Fisica I T1b
31
Aula 01 Introdução 1 Física I – 2014/2015 Aula 01 Introdução Movimento a uma dimensão: revisões Movimento a duas e três dimensões
Transcript of Fisica I T1b
Aula 01 Introdução 1
Física I – 2014/2015
Aula 01
Introdução
Movimento a uma dimensão: revisões Movimento a duas e três dimensões
Aula 01 Movimento em duas e três dimensões 2
Física I – 2012/2013
0 x
Posição
x1 > 0 x2 < 0
Deslocamento, Dx
0 x
x1 x2
t2 > t1 Dx = x2 - x1
Movimento a uma dimensão (revisão)
Aula 01 Movimento em duas e três dimensões 3
Física I – 2012/2013
Deslocamento, Dx
0 x
x1 x2
t2 > t1 Dx = x2 - x1
Velocidade média, vmed
0 x
x1 x2
Dt = t2 - t1 , vmed = Dx/ Dt
Aula 01 Movimento em duas e três dimensões 4
Física I – 2012/2013
Velocidade média, vmed
0 x
x1 x2
Dt = t2 - t1 , vmed = Dx/ Dt
Velocidade instantânea, v
v = lim vmed = dx/ dt Dt → 0
Aula 01 Movimento em duas e três dimensões 5
Física I – 2012/2013
Aceleração média, amed
0 x
x1 x2
t2 > t1 , Dv = v2 - v1 , amed = Dv/ Dt
Aceleração instantânea, a
a = lim amed = dv/ dt Dt → 0
v1 v2
Exemplos
Aula 01 Movimento em duas e três dimensões 6
Física I – 2012/2013
Movimento a duas e três dimensões
A utilização dos sinais + ou – não é suficiente para descrever completamente o movimento em mais do que uma dimensão;
Podem ser utilizados vectores para descrever o movimento de forma mais completa;
Estamos ainda interessados no deslocamento, na velocidade e na aceleração.
Aula 01 Movimento em duas e três dimensões 7
Física I – 2012/2013
Ideias Gerais sobre o Movimento
Na cinemática do movimento a duas ou três dimensões,
tudo é análogo ao movimento unidimensional, excepto
no facto de termos de utilizar notação vectorial.
Aula 01 Movimento em duas e três dimensões 8
Física I – 2012/2013
Posição e Deslocamento
A posição de um objecto é descrita pelo
seu vector de posição,
r
X
Y
Z
)(tr P
x
y
z
)(
)()(
)(
tz
tytr
tx
kzjyixr
i
jk
Coordenadas cartesianas
Aula 01 Movimento em duas e três dimensões 9
Física I – 2012/2013
A posição de um
objecto é descrita pelo
seu vector de posição,
k
)m 5(
r
= + r xi yj zk
(2 m) j
( 3 m)i-(5 m)k
= 3 m + 2 m 5 mr i j k-
Aula 01 Movimento em duas e três dimensões 10
Física I – 2012/2013
)(tr
P
zrezertr
'
')(
)(
)()(
)('
tz
ttr
tr
X
Y
Z
)(' tr
z
r’ = )(' tr
' r
z
e
e
e
' r
z
e
e
e
Coordenadas cilíndrica
Aula 01 Movimento em duas e três dimensões 11
Física I – 2012/2013
rertr
)(
)(
)()(
)(
t
ttr
tr
X
Y
Z
P
)(tr
r = )(tr
e
re
e
e
Coordenadas esféricas
Aula 01 Movimento em duas e três dimensões 12
Física I – 2012/2013
O deslocamento do
objecto (partícula) é
definido como a
variação da sua
posição
Trajectória da
partícula
Posição
inicial
Posição
mais
tarde
= + r xi yj zkD D D D
2 2 2 1 1 1 = + + r x i y j z k x i y j z kD -
2 1 = r r rD -
2 1 2 1 2 1 = r x x i y y j z z kD - - -
Aula 01 Movimento em duas e três dimensões 13
Física I – 2012/2013
O vector posição de
uma partícula é,
inicialmente,
e, 2 s mais tarde
1 = 3.0 m 2.0 m 5.0 mr i j k-
Trajectória da
partícula
Posição
inicial
Posição
mais
tarde
2 = 9.0 m 2.0 m 8.0 mr i j k
Qual é o deslocamento da partícula neste intervalo de tempo?
2 1= 9.0 m 3.0 m 2.0 m 2.0 m 8.0 m 5.0 m
12.0 m 0.0 m 3.0 m
r r r i j k
i j k
D - - - - -
Aula 01 Movimento em duas e três dimensões 14
Física I – 2012/2013
Velocidade média
A velocidade média num
determinado intervalo de
tempo é a razão do
deslocamento pelo intervalo
de tempo
A direcção e o sentido da
velocidade média são os do vector
deslocamento, Δr
med
rv
t
D
D
rD
Direcção de no ponto A
321 rrr
DDD
Aula 01 Movimento em duas e três dimensões 15
Física I – 2012/2013
Em termos de vectores unitários,
a velocidade média é
No problema anterior, a
velocidade média entre os dois
pontos é
med
rv
t
D
D
med
+ = +
xi yj zk x y zv i j k
t t t t
D D D D D D
D D D D
Trajectória
da
partícula
Posição
inicial
Posição
mais
tarde
med
12 m 3.0 m = 6.0 m/s + 1.5 m/s
2.0 s
i kv i k
Aula 01 Movimento em duas e três dimensões 16
Física I – 2012/2013
A velocidade média entre dois pontos é
independente da trajectória seguida
Resulta do facto de depender apenas do deslocamento, que
é independente da trajectória
Trajectória
da
partícula
Posição
inicial
Posição
mais
tarde
Aula 01 Movimento em duas e três dimensões 17
Física I – 2012/2013
A Velocidade Instantânea
A velocidade instantânea
é o limite da velocidade
média quando Δt tende
para zero
A direcção da velocidade
instantânea é a da tangente
à trajectória da partícula e o
sentido é o do movimento
0lim
t
r drv
t dtD
D
D
tangente
trajectória
Aula 01 Movimento em duas e três dimensões 18
Física I – 2012/2013
A direcção do vector velocidade instantânea em qualquer ponto da trajectória da partícula é a da tangente à trajectória nesse ponto e o sentido é o do movimento;
O módulo da velocidade instantânea é a rapidez instantânea;
Aula 01 Movimento em duas e três dimensões 19
Física I – 2012/2013
d dx dy dz
v xi yj zk i j kdt dt dt dt
A velocidade instantânea
pode ser escrita na forma
ou
De onde
x y zv v i v j v k
= ; = ; =x y z
dx dy dzv v v
dt dt dt
tangente
trajectória
Aula 01 Movimento em duas e três dimensões 20
Física I – 2012/2013
A Aceleração Média
A aceleração média de uma partícula em
movimento é definida como a variação da
velocidade instantânea dividida pelo intervalo de
tempo em que essa variação teve lugar.
med
f i
f i
v v va
t t t
- D
- D
Aula 01 Movimento em duas e três dimensões 21
Física I – 2012/2013
Ao longo do movimento da partícula, pode ser obtido por vários processos
A aceleração média é uma grandeza vectorial com a direcção e sentido de vD
vD
Aula 01 Movimento em duas e três dimensões 22
Física I – 2012/2013
A Aceleração Instantânea
A Aceleração Instantânea é o limite da
aceleração média, , quando Δt tende
para zero
/v tD D
0lim
t
v dva
t dtD
D
D
Aula 01 Movimento em duas e três dimensões 23
Física I – 2012/2013
Relativamente aos vectores
unitários, a aceleração escreve-se
ou
de onde
yx z
x y z
dvdv dvda v i v j v k i j k
dt dt dt dt
x y za a i a j a k
trajectória dt
dva
dt
dva
dt
dva z
z
y
yx
x ;;
Exemplos
Aula 01 Movimento em duas e três dimensões 24
Física I – 2012/2013
Origem da Aceleração
Uma aceleração pode surgir devido a diferentes
processos de variação da velocidade:
•Pode variar o módulo do vector velocidade;
•Pode variar a direcção e/ou o sentido do vector
velocidade
Mesmo que o módulo não varie
Todas estas características podem variar
simultaneamente.
Aula 01 Movimento em duas e três dimensões 25
Física I – 2012/2013
Equações da Cinemática do Movimento Bi- e Tridimensional
Quando existe aceleração constante no movimento
bi- ou tridimensional, pode ser desenvolvido um
conjunto de equações para descrever o movimento;
Estas equações são análogas às da cinemática
unidimensional.
Aula 01 Movimento em duas e três dimensões 26
Física I – 2012/2013
Equações da Cinemática
Vector posição
Vector velocidade
Como a aceleração é constante, podemos obter também uma expressão para a velocidade em função do tempo:
r xi yj
x y
drv v i v j
dt
f iv v at
Aula 01 Movimento em duas e três dimensões 27
Física I – 2012/2013
O vector velocidade
pode ser
representado pelas
suas componentes
Pode não ter, em
geral, a direcção e o
sentido de ou iv at
f iv v at
Aula 01 Movimento em duas e três dimensões 28
Física I – 2012/2013
O vector posição pode também ser expresso como função
do tempo:
Indica que o vector posição é a soma de três outros
vectores:
O vector posição inicial
O deslocamento resultante de
O deslocamento resultante de
2
f i
1
2ir r v t at
21
2at
iv t
ir
Aula 01 Movimento em duas e três dimensões 29
Física I – 2012/2013
Representação vectorial do vector posição
não tem geralmente a
mesma direcção e/ou
sentido de ou
e não têm
geralmente a mesma
direcção e/ou sentido
iv a
fr
fv
ir
2
f i
1
2ir r v t at
Aula 01 Movimento em duas e três dimensões 30
Física I – 2012/2013
Equações da Cinemática Movimento Bidimensional - Componentes
As equações da velocidade final e da posição final são equações vectoriais, podendo portanto ser escritas em termos das componentes;
Isto mostra que o movimento bi- ou tri-dimensional é equivalente a dois ou três movimentos independentes;
Um movimento na direcção do eixo dos x, outro na direcção do eixo dos y e, eventualmente, outro na direcção do eixo dos z.
Aula 01 Movimento em duas e três dimensões 31
Física I – 2012/2013
A equação vectorial
é equivalente às duas equações escalares
A equação vectorial
é equivalente às duas equações escalares
f iv v at
2
f i i
1
2r r v t at
i
i
2
f i
2
f i
1
2
1
2
x x
y y
x x v t a t
y y v t a t
f i
f i
x x x
y y y
v v a t
v v a t
