∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 6. ∫ sin2xdx.

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

A/ NGUYÊN HÀM

1. ĐỊNH NGHĨA: Cho hàm số xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K

nếu F’(x) = f (x) với mọi x thuộc K. Ký hiệu: f(x)dx = F(x) + C

2. TÍNH CHẤT: '( ) ( )f x dx f x C ( ) ( ) ( 0)kf x dx k f x dx k [ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx

3. Bảng các nguyên hàm cơ bản:

Hoï nguyeân haøm F(x)+C Hoï nguyeân haøm F(x)+C

adx = ax + C x

dx =

1

1

xC

cotgxdx = ln sin x C

1

x

dx = ln x C

( )ax b dx =

a

1 1( )

1

ax bC

xa dx =

ln

xa

C

a

1

ax bdx =

1ln ax b C

a

xe dx = e

x + C

sinxdx = -cosx + C

ax be

dx =

1 ax be C

a

cosxdx = sinx + C sin(ax+b)dx =

1cos( )ax b C

a

2

1

cos x

dx = tanx + C cos(ax+b)dx = 1

sin( )ax b C

a

2

1

sin x

dx = -cotx + C 2

1

cos ( )ax b

dx = 1

tan( )ax b C

a

'( )

( )

u x

u x

dx = ln ( )u x C

2

1

sin ( )ax bdx =

1cot( )ax b C

a

tgxdx = ln cos x C

2 2

1

x adx =

1ln

2

x aC

a x a

4. Các phương pháp tính nguyên hàm: Tính I = f(x)dx

Phương pháp 1: Đổi biến số

Phương pháp 2: Nguyên hàm từng phần

Baøi 1: Tính caùc nguyeân haøm baèng caùch söû duïng baûng nguyeân haøm

1.

.154

3

34

dxx

xx

2. ax

dx

3. (3- x2)

3dx

4. xx ee

dx

5. dxx

x 2)1

(

6. sin2xdx.

7. x

dx.

8. (a + bx)2dx - (a - bx)

2dx.

9. (1 - sinx)2dx + (1 + cosx)

2dx

10. .52 x

dx

11. dxx.313 .

12. 22 xx

dx

13. 2

5

)25( x

dx

14. (sin5x - sin5 )dx.

15. 92 x

dx

16. dxx

x

1

3

17. xx

dx5ln

18. dxe

ex

x

12

2

19. (e2x

+5)2e

2xdx

20. cos(3ex +1)e

xdx

21. tan

2.

cos

xedx

x

Bước 1: Đặt dxxudtxut )()( ' (Một biểu thúc chứa biến x)

Bước 2: Chuyển nguyên hàm đã cho sang nguyên hàm theo biến t ta được

f(x)dx = g(t)dt = G(t) + C (*)

Bước 3: Thay t = u(x) vào (*) ta được nguyên hàm cần tìm.

Nếu u = u(x), v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì :

u.v'dx = u.v - u'vdx Hoặc udv = uv - vdu

Baøi 2 : Tính caùc nguyeân haøm sau (ñoåi bieán soá):

1. (2x - 5)5dx

2. x(1 + x2)

4/3dx

3. x2(8 - x

3)

4 dx

4. sin3xdx

5. cos3xdx

6. sinxcos4xdx

7. cosxsin5xdx

8. sin3x.cos

2xdx

9. (esinx - cosx)cosxdx

10. dxxex

2

11. cos3xsin

2xdx

12. dxx

x

ln

13. dx

x

x2

ln

14. dxx

x

ln1

15. dxx

x

2ln1

16. dxx

x sin21

cos

17. x(4-x)3dx

18. x x52 dx

19.

dx

xx

x

53

322

20. x2(x

3 - 8)

3dx

Baøi 3 : Tính caùc nguyeân haøm sau baèng phöông phaùp töùng phaàn:

1. (1 - 3x)exdx

2. xe2x

dx

3. x.e-x

dx

4. lnxdx

5. x2lnxdx 6. x2

ex

7. xsinxdx

8. xcosxdx

9. (2x-1)sinxdx

10. (1- 4x)cosxdx

11. dxx

x 2cos

12. dxx

x 2sin

13. (x2 - 4x + 3)e

xdx

14. exsinxdx

15. excosxdx

16. xlnxdx

17. xln(x+1)dx

18. xsinx5xdx

19. xcos3xdx

20. ln(5x+1)dx

Baøi 4: Tính caùc tích phaân sau (duøng ñònh nghóa, Tính chaát vaø baûng nguyeân haøm):

1. 1

3

0

1I x x dx

2.

2

1

2)1( dxxx

3. 3

0

3cos

xdx

4.

0

2

4sin

xdx

5. 2

0

)3

sin(

dxx

6. 2

0

)4

cos(

dxx

7. 2

0

4sin2sin

xdxx

8. 2

0

3coscos

xdxx

9.

2

2

3cos5sin

xdxx

10. 2

0

2sin

xdx

11. 2

0

2cos

xdx

12.

1

0

2

1dx

x

x

13.

2

1

2

2

2

2dx

x

x

14.

3

1

3

3 4dx

x

xx

15.

4

2

2

3 1dx

x

x

16.

5

1

3

1dx

x

x

17. 5

13 2

1dx

x

18.

2

1

2 )1

1( dxx

x

19. 3

2

1

1dx

x

20.

2

1

3

34 154dx

x

xx

21.

2

0

2 9x

dx

22.

1

0

2 65

2

xx

dx

23. dxxx

1

2

1 )2(

1

24.

5

3

2 2

1dx

xx

25. dxx

3

0

2

26. dxx

1

1

12

27. dxx

5

0

24

28.

2

2

1 dxx

29. dxx

2

1

32

Baøi 5: Tính caùc tích phaân sau (Baèng phöông phaùp ñoåi bieán soá ):

1. 2

0

3 sincos

xdxx

2. 2

0

3 cossin

xdxx

3.

4

0 2sin21

2cos

dxx

x

4.

2

5

0

cos xdx

6.

2

0 13cos2

3sin

dxx

x

7.

4

2

0

1 sin2xdx

cos x

8.

1

0

2 )3(dx

x

x

9.

2

1

3)2( dxx

10.

1

3 4 3

0

(1 )I x x dx

12.

1

0

3)1( dxxx

13.

dxx 3

22

1

3 53

14.

4

0 12

1

x

15. dxx3

41

0

41

18.

1

0

xdx

2x 1

21.

8

3 1dx

x

x

23. e

dxx

x

1

ln

24.

2

11

dxe

ex

x

26.

e

dxx

x

1

ln1

5. dxx

0

2

3sin

11.

1

2 2

0

5

( 4)

xI dx

x

16.

1

0

6)2( dxxx

17.

1

0

x 1 xdx

29.

2

0

2

1dx

e

ex

x

Bài 6: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần

Một số dạng thường gặp:

Dạng 1. ax( ). , ( )sin(ax ) , ( ) os(ax )bP x e dx P x b dx P x c b dx

Cách giải: Đặt ax( ), (hoac sin( ) , cos( ) )bu P x dv e dx dv ax b dx dv ax b dx

Dạng 2. ( ) ln(ax )P x b dx

Cách giải: Đặt ln(ax ), ( ) .u b dv P x dx

a. 1

2

0

( 1) xx e dx b.

2

2 2

1

xx e dx c. 6

0

(1 )sin 3x xdx

d. 5

2

3

ln( 1)x x dx e. 0

cosxe xdx

g.

2

2

1

ln(1 )xdx

x

Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng

Nếu hàm số ( )y f x liên tục trên ;a b thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

( )y f x , trục hoành và hai đường thẳng ,x a x b là ( )

b

a

S f x dx .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số ( )y f x , ( )y g x và hai đường thẳng ,x a x b

là ( ) ( )

b

a

S f x g x dx

Tính thể tích vật thể. Thể tích vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm

,a b là ( )

b

a

V S x dx . Trong đó S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc

với trục Ox tại điểm có hoành độ là ;x a b và S(x) là một hàm liên tục.

Tính thể tích khối tròn xoay.

Hàm số ( )y f x liên tục và không âm trên ;a b . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( )y f x ,

trục hoành và hai đường thẳng ,x a x b quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích

V được tính bởi công thức 2 ( )

b

a

V f x dx .

Bài 7. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của các hàm số sau.

a. 2 42y x x và trục hoành b. 3 23 4y x x và đường thẳng 1 0x y

c. 2 3sin cosy x x ; 0y và 0;2

x x

d. 2 2 ; 3y x x y x

e. 2

2 8; ;

8

xy x y y

x f. 2 4 3 ; 3y x x y x

Bài . Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục mỗi hình phẳng giới hạn bởi.

a. lny x ; trục hoành và hai đthẳng 1, 2x x . c. 2os sin , 0, 0, 2.y c x x x y x x

b. xy xe , trục hoành và đường thẳng 1x d. 2

, 2, 42

xy y y .

TRẮC NGHIỆM

Loại . HỌ NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ

Câu 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. 0dx C B. 1

d lnx x Cx

C. 1

d1

xx x C D. dx x C

Câu 2. Tìm nguyên hàm của hàm số cos3f x x A. cos3 3sin3xdx x C . B.

cos3 sin3xdx x C .

C. sin3

cos33

xxdx C . D.. sin3

cos33

xxdx C

Câu 3. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2sinf x x A. 2sin 2cosxdx x C . B. 22sin sinxdx x C

C. 2sin sin 2xdx x C D. 2sin 2cosxdx x C

Câu 4. Tính 1. dx xe e x ta được: A. 1.x xe e C . B. 2 11

2

xe C . C. 2 12 xe C . D. Một kết quả khác.

Câu 5. [ Đề 2018 ] Nguyên hàm của hàm số 4 2f x x x là

A. 34 2x x C . B.

5 31 1

5 3x x C . C.

4 2x x C . D. 5 3x x C .

Câu 6. [ Đề 2018 ] Nguyên hàm của hàm số 3f x x x là

A. 4 2x x C . B. 23 1x C . C. 3x x C . D. 4 21 1

4 2x x C .

Câu 7. [ Tham khảo 2018] Họ nguyên hàm của hàm số 23 1f x x là

A. 3x C . B.

3

3

xx C . C. 6x C . D.

3x x C .

Câu 8. [ĐỀ 2017] Cho ( )F x là một nguyên hàm của hsố ( ) 2xf x e x thỏa mãn 3

(0)2

F . Tìm ( )F x .

A. 2 3

( )2

xF x e x B. 2 1

( ) 22

xF x e x

C. 2 5

( )2

xF x e x D. 2 1

( )2

xF x e x

Câu 9. [THAM KHẢO 2019] Họ nguyên hàm của hàm số e xf x x là

A. 2e x x C . B. 21

e2

x x C . C. 21 1e

1 2

x x Cx

. D. e 1 x C .

Câu 10. Hàm số 3xF x e là một nguyên hàm của hàm số:

A. 3xf x e . B.

323 . xf x x e . C.

3

23

xef x

x. D.

33 1. xf x x e .

Câu 11. [ĐỀ 2017] Cho hsố ( )f x thỏa mãn ( ) 3 5sinf x x và (0) 10f . Mđề nào dưới đây là đúng?

A. ( ) 3 5cos 5f x x x B. ( ) 3 5cos 2f x x x

C. ( ) 3 5cos 2f x x x D. ( ) 3 5cos 15f x x x

Câu 12. Nếu 3

d3

xxf x x e C thì f x bằng

A. 4

3

xxf x e . B. 23 xf x x e . C.

4

12

xxf x e . D. 2 xf x x e .

Câu 13. Nếu 1

d lnf x x x Cx

thì f x là

A. lnf x x x C . B. 1

f x x Cx

. C. 2

1lnf x x C

x. D.

2

1xf x

x.

Câu 14. Tìm nguyên hàm của hàm số 1

5 2f x

x

A.

1ln 5 2

5 2 5

dxx C

x

. B. 1

ln(5 2)5 2 2

dxx C

x

.

C. 5ln 5 25 2

dxx C

x

. D. ln 5 25 2

dxx C

x

.

Câu 17. [ĐỀ 2017] Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 7xf x .

A. 7 7 ln 7x xdx C B. 7

7ln 7

xx dx C

C. 17 7x xdx C D.

177

1

xx dx C

x

Câu 18. Cho hàm số y f x có đạo hàm là 1

'2 1

f xx

và 1 1f thì 5f có giá trị bằng

A. ln 2. B. ln3. C. ln2 1. D. ln3 1.

Câu 21. [ĐỀ 2017] Tìm nguyên hàm ( )F x của hàm số thỏa mãn 22

F

.

A. ( ) cos sin 3F x x x B. ( ) cos sin 3F x x x

C. ( ) cos sin 1F x x x D. ( ) cos sin 1F x x x

( ) sin cosf x x x

Loại . TÌM HỌ NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

Câu 23. [ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017] Tìm nguyên hàm của hàm số 2 1.f x x

A. 2

d 2 1 2 1 .3

f x x x x C B. 1

d 2 1 2 1 .3

f x x x x C

C. 1

d 2 1 .3

f x x x C D. 1

d 2 1 .2

f x x x C

Câu 24. Để tính ln

dxe

xx

theo phương pháp đổi biến số, ta đặt: A. ln .xt e B. ln .t x C. .t x D. 1

.tx

Câu 25. F x là một nguyên hàm của hàm số 2xy xe . Hàm số nào sau đây không phải là F x :

A. 21

22

xF x e . B. 21

52

xF x e . C. 21

2

xF x e C . D. 21

22

xF x e .

Câu 26. [ĐỀ 2017] Cho ( )F x là nguyên hàm của hàm số ln

( )x

f xx

. Tính ( ) (1)F e F

A. I e . B. 1

Ie

. C. 1

2I . D. 1I .

Câu 27. F x là một nguyên hàm của hàm số ln x

yx

. Nếu 2 4F e thì ln

dx

xx

bằng

A. 2ln

2

xF x C . B.

2ln2

2

xF x . C.

2ln2

2

xF x . D.

2ln

2

xF x x C .

Câu 28. F x là một nguyên hàm của hàm số sin cosxy e x .Nếu 5F thì sin cos dxe x x bằng

A. sin 4xF x e . B. sin xF x e C . C. cos 4xF x e . D. cosxF x e C .

Câu 29. F x là nguyên hàm của hàm số 4sin cosy x x . F x là hàm số nào sau đây?

A. 5cos

5

xF x C . B.

4cos

4

xF x C .C.

4sin

4

xF x C . D.

5sin

5

xF x C .

Loại . TÌM HỌ NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

Câu 30. Để tính ln 2 dx x x theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta đặt: ....

d .....

u

v

Câu 31. Để tính 2 cos dx x x theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta đặt: ....

d .....

u

v

Câu 32. Kết quả của dxI xe x là

A. x xI e xe C . B. 2

2

xxI e C . C. x xI xe e C . D.

2

2

x xxI e e C .

Câu 33. [ĐỀ 2017] Cho ( ) ( 1) xF x x e là một nguyên hàm của hsố 2( ) xf x e . Tìm nguyên hàm của hsố 2( ) xf x e .

A. 2( ) d (4 2 )x xf x e x x e C B.

2 2( ) d

2

x xxf x e x e C

C. 2( ) d (2 )x xf x e x x e C D.

2( ) d ( 2)x xf x e x x e C

Câu 34. Hsố 1 xf x x e có một nguyên hàm F x là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này bằng 1 khi 0x ?

A. 1 xF x x e . B. 2 xF x x e . C. 1 1xF x x e . D. 2 3xF x x e .

Câu 35. [THAM KHẢO 2019] Họ nguyên hàm của hàm số 4 1 ln f x x x là

A. 2 22 ln 3x x x . B. 2 22 ln x x x . C. 2 22 ln 3 x x x C . D. 2 22 ln x x x C .

Loại . ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN

Câu 41. Cho hàm số f x liên tục trên đoạn ;a b . Hãy chọn mệnh đề sai dưới đây:

A. d d

b a

a b

f x x f x x . B. .d ,

b

a

k x k b a k .

C. d d d

b c b

a a c

f x x f x x f x x với ;c a b . D. d

b a

a b

f x dx f x x .

Câu 42. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. 1

1

d 1x . B. 1 2 1 2. d d . d

b b b

a a a

f x f x x f x x f x x .

C. Nếu f x liên tục và không âm trên đoạn ;a b thì d 0

b

a

f x x . D. Nếu 0

d 0

a

f x x thì f x là hàm số lẻ.

Câu 43. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. d d d

b c b

a a c

f x x f x x f x x với mọi , , a b c thuộc tập xác định của f x .

B. Nếu d 0

b

a

f x x thì 0, ;f x x a b . C. 2

2

d2 1

1

xx C

x.

D. Nếu F x là nguyên hàm của hàm số f x thì F x là nguyên hàm của hàm số f x .

Câu 46. Cho 5

2

d 10f x x . Khi đó 2

5

2 4 df x x bằng: A. 32. B. 34. C. 36. D. 40.

Câu 47. Cho 1

0

d 2 f x x và 1

0

d 5 g x x khi đó 1

0

2 d f x g x x bằng : A. 3 . B. 12 . C. 8 . D. 1 .

Câu 48. Cho 2

1

d 1f x x và 4

1

d 3f t t . Giá trị của 4

2

df u u là: A. 2 . B. 4 . C. 4. D. 2.

Câu 49. Cho hàm f liên tục trên thỏa mãn d 10, d 8, d 7

d d c

a b a

f x x f x x f x x . Tính d

c

b

I f x x , ta được.

A. 5I . B. 7.I C. 5.I D. 7I .

Câu 50. Cho biết 3 4 4

1 1 1

d 2, d 3, d 7f x x f x x g x x . Khẳng định nào sau đây là sai?

A. 4

1

d 10.f x g x x B. 4

3

d 1.f x x C. 3

4

d 5.f x x D. 4

1

4 2 d 2.f x g x x

Câu 52. Cho 2

0

( ) 5f x dx

. Tính 2

0

( ) 2sinI f x x dx

. A. 7I B. 52

I

C. 3I D. 5I

Câu 53. [ĐỀ 2017] Cho

2

1

( ) 2f x dx

và

2

1

( ) 1g x dx

. Tính 2

1

2 ( ) 3 ( )I x f x g x dx

A. 5

2I B.

7

2I C.

17

2I D. 11

2I

Câu 54. Cho 1

1d

ax

x ex

với 1a . Khi đó, giá trị của a thỏa mãn là: A. 1

e. B. e . C.

2

e. D. 2e .

Câu 56. [ Đề 2018 ]

2

13 2

dx

x bằng: A.

2ln 2.

3 B.

1ln 2.

3 C. ln 2. D. 2ln2.

Câu 57. [ Tham khảo 2018] Tích phân

2

0

d

3x

x bằng: A.

16

225. B.

5log

3. C.

5ln

3. D.

2

15.

Câu 59. Nếu 5

1

dln

2 1

xc

x với c thì giá trị của c bằng: A. 9 . B. 6. C. 3. D. 81.

Câu 63. Biết rằng 1

0

2 3d ln 2

2

xx a b

x với , a b . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. 5a . B. 4b . C. 2 2 50a b . D. 1a b .

Câu 65. Một vật chuyển động với vận tốc 2 4

1,2 m/s3

tv t

t. Quãng đường vật đó đi được trong 4 giây đầu tiên bằng

bao nhiêu ? [Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm].

A. 18,82 m. B. 11,81m. C. 4,06 m. D. 7,28 m.

Câu 66. Một vật chuyển động theo quy luật 3 216

2s t t với t [giây] là khoảng tgian tính từ khi vật bắt đầu chuyển

động và s [mét] là qđường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 6 giây, kể từ khi bắt

đầu chuyển động, vtốc lớn nhất của vật đạt được là bao nhiêu? A. 24 (m/s) B. 108 (m/s) . C. 18 (m/s) D. 64 (m/s)

Loại . TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI 1

Câu 72. Đổi biến số 4sinx t của tích phân 8

2

0

16 dI x x , ta được:

A. 4

2

0

16 cos dI t t . B. 4

0

8 1 cos2 dI t t . C. 4

2

0

16 sin dI t t . D. 4

0

8 1 cos2 dI t t .

Câu 73. Cho tích phân 1

20

d

4

xI

x. Nếu đổi biến số 2sinx t thì:

A. 6

0

dI t . B. 6

0

dI t t . C. 6

0

dtI

t. D.

3

0

dI t .

Câu 74. Đổi biến số 3 tanx t của tích phân 3

2

3

1d

3I x

x, ta được:

A. 3

4

3 d .I t B. 3

4

3 d.

3

tI

t C.

3

4

3d .

3I t t D.

3

4

3d .

3I t

Loại . TÍNH TÍCH PHÂN = PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI 2

Câu 75. Cho hàm số f x có nguyên hàm trên . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. 1 1

0 0

d 1 df x x f x x . B. 0

d 2 d

a a

a

f x x f x x .

C. 0 0

sin d sin df x x f x x . D. 1 2

0 0

1d d

2f x x f x x .

Câu 76. [ĐỀ 2017] Cho

6

0

( ) 12f x dx . Tính

2

0

(3 )I f x dx . A. 6I B. 36I C. 2I D. 4I

Câu 77. Nếu f x liên tục và 4

0

d 10f x x , thì 2

0

2 df x x bằng: A. 5. B. 29. C. 19. D. 9.

Câu 78. Hàm số y f x có nguyên hàm trên ;a b đồng thời thỏa mãn f a f b . Lựa chọn phương án đúng:

A. ' d 0

b

f x

a

f x e x . B. ' d 1

b

f x

a

f x e x . C. ' d 1

b

f x

a

f x e x . D. ' d 2

b

f x

a

f x e x .

Câu 79. Cho f x là hàm số lẻ và liên tục trên ;a a . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. 0

d 2 d

a a

a

f x x f x x . B. d 0

a

a

f x x . C. 0

d 2 d

a

a a

f x x f x x . D. 0

d 2 d

a a

a

f x x f x x .

Câu 80. Cho f x là hàm số lẻ và 0

2

d 2f x x . Giá trị của 2

0

df x x là: A. 2. B. 2 . C. 1. D. 1 .

Câu 81. Cho f x là hàm số chẵn và 0

1

d 3f x x . Giá trị của 1

1

df x x là: A. 3. B. 2. C. 6. D. 3 .

Câu 82. Tính tích phân 2

2 3

0

1dI x x x . A. 16

9. B.

16

9. C.

52

9. D.

52

9.

Câu 83. Cho 2

2

1

2 1dI x x x và 2 1u x . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. 3

0

dI u u . B. 2

1

dI u u . C.

33

2

0

2

3I u . D. 2 3I .

Câu 84. Biến đổi 3

0

d1 1

xx

x thành

2

1

df t t , với 1t x . Khi đó f t là hàm nào trong các hàm số sau?

A. 22 2f t t t . B. 2f t t t . C. 2f t t t . D. 22 2f t t t .

Câu 85. Cho tích phân 3 2

2

1

1d

xI x

x. Nếu đổi biến số

2 1xt

x thì:

A.

2

3 2

2

2

d

1

t tI

t. B.

3 2

2

2

d

1

t tI

t. C.

2

3 2

2

2

d

1

t tI

t. D.

3

2

2

d

1

t tI

t.

Câu 88. Biết rằng 1

2

0

d ln1

xI x a

x với a . Khi đó giá trị của a bằng: A. 2a B.

1

2a . C. 2a . D. 4a .

Câu 89. [ĐỀ 2017] Cho

1

0

1 1ln 2 ln3

1 2dx a b

x x

với a, b là các số nguyên. Mđ nào dưới đây đúng ?

A. 2a b . B. 2 0a b . C. 2a b . D. 2 0a b .


1

lnd

xI x

x. A. 2.I B.

2ln 2.

2I C. ln2.I C.

2ln 2.

2I

Câu 92. Đổi biến lnu x thì tích phân 2

1

1 lnd

ex

I xx

thành:

A. 0

1

1 dI u u . B. 1

0

1 duI u e u . C. 0

1

1 duI u e u . D. 0

2

1

1 duI u e u .

Câu 93. Cho 1

1 3lnd

ex

I xx

và 1 3lnt x . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. 2

1

2d .

3I t t B.

2

2

1

2d .

3I t t C.

2

3

1

2

9I t . D.

14.

9I


1

0

d .xI xe x A. .2

eI B.

1.

2

eI C.

1.

2

eI D. .I e

Câu 97. Biến đổi ln 3

0

d

1x

x

e thành

3

1

df t t , với xt e . Khi đó f t là hàm nào trong các hàm số sau?

A. 2

1f t

t t. B.

1 1

1f t

t t. C.

1 1

1f t

t t. D.

2

1f t

t t.

Câu 99. Để tính tích phân 2

sin

0

cos dxI e x x ta chọn cách đặt nào sau đây cho phù hợp?

A. Đặt sin xt e . B. Đặt sint x . C. Đặt cost x . D. Đặt xt e .

Câu 100. Biến đổi 2

2

sin

4

sin 2 dxe x x thành 1

1

2

df t t , với 2sint x . Khi đó f t là hàm nào trong các hsố sau?

A. sin2tf t e t . B. tf t e . C. sintf t e t . D. 1

2

tf t e .


0

cos sin d .I x x x A. 41.

4I B. 4.I C. 0I . D.

1.

4I


32

0

sin 2 1 sin dI x x x . A. 4

64I . B.

15

4I . C.

31

4I . D.

7

4I .

Loại . TÍNH TÍCH PHÂN = PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Câu 103. Tính 2

1

ln d .I t t Chọn khẳng định sai?A. 2ln2 1.I B. 4

ln .e

C. ln 4 log10 . D. ln 4 .e

Câu 104. Biết 2

1

ln 1 1d ln 2

2 2

ax

I xx

. Giá trị của a bằng: A. 2 . B. ln 2 . C. 4 . D. 8 .

Câu 105. Kết quả của tích phân 3

2

2

ln dI x x x được viết ở dạng ln3I a b với , a b là các số nguyên. Khi đó

a b nhận giá trị nào sau đây? A. 1 . B. 0 . C. 1 . D. 2 .

Câu 106. Tính 1

ln d .

e

I x x x A. 1

.2

I B. 2 2

.2

eI C.

2 1.

4

eI D.

2 1.

4

eI

Câu 107. [ Đề 2018] Cho 2

1

2 ln d

e

x x x ae be c với , ,a b c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a b c . B. a b c . C. a b c . D. a b c .

Câu 112. Kết quả tích phân 1

0

2 3 dxI x e x được viết dưới dạng I ae b với , a b . Khẳng định nào sau đây là

đúng? A. 2a b . B. 3 3 28a b . C. 3.ab D. 2 1a b .


0

sin 2 dI x x x . A. 1I . B. 2

I . C. 1

4I . D.

3

4I .

Loại . TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Câu 120. Viết công thức tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục

hoành và hai đường thẳng , x a x b a b là

A. d .

b

a

S f x x B. d .

b

a

S f x x C. 2 d .

b

a

S f x x D. d .

b

a

S f x x

Câu 121. Cho đồ thị hsố y f x . Diện tích S của hình phẳng [phần tô đậm trong hình dưới] là:

A. 3

2

dS f x x .B. 0 3

2 0

d dS f x x f x x . C. 2 3

0 0

d dS f x x f x x . D. 0 0

2 3

d dS f x x f x x .

Câu 122. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?

A. 2

2

1

2 2 4 d

x x x . B. 2

1

2 2 d

x x . C. 2

1

2 2 d

x x . D. 2

2

1

2 2 4 d

x x x .

Câu 123. Diện tích của hphẳng g.hạn bởi đthị hsố 3 2y x x và 23y x được tính theo ct:

A. 2

3 2

0

3 2 dS x x x x . B. 1 2

3 2 3 2

0 1

3 2 d 3 2 dS x x x x x x x x .

C. 2

3 2

0

3 2 dx x x x . D. 1 2

3 2 3 2

0 1

3 2 3 2 dS x x x dx x x x x .

Câu 124. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số 2 2y x và 3y x là

A. 2S . B. 3S . C. 1

2S . D.

1

6S .

Câu 125. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3y x x và đồ thị hàm số 2.y x x

A. 37

.12

S B. 9

.4

S C. 81

.12

S D. 13.S

Câu 126. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường exy , 0y , 0x , 2x . Mệnh đề nào dưới đây

đúng? A. 2

2

0

e dxS x .

B. 2

0

e dxS x .

C. 2

0

e dxS x .

D. 2

2

0

e dxS x .

Câu 136. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường lny x x , trục hoành và đường thẳng x e .

A. 2 1

4

eS . B.

2 1

6

eS . C.

2 1

8

eS . D.

2 1

2

eS .

Câu 137. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hsố xy e x , trục hoành, trục tung và đường thẳng 1x là

A. 1

.2

S e B. 1

.2

S e C. 1.S e D. 1.S e

Câu 138. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường xy e x , 1 0x y và ln5x là

A. 5 ln 4S . B. 5 ln 4S . C. 4 ln5S . D. 4 ln5S .

Loại . TÍNH THỂ TÍCH VẬT TRÒN XOAY

Câu 145. Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị

hàm số ,y f x trục Ox và hai đường thẳng , ,x a x b a b xung quanh trục .Ox

A. 2 d .

b

a

V f x x B. 2 d .

b

a

V f x x C. d .

b

a

V f x x D. d .

b

a

V f x x

y=f(x)

y

xO

3-2

x

y

O

2 2 1y x x

2 3y x

2

1

Câu 146. Cho hình phẳng trong hình [phần tô đậm] quay quanh trục hoành. Thể tích khối

tròn xoay tạo thành được tính theo công thức nào?

A. 2

d

b

a

V f x g x x . B. 2 2 d

b

a

V f x g x x .

C. 2

d

b

a

V f x g x x . D. d

b

a

V f x g x x .

Câu 147. Viết công thức tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mp vuông góc với trục Ox tại các điểm

, ,x a x b a b có thiết diện bị cắt bởi mphẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x a x b là S x .

A. d .

b

a

V S x x B. d .

b

a

V S x x C. d .

b

a

V S x x D. 2 d .

b

a

V S x x

Câu 148. Viết Kí hiệu H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 1 ,xy x e trục tung và trục hoành. Tính thể tích

V của khối tròn xoay thu được khi quay hình H xung quanh trục .Ox

A. 4 2 .V e B. 4 2 .V e C. 2 5.V e D. 2 5 .V e

Câu 149. [ Đề 2018] Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường 3 3, 0, 0, 2y x y x x . Gọi V là thể tích của

khối tròn xoay được tạo thành khi quay H xung quanh trục Ox . Mđề nào dưới đây đúng?

A. 2

2

0

3 dV x x . B. 2

2

0

3 dV x x .

C. 2

22

0

3 dV x x . D. 2

22

0

3 dV x x

Câu 150. Thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng 0x và 3x , có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông

góc với trục Ox tại điểm có hoành độ 0 3x x là một hình chữ nhật có hai kích thước bằng x và 22 9 x , bằng:

A. 3V . B. 18.V

C. 20.V D. 22.V

Câu 152. [ĐỀ 2017] Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong 2 cosy x , trục hoành và các đường thẳng

0,2

x x

. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

A. 1V B. ( 1)V

C. ( 1)V D. 1V

Câu 153. Hình phẳng C giới hạn bởi các đường 2 1y x , trục tung và tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 1y x tại điểm

1;2 , khi quay quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng

A. 4

.5

V B. 28

.15

V C. 8

.15

V D. .V

Câu 154. Khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị 2: 2P y x x và trục

Ox sẽ có thể tích là:

A. 16

.15

V B. 11

.15

V C. 12

.15

V D. 4

.15

V

Câu 155. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong 3 6 0x y , trục hoành và các đường thẳng xy e . Khối tròn

xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

A. 0, 1x x B. 2

2

eV

C.

2( 1)

2

eV

D.

2 1

2

eV

Câu 156. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong xy e , trục hoành và các đường thẳng 0, 1x x . Khối tròn xoay

tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu ?

A. 2

2

eV

B.

2( 1)

2

eV

C.

2 1

2

eV

D.

2( 1)

2

eV

Câu 157. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong 2, 2x y , ox và các đthẳng 0, 2x y . Khối tròn xoay tạo

thành khi quay D quanh ox có thể tích V bằng bao nhiêu?

A. 2, 2x y B. 2V C. 4

3V

D. 2V

Câu 159. Thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi : lnC y x , trục Ox và

đường thẳng x e là A. 2 .V e B. 1 .V e C. .V e D. 1 .V e

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 6. ∫ sin2xdx.

Documents

Transcript of ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 6. ∫ sin2xdx.