จ ำนวนจริง - RATH Center

จ ำนวนจรง

1 May 2019

สารบญ

จ ำนวนชนดตำงๆ ...................................................................................................................................................................... 1

สมบตกำรเทำกน ...................................................................................................................................................................... 5

สมบตกำรบวกและคณ ............................................................................................................................................................ 7

พหนำม ..................................................................................................................................................................................... 9

กำรแยกตวประกอบพหนำม ................................................................................................................................................. 13

สมกำรตวแปรเดยว ............................................................................................................................................................... 17

สมบตกำรไมเทำกน ............................................................................................................................................................... 25

ชวง......................................................................................................................................................................................... 28

อสมกำรตวแปรเดยว ............................................................................................................................................................. 30

คำสมบรณ ............................................................................................................................................................................. 38

สมกำร อสมกำร คำสมบรณ ................................................................................................................................................. 41

จ ำนวนจรง 1

จ ำนวนชนดตำงๆ จ ำนวนเตม (I) คอ จ ำนวนทลงตวเปนเลขเตมหนวย ไมมสวนทเปนเศษสวนหรอทศนยม

จ ำนวนเตม แบงเปน 3 กลม ไดแก จ ำนวนเตมบวก (I+) หรอ จ ำนวนนบ หรอ จ ำนวนธรรมชำต (N) ไดแก 1, 2, 3, ... จ ำนวนเตมศนย (I0) ไดแก 0

จ ำนวนเตมลบ (I−) ไดแก −1, −2, −3, ...

หมำยเหต: จ ำนวนเตมบวกทนอยทสด คอ 1 แตจะไมมจ ำนวนเตมบวกทมำกทสด

จ ำนวนเตมลบทมำกทสด คอ −1 แตจะไมมจ ำนวนเตมลบทนอยทสด

จ ำนวนตรรกยะ (Q) คอ จ ำนวนทเขยนในรป จ ำนวนเตมจ ำนวนเตม ได (เมอตวสวน ≠ 0)

จ ำนวนตรรกยะ ประกอบดวย

จ ำนวนเตม เพรำะเขยนเปน จ ำนวนเตม1

ได เชน 5 = 5

1 , −2 =

−2

1

เศษสวน ทอยในรป (หรอท ำใหอยในรป) จ ำนวนเตมจ ำนวนเตม ได (เมอตวสวน ≠ 0)

ทศนยม รจบ เพรำะเขยนเปน จ ำนวนเตมสบ รอย พน ได เชน 0.7 = 7

10 , 1.53 =

153

100

ทศนยม ไมรจบ ซ ำ เพรำะมสตรแปลงเปนเศษสวนได

เชน 0. 3 = 3

9 , 0. 326 =

326

999 , 0.12356 =

12356−12

99900=

12344

99900

จ ำนวนอตรรกยะ (Q′) คอ จ ำนวนทเขยนในรป จ ำนวนเตมจ ำนวนเตม ไมได ซงประกอบดวย ทศนยม ไมรจบ ไมซ ำ เชน 1.010010001… , 2.21452301520136455202…

พวกถอดรำกไมลงตว เชน √2 , √3 , √5 , √10 , …

คำคงทพเศษบำงตว เชน 𝜋 , 𝑒

หมำยเหต: 𝜋 ไมไดเทำกบ 22

7 หรอ 3.14 แต 𝜋 มคำประมำณ 22

7 หรอ 3.14

คำ 𝜋 จรงๆ มคำเทำกบ 3.141592653589793238462643383279502884197169399…

หมำยเหต2: ควรจ ำคำประมำณของ √2 และ √3 ใหได (√2 ~ 1.414 , √3 ~ 1.732)

จ ำนวนเตม (I)

เตมบวก (I+) เตมศนย (I0) เตมลบ (I−)



จ ำนวนตรรกยะ (Q)

เศษสวน

ทศนยม รจบ

ทศนยม ไมรจบ ซ ำ

2 จ ำนวนจรง

กำรบวกลบคณหำร ของจ ำนวนตรรกยะและอตรรกยะ จะไดผลลพธดงน จ ำนวนตรรกยะ บวกลบคณหำรกน ไดผลลพธเปนจ ำนวนตรรกยะเสมอ (เมอตวหำร ≠ 0) จ ำนวนอตรรกยะ บวกลบคณหำรกน มสทธเปน ตรรกยะ หรอ อตรรกยะ กได

เชน √2 × √3 = √6 → อต × อต = อต

√2 × √8 = √16 = 4 → อต × อต = ต ตรรกยะ บวกลบ อตรรกยะ ได อตรรกยะ เสมอ

ตรรกยะ คณหำร อตรรกยะ ได อตรรกยะ เสมอ ยกเวน กรณทจ ำนวนตรรกยะนนเปนศนย

จ ำนวนจรง (R) คอ จ ำนวนทมอยจรงๆ (บนเสนจ ำนวน) ซงประกอบดวย จ ำนวนตรรกยะ และจ ำนวนอตรรกยะ ดงรป

และเรำสำมำรถเตมเครองหมำย + หรอ − ไปบนหว R หรอ Q ได

R+ หมำยถง จ ำนวนจรงทเปนบวก R− หมำยถง จ ำนวนจรงทเปนลบ

Q+ หมำยถง จ ำนวนตรรกยะทเปนบวก Q− หมำยถง จ ำนวนตรรกยะทเปนลบ

หมำยเหต: จ ำนวนทกจ ำนวนทเรำรจกในชนน จะเปนจ ำนวนจรงทงหมด

จ ำนวนทไมใชจ ำนวนจรง ไดแก รำกทคของจ ำนวนลบ เชน √−1 ซงจะไดเรยนในเรองจ ำนวนเชงซอน

แบบฝกหด

1. ขอใดถกตอง 1. −1 เปนจ ำนวนจรง 2. √2 เปนจ ำนวนตรรกยะ

3. 5 เปนจ ำนวนตรรกยะ 4. 𝜋

2 เปนจ ำนวนตรรกยะ

5. 30

6 เปนจ ำนวนนบ 6. 0 เปนจ ำนวนอตรรกยะ

7. √25 เปนจ ำนวนอตรรกยะ 8. 22

7 เปนจ ำนวนอตรรกยะ

9. 12.45254 เปนจ ำนวนตรรกยะ 10. 1.212121… เปนจ ำนวนอตรรกยะ

11. 2

5 เปนทงจ ำนวนตรรกยะ และจ ำนวนจรง 12. 0 เปนทงจ ำนวนเตมบวก และจ ำนวนเตมลบ

จ ำนวนอตรรกยะ (Q′) ทศนยม ไมรจบ ไมซ ำ

พวกถอดรำกไมลงตว

คำคงทพเศษ บำงตว เชน 𝜋

จ ำนวนจรง (R)



จ ำนวนตรรกยะ (Q)

เศษสวน

ทศนยม รจบ

ทศนยม ไมรจบ ซ ำ


13. 1 เปนทงจ ำนวนนบ จ ำนวนเตม จ ำนวนตรรกยะ และจ ำนวนจรง

14. 1 + √2 เปนจ ำนวนอตรรกยะ 15. √3 − √2 เปนจ ำนวนตรรกยะ

16. √2 ∙ √18 เปนจ ำนวนอตรรกยะ 17. 1+√2

3 เปนจ ำนวนอตรรกยะ

18. จ ำนวนนบบำงจ ำนวน เปนจ ำนวนอตรรกยะ 19. จ ำนวนอตรรกยะทกจ ำนวน เปนจ ำนวนจรง

20. จ ำนวนตรรกยะบำงจ ำนวน เปนจ ำนวนเตม 21. ทศนยมซ ำทกตว เขยนในรป จ ำนวนเตมจ ำนวมเตม ได

2. จงหำคำของจ ำนวนตอไปน (ถำม) 1. จ ำนวนเตมลบ ทมำกทสด 2. จ ำนวนเตม ทนอยทสด

3. จ ำนวนเตมบวก ทนอยทสด ทมำกกวำ 3 4. จ ำนวนเตมลบ ทนอยทสด ทมำกกวำ −1

5. จ ำนวนเตมลบ ทมำกทสด ทนอยกวำ 8 6. จ ำนวนเตมบวก ทมำกทสด ทมำกกวำ 5

7. จ ำนวนตรรกยะ ทมำกทสด ทนอยกวำ 2 8. จ ำนวนอตรรกยะ ทมำกทสด ทนอยกวำ 2

3. ให 𝐴 = √2 − 1.4 , 𝐵 = 𝜋 − 3.1 และ 𝐶 = 5

3− 1.63 จงเรยงล ำดบ 𝐴, 𝐵, 𝐶 จำกนอยไปมำก

[O-NET 56/3]

4. ขอใดตอไปนมจ ำนวนตรรกยะอยเพยงสองจ ำนวน [O-NET 56/2] 1. −√4 , 𝜋 −

22

7 , 1.010010001 2. √2

3 , √8 , 𝜋2

3. 𝜋 + 1 , √16 , 0.101001000100001… 4. 9

11 , 1.11111… , √8

3

5. 0.8 , √8 − √2 , √33


5. ขอใดถกตองบำง [O-NET 53/3] 1. จ ำนวนทเปนทศนยมไมรจบบำงจ ำนวนเปนจ ำนวนอตรรกยะ

2. จ ำนวนทเปนทศนยมไมรจบบำงจ ำนวนเปนจ ำนวนตรรกยะ

6. ให 𝑎 และ 𝑏 เปนจ ำนวนตรรกยะทแตกตำงกน ให 𝑐 และ 𝑑 เปนจ ำนวนอตรรกยะทแตกตำงกน

ขอสรปใดตอไปนถกตองบำง [O-NET 52/5]

1. 𝑎 − 𝑏 เปนจ ำนวนตรรกยะ 2. 𝑐 − 𝑑 เปนจ ำนวนอตรรกยะ

7. คำของ (√3 − 1)−2

เปนจรงตำมขอใดตอไปนบำง [O-NET 54/4] 1. เปนจ ำนวนอตรรกยะ 2. เปนจ ำนวนทนอยกวำ 1.8

8. ขอสรปใดตอไปนถกตองบำง [O-NET 52/1] 1. มจ ำนวนตรรกยะทนอยทสดทมำกกวำ 0 2. มจ ำนวนอตรรกยะทนอยทสดทมำกกวำ 0


สมบตกำรเทำกน

จ ำนวนจรง มสมบตเกยวกบกำรเทำกนอย 5 ขอ ดงน

สมบตกำรสะทอน 𝑎 = 𝑎 เสมอ

สมบตกำรสมมำตร ถำ 𝑎 = 𝑏 แลว 𝑏 = 𝑎

สมบตกำรถำยทอด ถำ 𝑎 = 𝑏 และ 𝑏 = 𝑐 แลว 𝑎 = 𝑐

สมบตกำรบวกดวยตวเทำ ถำ 𝑎 = 𝑏 แลว 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐

สมบตกำรคณดวยตวเทำ ถำ 𝑎 = 𝑏 แลว 𝑎𝑐 = 𝑏𝑐

ทผำนมำ เรำไดใชสมบตเหลำนโดยไมรตว

เชน ในกำรแกสมกำร


1. จงบอกชอสมบตทท ำใหกำรเทำกนในแตละขอตอไปนเปนจรง

1. 3 = 3 2. ถำ 𝑥 − 1 = 5 แลว 𝑥 − 1 + 1 = 5 + 1

3. ถำ 𝑧 = −1 แลว −1 = 𝑧 4. ถำ 𝑥 = 𝑦 + 1 และ 𝑦 + 1 = 𝑧 + 2

แลว 𝑥 = 𝑧 + 2

5. ถำ 𝑥 = 6 แลว 3𝑥 = 18 6. ถำ 𝑥 + 1 = 2𝑎 + 𝑏 และ 2𝑎 + 𝑏 = 5

แลว 𝑥 + 1 = 5

7. ถำ 𝑥 + 2 = 6 8. ถำ 𝑥2 = 3 แลว 𝑥 = 6

แลว 𝑥 + 2 + (−2) = 6 + (−2)

9. ถำ 𝑥 + 3 = 4 แลว 𝑥 = 1 10. 7 × (9 − 1) = 7 × (9 − 1)

2𝑥 − 3 = 7 2𝑥 − 3 + 3 = 7 + 3 2𝑥 = 10

2𝑥 ∙1

2 = 10 ∙

1

2

𝑥 = 5

บวกดวยตวเทำ

คณดวยตวเทำ


11. ถำ 3(𝑥 + 1) = 6 แลว 𝑥 + 1 = 2 12. ถำ 𝑥 + 𝑦 = 𝑥 แลว 𝑥 = 𝑥 + 𝑦

2. จงเตมสมบตทใชในกำรแกสมกำรตอไปน

5 − 3𝑥 = 23 5 = 23 + 3𝑥 −18 = 3𝑥

−6 = 𝑥

𝑥 = −6

1. ........................ 2. ........................ 3. ........................ 4. ........................


สมบตกำรบวกและคณ

จ ำนวนจรง มสมบตเกยวกบกำรบวกและกำรคณอย 11 ขอ ดงน

จ ำนวนทไมใชจ ำนวนจรง อำจมหรอไมมสมบตปด กได

เชน จ ำนวนเตม มสมบตปดกำรบวก เพรำะ ถำเรำเอำจ ำนวนเตมมำบวกกน จะยงคงไดผลลพธเปนจ ำนวนเตมอย จ ำนวนค มสมบตปดกำรคณ เพรำะ ถำเรำเอำจ ำนวนคมำคณกน จะยงคงไดผลลพธเปนจ ำนวนคอย จ ำนวนอตรรกยะ ไมมสมบตปดกำรคณ เพรำะ มจ ำนวนอตรรกยะบำงคคณกนแลวไมใชอตรรกยะ

เชน √3 × √3 = √9 = 3

“เอกลกษณ” หมำยถง ตวเลขทไมมคำ ไมวำเอำไปท ำกบอะไรกไดคำเทำเดม

เอกลกษณกำรบวก คอ 0 เพรำะ 0 + 𝑎 = 𝑎 + 0 = 𝑎

เอกลกษณกำรคณ คอ 1 เพรำะ 1 × 𝑎 = 𝑎 × 1 = 𝑎

“อนเวอรส” หมำยถง ตวตรงขำม ทจะหกลำงคำใหหำยไป กลำยเปนเอกลกษณ

เชน อนเวอรสกำรบวก ของ 2 คอ −2 เพรำะ 2 + (−2) = (−2) + 2 = 0

อนเวอรสกำรบวก ของ −7 คอ 7 เพรำะ (−7) + 7 = 7 + (−7) = 0

อนเวอรสกำรบวก ของ √3

2 คอ −

√3

2 เพรำะ √3

2+ (−

√3

2) = (−

√3

2) +

√3

2 = 0

อนเวอรสกำรบวก ของ 0 คอ 0 เพรำะ 0 + 0 = 0 + 0 = 0

อนเวอรสกำรคณ ของ 2 คอ 1

2 เพรำะ 2 ×

1

2 =

1

2× 2 = 1

อนเวอรสกำรคณ ของ √3

2 คอ 2

√3 เพรำะ √3

2×

2

√3 =

2

√3×

√3

2 = 1

อนเวอรสกำรคณ ของ −2

3 คอ −

3

2 เพรำะ (−

2

3) × (−

3

2) = (−

3

2) × (−

2

3) = 1

อนเวอรสกำรคณ ของ 0 จะหำไมได เพรำะ ไมมอะไรเลย ทคณกบ 0 แลวได 1

กำรบวก กำรคณ

สมบตปด จ ำนวนจรงบวกกน ยงคงไดผลลพธเปนจ ำนวนจรง

จ ำนวนจรงคณกน ยงคงไดผลลพธ

เปนจ ำนวนจรง สมบตสลบท 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 𝑎 × 𝑏 = 𝑏 × 𝑎

สมบตเปลยนกลม (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) (𝑎 × 𝑏) × 𝑐 = 𝑎 × (𝑏 × 𝑐) สมบตกำรมเอกลกษณ มเอกลกษณกำรบวก คอ 0 มเอกลกษณกำรคณ คอ 1 สมบตกำรมอนเวอรส จ ำนวนจรงทกตว มอนเวอรสกำรบวก

ทเปนจ ำนวนจรง จ ำนวนจรงทกตว (ยกเวน 0) มอนเวอรส

กำรคณทเปนจ ำนวนจรง สมบตกำรแจกแจง 𝑎 × (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 × 𝑏) + (𝑎 × 𝑐)



1. จ ำนวนตอไปน มสมบตปด กำรบวก และ / หรอ กำรคณ หรอไม 1. จ ำนวนค 2. จ ำนวนค

3. จ ำนวนนบ 4. จ ำนวนเตม

5. จ ำนวนเตมลบ 6. จ ำนวนทหำรดวย 3 ลงตว

7. จ ำนวนตรรกยะ 8. จ ำนวนอตรรกยะ

2. ขอใดตอไปน ถกตอง 1. 𝑥 + 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 เปนจรงตำมสมบตกำรสลบทกำรบวก

2. 𝑥 ∙ 2 = 2 ∙ 𝑥 เปนจรงตำมสมบตกำรสลบทกำรคณ

3. 2 + (3 + 4) = (3 + 4) + 2 เปนจรงตำมสมบตกำรเปลยนกลมกำรบวก

4. จ ำนวนจรงบำงจ ำนวน ไมมอนเวอรสกำรคณ

5. ถำ 𝑎 เปนอนเวอรสกำรบวกของ 𝑏 แลว จะไดวำ 𝑏 เปนอนเวอรสกำรบวกของ 𝑎 ดวย

6. 𝑥 + (𝑦 ∙ 𝑧) = (𝑥 + 𝑦)(𝑦 + 𝑧) เปนจรงตำมสมบตกำรแจกแจง

3. จงเตมค ำตอบทถกตอง 1. อนเวอรสกำรบวกของ 8 คอ 2. อนเวอรสกำรคณของ 2 คอ 3. อนเวอรสกำรบวกของ 1

2 คอ 4. อนเวอรสกำรคณของ −2 คอ

5. อนเวอรสกำรบวกของ 0 คอ 6. อนเวอรสกำรบวกของ −1 คอ

7. อนเวอรสกำรคณของ 1 คอ 8. อนเวอรสกำรคณของ √2 คอ

9. อนเวอรสกำรบวกของ 1

√2 คอ 10. อนเวอรสกำรคณของ 𝑥

𝑥+1 คอ

4. ขอสรปใดตอไปนถกตองบำง [O-NET 52/4]

1. สมบตกำรมอนเวอรสกำรบวกของจ ำนวนจรงกลำววำ

ส ำหรบจ ำนวนจรง 𝑎 จะมจ ำนวนจรง 𝑏 ท 𝑏 + 𝑎 = 0 = 𝑎 + 𝑏 2. สมบตกำรมอนเวอรสกำรคณของจ ำนวนจรงกลำววำ

ส ำหรบจ ำนวนจรง 𝑎 จะมจ ำนวนจรง 𝑏 ท 𝑏𝑎 = 1 = 𝑎𝑏


พหนำม หวขอน จะทบทวนค ำศพททควรทรำบในเรองพหนำม

เอกนำม คอ กำรคณกนของ ตวเลข กบ ตวแปรยกก ำลง เตมบวก หรอ ศนย

เชน 2𝑥5 , −3𝑎4𝑏2 , √5𝑥3𝑦2𝑧 , 𝑥2 , 6 , −𝑥 , 2−1𝑥𝑦 , 0

“สมประสทธ” คอ สวนทเปนตวเลข , “ดกรของเอกนำม” คอ ผลบวกของเลขชก ำลงของตวแปร

บวกลบเอกนำม บวกไดเฉพำะเอกนำมทมชดตวแปรเหมอนกน โดยใหเอำสมประสทธมำบวกกน

เชน 2𝑥5 + 3𝑥5 = 5𝑥5 3𝑎2𝑏 + 𝑎2𝑏 = 4𝑎2𝑏

2𝑎2𝑏 − 𝑎𝑏2 = 2𝑎2𝑏 − 𝑎𝑏2 (บวกลบกนไมได เพรำะชดตวแปรไมเหมอนกน)

3

2𝑥𝑦𝑧2 − 𝑧2𝑥𝑦 = (

3

2− 1) 𝑥𝑦𝑧2 = (

3−2

2) 𝑥𝑦𝑧2 =

1

2𝑥𝑦𝑧2

คณหำรเอกนำม ใหเอำสมประสทธ คณหำร สมประสทธ และเอำตวแปร คณหำร ตวแปร ไดเลย

เชน 2𝑎2𝑏 × 3𝑎𝑏𝑐 = 6𝑎3𝑏2𝑐 3𝑥𝑦2𝑧 × 𝑎2𝑏𝑐 = 3𝑎2𝑏𝑐𝑥𝑦2𝑧

1

2𝑥2 ×

4

3𝑥2 =

2

3𝑥4

6𝑥3𝑦𝑧

2𝑥𝑧3 =3𝑥2𝑦

𝑧2

พหนำม คอ กำรบวกกนของเอกนำม ตงแต 1 ตวขนไป

เชน 2𝑥5 + 4𝑥 + 5 , 3𝑎2𝑏 + 𝑏2 − 2 , 6 − 3𝑥2 , 2−3

เรำจะเรยกเอกนำมแตละตวทมำบวกกนเปนพหนำม วำ “พจน” เชน 2𝑥5 + 4𝑥 + 5 ม 3 พจน โดยพจนแรกคอ 2𝑥5 , พจนทสองคอ 4𝑥 , พจนทสำมคอ 5

ดกรของพหนำม คอ ดกรของเอกนำมทดกรสงสดแคพจนเดยว

เรำนยมแทน พหนำม ดวยสญลกษณ 𝑃(𝑥) , 𝑄(𝑥) , 𝑅(𝑥)

และสญลกษณ 𝑃(𝑐) จะหมำยถง คำของ 𝑃(𝑥) เมอแทน 𝑥 ดวย 𝑐 เชน ถำให 𝑃(𝑥) = 2𝑥5 + 4𝑥 + 5 จะได 𝑃(1) = 2(1)5 + 4(1) + 5 = 11

𝑃(−2) = 2(−2)5 + 4(−2) + 5 = −67 ถำให 𝑄(𝑥) = 6 − 3𝑥2 จะได 𝑄(0) = 6 − 3(0)2 = 6

𝑄(1) = 6 − 3(1)2 = 3

เอกนำม 2𝑥5 −3𝑎4𝑏2 √5𝑥3𝑦2𝑧 𝑥2 6 −𝑥 2−1𝑥𝑦 0

สมประสทธ 2 −3 √5 1 6 −1 2−1 0

ดกร 5 6 6 2 0 1 2 หำไมได

พหนำม 2𝑥5 + 4𝑥 + 5 3𝑎2𝑏 + 𝑏2 − 2 6 − 3𝑥2 2−3

ดกร 5 3 2 0


บวกลบพหนำม ใหบวกลบเฉพำะเอกนำมทบวกลบกนได ถำบวกลบกนไมไดกใหปลอยไวเหมอนเดม

เชน (2𝑥5 + 4𝑥 + 5) + (𝑥5 − 𝑥2 − 2𝑥) = 3𝑥5 − 𝑥2 + 2𝑥 + 5

(𝑥2 − 2𝑥 − 1) − (2𝑥2 − 𝑥 − 2) = 𝑥2 − 2𝑥 − 1 − 2𝑥2 + 𝑥 + 2

= −𝑥2 − 𝑥 + 1

คณพหนำม ใหใชหลกกำรกระจำย

เชน (2𝑥2 + 4𝑥 + 5)(𝑥2 − 2) = 2𝑥4 − 4𝑥2 + 4𝑥3 − 8𝑥 + 5𝑥2 − 10

= 2𝑥4 + 4𝑥3 + 𝑥2 − 8𝑥 − 10

สงเกตวำ ดกรของผลลพธ จะเทำกบ ผลรวมดกรของพหนำมทมำคณกน เสมอ

หำรพหนำม ใหตงหำรยำว

เชน (𝑥2 − 2𝑥 + 5) ÷ (𝑥 + 2)

โดยจะได ตวตง = (ตวหำร × ผลหำร) + เศษ

นนคอ 𝑥2 − 2𝑥 + 5 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 4) + 13

สงเกตวำ ดกรของผลลพธ จะเทำกบ ดกรตวตง − ดกรตวหำร เสมอ

กำรเทยบสมประสทธ ท ำไดเมอ พหนำมมคำเทำกน ไมวำจะแทน 𝑥 ดวยอะไร เชน ถำ 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 2𝑥3 − 3𝑥2 + 5 ส ำหรบ ทกๆ 𝑥

เรำจะไดทนทวำ 𝑎 = 2 , 𝑏 = −3 , 𝑐 = 0 , 𝑑 = 5


1. ก ำหนดให 𝑃(𝑥) = 𝑥2 − 1 , 𝑄(𝑥) = 3𝑥 + 2 , 𝑅(𝑥) = 𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥) จงหำคำของ 𝑅(2)

2. ถำ 𝑃(𝑥) หำรดวย 2𝑥 − 1 ลงตว ไดผลลพธ 𝑥 + 2 แลว จงหำ 𝑃(𝑥)

3. ถำ 𝑃(𝑥) หำรดวย 𝑥2 − 1 ไดผลลพธ 2𝑥 + 3 เศษ 𝑥 − 1 แลว จงหำ 𝑃(𝑥)

𝑥 − 4 𝑥 + 2 𝑥2 − 2𝑥 + 5

𝑥2 + 2𝑥 −4𝑥 + 5 −4𝑥 − 8

13


4. ถำ 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (2𝑥 + 1)(2𝑥 − 3) แลว จงหำคำของ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐

5. ถำ (𝑎𝑥 + 2)(𝑥 − 𝑏) = 3𝑥2 + 𝑐𝑥 + 10 แลว จงหำคำของ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐

6. ถำ (𝑎𝑥 + 𝑏)2 = 4𝑥2 − 12𝑥 + 𝑐 และ 𝑎 > 0 แลว จงหำคำของ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐

7. ถำ (𝑃(𝑥))2

= 𝑥2 + 6𝑥 + 𝑐 แลว จงหำคำ 𝑐


8. ก ำหนดให 𝑃(𝑥) = 2𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 3 ถำ 𝑃(𝑥) = (𝑥2 + 1)𝑄(𝑥) แลว จงหำคำ 𝑃(1)

9. ถำ 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 และ 𝑑 เปนจ ำนวนจรงซง (𝑥 − 1)2(𝑎𝑥 + 𝑏) = 𝑐𝑥3 + 𝑑𝑥 + 4 ทกจ ำนวนจรง 𝑥 แลว 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 เทำกบเทำใด [O-NET 54/25]


กำรแยกตวประกอบพหนำม

“กำรแยกตวประกอบ” คอ กำร “เขยนใหอยในรปผลคณ” ของพหนำมยอยๆ

เชน 𝑥2 + 2𝑥 − 3 = (𝑥 + 3)(𝑥 − 1) เปนตน เทคนคกำรแยกตวประกอบ จะมหลำยวธ ดงน

1. ดงตวรวม ดวำแตละพจน มอะไรบำงทมเหมอนๆกน แลวดงสงทมในทกๆพจนออกมำ เชน 3𝑎2𝑏𝑐 − 12𝑎2𝑏2 + 6𝑎𝑏2𝑐 = (3𝑎𝑏)(𝑎𝑐 − 4𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐)

2𝑥4 − 4𝑥3 + 3𝑥2 = (𝑥2)(2𝑥2 − 4𝑥 + 3)

2. จดหมดงตวรวม

คอกำรจดกลมเปนกลมยอยๆ ทลกษณะคลำยกน ดงตวรวมแตละกลมยอย ใหเกดตวรวมในทกกลมยอย

เชน 𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 − 6 = (𝑥3 − 2𝑥2) + (3𝑥 − 6)

= 𝑥2(𝑥 − 2) + 3(𝑥 − 2)

= (𝑥2 + 3)(𝑥 − 2)

𝑥3 − 𝑥2 − √3𝑥 + √3 = (𝑥3 − 𝑥2) − (√3𝑥 − √3)

= 𝑥2(𝑥 − 1) − √3(𝑥 − 1)

= (𝑥2 − √3)(𝑥 − 1)

3. ใชสตร

เชน 𝑥2 − 1 = (𝑥)2 − (1)2 = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)

4𝑥2 − 3 = (2𝑥)2 − (√3)2

= (2𝑥 − √3)(2𝑥 + √3)

8𝑥3 − 27 = (2𝑥)3 − (3)3 = (2𝑥 − 3)(4𝑥2 + 6𝑥 + 9) 64𝑥6 − 1 = (8𝑥3)2 − (1)2 = (8𝑥3 − 1)(8𝑥3 + 1)

= ((2𝑥)3 − 13)((2𝑥)3 + 13)

= (2𝑥 − 1)(4𝑥2 + 2𝑥 + 1)(2𝑥 + 1)(4𝑥2 − 2𝑥 + 1)

4. กรณพหนำมอยในรป 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

เชน 𝑥2 + 5𝑥 + 6 = (𝑥 + 2)(𝑥 + 3) 𝑥2 + 7𝑥 + 6 = (𝑥 + 1)(𝑥 + 6)

น2 − ล2 = (น − ล)(น + ล) น3 − ล3 = (น − ล)(น2 + นล + ล2) น3 + ล3 = (น + ล)(น2 − นล + ล2)

น2 + 2นล + ล2 = (น + ล)2 น2 − 2นล + ล2 = (น − ล)2 น3 + 3น2ล + 3นล2 + ล3 = (น + ล)3 น3 − 3น2ล + 3นล2 − ล3 = (น − ล)3

𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

(𝑥 + ? )(𝑥 + ? )

+ × หำตวเลข 2 ตว ท คณกนได 𝑐

บวกกนได 𝑏


𝑥2 + 2𝑥 − 8 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 4) 𝑎2 − 2𝑎 − 8 = (𝑎 − 4)(𝑎 + 2)

𝑥2 − 4𝑥 + 3 = (𝑥 − 1)(𝑥 − 3) 𝑥4 − 6𝑥2 + 8 = (𝑥2 − 4)(𝑥2 − 2)

5. กรณพหนำมอยในรป 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

เชน 2𝑥2 + 7𝑥 + 6 = (2𝑥 + 3)(𝑥 + 2) 6𝑥2 − 17𝑥 − 3 = (6𝑥 + 1)(𝑥 − 3)

4𝑥2 + 4𝑥 − 3 = (2𝑥 − 1)(2𝑥 + 3) 4𝑥2 − 11𝑥 + 6 = (4𝑥 − 3)(𝑥 − 2)

6 − 𝑛 − 2𝑛2 = (3 − 2𝑛)(2 + 𝑛) 2𝑥4 − 5𝑥2 + 2 = (2𝑥2 − 1)(𝑥2 − 2)

6. ท ำเปนก ำลงสองสมบรณ

6.1. เตมตวหลง

เชน

6.1. เตมตวกลำง

แตก 𝑎 เปน น1 × น2

แตก 𝑐 เปน ล1 × ล2

เชควำ (ใกล × ใกล) + (ไกล × ไกล) ได 𝑏 ไหม

ถำไมได ใหกลบไปแตก น1 , น2 , ล1 , ล2 ใหม จนกวำจะได

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

(น1 𝑥 + ล1)(น2 𝑥 + ล2)

𝑏

𝑥2 − 6𝑥 − 7 = 𝑥2 − 2(3)(𝑥) + 32 − 32 − 7 น2 ± 2นล + ล2 = (น ± ล)2 = (𝑥 − 3)2 − 32 − 7 = (𝑥 − 3)2 − 16 = (𝑥 − 3)2 − 42 น2 − ล2 = (น − ล)(น + ล) = (𝑥 − 3 − 4)(𝑥 − 3 + 4) = (𝑥 − 7)(𝑥 + 1)

÷ 2

𝑥2 + 2𝑥 − 5 = 𝑥2 + 2(1)𝑥 + 12 − 12 − 5 = (𝑥 + 1)2 − 12 − 5 = (𝑥 + 1)2 − 6

= (𝑥 + 1 − √6)(𝑥 + 1 + √6)

𝑥2 + 3𝑥 + 1 = 𝑥2 + 2 (3

2) 𝑥 + (

3

2)

2

− (3

2)

2

+ 1

= (𝑥 +3

2)

2

− (3

2)

2

+ 1

= (𝑥 +3

2)

2

−5

4

= (𝑥 +3

2−

√5

2) (𝑥 +

3

2+

√5

2)

2𝑥2 − 7𝑥 − 1 = 2 (𝑥2 −7

2𝑥 −

1

2)

= 2 (𝑥2 − 2 (7

4) 𝑥 + (

7

4)

2

− (7

4)

2

−1

2)

= 2 ((𝑥 −7

4)

2

−57

16)

= 2 (𝑥 −7

4−

√57

4) (𝑥 −

7

4+

√57

4)

𝑥2 − 4𝑥 + 7 = 𝑥2 − 2(2)𝑥 + 22 − 22 + 7 = (𝑥 − 2)2 − 22 + 7 = (𝑥 − 2)2 + 3

= แยกไมได (เขำสตร น2 − ล2 ไมได)

𝑥4 + 𝑥2 + 1 = 𝑥4 + 2𝑥2 + 12 − 2𝑥2 + 𝑥2 = (𝑥2 + 1)2 − 𝑥2 = (𝑥2 − 𝑥 + 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)

เตม



1. จงแยกตวประกอบของพหนำมตอไปน 1. 𝑥2 + 𝑥 − 12 2. 𝑥2 − 6𝑥 − 16

3. 3𝑥2 + 𝑥 − 24 4. 4𝑥2 − 19𝑥 + 12

5. 6𝑥2 − 3𝑥 − 18 6. 𝑥4 − 5𝑥3 + 6𝑥2

7. 3𝑚3𝑛2 − 24𝑛2 8. 2𝑥3 + 𝑥2 − 8𝑥 − 4

9. 𝑚4 − 20𝑚2 + 64 10. 𝑎6 + 7𝑎3 − 8


11. 𝑥3 − 3𝑥2 − 6𝑥 + 8 12. 𝑥2 + 5√2𝑥 + 12

2. จงแยกตวประกอบของพหนำมตอไปน ดวยวธท ำเปนก ำลงสองสมบรณ 1. 𝑥2 + 2𝑥 − 1

2. 𝑥2 − 4𝑥 + 1


สมกำรตวแปรเดยว

กำรแกสมกำร คอ กำรหำคำทเมอแทนในตวแปรแลวท ำใหสมกำรเปนจรง

เรำจะเรยกคำทแทนในตวแปรแลวท ำใหสมกำรเปนจรง วำ “ค ำตอบของสมกำร” หรอ “รำกของสมกำร”

เนองจำกค ำตอบทท ำใหสมกำรเปนจรง อำจมไดหลำยตว บำงทเรำจะใชค ำวำ “เซตค ำตอบ” ของสมกำร “เซตค ำตอบ” ของสมกำร กคอ เซตของคำทแทนในตวแปรแลวท ำใหสมกำรเปนจรงนนเอง

เชน เซตค ำตอบของสมกำร 𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0 คอ {1, 2} เพรำะเมอแทน 1 กบ 2 ลงไปใน 𝑥 จะท ำใหสมกำรเปนจรง

กำรแกสมกำรดกร 1 ใหจดแบงขำง ใหตวแปรอยฝงหนง ตวเลขอยอกฝงหนง ยำยขำงใหฝงตวแปรเหลอ 𝑥 เพยงตวเดยว

เชน

กำรแกสมกำรดกร 2 ใหจดฝงหนงใหเปนศนย ใหสมกำรอยในรป 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

จำกนน แยกตวประกอบ 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 แลวจบใหแตละวงเลบเทำกบ 0 เพอหำค ำตอบ

ในกรณทแยกตวประกอบไมได ใหใชสตร

เชน

สตรหำจ ำนวนค ำตอบ

สมกำร 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 จะมค ำตอบไดไมเกน 2 ค ำตอบทแตกตำงกน

เชน สมกำร 𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0 จะม 2 ค ำตอบ เพรำะ (−3)2 − 4(1)(2) = 9 − 8 = 1 > 0

4𝑥 + 5 = 2𝑥 − 13 4𝑥 − 2𝑥 = −13 − 5 2𝑥 = −18

𝑥 = −18

2 = −9

5 + 2𝑥2 = 9 − 4𝑥 − 𝑥2 3𝑥2 + 4𝑥 − 4 = 0 (3𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = 0

𝑥 = 2

3 , −2

3𝑥 − 2 = 0

𝑥 = 2

3

𝑥 + 2 = 0 𝑥 = −2

หรอ

5 + 2𝑥2 = 9 − 4𝑥 − 𝑥2 3𝑥2 + 4𝑥 − 4 = 0

𝑥 = −4±√42−4(3)(−4)

2(3)

= −4±√64

6 =

−4±8

6

= 4

6 ,

−12

6

= 2

3 , −2

𝑎 = 3 𝑏 = 4 𝑐 = −4

𝑥 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

o ถำ 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0 สมกำรน จะม 2 ค ำตอบ

o ถำ 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0 สมกำรน จะม 1 ค ำตอบ

o ถำ 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0 สมกำรน จะไมมค ำตอบ


สตรผลบวกรำก - ผลคณรำก

ถำสมกำร 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ม 2 ค ำตอบทแตกตำงกนแลว

เชน สมกำร 𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0 จะมค ำตอบทบวกกนได − (−3)

1= 3 และคณกนได 2

1= 2

ตวอยำง ถำสมกำร 2𝑥2 − 4𝑥 + 𝑚 = 0 มเพยงค ำตอบเดยวแลว จงหำคำ 𝑚 วธท ำ สมกำร 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 จะม 1 ค ำตอบ เมอ 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0

จะเหนวำขอน 𝑎 = 2 , 𝑏 = −4 , 𝑐 = 𝑚

ดงนน (−4)2 − 4(2)(𝑚) = 0

16 − 8𝑚 = 0

2 = 𝑚 #

ตวอยำง ถำสมกำร 2𝑥2 − 𝑘𝑥 + 6 = 0 มค ำตอบหนงคอ 32 จงหำอกค ำตอบหนง

วธท ำ ขอน ท ำไดหลำยวธ ดงน วธท 1 โจทยบอกวำ 3

2 เปนค ำตอบหนงของสมกำร

ดงนนถำแทน 32 ลงไปท 𝑥 จะตองท ำใหสมกำรเปนจรง

ซงจะท ำหำคำ 𝑘 ออกมำได

จำกนน แทนคำ 𝑘 กลบเขำไปในสมกำร แลวหำค ำตอบทเหลอ

จะไดอกค ำตอบของสมกำรน คอ 2 #

วธท 2 เรำจะท ำยอนกลบจำกค ำตอบ 32

โดยสบกลบไปหำสำเหตของค ำตอบน

จะเหนวำ 2𝑥2 − 𝑘𝑥 + 6 ตองแยกตวประกอบไดเปน (2𝑥 − 3)(? 𝑥 + ? )

ดงนน อกตวประกอบตองเปน 𝑥 − 2

นนคอ อกค ำตอบคอ 2 นนเอง #

วธท 3 จำกสตรผลบวกรำก - ผลคณรำก

ค ำตอบของสมกำร 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 จะบวกกนได − 𝑏

𝑎 และคณกนได 𝑐

𝑎

ดงนน ค ำตอบของสมกำร 2𝑥2 − 𝑘𝑥 + 6 = 0 จะคณกนได 62 = 3

2 (3

2)

2

− 𝑘 (3

2) + 6 = 0

9

2−

3𝑘

2+ 6 = 0

9 − 3𝑘 + 12 = 0 21 = 3𝑘 𝑘 = 7

𝑥 = 3

2 , ?

(2𝑥 − 3)(? 𝑥 + ? ) = 0 2𝑥2 − 𝑘𝑥 + 6 = 0

2𝑥2 − 7𝑥 + 6 = 0 (2𝑥 − 3)(𝑥 − 2) = 0

𝑥 = 3

2 , 2

2𝑥2 − 𝑘𝑥 + 6

(2𝑥 − 3)(? 𝑥 + ? )

× ×

1 −2

o ทง 2 ค ำตอบจะบวกกนได − 𝑏

𝑎

o ทง 2 ค ำตอบจะคณกนได 𝑐𝑎


เนองจำกค ำตอบหนงคอ 32

ดงนน อกค ำตอบตองคณกบ 32 แลวได 3

นนคอ จะไดอกค ำตอบคอ 2 #

กำรแกสมกำรดกรสงกวำ 2 จะท ำแบบเดยวกน คอใหจดรปใหฝงหนงเปนศนย

แยกตวประกอบใหถงทสด ใหแตละวงเลบเปนดกร 1 หรอ ดกร 2

จบใหแตละวงเลบเทำกบ 0 เพอหำค ำตอบ

ตวอยำง จงหำเซตค ำตอบของสมกำร 𝑥3 − 3𝑥2 − 4𝑥 + 12 = 0 วธท ำ จดทำงขวำใหเปน 0 แลวแยกตวประกอบ

ดงนน เซตค ำตอบ คอ {2, −2, 3} #

สงทเปนปญหำมำกส ำหรบนกเรยนสวนใหญกคอเรอง “โจทยสมกำร” ในเรองน โจทยจะไมใหสมกำรมำตรงๆ แตจะสรำงเรองรำวมำเปนฉำกๆ แลวถำมสงทโจทยตองกำร

ขนตอนในกำรท ำโจทยสมกำร มดงน 1. สมมตให 𝑥 แทนปรมำณอะไรบำงอยำง

สวนใหญจะให 𝑥 แทนสงทโจทยถำม เพอใหเมอแกหำคำ 𝑥 ไดจะไดตอบไดเลย

หลกส ำคญคอ ให 𝑥 แทนสงทเปนพนฐำนของกำรหำปรมำณตำงๆทโจทยกลำวถง

2. อำนโจทย แลวเขยนปรมำณตำงๆทโจทยกลำวถง ในรปของ 𝑥

3. จบควำมสมพนธของปรมำณตำงๆทเขยนออกมำในขนตอนท 2 แลวสรำงสมกำร 4. แกสมกำร หำคำ 𝑥 ตดคำ 𝑥 ทใชไมไดทงไป (เชน ควำมยำว เปนเลขตดลบไมได , จ ำนวนคน เปนทศนยมไมได)

แลวน ำคำ 𝑥 ไปค ำนวณหำสงทโจทยถำม

ตวอยำง ทดนแปลงหนง มดำนยำว ยำวกวำสองเทำของดำนกวำงอย 3 เมตร ถำทดนแปลงนมพนท 90 ตำรำงเมตร จงหำวำทดนแปลงน กวำงและยำว กเมตร วธท ำ 1. สมมต 𝑥

เรำจะให 𝑥 แทนดำนกวำง นนคอ ใหทดนแปลงนกวำง 𝑥 เมตร 2. เขยนปรมำณตำงๆทโจทยกลำวถง ในรปของ 𝑥

“สองเทำของดำนกวำง” จะเทำกบ 2𝑥 เมตร ดงนน ดำนยำว ตองยำวกวำ 2𝑥 อย 3 เมตร ดงนน ทดนแปลงนยำว 2𝑥 + 3 เมตร ดงนน ทดนแปลงน มพนท = กวำง × ยำว = (𝑥)(2𝑥 + 3) ตำรำงเมตร

3. จบควำมสมพนธ สรำงสมกำร โจทยบอกวำทดนแปลงน มพนท 90 ตำรำงเมตร ดงนน สมกำรคอ (𝑥)(2𝑥 + 3) = 90

3

2𝑥 = 3

𝑥 = 3 ×2

3 = 2

𝑥2(𝑥 − 3) − 4(𝑥 − 3) = 0

(𝑥2 − 4)(𝑥 − 3) = 0

(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑥 − 3) = 0

𝑥 = 2, −2, 3


4. แกสมกำร แลวตอบ

ได 𝑥 = −15

2 กบ 6

แตควำมกวำง เปนเลขตดลบไมได ดงนน เหลอ 6 คำเดยว นนคอ ทดนกวำง = 𝑥 = 6 เมตร และยำว = 2𝑥 + 3 = 2(6) + 3 = 15 เมตร #

แบบฝกหด 1. จงหำค ำตอบของสมกำรตอไปน

1. 𝑥2 − 5𝑥 + 4 = 0 2. 4𝑥2 − 3𝑥 = 9

2

3. (𝑥 − 3)(𝑥 − 5) = 11 − 4𝑥 4. 𝑥3 − 2𝑥2 − 𝑥 + 2 = 0

5. 𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0 6. 𝑥2 + 4𝑥 + 1 = 0

2. จงพจำรณำวำสมกำรตอไปน มค ำตอบทแตกตำงกนกค ำตอบ พรอมทงหำผลบวกและผลคณของค ำตอบนน 1. 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 2. 𝑥2 = 9

(𝑥)(2𝑥 + 3) = 90 2𝑥2 + 3𝑥 = 90 2𝑥2 + 3𝑥 − 90 = 0 (2𝑥 + 15)(𝑥 − 6) = 0

𝑥 = −15

2 , 6


3. 𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0 4. 2𝑥2 + 3𝑥 − 6 = 0

5. 𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 0 6. 𝑥2 + 1 = 0

3. ถำสมกำร 𝑎𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0 มค ำตอบหนงคอ 12 จงหำอกค ำตอบหนง

4. ถำสมกำร 𝑥2 − 𝑘𝑥 + 9 = 0 มรำกเพยง 1 รำกแลว จงหำคำ 𝑘

5. สมกำรในขอใดตอไปน มค ำตอบทเปนจ ำนวนจรงมำกกวำ 2 ค ำตอบ [O-NET 51/6]

1. (𝑥 − 2)2 + 1 = 0 2. (𝑥2 + 2)(𝑥2 − 1) = 0

3. (𝑥 − 1)2(𝑥2 + 2) = 0 4. (𝑥2 − 1)(𝑥 + 2)2 = 0


6. ผลบวกของรำกทงหมดของสมกำร 𝑥−1

𝑥+2+ 𝑥 = 1 เทำกบเทำใด [O-NET 57/9]

7. ถำสมกำร (𝑥2 + 1)(2𝑥2 − 6𝑥 + 𝑐) = 0 มรำกทเปนจ ำนวนจรงเพยง 1 รำก คำของ 𝑐 จะอยในชวงใดตอไปน [O-NET 54/7]

1. (0 , 3) 2. (3 , 6) 3. (6 , 9) 4. (9 , 12)

8. ถำ 34 เปนผลเฉลยหนงของสมกำร 4𝑥2 + 𝑏𝑥 − 6 = 0 เมอ 𝑏 เปนจ ำนวนจรงแลว อกผลเฉลยหนงของสมกำรนม

คำเทำใด [O-NET 53/6]

9. ถำ 𝑥 = −1

2 เปนรำกของสมกำร 𝑎𝑥2 + 3𝑥 − 1 = 0

แลว รำกอกรำกหนงของสมกำรน มคำเทำใด [O-NET 50/6]


10. ตองกำรลอมรวรอบทดนรปสเหลยมผนผำซงมพนท 65 ตำรำงวำ โดยดำนยำวของทดนยำวกวำสองเทำของดำนกวำงอย 3 วำ จะตองใชรวทมควำมยำวกวำ [O-NET 52/21]

11. ถำรปสเหลยมผนผำมดำนยำว ยำวกวำ ดำนกวำงอย 3 ฟต และเสนแทยงมมยำวกวำดำนกวำงอย 7 ฟต

แลว เสนรอบรปของรปสเหลยมนยำวกฟต [O-NET 56/11]

12. รปสำมเหลยมมมฉำกรปหนง มพนท 600 ตำรำงเซนตเมตร ถำดำนประกอบมมฉำกดำนหนงยำวเปน 75% ของดำนประกอบมมฉำกอกดำนหนงแลว เสนรอบรปสำมเหลยมมมฉำกรปน ยำวกเซนตเมตร [O-NET 53/14]


13. โรงพมพแหงหนงคดคำจำงในกำรพมพแผนพบแยกเปน 2 สวนคอ สวนทหนงเปนคำเรยงพมพ ซงไมขนกบจ ำนวนแผนพบทพมพ กบสวนทสองเปนคำพมพ ซงขนอยกบจ ำนวนแผนพบทพมพ โดยโรงพมพเสนอรำคำดงน

ถำสงพมพ 100 ใบ จะคดคำจำงรวมทงหมดเปนเงน 800 บำท

และ ถำสงพมพ 200 ใบ จะคดคำจำงรวมทงหมดเปนเงน 1,100 บำท

โรงพมพคดคำเรยงพมพกบำท [O-NET 56/35]

14. หองประชมแหงหนงจดทนงเปนแถวโดยน ำโตะมำเรยงตอกนเปนแถว แถวละ 5 ตว หลงจำกจดแลวไดทนงทงหมด 60 ทนง ถำจ ำนวนแถวนอยกวำจ ำนวนทนงในแตละแถวอย 4 หองประชมนมโตะทงหมดกตว [O-NET 57/38]

15. แมคำน ำเมลดมะมวงหมพำนต 1 กโลกรม ถวลสง 3 กโลกรม และเมลดฟกทอง 4 กโลกรม มำผสมกน แลวแบงใสถง ถงละ 100 กรม ถำแมคำซอเมลดมะมวงหมพำนต ถวลสง และเมลดฟกทองมำในรำคำกโลกรมละ 250 บำท 50 บำท และ 100 บำท ตำมล ำดบแลว แมคำจะตองขำยเมลดพชผสมถงละ 100 กรมน ในรำคำกบำท จงจะไดก ำไร 20 % เมอขำยหมด [O-NET 51/37]


สมบตกำรไมเทำกน

เมอกอน เรำเรยนสมบตกำรเทำกนมำแลว ครำวนมำเรยนสมบตกำรไมเทำกนบำง

สมบตกำรถำยทอด ถำ 𝑎 < 𝑏 และ 𝑏 < 𝑐 แลว 𝑎 < 𝑐

สมบตกำรบวกดวยตวเทำ ถำ 𝑎 < 𝑏 แลว 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐

สมบตกำรคณดวยตวเทำ

o ถำคณดวยเลขบวก ไดเหมอนปกต ถำ 𝑎 < 𝑏 แลว 5𝑎 < 5𝑏

o ถำคณดวยเลขลบ ตองกลบเครองหมำย ถำ 𝑎 < 𝑏 แลว −5𝑎 > −5𝑏

สงทตองระวงคอ หำม คณทงสองขำง จนกวำจะรวำตวทมำคณเปนบวกหรอลบ เพรำะไมรวำตองกลบเครองหมำยหรอไม

เรำสำมำรถน ำอสมกำรมำบวกกนได

กลำวคอ ถำ 𝑎 < 𝑏 และ 𝑐 < 𝑑 แลว เรำสำมำรถสรปไดวำ 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑑

แตเรำไมสำมำรถน ำอสมกำรมำลบกนได

เพรำะ กำรลบ แฝงไวดวยกำรคณดวยเลขลบ กลำวคอ 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏) ท ำใหตองกลบ > ↔ <

ดงนน ถำ 𝑎 < 𝑏 และ 𝑐 < 𝑑 แลว เรำไมสำมำรถสรปไดวำ 𝑎 − 𝑐 < 𝑏 − 𝑑

ถำอยำกจะลบอสมกำร ใหแบงเปน 2 ขน คอ คณ −1 กอน แลวคอยเอำอสมกำรมำบวกกน

ตวอยำง ก ำหนดให 6 < 𝑎 < 15 และ 1 < 𝑏 < 4 จงหำคำทเปนไปไดของ 𝑎 − 𝑏

วธท ำ เรำไมสำมำรถน ำอสมกำรมำลบกนได ถำจะหำ 𝑎 − 𝑏 ตองคณ −1 แลวน ำอสมกำรมำบวกกน

ดงนน คำทเปนไปไดของ 𝑎 − 𝑏 คอ 2 < 𝑎 − 𝑏 < 14 #

กำรน ำอสมกำรมำคณหรอหำร กน ท ำไดเมอมทงสองอสมกำรเปนคำบวก

กลำวคอ ถำ 0 < 𝑎 < 𝑏 และ 0 < 𝑐 < 𝑑 แลว เรำสำมำรถสรปไดวำ 𝑎𝑐 < 𝑏𝑑

กำรน ำอสมกำรมำหำรกน ตองแบงท ำเปน 2 ขน คอ กลบเศษเปนสวนกอน แลวคอยเอำอสมกำรมำคณกน

กลำวคอ ถำ 0 < 𝑎 < 𝑏 และ 0 < 𝑐 < 𝑑 แลว หำมสรปวำ 𝑎𝑐

<𝑏

𝑑

6 < 𝑎 < 15 −4 < −𝑏 < −1

2 < 𝑎 − 𝑏 < 14

6 < 𝑎 < 15 1 < 𝑏 < 4

5 < 𝑎 − 𝑏 < 11

(หำมท ำแบบน)

−1 > −𝑏 > −4

0 < 𝑎 < 𝑏 0 < 𝑐 < 𝑑

𝑎

𝑐 <

𝑏

𝑑

(หำมท ำแบบน)

0 < 𝑎 < 𝑏

0 < 1

𝑑 <

1

𝑐

𝑎

𝑑 <

𝑏

𝑐


โจทยยอดนยมในเรองน คอ โจทยขอใดถกขอใดผด

สงทหำมลม คอ กฎทเกยวกบกำรคณหำรจ ำนวนมำก จะใชไมไดกบเลขลบ

ดงนน กอนจะตอบวำขอไหนถก ลองแทนทงเลขบวกและเลขลบ ลงไปใหคลมหลำยๆกรณดกอน

แบบฝกหด 1. ขอใดถกตอง 1. ถำ 𝑎 < 𝑏 แลว 𝑎𝑏 < 𝑏2 2. ถำ 𝑎 < 𝑏 แลว 1

𝑏 <

1

𝑎

3. ถำ 0 < 𝑎 < 𝑏 แลว 1𝑏

< 1

𝑎 4. ถำ 𝑎 < 𝑏 < 0 แลว 1

𝑏 <

1

𝑎

5. ถำ 𝑎 < 𝑏 แลว 𝑎2 < 𝑏2 6. ถำ 𝑎 < 𝑏 แลว 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐

7. ถำ 0 < 𝑎 < 𝑏 แลว 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐 8. ถำ 𝑎 < 𝑏 < 0 แลว 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐

9. ถำ 𝑎 < 𝑏 และ 𝑐 > 0 แลว 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐 10. ถำ 𝑎 < 𝑏 และ 𝑐 < 𝑑 แลว 𝑎 − 𝑐 < 𝑏 − 𝑑

11. ถำ 𝑎 < 𝑏 และ 𝑐 < 𝑑 แลว 𝑎𝑐 < 𝑏𝑑

12. ถำ 𝑎 ≠ 𝑏 และ 𝑏 ≠ 𝑐 แลว 𝑎 ≠ 𝑐

13. ถำ 6 < 𝑎 < 10 และ 2 < 𝑏 < 4 แลว 4 < 𝑎 − 𝑏 < 6

2. ก ำหนดให 6 < 𝑎 < 12 และ 2 < 𝑏 < 3 จงหำวำจ ำนวนตอไปน มคำอยระหวำงจ ำนวนใด 1. 𝑎 + 𝑏 2. 𝑎 − 𝑏

3. 𝑎𝑏 4. 𝑎

𝑏

5. 2𝑎 − 3𝑏


3. ให 𝑎, 𝑏 และ 𝑐 เปนจ ำนวนจรงใดๆ ขอใดถกตองบำง [O-NET 56/1]

1. ถำ 𝑎𝑏 = 𝑎𝑐 แลวจะไดวำ 𝑏 = 𝑐

2. ถำ 𝑎 < 𝑏 แลวจะไดวำ 𝑎2 < 𝑏2

3. ถำ 𝑎 < 𝑏 และ 𝑏 < 𝑐 แลวจะไดวำ 𝑎𝑏 < 𝑏𝑐

4. ก ำหนดให 𝑠, 𝑡, 𝑢 และ 𝑣 เปนจ ำนวนจรง ซง 𝑠 < 𝑡 และ 𝑢 < 𝑣 ขอใดถกตองบำง [O-NET 53/4] 1. 𝑠 − 𝑢 < 𝑡 − 𝑣 2. 𝑠 − 𝑣 < 𝑡 − 𝑢

5. ก ำหนดใหคำประมำณทถกตองถงทศนยมต ำแหนงท 3 ของ √3 และ √5 คอ 1.732 และ 2.236 ตำมล ำดบ ขอสรปใดตอไปนถกตองบำง [O-NET 52/3]

1. 2.235 + 1.731 ≤ √5 + √3 ≤ 2.237 + 1.733

2. 2.235 − 1.731 ≤ √5 − √3 ≤ 2.237 − 1.733

6. ให 𝑎 = √18 − √12 และ 𝑏 = √75 − √50 ขอใดถกตองบำง [O-NET 57/3] 1. 𝑎 และ 𝑏 เปนจ ำนวนอตรรกยะ

2. 3𝑎 < 2𝑏

3. 𝑎 + 𝑏 < 2


ชวง “ชวง” คอ เซตของจ ำนวนทกจ ำนวนทมคำ ตงแต / ระหวำง จ ำนวนทระบ โดยจะมระบบสญลกษณ ดงน

เชน [1, 5] ทกจ ำนวนตงแต 1 ถง 5 (รวม 1 กบ 5 ดวย) { 𝑥 | 1 ≤ 𝑥 ≤ 5 }

[−4 , 3) ทกจ ำนวนตงแต −4 ถง 3 (รวม −4 แตไมเอำ 3) { 𝑥 | −4 ≤ 𝑥 < 3 }

(2, ∞) ทกจ ำนวนทมำกกวำ 2 (ไมรวม 2) { 𝑥 | 2 < 𝑥 }

(−∞, −2] ทกจ ำนวนตงแต −2 ลงไป (รวม −2 ดวย) { 𝑥 | 𝑥 ≤ −2 }

นอกจำกน เรำยงใชแผนภำพเสนจ ำนวน เพอแสดงชวง ไดดวย

เชน

เนองจำกชวง เปน “เซต” ของจ ำนวน ดงนน เรำจะใชเครองหมำย ∈ , ⊂ , ∪ , ∩ , − , ‘ ไดเหมอนเรองเซต

ในกรณทโจทยมควำมซบซอน เรำอำจวำดรปเสนจ ำนวน เพอชวยคด เชน 2 ∈ (0, 5) 6 ∉ (−∞, 2]

{2} ⊂ (0, 5) (1, 3] ⊂ (−∞, 3]

(1, 5] ∪ (2, 6) = (1, 6)

(1, 5] − (2, 6) = (1, 2]

(1, 5] ∩ (2, 6) = (2, 5]

(−∞, 2] − {0} = (−∞, 0) ∪ (0, 2] (2, ∞)’ = (−∞, 2]

{1}’ = (−∞, 1) ∪ (1, ∞)


1. จงหำผลลพธของชวงตอไปน

1. (1, 10) ∪ (−1, 2] 2. (−∞, 2) ∪ (−1, 0]

ไมรวม 𝑎 ไมรวม 𝑏

รวม 𝑎 ดวย

จดเรมตน จดสนสด

ถำไมมจดเรมตน ใหใช (−∞, ____

ถำไมมจดสนสด ใหใช ____ , ∞)

[ (

] )

𝑎 , 𝑏 รวม 𝑏 ดวย

[−4, 3)

(2, ∞)

0 2 3 4 5 1 −4 −3 −2 −1 −5

[1, 5]

(−∞, −2]

รวมจดนนดวย

ไมรวมจดตรงนน

(1, 5]

2 5 6 1

(2, 6)


3. (−3, 3) ∩ (−1, 1] 4. (−∞, −2) ∩ (1, ∞)

5. ( −1

2 , 2) ∪ ( −

1

3 , 3) ∪ ( −

1

4 , 4) 6. ( −

1

2 , 2) ∩ ( −

1

3 , 3) ∩ ( −

1

4 , 4)

7. (−∞, 5) − (−1, 5] 8. [2, ∞) − (−1, 2)

9. [−8, 8) − [−1, 1) 10. [5, 8)’

2. จงเขยนชวงทสอดคลองกบเงอนไขตอไปน

1. −1 ≤ 𝑥 < 9 2. 𝑥 > 1

3. 𝑥 ≤ −3 4. 𝑥 > −1 และ 𝑥 ≤ 1

5. 𝑥 < −2 หรอ 𝑥 > 2 6. 𝑥 > −2 หรอ 𝑥 < 2

7. 𝑥 ≠ 2 8. 𝑥 ≥ −4 และ 𝑥 ≠ 2


อสมกำรตวแปรเดยว

กำรแกอสมกำร คอ กำรหำคำทเมอแทนในตวแปรแลวท ำใหอสมกำรเปนจรง

อสมกำร จะตำงจำก สมกำร ตรงท มค ำตอบเยอะแยะไปหมด ทแทนแลวอสมกำรเปนจรง

เชน อสมกำร 3𝑥 ≥ 6 จะเหนวำ แทน 𝑥 ดวย 10 กท ำใหอสมกำรเปนจรง แทน 𝑥 ดวย 55 กท ำใหอสมกำรเปนจรง แทน 𝑥 ดวย 2 กท ำใหอสมกำรเปนจรง แทน 𝑥 ดวย 2.5 กท ำใหอสมกำรเปนจรง ดงนน ค ำตอบของอสมกำรนคอ “ทกจ ำนวนตงแต 2 ขนไป”

ในกำรแกอสมกำร สงทตองระวงคอ เมอคณหรอหำรทง 2 ขำงดวยเลขลบ ตองกลบ > เปน < และ ≥ เปน ≤ กำรยำยขำงกดวย ถำยำยเลขลบ จำกคณไปเปนหำร (หรอจำกหำรไปเปนคณ) กตองกลบเครองหมำย เหมอนกน

เชน

แต

กำรแกอสมกำรดกร 1 ใชหลกเดยวกบเรองสมกำร แคตองระวงตอนยำยเลขลบแบบคณหำร เชน

ในกรณท แตละพจนในอสมกำรตดกนแลว “𝑥 หำยหมด” ใหดตวเลขทเหลอ วำท ำใหประโยคเปนจรงหรอไม ถำตวเลขทเหลอท ำใหอสมกำรเปนจรง อสมกำรนจะมค ำตอบเปนอะไรกได เซตค ำตอบคอ (−∞, ∞)

ถำตวเลขทเหลอท ำใหอสมกำรเปนเทจ อสมกำรนจะไมมค ำตอบ เซตค ำตอบคอ ∅

เชน

บำงท โจทยอำจน ำอสมกำรหลำยๆทอนมำตอกน เชน 2𝑥 − 4 < 2 − 𝑥 < 2𝑥 + 14 ในกรณน เรำจะใชหลก บวกลบคณหำร “ทกทอน” ดวยตวเทำ เพอรวม 𝑥 ไปไวทเดยว

เชน

2𝑥 + 3 ≥ 4𝑥 − 5 2𝑥 − 4𝑥 ≥ −5 − 3 −2𝑥 ≥ −8

𝑥 ≤ −8

−2

𝑥 ≤ 4

−3𝑥 < 6

𝑥 > 6

−3

−𝑥

2 ≤ 5

𝑥 ≥ (5)(−2)

𝑥 > 3 −2𝑥 < (3)(−2)

𝑥 − 2 > 8 𝑥 > 8 + 2

ยำยแบบ บวก ↔ ลบ

ไมตองเปลยนเครองหมำย

𝑥+2

𝑥 > 5

𝑥 + 2 ? 5𝑥 หำมท ำ! เพรำะไมรวำ 𝑥 เปนบวกหรอลบ

−4𝑥 < −8

−𝑥 < −8

4

ไมตองกลบเครองหมำย

เพรำะยำย 4 ซงเปนบวก

ดงนน เซตค ำตอบคอ (−∞, 4]

กลบ ≥ เปน ≤ ดวย

ดงนน เซตค ำตอบคอ (−4, 2)

2𝑥 − 4 < 2 − 𝑥 < 2𝑥 + 14 2𝑥 − 4 − 2𝑥 < 2 − 𝑥 − 2𝑥 < 2𝑥 + 14 − 2𝑥 −4 < 2 − 3𝑥 < 14 −4 − 2 < 2 − 3𝑥 − 2 < 14 − 2 −6 < −3𝑥 < 12

−6

−3 >

−3𝑥

−3 >

12

−3

2 > 𝑥 > −4

ลบ 2𝑥 ตลอดทกทอน

ลบ 2 ตลอดทกทอน

หำร −3 ตลอดทกทอน (กลบเครองหมำยดวย)

𝑥 − 5 ≤ 𝑥 − 3

−5 ≤ −3 จรง เซตค ำตอบ คอ (−∞,∞)

4 − 2𝑥 > −2𝑥 + 5

4 > 5 ไมจรง เซตค ำตอบ คอ ∅


อกวธทจะแกอสมกำรหลำยทอน คอ แยกอสมกำรออกเปนอสมกำรยอยๆ แลวเอำค ำตอบทกค ำตอบมำหำสวนรวม เชน

แบบฝกหด 1. จงแกอสมกำรตอไปน

1. −3 < 2𝑥 − 1 ≤ 3 2. −1 ≤ 1 −4+2𝑥

3≤ 3

3. 𝑥 − 1 ≤ 2𝑥 + 1 < 5 4. 𝑥 − 2 < 1 − 2𝑥 < 𝑥 + 4

𝑥 > −4

2 −4

𝑥 < 2

ดงนน เซตค ำตอบ คอ (−4, 2)

2𝑥 − 4 < 2 − 𝑥 < 2𝑥 + 14

2𝑥 − 4 < 2 − 𝑥 2𝑥 + 𝑥 < 2 + 4 3𝑥 < 6 𝑥 < 2

2 − 𝑥 < 2𝑥 + 14 −𝑥 − 2𝑥 < 14 − 2 −3𝑥 < 12 𝑥 > −4

และ


กำรแกอสมกำรตงแตดกร 2 ขนไป จะท ำคลำยๆกบเรองสมกำร คอใหจดฝงหนงเปน 0

อกฝงใหแยกตวประกอบ ใหอยในรปกำรคณ “หรอหำร” กนของวงเลบของ 𝑥 แลวจบใหแตละวงเลบเปน 0 แกหำคำ 𝑥

ถำเปนเมอกอนในเรองสมกำร เรำจะน ำคำ 𝑥 ทไดไปตอบ แตในเรองอสมกำร เรำจะน ำคำ 𝑥 ทไดไปพลอตบนเสนจ ำนวน

โดย คำ 𝑥 ทได จะแบงเสนจ ำนวนออกเปนหลำยๆชองๆ จำกนน ชองขวำสด ใหใสเครองหมำย + ลงไป และในชองทำงซำยถดๆมำ ใหใสเครองหมำย − , + , − , + , … สลบไปเรอยๆจนครบ ถำเครองหมำยของอสมกำรคอ > 0 ใหน ำชวงทมเครองหมำย + ไปตอบ

ถำเครองหมำยของอสมกำรคอ < 0 ใหน ำชวงทมเครองหมำย − ไปตอบ

เชน

แบบผกหด

2. จงแกอสมกำรตอไปน 1. 𝑥2 − 5𝑥 + 6 < 0 2. 𝑥2 + 7𝑥 + 12 > 0

3. 𝑥2 − 4 > 0 4. 1

𝑥+2 <

1

𝑥+1

𝑥2 − 4𝑥 − 5 > 0 (𝑥 + 1)(𝑥 − 5) > 0

เซตค ำตอบ คอ (−∞, −1) ∪ (5, ∞)

−1 5

+ − +

𝑥2 + 𝑥 − 6 < 0 (𝑥 − 2)(𝑥 + 3) < 0

+ − +

เซตค ำตอบ คอ (−3, 2)

−3 2

(𝑥−2)

(𝑥+3) < 0

+ − +

เซตค ำตอบ คอ (−3, 2)

−3 2

− + − +

(𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 + 3) < 0

เซตค ำตอบ คอ (−∞, −3) ∪ (−1, 2)

−1 2 −3

+ − + − +

(𝑥+1)(𝑥−2)

(𝑥+3)(𝑥−5) > 0

เซตค ำตอบ คอ (−∞, −3) ∪ (−1, 2) ∪ (5, ∞)

2 5 −1 −3


ในกรณทเปน ≥ หรอ ≤ ใหท ำเหมอนเดม แตใหรวมจดบนเสนจ ำนวนไปในค ำตอบดวย

พดงำยๆคอ ใหใช จดทบ แทนทจะเปนจดกลวง เหมอนกอน ยกเวน ตวทมำจำก “สวน” หำมใชจดทบ เชน


3. จงแกอสมกำรตอไปน 1. 2𝑥2 − 3𝑥 − 2 ≤ 0 2. 6𝑥2 + 5𝑥 − 1 ≥ 0

3. 𝑥(2𝑥 − 1) ≥ 15 4. 3𝑥3 + 2𝑥2 − 3𝑥 − 2 ≤ 0

5. 3𝑥−5

𝑥+1 ≥ 0 6. 3𝑥−5

𝑥+1 ≥ 1

𝑥2 + 𝑥 − 6 ≤ 0 (𝑥 − 2)(𝑥 + 3) ≤ 0

เซตค ำตอบ คอ [−3, 2]

−3 2

+ − + + − + − +

(𝑥−2)(𝑥+3)

(𝑥+1)(𝑥−5) ≥ 0

เซตค ำตอบ คอ (−∞, −3] ∪ (−1, 2] ∪ (5, ∞)

2 5 −1 −3


ในกรณทม (วงเลบ)ยกก ำลงค อย ตอนทสลบ + − + … ใหไมตองสลบตรงจดทมำจำก (วงเลบ)ยกก ำลงค โดยใหใชเครองหมำยเดมเดยวกบชองทำงขวำ

เชน


1. (𝑥 + 1)3(𝑥 − 2)4(𝑥 + 3)5 < 0 2. (𝑥−1)2(𝑥−2)

𝑥+1 ≥ 0

3. (𝑥2 − 1)(𝑥 + 1) ≥ 0 4. (𝑥−1)4(𝑥−2)3

(𝑥−3)2(𝑥−4) ≥ 0

ในกรณท 𝑥 ตวซำยสด (ทยกก ำลงสงสด) มเลขลบคณอย ใหจดรปใหมใหเปนบวก

โดยกำรคณ −1 ทงสองขำง แลวสลบเครองหมำย มำกกวำ ↔ นอยกวำ เชน −2𝑥2 + 3𝑥 + 2 ≤ 0 → 2𝑥2 − 3𝑥 − 2 ≥ 0

(−𝑥 + 2)(𝑥 + 1) > 0 → (𝑥 − 2)(𝑥 + 1) < 0 (−𝑥 + 2)(−𝑥 + 1) > 0 → (𝑥 − 2)(𝑥 − 1) > 0 (คณ −1 สองครง) (−𝑥 + 2)4(−𝑥 + 1) > 0 → (𝑥 − 2)4(𝑥 − 1) < 0 (ยกก ำลงค (−𝑥 + 2)4 = (𝑥 − 2)4)

ไมตองสลบ

(𝑥−3)2(2𝑥−1)

(𝑥+2)(𝑥+1)≤ 0

−1 3 −2 1

2

− + − + +

เซตค ำตอบ คอ (−∞, −2) ∪ (−1,1

2 ] ∪ {3}

ไมตองสลบ ไมตองสลบ

(𝑥−1)4(𝑥−2)3

(𝑥−3)2(𝑥−4)> 0

2 4 1 3

+ + − − +

เซตค ำตอบ คอ (−∞, 1) ∪ (1, 2) ∪ (4, ∞)


แบบฝกหด 5. จงแกอสมกำรตอไปน 1. 4 − 𝑥2 ≥ 0 2. (𝑥−1)(𝑥+2)

2−𝑥 ≥ 0

3. (3−𝑥)2(1−2𝑥)

(−𝑥−2)(𝑥+1) ≤ 0 4. (1−𝑥)4(2−𝑥)3

(3−𝑥)2(𝑥−4) > 0

และในกรณทมตวทแยกตวประกอบไมได (เชน 𝑥2 + 1) ตวเหลำน จะเปนบวกเสมอ จงยำยขำงแบบคณหำรได โดยไมตองระวงเรองกำรสลบเครองหมำย มำกกวำ ↔ นอยกวำ เชน (𝑥2 + 1)(𝑥 − 3)(𝑥 + 1) > 0 → เอำ 𝑥2 + 1 หำรตลอดได

เพรำะ 𝑥2 + 1 เปนบวกเสมอ ไมตองกลบมำกกวำเปนนอยกวำ

เหลอ (𝑥 − 3)(𝑥 + 1) > 0 เปนตน


1. 3𝑥−5

𝑥2+5 ≥ 0 2. 𝑥3−𝑥2+𝑥−1

𝑥−2 ≥ 0


3. 𝑥2 + 4 > 0 4. 𝑥2 + 4 ≤ 0

7. เซตค ำตอบของอสมกำร −1 ≤ √2 +𝑥

1−√2≤ 1 คอเซตในขอใดตอไปน [O-NET 51/4]

1. [√2 − 1, 1] 2. [√2 − 1, 2] 3. [3 − 2√2, 1] 4. [3 − 2√2, 2]

8. ให 𝐴 = { 𝑥 | (2𝑥 + 1)(4 − 3𝑥) > 0 } ขอใดเปนเซตยอยของ 𝐴 [O-NET 56/6]

1. (–1.2, –0.2) 2. (–0.9, 0.3) 3. (–0.6, 1.2)

4. (0.4, 1.5) 5. (0.3, 1.3)


9. เซตของจ ำนวนจรง 𝑚 ซงท ำใหสมกำร 𝑥2 − 𝑚𝑥 + 4 = 0 มรำกเปนจ ำนวนจรง เปนสบเซตของเซตใดตอไปน [O-NET 50/26]

1. (−5, 5) 2. (−∞, − 4) ∪ [3, ∞)

3. (−∞, 0) ∪ [5, ∞) 4. (−∞, − 3) ∪ [4, ∞)

10. พมเงนมำกกวำนอง 120 บำท ถำทงสองคนมเงนรวมกนไมเกน 1,240 บำท แลว พมเงนมำกทสดไดกบำท

[O-NET 56/36]

11. แมคำขำยกวยเตยวชำมละ 25 บำท โดยมคำเชำรำนวนละ 120 บำท และตนทนคำวตถดบทงหมดคดเปนชำมละ 18 บำท ถำตองกำรใหไดก ำไรไมต ำกวำวนละ 500 บำท เขำตองขำยใหไดอยำงนอยวนละกชำม

[O-NET 57/37]


คำสมบรณ

“คำสมบรณ” ของ 𝑥 แทนดวยสญลกษณ |𝑥| หมำยถง “คำทเปนบวก” ของ 𝑥 เชน |−2| = 2 , |5| = 5 , |−√3| = √3

สตรส ำหรบหำ |𝑥| จะเปนดงน

สมบตทส ำคญของคำสมบรณ คอ

กำรยกก ำลงสอง ก ำจดเครองหมำยคำสมบรณได กลำวคอ |𝑥|2 = 𝑥2

กระจำยในคณหำรได |𝑥𝑦| = |𝑥||𝑦| |𝑥

𝑦| =

|𝑥|

|𝑦|

แตกระจำยในบวกลบไมได |𝑥 + 𝑦| ≠ |𝑥| + |𝑦| |𝑥 − 𝑦| ≠ |𝑥| − |𝑦|

|𝑥 + 𝑦| ≤ |𝑥| + |𝑦| เสมอ

√𝑥2 = |𝑥|

เวลำท ำโจทยประเภท ขอใดถกขอใดผด ใหระวงเรองเลขบวกเลขลบใหด ในบำงท เรำอำจตองแบงคดเปนสองกรณ คอ กรณท 𝑥 ≥ 0 กบกรณ 𝑥 < 0


1. ขอใดถกตอง 1. 𝑎 < |𝑎| 2. 𝑎|𝑏| = |𝑎|𝑏

3. |𝑎|

𝑎 =

𝑎

|𝑎| 4. (𝑎 − |𝑎|)2 ≤ 4𝑎2

5. ถำ 𝑎 < 𝑏 แลว |𝑎| < |𝑏| 6. ถำ |𝑎| < |𝑏| แลว 𝑎 < 𝑏

7. ถำ |𝑎| < |𝑏| แลว 𝑎2 < 𝑏2 8. ถำ 𝑎 ≤ 𝑏 แลว 𝑎|𝑐| ≤ 𝑏|𝑐|

9. |2 − √3| = 2 − √3 10. ถำ 𝑥 < 2 แลว |𝑥 − 2| = 2 − 𝑥

11. ถำ 𝑎 ≠ 𝑏 แลว |𝑎| ≠ |𝑏| 12. ถำ |𝑎| > |𝑏| แลว |𝑎𝑐| > |𝑏𝑐|

13. |𝑥𝑛| = |𝑥|𝑛 14. √𝑥2 = −𝑥 เมอ 𝑥 < 0

15. |𝑎 − 𝑏| = |𝑏 − 𝑎| 16. 𝑥

|𝑥|∈ {−1, 1} เมอ 𝑥 ≠ 0

17. 𝑥|𝑥| ≤ 𝑥2

|𝑥| = { 𝑥 เมอ 𝑥 ≥ 0

−𝑥 เมอ 𝑥 < 0

ถำ 𝑥 เปนบวกอยแลว |𝑥| จะไดเทำเดม

ถำ 𝑥 เปนลบอย จะถกท ำใหเปนบวกโดยคณลบเขำไป (ใชหลกวำลบคณลบไดบวก)


2. ก ำหนดให 𝑥 > 1 จงหำเซตค ำตอบของอสมกำร |1 − 𝑥| < 2

3. ก ำหนดให 𝑎, 𝑏 เปนจ ำนวนจรงใดๆ ขอใดตอไปนถก [O-NET 49/1-17]

1. ถำ 𝑎 < 𝑏 แลว จะได 𝑎2 < 𝑏2 2. ถำ 𝑎 < 𝑏 < 0 แลว จะได 𝑎𝑏 < 𝑎2

3. ถำ |𝑎| < |𝑏| แลว จะได 𝑎 < 𝑏

4. ถำ 𝑎2 < 𝑏2 แลว จะได 𝑎 < 𝑏

4. ขอใดตอไปนถกตองบำง [O-NET 54/5]

1. ถำ 𝑎 และ 𝑏 เปนจ ำนวนจรงซง |𝑎| < |𝑏| แลว 𝑎3 < 𝑏3

2. ถำ 𝑎 , 𝑏 และ 𝑐 เปนจ ำนวนจรงซง 𝑎𝑐 = 𝑏𝑐 แลว 𝑎 = 𝑏

5. ก ำหนดให 𝑎 , 𝑏 และ 𝑐 เปนจ ำนวนจรงซง |𝑎|𝑏3𝑐 > 0 ขอใดตอไปนถกตองบำง [O-NET 54/6]

1. 𝑎𝑐 > 0 2. 𝑏𝑐 > 0

6. ก ำหนดให 𝑎, 𝑏 และ 𝑐 เปนจ ำนวนจรงใดๆ ขอใดถกตองบำง [O-NET 57/1] 1. ถำ 𝑎𝑏 = 𝑎𝑐 แลว 𝑏 = 𝑐

2. ถำ 𝑎|𝑏𝑐| < 0 และ 𝑏 < 0 แลว |𝑎𝑏|𝑐 < 0

3. ถำ 𝑎 > 0 และ 𝑏 > 0 แลว 𝑎 + 𝑏 ≥ √2𝑎𝑏


7. ถำ 𝑥 ≤ 5 แลว ขอใดตอไปนถก [O-NET 50/4] 1. 𝑥2 ≤ 25 2. |𝑥| ≤ 5

3. 𝑥|𝑥| ≤ 25 4. (𝑥 − |𝑥|)2 ≤ 25

8. จ ำนวนสมำชกของเซต {𝑥 | 𝑥 = (𝑎 +1

|𝑎|)

2− (|𝑎| −

1

𝑎)

2 เมอ 𝑎 เปนจ ำนวนจรงซงไมเทำกบ 0}

เทำกบเทำใด [O-NET 51/21]

9. ถำชวงเปด (𝑎 , 𝑏) เปนเซตค ำตอบของอสมกำร |𝑥 − 1| + |6 − 3𝑥| < 17 และ 𝑥 > 2

แลว 𝑎 + 𝑏 เทำกบเทำใด [O-NET 54/27]


สมกำร อสมกำร คำสมบรณ

หลกในกำรแก คอ ตองก ำจดเครองหมำยคำสมบรณออกไปใหได ซงมวธดงน 1.

ตวอยำง จงหำเซตค ำตอบของสมกำร |𝑥2 + 2𝑥 − 1| = 2 วธท ำ จะได 𝑥2 + 2𝑥 − 1 = 2 หรอ 𝑥2 + 2𝑥 − 1 = −2 และค ำตอบตองท ำให 2 ≥ 0

ดงนน เซตค ำตอบ คอ {−3, −1, 1} #

ตวอยำง จงหำเซตค ำตอบของสมกำร |𝑥| = 3𝑥 + 4

วธท ำ จะได 𝑥 = 3𝑥 + 4 หรอ 𝑥 = −(3𝑥 + 4) และค ำตอบตองท ำให 3𝑥 + 4 ≥ 0

แตค ำตอบ ตองท ำให 3𝑥 + 4 ≥ 0 :

ดงนน เซตค ำตอบ คอ {−1} #

ตวอยำง จงหำเซตค ำตอบของสมกำร |2𝑥 − 1| = −3

วธท ำ จะได = หรอ = − และค ำตอบตองท ำให −3 ≥ 0

ดงนน เซตค ำตอบ คอ ∅ #

2.

ตวอยำง จงหำเซตค ำตอบของอสมกำร |3 − 2𝑥| ≤ 5 วธท ำ จะได −5 ≤ 3 − 2𝑥 ≤ 5 และค ำตอบตองท ำให 5 ≥ 0

ดงนน เซตค ำตอบ คอ [−1, 4] #

𝑥2 + 2𝑥 − 3 = 0 (𝑥 − 1)(𝑥 + 3) = 0 𝑥 = 1, −3

𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 0 (𝑥 + 1)2 = 0 𝑥 = −1

−2𝑥 = 4 𝑥 = −2

𝑥 = −3𝑥 − 4 4𝑥 = −4 𝑥 = −1

3(−2) + 4 = −2 ≥ 0 ไมจรง 3(−1) + 4 = 1 ≥ 0 จรง

ยงไงกจรง ดงนน ใชไดทกค ำตอบ

ยงไงกไมจรง ดงนน ใชไมไดทกค ำตอบ

−8 ≤ −2𝑥 ≤ 2 4 ≥ 𝑥 ≥ −1

ยงไงกจรง ดงนน ใชไดทกค ำตอบ

สมกำรในรป | | = แปลวำ = หรอ = −

และค ำตอบตองท ำให ≥ 0

อสมกำรในรป | | < แปลวำ − < <

และค ำตอบตองท ำให > 0


ตวอยำง จงหำเซตค ำตอบของอสมกำร |5 − 2𝑥| < 𝑥 − 1 วธท ำ จะได −(𝑥 − 1) < 5 − 2𝑥 < 𝑥 − 1 และค ำตอบตองท ำให 𝑥 − 1 > 0

ดงนน เซตค ำตอบ คอ (∞, 4) ∩ (2, ∞) ∩ (1, ∞) = (2, 4) #

ตวอยำง จงหำเซตค ำตอบของอสมกำร |𝑥 + 1| ≤ −1 วธท ำ จะได − < < และค ำตอบตองท ำให −1 > 0

ดงนน เซตค ำตอบ คอ ∅ #

3.

ตวอยำง จงแกอสมกำร |𝑥 + 2| ≥ 𝑥 + 4 วธท ำ จะได 𝑥 + 2 ≥ 𝑥 + 4 หรอ 𝑥 + 2 ≤ −(𝑥 + 4)

ดงนน เซตค ำตอบคอ (−∞, −3] #

ตวอยำง จงแกอสมกำร |𝑥−1

3| > 2

วธท ำ จะได 𝑥−1

3> 2 หรอ 𝑥−1

3< −2

ดงนน เซตค ำตอบคอ (−∞, −5) ∪ (7, ∞) #

4.

ตวอยำง จงแกอสมกำร |2 − 3𝑥| ≥ |𝑥 − 4|

วธท ำ

𝑥 − 1 > 6 𝑥 > 7

𝑥 − 1 < −6 𝑥 < −5

−(𝑥 − 1) < 5 − 2𝑥 −𝑥 + 1 < 5 − 2𝑥 𝑥 < 4

5 − 2𝑥 < 𝑥 − 1 6 < 3𝑥 2 < 𝑥

และ

𝑥 > 1

1 2 4

𝑥 > 1

𝑥 > 2

𝑥 < 4

ยงไงกไมจรง ดงนน ใชไมไดทกค ำตอบ

2 ≥ 4

ไมมค ำตอบ 𝑥 + 2 ≤ −𝑥 − 4 2𝑥 ≤ −6 𝑥 ≤ −3

𝑥 < −5

−5 7

𝑥 > 7

ประโยคในรป | | = | | , | | > | | , | | < | |

ใหก ำจดเครองหมำยคำสมบรณโดยกำรยกก ำลงสองทงสองขำง (|𝑥|2 = 𝑥2) แลวยำยขำงมำเขำสตร น2 − ล2 = (น − ล)(น + ล)

อสมกำรในรป | | > แปลวำ > หรอ < −

|2 − 3𝑥|2 ≥ |𝑥 − 4|2 (2 − 3𝑥)2 ≥ (𝑥 − 4)2 (2 − 3𝑥)2 − (𝑥 − 4)2 ≥ 0


ดงนน เซตค ำตอบคอ (−∞, −1] ∪ [ 3

2 , ∞) #

ตวอยำง จงแกสมกำร |𝑥2 − 4𝑥 − 5| = |𝑥2 − 3𝑥 + 8|

วธท ำ

ดงนน เซตค ำตอบ คอ { −13 , 1

2 , 3 } #

สรป: รปแบบกำรแก สมกำร / อสมกำร คำสมบรณ มดงน


1. จงแกสมกำร / อสมกำร ตอไปน

1. |𝑥 + 2| = 5 2. |2𝑥 − 1| = −1

3. 𝑥2 + 4 = 4|𝑥| 4. |2𝑥 + 5| ≤ 3

((2 − 3𝑥) − (𝑥 − 4))((2 − 3𝑥) + (𝑥 − 4)) ≥ 0

(2 − 3𝑥 − 𝑥 + 4)(2 − 3𝑥 + 𝑥 − 4) ≥ 0 (−4𝑥 + 6)(−2𝑥 − 2) ≥ 0 (−2𝑥 + 3)(−𝑥 − 1) ≥ 0

−1 3

2

+ − +

|𝑥2 − 4𝑥 − 5|2 = |𝑥2 − 3𝑥 + 8|2 (𝑥2 − 4𝑥 − 5)2 = (𝑥2 − 3𝑥 + 8)2 (𝑥2 − 4𝑥 − 5)2 − (𝑥2 − 3𝑥 + 8)2 = 0

((𝑥2 − 4𝑥 − 5) − (𝑥2 − 3𝑥 + 8))((𝑥2 − 4𝑥 − 5) + (𝑥2 − 3𝑥 + 8)) = 0

(𝑥2 − 4𝑥 − 5 − 𝑥2 + 3𝑥 − 8)(𝑥2 − 4𝑥 − 5 + 𝑥2 − 3𝑥 + 8) = 0 (−𝑥 − 13)(2𝑥2 − 7𝑥 + 3) = 0 (−𝑥 − 13)(2𝑥 − 1)(𝑥 − 3) = 0

𝑥 = −13 , 1

2 , 3

เปลยนเปนรปทไมมคำสมบรณ หมำยเหต

| | = = หรอ = − ค ำตอบ ตองท ำให ≥ 0

| | < − < < ค ำตอบ ตองท ำให > 0

| | > > หรอ < −

| | = | | | | < | | | | > | |

ยกก ำลงสองทงสองขำง เพอก ำจดคำสมบรณ

โดยใชหลก |𝑥|2 = 𝑥2


5. |𝑥2 + 4| > 5 6. |2𝑥| > 𝑥 + 6

7. |𝑥 + 3| < 2𝑥 8. |3𝑥 − 4| ≤ 2𝑥 − 1

9. |𝑥 − 3| ≤ 5 − 𝑥 10. |2𝑥 − 1| ≥ 𝑥 − 2

11. |2𝑥 + 1| ≥ |𝑥 + 2| 12. |𝑥2 − 5𝑥 + 1| < |𝑥2 − 4𝑥 + 3|


13. |𝑥2 − 3𝑥 − 8| = 𝑥2 + 3𝑥 14. |1 − 3|1 − 3𝑥|| = 𝑥

2. พจำรณำสมกำร |𝑥 − 7| = 6 ขอสรปใดตอไปนเปนเทจ [O-NET 52/6]

1. ค ำตอบหนงของสมกำรมคำระหวำง 10 และ 15 2. ผลบวกของค ำตอบทงหมดของสมกำรมคำเทำกบ 14

3. สมกำรนมค ำตอบมำกกวำ 2 ค ำตอบ 4. ในบรรดำค ำตอบทงหมดของสมกำร ค ำตอบทมคำนอยทสดมคำนอยกวำ 3

3. ผลเฉลยของสมกำร 2|5 − 𝑥| = 1 อยในชวงใด [O-NET 53/5]

1. (−10, −5) 2. (−6, −4) 3. (−4, 5) 4. (−3, 6)

4. ผลบวกของค ำตอบทกค ำตอบของสมกำร 𝑥3 − 2𝑥 = |𝑥| เทำกบเทำใด [O-NET 51/24]


5. จ ำนวนเตมทสอดคลองกบอสมกำร |𝑥 − 3| ≤ 4 มกจ ำนวน [O-NET 56/33]

6. ถำ 𝐴 = { 𝑥 | |𝑥 + 1| + 1 > 2 } แลว ชวงในขอใดเปนสบเซตของ 𝐴 [O-NET 57/10]

1. (−4, −2] 2. (−3, −1) 3. [−1, 0) 4. [0, 2) 5. [2, 3)

7. ก ำหนดให 𝐴 = { 𝑥 | |𝑥 − 2| < 3 } และ 𝐵 = { 𝑥 | 𝑥2 − 3𝑥 − 4 > 0}

สมำชกของ 𝐴 − 𝐵 ทเปนจ ำนวนเตมมกตว [O-NET 57/11]

8. ก ำหนดให I เปนเซตของจ ำนวนเตม และ 𝐴 = {𝑥 ∈ I ||𝑥−1|−1

|𝑥−1|≤

2

3}

จ ำนวนสมำชกของเซต 𝐴 เทำกบเทำใด [O-NET 49/1-20]


จ ำนวนชนดตำงๆ

1. 1 , 3 , 5 , 9 , 11 , 13 , 14 , 17 , 19 , 20 , 21

2. 1. −1 2. ไมม 3. 4 4. ไมม 5. −1 6. ไมม 7. ไมม 8. ไมม 3. 𝐴 < 𝐶 < 𝐵 4. 1 5. 1, 2 6. 1

7. 1 8. -

สมบตกำรเทำกน

1. 1. สะทอน 2. บวกตวเทำ 3. สมมำตร 4. ถำยทอด

5. คณตวเทำ 6. ถำยทอด 7. บวกตวเทำ 8. คณตวเทำ

9. บวกตวเทำ 10. สะทอน 11. คณตวเทำ 12. สมมำตร 2. 1. บวกตวเทำ 2. บวกตวเทำ 3. คณตวเทำ 4. สมมำตร

สมบตกำรบวกและคณ

1. 1. + , × 2. × 3. + , × 4. + , ×

5. + 6. + , × 7. + , × 8. ไมปด 2. 2 , 4 , 5

3. 1. −8 2. 1

2 3. −

1

2 4. −

1

2

5. 0 6. 1 7. 1 8. √2

2

9. −√2

2 10. 𝑥+1

𝑥

4. 1

พหนำม

1. −5 2. 2𝑥2 + 3𝑥 − 2 3. 2𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥 − 4

4. −3 5. 15 6. 8

7. 9

จำก (𝑃(𝑥))2 เทำกบ 𝑥2 + 6𝑥 + 𝑐 จะไดวำ (𝑃(𝑥))

2 เปนพหนำมก ำลง 2

ดงนน 𝑃(𝑥) ตองเปนพหนำมก ำลง 1 → ให 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑘 (ตวแปร 𝑐 ถกโจทยใชไปแลว)

เทยบ สปส จะได

(𝑃(𝑥))2

= 𝑥2 + 6𝑥 + 𝑐

(𝑎𝑥 + 𝑘)2 = 𝑥2 + 6𝑥 + 𝑐 (𝑎𝑥 + 𝑘)(𝑎𝑥 + 𝑘) = 𝑥2 + 6𝑥 + 𝑐 𝑎2𝑥2 + 𝑎𝑘𝑥 + 𝑎𝑘𝑥 + 𝑘2 = 𝑥2 + 6𝑥 + 𝑐 𝑎2𝑥2 + 2𝑎𝑘𝑥 + 𝑘2 = 𝑥2 + 6𝑥 + 𝑐

𝑎2 = 1 2𝑎𝑘 = 6 𝑘2 = 𝑐


8. 10

จำก 𝑃(𝑥) = (𝑥2 + 1) 𝑄(𝑥) พจำรณำดกรของพหนำม จะไดวำ 𝑄(𝑥) ตองเปนพหนำมก ำลง 1

ให 𝑄(𝑥) = 𝑐𝑥 + 𝑑

ดงนน

เทยบ สปส จะได

9. 2

กำรแยกตวประกอบพหนำม

1. 1. (𝑥 + 4)(𝑥 − 3) 2. (𝑥 + 2)(𝑥 − 8)

3. (3𝑥 − 8)(𝑥 + 3) 4. (4𝑥 − 3)(𝑥 − 4)

5. 3(2𝑥 + 3)(𝑥 − 2) 6. 𝑥2(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)

7. 3𝑛2(𝑚 − 2)(𝑚2 + 2𝑚 + 4) 8. (2𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)

9. (𝑚 + 2)(𝑚 − 2)(𝑚 + 4)(𝑚 − 4) 10. (𝑎 − 1)(𝑎2 + 𝑎 + 1)(𝑎 + 2)(𝑎2 − 2𝑎 + 4)

11. (𝑥 + 2)(𝑥 − 1)(𝑥 − 4) 12. (𝑥 + 2√2)(𝑥 + 3√2)

2. 1. (𝑥 + 1 − √2)(𝑥 + 1 + √2) 2. (𝑥 − 2 − √3)(𝑥 − 2 + √3)

สมกำรตวแปรเดยว

1. 1. 1 , 4 2. −3

4 ,

3

2 3. 2 4. 1, −1, 2

5. −1±√5

2 6. −2 ± √3

2. 1. 2, 5, 6 2. 2, 0, −9 3. ไมมค ำตอบ 4. 2, −3

2 , −3

5. 1, −3, −3 6. ไมมค ำตอบ 3. −1 4. 6, −6 5. 4 6. −2

7. 2 8. −2 9. 1

5 10. 36

11. 22 + 8√14 12. 120 13. 500 14. 30

15. 12

สมบตกำรไมเทำกน

1. 3 , 4 , 9 2. 1. 8 และ 15 2. 3 และ 10 3. 12 และ 36 4. 2 และ 6

5. 3 และ 18

พหนำมก ำลง 3 พหนำมก ำลง 2

𝑃(𝑥) = (𝑥2 + 1)𝑄(𝑥) 2𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 3 = (𝑥2 + 1)(𝑐𝑥 + 𝑑) 2𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 3 = 𝑐𝑥3 + 𝑑𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑

2 = 𝑐 𝑎 = 𝑑 𝑏 = 𝑐 3 = 𝑑


3. - 4. 2 5. 1 6. 1, 2

ชวง

1. 1. (−1, 10) 2. (−∞, 2) 3. (−1, 1] 4. ∅

5. ( −1

2 , 4) 6. ( −

1

4 , 2) 7. (−∞, −1] 8. [2, ∞)

9. [−8, −1) ∪ [1, 8) 10. (−∞, 5) ∪ [8, ∞) 2. 1. [−1, 9) 2. (1, ∞) 3. (−∞, −3] 4. (−1, 1]

5. (−∞, −2) ∪ (2, ∞) 6. (−∞, ∞) 7. (−∞, 2) ∪ (2, ∞)

8. [−4, 2) ∪ (2, ∞)

อสมกำรตวแปรเดยว

1. 1. (−1, 2] 2. [−5, 1] 3. [−2, 2) 4. (−1, 1)

2. 1. (2, 3) 2. (−∞, −4) ∪ (−3, ∞) 3. (−∞, −2) ∪ (2, ∞)

4. (−∞, −2) ∪ (−1, ∞)

3. 1. [−1

2 , 2] 2. (−∞, −1] ∪ [

1

6 , ∞) 3. (−∞, −

5

2 ] ∪ [3, ∞)

4. (−∞, −1] ∪ [ −2

3 , 1] 5. (−∞, −1) ∪ [

5

3, ∞) 6. (−∞, −1) ∪ [3, ∞)

4. 1. (−3, −1) 2. (−∞, −1) ∪ {1} ∪ [2, ∞) 3. {−1} ∪ [1, ∞)

4. (−∞, 2] ∪ (4, ∞) 5. 1. [−2, 2] 2. (−∞, −2] ∪ [1, 2) 3. (−∞, −2) ∪ (−1,

1

2 ] ∪ {3}

4. (2, 3) ∪ (3, 4) 6. 1. [

5

3 , ∞) 2. (−∞, 1] ∪ (2, ∞) 3. R

4. ∅

7. 3 8. 5 9. 4 10. 680

11. 89

คำสมบรณ

1. 3 , 4 , 7 , 8 , 9 , 10 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17

2. (1, 3) 3. 2 4. - 5. 2

6. 3 7. 3 8. 2 9. 8

สมกำร อสมกำร คำสมบรณ

1. 1. 3, −7 2. ไมมค ำตอบ 3. 2, −2 4. [−4, −1]

5. (−∞, −1) ∪ (1, ∞) 6. (−∞, −2) ∪ (6, ∞)

7. (3, ∞) 8. [1, 3] 9. (−∞, 4] 10. (−∞,∞)


11. (−∞, −1] ∪ [1, ∞) 12. (−2, 1

2) ∪ (4, ∞)

13. 2

14. 1

4 ,

2

5 ,

1

5 ,

1

2

|1 − 3|1 − 3𝑥|| = 𝑥

1 − 3|1 − 3𝑥| = 𝑥 หรอ 1 − 3|1 − 3𝑥| = −𝑥 โดยท 𝑥 ≥ 0

1 − 𝑥 = 3(1 − 3𝑥) หรอ −(1 − 𝑥) = 3(1 − 3𝑥) 1 + 𝑥 = 3(1 − 3𝑥) หรอ −(1 + 𝑥) = 3(1 − 3𝑥)

2. 3 3. 4 4. √3 − 1 5. 9

6. 5 7. 5 8. 6

เครดต

ขอบคณ คณครเบรด จำก กวดวชำคณตศำสตรครเบรด ยำนบำงแค 081-8285490

และ คณ John Quod

และ คณ ไคจมก ทชวยตรวจสอบควำมถกตองของเอกสำร

1 − 𝑥 = 3|1 − 3𝑥| 1 + 𝑥 = 3|1 − 3𝑥|

โดยท 1 − 𝑥 ≥ 0 โดยท 1 + 𝑥 ≥ 0

1 − 𝑥 = 3 − 9𝑥 8𝑥 = 2

𝑥 = 1

4

−1 + 𝑥 = 3 − 9𝑥 10𝑥 = 4

𝑥 = 2

5

1 + 𝑥 = 3 − 9𝑥 10𝑥 = 2

𝑥 = 1

5

−1 − 𝑥 = 3 − 9𝑥 8𝑥 = 4

𝑥 = 1

2

1 − 𝑥 ≥ 0 จรงทงค → ใชไดทงสองค ำตอบ

1 + 𝑥 ≥ 0 จรงทงค → ใชไดทงสองค ำตอบ

จ ำนวนจริง - RATH Center

Documents

Transcript of จ ำนวนจริง - RATH Center