Variat Acak (Random Variates - Telkom...

Variat Acak (Random Variates)Kuliah Pemodelan Sistem Semester Genap 2015-2016

MZI

Fakultas InformatikaTelkom University

FIF Tel-U

Februari 2016

MZI (FIF Tel-U) Variate Acak Februari 2016 1 / 44

Acknowledgements

Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut:

1 Simulation Modeling and Analysis, Edisi 3, 2000, oleh A. M. Law, W. D.Kelton (acuan utama).

2 Elements of Stochastic Process, oleh B. S. Gottfried.3 Discrete-Event Simulation, Edisi 4, oleh J. Banks, J. S. Carson II, B. L.Nelson, D. M. Nicol.

4 Slide kuliah Simulasi dan Pemodelan di Universitas Gunadarma oleh M. Iqbal.5 Slide kuliah Pemodelan Sistem di Telkom University oleh Tim DosenPemodelan dan Simulasi.

6 Slide kuliah Random-Numbers and Random-Variate Generation di HKUSToleh L. J. Long.

7 Wikipedia.

Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukanuntuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Andamemiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirimemail ke <pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id.


mailto:[email protected]

Bahasan

1 Motivasi dan Definisi

2 Pembangkitan Bilangan Acak

3 Pembangkitan Variat Acak Diskrit

4 Pembangkitan Variat Acak Kontinu


Motivasi dan Definisi

Bahasan







Mengapa Diperlukan Variat Acak?

PermasalahanMisalkan kita ingin mensimulasikan antrian yang terjadi pada sebuah pusatlayanan tertentu. Pada pusat layanan tersebut, banyaknya pelanggan yang datangbersifat acak dan memenuhi distribusi tertentu (misalkan berdistribusi Poisson).Kemudian jeda waktu kedatangan antar pelanggan (inter-arrival time) jugabersifat acak dan memenuhi distribusi tertentu (misalkan berdistribusieksponensial). Bagaimana cara kita mensimulasikan keacakan ini?

Simulasi diskrit yang non determinstik pasti melibatkan suatu nilai yang bervariasidalam sebuah jangkauan (range) tertentu dan mengikuti suatu distribusiprobabilitas tertentu. Nilai yang bervariasi ini selanjutnya disebut sebagai variatacak (random variates).



Variat acak berkaitan dengan pembangkitan bilangan acak (random numbergeneration). Untuk membangkitkan bilangan acak (random number), kita dapatmelakukannya dengan:

1 mengambil bilangan acak dari suatu eksperimen probabilistik yang bersifatacak,

2 membangkitkan bilangan secara deterministik yang seolah-olah terlihat acak(pseudo-random), meskipun dibangkitkan secara deterministik, nilai bilanganyang dihasilkan harus memenuhi kriteria uji statistik tertentu.


Pembangkitan Bilangan Acak

Bahasan







Pembangkitan Bilangan Acak (Random NumberGeneration)

Pada simulasi, perilaku acak (random behavior), seperti banyaknya pelangganmaupun jeda waktu antar kedatangan pelanggan, dapat ditiru dengan pembangkitbilangan acak. Ada dua jenis pembangkit bilangan acak:

Pembangkit bilangan acak sebenarnya (true random number generator,TRNG): berupa alat (perangkat keras) yang terhubung dengan komputer danberfungsi untuk membangkitkan bilangan secara acak. Bilangan dibangkitkanberdasarkan pengamatan fenomenda fisis (bukan dengan algoritmadeterministik). TRNG biasanya bekerja dengan mengamatifenomena-fenomena mikroskopis atau fenomena-fenomena kuantum yangterjadi di dekat komputer, seperti perubahan suhu (thermal noise), efekfotoelektrik (photo-electric effect), maupun perubahan tegangan/ arus listrikyang bersifat mikroskopis.

Pembangkit bilangan acak semu (pseudo-random number generator, PRNG):berupa perangkat lunak (program) yang bersifat deterministik yang digunakanuntuk membangkitkan barisan bilangan yang seolah-olah acak (seeminglyrandom), barisan bilangan yang dihasilkan harus lolos uji statistik tertentu.





Pembangkit bilangan acak sebenarnya (true random number generator,TRNG): berupa alat (perangkat keras) yang terhubung dengan komputer danberfungsi untuk membangkitkan bilangan secara acak. Bilangan dibangkitkanberdasarkan pengamatan fenomenda fisis (bukan dengan algoritmadeterministik).

TRNG biasanya bekerja dengan mengamatifenomena-fenomena mikroskopis atau fenomena-fenomena kuantum yangterjadi di dekat komputer, seperti perubahan suhu (thermal noise), efekfotoelektrik (photo-electric effect), maupun perubahan tegangan/ arus listrikyang bersifat mikroskopis.






Pembangkit bilangan acak sebenarnya (true random number generator,TRNG): berupa alat (perangkat keras) yang terhubung dengan komputer danberfungsi untuk membangkitkan bilangan secara acak. Bilangan dibangkitkanberdasarkan pengamatan fenomenda fisis (bukan dengan algoritmadeterministik). TRNG biasanya bekerja dengan mengamatifenomena-fenomena mikroskopis atau fenomena-fenomena kuantum yangterjadi di dekat komputer, seperti perubahan suhu (thermal noise), efekfotoelektrik (photo-electric effect), maupun perubahan tegangan/ arus listrikyang bersifat mikroskopis.




Contoh Perangkat Keras TRNG

Gambar diambil dari Wikipedia.

TRNG banyak digunakan untuk membangkitkan bilangan acak yang berkaitandengan implementasi suatu protokol keamanan tertentu, misalnya pin awal yangdigunakan untuk internet banking.



Pemakaian PRNG

Pembangkit bilangan acak semu (pseudo-random number generator) merupakansuatu algoritma deterministik yang digunakan untuk membangkitkan barisanbilangan yang seolah-olah acak. PRNG berbeda dengan TRNG karena barisanbilangan yang dihasilkan oleh PRNG memiliki suatu pola tertentu (misalnyaurutan bilangan yang dihasilkan selalu sama).

PRNG tidak aman untuk digunakan dalam implementasi beberapa protokolkeamanan (contohnya pembangkitan kata kunci/ password), namun PRNGsangat berguna dalam:

implementasi simulasi Monte Carlo,

penerapan undian “acak”dalam permainan elektronik.



Pembangkit Linier Kongruensial (Linear CongruentialGenerator)

Pembangkit linier kongruensial (linear congruential generator, LCG), merupakanformulasi pembangkit bilangan acak yang bersifat deterministik dan cukup banyakdigunakan. LCG terdiri dari beberapa komponen, yaitu:

bilangan bulat positif m dengan m ≥ 2 yang disebut modulus,bilangan bulat positif a dengan 2 ≤ a < m yang disebut pengali (multiplier),bilangan bulat positif c dengan 0 ≤ c < m yang disebut inkremen(increment),bilangan bulat x0 dengan 0 ≤ x0 < m yang disebut benih (seed).

Selanjutnya barisan bilangan acak {xi}∞i=0 didefinisikan secara rekursif sebagaiberikut

xi+1 = (axi + c)modm, untuk i > 0.

Perhatikan bahwa nilai xi selalu memenuhi 0 ≤ xi < m.Ketika nilai c = 0, maka kita memiliki definisi rekursif

xi = aximodm,

LCG seperti ini dinamakan sebagai multiplicative generator (MG).



Pembangkit Linier Kongruensial (Linear CongruentialGenerator)

Pembangkit linier kongruensial (linear congruential generator, LCG), merupakanformulasi pembangkit bilangan acak yang bersifat deterministik dan cukup banyakdigunakan. LCG terdiri dari beberapa komponen, yaitu:

bilangan bulat positif m dengan m ≥ 2 yang disebut modulus,bilangan bulat positif a dengan 2 ≤ a < m yang disebut pengali (multiplier),bilangan bulat positif c dengan 0 ≤ c < m yang disebut inkremen(increment),bilangan bulat x0 dengan 0 ≤ x0 < m yang disebut benih (seed).

Selanjutnya barisan bilangan acak {xi}∞i=0 didefinisikan secara rekursif sebagaiberikut

xi+1 = (axi + c)modm, untuk i > 0.

Perhatikan bahwa nilai xi selalu memenuhi 0 ≤ xi < m.Ketika nilai c = 0, maka kita memiliki definisi rekursif

xi = aximodm,

LCG seperti ini dinamakan sebagai multiplicative generator (MG).MZI (FIF Tel-U) Variate Acak Februari 2016 11 / 44


PermasalahanBagaimana cara membangkitkan bilangan yang seolah-olah acak dan berada diantara 0 dan 1?

Karena 0 ≤ xi < m,

maka kita memiliki 0 ≤ xim < 1. Selanjutnya kita definisikan

ui =xim .

Nilai dari ui dapat dijadikan sebagai bilangan acak semu yang berada pada selang[0, 1)



PermasalahanBagaimana cara membangkitkan bilangan yang seolah-olah acak dan berada diantara 0 dan 1?

Karena 0 ≤ xi < m, maka kita memiliki 0 ≤ xim < 1. Selanjutnya kita definisikan

ui =xim .

Nilai dari ui dapat dijadikan sebagai bilangan acak semu yang berada pada selang[0, 1)



Contoh LCG

Misalkan kita memiliki LCG yang didefinisikan dengan m = 9, a = 7, c = 4, danx0 = 3. Maka kita memiliki formulasi

xi+1 = (7xi + 4)mod 9.

Akibatnya nilai {xi}∞i=0 dan {ui}∞i=0 dapat dihitung sebagai berikut:

1 x1 =

(7x0 + 4)mod 9 = (7 · 3 + 4)mod 9 = 7 dan u1 = 7/9 = 0.777782 x2 = (7x1 + 4)mod 9 = (7 · 7 + 4)mod 9 = 8 dan u2 = 8/9 = 0.888893 x3 = (7x2 + 4)mod 9 = (7 · 8 + 4)mod 9 = 6 dan u3 = 6/9 = 0.666674 x4 = (7x3 + 4)mod 9 = (7 · 6 + 4)mod 9 = 1 dan u4 = 1/9 = 0.111115 x5 = (7x4 + 4)mod 9 = (7 · 1 + 4)mod 9 = 2 dan u5 = 2/9 = 0.222226 x6 = (7x5 + 4)mod 9 = (7 · 2 + 4)mod 9 = 0 dan u6 = 0/9 = 0.000007 x7 = (7x6 + 4)mod 9 = (7 · 0 + 4)mod 9 = 4 dan u7 = 4/9 = 0.444448 x8 = (7x7 + 4)mod 9 = (7 · 4 + 4)mod 9 = 5 dan u8 = 5/9 = 0.555569 x9 = (7x8 + 4)mod 9 = (7 · 5 + 4)mod 9 = 3 dan u9 = 3/9 = 0.33333

Karena x9 = x0, maka barisan yang dihasilkan adalah 3, 7, 8, 6, 1, 2, 0, 4, 5, . . ..Secara umum: xi = xi+9 untuk i ≥ 0. Nilai 9 dikatakan panjang siklus dari LCGyang kita miliki.



Contoh LCG


xi+1 = (7xi + 4)mod 9.


1 x1 = (7x0 + 4)mod 9 = (7 · 3 + 4)mod 9 = 7 dan u1 = 7/9 = 0.777782 x2 =

(7x1 + 4)mod 9 = (7 · 7 + 4)mod 9 = 8 dan u2 = 8/9 = 0.888893 x3 = (7x2 + 4)mod 9 = (7 · 8 + 4)mod 9 = 6 dan u3 = 6/9 = 0.666674 x4 = (7x3 + 4)mod 9 = (7 · 6 + 4)mod 9 = 1 dan u4 = 1/9 = 0.111115 x5 = (7x4 + 4)mod 9 = (7 · 1 + 4)mod 9 = 2 dan u5 = 2/9 = 0.222226 x6 = (7x5 + 4)mod 9 = (7 · 2 + 4)mod 9 = 0 dan u6 = 0/9 = 0.000007 x7 = (7x6 + 4)mod 9 = (7 · 0 + 4)mod 9 = 4 dan u7 = 4/9 = 0.444448 x8 = (7x7 + 4)mod 9 = (7 · 4 + 4)mod 9 = 5 dan u8 = 5/9 = 0.555569 x9 = (7x8 + 4)mod 9 = (7 · 5 + 4)mod 9 = 3 dan u9 = 3/9 = 0.33333




Contoh LCG


xi+1 = (7xi + 4)mod 9.


1 x1 = (7x0 + 4)mod 9 = (7 · 3 + 4)mod 9 = 7 dan u1 = 7/9 = 0.777782 x2 = (7x1 + 4)mod 9 = (7 · 7 + 4)mod 9 = 8 dan u2 = 8/9 = 0.888893 x3 =

(7x2 + 4)mod 9 = (7 · 8 + 4)mod 9 = 6 dan u3 = 6/9 = 0.666674 x4 = (7x3 + 4)mod 9 = (7 · 6 + 4)mod 9 = 1 dan u4 = 1/9 = 0.111115 x5 = (7x4 + 4)mod 9 = (7 · 1 + 4)mod 9 = 2 dan u5 = 2/9 = 0.222226 x6 = (7x5 + 4)mod 9 = (7 · 2 + 4)mod 9 = 0 dan u6 = 0/9 = 0.000007 x7 = (7x6 + 4)mod 9 = (7 · 0 + 4)mod 9 = 4 dan u7 = 4/9 = 0.444448 x8 = (7x7 + 4)mod 9 = (7 · 4 + 4)mod 9 = 5 dan u8 = 5/9 = 0.555569 x9 = (7x8 + 4)mod 9 = (7 · 5 + 4)mod 9 = 3 dan u9 = 3/9 = 0.33333




Contoh LCG


xi+1 = (7xi + 4)mod 9.


1 x1 = (7x0 + 4)mod 9 = (7 · 3 + 4)mod 9 = 7 dan u1 = 7/9 = 0.777782 x2 = (7x1 + 4)mod 9 = (7 · 7 + 4)mod 9 = 8 dan u2 = 8/9 = 0.888893 x3 = (7x2 + 4)mod 9 = (7 · 8 + 4)mod 9 = 6 dan u3 = 6/9 = 0.666674 x4 =

(7x3 + 4)mod 9 = (7 · 6 + 4)mod 9 = 1 dan u4 = 1/9 = 0.111115 x5 = (7x4 + 4)mod 9 = (7 · 1 + 4)mod 9 = 2 dan u5 = 2/9 = 0.222226 x6 = (7x5 + 4)mod 9 = (7 · 2 + 4)mod 9 = 0 dan u6 = 0/9 = 0.000007 x7 = (7x6 + 4)mod 9 = (7 · 0 + 4)mod 9 = 4 dan u7 = 4/9 = 0.444448 x8 = (7x7 + 4)mod 9 = (7 · 4 + 4)mod 9 = 5 dan u8 = 5/9 = 0.555569 x9 = (7x8 + 4)mod 9 = (7 · 5 + 4)mod 9 = 3 dan u9 = 3/9 = 0.33333




Contoh LCG


xi+1 = (7xi + 4)mod 9.


1 x1 = (7x0 + 4)mod 9 = (7 · 3 + 4)mod 9 = 7 dan u1 = 7/9 = 0.777782 x2 = (7x1 + 4)mod 9 = (7 · 7 + 4)mod 9 = 8 dan u2 = 8/9 = 0.888893 x3 = (7x2 + 4)mod 9 = (7 · 8 + 4)mod 9 = 6 dan u3 = 6/9 = 0.666674 x4 = (7x3 + 4)mod 9 = (7 · 6 + 4)mod 9 = 1 dan u4 = 1/9 = 0.111115 x5 =

(7x4 + 4)mod 9 = (7 · 1 + 4)mod 9 = 2 dan u5 = 2/9 = 0.222226 x6 = (7x5 + 4)mod 9 = (7 · 2 + 4)mod 9 = 0 dan u6 = 0/9 = 0.000007 x7 = (7x6 + 4)mod 9 = (7 · 0 + 4)mod 9 = 4 dan u7 = 4/9 = 0.444448 x8 = (7x7 + 4)mod 9 = (7 · 4 + 4)mod 9 = 5 dan u8 = 5/9 = 0.555569 x9 = (7x8 + 4)mod 9 = (7 · 5 + 4)mod 9 = 3 dan u9 = 3/9 = 0.33333




Contoh LCG


xi+1 = (7xi + 4)mod 9.


1 x1 = (7x0 + 4)mod 9 = (7 · 3 + 4)mod 9 = 7 dan u1 = 7/9 = 0.777782 x2 = (7x1 + 4)mod 9 = (7 · 7 + 4)mod 9 = 8 dan u2 = 8/9 = 0.888893 x3 = (7x2 + 4)mod 9 = (7 · 8 + 4)mod 9 = 6 dan u3 = 6/9 = 0.666674 x4 = (7x3 + 4)mod 9 = (7 · 6 + 4)mod 9 = 1 dan u4 = 1/9 = 0.111115 x5 = (7x4 + 4)mod 9 = (7 · 1 + 4)mod 9 = 2 dan u5 = 2/9 = 0.222226 x6 =

(7x5 + 4)mod 9 = (7 · 2 + 4)mod 9 = 0 dan u6 = 0/9 = 0.000007 x7 = (7x6 + 4)mod 9 = (7 · 0 + 4)mod 9 = 4 dan u7 = 4/9 = 0.444448 x8 = (7x7 + 4)mod 9 = (7 · 4 + 4)mod 9 = 5 dan u8 = 5/9 = 0.555569 x9 = (7x8 + 4)mod 9 = (7 · 5 + 4)mod 9 = 3 dan u9 = 3/9 = 0.33333




Contoh LCG


xi+1 = (7xi + 4)mod 9.


1 x1 = (7x0 + 4)mod 9 = (7 · 3 + 4)mod 9 = 7 dan u1 = 7/9 = 0.777782 x2 = (7x1 + 4)mod 9 = (7 · 7 + 4)mod 9 = 8 dan u2 = 8/9 = 0.888893 x3 = (7x2 + 4)mod 9 = (7 · 8 + 4)mod 9 = 6 dan u3 = 6/9 = 0.666674 x4 = (7x3 + 4)mod 9 = (7 · 6 + 4)mod 9 = 1 dan u4 = 1/9 = 0.111115 x5 = (7x4 + 4)mod 9 = (7 · 1 + 4)mod 9 = 2 dan u5 = 2/9 = 0.222226 x6 = (7x5 + 4)mod 9 = (7 · 2 + 4)mod 9 = 0 dan u6 = 0/9 = 0.000007 x7 =

(7x6 + 4)mod 9 = (7 · 0 + 4)mod 9 = 4 dan u7 = 4/9 = 0.444448 x8 = (7x7 + 4)mod 9 = (7 · 4 + 4)mod 9 = 5 dan u8 = 5/9 = 0.555569 x9 = (7x8 + 4)mod 9 = (7 · 5 + 4)mod 9 = 3 dan u9 = 3/9 = 0.33333




Contoh LCG


xi+1 = (7xi + 4)mod 9.


1 x1 = (7x0 + 4)mod 9 = (7 · 3 + 4)mod 9 = 7 dan u1 = 7/9 = 0.777782 x2 = (7x1 + 4)mod 9 = (7 · 7 + 4)mod 9 = 8 dan u2 = 8/9 = 0.888893 x3 = (7x2 + 4)mod 9 = (7 · 8 + 4)mod 9 = 6 dan u3 = 6/9 = 0.666674 x4 = (7x3 + 4)mod 9 = (7 · 6 + 4)mod 9 = 1 dan u4 = 1/9 = 0.111115 x5 = (7x4 + 4)mod 9 = (7 · 1 + 4)mod 9 = 2 dan u5 = 2/9 = 0.222226 x6 = (7x5 + 4)mod 9 = (7 · 2 + 4)mod 9 = 0 dan u6 = 0/9 = 0.000007 x7 = (7x6 + 4)mod 9 = (7 · 0 + 4)mod 9 = 4 dan u7 = 4/9 = 0.444448 x8 =

(7x7 + 4)mod 9 = (7 · 4 + 4)mod 9 = 5 dan u8 = 5/9 = 0.555569 x9 = (7x8 + 4)mod 9 = (7 · 5 + 4)mod 9 = 3 dan u9 = 3/9 = 0.33333




Contoh LCG


xi+1 = (7xi + 4)mod 9.


1 x1 = (7x0 + 4)mod 9 = (7 · 3 + 4)mod 9 = 7 dan u1 = 7/9 = 0.777782 x2 = (7x1 + 4)mod 9 = (7 · 7 + 4)mod 9 = 8 dan u2 = 8/9 = 0.888893 x3 = (7x2 + 4)mod 9 = (7 · 8 + 4)mod 9 = 6 dan u3 = 6/9 = 0.666674 x4 = (7x3 + 4)mod 9 = (7 · 6 + 4)mod 9 = 1 dan u4 = 1/9 = 0.111115 x5 = (7x4 + 4)mod 9 = (7 · 1 + 4)mod 9 = 2 dan u5 = 2/9 = 0.222226 x6 = (7x5 + 4)mod 9 = (7 · 2 + 4)mod 9 = 0 dan u6 = 0/9 = 0.000007 x7 = (7x6 + 4)mod 9 = (7 · 0 + 4)mod 9 = 4 dan u7 = 4/9 = 0.444448 x8 = (7x7 + 4)mod 9 = (7 · 4 + 4)mod 9 = 5 dan u8 = 5/9 = 0.555569 x9 = (7x8 + 4)mod 9 = (7 · 5 + 4)mod 9 = 3 dan u9 = 3/9 = 0.33333

Karena x9 = x0, maka barisan yang dihasilkan adalah 3, 7, 8, 6, 1, 2, 0, 4, 5, . . ..

Secara umum: xi = xi+9 untuk i ≥ 0. Nilai 9 dikatakan panjang siklus dari LCGyang kita miliki.



Contoh LCG


xi+1 = (7xi + 4)mod 9.


1 x1 = (7x0 + 4)mod 9 = (7 · 3 + 4)mod 9 = 7 dan u1 = 7/9 = 0.777782 x2 = (7x1 + 4)mod 9 = (7 · 7 + 4)mod 9 = 8 dan u2 = 8/9 = 0.888893 x3 = (7x2 + 4)mod 9 = (7 · 8 + 4)mod 9 = 6 dan u3 = 6/9 = 0.666674 x4 = (7x3 + 4)mod 9 = (7 · 6 + 4)mod 9 = 1 dan u4 = 1/9 = 0.111115 x5 = (7x4 + 4)mod 9 = (7 · 1 + 4)mod 9 = 2 dan u5 = 2/9 = 0.222226 x6 = (7x5 + 4)mod 9 = (7 · 2 + 4)mod 9 = 0 dan u6 = 0/9 = 0.000007 x7 = (7x6 + 4)mod 9 = (7 · 0 + 4)mod 9 = 4 dan u7 = 4/9 = 0.444448 x8 = (7x7 + 4)mod 9 = (7 · 4 + 4)mod 9 = 5 dan u8 = 5/9 = 0.555569 x9 = (7x8 + 4)mod 9 = (7 · 5 + 4)mod 9 = 3 dan u9 = 3/9 = 0.33333




Panjang Siklus dari LCG

DefinisiDiberikan LCG xi+1 = (axi + c)modm, panjang siklus dari LCG adalah bilanganbulat terkecil ` dengan sifat

xi+` = xi.

Panjang siklus dari LCG juga disebut sebagai periode/ perioda (period) dari LCGtersebut.

Perhatikan bahwa nilai ` tidak mungkin lebih dari m.

PermasalahanFormulasi LCG seperti apa yang memungkinkan panjang siklus maksimal dari LCGtersebut?



LatihanTuliskan barisan bilangan acak yang dihasilkan oleh beberapa LCG berikut dantentukan panjang siklusnya. Tuliskan pula barisan {ui}∞i=0 yang didefinisikansebagai ui = xi

m , dengan m adalah modulus dari LCG.

1 xi+1 = (2xi + 4)mod 7, dengan x0 = 22 xi+1 = (4xi + 1)mod 7, dengan x0 = 33 xi+1 = (5xi + 3)mod 16, dengan x0 = 13.



Solusi soal 1:

i xi ui = xi/70 2 0.28571

1 (2 · 2 + 4)mod 7 = 1 0.142862 (2 · 1 + 4)mod 7 = 6 0.857143 (2 · 6 + 4)mod 7 = 2 0.285714 (2 · 2 + 4)mod 7 = 1 0.142865 (2 · 1 + 4)mod 7 = 6 0.857146 (2 · 6 + 4)mod 7 = 2 0.28571

Panjang siklus dari LCG xi+1 = (2xi + 4)mod 7, dengan x0 = 2 adalah 3 karenaxi = xi+3. Terlihat bahwa panjang siklus LCG kurang dari modulus LCG.



Solusi soal 1:

i xi ui = xi/70 2 0.285711 (2 · 2 + 4)mod 7 = 1 0.14286

2 (2 · 1 + 4)mod 7 = 6 0.857143 (2 · 6 + 4)mod 7 = 2 0.285714 (2 · 2 + 4)mod 7 = 1 0.142865 (2 · 1 + 4)mod 7 = 6 0.857146 (2 · 6 + 4)mod 7 = 2 0.28571




Solusi soal 1:

i xi ui = xi/70 2 0.285711 (2 · 2 + 4)mod 7 = 1 0.142862 (2 · 1 + 4)mod 7 = 6 0.85714

3 (2 · 6 + 4)mod 7 = 2 0.285714 (2 · 2 + 4)mod 7 = 1 0.142865 (2 · 1 + 4)mod 7 = 6 0.857146 (2 · 6 + 4)mod 7 = 2 0.28571




Solusi soal 1:

i xi ui = xi/70 2 0.285711 (2 · 2 + 4)mod 7 = 1 0.142862 (2 · 1 + 4)mod 7 = 6 0.857143 (2 · 6 + 4)mod 7 = 2 0.28571

4 (2 · 2 + 4)mod 7 = 1 0.142865 (2 · 1 + 4)mod 7 = 6 0.857146 (2 · 6 + 4)mod 7 = 2 0.28571




Solusi soal 1:

i xi ui = xi/70 2 0.285711 (2 · 2 + 4)mod 7 = 1 0.142862 (2 · 1 + 4)mod 7 = 6 0.857143 (2 · 6 + 4)mod 7 = 2 0.285714 (2 · 2 + 4)mod 7 = 1 0.14286

5 (2 · 1 + 4)mod 7 = 6 0.857146 (2 · 6 + 4)mod 7 = 2 0.28571




Solusi soal 1:

i xi ui = xi/70 2 0.285711 (2 · 2 + 4)mod 7 = 1 0.142862 (2 · 1 + 4)mod 7 = 6 0.857143 (2 · 6 + 4)mod 7 = 2 0.285714 (2 · 2 + 4)mod 7 = 1 0.142865 (2 · 1 + 4)mod 7 = 6 0.85714

6 (2 · 6 + 4)mod 7 = 2 0.28571




Solusi soal 1:

i xi ui = xi/70 2 0.285711 (2 · 2 + 4)mod 7 = 1 0.142862 (2 · 1 + 4)mod 7 = 6 0.857143 (2 · 6 + 4)mod 7 = 2 0.285714 (2 · 2 + 4)mod 7 = 1 0.142865 (2 · 1 + 4)mod 7 = 6 0.857146 (2 · 6 + 4)mod 7 = 2 0.28571




Solusi soal 2:

i xi ui = xi/70 3 0.42857

1 (4 · 3 + 1)mod 7 = 6 0.857142 (4 · 6 + 1)mod 7 = 4 0.571433 (4 · 4 + 1)mod 7 = 3 0.428574 (4 · 3 + 1)mod 7 = 6 0.857145 (4 · 6 + 1)mod 7 = 4 0.571436 (4 · 4 + 1)mod 7 = 3 0.42857




Solusi soal 2:

i xi ui = xi/70 3 0.428571 (4 · 3 + 1)mod 7 = 6 0.85714

2 (4 · 6 + 1)mod 7 = 4 0.571433 (4 · 4 + 1)mod 7 = 3 0.428574 (4 · 3 + 1)mod 7 = 6 0.857145 (4 · 6 + 1)mod 7 = 4 0.571436 (4 · 4 + 1)mod 7 = 3 0.42857




Solusi soal 2:

i xi ui = xi/70 3 0.428571 (4 · 3 + 1)mod 7 = 6 0.857142 (4 · 6 + 1)mod 7 = 4 0.57143

3 (4 · 4 + 1)mod 7 = 3 0.428574 (4 · 3 + 1)mod 7 = 6 0.857145 (4 · 6 + 1)mod 7 = 4 0.571436 (4 · 4 + 1)mod 7 = 3 0.42857




Solusi soal 2:

i xi ui = xi/70 3 0.428571 (4 · 3 + 1)mod 7 = 6 0.857142 (4 · 6 + 1)mod 7 = 4 0.571433 (4 · 4 + 1)mod 7 = 3 0.42857

4 (4 · 3 + 1)mod 7 = 6 0.857145 (4 · 6 + 1)mod 7 = 4 0.571436 (4 · 4 + 1)mod 7 = 3 0.42857




Solusi soal 2:

i xi ui = xi/70 3 0.428571 (4 · 3 + 1)mod 7 = 6 0.857142 (4 · 6 + 1)mod 7 = 4 0.571433 (4 · 4 + 1)mod 7 = 3 0.428574 (4 · 3 + 1)mod 7 = 6 0.85714

5 (4 · 6 + 1)mod 7 = 4 0.571436 (4 · 4 + 1)mod 7 = 3 0.42857




Solusi soal 2:

i xi ui = xi/70 3 0.428571 (4 · 3 + 1)mod 7 = 6 0.857142 (4 · 6 + 1)mod 7 = 4 0.571433 (4 · 4 + 1)mod 7 = 3 0.428574 (4 · 3 + 1)mod 7 = 6 0.857145 (4 · 6 + 1)mod 7 = 4 0.57143

6 (4 · 4 + 1)mod 7 = 3 0.42857




Solusi soal 2:

i xi ui = xi/70 3 0.428571 (4 · 3 + 1)mod 7 = 6 0.857142 (4 · 6 + 1)mod 7 = 4 0.571433 (4 · 4 + 1)mod 7 = 3 0.428574 (4 · 3 + 1)mod 7 = 6 0.857145 (4 · 6 + 1)mod 7 = 4 0.571436 (4 · 4 + 1)mod 7 = 3 0.42857




Solusi soal 3:

i xi ui = xi/160 13 0.8125

1 4 0.25002 7 0.43753 6 0.37504 1 0.06255 8 0.50006 11 0.68757 10 0.62508 5 0.3125

i xi ui = xi/169 12 0.750010 15 0.937511 14 0.875012 9 0.562513 0 0.000014 3 0.187515 2 0.125016 13 0.812517 4 0.2500

Panjang siklus dari LCG xi+1 = (5xi + 3)mod 16, dengan x0 = 13 adalah 16karena xi = xi+16. Terlihat bahwa panjang siklus LCG sama dengan modulusLCG.



Solusi soal 3:

i xi ui = xi/160 13 0.81251 4 0.2500

2 7 0.43753 6 0.37504 1 0.06255 8 0.50006 11 0.68757 10 0.62508 5 0.3125

i xi ui = xi/169 12 0.750010 15 0.937511 14 0.875012 9 0.562513 0 0.000014 3 0.187515 2 0.125016 13 0.812517 4 0.2500




Solusi soal 3:

i xi ui = xi/160 13 0.81251 4 0.25002 7 0.4375

3 6 0.37504 1 0.06255 8 0.50006 11 0.68757 10 0.62508 5 0.3125

i xi ui = xi/169 12 0.750010 15 0.937511 14 0.875012 9 0.562513 0 0.000014 3 0.187515 2 0.125016 13 0.812517 4 0.2500




Solusi soal 3:

i xi ui = xi/160 13 0.81251 4 0.25002 7 0.43753 6 0.3750

4 1 0.06255 8 0.50006 11 0.68757 10 0.62508 5 0.3125

i xi ui = xi/169 12 0.750010 15 0.937511 14 0.875012 9 0.562513 0 0.000014 3 0.187515 2 0.125016 13 0.812517 4 0.2500




Solusi soal 3:

i xi ui = xi/160 13 0.81251 4 0.25002 7 0.43753 6 0.37504 1 0.0625

5 8 0.50006 11 0.68757 10 0.62508 5 0.3125

i xi ui = xi/169 12 0.750010 15 0.937511 14 0.875012 9 0.562513 0 0.000014 3 0.187515 2 0.125016 13 0.812517 4 0.2500




Solusi soal 3:

i xi ui = xi/160 13 0.81251 4 0.25002 7 0.43753 6 0.37504 1 0.06255 8 0.5000

6 11 0.68757 10 0.62508 5 0.3125

i xi ui = xi/169 12 0.750010 15 0.937511 14 0.875012 9 0.562513 0 0.000014 3 0.187515 2 0.125016 13 0.812517 4 0.2500




Solusi soal 3:

i xi ui = xi/160 13 0.81251 4 0.25002 7 0.43753 6 0.37504 1 0.06255 8 0.50006 11 0.6875

7 10 0.62508 5 0.3125

i xi ui = xi/169 12 0.750010 15 0.937511 14 0.875012 9 0.562513 0 0.000014 3 0.187515 2 0.125016 13 0.812517 4 0.2500




Solusi soal 3:

i xi ui = xi/160 13 0.81251 4 0.25002 7 0.43753 6 0.37504 1 0.06255 8 0.50006 11 0.68757 10 0.6250

8 5 0.3125

i xi ui = xi/169 12 0.750010 15 0.937511 14 0.875012 9 0.562513 0 0.000014 3 0.187515 2 0.125016 13 0.812517 4 0.2500




Solusi soal 3:

i xi ui = xi/160 13 0.81251 4 0.25002 7 0.43753 6 0.37504 1 0.06255 8 0.50006 11 0.68757 10 0.62508 5 0.3125

i xi ui = xi/16

9 12 0.750010 15 0.937511 14 0.875012 9 0.562513 0 0.000014 3 0.187515 2 0.125016 13 0.812517 4 0.2500




Solusi soal 3:

i xi ui = xi/160 13 0.81251 4 0.25002 7 0.43753 6 0.37504 1 0.06255 8 0.50006 11 0.68757 10 0.62508 5 0.3125

i xi ui = xi/169 12 0.7500

10 15 0.937511 14 0.875012 9 0.562513 0 0.000014 3 0.187515 2 0.125016 13 0.812517 4 0.2500




Solusi soal 3:

i xi ui = xi/160 13 0.81251 4 0.25002 7 0.43753 6 0.37504 1 0.06255 8 0.50006 11 0.68757 10 0.62508 5 0.3125

i xi ui = xi/169 12 0.750010 15 0.9375

11 14 0.875012 9 0.562513 0 0.000014 3 0.187515 2 0.125016 13 0.812517 4 0.2500




Solusi soal 3:

i xi ui = xi/160 13 0.81251 4 0.25002 7 0.43753 6 0.37504 1 0.06255 8 0.50006 11 0.68757 10 0.62508 5 0.3125

i xi ui = xi/169 12 0.750010 15 0.937511 14 0.8750

12 9 0.562513 0 0.000014 3 0.187515 2 0.125016 13 0.812517 4 0.2500




Solusi soal 3:

i xi ui = xi/160 13 0.81251 4 0.25002 7 0.43753 6 0.37504 1 0.06255 8 0.50006 11 0.68757 10 0.62508 5 0.3125

i xi ui = xi/169 12 0.750010 15 0.937511 14 0.875012 9 0.5625

13 0 0.000014 3 0.187515 2 0.125016 13 0.812517 4 0.2500




Solusi soal 3:

i xi ui = xi/160 13 0.81251 4 0.25002 7 0.43753 6 0.37504 1 0.06255 8 0.50006 11 0.68757 10 0.62508 5 0.3125

i xi ui = xi/169 12 0.750010 15 0.937511 14 0.875012 9 0.562513 0 0.0000

14 3 0.187515 2 0.125016 13 0.812517 4 0.2500




Solusi soal 3:

i xi ui = xi/160 13 0.81251 4 0.25002 7 0.43753 6 0.37504 1 0.06255 8 0.50006 11 0.68757 10 0.62508 5 0.3125

i xi ui = xi/169 12 0.750010 15 0.937511 14 0.875012 9 0.562513 0 0.000014 3 0.1875

15 2 0.125016 13 0.812517 4 0.2500




Solusi soal 3:

i xi ui = xi/160 13 0.81251 4 0.25002 7 0.43753 6 0.37504 1 0.06255 8 0.50006 11 0.68757 10 0.62508 5 0.3125

i xi ui = xi/169 12 0.750010 15 0.937511 14 0.875012 9 0.562513 0 0.000014 3 0.187515 2 0.1250

16 13 0.812517 4 0.2500




Solusi soal 3:

i xi ui = xi/160 13 0.81251 4 0.25002 7 0.43753 6 0.37504 1 0.06255 8 0.50006 11 0.68757 10 0.62508 5 0.3125

i xi ui = xi/169 12 0.750010 15 0.937511 14 0.875012 9 0.562513 0 0.000014 3 0.187515 2 0.125016 13 0.8125

17 4 0.2500




Solusi soal 3:

i xi ui = xi/160 13 0.81251 4 0.25002 7 0.43753 6 0.37504 1 0.06255 8 0.50006 11 0.68757 10 0.62508 5 0.3125

i xi ui = xi/169 12 0.750010 15 0.937511 14 0.875012 9 0.562513 0 0.000014 3 0.187515 2 0.125016 13 0.812517 4 0.2500




Pemilihan Parameter Pada LCG

Donald E. Knuth membuktikan teorema berikut.

TeoremaSuatu LCG xi+1 = (axi + c)modm memiliki periode maksimal, yaitu m, jika danhanya jika:

1 m dan c relatif prima, yaitu gcd (m, c) = 1, dengan gcd (m, c) menyatakanfaktor persekutuan terbesar dari m dan c,

2 a− 1 habis dibagi oleh semua faktor prima dari m,3 bila m habis dibagi 4, maka a− 1 juga harus habis dibagi 4.



ContohPada contoh dan soal latihan sebelumnya kita melihat:

1 Untuk LCG xi+1 = (7xi + 4)mod 9, kita memilikigcd (m, c) =

gcd (9, 4) = 1; kemudian a− 1 = 6 dan faktor prima dari m = 9adalah 3, jelas a− 1 habis dibagi semua faktor prima dari m; kemudianm = 9 tidak habis dibagi 4, begitu pula a− 1 = 6. Karena ketiga syaratdipenuhi, LCG xi+1 = (7xi + 4)mod 9 memiliki periode maksimal, yaitu 9.

2 Untuk LCG xi+1 = (2xi + 4)mod 7, kita memilikigcd (m, c) = gcd (7, 4) = 1; kemudian a− 1 = 1 dan faktor prima darim = 7 adalah 7, dalam hal ini 1 tidak habis dibagi 7, akibatnya LCGxi+1 = (2xi + 4)mod 7 tidak memiliki periode maksimal.




1 Untuk LCG xi+1 = (7xi + 4)mod 9, kita memilikigcd (m, c) = gcd (9, 4) = 1; kemudian a− 1 = 6 dan faktor prima dari m = 9adalah

3, jelas a− 1 habis dibagi semua faktor prima dari m; kemudianm = 9 tidak habis dibagi 4, begitu pula a− 1 = 6. Karena ketiga syaratdipenuhi, LCG xi+1 = (7xi + 4)mod 9 memiliki periode maksimal, yaitu 9.





1 Untuk LCG xi+1 = (7xi + 4)mod 9, kita memilikigcd (m, c) = gcd (9, 4) = 1; kemudian a− 1 = 6 dan faktor prima dari m = 9adalah 3, jelas a− 1 habis dibagi semua faktor prima dari m;

kemudianm = 9 tidak habis dibagi 4, begitu pula a− 1 = 6. Karena ketiga syaratdipenuhi, LCG xi+1 = (7xi + 4)mod 9 memiliki periode maksimal, yaitu 9.





1 Untuk LCG xi+1 = (7xi + 4)mod 9, kita memilikigcd (m, c) = gcd (9, 4) = 1; kemudian a− 1 = 6 dan faktor prima dari m = 9adalah 3, jelas a− 1 habis dibagi semua faktor prima dari m; kemudianm = 9 tidak habis dibagi 4, begitu pula a− 1 = 6.

Karena ketiga syaratdipenuhi, LCG xi+1 = (7xi + 4)mod 9 memiliki periode maksimal, yaitu 9.





1 Untuk LCG xi+1 = (7xi + 4)mod 9, kita memilikigcd (m, c) = gcd (9, 4) = 1; kemudian a− 1 = 6 dan faktor prima dari m = 9adalah 3, jelas a− 1 habis dibagi semua faktor prima dari m; kemudianm = 9 tidak habis dibagi 4, begitu pula a− 1 = 6. Karena ketiga syaratdipenuhi, LCG xi+1 = (7xi + 4)mod 9 memiliki periode maksimal, yaitu 9.


gcd (7, 4) = 1; kemudian a− 1 = 1 dan faktor prima darim = 7 adalah 7, dalam hal ini 1 tidak habis dibagi 7, akibatnya LCGxi+1 = (2xi + 4)mod 7 tidak memiliki periode maksimal.





2 Untuk LCG xi+1 = (2xi + 4)mod 7, kita memilikigcd (m, c) = gcd (7, 4) = 1; kemudian a− 1 = 1 dan faktor prima darim = 7 adalah

7, dalam hal ini 1 tidak habis dibagi 7, akibatnya LCGxi+1 = (2xi + 4)mod 7 tidak memiliki periode maksimal.





2 Untuk LCG xi+1 = (2xi + 4)mod 7, kita memilikigcd (m, c) = gcd (7, 4) = 1; kemudian a− 1 = 1 dan faktor prima darim = 7 adalah 7, dalam hal ini 1 tidak habis dibagi 7,

akibatnya LCGxi+1 = (2xi + 4)mod 7 tidak memiliki periode maksimal.




gcd (7, 1) = 1; kemudian a− 1 = 3 dan faktor prima darim = 7 adalah 7, dalam hal ini 3 tidak habis dibagi 7, akibatnya LCGxi+1 = 4xi + 1mod 7 tidak memiliki periode maksimal.

4 Untuk LCG xi+1 = (5xi + 3)mod 16, kita memilikigcd (m, c) = gcd (16, 3) = 1; kemudian a− 1 = 4 dan faktor prima darim = 16 adalah 2, jelas a− 1 habis dibagi semua faktor prima dari m;kemudian m = 16 habis dibagi 4 dan a− 1 = 4 juga habis dibagi 4. Karenaketiga syarat dipenuhi, LCG xi+1 = (5xi + 3)mod 16 memiliki periodemaksimal, yaitu 16.




7, dalam hal ini 3 tidak habis dibagi 7, akibatnya LCGxi+1 = 4xi + 1mod 7 tidak memiliki periode maksimal.




3 Untuk LCG xi+1 = (4xi + 1)mod 7, kita memilikigcd (m, c) = gcd (7, 1) = 1; kemudian a− 1 = 3 dan faktor prima darim = 7 adalah 7, dalam hal ini 3 tidak habis dibagi 7,

akibatnya LCGxi+1 = 4xi + 1mod 7 tidak memiliki periode maksimal.




3 Untuk LCG xi+1 = (4xi + 1)mod 7, kita memilikigcd (m, c) = gcd (7, 1) = 1; kemudian a− 1 = 3 dan faktor prima darim = 7 adalah 7, dalam hal ini 3 tidak habis dibagi 7, akibatnya LCGxi+1 = 4xi + 1mod 7 tidak memiliki periode maksimal.


gcd (16, 3) = 1; kemudian a− 1 = 4 dan faktor prima darim = 16 adalah 2, jelas a− 1 habis dibagi semua faktor prima dari m;kemudian m = 16 habis dibagi 4 dan a− 1 = 4 juga habis dibagi 4. Karenaketiga syarat dipenuhi, LCG xi+1 = (5xi + 3)mod 16 memiliki periodemaksimal, yaitu 16.





2, jelas a− 1 habis dibagi semua faktor prima dari m;kemudian m = 16 habis dibagi 4 dan a− 1 = 4 juga habis dibagi 4. Karenaketiga syarat dipenuhi, LCG xi+1 = (5xi + 3)mod 16 memiliki periodemaksimal, yaitu 16.




4 Untuk LCG xi+1 = (5xi + 3)mod 16, kita memilikigcd (m, c) = gcd (16, 3) = 1; kemudian a− 1 = 4 dan faktor prima darim = 16 adalah 2, jelas a− 1 habis dibagi semua faktor prima dari m;

kemudian m = 16 habis dibagi 4 dan a− 1 = 4 juga habis dibagi 4. Karenaketiga syarat dipenuhi, LCG xi+1 = (5xi + 3)mod 16 memiliki periodemaksimal, yaitu 16.




4 Untuk LCG xi+1 = (5xi + 3)mod 16, kita memilikigcd (m, c) = gcd (16, 3) = 1; kemudian a− 1 = 4 dan faktor prima darim = 16 adalah 2, jelas a− 1 habis dibagi semua faktor prima dari m;kemudian m = 16 habis dibagi 4 dan a− 1 = 4 juga habis dibagi 4.

Karenaketiga syarat dipenuhi, LCG xi+1 = (5xi + 3)mod 16 memiliki periodemaksimal, yaitu 16.



Parameter Optimal pada LCG

Untuk memperoleh panjang siklus maksimal, kita dapat mengkonstruksi LCGxi+1 = (axi + c)modm sebagai berikut:

1 m = 2r untuk r bilangan bulat positif,2 c adalah bilangan ganjil,3 a = 4s+ 1 untuk s bilangan bulat positif.

Kita memiliki:

1 gcd (m, c) = gcd (2r, c) = 1, karena 2r bilangan genap dan c bilangan ganjil.2 a− 1 = 4s = 22s dan faktor prima dari m adalah 2, akibatnya a− 1 dapatdibagi oleh semua faktor prima dari m.

3 Bila m = 2r habis dibagi 4, jelas bahwa a− 1 = 4s habis dibagi 4.

Dalam implementasinya, untuk komputer yang memakai 32 bit per kata (32 bitper words), kita dapat memilih m = 231. Dengan syarat-syarat yang sesuai, makapanjang siklus dari LCG yang dihasilkan akan maksimal, yaitum = 231 ≈

(210)3 ≈ (103)3, atau sekitar 1 milyar.





1 m = 2r untuk r bilangan bulat positif,

2 c adalah bilangan ganjil,3 a = 4s+ 1 untuk s bilangan bulat positif.

Kita memiliki:









1 m = 2r untuk r bilangan bulat positif,2 c adalah bilangan ganjil,

3 a = 4s+ 1 untuk s bilangan bulat positif.

Kita memiliki:










Kita memiliki:

1 gcd (m, c) =

gcd (2r, c) = 1, karena 2r bilangan genap dan c bilangan ganjil.2 a− 1 = 4s = 22s dan faktor prima dari m adalah 2, akibatnya a− 1 dapatdibagi oleh semua faktor prima dari m.









Kita memiliki:

1 gcd (m, c) = gcd (2r, c) = 1, karena 2r bilangan genap dan c bilangan ganjil.

2 a− 1 = 4s = 22s dan faktor prima dari m adalah 2, akibatnya a− 1 dapatdibagi oleh semua faktor prima dari m.









Kita memiliki:










Kita memiliki:



Dalam implementasinya, untuk komputer yang memakai 32 bit per kata (32 bitper words), kita dapat memilih m = 231. Dengan syarat-syarat yang sesuai, makapanjang siklus dari LCG yang dihasilkan akan maksimal, yaitum =

231 ≈(210)3 ≈ (103)3, atau sekitar 1 milyar.






Kita memiliki:







Implementasi LCG pada Beberapa Bahasa Pemrograman

Berikut adalah nilai-nilai dari a, c, dan m untuk formulasi LCG yang dipakai padabeberapa bahasa pemrograman.

Bahasa m a cBorland C/ C++ 232 22 695 477 1MS Visual C++ 232 214 013 2 531 011Borland Delphi 232 134 775 813 1

Java (java.util.random) 248 25 214 903 917 11


Pembangkitan Variat Acak Diskrit

Bahasan







Definisi Variat Acak

Kita ingin mensimulasikan antrian yang terjadi pada sebuah layanan tertentu,apa yang harus kita lakukan?

Bagaimana cara membangkitkan suatu “kejadian acak”pada antriantersebut?

Kita telah melihat cara membangkitkan “bilangan acak”dan caramemperoleh bilangan pada selang [0, 1) yang “bersifat acak”.

DefinisiDiberikan suatu kejadian probabilistik dengan cdf P (X ≤ k) = FX (k), variatacak yang bersesuaian dengan nilai u ∈ [0, 1) adalah nilai k yang memenuhi

P (X ≤ k) = FX (k) = u.

atauP (X ≤ k) ≥ u

bila nilai P (X ≤ k) tidak mungkin secara eksak sama dengan u.



Metode Pembangkitan Variat Acak Diskrit

Ide untuk membangkitkan variat acak diskrit dijelaskan sebagai berikut.

Pembangkitan Variat Acak DiskritPembangkitan variat acak diskrit dilakukan dengan algoritma invers-transformasiberikut:

1 Bangkitkan bilangan acak u ∈ [0, 1).2 Diberikan cdf FX (k) = P (X ≤ k), tentukan nilai k terkecil yang memenuhiu ≤ FX (k) atau u ≤ P (X ≤ k).



Contoh Pembangkitan Variat Acak Diskrit

Setiap hari banyaknya orang yang datang ke sebuah toilet umum adalah 0 orang,1 orang, atau 2 orang dengan peluang sebagai berikut

P (X = 0) = 0.5, P (X = 1) = 0.3, dan P (X = 2) = 0.2.

Untuk membuat suatu skema simulasi, pertama kita tentukan dulu pdf darikejadian ini. Misalkan F (X = k) = P (X ≤ k), maka kita memiliki tabel berikut

k P (X = k) F (X = k)0 0.5 0.51 0.3 0.82 0.2 1

Diberikan nilai u ∈ [0, 1) yang bersifat acak, maka nilai k dapat diperoleh denganaturan berikut

k =

0, bila u ≤ 0.51, bila 0.5 < u ≤ 0.82, bila 0.8 < u < 1



Contoh Simulasi

Untuk membuat simulasi pengunjung toilet umum, misalkan kita memakai LCGxi+1 = (5xi + 1)mod 8 dengan x1 = 1, kita memiliki barisan bilangan acak{xi}∞i=1 sebagai 6, 7, 4, 5, 2, 3, 0, . . . dan {ui}

∞i=1 sebagai

0.125, 0.75, 0.875, 0.5, 0.625, 0.25, 0.375, 0.0, . . . Kita dapat membangkitkan variatacak banyaknya orang yang datang ke toilet dalam delapan hari sebagai berikut

Hari ke-i xi ui k (lihat aturan penentuan k dari u)1 1 0.125

02 6 0.750 13 7 0.875 24 4 0.500 05 5 0.625 16 2 0.250 07 3 0.375 08 0 0.000 0



Contoh Simulasi


∞i=1 sebagai


Hari ke-i xi ui k (lihat aturan penentuan k dari u)1 1 0.125 02 6 0.750

13 7 0.875 24 4 0.500 05 5 0.625 16 2 0.250 07 3 0.375 08 0 0.000 0



Contoh Simulasi


∞i=1 sebagai


Hari ke-i xi ui k (lihat aturan penentuan k dari u)1 1 0.125 02 6 0.750 13 7 0.875

24 4 0.500 05 5 0.625 16 2 0.250 07 3 0.375 08 0 0.000 0



Contoh Simulasi


∞i=1 sebagai


Hari ke-i xi ui k (lihat aturan penentuan k dari u)1 1 0.125 02 6 0.750 13 7 0.875 24 4 0.500

05 5 0.625 16 2 0.250 07 3 0.375 08 0 0.000 0



Contoh Simulasi


∞i=1 sebagai


Hari ke-i xi ui k (lihat aturan penentuan k dari u)1 1 0.125 02 6 0.750 13 7 0.875 24 4 0.500 05 5 0.625

16 2 0.250 07 3 0.375 08 0 0.000 0



Contoh Simulasi


∞i=1 sebagai


Hari ke-i xi ui k (lihat aturan penentuan k dari u)1 1 0.125 02 6 0.750 13 7 0.875 24 4 0.500 05 5 0.625 16 2 0.250

07 3 0.375 08 0 0.000 0



Contoh Simulasi


∞i=1 sebagai


Hari ke-i xi ui k (lihat aturan penentuan k dari u)1 1 0.125 02 6 0.750 13 7 0.875 24 4 0.500 05 5 0.625 16 2 0.250 07 3 0.375

08 0 0.000 0



Contoh Simulasi


∞i=1 sebagai


Hari ke-i xi ui k (lihat aturan penentuan k dari u)1 1 0.125 02 6 0.750 13 7 0.875 24 4 0.500 05 5 0.625 16 2 0.250 07 3 0.375 08 0 0.000

0



Contoh Simulasi


∞i=1 sebagai


Hari ke-i xi ui k (lihat aturan penentuan k dari u)1 1 0.125 02 6 0.750 13 7 0.875 24 4 0.500 05 5 0.625 16 2 0.250 07 3 0.375 08 0 0.000 0



Latihan

LatihanCuaca di sebuah kota dapat berupa: cerah (sunny), berawan (cloudy), berangin(windy), hujan (rainy), atau badai (stormy). Dengan asumsi bahwa terjadinyacuaca berdistribusi uniform diskrit, buatlah sebuah daftar simulasi cuaca yangterjadi di kota tersebut menggunakan LCG xi+1 = (5xi + 1)mod 8 denganx1 = 1. Jelaskan definisi variabel acak yang digunakan.

Solusi: Kita memiliki S = {sunny, cloudy, windy, rainy, stormy}. Misalkanvariabel acak yang dipakai didefinisikan sebagai berikut: X (sunny) = 0,X (cloudy) = 1, X (windy) = 2, X (rainy) = 3, X (stormy) = 4. Karena cuacaberdistribusi uniform diskrit, maka P (X = k) = 1

5 = 0.2. Kita memiliki tabel pdfberikut

k P (X = k) F (X = k)0 0.2 0.21 0.2 0.42 0.2 0.63 0.2 0.84 0.2 1.0



Latihan


Solusi: Kita memiliki S = {sunny, cloudy, windy, rainy, stormy}. Misalkanvariabel acak yang dipakai didefinisikan sebagai berikut:

X (sunny) = 0,X (cloudy) = 1, X (windy) = 2, X (rainy) = 3, X (stormy) = 4. Karena cuacaberdistribusi uniform diskrit, maka P (X = k) = 1


k P (X = k) F (X = k)0 0.2 0.21 0.2 0.42 0.2 0.63 0.2 0.84 0.2 1.0



Latihan


Solusi: Kita memiliki S = {sunny, cloudy, windy, rainy, stormy}. Misalkanvariabel acak yang dipakai didefinisikan sebagai berikut: X (sunny) = 0,X (cloudy) = 1, X (windy) = 2, X (rainy) = 3, X (stormy) = 4. Karena cuacaberdistribusi uniform diskrit, maka P (X = k) = 1


k P (X = k) F (X = k)0 0.2 0.21 0.2 0.42 0.2 0.63 0.2 0.84 0.2 1.0



Diberikan nilai u ∈ [0, 1) yang bersifat acak, maka nilai k dapat ditentukandengan aturan berikut

k =

0, bila u ≤ 0.21, bila 0.2 ≤ u < 0.42, bila 0.4 ≤ u < 0.63, bila 0.6 ≤ u < 0.84, bila 0.8 ≤ u < 1.0



Untuk simulasi memakai LCG xi+1 = (5xi + 1)mod 8 dengan x1 = 1, kitamemiliki barisan bilangan acak {xi}∞i=1 sebagai 6, 7, 4, 5, 2, 3, 0, . . . dan {ui}

∞i=1

sebagai 0.125, 0.75, 0.875, 0.5, 0.625, 0.25, 0.375, 0.0, . . .. Variat acak kejadiancuaca dalam delapan hari dapat dituliskan dalam tabel berikut:

Hari ke-i xi ui k Cuaca1 1 0.125

0 Cerah (Sunny)2 6 0.750 3 Hujan (Rainy)3 7 0.875 4 Badai (Stormy)4 4 0.500 2 Berangin (Windy)5 5 0.625 3 Hujan (Rainy)6 2 0.250 1 Berawan (Cloudy)7 3 0.375 1 Berawan (Cloudy)8 0 0.000 0 Cerah (Sunny)




∞i=1


Hari ke-i xi ui k Cuaca1 1 0.125 0

Cerah (Sunny)2 6 0.750 3 Hujan (Rainy)3 7 0.875 4 Badai (Stormy)4 4 0.500 2 Berangin (Windy)5 5 0.625 3 Hujan (Rainy)6 2 0.250 1 Berawan (Cloudy)7 3 0.375 1 Berawan (Cloudy)8 0 0.000 0 Cerah (Sunny)




∞i=1


Hari ke-i xi ui k Cuaca1 1 0.125 0 Cerah (Sunny)2 6 0.750

3 Hujan (Rainy)3 7 0.875 4 Badai (Stormy)4 4 0.500 2 Berangin (Windy)5 5 0.625 3 Hujan (Rainy)6 2 0.250 1 Berawan (Cloudy)7 3 0.375 1 Berawan (Cloudy)8 0 0.000 0 Cerah (Sunny)




∞i=1


Hari ke-i xi ui k Cuaca1 1 0.125 0 Cerah (Sunny)2 6 0.750 3

Hujan (Rainy)3 7 0.875 4 Badai (Stormy)4 4 0.500 2 Berangin (Windy)5 5 0.625 3 Hujan (Rainy)6 2 0.250 1 Berawan (Cloudy)7 3 0.375 1 Berawan (Cloudy)8 0 0.000 0 Cerah (Sunny)




∞i=1


Hari ke-i xi ui k Cuaca1 1 0.125 0 Cerah (Sunny)2 6 0.750 3 Hujan (Rainy)3 7 0.875

4 Badai (Stormy)4 4 0.500 2 Berangin (Windy)5 5 0.625 3 Hujan (Rainy)6 2 0.250 1 Berawan (Cloudy)7 3 0.375 1 Berawan (Cloudy)8 0 0.000 0 Cerah (Sunny)




∞i=1


Hari ke-i xi ui k Cuaca1 1 0.125 0 Cerah (Sunny)2 6 0.750 3 Hujan (Rainy)3 7 0.875 4

Badai (Stormy)4 4 0.500 2 Berangin (Windy)5 5 0.625 3 Hujan (Rainy)6 2 0.250 1 Berawan (Cloudy)7 3 0.375 1 Berawan (Cloudy)8 0 0.000 0 Cerah (Sunny)




∞i=1


Hari ke-i xi ui k Cuaca1 1 0.125 0 Cerah (Sunny)2 6 0.750 3 Hujan (Rainy)3 7 0.875 4 Badai (Stormy)4 4 0.500

2 Berangin (Windy)5 5 0.625 3 Hujan (Rainy)6 2 0.250 1 Berawan (Cloudy)7 3 0.375 1 Berawan (Cloudy)8 0 0.000 0 Cerah (Sunny)




∞i=1


Hari ke-i xi ui k Cuaca1 1 0.125 0 Cerah (Sunny)2 6 0.750 3 Hujan (Rainy)3 7 0.875 4 Badai (Stormy)4 4 0.500 2

Berangin (Windy)5 5 0.625 3 Hujan (Rainy)6 2 0.250 1 Berawan (Cloudy)7 3 0.375 1 Berawan (Cloudy)8 0 0.000 0 Cerah (Sunny)




∞i=1


Hari ke-i xi ui k Cuaca1 1 0.125 0 Cerah (Sunny)2 6 0.750 3 Hujan (Rainy)3 7 0.875 4 Badai (Stormy)4 4 0.500 2 Berangin (Windy)5 5 0.625

3 Hujan (Rainy)6 2 0.250 1 Berawan (Cloudy)7 3 0.375 1 Berawan (Cloudy)8 0 0.000 0 Cerah (Sunny)




∞i=1


Hari ke-i xi ui k Cuaca1 1 0.125 0 Cerah (Sunny)2 6 0.750 3 Hujan (Rainy)3 7 0.875 4 Badai (Stormy)4 4 0.500 2 Berangin (Windy)5 5 0.625 3

Hujan (Rainy)6 2 0.250 1 Berawan (Cloudy)7 3 0.375 1 Berawan (Cloudy)8 0 0.000 0 Cerah (Sunny)




∞i=1


Hari ke-i xi ui k Cuaca1 1 0.125 0 Cerah (Sunny)2 6 0.750 3 Hujan (Rainy)3 7 0.875 4 Badai (Stormy)4 4 0.500 2 Berangin (Windy)5 5 0.625 3 Hujan (Rainy)6 2 0.250

1 Berawan (Cloudy)7 3 0.375 1 Berawan (Cloudy)8 0 0.000 0 Cerah (Sunny)




∞i=1


Hari ke-i xi ui k Cuaca1 1 0.125 0 Cerah (Sunny)2 6 0.750 3 Hujan (Rainy)3 7 0.875 4 Badai (Stormy)4 4 0.500 2 Berangin (Windy)5 5 0.625 3 Hujan (Rainy)6 2 0.250 1

Berawan (Cloudy)7 3 0.375 1 Berawan (Cloudy)8 0 0.000 0 Cerah (Sunny)




∞i=1


Hari ke-i xi ui k Cuaca1 1 0.125 0 Cerah (Sunny)2 6 0.750 3 Hujan (Rainy)3 7 0.875 4 Badai (Stormy)4 4 0.500 2 Berangin (Windy)5 5 0.625 3 Hujan (Rainy)6 2 0.250 1 Berawan (Cloudy)7 3 0.375

1 Berawan (Cloudy)8 0 0.000 0 Cerah (Sunny)




∞i=1


Hari ke-i xi ui k Cuaca1 1 0.125 0 Cerah (Sunny)2 6 0.750 3 Hujan (Rainy)3 7 0.875 4 Badai (Stormy)4 4 0.500 2 Berangin (Windy)5 5 0.625 3 Hujan (Rainy)6 2 0.250 1 Berawan (Cloudy)7 3 0.375 1

Berawan (Cloudy)8 0 0.000 0 Cerah (Sunny)




∞i=1


Hari ke-i xi ui k Cuaca1 1 0.125 0 Cerah (Sunny)2 6 0.750 3 Hujan (Rainy)3 7 0.875 4 Badai (Stormy)4 4 0.500 2 Berangin (Windy)5 5 0.625 3 Hujan (Rainy)6 2 0.250 1 Berawan (Cloudy)7 3 0.375 1 Berawan (Cloudy)8 0 0.000

0 Cerah (Sunny)




∞i=1


Hari ke-i xi ui k Cuaca1 1 0.125 0 Cerah (Sunny)2 6 0.750 3 Hujan (Rainy)3 7 0.875 4 Badai (Stormy)4 4 0.500 2 Berangin (Windy)5 5 0.625 3 Hujan (Rainy)6 2 0.250 1 Berawan (Cloudy)7 3 0.375 1 Berawan (Cloudy)8 0 0.000 0

Cerah (Sunny)




∞i=1


Hari ke-i xi ui k Cuaca1 1 0.125 0 Cerah (Sunny)2 6 0.750 3 Hujan (Rainy)3 7 0.875 4 Badai (Stormy)4 4 0.500 2 Berangin (Windy)5 5 0.625 3 Hujan (Rainy)6 2 0.250 1 Berawan (Cloudy)7 3 0.375 1 Berawan (Cloudy)8 0 0.000 0 Cerah (Sunny)



Formulasi Invers

Diberikan u ∈ [0, 1), variat acak yang bersesuaian dengan u dengan distribusipeluang FX (k) adalah nilai k terkecil yang memenuhi

FX (k) = P (X ≤ k) = u.

Bila fungsi FX (k) merupakan fungsi yang inversnya mudah dicari, maka kitadapat mencari k dengan formulasi k =

⌊F−1X (k)

⌋.

Metode untuk menentukan variat acak dari kejadian diskrit berdistribusi Poissondan Geometrik dapat dilihat pada buku teks:

Simulation Modeling and Analysis, Edisi 3, 2000, oleh A. M. Law, W. D.Kelton (acuan utama).

Discrete-Event Simulation, Edisi 4, oleh J. Banks, J. S. Carson II, B. L.Nelson, D. M. Nicol.


Pembangkitan Variat Acak Kontinu

Bahasan







Metode Pembangkitan Variat Acak Kontinu

Ide untuk membangkitkan variat acak kontinu dijelaskan sebagai berikut.

Pembangkitan Variat Acak KontinuPembangkitan variat acak kontinu dilakukan dengan algoritma invers-transformasiberikut:

1 Bangkitkan bilangan acak u ∈ [0, 1).

2 Diberikan cdf FX (x) = P (X ≤ x), tentukan nilai x terkecil yang memenuhiu ≤ FX (x) atau u ≤ P (X ≤ x).

3 Karena X variabel acak kontinu, jika fungsi cdf FX (x) memiliki invers, makakita dapat menentukan x = F−1X (u).




Ide untuk membangkitkan variat acak kontinu dijelaskan sebagai berikut.

Pembangkitan Variat Acak KontinuPembangkitan variat acak kontinu dilakukan dengan algoritma invers-transformasiberikut:

1 Bangkitkan bilangan acak u ∈ [0, 1).2 Diberikan cdf FX (x) = P (X ≤ x), tentukan nilai x terkecil yang memenuhiu ≤ FX (x) atau u ≤ P (X ≤ x).

3 Karena X variabel acak kontinu, jika fungsi cdf FX (x) memiliki invers, makakita dapat menentukan x = F−1X (u).



Contoh Pembangkitan Variat Acak Kontinu

Waktu kedatangan pelanggan di sebuah ATM mengikuti distribusi eksponensialdengan λ pelanggan per jam. Ingat kembali pdf dan cdf dari distribusieksponensial secara umum, yaitu

pdf: fX (x) = λe−λx dan cdf: FX (x) = 1− e−λx,

dengan λ menyatakan banyaknya rata-rata pelanggan per unit interval waktutertentu. Jika diberikan u ∈ [0, 1), maka nilai x dapat ditentukan melalui caraberikut

FX (x) = u

1− e−λx = u

e−λx = 1− uln(e−λx

)= ln (1− u)

− λx = ln (1− u)

x = − 1λln (1− u)

Jadi kita memiliki F−1X (u) = − 1λ ln (1− u).







FX (x) = u

1− e−λx = u

e−λx = 1− u

ln(e−λx

)= ln (1− u)

− λx = ln (1− u)

x = − 1λln (1− u)








FX (x) = u

1− e−λx = u

e−λx = 1− uln(e−λx

)= ln (1− u)

− λx = ln (1− u)

x = − 1λln (1− u)




Contoh Simulasi

Jika selisih waktu kedatangan antar pelanggan di sebuah ATM mengikutidistribusi eksponensial dengan λ = 5 per jam, maka kita memilikiF−1X (u) =

− 15 ln (1− u).

Untuk membangkitkan selisih waktu kedatangan antar pelanggan yang“bersifat acak”misalkan kita memakai LCG xi+1 = (5xi + 1)mod 8 denganx1 = 1. Akibatnya kita memiliki barisan bilangan acak {xi}∞i=1 sebagai6, 7, 4, 5, 2, 3, 0, . . . dan {ui}∞i=1 sebagai0.125, 0.75, 0.875, 0.5, 0.625, 0.25, 0.375, 0.0, . . .

Kita dapat membangkitkan variat acak banyaknya selisih waktu kedatanganantar pelanggan (mulai pelanggan ke-1 sampai ke-8) dengan terlebih dulumenghitung nilai F−1 (ui) untuk i = 1 sampai i = 8.



Contoh Simulasi

Jika selisih waktu kedatangan antar pelanggan di sebuah ATM mengikutidistribusi eksponensial dengan λ = 5 per jam, maka kita memilikiF−1X (u) = − 1

5 ln (1− u).Untuk membangkitkan selisih waktu kedatangan antar pelanggan yang“bersifat acak”misalkan kita memakai LCG xi+1 = (5xi + 1)mod 8 denganx1 = 1. Akibatnya kita memiliki barisan bilangan acak {xi}∞i=1 sebagai6, 7, 4, 5, 2, 3, 0, . . . dan {ui}∞i=1 sebagai0.125, 0.75, 0.875, 0.5, 0.625, 0.25, 0.375, 0.0, . . .

Kita dapat membangkitkan variat acak banyaknya selisih waktu kedatanganantar pelanggan (mulai pelanggan ke-1 sampai ke-8) dengan terlebih dulumenghitung nilai F−1 (ui) untuk i = 1 sampai i = 8.



Untuk mempermudah simulasi yang dilakukan, selisih waktu kedatangan antarpelanggan dibulatkan ke menit terdekat.

1 F−1 (0.125) = − 15 ln (1− 0.125) =

0.02671 jam = 1.6026 menit, dibulatkanmenjadi 2 menit

2 F−1 (0.750) = − 15 ln (1− 0.750) = 0.27726 jam = 16.6360 menit,dibulatkan menjadi 17 menit

3 F−1 (0.875) = − 15 ln (1− 0.875) = 0.41589 jam = 24.953 menit, dibulatkanmenjadi 25 menit




7 F−1 (0.375) = − 15 ln (1− 0.375) = 0.09400 jam = 5.6400 menit, dibulatkanmenjadi 6 menit.

8 F−1 (0.000) = − 15 ln (1− 0.000) = 0.0000 jam = 0 menit, dibulatkanmenjadi 0 menit.





2 F−1 (0.750) = − 15 ln (1− 0.750) =

0.27726 jam = 16.6360 menit,dibulatkan menjadi 17 menit












3 F−1 (0.875) = − 15 ln (1− 0.875) =













4 F−1 (0.500) = − 15 ln (1− 0.500) =













5 F−1 (0.625) = − 15 ln (1− 0.625) =

0.19617 jam = 11.7700 menit,dibulatkan menjadi 12 menit












6 F−1 (0.250) = − 15 ln (1− 0.250) =













7 F−1 (0.375) = − 15 ln (1− 0.375) =

0.09400 jam = 5.6400 menit, dibulatkanmenjadi 6 menit.












8 F−1 (0.000) = − 15 ln (1− 0.000) =

0.0000 jam = 0 menit, dibulatkanmenjadi 0 menit.



Kita dapat mensimulasikan waktu kedatangan pelanggan ke ATM mulai daripelanggan ke-1 sampai pelanggan ke-8.

Dari hasil sebelumnya, kita definisikan ti = F−1 (ui) sebagai selisih waktukedatangan pelanggan ke-i dengan ke i− 1 untuk i ≥ 2.Misalkan Arrivei menyatakan waktu kedatangan pelanggan ke-i ke ATM(dihitung sejak ATM beroperasi). Maka kita memiliki tabel berikut.

i (pelanggan) ti (menit) Arrivei (menit)1 2

22 17 193 25 444 8 525 12 646 3 677 6 738 0 73

Terlihat bahwa LCG xi+1 = 5xi + 8 dengan x1 = 1 memberikan suatukondisi di mana dua pelanggan datang ke ATM dalam waktu bersamaan.





i (pelanggan) ti (menit) Arrivei (menit)1 2 22 17

193 25 444 8 525 12 646 3 677 6 738 0 73






i (pelanggan) ti (menit) Arrivei (menit)1 2 22 17 193 25

444 8 525 12 646 3 677 6 738 0 73






i (pelanggan) ti (menit) Arrivei (menit)1 2 22 17 193 25 444 8

525 12 646 3 677 6 738 0 73






i (pelanggan) ti (menit) Arrivei (menit)1 2 22 17 193 25 444 8 525 12

646 3 677 6 738 0 73






i (pelanggan) ti (menit) Arrivei (menit)1 2 22 17 193 25 444 8 525 12 646 3

677 6 738 0 73






i (pelanggan) ti (menit) Arrivei (menit)1 2 22 17 193 25 444 8 525 12 646 3 677 6

738 0 73






i (pelanggan) ti (menit) Arrivei (menit)1 2 22 17 193 25 444 8 525 12 646 3 677 6 738 0

73






i (pelanggan) ti (menit) Arrivei (menit)1 2 22 17 193 25 444 8 525 12 646 3 677 6 738 0 73




Latihan

LatihanSuatu kejadian kontinu dengan ruang sampel interval [a, b] berdistribusi uniform.Tentukan cara membangkitkan variat acak pada ruang sampel tersebut jikadiberikan u ∈ [0, 1). (Petunjuk: cdf dari distribusi unfiorm pada [a, b] adalahFX (x) =

x−ab−a ).

LatihanKedatangan penumpang antara pukul 08 : 00− 09 : 00 pada sebuah halte busberdistribusi uniform. Buatlah sebuah daftar simulasi waktu kedatangan delapanpenumpang ke halte bus tersebut menggunakan LCG xi+1 = (5xi + 1)mod 8dengan x1 = 1.



Solusi:Untuk membangkitkan variat acak pada ruang sampel [a, b] yang berdistribusiuniform, kita memiliki cdf FX (x) = x−a

b−a , akibatnya

FX (x) = u

x− ab− a = u

x− a = u (b− a)x = u (b− a) + a,

jadi formulasi untuk membangkitkan variat acak berdistribusi uniform adalahF−1X (u) = u (b− a) + a.




b−a , akibatnya

FX (x) = ux− ab− a = u

x− a = u (b− a)x = u (b− a) + a,





b−a , akibatnya


x− a = u (b− a)

x = u (b− a) + a,





b−a , akibatnya


x− a = u (b− a)x = u (b− a) + a,

jadi formulasi untuk membangkitkan variat acak berdistribusi uniform adalahF−1X (u) =

u (b− a) + a.




b−a , akibatnya


x− a = u (b− a)x = u (b− a) + a,




Bila LCG xi+1 = (5xi + 1)mod 8 dengan x1 = 1, maka kita memiliki barisanbilangan acak {xi}∞i=1 sebagai 6, 7, 4, 5, 2, 3, 0, . . . dan {ui}

∞i=11 sebagai

0.125, 0.75, 0.875, 0.5, 0.625, 0.25, 0.375, 0.0, . . ..

Ruang sampel yang ditinjau adalah waktu antara 08 : 00− 09 : 00. Kita dapatmendefinisikan variabel acak kontinu T yang menyatakan waktu kedatanganpenumpang ke halte tersebut dengan T (08 : 00) = 0 dan T (09 : 00) = 60. Nilai tyang memenuhi FT (t) = u dapat diperoleh dari formulasit = FT (u) = u (b− a) + a = 60u+ 0 = 60.



Bila nilai ti = Ft (ui) = 60ui dan ui merupakan barisan variabel acak yang kitamiliki, maka kita memiliki tabel simulasi berikut untuk penumpang ke-1 sampaipenumpang ke-8.

i (penumpang) ui ti (menit)waktu kedatangan ke halte(jam : menit : detik)

1 0.125

7.5 08 : 07 : 302 0.750 45.0 08 : 45 : 003 0.875 52.5 08 : 52 : 304 0.500 30.0 08 : 30 : 005 0.625 37.5 08 : 37 : 306 0.250 15.0 08 : 15 : 007 0.375 22.5 08 : 22 : 308 0.000 0.0 08 : 00 : 00





1 0.125 7.5

08 : 07 : 302 0.750 45.0 08 : 45 : 003 0.875 52.5 08 : 52 : 304 0.500 30.0 08 : 30 : 005 0.625 37.5 08 : 37 : 306 0.250 15.0 08 : 15 : 007 0.375 22.5 08 : 22 : 308 0.000 0.0 08 : 00 : 00





1 0.125 7.5 08 : 07 : 302 0.750

45.0 08 : 45 : 003 0.875 52.5 08 : 52 : 304 0.500 30.0 08 : 30 : 005 0.625 37.5 08 : 37 : 306 0.250 15.0 08 : 15 : 007 0.375 22.5 08 : 22 : 308 0.000 0.0 08 : 00 : 00





1 0.125 7.5 08 : 07 : 302 0.750 45.0

08 : 45 : 003 0.875 52.5 08 : 52 : 304 0.500 30.0 08 : 30 : 005 0.625 37.5 08 : 37 : 306 0.250 15.0 08 : 15 : 007 0.375 22.5 08 : 22 : 308 0.000 0.0 08 : 00 : 00





1 0.125 7.5 08 : 07 : 302 0.750 45.0 08 : 45 : 003 0.875

52.5 08 : 52 : 304 0.500 30.0 08 : 30 : 005 0.625 37.5 08 : 37 : 306 0.250 15.0 08 : 15 : 007 0.375 22.5 08 : 22 : 308 0.000 0.0 08 : 00 : 00





1 0.125 7.5 08 : 07 : 302 0.750 45.0 08 : 45 : 003 0.875 52.5

08 : 52 : 304 0.500 30.0 08 : 30 : 005 0.625 37.5 08 : 37 : 306 0.250 15.0 08 : 15 : 007 0.375 22.5 08 : 22 : 308 0.000 0.0 08 : 00 : 00





1 0.125 7.5 08 : 07 : 302 0.750 45.0 08 : 45 : 003 0.875 52.5 08 : 52 : 304 0.500

30.0 08 : 30 : 005 0.625 37.5 08 : 37 : 306 0.250 15.0 08 : 15 : 007 0.375 22.5 08 : 22 : 308 0.000 0.0 08 : 00 : 00





1 0.125 7.5 08 : 07 : 302 0.750 45.0 08 : 45 : 003 0.875 52.5 08 : 52 : 304 0.500 30.0

08 : 30 : 005 0.625 37.5 08 : 37 : 306 0.250 15.0 08 : 15 : 007 0.375 22.5 08 : 22 : 308 0.000 0.0 08 : 00 : 00





1 0.125 7.5 08 : 07 : 302 0.750 45.0 08 : 45 : 003 0.875 52.5 08 : 52 : 304 0.500 30.0 08 : 30 : 005 0.625

37.5 08 : 37 : 306 0.250 15.0 08 : 15 : 007 0.375 22.5 08 : 22 : 308 0.000 0.0 08 : 00 : 00





1 0.125 7.5 08 : 07 : 302 0.750 45.0 08 : 45 : 003 0.875 52.5 08 : 52 : 304 0.500 30.0 08 : 30 : 005 0.625 37.5

08 : 37 : 306 0.250 15.0 08 : 15 : 007 0.375 22.5 08 : 22 : 308 0.000 0.0 08 : 00 : 00





1 0.125 7.5 08 : 07 : 302 0.750 45.0 08 : 45 : 003 0.875 52.5 08 : 52 : 304 0.500 30.0 08 : 30 : 005 0.625 37.5 08 : 37 : 306 0.250

15.0 08 : 15 : 007 0.375 22.5 08 : 22 : 308 0.000 0.0 08 : 00 : 00





1 0.125 7.5 08 : 07 : 302 0.750 45.0 08 : 45 : 003 0.875 52.5 08 : 52 : 304 0.500 30.0 08 : 30 : 005 0.625 37.5 08 : 37 : 306 0.250 15.0

08 : 15 : 007 0.375 22.5 08 : 22 : 308 0.000 0.0 08 : 00 : 00





1 0.125 7.5 08 : 07 : 302 0.750 45.0 08 : 45 : 003 0.875 52.5 08 : 52 : 304 0.500 30.0 08 : 30 : 005 0.625 37.5 08 : 37 : 306 0.250 15.0 08 : 15 : 007 0.375

22.5 08 : 22 : 308 0.000 0.0 08 : 00 : 00





1 0.125 7.5 08 : 07 : 302 0.750 45.0 08 : 45 : 003 0.875 52.5 08 : 52 : 304 0.500 30.0 08 : 30 : 005 0.625 37.5 08 : 37 : 306 0.250 15.0 08 : 15 : 007 0.375 22.5

08 : 22 : 308 0.000 0.0 08 : 00 : 00





1 0.125 7.5 08 : 07 : 302 0.750 45.0 08 : 45 : 003 0.875 52.5 08 : 52 : 304 0.500 30.0 08 : 30 : 005 0.625 37.5 08 : 37 : 306 0.250 15.0 08 : 15 : 007 0.375 22.5 08 : 22 : 308 0.000

0.0 08 : 00 : 00





1 0.125 7.5 08 : 07 : 302 0.750 45.0 08 : 45 : 003 0.875 52.5 08 : 52 : 304 0.500 30.0 08 : 30 : 005 0.625 37.5 08 : 37 : 306 0.250 15.0 08 : 15 : 007 0.375 22.5 08 : 22 : 308 0.000 0.0

08 : 00 : 00





1 0.125 7.5 08 : 07 : 302 0.750 45.0 08 : 45 : 003 0.875 52.5 08 : 52 : 304 0.500 30.0 08 : 30 : 005 0.625 37.5 08 : 37 : 306 0.250 15.0 08 : 15 : 007 0.375 22.5 08 : 22 : 308 0.000 0.0 08 : 00 : 00




Diberikan u ∈ [0, 1), variat acak yang bersesuaian dengan u dengan distribusipeluang FX (x) adalah nilai x terkecil yang memenuhi

FX (x) = P (X ≤ x) = u.

Bila fungsi FX (x) merupakan fungsi yang inversnya mudah dicari, maka kitadapat mencari x dengan formulasi k =

F−1X (x).

Sayangnya, tidak semua fungsi distribusi kumulatif (cdf) dari variabel acakkontinu memiliki invers yang mudah dicari, contohnya cdf dari distribusi normaldidefinisikan sebagai

FX (x) =

∫ x

−∞

1

σ√2πexp

(− (u− µ)

2

2σ2

),

fungsi inversnya sulit ditentukan secara analitik.




Diberikan u ∈ [0, 1), variat acak yang bersesuaian dengan u dengan distribusipeluang FX (x) adalah nilai x terkecil yang memenuhi

FX (x) = P (X ≤ x) = u.

Bila fungsi FX (x) merupakan fungsi yang inversnya mudah dicari, maka kitadapat mencari x dengan formulasi k = F−1X (x).

Sayangnya, tidak semua fungsi distribusi kumulatif (cdf) dari variabel acakkontinu memiliki invers yang mudah dicari, contohnya cdf dari distribusi normaldidefinisikan sebagai

FX (x) =

∫ x

−∞

1

σ√2πexp

(− (u− µ)

2

2σ2

),

fungsi inversnya sulit ditentukan secara analitik.



Secara umum, metode membangkitkan variat acak (baik diskrit maupun kontinu)ada beberapa jenis, yaitu:

1 metode transformasi invers (yang dipelajari dalam kuliah ini),2 metode penerimaan-penolakan (acceptance-rejection technique), dapatdigunakan untuk menentukan variat acak yang berdistribusi Poisson,

3 metode komposisi,4 metode konvolusi,5 metode karakterisasi.

Penjelasan lebih jauh tentang metode-metode di atas dapat dilihat pada bukuteks:

Simulation Modeling and Analysis, Edisi 3, 2000, oleh A. M. Law, W. D.Kelton (acuan utama).

Discrete-Event Simulation, Edisi 4, oleh J. Banks, J. S. Carson II, B. L.Nelson, D. M. Nicol.


Variat Acak (Random Variates - Telkom...

Documents

Transcript of Variat Acak (Random Variates - Telkom...