2 3 lim 1 n B n 0 +∞

1

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN 11 - Thời gian: khoảng 4 tuần - Yêu cầu HS: + Nghiên cứu kĩ lí thuyết và các bài tập có hướng dẫn + Các bài tập vận dụng làm chi tiết vào vở, không khoanh đáp án + Nộp lại cho GV vào buổi đầu tiên đi học

CHỦ ĐỀ 1: GIỚI HẠN A. Kiến thức cơ bản Các bạn xem lại lí thuyết ở phần hướng dẫn tự học ở nhà lần 1 B. Bài tập vận dụng

Câu 1. Giá trị của 1lim

1n bằng:

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 2. Giá trị của 2 1lim

2nAn

bằng:

A. B. C. 2 D. 1

Câu 3. Giá trị của 2

2 3lim1

nBn

bằng:

A. B. C. 0 D. 1

Câu 4. Giá trị của 2 1lim

1nCn

bằng:

A. B. C. 0 D. 1

Câu 5. Kết quả đúng của 2

4

2 1lim3 2

n nn

là

A. 33

. B. 23

. C. 12

. D. 12

.

Câu 6. Kết quả đúng của22 5lim

3 2.5

n

n n

là:

A. 52

. B. 150

. C. 52

. D. 252

.

Câu 7. 13 4.2 3lim

3.2 4

n n

n n

bằng:

A. . B. . C. 0 . D. 1 .

Câu 8. bằng:

A. . B. . C. . D. .

Câu 9. bằng:

A. . B. . C. . D. .

Câu 10. bằng:

A. . B. . C. . D. .

5lim

3 2 x x

0 15

3

2

2

2 1lim

3

x

x

x

21

3

1

32

2

1 3lim

2 3

x

x

x

3 2

2

2

2

3 2

2

2

2

2

Câu 11. bằng:

A . B. . C. . D.

Câu 12. Tìm giới hạn hàm số .

A. B. C. D.

Câu 13. Tìm giới hạn hàm số .

A. B. C. D.

Câu 14. Tìm để các hàm số 2

2 khi 0

1 khi 0

x a xf x

x x x liên tục tại 0x

A. 1

2 B. 1

4 C. 0 D. 1

Câu 15. Tìm a để các hàm số 2

4 1 1 khi 0

( ) (2 1)

3 khi 0

xx

f x ax a x

x

liên tục tại 0x

A. 1

2 B. 1

4 C. 1

6 D. 1

Câu 16.Tìm a để các hàm số 2

2

3 1 2 khi 1

1( )( 2)

khi 13

xx

xf xa x

xx

liên tục tại 1x

A. 1

2 B. 1

4 C. 3

4 D. 1

Câu 17. ( ĐỀ THI HỌC KÌ 2 SỞ VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019) Giới hạn

25 3 3lim

2 3 2

n n a

n b

(với ,a b

là các số nguyên dương và a

b là phân số tối giản). Tính T a b .

A. 7T . B. 9T . C. 21T . D. 11T .

Câu 18. Cho hàm số 3 1 1

1

x khi xy

x m khi x

, m là tham số. Tìm m để hàm số liên tục trên .

A. 1m . B. 3m . C. 3m . D. 5m .

Câu 19. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số

2 2 khi 2

1 khi 2

m x xf x

m x x

liên tục trên ?

A. 0. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 20. Cho hàm số

2

2

2 2 khi 2( ) 2

3 khi 2

x x x xf x x

x x x

. Khẳng định nào sau đây đúng nhất ?a

3

22

4 1lim

3 2

x

x

x x

. 11.

4

11.

4.

1

3 2lim

1

x

x

x

21

42

1

2 3lim

1

x

x x

x 5 2 1

3

A. Hàm số không liên tục tại 0 2x . B. Tất cả đều sai.

C. Hàm số liên tục tại 0 2x . D. Hàm số liên tục tại mọi điểm.

Câu 21. Nếu hàm số 2 khi 5

17 khi 5 1010 khi 10

x ax b xf x x x

ax b x

liên tục trên thì a b bằng

A. 1 . B. 2 . C. 1 . D. 0 .

Câu 22. Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại điểm 0 1x .

A. 2

11

xyx

. B. 21 2y x x .

C. 2 1

1xyx

. D. 1

xyx

.

Câu 23. Cho ,a b là hai số thực sao cho hàm số 2

11

2 1, 1

x ax b xf x xax x

liên tục trên . Tính a b .

A. 1 B. 5 C. 7 D. 0

Câu 24. Cho hàm số 2 3 , 3

32 3 , 3

x xf x x

x

. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

I . f x liên tục tại 3x . II . f x gián đoạn tại 3x .

III . f x liên tục trên .

A. Cả I , II , III đều đúng. B. Chỉ I và II .

C. Chỉ II và III . D. Chỉ I và III .

Câu 25. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

I . 5 2– 1f x x x liên tục trên . II . 2

11

f xx

liên tục trên khoảng –1;1 .

III . 2f x x liên tục trên đoạn 2; .

A. Chỉ I đúng. B. Chỉ I và II .

C. Chỉ II và III . D. Chỉ I và III .

CHỦ ĐỀ 2: ĐẠO HÀM

Lưu ý : Để làm tốt phần này các em học sinh cần ghi lại phần cơ sở lí thuyết vào vở riêng

4

A. Cơ sở lí thuyết 1. Đạo hàm của một số hàm thường gặp (C) = 0 ( C là hằng số) (x) = 1 1 *( ) ' ,n nx nx n

12

xx

2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hàm số

(u v) u v ' ' '1 2 1 2 ( ... ) ' ...n nu u u u u u

(uv) u v v u

(ku) ku (k là hằng số)

2

u u v v uv v

2

1 vv v

.

3. Đạo hàm của hàm số hợp Cho hàm số ( ( )) ( )y f u x f u với ( )u u x . Khi đó ' ' . 'x u xy y u .

4. Bảng công thức đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản

Đạo hàm Hàm hợp ( )' 0c ( ) ' 1x

1( ) 'n nx nx

1'2

xx

'

2

1 1x x

1' . 'n nu nu u

''2uuu

2

1 'uu u

B – BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG CÔNG THỨC Để tính đạo hàm của hàm số ( )y f x bằng công thức ta sử dụng các qui tắc tính đạo hàm ( được nêu trong phần cơ sở lí thuyết). Chú ý qui tắc tính đạo hàm của hàm hợp 1. VÍ DỤ MINH HỌA Câu 1. Đạo hàm của hàm số 10y là:

A. 10. B. 10. C. 0. D. 10 .x Hướng dẫn giải: Chọn C Có 10y đây là hàm hằng nên có đạo hàm bằng 0

Câu 2. Đạo hàm của hàm số bằng biểu thức nào sau đây?

A. B. C. D. Hướng dẫn giải:

Áp dụng qui tắc tính đạo hàm của tổng và hiệu ta có 4 3' ( 2 )' (3 )' ( )' 2y x x x

Áp dụng công thức ( ) ' . 'ku k u ta được 4 3' 2.( )' 3.( )' ( )' (2)'y x x x

Áp dụng công thức 1( ) 'n nx nx ; ( ) ' 1x ; ( )' 0c ta được 3 2' 2.4. 3.3. 1 0y x x

4 32 3 2y x x x 316 9 1.x x 3 28 27 1.x x 3 28 9 1.x x 3 218 9 1.x x

5

3 2' 8 9 1y x x

Chọn C. Câu 3. 4 23 2 1y x x x

A. 3' 4 6 3y x x B. 4' 4 6 2y x x C. 3' 4 3 2y x x D. 3' 4 6 2y x x Hướng dẫn giải: Chọn D

Câu 4 . 3

22 13xy x x

A. 2' 2 4 1y x x B. 2' 3 4 1y x x C. 21' 4 13

y x x D. 2' 4 1y x x

Hướng dẫn giải: Chọn D

Câu 5. Đạo hàm của hàm số 61 3 22

y x xx

là:

A. 52

3 13 .y xx x

B. 52

3 16 .2

y xx x

C. 52

3 13 .y xx x

D. 52

3 16 .2

y xx x

Hướng dẫn giải: Chọn A

Áp dụng qui tắc tính đạo hàm của tổng và hiệu ta được ' '

61 3' (2 )'2

y x xx

Áp dụng công thức ( ) ' . 'ku k u ta được '

6 ' '1 1' ( ) 3. 2( )2

y x xx

Áp dụng công thức 1( ) 'n nx nx ; '

2

1 1x x

; 1'

2x

x ta được kết quả

Câu 6. Đạo hàm của hàm số là:

A. B. C. D. Hướng dẫn giải: Chọn D.

Áp dụng qui tắc tính đạo hàm của một tích (uv) u v v u ta được

2 ' 2 '' ( 2) (2 1) ( 2)(2 1)y x x x x

2 2' 2 (2 1) 2( 2) 6 2 4y x x x x x

Câu 7. Tính đạo hàm của hàm số 2 21 5 3y x x

A. 3' 4y x x B. 3' 4y x x C. 3' 12 4y x x D. 3' 12 4y x x Hướng dẫn giải: Đáp án D

Áp dụng qui tắc tính đạo hàm của một tích (uv) u v v u Câu 8. Tính đạo hàm của hàm số

2 3( 1)(3 2 )y x x x

A. 4 2' 3 2y x x B. 4 2' 5 3 2y x x C. 4 2' 15 3y x x D. 4 2' 15 3 2y x x Hướng dẫn giải: Chọn D

2 2 2 1y x x

4 .y x 23 6 2.y x x 22 2 4.y x x 26 2 4.y x x

6

Áp dụng qui tắc tính đạo hàm của một tích (uv) u v v u

Ta có: 3 2 2 4 2' 2 (3 2 ) ( 1)(9 2) 15 3 2y x x x x x x x

Câu 9. Tính đạo hàm của hàm số sau: 2 1

2xyx

A. 2

3

2x

B.

32x

C. 2

3

2x D.

22

2x

Hướng dẫn giải: Chọn C

Áp dụng qui tắc tính đạo hàm của một thương

2

u u v v uv v

Ta có 2 2

(2 1)'( 2) ( 2)'(2 1) 3'( 2) ( 2)

x x x xyx x

Câu 10. Tính đạo hàm của hàm số sau: 2

3(2 5)

yx

A. 4

12

2 5x

B.

312

2 5x C.

36

2 5x

D.

312

2 5x

Hướng dẫn giải: Chọn D.

Áp dụng công thức 2

1 'uu u

Ta có:

'2

4 4 3

3 (2 5) 12(2 5) 12'(2 5) (2 5) (2 5)

x xyx x x

Câu 11. Tính đạo hàm của hàm số sau: 2 1

1x xyx

A.

2

2

2

1

x x

x

B.

2

2

2

1

x x

x

C.

2

2

2

1

x x

x

D.

22 2

1

x

x

Hướng dẫn giải: Chọn A.

Ta có 2 2

2 2

(2 1)( 1) ( 1) 2'( 1) ( 1)

x x x x x xyx x

Câu 12. Đạo hàm của hàm số 3 2 2016( 2 )y x x là:

A. 3 2 20152016( 2 ) .y x x B. 3 2 2015 22016( 2 ) (3 4 ).y x x x x

C. 3 2 22016( 2 )(3 4 ).y x x x x D. 3 2 22016( 2 )(3 2 ).y x x x x Hướng dẫn giải: Chọn B

Áp dụng công thức 1' . 'n nu nu u với 3 22u x x ; 2016n

Vậy:y 3 2 2015 22016.( 2 ) .(3 4 ).x x x x

Câu 13. Tính đạo hàm của hàm số sau: 27y x x .

7

A. 7 67 1x x x B. 62 7 1x C. 7 62 1x x x D. 7 62 7 1x x x


Sử dụng công thức 1' . 'n nu nu u (với 7u x x )

/7 7 7 6' 2 . 2 7 1y x x x x x x x

Câu 14. Tính đạo hàm của hàm số sau: 322y x x .

A. 312 . 1 2x x x B. 31232 x x

C. 31232 1 x D. 31232 . 1 2x x x


Sử dụng công thức 1' . 'n nu nu u với 2u x x

31 / 312 2 2' 32 . 32 . 1 2y x x x x x x x

Câu 15. Cho hàm số . Đạo hàm của hàm số là

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải: Chọn D.

Áp dụng công thức với 3 23 2 1u x x ta được

3 2 ' 2

3 2 3 2

(3 2 1) 9 4'

2 3 2 1 2 3 2 1

x x x xy

x x x x

Câu 16. Cho hàm số 22 5 4y x x . Đạo hàmy của hàm số là:

A. 2

4 5 .2 2 5 4

xx x

B. 2

4 5 .2 5 4

xx x

C. 2

2 5 .2 2 5 4

xx x

D. 2

2 5 .2 5 4

xx x

Hướng dẫn giải: Chọn A

Áp dụng công thức '2uuu

, ta được:

22 5 4y x x 2

2

(2 5 4)2 2 5 4x xyx x

2

4 5 .2 2 5 4

xx x

Câu 17. Đạo hàm của hàm số 2. 2y x x x là

A. 2

2 2 .2

xyx x

B. 2

2

3 4 .2

x xyx x

C. 2

2

2 3 .2

x xyx x

D. 2

2

2 2 1.2

x xyx x

Hướng dẫn giải: Đáp án C

Áp dụng đạo hàm của một tích (uv) u v v u ta được

3 23 2 1y x x y2

3 2

3 2.

2 3 2 1

x x

x x

2

3 2

3 2 1.

2 3 2 1

x x

x x

2

3 2

9 4.

3 2 1

x x

x x

2

3 2

9 4.

2 3 2 1

x x

x x

1

2u u

u

8

2 2 '' ( ) ' 2 .( 2 )y x x x x x x

Áp dụng công thức '( ) 1x và '2uuu

(với 2 2u x x ) ta được

2 2 2

2

2 2 2

2 2 2 2 32 .2 2 2 2

x x x x x x xy x x xx x x x x x

2. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1. Đạo hàm cấp một của hàm số 531y x là:

A. 435 1y x . B. 52 315 1y x x . C. 3 43 1y x . D. 42 35 1y x x .

Câu 2. Cho hàm số f x xác định trên bởi f x ax b , với ,a b là hai số thực đã cho. Chọn câu đúng:

A. 'f x a . B. 'f x a . C. 'f x b . D. 'f x b .

Câu 3. Cho hàm số f x xác định trên bởi 22 3f x x x . Hàm số có đạo hàm f x bằng:

A. 4 3x . B. 4 3x . C. 4 3x . D. 4 3x .

Câu 4. Đạo hàm của 25 22y x x là

A. 9 6 310 28 16 .y x x x B. 9 6 310 14 16 .y x x x

C. 9 310 16 .y x x D. 6 37 6 16 .y x x x

Câu 5. Đạo hàm của hàm số 4(7 5)y x bằng biểu thức nào sau đây

A. 34(7 5) .x B. 328(7 5) .x C. 328(7 5) .x D. 34(7 5) .x

Câu 6. Đạo hàm của 23 22y x x bằng :

A. 5 4 36 20 16x x x . B. 5 36 16x x .

C. 5 4 36 20 4x x x . D. 5 4 36 20 16x x x .

Câu 7. Đạo hàm của hàm số 223 1y x là y bằng.

A. 22 3 1x . B. 26 3 1x . C. 26 3 1x x . D. 212 3 1x x .

Câu 8. Tính đạo hàm của hàm số sau: 23 22 3 6 1y x x x .

A. 3 2 22 2 6 1 6 6 6 .x x x x x B. 3 2 22 2 3 1 6 6 .x x x x x

C. 3 2 22 2 3 6 1 6 6 .x x x x x D. 3 2 22 2 3 6 1 6 6 6 .x x x x x

Câu 9. Tính đạo hàm của hàm số sau: 321 2 .y x

A. 2212 1 2 .x x B. 2212 1 2 .x x C. 2224 1 2 .x x D. 2224 1 2 .x x

Câu 10 . Tính đạo hàm của hàm số sau: 42 1y x x .

A. 324 1 .x x B. 32 1 . 2 1x x x

C. 32 1 .x x D. 324 1 . 2 1x x x

9

Câu 11. Cho hàm số 3 51 2xy

x

. Đạo hàm y của hàm số là:

A. 2

7(2 1)x

. B. 2

1(2 1)x

. C. 2

13(2 1)x

. D. 2

13(2 1)x

.

Câu 12. Cho hàm số 2 11

xf xx

xác định \ 1 . Đạo hàm của hàm số f x là:

A. 2

2'1

f xx

. B. 2

3'1

f xx

. C. 2

1'1

f xx

. D. 2

1'1

f xx

.

Câu 13. Hàm số 2 1

1xyx

có đạo hàm là:

A. 2y . B. 2

1

1y

x

. C.

23

1y

x

. D.

21

1y

x

.


A. B. C. D.

Câu 15. Đạo hàm của hàm số là:

A. B. C. D.

Câu 16. Tính đạo hàm của hàm số sau: 2

2

2 21

x xyx

A. 2

22

2 6 2

1

x x

x

B.

2

42

2 6 2

1

x x

x

C.

2

22

2 6 2

1

x x

x

D.

2

22

2 6 2

1

x x

x


A. B. C. D.

Câu 18. Hàm số có bằng

A. B. C. D.

Câu 19. Hàm số 221x

yx

có đạo hàm là:

A.

2

21

2xxyx

. B.

2

2

2

1

xxyx

. C. 2 2y x . D.

2

2

2

1

xxyx

.


2x xyx

. Đạo hàm y của hàm số là biểu thức nào sau đây?

4 3( )

5

xf x

x

f x

2

17.

( 5)x

2

19.

( 5)x

2

23.

( 5)x

2

17.

( 5)x 2

3 1

xy

x

7

.3 1

yx

2

5.

3 1y

x

2

7.

3 1y

x

5.

3 1y

x

28

4 5

x xy

x

y

232 80 5.

4 5

x x

x

2

2

32 8 5.

(4 5)

x x

x

2

2

32 80 5.

(4 5)

x x

x

2

16 1.

(4 5)

x

x

2 3 3

2

x xy

x

y

2 4 3.

2

x x

x

2

2

4 3.

( 2)

x x

x

2 4 3.

2

x x

x

2

2

4 9.

( 2)

x x

x

10

A. 2

31( 2)x

. B. 2

31( 2)x

. C. 2

31( 2)x

. D. 2

31( 2)x

.


2x xy

x

. Đạo hàm y của hàm số là

A. 1+ 2

3( 2)x

. B. 2

2

6 7( 2)

x xx

. C. 2

2

4 5( 2)

x xx

. D. 2

2

8 1( 2)

x xx

.

Câu 22. Đạo hàm của hàm số 2

12 5

yx x

bằng biểu thức nào sau đây

A. 22

2 2 .2 5

xyx x

B. 22

2 2 .2 5

xyx x

C. 2(2 2)( 2 5).y x x x D. 1 .

2 2y

x

Câu 23. Đạo hàm của 2

12 1

yx x

bằng :

A.

The linked image cannot be displayed. The file may have been moved, renamed, or deleted. Verify that the link points to the correct file and location.

B.

22

4 1.

2 1

x

x x

C.

22

1 .2 1x x

D.

22

4 1.

2 1

x

x x

Câu 24. Cho hàm số2

2

2 73

x xyx

. Đạo hàmy của hàm số là:

A. 2

2 2

3 13 10 .( 3)x xx

B. 2

2 2

3 .( 3)x xx

C. 2

2 2

2 3 .( 3)x xx

D. 2

2 2

7 13 10 .( 3)x xx

Câu 25. Cho hàm số 2

2 53 3

xyx x

. Đạo hàm y của hàm số là:

A. 2

2 2

2 10 9( 3 3)x xx x

. B. 2

2 2

2 10 9( 3 3)x x

x x

. C.

2

2 2

2 9( 3 3)x xx x

. D. 2

2 2

2 5 9( 3 3)

x xx x

.

Câu 26. Hàm số 22 1

2y x

x

có y bằng?.

A. 2

2

2 8 6( 2)

x xx

. B. 22 8 6 .

2x xx

C. 2

2

2 8 6( 2)x xx

. D. 22 8 6

2x xx

.

Câu 27. Đạo hàm của hàm số 1

( 1)( 3)y

x x

bằng biểu thức nào sau đây ?.

A. 2 2

1( 3) ( 1)x x

. B. 1

2 2x . C.

2 2

2 2( 2 3)

xx x

. D. 22

4

2 3x x

.


2

2 3 1.5 2

x xyx x

Đạo hàm y của hàm số là.

A. 2

2 2

13 10 1( 5 2)

x xx x

. B. 2

2 2

13 5 11( 5 2)x x

x x

. C.

2

2 2

13 5 1.( 5 2)

x xx x

D. 2

2 2

13 10 1.( 5 2)

x xx x

11

Câu 29. Hàm số nào sau đây có 2

1' 2y xx

A. 2 1 .y xx

B. 3

22 .yx

C. 2 1 .y xx

D. 12 .yx

Câu 30. Đạo hàm của hàm số 3 2

1 1yx x

bằng biểu thức nào sau đây?

A. 4 3

3 1 .x x B.

4 3

3 2 .x x C.

4 3

3 2 .x x D.

4 3

3 1 .x x

Câu 31. Tính đạo hàm của hàm số

2

2

23

y xx

A. 2 3

2 4' 13 3

y xx x

B. 2 3

2 4' 2 13 3

y xx x

C. 2 3

2 4' 13 3

y xx x

D. 2 3

2 4' 2 13 3

y xx x


3

2

54y xx

A.

2

3 2

10 5' 3 4 4y xx x

B.

2

3 2

10 5' 3 4 4y xx x

C.

2

2

5' 4y xx

D.

2

3 2

10 5' 3 4 4y xx x

Câu 33. Tính đạo hàm của hàm số 3 23 2y x x

A. 2

3 2

3 6'3 2

x xyx x

B. 2

3 2

3 6'2 3 2

x xyx x

C. 2

3 2

3 6'2 3 2

x xyx x

D. 2

3 2

3 6'2 3 2

x xyx x

Câu 34. Đạo hàm của hàm số là kết quả nào sau đây?

A. B. C. D.

Câu 35. Cho hàm số f x xx có đạo hàm f x bằng.

A. 32x

. B. 2xx

. C. 2xx . D.

2x

.

Câu 36. Đạo hàm của hàm số 3 5 .y x x bằng biểu thức nào sau đây?

A. 57 5 .2 2

xx

B. 2 13 .2

xx

C. 2 53 .2

xx

D. 5 27 5 .2 2

xx

Câu 37. Đạo hàm của hàm số 2 34y x x là :

A. 2

2 3

6 .4

x x

x x

B. 2 3

1 .2 4x x

C. 2

2 3

12 .2 4x x

x x

D. 2

2 3

6 .2 4x x

x x

Câu 38. Đạo hàm của 23 2 1y x x bằng:

21 2y x

2

4.

2 1 2

x

x

2

1.

2 1 2x 2

2.

1 2

x

x 2

2.

1 2

x

x

12

A. 2

3 1 .3 2 1

xx x

B. 2

6 2 .3 2 1

xx x

C. 2

2

3 1 .3 2 1

xx x

D. 2

1 .2 3 2 1x x

Câu 39. Tính đạo hàm các hàm số sau 2 1y x x

A. 2

2

2 12 1xx

B. 2

2

11

xx

C. 2

2

4 11

xx

D. 2

2

2 11

xx


2( 1) 1y x x x .

A. 2

2

4 5 32 1x xx x

B. 2

2

4 5 32 1x xx x

C. 2

2

4 5 31

x xx x

D. 2

2

4 5 32 1x xx x


11

xyx

A. 3

1 3'(1 )

xyx

B. 3

1 3'3 (1 )

xyx

C. 3

1 1 3'3 2 (1 )

xyx

D. 3

1 3'2 (1 )

xyx


11

yx

. Đạo hàm y của hàm số là biểu thức nào sau đây?

A. 2 2( 1) 1

xx x

. B. 2 2( 1) 1

xx x

. C. 2 22( 1) 1

xx x

. D. 2

2

( 1)1

x xx

.

Câu 43. Đạo hàm của hàm số 72y x x bằng biểu thức nào sau đây?

A. 614 2 .x x B. 6 214 .xx

C. 6 114 .2

xx

D. 6 114 .xx


xyx

bằng biểu thức nào sau đây?

A. 2

12 (1 2 )x x

. B. 14 x

. C. 2

1 22 (1 2 )

xx x

. D. 2

1 22 (1 2 )

xx x

.

Câu 45. Đạo hàm của hàm số 2 3 25xy x

x

là:

A. 2

13 1 .25

yxx

B. 2

17 1 .2 25

yxx

C. 2

13 1 .2 25

yxx

D. 2

17 1 .25

yxx

Câu 46. Đạo hàm của hàm số 22 1y x x x là:

A. 2

2

2

4 12 .2xy x xx x

B. 2

2

2

4 12 .xy x xx x

C. 2

2

2

4 12 .2xy x xx x

D. 2

2

2

4 12 .2xy x xx x

Câu 47. Tính đạo hàm của hàm số 32 .y x

13

A. 2

.2 2

x

x

B.

2.

2

x

x

C.

3 2.

2

x

x

D.

3 2.

2 2

x

x

Câu 48. Tính đạo hàm của hàm số 31 1 2y x .

A. 26 1 1 2

.1 2

x

x

B.

21 1 2.

2 1 2

x

x

C.

21 1 2.

1 2

x

x

D.

26 1 1 2.

2 1 2

x

x

DẠNG 2. TÍNH ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM 1. PHƯƠNG PHÁP

Để tính đạo hàm của hàm số ( )y f x tại điểm 0x (giả sử hàm số luôn tồn tại đạo hàm tại điểm 0x ) ta làm

như sau: + Tính ' '( )y f x (đã làm nhiều ở dạng 1)

+ Thay 0x vào biểu thức 'y ta được 0'( )y x hoặc 0'( )f x

2. VÍ DỤ MINH HỌA Câu 1. Cho hàm số f x xác định trên bởi 22 1f x x . Giá trị 1f bằng:

A. 2 . B. 6 . C. 4 . D. 3 . Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có : ' 4f x x 1 4f .

Câu 2. Cho hàm số 4 3 24 3 2 1f x x x x x xác định trên . Giá trị ' 1f bằng:

A. 4 . B. 14 . C. 15 . D. 24 . Hướng dẫn giải: Chọn D.

·Ta có: 'f x 3 24 12 6 2x x x . Nên ' 1f 24 .

Câu 3. Đạo hàm của hàm số 42 1f x x tại điểm 1x là:

A. 32 . B. 30 . C. 64 . D. 12 . Hướng dẫn giải: Chọn C.

Ta có : 3 32 2 21 8 14 1y x x x x

1 64y .

Câu 4. Với 2 2 5( )

1x xf x

x

. Thì ' 1f bằng:

A. 1 . B. 3 . C. 5 . D. 0 . Hướng dẫn giải: Chọn D.

Ta có: 2 2 5( )

1x xf x

x

411

xx

24' 11

f xx

' 1 0f .

3. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1. Cho hàm số 2.

4xyx

0y bằng:

14

A. 102

y . B. 103

y . C. 0 1y . D. 0 2y .

Câu 2. Cho hàm số f x xác định trên \ 1 bởi 21

xf xx

. Giá trị của 1f bằng:

A. 12

. B. 12

. C. 2 . D. Không tồn tại.


2xyx

x

đạo hàm của hàm số tại 1x là:

A. 1 4y . B. 1 5y . C. 1 3y . D. 1 2y .

Câu 4. Cho hàm số 1f x x . Đạo hàm của hàm số tại 1x là

A. 12

. B. 1 . C. 0 D. Không tồn tại.

Câu 5. Cho hàm số . Khi đó bằng:

A. B. C. D.

Câu 6. Cho hàm số thì có kết quả nào sau đây?

A. Không xác định. B. C. D.

Câu 7. Cho 2 3

1 2 3f xx x x

. Tính ' 1f .

A. -14 B. 12 C. 13 D. 10

Câu 8. Cho 21 1f x xx x

. Tính ' 1f

A. 12

B. 1 C. 2 D. 3

Câu 9. Cho 5 3 2 3f x x x x . Tính ' 1 ' 1 4 0f f f

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

Câu 10. Đạo hàm của hàm số 3 4( )

2 1xf xx

tại điểm 1x là

A. 11.3

B. 1 .5

C. 11. D. 11.9


xf x xx

tại điểm 1x bằng:

A. 5 .8

B. 25 .16

C. 5 .8

D. 11 .8

Câu 12. Cho hàm số 3( ) 2 1.f x x Giá trị ( 1)f bằng: A. -6 B. 3. C. 2. D. 6.

Câu 13. Cho hàm số 21y x thì 2f là kết quả nào sau đây?

A. 2(2) .3

f B. 2(2) .3

f C. 2(2) .3

f

D. Không tồn tại.

( ) 4 1y f x x 2f

2.

3

1.

6

1.

32.

1( )

2 1

xf x

x

1

2f

3. 3. 0.

15


xf xx

. Giá trị 1f là

A. 1 .2

B. 1 .2

C. – 2. D. Không tồn tại.

Câu 15. Cho hàm số 223 1f x x . Giá trị 1f là

A. 4. B. 8. C. -4. D. 24.

Câu 16. Cho hàm số 1f xx

. Đạo hàm của f tại 2x là

A. 1 .2

B. 1 .2

C. 1 .2

D. 1 .2

Câu 17. Cho hàm số . Giá trị bằng: A. 14. B. 24. C. 15. D. 4

DẠNG 3. MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍNH ĐẠO HÀM CÓ THÊM ĐIỀU KIỆN 1. PHƯƠNG PHÁP Để giải quyết bài toán loại này ta thực hiện theo các bước sau: + Tính ' '( )y f x (đã làm nhiều ở dạng 1) + Tùy theo điều kiện mà đề bài đưa ra để làm tiếp Một số kiến thức thường dùng để giải quyết tốt cho bước 2 Giải phương trình, bất phương trình bậc hai, bậc ba Dấu của tam thức bậc hai không đổi dấu trên miền

Cho tam thức bậc hai 2( )f x ax bx c ( 0a ). Khi đó

0

( ) 0,0

af x x

0( ) 0,

0a

f x x

0

( ) 0,0

af x x

0( ) 0,

0a

f x x

Lưu ý: Trong trường hợp a chưa thực sự khác 0 mà vẫn phụ thuộc tham số thì cần xét riêng trường hợp 0a

2. VÍ DỤ MINH HỌA Câu 1. Cho hàm số 3 23 9 5xy x x . Phương trình 0y có nghiệm là:

A. 1;2 . B. 1;3 . C. 0;4 . D. 1;2 .

Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có : 2 6 93x xy

2 6 93 1; 300y xx x x .

Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của x để '( ) 0f x với 3 2( ) 2 3 1f x x x

A. 01

xx

B. 1x C. 0x D. 0 1x

Hướng dẫn giải: Chọn A TXĐ: D

4 3 2( ) 4 3 2 1f x x x x x (1)f

16

Ta có: 2'( ) 6 6f x x x , suy ra 0

'( ) 01

xf x

x

Câu 3. Tìm m để các hàm số 3

2 (3 1) 13

mxy mx m x có ' 0, y x .

A. 2m B. 2m C. 0m D. 0m Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: 2' 2 3 1y mx mx m

Nên 2' 0 2 3 1 0y mx mx m (2) 0m thì (1) trở thành: 1 0 đúng với x

0m , khi đó (1) đúng với

0' 0

a mx

0 00

(1 2 ) 0 1 2 0m m

mm m m

Vậy 0m là những giá trị cần tìm. 3. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1. Cho hàm số 3 21 2 2 8 13

f x x x x . Tập hợp những giá trị của x để 0f x là:

A. 2 2 . B. 2; 2 . C. 4 2 . D. 2 2 .

Câu 2. Cho hàm số 4y x x . Nghiệm của phương trình 0y là

A. 1 .8

x B. 1.8

x C. 1 .64

x D. 1 .64

x

Câu 3. Cho hàm số 34 4y x x . Để 0y thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây ?

A. 3; 3 . B.

1 1; .3 3

C. ; 3 3; . D.

1 1; ; .3 3

Câu 4. '( ) 0f x với 4 2( ) 2 4 1f x x x

A. 1 0

1x

x

B. 1 0x

C. 1x D. 0x Câu 5. Cho hàm số 33 25.y x Các nghiệm của phương trình 0y là.

A. 53

x . B. 35

x . C. 0x . D. 5x .

Câu 6. Cho hàm số . Các nghiệm của phương trình là

A. B. C. D.

3 22 3 5y x x 0y

1.x 5

1 .2

x x 5

1.2

x x 0 1.x x

17

Câu 7. Cho hàm số . Tập nghiệm của phương trình là

A. B. C. D.

Câu 8. Cho hàm số . Tập nghiệm của phương trình là

A. B. C. D.

Câu 9. Tìm số 3 23 1.f x x x Đạo hàm của hàm số f x âm khi và chỉ khi.

A. 0 2x . B. 1x . C. 0x hoặc 1.x D. 0x hoặc 2.x

Câu 10. Cho hàm số . Để thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây?

A. B. C. D.


A. B. C. D.


A. B. C. D.


1y

x

. Để 0y thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây?

A. 1. B. 3. C. . D. .

Câu 14. Cho hàm số 21 3( )

1x xf x

x

. Tập nghiệm của bất phương trình ( ) 0f x là

A. \ 1 . B. . C. 1; . D. .

Câu 15. Cho hàm số 3 23 1y x x . Để 0y thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây

A. 2 ;0 .9

B. 9 ;0 .2

C. 9; 0; .2

D. 2; 0; .

9

Câu 16. Cho hàm số . Tập nghiệm của bất phương trình là

A. B. \{0}. C. D.

Câu 17. Tìm m để các hàm số 3 2( 1) 3( 2) 6( 2) 1y m x m x m x có ' 0, y x

A. 3m B. 1m C. 4m D. 4 2m

CHỦ ĐỀ 3: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP 1. Định nghĩa và các phép toán Định nghĩa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự như

trong mặt phẳng. Lưu ý:

2

2

1( )

1

xf x

x

( ) 0f x

0 . . \ 0 . .3

( )1

xf x

x

( ) 0f x

20; .

3

2;0 .

3

30; .

2

3;0 .

2

2 3y x x 0y

; . 1; .9

1; .

9

.

322 1y x 0y

. ;0 . 0; . .

24 1y x 0y

. ;0 . 0; . ;0 .

5 1( )

2

xf x

x

( ) 0f x

. ;0 . 0; .

18

+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB BC AC

+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB AD AC

+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD. ABCD, ta có: ' 'AB AD AA AC

+ Hê thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý.

Ta có: 0IA IB

; 2OA OB OI

+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta có:

0; 3GA GB GC OA OB OC OG

+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có:

0; 4GA GB GC GD OA OB OC OD OG

+ Điều kiện hai vectơ cùng phương:a và ( 0) ! :b a k R b ka

2. Sự đồng phẳng của ba vectơ Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ , ,a b c

, trong đó a và b

không cùng phương. Khi đó:

, ,a b c

đồng phẳng ! m, n R: c ma nb

Cho ba vectơ , ,a b c

không đồng phẳng, x tuỳ ý.

Khi đó: ! m, n, p R: x ma nb pc

Ta có các kết quả

, , ,A B C D là bốn điểm đồng phẳng DA mDB nDC

, , ,A B C D là bốn điểm đồng phẳng khi và chỉ khi với mọi điểm O bất kì ta có OD xOA yOB zOC

trong đó 1x y z .

B. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1: Cho hình lăng trụ .ABC A B C , M là trung điểm của BB . Đặt CA a

, CB b

, AA c

. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. 12

AM b c a

. B. 12

AM a c b

. C. 12

AM a c b

. D. 12

AM b a c

.

Câu 2: Cho lăng trụ tam giác .ABC A B C có , ,AA a AB b AC c

. Hãy phân tích (biểu thị) vectơ

BC

qua các vectơ , ,a b c

.

A. BC a b c

B. BC a b c

C. BC a b c

D. BC a b c

.

Câu 3: Cho lăng trụ tam giác .ABC A B C có , ,AA a AB b AC c

. Hãy phân tích (biểu thị) vectơ

B C

qua các vectơ , ,a b c

.

A. .B C a b c

B. .B C a b c

C. .B C a b c

D. .B C a b c

Câu 4: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA a

; SB b

; SC c

; SD d


A. a c d b

. B. a b c d

. C. a d b c

. D. 0a b c d

.

19

Câu 5: Cho tứ diện ABCD . Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD . Đặt AB b

, AC c

,

AD d


A. 12

MP c d b

. B. 12

MP d b c

.

C. 12

MP c b d

. D. 12

MP c d b

.

Câu 6: Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD . Đặt x AB

; y AC

; z AD


A. 13

AG x y z

. B. 13

AG x y z

.

C. 23

AG x y z

. D. 23

AG x y z

.

Câu 7: Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa mãn 0GA GB GC GD

(G là trọng tâm của tứ diện). Gọi OG là giao điểm của GA và mp ( )BCD . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. 02GA G G

. B. 04GA G G

. C. 03GA GG

. D. 02GA G G

.

Câu 8: Cho ba vectơ , ,a b c

không đồng phẳng. Xét các vectơ 2 ; c; 3 2x a b y a b z b c

. Chọn

khẳng định đúng?

A. Ba vectơ ; ;x y z

đồng phẳng. B. Hai vectơ ;x a

cùng phương.

C. Hai vectơ ;x b

cùng phương. D. Ba vectơ ; ;x y z

đôi một cùng phương.

Câu 9: Cho hình hộp .ABCDA B C D . M là điểm trên AC sao cho 3AC MC . Lấy N trên đoạn C D sao cho xC D C N . Với giá trị nào của x thì //B 'MN D .

A. 23

x . B. 13

x . C. 14

x . D. 12

x .

Câu 10: Cho hình chóp .S ABC Lấy các điểm , ,A B C lần lượt thuộc các tia , ,SA SB SC sao cho

. , . , .SA a SA SB b SB SC c SC , trong đó , ,a b c là các số thay đổi. Tìm mối liên hệ giữa , ,a b c để mặt

phẳng A B C đi qua trọng tâm của tam giác ABC .

A. 3a b c . B. 4a b c . C. 2a b c . D. 1a b c . Gợi ý : Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Do G là trọng tâm của ABC nên 0 3GA GB GC SG SA SB SC

3 ' ' '' ' '

SA SB SCSG SA SB SCSA SB SC

' ' '3 3 3a b cSG SA SB SC

Mặt phẳng ( ' ' ')A B C đi qua trọng tâm G của tam giác ABC nên ', ', ',A B C G đồng phẳng nên

13 3 3a b c (xem lại phần lí thuyết phần 4 điểm đồng phẳng). Vậy chọn A

20

Câu 11: Cho hình chóp .S ABC , mặt phẳng cắt các tia , , ,SA SB SC SG (G là trọng tâm ABC ) lần lượt

tại các điểm ', ', ', 'A B C G .Ta có ' ' ' '

SA SB SC SGkSA SB SC SG

. Hỏi k bằng bao nhiêu?

A. 3 B. 4 C. 2 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn A. Do G là trọng tâm của ABC nên

0 3GA GB GC SG SA SB SC

3 ' ' '' ' '

''

SG SA SBSG SA SBSG SA SB

SC SCSC

Mặt khác ', ', ', 'A B C G đồng phẳng nên

3' ' ' '

SA SB SC SGSA SB SC SG

.

Câu 13: Cho hình chóp .S ABC có , ,SA a SB b SC c . Một mặt phẳng luôn đi qua trọng tâm của

tam giác ABC , cắt các cạnh , ,SA SB SC lần lượt tại ', ', 'A B C . Tìm giá trị nhỏ nhất của

2 2 2

1 1 1' ' 'SA SB SC .

A. 2 2 2

3a b c

B. 2 2 2

2a b c

C. 2 2 2

2a b c

D. 2 2 2

9a b c

Hướng dẫn giải Tương tự câu 11 ta chứng minh được

3 3' ' ' ' ' '

SA SB SC a b cSA SB SC SA SB SC

Áp dụng bất đẳng thức Bunnhiacopxki ta được

Ta có 2

2 2 22 2 2

1 1 1' ' '' ' '

a b ca b cSA SB SCSA SB SC

2 2 2 2 2 2

1 1 1 9' ' 'SA SB SC a b c

.

Câu 14: Cho tứ diện ABCD . Gọi ,I J lần lượt là trung điểm của AB và CD , G là trung điểm của IJ .

a) Giả sử .a IJ AC BD

thì giá trị của a là?

A. 2 B. 1 C. 1 D. 12

b) Cho các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

A. 0GA GB GC GD

B. 2IJGA GB GC GD

C. GA GB GC GD JI

D. 2GA GB GC GD JI

c) Xác định vị trí của M để MA MB MC MD

nhỏ nhất.

A. Trung điểm AB B. Trùng với G C. Trung điểm AC D. Trung điểm CD

G'

G

B'

C'

S

B

A

C

A'

21

CHỦ ĐỀ 4: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

DẠNG 1. TÍNH GÓC GIỮA HAI VECTƠ 1. Kiến thức cơ bản Tích vô hướng của hai vectơ Góc giữa hai vectơ trong không gian:

0 0, ( , ) (0 180 )AB u AC v u v BAC BAC

Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian: + Cho , 0u v

. Khi đó: . . .cos( , )u v u v u v

+ Với 0u

hoặc 0v

. Qui ước: . 0u v

+ . 0u v u v

Vậy: Để tính góc giữa hai vectơ ta tiến hành theo 2 phương pháp sau: Phương pháp 1. Dựng góc giữa hai vectơ đó bằng cách đưa về góc giữa hai vectơ có chung điểm đầu

Phương pháp 2. Sử dụng tính vô hướng .cos( ; ).

u vu vu v

2. Ví dụ minh họa

Câu 1: Cho hình lập phương .ABCD EFGH . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB

vàEG

? A. 90 B. 60 C. 45 D. 120

Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta có: //EG AC (do ACGE là hình chữ nhật)

, , 45AB EG AB AC BAC

Câu 2: Cho hình lập phương 1 1 1 1.ABCDABC D . Góc giữa AC

và 1A D

là

A. 045 . B. 030 . C. 060 . D. 0120 .

Hướng dẫn giải:

Vì 1 1AC AC

nên 1 1 1 1 1 1; ;AC A D AC A D DAC

Vì tam giác 1 1DAC đều nên 01 1 60DAC .

Vậy góc giữa AC và 1DA bằng 060 .

Câu 3: Cho hình chóp .S ABC có SA SB SC và ASB BSC CSA . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ

SA

và BC

? A. 0120 . B. 090 . C. 060 . D. 045 .

Hướng dẫn giải:

E

F

A

G

H

B C

D

22

Ta có

. . . .

. .cos . .cos 0

SABC SA SC SB SASC SASB

SASC ASC SASB ASB

0, 90SA BC

Câu 4 : xem ví dụ 2 SGK trang 96 DẠNG 2. TÍNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 1. Kiến thức cơ bản

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng: 0a

là VTCP của d nếu giá của a song song hoặc trùng với d. 2. Góc giữa hai đường thẳng:

a//a, b//b , ', 'a b a b Giả sử u là VTCP của a, v là VTCP của b, ( , )u v .

Khi đó: 0 0

0 0 0

0 90,

180 90 180khi

a bkhi

Nếu a//b hoặc a b thì 0, 0a b

Chú ý: 0 00 , 90a b

3. Hai đường thẳng vuông góc:

a b 0, 90a b

Giả sử u là VTCP của a, v là VTCP của b. Khi đó . 0a b u v . Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. Vậy: để tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian ta có phương pháp như sau Phương pháp: Để tính góc giữa hai đường thẳng 1 2,d d trong không gian ta có thể thực hiện theo hai cách

Cách 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng 1 2,d d bằng cách chọn một điểm O thích hợp ( O thường nằm trên một

trong hai đường thẳng).

Từ O dựng các đường thẳng ' '

1 2,d d lần lượt song song ( có thể tròng nếu O nằm trên một trong hai đường

thẳng) với 1d và 2d . Góc giữa hai đường thẳng ' '1 2,d d chính là góc giữa hai đường thẳng 1 2,d d .

Lưu ý 1: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giác 2 2 2

cos2

b c aAbc

.

Cách 2. Tìm hai vec tơ chỉ phương 1 2,u u

của hai đường thẳng 1 2,d d

d1

d2

d'2

d'1

O

23

Khi đó góc giữa hai đường thẳng 1 2,d d xác định bởi 1 2

1 2

1 2

.cos ,

u ud d

u u

.

Lưu ý 2: Để tính 1 2 1 2, ,u u u u

ta chọn ba vec tơ , ,a b c

không đồng phẳng mà có thể tính được độ dài

và góc giữa chúng,sau đó biểu thị các vec tơ 1 2,u u

qua các vec tơ , ,a b c

rồi thực hiện các tính toán

2. Ví dụ minh họa Câu 1: Cho hình chóp .S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và

BC . Số đo của góc ( , )IJ CD bằng A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 .

Hướng dẫn giải: Chọn C. Từ giả thiết ta có: // IJ SB (do IJ là đường trung bình của SAB ).

, ,IJ CD SB AB .

Mặt khác, ta lại có SAB đều, do đó

60

, 60 , 60

SBA

SB AB IJ CD

.

Câu 2: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a . Gọi

M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo của góc ( , )MN SC bằng: A. 45 B. 30 C. 90 D. 60

Hướng dẫn giải: Chọn C.

Ta có: 2AC a 2 2 2 22AC a SA SC

SAC vuông tại S .

Khi đó: 1. . 0 , 902

NM SC SASC NM SC

, 90MN SC

Câu 3: Cho hình lập phương 1 1 1 1.ABCDABC D . Chọn khẳng định sai?

A. Góc giữa AC và 1 1B D bằng 90 . B. Góc giữa 1 1B D và 1AA bằng 60 .

C. Góc giữa AD và 1BC bằng 45 . D. Góc giữa BD và 1 1AC bằng 90 .

J

I

OD

A B

C

S

24

Hướng dẫn giải: Chọn B.

Ta có: 1 1 1 1 1. . .AA B D BB BD BB BA BC

1 1. . 0BB BA BB BC

(vì 01, 90BB BA

và 0

1, 90BB BC

)

Do đó: 0 01 1 1 1 1 1, 90 , 90AA B D AA B D

Câu 4: Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC . Khi đó cos ,AB DM bằng

A. 22

. B. 36

. C. 12

. D. 32

.

Hướng dẫn giải: Chọn B Giả sử cạnh của tứ diện là a .

Ta có . .cos ,3. .

2

ABDM ABDMAB DMaAB DM a

Mặt khác

0 0

2 2 2

. . . . .cos 30 . .cos 60

3 3 1 3. . . . .2 2 2 4 2 4

ABDM AB AM AD ABAM AB AD ABAM ABAD

a a a aa a a

Do có os , 3c6

AB DM

. Suy ra cos , 36

AB DM .

Câu 5: Cho tứ diện ABCD có 3, IJ=

2aAB CD a ( ,I J lần lượt là trung điểm của BC và AD ). Số đo

góc giữa hai đường thẳng AB và CD là : A. 030 . B. 045 . C. 060 . D. 090 .

Hướng dẫn giải: Chọn C Gọi M là trung điểm của AC. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng góc giữa hai đường thẳng MI và MJ.

Tính được: 2 2 2IJco 1 2 . 2

sIMJ IM MJMI MJ

Từ đó suy ra số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là: 060 . 3. Bài tập vận dụng Câu 1: Cho hình lập phương . ' ' ' 'ABCD A B C D . Số đo góc giữa hai đường thẳng AC và 'A B bằng

A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 .

1A

1B

A

1C

1D

B C

D

25

Câu 2: Cho hình lập phương . ' ' ' 'ABCD A B C D . Số đo góc giữa hai đường thẳng DC và 'BA bằng A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 .

Câu 3: Cho hình lập phương . ' ' ' 'ABCD A B C D . Số đo góc giữa hai đường thẳng AC và ' 'B D bằng A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 .

Câu 4: Cho hình hộp .ABCDA B C D . Giả sử tam giác AB C và A DC đều có 3 góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A D là góc nào sau đây?

A. BDB . B. AB C . C. DB B . D. DA C . Câu 5: Cho tứ diện đều ABCD (Tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng

A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 .

Câu 6: Cho tứ diện ABCD với 03 , 60 ,2

AC AD CAB DAB CD AD . Gọi là góc giữa AB và CD

. Chọn khẳng định đúng ?

A. cos 3 4

. B. 060 . C. 030 . D. cos 1 4

.

Câu 7: Cho tứ diện ABCD với ,AB AC AB BD . Gọi ,P Q lần lượt là trung điểm của AB và CD . Góc

giữa PQ và AB là?

A. 090 . B. 060 . C. 030 . D. 045 . Câu 8: Cho hình chóp .S ABC có SA SB SC a và 2BC a . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC .

A. 0, 60AB SC B. 0, 45AB SC

C. 0, 30AB SC D. 0, 90AB SC

Câu 9: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi, SA AB và SA BC . a) Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC .

A. 0, 30BC SD B. 0, 45BC SD C. 0, 60BC SD D. 0, 50BC SD

b) Gọi ,I J lần lượt là các điểm thuộc SB và SD sao cho IJ BD . Tính góc giữa hai đường thẳng AC và IJ .

A. 0, 90IJ AC B. 0, 60IJ AC C. 0, 30IJ AC D. 0, 45IJ AC

Câu 10: Cho tứ diện ABCD . Gọi ,M N lần lượt là trung điểm các cạnh BC và AD . Cho biết

2AB CD a và 3MN a . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD .

A. 0, 30AB CD B. 0, 45AB CD

C. 0, 60AB CD D. 0, 90AB CD

2 3 lim 1 n B n 0 +∞

Documents

Transcript of 2 3 lim 1 n B n 0 +∞