Matemáticas 6°

Guía de Estudio

Matemáticas 6°

COLEGIO SOLEIRA

GUÍA DE ESTUDIO – MATEMÁTICAS 6°

Docente: Katherine Arango Año: 2021 Momento: I

TEMA: Números enteros.

OBJETIVO: Comprender y aplicar el conjunto de números enteros a problemas de la vida cotidiana.

FECHA:

INSTRUCCIONES: Lee atentamente la guía y resuélvela en compañía de un compañero o compañera.

Puedes hacer uso de las notas de tu cuaderno.

NÚMEROS ENTEROS

Los números enteros son útiles para indicar el puntaje que gana o pierde un equipo o un jugador en algunos deportes o

en algunos juegos. Por ejemplo, en el fútbol americano se puede modelar con números enteros la cantidad de yardas

que un equipo avanza o retrocede con respecto a una línea de referencia denominada scrimmage. A continuación se

hará un breve recorrido por la historia de los conjuntos, particularmente natural y entero.

Desde la era primitiva el hombre siempre buscó respuestas a sus inquietudes. La inquietud permitió la aparición de

conceptos abstractos en la mente del hombre primitivo ya evolucionado. Cuando el hombre desarrolla la capacidad de

darle sentido racional a las cosas, nace el concepto de cantidad. Inicialmente no utilizábamos la notación indo – arábiga,

sino representábamos, las cantidades, con marcas en los árboles, con un montón de piedras, nudos en sogas, etc. Los

recursos que utilizábamos dependían de la cultura donde estábamos ubicados. Diversas culturas representan la noción

de cantidad según su desarrollo lo permitía. Fruto de esta diversidad nacen las notaciones de cantidad como la romana,

babilónica, griega, etc. Se sabe que los babilonios utilizaron simples enteros positivos para tratar de contar unas pocas

ovejas, mientras que hoy en día los enteros positivos no satisfacen el complejo mundo de las matemáticas. Desde luego

el significado que cada grupo social asigna a un determinado conocimiento o idea, implica mucho en su visión de vida.

Por ejemplo los pitagóricos tenían una explicación de la realidad basada en los números. Filolao, filósofo pitagórico,

resume perfectamente el papel tan importante que se le otorgaba: “El número reside en todo lo que es conocido. Sin él

es imposible pensar nada ni conocer nada.” La facultad de contar está implícita en la aparición del número. Se mencionó

que el hombre hacía marcas, aunque a veces los seguimos haciendo, para representar ciertas cantidades, pues esta

actividad, que perdura desde tiempos inmemoriales, se formalizó en cada cultura con el número. El hombre advirtió que

todos los conjuntos de objetos o de seres tienen una cualidad en común, con independencia de la naturaleza de los

objetos o de los seres que lo componen. La cualidad se denomina número. Un ejemplo práctico reside en que el hombre

al realizar tantas marcas, juntar tantas piedras, hacer tantos nudos deduce racionalmente, según la contabilidad de cada

objeto, que dichas contabilidades conllevan a “representaciones”, que no depende de qué estuviese contando, sino más

bien del número de marcas, de piedras, de nudos, etc. Entonces se estableció un símbolo para cada contabilidad

respectiva. La contabilidad de una oveja se simbolizaría con I, 1, etc., según cada cultura establezca como universal. El

nacimiento de los sistemas numéricos tiene como precedente esta sistematización de universalidad. De ahí que la

notación que utilizamos hoy en día, que en general, fueron traídos de la India a Europa, por los árabes en el siglo X.

Hasta esta línea se ha presentado la aparición del número. Sin embargo todo aquello se debe a la necesidad por la cual

evoluciona las matemáticas, pues bien, tenemos que ingresar con esto a la aparición de dos grandes ideas en la

matemática: El número natural y entero. La matemática evoluciona o cambia, para otros, según el contexto lo permita

para dar solución a problemas.

El número natural

Desde que nos levantamos a diario para realizar nuestras labores, utilizamos el número natural. Si usted no se ha

percatado de esto, pues simplemente fíjese en el número de libros que tiene en su biblioteca, en el número de camisas,

o mejor en el número de compañeros de su clase. Para contabilizar los objetos, utilizamos en general, los números

naturales, por decir 3 pelotas, 100 estrellas, etc. También los números naturales nos sirven para ordenar o numerar; por

ejemplo decimos el Universitario 2 está tercero en la tabla de posiciones o también Alianza 3 está en primer lugar en el

torneo local. Entonces, acordamos que los números naturales tiene dos primeras características: la cardinalidad y la

ordinalidad. La representación simbólica de los números naturales, se presupone que surgió antes del nacimiento de las

palabras para “representarlos”, seguramente porque es más fácil contar muescas en un palo que establecer una frase

para identificar un número concreto. Los símbolos que representan a los números no han sido siempre los mismos. Se

muestra a continuación la simbolización de diversas culturas respecto a los números naturales, según su contexto.

• En Egipto mediante jeroglíficos (base 10)

• En Grecia mediante el alfabeto griego.

• Los mayas utilizaban notaciones particulares.

• En Roma las letras como indicador de cantidad

• En la actualidad, la notación Indo – Árabe.

Finalmente se estableció el conjunto de los números naturales, con la notación adoptada por la letra ℕ, y es el siguiente:

ℕ = { 1,2,3,4 ,...,100,101,....}

Los números naturales se pueden sumar y multiplicar, pero no todos se pueden restar o dividir. Es por esto que se hace

una extensión al conjunto de los naturales, la necesidad de completitud genera el conjunto de los números negativos.

Los números negativos

Los números negativos antiguamente conocidos como “números deudos” o “números absurdos”, datan de una época

donde el interés central era la de convivir con los problemas cotidianos a la naturaleza. Las primeras manifestaciones de

su uso se remontan al siglo V, en oriente, y no llega hasta occidente hasta el siglo XVI. En oriente se manipulaban

números positivos y negativos, estrictamente se utilizaba los ábacos, usando tablillas o bolas de diferentes colores.

Sin embargo, los chinos no aceptaron la idea de que un número negativo pudiera ser solución de una ecuación.

Corresponde a los Indios la diferenciación entre números positivos y negativos, que interpretaban como créditos y débitos,

respectivamente, distinguiéndolos simbólicamente. Además el cero también es atribuido a esta cultura, hacia el año 650

d. C. Se debe tener en cuenta que los griegos utilizaban magnitudes negativas en sus teoremas del álgebra geométrica,

pero este siempre referido a las propiedades de la operación de restar, tales como, por ejemplo, 4-3=1. Sin embargo

fueron los indios los encargados de mostrar reglas numéricas para ello, esto en positivos y negativos. Es así que

Brahmagupta, matemático indio, contribuye al álgebra con presentación de soluciones negativas para ecuaciones

cuadráticas. La primera vez que aparece sistematizada de los números negativos y del cero es en la obra de

Brahmagupta. La notación muy difundida para los números positivos y negativos fue gracias a Stifel. La difusión de los

símbolos germánicos (+) y (-), se popularizó con el matemático alemán Stifel (1487 – 1567) en el siglo XV, antes de ello

se utilizaba la abreviatura de p para los positivos y m para los negativos. Hasta fines del siglo XVIII los números negativos

no eran aceptados universalmente. Gerolamo Cardano, en el siglo XVI, llamaba a los números negativos “falsos”, pero

en su Ars Magna (1545) los estudió exhaustivamente. Jhon Wallis (1616 - 1703), en su Aritmética Infinitoum (1655),

“demuestra” la imposibilidad de su existencia diciendo que “esos entes tendrían que ser a la vez mayores que el infinito

y menores que cero”. Leonardo Euler es el primero en darles estatuto legal, en su Anteitung Zur Algebra (1770) trata de

“demostrar” que (-1).(-1) = +1; argumentaba que el producto tiene que ser +1 ó -1 y que, sabiendo que se cumple (1).(-

1)=-1, tendrá que ser: (-1).(-1) = +1. Está bien si en este punto aun no comprendes algunos conceptos, pues los

abordaremos este periodo con mayor detenimiento, solo estamos rememorando un poco de historia. Los números

negativos, además complementan o extienden el conjunto de los números naturales, generado por un defecto de los

números naturales: la generalidad para la operación de resta y división. Por ejemplo 5 – 9 resulta – 4, que no es natural,

no se cumple entonces la propiedad de clausura o cerradura en los naturales. El hombre, visto en la imposibilidad de

realizar, en general, la operación de resta crea otro conjunto, que viene hacer el conjunto de los números negativos. Los

números naturales junto con los negativos formarán luego el conjunto de los números enteroS. Observemos el siguiente

gráfico:

Donde:

• Los enteros positivos (positivos en el gráfico), se denota con ℤ+.

• Los enteros negativos (negativos en el gráfico), se denota con ℤ−.

• El cero no tiene signo, es neutro.

La distancia del cero a un número entero positivo +a, será la misma que la de un negativo –a; ambos entonces de igual

magnitud. Así esto es denominado como valor absoluto. El cero es aquel número entero que no posee ningún signo

respectivo, vale decir no es positivo ni negativo; más aún es el nexo entre estos dos.

Esquemáticamente:

Entonces los números enteros se representan por ℤ y está formado por los números naturales ℕ, sus “opuestos” (los

números negativos) y el cero.

CONCLUSIONES

1. Los números nacen junto la evolución del hombre, se origina de la práctica en la naturaleza.

2. La necesidad en la matemática la impulsa para ir cambiando y evolucionando.

3. Cada cultura dio manifestaciones de la noción de cantidad y la idea de número en sus representaciones.

4. Los enteros no fueron aceptados de manera universal hasta el siglo XVIII, sin embargo ya era usado por algunas

culturas.

5. El cero no se origina formalmente junto con los números naturales.

6. Es necesario aplicar la historia de las matemáticas, como recurso didáctico, en el proceso de enseñanza y aprendizaje

de las matemáticas.

Ahora que ya sabemos que elementos conforman el conjunto de los números enteros, procederemos a ordenarlos, operar

con ellos y agregar unas operaciones especiales.

Orden en números enteros

Los números enteros están ordenados. De dos números representados gráficamente, es mayor el

que está situado más a la derecha, y menor el situado más a la izquierda.

Ejemplo

• 5 > 3, quiere decir que 5 es mayor que 3.

• −10 < −7, quiere decir que -10 es menor que -7 .

Criterios para ordenar los números enteros

1. Todo número negativo es menor que cero. −7 < 0

2. Todo número positivo es mayor que cero. 7 > 0

3. De dos enteros negativos es mayor el que veamos en la recta numérica que se acerca más al cero. −10 < −7,

4. De los enteros positivos, es mayor el que más lejos este del cero. 10 > 7

En los torneos de fútbol que se juegan por puntos, las posiciones se determinan a partir de la cantidad que haya

conseguido cada equipo.

Si dos equipos están empatados en puntos, se utiliza un segundo criterio que es la diferencia de goles. Este número

corresponde a tomar los goles que anota el equipo y restarle los goles que recibe, por ejemplo, en la tabla que se muestra,

se indica que el equipo Patriotas Boyacá anotó en el torneo 23 goles y recibió 19, por tanto, su diferencia de goles es

23 − 19 = 4, un número natural.

Representación de los números enteros en la recta numérica

Los números enteros se pueden ubicar en una recta numérica, de manera que a cada número entero le corresponda un

único punto de la recta. Para su construcción, se ubica primero el 0 y a partir de él se hacen marcas hacia ambos lados

de tal forma que tengan la misma distancia entre sí. Los enteros positivos se ubican a la derecha de 0 y los enteros

negativos a la izquierda de 0, así:

Ejemplo: Ubicar los números enteros -3, -1 y 2 en la recta numérica.

Primero, se dibuja la recta numérica. Luego, se hace un punto sobre la recta numérica donde esté ubicado el número solicitado, en este caso los números -3, -1 y 2.

Números opuestos y valor absoluto

En el juego de la cuerda dos equipos con la misma cantidad de jugadores se alinean para agarrar una misma cuerda, la cual se marca en un punto para indicar la posición inicial de cada jugador de la siguiente forma:

• Cada equipo está en un lado diferente de la cuerda con respecto a la marca. • Si un jugador está a una determinada distancia de la marca de la cuerda, debe haber un jugador en el otro equipo

que esté a la misma distancia.

Cuando los jugadores están en sus posiciones y empieza el juego, cada equipo debe halar la cuerda hasta lograr que el rival caiga. Se puede decir, por las posiciones iniciales de los jugadores, que cada uno tiene su opuesto en el equipo contrario.

Números opuestos

Dos números enteros son opuestos cuando están a la misma distancia de cero en la recta numérica y tienen signos diferentes.

Ejemplo: Ubicar el número 4 y su opuesto en la recta numérica.

La distancia que hay del número 4 al número 0 es de 4 unidades. El opuesto del número 4 es el número -4 porque también está a 4 unidades del número 0 y tiene signo diferente.

El valor absoluto de un número entero es la distancia del número a cero en la recta numérica. Este se simboliza como |a| y se lee valor absoluto de a.

ACTIVIDAD

1. Lee cada expresión. Luego, marca V, si es verdadera o F, si es falsa.

2. Indica a qué es igual |5| y establece una relación entre el valor absoluto de un número y el valor absoluto de su opuesto.

3. Completa con > o < según corresponda.

4. La apnea tiene diferentes modalidades, dando como resultado diferentes récords mundiales. Si en la modalidad

peso constante sin aletas (PCS) el récord femenino es la altura -72 m y en la modalidad peso constante con

aletas (PCA), el récord femenino es -101 m, ¿en cuál modalidad se alcanza la mayor profundidad?

5. Selecciona según corresponda con los signos <, > o =.

6. Plantea una situación opuesta y el número entero que la representa.

a. Laura ganó 100.000 pesos.

b. El termómetro registró una temperatura de 7ºC bajo cero.

c. El valor del pasaje intermunicipal de ciudades se incrementó en $1.500.

7. Ordena los números y escribe la letra correspondiente. Descubre algunos departamentos de Colombia.

a. De menor a mayor

b. De mayor a menor

8. Completa la tabla, en cada caso selecciona el número correspondiente.

Operaciones entre números enteros

En un campeonato de baloncesto, tres cursos de grado sexto obtuvieron los siguientes resultados:

Para conocer los puntos que obtiene cada grado, se debe plantear una adición de números enteros, donde los puntos

a favor se representan con números enteros positivos y los puntos en contra con números enteros negativos. Por ejemplo,

los puntos del grado 6A se obtienen al resolver 115 + (-120).

Adición y sustracción de números enteros Para sumar números enteros se debe tener en cuenta lo siguiente:

• Suma de dos números enteros con distinto signo: se restan los números y al resultado se le coloca el signo del número mayor. Ejemplo: −4 + 3 = −1

• Suma y resta de dos números enteros con el mismo signo: se realiza la suma de los números y al resultado se le coloca el signo de los sumandos. Ejemplo: −4 − 3 = −7 4 + 3 = +7 = 7

ACTIVIDAD

1. Calcula la diferencia en grados entre la temperatura máxima y mínima de cada ciudad.

Simplificación de signos de agrupación y paréntesis Para resolver operaciones que combinan sumas y restas con números enteros se suprimen los signos de agrupación teniendo en cuenta las siguientes reglas:

• Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo más, se deja la cantidad que está dentro de él con el mismo signo.

• Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo menos, se cambia el signo de la cantidad que está dentro de él.

+(𝑎) = +𝑎 + (−𝑎) = − 𝑎 − (𝑎) = − 𝑎 − (−𝑎) = + 𝑎

En este punto se aclara que se utiliza ley de signos, ya que el paréntesis implica una multiplicación. Ejemplo En una olimpiada de matemáticas el equipo de Tatiana y Carlos ganó 350 puntos en la primera ronda, en la segunda perdió 120 puntos, en la tercera ganó 230 puntos y en la última perdió 50 puntos. Al finalizar la competencia, ¿cuántos puntos obtuvo el equipo? Para resolver la situación se le resta a la cantidad de puntos que ganó el equipo la cantidad de puntos que perdió, así:

(350 + 230) − (120 + 50) = 350 + 230 − 120 − 50 =

410 Por tanto, al finalizar las olimpiadas de matemáticas el equipo de Tatiana y Carlos obtuvo 410 puntos. Ejemplo

Suprimir signos de agrupación y realizar las operaciones.

(𝟏𝟗 + 𝟖) − {𝟏𝟏 − [(−𝟐 + 𝟏𝟐) − (𝟑𝟑 − 𝟐𝟐)]}

En primer momento se efectúan las operaciones que están dentro de los paréntesis

(𝟐𝟕) − {𝟏𝟏 − [(𝟏𝟎) − (𝟏𝟏)]}

Se suprimen los paréntesis

𝟐𝟕 − {𝟏𝟏 − [𝟏𝟎 − 𝟏𝟏]}

Se suprimen los corchetes

𝟐𝟕 − {𝟏𝟏 − 𝟏𝟎 + 𝟏𝟏}

Se efectúan las operaciones que están dentro de las llaves

𝟐𝟕 − {𝟏𝟐}

Se suprimen las llaves

𝟐𝟕 − 𝟏𝟐

Se realiza la resta

= 𝟏𝟓

ACTIVIDAD

1. Suma y resta con paréntesis.

2. Relaciona en cada caso el resultado con su respectiva operación.

3. Completa la tabla, en cada caso coloca el número correspondiente teniendo en cuenta los siguientes datos. El matemático griego Pitágoras nació en el año 580 a. C. y murió a los 86 años. Julio César, el emperador, nació en el año 100 a. C. y murió en el año 44 a. C. Tiberio nació en el año 42 a. C. y murió en el año 37 d. C.

Recordemos: para sumar o restar números enteros debes tener en cuenta que los paréntesis que aparezcan se eliminan de acuerdo con el signo + o - que le antecede. Se sigue la regla de los signos: el signo + conserva el signo del número que sigue, mientras que el signo - lo cambia. Observa cómo se simplifican las siguientes sumas y restas de enteros:

4. Identifica los sumandos, resuelve y completa los cuadros. Tabla 1 Tabla 2

a. Observa las dos últimas columnas de la tabla 1 y responde. ¿La adición de números enteros es conmutativa?

Justifica tu respuesta b. Observa las dos últimas columnas de la tabla 2 y responde. ¿La sustracción de números enteros es

conmutativa?

“Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero hay una pizca de descubrimiento en la solución de cualquier problema. Tu problema puede ser modesto, pero si es un reto a tu curiosidad y trae a juego tus facultades inventivas, y si lo resuelves por tus propios métodos, puedes experimentar la tensión y disfrutar del triunfo del descubrimiento.”

5. Un submarino que navegaba a -180 m recibe la orden de desplazarse entre -200 m y -350 m.

a. ¿Cuánto debe descender, como mínimo, para navegar en la zona permitida?

b. ¿Cuánto puede descender, como máximo, para navegar en la zona permitida?

c. El submarino navega por la zona permitida y recibe una nueva orden: desplazarse a -100 m. Representa en

dos rectas numéricas verticales, la zona permitida por la primera orden y la zona de la segunda orden.

d. Es posible que el submarino tenga que descender para acatar la segunda orden? ¿Por qué?

6. En un juego de mesa cada jugador avanza o retrocede su ficha según lo indique el tablero. Liliana partió del 0 y

anotó lo que sacó en cada ronda: con azul cada avance y con negro cada retroceso.

¿Con cuánto quedó después de sus avances y retrocesos?

7. Un termómetro marcaba 158C. Si la temperatura bajó 6 grados, ¿cuánto marca ahora?

8. A las 8 de la mañana, un termómetro marcaba -38C. Cuatro horas después la temperatura subió 5 grados, y siete

horas después bajó 8 grados. ¿Qué temperatura marcaba el termómetro a las 7 de la noche?

Resuelve y marca la alternativa correspondiente

9. Una gaviota que estaba posada sobre el mar, remonta vuelo hasta un mástil de 10 m de altura y después vuela

hasta una saliente de un faro, a 60 m de altura. ¿Cuántos metros sobre el nivel del mar ascendió la gaviota en el

trayecto del mástil al faro?

a. 70

b. 60

c. 260

d. 50

10. Cristina vive en el tercer piso. Baja en ascensor 4 pisos para ir al sótano y luego sube 5 pisos para visitar a su

amiga. ¿En qué piso vive su amiga?

a. 38

b. 28

c. 48

d. 18

11. En la primera etapa un buzo desciende 30 m bajo el nivel del mar y en la segunda, 45 m. ¿A cuántos metros bajo

el nivel del mar se encuentra al finalizar la segunda etapa?

a. 70

b. 275

c. 270

d. 75

12. Una depresión profunda del océano está a 10.982 m bajo el nivel del mar y una montaña a 7.580 m sobre el nivel

del mar. ¿Cuál es la distancia entre los extremos, suponiendo que una está debajo de la otra?

a. 7.968 m

b. 12.518 m

c. 20.881 m

d. 18.562 m

13. Completa las siguientes tablas

X 15 -79 9 45

-3

-67

18

-495

+ 15 -79 9 45

-3

-67

18

-495

- 15 -79 9 45

-3

-67

18

-495

5. Completa el siguiente cuadrado mágico

-4 1 3

5 -8

-5 -7 2

6 -9

AUTOEVALUACIÓN:

Describe cómo ha sido

tu proceso durante el

desarrollo de la guía,

ten en cuenta

responsabilidad,

comprensión,

aprovechamiento del

tiempo y asignar un

desempeño luego de la

descripción.

OBSERVACIONES:

describe

recomendaciones y

opiniones que tengas

para mejorar la guía.

COLEGIO SOLEIRA



TEMA: Áreas de figuras simples y complejas.

OBJETIVO: Calcular áreas de figuras simples y complejas.

FECHA:



Calcula las siguientes áreas, haciendo los procedimientos indicados

AUTOEVALUACIÓN:




ten en cuenta

responsabilidad,

comprensión,

aprovechamiento del

tiempo y asignar un


descripción.

OBSERVACIONES:

describe

recomendaciones y



COLEGIO SOLEIRA



TEMA: Capacidad y volumen

OBJETIVO: comprender la diferencia entre capacidad y volumen..

FECHA:



Realice el siguiente taller:

1. ¿Cuál es la diferencia entre capacidad y volumen?

2. ¿Cuál es la unidad de medida fundamental de la capacidad y del volumen?

3. Calcula el volumen de los siguientes recipientes, según su capacidad:

a) Una caja de: 5 litros - 1,3 litros - 7 litros - 3,5 litros - 6 litros - 4,5 litros y 2 litros.

b) Una botella de: 549 mililitros - 600 mililitros - 720 mililitros y 100 mililitros

4. Convierte los volúmenes obtenidos en el punto a) a centímetros cúbicos.

5. Convierte los volúmenes obtenidos del punto b) a decímetros cúbicos.

6. Calcula el volumen de los siguientes cuerpos geométricos:

AUTOEVALUACIÓN:




ten en cuenta

responsabilidad,

comprensión,

aprovechamiento del

tiempo y asignar un


descripción.

OBSERVACIONES:

describe

recomendaciones y



COLEGIO SOLEIRA



TEMA: Variables y tablas de frecuencia

OBJETIVO: Comprende el concepto y los tipos de variables estadísticas y realiza tablas de frecuencia

para datos no agrupados

FECHA:



1. Elige una variable cuantitativa y cualitativa

2. De acuerdo a esas variables realiza una encuesta a todos los estudiantes de tu salón y toma nota de las

respuestas.

3. Los datos que recogiste en la guía de la entrevista regístralos en la siguiente tabla y calcula las frecuencias.

DATOS ni fi Ni Fi pi

DATOS ni fi Ni Fi pi

4. Elabore un diagrama de barras, un diagrama circular, y un pictograma de las siguientes tablas de datos.

5. Con los datos tabulados de tu encuesta pasada, Elabore un diagrama de barras, un diagrama circular, y un

pictograma de las siguientes tablas de datos.

AUTOEVALUACIÓN:




ten en cuenta

responsabilidad,

comprensión,

aprovechamiento del

tiempo y asignar un


descripción.

OBSERVACIONES:

describe

recomendaciones y



COLEGIO SOLEIRA



TEMA: Números racionales en representación fraccionaria.

OBJETIVO: Comprender el concepto de fracción, representarlo, compararlo y realizar operaciones entre

fracciones homogéneas.

FECHA:



RESPONDE LAS PREGUNTAS 1 A LA 3 CON LA INFORMACIÓN CONTENIDA EN LA IMAGEN 1. La gaviota está volando a _________ m

_________ el nivel del mar.

2. El pez está nadando a _________ m

_________ el nivel del mar.

3. El cangrejo se encuentra a _________ m

_________ el nivel del mar

4. Escribir sobre la línea las coordenadas que

corresponden a cada punto.

A. ______

B______

C. (0 , −5)

D______

E. (6 , −3)

F______

G______

LOS EJERCICIOS DEL 5 AL 8 SON DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA

5. Conjunto de números enteros negativos que sean menores que – 8 y mayores o iguales que – 12.

A. {−8, −7, −6, −5, −4, −3, −2, −1}

B. {−9, −10, −11}

C. {−8, −9 − 10, −11, −12}

D. {−9, −10, −11, −12}

6. Si el buzo A baja a 70 metros bajo el nivel del mar, y el buzo B baja a 81 metros bajo el nivel del mar. ¿Cuál de

los dos está más cerca de la superficie?

A. el buzo A

B. están a la misma distancia

C. el buzo B

D. Depende de la profundidad del mar

7. En Bogotá, el día 19 de enero estaban a 5º bajo cero, y el 20 del mismo mes estaban a 7º bajo cero. ¿Qué día

fue más alta la temperatura?

A. el 19 de enero

B. deberíamos vivir en Bogotá

C. el 20 de enero

D. están a la misma temperatura

8. Un caracol asciende por una pared de 10 metros de altura, durante el día sube tres metros y en las noches se

duerme, se resbala y desciende 2 metros ¿cuántos días tarda el caracol en llegar a la cima?

A. 1 día

B. 3.3 días

C. 10 días

D. 12.5 días

9. Un avión vuela a 12500, pies de altura cuando el piloto recibe una comunicación de la torre de control indicándole

que debe elevarse 1700 pies más, debido a la cercanía de unas montañas. Después para evitar una tormenta, se

eleva 650 pies más. Un poco más tarde, desde la torre le piden al piloto descender 7200 pies y comenzar a

preparar el aterrizaje. ¿A qué altura vuela el avión cuando el piloto empieza a preparar el aterrizaje?

10. Determinar con el símbolo de pertenece (∈) y no pertenece(∉) según sea el caso

• 0 ____ ℤ

• -0.23 ____ ℤ−

• 1,232____ ℤ+

• 2 ____ ℕ

• 3.01____ ℤ

• 0 ____ ℤ+

11. Realiza la siguiente operación 24 − 4 ∗ 5 + 32 − 6 ÷ 2 = ?

12. Realizar la siguiente operación 5 ∗ 4 ÷ 2 − 4 − 3 = ?

13. Realizar la siguiente operación 3 + 5 ∗ 4 = ?

14. Realizar la siguiente operación 35 − 3 ∗ 3 − 23 = ?

AUTOEVALUACIÓN:




ten en cuenta

responsabilidad,

comprensión,

aprovechamiento del

tiempo y asignar un


descripción.

OBSERVACIONES:

describe

recomendaciones y



COLEGIO SOLEIRA



TEMA: Potenciación, radicación y logaritmación.

OBJETIVO: Comprende y calcula operaciones especiales.

FECHA:



Potenciación de números naturales

Una potencia se define como un producto de factores iguales. Veamos: Si a y n son números naturales, entonces la potencia 𝒂𝒏 se define como

𝒂𝒏 = 𝒂 𝒂 𝒂 ⋯ 𝒂 = 𝒃

Donde, 𝒂 es la base, es decir, el número que se repite como factor; 𝒏 es el exponente, que indica el número de veces que hay que multiplicar la base por sí misma y 𝒃 es la potencia.

Ejemplo: Hallar 53. En este caso tenemos que la base es 5 y el exponente 3, esto quiere decir que tenemos que multiplicar tres veces la base (5) entre sí: 53 = 5 × 5 × 5 = 125

Entonces 53 = 125

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

Producto de potencias de igual base. 𝑎𝑚 × 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛

Cociente de potencias de igual base. 𝑎𝑚 ÷ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛

Distributiva respecto al producto (𝑎 × 𝑏)𝑚 = 𝑎𝑚 × 𝑏𝑚

Distributiva respecto al cociente (𝑎 ÷ 𝑏)𝑚 = 𝑎𝑚 ÷ 𝑏𝑚

Potencia de una potencia. (𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚×𝑛

Potencia cero 𝑎0 = 1

Radicación de números naturales ¿Qué valor numérico debe tomar la base a en cada potencia?

𝒂𝟐 = 𝟗 a = 3

𝒂𝟐 = 𝟐𝟓 a = ___

𝒂𝟑 = 𝟔𝟒 a = ___

𝒂𝟑 = 𝟏𝟐𝟓 a = ___

𝒂𝟒 = 𝟖𝟏 a = ___

“Si se conocen la potencia y el exponente correspondientes, se puede encontrar la base. El proceso para hallar la base se llama radicación”.

La radicación es una operación inversa de la potenciación, se emplea para calcular la base, conocidos el exponente y la potencia.

Potencia de un número natural.

Método para hallar la potencia de números naturales

Calcular el producto de la cantidad decimal por sí misma, tantas veces como lo indique el exponente

PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN

Raíz de un producto √𝑎 × 𝑏𝑛

= √𝑎𝑛

× √𝑏𝑛

Raíz de un cociente √𝑎 ÷ 𝑏𝑛

= √𝑎𝑛

÷ √𝑏𝑛

Raíz de una raíz √ √𝑎

𝑚𝑛

= √𝑎𝑛×𝑚

Exponente Fraccionario √𝑎𝑚𝑛= 𝑎

𝑚𝑛

Ejemplo: Halla la √12964

. Hallamos la descomposición en factores primos de 1296.

1296

648 324 162 81 27 9 3 1

2 2 2 2 3 3 3 3

1296 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3

Cómo la raíz es cuarta, expresamos el resultado en términos de potencias cuartas.

1296 = 24 × 34 Como tenemos un producto de potencias, separamos cada potencia en una raíz, conservando el producto.

√12964

= √24 × 344= √244

× √344

Raíz cuarta y potencia cuarta se eliminan quedando:

√12964

= √244× √344

= 2 × 3 = 6 Por lo tanto,

√12964

= 6 porque 6 × 6 × 6 × 6 = 64 =1296

Método para hallar la raíz de números Naturales

1.1 Encuentra el producto de números primos equivalente al número

1.2 Expresa los factores del producto anterior en potencias iguales al índice de la raíz, si es posible.

2. Simplificar la raíz

2.1 Expresa la raíz del producto entre las potencias de los números primos como el producto de las raíces de los factores primos.

1. Descomponer el número en factores lugares como sea necesario

3. Expresar la raíz de la cantidad como el producto de las raíces calculadas, por las raíces indicadas de los otros factores primos.

√𝒃𝒏

= 𝒂 porque 𝒂𝒏 = 𝒃

Raíz de un número natural.

Logaritmación de números naturales Si se conocen la base y una potencia de ella, pero no el exponente correspondiente, para encontrarlo se usa el proceso llamado logaritmación. El logaritmo de un número en una base dada es el exponente al que se debe elevar la base para obtener el número dado.

PROPIEDADES DE LA LOGARITMACIÓN

Logaritmo de un producto log𝑎(𝑏 × 𝑐) = log𝑎 𝑏 + log𝑎 𝑐

Logaritmo de un cociente log𝑎(𝑏 ÷ 𝑐) = log𝑎 𝑏 − log𝑎 𝑐

Logaritmo de una potencia log𝑎 𝑏𝑐 = 𝑐 log𝑎 𝑏

Ejemplo 1: Halla el log2 16. 1. En este caso, el argumento es 16 y la base 2.

2. 2 × 2 × 2 × 2 = 16, es decir que se necesita

elevar 24 para obtener 16. Por lo tanto:

log2 16 = 4 Ejemplo 2: Halla el log3 243 3. En este caso, el argumento es 243 y la base 3.

4. 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243, es decir que se

necesita elevar 35 para obtener 243. Por lo tanto:

log3 243 = 5

ACTIVIDAD

PARTE 1 “Potenciación de Números Naturales”

1. Identifica los términos (base, exponente y potencia) en cada ítem y escribe cómo se lee

2. 𝑥4 = 𝑦

Logaritmo de un

número natural.

Método para hallar el logaritmo de números

naturales

1. Identifica el argumento y la base

𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒂 = 𝒄 Porque 𝒃𝒄 = 𝒂

2. Encuentra el número de veces que se debe multiplicar la base por sí misma para obtener el

argumento

3. 32 = 9

4. 2𝑛 = 𝑚

5. 70 = 1

6. 1𝑏 = 1

7. Completa el siguiente cuadro, donde la primera columna te indica el valor de la base y la primera fila el valor

del exponente.

Si completaste el cuadro cuidadosamente, habrás notado qué operación hay que realizar para moverse de casilla en casilla por una fila, de derecha a izquierda y de izquierda a derecha. Si no lo pensaste, tómate unos minutos para hacerlo, pues esto te servirá para el siguiente punto.

8. Completa el siguiente cuadro, teniendo en cuenta la regla que descubriste en el punto anterior.

¿Con base en el cuadro que completaste, qué conclusión puedes sacar sobre las potencias cuyo exponente es cero?

9. Calcula la potencia indicada en cada caso:

a. 73

b. 26

c. 55

d. 3460

e. 34

f. 120

g. 62

h. 93

i. 83

j. 202

10. Resuelve

a. 22 + 33 + 42

b. 23 + 30 − 22

c. 22 33

d. 23 0 22 102 63

e. 53 25

f. 23 33 + 22

g. 23 33 + 22 − 42

h. 23 33 42 22

11. Escribe el número natural apropiado en cada recuadro

a. 3 = 81

b. 72 = ____

c. 4= 625

d. 1142 = ____

e. 12 = 144

12. Identifica la propiedad que se muestra en cada ítem:

a. 35 ÷ 32 = 35−2 = 33

b. (25)6 = 25 ×6 = 230

c. (3 × 5)2 = 32 × 52

d. 56 ÷ 54 = 56−4 = 52

e. (12 ÷ 2)2 = 122 ÷ 22

f. 32 × 3 = 32+1 = 33

g. (26)3 = 26×3 = 218

13. Usa las propiedades de la potenciación para solucionar los siguientes ejercicios

a. 45 ÷ 42 = ________________

b. (3 × 2)3 = ________________

c. 162 ÷ 42 = ________________

d. (23)2 = ________________

e. 72 × 7 = ________________

f. (100007)0 = ________________

g. 105 ÷ 102 = _______________

h. (4 × 3)3 = ________________

i. (125 ÷ 5)2 = ________________

j. (112)2 = _____________

14. Observa la figura y responde: a. ¿Cuántas caras tiene el cubo? b. ¿Cuántos cuadrados hay en cada cara? c. ¿Cuántos cubitos forman todo el cubo? d. Si duplico la longitud del lado del cubo, cuántos cubitos habrá en el

nuevo.

PARTE 2 “Radicación de Números Naturales”

1. Identifica los términos (radical, índice, cantidad sub-radical y raíz ) en cada ítem y escribe cómo se lee:

a. √252

= 5

b. √273

= 3

c. √100002

= 100

d. √164

= 2

e. √10245

= 4

f. √241

= 24

2. Encuentra el resultado de las raíces y justifica así: √642

= 8 Porque 82 = 64

a. √812

= ______ porque ________

b. √814

= ______ porque ________

c. √1253

= ______ porque ________

d. √643

= ______ porque ________

e. √1002

= ______ porque ________

f. √646

= ______ porque ________

g. √325

= ______ porque ________

h. √1442

= ______ porque ________

i. √1692

= ______ porque ________

3. Resuelve

a. √42

+ √273

+ √14

b. √42

+ √83

− √14

c. √252

× √6254

d. √42

× √273

× √05

e. √642

÷ √13

f. √1442

× √1253

+ √162

g. √492

× √13

+ √1002

− √92

h. √1692

× √162

+ √13

i. √812

× √252

÷ √42

j. √1212

+ 43 − √3433

+ 670

4. Halla el término que falta para que la expresión sea verdadera:

a. √5

= 3

b. √81 = 9

c. √3

= 10

d. √64 = 4

e. √243 = 3

5. Identifica la propiedad que se muestra en cada ítem:

a. √4 × 162

= √42

× √162

____________

b. √√233

= √23×2

= √26

____________

c. √92

= √182

÷ √22

____________

d. √√8122

= √814

____________

e. √52

× √52

= √252

____________

6. Usa las propiedades de la radicación para solucionar los siguientes ejercicios

a. √272

× √32

= ___________

b. √762= ___________

c. √√62522

= ___________

d. √132

÷ √132

= ____________

e. √√72932

= _____________

f. √463= ____________

g. √502

× √22

= _______________

h. √1622

÷ √22

= _______________

i. √1284= _____________

j. √1566= ___________

7. Simplifica las siguientes raíces haciendo uso de la descomposición en factores primos.

a. √255

b. √7292

c. √12964

d. √33753

e. √2070252

8. Un terreno cuadrado tiene un área de 324 m2. ¿Cuál es el perímetro del terreno?

9. En una exhibición militar una compañía de 144 soldados se dispone en igual número de filas y de columnas.

¿Cuántas filas y columnas formaron?

PARTE 3 “Logaritmación de Números Naturales”

1. Identifica los términos (base, exponente y potencia) en cada ítem y escribe cómo se lee:

a. log3 81 = 4

b. log2 64 = 6

c. log5 1 = 0

d. 70 = 1

e. 1𝑏 = 1

2. Calcula los siguientes logaritmos

a. log2 8

b. log3 27

c. log2 64

d. log5 125

e. log2 1

f. log30 30

g. log200 1

h. log4 256

i. log100 100

j. log2 32

3. Identifica la propiedad que se muestra en cada ítem

a. log3(729 ÷ 81) = log3 729 − log3 81

b. log4(256 × 16) = log4 32 + log4 2

c. log2 43 = 3 log2 4

d. log3(27 × 9) = log3 27 − log3 9

e. log2(320 ÷ 10) = log2 320 − log2 10

f. log2 324 = 4 log2 32

4. Usa las propiedades de la logaritmación para solucionar los siguientes ejercicios

a. log4(1024 ÷ 16) = ________________

b. log5 62525 = _______________________

c. log10(10.000 ÷ 10) = _______________

d. log8(2048 × 2) = ________________

e. log4(256 × 64)3 = ________________

AUTOEVALUACIÓN:




ten en cuenta

responsabilidad,

comprensión,

aprovechamiento del

tiempo y asignar un


descripción.

OBSERVACIONES:

describe

recomendaciones y



COLEGIO SOLEIRA



TEMA: Ecuaciones lineales

OBJETIVO: Comprender, resolver ecuaciones aditivas

FECHA:



Ecuaciones aditivas Una ecuación puede compararse con una balanza de platillos. Para mantener el perfecto equilibrio es necesario tener la misma masa en ambos lados. Si se aumenta la masa en el platillo de la izquierda, la balanza se inclinará hacia la izquierda, por lo tanto, para mantenerla equilibrada será necesario aumentar a la derecha la misma cantidad de masa.

Si, por el contrario, la masa disminuye, también habrá que disminuir la misma cantidad de masa en el otro platillo de la balanza.

Este ejemplo aplicado a una ecuación indica que si se agrega (suma) un número a la derecha, también es necesario sumar el mismo número a la izquierda para mantener la igualdad y si se resta, debe hacerse lo mismo a ambos lados.

Para resolver ecuaciones de la forma 𝒂 + 𝒙 = 𝒃 se utiliza la propiedad de las igualdades, que textualmente dice:

Cuando se suma o resta el mismo número en ambos miembros de una ecuación, la igualdad se mantiene.

Ejemplo:

28 + 𝑥 = 36

El número que acompaña a la incógnita sumándolo es 28, por lo tanto, se debe restar a ambos lados de la ecuación la misma cantidad, es decir 28.

28 – 28 + 𝑥 = 36 – 28

Realizando las dos restas tenemos:

28 – 28 = 0

36 – 28 = 8

Por lo tanto, después de realizar las operaciones indicadas más arriba, se tiene que:

28 + 𝑥 = 36

28 – 28 + 𝑥 = 36 – 28

𝑥 + 0 = 8

𝑥 = 8

ACTIVIDAD

Resuelve las siguientes ecuaciones aditivas.

1. 𝑥 + 5 = 12

2. 𝑥 + 19 = 7

3. 5 + 𝑥 = 24

4. 10 − 𝑥 = 12

5. 𝑋 + 3 = 5

6. 𝑋 − 9 = 6

7. 𝑋 − 4 = −7

8. 9 = 𝑥 − 12

9. 𝑋 + 2 = 7

10. 𝑋 + 8 = 2

11. 3 − 9 = 4 + 𝑥 − 7 + 6

AUTOEVALUACIÓN:




ten en cuenta

responsabilidad,

comprensión,

aprovechamiento del

tiempo y asignar un


descripción.

OBSERVACIONES:

describe

recomendaciones y



COLEGIO SOLEIRA



TEMA: Jerarquía de operaciones.

OBJETIVO: Realiza operaciones combinadas teniendo en cuenta la jerarquía de operaciones

FECHA:



Lee el capítulo 4 de los diez magníficos “atención a los paréntesis” pagina 33.

Teniendo en cuenta la siguiente información, resuelve las siguientes operaciones combinadas.

1. 17 − 3𝑥(5 − 4)

2. (7 + 8)𝑥4 − 13

3. 17 − 3 𝑥 2 + 5

4. 4𝑥3 + 2𝑥5 − 6𝑥3

5. 2𝑥(3 + 4) − 3𝑥(7 − 4)

6. 24 ÷ 6 + 2𝑥10

7. 42 + 4𝑥3 − 5𝑥7

8. 5𝑥4 − (16 − 12)𝑥2

9. 28 − 5𝑥4 + 16

10. 9𝑥(7 − 3) − 2𝑥(7 + 5)

11. 17 − 3𝑥(5 − 4)

12. (7 + 8)𝑥4 − 13

AUTOEVALUACIÓN:




ten en cuenta

responsabilidad,

comprensión,

aprovechamiento del

tiempo y asignar un


descripción.

OBSERVACIONES:

describe

recomendaciones y



Cumbia matemática https://youtu.be/nzBkGgP_2i0

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS O CIBERGRAFIA https://edumate.files.wordpress.com/2007/01/numeros-enteros-origen-e-historia.pdf https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/enteros/orden-en-los-numeros-enteros.html https://lms30.santillanacompartir.com

https://youtu.be/nzBkGgP_2i0

https://edumate.files.wordpress.com/2007/01/numeros-enteros-origen-e-historia.pdf

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/enteros/orden-en-los-numeros-enteros.html

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/enteros/orden-en-los-numeros-enteros.html

https://lms30.santillanacompartir.com/

Matemáticas 6°

Documents

Transcript of Matemáticas 6°