girando el rotor. 4.5

4.13. Módulo del potencial vectorial magnético (A - [Wb/m]) en la región externa, para k=l cuando se encuentra girando el rotor. 4.6

4.14. Módulo de la densidad de campo magnético radial (Br - [Wb/m2]) en la región externa, para k=l cuando se encuentra en reposo el rotor. 4.6

4.15. Módulo del potencial vectorial magnético (A - [Wb/inf) en el núcleo laminado del rotor, para k=2 cuando se encuentra en reposo. ^

4.16. Módulo del efecto resultante del vector de Poynting radial ( I I r - [W/m2J) en la jaula de ardilla, para k=l cuando se encuentra girando.

4.17. Módulo de la densidad de campo magnético radial (Br - [Wb/m2]) en la jaula de ardilla, para k=l cuando se encuentra en reposo.

4.18. Módulo del vector de Poynting radial ( I I r - [W/m2J) en el entrehierro, para k=l cuando se encuentra en reposo el rotor.

4.19. Fase del potencial vectorial magnético (A - fradj) en el núcleo laminado del rotor, para k=l cuando esta en reposo.

4.20. Fase de la intensidad de campo eléctrico (E - [rad]) en el núcleo laminado del rotor, para k=l cuando esta en reposo.

4.21. Fase del efecto rotacional de la intensidad de campo eléctrico (E - [rad]) en el núcleo laminado del rotor, para k=1 cuando gira.

4.22. Fase del efecto resultante de la intensidad de campo eléctrico (E - [rad]) en el núcleo laminado del rotor, para k=l cuando gira.

4.7

4.7

4.7

4.7

4.7

IF.2

4.23. Fase de la densidad de campo magnético radial (Br - [rad]) en el núcleo laminado del rotor, para k = l cuando esta en reposo. 4.8

4.24. Fase del vector de Poynting radial ( I l r - [rad]) en el núcleo laminado del rotor, para k=l cuando esta en reposo. 4.8

4.25. Fase del efecto resultante del vector de Poynting tangencial (11 ,̂ - [rad]) en el núcleo laminado del rotor, para k=l cuando gira. 4.8

4.26. Fase del efecto rotacional del vector de Poynting tangencial (11 ,̂ - [rad]) en el núcleo laminado del rotor, para k=l cuando gira. 4.8

4.27. Fase del efecto resultante del vector de Poynting radial ( I I r - [rad]) en la jaula de ardilla, para k = l cuando esta girando. 4.8

4.28. Fase del efecto resultante del vector de Poynting radial ( I I r - [rad]) en la jaula de ardilla, para k = 2 cuando esta girando. 4.8

4.29. a).- Sistema mecánico de rotación ; b).- Sistema eléctrico análogo. 4.22

4.30. Modelo eléctrico completo del motor de inducción donde se incluye la alimentación, restricciones del EMTP y elementos que representan los parámetros mecánicos. 4.23

4.31. Valores pico de las corrientes de línea obtenidos en la simulación del arranque

4.33. Valor pico de la corriente de línea en el arranque obtenida experimentalmente [54].

4.34. Valores pico de las corrientes de línea del motor obtenidos al realizar la simulación del corto circuito trifásico

4.24

4.32. Valores pico de los voltajes de fase de alimentación del motor obtenidos al realizar la simulación del arranque 4.25

4.25

4.26

A . l . Cilindro conductor sometido a campo magnético transversal a su eje axial. A *

A.2. Dirección y sentido de los vectores J, E y A en el interior del cilindro conductor.

A.3. Componentes de H cuando se tiene una condición al infinito. A . 10

A.4. Elementos de área para el cálculo de la potencia aparente en dirección: a).- r ; b).- <p. A 1 4

IF.3

INDICE DE TABLAS

Tablas Pag. •

3.1. Valor de inductancias al variar la velocidad de rotación 3.10

4 .1 . Variables electromagnéticas en el núcleo laminado del rotor 4.9

4.2. Variables electromagnéticas en la jaula de ardilla 4.10

4.3. Variables electromagnéticas en el entrehierro 4.11

4.4. Variables electromagnéticas en el núcleo laminado del estator 4.12

4.5. Variables electromagnéticas en la región externa 4.13

4.6. Potencia radial de pérdidas 4.14

C A P I T U L O 1

INTRODUCCION

1.1. Antecedentes

La condición de operación de un sistema de potencia y sus componentes (generadores, líneas, cargas, etc), depende de un conjunto de diferentes fenómenos electromecánicos, mecánicos, térmicos, electromagnéticos, ondulatorios, etc. Estos fenómenos en algunas ocasiones tienden a cambiar intempestivamente o gradualmente debido a perturbaciones propias de la operación del sistema en sí o bien por agentes externos, generándose un transitorio. Estos cambios en los fenómenos pueden dividirse según el tiempo de duración (10"8 a 105 seg.) en 4 grupos o tipos para su estudio, que son:

* Tiempo de 10"7 a 10"5 seg. En este grupo se encuentra el estudio de sobretensiones originadas por tormentas eléctricas, desconexiones de líneas y cargas, y maniobra de interruptores, en los que existen fenómenos ondulatorios y de resonancia electromagnética.

* Tiempo de 10"5 a 1 segundo. En este grupo se encuentra el estudio de sobrecorrientes, sobretensiones y estudio de estabilidad transitoria originados por cortocircuitos, variaciones de carga, etc., dentro de los cuales existen fenómenos electromagnéticos y electromecánicos.

* Tiempo de l segundo a 103 seg. En este grupo se encuentra el estudio de la variaciones en la frecuencia (alud de frecuencia), el accionamiento de dispositivos de control y estudios de estabilidad dinámica que involucran fenómenos electromecánicos.

* Tiempo de 103 en adelante. En este grupo se encuentra el estudio de variación en el estado de operación de calderas y sus dispositivos de control que involucran fenómenos termoenergéticos.

Con el incremento de la demanda de energía eléctrica, los sistemas eléctricos de potencia (S .E .P . ) se han hecho más complejos, por lo que tanto en la planeación y en la operación de los mismos surgen nuevos problemas, que se atacan generalmente a través de simulación digital. Esto ha motivado la creación de nuevos modelos matemáticos que se acerquen más a la realidad con el fin de obtener resultados más confiables, precisos y eficientes.

Desde la invención del motor de inducción por Tesla [1] y cuyo principio de funcionamiento se basa en las leyes fundamentales del Electromagnetismo, tanto los modelos aplicables en el análisis de sistemas eléctricos de potencia, como los diseños de fabricación han presentado avances significativos. Con mejoras en el diseño mecánico, eléctrico, térmico y el desarrollo de nuevos materiales se ha logrado reducir el tamaño de las máquinas eléctricas aumentando su eficiencia, además en la actualidad se consideran factores económicos, energéticos y ecológicos.

1 . 1

Hasta la fecha el diseño de máquinas eléctricas rotativas se ha mejorado en el proceso mismo de la producción basado en técnicas de muestreo. La transformación de Park [2] se ha utilizado en la simulación digital, lo que involucra ciertas simplificaciones según el orden del modelo con el que se este trabajando. E l tipo y complejidad del modelado la establece el tipo de estudio que se va a realizar (estudio de fallas, estabilidad transitoria, estabilidad dinámica, transitorios electromagnéticos, etc.). Los parámetros involucrados en estos modelos regularmente se obtienen mediante pruebas de laboratorio. Uno de los principales problemas existentes en la planeación y operación del S .E .P . es que no se cuenta en muchas ocasiones con registros o archivos que contengan los parámetros de máquinas necesarios para hacer simulaciones.

En este trabajo los parámetros del motor de inducción se obtienen mediante un estudio analítico electromagnético bidimensional. Para ello se requiere conocer las dimensiones del motor y los valores de las permeabilidades y las conductividades de los materiales. No es necesario realizar pruebas de laboratorio, pudiéndose aplicar esta metodología directamente al diseño de motores.

En cuanto al estudio de transitorios electromagnéticos en máquinas eléctricas rotativas, el desarrollo de metodologías ha tenido poco auge debido a la jerarquía que imponen los transformadores y líneas de transmisión al nivel de planeación del S .E .P . E l estudio de transitorios electromagnéticos realizados en máquinas eléctricas rotativas hechos hasta la fecha se basan en la transformación de Park y en hacer simulaciones en el Programa para Transitorios Electromagnéticos (siglas en inglés-EMTP) [3]. En este trabajo se utiliza el mismo programa para simular el transitorio electromagnético, pero los parámetros del modelo desarrollado se calculan mediante un estudio de campos electromagnéticos en el interior del motor.

1.2. Objetivo

E l objetivo de esta tesis consiste en crear un modelo trifásico para el motor de inducción tipo jaula de ardilla que sea adecuado para el cálculo de Transitorios Electromagnéticos. E l modelo deberá ser compatible con el EMTP (siglas en inglés para Electromagnetic Transient Program). Además los parámetros del modelo trifásico serán calculados mediante un análisis electromagnético bidimensional que parte de los parámetros de diseño. E l modelo deberá ser capaz de calcular los transitorios en el arranque y el corto circuito trifásico en terminales.

1.3. Justificación

Las gran cantidad de simplificaciones realizadas en los estudios analíticos de campos electromagnéticos llevados a cabo en máquinas eléctricas, tanto en estado estable como transitorio hace que se pierda información valiosa en cuanto a el comportamiento de las variables electromagnéticas en el interior y exterior de las mismas. Esta pérdida de información se refleja en un diseño de máquinas lejano al óptimo que repercute principalmente en el incremento del tamaño de las mismas, y por lo tanto en su costo. En esta tesis se hacen menos simplificaciones para el estudio analítico de campos electromagnéticos de lo que se reporta en la literatura existente, por ejemplo se consideran todas las regiones del motor y no solamente se considera el flujo magnético radial sino también el tangencial.

1 . 2

1.4. Importancia del trabajo

La importancia de este trabajo reside en que se realiza un análisis más riguroso para el estudio de máquinas eléctricas rotativas y específicamente para el motor de inducción tipo jaula de ardilla. La metodología consiste en estudiar el motor de inducción a través de los campos electromagnéticos (estudio bidimensional) basado en las ecuaciones de Maxwell y su transformación a sistemas de referencia en movimiento a velocidad constante. Un estudio bidimensional proporciona una idea bastante clara del comportamiento de las densidades de flujo magnético, intensidades de campo eléctrico, transformación de la energía electromagnética y potencia disipada dentro del motor de inducción. Para realizar el estudio electromagnético los únicos datos requeridos son las dimensiones del motor y las propiedades de los materiales que lo constituyen.

E l estudio de campos electromagnéticos puede aplicarse directamente en el diseño de motores eléctricos, pues arroja gran cantidad de información concerniente al comportamiento de las variables electromagnéticas tanto en su interior como en el exterior del mismo. L a flexibilidad que presenta el estudio analítico desarrollado en esta tesis permite variar las dimensiones, valores de corriente nominal y de arranque sin necesidad de construir la máquina, todo con el fin de optimizar su diseño y manufactura.

En este trabajo se desarrolla un nuevo modelo trifásico (no bifásico como en la mayoría de los modelos existentes) del motor de inducción para estudios de transitorios electromagnéticos. Cabe aclarar que las inductancias del modelo son calculadas, más no medidas, y que físicamente representan las trayectorias de flujo del circuito magnético del motor, y cuyo número establece la precisión del modelo.

1.5. Antecedentes Históricos y Análisis bibliográfico

E l estudio electromagnético de máquinas eléctricas parte desde que Faraday y Maxwell formularon las bases del Electromagnetismo en el siglo X I X [38]. A partir de esa época la descripción general desde el punto de vista de la física de los fenómenos electromagnéticos se ha ido simplificando y adaptando a condiciones concretas con el fin de crear métodos prácticos para su estudio. Un enfoque claro y físicamente evidente lo genera un estudio de campos electromagnéticos completo, pero conlleva a ecuaciones voluminosas no cómodas para cálculos prácticos.

En 1928, Park [2] dedujo su transformación para modelar máquinas eléctricas rotativas con parámetros concentrados, despreciando fenómenos electromagnéticos como el efecto piel. Este modelado se sigue aplicando hasta la fecha para estudios y simulaciones en S .E .P . En la década de los 60, Melcher [4,36], introdujo un análisis más detallado enfocado a máquinas eléctricas que involucra estudios electromagnéticos, termodinámicos y mecánicos, lo cual presenta una mayor complejidad a la deseable para establecer un modelo aplicable en S.E.P. Cabe aclarar que Melcher únicamente plantea el problema con fronteras abiertas (núcleo del estator sin acotamiento externo), pero no lo desarrolla a profundidad. E l hacer un estudio completo de esta naturaleza tiene aplicación directa al diseño de motores. Realizando simplificaciones se pueden obtener modelos aplicables para el análisis en S .E .P . Existen otros investigadores contemporáneos como Perry [11] que ha hecho un estudio práctico con algunas simplificaciones, por ejemplo, sustituir las funciones de Bessel [32,59] por expansiones asintóticas [60].

En cuanto al estudio de campos electromagnéticos en máquinas eléctricas rotativas cabe destacar a Stafl [5] que realiza un estudio de campos electromagnéticos cuasiestacionarios para un cilindro

1 . 3

conductor sometido a un campo pulsante; Tegopoulos y Kriezis [12] realizan estudios con campos electromagnéticos que varían en tiempo y espacio, poniendo énfasis en la penetración del campo eléctrico en un cilindro conductor, además analizan la solución para cilindros acotados en dirección axial; Melcher y Woodson [4,36] proporcionan el estudio más completo de campos electromagnéticos enfocado a máquinas eléctricas en general considerando distintos medios (líquidos, gases y sólidos) tanto en estado estable como transitorio; Smythe [46] ataca gran cantidad de problemas y proporciona un estudio analítico profundo de los mismos, tomando el mismo enfoque que Tegopoulos y Kriezis.

Los modelos del motor de inducción que simulan el estado transitorio (lento o rápido) electromagnético no responden de manera correcta, debido a que los parámetros medidos experimentalmente se obtienen a rotor parado y utilizan bastantes simplificaciones. Algunos de estos modelos y sus simplificaciones dependiendo de su formulación son:

* Los modelos del motor de inducción que utilizan la transformación de Park [3,37,62,63]. Ellos desprecian el efecto de las corrientes inducidas ("eddy") tanto en el arranque como a velocidad nominal. Los parámetros son obtenidos experimentalmente (lo cual sólo se puede realizar en máquinas construidas) y se consideran constantes tanto en el arranque como a velocidad nominal.

* Los modelos del motor de inducción [44,45,50,53,57,58] que utilizan la impedancia característica de los devanados del estator. Esta inductancia es difícil de obtener (principalmente cuando surge el transitorio y el motor se encuentra en movimiento). Otros parámetros como las capacitancias entre espiras, a tierra, entre ranuras y entre fases del devanado son difíciles de obtener experimentalmente ya que varían según el estado de operación del motor. Otro factor a considerar es la distorsión que sufren los campos eléctricos y magnéticos debido a la forma y tamaño de dientes y ranuras. Este tipo de modelos es utilizado para simular transitorios rápidos (generalmente del tipo de frente de onda escarpado) y analizan la magnitud de la penetración de la intensidad de campo eléctrico. Las capas exteriores del devanado son las más afectadas por lo que todo el devanado se divide en secciones y el valor de sus parámetros esta en función de esa profundidad. Otro inconveniente es que en general se obtienen los parámetros en reposo, lo cual no es cierto completamente ya que el movimiento del rotor afecta el valor de estos [44,45,50,57,58]. Debido a la dificultad de obtener experimentalmente algunos de estos parámetros, comunmente son calculados por el método del elemento finito.

De los estudios realizados hasta la fecha en materia de transitorios electromagnéticos en máquinas eléctricas rotativas vale la pena mencionar los siguientes:

a). Boehene [44]. Explica el comportamiento y la distribución de las oscilaciones de voltaje internas en los devanados de la máquina cuando esta sujeta a frentes de onda escarpadas, y presenta distintas formas de amortiguar las oscilaciones a fin de que afecte mínimamente los devanados de la máquina. E l generador y la línea de transmisión que lo alimentan se representan por su impedancia característica, sin tomar en cuenta las pérdidas naturales tales como el efecto piel, dispersión o en el núcleo, además de no considerar la capacitancia entre espiras. E l modelo elaborado considera el devanado del generador en varias secciones estando cada una de ellas representada por una inductancia en paralelo con una capacitancia aterrizada. Cada sección establece el grado la penetración del frente de onda al interior del devanado. Físicamente la primera sección corresponde al principio del devanado.

1.4

b) . Wright y McLeay [45], proponen un modelo para el devanado de máquinas rotativas cuando están sometidas a transitorios rápidos, cuyos aislamientos a tierra y entre espiras están representados por capacitancias.

c) . Calvert y Fielder [50], proponen distintos modelos para simular un transitorio en los que se incluye la línea de transmisión, el transformador, la armadura del generador y el cable de conexión, donde cada uno de ellos se representa por su impedancia característica, además de incluir las capacitancias a tierra y entre espiras del devanado.

d) . Cornick y Thompson [57], utilizan un modelo del generador que incluye inductancias en serie y capacitancias en paralelo por ranura. Aportan un circuito para la medición de los voltajes transitorios tanto entre ranuras como entre espiras, y contribuye con métodos (conexión de elementos extras) en cuanto a la reducción de esos sobrevoltajes.

e) . Dick y Gupta [58], atacan el problema de los transitorios generados en los devanados del motor cuando existen voltajes de preencendido propios de los interruptores, en los cuales cada uno de los polos cierra en distintos ángulo de fase.

0- Dabussi y Mohán [62], Rogers y Shirmohammadi [63], utilizan el modelo de la máquina universal en estado estable desarrollado en el Programa para Transitorios Electromagnéticos [3] para simular el transitorio electromagnético en el motor de inducción, además incluyen en el modelo los controles primarios.

Otros modelos tales como los de Martínez [37] y los diseñados para aplicarse específicamente en el EMTP [3,51] están basados en la transformación de Park, no incluyen el efecto de las corrientes "eddy", y las capacitancias a tierra y entre espiras de los devanados.

E l trabajo de esta tesis desarrolla un nuevo modelo cuyos parámetros son calculados, y el transitorio electromagnético se simula con la ayuda del EMTP. La idea fue tomada de Slemon [7,8,9], quien lo aplica en máquinas síncronas. Sin embargo el modelo de Slemon tiene el inconveniente de que realiza bastantes simplificaciones tales como no considerar en las laminaciones de los núcleos magnéticos, así como en la las regiones conductoras el efecto de las corrientes "eddy"; también realiza un estudio unidimensional de campos electromagnéticos lo que involucra pérdida de información. Además obtiene los parámetros de la máquina en forma experimental lo cual no es una una desventaja si la máquina esta en reposo, pero si repercute al estar la máquina en movimiento ya que los parámetros varían. Todas estas simplificaciones realizadas por Slemon repercuten cuando sus modelos se aplican directamente al diseño propio de las máquinas.

1.6. Alcances y Limitaciones

E l estudio de campos electromagnéticos desarrollado en esta tesis proporciona una perspectiva más amplia y más completa que la existente en la literatura. Se analiza el comportamiento de las variables electromagnéticas en el interior del motor con lo que se puede aplicar directamente a la optimización en la manufactura y diseño de este tipo de motores.

L a principal limitación es la complejidad para determinar el comportamiento de las variables electromagnéticas en el devanado mismo del motor, pues se realiza la simplificación de utilizar una

1 . 5

corriente laminar. Por lo anterior, no es posible conocer el efecto de dientes y ranuras, el efecto de proximidad entre espiras del devanado y el efecto de distintas geometrías de conductores.

Otra de las limitaciones del estudio de campos electromagnéticos es que los medios se consideraron lineales, homogéneos e isotrópicos, por lo que no se toma en cuenta la histéresis y saturación directamente, sin embargo se pueden añadir al modelo posteriormente. No se puede visualizar la dinámica completa del motor de inducción debido a no se considera la aceleración.

En cuanto al modelo eléctrico desarrollado que se genera del cálculo de las variables electromagnéticas, se puede decir que es muy versátil, debido a que puede aplicarse directamente a cualquier tipo de estudio que involucre transitorios electromecánicos o electromagnéticos lentos (hasta del orden de un KHz) . Una ventaja de realizar el estudio electromagnético y modelado en estado estable, es que al modelo desarrollado se le pueden incluir (mas no se realiza en esta tesis) la saturación y la histéresis, las capacitancias entre espiras y a tierra de los devanados de una forma más sencilla que si se partiera del estudio de campos electromagnéticos completo. Al incluir las capacitancias se podría simular cualquier tipo de transitorio rápido con la ayuda de el Programa para transitorios electromagnéticos. Como estos parámetros de capacitancia no se midieron o calcularon, el modelo esta limitado hasta el momento a simular transitorios lentos.

1.7. Contribuciones Originales

Este trabajo presenta un nuevo panorama para formular modelos de máquinas eléctricas rotativas aplicables tanto para el diseñador de equipo como en simulaciones para el analista de sistemas eléctricos de potencia. Las aportaciones originales (no publicadas anteriormente) más significativas de este trabajo son:

Se analiza la influencia de la velocidad del rotor (mediante la transformación galileana en el estudio de campos electromagnéticos bidimensionales). Esto fue realizado anteriormente por Park en forma simplificada con variables electromagnéticas unidimensionales.

Como el estudio de campos electromagnéticos es bidimensional, surge otra inductancia que no analizan otros modelos.

Se obtiene un modelo trifásico con parámetros eléctricos concentrados, que se puede aplicar para estudios de transitorios electromagnéticos, estabilidad, fallas, etc. Se considera la influencia de las variables mecánicas utilizando el principio de dualidad a través de un equivalente eléctrico.

Los parámetros eléctricos del modelo se calculan a través de un estudio de campos electromagnéticos, y no a partir de parámetros obtenidos experimentalmente.

Los resultados de este trabajo pueden aplicarse directamente al diseño de motores, ya que proporcionan información mas detallada (comparada con lo que hasta la fecha se ha reportado) del comportamiento de las variables electromagnéticas. Esto coadyuva a realizar nuevos diseños, variar dimensiones y formas de los motores sin necesidad de elaborar nuevas manufacturas, lo que implica un ahorro en tiempo y costo en la construcción. Otra alternativa (más costosa y menos flexible) consiste en

1 . 6

realizar estudios mediante el método del elemento finito [52], siendo este un método numérico aproximado.

_ t 1.8. Organización de la Tesis

En el Capítulo 2 se desarrolla analíticamente la formulación de campos electromagnéticos aplicado al estudio del motor de inducción trifásico tipo jaula de ardilla, siendo esta una contribución original.

En el Capítulo 3 a partir del principio topológico de dualidad se genera el modelo eléctrico trifásico del motor de inducción cuando se conocen las densidades del flujo magnético en cada una de regiones.

En el Capítulo 4 se evalúan, grafican y analizan los comportamientos de las variables electromagnéticas en el interior y exterior del motor de inducción, utilizando las expresiones de las variables que fueron calculadas en el Capítulo 2. Se generan 6 tablas en las que se vacía la información generada del estudio de campos. En este capítulo se simula con el Programa para transitorios electromagnéticos el transitorio en el arranque y durante un corto circuito trifásico, utilizando el modelo eléctrico generado en el Capítulo 3, al que se le incluye el efecto de las variables mecánicas. Se grafican los resultados obtenidos y se dan conclusiones.

En el Capítulo 5 se dan las conclusiones de la tesis, así como las recomendaciones para trabajos futuros.

Apéndices

En el Apéndice A, se desarrolla el problema clásico de un conductor sometido a un campo magnético externo pulsatorio [5]. Este apéndice fue el comienzo de la tesis y se incluye para comparar la transformación que sufren las ecuaciones de Maxwell al cambiar de un sistema de referencia fijo a un sistema de referencia girando a velocidad constante.

En el Apéndice B, se dan las dimensiones, permeabilidades y conductividades, datos de placa del motor de prueba, y los parámetros calculados que son utilizados en el modelo eléctrico. Se calculan las pérdidas eléctricas en cada una de las regiones.

E l programa escrito en Mathematica V.2. utilizado para evaluar y graficar las variables electromagnéticas mostradas en el Capítulo 4 y el cálculo de inductancias del Capítulo 3, se encuentra en el Apéndice C.

E l Apéndice D presenta los archivos de datos utilizados en el EMTP para simular los transitorios en el arranque y al presentarse un corto circuito trifásico.

Finalmente el Apéndice E proporciona el significado de la nomenclatura y notas, generadas en las tablas del Capítulo 4, así como la simbología de la tesis.

1 . 7

C A P I T U L O 2

FORMULACION E L E C T R O M A G N E T I C A BIDIMENSIONAL D E L MOTOR D E INDUCCION TIPO JAULA DE ARDILLA

2.1 . Introducción

E l principio básico del motor de inducción ha sido estudiado desde el tiempo en que las leyes del electromagnetismo fueron formuladas. Maxwell [38] y otros de sus contemporáneos fueron los pioneros en el análisis electromagnético a bajas frecuencias. Debido a la ausencia de medios computacionales que pudieran evaluar numéricamente las soluciones de análisis complicados, por ejemplo el efecto de las corrientes "eddy", se recurrió a simplificaciones (que hasta la fecha se siguen haciendo). En relación a los estudios enfocados a conocer el comportamiento de los campos electromagnéticos en las máquinas eléctricas rotativas cabe mencionar las aportaciones realizadas por Smythe [46], Melcher-Woodson [4,36], Stafl [5], Slemon [6,7,8,9], Carpenter [10], Perry [11] y Tegopoulos-Kriezis [12]. Como se mencionó en el Capítulo / , cada uno de ellos analiza el problema que atañe este trabajo de tesis con sus respectivas simplificaciones, o bien plantea el problema sin resolverlo como es el caso de Melcher [36].

En general (en la literatura existente) una de las principales simplificaciones en los estudios es que no se consideran todas las regiones que deben conformar un motor, sino tan sólo el entrehierro y la jaula de ardilla. Otra simplificación es que generalmente sólo se analiza el comportamiento radial de las variables electromagnéticas y se sabe que vectorialmente poseen también una componente azimutal.

En este capítulo se plantea una configuración del motor de inducción tipo jaula de ardilla que elimina las simplificaciones expuestas en el párrafo anterior. Se explica con detalle las modificaciones que sufren las ecuaciones de Maxwell en estado cuasiestacionario al encontrarse algún medio girando a velocidad constante, esto no es nuevo pero se proporciona como preliminar por su importancia para el entendimiento del estudio. Por último se obtienen las expresiones algebraicas de las variables electromagnéticas en cada una de las regiones que conforman el motor, siendo esta una aportación original para estudios de este tipo.

2.2. Formulación electromagnética del motor de inducción tipo jaula de ardilla

2.2.1. Planteamiento del problema

En este apartado se presenta el planteamiento para el análisis electromagnético bidimensional en forma analítica de una configuración de cilindros concéntricos de longitud axial infinita que representa en forma idealizada un motor de inducción tipo jaula de ardilla con excitación trifásica balanceada.

Considerando de manera simple las regiones que forman parte de un motor de inducción trifásico tipo jaula de ardilla, se establecen a continuación las características para cada uno de los medios, siendo todos homogéneos, isotrópicos y lineales, por lo tanto sus permeabilidades y conductividades son

2.1

constantes (ver Figura 2.1):

1. Cilindro laminado de material ferromagnético con permeabilidad relativa p¡ y conductividad eléctrica a¡, radio a, que representa la región del núcleo del rotor.

2. Cilindro tubular macizo de material conductor que es concéntrico al núcleo del rotor, con permeabilidad relativa p2 y conductividad eléctrica a2, radio interno a y externo b, que representa la región de la jaula de ardilla.

Ambos cilindros (1 y 2) giran con una velocidad angular constante w m .

3. Región acotada por los radios b y c, que tiene una permeabilidad relativa fi3 igual a uno (aire) y conductividad a3 igual a cero, que representa el entrehierro y que se encuentra en reposo.

4. Cilindro tubular laminado de material ferromagnético que es concéntrico a las regiones que conforman el rotor (núcleo del rotor y jaula de ardilla), con permeabilidad relativa ti¡ y conductividad eléctrica a¡, radio interno c y externo d, que representa la región del núcleo del estator. Esta región se encuentra en reposo.

5. Región abierta para radios mayores a d, que tiene una permeabilidad relativa u3 igual a uno (aire) y conductividad a3 igual a cero, que representa el medio externo y que se encuentra en reposo.

K . En la interfase con radio c se considera una corriente laminar impresa de espesor despreciable que representa una onda viajera y que esta dada por 3 corrientes defasadas entre sí 27r/i rad tanto en espacio como en tiempo, la cual representa el devanado del motor.

Figura 2.1.• Configuración de cilindros concéntricos de longitud axiaí infinita que representan un motor de inducción, donde: fl).- Núcleo laminado del rotor: (2).- Jaula de ardilla maciza; (3) - Entrehierro; (4).- Núcleo laminado del estator, (5).- Medio externo y (KJ.- Cómeme laminar que represema el devanado del estator. Las regiones (I)

y (2) se encuentran girando a velocidad constante.

2.2

2.2.2. Formulación matemática.

En la sección anterior se establecieron los parámetros de los materiales que constituyen el motor. En esta sección se establecen las bases generales para realizar el análisis electromagnético dentro del motor de inducción.

La excitación se considera en estado estable sinusoidal a la frecuencia nominal de c.a. y solo se toma en cuenta el armónico de prijner orden (fundamental). Se utilizan las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial en estado cuasiestacionario debido a que la corriente de desplazamiento (dD/dt) es despreciable cuando se trabaja con frecuencias bajas y materiales conductores y/o ferromagnéticos (ver Apéndice A). Se lleva a cabo un estudio magnético llamado difusión magnética en estado estable [4,36].

E l estudio se realiza cuando el rotor se encuentra girando a una velocidad angular com constante. Una manera sencilla de visualizar el efecto de la velocidad es conociendo el número de Reynolds magnético [4,11,36] dado por Rm=pa0-a)2(oje-wrn) que indica cuanta penetración y distorsión sufre el campo magnético al variar la velocidad angular y/o tener distintos materiales. También el número de Reynolds magnético esta asociado con el deslizamiento como se nota de su expresión matemática.

Las ecuaciones de Maxwell en estado cuasiestacionario para un sistema lineal y que se encuentra fijo están dadas por:

(2.1)

(2.2)

donde / / es la intensidad de campo magnético, J es la densidad superficial de corriente, E es la intensidad de campo eléctrico, B es la densidad de campo magnético y t es el tiempo. Se sabe que B es un campo solenoidal (V • B = 0), por lo que [27]

B = V x A (2.3)

A es el potencial vectorial magnético. Las expresiones que consideran las propiedades del medio son:

«7 = oE (2.4)

B = [iH

o es la conductividad eléctrica y p. es la permeabilidad del medio.

Usando como base el análisis electromagnético de un cilindro conductor sin movimiento sometido a un campo pulsante [5] (que se desarrolla con todo detalle en el Apéndice A) en este apartado se discute el caso cuando uno o más cilindros concéntricos giran entre sí con una velocidad de rotación constante. Las variables electromagnéticas sufren un cambio que esta dado por una Transformación Galileana

V x J í = J

dt

2.3

[4,11,12] de las variables electromagnéticas. Para realizar dicha transformación, se definen 2 sistemas de referencia inerciales [4,26,34,36], entre los cuales, se presenta un desplazamiento angular dado por el producto entre la velocidad angular relativa constante um y el tiempo, como se muestra en la Figura 2.2. En el marco o sistema de referencia fijo se designa un punto en el espacio representado en coordenadas cilindricas por las variables (r,<p,z). En el marco de referencia que se encuentra girando a una velocidad angular tám el mismo punto en el espacio tiene las coordenadas (r',<p',z'). Los tiempos medidos por observadores colocados en cada uno de los marcos de referencia se suponen que son los mismos, ya que en la Mecánica Clásica el tiempo es absoluto.

Figura 2.2.- Dos nútreos de referencia, uno de los cuales se encuentra Jijo y el otro gira a tata velocidad angular comíante a>m. Un panto en el espacio en el sistema de referencia

Jijo esta representado por un vector de posición r (en coordenadas cilindricas), mientras que para el sistema que se encuentra girando el punto esta representado por un vector

de posición r'.

2.3. Transformación galileana de campos escalares y vectoriales en el espacio [4,36].

Para realizar la transformación de los campos primero se necesita hacer la transformación de los operadores diferenciales entre los dos sistemas de referencia. Así el operador V en el espacio, en coordenadas cilindricas en el marco de referencia fijo, está dado por:

E l operador diferencial V en el espacio, en coordenadas cilindricas en el marco de referencia en movimiento, esta dado por:

y

±_ u g + u g r 3 1 d

dz' d (2.6)

La relación entre las variables del marco de referencia fijo y en movimiento, está dada por:

r (2.7)

z z

Considerando un campo escalarf'(r,tp,z,t), el cual también puede escribirse como f(r',<p',z',tj. De las ecuaciones (2.7) y suponiendo que t=t', el gradiente de este campo referido al sistema de coordenadas en movimiento, esta dado por:

(2.9)

T 7 / f / _ BfM . i d f . . df'* n R v

Por la regla de la cadena se tiene:

df a df di' + df dtp' + df1 dz' + df' dt' dr dr' dr dtp' dr dz' dr dt' dr

df a df dr' + df dtp' + df dz' + df dt' dtp dr' dtp dtp' dtp dz' dtp dt' dtp

df m df dr' + df' dtp' + df dz' + df' dt' dz dr' dz dtp' dz dz' dz dt' dz

De acuerdo con la ecuación (2.7), en la que t no depende de las coordenadas en el espacio y que las coordenadas en el espacio no dependen implícitamente del tiempo ya que se esta trabajando dentro de un sistema de referencia Euleriano [4,26,27,36], existe una ortonormalidad entre las diferentes direcciones espaciales (lo que origina una independencia lineal entre ellas), por lo que:

d r > - l ; = ? - = ^ - ^ = 0 dr

- V = 1 ; ^f u df = df u 0 ( 2 j 0 ) dtp ^

dz' . . dz

dtp' dz' dt' dr dr dr

dr' dz' dt' dtp dtp dtp

dr' dtp' dt' dz dz dz

A (2.U)

ya que r=r'. Sustituyendo la ecuación (2.10) en (2.9), y considerando la ecuación (2.11) se tiene

Vf = V f (2.W

Suponiendo que se tiene un campo vectorial V'(r',<p',z',t'), y siguiendo el mismo procedimiento

2.5

anterior se llega a:

VV = V - 7 ' (2.13)

VxV' = V x f (2.14)

2.4. Transformación galileana de campos escalares y vectoriales en el tiempo [4,36].

Considerando el mismo campo escalar f'(r',<p',z',t'), y utilizando la regla de la cadena:

df a df dt' + df dr' + df df + df dz1

dt dt' dt dr' dt dtp' dt dz' dt (2.15)

De la ecuación (2.7) y dado que t=t \ se tiene

dt' dt = 1 ; dtp'

dt

dr' dt

= 0; dz' dt

= o

(2.16)

Sustituyendo la ecuación (2.16) en (2.15)

*£ - Ml-^ML (2.i7) dt dt' m dtp'

De donde:

Para un campo vectorial V'(r',<p',z',tj, y siguiendo el procedimiento anterior, se llega a:

ÍZ? = 4 ^ + o ) 3* (2.19) df dt m dtp'

A fin de generalizar, se establece un vector de velocidades relativas asociado con el vector de posición. La variación en magnitud del vector de posición con respecto al tiempo (ecuación (2.16)) representa la magnitud del vector velocidad. Así, la ecuación (2.17) se transforma en:

2.6

Así mismo la ecuación (2.7), se convierte en:

x{ - X j - v t

x 2 ' = x 2 - v x _ t (2.2J) 2

* 3 = X3-Vxt

donde:

v = ^Ax + ^ ^ f ^ A , (2.22)

+ ( v V ) f (2.2J)

+ ( v V ) V' (2.24)

La ecuación (2.18) se transforma en:

df m df dt' dt

Tratándose de un campo vectorial V se tiene:

dV' = df dt' dt

Se sabe del análisis vectorial que [4]:

( v V ) V' = (V'-V) v - V x ( v x V ' ) + v ( V - v ' ) -V' (V-v) (2.25)

Como se trata de un sistema inercial, se tiene:

( v V ) 7 ' = r ( V - V ' ) - V x ( v x V ' ) (2.26)

Sustituyendo la ecuación (2.26) en (2.24) se tiene la derivada convectiva [4,26,27,36].

dV' dV' dt' dt

+ v ( V - v ' ) - V x (vxV') (2.27)

Cuando V es un campo solenoidal, la ecuación (2.27) se simplifica. Si se aplica la transformación galileana a un campo vectorial V no sufre cambios en el marco espacial, mientras que para el marco temporal se utiliza la derivada convectiva.

2.5. Transformación galileana de las ecuaciones de Maxwell [4,36],

Modificando las ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético cuasiestacionario en un marco de referencia fijo dadas por las ecuaciones (2.1), (2.2) y (2.3), se tiene que para un marco de referencia en movimiento (a velocidad constante), las ecuaciones de Maxwell se expresan por:

VxH' = j ' (2.28)

VxE' = - (2.29) dt'

V-B' = 0 (2.30)

De las ecuaciones (2.13), (2.14) y (2.27), las ecuaciones (2.28), (2.29) y (2.30) se transforman a:

V x t f ' = j ' (2.31)

VxE' = - - ^ L ' - v ( V - B ' ) + V X (VXB') (2.32) dt

VB' = 0 (2.33)

Sustituyendo la ecuación (2.33) en (2.32) ya que se tiene un campo solenoidal

Vx(E'-vxB') = -'£!• (2.34) dt

Para las regiones en movimiento se debe cumplir que:

B' = \xH' (2.35)

J' = oE' (2.36)

Como las ecuaciones de Maxwell no se alteran al llevar a cabo la transformación galileana, se dan las relaciones existentes entre las variables electromagnéticas en el rotor y las variables en las restantes regiones:

J = J'

H = H' (2.37)

B = B'

E = E'-VxB I

2.8

La ecuación (2.33) se cumple cuando:

B' = VxA1

Con lo que:

A' = A (2.39)

Como el tiempo es absoluto, el factor dB'/dt' en forma de fasor no varía al aplicar la transformación galileana, se sustituye (2.38) en (2.34) obteniéndose:

V x (E'-vx ( V X A 7 ) ) = - j w e ( V x A ' )

Integrando vectorialmente esta última ecuación

E'-vx(VxA') « - [ j > « A , + V * / ] (2.40)

Donde el campo escalar es un potencial eléctrico, el cual no existe por no haber fuentes. Con esto:

E' = - j ( i ) e A ' + v x ( V x A 7 ) (2.41)

Siguiendo el mismo procedimiento del Apéndice A y tomando en cuenta que la Norma de Coulomb se cumple en sistemas que viajan a velocidad constante [21,22], además de utilizar las ecuaciones (2.31), (2.35) y (2.38), se llega a:

V 2 A ' = - p j - ' (2.42)

Sustituyendo la ecuación (2.41) en (2.36)

J' = - o j ' W g A ' - t - o v x ( V x A ' ) (2.43)

y la ecuación (2.43) en (2.42)

V2A' - f io j ' W g A ' + p o v x (VxA') = 0 (2.44)

La ecuación (2.44) es la ecuación general del vector potencial magnético para medios en movimiento. Para determinar la ecuación correspondiente del potencial vectorial magnético a cada región del motor tomando en cuenta sus características propias, a continuación se enlistan las siguientes

»

(2.38)

2.9

consideraciones:

a) . L a transformación galileana se aplica sólo en las regiones del rotor. -

b) . Las regiones del núcleo del rotor y del estator están laminadas y aisladas entre sí, por lo tanto J¡'=J4=0. En la realidad existen corrientes circulantes inducidas ("eddy") en el interior de cada laminación que dependen del grosor de la misma, sin embargo estas son despreciables a 60 Hz para laminaciones standard.

c) . Las conductividades del entrehierro y del medio externo son cero, por lo que J3=J5=0.

d) . Los gradientes de los potenciales eléctricos escalares para cada una de las regiones del motor (V<í>y', V $ 2 ' , V $ 2 , V<í>4 y V $ 5 ) son cero.

Con lo anterior la ecuación (2.44) para cada región (ver Figura 2.7.) se transforma en:

[ V 2 A i ] $z = 0 (2.45)

[ V 2 A 27 i Q to e A -V-2

o ii 9-

3 OI o (2.46)

[ V 2 A 3 ] = 0 (2.47)

[ V 2 A . J = 0 (2.48)

[ V 2 A 5 ] = 0 (2.49)

La velocidad v está dada por:

er> A A v = c ^ x r ' = 0 0 (2.50)

r> 0 z'

La dirección de A' y J' es la misma que cuando el rotor se encuentra en reposo (Figura A.2.). De la ecuación (2.34) se sabe que el campo externo B' (generado por la corriente laminar impresa) que varía en el tiempo induce una intensidad de campo eléctrico en el interior del conductor que se conoce como el efecto transformador. Cuando el rotor gira, la intensidad de campo eléctrico inducida (efecto resultante) es la suma vectorial del efecto transformador y un efecto rotacional. E l efecto transformador, según la ecuación (2.37) crea una densidad de campo magnético en el interior del cilindro en sentido opuesto a la B' original, y el efecto rotacional crea una densidad de campo magnético en el mismo sentido de la B' original. De acuerdo con la ecuación (2.36), J' es paralelo a E', y de la ecuación (2.42), A' es paralelo a J' (Figura A.2.). A', J' y E' se consideran cantidades escalares como se explicó en el Apéndice A.

2.10

Las ecuaciones (2.45), (2.47), (2.48) y (2.49) corresponden a la ecuación de Laplace, mientras que la ecuación (2.46) es una ecuación parecida a la de Helmholtz (incluye el efecto rotacional). Desarrollando la ecuación (2.46) en coordenadas cilindricas

' - A r f - J P 2a 2 " e A ' , - p 2 o 2 c o m — - ^ f = 0 (2.57)

r / 2 3<p'2 2 2 a<p' /2 r ' ar'

Definiendo:

* 2 . = Ú 2 ° 2 W / n

(2.52)

(2.53)

Desarrollando la ecuación de Laplace en coordenadas cilindricas

32*L> i dAL> i *AZ, dr12 r ' dr' . 12 dtp 12

= 0 (2.54)

donde i = 1, 3, 4 y 5. Para las regiones 3, 4 y 5 (fijas) no existe efecto rotacional, y a fin de respetar la nomenclatura, las variables espaciales y electromagnéticas no son primadas. Utilizando el método de separación de variables [61] para dasacoplar la ecuación (2.51), se tiene que:

A'Ar'.tp') = fi(r') gi(tp') = f2'(r') e ^ ' (2.55)

donde k representa el número de pares polos por fase en el motor de inducción. Desarrollando las derivadas parciales de la ecuación (2.51), utilizando la ecuación (2.55), y sustituyendo las ecuaciones (2.52) y (2.53) en la ecuación (2.51), se tiene:

dr'2 r' dr' r'2 2 J K 2 f 2 + k j K 2 f 2 = 0 (2.56)

Donde para todo <p' se cumple:

(2.57)

El segundo factor de la ecuación (2.56) se multiplica por r'2 y se iguala a cero, resultando:

_i__+r/——-¡— -f2(r') [jr/2p2o2 (u>e-kt¿m) +7r2] = 0 dz' dr' dr

(2.58)

2.11

Que es la ecuación de Bessel de orden k con parámetro a = j-jp2o2 i «,-*«>>«) » siendo ésta una solución particular en dirección radial. En dirección tangencial la solución esta dada por la función impar (seno) al aplicar la fórmula de Euler a la ecuación (2.57), lo cual se justifica en el Apéndice A. Así, la solución completa es:

** " lC2lJk(ar') + C22Yk(ar')] sen(ktp) eja-eéM (2.59)

donde Jk(ar') y Yk(ar') son funciones Bessel del primer y segundo tipo respectivamente con parámetro a. Para las regiones 1, 3, 4 y 5 se utiliza el mismo cambio de variable dado por la ecuación (2.55) al resolver la ecuación (2.54), y cuya solución en dirección radial y tangencial ya son conocidas (Apéndice A) y que están dadas por:

A¿ = [C^r-^+c^r^] sen(ktp') e ^ - ' é , (2.60)

A 3 = [C31r-k + C22rk] sen(ktp) ei""':§z (2.61)

A 4 - [C41r-k + c42rk] seniktp) e j u ' t § z (2.62)

A j = [C51r-k + C52rk] sen(ktp) eju'ee3! (2.63)

A fin de que exista la solución en el origen y en el infinito se tiene que cumplir que Cy; = C52=0. De la definición del potencial A se sabe que:

Hr = - i - | ^ é r (2.64) pr d<p

H, * - - 4 ^ * - (2.65) * p dr *

Utilizando fórmulas de recurrencia para funciones Bessel en la región de la jaula de ardilla, se tiene que la solución para los campos en todas las regiones es:

Vi* rkcos(ktp) e i 4 , ° t e r (2.66)

r^seníktp) (2.67)

HÍr = [ C 3 l U^itti) +J J t .1(ar)] +C22[Yk_1(*i) *Yktl(ai)] ] cosUcp) e^- ' á , (2.68) 2 H2

2.12

•5» " - [«Ai [ J w ( « b - «W«*>] + C „ [ 7 M ( « r ) - r w ( « r ) ] ]sen(*<p) e^ 'a .

[ C 3 1 r - * + C3 2 .r*] cos(ic<p) e**'eé_

1c [ - C 3 1 r - * - 1 + C 3 2 r * - 1 ] sen(7c<p) e J o '" , :é,

« i . = Pi-r

[ C 4 l r - * + C 4 2 r * ] cos(lc<p) e 7 " ' ^

*4. = - j - [ - C j r - ^ + C ^ r * - 1 ] sen(Jccp) e J " - c « ,

•*Sr P3-^

-TcG 51

r~*cos (ktp) e J U " t é r

r-^seniktp) e J - # e é f

(2.69)

(2.70)

(2.77)

(2.72)

(2.73)

(2.74)

(2.75)

A fin de conocer el valor de las constantes involucradas en las ecuaciones anteriores se recurre a establecer las condiciones frontera del problema.

2.6. Condiciones en la frontera.

Conociendo las características de cada una de las regiones y la configuración del motor se establece el comportamiento de la intensidad de campo magnético (H) en cada una de las interfases de las regiones, por lo que en r=<7, se tiene

H 4 9 ~ H5

p37/3 r = \íxHAl

(2.77)

donde K representa la excitación a través de una corriente laminar. En cada región debe existir un retorno de J, E y A por lo que se eligió la función seno, esta misma consideración se realiza para Kv (ver Figura A.2.). L a corriente laminar tiene un espesor despreciable y se colocó en la interfase con radio c. La longitud de arco que abarca la corriente laminar es c veces el ángulo en radianes.

La parte espacial de esta corriente se puede expresar en forma de series de Fourier para

2.13

considerar los armónicos. De lo anterior, esta dada por [6]:

x» - n ^ J ^ ^ ^ ^ i ^ l h i M - ^ U ^ ^ ^ i ^ l h i k ^ - ^ n m ^ f (2.78)

donde

En esta tesis se utiliza la fundamental (h = l), ya que el devanado esta idealizado, por lo que:

2c i¿sen(k(p) + ibsen(k<f-22.) e 2 3 + ¿cse/j(Jc<p--i£) »~* 3 (2.80)

donde es el número equivalente de vueltas por fase para un devanado que se encuentra distribuido sinusoidalmente en el estator.

La corriente laminar impresa puede expresarse en función de una componente K+ que gira en sentido dextrógiro (en el sentido de las manecillas del reloj) en el espacio (componente de secuencia positiva), y de otra componente K_ que gira en sentido contrario [4,36] (componente de secuencia negativa). De lo anterior:

K9 = [ ^ e ^ ^ ' + i f . e ^ ^ ' j é , (2.81)

donde

K. = [ia + ific]

(2.82)

i M ?12 7-12

K - = 1 W 3 + i - e 3 ]

se elige la función con comportamiento impar y se sustituye (2.82) en (2.81), obteniéndose:

tt. ds 2 (2c) sen(ktp) e i w ' A i2-**3)

cuando se tiene una condición balanceada K = 0.

Las condiciones de frontera también se cumplen cuando se tiene un movimiento relativo entre las

2.14

regiones [4,36] ya que los sistemas son inerciales. De lo anterior, las condiciones frontera en r=b son:

#2<p - # 3 < p

Las condiciones frontera en r=a son:

P-l # l r = V-2 H2r

(2.84)

(2.85)

Una vez establecidas las condiciones de frontera y después de mucha algebra, se encuentra el valor de las constantes de las ecuaciones (2.59) a (2.63), las cuales están dadas por:

4kVL2ak-1c[JFYazl-YFJatl] r> — r~i —f ra arJ •'ra ar i J /-> p.r> C i 2 — F3¡ f ^ „ 77~Z T (2.86)

C Y C " = 2 a c [ J , í i r r - V « í l ( 2 ' 8 ? )

°22 - 2ac[J^C"-YrJ„1] ( 2 8 8 >

_ CF [ J"Ya F b2 + FS3 YJab] 3 1 8 J c c p 2 F S 2 J Y a F

c = CF Y J a b Q pQ\

3 2 8 kc\x,JYaF

_ (\i^yi3) CF[YJab[ FS2 c*-1 + FS3 C ] * JYa F b2 c 1 ( 2 g i )

8kcp2Fs,FS2JYaF

" ~ 8 ¿ T C f l 2 F S I F S 2 J r a F

c = 2 | i 3 C f [ K 7 < t [ r a c * - 1 t F M c - * - 1 l +b2 F JYBc'k'1] „ p J . 5 1 8 ^ c p 2 F S J i ? - 2 F S 2 J Y a F

donde se han utilizado un gran número de expresiones que involucran sumas y productos de funciones Bessel, dadas por:

YJab = 2^Fs2JYzb + b-k^JYa (2.94)

2.15

J Y a = YarlJF-JarlYF (2.96)

F = i (2.97)

Y F = í ^ i ) * - 1 ^ ^ ! . ^ (2.98)

c7F = i ^ ^ ^ - A ^ 4 - 1 ^ ( 2 9 9 )

CF = 2NdsVilílV>2\i3Fslb-2 (2.100)

Jan = P ^ s a - P l ^ r a ( 2 1 0 1 )

yan = P i ^ - h T »

= ^ 3 ^ J b + P 2 ^ b (2-104)

Jbn = VzJsb-VyJrb (2.105)

Jbsl = V 2J s b + \ í 3 J r b (2-106)

= d-2kck-x ( p 3 - p x ) + ( n x + H 3 ) c'"-1 (2.107)

= d-2kc-2 ( P j 2 - ^ ! 2 ) + ( p x2 - p 3

2 ) c-2k-2 (2.108)

d -2* ca*-2 ( p 3 - p 1 ) ( p 1 - p 3 ) + ( p 1 + p 3 ) 2 c - 2 (2.109)

[ i a + i h + i c ] + [ i a + i b e J ' ^ + i c e J ' ^ ]

J r b = Jk-yiab) -Jk+1(ab) (2.111)

Jsb = J M ( a ¿ ) + J l ( 1 ( a ¿ ) (2.112)

Jra = Jk-Í ( « 3 ) " Jk*l ( « 3 > ^ - i / 5 ^

Y r ¿ = 1 ^ ( a J b ) - Yk^ ( a b ) (2.115)

2.16

Yra = Yk-yiaa) -Yktl(aa) (2.117)

Ysa • A x ( a a ) +Yktl(aa) (2.118)

Conocidas las constantes Cl2, C2], C22, C3I, C32, C4], C42 y C 5 / , en donde las integrales cuyo argumento involucra funciones de Bessel con argumento complejo se evalúan en forma numérica, mientras que para las derivadas de las funciones de Bessel se utilizan fórmulas de recurrencia. Tales constantes se sustituyen en las ecuaciones (2.59) a la (2.63) con lo que se encuentra numéricamente el potencial vectorial magnético. Sustituyendo A respectivamente en las ecuaciones (2.66) a (2.75) se obtiene la intensidad del campo magnético tanto en dirección radial como tangencial para cada una de las regiones. Las intensidades de campo eléctrico para cada región están dadas por:

- [-j<o0A>-<*a^)*. <2120>

E3 = -jueA3ez (2.121)

E4 = -juéAtéM (2.122)

E5 = -jo>eA5éz (2.123)

Las ecuaciones (2.119) y (2.120) poseen el efecto rotacional. E l vector de Poynting y las potencia de pérdidas se calculan de igual manera que en el Apéndice A, pero en las regiones del rotor se utiliza el efecto resultante de la intensidad de campo eléctrico (ecuaciones (2.119) y (2.120)). En las regiones acotadas por dos radios finitos (regiones 2, 3 y 4) el vector de Poynting total esta dado por la suma vectorial de los mismos evaluados en los radios que limitan sus fronteras, sucediendo lo mismo con la potencia de pérdidas. Así como en el Apéndice A el vector de Poynting tangencial no posee un flujo de energía resultante. También existe una fuerza de compresión radial y otra fuerza tangencial (sólo en la región de la jaula de ardilla) que provocan un par electromagnético en las tres direcciones (radial, tangencial y axial).

La evaluación numérica de las variables electromagnéticas, graficado e interpretación de los resultados obtenidos se resume en el Capítulo 4.

2.17

C A P I T U L O 3

MODELADO M A G N E T O - E L E C T R I C O D E L MOTOR D E INDUCCION TIPO JAULA DE ARDILLA

3.1. Introducción

Los distintos modelos del motor de inducción utilizados para simular el estado transitorio y que se describen en el Capítulo 1 tienen gran cantidad de simplificaciones, por lo que en este capítulo se desarrolla un modelo que reduce el número de simplificaciones. Los parámetros del modelo desarrollado se obtienen de la densidad de campo magnético en cada región cuyas expresiones se dan en Capítulo 2.

E l modelado a partir del flujo magnético fue ideado principalmente por Slemon [6,7,8,9] en la segunda mitad de este siglo. Los modelos elaborados por Slemon se han obtenido a partir de parámetros conocidos, como el flujo magnético radial. En este capítulo el flujo magnético no es un parámetro medido sino calculado a partir de las dimensiones y las características de los materiales que constituyen al motor. Además, en el modelo desarrollado en este trabajo se considera el flujo magnético tangencial, que no se incluye en ninguno de los modelos existentes en la literatura, y cuyo efecto es importante, pues representa una inductancia extra que determina en sí el par del motor (ver Capítulo 2).

3.2. Modelo magnético de motor de inducción tipo jaula de ardilla.

E l modelo magnético esta dado por un circuito (ver Figura 3.1) que se representa por reluctancias con parámetros concentrados a lo largo de cada trayectoria de flujo. Este modelo magnético puede tener n trayectorias de flujo, pero a fin de formar fácilmente un modelo trifásico se divide en 6 secciones.

Cabe enunciar las Leyes de Kichhoff aplicadas a circuitos magnéticos:

1) . Alrededor de una trayectoria de flujo, la fuerza magnetomotriz total (generada en este caso por la corriente laminar impresa K^) es igual a la suma de las caídas de fuerza magnetomotriz.

2) . La suma de los flujos que entran y salen en una intersección de trayectorias de flujo es igual a cero.

Para calcular el flujo magnético en cada región se integra la densidad de flujo magnético (obtenida del Capítulo 2) que cruza cierta área (perpendicularmente), se utilizan las siguientes expresiones [6]:

Flujo magnético radial total

3 i 2 i 1

A - / A , d * = ü l B x d t * d z \ r = r e x c

+ ----+ f ¡rBzd<pdz\r__lBxe (3.1) 0 0 5 » 0

3

3.1

Flujo magnético tangencial por sección zaxt 1 z»xt 1

= L * * ' * * = í jB9dzdz\9. ¡ ¡B^drdz^ (3.2)

E l flujo magnético radial total, se puede calcular ya que existe una distribución tangencial cerrada de conductores, por lo tanto se puede representar matemáticamente como la suma algebraica de 6 integrales de área (por la propiedad distributiva de la integral), y cada integral corresponde físicamente a un sexto del perímetro externo de cada región. Se eligieron 6 integrales, pues el modelo a desarrollar es trifásico y para un par de polos (k = l). No se puede hablar de enlace de flujo magnético tangencial total, debido a que no existe una trayectoria que pueda encerrar todo el flujo tangencial, pues la distribución radial de conductores también no esta cerrada; así, también se establecieron 6 integrales en congruencia con el número de integrales utilizadas para encontrar el flujo magnético radial. L a densidad de flujo magnético radial esta distribuida cosenoidalmente a lo largo del perímetro del motor, mientras que la densidad de flujo magnético tangencial senoidalmente. Para calcular los enlaces de flujo X, necesarios para desarrollar el modelo magnético de esta tesis se tienen las siguientes expresiones [6]:

Enlace flujo radial total

2

Kt = [ nf(tp) [TrlBtdip)d9\r.Im.t (3.3)

1

Enlace de flujo tangencial por sección zaxt

Ks = / n f B . d r l . . , , (3.4) zinte

donde, «y es la mitad del total del número de vueltas por fase del devanado y las cuales pueden variar tangencialmente (en el caso del enlace de flujo magnético radial) o puede no variar (en el caso del enlace de flujo magnético tangencial). La integral del enlace de flujo magnético radial corresponde a la de una vuelta del devanado.

E l modelo magnético que se muestra en la Figura 3.1 se obtiene utilizando las ecuaciones (3.1) y (3.2). E l valor numérico de la densidad de campo magnético para cada región esta en las Tablas 4.1 a la 4.4 del Capítulo 4, tanto en el arranque como a velocidad nominal. Con lo anterior se tienen las siguientes expresiones:

Flujo magnético radial total en el núcleo laminado del rotor B

T 2 *

* i r e 3 / ^ l r i d q > U + . • • - + / rBlrldq>\z,a (3.5)

O _5n 3

3.2

3L.- Reluctancia r.- Radial t.- Tangencial

F.- Fuente de f.m.m.

r.- Núcleo laminado del rotor j . - Jaula de Ardilla e.- Entrehierro s.- Núcleo laminado del estator

Figura 3.1. Circuito magnético del motor de inducción

Flujo magnético radial total en la jaula de ardilla

3

* 2 , t = f rB2rldtf>\r.b+ + | zB2rid<p| 2lt

5 B 3

Flujo magnético radial total en el entrehierro B 3 2 B

* 3 r , = / r B 3 r i d q > | r . c + . . . .+ | rJ33fJdq»|r .

3

Flujo magnético radial total en el núcleo laminado del estator

* 4 „ = í18^1 d ( P l r = d + - • • - + / rBirld<p r=d 5n 3

Flujos magnéticos tangenciales por sección en el núcleo laminado del rotor

a a

o 3 o

Flujos magnéticos tangenciales por sección en la jaula de ardilla

b b

a a

Flujos magnéticos tangenciales por sección en el entrehierro

c c * 3 n = / B 3 , J d r | ( P . B ; . . . ; / B 3 f J d r | ^ 2 „

¿ 3 £>

Flujos magnéticos tangenciales por sección en el núcleo laminado del estator

(3.6)

(3.7)

(3.8)

(3.9)

(3.10)

(3.11)

(3.12)

A cada trayectoria de flujo magnético (ecuaciones (3.5) a (3.12)) corresponde una reluctancia. E l valor de la fuerza magnetomotriz es Fm= iN(ls/ns, por lo tanto para cada trayectoria de flujo existe una o más fuentes de fuerza magnetomotriz en serie, que están colocadas en el radio igual a c. Como el objetivo de este trabajo de tesis es generar un modelo eléctrico no es necesario calcular explícitamente el valor de las reluctancias del modelo magnético, por lo que se obtienen las inductancias

3.4

correspondientes en la siguiente sección.

E l cálculo de las anteriores integrales se realiza en forma numérica, para lo cual se utilizó el programa de Mathematica V.2., ya que estos cálculos involucran integrales de funciones Bessel.

3.3. Modelo eléctrico del motor de inducción tipo jaula de ardilla.

E l modelo eléctrico mostrado en la Figura 3.2. se obtiene directamente del modelo magnético de la Figura 3.1 usando el principio topológico de dualidad. Este principio fue desarrollado por Cherry [55], Carpenter [10] y generalizado por Slemon [6,7,8,9]. Su aplicación consiste en marcar en el centro de cada malla del circuito magnético un punto de unión y fuera del circuito magnético un punto de referencia (0). Los puntos se unen a través de líneas entre si para mallas contiguas internas y externas, además se unen con el punto de referencia. La estructura del circuito eléctrico resultante es dual a la del circuito magnético, pues para cada reluctancia en serie del circuito magnético corresponde una inductancia en paralelo del circuito eléctrico. Cuando una reluctancia es común entre dos mallas contiguas hay una inductancia que conecta los puntos centrales de las mallas del circuito magnético. Por cada fuente de fuerza magnetomotriz existe una fuente de corriente y por cada flujo magnético existe un voltaje inducido entre los nodos del circuito eléctrico de acuerdo con la Ley de Faraday. Así los modelos $-Fm pueden generar modelos X-í.

Se supone que el devanado tiene Nds vueltas, entonces para obtener el circuito eléctrico, es necesario substituir las fuentes de corriente por transformadores monofásicos ideales que se conectan en delta ó estrella flotando en su primario, dependiendo del tipo de motor (ver Capítulo 4). Cada transformador ideal contiene en su lado secundario la resistencia e inductancia internas por fase correspondiente del devanado del estator. Se debe respetar la polaridad de los transformadores al conectar sus primarios. Los transformadores ideales y parámetros del devanado se conectan en la frontera con radio c, separados entre sí 120 grados eléctricos (considerando el valor de k), como se muestra en la Figura 3.2. La resistencia e inductancia internas del devanado se calculan de manera aproximada en esta tesis, ya que para poder realizar el estudio electromagnético del Capítulo 2 se usó una corriente laminar de espesor despreciable. Para efectuar este cálculo se parte de la definición de la transformación de la energía electromagnética en un conductor. La energía almacenada en el campo magnético es [42]:

— f A • Jdv = 1 2 JV 2

para calcular la inductancia interna se usa

B-Hdv (3.13) V

L 2Um !

i 2 " i 2 B•Hdv+ _ L •2 1 i 1

J v B • Hdv (3.14)

E l primer factor de la ecuación (3.14) corresponde a la inductancia interna de un conductor del devanado de fase, mientras que el segundo miembro corresponde a la inductancia externa.

L a inductancia interna cuando se tienen corrientes con bajas frecuencias y conductores delgados

3.5

L . - Inductancia r.- Radial t.- Tangencial

R.- Resistencia T. - Transformador ideal

Cm.- Momento Polar de Inercia (Cap. 4)

r.- Núcleo laminado del rotor j . - Jaula de Ardilla e.- Entrehierro s.- Núcleo laminado del estator d.- Devanado del estator por fase

Figura 3.2. Circuito eléctrico del motor de inducción

esta dada por [42]:

ld 2t a . 2 i

fiQ,iir)¿ , . , _ HqiK * J V ' * « ¿ o A r i o 4 7 7 a 8 7 r

Como se nota la inductancia interna es independiente del radio del conductor, así para un conductor cilindrico la inductancia interna por unidad de longitud es de 0.05 /¿H/m. L a longitud del devanado (Apéndice B) por fase se estimó midiendo la resistencia por fase y utilizando la ecuación (3.16). La resistencia teniendo bajas frecuencias (60 Hz) y conductores delgados, esta dada por la Ley de Ohm:

Rd = ^ ± (3.76)

Para calcular el valor de las inductancias de cada región se tiene que L = \/i, por lo que se recurre a las ecuaciones (3.3) y (3.4). Así, las inductancias tangenciales (que corresponden a reluctancias radiales según el principio de dualidad) para cada región son las siguientes:

Inductancia tangencial en el núcleo laminado del rotor por sección

SI I n T

Inductancia tangencial en la jaula de ardilla por sección

1 2

Ljt = — = - A f -^sen(ktp) [ í r 1B2 dtp ] dtp \ z = b (3.18) s n s 1 f J 1f „ ¿ t>

Inductancia tangencial en el entrehierro por sección

B

X 2

L e t - -Jü. - - L . í ^sen(ktp) [TrlB3dtp]dtp\z__c (3.19)

Inductancia tangencial en el núcleo laminado del estator por sección

t̂ X 2

L S £ = - Í Ü . = 1 ( 4psen(7c<p) [TriB4j<*p] cftp | r . d ^

3.7

donde 1¡ representa la corriente de fase eficaz, ns es el número de trayectorias de flujo con las que se desee realizar el modelo eléctrico y tifo) que aparece en la ecuación (3.3) se sustituye por su valor equivalente a sus correspondientes número de vueltas distribuidas sinusoidalmente. L a densidad de campo magnético radial Br para cada región se calcula con las ecuaciones (2.66), (2.68), (2.70), (2.72) y de (2.86) a (2.118). Para calcular la inductancia radial por sección y región se tiene que:

Inductancia radial en el núcleo laminado del rotor por sección

X a

_ f = J _ f K KÍ

L„ = ^ = ± } ! ^ l B . d z (3.21) 1 2 » o

donde

L " r . = L " r 4 , = L » , S . = = = L » r » = L » r , (3.22)

Inductancia radial en la jaula de ardilla por sección

3*. If IfJ 2 2*

donde

Inductancia radial en el entrehierro por sección

r = í£ I, 1,1 2 - f

K i

If 1,3 2 4»

(3.23)

L h . = LÍ<± = L J . S . = L b 2 , = Kr. = L i , ^ = Lirx (3.24) 3 3 3 3

Lr_£f£ i B , dr (3-25) •t £ b

donde

L*rs =

A ^ = L*,s„ = A 2 , " A , . = = Le„ (3.26)

3 3 3 3

Inductancia radial en el núcleo laminado del estator por sección

L . = Si , l f ^ £ j 5 j dr (3.27) 1/ f i 2

donde

A . = L - , 4 . = L - , s 4 = L*r2, = L*tm = K,2n = Kt, (3.28)

3.8

donde NdSr es igual a dos debido a que radialmente sólo existe una espira distribuida radialmente para cualquier valor de ip, y como la distribución tangencial de la corriente y densidad de flujo magnético se comportan senoidalmente no es necesario evaluar para un valor de <p.

Para calcular las inductancias tanto radiales como tangenciales se recurrió a evaluar numéricamente las funciones Bessel e integrales de funciones Bessel. Esto se hizo con el paquete Mathematica V.2. [30], ya que es flexible y fácil de usar. E l valor de las inductancias calculadas se presenta en la Tabla 3.1. En esta tabla se muestran las inductancias para distintas velocidades de rotación y cuya variación se presenta gráficamente en la Figuras 3.3 y 3.4.

Las inductancias tangenciales involucran flujos magnéticos radiales y las inductancias radiales involucran flujos magnéticos tangenciales. Los valores de las inductancias tangenciales en el núcleo del rotor, las inductancias radiales en la jaula de ardilla y núcleo del rotor para velocidades menores al 60% del valor de la velocidad síncrona son negativo. Este cambio de signo se debe a la precisión numérica (suma y resta de cantidades similares) en el cálculo de las integrales, ya que el valor real es cero. Se nota que el flujo tangencial en la jaula de ardilla es menor que en cualquier región (por el efecto rotacional) y el flujo tangencial del entrehierro es constante a cualquier velocidad y de valor pequeño (casi todo el flujo cruza radialmente). E l flujo magnético tangencial en el núcleo del estator se puede considerar que gira en sentido contrario, ya que todos los signos de las inductancias son negativos.

Analizando la Tabla 3.1 se concluye que al aumentar la velocidad se incrementa el valor de las inductancias radial y tangencial. E l valor calculado de la inductancia del devanado se asienta en el Apéndice B. Algunos valores de inductancias no son significativos, pero se considerarán cuando sea pertinente en las simulaciones del siguiente capítulo. A continuación se incluyen dos gráficas que muestran el comportamiento de la inductancia en la jaula de ardilla y el entrehierro al variar la velocidad de rotación. Como se nota existe una pequeña variación en el origen debida a que al interpolar, el paquete

L [mH]

w [%] 0.2 0.4 0.6 0 .8

Figura 3.3. Variación de la inductancia tangencial en la jaula de ardilla, al variar la velocidad de rotación.

3.9

L [mH]

Figura 3.4. Variación de la inductancia tangencial en el entrehierro, al variar la velocidad de rotación.

REGION

INDUCTANCIA POR

S E C C I O N |mH|

VELOCIDAD DEL ROTOR ( % u E X C )

REGION

INDUCTANCIA POR

S E C C I O N |mH| 0 10 20 30 40 50 60 70 80 u N O M

N U C L E O

D E L

ROTOR

IND. TANG. 0 0 0 0 0 0 0 1 617E-3 I.6E-2 0.273

N U C L E O

D E L

ROTOR IND. R A D I A L 0 0 0 0 0 0 0 3.6E-5 3 .55E^ 6 . 0 7 E 3

JAULA

DE

A R D I L L A

IND. TANG. I.85E-2 I.9E-2 I.94E-2 2.E-2 2.09E-2 2.25E-2 2.49E-2 3.03E-3 4.49E-2 0 3038

JAULA

DE

A R D I L L A IND. RADIAL

0 0 0 0 0 0 0 1 735E-8 I.72E-7 2 93E-A

E N T R E -

HIERRO

IND. TANG. I . 9 9 E 2 1 9E-2 2 .08E2 2.14E-2 2.24E-2 2.38E-2 2.64E-2 3.I7E-2 4.63E-2 0.3053 E N T R E -

HIERRO

IND. RADIAL .1 116E-3 I II6E-S ) 116E-J J. 116F.-5 J. ltM-] J 116E-3 } iHK-3 3.M6E-S J.II59E-5 1 I07E 5

N U C L E O

D E L

ESTATOR

IND. TANG. 4.4E-5 4.48E-5 4.49E-5 4 . 7 3 E 5 4.937E-5 5.256E-5 5.82E-5 7 E 5 I.02E-4 6.73E4

N U C L E O

D E L

ESTATOR IND. RADIAL -3.76E-4 •3 84E-4 •3.93E-4 -4 05E-4 •4.23E-4 - l . S E - t J . 9 8 E J 6E-4 8 75E-4 •5.7E-3

Tabla 3.1. Valor de inductancias al variar la velocidad de rotación

3 . 1 0

Mathematica ajusta la curva de acuerdo a su programación interna al utilizar el comando de interpolación.

Se puede incluir el efecto de las variables electromecánicas (si se desea analizar un transitorio electromecánico) utilizando el principio de dualidad, y se representan a través de un equivalente eléctrico RLC [3,43,51] conectado al modelo eléctrico (Figura 4.1). Esto se explica con mayor profundidad en el Capítulo 4, donde se simulan los transitorios en el arranque y cuando se presenta un cortocircuito trifásico con ayuda del Programa para transitorios electromagnéticos (EMTP).

E l modelo fue deducido bajo condiciones balanceadas, sin embargo se puede aplicar para condiciones desbalanceadas. También se puede aplicar a estudios de estabilidad cuando existe un pequeño disturbio (estabilidad dinámica) o un gran disturbio (estabilidad transitoria), ya que el modelo de esta tesis puede reducirse a un modelo monofásico [41].

3.11

C A P I T U L O 4

ANALISIS D E R E S U L T A D O S — • - ms.

Este capítulo se divide en dos partes. En la primera parte se presenta la evaluación numérica, graficado e interpretación de las variables electromagnéticas, cuyas expresiones parten del estudio electromagnético del motor de inducción tipo jaula de ardilla en estado estable que se desarrollo en el Capítulo 2.

La segunda parte consiste en adaptar al modelo eléctrico del motor de inducción (desarrollado en el Capítulo 3) los elementos que permitan realizar el acoplamiento con la parte mecánica. Además se realizan las simulaciones en el arranque y cuándo el motor se encuentra sometido a un corto circuito trifásico. Estas simulaciones son realizadas con la ayuda del EMTP.

4.1. Análisis de resultados del estudio electromagnético

4.1.1. Resultados

Para la evaluación de las variables electromagnéticas obtenidas del estudio de campos electromagnéticos realizado en el Capítulo 2, se utilizaron los parámetros asentados en la placa de datos y las dimensiones de un motor de prueba perteneciente al Laboratorio de Ingeniería Eléctrica (ver Apéndice B).

E l valor de permeabilidades y conductividades de las regiones se tomaron de tablas [14,16] y manuales de fabricantes de acero [18]. E l número de vueltas por fase del devanado se consideró un valor base (N=87) [6,7,15]. Para grafícar el comportamiento de las variables electromagnéticas en el instante del arranque se tomó la corriente de arranque de manuales de fabricantes de motores [19], mientras que para la condición nominal se tomó la corriente a plena carga por fase (ver Apéndice B).

A continuación se presentan algunas gráficas que ilustran los comportamientos más característicos del módulo y fase de algunas variables electromagnéticas. También se presentan 6 tablas que resumen los resultados más importantes; estas tablas utilizan cierta nomenclatura y notas, cuyo significado se presenta en el Apéndice E.

En las Tablas 4.1 y 4.2 se presentan lo valores y comportamientos del módulo y la fase de las variables electromagnéticas en las regiones que conforman el rotor (núcleo laminado del rotor y jaula de ardilla), tanto en el arranque como al encontrarse el rotor girando a una velocidad angular que representa el 95 .8% de la velocidad síncrona. La diferencia entre estas dos velocidades representa físicamente el deslizamiento, estando incluido en los cálculos implícitamente.

E l efecto rotacional, como se indica en la ecuación (2.34) lo presenta únicamente la intensidad de campo eléctrico y en consecuencia el vector de Poynting radial y tangencial. L a densidad de flujo magnético tanto radial como tangencial, y el potencial vectorial magnético no tienen un efecto rotacional, pero se ven afectados por la velocidad. Como ya se mencionó con anterioridad, la jaula de ardilla es la única región en la que se pueden tener corrientes inducidas ("eddy") J, las cuáles no poseen un efecto rotacional en forma explícita, pero se ven afectadas implícitamente por la velocidad.

4.1

En las Tablas 4.3, 4.4 y 4.5 se presentan los valores y comportamientos de las variables electromagnéticas en las regiones estáticas, y se puede notar que no poseen un efecto rotacional.

En la Tabla 4.6 se presentan los resultados obtenidos para la potencia S radial de pérdidas en cada una de las regiones. La parte real de esta potencia representa las pérdidas por Efecto Joule, mientras que la parte imaginaria representa la potencia reactiva consumida.

En el apartado 4.1.2 se realiza un análisis detallado del comportamiento de las variables electromagnéticas más importantes.

E l listado del programa digital utilizado se presenta en el Apéndice C, el cuál se elaboró en Mathematica-V.2. Este programa presenta ciertas ventajas en cuanto a la flexibilidad para evaluar numéricamente las expresiones de las variables electromagnéticas así como para graficar tridimensionalmente las mismas, además de que es sencillo de utilizarse.

Cabe aclarar que el valor del módulo tanto en las gráficas como en las tablas presentadas es necesario multiplicarlos por dos (su comportamiento no cambia), ya que se consideró el valor eficaz de las corrientes además de que se dividió por y 2 para graficar el módulo de todas las variables electromagnéticas, excepto en los valores del par tangencial y fuerza radial calculados que si lo consideran. Para lo valores de la fase e inductancia calculados no afecta ya que se trata de un cociente (ver Apéndice Q.

4.1.2. Análisis e interpretación de resultados.

Cuando a lo largo de este apartado se hable de un adelanto o atraso de fase, se entenderá que se trata del fasor de la variable electromagnética considerada. Cuando se hable de cambio de sentido o dirección concierne al comportamiento físico de la variable electromagnética en la región considerada. E l comportamiento físico ya sea par o impar de la fase, es representado matemáticamente por la función coseno o seno respectivamente.

Del análisis de las Tablas 4.1 ala. 4.6 y las Figuras 4.1 a la 4.28, se resume lo siguiente:

4.1.2.1. Potencial vectorial magnético (A).

Como el potencial vectorial magnético es una herramienta matemática utilizada en Teoría Electromagnética no se proporcionará un razonamiento físico de su comportamiento.

La expresión de la Norma de Coulomb [21,22] establece la condición de continuidad del potencial vectorial magnético entre interfases. Otra condición teórica que establece la continuidad del potencial vectorial magnético son las condiciones de frontera radiales dadas por las ecuaciones (2.76), (2.77), (2.84) y (2.85). Al analizar la magnitud, frecuencia y comportamiento del módulo del potencial vectorial magnético dados en las tablas 4.1 a 4.5 (que en si resumen el análisis de gráficas), se concluye que los resultados obtenidos cumplen con la condición de continuidad. Tal condición de continuidad se comprueba con el incremento en el valor del módulo de A desde un valor nulo en el origen, hasta un valor máximo en la interfase donde se encuentra la corriente laminar K , presentándose a continuación un decremento de ese valor máximo hasta un valor nulo en la región externa.

4.2

Figura 4.1 .-Módulo del efecto transformador de la intensidad de cam- Figura 4.2. -Módulode la densidadde campo magnético radial (Br-/Wb/tn2l) po eléctrica (E-IV/ml) en tt núcleo laminada del rotor, para k = I cuan- en el núcleo laminado del rotor, para k = I cuando se encuentra girando, do se encuentra girando.

Figura 4.3.- Módulo de la densidad de campo magnético tangencial Figura 4.4.-Módulo del efecto rotacional de la intensidad de campo eléc-(Bf - [Wb/m2]) en el núcleo laminado del rotor, para k = l cuando se trico (E-¡V/mJ) en el núcleo laminado del rotor, para k = I cuando se en-encuentra en reposo. cuenlra girando.

4.3

Figura 4.5.- Módulo del efecto resultante de la intensidad de campo Figura 4.6.- Módulo del efecto resultante de la intensidad de campo eléc-eléctrico (E-/V/m/) en el núcleo laminado del rotor, para k = / cuando trico (E-/V/111I) en la jaula de ardilla, para k = / cuando se encuentra girando, se encuentro girando.

4.4

Í X K « Itl le 'irmaVarak T" T^" "** * ' ^ 4 J ° " M"d'"° *C"> " f i a d o r de la Intensidad de campo [Wb/m I) en la jaula de ardilla, pata k = ¡ ruándose encuentra girando. eléctrico (E-fV/mJ) en ¡a jaula de ardilla, para k = 2 atándose encuentra girando.

Figura 4.1 / . - Módulo de la densidad de campo magnético radial (li -[Wb/nrJJ en el núcleo laminado del estator, /tara k=J cuando se encuentra girando el rotor.

Figura 4.12.- Módulo del vector de l'oynltng radial (II,. -/W/m2/) en el núcleo laminado del estator, para k = 1 atando se encuentra girando el rotor.

4.5

2 Pi

0 . 8

Figura 4.13.-Módulo del potencial vectorial magnético (A-fWb/mj) en la región externa, para k = l cuando se encuentra girando el rotor.

2 Pi

Figura 4.15.- Módulo del potencial vectorial magnético (A-fWb/mJ) en el núcleo laminado del rotor, para k = 2 cuando se encuentra en reposo.

2 Pi

0 . 2

Figura 4.14.-Módulo de la densidad de campo magnético radial (Br-[Wb/ in2]) en la región exlerna, para k = l cuando se encuentra en reposo el rotor.

2 Pi

V r 2 m

Figura 4.16.- Módulo del efecto resultante del vector de Poynting radial ([\r-fW/m2]) en la jaula de ardilla, para k = l cuando se encuentra girando.

4.6

Phi [ r a d ] Pi

2 Pi

D . 0 0 0 9

0 . 0 0 0 6 J2rq

0 . 0 0 0 3

Rad io [ m 0 . 0 4 i]

Phi [ r a d ] Pi

2 Pi

0 . 0 4 5

0 \ 0 . 0 4 6 5

0 . 0 4 6 6

Rad io [ m ] 0 . 0 4 6 7 ^ 0 . 0 4 6 8

Figura 4.17.-Módulo lie la densidad de campo magnético radial (Br-[Wb/m2]) en la jaula de ardilla, para k = I cuando se encuentra en reposo.

Figura 4.18.- Módulo del vector de Poynting radial (tlr-fW/nr]) en el enlre-hierro, para k = l cuando se encuentra en reposo el rotor.

1 q [ r a d ] E 1 q [ r a d ]

1

).5

).5

-1

.5

- 2

Phi [ r a d ] 2 Pi

2 . 5

2

1.5

1

0 . 5

m Phi [ r ad ]

2 Pi

Ftg. 4.19.-Fase del potencial vectorial magnético (A-fradj) en el núcleo laminado del rotor, para k = I cuando esta en reposo.

Fig. 4.20. -Fase de la intensidad de campo eléctrico (E - [rad]) en el núcleo laminado del rotor, para k = l cuando esta en reposo.

r [ r ad ] E 1 m [ r a d ]

Phi [ r a d ] 2 Pi

Q_

Phi [ r a d ] Pi

Fig. 4.21.- Fase del efecto rol. de la intensidad de campo eléctrico (E - Fig. 4.22.- Fase del efecto res. de la intensidad de campo eléctrico (E -[rad]) en el núcleo laminado del rotor, para k = ¡ cuando gira. [rad]) en el núcleo laminado del rotor, para k = I cuando gira.

V 1 r q [ r a d ]

2 Pi Phi [ r a d ]

- 0 . 2 5

- 0 . 5

- 0 . 7 5

-1

- 1 . 2 5

- 1 . 5

Pi 2 Pi Phi [ r ad ]

Fig. 4.23.- Fase de la densidad de campo magnético radial (Br-/radl) en el núcleo laminado del rotor, para k=l cuando esta en reposo.

Fig. 4.24.- Fase del vector de Poynting radial (í\r-[rad]l en el núcleo laminado del rotor, para k = 1 citando esta en reposo.

V 1 p m [ r a d ]

Fig. 4.25.- Fase del efecto res. del vector de Poynting tangencial (II -(rad/) en el núcleo laminado del rotor, para k=l citando gira.

V 1 p r [ r a d ]

"ig. 4.26.- Fase del efecto rol. del vector de Poynting tangencial (II - /rad/) <t el núcleo laminado del rotor, para *-/ cuando gira.

2 r m 1 [ r a d ] V 2 r m 2 [ r a d ]

-1

- 2

-3

Phi [ r a d ] Phi [ ra

Fig. 4.27.- Fase del efecto res. del vector de Poynting radial (Ilr-[radl) en la jaula de ardilla, para k = l cuando esta girando.

Fig. 4.28.-Fase del efecto res. del vector de Poynting radial (IIr-(radJ) en la jaula de ardilla, para k-2 cuando esta girando.

4.8

R

E

G

O

VARIABLE E.M.

PARES DE

POLOS

CONDICI EFECTO

INDUC

ONY E.M.

MODULO FASE VARIABLE E.M.

PARES DE

POLOS

CONDICI EFECTO

INDUC IDO MAGN. V COMP. MAGN. V COMP.-

FIG.

A , POT. VECT. MAGNETICO

i Wb/m]

1 REPOSO MU • es FIGURA 4.19 A , POT. VECT. MAGNETICO

i Wb/m]

1 MOVIMIENTO 8.5E-5 S es 2.4-1-0.74) S 1-4.19


i Wb/m] 2 REPOSO FIGURA 4.15 1.33+1.81) D 1-4.19


i Wb/m] MOVIMIENTO 2.8E-5 D CNS 2.9-1-0.24) D 1-4.19

I N T K N S 1 D A D

REPOSO I.IF.-2 S es FIGURA 4.20

I N T K N S 1 D A D

1 E.T. FIGURA 4.1 0.82+2.32) S 1-4.19

I N T K N S 1 D A D

1 MOV. E.R. FIGURA 4.4 FIGURA 4.21

I N T K N S 1 D A D

1 E T + E R FIGURA 4.5 FIGURA 4.22

DE CAMPO ELECTRICO

[V/m]

REPOSO I.25E-2 D CNS 2.9+0.24) D 14.20 DE CAMPO ELECTRICO

[V/m]

2 MOV. E.T. I.IE-2 D CNS 1.33+1.81) D 14.19

DE CAMPO ELECTRICO

[V/m]

2 MOV. E.R. I.05E-2 D CNC 2.9-1-0.24) D P4.2I

DE CAMPO ELECTRICO

[V/m]

2 MOV.

E T + E R I.05-I.O7E-2 D CES'" »4-»>44>.2> 1) maP

DENSKM& DE CAMPO MAG. TANGENCIAL

[Wb/m2l

1 REPOSO FIGURA 4.3 1.15+1.97) S 14.20


[Wb/m2l

1 MOVIMIENTO 2.7E-3 S TS 2.4-1-0.74) S 14.20 DENSKM& DE

CAMPO MAG. TANGENCIAL

[Wb/m2l 2 REPOSO 2E-3 D es 1.334-1.81) D 14.20


[Wb/m2l 2

MOVIMIENTO I.75E-3 D es 2.9-1-0.24) D 14.20

B r DENSIDAD DE CAMPO MAG.

RADIAL IWb/in2l

1 REPOSO 8.8E4 S T C FIGURA 4.23 B r

DENSIDAD DE CAMPO MAG.

RADIAL IWb/in2l

1 MOVIMIENTO FIGURA 4.2 2.4441.74) S P4.23


RADIAL IWb/in2l

2 REPOSO 2.0SE-3 D ce 1.334-1.81) D P4.23


RADIAL IWb/in2l

2 MOVIMIENTO I.75E-3 D ce 2.94-0.24) D P4.23

h r

VECTOR DE POYNTING

RADIAL

[W/m2]

1

REPOSO 4.8E-3 S CSA FIGURA 4.24

h r

VECTOR DE POYNTING

RADIAL

[W/m2]

1 MOV. E.T. 4.77E-2 S CSA -»/2 Cíe CT4.24 h r

VECTOR DE POYNTING

RADIAL

[W/m2]

1 MOV. E.R. 2.35E-2 D es -»4»> 4.26o»

h r

VECTOR DE POYNTING

RADIAL

[W/m2]

1 MOV.

E T + E R 4.8E-2 S es (.,)4M-»I S M 4 J * *

h r

VECTOR DE POYNTING

RADIAL

[W/m2] 2

REPOSO I.3E-2 D CNSA -»/2 Clt CT4.24

h r

VECTOR DE POYNTING

RADIAL

[W/m2] 2 MOV.

E.T. I.02E-2 D CNSA -»/2 Cíe CT4.24

h r

VECTOR DE POYNTING

RADIAL

[W/m2] 2 MOV.

E.R. 5E-3 C CNS -»4»> 4.26»

h r

VECTOR DE POYNTING

RADIAL

[W/m2] 2 MOV.

E T + E R I.05E-2 D CNS (-i)4M-») 1) DO-4.22"»

n B VECTOR DE POYNTING

TANGENCIAL

[W/m2]

1 REPOSO 2.5E-3 D CSR »/24-»/2) D 14.20


TANGENCIAL

[W/m2]

1 MOV. E.T. 2.4E-2 D CSR »/24-»«) D 14.20 n B

VECTOR DE POYNTING

TANGENCIAL

[W/m2]

1 MOV. E.R. 4.8E-2 S CCA FIGURA 4.26


TANGENCIAL

[W/m2]

1 MOV.

E T + E R 4.8E-2 S ce FIGURA 4.2S


TANGENCIAL

[W/m2] 2 REPOSO 6.8E-3 C CNSR »/2-(-»/2) C 14.20


TANGENCIAL

[W/m2] 2 MOV. E.T. 5.2E-3 c CNSR »/24-»/2) C 14.20


TANGENCIAL

[W/m2] 2 MOV. E.R. 1.02E-2 D CNCA -»4»> 4.26o»


TANGENCIAL

[W/m2] 2 MOV.

E T + E R I.05E-2 D CNC »4-»> D DM4.25

N

Tabla 4.1 t

Variables electromagnéticas en el núcleo laminado del rotor

4.9

R

E

O

VARIABLE E.M.

PARES DE

POLOS

CONDICION Y EFECTO E.M.

INDUCIDO

MODULO FASE VARIABLE E.M.

PARES DE

POLOS


INDUCIDO MAGN. CO.MP. MAGN. COMP.-

FIG.

A, POT. VECT. MAGNETICO

IWb/ml

1 REPOSO S BPS 1.5-1-1.641 S 14.19 A, POT. VECT. MAGNETICO

IWb/ml

1 MOVIMIENTO H.5-9.4E-5 s DPS 2.4-141.741 S 14.19


IWb/ml 2 REPOSO J.2-5.4E-5 D DPS 1.644-1.51 D 14.19


IWb/ml 2

MOVIMIENTO 2.8-3.7E-S D DPS 2.94 4.241 D 14.19

INTENSIDAD DE CAMPO ELECTRICO

[V/m]

1

REPI I.I-1.55E-2 S DPS 3.07 (41.07) S 14.20


[V/m]

1 MOV. E.T. 3.3-3.5E-2 s DPS 0.824-2.321 s 14.19


[V/m]

1 MOV. E.R. 3.25-3.45E-2 s DPC 2.4-14.74) s P4.2I


[V/m]

1 MOV.

ET+ER FIGURA 4.6 t 4 . * M - t / 4 s 00422"' INTENSIDAD DE CAMPO ELECTRICO

[V/m]

2 RK.I1 JSO I.25-2.05E-2 D DPS 3.0944.05) D 14.19


[V/m]

2 MOV. E.T. FIGURA 4.10 1.334-1.81) D 14.19


[V/m]

2 MOV. E.R. I.07-I.35E-2 D DPC 2.944.24) D P4.2I


[V/m]

2 MOV.

ET+ER I.07.I.J9E-2 D C E S ! 5 ) v-l-*t.<4>.2> D 004.22* •

DENSIDA^ DE CAMPO MAG. TANGENCIAL

[Wb/m2l

1 REPOSO 5E-3 S CS 2.81-MI.JJI S 14.20


[Wb/m2l

1 MOVIMIENTO 9.4E4 s CSR 3.04-14). 1| S 14.20 DENSIDA^ DE

CAMPO MAG. TANGENCIAL

[Wb/m2l 2 REPOSO 6.2E-3 D CS 2.794 4.35) D 14.20


[Wb/m2l 2

MOVIMIENTO IE-3 D CSR 3.0944.05) D 14.20


RADIAL IWh/m2!

1 REPOSO FIGURA 4.17 1.5-1-1.641 S P4.23 B r DENSIDAD DE CAMPO MAG.

RADIAL IWh/m2!

1 MOVIMIENTO FIGURA 4.9 2.+I4.74) S P4.23


RADIAL IWh/m2!

2 REPOSO 2.05-2.35E-3 D DPCAP 1.64-1-1.5) D P4.23


RADIAL IWh/m2!

2 MOVIMIENTO I.85-I.55E-3 D IPCP 2.944.24) D P4.23

n ,

VECTOR DE POYNTING

RADIAL

[W/m1]

1

REPi OSO FIGURA 4.7 -2.9 Ule CT4.24

n ,

VECTOR DE POYNTING

RADIAL

[W/m1]

1 MOV. E.T. 31 S CSA -2.22 Cíe CT4.24 n ,

VECTOR DE POYNTING

RADIAL

[W/m1]

1 MOV. E.R. 15.5 D CSR -2.544.64) D 14.19

n ,

VECTOR DE POYNTING

RADIAL

[W/m1]

1 MOV.

ET+ER FIGURA 4.16 FIGURA 4.27

n ,

VECTOR DE POYNTING

RADIAL

[W/m1] 2

REPC ISO 120 D CSA -2.72 Cte CT4.24

n ,

VECTOR DE POYNTING

RADIAL

[W/m1] 2 MOV.

E.T. 12.7 D CSA -1.75 Cíe CT-4H

n ,

VECTOR DE POYNTING

RADIAL

[W/m1] 2 MOV.

E.R. 6.3 C CSR 2.9-14.24) C 14.19

n ,

VECTOR DE POYNTING

RADIAL

[W/m1] 2 MOV.

ET+ER 13 D CSR FIGURA 4.28

VECTOR DE POYNTING

TANGENCIAL

[W/m2]

1 REPOSO 4.44.5 D DPS -»-(») D 14.20

VECTOR DE POYNTING

TANGENCIAL

[W/m2]

1 MOV. E.T. FIGURA 4.8 -»/2-(»/2l D 14.20

VECTOR DE POYNTING

TANGENCIAL

[W/m2]

1 MOV. E.R. 8543 S IPC -•4») 4.26o»

VECTOR DE POYNTING

TANGENCIAL

[W/m2]

1 MOV.

ET+ER 8745 S IPC -e-lrl D 0M4 .25 VECTOR DE POYNTING

TANGENCIAL

[W/m2] 2

REPOSO 12-22.5 c IPS -»-<»! C 14.20

VECTOR DE POYNTING

TANGENCIAL

[W/m2] 2 MOV. E.T. 9.25-10.5 c IPS W24-W2I C 14.20

VECTOR DE POYNTING

TANGENCIAL

[W/m2] 2 MOV. E.R. 18-20.5 D IPC •»4el 4.26o»

VECTOR DE POYNTING

TANGENCIAL

[W/m2] 2 MOV.

ET+ER 18.4-20.8 D IPC ».(.») C DM4.25

N

Tabla 4.2 Variables electromagnéticas en la jaula de ardilla

4 . 1 0

http://RK.I1

1 R

E

G

I

O

N

3

VARIABLE E.M.

PARES DE

POLOS


INDUCIDO

MODULO FASE

1 R

E

G

I

O

N

3

VARIABLE E.M.

PARES DE

POLOS


INDUCIDO MAGN. V COMP. MAGN. •

COMP.-H C . 1 R

E

G

I

O

N

3

* i

POT. VECT. MAGNETICO

rWb/mJ

I REPOSO 4 .I4.2E-5 S DPS 2.2-1-0.941 s M.I9 1 R

E

G

I

O

N

3

* i


rWb/mJ

I MOVIMIENTO 9.4E-5 s TS 2.44-0.741 s 1-4.19

1 R

E

G

I

O

N

3

* i


rWb/mJ 2 REPOSO 5.4-5.8E-5 1) DPS 2.3-l4>.84> D 1-4.19

1 R

E

G

I

O

N

3

* i


rWb/mJ 2 MOVIMIENTO 3.7E-5 D TS 2.9-1-0.241 D M.I9

1 R

E

G

I

O

N

3


[V/m]

1 REPOSO 1.55-1.5SE-2 s DPS 0.62-(-2.521 S U . I 9

1 R

E

G

I

O

N

3


[V/m]

1 MOVIMIENTO 5 5E-2

1 R

E

G

I

O

N

3


[V/m] 2

REPOSO 1 A ( 9 A V V 9 4.U3-. .UBL*.

1 R

E

G

I

O

N

3


[V/m] 2

MOVIMIENTO I.39E-2 D TS 1.38-1-1.76) D 1-4.19

1 R

E

G

I

O

N

3

B P

DENSIDAD DE CAMPO MAG. TANGENCIAL

[Wb/m2]

1 REPOSO 5.8E-3 S TS 0-<-v) S 1-4.19

1 R

E

G

I

O

N

3

B P


[Wb/m2]

1 MOVIMIENTO I.IC-J s TS 0-(-v) S 1-4.19

1 R

E

G

I

O

N

3

B P


[Wb/m2] 2 REPOSO 7.4E-3 D TS 04-v) D 1-4.19

1 R

E

G

I

O

N

3

B P


[Wb/m2] 2 MOVÍMIENTO I.I7E-3 D TS 0-I-») 0 1-4.19

1 R

E

G

I

O

N

3

I \ I ? k l ( T 1 \ A W n K >


RADIAL

[Wb/m2]

1 REPOSO 9-9.2E-4 S DPC 2.2-1-0.94) s P-4.2J

1 R

E

G

I

O

N

3

I \ I ? k l ( T 1 \ A W n K >


RADIAL

[Wb/m2]

1 MOVIMIENTO 2.6E-3 s TC 9 -1< íJt fM\ ¿ . 4 3 - ( 4 l . 0 V )

1 R

E

G

I

O

N

3

I \ I ? k l ( T 1 \ A W n K >


RADIAL

[Wb/m2] 2

REPOSO 2.35-2.4E-3 D DPC 2.23)4). 86) p P-4.23

1 R

E

G

I

O

N

3

I \ I ? k l ( T 1 \ A W n K >


RADIAL

[Wb/m2] 2

MOVIMIENTO 1E-3 D TC 2.94-Í4). 19) [) P-4.23

1 R

E

G

I

O

N

3

n» VECTOR DE POYNTING

RADIAL

[W/m2]

1 REPOSO FIGURA 4.18 •2 52 Cte CT-4 24

1 R

E

G

I

O

N

3


RADIAL

[W/m2]

1 MOVIMIENTO 31 S TSA -2.37 Cíe CT-4.24

1 R

E

G

I

O

N

3


RADIAL

[W/m2] 2

REPOSO 240-245 D DPSA -2.44 Cíe CT-4.24

1 R

E

G

I

O

N

3


RADIAL

[W/m2] 2

MOVIMIENTO 25 D TSA -1.76 Cte CT-4.24

1 R

E

G

I

O

N

3 VECTOR DE POYNTING

TANGENCIAL

[W/m1]

1 REPOSO 5.»-5.» D DPSR v/2-(.v'2) D 1-4.20

1 R

E

G

I

O

N


TANGENCIAL

[W/m1]

1 MOVIMIENTO 29 D TSR V/24-./2) D 1-4.20

1 R

E

G

I

O

N


TANGENCIAL

[W/m1] 2

REPOSO 3840 C DPSR v/24-v/2) C M.20

1 R

E

G

I

O

N


TANGENCIAL

[W/m1] 2

MOVIMIENTO 18 C TSR v/2-(-»/2) C 1-1.20

Tabla 4.3

Variables electromagnéticas en el entrehierro

4 . 1 1

R

E

G

I

O

N

4

VARIABLE E.M.

PARES DE

POLOS


MODULO FASE

R

E

G

I

O

N

4

VARIABLE E.M.

PARES DE

POLOS INDUCIDO MAGN. COMP. MAGN. COMP.-

FIG. R

E

G

I

O

N

4

A

FOT. VECT. MAGNETICO

[Wb/m]

REPOSO 4.2E-5 s DCS 2.2-I-0.94) s 1-4.19 R

E

G

I

O

N

4

A


[Wb/m]

1 MOVIMIENTO 9.4E-5 s DCS 2.4-1-0.74) s 1-4.19

R

E

G

I

O

N

4

A


[Wb/m]

REPOSO 5.5E-5 1) DCS 2.3-<-0.84) D 1-4.19

R

E

G

I

O

N

4

A


[Wb/m] L MOVIMIENTO 3.7E-5 D DCS 2.9-1-0.24) D 1-4.19

R

E

G

I

O

N

4


[V/m]

REPOSO I.58E-2 S DCS 0.63-1-2.51) S 14.19

R

E

G

I

O

N

4


[V/m]

1 MOVIMIENTO 3.6E-2 s DCS 0.074-2.27) s 14.19

R

E

G

I

O

N

4


[V/m] 2

REPOSO 2.08E-2 D DCS 0.74-2.44) D 1-4.19

R

E

G

I

O

N

4


[V/m] MOVIMIENTO I.4E-2 D DCS 1.384-1.76) D 1-4.19

R

E

G

I

O

N

4

B P


[Wb/m2]

1 REPOSO 3.I-2.IK-3 S DPS 2.214-0.93) S 14.19

R

E

G

I

O

N

4

B P


[Wb/m2]

1 MOVIMIENTO 7-4.4E-3 s DPS 2.44-1-0.7) s 1-4.19

R

E

G

I

O

N

4

B P


[Wb/m2] 2

REPOSO 4.9-2.2E-3 D DPS 2.29441.85) 1) 1-4.19

R

E

G

I

O

N

4

B P


[Wb/m2] 2

MOVIMIENTO 3-I.4E-3 D DI'S 2.'74-1-0.2) D 1-4.19

R

E

G

I

O

N

4

Br


RADIAL

[Wb/m2]

1 REPOSO 9E-4 S DCC 2.24-0.94) S P-4.23

R

E

G

I

O

N

4

Br


RADIAL

[Wb/m2]

1 MOVIMIENTO FIGURA 4.11 2.45-141.69) s P-4.23

R

E

G

I

O

N

4

Br


RADIAL

[Wb/m2] 2

REPOSO 2.4E-3 D DCC 2.28441.86) D P-4.23

R

E

G

I

O

N

4

Br


RADIAL

[Wb/m2] 2

MOVIMIENTO I.65E-3 D DCC 2.9544M9) D P-4.23

R

E

G

I

O

N

4

n, VECTOR DE POYNTING

RADIAL

[W/m2]

1 REPOSO 2.6E-2 S DCSA T/2 Cte CT-4.24

R

E

G

I

O

N

4


RADIAL

[W/m2]

1 MOVIMIENTO FIGURA 4.12 • / ] Cte CT-4.24

R

E

G

I

O

N

4


RADIAL

[W/m2] 2

REPOSO 4.9E-2 D DCSA •72 Cte CT4.24

R

E

G

I

O

N

4


RADIAL

[W/m2] 2

MOVIMIENTO 2.2E-2 D DCSA •71 Cte CT-4.24

R

E

G

I

O

N

4

n * VECTOR DE POYNTING

TANGENCIAL

[W/m2]

1 REPOSO 3.9E-3 D DCNSR I/2-<-I/2) 1) 1-4.19

R

E

G

I

O

N

4


TANGENCIAL

[W/m2]

1 MOVIMIENTO 1.95E-2 D DCNSR i/2-(-v/2) D 1-4.19

R

E

G

I

O

N

4


TANGENCIAL

[W/m2] 2

REPOSO I.35E-2 C DCNSR •/24-»/2) C 1-4.19

R

E

G

I

O

N

4


TANGENCIAL

[W/m2] 2

MOVIMIENTO 6E-3 C DCNSR •/24-W2) C 14.19

Tabla 4.4 Variables electromagnéticas en el núcleo laminado del estator

4 . 1 2

VARIABLE E.M.

PARES DE

POLOS


INDUCIDO

MODULO FASE

R

VARIABLE E.M.

PARES DE

POLOS


INDUCIDO MAGN. COMI*. MAGN. if COMP.-

FIG. R K

REPOSO 9.4E-8 S DCNSV 2.2-141.941 S 1-1.19

POT. VECT. 1 MOVIMIENTO FIGURA 4.13 2.4441.74) S 1-4.19

MAGNETICO REPOSO 5.8E4I D DCNSE 2.3441.84) D M.I9

E [Wb/m] 2 MOVIMIENTO 3.9E-9 D DCNSE 2.9441.24) 1) I-4.N E 1

REPOSO 3.5E-5 S BCNSY 0.634-2.51) S 1-1.19

INTENSIDAD 1 MOVIMIENTO 8E-5 s DCNSY 0.874-2.27) s 1-4.19

DE CAMPO ELECTRICO

L REPOSO 2.2E-5 D DCNSE 0.74-2.44) D 1-4.19

[V/m] L

MOVIMIENTO I.5E-5 D DCNSE 1.384-1.76) D 1-4.19

B P 1 REPOSO l.5E4i N DCNSY 2.21441.93) S 14.19


1 MOVIMIENTO 3.3E-6 S DCNSY 2.44441.7) s 14.19

I DENSIDAD DE CAMPO MAG. TANGENCIAL

¿ i

REPOSO I.85E4) 1) DCNSE 2.29-(4).85) 1) 14.19

[Wb/m2] ¿ i

MOVIMIENTO I.2SE-6 D DCNSE 2.9444U) D 14.19

•1 REPOSO FIGURA 4.14 2.244K94) S P4.23

O DENSIDAD DE 1 MOVIMIENTO 3.35E-6 S DCNCE 2.45-1-0.69) s P4.23

CAMPO MAG. RADIAL

2 REPOSO I.9E-4 I) DCNCE 2.28-(4).8«) D P4.23

[Wb/m2] £d MOVIMIENTO I.25E-6 D DCNCE 2.95-(4).l9) D P4.23

N n. 1 REPOSO 4.IE-3 S DCNSAY M Cíe CT4.24

VECTOR DE POYNTING

RADIAL

1 MOVIMIENTO 2.0JE-» S DCNSAY »/2 Cte CT4.24

II

VECTOR DE POYNTING

RADIAL 2

REPOSO 3.2E-S 1) IKTNSAE i l l Cíe CT4.24

[W/m2] 2

MOVIMIENTO I.4SE-5 l> DCNSAE w/2 Cíe CT4.24

n p i REPOSO 2.IE-5 D DCNSRY •/24-W2) D 14.20

VECTOR DE POYNTING

TANGENCIAL

MOVIMIENTO I.1E-4 D DCNSRY •/2-(-»/2) D 14.20


TANGENCIAL

2 REPOSO I.65K-5 C DCNSRE i/24-w'2) C 14.20

[W/m2] 2

MOVIMIENTO 7.5E4Í C DCNSRE •/24-ir/2) C 14.20

Tabla 4.5 Variables electromagnéticas en la región externa

4 . 1 3

REGION PARES DE

POLOS

CONDICION Y E F E C TO ELECTROMAGNETICO INDUCIDO.

POTENCIA APARENTE COMPLEJA RADIAL (RADIO INTERNO) - [ W - V A R s ]

POTENCIA APARENTE COMPLEJA RADIAL (RADIO EXTERNO) - [W - VARs]

REPOSO 0 -7.674E(-21) - j 6.317E(-5)

1 E . T . 0 - j 6.144E(-4)

MOV. E . R . 0 0

1 E . T . + E .R . 0 1.357E(-20)-j 6.I44E(-4)

REPOSO 0 4.846E(-21) - j 1.722E(-4)

2 E . T . 0 -8.359E(-21)-j I.322E(-4)

MOV. E . R . 0 0

E . T . + E . R . 0 -5.089E(-21) - j 1.322E(-4)

REPOSO -4.175E(-15) - j 6.3I7E(-5) -1.10139- j 0.751237

1 E . T . -4.737E(-17)-j 6.144E(-4) -0.37103-j 0.43079

MOV. E .R . 0 0

2 E . T . + E .R . -4.735E(-17) - j 6.144E(-5) -0.37103 - j 0.43079

REPOSO -7.875E(-16)-j 1.723E(-4) -1.71797-j 1.37456

2 E . T . -9.08E(-19) - j 1.322E(-4) -4.639E(-2) - j 0.229123

MOV. E .R . 0 0

E . T . + E . R . -9.093E(-19) - j 1.322E(-4) -4.639E(-2) - j 0.229123

1 REPOSO -1.10139-j 0.751237 -1.10139 - j 0.809765

3 MOVIMIENTO -0.371035 - j 0.430789 -0.371035 - j 0.439533

2 REPOSO -3.43593 - j 2.74913 -3.43593 - j 2.94935

MOVIMIENTO -0.09278 - j 0.458247 -0.09278 - j 0.47099

1 REPOSO -9.2091E(-20) + j 4.836E(-4) 3.585E(-20) + j 1.02E(-6)

4 MOVIMIENTO -7.413E(-19) + j 2.419E(-3) -8.394E(-19) + j 5.107E(-6) •

2 REPOSO -7.754E(-20) + j 9.022E(-4) -4.725E(-20) + j 8.0625E(-7)

MOVIMIENTO 1.2308E(-20) + j 4.035E(-4) -1.238E(-20) + j 3.606E(-7)

1 REPOSO 1.2E(-22) + j 1.02E(-6) 0

5 MOVIMIENTO -7.24E(-22) + j 5.107E(-6) 0

2 REPOSO -7.572E(-23) + j 8.0625E(-7) 0

MOVIMIENTO j 3.60635E(-7) 0

Tabla 4.6. Potencia radial de pérdidas

4.14

Al comprobar la condición de continuidad, se asegura que no se cometieron errores algebraicos al obtener las expresiones para las variables electromagnéticas.

4.1.2.2. Intensidad de Campo Eléctrico (E).

Es conveniente conocer el valor del módulo de E en el instante del arranque, pues de el depende el aislamiento de los devanados y laminaciones. Sin embargo se tiene también que considerar que el motor puede estar expuesto a un E mayor, por ejemplo en un corto circuito o cuando se presenta un transitorio de un valor mayor. Analizando las tablas y gráficas de E se concluye lo siguiente:

a) . E l valor de E es mayor cuando se presentan condiciones nominales que en el arranque, debido a la influencia de la velocidad angular del rotor.

b) . Debido a la velocidad angular de rotación se induce una intensidad de campo eléctrico "extra" que provoca que se manifieste un arillo casi continuo a lo largo de la periferia de las regiones del rotor. La concentración de líneas de flujo de E se incrementa del origen hasta llegar al máximo en la interfase entre la jaula de ardilla y el entrehierro. La velocidad de rotación no afecta la condición de continuidad radial de E entre las distintas regiones, presentándose la mayor E en el entrehierro.

c) . Cuando se encuentra girando el rotor la intensidad de campo eléctrico E en las regiones del rotor cambia de sentido axialmente en (p = w/4 y <p=5ir/4 (o un submúltiplo si k es mayor) adelantándose en forma lineal (pero no constante) conforme <p se incrementa, y no cambia de sentido en el eje interpolar como sucede en el instante del arranque.

d) . Cuando el rotor se encuentra en reposo, independientemente del valor de k, el módulo de E tiene el mismo comportamiento que el módulo de A, pero su valor es a>e veces mayor. Por lo tanto también cumple con la condición de continuidad.

e) . La densidad de corriente J en la jaula de ardilla presenta un efecto piel mayor al estar girando el rotor que en el instante del arranque debido a que se genera un arillo casi continuo a lo largo de la periferia de la región. Cuando el rotor se encuentra girando el arillo casi continuo de J provoca un par motor constante (característica de los motores de inducción de este tipo) bajo cualquier condición nominal de carga.

f) . En el instante del arranque si una máquina incrementa su número de pares de polos (k), la penetración de E es mayor en el núcleo laminado del rotor (comportamiento similar a la Figura 4.15). Esto incrementa las pérdidas por corrientes circulantes parásitas ("eddy") en laminaciones.

g) . E l módulo del efecto resultante es continuo, comenzando desde cero en el origen hasta su valor máximo en la frontera de K^, con la particularidad de que en las regiones del rotor nunca es cero (excepto en el origen). Lo anterior se debe a que el efecto resultante es la suma vectorial del efecto transformador y del efecto rotacional. En el núcleo del rotor el módulo se incrementa radialmente en forma lineal (ver Figura 4.5), mientras que en la jaula de ardilla lo hace exponencialmente (ver Figura 4.6), teniendo en las dos

4 . 1 5

regiones una amplitud muy pequeña. E l módulo en las regiones que no giran es cero en el eje interpolar (comportamiento similar a la Figura 4.10) puesto que en estas regiones no esta presente el efecto rotacional.

h). En el instante del arranque la fase de E en el núcleo laminado de rotor y en la jaula de ardilla cambia de sentido en cada una de las mitades del cilindro (ver Figura 4.20) comparándolo con la fase de A (ver Figura 4.19). En las regiones estáticas se presenta el mismo sentido en la fase de E (similar a la Figura 4.19) comparándola con \afase de A.

4.1.2.3. Densidad de campo magnético tangencial (B^

Analizando las tablas y gráficas de B^ se dan las siguientes conclusiones:

a) . E l módulo de Bv no tiene efecto rotacional en forma explícita, pero se ve afectado por u¡m, su comportamiento es sinusoidal y tiene un valor igual a cero en el eje interpolar (ver Figura 4.3). Al estar girando cuando k = l el módulo de B^ en el entrehierro, es menor que en el arranque, mientras que para las regiones restantes sucede que el módulo es mayor cuando el rotor esta girando que en instante del arranque.

b) . E l módulo de B^ es discontinuo a lo largo de todas las regiones, teniendo un valor mayor en las regiones laminadas.

c) . B^ depende del valor de las permeabilidades de los medios, por lo que es discontinuo. En este trabajo de tesis se incluye el efecto de B^, siendo esto una aportación original importante.

d) . Al incrementarse B^ en la jaula de ardilla, el par tangencial se incrementa.

e) . La fase de B^ en la jaula de ardilla sufre un adelanto con respecto a \afase del núcleo del rotor. En las regiones del núcleo del estator y el medio externo \afase cambia de sentido de giro para cada semicírculo de las regiones en relación a las regiones del rotor.

f) . L a fase de Bv en el entrehierro es negativa y periódica (combinación de las Figuras 4.19 y 4.24), mientras que en las restantes regiones es periódica y cambia de signo en el eje interpolar.

.

4.1.2.4. Densidad de campo magnético radial (Br)

Analizando las tablas y gráficas de Br se concluye que:

a). E l movimiento del rotor genera que Br pierda su continuidad radial (cuyo valor es casi igual entre el origen y la frontera donde se ubica en el instante del arranque) entre regiones, siendo más notorio en la jaula de ardilla. Al girar el rotor es mayor Br que en el instante del arranque y su comportamiento es cosenoidal (ver Figura 4.2).

4.16

b). En instante del arranque el módulo de Br es continuo a lo largo de todas las regiones, y en el origen su valor no es cero (ver Figura 4.2). E l módulo de Br en la jaula de ardilla en el arranque presenta un comportamiento parabólico, cuyo foco se encuentra a la mitad de la región (ver Figura 4.17) .

c) . Al girar el rotor el módulo de Br es continuo, con la excepción de la jaula de ardilla en donde su valor decrece aproximadamente a la mitad en r—b, y regresa a su valor inicial (igual que en r—a) al entrar a la región del entrehierro (comportamiento similar a la Figura 4.10).

d) . Al comparar la fase de Br entre las regiones móviles y estáticas se puede decir que están en fase cuando se tiene una condición de movimiento, y un adelanto de las primeras cuando se encuentra en reposo y ambas tienen un comportamiento cosenoidal (ver Figura 4.23). E l cambio de sentido de las líneas de flujo (hacia el interior o exterior en forma radial) en todas las regiones se presenta en el eje polar independientemente de la región, de la condición de movimiento o valor de k.

Cabe aclarar que la cantidad por analizar es B, que es la suma vectorial de Br y B^. En la bibliografía existente se utiliza Br para calcular el par motor, mientras que en esta tesis se proporciona una opción más realista.

4.1.2.5. Vector de Poynting radial (ílr)

Analizando las tablas y gráficas de I I r se concluye que:

a) . E l flujo de energía depende de la conductividad del material y de la fuente de energía que es la corriente laminar impresa K^. Esta energía fluye a través del entrehierro hasta llegar a la jaula de ardilla donde se transforma en calor y en energía cinética. La energía transformada en el instante del arranque es mayor que al girar el rotor.

b) . En la jaula de ardilla se absorbe energía electromagnética y se transforma en energía calorífica y mecánica. Esta transformación de energía depende del ángulo <p, y conforme k se incrementa se absorbe y libera energía con una frecuencia 2k veces mayor (ver Figuras 4.27 y 4.28).

c) . E l flujo de energía en el instante del arranque es hacia el exterior pues \zfase es negativa y constante (ver Figura 4.24). La fase del efecto rotacional en el núcleo laminado del rotor es no lineal (ver Figura 4.26), debido a que no puede presentarse aislado del efecto transformador.

d) . Las regiones en donde existe un menor flujo de energía son el exterior y en las regiones laminadas. En todas las regiones no laminadas el módulo de Hr es mayor en el arranque que al estar girando. Al incrementarse el valor de k la energía penetra menos radialmente pero incrementa su valor eficaz, además de que tiene una doble frecuencia.

4 . 1 7 5 3 - T 2 7 3

4.1.2.6. Vector de Poynting tangencial (II )

E l flujo de energía tangencial (módulo del efecto resultante de 11̂ ) es mayor al girar el rotor que en el instante del arranque, y con un valor mayor aún que el flujo de energía radial (módulo del efecto resultante de n r ) , pero en el eje polar el módulo cambia de sentido de giro, por lo que el flujo de energía en cada cuadrante del cilindro tiene sentido contrario. De lo anterior se concluye que no existe un flujo de energía resultante tangencial, pudiéndose analizar el flujo de energía seccional (por cuadrante).

E l flujo de energía seccional es mayor en la jaula de ardilla, y presenta un mayor valor cuando el rotor está girando que en el instante del arranque. En el entrehierro el módulo de es considerable, y el flujo de energía abarca la mitad del cilindro.

El flujo de energía en el núcleo del estator es mínimo (al igual que en la región externa) pero su sentido es contrario al del entrehierro en cada una de las mitades del cilindro. E l flujo de energía en la región externa esta en fase con el flujo de energía en el entrehierro, pero el valor del módulo es mucho menor.

4.1.2.7. Pérdidas radiales (Pry Q¿

La potencia radial S se calcula en las fronteras que limitan radialmente cada región. Como el vector unitario de una diferencial de área tiene distinto sentido para cada una de las áreas que limitan la región, la resultante será la suma vectorial de estas. Cuando se tiene que la parte real de S es negativa significa que se transforma la energía electromagnética a calor y se libera.

E l menor valor de pérdidas reales y reactivas se presenta en el núcleo laminado del rotor, núcleo laminado del estator y medio externo. Si k se incrementa las pérdidas reales disminuyen y las reactivas aumentan. La región que genera mayor cantidad de pérdidas es la jaula de ardilla y en sí el devanado (Kf) cuyos parámetros (Rá y Ld) se calculan en el Apéndice B y se consideran que son los mismos en reposo que en movimiento.

Analizando el Apéndice B se concluye que las pérdidas electromagnéticas son muy pequeñas en todas las regiones (cabe aclarar que no se consideran las pérdidas en laminaciones). En la jaula de ardilla y en el devanado las pérdidas son mayores ya que se trata de materiales conductores. Las pérdidas tangenciales no se pueden evaluar pues de acuerdo a la definición son las pérdidas en una superficie cerrada lo cual no es posible definir.

La eficiencia en condiciones nominales (sin considerar las pérdidas mecánicas) esta dada por:

. 7 4 6 - 3 1 . 3 3 . ( 4 1 )

La eficiencia calculada está muy próxima a la asentada en la placa de datos del motor de prueba (ver Apéndice B).

4 . 1 8

4.1.2.8. Fuerza radial de compresión

La fuerza radial de compresión sólo se presenta en la jaula de ardilla, pues es la única región donde de induce una densidad de corriente J. De acuerdo con lo anterior la fuerza radial de compresión (considerando que se trata de un sumidero) en el exterior de la jaula de ardilla (distribuida uniformemente a través de toda la periferia) para k = l es

Arranque.- 82.22 [N/m2]

Velocidad nominal.- 27.06 [N/m2]

4.1.2.9. Par.

El par tangencial generado, es el trabajo generado por la fuerza radial de compresión cuyo brazo de palanca tiene una longitud del origen a r=b. La dirección es perpendicular al eje axial y al eje radial (de acuerdo con la definición del producto vectorial). E l valor del par esta en función de la corriente en la jaula de ardilla del rotor y de la corriente del devanado del estator. La corriente en el devanado depende de la conexión interna del mismo. Como el dato de la corriente es de terminales, se calculó el par tanto para una conexión estrella y para una conexión delta tomando k = I, los cuales son:

Par calculado Par en manuales de fabricantes [19]

Estrella Delta Arranque. 14.803 [N.m] 4.933 [N.m] 6.3 [N.mJ

Velocidad nominal. 4.872 [N.m] 1.624 [N.m] 2.1 [N.m]

E l valor del par calculado no considera el peso del núcleo del rotor y la jaula de ardilla, por lo que disminuiría este valor.

Algunas conclusiones generales son que al variar la permeabilidad de los materiales magnéticos (núcleo del rotor y del estator), no afecta el valor del módulo y la fase de las variables A, E, Bry B^, pero las pérdidas disminuyen, mientras que el par se incrementa muy poco.

4.2. Simulación digital del transitorio en el arranque y durante un corto circuito

Como ya se dijo con anterioridad algunos modelos de máquinas eléctricas rotativas están enfocados para determinar el comportamiento de sus variables cuando la máquina esta sometida a transitorios rápidos como frentes de ondas escarpados. Por lo anterior no pueden utilizarse para simular el arranque de la máquina, cuya duración de este es del orden de 200 ms a 400 ms en general, mientras que los transitorios rápidos poseen un tiempo máximo de estudio de 200 ns.

Otros modelos de la literatura existente para simular transitorios electromagnéticos lentos [37,62,63] recurren a modelos convencionales de máquinas basados en la Teoría de Park [2]. Tales modelos convencionales están enfocados principalmente para simular transitorios electromecánicos. A fin

4.19

de simular transitorios electromagnéticos lentos, utilizan el Programa para Transitorios Electromagnéticos (EMTP).

Los modelos mencionados que utilizan el EMTP para simular transitorios lentos, tienen la desventaja de que no incluyen el efecto de las corrientes inducidas parásitas ("eddy") y el efecto de flujos magnéticos tangenciales, además consideran sus parámetros constantes para cualquier velocidad del rotor.

Todos los modelos existentes tienen la particularidad de que sus parámetros son medidos. En este trabajo los parámetros son calculados a partir de una formulación analítica electromagnética bidimensional y cuyos valores de inductancia y resistencia se dan en el Capítulo 3 y Apéndice B. Otra particularidad de este modelo es que se incluye el efecto del flujo magnético tangencial lo cual es una aportación original de este trabajo. Además se incluye el efecto de regiones propias del motor que no se habían considerado con anterioridad en la literatura existente.

En este apartado se utilizará el modelo eléctrico desarrollado en el Capítulo 3, en el cual sus parámetros son calculados a partir de las dimensiones del motor y de las propiedades de los materiales que lo componen. E l propósito de este apartado es implementar al modelo desarrollado los elementos necesarios para simular un transitorio electromagnético lento (del orden de KHz) y específicamente en el instante del arranque.

4.2.1 Adaptación al modelo eléctrico del motor de inducción para estudios de transitorios electromagnéticos lentos.

Para simular un transitorio electromagnético lento usando el modelo del motor de inducción desarrollado en el Capítulo 3 se utilizó el Programa para Transitorios Electromagnéticos (EMTP). E l programa EMTP asigna a cada elemento de la red la ecuación diferencial dependiente del tiempo que le corresponde, y entonces resuelve el estado transitorio de la red.

E l primer intento para simular el transitorio electromagnético lento usando el modelo desarrollado, consistió en colocar únicamente las inductancias del arranque calculadas para el modelo y se conectaron los tres transformadores ideales en delta y estrella flotando en su lado primario, estando su lado secundario conectado al circuito eléctrico. Una restricción que impone el EMTP [3,51] es que los transformadores ideales sólo se pueden simular incluyendo fuentes de corriente aterrizadas de impulso cuya amplitud debe ser muy pequeña y que se debe conectar a una de las terminales del primario, mientras que la otra terminal se conecta a la fuente de voltaje sinusoidal aterrizada (ver Figura 4.30). Se notó que la conexión geométrica de los secundarios de los transformadores ideales en el modelo eléctrico no afecta, ya que en sí crea una onda viajera. A l realizar la conexión en delta se debe respetar la polaridad de los transformadores.

Cuando se simuló el arranque bajo las condiciones anteriores teniendo una conexión delta, no existió un amortiguamiento de las corrientes de línea y cuyo valor pico máximo era 7 veces el valor reportado por Ruíz [54] como se muestra en la Figura 4.33. Otra particularidad es que no existió variación al utilizar las inductancias del arranque y las inductancia bajo condiciones nominales. La causa principal de que no existiera un amortiguamiento de las corrientes de línea se debía a que faltaba introducir el efecto de las capacitancias que incluyeran el efecto de las variables mecánicas.

4.20

Por esta razón se optó por realizar el estudio para el arranque y considerar el efecto de las variables electromecánicas, tomando como referencia el intervalo de amortiguamiento de la corriente de arranque, que es del orden de 0.2 seg [54]. Al incluir la mecánica tenemos que la ecuación esta dada por:

J<^£+D&+K(3 = Tm-Te dt' dt

(4.2)

donde Je es el momento polar de inercia del rotor en [kg-m2], De es el coeficiente de fricción viscosa, Ke es coeficiente de esfuerzo torsional, /3 es la posición angular del rotor [rad], Tm es el par mecánico en [N-m] y Te es el par electromagnético en [N-mJ. Considerando el arranque del motor en vacío se tiene que Tm = 0. Como se trata de un motor pequeño De = 0.

La primera opción para introducir el efecto de las variables mecánicas fue incluir en el archivo de datos del EMTP una subrutina que utilizara el comando MODELS, cuya metodología sigue Martínez [37], con el fin de enlazar las variables mecánicas y el modelo desarrollado en esta tesis. Martínez utilizó la teoría de Park, en donde la posición angular ¡3 es la variable de conexión con la parte eléctrica del modelo del motor que él utiliza (tal modelo es utilizado para simular transitorios electromecánicos).

La opción idónea para introducir el efecto de las variables mecánicas al modelo eléctrico fue utilizar el principio topológico de dualidad [6,40,43]. Un sistema eléctrico análogo correspondiente al sistema mecánico (Figura 4.29.a) es un circuito RLC en paralelo alimentado por una fuente de corriente (ver Figura 4.29.b) cuya ecuación diferencial es:

Por la Ley de Faraday se tiene

dX - , - = e (4.4) dt

Sustituyendo (4.4) en (4.3) se obtiene

" dt2 Rm L m

comparando las ecuaciones (4.2) y (4.5) se nota que son análogas.

Por las restricciones impuestas a la ecuación (4.2) se concluye que el circuito eléctrico que se debe conectar al modelo desarrollado en esta tesis consiste en una fuente de corriente y un capacitor. Para calcular el momento polar de inercia se tiene la siguiente expresión [39,54,56]:

(4.5)

4.21

donde rr es el radio equivalente del rotor en [m] y mr es su masa en [Kg]. Los datos fueron obtenidos por Ruíz [54] y se dan en el Apéndice B.

(I

n

u f

é 1 < " í l • £

Figura 4.29. a).- Sistema mecánico de rotación b). - Sistema eléctrico análogo.

E l momento polar de inercia esta en función del número de polos del motor y esta dado por la expresión [51]:

donde k es el número de pares de polos. En este caso la simulación fue hecha para un par de polos ya que el valor real de las corrientes y voltajes en el arranque en la realidad no varía mucho [19].

E l valor del momento polar de inercia calculado es el valor correspondiente a la capacitancia que se conecta al circuito. La fuente de corriente es análoga al par electromagnético generado por el motor, pero esta depende de la corriente en el devanado del estator y del rotor. Para la condición nominal en donde el par mecánico es distinto de cero se puede considerar una fuente que varía en el tiempo. E l valor de las capacitancias deben tener el mismo valor que el momento polar de inercia, si se colocaran donde físicamente deben encontrarse (interfase entre la jaula de ardilla y entrehierro).

E l cálculo de las parámetros correspondientes al estudio electromagnético esta referido a un número de vueltas equivalentes del devanado del estator distribuido sinusoidalmente [6], por lo tanto al trasladar los parámetros mecánicos a las terminales del estator, no es necesario referir éstos pues no se trata de un estudio magnético, además de que la relación de transformación de los transformadores ideales esta en función de la relación entre las vueltas distribuidas sinusoidalmente y el número de vueltas reales, cuyo valor es igual a la unidad. La relación de transformación de los transformadores ideales sólo cambia si se conoce con exactitud el número real de vueltas por fase del devanado del estator.

(4.7)

4.22

I

Figura 4.30. Modelo eléctrico completo del motor de inducción donde se incluye la alimentación. del EMTP y elementos que representan los parámetros mecánicos.

4 . 2 3

Al conectar la capacitancia que involucra la participación de la mecánica del problema, en la región de la jaula de ardilla no existió un amortiguamiento en las corrientes, pero al trasladarla a terminales con el valor de las inductancias para la condición del arranque, se obtuvo un resultado muy aproximado al realizado experimentalmente [54]. En el siguiente apartado se grafican los resultados y se proporcionan las conclusiones correspondientes.

4.2.2. Análisis e interpretación de resultados.

De acuerdo con la Figura 4.30 se elaboraron archivos de datos para simular el transitorio en el arranque y bajo corto circuito trifásico en el EMTP, los cuales están en el Apéndice D. A l simular el arranque se genera una malla flotante debido a la introducción de los transformadores ideales (restricción documentada por el mismo EMTP [51]). Esta malla flotante, genera una. diferencia de potencial extra entre el circuito y tierra. A l introducir el transformador ideal se debe incluir una fuente extra (recurso del programa), por lo tanto se genera una matriz ampliada de admitancias n+1, y el mismo programa aisla esas fuentes colocando una resistencia de valor muy alto a fin de eliminar este error, por lo que los resultados obtenidos son confiables.

A continuación se dan las conclusiones referentes a los resultados obtenidos de las simulaciones en el instante del arranque tanto para las corrientes (ver Figura 4.31) y voltajes (ver Figura 4.32), al compararlos con los obtenidos experimentalmente por Ruíz [54] (ver Figura 4.33).

I CA3

0 10 20 30 -10

t Cms] Figura 4.31.- Valores pico de las corrientes de línea obtenidos en la simulación del arranque

4.24

1 1 • r -

10 20 30 40

t Cms] Figura 4.32.- Valores pico de los voltajes de fase de alimentación del motor obtenidos al realizar la

simulación del arranque

Figura 4.33.- Valor pico de la corriente de línea en el arranque obtenida experimentalmente 154].

4.25

* Al simular el arranque para una conexión delta la corriente máxima obtenida es 1.6 veces mayor en magnitud comparada con la obtenida experimentalmente.

* E l amortiguamiento de la corriente obtenido al simular el arranque para una conexión delta es muy rápido, aproximadamente 50 veces con respecto a el obtenido experimentalmente. Al colocar las inductancias calculadas para velocidad nominal este valor casi no varía pero oscila más para amortiguarse.

* Al simular el arranque para una conexión estrella flotante, existen corrientes circulantes entre la estrella aterrizada de la fuente y la conexión estrella correspondiente a la conexión interna de los devanados del motor, la cual también la aterriza, debido a la restricciones antes mencionadas del EMTP al utilizar transformadores ideales.

Con respecto a la simulación del corto circuito trifásico se concluye que

* Al simular un corto circuito trifásico cuando el motor se encuentra en vacío la magnitud de las corriente de línea se eleva a valores muy grandes (ver Figura 4.34). Los interruptores que provocan la falla trifásica son cerrados durante 0.01 seg. posteriormente del arranque (0.1 seg. después). Se utilizaron las inductancias a velocidad nominal ya

C I O 1 2 * ]

Figura 4.34.- Valores pico de las corrientes de línea del motor obtenidos al realizar la simulación del corto circuito trifásico

4.26

que son las que deben participar al realizar la simulación. Una restricción lógica que impone el EMTP es que no es posible cortocircuitar entre sí dos fases colocando tan sólo un interruptor, por ello fué necesario agregar además de los interruptores una resistencia en serie de valor muy pequeño.

Cabe aclarar que no hay que tomar en cuenta los amortiguamientos de las corrientes de línea, debido a que no se esta analizando la dinámica completa, por lo que tan sólo es suficiente conocer el valor máximo de la misma. L a validación para la simulación del corto circuito trifásico no se incluye ya que resulta impractico cuando ocurre la falla estando el motor en vacío.

4.27

C A P I T U L O 5

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES PARA TRABAJOS FUTUROS

. 1 . Conclusiones

Aplicando la transformación galileana a las ecuaciones de Maxwell, se obtuvieron las expresiones de las variables electromagnéticas en el interior del motor de una manera realista y más detallada que la reportada en la literatura existente, debido a que se realizó un estudio electromagnético bidimensional. Una de las aportaciones originales de este trabajo de tesis es que calcularon las componentes tangenciales de la densidad de campo magnético en cada una de las regiones del motor y no sólo la radial.

Del análisis de resultados obtenido del estudio de campos electromagnéticos se arroja gran cantidad de información que pueden ayudar al fabricante de equipo a realizar mejores diseños de motores. Se incluye la influencia que tienen algunas regiones propias de los motores, que en la literatura existente no se analizan, tales como el núcleo laminado del rotor y el medio externo.

Se calcula la fuerza radial a la que esta sometido el rotor y el par electromagnético tangencial desarrollado tanto en la condición nominal como en el instante del arranque. Para validar el cálculo de la eficiencia y conjuntamente el de las pérdidas eléctricas, se compara el valor calculado de la eficiencia con el asentado en la placa de datos, obteniéndose valores muy aproximados. E l par electromagnético calculado en el arranque y a velocidad nominal es muy aproximado al compararlo con valores reales, lo que sirve de validación para el estudio de campos electromagnéticos.

Al simular el arranque en el EMTP, se nota que el valor de la corriente de línea obtenida es un poco mayor que la registrada experimentalmente. Por lo que se concluye que no es suficiente considerar solo el efecto del momento polar de inercia, sino que el estudio debe analizar la dinámica completa (incluir la aceleración).

A l generar el modelo se encontró que las inductancias varían con la velocidad del rotor, dependiendo esta variación de la región del motor que se analice. Al simular el transitorio electromagnético lento con la ayuda del EMTP se encontró que no se pudo simular la dinámica completa desde el arranque hasta la condición en estado permanente, debido a la dificultad de modelar inductancias variantes en el tiempo.

Al simular el transitorio en el arranque con distintas inductancias dependientes de la velocidad del rotor, se nota que el valor de las mismas sólo influye en el tiempo de amortiguamiento y muy poco en el valor transitorio inicial.

En las simulaciones correspondientes al corto circuito trifásico se observó que durante el intervalo que cierran los interruptores que simulan el corto circuito las corrientes de línea obtenidas presentan valores muy grandes. La validación de estas simulaciones por

5 .1

vía experimental no se realiza ya que resulta impractico cuando el motor se encuentra en vacío.

5.2. Recomendaciones para trabajos futuros.

* Analizar la dinámica completa del motor considerando la aceleración del rotor y diferentes tipos de carga.

* Encontrar las transformaciones de las ecuaciones de Maxwell para distintas geometrías, utilizando por ejemplo el factor de Cárter [22], con el fin de incluir el efecto de dientes y ranuras sobre el comportamiento de las variables electromagnéticas.

* Incluir la región del devanado del estator con sus espiras correspondientes.

* Hacer el estudio vuelta a vuelta con el fin de considerar distintas conexiones en los devanados.

* Ampliar la aplicación del modelo para casos no lineales, con lo que se incluye el efecto de la saturación e histéresis.

* Considerar el grosor de cada laminación en los núcleos del estator y rotor, a fin de analizar e incluir las corrientes inducidas parásitas ("eddy") en las laminaciones.

* Realizar un estudio electromagnético completo con el fin de calcular las capacitancias implícitas en los devanados, y por lo tanto ampliar las aplicaciones del modelo desarrollado en esta tesis para simular transitorios electromagnéticos rápidos.

* Realizar estudios mecánicos más completos e incluir estudios termodinámicos.

i

5 . 2

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R .4

APENDICE A

CILINDRO CONDUCTOR SOMETIDO A CAMPO E L E C T R O M A G N E T I C O PULSATORIO

Un cilindro conductor con permeabilidad relativa \i¡ y conductividad o¡, de longitud axial infinita y radio conocido a, está sometido a una intensidad de campo magnético H que oscila en el tiempo y la cual tiene una dirección transversal a su eje axial, como se muestra en la Figura A.l. E l medio que rodea al cilindro conductor es homogéneo e isotrópico y tiene una permeabilidad relativa p , 2 igual a 1.0 (aire) y conductividad o2 igual a cero. La permeabilidad relativa y conductividad de los medios se consideran constantes [5].

Figura A.l. Cilindro conductor sometido a campo magnético transversal a su eje axial.

Basándose en las ecuaciones de Maxwell, dadas por:

VxH = J + ~ (A.l) ot

VxE = - I ? (A.2)

V « • 0 (A.3)

V D = p (A.4)

y las relaciones constitutivas:

B = \iH (A.5)

A . l

D = eE (A.6)

J = oE (A.7)

La ecuación (A.3) se cumple si:

B = V x A (A.8)

donde A es el potencial vectorial magnético.

En estado estable se cumple que

8 B _ a v ^ ' dt dt

Similarmente de las ecuaciones (A.6) y (A.9) se tiene:

| ? = J ü ) e € f T (A./0)

Comparando las cantidades vectoriales del segundo miembro de la ecuación (A.l) y sustituyendo las ecuaciones (A.7) y (A. 10) en estos factores

oE : joieeE

Un conductor tiene conductividad del orden de ¡O6 [S/m] y permitividad de 10~12 [F/m], así para que los términos de la relación anterior sean congruentes u¡e debe ser del orden de GHz o mayores. Estas frecuencias en sistemas eléctricos de potencia no aparecen. Por lo tanto, el segundo factor del segundo término de la ecuación (A.l) no se considera, ya que las frecuencias con las que se trabajará en este análisis son del orden de KHz. Con esta consideración la ecuación (A.l) se transforma en:

VxH = J (A. 11)

Como no existe distribución de carga libre en un conductor, la ecuación (A.4) se convierte en:

VD = 0 (A. 12)

Se sabe que el vector de desplazamiento eléctrico en conductores no existe ya que no hay polarización de los mismos.

Las ecuaciones (A.2), (A.3) y (A.ll) establecen un estado cuasiestacionario. Sustituyendo (A.5)

A.2

'5

(A. 13)

La ecuación (A. 13) se cumple sólo sí p es constante, o sea cuando no se considera el fenómeno de histéresis y saturación en materiales ferromagnéticos [4,36,46].

Sustituyendo (A. 13) en (A. 11) se tiene:

V x ( V x A ) - \iJ (A.14)

Del análisis vectorial se sabe que:

V x V x A = V ( V - A ) - V 2 A (Á.ÍS)

El término V-A de la ecuación (A. 15) no tiene un valor único y puede obtenerse de varias maneras [21]. En este caso se usa la Norma de Coulomb, por lo tanto V - A es igual a cero. Así, la ecuación (A.14) se convierte en:

V 2 A = - ] i J (A-16)

la cuál es conocida como la ecuación de Poisson [4,5,21,26,36].

Sustituyendo (A.8) y (A.9) en (A.2) se obtiene:

VxE = -jue(VxA)

Integrando vectorialmente ésta última ecuación se llega a:

E = - [ j w e A + V<0] (A.17)

Donde el campo escalar c¡> es un potencial eléctrico. Matemáticamente el gradiente del potencial eléctrico surge de la integración vectorial, pero físicamente no puede existir un potencial eléctrico escalar debido a que no existe una distribución de carga dentro de un conductor que lo origine. Por lo tanto:

V<p = 0

Con lo anterior:

E = -jw^A (A.18)

en (A.8) se tiene:

H = — V x A

A.3

Sustituyendo la ecuación (A. 18) en (A.7) se tiene:

J = -joweA (A. 19)

Sustituyendo la ecuación (A. 19) en (A. 16) se obtiene:

V 2 A - j[io(úeA = 0 (A.20)

la cuál es conocida como la ecuación de Helmholtz [4,21,26,36,46].

De acuerdo con la ecuación (A.2) se sabe que la densidad campo magnético externo B que varía en el tiempo induce una intensidad de campo eléctrico en el interior del conductor (Ley de inducción de Faraday). Esta intensidad de campo eléctrico, a su vez por la Ley de Ampere (ecuación (A.ll)), crea un campo magnético en sentido opuesto al campo magnético original (signo negativo de la ecuación (A.2) y que determina la Ley de Lenz).

De la ecuación (A. 7), se observa que J es paralelo a E, y de la ecuación (A. 19) que A es paralelo a J. Dentro del cilindro. A, J y E se dirigen axialmente hacia el interior en la región superior del mismo, y hacia el exterior en la parte inferior (ver Figura A.2.). Por lo tanto, A, J y E son campos vectoriales que poseen tan sólo componente en el eje z, y se puede analizar como un campo escalar que depende de las variables espaciales r y <p. Para la región (1), el laplaciano de un campo escalar en coordenadas cilindricas esta dado por:

V»JLL = V 2 A l z = Í ^ l £ + 1 -2l£ • f- (A.21) l l z 12 dr2 r dr r2 3<p2

Sustituyendo (A.21) en (AJO) :

d2A,_ i dA,K i d2A,_ . / A

- ^ + 1 r - 6 F + T 2 ^ - J ^ a ^ - ° ( A 2 2 >

Definiendo:

2 (A.23)

Para la región (2) no existe una densidad de corriente J, ya que o2 es igual a cero. De la ecuación (A.22) se tiene que la ecuación para la región (2) es:

a 2 2 L , i a a , . % a 2 A 2£ + 1 ^11 + A. 1^11 = o (A.24) dr2 r dr r

2 d<p

A.4

Utilizando el método de separación de variables [13,26] para resolver la ecuación (A.22), se tiene:

A*. ( r , ) dcp2

Multiplicando por y utilizando (A.27), se tiene:

, d 2 B 1 ( r ) i R . ( r ) B . . . . , , . . „ / J É r 2 - ± - — + r — i -J? x r ) v 2 + j < r 2 = 0 (A.28)

dr2 dr 1

Figura A.2.- Dirección v sentido de los vectores J, E y A en el interior del cilindro conductor.

la ecuación anterior se conoce como la ecuación de Bessel de orden v con parámetro \=fTjKx . Su solución esta dada por las funciones de Bessel, las cuales tienen un comportamiento casi periódico similar al seno y coseno, y se obtienen a través de series de potencias o aproximaciones asintóticas [13,26,32].

A.5

La solución particular de la ecuación (A.28) está dada por:

Rx(r) = Cx Jv(S=jKlr) +c2 Y v ( V X J K J Z ) (A.29) donde

y„ es la función Bessel de primer tipo y orden v Yv es la función Bessel de segundo tipo y orden v

Cuando su argumento tiende a cero las funciones de Bessel de segundo tipo, tienden a infinito. Como nuestro problema incluye el origen, tenemos que C2 debe ser cero y como -j = j 3 , la ecuación (A.29) se convierte en:

RL(r) = CiJ v ( j ' ^ ^ r ) í i 4 J ^

La solución de la ecuación (A.27) está dada por la siguiente combinación lineal de exponenciales [14,15.28,32]:

* i = C 3 e i v , , , + C4e-J'v«P (A.31)

Utilizando la fórmula de Euler [13,26,32] en (A. 31) se tiene:

• j = C j r c o s (v <p) + CTIIsen (v <p) (A.32)

Sustituyendo (AJO) y (A.32) en (A.25) se llega a:

A j , = C , J v ( j 2 K , r ) [ C j r c o s (v<p) +CTITsen (v<p) ] é x

Como se nota en la Figura A.2. el potencial vectorial A en el semicírculo superior se dirige axialmente hacia el interior del cilindro, mientras que en el semicírculo inferior se dirige hacia el exterior. Si se considera un ángulo y> igual a cero (ya que es la dirección impuesta de H para este problema en particular), se nota que se tiene una simetría, comparando la región del semicírculo inferior con el superior. La función que cumple con esta condición de simetría en la ecuación (A.33) es la función seno, por lo que la solución es:

3 *i« = X X ( J 2 Ki r ) CIIlSen (v q>) § , ( A 3 4 )

Haciendo C / C / / / = b / v se tiene:

~ 1 ¿ i * • E ^ í » ( J 2 K x r ) sen (v q>) é r (A.35)

v - l

A.6

Desarrollando (A.ll) para la región (1):

H = 1 d A i * d a l r ^ e» p x r dtp * (AJÓ)

H, iq> _1_ dAlz

ü! e * (AJ7)

Sustituyendo (A.35) en (A.36) y (AJ7)

E v ¿»lv Jv (j 2 K x r ) eos ( v <p ) (A. 35)

E X » <7» < 3 2 K T r ) sen (v <p) (AJ9)

Por fórmulas de recurrencia para funciones Bessel [5,32] la ecuación (A.39) se transforma en:

3 2 * l 2 (i, E *i« [ J v - i ( J 2 K i r ) - J v . i 15 2 | c i r > 1 sen (v«p)

(A.40)

Para la región (2), se aplica el método de separación de variables en la ecuación (A.24)

A^z ( r , <p) = f?2 ( r ) $ 2 (<p) § , (A.41)

Sustituyendo la ecuación (A.41) en la ecuación (A.24), y el resultado se multiplica por r2/(R2(r)$(<p)) se obtiene:

r> d*Rt(r) ^ r d /? 2 (r ) + i d a » 3 ( q > ) _ p

R-¿U) dr2 Rx(r) dz *^(<p) d<p2

El factor que depende de ) • i < f . ) d<p2

(A.43)

A.7

Sustituyendo la ecuación (A.43) en (A.42), y el resultado se multiplica por R2{v)li2 , se tiene

dzi?2(r) i dR2(r) , \ n* ia aa\

—x— + - — h ~R2 r > = 0 ¿4.44) di2 r dz r 2

»

la cuál es la ecuación de Euler, y que tiene como solución [13,26,32]

R2 (r) = Csrn + C6r-" (A.45)

La solución de (A.43) está dada por la combinación lineal

<&2(<p) = C 7 e J ' " * + c 8 e - 2 n » (A.46)

Utilizando la fórmula de Euler [32]

$ 2 = C ^ c o s (i2<p) + Cvsen (n<p) (A.47)

Considerando la misma condición de simetría que para la ecuación (A.33) para A, entonces Clv

es cero. Sustituyendo las ecuaciones (A.45) y (A.47) en (A.41)

A j , (r, <p) E (C5r" + C6r-n) C\sen (nq>) (A.45)

Condición al infinito.

La intensidad de campo magnético cuando se tiene una condición al infinito es igual al fasor H (ya que el campo es continuo), cuya magnitud es igual a H0 y su dirección es perpendicular al eje axial del cilindro. En el infinito el fasor H es la resultante de dos componentes, una de las cuales es perpendicular a la frontera que es H2r, y otra tangencial que es H2ip (ver Figura A.3.). La componente radial esta dada por:

H2z = tf0cos(<p) (A.49)

Desarrollando la ecuación (A.12) para la región (2), la componente en dirección radial es:

«ar = — Sz (A.50)

A.8

Igualando las ecuaciones (A.49) y (A.50) e integrando con respecto a y), tenemos:

A2z = H0\i2r sen (<p) + f (r) (A.51)

Desarrollando la ecuación (A.12) para la región (2), la componente en dirección tangencial es:

H. 2 * 1 dA2ZQ p2 dr »

(A. 52)

y de la Figura A.3., la componente tangencial es:

H2V " -#0sen(<p) (A. 53)

El signo negativo de la ecuación (A.53) se considera debido a que la componente en dirección tangencial tiene sentido opuesto a la dirección que se considera positiva para el ángulo y?. Igualando (A.52) y (A.53) e integrando con respecto a r, se tiene:

A2z = HQ\i2rsen ((p) +f ((p) (A.54)

Igualando (A.57) y (A.54), se observa que/(r) y f(<p) son iguales y son constantes, ya que al derivar parcialmente 7/ no se altera. Así, A en el infinito es igual a:

A2z = H0\i2rsen (<p) +CA (A. 55)

El término r" establece la condición al infinito en la ecuación (A.48), la cual esta dada por la ecuación (A.55), así la ecuación (A.48) se convierte en:

A j , ( r, <p ) //0p2rser¡ (<p) + E Csr "nCvsen (n<p) +</, (A. 56)

Sustituyendo (A.56) en las ecuaciones (A.50) y (A.52), y tomando el índice n — v además de que C6Cv=b2v se obtiene

H2Z ( r , <p )

Jfa_ ( r , tp )

//Ocos (<p) + — E vi)2vr "v_1cos (vcp) Ú2 »-1

•H0sen (<p) + — E vXvr s e n v̂ 1̂ 2 v i

3 • .n (A. 57)

(A. 55)

A.9

Figura A.3.- Componentes de H cuando se tiene una condición al infinito.

Condiciones en la frontera.

Evaluando la componente tangencial en r=a (interfase de las dos regiones), se tiene [4,5,17,35]:

donde K es la corriente laminar impresa. En este problema no existe una corriente laminar impresa, por lo tanto K„ es cero. Así:

(A. 59)

Para la componente radial del campo se tiene:

Blr ~ B2r P l * l r " V-2H; 2 r (A.60)

Sustituyendo las ecuaciones (A.40), (A.58) en (A.59), y (A.38), (A.57) en (A.60), en ambos casos evaluados en la frontera (r=a):

3 E *i» ' Jv-i U * K i a > * ^ . . L U '* K i a > 3 sen (v if>) • -H0sen (ip) • • v-t ,a»a" ,~1 sen (v<p) (A.61)

l * i a

£ vi>lv j , ( j J i^a) eos (v<p) tf0COS ( f ) • • £ vijj .a ~ v l c o s (v<p) (A. 62)

Igualando los coeficientes de los armónicos individuales, se eliminan los ordenes superiores

A.10

conservándose tan sólo el primer armónico, por lo que:

J K I — — ——- ¿ „ J , (j 2 K,a) - J a (j 2 K,a) sen (ip) = -H„sen (<p) * — b2 1 a "2 sen (<p)

¿ f l H; b, J"3 ( j 2 K x a) eos (q>) J = F 0 p 2 c o s (<p) +jb21a"2cos (<p)

Despejando ¿»y/ de la ecuación (A. 64)

_ HQa\¡.2+b21a-2

1 1 2 ( j 2 tqa)

Sustituyendo la ecuación (A. 65) en (A. 63)

2 2 2 2 2 / / 0 p 2 p 1 J 1 ( j 2 K , a ) - j 2 / /0K1pt^a [ J 0 ( j 2 K , a ) - J 2 (j 2*xa)]

D21 - j 2 : J

2 a ' 2 p, J , ( j 2 K , a) + j 2 a ^ K , p2 [ J u (j 2 K , a) - J a ( j 2 K , a) ]

Por fórmulas de recurrencia pata funciones Bessel, (A.66) se convierte en:

= HoV2a2 lJg U 2 K I < 3 ) (P1-P2) + J 2 (5 2 K i a > ( P i + P 2 ) 1

2 1 3 3

Jo (j 2Kxa) +n2) + J a ( j 2 tqa) (P j -Pa )

De la ecuación (A.67) se definen las funciones:

Así:

2 2 2 G ( j 2 K , a ) = J u ( j 2 K , a) (p, - p a ) + J 2 ( j 2 K , a) (p, +p2)

2 2 2 F ( j 2 K, a) - J 0 (j 2 kx a) (p, + p2) + J 2 ( j 2 K , a) (p, - p2)

¿ 2 i = - 3 2 B 0 p 2

F(j 2 K , a )

A . 1 1

Sustituyendo la ecuación (A. 70) y utilizando fórmulas de recurrencia en la ecuación (A.65)

4H0\i2\x1

1 1 j 2 Kj_F( j 2 K x a )

(A. 71)

Sustituyendo la ecuación (A.71) en (A.35), con f = / , se tiene:

A _ 4 B 0 p 1 p 2 J 1 ( J 2 K 1 r ) sencp g ^

j 2 K X F ( j 2 K x a )

De la ecuación (A.3):

Sustituyendo en las ecuaciones anteriores la ecuación (A.72)

3

r j 2 K 1 F ( J 2 K x a )

Utilizando fórmulas de recurrencia, se obtiene

2 2 2 „ 1 _ . T / -i' 2 flx = - 2 f í o l i i P 2 [ Jo j j 2 * i r ) I J 2 X" 2 K x r ) ] sen<p g ^ ^

F ( j 2 K , a)

De las ecuaciones (A. 18) y (A.72), resulta:

j 4 6 ) F T F 0 p 1 p 2 J x ( j 2 K x r ) sen<p 2 2

j 2 K X F ( J 2 K x a )

(A. 75)

Otra forma de las soluciones es obtener los resultados a través defunciones Kelvin [5,13], las cuales representan una ventaja, ya que las funciones Bessel utilizadas poseen argumento complejo, mientras que con funciones Kelvin el argumento real, y las cuales se definen por:

J v ( f «i r) = berv flc, r) • jbeis. (K, r) ^

A.12

Para obtener los resultados numéricos se recurre a software científico (paqueterías IMSL [47], Mathematica V.2. [30], PC-MatLab [481)

•

La energía electromagnética almacenada y/o disipada se calcula a través del vector de Poynting I I [4,11,12,16]. El valor pico de I I está dado por la identidad vectorial:

fl = ÉxH* (A.77)

y cuyo valor eficaz es:

I I = — Exf~H* = — ExH* (A.78)

Desarrollando el producto vectorial:

H = \ [-ElzHÍféI + ElzH:reA (A.79)

Utilizando las ecuaciones (A.73), (A.74) y (A.75) se tiene:

?tó rH¿px\ilsen2{<p) [ 2 L 2 (K , r ) + j L , ( K , r) ] „ U l r - — e r (A.SU) i / ' (K, a) + Lj ( K , a)

II - j2(úHzH0 p, p j s e n 2 (cp) e o s 2 (ip) [ Z/ (K, r ) +L6 [ K X Z ) ] , L-i ( K , a) +Z,„ (K , a)

donde:

L x ( K x r ) = ¿ e r o 2 O q r ) +¿»ei02 ( K x r ) -bez¡ ( K X Z ) -beij ( K x r )

L 2 X r ) = ¿ e z 2 (K , r ) b e i 0 (K , r ) -bel2 ( K , r ) £>ez0 (K, Z )

L 3 (Kxa) = heroica) (px + p2) +ber2 ( K x a ) ( p x - p 2 )

L 4 (K1a) = b e i 0 ( K x a ) (px + p2) +bei2 [x1a) ( p 1 - p 2 )

L 5 ( K x r ) = bez0 ( K x r ) + bez2 ( K X Z )

L 6 ( K x r ) = j b e i 0 (K , r ) + bei2 ( K , r )

(A. 82)

A.13

La potencia compleja está dada por la siguiente relación [4,11,12.16]:

Eligiendo la superficie perpendicular al vector r (dada por el área de la cáscara del cilindro - ver Figura A.4.a.):

Evaluando cuando r=a (radio de la cáscara) se tiene :

^' = ^tC^-^ = -f¿/02"£l«lr.-Bl»lr..CftP W*«5J

Sustituyendo la ecuación (A.80) en la ecuación anterior, resulta:

2 o e a 2 / / 0 p a p 2 7 i i [ 2 L 2 ( K , a ) * j ¿ , ( K , a ) ]

L 32 ( K x a ) +Z.2 ( K x a )

(A.86)

La parte real de la ecuación (A.86) expresa las pérdidas reales o por efecto Joule por unidad de longitud. Las pérdidas reactivas están dadas por la parte imaginaria. E l signo negativo de las potencia real indica que la energía electromagnética absorbida se libera y transforma en energía calorífica.

a) b) Figura A.4.- Elementos de áreas para el cálculo de la potencia aparente en dirección: a).- r ; b).- <p

No se puede calcular la potencia total en dirección ip. Físicamente se puede observar que el trabajo neto realizado es nulo, debido a que el vector de Poynting a 180 grados (ya que es una integral

A.14

de cerrada de área) tiene sentido contrario, por lo tanto la potencia es cero.

La fuerza a la que se somete el cilindro se calcula por la siguiente relación vectorial:

F = JxB (A.87)

mientras que el par motor generado esta dado por:

T = rxF (A.88)

Este apéndice presenta el principio básico de un motor monofásico sin devanado de arranque, ya que se tiene un campo pulsatorio (varía temporalmente pero no espacial mente). Bajo las anteriores condiciones el par neto tangencial de motor será cero [5,11], Para que exista un par motor cuantificable debe existir una excitación pulsatoria extra defasada 90 grados con respecto a la dada inicialmente.

A. 15

APENDICE B

PARAMETROS, CONSTANTES Y C A L C U L O S

B . l . Datos de propiedades de los materiales

p0 = Permeabilidad absoluta (vacío) = 4ir x W7 [H/m] p2 = Permeabilidad relativa del aluminio = 0.85 pCu = Permeabilidad relativa del cobre = 0.89 pAc = Permeabilidad relativa del acero orientado = 1500 o = Conductividad eléctrica del aluminio - 3.5 x 1Ó7 [S/mJ PCu= Resistividad eléctrica del cobre = 0.0172 [ü • mm2/m) Qa¡= Densidad volumétrica del aluminio = 2.703 [g/cm3] QAc = Peso específico del acero orientado =7.8 [g/cm3] f = Módulo del cortante del acero al silicio = 80 x l(f [N/m2] sd= Sección transversal del alambre calibre 22 AWG = 0.326 [mm2]

B.2. Datos de placa del motor de prueba y parámetros medidos

Marca.-Submarca.-Alimentación.-Modelo. -Velocidad nominal. -Potencia nominal. -Voltaje nominal.-Corriente nominal.-Frecuencia nominal. Max. elev. de temp.-Tama fio.-Factor de servicio. -Serie. -Tipo.-Eficiencia.-NEMA.-

General Electric Excell c.a. 6K48GB 1725 [rpmj 1 [CPj 220/440 [V] 3.4/1.7 [A] 60 [Hz] 40 Io C] 56 1 1Y-TY Trifásico 90% B

Resistencia eléctrica medida en terminales en c.d.- 4.9 [ÜJ Resistencia eléctrica corregida para c.a.- 7.84 [ÜJ Calibre del alambre del devanado del estator. - 22 A WG Resistencia eléctrica corregida por fase (2/3 de la resistencia medida en terminales) .-5.22 [ÜJ

Parámetros obtenidos por Ruíz [54].

mr- Masa del rotor.- 3.75 [Kg] Rd.- Resistencia del estator. - 5.7792 [ü] R . - Resistencia del rotor. - 0.0355 [ü]

B . l

L d . - Inductancia del estator.- 7.512 [mHJ L r - Inductancia del rotor.- 11.268 [mH] L n v - Inductancia de magnetización.- 0.16 [H]

B.3. Dimensiones de los componentes del motor.

a = Radio externo del núcleo del rotor y lo interno de la jaula de ardilla = 0.0326 [m] b = Radio externo de la jaula de ardilla y lo interno del entrehierro = 0.0465 [m] c = Radio externo del entrehierro y lo interno del núcleo laminado del estator = 0.0468 [m] d = Radio externo del núcleo laminado del estator = 0.063 [m]

f = Radio de la flecha del motor = 0.0065 m l = Longitud axial del rotor y estator = 0.12 m

B.4. Cálculos

B.4.1. Longitud estimada del devanado del estator y cálculo de su inductancia interna

Por la relación que establece la Ley de Ohm, y utilizando la resistencia por fase del devanado, la resistividad eléctrica del cobre y la sección transversal del alambre del devanado, se tiene que la longitud estimada del devanado es de 61 [m] por fase.

Conociendo la longitud estimada por fase del devanado, el valor calculado de su inductancia interna es de 3.05 [mHJ.

B.4.2. Momento polar de inercia del rotor

La masa del rotor medida por Ruíz [54] dada en el apartado C.2., se toma como parámetro para calcular el momento polar de inercia dada por la ecuación (4.5), considerando el radio del rotor igual a b. E l resultado obtenido es de 4.054 x 1(T3 [kg -m2]. Como el estudio se realiza para un par de polos (k = l), se tiene que Je=Jm [51].

Es difícil calcular la masa total del rotor ya que no se sabe con certeza los límites de cada frontera, ni las propiedades mecánicas de los materiales que lo conforman.

B.4.3. Cálculo de pérdidas

Pérdidas netas radiales en la Jaula de Ardilla.

Arranque. k k

1 2

- 1.10139 [W] - 1.71797 [W]

0.75117 [VARs] 1.37438 [VARs]

Velocidad nominal. A: k

1 2

- 0.37103 [WJ - 0.04638 [W]

0.43017 [VARs] 0.22899 [VARs]

B . 2

Pérdidas netas radiales en el Entrehierro.

Arranque.

Velocidad nominal.

k = l.- 0 [WJ ; 0.05852 [VARs] k = 2.- 0[W] ; 0.2 [VARs]

k=L- 0 [WJ ; 0.00874 [VARs] k=2.-0[W] ; 0.01274 /VARs /

Pérdidas netas radiales en el devanado del estator por fase.

Arranque.

Velocidad nominal.

Pérdidas totales.

Arranque

k = l.- 306.81 [W] ; 109.61 [VARs] k = 2.- 489.40 [W] ; 174.84 [VARs]

k = L - 10.92 [W] ; 3.902 [VARs] k = 2.- 12.33 [W] ; 4.405 / V A R s /

£ = / . - 3(306.81) + 1.10139 = 921.5314 [WJ 3(109.61) + 0.05852 + 0.75117 - 329.64 [VARs]

k = 2.- 3(489.4) + 1.71797 = 1469.92 [WJ 3(174.84) + 0.2 + 1.37438 = 526.1 / V A R s /

Velocidad nominal k=L- 3(10.32) + 0.37113 = 31.33 [WJ 3(3.902) + 0.00874 + 0.43017 = 12.145 / V A R s /

k = 2.- 3(12.33) + 0.04638 = 37.03 [W] 3(4.405) + 0.01274 + 0.22899 = 13.456 [VARs]

B.3

APENDICE C

LISTADO D E L PROGRAMA D E MATHEMATICA PARA G R A F I C A D O D E V A R I A B L E S E L E C T R O M A G N E T I C A S Y C A L C U L O D E

PARAMETROS D E L M O D E L O E L E C T R I C O

*************************************************************** ******* NOTAS ******* ******* ******* ******* L o s símbolos J o * implican comentarios, el programa ******* ******* n o acepta ¿ e e s t a manera los comentarios ******* ******* ******* ******* g| símbolo # implica continuación de renglón, el pro- ******* ******* g r a m a no acepta este tipo de suposiciones. ******* ******* ******* ******* ^da gráfica, cálculo de inductancia, par, fuerza y ******* ******* p a r a c a { j a condición de operación (arranque, número de ******* ******* pa r e s de polos y en condiciones nominales) requiere un ******* ******* c á | c u | 0 p 0 r separado, ya que la memoria RAM se satura ******* ******* ******* ******* £ a vers¡ón de Matliematica es para Windows, pues pie- ******* ******* s e | U a ventajas en relación con la versión de DOS ******* ******* ******* ******* S e u t ¡ | ¡ z ó u n a computadora 486/DX2 a 50 MHz y 4 Mb ******* ******* en memoria RAM ******* *************************************************************** ***************************************************************

INICIO DEL LISTADO

$ Parámetros de materiales

muO=4*Pi*10A(-7) muí =mu0* 1500 mu2 = mu0*0.85 mu3 = muO sig2 = 3.5*10A(7) fe = 60 we=2*Pi*fe

J Arranque - Un par de polos

k=l wm=0 ia = (3.2*5.3)/Sqrt[3]

J Arranque - Dos pares de polos

k=2 wm=0 ia = (3.4*6.3)/Sqrt[3]

C . l

$ Condiciones nominales - Un par de polos

k = l wm=0.958*we ia = (3.2)/Sqrl|31

$ Condiciones nominales - Dos pares de polos

k=2 wm = (0.958* we)/k ia=(3.4)/Sqrt[3]

$ Cálculo de expresiones que conforman las constantes

ib = ia ic = ia Vc = ia + (ib/4)*(l + I*Sqrt [3] ) + (ic/4)*(l - I*Sqrt [3]) Nds = 86 a =0.0326 b=0.0465 c =0.0468 d =0.063 lax=0.12 L=2*c Fsl=(cA(k-l))*(dA(-2*k))*(mu3-mul) + (cA(-k-l))*(mul+mu3) Fs2 = (cA(-2))*(dA(-2*k))*(mu3A2 - mulA2) + (cA(-2*k-2))*(mulA2 - mu3A2) Fs3 = -(cA(2*k-2))*(dA(-2*k))*((mul-mu3 )A2) + (cA(-2))*((mu 1 +mu3)A2) k2=Sqrt|mu2*sig2*(we-k*wm)J iP=r(3/2) Ci = ip*k2 Argb = ip*k2*b Ybr 1 =mu3*(BesselY[k-1 ,Argb]-BesselY[k +1 ,Argb]) - mu2*(BesselY[k-1 .Argbl + BesselY[k +1 ,Argbl) Ybs 1 = mu3*(BesselY[k-1, Argb]-BesselY[k +1 ,Argb]) + mu2*(BesselY[k-1 ,Argb] +BesselY[k + 1, Argb]) Jbrl =mu2*(BesselJ(k-l.Argb] +BesselJ[k +1 ,Argb])- mu3*(BesselJ[k-l,Argb]-BesselJ[k +1 .Argb]) Jbsl=mu2*(BesselJ[k-l, Argb] +BesselJ[k+1, Argb]) + mu3*(BesselJ[k-l ,Argb]-BesselJ[k+1 ,Argb|) Cf=2*mul*mu2*mu3*Nds*Vc*Fsl*(bA(-2)) Yf"=Fs2*(bA(k-l))*Ybrl + Fs3*(bA(-k-l))*Ybsl Jf = Fs2*(bA(k-1 ))*Jbr 1 - Fs3*(bA(-k-1 ))*Jbs 1 Arga = ip*k2*a Y ra = BesselY[k-1, Arga]-Bessel Y[k + 1, Arga] Ysa = Bessel Y[k-1 ,Arga] + BesselYlk + I .Arga] J ra = BesselJfk-1 ,Arga]-BesselJ [k + 1, Arga] Jsa=BesselJ[k-l ,Arga] +BesselJ[k +1 ,Arga] Jarl =-mul*Jra+mu2*Jsa Yarl=-mu2*Ysa+mul*Yra JYa=JPYarl-Yf*Jarl YJa=Jra*Yarl+Jarl*Yra JYrab=Jrb*Yarl +Yrb*JarI YJab=2*mu3*Fs2*JYrab + (b'(-k+l))*JYa F=Fs2*(bA(k-1 ))-Fs3 *(bA(-k-1)) F23 = Fs2*(cA(k-1)) + Fs3*(cA(-k-1))

5 Cálculo de constantes

CI2=(CPmul*YJa)/(2*k*mu2*L*(aA(k-l))*JYa) C21 =(Cf*Yarl)/(Ci*L*JYa)

C . 2

C22 = (CPJarl)/(Ci*L*JYa) C31=(Cf*(JYa*F*(bA2) + Fs3*YJab))/(4*k*L*JYa*mu2*F*Fs2) C32 = (Cf*YJab)/(4*k*L*mu2*F*JYa) C41 =(Cf*(mu 1 + mu3)*((bA2)*F*J Ya*(cA(-k-1)) + YJab*F23))/(4*k*L*mu2*Fs2*F*JYa*Fs 1) C42 = ((mu3-mul)*(dA(-2*k))*CP(YJab*F23 + (bA2)*F*JYa*(cA(-k-l))))/(4*k*L*JYa*mu2*F*Fsl*Fs2) C51=(2*mu3*CP(YJab*F23+(bA2)*F*JYa*(cA(-k-l))))/(4*k*L*JYa*mu2*F*Fsl*Fs2)

$ Potencial vectorial magnético

AI=C12*(rA(k)) Argr = Ci*r A2=C21*BesselJ[k,Argr] + C22*BesselY[k,Argr] A3=C31*(rA(-k)) + C32*(rA(k)) A4=C41*(rA(-k)) + C42*(rA(k)) A5=C51*(rA(-k))

$ Intensidad de campo eléctrico

Elres=-I*we*Al*Sin[k*phi]-k*wm*Al*Cos[k*phi] E2res=-I*we*A2*Sin[k*ph¡]-k*wm*A2*Cos[k*phi] E3=-I*we*A3*Sin[k*ph¡] E4=-I*we*A4*Sin[k*phi] E5=-I*we*A5*Sin(k*phi]

$ Densidad de campo magnético tangencial

B1 p = -C12*k*(rA(k-1 ))*Sin[k*ph¡] B2p = -(C21*Ci*(BesselJ[k-l,Argr]-BesselJ[k+l,Argr]) + C22*Ci*(BesselY[k-l.Argr]-BesselY[k + l,Argr]))/2 B3p=-(-C31*k*(rA(-k-l)) + C32*k*(iA(k-l))) B4p=-(-C41*k*(rA(-k-l)) + C42*k*(rA(k-l))) B5p=-(-k*C51*(rA(-k-l)))

$ Densidad de campo magnético radial

BI r - C12*k *(r A(k-1 ))*Cos[k *phi] B2r=(C21*k*BesselJ(k,Argr] + C22*k*BesselY[k,Argr])/r B3r=C31*k*(rA(-k-l)) + C32*k*(rA(k-l)) B4r=C41*k*(rA(-k-l)) + C42*k*(rA(k-l)) B5r=k*C51*(rA(-k-l))

$ Conjugados de intensidades de campo magnético tangenciales

H1 pe = Conjugaie[-(C l2*k*(rA(k-l ))*Sin[k*phiJ)/mu 11 H2pc=Conjugate|-(C21*Ci*Sin|k*phi|*(BesselJ|k-l,Argr|-BesselJ|k+ I ,Argr]) + C22*Ci*Sin|k*phi|*(BcsselY[k-i ,Argr|

#BcsselY[k +1 ,Argr)))/(2*mu2)| H3pc=Conjugate[-(-C31*k*(rA(-k-l))*Sinlk*ph¡l + C32*k*(rA(k-l))*Sin|k*phil)/mu31 H4pc=Conjugate[-(-C41*k*SinIk*phi]*(rA(-k-l)) + C42*k*Sin[k*ph¡]*(rA(k-l)))/mul] H5pc=Conjugate[-(-k*C51*(rA(-k-l))*Sin[k*ph¡])/mu3]

$ Conjugados de intensidades de campo magnético radiales

Hhc = Conjugate[(C12*k*(iA(k-l))*Cos[k*phi])/mul] H2rc = Conjugate[(C21*k*BesselJlk,Argij*Costk*phi]+ C22*k*BesselY[k,Argr]*Coslk*phi])/(r*mu2)] H3rc = Conjugate[(C31*k*(rA(-k-l))*Cos[k*phi] + C32*k*(rA(k-l))*Costk*ph¡])/mu3] H4rc=Conjugate[(C41*k*Cos[k*phi]*(rA(-k-l)) + C42*k*Cos[k*phi]*(rA(k-l)))/mul 1 H5ic=Conjugate[(k*C51*(rA(-k-l))*Cos[k*ph¡])/mu3]

C .3

$ Gradeado del módulo del potencial vectorial magnético

Alg = Piot3D[Abs|(l/Sqrt [2])*Al*S¡n[k*plii]|, {r.O.a}, {ph¡,0,2*P¡}. BoxRatios->{1.1,1}, AxesLabel-> {"Radio {mj ", tt" Phi [rad] ","AIm "}, Ticks->{Automatic,{0,Pi,2Pi},Automatic}, PlotRange->All, PlotPoints->451 A2g = Plot3D[Abs|(l/Sqrt |2|)*A2*Sin|k*phi]], {r.a.b}, {phi,0,2*Pi}, BoxRatios->{ 1,1,1}, AxcsLabel->{"Radio [m] ",

tt" Phi [rad] ","A2m "}, Ticks->{Automatic,{0,Pi,2Pi},Automalic}. PlotRange->All. PlotPoints->45] A3g = Plot3D[Abs[(l/Sqrt [2])*A3*Sinfk*phi]], {r.b.c}, {phi,0.2*Pi}, BoxRatios->{ 1.1,1}, AxesLabel->{"Radio [m] ",

tt" Phi [rad] ","A3m "}, Ticks->{Automatic,{0,Pi,2Pi},Automatic}, PlotRange->All, PlotPoints->45] A4g = Plot3D[Abs[(l/Sqrt ]2])*A4*Sin[k*phi]], {r,c,d}. {phi,0,2*Pi}, BoxRatios->{ 1,1.1}, AxesLabel->{"Radio [m] ",

tt" Phi [radj ","A4m "}, Ticks-> {Automatic,{0,Pi,2Pi},Automatic}. PlotRange->AII. PlotPoints->45] A5g = Plot3D[Abs[(l/Sqrt f21)*A5*Sin[k*phi|], {r,d,0.8}. {phi,0.2*Pi}. BoxRatios->{ 1,1.1}, AxesLabel->{"Radio ]m] ",

tt" Phi [rad] ","A5m "}, Ticks-> {Automatic,{O.Pi.2Pi},Automatic}. PlotRange-> All, PlotPoints->45]

$ Graficado del módulo de la intensidad de campo eléctrico

Elresg = Plot3D[Abs|(l/Sqn |2])*Elres|,{r,0,a},{phi,0,2*Pi}, BoxRatios-> {1,1,1 }.AxesLabel-> {"Radio ]m] ", " Phi 0[rad] ","Elm "}. Ticks->{Automatic,{0,Pi,2Pi}, Automatic}, PlotRange->AII, PlotPoints->45] E2resg = Plot3D]Absl(l/Sqrt [2])*E2resJ,{r,a.b},{phi,0,2*P¡}, BoxRatios-> {1,1,1 },AxesLabel-> {"Radio [m] ", " Pili

#[rad] ","E2m "}, Ticks->{Automatic,{0,Pi,2P¡}, Automatic}, PlotRange->All, PlotPoints->45] E3g = Plot3D[Abs[(l/Sqrt [2|)*E3],{r.b.c},{phi,0,2*Pi}. BoxRatios->{ 1,1 ,l},AxesLabel-> {"Radio [ni] ". " Phi [rad] ",

#"E3m "}, Ticks->{Automatic,{0,Pi,2Pi}, Automatic}, PlotRange->All, PlotPoints->451 E4g = Plol3D(Abs[(l/Sqrt [2|)*E4],{r,c,d},{phi,0,2*Pi}, BoxRatios-> {1,1,1 },AxesLabel-> {"Radio |ml ", " Phi [rad| ".

#"E4m "}, Ticks->{ Automatic,{0,Pi,2Pi}, Automatic}, PlotRange->All, PlotPoints->45| E5g = Plot3D[Abs ](1/Sqrt |2])*E5], {r.d,0.8}, {phi,0,2*Pi}, BoxRatios->{ 1,1,1}, AxesLabel-> {"Radio [ni] ", " Phi

#[rad] " ","E5m "}, Ticks->{Automatic,{0,Pi,2Pi}, Automatic}, PlotRange->AII, PlotPoints->451

$ Gradeado del módulo de la densidad de campo magnético tangencial

Blpg = Plot3DlAbs|(l/Sqrt[2])*Blp*Sin|k*phi]], {r.O.a}. {phi.0,2*Pi}, BoxRatios- >{ 1.1,1}. PlotPoints- >45.PloiRange->AII. MxesLabel->{ "Radio [mi ","Phi [rad] ", "Blp "}, Ticks-> {Automatic.{O.Pi,2Pi},Automatic}) B2pg = Plot3DlAbs[(l/Sqrt[2])*B2p*Sin[k*phi]],{r,a,b},{phi,0,2*Pi}, BoxRatios- >{ 1,1.1}, PlotPoints- >45,PlotRange-> All,

MxesLabel-> {"Radio [m] ","Plii (rad] ", "B2p "}, Ticks-> {Automatic,{O.Pi,2Pi},Automatic}] B3pg = Plot3D[Abs[(l/Sqrt[2])*B3p*Sin[k*ph¡]]. {r.b.c}, {phi.0,2*Pi},BoxRatios->{l,I,l}.PIotPoiiits->45,PlotRange->AII,

MxesLabel->{ "Radio [m] "."Pili [rad] ","B3p "}, Ticks->{Automatic,{0,Pi.2Pi},Automatic}] B4pg = Plot3D[Abs|(l/Sqrt|2])*B4p*Sin[k*plii]|,{r,c.d},{plii,0.2*Pi},BoxRatios-> {1.1.1}. PlotPoints- >45,PlotRange->AII,

MxesLabel-> {"Radio |m| "."Phi |rad| ","B4p "}.Ticks->{Automalic,{0.Pi,2Pi},Automatic}] B5pg = Plot3D|Abs[(l/Sqr(2])*B5p*Sin[k*phi]],{r.d,0.2},{plii,0,2*Pi},BoxRatios->{l,l,l}PloiPoints->45PlotRaiige->AII,

MxesLabel->{"Radio [m| "."Pili [rad] ","B5p "},Ticks->{Automatic,{0,Pi.2Pi},Automatic}]

$ Gradeado del módulo de la densidad de campo magnético radial

Blrg = Plot3D[Abs[Blr*Cos[k*phi]*(l/Sqrt [2])], {r.O.a}, {phi,0,2*Pi}, BoxRatios->{ 1,1,1}, PlotRange-> All. MxesLabel->{"Radio [ni] "."Phi [rad] ","Blr "},Ticks->{Automatic,{Pi,2Pi}.Automatic}, PlotPoints->45] B2rg = Plot3D[Abs[B2r*Cos[k*plii]*(l/Sqrt [2])], {r.a.b}, {phi,0,2*Pi}, BoxRatios->{ 1,1,1}, PlotRange-> All,

MxesLabel->{"Radio [m] ","Phi [rad] ","B2r "},Ticks-> {Automatic,{Pi,2Pi},Automatic}, PlotPoints->45] B3rg = Plot3D[Abs[(l/Sqrt [2])*B3r*Cos[k*phil], {r.b.c}, {plii,0,2*Pi}, BoxRatios->{ 1,1.1}, PlotRange-> All,

MxesLabel->{"Radio [m] ","Phi |rad| ","B3r "},Ticks->{Automatic,{Pi,2Pi},Automatic}. PlotPoints->45] B4rg = Plot3D[Abs[(l/Sqrt [2])*B4r*Cos[k*phi|], {r.c.d}, {phi.0.2*Pi}, BoxRatios->{ 1.1,1}, PlotRange->AII,

MxesLabel-> {"Radio [m] ","Plii [rad] ","B4r "}.Ticks-> {Automatic.{Pi.2Pi},Automatic}. PlotPoints->45] B5rg = Plot3D[Abs[(l/Sqrt [21 )*B5r*Cos[k*phi|], {r,d,0.2}, {phi,0,2*Pi}, BoxRatios->{ 1,1.1}, PlotRange->AII,

MxesLabel->{"Radio |m] ". "Phi [rad| ","B5r "}, Ticks-> {Automatic,{Pi,2Pi},Automatic}, PlotPoints->451

C . 4

$ Gradeado del módulo del vector de Poynting tangencial

Pylpg = Plot3D[Abs[(l/2)*Elres*Hlrc],{r,0,a},{phi,0,2*Pi},BoxRatios->{l,l,l},PlotRange->All, AxesLabel->{"Radio #[m] ", "Phi [rad] ", "Vlp "},Ticks->{Automatic,{0,Pi,2Pi},Automatic}, PlotPoints->45] Py2pg=Plot3D[Abs[(l/2)*E2res*H2rc],{r,a,b},{phi,0.2*Pi}.BoxRatios- > {1,1.1}.PlotRange- > All, AxesLabel- > {"Radio

#[m] ", "Phi [rad] ", "V2p "},Ticks->{Automatic,{0,Pi,2Pi},Automatic}, PlotPoints->45] Py3pg = Plot3D[Abs[(l/2)*E3*H3ic],{r,b,c},{phi.0,2*Pi},BoxRatios->{l,l.l},PlotRange-> All, AxesLabel-> {"Radio

#(m] ", "Phi [rad] ", "V3p "},Ticks->{Automatic,{0,Pi,2Pi},Automatic}, PlotPoints->45J Py4pg = Plot3D[Abs[(l/2)*E4*H4ic],{r,c,d},{phi,0,2*Pi},BoxRatios->{l,l,l}.PIotRange->AII, AxesLabel->{"Radio

#{m] ", "Phi [rad] ", "V4p "},Ticks->{Automatic,{0,Pi,2Pi},Automatic}, PlotPoints->45] Py5pg = Plot3DlAbs[(l/2)*E5*H5rc],{r,d,0.2},{phi,0,2*Pi},BoxRatios->{l,l,l},PlotRange->AII, AxesLabel->{"Radio

#[m] ", "Phi [rad] ", "V5p "},Ticks->{Automatic.{0,Pi,2Pi},Automatic}, PlotPoints->45]

$ Gradeado del módulo del vector de Poynting radial

Pylrg = Plot3D[Abs[-(l/2)*Elres*Hlpc], {r.O.a}, {phi,0,2*Pi}, BoxRatios->{ 1,1,1}, AxesLabel->{ "Radio [m] ", " Phi #|rad| ","Vlr "}, Ticks-> {Automatic,{0,Pi,2Pi},Automatic}. PlotRange-> All, PlotPoints->45]

Py2rg = Plot3D[Abs[-(l/2)*E2res*H2pc], {r,a,b}. {phi,0.2*Pi}, BoxRatios->{ 1.1,1}. AxesLabel-> {"Radio [m] ", " Phi #[rad) ","V2r "}, Ticks-> {Automatic,{0,Pi,2Pij,Automatic}. PlotRange-> All. PlotPoints->45]

Py3rg = Plot3D|Abs[-(l/2)*E3*H3pc], {r.b.c}, {phi,0,2*Pi}. BoxRatios->{ 1,1,1}. AxesLabel->{"Radio [m] ", " Phi #[rad] ","V3r "}. Ticks->{Autoinatic,{0,Pi,2Pi},Aulomatic}, PlotRange->All, PlotPoints->45]

Py4rg = Plot3D(Abs{-(l/2)*E4*H4pc], {r.c.d}, {phi,0.2*P¡}, BoxRatios->{l.l.l), AxesLabel-> {"Radio [m] ", " Phi #|rad] ","V4r "}, Tieks-> {Automatic,{0,Pi,2Pi},Automatic}. PlotRange-> All, PlotPoints->45] Py5rg = Plot3D]Abs[-(l/2)*E5*H5pc], {r,d.0.2}, {plii,0,2*Pi}, BoxRatios-> {1. 1,1}. AxesLabel-> {"Radio [m] ", " Phi

#[rad] ","V5r "}, Ticks->{Automatic,{0,Pi,2Pi},Automatic}, PlotRange->All. PlotPoints->45]

$ Para

lax=0.12

$ Fase de las variables electromagnéticas en el núcleo laminado del rotor

Alf=Plot[Arg[(l/Sqrt [2])*Al*S¡n[k*phi]I, {phi,0,2*Pi}, PlotPoints->30, PlotRange->All, AxesLabel->{"Phi[radl","Alni #[rad]"}, Ticks->{{0,Pi,2Pi},Automatic}] Elf=Plot[Arg[(l/Sqrt [2])*Elies], {phi,0,2*Pi}, PlotPoints->30, PlotRange->AII,AxesLabel->{"Phi ]rad]","Elm [rad]"},

#Ticks->{{0,Pi,2Pi},Automatic}] Blpf=Plot[Arg[(l/Sqrt [2])*Blp*Sin[k*plii]], {phi,0,2*Pi}, PlotPoints-> 30. PlotRange-> All, AxesLabel- > {"Phi

/?[rad]","Blpm [rad]"}, Ticks->{{0,Pi,2Pi},Automatic}] Blrf=Plot[Arg[(l/Sqrt [2])*Blr*Sin[k*phi]l,{phi.0,2*Pi}, PlotPoints-> 30, PlotRange-> All. AxesLabel->{"Phi[rad]","Blrm

#[rad)"}, Ticks->{{0.Pi,2Pi},Automatic}] Pylpf=Plot[Arg[(l/2)*Elres*Hlrc|,{phi,0,2*Pi},PlotPoints->30, PlotRange-> All, AxesLabel-> {"Phi]radl"."Vlp [rad]"},

#Ticks- > {{0,Pi,2Pi} .Automatic}] Pylrf=Plot[Arg(-(l/2)*Elres*Hlpc],{plii,0.2*Pi},PlotPoints->30,PlotRange->AII,AxesLabel->{"Plii]rad]","VlrIradl

#Ticks->{{0,Pi,2Pi},Automatic}]

$ Cálculo del enlace de Rujo radial total c inductancia tangencial por sección en el núcleo laminado del rotor

Lamevul =Inlegrate[Blr*r*Cos[k*phi],{plii,phi,plii+Pi}] Llps = N[Iiitegratet(Nds*Sin[k*phi]*Lamevul)/(6*ia),{phi,-Pi/2,Pi/2},{z,0,lax}]]

C.5

$ Perdidas radiales en el núcleo laminado del rotor

S1 r = N[Integrate[-( 1 /2)*(E 1 res)*H 1 pc*r*lax,{phi.0,2*Pi} ]] S2r=N[IiUegrate|-(l/2)*(E2res)*H2pc*r*lax,{phi,0.2*Pi}]l Snr=S2r-Slr

S Para

r=b lax=0.12

$ Fase de las variables electromagnéticas en la jaula de ardilla

A2f=Plot[Arg[(l/Sqrt [2])*A2*Smtk*phi]], {phi,0,2*P¡}, PlotPoints->30, PlotRange-> All. AxesLabel->{"Phi [rad]","A2m #[rad]"}, Ticks->{{0.Pi,2Pi}.Automatic}] E2f=Plot[Arg[(l/Sqrt [2])*E2iesl, {phi,0,2*Pi}, PlotPoints->30, PlotRange-> AII,AxesLabel-> {"Phi [rad]","E2m [radl"},

#Ticks- > {{0,Pi,2Pi} .Automatic}] B2pf=Plot[Arg[(l/Sqrt [2])*B2p*Sin]k*phi]], {phi,0,2*Pi}, PlotPoints-> 30, PlotRange- > All, AxesLabel-> {"Phi

#[rad)"."B2pm [rad]"}, Ticks->{{O.Pi,2Pi},Automatic}] B2rf=Plot[Arg[(l/Sqit[2])*B2r*Sin{k*plii]],{phi,0,2*Pi}, PlotPoints-> 30, PlotRange-> All, AxesLabel->{"Philrad]","B2rm

#[rad]"}, Ticks->{{0,Pi,2Pi},Automatic}] Py2pf=Plot[Aigl(l/2)*E2ies*H2rc],{phi,0,2*Pi}, PlotPoints->30, PlotRange-> All, AxesLabel->{"Phi [rad|","V2p|rad]"},

mcks- > {{0,Pi,2Pi} .Automatic}] Py2if=Plot[Arg[-(l/2)*E2res*H2pc],{phi,0,2*Pi},PlotPoints-> 30, PlotRange-> All, AxesLabel->{"Phi|rad]","V2r (radl"},

#Ticks->{{0,Pi,2Pi}, Automatic}]

$ Cálculo de enlace de flujo total radial c inductancia tangencial por sección en la jaula de ardilla

Lamevu2 = Integiate[B2r*r*Cos[k*phi],{phi,phi,plii + Pi}] L2ps = N[Integrate[(Nds*Sin[k*phil*Lamevu2)/(6*ia),{phi,-Pi/2.Pi/2},{z,0,lax}]]

$ Pérdidas radiales en la jaula de ardilla

S2r=N[Iiitegratc[-(l/2)*(E2res)*H2pc*i*lax,{phi,0,2*Pi}]] S3r=N[Intcgiatel-(l/2)*(E3)*H3pc*r*lax,{phi,0,2*Pi}]) Sja=S3r-S2r

$ Cálculo de la fuerza de compresión radial en la jaula de ardilla

Fbail=RefN[Integrate[-(l/2)*sig2*E2res*B2p*i-.{phi.0,2*Pi},{z,0.lax}]l]

$ Cálculo de par tangencial

Tbarl=Re[N[Integrate[-(l/2)*sig2*E2ies*B2p*r*z,{phi,0,2*Pi},{z,0,lax}]]]

$ Para

r=c lax=0.12

C.6

$ Fase de las variables electromagnéticas en el entrehierro

A3f=Plot[Arg[(l/Sqrt [2])*A3*Sin[k*phi]], {phi,0,2*Pi}. PlotPoints->30. PlotRange-> All. AxesLabel-> ("Pili [rad]","A3m #[rad]"}, Ticks->{{0.Pi,2Pi},Automatic}] E3f=Plot[Arg[(l/Sqrt [2])*E3|, {phi.0,2*Pi}, PlotPoints->30, PlotRange-> All. AxesLabel-> {"Phi [rad|","E3m [radl"}.

#Ticks->{{0,Pi,2Pi},Automatic}] B3pf=Plot[Arg[(l/Sqrt [2])*B3p*Sin[k*phi|], {phi,0,2*Pi}, PlotPoints->30, PlotRange->All. AxesLabel->{"Phi

#{rad]","B3pm [rad]"}. Ticks->{{0,Pi,2Pi},Automatic}] B3rf = Plot[Arg[(l/Sqrt [2])*B3r*Sin[k*phi]]. {plii,0,2*Pi}, PlotPoints- > 30, PlotRange- > All, AxesLabel-> {"Phi[rad]","B3rm

#[rad]"}, Ticks->{{0,Pi,2Pi}.Automatic}) Py3pf=Plot[Arg[(l/2)*E3*H3rc], {phi,0,2*Pi}, PlotPoints->30, PlotRange-> All. AxesLabel-> {"Phi [rad|","V3p [rad]"},

rricks- > {{0,Pi,2Pi} .Automatic}] Py3rf=Plot[Arg[-(l/2)*E3*H3pc], {phi,0.2*Pi}, PlotPoints->30. PlotRange-> All. AxesLabel-> {"Phi [rad]", "V3r |rad|"},

fficks- > {{0,Pi,2Pi} .Automatic}]

$ Cálculo del enlace de flujo radial total e inductancia tangencial por sección en el entrehierro

Lamevu3 = Integrate[B3r*r*Cos[k*phi],{phi,phi,phi + Pi}] L3ps = N[Integrate[(Nds*Sin[k*phi]*Lamevu3)/(6*ia).{phi.-Pi/2,Pi/2},{z,0,lax}H

$ Pérdidas radiales en el entrehierro

S3r = N[Integrate[-(l/2)*(E3)*H3pc*r*lax,{phi,0,2*Pi}]] S4r = N|Integratc|-(l/2)*(E4)*H4pc*r*lax.{phi,0.2*Pi}|| Seh=S4r-S3r

$ Para

r=d lax=0.12

$ Fase de las variables electromagnéticas en el núcleo laminado del estator

A4f=Plot[Arg[(l/Sqrt [2])*A4*Sin[k*phi]], {phi,0.2*Pi}, PlotPoints->30, PlotRange-> All. AxesLabel-> {"Phi [rad]","A4m #[rad]"}, Ticks->{{0.Pi,2Pi},Aulomatic}| E4f=Plot[Arg[(l/Sqrt [2])*E4], {phi,0,2*Pi}, PlotPoints->30, PlotRange-> All. AxesLabel-> {"Phi [rad]","E4m [rad|"},

#Ticks->{{0,Pi,2Pi},Automatic}] B4pf=Plot[Arg[(l/Sqrt [2])*B4p*Sin[k*phi]], {phi,0,2*Pi}, PlotPoints->30. PlotRange->All, AxesLabel->{"Phi

#lrad]","B4pm [rad]"}, Ticks->{{0,Pi,2Pi},Automatic}] B4rf = Plot[Arg[(l /Sqrt [2])*B4r*Cos[k*phi][, {phi,0,2*Pi}, PlotPoints- > 30, PlotRange- > All, AxesLabel- > {"Phi[rad]", "B4rm

#[rad]"}, Ticks->{{0,Pi,2Pi},Automatic}] Py4pf=Plot[Arg[(l/2)*E4*H4rc], {phi,0,2*Pi}, PlotPoints->30, PlotRange->All, AxesLabel->{"Phi [rad]","V4p [rad]"},

mcks->{{0,Pi,2Pi}, Automatic}] Py4rf=Plot[Arg[-(l/2)*E4*H4pc], {phi,0,2*Pi}, PlotPoints->30. PlotRange-> All. AxesLabel-> {"Phi {rad}", "V4r [rad]"},

mcks- > {{0,Pi,2Pi} .Automatic}]

S Cálculo del enlace de flujo radial total e inductancia tangencial por sección en el núcleo laminado del estator

Lamevu4 = Intégrate [B4r*r*Cos[k*ph¡],{phi,phi,phi+ Pi}] L4ps = N|Integrate[(Nds*Sin{k*phi]*Lamevu4)/(6*ia),{phi,-Pi/2.Pi/2},{z,0,lax}]]

C .7

$ Perdidas radiales en el núcleo laminado del estator

S4r = N[Integiate[-(l/2)*(E4)*H4pc*r*lax.{phi.0,2*Pi}|] S5i=N|lntegrate|-(l/2)*(E5)*H5pc*r*lax,{plii.0,2*Pi}|| Sne=S5r - S4r

$ Para

r=0.2 lax=0.12

$ Fase de las variables electromagnéticas en la región externa

A5f=Plot[Arg[(l/Sqrt [2])*A5*Sin[k*phi]], {phi,0.2*Pi}, PlotPoints->30, PlotRange-> All, AxesLabel-> {"Phi [rad]","A5m #[rad]"}, Ticks->{{0,Pi,2Pi},Automatic}] E5f=Plot[Aig[(l/Sqrt [2])*E5], {phi,0,2*Pi}, PlotPoints->30, PlotRange-> All, AxesLabel-> {"Phi [rad]","E5m [rad]"},

#Ticks- > {{0,Pi,2Pi} .Automatic}] B5pf=Plot[Arg[(l/Sqrt [2])*B5p*Sin[k*phi]], {phi,0,2*Pi}, PlotPoints->30, PlotRange->All, AxesLabel->{"Phi

#[rad]","B5pm [rad]"}, Ticks->{{0,Pi,2Pi},Automatic}] B5rf=Plot[Arg[(l/Sqit[2])*B5r*Sin[k*phi]],{phi.0,2*Pi},PlotPoints->30, PlotRange-> All. AxesLabel->{"Phi[rad]","B5rm

And)"}. Ticks->{{0.Pi,2Pi}.Automatic}| Py5pf=PlotlArg|(l/2)*E5*H5rc|, {phi,0,2*Pi}. PlotPoints->30, PlotRange->All, AxesLabel->{"Phi |rad]","V5p ]rad]"},

#Ticks- > {{0,Pi,2Pi} .Automatic}] Py5rt"=Plot|Aig|-(l/2)*E5*H5pc], {phi,0,2*Pi}, PlotPoints->30, PlotRange-> All. AxesLabel-> {"Phi |rad|", "V5r |rad]"},

#Ticks- > {{O.Pi,2Pi} .Automatic} |

$ Pérdidas radiales en la región externa

S5rg = N[Integrate[-(l/2)*(E5)*H5pc*r*lax,{phi,0,2*Pi}]]

$ Cálculo del enlace de flujo tangencial por sección c inductancia radial por sección en cada una de las regiones

Ndsr=2 phi = (4*Pi)/3 Eflp = Re[-(Ndsi*C12*k*(tA(k-l))*Sin[k*phi])/(2*ia*Sin[k*phi])] Llrs=N[Integiate[Eflp,{r,0,a},{z,0,lax}]] Et2p = Re[-(Ndsr*(Sin[k*phi])*(C21*Ci*(BesselJ[k-l,Argi]-BesselJ[k+l,Argr]) + C22*Ci*(BesselY[k-l,Argr]-

#BesselY[k+l,Argr])))/(2*ia*Sin[k*phi])] L2rs=NIntegrate[Ef2p,{r.a.b},{z.O.lax}] Et3p = Re[-(Ndsr*(Sin[k*phi])*(-C3I*k*(rA(-k-l)) + C32*k*(iA(k-l))))/(2*ia*Sinlk*phi])] L3rs = N[Integiate[Et3p.{r.b.c},{z,0,lax}]] Ef4p = Re[-(Ndsr*(Sin[k*phi])*(-C41*k*(iA(-k-l)) + C42*k*(rA(k-l))))/(2*ia*Sin[k*phi])] L4rs = N[Integrate[Et4p.{r,c.d},{z,0,lax}l]

$ Interpolación de los valores de inductancia tangencial en la jaula de ardilla y el entrehierro

lrja = InterpolatingPolynomial[{{0,0.0185},{0.1,0.019},{0.2,0.0194},{0.3,0.02},{0.4,0.0209},{0.5,0.0225},{0.6,0.0249}, #{0.7,0.0303}, {0.8,0.0449}, {0.958,0.3038}},x] lreh=InterpolatingPolynomial[{ {0,0.0199},{0.1,0.019},{0.2,0.0208},{0.3,0.0214},{0.4,0.0224},{0.5,0.0238},{0.6,0.0264}, #{0.7,0.0317}, {0.8,0.0463}, {0.958,0.3053}}.x] Plot[lrja,{x,0,0.958},AxesLabel->{"w [%]","L [mH]"}] Plot[lreh,{x,0,0.958},AxesLabel->{"w [%]","L [mH]"}]

C . 8

A P E N D I C E D

A R C H I V O D E D A T O S P A R A E L EMTP

D . l . Archivo de datos para la simulación del arranque

BEC1N NEW DATA C A S E S C L O S E . UNIT=4 STATUS = D E L E T E SOPEN. UNIT=4 F I L E = ARRANQUE. PL4 FORM = UNFORMATTED STATUS = UNKNOWN R E C L = 80()0 C C CONEXION D E L T A C C . . + . . . + . . . . 2 — • + — -3—- + — -4—- +—-5-— +—-6—- + — -7—- + -—8 C 345678901234567890I2345678901234567890I234567890I2345678901234567890 .00100 0.05

1 1 I I I I C - + — - | — - +—-2—- + — -3—- + — -4—-+—-5—- + — -6—- +—-7—- + — -8 C 345678901234567890I2345678901234567890I2345678901234567890I234567890 C INDUCTANCIAS R A D I A L E S CORRESPONDIENTES A LA REGION D E LA JAULA D E A R D I L L A

NODO-RNODO-L .5E-15 NODO-MNODO-G 5E-I5 NODO-NNODO-H 5E-I5 NODO-ONODO-I 5E-I5 NODO-PNODO-J .5E-I5 NODO-QNODO-K .5E-I5

C INDUCTANCIAS T A N G E N C I A L E S CORRESPONDIENTES A LA REGION D E LA JAULA D E A R D I L L A NODO-RNODO-M 0.0185 NODO-MNODO-N 0.0185 NODO-NNODO-0 0.0185 NODO-ONODO-P 0.0185 NODO-PNODO-0 0.0185 NODO-QNODO-R 0.0185

C INDUCTANCIAS R A D I A L E S CORRESPONDIENTES A LA REGION D E L E N T R E H I E R R O NODO-LNODO-F 3 . IE-5 NODO-GNODO-A 3.1E-5 NODO-HNODO-B 3 . IE-5 NODO-INODO-C 3.1E-5 NODO-JNODO-D 3.1E-5 NODO-KNODO-E 3 . IE-5

C INDUCTANCIAS T A N G E N C I A L E S CORRESPONDIENTES A LA REGION D E L E N T R E H I E R R O NODO-LNODO-C 0.0200 NODO-GNODO-H 0.0200 NODO-HNODO-I 0.0200 NODO-INODO-J 0.0200 NODO-JNODO-K 0.0200 NODO-KNODO-L 0.0200

C INDUCTANCIA Y RESISTENCIA POR F A S E C O R R E S P O N D I E N T E A L D E V A N A D O D E L ESTATOR NODO-ETRAN-E 5.22 3E-3 4054 NODO-CTRAN-C 5.22 3E-3 4054 NODO-ATRAN-A 5.22 3E-3 4054

C CONEXION D E L T A IMPU-ININT-B 1E-I0 I IMPU-2NINT-A 1E-I0 1 IMPU-3N1NT-C IE-10 1

C RESISTENCIA A T I E R R A DE LA A L I M E N T A C I O N C O N E C T A D A EN E S T R E L L A FASE-A I E I 0 FASE-B IE10 FASE-C 1EI0

C RESISTENCIA A T I E R R A N E C E S A R I A PARA ELIMINAR RED F L O T A N T E D E L C I R C U I T O NODO-L I E I 0

C - + — - 1 —-+—-2—-+—-3—- + —-4—-+-—5—- + —-6 i 7 — + — 8 C 34567890I2345678901234567890I234567890I234567890I234567890I234567890 BLANK FIN D E RAMAS C INTERRUPTORES EN LAS T E R M I N A L E S D E L MOTOR

D.1

NINT-AFASE-A 0. 1.0 I NINT-BFASE-B 0. 1.0 I NINT-CFASE-C 0. 1.0 I

BLANK FIN D E INTERRUPTORES C C .- + . . . . | . . . . + . . . . 2—- + — -3—- + — -4—- +—-5—- + — -6—- + -—7—- + — -8 C 345678901234567890I234567890I234567890123456789012345678901234567890 C FUENTES DE V O L T A J E Q U E REPRESENTAN LA ONDA VIAJERA I4FASE-A 0180.0 60.0 0. 0. 0. 99999. 14FASE-B 0180.0 60.0 120. 0. 0. 99999. 14FASE-C 0180.0 60.0 240. 0. 0. 99999. C CONEXION D E TRANSFORMADORES C O N E C T A D O S R A D I A L M E N T E A L N U C L E O D E L ESTATOR I I I M P U - I IE-20 18NINT-C I NODO-DTRAN-A 1IIMPU-2 IE-20 I8NINT-B I NODO-BTRAN-E 1IIMPU-3 IE-20 18NINT-A I NODO-FTRAN-C C . . + . . . . 1 — . + . . . -2—- +—-3—- + —-4—- + —-5—- + — - 6 ~ - +—-7— + —-8 BLANK FIN D E F U E N T E S C NODOS A GRAFICAR (VOLTAJES)

F A S E - A F A S E - B F A S E - C C - + —-1 —- + -—2—- +—-3—- + —-4—- +—-5— +—-6—- + - - 7 - - - + —-8 BLANK FIN D E SALIDA BLANK FIN D E CASO D E E S T U D I O BEG1N NEW DATA C A S E BLANK BLANK BLANK BLANK BLANK

Salida

Alicrnaiivc Transicnis Program (ATP). Salford 386 Iranslalion. Copyrighi 1987. Use licenscd only by L E C ( K . U . Lcuvcn, Bclgium). Dale (dd-mlh-yy) and time of day (hh.mm.ss) = 03-Jan-96 06.45.33 Ñame of disk plol file, ¡r any, ¡s C:61030645.pl4 For information. consult the copyrightcd ATP EMTP Rule Book publishcd by L E C in July, 1987. Last major program update: Oct, 1990 Total length of "LABCOM" tables = 444863 1NTEGER words. "VARDIM" List Si/.cs follow : 752 900 1500 150 7500

120 2100 5250 225 480 150 150 15000 60 64800 120 12 15 4800 1980 300 450 12000 9 1200 252 4 + - -

Descriptivo inierprciation of input dala cards. ¡ Input data card images are shown bclow, all 80 columns. character by character 0 1 2 3 4 5 6 7 8 012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

Commcnt card Comment card Commcnt card Commcnt card Mise. data. Mise. data. Commcnt card Commcnt card Comment card Series R - L - C . Series R - L - C . Series R - L - C . Series R - L - C . Series R - L - C . Series R - L - C . Comment card A R D I L L A Series R - L - C .

Commcnt card. KOMPAR = I . Marker card preceding new EMTP data Disconncel disk file from 1/0 unit. Connect disk file to 1/0 unit. Commcnt card. KOMPAR = 1

KOMPAR = I KOMPAR = I KOMPAR - 1 KOMPAR = 1

I.000E-03 5.000E-02 I I I I I 0 0 I

KOMPAR = 1. KOMPAR = I . KOMPAR = I .

O.OOOE+00 5.0OOE-19 0.000E + 00 5.000E-I9 0.000E+00 5.000E-19 0.000E + 00 5.0OOE-I9 0.000E + 00 5.000E-19 O.OOOE+00 5.000E-I9

KOMPAR = I .

¡C dalaiARRANQNS.DAT ¡BEGIN NEW DATA C A S E

¡SCLOSE. UNIT = 4 STATUS = D E L E T E ¡SOPEN, UNIT=4 F1LE = ARRANQUE.PL4 FORM = U N F O R M A T T E D STATUS = UNKNOWN R E C L = 8000

CONEXION D E L T A

¡C - + — - I — - +—-2—• + — -3—- + — -4—- + — -5—- + — -6—- + — -7—- + -—8 ¡C 34567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

0.000E + 00 ¡ .OOKX) 0.05 0 0 | 1 I I 1 I I

¡ c -+—1 -— + —-2—- +—-3—- + —-4-— + —-5—. + .—6—- + .—7—- +—-8 ! C 34567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

¡C INDUCTANCIAS R A D I A L E S C O R R E S P O N D I E N T E S A LA REGION D E LA JAULA D E A R D I L L A 0.000E+0O O.OOOE+00 O.OOOE+00 O.OOOE + 00 O.OOOE + 00 O.OOOE + 00

NODO-RNODO-L NODO-MNODO-G NODO-NNODO-H NODO-ONODO-I NODO-PNODO-J NODO-QNODO-K

.5E-15 5E-I5

.5E-I5 .5E-I5 .5E-15

.5E-I5 ¡C INDUCTANCIAS T A N G E N C I A L E S C O R R E S P O N D I E N T E S A LA REGION D E LA JAULA D E

O.OOOE + 00 1.850E-05 O.OOOE + 00 NODO-RNODO-M 0.0185

D . 2

Series R - L - C . O.OOOE + 00 I.850E-05 O.OOOE+OO Series R - L - C . O.OOOE+00 1.850E-05 O.OOOE + OO Series R - L - C . O.OOOE + OO I .850E-05 O.OOOE+OO Series R - L - C . O.OOOE+OO I.850E-05 O.OOOE+OO Series R - L - C . O.OOOE + OO I.850E-05 O.OOOE+OO Commciu card. KOMPAR = I . ¡C Series R - L - C . O.OOOE+OO 3.IOOE-08 O OOOE+OO Series R - L - C . O.OOOE + OO 3.I00E-08 O.OOOE + OO Series R - L - C . O.OOOE + OO 3.IOOE-08 O.OOOE + OO Series R - L - C . O.OOOE+OO 3.IOOE-08 O.OOOE + OO Series R - L - C . O.OOOE+OO 3.100E-08 O.OOOE + OO Series R - L - C . O.OOOE+OO 3.100E-08 O.OOOE+OO Commcnt card. KOMPAR = 1 . ¡C Series R - L - C . O.OOOE+OO 2.0OOE-05 O.OOOE + OO Series R - L - C . O.OOOE + OO 2.000E-05 O OOOE + OO Series R - L - C . O.OOOE + OO 2.000E-05 O.OOOE + OO Series R - L - C . O.OOOE + OO 2.000E-05 O.OOOE + OO Series R - L - C . O.OOOE + OO 2.00OE-05 O.OOOE + OO Series R - L - C . O.OOOE+OO 2.0O0E-05 O.OOOE + OO Commentcard. KOMPAR • I . ¡C Series R - L - C . 5.220E+00 3.O0OE-O8 4.054E-05 Series R - L - C . 5.220E + 0O 3.0OOE-08 4.054E-05 Series R - L - C . 5.220E+00 3.000E-08 4.054E-05 Commentcard. KOMPAR = 1 . ¡C Series R - L - C . 1.000E-12 O.OOOE + OO O.OOOE + OO Series R - L - C . l.OOOE-12 O.OOOE+OO O.OOOE + OO Series R - L - C . I.OOOE-12 O.OOOE+OO O.OOOE + OO Commentcard. KOMPAR = 1. ¡C Series R - L - C . I .OOOE + 08 O.OOOE + OO O.OOOE + OO Series R - L - C . I.OOOE+08 O.OOOE+OO O.OOOE+OO Series R - L - C . l .OOOE + 08 O.OOOE + OO O.OOOE + OO Commentcard. KOMPAR = 1 . ¡C Series R - L - C . l.OOOE + 08 O.OOOE+OO O.OOOE + OO Commentcard. KOMPAR = 1. ¡C Commentcard. KOMPAR = I .

NODO-MNODO-N NODO-NNODO-O NODO-ONODO-P NODO-PNODO-Q NODO-QNODO-R

0.0185 0.0185 0.0185 0.0185 0.0185

INDUCTANCIAS R A D I A L E S C O R R E S P O N D I E N T E S A LA REGION D E L E N T R E H I E R R O NODO-LNODO-F 3.1E-5 NODO-GNODO-A 3 .IE-5 NODO-HNODO-B 3 . IE-5 NODO-INODO-C 3 .IE-5 NODO-JNODO-D 3 . IE-5 NODO-KNODO-E 3 . IE-5

INDUCTANCIAS T A N G E N C I A L E S C O R R E S P O N D I E N T E S A LA REGION D E L E N T R E H I E R R O NODO-LNODO-G 0.0200 NODO-GNODO-H 0.0200 NODO-HNODO-I 0.0200 NODO-INODO-J 0.0200 NODO-JNODO-K 0.0200 NODO-KNODO-L 0.0200

INDUCTANCIA Y RESISTENCIA POR F A S E C O R R E S P O N D I E N T E A L D E V A N A D O D E L ESTATOR NODO-ETRAN-E NODO-CTRAN-C NODO-ATRAN-A CONEXION D E L T A

IMPU-1NINT-B IMPU-2NINT-A IMPU-3NINT-C

5.22 3E-3 4054 5.22 3E-3 4054 5.22 3E-3 4054

IE-10 I IE-10 I IE-10 I

RESISTENCIA A T I E R R A D E LA A L I M E N T A C I O N C O N E C T A D A EN E S T R E L L A I FASE-A IE10 ¡ FASE-B 1EI0 ¡ F A S E - C 1EI0 RESISTENCIA A T I E R R A N E C E S A R I A PARA ELIMINAR RED F L O T A N T E D E L C I R C U I T O ! NODO-L IE10 . + . . . . | — + . . „ 2 — - + —-3—- +.—4-— + —-5—- +—-6—- + —-7—- + —-8

| C 34567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 Blank card ending branehes. IBR. NTOT = 34 31 ¡BLANK FIN D E RAMAS Commentcard. KOMPAR = 1. ¡C INTERRUPTORES EN LAS T E R M I N A L E S D E L MOTOR Swiich. O.OOE + 00 l.OOE + OO O.OOE + 00 O.OOE + 00 Switch. O.OOE+00 l.OOE+OO O.OOE + 00 O.OOE+00 Switch. O.OOE+OO l.OOE + OO O.OOE + 00 O.OOE+00 Blank card ending switches. KSWTCH = 3 Commentcard. KOMPAR = I . Commentcard. KOMPAR = I . Commentcard. KOMPAR = I . Commentcard. KOMPAR = 1. Sourcc. I .80E+02 6.00E + 01 Sourcc. 1.80E+02 6.0OE + 0I Source. I .80E+02 6.00E + 0I Commentcard. KOMPAR = I

Source. I.OOE-20 OOOE + OO O.OOE + 00 O.OOE + OO Source-18 I 0000E + 00 "NODO-D", T R A N - A " . " Sourcc. I.OOE-20 O.OOE + OO O.OOE + OO O.OOE + 00 Sourcc-II. 1 .0000E+(X)-NODO-B\"TRAN-E' ." Source. 1 .OOE-20 O.OOE + 00 O.OOE + 00 O.OOE + 00 Sourcc-18. I.OOOOE + O O - N O D O - F ' . T R A N - C V ' Commentcard. KOMPAR = 1 . ¡ C -Blank card ends electric nelwork sourecs. ¡BLANK

NINT-APASE-A 0. 1.0 NINT-BFASE-B 0. 1.0 N I N T - C F A S E - C 0. 1.0

FIN D E INTERRUPTORES I

¡BLANK ¡C ¡C . - + — I — + — 2 t 3—- +—-4 F — 5 — - + — 6 — - - 1 7 +—-X | C 34567890I234567890I234567890I234567890I234567890I234567890I234567890 ¡C F U E N T E S D E V O L T A J E Q U E R E P R E S E N T A N LA ONDA VIAJERA

O.OOE + 00 O.OOE + 00 ¡ I4FASE-A 0180.0 1.20E + 02 O.OOE + OO ¡ 14FASE-B 0180.0 2.40E + 02 O.OOE+OO ¡ I 4 F A S E - C 0180.0

¡C CONEXION D E TRANSFORMADORES C O N E C T A D O S R A D I A L M E N T E A L N U C L E O D E L ESTATOR II1MPU-I IE-20

NODO-DTRAN-A

60.0 0. 0. 0. 99999. 60.0 120. 0. 0. 99999. 60.0 240. 0. 0. 99999.

¡I8NINT-C 1 IIIMPU-2 IE-20 ¡I8NINT-B I 11IMPU-3 IE-20 ¡18NINT-A I + -—{-.. + —-2—- +—-i-

E1N D E F U E N T E S

NODO-BTRAN-E

NODO-FTRAN-C . + ....4— + .. .5.... + . . . . ( , . . . . + ....7—- + —-8

List of input elements that are eonneclcd tn cach nodc. Only the physical conneeliuns of inulti-phase lines are shown (capacilive and inductive coupling are ignored). Rcpcalcd cntrics indícale parallel conneelions. Switches are included. although sourecs (including rotating machinery) are omilted — exccpl that U.M. usage produces extra, inlernally-dcfined nodcs "UMXXXX".

+ From bus ñame ¡ Ñames of all adjaecnt busses.

+ NODO-R ¡NODO-L'NODO-M*NODO-Q* NODO-L ¡TERRA »NODO-R*NODO-G»NODO-K*NODO-F* NODO-M ¡NODO-R*NODO-G*NODO-N« NODO-G ¡ NODO-L*NODO-M*NODO-H*NODO-A* NODO-N ¡NODO-M«NODO-H*NODO-0«

D .3

NODO-H ¡ NODO-G»NODO-N*NODO-I*NODO-B« NODO-0 ¡NODO-N»NODO-I»NODO-P» | NODO-I ¡NODO-H*NODO-0«NODO-J»NODO-C* NODO-P |NODO-0«NODO-J*NODO-Q« NODO-J ! NODO-l«NODO-P«NODO-K*NODO-D» NODO-0 ¡NODO-R«NODO-P*NODO-K» NODO-K | NODO-L«NODO-J«NODO-Q*NODO-E« NODO-F ¡TERRA «NODO-L» I8TYP3» NODO-A ¡ NODO-G*TRAN-A* NODO-B ¡TERRA *NODO-H»18TYP2« NODO-C ¡NODO-I*TRAN-C» NODO-D ¡TERRA »NODO-J*18TYPt« NODO-E ¡NODO-K'TRAN-E* T R A N - E ¡TERRA «NODO-E* I8TYP2* TRAN-C ¡TERRA *NODO-C*18TYP3* TRAN-A ¡TERRA *NODO-A*18TYPl* IMPU-I ¡TERRA *NINT-B*18TYPI* NINT-B ¡TERRA «IMPU-I*FASE-B*I8TYP2* IMPU-2 ¡TERRA «NINT-A«18TYP2* NINT-A ¡TERRA *IMPU-2*FASE-A«I8TYP3* 1MPU-3 ¡TERRA »N1NT-C»18TYP3* NINT-C ¡TERRA »IMPU-3*FASE-C»18TYPI« FASE-A ¡TERRA «NINT-A» FASE-B ¡TERRA *NINT-B« F A S E - C ¡TERRA «NINT-C» I8TYPI ¡NODO-D»TRAN-A»IMPU-l «NINT-C» I8TYP2 ¡NODO-B»TRAN-E»NINT-B»IMPU-2* I8TYP3 ¡NODO-F«TRAN-C«NINT-A»IMPU-3»

TERRJ lNODO-L*NODO-F»NODO-B»NODO-D*TRAN-E*TRAN-C»TRAN-A»IMPU-l»NINT-B*IMPU-2*NINT-A»IMPU-3«NINT-C»FASE-A«l-ASE-B« | F A S E - C * +

Commcmcard. KOMPAR = I . ¡C NODOS A G R A F I C A R (VOLTAJES) Card of ñames for limc-sicp loop oulpul. ¡ F A S E - A F A S E - B F A S E - C Commentcard. KOMPAR = I . ¡ C - + — - 1 — - + — 2 — - + —-3—- + — - 4 — + . — 5 — . + .—6—- + —-7-—+ -—8 Blank card ending requests for output variables. ¡BLANK FIN D E S A L I D A

Column hcadings for the 9 EMTP output variables follow. These are divided amone the S possiblc elasses as follows . First Next Step

output variables are clcctric-nclwork voltage differences (uppcr voltage tninus lower voltage); output variables are branch currents (flowing from the uppor node lo the lower nodc);

»«» ***

% % % % % % % % % %

Time FASE-A FASE-B

Switch "NINT-A" lo Switch "NINT-B" lo Switch "NINT-C" to

Floating subnctwork found

F A S E - C NINT-A NINT-B NINT-C IMPU-I FASE-A FASE-B F A S E - C NINT-B NINT-A

"FASE-A" closed after O.OOOOOOOOE+OO sec. "FASE-B" closed after O.OOOOOOOOE + OO sec. "FASE-C" closed aflcr O.OOOOOOOOE+OO sec.

% % % % % % % % % % % %%%%%% %%%%%%

IMPU-2 NINT-C

IMPU-3

The climinatitm of row "NODO-N" of nodal admittance malrix | Y | has produced a near-zero diagonal valúe 1.03960022E +02 just prior lo reciprocalion. Tltc acccptable mínimum is A C H E C K = 1.0O000OOOE + 07 (equal limes the starting Ykk). This nodc shall now lo shorled to ground with l /Ykk = F L T I N F .

%%%%% Floating subnctwork found! %%%%%% %%%%%% %%%%%% %%%%%% %%%%% Tlic climination of row "NODO-P" of nodal admittance ntatrix [Y) has produced a near-zero diagonal valúe

I.03960022E + 02 just prior to reciprocalion. The acccptable minimupi is A C H E C K = I .OOOOOOOOE + 07 (equal limes the starting Ykk). This nodc shall now lo shorted lo ground with l /Ykk = F L T I N F .

% % % % % Floating subnetwork found! %%%%%% %%%%%% %%%%%% %%%%%% %%%%% The climination of row "NODO-K" of nodal admittance malrix (Y] has produced a oear-zero diagonal valúe

1.0406787IE + 02 just prior lo reciprocalion. The acccptable mínimum is A C H E C K = 1 .OOOOOOOOE+07 (equal times the starting Ykk). This node shall now to shorted lo ground with l /Ykk = F L T I N F .

%%%%% Floating subnctwork found! %%%%%% %%%%%% %%%%%% %%%%%% %%%%% The climination of row "NODO-1" of nodal admittance malrix [Y | has produced a near-zero diagonal valúe

1.0406787IE + 02 just prior 10 reciprocatton. Tltc acccptable mínimum is A C H E C K = I .OOOOOOOOE + 07 (equal limes [he starting Ykk). This node shall now to shorted to ground with l /Ykk = F L T I N F .

% % % % % Floating subnctwork found! % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %

%%%%% Tltc climination of row "NODO-G" of nodal admittance malrix (Y) has produced a oear-zero diagonal valúe 1.04067871E + 02 just prior to reciprocalion. The acccptable mínimum is A C H E C K = I .OOOOOOOOE + 07 (equal limes the starting Ykk). This nodc shall now lo shorted to ground with l /Ykk = F L T I N F .

% % % % % Floating subnelwork found! % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %%%%% The climination of row "NODO-R" of nodal admittance matrix | Y ) has produced a near-zero diagonal valúe

1.0396OO22E+O2 just prior to reciprocalion. Tltc acccptable mínimum is A C H E C K = I .OOOOOOOOE + 07 (equal limes the starting Ykk). This nodc shall now lo shorted to ground with l/Ykk = F L T I N F .

0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

Ykk = lo EPSILN

Ykk = to EPSILN

Ykk = lo EPSILN

Ykk = lo EPSILN

Ykk = 10 EPSILN

Ykk -10 EPSILN

D . 4

1 IE-2 167.359767-141.06482-26.294945-28.606681 24.0983187 4.49173056.53699317-17.564616 11.031176 2 .002 131.214353-172.31751 41.1031566 17.7560325-4.4013497-13.335483 2.984279497.38964445-10.366819 3 .003 76.6402725-179.36871 102.7284422.132199542.97923387-5.1199249 2.700O624-.2842I7O9-2.4I58453 4 .004 11.3022935-161.22812 149.925823 10.3031861 -4.3123032-5.9983473 .5684341894.87254681 -5.4285465 5 .005 -55.623059-120.44351 176.0665687.26637412-5.2276906-2.0287234-1.0658141 4.16378043-3.0979663 6 .006 -114.73632-62.742969 177.4792877.15130371 -7.745515.591376934-2.7782221 4.9595883-2.1884716 7 .007 -157.73523.76963558153.9655674.46753917-8.2313236 3.7628083-4.00390834.23483471-.22737368 8 .008 -178.58065 69.7528056108.827841 1.76067991-7.9346479 6.1788775-4.70379293.240074881.47792889 9 .009 -174.34497 125.939401 48.4055677-1.4454515-6.38589757.82141169-4.7322146 1.648459153.08375547 10 .01 -145.62306 164.438182-18.815123 -4.332423-3.98688398.321O9219-4.0927262-. 113686844.21707114 11 .011 -96.448823 179.842109-83.393286-6.6466345-1.01611767.66982461 -2.8990144-1.87583284.77484718 12 .012 -33.728637 169.987747-136.25911-8.0285405 2.084410235.94228206-1.2789769 -3.3750784.66116035 13 .013 33.7286366 136.25911-169.98775-8.2781181 4.91238921 3.36142399 .51159077 -4.3982595 3.86535248 14 .014 96.4488231 83.3932863-179.84211 -7.3697201 7.05581844 .311071144 2.24531505 -4.80326892.55795385 15 . 015 145.623059 18.8151234 -164.43818 -5.4045929 8.18026972 -2.752596 3.64863695 -4.5190518 .881072992 16 .016 174.344969-48.405568 -125.9394-2.7164572 8.18027137 -5.4502724.54747351-3.6379788 -.9094947 17 .017 178.580646-108.82784-69.752806.3823457937.02122108-7.3836351 4.80326889-2.2168933-2.5863756 18 .018 157.735202-153.96557 -3.76963563.419038964.87489857-8.28I2I654.37694325-.483I6906-3.8959946 19 .019 114.736318-177.4792962.74296855.97525559 2.0548033-8.01509763.35376171 1.30739863-4.6611603 20 .02 55.623059-176.06657 120.4435097.67995016-1.0684308 -6.6064611.847411112.91322522-4.7606363 21 .021 -11.302294-149.92582 161.2281178.32664678-4.0475633-4.2781737 .0852651284.12114787 -4.206413 22 .022 -76.640272-102.72844 179.3687157.79844371-6.4249079-1.3379752-1.69109174.74642547-3.0411229 23 .023 -131.21435-41.103157 172.31751 6.16210671-7.9243121 1.74237657 -3.2258644.68958206-1.4779289 24 .024 -167.3597726.2949451 141.0648223.67057706-8.30608484.61342258-4.31299443.97903932.312638804 25 .025 -180. 90. 90. .659919701-7.52675376.84547937 -4.7890582.728484112.06057393 26 .026 -167.35977 141.06482226.2949451-2.4415214-5.6910262 8.11521931 -4.60431691.080024963.51718654 27 .027 -131.21435 172.31751-41.103157 -5.177057-3.0346497 8.23151264-3.7516656-.710542744.4764I924 28 .028 -76.640272 179.368715-102.72844-7.2267185 .0332926057.19901829-2.3874236-2.41584534.80326889 29 .029 -11.302294 161.228117-149.92582-8.23609683.098354545.16479609- 68212103-3.77475834.46220838 30 .03 55.623059120.443509-176.06657 -8.0982995.714133862.39402994 1.10844667-4.60431693.49587026 31 .031 114.73631862.7429685-177.47929-6.81222067.54505924-.73503213 2.75690581 -4.789058 2.01794137 32 .032 157.735202-3.7696356-153.96557-4.569I9038.3128I5I3-3.7233321 4.01234601 -4.2916781 .284217094 33 .033 178.580646-69.752806-108.82784-1.7147643 7.90410925-6.2028185 4.70379291 -3.2116532-1.5063506 34 .034 174.344969 -125.9394-48.4O5568 1.403752576.39117492-7.8I630894.73221462-I.67688O9 -3.07665 35 .035 145.623059-164.43818 18.8151234 4.3427847 3.9595469-8.3251015 4.09272616.113686838-4.2206239 36 .036 96.4488231-179.84211 83.39328636.63831394I.0I526262-7.6733672 2.899O14361.87583282-4.7748472 37 .037 33.7286366-169.98775 136.25911 8.02764229-2.1081091 -5.9369473 1.278976923.37507799-4.6611603 38 .038 -33.728637-136.25911169.9877478.27630365 -4.902517 -3.33897-.511590774.39825953-3.8653525 39 .039 -96.448823-83.393286179.8421097.36324885-7.0466001 -.31389453 -2.2453154.80326889-2.5579538 40 .04 -145.62306 -18.815123 164.4381825 39633959 -8.181395 2.76417188-3.6486369 4.5190518 - 88107299 41 .041 -174.34497 48.4055677125.939401 2.71378783-8.1815177 5.45217353-4.5474735 3.63797881 .909494702 42 .042 -178.58065 108.827841 69.7528056-.36538287-7.00897077.39051647-4.80326892.216893342.58637556 43 .043 -157.7352 153.9655673.76963558-3.4080066-4.8751885 8.28113321 -4.3769433 .483169063.89599464 44 .044 -114.73632 177.479287-62.742969-5.9713554-2.0349995 8.01289329-3.3537617-1.30739864.66116035 45 . 045 -55.623059 176.066568-120.44351 -7.6818866 1.06857115 6.61112195-1.8474111 -2.91322524.76063633 46 .046 11.3022935 149.925823-161.22812-8.32725074.030729484.28694821 -.08526513-4.1211479 4.206413 47 .047 76.6402725 102.728442-179.36871-7.80048356.43388351 1.35790251 1.69109171-4.74642553.04112291 48 .048 131.21435341.1031566-172.31751-6.15821297.92425897 -1.7481593.22586402-4.6895821 1.47792889 49 .049 167.359767-26.294945-141.06482-3.64526568.30391972-4.63364124.31299441-3.9790393 -.3126388 50 .05 180. -90. -90.-.659916857.51443635-6.85317674.78905804-2.7284841-2.0605739

Extrema of output variables follow. Order and column posilioning are tltc same as for the preceding lime-stcp loop output. Variable máxima : 180. 179.842109 179.842109 17.7560325 24.09831878.321092196.536993177.38964445 11.031176 Times of máxima : .05 .011 .039 .002 .1E-2 .01 IE-2 .002 IE-2 Variable minima : -180. -179.84211 -179.84211-28.606681 -8.3060848-13.335483-4.8032689-17.564616 -10.366819 Times of mínima : .025 .036 .014 . I E - 2 .024 .002 .042 .1 E-2 .002

Blank card terminating all plot cards. ¡ BLANK FIN D E CASO D E ESTUDIO Actual List Sizes for the preceding solution follow. 03-Jan-96 06.45.59

Si/e 1-10: 31 58 58 9 223 3 39 0 0 0 Si/e 11-20: 0 9 -9999-9999-9999 0 0 0 23 0 Size 21-29: 0 0 92 0 -9999 -9999 -9999 -9999 -9999

Scconds for overlays i-5 : 22.748 0.000 22.748 — (CP: l/O; tul) Scconds for overlays 6-11 : 0.439 O.(XX) 0.439 Scconds for overlays 12-15 : 0.824 0.000 0.824 Scconds for lime-stcp loop : 1.537 0.000 1.537 Scconds after DELTAT-loop : 0.166 0.000 0.166

Totals : 25.715 0.000 25.715

D.5

Allernativc Transicnls Program (ATP). Salford 386 iranslalioo. Copyright 1987. Use liecnsed only hy L E C ( K . U . Leuven. Bclgiuin). Dale (dd-nuh-yy)and lime o í d a y (lih.mm.ss) = 03-Jan-96 06.45.59 Ñame of disk plot file, if any. is C:61030645.pl4

For informaiion. cónsul! (he copyrighied ATP EMTP Rule Book publishcd by L E C in July. 1987. Lasi major program update: Oct. 1990 Total Icnglhof "LABCOM" lablcs = 444863 I N T E G E R words. "VARDIM" List Sizxs follow : 752 900 1500 150 7500

120 2100 5250 225 480 150 150 15000 60 64800 120 12 15 4800 1980 300 450 12000 9 1200 252 4

Descriptivo interprctation of input dala cards. ¡ Input data card images are shown bclow. all 80 columns. character by character 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0I234567890I234567890123456789012345678901234567890I2345678901234567890I234567890

Marker card preceding ncw EMTP data case. ¡ BEGIN NEW DATA C A S E Blank card lo termínale EMTP exceulion. ¡BLANK

D.2. Archivo de datos para la simulación durante un corto circuito trifásico

BEGIN NEW DATA C A S E SCLOSE, UNIT=4 STATUS = D E L E T E SOPEN, UNIT = 4 F1LE = C C N 0 M . P L 4 FORM = UNFORMATTED STATUS = UNKNOWN R E C L = 8000 C C CONEXION D E L T A C C . . + . . . . 1—- +—-2—- +—-3—-+ - - 4 — + — -5—- + — -6—- + - -7—- + — -8 C 34567890I2345678901234567890I234567890I23456789012345678901234567890 .00100 0.15

I I I I I I C - + — - | — . -2—- +—-3 - - +—-4- -4 5—- +—-6 (•—-7—- + — -8 C 34567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 C INDUCTANCIAS R A D I A L E S CORRESPONDIENTES A LA REGION D E L N U C L E O D E L ROTOR

NODO-XNODOR 6 I E-3 NODO-SNODO-M 6.1 E-3 NODO-TNODO-N 6.1 E-3 NODO-UNODO-0 6.1 E-3 NODO-VNODO-P 6.1 E-3 NODO-WNODO-0 6.1 E-3

C INDUCTANCIAS T A N G E N C I A L E S CORRESPONDIENTES A LA REGION D E L N U C L E O D E L ROTOR NODO-XNODO-S 0.273 NODO-SNODO-T 0.273 NODO-TNODO-U 0.273 NODO-UNODO-V 0.273 NODO-VNODO-W 0.273 NODO-WNODO-X 0.273

C INDUCTANCIAS R A D I A L E S CORRESPONDIENTES A LA REGION D E LA JAULA D E A R D I L L A NODO-RNODO-L 2.9E-6 NODO-MNODO-G 2.9E-6 NODO-NNODO-H 2.9E-6 NODO-ONODO-I 2.9E-6 NODO-PNODO-J 2 9E-6 NODO-QNODO-K 2.9E-6

C INDUCTANCIAS T A N G E N C I A L E S CORRESPONDIENTES A LA REGION D E LA J A U L A D E A R D I L L A NODO-RNODO-M 0.3038 NODO-MNODO-N 0.3038 NODO-NNODO-O 0.3038 NODO-ONODO-P 0 3038 NODO-PNODO-0 0.3038 NODO-QNODO-R 0.3038

C INDUCTANCIAS RADIALES C O R R E S P O N D I E N T E S A LA REGION D E L E N T R E H I E R R O NODO-I.NODO-F 3.1E-5 NODO-GNODO-A 3 . IE-5 NODO-HNODO-B 3 . IE-5 NODO-INODO-C 3 . IE-5 NODO-JNODO-D 3 . IE-5 NODO-KNODO-E 3.1E-5

C INDUCTANCIAS T A N G E N C I A L E S C O R R E S P O N D I E N T E S A LA REGION D E L E N T R E H I E R R O

D . 6

NODO-LNODO-G NODO-GNODO-H NODO-HNODO-I NODO-INODO-J NODO-JNODO-K NODO-KNODO-L

0.3053 0.3053

0.3053 0.3053 0.3053 ü!3053

C INDUCTANCIA Y RESISTENCIA POR F A S E C O R R E S P O N D I E N T E A L D E V A N A D O D E L ESTATOR

C RESISTENCIA A TIERRA N E C E S A R I A PARA ELIMINAR RED F L O T A N T E D E L C I R C U I T O

C RESISTENCIAS E N T R E FASES N E C E S A R I A S PARA SIMULAR E L C O R T O C I R C U I T O T R I F A S I C O

NINT-ARESI-A I I I NINT-BRESI-B I .11 NINT-CRES1-C I .11

BLANK FIN D E INTERRUPTORES C C - + — - 1 — - + —.2—- + — -3—- + — -4—- + — -5—- + — -6—- + — -7—- + — -8 C 34567890I234567890I234567890I234567890I234567890I234567890I234567890 C F U E N T E S D E V O L T A J E Q U E REPRESENTAN LA ONDA VIAJERA I4FASE-A 0180.0 60.0 0. 0. 0. 99999. I4FASE-B 0180.0 60.0 120. 0. 0. 99999. I4FASE-C 0180.0 60.0 240. 0. 0. 99999. C CONEXION D E TRANSFORMADORES C O N E C T A D O S R A D I A L M E N T E A L N U C L E O D E L ESTATOR I I I M P U - I IE-20 I8NINT-C 1 NODO-DTRAN-A IIIMPU-2 IE-20 18N1NT-B I NODO-BTRAN-E I1IMPU-3 IE-20 I8NINT-A 1 NODO-FTRAN-C C . . + _ . . 1— - + -—2—- + — -3—- + — -4—- + — -5—- + — -6 E — -7—- + — -8 BLANK FIN D E F U E N T E S C NODOS A G R A F I C A R (VOLTAJES)

F A S E - A F A S E - B F A S E - C C - +—-1—- +—-2—- + —-3—- + .—4—- + -—5—- + —-6—- + —-7—- +—-8 BLANK FIN D E S A L I D A BLANK FIN D E CASO D E E S T U D I O BEGIN NEW DATA C A S E BLANK BLANK BLANK BLANK BLANK

Alicrnalivc Transients Program (ATP). Salford 386 translación. Copyright 1987. Use Kcensed only by L E C ( K . U . Lcuvcn. Bclgium). Date (dd-mlh-yy)and time of day (hh.mm.ss) = 03-Jan-96 18.14.56 Ñame of disk plot file, if any. is C:6U)3l8l4.pl4

NODO-ETRAN-E 5.22 3E-3 4054 NODO-CTRAN-C 5.22 3E-3 4054 NODO-ATRAN-A 5.22 3E-3 4054

C CONEXION D E L T A IMPU-ININT-B IE-10 I IMPU-2NINT-A IE-10 I IMPU-3NINT-C IE-10 I

C RESISTENCIA A T I E R R A DE LA A L I M E N T A C I O N C O N E C T A D A EN E S T R E L L A FASE-A I E I 0 FASE-B I E I 0 F A S E - C I E I 0

NODO-L

RESI-ANINT-B IE-10 RESI-BNINT-C IE-10 RESI-CNINT-A IE-10

C - + —-1 —- + —-2—- + —-3—- + . . . .4—. + —.5.— + ....6_... + „ _ 7 _ „ + -—8 C 34567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 BLANK FIN DE RAMAS C INTERRUPTORES EN LAS T E R M I N A L E S D E L MOTOR

NINT-AEASE-A 0. 1.(1 1 NINT-BFASE-B 0. 1.0 I NINT-CFASE-C 0. 1.0 I

Salida

D . 7

For infnrmation. consuli the copyriglucd ATP EMTP Rule Book published by L E C m July. 1987 Las major program updaic: Ocl. 1990 Total Icngth of "LABCOM" labios = 444863 INTEGER words. "VARDIM" List Si/es follow • 752 900 1500 150 7500

120 21 (X) 5250 225 480 150 I5OI500O 60 64800 120 12 15 4800 1980 300 450 12000 9 1200 252 4

Deseriptive ¡ntcrprcialion of input dala cards. ¡ Input data card images are shown bclow. all 80 columna, character by character 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0I234567890I234567890I23456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 +

Commentcard. KOMPAR = I . ¡C data:CCNOM.DAT Marker card preceding ncw EMTP data case. ¡BEGIN NEW DATA C A S E Disconnect disk file from I/O unit. ¡SCLOSE. UNIT = 4 STATUS = D E L E T E Conneet disk fil Commcnt card. Commcnt card. Commcnt card. Comment card. Commcnt card. Mise, dala Mise. data. Commcnt card. Commcnt card. Comment card Series R - L - C . Series R - L - C . Series R - L - C . Series R - L - C . Series R - L - C . Series R - L - C . Commentcard. Series R - L - C . Series R - L - C . Series R - L - C . Series R - L - C . Series R - L - C . Series R - L - C . Commeni card. Series R - L - C . Series R - L - C . Series R - L - C . Series R - L - C . Series R - L - C . Series R - L - C . Comment card. A R D I L L A Series R - L - C . Series R - L - C . Series R - L - C . Series R - L - C . Series R - L - C . Series R - L - C . Commcnt card. Series R - L - C . Series R - L - C . Series R - L - C . Series R - L - C . Series R - L - C . Series R-L-C." Commcnt card. Series R - L - C . Series R - L - C . Series R - L - C . Series R - L - C Series R - L - C Series R - L - C . Commcnt card. Series R - L - C . Series R - L - C . Series R - L - C . Comment card.

to l/O unit. KOMPAR = í. KOMPAR = I . KOMPAR = I . KOMPAR = 1. KOMPAR = I

1.000E-03 1.50OE-01 I 1 1 1 1 0 0 1

KOMPAR = 1. KOMPAR = 1 KOMPAR

O.OOOE+00 6. O.OOOE+00 6. O.OOOE + 00 6. O.OOOE+00 6.

I .

¡SOPEN. UNIT = 4 F I L E = CCNOM.PL4 FORM = U N F O R M A T T E D STATUS = UNKNOWN R E C L = 8000 ¡C ¡C CONEXION D E L T A ¡C ¡C - + — - I — - + — -2—- + — -3—- + — - 4 — + - — 5 — + —-6—- + -—7—-+ -8 ¡C 34567890I2345678901234567890123456789012345678901234567890I234567890

O.OOOE + OO | .00100 0.15 0 0 ¡ I i I 1 I I

¡C - + — - I — - +—-2—- + — -3—- +—-4—- + -—5—- + — - 6 — + -—7—- + — -8 ¡C 34567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 ¡C INDUCTANCIAS R A D I A L E S C O R R E S P O N D I E N T E S A LA REGION D E L N U C L E O D E L ROTOR

I00E-06 O.OOOE + 00 IOOE-06 O.OOOE + 00 100E-06 O.OOOE + 00 100E-06 O.OOOE + 00

O.OOOE + 00 6. IOOE-06 O.OOOE + OO O.OOOE + OO 6. IOOE-06 O.OOOE+OO

KOMPAR = 1. C I N D U C T A N C I A S T A N G E N C I A L E S C O R R E S P O N D I E N T E S A LA REGION D E L N U C L E O D E L ROTOR O.OOOE + OO 2.730E-04 O.OOOE+OO O.OOOE+OO 2.7306-04 O.OOOE+OO O.OOOE+00 2.730E-04 O.OOOE + OO O.OOOE + OO 2.730E-04 O.OOOE+OO O.OOOE + 00 2.730E-04 O.OOOE + 00 O.OOOE+OO 2.730E-04 O.OOOE + OO

KOMPAR » I . ¡C O.OOOE + OO 2.900E-09 O.OOOE+00 O.OOOE + OO 2.900E-09 O.OOOE+00 O.OOOE + OO 2.900E-09 O.OOOE + OO O.OOOE + OO 2.900E-09 O.OOOE + OO O.OOOE + OO 2.90OE-09 O.OOOE + OO O.OOOE + 00 2.900E-09 O.OOOE + OO

KOMPAR = I .

O.OOOE + OO 3.038E-04 O.OOOE + 00 O.OOOE+OO 3.038E-04 O.OOOE + OO O.OOOE+00 3.038E-04 O.OOOE+00 O.OOOE+OO 3.038E-O4 O.OOOE + 00 O.OOOE + 00 3.038E-04 O.OOOE+00 O.OOOE + 00 3.038E-04 O.OOOE+00

KOMPAR = 1 . ¡C O.OOOE + OO 3.IOOE-08 O.OOOE + 00 O.OOOE + OO 3 100E-08 O.OOOE + OO O.OOOE + 00 3.IOOE-08 O.OOOE + OO O.OOOE + OO 3.IOOE-08 O.OOOE + OO O OOOE+OO 3.100E-08 O.OOOE + OO O.OOOE + 00 3.10OE-08 O.OOOE + OO

KOMPAR = 1 . ¡C O.OOOE + OO 3.053E-04 O.OOOE+00 O.OOOE+OO 3.053E-04 O.OOOE + OO O.OOOE + 00 3.053E-04 O (XX1E + 00 O.OOOE + OO 3 053E-04 00006+00 0.0006 +00 3.053E-O4 0.0006+00 0.0006+00 3.0936-04 0.0006 +00

KOMPAR = 1. ¡C 5.220E + 0O 3.000E-08 4.O54E-05 5.22OE + 0O 3.0OOE-08 4.054E-05 5.220E+00 3.000E-08 4.054E-05

KOMPAR = 1 . ¡C

NODO-XNODO-R NODO-SNODO-M NODO-TNODO-N NODO-UNODO-0 NODO-VNODO-P NODO-WNODO-Q

6.1 E-3 6.1 E-3 6.1 E-3 6.1 E-3 6.1 E-3 6.1 E-3

NODO-XNODO-S NODO-SNODO-T NODO-TNODO-U NODO-UNODO-V NODO-VNODO-W NODO-WNODO-X

0.0273 0.0273 0.0273 0.0273 0.0273 0.0273

INDUCTANCIAS R A D I A L E S C O R R E S P O N D I E N T E S A LA REGION D E LA JAULA D E A R D I L L A NODO-RNODO-L 2.9E-6 NODO-MNODO-G 2.9E-6 NODO-NNODO-H 2.9E-6 NODO-ONODO-I 2.9E-6 NODO-PNODO-J 2.9E-6 NODO-QNODO-K 2.9E-6

C INDUCTANCIAS T A N G E N C I A L E S C O R R E S P O N D I E N T E S A LA REGION D E LA JAULA D E

NODO-RNODO-M NODO-MNODO-N NODO-NNODO-O NODO-ONODO-P NODO-PNODO-Q NODO-QNODO-R

0.3038 0.3038 0.3038 0.3038 0.3038 0.3038

INDUCTANCIAS R A D I A L E S C O R R E S P O N D I E N T E S A LA REGION D E L E N T R E H I E R R O NODO-LNODO-F 3.1E-5 NODO-GNODO-A 3.1E-5 NODO-HNODO-B 3.1E-5 NODO-INODO-C 3 . I E - 5 NODO-JNODO-D 3 . IE-5 NODO-KNODO-E 3 . IE-5

I N D U C T A N C I A S T A N G E N C I A L E S C O R R E S P O N D I E N T E S A LA REGION D E L E N T R E H I E R R O NODO-LNODO-G 0.3053 NODO-GNODO-H 0.3053 NODO-HNODO-I 0.3053 NODO-INODO-J 0.3053 NODO-JNODO-K 0.3053 NODO-KNODO-L 0.3053

INDUCTANCIA Y RESISTENCIA POR F A S E C O R R E S P O N D I E N T E A L D E V A N A D O D E L ESTATOR NODO-ETRAN-E 5.22 3E-3 4054

NODO-CTRAN-C 5.22 3E-3 4054 NODO-ATRAN-A 5.22 3E-3 4054 CONEXION D E L T A

D . 8

Series R - L - C . Series R - L - C . Series R - L - C . Comment card. Series R - L - C . Series R - L - C . Series R - L - C . Comment card. Series R - L - C . Commentcard. Series R - L - C . Series R - L - C . Series R - L - C . Commcnt card. Commcnt card.

l.OOOE-12 O.OOOE + OO O.OOOE + OO I.OOOE-12 O.OOOE + OO O.OOOE + OO l .OOOE-12 O.OOOE + OO O.OOOE + OO

KOMPAR = 1. ¡C l .OOOE + 08 O.OOOE + OO O.OOOE + OO l .OOOE+08 O.OOOE + OO O.OOOE + OO l.OOOE+08 O.OOOE + OO O.OOOE + OO

KOMPAR • I , ¡C l.OOOE + 08 O.OOOE + OO O.OOOE + OO

IMPU-ININT-B IE-10 1 IMPU-2NINT-A IE-10 I IMPU-3NINT-C IE-10 1

RESISTENCIA A TIERRA D E LA A L I M E N T A C I O N C O N E C T A D A EN E S T R E L L A ¡ FASE-A 1E10 ! FASE-B I E I O ! F A S E - C I E I O RESISTENCIA A T I E R R A NECESARIA PARA ELIMINAR RED F L O T A N T E D E L C I R C U I T O ¡ NODO-L IEIO

KOMPAR = I . | C RESISTENCIAS E N T R E FASES NECESARIAS PARA SIMULAR E L C O R T O C I R C U I T O T R I F A S I C O l .OOOE-12 O.OOOE + OO O.OOOE + OO l.OOOE-12 O.OOOE + OO O.OOOE + OO l.OOOE-12 O.OOOE + OO O.OOOE + OO

KOMPAR = 1. ¡ KOMPAR = 1.

RESI-ANINT-B IE-10 RESI-BNINT-C IE-10 RESI-CNINT-A I E I O

¡C - + — - I — - + — -2—- + — -3—- + -—4—- + — -5—- + — -6—- + — -7—- +—-8 | C 34567890I2345678901234567890I234567890I2345678901234567890I234567890

Blank card ending branches. IBR. NTOT = 49 40 ¡BLANK FIN DE RAMAS Commentcard. KOMPAR = I . ¡C INTERRUPTORES EN LAS T E R M I N A L E S D E L MOTOR Switch. O.OOE+OO l .OOE + OO O.OOE + 00 O.OOE + OO Switch. O.OOE+00 l.OOE + OO O.OOE + 00 O.OOE + 00 Switch. O.OOE + OO l.OOE+OO O.OOE+OO O.OOE + OO Switch. l.OOE-01 I.10E-01 O.OOE+00 O.OOE + 00 Switch. I.OOE-OI 1.I0E-0I O.OOE + OO O.OOE + 00 Switch. I.OOE-OI 1.10E-01 O.OOE + OO O.OOE + OO

¡ NINT-AFASE-A ¡ NINT-BFASE-B ! N I N T - C F A S E - C N1NT-ARESI-A NINT-BRESI-B NINT-CRESI-C

0. 0. 0.

1.0 1.0 1.0

.11 .11 .11

Blank card ending switches. Commentcard. KOMPAR Coininenteard. KOMPAR Coinmentcard. KOMPAR Commcnt card. KOMPAR

KSWTCH = 6. ¡BLANK FIN D E INTERRUPTORES > I ¡C - 1. ¡C - 1 - - - I 1 2—1— -3 - 1 - 4 i — 5 — i r, 1 7—- I — 8 - I . ¡ C 34567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890 • I . ¡C F U E N T E S DE V O L T A J E Q U E R E P R E S E N T A N LA ONDA VIAJERA

Sourcc. 1.80E + 02 6.00E + 01 O.OOE + 00 0.(X)E + (X) ¡ I4FASE-A 0180.0 60.0 0. 0. 0. 99999. Source. 1.80E + 02 6.00E + 0I I.20E + 02 O.OOE + 00 ¡I4FASE-B 0180.0 60.0 120. 0. 0. 99999. Sourcc. I.80E + 02 6.00E + 0I 2.40E + 02 O.OOE + 00 ¡ I 4 F A S E - C 0180.0 60.0 240. 0. 0. 99999. Commentcard. KOMPAR = 1 . Sourcc. I .OOE-20 O.OOE + 00 O.OOE+00 O.OOE + 00 Source-18. I .OOOOE+OO "NODO-D"."TRAN-A"." Source. I.OOE-20 O.OOE+OO O.OOE+00 O.OOE+00 Sourcc-18. I .OOOOE + OO "NODO-B".TRAN-E"." Sourcc. l.OOE-20 O.OOE + 00 O.OOE + 00 O.OOE + 00 Sourcc-18. 1 OOOOE+OO _ N O D O - F " , " T R A N - C V Commentcard. KOMPAR = 1. Blank card ends electric nelwork sourecs.

¡C CONEXION D E TRANSFORMADORES C O N E C T A D O S R A D I A L M E N T E A L N U C L E O D E L ESTATOR I I I M P U - I IE-20

NODO-DTRAN-A ' ¡18NINT-C I ¡11IMPU-2 IE-20

¡I8NINT-B I i I IIMPU-3 IE-20

¡I8NINT-A 1

NODO-BTRAN-E

NODO-FTRAN-C | C —• 1 — + —-2—- +—-3—- +—-4—- + —-5—- + -

¡BLANK FIN D E F U E N T E S . +—7—- + -

List of input elements that are connccled to cach node. Only the physical conncclions of mulli-phasc lines are shown (capacilive and inductive coupling are ignored). Rcpcatcd cntrics indicale parallcl conncclions. Switches are included. although sourecs (including rotating maehincry) are omitted - except that U.M. usage produces extra, intcrnally-defincd nodes "UMXXXX".

+ From bus ñame ¡ Ñames of all adjacent busses.

+ NODO-X ¡NODO-R*NODO-S*NODO-W* NODO-R ¡NODO-X*NODO-M*NODO-Q«NODO-L« NODO-S ¡NODO-X«NODO-M*NODO-T« NODO-M ¡NODO-R*NODO-S*NODO-N«NODO-G* NODO-T ¡NODO-S*NODO-N*NODO-U* NODO-N ¡NODO-M*NODO-T«NODO-0*NODO-H« NODO-U ¡NODO-T«NODO-0*NODO-V« NODO-0 ]NODO-N»NODO-U»NODO-P*NODO-l* NODO-V ¡NODO-U*NODO-P*NODO-W« NODO-P ¡ NODO-0»NODO-V«NODO-Q*NODO-J« NODO-W ¡NODO-X*NODO-V*NODO-Q« NODO-Q ¡ NODO-R«NODO-P«NODO-W*NODO-K« NODO-L ¡TERRA «NODO-R*NODO-G«NODO-K*NODO-F* NODO-G ¡NODO-M«NODO-L«NODO-H*NODO-A* NODO-H ¡NODO-N*NODO-G«NODO-l«NODO-B« NODO-1 ¡ NODO-0*NODO-H*NODO-J*NODO-C* NODO-J ¡ NODO-P*NODO-l*NODO-K«NODO-D» NODO-K ¡NODO-Q«NODO-L*NODO-J*NODO-E« NODO-F ¡TERRA »NODO-L*l8TYP3* NODO-A ¡NODO-G*TRAN-A* NODO-B ¡TERRA «NODO-H «I8TYP2* NODO-C ¡NODO-I«TRAN-C«

D . 9

NODO-D ¡TERRA «NODO-J* 18TYPI * NODO-E ¡NODO-K«TRAN-E* TRAN-E ¡TERRA «NODO-E*I8TYP2* TRAN-C ¡TERRA «NODO-C* 18TYP3* TRAN-A ¡TERRA «NODO-A*18TYPl* IMPU-1 ¡TERRA *NINT-B«18TYP1* NINT-B ¡TERRA «IMPU-1 *FASE-B*RESI-A*RESI-B*18TYP2* IMPU-2 ¡TERRA «NINT-A*18TYP2* NINT-A ¡TERRA *1MPU-2*FASE-A*RES1-A*RESI-C* 18TYP3* IMPU-3 ¡TERRA « N I N T - C 1 8 T Y P 3 * NINT-C ¡TERRA *IMPU-3»FASE-C*RESI-B*RESI-C* I8TYP1 * FASE-A ¡TERRA «NINT-A* FASE-B ¡TERRA «NINT-B* F A S E - C ¡TERRA «NINT-C* RESI-A ¡ NINT-B*N1NT-A* RESI-B ¡NINT-B«NINT-C* RES1-C ¡NINT-A*NINT-C* 18TYPI ¡NODO-D*TRAN-A*IMPU-l«NINT-C» I8TYP2 ¡NODO-B*TRAN-E*NlNT-B*IMPU-2« I8TYP3 ¡NODO-F*TRAN-C*NINT-A*lMPU-3* TERRANODO-L«NODO-I :*NODO-B*NODO-D*TRAN-E*TRAN-C*TRAN-A*1MPU-I*NINT-B*IMPU-2»NINT-A'IMPU-3*N1NT-C*FASE-A*EASE-B*

¡EASE-C*

Commentcard. KOMPAR = 1 . ¡C NODOS A G R A F I C A R (VOLTAJES) C3rd of ñames for (¡mc-step loop output. ¡ F A S E - A F A S E - B F A S E - C Commentcard. KOMPAR = 1. | C - + — - I — + — 2 — + - - 3 — + — 4 — + — S - - - - + — 6 — - + — 7 — + — 8 Blank card ending requests for output variables. ¡BLANK FIN D E S A L I D A

Column hcadings for the 9 EMTP output variables follow. These are divided among tltc 5 possiblc elasses as follows .. . . First 3 output variables are elcctric-nctwork voltage differenecs (upper voltage minus lower voltage); Next 6 output variables are braneh currents (llowing from the upper node to the lower node); Step Time FASE-A FASE-B F A S E - C NINT-A NINT-B NINT-C IMPU-1 IMPU-2 IMPU-3

FASE-A FASE-B F A S E - C NINT-B NINT-A NINT-C *** Switch "NINT-A" to "FASE-A" closed after O.OOOOOOOOE+OO sec. •** Switch "NINT-B" to "FASE-B" closed after O.OOOOOOOOE + OO sec. ««* Switch "NINT-C" lo "EASE-C" closed after O.OOOOOOOOE + OO sec.

%%%%% Eloatiog subnctwork found! %%%%%% %%%%%% %%%%%% %%%%%% %%%%% The eliminaiioii of row "NODO-M" of nodal admittance malrix ¡Y] has produced a near-zero diagonal valúe Ykk «

9.77072383E-09 just prior lo reciprocalion. Tile acccptable minimum is A C H E C K = I 72499052E-03 (equal to EPSILN the starting Ykk). This nodc shall now to shorted to ground with l /Ykk = F L T I N E .

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 (1.0 167.359767-141.06482-26.294945-28.425281 23.95477224.468494466.50857146 -17.45093 10.9636744 131.214353-172.31751 41.1031566 17.0658593 -3.864499-13.1629623.097966336.99174052-10.075496 76.6402725-179.36871 102.7284423.409617362.06147526-5.5193257 2.52953214 .440536496-2.9842795 11.3022935-161.22812 149.925823 8.6522725 -3.204186-5.4473903 .767386155 3.94884125-4.6895821 -55.623059-120.44351 176.0665689.09893533-6.4325705-2.6620695-1.2647661 5.17985654-3.9221959 -114.73632-62.742969 177.4792875.28139875-6.5033764 1.200684-2.5721647 3.93640676-1.3642421 -157.7352 3.76963558 153.965567 6.28774576 -9.464002 3.16258528-4.2068571 5.25801624-1.0516032

-178.58065 69.7528056108.827841 -.05844751-6.7472243 6.79986584-4.5190518 2.24531505 2.27373675 -174.34497 125.939401 48.4055677.344811739-7.5552881 7.2374768-4.93116662.61479727 2.30926389 -145.62306 164.438182-18.815123-6.0085465-2.9102102 8.88326476-3.9221959-1.0516032 4.96314101 -96.448823 179.842109-83.393286-5.0585525-2.0468725 7.1195699-3.0695446-.99475983 4.05009359 -33.728637 169.987747-136.25911 -9.5679177 3.082726066.44243269-1.1084467 -4.2277293 5.34328137 33.7286366 136.2591 I -169.98775-6.8049945 3.960514692.83587001 .369482223-3.58113543.21165317 96.4488231 83.3932863-179.84211 -8.77260547.96208784.7736065682.38742359-5.58486593.18323146 145.623059 18.8151234-164.43818-4.0755878 7.28830384-3.2134294 3.50297569-3.7800874 .284217094 174.344969-48.405568 -125.9394-3.9834692 9.0220166 -5.027088 4.68247663-4.3485215-.34106051 178.580646-108.82784-69.752806 1.59939795 6.21322908-7.8040134 4.6753712 -1.5347723 -3.1405989 157.735202-153.96557-3.7696356 2.23067897 5.66278676-7.8856017 4.5190518 -1.1368684-3.3719694 114.736318-177.4792962.74296857.10587211 1.29535489-8.4025545 3.24007488 1.93267624-5.1656457 55.623059-176.06657 120.443509 6.61608665-.37522201 -6.2619981 1.96109795 2.32347475-4.2916781 -11.302294-149.92582 161.2281179.36122181 -4.7328869-4.6108903-.02842171 4.69313477-4.6611603 -76.640272-102.72844 179.368715 6.79580786-5.7849852-1.0334515-1.57740494.19220214-2.6147973 -131.21435-41.103157 172.31751 7.11665931 -8.5466108 1.42154394-3.33244545.22959454-1.9042545 -167.35977 26.2949451 14I.O64822 2.75802811 -7.7155585 4.94461006-4.2170711 3.49587026.710542736

-180. 90 90. 1.51257898-8.1117245 6.55643616 -4.8885343.21165317 1.67688086 -167.35977 141.06482226.2949451-3.2358599 -5.158171 8.39062435-4.5190518 .6252776073.8831 1605 -131.21435 ¡72.31751 -41.103157-4.4058816-3.53354597.96341432-3.8369308-.284217094.12114787 -76.640272 179.368715-102.72844-7.9832647 .503566471 7.45963291 -2.3021585 -2.84217095.14432941

limes 0 0.0 1 . I E - 2 2 .002 3 .003 4 .004 5 .005 6 .006 7' .007 8 .008 9 .009 10 .01 I I .011 12 .012 13 .013 14 .014 15 .015 16 .016 17 .017 18 .018 19 .019 20 .02 21 .021 22 .022 23 .023 24 .024 25 .025 26 026 27 .027 28 .028

D . 1 0

29 .029 -11.302294 161.228117-149.92582-7.5185572 2.64930191 4.90773793-.76738615-3.37685444.14956958 30 .03 55.623059 120.443509-176.06657-8.79189546.172486092.63913897 1.1937118 -4.988013.80850906 31 .031 114.73631862.7429685-177.47929-6.1438891 7.11216661 -.957039392.68585154-4.4195758 1.73372428 32 .032 157.735202-3.7696356-153.96557-5.2569417 8.73159637-3.5034051 4.08117984-4.6611603.568434189 33 .033 178.580646-69.752806-108.82784-1.0991795 7.5227801 -6.41929764.64694949-2.8705927-1.7763568 34 .034 174.344969 -125.9394-48.405568 .7895790656.78317447-7.6155163 4.80326889-1.9895197 -2.8208547 35 .035 145.623059-164.43818 18.81512344.899473323.60690421-8.51285494.03588274.426325641-4.4693138 36 .036 96.4488231 -179.84211 83.39328636.11774511 1.38436978-7 4791962 2.95585778 1.57740487-4.5332627 37 .037 33.7286366-169.98775 136.25911 8.53489103-2.4330647-6.1054046 1.22213351 3.65929509 -4.888534 38 .038 -33.728637-136.25911 169.9877477.78908837-4.5816801 -3.1846498 - 454747354.12825329-3.6664005 39 .039 -96.448823-83.393286 179.8421097.83796337-7.3577545 -.4434504-2.28794765.05906428-2.7569058 40 .04 -145.62306-18.815123 164.4381824.96247524-7.89279382.89636391 -3.60245174.29I67812-.68212103 41 .041 -174.3449748.4055677125.9394013.15474654-8.45181555.31283126-4.5901061 3.86535248 .72475359 42 .042 -178.58065 108.827841 69.7528056-.75883951 -6.74063097.53179618-4.7606363 1.989519662.77111667 43 .043 -157.7352 153.9655673.76963558-2.9992216-5.1626041 8.15281911 -4.4337867 .7105427363.72502029 44 .044 -114.73632 177.479287-62.742969-6.3540447-1.7999824 8.13585384 -3.32534-1.5205615 4.82458518 45 .045 -55.623059 176.066568-120.44351 -7.3336963 .8390357866.47464856-1.8758328-2.72137874.60431693 46 .046 11.3022935 149.925823-161.22812-8.66662774.253098124.39047739- 05684342-4.30944174.34852154 47 .047 76.6402725 102.728442-179.36871 -7.47055096.232401681.252004161.64845915-4.5616844 2.89901436 48 . 048 131.21435341.1031566-172.31751 -6.4822955 8.13297232-1.61490263.26139116-4.8601123 1.62003744 49 . 049 167.359767-26.294945-141.06482-3.3529515 8.10951942-4.73779194.28101998-3.8369308-.45474735 50 .05 180. -90. -90.-.94127355 7.7033781 -6.7594194.81747975-2.8990144-1.9326762 51 .051 167.359767-141.06482-26.2949452.710275955.52312145 -8.2109064.57589522-.93791641-3.6379788 52 .052 131.214353-172.31751 41.10315664.916169563.21163006-8.14030423.78008735.568434189-4.3627324 53 .053 76.6402725 -179.36871 102.728442 7.47955093-.20542919-7.2625403 2.35900188 2.55795385-4.9169557 54 .054 11.3022935-161.22812 149.9258238.00196008-2.9357808 -5.06077 .7105427363.64508423-4.3485215 55 .055 -55.623059-120.44351 176.0665688.32426412-5.8736064-2.5132264-1.13686844.73221462-3.609-5571 56 .056 -114.73632-62.742969 177.4792876.60744126-7.3962288 .777747806-2.7355895 4.6753712-1 9326762 57 .057 -157.7352 3.76963558 153.9655674.76662911 -8.4511693 3.64598504-4.03543864.40536496 .36948222 58 .058 -178 58065 69.7528056 108.827841 1.50233809 7 7776571 6.27073373-4.6895821 3.09796633 1.59161573 59 . 059 -174.34497 125.93940148.4055677 -1.264602-6.5173921 7.74798227-4.7606363 1.762145982.99138492 60 .06 -145.62306 164.438182-18.815123 -4.5691018 -3.8986421 8.39061835-4.0927262 . 22737368 4.30233627 61 .061 -96.448823 179.842109-83.393286-6.4791921 -1.1702742 7.6009434 -2.9274361 -1.7763568 4.68958206 62 .062 -33.728637 169.987747-136.25911 -8.19395072.227802565.98931858-1.2505552-3.46744864.71800377 63 .063 33.7286366 136.25911-169.98775 -8.1198584.807868823.30316576 .51159077-4.31299443.80850906 64 .064 96.448823183.3932863-179.84211-7.51186737.14589783.368944911 2.2595259 -4.8885342.64321898 65 .065 145.623059 18.8151234-164.43818-5.30615598.09088363-2.82635373.63442609-4.4622084 .824229573 66 .066 174.344969-48.405568 -125.9394-2.85727568.26316177-5.4160485 4.56168436-3.6948222-.85265128 67 .067 178.580646-108.82784-69.752806 .5463901746.92616775-7.43145844.78905804-2.1316282 - 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D . 1 1

98 .098 131.21435341.1031566-172.31751 -6.2120816 7.94513532-1.7221513 3.23296945-4.7180038 1.47792889 99 .099 167.359767 -26.294945-141.06482 -3.6539461 8.2865406-4.6540865 4 30944169 -3.9790393-.34106051

*** Closc switch "NINT-A" lo "RESI-A" after I (XKXXXXX)E-O I sec. *** Closc switch "NINT-B" lo "RESI-B" after I OOOOOOOOE-OI sec. * '* Closc switch "NINT-C" lo "RES1-C" after 1 .OOOOOOOOE-01 sec.

100 0.1 180. -90. -90. -.70283157.51899938-6.83002294.78905804-2.7569058-2.0463631 101 .101 167.359767-141.06482-26.294945- 50208EI5.423194E15 788848EI4 4.60431693 -1.080025-3.5278447 102 .102 131.214353-172.31751 41.1031566-.39364EI5 .516953E15-. 12331EI5 3.75166564 .710542736-4.4622084 103 .103 76.6402725-179.36871 102.728442-.22992EI5 538106E15- 308I9EI5 2.387423592.43005616-4.8174797 104 .104 11.3022935-161.22812 149.925823-.33907EI4 483684EI5-.44978E15 .6821210263.76232379-4.4622084 105 .105 -55.623059-120.44351 176.066568 .166869E15 .361331 E15 - 5282EI5-1.10844674.61852778-3.4958703 106 .106 -114.73632-62.742969 177.479287 344209EI5 .188229EI5- 53244EI5-2.7569058 4.77484718-2.0179414 107 .107 -157.7352 3.76963558 153.965567 473206E15 - II309EI4 - 46I9EI5 -4.01545464.321X19983-.28421709 108 .108 -178.5806569.7528056 108.827841 535742E15 - 20926EI5 - 32648EI5 -4.70379293.18323146 1.5063506 109 .109 -174.34497 125.939401 48.4055677 .523035EI5 - 37782EI5 - I4522EI5 -4 7464255 I 67688086 3.06954462 110 .11 -145.62306 164.438182-18 815123 436869E15-.49331 E l 5 .564454EI4-4.0927262-. 11368684 4.23128199 111 .111 -96.448823 179.842109-83.393286.289346E15- 53953EI5 25018EI5-2.8990144 -1.8616224.76063633

Open switch "NINT-C" lo "RESI-C" after I . I2000000E-01 sec. 112 112 -33.728637 169.987747-136.25911 .101186E15- 50996EI5 .408777EI5-1.2789769-3.38218344.66116035 113 113 33.7286366 136.25911-169.98775 .10253E15- 40878EI5 .306247EI5 .51159077-4.39115413.86535248

*** Opeo switch "NINT-A" lo "RESI-A" after 1.14000000E-01 sec. 114 .114 96.4488231 83.3932863-179.84211 -. 13056E14-.25018E15 263235E15 2.24531505-4.8174797 2.55795385 115 .115 145.62305918.8151234-164.43818 -5.3774181 -. I8325E15 .183253E15 3.64863695-4.5190518 .881072992 116 .116 174.344969-48.405568 -125.9394-2.7452399-.77534E14 775338E144.54747351-3.6379788 -.9094947

'** Open switch "NINT-B" to "RESI-B" after 1. 17000000E-01 sec. 117 .117 178.580646-108.82784-69.752806.385292273 .39075EI4-.39075EI44.80326889-2.2168933-2.6005864 118 .118 157.735202-153.96557-3.76963563.378444564.89394349-8.28040894.37694325-.48316906-3.8924419 119 .119 114.736318-177.4792962.74296855.980458422.02760747 -8.0269413.35376171 1.32160949-4.6682658 120 .12 55.623059 -176.06657 120.4435097.66983403-1.0696268-6.6190671 1.84741111 2.91322522-4.7606363 121 .121 -11.302294-149.92582 161.228117 8.33615384-4.0445876-4.2793058.0852651284.12647694 -4.206413 122 .122 - 76.640272 -102.72844 179.368715 7.79210964-6.4171149-1.3434701 -1.6910917 4.73221462-3.0411229 123 .123 -131.21435-41.103157 172.31751 6.18525612-7.9327425 1.74262646-3.23296944.7181X1377-1.4779289 124 .124 -167.35977 26.2949451 141.0648223.65289636-8.30333124.64540712 -4.3129944 3.97903932 .312638804 125 .125 -180. 90. 90. .693559846-7.53349286.85380315 -4.7890582.728484112.06057393 126 .126 -167.35977 141.064822 26.2949451 -2.4404549-5.6928332 8.11998623 -4.6043169 1.080024963.52073926 127 .127 -131.21435 172.31751 -41.103157 -5.1747753 -3.0386004 8.23513474-3.7516656-.710542744.46931381 128 .128 -76.640272 179.368715-102.72844-7.2201137.0211776467.21630059-2.3874236-2.41584534.81747975 129 .129 -11.302294 161.228117-149.92582 -8.235564 3.10966644 5.16184534-.68212103-3.77298194.46220838 130 .13 55.623059120.443509-176.06657-8.1072235 5.715816922.41247897 1.10844667-4.6114224 3.49587026 131 .131 114.73631862.7429685-177.47929 -6.8106097.54808846- 726874612.75690581 -4.7890582.01794137 132 .132 157.735202-3.7696356-153.96557 -4.5757078.31819739-3.75579564.01412237-4.2916781 284217094 133 .133 178 580646-69.752806 -108.82784 -1.719293 7.89862263 -6.191323 4.70379291-3.2116532-1.5063506 134 134 174.344969 -125.9394 -48.405568 1.38169117 6.39441756-7.8210764 4.73221462 -1.6768809 - 3.07665 135 .135 145.623059-164.43818 18.81512344.327167923.99153165-8.32731324.09272616.113686838-4.2241766 136 .136 96.4488231 -179.84211 83.39328636.65853436.991661216-7.6788974 2.899014361.87583282-4.7748472 137 .137 33.7286366-169.98775 136.259118.02722792 -2.07107 -5.9199755 1.278976923.37507799-4.6611603 138 .138 -33.728637-136.25911 169.987747 8.2737713 -4.909343 -3.36I468-.511590774.39825953-3.8653525 139 .139 -96.448823-83.393286 179.8421097.38000027-7.0498765-.34495528 -2.2453154.80326889-2.5579538 140 .14 -145.62306-18.815123 164.4381825.37681128-8.17747812.78583525-3.6486369 4.5190518- 88107299 141 .141 -174.34497 48.4055677 125.939401 2.71239269-8.1752351 5.44642395-4.5474735 3.63797881 .909494702 142 .142 -178.58065 108.827841 69.7528056-.36961073-7.01455197.39669006-4.80326892.216893342.58637556 143 .143 -157.7352 153.9655673.76963558-3.3942115-4.8947185 8.2834635-4.3769433 .483169063.89688282 144 .144 -114.73632 177.479287-62.742969-5.9825422-2.0724452 8.01417776-3.3537617-1.30739864.66116035 145 .145 -55.623059 176.066568-120.44351 -7.6727192 1.046073246.59580797-1.8474111 -2.91322524.76063633 146 .146 11.3022935 149.925823-161.22812-8.3319447 4.034685934.29742851 -.08526513-4.1229242 4.206413 147 .147 76.6402725 102.728442 -179.36871 -7.8159567 6.4218608 1.33698223 1.69109171-4.7464255 3.04112291 148 .148 131.21435341.1031566-172.31751 -6.1652228 7.92766599-1.7135311 3.22586402-4.6895821 1.47792889 149 .149 167.359767-26.294945-141.06482-3.67897978.30354332-4.64077614.31299441 -4.007461 -.3126388 150 .15 180. -90. -90.-.690503397.52446544-6.84597074.78905804-2.7284841-2.0605739

Extrema of output variables follow. Ortlcr and colutnn posilioning are the same as for the preceding time-step loop oulpul. Variable máxima : 180. 179.842109 179.842109 535742EI5 538106EI5 408777EI5 6.508571466.99174052 10.9636744 Times of máxima ; .05 .111 .039 108 .103 .112 . I E - 2 .1X12 IE-2 Variable minima : -180. -179.84211 -179.84211 -.50208E15-.53953EI5- 53244E15-4.9311666 -17.45093-10.075496 Times of minima : .025 .136 .014 .101 .111 .106 .009 . I E - 2 .002

Blank card Icrminating all plol cards. j BLANK FIN D E CASO D E ESTUDIO Actual List Sizes for the preceding solution follow. 03-Jan-96 18.15.12

Sizc 1-10: 40 73 73 9 304 6 57 0 0 0

D . 1 2

Sizc 11-20: 0 9-9999-9999-9999 0 0 0 23 0 Sizc 21-29: 0 0 143 0 -9999 -9999-9999-9999 -9999

Seconds fot overlays 1-5 : 11.867 0.000 11.867 — (CP: l/O: KM) Scconds for overlays 6-11 : 0.492 0.000 0.492 Scconds for overlays 12-15 : 0.883 0.000 0.883 Scconds for lime-stcp loop : 2.969 0.000 2.969 Scconds afier DELTAT-loop : 0.219 0.000 0.219

J $

Tolals : 16.430 0.000 16.430

Alicrnaiivc Transients Program (ATP). Salford 386 translation. Copyright 1987. Use liccnscd only by L E C ( K . U . Lcuvcn. Belgium). Date (dd-mth-yy)and lime ofday (hh.mm.ss) - 03-Jan-96 18.15.13 Ñame of disk plot file, if any. is C:6103l815.pl4

For information. consull lite copyriglncd ATP EMTP Rule Book publishcd by L E C in July. 1987. Last major program update: Oel. 1990 Total lenglli of "LABCOM" lablcs = 444863 INTEGER words. "VARDIM" List Si/es follow : 752 900 1500 150 7500

120 2100 5250 225 480 150 150 15000 60 64800 120 12 15 4800 1980 300 450 12000 9 1200 252 4

Descriptivo interprctation of input data cards. ¡ Input data card images are shown helow. all 80 columns, character by character 0 1 2 3 4 5 6 7 8 012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

Markcr card preceding ncw EMTP dala case. | BEGIN NEW DATA C A S E Blank card lo termínate EMTP execution. ¡BLANK

D . 1 3

APENDICE E

SIMBOLOGIA, NOMENCLATURA Y NOTAS

E . l . Simbología

E . l . l . Simbología de variables y parámetros

A - Potencial vectorial magnético E - Intensidad de campo eléctrico J - Densidad superficial de corriente B - Densidad de campo magnético tangencial Br - Densidad de campo magnético radial

- Intensidad de campo magnético tangencial Hr - Intensidad de campo magnético radial 11^ - Vector de Poynting tangencial I I , . - Vector de Poynting radial A' - Potencial vectorial magnético referido al sistema que gira a la frecuencia angular Ü>„, E' - Intensidad de campo eléctrico referida al sistema que gira a la frecuencia angular wm

/ ' - Densidad superficial de corriente referida al sistema que gira a la frecuencia angular o),n

Bfl - Densidad de campo magnético tangencial referida al sistema que gira a la frecuencia angular com

B/ - Densidad de campo magnético radial referida al sistema que gira a la frecuencia angular

H¿ - Intensidad de campo magnético tangencial referida al sistema que gira a la frecuencia angular com

H/ - Intensidad de campo magnético radial referida al sistema que gira a la frecuencia angular

11^' - Vector de Poynting tangencial referido al sistema que gira a la frecuencia angular w,„ I I , . ' - Vector de Poynting radial referido al sistema que gira a la frecuencia angular co,„ Fr - Fuerza radial de compresión S - Potencia aparente de pérdidas Fr, - Par electromagnético tangencial

- Corriente laminar impresa tangencial /- - Coordenada cilindrica en dirección radial y> - Coordenada cilindrica en dirección tangencial z - Coordenada cilindrica en dirección axial er - Vector unitario en dirección radial lp - Vector unitario en dirección tangencial éz - Vector unitario en dirección axial Nds - Número de conductores equivalentes tangenciales del devanado del estator JV(/s> - Número de conductores equivalentes radiales del devanado del estator k - Número de pares de polos del motor

E . l

Frecuencia angular de excitación (377 rad/seg) Velocidad nominal de rotación (1725 rpm) Funciones Bessel de primer tipo Derivadas de funciones Bessel de primer tipo Funciones Bessel de segundo tipo Derivadas de funciones Bessel de segundo tipo Permeabilidad del medio Conductividad eléctrica del medio Resistividad eléctrica del material Densidad volumétrica del material Módulo cortante del material Radio externo de la región del núcleo laminado del rotor y/o interno de la región de la jaula de ardilla Radio externo de la región de la jaula de ardilla y/o interno de la región del entrehierro Radio externo de la región de la región del entrehierro y/o interno de la región del núcleo laminado del estator Radio externo de la región del núcleo laminado del estator Radio externo de la flecha del rotor Longitud axial del rotor y estator Parámetro de las funciones Bessel Funciones ber Funciones bei Potencia real de pérdidas Potencia reactiva de pérdidas Constantes (t = 1,2,3,4,5 y y = 7,2) Conjugado Producto vectorial o externo Producto escalar o interno Rotacional Divergencia Gradiente Laplaciano Función exponencial Número Pi Función seno Función coseno Real de una función compleja Módulo de una función en forma polar Argumento de una función en forma polar . Parte imaginaria de un número complejo = V - 1

Tiempo Inductancia Resistencia Capacitancia Inductancia interna por fase del devanado del estator Resistencia del devanado del estator por fase Capacitancia que representa el momento polar de inercia

E.2

llLm - Recíproco de la inductancia que representa el coeficiente de fricción viscosa 1/Rm - Recíproco de la resistencia que representa el coeficiente del esfuerzo torsional ld - Longitud del conductor por fase del devanado del estator Ad - Sección transversal del conductor del devanado del estator Um - Energía almacenada en el campo magnético i - Corriente $ r - Flujo magnético radial

- Flujo magnético tangencial Fm - Fuerza magnetomotriz ns - Número de secciones del modelo magnético y eléctrico Je - Momento polar de inercia De - Coeficiente de fricción viscosa Ke - Coeficiente del esfuerzo torsional Jm - Momento polar de inercia por par de polos Dm - Coeficiente de fricción viscosa por par de polos Km - Coeficiente del esfuerzo torsional por par de polos Tm - Par mecánico (resistente) de la carga Te - Par electromagnético del motor e - Fuerza electromotriz H - Constante de inercia del motor Rm - Número de Reynolds magnético y - Coeficiente que determina la influencia de u f en la ec. modificada de Helmholtz 6 - Coeficiente que determina la influencia de w m en la ec. modificada de Helmholtz B - Desplazamiento angular del rotor h - Número del armónico a analizar r¡ - Eficiencia del motor (¡> - Potencial eléctrico escalar rr - Radio equivalente del rotor mr - Masa equivalente del rotor X - Enlace de flujo magnético 9Í - Reluctancia

E . l . 2 . Simbología de subíndices

- Densidad de flujo magnético

1 r - Radial en el núcleo laminado del rotor 2r - Radial en la jaula de ardilla 3r - Radial en el entrehierro 4r - Radial en el núcleo laminado del estator 1, - Tangencial en el núcleo laminado del rotor 2^ - Tangencial en la jaula de ardilla 3^ - Tangencial en el entrehierro 4 - Tangencial en el núcleo laminado del estator

E.3

- Flujo magnético y enlaces de flujo magnético

- Radial total y s - Tangencial seccional /,., - Radial total en el núcleo laminado del rotor 2 n - Radial total en la jaula de ardilla 3n - Radial total en el entrehierro 4n - Radial total en el núcleo laminado del estator

- Tangencial seccional en el núcleo laminado del rotor 2 ^ - Tangencial seccional en la jaula de ardilla 3^ - Tangencial seccional en el entrehierro 4^ - Tangencial seccional en el núcleo laminado del estator

Inductancias en el modelo eléctrico

nn - Radial seccional en el núcleo laminado del rotor j„ - Radial seccional en la jaula de ardilla ers - Radial seccional en el entrehierro sr< - Radial seccional en el núcleo laminado del estator

donde si s es:

1 entonces <p = 4ir/3 2 entonces tp=5it/3 3 entonces y = 2ir 4 entonces <p = ir/3 5 entonces <p = 2ir/3 6 entonces y = 7r

nls - Tangencial seccional en el núcleo laminado del rotor j b - Tangencial seccional en la jaula de ardilla els - Tangencial seccional en el entrehierro sts - Tangencial seccional en el núcleo laminado del estator

donde si s es:

1 entonces 4ir/3 < < 7r/3 4 entonces -w/3 < y < 27r/3 5 entonces 27r/3 < y < 7r 6 entonces 7r < y < 4itl3

E . 4

i

E . l . 3 . Simbología de abreviaturas

c.a. - Corriente alterna a 60 Hz c.d. - Corriente directa rpm - Revoluciones por minuto S.E.P. - Sistema eléctrico de potencia AWG - American Wire Gage (galga correspondiente a calibre de conductores) CP. - Caballo de potencia equivalente a 746 W "eddy" - Corrientes inducidas parásitas NEMA - National Electrical Manufacturing Asociation EMTP - Electromagnetic Transient Program

E.2 . Nomenclatura en tablas

A continuación se enlista la nomenclatura empleada en las tablas 4.1 a la 4.5 :

5\- Existe un ciclo entero a lo largo de la periferia del cilindro para el caso de hfti.se, mientras que para el módulo de las variables .electromagnéticas existen 2 semiciclos positivos (Figura 4.1 para el módulo y 4.19 para la fase).

D.- Existen dos ciclos enteros para el caso de la fase, y 4 semiciclos positivos para el módulo (Figura 4.8 para el módulo).

C- Existen 4 ciclos enteros para el caso de [a fase, y 8 semiciclos positivos para el módulo.

Cte.- Es constante la fase a lo largo de la periferia del rotor, pudiéndose tratar de una fuente o sumidero (Figura 4.24).

CS.- El comportamiento del módulo a lo largo de la periferia en la frontera cilindrica, en dirección tangencial es senoidal con una pendiente inicial de 45 grados. La penetración radial vista desde (r=d) presenta un decremento hasta un valor no significativo en la frontera opuesta o en el origen (Figura 4.1). .

CC- El comportamiento del módulo a lo largo de la periferia en la frontera cilindrica, en dirección tangencial es cosenoidal con una pendiente inicial negativa de 45 grados. La penetración radial vista desde presenta un decremento hasta un valor no significativo en la frontera opuesta o en el origen (Figura 4.4).

P.- LA fase de la variable tiene un comportamiento par, tomando como punto inicial el eje interpolar (y=0 -Figura 4.21).

I.- LA fase de la variable tiene un comportamiento impar, tomando como punto inicial el eje interpolar (y=0 -Figura 4.19).

DB.- LA fase de la variable tiene un comportamiento periódico de diente de sierra con cierta ordenada al origen inicial tomando como referencia el eje interpolar (Figura 4.22).

D M - La fase de la variable tiene un comportamiento periódico de diente de sierra recortado con ordenada el origen igual a cero tomando como referencia el eje interpolar (Figura 4.25).

TC- El comportamiento del módulo a lo largo de la periferia de la frontera cilindrica, en dirección tangencial es cosenoidal con una pendiente inicial negativa de 45 grados. La penetración radial de la variable electromagnética no sufre cambios a través de la longitud radial de la región considerada (Figura 4.2).

E.5

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7"S.- El comportamiento del módulo a lo largo de la periferia de la frontera cilindrica, en dirección tangencial es senoidal con una pendiente inicial de 45 grados. La penetración radial de la variable electromagnética no sufre cambios a través de la longitud radial de la región considerada (Figura 4.3).

CNS.- El comportamiento del módulo a lo largo de la periferia de la frontera cilindrica, en dirección tangencial es senoidal con una pendiente inicial de 45 grados. La penetración radial vista desde presenta un decrcmento hasta un valor no significativo a 1/3 del radio antes de llegar a la frontera opuesta o al origen (Figura 4.1).

CNC- El comportamiento del módulo a lo largo de la periferia de la frontera cilindrica, en dirección tangencial es cosenoidal con una pendiente inicial negativa de 45 grados. La penetración radial vista desde presenta un decrcmento hasta un valor no significativo a 1/3 del radio antes de llegar a la frontera opuesta o al origen (Figura 4.4).

CES.- El comportamiento del módulo a lo largo de la periferia de la frontera cilindrica, en dirección tangencial es senoidal con una amplitud pequeña. La penetración radial vista desde presenta un decremento en forma exponencial hasta un valor no significativo al llegar a la frontera opuesta (Figura 4.6).

CSA.- El comportamiento del módulo a lo largo de la periferia de la frontera cilindrica, en dirección tangencial es senoidal con una pendiente inicial menor de 45 grados. La penetración radial vista desde presenta un decremento hasta un valor no significativo al llegar a la frontera opuesta o al origen (Figura 4.7).

COI.- El comportamiento del módulo a lo largo de la periferia de la frontera cilindrica, en dirección tangencial es cosenoidal con una pendiente inicial negativa mayor de 45 grados. La penetración radial vista desde presenta un decremento hasta un valor no significativo al llegar a la frontera opuesta o al origen (combinación de las Figuras 4.4 y 4.7).

CSR.- El comportamiento del módulo a lo largo de la periferia de la frontera cilindrica, en dirección tangencial es senoidal con una pendiente inicial mayor de 45 grados. La penetración radial vista desde presenta un decremento hasta un valor no significativo al llegar a la frontera opuesta o al origen (Figura 4.16).

CCR.- El comportamiento del módulo a lo largo de la periferia de la frontera cilindrica, en dirección tangencial es cosenoidal con una pendiente inicial negativa menor de 45 grados. La penetración radial vista desde K presenta un decremento hasta un valor no significativo al llegar a la frontera opuesta o al origen (combinación de las Figuras 4.4 y 4.16).

CNSA.- El comportamiento del módulo a lo largo de la periferia de la frontera cilindrica, en dirección tangencial es senoidal con una pendiente inicial menor de 45 grados. La penetración radial vista desde presenta un decrcmento hasta un valor no significativo a 1/3 del radio antes de llegar a la frontera opuesta o al origen (combinación de las Figuras 4.7 y 4.15).

CNCA.- El comportamiento del módulo a lo largo de la periferia de la frontera cilindrica, en dirección tangencial es cosenoidal con una pendiente inicial negativa mayor de 45 grados. La penetración radial vista desde presenta un decremento hasta un valor no significativo a 1/3 del radio antes de llegar a la frontera opuesta o al origen (combinación de las Figuras 4.4, 4.7 y 4.15).

CNSR.- El comportamiento del módulo a lo largo de la periferia de la frontera cilindrica, en dirección tangencial es senoidal con una pendiente inicial mayor de 45 grados. La penetración radial vista desde Af presenta un decremento hasta un valor no significativo a 1/3 del radio antes de llegar a la frontera opuesta o al origen (combinación de las Figuras 4.15 y 4.16).

CNCR.- El comportamiento del módulo a lo largo de la periferia de la frontera cilindrica, en dirección tangencial es cosenoidal con una pendiente inicial negativa menor de 45 grados. La penetración radial vista desde presenta un decremento hasta un valor no significativo a 1/3 del radio antes de llegar a la frontera opuesta o al origen (combinación de las Figuras 4.4, 4.15 y 4.16).

E .6

t

IPCP.- El comportamiento del módulo a lo largo de la periferia de la frontera cilindrica, en dirección tangencial es cosenoidal con una pendiente inicial de 45 grados. La penetración radial vista desde presenta un incremento de magnitud en la frontera más lejana de K^. comparándolo con el valor en la frontera más cercana, presentando un mayor decremento en la mitad de la región y un comportamiento parabólico entre fronteras (combinación de las Figuras 4.9 y 4.17).

DPS.- El comportamiento del módulo a lo largo de la periferia de la frontera cilindrica, en dirección tangencial es senoidal con una pendiente inicial de 45 grados. La penetración radial vista desde presenta un decremenio de magnitud en la frontera más lejana de comparándolo con el valor en la frontera más cercana (Figura 4.10).

DPC- El comportamiento del módulo a lo largo de la periferia de la frontera cilindrica, en dirección tangencial es cosenoidal con una pendiente inicial negativa de 45 grados. La penetración radial vista desde Kf presenta un decremento de magnitud en la frontera más lejana de K comparándolo con el valor en la frontera más cercana (combinación de las Figuras 4.2 y 4.10).

IPS.- El comportamiento del módulo a lo largo de la periferia de la frontera cilindrica, en dirección tangencial es senoidal con una pendiente inicial de 45 grados. La penetración radial vista desde presenta un incremento de magnitud en la frontera más lejana de Kf comparándolo con el valor en la frontera más cercana (Figura 4.8).

IPC- El comportamiento del módulo a lo largo de la periferia de la frontera cilindrica, en dirección tangencial es cosenoidal con una pendiente inicial negativa de 45 grados. La penetración radial vista desde presenta un incremento de magnitud en la frontera más lejana de K _, comparándolo con el valor en la frontera más cercana (combinación de las Figuras 4.2 y 4.8).

DPSA.- El comportamiento del módulo a lo largo de la periferia en la frontera cilindrica, en dirección tangencial es senoidal con una pendiente inicial menor a 45 grados. La penetración radial vista desde Kf presenta un decremento de magnitud en la frontera más lejana de K^, comparándolo con el valor en la frontera más cercana (combinación de las Figuras 4.7 y 4.10).

DPCA.- El comportamiento del módulo a lo largo de la periferia en la frontera cilindrica, en dirección tangencial es cosenoidal con una pendiente inicial negativa mayor a 45 grados. La penetración radial vista desde Kf presenta un decremento de magnitud en la frontera más lejana de K , comparándolo con el valor en la frontera más cercana (combinación de las Figuras 4.2, 4.7 y 4.10).

TSA.- El comportamiento del módulo a lo largo de la periferia en la frontera cilindrica, en dirección tangencial es senoidal con una pendiente inicial menor de 45 grados. La penetración radial no sufre cambios radialmente en la región considerada (Figura 4.18).

TSR.- El comportamiento del módulo a lo largo de la periferia en la frontera cilindrica, en dirección tangencial es senoidal con una pendiente inicial mayor de 45 grados. La penetración radial no sufre cambios radialmente en la región considerada (combinación de las Figuras 4.2 y 4.16).

DCC- El comportamiento del módulo a lo largo de la periferia en la frontera cilindrica, en dirección tangencial es cosenoidal con una pendiente inicial negativa de 45 grados. La penetración radial vista desde presenta un decrcmento a un valor no significativo en la frontera más lejana de Af, (Figura 4.11). Este comportamiento sólo se lleva a cabo en la región del núcleo laminado del estator.

DCS.- El comportamiento del módulo a lo largo de la periferia en la frontera cilindrica, en dirección tangencial es senoidal con una pendiente inicial de 45 grados. La penetración radial vista desde presenta un decremento a un valor no significativo en la frontera más lejana de (Figura 4.12). Este comportamiento sólo se lleva a cabo en la región del núcleo laminado del estator.

DCSA - El comportamiento del módulo a lo largo de la periferia en la frontera cilindrica, en dirección tangencial es senoidal con una pendiente inicial menor de 45 grados. La penetración radial vista desde Af presenta un

E .7

decrcmento a un valor no significativo en la frontera más lejana de (combinación de las Figuras 4.7 y 4.12).

DPCAP.- El comportamiento del módulo a lo largo de la periferia de la frontera cilindrica, en dirección tangencial es cosenoidal con una pendiente inicial negativa mayor de 45 grados. La penetración radial vista desde K presenta un decremento poco significativo en la frontera más lejana de K^, comparándolo con el valor en la frontera más cercana, presentando un mayor decrcmento en la mitad de la región y un comportamiento parabólico entre fronteras (combinación de las Figuras 4.10 y 4.17).

DCNSR - El comportamiento del módulo a lo largo de la periferia de la frontera cilindrica, en dirección tangencial es senoidal con una pendiente inicial mayor de 45 grados. La penetración radial vista desde K presenta decremento hasta un valor no significativo a 1/3 de la frontera más lejana (combinación de las Figuras 4.12. 4.15 y 4.16). Este comportamiento sólo se lleva a cabo en la región del núcleo laminado del estator.

DCNSY.- El comportamiento del módulo a lo largo de la periferia de la frontera cilindrica, en dirección tangencial es senoidal con una pendiente inicial de45 grados. La penetración radial vista desde presenta un decremento hasta un valor no significativo en forma exponencial aproximadamente a 0.8 m de la carcaza (Figura 4.13).

DCNSE - El comportamiento del módulo a lo largo de la periferia de la frontera cilindrica, en dirección tangencial es senoidal con una pendiente inicial de 45 grados. La penetración radial vista desde presenta un decremento hasta un valor no significativo en forma exponencial aproximadamente a 0.2 m de la carcaza (combinación de las Figuras 4.13 y 4.14).

DCNCY.- El comportamiento del módulo a lo largo de la periferia de la frontera cilindrica, en dirección tangencial es cosenoidal con una pendiente inicial de 45 grados. La penetración radial vista desde presenta un decrcmento hasta un valor no significativo en forma exponencial aproximadamente a 0.8 m de la carcaza (combinación de las Figuras 4.13 y 4.14).

DCNCE.- El comportamiento del módulo a lo largo de la periferia de la frontera cilindrica, en dirección tangencial es cosenoidal con una pendiente inicial de 45 grados. La penetración radial vista desde K presenta un decrcmento hasta un valor no significativo en forma exponencial aproximadamente a 0.2 m de la carcaza (Figura 4.14).

DCNSAY - El comportamiento del módulo a lo largo de la periferia de la frontera cilindrica, en dirección tangencial es senoidal con una pendiente inicial menor de 45 grados. La penetración radial vista desde A. presenta un decremento hasta un valor no significativo en forma exponencial aproximadamente a 0.8 m de la carcaza (combinación de las Figuras 4.7 y 4.13).

DCNSAE- El comportamiento del módulo a lo largo de la periferia de la frontera cilindrica, en dirección tangencial es senoidal con una pendiente inicial menor de 45 grados. La penetración radial vista desde K presenta un decrcmento hasta un valor no significativo en forma exponencial aproximadamente a 0.2 ni de la carcaza (combinación de las Figuras 4.7, 4.13 y 4.14).

DCNSRY- El comportamiento del módulo a lo largo de la periferia de la frontera cilindrica, en dirección tangencial es senoidal con una pendiente inicial mayor de 45 grados. La penetración radial vista desde presenta un decrcmento hasta un valor no significativo en forma exponencial aproximadamente a 0.8 m de la carcaza (combinación de las Figuras 4.13 y 4.16).

DCNSRE - El comportamiento del módulo a lo largo de la periferia de la frontera cilindrica, en dirección tangencial es senoidal con una pendiente inicial mayor de 45 grados. La penetración radial vista desde presenta un decrcmento hasta un valor no significativo en forma exponencial aproximadamente a 0.2 m de la carcaza (combinación de las Figuras 4.13, 4.14 y 4.16).

E.8

E . 3 . Notas en tablas

(7). E l decremento del módulo en el núcleo laminado del estator es lineal a partir del origen y su amplitud es más pequeña que cuando se tiene k = l.

(2) . La ordenada al origen es de -0.2 rad.

(3) . Presenta no linealidades tanto radial como tangencialmente, debido a que el efecto

rotacional no puede presentarse aislado (Figura 4.26)

(4) . Todos los valores de la fase son negativos, por lo se considera una fuente de pérdidas.

(5) . E l decremento del módulo a lo largo de la jaula de ardilla es exponencial, presentando una amplitud más pequeña que cuando k = l.

E . 9

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