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Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto

Pendiente de una curva en un punto: Sea ( ) (se

lee: “Sea una función que va desde in intervalo a reales tal que ( ) igual a es

continua en ese intervalo ”.

( ( )) y ( ( )) son dos puntos distintos sobre la curva ( ), y la recta es

secante a la misma. Si el punto se mueve a lo largo de la curva y se aproxima al punto , por ejemplo por la

derecha, se formarían sucesivas rectas secantes típicas (como está muy bien dibujado en el

PDF de teoría.

Analicemos qué sucederían con las “pendientes de las rectas secantes” que se formarían a

lo largo del desplazamiento del punto .

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Estas pendientes se encontrarían con una , posición donde dejarían de

ser pendientes de rectas secantes para aproximarse a una

a la curva en el punto ( ( )).

Si ( ( )), entonces la ecuación de la recta secante es:

( ) ( )

Esta expresión presenta dos variables, y pero podemos escribirla en función de una sola

de ellas, conociendo que:

Obtenemos una ecuación donde se expresa en función de . Llevando esto a :

( ) ( )

( ) ( )

Conforme el punto se aproxima al punto , entonces se aproxima a y esto significa que

el incremento tiende a cero.

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Cuando , las pendientes de las rectas secantes típicas se aproximan a una

que es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto

( ( )).

Por esta razón, podemos escribir que:

“La pendiente de la recta tangente es igual al límite de (delta ) tendiendo a cero de la

pendiente de la recta secante ”.

( )

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Por , podemos expresar:

[ ( ) ( )

]

Generalizando la ecuación para cualquier punto de la curva ( ) correspondiente a un

intervalo abierto ( ), se obtiene una función a la que denominamos “ de , cuyo

dato de entrada es y cuyo dato de salida es la

( ( )) .

La demostración geométrica por izquierda es similar a la del límite por derecha.

Por lo tanto, se obtiene la siguiente definición que es la base del cálculo diferencial.

Definición de derivada:

La derivada de una función , es la función que se denota por , tal que su valor en un punto

del dominio de está definida por:

( )

[ ( ) ( )

]

Al proceso de hallar la derivada se lo denomina “diferenciación”.

Importante para recordar:

La deriva, siempre, es la PENDIENTE de la recta TANGENTE a una curva (gráfica de la

función que se esté derivando). El resultado que se obtiene cuando se deriva en un punto

específico, es la pendiente de la recta tangente (inclinación que tendrá esa recta) que pasa por

ese punto específico (par ordenado que se debe buscar ya que el ejercicio sólo te da el valor

de una de las dos componentes, el de “x”, el valor de “y” se halla reemplazando el valor de la

“x” en la función original del ejercicio).

Ejemplo: ( ) (es el ejemplo del Power Point pero con la gráfica)

( )

[ ( ) ( )

]

( )

[ ( )

( )

]

( )

[ (

)

]

( )

[

]

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( ) [

]

( ) ( )

Gráfica de la recta tangente que pasa por el punto (1;-1), el 1 de y la “y” que se obtiene:

Para hallar este punto usamos el que nos da el ejercicio, lo reemplazamos en la función del

ejercicio y obtenemos su imagen o valor de la función, es decir el valor de la y del par

ordenado.

por lo tanto, el par ordenado que nos queda es (1;-1).

Para obtener la ecuación de la recta debemos partir de la siguiente ecuación:

Conocemos un punto ( ) de esa recta y su pendiente ( ), nos falta conocer la ordenada al origen (b), entonces reemplazamos en la ecuación de la recta todo lo que conocemos y despejamos lo que no conocemos.

Armamos la ecuación de la recta tangente (general):

La consigna del ejercicio pide gráfica y es conveniente ir practicando porque en el próximo TP hay un punto que pide graficar la recta tangente y la recta normal, así que comencemos con una primero. ¡¡No es difícil!!

Espero que esta explicación, junto con otros materiales, pueda ir aclarando de a poco el

tema de derivadas, tan importante para la materia.

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