A configuração geométrica inicial na análise avançada de portais planos de aço

185REM: R. Esc. Minas, Ouro Preto, 59(2): 185-197, abr. jun. 2006

Arthur Ribeiro de Alvarenga et al.

ResumoEsse artigo aborda a influência da configuração geo-

métrica inicial na carga-limite de portais planos de aço,determinada empregando-se uma análise inelástica desegunda ordem baseada na aplicação do método da zonaplástica. Essa configuração geométrica inicial inclui im-perfeições como a curvatura inicial e o fora de prumo, quefazem parte dos requerimentos mínimos para se qualificaressa análise inelástica como avançada. Os passos neces-sários para desenvolver essa análise serão mostrados,incluindo a formulação, as exigências de cálculo e os exem-plos utilizados nesse estudo. Finalmente, são apresenta-dos as conclusões e um roteiro de análise, que podemauxiliar o engenheiro a estabelecer a configuração inicialmais crítica, a partir da qual pode-se determinar a carga-limite de um problema estrutural mais complexo.

Palavras-chave: pórticos metálicos, análise avançada,método da zona plástica, configurações iniciais,imperfeições geométricas.

AbstractThis paper studies the contribution of initial

geometric configuration to the limit load defined by asecond-order plastic-zone inelastic analysis applied tosteel plane frames. This initial configuration mustinclude geometric imperfections (out-of-straightnessand out-of-plumb) that are required for qualifying theinelastic analysis as advanced one. The necessary stepsto apply this analysis are shown, including formulation,requirements and the studied examples. Lastly, a step-by-step procedure and a conclusion are given, providingthe critical initial configuration by which the engineerwill define the limit load for more complex structuralproblems.

Keywords: steel frames, advanced analysis, plastic-zonemethod, initial configuration,geometric imperfections.

Engenharia Civil

A configuração geométrica inicial na análiseavançada de portais planos de aço

Arthur Ribeiro de AlvarengaPROPEC - Mestrado em Construção Metálica - Departamento de Eng. Civil

Escola de Minas - UFOP - Ouro Preto, MG, BrasilE-mail: [email protected]

Ricardo Azoubel da Mota SilveiraPROPEC - Mestrado em Construção Metálica, Professor Adjunto

Departamento de Eng. Civil - Escola de Minas - UFOP - Ouro Preto, MG, BrasilE-mail: [email protected]

REM: R. Esc. Minas, Ouro Preto, 59(2): 185-197, abr. jun. 2006186

A configuração geométrica inicial na análise avançada de portais planos de aço

1. IntroduçãoA evolução dos recursos computa-

cionais nas últimas décadas possibilitouo desenvolvimento da análise estruturalem teoria de segunda ordem, por conse-guinte uma modelagem mais próxima darealidade, na qual o estudo da estabili-dade pôde, efetivamente, ser realizado,principalmente para sistemas estruturaismenos esbeltos.

O método dos elementos finitos, ométodo dos estados limites e a avalia-ção da plasticidade distribuída, em con-junto, formam uma base para incessan-tes pesquisas em todo o mundo, culmi-nando, agora, com o crescimento do con-ceito denominado análise avançada.

A análise avançada é definida comouma análise inelástica de segunda ordemmuito precisa, em que são incluídas im-perfeições na modelagem da estrutura,como a curvatura inicial (CI), o fora deprumo (FP) e as tensões residuais (TR),entre outras que podem ser atribuídas, ecumprindo ainda severas exigências, deforma a se obter uma carga-limite atra-vés da qual não sejam necessárias ou-tras verificações de resistência ou de es-tabilidade para a estrutura analisada na-quele plano (Chen et al., 1996).

Pretende-se, então, neste artigo, ex-plorar o conceito da análise avançada,dando ênfase à configuração geométri-ca inicial, que precisa incluir as imperfei-ções já citadas, ou seja, são avaliadosos efeitos da curvatura inicial e fora deprumo sem, no entanto, se preocupar coma influência das tensões residuais.

Este trabalho procura, então, apre-sentar, sob a ótica da plasticidade distri-buída ou método da zona plástica (ZP),uma estratégia de análise não-linear apli-cada às estruturas metálicas e a seu di-mensionamento (Alvarenga, 2005). Tra-ta-se de uma contribuição do PROPEC/DECIV/EM/UFOP, mais especificamen-te da linha de pesquisa Comportamentoe Dimensionamento de Estruturas Me-tálicas, que visa a estudar, isoladamen-te ou em conjunto, as diversas partes deuma estrutura. Entre outras contribui-ções do PROPEC nessa área, destacam-se: Caldas (2004), Machado (2005) e

Rocha e Silveira (2005). Os dois últimosabordam a inelasticidade do aço atravésdo método das rótulas plásticas, ditaplasticidade concentrada.

São apresentadas, na próxima se-ção, algumas considerações sobre a aná-lise avançada. Na seção 3, são feitos co-mentários sobre a formulação numéricado método da zona plástica, com o em-prego da técnica das fatias (Lavall, 1996);já a seção 4 aborda tópicos da implemen-tação computacional realizada; em segui-da, nos exemplos numéricos, estudam-se os portais de Vogel (1985) e o modifi-cado de Zhou (Zhou et al., 1990; Alva-renga, 2005), onde os efeitos das imper-feições geométricas da configuração ini-cial são tratados. Por fim, são feitas con-siderações importantes envolvendo osresultados obtidos e é apresentado umroteiro de cálculo para projetistas estru-turais que desejam utilizar, como ferra-menta, a análise avançada.

2. Análise avançadaA norma australiana AS4100 (1990)

foi a primeira a reconhecer que, se todosos aspectos significativos do comporta-mento da estrutura no plano são ade-quadamente modelados numa análiseinelástica de segunda ordem, a verifica-ção de barras à flexo-compressão porfórmulas de interação seria desnecessá-ria. Assim, o termo avançada significaque a análise estrutural também inclui oprocesso de dimensionamento, caracteri-zando, assim, um avanço (um passo adi-ante) na direção de projeto estrutural.

Também a carga-limite resultanterepresentará uma carga real, similar a queseria obtida no caso de um ensaio delaboratório procurando reproduzir o mo-delo original do problema, ou seja, é umvalor de grande confiabilidade.

Para se realizar uma análise avan-çada, diversas atribuições podem serestabelecidas e várias exigências devemser cumpridas. Chen e White (1993) for-neceram um sumário de atributos quepodem ser considerados em uma análiseavançada. Nesse trabalho são conside-rados os seguintes atributos:

a. A não-linearidade geométrica, com osefeitos de segunda ordem: P∆, Pδ eMΦ (ver Figura 1a-b).

b. A não-linearidade física, avaliando aplasticidade distribuída com ZP.

c. As imperfeições geométricas iniciais:fora de prumo e curvatura inicial.

Além disso, supõe-se, também, que:as tensões residuais iniciais não interfe-rem nesses resultados, as barras são to-das adequadamente travadas fora do pla-no, as seções transversais dos perfisadotados são geometricamente simétri-cas, todos os elementos finitos (EF) sãoprismáticos, todos os painéis são rígi-dos (com enrijecedores adequados), to-das as ligações são rígidas (soldadascom penetração total) e todas as cargassão aplicadas estaticamente, considera-das centradas e conservativas e do tipoincremental ou fixa. O efeito das tensõesresiduais será tratado nos próximos tra-balhos dos autores.

Por outro lado, não é correto deno-minar qualquer análise inelástica de se-gunda ordem como uma análise avança-da. Para isso, algumas exigências devemser cumpridas, como:a. Usar uma formulação matemática ri-

gorosa fundada em teorias bem co-nhecidas da mecânica de sólidos edos materiais.

b. As resistências, as deformações, asdistribuições internas dos esforços,as tensões, etc. devem ser confron-tadas, previamente, com resultadosde ensaios em escala real ou pórti-cos de calibragem, contidos na lite-ratura mundial, como os trabalhos deVogel (1985) ou Zhou et al. (1990). Acarga-limite encontrada, seja de re-sistência ou de estabilidade, não poderáser superior em 5% (não conservadora)aos resultados dos bancos de prova.

c. Os esforços solicitantes nas seçõesnão podem violar a resistência máxi-ma definida pela condição de plasti-cidade completa da seção.

d. A plasticidade distribuída deve seravaliada, tanto na deformação axial,como na deformação por flexão, oucombinadas; e, quando a seção soli-citada está num ponto da superfície



de plastificação, acréscimos de axialdevem provocar a redução do mo-mento plástico correspondente.

Existem vários métodos de análiseinelástica de segunda ordem capazes derealizar uma análise avançada, mas ométodo da zona plástica pode ser consi-derado o que fornece resultados maisprecisos, por isso foi adotado no pre-sente trabalho.

Os fundamentos teóricos e algunsdetalhes da implementação computacio-nal das diversas estratégias ou métodosde análises inelásticas podem ser encon-trados numa publicação de 1993, nosEUA, intitulada “Towards AdvancedAnalysis in LRFD” (Chen e White, 1993).Trata-se, basicamente, de um relatóriopara o SSRC (Structural StabilityResearch Concil), que contou com a co-laboração de vários pesquisadores,como R.D. Ziemian, M.J. Clarke, J.Y.R.Liew e outros.

Esse artigo procura, também, dar asua contribuição para que a análise ine-lástica, usando ZP, possa ser emprega-da pela nossa engenharia estrutural.

3. Formulaçãonumérica

O método da zona plástica (ZP)requer, usualmente, o emprego de uma

malha de EF mais fina, na qual se preten-de monitorar a formação das zonas plás-ticas. Esse é um método mais preciso,porém exige grande esforço computaci-onal. Destacam-se, aqui, as seguintespublicações relacionadas com a aborda-gem da ZP: Clarke (1994), Foley e Vin-nakota (1999) e Folley (2001). No Brasil,vale destacar os trabalhos de Lavall(1996) e Pimenta (1996), com a utilizaçãode uma aproximação denominada de téc-nica das fatias, que será adotada tam-bém no presente trabalho.

As barras utilizadas na modelagemdas estruturas são consideradas prismá-

ticas, compostas de EF interligados,cada elemento com extensão L, conecta-do a dois nós, como mostra a Figura 2a.Todas as barras (e os EFs) possuem se-ções homogêneas (nesse trabalho: per-fis I de aço, duplo simétricos, altura h,largura b, espessuras t na aba e a na alma,como ilustrado na Figura 2b). Por suavez, cada EF é composto de subdivisõesretangulares longitudinais denominadasfatias e, através dessas fatias, se avalia azona de plastificação, ou como se distri-bui a plasticidade (Owen & Hinton, 1980).

Na técnica das fatias, considera-seque a fibra (linha de centro de cada fatia,

a) Curvatura de barra b) No deslocamento lateral

Figura 1 - Efeitos de segunda ordem.

a) Barra e elemento b) Elemento e fatia c) Fatia e fibra

Figura 2 - Modelagem da zona plástica.



como mostra a Figura 2c) determina oestado da fatia, em cada passo de carga,através do seu estado de tensão e dedeformação correspondente. O estadode todas as fatias, em conjunto, estabe-lece a situação das seções nas extremi-dades do EF, e, portanto, o comporta-mento do próprio EF, avaliando, assim, aZP.

A formulação adotada nesse traba-lho tem, então, as seguintes característi-cas (Lavall, 1996; Alvarenga, 2005):

a. Utiliza um referencial Lagrangianoatualizado corrotacional para acom-panhar o movimento do elemento fi-nito e, dessa maneira, minimiza a in-fluência das rotações de corpo-rígi-do na qualidade dos resultados (Sil-veira, 1995).

b. Aplica uma relação constitutiva nafibra com tensões de Biot e alonga-mento linear, considerando o materi-al elástico-perfeitamente plástico.

c. Introduz simplificações baseadas nateoria de Bernoulli-Euler, complemen-tada pelas colaborações de Navier,Vlassov, Neal e Galambos (Alvaren-ga, 2005).

d. Define um campo de deslocamento,a partir de três componentes corro-tacionais, e aproxima a deformaçãoda fibra como uma função linear dadeformação da fibra do centróide eda posição relativa da fibra conside-rada ao centróide.

e. Adota funções de interpolação queexpressam o estado de deformaçãoem relação ao campo de deslocamen-tos corrotacionais.

3.1 Matriz de RigidezNo contexto do método dos elemen-

tos finitos, a relação de equilíbrio não-linear do problema estrutural, na formaincremental, que é resolvida aqui atra-vés do processo incremental-iterativo deNewton-Raphson, pode ser expressasegundo:ωS ω+1∆u = ω+1∆F, (1a)

em que os vetores de deslocamentos nodais u e esforços F, no passo atualizadoω+1, são obtidos através da soma dos vetores no passo anterior ω, com os vetoresacréscimos estabelecidos pela relação com a matriz de rigidez global S, isto é:ω+1u = ωu + ω+1∆u (1b)ω+1F = ωF + ω+1∆F (1c)

A matriz de rigidez na forma global é definida através da soma ordenada damatriz de rigidez de cada EF, K, que, por sua vez, é obtida por diferenciação daexpressão do campo de deformações e cuja expressão é mostrada a seguir (Alva-renga, 2005):

K = Kep + Kh + Kgα (2)

sendo Kep a parcela constitutiva, Kh a parcela de curvatura (que avalia Pδ) e Kgα aparcela de movimento de corpo-rígido (que avalia P∆ e Mφ). Essas matrizes sãodefinidas através das expressões:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−

=

EDCBA

EDBEDCDCBABA

.sim0

2/0

00

epK(3a)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

=

HGF

JGHGFGF

.sim000

00

000000

hK(3b)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−

=α

00.sim000000000000

g

NM

NMNMM

K(3c)

com os coeficientes A, B, C,..., M e N, dados por:

.)30L/(QH ,L/)QQ( M,/LQN ,LHJ

,J4H ,LH3G ,H6F ,L/ 4DE),L (L / 6DD ,)LL / (12DC ,L /DB ,L/DA

d 1m2d32d1

2dm

dmmr 3m

dr3m2d r 3mr 2mrm1

=+===

========

(4)

Observe que esses termos são expressos em função do comprimento do EF dereferência (na configuração inicial) Lr e do comprimento deformado (na configura-ção atualizada) Ld, como mostra a Figura 3a. As integrais de propriedades elasto-plásticas da seção são avaliadas pelas variáveis D1m, D2m e D3m através das expres-sões:

Dkm= 0.5(Dka + Dkb), com 1 ≤ k ≤ 3 (5)

em que se avalia no nó índice j (a ou b):

[ ]∫ ∑=

−− ==rA

fatiasn

1iri

)1k(ciijr

)1k(cjkj dA)y(DdA)y(DD

(6)



ou seja, D1j , D2j e D3j avaliam numerica-mente a integral de (D dA), (D yc dA) e(D yc² dA), respectivamente, no nó j (so-mando em todas as fatias da seção); Dij éobtido pela relação dσ/dε do material (verFigura 3b) para cada fatia i do nó j; e yc éa cota atualizada da fibra de cada fatia aocentróide da seção remanescente elásti-ca (que não necessariamente coincidecom o eixo do EF, caso aconteça plastifi-cação do elemento). Por fim, as grande-zas Q1, Q2 e Q3, indicadas também na Fi-gura 3c, definem os esforços corrotacio-nais.

O desenvolvimento dessas relaçõespode ser visto com maiores detalhes emAlvarenga e Silveira (2005) ou Alvaren-ga (2005).

3.2 Integração iterativa dos esforços normaisOs esforços solicitantes N (normal) e M (momento-fletor) podem ser obtidos,

em cada nó j do elemento, por integração direta das tensões nas fatias, ou seja:

[ ] dA dA NrA

fatias n

1iri irj ∫ ∑

=

σ=σ= (7a)

[ ]

i ∫ ∑=

σ=σ=rA

fatiasn

1irici rcj dAydAyM (7b)

nos quais σi e Ari representam a tensão e a área de referência da fatia i, avaliada no nój. Porém, como se exige que nos dois pontos nodais do elemento Na ≅ Nb, e como sesupõe que não podem ocorrer tensões superiores à de escoamento σy, quandoacontece, por exemplo, a plastificação apenas de um nó do EF, como ilustrado naFigura 4a, aparece, então, uma diferença dN = Na - Nb ≠ 0.

Figura 3 - Comportamento da fibra e do material.

a) Comprimento da fibra b) Tensão-deformação c) Esforços globais e corrotacionais

Figura 4 - Avaliação da plasticidade distribuída.

a) Plastificação do EF (ZP) b) Esforços desequilibrados no EF c) Integração iterativa



Com o intuito de reduzir essa di-ferença dN, foi implementado, no pro-grama computacional, um processo ite-rativo de integração. Esse processo éfeito calculando-se um acréscimo de de-formação no nó onde aconteceu o dese-quilíbrio dado por δεj = dNj/Acj, na qualAcj é a área da seção conhecida (naque-la iteração), avaliada no nó de índice j (aou b), que é atualizada iterativamente.Assim, novas tensões serão obtidas e,também, outros esforços e o ciclo serárepetido até que os valores obtidos apre-sentem diferenças dentro de uma dadatolerância.

4. Comentários sobrea implementaçãocomputacional

O desenvolvimento da ferramentacomputacional usada neste trabalho se-guiu o fluxograma geral de solução deproblemas estruturais não-lineares apre-sentado por Owen e Hinton (1980). Fo-ram previstas, adicionalmente, possibili-dades de expansões, de recursos auto-máticos de geração da malha e, princi-palmente, de geração da configuraçãogeométrica inicial com imperfeições,como é proposto em seguida.

Acompanhando a Figura 5a, ondeé caracterizado um EF genérico, o forade prumo (FP) de cada EF (numa cota x1,

por exemplo) corresponde a uma fração∆1 proporcional ao valor máximo ∆0 emrelação à extensão L da coluna, usual-mente definido com o valor ∆0 = L/500,como mostra a Figura 5b.

A curvatura inicial (CI), na forma dearco senoidal (ou na forma de arco decírculo, como adotada no presente tra-balho), é relacionada pela expressão dadeflexão δ1, calculada na cota x1, quandoem L/2 tem-se a flecha máxima δ0, que,normalmente, é avaliada como sendoL/1000 (ver a Figura 5c).

Já a imperfeição combinada CI + FPda coluna, por exemplo, é gerada aquipara cada cota x1, primeiramente fazendoa avaliação da CI com δ1 e, depois, so-mando o traslado do FP ∆1, como indica-do na Figura 5d. Com esse procedimen-to, consegue-se obter o valor de δ0(L/1000) exatamente localizado na cotaL/2.

5. Exemplos numéricosEssa seção traz dois exemplos de

aplicação da análise avançada com ZPem portais planos de aço. O primeirosistema estrutural tem o objetivo devalidar a teoria exposta; o segundoexemplo é destinado à verificação dainfluência da imperfeição geométricainicial (FP e CI) no comportamento dopórtico em estudo.

5.1 Portal de Vogel (1985)Esse portal é um problema de ban-

co de provas mundial, usado freqüente-mente para validar análises inelásticasde segunda ordem. Como ilustrado naFigura 6, trata-se de um portal engasta-do nas bases, sujeito, simultaneamente,a duas cargas verticais P = 80 % de Ny euma carga horizontal de distúrbioH = 1.25 % P, todas aplicadas de formaincremental. Na modelagem desse pó-tico, já se impõem os valores das im-perfeições geométricas: fora de prumo(∆0 = L/400 = 1.25 cm) e curvatura inicial(δ0 = L/1000 = 0.5 cm). O material é consi-derado elástico perfeitamente plástico,com o módulo de Young E = 20500 kN/cm²,aço ASTM A 7, com tensão de escoa-mento σy = 23.5 kN/cm².

Os perfis laminados europeus HEB300 e HEA 340 são aproximados por equi-valentes, ajustando-se as medidas (t ea), conforme a Tabela 1. São considera-das, também, as tensões residuais du-plamente lineares, segundo os padrõeseuropeus, com valor máximo 0.5 σy.

Vários pesquisadores realizaramanálises inelásticas nesse portal, de ondedestacam os trabalhos de Ziemian (1992),Clarke (1994) e, recentemente, Machado(2005), que usou a abordagem da plasti-cidade concentrada. A trajetória de equi-líbrio desse sistema, obtida através pro-

Figura 5 - Imperfeições geométricas das barras.

a) Barra genérica b) Fora de prumo c) Curvatura inicial d) Efeitos conjugados



grama desenvolvido, é apresentada naFigura 7 juntamente com outros resulta-dos extraídos da literatura. Adicional-mente, os valores do fator de colapsoversus deslocamento no topo do portalsão mostrados na Tabela 2. A Tabela 3indica os esforços na situação pré-co-lapso.

Através da Figura 7 e das tabelasapresentadas, pode-se comprovar queos resultados oriundos desse trabalhoestão coerentes com os da literaturamundial.

5.2 Portal de Zhou et al.(1990) modificado

O portal de aço analisado nessa se-ção é ilustrado na Figura 8a, sendo umamodificação do proposto inicialmentepor Zhou et al. (1990). As colunas e vigasão de perfil WF 8´31, com seção equi-valente mostrada na Figura 9 e dados daTabela 4. O material é considerado elás-tico perfeitamente plástico, com o mó-dulo de Young E = 20000 kN/cm², açotipo ASTM A 36, com tensão de escoa-mento σy = 25 kN/cm² e adota-se o mo-delo sem tensões residuais (σr = 0). Sãoaplicadas duas cargas P = Ny e uma car-ga horizontal H = 0.5Hy, no topo das co-lunas, sendo Hy = MP/A.

Deseja agora estudar o que acon-tece com a carga-limite em relação às vá-rias configurações geométricas iniciaiscom imperfeições que serão idealizadas.Em todos os modelos de EF são consi-deradas a CI com δ0 = A/1000 e o FP de∆0 = A/500.

Figura 6 - Portal de Vogel (1985).

Figura 7 - Trajetórias de equilíbrio do portal de Vogel.

Tabela 1 - Propriedades das seções I do portal de Vogel.



Tabela 2 - Carga de colapso λcol versus deslocamento uAn no portal de Vogel.

0bs.1) Mahen: Mahendran e Kim e Lee = elemento de casca do Abacus em 3D.2) Métodos: ZP= zona plástica, ERP = elástico com rótula plástica de segunda ordem, ERP-R = elástico com rótula plástica-refinado, ERP-M = elástico com rótula plástica e seção montada, ERP-CN = elástico com rótula plástica e cargas nocionais,s/ TR = sem tensões residuais, PT = presente trabalho.

Tabela 3 - Esforços nos EFs do portal de Vogel.

Obs.: NA e NB= normais nas colunas da esquerda (A) e da direita (B), NV= normal na viga, Q1 e Qn= cortantes superior e inferiorna coluna A, MA1,MAn= momentos-fletores na base e no topo da coluna A, MB1,MBn= idem para coluna B, EF/col.= número de EFsusados para modelar cada coluna.

Estudam-se, inicialmente, as varia-ções de CI indicadas na Figura 10. Osresultados obtidos aqui para essas vari-ações são apresentados na Tabela 5. Emseguida, a imperfeição FP é avaliada nassituações da Figura 11 e os resultadosencontrados são mostrados na Tabela 6.Vale ressaltar que, nesse caso (FP ape-nas), não se introduziu a carga horizon-tal H, visto que esta aumenta o desloca-mento no topo, e, conseqüentemente, au-menta o efeito P∆, mascarando, assim, o

efeito do FP que se deseja avaliar. Final-mente, com as diversas situações da Fi-gura 12, avaliam-se as combinações dasimperfeições CI e FP, obtendo-se, então,os resultados mostrados na Tabela 7.

Após esses estudos, pode-seafirmar que a carga-limite do portal éλ = 64.5%. Mais importante, entretanto,é verificar que a configuração deforma-da crítica do portal é semelhante à mos-trada anteriormente na Figura 8b.

6. Consideraçõesfinais

A partir do último exemplo, presu-me-se que a consideração de FP e de CIgera várias possibilidades de configura-ções iniciais a serem estudadas numaestrutura maior, como, por exemplo, umprédio de andares múltiplos, o que tornao problema complicado e extenso.



Figura 8 - Portal de Zhou et al. (1990) modificado.

a) sem imperfeição b) com imperfeição

Figura 9 - Perfil adotado para as colunas e viga.

a) W 8 x 31 americano b) I equivalente c) tensões residuais

Tabela 4 - Propriedades da seção WF 8´31 das colunas.



Figura 10 - Estudo da curvatura inicial nas colunas.

Figura 11 - Estudo do fora de prumo das colunas.

a) forma ) ( b) forma ( ( c) forma ( ) d) forma ) )

a) forma / / b) forma / \ c) forma \ /

Tabela 5 - Efeito da CI no portal modificado (c/H: β= +0.5).

Tabela 6 - Efeito do FP no portal modificado.

Quando as cargas verticais não sãopreponderantes nas colunas (esforçosnormais pequenos), os efeitos secundá-rios serão também menores e pode acon-tecer um limite de resistência por forma-ção de mecanismo plástico de colapso(de viga, de andar ou combinado). Nes-ses casos, a configuração inicial poucointerfere no resultado final.

Entretanto, quando os valores dosesforços normais, nas colunas, não sãodesprezáveis, o colapso será determina-do, invariavelmente, pela flambagem(elástica ou inelástica) de uma parte oude todo o sistema estrutural. Se a estru-tura é esbelta, a flambagem tende a acon-tecer no regime elástico e a possível plas-ticidade, se acontecer, é localizada, nãomodificando o comportamento da estru-tura.



Figura 12 - Estudo da curvatura inicial e fora de prumo conjugados.

Tabela 7 - Efeito do CI e FP conjugados, no portal modificado.

Obs.: Efeito de ∆0 = A / 500 e δ0 = A / 1000 em 2 colunas, sem TR.



No caso da estrutura robusta, aflambagem será inelástica e, então, osefeitos secundários tornam-se importan-tes. Por isso a configuração inicial é fun-damental, visto que essa configuraçãodetermina se a estrutura atingirá o co-lapso (flambagem) rapidamente ou não,ou seja, se a carga-limite mínima (que sedeseja determinar com precisão) da aná-lise avançada é obtida com uma dadaconfiguração ou não.

Assim, chega-se à seguinte conclu-são: a configuração crítica de flamba-gem inelástica de uma estrutura, comcolunas robustas, sujeita a um dadocarregamento, é semelhante à configu-ração geométrica com imperfeições ini-ciais de aspecto similar, de onde se ob-tém o menor valor do fator de carga λpara atingir o colapso.

Isso significa que, quando o colap-so é determinado por flambagem, qual-quer configuração inicial com imperfei-ções, no contexto da análise avançada,leva a uma mesma configuração de co-lapso. Portanto, uma vez determinada aconfiguração deformada de colapso,pode-se ajustar, antecipadamente, a con-figuração inicial com imperfeições quese aproxime dessa deformada e, conse-qüentemente, o fator de carga de colap-so tenderá a ser o mínimo.

Isso é uma recíproca da idéia deChwalla (1934), no que se refere às cur-

vas de deflexão de colunas, onde era estimada a configuração final de flambagemdas colunas a partir dos esforços que ali atuavam. Note que os esforços estãorelacionados aos deslocamentos e, portanto, à configuração de flambagem, ou seja,à deformada inelástica.

A demonstração dessa conclusão pode ser feita acompanhando-se a Figura13a, onde se mostra o portal estudado com a configuração com imperfeições iniciaiscrítica, porém na direção oposta ao esforço horizontal H (portal oposto). Se nãohouvesse essa carga, a configuração de flambagem seria oposta à indicada na Figu-ra 13b. No entanto, a configuração de flambagem repete, por assim dizer, a produzidacom a configuração inicial da Figura 8b.

Como a configuração inicial da oposta (Figura 13a) é exatamente o contrário damais crítica (Figura 8b), devem-se encontrar valores de fatores de carga maiores,como de fato foram obtidos:

a. escoamento: λy = 65.3 (oposto) > λy = 55.7 (limite); e

b. flambagem: λcol = 71.8 (oposto) > λcol= 64.5 (limite).

Note que os valores de λ do portal oposto são também superiores a todos osindicados na Tabela 7, ou seja, a configuração inicial pode favorecer (ou desfavore-cer), desde que esteja reproduzindo favoravelmente (ou não) o aparecimento daconfiguração de flambagem inelástica. É importante salientar que essa propostasomente é verificada para problemas onde não ocorrem condições antagônicas deesforços e efeitos secundários.

Deve-se esclarecer que as tensões residuais não alteram essa conclusão, porisso não foram incluídas nesse exemplo.

Apresenta-se, agora, um roteiro para aplicação da análise avançada, conside-rando a influência da configuração inicial (colapso por flambagem inelástica), com-posto dos seguintes passos:

a. Fazer o lançamento da estrutura ou esboçar a concepção estrutural.

b. Realizar um cálculo preliminar elástico de primeira ordem, para uma visão inicialdo comportamento estrutural e fazer o pré-dimensionamento (estimar os perfis).

c. Executar um cálculo elástico de segunda ordem, com o objetivo de obter a defor-mada da estrutura, ou configuração deslocada básica, e avaliar se é necessário

Figura 13 - Demonstração da conclusão.

a) configuração inicial com imperfeições b) configuração de colapso



desenvolver um modelo inelástico(verificar se ocorre plasticidade e seisso afeta o comportamento da es-trutura).

d. Com base nos resultados anteriores,para cada hipótese, deverá o enge-nheiro, usando, também, da sua ex-periência, dispor as imperfeições ge-ométricas que sejam favoráveis à ob-tenção da configuração de colapso.

e. Realizar a análise inelástica de segun-da ordem e determinar a configura-ção de colapso, ajustando, em segui-da, as imperfeições geométricas, deforma a procurar reproduzir condi-ções para que essa geometria inicialfavoreça o aparecimento da configu-ração final, ajustando e voltando aopasso (e), quando acontecer a intro-dução de modificações ou alteraçõesde comportamento.

f. Por fim, executar a análise avança-da e verificar, assim, o dimensiona-mento.

g. Analisar os resultados, ajustar per-fis, materiais ou a configuração inici-al, retornando aos passos (d), (e) ou(f), se necessário.

h. Verificar adequação ao uso (as de-formações sob carga de trabalho) eas condições complementares, inclu-sive as requeridas pelo método, se-guindo tal procedimento para o res-tante do cálculo e dimensionamento.

Por fim, deve-se salientar, mais umavez, que todo esse estudo torna-se ne-cessário, porque, na análise avançadacom o método da zona plástica, as im-perfeições geométricas devem ser intro-duzidas, explicitamente, nos modelos.

7. AgradecimentosOs autores agradecem ao apoio re-

cebido do CNPq, FAPEMIG, PERSEC eUSIMINAS para a realização desse tra-balho de pesquisa.

8. ReferênciasbibliográficasALVARENGA, A.R. Aspectos importantes na

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Artigo recebido em 22/02/2006 eaprovado em 24/02/2006.

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A configuração geométrica inicial na análise avançada de portais planos de aço

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