Christian Meyer, « ... per venerandae memoriae magistrum Iohannem de Muris ... La tradition parisienne de l’enseignement de Jean de Murs », in: Gedenkschrift für Walter Pass. Bearbeitet und herausgegeben von Martin Czernin (Tutzing: H. Schneider, 2002), 217-234.

... per venerandae memoriae magistrum lohannem de Mûris ...

La tradition parisienne de l'enseignement de Jean de Murs

Christian Meyer (Strasbourg)

L'histoire de l'enseignement de la musique dans les universités françaises - et en particulier à l'université de Paris - demeure, aujourd'hui encore, singulièrement méconnue'. On peut d'ailleurs, à parcourir les statuts des universités de France, s'interroger même sur la présence d'un tel enseigne­ment. La seule mention que l'on puisse recueillir dans les documents publiés naguère par Marcel Fournier, figure dans les statuts de 1439 de l'université de Caen, en Normandie, alors en domaine anglais, et précise „aliquos libros mathematice, ut De Sphera et Geometria, musica aut arithmetica prout in vico Straminis Parisius legi solitum est" . Cette précision laisse entendre que la musique était lue, non seulement à Caen, mais aussi à la faculté des arts de l'Université de Paris - puisque ce „vicus straminis" n'est autre que la rue du Fouarre, derrière l'église St-Séverin, où la Faculté des arts de l'université de Paris était domiciliée.

Cette indication attestant l'existence d'un enseignement de la musique à l'université de Paris vient conforter quelques informations éparses que l'on tient principalement de la tradition manuscrite des écrits sur la musique. Ainsi en est-t-il de l'abrégé du De institutione musica de Boèce - la dite „musica speculativa" - que Jean de Murs a rédigé en 1323 à l'usage des étudiants du collège de Sorbonne . En 1375, Gostaltus (ou Goscalcus)

' Le sujet avait été abordé en 1930 par André PiRRO dans un bel article consacré à

r„Enseignement de la musique aux universités françaises", Muteilungen der Internationcden

Gesellschaft fur Musikwissenschaft 1 (1930), 26-32, 45-56. L'ouvrage plus récent de Nan

Cooke C A R P E N T E R , Music in the Médiéval and Renaissance Universities (Oklahoma, 1958)

n'élargit guère la documentation rassemblée par André Pirro. Ces travaux illustrent d'ailleurs

davantage la vie musicale dans les milieux universitaires que l'enseignement de la musique

lui-même.

^ Marcel FoURNIER, Les statuts et privilèges des Universités françaises depuis leur fondation

jusqu'en 1789. 4 vol., Paris 1890-1892, vol. III, n° 1652.

' „per magistrum Johannem de mûris abbreviata parisius in sorbona anno domini 1323'"

(Sankt-Paul, Stiftsbibliothek, 264/4, f 49r (vers 1400; origine; Paris, Sorbonne ?); „anno

218 Christian Meyer

achève, à Paris, son édition commentée du Libellus et du traité de contre­point de Jean de Murs"*. Selon l'auteur anonyme des Règles de Seconde rhétorique^ un certain Jean Vaillant, vers 1380, „tenoit a Paris escolle de musique". L'expression n'implique pas nécessairement l'existence d'une „école de musique", mais pourrait, bien au contraire, désigner une activité d'enseignement au sein de l'université. L'enseignement d'un „mestre Joan Violan, de Paris" - sans doute ce même Jean Vaillant - est documenté par des notes relatives au contrepoint, aux proportions et aux règles de nota­tions, transcrites en hébreu par un auditeur parisien . En 1403, Johannes Comitis, prêtre du diocèse d'Evreux est chargé d'enseigner in arte musica à l'université de Paris, ce qui confirme bien l'existence d'une tradition d'enseignement de la théorie de la musique. En 1399 le même faisait déjà office de chantre de l'université de Paris. En 1402 il avait été nommé maître de chant des enfants de choeur de Notre Dame^.Le document de 1403 qui signale Johannes Comitis mentionne, à la suite de ce dernier, et comme en­seignant in arte musica, un Guillermus Burgundus, prêtre du diocèse de Pa­ris, également chantre de l'Université de Paris.

Tous ces témoignages ne laissent donc aucun doute, semble-t-il, sur la persistance d'un enseignement de musique à l'université de Paris. Demeure la question de savoir quel était exactement le contenu de cet enseignement et sur quels ouvrages de référence s'appuyaient les maîtres qui en étaient chargés. L'identification d'un nouveau témoin de la version dite „mixte" de la Musica speculativa de Jean de Murs - en l'occurrence le texte d'un ma­nuscrit conservé à la Bibliothèque universitaire de Glasgow (Ms. 461) - ap­porte, sur ce point, un ensemble de données nouvelles et suggère aussi de nouvelles hypothèses.

domini 1323 mense junii parisius in sarbonna" (Oxford, Bodl. Libr., Bodley 77, f 99v; X V ^

siècle, origine anglaise). Les deux manuscrits transmettent la version A du texte.

Sur ce nom et l'existence d'un „Goschalchus parisiensis", voir Oliver B. E L L S W O R T H (éd. et

trad), ne Bericeley Manuscript, Lincoln-London 1984 (Greek and Latin Music Theory 2), p.

Met n. 28.

' C f Ursula G O N T H E R , art. ..Vaillant, Jehan", in: The New Grave Dictionary of Music and

Musicians, London 1980, vol. 19, p. 487.

^ Firenze, Biblioteca Nazionale Centrale, Magliab. IIL 70. C f RISM B IX,2 p. 55-77 (n°

110). Le nom est également orthographié Violent ou Valant.

' Heinrich D E N I F L E , Chartularium Universitatis Parisiensis. 4 vol., Paris 1889-1897, vol. IV,

p. 110.

La tradition parisienne de l'enseignement de Jean de Murs 219

La version „mixte" de la Musica speculativa est l'une des trois versions qui nous sont parvenues de ce texte. On possède en effet plusieurs états du traité : l'état primitif (version A) surtout diffusé par des manuscrits copiés dans les jeunes universités de l'espace germanique et d'Europe centrale; une version remaniée par l'auteur lui-même en 1325 (version B) qui intègre une série de chapitres de la Notitia artis musicae rédigée par Jean de Murs vers 1321 pour clarifier les débats naissants entre Anciens et Modernes. Ces cha­pitres apportaient ainsi quelques bribes de physique et de philosophie aris­totélicienne dans un ouvrage au corps doctrinal plutôt „traditionnel". La version „mixte" enfin se caractérise principalement par la réintroduction du prologue Etsi hestialium voluptatum qui avait été écarté lors du remanie­ment de 1325. Cette dernière version représente donc une sorte de „totum" que Susan Fast n'hésite pas à présenter comme une version définitive auto­risée par l'auteur*. ^

De cette ultime version de la Musica speculativa on connaît aujourd'hui cinq exemplaires copiés entre 1369 (ms. de Séville) et la première moitié du XVe siècle^. Tous ces manuscrits présentent une première caractéristique, celle d'avoir été copiés en France, voire à Paris ou d'après un modèle pari­sien. Le manuscrit de Milan (C 241 inf), présente plusieurs colophons at­testant que le manuscrit avait été copié à Paris, en 1401 par l'étudiant véni­tien Giovanni Contarini"'. L'origine parisienne est également attestée pour le manuscrit de Séville". Le texte du manuscrit de Paris (Lat. 7295) pourrait aussi avoir été copié à Paris, puisque le traité précède immédiatement les opuscules et relevés techniques de Henri Arnault de ZwoUe qui aurait été, au cours des années 1430, l'élève de Jean Fusoris à la faculté de médecine de l'université de Paris' . Pour le manuscrit de Berlin, l'origine française semble assurée d'après l'écriture. Le manuscrit de Glasgow enfin présente

Susan F A S T (éd.), Johannis de Mûris musica <speculaliva>, Ottawa 1994 (Wissenschaftli-

che Abhandlungen / Musicological Studies 61), p. xxiii.

' Berlin, Staatsbibliothek Preussischer Kulturbesitz, Ms. lat. fol. 600; Glasgow, University

Library, 461; Milano, Biblioteca Ambrosiana C 241 inf.; Paris, Bibliothèque Nationale de

France, Lat. 7295; Sevilla, Biblioteca Capitulary Colombina, 5-3-23.

C f f 27r, 124r, 132v, 150v. Voir F A S T , Johannis de Mûris, p. xxxvi-xxxvii.

" C f f 78v „Parisius scriptus per fratrem Petrum de Tossa anno domini M° ccc° lxix°"".

L'origine et l'histoire de ce manuscrit conservé aujourd'hui sous une reliure moderne, sont

loin d'être clairement établies. Le manuscrit semble devoir être mis en rapport avec la pré­

sence d'Arnault de Zwolle à Dijon au service de Philippe le Bon. Au XVIe s. le manuscrit

avait appartenu à un Carme dijonais et se trouvait encore à Dijon en 1610.

220 Christian Meyer

également des liens indirects avec l'université de Paris. Le copiste du traité, dont on retrouve le nom dans le cartulaire de l'université de Paris, se nomme Robertus Robillart dans un explicit daté de Rouen, 16 avril 1384. Sur le rotulus de l'université de Paris de l'année 1378/79, notre copiste est qualifié de „clericus", „magister in artibus", et „de nobili génère procre-ato"'\1 était donc clerc, maître ès-art, et sans doute issu de la noblesse. Son nom apparaît en outre sur un autre rotulus de la faculté des arts de l'année 1379 qui apporte quelques précisions supplémentaires. Selon ce dernier document, Robertus Robillard appartient à la nation normande, il est clerc de Rouen, magister regens de la faculté des arts et étudiant-auditeur en sixième année de théologie'''. Le manuscrit ayant été copié à Rouen en 1384 au terme d'un long séjour à l'université de Paris - sans doute une bonne di­zaine d'années - , il est fort vraisemblable que ce nouveau témoin de la. Mu­sica speculativa ait été pris sur un modèle parisien. 1--

L'exemplaire de Séville mis à part'^ les quatre autres témoins de cette version mixte présentent une rédaction assez voisine du titre et, en tous cas, fort originale par rapport au reste de la tradition du texte. Le traité est pré­senté comme une théorie des rapports musicaux et l'attribution à Jean de Murs est déclinée sur un mode emphatique - „per eundem copulatam et compilatam" - qui trahit sans doute l'intervention d'un éditeur. L'explicit présente également quelques singularités. Il réaffirme l'objet du traité, à sa­voir la théorie des rapports musicaux et l'auteur - Jean de Murs - est mis à distance et magnifié comme „musicus principuum et solemnem de territorio normanorum" (Glasgow et Berlin) ou „musici praecipui" (Milan). Ces ex­pressions qui mettent l'accent sur la célébrité de l'auteur et sa nationalité trahissent là encore l'intervention d'un éditeur soucieux d'ajouter à la gloire de son auteur.

„Robberto Robilhardi, cler., mag. in art., de nobili génère procreato" (Document daté de

nov. 1378-28 octobre 1379; DENIFLE, Chartularium, III, p. 271).

„Roberto Robillardi, alias decani, cler. de Rothomago, mag. in art. actu regenti Parisius in

fac. art. ac scol. in theol. in sexto an. sue auditionis" (DENIFLE, Chartularium, III, p. 264).

A ce stade de nos recherches, l'exemplaire de Séville nous est demeuré inaccessible.

D'après la description du contenu publiée par Karl-Werner G U M P E L dans le Répertoire Inter­

national des Sources Musicales (RISM), B 111,5, p. 121, il semble que ce texte ne possède

pas le prologue „Etsi bestialium". Par ailleurs le préambule „Quoniam musica est de sono

[...]" est déplacé à la fin du texte. On notera enfin qu'à l'incipit, le traité est curieusement at­

tribué à Jean de Lignières („Incipit musica Magistri lohannis de Lineriis"). Ce manuscrit, ré­

cemment découvert, est au demeurant inconnu des récents éditeurs de la Musica speculativa.

L a tradition parisienne de l'enseignement de Jean de Murs 221

L'examen de ces cinq témoins appelle une autre remarque. On observe en effet que ces copies de la version mixte de la Musica speculativa (à l'exception cependant de celle du manuscrit de Séville) sont précédées d'un traité sur les proportions' . Il s'agit d'un exposé assez complet sur les cinq classes de rapports, y compris les rapports inversés (sous-multiples, sous-superpartiels, etc.). A l'évidence, le traité a été rédigé pour des musiciens : les six „consonances" réalisées par des rapports multiples et superpartiels sont expressément mentionnées au fil du texte. De plus, le rédacteur - ou l'éditeur - du texte a pris soin d'établir, au passage, un lien avec la Musica speculativa elle-même, imposant une solidarité entre les deux textes' L'exposé proprement dit est suivi d'un tableau récapitulatif qui s'apparente au tableau dressé par Jean de Murs dans la Notitia artis musicae à l'appui du bref chapitre consacré aux proportions {De numerorum proportione). La structure arborescente de ce tableau est peut-être à mettre en rapport avec cet arbor Boecii de arte numerorum sumpta de libro arithmetica que Jean de Murs avait dressé en 1324 à l'attention des auditeurs du collège de Sor-

18

bonne . Dans les manuscrits de Berlin et de Milan, ce tableau est suivi en outre d'une présentation raisonnée des nombres linéaires et solides corres­pondant à l'exposé qu'en donne Boèce au second livre de ses Institutions arithmétiques. La juxtaposition des deux traités - le compendium sur les proportions et la version mixte de la Musica speculativa - n'est donc sans doute pas fortuite. Dans le manuscrit de Milan, le Compendium proportio­num est en outre précédé d'une remarque qui introduit un lien fort entre les deux traités: „Compendium proportionum ad musicam mûris quae statim se-quitur permaxime necessarium". On observera en outre que l'incipit du traité sur les proportions présente une certaine parenté stylistique avec l'explicit de la version mixte de la Musica speculativa. Le rédacteur souli­gne en effet avec cette même emphase la réputation de Jean de Murs, „scienfiae musicalis expertissimus".

Ce traité a été édité par Martin G E R B E R T dans le tome III de ses Scriptores ecclesiastici de

musica sacra potissimum (St. Blasien, 1784, réimpr. Hildesheim 1963) qui l'attribue à Jean

de Murs. La source de Gerbert est ce manuscrit, peut-être parisien, conservé aujourd'hui à

St-Paul en Carinthie. Cod. 264/4 (27.2.25) qui contient une copie de la version A de \& Musi­

ca speculativa (voir ci-dessus).

'^„ita quod 12 ponderans ad 6 ponderantem diapason consonantiam faciebat prout clarius in-

notescet. Circa autem haec et infra scripta sciendum est quod [...]" (5-6).

C f Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 16621, f 63r-64r, selon H.L .L . BUSARD,

Die Arithmetica speculativa des Johannes de Mûris, Scientiarum Historia 13 (1971), p. 112.

222 •v'^::---A-:\^i-m'^:' Christian Meyer . . ^

Ces quelques observations permettent provisoirement de poser une double hypothèse. Tout d'abord celle que les deux traités - le traité sur les propor­tions et la version mixte de la Musica speculativa - pourraient avoir été composés sensiblement à la même époque, sans doute dans les années qui suivirent la disparition de Jean de Murs (vers 1350), par un éditeur ou un disciple soucieux de perpétuer la mémoire du maître parisien. D'autre part, considérant l'origine des quatre manuscrits qui transmettent ce canon tex­tuel, ces deux textes semblent, du coup, mettre en évidence une tradition d'enseignement spécifiquement parisienne de la seconde moitié du XIVe siècle, et sans doute encore vivace au cours du premier tiers du siècle sui­vant.

Ce canon s'inscrit lui-même dans une tradition d'enseignement bien plus ancienne, à laquelle Jean de Murs lui-même avait sacrifié. L'enseignement de la musique est en effet impossible sans l'explicitation de ses fondements philosophico-mathématiques. Boèce lui-même en avait perçu la nécessité en rappelant au second livre de ses Institutions musicales la théorie des classes d'inégalités et les techniques élémentaires de leur manipulation. Au XlIIe siècle, Jean de Garlande avait donné à cet enseignement sa forme scolasti-que. Les reportations de sa musica plana en témoignent'^. Jean de Murs avait sans doute aussi perçu la nécessité de préserver la théorie des nombres sur laquelle reposait la musique. En effet, il composa, en 1324, à l'attention de ces mêmes étudiants du collège de Sorbonne une Arithmetica speculati­va qui résume la matière des Institutions arithmétiques de Boèce^*'.

Combien de temps l'enseignement de la musique s'est-il perpétué à la Fa­culté des arts de l'université de Paris ? Le petit traité sur les proportions et la version „mixte" de la Musica speculativa sont-ils les dernières lueurs d'un enseignement que les réformes universitaires du XlIIe siècle avait sans doute déjà mis à mal ? Rien ne permet pour l'instant d'apporter sur ce point de réponse. Quoiqu'il en soit, même si les statuts réformés en 1452 par le cardinal légat Guillaume d'Estouteville ne font aucune mention de la musi-

Christian M E Y E R , Musica plana Johannis de Garlandia, Baden-Baden - Bouxwiller 1998

(Collection d"études musicologiques / Sammlung musikwissenschaftlicher Abhandlungen

91).

^ B U S A R D , Arithmetica speculativa, p. 103-132. On notera au demeurant qu'aucune parenté

textuelle ne peut être établie entre le traité des proportions et VArithmetica speculativa de

Jean de Murs.

L a tradition parisienne de l'enseignement de Jean de Murs m que ', cette culture „mathématicienne" qui a si profondément marqué l'enseignement de la musique du XlVe siècle et des quelques décennies qui suivirent, n'est sans doute pas étrangère à la floraison, au XVe siècle, des traités sur les proportions des valeurs de la notation mesurée.

Le <Tractatus de proportionibus> l'édition

Le texte du traité est parvenu par cinq manuscrits :

Berlin, Staatsbibliothek Preufiischer Kulturbesitz, Ms. lat. fol. 600,

f l-2v (5)

Glasgow, University Library, 461, f. 38r-42r (G) Milano, Biblioteca Ambrosiana, C 241 inf, f 124v-125v (M)

Paris, Bibliothèque Nationale de France, Lat. 7295, f 99r-100r {P)

Sankt-Paul, Stiftsbibliothek, 264/4, f 32r-36r {S^

Le Tractatus de proportionibus figurait également dans un manuscrit au­trefois conservé la Bibliothèque municipale de Tours (Ms. lat. 820, détruit en 1940). Il était sans doute suivi de la Musica speculativa et s'achevait sur un extrait (fragment?) de la Notitia artis musicae^^.

Dans les manuscrits B G M et P, le texte est suivi de la version mixte de la Musica speculativa. Dans le manuscrit de Sankt-Paul, il est suivi de la version A de ce même traité.

Notre édition repose sur M. Les témoins M et B s'accordent sur de nom­breux points et présentent l'un et l'autre les deux tableaux récapitulant la théorie des nombres. Les deux tableaux figurent également dans G. En re-

Ces statuts prévoient pour la licence ès arts ; „[...] nisi ultra predictos libros audierit Pari­

sius, vel in alio studio generali, librum Piiisicorum, de Generatione et corruptione, de Celo

et mundo, Parva Naturalia; videlicet libros de Sensu et Sensato, de Sompno et Vigilia, de

Memoria et Reminiscentia, de Longitudine et Brevitate vite, librum Metliapiiysice, vel quod

actu audiat eundem, et quod aliquos libros mathematicales audiverit; quodque audiverit li­

bros Morales, specialiter librum Etiiicorum quantum ad maiorem partem", D E N I F L E , Char­

tularium, p. 713-734 (p. 729)

On se reportera à la description, malheureusement trop sommaire, qu'en donne le Catalo­

gue Général des Manuscrits des Bibliothèques Publiques de France, vol. 37, Paris 1894, p.

610.

224

vanche les manuscrits G et P procèdent d'un archétype défectueux (omis­sion, par saut du même au même, de si vero-vacabitur [27]; voir aussi les variantes communes à 29, 45 et l'absence du tableau sur les nombres linéai­res et solides). P présente en outre quelques erreurs de copies remarquables, comme l'omission, par saut du même au même, de ad 12 - sed 18 (11-12). S, sans doute le témoin le plus tardif, semble issu d'une tradition isolée et multiplie inutilement les exemples numériques. 5* est la source de l'édition de Gerbert. L'édition de Gerbert présente quelques erreurs de transcription et des remaniements éditoriaux. Ces variantes n'ont pas été prises en consi­dération dans la rédaction de notre apparat critique.

Je tiens à remercier Dr. Michael Bernhard (Munchen, Bayerische Akade-mie der Wissenschaften, Lexicon musicum Latinum) et Dr. Martin Kim-bauer (Basel, Musikwissenschaftliches Institut der Universitât Basel) et les institutions dont ils relèvent, d'avoir mis à ma disposition des copies des manuscrits de Sankt-Paul et de Paris.

<Tractatus de proportionibus>

'Proportionum musicalium per venerandae memoriae magistrum lohannem de Mûris, scientiae musicalis expertissimum traditarum adipisci notitiam af­fectantes sequentia solerter attendant tamquam praesupposita et in arbore proportionum generalis secutura per divisiones exemplares magis spécifiée declarata. ^ Sunt etenim quinque proportionum inter se distincta gênera, sub et in quibus omnes proportiones generaliter continentur, scilicet: multiplex, superparticulare, superpartiens, multiplex superparti cul are, multiplex super-partiens.

Quorum primum genus, scilicet multiplex est, quando maior numerus continet minorem muitociens praecise, sic quod nihil desit aut supersit, et hoc bis, aut ter, aut quater, et sic deinceps usque in infinitum.

" Unde si maior numerus continet in se minorem bis praecise est proportio dupla, sicut 2 ad 1, sicut 4 ad 2, sicut 6 ad 3 et sic de singulis. Et sub hac proportione est consonantia diapason. ^Fuit enim ipsa consonantia inventa in numeris ponderum scilicet 12 et 6, ita quod 12 ponderans ad 6 ponderan­tem diapason consonantiam faciebat, prout inferius clarius innotescet. ^ Circa autem haec et infra scripta sciendum est, quod ad quodlibet quinque generum proportionum praedictorum, maiores numéros ad minores propor-

L a tradition parisienne de l'enseignement de Jean de Murs 225

tionantium, possunt aeque bene minores numeri ad maiores proportionari cum hac praepositione sub. 'Nam sequitur : maior numerus continet in se minorem bis, ergo minor numerus bis continetur in maiore. * Si igitur 2 ad 1 se habent in proportione dupla, 1 ad 2 se habebit in proportione subdupla, et sic de singulis suo modo. ' Sic igitur est submultiplex genus, quando minor numerus praecise continetur in maiori multotiens, scilicet bis, vel ter, ut de maiori numéro ad minorem superius est narratum.

'°Si autem maior numerus continet in se minorem numerum praecise ter, vocatur proportio tripla, sicut 3 ad 1, 6 ad 2, 9 ad 3 et sic de aliis. Sub hac proportione est consonantia diapason cum diapente. "Nam 12 ad 6 faciunt proportionem duplam, in qua est diapason: sed 18 ad 12 faciunt proportio-nem sesquialteram, in qua est diapente, ut inferius declarabitur. Sed 18 ad 6 se habent in proportione tripla, ut iam dictum est. Igitur diapason cum diapente consonantia est in proportione tripla. Quae inferius omnia clarius videbimur.

Si etiam maior numerus in se minorem continet quater, vocatur proportio quadrupla, sicut 4 ad 1, 8 ad 2, etc. Et sub hac proportione est consonantia bis dyapason. Habent se enim 12 ad 6 facientes diapason in proportione dupla, similiter 24 ad 12 facientes aliam diapason in proportione dupla, ergo 24 ad 6 facientes bis diapason in proportione.quadrupla se habebunt. '^Similiter autem si minor numerus continetur in maiori ter, vocatur pro­portio subtripla, sicut 1 ad 3, 2 ad 6, etc. Si minor numerus continetur in maiori quater praecise, vocatur proportio subquadrupla, sicut 1 ad 4, 2 ad 8. ' Idem et eodem modo débet intelligi de proportionibus quintupla, sub­quintupla, sextupla, subsextupla, et fit sic ulterius in infinitum procedendo suo modo etc.

'^Secundum autem genus vocatur superparticulare vel subsuperparticulare. Et est genus superparticulare quando scilicet maior numerus continet in se minorem tantum semel, et aliquam vel aliquotam eius partem praecise.

Genus autem subsuperparticulare est, quando minor numerus totus cum aliqua eius parte aliquota praecise continetur semel in maiori. Circa quod est advertendum quod pars aliquota est, quae aliquem numerum multiplicat, vel aliquotiens sumpta reddit praecise suum totum, seu cuius resumptio to-tum cuius est pars praecise potest reddere, sicut unitas quemlibet numerum similem, et binarius quemlibet numerum parem.

Unde si maior numerus continet in se minorem totum et alteram eius par­tem, vocatur proportio sesquiaitera, sicut 3 ad 2, 6 ad 4 etc. Et sub hac pro-

226 Christian Meyer

portione est consonantia diapente. ' Fuit enim ipsa reperta in numeris pon­derum 9 et 6, scilicet 9 ponderans ad 6 ponderantem diapente consonantiam resonabit, de quibus inferius plus dicitur. Similiter si minor numerus cum eius altéra seu média parte continetur in maiori, vocatur proportio subses­quialtera, sicut 2 ad 3, 4 ad 6.

Si vero maior numerus continet in se minorem semel totum, et eius tertiam partem, vocatur proportio sesquitertia, sicut 4 ad 3, 8 ad 6 et sic de aliis. Et sub hac proportione est diatessaron. ""Nam ipsa fuit inventa in numeris ponderum 8 et 6, videlicet quod 8 ponderans ad 6 ponderantem diatessaron faciebat, de qua specialius post dicetur. Similiter si minor numerus cum eius tertia parte praecise continetur in maiori, vocatur proportio subsesqui-tertia, sicut 3 ad 4, 6 ad 8 et sic de aliis.

Si vero maior numerus continet in se minorem et eius quartam partem, vo­catur proportio sesquiquarta, sicut 5 ad 4, 10 ad 8 etc. et si econverso erit proportio subsesquiquarta, sic eodem modo posset ulterius procedere, nam si quintam sesquiquinta et econverso subsesquiquinta, si vero sextam ses-quisexta et econverso subsesquisexta vocabitur, si vero septimam sesqui-septima et econverso subsesquiseptima. Si maior continet minorem totum et eius octavam partem proportio sesquioctava vocabitur, sicut 9 ad 8, 18 ad 16, 27 ad 24 etc. Sub qua proportione manet tonus, quia ipse fuit inventus in numeris ponderum 9 et 8, ut quod 9 ponderans ad 8 ponderantem faciebat tonum, sicut inferius erit clarum et sic de singulis suo modo.

Tertium vero genus vocatur superpartiens vel subsuperpartiens, et est ge­nus superpartiens quando maior numerus continet minorem in se totum se­mel, et eius insuper partem non aliquotam sed aliquantam vel aliquas etiam aliquotas, quae simul tamen sumptae non faciunt unam aliquotam. ' Genus autem subsuperpartiens est quando minor numerus totus semel cum eius ali-quanta parte, non aliquota, continetur in maiori. Circa quae notandum est, quod pars aliquanta seu non aliquota sicut hic sumitur est opposita parti ali-quotae. Nam pars aliquanta dicitur illa, quae per quemcumque numerum multiplicata seu quotienscumque resumpta non reddit suum totum praecisse, sed semper plus vel minus. Et sunt species generis superpartientis scilicet hee superbipartiens, supertripartiens, superquadripartiens et sic usque in in-finitum, sicut generis multiplicis species sunt dupla, tripla, quadrupla, etc.

Generis quoque superparticularis species sunt sesquiaitera, sesquitertia, et cetera. "' Unde si maior continet in se minorem totum semel et eius duas partes, quae simul sumptae non faciunt aliquam aliquotam partem, erit pro-

La tradition parisienne de l'enseignement de Jean de Murs 227

portio superbipartiens, sicut 5 ad 3, 7 ad 5, etc. Et si fiat econverso, erit pro­portio subsuperbipartiens. Et est hic advertendum, quotae sint huius par­tes, scilicet tertiae, quintae vel septimae, et sic ulterius: et primo modo erit proportio superbipartiens tertias, ut 5 ad 3. Si secundo modo, erit propor­tio superbipartiens quintas, ut 7 ad 5, quae est minor priore, quia tertia pars alicuius maior est quinta eiusdem, et sic ulterius secundum quantitatem par­tium, et earum quotitatem est proportio denominanda. ''' Et si maior numerus continet in se minorem totum semel et insuper très partes eius, vocatur pro­portio supertripartiens, sicut 7 ad 4, quae est supertripartiens quartas, et si­cut 8 ad 5, quae est supertripartiens quintas et cetera. Et e converso erit pro­portio subsupertripartiens, sicut 4 ad 7 et cetera. """Si autem maior numerus continet in se minorem totum semel et eius quatuor partes, vocatur proportio superquadripartiens, sicut 9 ad 5, quae est superquadripartiens quintas, et si­cut 11 ad 7, quae est superquadripartiens septimas, et sic de aliis. E conver­so vero erit proportio subsuperquadripartiens, sicut 5 ad 9, etc. Et sic mo­do simili in quolibet génère usque in infmitum est ulterius procedendum.

'' Quartum vero genus est, quod ex multiplici et superparti cul ari coniungi-tur, et vocatur multiplex superparticulare, vel submultiplex superparticulare.

Et est genus multiplex superparticulare, quando maior numerus continet in se multotiens minorem et insuper eius aliquam partem aliquotam vel aliquas non aliquotas, quae tamen simul sumptae reddunt unam partem aliquotam. ''''Genus autem submultiplex superparticulare est, quando minor numerus multotiens et eius aliqua pars aliquota continetur in maiori. ''' Species autem multiplicis superparticularis sunt hee : dupla sesquiaitera, dupla sesquitertia etc., similiter tripla sesquiaitera etc., quadrupla sesquiaitera etc. usque in in­fmitum sic procedendo. '' Unde si maior numerus continet in se minorem bis et eius alteram partem, vocatur proportio dupla sesquiaitera, ut 5 ad 2, 10 ad 4 etc., si tertiam partem, vocatur duplasesquitertia, ut 7 ad 3, 14 ad 6 etc. Si vero fiat econverso, erunt proportiones subduplasesquialtera, ut sunt 2 ad 5 et subduplasesquitertia, ut 3 ad 7 etc. ''' Si vero maior numerus conti­net in se minorem ter et eius alteram partem, vocatur proportio triplases-quialtera, ut 7 ad 2, 14 ad 4, si tertiam partem, vocatur proportio triplases-quitertia, sicut 10 ad 3, 20 ad 6, et e converso ad subproportionandum mino­res numéros ad maiores, et sic de aliis usque in infmitum etc.

'**Quintum autem genus vocatur multiplex superparfiens vel submultiplex superpartiens, et est multiplex superpartiens, quando maior numerus conti­net in se minorem totum multotiens et insuper eius aliquam partem non ali­quotam sed aliquantam, aut plures aliquotas, quae tamen simul sumptae non

228 Christian Meyer i

faciunt aliquotam unam. Et secundum multiplicitatem et quantitatem et quotitatem partium denominanda est proportio, ut dupla, tripla, quadrupla et ultra, ut bipartiens, tripartiens, quadripartiens et ultra, ut tertias, quartas, quintas etc. usque in infmitum, quae omnes sunt species istius generis.

Unde si maior numerus continet in se minorem bis et eius duas partes, vo­catur dupla superbipartiens, ut 8 ad 3, 16 ad 6, quae est dupla superbipar­tiens tertias, si très partes vocatur dupla supertripartiens, sicut 11 ad 4, 22 ad 8, etc. quae est supertripartiens quartas. ' Si vero maior numerus continet in se minorem ter et eius duas partes, vocatur proportio tripla superbipartiens, sicut 11 ad 3, 22 ad 6 etc. Si autem très partes, vocatur tripla supertripar­tiens, sicut 15 ad 4, 30 ad 8 et sic in infmitum. ^^E converso autem iuxta praedicta possunt subproportionari minores numeri similiter ad maiores, quia genus submultiplex superpartiens non est aliud, quam quando minor numerus multipliciter et eius aliquanta pars non aliquota etc. in maiori nu­méro continetur. Nam 3 ad 8 se habent in proportione subdupla superbi­partiente, et 4 ad 11 in proportione subdupla supertripartiente, et 3 ad 11 se habent in proportione subtripla superbipartiente, et 4 ad 15 in proportione subtripla supertripartiente. ''Et haec sufficiant de generibus proportionum in generali, et apparent in sequenti figura etc.

BM

Sequitur arbor proporcionum in qua omnium generum specierumque pro­portionum patent et descriptiones et exempla necnon numerorum in omni ip-sorum varietate denominationes liquent declarationes et exempla etc.

BGMPS (ed. M)

DISCRETA QUANTITAS respective

Multiplex

Dupla. Quando maior numerus continet minorem bis précise ut 8.4, 32.16

Tripla. Quando maior numerus continet minorem ter précise ut 9.3, 30.10

Quadrupla. Quando maior numerus continet minorem quater précise ut 8.2, 12.3

Superparticularis

Sesqualtera. Quando maior numerus continet minorem et eius partem 2"" ut 6.4

L a tradition parisienne de l'enseignement de Jean de Murs 229

Sesquitercia. Quando maior numerus continet minorem et eius partem 3"" ut 8.6 ••

Sesquiquarta. Quando maior numerus continet mmorem et eius partem 4"" ut 10 8

Superpartiens ' - • ' - -v ' • •»

Superbipartiens. Quando maior numerus continet mmorem et eius partes 2°' ut 5.3

Supertripartiens. Quando maior numerus continet minorem et eius partes 3°" ut 4.7

Superquadripartiens. Quando maior numerus continet minorem et eius partes 4"' ut 9 11

Multiplex superparticularis

Dupla

Sesqualtera. Quando maior numerus continet minorem ter et eius partem 2"'" ut 14.4

Sesquitertia. Quando maior numerus continet minorem ter et eius partem 3"" ut 20.6

Sesquiquarta. Quando maior numerus continet minorem ter et eius partem 4"'" ut 26 8

Tripla

Sesqualtera. Quando maior numerus continet minorem ter et eius partem 2°'" ut 14.4

Sesquitertia. Quando maior numerus continet minorem ter et eius partem 3"'" ut 20.6

Sesquiquarta. Quando maior numerus continet minorem ter et eius partem 4'"" ut 26 8

Multiplex superpartiens

Dupla

Superbipartiens. Quando maior numerus continet minorem bis et eius aliquas partes 2"

ut 10.4

Supertripartiens. Quando maior numerus continet minorem bis et eius aliquas partes 3"'

ut 15.6 . ,

Superquadripartiens. Quando maior numerus continet minorem bis et eius aliquas par­

tes 4"' ut 14.5

Tripla . . . . - -i '

Superbipartiens. Quando maior numerus continet minorem ter et eius aliquas partes 2"

ut 17.5

Supertripartiens. Quando maior numerus continet minorem ter et eius aliquas partes 3"

ut 15.4

230 Christian Meyer

Superquadripartiens. Quando maior numerus continet minorem ter et eius aliquas pa;

tes 4°^ ut 19.5 .. ,

Sequitur tabula quantitatum (BMG ed. M) A ^ . <

QUANTITAS ^, ^ \

C O N T I N U A

< 1 > Lineari.s

Numerus a duobus inchoans semper addita unitate

<2> Superficialis

equilatera

^ - trigonus ex additione sequentis ad precedentem nullo dimisso intervallo

tetragonus ex additione sequentis ad precedentem uno dimisso intervallo

pentagonus ex additione sequentis ad precedentem duobus intervallis dimissis

exagonus ex additione sequentis ad precedentem tribus dimissis intervallis

eptagonus ex additione sequentis ad precedentem 4 dimissis intervallis

cubicus quando tria latera sunt inter se equalia

inequilatera

scalenos quando tria latera sunt inter se inequalia

laterculus quando duo latera tantum sunt inequalia

antelongior quando precedens tertium a se multiplicat

. p a r a l l e l i p e d u s quando precedens quartum a se multiplicat

altéra parte longior quando precedens secundum a se multiplicat

<3> corporalis

pvramis (quaelibet subdividitur in perfectam et curtam) ^

triangula

quadrangula ^ " ' "

penthagona

exagona

L a tradition parisienne de l'enseignement de Jean de Murs 231

non concurrens ' ' " ' d ^ / * „ Î V ^- - ,

, cubi qui ex equalibus per equalia equaliter producuntur

cunes qui ex inequalibus per inequalia inequaliter producuntur

laterculi qui ex inequalibus equaliter et in minus producuntur =

asseres qui ex equalibus equaliter ad maius producuntur

D I S C R E T A ut numerus

Diffmitive, numerus est multitudo ex unitatibus aggregata, vel unitatum coUectio

vel quantitatis acervus ex unitatibus profusus vel multitudo mensurata uno vel com-

positorum.

<\>Par

: Diffmitive, par, qui potest dividi in duo equaliter medio non interveniente, vel qui

dividi potest in duo maxima et duo minima, vel qui ab impari in partes similis pari-

tatis vel imparitatis superatus vel ipsum superat unitate.

Subiectivae partes

pariter par, quem nullus impar numerat.

pariter impar, quem quicumque secundum imparem numerat.

impariter par, quem quidam par impariter secundum quemdam" parem nume­

rat.

Intégrales partes

perfectus, qui précise ex suis partibus aliquotis producitur.

' habundans, qui ex suis partibus aliquotis non précise producitur sed plus,

diminutus, qui précise ex suis partibus aliquotis non producitur sed minus.

<2> Impar

primus et incompositus, cui sola unitas est pars aliquota.

secundus et compositus, cui aliquid praeter unitatem est pars aliquota.

non comitans. Secundus et incompositus secundum ad alium vero relatus primus

et incompositus.

quemdam secundum M

232 ets^M vh ?s fe Christian Meyer

lit loannis de Mûris tractatus de proportionibus Gerbertus Compendium proportionum

ad musicam mûris quae statim sequitur permaxime necessarium M | Liber proportio­

num musicalium Magistri Johannis de Mûris (olim canonicj parisiensium[sous rature])

P

1 proportionum-Iohannem] proportionum adipisci musicalium per venerandae memo­

riae magistro lohanne S \] expertissimo traditarum adipisci no­

titiam S I attendant] intendant PS \m om. P \m principia praesupposita

GPS I praesupposita om. B | et om. S \s PM 2 inter se distincta S \s pro­

portiones generaliter S | scilicet] ut sunt hec S \x superparticulare] et add. GP

3 continet] in se add. BM \] multipliciter S \t hoc] et hoc modo P scilicet S

I aut ter] vel ter P \t quater] vel quater GP | quater] etc. add. S | deinceps] ulterius S \

4 numerus] pars numeri S \] minorem numerum GS \] sic B om. PS \­

cut ] sic B om. PS I 3] 8 ad 4 add. S | et sic de singulis] etc. BP 5 consonantia] om. P |

scilicet-6] 12 et 6 scilicet PS \m om. P \] sicut 5 6 est sciendum

BGP I ad om. B \] praedictorum generum P \m om.

GP 7 maiore] maiori GPS 8 igitur] ergo PS \] habeant GS | singulis] aliis

BGS ceteris P \] ipso BS 9 igitur] ergo BS \t om. M \r précise BS \

multotiens] om. BM multipliciter S | scilicet] vel add. GP | ter] etc. add. BGP aut qua­

ter et cetera add. S | ut] prout M

10 numerum] om. P \] tune add P \e aliis] de ceteris P \] Et sub PS | 11 ad 12

faciunt - [12] sed 18 om. P \] et S 12 habet P \] ergo S \] que

inferius omnia declarabuntur B que clarius infra videbimur G que inferius clarius vi-

debuntur P Infra de his videbitur magis clare S

13 in-continet] continet minorem P continet in se minorem 5 | 4] est 4 P | etc.] 12 ad

3, 16 ad 4, 20 ad 5 et sicut 24 ad 6 et sic de aliis S \s dyapason] duplex diapason 5

14 enim se BGP \d 12-ergo 24 om. P \a proportione GPS \e habebunt om. S

15 si] et si S \r S \e GS \] 3 ad 9 et sic de aliis S \] si vero BGPS

I in maiore contineatur S \e om. P \] quadrupla P \] ut 4 ad

1 P I 8] etc. add. G 3 ad 12 et sic de aliis add. S 16 sextupla subsextupla] om. P \-

etc] et sic ulterius in infinitum procedendo suo modo B et ulterius in infinitum M et

cetera in infinitum P etc. usque in infinitum S

17 autem] vero S \] om. BMP \] et est quando P \t

om. GPS I minorem] numerum add. P \] eius partem aliquotam G | partem

eius S 18 eius aliqua S \e om. M \l om. P 19 est advertendum] notandum

est S I est quae] est illa quae G \r illa quae S | multiplicat] multiplicata P \m

totum praecise PS \

20 eius alteram GPS | partem] id est mediam partem add. GPS \] 9 ad 6 et ita de

ceteris 5 | est] et sic 5 21 reperta] consonantia inventa S | 9] ut 9 BGP \] ad GMP \

scilicet] ut scilicet BS \] resonabat BGS resonabunt P | quibus] qua P | infe­

rius dicitur] plus dicitur inferius G \s dicetur in sequentibus P \] dicetur 5

22 seu] eius add. P \e S \] précise add. P \] sesquiaitera P

I 6] 6 et sic de aliis G 6 etc P 6 ad 9 et sic de aliis 5

L a tradition parisienne de l'enseignement de Jean de Murs 233

23 numerus om. BM \l om. P | 6] 12 ad 9 add. S \t sic de aliis] et sic de singulis

BG etc. P 24 et] ad BGMP \m om. P \e qua] quibus P \e qua-dicetur]

specialius de hoc infra S 25 contineatur S \e S | subsesquitertia proportio PS \

sesquiquarta BM | 8] 9 ad 12 add. S \t sic de aliis om. M

26 partem om. BM \] fiet proportio add. B fiet add. M 27 potes] posset M |

procedere ulterius S | procedi P | quintam] partem add. S | sesquiquinta] erit proportio

sesquiquinta BM \' om. S \] si P \] om. MS \i vero-(28)vocabitur]

om. GP I vero^ om. S 28 si-sesquioctava] si vero octavam partem sesquioctava pro­

portio S I vocabitur] dicetur BM | sicut] sic P \] et sic de aliis GPS 29 sub qua] et

sub hac S \] est enim proportio octava sub qua manet GP \t 8] ad 8 5? | fa­

ciebat] faciebant P \t clarum] declarabitur clarius P \e manifestum add. S | et

sic de singulis suo modo] om. GS \] aliis BP \o modo] om. P

30 vel superpartiens om. P \^ om. P \] qui BM \n se minorem S \m

aliquas BS | etiam om. GP \] eius add. P 32 seu-sumitur] sicut (prout GP) hic

sumitur seu non aliquota BGPS 33 dicitur] est GS \] quantumcumque P |

seu quotienscumque resumpta om. S | semper om. S | semper] vel add. GP 34 generis

om. S I superpartientis generis P \e scilicet 5 | scilicet hee scilicet B | et sic om. S

35 sesquitertia] sesquiquarta add. S \. om. M 36 numerus om. BM \m in se

G I et] et insuper S \] unam GP \m aliquotam G | erit-superbipartiens] vo­

catur superbipartiens proportio S \. om. S \o om. M | subsuperbipartiens]

sicut 3 ad 5, 5 ad 7 etc. add. S 37 huiusmodi GPS \] vel add. G \] vel

add. G I ulterius et] ulterius si PS 38 quinta] parte add. P \] eorum P 39 et']

om. S I et -eius] et eius très partes S \t proportio om. GS | sicut 4] sic 4 S 40 qua­

tuor partes] quartam partem P | superquadripartiens'] subquadripartiens P \t 9] sic

9 M I sicut 11] sic 11 6 | superquadripartiens^] quadripartiens M | et sic de aliis] om. M

I erit] est BM \. om. S 41 quolibet] hoc GP \] procedendum est P

ulterius est procedendum S

43 superparticulare] particulare P \m multotiens GP minorem multipliciter S |

eius insuper S \m eius P 44 autem] vero S \] particulare P \

multotiens] multipliciter S \a pars aliquota] aliquota pars M 45 tripla sesquiaite­

ra] tripla sesquitertia add S \c procedendo om. GP 46 in se om. S \t alteram partem

eius P \] 15 ad 6 ac?. S I vero om. MS \t om. PS 47 proportio' om. S | proportio^

om. S I 6 ] etc. add. 5 | et] si 5 | subproportionandum] proportionandum P \s

om. S I etc.] om. GP

48 est] genus add. GS \] multipliciter S \r eius] om. G eius insuper S

I insuper om. P \] aliquantas seu non aliquotae tamen simul sumpte

non faciunt unam aliquotam P \] om. BM 49 etc.] et sic P \s sunt S \]

huius P 50 ut 8] sicut 8 PS* | 16] ut 16 G | 6] 6 etc. GP \. P om. 51 proportio om.

PS I sicut 11] ut 11 G I sic in] sic de aliis usque in S 52 praedicta] supradicta GPS \

possunt] similiter add. S \r om. PS \] multiplicatur P \] om.

GS 53 superbipartiente] superpartiente BGM \^ om. S | in proportione^-ad 11 om. P

I superbipartiente et 4 - subtripla] om. BMP 54 de om.GS \] etiam add. M |

figura] arbore seu figura M \n figura sequenti P \. om. P | et apparent - etc.] quae

234 î . - Christian Meyer

omnia quantum ad numéros maiores proportionatos ad minores poteris in sequenti fi­

gura clarius speculari. Verte folium et vide figura. S

55 arbor] figura B \s et exempla] et exempla declarationes B \] om. B