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Arthur Ribeiro de Alvarenga et al.
ResumoEsse artigo aborda a influência da configuração geo-
métrica inicial na carga-limite de portais planos de aço,determinada empregando-se uma análise inelástica desegunda ordem baseada na aplicação do método da zonaplástica. Essa configuração geométrica inicial inclui im-perfeições como a curvatura inicial e o fora de prumo, quefazem parte dos requerimentos mínimos para se qualificaressa análise inelástica como avançada. Os passos neces-sários para desenvolver essa análise serão mostrados,incluindo a formulação, as exigências de cálculo e os exem-plos utilizados nesse estudo. Finalmente, são apresenta-dos as conclusões e um roteiro de análise, que podemauxiliar o engenheiro a estabelecer a configuração inicialmais crítica, a partir da qual pode-se determinar a carga-limite de um problema estrutural mais complexo.
Palavras-chave: pórticos metálicos, análise avançada,método da zona plástica, configurações iniciais,imperfeições geométricas.
AbstractThis paper studies the contribution of initial
geometric configuration to the limit load defined by asecond-order plastic-zone inelastic analysis applied tosteel plane frames. This initial configuration mustinclude geometric imperfections (out-of-straightnessand out-of-plumb) that are required for qualifying theinelastic analysis as advanced one. The necessary stepsto apply this analysis are shown, including formulation,requirements and the studied examples. Lastly, a step-by-step procedure and a conclusion are given, providingthe critical initial configuration by which the engineerwill define the limit load for more complex structuralproblems.
Keywords: steel frames, advanced analysis, plastic-zonemethod, initial configuration,geometric imperfections.
Engenharia Civil
A configuração geométrica inicial na análiseavançada de portais planos de aço
Arthur Ribeiro de AlvarengaPROPEC - Mestrado em Construção Metálica - Departamento de Eng. Civil
Escola de Minas - UFOP - Ouro Preto, MG, BrasilE-mail: [email protected]
Ricardo Azoubel da Mota SilveiraPROPEC - Mestrado em Construção Metálica, Professor Adjunto
Departamento de Eng. Civil - Escola de Minas - UFOP - Ouro Preto, MG, BrasilE-mail: [email protected]
REM: R. Esc. Minas, Ouro Preto, 59(2): 185-197, abr. jun. 2006186
A configuração geométrica inicial na análise avançada de portais planos de aço
1. IntroduçãoA evolução dos recursos computa-
cionais nas últimas décadas possibilitouo desenvolvimento da análise estruturalem teoria de segunda ordem, por conse-guinte uma modelagem mais próxima darealidade, na qual o estudo da estabili-dade pôde, efetivamente, ser realizado,principalmente para sistemas estruturaismenos esbeltos.
O método dos elementos finitos, ométodo dos estados limites e a avalia-ção da plasticidade distribuída, em con-junto, formam uma base para incessan-tes pesquisas em todo o mundo, culmi-nando, agora, com o crescimento do con-ceito denominado análise avançada.
A análise avançada é definida comouma análise inelástica de segunda ordemmuito precisa, em que são incluídas im-perfeições na modelagem da estrutura,como a curvatura inicial (CI), o fora deprumo (FP) e as tensões residuais (TR),entre outras que podem ser atribuídas, ecumprindo ainda severas exigências, deforma a se obter uma carga-limite atra-vés da qual não sejam necessárias ou-tras verificações de resistência ou de es-tabilidade para a estrutura analisada na-quele plano (Chen et al., 1996).
Pretende-se, então, neste artigo, ex-plorar o conceito da análise avançada,dando ênfase à configuração geométri-ca inicial, que precisa incluir as imperfei-ções já citadas, ou seja, são avaliadosos efeitos da curvatura inicial e fora deprumo sem, no entanto, se preocupar coma influência das tensões residuais.
Este trabalho procura, então, apre-sentar, sob a ótica da plasticidade distri-buída ou método da zona plástica (ZP),uma estratégia de análise não-linear apli-cada às estruturas metálicas e a seu di-mensionamento (Alvarenga, 2005). Tra-ta-se de uma contribuição do PROPEC/DECIV/EM/UFOP, mais especificamen-te da linha de pesquisa Comportamentoe Dimensionamento de Estruturas Me-tálicas, que visa a estudar, isoladamen-te ou em conjunto, as diversas partes deuma estrutura. Entre outras contribui-ções do PROPEC nessa área, destacam-se: Caldas (2004), Machado (2005) e
Rocha e Silveira (2005). Os dois últimosabordam a inelasticidade do aço atravésdo método das rótulas plásticas, ditaplasticidade concentrada.
São apresentadas, na próxima se-ção, algumas considerações sobre a aná-lise avançada. Na seção 3, são feitos co-mentários sobre a formulação numéricado método da zona plástica, com o em-prego da técnica das fatias (Lavall, 1996);já a seção 4 aborda tópicos da implemen-tação computacional realizada; em segui-da, nos exemplos numéricos, estudam-se os portais de Vogel (1985) e o modifi-cado de Zhou (Zhou et al., 1990; Alva-renga, 2005), onde os efeitos das imper-feições geométricas da configuração ini-cial são tratados. Por fim, são feitas con-siderações importantes envolvendo osresultados obtidos e é apresentado umroteiro de cálculo para projetistas estru-turais que desejam utilizar, como ferra-menta, a análise avançada.
2. Análise avançadaA norma australiana AS4100 (1990)
foi a primeira a reconhecer que, se todosos aspectos significativos do comporta-mento da estrutura no plano são ade-quadamente modelados numa análiseinelástica de segunda ordem, a verifica-ção de barras à flexo-compressão porfórmulas de interação seria desnecessá-ria. Assim, o termo avançada significaque a análise estrutural também inclui oprocesso de dimensionamento, caracteri-zando, assim, um avanço (um passo adi-ante) na direção de projeto estrutural.
Também a carga-limite resultanterepresentará uma carga real, similar a queseria obtida no caso de um ensaio delaboratório procurando reproduzir o mo-delo original do problema, ou seja, é umvalor de grande confiabilidade.
Para se realizar uma análise avan-çada, diversas atribuições podem serestabelecidas e várias exigências devemser cumpridas. Chen e White (1993) for-neceram um sumário de atributos quepodem ser considerados em uma análiseavançada. Nesse trabalho são conside-rados os seguintes atributos:
a. A não-linearidade geométrica, com osefeitos de segunda ordem: P∆, Pδ eMΦ (ver Figura 1a-b).
b. A não-linearidade física, avaliando aplasticidade distribuída com ZP.
c. As imperfeições geométricas iniciais:fora de prumo e curvatura inicial.
Além disso, supõe-se, também, que:as tensões residuais iniciais não interfe-rem nesses resultados, as barras são to-das adequadamente travadas fora do pla-no, as seções transversais dos perfisadotados são geometricamente simétri-cas, todos os elementos finitos (EF) sãoprismáticos, todos os painéis são rígi-dos (com enrijecedores adequados), to-das as ligações são rígidas (soldadascom penetração total) e todas as cargassão aplicadas estaticamente, considera-das centradas e conservativas e do tipoincremental ou fixa. O efeito das tensõesresiduais será tratado nos próximos tra-balhos dos autores.
Por outro lado, não é correto deno-minar qualquer análise inelástica de se-gunda ordem como uma análise avança-da. Para isso, algumas exigências devemser cumpridas, como:a. Usar uma formulação matemática ri-
gorosa fundada em teorias bem co-nhecidas da mecânica de sólidos edos materiais.
b. As resistências, as deformações, asdistribuições internas dos esforços,as tensões, etc. devem ser confron-tadas, previamente, com resultadosde ensaios em escala real ou pórti-cos de calibragem, contidos na lite-ratura mundial, como os trabalhos deVogel (1985) ou Zhou et al. (1990). Acarga-limite encontrada, seja de re-sistência ou de estabilidade, não poderáser superior em 5% (não conservadora)aos resultados dos bancos de prova.
c. Os esforços solicitantes nas seçõesnão podem violar a resistência máxi-ma definida pela condição de plasti-cidade completa da seção.
d. A plasticidade distribuída deve seravaliada, tanto na deformação axial,como na deformação por flexão, oucombinadas; e, quando a seção soli-citada está num ponto da superfície
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Arthur Ribeiro de Alvarenga et al.
de plastificação, acréscimos de axialdevem provocar a redução do mo-mento plástico correspondente.
Existem vários métodos de análiseinelástica de segunda ordem capazes derealizar uma análise avançada, mas ométodo da zona plástica pode ser consi-derado o que fornece resultados maisprecisos, por isso foi adotado no pre-sente trabalho.
Os fundamentos teóricos e algunsdetalhes da implementação computacio-nal das diversas estratégias ou métodosde análises inelásticas podem ser encon-trados numa publicação de 1993, nosEUA, intitulada “Towards AdvancedAnalysis in LRFD” (Chen e White, 1993).Trata-se, basicamente, de um relatóriopara o SSRC (Structural StabilityResearch Concil), que contou com a co-laboração de vários pesquisadores,como R.D. Ziemian, M.J. Clarke, J.Y.R.Liew e outros.
Esse artigo procura, também, dar asua contribuição para que a análise ine-lástica, usando ZP, possa ser emprega-da pela nossa engenharia estrutural.
3. Formulaçãonumérica
O método da zona plástica (ZP)requer, usualmente, o emprego de uma
malha de EF mais fina, na qual se preten-de monitorar a formação das zonas plás-ticas. Esse é um método mais preciso,porém exige grande esforço computaci-onal. Destacam-se, aqui, as seguintespublicações relacionadas com a aborda-gem da ZP: Clarke (1994), Foley e Vin-nakota (1999) e Folley (2001). No Brasil,vale destacar os trabalhos de Lavall(1996) e Pimenta (1996), com a utilizaçãode uma aproximação denominada de téc-nica das fatias, que será adotada tam-bém no presente trabalho.
As barras utilizadas na modelagemdas estruturas são consideradas prismá-
ticas, compostas de EF interligados,cada elemento com extensão L, conecta-do a dois nós, como mostra a Figura 2a.Todas as barras (e os EFs) possuem se-ções homogêneas (nesse trabalho: per-fis I de aço, duplo simétricos, altura h,largura b, espessuras t na aba e a na alma,como ilustrado na Figura 2b). Por suavez, cada EF é composto de subdivisõesretangulares longitudinais denominadasfatias e, através dessas fatias, se avalia azona de plastificação, ou como se distri-bui a plasticidade (Owen & Hinton, 1980).
Na técnica das fatias, considera-seque a fibra (linha de centro de cada fatia,
a) Curvatura de barra b) No deslocamento lateral
Figura 1 - Efeitos de segunda ordem.
a) Barra e elemento b) Elemento e fatia c) Fatia e fibra
Figura 2 - Modelagem da zona plástica.
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A configuração geométrica inicial na análise avançada de portais planos de aço
como mostra a Figura 2c) determina oestado da fatia, em cada passo de carga,através do seu estado de tensão e dedeformação correspondente. O estadode todas as fatias, em conjunto, estabe-lece a situação das seções nas extremi-dades do EF, e, portanto, o comporta-mento do próprio EF, avaliando, assim, aZP.
A formulação adotada nesse traba-lho tem, então, as seguintes característi-cas (Lavall, 1996; Alvarenga, 2005):
a. Utiliza um referencial Lagrangianoatualizado corrotacional para acom-panhar o movimento do elemento fi-nito e, dessa maneira, minimiza a in-fluência das rotações de corpo-rígi-do na qualidade dos resultados (Sil-veira, 1995).
b. Aplica uma relação constitutiva nafibra com tensões de Biot e alonga-mento linear, considerando o materi-al elástico-perfeitamente plástico.
c. Introduz simplificações baseadas nateoria de Bernoulli-Euler, complemen-tada pelas colaborações de Navier,Vlassov, Neal e Galambos (Alvaren-ga, 2005).
d. Define um campo de deslocamento,a partir de três componentes corro-tacionais, e aproxima a deformaçãoda fibra como uma função linear dadeformação da fibra do centróide eda posição relativa da fibra conside-rada ao centróide.
e. Adota funções de interpolação queexpressam o estado de deformaçãoem relação ao campo de deslocamen-tos corrotacionais.
3.1 Matriz de RigidezNo contexto do método dos elemen-
tos finitos, a relação de equilíbrio não-linear do problema estrutural, na formaincremental, que é resolvida aqui atra-vés do processo incremental-iterativo deNewton-Raphson, pode ser expressasegundo:ωS ω+1∆u = ω+1∆F, (1a)
em que os vetores de deslocamentos nodais u e esforços F, no passo atualizadoω+1, são obtidos através da soma dos vetores no passo anterior ω, com os vetoresacréscimos estabelecidos pela relação com a matriz de rigidez global S, isto é:ω+1u = ωu + ω+1∆u (1b)ω+1F = ωF + ω+1∆F (1c)
A matriz de rigidez na forma global é definida através da soma ordenada damatriz de rigidez de cada EF, K, que, por sua vez, é obtida por diferenciação daexpressão do campo de deformações e cuja expressão é mostrada a seguir (Alva-renga, 2005):
K = Kep + Kh + Kgα (2)
sendo Kep a parcela constitutiva, Kh a parcela de curvatura (que avalia Pδ) e Kgα aparcela de movimento de corpo-rígido (que avalia P∆ e Mφ). Essas matrizes sãodefinidas através das expressões:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−
=
EDCBA
EDBEDCDCBABA
.sim0
2/0
00
epK(3a)
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−
=
HGF
JGHGFGF
.sim000
00
000000
hK(3b)
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−−−
=α
00.sim000000000000
g
NM
NMNMM
K(3c)
com os coeficientes A, B, C,..., M e N, dados por:
.)30L/(QH ,L/)QQ( M,/LQN ,LHJ
,J4H ,LH3G ,H6F ,L/ 4DE),L (L / 6DD ,)LL / (12DC ,L /DB ,L/DA
d 1m2d32d1
2dm
dmmr 3m
dr3m2d r 3mr 2mrm1
=+===
========
(4)
Observe que esses termos são expressos em função do comprimento do EF dereferência (na configuração inicial) Lr e do comprimento deformado (na configura-ção atualizada) Ld, como mostra a Figura 3a. As integrais de propriedades elasto-plásticas da seção são avaliadas pelas variáveis D1m, D2m e D3m através das expres-sões:
Dkm= 0.5(Dka + Dkb), com 1 ≤ k ≤ 3 (5)
em que se avalia no nó índice j (a ou b):
[ ]∫ ∑=
−− ==rA
fatiasn
1iri
)1k(ciijr
)1k(cjkj dA)y(DdA)y(DD
(6)
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Arthur Ribeiro de Alvarenga et al.
ou seja, D1j , D2j e D3j avaliam numerica-mente a integral de (D dA), (D yc dA) e(D yc² dA), respectivamente, no nó j (so-mando em todas as fatias da seção); Dij éobtido pela relação dσ/dε do material (verFigura 3b) para cada fatia i do nó j; e yc éa cota atualizada da fibra de cada fatia aocentróide da seção remanescente elásti-ca (que não necessariamente coincidecom o eixo do EF, caso aconteça plastifi-cação do elemento). Por fim, as grande-zas Q1, Q2 e Q3, indicadas também na Fi-gura 3c, definem os esforços corrotacio-nais.
O desenvolvimento dessas relaçõespode ser visto com maiores detalhes emAlvarenga e Silveira (2005) ou Alvaren-ga (2005).
3.2 Integração iterativa dos esforços normaisOs esforços solicitantes N (normal) e M (momento-fletor) podem ser obtidos,
em cada nó j do elemento, por integração direta das tensões nas fatias, ou seja:
[ ] dA dA NrA
fatias n
1iri irj ∫ ∑
=
σ=σ= (7a)
[ ]
i ∫ ∑=
σ=σ=rA
fatiasn
1irici rcj dAydAyM (7b)
nos quais σi e Ari representam a tensão e a área de referência da fatia i, avaliada no nój. Porém, como se exige que nos dois pontos nodais do elemento Na ≅ Nb, e como sesupõe que não podem ocorrer tensões superiores à de escoamento σy, quandoacontece, por exemplo, a plastificação apenas de um nó do EF, como ilustrado naFigura 4a, aparece, então, uma diferença dN = Na - Nb ≠ 0.
Figura 3 - Comportamento da fibra e do material.
a) Comprimento da fibra b) Tensão-deformação c) Esforços globais e corrotacionais
Figura 4 - Avaliação da plasticidade distribuída.
a) Plastificação do EF (ZP) b) Esforços desequilibrados no EF c) Integração iterativa
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A configuração geométrica inicial na análise avançada de portais planos de aço
Com o intuito de reduzir essa di-ferença dN, foi implementado, no pro-grama computacional, um processo ite-rativo de integração. Esse processo éfeito calculando-se um acréscimo de de-formação no nó onde aconteceu o dese-quilíbrio dado por δεj = dNj/Acj, na qualAcj é a área da seção conhecida (naque-la iteração), avaliada no nó de índice j (aou b), que é atualizada iterativamente.Assim, novas tensões serão obtidas e,também, outros esforços e o ciclo serárepetido até que os valores obtidos apre-sentem diferenças dentro de uma dadatolerância.
4. Comentários sobrea implementaçãocomputacional
O desenvolvimento da ferramentacomputacional usada neste trabalho se-guiu o fluxograma geral de solução deproblemas estruturais não-lineares apre-sentado por Owen e Hinton (1980). Fo-ram previstas, adicionalmente, possibili-dades de expansões, de recursos auto-máticos de geração da malha e, princi-palmente, de geração da configuraçãogeométrica inicial com imperfeições,como é proposto em seguida.
Acompanhando a Figura 5a, ondeé caracterizado um EF genérico, o forade prumo (FP) de cada EF (numa cota x1,
por exemplo) corresponde a uma fração∆1 proporcional ao valor máximo ∆0 emrelação à extensão L da coluna, usual-mente definido com o valor ∆0 = L/500,como mostra a Figura 5b.
A curvatura inicial (CI), na forma dearco senoidal (ou na forma de arco decírculo, como adotada no presente tra-balho), é relacionada pela expressão dadeflexão δ1, calculada na cota x1, quandoem L/2 tem-se a flecha máxima δ0, que,normalmente, é avaliada como sendoL/1000 (ver a Figura 5c).
Já a imperfeição combinada CI + FPda coluna, por exemplo, é gerada aquipara cada cota x1, primeiramente fazendoa avaliação da CI com δ1 e, depois, so-mando o traslado do FP ∆1, como indica-do na Figura 5d. Com esse procedimen-to, consegue-se obter o valor de δ0(L/1000) exatamente localizado na cotaL/2.
5. Exemplos numéricosEssa seção traz dois exemplos de
aplicação da análise avançada com ZPem portais planos de aço. O primeirosistema estrutural tem o objetivo devalidar a teoria exposta; o segundoexemplo é destinado à verificação dainfluência da imperfeição geométricainicial (FP e CI) no comportamento dopórtico em estudo.
5.1 Portal de Vogel (1985)Esse portal é um problema de ban-
co de provas mundial, usado freqüente-mente para validar análises inelásticasde segunda ordem. Como ilustrado naFigura 6, trata-se de um portal engasta-do nas bases, sujeito, simultaneamente,a duas cargas verticais P = 80 % de Ny euma carga horizontal de distúrbioH = 1.25 % P, todas aplicadas de formaincremental. Na modelagem desse pó-tico, já se impõem os valores das im-perfeições geométricas: fora de prumo(∆0 = L/400 = 1.25 cm) e curvatura inicial(δ0 = L/1000 = 0.5 cm). O material é consi-derado elástico perfeitamente plástico,com o módulo de Young E = 20500 kN/cm²,aço ASTM A 7, com tensão de escoa-mento σy = 23.5 kN/cm².
Os perfis laminados europeus HEB300 e HEA 340 são aproximados por equi-valentes, ajustando-se as medidas (t ea), conforme a Tabela 1. São considera-das, também, as tensões residuais du-plamente lineares, segundo os padrõeseuropeus, com valor máximo 0.5 σy.
Vários pesquisadores realizaramanálises inelásticas nesse portal, de ondedestacam os trabalhos de Ziemian (1992),Clarke (1994) e, recentemente, Machado(2005), que usou a abordagem da plasti-cidade concentrada. A trajetória de equi-líbrio desse sistema, obtida através pro-
Figura 5 - Imperfeições geométricas das barras.
a) Barra genérica b) Fora de prumo c) Curvatura inicial d) Efeitos conjugados
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grama desenvolvido, é apresentada naFigura 7 juntamente com outros resulta-dos extraídos da literatura. Adicional-mente, os valores do fator de colapsoversus deslocamento no topo do portalsão mostrados na Tabela 2. A Tabela 3indica os esforços na situação pré-co-lapso.
Através da Figura 7 e das tabelasapresentadas, pode-se comprovar queos resultados oriundos desse trabalhoestão coerentes com os da literaturamundial.
5.2 Portal de Zhou et al.(1990) modificado
O portal de aço analisado nessa se-ção é ilustrado na Figura 8a, sendo umamodificação do proposto inicialmentepor Zhou et al. (1990). As colunas e vigasão de perfil WF 8´31, com seção equi-valente mostrada na Figura 9 e dados daTabela 4. O material é considerado elás-tico perfeitamente plástico, com o mó-dulo de Young E = 20000 kN/cm², açotipo ASTM A 36, com tensão de escoa-mento σy = 25 kN/cm² e adota-se o mo-delo sem tensões residuais (σr = 0). Sãoaplicadas duas cargas P = Ny e uma car-ga horizontal H = 0.5Hy, no topo das co-lunas, sendo Hy = MP/A.
Deseja agora estudar o que acon-tece com a carga-limite em relação às vá-rias configurações geométricas iniciaiscom imperfeições que serão idealizadas.Em todos os modelos de EF são consi-deradas a CI com δ0 = A/1000 e o FP de∆0 = A/500.
Figura 6 - Portal de Vogel (1985).
Figura 7 - Trajetórias de equilíbrio do portal de Vogel.
Tabela 1 - Propriedades das seções I do portal de Vogel.
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A configuração geométrica inicial na análise avançada de portais planos de aço
Tabela 2 - Carga de colapso λcol versus deslocamento uAn no portal de Vogel.
0bs.1) Mahen: Mahendran e Kim e Lee = elemento de casca do Abacus em 3D.2) Métodos: ZP= zona plástica, ERP = elástico com rótula plástica de segunda ordem, ERP-R = elástico com rótula plástica-refinado, ERP-M = elástico com rótula plástica e seção montada, ERP-CN = elástico com rótula plástica e cargas nocionais,s/ TR = sem tensões residuais, PT = presente trabalho.
Tabela 3 - Esforços nos EFs do portal de Vogel.
Obs.: NA e NB= normais nas colunas da esquerda (A) e da direita (B), NV= normal na viga, Q1 e Qn= cortantes superior e inferiorna coluna A, MA1,MAn= momentos-fletores na base e no topo da coluna A, MB1,MBn= idem para coluna B, EF/col.= número de EFsusados para modelar cada coluna.
Estudam-se, inicialmente, as varia-ções de CI indicadas na Figura 10. Osresultados obtidos aqui para essas vari-ações são apresentados na Tabela 5. Emseguida, a imperfeição FP é avaliada nassituações da Figura 11 e os resultadosencontrados são mostrados na Tabela 6.Vale ressaltar que, nesse caso (FP ape-nas), não se introduziu a carga horizon-tal H, visto que esta aumenta o desloca-mento no topo, e, conseqüentemente, au-menta o efeito P∆, mascarando, assim, o
efeito do FP que se deseja avaliar. Final-mente, com as diversas situações da Fi-gura 12, avaliam-se as combinações dasimperfeições CI e FP, obtendo-se, então,os resultados mostrados na Tabela 7.
Após esses estudos, pode-seafirmar que a carga-limite do portal éλ = 64.5%. Mais importante, entretanto,é verificar que a configuração deforma-da crítica do portal é semelhante à mos-trada anteriormente na Figura 8b.
6. Consideraçõesfinais
A partir do último exemplo, presu-me-se que a consideração de FP e de CIgera várias possibilidades de configura-ções iniciais a serem estudadas numaestrutura maior, como, por exemplo, umprédio de andares múltiplos, o que tornao problema complicado e extenso.
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Figura 8 - Portal de Zhou et al. (1990) modificado.
a) sem imperfeição b) com imperfeição
Figura 9 - Perfil adotado para as colunas e viga.
a) W 8 x 31 americano b) I equivalente c) tensões residuais
Tabela 4 - Propriedades da seção WF 8´31 das colunas.
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A configuração geométrica inicial na análise avançada de portais planos de aço
Figura 10 - Estudo da curvatura inicial nas colunas.
Figura 11 - Estudo do fora de prumo das colunas.
a) forma ) ( b) forma ( ( c) forma ( ) d) forma ) )
a) forma / / b) forma / \ c) forma \ /
Tabela 5 - Efeito da CI no portal modificado (c/H: β= +0.5).
Tabela 6 - Efeito do FP no portal modificado.
Quando as cargas verticais não sãopreponderantes nas colunas (esforçosnormais pequenos), os efeitos secundá-rios serão também menores e pode acon-tecer um limite de resistência por forma-ção de mecanismo plástico de colapso(de viga, de andar ou combinado). Nes-ses casos, a configuração inicial poucointerfere no resultado final.
Entretanto, quando os valores dosesforços normais, nas colunas, não sãodesprezáveis, o colapso será determina-do, invariavelmente, pela flambagem(elástica ou inelástica) de uma parte oude todo o sistema estrutural. Se a estru-tura é esbelta, a flambagem tende a acon-tecer no regime elástico e a possível plas-ticidade, se acontecer, é localizada, nãomodificando o comportamento da estru-tura.
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Figura 12 - Estudo da curvatura inicial e fora de prumo conjugados.
Tabela 7 - Efeito do CI e FP conjugados, no portal modificado.
Obs.: Efeito de ∆0 = A / 500 e δ0 = A / 1000 em 2 colunas, sem TR.
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A configuração geométrica inicial na análise avançada de portais planos de aço
No caso da estrutura robusta, aflambagem será inelástica e, então, osefeitos secundários tornam-se importan-tes. Por isso a configuração inicial é fun-damental, visto que essa configuraçãodetermina se a estrutura atingirá o co-lapso (flambagem) rapidamente ou não,ou seja, se a carga-limite mínima (que sedeseja determinar com precisão) da aná-lise avançada é obtida com uma dadaconfiguração ou não.
Assim, chega-se à seguinte conclu-são: a configuração crítica de flamba-gem inelástica de uma estrutura, comcolunas robustas, sujeita a um dadocarregamento, é semelhante à configu-ração geométrica com imperfeições ini-ciais de aspecto similar, de onde se ob-tém o menor valor do fator de carga λpara atingir o colapso.
Isso significa que, quando o colap-so é determinado por flambagem, qual-quer configuração inicial com imperfei-ções, no contexto da análise avançada,leva a uma mesma configuração de co-lapso. Portanto, uma vez determinada aconfiguração deformada de colapso,pode-se ajustar, antecipadamente, a con-figuração inicial com imperfeições quese aproxime dessa deformada e, conse-qüentemente, o fator de carga de colap-so tenderá a ser o mínimo.
Isso é uma recíproca da idéia deChwalla (1934), no que se refere às cur-
vas de deflexão de colunas, onde era estimada a configuração final de flambagemdas colunas a partir dos esforços que ali atuavam. Note que os esforços estãorelacionados aos deslocamentos e, portanto, à configuração de flambagem, ou seja,à deformada inelástica.
A demonstração dessa conclusão pode ser feita acompanhando-se a Figura13a, onde se mostra o portal estudado com a configuração com imperfeições iniciaiscrítica, porém na direção oposta ao esforço horizontal H (portal oposto). Se nãohouvesse essa carga, a configuração de flambagem seria oposta à indicada na Figu-ra 13b. No entanto, a configuração de flambagem repete, por assim dizer, a produzidacom a configuração inicial da Figura 8b.
Como a configuração inicial da oposta (Figura 13a) é exatamente o contrário damais crítica (Figura 8b), devem-se encontrar valores de fatores de carga maiores,como de fato foram obtidos:
a. escoamento: λy = 65.3 (oposto) > λy = 55.7 (limite); e
b. flambagem: λcol = 71.8 (oposto) > λcol= 64.5 (limite).
Note que os valores de λ do portal oposto são também superiores a todos osindicados na Tabela 7, ou seja, a configuração inicial pode favorecer (ou desfavore-cer), desde que esteja reproduzindo favoravelmente (ou não) o aparecimento daconfiguração de flambagem inelástica. É importante salientar que essa propostasomente é verificada para problemas onde não ocorrem condições antagônicas deesforços e efeitos secundários.
Deve-se esclarecer que as tensões residuais não alteram essa conclusão, porisso não foram incluídas nesse exemplo.
Apresenta-se, agora, um roteiro para aplicação da análise avançada, conside-rando a influência da configuração inicial (colapso por flambagem inelástica), com-posto dos seguintes passos:
a. Fazer o lançamento da estrutura ou esboçar a concepção estrutural.
b. Realizar um cálculo preliminar elástico de primeira ordem, para uma visão inicialdo comportamento estrutural e fazer o pré-dimensionamento (estimar os perfis).
c. Executar um cálculo elástico de segunda ordem, com o objetivo de obter a defor-mada da estrutura, ou configuração deslocada básica, e avaliar se é necessário
Figura 13 - Demonstração da conclusão.
a) configuração inicial com imperfeições b) configuração de colapso
197REM: R. Esc. Minas, Ouro Preto, 59(2): 185-197, abr. jun. 2006
Arthur Ribeiro de Alvarenga et al.
desenvolver um modelo inelástico(verificar se ocorre plasticidade e seisso afeta o comportamento da es-trutura).
d. Com base nos resultados anteriores,para cada hipótese, deverá o enge-nheiro, usando, também, da sua ex-periência, dispor as imperfeições ge-ométricas que sejam favoráveis à ob-tenção da configuração de colapso.
e. Realizar a análise inelástica de segun-da ordem e determinar a configura-ção de colapso, ajustando, em segui-da, as imperfeições geométricas, deforma a procurar reproduzir condi-ções para que essa geometria inicialfavoreça o aparecimento da configu-ração final, ajustando e voltando aopasso (e), quando acontecer a intro-dução de modificações ou alteraçõesde comportamento.
f. Por fim, executar a análise avança-da e verificar, assim, o dimensiona-mento.
g. Analisar os resultados, ajustar per-fis, materiais ou a configuração inici-al, retornando aos passos (d), (e) ou(f), se necessário.
h. Verificar adequação ao uso (as de-formações sob carga de trabalho) eas condições complementares, inclu-sive as requeridas pelo método, se-guindo tal procedimento para o res-tante do cálculo e dimensionamento.
Por fim, deve-se salientar, mais umavez, que todo esse estudo torna-se ne-cessário, porque, na análise avançadacom o método da zona plástica, as im-perfeições geométricas devem ser intro-duzidas, explicitamente, nos modelos.
7. AgradecimentosOs autores agradecem ao apoio re-
cebido do CNPq, FAPEMIG, PERSEC eUSIMINAS para a realização desse tra-balho de pesquisa.
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Artigo recebido em 22/02/2006 eaprovado em 24/02/2006.
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