4 la derivada por formulas

CAPÍTULO 4

LA DERIVADA POR FÓRMULAS

4.1 FÓRMULAS (Áreas 1, 2 y 3)

Obtener la derivada de cualquier función por alguno de losdos métodos vistos anteriormente, el de tabulaciones y el deincrementos, resulta una tarea muy engorrosa, por lo que espreferible tener fórmulas para su cálculo.

Para comprender el significado simbólico de las fórmulas, elestudiante debe recordar que el símbolo de un operador es elgrafo o representación escrita con el que se hace alusión a laoperación. Así por ejemplo, a continuación se muestran diferentesoperadores conocidos:

+ operador suma× operador multiplicación÷ operador división

operador raíz

cuadrada d

55

La derivada por fórmulas

De la misma manera, el operador derivada es . Así comoen el operador suma, como dx

en el de multiplicación y división, para que tenga sentido debeescribirse una cantidad antes y otra después, o bien, en eloperador raíz cuadrada debe escribirse una cantidad adentro paraindicar a qué cantidad se le está sacando raíz, en el operadorderivada lo que se escribe a continuación de dicho operador es alo que se le aplica la derivada, aunque a veces se escribe en elmismo numerador cuando es una expresión muy corta. Analícense lossiguientes ejemplos del uso del operador derivada:

d x El operador derivada se está aplicando a x. Porserdx

una expresión muy corta se prefiereescribir la x en dx el numeradorde la siguiente manera: . dx

d2 1x− El operador derivada se está aplicando a la raíz

cua-dx

drada 2 1x− .

3x +

dxd ( 4 5x3 −8x2 +9 11x− )(El operador derivada está aplicado al polinomio).

56


d ⎛ 3 4x− ⎞

nomio elevado a la cuartapotencia).

El estudio de la derivada a través de fórmulas se hará porbloques:

a) Fórmulas básicas.b) Fórmulas generalizadas:

b.1)Para funciones algebraicas:b.1.1) de la forma un

(potencia),

57

dx ⎜⎝ 6x2 −1 ⎟⎠ (El operador derivada está aplicadoa la fracción).

d 2

sen x(3 −2) dx

(El operador derivada está aplicadoa la función trigonométrica seno).

d 3x5 −1)4

(dx

(El operador derivada está aplicado atodo el poli-


b.1.2) de la forma uv (producto),b.1.3) de la forma u/v (cociente).

b.2)Para funciones trascendentes:b.2.1) funciones trigonométricas,

b.2.2) funciones trigonométricas inversas,b.2.3) funciones logarítmicas y exponenciales.

4.2 FÓRMULAS BÁSICAS (Áreas 1, 2 y 3)

d(1) c =0 (la derivada de una constante es

cero) dx d(2) x =1 (la derivada de x es 1) dx

d n nxn−1

(3) x = dx

d d d(4) (u + +v ...) = u + v + ... (La derivada de una suma es la

suma dx dx dxd d u

(5) cu = c dx dx

de lasderivadas).

(La derivada de una constante por unafunción es la

constante por el resultado de derivarla función. Se dice que la constantese saca de la derivación).

Ejemplo 1: Hallar la derivada de y x= 6 .

58


Solución: Por la propiedad de las igualdades (lo que se haga de un ladodebe hacerse del otro para que la igualdad se conserve),aplicando el operador derivada a ambos miembros:

d d 6 y =

xdx dx

En el lado derecho, empleando la fórmula (3), donde n =6 :

N6 1−

n x n - 1

dy 6x5=

dx

Ejemplo 2: Hallar la derivada de y = 5x3 .


d d 3 y = 5xdx dx

59

N6dy xdx =


Empleando primero la fórmula (5) en el lado derecho de laigualdad anterior:

dy d 3

= 5 x

60

Ndx dx

c dudx


Ahora utilizando la fórmula (3), donde n =3:

dy 3 1−

dx =5 3( x )dy

15x2=

dx

Obsérvese que ya en forma práctica, el 15 se obtiene demultiplicar el coeficiente 5 por el exponente de la x.

Ejemplo 3: Calcular la derivada de y = 4x .


d dy = 4x

dx dx

Empleando primero en el lado derecho la fórmula (5):

dy d= 4 x

dx dxAhora utilizando la fórmula (2):

61


dy = 4 1( )

dx

dy

dx=4

Ejemplo 4: Derivar y = + +x2 x 9 .


dxd dxd 2 x 9) y =

(x + +Empleando primero en el lado derecho la fórmula (4):

dy = d 2 d x+ d 9 x +dx dx dx dx

En el lado derecho de la igualdad deben aplicarse las fórmulas (3),(2) y (1) respectivamente:

dy = 2x+ +1 0

dx

62


dy= +2

1xdx

Ejemplo 5: Hallar la derivada de y =6x3 −7x2 − +9 12x .

Solución:Como la derivada de una suma es la suma de las derivadas (fórmula 4),

dy = d 6x3 − d 7x2 − d 9x+ d 12 dxdx dx dx dx

dy 18x2

−14x−9 =dx

Ejemplo 6: Hallar la derivada de y = 11x4 − 2x3 + 9x2 +14x − 21.

Solución:

dy d 4 d 2x3 + d9x2 + d 14x− d 21 = 11x −

dx dx dx dx dx dx

dy 44x3 −6x2 +18 14x+ =

dx

3x2 7xEjemplo 7: Hallar la derivada de y = +

63


5 4

Solución:Tómese en cuenta que la función a derivar es lo mismo que

3 2 7 xy = x +

5 4

y por lo tanto los coeficientes fraccionarios de las equis

y son constantes. Así que al derivar se obtiene:

dy = 3 d x2 + 7 d x dx 5

dx 4 dx

dy 3 7= (2x) + ( )1

dx 5 4

dy=

dx

6x 7+

5 4

1Ejemplo 8: Hallar la derivada

dey=

x

64


Solución: En este caso, debe primero transformarse la expresiónoriginal, pasando la x al numerador, para lo cual deberecordar el alumno que cambia de signo el exponente. Lo que seobtiene de esta transformación sigue siendo todavía igual a y, no a la derivada:

y x= −1

Escrito así ya tiene la forma de la fórmula (3):

dy( 1− −1)

= −( 1)x

dx n n - 1

dy − 2

=−1x dx

Como no deben escribirse exponentes negativos como resultadofinal, vuelve a regresarse la x al denominador para que lecambie el exponente a positivo:

dy −1=

65


dx2 x

Nótese que se habla de exponentes negativos, no de cantidadesnegativas que es diferente, por lo que el menos uno delnumerador se dejó intacto.

3Ejemplo 9: Obtener la derivada de y= x2

Solución: En este caso, debe primero transformarse la expresiónoriginal, pasando la x al numerador, parta lo cual deberecordar el alumno que cambia de signo el exponente. Lo que seobtiene de esta transformación sigue siendo todavía igual a y, no a la derivada:

y=3x− 2 dy 3

2(− )x( 2 1)− −

=

dx n n - 1

dy − 3

=−6x dx

66


Como no deben escribirse exponentes negativos como resultado final,vuelve a regresarse la

x al denominador para que le cambie el signo del exponente apositivo:

dy

dx

−6=

3 x

Ejemplo 10: Hallar la derivada de y= x

Solución: En este caso, debe primero transformarse la expresiónoriginal, escribiendo la x con exponente fraccionario. Deberecordar el alumno que el numerador es la potencia original dex y el denominador el índice del radical. Lo que se obtienede esta transformación sigue siendo todavía igual a y , no ala derivada:

y= x =x1/2

De este manera ya tiene la forma de xn , en donde n = 1/2:

dy 1 −

67

1 1212

dy xdx

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠

n n - 1


=x dx2

Como no deben escribirse exponentes negativos como resultadofinal, debe pasarse la x al denominador para que le cambie elexponente a positivo:

También se puede escribir como

3Ejemplo 11: Hallar la

derivada de y

68

12

1

2

dydx x

=

12

dydx x=

4 3


= x

Solución: Como en los ejemplos anteriores, debe primero transformarsela expresión original, escribiendo la x con exponentefraccionario y luego pasándola al numerador. Debe recordar elalumno que cuando se escribe un exponente fraccionario, elnumerador es la potencia original de x (en este ejemplo es 3)y el denominador el índice del radical (en este ejemplo es 4)y que al pasar todo el exponente fraccionario al numeradorcambia su signo. Lo que se obtiene de esta transformaciónsigue siendo todavía igual a y , no a la derivada:

3 3 − 3/4

y==

3x x x

dy ⎛ 34

−1⎞⎟⎠

dx

=3⎜⎝−

n n - 1

dy 9 − 7/4

69

34 34

=

34 x

⎛−⎜⎝⎞⎟⎠


=− xdx 4

3Ejemplo 12: Derivar y =

Solución:En este caso, es necesario primero reconocer que la constante

es la fracción , es decir, la

3 ⎛ 1 ⎞

función original se puede escribir también como y = 7 ⎜⎜⎝ 5 x2

⎟⎟⎠ . Luego, escribiendo con exponente fraccionario y

finalmente pasándolo al numerador se tiene que

y = 73 ⎜⎜⎛⎝ 5 1x2 ⎟⎟⎠⎞= 73 ⎝⎛⎜ x12/5 ⎞⎟⎠

70

7 4/9

4dydx x

−=

5 27 x

( )5/2y x−=2 153 2

7 5dy xdx

⎛ ⎞− − ⎟⎜ ⎠⎝⎞⎞⎛

⎛= − ⎟⎟⎜

⎜ ⎠⎠⎝

⎝

n n - 1


dy 6 −7/5

=− xdx 35

dy 6=−

dx 35x7/5EJERCICIO 9 (Áreas 1, 2 y 3)

Calcular la derivada de las siguientes funciones:

1) y x= 9 2)

3) y=23 4)

5) y = +4x π 6)

7) y = 2x3 + 7x2 −8x− 7 8)

9) y = 7x4 − x3 + 5x2 10)

2x6 4x5 111) y = + − 12) 3 9 2

113) y = x4 14)

4 215) y = x − x3 16)

2 3 6

17)5x

19)

21) y= x

23)

25) y =26)

y x= 11 y x= −5 y =4x2 − −x 6 y = 5x5 +3x2 − −6x 6

71

5 49 7x x− +4 5x7

8 71x

3x3

y =4

2x2

−7

+9x

9x2

y =24

y = 8

x

3x − 5

− 7

6y = 5

3x

2+ 2

5x

7 −9x


y =

4.3 FÓRMULAS GENÉRICAS (Áreas 1, 2 y 3)

El siguiente paso es trabajar con fórmulas generales, noparticulares como lo fue en el apartado anterior. Fórmulasparticulares se refiere a que en la fórmula anterior de xn

solamente la variable x se elevaba a una potencia n; pero puededarse el caso que sea un polinomio el elevado a la potencia n,

como por ejemplo, (x3 − +5 11x )6 . La siguiente fórmula, llamada

de la potencia, está dada en forma genérica al utilizar lanotación de u para representar cualquier función elevada a lapotencia n.

d n nun−1 du dx dx

(6) u =Ejemplo 13: Hallar la derivada de y =(5x3 − 7)8

72

5 271864y

xx x= − +4 9y x=11 2y x=

7 103yx

=

N (


Solución:En este caso, si u = 5x3 − 7 , la función se convierte en y u= 8 . Aplicando la fórmula (6):

= 8 5x −

dydx 3 7) 8 1 − dxd

(5x3 −7) n u n - 1 u

Para derivar dxd (5x3 − 7) se emplean las fórmulas básicasiniciales de la página 57.

dydx = 3 7)(7 15x2 ) 85( x −

o bien

dy 120 5x2 (

73


x3 −7)7

=dx

Ejemplo 14: Calcular la derivada de y =(6x4 + 2x3 − x2 +8x−11)4

Solución: En este caso, si u =6x4 +2x3 − + −x2 8 11x , la función se

convierte en y u= 4 . Aplicando la fórmula (6):

dydx = 4 6( 4 + 2x3 − x2

+8x−11)

N4 −1 dxd

( 6x4 + 2x3 − x2 +8x−11) x

n u n - 1 u

y efectuando la derivada indicada al final:dy 4 6( x4 +2x3 − + −x2 8 11 24x 3 x3

+6x2 − +2x 8) dx = ) (Ejemplo 15: Obtener la derivada de y =

Solución: En éste y en los ejemplos sucesivos, deberán emplearseexponentes fraccionarios y/o negativos exactamente como sehizo en los ejemplos 8 a 12 de las páginas 62 a 66, paraconvertir la función a la forma un . Entonces

74

N


y = (4x + 13)- 1

y la derivada es

dy =− − −1 1 d 4x+13) dx N14( x+13)N dx (

n u n - 1 u

dy =−1 4( x+13)− 2( )4 dx

dy −4=

dx (4 13x+ )2

Ejemplo 16: Hallar la derivada de y = (9x2 +12x−2)5

Solución:Escribiendo la función con exponente fraccionario: y=(9x2

+12x−2)5/2 . De esta mane-

ra ya se puede emplear la fórmula de la derivada de un :

75


9x +

dydx 52 ( 2 12x−2)

52 dxd ( 9x2

+12x−2) n u n - 1 u

dy 5 2

= (9x +12x − 2)(18x

+12)dx 2

14Ejemplo 17: Derivar y=

4 (x3 −9x2 + −8x 5)7

Solución:Escribiendo la función con exponente fraccionario:

14 3 9x2 + −8x 5)− 7/4

y= 7/4 =14(x −

(x3 −9x2 + −8x 5)con lo que ya se puede emplear la fórmula de un :

76

N1−

N=


dydx = ⎛ 7 ⎞ x3 −9x2 +8x−5)74 −1 dxd ( x3 −9x2 +8x−5)

14 ⎜− 4 ⎠⎟ ( ⎝

n u n - 1 u

dydx =− 984 (x3 −9x2 +8x−5)− (3x2 −18x+8)dy 49 x3 −9x2 + −8x 5)−(3x2 −18x+8)

=− (dx 2

Ejemplo 18: Hallar la derivada de y =

Solución:Escribiendo la función con exponente negativo:

y=13 5( x3 +5x2 + −5x 4)−6

con lo que ya se puede emplear la fórmula de un:

77

N−


dydx =13 N(− 6) (5x3 + 5x2 + 5x− 4)N− −6 1 dxd ( 5x3 + 5x2 +

5x− 4)

n u n - 1 u

dy 78 5( x35x2 + 5x− 4)−7 (15x2 +10x+ 5)=− +

dx

dy−78 15( x2 +10x+5)= dx (5x3 +5x2 +

−5x 4)7

78


EJERCICIO 10 (Áreas 1, 2 y 3)

Hallar la derivada de las siguientes funciones:

1) y =(7x4 −8x3 +8x2 −11x−9)7 2)

y =(x5 + x2 −19x−11)9

3) y =(4 − −x 6x2 − x3)8 4) y =(9 − −x 9x5 + x6)6

5)6)

7)8)

9) y= 10)

11) y=12 12) y=7

13) y= x2 + +8 11x 14) y=

==

5 3 (x4 +

−x2 x)74 3 (x3 −11x2 − +9x 7)8

79

( )72 2y xx= ++

( )635 75 xy −=

( )457 83y xx= −−

( )97210 6 6x xx− −

3 25 91x xy x+= +−

)(923 4 4y xx= −−

)(1110 6 x−

( )83 47 5 7xx x−−

13

715) y= 5

(x3 − +x2 7x)

916) y= 8

5 3( x2 + +5x 6)17

17) y9

18) y


819) y=20)

9 3 (9x2 +18 11x− )18

12 y=

5 9 (6 12x− x5 )10

80

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