แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 - doi@nrct

ภาคผนวก ข ตวอยางแผนจดการเรยนรคณตศาสตร เรองล าดบและอนกรมโดยใชปญหาปลายเปด

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

89

แผนการจดการเรยนรท 1 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5เรอง ล าดบ เวลา 2 ชวโมง สาระส าคญ

1. ล าดบ 2. การเขยนล าดบในรปแจงพจน 3. การหาพจนท n (an) หรอพจนทวไปของล าดบจ ากด

จดประสงคการเรยนร นกเรยนสามารถ 1. บอกความหมายของล าดบได 2. บอกความหมายของล าดบจ ากดหรอล าดบอนนตได 3. เขยนล าดบในรปแจงพจนได 4. หาพจนทวไปของล าดบทก าหนดใหได สาระการเรยนร

1. ล าดบ ล าดบ คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก n ตวแรก หรอ ล าดบ คอฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก ล าดบจ ากด คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก n ตวแรก ล าดบอนนต คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก ในกรณทไมระบสมาชกในโดเมนใหถอวาเปนล าดบอนนต

2. การเขยนล าดบในรปแจงพจน การเขยนล าดบในรปแจงพจน คอ การเขยนล าดบเรยงจากพจนท 1 พจนท 2 พจนท 3 ไปเรอย ๆ แลวคนแตละพจนดวยเครองหมายจลภาค เชน 3, 5, 7, . . .

พจารณา f(n) = n + 3 เมอ n {1, 2, 3, 4} ถา n = 1 จะได f(1) = 1 + 3 = 4 n = 2 จะได f(2) = 2 + 3 = 5 n = 3 จะได f(3) = 3 + 3 = 6 n = 4 จะได f(4) = 4 + 3 = 7

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

90

เมอน าคาเหลานมาเขยนเรยงกนจะได f(1), f(2), f(3), f(4) ซงเปนอกรปแบบหนง ของล าดบจะเหนวา โดเมน คอ {1, 2, 3, 4} เรนจ คอ {4, 5, 6, 7}เรยกล าดบขางตนนวา ล าดบจ ากดและเรยก f(1) วาพจนท 1 ของล าดบ แทนดวย a1

f(2) วาพจนท 2 ของล าดบ แทนดวย a2 f(3) วาพจนท 3 ของล าดบ แทนดวย a3 f(4) วาพจนท 4 ของล าดบ แทนดวย a4 แต f(1) = 4, f(2) = 5 , f(3) = 6 , f(4) = 7 ดงนน 4, 5, 6, 7 จงเรยกวา ล าดบเชนเดยวกน ซงการเรยงล าดบในลกษณะน

เรยกวา การเขยนล าดบในรปแจงพจนและเรยก 4 วา พจนท 1 (a1) ของล าดบ , เรยก 5 วา พจนท 2 (a2) ของล าดบ , เรยก 6 วา พจนท 3 (a3) ของล าดบ , และเรยก 7 วา พจนท 4 (a4) ของล าดบ

3. การหาพจนท n (an) หรอพจนทวไปของล าดบจ ากด

พจนทวไปของล าดบจ ากดหรอพจนท n เขยนแทนดวย an เชน an = 4n + 2 เมอ n = 1, 2, 3 ซงในการหาพจนทวไปของล าดบจะตองพจารณาความสมพนธระหวาง an กบ n แลวจงสรปเปนกฎเกณฑ ดงตวอยางตอไปน กจกรรมการจดการเรยนร ขนน า

1. ครใหนกเรยนชวยกนอภปรายหาจ านวนรปสเหลยมจตรสจากรปทก าหนดใหตอไปน

โดยครตงค าถามใหนกเรยนชวยกนอภปรายดงน คอ “นกเรยนคดวารปสเหลยมจตรส

ในรปทก าหนดมาใหมขนาดใดบาง และผลรวมของรปสเหลยมจตรสของแตละรปมจ านวนเทาใด” ขนสอน

1. จากกจกรรมในขนน าครชใหนกเรยนเหนวาการพจารณาขอมลทโจทยก าหนดใหนนเปนสงส าคญและวธการหาค าตอบมมากกวาการสรางรปแตละรปในการหาค าตอบ

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

91

2. ครใหนกเรยนคดวางแผนเพอแกปญหาในการหารปสเหลยมจตรส โดยใชวธการใหนกเรยนแสดงความคดวานกเรยนจะใชวธการใดในการแกปญหา ซงวธการแรกทนกเรยนเลอกใชนนอาจจะเปนวธการทคนเคยส าหรบนกเรยน เชน การวาดรปแยกสเหลยมจตรสในแตละรป หรอนกเรยนบางคนอาจจะก าหนดรปสเหลยมและมวธการหาผลลพธ ดงน

วธท 1 รปท 1 มสเหลยมจตรส 1 รป รปท 2 มสเหลยมจตรส 1+3 = 4 รป รปท 3 มสเหลยมจตรส 1+3 +5 = 9 รป รปท 4 มสเหลยมจตรส 1+3+5+7 = 16 รป รปท 5 มสเหลยมจตรส 1+3+5+7+9 = 25 รป

วธท 2 รปท 1 มสเหลยมจตรส 1 รป = 12 รปท 2 มสเหลยมจตรส 4 รป = 22 รปท 3 มสเหลยมจตรส 9 รป = 32 รปท 4 มสเหลยมจตรส 16 รป = 42 รปท 5 มสเหลยมจตรส 25 รป = 52

จากนนเมอหาค าตอบไดแลว ครใหนกเรยนตรวจสอบความถกตองของค าตอบ

จากนนครตงค าถามกระตนนกเรยนใหคดตอไปวา นอกจากวธการทนกเรยนน าเสนอไปแลวนน ยงมวธการอนอกหรอไมทสามารถหาค าตอบทถกตองได ใหนกเรยนชวยกนเสนอความคดวามวธการใดอกบาง

3. ส าหรบในปญหาแรกนนนกเรยนอาจจะยงไมคนเคยกบวธการอนๆ ดงนน ถานกเรยนระบวธการไดไมครบตามจ านวนทคาดไว หรอไมสามารถน าเสนอวธการอนไดอก ครจะเปนผ น าเสนอใหนกเรยนไดเหนวธการอนๆทนาสนใจ และใหนกเรยนตรวจสอบค าตอบทไดจากวธการอนๆ วาเปนค าตอบทถกตองเชนเดยวกบการหาค าตอบดวยวธการแรก เพอใหนกเรยนไดเหนวธการแกปญหาและหาค าตอบดวยมมมองทแปลกไป จากนนครอธบายใหนกเรยนเหนวาในการหาค าตอบทถกตองนนไมไดมวธการหาค าตอบเพยงวธการเดยว นกเรยนสามารถใชวธการทหลากหลายในการหาค าตอบทถกตองได

4. ครเรมกจกรรมท 2 โดยก าหนดโจทยเกยวกบการหาพจนทวไปของล าดบจ ากดคอ เราสามารถหาพจนทวไปของล าดบ 3, 5, 7, 9, 11 ไดอยางไรบาง

ครอธบายโจทยใหนกเรยนเขาใจ แลวใหนกเรยนแตละคนไดคดวางแผนและด าเนนการแกปญหาดวยตนเอง โดยครดแลการท างานของนกเรยนอยางใกลชด ซงครจะพยายามกระตนใหนกเรยนไดใชวธการแกปญหามากกวาหนงวธ จากนนครสมใหนกเรยนออกมาน าเสนอการหาค าตอบดวยวธการตางๆทนกเรยนใช และครตรวจสอบความถกตองของค าตอบอกครง เมอนกเรยนน าเสนอ

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

92

วธการหาค าตอบจนครบทนกเรยนท าไดแลว ถายงมวธการอนอกทสามารถหาค าตอบไดอกครกน าเสนอวธการนนเพมเตมใหแกนกเรยนและใหนกเรยนจดบนทกเพมเตม

5. จากปญหาทครใหนกเรยนชวยกนพจารณานนครใหนกเรยนชวยกนสรปวธการหาพจน ทวไปของล าดบ 3, 5, 7, 9, 11 จากโจทยทครก าหนดใหสามารถสรปไดดงน วธท 1 จากล าดบจ ากด 3, 5, 7, 9, 11 จะได a1 = 3 = (2 1) + 1 a2 = 5 = (2 2) + 1 a3 = 7 = (2 3) + 1 a4 = 9 = (2 4) + 1 a5 = 11 = (2 5) + 1 พจนทวไปของล าดบนคอ 2n + 1 เมอ n = 1, 2, 3, 4, 5

วธท 2 จากล าดบจ ากด 3, 5, 7, 9, 11 จะได a1 = 3 = 3+(1-1)(2) a2 = 5 = 3+(2-1)(2) a3 = 7 = 3+(3-1)(2) a4 = 9 = 3+(4-1)(2) a5 = 11 = 3+(5-1)(2) พจนทวไปของล าดบนคอ 3+2(n – 1) เมอ n = 1, 2, 3, 4, 5

6. ครใหนกเรยนจบคท าใบงานท 1 และ ใบงานท 2 โดยทครอธบายใหนกเรยนเขาใจวา

ปญหาในใบงานท 1 และใบงานท 2 เปนปญหาปลายเปดทมวธการหาค าตอบทถกตองไดหลายวธ ใหนกเรยนพยายามหาค าตอบดวยวธการตางๆ ใหไดมากทสด โดยครใหอสระกบนกเรยนในการวางแผนหาค าตอบในปญหาแตละขอ

7. เมอนกเรยนแกปญหาในแตละขอเสรจเรยบรอยแลว ครใหนกเรยนแตละคจบกลม ๆ ละ 4 คน ชวยกนตรวจสอบความถกตองของค าตอบและสรปวธการตางๆ ทสามารถใชหาค าตอบในแตละขอเพอน าเสนอหนาชนเรยน โดยมครและเพอนรวมชนคนอนๆ ตรวจสอบความถกตองของค าตอบและกระบวนการอกครงหนง

ขนสรป เมอนกเรยนแกปญหาเสรจสนครบทงใบงานท 1 และใบงานท 2 เรยบรอยแลว ครและนกเรยนรวมกนสรปวธการในการแกปญหาทงหมดอกครงหนงพรอมทงอภปรายถงขอดของวธการในแตละวธจากนนใหนกเรยนแตละกลมชวยกนสรป ในใบสรปความร เรอง ล าดบ ชวยกนหาค าตอบใหไดมากกวา 1 วธ ในใบสรปความร เพอใหนกเรยนไดเกบรวบรวมเปนแฟมสะสมความรของกลมและใหนกเรยนทกคนกลบไปท าแบบฝกทกษะเปนการบาน

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

93

สอการเรยนร 1. ใบงานท 1 2. ใบงานท 2 3. ใบสรปความร เรอง ล าดบ 4. แบบฝกทกษะ การวดผลและประเมนผลการเรยนร

1. สงเกตจากการตอบค าถามและการใหเหตผล 2. สงเกตจากการท ากจกรรมทไดรบมอบหมาย 3. สงเกตจากความสนใจและการอภปรายการใหเหตผล

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

94

ใบงานท 1 1. ใหนกเรยนพจารณาแบบรปตอไปน และแสดงวธการเขยนรปท (4) , (5) และ (6)

(1) (2) (3) (4) (5) (6) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… 2. จากขอท 1 ใหนกเรยนพจารณาเตมจ านวนรปสเหลยมจตรสใหถกตองพรอมทงแสดงความสมพนธของรปท (n) และจ านวนรปสเหลยมจตรสในแตละรป

รปท จ านวนรปสเหลยมจตรส ความสมพนธของรปท (n)

และจ านวนรปสเหลยมจตรสในแตละรป 1 2 3 4 5 6

3. จากแบบรปทก าหนดใหนกเรยนคดวารปท (10) และรปท (20) นาจะมจ านวนรปสเหลยมจตรสเทาใดในแตละรป ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………4. นกเรยนคดวาจ านวนรปสเหลยมจตรสของรปท n จะมจ านวนเทาใด ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

95

เฉลยใบงานท 1 1. ใหนกเรยนพจารณาแบบรปตอไปน และแสดงวธการเขยนรปท (4) , (5) และ (6)

(1) (2) (3) (4) (5) (6) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. จากขอท 1 ใหนกเรยนพจารณาเตมจ านวนรปสเหลยมจตรสใหถกตองพรอมทงแสดงความสมพนธของรปท (n) และจ านวนรปสเหลยมจตรสในแตละรป

รปท จ านวนรปสเหลยมจตรส ความสมพนธของรปท (n)

และจ านวนรปสเหลยมจตรสในแตละรป 1 1 1 2 5 1+4 = 1+(4X1) 3 9 1+8 = 1+(4X2) 4 13 1+12 = 1+(4X3) 5 17 1+16 = 1+(4X4) 6 21 1+20 = 1+(4X5)

3. จากแบบรปทก าหนดใหนกเรยนคดวารปท (10) และรปท (20) นาจะมจ านวนรปสเหลยมจตรสเทาใดในแตละรป

จ านวนรปสเหลยมจตรสใน รปท 10 คอ 1+(4X9) = 37 รป และจ านวนรปสเหลยมจตรสใน รปท 20 คอ 1+(4X19) = 77 รป

4. นกเรยนคดวาจ านวนรปสเหลยมจตรสของรปท n จะมจ านวนเทาใด

จ านวนรปสเหลยมจตรสของ รปท n คอ 1+4(n-1)

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

96

ใบงานท 2 1. ใหนกเรยนพจารณาแบบรปตอไปน

ในรปท (1) มจ านวน 3 จด และมเสนทเชอมจดเทากบ 3 เสน

จากแบบรปทก าหนดให ใหนกเรยนพจารณาเตมจ านวนจดและเสนเชอมลงในตารางใหถกตองพรอมทงหาความสมพนธทก าหนดใหดงตาราง

รปท จ านวนจด

ความสมพนธระหวางรปทก าหนดและจ านวนจด

1

2

3

4

5

6

2. จากแบบรปทก าหนดใหนกเรยนคดวารปท (10) และรปท (25) นาจะมจ านวนจดและจ านวนเสนเชอมระหวางจดจ านวนเทาใด ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… 3. นกเรยนคดวาจ านวนจดและจ านวนเสนเชอมระหวางจดของรปท n จะมจ านวนเทาใด ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

รปท จ านวนเสนเชอม ระหวางจด

ความสมพนธระหวางรปทก าหนดและจ านวนเสน

เชอมจด

1

2

3

4

5

6

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

97

เฉลยใบงานท 2 1. ใหนกเรยนพจารณาแบบรปตอไปน

ในรปท (1) มจ านวน 3 จด และมเสนทเชอมจดเทากบ 3 เสน

จากแบบรปทก าหนดให ใหนกเรยนพจารณาเตมจ านวนจดและเสนเชอมลงในตารางใหถกตองพรอมทงหาความสมพนธทก าหนดใหดงตาราง

รปท จ านวนจด

ความสมพนธระหวางรปทก าหนดและจ านวนจด

1 3 1+2 = 1+2(1)

2 5 1+4 = 1+2(2)

3 7 1+6 = 1+2(3)

4 9 1+8 = 1+2(4)

5 11 1+10 = 1+2(5)

6 13 1+12 = 1+2(6)

2. จากแบบรปทก าหนดใหนกเรยนคดวารปท (10) และรปท (25) นาจะมจ านวนจดและจ านวนเสนเชอมระหวางจดจ านวนเทาใด

หาจ านวนจด จ านวนจดของรปท 10 คอ 1+2(10) =21 จ านวนจดของรปท 25 คอ 1+2(25) =51

หาจ านวนเสนเชอมระหวางจด จ านวนเสนเชอมระหวางจดของรปท 10 คอ3X 10 = 30 จ านวนเสนเชอมระหวางจดของรปท 25 คอ 3X 25 = 75 3. นกเรยนคดวาจ านวนจดและจ านวนเสนเชอมระหวางจดของรปท n จะมจ านวนเทาใด

จ านวนจดของรปท n คอ 1+2(n) =1+2n จ านวนเสนเชอมระหวางจดของรปท n คอ 3X n = 3n

รปท จ านวนเสนเชอม ระหวางจด

ความสมพนธระหวางรปทก าหนดและจ านวนเสน

เชอมจด

1 3 3X1

2 6 3X2

3 9 3X3

4 12 3X4

5 15 3X5

6 18 3X6

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

98

ใบสรปความร เรอง ล าดบ ใหนกเรยนแตละกลมชวยกนสรปเตมค าตอบใหถกตอง ล าดบ คอ ........................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... ใหนกเรยนยกตวอยางของล าดบ............................................................................................ ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ใหนกเรยนชวยกนหาค าตอบของล าดบตอไปนใหไดมากกวา 1 วธ

1. ก าหนด an = 2n – 1 จงเขยนล าดบนโดยการแจงพจน ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 2 จงอธบายวาพจนทวไปของล าดบ 15, 18, 21, 24, 27, 30 ควรจะเปนจ านวนใด ใหนกเรยนหาค าตอบใหไดมากกวา 1 วธ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. กลมท ........ชอ..................................................................................................................................... ……………………………………………………………………………………………………….

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

99

เฉลย สรปความร เรอง ล าดบ ใหนกเรยนแตละกลมชวยกนสรปเตมค าตอบใหถกตอง ล าดบ คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก n ตวแรก หรอ ล าดบ คอฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก ใหนกเรยนยกตวอยางของล าดบ 1 , 2 , 3 , 4 , … 3 , 5 , 7 , … 15, 18, 21,… 1 , 2 , 4 ,… ฯลฯ ใหนกเรยนชวยกนหาค าตอบของล าดบตอไปนใหไดมากกวา 1 วธ

1. ก าหนด an = 2n – 1 จงเขยนล าดบนโดยการแจงพจน จาก an = 2n – 1

a1 = 2(1) – 1 = 1 a2 = 2(2) – 1 = 3 a3 = 2(3) – 1 = 5 a4 = 2(4) – 1 = 7 a5 = 2(5) – 1 = 9 ล าดบในรปแจงพจน คอ 1, 3, 5, 7, 9

2 จงอธบายวาพจนทวไปของล าดบ 15, 18, 21, 24, 27, 30 ควรจะเปนจ านวนใด ใหนกเรยนหาค าตอบใหไดมากกวา 1 วธ วธท 1 จากล าดบจ ากด 15, 18, 21, 24, 27, 30 จะได a1 = 15 = 3 + 12 = 3(1) + 12 a2 = 18 = 6 + 12 = 3(2) + 12 a3 = 21 = 9 + 12 = 3(3) + 12 a4 = 24 = 12 + 12 = 3(4) + 12 a5 = 27 = 15 + 12 = 3(5) + 12 a6 = 30 = 18 + 12 = 3(6) + 12 พจนทวไปของล าดบจ ากดนคอ 3n + 12 เมอ n = 1, 2, 3, 4, 5, 6

วธท 2 จากล าดบจ ากด 15, 18, 21, 24, 27, 30 จะได a1 = 15 = (3X5) = 3(4+1) a2 = 18 = (3X6) = 3(4+2) a3 = 21 = (3X7) = 3(4+3) a4 = 24 = (3X8) = 3(4+4) a5 = 27 = (3X9) = 3(4+5) a6 = 30 = (3X10) = 3(4+6) พจนทวไปของล าดบจ ากดนคอ 3 ( 4+ n) เมอ n = 1, 2, 3, 4, 5, 6

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

100

แบบฝกทกษะ เรอง ล าดบ

1. ใหนกเรยนจดกลมพรอมพจารณาวาฟงกชนทก าหนดใหตอไปนฟงกชนใดเปนล าดบฟงกชนใดไมเปนล าดบ พรอมใหเหตผลประกอบ

f1 = {(1, 4), (2, 8), (3, 12), . . . } f2 = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)} f3 = {(2, 1), (3, 2), (4, 3)} f4 = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), . . . , (7, 9)} f5 = {(3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7), (7, 8)} f6 = {(1, 5), (2, 8), (3, 11), (4, 14)} f7 = {(x, y) | y = 2x – 3 เมอ x = 1, 2, 3 } f8 = {(x, y) | y = 3x2 – 1 เมอ x I+ } f9 = {(a, b) | b = 4a2 – 5 เมอ a = 1, 2, 3, 4 } f10 = {(x, y) | y = x3 เมอ x = 1, 2, 3, . . . }

ฟงกชนทเปนล าดบ ฟงกชนทไมเปนล าดบ

เหตผลทเปนล าดบ เหตผลทไมเปนล าดบ

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

101

2. ใหนกเรยนจดกลมพรอมพจารณาวาล าดบทก าหนดใหตอไปนล าดบใดเปนล าดบจ ากดล าดบใดเปนล าดบอนนต พรอมใหเหตผลประกอบ 4, 7, 10, 13, 16, . . . 2, 5, 8, 11, 14 1, 4, 9, 16, 25, . . . 6, 10, 14, 18, 22, 26

2, 8, 14, 20, 26, 32, 38 an = 8n เมอ n = 1, 2, 3, 4 an = 3n + 7 เมอ n I+ an = 2n2 – 1 เมอ n = 1, 2, 3

ฟงกชนทเปนล าดบจ ากด ฟงกชนทเปนล าดบอนนต

เหตผลทเปนล าดบจ ากด เหตผลทเปนล าดบอนนต

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

102

3.ใหนกเรยนแสดงวธคดในการหาล าดบในรปแจงพจน โดยการเตมค าตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนใหสมบรณ

1. ก าหนด an = 2n – 1 เมอ n = 1,2,3,4,5 a1 = …………………………….. a2 = …………………………….. a3 = …………………………….. a4 = …………………………….. a5 = …………………………….. เขยนล าดบในรปแจงพจน จะไดล าดบ คอ …………………………………………..

2. an = 2n2 – 2 เมอ n = 1,2,3,4 … = …………………………….. … = …………………………….. … = …………………………….. … = …………………………….. เขยนล าดบในรปแจงพจน จะไดล าดบ คอ ……………………………………………

3. an = 3n - 1

2n 1 เมอ n = 1,2,3,4

… = …………………………….. … = …………………………….. … = …………………………….. … = …………………………….. เขยนล าดบในรปแจงพจน จะไดล าดบ คอ ……………………………………………

4. an = 2n2 เมอ n = 1,2,3,…,10 a1 = …………………………….. a2 = …………………………….. a3 = …………………………….. . . . a10 = …………………………….. เขยนล าดบในรปแจงพจน จะไดล าดบ คอ ……………………………………………

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

103

4. จงอธบายวาพจนทวไปหรอพจนท n ของล าดบทก าหนดใหควรจะเปนจ านวนใด

1. 1,3,5,7,… พจนทวไปหรอพจนท n คอ ………………………………………………………………

2. 1,2,4,… พจนทวไปหรอพจนท n คอ ………………………………………………………………


4. ,...125

1,

25

1,

5

1,1

พจนทวไปหรอพจนท n คอ ………………………………………………………………

5. ,...4

14,

3

13,

2

12,2


6. ,...27

1,

9

1,

3

1,1



8. 2,4,6,… พจนทวไปหรอพจนท n คอ ………………………………………………………………

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

104

เฉลยแบบฝกทกษะ เรอง ล าดบ

1. ใหนกเรยนจดกลมพรอมพจารณาวาฟงกชนทก าหนดใหตอไปนฟงกชนใดเปนล าดบฟงกชนใดไมเปนล าดบ พรอมใหเหตผลประกอบ

f1 = {(1, 4), (2, 8), (3, 12), . . . } f2 = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)} f3 = {(2, 1), (3, 2), (4, 3)} f4 = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), . . . , (7, 9)} f5 = {(3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7), (7, 8)} f6 = {(1, 5), (2, 8), (3, 11), (4, 14)} f7 = {(x, y) | y = 2x – 3 เมอ x = 1, 2, 3 } f8 = {(x, y) | y = 3x2 – 1 เมอ x I+ } f9 = {(a, b) | b = 4a2 – 5 เมอ a = 1, 2, 3, 4 } f10 = {(x, y) | y = x3 เมอ x = 1, 2, 3, . . . }

ฟงกชนทเปนล าดบ ฟงกชนทไมเปนล าดบ f1 = {(1, 4), (2, 8), (3, 12), . . . } f2 = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)} f4 = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), . . . , (7, 9)} f6 = {(1, 5), (2, 8), (3, 11), (4, 14)} f7 = {(x, y) | y = 2x – 3 เมอ x = 1, 2, 3 } f8 = {(x, y) | y = 3x2 – 1 เมอ x I+ } f9 = {(a, b) | b = 4a2 – 5 เมอ a =1,2, 3, 4 } f10 = {(x, y) | y = x3 เมอ x = 1, 2, 3, . . . }

f3 = {(2, 1), (3, 2), (4, 3)} f5 = {(3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7), (7, 8)}

เหตผลทเปนล าดบ เหตผลทไมเปนล าดบ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวกทเรมตนดวย 1

ฟงกชนมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก แตไมเรมตนดวย 1

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

105

2. ใหนกเรยนจดกลมพรอมพจารณาวาล าดบทก าหนดใหตอไปนล าดบใดเปนล าดบจ ากดล าดบใดเปนล าดบอนนต พรอมใหเหตผลประกอบ 4, 7, 10, 13, 16, . . . 2, 5, 8, 11, 14 1, 4, 9, 16, 25, . . . 6, 10, 14, 18, 22, 26

2, 8, 14, 20, 26, 32, 38 an = 8n เมอ n = 1, 2, 3, 4 an = 3n + 7 เมอ n I+ an = 2n2 – 1 เมอ n = 1, 2, 3

ฟงกชนทเปนล าดบจ ากด ฟงกชนทเปนล าดบอนนต

2, 5, 8, 11, 14 6, 10, 14, 18, 22, 26 2, 8, 14, 20, 26, 32, 38 an = 8n เมอ n = 1, 2, 3, 4 an = 2n2 – 1 เมอ n = 1, 2, 3

1, 4, 9, 16, 25, . . . 4, 7, 10, 13, 16, . . . an = 3n + 7 เมอ n I+

เหตผลทเปนล าดบจ ากด เหตผลทเปนล าดบอนนต ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก n ตวแรก

ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

106

3.ใหนกเรยนแสดงวธคดในการหาล าดบในรปแจงพจน โดยการเตมค าตอบลงในชองวางแตละขอตอไปนใหสมบรณ

1. ก าหนด an = 2n – 1 เมอ n = 1,2,3,4,5 a1 = 2(1) – 1 = 1 a2 = 2(2) – 1 = 3 a3 = 2(3) – 1 = 5 a4 = 2(4) – 1 = 7 a5 = 2(5) – 1 = 9 เขยนล าดบในรปแจงพจน จะไดล าดบ คอ 1, 3, 5, 7, 9

2. an = 2n2 – 2 เมอ n = 1,2,3,4 a1 = 2(12) – 2 = 0 a2 = 2(22) – 2 = 6 a3 = 2(32) – 2 = 16 a4 = 2(42) – 2 = 30 เขยนล าดบในรปแจงพจน จะไดล าดบ คอ 0, 6, 16, 30

3. an = 3n - 1

2n 1 เมอ n = 1,2,3,4

a1 = 2

3 -

3(1) - 1

2(1) 1

a2 = 1 - 3(2) - 1

2(2) 1

a3 = 8

7 -

3(3) - 1

2(3) 1

a4 = 11

9 -

3(4) - 1

2(4) 1

เขยนล าดบในรปแจงพจน จะไดล าดบ คอ 11

9 - ,

8

7 - , 1 - ,

2

3 -

4. an = 2n2 เมอ n = 1,2,3,…,10 a1 = 2(12) = 2 a2 = 2(22) = 8 a3 = 2(32) = 18 . . . . . . a10 = 2(102) = 200 เขยนล าดบในรปแจงพจน จะไดล าดบ คอ 2, 8, 18, . . . , 200

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

107

4. จงอธบายวาพจนทวไปหรอพจนท n ของล าดบทก าหนดใหควรจะเปนจ านวนใด

1. 1,3,5,7,… พจนทวไปหรอพจนท n คอ an = 2n - 1

2. 1,2,4,… พจนทวไปหรอพจนท n คอ an = 2n-1

3. 1,3,7,15,…

พจนทวไปหรอพจนท n คอ an = 2n - 1

4. ,...125

1,

25

1,

5

1,1

พจนทวไปหรอพจนท n คอ an = 1

5

1

n

5. ,...4

14,

3

13,

2

12,2

พจนทวไปหรอพจนท n คอ an = n

n1

6. ,...27

1,

9

1,

3

1,1

พจนทวไปหรอพจนท n คอ an = 1

3

1

n

7. 1,3,9,27,…

พจนทวไปหรอพจนท n คอ an = 13 n

8. 2,4,6,… พจนทวไปหรอพจนท n คอ an = 2n

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

108

แผนการจดการเรยนรท 2 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5เรอง ล าดบเลขคณต เวลา 2 ชวโมง สาระส าคญ 1. ล าดบเลขคณต 2. การหาพจนทวไป (an) ของล าดบเลขคณต 3. โจทยปญหาเกยวกบล าดบเลขคณต จดประสงคการเรยนร นกเรยนสามารถ 1. ระบล าดบทเปนล าดบเลขคณตได 2. หาพจนท 1 ผลตางรวมของล าดบเลขคณตได 3. หาพจนท n ของล าดบเลขคณตได 4. หาจ านวนพจนของล าดบเลขคณตได 5. น าความรเรอง ล าดบเลขคณตไปใชในการแกโจทยปญหาได สาระการเรยนร

1. ล าดบเลขคณต(Arithmetic Sequence) ล าดบเลขคณต คอ ล าดบทมผลตางซงไดจากพจนท n + 1 ลบดวยพจนท n มคาคงท เสมอ ซงคาคงทนเรยกวา ผลตางรวม (Common difference) เขยนแทนดวย d ถาก าหนดให d เปนผลตางรวม แลว d = an + 1 – an หรอ an + 1 = an + d เมอ n I+ และถาก าหนดให d เปนผลตางรวม และ a1 เปนพจนแรก แลวสามารถเขยนพจน อน ๆ ของล าดบเลขคณตในรปของ a1 และ d ไดดงน a1 , a1 + d , a1 + 2d , a1 + 3d , . . .

2. การหาพจนทวไป (an) ของล าดบเลขคณต การหาพจนทวไปของล าดบเลขคณต ถาก าหนดให a1 เปนพจนแรก และ d เปนผลตางรวม แลวสามารถเขยนพจนอน ๆ ของ ล าดบเลขคณตในรปของ a1 และ d ไดดงน a1 = a1 + 0d a2 = a1 + d

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

109

a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d . . . . . . an = an - 1 + d = (a1 + (n – 2)d) + d = a1 + (n – 1)d ถาก าหนดให a1 เปนพจนท 1 ของล าดบเลขคณต และ d เปนผลตางรวม แลว พจนทวไปของล าดบเลขคณต คอ an = a1 + (n – 1)d เมอ an เปนพจนท n หรอพจนทตองการหาของล าดบเลขคณต a1 เปนพจนท 1 ของล าดบเลขคณต d เปนผลตางรวม (Common difference) การหาจ านวนพจนของล าดบเลขคณต ในการหาจ านวนพจนของล าดบเลขคณตจะตองใชสตรการหาพจนท n เขาชวย ดงน จากสตร an = a1 + (n – 1)d = a1 + dn – d dn = an – a1 + d

n = d

d

d

a - a 1n

n = 1 d

a - a 1n

หรอ n = 1 d

พจนแรก - พจนทาย

3. โจทยปญหาเกยวกบล าดบเลขคณต การแกโจทยปญหาทเกยวกบล าดบเลขคณต จะใชสตร an = a1 + (n – 1)d เขาชวยเสมอ

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

110

กจกรรมการเรยนร ขนน า

1. ครก าหนดล าดบใหนกเรยนพจารณาดงน และ ใหนกเรยนชวยกนพจารณาจดกลมของ ล าดบพรอมทงใหเหตผลประกอบ 2, 4, 6, 8, 10, . . . 1, 9, 25, 49, . . . 1, 4, 9, 16, 25, . . . 1, 4, 7, 10, 13, . . . 3, 6, 12, 24, . . . 2, 6, 10, 14, . . . 3, 4, 5, 6, . . ., n + 1, n + 2, . . . 4, 9, 14, 19, 5n – 6, 5n – 1, . . .

2. จากล าดบทครก าหนดให สามารถจดกลมไดจาก ล าดบทมผลตางซงไดจากพจนท n + 1 ลบดวยพจนท n มคาคงท คาคงทนเรยกวา ผลตางรวม (Common Difference) และกลมทมผลตางรวมไมเทากน ดงน

กลมท 1 กลมท 2

2, 4, 6, 8, 10, . . . (ผลตางรวมคอ 2) 1, 4, 7, 10, 13, . . . (ผลตางรวมคอ 3) 2, 6, 10, 14, . . . (ผลตางรวมคอ 4) 3, 4, 5, 6, . . ., n + 1, n + 2, . . . (ผลตางรวมคอ 1) 4, 9, 14, 19, 5n – 6, 5n – 1, . . . (ผลตางรวมคอ 5)

1, 9, 25, 49, . . . (ไมมผลตางรวม) 1, 4, 9, 16, 25, . . . (ไมมผลตางรวม) 3, 6, 12, 24, . . . (ไมมผลตางรวม)

หรอนกเรยนบางคนอาจจะมวธในการคด ดงตาราง และครชวยอธบายเพมเตมวา ผลตางรวมของแตละจ านวนทเทากนและไมเทากนท าใหสามารถตรวจสอบไดวาเปนล าดบ เลขคณตหรอไมเปน ดงน

ขอท ล าดบ

พจนท 2 ลบพจนท 1



ล าดบ

เลขคณต

เปน ไมเปน 1 2, 4, 6, 8, 10, . . . 4 – 2 = 2 6 – 4 = 2 8 – 6 = 2 - 2 1, 9, 25, 49, . . . 9 – 1 = 8 25 – 9 = 16 49 – 25 = 24 - 3 1, 4, 9, 16, 25, . . . 4 – 1 = 3 9 – 4 = 5 16 – 9 = 7 - 4 1, 4, 7, 10, 13, . . . 4 – 1 = 3 7 – 4 = 3 10 – 7 = 3 - 5 3, 6, 12, 24, . . . 6 – 3 = 3 12 – 6 = 6 24 – 1 = 12 - 6 2, 6, 10, 14, . . . 6 – 2 = 4 10 – 6 = 4 14 –10 = 4 -

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

111

ขอท ล าดบ




ล าดบ

เลขคณต

เปน ไมเปน 7 3, 4, 5, 6, . . ., n + 1, n + 2, . . . 4 – 3 = 1 5 – 4 = 1 6 – 5 = 1 - 8 4, 9, 14, 19, 5n – 6, 5n – 1, . . . 9 – 4 = 5 14 – 9 = 5 19 – 14= 5 -

จากตาราง ล าดบทมผลตางซงไดจากพจนท n + 1 ลบดวยพจนท n มคาคงท คาคงทนเรยกวา ผลตางรวม (Common Difference) ขนสอน

1. จากกจกรรมในขนน าครชใหนกเรยนเหนวาการพจารณาขอมลทโจทยก าหนดใหนน เปนสงส าคญและวธการหาค าตอบในแตละขอไมจ าเปนตองเทากนเสมอไป

2. ครใหนกเรยนทกคนท าใบงานท 1 โดยอธบายโจทยใหนกเรยนเขาใจ แลวใหนกเรยน แตละคนไดคดวางแผนและด าเนนการแกปญหาดวยตนเอง โดยครดแลการท างานของนกเรยนอยางใกลชด ซงครจะพยายามกระตนใหนกเรยนไดใชวธการแกปญหามากกวาหนงวธ จากนนครสมใหนกเรยนออกมาน าเสนอการหาค าตอบดวยวธการตางๆทนกเรยนใช และครตรวจสอบความถกตองของค าตอบอกครง เมอนกเรยนน าเสนอวธการหาค าตอบจนครบทนกเรยนท าไดแลว ถายงมวธการอนอกทสามารถหาค าตอบไดอกครกน าเสนอวธการนนเพมเตมใหแกนกเรยนและใหนกเรยนจดบนทกเพมเตม

3. เมอนกเรยนแกปญหาในแตละขอเสรจเรยบรอยแลว ครใหนกเรยนแตละคนจบค ชวยกนตรวจสอบความถกตองของค าตอบและสรปวธการตางๆ ทสามารถใชหาค าตอบในแตละขอ โดยมครและเพอนรวมชนคนอนๆ ตรวจสอบความถกตองของค าตอบและกระบวนการอกครงหนง

4. ครใหนกเรยนพจารณาขอความตอไปน ถาให a1 เปนพจนท 1 ของล าดบเลขคณต d เปนผลตางรวมของล าดบเลขคณต แลว a1 = a1 + 0d = a1 + (1 – 1)d a2 = a1 + d = a1 + (2 – 1)d . . .

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

112

นกเรยนคดวา a3 , a4 และ an ควรเปนจ านวนใด 5. ครใหนกเรยนชวยกนคดวางแผนเพอแกปญหาในการหาล าดบท a3 , a4 และ an

โดยใชวธการใหนกเรยนแสดงความคดวานกเรยนจะใชวธการใดในการแกปญหา ซงวธการแรกทนกเรยนเลอกใชนนอาจจะเปนวธการทคนเคยส าหรบนกเรยน จากนนเมอหาค าตอบไดแลว ครใหนกเรยนตรวจสอบความถกตองของค าตอบ จากนนครตงค าถามกระตนนกเรยนใหคดตอไปวา นอกจากวธการแรกทนกเรยนน าเสนอไปแลวนน ยงมวธการอนอกหรอไมทสามารถหาค าตอบทถกตองได ใหนกเรยนชวยกนเสนอความคดวามวธการใดอกบาง

6. ถานกเรยนระบวธการไดไมครบตามจ านวนทคาดไว หรอไมสามารถน าเสนอวธการอนไดอก ครจะเปนผน าเสนอใหนกเรยนไดเหนวธการอนๆทนาสนใจ และใหนกเรยนตรวจสอบค าตอบทไดจากวธการอนๆ วาเปนค าตอบทถกตองหรอไม เพอใหนกเรยนไดเหนวธการแกปญหาและหาค าตอบดวยมมมองทแปลกไป จากนนครอธบายใหนกเรยนเหนวาในการหาค าตอบทถกตองนนไมไดมวธการหาค าตอบเพยงวธการเดยว นกเรยนสามารถใชวธการทหลากหลายในการหาค าตอบทถกตองได

7. จากปญหาทครใหนกเรยนชวยกนพจารณานนครใหนกเรยนชวยกนสรปวธการหาพจนท n ของล าดบเลขคณตเพอใหงายตอการแสดงวธการหาพจนท n ของล าดบเลขคณตอนๆตอไป จากโจทยทครก าหนดใหสามารถสรปไดดงน ถาให a1 เปนพจนท 1 ของล าดบเลขคณต d เปนผลตางรวมของล าดบเลขคณต แลว a1 = a1 + 0d = a1 + (1 – 1)d a2 = a1 + d = a1 + (2 – 1)d a3 = a2 + d = a1 + 2d = a1 + (3 – 1)d a4 = a3 + d = a1 + 3d = a1 + (4 – 1)d . . . an = an - 1 + d = a1 + (n – 2)d + d = a1 + (n – 1)d เพราะฉะนน สามารถสรปไดวา พจนท n ของล าดบเลขคณต คอ an = a1 + (n – 1)d เมอ an เปนพจนท n , a1 เปนพจนท 1 และ d เปนผลตางรวม

8. ครใหนกเรยนหา “พจนท n (พจนทวไป) ของล าดบเลขคณต 6, 13, 20, 27, . . .” จากโจทยครอธบายโจทยใหนกเรยนเขาใจ แลวใหนกเรยนแตละคนไดคดวางแผนและด าเนนการแกปญหาดวยตนเอง โดยครดแลการท างานของนกเรยนอยางใกลชด ซงครจะพยายามกระตนใหนกเรยนไดใชวธการแกปญหามากกวาหนงวธ จากนนครสมใหนกเรยนออกมาน าเสนอการหา

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

113

ค าตอบดวยวธการตางๆทนกเรยนใช และครตรวจสอบความถกตองของค าตอบอกครง เมอนกเรยนน าเสนอวธการหาค าตอบจนครบทนกเรยนท าไดแลว ถายงมวธการอนอกทสามารถหาค าตอบไดอกครกน าเสนอวธการนนเพมเตมใหแกนกเรยนและใหนกเรยนจดบนทกเพมเตมซงค าตอบทเปนไปไดคอ วธท 1 จากโจทย จะได a1 = 6 และ d = 13 – 6 = 7 จากสตร an = a1 + (n – 1)d an = 6 + (n – 1)(7) = 6 + 7n – 7

= 7n – 1 ตอบ วธท 2 จากโจทย a1 คอ 6 = (1 X 6 ) + 0 a2 คอ 13 = (2 X 6 ) + 1 a3 คอ 20 = (3 X 6 ) + 2 a4 คอ 27 = (4 X 6 ) + 3 . .

เพราะฉะนน an = 6n + (n – 1) ตอบ 9. ครใหนกเรยนจบคท าใบงานท 2 โดยทครอธบายใหนกเรยนเขาใจวา ปญหาในใบงาน

ท 2 เปนปญหาปลายเปดทมวธการหาค าตอบทถกตองไดหลายวธ ใหนกเรยนพยายามหาค าตอบดวยวธการตางๆ ใหไดมากทสด โดยครใหอสระกบนกเรยนในการวางแผนหาค าตอบและหาค าตอบในปญหาแตละขอ

10. เมอนกเรยนแกปญหาในแตละขอเสรจเรยบรอยแลว ครใหนกเรยนแตละคจบกลมๆละ 4 คน ชวยกนตรวจสอบความถกตองของค าตอบและสรปวธการตางๆ ทสามารถใชหาค าตอบในแตละขอ โดยมครและเพอนรวมชนคนอนๆ ตรวจสอบความถกตองของค าตอบและกระบวนการอกครงหนง

11. ครตงค าถามใหนกเรยนรวมกนอภปรายดงน “ปลายฉตรเรมตนท างานเปนครผชวยท โรงเรยนแหงหนง ไดรบเงนเดอนในเดอนแรก 7,000 บาท ถาปลายฉตรไดรบเงนเดอนเพมขนปละ 400 บาท อยากทราบวาในอก 10 ปถดไป ปลายฉตรจะไดรบเงนเดอนเดอนละเทาไร”

12. ครอธบายโจทยใหนกเรยนเขาใจ และใหนกเรยนแตละคนไดคดวางแผนและ ด าเนนการแกปญหาดวยตนเอง โดยครดแลการท างานของนกเรยนอยางใกลชด ซงครจะพยายามกระตนใหนกเรยนไดใชวธการแกปญหามากกวาหนงวธ จากนนครสมใหนกเรยนออกมาน าเสนอ

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

114

การหาค าตอบดวยวธการตางๆทนกเรยนใช และครตรวจสอบความถกตองของค าตอบอกครง เมอนกเรยนน าเสนอวธการหาค าตอบจนครบทนกเรยนท าไดแลว ถายงมวธการอนอกทสามารถหาค าตอบไดอกครกน าเสนอวธการนนเพมเตมใหแกนกเรยนและใหนกเรยนจดบนทกเพมเตมซงค าตอบทเปนไปไดเปนดงน นกเรยนสามารถเขยนล าดบเลขคณตแทนเงนเดอนทปลายฉตรไดรบแตละปไดดงน วธท 1 7,000 , 7,400 , 7,800 , … , a11 ล าดบทไดเปนล าดบเลขคณตทมพจนแรกเปน 7,000 และผลตางรวมเปน 400 จาก an = a1 + (n – 1)d เมอ a1 = 7,000 , n = 11 และ d = 400 จะได a11 = 7,000 + (11-1)(400) = 11,000 ดงนน อก 10 ปถดไปนภาจะไดรบเงนเดอน 11,000 บาท ตอบ วธท 2 a1 คอ 7,000 = 7,000 + 400 (0) a2 คอ 7,400 = 7,000 + 400 (1) a3 คอ 7,800 = 7,000 + 400 (2) a4 คอ 8,200 = 7,000 + 400 (3) . .

เพราะฉะนน an = 7,000 + 400 (n – 1) เพราะฉะนน a11 = 7,000 + 400 (11 – 1) = 11,000 ดงนน อก 10 ปถดไปนภาจะไดรบเงนเดอน 11,000 บาท ตอบ

13. ครใหนกเรยนจบคท าใบงานท 3 โดยทครอธบายใหนกเรยนเขาใจวา ปญหาในใบงานท 3 เปนปญหาปลายเปดทมวธการหาค าตอบทถกตองไดหลายวธ ใหนกเรยนพยายามหาค าตอบดวยวธการตางๆ ใหไดมากทสด โดยครใหอสระกบนกเรยนในการวางแผนหาค าตอบและหาค าตอบในปญหาแตละขอ

14. เมอนกเรยนแกปญหาในแตละขอเสรจเรยบรอยแลว ครใหนกเรยนแตละคจบกลมๆละ 4 คน ชวยกนตรวจสอบความถกตองของค าตอบและสรปวธการตางๆ ทสามารถใชหาค าตอบในแตละขอ โดยมครและเพอนรวมชนคนอนๆ ตรวจสอบความถกตองของค าตอบและกระบวนการอกครงหนง เพอเปนการตรวจสอบความเขาใจ

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

115

ขนสรป เมอนกเรยนแกปญหาเสรจสนครบทงใบงานท 1 ,ใบงานท 2 และใบงานท 3 เรยบรอยแลว ครและนกเรยนรวมกนสรปวธการในการแกปญหาทงหมดอกครงหนงพรอมทงอภปรายถงขอดของวธการในแตละวธจากนนใหนกเรยนแตละกลมชวยกนหาค าตอบในแบบฝกทกษะใหไดมากกวา 1 วธ เพอใหนกเรยนไดทบทวนและเกบรวบรวมเปนแฟมสะสมความรของกลม สอการเรยนร

1. ใบงานท 1 2. ใบงานท 2 3. ใบงานท 3 4. แบบฝกทกษะ

การวดผลและประเมนผลการเรยนร


10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

116

ใบงานท 1

1. จากล าดบทก าหนดใหตอไปน ใหนกเรยนจดกลมวาล าดบใดเปนล าดบเลขคณต ล าดบใด ไมใชล าดบเลขคณต พรอมทงหาผลตางของล าดบทเปนล าดบเลขคณต และใหเหตผลประกอบ 4, 8, 16, 32, . . . 3, 5, 7, . . . , 2n + 1, . . . 6, 16, 26, . . . , 10n – 4, . . . 5, 10, 20, 40, . . . , 5(2)n – 1, . . . x + 3, x + 6, x + 9, . . . , x + 3n, . . . 2, 4, 8, . . . , 2n , . . .

3, 9, 3

1 , . . . , 9(3- n), . . . 7, 10, 13, . . . , 3n + 4, . . .

1, 4, 9, 16, 25 10, 5, 2

5 , . . . , 20(2- n), . . .

เปนล าดบเลขคณต ผลตางรวม เหตผลทเปนล าดบเลขคณต

ไมเปนล าดบเลขคณต ผลตางรวม เหตผลทไมเปนล าดบเลขคณต

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

117

เฉลยใบงานท 1 1.จากล าดบทก าหนดใหตอไปน ใหนกเรยนจดกลมวาล าดบใดเปนล าดบเลขคณต ล าดบใดไมใชล าดบเลขคณต พรอมทงหาผลตางของล าดบทเปนล าดบเลขคณต และใหเหตผลประกอบ

เปนล าดบเลขคณต ผลตางรวม เหตผลทเปนล าดบเลขคณต 3, 5, 7, . . . , 2n + 1, . . . 6, 16, 26, . . . , 10n – 4, . . . x + 3, x + 6, x + 9, . . . , x + 3n, . . . 7, 10, 13, . . . , 3n + 4, . . .

2 10 3 3

ล าดบแตละล าดบมผลตางรวมเทากน

ไมเปนล าดบเลขคณต ผลตางรวม เหตผลทไมเปนล าดบเลขคณต 4, 8, 16, 32, . . . 5, 10, 20, 40, . . . , 5(2)n – 1, . . . 2, 4, 8, . . . , 2n , . . .

3, 9, 3

1 , . . . , 9(3- n), . . .

1, 4, 9, 16, 25

10, 5, 2

5 , . . . , 20(2- n), . . .

ไมม ไมม ไมม ไมม ไมม ไมม

ล าดบแตละล าดบไมมผลตางรวม

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

118

ใบงานท 2 ใหนกเรยนแสดงวธการหาค าตอบจากล าดบทก าหนดให 1. นกเรยนสามารถหาผลตางรวม, พจนท 12 และพจนท n จากล าดบเลขคณต 2, 4, 6, 8, 10, 12, . .ไดอยางไรจงอธบาย ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 2. นกเรยนสามารถหาผลตางรวม , พจนท 15, พจนท 26 และพจนท n จากล าดบเลขคณต a, a + 7, a + 14, a + 21, . . . อยางไรจงอธบาย ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

119

3. ถา an = - 15 นกเรยนสามารถแสดงวธการหา n เมอก าหนดล าดบเลขคณตมพจนท 1 เปน 3 และผลตางรวมเปน -3 ไดอยางไร ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 4. จงอธบายวา ล าดบเลขคณต 5, 12, 19, 26, . . . , 670 มทงหมดกพจน ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

120

จากล าดบเลขคณต 2, 4, 6, 8, 10, 12, . . จะได a1 = 2 และ d = 4-2 =2 จาก an = a1 + (n – 1)d a12 = a1+11d =2+11(2) = 2+22 = 24 an = a1 + (n – 1)d = 2+(n-1)2 = 2+(2n-2) =2+2n-2 = 2n เพราะฉะนน ผลตางรวมคอ 2 พจนท 12 คอ 24 และพจนท n คอ 2n

จากล าดบเลขคณต a, a + 7, a + 14, a + 21, . . . ผลตางรวมคอ a + 7 – a = 7 พจนท 15 คอ a15 = a1+14d = a+14(7) = a+98 …* พจนท 26 คอ a26 = a1+25d = a+25(7) = a+175 …* พจนท n คอ an = a1+(n-1)d = a+(n-1)(7) = a+7n-7 …*

เฉลยใบงานท 2

ใหนกเรยนแสดงวธการหาค าตอบจากล าดบทก าหนดให 1. นกเรยนสามารถหาผลตางรวม, พจนท 12 และพจนท n จากล าดบเลขคณต 2, 4, 6, 8, 10, 12, . .ไดอยางไรจงอธบาย 2. นกเรยนสามารถหาผลตางรวม , พจนท 15, พจนท 26 และพจนท n จากล าดบเลขคณต a, a + 7, a + 14, a + 21, . . . อยางไรจงอธบาย

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

121

จากโจทยก าหนดให a1 = 3 d = -3 an = -15 จาก n = 1

d

a - a 1n

= 1 3-

3 - 15-

= 1 3-

18-

= 6+1 n = 7

จากโจทย a1 = 5 และ d = 12 – 5 = 7 จาก an = a1 + (n – 1)d 670 = 5 + (n – 1 )(7) 670 = 5 + 7n – 7 670+2 = 7n

n = 7

672

= 96 มจ านวนพจนทงหมด 96 พจน

3. ถา an = - 15 นกเรยนสามารถแสดงวธการหา n เมอก าหนดล าดบเลขคณตมพจนท 1 เปน 3 และผลตางรวมเปน -3 ไดอยางไร 4. จงอธบายวา ล าดบเลขคณต 5, 12, 19, 26, . . . , 670 มทงหมดกพจน

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

122

ใบงานท 3 ใหนกเรยนแสดงวธการหาค าตอบจากโจทยปญหาทก าหนดให 1. จ านวนเตมทมคาตงแต 50 ถง 150 มกจ านวนท 2 หารลงตว แต 3 หารไมลงตว ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 2. ไมกองหนงถกวางเรยงเปนชนๆ โดยทจ านวนไมในชนบนกบชนถดลงมาตางกน 3 ทอน ถาไมกองนในชนบนสดมไม 51 ทอน และชนลางสดม 141 ทอน อยากทราบวาไมกองนวางเรยงกนไว กชน ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ...........

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

123

จ านวนเตมคตงแต 50 ถง 150 ไดแก 50 , 52 , 54 , … , 150 ซงม 51 พจน (หาไดจากสตร) จ านวนเตมคตงแต 50 ถง 150 ท 3 หารลงตว ไดแก 54 , 60 , 66 , … , 150 ซงม 17 พจน เพราะฉะนน จ านวนเตมคตงแต 50 ถง 150 ท 3 หารไมลงตวมทงหมด = 51 – 17 = 34 พจน

ใหไมกองนม n ชน จ านวนไมในแตละชนเปน 51 , 54 , 57 ,… , 141

n = 1 3

51 - 141

= 1 3

90

= 30 + 1 = 31

เพราะฉะนนไมกองนวางเรยงไว 31 ชน


ใหนกเรยนแสดงวธการหาค าตอบจากโจทยปญหาทก าหนดให 1. จ านวนเตมทมคาตงแต 50 ถง 150 มกจ านวนท 2 หารลงตว แต 3 หารไมลงตว 2. ไมกองหนงถกวางเรยงเปนชนๆ โดยทจ านวนไมในชนบนกบชนถดลงมาตางกน 3 ทอน ถาไมกองนในชนบนสดมไม 51 ทอน และชนลางสดม 141 ทอน อยากทราบวาไมกองนวางเรยงกนไวกชน

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

124

แบบฝกทกษะ เรอง ล าดบเลขคณต ใหนกเรยนแตละกลมชวยกนหาค าตอบใหถกตองใหไดมากกวา 1 วธ

1. ถาก าหนดล าดบเลขคณต คอ 5, 8, 11, . . . นกเรยนสามารถหาล าดบเลขคณตนใหม จ านวน 6 พจนไดอยางไร ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………..

2. ถาล าดบเลขคณตชดหนงมพจนท 4 เทากบ 18 และพจนท 7 เทากบ 16 แลวนกเรยน คดวาผลตางรวมและพจนท 1 ของล าดบชดนจะมคาเทาใด ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………..

3. จงหาพจนท n (พจนทวไป) ของล าดบเลขคณต 3, 7, 11, 15, . . . ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………..

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

125

4. ล าดบเลขคณตชดหนง คอ 7, 12, 17, 22, . . . , 282 จงหาวาล าดบนมกพจน ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………..

5. ก าหนดตวเลข 10 ถง 1,000 จงหาจ านวนทหารดวย 13 ลงตว ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………..

ส ๆๆ เราตองท าไดเพอกลมของเรา เฮ......

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

126

เฉลยแบบฝกทกษะ เรอง ล าดบเลขคณต

ใหนกเรยนแตละกลมชวยกนหาค าตอบใหถกตองใหไดมากกวา 1 วธ 1. ถาก าหนดล าดบเลขคณต คอ 5, 8, 11, . . . นกเรยนสามารถหาล าดบเลขคณตนใหม

จ านวน 6 พจนไดอยางไร วธท 1 จากล าดบเลขคณต 5, 8, 11, . . . จะได a1 = 5 และ d = 8 – 5 = 3 a4 = a1 + 3d = 5 + 3(3) = 14 a5 = a1 + 4d = 5 + 4(3) = 17 a6 = a1 + 5d = 5 + 5(3) = 20 ล าดบเลขคณตน คอ 5, 8, 11, 14, 17, 20

วธท 2 จากล าดบเลขคณต 5, 8, 11, . . . จะได a1 คอ 5 a2 คอ 8 = 5+3 a3 คอ 11 = 8+3 a4 คอ 14 = 11+3 a5 คอ 17 = 14+3 a6 คอ 20 = 17+3 ล าดบเลขคณตน คอ 5, 8, 11, 14, 17, 20

2. ถาล าดบเลขคณตชดหนงมพจนท 4 เทากบ 18 และพจนท 7 เทากบ 16 แลวนกเรยน คดวาผลตางรวมและพจนท 1 ของล าดบชดนจะมคาเทาใด วธท 1 a4 = a1 + 3d 18 = a1 + 3d …………… และ a7 = a1 + 6d 16 = a1 + 6d ………….. - ; -2 = 3d d =

3

2

แทนคา d ใน จะได 18 = a1 + 3(

3

2 )

18 = a1 – 2 20 = a1

ผลตางรวมคอ3

2 และพจนท 1 คอ 20

วธท 2 จากโจทยก าหนดพจนท 4 และพจนท 7 มาใหสามารถหาผลตางรวมไดดงน a7 – a4 = 3d 16 – 18 = 3d - 2 = 3d d =

3

2

a1 = a4 + (-3)d = 18 + (-3)(

3

2 )

= 18 + 2 = 20 ผลตางรวมคอ

3

2 และพจนท 1 คอ 20

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

127

3. จงหาพจนท n (พจนทวไป) ของล าดบเลขคณต 3, 7, 11, 15, . . . วธท 1 จะได a1 = 3 และ d = 7 – 3 = 4 จากสตร an = a1 + (n – 1)d an = 3 + (n – 1)(4) = 3 + 4n – 4 = 4n – 1

วธท 2 a1 คอ 3 = (1X3)+0 a2 คอ 7 = (2X3)+1 a3 คอ 11 = (3X3)+2 a4 คอ 15 = (4X3)+3 เพราะฉะนน an = 3n + (n – 1)

4. ล าดบเลขคณตชดหนง คอ 7, 12, 17, 22, . . . , 282 จงหาวาล าดบนมกพจน

วธท 1 จากโจทยจะได a1 = 7, d = 12 – 7 = 5 และ an = 282 จากสตร an = a1 + (n – 1)d แทนคา 282 = 7 + (n – 1)(5) 282 = 7 + 5n – 5 280 = 5n n = 56

วธท 2 จาก n = 1 d

a - a 1n

= 1 5

7 - 282

= 1 5

275

= 55 + 1 = 56 ล าดบชดนมจ านวน 56 พจน

5. ก าหนดตวเลข 10 ถง 1,000 จงหาจ านวนทหารดวย 13 ลงตว

วธท 1 จ านวน 10 ถง 1,000 ทหารดวย 13 ลงตว ไดแก 13, 26, 39, . . . , 988 จะได a1 = 13 , d = 26 – 13 = 13 และ an = 988 จากสตร an = a1 + (n – 1)d แทนคา 988 = 13 + (n –1)(13) 988 = 13 + 13n – 13 988 = 13n n =

13

988

= 76

วธท 2 จาก n = 1 d

a - a 1n

= 1 13

13 - 988

= 1 13

975

= 75 + 1 = 76 ตวเลข 10 ถง 1,000 ทหารดวย 13 ลงตว ม 76 จ านวน

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

128

แผนการจดการเรยนรท 3 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5เรอง ล าดบเรขาคณต เวลา 2 ชวโมง สาระส าคญ 1. ล าดบเรขาคณต 2. การหาพจนท n (an) หรอพจนทวไปของล าดบเรขาคณต จดประสงคการเรยนร นกเรยนสามารถ 1. ระบล าดบทเปนล าดบเรขาคณตได 2. หาพจนท 1 อตราสวนรวม และพจนท n ของล าดบเรขาคณตได สาระการเรยนร

1. ล าดบเรขาคณต ล าดบเรขาคณต คอ ล าดบทมอตราสวนของพจนท n + 1 ตอพจนท n หรอพจนหลงตอพจนหนาทอยตดกนมคาคงท คาคงทนเรยกวา อตราสวนรวม (Common Ratio)

2. การหาพจนท n (an) หรอพจนทวไปของล าดบเรขาคณต

จากล าดบเรขาคณต 2, 10, 50, 250, . . . พจารณาความสมพนธของพจนตาง ๆ กบ พจนท 1 และอตราสวนรวม (r) ดงน a1 = 2 a2 = 10 = 2(5)1 = 2(5)2 – 1 a3 = 50 = 2(5)2 = 2(5)3 – 1 a4 = 250 = 2(5)3 = 2(5)4 – 1 . . . ab = 2(5)n – 1 ถาให r = 5 , a1 = 2 จะได an = a1 (r)

n – 1 สตรการหาพจนท n (an) หรอพจนทวไปของล าดบเรขาคณต คอ an = a1 r

n – 1

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

129

กจกรรมการเรยนร ขนน า

1. ครก าหนดล าดบใหนกเรยนพจารณาดงน และ ใหนกเรยนชวยกนพจารณาจดกลมของ ล าดบพรอมทงใหเหตผลประกอบ 5, 10. 20, 40, . . . , 5(2)n – 2, 5(2)n – 1, . . . 2, 12, 72, 432, . . ., 2(6)n – 2, 2(6)n – 1, . . . 1, 3, 9, 27, . . . , 3n – 2, 3n – 1, . . . 8, 16, 32, 64, . . . , 8(2)n – 2, 8(2)n – 1, . . . 7, -7, 7, -7, . . . , (-1)n(7), (-1)n + 1(7), . . .

5, 0.5, 0.05, 0.005, . . . ,5

2 - n

10

1

, 5

1 - n

10

1

, . . .

2.จากล าดบทครก าหนดใหครใหนกเรยนชวยกนอภปราย และใหเหตผลประกอบ นกเรยนสามารถหาค าตอบไดอยางไรบาง ซงจากล าดบทก าหนดมาใหนนไมสามารถจดกลมไดเนองจากไมมผลตางรวมแตสามารถหาไดจากอตราสวนของพจนท n + 1 ตอพจนท n ของแตละจ านวนทเทากน ท าใหตรวจสอบไดวาเปนล าดบเรขาคณตหรอไม ดงตารางตอไปน

ขอท 1 พจนท2 พจนท

2 พจนท3 พจนท

3 พจนท4 พจนท

1 - n พจนท nพจนท อตราสวนรวม

1 2 5

10

2

10

20

2

20

40

2

)2(5

)2(5

2 - n

1 - n

2

2 6 2

12 6

12

72 6

72

432 6

)6(2

)6(2

2 - n

1 - n

6

3 3 1

3 3

3

9 3

9

27 3

3

3

2 - n

1 - n

3

4 2 8

16 2

16

32 2

32

64 2

)2(8

)2(8

2 - n

1 - n

2

5 1- 7

7

1- 7

7

1-

7

7

1- )7()1(

)7()1(

n

1 n

-1

6 0.1 5

5.0 0.1

5.0

05.0 0.1

05.0

005.0 0.1

10

15

10

15

2 - n

1 - n

0.1

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

130

ขนสอน 1. จากกจกรรมในขนน าครชใหนกเรยนเหนวาการพจารณาขอมลทโจทยก าหนดใหนน

เปนสงส าคญและวธการหาอตราสวนรวมในแตละขอตองเทากนเสมอ 2. ครใหนกเรยนทกคนท าใบงานท 1 โดยอธบายโจทยใหนกเรยนเขาใจ แลวใหนกเรยน

แตละคนไดคดวางแผนและด าเนนการแกปญหาดวยตนเอง โดยครดแลการท างานของนกเรยนอยางใกลชด ซงครจะพยายามกระตนใหนกเรยนไดใชวธการแกปญหามากกวาหนงวธ จากนนครสมใหนกเรยนออกมาน าเสนอการหาค าตอบดวยวธการตางๆทนกเรยนใช และครตรวจสอบความถกตองของค าตอบอกครง เมอนกเรยนน าเสนอวธการหาค าตอบจนครบทนกเรยนท าไดแลว ถายงมวธการอนอกทสามารถหาค าตอบไดอกครกน าเสนอวธการนนเพมเตมใหแกนกเรยนและใหนกเรยนจดบนทกเพมเตม


4. ครใหนกเรยนพจารณาขอความตอไปน จากล าดบเรขาคณต 2, 10, 50, 250, . . . ใหนกเรยนพจารณาความสมพนธของพจนตาง ๆ กบพจนท 1 และอตราสวนรวม (r) พรอมทงหาพจนท an นกเรยนคดวาอตราสวนรวม และ an ควรเปนจ านวนใดมความสมพนธกนอยางไร

5. ครใหนกเรยนชวยกนคดวางแผนเพอแกปญหาในการหาอตราสวนรวม และ an พรอม ทงความสมพนธของล าดบเรขาคณต โดยใชวธการใหนกเรยนแสดงความคดวานกเรยนจะใชวธการใดในการแกปญหา ซงวธการแรกทนกเรยนเลอกใชนนอาจจะเปนวธการทคนเคยส าหรบนกเรยน จากนนเมอหาค าตอบไดแลว ครใหนกเรยนตรวจสอบความถกตองของค าตอบ จากนนครตงค าถามกระตนนกเรยนใหคดตอไปวา นอกจากวธการแรกทนกเรยนน าเสนอไปแลวนน ยงมวธการอนอกหรอไมทสามารถหาค าตอบทถกตองได ใหนกเรยนชวยกนเสนอความคดวามวธการใดอกบาง

6. ถานกเรยนระบวธการไดไมครบตามจ านวนทคาดไว หรอไมสามารถน าเสนอวธการ อนไดอก ครจะเปนผน าเสนอใหนกเรยนไดเหนวธการอนๆทนาสนใจ และใหนกเรยนตรวจสอบค าตอบทไดจากวธการอนๆ วาเปนค าตอบทถกตองหรอไม เพอใหนกเรยนไดเหนวธการแกปญหาและหาค าตอบดวยมมมองทแปลกไป จากนนครอธบายใหนกเรยนเหนวาในการหาค าตอบทถกตองนนไมไดมวธการหาค าตอบเพยงวธการเดยว นกเรยนสามารถใชวธการทหลากหลายในการหาค าตอบทถกตองได

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

131

7. จากปญหาทครใหนกเรยนชวยกนพจารณานนครใหนกเรยนชวยกนสรปวธการหาพจน ท n ของล าดบเรขาคณตเพอใหงายตอการแสดงวธการหาพจนท n ของล าดบเรขาคณตอนๆตอไป จากโจทยทครก าหนดใหสามารถสรปไดดงน ถาให a1 เปนพจนท 1 ของล าดบเรขาคณต r เปนอตราสวนรวม ผลตางรวมของล าดบเรขาคณต แลว a1 = 2 a2 = 10 = 2(5)1 = 2(5)2 – 1 a3 = 50 = 2(5)2 = 2(5)3 – 1 a4 = 250 = 2(5)3 = 2(5)4 – 1 . . . an = 2(5)n – 1 ถาให r = 5 , a1 = 2 จะได an = a1 (r)

n – 1 สามารถสรปไดวา พจนท n หรอ (an) หรอพจนทวไปของล าดบเรขาคณต คอ an = a1 r

n – 1 เมอ an เปนพจนท n r เปนอตราสวนรวม a1 เปนพจนท 1

8. ครใหนกเรยนจบคท าใบงานท 2 โดยทครอธบายใหนกเรยนเขาใจวา ปญหาในใบงาน ท 2 เปนปญหาปลายเปดทมวธการหาค าตอบทถกตองไดหลายวธ ใหนกเรยนพยายามหาค าตอบดวยวธการตางๆ ใหไดมากทสด โดยครใหอสระกบนกเรยนในการวางแผนหาค าตอบในปญหาแตละขอ


10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

132

ขนสรป เมอนกเรยนแกปญหาเสรจสนครบทงใบงานท 1และใบงานท 2 เรยบรอยแลว ครและนกเรยนรวมกนสรปวธการในการแกปญหาทงหมดอกครงหนงพรอมทงอภปรายถงขอดของวธการในแตละวธจากนนใหนกเรยนแตละคนกลบไปท าแบบฝกทกษะเปนการบาน สอการเรยนร

1. ใบงานท 1 2. ใบงานท 2 3. แบบฝกทกษะ เรอง การหาพจนทวไปของล าดบเรขาคณต

การวดผลและประเมนผลการเรยนร


10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

133

ใบงานท 1 ใหนกเรยนน าล าดบทก าหนดใหเตมค าตอบลงในชองวางพรอมใหเหตผลประกอบใหถกตองสมบรณ

4, 8, 16, 32, . . . 3. 6, 9, 12, . . . , 3n 3, 18, 108, . . . , 3(6)n – 1, . . . 5, 12, 19, . . . , 7n – 2 , . . . 1, 4, 16, 64, . . . 4n – 1, . . . 6, 12, 24, 48, . . . , 6(2)n – 2, 6(2)n – 1, . . . 7, 14, 28, 56, . . . 7(2)n – 1 3, 9, 27, 81, . . . , 3n, . . . 5, 15, 45, 135, . . . , 5(3)n – 2, 5(3)n – 1, . . . 6, 10, 14, 18, . . . , 4n + 2

เปนล าดบเรขาคณต อตราสวนรวม เหตผล

ไมเปนล าดบเรขาคณต อตราสวนรวม เหตผล

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

134

เฉลยใบงานท 1 ใหนกเรยนน าล าดบทก าหนดใหเตมค าตอบลงในชองวางพรอมใหเหตผลประกอบใหถกตองสมบรณ

เปนล าดบเรขาคณต อตราสวนรวม เหตผล 4, 8, 16, 32, . . . 3, 18, 108, . . . , 3(6)n – 1, . . . 1, 4, 16, 64, . . . 4n – 1, . . . 6, 12, 24, 48, . . . , 6(2)n – 2, 6(2)n – 1, . . . 7, 14, 28, 56, . . . 7(2)n – 1 5, 15, 45, 135, . . . , 5(3)n – 2, 5(3)n – 1, . . .

2

6

4

2

2

3

มอตราสวนรวมเทากน






ไมเปนล าดบเรขาคณต อตราสวนรวม เหตผล 3, 6, 9, 12, . . . , 3n 5, 12, 19, . . . , 7n – 2 , . . 3, 9, 27, 81, . . . , 3n, . . . 6, 10, 14, 18, . . . , 4n + 2

ไมม

ไมม

ไมม

ไมม

ไมมอตราสวนรวม




10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

135

ใบงานท 2 ใหนกเรยนแสดงวธการหาค าตอบในแตละขอตอไปนใหถกตอง 1. ก าหนด a1 = 6 และ r = 6 จงหาล าดบเรขาคณตน ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. ก าหนด a1 = 3 และ r = -2 จงหา a5 ของล าดบเรขาคณต ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ก าหนด a1 = -3 และ r = 4

1 จงหา a5 ของล าดบเรขาคณต

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. ก าหนดล าดบเรขาคณต ม a1 = 10 และ a7 = 640 จงหาอตราสวนรวม ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 5. ก าหนดล าดบเรขาคณต ม r = -1 และ a8 = -2 จงหา a1 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

136

จากโจทยก าหนดให a1 = 6 และ r = 6 จาก an = a1 (r)n – 1 เพราะฉะนน a2 = 6 (6)2– 1 = 36 a3 = 6 (6)3– 1 = 216 เพราะฉะนนล าดบเรขาคณตน คอ 6, 36, 216, . . . ตอบ จากโจทยก าหนดให a1 = 3 และ r = -2 จาก an = a1 (r)n – 1 เพราะฉะนน a5 = 3 (-2)5– 1 = 48 เพราะฉะนน a5 ของล าดบเรขาคณต คอ 48 ตอบ จากโจทยก าหนดให a1 = -3 และ r =

4

1

จาก an = a1 (r)n – 1

เพราะฉะนน a5 = -3 (4

1 )5– 1 = 256

3

เพราะฉะนน a5 ของล าดบเรขาคณต คอ 256

3 ตอบ

จาก an = a1 (r)n – 1 64 = (r)6 เพราะฉะนน a7 = 10 (r)7– 1 (2)6 = (r)6

640 = 10 (r)7– 1 เพราะฉะนน อตราสวนรวม คอ 2

10

640 = (r)6

จาก a8 = a1 (r)7 เพราะฉะนน -2 = a1 (-1)7 เพราะฉะนน a1 ของล าดบเรขาคณต คอ 2 ตอบ

เฉลยใบงานท 2 ใหนกเรยนแสดงวธการหาค าตอบในแตละขอตอไปนใหถกตอง 1. ก าหนด a1 = 6 และ r = 6 จงหาล าดบเรขาคณตน 2. ก าหนด a1 = 3 และ r = -2 จงหา a5 ของล าดบเรขาคณต

3. ก าหนด a1 = -3 และ r = 4

1 จงหา a5 ของล าดบเรขาคณต

4. ก าหนดล าดบเรขาคณต ม a1 = 10 และ a7 = 640 จงหาอตราสวนรวม 5. ก าหนดล าดบเรขาคณต ม r = -1 และ a8 = -2 จงหา a1

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

137

แบบฝกทกษะ เรอง การหาพจนทวไปของล าดบเรขาคณต

ใหนกเรยนแสดงวธการหาค าตอบใหถกตอง 1. ก าหนดล าดบเรขาคณต คอ 4, 16, 64, 256, . . . จงหาพจนท n (an) ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….

2. ก าหนดล าดบเรขาคณต a1 = 9

1 และ a6 = 27 จงหาอตราสวนรวม

………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….

3. ก าหนดล าดบเรขาคณตมอตราสวนรวมเทากบ 3

1 และ a10 =

93

2 จงหาพจนท 1 (a1)

………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

138

เฉลยแบบฝกทกษะ เรอง การหาพจนทวไปของล าดบเรขาคณต

ใหนกเรยนแสดงวธการหาค าตอบใหถกตอง 1. ก าหนดล าดบเรขาคณต คอ 4, 16, 64, 256, . . . จงหาพจนท n (an)

วธท า จากล าดบเรขาคณต 4, 16, 64, 256, . . .

จะได a1 = 4 , r = 4

16 = 4

จาก an = a1 rn - 1

= 4(4)n - 1 = 4n ตอบ

2. ก าหนดล าดบเรขาคณต a1 = 9

1 และ a6 = 27 จงหาอตราสวนรวม

วธท า จาก an = a1 rn - 1

a6 = a1 r6 – 1

a6 = a1r5

แทนคา 27 = 9

1 (r)5

27 9 = r5 33 33 = r5 35 = r5 r = 3 อตราสวนรวมเทากบ 3 ตอบ

3. ก าหนดล าดบเรขาคณตมอตราสวนรวมเทากบ 3

1 และ a10 =

93

2 จงหาพจนท 1 (a1)

วธท า จาก an = a1rn – 1

a10 = a1r10 – 1

a10 = a1r9

แทนคา 93

2 = a1 9

3

1

93

2 = a1

93

1-

a1 = 2 พจนท 1 (a1) เทากบ 2 ตอบ

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

139

แผนการจดการเรยนรท 4 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5เรอง ล าดบเรขาคณต (ตอ) เวลา 2 ชวโมง สาระส าคญ 1. จ านวนพจนของล าดบเรขาคณต 2. โจทยปญหาเกยวกบล าดบเรขาคณต จดประสงคการเรยนร นกเรยนสามารถ 1. หาจ านวนพจนของล าดบเรขาคณตได 2. น าความรเรอง ล าดบเรขาคณตไปใชในการแกโจทยปญหาได สาระการเรยนร

1. การหาจ านวนพจนของล าดบเรขาคณต ในการหาจ านวนพจนของล าดบเรขาคณต ใชสตร an = a1 r

n – 1 ซงเราจะตองทราบ พจนท 1 (a1) , อตราสวนรวม (r) และพจนท n (an) กอนเสมอ

2. โจทยปญหาเกยวกบล าดบเรขาคณต ในการแกโจทยปญหาเกยวกบล าดบเรขาคณต จะตองมความรเกยวกบความหมายของ

ล าดบเรขาคณต สตรการหาพจนท n และการหาจ านวนพจนของล าดบเรขาคณต กจกรรมการเรยนร ขนน า

1. ครและนกเรยนทบทวนความรเรอง การหาอตราสวนรวม และการหาพจนทวไปของ ล าดบเรขาคณต

2. ครใหนกเรยนพจารณาค าถามตอไปน “จงหาวาล าดบเรขาคณต 3, 6, 12, . . ., 6144 มกพจน” 3. จากค าถามทครตงขนครใหนกเรยนชวยกนอภปรายวาล าดบเรขาคณตทก าหนดใหนาจะ

มกพจน นกเรยนมวธการหาค าตอบไดอยางไรบาง

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

140

ขนสอน 1. จากค าถามในขนน าครแนะใหนกเรยนชวยกนคดวางแผนเพอแกปญหาในการหา

จ านวนพจนของล าดบเรขาคณต โดยใชวธการใหนกเรยนแสดงความคดวานกเรยนจะใชวธการใดในการแกปญหา จากนนเมอหาค าตอบไดแลว ครใหนกเรยนตรวจสอบความถกตองของค าตอบ จากนนครตงค าถามกระตนนกเรยนใหคดตอไปวา นอกจากวธการแรกทนกเรยนน าเสนอไปแลวนน ยงมวธการอนอกหรอไมทสามารถหาค าตอบทถกตองได ใหนกเรยนชวยกนเสนอความคดวามวธการใดอกบาง


3. จากปญหาทครใหนกเรยนชวยกนพจารณานนครใหนกเรยนชวยกนสรปวธการหา จ านวนพจนของล าดบเรขาคณตเพอใหงายตอการแสดงวธการหาจ านวนพจนของล าดบเรขาคณตอนๆตอไป จากโจทยทครก าหนดใหสามารถสรปวธการหาค าตอบไดดงน วธท า จากล าดบเรขาคณต 3, 6, 12, . . ., 6144 จะได

a1 = 3 , r = 3

6 = 2 และ an = 6,144

จากสตร an = a1 rn – 1

แทนคา 6,144 = 3(2)n – 1 2048 = 2n - 1 211 = 2n - 1 n – 1 = 11 n = 12 ดงนน ล าดบเลขคณต 3, 6, 12, . . .,6144 ม 12 พจน ตอบ สามารถสรปไดวา ในการหาจ านวนพจนของล าดบเรขาคณต โดยใชสตร an = a1 r

n – 1 ซงเราจะตองทราบพจนท 1 (a1) , อตราสวนรวม (r) และพจนท n หรอ (an) กอนเสมอ

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

141

4. ครใหนกเรยนทกคนท าใบงานท 1 โดยอธบายโจทยใหนกเรยนเขาใจ แลวใหนกเรยน แตละคนไดคดวางแผนและด าเนนการแกปญหาดวยตนเอง โดยครดแลการท างานของนกเรยนอยางใกลชด ซงครจะพยายามกระตนใหนกเรยนไดใชวธการแกปญหามากกวาหนงวธ จากนนครสมใหนกเรยนออกมาน าเสนอการหาค าตอบดวยวธการตางๆทนกเรยนใช และครตรวจสอบความถกตองของค าตอบอกครง เมอนกเรยนน าเสนอวธการหาค าตอบจนครบทนกเรยนท าไดแลว ถายงมวธการอนอกทสามารถหาค าตอบไดอกครกน าเสนอวธการนนเพมเตมใหแกนกเรยนและใหนกเรยนจดบนทกเพมเตม

5. เมอนกเรยนแกปญหาในแตละขอเสรจเรยบรอยแลว ครใหนกเรยนแตละคนจบค ชวยกนตรวจสอบความถกตองของค าตอบและสรปวธการตางๆ ทสามารถใชหาค าตอบในแตละขอ โดยมครและเพอนรวมชนคนอนๆ ตรวจสอบความถกตองของค าตอบและกระบวนการอกครงหนง เพอเปนการตรวจสอบความเขาใจ

6. ครตงค าถามใหนกเรยนรวมกนอภปรายดงน “ถาผลบวกของล าดบเรขาคณต 3 จ านวนเทากบ 38 และผลคณมคาเทากบ 1728 แลว จงหาล าดบเรขาคณตน ”

7. ครอธบายโจทยใหนกเรยนเขาใจ และใหนกเรยนแตละคนไดคดวางแผนและ ด าเนนการแกปญหาดวยตนเอง โดยครดแลการท างานของนกเรยนอยางใกลชด ซงครจะพยายามกระตนใหนกเรยนไดใชวธการแกปญหามากกวาหนงวธ จากนนครสมใหนกเรยนออกมาน าเสนอการหาค าตอบดวยวธการตางๆทนกเรยนใช และครตรวจสอบความถกตองของค าตอบอกครง เมอนกเรยนน าเสนอวธการหาค าตอบจนครบทนกเรยนท าไดแลว ถายงมวธการอนอกทสามารถหาค าตอบไดอกครกน าเสนอวธการนนเพมเตมใหแกนกเรยนและใหนกเรยนจดบนทกเพมเตมซงค าตอบทเปนไปไดเปนดงน

วธท า สมมตใหสามจ านวนของล าดบเรขาคณต คอ r a a, , r

a

ผลคณของ 3 จ านวนของล าดบเรขาคณตมคาเทากบ 1728

ar a r

a = 1728

3a = 1728 3a = 312 a = 12 แตผลบวกของล าดบเรขาคณต 3 จ านวน เทากบ 38

ar a r

a = 38

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

142

แทนคา a = 12

12r 12 r

12 = 38

212r 12r 12 = 38 r 212r 26r - 12 = 0 6 13r - 6r 2 = 0 3) -2)(2r -(3r = 0

r = 2

3 ,

3

2

ดงนน ล าดบเรขาคณตทเปนไปไดม 2 กรณ คอ

ถา r = 3

2 ล าดบเรขาคณต คอ 18, 12, 8

ถา r = 2


ล าดบเรขาคณตชดน คอ 18, 12, 8 หรอ 8, 12, 18 ตอบ

8. ครใหนกเรยนจบคท าใบงานท 2 โดยทครอธบายใหนกเรยนเขาใจวา ปญหาในใบงาน ท 2 เปนปญหาปลายเปดทมวธการหาค าตอบทถกตองไดหลายวธ ใหนกเรยนพยายามหาค าตอบดวยวธการตางๆ ใหไดมากทสด โดยครใหอสระกบนกเรยนในการวางแผนหาค าตอบในปญหาแตละขอ


ขนสรป เมอนกเรยนแกปญหาเสรจสนครบทงใบงานท 1 และ ใบงานท 2 เรยบรอยแลว ครและนกเรยนรวมกนสรปวธการในการแกปญหาทงหมดอกครงหนงพรอมทงอภปรายถงขอดของวธการในแตละวธจากนนครใหนกเรยนทกคนท าแผนผงความคด ( mind mapping) สรปเนอหาเรองล าดบเรขาคณตเปนการบาน

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

143

สอการเรยนร 1. ใบงานท 1 2. ใบงานท 2

การวดผลและประเมนผลการเรยนร 1. สงเกตจากการตอบค าถามและการใหเหตผล 2. สงเกตจากการท ากจกรรมทไดรบมอบหมาย 3. สงเกตจากความสนใจและการอภปรายการใหเหตผล

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

144

ใบงานท 1 ใหนกเรยนแสดงวธการหาค าตอบในแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ

1. จงหาวาล าดบเรขาคณต 10, -5, 64

5 - , . . . ,

4

5 - ,

2

5 มกพจน

……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...

2. จงหาวาล าดบเรขาคณต 1, 4, 16, 64, . . ., 4096 มกพจน ……………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

145

3. จงหาวาล าดบเรขาคณต 512

9 , . . . ,

8

9 ,

4

9 ,

2

9 , 9 มกพจน

……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...

4. 15,552 เปนพจนทเทาใดของล าดบเรขาคณต 3

1 , 2, 12, 72, . . .

……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...

5. 256

3 เปนพจนทเทาใดของล าดบเรขาคณต 6, -3, . . . ,

4

3 - ,

2

3

……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

146

วธท ำ จากล าดบเรขาคณต 10, -5, 64

5 - , . . . ,

4

5 - ,

2

5 จะได

a1 = 10 , r = 10

5 = 2

1 และ an = 64

5


แทนคา 64

5 = 10(

2

1 )n – 1

128

1 = (

2

1 )n – 1

(2

1 )7 = (2

1 )n – 1

n – 1 = 7 n = 8 ดงนน ล าดบเรขาคณต 10, -5,

64

5 - , . . . ,

4

5 - ,

2

5 ม 8 พจน ตอบ

วธท ำ จากล าดบเรขาคณต 1, 4, 16, 64, . . ., 4096 จะได

a1 = 1, r = 1

4 = 4 และ an = 4096


แทนคา 4096 = 1(4)n – 1 (4)6 = (4)n – 1

n – 1 = 6 n = 7 ดงนน ล าดบเรขาคณต 1, 4, 16, 64, . . ., 4096 ม 7 พจน ตอบ

เฉลยใบงานท 1 ใหนกเรยนแสดงวธการหาค าตอบในแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ

1. จงหาวาล าดบเรขาคณต 10, -5, 64

5 - , . . . ,

4

5 - ,

2

5 มกพจน

2. จงหาวาล าดบเรขาคณต 1, 4, 16, 64, . . ., 4096 มกพจน

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

147

วธท ำ จากล าดบเรขาคณต 512

9 , . . . ,

8

9 ,

4

9 ,

2

9 , 9 จะได

a1 = 9 , r = 9

2

9

= 2

1 และ an = 512

9


แทนคา 512

9 = 9(2

1 )n – 1

512

1 = (2

1 )n – 1

(2

1 )9 = (2

1 )n – 1

n – 1 = 9 n = 10 ดงนน ล าดบเรขาคณต

512

9 , . . . ,

8

9 ,

4

9 ,

2

9 , 9 ม 10 พจน ตอบ

9

2

1

=

1 -n

2

1

n – 1 = 9 n = 10

256

3 เปนพจนท 10 ตอบ

3. จงหาวาล าดบเรขาคณต 512

9 , . . . ,

8

9 ,

4

9 ,

2

9 , 9 มกพจน

4. 15,552 เปนพจนทเทาใดของล าดบเรขาคณต 3

1 , 2, 12, 72, . . .

วธท า จากโจทย จะได a1 = 3

1 , r = 6 และ an = 15,552


แทนคา 15,552 = 1 -n 6

3

1

3552,15 = 1 -n 6

66 = 1 -n

6 n – 1 = 6 , n = 7 15,552 เปนพจนท 7 ตอบ

5. 256

3 เปนพจนทเทาใดของล าดบเรขาคณต 6, -3, . . . ,

4

3 - ,

2

3

วธท า จากโจทย จะได a1 = 6 , r = 2

1 และ an =

256

3


แทนคา 256

3 =

1 -n

2

1 6

6

1

256

3 =

1 -n

2

1

512

1 =

1 -n

2

1

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

148

ใบงานท 2 ใหนกเรยนแสดงวธการหาค าตอบในแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ

1. จ านวน 3 จ านวนเรยงกนเปนล าดบเรขาคณต มผลบวกเปน 52 และผลคณเปน 1728 จงหาจ านวน 3 จ านวนนน ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...

2. ผลบวกของพจนสามพจนทเรยงกนเปนล าดบเรขาคณตเทากบ 26 และผลคณเทากบ 216 จงหาพจน 3 พจนน ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

149

3. ปจจบนเงนเดอนของวฒชยเทากบ 4,000 บาท และเขาไดรบเงนเดอนเพมขนปละ 10% ของเงนเดอนทผานมาในแตละป จงหาวาอก 11 ปขางหนาเงนเดอนของเขาเปนเทาใด ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...

4. ในป พ.ศ. 2530 ประชากรในต าบลหนงม 10,000 คน ถาประชากรของต าบลน เพมขนปละ 5% จงหาจ านวนประชากรในป พ.ศ. 2546 ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

150

เฉลยใบงานท 2 ใหนกเรยนแสดงวธการหาค าตอบในแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ

1. จ านวน 3 จ านวนเรยงกนเปนล าดบเรขาคณต มผลบวกเปน 52 และผลคณเปน 1728 จงหาจ านวน 3 จ านวนนน


a


ar a r

a = 1728

3a = 1728 3a = 312 a = 12 แตผลบวกของล าดบเรขาคณต 3 จ านวน เทากบ 52

ar a r

a = 52


12r 12 r

12 = 52

212r 12r 12 = 52 r 212r 40r - 12 = 0 6 20r - 6r 2 = 0 3) -2)(r -(6r = 0

r = 3 , 3

1


ถา r = 3


ถา r = 2 ล าดบเรขาคณต คอ 4, 12, 36 ล าดบเรขาคณตชดน คอ 36, 12, 4 หรอ 4, 12, 36 ตอบ

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

151

2. ผลบวกของพจนสามพจนทเรยงกนเปนล าดบเรขาคณตเทากบ 26 และผลคณเทากบ 216 จงหาพจน 3 พจนน


a


ar a r

a = 216

3a = 216 3a = 36 a = 6

แตผลบวกของล าดบเรขาคณต 3 จ านวน เทากบ 26

ar a r

a = 26


6r 6 r

6 = 26

26r 6r 6 = 26 r 26r 20r - 6 = 0 6 20r - 6r 2 = 0 3) -2)(r -(6r = 0

r = 3 , 3

1


ถา r = 3


ถา r = 2 ล าดบเรขาคณต คอ 2, 6, 18 ล าดบเรขาคณตชดน คอ 18, 6, 2 หรอ 2, 6, 18 ตอบ

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

152

3. ปจจบนเงนเดอนของวฒชยเทากบ 4,000 บาท และเขาไดรบเงนเดอนเพมขนปละ 10% ของเงนเดอนทผานมาในแตละป จงหาวาอก 11 ปขางหนาเงนเดอนของเขาเปนเทาใด

วธท า โจทยก าหนดให a1 = 4,000 หา a11 และเงนเดอนขนปละ 10% เพราะฉะนนเงนเดอนเพมขนปละ 400 บาท

เพราะฉะนน r = 000,4

400,4 = 1.1

จาก an = a1 rn – 1

จะได a11 = 4,000 (1.1)10 = 4000(2.5937) = 10,375

เพราะฉะนนอก 11 ปขางหนาเงนเดอนของเขาเปน 10,375 บาท

4. ในป พ.ศ. 2530 ประชากรในต าบลหนงม 10,000 คน ถาประชากรของต าบลน เพมขนปละ 5% จงหาจ านวนประชากรในป พ.ศ. 2546 วธท า โจทยก าหนดให a1 = 10,000 หา a17 (จาก พ.ศ. 2530 ถง พ.ศ. 2546) และประชากรเพมขนปละ 5% เพราะฉะนนประชากรเพมขนปละ 500 บาท

เพราะฉะนน r = 000,10

500,10 = 1.05

จาก an = a1 rn – 1

จะได a17 = 10,000 (1.05)16 = 10,000(2.1828) = 21,829

เพราะฉะนนป พ.ศ. 2546 จะมจ านวนประชากร เปน 21,829 คน

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

153

แผนการจดการเรยนรท 5 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5เรอง อนกรม เวลา 2 ชวโมง สาระส าคญ

1. สญลกษณแทนการบวก 2. สมบตของ ทควรทราบ 3. สตรการหา i , i2 และ i3

จดประสงคการเรยนร นกเรยนสามารถ

1. บอกความหมายของสญลกษณแทนการบวก () ได 2. บอกสมบตของ ทควรทราบได 3. ใชสมบตของ ทควรทราบของผลบวกของจ านวนตาง ๆ ได 4. ใช i , i2 และ i3 หาผลบวกของจ านวนตาง ๆ ได

สาระการเรยนร 1. สญลกษณแทนการบวก

สญลกษณแทนการบวกจะใชอกษรกรก (อานวา ซกมา) เปนสญลกษณแทนการบวก

โดยท a1 + a2 + a3 + . . . + an =

n

1 i

ia

และ a1 + a2 + a3 + . . . =

1 i

ia

ซง

n

1 i

ia อานวา การบวก aI เมอ i = 1 ถง i = n

1 i

ia อานวา การบวก aI เมอ i มคาตงแต 1 ขนไป

เชน

6

1 i

i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6

1 i

2i = 12 + 22 + 32 + . . .

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

154

2. สมบตของ ทควรทราบ

สมบตของ ทควรทราบ คอ

1. nc c

n

1 i

เมอ c เปนคาคงตว

2.

n

1 i

ii

n

1 i

a c a c เมอ c เปนคาคงตว

3.

n

1 i

i

n

1 i

i

n

1 i

ii b a )b (a

3.สตรการหา i , i2 และ i3

การหาสตรของ i , i2 และ i3

1. i = 1) (n 2

n

2. i2 = 1) 1)(2n (n 6

n

3. i3 = 2

1) (n 2

n

กจกรรมการจดการเรยนร ขนน า

1. ครใหนกเรยนชวยกนอภปรายหาผลบวกของจ านวนตอไปน จงหาผลบวกของ 2 + 4 + 6 + . . . + 100 โดยครใหนกเรยนคดวางแผนเพอแกปญหา และนกเรยนสามารถใชวธการใดกไดในการหาค าตอบ ขนสอน

1. จากกจกรรมในขนน าการหาผลบวกของโจทยทครก าหนดใหนนมหลายวธซงค าตอบ ทเปนไปได นกเรยนบางคนอาจใชสตรในการหาผลบวก คอ

วธท 1 2 + 4 + 6 + . . . + 100 = 2 (1+2+3+…+50)

= 2

2

)150(50

= 2,550 Ans

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

155

วธท 2 จาก 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … + 88 + 90 + 92 + 94 + 96 + 98 + 100 นกเรยนบางคนอาจจะจบค คอ 2 + 98 = 100 4 + 96 = 100 6 + 94 = 100 8 + 92 = 100 . .

48+52 = 100 จาก 2,400 + 50 + 100 = 2,550 Ans

2. จากปญหาทครใหนกเรยนพจารณานนนกเรยนสามารถใชสญลกษณแทนการบวกได ซงจะใชอกษรกรก (อานวา ซกมา) เปนสญลกษณแทนการบวก

โดยท a1 + a2 + a3 + . . . + an =

n

1 i

ia

และ a1 + a2 + a3 + . . . =

1 i

ia

ซง

n

1 i

ia อานวา การบวก ai เมอ i = 1 ถง i = n

1 i

ia อานวา การบวก ai เมอ i มคาตงแต 1 ขนไป

เชน

6

1 i

i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6

1 i

2i = 12 + 22 + 32 + . . .

เพราะฉะนน จากโจทย 2 + 4 + 6 + . . . + 100 สามารถใชสญลกษณแทนการบวก คอ 2 + 4 + 6 + . . . + 100 = 2(1) + 2(2) + 2(3) + . . . + 2(50)

=

50

1 i

2i

3. ครใหนกเรยนทกคนท าใบงานท 1 โดยอธบายโจทยใหนกเรยนเขาใจ แลวใหนกเรยน แตละคนไดคดวางแผนและด าเนนการแกปญหาดวยตนเอง โดยครดแลการท างานของนกเรยนอยางใกลชด ซงครจะพยายามกระตนใหนกเรยนไดใชวธการแกปญหามากกวาหนงวธ จากนนครสมใหนกเรยนออกมาน าเสนอการหาค าตอบดวยวธการตางๆทนกเรยนใช และครตรวจสอบความ

ม 24 ค คอ 24X100=2,400

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

156

ถกตองของค าตอบอกครง เมอนกเรยนน าเสนอวธการหาค าตอบจนครบทนกเรยนท าไดแลว ถายงมวธการอนอกทสามารถหาค าตอบไดอกครกน าเสนอวธการนนเพมเตมใหแกนกเรยนและใหนกเรยนจดบนทกเพมเตม

4. เมอนกเรยนแกปญหาในแตละขอเสรจเรยบรอยแลว ครใหนกเรยนแตละคนจบค ชวยกนตรวจสอบความถกตองของค าตอบและสรปวธการตางๆ ทสามารถใชหาค าตอบในแตละขอ โดยมครและเพอนรวมชนคนอนๆ ตรวจสอบความถกตองของค าตอบและกระบวนการอกครงหนงและครใหนกเรยนแตละคศกษาใบความร เรองสญลกษณแทนการบวก เพอตรวจสอบความเขาใจ และทบทวนความรอกครงหนง

5. ครตงค าถามใหนกเรยนรวมกนอภปรายดงน จงหาคาของ

5

1 i

2 7) 3i - (2i

6. ครอธบายโจทยใหนกเรยนเขาใจ และใหนกเรยนแตละคนไดคดวางแผนและ ด าเนนการแกปญหาดวยตนเอง โดยครดแลการท างานของนกเรยนอยางใกลชด ซงครจะพยายามกระตนใหนกเรยนไดใชวธการแกปญหามากกวาหนงวธ จากนนครสมใหนกเรยนออกมาน าเสนอการหาค าตอบดวยวธการตางๆทนกเรยนใช และครตรวจสอบความถกตองของค าตอบอกครง เมอนกเรยนน าเสนอวธการหาค าตอบจนครบทนกเรยนท าไดแลว ถายงมวธการอนอกทสามารถหาค าตอบไดอกครกน าเสนอวธการนนเพมเตมใหแกนกเรยนและใหนกเรยนจดบนทกเพมเตมซงค าตอบทเปนไปไดเปนดงน

วธท า

5

1 i

2 7) 3i - (2i =

5

1 i

5

1 i

5

1 i

2 7 3i - 2i

=

5

1 i

5

1 i

5

1 i

2 7 i 3 - i 2

= 2(12 + 22 + 32 + 42 + 52) – 3(1 + 2 + 3 + 4 + 5) + (5 7) = 2(55) – 3(15) + 35 = 110 – 45 + 35 = 100

7. ครใหนกเรยนจบคท าใบงานท 2 โดยทครอธบายใหนกเรยนเขาใจวา ปญหาในใบงาน ท 2 เปนปญหาปลายเปดทมวธการหาค าตอบทถกตองไดหลายวธ ใหนกเรยนพยายามหาค าตอบดวยวธการตางๆ ใหไดมากทสด โดยครใหอสระกบนกเรยนในการวางแผนหาค าตอบ

8. เมอนกเรยนแกปญหาในแตละขอเสรจเรยบรอยแลว ครใหนกเรยนแตละคจบกลมๆละ 4 คน ชวยกนตรวจสอบความถกตองของค าตอบและสรปวธการตางๆ ทสามารถใชหาค าตอบในแตละขอ โดยมครและเพอนรวมชนคนอนๆ ตรวจสอบความถกตองของค าตอบและกระบวนการอก

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

157

ครงหนง และครใหนกเรยนแตละคศกษาใบความร เรอง สมบตของ เพอเปนการตรวจสอบความเขาใจ และทบทวนความรอกครงหนง

9. ครตงค าถามใหนกเรยนรวมกนอภปรายดงน ใหนกเรยนใชสมบตหาผลบวกของ

n

1 i

i

10. ครอธบายโจทยใหนกเรยนเขาใจ และใหนกเรยนแตละคนไดคดวางแผนและ ด าเนนการแกปญหาดวยตนเอง โดยครดแลการท างานของนกเรยนอยางใกลชด ซงครจะพยายามกระตนใหนกเรยนไดใชวธการแกปญหามากกวาหนงวธ และครตรวจสอบความถกตองของค าตอบอกครง เมอนกเรยนหาค าตอบจนครบทนกเรยนท าไดแลว ถายงมวธการอนอกทสามารถหาค าตอบไดอกครกน าเสนอวธการนนเพมเตมใหแกนกเรยนและใหนกเรยนจดบนทกเพมเตมซงค าตอบทเปนไปไดเปนดงน

n

1 i

i = 1 + 2 + 3 + . . . + (n – 2) + (n – 1) + n …………

n

1 i

i = n + (n – 1) + (n – 2) + . . . + 3 + 2 + 1 …………

+ 2

n

1 i

i = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + . . . + (n + 1) (n วงเลบ)

= n (n + 1)

2

1) n(n i

n

1 i

เพราะฉะนน สามารถสรปไดวา 2

1) n(n i

n

1 i

11. ครใหนกเรยนลองพสจนการหาผลบวกของ i n

1 i

2

และ i n

1 i

3

โดยครดแลการ

คดของนกเรยนอยางใกลชด และครตรวจสอบความถกตองของค าตอบอกครงหนง ถายงมวธการอนอกทสามารถหาค าตอบไดอกครกน าเสนอวธการนนเพมเตมใหแกนกเรยนและใหนกเรยนจดบนทกเพมเตมซงค าตอบทเปนไปไดเปนดงนสามารถสรปไดดงน คอ

i2 หมายถง 6

1) 1)(2n n(n i

n

1 i

2


1) n(n i i

22

n

1 i

3

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

158

12. ครใหนกเรยนจบคท าใบงานท 3 โดยทครอธบายใหนกเรยนเขาใจวา ปญหาในใบงาน ท 3 เปนปญหาปลายเปดทมวธการหาค าตอบทถกตองไดหลายวธ ใหนกเรยนพยายามหาค าตอบดวยวธการตางๆ ใหไดมากทสด โดยครใหอสระกบนกเรยนในการวางแผนหาค าตอบ

13. เมอนกเรยนแกปญหาในแตละขอเสรจเรยบรอยแลว ครใหนกเรยนแตละคจบกลมๆละ 4 คน ชวยกนตรวจสอบความถกตองของค าตอบและสรปวธการตางๆ ทสามารถใชหาค าตอบในแตละขอ โดยมครและเพอนรวมชนคนอนๆ ตรวจสอบความถกตองของค าตอบและกระบวนการอกครงหนง และครใหนกเรยนแตละคศกษาใบความร เรอง การหาสตรของ i , i2 และ i3 เพอเปนการตรวจสอบความเขาใจของการพสจนสตรทถกตอง และทบทวนความรอกครงหนง ขนสรป เมอนกเรยนแกปญหาเสรจสนครบทงใบงานท 1 ,ใบงานท 2 และใบงานท 3 เรยบรอยแลว ครและนกเรยนรวมกนสรปวธการในการแกปญหาทงหมดอกครงหนงพรอมทงอภปรายถงขอดของวธการในแตละวธจากนนใหนกเรยนทกคนท าแผนผงความคด ( mind mapping) สรปเนอหาเรองอนกรมเปนการบาน สอการเรยนร

1. ใบงานท 1 2. ใบความร เรอง สญลกษณแทนการบวก 3. ใบงานท 2 4. ใบความร เรอง สมบตของ 5. ใบงานท 3 6. ใบความร เรอง การหาสตรของ i , i2 และ i3

การวดผลและประเมนผลการเรยนร 1. สงเกตจากการตอบค าถามและการใหเหตผล 2. สงเกตจากการท ากจกรรมทไดรบมอบหมาย 3. สงเกตจากความสนใจและการอภปรายการใหเหตผล

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

159

ใบงานท 1 ใหนกเรยนแสดงวธการหาค าตอบแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ

1. จงเขยน

5

1 i

i ในรปการกระจายโดยไมใชสญลกษณการบวก

ตอบ …………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………..


6

1 i

i3 ในรปการกระจายโดยไมใชสญลกษณการบวก

ตอบ ………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………..

3. จงเขยน 10 + 13 + 16 + 19 + . . . + 160 โดยใชสญลกษณการบวก ตอบ …………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………..

4. จงเขยน 12 + 32 + 52 + 72 + . . . + 192 โดยใชสญลกษณการบวก ตอบ …………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………..

5. จงหาคาของ

10

1 i

6) - (2i

ตอบ …………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………..

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

160

เฉลยใบงานท 1 ใหนกเรยนแสดงวธการหาค าตอบแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ


5

1 i

i ในรปการกระจายโดยไมใชสญลกษณการบวก

ตอบ 1 + 2 + 3 + 4 + 5


6

1 i

i3 ในรปการกระจายโดยไมใชสญลกษณการบวก

ตอบ 654321 333333

3. จงเขยน 10 + 13 + 16 + 19 + . . . + 160 โดยใชสญลกษณการบวก

ตอบ

50

0 i

3i) (10

4. จงเขยน 12 + 32 + 52 + 72 + . . . + 192 โดยใชสญลกษณการบวก

ตอบ

10

1 i

21) - (2i


10

1 i

6) - (2i

ตอบ 50

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

161

ใบความร เรอง สญลกษณแทนการบวก สญลกษณแทนการบวก (Sigma notation)

สญลกษณแทนการบวกจะใชอกษรกรก (อานวา ซกมา) เปนสญลกษณแทนการบวก โดยท

a1 + a2 + a3 + . . . + an =

n

1 i

ia

และ a1 + a2 + a3 + . . . =

1 i

ia

ซง

n

1 i

ia อานวา การบวก aI เมอ i = 1 ถง i = n

1 i

ia อานวา การบวก aI เมอ i มคาตงแต 1 ขนไป

เชน

6

1 i

i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6

1 i

2i = 12 + 22 + 32 + . . .

ตวอยางท 1 จงเขยน 2x2 + 2x3 + 2x4 + 2x5 + 2x6 + 2x7 โดยใชสญลกษณการบวก

วธท า 2x2 + 2x3 + 2x4 + 2x5 + 2x6 + 2x7 =

7

2 i

i2x

ตวอยางท 2 จงเขยน 2 + 4 + 6 + . . . + 100 โดยใชเครองหมาย วธท า 2 + 4 + 6 + . . . + 100 = 2(1) + 2(2) + 2(3) + . . . + 2(50)

=

50

1 i

2i

ตวอยางท 3 จงเขยน 3 + 6 + 9 + . . . + 180 โดยใชสญลกษณการบวก วธท า 3 + 6 + 9 + . . . + 180 = 3(1) + 3(2) + 3(3) + . . . + 3(60)

=

60

1 i

3i

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

162



8

1 k

5

…………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………..


4

1 n

25n

…………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………..


6

1 i

2 6) 3i (5i

…………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………..


3

1 i

4) - (6i

…………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………..


4

1 k

3) 5(k

…………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………..

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

163



8

1 k

5

ตอบ 8X5=40


4

1 n

25n

ตอบ 5(1+4+9+16) = 150


6

1 i

2 6) 3i (5i

ตอบ 554


3

1 i

4) - (6i

ตอบ 6(1+2+3) - 12 = 24


4

1 k

3) 5(k

ตอบ 5(4+5+6+7)=110

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

164

ใบความร เรอง สมบตของ สมบตของ ทควรทราบ มดงน

1. nc c

n

1 i


2.

n

1 i

ii

n

1 i


3.

n

1 i

i

n

1 i

i

n

1 i

ii b a )b (a

1. nc c

n

1 i


พสจน

n

1 i

c = c + c + c + . . . + c (n พจน)

= nc

n

1 i

c = nc

2.

n

1 i

ii

n

1 i


พสจน i

n

1 i

a c

= ca1 + ca2 + ca3 + . . . + can

= c(a1 + a2 + a3 + . . . + an)

n

1 i

ii

n

1 i

a c a c

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

165

3.

n

1 i

i

n

1 i

i

n

1 i

ii b a )b (a

พสจน

n

1 i

ii )b (a = )b (a . . . )b (a )b (a )b (a nn332211

= )b . . . b b (b )a . . . a a (a n321n321

n

1 i

i

n

1 i

i

n

1 i

ii b a )b (a

ตวอยางท 1 จงหาคาของ

1.1

5

1 i

6

1.2

4

1 i

23i

วธท า 1.1

5

1 i

6 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6

= 6 5 = 30

1.2

4

1 i

23i =

4

1 i

2i 3

= 3(12 + 22 + 32 + 42) = 3(30) = 90


5

1 i

2 7) 3i - (2i

วธท า

5

1 i

2 7) 3i - (2i =

5

1 i

5

1 i

5

1 i

2 7 3i - 2i

=

5

1 i

5

1 i

5

1 i

2 7 i 3 - i 2

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

166

= 2(12 + 22 + 32 + 42 + 52) – 3(1 + 2 + 3 + 4 + 5) + (5 7) = 2(55) – 3(15) + 35 = 110 – 45 + 35 = 100

ตวอยางท 3 ถา f(n) = 4n + 7 จงหาคาของ

3

1 i

3 )f(i

วธท า จาก f(n) = 4n + 7 f(i3) = 4i3 + 7

3

1 i

3 )f(i =

3

1 i

3 )7 (4i

=

3

1 i

3

1 i

3 7 4i

=

3

1 i

34i 4 + (3 7)

= 4(13 + 23 + 33) + 21 = 4(36) + 21 = 144 + 21 = 165

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

167



12

1 i

5i

…………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………..


8

1 n

2 2n) - (5n

…………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………..


7

1 i

3 2) - (6i

…………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………..


10

1 i

23 18i) 9i (i

…………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………..


20

11 k

3 k) (3k

…………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………..

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

168



12

1 i

5i

ตอบ 5(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12) = 390


8

1 n

2 2n) - (5n

ตอบ 948


7

1 i

3 2) - (6i

ตอบ 770


10

1 i

23 18i) 9i (i

ตอบ 7480


20

11 k

3 k) (3k

ตอบ 7610

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

169

ใบความร เรอง การหาสตรของ i , i2 และ i3

การหาสตรของ i , i2 และ i3

i หมายถง 2

1) n(n i

n

1 i


1) 1)(2n n(n i

n

1 i

2


1) n(n i i

22

n

1 i

3

1. 2

1) n(n i

n

1 i

พสจน

n

1 i

i = 1 + 2 + 3 + . . . + (n – 2) + (n – 1) + n …………

n

1 i

i = n + (n – 1) + (n – 2) + . . . + 3 + 2 + 1 …………

+ 2

n

1 i

i = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + . . . + (n + 1) (n วงเลบ)

= n (n + 1)

2

1) n(n i

n

1 i


10

1 i

4i

วธท า

10

1 i

4i =

10

1 i

i 4

=

2

1) 10(10 4

= 4(55) = 220

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

170

2. 6

1) 1)(2n n(n i

n

1 i

2

พสจน ให S =

n

1 i

2i

= 12 + 22 + 32 + . . . + n2 เนองจาก x3 – (x – 1)3 = 3x2 – 3x + 1 ถา x = 1 จะได 13 – 03 = 3(1)2 – 3(1) + 1 ถา x = 2 จะได 23 – 13 = 3(2)2 – 3(2) + 1 ถา x = 3 จะได 33 – 23 = 3(3)2 – 3(3) + 1 . . . ถา x = n – 1 จะได (n – 1)3 – (n – 2)3 = 3(n – 1)2 – 3(n – 1) + 1 ถา x = n จะได n3 – (n – 1)3 = 3(n)2 – 3(n) + 1 น าพจนทางซายมอของทกสมการบวกกน และน าพจนทางขวามอของทกสมการบวกกน จะได n3 = 3(12 + 22 + 32 + . . . + n2) – 3(1 + 2 + 3 + . . . + n) +

พจนn 1) . . . 1 1 (1

= n 2

1) n(n 3 - 3S

n3 = n 2

1) 3n(n - 3S

3S = n - 2

1) 3n(n n3

6S = 2n3 + 3n2 + n 6S = n(2n2 + 3n + 1) 6S = n(n + 1)(2n + 1)

S = 6

1) 1)(2n n(n

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

171


4

1 k

2k-

วธท า

4

1 k

2k- =

4

1 k

2k )1(

= ]4 3 2 1)[1( 2222

=

6

1) 1)(8 4(4 )1(

= )30)(1( = 30

3. 2

1) n(n i

2n

1 i

3

พสจน ให S =

n

1 i

3i

= 13 + 23 + 33 + . . . + n3 แต x4 – (x – 1)4 = 4x3 – 6x2 + 4x – 1 ถา x = 1 จะได 14 - 04 = 4(1)3 – 6(1)2 + 4(1) – 1 ถา x = 2 จะได 24 - 14 = 4(2)3 – 6(2)2 + 4(2) – 1 ถา x = 3 จะได 34 - 24 = 4(3)3 – 6(3)2 + 4(3) – 1 . . . ถา x = n – 1 จะได (n – 1)4 – (n – 1)4 = 4(n – 1)3 – 6(n – 1)2 + 4(n – 1) – 1 ถา x = n จะได n4 – (n – 1)4 = 4(n)3 – 6(n)2 + 4(n) – 1 น าพจนทางซายมอของทกสมการบวกกน และพจนทางขวามอของทกสมการบวกกน จะได n4 = 4(13 + 23 + 33 + . . . + n3) – 6(12 + 22 + 32 + . . . + n2) + (1 + 2 + 3 + . . . + n) +

พจนn 1) - . . . - 1 - 1 - 1 - (-1

n4 = 4S – n - 1) (n 2

n 4

6

1)] 1)(2n [(n(n 6

n4 = 4S – n(n + 1)(2n + 1) + 2n(n + 1) – n 4S = n4 + n(n + 1)(2n + 1) + 2n(n + 1) + n 4S = n [n3 + 2n2 + 3n + 1 – 2n – 2 + 1]

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

172

4S = n [n3 + 2n2 + n] 4S = n2 [n2 + 2n + 1]

S = 4

1) (nn 22

= 2

2

1) n(n

2

1) n(n i

2n

1 i

3


10

1 i

3 5) - (4i

วธท า

10

1 i

3 5) - (4i =

10

1 i

10

1 i

3 5 - 4i

=

10

1 i

10

1 i

3 5 - i 4

= 5) (10 - 2

1) 10(10 4

2

= 4(55)2 – 50 = 4(3025) – 50 = 12100 – 50 = 12,050

อยำลมนะคะ

2

3

2

2

1) n(n i

2

1) 1)(2n n(n i

2

1) n(n i

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

173

แผนการจดการเรยนรท 6 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5เรอง อนกรมเลขคณต เวลา 2 ชวโมง สาระส าคญ

1. ความหมายของอนกรม 2. อนกรมเลขคณต 3. การหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต

จดประสงคการเรยนร นกเรยนสามารถ

1. บอกความหมายของอนกรมได 2. ระบอนกรมทเปนอนกรมเลขคณตได 3. หาผลตางรวมของอนกรมเลขคณตได 4. หาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณตได

สาระการเรยนร

1. ความหมายของอนกรม เมอ a1 , a2 , a3 , . . . , an เปนล าดบจ ากด และ a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . . เปนล าดบอนนต เรยกการแสดงผลบวกของพจนทกพจนของล าดบในรป a1 + a2 + a3 + . . . + an และ

a1 + a2 + a3 + . . . + an + … วา อนกรม อนกรมทไดจากล าดบจ ากด เรยกวา อนกรมจ ากด อนกรมทไดจากล าดบอนนต เรยกวา อนกรมอนนต

2. อนกรมเลขคณต ให a1 , a2 , a3 , . . . , an เปนล าดบเลขคณต ดงนน a1 + a2 + a3 + . . . + an เรยกวา

อนกรมเลขคณต

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

174

3. การหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต ผลบวกของพจนของล าดบเลขคณต เรยกวา อนกรมเลขคณต ในการหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต ท าไดดงน ให Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an (เมอ a1, a2, a3, . . ., an เปนล าดบเลขคณต) = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + . . . + [a1 + (n – 1)d] =

ตว 1 -n ตวn

1)d - (n . . . 3d 2d d a . . . a a a 1111

= na1 + [1 + 2 + 3 + . . . + (n – 1)]d

= 1)]d - (n [1 2

1 - n na 1

= nd 2

1) - (n na 1

= 2

nd 1) - (n 2na 1

= 2

1)d] - (n [2a n 1

Sn = 1)d] - (n [2a 2

n1 ………………..

หรอ Sn = 1)d] - (n a [a 2

n11

Sn = )a (a 2

nn1 ………………….

สตร ใชเมอทราบ a1 , d และ n ใชเมอทราบ a1 , an และ n

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

175


1. จากล าดบทก าหนดให ใหนกเรยนชวยกนอภปรายระบประเภทของอนกรมวาเปน อนกรมก าจดหรออนกรมอนนต พรอมทงเขยนเปนอนกรมและชวยกนสรปความหมายของอนกรมจ ากดและอนกรมอนนต

1, 8, 15, 22, 29, 36 . . . , 3

1 , . . . ,

27

1 ,

9

1 ,

3

1

n

4, 7, 10, 13, 16, 19 8, 6, 4, 2, 0, -2, -4 2, 3, 4, . . . , n + 1, . . . 1, 3, 5, . . . , 2n – 1, . . . -2, -4, -6, . . . , -2n, . . . 10, 13, 16, 19, 22, 25

ล าดบจ ากด อนกรมจ ากด

ล าดบอนนต อนกรมอนนต

สรป อนกรมจ ากด คอ …………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. อนกรมอนนต คอ ………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

176

2. จากค าถามทครตงขนครใหนกเรยนชวยกนอภปรายวาในตารางควรเลอกประเภทใด และนกเรยนสามารถสรปความหมายของอนกรมจ ากด และ อนกรมอนนตไดอยางไร ซงสามารถระบประเภทของอนกรม พรอมทงสรปความหมายของอนกรมจ ากด และ อนกรมอนนตได ดงน

ล าดบจ ากด อนกรมจ ากด 1, 8, 15, 22, 29, 36 4, 7, 10, 13, 16, 19 8, 6, 4, 2, 0, -2, -4 10, 13, 16, 19, 22, 25

1 + 8 + 15 + 22 + 29 + 36 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 8 + 6 + 4 + 2 + 0 – 2 – 4 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25

ล าดบอนนต อนกรมอนนต

. . . , 3

1 , . . . ,

27

1 ,

9

1 ,

3

1

n

2, 3, 4, . . . , n + 1, . . . 1, 3, 5, . . . , 2n – 1, . . . -2, -4, -6, . . . , -2n, . . .

. . . 3

1 . . .

27

1

9

1

3

1

n

2 + 3 + 4 + . . . + (n + 1) + . . . 1 + 3 + 5 + . . . + (2n – 1) + . . . – 2 – 4 – 6 – . . . – 2n – . . .

สรป อนกรมจ ากด คอ อนกรมทไดจากการบวกพจนของล าดบจ ากด ถาให a1, a2, a3, . . ., an เปนล าดบจ ากด จะได a1 + a2 + a3 + . . . + an เปนอนกรมจ ากด อนกรมอนนต คอ อนกรมทไดจากการบวกพจนทกพจนของล าดบอนนต ถาให a1, a2, a3, . . ., an, . . . เปนล าดบอนนต จะได a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . . เปนอนกรมอนนต ขนสอน

1. จากกจกรรมในขนน าครชใหนกเรยนเหนวา ส าหรบอนกรม a1 + a2 + a3 + . . . + an หรอ a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . .

เรยก a1 วา พจนท 1 ของอนกรม a2 วา พจนท 2 ของอนกรม a3 วา พจนท 3 ของอนกรม . . .

an วา พจนท n ของอนกรม

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

177

2. จากอนกรมทก าหนดให ครตงค าถามใหนกเรยนชวยกนอภปรายหาผลตางรวมของ อนกรมและตรวจสอบวาเปนอนกรมเลขคณตหรอไม พรอมใหเหตผลประกอบการตอบค าถาม 2 + 4 + 6 + 8 + 10 1 + 3 + 5 + . . . + (2n – 1) + . . . 1 + 4 + 9 + 16 + 25 7 + 11 + 15 + 19 + 23

11 + 2 – 7 + . . . + (20 – 9n) + . . . . . . 2

1 . . .

8

1

4

1

2

1

n

(x + 3) + (x + 6) + (x + 9) + . . . + (x + 3n) + . . . . . . 3 n

2 n . . .

6

5

5

4

4

3

1 + 8 + 27 + 64 + . . . 3 + 3 + 3 + 3 + 3

เปนอนกรมเลขคณต ผลตางรวม เหตผล

ไมเปนอนกรมเลขคณต ผลตางรวม เหตผล

สรป อนกรมเลขคณต คอ ……………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………….

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

178

3. จากค าถามทครใหนกเรยนชวยกนพจารณานน ครใหนกเรยนชวยกนคดวางแผนเพอ แกปญหาในการหาผลตางรวม พรอมทงตรวจสอบวาเปนล าดบเลขคณต หรอไม และนกเรยนสามารถสรปความหมายของอนกรมเลขคณตไดอยางไร จากโจทยทครก าหนดใหสามารถสรปได ดงน

เปนอนกรมเลขคณต ผลตางรวม เหตผล 2 + 4 + 6 + 8 + 10 1 + 3 + 5 + . . . + (2n – 1) + . . . 7 + 11 + 15 + 19 + 23 11 + 2 – 7 + . . . + (20 – 9n) + . . . (x + 3) + (x + 6) + (x + 9) + . . . + (x + 3n) + . . . 3 + 3 + 3 + 3 + 3

2 2 4 -9 3 0

มผลตางรวมเปน 2 มผลตางรวมเปน 2 มผลตางรวมเปน 4 มผลตางรวมเปน -9 มผลตางรวมเปน 3 มผลตางรวมเปน 0

ไมเปนอนกรมเลขคณต ผลตางรวม เหตผล 1 + 4 + 9 + 16 + 25

. . . 2

1 . . .

8

1

4

1

2

1

n

. . . 3 n

2 n . . .

6

5

5

4

4

3

1 + 8 + 27 + 64 + . . .

ไมม ไมม ไมม

ไมม

ไมมผลตางรวม ไมมผลตางรวม ไมมผลตางรวม

ไมมผลตางรวม

สรป อนกรมเลขคณต คอ ผลบวกของแตละพจนของ ล าดบเลขคณต ถาให a1, a2, a3, . . ., an เปน ล าดบเลขคณต a1 + a2 + a3 + . . . + an เรยกวา อนกรมเลขคณต

4. ครใหนกเรยนทกคนท าใบงานท 1 โดยอธบายโจทยใหนกเรยนเขาใจ แลวใหนกเรยน แตละคนไดคดวางแผนและด าเนนการแกปญหาดวยตนเอง โดยครดแลการท างานของนกเรยนอยางใกลชด ซงครจะพยายามกระตนใหนกเรยนไดใชวธการแกปญหามากกวาหนงวธ จากนนครสมเลอกนกเรยนน าเสนอการหาค าตอบดวยวธการตางๆทนกเรยนใช และครตรวจสอบความถกตองของค าตอบอกครง เมอนกเรยนน าเสนอวธการหาค าตอบจนครบทนกเรยนท าไดแลว ถายงมวธการอนอกทสามารถหาค าตอบไดอกครกน าเสนอวธการนนเพมเตมใหแกนกเรยนและใหนกเรยนจดบนทกเพมเตม

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

179


6. ครใหนกเรยนพจารณาขอความตอไปน เมอ a1, a2, a3, . . ., an เปนล าดบเลขคณต ผลบวกของพจนของล าดบเลขคณต

เรยกวา อนกรมเลขคณต และ ถาให Sn เปนผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต ใหนกเรยนแสดงวธการหา Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an

7. ครใหนกเรยนชวยกนคดวางแผนเพอแกปญหาในการหาผลบวก n พจนแรกของ อนกรมเลขคณตโดยใชวธการใหนกเรยนแสดงความคดวานกเรยนจะใชวธการใดในการแกปญหา จากนนเมอหาค าตอบไดแลว ครใหนกเรยนตรวจสอบความถกตองของค าตอบ จากนนครตงค าถามกระตนนกเรยนใหคดตอไปวา นอกจากวธการแรกทนกเรยนน าเสนอไปแลวนน ยงมวธการอนอกหรอไมทสามารถหาค าตอบทถกตองได ใหนกเรยนชวยกนเสนอความคดวามวธการใดอกบาง


9. จากปญหาทครใหนกเรยนชวยกนพจารณานนครใหนกเรยนชวยกนสรปวธการหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณตเพอใหงายตอการแสดงวธการหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณตอนๆตอไป จากโจทยทครก าหนดใหสามารถสรปไดดงน วธท 1 ให Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an (เมอ a1, a2, a3, . . ., an เปนล าดบเลขคณต)

= a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + . . . + [a1 + (n – 1)d] =

ตว 1 -n ตวn 1)d - (n . . . 3d 2d d a . . . a a a 1111

= na1 + [1 + 2 + 3 + . . . + (n – 1)]d

= 1)]d - (n [1 2

1 - n na 1

= nd 2

1) - (n na 1

= 2

nd 1) - (n 2na 1

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

180

= 2

1)d] - (n [2a n 1

Sn = 1)d] - (n [2a 2

n1 ………………..

หรอ วธท 2 Sn = 1)d] - (n a [a 2

n11

Sn = )a (a 2

nn1 ………………….

สตร ใชเมอทราบ a1 , d และ n

ใชเมอทราบ a1 , an และ n เมอ Sn แทน ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต a1 แทน พจนท 1 ของอนกรมเลขคณต d แทน ผลตางรวมของอนกรมเลขคณต an แทน พจนท n ของอนกรมเลขคณต

10. ครใหนกเรยนจบคท าใบงานท 2 โดยทครอธบายใหนกเรยนเขาใจวา ปญหาใน ใบงานท 2 เปนปญหาปลายเปดทมวธการหาค าตอบทถกตองไดหลายวธ ใหนกเรยนพยายามหาค าตอบดวยวธการตางๆ ใหไดมากทสด โดยครใหอสระกบนกเรยนในการวางแผนหาค าตอบและหาค าตอบในปญหาแตละขอ

11. เมอนกเรยนแกปญหาในแตละขอเสรจเรยบรอยแลว ครใหนกเรยนแตละคจบกลมๆ ละ 4 คน ชวยกนตรวจสอบความถกตองของค าตอบและสรปวธการตางๆ ทสามารถใชหาค าตอบในแตละขอ โดยมครและเพอนรวมชนคนอนๆ ตรวจสอบความถกตองของค าตอบและกระบวนการอกครงหนง เพอเปนการตรวจสอบความเขาใจ

12. ครใหนกเรยนจบกลมๆละ 4 คนท าแบบฝกหดโดยชวยกนหาค าตอบใหไดมากกวา 1 วธ เพอใหนกเรยนไดทบทวนและเกบรวบรวมเปนแฟมสะสมความรของกลม

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

181

ขนสรป เมอนกเรยนแกปญหาเสรจสนครบทงใบงานท 1 ใบงานท 2 และแบบฝกหด เรยบรอยแลว ครและนกเรยนรวมกนสรปวธการในการแกปญหาทงหมดอกครงหนงพรอมทงอภปรายถงขอดของวธการในแตละวธจากนนใหนกเรยนกลบไปท าแบบฝกทกษะเปนการบาน สอการเรยนร 1. ใบงานท 1 2. ใบงานท 2 3. แบบฝกหด เรองผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต 4. แบบฝกทกษะ การวดผลและประเมนผลการเรยนร


10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

182

ใบงานท 1 จากล าดบเลขคณตทก าหนดให ใหนกเรยนหาผลตางรวม และ เขยนเปนอนกรมเลขคณต 10, 14, 18, . . ., 4n + 6, (4n + 10), . . . 2, 7, 12, 17, 22 6, 9, 12, . . ., 3n + 3 7, 3, -1, . . ., 11 – 4n, -4n + 7, . . .

4, 9, 14, 19, 24 3, 2

7 , 4, . . .

3, 10, 17, . . ., 7n – 11, 7n – 4, . . . 5, 10, 15, 20, 25, 30 5, 1, -3, . . ., 13 – 4n, 9 – 4n, . . . 6, 18, 30, 42, 54, 66

ล าดบเลขคณต ผลตางรวม อนกรมเลขคณต

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

183

เฉลยใบงานท 1 จากล าดบเลขคณตทก าหนดให ใหนกเรยนหาผลตางรวม และ เขยนอนกรมเลขคณต

ล าดบเลขคณต ผลตางรวม อนกรมเลขคณต 10, 14, 18, . . ., 4n + 6,(4n +10), . 4 10 + 14 + 18 + . . . + (4n + 6) + (4n + 10) + . .. 2, 7, 12, 17, 22 5 2 + 7 + 12 + 17 + 22 6, 9, 12, . . ., 3n + 3 3 6 + 9 + 12 + . . . 7, 3, -1, . . ., 11 – 4n,-4n + 7, . . 4 7 + 3 + (-1) + . . . + (11 – 4n) + (-4n + 7) + . . . 4, 9, 14, 19, 24 5 4 + 9 + 14 + 19 + 24

3, 2

7 , 4, . . . 2

1 3 + 2

7 + 4 + . . .

3, 10, 17, . . ., 7n – 11,7n – 4, . . . 7 3 + 10 + 17 + . . . + (7n – 11) + (7n – 4) + . . . 5, 10, 15, 20, 25, 30 5 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 5, 1, -3, . . ., 13 – 4n,9 – 4n, . . . -4 5 + 1 + (-3) + . . . + (13 – 4n) + (9 – 4n) + . . . 6, 18, 30, 42, 54, 66 12 6 + 18 + 30 + 42 + 54 + 66

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

184

ใบงานท 2 1. ถา a1 , a2 , a3 , . . . เปนล าดบเลขคณต จงหาผลบวก n พจนแรกตามเงอนไขทก าหนด ในแตละขอตอไปน 1.1 a1 = -3 , d = 6 จงหา S10 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 1.2 a1 = 10 , d = 5 จงหา S20 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 1.3 a1 = 60 , d = -2 จงหา S20 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

185

2. จงหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณตตอไปน 2.1 2 + 4 + 6 + . . . + 100 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 2.2 10 + 20 + 30 + . . . + 400 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 2.3 1 + 3 + 5 + . . . + 41 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

186

เฉลยใบงานท 2 1. ถา a1 , a2 , a3 , . . . เปนล าดบเลขคณต จงหาผลบวก n พจนแรกตามเงอนไขทก าหนด ในแตละขอตอไปน 1.1 a1 = -3 , d = 6 จงหา S10

วธท า จากสตร Sn = 1)d] - (n [2a 2

n1

จากโจทย จะได a1 = -3 , d = 6 , n = 10

แทนคา S10 = 1)(6) - (10 2(-3) 2

10

= ] 54 6- [ 5 = (48) 5 = 240 ตอบ 1.2 a1 = 10 , d = 5 จงหา S20


n1

จากโจทย จะได a1 = 10 , d = 5 , n = 20

แทนคา S20 = 1)(5) - (20 2(10) 2

20

= ] 95 20 [ 10 = (115) 10 = 1,150 ตอบ 1.3 a1 = 60 , d = -2 จงหา S20


n1

จากโจทย จะได a1 = 60 , d = -2 , n = 20

แทนคา S20 = 1)(-2) - (20 2(60) 2

20

= ] 38120 [ 10 = (82) 10 = 820 ตอบ

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

187

2. จงหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณตตอไปน 2.1 2 + 4 + 6 + . . . + 100 วธท า จากอนกรมเลขคณต 2 + 4 + 6 + . . . + 100 จะได a1 = 2 , n = 100 , an = 100

จากสตร Sn = )a (a 2

nn1

แทนคา S100 = 100) (2 2

100

= 50(102) = 5,100 ตอบ 2.2 10 + 20 + 30 + . . . + 400 วธท า จากอนกรมเลขคณต 10 + 20 + 30 + . . . + 400 จะได a1 =10 , n = 400 , an = 400


nn1

แทนคา S400 = 400) (10 2

400

= 200(410) = 82,000 ตอบ 2.3 1 + 3 + 5 + . . . + 41 วธท า จากอนกรมเลขคณต 1 + 3 + 5 + . . . + 41 จะได a1 =1 , n = 41, an = 41


nn1

แทนคา S41 = 41) (1 2

41

= (42) 2

41

= 861 ตอบ

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

188

แบบฝกหด เรอง ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต ใหนกเรยนชวยกนแสดงวธการหาค าตอบ

1. จากอนกรมเลขคณต 100 + 95 + 90 + . . . จงหา S15 ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….

2. จงหาผลบวกของอนกรมเลขคณต 1 + 2 + 3 + . . . + 300 ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

189

3. ใหล าดบเลขคณตล าดบหนงมผลตางรวมเทากบ 4 และพจนท 13 คอ 51 จงหาผลบวก 13 พจนแรก ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….

4. ใหอนกรมเลขคณตชดหนง มผลบวก 11 พจนแรกเทากบ 77 และ ผลตางรวมเทากบ 3 จงหาพจนแรกและพจนท 11 ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

190

เฉลยแบบฝกหด เรอง ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต ใหนกเรยนชวยกนแสดงวธการหาค าตอบ

1. จากอนกรมเลขคณต 100 + 95 + 90 + . . . จงหา S15


n1

จากโจทย จะได a1 = 100 , d = 5 , n = 15

แทนคา S15 = 1)(5) - (15 2(100) 2

15

= ] 70 - 200 [ 2

15

= (130) 2

15

= 975

2. จงหาผลบวกของอนกรมเลขคณต 1 + 2 + 3 + . . . + 300

วธท า จากอนกรมเลขคณต 1 + 2 + 3 + . . . + 300 จะได a1 = 1 , n = 300 , an = 300


nn1

แทนคา S300 = 300) (1 2

300

= 150(301) = 45,150

3. ใหล าดบเลขคณตล าดบหนงมผลตางรวมเทากบ 4 และพจนท 13 คอ 51 จงหาผลบวก 13 พจนแรก

วธท า จาก an = a1 + (n – 1)d จากโจทย จะได d = 4 และ a13 = 51 แทนคา 51 = a1 + 12(4) a1 = 3


nn1

S13 = ]a [a 2

13131

= 51] [3 2

13

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

191

= (54) 2

13

= 351 ผลบวก 13 พจนแรก มคาเทากบ 351

4. ใหอนกรมเลขคณตชดหนง มผลบวก 11 พจนแรกเทากบ 77 และ ผลตางรวมเทากบ 3 จงหาพจนแรกและพจนท 11

วธท า จากโจทย จะได d = 3 และ S11 = 77 จาก an = a1 + (n – 1)d a11 = a1 + 0(3) a11 – a1 – 30 = 0 …………………….


nn1

S11 = ]a [a 2

11111

77 = ]a [a 2

11111

154 = 11a1 + 11a11 11a11 – 11a1 – 154 = 0 …………………… 11 11a11 – 11a1 – 330 = 0 …………………… + 22a11 – 484 = 0 22a11 = 484 a11 = 22 แทนคา a11 ใน 22 – a1 – 30 = 0 – a1 – 8 = 0 a1 = – 8 พจนแรก มคาเทากบ – 8 พจนท 11 มคาเทากบ 22 ตอบ

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

192

แบบฝกทกษะ ใหนกเรยนแสดงวธการหาค าตอบแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ

1. ถาอนกรมเลขคณต คอ 15 + 13 + 11 + . . . จงหาคาของ n ทท าให Sn = -192 ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….

2. จงหาผลบวกของพจนทกพจนของอนกรมเลขคณตทมพจนแรกเปน 6 ผลตางรวมเปน 4 และพจนสดทาย คอ 26 ……………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

193

เฉลยแบบฝกทกษะ ใหนกเรยนแสดงวธการหาค าตอบแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ

1. ถาอนกรมเลขคณต คอ 15 + 13 + 11 + . . . จงหาคาของ n ทท าให Sn = -192 วธท า จากโจทย จะได a1 = 15 d = -2 และ Sn = -192

จากสตร Sn = 1)d] - (n [2a 2

n1

-192 = 1)(-2)] -(n [2(15) 2

n

-192 2 = 2](-2n [30n -384 = 2232 nn 192162 nn = 0 (n-24)(n+8) = 0 n = 24 ตอบ

2. จงหาผลบวกของพจนทกพจนของอนกรมเลขคณตทมพจนแรกเปน 6 ผลตางรวมเปน 4

และพจนสดทาย คอ 26 วธท า จาก an = a1 + (n – 1)d

26 = 6 + (n – 1)4 n = 6

จาก Sn = )a (a 2

nn1

S6 = 26] [6 2

6

= 3(32) = 96 ผลบวกของพจนทกพจน มคาเทากบ 96 ตอบ

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

194

แผนการจดการเรยนรท 7 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5เรอง อนกรมเรขาคณต เวลา 2 ชวโมง สาระส าคญ

1. อนกรมเรขาคณต จดประสงคการเรยนร นกเรยนสามารถ

1. ระบอนกรมทเปนอนกรมเรขาคณตได 2. หาอตราสวนรวมของอนกรมเรขาคณตได

สาระการเรยนร

อนกรมเรขาคณต ถาให a1 , a2 , a3 , . . . , an เปนล าดบเรขาคณต จะได a1 + a2 + a3 + . . . + an เปนอนกรมเรขาคณต และอตราสวนรวมของล าดบเรขาคณต กเปนอตราสวนรวมของอนกรมเรขาคณต กจกรรมการจดการเรยนร ขนน า

1. จากล าดบทก าหนดใหครตงค าถามใหนกเรยนชวยกนอภปรายหาอตราสวนรวมของ ล าดบเรขาคณตและตรวจสอบวาเปนอนกรมเรขาคณตหรอไม พรอมทงเขยนใหอยในรปอนกรมเรขาคณต พรอมใหเหตผลประกอบการตอบค าถาม 3, 9, 27, 81, . . . , 3n 2, 4, 8, . . . , 2n

5, 15, 45, . . . , 5(3)n – 1 4, 1, , . . . , 16

1 ,

4

1 4-n + 2

x + 2, 2x + 4, 4x + 8, 8x + 16, . . ., (x + 2)(2)n – 1 0.3, 0.03, 0.003, 0.0003, . . ., 0.3(0.1)n – 1

5, 10, 20, 40, . . ., 5(2)n – 1 4, 16, 64, 256, . . . , 4n

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

195

ขนสอน 1. จากกจกรรมในขนน าครชใหนกเรยนเหนวา ถาให a1 , a2 , a3 , . . . , an เปน

ล าดบเรขาคณต จะได a1 + a2 + a3 + . . . + an เปนอนกรมเรขาคณต และอตราสวนรวมของล าดบเรขาคณต กเปนอตราสวนรวมของอนกรมเรขาคณต

2. จากค าถามทครใหนกเรยนชวยกนพจารณานน ครใหนกเรยนชวยกนคดวางแผนเพอ แกปญหาในการหาอตราสวนรวม และนกเรยนสามารถสรปความหมายของอนกรมเรขาคณตไดอยางไร จากโจทยทครก าหนดใหสามารถสรปได ดงน

ล าดบเรขาคณต อตราสวนรวม อนกรมเรขาคณต 3, 9, 27, 81, . . . , 3n 3 3+ 9+27+ 81+ . . . +3n

2, 4, 8, . . . , 2n 2 2+ 4+ 8+. . . +2n 5, 15, 45, . . . , 5(3)n – 1 3 5 + 15 + 45 + . . . + 5(3)n – 1

4, 1, , . . . , 16

1 ,

4

1 4-n + 2 4

1 4 + 1 + . . . 16

1

4

1 4-n + 2

x + 2, 2x + 4, 4x + 8, 8x + 16, . . ., (x + 2)(2)n – 1

2 (x + 2) + (2x + 4) + (4x + 8) + (8x + 16) + . . . + (x + 2)(2)n – 1

0.3, 0.03, 0.003, 0.0003, . . ., 0.3(0.1)n – 1

0.1 0.3 + 0.03 + 0.003 + 0.0003 + . . . + 0.3(0.1)n – 1

5, 10, 20, 40, . . ., 5(2)n – 1 2 5 + 10 + 20 + 40 + . . . + 5(2)n – 1

4, 16, 64, 256, . . . , 4n 4 4 + 16 + 64 + 256 + . . . + 4n สรป อนกรมเรขาคณต คอ อนกรมทไดจากการบวกแตละพจนของล าดบเรขาคณต ดงน ถาให a1 , a2 , a3 , . . . , an เปนล าดบเรขาคณต จะไดวา a1 + a2 + a3 + . . . + an เปนอนกรมเรขาคณต เชน 1, 2, 4, 8, . . ., 2 n – 1 เปนล าดบเรขาคณต

จะได 1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 2n – 1 เปนอนกรมเรขาคณต 3. ครใหนกเรยนทกคนท าใบงานท 1 โดยอธบายโจทยใหนกเรยนเขาใจ แลวใหนกเรยน

แตละคนไดคดวางแผนและด าเนนการแกปญหาดวยตนเอง โดยครดแลการท างานของนกเรยนอยางใกลชด ซงครจะพยายามกระตนใหนกเรยนไดใชวธการแกปญหามากกวาหนงวธ จากนนครสมเลอกนกเรยนน าเสนอการหาค าตอบดวยวธการตางๆทนกเรยนใช และครตรวจสอบความถกตองของค าตอบอกครง เมอนกเรยนน าเสนอวธการหาค าตอบจนครบทนกเรยนท าไดแลว ถายงม

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

196

วธการอนอกทสามารถหาค าตอบไดอกครกน าเสนอวธการนนเพมเตมใหแกนกเรยนและใหนกเรยนจดบนทกเพมเตม


5. ครใหนกเรยนจบคชวยกนท าแบบฝกทกษะ โดยครดแลการท างานของนกเรยนอยาง ใกลชด ซงครจะพยายามกระตนใหนกเรยนไดใชวธการแกปญหามากกวาหนงวธ จากนนครสมเลอกนกเรยนน าเสนอการหาค าตอบดวยวธการตางๆทนกเรยนใช และครตรวจสอบความถกตองของค าตอบอกครง เมอนกเรยนน าเสนอวธการหาค าตอบจนครบทนกเรยนท าไดแลว ถายงมวธการอนอกทสามารถหาค าตอบไดอกครกน าเสนอวธการนนเพมเตมใหแกนกเรยนและใหนกเรยนจดบนทกเพมเตม ขนสรป

1. เมอนกเรยนแกปญหาเสรจสนครบทงใบงานท 1 และแบบฝกทกษะ เรยบรอยแลว ครสมนกเรยนออกมาแสดงวธคดของตนเองหนาชนเรยน ถามนกเรยนคนอนทมวธคดทตางกนไปกออกมาน าเสนอเพอใหเพอนๆไดเหนแนวคดของแตละคนและไดเหนวธการคดทหลากหลาย และรวมกนสรปวธการในการแกปญหาทงหมดอกครงหนงพรอมทงอภปรายถงขอดของวธการในแตละวธและใหนกเรยนกลบไปทบทวนความร เรอง อนกรมเรขาคณต สอการเรยนร 1. ใบงานท 1 2. แบบฝกทกษะ การวดผลและประเมนผลการเรยนร


10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

197

ใบงานท 1 ใหนกเรยนแสดงวธการหาค าตอบใหถกตอง ขอท ค าถาม

1

ก าหนด a1 และ r จงเขยนอนกรมเรขาคณต 4 พจน ในแตละขอตอไปน 1.1 a1 = 10 , r = 2

ค าตอบ

1.2 a1 = 3 , r = 3

1

ค าตอบ

1.3 a1 = 2

1 , r = 4

ค าตอบ

1.4 a1 = 5 , r = 2

1

ค าตอบ

2

จงหาอตราสวนรวม (r) จากอนกรมเรขาคณตทก าหนดใหในแตละขอตอไปน 2.1 5 + 5 + 5 + 5 + 5 ค าตอบ

2.2 - 9 + 3 – 1 + 9

1 -

3

1

ค าตอบ

2.3 2 + 6 + 18 + 54

ค าตอบ

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

198

เฉลยใบงานท 1 ใหนกเรยนแสดงวธการหาค าตอบใหถกตอง ขอท ค าถาม

1

ก าหนด a1 และ r จงเขยนอนกรมเรขาคณต 4 พจน ในแตละขอตอไปน 1.1 a1 = 10 , r = 2

ค าตอบ 10 + 20 + 40 + 80

1.2 a1 = 3 , r = 3

1

ค าตอบ

3 + 1 + 9

1

3

1

1.3 a1 = 2

1 , r = 4

ค าตอบ

2

1 + 2 + 8 + 32

1.4 a1 = 5 , r = 2

1

ค าตอบ

5 + 8

5

4

5

2

5

2

จงหาอตราสวนรวม (r) จากอนกรมเรขาคณตทก าหนดใหในแตละขอตอไปน 2.1 5 + 5 + 5 + 5 + 5 ค าตอบ

1

2.2 - 9 + 3 – 1 + 9

1 -

3

1

ค าตอบ

3

1

2.3 2 + 6 + 18 + 54

ค าตอบ 3

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

199

แบบฝกทกษะ ใหนกเรยนแสดงวธท า 1. ก าหนดล าดบเรขาคณต ทม a1 และ r ในแตละขอตอไปน จงเขยน 5 พจนแรกของอนกรมเรขาคณต 1.1 a1 = 4 , r = 3 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 1.2 a1 = 2n + 6 , r = 3 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

1.3 a1 = 10 , r = 2

1

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 2. จงเขยนจ านวนตอไปนในรปการบวก

2.1

6

1 n

n2

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………

2.2

5

1 k

1 - k2(3)

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………

2.3

68

1 k

k )2(2

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

200

เฉลยแบบฝกทกษะ ใหนกเรยนแสดงวธท า 1. ก าหนดล าดบเรขาคณต ทม a1 และ r ในแตละขอตอไปน จงเขยน 5 พจนแรกของอนกรมเรขาคณต 1.1 a1 = 4 , r = 3 4 + 12 + 36 + 108 + 324 ตอบ 1.2 a1 = 2n + 6 , r = 3 (2n + 6) + (6n + 18) +( 18n + 54) +(54n + 162) + (162n + 486) ตอบ

1.3 a1 = 10 , r = 2

1 ตอบ

2. จงเขยนจ านวนตอไปนในรปการบวก

2.1

6

1 n

n2 = 2+4+8+16+32+64 ตอบ

2.2

5

1 k

1 - k2(3) = 2+6+18+54+32+162 ตอบ

2.3

68

1 k

k )2(2 = 2( )2...222 68321 ตอบ

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

201

แผนการจดการเรยนรท 8 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5เรอง อนกรมเรขาคณต (ตอ) เวลา 2 ชวโมง สาระส าคญ การหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต ใชสตรดงน

Sn = na1 เมอ r = 1

Sn = r - 1

)r - (1a n1 เมอ r 1

หรอ Sn = r - 1

ra - a n1 เมอ r 1

จดประสงคการเรยนร นกเรยนสามารถ หาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณตได สาระการเรยนร การหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต ให Sn เปนผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต ทม a1 เปนพจนแรก และ r เปนอตราสวนรวม Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an Sn = a1 + a1r + a1r

2 + . . . + a1rn – 2 + a1r

n – 1 ……………….. r ; rSn = a1r + a1r

2 + a1r

3 + . . . + a1rn – 2 + a1r

n – 1 + a1rn ………..

- ; Sn - rSn = a1 – a1rn

(1 – r)Sn = a1(1 – rn)

Sn = r-1

)r - (1a n

1 , r 1 …………………

เมอ r = 1 จากสมการ จะได Sn =

พจนn 1111 a . . . a a a

= na1 ……………………. จากสมการ และ สรปไดวา

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

202

ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต คอ Sn = na1 เมอ r = 1

Sn = r - 1

)r - (1a n1 เมอ r 1

หรอ Sn = 1 -r

1) - (ra n1 เมอ r 1




1. ครและนกเรยนอภปรายรวมกนเพอทบทวน เรอง อนกรมเรขาคณต ทเรยนมาชวโมง ทแลว

2. ครใหนกเรยนพจารณาขอความตอไปน ให Sn เปนผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต ทม a1 เปนพจนแรก และ

r เปนอตราสวนรวม แลวใหนกเรยนแสดงวธการหาผลบวกของอนกรม Sn = a1+ a2+ a3 + . . . + an ขนสอน

1. ครใหนกเรยนชวยกนคดวางแผนเพอแกปญหาในการหาผลบวก n พจนแรกของ อนกรมเรขาคณตโดยใชวธการใหนกเรยนแสดงความคดวานกเรยนจะใชวธการใดในการแกปญหา จากนนเมอหาค าตอบไดแลว ครใหนกเรยนตรวจสอบความถกตองของค าตอบ จากนนครตงค าถามกระตนนกเรยนใหคดตอไปวา นอกจากวธการแรกทนกเรยนน าเสนอไปแลวนน ยงมวธการอนอกหรอไมทสามารถหาค าตอบทถกตองได ใหนกเรยนชวยกนเสนอความคดวามวธการใดอกบาง


3. จากปญหาทครใหนกเรยนชวยกนพจารณานนครใหนกเรยนชวยกนสรปวธการหา ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณตเพอใหงายตอการแสดงวธการหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณตอนๆตอไป จากโจทยทครก าหนดใหสามารถสรปไดดงน

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

203

ให Sn เปนผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต ทม a1 เปนพจนแรก และ r เปนอตราสวนรวม Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an Sn = a1 + a1r + a1r

2 + . . . + a1rn – 2 + a1r

n – 1 ……………….. r ; rSn = a1r + a1r

2 + a1r

3 + . . . + a1rn – 2 + a1r

n – 1 + a1rn ………..

- ; Sn - rSn = a1 – a1rn

(1 – r)Sn = a1(1 – rn)

Sn = r-1

)r - (1a n

1 , r 1 …………………

เมอ r = 1 จากสมการ จะได Sn =

พจนn 1111 a . . . a a a

= na1 ……………………. จากสมการ และ สรปไดวา ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต คอ Sn = na1 เมอ r = 1

Sn = r - 1

)r - (1a n1 เมอ r 1

หรอ Sn = 1 -r

1) - (ra n1 เมอ r 1



4. ครใหนกเรยนทกคนท าใบงานท 1 โดยทครอธบายใหนกเรยนเขาใจใหนกเรยน พยายามหาค าตอบดวยวธการตางๆ ใหไดมากทสด โดยครใหอสระกบนกเรยนในการวางแผน หาค าตอบในปญหาแตละขอ


10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

204

6. ครใหนกเรยนพจารณาขอความตอไปน อนกรมเรขาคณตชดหนงมผลบวกของพจนท 1 กบพจนท 2 เทากบ 36 และผลบวกของพจนท 3 กบพจนท 4 เทากบ 4 จงหาผลบวก 4 พจนแรก

7. ครใหนกเรยนชวยกนคดวางแผนเพอแกปญหาโดยใชวธการใหนกเรยนแสดง ความคดวานกเรยนจะใชวธการใดในการแกปญหา จากนนเมอหาค าตอบไดแลว ครใหนกเรยนตรวจสอบความถกตองของค าตอบ จากนนครตงค าถามกระตนนกเรยนใหคดตอไปวา นอกจากวธการแรกทนกเรยนน าเสนอไปแลวนน ยงมวธการอนอกหรอไมทสามารถหาค าตอบทถกตองได ใหนกเรยนชวยกนเสนอความคดวามวธการใดอกบาง


9. จากปญหาทครใหนกเรยนชวยกนพจารณานนครสามารถสรปไดดงน วธท า จากโจทย a1 + a2 = 36 a1 + a1r = 36 …………………… และ a3 + a4 = 4 a1r

2 + a1r3 = 4 ……………………

r) (1a

r) (1ra

1

21

= 36

4

r2 = 9

1

r = 3

1

แทนคา r = 3

1 ใน จะได

a1 + 3

1 a1 = 36

3

4a 1 = 36

a1 = 27

แทนคา r = - 3


a1 - 3

1 a1 = 36

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

205

3

2a 1 = 36

a1 = 54

จากสตร Sn = r - 1

)r - (1a n1

S4 = 3

1 - 1

3

1 - 1 27

4

= 3

2

81

1 - 1 27

= 2

3

81

80 27

= 40

เมอ a1 = 54 และ r = - 3

1

S4 =

3

1 - 1

3

1 - 1 54

4

= 3

1 1

81

1 - 1 54

= 3

4

81

80 54

= 4

3

81

80 54

= 40 ผลบวก 4 พจนแรก คอ 40 ตอบ

10. ครใหนกเรยนจบคท าใบงานท 2 โดยทครอธบายใหนกเรยนเขาใจวา ปญหาใน ใบงานท 2 เปนปญหาปลายเปดทมวธการหาค าตอบทถกตองไดหลายวธ ใหนกเรยนพยายามหาค าตอบดวยวธการตางๆ ใหไดมากทสด โดยครใหอสระกบนกเรยนในการวางแผนหาค าตอบและหาค าตอบในปญหาแตละขอ

11. เมอนกเรยนแกปญหาในแตละขอเสรจเรยบรอยแลว ครใหนกเรยนแตละคจบ

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

206

กลมๆละ 4 คน ชวยกนตรวจสอบความถกตองของค าตอบและสรปวธการตางๆ ทสามารถใชหาค าตอบในแตละขอ โดยมครและเพอนรวมชนคนอนๆ ตรวจสอบความถกตองของค าตอบและกระบวนการอกครงหนง และครใหนกเรยนแตละกลมท าแบบฝกทกษะ เรอง ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต เพอใหนกเรยนไดทบทวนและเกบรวบรวมเปนแฟมสะสมความรของกลม โดยชวยกนหาค าตอบใหไดมากกวา 1วธ ขนสรป เมอนกเรยนแกปญหาเสรจสนครบทงใบงานท 1 ใบงานท 2 และแบบฝกทกษะ เรยบรอยแลว ครและนกเรยนรวมกนสรปวธการในการแกปญหาทงหมดอกครงหนงพรอมทงอภปรายถงขอดของวธการในแตละวธจากนนใหนกเรยนกลบไปทบทวนความรทเรยน เรอง ล าดบและอนกรมทงหมดทไดเรยนมา เพอเตรยมตวสอบวดผลสมฤทธทางการเรยนในชวโมงตอไป สอการเรยนร 1. ใบงานท 1 2. ใบงานท 2 3. แบบฝกทกษะ เรองผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต การวดผลและประเมนผลการเรยนร


10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

207

ใบงานท 1

ใหนกเรยนแสดงวธการหาค าตอบใหถกตอง 1. จงหาผลบวกของอนกรมเรขาคณตตามเงอนไขทโจทยก าหนดใหตอไปน

1.1 a1 = 3 , r = 2

1 , an = 64

3

ค าตอบ ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. 1.2 a1 = 2 , r = -2 , an = -64 ค าตอบ ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. 1.3 a1 = 6 , r = 3 , an = 486 ค าตอบ ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………..

1.4 a1 = 27 , r = 3

1 , an =

27

1

ค าตอบ ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………..

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

208

2. ให an = 81 , r = 3 , n = 6 จงหา a1 และ Sn ค าตอบ ……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………..

3. ให a1 = 15 , r = 5

2 และ Sn = 5

117 จงหา an และ n

ค าตอบ ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………..

4. ให a1 = 9

2 , r = 3 , an = 18 จงหา n และ Sn

ค าตอบ ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………..

5. ให a1 = 8

1 , an = 64

27 , n = 4 จงหา r และ Sn

ค าตอบ ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………..

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

209


1. จงหาผลบวกของอนกรมเรขาคณตตามเงอนไขทโจทยก าหนดใหตอไปน

1.1 a1 = 3 , r = 2

1 , an = 64

3

วธท า จาก Sn = r - 1


จะได =

2

1 - 1

2

1.

64

3 - 3

= 6 - 64

3

= 64

381 ตอบ

1.2 a1 = 2 , r = -2 , an = -64



จะได = 2 1

)2(.(-64) - 2

= 3

126

= -42 ตอบ 1.3 a1 = 6 , r = 3 , an = 486



จะได = 3 1

)3(.(486) - 6

= 2

1452

= 726 ตอบ

1.4 a1 = 27 , r = 3

1 , an =

27

1



จะได =

3

1 1

)3

1.(

27

1 - 27

= 108

2188 = 27

547 ตอบ

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

210

2. ให an = 81 , r = 3 , n = 6 จงหา a1 และ Sn วธท า จาก 1

1

n

n raa จะได 81 = 5

1 3.a

3

11 a

จาก Sn = r - 1

)r - (1a n1 เมอ r 1

= 3- 1

)3-1 ( 3

1 6

= 3

364

เพราะฉะนน 3

11 a และ Sn =

3

364 ตอบ

3. ให a1 = 15 , r = 5

2 และ Sn = 5

117 จงหา an และ n


)r - (1a n1 เมอ r 1

5

117 =

5

2 - 1

))5

2( - 15(1 n

125

8

5

2

n

3

5

2

5

2

n

n = 3 …………* จาก 1

1. n

n raa

= 13

5

2.15

5

12na …………*

เพราะฉะนน n = 3 และ 5

12na ตอบ

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

211

4. ให a1 = 9

2 , r = 3 , an = 18 จงหา n และ Sn



= 3 - 1

18(3) - 9

2

Sn = 9

242 …………*

จาก Sn = 1 -r

1) - (ra n1 เมอ r 1

9

242 = 1 - 3

1) - (39

2 n

243 = n3 53 = n3 n = 5 …………*

เพราะฉะนน n = 5 และ 9

242ns ตอบ

5. ให a1 = 8

1 , an = 64

27 , n = 4 จงหา r และ Sn

วธท า จาก 1

1. n

n raa

64

27 = 14.8

1 r

8

273 r

33 )2

3(r

2

3r …………*

จาก Sn = r - 1


=

2

3 - 1

2

3.

64

27 -

8

1

Sn = 64

65 …………*

เพราะฉะนน 2

3r และ

64

65ns ตอบ

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

212

ใบงานท 2 ใหนกเรยนแสดงวธท าในชองวางแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ

1. ถาพจนแรกของอนกรมเรขาคณตอนกรมหนงเปน 27 ผลบวก n พจนแรกเทากบ 9

665

และพจนท n เทากบ 9

32 แลว จงหาผลบวก 5 พจนแรก

ค าตอบ ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………..

2. ก าหนด a1 + a2 = - 3 และ a5 + a6 = 16

3 จงหา S10

ค าตอบ ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………..

3. อนกรมเรขาคณตอนกรมหนงมอตราสวนรวมเปน 4

3 พจนท n คอ 81 และผลบวก n

พจนแรกเทากบ 781 อนกรมนมกพจน ค าตอบ ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………..

4. อนกรมเรขาคณต คอ 3 + 6 + 12 + . . . จงหาคา n ทท าให Sn = 1,533 ค าตอบ ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………..

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

213


1. ถาพจนแรกของอนกรมเรขาคณตอนกรมหนงเปน 27 ผลบวก n พจนแรกเทากบ 9

665

และพจนท n เทากบ 9

32 แลว จงหาผลบวก 5 พจนแรก



9

665 = r - 1

.r9

32 - 27

9

665

9

665 r =

9

3227

r

r = 633

422 67.0

จาก S5 = r - 1

)r-(1a 5

1 เมอ r 1

= 0.67 - 1

)0.67-27(1 5

= 70.36 ตอบ

2. ก าหนด a1 + a2 = - 3 และ a5 + a6 = 16

3 จงหา S10

วธท า จาก a1 + a2 = - 3 และ a5 + a6 = 16

3

จะได a1 + a1r = - 3 และ 5

1

4

1 rara = 16

3

3)1(1 ra ……..(1) และ )1(4

1 rra = 16

3 …….(2)

น า (2) (1) ; 3

16

3

)1(

)1(

1

4

1

ra

rra

16

14 r

414 2r

จะได 2

1r , a1 = (-2) และ a2 = (-1)

S10 = r - 1

)r-(1a 5

1 เมอ r 1

=

2

1 - 1

))2

1(-(-2)(1 10

= 256

1023 ตอบ

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

214

3. อนกรมเรขาคณตอนกรมหนงมอตราสวนรวมเปน 4

3 พจนท n คอ 81 และผลบวก n

พจนแรกเทากบ 781 อนกรมนมกพจน



781 =

4

3 - 1

)4

381( - a1

781 = 4a1-243 a1 = 256 จาก 1

1. n

n raa

1

4

3.25681

n

n

4

3

1024

243

n

4

3

4

35

เพราะฉะนน n = 5 ตอบ

4. อนกรมเรขาคณต คอ 3 + 6 + 12 + . . . จงหาคา n ทท าให Sn = 1,533


)r-(1a n

1 เมอ r 1

1,533 = 2 - 1

)2-3(1 n

n213

533,1

3

533,112 n

5122 n 922 n เพราะฉะนน n = 9 ตอบ

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

215

แบบฝกทกษะ เรอง การหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต 1. จงหาผลบวก 10 พจนแรกของอนกรมเรขาคณต 2 + 6 + 18 + . . . …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. 2. ก าหนด a1 = 5 , r = -2 และ an = 80 จงหา n และ Sn …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. 3. อนกรมเรขาคณตชดหนงมผลบวกของพจนท 1 กบพจนท 2 เทากบ 36 และผลบวกของพจนท 3 กบพจนท 4 เทากบ 4 จงหาผลบวก 4 พจนแรก …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………….

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

216

…………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………….

4. ก าหนดใหอนกรมเรขาคณต ม a1 = 160 , r = 2

3 และ Sn = 2110 จงหาคา n

…………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………….

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

217

เฉลยแบบฝกทกษะ เรอง การหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต 1. จงหาผลบวก 10 พจนแรกของอนกรมเรขาคณต 2 + 6 + 18 + . . .

วธท า จากสตร Sn = r - 1

)r - (1a n1

จากโจทย จะได a1 = 2 , r = 3 , n = 8

แทนคา S10 = 3 - 1

)3 1(2 10

= 2

59049) - 2(1

= 59,048 2. ก าหนด a1 = 5 , r = -2 และ an = 80 จงหา n และ Sn วธท า จากสตร an = a1r

n – 1 แทนคา 80 = 5(-2)n – 1

5

80 = (-2)n – 1

16 = (-2)n – 1 (-2)4 = (-2)n – 1 n – 1 = 4 n = 5


)r - (1a n1

= (-2) - 1

](-2) - 5[1 5

= 3

32) 5(1

= 5(11) = 55 n = 5 , Sn = 55 ตอบ 3. อนกรมเรขาคณตชดหนงมผลบวกของพจนท 1 กบพจนท 2 เทากบ 36 และผลบวกของพจนท 3 กบพจนท 4 เทากบ 4 จงหาผลบวก 4 พจนแรก วธท า จากโจทย a1 + a2 = 36 a1 + a1r = 36 …………………… และ a3 + a4 = 4 a1r

2 + a1r3 = 4 ……………………

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

218

r) (1a

r) (1ra

1

21

= 36

4

r2 = 9

1

r = 3

1

แทนคา r = 3


a1 + 3

1 a1 = 36

3

4a 1 = 36

a1 = 27 แทนคา r = -

3


a1 - 3

1 a1 = 36

3

2a 1 = 36

a1 = 54


)r - (1a n1

S4 = 3

1 - 1

3

1 - 1 27

4

= 3

2

81

1 - 1 27

= 2

3

81

80 27

= 40 เมอ a1 = 54 และ r = -

3

1

S4 =

3

1 - 1

3

1 - 1 54

4

= 3

1 1

81

1 - 1 54

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

219

= 3

4

81

80 54

= 4

3

81

80 54

= 40 ผลบวก 4 พจนแรก คอ 40 ตอบ

4. ก าหนดใหอนกรมเรขาคณต ม a1 = 160 , r = 2

3 และ Sn = 2110 จงหาคา n

วธท า จากสตร Sn = r - 1

)r - (1a n1

แทนคา 2110 = 2

3 - 1

2

3 - 1 160

n

16

211 = 2

1

2

3 - 1

n

32

211 =

n

2

3 - 1

n

2

3

= 32

211 1

n

2

3

= 32

243

n

2

3

= 5

2

3

n = 5 ตอบ

10.144

57/STO

U.the.2

011.30

เมอ 29

/01/25

65 08:

57:49

แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 - doi@nrct

Documents

Transcript of แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 - doi@nrct