01 espectro copia
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DEEE - ESPE Gonzalo F. Olmedo C. 1 Sistemas de Comunicaciones Dr. Gonzalo Olmedo [email protected] 2013
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DEEE - ESPE Gonzalo F. Olmedo C. 1
Sistemas de Comunicaciones
Dr. Gonzalo Olmedo
2013
DEEE - ESPE Gonzalo F. Olmedo C. 2
I. Espectro Electromagnetico
DEEE - ESPE Gonzalo F. Olmedo C. 3
Serie exponencial de Fourier
Se puede expresar cualquier funcion f(t) dada como suma discreta
de funciones exponenciales para (n = 0,±1,±2, ..., N) en el
intervalo t0 < t < t0 + T , donde !0 = 2!T.
f(t) =!!
n="!
Fnejn"0t (1)
para t0 < t < t0 + T , donde:
Fn =1
T
" t0+T
t0
f(t)e"jn"0t (2)
DEEE - ESPE Gonzalo F. Olmedo C. 4
Serie exponencial de Fourier
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
f(t)
f(t)
f(t)
t
t
t
N = 1
N = 5
N = 20
DEEE - ESPE Gonzalo F. Olmedo C. 5
Transformada de Fourier
T ! ":
F (f) =
"
!
"!
f(t)e"j2!ftdt (3)
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
f
t
f(t)
F(f)
DEEE - ESPE Gonzalo F. Olmedo C. 6
Senal Discreta
Perıodo de muestreo, Tm = 100 ms. Frecuencia de
muestreo=fm = 1Tm
= 10 Hz.
0 1 2 3 4 5 6 7 8−1
−0.5
0
0.5
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80−1
−0.5
0
0.5
1
n
f(n)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
2
f
t
f(t)
F(f)
DEEE - ESPE Gonzalo F. Olmedo C. 7
Teorema del Muestreo
Una senal limitada en banda que no contiene componentes
espectrales mayores que la frecuencia B Hz esta determinada en
forma unica por sus valores en intervalos uniformes menores a 12B
segundos.
t
x(t)
X(f)
#B B f
DEEE - ESPE Gonzalo F. Olmedo C. 8
Teorema del Muestreo
Considere xm(t) el resultado muestreado de la senal x(t) limitada
en frecuencia.
xm(t) = x(t)!!
k="!
"(t# kTm) (4)
=!!
k="!
x(kTm)"(t# kTm), (5)
donde Tm = 1fm
es el perıodo de muestreo y fm la frecuencia de
muestreo.
El objetivo es demostrar que x(t) puede ser recuperada a partir de
la senal muestreada xm(t).
DEEE - ESPE Gonzalo F. Olmedo C. 9
Teorema del Muestreo
"Tm=
!#
k="!
"(t# kTm) $ F { "Tm} = 1
Tm
!#
k="!
"$
f # kTm
%
t
t
Tm f
f
fm = 1Tm
xm(t) =!#
k="!
x(kTm)"(t# kTm) $ Xm(f) = 1Tm
!#
k="!
X(f # kfm)Tm
#fm #B 0 B fm 2fm
Xm(f) = X(f) % F
&
!!
k="!
"(t# kTm)
'
(6)
DEEE - ESPE Gonzalo F. Olmedo C. 10
Xm(f) = X(f) %1
Tm
!!
k="!
"
(
f #k
Tm
)
(7)
= X(f) %1
Tm
!!
k="!
" (f # kfm) (8)
=1
Tm
!!
k="!
X (f # kfm) (9)
Para que no exista superposicion del espectro de frecuencia, es
claro que el perıodo del muestreo Tm & 12B
DEEE - ESPE Gonzalo F. Olmedo C. 11
Teorema del Muestreo
Para recuperar la la senal x(t) se usa un filtro pasa bajos con
frecuencia de corte fm2 , usando la funcion Tmrect
$
ffm
%
.
X(f) = Xm(f)Tmrect
(
f
fm
)
(10)
x(t) = xm(t) % F
*
Tmrect
(
f
fm
)+
(11)
= x(t)!!
k="!
"(t# kTm) % Tmfmsinc (tfm) (12)
= x(t)!!
k="!
sinc
(
t# kTm
Tm
)
(13)
DEEE - ESPE Gonzalo F. Olmedo C. 12
Teorema del Muestreo
x(t) =!!
k="!
x(kTm)sinc
(
t# kTm
Tm
)
(14)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−20
−10
0
10
20
30
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
10
20
30
40
x(t)
X(f)
t
f
DEEE - ESPE Gonzalo F. Olmedo C. 13
Teorema del Muestreo
Para Tm = 50 ms, considerando un Tm = 10 ms de la senal original.
0 0.5 1 1.5−20−10
01020
0 0.5 1 1.5−20−10
01020
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
20
40
60
xm(t)
xm(t)
X(f)
t
t
f
DEEE - ESPE Gonzalo F. Olmedo C. 14
Teorema del Muestreo
0 0.5 1 1.5
−20
−10
0
10
20
0 0.5 1 1.5
−20
−10
0
10
20
x(t)
t
t
x(t)
DEEE - ESPE Gonzalo F. Olmedo C. 15
Teorema del Muestreo
Para Tm = 100 ms, considerando un Tm = 10 ms de la senal
original.
0 0.5 1 1.5−20−10
01020
0 0.5 1 1.5−20−10
01020
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
20
40
60
xm(t)
xm(t)
X(f)
t
t
f
DEEE - ESPE Gonzalo F. Olmedo C. 16
Teorema del Muestreo
0 0.5 1 1.5
−20
−10
0
10
20
0 0.5 1 1.5
−20
−10
0
10
20
x(t)
x(t)
t
t
DEEE - ESPE Gonzalo F. Olmedo C. 17
Teorema del Muestreo
0 0.5 1 1.5
−20
−10
0
10
20
0 0.5 1 1.5
−20
−10
0
10
20
0 0.5 1 1.5
−20
−10
0
10
20
x(t)
x(t)
x(t)
t
t
t
DEEE - ESPE Gonzalo F. Olmedo C. 18
Teorema del Muestreo
Para Tm = 200 ms, considerando un Tm = 10 ms de la senal
original.
0 0.5 1 1.5−20−10
01020
0 0.5 1 1.5−20−10
01020
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
20
40
60
xm(t)
xm(t)
X(f)
t
t
f
DEEE - ESPE Gonzalo F. Olmedo C. 19
Teorema del Muestreo
0 0.5 1 1.5
−20
−10
0
10
20
0 0.5 1 1.5
−20
−10
0
10
20
x(t)
x(t)
t
t
DEEE - ESPE Gonzalo F. Olmedo C. 20
Senal de Voz
fm = 8000 Hz
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1s
t
DEEE - ESPE Gonzalo F. Olmedo C. 21
Senal de Voz
0.6 0.605 0.61 0.615 0.62 0.625 0.63 0.635 0.64 0.645 0.65−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
s
t
DEEE - ESPE Gonzalo F. Olmedo C. 22
Senal de Voz
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2x 10−3
X(f)
f
DEEE - ESPE Gonzalo F. Olmedo C. 23
Senal de Voz
Espectrograma
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
t
Frecu
encia
DEEE - ESPE Gonzalo F. Olmedo C. 24
Longitud de onda
Distancia de propagacion en un ciclo
# =c
f, (15)
donde f es la frecuencia de la senal y c es la velocidad de la onda:
• Velocidad de la luz = 300000 km/s.
• Velocidad del sonido = 346 m/s.
DEEE - ESPE Gonzalo F. Olmedo C. 25
Espectro Electromagnetico
Frecuencia Designacion Abreviacion
30 - 300 Hz Extrema baja frecuencia ELF
300 - 3000 Hz Frecuencias de voz VF
3 - 30 kHz Muy baja frecuencia VLF
30 - 300 kHz Baja frecuencia LF
300 kHz - 3MHz Media frecuencia MF
3 - 30 MHz Alta frecuencia HF
30 - 300 MHz Muy alta frecuencia VHF
300 MHz a 3 GHz Ultra alta frecuencia UHF
3 - 30 GHz Super alta frecuencia SHF
30 - 300 GHz Extra alta frecuencia EHF
DEEE - ESPE Gonzalo F. Olmedo C. 26
Espectro Electromagnetico
A mayor frecuencia de una onda electromagnetica, mayor es la
energıa del foton a ella asociada y mayor la interaccion con el
material biologico.
