ANALISIS DIMENSIONAL

1. Si la ecuación siguiente es dimensionalmente homogénea. Hallar la ecuación dimensional de E.

2

BE FR

R A= +

+Además: F = Fuerza; A = Áreaa) 2ML b) 2MLT− c) 2LT−

d) 1 2ML T− − e) 2 2ML T−

2. Hallar la ecuación dimensional de A, si la expresión siguiente es homogénea.

2 2

A M SBM B aL

+ =+

Donde:a aceleración; M masa; L longitud= = =a) 3 1M L T− − b) 1ML− c) 3 1M LT− −

d) 3 1M L T− e) 3 1M LT−

3. Dada la expresión homogénea, halle [ ]X .

1 2 1 2

1 2

(V V )M (S S )M Alog

X A a a

− −= π −

1 2 1 2V y V velocidad; S y S superficie= =

1 2a y a aceleraciones; M masa= =a) 3MT− b) 2MT− c) 2MTd) MT e) 3MT

4. Hallar la expresión dimensional de mr− conociendo que en la ecuación:

m n

2

2X SP

r=

P = PresiónX = FuerzaS = Velocidadr = longituda) L b) 2L c) 1L−

d) 2L− e) 4L

5. Si: 2x 3 3 y zV P d+ − −= ; donde:V = velocidadP = presiónd = densidad

Hallar: x y z+ +a) 2 b) 3 c) 1

d) 23

e) 32

6. Si las unidades de E son segundos. ¿Qué unidades tiene la magnitud que mide B en el S.I.?

2 3 n 10 1 2 n

2 3 n 10 1 2 n

A A A ... AE

P P P ... P

+

++ + + +

=+ + + +

n 1 n 1nn nB A .P+ +=

Donde: 0A 5 metrosπ= ; 2

0P 2 sen m/sπ θ=a) de frecuencia b) de tiempoc) de espacio d) de aceleracióne) de velocidad7. En la siguiente fórmula física correcta determine [ ]AB .

sen30ºV Asen30º B= − ; donde:V = velocidada) 2 2L T− b) 3 3L T− c) LMTd) 3 2M T− − e) 4LT−

8. Hallar la ecuación dimensional de “a” si la expresión dada es homogénea.

sen30º 4CFsena b cα+ = ; donde: F = fuerza

a) 2 2 4M L T− − b) 2 4M LT− − c) 2 2 2M L T− −

d) 3MLT e) 1 3 2M L T− −

9. Si la siguiente ecuación es correcta dimensionalmente:

sen sen senK A sen K Aθ φ θ λ α+ = + + +Donde:K, A y λ son cantidades físicas, entonces, el valor de φ es:a) 0º b) 35º c) 45ºd) 30º e) 60º

10. Si la ecuación dada es correcta, hallar el valor de “ θ ”.

2 2cos sen 2 senM A Bsenx W M Zθ θ β− = + + +M: Masa del péndulo físicoa) F.D. b) 60º c) arc tan 1

d) 6π

rad e) 8π

rad

11. Hallar la ecuación dimensional de “A” si la ecuación dada es homogénea (A y B son magnitudes físicas)

sen 2KFsen 2A B Kθ θ+ =F = fuerza y 30ºθ =a) 2 4(ML) T− b) 2 4(ML) T− c) Absurdod) 1 1 2 4(M L T )− − e) 6(MT) L

12. En una represa, la fuerza contra la pared vertical de un dique se calcula con:

a b c d1F .g .L .H2

ρ= ; donde:

densidad del aguag aceleraciónL anchode de paredH profundidad del agua

ρ ====

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

13. La potencia que se puede generar a partir de la energía eólica (energía aprovechada de los vientos), depende directamente de la densidad del aire ( ρ); de la velocidad del aire (V) y de la

sección transversal (A) que lo atraviesa. Determine una fórmula empírica de la potencia.

a) 3K V Aρ b) 2K VAρ c) 2K V Aρ

d) 2 2K V Aρ e) 2K VAρ

14. Las cantidades A, B, C y D se relacionan por la ecuación dimensionalmente correcta:

2 2VA B 0,4D PCρ+ = +

Determine las dimensiones de: ABFCD

=

; si:V = velocidad; densidadρ = ; P = presióna) 2 2L T− b) 2 2L T− c) 1

d) 2L e) 2T

15. Determine las dimensiones de “Y”

en la ecuación: ° −= tan37 (x a)Y X

f;

donde:a: aceleración; f: frecuencia

a) 7

52L T b) −3

52L T c) −7

52L T

d) 3

52L T e) −7

92L T

ANALISIS VECTORIAL

VECTOR.- Es un ente matemático que sirve para representar a las magnitudes de carácter vectorial. Ejemplo: La velocidad, la aceleración, la fuerza, campo magnético, impulso, desplazamiento, campo eléctrico, etc.

ELEMENTOS DE UN VECTOR

α

ASentido

Línea de acción

Módulo

Línea horizontalDirección

• Módulo: Llamado también NORMA, TAMAÑO, es la medida de la longitud del vector

• Dirección: Es el ángulo que forma el vector con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas.

• Sentido: Representado por la flecha del vector.

• Línea de Acción: Es aquella línea donde se encuentra contenido el vector a través de la cual puede deslizarse.

CLASIFICACIÓN

• Vectores colineales: Son aquellos que se encuentran contenidos en una misma línea de acción.

• Vectores iguales: Dos vectores serán iguales cuando tienen la misma dirección, módulo y sentido.

1 2L //L

• Vector unitario: Es aquel cuyo módulo es la unidad y tiene por misión indicar la dirección y sentido de un determinado vector.

A A u= → AuA

=

• Vectores paralelos: Son aquellos que tienen sus líneas de acción paralelas entre sí.

1 2 3L L L= = → A B C

A B C= =

θ α β= =

• Vectores coplanares: Son aquellos que se encuentran contenidos en un mismo plano.

• Vectores opuestos: Dos vectores serán opuestos cuando tienen igual dirección, módulo pero sentido contrario.

1 2L //L

• Vectores concurrentes: Son aquellos que sus líneas de acción se cortan entre sí, en un mismo punto.

OPERACIONES CON VECTORES

SUMA: Al vector “suma” también se le llama resultante.

ABC

1LA

B2L

//

//

θ

A

1L

α

B

2L

β

C

3L

P AC

B

A

B

1L

2Lα

β

A

B

C

La resultante produce el mismo efecto que los sumandos.

1. MÉTODO DEL TRIÁNGULO

• Se forma el triángulo, cuando son “SOLO” 2 vectores

• Para hallar el valor de R se aplica la Ley de senos.

R a bsen sen senβ γ α

= =

2. MÉTODO DEL PARALELOGRAMO

• La suma ( S ) o resultante ( R ) es la diagonal del paralelogramo formado.

• La suma o resultante se denota:A B R+=

• ANALÍTICAMENTE:2 2R A B 2ABcos θ= ++

Ley del Paralelogramo

3. MÉTODO DEL POLÍGONO

3.1 Método del Polígono Abierto: • Se usa generalmente para sumar

más de dos vectores.• Se colocan uno a continuación del

otro, manteniendo constante su VALOR, DIRECCIÓN y SENTIDO.

• La resultante es el vector que parte del origen del primero y llega al extremo del último.

Ejemplo:

Construyendo el polígono:

R abcd=+++

3.2 Polígono Cerrado: • En este caso todos tienen la misma

secuencia (horario).• El extremo del último llega al origen

del primero.

ABCDEF 0+++++=

DIFERENCIA (D )• La diferencia de vectores es llamada

también resultante.

D A ( B)= + − → D A B=−

2 2D A B 2ABcos= +− θ

Ley de cosenos

a

R a b S= + =

b

γα

β

A

B

θ

RS= ////

1 32

4

ab

c

d

1

2

3

4R

a

b

c

d

A B

CF

DE

R 0=

A

BB−

D////

θ180° − θ

CASOS PARTICULARES

• Cuando 0α = ° y los vectores A y B son paralelos y del mismo sentido.

máxR A B=+

• Cuando 180α = ° y los vectores A y B son paralelos y del mismo sentido.

mínR A B=−

• Cuando 90α = ° , los vectores A y B son perpendiculares.

2 2R A B= +

• Cuando dos vectores tienen el mismo módulo y forman 120°. | A| X;| B| X= =

R X=

• Cuando dos vectores tienen el mismo módulo y forman 60°. | A| X;| B| X= =

R X 3=

• Cuando dos vectores tienen el mismo módulo y forman 90°. | A| X;| B| X= =

R X 2=

DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR DE UN VECTOR

• Para la dirección respecto a X

Y

X

Atan

Aθ =

• Para el módulo del vector A2 2

X Y|A| A A= +

PRODUCTO ESCALAR ( A.B )Llamado también producto interno de 2 vectores

A.B|A||B|cos= θ ; 0 ≤ θ ≤ π

Propiedades:1) A.B B.A.=2) A.(B C) A.B A.C+ = +3) i.i j.j k.k 1= = = Vectores paralelos4) i.j j.k k.i 0= = = Vectores

perpendiculares5) Si: A.B 0= y además A y B 0≠

RB X=

120°

A X=

RB X=

60°

A X=

A X=

B X= R

XA Acos= θ

AYA Asen= θ

X

Y

θ

A B⇒ ⊥PRODUCTO VECTORIAL ( AXB )Llamado también producto cruz de

vectores|AXB||A||B|sen= θ ; 0 ≤ θ ≤ π

| AXB| Área del paralelogramo=

Definición matemática de xA B

1 2 3

1 2 3

i j k

AxB a a a

b b b

=

2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1AxB i(a b a b ) j(a b a b ) k(a b a b )= − − − + −

Propiedades1) AXB BXA= −2) AX(B C) AXB AXC+ = +3) ixi jxj kxk 0= = = Vectores paralelos

4) ixj kjxk ikxi j

= = =

Vect.

perpendiculares5) Si: AXB 0= y además A y B 0≠

A //B⇒

PROBLEMAS

1. Hallar el módulo del vector resultante de dos vectores de 15 y 7 unidades que forman entre sí un ángulo de 53º.a) 5 b) 10 c) 15d) 20 e) 25

2. Hallar la resultante de dos vectores de 3 y 2 2 unidades cuando forman 45º.a) 3 2 2+ b) 2 c) 5 2d) 29 e) 17

3. Hallar el valor del ángulo que forman 2 vectores iguales, si la resultante vale

3 veces el valor de los vectores.a) 30º b) 37º c) 45ºd) 53º e) 60º

4. Calcular la resultante de dos vectores de 3 y 7 unidades, si el

ángulo que forman es 2arc sen3

.

a) 2 5 b) 5 c) 30d) 35 e) 2 10

5. Dos fuerzas colineales tienen una resultante de 14 N al girar una de ellas 90º su resultante es de 10 N. La menor fuerza es:a) 4 N b) 6 N c) 8 Nd) 10 N e) 14 N

6. Un vector de 30 u, forma 81º con el semieje positivo X, otro vector de 14 u, forma con el mismo semieje un ángulo de 28º, ambos vectores se encuentran en el mismo cuadrante. Determinar el ángulo que forma la resultante con el vector mayor.a) 16º b) 30º c) 37ºd) 45º e) 53º

7. La máxima resultante de dos vectores es 21 y su mínima es 3. ¿Cuál será la resultante cuando los vectores formen un ángulo de 90º? a) 10 b) 12 c) 14d) 15 e) 18

θ

AXB

A

B

8. La mínima resultante de los vectores de 6 unidades y cuando forman un ángulo de 60º es 12 unidades. ¿Cuál será el módulo de la resultante cuando los vectores formen 90º?a) 6 2 b) 6 3 c) 3 6d) 2 5 e) 4 3

9. Si se sabe que: 1F 8N=ur

; 2F 6N=ur

;

1 2F F 2 37N+ =ur ur

; hallar el valor de E,

si:

1 2F FE2 13

−=ur ur

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

10. Dados los vectores Aur

y Bur

, mostrados en la figura, determinar:

A 2B−ur ur

si se cumple que:

A 5; B 3= =ur ur

.

a) 4b) 5c) 6d) 8e) 20

11. Existen 2 vectores Aur

y Bur

de manera que 2A 3B−

ur ur mide 25 u,

determinar el módulo de 7A 4B−ur ur

.

a) 50 ub) 60 uc) 70 ud) 80 ue) 90 u

12. Hallar el módulo de la resultante en ambos casos:

a) 7N;25 7N b) 7N;5 7N

c) 5 7N;5N d) 6N;9 3Ne) 7 N; 25 N

13. En el rombo de 2 unidades de lado. Hallar el módulo de la resultante (M punto medio).a) 3b) 5c) 7d) 11e) 13

14. Hallar el valor de “ θ ” de tal manera que la resultante sea 103 .a) 30º b) 45º c) 60ºd) 80º e) 75º

15. Si el sistema de fuerzas mostradas se encuentra en equilibrio. Hallar “ α ”.

G 8N=ur

; H 10N=uur

.

a) 7ºb) 15ºc) 22ºd) 30ºe) 45º

68° 15°

A

B

1O 2O

60°

3A2B

+

2A 3B−

23°

3N

4N

3N

7°

40N

30N

25N

60°c

Mb

a

a

bc

13

3

θ

15°X

Y

FG

H

75°

α

16. En el sistema de vectores mostrados. Hallar la resultante.

a) 25 Nb) 13 Nc) 14 Nd) 8 Ne) 40 N

17. Hallar el módulo del vector resultante del sistema de vectores mostrados.

a) 14b) 12c) 10d) 8e) 6

18. Determinar la dirección del vector resultante del conjunto de vectores mostrados en la figura.

a) 30ºb) 37ºc) 45ºd) 53ºe) 60º

19. Hallar el valor de “ α ” para que la resultante de los vectores mostrados se encuentre en el eje Y.

a) 10ºb) 30ºc) 40ºd) 60ºe) 33º

20. Calcular el valor de “ θ ” para que la resultante se encuentre en el eje “X”.

a) 10ºb) 11ºc) 16ºd) 5ºe) 30º

21. Hallar el módulo de la resultante para el conjunto de vectores mostrados, si ABCDEF es un hexágono regular.

a) 70 mb) 80 mc) 90 md) 100 me) 110 m

22. Si ABCDEF son los vértices de un hexágono regular determine la resultante de los vectores.

Rpta: …………23. Expresar el vector X

ur en función de

los vectores Aur

y Bur

, sabiendo que

A B=ur ur

.

a) 3(A B)8

+ur ur

b) 3(A 2B)8

−ur ur

c) 1(A B)2

−ur ur

d) 4(A B)5

−ur ur

8°X

Y

40N

53° 8º

24N

7N

40N

37º

45°X

Y

10 2

37°

20

14

16°X

Y

25

37°

10 2

310

53°

45°X

Y

9 2

α

32

16°

25

60°

X

Y

37º

30

θ50

60

A

B C

F E

D

10 m

A

B C

F E

D

5 u

A

B C

F E

D

2 u

A

X

B60º

e) 2(A B)3

−ur ur

24. Hallar el vector ( X Y+ur ur

) en términos del vector A

ur y del vector B

ur, sabiendo

que ABCDEF es un hexágono regular y N es punto medio de OB.

a) 5A 2B2+

ur ur

b) 2A 5B3+

ur ur

c) 3A 4B4+

ur ur

d) 5A 2B2−

ur ur

e) A 2B2

+ur ur

25. Hallar el producto vectorial de los vectores:A i 2j 3k= + +ur r r r

; B i j 2k= − +ur r r r

a) 7i j 3k− −r r r

b) 5i j 5k+ −r r r

c) 7i j 3k+ −r r r

d) 8i 5j k+ −r r r

e) 3i j k− −r r r

26. Dados los vectores: A (4, 3, 2)=ur

;

B ( 3, 4, 10)= −ur

; C (3, 0, 2)=ur

. Determinar

el ángulo que forman (AxB)ur ur

y (BxC)ur ur

.

a) 1cos (0,75)− b) 1cos (0,85)−

c) 1cos ( 0,95)− − d) 1cos ( 0,75)− −e) 1cos (0,95)−

27. Se tienen los vectores Aur

y Bur

, si

B 2i 2j k= + +ur r r r

, el módulo de Aur

es 4 y

A.B 6=ur ur

, hallar el módulo del producto vectorial AxB

ur ur.

a) 5 b) 4 3 c) 6 3d) 8 3 e) 3 6

28. Determine:a) Producto escalarb) Producto vectorial de los vectores:A i 2j 3k= − +ur r r r

; B 3i j k= − −ur r r r

Rpta: …………….

29. Con referencia nuevamente a los vectores:A i 3j= +ur r r

; B 3i 4j= −ur r r

; C 12i 10j= +ur r r

.Calcular:a) el vector: ( )Ax BxC

ur ur ur

b) el vector: ( )AxB xCur ur ur

Rpta: ……………..

30. Se muestra un cuarto de circunferencia cuyo centro se ubica en uno de los vértices del cuadrado. Hallar

X en función de los vectores A y B .

a) +A 2B

5

b) −A 2B

5

c) +A 3B

5

d) +A B

5e) +A 2B

ESTÁTICA

DEFINICIÓN .- La estática es una rama de la mecánica, cuyo objetivo es el estudio de las condiciones que debe cumplir un conjunto de fuerzas que actúan sobre un cuerpo o un sistema rígido para que este se encuentre en equilibrio mecánico.

EQUILIBRIO MECANICO .- Un cuerpo se halla en equilibrio cuando se halla en reposo

A

B C

F E

D

10 mA

B C

F E

D

A

O

NY

X

P

B

A

B

X

(equilibrio ESTÁTICO); o en movimiento rectilíneo uniforme (equilibrio CINÉTICO).

EQUILIBRIO ESTÁTICO

V 0;a 0= =

EQUILIBRIO CINÉTICO

V cte;a 0; 0 ω= == V 0;a 0; cte ω===

FUERZA.- Magnitud física vectorial que viene hacer el resultado de la interacción entre las diferentes formas de movimiento de la materia • También es todo agente capaz de modificar el estado del movimiento o reposo de un cuerpo .• La acción de una fuerza sobre un cuerpo produce deformaciones sobre el .

A demás se tiene:Fuerzas gravitacionalesFuerzas mecánicas Fuerzas electromagnéticasFuerzas nucleares

FUERZAS MAS USUALES EN MECANICA

TENSIÓN .- Son aquellas fuerzas que aparecen en el interior de los cuerpos(cables, sogas, hilos, cadenas , vigas o barras ) .

• Para graficar esta fuerza se debe hacer un corte imaginario sobre el cuerpo. La tensión se caracteriza por apuntar al punto de corte.

COMPRESIÓN .- Es aquella fuerza interna que se manifiesta en los cuerpos cuando son comprimidos o aplastados por fuerzas externas • Para graficar esta fuerza se debe efectuar un corte imaginario sobre el cuerpo. La compresión se caracteriza por alejarse del punto de corte.

FUERZA ELÁSTICA ( EF ).- Es aquella fuerza externa que se manifiesta en los cuerpos elásticos, cuando son estirados o comprimidos por fuerzas externas. Esta fuerza se opone a las fuerzas externas y trata que el cuerpo elástico recupere su longitud original. La fuerza elástica es directamente proporcional a la deformación longitudinal.

(LEY DE HOOKE)

ωPolea

T

T

D.C.L.

C

D.C.L.

C

x

K

M V 0=

x 0=

Resortesin

deformar

EF

EF

EF Kx=

NK=Constante de elasticidad o rigidez : m

x Elongación o estiramiento:m=

FUERZA NORMAL( NF ).- Es una fuerza externa que se encuentra en el contacto de 2 cuerpos o superficies , Surge debido a la presión que un cuerpo ejerce sobre otro .La fuerza normal siempre es perpendicular a la superficie donde se apoya un cuerpo.

ROBERT HOOKE: (1653 - 1703) La mayor contribución que hizo este notable físico ingles está en el descubrimiento de la ley que describe el comportamiento elástico de los cuerpos como por ejemplo son los resortes y los muelles, gracias a ello se estableció un como método de la medición de la fuerza. Fue miembro de la real academia de ciencias de Londres.

Se sabe que Hooke entabló fuertes polémicas con Newton en relación a la gravitación universal y la naturaleza de la luz, defendiendo con pasión la teoría ondulatoria conjuntamente con Hüygens.

LEYES DE NEWTON

Las leyes de newton constituyen verdaderos pilares de la mecánica, fueron enunciadas en la famosa obra

de Newton ”principios matemáticos de la filosofía natural ” publicada en 1686 y de ellas son conocidas como la

era da era1 ,2 y3 ley de Newton, de acuerdo

al orden que aparecen en la obra citada en este capitulo estudiaremos la primera y la tercera ley que nos permiten analizar el equilibrio del cuerpo, esto en el estudio de la estática; la segunda ley será estudiada en el capitulo de dinámica.

1 era LEY DE NEWTON (LEY DE INERCIA ).- Todo cuerpo trata de mantener su estado de reposo o movimiento rectilíneo a no ser que un agente exterior le obligue a cambiar su estado de reposo.

3 era LEY DE NEWTON (LEY DE ACCIÓN Y REACCIÓN) .- Cuando dos cuerpos "A" y "B" interactúan , a la ACCIÓN de "A" se opone una REACCIÓN de "B" en la misma dirección, con la misma intensidad pero de sentido opuesto.

CONDICIONES DE EQUILIBRIO

PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO (para una partícula) Un cuerpo se encontrara en equilibrio cuando la fuerza resultante que actúa sobre el, sea igual a cero ; para esto las fuerzas componentes deben ser necesariamente coplanares y concurrentes, esto implica que en cada eje, también debe ser cero.

F 0=∑

Bloque

Bloque

Piso

NF

NF

1F

2F3F

4F 1 2 3 4

Condición AlgebraicaR F F F F= + + +

X

Y

Z

R 0R 0 R 0

R 0

== ⇒ ==

CONDICIONES GRAFICAS .- Se sabe que si la resultante de un sistema de vectores forma un polígono cerrado entonces la resultante es cero.

TEOREMA DE LAMY .- Si un sólido se encuentra en equilibrio bajo la acción de tres fuerzas coplanares y concurrentes en un plano el valor de cada una de estas fuerzas es directamente proporcional al seno del ángulo que se le opone.

1 2 3F F F

sen sen senα β θ= =

180αβθ++=°

MOMENTO DE UNA FUERZA O

TORQUE( FOMur

).- El momento o torque

de rotación de una fuerza puede definirse como el efecto de giro que se produce sobre un cuerpo respecto alrededor de un punto o eje el momento o torque de una fuerza es una magnitud vectorial.Analicemos algunos ejemplos:

Al observar los ejemplos citados y notamos que el momento de una fuerza (capacidad de producir giro) depende del valor de la fuerza aplicada y la distancia al centro o eje de giro . luego:

Matemáticamente:

0M Frsen θ=

Nota: Un mismo momento de fuerza puede ser causado por una fuerza de módulo pequeño ,cuyo brazo es grande y por una fuerza de módulo grande cuyo brazo es pequeño.

1F

2F

3F

4F

1F2F

3F

αβ

θ

Fd

O

Eje de giro

Línea deacción de F

M rxF=

r

d rsenθ=Pθ

Cabeza hexagonal de un pernoF 10N=d

¡El perno no gira!

F 10N=d

¡El perno gira!

¡El perno giralentamente!

F 30N=d

F 10N=d

¡El perno girarápidamente!

Qué dificil

F

Qué fácil

Nota curiosa: El hombre ya tenia conocimientos de las propiedades de la palanca y fue Arquímedes , uno de los sabios de la Grecia antigua ,quien enuncio la ley del equilibrio de la palanca , tal como hoy se conoce y a él se le atribuye la curiosa frase universal: “Dadme un punto de apoyo y moveré la tierra” según describe Pierre Varignon en su famosa obra “Proyecto de una Nueva Mecánica”

CONVENCIÓN DE SIGNOS

Ojo: Cuando la línea de acción de una fuerza respecto de dicho punto, es cero ya que la fuerza y la distancia deben formar un ángulo recto (90º)

SEGUNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO .- Para que un cuerpo mantenga su estado de equilibrio, no debe rotar por lo tanto, el momento resultante que actúa sobre el debe ser nulo, respecto a cualquier punto (centro de giro).

EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDO

Cuando un grupo de fuerzas externas, están actuando sobre un cuerpo rígido, es necesario considerar:

Fx 0Fy 0Fz 0

===

∑∑∑

∑ 0M=0

MOMENTO RESULTANTE .- Si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas externas entonces el momento resultante será igual a la suma algebraica de los vectores del momento, generado por cada fuerza externa.

TEOREMA DE VARIGNON .- El momento resultante de un grupo de fuerzas respecto de un punto arbitrario es siempre igual a la suma algebraica de los momentos de las fuerzas componentes respecto del mismo punto.

R 1 2 3 4 5F=F+F+F+F+F

“El momento de la resultante es igual a la suma de los momentos de cada

una de las fuerzas componentes”

FR0 0M M=∑

FUERZAS DE ROZAMIENTO: Se denomina fuerza de rozamiento o fricción a aquella fuerza que aparece en la superficie de contacto de los diferentes cuerpos en movimiento relativo con las características que siempre se oponen al movimiento. Las

F

F

O

d Antihorario

F0M ( )= +

F

O

d Horario

F0M ( )= −

1F 40N=

O

3m

5m 2F 50N=

4F

O4r

3r3F

1F

1r

2F

2r

fuerzas de rozamiento pueden ser de dos tipos: convenientes y nocivas.

CONVENIENTES:

• Nos permite caminar, montar bicicleta, conducir el auto o recoger objetos.

• Se aplica en la maquinaria como los frenos y las correas de transmisión.

NOCIVAS:• Se producen en las maquinarias, y

originan, pérdida de energía y desgaste de las superficies en contacto que se deslizan una sobre otra.

CLASIFICACIÓN:

Cuando un cuerpo sedesliza sobre otro.

Cuando un cuerporueda sobre otro

En gaseso l

- Cinético- Por deslizamiento

- EstáticoEn sólidos

- Por rodadura

En fluidos

E5555555555555F

E5555555555F

{íquidos

- ViscosidadE5555555F

ROZAMIENTO POR DESLIZAMIENTO: Llamado rozamiento seco o rozamiento de “Coulomb” describe la componente tangencial de la fuerza de contacto que existe cuando dos superficies secas se deslizan o tienden a deslizarse una respecto a la otra.

RR f N=+ 2 2RR f N= +

Analizando la rugosidad

COEFICIENTE DE ROZAMIENTO (µ ): Es una magnitud adimensional definida como la tangente trigonométrica del ángulo máximo de rozamiento.

CLASES DE ROZAMIENTO POR DESLIZAMIENTO:

• Rozamiento estático ( Sf ): Es aquella fuerza que se opone al posible movimiento relativo del cuerpo respecto a la superficie de contacto. Su módulo es variable desde cero hasta un valor máximo, justo cuando el cuerpo se encuentra en movimiento inminente; es decir, está pronto a deslizarse.

ReposoSf 0=

No hay movimiento

SF' f=

Mov. inminenteSmáx SF'' f N==µ

FRf

N

Rmg θ

Rugosidad

Bloque

Suelo

Bloque

Suelo

Bloque

Suelo 1R2R3RnR

V

mg

N

F'Sf

mg

N

F''Sf

mg

N

“F viene a ser la mínima fuerza que se requiere para que el cuerpo inicie su movimiento”.

SN≤≤=µ sk0 f f

• Rozamiento cinético o dinámico ( kf ): Es aquella fuerza de rozamiento que se opone al movimiento relativo del cuerpo respecto a la superficie en contacto. Para movimientos lentos y uniformes su módulo se considera constante.

K Kf Nµ=

Determinación experimental del coeficiente de rozamiento estático ( Sµ )

e tanµα=

Grafica de la fuerza de rozamiento versus la fuerza externa

LEYES DEL ROZAMIENTO POR DESLIZAMIENTO: Los coeficientes de

rozamiento dependen de la naturaleza de la sustancias en contacto.

1. Los coeficientes de rozamiento también dependen del grado del pulimentación de las superficies.2. Las fuerzas de rozamiento son independientes de las áreas de la superficie en contacto.3. La fuerza de fricción es independiente de las velocidades de los cuerpos en movimiento.4. Las fuerzas de rozamiento siempre son opuestas al deslizamiento y tangente a las superficies en contacto.

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE (D.C.L. ).- Es el grafico donde se aísla el cuerpo o sistema que vamos a examinar para luego graficar todas las fuerzas que actúan sobre dicho cuerpo sistema. ¿Como debo realizar un diagrama de cuerpo libre?Seguir estrictamente las reglasRepresentar el peso vertical y hacia

abajo.En toda cuerda (o cuerpo tenso)

representar una tensión que sale del D.C.L. siguiendo la dirección de la cuerda.

A lo largo de una misma cuerda existe una misma tensión.

En todo contacto entre superficies sólidas hay una fuerza que se representar entrando al (D.C.L))en forma perpendicular a la superficie de contacto, llamada fuerza normal (N).

En apoyos lisos o perfectamente pulidos hay una solo reacción vertical u horizontal.

En apoyos ásperos o rugosos hay dos reacciones, vertical y horizontal.

TIPOS DE APOYO

FRf

mg

N

V mov.

α

N

Smáxf

mg

mgsenα

mgcosαα

F(exterior)

Fuerza de Rozamiento

1

1

2KfSf

245°

Estát

ico

máx

máx

S

S e

En equilibrio:f mgsen

N mgcosf N

αα

µ

= = =

Igualando:

mg esen mgα µ= cosα

A) Superficies

a) Lisa

Reacción de dirección conocida perpendicular a la superficie.

b) Rugosa

Reacción de dirección desconocida.(Se asume sentidos arbitrarios para sus componentes)

A X YR R R= +2 2

X YR R R R== +

B) Apoyo fijo o bisagra

Reacción de dirección desconocida

C) Apoyo móvil o de rodillos

Reacción de dirección conocida

Realizar los siguientes diagramas de cuerpo libre

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

ESTÁTICA I

1. La esfera homogénea de 8 kg se mantiene en reposo apoyada sobre una superficie lisa, determine la reacción de la pendiente sobre la esfera y la deformación del muelle ideal de

rigidez K = 100 N/m. ( 2g 10m/s=).

a) 100 N, 20 cmb) 100 N, 60 cm

37ºA

A

A

α

α

Liso

Áspero

α

CB

A α4L3L

37º

A

2

1

N N

YR

AXR

YR XRA

YR

XR

YR

XR

YR YR

c) 100 N, 30 cmd) 100 N, 70 cme) 200 N, 60 cm

2. Determine la masa de la esfera homogénea, si el dinamómetro

indica 80 N. ( 2g 10m/s= ).

a) 4 kgb) 4,2 kgc) 4,4 kgd) 4,6 kge) 4,8 kg

3. El sistema que se muestra está en reposo. ¿Cuánto está deformado el resorte?. Considere poleas ideales. (

1m 8kg= ; 2m 13kg= y

K 30N/m= ; 2g 10m/s= ).

a) 0,5 cmb) 1 cmc) 1,5 cmd) 2 cme) 3 cm

4. En la figura, el bloque de 20 kg está en reposo, si el resorte de K = 50 N/m está comprimido 3 cm. Determine el peso de la polea móvil. ( 1m 20kg= ;

2g 10m/s= ).

a) 100 Nb) 150 Nc) 120 Nd) 130 Ne) 200 N

5. Una persona de 80 N de peso se encuentra parada sobre una

plataforma de 30 N de peso. Si el sistema se encuentra en equilibrio y cada polea pesa 10 N. Encontrar la reacción de la plataforma sobre la persona.

a) 15 Nb) 25 Nc) 35 Nd) 55 Ne) 5 N

6. Dos bloques A y B están unidos están unidos mediante un resorte ingrávido, si el resorte permanece horizontal y los bloques se deslizan con velocidad constante, determinar la masa del bloque “B”. (

Am 5kg= y 2g 10m/s= ).

a) 7 kgb) 7,5 kgc) 8 kgd) 8,5 kge) 9 kg

7. Hallar el valor de la fuerza “F” necesaria para impedir que el bloque de 330 N de peso se deslice hacia abajo. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y la pared vertical es µ =e 0,5 .

a) 40 Nb) 50 Nc) 60 Nd) 70 Ne) 80 N

8. Hallar la fuerza F (en N), si se sabe que el bloque de 10 kg resbala con velocidad constante en la dirección indicada (µ =c 0,4 ).

Liso

53º

1m

2m

K

1m

5kg

K

KA

k 0,5µ =

B

k 0,75µ =

F

53º

W

eµ

5F

37º

F V

cµ

a) 8b) 18c) 28d) 40e) 60

9. Determinar el mínimo valor de la fuerza “F” necesaria para iniciar el movimiento del bloque de 30 N de peso, hacia arriba, si el resorte tiene una longitud de 30 cm sin deformar (

= µ =eK 40 N/m; 0,5).

a) 100 Nb) 110 Nc) 120 Nd) 130 Ne) 150 N

10. Determinar el valor del peso “W” en el sistema mostrado en equilibrio, sabiendo que el peso de “A” es 20 N, el peso de “B” es 40 N y el coeficiente de rozamiento entre todas las superficies es µ = 0,2.

a) 10 Nb) 12 Nc) 14 Nd) 15 Ne) 18 N

11. Se tiene dos cilindros lisos A y B de 3 kg y 10 kg de masa respectivamente. ¿Qué deformación (en cm) experimenta el resorte de =K 5 N/cm para mantener en equilibrio el sistema?. ( α = ° = 237 ; g 10 m/s ).

a) 4b) 6c) 8d) 10e) 12

12. En la figura se muestra a un bloque liso en reposo unido a un resorte de rigidez =K 600 N/m, si = =1 2F F 30 N ;

= =2 4F F 40 N y =3F 50 N . ¿Cuánto esta deformado el resorte?a) 10 cmb) 15 cmc) 20 cmd) 25 cme) 30 cm

13. Si el bloque pesa 100 N, determinar la tensión (en N) en la cuerda vertical.

a) 50 b) 100c) 50 3d) 95e) 60

14. El sistema mostrado está en equilibrio, siendo el peso de la esfera lisa y homogénea 100 N. Hallar el máximo peso posible que puede tener el bloque “Q” si entre este y la pared vertical existe un µ =e 0,8 ; θ = °37 ;

= 2g 10 m/s .

a) 20 Nb) 30 Nc) 40 Nd) 60 Ne) 70 N

15. Hallar la tensión T de la cuerda indicada si =P 40 N y =W 20 N el sistema se encuentra equilibrio θ = °30 además la reacción del piso sobre la esfera si pesa 30 3 N .

A

eµ

25 cm5 cm

F

A

B

W

µ

µ

K

A

Bα

K

1F2F

3F

5F 4F

T

P

O

60º120º

θ

Q

W

TP 40N=

θ

a) 10 N y 10 N b) 20 N y 10 3 Nc) 30 N y 20 3 N d) 60 N y 40 Ne) 40 N y 20 N

16. El bloque de peso =W 800N está en equilibrio por medio de 4 cuerdas. Hallar la tensión en la cuerda BC.

a) 300 Nb) 400 Nc) 350 Nd) 450 Ne) 500 N

ESTÁTICA II

1. Determinar el momento resultante respecto de “A”.a) –60 N.mb) +80 N.mc) –70 N.md) +50 N.me) –40 N.m

2. Calcular el momento resultante de las fuerzas mostradas respecto de “A”.

a) +250 N.m b) –300 N.m c) +540 N.md) –600 N.m e) +720 N.m

3. Determinar el valor de “F” para que el momento respecto de “B” sea nulo.

a) 100 Nb) 50 Nc) 90 Nd) 60 Ne) 120 N

4. Encontrar el valor de “F”, si el momento resultante respecto de “A” es –160 N.m.

a) 30 Nb) 32 Nc) 40 Nd) 45 Ne) 60 N5. Encontrar los valores de las fuerzas P y F de tal manera que las cuatro fuerzas de la figura produzcan una resultante de 150 N, hacia arriba y que actúe a 1,2 m hacia la izquierda del gozne (pasador A).

a) 500 N y 600 N b) 600 N y 500 Nc) 450 N y 750 N d) 130 N y 170 Ne) 100 N y 50 N

A

C

B

D53º

127º

A

40N

30N

25N

37º

6m

60N

40N 90N

A B

3m

5m

7m

53º F

6m

2m

2F

30N

B

3F

F 60N

A B

2m

3m

8m

F 100N

A

P

0,6m 0,9m

F

0,6m

6. Hallar la fuerza (en N) y el torque (en N.m) resultante de las fuerzas mostradas, tomando como centro de momentos o torques el punto “O”.

a) 50; 710 b) 200; 1000 c) 25; 1200d) 300; 500 e) 100; 1420

7. Dado el conjunto de fuerzas determine (en N.m) el torque resultante respecto del origen de coordenadas. =1F 10 2 N ; =2F 20 2 N ;

=3F 20N ; =4F 10 N

a) +r

90k b) −r

90k c) +r

90j

d) −r

90j e) +r

90i

8. Hallar la máxima distancia “x” que puede avanzar una persona de 75 N sin que gire la viga homogénea de 100 N de peso y 16 m de longitud.

a) 16 mb) 15 mc) 14 md) 13 me) 12 m

9. La figura muestra una barra OA uniforme y homogénea de 5 N de peso y de 15 m de longitud en equilibrio. Si el peso del bloque “Q” es de 10 N. Hallar la tensión de la cuerda horizontal BC, sabiendo que OB = 10 m, además calcule la reacción en la articulación “O”.

a) 100 N y 30,2 N b) 75 N y 32,5 Nc) 50 N y 28,7 N d) 25 N y 29,15 Ne) 25 N y 29,82 N

10. En el sistema en equilibrio. Hallar la fuerza “P” (en N) si se sabe que la viga es de peso despreciable.

a) 25 b) 50 c) 75d) 100 e) 125

11. Calcular la ubicación de la resultante de las fuerzas mostradas respecto de “A”.a) 7 mb) 6 mc) 5 md) 4 me) 3 m

12. El sistema mostrado se encuentra en reposo, la viga homogénea es de 20 kg y las esferas de 10 kg cada una. Determine la deformación que experimenta el muelle de rigidez

=K 8 N/cm; = 2g 10 m/s .a) 10 cmb) 15 cmc) 20 cmd) 25 cme) 30 cm

40N

6m

6m

60N

4m2m

O

70N 130N

x

11m

A

B

37º

C

Q

O

A

L O 2L

B

100N

K

53ºOg

Polea ideal

40N

7m

2m

60N

3mA

70N 130N

13. La viga de masa “m” se encuentra en reposo, el dinamómetro ideal indica 300 N. Determine el número de pescados de 0,2 kg que se encuentra en ese instante, (Considere masa del platillo de 0,2 kg y = 2g 10 m/s ). M: punto medio de la viga.

a) 28 b) 30 c) 32d) 34 e) 3614. Hallar el valor de las reacciones “X” e “Y” en el gozne “A” si P = 500 N y el peso de la viga es de 400 N.

a) 800 N; 200 N b) 800 N; 400 Nc) 200 N; 200 N d) 100 N; 100 Ne) 500 N; 500 N

15. En la figura se tiene una esfera de 36 N de peso apoyada sobre una viga homogénea y uniforme de 20 N. Si M es punto medio de AB, hallar la deformación del muelle cuya rigidez es de =K 15 N/cm.

a) 2 cmb) 3 cmc) 4 cmd) 5 cm

e) 6 cm

16. En la figura mostrada, la viga AB pesa 80 N, y el bloque 40 N y el sistema se encuentra en equilibrio. Hallar la suma de las dos deformaciones de los muelles mostrados, si se sabe que

= =1 2K K 10 N/cm.

a) 10 cm b) 12 cm c) 14 cmd) 16 cm e) 18 cm

17. Si la viga “AB” uniforme y homogénea que muestra la figura pesa 16 N y el bloque “Q” pesa 4 N. Determinar las tensiones en las cuerdas 1 y 2.

a) 10 N y 8 N b) 10 N y 6 Nc) 6 N y 8 N d) 9 N y 8 Ne) N.A.

18. La viga de la figura pesa 28N, hallar la tensión de la cuerda que lo sostiene.

a) 5N

b) 10N

c) 15N

d) 20N

M

Platillo

37º

74º

dinamómetro

A 37º

2m 1m

P

M

8m

1K 2K

A B2m

53º

A

B

M

CK

A B

Q

2m

37º 2T

1T

4m

A B

T

2a

37º

a a

e) 12N

19. En la figura mostrada, la viga y el bloque pesan 600 N y 250 N respectivamente. Si el sistema se halla en equilibrio determinar el valor del ángulo “ α ”.

a) 30°b) 37°c) 53°d) 60°e) 16°

20. Una viga uniforme de 100N de peso esta suspendida de 3 resortes cuyas constantes de elasticidad son:

3 2 1K K 2K 50N/cm= = =

Si el peso es 200N , hallar las deformaciones longitudinales en cada resorte en las condiciones de equilibrio.

Respuesta: …………………

CENTROS DE GRAVEDAD

Es el punto donde se supone que esta concentrado el peso de un cuerpo.

CARACTERÍSTICAS:• Puede estar ubicado dentro o fuera del cuerpo.• La ubicación del cuerpo no influye en la ubicación del centro de gravedad.• El centro de gravedad depende de la forma del cuerpo.• El centro de gravedad de un cuerpo simétrico esta en dicho eje.

• Si existen dos ejes de simetría el centro de gravedad esta en el punto de intersección de dichos ejes.

Matemáticamente el centro de gravedad se ubica con el teorema de Varignon. Para calcular las coordenadas del C.G. se utiliza:

n

i i1 1 2 2 3 3 n n i 1

c n1 2 3 n

ii 1

xBx B x B x B .... x B

xB B B .... B

B

=

=

+ + + += =+ + + +

∑

∑

n

i i1 1 2 2 3 3 n n i 1

c n1 2 3 n

ii 1

yBy B y B y B .... y B

yB B B .... B

B

=

=

+ + + += =+ + + +

∑

∑

Para cuerpos definidos mediante funciones, se aplica el cálculo integral y las relaciones siguientes:

cxdA

xA

= ∫ cydA

yA

= ∫

PROBLEMAS

1. En los vértices de un cuadrado de alambre, de peso despreciable de 1 m de lado, se colocan pesos de 10 N, 20 N, 30 N y 40 N como se muestra en la figura. Determinar el centro de gravedad del sistema.

a) (0,5; 0,3)b) (0,3; 0,4)c) (0,4; 0,4)d) (0,4; 0,5)e) (0,5; 0,6)

2. En los vértices de un triángulo equilátero de alambre se colocan pesos de 20, 40 y 60 N. Determinar el C.G. (el alambre es de peso despreciable).a) (0,4; 0,6)b) (0,6; 0,8)c) (0,8; 0,2)d) (0,6; 0,4)

X

Y10N 20N

40N 20N

1m

1m

40N60N

20N

2m

2α

α

2K

1K 3KL4

3L4 W

53º

e) (0,5; 0,5)

3. Hallar el C.G. del alambre homogéneo de la figura:

1 2 3L L L 20cm= = = .

a) (6; 10) cmb) (8; 12,66) cmc) (8; 14,3) cmd) (5; 9,35) cme) (7; 8,4) cm

4. Encuentre las coordenadas del C.G. de la lámina homogénea y uniforme.a) (3,8; 2,8)b) (1,8; 3,8)c) (3,8; 1,8)d) (2,8; 3,8)e) (4,8; 3,8)

5. Calcular la abcisa del C.G. de la lámina homogénea y uniforme con respecto a los ejes que se muestran.a) 2,2b) 3,2c) 4,2d) 5,2e) 6,2

6. Calcule la abcisa del C.G. de la lámina con respecto a los ejes X e Y.

a) 5 663 4

ππ

−−

b) 3(4 9)63 4

ππ

−−

c) 4 923

ππ

−+

d) 2 9

30 9π

π−

+e)

5 65(12 )

ππ

−−

7. Hállese la abcisa del C.G. de la placa metálica con respecto a los ejes que se muestran.

a) 25 94 3

ππ

++

b) 23 33(2 )

ππ

++

c) 4(25 9 )3(8 3 )

ππ

++

d) 2(25 9 )

8 3π

π+

−e)

23 92(1 2 )

ππ

++

8. Ubicar la abcisa del C.G. del área mostrada:

a) 16 4π−b) 16 3π−c) 14 5π+d) 4 7π−e) 2 3π+9. Hallar la altura del cono para que el centro de gravedad del conjunto sea (R; 2R).

a) Rb) 2Rc) 3Rd) 4Re) 5R

10. Hallar el C.G. de la figura sombreada, la cual consta de un cuadrado de 14 cm de lado y 3 semicírculos colocados sobre 3 lados.

(Utilice: 227

π = ).

a) (8,8; 14)b) (4,6; 8,5)c) (6,8; 12,5)d) (8,8; 12)e) (7,2; 5,4)

X

Y

1L

37º

2L

3L

X

Y

O

6

6 9

X

Y

O

8

8 12

4

X

Y

9O6− 5− 1−3−

3

6

20N

X

Y

4 7

3

3−

2R

2R

Y

X

2R

Y

X2R

h

Y

X

11. La placa homogénea y muy delgada. Hallar la abcisa de su centro de gravedad.a) 0,5b) 0,8c) 1,0d) 1,2e) 1,5

12. Hallar la coordenada yC del C.G. de la placa mostrada.

a) 2a3π

b) 3a2π

c) 2aπ

d) 5a4π

e) 3aπ

13. Determinar la posición del centro de gravedad de la placa que se muestra:

a) (7,58; 10,48)b) (7,50; 11,53)c) (7,25; 11,06)d) (6,34; 10,65)e) (7,30; 11,61)

14. Hallar el centro de gravedad del alambre, en función de “R”, con respecto al sistema de coordenadas que se indica.

a) R

(R, )π

b) R

(2R, )π

c) R

(R, )2π

d) 2R

(R, )π

e) 4R

(R, )3π

15. Una varilla de 20 cm de largo se dobla en dos partes iguales formando un ángulo de 60°. ¿A qué distancia del vértice “O” se encuentra el centro de gravedad de la varilla doblada?

a) 7

32

b) 5

33

c) 3

32

d) 7

38

e) 5

32

¡Buen trabajo!

CINEMÁTICA

Es el estudio de los movimientos en función del tiempo sin considerar las causas que lo producen. 1. Elementos del movimiento:

• Móvil.- Se denomina así a todo cuerpo o punto en movimiento respecto aun sistema de referencia.

• Sistema de Referencia: Es aquel lugar donde el observador aprecia el movimiento.

• Trayectoria: Es la línea geométrica que describe el móvil, pueden ser rectilíneos o curvilíneos.

Y

X2m1mOB C

A2m

a/2 a/2

14cm

8cm

5cm

12cm

20cm

22cm

X

Y

R

R/2

R/2O

60º

O

• Vector Posición o radio vector ( )rr

: Es el vector trazado desde el origen de coordenadas a la posición instantánea del móvil.

• Desplazamiento ( )Duur

: Es el vector que une la posición inicial y la posición final entre los dos puntos de la trayectoria.

• Distancia (d): Es la medida o módulo del vector desplazamiento.

• Espacio Recorrido (e): Es la medida de la longitud de la trayectoria.

2 Clasificación del Movimiento:

I. De acuerdo a su trayectoria:

a) Movimiento Rectilíneo …………………

b) Movimientos Curvilíneos:

• Mov. Circunferencial …………………

• Mov. Parabólico …………………

• Mov. Elíptico …………………

II. De acuerdo a su rapidez:• Uniformes• Variables

Velocidad ( )Vur

.- Magnitud vectorial cuyo valor indica el espacio recorrido por unidad de tiempo.

Características:

• Ser tangente a la trayectoria en todos los puntos.

• Definir el sentido de la velocidad.

• En cinemática se acostumbra llamar “rapidez” al modulo de la velocidad

• Unidades: m/s ; km/h ; pies/s

Velocidad Media ( )MVur

.- Es la relación entre el desplazamiento del móvil con respecto al tiempo empleado

rV

t∆=

rur

Rapidez Media (V).- Es la relación entre el espacio recorrido por el móvil con respecto al tiempo que a empleado llamado también velocidad media promedio.

dv

t=

Velocidad Instantánea.- Es la velocidad que tiene un cuerpo en cada instante de su movimiento “es la velocidad propiamente dicha”.

• Cálculo de la velocidad instantánea

d rV

dt=

rur

A la expresión drdt

se denomina derivada de

r (función del desplazamiento) con respecto al tiempo.

Aceleración ( )aur

.- Magnitud vectorial cuyo valor nos indica el cambio de velocidad que experimenta un móvil por unidad de tiempo , también nos indica la rapidez con que cambia la velocidad.

•Unidades: m/s2 ; km/h2 ; pies/s2

Aceleración Media ( )ma .- Es el

vector que se define como el vector cambio de velocidad (diferencia de vectores).

−=

∆

v vv F o

mv v

at

Aceleración Instantánea.- Es la aceleración que tiene el móvil en cada instante de su movimiento . Su sentido siempre señala la parte cóncava de la curva y su dirección depende de las características del movimiento ; pero en general es distinto a la del vector velocidad.

• Cálculo de la aceleración instantánea

2

2dV d r

adt dt

= =

A la expresión 2

2d r

dt se denomina segunda

derivada de r (función del desplazamiento) con respecto al tiempo.

(M. R. U.)

El movimiento se realiza en una recta donde el móvil avanza distancias iguales en tiempos iguales.

Características:

• Trayectoria : recta

• Velocidad : constante

• Aceleración : cero

e vt=

MOVIMIENTOS SIMULTANEOS.-Dos móviles tendrán movimientos simultáneos si empiezan y terminan sus movimientos al mismo tiempo.

MOVIMIENTOS NO SIMULTANEOS.- Dos móviles tendrán movimientos no simultáneos cuando uno de ellos se adelanta en la partida los tiempos empleados por cada móvil serán diferentes.

t1= tiempo del primer móvil que partió

t2= tiempo del móvil que partió rezagado

1 2t t t=+∆

EL SONIDO COMO (M.R.U.)El sonido es producido por la vibración de los objetos. Para transmitirse se requiere de un medio elástico que puede ser sólido, liquido o gaseoso. En el vacío el sonido no se propaga (V = 0)

• Aire (20°) = 340 m/s

• Hidrogeno (0°) = 1286 m/s

• Oxigeno (0°) = 317 m/s

• Agua de mar = 1500 m/s• Agua dulce = 1435 m/s

(M. R. U. V.)

Movimiento rectilíneo donde la velocidad aumenta o disminuye progresivamente es decir tiene aceleración constante.

Características

• Trayectoria : recta

• Velocidad : variable

• Aceleración : constante

f 0m

V +VV =

2 f 0V -Va=

t

f 0V V at=± 2 2f 0V V 2ae=±

20

1e V t at

2= ± f 0V V

e t2

+ =

n 01

e V a(2n 1)2

= ± −

PROBLEMAS

1. Un bote navega en el mar 30 km hacia el norte empleando 4 h, luego vira hacia el este y avanza 40 km tardando 6 h. Calcular:I. la rapidez media (en km/h)II. el módulo de la velocidad media (en km/h)a) 7 y 5 b) 5 y 7 c) 8 y 3d) 3 y 8 e) 10 y 5

2. Si una partícula, siguiendo una curva se desplaza en un plano cartesiano desde el punto A(–2; 2) hasta el punto B(6; 8) emplea 4 segundos. Hallar:I. El módulo del desplazamiento (en m/s)II. El módulo de la velocidad media (en m/s)a) 1,5 y 8 b) 2,5 y 5 c) 2,5 y 10d) 3,5 y 7 e) 4 y 63. Por una región montañosa, un ciclista sube con una rapidez de 5 km/h y cuando desciende lo hace con una rapidez de 20 km/h. Halle la rapidez media para todo el camino, si los caminos de bajada son de doble longitud que los caminos de subida.a) 6 km/h b) 7 km/h c) 9 km/hd) 10 km/h e) 12 km/h

4. A consecuencia de un obstáculo, un motociclista en un tiempo de 0,2 s

cambia la dirección de su velocidad en 60º; si su rapidez de 5 m/s permanece constante, calcule el módulo de la aceleración media.a) 15 2m/s b) 20 2m/s c) 25 2m/sd) 30 2m/s e) 35 2m/s

5. Una bola de billar rebota en la banda tal como se muestra, el choque dura 0,2 s; la velocidad antes del choque es de 5 m/s y después del impacto de 3 m/s. Halle el módulo de la aceleración media.a) 25 2m/sb) 30 2m/sc) 35 2m/sd) 40 2m/se) 45 2m/s

6. Las ecuaciones del movimiento para dos móviles A y B, vienen dadas por:A: 2x 4t 5t 1= + −B: 2x 3t 5t 3= + +Donde: “x” está en m y “t” en s. Hallar la rapidez de A en el instante en que los móviles se cruzan.a) 17 m/s b) 18 m/s c) 19 m/sd) 20 m/s e) 21 m/s

7. La posición de un móvil (m) con respecto al tiempo (s) es:

5 4r t 2t t 2= − + − , halle la aceleración del móvil en el instante en que pasa por el origen (en 2m/s ).a) 16 b) 20 c) 32d) 50 e) 64

8. Mediante la siguiente ecuación: 3r 2 3t= + se define la posición de un

móvil (en m) con respecto al tiempo en segundos. Halle la velocidad del móvil

60º

5m/s3m/s0V

fV

en el instante en que la aceleración es de 6 2m/s .a) 1 m/s b) 2 m/s c) 3 m/sd) 4 m/s e) 5 m/s

9. La posición de un móvil (en m) con respecto al tiempo (en s) se expresa según la siguiente ecuación:

2r t 8t 20= − − . Calcule la velocidad del móvil en el instante en que pasa por el origen.a) 12 m/s b) 10 m/s c) 8 m/sd) 14 m/s e) 5 m/s

10. Dos individuos salieron al mismo tiempo, de dos ciudades opuestas: el primero a caballo y el segundo a pie. El primero avanzó 4 km/h más que el segundo y se encontraron a las 7 horas de marcha. El segundo ha recorrido 37 km. ¿Cuál es la distancia entre las dos ciudades?a) 80 km b) 90 km c) 100 kmd) 120 km e) 150 km

11. Dos móviles A y B están separados 3 km y con AV 11 m/s= y BV 5 m/s= ; parten al encuentro. Un tercer móvil C parte junto con B a CV 12 m/s= . Después de cuánto tiempo C se encontrará en medio de A y B.a) 96 s b) 100 s c) 107 sd) 150 s e) 204 s

12. Dos móviles están distantes por una longitud de 420 m, parten uno al encuentro del otro con velocidades constantes de 3 y 12 m/s respectivamente. Después de cuánto tiempo estarán separados por una distancia que es la media geométrica de los espacios recorridos por los móviles.a) 15 s b) 18 s c) 20 s

d) 24 s e) 30 s

13. Si la velocidad del sonido en el agua es de 1700 m/s y en el aire 340 m/s. Determinar a qué distancia de la orilla y sobre la superficie del agua explotó una bomba, si la diferencia de tiempos entre el sonido transcurrido por el aire y el agua es de 80 s.a) 34 km b) 30 km c) 25 kmd) 35 km e) 20 km

14. Un móvil viaja un tramo AB con una velocidad constante 4V y luego un tramo BC con velocidad constante 5V,

sabiendo que: AB 2BC= y V = 49 m/s. Hallar la velocidad media del móvil.

a) 205 m/s b) 206 m/s c) 207 m/sd) 210 m/s e) 212 m/s

15. Qué rapidez lleva el móvil, si pasados 5 segundos logra el máximo acercamiento al punto “A”.

a) 5 m/sb) 10 m/sc) 15 m/sd) 20 m/se) 25 m/s

16. Cuando un auto viaja a rapidez constante sale de una ciudad “A” a las 6 a.m. llega a la ciudad “B” a las 8 a.m. llegará hasta “A” a mediodía. ¿A qué hora se cruzaron si “A” dista de “B” en 400 km?a) 9 h 10 min b) 9 h 20 min c) 10 h 5 min d) 10 h 15 mine) 10 h 45 min

17. Hacia el norte salen 2 trenes con velocidades de 30 km/h cada uno, desfasados en 10 min. ¿Con qué velocidad venía otro tren desde el

60º

V

A

100m

norte si después de 4 minutos de tiempo?a) 25 km/h b) 30 km/h c) 35 km/hd) 40 km/h e) 45 km/h

18. Una persona de 1,7 m de altura pasa junto a un poste de altura 3,4 m con una velocidad de 2 m/s, en el preciso momento que a 100 m de él viene a su encuentro un niño con una velocidad de 1 m/s. Determinar qué tiempo tardará el niño en pisar el extremo de la sombra de la persona.a) 10 s b) 15 s c) 20 sd) 25 s e) 30 s

19. En el instante que se muestran los coches parten con velocidades constantes. Si “A” alcanza a “B” en 25 s y 50 s después alcanza a “C”, hallar la velocidad “V”.

a) 50 m/s b) 60 m/s c) 70 m/sd) 80 m/s e) 90 m/s

20. Un cuerpo se mueve con velocidad constante sobre una recta durante 6 s. Luego entra a una superficie áspera, donde se detiene luego de avanzar 280 m en dicha superficie, en un tiempo de 10 s. Hallar su velocidad constante, el espacio total empleado y también su velocidad media.Rpta: ………….

21. Un policía de tránsito ve que un automóvil se le aproxima a una velocidad no permitida de 100 km/h, en el instante que pasa frente a él sube a su motocicleta e inicia su persecución, partiendo del reposo y

acelerando a razón 20 2km/h . ¿Qué tiempo demora en alcanzarlo?a) 5 h b) 8 h c) 10 hd) 15 h e) 20 h

22. Una partícula con M.R.U.V. triplica su velocidad luego de 10 s, acelerando a razón de 2 2m/s . Hallar el espacio recorrido en ese tiempo.a) 50 m b) 100 m c) 150md) 200 m e) 250 m

23. Un automóvil parte del reposo y acelera durante 10 s, a razón de 2 2m/s , luego de este tiempo pasa a una superficie áspera y empieza a desacelerar a razón de 4 2m/s , hasta que se detiene. ¿Cuál es su rapidez media? a) 5 m/s b) 10 m/s c) 15 m/sd) 20 m/s e) 25 m/s

24. Un vagón parte del reposo con M.R.U.V. y avanza 35 cm durante el tercer segundo de su movimiento, su aceleración será:a) 13 2cm/s b) 14 2cm/s c) 10 2cm/sd) 8 2cm/s e) 7 2cm/s

25. Cuando un móvil con M.R.U.V. avanza 100 m, su velocidad se duplica. ¿Qué distancia adicional debe recorrer el móvil para que su velocidad vuelva a duplicarse?a) 200 m b) 300 m c) 400 md) 500 m e) 600 m

26. En un movimiento con aceleración constante en 5 s. la velocidad de la partícula aumenta en 20 m/s, mientras avanza 100 m. Halle la distancia que

A B C

V 20m/s 40m/s

1000md

recorrerá la partícula en los 2 s. siguientes.a) 60 m b) 64 m c) 68 md) 72 m e) 76 m

27. Media hora más tarde después de la partida de un bus, cuya rapidez de viaje es de 60 km/h, llega un tardío pasajero que con el fin de no perder el bus, inicia su persecución en auto con una rapidez inicial de 40 km/h y acelerando constantemente con 20

2km/h . ¿En cuánto tiempo el auto dará alcance al bus?a) 2 h b) 2 h 30 min c) 3 h

d) 3 h 30 min e) 4 h

Movimiento unidimensional cuya trayectoria es una línea recta que se caracteriza porque:

Su velocidad varia uniformemente con respecto al tiempo.

GRAVEDAD: Propiedad universal de los cuerpos que se manifiesta mediante dos fuerzas de atracción entre dos cuerpos cualesquiera del Universo.

Su aceleración permanece constante ( )a=g durante toda la trayectoria

2g=9.8 m/s (S. I.)2g= 32 pies/s (S . Inglés)

Para casos prácticos usaremos gravedad 210 m/s .

• Aceleración efectiva en un plano inclinado .(g *)

θg*=gsen

CONCLUSIONES

El tiempo de subida es igual al tiempo de bajada hasta el mismo nivel de referencia:

La velocidad de subida es igual a la velocidad de bajada en el mismo nivel de referencia

El movimiento de caída libre es un movimiento M. R. U. V.

.(a = g ) y (e = h)MOVIMIENTO VERTICAL DE CAIDA LIBRE

(M.V.C.L.)

1. Si una pluma y una roca se dejan caer en el vacío, se puede afirmar:a) la roca llega primerob) la pluma llega primeroc) las dos llegan al mismo tiempod) no se puede afirmar nadae) faltan datos

2. Desde la parte superior de un edificio se sueltan una bola de piedra de masa “m” y una bola de acero de masa “2m”, las cuales tienen volúmenes iguales. ¿Cuál de ellas llega primero al suelo?a) la bola de acerob) la bola de piedrac) las dos llegan al mismo tiempod) si caen en el aire, la correcta es a)e) Faltan datos

3. Un globo aerostático asciende verticalmente con una rapidez constante V cuando se encuentra a una altura de 100 m, se suelta una piedra, la cual adquiere una rapidez de (V+30) m/s cuando está 40 m de la superficie

terrestre. Halle V. ( 2g 10m/s= ).

a) 5 m/s b) 4 m/s c) 3 m/sd) 2 m/s e) 1 m/s

4. Una pelota es lanzada desde una altura de 4m y rebota sin pérdida de energía hasta una altura de 5 m. Hallar la velocidad de lanzamiento. (

2g 10m/s= ).

a) 5 m/s b) 2 5 m/s c) 3 5 m/sd) 7 5 m/s e) 8 5 m/s

5. En un crudo invierno, una persona cayó desde una altura de 40 m y se encontró vivo, pero enterrado en nieve en 1 m. ¿Qué desaceleración media provocó la nieve sobre el hombre?. (

2g 10m/s= ).

a) 400 2m/s b) 300 2m/s c)

250 2m/sd) 200 2m/s e) 150 2m/s

6. Dos cuerpos con velocidades iniciales opuestas de 10 m/s se mueven a lo largo de la misma línea vertical. ¿Al cabo de qué tiempo se encontrarán si en el instante inicial están separados una distancia de 100 m?

a) 3 sb) 4 sc) 5 sd) 6 se) 10 s

7. Con una rapidez de 40 m/s una partícula es lanzada verticalmente hacia arriba desde el borde de la azotea de un edificio. Calcular la altura del edificio si la partícula emplea 14 s para llegar hasta la base del edificio. (

2g 10m/s= ).a) 400 m b) 410 m c) 420 m

d) 430 m e) 440 m

8. Un aerostato asciende verticalmente a razón constante de 72 km/h. Cuando se ubica a 60m del suelo, se suelta una piedra. ¿A qué altura se ubicará el aerostato en el instante en que la

piedra toque el suelo?. ( 2g 10m/s= ).

a) 150 m b) 170 m c) 180 md) 200 m e) 220 m

9. Se disparan los cuerpos A y B tal como se muestran. ¿Qué distancia habrá recorrido “B” hasta el instante en que ambos se encuentran al mismo

nivel?. ( 2g 10m/s= ).

a) 200 mb) 225 mc) 250 md) 275 me) 300 m

10. La representación muestra el lanzamiento hacia arriba de una partícula sobre una inclinación lisa, halle el tiempo desde el lanzamiento a 10 m/s hasta que la partícula pase por

“B”. AB 8m= ; 2g 10m/s= .

a) 4s3

b) 5s3

c) 7s3

d) 2s3

e) 5 s

10 m/s

10 m/s

1000 m

10 m/s

150 m

50 m/s

37ºB

11.-Desde el borde de un pozo de caer un cuerpo , si una persona ubicada en el borde escucha el impacto en el fondo a los 51s. ¿Calcular la profundidad del pozo?. (g =10m/s²); Vs = 340 m/s.a) 4800m b) 5780m c) 3410m d) 6320m e) 2980m

12. ¿Desde que altura debe dejarse caer un cuerpo para que durante los últimos 5s recorra los 7/16 de dicha altura? (g = 10m/s²)a) 1000m b) 2600m c) 1200m d) 2560m e) 2000m

Este movimiento resulta de la composición de un movimiento horizontal rectilíneo uniforme (M .R .U) y un movimiento de caída libre vertical (M .C .L .V).

Restricciones para el análisis del movimiento parabólico:

Se desprecia la fricción del aire.

Aplicable sólo para alturas pequeñas, ya que se considera constante la aceleración de la gravedad

Los alcances serán pequeños para despreciar la redondez de la Tierra.

Las velocidades de disparo no deben ser muy grandes porque el móvil podría adquirir trayectorias elípticas y rotar alrededor de la Tierra.

Características:

Su trayectoria es una parábola.

Por ser movimiento compuesto, se descompone en dos movimiento simples

a) En el eje horizontal se tiene un M. R. U.

b) En el eje Y se tiene un movimiento vertical ascendente y luego descendente.

c) La velocidad de disparo se descompone en dos ejes "X" y "Y".

=αy 0V V.sen =αx 0V V.cos

d) Para un mismo nivel de referencia los módulos de las velocidades son iguales, lo mismo sucede con los ángulos.

Ecuaciones del Movimiento:

Explicación:

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

RESUMEN DE FÓRMULAS

α

Tiempo de vueloθ

= 0V

2V senT

g

Posición – partícula

= θ = θ −

0

20

x V cos .t

1y V sen .t gt

2

Altura máxima

θ=

2 20

MV sen

H2g

Ángulo de tiro

θ = 4Htan

D

Alcance horizontal

θ=

20V sen2

Dg

Relación de H y TV

=2

VgTH

8

Ecuación de la trayectoria

= θ−θ

2

2 20

1 xy xtan g

2 V cos

Posición general de la partícula

PROBLEMAS

1. Se lanza una partícula horizontalmente desde una altura de

125 m con una velocidad inicial de 50

m/s. Hallar: 2g 10m/s=I. el tiempo que demora en impactar

en el pisoII. el alcance horizontalIII. la componente vertical en el punto

de impactoIV. la velocidad resultante en el punto

de impactoRpta: ………..

2. Desde un gran edificio se lanza horizontalmente a 30 m/s un objeto y se pide determinar el ángulo que forma su velocidad instantánea con la

horizontal al cabo de 4 s. ( 2g 10m/s= ).

a) 30º b) 45º c) 37ºd) 53º e) 60º

3. El proyectil es lanzado con una velocidad de 20 m/s si en ese instante la separación respecto al carro es de 70,4 m. ¿Cuánto debe ser la velocidad del carrito para que el proyectil le haga

impacto?. ( 2g 10m/s= ).

a) 5 m/s b) 10 m/s c) 15 m/sd) 20 m/s e) 25 m/s

4. Un cañón dispara un proyectil bajo las condiciones indicadas en la figura. Hallar el tiempo que emplea en llegar

al plano terrestre. ( 2g 10m/s= ;

0V 100m/s= ) y la distancia “X” (Utilice:

3 1,73= ).

V ?=

70,4m

53º

375 m

0V

75º

45º

x

Los satélites son lanzados con una velocidad tal que logre describir una elipse y empiece a girar alrededor de la tierra su velocidad aproximadamente es 9,7 km/sSi un cuerpo es lanzado con una

velocidad grande puede salir del campo gravitatorio de la tierra y no regresar jamás esta velocidad se llama velocidad de escape su valor es aproximadamente mayor a 11,2 km/s.

α

a) 15 s ; 920 m b) 15 s ; 922,5 mc) 10 s ; 875,5 m d) 5 s ; 500 me) 20 s ; 950 m

5. Dos cuerpos lanzados simultáneamente desde los puntos “A” y “B” chocan en el punto “P” tal como

se muestra. Hallar “ α ”. ( 2g 10m/s= ).

a) 30°a) 37°a) 45°a) 53°a) 60°6. Una esfera es lanzada con una velocidad horizontal de 5 m/s. ¿En qué escalón caerá por primera vez la esfera, sabiendo que cada escalón tiene una longitud horizontal de 0,25m tal como se muestra en la figura?. (

2g 10m/s= ).

a) 10b) 15c) 20d) 25e) 30

7. Determine el alcance “X” si la partícula se desprende del plano inclinado con una velocidad lineal de

50 m/s. ( 2g 10m/s= ).

a) 100 mb) 110 mc) 120 md) 130 me) 150 m

8. Determinar la velocidad “V” y el ángulo “ α ” si el proyectil lanzado logra ingresar por el canal horizontal

superior. ( 2g 10m/s= ).

a) 20 m/s y 1 3tan ( )2

− b) 15 m/s y

1 2tan ( )3

−

c) 20 m/s y 1 2tan ( )

3

− d) 25 m/s y 30º

e) 30 m/s y 37º9. Con qué velocidad mínima debe salir un motociclista de la rampa, para que

pueda cruzar el obstáculo. ( 2g 10m/s= )

a) 30 m/s b) 40 m/s c) 50 m/sd) 55 m/s e) 60 m/s

10. Del gráfico mostrado, encontrar 0V y el ángulo “ α ”, si H = 162 m; S = 24 m; t = 6 s;

( 2g 10m/s= ).

a) 5 m/s y 30ºb) 5 m/s y 37ºc) 10 m/s y 53ºd) 15 m/s y 45ºe) 20 m/s y 60º

12m16m

37° α

P

hA B

5 m/s

0,25m

0,25m

x

135m

37°

α60°

V15m

x

H

α

320m

80m

53°

11. El diagrama muestra el instante en que un avión cuya rapidez es de 50 m/s, suelta un proyectil, si este destruye el barco. Hallar la rapidez del barco, sabiendo que viaja en el mismo

plano vertical que el avión. ( 2g 10m/s=).

Rpta: …………….

12. Tu profesor Marquito desea medir la altura de un árbol, lanza una piedra desde una distancia de 42 metros, mediante un aparato desde el suelo con un ángulo de elevación de 53°. Si él constata que el tiempo transcurrido entre el disparo y la llegada de la piedra a la punta del árbol es de 30 segundos, ¿cuál es la altura del árbol, en metros?. (g=10 2m/s )a) 10 b) 11 c) 12d) 9 e) 15

13. Una pelota es lanzada con una velocidad de 50 m/s bajo un ángulo de 53º sobre la horizontal. Calcule “d” si el rebote de la pelota se considera elástica. (g=10 2m/s )a) 20 m

b) 30 m

c) 40 m

d) 50 m

e) 60 m

14. El piloto de un bombardero que vuela horizontalmente con una

velocidad de 200 m/s y a una altura de 80 m, divisa un tanque enemigo que se mueve en sentido contrario a él. ¿A qué distancia horizontal debe soltar una bomba para hacer blanco en el tanque que se mueve a una velocidad constante de 15 m/s? (g = 10 m/s2)a) 12 m b) 18 m c) 24 md) 36 m e) 48 m

15. En el mismo instante, son lanzadas dos partículas con igual rapidez. Hallar θ si éstas partículas chocan en O. a) 37°b) 30°c) 60°d) 53°e) 45°

Es aquel movimiento que se caracteriza por que su trayectoria es una circunferencia y según su velocidad angular se pueden clasificar en:

♣ Movimiento Circunferencial Uniforme

(M. C. U.)

♣ Movimiento Circunferencial Uniformemente Variado

(M. C. U. V.)

DEFINICIONES PREVIAS

1. DESPLAZAMIENTO LINEAL (s): Es la longitud de arco de la circunferencia recorrido por un cuerpo con movimiento circunferencial.

DESPLAZAMIENTO ANGULAR (θ ): Es el ángulo que se describe en el centro de la trayectoria

H

37°

53°0V

200md

40m

80m

OV

θ

V

correspondiente a un arco de circunferencia, se le expresa generalmente en radianes.

3. PERIODO (T): Es el tiempo que demora un cuerpo con movimiento circunferencial para dar una vuelta completa.

o

tiempoT=

nde vueltas

UNIDADES: segundos (s).

4. FRECUENCIA (f): Es el número de vueltas dado por el cuerpo con movimiento circunferencial en cada unidad de tiempo. También se puede definir como la inversa del período.

on de vueltasf=

tiempo

UNIDADES: rev/s R.P.S 1/s Hertz= = =rev/min R. P .M=rev/hora R. P .M=

5. VELOCIDAD TANGENCIAL ( tV ): Es una magnitud vectorial cuyo módulo mide el arco recorrido por el móvil en la unidad de tiempo. Se caracteriza por ser tangente a la trayectoria.

UNIDADES: m/s, cm/s, etc.

6. VELOCIDAD ANGULAR ( ωur

): Es una magnitud vectorial cuyo módulo mide el ángulo barrido por el móvil en la unidad de tiempo. Se caracteriza por ser perpendicular al plano de rotación.

UNIDADES: rad/s, rev/min (R. P. M)

7. ACELERACIÓN TANGENCIAL(ura):

Es aquella magnitud vectorial que nos indica cuanto cambia la velocidad tangencial en cada unidad de tiempo.

UNIDADES: 2 2m/s , cm/s

8. ACELERACION CENTRIPETA.- Es la magnitud vectorial cuyo punto de aplicación es el móvil su dirección radial y sentido siempre señalan hacia la parte central de la circunferencia.

UNIDADES: 2 2m/s , cm/s

9. ACELERACIÓN ANGULAR ( αur

): Es aquella magnitud vectorial que nos indica cuanto aumenta o disminuye la velocidad angular en cada unidad de tiempo.

UNIDADES:2 2 2rad/s , rad/min , rad/h , etc.

(M. C. U.)

Es aquel movimiento que se caracteriza por su trayectoria es una circunferencia y su velocidad angular permanece constante, esto significa que en tiempos iguales barre ángulos iguales.

Velocidad angular (ω ) :

θO A

Bω = cte

θω =ángulo =

tiempo t

unidades: rad/s

En función del período y la frecuencia:πω = π2

= 2 fT

Velocidad tangencial

=ωV R π= = π2 RV 2 Rf

T

Aceleración centrípeta2V

a=R

ω2a= R

unidades: 2m/s

Si el móvil gira π2 rad entonces el tiempo es igual a la frecuencia.

(M. C. U. V.)

Es aquel movimiento que se caracteriza por que su trayectoria es una circunferencia y su velocidad varía uniformemente conforme transcurre el tiempo esto significa que su aceleración angular permanece constante.

Las ecuaciones del movimiento son las mismas del movimiento rectilíneo uniformemente variado. Además algunas ecuaciones esenciales:

SR ; VR ; aR =θ=ω=α

ω − ωα =

ω = ω ± α

ω = ω ± α θ

θ = ω ± α

f 0

f 0

2 2f 0

20

tt

2

1t t

2

PROBLEMAS

1. Si un móvil da 4 vueltas en 80 seg. ¿ Cuál es su periodo y frecuencia ?Rpta:…………..

2. Si un móvil gira 60° en 20 seg. ¿Cuál es su periodo y frecuencia ? Rpta:…………..

3. Si un móvil gira 3 /2π rad en 30 s. ¿Cuál es su período y frecuencia?Rpta:……………

4. Un disco gira a razón de 45 R. P. M y tiene un radio de giro igual a 13cm. ¿Determinar la velocidad tangencial de un punto que se encuentra a 7cm de borde ? en (cm/s)a) 9π b) 8π c) 3π d) 5 e) 7π5. Sabiendo que la luna hace una revolución completa en 28 días y que la distancia promedio entre la luna y la tierra es de 38.4x104 km. Aproximadamente, hallar la velocidad lineal de la luna en (m/s) con respecto a la tierra .a) 900 b) 997 c) 996

d) 995 e) 950

6. Una hélice de 5 paletas gira a razón de 360 RPM, si la longitud de cada paleta es de 0,5 m. Hallar la velocidad tangencial en los extremos de las paletas.a) 6π m/s b) 8π m/s c) 10π m/s

d) 12π m/s e) 14π m/s

7. Una estrella fugaz brilla en el cielo durante 3,14 s, describiendo en este tiempo un arco de 9º. ¿Cuál fue su velocidad (en km/h), si su distancia al observador fue de 80 km?a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

8. Las partículas parten simultáneamente con períodos de 20 y 30 s. ¿Al cabo de qué tiempo logran cruzarse por segunda vez?. Si son diametralmente opuestas.a) 6 s b) 12 s c) 18 sd) 21 s e) 25 s

9. En el disco mostrado que gira con velocidad angular constante de 60 rad/s, se tiene que las velocidades tangenciales de los puntos A y B son de 120 m/s y 40 m/s respectivamente. Hallar AB (en metros).

a) 1b) 1,5c) 0,5d) 3e) 2

10. En la figura se muestra un péndulo cónico que gira a razón de 10 rad/s. Sabiendo que L=20 cm, y 37ºθ = . ¿Cuál es la velocidad tangencial de la masa pendular? (en m/s).

a) 0,8b) 1,2c) 5,7d) 3,0e) 4,2

11. En el diagrama indicado, las poleas giran en sentido horario, con una

rapidez angular de 2 rad/s. Si sus radios son ar 2,5cm= y br 7,5cm= . ¿En cuánto tiempo la barra estará en posición horizontal?

a) 1 sb) 2 sc) 3 sd) 4 se) 5 s

12. Desde el centro de la plataforma de un disco que gira a 40 rad/s, avanza una esferita con una velocidad constante de 6 m/s en dirección radial. Sabiendo que el disco tiene 2m de radio. Hallar la velocidad total de la esferita cuando llegue a la periferia del disco.a) 4 m/s b) 6 m/s c) 8 m/sd) 10 m/s e) 12 m/s

13. Un móvil parte del reposo y gira con aceleración angular constante de 4

2rad/s .en los “t” primeros segundos gira a un ángulo “ θ ” y 5 segundos más tarde gira un ángulo “ φ ”, tal que:

169

θφ

= . Hallar el ángulo total girado.

a) 625 rad b) 850 rad c) 1050 radd) 1250 rad e) 1550 rad14. Una llanta de radio 5 m rueda uniformemente por una superficie horizontal. Del punto “A” se desprende una gota de lodo. ¿Con qué velocidad se mueve la llanta, si la gota después de estar en el aire vuelve a caer sobre

el mismo punto? ( 2g 10m/s= ).

OB

A

L

O

ω

θ

1m

0,8ma b

2 Rπ

VV

R

a) 5 m/s b) 5 2π m/s c) 3 2πm/sd) 2π m/s e) 10π m/s

15. Tres poleas concéntricas son mostradas en la figura. Se sabe que

AR 2m= ; BR 2m= ; CR 6m= . El sistema gira en sentido antihorario con una velocidad angular 10rad/sω = , determinar la velocidad del bloque.

a) 35 m/sb) 40 m/sc) 45 m/sd) 50 m/se) 55 m/s

16. Un pastor hace girar su honda en una circunferencia de 2 m de radio a

razón de 22rad/s . ¿Con que velocidad

sale la piedra si la cuerda se rompe después de 8 vueltas? a) 12 m/s b) 14 m/s c) 16 m/sd) 18 m/s e) 20 m/s

17. Una partícula parte del reposo y

acelera con 210 rad/sπ . Hallar el número

de vueltas que dará hasta que la partícula tenga 80π rad/s.a) 80 b) 160 c) 320d) 480 e) 560

18. Una partícula con M.C.U.V. parte del reposo, en los dos primeros segundos da 10 vueltas. ¿Cuántas vueltas dará la partícula en los 2 segundos siguientes? a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

19. Un móvil describe una trayectoria circular con M.C.U.V, cuando recorre 100 rad, su velocidad se triplica. ¿Qué ángulo adicional deberá avanzar el móvil para que su velocidad vuelva a triplicarse?a) 600 rad b) 700 rad c) 800 radd) 900 rad e) 1000 rad

20. En cierto instante el vector velocidad de una partícula tiene una magnitud de 10 m/s y forma un ángulo de 53º con el vector aceleración, cuyo módulo es 5 2m/s . Determinar el radio de la trayectoria.a) 4 m b) 33, 3 m c) 20 md) 25 m e) 30 m

21. Determinar la aceleración angular con que gira una rueda para que en el tercer segundo efectúe 16 vueltas menos que en el séptimo segundo.a) 24 m/sπ b) 26 m/sπ c) 28 m/sπ

d) 210 m/sπ e) 212 m/sπ

22. Cuando un ventilador es apagado, debido a la fricción, desacelera uniformemente avanzando 80 rad en los primeros 4 s; si la desaceleración angular es de 24 m/sπ encuentre el tiempo que demora la fricción en detener al ventilador.a) 7 s b) 8 s c) 9 sd) 10 s e) 11 s23. Un proyectil sale volando a la velocidad inicial de 100 m/s bajo un ángulo de elevación de 37º. Encuentre el radio de curvatura de la trayectoria parabólica en su punto más alto. (

2g 10 m/s= ).a) 360 m b) 520 m c) 640 md) 1720 m e) 840 m

ABC

D

E

24. Un disco gira alrededor de su eje, acelerando desde el reposo con una aceleración angular constante

22 rad/sα π= . Si el radio del disco es de 2 m. Hallar la aceleración en el punto “P” en el borde del disco, después de 4 s. (Indique las componentes de la Ta y

cpa en 2m/s ).Rpta: ……….

MISCELANEA

1. Se inventa un sistema de unidades donde se consideran como magnitudes fundamentales, a la velocidad , la masa., la fuerza. Hallar la ecuación dimensional de "E"en este nuevo sistema:

E = (PRESION)(DENSIDAD)

en este nuevo sistema se define: [velocidad] = M, [masa]=A , [fuerza] = Y

a) 1

5 2 3 2[M A Y ]− − b) 10 4 6M A Y− −

c) 5 2 3M A Y− − d) 3 1 3M A Y− −

e) MAY

2. En el efecto joule se establece que si una resistencia eléctrica "R" circula una corriente "I" durante un tiempo "t" el calor desprendido de la resistencia esta dado por :Rpta: ………..

3. La ley de un movimiento rectilíneo es x mt² bt c,= + + su aceleración es 6 m/s², su velocidad mínima 2 m/s y partió de x 3m;= la ley será:a) 3t² t 3+ + b) 2t² 2t 3+ +c) 3t² 2t 3+ + d) t² 2t 2+ +e) t² 3t 2+ +

4. Señale la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones.I. Si un móvil tiene rapidez constante, tendrá velocidad constante.II. En el M.R.U. la velocidad media es paralela al desplazamiento.III. La velocidad constante implica rapidez constante.a) VVV b) FFF c) VFVd) FVV e) FVF

5. Dos insectos vuelan con velocidades constantes en el mismo plano horizontal y están iluminados por un foco de luz y la figura muestra la posición de los insectos para t 0s.=Determine la longitud de separación (en metros) entre las sombras de los insectos la cabo de 2 s.

a) 16 mb) 30 mc) 12 md) 24 me) 18 m

6. Un camión cargado de explosivos se acerca a una de las unidades de producción de toque pala con una velocidad de 10 m/s y Cuando se halla a 350 m del tajo, sucede una explosión; el conductor al enterarse del hecho inmediatamente aplica los frenos desacelerando el camión a razón de 20 m/s. ¿A qué distancia del tajo se detiene el camión?a) 337,5 m b) 327,5 m c) 317,5 md) 325,5 m e) 323,5m7. Un bombardero que vuela horizontalmente a una altura de 125m y con una velocidad de 100m/s , trata de atacar a un barco que navega a una velocidad de 20m/s , en la mismo dirección y sentidos opuestos . ¿ A que distancia "d" se debe dejar caer una bomba para lograr el impacto sobre el impacto sobre el barco ? ( g= 10m/s2 )

4 m/s

3m/s1m

1m

2m

a) 400m b) 500m c) 600m d) 300m e) 560m

8. Si el bloque Q pesa 25N .Hallar el peso del bloque “P” para que el sistema se encuentre en equilibrio en la posición indicada.

a) 30 N b) 40 N c) 50 N d) 60 N e) 70N

9. Los pesos de las esferas A, B y C son 20N, 30N y 50N. Calcular la reacción de la pared derecha sobre “C” y la fuerza de la balanza electrónica indica:

Rpta ...............

P

Q

150°

53° 37°

Balanza

A

B

C

R .M. 0638 – 80 – ED –

LIMAPlaza San Francisco # 138 _ Telf.: