MODELAÇÃO GEOMÉTRICA B-SPLINES PARA A A N ~ I S E DO

COMPORTAMENTO DINÂMICO EM SISTEMAS OFFSHORE.

Fábio Gouveia Telles de Menezes

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS

PROGRAMAS DE pós-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE

FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS

PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM cIÊNc~X~ EM ENGENHARIA

OCEÂNICA.

Aprovada por:

Prof Protásio Dutra Martins Filho, Ph. D.

Prof. Paulo de Tarso Themistocles Es&rança, D:Sc. ---

do Amara1 Vasconcelos, D. Sc.

L~r.-de Oliveira, D. Sc.

RI0 DE JANEIRO, RJ - BRASIL

FEVEREIRO DE 2005

v

Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a

obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.).

MODELAÇÃO GEOMÉTRICA B-SPLINES PARA A ANÁLISE DO

COMPORTAMENTO DINÂMICO EM SISTEMAS OFFSHORE.

Fábio Gouveia Telles de Menezes

Fevereiro/2005

Orientador: Protásio Dutra Martins Filho.

Programa: Engenharia Oceânica.

Este trabalho desenvolve um estudo da teoria de curvas e superfícies B-Spline

aplicado à definição geométrica de cascos de navios e plataformas de perfuração e

exploração de petróleo, visando a modelação geométrica do casco de sistemas flutuantes

compatível com métodos e ferramentas sofisticadas de análise do comportamento funcional

do objeto do projeto. O sistema WAMIT foi tomado como referência na pesquisa devido à

sua aceitação profissional como ferramenta de análise do comportamento hidrodinâmico de

sistemas flutuantes. O modelo matemático da superfície do corpo flutuante é fornecido ao

programa WAMIT no formato requerido para a análise de movimentos do casco quando

submetido à ação de ondas. A qualidade dos resultados obtidos com a modelação B-Splines

foi avaliada pela comparação aos obtidos com a definição geométrica do corpo com painéis

planos. B-Splines mostrou-se uma modelação acurada e computacionalmente mais eficiente

do que com o uso de painéis planos, além de se revelar uma abordagem mais adequada ao

processo de projeto pois simplifica efetivamente a definição da.geometria do casco de

sistemas flutuantes.

vi

Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partia l fulfillment of the requirements

for the degree of Master of Science (M.Sc.).

B-SPLINES GEOMETRIC MODELING FOR DYNAMIC ANALYSIS

BEHAVIOUR IN OFFSHORE SYSTEMS.

Fábio Gouveia Telles de Menezes.

February/2005

Advisor: Protásio Dutra Martins Filho.

Department: Ocean Engineering.

This work reports a study of B-Spline curves and surfaces applied to the geometric

definition of hulls of ships and oil drilling and production platforms. The research aims at

defining mathematically the floating body surface in suitable formats for the analysis of

functional behaviour of the design object with sophisticated methods and tools. The

WAMIT system was chosen as a reference in the research due to its reliability as a

professional tool for hydrodynamic behaviour of floating systems in practise. The B-Spline

model is input to the WAMIT system in the required format for the analysis of hull motion

response to waves. The quality of the results obtained with the B-Splines modelling was

compared the ones obtained with the flat panels. B-Splines have shown to be an effective

approach, more efficient in computing terms when compared with the flat panels approach.

It revealed itself as a more adequate procedure to the design work as it simplifies the hull

form mathematical definition of floating systems.

1

1- Introdução.

Na definição geométrica de cascos de sistemas flutuantes (navios, plataformas,

etc...) o uso das Non-Uniform-Rational B-Splines (NURBS) de quarta ordem, ou terceiro

grau, é de particular interesse por tratar-se de entidades de menor grau a permitirem o

cálculo da primeira e segunda derivada. Com isso, é possível o controle de certas

propriedades de curvas e superfícies, como ângulo de tangência em pontos específicos,

além das possibilidades de formação de pontos de quinas e cálculos de curvatura através do

uso de uma única entidade geométrica. A aplicação de NURBS inicia-se no projeto do

casco através do carenamento de curvas tais como: linhas d’água, balizas e linhas do alto,

as quais constituem as fontes de informação para a obtenção da superfície do casco. Linhas

e superfícies B-Spline têm sido usadas na Engenharia Naval e Oceânica enfocando

essencialmente a livre conformação geométrica de superfícies complexas (cascos de

navios) no estágio de geração da forma carenada (AGUILAR MOLINA, 1988).

Non-Uniform-Rational B-Splines têm o seu uso consagrado entre os sistemas

CAD/CAM na atualidade sendo praticamente um padrão de representação geométrica.

Dentre os sistemas que utilizam superfícies B-Spline como fonte de informação está o

WAMIT. Nele os diversos retalhos que constituem a superfície do casco podem ser

fornecidos seguindo-se um determinado formato de entrada de dados constituindo a base

geométrica para a realização de análises de movimentos do casco quando este é submetido

à ação de ondas. Logicamente B-Splines não constituem a única maneira de descrição de

superfícies no WAMIT, isto também pode ser feito através de elementos lineares

denominados painéis planos. Esta e aquela formas de representação resultam em dois tipos

de análise, as quais são classificados pelo WAMIT como High Order Method e Low Order

Method respectivamente. A apresentação das vantagens no uso de B-Splines em relação ao

de painéis lineares na definição geométrica, assim como a descrição dos métodos pelos

quais as B-Splines são obtidas, constitui o objetivo deste trabalho.

2

2- Representação de Superfícies e Curvas por B-Spline.

Nesta seção será apresentada a teoria relacionada à descrição de curvas e superfícies

B-Splines. Aqui são descritas as suas principais propriedades e aplicações ao caso de

sistemas flutuantes, especificamente para análises de movimentos no WAMIT, onde o uso

de B-Splines melhora a acurácia da solução (devido à representação íntegra de regiões

curvas do casco) e causa a diminuição dos tempos de execução do programa.

2.1- Entidades Não Racionais.

Primeiramente serão abordadas as descrições matemáticas e propriedades de curvas

e superfícies B-Spline não racionais, pois a passagem destas para as racionais trata-se

apenas de uma transformação de espaços vetoriais. Feito isto, será descrito o método de

ajuste de curvas e superfícies a um conjunto de pontos.

2.1.1- Curvas B-Spline.

Uma curva B-Spline é o resultado da combinação linear das funções base spline que

a constituem (daí o significado do seu nome: Basis Spline). Cada função base nada mais é

do que um polinômio no domínio paramétrico composto por sua respectiva base polinomial

de funções (1, t, t2, t3, ...tn, onde n corresponde ao grau). Cada uma das funções base B-

Spline é válida dentro de um determinado intervalo, sendo este regido pelo vetor de nós

associado à curva, cuja função é estabelecer a quantidade de subdivisões (segmentos

polinomiais) aos quais a mesma está submetida. Finalmente, a cada função base B-Spline

está associado um vértice do polígono de controle que acompanha a curva, estes vértices

representam matematicamente o fator de ponderação da função base a qual o mesmo está

relacionado. Assim sendo, a expressão de uma curva B-Spline em função de um parâmetro

t é escrita como:

12,1.2.)()( maxmin

1

1, +≤≤≤≤= ∑

+

=

nkttteqtNBtPn

ikii

3

Onde Bi são os vetores posição dos n+1 vértices do polígono de definição. Para a i-

ésima função base spline normalizada de ordem K (grau k-1), as suas bases polinomiais

Ni,k(t) são definidas pelas seguintes fórmulas recursivas:

<≤

= +

contráriocasoxtxse

tN iii ,0

,1)( 1

1,

2.2.)()()()(

)(1

1,1

1

1,, eq

xx

tNtx

xx

tNxttN

iki

kiki

iki

kiiki

++

−++

−+

−

−

−+

−

−=

Os valores de xi são elementos do vetor de nó que satisfazem a relação xi<xi+1 ,

enquanto o parâmetro t varia de tmin a tmax ao longo da curva P(t). Uma curva B-Spline é

definida como uma Spline polinomial de ordem k (grau k-1) desde que satisfaça duas

condições:

- A função P(t) é um polinômio de grau k-1 em cada intervalo xi ≤ t < xi+1.

- P(t) e suas derivadas de ordem 1, 2, ..., k-2 são contínuas por todo o domínio da

função.

Uma curva B-Spline possui as seguintes características:

- ∑+

=

≡1

1, 1)(

n

iki tN para qualquer valor de t.

- Ni,k(t) ≥ 0 para qualquer valor de t.

- Exceto para k=1 cada função base possui um valor máximo.

- A ordem máxima da curva é igual ao número de vértices do polígono.

- A curva não oscila em torno de uma linha reta mais do que o seu polígono

definidor.

- A curva geralmente segue a forma do polígono.

- Qualquer transformação (translação, rotação, etc...) pode ser aplicada à curva

transformando-se os seus vértices.

- A curva está sempre colocada no interior do lado convexo do polígono.

4

As equações acima mostram claramente que o vetor de nós influencia as funções

base assim como a curva resultante. O único requerimento de um vetor de nós é que este

seja um conjunto de números reais em ordem crescente xi ≤ xi+1. Há três tipos de vetores de

nós: uniforme, aberto uniforme (ou aberto) e não uniforme. Neste estudo somente os

vetores não uniformes são de interesse pois, como será visto mais adiante, uma forma

bastante comum de obtenção dos nós é através dos pontos de interpolação da curva cuja

distribuição no espaço é não uniforme na maioria dos casos. Maiores detalhes a respeito

dos tipos de vetores de nós existentes e suas aplicações podem ser encontrados em PIEGL

(1997) e ROGERS(2001).

Um vetor de nós não uniforme pode ter tanto um espaçamento desigual quanto uma

multiplicidade de nós internos, ou ambos. Exemplo:

[ ]22211000 , [ ]432210 , [ ]172.05.028.00

A figura 3.1b mostra diversas funções base B-spline não uniformes de ordem k=3.

Os vetores de nós utilizados para gerar essas funções possuem multiplicidade do valor k no

seu extremo. A figura 3.1a mostra funções base obtidas a partir de um vetor uniforme para

comparação. Nota-se a simetria das funções em 2.1a e 2.1b e a perda dessa simetria em

2.1c, 2.1d e 2.1e. É possível observar que a multiplicidade de nós internos gera um pico na

função base associada aos nós múltiplos.

Devido ao fato da equação 2.2 ser recursiva, as funções base de uma dada ordem k

dependem das funções base de ordens inferiores até que se atinja a ordem 1. Para uma dada

função Ni,k esta forma de dependência é dada por:

1,11,31,21,11,

2,22,12,

1,11,

,

−++++

−+−+−

−+−

kiiiii

kikiki

kiki

ki

NNNNN

NNNNN

N

M

MMMM

5

A dependência inversa, influência de uma função base de primeira ordem sobre as

de ordem superior, é dada por:

1,

2,12,2,1

,1,1,,1,1

i

iii

kkikikikkikki

N

NNN

NNNNN

+−

−++−++−

MMMMMMM

Fig. 2.1 Funções base não uniformes para n+1=5 e k=3. (a) [X]=[0 0 0 1 2 3 3 3],

(b) [X]=[0 0 0 0.4 2.6 3 3 3], (c) [X]=[0 0 0 1.8 2.2 3 3 3], (d) [X]=[0 0 0 1 1 3 3 3],

(e) [X]=[0 0 0 2 2 3 3 3]. Fonte: ROGERS (2001).

6

Devido à flexibilidade da formulação B-Spline, a forma da mesma pode ser

controlada pelos seguintes fatores:

- Ordem k das funções base.

- Quantidade e posicionamento dos vértices do polígono definidor.

- Multiplicidade de vértices do polígono definidor.

- Multiplicidade de nós no vetor de nós.

A ordem das curvas, como já foi dito anteriormente, será sempre quatro (quarta

ordem) enquanto a quantidade e posicionamento de vértices do polígono podem ser

incrementados através da utilização de algoritmos específicos de inserção de nós e

refinamento do vetor de nós. Maiores detalhes a respeito do uso dos algoritmos

mencionados podem ser encontrados em PIEGL (1997) e ROGERS(2001). Já a

multiplicidade de nós e vértices do polígono definidor serão discutidos mais adiante.

Na figura abaixo é apresentado um exemplo de uma curva B-Spline seguida de seu

polígono de controle.

Curva B-Spline acompanhada do seu respectivo polígono de controle.

7

2.1.2- Ajuste de uma Curva B-Spline a um Conjunto de Pontos.

Nas seções anteriores foi discutida a geração de uma curva B-Spline dado o seu

polígono definidor. O objetivo desta seção é apresentar um método de ajuste de uma curva

B-Spline a um conjunto de pontos e, por conseguinte, determinar o polígono de definição

desta curva conforme descrito em ROGERS (2001). Os pontos de interpolação poderiam

ser oriundos de uma tabela de cotas, por exemplo. Com isso, é possível interpolar um

conjunto de balizas, linhas d’água e linhas do alto desde que um conjunto de pontos seja

conhecido. Este problema é ilustrado esquematicamente pela figura 2.2.

Caso um ponto pertença a uma curva B-Spline, este deve obedecer à equação 2.1.

Escrevendo-a para cada ponto (representado pelo índice j) tem-se:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 1,12,21,1

12,122,212,122

11,121,211,111

++

++

++

+++=

+++=+++=

njknjkjkjj

nknkk

nknkk

BtNBtNBtNtD

BtNBtNBtNtDBtNBtNBtNtD

LM

LL

Onde 2 ≤ k ≤ n+1 ≤ j. Este sistema de equações é mais facilmente representado na

forma matricial como:

[ ] [ ][ ]BND = eq. 2.3

Onde,

[ ] ( ) ( ) ( )[ ][ ] [ ]

[ ]

( ) ( )

( ) ( )

=

==

+

+

jknjk

knjk

jT

jjT

tNtN

tNtN

N

BBBBtDtDtDD

,1,1

1,1,1

21

2211

LLMOMMOM

LLL

L

8

[ ]D vetor contendo os pontos de interpolação.

[ ]B vetor que armazenará os pontos de controle os quais serão parte da descrição

da matemática da curva B-Spline. Corresponde ao vetor de termos

independentes do sistema linear estabelecido na eq. 2.3.

jtt K1 conjunto de valores paramétricos correspondentes a cada ponto de

interpolação na curva. Sendo j o número de pontos.

[ ]N matriz contendo os valores calculados para as funções base em todos os

valores paramétricos ( jtt K1 ). Corresponde a matriz dos coeficientes na eq.

2.3.

Se 2 ≤ k ≤ n+1 ≤ = j, a matriz [ ]N é quadrada e o polígono definidor é obtido

diretamente da inversão desta matriz, isto é:

[ ] [ ] [ ] jnkDNB ≤+≤≤= − 121

Fig 2.2. Determinação de um polígono para um conjunto de pontos

conhecidos.

Neste caso, a curva B-Spline resultante passa por cada ponto, ou seja, foi

conseguido um ajuste que corresponde à solução única da equação 2.3. Embora haja

continuidade da curva seja Ck-2 em qualquer posição, esta pode não ser suave, adoçada ou

carena, ou seja, algumas ondulações indesejadas podem acontecer. Uma curva mais suave

pode ser obtida definindo-se uma quantidade de vértices um pouco menor do que a de

9

pontos existentes, com isso, 2 ≤ k ≤ n+1 < j. Dessa forma, a matriz a matriz [ ]N não será

mais quadrada sendo o sistema possível e indeterminado, podendo este ser resolvido

somente de forma aproximada. Lembrando que uma matriz multiplicada pela sua transposta

resulta sempre em uma matriz quadrada, o polígono definidor o qual produzirá uma curva

suave para um dado conjunto de pontos é dado por:

[ ] [ ][ ]BND =

[ ] [ ] [ ] [ ][ ]BNNDN TT =

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]DNNNB TT 1−= eq. 2.4

Ambas as técnicas (com quantidade de vértices igual à de pontos ou menor que a

quantidade de pontos) assumem que [N] é conhecido. Sendo a ordem das funções base k, a

quantidade de vértices n+1, e o valor do parâmetro t ao longo da curva conhecidos, as

funções base Ni,k(tj) e portanto a matriz [N] podem ser obtidas. Obedecendo à restrição 2 ≤

k ≤ n+1 ≤ j a ordem e a quantidade de vértices do polígono são arbitrárias.

Uma das formas de obtenção do valor do parâmetro tj para cada ponto, que

corresponde à utilizada neste estudo, é através da medida da distância entre pontos ao longo

da curva B-Spline (comprimentos de corda). Esquematicamente, para j pontos dados o

valor do parâmetro no l-ésimo ponto é dado por:

01 =t

2

21

21

max

1 ≥−

−=

∑

∑

=−

=−

lDD

DD

tt

j

sss

l

sss

eq. 2.5

O conjunto de valores paramétricos obtidos pela equação 2.5 é utilizado para a

obtenção do vetor de nós que juntando-se aos vértices do polígono definidor obtido através

da expressão 2.4 e a ordem da curva definirão matematicamente a B-Spline que passa por

todos os pontos contidos no vetor [ ]D . Nota-se na equação 2.5 que uma distribuição

10

irregular de pontos gerará um vetor de nós não uniformes o que deve acontecer na maioria

dos casos. Por esta razão, neste trabalho, são estudados apenas vetores de nós não

uniformes pois estes proporcionam uma parametrização mais adequada para as curvas a

serem interpoladas.

A maneira mais comum de se obter o vetor de nós a partir dos comprimentos de

corda dos pontos de interpolação é com o uso da seguinte relação (PIEGL, L., TILLER, W.,

1997):

01 === kuu L

11 === +− nkn uu L

2,,21

1 2

1 −−=−

= ∑−+

=−+ kjmu

ku

km

miikm K eq. 2.6

Onde, k é a ordem da curva, n+1 o número de vértices do polígono de controle e j o

número de pontos de interpolação.

Com este método de obtenção de nós (eq. 2.6) evita-se o aparecimento de

singularidades na solução do sistema linear, pois se obtém um resultado que melhor reflete

a distribuição dos parâmetros tj. Além disso, o sistema linear resultante é totalmente

positivo e em banda (cuja largura da semibanda é menor do que k-1) podendo ser resolvido

por Eliminação de Gauss. A figura abaixo apresenta o resultado da interpolação de uma

curva B-Spline através dos pontos mostrados na figura 2.2.

Interpolação de curva B-Spline entre pontos fornecidos. Fonte ROGERS (2001).

11

2.1.3- Derivadas de Curvas B-Spline.

As derivadas de uma curva B-Spline são obtidas por diferenciação direta da equação

2.1, ou seja, a primeira derivada é dada por:

( ) ( )∑+

=

=1

1

','

n

ikii tNBtP eq. 2.7

Analogamente a segunda derivada é dada por:

( ) ( )∑+

=

=1

1

'',''

n

ikii tNBtP eq. 2.8

As derivadas da função base são também obtidas por diferenciação direta. Da

equação 2.2 tem-se:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1,1'

1,1

1

'1,1,'

,++

−+−++

−+

−−

−

−−+

−

−+=

iki

kikiki

iki

kiikiki xx

tNtNtx

xx

tNxttNtN eq. 2.9

A diferenciação da equação 2.9 resulta em:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

'1,1

''1,1

1

''1,

'1,''

,

22

++

−+−++

−+

−−

−

−−+

−

−+=

iki

kikiki

iki

kiikiki xx

tNtNtx

xx

tNxttNtN eq. 2.10

A diferenciação de funções B-Spline até a segunda derivada é de grande

importância para a definição do casco de um navio, já que a primeira derivada pode ser

usada para a imposição de ângulos de tangência (algo bastante comum na entrada e saída de

corpo paralelo nas curvas de linha d’água, por exemplo) e a segunda derivada representa a

curvatura que é basicamente utilizada como critério de aceitação da curva no processo de

carenamento.

12

2.1.4- Superfícies B-Spline.

Superfícies B-Splines são úteis para descrever formas geométricas de automóveis,

aeronaves, navios ou qualquer superfície na qua l a suavidade e a precisão da mesma seja

uma exigência. As superfícies B-Splines não racionais são definidas matematicamente

conforme a equação a seguir:

( ) ( ) ( )∑∑+

=

+

=

=1

1

1

1,,,

n

i

m

jljkiij wMuNBwuQ eq. 2.11

Onde,

wu, são as duas direções paramétricas.

1,1 ++ mn são as quantidades de pontos de controle ao longo das duas direções

paramétricas (u e w respectivamente).

lk , são as ordens da superfície nas direções paramétricas u e w

respectivamente.

( )uN ki , função base na direção paramétrica u.

( )wM lj, função base na direção paramétrica w.

ijB pontos de controle. No caso da superfície, o conjunto de pontos de

controle forma uma grade.

Analogamente as curvas, as funções base de uma superfície B-Spline são definidas

de acordo com as seguintes relações:

<≤

= +

contráriocasoxuxse

uN iii ,0

,1)( 1

1,

1

1,1

1

1,,

)()()()()(

++

−++

−+

−

−

−+

−

−=

iki

kiki

iki

kiiki xx

uNux

xx

uNxuuN eq. 2.12a

13

<≤

= +

contráriocasoywyse

wM iij ,0

,1)( 1

1,

1

1,1

1

1,,

)()()()()(

++

−++

−+

−

−

−+

−

−=

jlj

ljlj

jlj

ljjlj yy

wMwy

yy

wMywwM eq. 2.12b

De acordo com o estabelecido acima, para uma superfície, existem dois vetores de

nós [X] e [Y]. A natureza destes vetores é a mesma do caso das curvas, por isso, guardam

as mesmas propriedades podendo se r classificados em uniformes e não uniformes. Não há

nenhuma obrigatoriedade de que ambos os vetores sejam do mesmo tipo, porém, neste

estudo foram utilizados apenas vetores não uniformes (devido à sua característica mais

geral). Da mesma forma, não é necessário que as ordens da superfície em ambas as direções

paramétricas sejam as mesmas, embora esta tenha sido a escolha feita para o

desenvolvimento deste estudo.

Devido às funções base serem usadas tanto para descrever as curvas de fronteira

assim como constituir o interior da superfície, é importante se ter conhecimento das

seguintes propriedades:

- A máxima ordem permitida para a superfície em cada direção paramétrica é

igual ao número de pontos de controle na respectiva direção.

- A continuidade da superfície em cada direção é igual a duas unidades a

menos do que a ordem na mesma direção, isto é 2−kC e 2−lC nas direções u

e w respectivamente.

- A superfície não varia quando sujeita a transformações de natureza

geométrica (translação, rotação, projeções, etc...) sendo modificada através

da transformação da sua grade de pontos de controle.

- A influência de um único ponto de controle está limitada a 2k

± , 2l

±

espaçamentos em cada direção uma das direções paramétricas..

- A grade de pontos de controle, ao ser triangularizada, apresenta a forma

aproximada da superfície.

14

- A superfície está sempre dentro da região convexa da grade de pontos de

controle.

Desta última propriedade deduz-se que superfícies B-Spline podem possuir regiões

planas ou até mesmo linhas de descontinuidade, o que pode ser desejável diante de certas

circunstâncias de projeto. As figuras 2.3a até 2.3d, mostram uma série de superfícies B-

Spline de terceira ordem em ambas as direções paramétricas. Nota-se que as linhas

poligonais na direção paramétrica w são retas e possuem quatro vértices, enquanto ao

contrário da outra direção onde as linhas poligonais mudam de direção e a superfície possui

curvatura.

A superfície mostrada na figura 2.3b possui cinco vértices, sendo os três vértices

centrais colineares, com isso a região central da superfície é plana. Na figura 2.3c há cinco

vértices centrais colineares e sete no total. Por este motivo a região plana é maior do que

anteriormente.

Na figura 2.3d a colinearidade de vértices é aplicada às duas direções paramétricas e

com isso a região plana fica restrita a porção central da superfície. A região plana se torna

menor na medida em que a ordem da superfície aumenta, pois quanto maior a ordem mais a

superfície resultante se afasta da grade de pontos de controle.

15

Figura 2.3. Uso de vértices colineares para a formação de regiões planas.

Fonte: ROGERS (2001).

A figura 2.4 (a seguir) ilustra o efeito de linhas poligonais coincidentes. Na figura

2.4a três linhas são repetidas para formar uma quina em uma superfície de quarta ordem. Já

na figura 2.4b a coincidência de linhas poligonais é aplicada em ambas as direções

paramétricas. Em uma superfície B-Spline uma linha de quina é formada caso k-1 ou l-1

linhas poligonais sejam aplicadas nas direções paramétricas u e w respectivamente.

16

Figura 2.4. Uso de linhas poligonais coincidentes para a formação de quinas.

Fonte: ROGERS (2001).

A quarta propriedade listada acima cita o controle local da forma proporcionado

pelo uso de superfícies B-Spline. Este controle é exemplificado na figura 2.5 onde se nota

que a movimentação de um único ponto de controle afeta apenas localmente a superfície.

Figura 2.5. Controle local de superfícies B-Spline através de um ponto de controle.

Fonte: ROGERS (2001).

17

2.1.5- Ajuste de uma Superfície B-Spline a um Conjunto de Pontos.

Dado um conjunto de pontos qpD , onde 1,,1 += rp K e 1,,1 += sq K , deseja-se

determinar uma superfície B-Spline de ordem k x l. Este problema é expresso pela seguinte

relação:

( ) ( ) ( )∑∑+

=

+

=

==1

1

1

1,,, ,

n

i

m

jljkiijqpqp wMuNBwuQD eq. 2.13

Observando-se a equação acima nota-se que, analogamente ao processo de

interpolação das curvas, os valores paramétricos ( qp wu , ) assim como os vetores de nós

[X] e [Y] correspondentes precisam ser calculados. Aqui será demonstrada apenas a

obtenção de pu e [X], já que o método de definição de qw e [Y] é análogo. Imaginando-se

uma grade de pontos de interpolação tal que nela existam q linhas e p colunas, deve-se para

cada linha q obter o conjunto de valores paramétricos ao longo das colunas de acordo com a

equação 2.5, ou seja, qr

q uu 11 ,, +K . Em seguida, o vetor de valores paramétricos na direção u

é obtido através da média aritmética em cada coluna. Dessa forma:

∑+

=

+=+

=1

1

1,,11

1 s

q

qpp rpu

su K

Uma vez que os valores paramétricos dos pontos ( qp wu , ) sejam conhecidos, os

respectivos vetores de nós [X] e [Y] são calculados através da equação 2.6.

Claramente a equação 2.13 representa um sistema linear de (r+1)(s+1) equações

onde os pontos de controle ijB são as incógnitas. Entretanto, como Q(u,w) representa um

produto tensorial, os pontos de controle podem ser obtidos com o uso de uma seqüência de

interpolações. Devido a sua natureza tensorial, a equação 2.13 pode ser reescrita da

seguinte maneira:

18

( ) ( ) ( )∑∑ ∑+

=

+

=

+

=

=

=

1

1,,

1

1

1

1,,,

n

iqipki

n

i

m

jijqljpkiqp RuNBwMuND eq. 2.14

Onde, ( )∑+

=

=1

1,,

m

jijqljqi BwMR eq. 2.15

Conforme descrito no item 2.1.2, utilizando-se a eq. 2.4, efetua-se a resolução do

primeiro sistema linear, o qual possui como incógnitas os termos qiR , , estes servem como

entrada para o segundo sistema linear (eq. 2.15) cuja solução exata fornece os valores ijB .

A figura a seguir mostra como se dá o processo de interpolação.

Figura 2.6. Pontos de interpolação e polígono de controle (a). Pontos de

interpolação e superfície (b). Fonte: ROGERS (2001).

2.1.6- Derivadas de Superfícies B-Spline.

Analogamente ao caso das curvas, as derivadas de uma superfície B-Spline são

obtidas por derivação formal da equação 2.11. Assim sendo:

( ) ( ) ( )∑∑+

=

+

=

=1

1

1

1,

',,

n

i

m

jljkiiju wMuNBwuQ eq. 2.16a

19

( ) ( ) ( )∑∑+

=

+

=

=1

1

1

1

',,,

n

i

m

jljkiijw wMuNBwuQ eq. 2.16b

( ) ( ) ( )∑∑+

=

+

=

=1

1

1

1

',

',,

n

i

m

jljkiijuw wMuNBwuQ eq. 2.16c

( ) ( ) ( )∑∑+

=

+

=

=1

1

1

1,

'',,

n

i

m

jljkiijuu wMuNBwuQ eq. 2.16d

( ) ( ) ( )∑∑+

=

+

=

=1

1

1

1

'',,,

n

i

m

jljkiijww wMuNBwuQ eq. 2.16e

As derivadas parcia is de uma superfície são úteis no cálculo de Curvatura

Gaussiana, a qual corresponde a um parâmetro importante na aferição da qualidade da

superfície.

2.2- Non-Uniform Rational B-Splines (NURBS).

NURBS fornecem uma maneira simples e precisa de representar formas analíticas

tais como: linhas, planos, curvas cônicas (incluindo círculos), superfícies quadráticas além

de outras formas quaisquer. Por este motivo as NURBS têm se tornado um padrão em

computação gráfica.

2.2.1- Curvas B-Spline Racionais.

As B-Splines racionais possuem um grau de liberdade adicional correspondente ao

peso relacionado a cada vértice do polígono de controle, ou seja, na medida em que os

pesos aumentam para determinado vértice, mais a curva se aproxima do mesmo, enquanto a

sua diminuição provoca o afastamento da curva em relação ao polígono de controle. Pesos

iguais a um para todos os vértices reduzem uma curva racional ao caso não racional.

Em outras palavras, uma curva racional corresponde a uma B-Spline tetra-

dimensional, sendo o peso, também chamado de coordenada homogênea, a quarta dimensão

(ROGERS, ADAMS,1989). A fixação de um valor de peso para os vértices nada mais é do

que a projeção da curva B-Spline tetra-dimensional no espaço 3D gerando o que se

20

convencionou chamar de curva racional. Somando-se a isto a não uniformidade dos nós

tem-se as NURBS (Non-Uniform Rational B-Splines). Assim sendo, a equação da curva B-

Spline em 4D é dada por:

( ) ( )∑+

=

=1

1,

n

iki

hi tNBtP eq. 2.17

Onde hiB são os pontos de controle em coordenadas homogêneas (4D) e ( )tN ki , são

as funções base não racionais definidas pela equação 2.2. Projetando a equação 2.17 de

volta ao espaço tri-dimensional têm-se a equação da B-Spline racional:

( )( )

( )( )∑

∑

∑ +

=+

=

+

= ==1

1,1

1,

1

1, n

ikiin

ikii

n

ikiii

tRBtNh

tNhBtP

Onde,

iB pontos de controle tri-dimensionais.

ih peso dado a função base (oriundo das coordenadas

homogêneas). 0≥ih para todo i.

( ) ( )

( )∑+

=

=1

1,

,, n

ikii

kiiki

tNh

tNhtR funções base racionais.

2.2.2- Superfícies B-Spline Racionais.

Seguindo-se o mesmo raciocínio do item anterior chega-se a seguinte equação para

as superfícies B-Spline racionais:

( ) ( )∑∑+

=

+

=

=1

1

1

1,, ,,

n

i

m

jjiji wuSBwuQ

21

Onde,

jiB , pontos de controle tri-dimensionais.

jih , peso dado a função base (oriundo das

coordenadas homogêneas). 0, ≥jih para todo

i,j.

( ) ( ) ( )

( ) ( )∑+

=

=1

11,1,11,1

,,,, ,

n

iljkiji

ljkijiji

wMuNh

wMuNhwuS funções base racionais.

2.2.3- NURBS e WAMIT.

Embora NURBS tenham sido o foco do estudo geométrico até aqui, o WAMIT não

trabalha com superfícies racionais, ou seja, no arquivo que carrega a informação geométrica

para o WAMIT (Geometric Definition File - .gdf, que será visto mais detalhadamente

adiante) não há campos que armazenem os pesos (coordenadas homogêneas, h) descritos

acima. Felizmente, toda curva NURBS com vetor de pesos cujos elementos sejam todos

iguais a um se reduz matematicamente a uma curva não racional e a estrutura de dados

preparada para NURBS pode ser adaptada ao WAMIT sem problemas, desde que na

definição geométrica do corpo o ve tor h seja completamente igual a um. Finalmente, ao

transferirem-se as informações para o WAMIT, o vetor h é então ignorado.

2.3- Condições Específicas para Cascos de Navios.

A teoria apresentada acima fornece um panorama a respeito de curvas e superfícies

B-Splines. As propriedades e fatores que influenciam o resultado final devem ser

devidamente utilizados de modo a obter-se o melhor resultado para uma dada aplicação, no

caso deste estudo, cascos de estruturas flutuantes. A seguir será demonstrado como se dá a

obtenção de pontos de quina, tangência e segmento reto entre dois pontos em uma curva,

algo bastante comum na formação de linhas d’água, balizas e linhas do alto.

22

2.3.1- Pontos de Quina.

Analogamente ao caso das superfícies, nas curvas B-Spline um ponto de quina pode

ser obtido através da superposição de pontos de controle na mesma posição. Cada

superposição diminui a continuidade da curva no ponto de controle em um grau. Além

disso, conforme os pontos de controle são superpostos em uma determinada posição, mais a

curva se aproxima do polígono de controle na área do vértice repetido.

Cada ponto de controle pode ser repetido (k-1) vezes (sendo k a ordem da curva), ou

seja, para uma curva de quarta ordem (3º grau) a diferenciação é possível até a segunda

derivada. Após a repetição de um ponto, a diferenciação será possível até a primeira

derivada, na inserção do seguinte a curva não será mais diferenciável, ou seja, há uma

descontinuidade na posição do ponto de controle original, em outras palavras uma quina.

Voltando-se a equação 2.3 tem-se:

[ ] [ ][ ]BND =

Expandindo-se as matrizes e vetores:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 1,12,21,11

12,122,212,122

11,121,211,111

++

++

++

+++=

+++=

+++=

njknjkjkj

nknkk

nknkk

BtNBtNBtNtD

BtNBtNBtNtD

BtNBtNBtNtD

L

M

L

L

Supondo-se agora que o segundo ponto 2D deva ser um ponto de quina. A não ser

que a curva tenha sido modificada através do uso de operações como inserção de nós e

refinamento de nós, que acrescentam pontos de controle na mesma proporção dos nós, a

quantidade de pontos de controle será a mesma de pontos de interpolação, sendo esta a

situação inicial de definição de uma curva. Assim sendo, o segundo ponto de interpolação

está inicialmente amarrado ao segundo ponto de controle, portanto uma quina em 2D é

obtida através da repetição do ponto de controle 2B (k-1) vezes (sendo as coordenadas x, y

23

e z de B2 as mesmas de D2). Com isso, o sistema linear expandido acima tomaria a seguinte

forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,12,22,22,21,1

12,122,222,222,212,122

11,121,221,221,211,111

++

++

++

+++++=

+++++=

+++++=

njknjkjkjkjkjj

nknkkkk

nknkkkk

BtNBtNBtNBtNBtNtD

BtNBtNBtNBtNBtNtD

BtNBtNBtNBtNBtNtD

L

M

L

L

Sendo o vetor [B] o que contém os termos a determinar, e sendo 2B conhecido (por

corresponder a posição do de 2D ), o mesmo deverá ser retirado do sistema linear acima,

isto é, todos os produtos 2,2 BN k deverão passar para o primeiro membro de cada equação e

a segunda equação deverá ser eliminada do sistema mantendo o mesmo possível e

determinado (com o mesmo número de equações e incógnitas fornecendo uma solução

exata). O novo sistema linear possuirá a seguinte forma:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 1,11,1

11,111,111

++

++

+++=

+++=

njknjkjj

nknk

BtNBtNtD

BtNBtNtD

LLM

M

LL

A curva obtida a partir da solução deste novo sistema linear possuirá uma quina em

2D . Esta situação é representada esquematicamente na figura 2.7, sendo o ponto destacado,

resultante da interseção entre uma linha d’água e o espelho de popa.

Figura 2.7. Ponto de quina, representado através de um asterístico,

resultante da interseção entre o espelho de popa e uma linha d’água.

24

2.3.2- Pontos de Quina com Controle de Ângulos de Entrada e Saída.

Há a possibilidade de se controlar quais ângulos a curva terá em relação à quina

imediatamente antes e após a mesma. Por exemplo, para uma linha d’água qualquer

contendo um ponto de quina sendo o seu ângulo de entrada maior do que 180 graus e o de

saída igual a zero, tem-se a seguinte situação:

Figura 2.8. Esquematização dos ângulos de entrada e saída de uma curva numa dada posição

de quina. Os ângulos são medidos no sentido anti-horário em relação ao um sistema de eixos

UV posicionado sobre a quina.

Na figura acima estão representados o polígono de controle (com seus respectivos

vértices) e a curva, ambos na região do ponto de quina. A definição de ângulos de entrada e

saída só faz sentido para curvas 2D, portanto, balizas, linhas d’água e linhas do alto. Os

ângulos são medidos em relação a um sistema de referência UV (centrado no ponto de

quina) sendo positivo o sentido anti-horário. De acordo com o item anterior, por ser ponto

de quina, o ponto de controle B4, já é conhecido e deve ser retirado do sistema linear como

descrito anteriormente. Neste caso são também conhecidos os pontos de controle B3 e B5 já

que estes estão amarrados a B4 através dos ângulos de entrada e saída respectivamente. As

distâncias 43BB e 54 BB correspondem a um terço dos comprimentos dos segmentos 42 BB

25

e 64BB respectivamente. Assim sendo, por estarem também determinados, os pontos de

controle B3 e B5 devem ser retirados do sistema linear assim como foi feito com B4. A

resolução do novo sistema linear fornecerá um ponto de quina com ângulos de entrada e

saída controlados.

2.3.3- Pontos com Ângulo de Tangência.

É possível a imposição de um ângulo de tangência a determinado ponto da curva.

Para que isto seja feito, basta adicionar uma ou mais equações (dependendo da quantidade

de pontos de tangência a serem especificados) ao sistema linear representado pela equação

2.3. As novas equações são oriundas da aplicação da derivada de uma curva B-Spline (eq.

2.7) em cada ponto, ou seja:

[ ] [ ][ ]BND =

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 1,12,21,11

12,122,212,122

11,121,211,111

++

++

++

+++=

+++=+++=

njknjkjkj

nknkk

nknkk

BtNBtNBtNtD

BtNBtNBtNtDBtNBtNBtNtD

LM

LL

Sendo, por exemplo, o segundo ponto um ponto de tangência tem-se uma equação

adicional:

( ) ( ) ( ) ( ) 12'

,122',212

',12

'2 +++++= nknkk BtNBtNBtNtD L

Devido ao aparecimento de mais uma equação, surge também mais um ponto de

controle (totalizando n+2). Com isso aparecerão também mais um nó (devido a este ponto

de controle) e mais uma função base. O novo sistema linear será dado por:

26

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 2,22,21,11

22,222,212,122

21,221,211,111

++

++

++

+++=

+++=

+++=

njknjkjkj

nknkk

nknkk

BtNBtNBtNtD

BtNBtNBtNtD

BtNBtNBtNtD

L

M

L

L

( ) ( ) ( ) ( ) 22'

,222',212

',12

'2 +++++= nknkk BtNBtNBtNtD L

O módulo do vetor posição '2D corresponde a tangente do ângulo especificado.

Analogamente a especificação de ângulos de saída e entrada para pontos de quina, ângulos

de tangência só fazem sentido para curvas 2D. A solução do sistema linear acima produzirá

uma curva B-Spline com ângulo de tangência especificado no ponto 2. A figura a seguir

apresenta uma curva B-Spline e seu polígono de controle para um caso onde são

especificados ângulos de tangência para todos os pontos de interpolação.

Figura 2.9. Curva B-Spline com ângulos de tangência especificados para todos

os pontos.

27

2.3.4- Formação de Segmentos de Reta entre Dois Pontos de Interpolação.

Embora as curvas B-Spline utilizadas sejam de quarta ordem (3º grau), é possível

definir-se um segmento reto entre dois pontos utilizando-se apenas estes pontos (sem a

necessidade de adição de pontos intermediários para evitar ondulações na curva). Para que

isto ocorra os dois pontos devem estar sujeitos a uma das seguintes condições:

- Pontos de quina e tangência. Ângulo de saída do ponto de quina igual ao

ângulo de tangência do ponto de tangência.

- Dois pontos de tangência. Ângulos de tangência iguais.

- Pontos de tangência e quina. Ângulo de tangência igual ao ângulo de entrada

do ponto de quina.

- Dois pontos de quina. É o caso mais trivial. Não precisa de especificação de

ângulo já que a curva é obrigatoriamente reta entre dois pontos de quina.

Neste trecho, devido à perda de continuidade pela superposição de pontos de

controle, a curva coincidirá com o polígono de controle.

Através do atendimento dos requisitos acima é possível se saber de antemão se dois

pontos consecutivos devem ser ligados por um segmento de reta ou não.

O segmento de reta entre dois pontos é obtido através da colinearidade de pontos de

controle entre eles. Isto é uma conseqüência da convexidade da curva em relação ao

polígono de controle (conforme descrito no item 2.1.1). Dado um conjunto de ‘n’ pontos de

controle colineares, um segmento reto de curva é garantido da posição do (k-2)º ponto de

controle até o (n-k-2)º ponto de controle, onde k é a ordem da curva.

As posições dos pontos de controle a serem adicionados entre os dois pontos de

interpolação são determinadas através da equação paramétrica da reta que une os mesmos a

qual é fornecida a seguir:

ctztz

tbtytyatxtx

+=

≤≤+=+=

1

1

1

)(

10)()(

28

Os valores a,b e c correspondem as componentes do vetor distância entre os dois

pontos extremos. Portanto:

12

12

12

zzcyyb

xxa

−=−=

−=

Onde,

x1 : coordenada x do primeiro ponto.

y1 : coordenada y do primeiro ponto.

z1 : coordenada z do primeiro ponto.

x2 : coordenada x do segundo ponto.

y2 : coordenada y do segundo ponto.

z2 : coordenada z do segundo ponto.

A seguir é apresentada uma figura ilustrando o alinhamento de pontos de controle:

Figura. 2.10. Distribuição de pontos de controle para ligação entre dois pontos por

segmento de reta. (a) na região intermediária da curva. (b) nas extremidades.

29

No programa desenvolvido durante este estudo foram utilizados três pontos

intermediários (entre os pontos de interpolação assinalados com ‘x’ na figura 2.10). Além

disso, sobre a mesma reta devem ser calculados os (k-2) pontos de controle posic ionados

antes do primeiro ponto de interpolação assim como os (k-2) pontos posicionados após o

segundo ponto de interpolação, os quais juntando-se aos dois pontos de controle na posição

dos pontos de interpolação, totalizam 2(k-2)+3+2 pontos de controle ca lculados a partir dos

dois pontos iniciais. Os pontos de controle intermediários assim como os pontos de controle

na posição dos pontos de interpolação são obtidos através da manipulação do valor de t no

intervalo [0,1] na equação paramétrica da reta, enquanto aqueles pontos de controle

posicionados antes do primeiro e após o segundo pontos de interpolação são determinados

por valores de t menores do que zero e maiores do que um respectivamente. Feito isso, tais

pontos de controle devem ser eliminados do sistema linear conforme descrito

anteriormente. A solução do novo sistema linear fornecerá uma curva com um trecho reto

entre os dois pontos de interpolação que obedeçam ao critério de alinhamento descrito

acima.

A seguir é mostrada uma ilustração representando uma situação onde o alinhamento

de pontos acontece, ou seja, no corpo paralelo no trecho de uma baliza contido entre a

curva de tangência do costado e a linha d’água do pontal. Neste caso, a interseção entre a

baliza e a curva de tangência do costado é um ponto de tangência (com ângulo de tangência

de 90º), enquanto a interseção entre a baliza e a linha d’água do pontal é um ponto de quina

(com ângulo de entrada de 90º). Conseqüentemente estes dois pontos obedecem a requisitos

de alinhamento.

Figura 2.11. Interpolação de segmento de reta entre dois pontos de interpolação de uma baliza

na região do costado.

30

2.3.5- Retalhos Regulares.

A superfície de um corpo é geralmente dividida em retalhos. Cada retalho constitui

uma superfície B-Spline independente. Em regiões tais como: o corpo paralelo de um

navio, pontoons e colunas de plataformas semi-submersíveis ou qualquer outra região onde

a forma do retalho seja plana, cilíndrica ou cônica, os pontos de interpolação do mesmo são

originados a partir das suas curvas de fronteira, ou seja, a partir de uma curva de fronteira

os pontos são repetidos longitudinalmente ou transversalmente até que seja atingida a curva

de fronteira paralelamente oposta. Neste caso, os pontos de interpolação são gerados

rapidamente, sem a necessidade de cálculo de interseções entre balizas, linhas d’água ou

linhas do alto (o que deve ser feito obrigatoriamente para as regiões de proa e popa).

Figura. 2.12. Três retalhos do corpo paralelo. Fundo, bojo e costado. As linhas mais

grossas indicam as curvas de fronteira de cada retalho.

Na figura 2.12 os pontos de interpolação dos três retalhos foram gerados repetindo-

se longitudinalmente os pontos da baliza mais a ré. Obtidos os pontos, cada retalho é

ajustado conforme descrito no item 2.1.5.

31

3- Superfícies B-Splines na Caracterização do Casco para Análise no

WAMIT.

A descrição da superfície no WAMIT pode ser feita por painéis planos, B-Splines

ou formulação analítica explícita (para formas cujas formulações são conhecidas tais como:

cilindros, esferas, toro, etc...). A divisão do corpo em retalhos de superfície B-Spline

possibilita a subdivisão dos mesmos em painéis que diferentemente do caso dos métodos de

baixa ordem (painéis planos) possuem curvatura contínua ajustando-se precisamente ao

corpo que se deseja representar.

A utilização de retalhos permite ainda o uso de considerações de simetria de modo a

diminuir a quantidade de incógnitas do problema e acelerar a obtenção da solução.

Obedecendo a equação 2.11, cada ponto do retalho é mapeado no espaço UW da seguinte

forma:

( )wuxX ,= ( )wuyY ,= ( )wuzZ ,=

Com o objetivo de refinar as aproximações feitas em cada retalho, estes são

subdivididos em componentes menores convencionalmente chamados de pa inéis cujo

conjunto forma uma malha retangular no espaço paramétrico UW. Apesar destes painéis

serem planos e retangulares no espaço em questão, já foi mencionado acima que não há

nada que os impeça de possuírem curvatura no espaço físico real XYZ. A obtenção dos

painéis se dá através das interseções das curvas isoparamétricas do retalho. Para que cada

painel assim obtido possua o seu vetor normal apontando positivamente para o meio fluído

de acordo com a regra da mão direita (esta é uma necessidade do WAMIT), a escolha das

curvas de fronteira deverá ser feita sempre no sentido horário (para um observador

posicionado no interior do corpo flutuante) e a primeira curva escolhida representará a

direção paramétrica U (o que é feito automaticamente pelo programa desenvolvido neste

estudo). A figura 3.1 ilustra essa situação para um retalho plano de costado, notando-se a

correta orientação do vetor normal dos painéis percorrendo o caminho UW pela regra da

mão direita. As curvas que se cruzam no interior do retalho são as chamadas

isoparamétricas.

32

Figura 3.1. Divisão dos retalhos em painéis através das curvas

isoparamétricas. Orientação das quatro curvas de fronteira de

modo a obter-se a correta orientação dos vetores normais dos

painéis.

Sendo as curvas isoparamétricas obtidas para cada valor existente nos vetores de nós

nas duas direções paramétricas, o número de painéis a serem constituídos a partir de um

retalho está diretamente ligado à quantidade de valores nodais em cada um dos vetores de

nós ([U] e [W ]).

3.1- Representação da Solução por B-Splines.

Outro aspecto importante do uso de B-Splines está relacionado à forma pela qual o

potencial de velocidade (φ) é representado em cada retalho sendo dado por:

∑∑+

=

+

=

=1

1

1

1,,. )()(),(

n

i

m

jljkiji vMuNwu φφ eq. 3.1

Na eq. 3.1 )(, uN ki e pjM , assim como n e m são as funções base e a quantidade

de funções base nas direções paramétricas u e v respectivamente. As incógnitas ji.φ , as

33

quais correspondem aos pontos de controle da função potencial, são determinadas

substituindo-se a equação acima na expressão integral do potencial (a ser discutida mais

adiante) enquanto k e lsão as ordens da função B-Spline nas direções paramétricas u e

w . O número total de incógnitas do sistema resultante é nxm.

Nos métodos de baixa ordem, a acurácia da solução depende da quantidade de

painéis planos assim como do arranjo entre eles. Nos métodos de ordem superior (High-

Order Methods) nos quais a solução pode ser representada por B-Splines, a acurácia da

solução é dependente da ordem das funções base e da quantidade de nós existentes nas duas

direções paramétricas.

Ao contrário da ordem da função B-Spline, que pode ser imposta diretamente pelo

usuário, a quantidade de funções base (n e m ) é determinada indiretamente quando este

especifica a subdivisão dos retalhos, ou painéis, através do vetor de nós nas duas direções

paramétricas. Alternativamente, pode ser fornecido o tamanho desejado para cada painel

(através do parâmetro PANEL_SIZE no arquivo de configuração).Neste caso o WAMIT se

encarrega do cálculo da subdivisão necessária para atingir o tamanho especificado. A

relação entre a quantidade de funções bases em cada retalho e o número de painéis (Nu e

Mw) é dadas por:

knN u += lnM w +=

3.1.1- Ordem da Quadratura de Gauss.

A integração é feita sobre os retalhos da superfície no espaço paramétrico UW. Para

tanto, cada retalho é subdividido em Nu x Mw painéis e a quadratura de Gauss-Legendre

aplicada a cada um deles.

A subdivisão dos retalhos e a ordem das funções base podem ser definidas de modo

independente entre a geometria do corpo e o potencial de velocidade. Caso ambas sejam as

mesmas ter-se-á uma aproximação análoga à Aproximação Isoparamétrica realizada em

análises de elementos finitos.

34

3.1.2- Vantagens e Desvantagens do Uso de B-Splines.

Comparando-se com os métodos de baixa ordem, o uso de B-Splines permite a

seguinte avaliação:

a-) Vantagens:

- O método de ordem superior é mais eficiente e acurado na maioria dos casos.

Converge mais rapidamente quando a quantidade de painéis aumenta em

ambos os métodos.

- A pressão e a velocidade na superfície do corpo são contínuas

correspondendo a um ganho nas análises estruturais onde podem ser

requeridos os seus valores em posições intermediárias para a definição dos

carregamentos impostos ao casco pela ação do mar.

b-) Desvantagens:

- O sistema linear a ser resolvido não é tão bem condicionado quanto nos

métodos de baixa ordem, portanto a solução iterativa pode não convergir em

muitos casos. Como nos métodos de ordem superior a quantidade de

incógnitas é menor, geralmente este aspecto negativo não é tão significante.

3.2- Equação Integral do Potencial de Velocidades.

De acordo com o que está demonstrado no anexo A, devido a linearização do

problema de valor de contorno, a solução pode ser separada em três parcelas: potencial de

onda incidente ( wφ ), potencial de difração ( dφ ) e potencial de irradiação ( irrφ ) que é

composto da soma dos potenciais de irradiação para os seis graus de liberdade do

corpo( jφ ).

No WAMIT, o problema de valor de contorno é resolvido utilizando-se a Identidade

de Green para obter-se as equações integrais para os potenciais de difração e irradiação no

35

contorno do corpo. Assim sendo, a equação integral satisfeita pelo potencial de irradiação

jφ é dada por:

( ) ( ) ( ) ( ) 6,,1;;

;2 Krrrr

rrr==

∂∂

+ ∫∫ ∫∫ jdxGdxG

xxSb Sb

jjj ξξηξηξ

ξφπφξ

eq. 3.2

Onde Sb, denota a superfície molhada do casco em águas tranqüilas.

As parcelas do potencial de difração e do potencial de onda são agrupadas no

chamado potencial total de difração )( Dφ .

wdD φφφ += eq. 3.3

A equação correspondente ao potencial total de difração( Dφ ) pode ser dada em

função do potencial de onda incidente através da seguinte relação:

( ) ( ) ( ) ( )∫∫ =∂

∂+

SbwDD xd

xGx

rrrrr

πφξηξ

ξφπφξ

4;

2 eq. 3.4

O potencial de difração pode ser obtido através da equação 3.4 com auxílio da

equação 3.3. Outra maneira de calculá- lo é com o uso da seguinte expressão:

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ ∂∂

−=∂

∂+

Sb

w

Sbdd dxGd

xGx ξξ

ηξφ

ξηξ

φπφξξ

rrrrr

r;

;2 eq. 3.5

A função de Green ( )xGrr

;ξ corresponde ao potencial de onda de uma fonte, isto é, a

velocidade potencial no ponto xr

devido a uma fonte de intensidade π4− no ponto ξr

(portanto, xr

e ξr

são vetores posição). Conforme definida a seguir (para águas profundas),

esta função satisfaz as condições de contorno de superfície livre e radiação.

36

( )( )

( )∫∞ +

−++=

00'

211; dkkRJ

KkeK

rrxG

zk ζ

πξrr

eq. 3.6a

( ) ( ) ( )2222 ζηξ −+−+−= zyxr eq. 3.6b

( ) ( ) ( )2222' ζηξ ++−+−= zyxr eq. 3.6c

Em águas rasas, a função de Green é dada por:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )kRJe

kHKkHksenhHkHzKk

rrxG kH

00 cosh

coshcosh2

11; −

∞

∫ −+++

+′′

+=ζ

ξrr

eq. 3.6d

( ) ( ) ( )2222 2Hzyxr +++−+−=′′ ζηξ eq. 3.6e

Sendo, H valor da profundidade.

gK

2ω=

Substituindo a equação 3.1 em 3.2, para cada retalho, obtém-se um sistema linear

cujas incógnitas correspondem aos pontos de controle das funções B-Spline que

representam a solução potencial.

3.3- Entrada de Dados B-Spline para o WAMIT.

Neste item serão descritos os arquivos de representação do corpo (Geometric

Description File) e do potencial de velocidades (Spline Control File) através de B-Splines.

Para tanto, são necessários ainda alguns ajustes nos vetores de nós das funções B-Spline

(retalhos) do corpo.

3.3.1- Reparametrização dos Retalhos da Superfície do Corpo.

37

De acordo com o que foi descrito no item 2.1.5, a formação dos vetores de nós das

superfícies B-Spline é feita a partir das distâncias que os pontos guardam entre si, com o

uso da equação 2.5. Porém, o uso desta equação gera uma parametrização cujos intervalos

em ambas as direções paramétricas variam de 0 a 1. No WAMIT, tanto a parametrização da

superfície quanto a da função potencial de velocidades devem ser feitas dentro do intervalo

[ ]1,1 +− , ou seja, os retalhos da superfície do corpo precisam ser reparametrizados.

A relação de proporcionalidade entre os intervalos [ ]1,0 e [ ]1,1 +− , a superfície

resultante do processo de reparametrização mantém a sua ordem original (kl ) bastando-se

aplicar a relação de proporcionalidade nos vetores de nós para que a superfície se torne

compatível com as necessidades do WAMIT. Assim sendo:

12' −= uu eq. 3.7a

12' −= ww eq. 3.7b

Onde,

u vetor de nós original (parametrizado no intervalo [ ]1,0 ) na direção

paramétrica u.

w vetor de nós original (parametrizado no intervalo [ ]1,0 ) na direção

paramétrica w.

'u vetor de nós transformado (parametrizado no intervalo [ ]1,1 +− ) na direção

paramétrica u.

'w vetor de nós transformado (parametrizado no intervalo [ ]1,1 +− ) na direção

paramétrica w.

Maiores detalhes a respeito da teoria envolvida no processo de reparametrização de

curvas e superfícies B-spline podem ser encontrados em PIEGL (1997).

38

3.3.2- Arquivo de Extensão GDF (Geometric Description File).

O arquivo gdf é um arquivo tipo texto responsável pelo fornecimento de

informações geométricas do corpo ao WAMIT. Para uma análise com o uso de B-Splines

este arquivo deve ter o seguinte formato:

IGDEFNPATCHISYISXGRAVULEN

header

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

vezesNPATCHrepetido

NBXCOEFNBXCOEFNBXCOEF

XCOEFXCOEFXCOEFNVAVKNTUGVKNTUGNUAUKNTUGUKNTUG

KVGKUGNVGNUG

1,31,21,1

1,31,21,11,11,11,11,1

1111

MMM

KK

header linha de comentário com limite de 72 caracteres.

ULEN comprimento característico (Lpp da embarcação por exemplo)

utilizado para a dimensionalização de algumas saídas do WAMIT.

GRAV Aceleração da gravidade.

ISX , ISY índices indicativos de simetria em torno do plano X=0 e Y=0

respectivamente. Valor zero indica ausência de simetria em torno do

respectivo plano enquanto um representa a existência de simetria.

NPATCH Número de retalhos necessários para descrever o corpo. Em caso de

existência de simetria este número pode ser reduzido à metade ou um

quarto.

IGDEF Será sempre igual a um, pois neste caso o WAMIT entenderá que o

tipo de informação geométrica a ser fornecida é B-Spline.

( ) ( )iNVGiNUG , Número de subdivisões nas direções paramétricas u e w,

respectivamente, em cada retalho (sendo “i” o índice do retalho em

questão). Uma subdivisão corresponde a um espaçamento do vetor de

39

nós na dada direção paramétrica. Por exemplo, no nó [0,0,0,0, 0.5,

1,1,1,1] existem dois espaçamentos, são eles: 0-0.5 e 0.5-1.

( ) ( )ijVKNTUGijUKNTUG ,,, Vetor de nós nas direções paramétricas u e w

respectivamente, sendo i o índice do retalho e j o índice do elemento

do vetor de nós.

NVANUA, Número de nós dos vetores de nós nas direções paramétricas u e w

respectivamente.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 12

12−+=−+=

iKVGiNVGiNVAiKUGiNUGiNUA

sendo i o índice do retalho.

( ) ( ) ( )kXCOEFkXCOEFkXCOEF ,3,,2,,1 Conjunto de pontos de controle do

retalho. Os índices 1,2 e 3 representam, respectivamente, as

coordenadas x,y e z do ponto de controle, enquanto ( )iNBk K1=

corresponde ao índice do ponto de controle sendo NB o número de

pontos de controle do retalho de índice i.

Note-se que, conforme mencionado no item 2.2.3, na definição dos pontos de

controle dos retalhos no arquivo gdf não há campo de entrada para o fornecimento das

coordenadas homogêneas das superfícies racionais (NURBS). Por este motivo, no

programa desenvolvido neste estudo, as superfícies são definidas com coordenadas

homogêneas iguais a um (o que reduz NURBS a superfícies não racionais) para que não

haja prejuízo na sua omissão no arquivo gdf.

3.3.3- Arquivo de Extensão SPL (Spline Control File).

O arquivo de extensão ‘spl’ configura a representação do potencial através de

superfícies B-Spline no WAMIT. Trata-se de um arquivo tipo texto com o seguinte

formato:

40

)()()()(

)()()()(

)2()2(

)2()2()2()2()2()2()1()1(

)1()1()1()1()1()1(

NPATCHIQVINPATCHIQUINPATCHIQVONPATCHIQUO

NPATCHKVNPATCHKUNPATCHNVNPATCHNU

IQVIIQUI

IQVOIQUOKVKUNVNUIQVIIQUI

IQVOIQUOKVKUNVNU

header

MM

NU , NV Número de painéis nas direções u e w respectivamente. Este número

definirá a quantidade de nós em cada vetor da função B-Spline. Sua

quantidade não necessita ser a mesma que foi definida para cada

retalho no arquivo gdf.

KU , KV Ordem da função B-Spline nas direções paramétricas u e w

respectivamente. Embora não seja uma exigência geralmente são

utilizadas superfícies bi-cúbicas. A ordem mínima em cada direção é

dois.

IQUO , IQVO Ordens da Quadratura de Gauss para a integração externa sobre a

função B-Spline. Deve ser maior do que 1 e menor do que 16.

IQUI , IQVI Ordens da Quadratura de Gauss para a integração interna sobre a

função B-Spline. Deve ser maior do que 1 e menor do que 16. É

usual que o seu valor seja a ordem da superfície na respectiva direção

mais um.

NPATCH Número de retalhos conforme definido em 3.3.2.

41

4- Aplicação na Análise de Comportamento de uma Plataforma Semi-

submersível.

Para validar o modelo geométrico B-Splines e o seu uso no WAMIT, foi utilizada

uma plataforma semi-submersível cujas características principais, forma geométrica e

distribuição de pesos serão descritas mais adiante. Ao ser executado no modo B-Splines

(Método High Order) o WAMIT automaticamente cria um arquivo <.gdf> constituído por

painéis planos a partir do modelo geométrico B-Splines. Este será analisado através do

Método Low Order e os resultados serão comparados àqueles obtidos com uso de B-

Splines.

4.1- O Modelo.

A identificação da plataforma é Pxx e esta sigla será utilizada na constituição dos

nomes identificados de todos os arquivos de entrada e saída gerados pelo WAMIT.

Características Principais da Plataforma :

Comprimento Total : 96.000 m.

Boca : 96.000 m.

Calado de Operação : 30.000 m.

Deslocamento : 123634.0 t.

Características da Análise:

Na tabela 4.1 são apresentados os principais arquivos de entrada e saída do WAMIT

acompanhados de uma breve descrição das suas funções na análise de comportamento

hidrodinâmico. É interessante destacar o arquivo de configuração, cuja extensão é <.cfg>.

Nele são estabelecidos os principais parâmetros de controle da rodada, tais como: método

de solução do sistema linear, quais módulos do programa serão executados, formato dos

arquivos de entrada, etc. Dentre eles, o parâmetro mais utilizado neste estudo é chamado

42

PANEL_SIZE, o qual estipula a dimensão máxima a ser utilizada na segmentação

geométrica interna ao WAMIT obtida a partir das equações matemáticas das superfícies B-

Spline. O seu uso é conveniente por permitir a intervenção direta do usuário nas

subdivisões das superfícies B-Spline que representam o potencial de velocidades. Maiores

detalhes a este respeito podem ser encontrados no manual de usuários do WAMIT (MIT,

2001).

Identificação Pxx

Pxx.cfg Arquivo de configuração da análise

Pxx.pot Arquivo de entrada do módulo POTEN

responsável pela solução do problema de valor

de contorno descrito no anexo.

Pxx.frc Arquivo de entrada do módulo FORCE

responsável pela resolução da equação do

movimento.

Pxx.gdf Arquivo de definição geométrica (painéis ou B-

Splines)

Arquivos de

entrada

Pxx.spl Arquivo de controle dos parâmetros da solução

do potencial representada por função B-Spline.

Pxx.1 Arquivo que contém os coeficientes de massa

adicional e amortecimento adimensionalizados.

Arquivos de

saída

Pxx.4 Arquivo que contém os RAO’s

adimensionalizados.

Low Order Representação do corpo por painéis e da função

potencial por distribuição de fontes e

sumidouros.

Método de

solução

High Order Representação do corpo e da função potencial

por superfícies B-Spline.

Tabela 4.1. Identificação dos arquivos de entrada e saída do WAMIT utilizados no exemplo.

43

A plataforma foi considerada como um corpo que flutua livremente, ou seja, sem

ancoragem ou quaisquer efeitos de restauração externa zerando-se a respectiva matriz no

arquivo de entrada do módulo FORCE do WAMIT. A matriz de amortecimento externo

também foi zerada, enquanto a distribuição de massa foi representada pela seguinte matriz:

[ ]

−−

−−−

−

=

0.1338516370.39383892.4583838000

0.39383895.1585699999.3700042005.5685192.45838389.37000420.14790824905.5685190

0000.12363400005.56851900.123634005.5685190000.123634

M

Os cálculos foram efetuados para os aproamentos de 0, 45, 90 e 135, com os

períodos variando no intervalo de 2 a 30, segundos com intervalos de 1 segundo e valor

final de 35 segundos.

Devido à simetria do corpo em relação aos planos XZ e YZ, apenas um quarto da

superfície do casco da plataforma precisa ser modelado geometricamente. Para tal

representação foram criados quarenta e quatro retalhos de superfície B-Spline delimitados

pelas linhas apresentadas na figura 4.1.

Figura 4.1 Curvas de fronteira dos retalhos para a representação de um quarto da superfície

da plataforma.

44

Após definidas as curvas de fronteira, foi estabelecida uma subdivisão de dez

espaçamentos ao longo de ambas as direções paramétricas, gerando uma malha de pontos

de interpolação 10 x 10 para cada retalho. Para que o ponto extremo, oriundo da interseção

entre as curvas de fronteira, não tivesse que ser fornecido manualmente, foi desenvolvido

um algorítimo de cálculo de pontos de interseção entre curvas B-Spline. A partir daí, cada

curva de fronteira foi subdividida em 10 partes eqüidistantes e os pontos internos de cada

retalho foram obtidos conforme o método descrito no item 2.3.5. A figura 4.2 ilustra a

representação final do casco da plataforma por superfícies B-Spline.

Figura 4.2. Representação do casco por superfície B-Spline com 10 subdivisões em cada direção

paramétrica.

45

4.2- Análise do WAMIT.

Os resultados obtidos pelo WAMIT nos dois tipos de análise (por representação

geométrica através de painéis planos e B-Splines) são comparados a seguir. No caso B-

Spline, efetuaram-se as análises para valores do parâmetro PANEL_SIZE iguais a 5, 10, 15,

20, 30 e 40.

Análise Tempo de

Execução

Tempo de

Execução

( % Low-Order)

Número de

Incógnitas do

Sistema

Número de

Incógnitas do

Sistema

(%Low-Order)

Painéis (Low-

Order)

1h 51 min 29 seg 100 2816 100

B-Splines (High-

Order)

PANEL_SIZE = 5

1h 17 min 45 seg 69.74 1052 37.35

B-Splines (High-

Order)

PANEL_SIZE = 10

11 min 6 seg 9.96 621 22.05

B-Splines (High-

Order)

PANEL_SIZE = 15

5 min 2 seg 4.51 516 18.32

B-Splines (High-

Order)

PANEL_SIZE = 20

2 min 34 seg 2.30 446 15.83

B-Splines (High-

Order)

PANEL_SIZE = 30

1 min 26 seg 1.29 396 14.06

B-Splines (High-

Order)

PANEL_SIZE = 40

1 min 26 seg 1.29 396 14.06

Tabela 4.2. Comparação de performance entre os métodos Low-Order e High-Order.

Na tabela 4.2 verifica - se a maior rapidez de solução proporcionada pelo método

High-Order como uma conseqüência do menor número de incógnitas do problema

46

comparativamente ao método Low-Order. Maiores detalhes a respeito dos parâmetros

estabelecidos em cada uma das análises podem ser encontrados no Anexo C.

Como uma forma auxiliar de verificação da correção do modelo geométrico

submetido ao WAMIT, é importante observar os valores dos volumes VOLX, VOLY e

VOLZ, assim como do centro de carena (xb,yb,zb) e dos coeficientes da matriz de

restauração (C), como listados no Anexo A e na tabela 4.3. Os volumes são obtidos através

de integrações ao longo das direções X, Y, e Z respectivamente e seus valores devem estar

próximos (a média entre eles é utilizada pelo WAMIT). O cumprimento destes requisitos

indicam uma leitura correta da geometria e a orientação adequada do vetor normal em cada

retalho conforme descrito no item 3.

Método Matriz de Restauração Volume

(X)

Volume

(Y)

Volume

(Z)

Centro de

carena (x,y,z)

Low-

Order

0000000134885.00000

00134842.0000

000736293.000000000

000000

120657 120610 120662 (0,0,-19.2879)

High-

Order

PANEL_

SIZE=5

0000000135260.00000

00135153.0000

000737019.000000000

000000

120680 120654 120680 (0,0,-19.2856)

High-

Order

PANEL_

SIZE=10

0000000135307.00000

00135083.0000000736958.000

000000000000

120690 120616 120675 (0,0,-19.2856)

High-

Order

PANEL_

SIZE=15

0000000135365.00000

00135170.0000

000736984.000000000

000000

120693 120643 120679 (0,0,-19.2856)

47

Método Matriz de Restauração Volume

(X)

Volume

(Y)

Volume

(Z)

Centro de

carena (x,y,z)

High-

Order

PANEL_

SIZE=20

0000000135527.00000

00135221.0000000737243.000

000000000000

120770 120655 120699 (0,0,-19.2851)

High-

Order

PANEL_

SIZE=30

0000000135552.00000

00134899.0000

000736998.000000000

000000

120813 120703 120703 (0,0,-19.2862)

High-

Order

PANEL_

SIZE=40

0000000135552.00000

00134899.0000

000736998.000000000

000000

120813 120703 120703 (0,0,-19.2862)

Tabela 4.3. Parâmetros de verificação de consistência da modelação geométrica.

Os coeficientes de massa adicional e amortecimento potencial de afundamento

(heave), jogo (roll) e arfagem (pitch) para o conjunto de análises realizadas são

apresentados adiante nas figuras 4.3 e 4.4. Por serem obtidos a partir da integração de

pressões sobre a geometria do corpo, podem ser utilizados para aferir a sua consistência

para as diferentes formas de definição (painéis planos e B-Splines).

48

a-) Massa Adicional.

Heave

0.00E+00

2.00E-01

4.00E-01

6.00E-01

8.00E-01

1.00E+00

1.20E+00

1.40E+00

1.60E+00

1.80E+00

2.00E+00

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 40.00

Período (s)

Mas

sa A

dici

onal

Painel

BSpline (PS=5)BSpline (PS=10)

BSpline (PS=15)BSpline (PS=20)

BSpline (PS=30)BSpline (PS=40)

Figur a 4.3a.Massa adicional de afundamento (Heave) para as análises por painéis e B-S plines.

Heave

1.00E+00

1.10E+00

1.20E+00

1.30E+00

1.40E+00

1.50E+00

1.60E+00

1.70E+00

1.80E+00

1.90E+00

12.00 13.00 14.00 15.00 16.00 17.00 18.00 19.00 20.00

Período (s)

Mas

sa A

dic

ion

al

PainelBSpline (PS=5)

BSpline (PS=10)BSpline (PS=15)

BSpline (PS=20)BSpline (PS=30)

BSpline (PS=40)

Figura 4.3b. Massa adicional de afundamento (Heave ) na faixa de 12 a 20 segundos.

49

Roll

0.00E+00

1.00E-01

2.00E-01

3.00E-01

4.00E-01

5.00E-01

6.00E-01

7.00E-01

8.00E-01

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 40.00

Período (s)

Mas

sa A

dici

onal

Painel

BSpline (PS=5)BSpline (PS=10)

BSpline (PS=15)BSpline (PS=20)

BSpline (PS=30)BSpline (PS=40)

Figura 4.3c. Massa adicional de jogo (Roll) para as análises por painéis e B-Splines.

Roll

4.00E-01

4.50E-01

5.00E-01

5.50E-01

6.00E-01

6.50E-01

7.00E-01

10.00 11.00 12.00 13.00 14.00 15.00 16.00 17.00

Período (s)

Mas

sa A

dic

ion

al

PainelBSpline (PS=5)

BSpline (PS=10)BSpline (PS=15)

BSpline (PS=20)BSpline (PS=30)

BSpline (PS=40)

Figura 4.3d. Massa adicional de jogo (Roll) na faixa de 10 a 17 segundos.

50

Pitch

0.00E+00

1.00E-01

2.00E-01

3.00E-01

4.00E-01

5.00E-01

6.00E-01

7.00E-01

8.00E-01

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 40.00

Período (s)

Mas

sa A

dici

onal

Painel

BSpline (PS=5)BSpline (PS=10)

BSpline (PS=15)BSpline (PS=20)

BSpline (PS=30)BSpline (PS=40)

Figura 4.3e. Massa adicional de arfagem (Pitch) para as análises por painéis e B-Splines.

Pitch

4.00E-01

4.50E-01

5.00E-01

5.50E-01

6.00E-01

6.50E-01

7.00E-01

10.00 11.00 12.00 13.00 14.00 15.00 16.00 17.00

Período (s)

Mas

sa A

dici

onal

Painel

BSpline (PS=5)BSpline (PS=10)

BSpline (PS=15)BSpline (PS=20)

BSpline (PS=30)BSpline (PS=40)

Figura 4.3f. Massa adicional de arfagem (Pitch) na faixa de 10 a 17 segundos.

51

b-) Amortecimento.

Heave

0.00E+00

1.00E-01

2.00E-01

3.00E-01

4.00E-01

5.00E-01

6.00E-01

7.00E-01

8.00E-01

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 40.00

Período (s)

Am

ort

ecim

ento

Painel

BSpline (PS=5)BSpline (PS=10)

BSpline (PS=15)BSpline (PS=20)

BSpline (PS=30)BSpline (PS=40)

Figura 4.4a. Amortecimento de afundamento (Heave) para as análises por painéis e B-S plines.

Heave

3.00E-01

3.50E-01

4.00E-01

4.50E-01

5.00E-01

5.50E-01

6.00E-01

6.50E-01

7.00E-01

7.50E-01

8.00E-01

10.00 11.00 12.00 13.00 14.00 15.00 16.00 17.00

Período (s)

Am

orte

cim

ento

PainelBSpline (PS=5)

BSpline (PS=10)BSpline (PS=15)

BSpline (PS=20)BSpline (PS=30)

BSpline (PS=40)

Figura 4.4b. Amortecimento de afundamento (Heave ) na faixa de 10 a 17 segundos.

52

Roll

0.00E+00

5.00E-02

1.00E-01

1.50E-01

2.00E-01

2.50E-01

3.00E-01

3.50E-01

4.00E-01

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 40.00

Período (s)

Am

orte

cim

ento

Painel

BSpline (PS=5)BSpline (PS=10)

BSpline (PS=15)BSpline (PS=20)

BSpline (PS=30)BSpline (PS=40)

Figura 4.4c. Amortecimento de jogo (Roll) para as análises por painéis e B-Splines.

Roll

2.00E-01

2.20E-01

2.40E-01

2.60E-01

2.80E-01

3.00E-01

3.20E-01

3.40E-01

3.60E-01

7.00 8.00 9.00 10.00 11.00 12.00 13.00 14.00

Período (s)

Am

ort

ecim

ento

PainelBSpline (PS=5)

BSpline (PS=10)BSpline (PS=15)

BSpline (PS=20)BSpline (PS=30)

BSpline (PS=40)

Figura 4.4d. Amortecimento de jogo (Roll) na faixa de 10 a 17 segundos.

53

Pitch

0.00E+00

5.00E-02

1.00E-01

1.50E-01

2.00E-01

2.50E-01

3.00E-01

3.50E-01

4.00E-01

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 40.00

Período (s)

Am

ort

ecim

ento

Painel

Bspline (PS=5)BSpline (PS=10)

BSpline (PS=15)BSpline (PS=20)

BSpline (PS=30)BSpline (PS=40)

Figura 4.4e. Amortecimento de arfagem (Pitch) para as análises por painéis e B-Splines.

Pitch

2.50E-01

2.60E-01

2.70E-01

2.80E-01

2.90E-01

3.00E-01

3.10E-01

3.20E-01

3.30E-01

3.40E-01

3.50E-01

9.00 9.50 10.00 10.50 11.00 11.50 12.00

Período (s)

Am

ort

ecim

ento

PainelBspline (PS=5)

BSpline (PS=10)BSpline (PS=15)

BSpline (PS=20)BSpline (PS=30)

BSpline (PS=40)

Figura 4.4f. Amortecimento de arfagem (Pitch) na faixa de 10 a 17 segundos.

54

5- Análise Crítica-Discussão.

Este estudo representa uma tentativa inicial de aplicação da modelação geométrica

de superfícies B-Splines em análises de configurações de projeto com o sistema WAMIT.

Por isso, embora seja possível representar geometricamente retalhos com quantidades de

subdivisões distintas em cada direção paramétrica (conforme mostrado na figura 5.1), ainda

não foi bem sucedida uma análise no WAMIT sob estas condições, o que poderia reduzir

significantemente a quantidade de incógnitas geradas no problema em casos de geometrias

mais bem comportadas em dadas direções paramétricas e, por conseguinte, minimizar o

tempo de processamento. Por outro lado, retalhos menores não seriam obrigados a ter o

mesmo número de subdivisões em determinada direção do que os de maior tamanho,

resultando em soluções computacionalmente mais baratas.

Figura 5.1. Dois retalhos com diferente número de subdivisões na direção indicada.

Especificamente no retalho mais estreito nota-se a diferença em relação à figura 4.2.

Embora o modelo utilizado como exemplo tenha sido uma plataforma semi-

submersível, cuja representação dos retalhos B-Spline é simples (planos, cilindros, cones,

etc...), o algoritmo é perfeitamente aplicável a cascos de navios. Nesses casos, os pontos de

interpolação são gerados através de interseções entre balizas, linhas d’água e linhas do alto

formando-se uma malha retangular de pontos de controle, através dos quais a superfície é

55

gerada. A seguir é apresentado um casco tipo navio, mostrando suas linhas seccionais

(figura 5.2) e a superfície obtida a partir das mesmas (figura 5.4).

Figura 5.2. Representação das linhas seccionais de uma embarcação modeladas como

B-Spline. Identificam-se as balizas, linhas d’água e linhas do alto pelas cores verde,

azul e violeta respectivamente.

Figura 5.3. Curvas de fronteira utilizadas na definição dos retalhos.

56

Figura 5.4. Conjunto de retalhos obtido a partir das linhas seccionais apresentadas na

figura 5.2 segmentadas pelas curvas de fronteira mostradas na figura 5.3.

Do ponto de vista hidrodinâmico, os resultados apresentados no item anterior

demonstraram ser satisfatórios no que diz respeito ao uso de superfícies B-Spline no

WAMIT, efetuando análises bastante confiáveis, obtidas a partir de procedimentos mais

significativos e eficientes na configuração e representação da geometria do casco de

sistemas flutuantes. As expectativas quanto ao tempo de processamento, minorado com a

quantidade de incógnitas geradas durante as análises e quanto à acurácia da solução foram

confirmadas. Verifica-se que mesmo para níveis de refinamento bastante grosseiros

(PANEL_SIZE=40, por exemplo) a solução por B-Splines mostrou-se eficiente e de rápida

obtenção, sendo útil para estágios iniciais de projeto onde se procura investigar o problema

e estabelecer as suas configurações conceituais. Essa rapidez traduz-se também na

definição da geometria do corpo, já que com as subdivisões pré-estabelecidas, através do

parâmetro PANEL_SIZE, o usuário limita-se apenas a indicar as curvas de fronteira dos

retalho s B-Spline.

57

6- Conclusão.

O uso de B-Splines no projeto de sistemas oceânicos mostra-se eficaz devido à

grande flexibilidade que este conjunto de curvas e superfícies oferece ao projetista na

conceituação da geometria do casco de seu objeto de projeto. A precisão da sua

representação, assim como as suas propriedades no controle de tangência e geração de

quinas em pontos notáveis dentro de uma única entidade geométrica, justificam o esforço

em seu uso em navios e plataformas. Dessa forma, com uma representação bastante

simplificada, por meio de um número relativamente pequeno de pontos e propriedades

geométricas do casco, é possível definir-se formas complexas em análises de movimentos.

Na definição do corpo por painéis planos, por sua vez, os pontos de interpolação pertencem

a uma única malha sendo a ligação entre eles feita por seguimentos de reta constituindo

uma aproximação geométrica pobre, a qual logicamente se reflete no resultado final. A

melhoria na representação do casco por painéis planos, para se igualar em termos de

qualidade à definição geométrica mais exata obtida por B-Splines, obriga a um aumento

expressivo na quantidade de elementos, acrescentando incógnitas ao problema e

penalizando o tempo de processamento (conforme destacado no item 4.2).

O prosseguimento deste estudo possibilitará o aprimoramento do formato de

definição geométrica não só para o WAMIT, sendo possível também estendê- lo para a

geração de malhas para análises do escoa mento em softwares de CFD (volumes finitos) e

análise estrutural (elementos finitos), tendo em vista que B-Splines já constituem um

padrão de representação em sistemas CAD/CAM e que a transferência de informação sob

formatos de arquivos padronizados (IGES, DXF, etc...) é uma realidade.

58

7- Referências Bibliográficas.

AGUILAR MOLINA, M. L., 1988, Descrição Matemática de Cascos de Navios

através da Teoria B-Spline. Tese de M.Sc., COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro,

RJ, Brasil.

BERTRAM, V., 2000, Pratical Ship Hidrodynamics. 1 ed. Oxford, Butterworth

Heinemann.

DIERCKX, P., 1993, Curve and Surface Fitting with Splines. 1 ed. Oxford, Oxford

Science Publications.

FALTINSEN, O. M., 1990, Sea Loads on Ships and Offshore Structures, 1ed.

Cambridge, Cambridge University Press.

LEVY, L. A. P., 2004, Análise de Movimentos de Corpos Flutuantes no Domínio do

Tempo. Cenpes, Rio de Janeiro.

MIT, 2001, Wamit 6.0, A Radiation-Diffraction Panel Program for Wave Body

Interactions. Cambridge, Dept. of Ocean Engineering.

NEWMAN, J. N., 1977, Marine Hydrodynamics, 1 ed. Massachussetts, The

Massachussetts Institute of Technology.

PIEGL, L., TILLER, W., 1997, The NURBS Book. 2 ed. Berlin, Springer-Verlag.

PRESS, W. H., FLANNERY, B. P., TEUKOLSKY, S. A., 1996, Numerical Recipes

in Pascal. 2 ed, New York, Cambridge University Press.

ROGERS, D. F., 2001, An Introduction to NURBS With Historical Perpspective.1

ed. San Diego, Morgan Kaufmann Publishers.

ROGERS, D. F., ADAMS, J. A., 1989, Mathematical Elements for Computer

Graphics. 2 ed. New York, McGraw-Hill, Inc.

59

Anexo A. Abordagem Analítica.

De acordo com hipóteses estabelecidas por NEWMAN (1977) e FALTINSEN

(1990) o campo de velocidades pode ser representado através da função potencial

( )tzyx ,,,Φ da seguinte maneira:

( )tzyxtzyxV ,,,),,,( Φ∇=r

Sendo,

( ) ( ) ( ) ( )tzyxtzyxtzyxtzyx irrdwt ,,,,,,,,,,,, Φ+Φ+Φ=Φ

Onde,

wΦ , potencial de onda incidente.

dΦ , potencial de difração.

irrΦ , potencial de irradiação.

Da equação da continuidade tem-se:

0. =∇Vrr

=> 02

2

2

2

2

22 =

∂Φ∂+

∂Φ∂+

∂Φ∂=Φ∇

zyx

A equação acima é a chamada Equação de Laplace a qual deve estar sujeita às

seguintes condições de contorno para a obtenção de solução única (NEWMAN, 1977,

LEVY, 2004):

dzemn

t −==∂∂

0φ

, onde z é o eixo coordenado vertical com

sentido positivo para cima e origem na

60

superfície, enquanto d é a profundidade.

Condição no fundo.

002

==−∂

∂zem

gz tt φ

ωφ , onde ω é a freqüência e g a aceleração da

gravidade. Condição na superfície livre.

nnwd

∂∂

−=∂

∂ φφ , onde n é o vetor normal a superfície do

corpo. Condição de impenetrabilidade do

corpo para difração.

jj

jj nin

ωφη =

∂∂− ∑

=

6

1

, onde jn é a normal generalizada. Condição

de impenetrabilidade do corpo para

irradiação.

0lim =

−∂

∂∞→

dd

ri

rr νφ

φ , onde

g

2ων = e 22 yxr += são o número

de onda e a distância em relação a origem

respectivamente. Condição longe do corpo

para difração.

0lim =

−

∂∂

∞→ irrirr

ri

rr νφ

φ Condição longe do corpo para irradiação.

Obtida a solução da Equação de Laplace, o campo de pressões pode ser determinado

pela seguinte expressão (FALTINSEN, 1990):

t

P t

∂∂

=φ

ρ , sendo P a pressão dinâmica e ρ a densidade.

61

A partir da determinação das pressões dinâmica e hidrostática (a qual depende

apenas da posição z) as forças são obtidas através da seguinte expressão (NEWMAN,

1977).

∫−=S

PndSF

Sendo,

F, força.

n, vetor normal à superfície (dirigido para o meio fluído).

dS, elemento infinitesimal da superfície.

Assim sendo, substituindo-se as forças obtidas a partir dos potenciais de onda

incidente, difração, irradiação e da pressão hidrostática na expressão da 2ª Lei de Newton,

têm-se (FALTINSEN, 1990):

[ ] [ ]( ) [ ] [ ]xCxBxAMf exc

r&&&r +++=⇒

A expressão acima é a denominada Equação Dinâmica dos Movimentos, na qual

excf corresponde a força de excitação enquanto [ ]M , [ ]A , [ ]B e [ ]C são as matrizes de

massa, massa adicional, amortecimento e restauração respectivamente. Sendo as forças de

excitação de natureza harmônica, os deslocamentos ( xr

), velocidades ( x& ) e acelerações ( x&&r

)

também o serão (NEWMAN, 1977). Portanto:

( )[ ] tija

ti

jaijijijij efexBiCAM j ωδωωω −+− =−++− 2

De acordo com LEVY (2004), as matrizes [ ]M e [ ]C são definidas através das

seguintes relações:

62

[ ]

−−−−−

−−−−

−−

=

zzyzxzgg

yzyyxygg

xzxyxxgg

gg

gg

gg

IIImxmyIIImxmz

IIImymzmxmym

mxmzmmymzm

M

00

0000

000000

[ ] ( )( )

+−−−−+−

−=

000000000000

000000000000000

xxgbxyfwl

xyyygbfwl

fwlfwlwl

gAzzgVgAxgAgAgAzzgVygA

xgAygAgAC

ρρρρρρρρ

ρρρ

63

Anexo B. Ferramentas Numéricas.

Os métodos numéricos utilizados para resolver as equações diferenciais que

descrevem o escoamento, sujeitas a condições de contorno, através de aproximações

envolvendo um grande número de elementos (matematicamente simples) geram uma

grande quantidade de incógnitas ao problema. As técnicas de resolução, que empregam tais

métodos, constituem um conjunto chamado de CFD ou Computational Fluid Dynamics

(BERTRAM,2000). Dentre as técnicas de CFD disponíveis na atualidade destacam-se:

a-) Método dos Elementos de Contorno. Boundary Element Methods (BEM).

BEM são usados para escoamentos potenciais, onde as integrais sobre todo o

domínio fluído podem ser transformadas em integrais sobre os contornos do mesmo. A

passagem do espaço 3D para elementos simplificados 2D facilita a geração de malha e

acelera a computação. Por este motivo, muitas aplicações de escoamento potencial em

torno de navios (problemas de resistência de onda, por exemplo) usam exclusivamente

BEM. Estes métodos são conhecidos como Panel Methods. Em uma das abordagens

elementos de fontes/sumidouros são distribuídos entre os painéis, geralmente colocados no

centro de cada painel e submetidos a condição de velocidade normal igual a zero naqueles

pontos. Outra alternativa é a representação geométrica e do escoamento por meio de

funções B-Spline. Em ambos os casos são gerados sistemas lineares a serem resolvidos, no

primeiro deles as incógnitas correspondem às intensidades das fontes e sumidouros,

enquanto no último elas são constituídas pelos pontos de controle da função B-Spline

representativa do escoamento.

b-) Método dos Elementos Finitos. Finite Element Methods (FEM).

Os métodos de elementos finitos praticamente dominam o campo da análise

estrutural, enquanto na hidrodinâmica desempenham apenas um papel secundário.

64

c-) Método das Diferenças Finitas. Finite Difference Methods (FDM).

Analogamente ao método anterior, este método discretiza todo o domínio fluído. As

derivadas da equação a ser resolvida são aproximadas por diferenças finitas. Em muitos

casos esta técnica fornece bons resultados.

d-) Método de Volumes Finitos. Finite Volume Methods (FVM).

Este método também emprega diferenças finitas em discretizações temporais e

espaciais. Entretanto, eles integram as equações de conservação de massa e momento para

cada célula individual antes das variáve is serem aproximadas por valores no centro das

células.Isto assegura a conservação, já que os erros na face de saída de uma célula

cancelam os erros da face de entrada da célula vizinha.

FEM, FDM e FVM são conhecidos como “métodos de campo”, pois discret izam

todo o domínio fluído ao contrário dos BEM os quais dividem apenas o contorno.

e-) Uso em Estruturas Offshore.

Para aplicações em estruturas offshore, os carregamentos globais assim como os

movimentos podem ser computados adequadamente com o uso dos Boundary Element

Methods (BEM). Pode-se determinar forças e deslocamentos tanto no domínio da

freqüência quanto do tempo, além disso os efeitos de primeira ordem são obtidos de forma

acurada. Com estas características alguns pacotes comerciais foram desenvolvidos, dentre

eles destacam-se o WAMIT e o TIMIT desenvolvidos pelo MIT.

65

Anexo C. Resultados do WAMIT.

A seguir são listados os conteúdos do arquivo <.log> do módulo POTEN do

WAMIT, que é o responsável pela solução do potencial de velocidades, para os modelos

geométricos de painéis (Low Order) e B-Spline (High Order) com o parâmetro

PANEL_SIZE igual a 5, 10 e 15 respectivamente conforme descrito no item 5.

C.1- Solução por Painéis Planos.

Registro da análise:

Low-order panel method (ILOWHI=0)

Input from Geometric Data File: pxx.gdf

Description

Input from Potential Control File: pxx.pot

PLATAFORMA TESTE P-xx

POTEN run date and starting time: 14-Jan-2005 -- 07:15:01

Period Time RAD DIFF (max iterations)

35.0000 07:19:25 -1 -1

30.0000 07:23:22 -1 -1

29.0000 07:27:26 -1 -1

28.0000 07:31:26 -1 -1

27.0000 07:35:24 -1 -1

26.0000 07:39:20 -1 -1

25.0000 07:43:18 -1 -1

24.0000 07:47:14 -1 -1

23.0000 07:51:09 -1 -1

22.0000 07:55:07 -1 -1

21.0000 07:59:06 -1 -1

20.0000 08:03:05 -1 -1

19.0000 08:07:07 -1 -1

18.0000 08:11:25 -1 -1

66

17.0000 08:15:23 -1 -1

16.0000 08:19:18 -1 -1

15.0000 08:23:14 -1 -1

14.0000 08:27:11 -1 -1

13.0000 08:31:08 -1 -1

12.0000 08:35:07 -1 -1

11.0000 08:39:17 -1 -1

10.0000 08:43:26 -1 -1

9.0000 08:47:43 -1 -1

8.0000 08:51:48 -1 -1

7.0000 08:55:59 -1 -1

6.0000 08:59:58 -1 -1

5.0000 09:04:01 -1 -1

4.0000 09:08:13 -1 -1

3.0000 09:12:25 -1 -1

2.0000 09:16:30 -1 -1

Gravity: 9.80600 Length scale: 48.00000

Water depth: 5000.00000 Water density: 1.02500

Panel quadrature indices: IQUAD = 0 ILOG = 0 IDIAG = 0

Source formulation index: ISOR = 0

Irregular frequency index: IRR = 0

Diffraction/scattering formulation index: ISCATT = 0

Number of blocks used in linear system: ISOLVE = 1

Number of unknowns in linear system: NEQN = 2816

BODY PARAMETERS:

Total panels: 11264 Waterline panels: 256 Symmetries: X=0,Y=0

XBODY = 0.0000 YBODY = 0.0000 ZBODY = 0.0000 PHIBODY = 0.0

Volumes (VOLX,VOLY,VOLZ): 120657. 120610. 120662.

Center of Buoyancy (Xb,Yb,Zb): 0.000000 0.000000 -19.287914

Hydrostatic and gravitational restoring coefficients:

C(3,3),C(3,4),C(3,5): 0.736293 0.00000 0.00000

C(4,4),C(4,5),C(4,6): 0.134842 0.00000 0.00000

C(5,5),C(5,6): 0.134885 0.00000

67

Center of Gravity (Xg,Yg,Zg): 0.000000 0.000000 -5.000000

C.2- Solução por B-Spline (PANEL_SIZE=5).

Registro da análise:

High-order panel method (ILOWHI=1) Panel_Size = 5.00000

Input from Geometric Data File: pxx.gdf

Description

Input from Potential Control File: pxx.pot

PLATAFORMA TESTE P-xx

POTEN run date and starting time: 14-Jan-2005 -- 13:14:01

Period Time RAD DIFF (max iterations)

35.0000 13:19:39 -1 -1

30.0000 13:21:57 -1 -1

29.0000 13:24:13 -1 -1

28.0000 13:26:29 -1 -1

27.0000 13:28:47 -1 -1

26.0000 13:31:06 -1 -1

25.0000 13:33:22 -1 -1

24.0000 13:35:40 -1 -1

23.0000 13:37:57 -1 -1

22.0000 13:40:12 -1 -1

21.0000 13:42:28 -1 -1

20.0000 13:44:44 -1 -1

19.0000 13:47:04 -1 -1

18.0000 13:49:25 -1 -1

17.0000 13:51:45 -1 -1

16.0000 13:54:05 -1 -1

15.0000 13:56:26 -1 -1

68

14.0000 13:58:49 -1 -1

13.0000 14:01:16 -1 -1

12.0000 14:03:42 -1 -1

11.0000 14:06:14 -1 -1

10.0000 14:09:05 -1 -1

9.0000 14:11:46 -1 -1

8.0000 14:14:32 -1 -1

7.0000 14:17:20 -1 -1

6.0000 14:20:11 -1 -1

5.0000 14:23:03 -1 -1

4.0000 14:25:58 -1 -1

3.0000 14:28:51 -1 -1

2.0000 14:31:46 -1 -1

Gravity: 9.80600 Length scale: 48.00000

Water depth: 5000.00000 Water density: 1.02500

Panel quadrature indices: IQUAD = 0 ILOG = 1 IDIAG = 0

Source formulation index: ISOR = 0

Irregular frequency index: IRR = 0

Diffraction/scattering formulation index: ISCATT = 0

Number of blocks used in linear system: ISOLVE = 1

Number of unknowns in linear system: NEQN = 1052

BODY PARAMETERS:

NPATCH: 44 IGDEF: 1 Symmetries: X=0,Y=0

Patch NU NV KU KV IQUI IQVI

1 4 5 3 3 4 4

2 1 3 3 3 4 4

3 4 4 3 3 4 4

4 4 2 3 3 4 4

5 4 4 3 3 4 4

6 1 3 3 3 4 4

7 4 5 3 3 4 4

8 5 3 3 3 4 4

9 2 3 3 3 4 4

10 5 3 3 3 4 4

11 5 2 3 3 4 4

69

12 1 1 3 3 4 4

13 4 1 3 3 4 4

14 1 2 3 3 4 4

15 4 5 3 3 4 4

16 1 4 3 3 4 4

17 4 4 3 3 4 4

18 1 4 3 3 4 4

19 2 1 3 3 4 4

20 1 4 3 3 4 4

21 1 1 3 3 4 4

22 4 5 3 3 4 4

23 1 5 3 3 4 4

24 5 5 3 3 4 4

25 5 1 3 3 4 4

26 2 1 3 3 4 4

27 5 1 3 3 4 4

28 5 5 3 3 4 4

29 1 4 3 3 4 4

30 3 4 3 3 4 4

31 1 2 3 3 4 4

32 3 2 3 3 4 4

33 1 4 3 3 4 4

34 3 4 3 3 4 4

35 1 1 3 3 4 4

36 3 2 3 3 4 4

37 1 5 3 3 4 4

38 3 4 3 3 4 4

39 1 1 3 3 4 4

40 3 2 3 3 4 4

41 5 1 3 3 4 4

42 3 4 3 3 4 4

43 1 1 3 3 4 4

44 3 2 3 3 4 4

XBODY = 0.0000 YBODY = 0.0000 ZBODY = 0.0000 PHIBODY = 0.0

Volumes (VOLX,VOLY,VOLZ): 120680. 120654. 120680.

Center of Buoyancy (Xb,Yb,Zb): 0.000000 0.000000 -19.285610

Hydrostatic and gravitational restoring coefficients:

70

C(3,3),C(3,4),C(3,5): 0.737019 0.00000 0.00000

C(4,4),C(4,5),C(4,6): 0.135153 0.00000 0.00000

C(5,5),C(5,6): 0.135260 0.00000

Center of Gravity (Xg,Yg,Zg): 0.000000 0.000000 -5.000000

C.3- Solução por B-Spline (PANEL_SIZE=10).

Registro da análise:

High-order panel method (ILOWHI=1) Panel_Size = 10.00000

Input from Geometric Data File: pxx.gdf

Description

Input from Potential Control File: pxx.pot

PLATAFORMA TESTE P-xx

POTEN run date and starting time: 14-Jan-2005 -- 12:55:46

Period Time RAD DIFF (max iterations)

35.0000 12:56:40 -1 -1

30.0000 12:57:00 -1 -1

29.0000 12:57:19 -1 -1

28.0000 12:57:39 -1 -1

27.0000 12:57:58 -1 -1

26.0000 12:58:18 -1 -1

25.0000 12:58:37 -1 -1

24.0000 12:58:58 -1 -1

23.0000 12:59:17 -1 -1

22.0000 12:59:37 -1 -1

21.0000 12:59:57 -1 -1

20.0000 13:00:17 -1 -1

19.0000 13:00:36 -1 -1

71

18.0000 13:00:56 -1 -1

17.0000 13:01:16 -1 -1

16.0000 13:01:36 -1 -1

15.0000 13:01:55 -1 -1

14.0000 13:02:16 -1 -1

13.0000 13:02:36 -1 -1

12.0000 13:02:56 -1 -1

11.0000 13:03:18 -1 -1

10.0000 13:03:39 -1 -1

9.0000 13:04:02 -1 -1

8.0000 13:04:26 -1 -1

7.0000 13:04:49 -1 -1

6.0000 13:05:13 -1 -1

5.0000 13:05:38 -1 -1

4.0000 13:06:02 -1 -1

3.0000 13:06:27 -1 -1

2.0000 13:06:52 -1 -1

Gravity: 9.80600 Length scale: 48.00000

Water depth: 5000.00000 Water density: 1.02500

Panel quadrature indices: IQUAD = 0 ILOG = 1 IDIAG = 0

Source formulation index: ISOR = 0

Irregular frequency index: IRR = 0

Diffraction/scattering formulation index: ISCATT = 0

Number of blocks used in linear system: ISOLVE = 1

Number of unknowns in linear system: NEQN = 621

BODY PARAMETERS:

NPATCH: 44 IGDEF: 1 Symmetries: X=0,Y=0

Patch NU NV KU KV IQUI IQVI

1 2 3 3 3 4 4

2 1 2 3 3 4 4

3 2 2 3 3 4 4

4 2 1 3 3 4 4

5 2 2 3 3 4 4

6 1 2 3 3 4 4

7 2 3 3 3 4 4

72

8 3 2 3 3 4 4

9 1 2 3 3 4 4

10 3 2 3 3 4 4

11 3 1 3 3 4 4

12 1 1 3 3 4 4

13 2 1 3 3 4 4

14 1 1 3 3 4 4

15 2 3 3 3 4 4

16 1 2 3 3 4 4

17 2 2 3 3 4 4

18 1 2 3 3 4 4

19 1 1 3 3 4 4

20 1 2 3 3 4 4

21 1 1 3 3 4 4

22 2 3 3 3 4 4

23 1 3 3 3 4 4

24 3 3 3 3 4 4

25 3 1 3 3 4 4

26 1 1 3 3 4 4

27 3 1 3 3 4 4

28 3 3 3 3 4 4

29 1 2 3 3 4 4

30 2 2 3 3 4 4

31 1 1 3 3 4 4

32 2 1 3 3 4 4

33 1 2 3 3 4 4

34 2 2 3 3 4 4

35 1 1 3 3 4 4

36 2 1 3 3 4 4

37 1 3 3 3 4 4

38 2 2 3 3 4 4

39 1 1 3 3 4 4

40 2 1 3 3 4 4

41 3 1 3 3 4 4

42 2 2 3 3 4 4

43 1 1 3 3 4 4

44 2 1 3 3 4 4

73

XBODY = 0.0000 YBODY = 0.0000 ZBODY = 0.0000 PHIBODY = 0.0

Volumes (VOLX,VOLY,VOLZ): 120690. 120616. 120675.

Center of Buoyancy (Xb,Yb,Zb): 0.000000 0.000000 -19.285639

Hydrostatic and gravitational restoring coefficients:

C(3,3),C(3,4),C(3,5): 0.736958 0.00000 0.00000

C(4,4),C(4,5),C(4,6): 0.135083 0.00000 0.00000

C(5,5),C(5,6): 0.135307 0.00000

Center of Gravity (Xg,Yg,Zg): 0.000000 0.000000 -5.000000

C.4- Solução por B-Spline (PANEL_SIZE=15).

Registro da análise:

High-order panel method (ILOWHI=1) Panel_Size = 15.00000

Input from Geometric Data File: pxx.gdf

Description

Input from Potential Control File: pxx.pot

PLATAFORMA TESTE P-xx

POTEN run date and starting time: 14-Jan-2005 -- 12:49:19

Period Time RAD DIFF (max iterations)

35.0000 12:49:45 -1 -1

30.0000 12:49:54 -1 -1

29.0000 12:50:03 -1 -1

28.0000 12:50:11 -1 -1

27.0000 12:50:20 -1 -1

26.0000 12:50:29 -1 -1

25.0000 12:50:37 -1 -1

24.0000 12:50:46 -1 -1

23.0000 12:50:55 -1 -1

22.0000 12:51:04 -1 -1

74

21.0000 12:51:12 -1 -1

20.0000 12:51:21 -1 -1

19.0000 12:51:30 -1 -1

18.0000 12:51:38 -1 -1

17.0000 12:51:47 -1 -1

16.0000 12:51:56 -1 -1

15.0000 12:52:05 -1 -1

14.0000 12:52:14 -1 -1

13.0000 12:52:23 -1 -1

12.0000 12:52:32 -1 -1

11.0000 12:52:42 -1 -1

10.0000 12:52:52 -1 -1

9.0000 12:53:02 -1 -1

8.0000 12:53:13 -1 -1

7.0000 12:53:23 -1 -1

6.0000 12:53:34 -1 -1

5.0000 12:53:45 -1 -1

4.0000 12:53:56 -1 -1

3.0000 12:54:06 -1 -1

2.0000 12:54:17 -1 -1

Gravity: 9.80600 Length scale: 48.00000

Water depth: 5000.00000 Water density: 1.02500

Panel quadrature indices: IQUAD = 0 ILOG = 1 IDIAG = 0

Source formulation index: ISOR = 0

Irregular frequency index: IRR = 0

Diffraction/scattering formulation index: ISCATT = 0

Number of blocks used in linear system: ISOLVE = 1

Number of unknowns in linear system: NEQN = 516

BODY PARAMETERS:

NPATCH: 44 IGDEF: 1 Symmetries: X=0,Y=0

Patch NU NV KU KV IQUI IQVI

1 2 2 3 3 4 4

2 1 1 3 3 4 4

3 2 2 3 3 4 4

4 2 1 3 3 4 4

75

5 2 2 3 3 4 4

6 1 1 3 3 4 4

7 2 2 3 3 4 4

8 2 1 3 3 4 4

9 1 1 3 3 4 4

10 2 1 3 3 4 4

11 2 1 3 3 4 4

12 1 1 3 3 4 4

13 2 1 3 3 4 4

14 1 1 3 3 4 4

15 2 2 3 3 4 4

16 1 2 3 3 4 4

17 2 2 3 3 4 4

18 1 2 3 3 4 4

19 1 1 3 3 4 4

20 1 2 3 3 4 4

21 1 1 3 3 4 4

22 2 2 3 3 4 4

23 1 2 3 3 4 4

24 2 2 3 3 4 4

25 2 1 3 3 4 4

26 1 1 3 3 4 4

27 2 1 3 3 4 4

28 2 2 3 3 4 4

29 1 2 3 3 4 4

30 1 2 3 3 4 4

31 1 1 3 3 4 4

32 1 1 3 3 4 4

33 1 2 3 3 4 4

34 1 2 3 3 4 4

35 1 1 3 3 4 4

36 1 1 3 3 4 4

37 1 2 3 3 4 4

38 1 2 3 3 4 4

39 1 1 3 3 4 4

40 1 1 3 3 4 4

41 2 1 3 3 4 4

42 1 2 3 3 4 4

76

43 1 1 3 3 4 4

44 1 1 3 3 4 4

XBODY = 0.0000 YBODY = 0.0000 ZBODY = 0.0000 PHIBODY = 0.0

Volumes (VOLX,VOLY,VOLZ): 120693. 120643. 120679.

Center of Buoyancy (Xb,Yb,Zb): 0.000000 0.000000 -19.285686

Hydrostatic and gravitational restoring coefficients:

C(3,3),C(3,4),C(3,5): 0.736984 0.00000 0.00000

C(4,4),C(4,5),C(4,6): 0.135170 0.00000 0.00000

C(5,5),C(5,6): 0.135365 0.00000

Center of Gravity (Xg,Yg,Zg): 0.000000 0.000000 -5.000000

C.5- Solução por B-Spline (PANEL_SIZE= 20).

Registro da análise:

High-order panel method (ILOWHI=1) Panel_Size = 20.00000

Input from Geometric Data File: pxx.gdf

Description

Input from Potential Control File: pxx.pot

PLATAFORMA TESTE P-xx

POTEN run date and starting time: 14-Jan-2005 -- 12:45:55

Period Time RAD DIFF (max iterations)

35.0000 12:46:10 -1 -1

30.0000 12:46:14 -1 -1

29.0000 12:46:19 -1 -1

28.0000 12:46:23 -1 -1

27.0000 12:46:28 -1 -1

26.0000 12:46:32 -1 -1

25.0000 12:46:36 -1 -1

24.0000 12:46:41 -1 -1

77

23.0000 12:46:45 -1 -1

22.0000 12:46:50 -1 -1

21.0000 12:46:54 -1 -1

20.0000 12:46:59 -1 -1

19.0000 12:47:04 -1 -1

18.0000 12:47:08 -1 -1

17.0000 12:47:13 -1 -1

16.0000 12:47:17 -1 -1

15.0000 12:47:22 -1 -1

14.0000 12:47:26 -1 -1

13.0000 12:47:31 -1 -1

12.0000 12:47:36 -1 -1

11.0000 12:47:41 -1 -1

10.0000 12:47:46 -1 -1

9.0000 12:47:51 -1 -1

8.0000 12:47:56 -1 -1

7.0000 12:48:02 -1 -1

6.0000 12:48:07 -1 -1

5.0000 12:48:13 -1 -1

4.0000 12:48:18 -1 -1

3.0000 12:48:24 -1 -1

2.0000 12:48:29 -1 -1

Gravity: 9.80600 Length scale: 48.00000

Water depth: 5000.00000 Water density: 1.02500

Panel quadrature indices: IQUAD = 0 ILOG = 1 IDIAG = 0

Source formulation index: ISOR = 0

Irregular frequency index: IRR = 0

Diffraction/scattering formulation index: ISCATT = 0

Number of blocks used in linear system: ISOLVE = 1

Number of unknowns in linear system: NEQN = 446

BODY PARAMETERS:

NPATCH: 44 IGDEF: 1 Symmetries: X=0,Y=0

Patch NU NV KU KV IQUI IQVI

1 1 2 3 3 4 4

2 1 1 3 3 4 4

78

3 1 1 3 3 4 4

4 1 1 3 3 4 4

5 1 1 3 3 4 4

6 1 1 3 3 4 4

7 1 2 3 3 4 4

8 2 1 3 3 4 4

9 1 1 3 3 4 4

10 2 1 3 3 4 4

11 2 1 3 3 4 4

12 1 1 3 3 4 4

13 1 1 3 3 4 4

14 1 1 3 3 4 4

15 1 2 3 3 4 4

16 1 1 3 3 4 4

17 1 1 3 3 4 4

18 1 1 3 3 4 4

19 1 1 3 3 4 4

20 1 1 3 3 4 4

21 1 1 3 3 4 4

22 1 2 3 3 4 4

23 1 2 3 3 4 4

24 2 2 3 3 4 4

25 2 1 3 3 4 4

26 1 1 3 3 4 4

27 2 1 3 3 4 4

28 2 2 3 3 4 4

29 1 1 3 3 4 4

30 1 1 3 3 4 4

31 1 1 3 3 4 4

32 1 1 3 3 4 4

33 1 1 3 3 4 4

34 1 1 3 3 4 4

35 1 1 3 3 4 4

36 1 1 3 3 4 4

37 1 2 3 3 4 4

38 1 1 3 3 4 4

39 1 1 3 3 4 4

40 1 1 3 3 4 4

79

41 2 1 3 3 4 4

42 1 1 3 3 4 4

43 1 1 3 3 4 4

44 1 1 3 3 4 4

XBODY = 0.0000 YBODY = 0.0000 ZBODY = 0.0000 PHIBODY = 0.0

Volumes (VOLX,VOLY,VOLZ): 120770. 120655. 120699.

Center of Buoyancy (Xb,Yb,Zb): 0.000000 0.000000 -19.285118

Hydrostatic and gravitational restoring coefficients:

C(3,3),C(3,4),C(3,5): 0.737243 0.00000 0.00000

C(4,4),C(4,5),C(4,6): 0.135221 0.00000 0.00000

C(5,5),C(5,6): 0.135527 0.00000

Center of Gravity (Xg,Yg,Zg): 0.000000 0.000000 -5.000000

C.6- Solução por B-Spline (PANEL_SIZE= 30).

Registro da análise:

High-order panel method (ILOWHI=1) Panel_Size = 30.00000

Input from Geometric Data File: pxx.gdf

Description

Input from Potential Control File: pxx.pot

PLATAFORMA TESTE P-xx

POTEN run date and starting time: 03-Mar-2005 -- 08:11:40

Period Time RAD DIFF (max iterations)

35.0000 08:11:49 -1 -1

30.0000 08:11:52 -1 -1

29.0000 08:11:54 -1 -1

28.0000 08:11:57 -1 -1

27.0000 08:11:59 -1 -1

26.0000 08:12:02 -1 -1

80

25.0000 08:12:04 -1 -1

24.0000 08:12:07 -1 -1

23.0000 08:12:09 -1 -1

22.0000 08:12:12 -1 -1

21.0000 08:12:14 -1 -1

20.0000 08:12:17 -1 -1

19.0000 08:12:19 -1 -1

18.0000 08:12:22 -1 -1

17.0000 08:12:24 -1 -1

16.0000 08:12:27 -1 -1

15.0000 08:12:29 -1 -1

14.0000 08:12:32 -1 -1

13.0000 08:12:34 -1 -1

12.0000 08:12:37 -1 -1

11.0000 08:12:40 -1 -1

10.0000 08:12:43 -1 -1

9.0000 08:12:45 -1 -1

8.0000 08:12:48 -1 -1

7.0000 08:12:51 -1 -1

6.0000 08:12:54 -1 -1

5.0000 08:12:57 -1 -1

4.0000 08:13:00 -1 -1

3.0000 08:13:03 -1 -1

2.0000 08:13:06 -1 -1

Gravity: 9.80600 Length scale: 48.00000

Water depth: 5000.00000 Water density: 1.02500

Panel quadrature indices: IQUAD = 0 ILOG = 1 IDIAG = 0

Source formulation index: ISOR = 0

Irregular frequency index: IRR = 0

Diffraction/scattering formulation index: ISCATT = 0

Number of blocks used in linear system: ISOLVE = 1

Number of unknowns in linear system: NEQN = 396

BODY PARAMETERS:

NPATCH: 44 IGDEF: 1 Symmetries: X=0,Y=0

Patch NU NV KU KV IQUI IQVI

81

1 1 1 3 3 4 4

2 1 1 3 3 4 4

3 1 1 3 3 4 4

4 1 1 3 3 4 4

5 1 1 3 3 4 4

6 1 1 3 3 4 4

7 1 1 3 3 4 4

8 1 1 3 3 4 4

9 1 1 3 3 4 4

10 1 1 3 3 4 4

11 1 1 3 3 4 4

12 1 1 3 3 4 4

13 1 1 3 3 4 4

14 1 1 3 3 4 4

15 1 1 3 3 4 4

16 1 1 3 3 4 4

17 1 1 3 3 4 4

18 1 1 3 3 4 4

19 1 1 3 3 4 4

20 1 1 3 3 4 4

21 1 1 3 3 4 4

22 1 1 3 3 4 4

23 1 1 3 3 4 4

24 1 1 3 3 4 4

25 1 1 3 3 4 4

26 1 1 3 3 4 4

27 1 1 3 3 4 4

28 1 1 3 3 4 4

29 1 1 3 3 4 4

30 1 1 3 3 4 4

31 1 1 3 3 4 4

32 1 1 3 3 4 4

33 1 1 3 3 4 4

34 1 1 3 3 4 4

35 1 1 3 3 4 4

36 1 1 3 3 4 4

37 1 1 3 3 4 4

38 1 1 3 3 4 4

82

39 1 1 3 3 4 4

40 1 1 3 3 4 4

41 1 1 3 3 4 4

42 1 1 3 3 4 4

43 1 1 3 3 4 4

44 1 1 3 3 4 4

XBODY = 0.0000 YBODY = 0.0000 ZBODY = 0.0000 PHIBODY = 0.0

Volumes (VOLX,VOLY,VOLZ): 120813. 120703. 120703.

Center of Buoyancy (Xb,Yb,Zb): 0.000000 0.000000 -19.286222

Hydrostatic and gravitational restoring coefficients:

C(3,3),C(3,4),C(3,5): 0.736998 0.00000 0.00000

C(4,4),C(4,5),C(4,6): 0.134899 0.00000 0.00000

C(5,5),C(5,6): 0.135552 0.00000

Center of Gravity (Xg,Yg,Zg): 0.000000 0.000000 -5.000000

C.7- Solução por B-Spline (PANEL_SIZE=40).

Registro da análise:

High-order panel method (ILOWHI=1) Panel_Size = 40.00000

Input from Geometric Data File: pxx.gdf

Description

Input from Potential Control File: pxx.pot

PLATAFORMA TESTE P-xx

POTEN run date and starting time: 03-Mar-2005 -- 08:21:51

Period Time RAD DIFF (max iterations)

35.0000 08:21:59 -1 -1

30.0000 08:22:02 -1 -1

29.0000 08:22:04 -1 -1

28.0000 08:22:07 -1 -1

83

27.0000 08:22:09 -1 -1

26.0000 08:22:12 -1 -1

25.0000 08:22:14 -1 -1

24.0000 08:22:17 -1 -1

23.0000 08:22:19 -1 -1

22.0000 08:22:22 -1 -1

21.0000 08:22:24 -1 -1

20.0000 08:22:27 -1 -1

19.0000 08:22:29 -1 -1

18.0000 08:22:32 -1 -1

17.0000 08:22:34 -1 -1

16.0000 08:22:37 -1 -1

15.0000 08:22:39 -1 -1

14.0000 08:22:42 -1 -1

13.0000 08:22:45 -1 -1

12.0000 08:22:47 -1 -1

11.0000 08:22:50 -1 -1

10.0000 08:22:53 -1 -1

9.0000 08:22:56 -1 -1

8.0000 08:22:59 -1 -1

7.0000 08:23:02 -1 -1

6.0000 08:23:05 -1 -1

5.0000 08:23:08 -1 -1

4.0000 08:23:11 -1 -1

3.0000 08:23:14 -1 -1

2.0000 08:23:17 -1 -1

Gravity: 9.80600 Length scale: 48.00000

Water depth: 5000.00000 Water density: 1.02500

Panel quadrature indices: IQUAD = 0 ILOG = 1 IDIAG = 0

Source formulation index: ISOR = 0

Irregular frequency index: IRR = 0

Diffraction/scattering formulation index: ISCATT = 0

Number of blocks used in linear system: ISOLVE = 1

Number of unknowns in linear system: NEQN = 396

BODY PARAMETERS:

84

NPATCH: 44 IGDEF: 1 Symmetries: X=0,Y=0

Patch NU NV KU KV IQUI IQVI

1 1 1 3 3 4 4

2 1 1 3 3 4 4

3 1 1 3 3 4 4

4 1 1 3 3 4 4

5 1 1 3 3 4 4

6 1 1 3 3 4 4

7 1 1 3 3 4 4

8 1 1 3 3 4 4

9 1 1 3 3 4 4

10 1 1 3 3 4 4

11 1 1 3 3 4 4

12 1 1 3 3 4 4

13 1 1 3 3 4 4

14 1 1 3 3 4 4

15 1 1 3 3 4 4

16 1 1 3 3 4 4

17 1 1 3 3 4 4

18 1 1 3 3 4 4

19 1 1 3 3 4 4

20 1 1 3 3 4 4

21 1 1 3 3 4 4

22 1 1 3 3 4 4

23 1 1 3 3 4 4

24 1 1 3 3 4 4

25 1 1 3 3 4 4

26 1 1 3 3 4 4

27 1 1 3 3 4 4

28 1 1 3 3 4 4

29 1 1 3 3 4 4

30 1 1 3 3 4 4

31 1 1 3 3 4 4

32 1 1 3 3 4 4

33 1 1 3 3 4 4

34 1 1 3 3 4 4

35 1 1 3 3 4 4

36 1 1 3 3 4 4

85

37 1 1 3 3 4 4

38 1 1 3 3 4 4

39 1 1 3 3 4 4

40 1 1 3 3 4 4

41 1 1 3 3 4 4

42 1 1 3 3 4 4

43 1 1 3 3 4 4

44 1 1 3 3 4 4

XBODY = 0.0000 YBODY = 0.0000 ZBODY = 0.0000 PHIBODY = 0.0

Volumes (VOLX,VOLY,VOLZ): 120813. 120703. 120703.

Center of Buoyancy (Xb,Yb,Zb): 0.000000 0.000000 -19.286222

Hydrostatic and gravitational restoring coefficients:

C(3,3),C(3,4),C(3,5): 0.736998 0.00000 0.00000

C(4,4),C(4,5),C(4,6): 0.134899 0.00000 0.00000

C(5,5),C(5,6): 0.135552 0.00000

Center of Gravity (Xg,Yg,Zg): 0.000000 0.000000 -5.000000