M AT E M AT I KA X S M A

GEOMETRI

PENGERTIAN TITIK, GARIS DAN BIDANG

• TITIK Titik hanya dapat ditentukan oleh letaknya

tidak berukuran (tidak berdimensi). Titik digambarkan dengan tanda noktah dan

dibubuhi nama, biasanya dengan huruf kapital.

A P

Titik A Titik P

Garis merupakan himpunan titik-titik. Memiliki ukuran panjang, tetapi tak punya

ukuran lebar. Biasanya garis hanya dilukiskan sebagian

saja, disebut segmen garis. Nama segmen garis dilambangkan dengan

huruf kecil (g, h, k) atau menyebutkan nama segmen garis dari titik pangkal ke titik ujung.

• GARIS

g

Garis g

A

B

Segmen/ ruas garis AB

Bidang (Bidang datar) memiliki ukuran panjang dan lebar.

Sebuah bidang memiliki luas yang tak terbatas. Dalam geometri, sebuah bidang cukup digambarkan wakilnya saja, yaitu suatu daerah terbatas yang terletak pada bidang.

Wakil bidang berbentuk persegi, persegi panjang, atau jajar genjang, diberi nama α, β, µ atau H, U, V, W, atau dengan menyebutkan titik-titik sudut bidang tersebut.

• BIDANG

µBidang µ

Bidang ABCD

A B

CD

Dalil 1Sebuah bidang ditentukan oleh tiga titik sembarang.Dalil 2Sebuah bidang ditentukan oleh sebuah garis dan sebuah titik (titik berada di luar garis).Dalil 3Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis berpotongan.

Dalil 4Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis sejajar

A B

C

A g

g

h

g

h

Aksioma EUCLIDES

Aksioma adalah pernyataan yang diandaikan benar dalam sebuah sistem dan kebenaran itu diterima tanpa pembuktian. Euclides, memperkenalkan 3 aksioma penting dalam geometri.Aksioma 1Melalui dua buah titik sembarang (tidak berimpit) hanya dapat dibuat sebuah garis lurus.

Aksioma 2Jika sebuah garis dan sebuah bidang mempunyai dua buah titik persekutuan, maka garis tersebut seluruhnya terletak pada bidang

Aksioma 3Melalui tiga buah titik sembarang (tidak pada satu garis) hanya dapat dibuat sebuah bidang.

AB

αα A

A B

BC

KEDUDUKAN TITIK

Kedudukan titik terhadap garis• Titik terletak pada garis

• Titik terletak di luar garis

A

A

Kedudukan titik terhadap bidang• Titik terletak pada bidang

• Titik terletak di luar bidang

α

α

A

A

KEDUDUKAN GARIS

Kedudukan garis terhadap garis• Dua buah garis berpotongan

Ada satu titik persekutuan

• Dua garis berhimpitanAda lebih dari satu titik persekutuan

• Dua garis bersilanganTidak berpotongan, tidak terletak dalam satu bidang

α A

α h

α A

��

��

h

• Dua garis sejajarTidak ada titik persekutuan, dalam satu bidang

α h��

Aksioma 4Melalui sebuah titik yang berada di luar sebuah garis, hanya dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis itu.

α h��

A

Dalil 5k // ll // mMaka, k // m

Dalil 6k // lk dan l memotong gMaka, k, l, dan g terletak dalam satu bidang

Dalil 7k // ll menembus bidang αMaka, k menembus bidang α

kl

m

α

k

l

g

α

k

l

Dalil tentang dua garis sejajar

Kedudukan garis terhadap bidang

1. Garis terletak pada bidangDua atau lebih titik persekutuan

2. Garis sejajar bidangTidak terdapat titik persekutuan

3. Garis memotong bidangAda satu titik persekutuan (titik tembus)

α

α

αA

B g

g

A

g

Dalil tentang garis sejajar bidang

Dalil 8g // hh terletak pada bidang αMaka, g // bidang α

Dalil 9α melalui gg // bidang βMaka, (a, β) // g

α

g

β

α

g

Dalil 10g // hh // bidang αMaka, g // bidang α

Dalil 11α berpotongan dengan βa // gβ // gMaka, (a, β) // g

α

h

β

(a,β)

α

g

1. Dua bidang berimpit

2. Dua bidang sejajarTak punya titik persekutuan

3. Dua bidang berpotongan

Memiliki satu garis persekutuan (garis potong)

(a,β)

α

β

β

(a,β)

α

KEDUDUKAN BIDANG

Dalil 12a // gb // ha dan b berpotongan pada bidang αg dan h berpotongan pada bidang βMaka, bidang α // bidang β

Dalil 13bidang α // bidang βBidang µ memotong bidang α dan βMaka, (α,µ) // (β,µ)

α

β

b

a

h

g

α

β

µ

(α,µ)

(β,µ)

Dalil 14g menembus αbidang α // bidang βMaka, g menembus bidang β

Dalil 15g // bidang αBidang α // bidang βMaka, g // bidang β

α

β

g

g

α

β

Dalil 16g terletak di bidang αbidang α // bidang βMaka, g // bidang β

Dalil 17bidang α // bidang βBidang µ memotong bidang αMaka, Bidang µ memotong bidang β

α

β

g

α

β

µ

Dalil 18bidang α // bidang βbidang β // bidang µMaka, Bidang α // bidang µ

Dalil 19bidang α // bidang UBidang β // bidang VBidang α dan bidang β berpotongan di (α,β)Bidang U dan bidang V berpotongan di (U,V)Maka, (α,β) // (U,V)

α

β

µ

V

(U,V)

U

β

(a,β)

α

SOAL NOMOR 1Diketahui garis 𝑔 dan h bersilangan. Bidang V melalui 𝑔 dan sejajar dengan h. Bidang W melalui h dan berpotongan dengan bidang V. 𝑚 adalah garis potong kedua bidang tersebut maka ...A.𝑚 berhimpit dengan 𝑔B.𝑚 sejajar h dan memotong 𝑔C.𝑚 dan h bersilanganD.𝑚 memotong 𝑔 dan hE.𝑚 sejajar dengan 𝑔 dan

memotong h V

W��h

𝑔

SOAL NOMOR 2Diketahui garis 𝑙 dan 𝑚 masing-masing sejajar dengan bidang. Pernyataan berikut yang benar adalah ...A. garis 𝑙 sejajar dengan semua garis pada bidangB. garis 𝑙 sejajar 𝑚 dan sejajar bidang C. bidang yang memuat 𝑙 dan 𝑚 sejajarD. jika 𝑙 dan 𝑚 berpotong garis 𝑙 dan 𝑚 sejajar

dengan bidangE. garis 𝑚 sejajar dengan semua garis pada bidang

𝑙𝑚

SOAL NOMOR 4Diketahui garis 𝑎 tegak lurus 𝑏 pada bidang β. Garis h tegak lurus pada bidang β maka :(1)Terdapat bidang yang melalui garis h sejajar 𝑎(2)Terdapat garis yang memotong h, sejajar β dan

tegak lurus 𝑎(3) h tegak lurus 𝑎 dan h tegak lurus b(4)Terdapat bidang yang tegak lurus h dan tegak

lurus 𝑎

𝑎𝑏β

h